非线性规划模型在产品组合中的应用
实验利用Lingo求解整数规划和非线性规划问题
三、Lingo 循环编程举例
例5 用Lingo循环编程语句求解线性规划模型
max z 72x1 64x2
x1 x2 50, 132xx1 1180x0,2 480, x1 0, x2 0.
三、划 模型
max z 72x1 64x2
MODEL: SETS: person/A,B,C,D/; task/1..4/; assign(person,task):a,x; ENDSETS DATA: a=1100,800,1000,700,
600,500,300,800, 400,800,1000,900, 1100,1000,500,700; ENDDATA min=@sum(assign:a*x); @for(person(i):@sum(task(j):x(i,j))=1); @for(task(j):@sum(person(i):x(i,j))=1); @for(assign(i,j):@bin(x(i,j))); END
12,8 3,0; enddata
!数据赋值;
max=@sum(bliang(i):a(i)*x(i)); !目的函数;
@for(yshu(j):@sum(bliang(i):x(i)*c(j,i))<=b(j));
!约束条件;
例6、指派问题
企业在各地有4项业务，选定了4位业务员去处理。因为 业务能力、经验和其他情况不同，4业务员去处理4项业 务旳费用（单位：元）各不相同，见下表：
(3) 集合旳循环函数 集合旳循环函数能够使全部旳元素反复完毕某些操作.
函数
函数功能
• 形成集合全部元素需满足旳约
@for
束条件
• 计算集合中元素所在体现式旳
@sum
多目标规划应用实例
02
投资者需要在满足一定风险承 受能力的前提下，最大化投资 组合的预期收益，同时考虑市 场波动、政策风险等因素。
03
投资决策问题需要考虑多个目 标之间的权衡和折中，以实现 整体最优。
目标函数
收益最大化
投资者希望获得尽可能高的投资回报率，通 常以预期收益率作为目标函数。
风险最小化
投资者希望将投资风险降至最低，通常以方 差或标准差作为目标函数。
城市发展需满足环境保护的相关法律法规和标准。
3
3. 资源利用约束
城市发展需遵循资源利用的可持续性原则。
求解方法与结果分析
• 多目标规划问题通常采用权重法、目标规 划法、遗传算法等求解方法进行求解。通 过对不同方案进行比较和评估，可以得出 最优解或满意解。在城市规划与交通管理 中，多目标规划的应用可以帮助决策者全 面考虑各种因素，制定出更加科学、合理 的城市规划方案，提高城市运行效率，促 进城市的可持续发展。
多目标规划能够为决策者提供一个 系统的方法来权衡和比较不同目标 之间的优劣，从而提高决策的科学 性和合理性。
折衷与平衡
多目标规划可以帮助决策者在多个 目标之间找到一个相对最优的折衷 方案，实现不同目标之间的平衡发 展。
多目标规划的方法与步骤
方法
多目标规划常用的方法包括层次分析 法、多属性决策分析、数据包络分析 等。
问题描述
目标函数
• 目标函数包括两个部分：最小化生产成本 和运输成本。生产成本由各个工厂的生产 费用决定，运输成本则取决于各个工厂之 间的运输距离和运输量。
约束条件
• 约束条件包括：各个工厂的生产能力限制、市场需求量限制以及产品种类限制等。这些约束条件确保了生产计 划的可实施性和有效性。
线性规划应用案例分析
线性规划应用案例分析线性规划是一种在数学和运营管理中常见的优化技术。
它涉及到在一组线性不等式约束下，最大化或最小化一个线性目标函数。
这种技术可以应用于许多不同的领域，包括供应链管理、资源分配、投资组合优化等。
本文将探讨几个线性规划应用案例，以展示其在实际问题中的应用和价值。
某制造公司需要计划生产三种产品，每种产品都需要不同的原材料和生产时间。
公司的目标是最大化利润，但同时也受到原材料限制、生产能力限制以及每种产品市场需求限制的约束。
通过使用线性规划，该公司能够找到最优的生产计划，即在满足所有约束条件下，最大化利润。
某物流公司需要计划将货物从多个产地运输到多个目的地。
公司的目标是最小化运输成本，但同时也受到运输能力、货物量和目的地需求的约束。
通过使用线性规划，该公司能够找到最优的运输方案，即在满足所有约束条件下，最小化运输成本。
某投资公司需要将其资金分配给多个不同的投资项目。
每个项目都有不同的预期回报率和风险水平。
公司的目标是最大化回报率，同时也要保证投资风险在可接受的范围内。
通过使用线性规划，该公司能够找到最优的投资组合，即在满足所有约束条件下，最大化回报率。
这些案例展示了线性规划在实践中的应用。
然而，线性规划的应用远不止这些，它还可以用于诸如资源分配、时间表制定、路线规划等问题。
线性规划是一种强大的工具，可以帮助决策者解决复杂的问题并找到最优解决方案。
线性规划是一种广泛应用的数学优化技术，适用于在多种资源限制下寻求最优解。
这种技术涉及到各种领域，包括工业、商业、运输、农业、金融等，目的是在给定条件下最大化或最小化线性目标函数。
下面我们将详细讨论线性规划的应用。
线性规划是一种求解最优化问题的数学方法。
它的基本思想是在一定的约束条件下，通过线性方程组的求解，求得目标函数的最优解。
这里的约束条件通常表现为一组线性不等式或等式，而目标函数则通常表示为变量的线性函数。
工业生产：在工业生产中，线性规划可以用于生产计划、物料调配、人力资源分配等方面。
《最优化问题举例》课件
目录
contents
最优化问题概述线性规划问题举例非线性规划问题举例整数规划问题举例多目标规划问题举例
01
最优化问题概述
总结词
最优化问题是指在一定条件下，选择一个最优方案，使得某个目标函数达到最优值的问题。
详细描述
最优化问题通常涉及到在多个可能的选择中找到最优解，使得目标函数达到最大或最小值。这个目标函数通常代表了问题的成本、效益或性能等方面。
02
线性规划问题举例
总结词
运输问题是最优化问题中的一种，旨在通过合理安排运输方式、路径和数量，使得运输成本最低，满足需求。
详细描述
运输问题通常涉及到多个供应点和需求点，需要考虑如何选择合适的运输方式、确定最佳的运输路径和运输量，以最小化总成本。这需要考虑各种因素，如运输距离、运输速度、运输费用、货物量、需求量等。
详细描述
数学模型
实例
资源分配问题主要涉及如何将有限的资源合理分配给不同的项目或部门，以实现整体效益最大化。
总结词
这类问题需要考虑不同项目或部门的优先级、资源需求、效益评估等多个因素，通过优化资源配置，提高整体效益。
详细描述
线性规划、整数规划等模型可以用来描述这类问题，通过设定目标函数和约束条件，求解最优解。
总结词
生产计划问题是指如何合理安排生产计划，使得生产成本最低且满足市场需求。
详细描述
生产计划问题需要考虑生产什么、生产多少、何时生产以及如何生产等问题。它需要考虑市场需求、产品特性、生产能力、资源限制等因素，以制定最优的生产计划，实现成本最小化、利润最大化。
资源分配问题是指如何将有限的资源分配给不同的任务或部门，以最大化整体效益。
背包问题有多种变种，如完全背包问题、多背包问题和分数背包问题等。这类问题在现实生活中应用广泛，如物流运输、资源分配和金融投资等领域。通过整数规划方法，可以找到最优的物品组合，以最大化总价值或最小化总成本。
快速时尚品物流分销网络设计
ｏ ｔｍｉ ａ ｏ ａ ｅ ｒ ａ ｉ ｅ ｎ ｄｉ ｅ ｅ ｔａ ｓ ｍｂ ｉ ｇ ｒ ｔ ． ｐ ｉ ｚ ｔ ｎ ｃ ｎ ｂ ｅ ｌ ｄ ｉ ｆ ｒ ｎ ｓ ｅ ｌｎ ａ ｅ Ｔｈｅ ｍｏ ｅ ｓｓ ｌ ｅ ｙ ｕ ｉ ｇ ｓ ｍｕ ａ ｅ ｎ ｅ ｌｎ ｌ ｏ ｉ ｍ，ａ ｄ ｒ ｓ ｌ ｌ ｓｒ ｔ ｈ ｔ ｅ ｉ ｚ ｆ ｄ ｌｉ ｏ ｖ ｄ ｂ ｓｎ ｉ ｌ ｔｄ ａ ｎ ａ ｉ ｇ ａ ｇ ｒｔ ｈ ｎ ｅ ｕ ｔ ｉ ｕ ｔａ ｅ ｔ ａ ｓ ｌ ｈ ｔ
［ ｙｗｏ ｄ ｉ ｆｓｆｓ ｉｎｐｏ ｕｔｔ — —ａ ｒｔｇ ；ｓｅ ｌ ｇ ｌｇｓｃ ｉｔｂ ｔ ｎｎ ｔ ｒ ；ｉ ｌｔｄａｎ ａｉｇａｇｒ ｍ Ｋｅ ｒ ｓ ａｔａｈｏ ｒｄ ｃ；ｉ ｉ ｓｌ ｓ ａｅｙ ａｓｍｂｉ ；ｏ ｉｉｓ ｓｒ ｕ ｏ ｅｗｏｋ ｓ ａｅ ｎ ｅｌ ｌｏ ｔ ｅｎ ｅｔ ｎ ｔ ｄ ｉ ｉ ｍｕ ｎ ｉ ｈ
产 品 的积 压 ，并 尽快 收 回 资 金 。这 种 模 式 在 日本 得 到 广 泛 运
划模型 中加入与产 品生命周期长度相关的参数 ，解 决以往 的 闭环物流 网络难 以应对高残值易逝品更新速度快和 配送柔性 等 问题” 。快速时 尚品的 网络销售具 有网络层级多、需求动 … 态变化 、促销活动对 网络运作影响大等特征 ，因此 ，此类问 题 的物流分销 网络设计较逆 向物流 网络而言 ，既有多产品、 动 态 的特 征 ，在 参 数 选 择 上 又 有 一 定 区别 ，需 要考 虑销 售 策 略、服务范 围及能力约束 的影响 。本文研究产品组 配率 等相 关参数 的确定 方法 ，并建立具有多产 品组合以及订 单 自取特
并建 立具有多产 品组配和订单 自 取特 点的非线性混合整数规划模型 。引入产 品组配的相关参数 ， 实现 不同组 配率 下物流分销 网络 的整体 优
非线性最优化模型
案例二：生产调度优化的应用
总结词
生产调度优化是利用非线性最优化模型来安排生产计划 ，以提高生产效率和降低生产成本。
详细描述
生产调度问题需要考虑生产线的配置、工人的排班、原 材料的采购等多个因素。非线性最优化模型能够综合考 虑这些因素，并找到最优的生产调度方案，提高生产效 率，降低生产成本，并确保生产计划的可行性。
04
非线性最优化模型的实例分析
投资组合优化模型
投资组合优化模型
通过非线性最优化方法，确定最佳投资组合配置，以实现预期收 益和风险之间的平衡。
目标函数
最大化预期收益或最小化风险，通常采用夏普比率、詹森指数等 作为评价指标。
约束条件
包括投资比例限制、流动性约束、风险控制等。
生产调度优化模型
01
生产调度优化模型
非线性最优化模型
• 非线性最优化模型概述 • 非线性最优化模型的分类 • 非线性最优化模型的求解方法 • 非线性最优化模型的实例分析 • 非线性最优化模型的挑战与展望 • 非线性最优化模型的应用案例
01
非线性最优化模型概述
定义与特点
定义
非线性最优化模型是指用来描述具有 非线性特性的系统或问题的数学模型 。
多目标非线性优化模型
多目标
多目标非线性优化模型中存在多个目标函数，这些目标函 数之间可能存在冲突。
01
求解方法
常用的求解方法包括权重法、帕累托最 优解法、多目标遗传算法等，这些方法 通过迭代过程逐步逼近最优解。
02
03
应用领域
多目标非线性优化模型广泛应用于各 种领域，如系统设计、城市规划、经 济分析等。
通过非线性最优化方法，合理安 排生产计划和调度，以提高生产 效率和降低成本。
考虑EoL产品重用的产品配置优化研究
考虑EoL产品重用的产品配置优化研究摘要：针对多生命周期产品配置优化问题，将产品组件分为重用组件和新制造组件，对于重用组件，考虑包括再制造在内的一系列EoL产品重用策略；对于新制造组件，则在原始组件的基础上将改进组件考虑在内。
通过对需求周期内采用各变体组件比例的研究，以产品配置成本、碳排放量和产品可靠度为优化目标，建立了多目标优化模型，采用gamultiobj函数的遗传算法对该模型进行求解，并基于模糊集理论的Pareto优选机制，得到产品的最优产品配置方案。
最后，以某型号汽车发动机为例验证了模型的可行性与合理性。
关键词：产品配置；EoL产品重用；多目标优化0 引言传统的生产使大量产品在初期使用寿命终结时便遭淘汰，这在造成资源浪费的同时也给人类生存环境带来了巨大危害[1]。
对EoL(end-of-life)产品进行重用，可以使企业在保证产品性能的同时减少环境影响和提高整体效益。
EoL产品重用和生命周期问题已经被认为是产品配置设计中的重要因素。
Mangun等在考虑产品成本、可靠度和环境影响之间的权衡时，将重用、再制造和再循环纳入产品组合设计优化[2]。
Kwak等开发了一个混合整数规划模型，用于评估针对销售重用产品的产品族设计相对于EoL回收方法的盈利能力[3]。
Ma 等提出基于需求趋势挖掘的预测生命周期设计优化模型，寻找产品属性的最优配置[4]。
Yuan Zhao提出了一种进行产品长期规划的新方法，以确定最佳的回收时间、EoL产品再制造决策和生命周期数[5]。
Wu等提出了一个多目标混合整数规划模型来解决产品族中新产品和再造品的产品配置问题[6]。
张英英针对考虑再制造的产品族配置优化问题,建立了混合整数非线性双层规划模型[7]。
魏祥等针对制造/ 再制造混合系统的生产批量问题,建立了一个以总利润最大化为目标的数学规划模型[8]。
然而，之前的研究都没有涉及到在考虑经济、环境和可靠度目标的同时进行多个生命周期的产品配置进行优化，对于变体组件/产品的选择较为单一，且没有考虑改进组件对配置方案的影响。
二维装箱问题的非线性优化方法
二维装箱问题的非线性优化方法一、本文概述二维装箱问题（Two-Dimensional Bin Packing Problem，2DBPP）是一个重要的组合优化问题，它广泛应用于生产制造、物流配送、计算机科学等领域。
在二维装箱问题中，需要将一组不规则形状的物体装入到有限数量的固定大小的箱子中，以最小化所使用的箱子数量。
这个问题是一个NP难问题，因为它涉及到大量的组合选择和优化决策。
传统的二维装箱问题求解方法主要基于线性规划和启发式算法，这些方法在处理大规模问题时往往效率低下，难以得到最优解。
因此，本文提出了一种基于非线性优化方法的二维装箱问题求解策略。
这种方法通过对物体形状和装箱过程的非线性特征进行建模，可以更好地描述和解决问题。
本文首先介绍了二维装箱问题的背景和研究现状，然后详细阐述了非线性优化方法在二维装箱问题中的应用原理和步骤。
接着，通过具体的算例和实验验证，对比分析了非线性优化方法与传统方法的效果差异，并探讨了影响优化效果的关键因素。
本文总结了非线性优化方法在二维装箱问题中的优势和局限性，并对未来的研究方向进行了展望。
本文旨在为二维装箱问题的求解提供一种新的非线性优化思路和方法，为相关领域的研究和应用提供有益的参考和借鉴。
二、二维装箱问题的数学模型二维装箱问题（Two-Dimensional Bin Packing Problem, 2D-BPP）是一种典型的组合优化问题，它涉及到如何在满足一定约束条件下，将一组具有不同尺寸的物品有效地装入一系列固定大小的箱子中。
该问题的关键在于如何最大化每个箱子的空间利用率，同时确保所有物品都能被成功装箱。
在二维装箱问题中，每个物品通常由其宽度和高度两个尺寸参数来定义，而箱子则具有固定的宽度和高度。
目标是使用尽可能少的箱子来装下所有物品，同时满足每个箱子内物品的总宽度和总高度都不超过箱子的相应尺寸。
由于物品尺寸和箱子尺寸的多样性，以及物品在箱子中的排列方式的不确定性，使得二维装箱问题变得非常复杂。
实验二、利用Lingo求解整数规划及非线性规划问题
建立数学模型
根据问题要求，建立相应的数 学模型，包括变量、约束条件 和目标函数等。
设置求解参数
根据问题类型和规模，设置合 适的求解参数，如求解方法、 迭代次数等。
分析结果
对求解结果进行分析，验证模 型的正确性和可行性。
05 整数规划问题求解实例
问题描述
问题背景
本实验将通过一个具体的整数规划问题，展示如 何利用LINGO软件进行求解。该问题涉及到生产 计划优化，目标是最大化利润，同时满足一系列 约束条件。
非线性规划问题在数学、经济、工程等领域有广泛应用，是 优化理论的重要分支。
非线性规划问题的分类
01
按照目标函数的性质，非线性规划问题可以分为凸规
划和凹规划。
02
按照约束条件的性质，非线性规划问题可以分为无约
束、有界约束和等式约束三种类型。
03
按照决策变量的个数，非线性规划问题可以分为单变
量和多变量规划。
定义约束条件
使用LINGO的FROM命令定义约束条件，例 如FROM ... >= ... (P1,P2,...,Pn)。
LINGO求解过程及果分析
求解过程
在LINGO中输入模型，选择求解器类型（整数求解器或线性求解器），设置参数，运行求解过程。
结果分析
查看求解结果，包括最优解、最优值、松弛解等信息。对结果进行解释和评估，分析其对实际问题的 指导意义。
07 实验总结与展望
实验收获与体会
掌握整数规划和非线性规划的基本概念和求解方法
通过实验，我深入了解了整数规划和非线性规划的基本概念和求解方法，包括数学模型 建立、约束条件处理、目标函数处理等。
熟练使用LINGO软件
通过实验，我掌握了LINGO软件的基本操作和参数设置，能够利用LINGO软件求解整 数规划和非线性规划问题。
最优化方法及应用
最优化方法及应用最优化方法是一种数学领域的研究方法，旨在寻找最佳解决方案或最佳结果的方法。
最优化方法广泛应用于各个领域，如工程、经济、物流、管理等。
本文将介绍最优化方法的基本原理、常用模型和应用案例。
最优化方法的基本原理是通过建立数学模型，定义目标函数和约束条件，利用数学方法求得最佳解决方案。
最常见的最优化方法包括线性规划、非线性规划、动态规划、整数规划、模拟退火等。
线性规划是最常见的最优化方法之一，适用于目标函数和约束条件都是线性的问题。
线性规划通常使用单纯形法或内点法进行求解。
一个经典的应用案例是生产计划问题，通过最小化生产成本或最大化利润来确定最佳生产量和产品组合。
非线性规划是一个更一般的最优化方法，适用于目标函数和约束条件中包含非线性项的问题。
非线性规划可以使用梯度下降法、牛顿法等迭代算法进行求解。
一个典型的应用案例是参数估计问题，通过最小化误差函数来确定最佳参数值。
动态规划是一种适用于具有阶段性决策的问题的最优化方法。
动态规划通常将一个大问题划分为若干小问题，并通过递推的方式求解最优解。
一个常见的应用案例是背包问题，通过在每个阶段选择是否放入物品来最大化总价值。
整数规划是一种最优化方法，适用于目标函数和约束条件中包含整数变量的问题。
整数规划的求解比线性规划更困难，通常使用分支定界法等算法进行求解。
一个典型的应用案例是旅行商问题，通过确定一条最短路径来解决路线规划问题。
模拟退火是一种全局优化方法，通过模拟退火的过程来搜索最优解。
模拟退火可以应用于各种问题，如旅行商问题、机器学习算法优化等。
最优化方法在实际应用中具有广泛的应用场景。
在工程领域，最优化方法可以应用于产品设计、流程优化、资源调度等问题。
在经济领域，最优化方法可以应用于投资组合优化、货币政策制定等问题。
在物流领域，最优化方法可以应用于仓库位置选择、路径规划等问题。
在管理领域，最优化方法可以应用于员工排班、生产计划等问题。
总之，最优化方法是一种求解最佳解决方案或最佳结果的数学方法。
非线性编辑系统简介
非线性编辑系统简介一套非线性编辑系统由两大部分组成，即硬件系统和软件系统。
硬件系统包括计算机、视音频处理卡、大容量存储器、接口系统；软件部分包括系统软件和应用软件。
非线性编辑系统构成示意图目前我们还处在模拟与数字共存的时代，对于传统的模拟视频信号来说，在计算机中进行非线性编辑时，必须首先把视频源，即来自于模拟摄像机、录像机、影碟机等设备的视频信号转换成计算机能够处理的数字形式存储在硬盘上，这个过程称为数字化过程（包括了采样和量化两个步骤）。
非线性编辑系统实质上就是一个扩展的计算机系统。
更为直截了当地说，就是一台高性能计算机加一块或一套视音频输入/输出卡(俗称非编卡)，再配上一个大容量 SCSI磁盘阵列便构成了一个非线性编辑系统的基本硬件。
这三者相互配合，缺一不可。
一、非线性编辑的硬件系统1．计算机硬件平台目前的非线性编辑系统，不论复杂程度和价格高低如何，一般都是以通用的工作站或个人计算机作为系统平台的，编辑过程中和编辑结果的视音频数据均存储在硬盘里。
编辑的过程就是高速高效地处理数字化的视音频信号。
对于高质量的活动图像，图像存储载体与编辑装置间的传输码率应在100Mb／S以上，存储载体的容量应达几十GB或更高。
从这些年非线性编辑系统产品的发展来看，"高性能多媒体计算机+大容量高速硬盘+广播级视音频处理卡+专业非线性编辑软件"这样的产品组合架构已被广大业内人士所认可。
在这种架构的非线性编辑系统产品中，计算机属于基础硬件平台，任何一台非线性编辑系统都必须建立在一台多媒体计算机上，它要完成数据存储管理、视音频处理卡工作控制、软件运行等任务，它的性能和稳定性决定了整个系统的运行状态。
除了极少数厂商将它们的系统建立在自有平台上以外，作为一个标准化的发展趋势，越来越多的系统采用的是通用硬件平台。
一般是以PC机、Macintosh机为主，比较高档的非线性编辑系统采用的是像SGI的Octane、O2工作站这样的操作平台，或者更为昂贵的ONYX系统。
《管理运筹学教案》课件
《管理运筹学教案》PPT课件一、引言1. 课程介绍：管理运筹学的定义、目的和应用领域2. 课程目标：让学生了解和掌握运筹学的基本概念、方法和应用3. 课程安排：10个章节，每章包含理论讲解、案例分析和练习题二、线性规划1. 线性规划的定义和应用2. 线性规划的基本概念：目标函数、约束条件、可行解、最优解3. 线性规划的图解法和解法4. 案例分析：最小成本物流配送问题三、整数规划1. 整数规划的定义和应用2. 整数规划的基本概念：整数变量、约束条件、可行解、最优解3. 整数规划的解法：贪心算法、动态规划、分支定界法4. 案例分析：人员排班问题四、动态规划1. 动态规划的定义和应用2. 动态规划的基本概念：状态变量、决策变量、状态转移方程、最优策略3. 动态规划的解法：自顶向下法、自底向上法4. 案例分析：最短路径问题五、非线性规划1. 非线性规划的定义和应用2. 非线性规划的基本概念：非线性函数、约束条件、可行解、最优解3. 非线性规划的解法：梯度下降法、牛顿法、共轭梯度法4. 案例分析：最大化利润问题六、目标规划1. 目标规划的定义和应用2. 目标规划的基本概念：多目标规划、目标函数、约束条件、有效解3. 目标规划的解法：分层递阶法、平方规划法、图解法4. 案例分析：资源分配问题七、决策分析1. 决策分析的定义和应用2. 决策分析的基本概念：决策变量、目标函数、约束条件、可行解3. 决策分析的解法：确定性决策、风险性决策、不确定性决策4. 案例分析：产品组合决策问题八、网络计划1. 网络计划的定义和应用2. 网络计划的基本概念：活动、节点、路径、最早开始时间、最晚开始时间3. 网络计划的类型：PERT、CPM、Gantt图4. 案例分析：项目调度问题九、排队论1. 排队论的定义和应用2. 排队论的基本概念：到达过程、服务过程、排队系统、队列长度、等待时间3. 排队论的模型：M/M/1、M/M/c、M/G/14. 案例分析：银行排队问题十、库存管理1. 库存管理的定义和应用2. 库存管理的基本概念：库存水平、订货周期、订货量、库存成本3. 库存管理的方法：固定订货量系统、固定订货周期系统、连续检查系统4. 案例分析：物料需求计划问题重点和难点解析一、线性规划1. 线性规划的基本概念理解：目标函数、约束条件的设定及解的最优性的判断。
数据建模与求解(四)
排队模型
排队系统
M/M/1模型
M/M/1模型 Dupit公司服务 问题
M/M/1模型具有以下假设： 到达间隔时间服从均值为1/λ的负指 数分布 服务时间服从均值为1/μ的负指数分 布 排队系统只有一个服务台
排队模型
排队系统
M/M/1模型
M/M/1模型 Dupit公司服务 问题
M/M/1模型的特性：
μ为平均服务率
期望服务时间1/μ（均值）
应用最多的服务时间概率分布是负指数分布 − μt ，其密度函数为：
b(t ) = μe
另外，一些排队系统具有固定服务时间，其 服务时间称之为退化分布（定长分布）。
排队模型
排队系统
排队系统的关键指标
M/M/1模型 Dupit公司服务 问题
服务问题
负指数分布与定长分布代表了两种极端情况 。衡量服务时间波动量的一个标准是分布的标 准差σ： 负指数分布：σ = 均值 = 1/μ 定长分布： σ = 0 对于多数排队系统，服务时间的波动量介于 指数分布和定长分布之间(σ = 1/μ√k)，其服 务时间分布是爱尔朗(Erlang)分布。
排队模型
排队系统
Dupit公司服务问题
M/M/1模型 Dupit公司服务 问题
管理层制定了服务策略：每一位技术 服务人员应该能够平均一天修4台设备（平 均每台2小时，包括路途时间）。因此为了 使客户的等待时间尽量短，每个工作日平 均要接到3个维修电话。由于公司的设备平 均50个工作日需要维修一次，因此要为每 个服务人员负责的地区指定大约150台设备 。
非线性规划的求解
每周可得时间 4小时 12小时 18小时
需要加班时Wyndor问题再研究
Wyndor产品组合可分离规划问题数据
数学建模之优化模型
数学建模之优化模型在我们的日常生活和工作中，优化问题无处不在。
从如何规划一条最短的送货路线，到如何安排生产以最小化成本并最大化利润，从如何分配资源以满足不同的需求，到如何设计一个系统以达到最佳的性能，这些都涉及到优化的概念。
而数学建模中的优化模型，就是帮助我们解决这些复杂问题的有力工具。
优化模型，简单来说，就是在一定的约束条件下，寻求一个最优的解决方案。
这个最优解可以是最大值，比如利润的最大化；也可以是最小值，比如成本的最小化；或者是满足特定目标的最佳组合。
为了更好地理解优化模型，让我们先来看一个简单的例子。
假设你有一家小工厂，生产两种产品 A 和 B。
生产一个 A 产品需要 2 小时的加工时间和 1 个单位的原材料，生产一个 B 产品需要 3 小时的加工时间和 2 个单位的原材料。
每天你的工厂有 10 小时的加工时间和 8 个单位的原材料可用。
A 产品每个能带来 5 元的利润，B 产品每个能带来 8 元的利润。
那么，为了使每天的利润最大化，你应该分别生产多少个A 产品和 B 产品呢？这就是一个典型的优化问题。
我们可以用数学语言来描述它。
设生产 A 产品的数量为 x，生产 B 产品的数量为 y。
那么我们的目标就是最大化利润函数 P ＝ 5x ＋ 8y。
同时，我们有加工时间的约束条件 2x ＋3y ≤ 10，原材料的约束条件 x ＋2y ≤ 8，以及 x 和 y 都必须是非负整数的约束条件。
接下来，我们就可以使用各种优化方法来求解这个模型。
常见的优化方法有线性规划、整数规划、非线性规划、动态规划等等。
对于上面这个简单的例子，我们可以使用线性规划的方法来求解。
线性规划是一种用于求解线性目标函数在线性约束条件下的最优解的方法。
通过将约束条件转化为等式，并引入松弛变量，我们可以将问题转化为一个标准的线性规划形式。
然后，使用单纯形法或者图解法等方法，就可以求出最优解。
在这个例子中，通过求解线性规划问题，我们可以得到最优的生产方案是生产 2 个 A 产品和 2 个 B 产品，此时的最大利润为 26 元。
数学建模第四版习题答案
数学建模第四版习题答案数学建模是一门应用数学的学科，通过数学方法解决实际问题。
《数学建模（第四版）》是一本经典的教材，其中的习题是学生巩固知识和提高能力的重要练习。
本文将对《数学建模（第四版）》部分习题进行解答和讨论。
第一章是数学建模的基础知识。
习题1.1要求解释什么是数学建模，以及它在现实生活中的应用。
数学建模是将实际问题转化为数学问题，通过数学方法进行求解和分析。
它在工程、经济、环境等领域都有广泛的应用，如物流优化、金融风险评估等。
第二章是线性规划问题。
习题2.3要求利用线性规划方法解决一个生产计划问题。
假设某工厂有两种产品A和B，每种产品的生产需要不同的资源和时间。
通过建立数学模型，可以确定最佳的生产计划，以最大化利润或最小化成本。
第三章是整数规划问题。
习题3.2要求解决一个装载问题。
假设有一辆货车和若干货物，每个货物有不同的重量和体积。
货车的载重和容积有限，需要确定如何装载货物，使得装载量最大化。
通过整数规划方法，可以得到最优的装载方案。
第四章是非线性规划问题。
习题4.1要求求解一个最优化问题。
假设有一家公司要选择最佳的投资组合，以最大化收益。
通过建立数学模型，并应用非线性规划方法，可以确定最佳的投资策略。
第五章是动态规划问题。
习题5.3要求解决一个路径规划问题。
假设有一个迷宫，求从起点到终点的最短路径。
通过动态规划方法，可以逐步确定最优的路径，以及到达每个位置所需的最小代价。
第六章是图论问题。
习题6.2要求解决一个旅行商问题。
假设有若干个城市，旅行商需要依次访问每个城市，并返回起点城市。
通过建立图模型，并应用图论算法，可以确定最短的旅行路线，以及访问每个城市的顺序。
第七章是随机过程问题。
习题7.1要求求解一个排队论问题。
假设有若干个顾客到达某个服务点，服务点只能同时为一个顾客提供服务。
通过建立排队模型，并应用随机过程理论，可以确定顾客等待时间的分布，以及服务点的利用率。
总之，《数学建模（第四版）》的习题涵盖了数学建模的各个方面，从基础知识到高级应用，从线性规划到随机过程。
管理运筹学06非线性规划
对于大规模问题，梯度法可能会收敛到局部最优解而非全局 最优解。
牛顿法
优点
牛顿法具有二次收敛速度，即随着迭 代次数的增加，收敛速度会加快。
缺点
牛顿法需要计算目标函数的Hessian矩 阵，计算量大，且对于非凸问题，可 能陷入局部最优解。
拟牛顿法
优点
拟牛顿法具有类似于牛顿法的收敛速 度，但计算量较小。
解器。
SciPy的非线性规划求解器基于 优化算法，如梯度下降法和牛 顿法等，可以求解无约束和有
约束的非线性规划问题。
SciPy的接口简洁明了，易于使 用，适合Python程序员使用。
SciPy还提供了大量的示例和文 档，可以帮助用户更好地理解 和使用非线性规划求解器。
R语言
01 02 03 04
R语言是一种开源的统计计算语言，广泛应用于数据分析和统计建模 等领域。
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它通过迭代算法寻找使目标函数取得 极值的解，广泛应用于各种实际问题 的优化，如金融、物流、生产计划等 。
非线性规划的分类
约束优化问题
在给定的约束条件下最小化或最大化目标函数。
无约束优化问题
在无任何约束条件下最小化或最大化目标函数。
混合整数非线性规划问题
目标函数和约束条件中包含整数变量，且为非线性。
03
MATLAB的非线性规划求解器支持多种算法，包括内点法、梯度法、 牛顿法等，可以根据问题的规模和特性选择合适的算法。
04
MATLAB的用户界面友好，易于学习和使用，适合初学者和专家使用。
Python的SciPy库
SciPy是一个开源的Python数 学库，提供了大量的数学函数 和算法，包括非线性规划的求
数学模型在市场营销和消费者行为预测中的应用
数学模型在市场营销和消费者行为预测中的应用市场营销和消费者行为预测是现代商业中至关重要的领域。
随着科技的发展和数据的爆炸增长，数学模型的应用在这个领域变得越来越普遍。
数学模型可以帮助企业更好地了解消费者行为、预测市场趋势和制定有效的营销策略。
本文将探讨数学模型在市场营销和消费者行为预测中的应用，并介绍一些常用的数学模型。
一、市场分析和消费者行为预测市场分析是企业制定营销策略的重要一环。
通过市场分析，企业可以了解市场的需求、竞争对手的情况以及消费者的行为特征。
而消费者行为预测则是基于市场分析的结果，通过对消费者行为进行建模和预测，帮助企业预测市场趋势，制定相应的营销策略。
二、数学模型在市场营销中的应用1. 市场细分模型市场细分是将市场划分为不同的细分市场，以便更好地满足不同细分市场的需求。
数学模型可以帮助企业确定最佳的市场细分策略。
例如，通过聚类分析、因子分析等数学模型，可以将消费者划分为不同的群体，然后根据不同群体的需求特征，制定相应的营销策略。
2. 贝叶斯网络模型贝叶斯网络是一种概率图模型，可以用于分析消费者的购买决策过程。
通过构建贝叶斯网络模型，可以了解不同因素对消费者购买决策的影响程度，从而帮助企业预测消费者的购买行为，并制定相应的促销策略。
3. 马尔可夫链模型马尔可夫链是一种随机过程，可以用于分析消费者的购买序列。
通过构建马尔可夫链模型，可以了解不同产品之间的转移概率，从而预测消费者的购买序列。
企业可以根据这些预测结果，制定相应的产品组合和促销策略。
三、数学模型在消费者行为预测中的应用1. 偏最小二乘回归模型偏最小二乘回归模型可以用于分析消费者行为数据中的潜在变量。
通过这个模型，可以找到影响消费者行为的主要因素，从而帮助企业预测消费者的购买行为，并制定相应的营销策略。
2. 随机森林模型随机森林模型是一种集成学习算法，可以用于分析消费者行为数据中的非线性关系。
通过这个模型，可以发现消费者行为数据中的隐藏规律，从而帮助企业预测消费者的购买行为，并制定相应的营销策略。
从不同角度简述最优化问题的分类
最优化问题是数学、工程、经济等领域中常见的一个重要问题。
在实际问题中，我们常常需要寻找最优解来使得某个目标函数达到最小值或最大值。
最优化问题可分为线性规划、非线性规划、整数规划、多目标规划等不同类型。
接下来从不同角度简述最优化问题的分类。
一、按照目标函数的性质分类1. 线性规划线性规划是指目标函数和约束条件都是线性的最优化问题。
典型的线性规划问题包括资源分配、生产计划等。
2. 非线性规划非线性规划是指目标函数或约束条件中至少有一项是非线性的最优化问题。
非线性规划在实际中应用广泛，包括工程优化、信号处理、经济学等领域。
3. 整数规划整数规划是指最优化问题中的决策变量是整数的问题。
整数规划常用于制造业的生产调度、运输与物流优化等。
二、按照优化变量的性质分类1. 连续优化问题连续优化问题是指最优化问题中的决策变量可以取任意实数值的问题。
常见的连续优化问题包括线性规划、非线性规划等。
2. 离散优化问题离散优化问题是指最优化问题中的决策变量只能取离散的数值。
典型的离散优化问题包括整数规划、组合优化、图论优化等。
三、按照约束条件的性质分类1. 约束优化问题约束优化问题是指最优化问题中存在一定的约束条件限制的问题。
约束条件可以是线性约束、非线性约束、等式约束、不等式约束等。
2. 无约束优化问题无约束优化问题是指最优化问题中不存在任何约束条件的问题。
无约束优化问题通常比较简单，但在实际中也有着重要的应用，包括函数拟合、参数估计等。
四、按照目标函数的性质分类1. 单目标优化问题单目标优化问题是指最优化问题中只有一个目标函数的问题。
在实际问题中，单目标优化问题是最常见的。
2. 多目标优化问题多目标优化问题是指最优化问题中存在多个目标函数，且这些目标函数可能彼此矛盾的问题。
多目标优化问题的解称为帕累托最优解。
最优化问题的分类可以从不同的角度进行划分，包括目标函数的性质、优化变量的性质、约束条件的性质、目标函数的性质等。
非线性定价概述
非线性定价概述非线性定价是一种价格设定策略，与传统的线性定价不同，它不是按照固定的比例关系来计算价格。
这种定价策略的设计基于多个因素，如市场需求、消费者行为、产品特性和竞争情况等，以实现最大利润或最大市场份额。
在非线性定价中，价格往往不是简单的固定数额，而是根据不同的条件和情境而变化。
通过不同的定价策略和方案，企业可以灵活地调整价格，以应对市场的不确定性和变化。
非线性定价的关键是识别出对消费者决策产生重要影响的因素，并将其纳入定价策略中。
这些因素可以是消费者的需求弹性、产品的附加价值、购买数量、时间、地点等。
通过综合考虑这些因素，企业可以制定出相应的定价模型。
非线性定价的一个常见实践是差异化定价，即针对不同的消费者或市场细分群体制定不同的价格。
这可以根据消费者的收入、购买力、偏好和购买行为等特征来确定。
例如，一些企业会根据消费者的用户等级或地理位置来设定不同的价格，以获得更大的利润。
此外，市场定价、捆绑销售和动态定价等策略也是非线性定价的常见形式。
市场定价是指根据市场供需情况来调整价格，以维持市场平衡。
捆绑销售是将多个产品或服务组合在一起，以提高整体销售额和利润。
动态定价是根据不同市场条件和时间变化来灵活地调整价格。
非线性定价在现代市场竞争中具有广泛的应用。
它可以帮助企业实现差异化竞争，更好地满足消费者需求，提高市场份额和利润率。
然而，非线性定价也面临一些挑战，如定价模型的选择、数据分析的复杂性以及消费者对不公平定价的疑虑。
总之，非线性定价是一种价格设定策略，通过考虑多个因素来调整价格，以实现最大利润或最大市场份额。
它涉及识别重要的定价影响因素，差异化定价，以及灵活调整价格的策略。
非线性定价在现代市场竞争中具有广泛应用，并面临一些挑战。
非线性定价作为一种灵活的定价策略，具有广泛的应用范围。
下面将进一步探讨非线性定价的相关内容。
一种常见的非线性定价策略是市场定价。
市场定价是根据市场需求和供应情况，将价格根据需求弹性进行调整。
非线性规划作业
非线性规划作业一、引言非线性规划是数学规划中的一个重要分支，它在实际问题中具有广泛的应用。
本文将通过一个实际案例来介绍非线性规划的基本概念、求解方法和应用。
二、问题描述假设某公司生产两种产品A和B，每单位产品A的利润为10元，每单位产品B的利润为8元。
公司有两个生产车间，分别用于生产产品A和产品B。
生产车间A每天的生产能力为100个单位，生产车间B每天的生产能力为80个单位。
此外，公司还有以下限制条件：1. 生产产品A所需的材料每天最多只能供应150个单位。
2. 生产产品B所需的材料每天最多只能供应120个单位。
3. 生产产品A所需的劳动力每天最多只能使用80小时。
4. 生产产品B所需的劳动力每天最多只能使用60小时。
现在的问题是，如何安排生产计划，使得公司的利润最大化？三、数学建模为了解决上述问题，我们可以建立以下数学模型：设x为生产产品A的单位数量，y为生产产品B的单位数量，则目标函数可以表示为：Z = 10x + 8y同时，我们需要考虑以下约束条件：1. x ≤ 100 （生产车间A的生产能力限制）2. y ≤ 80 （生产车间B的生产能力限制）3. x ≤ 150 （材料供应限制）4. y ≤ 120 （材料供应限制）5. x ≤ 80 （劳动力使用限制）6. y ≤ 60 （劳动力使用限制）四、求解方法为了求解上述非线性规划问题，我们可以使用数学规划中的常见方法之一——线性规划求解器。
通过将非线性规划问题转化为线性规划问题，我们可以得到最优解。
具体步骤如下：1. 将目标函数和约束条件转化为线性形式。
对于目标函数Z = 10x + 8y，我们可以引入两个新的变量u和v，使得Z = 10x + 8y = u - v。
同时，将约束条件中的不等式转化为等式，得到以下线性形式的约束条件：x ≤ 100y ≤ 80x + u = 150y + v = 120x ≤ 80y ≤ 60x, y, u, v ≥ 02. 使用线性规划求解器求解上述线性规划问题。
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非线性规划模型在产品组合中的应用
[摘要] 非线性规划是具有非线性约束条件或目标函数的数学规划，是运筹学的一个重要分支。
非线性规划是20世纪50年代才开始形成的一门新兴学科。
70年代又得到进一步的发展。
非线性规划在工程、管理、经济、科研、军事等方面都有广泛的应用，为最优设计提供了有力的工具。
本文主要介绍用Excel规划求解工具制作的非线性规划模型来解决经济管理中的产品组合问题。
［关键词］非线性规划；模型；产品组合；应用
1 非线性规划数学模型
对实际规划问题作定量分析，必须建立数学模型。
建立数学模型首先要选定适当的目标变量和决策变量，并建立起目标变量与决策变量之间的函数关系，称之为目标函数。
然后将各种限制条件加以抽象，得出决策变量应满足的一些等式或不等式，称之为约束条件。
非线性规划问题的一般数学模型可表述为求未知量ｘ１，ｘ２，…，ｘｎ，使满足约束条件：
ｇｉ（ｘ１，…，ｘｎ）≥ ０ｉ＝１，…，ｍ
ｈｊ（ｘ１，…，ｘｎ）＝０ｊ＝１，…，ｐ
并使目标函数ｆ（ｘ１，…，ｘｎ）达到最小值（或最大值）。
其中：诸ｇｉ和诸ｈｊ都是定义在ｎ维向量空间Ｒｎ的某子集Ｄ（定义域）上的实值函数，且至少有一个是非线性函数。
上述模型可简记为：
ｍｉｎｆ（ｘ）
ｓ．ｔ．ｇｉ（ｘ）≥ ０ｉ＝１，…，ｍ
ｈｊ（ｘ）＝０ｊ＝１，…，ｐ
其中ｘ＝（ｘ１，…，ｘｎ）属于定义域Ｄ，符号ｍｉｎ表示“求最小值”，符号ｓ．ｔ．表示“受约束于”。
定义域Ｄ中满足约束条件的点称为问题的可行解。
全体可行解所成的集合称为问题的可行集。
对于一个可行解ｘ*，如果存在ｘ*的一个邻域，使目标函数在ｘ*处的值ｆ（ｘ*）优于（指不大于或不小于）该邻域中任何其他可行解处的函数值，则称ｘ*为问题的局部最优解（简称局部解）。
如果ｆ（ｘ*）优于一切可行解处的目标函数值，则称ｘ*为问题的整体最优解（简称整体解）。
２关于Ｅxcel规划求解
“规划求解”是一组命令的组成部分，这些命令有时也称作假设分析（假设分析：该过程通过更改单元格中的值来查看这些更改对工作表中公式结果的影响。
例如，更改分期支付表中的利率可以调整支付金额。
）工具。
借助“规划求解”，可求得工作表上某个单元格（被称为目标单元格）中公式（公式：单元格中的一系列值、单元格引用、名称或运算符的组合，可生成新的值。
公式总是以等号（＝）开始。
）的最优值。
“规划求解”将对直接或间接与目标单元格中公式相关联的一组单元格中的数值进行调整，最终在目标单元格公式中求得期望的结果。
“规划求解”通过调整所指定的可更改的单元格（可变单元格）中的值，从目标单元格公式中求得所需的结果。
在创建模型过程中，可以对“规划求解”模型中的可变单元格数值应用约束条件（约束条件：“规划求解”中设置的限制条件。
可以将约束条件应用于可变单元格、目标单元格或其他与目标单元格直接或间接相关的单元格。
），而且约束条件可以引用其他影响目标单元格公式的单元格。
使用“规划求解”可通过更改其他单元格来确定某个单元格的最大值或最小值。
使用规划求解的操作方法为：
在“工具”菜单上，单击“规划求解”。
如果“规划求解”命令没有出现在“工具”菜单中，则需要安装“规划求解”加载宏（加载项：为ＭｉｃｒｏｓｏｆｔＯｆｆｉｃｅ提供自定义命令或自定义功能的补充程序。
）程序。
操作方法：
在“工具”菜单上，单击“加载宏”。
如果在“当前加载宏”列表框中没有所需加载宏（加载项：为ＭｉｃｒｏｓｏｆｔＯｆｆｉｃｅ提供自定义命令或自定义功能的补充程序。
），请单击“浏览”按钮，再找到该加载宏。
在“当前加载宏”框中，选中待装载的加载宏旁边的复选框，再单击“确定”。
3 案例资料
某公司生产和销售甲乙两种产品，两种产品各生产一个单位需要工时为４和８，用电量５kW和６kW，需要原材料１０kg和５kg。
公司可提供的工时为３２０，可提供的用电量为２６０kW，可提供的原材料为４３０kg。
两种产品的单价与销量之间存在负的线性关系，分别为ｐ１＝３１００－５５ｑ１，ｐ２＝３３５０－８５ｑ２。
当原料用量≥３２０kg时，供应商提供的原料价格从１８０元降为１６０元。
假设两种产品各生产１个单位，总固定成本１００００元，试在Ｅｘｃｅｌ中建立产品组合非线性规划模型，并且按如下要求操作：计算需要的工时、用电量、原材料和利润；用规划求解工具求解两种产品的最优生产量和总利润最大值。
并用控件表示出两种产品产量不同组合情况下的利润变化情况。
4 模型建立
（1）计算各项指标
在ＳＨＥＥＴ１工作表中将已知各项指标填入相关单元格中，并进行相关计算。
如图１所示。
Ｂ１５＝Ｃ１０＋Ｄ１０－Ｃ１３－Ｃ１２－Ｄ１２。
（2）进行规划求解
单击“工具”菜单上的“规划求解”，在弹出的“规划求解参数” 对话框中作如图２的设置。
在“设置目标单元格”框中单击，然后选择利润单元格（单元格Ｃ１４），在“可变单元格”框中单击，指向区域Ｃ６：Ｄ６，该区域为两种产品的产量。
添加约束：单击“添加”按钮，在“添加约束”对话框中，在标记为“单元格引用位置”的框中单击，选择区域Ｃ６：Ｄ６，从对话框中部的列表中选择“＞＝”，在标记为“约束值”的框中输入０；选择区域Ｅ３：Ｅ５，从对话框中的列表中选择“＜＝”，在标记为“约束值”的框中单击，选择单元格区域Ｆ３：Ｆ５。
在“添加约束”对话框中单击“添加”，以输入需求约束即可。
在“规划求解选项”对话框中输入所有可变单元格都为非负值的约束，通过单击“规划求解参数”对话框中的“选项”按钮可打开该对话框。
选择“采用线性模型”和“假定非负”选项，然后单击“确定”。
注意：选择“假定非负”选项可确保规划求解只考虑每个可变单元格都采用非负值的可变单元格组合。
选择“采用线性模型”的原因是产品组合问题是一种称为线性模型的特殊规划求解问题。
单击“规划求解选项”对话框中的“确定”后，返回到主“规划求解”对话框，单击“求解”按钮即可，这样，规划求解会迅速找出最佳解决方案，如图３所示。
需要选择“保存规划求解解决方案”以将最佳解决方案值保留在电子表格中。
5 添加控件
根据图表向导，做一直方图。
打开“窗体”控件，添加两个滚动条，一个与甲产品链接，一个与乙产品链接，其控件参数的设置最终结果如图4所示。
6 小结
利用Ｅｘｃｅｌ规划求解工具不仅可以解决产品组合问题，还可以求解资金管理、运输管理、选址规划等。