试题精选_甘肃省肃南县第一中学2015届高三上学期期中考试数学(文)调研试卷_精校完美版

甘肃省肃南县第一中学2015届高三上学期期中考试数学（文）试题第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．已知全集为实数R ，集合A={}2|10x x -≤，B={}|1x x <，则()R AB ð= （ ）A ． {}|11x x -≤≤B ． {}|11x x -≤<C ．φD ． {}|1x x = 2．设i 为虚数单位，则复数z ＝2i 31＋i在复平面内对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．函数f (x )＝log 2|x |x的图象大致是()4．已知 1.120.5log log ,0.9x y z π-===，则 （ ）A ．z y x <<B ．z x y <<C ．x z y <<D ．x y z <<5．执行如图的程序框图，则输出的λ值是( ) A ．－2 B ． 0 C ． 2 D .－2或0 6．要得到函数()cos 2g x x =的图象，只需将5()sin(2)6f x x π=+ 的图象( )A ．向左平移6π个单位 B ．向右平移6π个单位 C ．向左平移23π个单位 D ．向右平移23π个单位7．设α、β都是锐角且cos α＝55，sin(α＋β)＝35，则cos β＝( ) A.2525 B.255 C.2525或255 D.55或5258．设x 、y 满足约束条件223231x y x y x y --⎧⎪-⎨⎪+⎩≥≤≥，若2x y a +≤能成立 ，则a 的取值范围为（ ）A ． (],1-∞B ．[)1,+∞C ．(],7-∞D ．[)7,+∞9．一个四面体的顶点在空间直角坐标系O －xyz 中的坐标分别是(1，0，1)，(1，1，0)，(0，1，1)，(0，0，0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx 平面为投影面，则得到的正视图可以为( )10． 已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 恰好是双曲线x 2a 2－y2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点，且双曲线过点(3a 2p ，2b2p )，则该双曲线的离心率是( )A ．264B ．104C ． 132 D. 211．ABC ∆中，内角A B C 、、所对边分别为,,a b c ,且22tan 2,3,tan Aa cb C-==则b 等于 （ ） A ．3 B ．4 C ．6 D ．712．设f (x )是定义在R 上的增函数，且对于任意的x 都有f (1－x )＋f (1＋x )＝0恒成立，如果实数m ，n 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧f （m 2－6m ＋23）＋f （n 2－8n ）≤0m ≥3，那么m 2＋n 2的取值范围是( )A ．[3，7]B ．(9，25)C ．[13，49]D ．[9，49]第Ⅱ卷（非选择题 共90分） 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分.把答案填在答题卷中的横线上)13．已知正方形ABCD 的边长为4，E 是CD 的中点，则AE BD →→=________．14．如图，在边长为1的正方形OABC 中任取一点P ，分数以O 、B 为圆心，半径为22画圆弧，点P 在两圆之外的概率为________．15．给出下列四个命题：①“cos α=”是“52,6k k z παπ=+∈”的必要不充分条件；② 若01a <<，则函数3)(2-+=x a x x f 只有一个零点；③ 函数)32sin(π-=x y 的一个单调增区间是⎥⎦⎤⎢⎣⎡-125,12ππ；④ 对于任意实数x ，有)()(x f x f =-，且当0x >时，0)('>x f ，则当0x <时，0)('<x f ．其中真命题的序号是 （把所有真命题的序号都填上）．16．已知f (x )是R 上的奇函数，当x ＞0时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2|x －1|－1 0＜x ≤2，12f （x －2） x ＞2，则F (x )＝xf (x )－1在[－6，＋∞)上的所有零点之和为________．三、解答题（本大题共6小题共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满 分12分）已知数列{}n a 对任意*n ∈N ，满足131,2n n a a a +=+=.（Ⅰ）求数列{}n a 通项公式；（Ⅱ）若1()3n a nb n =+，求{}n b 的通项公式及前n 项和. 18．（本小题满 分12分）如图所示，已知直三棱柱ABC A B C '''-，2AC AB AA '=== ，,,AC AB AA '两两垂直,,,E F H 分别是,,AC AB BC '的中点． （Ⅰ）证明：EF AH ⊥；（Ⅱ）求四面体E FAH -的体积.19． (本小题满分12分) 高台一中为调查高三年级学生的身高情况，按随机抽样的方法抽取80名学生，得到男生身高情况的频率分布直方图（图（1））和女生身高情况的频率分布直方图（图（2））．已知图（1）中身高在170~175cm 的男生人数有16人。

（I ）试问在抽取的学生中，男、女生各有多少人？（II ）根据频率分布直方图，完成下列的2×2列联表，并判断能有多大（百分几）的把握认为“身高与性别有关”？（Ⅲ）在上述80名学生中，从身高在170~175cm 之间的学生按男、女性别分层抽样的方法，抽出5人，从这5人中选派3人当旗手，求3人中恰好有一名女生的概率。

参考公式：参考数据：20．（本小题满 分12分）已知点(1,0),(1,0),(,):||||M N P x y PM PN -+=动点满足 （Ⅰ）求P 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）是否存在过点(1,0)N 的直线l 与曲线C 相交于A B 、 两点，并且曲线C 上存在点Q ，使四边形OAQB 为平行四边形？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由.21．（本小题满 分12分）已知()1xf x e ax =+-（e 为自然对数）（Ⅰ）当1a =时，求过点(1,(1))f 处的切线与坐标轴围城的三角形的面积； （Ⅱ）若2()f x x ≥在(0,1 )上恒成立,求实数a 的取值范围.请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分,作答时请写清题号.22．（本小题满 分10分）选修4-1：几何证明选讲直线MN 交圆O 于B A ,两点，AC 是直径，AD 平分CAM ∠， 交圆O 于点D ，过D 作MN DE ⊥于E .（Ⅰ）求证：DE 是圆O 的切线；（Ⅱ）若3,6==AE DE ，求ABC ∆的面积. 23．（本小题满 分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xoy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知曲线C 1的极坐标方程为θρ22sin 12+=，直线l 的极坐标方程为θθρcos sin 24+=.（Ⅰ）写出曲线C 1与直线l 的直角坐标方程；（Ⅱ）设Q 为曲线C 1上一动点，求Q 点到直线l 距离的最小值. 24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知1,,222=++∈c b a R c b a ，. （Ⅰ）求证：3||≤++c b a ；（Ⅱ）若不等式211()x x a b c -++≥++对一切实数a ，b ，c 恒成立，求实数x 的取值范围.肃南一中2014-2015学年高三期中考试考试（文数） 答案1.D2.C3. D4.B5.A6.B7. A8.B9.A 10.A 11.B 12. C12．C 由题意得f (1－x )＝－f (1＋x )，则－f (x )＝f (2－x )，由f (m 2－6m ＋23)＋f (n 2－8n )≤0，得f (m 2－6m ＋23)≤－f (n 2－8n )，即f (m 2－6m ＋23)≤f (2－n 2＋8n )．又f (x )在R 上是增函数，∴m 2－6m ＋23≤2－n 2＋8n ， 即(m －3)2＋(n －4)2≤4.在坐标平面mOn 内画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧（m －3）2＋（n －4）2≤4m ≥3的区域，则m 2＋n 2表示区域内的点(m ，n )与(0，0)间的距离的平方， 当m ＝3，n ＝2时，m 2＋n 2有最小值为32＋22＝13. m 2＋n 2在B 点取得最大值为(32＋42＋2)2＝49.13.18 14. 1－π4 15. ①③④ 16. 816.解析：当x ∈(0，2]时，f(x)＝2|x －1|－1，其值域为[0，1]．当x ∈(2，4]时，f(x)＝12f(x －2)，其图象把x ∈(0，2]的图象向右平移两个单位，并把纵坐标压缩到12倍，其值域为[0，12]，依次类推，x ∈(4，6]，f(x)∈[0，14]．x ∈(6，8]，f(x)∈[0，18]，…且f(8)＝12f(6)＝14f(4)＝18f(2)＝18.其图象如图，F(x)的零点即为方程xf(x)－1＝0的根，∴f(x)＝1x ，可将问题转化为函数g(x)＝1x与y ＝f(x)的图象交点问题，因g(x)＝1x 与y ＝f(x)都是奇函数，故两函数图象在区间[－6，6]上的交点的横坐标之和为0. 又∵y ＝f(x)在(6，＋∞)上过点(8，18)，∴g(x)＝1x 过点(8，18)．由图象可知：y ＝f(x)与g(x)＝1x 在(6，＋∞)上只有一个交点(8，18)，故所有零点之和为8. 答案：817.（1）由已知得11n n a a +-=，故数列{}n a 是等差数列，且公差1d =. ……………………………………………2分 又32a =，得10a =，所以1n a n =-. …………… ……………………………4分（2）由（１）得， 113n n b n -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， …………… ……………………………6分所以()11111233n n S n -⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++++⋅⋅⋅++⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦()211111123333n n -=+++⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅+. ……………………………………8分()()1111133322213n nn n n n n S -⎛⎫- ⎪++-⎝⎭=+=+-. ………………………………12分18. （1）如图连接C B ',H F E ,,分别是BC AB AC ,',的中点, 故EF 是C AB '∆的中位线，C B EF '//，又由2'===AA AB AC ,',,AA AB AC 两两垂直知，⊥AH BC ，又⊥'BB 面ABC ,⊂AH 面ABC ，则'BB AH ⊥ 即⊥AH 面BC B ',则⊥AH C B '，故AH EF ⊥. …………6分 （2）由题易知FAH E V -EAH F V -=,',,AA AB AC 两两垂直,过F 点做'AA 的平行线交AB 于M ，ABC FM 面⊥,1'21==AA FM ,21||||21=⋅=∆EH AE S AEH , 故6112131=⨯⨯==--EAHF FAH E V V . …………………………12分 19 【答案】（1）40,40；（2）能有99．9【解析】（1）由频率分布直方图先得身高在170 ~175cm （2）（3）古典概型.解：（Ⅰ）直方图中，因为身高在170 ~175cm 的男生的频率为0.0850.4⨯=， 设男生数为1n ，则，得140n =．………………………………………4分 由男生的人数为40，得女生的人数为80-40=40．（Ⅱ）男生身高cm 170≥的人数30405)01.002.004.008.0(=⨯⨯+++=，女生身高cm 170≥的人数…………………………………………6分分所以能有99．9％的把握认为身高与性别有关； …………………………………8分 （Ⅲ）在170～175cm 之间的男生有16人，女生人数有4人．按分层抽样的方法抽出5人，则男生占4人，女生占1人． ………………………9分 设男生为1234,,,A A A A ，女生为B ． 从5人任选3名有1(,,),A A A 1(,,),A A A 12(,,),A A B 1(),A A A 13(,,),A A B 14(,,),A A B 234(,,),A A A 23(,,),A A B 24(,,),A A B 34(,,)A A B ,共10种可能， ……10分3人中恰好有一名女生有12(,,),A A B 13(,,),A A B 14(,,),A A B 23(,,),A A B 24(,,),A A B 34(,,),A A B 共6种可能， ………………………11分…………………………………………12分20.（1）由PM PN +=C 是以,M N 为焦点的椭圆，且1a c ==，b =所以曲线C 的方程为221.32x y +=………………………………4分 （2）设1122(,)(,)A x y B x y 、，由题意知l 的斜率一定不为0，故不妨设:1l x my =+，代入椭圆方程整理得22(23)440m y my ++-=，…………………5分显然0.∆>则12122244,2323m y y y y m m +=-=-++①，…………………6分 假设存在点Q ，使得四边形OAQB 为平行四边形，其充要条件为OQ OA OB =+，则点Q 的坐标为1212(,)x x y y ++.由点Q 在椭圆上，即221212()() 1.32x x y y +++= 整理得222211221212232346 6.x y x y x x y y +++++=………………………………8分又A B 、在椭圆上，即2222112223623 6.x y x y +=+=， 故1212233x x y y +=-②………………………………………………………9分所以212121212(1)(1)()1x x my my m y y m y y =++=+++将①②代入上式解得m =………………………………………………………11分即直线l 的方程是：12x y =±+，即220x -=…………………………12分 21． (Ⅰ)当1a =时, ()1x f x e x =+-,(1),()1,x f e f x e '==+(1)1f e '=+ , 函数()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程为(1)(1)y e e x -=+- ，即(1)1y e x =+- … ………2分设切线与x 、y 轴的交点分别为A,B. 令0x =得1y =-,令0y =得11x e =+,∴1(,0)1A e +,(0,1)B -, …………………4分 1111212(1)OAB S e e ∆∴=⨯⨯=++. (5)分(Ⅱ)由2()f x x ≥得21xx e a x+-≥, …………………6分令21()x x e h x x +-=1xe x x x=+-, 2221(1)(1)(1)()1x x e x x x e h x x x x --+-'=--= …………………8分令()1xk x x e =+-, ()1x k x e '=-, ∵(0,1)x ∈,∴()10x k x e '=-<,()k x 在(0,1)x ∈为减函数 ，∴()(0)0k x k <=, 又∵210,0x x -<>,∴2(1)(1)()0x x x e h x x -+-'=> ……………10分 ∴()h x 在(0,1)x ∈为增函数, ()(1)2h x h e <=-, 因此只需2a e ≥- … …………12分22.（I ）连接OD ，则OD OA =，则ODA OAD ∠=∠，……1分∵OAD EAD ∠=∠，∴ODA EAD ∠=∠. ……3分∵︒=∠+∠90EDA EAD ，∴︒=∠+∠90ODA EDA ，即OD DE ⊥.∴DE 是圆O 的切线. ……5分（Ⅱ）∵DE 是圆O 的切线，∴EB EA DE ⋅=2，即)3(362AB +=， ∴9=AB . ……7分∵MN OD //，∴O 到MN 的距离等于D 到MN 的距离，即为6. ……8分又∵O为AC中点，∴C O到MN的距离等于12. ……9分故ABC∆的面积5421=⨯=BC AB S . ……10分 23．（Ⅰ）221:22C x y +=，4l x += ………5分（Ⅱ）设),sin Qθθ，则点Q 到直线l 的距离d ==≥………8分当且仅当242k ππθπ+=+，即24k πθπ=+（k Z ∈）时取等 ………10分。