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2021届全国大联考新高考原创预测试卷(二十九)文科数学

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2021届全国名校大联考新高考原创预测试卷(二十九)文科数学

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2021届全国名校大联考新高考原创预测试卷（二十九）文科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设i 为虚数单位，z 表示复数z 的共轭复数，若1z i =+，则z zi⋅=（ ） A. 2i B. 2i -C. 2D. 2-【答案】B 【解析】 ∵1z i =+ ∴1z i =- ∴(1)(1)22z z i i i i i i⋅+-===-2.已知集合{}230,{|17},M x x x N x x =->=≤≤，则()R C M N =（ ）A. {}37x x <≤B. {}37x x ≤≤C. {}13x x ≤≤D.{}13x x ≤<【答案】C 【解析】 【分析】根据集合的交并补运算即可求解.【详解】由{}{2303M x x x x x =->=>或}0x <，所以{}03R C M x x =≤≤，又{|17}N x x =≤≤，(){}13R C M N x x ∴⋂=≤≤，故选：C【点睛】本题主要考查了集合的基本运算，属于基础题.3.中国古代用算筹来进行记数,算筹的摆放形式有纵横两种形式(如图所示),表示一个多位数时,像阿拉伯记数-样,把各个数位的数码从左到右排列,但各位数码的筹式需要纵横相间，其中个位、百位、万用纵式表示,十位、千位、十万位.--.用横式表示,例如6613用算筹表示就是，则8335可用算筹表示为( )A. B.C. D.【答案】B 【解析】根据新定义直接判断即可.【详解】由题意各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位用横式表示，则8335可用算筹表示为.故选：B【点睛】本题考查了合情推理与演绎推理，属于基础题. 4.在区间[]2,4-上:任取一个实数x ,则使得312x -≤成立的概率为（ ） A.37B.45C. 23D. 12【答案】D 【解析】 【分析】根据几何概型的概率求法即可求解. 【详解】3151222x x -≤⇔-≤≤， ∴使得312x -≤成立的概率为()51122422P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭==--故选：D【点睛】本题考查了几何概型的概率求法，需熟记几何概型的概率求法公式，属于基础题. 5.函数()42x f x x=-的零点所在的区间是（ ） A. 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B. 1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭C. 31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D. 3,22⎛⎫⎪⎝⎭【答案】C 【解析】 【分析】根据零点存在性定理即可求解. 【详解】由函数()42f x x=-，则121428122f ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭()141221f =-=，32348203232f ⎛⎫=-=-< ⎪⎝⎭ ，()3102f f ⎛⎫∴⋅< ⎪⎝⎭由零点存在性定理可知函数()42x f x x=-的零点所在的区间是31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭.故选：C【点睛】本题考查了函数的零点存在性定理，属于基础题. 6.若3tan 4α= ，则2cos 2sin 2αα+=（ ） A.6425B. 4825C. 1D.1625【答案】A 【解析】试题分析：由3tan 4α=，得34sin ,cos 55αα==或34sin ,cos 55αα=-=-，所以2161264cos 2sin 24252525αα+=+⨯=，故选A ．【考点】同角三角函数间的基本关系，倍角公式．【方法点拨】三角函数求值：①“给角求值”将非特殊角向特殊角转化，通过相消或相约消去非特殊角，进而求出三角函数值；②“给值求值”关键是目标明确，建立已知和所求之间的联系．7.已知,m n 是两条不同的直线,αβ是两个不同的平面,则//m n 的充分条件是（ ） A. ,m n 与平面α所成角相等 B. //,//m n αα C. //,,m m n αβαβ⊂⋂= D. //,m n ααβ=【答案】C 【解析】 【分析】根据空间线面位置关系的判定或定义进行判断即可.【详解】对于A ，若,m n 与平面α所成角相等，则,m n 可能相交或者异面，故A 错；对于B ，若//,//m n αα，则,m n 可能相交或者异面，故B 错；对于C ，若//,,m m n αβαβ⊂⋂=，由线面平行的性质定理可得//m n ，故C 正确； 对于D ，若//,m n ααβ=，则,m n 可能异面，故D 错；故选：C【点睛】本题主要考查了空间中线面的位置关系，需掌握判断线面位置关系的定理和定义，考查了空间想象能力，属于基础题8.已知AB 是圆心为C 的圆的条弦,且9·2AB AC =,则AB =（ ） A. 3 B. 3C. 23D. 9【答案】B 【解析】 【分析】过点C 作CD AB ⊥于D ，可得12AD AB =，在Rt ACD ∆中利用三角函数的定义算出1cos 2AC CAB AD AB ⋅∠==，再由向量数量积的公式加以计算，结合92AB AC =即可求解.【详解】过点C 作CD AB ⊥于D ，则D 为AB 的中点，Rt ACD ∆中，12AD AB =，1cos 2AC CAB AD AB ⋅∠==， 291cos 22AB AC AB AC CAB AB ==∠=,解得3AB =. 故选：B【点睛】本题主要考查向量数量积的几何意义以及根据数量积求模，属于基础题. 9.函数()()2ax bf x x c +=+的图象如图所示，则下列结论成立的是（ ）A. 0a >，0b >，0c <B. 0a <，0b >，0c >C. 0a <，0b >，0c <D. 0a <，0b <，0c < 【答案】C 【解析】试题分析：函数在P 处无意义，由图像看P 在y 轴右侧，所以0,0c c -><，()200,0b f b c =>∴>，由()0,0,f x ax b =∴+=即bx a=-，即函数的零点000.0,0bx a a b c a=->∴<∴<，故选C ． 考点：函数的图像10.函数() 2 3 2f x sin x cos x =的图象向右平移6π个单位 长度得到()y g x =的图象.命题()1:p y g x =的图象关于直线2x π=对称;命题2:,04p π⎛⎫-⎪⎝⎭是()y g x =的一个单调增区间.则在命题()()()112212312:,:,:q p p q p p q p p ∨⌝∧⌝⌝∨和()412:q p p ∧⌝中,真命题是( ) A. 13,q q B. 14,q qC. 23,q qD. 24,q q【答案】A 【解析】 【分析】首先利用辅助角公式将函数() 22f x sin x cos x =化为()223f x sin x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，由三角函数的图像变化规律求出()g x 的解析式，根据三角函数的性质判断1p 与2p 真假，再由命题的否定以及真假表即可判断.【详解】解:由()1 222sin 2cos 22sin 2223f x sin x cos x x x x π⎛⎫⎛⎫=+=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 则()2sin[2()]2sin 263g x x x ππ=-+=,由()22x k k Z ππ=+∈，解得()24k x k Z ππ=+∈， 显然2x π=不是()g x 对称轴，故1p 为假命题.由()22222k x k k Z ππππ-≤≤+∈，解得()44k x k k Z ππππ-≤≤+∈，故函数()g x 的单调递增区间为,,44k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦,当0k =时，44x ππ-≤≤，又,04π⎛⎫- ⎪⎝⎭ ,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，故2p 为真命题.故1p ⌝为真命题，2p ⌝为假命题，故112:q p p ∨为真命题；()()212:q p p ⌝∧⌝为假命题；()312:q p p ⌝∨为真命题；()412:q p p ∧⌝为假命题；故选：A.【点睛】本题考查了辅助角公式、三角函数的性质、命题真假的判断以及命题的否定、真假表，需熟记三角函数的性质以及真假表，属于基础题.11.在三棱柱111 ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ,记ABC ∆和四边形11ACC A 的外接圆圆心分别为12,O O ,若2AC =,月三棱柱外接球体积为323π,则12O O 的值为( )A.53B. 2【答案】D 【解析】 【分析】根据球心与截面中心的连线与截面垂直得出12OO MO 为矩形，从而即可求解. 【详解】设三棱柱111 ABC A B C -外接球的半径为r ，则343233r ππ=，解得2r ，设AC 的中点为M ，三棱柱111 ABC A B C -外接球球心为O ， 则1OO ⊥平面ABC ，2O M ⊥平面ABC ，可得12OO MO 为矩形，所以12OM O O =====故选：D【点睛】本题考查了多面体的外接球问题以及球的体积公式，考查了学生的空间想象能力，属于中档题.12.已知函数()22ln ,03,02x x x x f x x x x ->⎧⎪=⎨--≤⎪⎩的图象上有且仅有四个不同的点关于直线1y =的对称点在10kx y +-=的图象上,则实数k 的取值范围是( ) A. 1,12⎛⎫⎪⎝⎭B. 13,24⎛⎫ ⎪⎝⎭C. 1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭D. 1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】A 【解析】 【分析】将问题转化为直线1y kx =+与()f x 在(),0-∞和()0,∞+上各有两个交点，借助函数图像与导数的几何意义求出1y kx =+与()f x 的两段图像相切的斜率即可求出k 的取值范围. 【详解】直线10kx y +-=关于直线1y =的对称直线为10kx y -+-=， 则直线10kx y -+-=与()y f x =的函数图像有4个交点， 当0x >时，()1ln f x x '=-，∴当0x e <<时，()0f x '>，当x e >时，()0f x '<， ∴()f x 在()0,e 上单调递增，在(),e +∞上单调递减，作出()y f x =与直线10kx y -+-=的函数图像，如图所示：设直线1y kx =+与2ln y x x x =-相切，切点为()11,x y ，则111111ln 2ln 1x k x x x kx -=⎧⎨-=+⎩ ，解得11,1x k ==，设直线1y kx =+与()2302y x x x =--<相切，切点为()22,x y ， 则22222322312x k x x kx ⎧--=⎪⎪⎨⎪--=+⎪⎩，解得211,2x k =-=，1y kx =+与()y f x =的函数图像有4个交点，∴直线1y kx =+与()f x 在(),0-∞和()0,∞+上各有2个交点，112k ∴<< 故选：A【点睛】本题主要考查了导数的几何意义，考查了数形结合思想，解题的关键是作出函数图像，属于中档题.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.已知0,0a b >>，若341log log 2a b ==，则ab=__________． 3【解析】 【分析】根据指数式与对数式的互化即可求解.【详解】由341log log 2a b ==，则123a =，124b =，1122123344a b ⎛⎫∴===⎪⎝⎭，故答案为：2【点睛】本题主要考查指数式与对数式的互化、指数幂的运算，属于基础题.14.若,x y 满足2030x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则2z x y =+的最大值为__________．【答案】4 【解析】当直线z ＝2x ＋y 经过直线2x －y ＝0与直线x ＋y ＝3的交点(1，2)时，z 取最大值2×1＋2＝4.15.已知定义在R 上的函数()f x 满足()()()f x g x g x =--，且()f x 在R 单调递增，对任意的()12,0,x x ∈+∞，恒有()()()1212f x f x f x x =+，则使不等式()21202f f m ⎡⎤⎫+->⎪⎢⎥⎭⎣⎦成立的m 取值范围是__________．【答案】[)0,9 【解析】 【分析】首先判断出()f x为奇函数，然后根据题意将()21202f f m ⎡⎤⎫+->⎪⎢⎥⎭⎣⎦化为()()12f f m >-，再由函数的单调性转化为解12m >-即可.【详解】定义在R 上的函数()f x 满足()()()f x g x g x =--，则()()()()f x g x g x f x -=--=-，()f x ∴为奇函数， 又对任意()12,0,x x ∈+∞，恒有()()()1212f x f x f x x =+，则()21202f m f m ⎡⎤⎛⎫++-> ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，即()()2120f m f m ++->∴()()()2122f m f m f m +>--=-()f x 在R 单调递增，∴212m m +>-，即2300m m m ⎧--<⎪⎨≥⎪⎩，解得09m ≤<故答案为：[)0,9【点睛】本题考查了函数的新定义，考查了利用函数的奇偶性、单调性解不等式，属于中档题.16.如图,在直四棱柱1111 ABCD A B C D -中,底面ABCD 是菱形,,E F 分别是11,BB DD 的中点, G 为AE 的中点且3FG =,则EFG 面积的最大值为________．【答案】3 【解析】 【分析】建立坐标系，使用法向量求出E 到直线FG 的距离，代入面积公式，使用不等式的性质求出最值.【详解】连接AC 交BD 于O ，底面ABCD 是菱形,AC BD ∴⊥，以,,0OC OD Z 为坐标轴建立空间直角坐标系o xyz -， 设,OC a OD b ==，棱柱的高为h ， 则(),0,0A a -，0,,2h E b ⎛⎫- ⎪⎝⎭，0,,2h F b ⎛⎫ ⎪⎝⎭，,,224a b h G ⎛⎫∴-- ⎪⎝⎭，即3,,224a b h FG ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭，()0,2,0FE b =-，23cos ,322FG FEb bFG FE b FG FE ⋅∴===⋅，E ∴到直线FG 的距离224sin ,24b d FE FG FE b b -===-，()222221333444322222EFGb b S FG d b b b b ∆+-∴=⋅⋅=-=-≤⨯= 当且仅当224b b =-，即22b =时取等号. 故答案为：3【点睛】本题考查了空间向量在求点到线的距离的应用、基本不等式求最值，注意在应用基本不等式时验证等号成立的条件，属于中档题.三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答. (一)必考题:共60分.17.已知等差数列{}n a 中，n S 为其前n 项和,2458,15a a S ⋅==;等比数列{}n b 的前n 项和21n n T =-(1)求数列{}{},n n a b 的通项公式;(2)当{}n a 各项为正时,设n n n c a b =⋅,求数列{}n c 的前n 项和. 【答案】（1）n a n =或6n a n =-，12n n b -= （2）()121n n T n =-⋅+【解析】 【分析】（1）根据等差数列的通项公式与求和公式即可求n a ；由n T 与n b 的关系可求n b . （2）利用错位相减法即可求和.【详解】解：（1）设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d则()()()()21111383381115101532a d a d d d d d d a d a d⎧⎧++=-+=⇔⇒=⇒==-⎨⎨+==-⎩⎩或 11,1,n d a a n ∴==∴= 11,5,6n d a a n ∴=-=∴=-当2n ≥时，112n n n n b T T --=-=当1n =时，111b T ==也满足上式 所以12n nb -=（2）由题可知，1,2n n n n n a n c a b n -===()01221122232?··122n n n T n n --=++++-+ ()12312122232?··122n n n T n n -=++++-+ ()1112?··22121n n n n T n n --=+++-=--故()121nn T n =-+【点睛】本题考查了等差数列的通项公式、求和公式，已知n S 求n a 以及错位相减法，需熟记公式，属于基础题.18.如图,在四棱锥 P ABCD -中,侧面PAD ⊥底面ABCD ,底面ABCD 为梯形//, 90, 2.2ABAB CD ABC BCD BC CD ∠=∠=︒===(1)证明:BD PD ⊥;(2)若PAD △为正三角形,求C 点到平面PBD 的距离. 【答案】（1）证明见解析 （2）62【解析】 【分析】（1）利用面面垂直的性质定理即可证出.（2）取AD 中点M ,连接PM ，利用等体法：由P BCD C PBD V V --=即可求解. 【详解】（1）证明：因为 2 4BC CD AB ===，，又底面ABCD 为直角梯形222 22, 22, AD BD AD BD AB BD AD ∴==+=∴⊥，面PAD ⊥底面 ABCD ，BD ∴⊥平面 .PAD 又PD ⊂平面 .PAD BD PD ∴⊥（2）因为侧面 PAD ⊥底面 ,ABCDPAD ∆为正三角形,取AD 中点M ,连接PMPM ∴⊥底面 ,ABCD 6PM =11126622332P BCD BCDV PM S -===设C 点到PBD 面的距离为,c d111262222332P BCD c PBDc Vd Sd -===62c d ∴=【点睛】本题主要考查了面面垂直的性质定理、等体法求点到面的距离，需熟记锥体的体积公式，考查了学生的推理能力，属于中档题.19.为了了解居民的家庭收人情况,某社区组织工作人员从该社区的居民中随机抽取了n 户家庭进行问卷调查.经调查发现,这些家庭的月收人在5000元到8000元之间，根据统计数据作出如图所示的频率分布直方图.已知图中从左至右第一 、二、四小组的频率之比为1:3:6,且第四小组的频数为18.(1)求n ;(2)求这n 户家庭月收人的众数与中位数(结果精确到0.1);(3)这n 户家庭月收入在第一、二、三小组的家庭中,用分层抽样的方法任意抽取6户家庭,并从这6户家庭中随机抽取2户家庭进行慰问,求这2户家庭月收入都不超过6000元的概率.【答案】（1）60n = （2）众数是67.5，中位数是66.3 （3）45【解析】 【分析】（1）根据从左至右第一 、二、四小组的频率之比为1:3:6,求出第四小组的频率，再由频率=频数样本容量即可求解.（2）由频率分布直方图第四组小矩形底边中点的横坐标为众数；中位数等于各个小矩形面积与其小矩形底边中点横坐标之积的和.（3）根据分层抽样得出第一、二、三小组应分别抽取1,2,3，分别记记为;,;,,a b c d e f 依次列出基本事件个数，由古典概型的概率求法公式即可求解.【详解】解：（Ⅰ）设从左至右第一、三、四小组的频率分别为123,,p p p ，则由题意可知：()2131123360.020.040.0451p p p p p p p ⎧=⎪=⎨⎪+++++⨯=⎩,解得1230.050.150.3p p p =⎧⎪=⎨⎪=⎩ 从而18600.3n == （2）由于第四小组频率最大，故这 n 户家庭月收入的众数为657067.52+= 由于前四小组的频率之和为：0.05 +0.1 0.15 +0.3 =0.6 >0.5+ 故这n 户家庭月收入的中位数应落在第四小组，设中位数为 x 则650.050.10.150.30.52x -+++⨯=，解得66.3x = （3）因为家庭月收入在第一、二、三小组家庭分别有3,6,9户，按照分层抽样的方法易知分别抽取1,2,3，第一组记为a ，第二组,b c ，第三组为,,d e f ， 从中随机抽取2 户家庭的方法共有()()()()()()()()(),,,,,,,,,,,,,,,,,a b a c a d a e a f b c b d b e b f ()()()()()(),,,,,,,,,,,c d c e c f d e d f e f 共15种；其中这2户家庭月收入都不超过6000元有()()()()()()()()(),,,,,,,,,,,,,,,,,a b a c a d a e a f b c b d b e b f()()(),,,,,,c d c e c f 共12种；所以这2户家庭月收入都不超过6000元的概率为124155P == 【点睛】本题主要考查了频率分布直方图，掌握住由频率分布直方图求众数、中位数，考查了古典概型的概率求法，属于基础题.20.已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的短轴顶点分别为,A B ,且短轴长为2,T 为椭圆上异于,A B 的任意-一点,直线,TA TB 的斜率之积为13- (1)求椭圆C 的方程;(2)设O 为坐标原点,圆223:4O x y +=的切线l 与椭圆C 相交于,P Q 两点,求POQ △面积的最大值.【答案】（1）2213x y += （2）2【解析】 【分析】（1）根据题意设出点(),T x y ，列出方程化简即可求解.（2）分类讨论当直线斜率不存在时，可求出弦长PQ =y kx m =+与椭圆联立，根据弦长公式求出弦长的最大值，再由面积公式max122S PQ =⨯⨯即可求解.【详解】解：（1）设(),T x y ，由题意知()()0,1,0,1A B -，设直线TA 的斜率为1k ，直线TB 的斜率为2k ， 则1211,y y k k x x +-==，由1213k k =-，得1113y y x x +-=- 整理得椭圆C 的方程为2213x y +=（2）当切线l 垂直x 轴时PQ =当切线l 不垂直 x 轴时，设切线方程为 .y kx m =+2=，得()22314m k =+ 把.y kx m =+代入椭圆方程2213x y +=，整理得()222316330k x kmx m +++-=设()()1122,,,P x y Q x y ，则2121222633,3131km m x x x x k k --+==++PQ ======()20k =≤=≠ 当且仅当2219k k =，即k =时等号成立，当0k =时，PQ =综上所述max2PQ =.所以当PQ 取最大值时，POQ △面积max 1222S PQ =⨯⨯=【点睛】本题考查了直接法求轨迹方程，直线与椭圆的位置关系、弦长公式以及基本不等式求最值，属于中档题. 21.已知函数()()222ln ,2af x ax xg x ax ax x=+-=-+ (1)若0,a ≥讨论()f x 的单调性;(2)当0a >时,若函数()f x 与()g x 的图象有且仅有一个交点()00,x y ,求[]0x 的值(其中[]x 表示不超过x 的最大整数,如[[][0.3710,0.37 1.2.92])=-=-=.参考数据:20.693 ,3 1.099 ,5 1.609,7 1.946ln ln ln ln ====【答案】（1）当0a =时， ()f x 在()0,∞+单调递减；当0a >时，()f x 在⎛ ⎝⎭单调递减；()f x 在1,4a ⎛⎫++∞⎪ ⎪⎝⎭单调递增． （2）2 【解析】 【分析】（1）对()f x 进行求导，讨论a 的取值范围，令()0f x '>或()0f x '<，解不等式即可求解.（2）两函数有且仅有一个交点 ()00,x y ，则方程222ln 2aax x ax ax x+-=-+ 即方程22ln 0a ax x x +-=在()0,∞+只有一个根, 令()22ln a F x ax x x=+-，研究 ()F x 的单调性，求出()F x 的零点，然后根据零点存在性定理判断零点所在的区间即可.【详解】解：（1）()2222122'2a ax x af x a x x x--=-+-= 对于函数()222,h x ax x a =--21160a ∆=+>当0a =时，则()1'0,f x x=-<()f x ∴在()0,∞+单调递减；当0a >时，令()0f x '<，则2220ax x a --<，解得104x a+<<∴()f x 在⎛ ⎝⎭单调递减；令()0f x '>，解得x >，所以()f x 在⎫+∞⎪⎪⎝⎭单调递增． （2）0a >且两函数有且仅有一个交点 ()00,x y ，则方程222ln 2aax x ax ax x+-=-+ 即方程22ln 0aax x x+-=在()0,∞+只有一个根 令()22ln a F x ax x x =+-，则()3222'ax x a F x x--= 令()[)322,0,x ax x a x ϕ=--∈+∞，则()2'61x ax ϕ=-()0,a x ϕ>∴在⎛ ⎝单调递减，在⎫+∞⎪⎪⎭上单调递增，故()min x ϕϕ= 注意到()()020,a x ϕϕ=-<∴在⎛ ⎝无零点，在⎫+∞⎪⎪⎭仅有一个变号的零点m()F x ∴在()0.m 单调递减，在(),m +∞单调递增，注意到()130F a =>根据题意m 为 ()F x 的唯一零点即0m x =20003002ln 0220aax x x ax x a ⎧+-=⎪∴⎨⎪--=⎩消去a ，得：3003300232ln 111x x x x +==+--令()332ln 11H x x x =---，可知函数()H x 在()1,+∞上单调递增 ()101022ln 220.693077H =-=⨯-<，()292932ln 32 1.00902626H =-=⨯->()[]002,3,2x x ∴∈∴=【点睛】本题主要考查了导函数在研究函数单调性、最值中的应用，考查了分类讨论的思想以及零点存在性定理，综合性比较强，难度较大.(二)选考题:共10分.请考生在第22.23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题记分.22.平面直角坐标系xOy 中,曲线1C的参数方程为12cos 2sin x y αα=+⎧⎪⎨=⎪⎩(α为参数),以坐标原点O 为极点,以x 轴正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线2C 的极坐标方程为2cos 4sin ρθθ=(1)写出曲线1C 的极坐标方程和曲线2C 的直角坐标方程；(2)若射线()0:0OM θαρ=≥平分曲线1C ，且与曲线2C 交于点A ，曲线2C 上的点B 满足2AOB π∠=，求AB .【答案】（1）1C：2cos ρθθ=+，2C ：24x y =；（2【解析】 【分析】（1）根据cos x ρθ=，sin y ρθ=即可求解；（2）曲线1C 是圆，射线OM 过圆心(，所以方程是()03πθρ=≥，将()03πθρ=≥代入2C 的极坐标方程求出A ρ=，进而求出83B ρ=即可求解.【详解】解：（1）曲线1C 的直角坐标方程是()(2214x y -+=，即2220x x y -+-=化成极坐标方程为：2cos ρθθ=+曲线2C 的直角坐标方程是24x y =；（2）曲线1C 是圆，射线OM 过圆心(，所以方程是()03πθρ=≥代入2cos 4sin ρθθ=，得A ρ=又2AOB π∠=，将56πθ=，代入2cos 4sin ρθθ=，得83B ρ=因此3AB ==【点睛】本题主要考查极坐标方程与普通方程的互化以及利用极坐标求弦长，属于基础题.23.已知0,0a b >>，且221a b +=（1）证明：()55111a b a b ⎛⎫++≥⎪⎝⎭ （2）若2214211x x a b+≥---恒成立，求x 的取值范围 【答案】（1）证明见解析 （2）99x -≤≤【解析】【分析】（1）利用基本不等式即可证出.（2）利用基本不等式求出2214a b +的最小值，然后再分类讨论解不等式即可求解.【详解】解：（1）()()55255444422111b a a b a b a b a b a b a b ⎛⎫++=+++≥++=+= ⎪⎝⎭（2）由221a b +=，得()2222222222141441459b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=+++≥+= ⎪⎝⎭所以9211x x ≥---恒成立当1x ≥时，2119x x x ---=≤故19x ≤≤ 当112x ≤<时，211329x x x ---=-≤解得113x ≤，故112x ≤< 当12x <时，解得2119x x x ---=-≤，故9x ≥-，故192x -≤< 综上可知：99x -≤≤【点睛】本题考查了基本不等式求最值、解绝对值不等式，属于基础题.。

2021届全国百校联考新高考原创预测试卷(三)文科数学

2021届全国百校联考新高考原创预测试卷(三)文科数学

2021届全国百校联考新高考原创预测试卷（三）文科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

第I 卷 选择题（60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合{}|10A x x =-<，{}2|20B x x x =-<，则AB =A ．{}|0x x <B ．{}|1x x <C ．{}1|0x x <<D ．{}|12x x <<2．z C ∈，若||12z z i -=+，则z =A ．322i - B ．322i + C ．22i + D ．22i -3．若sin 78m =，则sin 6=A ．12m + B ．12m- C ．1m + D ．1m- 4．函数()21x f x x-=的图象大致为A ．B ．C ．D ．5．已知等差数列{}n a 的前n 项和为,n S 912216,4,2a a a =+=则数列1{}nS 的前10项和为 A ．1112B ．1011C ．910D ．896．将函数()sin 2f x x =的图象向左平移02πϕϕ⎛⎫≤≤⎪⎝⎭个单位长度，得到的函数为偶函数，则ϕ的值为A ．12π B ．6π C ．3π D ．4π 7．已知ln 2421log 532a b c e ===，，，则a b c ，，满足 A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c a b <<D ．c b a <<8．已知双曲线221:110x y C m m +=-与双曲线222:14y C x -=有相同的渐近线，则双曲线1C 的离心率为 A ．54B ．5C 5D 59．设ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且6C π=，12a b +=，则ABC面积的最大值为 A ．8B ．9C ．16D ．2110．《九章算术》是我国古代第一部数学专著，它有如下问题：“今有圆堡我()cong ，周四丈八尺，高一丈一尺.问积几何？”意思是“今有圆柱体形的土筑小城堡，底面周长为4丈8尺，高1丈1尺，问它的体积是多少？”（注：1丈=10尺，取3π=） A ．704立方尺B ．2112立方尺C ．2115立方尺D ．2118立方尺11．正三棱锥底面边长为3，侧棱与底面成60︒角，则正三棱锥的外接球的体积为 A ．4πB ．16πC ．163πD ．323π12．若函数()()()1cos23sin cos 412f x x a x x a x =+-+-在,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，则实数a 的取值范围为 A ．1,17⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．11,7⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．][1,1,7⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭D ．[)1,+∞ 第II 卷 非选择题（90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2021届全国新高考仿真模拟试题(二)数学(文)(解析版)

2021届全国新高考仿真模拟试题(二)数学(文)(解析版)

∴CD⊥平面
ABD，∴CD
是三棱锥
C
­
ABD
的高，∴VC
­
ABD＝13×12×2×2×sin
60°×2＝2 3， 3
故选 A.
8．答案：C
解析：由射线测厚技术原理公式得I20＝I0e－7.6×0.8μ，∴12＝e－6.08μ，－ln 2＝－6.08μ，μ≈0.114，
故选 C.
9．答案：C
解析：从题图(1)可以看出，该品牌汽车在 1 月份所对应的条形图最高，即销售量最多，
商品销售 25.0 30.0 34.0 37.0 39.0 41.0 42.0 44.0 48.0 y10
额 y/万元
且已知 错误!i＝380.0
(1)求第 10 年的年收入 x10. (2)若该城市居民年收入 x 与该种商品的销售额 y 之间满足线性回归方程y^＝363x＋^a，
254 (ⅰ)求该种商品第 10 年的销售额 y10； (ⅱ)若该城市居民年收入为 40.0 亿元，估计这种商品的销售额是多少？(精确到 0.01) 附：①在线性回归方程y^＝b^x＋^a中，b^＝错误!，^a＝－y －b^－x ；
(1)求轨迹Γ的方程； (2)过点 F 作互相垂直的直线 AB 与 CD，其中直线 AB 与轨迹Γ交于点 A，B，直线 CD 与轨迹Γ交于点 C，D，设点 M，N 分别是 AB 和 CD 的中点，求△FMN 的面积的最小值．
-5-
21．(12 分)[2020·安徽省示范高中名校高三联考]函数 f(x)＝aex＋x2－ln x(e 为自然对数的底数，a 为常 数)，曲线 f(x)在 x＝1 处的切线方程为(e＋1)x－y＝0.
于 8 月份，所以该公司 7 月份汽车的总销售量比 8 月份少，所以选项 C 是错误的；从题图(1)

2021届全国名校大联考新高考原创预测试卷(三)文科数学

2021届全国名校大联考新高考原创预测试卷(三)文科数学

2021届全国名校大联考新高考原创预测试卷（三）文科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

第Ⅰ卷（选择题）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A={|36},{|27}x x B x x -<<=<<，则()R A B =( )A. （2，6）B. （2，7）C. （-3，2]D. （-3，2）【答案】C 【解析】 【分析】由题得C B ⋃={x|x ≤2或x ≥7}，再求()A C B ⋃⋂得解.【详解】由题得C B ⋃={x|x ≤2或x ≥7}，所以()A C B ⋃⋂= (]3,2-.故选C【点睛】本题主要考查集合的运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.2.已知复数11z i =-+，复数2z 满足122z z =-，则2||z = ( )A. 2B.C. D. 10【答案】B 【解析】 【分析】先根据已知求出复数2z ，再求2z . 【详解】由题得222(1)2(1)11(1)(1)2i i z i i i i -------====+-+-+--，所以2z 故选B【点睛】本题主要考查复数的除法运算和复数的模的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.3.已知命题:,2x p x R x e ∃∈->，命题:q a R +∀∈，且21,log (1)0a a a ≠+>,则( )A. 命题p q ∧⌝是真命题B. 命题p q ∨⌝是假命题C. 命题p q ∨是假命题D. 命题p q ∧是真命题【答案】A 【解析】 【分析】先分别判断命题p 与命题q 的真假，进而可得出结果.【详解】令()xf x e x =+，则易知()xf x e x =+在R 上单调递增， 所以当0x <时，()12xf x e x =+<<，即2x e x <-； 因此命题:,2x p x R x e ∃∈->为真命题； 由0a >得211a +>；所以，当1a >时，2log (1)0a a +>；当01a <<时，2log (1)0a a +<； 因此，命题:q a R +∀∈，且21,log (1)0a a a ≠+>为假命题；所以命题p q ∧⌝是真命题. 故选A【点睛】本题主要考查简单的逻辑连接词，复合命题真假的判定，熟记判定方法即可，属于常考题型.4.已知正项等比数列{}n a 满足31a =，5a 与432a 的等差中项为12，则1a 的值为( )A. 4B. 2C. 3D. 8【答案】A 【解析】 【分析】设等比数列的公比为q ，0q >，运用等差数列中项性质和等比数列的通项公式，计算即可得到所求首项．【详解】正项等比数列{}n a 公比设为(0)q q >，满足31a =，5a 与432a 的等差中项为12，可得211a q =，54312a a +=，即4311312a q a q +=，可得22320q q +-=， 解得2q =-（舍去），12q =， 则14a =， 故选A ．【点睛】本题考查等比数列的通项公式和等差数列中项的性质，考查方程思想和运算能力，属于基础题．5.《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”，已知某“堑堵”的三视图如图所示，则该“堑堵”的体积为（ ）A. 2B. 4C. 442+D. 642+【答案】A 【解析】 【分析】根据三视图的特点可以分析该物体是一个直三棱柱，即可求得体积. 【详解】由三视图可得该物体是一个以侧视图为底面的直三棱柱， 所以其体积为121222⨯⨯⨯=. 故选：A【点睛】此题考查三视图的认识，根据三视图求几何体的体积，关键在于准确识别三视图的特征.6.已知非零向量a ,b 的夹角为60,且满足22a b -=,则a b ⋅的最大值为( ) A.12B. 1C. 2D. 3【答案】B 【解析】 【分析】 根据22a b -=得到22424a b a b +-=，再由基本不等式得到222424a b a b a b ≤+-=，结合数量积的定义，即可求出结果.【详解】因为非零向量a ,b 的夹角为60,且满足22a b -=, 所以2222444a ba b a b -=+-⋅=，即2244cos 604a b a b +-=，即22424a b a b +-=， 又因为2244a ba b +≥，当且仅当2a b =时，取等号；所以222424a b a b a b ≤+-=，即2a b ≤； 因此，1cos6012a b a b a b ⋅==≤. 即a b ⋅的最大值为1. 故选B【点睛】本题主要考查向量的数量积与基本不等式，熟记向量数量积的运算与基本不等式即可，属于常考题型.7.函数()ln f x x x =的大致图象是（ ）A. B.C. D.【答案】C 【解析】 【分析】根据特殊位置的x 所对应的()f x 的值，排除错误选项，得到答案. 【详解】因为()ln f x x x =所以当01x <<时，()0f x <，故排除A 、D 选项， 而()ln ln f x x x x x -=--=-， 所以()()f x f x -=-即()f x 是奇函数，其图象关于原点对称，故排除B 项， 故选C 项.【点睛】本题考查根据函数的解析式判断函数图象，属于简单题.8.设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A. 若αβ⊥，m β⊥，则//m α B. 若//m α，n m ⊥，则n α⊥C. 若//m α，//n α，m β⊂，n β⊂，则//αβD. 若//m β，m α⊂，n αβ=，则//m n【答案】D 【解析】 【分析】对于A ，B 选项均有可能为线在面内，故错误；对于C 选项，根据面面平行判定定理可知其错误；直接由线面平行性质定理可得D 正确.【详解】若αβ⊥，m β⊥，则有可能m 在面α内，故A 错误； 若//m α，n m ⊥，n 有可能在面α内，故B 错误；若一平面内两相交直线分别与另一平面平行，则两平面平行，故C 错误． 若//m β，m α⊂，n αβ=，则由直线与平面平行的性质知//m n ，故D 正确．故选D.【点睛】本题考查的知识点是，判断命题真假，比较综合的考查了空间中直线与平面的位置关系，属于中档题.9.函数sin()y A x ωϕ=+的部分图像如图所示，则A. 2sin(2)6y x π=-B. 2sin(2)3y x π=-C. 2sin(+)6y x π=D. 2sin(+)3y x π=【答案】A 【解析】试题分析：由题图知，2A =，最小正周期2[()]36T πππ=--=，所以22πωπ==，所以2sin(2)y x ϕ=+.因为图象过点(,2)3π，所以22sin(2)3πϕ=⨯+，所以2sin()13πϕ+=，所以22()32k k Z ππϕπ+=+∈，令0k =，得6πϕ=-，所以2sin(2)6y x π=-，故选A. 【考点】 三角函数的图像与性质【名师点睛】根据图像求解析式问题的一般方法是：先根据函数=sin()y A x h ωϕ++图像的最高点、最低点确定A ，h 的值，由函数的周期确定ω的值，再根据函数图像上的一个特殊点确定φ值．10.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”.则该人最后一天走的路程为（ ）. A. 24里 B. 12里C. 6里.D. 3里【答案】C 【解析】 【分析】由题意可知，每天走的路程里数构成以12为公比的等比数列，由6378S =求得首项，再由等比数列的通项公式求得该人最后一天走的路程．【详解】解：记每天走的路程里数为{}n a ，可知{}n a 是公比12q =的等比数列， 由6378S =，得166112378112a S ⎛⎫- ⎪⎝⎭==-，解得：1192a =，65119262a ∴=⨯=， 故选C ．【点睛】本题考查等比数列的通项公式，考查了等比数列的前n 项和，是基础的计算题． 11.将函数()πsin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移π2个单位长度得到()g x 图像，则下列判断错误的是（ ）A. 函数()g x 的最小正周期是πB. ()g x 图像关于直线7π12x =对称 C. 函数()g x 在区间ππ,63⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减 D. ()g x 图像关于点π,03⎛⎫⎪⎝⎭对称 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角函数的图象平移关系求出()g x 的解析式，结合函数的单调性，对称性分别进行判断即可．【详解】由题意，将函数()f x 的图象向右平移2π个单位长度， 可得2()sin[2()]sin(2)233g x x x πππ=-+=-，对于A ,函数的最小正周期为2=2ππ，所以该选项是正确的； 对于B ，令712x π=，则772()sin(2)sin 1121232g ππππ=⨯-==为最大值， ∴函数()g x 图象关于直线712x π=，对称是正确的；对于C 中，[,]63x ππ∈-，则22[3x ππ-∈-，0]， 则函数()g x 在区间[,]63ππ-上先减后增，∴不正确；对于D 中，令3x π=，则2()sin(2)sin 00333g πππ=⨯-==，()g x ∴图象关于点(,0)3π对称是正确的，故选C ．【点睛】本题主要考查命题的真假判断，涉及三角函数的单调性，对称性，求出解析式是解决本题的关键．12.已知函数()f x 是R 上的偶函数，且对任意的x ∈R 有(3)()f x f x +=-，当(3,0)x ∈- 时，()25f x x =-，则(8)f =（ ）A. 11B. 5C. -9D. -1【答案】C 【解析】 【分析】根据(3)()f x f x +=-即可得出(6)()f x f x +=，即得出()f x 的周期为6，再根据()f x 是偶函数，以及(3,0)x ∈-时，()25f x x =-，从而可求出f （8）f =（2）(2)9f =-=-． 【详解】(3)()f x f x +=-；(6)(3)()f x f x f x ∴+=-+=；()f x ∴的周期为6；又()f x 是偶函数，且(3,0)x ∈-时，()25f x x =-；f ∴（8）(26)f f =+=（2）(2)459f =-=--=-．故选C ．【点睛】本题主要考查偶函数和周期函数的定义，以及已知函数求值的方法．第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若,x y 满足约束条件40,20,20,x y x x y -+≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≥⎩则2z x y =+的最小值为__________．【答案】2 【解析】 分析】先由约束条件作出可行域，再由目标函数2z x y =+可化为122zy x =-+，因此当直线122zy x =-+在y 轴上截距最小时，2z x y =+取最小，结合图像即可求出结果.【详解】由约束条件40,20,20,x yxx y-+≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≥⎩作出可行域如下：因为目标函数2z x y=+可化为122zy x=-+，因此当直线122zy x=-+在y轴上截距最小时，2z x y=+取最小.由图像易得，当直线122zy x=-+过点(2,0)A时，在y轴上截距最小，即min2z=.故答案为2【点睛】本题主要考查简单的线性规划，只需由约束条件作出可行域，分析目标函数的几何意义，结合图像即可求解，属于常考题型.14.已知4cos()35πα+=，则13sin()6πα-的值是____________.【答案】45-【解析】根据两角和的余弦公式可得134cos cos325πααα⎛⎫+==⎪⎝⎭，所以由诱导公式可得13sin6πα⎛⎫-=⎪⎝⎭31cos622sin sinπααα⎛⎫-=-⎪⎝⎭134cos225sinαα⎛⎫=--=-⎪⎪⎝⎭，故答案为45-.15.已知A，B，C三点在球O的表面上，2AB BC CA===，且球心O到平面ABC的距离等于球半径的13，则球O 的表面积为____. 【答案】6π 【解析】 【分析】设出球的半径，小圆半径，通过已知条件求出两个半径，再求球的表面积．【详解】解：设球的半径为r ，O ′是△ABC 的外心，外接圆半径为R 3=， ∵球心O 到平面ABC 的距离等于球半径的13， ∴得r 219-r 2＝43，得r 232=． 球的表面积S ＝4πr 2＝4π362⨯=π．故答案为6π．【点睛】本题考查球O 的表面积，考查学生分析问题解决问题能力，空间想象能力，是中档题．16.已知函数()sin f x ax x =+，若()()()g x f x f x '=+在区间,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，则a 的最小值是___． 【答案】1 【解析】 【分析】化简函数的解析式，利用函数的导数，转化求解函数的最大值，即可得到结果．【详解】解：函数f x ax sinx =+（），若'g x f x f x ax sinx cosx a =+=+++（）（）（）， g x f x f x =+'（）（）（）在区间[-2π，2π]上单调递增，'0g x a sinx cosx =-+≥（），可得,,422a x x πππ⎛⎫⎡⎤≥-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦可得3,444x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦,4x π⎛⎫⎡⎤-∈ ⎪⎣⎦⎝⎭所以1a ≥.所以a最小值为：1．故答案为1．【点睛】本题考查函数的导数的应用，函数的最值的求法，求解参数时．可将参数分离出来，转化为求解函数的最值，从而得到参数的取值范围．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答. 必做题：共60分.17.如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是菱形，2AB =，60BAD ∠=︒．(1)求证：BD ⊥平面PAC ； (2)若PA AB =.求棱锥C PBD -的高. 【答案】（1）证明见解析（2）217. 【解析】 【分析】（1）推导出AC ⊥BD ，PA ⊥BD ，由此能证明BD ⊥平面PAC ． （2）运用等体积转化图形求体积．【详解】（1）证明：因为四边形ABCD 是菱形，所以AC BD ⊥. 又因为PA ⊥平面ABCD ,所以PA ⊥ BD . 又PA AC A ⋂=,所以BD ⊥平面PAC .（2）解：∵C PBD P CBD V V --=， 设棱锥C PBD -的高为h ∴1133PBD CBD h S PA S ∆∆⋅=⋅ ∵PA AB =，2AB =，60BAD ∠=︒ ∴22PB PD == 2BD = ∴2211722PBDS BD PB BD ∆⎛⎫=-= ⎪⎝⎭11322CBD S BD AC ∆=⋅= ∴2217CBD PBD PA S h S ∆⋅==. 即棱锥C PBC -的高为2217. 【点睛】本题考查线面垂直的判定定理，考查三棱锥体积的求法，棱锥体积计算的常见方法： （1）直接应用体积公式求体积，这类问题的特征是：棱锥的底面积与高为已知或可求. （2）割补法求体积，一是将不方便计算的棱锥分割成若干易算的棱锥，逐一计算即可；二是将棱锥补成易算的棱锥或棱柱，从而求出棱锥体积.（3）转换棱锥求体积（主要适用三棱锥），在计算体积时可以换底进行等体积棱锥图形的转化.18.在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，已知sin sin 03b C c B π⎛⎫--= ⎪⎝⎭. （1）求角C 的值；（2）若4,7a c ==ABC ∆的面积.【答案】（1）23π；（2）【解析】 【分析】（1）利用三角函数恒等变换的应用化简，将已知等式化简得sin 03C π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，结合范围 ()0,C π∈，可得角C 的值；（2）利用余弦定理可求得24120b b +-=，解得b 的值，根据三角形的面积公式即可得出ABC ∆的面积.【详解】解：（1）因为sin sin 03b C c B π⎛⎫--= ⎪⎝⎭，即12sin sin cos 2sin sin 022R B C C R C B ⎛⎫--= ⎪ ⎪⎝⎭，由于在ABC ∆中，sin 0B >，则得出：1sin 022C C +=， 所以sin 03C π⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 又因为()0,C π∈，则3C ππ+=，解得：23C π=.（2）在ABC ∆中，4,a c == 由余弦定理得：2222cos c a b ab C =+-， 所以24120b b +-=，且0b >， 解得：2b =， 则ABC ∆的面积为：11sin 42222S ab C ==⨯⨯⨯=【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理和三角形面积公式在解三角形中的综合应用，以及三角函数恒等变换的应用，同时考查学生的计算能力和转化思想.19.已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足()2*2n n nS n N +=∈.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设()()*213n an b n n N=-⋅∈，求数列{}nb 的前n 项和nT .【答案】（1）n a n =； （2）13(1)3,n n T n n N ++=+-⋅∈.【解析】 【分析】（1）应用公式11,2,1n n n S S n a S n --≥⎧=⎨=⎩可求的通项n a 的表达式（2）由错位相减法求得数列{}n b 的前n 项和n T ．【详解】（1）当n 2≥时，n n n 1a S S n -=-=；当n 1=时，11a S 1==，符合上式. 综上，n a n =. （2）()213nn b n =-.则由（1）-（2）得 ()()()2122123132132323213321313n n n nT n n -+⋅--=⋅+⋅++⋅+-⋅=+--⋅-()16223n n +=-+-⋅故()1313,n n T n n N ++=+-⋅∈.【点睛】知道n S 的表达式求数列通项时，我们常应用公式11,2,1n n n S S n a S n --≥⎧=⎨=⎩可求的通项na 的表达式．20.如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧棱垂直底面，∠ACB=90°，AC=BC=12AA 1，D 是棱AA 1的中点．(Ｉ) 证明：平面BDC ⊥平面1BDC（Ⅱ）平面1BDC 分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比. 【答案】1:1 【解析】（Ⅰ）由题设知BC ⊥1CC ,BC ⊥AC ，1CC AC C ⋂=,∴BC ⊥面11ACC A , 又∵1DC ⊂面11ACC A ，∴1DC BC ⊥,由题设知01145A DC ADC ∠=∠=,∴1CDC ∠=090,即1DC DC ⊥,又∵DC BC C ⋂=, ∴1DC ⊥面BDC , ∵1DC ⊂面1BDC ， ∴面BDC ⊥面1BDC ；（Ⅱ）设棱锥1B DACC -的体积为1V ，AC =1，由题意得，1V =1121132+⨯⨯⨯=12，由三棱柱111ABC A B C -的体积V =1，∴11():V V V -=1:1， ∴平面1BDC 分此棱柱为两部分体积之比为1:121.已知函数ln ()(,)x af x bx a b R x-=-∈. （1）当0b =时，讨论函数()f x 的单调性； （2）若函数()()f x g x x=在x e =e 为自然对数的底）时取得极值，且函数()g x 在(0,)e 上有两个零点，求实数b 的取值范围.【答案】（1）()f x 在1(0,)a e +上单调递增，在1(,)ae ++∞上单调递减；（2）211(,)2e e. 【解析】 【分析】（1）当0b =时，求函数的导数，利用函数单调性和导数之间的关系，即可判断f （x ）的单调性；（2）函数()g x 在()0,e 上有两个零点等价于函数()(),0,g x x e ∈的图像与x 轴有两个交点，数形结合即可得到实数的取值范围. 【详解】（1）当0b =时，()ln x af x x-=， ()()221ln 1ln x x a a x x f x x x ⋅--+-=='， 令()0f x '=，得1a x e +=， 当()10,ax e+∈时，()0f x '>，当()1,ax e+∈+∞时，()0f x '<.所以函数()f x 在()10,ae +上单调递增，在()1,ae++∞上单调递减.（2）()()2ln f x x ag x b xx-==-，()()2431ln 2122ln x x a x a x x g x x x ⋅--⋅-=='+， ∵()g x 在x e =∴(0g e '=即1210a +-=，∴0a =. 所以()2ln x g x b x=-，()312ln xg x x -'=， 函数()g x 在(e 上单调递增，在),e +∞上单调递减，得函数的极大值12ge b e =-，∴当函数()g x 在()0,e 上有两个零点时，必有()0,10,2g e b e ⎧<⎪⎨->⎪⎩得2112b e e<<.当2112b e e <<时，210g e b e ⎛⎫=--< ⎪⎝⎭. ∴()g x 的两个零点分别在区间1,e e⎛⎫ ⎪⎝⎭与(),e e 中.∴的取值范围是211,2e e ⎛⎫⎪⎝⎭. 【点睛】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．选做题：共10分.请考生在第22，23题中任选一题作答.如果多做，那么按所做的第一题计分.选修4-4：坐标系与参数方程22.己知直线l 的参数方程为132x ty t =+⎧⎨=+⎩（t 为参数），曲线C 的极坐标方程为2sin 16cos 0ρθθ-=，直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，点()13P ，．（1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）求11PA PB+的值． 【答案】（1）21y x =+ ，216y x = ；（2810【解析】 【分析】（1）直线的参数方程消去t 可求得普通方程．由直角坐标与极坐标互换公式222cos sin x y x y ρθρθρ=⎧⎪=⎨⎪+=⎩，求得曲线C 普通方程．（2）直线的参数方程改写为153x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），由t 的几何意义求值．【详解】()1直线l 的参数方程为1(t 32x ty t=+⎧⎨=+⎩为参数)，消去参数，可得直线l 的普通方程y 2x 1=+，曲线C 的极坐标方程为2ρsin θ16cos θ0-=，即22ρsin θ16ρcos θ=，曲线C 的直角坐标方程为2y 16x =，()2直线的参数方程改写为135x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）， 代入2y 16x =，24t 705--=，12t t +=1235t t 4=-，1212t t 11PA PB t t 35-+==． 【点睛】由直角坐标与极坐标互换公式222cos sin x y x y ρθρθρ=⎧⎪=⎨⎪+=⎩，利用这个公式可以实现直角坐标与极坐标的相互转化．选修4-5：不等式选讲23.已知函数()22f x x x a =-++，a R ∈. （1）当1a =时，解不等式()5f x ≥；（2）若存在0x 满足00()23f x x +-<，求a 的取值范围． 【答案】（1）4(,][2,)3-∞-⋃+∞（2）71a -<<- 【解析】 【分析】（1）当1a =时，根据绝对值不等式的解法即可解不等式()5f x ≥； （2）求出()()min23f x x +-<的最小值，根据不等式的关系转化为()221f x x x =-++即可求a 的取值范围．【详解】解：（1）当1a =时，2215x x -++≥， 由()5f x ≥得][4,2,3⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭. 当2x ≥时，不等式等价于2215x x -++≥，解得2x ≥，所以2x ≥；当122x -<<时，不等式等价于2215x x -++≥，即2x ≥，所以此时不等式无解； 当12x ≤-时，不等式等价于2215x x ---≥，解得43x ≤-，所以43x ≤-．所以原不等式的解集为()2222f x x x x a +-=-++. （2）()2422244x x a x a x a =-++≥+--=+ 43a +<. 因为原命题等价于()221f x x x =-++，所以43a +<，所以71a -<<-为所求实数a 的取值范围．【点睛】本题主要考查不等式的求解，根据绝对值不等式的解法，利用分类讨论的数学思想进行讨论是解决本题的关键，属于中档题.。

2021届全国名校大联考新高考原创预测试卷(九)文科数学

2021届全国名校大联考新高考原创预测试卷(九)文科数学

2021届全国名校大联考新高考原创预测试卷（九）文科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．“22≠x ”是“x 2≠1”的（ ） A.充分不必要条件 B .必要不充分条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件2. 等差数列{}n a 满足10345113=-+a a a ，则=4a （ ）A.5-B.0C.5D.103已知函数f （x ）=x 2+2cos x ，f’（x ）是f （x ）的导函数，则函数y =f’（x ）的图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．4. 某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（ ） A.60 B.30 C.20 D.105. 定义在R 上的奇函数f （x ）满足f （1+x ）=f （1－x ），且当x ∈[0，1]时，f （x ）=x （3－2x ），则f （229）=（ ） A ．－1 B ．－21C ．21 D ．16. 已知函数()2sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，现将()y f x =的图象向左平移12π个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到函数()y g x =的图象，则()g x 在50,24π⎡⎤⎢⎥⎣⎦的值域为（ ） A. []1,2- B. []0,1 C. []0,2 D. []1,0-7. (错题再现)已知四边形ABCD 中，BC AD //，,3AD BC =90=∠BDC ，AC 与BD 相交于点E ，且6=DE 则DE DA •=（ ）A.18-B.12-C.12D.488．古希腊数学家阿波罗尼斯在其巨著《圆锥曲线论》中提出“在同一平面上给出三点，若其中一点到另外两点的距离之比是一个大于零且不等于1的常数,则该点轨迹是一个圆”.现在,某电信公司要在甲、乙、丙三地搭建三座5G 信号塔来构建一个三角形信号覆盖区域,以实现5G 商用，已知甲、乙两地相距4公里,丙、甲两地距离是丙、乙两地距离的倍,则这个三角形信号覆盖区域的最大面积(单位：平方公里)是( ) A.23B.43C.36D.469.已知三棱柱111C B A ABC -的所有顶点都在球O 的球面上，该三棱柱的五个面所在的平面截球面所得的圆大小相同，若球O 的表面积为π20，则三棱柱的体积为（ ） A.36 B.12 C.312 D.1810.设椭圆C ：12222=+by a x （)0(>>b a 的左焦点为F ，过点F 的直线与椭圆C 相交于A,B 两点，直线l 的倾斜角60 ，FB AF 2=则椭圆C 的离心率为( ) A.32 B.36. C. 21 D.3111.已知函数()f x 的导函数()2f x sinx '=+，且(0)1f =-，数列{}n a 是以4π为公差的等差数列，若234(3f a f a f a π++=)()()，则20162a a =（ ）A ．2016B ．2015C ．2014D ．201312.已知函数有两个零点，则下列说法错误的是( ).A.B.C.D.有极小值点，且二、填空题：每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上.13.已知)1,3(-=，把它向右平移3个单位，再按。

2021届全国天一大联考新高考原创预测试卷(二十九)数学

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2021届全国天一大联考新高考原创预测试卷（二十九）数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。

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3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{|lg(1)}A x y x ==+，{}|2,xB y y x ==-∈R ，则A B =（ ）A. (1,0)-B. (1,)-+∞C. RD. (,0)-∞【答案】C 【解析】 【分析】求出对数型复合函数的定义域得集合A ，结合指数函数的值域求得集合B ，再根据并集概念求得交集．【详解】由题意{|10}{|1}(1,)A x x x x =+>=>-=-+∞，{|0}(,0)B y y =<=-∞，∴A B R =．故选：C ．【点睛】本题考查集合的并集运算，掌握对数函数和指数函数的性质是解题关键． 2.已知i 是虚数单位，1i -是关于x 的方程20(,)x px q p q ++=∈R 的一个根，则p q +=（ ） A. 4 B. 4-C. 2D. 2-【答案】A 【解析】 【分析】根据实系数方程的虚数根成对出现得出另一个根，然后由韦达定理求出,p q ，【详解】∵1i -是关于x 的方程20(,)x px q p q ++=∈R 的一个根，∴方程的另一根为1i --，∴1(1)i i p -++--=-，2p =，(1)(1)2q i i =-+--=，∴4p q +=． 故选：A ．【点睛】本题考查实系数方程的复数根问题，需掌握下列性质：实系数方程的虚数根成对出现，它们是共轭复数．3.“cos 0θ<”是“θ为第二或第三象限角”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】 【分析】求出cos 0θ<时θ的范围后，再根据充分必要条件的概念判断．【详解】cos 0θ<时，θ是第二或第三象限角或终边在x 轴负半轴，因此题中就是必要不充分条件． 故选：B ．【点睛】本题考查充分必要条件，掌握充要条件和必要条件的定义是解题基础．4.2013年5月，华人数学家张益唐的论文《素数间的有界距离》在《数学年刊》上发表，破解了困扰数学界长达一个多世纪的难题，证明了孪生素数猜想的弱化形式，即发现存在无穷多差小于7000万的素数对．这是第一次有人证明存在无穷多组间距小于定值的素数对．孪生素数猜想是希尔伯特在1900年提出的23个问题中的第8个，可以这样描述：存在无穷多个素数p ，使得2p +是素数，素数对(,2)p p +称为孪生素数．在不超过16的素数中任意取出不同的两个，则可组成孪生素数的概率为（ ） A.110B.421C.415D.15【答案】D 【解析】 【分析】用列举法写出所有基本事件即可得概率．【详解】不超过16的素数有2,3，5,7，11,13共6个，任取2个的基本事件有：(2,3),(2,5),(2,7),(2,11),(2,13),(3,5),(3,7),(3,11),(3,13),(5,7),(5,11),(5,13),(7,11),(7,13),(11,13)，共15个，其中可组成孪生素数的有(3,5),(5,7),(11,13)共3个，∴所求概率为31155P ==． 故选：D ．【点睛】本题考查古典概型，解题关键是写出所有的基本事件． 5.已知函数()sin 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，则下列结论正确的是（ ） A. ()f x 的最小正周期为2πB. ()f x 的图象关于点,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称 C. ()f x 在11,212ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增 D.512π是()f x 的一个极值点 【答案】D 【解析】 【分析】结合正弦函数性质判断． 【详解】∵()sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭， ∴最小正周期为22T ππ==，A 错；ππ3()sin(2)333f π=⨯-=，∴(,0)3π不是函数()f x 图象的对称中心．B 错； 11(,)212x ππ∈时，232(,)332x πππ-∈，()f x 递减，C 错；55()sin(2)112123f πππ=⨯-=是函数的最大值，∴512π是()f x 的一个极值点，D 正确． 故选：D ．【点睛】本题考查正弦型复合函数的性质，掌握正弦函数的性质是解题关键． 6.已知0a b >>，若5log log 2a b b a +=，b a a b =，则ab=（ ） A. 2 B. 2C. 22D. 4【答案】B 【解析】 【分析】利用对数换底公式求出log a b ，然后结合b a a b =可求得,a b ，从而得ab． 【详解】∵5log log 2a b b a +=，∴15log log 2aa b b +=，解得log 2a b =或1log 2a b =， 若log 2a b =，则2b a =，代入b a a b =得222()a a a a a a ==，22a a =，又0a >，∴2a =，则224b ==，不合题意； 若1log 2a b =，则12b a =，即2a b =，代入b a a b =得222()b b b b b b ==，∴22b b =，又0b >，∴2b =，则24a b ==， 综上4,2a b ==，∴2ab=． 故选：B ．【点睛】本题考查对数的换底公式，对数的运算和指数的运算．本题解题时注意分类讨论． 7.函数6cos ()2sin x f x x x=-图象大致为（ ）A. B. C. D.【答案】A 【解析】 【分析】确定函数的奇偶性，然后研究函数值的正负，得出正确选项． 【详解】由已知6cos()6cos ()()2sin()2sin x xf x f x x x x x--==-=-----，函数的定义域关于原点对称，∴()f x 是奇函数，可排除C ；设()2sin g x x x =-，则()2cos 0g x x '=->，()g x 单调递增，(0)0g =，∴0x >时，()0>g x ，当(0,)2x π∈时，cos 0x >，()0f x >，排除D ； 由上分析，0x <时，()(0)0g x g <=，∴()f x 与cos x 的符号相反，有正有负，排除B ； 故选：A ．【点睛】本题考查由函数解析式选择函数图象，解题方法一般是用排除法，通过研究函数的性质如奇偶性、单调性等，研究函数图象的特殊点，特殊的函数值，函数值的正负以及函数值的变化趋势等，排除错误的选项，得出正确选项．8.已知点(,)P m n 是函数22y x x =--图象上的动点，则|4321|m n +-的最小值是（ ） A. 25 B. 21C. 20D. 4【答案】C 【解析】 【分析】函数22y x x =--图象是半圆，|4321|m n +-可表示为(,)P m n 到直线43210x y +-=的距离的5倍，利用圆心到直线的距离求出P 到直线距离的最小值后可得结论．【详解】函数22y x x =--图象是半圆，圆心为(1,0)C -，半径为1r =，如图，作直线43210x y +-=，C 到直线43210x y +-=的距离为224021543d -+-==+，∴(,)P m n 到直线43210x y +-=的距离为43215m n d +-'=，其最小值为514-=，∴4321m n +-的最小值为5420⨯=． 故选：C ．【点睛】本题考查最值问题，解题方法是利用绝对值的几何意义求解，函数图象是半圆，|4321|m n +-与点到直线的距离联系，是点(,)P m n 到直线43210x y +-=的距离的5倍，这样把代数问题转化为几何问题求解．二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9.2019年4月23日，国家统计局统计了2019年第一季度居民人均消费支出的情况，并绘制了饼图（如图），则下列说法正确的是（ ）A. 第一季度居民人均每月消费支出约为1633元B. 第一季度居民人均收入为4900元C. 第一季度居民在食品烟酒项目的人均消费支出最多D. 第一季度居民在居住项目的人均消费支出为1029元 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据饼图提供的数据计算．【详解】第一季度由饼图中知衣着消费441元，占总体的9%，∴总支出为44149009%=，那么每月消费支出为490016333≈元，A 正确； 第一季度居民人均消费为4900元，不是收入，B 错； 烟酒项目占31%，最多，C 正确；第一季度居民在居住项目的人均消费支出为490021%1029⨯=元，D 正确． 故选：ACD ．【点睛】本题考查统计图表（饼图）的认识，正确认识饼图，读懂它表示的数据是解题关键． 10.如图，透明塑料制成的长方体容器1111ABCD A B C D -内灌进一些水，固定容器一边AB 于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下面几个结论，其中正确的命题有（ ）A. 没有水的部分始终呈棱柱形B. 水面EFGH 所在四边形的面积为定值C. 随着容器倾斜度的不同，11A C 始终与水面所在平面平行D. 当容器倾斜如图（3）所示时，AE AH ⋅为定值 【答案】AD 【解析】 【分析】想象容器倾斜过程中，水面形状（注意AB 始终在桌面上），可得结论．【详解】由于AB 始终在桌面上，因此倾斜过程中，没有水的部分，是以左右两侧的面为底面的棱柱，A 正确；图（2）中水面面积比（1）中水面面积大，B 错； 图（3）中11A C 与水面就不平行，C 错；图（3）中，水体积不变，因此AEH △面积不变，从而AE AH ⋅为定值，D 正确． 故选：AD ．【点睛】本题考查空间线面的位置关系，考查棱柱的概念，考查学生的空间想象能力，属于中档题．11.已知P 为双曲线22:13x C y -=上的动点，过P 作两渐近线的垂线，垂足分别为A ，B ，记线段PA ，PB 的长分别为m ，n ，则（ ）A. 若PA ，PB 的斜率分别为1k ，2k ，则123k k =-B. 12mn >C. 4m n +D. ||AB 的最小值为32【答案】ABD 【解析】 【分析】写出渐近线方程，设00(,)P x y ，直接计算12,,,k k m n ，然后判断各选项．【详解】由题意双曲线的渐近线为y x =±，即0x ±=， 设00(,)P x y ，不妨设P 在第一象限，A在渐近线0x -=上，则1k =2k =123k k =-，A 正确；P 在双曲线上，则220013x y -=，220033x y -=，m =n =，∴22003344x y mn -==12>，B 正确；4m n +≥=4m n =时等号成立，即4m n +的最小值为C 错误；渐近线y x =的斜率为k ==，倾斜角为6π，两渐近线夹角为3π，∴23APB ∠=π，22222292cos334AB m n mn m n mn mn π=+-=++≥=，当且仅当m n =时等号成立，∴32AB ≥，即AB 最小值为32，D 正确．故选：ABD ．【点睛】本题考查双曲线的标准方程，考查渐近线方程，考查基本不等式求最值，这类题把许多知识点集中在一起同，对学生推理论证能力，分析求解能力要求较高，属于难题． 12.对x ∀∈R ，[]x 表示不超过x 的最大整数．十八世纪，[]y x =被“数学王子”高斯采用，因此得名为高斯函数，人们更习惯称为“取整函数”，则下列命题中的真命题是（ ） A. ,[]1x x x ∃∈+RB. ,,[][][]x y x y x y ∀∈++RC. 函数[]()y x x x =-∈R 的值域为[0,1)D. 若t ∃∈R ，使得3451,2,3,,2nt t t t n ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤====-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦同时成立，则正整数n 的最大值是5 【答案】BCD 【解析】 【分析】由取整函数的定义判断，由定义得[][]1x x x ≤<+，利用不等式性质可得结论． 【详解】[]x 是整数， 若[]1x x ≥+，[]1x +是整数，∴[][]1x x ≥+，矛盾，∴A 错误；,x y ∀∈R ，[],[]x x y y ≤≤，∴[][]x y x y +≤+，∴[][][]x y x y +≤+，B 正确；由定义[]1x x x -<≤，∴0[]1x x ≤-<，∴函数()[]f x x x =-的值域是[0,1)，C 正确；若t ∃∈R ，使得3451,2,3,,2n t t t t n ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤====-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦同时成立，则1t ≤<，t ≤<t ≤<t ≤<t ≤<=6n ≥，则不存在t 同时满足1t ≤<t ≤<5n ≤时，存在t ∈满足题意， 故选：BCD ．【点睛】本题考查函数新定义，正确理解新定义是解题基础．由新定义把问题转化不等关系是解题关键，本题属于难题．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.6x⎛- ⎝的展开式中二项式系数最大的项的系数为____________．（用数字作答） 【答案】20- 【解析】 【分析】由二项式系数的性质可得．【详解】二项展开式通项公式为3662166((1)r rrr r rr T C xC x --+==-，其中系数奇数项为正，偶数项为负，又6(0,1,,6)rC r =中，36C 最大，因此二项式系数最大的项为第4项，系数为3620C -=-．故答案为：20-．【点睛】本题考查二项式定理，考查二项式系数的性质，解题关键是写出二项展开式通项公式1r T +，掌握二项式系数性质是解题关键．14.在平行四边形ABCD 中，3AB =，2AD =，点M 满足2DM MC =，点N 满足12CN DA =，则AM MN ⋅=_________． 【答案】0 【解析】 【分析】把向量,AM MN 都用,AB AD 表示，再进行数量积运算即得． 【详解】∵2DM MC =，12CN DA =， ∴211122()()()()()()332233AM MN AD DM MC CN AD AB AB AD AD AB AB AD ⋅=+⋅+=+⋅-=+⋅-22221414()(32)02929AB AD =-=⨯⨯-=． 故答案为：0．【点睛】本题考查平面向量的数量积，解题关键是选取,AB AD 为基底，其它向量都用基底表示，然后再进行运算．15.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左，右焦点分别为1F ，2F ，0y -+=过点1F 且与C 在第二象限的交点为P ，若160POF ∠=︒（O 为原点），则2F 的坐标为________，C 的离心率为__________．【答案】 (1). (4,0) (2). 1【解析】【分析】求出直线与x 轴的交点1F 坐标，由对称性可得2F ，利用直线的倾斜角和160POF ∠=︒得1POF 是等边三角形，从而得P 点坐标，代入椭圆方程结合c 可求得,a b ，得离心率．0y -+=与x 轴交点为(4,0)-，即1(4,0)F -，4c =，∴2(4,0)F ，0y -+=，倾斜角为60︒，而1POF 60=︒，∴得1POF 是等边三角形，∴(2,P -，∴22222412116a b a b c ⎧+=⎪⎨⎪-==⎩，解得22a b ⎧=+⎪⎨=⎪⎩，∴离心率为1c e a ===． 故答案为：(4,0)1．【点睛】本题考查求椭圆的焦点坐标和离心率，由焦点关于原点对称即可得结论，求离心率就是要求得,a c ，利用1POF 是等边三角形得出P 点坐标代入椭圆方程后可解得a ，从而求得离心率．本题属于中档题．16.三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，14AA =，ABC是边长为形，1D 是线段11B C 的中点，点D 是线段11A D 上的动点，则三棱锥D ABC -外接球的表面积的取值集合为_____________（用区间表示）． 【答案】[25,32]ππ 【解析】 【分析】由于棱柱底面是正三角形，设,M N 分别是正三棱柱下底面和上底面中心，则三棱锥D ABC -的外接球球心O 在MN 上，由此设球半径为R ，引入DN x =，可把R 用x 表示出来，从而由x 的范围得出球表面积的范围．【详解】如图，设,M N 分别是正三棱柱下底面和上底面中心，则三棱锥D ABC -的外接球球心O 在MN 上，由AB =2CM =，14MN AA ==，设球半径为R ，DN x =，则02x ≤≤，由2222OD DN OC CM MN -+-=得22244R x R -+-=，解得222(12)464x R +=+，∵02x ≤≤， ∴0x =时，2min254R =，2x =时，2max 8R =， ∴min 254254S ππ=⨯=，max 4832S ππ=⨯=， 故答案为为[25,32]ππ．【点睛】本题考查三棱锥外接球表面积问题，解题关键是找到外接球球心，三棱锥的外接球球心在过各面外心且与此面垂直的直线上．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.在①4S 是2a 与21a 的等差中项；②7a 是33S 与22a 的等比中项；③数列{}2n a 的前5项和为65这三个条件中任选一个，补充在横线中，并解答下面的问题．已知{}n a 是公差为2的等差数列，其前n 项和为n S ，________________________． （1）求n a ；（2）设34nn n b a ⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭，是否存在*k ∈N ，使得278k b >？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由．【答案】（1）不论选哪个条件，21n a n =+（2）不存在，见解析 【解析】 【分析】（1）如果是①或者②，用1a 和d 表示出已知数列的项和前n 项和，求出1a ，可得通项公式，如果是③，先说明数列{}2n a 是公差为4的等差数列，首期为12a +，由等差数列前n 项和公式可求得1a ，同样得通项公式；（2）用作差法求出{}n b 中的最大项3b ，而3278b <，得结论不存在项278>． 【详解】（1）解：若选①4S 是2a 与21a 的等差中项，则42212S a a =+， 即()()1114324222022a a a ⨯⎛⎫+⨯=+++⨯ ⎪⎝⎭． 解得13a =．所以32(1)21n a n n =+-=+． 若选②7a 是33S 与22a 的等比中项，则237223S a a =⋅， 即()()2111316222122a a a -⎛⎫+⨯=+⨯+⨯ ⎪⎝⎭． 解得13a =．所以32(1)21n a n n =+-=+． 若选③数列{}2n a 的前5项和为65， 则2(1)2[2(1)2]24n n a a n n +-=+-⋅=．又212a a =+，所以{}2n a 是首项为12a +，公差为4的等差数列． 由{}2n a 的前5项和为65，得()154524652a ⨯++⨯=． 解得13a =．所以32(1)21n a n n =+-=+．（2）33(21)44n nn n b a n ⎛⎫⎛⎫=⋅=+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．1133(23)(21)44n nn n b b n n ++⎛⎫⎛⎫-=+⋅-+⋅ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭1133[3(23)4(21)](52)44n nn n n n n ++=+-+=-． 所以110520 2.51,2n n n n b b b b n n n ++>⇔->⇔->⇔<⇔=；110520 2.53,4,5,n n n n b b b b n n n ++<⇔-<⇔-<⇔>⇔=所以123456b b b b b b <<>>>>．所以{}n b 中的最大项为333727(231)464b ⨯⎛⎫=⨯+⋅=⎪⎝⎭． 显然37278272764648b ⨯⨯=<=．所以*27,8n n b ∀∈<N ． 所以不存在*k ∈N ，使得278k b >． 【点睛】本题考查等差数列的通项公式与前n 项和公式，解题关键是根据已知条件求出数列的首项1a ．对于本题存在性命题，转化为求数列的最大项问题，而求数列的最大项方法可以解不等式组11n n n n a a a a -+≥⎧⎨≥⎩，满足此不等式组的n ，使得n a 最大，如果是正项数列，还可能用作商法，即由11n n a a -≥且11nn a a +≥得最大项的项数． 18.在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c，且cos sin a b C B -=．（1）求B ；（2）若2a =，且ABC 为锐角三角形，求ABC 的面积S 的取值范围．【答案】（1）6B π=（2）⎝⎭【解析】 【分析】（1）用正弦定理化边为角，然后由诱导公式和两角和的正弦公式变形后可求得B 角； （2）由正弦定理把c 边用角C 表示，这样三角形的面积可表示为C 的函数，C 的范围是32C ππ<<，结合三角函数性质可得面积范围．【详解】（1）由题设条件及正弦定理，得sin sin cos sin A B C C B -=．由sin sin()sin cos cos sin A B C B C B C =+=+，得cos sin sin B C C B =． 由0C π<<，得sin 0C ≠．所以cos B B =．又cos 0B ≠（若cos 0B =，则sin 0B =，22sin cos 0B B +=．这与22sin cos 1B B +=矛盾），所以tan 3B =．又0B π<<，得6B π=．（2）在ABC 中，由正弦定理，得sin sin c aC A =，即25sin sin 6c C C π=⎛⎫- ⎪⎝⎭．所以2sin 5sin 6Cc C π=⎛⎫- ⎪⎝⎭． ABC 的面积112sin 1sin 25222sin 6C S ac B C π==⨯⨯⨯⎛⎫- ⎪⎝⎭=⎝⎭2cos sin C C =+． 由ABC 为锐角三角形，得02C <<π，5062B C ππ<=-<，所以32C ππ<<，从而tan C >sin cos C C >．所以cos 0sin 3C C <<S << 所以S的取值范是⎝⎭． 【点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理，还考查三角形面积公式，两角差正弦公式，同角间的三角函数关系，正切函数性质等等．注意正弦定理在进行边角转换时等式必须是齐次，关于边,,a b c 的齐次式或关于角的正弦sin ,sin ,sin A B C 的齐次式，齐次分式也可以用正弦定理进行边角转换．求范围问题，通常是把量表示为三角形某个角的三角函数形式，利用此角的范围求得结论．19.如图，侧棱与底面垂直的四棱柱1111ABCD A B C D -的底面ABCD 是平行四边形，12AM MA =，12CN NC =．（1）求证：AN ∥平面11MB D ；（2）若22AB AD ==，60BAD ∠=︒，13AA =，求1NB 与平面11MB D 所成角的大小． 【答案】（1）见解析（2）90°． 【解析】 【分析】 （1）取AM 的中点E ，连接1EC 、11A C ．设1111AC B D O =，连接MO ．可证明1////AN C E MO ，从而可证得线面平行；（2）由余弦定理求得BD ，从而由勾股定理逆定理得DA DB ⊥．然后以D 为坐标原点，以DA ，DB ，1DD 所在方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系D xyz -，用空间向量法求得线面角．【详解】（1）取AM 的中点E ，连接1EC 、11A C ．设1111AC B D O =，连接MO ．由题意，O 是线段11A C 的中点，E 是线段MA 的中点， 所以MO 是11A C E △的中位线， 所以1MO EC ∥． 由题意，113AE AA =，1113NC CC =，11AA CC =， 所以1AE NC =，又1AE NC ∥，所以四边形1AEC N 平行四边形．所以1AN EC ∥．又1MO EC ∥，所以AN MO ∥．又AN⊄平面11MB D，MO⊂平面11MB D，所以AN平面11MB D．（2）在ABD△中，22AB AD==，60BAD∠=︒，由余弦定理，得22212212cos603BD=+-⨯⨯⨯︒=．可见222DA DB AB+=，所以DA DB⊥．以D为坐标原点，以DA，DB，1DD所在方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系D xyz-，则(1,0,2)M，1(0,3,3)B，1(0,0,3)D，(1,3,2)N-．所以1(1,0,1)D M=-，113,0)D B=，1(1,0,1)NB=．设(,,)n x y z=为平面11MB D的法向量，则1110,0,n D Mn D B⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即0,30.x z-=⎧⎪=令1x=，则(1,0,1)n=．可见，1NB就是平面11MB D的一个法向量，所以1NB与平面11MB D所成的角为90°．【点睛】本题考查证明线面平行，考查用空间向量法求直线与平面所成的角．解题关键是掌握线面平行的判定定理，寻找过同一点且两两垂直的三条直线，以它们为坐标轴建立空间直角坐标系．20.已知抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点为F ，直线1:1(0)l y kx k =+>与C 的交点为A ，B ，且当1k =时，||||5AF BF +=．（1）求C 的方程；（2）直线2l 与C 相切于点P ，且2l ∥1l ，若PAB △的面积为4，求k ．【答案】（1）22x y =（2）k =【解析】 【分析】（1）设()11,A x y ，()22,B x y ．直线方程为1y x =+，代入抛物线方程应用韦达定理得12x x +，由焦点弦长公式12AF BF x x p +=++可求得p ， （2）设2001,2P x x ⎛⎫⎪⎝⎭，由导数的几何意义求得切线斜率，由12l l ，得21,2P k k ⎛⎫⎪⎝⎭，由韦达定理求得弦长AB ，计算出P 到直线AB 距离后可表示PAB △的面积，从而求得k 值． 【详解】（1）设()11,A x y ，()22,B x y ．由221x py y x ⎧=⎨=+⎩消去y ，得2220x px p --=． 判别式2480p p ∆=+>，122x x p +=．因此1212||||2325AF BF y y p x x p p +=++=+++=+=，解得1p =． 所以C 的方程为22x y =． （2）22x y =即为212y x =，求导得y x '=． 设2001,2P x x ⎛⎫⎪⎝⎭，当0x x =时，0y x '=，因此直线2l 的斜率为0x ． 又因为12l l ，所以0k x =，因此21,2P k k ⎛⎫⎪⎝⎭．由221x y y kx ⎧=⎨=+⎩，得2220x kx --=．2480k ∆=+>，则122x x k +=，122x x =-．因此||AB ==直线1:1l y kx =+即为10kx y -+=．因此点21,2P k k ⎛⎫⎪⎝⎭到直线1l的211k +=．所以PAB △的面积为21111||22k S AB h +=⋅=⨯312=． 由题意，3142=，即332=2=． 又因为0k >，所以k =【点睛】本题考查抛物线的焦点弦性质，考查直线与抛物线相交中的面积问题．直线与抛物线相交弦长需结合韦达定理计算，即12AB x =-= 21.某省2020年高考将实施新的高考改革方案．考生的高考总成绩由3门统一高考科目成绩和自主选择的3门普通高中学业水平等级考试科目成绩组成，总分为750分．其中，统一高考科目为语文、数学、外语，自主选择的3门普通高中学业水平等级考试科目是从物理、化学、生物、政治、历史、地理6科中选择3门作为选考科目，语文、数学、外语三科各占150分，选考科目成绩采用“赋分制”，即原始分数不直接用，而是按照学生分数在本科目考试的排名来划分等级并以此打分得到最后得分．根据高考综合改革方案，将每门等级考试科目中考生的原始成绩从高到低分为A ，B +，B ，C +，C ，D +，D ，E 共8个等级．参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为3%，7%，16%，24%，24%，16%，7%，3%．等级考试科目成绩计入考生总成绩时，将A 至E 等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法则，分别转换到91～100，81～90，71～80，61～70，51～60，41～50，31～40，21～30八个分数区间，得到考生的等级成绩．举例说明：某同学化学学科原始分为65分，该学科C +等级的原始分分布区间为58～69，则该同学化学学科的原始成绩属C +等级．而C +等级的转换分区间为61～70，那么该同学化学学科的转换分计算方法为：设该同学化学学科的转换等级分为x ，696570655861xx --=--，求得66.73x =．四舍五入后该同学化学学科赋分成绩为67．为给高一学生合理选科提供依据，全省对六个选考科目进行测试，某校高一年级2000人，根据该校高一学生的物理原始成绩制成频率分布直方图（见右图）．由频率分布直方图，可以认为该校高一学生的物理原始成绩X 服从正态分布()2,(0)Nμσσ>，用这2000名学生的平均物理成绩x 作为μ的估计值，用这2000名学生的物理成绩的方差2s 作为2σ的估计值．（1）若张明同学在这次考试中的物理原始分为86分，等级为B +，其所在原始分分布区间为82～93，求张明转换后的物理成绩（精确到1）；按高考改革方案，若从全省考生中随机抽取100人，记Y 表示这100人中等级成绩在区间[81,100]内的人数，求Y 最有可能的取值（概率最大）；（2）①求x ，2s （同一组中的数据用该组区间的中点作代表）；②由①中的数据，记该校高一学生的物理原始分高于84分的人数为Z ，求()E Z ． 附：若()2~,(0)X N μσσ>，则()0.6827P Xμσμσ-<+=，(22)0.9545P X μσμσ-<+=，(33)0.9973P X μσμσ-<+=．【答案】（1）Y 最有可能的取值是10．（2）①60，144②45.5 【解析】 【分析】（1）根据转换公式得等级分，~(100,0.1)Y B ．由()(1),()(1)P Y k P Y k P Y k P Y k ==-⎧⎨==+⎩求出k 值即可；（2）由频率分布直方图求出2,x s ，得,μσ，由正态分布曲线得概率(84)0.02275P X >=，则有~(2000,0.02275)Z B ，再由二项分布的期望公式得期望．【详解】（1）设张明转换后的物理等级分为x ，由938690868281xx --=--，求得84.27x ≈．所以，张明转换后的物理成绩为84分． 由题意，~(100,0.1)Y B ．由()(1),()(1)P Y k P Y k P Y k P Y k ==-⎧⎨==+⎩得10011100(1)10010010011100(1)1001000.10.90.10.9,0.10.90.10.9.k k k k k k k k k k k k C C C C ------++--⎧⎨⎩ 解得9.110.1k ．又*k ∈N ，所以10k =． 所以，Y 最有可能的取值是10． （2）①解：300.02400.08500.22600.36700.22800.08900.0260x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．22222(3060)0.02(4060)0.08(5060)0.22(6060)0.36s =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯222(7060)0.22(8060)0.08(9060)0.02144+-⨯+-⨯+-⨯=．②由①中的数据，60μ=，12σ=，所以()2~60,12X N ．所以26021284μσ+=+⨯=．所以1(22)10.9545(84)0.0227522P X P X μσμσ--<+->===由题意，~(2000,0.02275)Z B ． 所以()20000.0227545.5E Z =⨯=．【点睛】本题考查频率分布直方图，考查由频率分布直方图计算均值的方差，考查二项分布及其期望，考查正态分布，对学生数据处理能力有一定的要求，本题属于中档题． 22.（1）若x ∀∈R ，x a e x -恒成立，求实数a 的最大值0a ；（2）在（1）的条件下，求证：函数0()cos xe f x x a x x=++在区间(,0)π-内存在唯一的极大值点0x ，且()002f x x >． 【答案】（1）01a =．（2）家粘结性 【解析】【分析】（1）令xy e x =-，求出导函数y '，由0y '>确定增区间，0y '<确定减区间，从而得y 的最小值，得a 的取值范围，即得0a ；（2）求出导函数()f x '，通分后，令22()(1)sin xg x e x x x x =--+，再求导数()g x '，令()2sin cos 2x h x e x x x =--+．分类讨论，当(,0)2x π∈-时，()0h x >，得()g x 递减，从而可得()f x '在(,0)2π-上有唯一零点0x ，,2x ππ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭时，令2()(1)x p x e x x =-+．利用导数得()p x 的单调性，从而得()0>g x ，于是得出在(,0)π-上()f x 的单调性，得唯一极大值点0x ．由()()020000201sin 0x g x ex x x x =--+=可对0()f x 变形，得()0000001sin cos 1()f x x x x x x -+=+-，只要证明在(,0)2π-上001sin 11x x ->-，从而可证得结论．【详解】（1）解：令xy e x =-，则01xxy e e e '=-=-． 可见，00y x '<⇔<；00y x '>⇔>．故函数xy e x =-在(,0)-∞上单调递减，在(,0)-∞上单调递增． 所以，当且仅当0x =时，函数xy e x =-取最小值1． 由题意，实数1a ．所以01a =．（2）由（1），2222(1)(1)sin ()sin 1x x e x e x x x x f x x x x---+'=-+=． 令22()(1)sin xg x e x x x x =--+，则()2()2sin cos 22sin cos 2x xg x xe x x x x x x e x x x '=--+=--+． 令()2sin cos 2x h x e x x x =--+． ①当,02x π⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭时，0x e >，2sin 0x ->，cos 0x x -，所以()0h x >． 可见，()()0g x xh x '=<，所以()g x 在,02π⎡⎫-⎪⎢⎣⎭上单调递减．又22213210222g e ππππ+⎛⎫-=->-> ⎪⎝⎭（由（1），可得212e ππ+<，所以1212ππ+<），(0)10g =-<，所以存在唯一的0,02x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，使得()00g x =．从而，当0[,2)x x π∈-时，()0>g x ，()0f x '>，()f x 单调递增；当()0,0x x ∈时，()0<g x ，()0f x '<，()f x 单调递减．②当,2x ππ⎛⎫∈--⎪⎝⎭时，令2()(1)x p x e x x =-+． 则()()220xxp x xe x x e '=+=+<．所以()p x 在,2ππ⎛⎫--⎪⎝⎭上单调递减． 所以222132()10244p x p e ππππ+⎛⎫>-=->-> ⎪⎝⎭（由（1），可得212e ππ+<，所以2121e ππ+<）． 又当,2x ππ⎛⎫∈--⎪⎝⎭时，20x >，sin 0x <，2sin 0x x ->， 所以当,2x ππ⎛⎫∈--⎪⎝⎭时，2()()sin 0g x p x x x =->，从而()0f x '>．所以()f x 在,2ππ⎛⎤--⎥⎝⎦单调递增． 综上所述，()f x 在()0,x π-上单调递增，在()0,0x 上单词递减． 所以，函数()f x 在区间(,0)π-内存在唯一极大值点0x ． 关于()002f x x >的证明如下： 由上面的讨论，0,02x π⎛⎫∈-⎪⎝⎭，且()()020000201sin 0x g x e x x x x =--+=，所以()0000001sin 0x e x x x x --+=，所以()000001sin 1x x x e x x -=-．于是()()00000000001sin cos cos 1x x x e f x x x x x x x -=++=++-． 令()sin q x x x =-．当,02x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()1cos 0q x x '=->．所以()q x 在,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增．所以，当,02x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()(0)0q x q <=，即sin x x <．又因为0,02x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，所以00sin x x <，0011sin 0x x ->->，所以001sin 011x x -<<-． 所以()()0000000000001sin cos cos 2cos 21x x f x x x x x x x x x x -=++>++=+>-．【点睛】本题考查导数研究不等式恒成立问题，用导数研究函数的极值点，证明极值点的性质．本题涉及到多次求导，等价转化思想，分类讨论思想，难度较大，属于困难题．。

2021届全国名校大联考新高考原创预测试卷(二十一)文科数学

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2021届全国名校大联考新高考原创预测试卷（二十一）文科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合U＝{1，2，3，4，5，6}，A∩B＝{2，3}，UA∩B＝{4，5}则B＝A.{1，2，3，4}B.{2，3，4，5}C.{3，4，5，6}D.{2，3，5，6}2.复数z＝a＋bi(a，b∈R)满足(1－2i)z＝1＋2i，则a－b＝A.－15B.15C.－75D.753.下面两个图是2020年6月25日由国家卫健委发布的全国疫情累计趋势图，每图下面横向标注日期，纵向标注累计数量。

2021届全国名校学术联盟新高考原创预测试卷(二十九)文科数学

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2021届全国名校学术联盟新高考原创预测试卷（二十九）文科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合{}05|2>-=x x x A ，则C R A = A ．{}50|≤≤x xB ．{}0|<x xC ．{}5|>x xD ．{}05|≤≤-x x2．设复数z 满足z （2-i ）=1+i (i 为虚数单位)，则z 的共轭的虚部为 A ．53B ．53-C ．i 53D ．i 53-3．若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的B = A ．4 B ．13C ．40D ．414．已知等差数列{a n },若a 2=10,a 5=1,则{a n }的前7项和为 A ．112 B ．51 C ．28 D ．185．已知)3,2(=a ，)1,(-=m m ，)3,(m c =，若b a //，则⋅= A ．-5B ．5C ．1D ．-16．甲、乙、丙三人参加银川一中招聘老师面试，最终只有一人能够被银川一中录用，得到面试结果后，甲说：“丙被录用了”；乙说：“甲被录用了”；丙说：“我没被录用”。

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2021届全国名校学术联盟新高考原创预测试卷（二十九）数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

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8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、选择题1.已知全集U =R ，集合{}210A x x =->，{}02B x x =<<，则() UA B =（ ）A. ∅B. 102x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭C. 102x x ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭D. {}0x x <【答案】C 【解析】 【分析】根据集合补集和交集的定义进行求解即可. 【详解】解：12A x x ⎧⎫=>⎨⎬⎩⎭，12U A x x ⎧⎫=≤⎨⎬⎩⎭，所以()102UA B x x ⎧⎫⋂=<≤⎨⎬⎩⎭. 故选：C .【点睛】本题考查交集补集的混合运算，属于基础题.2.设复数z 满足()12i z i -=（i 为虚数单位），则复数z 在复平面上对应的点位于( ) A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的运算，化简复数z ，结合其几何意义，即可求得结果. 【详解】由()12i z i -=，得：()()()21222i1i 1112i i i z i i i +-+====-+--+ 所以复数z 在复平面上对应的点位于第二象限. 故选：B .【点睛】复数代数形式运算问题的常见类型及解题策略：（1）复数的乘法．复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i 的看作一类同类项，不含i 的看作另一类同类项，分别合并即可．（2）复数的除法．除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i 的幂写成最简形式．（3）利用复数相等求参．,(,,,R)a bi c di a c b d a b c d +=+⇔==∈．3.已知实数,x y 满足约束条件13010x x y x y ≥⎧⎪+-≤⎨⎪--≤⎩，则11y z x +=+的取值范围为（ ）A. 13,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦B. 12,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦C. 13,,22⎛⎤⎡⎫-∞+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭D. 12,,23⎛⎤⎡⎫-∞+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭【答案】A 【解析】 【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求解即可． 【详解】解：画出线性约束条件对应的可行域，11y z x +=+表示可行域内的点与()1,1--的连线斜率，由斜率公式可求两个边界斜率分别是13,22故其取值范围为13,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 故选：A .【点睛】本题主要考查线性规划和直线斜率的基本应用，利用目标函数的几何意义和数形结合是解决问题的基本方法,属于基础题．4.已知2a b →→==，且2a b →→⎛⎫- ⎪⎝⎭与a →垂直，则a →与b →的夹角是（ ）A.3πB.6π C.34π D.4π 【答案】A 【解析】 【分析】利用向量的数量积的定义即可求解.【详解】解：22224cos 0a b a a a b θ→→→→→→⎛⎫-=-=-= ⎪⎝⎭得1cos 2θ=，求得a 与b 的夹角是3π. 故选：A .【点睛】本题考查向量的数量积的定义及运算，属于基本题.5.已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，()4123S a a =+，则公比q 的值为（ ）A. 2B.C.D.【答案】D 【解析】 【分析】利用等比数列的通项公式求和公式即可得出． 【详解】解：4123()S a a =+，1q ≠．∴411(1)3(1)1a q a q q -=+-，10a ≠213q ∴+=化为：22q =，解得q = 故选：D ．【点睛】本题考查了等比数列的通项公式求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 6.已知13tan 4,tan 2ααππα⎛⎫⎛⎫+=∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则sin cos αα+=（ ）A.2 B. 2-C.3D. 3-【答案】B 【解析】 【分析】利用已知切化弦求出1sin cos 4αα=，再表示()2sin cos αα+结合3,2αππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭即可求解. 【详解】解：1sin cos 1tan 4tan cos sin sin cos αααααααα+=+==，1sin cos 4αα=.()23sin cos 12sin cos 2αααα+=+=，因为3,2αππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以sin cos 0αα+<，求得6 sin cosαα+=-.故选：B.【点睛】本题考查同角三角函数变换，属于基础题.7.某校早读从7点30分开始，若张认和钱真两位同学均在早晨7点至7点30分之间到校，且二人在该时段的任何时刻都到校都是等可能的，则张认比钱真至少早到10分钟的概率为（）A.112B.19C.16D.29【答案】D【解析】【分析】如图所示，设张认和钱真两位同学到校的时间分别为x，y时，且x，[7y∈，7.5]时，16y x-．利用几何概率求解即可得出．【详解】解：如图所示，设张认和钱真两位同学到校的时间分别为x，y时，且x，[7y∈，7.5]时，16y x-．43(7,)6A，43(7B，15)2．则张认比钱真至少早到10分钟的概率111223311922P⨯⨯==⨯．故选：D．【点睛】本题考查与面积有关的几何概型计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．8.某几何体的三视图如下图所示，则该几何体的最大棱长为（）A. 42B. 43C. 214D. 8【答案】C 【解析】 【分析】画出几何体的直观图，利用三视图的数据求解最长棱长即可．【详解】解：由题意可知几何体的直观图如图：P ABCD -是长方体的一部分， 最长棱长为：22242656214PB =++==． 故选：C ．【点睛】本题考查三视图的应用，判断几何体的形状是解题的关键，考查转化思想以及空间想象能力，是基础题．9.将函数()23sin cos f x x x x =+的图象横坐标变成原来的2倍，再向左平移()0t t >个单位，所得函数()g x 关于3x π=对称，则t 的最小值为（ ）A.3π B.6π C.56π D.23π 【答案】C 【解析】 【分析】根据二倍角公式进行化简，利用三角函数的图象变换求出()g x 的解析式，利用对称性建立方程进行求解即可．【详解】解：2()3cos sin cos f x x x x =+ 1cos213sin 222x x +=⨯+ 313sin 2cos22x x =++ 3sin(2)32x π=++， 将函数()f x 的图象横坐标变成原来的2倍，得到3sin()3y x π=++，再向左平移(0)t t >个单位，所得函数()g x ，则3()sin()3g x x t π=+++，若关于3x π=对称，则332t k ππππ++=+，得6t k ππ=-，0t >，∴当1k =时，t 取得最小值为566πππ-=， 故选：C ．【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用二倍角公式以及图象的变化以及对称性建立方程是解决本题的关键，属于基础题． 10.根据如下的流程图，输出的值是（ ）A.1261009B.2521009C.5044032D.10084032【答案】B 【解析】 【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量111124466820162018S =+++⋯+⨯⨯⨯⨯的值，利用裂项法即可求解． 【详解】解：模拟程序的运行，可得0S =，2n =，1i =不满足条件1008i >，执行循环体，124S =⨯，4n =，2i = 不满足条件1008i >，执行循环体，112446S =+⨯⨯，6n =，3i = 不满足条件1008i >，执行循环体，111244668S =++⨯⨯⨯，8n =，4i = ⋯观察规律可知，2016n =，1008i =时， 不满足条件1008i >，执行循环体，111124466820162018S =+++⋯+⨯⨯⨯⨯，2018=n ，1009i =此时满足条件1008i >，退出循环，输出S 的值， 得1111111111111111252()()244668201620182244668201620182220181009S =+++⋯=-+-+-+⋯+-=-=⨯⨯⨯⨯．故选：B ．【点睛】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，借助裂项相消以便得出正确的结论，是基础题．11.已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>，椭圆()222:11y M x n n +=>，若双曲线C 的渐近线与椭圆M 相交的四个交点与椭圆M 的两个焦点形成了一个正六边形，则这个正六边形的面积为（ ）A. 3B.C.2D. 9【答案】A 【解析】 【分析】由题意可得椭圆与渐近线的交点坐标，进而求出交点到原点的距离，等于半个焦距，再由正六边形可得渐近线的斜率，可得a ，b 的关系，求出21n -值，进而求出正三角形的面积，6倍的一个正三角形的面积就为正六边形的面积．【详解】解：由题意可得双曲线的渐近线方程为：b y x a=±，与椭圆2221y x n +=，联立可得222222a n x a n b =+所以222222b n y a n b =+，由得到的正六边形可得33b a =，所以22222222222()431a b n n OA x y a n b n +=+==++，2211OF n =-，所以221OA OF =，即2224113n n n =-+，解得：22133n =+，即2231n -=， 所以正六边形的面积为2333236(1)3n -==， 故选：A ．【点睛】考查圆锥曲线的综合，考查运算能力，属于基础题．12.已知定义在R 上的偶函数()f x ，其导函数为()f x '，若()()20xf x f x -'>，()21f -=，则不等式()214f x x <的解集是（ ） A. ()2,2- B. ()(),22,-∞-+∞ C. ()()2,00,2- D. ()(),00,2-∞【答案】C 【解析】 【分析】构造函数令2()()f x g x x=，依题意知()g x 为偶函数且在区间(0,)+∞单调递增；不等式2()1()(2)4f x g x g x <⇔<，利用单调性脱去“g ”即可求得不等式2()14f x x <的解集．【详解】解：令2()()f x g x x =，则243()2()()2()()x f x xf x xf x f x g x x x '-'-'==，因为()2()0xf x f x '->，所以，当0x >时，()0g x '>，即()g x 在区间(0,)+∞单调递增； 又()f x 是R 上的偶函数， 所以2()()f x g x x=是(-∞，0)(0⋃，)+∞上的偶函数， 又()2f ()21f =-=； 故()2g 2(2)124f ==， 于是，不等式2()14f x x <化为()()2g x g <， 故||2x <，解得22x -<<，又0x ≠， 故选：C ．【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查函数奇偶性，考查化归思想与运算能力，属于难题．二、填空题13.由小到大排列的一列数：5,8,9,,13x 的平均数和中位数相同，则x 的值为______. 【答案】10 【解析】 【分析】根据平均数和中位数的定义，列方程求出x 的值．【详解】解：由题意知，数据5，8，9，x ，13的中位数是9， 平均数是1(58913)95x ⨯++++=，解得10x =． 故答案为：10．【点睛】本题考查了中位数和平均数的定义与计算问题，是基础题．14.如图，长方体1111ABCD A B C D -中，2AB AD ==，11AA =，O 是正方形ABCD 的中心，则直线1OD 与平面11ADD A 成的角的余弦值是______.【答案】63【解析】【分析】取AD中点M，连接OM，1D M，显然1OD M∠为所求直线1OD与平面11ADD A所成的角，转化到1Rt MOD∆中求解即可．【详解】解：取AD中点M，连接OM，1D M，因为1111ABCD A B C D-为长方体，O是正方形ABCD的中心，M为AD中点，所以显然1OD M∠为所求直线1OD与平面11ADD A所成的角，且1111,112,1232OM AB MD OD===+==+=，∴11126cos3MDOD MOD∠===，即直线1OD与平面11ADD A所成的角的余弦值是6．故答案为：6．【点睛】本题考查线面角的定义及其求法，考查运算能力，属于基础题．15.已知数列{}n a满足11a=，且()*11009n na a n n N++=-∈，该数列前m项和为nS，则2019S=______.【答案】1010【解析】 【分析】利用()()()20191234520182019...S a a a a a a a =+++++++即可求解. 【详解】解：()()()20191234520182019...S a a a a a a a =+++++++ ()()()12100941009...20181009=+-+-++-()()1009100910071100710051003...1 (1009110102)⨯-=+----+++=+=.故答案： 1010.【点睛】本题考查数列求和的并项求和方法，属于基础题. 16.已知函数()ln xf x m x=-，若()()220f k f k --=有两个不同的实数解，则实数m 的取值范围是______.【答案】1121,1e e ⎧⎫⎛⎫-+⎨⎬ ⎪⎩⎭⎝⎭【解析】 【分析】原题等价于()2f k =或()1f k =-，即有2lnk m k =+或1lnk m k =-，则条件等价于①2lnkm k=+有2解，1lnk m k =-无解；②2lnk m k =+有1解，1lnk m k =-有1解；③2lnkm k=+无解，1lnkm k=-有2解；作出函数()lnk g x k =的图象，数形结合即可【详解】解：2()()20f k f k --=可化为[()2][()1]0f k f k -+=，解得()2f k =或()1f k =-，即有2lnk m k =+或1lnkm k=-，则方程2()()20f k f k --=有两个不同的实数解，等价于： ①2lnk m k =+有2解，1lnk m k =-无解；②2lnk m k =+有1解，1lnk m k =-有1解；③2lnk m k=+无解，1lnkm k=-有2解； 令函数()lnx g x x=，(0)x >，21()0lnxg x x -'==时，x e =，即有()g x 在(0,)e 上单调递增，在(,)e+∞上单调递减，()maxg x g=（e）1e=，作出函数()g x的图象如图：则①2lnkmk=+有2解，1lnkmk=-无解，此时10211meme⎧<+<⎪⎪⎨⎪->⎪⎩，此时无解，舍去；②2lnkmk=+有1解，1lnkmk=-有1解，此时因为21m m+>-，则需1210mem⎧+=⎪⎨⎪-≤⎩，解得12me=-；③2lnkmk=+无解，1lnkmk=-有2解，此时12101meme⎧+>⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，解得111me<<+，综上，11{2}(1,1)me e∈-⋃+，故答案为：11{2}(1,1)e e-⋃+．【点睛】本题考查方程的根与函数零点的关系，数形结合思想，分类讨论思想，属于中档题．三、解答题17.设ABC∆的内角,,A B C所对的边分别是,,a b c，且2cos cosa c bC B-=.（1）求角B的大小；（2）设3b=ABC∆周长的最大值.【答案】（1）3π；（2）33【解析】 【分析】 （1）由2cos cos a c bC B -=边化角得：2sin sin sin cos cos A C B C B-=，即2sin cos sin A B A =，又(0,)A π∈，sin 0A ≠，所以1cos 2B =，从而求出角B ；（2）因为b =3B π=，由余弦定理2221cos 22a cb B ac +-==，得2()33a c ac +=+，再结合基本不等式得到223()()3334a c a c ac ++=++，23a c <+，从而求出ABC ∆周长的最大值． 【详解】解：（1）2cos cos a c bC B-=． 由正弦定理，边化角得：2sin sin sin cos cos A C BC B-=，即2sin cos sin cos sin cos A B C B B C -=，2sin cos sin()A B B C ∴=+，又A B C π++=，sin()sin B C A ∴+=，2sin cos sin A B A ∴=，又(0,)A π∈，sin 0A ≠， 1cos 2B ∴=，又(0,)B π∈， 3B π∴=；（2）3b =，3B π=，2221cos 22a cb B ac +-∴==，223a c ac ∴+-=，2()33a c ac ∴+=+，0a >，0c >，2()4a c ac+∴， ∴223()()3334a c a c ac ++=++，2()12a c ∴+，又b =∴23a c +，所以ABC∆周长的最大值为a b c ===时取到最大值.【点睛】本题主要考查了正弦定理和余弦定理综合应用，是基础题．18.某学校门口的小超市纯净水的销售水量y (千瓶)随着月份x 的变化而有所变化，为了预估2019年8月份的销售水量，销售员从2019年1月开始统计，得到了,x y 的一组统计数据如下表：（1）从函数y bx a =+与ln y d x c =+中选出你认为更适合刻画,x y 之间关系的模型，并说明理由；（2）根据你的判断及下面的数据和公式，求出y 关于x 的回归方程，并估计8月份小超市需要准备的水量.（结果精确到0.1）参考公式及数据：线性回归方程y bx a =+中，1221ni ii nii x y nx yb xnx==-⋅=-∑∑，a y b x =-⋅.【答案】（1）ln y d x c =+，理由见解析；（2）52.0千瓶 【解析】 【分析】（1）根据统计表中数据，结合y 随x 值的变化情况即可得出结论；（2）根据所选模型计算平均数与回归系数，写出回归方程，利用回归方程计算对应ˆy的值即可．【详解】解：（1）根据统计表中数据知，ˆˆˆydlnx c =+更适合刻画x ，y 之间的关系， 理由如下：x 值每增加1，函数值的增加量分别为14，8，6，4， 增加的越来越缓慢，适合对数型函数的增长规律， 与直线型函数的均匀增长存在较大差异， 故ˆˆˆydlnx c =+更适合刻画x ，y 之间的关系； （2）令i i z lnx =，计算知123451146()29.255y y y y y y =++++==， ∴51152221517250.9629.2ˆ206.250.965i i ii z yzydzz ==--⨯⨯=≈=-⨯-∑∑， ˆˆ29.2200.9610cy dz =-=-⨯=， ∴所求的回归方程为ˆ2010ylnx =+．当8x =时，算得52.0y =. 故估计8月份该超市需要准备的水量大约为52.0千瓶.【点睛】本题考查了线性回归方程的求法与应用问题，是基础题．19.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AC BC ⊥，12AC BC CC ===，,E F 分别在1A B ，11B C 上，且满足11111::C F C B A E A B =.（1）求证：//EF 平面11ACC A ； （2）求点F 到平面1A BC 的距离. 【答案】（1）证明见解析；（22 【解析】 【分析】（1）过点F 作1//FG CC ，交BC 于G ，连结GE ，推导出1//EG AC ，从而平面//EFG 平面11AC C ，由此能证明//EF 平面11ACC A ．（2）设点F 到平面1A BC 的距离为h ，由11F A BC A BCF V V --=，能求出点F 到平面1A BC 的距离．【详解】解：（1）证明：过F 点作1//FG CC 交BC 于点G ，连接EG ， 有111::CG CB C F C B =，由11111::C F C B A E A B =，可得11::CG CB A E A B =，得1//EG AC . 又因为1//FG CC ，FG ⊄面11ACC A ，1CC ⊂面11ACC A ，故//FG 平面11ACC A ， 由1//EG AC ，同理可证//EG 平面11ACC A ，且FG EG G =，所以平面//EFG 平面11ACC A ， 又因为EF ⊂平面EFG ， 所以//EF 平面11ACC A . （2）解：在直三棱柱111ABC A B C -中，AC BC ⊥，1BC AA ∴⊥，又1AC AA A =∩，BC ∴⊥平面1ACA ，1BC AC ∴⊥，∴1111222A BCSAC BC =⨯⨯== 11122222BCF S BC CC ∆=⨯⨯=⨯⨯=，AC BC ⊥，1AC CC ⊥且1BC CC C = AC ∴⊥平面11BCC B ,即AC ⊥AC 平面BCF ,又AC //11A C ,11A C ∴⊥平面BCF ,∴点1A 到平面BCF 的距离为112A C =,设点F 到平面1A BC 的距离为h ，11F A BC A BCF V V --=，∴11133A BCBCF Sh S AC ∆=，∴112233⨯=⨯⨯，解得h =∴点F 到平面1A BC ．【点睛】本题考查线面平行的证明，考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．20.已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为()1,0F c -，()2,0F c ，点31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭在椭圆C 上，点()3,0A c -满足以2AF 为直径的圆过椭圆的上顶点B . （1）求椭圆C 的方程；（2）已知直线l 过右焦点2F 与椭圆C 交于,M N 两点，在x 轴上是否存在点(),0P t 使得PM PN ⋅为定值？如果存在，求出点P 的坐标；如果不存在，说明理由.【答案】（1）22143x y +=；（2）存在，11,08P ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 【解析】 【分析】（1）由点在椭圆上代入可得a ，b 的关系，再由点(3,0)A c -满足以2AF 为直径的圆过椭圆的上顶点B ．可得20AB BF =可得b ，c 的关系，再由a ，b ，c 的关系求出椭圆的方程； （2）由（1）可得右焦点2F 的坐标，分坐标MN 的斜率为0和不为0两种情况讨论，假设存在P 满足条件，设直线MN 的方程，与椭圆联立求出两根之和及两根之积，进而求出数量积PM PN 的表达式，要使数量积为定值，则分子分母对应项的系数成比例，可得t 的值，且可求出定值．【详解】解：（1）由题意可得上顶点(0,)B b ，2AB BF ⊥，所以：221914a b+=，20AB BF =，即(3c ，)(b c ，)0b -=即223b c =，222a b c =+， 解得：24a =，23b =，所以椭圆的方程为：22143x y +=；（2）由（1）可得右焦点2F 的坐标(1,0)，假设存在(,0)P t)i 当直线MN 的斜率不为0时，设直线MN 的方程为：1x my =+，设1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，联立直线与椭圆的方程22134120x my x y =+⎧⎨+-=⎩，整理可得：22(43)690m y my ++-=，122643my y m -∴+=+，122943y y m -=+， 121228()243x x m y y m ∴+=++=+，222212121222296412()11434343m m m x x m y y m y y m m m---=+++=++=+++， 因为()()1122,,PM PN x t y x t y =--2222222221212122222241289(43)12853(4)(48()4343434343m t t m m t m t t t x x t x x t y y t m m m m m -+----+--=-+++=-+-==+++++，要使PM PN 为定值，则22448514t t t ---=，解得：118t =，这时13564PM PN =为定值，)ii 当直线MN 的斜率为0时，则(2,0)M -，(2,0)N ，P 为11(8，0)，则11(28PM PN =--，110)(28-，2111350)()4864=-=， 综上所述：所以存在11(8P ，0)，使PM PN 为定值．【点睛】考查求椭圆的标准方程及直线与椭圆的综合，属于中档题． 21.设函数()21ln 4f x ax x b x a ⎛⎫=-+≥⎪⎝⎭（1）若1x =是函数()f x 的一个极值点，求函数()f x 的单调区间；（2）当1a =时，对于任意的()1,x e ∈（e 为自然对数的底数）都有()0f x <成立，求实数b 的取值范围.【答案】（1）见解析；（2）2b e e ≤- 【解析】【分析】（1）先对函数求导，然后结合极值存在条件可求a ，b 关系，代入后即可求解单调区间； （2）先分离出b ，转化为求解相应函数的最值或范围，结合导数可求． 【详解】解：（1）定义域(0,)+∞，()21bf x ax x'=-+，由题意可得，f '(1)210a b =-+=即12b a =-，所以2122(12)[2(12)](1)()21a ax x a ax a x f x ax x x x--+----'=-+==， 由函数存在极值可知，14a ≠， 1()2i a =时，由()0f x '>可得1x >，函数()f x (1,)+∞单调递增，由()0f x '<可得01x <<，函数()f x 在(0,1)上单调递减.1()2ii a >时，由()0f x '<可得，01x <<，函数在()f x (0,1)上单调递减，由()0f x '>可得，1x >()f x 在(1,)+∞单调递增；()iii 当1142a <<时，由()0f x '>可得，1x >或1202ax a-<<，由()0f x '<可得，1212ax a-<<， 故函数的单调递增区间(1,)+∞，(0，122a a-），单调递减区间12(,1)2aa -； 综上所述：当14a =，()()2102x f x x-'=≥恒成立，不符合题意；当1142a <<时，()f x 在120,2a a -⎛⎫ ⎪⎝⎭上递增，在12,12a a -⎛⎫ ⎪⎝⎭上递减，在()1,+∞上递增； 当12a ≥时，()f x 在()0,1上递减，在()1,+∞上递增. （2）1a =时，2()0f x x x blnx =-+<可得，2x x b lnx-<，令2()x x g x lnx-=，1x e <<，则2(12)1()()x lnx x g x lnx --+'=，令()(12)1h x x lnx x =--+，1x e <<，1()21h x lnx x'=-+- 222112()=0xh x x x x--''=-<则()h x '在(1,)e 上单调递减，所以()h x h '<'（1）0=，所以()h x 在(1,)e 上单调递减，()x 1h x 0→→， ()h x <0，即()0g x '<， 所以()g x (1,)e 上单调递减，()g x g >（e ）2e e =-，故2b e e -．故b 的范围(-∞，2]e e -．【点睛】本题主要考查了函数单调区间的求解及利用分离法求参数范围问题，属于中档题． 22.在平面直角坐标系中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知曲线C 的参数方程为22cos 12sin x y αα=+⎧⎨=-+⎩（α为参数），直线l的极坐标方程为ρ=（1）求直线l 的直角坐标方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）若直线l 与曲线C 的交点分别为,A B ，点()0,1P ，求11PA PB+的值. 【答案】（1）l：0x +=，C ：()()22214x y -++=；（2【解析】【分析】（1）直接利用变换关系，参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换．（2）利用一元二次方程根和系数的关系式的应用求出结果．【详解】解：（1）曲线C 的参数方程为22cos (12sin x y ααα=+⎧⎨=-+⎩为参数），转换为直角坐标方程为22(2)(1)4x y -++=．直线l的极坐标方程为ρ=0x +． （20x +转换为参数方程为2(112x t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩为参数），代入22(2)(1)4x y -++=，得到：(2240t t +++=，解得(122t t +=-+，124t t =.所以1212||11||||||t t PA PB t t ++=== 【点睛】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．23.已知两个正数,a b 满足22a b +=.（1）求22a b +的最小值；（2）若不等式2411342x x a b ab -+++≥+-对任意的x ∈R 恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）45；（2）01a <≤ 【解析】【分析】（1）由条件可得22a b =-，(01)b <<，代入所求代数式，配方后，结合二次函数的最值求法，可得最小值；（2）运用绝对值不等式的性质和绝对值的定义可得原不等式左边函数的最小值，再由不等式恒成立思想和不等式的解法，可得所求范围．【详解】解：（1）两个正数a ，b 满足22a b +=，可得22a b =-，22222244(22)5845()55a b b b b b b +=-+=-+=-+， 由0a >，0b >，可得220b ->，即有01b <<， 则当45b =时，22a b +的最小值为45； （2）不等式|24||1|1342x x a b ab -++++-对任意的x ∈R 恒成立，|24||1|1|2|(|2||1|)10|21|14x x x x x x x -+++=-+-++++---+=，当且仅当2x =时取得等号，则|24||1|1x x -+++的最小值为4，可得3424a b ab +-，又220b a =->，即02a <<，①再由34232(2)(2)4a b ab a a a a +-=+---，化为20a a -，即01a ，②由①②可得01a <．【点睛】本题主要考查不等式恒成立问题解法，注意运用绝对值不等式的性质，同时考查不等式的解法和二次函数的最值求法，化简运算能力，属于中档题．。

2021届全国天一大联考新高考原创预测试卷(二)文科数学

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2021届全国天一大联考新高考原创预测试卷（二）文科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

第I 卷（选择题）一、单选题1．已知集合{}{}(2)0,1,0,1,2A x x x B =+≤=-，则AB =（ ）A ．{}10-，B ．{}0,1C ．{}0,1,2D ．1,0,1,22．除夕夜，万家团圆之时，中国人民解放军陆、海、空三军医疗队驰援武汉.“在疫情面前，我们中国人民解放军誓死不退！不获胜利决不收兵！”这里“获取胜利”是“收兵”的（ ）. A ．充分条件 B ．必要条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件3．已知函数()22,0log ,0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，若()14f x ≥，则x 的取值范围为（ ）A ．[]2,1-B ．)42,⎡+∞⎣ C ．[])42,12,⎡-+∞⎣ D ．[])42,02,⎡-+∞⎣4．已知m ＝log 40.4，n ＝40.4，p ＝0.40.5，则（ ） A ．m ＜n ＜pB ．m ＜p ＜nC ．p ＜n ＜mD ．n ＜p ＜m5．已知()y f x =是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()22x xf x -=+，则(1)f -=（ ） A ．52B ．32C ．32-D ．52-6．函数31log y x=的大致图象可能是（ ） A ． B ．C ．D ．7．若幂函数()()223265m f x m m x-=-+没有零点，则()f x 的图象关于（ ）对称 A ．原点 B ．x 轴C ．y 轴D ．没有8．函数()ln 2f x x x =+-的零点所在的大致区间为（ ） A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,)eD ．(,4)e9．用二分法求函数()ln(1)1f x x x =++-在区间[]0,1上的零点,要求精确度为0.01时,所需二分区间的次数最少为( ) A ．5B ．6C ．7D ．810．已知函数()y f x =的图象经过点()1,2P -，则函数()y f x =--的图象必过点（ ） A ．()1,2-B ．()1,2C ．()1,2--D ．()2,1-11．已知函数()(1)x f x a x e =-的图象在点(1,(1))f 处的切线方程为210x y --=，则a 的值为( ) A ．1 2eB．2e C．12D．212．已知定义域为R的奇函数()f x，当0x>时，满足()()()2372,0233,2log x xf xf x x⎧--<≤⎪⎪=⎨⎪->⎪⎩，则()()()()1232020(f f f f+++⋯+=)A．25log B．25log-C．2-D．0二、填空题13．命题：“0x∀<，2230x x-+≤”的否定是________.14．已知函数()f x是定义在R上的奇函数，且当0x>时，()31f x x x=++，则()f x在R上的解析式为__________.15．已知函数()()311f x x=-+．利用课本中推导等差数列的前n项和的公式的方法，可求得()()()()()54067f f f f f-+-+++++的值为_____．16．已知函数()y f x=及其导函数()y f x='的图象如图所示，则曲线()y f x=在点(2,0)P处的切线方程是三、解答题17．（113326031250.02723)27π⎛⎫++⎪⎝⎭（2）化简51log 3243log 9log 8ln lg 0.015e +⋅+++18．已知集合3{}3|A x a x a =-≤≤+，{|0B x x =≤或4}x ≥． （1）当2a =时，求AB ；（2）若0a >，且“x A ∈”是“Rx B ∈”的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．19．已知函数()()2log a f x ax x =-．（1）若12a =，求()f x 的单调区间； （2）若()f x 在区间[]2,4上是增函数，求实数a 的取值范围．20．设函数()22()x x f x a a R -=⋅-∈（1）若函数y ＝f （x ）的图象关于原点对称，求函数3()()2g x f x =+的零点0x ； （2）若函数()()42x xh x f x -=++在[0,1]x ∈的最大值为－2，求实数a 的值.21．已知函数2()()x f x e x ax a =+-，其中a 是常数. (Ⅰ)当1a =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（Ⅱ）若存在实数k ，使得关于x 的方程()f x k =在[0,)+∞上有两个不相等的实数根，求k 的取值范围.22．已知函数()ln ,af x x a R x=+∈，且曲线()y f x =在1x =处的切线平行于直线20x y +=． （1）求a 的值；（2）求函数()f x 的单调区间；（3）已知函数3()()g x f x x x=--图象上不同的两点()()1122,,,A x y B x y ，试比较2121y y x x --与122x x g '+⎛⎫⎪⎝⎭的大小．参考答案1．A 2．B 3．D 4．B 5．D 6．D 7．A 8．B 【详解】解：函数()f x 的导函数1()10f x x'=+>，故()f x 在其定义域(0,)+∞上是增函数， 再根据()110f =-<，()2ln20f =>，可得()()120f f ⋅<，故函数()ln 2f x x x =+-零点所在的大致区间为(1,2)， 故选：B ． 9．C 【详解】开区间()0,1的长度等于1 ,每经过一次操作,区间长度变为原来的一半， 经过n 此操作后,区间长度变为12n ，用二分法求函数()()ln 11f x x x =++-在区间()0,1上近似解, 要求精确度为0.01 ,10.012n∴≤，解得7n ≥，故选C. 10．A 【详解】()y f x =与()y f x =--函数关于原点对称, ()y f x =的图象经过点()1,2P -，则函数()y f x =--的图象必过点()1,2-,正确答案为A. 故选：A11．A 【详解】因为()(1)xf x a x e =-，所以()(1)x x x f x a e x e axe '⎡⎤=-=⎣⎦+， 又函数()(1)xf x a x e =-的图象在点(1,(1))f 处的切线方程为210x y -+=，所以1(1)2k f ae '===， 解得：12a e=. 故选：A. 12．B 【详解】定义域为R 的奇函数()f x ，可得()()f x f x -=-，当0x >时，满足()()()23log 72,0233,2x x f x f x x ⎧--<≤⎪⎪=⎨⎪->⎪⎩，可得32x >时，()()3f x f x =-， 则()21log 5f =-， ()()()2211log 5f f f =-=-=， ()()300f f ==，()()241log 5f f ==-，()()()()25211log 5f f f f ==-=-=， ()()()6300f f f ===， ()()()2741log 5f f f ===-，()()()()28211log 5f f f f ==-=-=，()()()()123...2020f f f f ++++()222673log 5log 50log 5=⨯-++-226730log 5log 5=⨯⨯-=-， 故选B.13．20000,230x x x ∃<-+>14．331,0()0,01,0x x x f x x x x x ⎧++>⎪==⎨⎪+-<⎩15．13． 【详解】 设()()()()()54067S f f f f f =-+-+++++,，所以有()()()()()76045S f f f f f =+++++-+-，因为()(2)2f x f x +-=,因此221313S S =⨯⇒=16．20x y --=【详解】由图像可知，曲线在P 点的切线的斜率为1，故切线方程为02y x -=-，即20x y --=. 17．(1)227110300; (2) 18 【详解】 解：（1136012527π⎛⎫++ ⎪⎝⎭21113663332275()()23110003⨯⨯⨯=++⨯+ 23335()4271103⨯=++⨯+ 9510811003=+++ 227110300=， （2）51log 3243log 9log 8ln lg 0.015e +⋅+++5log 323log 33log 22(2)55=⋅++-+⨯533=+⨯ 18=18．（1）{|45}A B x x ⋂=≤≤；（2）01a <<． 【详解】（1）∵当2a =时，{|15}A x x =≤≤，{|0B x x =≤或4}x ≥，∴{|45}A B x x ⋂=≤≤； （2）∵{|0B x x =≤或4}x ≥， ∴{|04}RB x x =<<，因为“x A ∈”是“Rx B ∈”的充分不必要条件, 所以A 是RB 的真子集，且A ≠∅，又{|33}(0)A x a x a a =-≤≤+>，∴30,34,a a ->⎧⎨+<⎩， ∴01a <<．19．（1）增区间为(),0-∞；减区间为()2,+∞；（2）1a >． 试题解析： （1）当12a =时，()2121log 2f x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，由2102x x ->，得220x x ->， 解得0x <或2x >， 所以函数的定义域为()(),02,-∞+∞，利用复合函数单调性可得函数的增区间为(),0-∞，减区间为()2,+∞． （2）令()2g x ax x =-，则函数()g x 的图象为开口向上，对称轴为12x a=的抛物线， ①当01a <<时，要使函数()f x 在区间[]2,4上是增函数，则()2g x ax x =-在[]2,4上单调递减，且2min ()0g x ax x =->，即()1421140164ag a ⎧≥⎪⎪⎨⎪=->⎪⎩，此不等式组无解．②当1a >时，要使函数()f x 在区间[]2,4上是增函数，则()2g x ax x =-在[]2,4上单调递增，且2min ()0g x ax x =->，即()1222420a g a ⎧≤⎪⎨⎪=->⎩，解得12a >，又1a >， ∴1a >，综上可得1a >．所以实数a 的取值范围为(1,)+∞． 20．（1）01x =-；（2）3-. 【详解】解：()f x 的图象关于原点对称，()()0f x f x ∴-+=，22220x x x x a a --∴⋅-+⋅-=，即(1)(22)0x xa -∴-⋅+=，1a（注：若用赋值法求解，没有检验，扣1分） 令3()2202x xg x -=-+=， 则22(2)3(2)20x x⋅+⋅-=，(22)(221)0x x ∴+⋅⋅-=，又20x >，1x ∴=-所以函数()g x 的零点为01x =-.（2）()2242[0,1]x x x xh x a x --=⋅-++∈，，令2[1,2]xt =∈，2()()[1,2]h x H t t at t ==+∈，，对称轴02a t =-， ① 当322a -≤，即3a ≥-时， max ()(2)422H t H a ==+=-，3a ∴=-；② 当322a ->，即3a <-时， max ()(1)12H t H a ==+=-，3a ∴=-（舍）；综上：实数a 的值为3-. 21．（Ⅰ）43y ex e =-（Ⅱ）24(,]ea a a ++- 【详解】解：(Ⅰ)由2()()x f x e x ax a =+-可得2'()e [(2)]x f x x a x =++.当1a =时,(1)f e =,'(1)4f e =.所以 曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为()41y e e x -=-， 即43y ex e =-（Ⅱ） 令2'()((2))0x f x e x a x =++=，解得(2)x a =-+或0x =当(2)0a -+≤，即2a ≥-时，在区间[0,)+∞上，'()0f x ≥，所以()f x 是[0,)+∞上的增函数. 所以 方程()f x k =在[0,)+∞上不可能有两个不相等的实数根. 当(2)0a -+>，即2a <-时，()'(),f x f x 随x 的变化情况如下表由上表可知函数()f x 在[0,)+∞上的最小值为24((2))a a f a e ++-+=. 因为 函数()f x 是(0,(2))a -+上的减函数，是((2),)a -++∞上的增函数，且当x a ≥-时，有()f x ()ae a a -≥->-.所以 要使方程()f x k =在[0,)+∞上有两个不相等的实数根，k 的取值范围必须是 24(,]e a a a ++-. 22．（1）3a =；（2）函数()f x 的单调增区间是(3,)+∞，单调减区间是(0,3)；（3）2112212y y x x g x x '-+⎛⎫> ⎪-⎝⎭【解析】（1）()f x 的定义域为21(0,),()a f x x x '+∞=-． 曲线()f x 在1x =处的切线平行于直线20x y +=，(1)12f a '∴=-=-，3a ∴=．（2）3()ln f x x x =+，22133()x f x x x x '-∴=-=． ∴当3x >时，()0,()f x f x '>是增函数；当03x <<时，()0,()f x f x '<是减函数． ∴函数()f x 的单调增区间是(3,)+∞，单调减区间是(0,3)．（3）3()ln f x x x =+，1()ln ,()1g x x x g x x '∴=-=-，1212212x x g x x '+⎛⎫∴=- ⎪+⎝⎭． 又()()22112121212121ln ln ln ln 1x x x x y y x x x x x x x x -----==----， ()212112212212112211122ln ln 21ln 2x x y y x x x x x g x x x x x x x x x x x ⎡⎤--+-⎛⎫∴-=-=-⎢⎥ ⎪--+-+⎝⎭⎣⎦' 2122222112111121114ln ln 211x x x x x x x x x x x x x x ⎡⎤⎛⎫⎡⎤-⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎢⎥⎢⎥=-=+-⎢⎥--⎢⎥++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦． 设4()ln 21h x x x =+-+，则22214(1)()0(1)(1)x h x x x x x '-=-=≥++， ()h x ∴在(0,)+∞上是增函数． 令21x t x =，不妨设120x x <<，211x x ∴>，()(1)0h t h ∴>=，即22114ln201xxxx+->+．又21x x->，2112212y y x xgx x'-+⎛⎫∴->⎪-⎝⎭，2112212y y x xgx x'-+⎛⎫∴> ⎪-⎝⎭．。

2021届全国天一大联考新高三原创预测试卷(二)文科数学

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4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、选择题∈｜0≤x≤3｝，B＝｛x∈R｜－2＜x＜2｝则A∩B=( )1. 已知集合A＝｛x NA. {0,1}B. {1}C. [0,1]D. [0,2)【答案】A【解析】【分析】可解出集合A，然后进行交集的运算即可．【详解】A＝{0，1，2，3}，B＝{x∈R|﹣2＜x＜2}；∴A∩B＝{0，1}．故选A．∈.【点睛】本题考查交集的运算，是基础题，注意A中x N2. 已知复数z 的共轭复数112iz i-=+，则复数z 的虚部是（ ） A.35B. 35i C. 35D. 35i -【答案】A 【解析】 【分析】利用复数乘除运算化简，求得z 后得到答案【详解】()()()()11211313121212555i i i i z i i i i -----====--++-，则1355z i =-+，则复数z 的虚部是35. 故选：A.【点睛】本题主要考查了复数代数形式的乘除运算以及复数的基本概念，属于基础题． 3. 已知0.2log 2a =，20.2b =，0.23c =，则（ ） A. a b c << B. a c b << C. c a b << D. b c a <<【答案】A 【解析】 【分析】利用指对函数的单调性，借助中间量0，1比较大小. 【详解】0.2log 20a =<，20.2(0,1)b =∈，0.231c =>， 所以a b c <<， 故选：A .【点睛】利用指数函数对数函数及幂函数的性质比较实数或式子的大小，一方面要比较两个实数或式子形式的异同，底数相同，考虑指数函数增减性，指数相同考虑幂函数的增减性，当都不相同时，考虑分析数或式子的大致范围，来进行比较大小，另一方面注意特殊值0，1的应用，有时候要借助其“桥梁”作用，来比较大小．4. 若x,y 满足约束条件x 0x+y-30z 2x-2y 0x y ≥⎧⎪≥=+⎨⎪≤⎩，则的取值范围是A. [0,6]B. [0,4]C. [6, +∞）D. [4, +∞）【答案】D【解析】解：x、y满足约束条件，表示的可行域如图：目标函数z=x+2y经过C点时，函数取得最小值，由解得C（2，1），目标函数的最小值为：4目标函数的范围是[4，+∞）．故选D．5. 某中学高三文科班从甲、乙两个班各选出7名学生参加文史知识竞赛，他们取得的成绩的+的值茎叶图如图，其中甲班学生成绩的平均分是85，乙班学生成绩的中位数是83，则x y为（）A. 9B. 7C. 8D. 6【答案】C【解析】【分析】根据平均数和中位数的定义和公式，分别进行计算即可得到结论．【详解】解：班学生成绩的平均分是85，∴+++++++=⨯，x79788080859296857x=．即5乙班学生成绩的中位数是83，∴若1y ，则中位数为81，不成立．若1y >，则中位数为8083y +=， 解得3y =． 538x y ∴+=+=，故选：C ．【点睛】本题主要考查茎叶图是应用，要求熟练掌握平均数和中位数的概念和计算公式，属于基础题．6. 函数()·ln xf x e x =的大致图象为（ ） A. B.C. D.【答案】A 【解析】 【分析】判断函数的奇偶性和对称性的关系，利用极限思想进行求解即可【详解】解：函数()·ln xf x e x =，()--?ln -xf x e x =，()()f x f x ≠-，()()f x f x -≠-，则函数()f x 为非奇非偶函数，图象不关于y 轴对称，排除C ，D ，当(),x f x →+∞→+∞，排除B ， 故选A【点睛】本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数的对称性以及极限思想是解决本题的关键7. 《九章算术》中有如下问题：“今有勾五步，股一十二步，问勾中容圆，径几何？ ”其大意：“已知直角三角形两直角边长分别为5步和12步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是 ( ) A.215π B.320π C. 2115π-D. 3120π-【答案】C 【解析】 【分析】本题首先可以根据直角三角形的三边长求出三角形的内切圆半径，然后分别计算出内切圆和三角形的面积，最后通过几何概型的概率计算公式即可得出答案.【详解】2251213+=， 设内切圆的半径为r ，则51213r r -+-=，解得2r .所以内切圆的面积为24r ππ=， 所以豆子落在内切圆外部的概率42P 111155122ππ=-=-⨯⨯，故选C ．【点睛】本题主要考查“面积型”的几何概型，属于中档题. 解决几何概型问题常见类型有：长度型、角度型、面积型、体积型，求与面积有关的几何概型问题关鍵是计算问题的总面积以及事件的面积；几何概型问题还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：（1）不能正确判断事件是古典概型还是几何概型导致错误；（2）基本事件对应的区域测度把握不准导致错误 ；（3）利用几何概型的概率公式时 , 忽视验证事件是否等可能性导致错误． 8. 在ABC ∆中，若cos 1cos 2cos 1cos 2b C Cc B B+=+，则ABC ∆的形状是（ ）A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等腰直角三角形D. 等腰三角形或直角三角形 【答案】D【解析】由已知22221cos 22cos cos cos 1cos 22cos cos cos C C C b C B B B c B+===+，cos cos C b B c ∴=或cos 0cos C B =，即90C =或cos cos C b B c =，由正弦定理，得cos cos ,cos cos b B C sinBc C B sinC=∴=，即sin cos sin cos C C B B =，即22sin C sin B =，,B C 均为ABC ∆的内角，22C B ∴=或22180,C B B C ==∴=或90B C +=，ABC ∆∴为等腰三角形或直角三角形，故选D.9. 已知函数()sin()f x x ωϕ=+（0>ω，||2ϕπ<），其图象相邻两条对称轴之间的距离为4π，将函数()y f x =的图象向左平移316π个单位后，得到的图象关于y 轴对称，那么函数()y f x =的图象（ ）A. 关于点,016π⎛⎫-⎪⎝⎭对称 B. 关于点,016π⎛⎫⎪⎝⎭对称 C. 关于直线16x π=对称D. 关于直线4πx =-对称 【答案】B 【解析】 【分析】先根据已知求出()sin 44f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，再令4,4x k k Z ππ-=∈,即得函数图象的对称中心，令4,42x k k Z πππ-=+∈，即得函数图象的对称轴方程.【详解】因为函数()y f x =的图象相邻两条对称轴之间的距离为4π， 所以函数的周期为2π， 24Tπω∴==，()sin(4)f x x ϕ∴=+， 将函数()y f x =的图象向左平移316π个单位后，得到函数3sin 416y x πϕ⎡⎤⎛⎫=++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦图象， 图象关于y 轴对称，34,162k k Z ππϕπ∴⨯+=+∈，即,4k k Z πϕπ=-∈， 又||,24ππϕϕ<∴=-，()sin 44f x x π⎛⎫∴=-⎪⎝⎭， 令4,4x k k Z ππ-=∈，解得,416k x k Z ππ=+∈， 0k =时，16x π=，所以()f x 的图象关于点,016π⎛⎫⎪⎝⎭对称. 令4,42x k k Z πππ-=+∈，所以函数的对称轴方程为3,416k x k Z ππ=+∈. 所以选项,C D 错误. 故选：B.【点睛】本题主要考查三角函数的解析式的求法，考查三角函数的图象变换，考查三角函数的图象和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.10. 函数212log (56)y x x =-+的单调增区间为（ ） A. 52⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，B. (3)+∞，C. 52⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，D. (2)-∞，【答案】D 【解析】 【分析】先求得函数的定义域，然后根据复合函数同增异减求得函数的单调增区间. 【详解】由2560x x -+>解得2x <或3x >，由于12log y x =为()0,∞+上的增函数，而256y x x =-+开口向上，故256y x x =-+在2x <时递减，根据复合函数单调性同增异减可知()212log 56y x x =-+在区间(),2-∞上递增.故选D.【点睛】本小题主要考查复合函数单调性的判断，考查对数函数定义域的求法，属于基础题.11. 双曲线222:19x y C b-=的左、右焦点分别为1F 、2,F P 在双曲线C 上，且12PF F ∆是等腰三角形，其周长为22，则双曲线C 的离心率为（ ） A.89B.83C.149D.143【答案】C 【解析】 【分析】由题意画出图形，分类由三角形周长列式求得b ，进一步求得c ，则双曲线的离心率可求．【详解】如图，由22219x y b-=，得229c b =+，29c b =+．设1||PF m =，2||PF n =， 由题意，6m n -=， 若2229n c b ==+26629m n b =+=++则2266922m n c b ++=++，解得b ∈∅； 若2229m c b ==+26296n m b =-=+．则2269622m n c b ++=+=，解得21159b =． ∴222115196999c a b =+=+=，143c =．1414339c e a ∴===．【点睛】本题考查了双曲线的简单性质，考查了运算求解能力和推理论证能力，属于中档题．12. 若定义在R 上的函数()f x 满足()()2f x f x +=且[]1,1x ∈-时，()f x x =，则方程()3log f x x =的根的个数是 A. 4 B. 5 C. 6 D. 7【答案】A 【解析】 【分析】由题意作出函数()f x 与3log y x =的图象，两图象的交点个数即为方程()3log f x x =的根的个数.【详解】因为函数()f x 满足()()2f x f x +=，所以函数()f x 是周期为2的周期函数. 又[1,1]x ∈-时，()||f x x =，所以函数()f x 的图象如图所示.再作出3log y x =的图象，易得两图象有4个交点，所以方程3()log ||f x x =有4个零点．故应选A ．【点睛】本题考查函数与方程.函数的零点、方程的根、函数图象与x 轴交点的横坐标之间是可以等价转化的.二、填空题13. 已知()tan 2πα+=，则cos sin cos sin αααα+=-______.【答案】3- 【解析】 【分析】由诱导公式可得tan 2α=，再根据同角三角函数的基本关系计算可得； 【详解】解：因为()tan 2πα+= 所以tan 2α=， 所以cos sin 1tan 123cos sin 1tan 12αααααα+++===----故答案为：3-【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系的应用，属于基础题. 14. 已知向量()1,2m =，()2,0n =，则m 在n 方向上的投影为______. 【答案】1 【解析】 【分析】根据向量夹角的坐标表示，得到cos ,m n <>，再由投影的定义，即可得出结果. 【详解】因为向量()1,2m =，()2,0n =，所以cos ,5m n m n m n ⋅<>===⨯， 因此，m 在n 方向上的投影为cos ,51m m n <>=⨯=. 故答案为：1.【点睛】本题主要考查求向量的投影，熟记向量夹角公式，以及投影的定义即可，属于基础题型.15. 在某班举行的成人典礼上，甲、乙、丙三名同学中的一人获得了礼物. 甲说：“礼物不我这”；乙说：“礼物在我这”； 丙说：“礼物不在乙处”.如果三人中只有一人说的是真的，请问__________(填“甲”、“乙”或“丙”)获得了礼物. 【答案】甲 【解析】假设乙说的是对的，那么甲说的也对，所以假设不成立，即乙说的不对，所以礼物不在乙处，易知丙说对了，甲说的就应该是假的，即礼物在甲那里.故答案为甲.16. 在三棱锥P ABC -中，平面PAB ⊥平面ABC ，ABC 是边长为6的等边三角形，PAB △是以AB 为斜边的等腰直角三角形，则该三棱锥外接球的表面积为_______．【答案】48π 【解析】 【分析】在等边三角形ABC 中，取AB 的中点F ，设其中心为O ，则2233AO BO CO CF ====，再利用勾股定理可得23OP =，则O 为棱锥P ABC -的外接球球心，利用球的表面积公式可得结果.【详解】如图，在等边三角形ABC 中，取AB 的中点F ， 设其中心为O ，由6AB =， 得2233AO BO CO CF ====， PAB ∆是以AB 为斜边的等腰角三角形，PF AB ∴⊥,又因为平面PAB ⊥平面ABC ，PF ∴⊥平面 ABC ，PF OF ∴⊥， 2223OP OF PF =+=则O 为棱锥P ABC -的外接球球心， 外接球半径23R OC ==∴该三棱锥外接球的表面积为(24348ππ⨯=，故答案为48π.【点睛】本题考查主要四面体外接球表面积，考查空间想象能力，是中档题. 要求外接球的表面积和体积，关键是求出球的半径，求外接球半径的常见方法有：①若三条棱两垂直则用22224R a b c =++（,,a b c 为三棱的长）；②若SA ⊥面ABC （SA a =），则22244R r a =+（r 为ABC ∆外接圆半径）；③可以转化为长方体的外接球；④特殊几何体可以直接找出球心和半径.三、解答题17.下图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市，并停留2天.（Ⅰ）求此人到达当日空气质量优良的概率；（Ⅱ）求此人在该市停留期间只有1天空气重度污染的概率；（Ⅲ）由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？（结论不要求证明） 【答案】（Ⅰ）613（Ⅱ）413（Ⅲ）从3月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大 【解析】（Ⅰ）在3月1日至3月13日这13天中，1日，2日，3日，7日，12日，13日共6天的空气质量优良，所以此人到达当日空气质量优良的概率为613． （Ⅱ）根据题意，事件“此人在该市停留期间只有1天空气重度污染”等价于“此人到达该市的日期是4日，或5日，或7日，或8日”，所以此人在该市停留期间只有1天空气重度污染的概率是413． （Ⅲ）从3月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大.本题主要考查的是古典概率．由图读出基本事件的总数和满足条件的事件个数，代入古典概型公式计算即可．连续三天的空气质量指数方差最大的是应该是这三天空气质量指数悬殊最大的.18. 已知数列{}n a 满足12a =-，124n n a a +=+． （1）证明：{}4n a +是等比数列；（2）求数列{}n a 的前n 项和n S ． 【答案】（1）见解析；（2）1242n n S n +=--．【解析】 【分析】（1）由题设124n n a a +=+，化简得1424n n a a ++=+，即可证得数列{}4n a +为等比数列．（2）由（1），根据等比数列的通项公式，求得24nn a =-，利用等比数列的前n 项和公式，即可求得数列的前n 项和．【详解】（1）由题意，数列{}n a 满足12a =-，所以142a += 又因为124n n a a +=+，所以()142824n n n a a a ++=+=+，即1424n n a a ++=+，所以{}4n a +是以2为首项，2为公比的等比数列．（2）由（1），根据等比数列的通项公式，可得42n n a +=，即24n n a =-，所以()()()()22122424242224nnn n S a a a n =++⋯+=-+-+⋯+-=++⋯+-()1212422412n n n n +-=-=---，即1242n n S n +=--．【点睛】本题主要考查了等比数列的定义，以及等比数列的通项公式及前n 项和公式的应用，其中解答中熟记等比数列的定义，以及等比数列的通项公式和前n 项和的公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．19. 如图所示，在三棱柱111-ABC A B C 中，侧棱1AA ⊥底面ABC ，AB BC ⊥，D 为AC 的中点，12,3AA AB BC ＝＝＝.（1）求证：1AB //平面1BC D ； （2）求1AB 与BD 所成角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析；（2）2613. 【解析】 【分析】（1）连接1B C ，设1B C 与1BC 相交于点O ，连接OD .证明 OD 为1AB C ∆的中位线，得1//OD AB ，即可证明；（2）由（1）可知，ODB ∠为1AB 与BD 所成的角或其补角，在OBD∆中，利用余弦定理求解即可【详解】(1)证明：如图，连接1B C ，设1B C 与1BC 相交于点O ，连接OD . ∵四边形11BCC B 是平行四边形． ∴点O 为1B C 的中点． ∵D 为AC 的中点， ∴OD 为1AB C ∆的中位线，1//OD AB ∴OD ⊂平面1BC D ，1AB ⊄平面1BC D ， 1//AB ∴平面1BC D .（2）由（1）可知，ODB ∠为1AB 与BD 所成的角或其补角在Rt ABC ∆中，D 为AC的中点，则2AC BD ==同理可得，OB =在OBD ∆中，222cos 213OD BD OB ODB OD BD +-∠==⋅ 1AB ∴与BD所成角的余弦值为13. 【点睛】本题考查线面平行的判定，异面直线所成的角，考查空间想象能力与计算能力是基础题20. 已知点()0,2A -，椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>F 是椭圆E 的右焦点，直线AF 的斜率为2，O 为坐标原点． （1）求E 的方程；（2）设过点(0P 且斜率为k直线l 与椭圆E 交于不同的两M 、N ，且||7MN =，求k 的值.【答案】（1）2212x y +=；（2）k =【解析】 【分析】（1）由题意可知：a =，利用直线的斜率公式求得c 的值，即可求得a 和b 的值，求得椭圆E 的方程；（2）设直线l 的方程，代入椭圆方程．由韦达定理及向量数量积的坐标运算，即可求得k 的值，求得直线l 的方程． 【详解】解：（1）由离心率e c a ==，则a =， 直线AF 的斜率k ()020c --==-2，则c ＝1，a =b 2＝a 2﹣c 2＝1，∴椭圆E 的方程为2212x y +=；（2）设直线l ：y ＝kxM （x 1，y 1），N （x 2，y 2），则2212y kx x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，整理得：（1+2k 2）x 2﹣+4＝0，△＝（﹣）2﹣4×4×（1+2k 2）＞0，即k 21＞， ∴x 1+x2212k=+，x 1x 22412k =+，∴127MN x =-===，即421732570k k --=, 解得：23k =或1917-（舍去）∴k【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系的应用，椭圆的求法，弦长的计算，考查转化思想以及计算能力．21. 已知函数3()ln ()f x x a x a R =-∈. （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若函数()y f x =在区间(1,]e 上存在两个不同零点，求实数a 的取值范围. 【答案】(1)答案见解析；(2)3(3,]e e . 【解析】试题分析：（1）先求导数，再根据a 讨论导函数零点，根据导函数零点情况讨论导函数符号，根据导函数符号确定函数单调性，（2）先分离3ln x a x=，再利用导数研究函数()3ln x g x x =单调性，最后根据图像确定存在两个不同零点的条件，解对应不等式得实数a 的取值范围.试题解析：（1）∵()323'3(0)a x af x x x x x-=-=>①若0a ≤时，()'0f x >，此时函数()0,+∞上单调递增；②若0a >时，又()33'0x af x x -==得：x =x ⎛∈ ⎝时()'0f x <，此时函数在⎛ ⎝上单调递减；当x ⎫∈+∞⎪⎪⎭时()'0f x >，此时函数在⎫+∞⎪⎪⎭上单调递增； （2）由题意知：3ln x a x=在区间(]1,e 上有两个不同实数解，即函数y a =图像与函数()3ln xg x x=图像有两个不同的交点，因为()()()223ln 1'ln x x g x x -=，令()'0g x =得：x =所以当(x ∈时，()'0g x <，函数在(上单调递减当x e ⎤∈⎦时，()'0g x >，函数在e ⎤⎦上单调递增；则()min 3g x ge ==，而311272791272727ln e g e e e ⎛⎫==> ⎪⎝⎭，且()327g e e =<， 要使函数y a =图像与函数()3ln xg x x=图像有两个不同的交点，所以a 的取值范围为(33,e e ⎤⎦.点睛：利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法 (1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解. (2)分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解.(3)转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解. 22. 选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xoy 中，圆C 的参数方程为1x cos y sin ϕϕ=+⎧⎨=⎩（ϕ为参数），现以原点O 为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（Ⅰ）求圆C 的极坐标方程；（Ⅱ）设,P Q 是圆C 上的两个动点，且3POQ π∠=，求OP OQ +的最大值.【答案】（Ⅰ）2cos ρθ=；（Ⅱ）【解析】 【分析】（Ⅰ）先由参数方程写出直角坐标方程，再由cos ,sin x y ρθρθ== 代入化简即可得到圆的极坐标方程； （Ⅱ）先根据3POQ π∠=设出P,Q 的极坐标，再对OP OQ + 化一，求出θ 的范围进而求出OP OQ +的最大值．【详解】（Ⅰ）圆C 的直角坐标方程为()2211x y -+=，即2220x y x +-=，所以圆C 的极坐标方程为22cos 0ρρθ-=，即2cos ρθ=.(Ⅱ)设P 的极坐标为1ρθ（，），2+3Qπρθ（，），则12|OP|==2cos |OQ|=2cos +3，πρθρθ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则|OP|+|OQ|=2cos +2cos +=3cos 36ππθθθθθ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,又22232ππθπππθ⎧-<<⎪⎪⎨⎪-<+<⎪⎩，所以26ππθ-<<，所以当6πθ=-时，OP OQ +取最大值【点睛】本题考查参数方程，直角坐标方程与极坐标方程的互化，以及极坐标的应用，注意θ的范围，侧重计算能力的考查． 23. 选修4-5：不等式选讲已知函数()21,f x x a x a R =-+-∈. （Ⅰ）若2a =-，解不等式()5f x ≤；（Ⅱ）当2a <时，函数()f x 的最小值为3，求实数a 的值. 【答案】(Ⅰ) 4{|2}3x x -≤≤ (Ⅱ) 4a =- 【解析】 【分析】（Ⅰ）a=-2时，()f =|2+2||1|x x x +- ，f(x)的两个零点分别为-1和1，通过零点分段法分别讨论1,11,1x x x ≤--<<≥ ，去绝对值解不等式，最后取并集即可；（Ⅱ）法一：2a < 时，12a < ，化简f(x)为分段函数，根据函数的单调性求出f(x)在2a x =处取最小值3，进而求出a 值．法二：先放缩，再由绝对值三角不等式求出f(x)最小值，进而求a ．【详解】(Ⅰ) 2a =-时，不等式为|2+2||1|5x x +-≤①当1x ≤- 时，不等式化为22+15x x ---≤，2x ≥-，此时 21x -≤≤-②当11x -<< 时，不等式化为2+2+15x x -≤，2,11x x 此时：≤-≤< ③当1x ≥ 时，不等式化为2+2+15x x -≤，4x 3≤，此时41x 3≤≤ 综上所述，不等式的解集为4{|2}3x x -≤≤（Ⅱ）法一：函数f (x )＝|2x －a |＋|x －1|，当a ＜2，即12a<时， ()31()211231(1)a x a x a f x x a x x a x ⎧-++<⎪⎪⎪⎛⎫=-+≤≤⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪-->⎪⎩所以f (x )min ＝f （2a ）＝－2a＋1＝3，得a ＝－4＜2(符合题意)，故a ＝－4. 法二：()()21112221122a a af x x a x x x x x x a a x x =-+-=-+-+-≥-+-⎛⎫≥---=- ⎪⎝⎭所以()min 132af x =-=，又2a <，所以4a =-.【点睛】本题考查绝对值三角不等式的解法，零点分段法化简分段函数，求分段函数的最值，体现了分类讨论的数学思想．。

2021届全国学海大联考新高三原创预测试卷(二十三)文科数学

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2021届全国学海大联考新高三原创预测试卷（二十三）文科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。

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3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合2{|560}A x x x =-+≤，{|15}B x Z x =∈<<，则A B =（ ）A. [2,3]B. (1,5)C. {2,3}D. {2,3,4}【答案】C 【解析】 【分析】解不等式简化集合A 的表示，用列举法表示集合B ，最后根据集合交集的定义求出A B .【详解】2560(2)(3)023x x x x x -+≤⇒--≤⇒≤≤，{}23A x x ∴=≤≤，又{}{|15}2,3,4B x Z x =∈<<=，所以{}2,3A B ⋂=，故本题选C.【点睛】本题考查了列举法表示集合、集合交集的运算，正确求解出不等式的解集是解题的关键.2.若复数z 满足()12z i i +=（i 为虚数单位），则z =（ ）A. 1B. 2C.D. 【答案】C 【解析】试题分析：因为(1)2z i i +=，所以22(1)1,12i i i z i i -===++因此1z i =+= 考点：复数的模3.方程ln 40x x +-=的实根所在的区间为（ ） A. (1,2) B. (2,3)C. (3,4)D. (4,5)【答案】B 【解析】 【分析】构造函数()ln 4f x x x =+-，考查该函数的单调性，结合零点存在定理得出答案． 【详解】构造函数()ln 4f x x x =+-，则该函数在()0,∞+上单调递增，()130f =-<，()2ln 220f =-<，()3ln310f =->，由零点存在定理可知，方程ln 40x x +-=的实根所在区间为()2,3，故选B.【点睛】本题考查零点所在区间，考查零点存在定理的应用，注意零点存在定理所适用的情形，必要时结合单调性来考查，这是解函数零点问题的常用方法，属于基础题．4.已知4sin 45x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 2x =（ ） A. 1625-B.1625C. 725-D.725【答案】C 【解析】 【分析】利用平方的方法化简已知条件，由此求得sin 2x 的值.【详解】由4sin 45x π⎛⎫-=⎪⎝⎭45x x =， 两边平方并化简得11167sin 2sin 2222525x x -=⇒=-. 故选：C【点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式，考查二倍角公式，属于基础题. 5.已知l ，m ，n 为三条不同的直线，α，β为两个不同的平面，下列命题中正确的是( ) A. l m ⊥，l n ⊥，且,m n α⊂，则l α⊥B. 若平面α内有不共线的三点到平面β的距离相等，则//αβC. 若m α⊥，m n ⊥，则//n αD. 若//m n ，n α⊥，则m α⊥ 【答案】D 【解析】 【分析】根据线面垂直的判定定理判断A 是否正确；根据三点是否在平面的同侧来判断选项B 是否正确；根据直线与平面位置关系，来判断C 是否正确；根据平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直这个平面，来判断D 是否正确.【详解】对于选项A ，若//m n 时，l 与α不一定垂直， 所以A 错误；对于选项B ，若三点不在平面的同侧，则α与β相交， 所以B 错误；对于选项C ，,m m n α⊥⊥，有可能n ⊂α， 所以C 错误；对于选项D ，根据平行线中的一条垂直于一个平面， 另一条也垂直于这个平面，所以D 正确. 故选:D.【点睛】本题考查命题的真假判断，考查线面平行垂直、面面平行的判定，属于基础题. 6.在校园篮球赛中，甲、乙两个队10场比赛的得分数据整理成如图所示的茎叶图，下列说法正确的是（ ）A. 乙队得分的中位数是38.5B. 甲、乙两队得分在(]30,39分数段频率相等C. 乙队的平均得分比甲队的高D. 甲队得分的稳定性比乙队好 【答案】D 【解析】 【分析】根据茎叶图，对数据的中位数、频率、平均数和稳定性对选项逐一分析，由此确定正确选项.【详解】对于A 选项，乙队得分的中位数是3543392+=，故A 选项错误. 对于B 选项，甲队得分在(]30,39分数段频率为42105=，乙队得分在(]30,39分数段频率为310，所以B 选项错误. 对于C 选项，甲队平均分为242633333636444849513810+++++++++=， 乙队平均分为222532353344434351523810+++++++++=，两队得分平均分相等，所以C 选项错误.对于D 选项，由于两队得分的平均分相等，而甲队的得分较为集中，乙队的得分比较分散，所以甲队得分的稳定性比乙队好. 故选：D【点睛】本小题主要考查根据茎叶图进行数据分析，属于基础题. 7.把函数()sin 6f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象上所有点的横坐标缩小到原来的12倍（纵坐标不变），再把得到图象上所有点向右平移6π个单位长度，得到函数()g x 的图象.则下列命题正确的是（ ）A. 函数()g x 在区间,44k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，()k Z ∈上单调递减 B. 函数()g x 在区间,63k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，()k Z ∈上单调递增C. 函数()g x 的图象关于直线2k x =π，()k Z ∈对称 D. 函数()g x 的图象关于点,023k ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，()k Z ∈对称 【答案】B 【解析】 【分析】先根据函数图象变换的知识求得()g x 的解析式，再根据()g x 的单调性和对称性对选项进行分析，由此确定正确选项. 【详解】把函数()sin 6f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象上所有点的横坐标缩小到原来的12倍（纵坐标不变）得到sin 26y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，再把得到图象上所有点向右平移6π个单位长度，得到()sin 2sin 2666g x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦.由222262k x k πππππ-≤-≤+，解得63k x k ππππ，所以()g x 的单调递增区间是(),63k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦.由3222262k x k πππππ+≤-≤+，解得536k x k ππππ+≤≤+，所以()g x 的单调递增区间是()5,36k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦. 所以A 选项错误，B 选项正确. 由262x k πππ-=+，解得()23k x k Z ππ=+∈，即()23k x k Z ππ=+∈是()g x 的对称轴，所以CD 选项错误. 故选：B【点睛】本小题主要考查三角函数图像变换，考查三角函数的单调性和对称性，属于中档题. 8.《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影长度依次成等差数列，冬至、立春、春分这三个节气的日影长度之和为31.5尺，前九个节气日影长度之和为85.5尺，则谷雨这一天的日影长度（ ） A. 5.5尺 B. 4.5尺C. 3.5尺D. 2.5尺【答案】A 【解析】 【分析】先设等差数列{}n a ，首项为1a ，公差为d ，根据题意有14713931.5a a a a d ++=+=，9193685.5S a d =+=，然后由两式求解.【详解】设等差数列{}n a ，首项为1a ，公差为d ， 根据题意得14713931.5a a a a d ++=+=， 9193685.5S a d =+=，解得113.5,1a d ==-， 所以918 5.5a a d =+=. 故选：A【点睛】本题主要考查了等差数列的基本运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 9.函数()()2sin ln1f x x x x =⋅+-的大致图象为（ ）A. B.C. D.【答案】A 【解析】 【分析】根据函数()f x 的奇偶性和特殊范围的函数值，判断出正确选项. 【详解】由于0x >≥，所以()f x 的定义域为R ，且()())sin lnf x x x -=-⋅sin xxx=-⋅))()1sin lnsin lnx xx x f x -=-⋅=⋅=.所以()f x 为偶函数，所以B,C 选项错误.()sin xxf x x=⋅sin lnx =⋅当01x <<时，101x ⎧⎪<<⎨<<⎪⎩11x <，所以11<<，所以0<，所以sin 0x ⋅<.所以D 选项错误.故选：A【点睛】本小题主要考查函数图象的识别，考查函数的奇偶性，属于基础题.10.半正多面体亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形为面的多面体，体现了数学的对称美.如图，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，如此共可截去八个三棱锥，得到一个有十四个面的半正多面体，它们的棱长都相等，其中八个为正三角形，六个为正方形，称这样的半正多面体为二十四等边体.一个二十四等边体的各个顶点都在同一个球面上，若该球的表面积为16π，则该二十四等边体的表面积为（ ）A. 1243+B. 1863+C. 2483+D.36123+【答案】C 【解析】 【分析】通过二十四等边体的外接球表面积求得半径，进而计算出二十四等边体的边长，进而计算出二十四等边体的表面积.【详解】由于二十四等边体的外接球表面积为16π， 设其半径为r ，则2416r π=π，解得2r.设O 为球心，依题意可知四边形,,,A B C D 分别为正方体侧棱的中点， 所以ABCD 正方形，由于2OA OB OC OD ====， 所以四边形ABCD 是正方形，2222AB OA OB =+=. 所以二十四等边体的边长为2.所以二十四等边体的边长的表面积为122622sin 823π⨯⨯+⨯⨯⨯⨯ 2483=+.故选：C【点睛】本小题主要考查几何体外接球有关计算，考查空间想象能力，属于中档题.11.过双曲线C ：()222210,0x y a b a b -=>>右焦点F 的直线l 与C 交于P ，Q 两点，2QP PF =，若0OP FQ ⋅=，则C 的离心率为（ ）A.B. 2C.D.【答案】C 【解析】 【分析】设G 是PQ 的中点，结合双曲线的定义和余弦定理，求得,a c 的关系式，由此求得双曲线的离心率.【详解】设G 是PQ 的中点，设左焦点为1F ，画出图像如下图所示. 由于0OP FQ ⋅=，所以OP FQ ⊥.由于2QP PF =，所以QG GP PF ==. 由于O 是线段1F F 的中点，所以1//OP FG ，所以1F G FQ ⊥， 所以11F Q F P =.设PF m =，则QG GP PF m ===，根据双曲线的定义可知11232QF QF a QF m a -=⇒=-，1122PF PF a PF a m -=⇒=+所以3222m a a m m a -=+⇒=.所以1112,4,4,2,6F F c PF a QF a PF a QF a =====，设1QFF α∠=，在三角形1PF F 和三角形1QF F 中，由余弦定理得222222441643616cos 222226c a a c a a a c c aα+-+-==⋅⋅⋅⋅，化简得227c a =，所以ce a==故选：C【点睛】本小题主要考查双曲线离心率的求法，属于综合题. 12.若函数()f x 满足()()()'ln f x x f x x =-，且11f e e⎛⎫= ⎪⎝⎭，则函数()f x （ ） A. 在()0,∞+上为增函数 B. 在()0,∞+上为减函数 C. 在()0,∞+上有最大值1e D. 在()0,∞+上有最小值1e【答案】A 【解析】 【分析】将已知条件转化为()'ln f x x x x ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，根据积分求得()21ln 2f x x c x =+，由11f e e⎛⎫= ⎪⎝⎭求得c 的值，由此利用()'fx 判断出()f x 的单调区间.【详解】由()()()'ln f x x f x x =-得()()'ln xfx f x x x -=①，依题意可知0x >，所以①两边除以2x 得()()'2ln xf x f x x x x -=，即()'ln f x x x x ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，所以()21ln 2f x x c x =+. 由11f e e ⎛⎫= ⎪⎝⎭得111f e e⎛⎫⎪⎝⎭=，即21111ln 1222c c c e ⎛⎫+=+=⇒= ⎪⎝⎭.所以()()221111ln ln 2222f x x f x x x x x =+⇒=+，()()2'21111ln 2ln ln 10222f x x x x x x ⎛⎫=+⋅⋅+=+≥ ⎪⎝⎭，所以()f x 在()0,∞+上为增函数，没有最值. 故选：A【点睛】本小题主要考查复合函数求导，考查根据导函数求原函数，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13.已知向量()4,3a =，()1,b m =，()2,1c =，且()2-⊥a b c ，则实数m =______. 【答案】72【解析】 【分析】分别求得11a c ⋅=，2b m c +⋅=，再利用()20a b c -⋅=，列出方程，即可求解. 【详解】由题意，向量()4,3a =，()1,b m =，()2,1c =， 可得423111a c ⋅=⨯+⨯=，，1212m b c m =⨯+⨯⋅=+， 因()2-⊥a b c ，可得()22112(2)720a b c a c b c m m -⋅=⋅-⋅=-+=-=，解得72m =. 【点睛】本题主要考查了向量的坐标运算，以及向量的数量积的坐标运算，其中解答中熟记向量的数量积的坐标运算公式，准确运算是解答的关键，着重考查计算能力.14.已知等腰直角三角形OAB 的直角顶点O 位于原点，另外两个顶点在抛物线26y x =上，则OAB 的面积是______.【答案】36 【解析】 【分析】由抛物线的关于x 轴对称，可得等腰直角三角形的另外两个点关于x 轴对称，求得直线y x =和抛物线点交点，即可得到所求的面积.【详解】由等腰直角三角形的直角顶点在坐标原点，另外两个顶点在抛物线26y x =上，因为抛物线的关于x 轴对称，可得等腰直角三角形的另外两个点关于x 轴对称， 可设直线y x =，代入抛物线26y x =，即260x x -=，解得0x =或6x =，可得等腰直角三角形的另外两个点为(6,6),(6,6)-，所以等腰直角三角形的面积为21362S =⋅=. 故答案为：36.【点睛】本题主要考查抛物线的标准方程，以及直线与抛物线的位置关系的应用，其中解答中熟记抛物线的对称性，转化为直线与抛物线的交点问题是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.15.甲、乙、丙、丁四个人背后有4个号码，赵同学说：甲是2号，乙是3号；钱同学说：丙是2号，乙是4号；孙同学说：丁是2号，丙是3号；李同学说：丁是1号，乙是3号，他们每人都只说对了一半，则丙背后的号码是______. 【答案】3 【解析】 【分析】依据现在知道四个人只对了一半，可用假设法推进推理，若得出矛盾则否定之，若得不出矛盾，则推理正确，即可求解.【详解】假设赵同学说的前半句“甲是2号”是对的，那么后半句“乙是3号”就是错误的， 那么李同学说：“丁是1号”也是对的，那么孙同学说的“丙是3号”也是对的， 钱同学说的“丙是2号，乙是4号”中“乙是4号”就是对的， 所以甲是2号，乙是4号，丙是3号，丁是1号. 故答案为：3.【点睛】本题主要考查了合情推理的应用，其中解答中牢牢抓住条件“四人都只说对一半”，运用假设法进行推理是解答的关键，着重考查了推理与论证能力.16.已知数列{}n a 前n 项和为n S ，12a =，13nn n a a +⋅=，则n S =______.【答案】122537,21,4737,2,4n n nn k k NS n k k N +++⎧⋅-⎪=-∈⎪=⎨⎪⋅-⎪=∈⎩【解析】 【分析】由13nn n a a +⋅=，推得113,(2)n n a n a +-=≥，得到数列{}n a 奇数项构成首项为2，公比为3的等比数列，偶数项构成首项为32，公比为3的等比数列，分类讨论，利用等比数列的求和公式，即可求解.【详解】由题意，数列{}n a 满足13n n n a a +⋅=，则当2n ≥时，可得113n n n a a --⋅=，所以1111133,(2)3nn n n n n n n a a a n a a a ++---⋅===≥⋅， 又由12a =，可得123a a ⋅=，所以232a =， 所以数列{}n a 奇数项构成首项为2，公比为3的等比数列，偶数项构成首项为32，公比为3的等比数列，当n 为奇数时，则12313241()()n n n n S a a a a a a a a a a -=++++=+++++++1112223(13)2(13)537213134n n n -++⋅-⋅-⋅-=+=--；当n 为偶数时，则12313124()()n n n n S a a a a a a a a a a -=++++=+++++++2223(13)2(13)737213134nn n ⋅-⋅-⋅-=+=--， 综上可得，122537,21,4737,2,4n n nn k k NS n k k N +++⎧⋅-⎪=-∈⎪=⎨⎪⋅-⎪=∈⎩. 故答案为：122537,21,4737,2,4n n nn k k NS n k k N +++⎧⋅-⎪=-∈⎪=⎨⎪⋅-⎪=∈⎩.【点睛】本题主要考查了数列的递推公式的应用，等比数列的定义，以及等比数列前n 项和公式的应用，着重考查了分类讨论思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.三、解答题：第17-21题每题12分，解答应在答卷的相应各题中写出文字说明，说明过程或演算步骤.17.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是BC 的中点.（1）证明1//A B 平面1B ED ；（2）若正方体的棱长为1，求点1C 到平面1B ED 的距离. 【答案】（1）证明见解析；（26. 【解析】 【分析】（1）连接1A C ，交1B D 于O 点，连接OE ，E 为BC 中点，证得1//OE A B ，利用线面平行的判定定理，即可证得1//A B 平面1B ED ；（2）根据体积相等法，即1111C B ED D B C E V V --=，即可求得1C 到平面1B ED 的距离.【详解】（1）连接1A C ，交1B D 于O 点，连接OE ，E 为BC 中点，OE 为1A BC 的中位线， 可得1//OE A B ，又因为OE ⊂平面1B ED ，1A B ⊄平面1B ED ， 所以直线1//A B 平面1B ED ；（2）由棱长为1，所以221151()2B E DE ==+=， 又13B D =，故点E 到1533442B D =-=2，所以112632B ED S =⨯⨯=△， 设点C 到平面1B ED 的距离为h ，则11111111326C B ED D B CE V V --==⨯⨯=， 即16136h ⨯⨯=，解得1626h =⨯=.【点睛】本题考查了线面平行的判定与证明，以及空间角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力，解答中熟记线面位置关系的判定定理和性质定理，通过严密推理是线面位置关系判定的关键，着重考查了推理与运算能力.18.在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边为a ，b ，c ，若ABC 的面积14S abc =，且2sin sin 2sin sin 2sin b B a A B C C -=-.（1）求角A 的大小； （2）求ABC 面积的最大值. 【答案】（1）3π；（2）334【解析】 【分析】（1）由14S abc =，求得2sin cC =，得到2sin ,2sin a A b B ==，再利用题设条件和余弦定理，求得1cos 2A =，即可求解；（2）由（1）知，得到2sin 3a A ==，利用余弦定理和基本不等式，求得3bc ≤，即可求得ABC 面积的最大值.【详解】（1）由题意知，ABC 的面积14S abc =，可得11sin 24S ab C abc ==，解得2sin cC=， 根据正弦定理，可得2sin sin b aB A==，即2sin ,2sin a A b B ==， 又由22sin sin 2sin sin sin B C C b C c C ⋅-=-，即sin sin sin sin b B a A b C c C -=-，可得222b c a bc +-=，所以2221cos 22b c a A bc +-==， 因为(0,)A π∈，所以3A π=.（2）由（1）知，3A π=，所以2sin a A ==，又由余弦定理，得222222cos a b c bc A b c bc =+-=+-即222232cos b c bc A b c bc bc =+-=+-≥，当且仅当b c =时，等号成立，即3bc ≤，所以13sin sin 224ABC S bc A A =≤=△，即ABC 面积的最大值为4，此时ABC 是正三角形. 【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式的应用，其中在解有关三角形的题目时，要抓住题设条件和利用某个定理的信息，合理应用正弦定理和余弦定理求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.19.“网购”已经成为我们日常生活中的一部分，某地区随机调查了100名男性和100名女性在“双十一”活动中用于网购的消费金额，数据整理如下： 男性消费金额频数分布表（1）试分别计算男性、女性在此活动中的平均消费金额；（2）如果分别把男性、女性消费金额与中位数相差不超过200元的消费称作理性消费，试问是否有5成以上的把握认为理性消费与性别有关.附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++()20P K k ≥ 0.50 0.400.250.150.100.050k0.4550.708 1.323 2.072 2.706 3.841【答案】（1）1425元，1100元；（2）有5成以上的把握认为理性消费与性别有关 【解析】 【分析】（1）根据表格中男性平均消费金额和频率分布直方图中女性平均消费金额，利用平均数的计算公式，即可求解；（2）由（1），求得女性的理性消费区间为()900,1300人数，男性理性消费区间为()1225,1625人数，得出22⨯的列联表，利用公式求得2K ，结合附表，即可得到结论. 【详解】（1）由表格知男性平均消费金额为0.152500.157500.212500.317500.225001425x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（元）由频率分布直方图知女性平均消费金额为：(2.50.37.50.212.50.217.50.1522.50.127.50.05)100y =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯1100=（元）（2）由男性消费金额频数分布表，可得男性的消费的中位数为1500元，其中男性理性消费区间为()1300,1700，可得人数为2220302055⨯+⨯=人， 由频率分布直方图可得，女性消费的中位数为1000元，其中女性的理性消费区间为()800,1200，可得人数为22(0.0450.045)1001655⨯⨯+⨯⨯⨯=人， 所以22⨯列联表为：∴22200(16808420)0.542010010036164K ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯，由0.54200.4550.708<<，∴有5成以上的把握认为理性消费与性别有关.【点睛】本题主要考查了频率分布直方图的平均数的计算，以及独立性检验的应用，其中解答中认真审题，熟记频率分布直方图的平均数的计算公式，以及独立性检验的公式，准确运算是解答的关键，着重考查推理与运算能力. 20.已知函数()xx f x e =. （1）求函数()f x 的最值； （2）证明：()2ln f x x x e<+. 【答案】（1）最大值1e，无最小值；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）求得函数的导数()f x '，求得函数的单调性，进而得出函数的最值； （2）令()2ln g x x x e=+，求得()1ln g x x ='+，得到函数()g x 的单调性，求得函数()g x 的最小值，即可得到结论.【详解】（1）由题意，函数()x x f x e =，则()1xxf x e ='-， 当1x <时，()0f x '>，当1x >，()0f x '<， ∴()f x 在(),1-∞上单调递增，在()1,+∞上单调递减. ∴1x =时()f x 有最大值()11f e=，()f x 无最小值. （2）令()2ln g x x x e=+，则()1ln g x x ='+， 令()0g x '=，即1ln 0x +=，解得1x e=，当1,x e ⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭时，()0g x '<，当1,x e ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0g x '>，所以()g x 在1,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭为减函数，在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭为增函数，当1x e =时，()g x 取得最小值11g e e⎛⎫= ⎪⎝⎭， 又由（1）知()f x 有最大值()11f e =，所以()2ln f x x x e<+. 【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，以及不等式关系式的证明，其中解答中熟练利用导数求得函数的单调性与最值是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.21.已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的短轴长为2,离心率为3.（1）求椭圆C 的标准方程； （2）过点()1,0A -且不过点()2,1B -直线l 与椭圆C 交于M ,N 两点,直线BM 与直线3x =-交于点E .（i ）若MN x ⊥轴,求直线EN 的斜率；（ii ）判断直线AB 与直线EN 的位置关系,并说明理由.【答案】（1）2213x y +=；（2）（i ）1-,（ii ）//EN AB ,理由见解析 【解析】 【分析】(1)根据基本量的关系列式求解即可.(2) （i ）当MN x ⊥轴时,可求得,M N 的坐标,进而求得直线BM 的方程与E 的坐标,进而求得直线EN 的斜率.（ii ）联立直线EN 与椭圆的方程, 设()11,M x y ,()22,N x y ,根据题意求出直线BM 的方程与E 的坐标,进而得出直线EN 的斜率表达式,代入韦达定理的关系化简即可. 【详解】（1）由1b =,c e a ==,故222222133a b b a a -=⇒=,得23a =,22c =, ∴椭圆方程为：2213x y +=；（2）可设MN l ：()11x my m =-≠-,①MN x ⊥轴,则MN l ：1x =-,当N 在x轴上方时有1,3M ⎛⎫--⎪ ⎪⎝⎭,1,3N ⎛- ⎝⎭, ∴MB l的方程为：11(2)3y x ⎛-=-++ ⎝⎭,∴3,23E ⎛-+ ⎝⎭,∴1EN k =-.当N 在x轴下方时有1,3M ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭,1,3N ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭,∴MB l的方程为：11(2)3y x ⎛⎫-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭,∴3,23E ⎛-- ⎝⎭, ∴1EN k =-. 综上有1EN k =-. ②//EN AB ,证明如下：把1x my =-代入22330x y +-=得()223220m y my +--=,设()11,M x y ,()22,N x y ,则12223m y y m +=+,12223y y m -=+, ∴BM l ：1111(2)2y y x x --=++,∴11133,2x y E x ⎛⎫-+- ⎪+⎝⎭,∴()()()()11212121121212132232EN x y y my y y y my x x m my y y k y my -+-++-++==++++⎡⎤⎣⎦+, 由()12120my y y y ++=,∴()11212EN AB my k my k -+==-=+,∴//EN AB .【点睛】本题主要考查了椭圆的基本量求解以及联立直线与椭圆的方程,得出韦达定理证明斜率的定值问题,需要根据题意设交点,再根据斜率的以及直线的方程求出所需的点坐标,最后再代入韦达定理化简求解.属于难题.选考题：共10分.请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时用2B 铅笔在答题卡上托所选题目的题号涂黑.22.在平面直角坐标系中，圆C的参数方程为2cos 12sin x y αα⎧=⎪⎨=+⎪⎩（α为参数），以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，且长度单位相同. （1）求圆C 的极坐标方程； （2）若直线l ：cos sin x t y t ϕϕ=⎧⎨=⎩（t 为参数）被圆C 截得的弦长为2，求直线l 的倾斜角.【答案】（1）4sin 3πρθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；（2）90ϕ=︒或150ϕ=︒ 【解析】 【分析】（1）根据圆C 的参数方程消去参数得到2220x y y +--=，然后将cos ,sin x y ρθρθ==，代入上式得整理求解.（2）根据直线的参数方程消去参数得到,tan ,2πϕϕ⎛⎫==≠ ⎪⎝⎭y kx k 或 02x πϕ⎛⎫==⎪⎝⎭，再根据弦长为2，得到圆心C 到l的距离d =.【详解】（1）因为圆C的参数方程为2cos 12sin x y αα⎧=⎪⎨=+⎪⎩，消去参数得：(()2214x y -+-=，即2220x y y +--=， 又因为cos ,sin x y ρθρθ==，代入上式得：()()22cos sin cos 2sin 0ρθρθθρθ+--=，2sin ρθθ=+，整理得：4sin 3πρθ⎛⎫=+⎪⎝⎭， 所以圆C 的极坐标方程为4sin 3πρθ⎛⎫=+⎪⎝⎭. （2）因为直线l ：cos sin x t y t ϕϕ=⎧⎨=⎩，消去参数得l ：,tan ,2πϕϕ⎛⎫==≠ ⎪⎝⎭y kx k 或 02x πϕ⎛⎫==⎪⎝⎭， 因为圆C的圆心)C，2r，又弦长为2，所以圆心C 到l的距离d =当2πϕ≠时，==d解得tan 3ϕ==-k ， 因为[0,180)ϕ∈， 所以150ϕ=︒， 当2ϕπ=时，0==d综上：l 的倾斜角90ϕ=︒或150ϕ=︒.【点睛】本题主要考查参数方程，极坐标方程，直角坐标方程的转化以及直线与圆的位置关系，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 23.已知函数()2f x x a =-，其中2a >.（1）当4a =时，求不等式()61f x x ≥-+的解集；（2）已知关于x 的不等式()()24f x a f x +-≤的解集为{}|31x x -≤≤-，求a 的值. 【答案】（1）{1x x ≤-或}3x ≥；（2）4 【解析】 【分析】（1）根据题意，可得()24f x x =-，对不等式：当1x ≤-时，当12x -<≤时，当2x >时，分类讨论即可；（2）根据题意写出函数()f x 的分段函数，再根据解集为{}|31x x -≤≤-即可得到a 的值. 【详解】（1）当4a =时，则()24f x x =-， 由()61f x x ≥-+，即为：2216x x -++≥ ()* ①当1x ≤-时，()*式即为：336x -+≥，∴1x ≤-符合， ②当12x -<≤时，()*式即为：56x -+≥，1x ≤-不符合， ③当2x >时，()*式即为：336x -≥，3x ≥符合， 综上，不等式的解集为{1x x ≤-或}3x ≥；（2）由()()2232f x a f x x a x a +-=+--34,2342,224,2a x a a x a a x a a x ⎧-<-⎪⎪⎪=+-≤≤⎨⎪⎪>⎪⎩，由()()24f x a f x +-≤的解集为{}|31x x -≤≤-，知424x a +≤的解集即为[]3,1--， ∴[]1,13,122a a ⎡⎤---=--⎢⎥⎣⎦， ∴22a=，即4a =. 【点睛】本题主要考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，考查了分段函数，体现了等价转化的数学思想，属于基础题．。

2021届全国金太阳联考新高考原创预测试卷(二十三)文科数学

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2021届全国金太阳联考新高考原创预测试卷（二十三）文科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设集合{|20}A x x =-<<,{}2|10=-≤B x x ,则AB =A ．(2,0)-B ．[1,0)-C ．(2,1)-D ．[1,1]-2．在复平面内，复数(1)z i i =+对应的点位于 A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．某公司的班车在7:30，8:00，8:30发车，小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是 A ．13B ．12C ．23D ．344．若将函数y=2sin2x 的图像向左平移12π个单位长度，则平移后图像的对称轴为A ．x=26k ππ-（k ∈Z ） B ．x=26k ππ+（k ∈Z ） C ．x=212k ππ-（k ∈Z ）D ．x=212k ππ+（k ∈Z ） 5．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，23a =，且936S S =，则{}n a 的公差d = A ．1B ．2C ．3D ．46．意大利“美术三杰”（文艺复兴后三杰）之一的达芬奇的经典之作一《蒙娜丽莎》举世闻名｡画中女子神秘的微笑数百年来让无数观赏者入迷，某数学兼艺术爱好者对《蒙娜丽莎》的同比例影像作品进行了测绘，将画中女子的嘴唇近似看作一个圆弧，在嘴角,A C 处作圆弧的切线，两条切线交于B 点，测得如下数据: 6.9,7.1,12.6AB cm BC cm AC cm ===，根据测量得到的结果推算:将《蒙娜丽莎》中女子的嘴唇视作的圆弧对应的圆心角位于以下哪个区间A ．(,)64ππB ．(,)43ππC ．5(,)312ππD ．5(,)122ππ 7．函数22cos 221x xx y =- 的部分图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．8．从区间0,1随机抽取2n 个数1x ,2x ，…，n x ，1y ，2y ，…，n y ，构成n 个数对()11,x y ，()22,x y ，…，(),n n x y ，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为 A ．4n mB ．2n mC ．4mnD ．2mn9．函数()()π2sin 22f x x ϕϕ⎛⎫=+<⎪⎝⎭向左平移π3个单位后图象关于y 轴对称，则()f x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为 A ．1-B ．1C ．3-D ．310．设1F ，2F 分别是椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点，过2F 的直线交椭圆于A ，B 两点，且120AF AF ⋅=，222AF F B =，则椭圆E 的离心率为( )A ．23B ．34C ．53D ．7411．如图该几何体由半圆柱体与直三棱柱构成，半圆柱体底面直径BC ＝4， AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，D 为半圆弧的中点，若异面直线BD 和AB 1所成角的 余弦值为23，则该几何体的体积为 A ．16+8π B ．32+16πC ．32+8πD ．16+16π12．已知函数()y f x =对任意的(,)22x ππ∈-满足()cos ()sin 0f x x f x x '+>（其中()f x '是函数()f x 的导函数），则下列不等式成立的是 A ．(0)2()4f f π>B ．2()()34f f ππ<C ．(0)2()3f f π> D()()34f ππ-<-二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2021届河北衡中同卷新高三原创预测试卷(二十九)文科数学

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2021届河北衡中同卷新高三原创预测试卷（二十九）文科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

第Ⅰ卷 （选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的.1..已知集合{}{}22|,|g 14lo A x x B x x ==<≤，则A B = ( )A ．(),2-∞B ．()0,2C ．()2,0-D ．(]2,2-2.已知复数z 满足(1+2i)43i z =+，则z 的共轭复数是( )A ．2i -B ．2+iC ．1+2iD ．12i -3.2019年9月25日.阿里巴巴在杭州云栖大会上正式对外发布了含光800AI 芯片，在业界标准的ResNet -50测试中，含光800推理性能达到78563 lPS ，比目前业界最好的AI 芯片性能高4倍;能效比500 IPS/ W ，是第二名的3.3倍.在国内集成电路产业发展中，集成电路设计产业始终是国内集成电路产业中最具发展活力的领域，增长也最为迅速.如图是2014-2018年中国集成电路设计产业的销售额(亿元)及其增速(%)的统计图，则下面结论中正确的是( )A.2014-2018年,中国集成电路设计产业的销售额逐年增加B.2014-2017年,中国集成电路设计产业的销售额增速逐年下降C. 2018年中国集成电路设计产业的销售额的增长率比2015年的高D. 2018年与2014年相比.中国集成电路设计产业销售额的增长率约为110%4.在等差数列{}n a 中，2436a a +=，则数列{}n a 的前5项之和5S 的值为（ ）A ．108B ．90C ．72D ．245.已知0.12tan 5a π⎛⎫= ⎪⎝⎭，3log 2b =，23πlog cos 7c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则( )A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c >a >bD ．a c b >>6.已知向量()()321x y =-=-，，，a b ，且//a b ，若x y ，均为正数，则32x y+的最小值是( ) A.24 B.8C.83D.537..已知函数π()sin (0)6f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的两个相邻的对称轴之间的距离为π2，为了得到函数()sin g x x ω=的图象，只需将()y f x =的图象 ( )A ．向左平移π6个单位长度 B ．向右平移π6个单位长度 C ．向左平移π12个单位长度 D ．向右平移π12个单位长度8.函数cos 3sin ||2()51x x f x -=-在3π3π(,)22-上的图象大致为( ) A. B. C. D.9.古希腊数学家阿基米德是世界上公认的三位最伟大的数学家之一,其墓碑上刻着他认为最满意的一个数学发现,如图,一个“圆柱容球”的几何图形,即圆柱容器里放了一个球,该球顶天立地,四周碰边,在该图中,球的体积是圆柱体积的23,并且球的表面积也是圆柱表面积的23, 若圆柱的表面积是6π现在向圆柱和球的缝隙里注水,则最多可以注入的水的体积为( ) A.π3 B.2π3C.πD.4π310.已知函数()f x 是定义在R 上的函数，且满足()()0f x f x '+>，其中()f x '为()f x 的导数，设()0a f =，()2ln 2b f =，()1c ef =，则a b c ,,的大小关系是（ ） A.c b a >>B.a b c >>C.c a b >>D.b c a >>11.若ABC ∆中，2sin()sin()sin A B A B C +-=，则此三角形的形状是（ ）A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形12.椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点分别为12, F F ,过点1F 的直线交椭圆于,A B 两点,交y 轴于点C ,若1F , C 是线段AB 的三等分点, 2F AB △的周长为45,则椭圆E 的标准方程为( )A. 22154x y +=B. 22153x y +=C. 22152x y +=D. 2215x y +=第Ⅱ卷 （非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填在答题卡相应位置上.13.若2sin cos αα+=,则sin 2α的值为__________. 14.已知||4,1,2a b a b =⋅=||=，则向量2a b -在b 方向上的投影为__________．15.已知F 是椭圆22:132x y C +=的右焦点，P 为椭圆C 上一点，()1,22A ，则PA PF +的最大值为16.已知四面体ABCD 内接于球O ，且2,2AB BC AC ===，若四面体ABCD 的体积为23，球心O 恰好在棱DA 上，则球O 的表面积是________． 三、解答题（本大题共6小题，共70分.22题10分，17题-21题各12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.(本小题满分12分）在ABC △中,内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,且cos cos 2b A a B c -= （1）.证明: tan 3tan B A =-（2）若2223b c a bc +=+,且ABC △的面积为3,求a18.(本小题满分12分）某社区消费者协会为了解本社区居民网购消费情况，随机抽取了100位居民作为样本，就最近一年来网购消费金额（单位：千元），网购次数和支付方式等进行了问卷调查．经统计这100位居民的网购消费金额均在区间[0,30]内，按[0,5],[5,10),(10,15],(15,20],(20,25],(25,30]分成6组，其频率分布直方图如图所示．（1）估计该社区居民最近一年来网购消费金额的中位数；（2）将网购消费金额在20千元以上者称为“网购迷”，补全下面的22⨯列联表，并判断有多大把握认为“网购迷与性别有关系”． 附：观测值公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++．男 女 合计临界值表： 20)(P K k ≥ 0.100.05 0.025 0.010 0.005 0.0010k 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.82819.(本小题满分12分)如图,四边形ABCD 为矩形,且2,1,AD AB PA ==⊥平面,1,ABCD PA E =为BC 的中点.（1）求证:PE DE ⊥；（2）若E 为PD 的中点，求三棱锥P AFE -的体积.20.(本小题满分12分)已知点O 为坐标原点，椭圆()2222:10y x C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，离心率为2，点,I J 分别是椭圆C 的右顶点、上顶点，IOJ △的边IJ 上的中线长为32．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)过点()2,0H -的直线交椭圆C 于,A B 两点，若11AF BF ⊥，求直线AB 的方程．21.(本小题满分12分)已知函数e ()(ln ),e xf x a x x x=+-为自然对数的底数.(1)当0a >时,求函数()f x 的单调区间;(2)若函数()f x 在1(,2)2上有三个不同的极值点,求实数a 的取值范围.网购迷 20非网购迷 45 合计10022.(本小题满分10分）[选修4-4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴，曲线C 的极坐标方程为π4ρθ⎛⎫=+⎪⎝⎭. （I ）将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（II ）过点()1,0P 作倾斜角为45︒的直线l 与圆C 交于,A B 两点，试求11PA PB+的值．23.【选修4-5不等式选讲】已知函数()23f x x m x m=--+()0m >.(1).当1m =时，求不等式()1f x ≥的解集；(2).对于任意实数,x t ，不等式()21f x t t <++-恒成立，求实数m 的取值范围.数学（文科）参考答案1..B2.B 解：由()12i 43i z +=+，得43i2i 12iz +==-+，所以2i z =+． 3.A 解析：对于A ，由图可得2014-2018年中国集成电路设计产业的销售额逐年增加，所以A正确;对于B,2017年中国集成电路设计产业的销售额增速比2016年高,所以B 错误;对于C,2018年中国集成电路设计产业的销售额的增长率(约21.5%)低于2015年的增长率(约26.5%),所以C 错误;对于D,2018年与2014年相比,中国集成电路设计产业销售额的增长率为2519.31047.4100%140.5%1047.4-⨯≈所以D 正确.故选A.4.B 解：在等差数列{}n a 中, 2436a a +=，∴数列{}n a 的前5项之和51524()(5553690222)S a a a a =+=+=⨯=.5..A 解0.12π2πtan tan 55a ⎛⎫⎛⎫=> ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()3223πlog 20,1,log cos log 107b c ⎛⎫=∈=<= ⎪⎝⎭．6.B7..D 解：因为函数π()sin (0)6f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的两个相邻的对称轴之间的距离为π2，所以π22T =，所以πT =，所以2π2πω==，即()πsin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，又()πsin 212f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，即为了得到函数()sin 2g x x =的图象,只需将()y f x =的图象向右平移π12个单位长度 8A 解：因为cos()cos 3sin ||23sin ||2()()5151x x x x f x f x -----===--,所以函数()f x 为偶函数,故排除D;因为021(0)512f -==--,故排除B;因为1025(π)0512f --==>-,故排除C.故选A. 9.B 解析：设球的半径为r ,则由题意可得球的表面积为224π6π3r =⨯,所以1r =,所以圆柱的底面半径为1,高为2,所以最多可以注入的水的体积为2342ππ12π133⨯⨯-⨯=. 10.A 解：令()()xg x e f x =，则()()()0x g x e f x f x ''=+>⎡⎤⎣⎦，所以函数()g x 在定义域R 上单调递增，从而()()()0ln 21g g g <<，得()()()02ln 21f f ef <<，即a b c <<.故选A.11.A 解：∵ABC ∆中,in i (s s n )A B C +=，∴已知等式变形得：2sin sin(sin )C A B C -=,即sin sin s )()i (n A B C A B -==+，整理得：sin cos cos sin sin cos cos sin A B A B A B A B -=+，即2cos sin 0A B =，∴cos 0A =或sin 0B =(不合题意,舍去)，∴90A =︒，则此三角形形状为直角三角形.12..A 解：由椭圆的定义，得12122AF AF BF BF a +=+=，2F AB △的周长1212445AF AF BF BF a +++==，所以5a =，所以椭圆222:15x y E b+=.不妨令点C 是1F A 的中点，点A 在第一象限，因为()1, 0F c -，所以点A 的横坐标为c ，所以22215c y b +=，得2,5A c ⎛ ⎪⎝⎭，所以220,,2,2525C B c ⎛⎛-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.把点B 的坐标代入椭圆E 的方程，得42242015b c b+=，即2241520c b +=，化简得222016b c =-.又225b c =-，所以2220165c c -=-，得21c =，24b = 13.78-解：2sin cos αα+=两边同时平方,得11sin 28α+=,所以7sin 28α=-.14.3解：∵4,1,2a b a b ==⋅=，则向量2a b -在b 方向上的投影为()2224131a b b a b bbb-⋅⋅--=== 15.43解：根据题意,设椭圆的左焦点为F '，椭圆的方程为22132x y +=,其中3,a P =为椭圆C 上一点,则223PF PF a '+==，则321c =-=,则()()1,0,1,0F F '-，则223PF a PF PF ''=-=-，则PA PF PA PF PA PF ''+=+=-，分析可得：PA PF AF ''-≤=当P A F '、、三点共线时，等号成立，则PA PF +的最大值为16.16π解：如图:在三角形ABC 中,因为222AB BC AC +=,所以ABC ∆为直角三角形,所以三角形ABC 的外接圆的圆心为AC 的中点1O ,连1OO ,根据垂径定理,可得1OO ⊥平面ABC ,因为1,O O为,AD AC 的中点可知DC ⊥平面ABC ,所以DC 为四面体ABCD 的高．所以1132DC ⨯,解得DC =4AD ==．所以四面体ABCD 的外接球的半径为2,表面积为224π4π216πR =⨯=．17.解：（1）.根据正弦定理,由已知得, ()sin cos cos sin 2sin 2sin A B A C A B -==+B展开得: ()sin cos cos sin 2sin cos cos sin A B A B A B A -=+B 整理得:sin cos 3cos sin B A B A =-∴tan 3tan B A =-（2）.由已知得: 222b c a +-=,∴222cos 2b c a A bc +-===由0πA <<,得:π,tan 6A A =,∴tan B =由0πB <<,得: π,tan 6A A ==∴tan B =由0πB <<,得2π3B =,所以π6C =,a c = 由212π1sin 232S ac ===得2a = 18.解：（1）在直方图中，从左至右前3个小矩形的面积之和为(0.010.020.04)50.35++⨯=，后2个小矩形的面积之和为(0.040.03)50.035+⨯=，所以中位数位于区间(15.20]内．设直方图的面积平分线为15x +，则0.060.50.350.15x =-=，得 2.5x =，所以该社区居民网购消费金额的中位数估计为17.5千元．（2）由直方图知，网购消费金额在20千元以上的频数为0.3510035⨯=，所以“网购迷”共有35人．由列联表知，其中女性有20人，则男性有15人，所以补全的列联表如下：因为22100(45201520)6006.593 5.0246040356591K ⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯，查表得2( 5.024)0.025P K ≥=，所以有97.5%的把握认为“网购迷与性别有关”．19.解：（1）连结AE ,∵E 为BC 的中点, 1EC CD ==,又四边形ABCD 是矩形，∴DCE ∆为等腰直角三角形, 则45DEC ∠=,同理可得45AEB ∠=,∴90AED ∠=,∴DE AE ⊥, 又PA ⊥平面ABCD ,且DE ⊂平面ABCD , ∴PA DE ⊥, 又∵AE PA A ⋂=,∴DE ⊥平面PAE ,又PE ⊂平面PAE ,∴DE PE ⊥（2）取PE 的中点G ，连接FG .又F 为PD 的中点，1CD =，∴//FG DE且12FG DE ==∵PA ⊥平面ABCD ，AE ⊂平面ABCD ∴PA AE ⊥∴112APE S ∆== 由1得DE ⊥平面PAE ，∴FG 是三棱锥F APE -的高,∴113163P AFE F APE APE V V S FG --∆==⋅==. ∴三棱锥P AFE -的体积为1620.解：(1)由题意得IOJ △，所以IJ =设椭圆C 的半焦距为c，则222c a a b c ==⎧⎪+⎪⎪⎩1a b ⎧==⎪⎨⎪⎩，所以椭圆C 的标准方程为2212x y +=．(2)由题知，点1F 的坐标为()1,0-，显然直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为()()20y k x k =+≠，点()11,A x y ，()22,B x y ．联立()22122x y y k x +==+⎧⎪⎨⎪⎩，消去y ，得()2222128820k xk x k ++-+=，所以()()()()222228412828120Δk k k k =+=-->-，所以2102k <<．()*且22121222882,1212k k x x x x k k -+=-=++．因为11AF BF ⊥，所以110AF BF ⋅=， 则()()1122110x y x y ---⋅---=,,，12121210x x x x y y ++++=，()()1212121220x x x x k x k x ⋅++++++=，整理得()()()2221212121140k x x k x xk +++++=+．即()()()22222221828121401212k k k k k k k +-⎛⎫+⋅-+++= ⎪++⎝⎭．化简得2410k -=，解得12k =±．因为12k =±都满足()*式，所以直线AB 的方程为()122y x =+或()122y x =-+．即直线AB 的方程为220x y -+=或220x y ++=．21.解：(1)由题意,知函数()f x 的定义域为222e (1)1e (1)(1)(e )(1)(0,),'()(1)x x x x x ax x ax x f x a x x x x --+-+-+∞=+-==当0a >时,对于任意的(0,),e 0x x ax ∈+∞+>恒成立,∴若1x >,则'()0f x >,若01x <<,则'()0f x <,∴当0a >时,函数()f x 的单调递增区间为(1,)+∞,单调递减区间为(0,1).(2)由题目条件,可知'()0f x =在1(,2)2x ∈上有三个不同的实根,即e 0x ax +=在1(,2)2x ∈上有两个不同的实根,且e a ≠-.令e ()x g x x =-,则2e (1)'()x x g x x -=-.∵当112x <<时,'()0g x >,当12x <<时,'()0g x <,∴当112x <<时,()g x 单调递增,当12x <<时,()g x 单调递减.∴()g x 的最大值为(1)e g =-.又211()(2)e 22g g =-=-,而2211(e )e 022--=-,∴实数a的取值范围为(e)--.22.解：（1）将曲线C 的极坐标方程，化为直角坐标方程为：22880x y x y +--=；（2）直线l的参数方程为：1x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），将其带入上述方程中得：270t --=，则12127t t t t ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩1212121111t t PA PBt t t t -+=+==23.解：（1）当1m =时，34,23()12332,124,1x x f x x x x x x x ⎧+<-⎪⎪⎪=--+=---≤≤⎨⎪-->⎪⎪⎩因为()1f x ≥，所以3241x x ⎧<-⎪⎨⎪+≥⎩或者312321x x ⎧-≤≤⎪⎨⎪--≥⎩或者141x x >⎧⎨--≥⎩解得：332x -≤<-或者312x -≤≤-，所以不等式()1f x ≥的解集为{|31}x x -≤≤-.（2）.对于任意实数,x t ，不等式()21f x t t <++-恒成立，等价于max min ()(21)f x t t <++-因为21(2)(1)3t t t t ++-≥+--=，当且仅当(2)(1)0t t +-≤时等号成立，所以min (21)3t t ++-= 因为0m >时，()34,232332,24,m x m x m f x x m x m x m x m x m x m ⎧+ <-⎪⎪⎪=--+=-- -≤≤⎨⎪-- >⎪⎪⎩函数()f x 单增区间为3,2m ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，单间区减为3,2m ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭，所以当32m x =-时，()max 3522m mf x f ⎛⎫=-=⎪⎝⎭所以532m <，所以实数m 的取值范围605m <<.。

2021届全国百校联考新高考原创预测试卷(二十三)文科数学

2021届全国百校联考新高考原创预测试卷(二十三)文科数学

2021届全国百校联考新高考原创预测试卷（二十三）文科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、选择题（每小题只有一个选项正确，每小题5分, 共60分）1．复数21i-的共轭复数是（ ） A ．1﹣i B ．1＋i C ．﹣1﹣i D ．﹣1＋i2．已知集合2{|6}=0A x x x --≤，函数()=(1)f x ln x -的定义域为集合B ，则AB =（ ）A ． [21]-，B ．[21)-，C ．[1]3，D ．(13]，3．已知等比数列{}n a 中，10a >，则“14a a <”是“35a a <”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4.函数()f x 是定义在[2,]m m -上的奇函数，当0x <时，()31xf x =-，则()f m 的值为（ ）. A ．2B ．2-C．23D．23-5．若变量x ，y 满足约束条件y 1x y 0x y 20≤⎧⎪+≥⎨⎪--≤⎩，则z ＝x －2y 的最大值为A .2B .4C .3D .16.函数y ＝1－1x －1的图象是( )7．已知65a =，0.216b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，375log 2c =，则（ ） A ．a b c >> B ．b a c >> C ．c a b >> D ．c b a >>8.已知某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则该几何体的体积是（ ）A ．3108cmB ．3100cmC ．392cmD ．384cm第8题图9．已知函数221,0()log ,0x x f x x x ⎧+-≤=⎨>⎩，若()1f a ≤，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(4][2,)-∞-+∞B ．[1,2]-C ．[4,0)(0,2]-D ．[4,2]-10.已知向量m ＝(1，a )，n ＝(2b ﹣1，3)(a ＞0，b ＞0)，若1=•→→n m ，则12a b+的最小值为（ ） A. 7 B.3227+ C. 347+ D.34 11．已知函数)2,0)(sin()(πϕωϕω<>+=x x f 的部分图象如图所示，为了得到x x g 2sin )(=的图象，可以将)(x f 的图象（ ）A. 向右平移6π个单位 B. 向右平移3π个单位 C. 向左平移3π个单位 D. 向左平移6π个单位第11题图12．给出下面四个推理：①由“若a ，b 是实数，则b a b a +≤+”推广到复数中，则有“若12z z 、是复数，则1212z z z z +≤+”；②由“在半径为R 的圆内接矩形中，正方形的面积最大”类比推出“在半径为R 的球内接长方体中，正方体的体积最大”；③以半径R 为自变量，由“圆面积函数的导函数是圆的周长函数”类比推出“球体积函数的导函数是球的表面积函数”；④由“直角坐标系中两点11(,)A x y 、22(,)B x y 的中点坐标为1212(,)22x x y y ++”类比推出“极坐标系中两点11(,)C ρθ、22(,)D ρθ的中点坐标为1212(,)22ρρθθ++”．其中，推理得到的结论是正确的个数有（ ）个 A.1 B.2C.3D.4二、填空题（每小题5分，共20分）13．已知a R ∈，命题“存在x ∈R ，使230x ax a --≤”为假命题，则a 的取值范围为______. 14．曲线C :ln y x x =在点(),M e e 处的切线方程为_______________. 15．若πtan 34θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则3πcos 22θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭__________. 16．已知函数()f x 对任意的x ∈R ，都有1122f x f x ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，函数()1f x +是奇函数，当1122x -≤≤时，()2f x x =，则方程()12f x =-在区间[]3,5-内的所有零点之和_____________．三、解答题 (共70分)17. （本小题满分10分）已知n S 是数列{}n a 的前n 项和,满足21322n S n n =+ （1）求{}n a 的通项公式n a ； （2）求数列11{}n n a a +的前n 项和n T . 18．（本小题满分12分）在ABC ∆中,角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,且满足1cos 2a b c B +=⋅.（1）求角C ;（2）若2,3a b ==,求ABC △外接圆的半径.19．（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，13a =-，55S =，数列{}n b 的前n 项和为122n +-.（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）设n n n c a b =，求数列{}n c 的前n 项和n T .20．（本小题满分12分）已知函数()2cos 2sin 1f x x x x =+-.（1）求()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域；（2）若()23fα=-，且0,2απ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦，求cos2α的值. 21．（本小题满分12分）已知点)2,1(A 是椭圆)0(12222>>=+b a bx a y 上的一点，椭圆C的离心率与双曲线122=-y x 的离心率互为倒数，斜率为2直线l 交椭圆C 于B ，D 两点，且A ，B ，D 三点互不重合． （1）求椭圆C 的方程；（2）若1k ，2k ，分别为直线AB ，AD 的斜率，求证：21k k +为定值．22．（本小题满分12分）已知函数()(2)(2)xf x ax e e a =---． （1）讨论()f x 的单调性；（2）当1x >时，0)(>x f ，求a 的取值范围．数学（文科）试题参考答案1.A.2.B.3.A.4.C5.C6.B7.C.8.B.9.D.10.B.11.A.12.C13.()12,0- 14.y=2x ﹣e 15.4516.4 17. 1n a n =+，1122n T n =-+【解题思路】112,1n n n a a S S n -=-==+,所以 11(1)(2)121n n n n =-++++,故1{}1n n a a +的前n 项和1122n T n =-+. 18.(1)由正弦定理知sin si c 1n sin os 2A B C B += 有sin cos cos s i 1in sin s n cos 2B C B C B C B ++=,所以cos 21C =-2,3C π=（6分）222(2)2cos 19,19,c a b ab C c =+==-所以19257572sin 3332c R R C ====(12分) 19.【解析】（1）∵51545+=52S a d ⨯=，即121a d +=， 又∵13a =-，解得2d =，所以1(1)3(1)225n a a n d n n =+-=-+-⨯=-，∵n b 的前n 项和122n n G +=- ∴1n=时，21222b =-=2n ≥时，1122222n n nn n n b G G +-=-=--+= ∴2nn b =（*n ∈N ）；（2）12n n T c c c =+++，123(3)2(1)212(25)2n n T n =-⋅+-⋅+⋅++-⋅， 23412(3)2(1)212(25)2n n T n +=-⋅+-⋅+⋅++-⋅，所以2n T -34116222(25)2n n n T n ++=-++++--⋅，131211262(25)2682(25)212n n n n n T n n -+++--=-+--⋅=--+⋅⨯---114(27)2n n T n +-=---⋅ 114(27)2n n T n +=+-.20.【答案】（1）[]1,2-；（2.【解析】（1）()2cos 2sin 1f x x x x =+-2cos 22sin 26x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭.因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以52666x πππ-≤-≤， 所以1sin 2126x π⎛⎫-≤-≤ ⎪⎝⎭. 故()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域是[]1,2-.（2）由()23fα=-，知1sin 2063πα⎛⎫-=-< ⎪⎝⎭，又因为52666πππα-≤-≤，所以cos 263πα⎛⎫-=⎪⎝⎭. 故cos 2cos sin 2sin cos 2co 6666s 266ππππππαααα⎛⎫⎛⎫=-⎡⎤⎛⎫=-+⋅--⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎭⎝11132326⎛⎫=⨯--⨯=⎪⎝⎭.21.【分析】（1）设椭圆的焦距为2c，利用椭圆的离心率，椭圆经过的点以及a2＝b2+c2，求出a，b即可得到椭圆方程．（2）设直线BD的方程为，m≠0，设D（x1，y1），B（x2，y2），联立，得，利用韦达定理，转化求解直线AB，AD的斜率的和推出结果即可．【解答】解：（1）设椭圆的焦距为2c，则椭圆的离心率，代入，得，又a2＝b2+c2，解得a＝2，，所以椭圆C的方程；（2）证明：设直线BD的方程为，又A，B，D三点不重合，∴m≠0，设D（x1，y1），B（x2，y2），则由，得，所以△＝﹣8m2+64＞0，所以，，，设直线AB ，AD 的斜率分别为k 1，k 2， 则＝＝＝，所以k 1+k 2＝0，即直线AB ，AD 的斜率之和为定值． 22．解：（1）()(2)xf x ax a e '=-+，当0a =时，()20xf x e '=-<，∴()f x 在R 上单调递减．当0a >时，令()0f x '<，得2ax a-<； 令()0f x '>，得2ax a->． ∴()f x 的单调递减区间为2,a a -⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，单调递增区间为2,a a -⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭． 当0a <时，令()0f x '<，得2ax a->； 令()0f x '>，得2ax a-<． ∴()f x 的单调递减区间为2,a a -⎛⎫+∞⎪⎝⎭，单调递增区间为2,a a -⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭．（2）当0a =时，()f x 在(1,)+∞上单调递减，∴()(1)0f x f <=，不合题意当0a <时，()222(2)(22)(2)2220f a e e a a e e e e =---=--+<，不合题意．当1a ≥时，()(2)0xf x ax a e '=-+>，()f x 在(1,)+∞上单调递增， ∴()(1)0f x f >=，故1a ≥满足题意． 当01a <<时，()f x 在21,a a -⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在2,a a -⎛⎫+∞⎪⎝⎭单调递增，∴min 2()(1)0a f x f f a -⎛⎫=<=⎪⎝⎭，故01a <<不满足题意．综上，a 的取值范围为[1,)+∞．。

2021届全国天一大联考新高考原创预测试卷(二十九)文科数学

2021届全国天一大联考新高考原创预测试卷(二十九)文科数学

2021届全国天一大联考新高考原创预测试卷（二十九）文科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、选择题：本大题共12小题，共60分1.已知集合A={x|3x2−4x+1≤0}，B={x|y=√4x−3}，则A∩B=()A.(34,1]B.[34,1]C.[13,34]D.[13,34)2.已知i 为虚数单位，复数1−i1+2i 的共扼复数在复平面内对应的点位于 A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.如图是2017年第一季度五省GDP 情况图，则下列陈述中不正确的是A.2017年第一季度GDP 总量和增速由高到低排位均居同一位的省只有1个B.与去年同期相比，2017年第一季度五个省的GDP 总量均实现了增长C.去年同期河南省的GDP 总量不超过4000亿元D.2017年第一季度GDP 增速由高到低排位第5的是浙江省 4.已知α是△ABC 的一个内角，则“sinα=√22”是“α=45∘”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.如右图，在△ABC 中，AB =BC =4，∠ABC =30∘，AD 是边BC 上的高，则AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值等于 A.2 B.4 C.6 D.86.某多面体的三视图如右图所示，则该几何体的体积与其外接球的表面积的数值之比为A.13π B.29πC.23πD.19π7.《九章算术》中有如下问题：“今有勾八步，股一十五步，问勾中容圆，径几何？”其大意：“已知直角三角形两直角边长分别为8步和15步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是A.3π10 B.3π20C.1−3π10D.1−3π208.若平面区域{x+y−3≥02x−y−3≤0x−2y+3≥0夹在两条平行直线之间，则这两条平行直线间的最短距离为A.15 13B.3√22C.3√55D.349.函数y=sinx(1+cos2x)在区间[−2,2]上的图象大致为A. B. C. D.10.《周易》历来被人们视作儒家群经之首，它表现了古代中华民族对万事万物的深刻而又朴素的认识，是中华人文文化的基础，它反映出中国古代的二进制计数的思想方法.我们用近代术语解释为：把阳爻“”当作数字“1”，把阴爻“”当作数字“0”，则八卦所代表的数表示如下：依此类推，则六十四卦中的“屯”卦，符号“”表示的十进制数是A.18B.17C.16D.1511.椭圆x24+y23=1的左、右焦点分别为F1、F2，P是椭圆上任一点，则|PF1|⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅|PF2|⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围是A.(0,4]B.(0,3]C.[3,4)D.[3,4]12.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x<0时，f(x)=(x+1)e x则对任意的m∈R，函数F(x)=f(f(x))−m的零点个数至多有A.3个B.4个C.6个D.9个二、填空题本大题共4小题，共20分13.已知向量a⃗=(1,1)，b⃗ =(2,x)，若a⃗+b⃗ 与3a⃗−b⃗ 平行，则实数x的值是______．14.设[x]表示不超过x的最大整数，如[π]=3，[−3.2]=−4，则[lg1]+[lg2]+[lg3]+⋯+[lg100]=______．15.在△ABC中，AC=3，CB=4，边AB的中点为D，则sin∠ACDsin∠DCB=______．16.若圆O1：x2+y2=5与圆O2：(x+m)2+y2=20(m∈R)相交于A，B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度是______．三、解答题：共70分，第17—21题为必考题，第22、23题为选考题17.已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=2a n−2(n∈N∗).(Ⅰ)求数列{a n}的通项公式；(Ⅱ) 求数列{S n }的前n 项和T n ．18.某地区某农产品近几年的产量统计如表：(1)根据表中数据，建立y 关于t 的线性回归方程y ^=b ^ t +a^； (2)根据(1)中所建立的回归方程预测该地区2018年(t =7)该农产品的产量．附：对于一组数据(t 1,y 1)，(t 2,y 2)，…，(t n ,y n )，其回归直线y ^=b ^ t +a^的斜率和截距的最小二乘估计分别为：b ^=n i=1i −t)(y i −y)∑(n i=1t −t)2，a ^=y −b ^ t ．19.已知F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(其中a >b >0)的左、右焦点，椭圆C 过点(−√3,1)且与抛物线y 2=−8x 有一个公共的焦点． (1)求椭圆C 的方程；(2)过椭圆C 的右焦点且斜率为1的直线l 与椭圆交于A 、B 两点，求线段AB 的长度．20.如图1，矩形ABCD 中，AB =12，AD =6，E 、F 分别为CD 、AB 边上的点，且DE =3，BF =4，将△BCE 沿BE 折起至△PBE 位置(如图2所示)，连结AP 、PF ，其中PF =2√5． (1)求证：PF ⊥平面ABED ； (2)求点A 到平面PBE 的距离．21.已知f(x)=lnx −x +m(m 为常数)． 1求f(x)的极值；2设m >1，记f(x +m)=g(x)，已知x 1，x 2为函数g(x)是两个零点， 求证：x 1+x 2<0．选考题：在22题和23题中任选一题作答，多做按第一题给分22.在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为{x =1+√22t y =√22t (其中t 为参数)，在以原点O 为极点，以x 轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为ρ=4sinθ． (1)求直线l 的普通方程及曲线C 的直角坐标方程；(2)设M 是曲线C 上的一动点，OM 的中点为P ，求点P 到直线l 的最小值．23.已知a >0，b >0，c >0，函数f(x)=c +|a −x|+|x +b|．(Ⅰ)当1===c b a 时，求不等式f(x)>3的解集；(Ⅱ)当f(x)的最小值为3时，求a+b+c的值，并求1a +1b+1c的最小值．文数答案和解析【答案】1. B2. B3. A4. B5. B6. D7. D8. C9. B10. B11. D12. A13. 2 14. 92 15. 43 16. 417. 解：(Ⅰ)列{a n }的前n 项和为S n ，且S n =2a n −2①．则S n+1=2a n+1−2②， ②−①得a n+1=2a n ， 即a n+1a n=2，当n =1时，a 1=S 1=2a 1−2， 解得a 1=2，所以数列的通项公式为a n =2⋅2n−1=2n ， (Ⅱ)由于a n =2n ， 则S n =21+22+⋯+2n ， =2(2n −1)2−1，=2n+1−2．T n =2(21+22+⋯+2n )−2−2−⋯−2， =2n+2−4−2n ．18. 解：(1)由题，t =1+2+3+4+5+66=3.5，y =6.6+6.7+7+7.1+7.2+7.46=7，∑(6i=1t i −t)(y i −y)=(−2.5)×(−0.4)+(−1.5)×(−0.3)+0+0.5×0.1+1.5×0.2+2.5×0.4=2.8，∑(6i=1t i −t)2=(−2.5)2+(−1.5)2+(−0.5)2+0.52+1.52+2.52=17.5． 所以b ^= 2.817.5=0.16，又a ^=y −b ^t ，得a^=7−0.16×3.5=6.44， 所以y 关于t 的线性回归方程为y ^=0.16t +6.44.(8分) (2)由(1)知y ^=0.16t +6.44，当t =7时，y ^=0.16×7+6.44=7.56，即该地区2018年该农产品的产量估计值为7.56万吨.(12分)19. 解：(1)抛物线y 2=−8x 的焦点为(−2,0)，∴椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1的左焦点为(−2,0)，c =2，b 2=a 2−4．又3a 2+1b 2=1，得a 4−8a 2+12=0，解得a 2=6(a 2=2舍去)． 故椭圆C 的方程为x 26+y 22=1．(2)直线l 的方程为y =x −2． 联立方程组{y =x −2x 26+y 22=1，消去y 并整理得2x 2−6x +3=0． 设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2). 故x 1+x 2=3，x 1x 2=32． 则|AB|=√1+k 2|x 1−x 2|=√(1+k 2)[(x 1+x 2)2−4x 1x 2]=√6．20. 解：(1)连结EF ，由翻折不变性可知，PB =BC =6，PE =CE =9， 在△PBF 中，PF 2+BF 2=20+16=36=PB 2， 所以PF ⊥BF ，在图1中，利用勾股定理，得EF =√62+(12−3−4)4=√61， 在△PEF 中，EF 2+PF 2=61+20=81=PE 2， ∴PF ⊥EF ，又∵BF ∩EF =F ，BF ⊂平面ABED ，EF ⊂平面ABED ， ∴PF ⊥平面ABED ．(2)解：由(1)知PF ⊥平面ABED ， ∴PF 为三棱锥P −ABE 的高． 设点A 到平面PBE 的距离为h ， 由等体积法得V A−PBE =V P−ABE ，即13×12×6×9×ℎ=13×12×12×6×2√5∴ℎ=8√53，即点A到平面PBE的距离为8√53．21. 解：(1)∵f(x)=lnx−x+m，∴f(x)=1x−1，由得x=1，且0<x<1时，0'/>，x>1时，．故函数f(x)的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1,+∞)．所以，函数f(x)的极大值为f(1)=m−1，无极小值．(2)由g(x)=f(x+m)=ln(x+m)−x，∵x1，x2为函数g(x)是两个零点，∴{ln(x2+m)=x2ln(x1+m)=x1，即{x2+m=e x2 x1+m=e x1，令ℎ(x)=e x−x，则ℎ(x)=m有两解x1，x2．令得x=0，∴−m<x<0时，ℎ′(x)<0，当x>0时，ℎ′(x)>0，∴ℎ(x)在(−m,0)上单调递减，在(0,+∞)上单调递增．∵ℎ(x)=m的两解x1，x2分别在区间(−m,0)和(0,+∞)上，不妨设x1<0<x2，要证x1+x2<0，考虑到ℎ(x)在(0,+∞)上递增，只需证ℎ(x2)<ℎ(−x1)，由ℎ(x2)=ℎ(x1)知，只需证ℎ(x1)<ℎ(−x1)，令r(x)=ℎ(x)−ℎ(−x)=e x−2x−e−x，则r′(x)=e x+1e x−2≥0，∴r(x)单调递增，∵x1<0，∴r(x1)<r(0)=0，即ℎ(x1)<ℎ(−x1)成立，即x1+x2<0成立．22. [选修4−4：坐标系与参数方程](10分)解：(1)∵直线l 的参数方程为{x =1+√22t y =√22t (其中t 为参数)， ∴消去参数t ，得l 的普通方程x −y −1=0．∵曲线C 的极坐标方程为ρ=4sinθ.由ρ=4sinθ，得ρ2=4ρsinθ，∴曲线C 的直角坐标方程为x 2+y 2−4y =0，即x 2+(y −2)2=4.(4分)(2)设P(x,y)，M(x 0,y 0)，则x 02+(y 0−2)2=4，由于P 是OM 的中点，则x 0=2x ，y 0=2y ，所以(2x)2+(2y −2)2=4，得点P 的轨迹方程为x 2+(y −1)2=1，轨迹为以(0,1)为圆心，1为半径的圆．圆心(0,1)到直线l 的距离d =√2=√2．所以点P 到直线l 的最小值为√2−1.(10分)23. 解：(Ⅰ)f(x)=|x −1|+|x +1|+1，∴{x ⩽−11−2x >3或{−1<x <13>3或{x ⩾12x +1>3, 解得{x|x <−1或x >1}．(Ⅱ)f(x)=c +|a −x|+|x +b|≥|a −x +x +b|+c =|a +b|+c =a +b +c =3， ≥13(3+2+2+2)=3当且仅当a =b =c =1时1a +1b +1c 取得最小值3．【解析】1. 解：∵集合A ={x|3x 2−4x +1≤0}={x|13≤x ≤1}，B ={x|y =√4x −3}={x|x ≥34}，∴A ∩B ={x|34≤x ≤1}=[34,1]．故选：B ．分别求出集合A，B，由此能求出A∩B．本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运用．2. 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由共轭复数的概念求其共轭复数得答案.本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础的计算题．【解答】解：∵1−i1+2i =(1−i)(1−2i)(1+2i)(1−2i)=−15−35i，∴复数1−i1+2i 的共扼复数为−15+35i，在复平面内对应的点的坐标为(−15,35)，位于第二象限．故选B．3. 解：由2017年第一季度五省GDP情况图，知：在A中，2017年第一季度GDP总量和增速由高到低排位均居同一位的省有江苏和山东，共2个，故A错误；在B中，与去年同期相比，2017年第一季度五个省的GDP总量均实现了增长，故B正确；在C中，去年同期河南省的GDP总量不超过4000亿元，故C正确；在D中，2017年第一季度GDP增速由高到低排位第5的是浙江省，故D正确．故选：A．2017年第一季度GDP总量和增速由高到低排位均居同一位的省有江苏和山东．本题考查命题真假的判断，考查折线图、柱形图等基础知识，考查运算求解能力、数据处理能力，考查函数与方程思想、数形结合思想，是基础题．4. 【分析】本题考查充分条件、充要条件、必要条件的判断，考查三角函数等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想，是基础题．【解答】解：∵α是△ABC的一个内角，∴“sinα=√22”⇒“α=45∘或α=135∘”，“α=45∘”⇒“sinα=√22”，∴“sinα=√22”是“α=45∘”的必要不充分条件．故选：B．5. 【分析】本题考查了向量的数量积的运算，同时考查了线性运算，属于中档题．由题意，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ；AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ；AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =|AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos∠BAD =|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅sin30∘⋅|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅cos60∘；从而求得．【解答】解：AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗=AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗=|AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos∠BAD=|AB⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅sin30∘⋅|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅cos60∘ =4×4×12×12=4；故选B ． 6. 【答案】D【解析】 解：由三视图可知该几何体如图中的三棱锥A-BCD ，， 三棱锥外接球的直径2R=AC ，从而4R 2=AC 2=22+22+42=24，于是，外接球的表面积为S=4πR 2=24π，所以该几何体的体积与外接球的表面积之比为， 故选：D ．利用三视图画出几何体的直观图，然后求解外接球的半径，即可求解结果． 本题考查三视图求解几何体的面积与体积，几何体的外接球的求解，考查计算能力．7. 解：直角三角形的斜边长为√82+152=17，设内切圆的半径为r ，则8−r +15−r =17，解得r =3．∴内切圆的面积为πr 2=9π，∴豆子落在内切圆外部的概率P =1−9π12×8×15=1−3π20．故选：D ．求出内切圆半径，计算内切圆和三角形的面积，从而得出答案．本题考查了几何概型的概率计算，属于基础题．8. 解：作出平面区域如图所示：可行域是等腰三角形，平面区域{x +y −3≥02x −y −3≤0x −2y +3≥0夹在两条平行直线之间，则这两条平行直线间的距离的最小值是B 到AC 的距离，联立方程组{x +y −3=0x −2y +3=0，解得B(1,2)． ∴平行线间的距离的最小值为d =|2×1−2−3|√22+12=3√55， 故选：C ．作出平面区域，找出距离最近的平行线的位置，求出直线方程，再计算距离．本题考查了平面区域的作法，距离公式的应用，考查转化思想以及计算能力，属于中档题． 9. 解：函数y =sinx(1+cos2x)，定义域为[−2,2]关于原点对称，且f(−x)=sin(−x)(1+cosx)=−sinx(1+cosx)=−f(x)，则f(x)为奇函数，图象关于原点对称，排除D ；由0<x <1时，y =sinx(1+cos2x)=2sinxcos 2x >0，排除C ；又2sinxcos 2x =0，可得x =±π2(0<x ≤2)，则排除A ，B 正确．故选：B ．求得函数为奇函数，图象关于原点对称，排除D ；再由0<x <1，y >0，以及y =0的根，即可得到正确结论．本题考查函数的图象的画法，注意运用函数的奇偶性和图象的对称性，以及特殊点，考查数形结合思想方法，属于中档题． 10. 解：由题意类推，可知六十四卦中的“屯”卦符合“”表示二进制数的010001， 转化为十进制数的计算为1×20+0×21+0×22+0×23+1×24+0×25=17．故选：B ．由二进制转化为十进制的方法，我们将各数位上的数字乘以其权重累加后，即可得到答案．本题考查的知识点是进制之间的转换，有理数的混合运算，解本题的关键是二进制与十进制间的转换关系，属于基础题．11. 解：因为椭圆x24+y 23=1的左、右焦点分别为F 1(−1,0)，F 2(1,0)， P 是椭圆上任一点(2cosθ,√3sinθ)，θ∈R所以PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1−2cosθ,−√3sinθ)，PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1−2cosθ,−√3sinθ)，所以|PF 1|⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅|PF 2|⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =√(−1−2cosθ)2+3sin 2θ⋅√(1−2cosθ)2+3sin 2θ=√(2+cosθ)2⋅√(2−cosθ)2=4−cos 2θ因为θ∈R ，cos 2θ∈[0,1]，4−cos 2θ∈[3,4]．所以|PF 1|⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅|PF 2|⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围是：[3,4]．故选D ．根据椭圆方程设出P 的坐标，求出F 1、F 2，坐标，然后表示出|PF 1|⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅|PF 2|⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .利用三角函数的有界性求出数量积的范围．本题考查椭圆的简单性质，椭圆的参数方程，向量的数量积的应用，三角函数的值域，考查计算能力．12. 解：当x<0时，f(x)=(x+1)e x，可得f′(x)=(x+2)e x，可知x∈(−∞,−2)，函数是减函数，x∈(−2,0)函数是增函数，f(−2)=−1，f(−1)=0，且x→0时，f(x)→1，又f(x)是定义在R上的奇函数，f(0)=0，而x∈e2(−∞,−1)时，f(x)<0，所以函数的图象如图：令t=f(x)则f(t)=m，由图象可知：当t∈(−1,1)时，方程f(x)=t至多3个根，当t∉(−1,1)时，方程没有实数根，而对于任意m∈R，方程f(t)=m至多有一个根，t∈(−1,1)，从而函数F(x)=f(f(x))−m的零点个数至多有3个．故选：A．当x<0时，f(x)=(x+1)e x，求出f′(x)，判断x∈(−∞,−2)，函数是减函数，x∈(−2,0)函数是增，f(−1)=0，且x→0时，f(x)→1，利用函数是奇函数，f(0)=0，画出函数函数，f(−2)=−1e2的图象利用换元法，转化求解函数的零点个数即可．本题考查函数的单调性以及函数的奇偶性的应用，考查数形结合以及分类讨论思想的应用．13. 【分析】本题考查了平面向量的坐标运算与共线定理的应用问题，是基础题.根据平面向量的坐标运算与共线定理，列方程求出x的值．【解答】解：向量a⃗=(1,1)，b⃗ =(2,x)，则a⃗+b⃗ =(3,1+x)，3a⃗−b⃗ =(1,3−x)，又a⃗+b⃗ 与3a⃗−b⃗ 平行，则3(3−x)−(1+x)=0，解得x=2．故答案为2．14. 解：∵[lg1]=[lg2]=[lg3]=⋯[lg9]=0，[lg10]=[lg11]=⋯+[lg99]=1，[lg100]=2．∴[lg1]+[lg2]+[lg3]+⋯+[lg100]=90×1+2=92．故答案为：92．由于[lg1]=[lg2]=[lg3]=⋯[lg9]=0，[lg10]=[lg11]=⋯+[lg99]=1，[lg100]=2.即可得出．15. 解：△ABC中，AC=3，CB=4，边AB的中点为D，则：S△ACD=S△BCD，所以：12AC⋅DC⋅sin∠ACD=12BC⋅CD⋅sin∠DCB，整理得：sin∠ACDsin∠DCB =BCAC=43．故答案为：43．直接利用三角形的面积相等转化出结论．本题考查的知识要点：三角形面积公式的应用．16. 本题考查了新定义、对数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．解：由题O1(0,0)与O2(−m,0)，根据圆心距大于半径之差而小于半径之和，可得√5<|m|<3√5．再根据题意可得O1A⊥AO2，∴m2=5+20=25，∴m=±5，∴利用|AB|2⋅5=2√5⋅√5，解得：AB=4．故答案为：4．由题意结合圆的切线性质可得O1A⊥AO2，由勾股定理可得m的值，再用勾股定理求得AB的长度．本题考查的知识要点：圆与圆的位置关系式的应用，勾股定理的应用．17. (Ⅰ)直接利用递推关系式求出数列的通项公式．(Ⅱ)利用数列的通项公式，直接利用等比数列的前n项和公式求出结果．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法，等比数列前n项和的公式的应用．18. (1)求得样本中心点(t,y)，利用最小二乘法即可求得线性回归方程；(2)由(1)可知：将t=7代入线性回归方程，即可求得该地区2018年该农产品的产量估计值为7.56万吨．本题考查利用最小二乘法求线性回归方程及线性回归方程的应用，考查转化思想，属于中档题．19. (1)由抛物线方程求得焦点坐标，进一步得到椭圆左焦点坐标，把(−√3,1)代入椭圆方程，结合隐含条件求得a，b的答案；(2)写出直线l的方程，与椭圆方程联立，利用根与系数的关系得到A，B的横坐标的和与积，代入弦长公式求得线段AB的长度．本题考查椭圆标准方程的求法，考查了直线与圆锥曲线位置关系的应用，训练了利用弦长公式求弦长，体现了“设而不求”的解题思想方法，是中档题．20. 本题考查直线与平面垂直的证明，考查点到平面距离的求法，解题时要注意空间思维能力的培养，要注意等积法的合理运用．(1)连结EF，由翻折不变性可知，PB=BC=6，PE=CE=9，由已知条件，利用勾股定理推导出PF⊥BF，PF⊥EF，由此能够证明PF⊥平面ABED．(2)由PF⊥平面ABED，知PF为三棱锥P−ABE的高，利用等积法能求出点A到平面PBE的距离．21. (1)利用导数判断f(x)的单调性，得出f(x)的极值；(2)由g(x1)=g(x2)=0可得{x2+m=e x2x1+m=e x1，故ℎ(x)=e x−x有两解x1，x2，判断ℎ(x)的单调性得出x1，x2的范围，将问题转化为证明ℎ(x1)−ℎ(−x1)<0，在判断r(x1)=ℎ(x1)−ℎ(−x1)的单调性即可得出结论．本题考查了导数与函数单调性，函数极值的关系，函数最值的计算，属于中档题．22. (1)直线l的参数方程消去参数t，能求出l的普通方程，由ρ=4sinθ，能求出曲线C的直角坐标方程．(2)设P(x,y)，M(x0,y0)，则x02+(y0−2)2=4，P是OM的中点，从而点P的轨迹方程为x2+(y−1)2=1，圆心(0,1)到直线l的距离d=2=√2.由此能求出点P到直线l的最小值．本题考查直线的普通方程和曲线的直角坐标方程的求法，考查点到直线的距离的最小值的求法，考查极坐标方程、直角坐标方程、参数方程的互化等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．23. 本题考查绝对值不等式的解法、基本不等式的性质、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．(Ⅰ)当a=b=c=1时，原不等式即|x+1|+|x−1|+1>3，分类讨论x的范围去绝对值符号，分别求解f(x)>3再求并集即可得出．(Ⅱ)由f(x)的最小值为3，根据绝对值三角不等式可得a+b+c=3，即有，再利用基本不等式的性质即可得出.。

2021届全国金太阳联考新高考原创预测试卷(二十九)数学

2021届全国金太阳联考新高考原创预测试卷(二十九)数学

2021届全国金太阳联考新高考原创预测试卷（二十九）数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．请把正确选项涂在答题卡的相应位置上．1.已知集合{}03A x x =<<，{}2log 1B x x =>则A B =（ ）A. (2,3)B. (0,3)C. (1,2)D. (0,1)【答案】A 【解析】 【分析】先利用对数函数求出{}2B |1{|2}x log x x x =>=>，再利用交集定义求出A B .【详解】解：{}03A x x =<<，{}2B |1{|2}x log x x x =>=>，∴A B ={|23}x x <<，故选A.【点睛】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数性质的合理运用.2.设复数z 满足()13i z i +=+，则z =（ ）A.B. 2C.D.【答案】D 【解析】分析：先根据复数除法得z ，再根据复数的模求结果. 详解：因为()13i z i +=+，所以31(3)(1)212i z i i i i +==+-=-+,因此z = 选D.点睛：首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()()(),(,,.)++=-++∈a bi c di ac bd ad bc i a b c d R . 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)a bi a b R +∈的实部为a 、虚部为b 、对应点为(,)a b 、共轭为.-a bi 3.n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若150S =，则8a =( ) A. －1 B. 0 C. 1 D. 2【答案】B 【解析】 【分析】根据15815S a =，即可容易求得. 【详解】因为数列{}n a 是等差数列， 故可得15815S a =，又150S =， 故可得80a =. 故选：B.【点睛】本题考查等差数列前n 项和的性质，属基础题.4.通过随机询问200名性别不同的大学生是否爱好踢毽子运动，计算得到统计量2K 的观测值4.892k ≈，参照附表，得到的正确结论是（ ）A. 有97.5%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”B. 有97.5%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”C. 在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”D. 在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关” 【答案】C 【解析】 【分析】通过计算得到统计量值2k 的观测值k ，参照题目中的数值表，即可得出正确的结论. 【详解】解：∵计算得到统计量值2k 的观测值 4.892 3.841k ≈>， 参照题目中的数值表，得到正确的结论是：在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“爱好该运动与性别有关”. 故选：C .【点睛】本题考查独立性检验，属于基础题． 5.已知向量,a b 满足||1,||3a b ==,且a 与b 的夹角为6π,则()(2)a b a b +⋅-=( ) A.12B. 32-C. 12-D.32【答案】A 【解析】 【分析】根据向量的运算法则展开后利用数量积的性质即可.【详解】221()(2)22312a b a b a b a b +⋅-=-+⋅=-+=. 故选：A.【点睛】本题主要考查数量积的运算，属于基础题.6.《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍.其中记载有求“囷盖”的术：“置如其周，令相承也.又以高乘之，三十六成一”.该术相当于给出了由圆锥的底面周长L 与高h ，计算其体积2136V L h ≈的近似公式.它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率近似取为3.那么近似公式23112V L h ≈相当于将圆锥体积公式中的圆周率近似取为（ ） A.227B.15750C. 289D.337115【答案】C 【解析】 【分析】将圆锥的体积用两种方式表达，即213V r h π==23(2)112r h π，解出π即可. 【详解】设圆锥底面圆的半径为r ，则213V r h π=，又2233(2)112112V L h r h π≈=， 故23(2)112r h π213r h π≈，所以，11228369π≈=. 故选：C.【点睛】本题利用古代数学问题考查圆锥体积计算的实际应用，考查学生的运算求解能力、创新能力.7.已知α，β是两个不同的平面，直线m α⊂，下列命题中正确的是( ) A. 若αβ⊥，则//m β B. 若αβ⊥，则m β⊥ C. 若//m β，则//αβ D. 若m β⊥，则αβ⊥【答案】D 【解析】 【分析】通过反例可确定,,A B C 错误；由面面垂直的判定定理可知D 正确.【详解】若αβ⊥且m α⊂，则m 与β相交、平行或m β⊂，A ，B 错误； 若//m β且m α⊂，则α与β可能相交或平行，C 错误；由面面垂直判定定理可知，D 选项的已知条件符合定理，则αβ⊥，D 正确. 故选D【点睛】本题考查立体几何中直线与平面、平面与平面位置关系的相关命题的判定，关键是能够熟练掌握线面平行、面面平行、线面垂直和面面垂直的判定与性质定理. 8.函数y ＝xcos x ＋sin x 的图象大致为 ( )．A. B. C. D.【答案】D 【解析】由于函数y =x cos x +sin x 为奇函数，故它的图象关于原点对称，所以排除选项B ， 由当2x π=时，y =1>0，当x =π时，y =π×cos π+sin π=−π<0 由此可排除选项A 和选项C. 故正确的选项为D. 故选D.9.要得到函数()()sin 23f x x x x R =∈的图象，可将2sin 2y x =的图象向左平移（ ） A. 6π个单位 B.3π个单位 C.4π个单位 D.12π个单位 【答案】A【分析】利用辅助角公式化简函数()y f x =的解析式，然后利用三角函数图象的平移变换规律可得出结论.【详解】()sin 222sin 22sin 236f x x x x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，因此，将2sin 2y x =的图象向左平移6π可得到函数()y f x =的图象. 故选：A.【点睛】本题考查三角函数图象的平移变换，在平移时要将两个函数的解析式化简，函数名称要保持一致，考查推理能力，属于中等题.10.数学老师给出一个定义在R 上的函数f (x )，甲、乙、丙、丁四位同学各说出了这个函数的一条性质:甲:在(-∞,0)上函数单调递减; 乙:在[0,+∞] 上函数单调递增; 丙:函数f (x )的图象关于直线x =1对称； 丁: f (0)不是函数的最小值．老师说:你们四个同学中恰好有三个人说的正确，则说法错误的同学是( ) A. 甲 B. 乙C. 丙D. 丁【答案】B 【解析】 【分析】先假设四个人中有两个人正确，由此推出矛盾，由此得到假设不成立，进而判断出说法错误的同学.【详解】先假设甲、乙正确，由此判断出丙、丁错误，与已知矛盾，由此判断甲、乙两人有一人说法错误，丙、丁正确.而乙、丙说法矛盾，由此确定乙说法错误.【点睛】本小题主要考查逻辑推理能力，涉及到函数性质，包括单调性、对称性和最值，属于基础题.11.若双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的一条渐近线被曲线22420x y x +-+=所截得的弦长为2．则双曲线C 的离心率为（ ）A.B.C.D.【解析】 【分析】先求出双曲线的渐近线方程，再根据弦长求出2213b a =，再求双曲线C 的离心率得解.【详解】双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的渐近线方程为b y x a =±，由对称性，不妨取by x a=，即0bx ay -=． 又曲线22420x y x +-+=化为()2222x y -+=， 则其圆心的坐标为()2,0由题得，圆心到直线的距离1d ==，1d ==．解得2213b a =，所以e ==== 故选B ．【点睛】本题主要考查双曲线的简单几何性质，考查直线和圆的位置关系和弦长的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和计算能力. 12.已知函数32log 0()410x x f x x x x ⎧>=⎨++≤⎩，，，函数()()F x f x b =-有四个不同的零点1x ，2x ，3x ，4x ，且满足：1234x x x x <<<，则1234x x x x +的值是（ ）A. 4?-B. 3?-C. 2-D. 1-【答案】A 【解析】 【分析】作出函数图象，根据函数图象得出4个零点的关系及范围，进而求得结论. 【详解】()()F x f x b =-有四个不同的零点1x ，2x ，3x ，4x就是(),y f x y b==图象交点横坐标，作出()f x的函数图象如图所示：由图象知124x x+=-，333434log log1x x x x-=⇒=，∴1234441x xx x+-==-.故1234x xx x+的值是-4.故选：A.【点睛】本题考查函数的零点，考查数形结合思想，解题时把函数零点转化为函数图象交点问题是解题关键．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知等比数列{}n a满足1310a a+=，245a a+=，则5a=________.【答案】12【解析】分析】由已知结合等比数列的性质及通项公式可求公比q及首项，进而可求.【详解】解：因为1310a a+=，2413()105a a a a q q+=+==，所以12q=，∴211(10)a q+=，所以18a =则45118()22a =⨯=. 故答案为：12【点睛】本题考查等比数列的基本量运算，掌握等比数列的通项公式是解题关键．14.若实数,x y 满足不等式组40,2380,1,x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩则目标函数3z x y =-的最大值为__________．【答案】12 【解析】 【分析】画出约束条件的可行域，求出最优解，即可求解目标函数的最大值． 【详解】根据约束条件画出可行域，如下图，由402380x y x y +-=⎧⎨--=⎩，解得()4,0A目标函数3y x z =-，当3y x z =-过点()4,0时，z 有最大值，且最大值为12． 故答案为12．【点睛】本题考查线性规划的简单应用，属于基础题． 15.曲线()ln f x x x =+在1x =处的切线方程是________. 【答案】21y x =- 【解析】 【分析】求出函数的导函数，把1x =代入即可得到切线的斜率，然后根据(1,1)和斜率写出切线的方程即可.【详解】解：由函数ln y x x =+知1'1y x=+， 把1x =代入'y 得到切线的斜率112k =+= 则切线方程为：12(1)y x -=-，即21y x =-. 故答案为：21y x =-【点睛】本题考查导数的几何意义，属于基础题．16.已知三棱锥P ABC -中，PC ⊥平面ABC ，若6PC BC ==，2AB =，PA 与平面ABC 所成线面角的正弦值为6，则三棱锥P ABC -外接球的表面积为______．【答案】16π 【解析】 【分析】根据已知可得AB BC ⊥，可得三棱锥P ABC -的外接球，即为以PC ，AC ，AB 为长宽高的长方体的外接球，根据已知PC 、AC 、AB 的长，代入长方体外接球直径（长方体对角线）公式，易得球半径，即可求出三棱锥外接球的表面积．【详解】解：PC ⊥平面ABC ，PA 与平面ABC 所成线面角的正弦值为64∴6PC PA =4PA ∴=，根据勾股定理可得2210AC PA PC - 在ABC ∆中，6=BC 10AC =2AB =，则ABC ∆为直角三角形．三棱锥P ABC -外接球即为以PC ，AC ，AB 为长宽高的长方体的外接球，故24R =，三棱锥外接球的表面积为2416S R ππ==． 故答案为：16π．【点睛】本题考查的知识点是球内接多面体，其中利用割补法，将三棱锥P ABC -的外接球，转化为一个长方体的外接球是解答的关键，属于中档题．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分．17.在锐角ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 2sin c A =. （1）求角C 的大小；（2）若c =ABC ∆的面积为2，求+a b 的值. 【答案】（1）60；(2) 5. 【解析】 【分析】（12sin c A =，利用正弦定理可得sin 2C =，结合C 是锐角可得结果；(2)由1sin 2ab C =6ab =，再利用余弦定理可得结果.【详解】（12sin c A =2sin sin A C A =,因为sin A 0≠，所以sin 2C =, 因为C 是锐角， 所以60C =.(2)由于1sin 2ab C =6ab ∴=， 又由于2222cos60c a b ab =+-()()227318a b ab a b =+-=+-，()225a b +=，所以5a b +=.【点睛】解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷．如果式子中含有角余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．18.南充高中扎实推进阳光体育运动，积极引导学生走向操场，走进大自然，参加体育锻炼，每天上午第三节课后全校大课间活动时长35分钟．现为了了解学生的体育锻炼时间，采用简单随机抽样法抽取了100名学生，对其平均每日参加体育锻炼的时间（单位：分钟）进行调查，按平均每日体育锻炼时间分组统计如下表：若将平均每日参加体育锻炼的时间不低于120分钟的学生称为“锻炼达人”. （1）将频率视为概率，估计我校7000名学生中“锻炼达人”有多少?（2）从这100名学生的“锻炼达人”中按性别分层抽取5人参加某项体育活动. ①求男生和女生各抽取了多少人；②若从这5人中随机抽取2人作为组长候选人，求抽取的2人中男生和女生各1人的概率. 【答案】(1)700人；(2) ①男生抽取4人，女生抽取1人．② 25【解析】 【分析】（1）100名学生中“锻炼达人”的人数为10人，由此能求出7000名学生中“锻炼达人”的人数． （2）①100名学生中的“锻炼达人”有10人，其中男生8人，女生2人．从10人中按性别分层抽取5人参加体育活动，能求出男生，女生各抽取多少人．②抽取的5人中有4名男生和1名女生，四名男生一次编号为男1，男2，男3，男4，5人中随机抽取2人，利用列举法能求出抽取的2人中男生和女生各1人的概率．【详解】（1）由表可知，100名学生中“锻炼达人”的人数为10人，将频率视为概率，我校7000名学生中“锻炼达人”的人数为107000700100⨯=（人） （2）①由（1）知100名学生中的“锻炼达人”有10人，其中男生8人，女生2人． 从10人中按性别分层抽取5人参加体育活动，则男生抽取4人，女生抽取1人．②抽取的5人中有4名男生和1名女生，四名男生一次编号为男1，男2，男3，男4，则5人中随机抽取2人的所有结果有：男1男2，男1男3，男1 男4，男1女，男2男3，男2男4，男2女，男3男4，男3女，男4女．共有10种结果，且每种结果发生的可能性相等．记“抽取的2人中男生和女生各1人”为事件A ，则事件A 包含的结果有男1女，男2女，男3女，男4女，共4个，故42()105P A ==． 【点睛】本题考查频数、概率的求法，考查列举法、古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．19.如图，三棱柱111A B C ABC -中，1BB ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，2AB =，1BC =，13BB =，D 是1CC 的中点，E 是AB 的中点.（1）证明://DE 平面11C BA ;（2）F 是线段1CC 上一点，且12CF FC =，求1A 到平面ABF 的距离. 【答案】（1）详见解析；（2）355. 【解析】 【分析】（1）要证//DE 平面11C BA ,只需证明1//DE C M ,即可求得答案; （2）先求证1A ,1B 到平面ABF 的距离相等,结合已知条件,即可求得答案. 【详解】（1）设1A B 中点为M ,连EM ,1C M1BAA ∆中M 是1A B 中点,E 是AB 的中点, ∴1//EM AA 且112EM AA =, 棱柱中侧棱11//CC AA ,且D 是1CC 的中点,∴11//DC AA 且1112DC AA =, ∴1//EM DC ,1EM DC =, ∴1//DE C M ,又ED ⊄平面11C BA 且1MC ⊂平面11C BA ,∴//DE 平面11C BA（2）F 在线段1CC 上,且12CF FC =,棱柱中113CC BB ==,∴2CF =侧面11ABB A 中11//A B AB ,且AB平面ABF ,11A B ⊄平面ABF ,∴11//A B 平面ABF ,1A ,1B 到平面ABF 的距离相等.在平面11BCC B 中作1B H ⊥直线BF 于H ——①1BB ⊥平面ABC可得1BB AB ⊥, 又AB BC ⊥,∴AB ⊥平面11BCC B ,1B H ⊂平面11BCC B ,1AB B H ⊥——②,又①②及ABBF B =,可得1B H ⊥平面ABF .故线段1B H 长为点1A ,1B 到平面ABF 的距离.Rt BCF ∆中1BC =,2CF =,2C π∠=,可得BF =1111122FBB S BB BC BF B H ∆=⋅=⋅,∴1B H = 【点睛】本题主要考查了求证线面平行和点到面的距离,解题关键是掌握线面平行判断的方法和点到面距离的解法,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.20.已知椭圆C ：22221x y a b+=(0a b >>)的焦距是，长轴长为4.（1）求椭圆C 的方程；（2）A ，B 是椭圆C 的左右顶点，过点(F 作直线l 交椭圆C 于M ，N 两点，若MAB △的面积是NAB △面积的2倍，求直线l 的方程.【答案】（1）22142x y +=.（2）07x y -=或07x y ++=.【解析】 【分析】（1）由题意求得a 与c 的值，结合隐含条件求得b ，则椭圆方程可求；（2）设11(,)M x y ，22(,)N x y ，由已知可得，直线MN 与x 轴不重合，设直线MN ：x my =，联立直线方程与椭圆方程，化为关于y 的一元二次方程，由面积关系可得M ，N 的纵坐标的关系，结合根与系数的关系求解m ，则直线方程可求.【详解】（1）由题意，2c =，24a =，则2a =，c =∴2222b a c =-=.∴椭圆C 的方程22142x y +=；（2）设11(,)M x y ，22(,)N x y ，由已知可得，直线MN 与x 轴不重合，设直线MN：x my =-联立22142x my x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，整理得22(2)20m y +--=.22288(2)16160m m m ∆=++=+>.1222y y m +=+，122202y y m -=<+. 由2MAB NAB S S =△△，得12y y =，即122y y =-，从而22121221221()41222y y y y m y y m y y +-==++=-+. 解得227m =，即7m =±. ∴直线MN的方程为：07x y -+=或07x y +=. 【点睛】本题考查求椭圆的标准方程，考查直线与椭圆相交问题．解题时总是设出交点坐标11(,)M x y ，22(,)N x y ，设出直线方程，由直线方程与椭圆方程联立消元后应用韦达定理得1212,y y y y +，代入题中其他条件求解．21.已知函数()2ln f x x mx =-，()()212g x mx x m R =+∈，令()()()F x f x g x =+ （1）当12m =时，求函数()f x 的单调区间； （2）若关于x 的不等式()1F x mx ≤-恒成立，求整数m 的最小值． 【答案】（1）()f x 的单调递增区间为()0,1，单调递减区间为()1,+∞． （2）2 【解析】 【分析】（1）先求函数的定义域，然后求导，通过导数大于零得到增区间；（2）不等式恒成立问题转化为函数的最值问题，应先求导数，研究函数的单调性，然后求函数的最值；【详解】解：（1）当12m =时，21(),02f x lnx x x =->211(),(0)x f x x x x x-∴'=-=>．令()0f x '>得210x ->又0x >，所以01x <<．所以()f x 的单调递增区间为(0,1)． 令()0f x '<得210x -<又0x >，所以1x >．所以()f x 的单调递减区间为()1,+∞． 综上可得：()f x 的单调递增区间为()0,1，单调递减区间为()1,+∞． （2）令21()()(1)(1)12G x F x mx lnx mx m x =--=-+-+．所以21(1)1()(1)mx m x G x mx m x x-+-+'=-+-=．当0m 时，因为0x >，所以()0G x '>所以()G x 在(0,)+∞上是递增函数， 又因为()31202G m =-+>． 所以关于x 的不等式()0G x 不能恒成立． 当0m >时，1()(1)()m x x mG x x-+'=-． 令()0G x '=得1x m =，所以当1(0,)x m ∈时，()0G x '>；当,1()mx ∈+∞时，()0G x '<．因此函数()G x 在1(0,)x m ∈是增函数，在,1()mx ∈+∞是减函数．故函数()G x 的最大值为11()2G lnm m m=-． 令1()2h m lnm m =-，因为()1102h =>，()12204h ln =-<． 又因为()h m 在(0,)m ∈+∞上是减函数，所以当2m 时，()0h m <． 所以整数m 的最小值为2．【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性的基本思路，不等式恒成立问题转化为函数最值问题来解的方法．属于中档题．（二）选考题：共10分．请考生在22，23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题记分．22.在直角坐标系0x y 中，曲线1C参数方程为cos (sin x t t y t αα=⎧⎨=⎩为参数且0t ≠，[0a ∈，))π，曲线2C 的参数方程为cos (1sin x y θθθ=⎧⎨=+⎩为参数），以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线3C 的极坐标方程为4cos ρθ=．（1）求2C 的普通方程及3C 的直角坐标方程；（2）若曲线1C 与曲线23C C 分别交于点A ，B ，求||AB 的最大值．【答案】（1）2C ：22(1)1y x +-=，3C ：22(2)4x y -+=；（2）【解析】 【分析】（1）在曲线2C 的参数方程中消去参数可得出曲线2C 的普通方程，在曲线3C 的极坐标方程两边同时乘以ρ，并代入222cos x y x ρρθ⎧=+⎨=⎩可得出曲线3C 的直角坐标方程；（2）由曲线1C 的参数方程得出其极坐标方程为θα=，并设点A 、B 的极坐标分别为()1,ρα、()2,ρα，将曲线1C 的极坐标方程分别代入曲线2C 、3C 的表达式，求出1ρ、2ρ关于α的表达式，然后利用三角恒等变换公式与三角函数基本性质求出12AB ρρ=-的最大值．【详解】（1）由cos 1sin x y θθ=⎧⎨=+⎩消去参数θ得2C 的普通方程为：22(1)1y x +-=；由4cos ρθ=得24cos ρρθ=，得3C 的直角坐标方程为：224x y x +=，即22(2)4x y -+=．（2）1C 的极坐标方程为：θα=，2C 的极坐标方程为：2sin ρθ= 将θα=分别代入2C ，3C 的极坐标方程得：2sin A ρα=，4cos B ρα=， |||||2sin 4cos ||)|25A B AB ρραααϕ∴=-=-=+．【点睛】本题考查参数方程、极坐标方程与普通方程之间的转化，考查极坐标方程的应用，弄清楚极坐标方程解实际问题的基本情形，另外，利用极坐标方程本质上是化为三角函数来求解，所以要充分利用三角恒等变换思想以及三角函数的基本性质来求解． 23.已知函数()|2||3|()f x x a x a R =+--∈. （1）若1a =-，求不等式()10f x +>的解集；（2）已知0a >，若()32f x a +>对于任意x ∈R 恒成立，求a 的取值范围. 【答案】（1）{|1x x <-或}1x >；（2）(2,)+∞. 【解析】 【分析】（1）1a =-时，分类讨论，去掉绝对值，分类讨论解不等式.（2）0a >时，分类讨论去绝对值，得到()f x 解析式，由函数的单调性可得()f x 的最小值，通过恒成立问题，得到关于a 的不等式，得到a 的取值范围.【详解】（1）因为1a =-，所以()12,2134,322,3x x f x x x x x ⎧--<⎪⎪⎪=-≤≤⎨⎪+>⎪⎪⎩， 所以不等式()10f x +>等价于12210x x ⎧<⎪⎨⎪--+>⎩或1323410x x ⎧≤≤⎪⎨⎪-+>⎩或3210x x >⎧⎨++>⎩， 解得1x <-或1x >.所以不等式()10f x +>的解集为{|1x x <-或}1x >.（2）因为0a >，所以()3,233,323,3a x a x a f x x a x x a x ⎧---<-⎪⎪⎪=+--≤≤⎨⎪++>⎪⎪⎩，根据函数的单调性可知函数()f x 的最小值为322a af ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，因为()32f x a +>恒成立，所以3322aa --+>，解得2a >. 所以实数a 的取值范围是()2,+∞.【点睛】本题考查分类讨论去绝对值，分段函数求最值，不等式恒成立问题，属于中档题.。

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2021届全国大联考新高考原创预测试卷（二十九）文科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A ={x ||x |<3}，B ={x ||x |>1}，则A B =A ．RB ．(1,3)C ．(3,1)(1,3)-- D ．{–2，2}2.下列函数中，在其定义域上是减函数的是A ．1y x =- B ．tan()y x =- C ． e x y -=- D ．2,02,0x x y x x -+≤⎧=⎨-->⎩3.已知向量(1)a m =，，(32)b m =-，，则3m =是a //b 的A ．充要条件B ．既不充分也不必要条件C ．必要不充分条件D ．充分不必要条件4.在△ABC 所在的平面内有一点P ，如果PB AB PC PA -=+2， 那么△PBC 的面积与△ABC 的面积之比是A. 34B. 12C. 13D. 235.若α为第三象限角，则A ．cos20α>B ．cos20α<C ．sin 20α>D ．sin 20α<6.已知ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若23a =，2b =，60A =︒，则B 为A ．60°B ．60°或120°C ．30°D ．30°或150°7.已知函数2()1log f x x x =-++，则不等式()0f x <的解集是A ．(0,2)B ．(,1)(2,)-∞+∞ C ．(1,2) D ．(0,1)(2,)+∞8.据《九章算术》记载，商高是我国西周时期的数学家，曾经和周公讨论过“勾3股4弦5”的问题，比毕达哥拉斯早500年．如图，现有△ABC 满足“勾3股4弦5”，其中AC=3，BC=4，点D 是CB 延长线上的一点，则AD AC ⋅= A ．3 B ．4 C ．9 D ．不能确定 9.在平面直角坐标系xOy 中，将点(2,1)A 绕原点O 逆时针旋转90︒到点B ，设直线OB 与x 轴正半轴所成的最小正角为α，则sin α等于A ．25-B ．55-C ．55D ．2510.在ABC ∆中，,51cos ,6,5===A AC AB O 是ABC ∆的内心，若OP xOB yOC =+,其中]1,0[,∈y x ，则动点P 的轨迹所覆盖图形的面积为 A.3610 B . 3614 C . 34 D. 26 11.已知()2ln f x a x x =-在区间()0,1内任取两个不相等的实数p q 、，不等式()()1f p f q p q->-恒成立,则实数a 的取值范围为A ．()3,5B ．(],3-∞C ．(]3,5D ．[)3,+∞12.已知函数，若在区间上有m 个零点，，，，，则A. 4042B. 4041C. 4040D. 4039二、填空题：共4小题，每小题5分，共20分.13.已知复数2i 2i z a a =--是负实数，则实数a 的值为 ．14.已知,a b 是单位向量,0a b =.若向量c 满足1,c a b c --=则的最大值是 ． 15. 如图，半径为3的扇形AOB 的圆心角为120︒，点C 在弧AB 上，且30COB ︒∠=，若OB OA OC μλ+=，则λμ+= ．16.已知定义在R 上的函数()f x 满足()()2f x f x =+，且当11x -≤≤时，()2xf x =，函数()2g x x =+，实数,a b 满足3b a >>.若[]12,,2,0x a b x ⎡⎤∀∈∃∈-⎣⎦,使得()()12f x g x =成立,则b a -的最大值为 .三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本小题满分10分） 已知集合}03|{<≤-=x x A ，集合}2|{2x x x B >-= （1）求B A ⋂；（2）若集合}22|{+≤≤=a x a x C ，且C B A ⊆⋂)(，求实数a 的取值范围．18.（本小题满分12分）函数的部分图象如图所示，其中，，．1求函数解析式；2求时，函数的值域．19.（本小题满分12分）已知向量(sin(),2),(1,cos())a x b x ωϕωϕ=+=+（ω＞0，0＜ϕ＜4π）。

函数()()()f x a b a b =+⋅-，()y f x =的图象的相邻两对称轴之间的距离为2，且过点7(1,)2M 。

（1）求()f x 图像的对称点坐标；（2）求)2014()2()1()0(f f f f ++++ 的值.20.（本小题满分12分）ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知B =60°. （1）若sin 2sin A C =，3b =，求ABC ∆的面积；（2）若2sin sin 2C A -=，求角C .21.（本小题满分12分）已知定义在R 上的函数满足)()2(x f x f =-，且当1≥x 时，)1lg()(xx x f +=求的值；解不等式；若关于x 的方程在上有解，求实数a 的取值范围．22．（本小题满分12分）已知函数()()ln f x x x a =-，()1e 22xg x =-.（1）讨论()f x 的极值； （2）当1a =时，（i ）求证：当10e x <<时，()273f x x x <-； （ii ）若存在(]00,x m ∈，使得()()00f x g m -≤，求实数m 取值范围.文科数学试卷试卷答案一、选择题：ADDAC CDCDB DB 二、填空题13．1； 14. 12+； 15．3； 16．117.解（1）由已知得)0,3[-=A ；由22x x >-解得)1,2(-=B ， 所以)0,2(-=⋂B A（2）由题意⎪⎩⎪⎨⎧+≤≥+-≤220222a a a a ，解得12-≤≤-a18.解：1根据函数的一部分图象，其中，，，可得，，，．又，得，，即，，，；2，，，．19. 解：（1）()()()f x a b a b =+⋅-=22b a-22sin ()41cos ()x x ωϕωϕ=++--+cos(22)3x ωϕ=-++由题意知：周期2222T πω==⨯，∴4πω=。

又图象过点M ，∴73cos(12)22πϕ=-⨯+即1sin 22ϕ=， ∵0＜ϕ＜4π，∴26πϕ=，12πϕ=， ∴()3cos()26f x x ππ=-+。

对称点坐标为Z k k ∈+),3,232(（2）()y f x =的周期4T =，∵3131(0)(1)(2)(3)(3)(3)(3)(3)122222f f f f +++=-+++++-= ∴原式=216045。

20.解：（1）在ABC ∆中，因为sin sin a c A C =，所以sin sin 2sin a CA C c==， 所以2a c =，由余弦定理可得22222cos6033b a c ac c =+-⋅︒==， 1,2,c a ∴== 所以ABC ∆的面积为1133sin 2122S ac B ==⨯⨯⨯=； （2）在ABC ∆中，因为120A C +=︒，0sin sin sin sin(120)C A C C -=--， 31132sin cos sin sin cos sin(60)22C C C C C C =--=-=-︒=， 0120,606060C C ︒<<︒∴-︒<-︒<︒， 6045,105C C ∴-︒=︒∴=︒21.解：函数满足，且当时，3lg 1)3()1(-==-f f函数满足，图象关于直线对称，且在上单调递增 故原不等式可化为，即，得)3,31(-∈x若关于x 的方程在上有解，即在上有解在上有两等根，即，无解一根大于1，一根小于1，即，得到一根为1，则，解得另一根为，不符综上所述，31>a 22.解：（1）依题()ln 1f x x a '=-+，()10ea f x x -'=⇒=，x()10,e a -1e a -()1e,a -+∞()f x ' -+()f x↘ 极小值 ↗列表分析可知，()11e a af f e--==-极小值，()f x 无极大值.（2）（i ）证明：当10x e <<，欲证()273f x x x <-， 即证()27ln 13x x x x -<-，即证7ln 13x x -<-，即证4ln 03x x -->.构造函数：()4ln 3h x x x =--，则有()1110x h x x x-'=-=<， 说明()h x 在ex 10<<单调递减， 于是得到()111411ln 033h x h e e e e ⎛⎫>=--=-> ⎪⎝⎭.（ii ）解：对于()()ln 1f x x x =-，可得()ln f x x '=. 因此，当()0,1x ∈时，()f x 单调递减；当()1,x ∈+∞时，()f x 单调递增.（1）当01m <≤时，()()()min ln 1ln f x f m m m m m m ==-=-. 依题意可知()()()02ln 210mf mg m m m e m -≤⇒+--≤.构造函数：()()2101mm e m m ϕ=--<≤，则有()2mm e ϕ'=-.由此可得：当()0,ln 2m ∈时，()0m ϕ'<； 当()ln 2,1m ∈时，()0m ϕ'>，即()m ϕ在()0,ln 2m ∈时，单调递减，()ln 2,1m ∈单调递增. 注意到：()00ϕ=，()10ϕ=，因此()0m ϕ<.同时注意到2ln 0m m ≤，故有()2ln 210mm m e m +--≤. （2）当1m 时，()()min 11f x f ==-. 依据题意可知()()101031ln 322m m e f m g m e m ⎛⎫-≤⇒---≤⇒≤⇒<≤ ⎪⎝⎭.综上（1）、（2）所述，所求实数m 取值范围为0ln3m <≤.。

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