实验4_RSA

密码学实验报告（四）：RSA 公钥密码体制实验

（一）实验内容:

1、 选择并计算出两组RSA 算法参数， 填写表格1。

2、 编程实现扩展欧几里德算法。

3、 编程实现模幂运算。

4、 编程计算欧拉函数Ø(n)，利用编写的函数计算100~10000的自然数的欧拉函数, 输出结

果到文本文件中. 每行一个数.

（二）实验原理：

1、扩展欧几里得算法实现原理：

有两个数a,b ，对它们进行辗转相除法，可得它们的最大公约数——这是众所周知的。然后，收集辗转相除法中产生的式子，倒回去，可以得到ax+by=gcd(a,b)的整数解。 具体流程如下：

1. (X1, X2, X3)←(1, 0, f); (Y1, Y2, Y3)←(0, 1, d);

2. if Y3=0 then return X3=gcd(f, d)；no inverse;

3. if Y3=1 then return Y3=gcd(f, d)；Y2=d-1 mod f;

4.

33/Q X Y =⎢⎥⎣⎦

;

5. (T1, T2, T3)←(X1-QY1, X2-QY2, X3-QY3);

6. (X1, X2, X3)←(Y1, Y2, Y3);

7. (Y1, Y2, Y3)←(T1, T2, T3);

8. goto 2

2、模幂算法原理:

首先，我们可以根据定义，用for 循环b 次，暂存值从1开始每次乘a ，结果模n ，得到的即模幂结果；

为实现更高的效率，可利用经典的Montgomery 算法，将模运算转化为乘法运算和移位运算，从而避免计算模运算：

例如求D=C**15 % N，由于：a*b % n = (a % n)*(b % n) % n，所以：

C1 =C*C % N =C**2 % N

C2 =C1*C % N =C**3 % N

C3 =C2*C2 % N =C**6 % N

C4 =C3*C % N =C**7 % N

C5 =C4*C4 % N =C**14 % N

C6 =C5*C % N =C**15 % N

即：对于E=15的幂模运算可分解为6 个乘模运算，归纳分析以上方法可以发现对于任意E，都可采用以下算法计算D=C**E % N：

D=1

WHILE E>=0

IF E%2=0

C=C*C % N

E=E/2

ELSE

D=D*C % N

E=E-1

RETURN D

继续分析会发现，要知道E 何时能整除 2，并不需要反复进行减一或除二的操作，只需验证E 的二进制各位是0 还是1 就可以了，从左至右或从右至左验证都可以，从左至右会更简洁，设E=Sum[i=0 to n](E*2**i)，0<=E<=1，则：

D=1

FOR i=n TO 0

D=D*D % N

IF E=1

D=D*C % N

RETURN D

这样，模幂运算就转化成了一系列的模乘运算。

3、欧拉算法原理：

根据欧拉函数的定义, Ø(n)是指是小于或等于n的正整数中与n互素的数的个数,可以从1循环至n-1判断其中与n互质的数的个数，但为使算法效率更高，我们可以应用如下性质: 若p是n的一个素数因子, 则有:

Ø(n) = Ø(n/p)*p其中: ( n/p ) % p = 0

Ø(n) = Ø(n/p)*(p-1) 其中: ( n/p ) % p != 0

则成倍减少了计算n欧拉函数值的运算量；

（三）函数说明：

1、扩展欧几里得算法：

int ext_euclid(int a, int b, int &x, int &y)；

函数返回int型值，含义为参数（a,b）的最大公约数，x,y均是中间系数，最终得到的x 是b模n的逆；

实现过程：首先判断是否满足a>b，不满足则a,b进行交换；

然后运用辗转相除法对a,b进行迭代运算，并利用q = saver / nowr; r = saver % nowr; x = savex - q * nowx; y = savey - q * nowy;每次对四个值进行更新；r=0时循环结束最终返回倒数第二层的q值即a,b的最大公约数，x,y 即所求的逆；

2、模幂算法：

int modular_exponentitation(int a, int b, int n);

函数返回int型值，含义为a^b(mod n)的结果；三个参数即上式所示；

实现过程：如实验原理中所示：流程图大致如下：

3、欧拉函数：

int Eular(int n)

输出即n欧拉函数的值；实现过程如原理所示；

（四）实验结果： 1、实验表格如下： p

q

n

Ø(n) e

d

报文(ascii 码)

报文MD5值

签名结果

11 13 143 120 7 103 121,117,113,105,97,110

3ABE2E24354B4C4E 9595C2DF7F72C76F 14

13 23 299 264 5 53 121,117,113,105,97,110

3ABE2E24354B4C4E 9595C2DF7F72C76F

29

平台截图如下：

2、扩展欧几里得函数运行截图如下：