4-7走向高考数学章节

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高考数学考点解析及分值分布

高考数学考点解析1．集合与简易逻辑：10-18分主要章节：必修1第一章《集合》、第三章《函数的应用》选修1-1（文）2-1（理）《常用逻辑用语》考查的重点是抽象思维实力，主要考查集合与集合的运算关系，将加强对集合的计算与化简的考查，并有可能从有限集合向无限集合发展。

简易逻辑多为考查“充分与必要条件”及命题真伪的判别。

2．函数与导数：30分+主要章节：必修1其次章《基本初等函数》、第三章《函数的应用》必修4第一章《三角函数》必修2第三章《直线与方程》、第四章《园与方程》选修1-1（文）2-1（理）《圆锥曲线与方程》、《导数》选修4-4《极坐标方程》《参数方程》函数是中学数学的主要内容，它把中学数学的各个分支紧密地联系在一起，是中学数学全部内容的主线。

以指数函数、对数函数、复合函数为载体，结合图象的变换（平移、伸缩、对称变换）、四性问题（单调性、奇偶性、周期性、对称性）、反函数生成考题，作为选择题、填空题考查的主要内容，其中函数的单调性和奇偶性有向抽象函数发展的趋势。

函数与导数的结合的解答题，以切线、极值、最值问题、单调性问题、恒成立问题为设置条件，结合不等式、数列综合成题，也是解答题拉分关键。

3．不等式：5-12分主要章节：必修5第三章《不等式》选修4-5全书一般不会单独命题，会在其他题型中“隐藏”出现，不等式作为一种工具广泛地应用在涉及函数、数列、解几等学问的考查中，不等式重点考五种题型：解不等式（组）；证明不等式；比较大小；不等式的应用；不等式的综合性问题。

选择题和填空题主要考查不等式性质、解法及均值不等式。

解答题会与其它学问的交汇中考查，如含参量不等式的解法（确定取值范围）、数列通项或前n项和的有界性证明、由函数的导数确定最值型的不等式证明等。

4．数列：20-28分主要章节：必修5其次章《数列》数列是中学数学的重要内容，是初等数学与高等数学的重要连接点，所以在历年的高考解答题中都占有重要的地位．题量一般是一个小题一个大题，另外一个与其它学问的综合题。

人教版高三数学选修4-7电子课本课件【全册】

ห้องสมุดไป่ตู้言
人教版高三数学选修4－7电子课本课件【全册】
第一讲优选法
人教版高三数学选修4－7电子课本课件【全册】
一什么叫优选法
人教版高三数学选修4－7电子课本课件【全册】
人教版高三数学选修4－7电子课本课件【全册】目录
0002页 0093页 0117页 0130页 0196页 0243页 0309页 0406页 0431页 0497页 0627页 0716页 0931页 1043页 1174页 1235页
引言一什么叫优选法三黄金分割法——0.618法 2.黄金分割法——0.618法四分数法阅读与思考斐波那契数列和黄金分割五其他几种常用的优越法 2.盲人爬山法 4.多峰的情形 1.纵横对折法和从好点出发法 3.双因素盲人爬山法一正交试验设计法 2.正交试验设计 4.正交表的特性学习总结报告附录二

2013走向高考,贾凤山,高中总复习,数学1-8

人教
A
版
分析：由 f(x)为一次函数可设出其解析式，利用其单调性及定义域和值域都是[1,2]可列出方程组求系数．

第1章
第八节
高考数学总复习
解析：设 f(x)＝kx＋b(k≠0)，由 f(x)的单调性及条件
k＋b＝1 知， 2k＋b＝2 k＝1 ∴ b＝0 k＋b＝2 或 2k＋b＝1
第八节
高考数学总复习
Δ＝b2－4ac 分类 a>0
Δ>0 a<0
Δ＝0 a>0 a<0 {x|x∈ a>0
Δ<0 a<0
人教
二次不等式解集 ax ＋bx＋c<0
2
{x|x<x {x|x1< x<x2}
1
R且 ∅ x≠－ b } 2a ∅ R
或
A
版
x>x2}
第1章
第八节
高考数学总复习
四、实系数一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的实根的符号与系数之间的关系 1．方程有两个不相等的正实数根⇔ Δ＝b2－4ac>0， x ＋x ＝－b>0， 2 1 a c x1·2＝ >0； x a
图象
A
版
第1章
第八节
高考数学总复习
Δ＝b2－4ac 分类 y> 0 二次函数 y＝ax2＋bx＋c
Δ>0 a>0 x<x1 或 x>x2 x1<x <x2 a<0
Δ＝0 a>0 x≠ a<0 x的
Δ<0 a>0 a<0 x的
人教
b 值不 x∈R 值不－ 2a 存在存在 x≠ x的

2013走向高考数学4-7

基础巩固强化1.(文)已知两座灯塔A、B与C的距离都是a，灯塔A在C的北偏东20°，灯塔B在C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B的距离为() A．a B.3aC.2a D．2a[答案] B[解析]由余弦定理可知，AB2＝a2＋a2－2a·a·cos120°＝3a2，得AB＝3a，故选B.(理)(2011·舟山期末)某人向正东方向走x km后，向右转150°，然后朝新方向走3 km，结果他离出发点恰好 3 km，那么x的值为()A.3B．2 3C．23或 3 D．3[答案] C[解析]如图，△ABC中，AC＝3，BC＝3，∠ABC＝30°，由余弦定理得，AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos ∠ABC，∴3＝x2＋9－6x·cos30°，∴x＝3或2 3.2．一艘海轮从A处出发，以每小时40n mile的速度沿东偏南50°方向直线航行，30min后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A 处观察灯塔，其方向是东偏南20°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B、C两点间的距离是()A．102n mile B．103n mileC．202n mile D．203n mile[答案] A[解析]如图，由条件可知△ABC中，∠BAC＝30°，∠ABC＝105°，AB＝20，∠ACB＝45°，由正弦定理得BCsin30°＝20sin45°BC＝102，故选A.3．(2012·东北三校模拟)一船向正北航行，看见正西方向有相距10n mile的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南60°西，另一灯塔在船的南75°西，则这艘船的速度是每小时()A．5n mile B．53n mileC．10n mile D．103n mile[答案] C[解析] 如图，依题意有∠BAC ＝60°，∠BAD ＝75°，所以∠CAD ＝∠CDA ＝15°，从而CD ＝CA ＝10，在Rt △ABC 中，求得AB ＝5，∴这艘船的速度是50.5＝10(n mile/h)．4．(2011·沧州模拟)有一长为1的斜坡，它的倾斜角为20°，现高不变，将倾斜角改为10°，则斜坡长为( )A ．1B ．2sin10°C ．2cos10°D ．cos20°[答案] C[解析] 如图，BD ＝1，∠DBC ＝20°，∠DAC ＝10°，在△ABD 中，由正弦定理得1sin10°＝AD sin160°，∴AD ＝2cos10°. 5.(2012·厦门质检)如图所示，在坡度一定的山坡A 处测得山顶上一建筑物CD 的顶端C 对于山坡的斜度为15°，向山顶前进100m 到达B 处，又测得C 对于山坡的斜度为45°，若CD ＝50m ，山坡对于地平面的坡度为θ，则cos θ＝( )A.32B ．2－ 3 C.3－1 D.22[答案] C[解析] 在△ABC 中，由正弦定理可知， BC ＝AB ·sin ∠BAC sin ∠ACB ＝100sin15°sin (45°－15°)＝50(6－2)，在△BCD 中，sin ∠BDC ＝BC ·sin ∠CBD CD＝50(6－2)·sin45°50＝3－1.由题图知，cos θ＝sin ∠ADE ＝sin ∠BDC ＝3－1. 6.如图，海岸线上有相距5n mile的两座灯塔A、B，灯塔B位于灯塔A的正南方向．海上停泊着两艘轮船，甲船位于灯塔A的北偏西75°方向，与A相距32n mile的D处；乙船位于灯塔B的北偏西60°方向，与B相距5n mile的C处，则两艘轮船之间的距离为() A．5n mile B．23n mileC.13n mile D．32n mile[答案] C[解析]连接AC，∠ABC＝60°，BC＝AB＝5，则AC＝5.在△ACD 中，AD＝32，AC＝5，∠DAC＝45°，由余弦定理得CD＝13.7．在地面上一点D测得一电视塔尖的仰角为45°，再向塔底方向前进100m，又测得塔尖的仰角为60°，则此电视塔高约为________m．()A．237 B．227C．247 D．257[答案] A[解析]解法1：如图，∠D ＝45°，∠ACB ＝60°，DC ＝100，∠DAC ＝15°， ∵AC ＝DC ·sin45°sin15°∴AB ＝AC ·sin60° ＝100·sin45°·sin60°sin15°＝100×22×326－24≈237.∴选A.解法2：在Rt △ABD 中，∠ADB ＝45°，∴AB ＝BD ， ∴BC ＝AB －100.在Rt △ABC 中，∠ACB ＝60°， ∴AB AB －100＝3，∴AB ＝150＋503≈237. 8．一船以每小时15km 的速度向东航行，船在A 处看到一个灯塔M 在北偏东60°方向，行驶4h 后，船到达B 处，看到这个灯塔在北偏东15°方向，这时船与灯塔的距离为________km.[答案] 30 2[解析] 如图，依题意有AB ＝15×4＝60，∠MAB ＝30°，∠AMB ＝45°，在三角形AMB 中，由正弦定理得60sin45°＝BM sin30°，解得BM ＝302(km)．9．(2011·洛阳部分重点中学教学检测)在O 点测量到远处有一物体在做匀速直线运动，开始时刻物体位于P 点，一分钟后，其位置在Q 点，且∠POQ ＝90°，再过一分钟，该物体位于R 点，且∠QOR ＝30°，则tan ∠OPQ 的值为________．[答案]32[解析] 由于物体做匀速直线运动，根据题意，PQ ＝QR ，不妨设其长度为1.在Rt △POQ 中，OQ ＝sin ∠OPQ ，OP ＝cos ∠OPQ ，在△OPR 中，由正弦定理得2sin120°＝OP sin ∠ORP ，在△ORQ 中，1sin30°＝OQ sin ∠ORQ，两式两边同时相除得OQ OP ＝tan ∠OPQ ＝32.10．(2011·东北三校二模)港口A 北偏东30°方向的C 处有一检查站，港口正东方向的B 处有一轮船，距离检查站为31n mile ，该轮船从B 处沿正西方向航行20n mile 后到达D 处观测站，已知观测站与检查站距离21n mile ，问此时轮船离港口A 还有多远？[解析] 在△BDC 中，由余弦定理知， cos ∠CDB ＝BD 2＋CD 2－BC 22BD ·CD ＝－17，∴sin ∠CDB ＝437.∴sin ∠ACD ＝sin(∠CDB －π3)＝sin ∠CDB cos π3－cos ∠CDB sin π3＝5314.在△ACD 中，由正弦定理知AD sin ∠ACD ＝CDsin A⇒AD ＝5314×21÷32＝15(n mile)．∴此时轮船距港口还有15n mile.能力拓展提升11.江岸边有一炮台高30m ，江中有两条船，由炮台顶部测得俯角分别为45°和30°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距( )A ．103mB ．1003mC ．2030mD ．30m[答案] A[解析] 设炮塔顶A 、底D ，两船B 、C ，则∠BAD ＝45°，∠CAD＝30°，∠BDC ＝30°，AD ＝30，∴DB ＝30，DC ＝103，BC 2＝DB 2＋DC 2－2DB ·DC ·cos30°＝300，∴BC ＝10 3.12．(2012·湖南文，8)在△ABC 中，AC ＝7，BC ＝2，B ＝60°，则BC 边上的高等于( )A.32B.332C.3＋62D.3＋394[答案] B[解析] 在△ABC 中，AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos B ，即7＝AB 2＋4－2×2AB ×12，AB 2－2AB －3＝0，∴AB ＝3或AB ＝－1(舍去)，则BC 边上的高AD ＝AB sin B ＝3×sin60°＝332.13．(2013·安徽省阜阳市第一中学二模)△ABC 为锐角三角形，且m ＝sin A ＋sin B ，n ＝cos A ＋cos B ，则m 与n 的大小关系为( )A ．m ≥nB ．m ≤nC ．m >nD ．m <n[答案] C[解析] ∵△ABC 为锐角三角形，∴A ＋B >π2，π2>A >π2－B >0，π2>B >π2－A >0，∴sin A >cos B ，sin B >cos A ，∴sin A ＋sin B >cos A ＋cos B ，∴m >n ，故选C.14．(2012·重庆理，13)设△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且cos A ＝35，cos B ＝513，b ＝3，则c ＝________.[答案] 145[解析] 由已知sin A ＝45，sin B ＝1213.∴sin C ＝sin[π－(A ＋B )]＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝45×513＋35×1213＝5665.由正弦定理c sin C ＝b sin B ，∴c ＝b sin C sin B ＝3×56651213＝145. 15．(2012·河北衡水中学调研)如图，在山脚A 测得山顶P 的仰角为α＝30°，沿倾斜角为β＝15°的斜坡向上走10m 到B ，在B 处测得山顶P 的仰角为γ＝60°，求山高h (单位：m)．[解析] 在三角形ABP 中， ∠ABP ＝180°－γ＋β， ∠BPA ＝180°－(α－β)－∠ABP ＝180°－(α－β)－(180°－γ＋β) ＝γ－α.在△ABP 中，根据正弦定理得 AP sin ∠ABP ＝ABsin ∠APB，∴AP sin (180°－γ＋β)＝10sin (γ－α)， ∴AP ＝10sin (γ－β)sin (γ－α). 又γ＝60°，α＝30°，β＝15°，∴山高为h ＝AP sin α＝10sin αsin (γ－β)sin (γ－α)＝52(m)． 16．(2011·东北四校联考)在海岛A 上有一座海拔1 km 的山峰，山顶设有一个观察站P ，有一艘轮船按一固定方向做匀速直线航行，上午11 00时，测得此船在岛北偏东15°、俯角为30°的B 处，到11 10时，又测得该船在岛北偏西45°、俯角为60°的C 处．(1)求船的航行速度；(2)求船从B 到C 行驶过程中与观察站P 的最短距离．[解析] (1)设船速为x km/h ，则BC ＝x 6km. 在Rt △PAB 中，∠PBA 与俯角相等为30°，∴AB ＝1tan30°＝ 3.同理，Rt △PCA 中，AC ＝1tan60°＝33. 在△ACB 中，∠CAB ＝15°＋45°＝60°，∴由余弦定理得BC ＝(3)2＋(33)2－2×3×33cos60°＝213， ∴x ＝6×213＝221km/h ， ∴船的航行速度为221km/h.(2)作AD ⊥BC 于点D ，连接PD ，∴当航行驶到点D 时，AD 最小，从而PD 最小．此时，AD ＝AB ·AC ·sin60°BC ＝3×33×32213＝3714∴PD＝1＋(3147)2＝25914. ∴船在行驶过程中与观察站P 的最短距离为25914km.1．(2012·重庆理，5)设tan α、tan β是方程x 2－3x ＋2＝0的两根，则tan(α＋β)的值为( )A ．－3B ．－1C ．1D ．3[答案] A [解析] 本题考查了根与系数的关系与两角和的正切公式．由已知tan α＋tan β＝3，tan α·tan β＝2，所以tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan α·tan β＝31－2＝－3.故选A. [点评] 运用根与系数的关系，利用整体代换的思想使问题求解变得简单．2．(2012·重庆文，5)sin47°－sin17°cos30°cos17°＝( ) A ．－32B ．－12 C.12D.32[答案] C[解析] ∵sin47°＝sin(30°＋17°)＝sin30°cos17°＋cos30°sin17°，∴原式＝sin30°cos17°＋sin17°cos30°－sin17°cos30°cos17°sin30°＝12. 3．(2012·上海文，17)在△ABC 中，若sin 2A ＋sin 2B <sin 2C ，则△ABC 的形状是( )A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．不能确定 [答案] A[解析] 由sin 2A ＋sin 2B <sin 2C .由正弦定理可得a 2＋b 2<c 2，则由余弦定理cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab<0，则角C 为钝角，故三角形为钝角三角形．4．(2012·浙江理，18)在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .已知cos A ＝23，sin B ＝5cos C . (1)求tan C 的值；(2)若a ＝2，求△ABC 的面积．[解析] (1)∵0<A <π，cos A ＝23， ∴sin A ＝1－cos 2A ＝53，又5cos C ＝sinB ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝53cos C ＋23sin C . 所以tan C ＝ 5.(2)由tan C ＝5，得sin C ＝56，cos C ＝16. 于是sin B ＝5cos C ＝56. 由a ＝2及正弦定理a sin A ＝c sin C，得c ＝3，设△ABC 的面积为S ，则S ＝12ac sin B ＝52. 5.(2011·郑州一测)某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高度：在C 处进行该仪器的垂直弹射，观察点A 、B 两地相距100m ，∠BAC ＝60°，在A 地听到弹射声音的时间比B 地晚217s.A 地测得该仪器在C 处时的俯角为15°，A 地测得最高点H 的仰角为30°，求该仪器的垂直弹射高度CH .(声音的传播速度为340m/s)[解析] 由题意，设|AC |＝x ，则|BC |＝x －217×340＝x －40，在△ABC 内，由余弦定理：|BC |2＝|BA |2＋|CA |2－2|BA |·|CA |·cos ∠BAC ，即(x －40)2＝x 2＋10000－100x ，解得x ＝420.在△ACH 中，|AC |＝420，∠CAH ＝30°＋15°＝45°，∠CHA ＝90°－30°＝60°，由正弦定理：|CH |sin ∠CAH ＝|AC |sin ∠AHC，可得|CH |＝|AC |·sin ∠CAH sin ∠AHC140 6. 答：该仪器的垂直弹射高度CH 为1406m.6．在△ABC 中，tan A ＝14，tan B ＝35. (1)求角C 的大小；(2)若△ABC 最大边的边长为17，求最小边的边长．[解析] (1)∵C ＝π－(A ＋B )，∴tan C ＝－tan(A ＋B )＝－14＋351－14×35＝－1.又∵0<C <π，∴C ＝3π4. (2)∵C ＝3π4，∴AB 边最大，即AB ＝17.又∵tan A <tan B ，A 、B ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2， ∴角A 最小，BC 边为最小边．∵⎩⎨⎧ tan A ＝sin A cos A ＝14，sin 2A ＋cos 2A ＝1.且A ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴sin A ＝1717. 由AB sin C ＝BC sin A 得，BC ＝AB ·sin A sin C ＝ 2. 所以，最小边BC ＝ 2.7.如图所示，甲船由A 岛出发向北偏东45°的方向作匀速直线航行，速度为152n mile/h ，在甲船从A 岛出发的同时，乙船从A 岛正南40n mile 处的B 岛出发，朝北偏东θ(θ＝arctan 12)的方向作匀速直线航行，速度为105n mile/h.(1)求出发后3h 两船相距多少海里？(2)求两船出发后多长时间相距最近？最近距离为多少海里？(3)两船在航行中能否相遇？试说明理由．[解析] 以A 为原点，BA 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系．设在t 时刻甲、乙两船分别在P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则x 1＝152t cos45°＝15t ，y 1＝x 1＝15t,由θ＝arctan 12可得，cos θ＝255，sin θ＝55，故x 2＝105t sin θ＝10t ，y 2＝105t cos θ－40＝20t －40，(1)令t ＝3，则P 、Q 两点的坐标分别为(45,45)，(30,20)， |PQ |＝(45－30)2＋(45－20)2＝850＝534.即两船出发后3h ，相距534n mile.(2)由(1)的求解过程易知：|PQ |＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2＝(10t －15t )2＋(20t －40－15t )2＝50t 2－400t ＋1600＝50(t －4)2＋800≥202，∴当且仅当t ＝4时，|PQ |取得最小值20 2.即两船出发后4h ，相距最近，距离为202n mile. (3)由(2)知两船航行过程中的最近距离为202n mile ，故两船不可能相遇．。

2021人教版高三数学选修4-7电子课本课件【全册】

引言
2021人教版高三数学选修4－7电子课本课件【全册】
第一讲优选法
2021人教版高三数学选修4－7电子课本课件【全册】
一什么叫优选法
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二单峰函数
2021人教版高三数学ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ修4－7电子课本课件【全册】
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引言一什么叫优选法三黄金分割法——0.618法 2.黄金分割法——0.618法四分数法阅读与思考斐波那契数列和黄金分割五其他几种常用的优越法 2.盲人爬山法 4.多峰的情形 1.纵横对折法和从好点出发法 3.双因素盲人爬山法一正交试验设计法 2.正交试验设计 4.正交表的特性学习总结报告附录二

2013走向高考,贾凤山,高中总复习,数学1-7

第七节
高考数学总复习
2．识图绘图、识图是学习函数、应用函数的一项重要基本功．识图要首先把握函数的定义域、值域、单调区间、奇偶性或图象的对称特征、周期性、与坐标轴的交点，另外有无渐近线，负值区间等都是识图的重要方面，正、要注意函数解析式中含参数时．怎样由图象提供信息来确定这些参数．
人教
A
版
第1章
第七节
高考数学总复习
(3)伸缩变换 ①y＝Af(x)(A＞0)的图象，可将 y＝f(x)图象上所有点的纵坐标变为原来的 A 倍，横坐标不变而得到． ②y＝f(ax)(a＞0)的图象，可将 y＝f(x)图象上所有点 1 的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变而得到． a
人教
A
版
第1章
人教
A
版
第1章
第七节
高考数学总复习
2．由函数 y＝f(x)的图象变换成 y＝g(x)的图象，变换顺序为①→②时，由 y＝g(x)的图象变换成 y＝f(x)的图象则是相反的变换且顺序也相反，即②→①.
人教
A
版
第1章
第七节
高考数学总复习
3．在研究幂函数 y＝xα 的图象、性质时，应考虑 α 的三种情况：α>0，α＝0 和 α<0.幂函数的图象一定出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限内，与坐标轴相交时，交点一定是原点．
－ 1 3
∵y＝x
在(－∞，0)和(0，＋∞)上均为减函数，
－ 1 3
∴(a＋1)
<(3－2a)
－
1 3
等价于 a＋1>3－2a>0 或 0>a
人教
＋1>3－2a 或 a＋1<0<3－2a. 2 3 解得 a<－1 或 <a< . 3 2 故

2021【走向高考】高考数学一轮总复习新课标通用习题：第8章解析几何第2讲 Word版含答案

第八章其次讲A 组基础巩固一、选择题1．若l 1：x ＋(1＋m )y ＋(m －2)＝0，l 2：mx ＋2y ＋6＝0平行，则实数m 的值是导学号 25401907( ) A ．m ＝1或m ＝－2 B ．m ＝1 C ．m ＝－2 D ．m 的值不存在[答案] A[解析] 方法一：据已知若m ＝0，易知两直线不平行，若m ≠0，则有1m ＝1＋m 2≠m －26⇒m ＝1或m ＝－2.方法二：由1×2＝(1＋m )m ，得m ＝－2或m ＝1.当m ＝－2时，l 1：x －y －4＝0，l 2：－2x ＋2y ＋6＝0，平行．当m ＝1时，l 1：x ＋2y －1＝0，l 2：x ＋2y ＋6＝0，平行．2．若直线mx ＋4y －2＝0与直线2x －5y ＋n ＝0垂直，垂足为(1，p )，则实数n 的值为导学号 25401908( )A ．－12B ．－2C ．0D ．10 [答案] A[解析] 由2m －20＝0，得m ＝10.由垂足(1，p )在直线mx ＋4y －2＝0上，得10＋4p －2＝0.∴p ＝－2.又垂足(1，－2)在直线2x －5y ＋n ＝0上，则解得n ＝－12.3．对任意实数a ，直线y ＝ax －3a ＋2所经过的定点是导学号 25401909( ) A ．(2,3) B ．(3,2) C ．(－2,3) D ．(3，－2)[答案] B[解析] 直线y ＝ax －3a ＋2变为a (x －3)＋(2－y )＝0.又a ∈R ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x －3＝0，2－y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝2，得定点为(3,2)．4．点A (1,1)到直线x cos θ＋y sin θ－2＝0的距离的最大值是导学号 25401910( )A ．2B ．2－ 2C ．2＋ 2D ．4[答案] C[解析] 由点到直线的距离公式，得d ＝|cos θ＋sin θ－2|cos 2θ＋sin 2θ＝2－2sin(θ＋π4)，又θ∈R ，d max ＝2＋2，故选C.5．光线沿直线y ＝2x ＋1射到直线y ＝x 上，被y ＝x 反射后的光线所在的直线方程为导学号 25401911( )A ．y ＝12x －1B ．y ＝12x －12C ．y ＝12x ＋12D ．y ＝12x ＋1[答案] B[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝2x ＋1，y ＝x ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1，即直线过(－1，－1)．又直线y ＝2x ＋1上一点(0,1)关于直线y ＝x 对称的点(1,0)在所求直线上． ∴所求直线方程为y －0－1－0＝x －1－1－1，即y ＝x 2－12.6．(2021·云南统考)已知A 、B 两点分别在两条相互垂直的直线2x －y ＝0和x ＋ay ＝0上，且AB 线段的中点为P (0，10a)，则线段AB 的长为导学号 25401912( )A ．11B ．10C ．9D ．8[答案] B[解析] 依题意，a ＝2，P (0,5)，设A (x,2x )，B (－2y ，y )，故⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＝0，2x ＋y ＝10，则A (4,8)，B (－4,2)，∴|AB |＝(4＋4)2＋(8－2)2＝10. 二、填空题7．(2021·重庆检测)已知直线l 1的方程为3x ＋4y －7＝0，直线l 2的方程为6x ＋8y ＋1＝0，则直线l 1与l 2的距离为____________________.导学号 25401913[答案] 32[解析] 直线l 1的方程为3x ＋4y －7＝0，直线l 2的方程为6x ＋8y ＋1＝0，即3x ＋4y ＋12＝0，∴直线l 1与l 2的距离为|12＋7|32＋42＝32. 8．(2021·河北秦皇岛检测)直线l 1：y ＝2x ＋3关于直线l ：y ＝x ＋1对称的直线l 2的方程为____________________.导学号 25401914[答案] x －2y ＝0[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋3，y ＝x ＋1，解得直线l 1与l 的交点坐标为(－2，－1)， ∴可设直线l 2的方程为y ＋1＝k (x ＋2)，即kx －y ＋2k －1＝0. 在直线l 上任取一点(1,2)，由题设知点(1,2)到直线l 1，l 2的距离相等，由点到直线的距离公式得|k －2＋2k －1|k 2＋1＝|2－2＋3|22＋1，解得k ＝12(k ＝2舍去)，∴直线l 2的方程为x －2y ＝0.9．(2021·北京东城区)若O (0,0)，A (4，－1)两点到直线ax ＋a 2y ＋6＝0的距离相等，则实数a ＝____________________.导学号 25401915[答案] －2或4或6 [解析] 由题意，得6a 2＋a 4＝|4a －a 2＋6|a 2＋a 4，即4a －a 2＋6＝±6，解之得a ＝0或－2或4或6.检验得a ＝0不合题意，所以a ＝－2或4或6.10．已知两直线a 1x ＋b 1y ＋1＝0和a 2x ＋b 2y ＋1＝0的交点为P (2,3)，则过两点Q 1(a 1，b 1)、Q 2(a 2，b 2)(a 1≠a 2)的直线方程为____________________.导学号 25401916[答案] 2x ＋3y ＋1＝0[分析] 由两直线过定点得出系数之间的关系，从而得出直线方程．[解析] 由于点P (2,3)在已知直线上，所以2a 1＋3b 1＋1＝0,2a 2＋3b 2＋1＝0，所以2(a 1－a 2)＋3(b 1－b 2)＝0，即b 1－b 2a 1－a 2＝－23，所以所求直线方程为y －b 1＝－23(x －a 1)．所以2x ＋3y －(2a 1＋3b 1)＝0，即2x ＋3y ＋1＝0.三、解答题11．已知两条直线l 1：ax －by ＋4＝0和l 2：(a －1)x ＋y ＋b ＝0，求满足下列条件的a 、b 的值：导学号 25401917(1)l 1⊥l 2，且l 1过点(－3，－1)；(2)l 1∥l 2，且坐标原点到这两条直线的距离相等． [答案] (1)a ＝b ＝2 (2)a ＝2，b ＝－2或a ＝23，b ＝2[解析] (1)由已知可得l 2的斜率存在，且k 2＝1－a . 若k 2＝0，则1－a ＝0，a ＝1.∵l 1⊥l 2，直线l 1的斜率k 1必不存在，即b ＝0.又∵l 1过点(－3，－1)，∴－3a ＋4＝0，即a ＝43(冲突)．∴此种状况不存在，∴k 2≠0.即k 1，k 2都存在，∵k 2＝1－a ，k 1＝ab ，l 1⊥l 2，∴k 1k 2＝－1，即ab(1－a )＝－1.①又∵l 1过点(－3，－1)，∴－3a ＋b ＋4＝0.② 由①②联立，解得a ＝2，b ＝2.(2)∵l 2的斜率存在，l 1∥l 2，∴直线l 1的斜率存在， k 1＝k 2，即ab＝1－a .③又∵坐标原点到这两条直线的距离相等，且l 1∥l 2， ∴l 1，l 2在y 轴上的截距互为相反数，则4b＝b ，④联立③④，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝23，b ＝2.∴a ＝2，b ＝－2或a ＝23，b ＝2.12．若直线l 过点A (1，－1)与已知直线l 1：2x ＋y －6＝0相交于B 点，且|AB |＝5，求直线l 的方程.导学号 25401918[答案] x ＝1或3x ＋4y ＋1＝0[解析] 过点A (1，－1)与y 轴平行的直线为x ＝1.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，2x ＋y －6＝0，求得B 点坐标为(1,4)，此时|AB |＝5，即x ＝1为所求．设过A (1，－1)且与y 轴不平行的直线为y ＋1＝k (x －1)，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －6＝0，y ＋1＝k (x －1)，得两直线交点为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝k ＋7k ＋2，y ＝4k －2k ＋2.(k ≠－2，否则与已知直线平行)．则B 点坐标为(k ＋7k ＋2，4k －2k ＋2)．由已知(k ＋7k ＋2－1)2＋(4k －2k ＋2＋1)2＝52，解得k ＝－34，∴y ＋1＝－34(x －1)，即3x ＋4y ＋1＝0.综上可知，所求直线的方程为x ＝1或3x ＋4y ＋1＝0. B 组力量提升1．(2021·烟台调研)设曲线y ＝x ＋1x －1在点(3,2)处的切线与直线ax ＋y ＋1＝0垂直，则a ＝导学号 25401919( )A ．2B ．－2C ．－12D ．12[答案] B[解析] 由于y ′＝x －1－x －1(x －1)2＝－2(x －1)2，所以曲线在点(3,2)处的切线的斜率k ＝y ′|x ＝3＝－12，又该切线与直线ax ＋y ＋1＝0垂直，所以－a ·k ＝－1，所以a ＝－2，故选B.2．(2022·唐山一模)双曲线x 2－y 2＝4左支上一点P (a ，b )到直线y ＝x 的距离为2，则a ＋b ＝导学号 25401920( )A ．2B ．－2C ．4D ．－4[答案] B[解析] 利用点到直线的距离公式，得|a －b |2＝2，即|a －b |＝2，又P (a ，b )为双曲线左支上一点，故应在直线y ＝x 的上方区域，所以a －b ＜0，所以a －b ＝－2.由于P (a ，b )在双曲线上，所以a 2－b 2＝4，所以(a ＋b )(a －b )＝4，所以a ＋b ＝－2.3．如图，已知A (4,0)、B (0,4)，从点P (2,0)射出的光线经直线AB 反射后再射到直线OB 上，最终经直线OB 反射后又回到P 点，则光线所经过的路程是导学号 25401921( )A ．210B ．6C ．3 3D ．2 5[答案] A[解析] 由题意知点P 关于直线AB 的对称点为D (4,2)，关于y 轴的对称点为C (－2,0)，则光线所经过的路程PMN 的长为|CD |＝210.4．在△ABC 中，BC 边上的高所在直线l 1的方程为x －2y ＋1＝0，∠A 的平分线所在的直线l 2的方程为y ＝0，若点B 的坐标为(1,2)，求点A 、C 的坐标.导学号 25401922[答案] A (－1,0)，C (5，－6)[解析] 如图，设C (x 0，y 0)，由题意知l 1∩l 2＝A ，则⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ＋1＝0，y ＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝0. 即A (－1,0)．又∵l 1⊥BC ，∴k BC ·kl 1＝－1. ∴k BC ＝－1kl 1＝－112＝－2.∴由点斜式可得BC 的直线方程为y －2＝－2(x －1)，即2x ＋y －4＝0. 又∵l 2：y ＝0(x 轴)是∠A 的平分线，∴B 关于l 2的对称点B ′在直线AC 上，易得B ′点的坐标为(1，－2)，由两点式可得直线AC 的方程为x ＋y ＋1＝0.由C (x 0，y 0)在直线AC 和BC 上，可得⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＋y 0＋1＝0，2x 0＋y 0－4＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝5，y 0＝－6.即C (5，－6)．5．(2021·东营模拟)设直线l 的方程为(a ＋1)x ＋y －2－a ＝0(a ∈R ).导学号 25401923 (1)若直线l 在两坐标轴上的截距相等，求直线l 的方程；(2)若a ＞－1，直线l 与x 、y 轴分别交于M 、N 两点，O 为坐标原点，求△OMN 面积取最小值时，直线l 的方程．[答案] (1)x －y ＝0或x ＋y －2＝0 (2)x ＋y －2＝0[解析] (1)当直线l 经过坐标原点时，该直线在两坐标轴上的截距都为0，此时a ＋2＝0，解得a ＝－2，此时直线l 的方程为－x ＋y ＝0，即x －y ＝0；当直线l 不经过坐标原点，即a ≠－2且a ≠－1时，由直线在两坐标轴上的截距相等可得2＋aa ＋1＝2＋a ，解得a ＝0，此时直线l 的方程为x ＋y －2＝0. 所以直线l 的方程为x －y ＝0或x ＋y －2＝0.(2)由直线方程可得M (2＋aa ＋1，0)，N (0,2＋a )，由于a ＞－1，所以S △OMN ＝12×2＋a a ＋1×(2＋a )＝12×[(a ＋1)＋1]2a ＋1＝12[(a ＋1)＋1a ＋1＋2]≥12×[2(a ＋1)·1a ＋1＋2]＝2，当且仅当a ＋1＝1a ＋1，即a ＝0时等号成立．此时直线l 的方程为x ＋y －2＝0.。

【走向高考】(2013春季发行)高三数学第一轮总复习 7-2基本不等式新人教A版

7-2基本不等式基础巩固强化1.(文)(2012·重庆模拟)已知函数f (x )＝log a x (a >0且a ≠1)，若x <0时，有a x>1，则不等式f (1－1x)>1的解集为( )A ．(11－a ，＋∞)B ．(1，1a)C ．(－∞，11－a) D ．(1，11－a)[答案] D[解析] 依题意得0<a <1，于是由f (1－1x )>1得log a (1－1x )>log a a,0<1－1x<a ，由此解得1<x <11－a ，因此不等式f (1－1x )>1的解集是(1，11－a)，选D.(理)“a ＝14”是“对任意的正数x ，均有x ＋ax ≥1”的( )A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件[答案] A[解析] ∵a ＝14，x >0时，x ＋ax≥2x ·a x ＝1，等号在x ＝12时成立，又a ＝4时，x ＋a x ＝x ＋4x ≥2x ·4x ＝4也满足x ＋ax≥1，故选A. 2．(文)(2012·内蒙包头一模)若圆C 1：x 2＋y 2＋2ax ＋a 2－4＝0，(a ∈R )与圆C 2：x 2＋y 2－2by －1＋b 2＝0，(b ∈R )外切，则a ＋b 的最大值为( )A ．－3 2B ．－3C ．3D ．3 2[答案] D[解析] ⊙C 1：(x ＋a )2＋y 2＝4的圆心C 1(－a,0)，半径r 1＝2，⊙C 2：x 2＋(y －b )2＝1的圆心C 2(0，b )，半径r 2＝1，∵⊙C 1与⊙C 2外切，∴|C 1C 2|＝r 1＋r 2， ∴a 2＋b 2＝9，∵(a ＋b )2＝a 2＋b 2＋2ab ≤2(a 2＋b 2)＝18， ∴a ＋b ≤32，等号在a ＝b ＝322时成立．(理)(2011·厦门二检)若直线ax －by ＋2＝0(a >0，b >0)被圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0截得的弦长为4，则1a ＋1b的最小值为( )A.14B. 2C.32＋ 2 D.32＋2 2 [答案] C[解析] 圆的直径是4，说明直线过圆心(－1,2)，故12a ＋b ＝1，1a ＋1b ＝(12a ＋b )(1a ＋1b )＝32＋b a ＋a 2b ≥32＋2，当且仅当b a ＝a2b，即a ＝2(2－1)，b ＝2－2时取等号，故选C. 3．(2012·河南六市联考)函数y ＝log a x ＋1(a >0且a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线x m ＋y n－4＝0(m >0，n >0)上，则m ＋n 的最小值为( )A ．2＋ 2B ．2C ．1D ．4[答案] C[解析] y ＝log a x ＋1过定点A (1,1)，∵A 在直线x m ＋y n－4＝0上，∴1m ＋1n＝4，∵m >0，n >0，∴m ＋n ＝14(m ＋n )(1m ＋1n )＝14(2＋n m ＋m n )≥14(2＋2n m ·m n )＝1，等号在m ＝n ＝12时成立， ∴m ＋n 的最小值为1.4．(文)(2011·太原部分重点中学联考)若正实数a ，b 满足a ＋b ＝1，则( ) A.1a ＋1b有最大值4B ．ab 有最小值14C.a ＋b 有最大值 2 D ．a 2＋b 2有最小值22[答案] C[解析] 由基本不等式，得ab ≤a 2＋b 22＝a ＋b 2－2ab 2＝12－ab ，所以ab ≤14，故B 错；1a ＋1b ＝a ＋b ab ＝1ab ≥4，故A 错；由基本不等式得a ＋b2≤a ＋b2＝12，即a ＋b ≤2，故C 正确；a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ＝1－2ab ≥1－2×14＝12，故D 错．故选C.(理)(2011·湖北八校第一次联考)若0<x <1，则4x ＋91－x 的最小值为( )A ．24B ．26C ．25D ．1[答案] C[解析] 依题意得4x ＋91－x ＝(4x ＋91－x )[x ＋(1－x )]＝13＋41－x x ＋9x1－x≥13＋241－x x·9x 1－x＝25，当且仅当41－x x＝9x 1－x ，即x ＝25时取等号，选C. 5．(2013·烟台市第一学期检测)已知向量a ＝(x －1,2)，b ＝(4，y )，若a ⊥b ，则9x＋3y的最小值为( )A ．2B ．2 3C ．6D ．9[答案] C[解析] 由题意知a ·b ＝4(x －1)＋2y ＝0，∴2x ＋y ＝2，∴9x＋3y＝32x＋3y ≥232x ＋y＝6，等号成立时，x ＝12，y ＝2，故选C.6．(2011·北京文，7)某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x 件，则平均仓储时间为x8天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品( )A ．60件B ．80件C ．100件D ．120件[答案] B[解析] 由题意知仓储x 件需要的仓储费为x 28元，所以平均费用为y ＝x 8＋800x≥2x 8×800x＝20，当且仅当x ＝80等号成立． 7．已知c 是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的半焦距，则ca ＋b的取值范围是________．[答案] [22，1) [解析] 由题设条件知，a ＋b >c ，∴ca ＋b<1，∵a 2＋b 2＝c 2，∴(ca ＋b )2＝c 2a 2＋b 2＋2ab ≥c 22a 2＋b 2＝12，∴ca ＋b≥22，22≤c a ＋b<1. 8．(文)(2011·温州一检)已知直线x ＋2y ＝2与x 轴、y 轴分别相交于A 、B 两点，若动点P (a ，b )在线段AB 上，则ab 的最大值为________．[答案] 12[解析] 由题意知A (2,0)，B (0,1)，所以线段AB 的方程用截距式表示为x2＋y ＝1，x ∈[0,2]，又动点P (a ，b )在线段AB 上，所以a 2＋b ＝1，a ∈[0,2]，又a 2＋b ≥2ab2，所以1≥2ab2，解得0≤ab ≤12，当且仅当a 2＝b ＝12，即P (1，12)时，ab 取得最大值12. (理)设圆x 2＋y 2＝1的一条切线与x 轴、y 轴分别交于点A ，B ，则AB 的最小值为______． [答案] 2[解析] 由条件知切线在两轴上的截距存在，且不为零，故设切线方程为x a ＋yb＝1，则aba 2＋b 2＝1， ∴a 2b 2＝a 2＋b 2≥2ab ，切线与两轴交于点A (a,0)和(0，b )，不妨设a >0，b >0，∴ab ≥2，则AB ＝|AB |＝a 2＋b 2≥2ab ≥2.9．(文)(2011·江苏)在平面直角坐标系xOy 中，过坐标原点的一条直线与函数f (x )＝2x的图象交于P 、Q 两点，则线段PQ 长的最小值是________． [答案] 4[解析] 由题意，P ，Q 关于(0,0)对称，设直线PQ ：y ＝kx (k >0)，从而P (2k，2k )，Q (－2k，－2k )．则PQ ＝8k2＋8k 2≥4，当且仅当k ＝1时，(PQ )min ＝4.[点评] (1)用基本不等式a ＋b2≥ab 求最值时，要注意“一正、二定、三相等”，一定要明确什么时候等号成立．(2)应用基本不等式求最值，要注意归纳常见的变形技巧，代入消元，配系数，“1”的代换等等．(3)注意到P 、Q 关于原点对称，可设P (x 0，2x 0)，x 0>0，则|PQ |＝2|OP |＝2x 20＋4x 0≥4，x 0＝2时取等号，更简捷的获解．(理)(2011·山东日照调研)在等式“1＝1 ＋9”的两个括号内各填入一个正整数，使它们的和最小，则填入的两个数是________．[答案] 4和12[解析] 设两个括号中的正整数分别为x ，y ，则x >0，y >0，1x ＋9y ＝1，x ＋y ＝(x ＋y )(1x＋9y )＝10＋y x ＋9xy≥10＋2y x ·9x y ＝16，等号在y x ＝9xy，即y ＝3x 时成立，由⎩⎪⎨⎪⎧1x ＋9y ＝1y ＝3x解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝12.10．(文)(2011·洛阳模拟)若直线ax ＋by ＋1＝0(a >0，b >0)平分圆x 2＋y 2＋8x ＋2y ＋1＝0，求1a ＋4b的最小值．[解析] 由x 2＋y 2＋8x ＋2y ＋1＝0得 (x ＋4)2＋(y ＋1)2＝16， ∴圆的圆心坐标为(－4，－1)， ∴－4a －b ＋1＝0，即4a ＋b ＝1， ∴1a ＋4b ＝b ＋4a ab ＝1ab，由1＝4a ＋b ≥24ab ＝4ab ，得ab ≤116，∴1ab ≥16，∴1a ＋4b的最小值为16.(理)如图，互相垂直的两条公路AM 、AN 旁有一矩形花园ABCD ，现欲将其扩建成一个更大的三角形花园APQ ，要求P 在射线AM 上，Q 在射线AN 上，且PQ 过点C ，其中AB ＝30m ，AD ＝20m.记三角形花园APQ 的面积为S .(1)当DQ 的长度是多少时，S 最小？并求S 的最小值； (2)要使S 不小于1600m 2，则DQ 的长应在什么范围内？ [解析] (1)设DQ ＝x m(x >0)，则AQ ＝x ＋20，∵QD DC ＝AQ AP ，∴x 30＝x ＋20AP， ∴AP ＝30x ＋20x ，则S ＝12×AP ×AQ ＝15x ＋202x＝15(x ＋400x＋40)≥1200，当且仅当x ＝20时取等号． (2)∵S ≥1600，∴3x 2－200x ＋1200≥0，∴0<x ≤203或x ≥60答：(1)当DQ 的长度是20m 时，S 最小，且S 的最小值为1200m 2； (2)要使S 不小于1600m 2，则DQ 的取值范围是0<DQ ≤203或DQ ≥60.能力拓展提升11.(文)已知－1<a <0，A ＝1＋a 2，B ＝1－a 2，C ＝11＋a，比较A 、B 、C 的大小结果为( ) A ．A <B <C B ．B <A <C C ．A <C <B D ．B <C <A[答案] B[解析] 不妨设a ＝－12，则A ＝54，B ＝34，C ＝2，由此猜想B <A <C .由－1<a <0得1＋a >0，A －B ＝(1＋a 2)－(1－a 2)＝2a 2>0得A >B ，C －A ＝11＋a－(1＋a 2)＝－a a 2＋a ＋11＋a＝－a ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋122＋341＋a>0，得C >A ，∴B <A <C .(理)(2012·济南一模)若实数x 、y 满足4x＋4y＝2x ＋1＋2y ＋1，则t ＝2x ＋2y的取值范围是( )A ．0<t ≤2B ．0<t ≤4C ．2<t ≤4D ．t ≥4[答案] C[解析] 设a ＝2x，b ＝2y，则a >0，b >0，由条件得a 2＋b 2＝2(a ＋b )，∵a 2＋b 2≥a ＋b 22，∴(a ＋b )2≤4(a ＋b )，∴a ＋b ≤4，又(a ＋b )2－2(a ＋b )＝2ab >0，∴a ＋b >2， ∴2<a ＋b ≤4.12．(2011·福建文，10)若a >0，b >0，且函数f (x )＝4x 3－ax 2－2bx ＋2在x ＝1处有极值，则ab 的最大值等于( )A ．2B ．3C ．6D ．9 [答案] D[解析] f ′(x )＝12x 2－2ax －2b ＝0的一根为x ＝1，即12－2a －2b ＝0. ∴a ＋b ＝6，∴ab ≤(a ＋b2)2＝9，当且仅当a ＝b ＝3时“＝”号成立．13．(文)(2011·湛江调研)已知x >0，y >0，若2y x ＋8x y>m 2＋2m 恒成立，则实数m 的取值范围是( )A ．m ≥4或m ≤－2B ．m ≥2或m ≤－4C ．－2<m <4D ．－4<m <2[答案] D[解析] ∵x >0，y >0， ∴2y x ＋8x y≥22y x ·8x y＝8，由条件知m 2＋2m <8，解得－4<m <2，故选D.(理)(2010·东北三校联考、泰安模拟)已知正项等比数列{a n }满足：a 7＝a 6＋2a 5，若存在两项a m ，a n 使得a m a n ＝4a 1，则1m ＋4n的最小值为( )A.32B.53C.256D ．不存在[答案] A[解析] 由已知a n >0，a 7＝a 6＋2a 5，设{a n }的公比为q ，则a 6q ＝a 6＋2a 6q，∴q 2－q －2＝0，∵q >0，∴q ＝2，∵a m a n ＝4a 1，∴a 21·q m ＋n －2＝16a 21，∴m ＋n －2＝4，∴m ＋n ＝6，∴1m ＋4n ＝16(m ＋n )⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋4n ＝16⎣⎢⎡⎦⎥⎤5＋n m ＋4m n ≥16⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋2n m ·4m n ＝32，等号在n m ＝4m n ，即n ＝2m ＝4时成立．14．如图所示，已知D 是面积为1的△ABC 的边AB 的中点，E 是边AC 上任一点，连接DE ，F 是线段DE 上一点，连接BF ，设DF DE ＝λ1，AE AC ＝λ2，且λ1＋λ2＝12，记△BDF 的面积为S ＝f (λ1，λ2)，则S 的最大值是________．[答案]132[解析] 连接BE .因为△ABC 的面积为1，AE AC＝λ2，所以△ABE 的面积为λ2.因为D 是AB 的中点，所以△BDE 的面积为λ22.因为DF DE ＝λ1，所以△BDF 的面积S ＝f (λ1，λ2)＝12λ1λ2≤12(λ1＋λ22)2＝132，上式当且仅当λ1＝λ2＝14时取等号．15．(文)(2011·三明模拟)某住宅小区为了使居民有一个优雅、舒适的生活环境，计划建一个正八边形的休闲小区，它的主体造型的平面图是由两个相同的矩形ABCD 和EFGH 构成的面积为200 m 2的十字型区域．现计划在正方形MNPQ 上建一花坛，造价为4200元/m 2，在四个相同的矩形上(图中阴影部分)铺花岗岩地坪，造价为210元/m 2，再在四个空角上铺草坪，造价为80元/m 2.(1)设总造价为S 元，AD 的长为x m ，试建立S 关于x 的函数关系式； (2)计划至少投入多少元，才能建造这个休闲小区． [解析] (1)设DQ ＝y ，则x 2＋4xy ＝200，∴y ＝200－x 24x.S ＝4200x 2＋210×4xy ＋80×4×12y 2＝38000＋4000x 2＋400000x2(0<x <102)． (2)S ＝38000＋4000x 2＋400000x2≥38000＋216×108＝118000，当且仅当4000x 2＝400000x2，即x ＝10时， S min ＝118000(元)，答：计划至少要投入11.8万元才能建造这个休闲小区．(理)某企业准备投入适当的广告费对产品进行促销，在一年内预计销售量Q (万件)与广告费x (万元)之间的函数关系为Q ＝3x ＋1x ＋1(x ≥0)．已知生产此产品的年固定投入为3万元，每生产1万元此产品仍需再投入32万元，若每件销售价为“年平均每件生产成本的150%”与“年平均每件所占广告费的50%”之和．(1)试将年利润W (万元)表示为年广告费x (万元)的函数；(2)当年广告费投入多少万元时，企业年利润最大？最大利润为多少？ [解析] (1)由题意可得，产品的生产成本为(32Q ＋3)万元，每万件销售价为32Q ＋3Q×150%＋xQ×50%，∴年销售收入为(32Q ＋3Q ×150%＋xQ×50%)·Q＝32(32Q ＋3)＋12x ， ∴年利润W ＝32(32Q ＋3)＋12x －(32Q ＋3)－x＝12(32Q ＋3－x )＝－x 2＋98x ＋352x ＋1(x ≥0)． (2)令x ＋1＝t (t ≥1)，则 W ＝－t －12＋98t －1＋352t＝50－⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2＋32t . ∵t ≥1，∴t 2＋32t ≥2t 2·32t＝8，即W ≤42，当且仅当t 2＝32t，即t ＝8时，W 有最大值42，此时x ＝7.即当年广告费为7万元时，企业利润最大，最大值为42万元． 16．(文)已知α、β都是锐角，且sin β＝sin αcos(α＋β)． (1)当α＋β＝π4，求tan β的值；(2)当tan β取最大值时，求tan(α＋β)的值． [解析] (1)∵由条件知，sin β＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β，整理得32sin β－12cos β＝0，∵β为锐角，∴tan β＝13.(2)由已知得sin β＝sin αcos αcos β－sin 2αsin β， ∴tan β＝sin αcos α－sin 2αtan β， ∴tan β＝sin αcos α1＋sin 2α＝sin αcos α2sin 2α＋cos 2α ＝tan α2tan 2α＋1＝12tan α＋1tan α≤122＝24. 当且仅当1tan α＝2tan α时，取“＝”号，∴tan α＝22时，tan β取得最大值24，此时，tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝ 2.(理)函数f (x )对一切实数x 、y 均有f (x ＋y )－f (y )＝(x ＋2y ＋1)x 成立，且f (1)＝0. (1)求f (0)； (2)求f (x )；(3)当0<x <2时，不等式f (x )>ax －5恒成立，求a 的取值范围． [解析] (1)令x ＝1，y ＝0，得f (1＋0)－f (0)＝(1＋2×0＋1)·1＝2， ∴f (0)＝f (1)－2＝－2.(2)令y ＝0，f (x ＋0)－f (0)＝(x ＋2×0＋1)·x ＝x 2＋x ， ∴f (x )＝x 2＋x －2.(3)f (x )>ax －5化为x 2＋x －2>ax －5，ax <x 2＋x ＋3，∵x ∈(0,2)， ∴a <x 2＋x ＋3x ＝1＋x ＋3x.当x >0时，1＋x ＋3x ≥1＋23，当且仅当x ＝3x，即x ＝3时取等号，∵3∈(0,2)，∴(1＋x ＋3x)min ＝1＋2 3.∴a <1＋2 3.1．若a >0，b >0，a ，b 的等差中项是12，且α＝a ＋1a ，β＝b ＋1b ，则α＋β的最小值为( )A ．2B ．3C ．4D ．5 [答案] D[解析] ∵12为a 、b 的等差中项，∴a ＋b ＝1.α＋β＝a ＋1a ＋b ＋1b ⇒1＋1a ＋1b ＝1＋a ＋b ab ＝1＋1ab，∵ab ≤a ＋b2，∴ab ≤a ＋b 24＝14.当a ＝b ＝12时取等号．∴α＋β＝1＋1ab≥1＋4＝5.∴α＋β的最小值为5.故选D.2．已知R 1、R 2是阻值不同的两个电阻，现分别按图①②连接，设相应的总阻值分别为R A 、R B ，则R A 与R B 的大小关系是( )A ．R A >RB B ．R A ＝R BC ．R A <R BD ．不确定[答案] A [解析] R A ＝R 1＋R 22，R B ＝2R 1R 2R 1＋R 2， R A －R B ＝R 1＋R 22－2R 1R 2R 1＋R 2＝R 1＋R 22－4R 1R 22R 1＋R 2 ＝R 1－R 222R 1＋R 2>0，所以R A >R B . 3．若a 、b 、c 、d 、x 、y 是正实数，且P ＝ab ＋cd ，Q ＝ax ＋cy ·b x ＋dy，则( ) A ．P ＝Q B ．P ≥Q C ．P ≤Q D ．P >Q[答案] C[解析] Q ＝ax ＋cy ·b x ＋d y＝ab ＋cd ＋adx y ＋bcyx≥ab ＋cd ＋2abcd ＝ab ＋cd ＝P .[点评] 可用特值法求解，令所有字母全为1，则P ＝2，Q ＝2，∴P ＝Q ，排除D ；令a ＝b ＝c ＝d ＝1，x ＝1，y ＝4，则P ＝4，Q ＝5，∴P <Q ，排除A 、B ，选C.4．若不等式x 2＋ax ＋1≥0对一切x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12成立，则a 的最小值为( )A ．0B ．－2C ．－52 D ．－3[答案] C[分析] 将不等式进行变形，变为不等式的一边为参数，另一边为含x 的代数式a ≥－x －1x ，x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12，a 只要大于或等于y ＝－x －1x ，x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12的最大值就满足题设要求． [解析] 若x 2＋ax ＋1≥0，x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12恒成立，则a ≥－x －1x ，x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12恒成立．令y ＝－x －1x ，x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12，则y ′＝－1＋1x 2，当x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12时y ′>0，∴y ＝－x －1x ，x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12为增函数，∴y max ＝y ′|x ＝12＝－52，当a ≥－52时，a ≥－x －1x恒成立，即x 2＋ax ＋1≥0，x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12恒成立，∴选C.5．如图在等腰直角△ABC 中，点P 是斜边BC 的中点，过点P 的直线分别交直线AB 、AC 于不同的两点M 、N ，若AB →＝mAM →，AC →＝nAN →，则mn 的最大值为( )A.12 B ．1 C ．2 D ．3 [答案] B[解析] 以AC 、AB 为x 、y 轴建立直角坐标系，设等腰直角△ABC 的腰长为2，则P 点坐标为(1,1)，B (0,2)、C (2,0)，∵AB →＝mAM →，AC →＝nAN →，∴AM →＝AB →m ，AN →＝AC →n，∴M ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2m 、N ⎝ ⎛⎭⎪⎫2n ，0，∴直线MN 的方程为my 2＋nx2＝1，∵直线MN 过点P (1,1)，∴m 2＋n2＝1，∴m ＋n ＝2，∵m ＋n ≥2mn ，∴mn ≤m ＋n 24＝1，当且仅当m ＝n ＝1时取等号，∴mn 的最大值为1.6．设OA →＝(1，－2)，OB →＝(a ，－1)，OC →＝(－b,0)，a >0，b >0，O 为坐标原点，若A 、B 、C 三点共线，则1a ＋2b的最小值是________．[答案] 8[解析] AB →＝OB →－OA →＝(a －1,1)，AC →＝OC →－OA →＝(－b －1,2)， ∵AB →与AC →共线，∴2(a －1)＋b ＋1＝0，即2a ＋b ＝1. ∵a >0，b >0，∴1a ＋2b ＝(1a ＋2b )(2a ＋b )＝4＋b a ＋4ab≥4＋2b a ·4a b ＝8，当且仅当b a ＝4a b，即b ＝12，a ＝14时等号成立．。

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充分条件与必要条件
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第7章
第一节
高考数学总复习
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重点难点重点：四种命题的关系与充要条件的判断难点：区分充分不必要条件、必要不充分条件及充要条件．
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知识归纳 1．命题 (1)用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．判断为真的为真命题，判断为假的为假命题． (2)如果一个命题可以表达为“若 p，则 q”的形式，则 p 叫做命题的条件，q 叫做命题的结论．
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形式及关系为：
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(4)若两个命题互为逆否命题，则这两个命题真假性相同；若两个命题为互逆命题或互否命题，则它们的真假性没有关系．
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第7章
第一节
高考数学总复习
3．充要条件 (1)“若 p，则 q”为真命题时，记作 p⇒q. (2)若 p⇒q，则 p 叫做 q 的充分条件；q 叫做 p 的必要条件；如果 p⇔q，则 p 叫做 q 的充要条件．
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第7章常用逻辑用语、推理与证明
高考数学总复习
③通过具体实例，了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异．
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第7章常用逻辑用语、推理与证明
高考数学总复习
2．直接证明和间接证明 ①结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点． ②结合已经学过的数学实例，了解间接证明的一种基本方法——反证法；了解反证法的思考过程、特点．

2013走向高考,贾凤山,高中总复习,数学7-4

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第7章
第四节
高考数学总复习
解析：由 f(n)＝(2n＋7)·n ＋9 得，f(1)＝36.f(2)＝ 3 3×36，f(3)＝10×36，f(4)＝34×36，由此猜想：m＝36. 下面用数学归纳证明： (1)当 n＝1 时，显然成立， (2)假设 n＝k 时， f(k)能被 36 整除， f(k)＝(2k＋7)·k 即 3 ＋9 能被 36 整除；当 n＝k＋1 时[2(k＋1)＋7]·k＋1＋9＝ 3 3[(2k＋7)·k＋9]＋18(3k 1－1)， 3
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第7章
第四节
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第四节
高考数学总复习
数学归纳法原理
n4＋n2 [例 1] 用数学归纳法证明 1＋2＋3＋„＋n2＝， 2 则当 n＝k＋1 时，左端应在 n＝k 的基础上加上( A．k2＋1 B．(k＋1)2 k＋14＋k＋12 C. 2 D．(k2＋1)＋(k2＋2)＋(k2＋3)＋„＋(k＋1)2
－
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第四节
高考数学总复习
由于 3k－1－1 是 2 的倍数，故 18(3k－ 1－1)能被 36 整除，这就说，当 n＝k＋1 时，f(n)也能被 36 整除．由(1)(2)可知对一切正整数 n 都有 f(n)＝(2n＋7)·n＋ 3 9 能被 36 整除，m 的最大值为 36.
1>2，即
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n＝k＋1 时命题也成立. 综上所述，命题 an>2 对
一切正整数成立. an＋1<an 的证明同上.
第7章
第四节
高考数学总复习

2013走向高考,贾凤山,高中总复习,数学7-2

得：m<－1，
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∴p：m<－1；由 Δ＝4(m－2)2－4(－3m＋10)<0 知：－2<m<3， ∴q：－2<m<3. 由 p∨q 为真，p∧q 为假可知，命题 p、q 一真一假，当p真q
m<－1 假时， m≥3或m≤－2
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，此时 m≤－2；
第7章
第二节
高考数学总复习
当p假q
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第二节
高考数学总复习
解析：因为“綈(p 或 q)”为假命题，所以 p 或 q 为真命题，即 p、q 中至少有一个为真命题．
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答案：C
点评：此类题目依据“或”、“且”、“非”的定义求解.
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逻辑知识的综合应用
[例 4] (文)已知命题 p：“∀x∈[1,2]，x2－a≥0”，
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答案：A
第7章
第二节
高考数学总复习
(理)设命题 p：方程 x2＋2mx＋1＝0 有两个不相等的正根；q：方程 x2＋2(m－2)x－3m＋10＝0 无实根．若“p ∨q 为真， p∧q 为假”，则实数 m 的取值范围是________．
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第7章
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高考数学总复习
Δ＝4m2－4>0 解析：由 x1＋x2＝－2m>0
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第7章
第二节
高考数学总复习
(5)含有一个量词的命题的否定： ①全称命题 p：∀x∈M，p(x)；它的否定綈 p：“∃
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x0∈M，綈 p(x0)”是特称命题

【走向高考】(2013春季发行)高三数学第一轮总复习 6-4数列的综合问题与数列的应用新人教A版

6-4数列的综合问题与数列的应用基础巩固强化1.(2012·杭州第一次质检)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则a 6＋a 7>0是S 9≥S 3的( )A ．充分但不必要条件B ．必要但不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[答案] A[解析] ∵S 9≥S 3⇔a 4＋a 5＋a 6＋a 7＋a 8＋a 9≥0⇔3(a 6＋a 7)≥0⇔a 6＋a 7≥0，∴a 6＋a 7>0⇒a 6＋a 7≥0，但a 6＋a 7≥0⇒/ a 6＋a 7>0，故选A.2．(2011·淄博模拟)已知{a n }是递增数列，且对任意n ∈N *都有a n ＝n 2＋λn 恒成立，则实数λ的取值范围是( )A ．(－72，＋∞)B ．(0，＋∞)C ．[－2，＋∞)D ．(－3，＋∞)[答案] C[解析] a n ＝n 2＋λn ＝(n ＋λ2)2－λ24，∵对任意n ∈N *，a n ＋1>a n ， ∴－λ2≤1，∴λ≥－2，故选C.3．(文)设函数f (x )＝x m＋ax 的导函数f ′(x )＝2x ＋1，则数列{1f n }(n ∈N *)的前n项和是( )A.n n ＋1B.n ＋2n ＋1 C.nn －1D.n ＋1n[答案] A[解析] f ′(x )＝mx m －1＋a ＝2x ＋1，∴a ＝1，m ＝2， ∴f (x )＝x (x ＋1)，1f n ＝1n n ＋1＝1n －1n ＋1， ∴S n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1＝n n ＋1. (理)(2011·北京西城期末)已知各项均不为零的数列{a n }，定义向量c n ＝(a n ，a n ＋1)，b n＝(n ，n ＋1)，n ∈N *.则下列命题中为真命题的是( )A ．若对于任意n ∈N *总有c n ∥b n 成立，则数列{a n }是等差数列B ．若对于任意n ∈N *总有c n ∥b n 成立，则数列{a n }是等比数列 C ．若对于任意n ∈N *总有c n ⊥b n 成立，则数列{a n }是等差数列 D ．若对于任意n ∈N *总有c n ⊥b n 成立，则数列{a n }是等比数列 [答案] A[解析] 若对任意n ∈N *，有c n ∥b n ，则a n n ＝a n ＋1n ＋1＝a n ＋2n ＋2，所以a n ＋1－a n ＝a n ＋2－a n ＋1，即2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2，所以数列{a n }为等差数列．4．(文)(2011·山西运城教学检测)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，过点P (n ，S n )和Q (n ＋1，S n ＋1)(n ∈N *)的直线的斜率为3n －2，则a 2＋a 4＋a 5＋a 9的值等于( )A ．52B ．40C ．26D ．20[答案] B[解析] 由题意得S n ＋1－S nn ＋1－n＝3n －2，∴S n ＋1－S n ＝3n －2，即a n ＋1＝3n －2，∴a n ＝3n－5，因此数列{a n }是等差数列，a 5＝10，而a 2＋a 4＋a 5＋a 9＝2(a 3＋a 7)＝4a 5＝40，故选B.(理)两个正数a 、b 的等差中项是72，一个等比中项是23，且a <b ，则双曲线x 2a 2－y2b 2＝1的离心率e 等于( )A.34 B.152C.54D.53[答案] D[解析] ∵a ＋b ＝7，a ·b ＝12，b >a >0，∴a ＝3，b ＝4.∴e ＝c a ＝a 2＋b 2a ＝53.5．(2011·江西新余四中期末)在△ABC 中，sin A cos A ＝2cos C ＋cos A2sin C －sin A 是角A 、B 、C 成等差数列的( )A ．充分非必要条件B ．充要条件C ．必要非充分条件D ．既不充分也不必要条件[答案] A [解析]sin A cos A ＝2cos C ＋cos A 2sin C －sin A⇒2sin A sin C －sin 2A ＝2cos A cos C ＋cos 2A ⇒2cos(A ＋C )＋1＝0⇒cosB ＝12⇒B ＝π3⇒A ＋C ＝2B ⇒A 、B 、C 成等差数列．但当A 、B 、C 成等差数列时，sin Acos A＝2cos C ＋cos A 2sin C －sin A 不一定成立，如A ＝π2、B ＝π3、C ＝π6.故是充分非必要条件．故选A.6．(2012·东北三省四市第三次联考)设数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝1－2a n ＋1，记数列{a n }的前n 项之积为T n ，则T 2010的值为( )A ．1B ．2 C.13 D.23[答案] D[解析] ∵a 1＝2，a 2＝1－22＋1＝13，a 3＝1－213＋1＝－12，a 4＝1－2－12＋1＝－3，a 5＝1－2－3＋1＝2. ∴a n ＋4＝a n ，∴{a n }是以4为周期的数列，T 4＝2×13×(－12)×(－3)＝1.∴T 2010＝T 2008×a 2009×a 2010＝23，故选D.7．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的k 的值是( )A ．8B ．9C ．10D ．11 [答案] D[解析] 由程序框图可知，S ＝1＋2＋22＋…＋2k ＝2k ＋1－1，由S <2014得，2k ＋1<2015，∴k ≤9.∵1＋2＋22＋…＋29＝1023，∴S 的值加上29后，变为S ＝1023<2014，此时k 的值增加1变为k ＝10，再执行一次循环体后，S＝1023＋210＝2047，k＝10＋1＝11，此时不满足S<2014，输出k的值11后结束．[点评] 这是最容易出错的地方，解这类题时，既要考虑等比数列求和，在k取何值时，恰满足S≥2014，又要顾及S与k的赋值语句的先后顺序．8．(文)已知数列{a n}的通项公式为a n＝2n(n∈N*)，把数列{a n}的各项排列成如图所示的三角形数阵：22223242526272829210……记M(s，t)表示该数阵中第s行的第t个数，则M(11,2)对应的数是________(用2n的形式表示，n∈N)．[答案] 257[解析] 由数阵的排列规律知，第m行的最后一个数是数列{a n}的第1＋2＋3＋…＋m＝m m＋12项，且该行有m项，由此可知第11行的第2个数是数列{a n}的第10×112＋2＝57项，对应的数是257.(理)若数列{a n}满足1a n＋1－1a n＝d(n∈N*，d为常数)，则称数列{a n}为调和数列．已知数列{1x n}为调和数列，且x1＋x2＋…＋x20＝200，则x5＋x16＝________.[答案] 20[解析] 由题意，若{a n}为调和数列，则{1a n}为等差数列，∵{1x n}为调和数列，∴数列{x n}为等差数列，由等差数列的性质可知，x5＋x16＝x1＋x20＝x2＋x19＝…＝x10＋x11＝20010＝20.故填20.9．(文)(2011·江苏镇江市质检)已知1，x1，x2,7成等差数列，1，y1，y2,8成等比数列，点M(x1，y1)，N(x2，y2)，则线段MN的中垂线方程是________．[答案] x＋y－7＝0[解析] 由条件得x1＝3，x2＝5，y1＝2，y2＝4，∴MN的中点(4,3)，k MN＝1，∴MN的中垂线方程为y－3＝－(x－4)，即x＋y－7＝0.(理)已知双曲线a n－1y2－a n x2＝a n－1a n(n≥2，n∈N*)的焦点在y轴上，一条渐近线方程是y ＝2x，其中数列{a n}是以4为首项的正项数列，则数列{a n}的通项公式是________．[答案] a n ＝2n ＋1[解析] 双曲线方程为y 2a n －x 2a n －1＝1，∵焦点在y 轴上，又渐近线方程为y ＝2x ，∴a na n －1＝2，又a 1＝4，∴a n ＝4×2n －1＝2n ＋1.10．(文)(2011·北京海淀)数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝2，且S n ＝S n －1＋2n (n ≥2，n ∈N *)．(1)求S n ；(2)是否存在等比数列{b n }满足b 1＝a 1，b 2＝a 3，b 3＝a 9？若存在，则求出数列{b n }的通项公式；若不存在，则说明理由．[解析] (1)因为S n ＝S n －1＋2n ，所以有S n －S n －1＝2n 对n ≥2，n ∈N *成立．即a n ＝2n 对n ≥2成立．又a 1＝S 1＝2×1，所以a n ＝2n 对n ∈N *成立．所以a n ＋1－a n ＝2对n ∈N *成立．所以{a n }是等差数列．所以S n ＝n 2＋n ，n ∈N *.(2)存在．由(1)知a n ＝2n 对n ∈N *成立，则a 3＝6，a 9＝18.又a 1＝2，所以由b 1＝a 1，b 2＝a 3，b 3＝a 9，得b 2b 1＝b 3b 2＝3.即存在以b 1＝2为首项，公比为3的等比数列{b n }，其通项公式为b n ＝2·3n －1.(理)(2012·天津十二区县联考一)已知数列{a n }的前n 项和S n 满足：S n ＝a (S n －a n ＋1)(a 为常数，且a ≠0，a ≠1)．(1)求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝a 2n ＋S n ·a n ，若数列{b n }为等比数列，求a 的值． (3)在满足条件(2)的情形下，设c n ＝1b n ＋1－1b n ＋1－1，数列{c n }的前n 项和为T n ，求证：T n >2n －12.[解析] (1)S 1＝a (S 1－a 1＋1)，∴a 1＝a ，当n ≥2时，S n ＝a (S n －a n ＋1)，S n －1＝a (S n －1－a n －1＋1)，两式相减得a n ＝a ·a n －1，a na n －1＝a ，即{a n }是等比数列，∴a n ＝a ·an －1＝a n.(2)由(1)知a n ＝a n，S n ＝a a n －1a －1，∴b n ＝(a n )2＋a a n －1a －1a n＝2a －1a 2n －aa na －1，若{b n }为等比数列，则有b 22＝b 1b 3，而b 1＝2a 2，b 2＝a 3(2a ＋1)，b 3＝a 4(2a 2＋a ＋1)，故[a 3(2a ＋1)]2＝2a 2·a 4(2a 2＋a ＋1)，解得a ＝12，再将a ＝12代入，得b n ＝(12)n成立，所以a ＝12.(3)证明：由(2)知b n ＝(12)n，所以c n ＝112n＋1－112n ＋1－1＝2n 2n ＋1＋2n ＋12n ＋1－1＝2－12n ＋1＋12n ＋1－1，所以c n >2－12n ＋12n ＋1，T n ＝c 1＋c 2＋…＋c n>(2－12＋122)＋(2－122＋123)＋…＋(2－12n ＋12n ＋1)＝2n －12＋12n ＋1>2n －12.能力拓展提升11.在圆x 2＋y 2＝10x 内，过点(5,3)有n 条长度成等差数列的弦，最短弦长为数列{a n }的首项a 1，最长弦长为a n ，若公差d ∈(13，23]，那么n 的取值集合为( )A ．{4,5,6}B ．{6,7,8,9}C ．{3,4,5}D ．{3,4,5,6}[答案] A[解析] ∵圆x 2＋y 2＝10x ，∴(x －5)2＋y 2＝5，圆心为(5,0)，半径为5.故最长弦长a n＝10，最短弦长a 1＝8，∴10＝8＋(n －1)d ，∴d ＝2n －1，∵d ∈(13，23]，∴13<2n －1≤23，∴4≤n <7，又∵n ∈N *，∴n 的取值为4,5,6，故选A.12．(文)(2011·安徽百校论坛联考)已知a >0，b >0，A 为a ，b 的等差中项，正数G 为a ，b 的等比中项，则ab 与AG 的大小关系是( )A ．ab ＝AGB ．ab ≥AGC ．ab ≤AGD ．不能确定[答案] C[解析] 由条件知，a ＋b ＝2A ，ab ＝G 2，∴A ＝a ＋b2≥ab ＝G >0，∴AG ≥G 2，即AG ≥ab ，故选C.[点评] 在知识交汇点处命题是常见命题方式，不等式与数列交汇的题目要特别注意等差(等比)数列的公式及性质的运用．(理)已知等比数列{a n }的各项均为正数，公比q ≠1，设P ＝12(log 0.5a 5＋log 0.5a 7)，Q ＝log 0.5a 3＋a 92，P 与Q 的大小关系是( )A ．P ≥QB ．P <QC ．P ≤QD ．P >Q[答案] D[解析] P ＝log 0.5a 5a 7＝log 0.5a 3a 9，Q ＝log 0.5a 3＋a 92，∵q ≠1，∴a 3≠a 9，∴a 3＋a 92>a 3a 9又∵y ＝log 0.5x 在(0，＋∞)上递减， ∴log 0.5a 3＋a 92<log 0.5a 3a 9，即Q <P .故选D.13．(2011·湖北荆门调研)秋末冬初，流感盛行，荆门市某医院近30天每天入院治疗流感的人数依次构成数列{a n }，已知a 1＝1，a 2＝2，且a n ＋2－a n ＝1＋(－1)n (n ∈N *)，则该医院30天入院治疗流感的人数共有________人．[答案] 255[解析] ∵a n ＋2－a n ＝1＋(－1)n(n ∈N *)，∴n 为奇数时，a n ＋2＝a n ，n 为偶数时，a n ＋2－a n ＝2，即数列{a n }的奇数项为常数列，偶数项构成以2为首项，2为公差的等差数列．故这30天入院治疗流感人数共有15＋(15×2＋15×142×2)＝255人．14．(2011·江苏，13)设1＝a 1≤a 2≤…≤a 7，其中a 1，a 3，a 5，a 7成公比为q 的等比数列，a 2，a 4，a 6成公差为1的等差数列，则q 的最小值是________．[答案]33[解析] ∵a 1，a 3，a 5，a 7成公比为q 的等比数列，且a 1＝1， ∴a 3＝q ，a 5＝q 2，a 7＝q 3，∵a 2，a 4，a 6成公差为1的等差数列， ∴a 4＝a 2＋1，a 6＝a 2＋2， ∵a 2≥1，q ＝a 3≥a 2≥1，∴q 2＝a 5≥a 4＝a 2＋1≥2，q 3＝a 7≥a 6＝a 2＋2≥3， ∵q ≥1，∴q ≥2且q ≥33，∴q ≥33， ∴q 的最小值为33.15．(2011·蚌埠质检)已知数列{a n }满足，a 1＝1，a 2＝2，a n ＋2＝a n ＋a n ＋12，n ∈N *.(1)令b n ＝a n ＋1－a n ，证明：{b n }是等比数列； (2)求{a n }的通项公式．[解析] (1)b 1＝a 2－a 1＝1，当n ≥2时，b n ＝a n ＋1－a n ＝a n －1＋a n 2－a n ＝－12(a n －a n －1)＝－12b n －1，所以{b n }是以1为首项，－12为公比的等比数列．(2)由(1)知b n ＝a n ＋1－a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1，当n ≥2时，a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝1＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －2＝1＋1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －11－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝1＋23⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1＝53－23⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1，当n ＝1时，53－23⎝ ⎛⎭⎪⎫－121－1＝1＝a 1.所以a n ＝53－23⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1(n ∈N *)．16．(文)(2011·山东文，20)等比数列{a n }中，a 1、a 2、a 3分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且a 1、a 2、a 3中的任何两个数不在下表的同一列.(1)n (2)若数列{b n }满足：b n ＝a n ＋(－1)nln a n ，求数列{b n }的前2n 项和S 2n . [解析] (1)依次验证知a 1＝2，a 2＝6，a 3＝18时符合题意，∴a n ＝2·3n －1.(2)∵b n ＝a n ＋(－1)n ln a n ＝2·3n －1＋(－1)n ln(2·3n －1)＝2·3n －1＋(－1)n(ln2－ln3)＋(－1)nn ln3∴S 2n ＝b 1＋b 2＋…＋b 2n ＝2(1＋3＋…＋32n －1)＋[－1＋1－1＋…＋(－1)2n](ln2－ln3)＋[－1＋2－3＋…＋(－1)2n·2n ]ln3＝2×1－32n1－3＋n ln3＝32n＋n ln3－1.(理)(2011·湖南六校联考)为加强环保建设，提高社会效益和经济效益，某市计划用若干年时间更换一万辆燃油型公交车，每更换一辆新车，则淘汰一辆旧车．替换车为电力型和混合动力型车．今年初投入了电力型公交车128辆，混合动力型公交车400辆；计划以后电力型车每年的投入量比上一年增加50%，混合动力型车每年比上一年多投入a 辆．(1)求经过n 年，该市被更换的公交车总数S (n )； (2)若该市计划7年内完成全部更换，求a 的最小值．[解析] (1)设a n ，b n 分别为第n 年投入的电力型公交车，混合动力型公交车的数量，依题意，{a n }是首项为128，公比为1＋50%＝32的等比数列，{b n }是首项为400，公差为a 的等差数列． {a n }的前n 项和S n ＝128×[1－32n]1－32＝256[(32)n－1]．{b n }的前n 项和T n ＝400n ＋n n －12a ，所以经过n 年，该市更换的公交车总数为： S (n )＝S n ＋T n ＝256[(32)n －1]＋400n ＋n n －12a .(2)若计划7年内完成全部更换，所以S (7)≥10000，所以256[(32)7－1]＋400×7＋7×62a ≥10000，即21a ≥3082，所以a ≥1461621.又a ∈N *，所以a 的最小值为147.1．若x 的方程x 2－x ＋a ＝0和x 2－x ＋b ＝0(a ≠b )的四个根可组成首项为14的等差数列，则b 的值可以为( )A.38B.1124 C.1324 D.35144[答案] D[解析] 由题意四个根为14、14＋16、14＋13、34，则b ＝14×34＝316，或b ＝512×712＝35144，选D.2．(2012·河南新乡、平顶山、许昌调研)设正项等比数列{a n }的前n 项之积为T n ，且T 10＝32，则1a 5＋1a 6的最小值为( )A ．2 2 B. 2 C ．2 3 D. 3[答案] B[解析] 由条件知，T 10＝a 1a 2…a 10＝(a 5a 6)5＝32，∵a n >0，∴a 5a 6＝2，∴1a 5＋1a 6＝12·a 5a 6·(1a 5＋1a 6)＝12(a 5＋a 6)≥12×2a 5a 6＝2，等号在a 5＝a 6＝2时成立． 3．(2011·银川一中三模)已知函数f (x )＝x 2＋bx 的图象在点A (1，f (1))处的切线l 与直线3x －y ＋2＝0平行，若数列{1f n }的前n 项和为S n ，则S 2012的值为( )A.20092010 B.20102011 C.20112012D.20122013[答案] D[解析] 本题考查导数的几何意义及数列求和知识；由于f ′(x )＝2x ＋b ，据题意则有f ′(1)＝2＋b ＝3，故b ＝1，即f (x )＝x 2＋x ，从而1f n ＝1n n ＋1＝1n －1n ＋1，其前n 项和S n ＝(1－12)＋(12－13)＋…＋(1n －1n ＋1)＝1－1n ＋1＝n n ＋1，故S 2012＝20122013.4．(2012·吉林省实验中学模拟)已知正数组成的等差数列{a n }的前20项的和是100，那么a 6·a 15的最大值是( )A ．25B ．50C ．100D ．不存在[答案] A[解析] 由条件知，a 6＋a 15＝a 1＋a 20＝110S 20＝110×100＝10，a 6>0，a 15>0，∴a 6·a 15≤(a 6＋a 152)2＝25，等号在a 6＝a 15＝5时成立，即当a n ＝5(n ∈N *)时，a 6·a 15取最大值25.5．(2011·黄冈月考)在数列{a n }中，a 1＝1，a n a n －1＝a n －1＋(－1)n(n ≥2，n ∈N *)，则a 3a 5的值是( )A.1516 B.158 C.34 D.38[答案] C[解析] ∵a 1＝1，a n a n －1＝a n －1＋(－1)n， ∴a 2a 1＝a 1＋1，∴a 2＝2，； ∵a 3a 2＝a 2－1，∴a 3＝12；∵a 4a 3＝a 3＋1，∴a 4＝3； ∵a 5a 4＝a 4－1，∴a 5＝23，∴a 3a 5＝34.6．(2012·北京海淀期中)已知数列A ：a 1，a 2，…，a n (0≤a 1<a 2<…<a n ，n ≥3)具有性质P ：对任意i ，j (1≤i ≤j ≤n )，a j ＋a i 与a j －a i 两数中至少有一个是该数列中的一项：现给出以下四个命题：①数列0,1,3具有性质P ； ②数列0,2,4,6具有性质P ； ③若数列A 具有性质P ，则a 1＝0；④若数列a 1，a 2，a 3(0≤a 1<a 2<a 3)具有性质P ，则a 1＋a 3＝2a 2.其中真命题有( ) A ．4个 B ．3个 C ．2个 D ．1个[答案] B[解析] 数列0,1,3中a 3－a 2＝2，a 3＋a 2＝4都不是该数列中的一项，即其不具有性质P ，得命题①不正确；数列0,2,4,6经验证满足条件，即其具有性质P ，得命题②正确；若数列A 具有性质P ，因n ≥3，故其最大项a n >0，则有a n ＋a n ＝2a n >a n 不是数列中的项，故a n －a n ＝0必为数列中的一项，即a 1＝0，得命题③正确；若数列a 1，a 2，a 3(0≤a 1<a 2<a 3)具有性质P ，则a 1＝0,0<a 2<a 3，a 2＋a 3>a 3不是数列中的项，必有a 3－a 2＝a 2，即a 3＝2a 2，因a 1＝0，故a 1＋a 3＝2a 2，得命题④正确，综上可得真命题共有3个，故应选B.7．(2011·杭州二检)已知{a n }是公差不为0的等差数列，{b n }是等比数列，其中a 1＝2，b 1＝1，a 2＝b 2,2a 4＝b 3，且存在常数α、β，使得a n ＝log αb n ＋β对每一个正整数n 都成立，则αβ＝________.[答案] 4[解析] 设{a n }的公差为d ，{b n }的公比为q ，则⎩⎪⎨⎪⎧2＋d ＝q 22＋3d ＝q2，解得⎩⎪⎨⎪⎧q ＝2d ＝0(舍去)或⎩⎪⎨⎪⎧q ＝4d ＝2，所以a n ＝2n ，b n ＝4n －1.若a n ＝log αb n ＋β对每一个正整数n 都成立，则满足2n ＝log α4n －1＋β，即2n ＝(n －1)log α4＋β，因此只有当α＝2，β＝2时上式恒成立，所以αβ＝4.8．(2011·天津市二十区县联考)已知S n 是数列{a n }的前n 项和，向量a ＝(a n －1，－2)，b ＝(4，S n )满足a ⊥b ，则S 5S 3＝________.[答案]317[解析] ∵a ＝(a n －1，－2)，b ＝(4，S n )满足a ⊥b ， ∴a ·b ＝0，∴4a n －4－2S n ＝0，即S n ＝2a n －2， ∴S n －1＝2a n －1－2(n ≥2)．两式相减得a n ＝2a n －1，∴a na n －1＝2. 由S n ＝2a n －2(n ∈N *)，得a 1＝2.∴{a n }是以2为首项，2为公比的等比数列，∴a n ＝2n.∴S 5S 3＝21－251－221－231－2＝317. 9．(2011·苏州检测)正整数按下列方法分组：{1}，{2,3,4}，{5,6,7,8,9}，{10,11,12,13,14,15,16}，…，记第n 组中各数之和为A n ；由自然数的立方构成下列数组：{03,13}，{13,23}，{23,33}，{33,43}，…，记第n 组中后一个数与前一个数的差为B n ，则A n ＋B n ＝________.[答案] 2n 3[解析] 由题意知，前n 组共有1＋3＋5＋…＋(2n －1)＝n 2个数，所以第n －1组的最后一个数为(n －1)2，第n 组的第一个数为(n －1)2＋1，第n 组共有2n －1个数，所以根据等差数列的前n 项和公式可得A n ＝[n －12＋1]＋[n －12＋2n －1]2(2n －1)＝[(n －1)2＋n ](2n －1)，而B n ＝n 3－(n －1)3，所以A n ＋B n ＝2n 3.10．已知点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，13是函数f (x )＝a x(a >0，且a ≠1)的图象上一点，等比数列{a n }的前n项和为f (n )－c ，数列{b n }(b n >0)的首项为c ，且前n 项和S n 满足S n －S n －1＝S n ＋S n －1(n ≥2)．(1)求数列{a n }和{b n }的通项公式；(2)若数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n b n ＋1前n 项和为T n ，问使T n >10002009的最小正整数n 是多少？[解析] (1)∵点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，13是函数f (x )＝a x(a >0，且a ≠1)的图象上一点，∴f (1)＝a ＝13.已知等比数列{a n }的前n 项和为f (n )－c ，则当n ≥2时，a n ＝[f (n )－c ]－[f (n －1)－c ]＝a n (1－a －1)＝－23n .∵{a n }是等比数列，∴{a n }的公比q ＝13.∴a 2＝－29＝a 1q ＝[f (1)－c ]×13，解得c ＝1，a 1＝－23.故a n ＝－23n (n ≥1)．由题设知{b n }(b n >0)的首项b 1＝c ＝1，其前n 项和S n 满足S n －S n －1＝S n ＋S n －1(n ≥2)，由S n －S n －1＝S n ＋S n －1⇒S n －S n －1＝1，且S 1＝b 1＝1. ∴{S n }是首项为1，公差为1的等差数列，即S n ＝n ⇒S n ＝n 2.∵b n ＝S n －S n －1＝2n －1(n ≥2)，又b 1＝1＝2×1－1，故数列{b n }的通项公式为：b n ＝2n －1(n ≥1)． (2)∵b n ＝2n －1(n ≥1)， ∴1b n b n ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1.∴T n ＝∑k ＝1n1b k b k ＋1＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫11－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1 ＝n2n ＋1. 要T n >10002009⇔n 2n ＋1>10002009⇔n >10009＝11119，故满足条件的最小正整数n 是112.11．(2011·焦作模拟)已知函数f (x )＝a x的图象过点(1，12)，且点(n －1，a n n 2)(n ∈N ＋)在函数f (x )＝a x的图象上．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)令b n ＝a n ＋1－12a n ，若数列{b n }的前n 项和为S n ，求证：S n <5.[解析] (1)∵函数f (x )＝a x的图象过点(1，12)，∴a ＝12，f (x )＝(12)x.又点(n －1，a n n 2)(n ∈N ＋)在函数f (x )＝a x的图象上，从而a n n 2＝12n －1，即a n ＝n 22n －1.(2)由b n ＝n ＋122n－n 22n ＝2n ＋12n 得， S n ＝32＋522＋…＋2n ＋12n ，则12S n ＝322＋523＋…＋2n －12n ＋2n ＋12n ＋1，两式相减得：12S n ＝32＋2(122＋123＋…＋12n )－2n ＋12n ＋1，∴S n ＝5－2n ＋52n ，∴S n <5.。

【走向高考】(2013春季发行)高三数学第一轮总复习 4-4两角和与差的三角函数新人教A版

4-4两角和与差的三角函数基础巩固强化1.(2011²银川三模)已知sin θ＝45，且sin θ－cos θ>1，则sin2θ＝( )A ．－ 2425B ．－1225C ．－45D.2425[答案] A[解析] 由题意可知cos θ＝－35，所以sin2θ＝2sin θcos θ＝－2425，故选择A.2．(文)(2011²北京东城区期末)在△ABC 中，C ＝120°，tan A ＋tan B ＝233，则tan A tan B的值为( )A.14B.13C.12D.53 [答案] B[解析] ∵C ＝120°，∴A ＋B ＝60°， ∴tan(A ＋B )＝tan A ＋tan B 1－tan A tan B ＝3，∵tan A ＋tan B ＝233，∴tan A tan B ＝13.(理)已知sin α＝35，α为第二象限角，且tan(α＋β)＝1，则tan β的值是( )A ．－7B ．7C ．－34D.34 [答案] B[解析] 由sin α＝35，α为第二象限角，得cos α＝－45，则tan α＝－34.∴tan β＝tan[(α＋β)－α]＝tan α＋β－tan α1＋tan α＋βtan α＝1＋341＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－34＝7.3．(文)已知0<α<π2<β<π，cos α＝35，sin(α＋β)＝－35，则cos β的值为( )A ．－1B ．－1或－725C ．－2425D ．±2425[答案] C[解析] ∵0<α<π2，π2<β<π，∴π2<α＋β<3π2，∴sin α＝45，cos(α＋β)＝－45，∴cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－45²35＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－35²45＝－2425，故选C. (理)已知sin β＝35(π2<β<π)，且sin(α＋β)＝cos α，则tan(α＋β)＝( )A ．1B ．2C ．－2 D.825[答案] C[解析] ∵sin β＝35，π2<β<π，∴cos β＝－45，∴sin(α＋β)＝cos α＝cos[(α＋β)－β] ＝cos(α＋β)cos β＋sin(α＋β)sin β ＝－45cos(α＋β)＋35sin(α＋β)，∴25sin(α＋β)＝－45cos(α＋β)，∴tan(α＋β)＝－2. 4．已知实数a ，b 均不为零，a sin2＋b cos2a cos2－b sin2＝tan β，且β－2＝π6，则ba＝( )A. 3B.33 C ．－ 3 D ．－33[答案] B[解析] tan β＝tan(2＋π6)＝tan2＋331－33tan2＝a sin2＋b cos2a cos2－b sin2＝a tan2＋b a －b tan2，所以a ＝1，b ＝33，故b a ＝33. 5．函数f (x )＝(3sin x －4cos x )²cos x 的最大值为( ) A ．5 B.92 C.12 D.52[答案] C[解析] f (x )＝(3sin x －4cos x )cos x ＝3sin x cos x －4cos 2x ＝32sin2x －2cos2x －2＝52sin(2x －θ)－2，其中tan θ＝43，所以f (x )的最大值是52－2＝12.故选C.6．(文)(2011²合肥质检)将函数y ＝sin(2x ＋π3)的图象上各点向右平移π6个单位，再把每一点的横坐标缩短到原来的一半，纵坐标保持不变，所得函数图象的一条对称轴是( )A ．x ＝π8B ．x ＝π6C ．x ＝π3D ．x ＝π2[答案] A[解析] y ＝sin(2x ＋π3) y ＝sin2xy ＝sin4x ，其对称轴方程为4x ＝k π＋π2，k∈Z ，∴x ＝k π4＋π8，令k ＝0得x ＝π8. (理)(2013²陕西师大附中上学期一模)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(其中A >0，|φ|<π2)的图象如图所示，为了得到函数g (x )＝sin2x 的图象，则只需将f (x )的图象( )A ．向右平移π6个长度单位B ．向右平移π12个长度单位C ．向左平移π6个长度单位D ．向左平移π12个长度单位[答案] A[解析] 由图可知A ＝1，T 4＝7π12－π3＝π4，∴T ＝π，∴2πω＝π，∴ω＝2， ∴f (x )＝sin(2x ＋φ)，将(7π12，－1)代入得sin(7π6＋φ)＝－1，∴7π6＋φ＝3π2＋2k π，k ∈Z ，∴φ＝2k π＋π3，k ∈Z . ∵|φ|<π2，∴φ＝π3，∴f (x )＝sin(2x ＋π3)，将f (x )的图象向右平移π6个单位可得，sin[2(x －π6)＋π3]＝sin2x ，故选A.7．函数f (x )＝a sin x －b cos x 的图象的一条对称轴是直线x ＝π4，则直线ax －by ＋c ＝0的倾斜角的大小为________．[答案]3π4(或135°) [解析] f (x )的图象的对称轴过其最高点或最低点，∴f (π4)＝±a 2＋b 2，∴a －b 2＝±a 2＋b 2，解得a ＋b ＝0.∴直线ax －by ＋c ＝0的斜率k ＝ab＝－1， ∴直线ax －by ＋c ＝0的倾斜角为135°(或3π4)．8．下列命题：①存在α、β∈R ，使tan(α＋β)＝tan α＋tan β；②存在φ∈R ，使f (x )＝cos(3x ＋φ)为奇函数；③对任意α，β∈(0，π2)，若tan α²tan β<1，则α＋β<π2；④△ABC 中，sin A >sin B 的充要条件是A >B .其中真命题的序号是________．[答案] ①②③④[解析] ①α＝0，β＝π3时，原式成立；②φ＝π2时，f (x )为奇函数；③∵tan α²tan β<1，α，β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴sin α²sin βcos α²cos β<1，∴sin α²sin β<cos α²cos β，∴cos(α＋β)>0，∵α＋β∈(0，π)，∴α＋β<π2；④在△ABC 中，A >B ⇔a >b ⇔2R sin A >2R sin B ⇔sin A >sin B (其中R 为△ABC 外接圆的半径)． 9．(文)函数y ＝cos(π3－2x )＋sin(π2－2x )的最小正周期为________．[答案] π[解析] y ＝cos π3cos2x ＋sin π3sin2x ＋cos2x＝32cos2x ＋32sin2x ＝3(32cos2x ＋12sin2x ) ＝3sin(2x ＋π3)，∴T ＝π.(理)函数y ＝cos(x ＋20°)＋sin(x －10°)的最大值为________． [答案] 1[解析] y ＝cos x cos20°－sin x sin20°＋sin x cos10°－cos x sin10° ＝(cos10°－sin20°)²sin x ＋(cos20°－sin10°)cos x＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)．这里a ＝cos10°－sin20°，b ＝cos20°－sin10°， tan φ＝co s20°－sin10°cos10°－sin20°∵a 2＋b 2＝(cos10°－sin20°)2＋(cos20°－sin10°)2＝2－2sin20°cos10°－2cos20°sin10°＝2－2sin30°＝1. ∴最大值为a 2＋b 2＝1.10．(文)设函数f (x )＝3cos 2ωx ＋sin ωx cos ωx ＋a (其中ω>0，a ∈R )，且f (x )的最小正周期是2π.(1)求ω的值；(2)如果f (x )在区间[－π3，5π6]上的最小值为3，求a 的值．[解析] (1)f (x )＝32cos2ωx ＋12sin2ωx ＋32＋a ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π3＋32＋a ，依题意得2π2ω＝2π⇒ω＝12.(2)由(1)知，f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋32＋a .又当x ∈[－π3，5π6]时，x ＋π3∈[0，7π6]，故－12≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3≤1，从而f (x )在区间[－π3，5π6]上的最小值为－12＋32＋a ＝3，故a ＝3＋12.(理)(2011²日照模拟)设函数f (x )＝cos(πx 4－π3)－cos πx 4.(1)求f (x )的最小正周期；(2)设g (x )＝f (－2－x )；当x ∈[0,2]时，求函数y ＝g (x )的最大值． [解析] (1)f (x )＝cos π4x cos π3＋sin π4x sin π3－cos πx 4＝32sin π4x －12cos π4x ＝sin(π4x －π6)．故f (x )的最小正周期为T ＝2ππ4＝8. (2)由题设条件得g (x )＝f (－2－x )＝sin[π4(－2－x )－π6]＝sin[－π2－π4x －π6]＝－cos(π4x ＋π6)．当0≤x ≤2时，π6≤π4x ＋π6≤2π3，设t ＝π4x ＋π6，则y ＝－cos t ，在[π6，2π3]上是增函数，因此y ＝g (x )在区间[0,2]上的最大值为g (x )max ＝－cos 2π3＝12.能力拓展提升11.(文)(2012²河南六市联考)已知函数y ＝f (x )＝3sin(π6＋x )＋cos(π6＋x )，则函数f (x )应满足( )A ．函数y ＝f (x )在[－5π6，π6]上递增，且有一个对称中心(π6，0)B ．函数y ＝f (x )在[－3π4，π6]上递增，且有一个对称中心(－π3，0)C ．函数y ＝f (x )在[－5π6，π6]上递减，且有一个对称中心(－π3，0)D ．函数y ＝f (x )在[－3π4，π6]上递减，且有一个对称中心(π6，0)[答案] B[解析] f (x )＝3sin(π6＋x )＋cos(π6＋x )＝2sin(π6＋x ＋π6)＝2sin(x ＋π3)，故选B.(理)已知a ＝(sin α，1－4cos2α)，b ＝(1,3sin α－2)，α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，若a ∥b ，则tan ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝( ) A.17 B ．－17 C.27 D ．－27 [答案] B[解析] ∵a ∥b ，∴1－4cos2α＝sin α(3sin α－2)， ∴5sin 2α＋2sin α－3＝0，∴sin α＝35或sin α＝－1，∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴sin α＝35，∴tan α＝34，∴tan ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝tan α－11＋tan α＝－17.12．(文)设动直线x ＝a 与函数f (x )＝2sin 2(π4＋x )和g (x )＝3cos2x 的图象分别交于M ，N 两点，则|MN |的最大值为( )A. 2B. 3 C ．2 D ．3 [答案] D[解析] 易知|MN |＝|f (a )－g (a )|＝|2sin 2(π4＋a )－3cos2a |＝|1－cos(π2＋2a )－3cos2a |＝|1＋2sin(2a －π3)|≤3，即最大值是3.(理)(2012²东北三校联考)设α、β都是锐角，且cos α＝55，sin(α＋β)＝35，则cos β＝( )A.2525B.255 C.2525或255D.55或525[答案] A[解析] 依题意得sin α＝1－cos 2α＝255，cos(α＋β)＝±1－sin 2α＋β＝±45.又α、β均为锐角，因此0<α<α＋β<π，cos α>cos(α＋β)，因为45>55>－45，所以cos(α＋β)＝－45.cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)²sin α＝－45³55＋35³255＝2525，选A.13．已知sin(2α－β)＝35，sin β＝－1213，且α∈(π2，π)，β∈(－π2，0)，则sin α＝________.[答案]3130130[解析] ∵π2<α<π，∴π<2α<2π.又－π2<β<0，∴0<－β<π2，π<2α－β<5π2，而sin(2α－β)＝35>0，∴2π<2α－β<5π2，cos(2α－β)＝45.又－π2<β<0且sin β＝－1213，∴cos β＝513，∴cos2α＝cos[(2α－β)＋β]＝cos(2α－β)cos β－sin(2α－β)sin β ＝45³513－35³(－1213)＝5665. 又cos2α＝1－2sin 2α，∴sin 2α＝9130.又α∈(π2，π)，∴sin α＝3130130.14．求值：2cos10°－sin20°cos20°＝________.[答案]3[解析] 原式＝2cos 30°－20°－sin20°cos20°＝2cos30°cos20°＋2sin30°sin20°－sin20°cos20°＝3cos20°＋sin20°－sin20°cos20°＝ 3.15．(文)(2011²珠海模拟)已知A 、B 均为钝角且sin A ＝55，sin B ＝1010，求A ＋B 的值．[解析] ∵A 、B 均为钝角且sin A ＝55，sin B ＝1010， ∴cos A ＝－1－sin 2A ＝－25＝－255，cos B ＝－1－sin 2B ＝－310＝－31010，∴cos(A ＋B )＝cos A cos B －sin A sin B ＝－255³(－31010)－55³1010＝22，又∵π2<A <π，π2<B <π，∴π<A ＋B <2π，∴A ＋B ＝7π4.(理)(2011²成都二诊)已知函数f (x )＝2sin x cos(x ＋π6)－cos2x ＋m . (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)当x ∈[－π4，π4]时，函数f (x )的最小值为－3，求实数m 的值．[解析] (1)∵f (x )＝2sin x cos(x ＋π6)－cos2x ＋m＝2sin x (32cos x －12sin x )－cos2x ＋m ＝3sin x cos x －sin 2x －cos2x ＋m ＝32sin2x －1－cos2x 2－cos2x ＋m ＝32sin2x －12cos2x －12＋m ＝sin(2x －π6)－12＋m .∴f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)∵－π4≤x ≤π4，∴－π2≤2x ≤π2，∴－2π3≤2x －π6≤π3，∴－1≤sin(2x －π6)≤32，∴ f (x )的最小值为－1－12＋m .由已知，有－1－12＋m ＝－3.∴m ＝－32.16．(文)(2011²晋中一模)已知sin α＋cos α＝355，α∈(0，π4)，sin(β－π4)＝35，β∈(π4，π2)．(1)求sin2α和tan2α的值； (2)求cos(α＋2β)的值．[解析] (1)由题意得(sin α＋cos α)2＝95，即1＋sin2α＝95，∴sin2α＝45.又2α∈(0，π2)，∴cos2α＝1－sin 22α＝35，∴tan2α＝sin2αcos2α＝43.(2)∵β∈(π4，π2)，β－π4∈(0，π4)，∴cos(β－π4)＝45，于是sin2(β－π4)＝2sin(β－π4)cos(β－π4)＝2425.又sin2(β－π4)＝－cos2β，∴cos2β＝－2425.又2β∈(π2，π)，∴sin2β＝725.又cos 2α＝1＋cos2α2＝45，∴cos α＝255，sin α＝55(α∈(0，π4))．∴cos(α＋2β)＝cos αcos2β－sin αsin2β ＝255³(－2425)－55³725＝－11525. (理)已知0<α<π2，π2<β<π，且tan α2＝12，sin(α＋β)＝513.(1)求cos α和cos β的值； (2)求tan α－β2的值．[解析] (1)∵tan α2＝12，∴tan α＝2tanα21－tan2α2＝43，∴sin α＝43cos α，代入sin 2α＋cos 2α＝1中消去sin α得，cos 2α＝925，∵0<α<π2，∴cos α＝35，∴sin α＝45，∵π2<α＋β<3π2，sin(α＋β)＝513>0，∴π2<α＋β<π，∴cos(α＋β)＝－1－sin 2α＋β＝－1213，∴cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝－1213³35＋513³45＝－1665.∴cos α和cos β的值依次为35和－1665.(2)由(1)知cos β＝－1665，又已知π2<β<π，∴sin β＝6365，∴tan β＝－6316.∴2tanβ21－tan2β2＝－6316，∵π2<β<π，∴tan β2>0，∴tan β2＝97， ∴tan α－β2＝tan α2－tan β21＋tan α2²tan β2＝12－971＋12³97＝－1123.1．方程x 2cos2012°－y 2sin2012°＝1所表示的曲线为( )A ．焦点在x 轴上的椭圆B ．焦点在y 轴上的椭圆C ．焦点在x 轴上的双曲线D ．焦点在y 轴上的双曲线 [答案] D[解析] cos2012°＝cos(5³360°＋212°)＝cos212°＝－cos32°＝－sin58°<0，而sin2012°＝sin(5³360°＋212°)＝sin212°＝－sin32°<0，所以该曲线为焦点在y 轴上的双曲线．2．已知α、β均为锐角，且tan β＝cos α－sin αcos α＋sin α，则tan(α＋β)的值为( )A ．－1B ．1 C. 3 D ．不存在 [答案] B[解析] tan β＝cos α－sin αcos α＋sin α＝1－tan α1＋tan α＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α， ∵π4－α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2且y ＝tan x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上是单调增函数，∴β＝π4－α，∴α＋β＝π4，∴tan(α＋β)＝tan π4＝1.3．已知sin α＝55，sin(α－β)＝－1010，α、β均为锐角，则β等于( )A.5π12 B.π3 C.π4 D.π6[答案] C[解析] ∵α、β均为锐角，∴－π2<α－β<π2，∴cos(α－β)＝1－sin 2α－β＝31010， ∴sin α＝55，∴cos α＝1－⎝⎛⎭⎪⎫552＝255. ∴sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)＝22. ∵0<β<π2，∴β＝π4，故选C.4．(2012²重庆文)设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(其中A ＞0，ω＞0，－π＜φ≤π)在x ＝π6处取得最大值2，其图象与x 轴的相邻两个交点的距离为π2.(1)求f (x )的解析式；(2)求函数g (x )＝6cos 4x －sin 2x －1f x ＋π6的值域．[分析] (1)由周期为π求出ω，代入点(π6，2)，由φ范围求出φ，A .(2)分子化同名，即sin 2x 用1－cos 2x 代换，分母用诱导公式和二倍角公式． [解析] (1)由题设条件知f (x )的周期T ＝π，即2πω＝π，解得ω＝2，因为f (x )在x ＝π6处取得最大值2，所以A ＝2，从而sin(2³π6＋φ)＝1，所以2³π6＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，又由－π<φ≤π，得φ＝π6，故f (x )的解析式为f (x )＝2sin(2x ＋π6)．(2)g (x )＝6cos 4x －sin 2x －12sin 2x ＋π2＝6cos 4x ＋cos 2x －22cos2x＝2cos 2x －13cos 2x ＋222cos 2x －1＝32cos 2x ＋1(cos 2x ≠12)．因cos 2x ∈[0,1]，且cos 2≠12.故g (x )的值域为[1，74)∪(74，52]．[点评] 本题考查了三角函数的周期、最值、同角基本关系式、二倍角公式等．在解三角恒等变换(化简)题时的方法有：异名化同名，异角化同角，降幂化同次等．。

【走向高考】高三数学一轮总复习 133不等式选讲课件北师大

[解析] (1)当 a＝－1 时，f(x)＝|x－1|＋|x＋1|，由 f(x)≥3 得|x－1|＋|x＋1|≥3， (解法 1)由绝对值的几何意义知不等式的解集为{x|x≤－32 或 x≥32}． (解法 2)不等式可化为x－≤2－x≥13 或－2≥1<3x≤1，或x2>x≥1，3. 所以不等式的解集为{x|x≤－32或 x≥32}．
基础自测
1.(2012·绵阳模拟)已知 p：|2x－5|≤1，q：(x＋2)(x－3)≤0，
则 p 是 q 的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
[答案] A
[解析] 依题意，p：|2x－5|≤1，解得 2≤x≤3， q：(x＋2)(x－3)≤0，解得－2≤x≤3，所以 p 是 q 的充分不必要条件．
3 ． (2012·山东理， 13) 若不等式 |kx － 4|≤2 的解集为 {x|1≤x≤3}，则实数 k＝________.
[答案] 2
[解析] 本题考查了绝对值不等式的解法．由|kx－4|≤2
可得－2≤kx－4≤2，即 2≤kx≤6，而 1≤x≤3，所以 k＝2.掌
握好绝对值不等式的常见解法．也可把不等式转化为方程来解
(2)若 a＝1，f(x)＝2|x－1|，不满足题设条件；
－2x＋a＋1，x≤a，若 a<1，f(x)＝1－a，a<x<1，
2x－a＋1，x≥1，
f(x)的最小值为 1－a；
－2x＋a＋1，x≤1，若 a>1，f(x)＝a－1，1<x<a，
2x－a＋1，x≥a.
f(x)的最小值为 a－1.
决，如由题意可知 x＝1，x＝3 是|kx－4|＝2 的两根，则

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第二章教师备课平台
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[例 5]
当 x∈[－1 时，若 22x 1<ax 1(a>) 恒成立，试求 1 ,] 0
－
＋
实数 a 的取值范围． [分析] 如直求，需讨果接解则要论 a 与 2 的大小关系，
而这里 x 又是区间[－1,1]上的变量，因此，讨论将变得复杂；如若能借助指数式与对数式之间的关系，则会将问题转化为一次函数，问题便迎刃而解．
三、函数与方程的思想方法函思，指函的念性去析题转问数想是用数概和质分问、化题解问．程想是问的量系手运数和决题方思，从题数关入，用学语言将问题中的条件转化为数学模型(方程、不等式或方程与等的合不式混组 )，后过方然通解程 (组)或等不式 (组 )来使转、轨达化接，到
和直线 f2(x)＝1－m，图像
①当 1－m＝0 时，有唯一解，m＝1； ②当 1≤1－m<4 时，有唯一解，即－3<m≤0， ∴m＝1 或－3<m≤0，此题也可设曲线 f1(x)＝－(x－2)2＋1，x∈(3 0) , ＝m 后画出图像求解．和直线 f2(x)
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[分析]
本的破于出次数一式根已题突在设二函的般，据
知条件列出关于参数 a，b，c 的方程或其他关系式来求解．
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[解析]

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[例 5]
已不式知等
x2＋4≥ax 在[4 1] ,
上成，参恒立求数
a
的取值范围．
[解 ] 析将数 a分出，为参离来因 4 x＋x ≥a， x2＋4≥ax 在[4 1] , 上成即，恒立可上成，恒立 x∈[4 1] , ，
k 的范
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12 [解析] t －kt－1≤0 在 t∈[－1 上成等于 1 ,] 恒立价 4 t2－1 在 t∈[－1 上成． 1 ,] 恒立 12 令 g(t)＝ t －1，h(t)＝kt. 4
1 kt≥ 4
12 则 kt≥4t －1 在 t∈[－1 上恒成立等价于对任意的 t∈[－ 1 ,] 1,1]， y＝h(t)的图像在 y＝g(t)的像方其图上，中 1,1]为抛物线段， y＝g(t)， t∈[－
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[例 1]
设数 a>> b>0，问 a，b 满足什么关系时，不等实 1
式 g ax－bx)0 的集 l( > 解是 (1，＋∞)．
[解析] ∵a －b
x x
设 f(x)＝l( ax－bx)，先确定 x 的取值范围． g
a a x >0，即b >1，且 >1， b
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解等时不式，
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[例 4]
－ 2 x－1x≤0 设函数 f(x)＝ 1 ，若 f(x0)>1，则 x0 x2x>0

第三章第一讲数列

命题意图：先观察各项的特点，然后归纳出通项公式．解析：(1)符号问题可通过(－1)n 或(－1)n＋1 表示，其
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各项的绝对值的排列规律为：后面数的绝对值总比前面数
的绝对值大3，故通项公式为an＝(－1)n(3n－2)．
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2010福建卷17题、天津卷22题、重庆卷16题等)
4．数列与解析几何知识结合的题目及数列的应用问题也要引起足够的重视．
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第三章
数列
备考指南：
1．数列部分的复习要分为三个方面：(1)重视函数与
数列的联系，重视方程思想在数列中的应用．(2)掌握等差数列、等比数列的基础知识以及可化为等差、等比数列的简单问题，同时要重视等差、等比数列性质的灵活运用．(3)要设计一些新颖题目，尤其是通过探索性题目，
第三章
数列
3．数列{an}的前 n 项和 Sn 满ห้องสมุดไป่ตู้ log2(n2＋Sn)＝2，则 an＝______________________.
3，n＝1 答案： 1－2n，n≥2
《走向高考》高考总复习 · 数学配统编教材版
三、忽略n的条件出现错误 4．判断正误，若在数列{an}中a1 ＝1，an＋1 ＝3Sn(n≥1)，则数列{an}
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第三章
数列
8 8 8 (2)将数列变形为 (1－0.1)， (1－0.01)， (1－0.001)，„，《 9 9 9 走 8 1 ∴an＝9(1－10n)． (3)各项的分母分别为 21,22,23,24，„易看出第 2,3,4 项的分 2－3 子分别比分母少 3.因此把第 1 项变为－ 2 ，至此原数列已化 21－3 22－3 23－3 24－3 为－ 21 ， 22 ，－ 23 ， 24 ，„， 2n－3 ∴an＝(－1)n· 2n .

2024全国高考真题数学汇编：三角函数章节综合

2024全国高考真题数学汇编三角函数章节综合一、单选题1．（2024天津高考真题）下列函数是偶函数的是（）A ．22e 1x x y x -=+B ．22cos 1x x y x +=+C ．e 1x xy x -=+D ．||sin 4e x x x y +=2．（2024全国高考真题）函数()()2e e sin x xf x x x -=-+-在区间[2.8,2.8]-的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．3．（2024北京高考真题）设函数()()sin 0f x x ωω=>.已知()11f x =-，()21f x =，且12x x -的最小值为π2，则ω=（）A ．1B ．2C ．3D ．44．（2024全国高考真题）当[0,2]x Î时，曲线sin y x =与2sin 36y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的交点个数为（）A ．3B ．4C ．6D ．85．（2024全国高考真题）设函数2()(1)1f x a x =+-，()cos 2g x x ax =+，当(1,1)x ∈-时，曲线()y f x =与()y g x =恰有一个交点，则=a （）A ．1-B ．12C ．1D ．26．（2024天津高考真题）已知函数()()πsin303f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期为π．则()f x 在ππ,126⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的最小值是（）A ．B ．32-C ．0D ．32二、多选题7．（2024全国高考真题）对于函数()sin 2f x x =和π()sin(2)4g x x =-，下列说法中正确的有（）A ．()f x 与()g x 有相同的零点B ．()f x 与()g x 有相同的最大值C ．()f x 与()g x 有相同的最小正周期D ．()f x 与()g x 的图象有相同的对称轴三、填空题8．（2024北京高考真题）在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于原点对称.若ππ,63α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则cosβ的最大值为．参考答案1．B【分析】根据偶函数的判定方法一一判断即可.【详解】对A ，设()22e 1x x f x x -=+，函数定义域为R ，但()112e 1f ---=，()112e f -=，则()()11f f -≠，故A 错误；对B ，设()22cos 1x x g x x +=+，函数定义域为R ，且()()()()()2222cos cos 11x x x x g x g x x x -+-+-===+-+，则()g x 为偶函数，故B 正确；对C ，设()e 1x xh x x -=+，函数定义域为{}|1x x ≠-，不关于原点对称，则()h x 不是偶函数，故C 错误；对D ，设()||sin 4e x x xx ϕ+=，函数定义域为R，因为()sin141e ϕ+=，()sin141e ϕ---=，则()()11ϕϕ≠-，则()x ϕ不是偶函数，故D 错误.故选：B.2．B【分析】利用函数的奇偶性可排除A 、C ，代入1x =可得()10f >，可排除D.【详解】()()()()()22e e sin e e sin x x x xf x x x x x f x ---=-+--=-+-=，又函数定义域为[]2.8,2.8-，故该函数为偶函数，可排除A 、C ，又()11πe 11111e sin11e sin 10e e 622e 42e f ⎛⎫⎛⎫=-+->-+-=-->-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故可排除D.故选：B.3．B【分析】根据三角函数最值分析周期性，结合三角函数最小正周期公式运算求解.【详解】由题意可知：1x 为()f x 的最小值点，2x 为()f x 的最大值点，则12minπ22T x x -==，即πT =，且0ω>，所以2π2Tω==.故选：B.4．C【分析】画出两函数在[]0,2π上的图象，根据图象即可求解【详解】因为函数sin y x =的的最小正周期为2πT =，函数π2sin 36y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的最小正周期为2π3T =，所以在[]0,2πx ∈上函数π2sin 36y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭有三个周期的图象，在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图所示：由图可知，两函数图象有6个交点.故选：C 5．D【分析】解法一：令()()21,cos F x ax a G x x =+-=，分析可知曲线()y F x =与()y G x =恰有一个交点，结合偶函数的对称性可知该交点只能在y 轴上，即可得2a =，并代入检验即可；解法二：令()()()(),1,1h x f x g x x =-∈-，可知()h x 为偶函数，根据偶函数的对称性可知()h x 的零点只能为0，即可得2a =，并代入检验即可.【详解】解法一：令()()f x g x =，即2(1)1cos 2a x x ax +-=+，可得21cos a x ax -=+，令()()21,cos F x ax a G x x =+-=，原题意等价于当(1,1)x ∈-()y F x =与()y G x =恰有一个交点，注意到()(),F x G x 均为偶函数，可知该交点只能在y 轴上，可得()()00F G =，即11a -=，解得2a =，若2a =，令()()F x G x =，可得221cos 0x x +-=因为()1,1x ∈-，则220,1cos 0x x ≥-≥，当且仅当0x =时，等号成立，可得221cos 0x x +-≥，当且仅当0x =时，等号成立，则方程221cos 0x x +-=有且仅有一个实根0，即曲线()y F x =与()y G x =恰有一个交点，所以2a =符合题意；综上所述：2a =.解法二：令()()()2()1cos ,1,1h x f x g x ax a x x =-=+--∈-，原题意等价于()h x 有且仅有一个零点，因为()()()()221cos 1cos h x a x a x ax a x h x -=-+---=+--=，则()h x 为偶函数，根据偶函数的对称性可知()h x 的零点只能为0，即()020h a =-=，解得2a =，若2a =，则()()221cos ,1,1h x x x x =+-∈-，又因为220,1cos 0x x ≥-≥当且仅当0x =时，等号成立，可得()0h x ≥，当且仅当0x =时，等号成立，即()h x 有且仅有一个零点0，所以2a =符合题意；故选：D.6．A【分析】先由诱导公式化简，结合周期公式求出ω，得()sin2f x x =-，再整体求出,126⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦ππx 时，2x 的范围，结合正弦三角函数图象特征即可求解.【详解】()()πsin3sin 3πsin 33f x x x x ωωω⎛⎫=+=+=- ⎪⎝⎭，由2ππ3T ω==得23ω=，即()sin2f x x =-，当,126⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦ππx 时，ππ2,63x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，画出()sin2f x x =-图象，如下图，由图可知，()sin2f x x =-在ππ,126⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上递减，所以，当π6x =时，()min π3sin 32f x =-=-故选：A 7．BC【分析】根据正弦函数的零点，最值，周期公式，对称轴方程逐一分析每个选项即可.【详解】A 选项，令()sin 20f x x ==，解得π,2k x k =∈Z ，即为()f x 零点，令π()sin(2)04g x x =-=，解得ππ,28k x k =+∈Z ，即为()g x 零点，显然(),()f x g x 零点不同，A 选项错误；B 选项，显然max max ()()1f x g x ==，B 选项正确；C 选项，根据周期公式，(),()f x g x 的周期均为2ππ2=，C 选项正确；D 选项，根据正弦函数的性质()f x 的对称轴满足πππ2π,224k x k x k =+⇔=∈Z ，()g x 的对称轴满足πππ3π2π,4228k x k x k -=+⇔=+∈Z ，显然(),()f x g x 图像的对称轴不同，D 选项错误.故选：BC 8．12-/0.5-【分析】首先得出π2π,Z k k βα=++∈，结合三角函数单调性即可求解最值.【详解】由题意π2π,Z k k βα=++∈，从而()cos cos π2πcos k βαα=++=-，因为ππ,63α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以cos α的取值范围是1,22⎡⎢⎣⎦，cos β的取值范围是122⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，当且仅当π3α=，即4π2π,Z 3k k β=+∈时，cos β取得最大值，且最大值为12-.故答案为：12-.。

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A b＋c 3．在△ABC 中，cos2 ＝，则△ABC 的形状为( 2 2c A．直角三角形 B．等腰三角形或直角三角形 C．正三角形 D．等腰直角三角形 [答案] A 1＋cosA b＋c A b＋c [解析] ∵cos2 ＝，∴ ＝， 2 2c 2 2c b 即 cosA＝，又由余弦定理知， c b2＋c2－a2 b2＋c2－a2 b cosA＝，∴ ＝， 2bc 2bc c ∴a2＋b2＝c2，∴△ABC 为直角三角形．
[分析] 这是一个知识迁移题，在斜坐标系中求线段 AB 的长，根据斜坐标系的定义不难发现，可将线段 AB 放在一个三角形中进行求解，这样就转化为利用正余弦定理解三轴平行线，过 B 作 y 轴的平行线，设两条平行线交于点 C，根据题意可得，△ABC 中，∠C＝60° ，AC＝3，BC＝1，根据余弦定理有 AB2＝BC2＋AC2 －2AC×BC×cosC，解得 AB＝ 7. [点评] 解决此题的关键是理解题意，根据题中对斜坐标系的定
第4章
第7节
一、选择题 1．在△ABC 中，AB＝ 3，A＝45° ，C＝75° ，则 BC 等于( A．3－ 3 C．2 [答案] A AB BC [解析] 由＝得 BC＝3－ 3. sinC sinA 2．(2008· 安徽)在三角形 ABC 中，AB＝5，AC＝3，BC＝7，则∠BAC 的大小为( 2π A. 3 3π C. 4 [答案] A AB2＋AC2－BC2 1 [解析] cos∠BAC＝＝－ . 2AB· AC 2 ∵0<∠BAC<π，∴∠BAC＝ 2π . 3 ) 5π B. 6 π D. 3 ) B. 2 D．3＋ 3 )
A．(－2,2) C．( 2，2) [答案] D [解析]
B＝2A<90° b sinB sin2A ∵ ＝＝＝ 2cosA ，又 △ ABC 是锐角三角形， ∴ ∴ a sinA sinA A＋2A>90°
b 30° <A<45° ，则＝2cosA∈( 2， 3)，故选 D. a 7．已知△ABC 中，∠A，∠B，∠C 的对边分别为 a，b，c，若 a＝c＝ 6＋ 2且∠A＝ 75° ，则 b＝( A．2 C．4－2 3 [答案] A [解析] 考查正弦定理与两角和的正弦公式． sinA＝sin75° ＝sin(30° ＋45° ) ) B．4＋2 3 D. 6－ 2
3 π 所以 sinA＝± ，又 A 为锐角，所以 A＝ .① 2 3 → → (Ⅱ)由AB· AC＝12，可得 cbcosA＝12. π 由(Ⅰ)知 A＝，所以 cb＝24.② 3 由余弦定理知 a2＝c2＋b2－2bccosA，将 a＝2 7及①代入，得 c2＋b2＝52，③ ③＋②×2，得(c＋b)2＝100，所以 c＋b＝10. 因此，c，b 是一元二次方程 t2－10t＋24＝0 的两个根．解此方程并由 c>b 知 c＝6，b＝4. A 2 5 14． (2009· 浙江理)在△ABC 中，角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c，且满足 cos ＝， 2 5 → → AB· AC＝3. (1)求△ABC 的面积； (2)若 b＋c＝6，求 a 的值． [解析] 本题主要考查正弦、余弦定理、三角公式变换、三角形面积公式及向量运算等基础知识，同时考查运算求解能力． A 2 5 (1)因为 cos ＝， 2 5 A 3 4 所以 cosA＝2cos2 －1＝，sinA＝ . 2 5 5 → → 又由AB· AC＝3，得 bccosA＝3，所以 bc＝5.
[解析] 设 AB＝c， a＋b＝2 3， ab＝2， ∵ 1 cosA＋B＝2，
1 ∴cosC＝－ . 2
a2＋b2－c2 a＋b2－2ab－c2 又∵cosC＝＝ 2ab 2ab ＝ 8－c2 1 ＝－， 4 2
∴c2＝10，∴c＝ 10，即 AB＝ 10. 三、解答题 12． (2010· 陕西文)在△ABC 中，已知 B＝45° ， D 是 BC 边上的一点， AD＝10，AC＝14，DC＝6，求 AB 的长． [解析] 本题考查正、余弦定理的应用．在△ADC 中，AD＝10，AC＝14，DC＝6， AD2＋DC2－AC2 100＋36－196 1 由余弦定理得 cos∠ADC＝＝＝－， 2AD· DC 2 2×10×6 ∴∠ADC＝120° ，∠ADB＝60° . 在△ABD 中，AD＝10，∠B＝45° ，∠ADB＝60° ， AB AD 由正弦定理得＝， sin∠ADB sinB
sinB＋cosB＝ 2，则角 A 的大小为________． [答案] π 6
[解析] 本题考查了三角恒等变形，给值求角及正弦定理等知识点，考查学生灵活解三 π π π π 角形的能力，属中档题，sinB＋cosB＝ 2⇒ 2sin(B＋ )＝ 2，∴sin(B＋ )＝1，∴B＋＝， 4 4 4 2 π 2 2 1 π ∴B＝，又 a＝ 2，b＝2，由正弦定理：＝ .解得：sinA＝，又 a<b，∴A<B＝， 4 sinA π 2 4 sin 4 π ∴A＝为所求． 6 11．(2011· 东营模拟)在△ABC 中，BC＝a，AC＝b，a、b 是方程 x2－2 3x＋2＝0 的两根，且 2cos(A＋B)＝1，则 AB＝________. [答案] 10
义将求距离问题转化为解三角形问题，这里涉及知识的迁移能力，这也是近几年高考试题中经常考查的内容，体现了数学知识的灵活应用．二、填空题 2π 9．(2010· 北京理)在△ABC 中，若 b＝1，c＝ 3，∠C＝，则 a＝________. 3 [答案] 1 3 2 sinC 1 [解析] sinB＝ · b＝ ×1＝， c 2 3 π π 因此 B＝，A＝＝B，故 a＝b＝1. 6 6 10．(2010· 山东文)在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c.若 a＝ 2，b＝2，
＝sin30° cos45° ＋sin45° cos30° ＝
2＋ 6 ， 4
由 a＝c＝ 6＋ 2及 A＝75° 可知，∠C＝75° ， 1 所以∠B＝30° ，sinB＝， 2 2＋ 6 1 a 由正弦定理得 b＝ · sinB＝ × ＝2，故选 A. sinA 2＋ 6 2 4 8．如图所示，将平面直角坐标系中的纵轴绕点 O 顺时针旋转 30° (坐标轴的长度单位不变)构成一个斜坐标系 xOy，平面上任一点 P 关于斜坐标系的坐标(x， y)用如下方式定义：过 P 作两坐标轴的平行线分别交坐标轴 Ox 于点 M，Oy 于点 N，则 M 在 Ox 轴上表示的数为 x，N 在 Oy 轴上表示的数为 y.在斜坐标系中，若 A，B 两点的坐标分别为(1,2)，(－2,3)，则线段 AB 的长为( A. 7 C. 10 ) B. 13 D．2 2
1 因此 S△ABC＝ bcsinA＝2. 2 (2)由(1)知，bc＝5，又 b＋c＝6，所以 b＝5，c＝1 或 b＝1，c＝5 由余弦定理，得 a2＝b2＋c2－2bccosA＝20，所以 a＝2 5. 15．已知△ABC 中，a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边，且 3sin2B＋3sin2C－2sinBsinC → → ＝3sin2A，a＝ 3，求AB· AC的最大值． [分析] 所给条件式为角的关系，又均为“二次”式，故化角为边后可利用余弦定理寻求联系求解． [解析] ∵3sin2B＋3sin2C－2sinBsinC＝3sin2A，由正弦定理得 3b2＋3c2－2bc＝3a2，即 b2＋c2－a2 1 3b2＋3c2－3a2＝2bc，再由余弦定理得 cosA＝＝ . 2bc 3 ∵a＝ 3，∴3b2＋3c2－2bc＝9≥6bc－2bc＝4bc， 9 ∴bc≤ ，当且仅当 b＝c 时等号成立． 4 bc 3 → → ∴AB· AC＝c· b· cosA＝ ≤ ， 3 4 3 → → 故AB· AC的最大值为 . 4
AD· sin∠ADB 10sin60° ∴AB＝＝＝ sinB sin45°
10× 2 2
3 2
＝5 6.
13．(2010· 安徽理)设△ABC 是锐角三角形，a，b，c 分别是内角 A，B，C 所对边长， π π 并且 sin2A＝sin( ＋B)sin( －B)＋sin2B. 3 3 (1)求角 A 的值； → → (2)若AB· AC＝12，a＝2 7，求 b，c(其中 b<c)． [解析] 本题考查两角和的正弦公式，同角三角函数的基本关系，特殊角的三角函数值，向量的数量积，利用余弦定理解三角形等有关知识，考查综合运算求解能力．解题思路是：(1)利用三角恒等变形结合同角三角函数的平方关系式求 sinA 的值，然后确定 A 的值．(2)利用数量积的定义，余弦定理并结合(1)中的结论再联系韦达定理求解． (1)因为 sin2A＝( 3 1 3 1 3 1 3 cosB＋ sinB)( cosB－ sinB)＋sin2B＝ cos2B－ sin2B＋sin2B＝， 2 2 2 2 4 4 4
4．(2010· 天津理)在△ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，若 a2－b2＝ 3bc， sinC＝2 3sinB，则 A＝( A．30° ) B．60°
C．120° [答案] A
D．150°
b2＋c2－a2 [解析] 由余弦定理得：cosA＝， 2bc 由题知 b2－a2＝－ 3bc，c2＝2 3bc，则 cosA＝又 A∈(0° ，180° )，∴A＝30° ，故选 A. 5．已知△ABC 的三个内角为 A、B、C，所对的三边分别为 a、b、c，若△ABC 的面积 A 为 S＝a2－(b－c)2，则 tan 等于( 2 1 A. 2 1 C. 8 [答案] B 1 [解析] 由于 S＝ bcsinA，又 S＝a2－b2－c2＋2bc，由余弦定理知 a2－b2－c2＝－2bccosA， 2 1 ∴ bcsinA＝－2bccosA＋2bc⇒sinA＝4(1－cosA) 2 A A A A 1 ⇒2sin cos ＝4×2sin2 ⇒tan ＝ . 2 2 2 2 4 b 6．锐角三角形 ABC 中，a、b、c 分别是三内角 A、B、C 的对边，设 B＝2A，则的取 a 值范围是( ) B．(0,2) D．( 2， 3) ) 1 B. 4 D．1 3 ， 2