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五年级奥数专题---行程问题

五年级奥数专题--行程问题行程问题（一）专题简析：行程应用题是专门讲物体运动的速度、时间、路程三者关系的应用题.行程问题的主要数量关系是：路程=速度×时间.知道三个量中的两个量，就能求出第三个量.例1.甲、乙两车同时从东、西两地相向开出，甲车每小时行56千米，乙车每小时行48千米.两车在距中点32千米处相遇，东、西两地相距多少千米?变式训练1.小玲每分钟行100米，小平每分钟行80米，两人同时从学校和少年宫出发，相向而行，并在离中点120米处相遇.学校到少年宫有多少米？2.一辆汽车和一辆摩托车同时从甲、乙两地相对开出，汽车每小时行40千米，摩托车每小时行65千米，当摩托车行到两地中点处时，与汽车还相距75千米.甲、乙两地相距多少千米？3.甲、乙二人同时从东村到西村，甲每分钟行120米，乙每分钟行100米，结果甲比乙早5分钟到达西村.东村到西村的路程是多少米？例2.快车和慢车同时从甲、乙两地相向开出，乙车每小时行40千米，经过3小时，快车已驶过中点25千米，这时快车与慢车还相距7千米.慢车每小时行多少千米？变式训练1，兄弟二人同时从学校和家中出发，相向而行.哥哥每分钟行120米，5分钟后哥哥已超过中点50米，这时兄弟二人还相距30米.弟弟每分钟行多少米？2.汽车从甲地开往乙地，每小时行32千米.4小时后，剩下的路比全程的一半少8千米，如果改用每小时56千米的速度行驶，再行几小时到达乙地？3.学校运来一批树苗，五（1）班的40个同学都去参加植树活动，如果每人植3棵，全班同学都能植这批树苗的一半还多20棵.如果这批树苗全部给五（1）班的同学去植，平均每人植多少树？例3.甲、乙二人上午8时同时从东村骑车到西村去，甲每小时比乙快6千米.中午12时甲到西村后立即返回东村，在距西村15千米处遇到乙.求东、西两村相距多少千米？变式训练1.甲、乙二人同时从A地到B地，甲每分钟走250米，乙每分钟走90米.甲到达B地后立即返回A地，在离B地3.2千米处与乙相遇.A、B两地间的距离是多少千米？2.小平和小红同时从学校出发步行去小平家，小平每分钟比小红多走20米.30分钟后小平到家，到家后立即原路返回，在离家350千米处遇到小红.小红每分钟走多少千米？3.甲、乙二人上午7时同时从A地去B地，甲每小时比乙快8千米.上午11时甲到达B地后立即返回，在距B地24千米处与乙相遇.求A、B两地相距多少千米？例4.甲、乙两车早上8点分别从A、B两地同时出发相向而行，到10点时两车相距112.5千米.两车继续行驶到下午1点，两车相距还是112.5千米.A、B两地间的距离是多少千米？变式训练1.甲、乙两车同时从A、B两地相向出发，3小时后，两车还相距120千米；又行3小时，两车又相距120千米.A、B两地相距多少千米？2.东、西两村相距36千米，甲、乙二人同时从东西两村相向出发，3小时后，丙骑车从东村出发去追甲，结果三人同时在某地相遇.已知甲每小时行4千米，乙每小时行5千米，求丙的速度.3.两队同学同时从相距30千米的甲、乙两地相向出发，一只鸽子以每小时20千米的速度在两队同学之间不断往返送信.如果鸽子从同学们出发到相遇共飞行了30千米，而甲队同学比乙队同学每小时多走0.4千米，求两队同学的行走速度.例5.甲、乙两车早上8时分别从A、B两地同时相向出发，到10时两车相距112.5千米.两车继续行驶到下午1时，两车相距还是112.5千米.A、B两地间的距离是多少千米？变式训练1.甲、乙两车同时从A、B两地相向出发，3小时后，两车还相距120千米.又行3小时，两车又相距120千米.A、B两地相距多少千米？2.快、慢两车早上6时同时从甲、乙两地相向开出，中午12时两车还相距50千米.继续行驶到14时，两车又相距170千米.甲、乙两地相距多少千米？3.甲、乙两人分别从A、B两地同时相向而行，匀速前进.如果各人按原定速度前进，4小时相遇；如果两人各自比原计划少走1千米，则5小时相遇.A、B两地相距多少千米？第29讲行程问题（二）专题简析：本周的主要问题是“追及问题” .追及问题一般是指两个物体同方向运动，由于各自的速度不同，后者追上前者的问题.追及问题的基本数量关系是：速度差×追及时间=追及路程解答追及问题，一定要懂得运动快的物体之所以能追上运动慢的物体，是因为两者之间存在着速度差.抓住“追及的路程必须用速度差来追”这一道理，结合题中运动物体的地点、运动方向等特点进行具体分析，并借助线段图来理解题意，就可以正确解题.例1.中巴车每小时行60千米，小轿车每小时行84千米.两车同时从相距60千米的两地同方向开出，且中巴在前.几小时后小轿车追上中巴车？变式训练1.一辆摩托车以每小时80千米的速度去追赶前面30千米处的卡车，卡车行驶的速度是每小时65千米.摩托车多长时间能够追上？2.兄弟二人从100米跑道的起点和终点同时出发，沿同一方向跑步，弟弟在前，每分钟跑120米；哥哥在后，每分钟跑140米.几分钟后哥哥追上弟弟？3.甲骑自行车从A地到B地，每小时行16千米.1小时后，乙也骑自行车从A地到B地，每小时行20千米，结果两人同时到达B地.A、B两地相距多少千米？例2.一辆汽车从甲地开往乙地，要行360千米.开始按计划以每小时45千米的速度行驶，途中因汽车故障修车2小时.因为要按时到达乙地，修好车后必须每小时多行30千米.汽车是在离甲地多远处修车的？变式训练1.小王家离工厂3千米，他每天骑车以每分钟200米的速度上班，正好准时到工厂.有一天，他出发几分钟后，因遇熟人停车2分钟，为了准时到厂，后面的路必须每分钟多行100米.小王是在离工厂多远处遇到熟人的？2.一辆汽车从甲地开往乙地，若每小时行36千米，8小时能到达.这辆汽车以每小时36千米的速度行驶一段时间后，因排队加油用去了15分钟.为了能在8小时内到达乙地，加油后每小时必须多行7.2千米.加油站离乙地多少千米？3.汽车以每小时30千米的速度从甲地出发，6小时后能到达乙地.汽车出发1小时后原路返回甲地取东西，然后立即从甲地出发.为了能在原来时间内到达乙地，汽车必须以每小时多少千米的速度驶向乙地？例3.甲、乙两人以每分钟60米的速度同时、同地、同向步行出发.走15分钟后甲返回原地取东西，而乙继续前进.甲取东西用去5分钟的时间，然后改骑自行车以每分钟360米的速度追乙.甲骑车多少分钟才能追上乙？变式训练1.兄弟二人同时从家出发去学校，哥哥每分钟走80米，弟弟每分钟走60米.出发10分钟钟后，哥哥返回家中取文具，然后立即骑车以每分钟310米的速度去追弟弟.哥哥骑车几分钟追上弟弟？2.快车每小时行60千米，慢车每小时行40千米，两车同时从甲地开往乙地.出发0.5小时后，快车因故停下修车1.5小时.修好车后，快车仍用原速前进，经过几小时才能追上慢车？3.甲、乙二人加工同样多的零件，甲每小时加工20个，乙每小时加工15个.一天，乙比甲早工作2小时，到下午二人同时完成了加工任务.他俩一共加工了多少个零件？例4.甲骑车、乙跑步，二人同时从同一地点出发沿着长4千米的环形公路同方向进行晨练.出发后10分钟，甲便从乙身后追上了乙.已知二人的速度和是每分钟700米，求甲、乙二人的速度各是多少？变式训练1.爸爸和小明同时从同一地点出发，沿相同方向在环形跑道上跑步.爸爸每分钟跑150米，小明每分钟跑120米，如果跑道全长900米，问：至少经营几分钟爸爸从小明身后追上小明？2.在300米长的环形跑道上，甲、乙二人同时同地同向跑步，甲每秒跑5米，乙每秒跑4.4米.两人起跑后的第一次相遇点在起跑线前多少米？3.环湖一周共400米，甲、乙二人同时从同一地点同方向出发，甲过10分钟第一次从乙身后追上乙.若二人同时从同一地点反向而行，只要2分钟二人就相遇.求甲、乙的速度.例5.甲、乙、丙三人步行的速度分别是每分钟100米、90米、75米.甲在公路上A处，乙、丙在公路上B处，三人同时出发，甲与乙、丙相向而行.甲和乙相遇3分钟后，甲和丙又相遇了.求A、B之间的距离.变式训练2.甲、乙、丙三人行走的速度分别是每分钟60米、80米、100米.甲、乙二人在B地，丙在A地与甲、乙二人同时相向而行，丙和乙相遇后，又过2分钟和甲相遇.求A、B两地的路程.3.甲、乙、丙三人行走的速度分别是每分钟60米、80米、100米.甲、乙二人从B地同时同向出发，丙从A地同时同向去追甲和乙.丙追上甲后又经过10分钟才追上乙.求A、B两地的路程.3.A、B两地相距1800米，甲、乙二人从A地出发，丙同时从B地出发与甲、乙二人相向而行.已知甲、乙、丙三人的速度分别是每分钟60米、80米和100米，当乙和丙相遇时，甲落后于乙多少米？第30讲行程问题（三）专题简析：很多稍复杂的应用题，运用算术方法解答有一定困难，列方程解答就比较容易.列方程解答行程问题的优点是可以使未知道的数直接参加运算，列方程时能充分利用我们熟悉的数量关系.因此，对于一些较复杂的行程问题，我们可以用题中已知的条件和所设的未知数，根据自己最熟悉的等量关系列出方程，方便解题.例1.A、B两地相距259千米，甲车从A地开往B地，每小时行38千米；半小时后，乙车从B地开往A地，每小时行42千米.乙车开出几小时后和甲车相遇？变式训练1.甲、乙两地相距658千米，客车从甲地开出，每小时行58千米.1小时后，货车从乙地开出，每小时行62千米.货车开出几小时后与客车相遇？2.小军和小明分别从相距1860米的两处相向出发，小军出发5分钟后小明才出发.已知小军每分钟行120米，小明骑车每分钟行300米.求小军出发几分钟后与小明相遇？3.甲、乙两地相距446千米，快、慢两车同时从甲、乙两地相对开出，快车每小时行68千米，慢车每小时行35千米.中途慢车因修车停留半小时，求共经过几小时两车在途中相遇.例2.一辆汽车从甲地开往乙地，平均每小时行20千米.到乙地后又以每小时30千米的速度返回甲地，往返一次共用7.5小时.求甲、乙两地间的路程.变式训练1.汽车从甲地开往乙地送货.去时每小时行30千米，返回时每小时行40千米，往返一次共用8小时45分.求甲、乙两地间的路程.2.一架飞机所带的燃料最多可用9小时，飞机去时顺风，每小时可飞1500千米；返回时逆风，每小时可飞1200千米.这架飞机最多飞多少千米就要往回飞？3.师徒二人加工一批零件.师傅每小时加工35个，徒弟每小时加工28个.师傅先加工了这批零件的一半后，剩下的由徒弟去加工.二人共用18小时完成了加工任务.这批零件共有多少个？例3.东、西两地相距5400米，甲、乙二人从东地、丙从西地同时出发，相向而行.甲每分钟行55米，乙每分钟行60米，丙每分钟行70米.多少分钟后乙正好走到甲、丙两人之间的中点处？变式训练1.A、B、C三地在一条直线上，如图所示：A、B两地相距2千米，甲、乙两人分别从A、B 两地同时向C地行走，甲每分钟走35米，乙每分钟走45米.经过几分钟B地在甲、乙两人之间的中点处？2.东、西两镇相距60千米.甲骑车行完全程要4小时，乙骑车行完全程要5小时.现在两人同时从东镇到西镇去，经过多少小时后，乙剩下的路程是甲剩下路程的4倍？3.老师今年32岁，学生今年8岁.再过几年老师的年龄是学生的3倍？例4.快、慢两车同时从A地到B地，快车每小时行54千米，慢车每小时行48千米.途中快车因故停留3小时，结果两车同时到达B地.求A、B两地间的距离.变式训练1.甲每分钟行120米，乙每分钟行80米.二人同时从A地出发去B地，当乙到达B地时，甲已在B地停留了2分钟.A地到B地的路程是多少米？2.甲、乙二人同时从学校骑车出发去江边，甲每小时行15千米，乙每小时行20千米.途中乙因修车停留了24分钟，结果二人同时到达江边.从学校到江边有多少千米？3.兄弟二人同时从家往学校走，哥哥每分钟走90米，弟弟每分钟走70米.出发1分钟后，哥哥发现少带铅笔盒，就原路返回，取后立即出发，结果与弟弟同时到达学校.他们家离学校有多远？例5.一位同学在360米长的环形跑道上跑了一圈，已知他前一半时间每秒跑5米，后一半时间每秒跑4米.求他后一半路程用了多少时间？变式训练1.小明在420米长的环形跑道上跑了一圈，已知他前一半时间每秒跑8米，后一半时间每秒跑6米.求他后一半路程用了多少时间？2.小华在240米长的跑道上跑了一个来回，已知他前一半时间每秒跑6米，后一半时间每秒跑4米.求他返回时用了多少秒.3.甲、乙两地相距205千米，小王开汽车从甲地出发，计划5小时到达乙地.他前一半时间每小时行36千米，为了按时到达乙地，后一半时间必须每小时行多少千米？第31讲行程问题（四）专题简析：通过前面对行程应用题的学习，同学们可以发现，行程问题大致分为以下三种情况：（1）相向而行：相遇时间=距离÷速度和（2）相背而行：相背距离=速度×时间（3）同向而行：追及时间=追及距离÷速度差如果上述的几种情况交织在一起，组成的应用题将会丰富多彩、千变万化.解答这些问题时，我们还是要理清题中已知条件与所求问题之间的关系，同时采用“转化”、“假设”等方法，把复杂的数量关系转化为简单的数量关系，把一复杂的问题转化为几个简单的问题逐一进行解决.例1.甲、乙两地相距420千米，一辆汽车从甲地开到乙地共用了8小时，途中，有一段路在整修路面，汽车行驶这段路时每小时只能行20千米，其余时间每小时行60千米.整修路面的一段路长多少千米？变式训练1.一辆汽车从甲城到乙城共行驶395千米，用了5小时.途中一部分公路是高速公路，另一部分是普通公路.已知汽车在高速公路上每小时行105千米，在普通公路上每小时行55千米.汽车在高速公路上行驶了多少千米？2.小明家离体育馆2300米，有一天，他以每分钟100米的速度去体育馆看球赛.出发几分钟后发现，如果以这样的速度走下去一定迟到，他马上改用每分钟180米的速度跑步前进，途中共用15分钟，准时到达了体育馆.问：小明是在离体育馆多远的地方开始跑步的？3.老师和小英为班级剪五角星，教师每分钟剪10个，剪了几分钟后小英接着剪，小英每分钟剪6个，两人共用8分钟，共剪了60个.小英剪了多少个五角星？例2.客、货两车同时从甲、乙两站相对开出，客车每小时行54千米，货车每小时行48千米.两车相遇后又以原速前进，到达对方站后立即返回，两车再次相遇时客车比货车多行21.6千米.甲、乙两站间的路程是多少千米？变式训练1.乙、慢两车同时从甲、乙两地相对开出并往返行驶.快车每小时行80千米，慢车每小时行45千米.两车第二次相遇时，快车比慢车多行了210千米.求甲、乙两地间的路程.2.甲、乙两地相距216千米，客货两车同时从甲、乙两地相向而行.已知客车每小时行58千米，货车每小时行50千米，到达对方出发点后立即返回.两车第二次相遇时，客车比货车多行多少千米？3.甲、乙两车同时从相距160千米的两站相向开出，到达对方站后立即返回，经过4小时两车在途中第二次相遇.相遇时甲车比乙车多行120千米.求两车的速度.例3.两地相距460千米，甲列车开出2小时后，乙列车与甲列车相向开出，经过4小时与甲列车相遇.已知甲列车每小时比乙列车多行10千米，求甲列车每小时行多少千米？变式训练1.甲、乙两地相距680千米，快车从甲地向乙地开出，2小时后，慢车从乙地与快车相向开出，并经过5小时与快车相遇.已知快车每小时比慢车多行8千米，求快车每小时行多少千米？2.师徒二人合做264个零件，徒弟先做4小时后又和师傅合做了8小时才完成了任务.已知徒弟每小时比师傅少做3个，师傅每小时做多少个零件？3.小明家离学校2300米，哥哥从家中出发，5分钟后弟弟从学校出发，二人相向而行.弟弟出发10分钟后与哥哥相遇.如果哥哥每分钟比弟弟多行20千米，他们每分钟各行多少千米？例4.小明和小军同时从学校和少年宫出发，相向而行，小明每分钟走90米，两人相遇后，小明再走4分钟到达少年宫，小军再走270米到达学校.小军每分钟走多少米？变式训练1.小强和小东同时从甲、乙两地出发，相向而行.小强每小时行15千米，两人相遇后，小强再走2小时到达乙地，小东再走45千米到达甲地.小东每小时行多少千米？2.甲、乙二车同时从A、B两地出发相向而行，甲车每小时行45千米.两车相遇后，乙车再行135千米到A地，甲车再行2小时到B地.求乙车行全程共用了几小时？3.乙、慢两车同时从甲、乙两地相向而行，4小时相遇.已知快车每小时行65千米，慢车每小时行25千米.求慢车行完全程共用了多少小时？例5.甲、乙两地相距48千米，其中一部分是上坡路，其余是下坡路.某人骑自行车从甲地到乙地后沿路返回，去时用了4小时12分，返回时用了3小时48分.已知自行车上坡时每小时行10千米，求自行车下坡时每小时行多少千米？变式训练1.某学生乘车上学，步行回家，途中共需1.5小时.如果往返都坐车，途中只需30分钟；如果往返只步行，途中共需多少时间？2.一辆汽车把货物从城运往小区，往返共用15小时.去时所用的时间是返回的1.5倍，去时比回来时每小时慢12千米.这辆汽车往返共行了多少千米？3.南北两镇之间全是山路，某人上山每小时走2千米，下山时每小时走5千米.从南镇到北镇要走38小时，从北镇到南镇要走32小时.两镇之间的路程是多少千米？从南镇到北镇的上山路和下山路各是多少千米？。

行程(多次相遇)问题—2022-2023学年五年级数学思维拓展学生版

周二2022-2023学年小学五年级思维拓展专题行程(多次相遇)问题知识精讲专题简析：通过前面对行程应用题的学习，同学们可以发现，行程问题大致分为以下三种情况：(1)相向而行：相遇时间=距离÷速度和(2)相背而行：相背距离=速度×时间(3)同向而行：追及时间=追及距离÷速度差如果上述的几种情况交织在一起，组成的应用题将会丰富多彩、千变万化。

解答这些问题时，我们还是要理清题中已知条件与所求问题之间的关系，同时采用“转化”、“假设”等方法，把复杂的数量关系转化为简单的数量关系，把一复杂的问题转化为几个简单的问题逐一进行解决。

典例分析1.(2019•岳麓区)甲、乙两人同时从A地出发，在直道A、B两地往返跑步，甲每分钟72米，乙每分钟48米，甲乙第二次迎面相遇与甲第二次从后面追上乙，两地相距80米，求A、B两地相距多少米？2.(2019•郑州)如图，ABCD是一个边长为6米的模拟跑道，甲玩具车从A出发顺时针行进，速度是每秒5厘米，乙玩具车从CD的中点出发逆时针行进(乙车速度小于甲车速度)，结果两车第二次相遇恰好是在B点，求乙车每秒走多少厘米？周二3.(2018春•江宁区期末)小欣和小鸣分别从一座桥的两端同时相向出发，往返于两端之间．小欣每分钟走65米，小鸣每分钟走70米，经过5分钟后两人第二次相遇．这座桥长多少米？4.(2018•广东)甲乙二人分别从A、B两地出发相向而行，到达目的地后马上掉头回到出发地，他们第一次相遇距A地800米，第二次距B地500米，A、B两地相距多少米？真题演练一、选择题(共5小题，满分5分，每小题1分)1.(1分)(2015秋•漳州期末)爸爸和儿子去2km外的公园，爸爸和儿子同时出发．儿子骑车到公园时，爸爸只走了一半路程．儿子立刻返回，遇到爸爸后又骑向公园，到公园又返回⋯直到爸爸到达公园．儿子从出发开始一共骑了()A.2kmB.4kmC.6km2.(1分)甲乙两人分别从桥的两端同时出发，往返于桥的两端之间。

行程问题(二)流水行船

行程问题（二）流水问题一、参考系速度通常我们所接触的行程问题可以称作为“参考系速度为0”的行程问题，例如当我们研究甲乙两人在一段公路上行走相遇时，这里的参考系便是公路，而公路本身是没有速度的，所以我们只需要考虑人本身的速度即可。

二参考系速度——“水速”但是在流水行船问题中，我们的参考系将不再是速度为0的参考系，因为水本身也是在流动的，所以这里我们必须考虑水流速度对船只速度的影响，具体为：1水速度=船速+水速；②逆水速度=船速-水速。

（可理解为和差问题）由上述两个式子我们不难得出一个有用的结论：船速=(顺水速度+逆水速度)÷2；水速=(顺水速度-逆水速度)÷2此外，对于河流中的漂浮物，我们还会经常用到一个常识性性质，即：漂浮物速度=流水速度。

三、流水行船问题中的相遇与追及①两只船在河流中相遇问题，当甲、乙两船（甲在上游、乙在下游）在江河里相向开出：甲船顺水速度+乙船逆水速度=（甲船速+水速）＋（乙船速-水速）=甲船船速+乙船船速②同样道理，如果两只船，同向运动，一只船追上另一只船所用的时间，与水速无关.甲船顺水速度-乙船顺水速度=（甲船速+水速）-（乙船速+水速）=甲船速-乙船速也有：甲船逆水速度-乙船逆水速度=（甲船速-水速）-（乙船速-水速）=甲船速-乙船速.说明：两船在水中的相遇与追及问题同静水中的及两车在陆地上的相遇与追及问题一样，与水速没有关系.模块一、基本的流水行船问题【例1】两个码头相距352千米，一船顺流而下，行完全程需要11小时.逆流而上，行完全程需要16小时，求这条河水流速度。

【巩固】光明号渔船顺水而下行200千米要10小时，逆水而上行120千米也要10小时．那么，在静水中航行320千米需要多少小时？【巩固】一艘每小时行25千米的客轮，在大运河中顺水航行140千米，水速是每小时3千米，需要行几个小时？【例2】一位少年短跑选手，顺风跑90米用了10秒，在同样的风速下逆风跑70米，也用了10秒，则在无风时他跑100米要用秒．【巩固】某船在静水中的速度是每小时15千米，它从上游甲地开往下游乙地共花去了8小时，水速每小时3千米，问从乙地返回甲地需要多少时间？【例3】甲、乙两船在静水中速度相同，它们同时自河的两个码头相对开出，4小时后相遇．已知水流速度是6千米/时．求：相遇时甲、乙两船航行的距离相差多少千米？【巩固】甲、乙两船在静水中速度相同，它们同时自河的两个码头相对开出，3小时后相遇．已知水流速度是4千米/时．求：相遇时甲、乙两船航行的距离相差多少千米？【例4】船往返于相距180千米的两港之间，顺水而下需用10小时，逆水而上需用15小时。

小学五年级奥数第29讲行程问题(二)(含答案分析)

第29讲行程问题（二）一、专题简析：1、追及问题一般是指两个物体同方向运动，由于各自的速度不同，后者追上前者的问题。

追及问题的基本数量关系是：速度差×追及时间=追及路程2、解答追及问题，一定要懂得运动快的物体之所以能追上运动慢的物体，是因为两者之间存在着速度差。

抓住“追及的路程必须用速度差来追”这一道理，结合题中运动物体的地点、运动方向等特点进行具体分析，并借助线段图来理解题意，就可以正确解题。

二、精讲精练例1 中巴车每小时行60千米，小轿车每小时行84千米。

两车同时从相距60千米的两地同方向开出，且中巴在前。

几小时后小轿车追上中巴车？练习一（1）一辆摩托车以每小时80千米的速度去追赶前面30千米处的卡车，卡车行驶的速度是每小时65千米。

摩托车多长时间能够追上？（2）兄弟二人从100米跑道的起点和终点同时出发，沿同一方向跑步，弟弟在前，每分钟跑120米；哥哥在后，每分钟跑140米。

几分钟后哥哥追上弟弟？例2一辆汽车从甲地开往乙地，要行360千米。

开始按计划以每小时45千米的速度行驶，途中因汽车故障修车2小时。

因为要按时到达乙地，修好车后必须每小时多行30千米。

汽车是在离甲地多远处修车的？练习二（1）小王家离工厂3千米，他每天骑车以每分钟200米的速度上班，正好准时到工厂。

有一天，他出发几分钟后，因遇熟人停车2分钟，为了准时到厂，后面的路必须每分钟多行100米。

小王是在离工厂多远处遇到熟人的？（2）一辆汽车从甲地开往乙地，若每小时行36千米，8小时能到达。

这辆汽车以每小时36千米的速度行驶一段时间后，因排队加油用去了15分钟。

为了能在8小时内到达乙地，加油后每小时必须多行7.2千米。

加油站离乙地多少千米？例3甲、乙两人以每分钟60米的速度同时、同地、同向步行出发。

走15分钟后甲返回原地取东西，而乙继续前进。

甲取东西用去5分钟的时间，然后改骑自行车以每分钟360米的速度追乙。

甲骑车多少分钟才能追上乙？练习三（1）兄弟二人同时从家出发去学校，哥哥每分钟走80米，弟弟每分钟走60米。

5年级-小学奥数举一反三(下册)

小学奥数举一反三练习材料五年级下册二○一四年六月目录第21讲假设法解题 1第22讲作图法解题 5第23讲分解质因数 10第24讲分解质因数（二） 14第25讲最大公约数 17第26讲最小公倍数（一） 21第27讲最小公倍数（二） 25第28讲行程问题（一） 29第29讲行程问题（二） 34第30讲行程问题（三） 39第31讲行程问题（四） 44第32讲算式谜 49第33讲包含与排除（容斥原理） 53第34讲置换问题 58第35讲估值问题 62第36讲火车行程问题 66第37讲简单列举 70第38讲最大最小问题 74第39讲推理问题 79第40讲杂题 84第21讲假设法解题【专题简析】假设法是解应用题时常用的一种思维方法。

在一些应用题中，要求两个或两个以上的未知量，思考时可以先假设要求的两个或几个未知数相等，或者先假设两种要求的未知量是同一种量，然后按题中的已知条件进行推算，并对照已知条件，把数量上出现的矛盾加以适当的调整，最后找到答案。

【例题1】有5元和10元的人民币共14张，共100元。

问5元币和10元币各多少张？思路与导航：假设这14张全是5元的，则总钱数只有5×14=70元，比实际少了100－70=30元。

为什么会少了30元呢？因为这14张人币民币中有的是10元的。

拿一张5元的换一张10元的，就会多出5元，30元里包含有6个5元，所以，要换6次，即有6张是10元的，有14－6=8张是5元的。

练习一1，笼中共有鸡、兔100只，鸡和兔的脚共248只。

求笼中鸡、兔各有多少只？2，一堆2分和5分的硬币共39枚，共值1.5元。

问2分和5分的各有多少枚？3，营业员把一张5元人币和一张5角的人民币换成了28张票面为一元和一角的人民币，求换来这两种人民币各多少张？【例题2】有一元、二元、五元的人民币50张，总面值116元。

已知一元的比二元的多2张，问三种面值的人民币各有几张？思路与导航：（1）如果减少2张一元的，那么总张数就是48张，总面值就是114元，这样一元的和二元的张数就同样多了；（2）假设这48张全是5元的，则总值为5×48=240元，比实际多出了240－114=126元，然后进行调整。

行程问题典型例题及答案详解

行程问题典型例题及答案详解行程问题是小学奥数中的重点和难点，也是西安小升初考试中的热点题型，纵观近几年试题，基本行程问题、相遇追及、多次相遇、火车、流水、钟表、平均速度、发车间隔、环形跑道、猎狗追兔等题型比比皆是，以下是一些上述类型经典例题（附答案详解）的汇总整理，有疑问可以直接联系我。

例1：一辆汽车往返于甲乙两地，去时用了4个小时，回来时速度提高了1/7，问：回来用了多少时间？分析与解答：在行程问题中，路程一定，时间与速度成反比，也就是说速度越快，时间越短。

设汽车去时的速度为v千米/时，全程为s千米，则：去时，有s÷v=s/v=4，则回来时的时间为：，即回来时用了3.5小时。

评注：利用路程、时间、速度的关系解题，其中任一项固定，另外两项都有一定的比例关系（正比或反比）。

例2：A、B两城相距240千米，一辆汽车计划用6小时从A城开到B城，汽车行驶了一半路程，因故障在中途停留了30分钟，如果按原计划到达B城，汽车在后半段路程时速度应加快多少？分析：对于求速度的题，首先一定是考虑用相应的路程和时间相除得到。

解答：后半段路程长：240÷2=120（千米），后半段用时为：6÷2－0.5=2.5（小时），后半段行驶速度应为：120÷2.5=48(千米/时)，原计划速度为：240÷6=40（千米/时），汽车在后半段加快了：48－40=8（千米/时）。

答：汽车在后半段路程时速度加快8千米/时。

例3：两码头相距231千米，轮船顺水行驶这段路程需要11小时，逆水每小时少行10千米，问行驶这段路程逆水比顺水需要多用几小时？分析：求时间的问题，先找相应的路程和速度。

解答：轮船顺水速度为231÷11=21（千米/时），轮船逆水速度为21－10=11（千米/时），逆水比顺水多需要的时间为：21－11=10（小时）答：行驶这段路程逆水比顺水需要多用10小时。

例4：汽车以每小时72千米的速度从甲地到乙地，到达后立即以每小时48千米的速度返回到甲地，求该车的平均速度。

初中数学行程问题说课教案

初中数学行程问题说课教案1. 让学生掌握行程问题的基本概念和公式，包括路程、速度、时间的关系。

2. 培养学生解决行程问题的能力，提高学生的逻辑思维和数学应用能力。

3. 培养学生合作学习、讨论问题的良好习惯，提高学生的沟通表达能力。

二、教学内容1. 行程问题的基本概念：路程、速度、时间。

2. 行程问题的基本公式：路程=速度×时间，速度=路程÷时间，时间=路程÷速度。

3. 行程问题的类型及解决方法：单人单程、单人往返、多人相遇、追及等问题。

4. 典型例题解析及练习。

三、教学过程1. 导入：通过生活中的实际例子，如上学、旅游等，引发学生对行程问题的关注，激发学生的学习兴趣。

2. 基本概念和公式：介绍路程、速度、时间的定义及它们之间的关系，引导学生理解和记忆行程问题的基本公式。

3. 行程问题的类型及解决方法：讲解单人单程、单人往返、多人相遇、追及等类型的行程问题，引导学生掌握解决行程问题的方法。

4. 典型例题解析：选取具有代表性的例题，引导学生分析问题、列方程、解方程，最后得出答案。

过程中注意引导学生思考、讨论，培养学生的逻辑思维和数学应用能力。

5. 练习：布置一些类似的练习题，让学生独立完成，检验学生对行程问题的掌握程度。

6. 总结：对本节课的内容进行总结，强调行程问题的解决方法及注意事项。

7. 拓展：引导学生思考行程问题在现实生活中的应用，激发学生学习兴趣，提高学生的数学应用能力。

四、教学策略1. 采用讲解、示范、练习、讨论等多种教学方法，激发学生的学习兴趣，提高学生的参与度。

2. 注重学生的主体地位，鼓励学生提问、思考、讨论，培养学生的逻辑思维和数学应用能力。

3. 针对不同学生的学习情况，给予个性化的指导，帮助学生克服困难，提高学生的学习效果。

4. 及时反馈，鼓励学生自主检查，培养学生的自我管理能力。

五、教学评价1. 学生对行程问题的基本概念和公式的掌握程度。

2. 学生解决行程问题的能力，包括逻辑思维、数学应用能力。

(完整版)五年级行程问题经典例题

行程问题（一）专题简析：行程应用题是专门讲物体运动的速度、时间、路程三者关系的应用题。

行程问题的主要数量关系是：路程=速度×时间。

知道三个量中的两个量，就能求出第三个量。

例1 甲、乙两车同时从东、西两地相向开出，甲车每小时行56千米，乙车每小时行48千米。

两车在距中点32千米处相遇，东、西两地相距多少千米?分析与解答从图中可以看出，两车相遇时，甲车比乙车多行了32×2=64（千米）。

两车同时出发，为什么甲车会比乙车多行64千米呢？因为甲车每小时比乙车多行56-48=8（千米）。

64里包含8个8，所以此时两车各行了8小时，东、西两地的路程只要用（56+48）×8就能得出。

32×2÷（56－48）=8（小时）（56＋48）×8=832（千米）答：东、西两地相距832千米。

练习一1，小玲每分钟行100米，小平每分钟行80米，两人同时从学校和少年宫出发，相向而行，并在离中点120米处相遇。

学校到少年宫有多少米？2，一辆汽车和一辆摩托车同时从甲、乙两地相对开出，汽车每小时行40千米，摩托车每小时行65千米，当摩托车行到两地中点处时，与汽车还相距75千米。

甲、乙两地相距多少千米？例2 快车和慢车同时从甲、乙两地相向开出，快车每小时行40千米，经过3小时，快车已驶过中点25千米，这时快车与慢车还相距7千米。

慢车每小时行多少千米？分析与解答快车3小时行驶40×3=120（千米），这时快车已驶过中点25千米，说明甲、乙两地间路程的一半是120－25=95（千米）。

此时，慢车行了95－25－7=63（千米），因此慢车每小时行63÷3=21（千米）。

（40×3－25×2－7）÷3=21（千米）答：慢车每小时行21千米。

练习二1，兄弟二人同时从学校和家中出发，相向而行。

哥哥每分钟行120米，5分钟后哥哥已超过中点50米，这时兄弟二人还相距30米。

行程问题PPT课件

行程问题
• 在公务员考试中，行程问题一直是热点，几乎每年都会考到，考察的难度也往往是所有运算题型当中最难的一部分。因此行程问题是大部分考生最为头疼的一个题型，但是，任何题目都有技巧，只要摸准了这些题的规律，可以按照相同的思路去解决。那么，我们
来看看对于行程问题我们该运用什么样的思路。首先，我们来看行程问题的核心公式S=vt。这种等号一边是一个量，另一边是两个量乘积的公式，可以称之为比例型公式。这种公式有一个潜在的规律就是，不管题目怎么设置，路程、速度、时间这三个量总有一个是确定不变的，而另外两个量都是变的，只要找到行测公式当中的不变量，等量关系就找出来了，所以关键是找这个不变的量。
• 一般的相遇问题: 甲从A地到B地,乙从B地到 A地,然后两人在A地到B地之的某处相遇,实质上是甲,乙两人一起了AB这段路程,如果两人同时出发,那有:
• (1) 甲走的路程+乙走的路程= 全程
• (2) 全程= (甲的速度+乙的速度) ×相遇时间 = 速度和×相遇时间
• 例1:甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，相向而行。如果两人都按原定速度行进，那么4小时相遇；现在两人都比原计划每小时少走1 千米，那么5小时相遇。A、B两地相距多少千米？
• 行测问题细分来看有四大类： • 一是相遇问题； • 二是追及问题； • 三是流水问题； • 四是相关问题
• 行程问题基本恒等关系式：路程=速度×时间，即
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行程问题基本比例关系式：
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路程一定的情况下，速度和时间呈反比;
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时间一定的情况下，路程和速度呈正比;
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速度一定的情况下，路程和时间呈正比。
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• 53.A、B两地间有条公路，甲、乙两人分别从A、B两地出发相向而行，甲先走半小时后，乙才出发，一小时后两人相遇，甲的速度是乙的2/3。问甲、乙所走的路程之比是多少？

行程问题（相遇、追及、流水）习题汇总

⾏程问题（相遇、追及、流⽔）习题汇总四年级上⾏程问题（⼀）我们把研究路程、速度、时间以及这三者之间关系的⼀类问题，总称为⾏程问题.在对⼩学数学的学习中，我们已经接触过⼀些简单的⾏程应⽤题，并且已经了解到：上述三个量之间存在这样的基本关系：路程＝速度×时间.因此，在这⼀讲中，我们将在前⾯学习的基础上，主要来研究⾏程问题中较为复杂的⼀类问题——反向运动问题，也即在同⼀道路上的两个运动物体作⽅向相反的运动的问题.它⼜包括相遇问题和相背问题.所谓相遇问题，指的就是上述两个物体以不同的点作为起点作相向运动的问题；所谓相背问题，指的就是这两个运动物体以同⼀点作为起点作背向运动的问题，下⾯，我们来具体看⼏个例⼦.例1 甲、⼄⼆⼈分别从相距30千⽶的两地同时出发相向⽽⾏，甲每⼩时⾛6千⽶，⼄每⼩时⾛4千⽶，问：⼆⼈⼏⼩时后相遇？分析出发时甲、⼄⼆⼈相距30千⽶，以后两⼈的距离每⼩时都缩短6＋4＝10（千⽶），即两⼈的速度的和（简称速度和），所以30千⽶⾥有⼏个10千⽶就是⼏⼩时相遇.解：30÷（6＋4）＝30÷10＝3（⼩时）答：3⼩时后两⼈相遇.例1是⼀个典型的相遇问题.在相遇问题中有这样⼀个基本数量关系：路程＝速度和×时间.例2 ⼀列货车早晨6时从甲地开往⼄地，平均每⼩时⾏45千⽶，⼀列客车从⼄地开往甲地，平均每⼩时⽐货车快15千⽶，已知客车⽐货车迟发2⼩时，中午12时两车同时经过途中某站，然后仍继续前进，问：当客车到达甲地时，货车离⼄地还有多少千⽶？分析货车每⼩时⾏45千⽶，客车每⼩时⽐货车快15千⽶，所以，客车速度为每⼩时（45＋15）千⽶；中午12点两车相遇时，货车已⾏了（12—6）⼩时，⽽客车已⾏（12—6－2）⼩时，这样就可求出甲、⼄两地之间的路程.最后，再来求当客车⾏完全程到达甲地时，货车离⼄地的距离.解：①甲、⼄两地之间的距离是：45×（12—6）＋（45＋15）×（12—6—2）＝45×6＋60×4＝510（千⽶）.②客车⾏完全程所需的时间是：510÷（45＋15）＝510÷60＝8.5（⼩时）.③客车到甲地时，货车离⼄地的距离：510—45×（8.5＋2）＝510－472.5＝37.5（千⽶）.答：客车到甲地时，货车离⼄地还有37.5千⽶.例3 两列⽕车相向⽽⾏，甲车每⼩时⾏36千⽶，⼄车每⼩时⾏54千⽶.两车错车时，甲车上⼀乘客发现：从⼄车车头经过他的车窗时开始到⼄车车尾经过他的车窗共⽤了14秒，求⼄车的车长.分析⾸先应统⼀单位：甲车的速度是每秒钟36000÷3600＝10（⽶），⼄车的速度是每秒钟54000÷3600＝15（⽶）.本题中，甲车的运动实际上可以看作是甲车乘客以每秒钟10⽶的速度在运动，⼄车的运动则可以看作是⼄车车头的运动，因此，我们只需研究下⾯这样⼀个运动过程即可：从⼄车车头经过甲车乘客的车窗这⼀时刻起，⼄车车头和甲车乘客开始作反向运动14秒，每⼀秒钟，⼄车车头与甲车乘客之间的距离都增⼤（10＋15）⽶，因此，14秒结束时，车头与乘客之间的距离为（10＋15）×14＝350（⽶）.⼜因为甲车乘客最后看到的是⼄车车尾，所以，⼄车车头与甲车乘客在这段时间内所⾛的路程之和应恰等于⼄车车⾝的长度，即：⼄车车长就等于甲、⼄两车在14秒内所⾛的路程之和.解：（10＋15）×14＝350（⽶）答：⼄车的车长为350⽶.我们也可以把例3称为⼀个相背运动问题，对于相背问题⽽⾔，相遇问题中的基本关系仍然成⽴.例4 甲、⼄两车同时从A、B两地出发相向⽽⾏，两车在离B地64千⽶处第⼀次相遇.相遇后两车仍以原速继续⾏驶，并且在到达对⽅出发点后，⽴即沿原路返回，途中两车在距A地48千⽶处第⼆次相遇，问两次相遇点相距多少千⽶？分析甲、⼄两车共同⾛完⼀个AB全程时，⼄车⾛了64千⽶，从上图可以看出：它们到第⼆次相遇时共⾛了3个AB全程，因此，我们可以理解为⼄车共⾛了3个64千⽶，再由上图可知：减去⼀个48千⽶后，正好等于⼀个AB全程.解：①AB间的距离是64×3－48＝192－48＝144（千⽶）.②两次相遇点的距离为144—48－64＝32（千⽶）.答：两次相遇点的距离为32千⽶.例5 甲、⼄⼆⼈从相距100千⽶的A、B两地同时出发相向⽽⾏，甲骑车，⼄步⾏，在⾏⾛过程中，甲的车发⽣故障，修车⽤了1⼩时.在出发4⼩时后，甲、⼄⼆⼈相遇，⼜已知甲的速度为⼄的2倍，且相遇时甲的车已修好，那么，甲、⼄⼆⼈的速度各是多少？分析甲的速度为⼄的2倍，因此，⼄⾛4⼩时的路，甲只要2⼩时就可以了，因此，甲⾛100千⽶所需的时间为（4—1＋4÷2）＝5⼩时.这样就可求出甲的速度.解：甲的速度为：100÷（4－1＋4÷2）＝10O÷5＝20（千⽶/⼩时）.⼄的速度为：20÷2＝10（千⽶/⼩时）.答：甲的速度为20千⽶/⼩时，⼄的速度为10千⽶/⼩时.例6 某列车通过250⽶长的隧道⽤25秒，通过210⽶长的隧道⽤23秒，若该列车与另⼀列长150⽶.时速为72千⽶的列车相遇，错车⽽过需要⼏秒钟？分析解这类应⽤题，⾸先应明确⼏个概念：列车通过隧道指的是从车头进⼊隧道算起到车尾离开隧道为⽌.因此，这个过程中列车所⾛的路程等于车长加隧道长；两车相遇，错车⽽过指的是从两个列车的车头相遇算起到他们的车尾分开为⽌，这个过程实际上是⼀个以车头的相遇点为起点的相背运动问题，这两个列车在这段时间⾥所⾛的路程之和就等于他们的车长之和.因此，错车时间就等于车长之和除以速度之和.列车通过250⽶的隧道⽤25秒，通过210⽶长的隧道⽤23秒，所以列车⾏驶的路程为（250—210）⽶时，所⽤的时间为（25—23）秒.由此可求得列车的车速为（250—210）÷（25—23）＝20（⽶/秒）.再根据前⾯的分析可知：列车在25秒内所⾛的路程等于隧道长加上车长，因此，这个列车的车长为20×25—250＝250（⽶），从⽽可求出错车时间.解：根据另⼀个列车每⼩时⾛72千⽶，所以，它的速度为：72000÷3600＝20（⽶/秒），某列车的速度为：（25O－210）÷（25－23）＝40÷2＝20（⽶/秒）某列车的车长为：20×25-250＝500-250＝250（⽶），两列车的错车时间为：（250＋150）÷（20＋20）＝400÷40＝10（秒）.答：错车时间为10秒.例7 甲、⼄、丙三辆车同时从A地出发到B地去，甲、⼄两车的速度分别为每⼩时60千⽶和48千⽶，有⼀辆迎⾯开来的卡车分别在它们出发后的5⼩时.6⼩时，8⼩时先后与甲、⼄、丙三辆车相遇，求丙车的速度.分析甲车每⼩时⽐⼄车快60-48＝12（千⽶）.则5⼩时后，甲⽐⼄多⾛的路程为12×5＝60（千⽶）.也即在卡车与甲相遇时，卡车与⼄的距离为60千⽶，⼜因为卡车与⼄在卡车与甲相遇的6-5＝1⼩时后相遇，所以，可求出卡车的速度为60÷1-48＝12（千⽶/⼩时）卡车在与甲相遇后，再⾛8-5＝3（⼩时）才能与丙相遇，⽽此时丙已⾛了8个⼩时，因此，卡车3⼩时所⾛的路程与丙8⼩时所⾛的路程之和就等于甲5⼩时所⾛的路程.由此，丙的速度也可求得，应为：（60×5-12×3）÷8＝33（千⽶/⼩时）.解：卡车的速度：（60-48）×5÷（6－5）－48＝12（千⽶/⼩时），丙车的速度：（60×5－12×3）÷8＝33（千⽶/⼩时），答：丙车的速度为每⼩时33千⽶.注：在本讲中出现的“⽶/秒”、“千⽶/⼩时”等都是速度单位，如5⽶/秒表⽰为每秒钟⾛5⽶.习题六1.甲、⼄两车分别从相距240千⽶的A、B两城同时出发，相向⽽⾏，已知甲车到达B城需4⼩时，⼄车到达A城需6⼩时，问：两车出发后多长时间相遇？2.东、西镇相距45千⽶，甲、⼄⼆⼈分别从两镇同时出发相向⽽⾏，甲⽐⼄每⼩时多⾏1千⽶，5⼩时后两⼈相遇，问两⼈的速度各是多少？3.甲、⼄⼆⼈以均匀的速度分别从A、B两地同时出发，相向⽽⾏，他们第⼀次相遇地点离A地4千⽶，相遇后⼆⼈继续前进，⾛到对⽅出发点后⽴即返回，在距B地3千⽶处第⼆次相遇，求两次相遇地点之间的距离.4.甲、⼄⼆⼈从相距100千⽶的A、B两地出发相向⽽⾏，甲先出发1⼩时.他们⼆⼈在⼄出后的4⼩时相遇，⼜已知甲⽐⼄每⼩时快2千⽶，求甲、⼄⼆⼈的速度.5.⼀列快车和⼀列慢车相向⽽⾏，快车的车长是280⽶，慢车的车长为385⽶，坐在快车上的⼈看见慢车驶过的时间是11秒，那么坐在慢车上的⼈看见快车驶过的时间是多少？6.前进钢铁⼚⽤两辆汽车从距⼯⼚90千⽶的矿⼭运矿⽯，现有甲、⼄两辆汽车，甲车⾃矿⼭，⼄车⾃钢铁⼚同时出发相向⽽⾏，速度分别为每⼩时40千⽶和50千⽶，到达⽬的地后⽴即返回，如此反复运⾏多次，如果不计装卸时间，且两车不作任何停留，则两车在第三次相遇时，距矿⼭多少千⽶？习题六解答1.解：240÷（240÷4＋240÷6）＝2.4（⼩时）.2.解：①甲、⼄的速度和45÷5＝9（千⽶/⼩时）.②甲的速度：（9＋1）÷2＝5（千⽶/⼩时）.③⼄的速度：9—5＝4（千⽶/⼩时）.3.解：①A、B两地间的距离：4×3—3＝9（千⽶）.②两次相遇点的距离：9－4－3＝2（千⽶）.4.解：①⼄的速度为：［100—2×（4＋1）］÷（4×2＋1）＝10（千⽶/⼩时）.②甲的速度为：10＋2＝12（千⽶/⼩时）.提⽰：甲⽐⼄每⼩时快2千⽶，则（4＋1）⼩时快2×（4＋1）＝10（千⽶），因此，相当于⼄⾛100—10＝90千⽶的路需（4×2＋1）＝9（⼩时）.5.解：280÷（385÷11）＝8（秒）.提⽰：在这个过程中，对⽅的车长＝两列车的速度和×驶过的时间.⽽速度和不变.6.解：①第三次相遇时两车的路程和为：90＋90×2＋90×2＝450（千⽶）.②第三次相遇时，两车所⽤的时间：450÷（40＋50）＝5（⼩时）.③距矿⼭的距离为：40×5—2×90＝20（千⽶）.四年级下第七讲⾏程问题在本讲中，我们研究两个运动物体作⽅向相同的运动时，路程、速度、时间这三个基本量之间有什么样的关系.例1 下午放学时，弟弟以每分钟40⽶的速度步⾏回家.5分钟后，哥哥以每分钟60⽶的速度也从学校步⾏回家，哥哥出发后，经过⼏分钟可以追上弟弟？（假定从学校到家有⾜够远，即哥哥追上弟弟时，仍没有回到家）.分析若经过5分钟，弟弟已到了A地，此时弟弟已⾛了40×5=200（⽶）；哥哥每分钟⽐弟弟多⾛20⽶，⼏分钟可以追上这200⽶呢？解：40×5÷（60-40）=200÷20=10（分钟）答：哥哥10分钟可以追上弟弟.我们把类似例1这样的题，称之为追及问题.如果我们把开始时刻前后两物体（或⼈）的距离称为路程差（如例1中的200⽶），从开始时刻到后者追上前者路程差这⼀段路程所⽤的时间称为追及时间，则从例1容易看出：追及问题存在这样的基本关系：路程差=速度差×追及时间.如果已知其中的两个量，那么根据上式就很容易求出第三个量.例2 甲、⼄⼆⼈练习跑步，若甲让⼄先跑10⽶，则甲跑5秒钟可追上⼄；若甲让⼄先跑2秒钟，则甲跑4秒钟就能追上⼄.问：甲、⼄⼆⼈的速度各是多少？分析若甲让⼄先跑10⽶，则10⽶就是甲、⼄⼆⼈的路程差，5秒就是追及时间，据此可求出他们的速度差为10÷5=2（⽶/秒）；若甲让⼄先跑2秒，则甲跑4秒可追上⼄，在这个过程中，追及时间为4秒，因此路程差就等于2×4=8（⽶），也即⼄在2秒内跑了8⽶，所以可求出⼄的速度，也可求出甲的速度.综合列式计算如下：解：⼄的速度为：10÷5×4÷2=4（⽶/秒）甲的速度为：10÷5+4=6（⽶/秒）答：甲的速度为6⽶/秒，⼄的速度为4⽶/秒.例3 某⼈沿着⼀条与铁路平⾏的笔直的⼩路由西向东⾏⾛，这时有⼀列长520⽶的⽕车从背后开来，此⼈在⾏进中测出整列⽕车通过的时间为42秒，⽽在这段时间内，他⾏⾛了68⽶，则这列⽕车的速度是多少？分析整列⽕车通过的时间是42秒，这句话的意思是：从⽕车的车头追上⾏⼈时开始计时，直到车尾超过⾏⼈为⽌共⽤42秒，因此，如果我们把⽕车的运动看作是车尾的运动的话，则本题实际上就是⼀个车尾与⼈的追及问题，开始时刻，它们的路程差就等于这列⽕车的车长，追及时间就等于42秒，因此可以求出它们的速度差，从⽽求出⽕车的车速.解：520÷42+68÷42=（520+68）÷42=588÷42=14（⽶/秒）答：⽕车的车速为14⽶/秒.例4 幸福村⼩学有⼀条200⽶长的环形跑道，冬冬和晶晶同时从起跑线起跑，冬冬每秒钟跑6⽶，晶晶每秒钟跑4⽶，问冬冬第⼀次追上晶晶时两⼈各跑了多少⽶，第2次追上晶晶时两⼈各跑了多少圈？分析这是⼀道封闭路线上的追及问题，冬冬与晶晶两⼈同时同地起跑，⽅向⼀致.因此，当冬冬第⼀次追上晶晶时，他⽐晶晶多跑的路程恰是环形跑道的⼀个周长（200⽶），⼜知道了冬冬和晶晶的速度，于是，根据追及问题的基本关系就可求出追及时间以及他们各⾃所⾛的路程.解：①冬冬第⼀次追上晶晶所需要的时间：200÷（6-4）=100（秒）②冬冬第⼀次追上晶晶时他所跑的路程应为：6×100=600（⽶）③晶晶第⼀次被追上时所跑的路程：4×100=400（⽶）④冬冬第⼆次追上晶晶时所跑的圈数：（600×2）÷200=6（圈）⑤晶晶第2次被追上时所跑的圈数：（400×2）÷200=4（圈）答：略.解答封闭路线上的追及问题，关键是要掌握从并⾏到下次追及的路程差恰是⼀圈的长度.例5 军事演习中，“我”海军英雄舰追击“敌”军舰，追到A岛时，“敌”舰已在10分钟前逃离，“敌”舰每分钟⾏驶1000⽶，“我”海军英雄舰每分钟⾏驶1470⽶，在距离“敌”舰600⽶处可开炮射击，问“我”海军英雄舰从A岛出发经过多少分钟可射击敌舰？分析“我”舰追到A岛时，“敌”舰已逃离10分钟了，因此，在A岛时，“我”舰与“敌”舰的距离为10000⽶（=1000×10）.⼜因为“我”舰在距离“敌”舰600⽶处即可开炮射击，即“我”舰只要追上“敌”舰9400（=10000⽶-600⽶）即可开炮射击.所以，在这个问题中，不妨把9400当作路程差，根据公式求得追及时间.解：（1000×10-600）÷（1470-1000）=（10000-600）÷470=9400÷470=20（分钟）答：经过20分钟可开炮射击“敌”舰.例6 在⼀条直的公路上，甲、⼄两个地点相距600⽶，张明每⼩时⾏4公⾥，李强每⼩时⾏5公⾥.8点整，张李⼆⼈分别从甲、⼄两地同时出发相向⽽⾏，1分钟后他们都调头反向⽽⾏，再经过3分钟，他们⼜调头相向⽽⾏，依次按照1，3，5，…（连续奇数）分钟数调头⾏⾛，那么张、李⼆⼈相遇时是8点⼏分？分析⽆论相向还是反向，张李⼆⼈每分钟都共⾛4000÷60+5000÷60=150（⽶）.如果两⼈⼀直相向⽽⾏，那么从出发经过600÷150=4（分钟）两⼈相遇.显然，按现在的⾛法，在16分钟（=1+3+5+7）之内两⼈不会相遇.在这16分钟之内，他们相向⾛了6分钟（=1+5），反向⾛了10分钟（=3+7），此时两⼈相距600+[150×（3+7-1-5）]=1200⽶，因此，再相向⾏⾛，经过1200÷150=8（分钟）就可以相遇.解：600+150×（3+7-1-5）=1200（⽶）1200÷（4000÷60+5000÷60）=8（分钟）1+3+5+7+8=24（分钟）答：两⼈相遇时是8点24分.例7 ⾃⾏车队出发12分钟后，通信员骑摩托车去追他们，在距出发点9千⽶处追上了⾃⾏车队，然后通信员⽴即返回出发点；随后⼜返回去追⾃⾏车队，再追上时恰好离出发点18千⽶，求⾃⾏车队和摩托车的速度.分析在第⼀次追上⾃⾏车队与第⼆次追上⾃⾏车队之间，摩托车所⾛的路程为（18+9）千⽶，⽽⾃⾏车所⾛的路程为（18-9）千⽶，所以，摩托车的速度是⾃⾏车速度的3倍（=（18+9）÷（18-9））；摩托车与⾃⾏车的速度差是⾃⾏车速度的2倍，再根据第⼀次摩托车开始追⾃⾏车队时，车队已出发了12分钟，也即第⼀次追及的路程差等于⾃⾏车在12分钟内所⾛的路程，所以追及时间等于12÷2=6（分钟）；联系摩托车在距出发点9千⽶的地⽅追上⾃⾏车队可知：摩托车在6分钟内⾛了9千⽶的路程，于是摩托车和⾃⾏车的速度都可求出了.解：（18+9）÷（18-9）=3（倍）12÷（3-1）=6（分钟）9÷6=1.5（千⽶/分钟）1.5÷3=0.5（千⽶/分钟）答：摩托车与⾃⾏车的速度依次为1.5千⽶/分钟，0.5千⽶/分钟.例8 A、B两地间有条公路，甲从A地出发，步⾏到B地，⼄骑摩托车从B地出发，不停地往返于A、B两地之间，他们同时出发，80分钟后两⼈第⼀次相遇，100分钟后⼄第⼀次追上甲，问：当甲到达B地时，⼄追上甲⼏次？+分析由上图容易看出：在第⼀次相遇与第⼀次追上之间，⼄在100-80=20（分钟）内所⾛的路程恰等于线段FA的长度再加上线段AE的长度，即等于甲在（80+100）分钟内所⾛的路程，因此，⼄的速度是甲的9倍（=180÷20），则BF的长为AF的9倍，所以，甲从A到B，共需⾛80×（1+9）=800（分钟）⼄第⼀次追上甲时，所⽤的时间为100分钟，且与甲的路程差为⼀个AB全程.从第⼀次追上甲时开始，⼄每次追上甲的路程差就是两个AB全程，因此，追及时间也变为200分钟（=100×2），所以，在甲从A到B的800分钟内，⼄共有4次追上甲，即在第100分钟，300分钟，500分钟和700分钟.解：（略）.习题七1.解放军某部先遣队，从营地出发，以每⼩时6千⽶的速度向某地前进，6⼩时后，部队有急事，派通讯员骑摩托车以每⼩时78千⽶的速度前去联络，问多少时间后，通讯员能赶上先遣队？2.⼩明以每分钟50⽶的速度从学校步⾏回家，12分钟后⼩强从学校出发骑⾃⾏车去追⼩明，结果在距学校1000⽶处追上⼩明，求⼩强骑⾃⾏车的速度.3.甲、⼄两架飞机同时从⼀个机场起飞，向同⼀⽅向飞⾏，甲机每⼩时⾏300千⽶，⼄机每⼩时⾏340千⽶，飞⾏4⼩时后它们相隔多少千⽶？这时候甲机提⾼速度⽤2⼩时追上⼄机，甲机每⼩时要飞⾏多少千⽶？4.两⼈骑⾃⾏车从同⼀地点出发沿着长900千⽶环形路⾏驶，如果他们反向⽽⾏，那么经过2分钟就相遇，如果同向⽽⾏，那么每经过18分钟快者就追上慢者，求两⼈骑车的速度？5.⼀条环形跑道长400⽶，甲骑⾃⾏车每分钟骑450⽶，⼄跑步每分钟250⽶，两⼈同时从同地同向出发，经过多少分钟两⼈相遇？6.上午8点零8分，⼩明骑⾃⾏车从家⾥出发，8分钟后，爸爸骑摩托车去追他，在离家4千⽶的地⽅追上了他.然后爸爸⽴刻回家，到家后⼜⽴刻回头去追⼩明、再追上他的时候，离家恰好是8千⽶，问这时是⼏点⼏分？习题七解答1.（6×6）÷（78-6）=0.5（⼩时）.2.①⼩强需⼏分钟追上⼩明：（1000-12×50）÷50=8（分钟）②⼩强每分钟骑车⾏多少⽶：1000÷8=125（⽶/分）.3.①4⼩时后相差多少千⽶？（340-300）×4=160（千⽶）②甲机提⾼速度后每⼩时飞⾏多少千⽶？160÷2+340=420（千⽶）.4.900÷2=450（⽶/分）900÷18=50（⽶/分）快车速度：（450+50）÷2=250（⽶/分）慢车速度：（450-50）÷2=200（⽶/分）.5.400÷（450-250）=2（分钟）.6.从爸爸第⼀次追上⼩明到第⼆次追上这⼀段时间内，⼩明⾛的路程是8-4=4（千⽶），⽽爸爸⾏了4+8=12（千⽶），因此，摩托车与⾃⾏车的速度⽐是12∶4=3∶1.⼩明全程骑车⾏8千⽶，爸爸来回总共⾏4+12=16（千⽶），还因晚出发⽽少⽤8分钟，从上⾯算出的速度⽐得知，⼩明骑车⾏8千⽶，爸爸如同时出发应该骑24千⽶.现在少⽤8分钟，少骑24-16=8（千⽶），因此推算出摩托车的速度是每分钟1千⽶.爸爸总共骑了16千⽶，需16分钟，8+16=24（分钟），这时是8点32分.五年级上第⼋讲流⽔⾏船问题船在江河⾥航⾏时，除了本⾝的前进速度外，还受到流⽔的推送或顶逆，在这种情况下计算船只的航⾏速度、时间和所⾏的路程，叫做流⽔⾏船问题。

小学四年级奥数第29讲行程问题(一)(含答案分析)

第29讲行程问题（一）一、专题简析：我们把研究路程、速度、时间这三者之间关系的问题称为行程问题。

行程问题主要包括相遇问题、相背问题和追及问题。

这一周我们来学习一些常用的、基本的行程问题。

解答行程问题时，要理清路程、速度和时间之间的关系，紧扣基本数关系“路程=速度×时间”来思考，对具体问题要作仔细分析，弄清出发地点、时间和运动结果。

二、精讲精练：例1：甲乙两人分别从相距20千米的两地同时出发相向而行，甲每小时走6千米，乙每小时走4千米。

两人几小时后相遇？练习一1、甲乙两艘轮船分别从A、B两港同时出发相向而行，甲船每小时行驶18千米，乙船每小时行驶15千米，经过6小时两船在途中相遇。

两地间的水路长多少千米？2、一辆汽车和一辆摩托车同时分别从相距900千米的甲、乙两地出发，汽车每小时行40千米，摩托车每小时行50千米。

8小时后两车相距多少千米？例2：王欣和陆亮两人同时从相距2000米的两地相向而行，王欣每分钟行110米，陆亮每分钟行90米。

如果一只狗与王欣同时同向而行，每分钟行500米，遇到陆亮后，立即回头向王欣跑去；遇到王欣后再回头向陆亮跑去。

这样不断来回，直到王欣和陆亮相遇为止，狗共行了多少米？练习二1、甲乙两队学生从相隔18千米的两地同时出发相向而行。

一个同学骑自行车以每小时15千米的速度在两队之间不停地往返联络。

甲队每小时行5千米，乙队每小时行4千米。

两队相遇时，骑自行车的同学共行多少千米？2、A、B两地相距400千米，甲、乙两车同时从两地相对开出，甲车每小时行38千米，乙车每小时行42千米。

一只燕子以每小时50千米的速度和甲车同时出发向乙车飞去，遇到乙车又折回向甲车飞去。

这样一直飞下去，燕子飞了多少千米，两车才能相遇？例3：甲每小时行7千米，乙每小时行5千米，两人于相隔18千米的两地同时相背而行，几小时后两人相隔54千米？练习三1、甲车每小时行6千米，乙车每小时行5千米，两车于相隔10千米的两地同时相背而行，几小时后两人相隔65千米？2、甲每小时行9千米，乙每小时行7千米，甲从南庄向南行，同时乙从北庄向北行。

小学六年级奥数行程问题

【知识点讲解】基本概念：行程问题是研究物体运动的，它研究的是物体速度、时间、路程三者之间的关系三者之间的关系. .基本公式：路程基本公式：路程==速度×时间速度×时间; ;路程÷时间路程÷时间路程÷时间==速度速度; ;路程÷速度路程÷速度路程÷速度==时间关键：确定运动过程中的位置和方向。

相遇问题：速度和×相遇时间相遇问题：速度和×相遇时间==相遇路程相遇路程((请写出其他公式请写出其他公式) )追及问题：追及时间追及问题：追及时间==路程差÷速度差路程差÷速度差((写出其他公式写出其他公式) )主要方法：画线段图法基本题型：已知路程基本题型：已知路程((相遇路程、追及路程相遇路程、追及路程))、时间、时间((相遇时间、追及时间相遇时间、追及时间))、速度速度((速度和、速度差速度和、速度差))中任意两个量，求第三个量。

相遇问题：例1、甲乙两车同时从AB 两地相对开出，第一次相遇后两车继续行驶，各自到达对方出发点后立即返回，第二次相遇时离B 地的距离是AB 全程的51。

已知甲车在第一次相遇时行了120千米。

千米。

AB AB 两地相距多少千米？两地相距多少千米？例2、甲、乙两车分别从A 、B 两城同时相对开出，经过4小时，甲车行了全程的80%80%，乙车超过中点，乙车超过中点35千米，已知甲车比乙车每小时多行10千米。

问A 、B 两城相距多少千米？两城相距多少千米？行程问题（一)例3、甲、乙和丙同时由东、西两城出发，甲、乙两人由东城到西城，甲步行每丙也骑自行车每小时20千米，已千米，丙也骑自行车每小时千米，已千米，乙骑自行车每小时行小时走5千米，乙骑自行车每小时行15千米，知丙在途中遇到乙后，又经过1小时才遇到甲，求东、西城相距多少千米？例4、甲乙两站相距470千米，一列火车于中午1时从甲站出发，每小时行52千米，另一列火车下午2时30分从乙站开出，下午6时两车相遇，求乙站开出的那辆火车的速度是多少？的那辆火车的速度是多少？千米//小时，小兰从B城到A城，速度是40例5、小李从A城到B城，速度是50千米千米//小时。

四年级奥数第29讲行程问题(一)

第二十九周行程问题（一）专题简析：我们把研究路程、速度、时间这三者之间关系的问题称为行程问题。

行程问题主要包括相遇问题、相背问题和追及问题。

这一周我们来学习一些常用的、基本的行程问题。

例1：甲乙两人分别从相距20千米的两地同时出发相向而行，甲每小时走6千米，乙每小时走4千米。

两人几小时后相遇？分析与解答：这是一道相遇问题。

所谓相遇问题就是指两个运动物体以不同的地点作为出发地作相向运动的问题。

根据题意，出发时甲乙两人相距20千米，以后两人的距离每小时缩短6＋4=10千米，这也是两人的速度和。

所以，求两人几小时相遇，就是求20千米里面有几个10千米。

因此，两人20÷（6＋4）=2小时后相遇。

练习一1，甲乙两艘轮船分别从A、B两港同时出发相向而行，甲船每小时行驶18千米，乙船每小时行驶15千米，经过6小时两船在途中相遇。

两地间的水路长多少千米？2，一辆汽车和一辆摩托车同时分别从相距900千米的甲、乙两地出发，汽车每小时行40千米，摩托车每小时行50千米。

8小时后两车相距多少千米？3，甲乙两车分别从相距480千米的A、B两城同时出发，相向而行，已知甲车从A城到B城需6小时，乙车从B城到A城需12小时。

两车出发后多少小时相遇？例2：王欣和陆亮两人同时从相距2000米的两地相向而行，王欣每分钟行110米，陆亮每分钟行90米。

如果一只狗与王欣同时同向而行，每分钟行500米，遇到陆亮后，立即回头向王欣跑去；遇到王欣后再回头向陆亮跑去。

这样不断来回，直到王欣和陆亮相遇为止，狗共行了多少米？分析与解答：要求狗共行了多少米，一般要知道狗的速度和狗所行的时间。

根据题意可知，狗的速度是每分钟行500米，关键是要求出狗所行的时间，根据题意可知：狗与主人是同时行走的，狗不断来回所行的时间就是王欣和陆亮同时出发到两人相遇的时间，即2000÷（110＋90）=10分钟。

行程问题二次相遇

第8站二次相遇知识糖果屋1、二次相遇问题的特点2、时间、速度、路程之间的关系3、二次相遇倍量关系的应用技能演练场例1、（1）大光和奇奇同时从甲、乙两地相向而行，到达各自出发点后立即原路返回。

已知大光的速度是每小时80千米，奇奇的速度是每小时100千米，甲、乙两地的距离是360千米。

问：几小时后两人第二次相遇？（2）甲、乙两辆车同时从A、B两地出发，已知甲车的速度是每小时40千米，乙车的速度是每小时60千米，两车到达对方出发点后立即原路返回，如果6个小时后第二次相遇。

问：两地之间的距离是多少千米？练习1、甲车和乙车两辆车同时从相距300千米的A、B两地出发，相向而行。

已知甲车的速度是每小时40千米，乙车的速度是甲车速度的1.5倍，两车到达对方出发点后立即原路返回。

问：几小时后第二次相遇？第二次相遇地距离A地多少千米？练习2、蚂蚁和蜗牛从同一条直线上的A、B两点同时出发，蚂蚁每分钟爬90厘米，蜗牛每分钟爬15厘米，相遇后仍以同样的速度向前爬行。

它们到达对方出发点后立即原路返回，如果9分钟后它们第二次相遇，A、B两点之间的距离是多少厘米？例2、A、B两地相距600千米，两辆汽车同时从两地出发，相向而行，各自到达对方的出发地后又立即返回，经过12小时后它们第二次相遇。

已知甲车每小时行65千米，乙车每小时行多少千米？练习1、大光和奇奇两人骑自行车从相距16千米的A、B两地同时出发，相向而行。

相遇后互相打了个招呼继续前行，各自到达对方的出发地后立即沿原路返回，经过90分钟后他们第二次相遇。

已知大光每小时骑行15千米，阳阳每小时骑行多少千米？例3、妙妙和真真同时从A、B两地出发相向而行，两人在离A地64千米处第一次相遇。

相遇后两人仍以原速继续行驶，并且在到达对方出发点后，立即沿原路返回，途中两人在距B地48千米处第二次相遇。

问：A、B两地相距多少千米？练习1、真真、奇奇两人分别从东、西两村同时相向而行，第一次相遇时，真真离西村500米，相遇后继续前行，各自到达对方出发点后又折返，在距东村400米处第二次相遇。

行程问题2（附带和差问题）

行程问题（2）——【追及问题】追及问题一‎般指两个物‎体同向运动‎，由于各自的‎速度不同，后者追上前‎者的问题。

追及问题的‎基本数量关‎系是：速度差×追及时间= 追及路程解答“追及问题”，一定要懂得‎运动快的物‎体之所以能‎追上运动慢‎的物体，是因为两者‎之间存在速‎度差。

抓住“追及的路程‎必须用速度‎差来追”这一道理，结合题中运‎动物体的地‎点、运动方向等‎特点进行具‎体分析，并借助线段‎图来理解题‎意，就可以正确‎解题。

【和差问题】已知两个数‎的和与差，求出这两个‎数各是多少‎的应用题，叫和差问题‎。

解答和差问‎题的基本数‎量关系式：（和—差）÷2 = 小数（和+ 差）÷2 = 大数解答和差应‎用题的关键‎是选择适当‎的数作为标‎准，设法把若干‎个不相等的‎数变成相等‎的数，某些复杂的‎应用题没有‎直接告诉我‎们两个数的‎和与差，可以通过转‎化求它们的‎和与差，再按照和差‎问题的解法‎来解题。

中巴车每小‎时行驶60‎公里，小轿车每小‎时行驶84‎公里，两车同时从‎相距60公‎里的两地同‎方向开出，且中巴车在‎前。

求几小时后‎轿车追上中‎巴车？例题2：一辆汽车从‎甲地开往乙‎地，要行360‎公里，开始计划以‎每小时45‎公里的速度‎行驶，途中因汽车‎出故障修车‎2小时。

因为要按时‎到达乙地，修好车后必‎须每小时多‎行30公里‎。

问：汽车是在离‎甲地多远处‎修车的？例题3：甲骑车、乙跑步，两人同时从‎同一点出发‎沿着同一方‎向在长4千‎米的环形公‎路上晨练。

出发10分‎钟后，甲便从乙身‎后追上了乙‎，已知两人的‎速度和事每‎分钟行70‎0米，求甲、乙两人的速‎度各是多少‎？例题4：甲、乙、丙三人都从‎A地到B地‎，早晨六点钟‎，甲、乙两人一起‎从A地出发‎，甲每小时走‎5千米，乙每小时走‎4千米。

丙上午八时‎才从A地出‎发，傍晚六点，甲和丙同时‎到达B地，问丙什么时‎候追上乙？例题5：甲乙丙三人‎步行的速度‎分别是每分‎钟100米‎、90米、75米。

六年级奥数-30行程问题(二)

行程问题（二）1.理解并记忆追及问题的相关概念及公式2.学会如何画图解答行程问题1.环形跑道问题2.流水行船问题3.火车过桥问题行程问题知识要点（一）行程问题中的三量行程问题研究的是物体运动中速度、时间、路程三者之间的关系。

这三个量之间的基本关系式如下：路程=速度×时间；时间=路程÷速度；速度=路程÷时间。

上述三个公式可称为行程问题的核心公式，大部分的行程问题都可通过找出速度、时间、路程三量中的两个已知量后利用核心公式求解。

（二）行程问题中的比例关系时间相等，路程比=速度比；速度相等，路程比=时间比；路程一定，速度与时间成反比。

追及问题有两个人同时行走，一个走得快，一个走得慢，当走得慢的在前，走得快的过了一些时间就能追上他.这就产生了“追及问题”.实质上，要算走得快的人在某一段时间内，比走得慢的人多走的路程，也就是要计算两人走的路程之差（追及路程）.1.追及问题的特征（1）两个运动物体同地不同时（或同时不同地）出发做同向运动。

后面的比前面的速度快。

（2）在一定时间内，后面的追上前面的。

可通过线段图来理清追及问题的运动关系。

2.追及问题公式在追及问题中，我们把开始追及时两者的距离称为追及路程，大速度减小速度称为速度差。

由此得出追及问题的公式：例1.张、李、赵3人都从甲地到乙地．上午6时，张、李两人一起从甲地出发，张每小时走5千米，李每小时走4千米．赵上午8时从甲地出发．傍晚6时，赵、张同时达到乙地．那么赵追上李的时间是几时?练习1.甲、乙、丙三辆车先后从A地开往B地，乙比丙晚出发5分，出发后45分追上丙；甲比乙晚出发15分，出发后1时追上乙。

甲和丙的速度比是多少？例2.甲乙两人分别从相距18千米的西城和东城向东而行，甲骑自行车每小时行14千米，乙步行每小时行5千米，几小时后甲可以追上乙？练习1.哥哥和弟弟去人民公园参观菊花展，弟弟每分钟走50米，走了10分钟后，哥哥以每分钟70米的速度去追弟弟，问：经过多少分钟以后哥哥可以追上弟弟？追及问题解题的关键在相互关联、相互对应的距离差、速度差和时间差三者之中，找出两者，然后运用公式求出第三者来达到解体目的。

四年级奥林匹克起跑线电子教材

四年级奥林匹克起跑线电子教材四年级奥数教材目录◆第一讲找规律（一） (2)◆第二讲找规律（二） (5)◆第三讲长方形和正方形（一） (8)◆第四讲长方形和正方形（二） (11)◆第五讲算式谜（一） (14)◆第六讲算式谜（二） (17)◆第七讲植树问题（一） (19)◆第八讲植树问题（二） (22)◆能力测试（一） (25)◆第九讲和差问题（一） (28)◆第十讲和倍问题（一） (31)◆第十一讲和倍问题（二） (33)◆第十二讲差倍问题 (35)◆第十三讲年龄问题（一） (38)◆第十四讲年龄问题（二） (41)◆第十五讲还原问题（一） (43)◆第十六讲还原问题（二） (45)◆能力测试（二） (48)◆第17讲周期问题（一） (2)◆第18讲周期问题（二） (7)◆第19讲假设问题（一） (12)◆第20讲假设问题（二） (16)◆第21讲计数问题（一） (17)◆第22讲计数问题（二） (19)◆第23讲容斥问题（一） (23)◆第24讲容斥问题（二） (26)◆能力测试（一） (26)◆第25讲行程问题（一） (28)◆第26讲行程问题（二） (31)◆第27讲平均数问题 (35)◆第28讲推理问题（一） (37)◆第29讲推理问题（二） (39)◆第30讲巧算（一） (40)◆第31讲巧算（二） (45)◆第32讲巧算（二） (45)◆第33讲巧算（三） (45)◆第34讲等量代换 (45)◆第35讲拼拼算算 (45)◆能力测试（二） (63)例3．下面每个括号里两个数按一定规律组合，在里填上适当的数。

（9，13），（17，5），（14，8），（，16）。

例4．根据前面两个圈里三个数的关系，在练习与思考1．找出下面各组数排列的规律，并根据规律在括号里填上合适的数。

（1）1，4，3，6，5，（），（）。

（2）1，4，16，64，（）。

（3）11，3，8，3，5，3，（），（）。