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立体几何同步练习一(必修2)

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必修2立体几何习题

必修2立体几何习题

必修2立体几何习题1.如图⑴、⑵、⑶、⑷是四个几何体的三视图，这四个几何体依次分别是（ ）A．三棱台、三棱柱、圆锥、圆台 B ．三棱台、三棱锥、圆锥、圆台C ．三棱柱、四棱锥、圆锥、圆台D．三棱柱、三棱台、圆锥、圆台2．如图(1)、(2)、(3)、(4)为四个几何体的三视图，根据三视图可以判断这四个几何体依次分别为( )．A ．三棱台、三棱柱、圆锥、圆台B ．三棱台、三棱锥、圆锥、圆台C ．三棱柱、四棱锥、圆锥、圆台D ．三棱柱、三棱台、圆锥、圆台3.有一个几何体的三视图如下图所示，这个几何体可能是一个( )．主视图 左视图 俯视图 A ．棱台B ．棱锥C ．棱柱D ．正八面体4．如图是一个物体的三视图，则此物体的直观图是( )．侧视图正视图 （2）俯视图（3）俯视图侧视图正视图 （4） 俯视图侧视图正视图（1）俯视图 侧视图 正视图 （4）（3）（1）（2）5．如下图所示，观察四个几何体，其中判断正确的是( )A ．①是棱台B ．②是圆台C ．③是棱锥D ．④不是棱柱 6．已知某几何体的三视图如右图所示，那么这个几何体是( )A ．长方体B ．圆柱C ．四棱锥D ．四棱台7.有一个几何体的三视图及其尺寸如下图(单位：cm)，则该几何体的表面积为( )A ．12πcm 2B ．15πcm 2C ．24πcm 2D ．36πcm 28．棱长都是1的三棱锥的表面积为( )．A ．3B ．23C ．33D ．439．长方体的一个顶点上三条棱长分别是3，4，5，且它的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是( )．A ．25πB ．50πC ．125πD ．都不对10．正方体的棱长和外接球的半径之比为( )．A ．3∶1B ．3∶2C ．2∶3D ．3∶311．如图，长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝AB ＝2，AD ＝1，E ，F ，G 分别是DD 1，AB ，CC 1的中点，则异面直线A 1E 与GF 所成角余弦值是( )．A ．515 B ．22 C ．510 D ．012. 左面的三视图所示的几何体是（ ）A. 六棱台B. 六棱柱C. 六棱锥D. 六边形13．如图，在正方体111ABCD A BC D -中，异面直线1A D 与1D C 所成的角为_______度；直线1A D 与平面11AB C D 所成的角为_______度.14.如图，长方体1111D C B A ABCD -中，1==AD AB ，点 P 为1DD 的中点。

高一北师大版数学必修2第一章 立体几何初步单元测试题试卷含答案解析

高一北师大版数学必修2第一章 立体几何初步单元测试题试卷含答案解析

第二章测试时间120分钟 满分150分一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在下列四个选项中，只有一项是符合题意的)1．已知点P (－3，1)，点Q 在y 轴上，且直线PQ 的倾斜角为120° ，则Q 点的坐标为( )A ．(0,2)B ．(0，－2)C ．(2,0)D ．(－2,0)解析 设Q (0，y )，由k ＝y －13＝－3，得y ＝－2.答案 B2．已知两条直线y ＝ax －2和y ＝(a ＋2)x ＋1互相垂直，则a 等于( )A ．2B ．1C ．0D ．－1解析 由题意，得a (a ＋2)＝－1，得a ＝－1. 答案 D3．已知过点A (－2，m )和B (m,4)的直线与直线2x ＋y －1＝0平行，则m 的值为( )A ．0B ．－8C ．2D ．10解析 由4－mm ＋2＝－2，得m ＝－8.答案 B4．若点A 是点B (1,2,3)关于x 轴对称的点，点C 是点D (2，－2,5)关于y 轴对称的点，则|AC |＝( )A ．5 B.13 C ．10D.10解析 A (1，－2，－3)，C (－2，－2，－5)代两点间距离公式即可．答案 B5．直线y ＋4＝0与圆x 2＋y 2－4x ＋2y －4＝0的位置关系是( ) A ．相切B ．相交，但直线不经过圆心C ．相离D ．相交且直线经过圆心 答案 A6．已知M (－2,0)，N (2,0)，则以MN 为斜边的直角三角形直角顶点P 的轨迹方程是( )A ．x 2＋y 2＝4(x ≠±2)B ．x 2＋y 2＝4C ．x 2＋y 2＝2(x ≠±2)D ．x 2＋y 2＝2解析 由题可知，点P 的轨迹是以MN 为直径的圆(除去M 、N 两点)，∴点P 的轨迹方程是x 2＋y 2＝4(x ≠±2)．答案 A7．若直线3x ＋2y －2m －1＝0与直线2x ＋4y －m ＝0的交点在第四象限，则实数m 的取值范围是( )A ．(－∞，－2)B ．(－2，＋∞)C.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－23D.⎝⎛⎭⎪⎫－23，＋∞解析 由⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y －2m －1＝0，2x ＋4y －m ＝0，得⎩⎨⎧x ＝3m ＋24，y ＝－m －28.由题意，得⎩⎨⎧3m ＋24＞0，－m ＋28＜0，得m ＞－23.答案 D8．已知圆C 的方程为x 2＋y 2－4x ＝0，若圆C 被直线l ：x ＋y ＋a ＝0截得的弦长为23，则a ＝( )A ．2＋ 2 B.2 C ．2± 2D ．－2±2解析 由弦长公式，得3＝4－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2＋a 12＋122， 得a ＝－2± 2. 答案 D9．将直线2x －y ＋λ＝0沿x 轴向左平移1个单位，所得直线与x 2＋y 2＋2x －4y ＝0相切，则实数λ的值为( )A ．－3或7B ．－2或8C ．0或10D ．1或11解析 将直线平移后得到y ＝2(x ＋1)＋λ＝2x ＋2＋λ， 由题可知，|－2－2＋2＋λ|22＋(－1)2＝5， 得λ＝－3，或λ＝7，故选A. 答案 A10．若圆x 2＋y 2－2x －4y ＝0的圆心到直线x －y ＋a ＝0的距离为22，则a 的值为( )A ．－2或2 B.12或32 C ．2或0D ．－2或0解析 圆的圆心(1,2)，∴d ＝|1－2＋a |2＝22，得a ＝0，或a ＝2.答案 C二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中横线上)11．当a 为任意实数时，直线ax －y ＋1－3a ＝0恒过定点________． 解析 原方程可化为a (x －3)－(y －1)＝0，∴直线l 过(3,1)． 答案 (3,1)12．直线x －2y ＋5＝0与圆x 2＋y 2＝8相交于A ，B 两点，则|AB |＝________.解析 圆心到该直线的距离d ＝55＝5，∴弦长＝2(22)2－(5)2＝2 3. 答案 2313．两圆相交于两点(1,3)和(m ，－1)，两圆圆心都在直线x －y ＋c ＝0上，且m 、c 均为实数，则m ＋c ＝________.解析 根据两圆相交的性质可知，两点(1,3)和(m ，－1)的中点⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋m 2，1在直线x －y ＋c ＝0上，并且过两点的直线与x －y ＋c ＝0垂直，故有⎩⎨⎧1＋m2－1＋c ＝0，3－(－1)1－m ×1＝－1，∴m ＝5，c ＝－2，∴m ＋c ＝3. 答案 314．若不同两点P ，Q 的坐标分别为(a ，b )，(3－b,3－a )，则线段PQ 的垂直平分线l 的斜率为________；圆(x －2)2＋(y －3)2＝1关于直线l 对称的圆的方程为________．解析 ∵k PQ ＝3－a －b3－b －a ＝1，又k l ·k PQ ＝－1∴k l ＝－1，又(2,3)关于l 的对称点为(0,1)， 故所求的圆的方程为x 2＋(y －1)2＝1. 答案 －1 x 2＋(y －1)2＝115．过圆x 2＋y 2－x ＋y －2＝0与x 2＋y 2＝5的交点，且圆心在直线3x －4y －1＝0上的圆的方程为________．解析 设所求的圆的方程为x 2＋y 2－x ＋y －2＋ λ(x 2＋y 2－5)＝0，即(1＋λ)x 2＋(1＋λ)y 2－x ＋y －2－5λ＝0.∴圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫12(1＋λ)，－12(1＋λ). 由32(1＋λ)－42(1＋λ)－1＝0，得λ＝－32 故所求的圆的方程为(x ＋1)2＋(y －1)2＝13. 答案 (x ＋1)2＋(y －1)2＝13三、解答题(本大题共有6小题，共75分．解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤)16．(12分)已知两条直线l 1：mx ＋8y ＋n ＝0和l 2：2x ＋my －1＝0.试确定m ，n 的值，使(1)l 1和l 2相交于点(m ，－1)；(2)l 1∥l 2；(3)l 1⊥l 2，且l 1在y 轴上的截距为－1. 解 (1)∵m 2－8＋n ＝0，且2m －m －1＝0， ∴m ＝1，n ＝7.(2)由m ·m －8×2＝0，得m ＝±4， 由8×(－1)－n ·m ≠0，得n ≠±2，即m ＝4，n ≠－2时，或m ＝－4，n ≠2时，l 1∥l 2. (3)当且仅当m ·2＋8·m ＝0，即m ＝0时，l 1⊥l 2，又－n8＝－1，∴n ＝8. 即m ＝0，n ＝8时，l 1⊥l 2，且l 1在y 轴上的截距为－1.17．(12分)△ABC 中，顶点A 的坐标为(1,2)，高BE ，CF 所在直线的方程分别为2x －3y ＋1＝0，x ＋y ＝0，求这个三角形三条边所在直线的方程．解 由已知，直线AC 的斜率为－32， 直线AB 的斜率为1.∴直线AC 的方程为3x ＋2y －7＝0， 直线AB 的方程为x －y ＋1＝0.再由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0，3x ＋2y －7＝0，可解得C 点坐标为(7，－7)．由⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y ＋1＝0，x －y ＋1＝0，可解得B 点坐标为(－2，－1) . 于是直线BC 的方程为2x ＋3y ＋7＝0.18．(12分)已知圆x 2＋y 2－12x ＝0的圆心为Q ，过点P (0,2)且斜率为k 的直线与圆Q 相交于不同两点A ，B ，求实数k 的取值范围．解 x 2＋y 2－12x ＝0可化为(x －6)2＋y 2＝36，又直线过点P (0,2)，斜率为k ，故l 的方程为y ＝kx ＋2，即kx －y ＋2＝0，由题意，得|6k ＋2|k 2＋1＜6，得k ＜43.∴k 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫－∞，43.19．(13分)已知P (1,2)为圆x 2＋y 2＝9内一定点，过P 点任作直线，与圆相交，求弦的中点的轨迹方程．解 设过P 点的直线与圆相交于A ，B 两点，C 为AB 的中点，设C (x ，y )，由题意，得当P 与C 不重合时，△OPC 为直角三角形，∴C 点在以OP 为直径的圆上，又OP 的中点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，|OP |＝12＋22＝5，∴点C 的轨迹方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋(y －1)2＝54(除去P 点)．又当x ＝1，y ＝2时上式仍成立，∴点C 的轨迹方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋(y －1)2＝54.20．(13分)已知方程x 2＋y 2－2x －4y ＋m ＝0. (1)若此方程表示圆，求m 的取值范围；(2)若(1)中的圆与直线x ＋2y －4＝0相交于M ，N 两点，且OM ⊥ON (O 为坐标原点)，求m ；(3)在(2)的条件下，求以MN 为直径的圆的方程． 解 (1)原方程化为(x －1)2＋(y －2)2＝5－m . ∵此方程表示圆， ∴5－m >0. ∴m <5.(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)， 则x 1＝4－2y 1，x 2＝4－2y 2， 得x 1x 2＝16－8(y 1＋y 2)＋4y 1y 2. ∵OM ⊥ON ， ∴x 1x 2＋y 1y 2＝0.∴16－8(y 1＋y 2)＋5y 1y 2＝0.①由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4－2y ，x 2＋y 2－2x －4y ＋m ＝0，得 5y 2－16y ＋m ＋8＝0. ∴y 1＋y 2＝165，y 1y 2＝8＋m 5. 代入①得m ＝85.(3)以MN 为直径的圆的方程为 (x －x 1)(x －x 2)＋(y －y 1)(y －y 2)＝0， 即x 2＋y 2－(x 1＋x 2)x －(y 1＋y 2)y ＝0.∴所求圆的方程为x 2＋y 2－85x －165y ＝0.21．(13分)已知圆C ：x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0，O 为坐标原点，动点P 在圆外，过点P 作圆C 的切线，设切点为M .(1)若点P 运动到(1,3)处，求此时切线l 的方程； (2)求满足|PM |＝|PO |的点P 的轨迹方程．解 (1)把圆C 的方程化为标准方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝4，∴圆心为(－1,2)，半径为2.①当l 的斜率不存在时，l 的方程为x ＝1满足条件．②当l 的斜率存在时，设斜率为k ，则l ：y －3＝k (x －1)，即kx －y ＋3－k ＝0.由题意，得|－k －2＋3－k |1＋k 2＝2，得k ＝－34. ∴l 的方程为3x ＋4y －15＝0.综上得，满足条件的切线l 的方程为x ＝1，或3x ＋4y －15＝0. (2)设P (x ，y )，∵|PM |＝|PO |， ∴(x ＋1)2＋(y －2)2－4＝x 2＋y 2. 整理得2x －4y ＋1＝0.即点P 的轨迹方程为2x －4y ＋1＝0.。

(必考题)高中数学必修二第一章《立体几何初步》测试题(有答案解析)

(必考题)高中数学必修二第一章《立体几何初步》测试题(有答案解析)

一、选择题1．正三棱锥（底面为正三角形，顶点在底面的射影为底面中心的棱锥）的三视图如图所示，俯视图是正三角形，O 是其中心，则正视图（等腰三角形）的腰长等于（ ）A 5B ．2C 3D 22．已知正方体1111ABCD A B C D -，E 、F 分别是正方形1111D C B A 和11ADD A 的中心，则EF 和BD 所成的角的大小是（ ） A ．30B ．45C ．60D ．903．设1l 、2l 、3l 是三条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，则下列命题是真命题的是（ ）A ．若1//l α，2//l α，则12l l //B ．若1l α⊥，2l α⊥，则12l l ⊥C ．若12//l l ，1l α⊂，2l β⊂，3l αβ⋂=，则13//l lD ．若αβ⊥，1l αγ=，2l βγ⋂=，则12l l //4．已知正三棱柱111ABC A B C -，底面正三角形ABC 的边长为2，侧棱1AA 长为2，则点1B 到平面1A BC 的距离为（ ） A ．2217B ．22121C ．77D ．7215．如图，在正四棱锥P ABCD -中，设直线PB 与直线DC 、平面ABCD 所成的角分别为α、β，二面角P CD B --的大小为γ，则（ ）A ．,αβγβ>>B ．,αβγβ><C ．,αβγβ<>D ．,αβγβ<<6．在我国古代，将四个角都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”．在“鳖臑”ABCD 中，AB ⊥平面BCD ，BD CD ⊥且AB BD CD ==，若该四面体的体积为43，则该四面体外接球的表面积为（ ）A ．8πB ．12πC ．14πD ．16π7．如图，圆锥的母线长为4，点M 为母线AB 的中点，从点M 处拉一条绳子，绕圆锥的侧面转一周达到B 点，这条绳子的长度最短值为25，则此圆锥的表面积为（ ）A ．4πB ．5πC ．6πD ．8π8．某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积（单位：3cm ）是（ ）A ．24B ．30C ．47D ．679．《九章算术》是古代中国乃至东方的第一步自成体系的数学专著，书中记载了一种名为“刍甍”的五面体（如图），其中四边形ABCD 为矩形，//EF AB ，若3AB EF =，ADE 和BCF △都是正三角形，且2AD EF =，则异面直线AE 与CF 所成角的大小为（ ）A ．6π B ．4π C ．3π D ．2π 10．某三棱锥的三视图如图所示， 则该三棱锥的体积为（ ）A ．16B ．13C ．23D ．211．某三棱锥的三视图如图所示，已知网格纸上小正方形的边长为1，则该三棱锥的体积为（ ）A ．43 B ．83C ．3D ．412．αβ是两个不重合的平面，在下列条件中，可判定平面α与β平行的是（ ）A ．m 、n 是α内的两条直线，且//m β，βn//B ．α、β都垂直于平面γC ．α内不共线三点到β的距离相D ．m 、n 是两条异面直线，m α⊂，n β⊂，且//m β，//n α二、填空题13．在正三棱锥O ABC -中，已知45AOB ∠=︒，记α为二面角--A OB C 的大小，cos =m n αm ，n 为整数，则以||n ，||m ，||m n +分别为长、宽、高的长方体的外接球直径为__________．14．如图在菱形ABCD 中，2AB =，60A ∠=，E 为AB 中点，将AED 沿DE 折起使二面角A ED C '--的大小为90，则空间A '、C 两点的距离为________；15．在三棱锥P ABC -中，P 在底面ABC 的射影为ABC 的重心，点M 为棱PA 的中点，记二面角P BC M --的平面角为α，则tan α的最大值为___________.16．如图，已知四棱锥S ABCD -的底面为等腰梯形，//AB CD ，1AD DC BC ===，2AB SA ==，且SA ⊥平面ABCD ，则四棱锥S ABCD -外接球的体积为______.17．在三棱锥D ABC -中，AD ⊥平面ABC ，3AC =，17BC =1cos 3BAC ∠=，若三棱锥D ABC -27，则此三棱锥的外接球的表面积为______18．已知ABC 是等腰直角三角形，斜边2AB =，P 是平面ABC 外的一点，且满足PA PB PC ==，120APB ∠=︒，则三棱锥P ABC -外接球的表面积为________．19．已知点O 为圆锥PO 底面的圆心，圆锥PO 的轴截面为边长为2的等边三角形PAB ，圆锥PO 的外接球的表面积为______.20．在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，且ABCD 为矩形，π2DPA ∠=，23AD =2AB =，PA PD =，则四棱锥P ABCD -的外接球的体积为________.三、解答题21．如图，四棱锥P ABCD -的底面为正方形，PA ⊥底面ABCD ，E ，F ，H 分别为AB ，PC ，BC 的中点.（1）求证：DE ⊥平面PAH ；（2）若2PA AD ==，求直线PD 与平面PAH 所成线面角的正弦值. 22．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，O 是底面ABCD 的中心.（1）求证:1B O//平面11DA C ; （2）求点O 到平面11DA C 的距离.23．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为1的正方形，PA ⊥底面ABCD ，PA AB =，点M 是棱PD 的中点.（1）求证：//PB 平面ACM ； （2）求三棱锥P ACM -的体积.24．在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 为正方形，平面PAB ⊥平面,ABCD PAB 为等腰直角三角形，,2PA PB AB ⊥=．（1）求证：平面PBC ⊥平面PAC ；（2）设E 为CD 的中点，求点E 到平面PBC 的距离．25．如图，四棱锥E ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，平面AEB ⊥平面ABCD ，4EBA π∠=，2EB =，F 为CE 上的点，BF CE ⊥.（1）求证：BF ⊥平面ACE ； （2）求点D 到平面ACE 的距离.26．我市论语广场准备设置一些多面体形或球形的石凳供市民休息，如图（1）的多面体石凳是由图（2）的正方体石块截去八个相同的四面体得到，且该石凳的体积是3160dm 3.（Ⅰ）求正方体石块的棱长；（Ⅱ）若将图（2）的正方体石块打磨成一个球形的石凳，求此球形石凳的最大体积.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B【分析】可得原几何体如图所示正三棱锥A BCD -，取BD 中点E ，连接,AE CE ，设底面边长为2x ，表示出2522x AO OE -===，1333xOE CE ==，即可求出x ，进而求出腰长. 【详解】根据三视图可得原几何体如图所示正三棱锥A BCD -，取BD 中点E ，连接,AE CE ，则底面中心O 在CE 上，连接AO ，可得AO ⊥平面ABC ，由三视图可知5AB AC AD ===，45AEC ∠=， 设底面边长为2x ，则DE x =，则25AE x =-，则在等腰直角三角形AOE 中，2522x AO OE -===， O 是底面中心，则133xOE CE ==， 则2532x x-=，解得3x =， 则1AO =，底面边长为23， 则正视图（等腰三角形）的腰长为()22312+=.故选：B.【点睛】本题考查根据三视图计算原几何体的相关量，解题的关键是根据正三棱锥中的关系求出底面边长.2．C【分析】作出图形，连接1AD 、11B D 、1AB ，推导出1//EF AB ，11//BD B D ，可得出异面直线EF 和BD 所成的角为11AB D ∠，分析11AB D 的形状，即可得出结果. 【详解】如下图所示，连接1AD 、11B D 、1AB ，设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，则11112AD AB B D ===， 所以，11AB D 为等边三角形，则1160AB D ∠=，因为E 、F 分别是正方形1111D C B A 和11ADD A 的中心，则E 、F 分别是11B D 、1AD 的中点，所以，1//EF AB ，在正方体1111ABCD A B C D -中，11//BB DD 且11BB DD =， 所以，四边形11BB D D 为平行四边形，则11//BD B D ， 所以，异面直线EF 和BD 所成的角为1160AB D ∠=. 故选：C. 【点睛】思路点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下： （1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角； （2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角； （3）计算：求该角的值，常利用解三角形； （4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是0,2π⎛⎤⎥⎝⎦，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．3．C解析：C 【分析】利用已知条件判断1l 与2l 的位置关系，可判断AD 选项的正误；利用线面垂直的性质定理可判断B 选项的正误；利用线面平行的性质定理可判断C 选项的正误. 【详解】对于A 选项，若1//l α，2//l α，则1l 与2l 平行、相交或异面，A 选项错误； 对于B 选项，若1l α⊥，2l α⊥，由线面垂直的性质定理可得12//l l ，B 选项错误； 对于C 选项，12//l l ，1l α⊂，2l β⊂，α、β不重合，则1l β⊄，1//l β∴，1l α⊂，3l αβ⋂=，13//l l ∴，C 选项正确；对于D 选项，若αβ⊥，1l αγ=，2l βγ⋂=，则1l 与2l 相交或平行，D 选项错误.故选：C. 【点睛】方法点睛：对于空间线面位置关系的组合判断题，解决的方法是“推理论证加反例推断”，即正确的结论需要根据空间线面位置关系的相关定理进行证明，错误的结论需要通过举出反例说明其错误，在解题中可以以常见的空间几何体（如正方体、正四面体等）为模型进行推理或者反驳．4．A解析：A 【分析】根据题意，将点1B 到平面1A BC 的距离转化为点A 到平面1A BC 的距离，然后再利用等体积法11A A BC A ABC V V --=代入求解点A 到平面1A BC 的距离. 【详解】已知正三棱柱111ABC A B C -，底面正三角形ABC 的边长为2，侧棱1AA 长为2，所以可得11==A B AC 1A BC 为等腰三角形，所以1A BC ，由对称性可知，111--=B A BC A A BC V V ，所以点1B 到平面1A BC 的距离等于点A 到平面1A BC 的距离，所以11A A BC A ABC V V --=，又因为1122=⨯=A BC S △122ABCS =⨯=111233⨯⨯=⨯⨯A BC ABC S h S △△，即7h == 故选：A.【点睛】一般关于点到面的距离的计算，一是可以考虑通过空间向量的方法，写出点的坐标，计算平面的法向量，然后代入数量积的夹角公式计算即可，二是可以通过等体积法，通过换底换高代入利用体积相等计算.5．A解析：A【分析】连接AC 、BD 交于O ，连PO ，取CD 的中点E ，连,OE PE ，根据正棱锥的性质可知，PCE α∠=，PCO β∠=，PEO γ∠=，再比较三个角的正弦值可得结果.【详解】连接AC 、BD 交于O ，连PO ，取CD 的中点E ，连,OE PE ，如图：因为//AB CD ，所以PBA α∠=，又因为四棱锥P ABCD -为正四棱锥，所以PCE α∠=，由正四棱锥的性质可知，PO ⊥平面ABCD ，所以PCO β∠=，易得OE CD ⊥，PE CD ⊥，所以PEO γ∠=， 因为sin PE PC α=，sin PO PCβ=，且PE PO >，所以sin sin αβ>，又,αβ都是锐角，所以αβ>，因为sin PO PE γ=，sin PO PCβ=，且PC PE >，所以sin sin γβ>，因为,βγ都是锐角，所以γβ>. 故选：A【点睛】关键点点睛：根据正棱锥的性质，利用异面直线所成角、直线与平面所成角、二面角的平面角的定义得到这三个角是解题关键，属于中档题.6．B解析：B【分析】由题意计算2,AB BD CD ===分析该几何体可以扩充为长方体，所以只用求长方体的外接球即可.【详解】因为AB ⊥平面BCD ，BD CD ⊥且AB BD CD ==， 43A BCD V -=， 而114323A BCD V BD CD AB -=⨯⨯⨯=,所以2AB BD CD ===， 所以该几何体可以扩充为正方体方体，所以只用求正方体的外接球即可.设外接球的半径为R ，则23R =所以外接球的表面积为2412S R ππ==故选：B【点睛】多面体的外接球问题解题关键是找球心和半径，求半径的方法有：(1)公式法；(2) 多面体几何性质法；(3)补形法；(4)寻求轴截面圆半径法；(5)确定球心位置法．7．B解析：B【分析】根据圆锥侧面展开图是一个扇形，且线段25MB =.【详解】设底面圆半径为r ，由母线长4l ，可知侧面展开图扇形的圆心角为22r r l ππα==， 将圆锥侧面展开成一个扇形，从点M 拉一绳子围绕圆锥侧面转到点B ，最短距离为BM ； 如图，在ABM 中，25,2,4MB AM AB ===，所以222AM AB MB +=,所以2MAB π∠=, 故22rππα==，解得1r =，所以圆锥的表面积为25S rl r πππ=+=,故选：B【点睛】关键点点睛：首先圆锥的侧面展开图为扇形，其圆心角为2r lπα=，其次从点M 拉一绳子围绕圆锥侧面转到点B ，绳子的最短距离即为展开图中线段MB 的长，解三角即可求解底面圆半径r ，利用圆锥表面积公式求解.8．D解析：D【分析】先找到几何体的原图，再求出几何体的高，再求几何体的体积得解.【详解】由三视图可知几何体为图中的四棱锥1P CDD E -， 由题得22437AD =-=，所以几何体的高为7.所以几何体的体积为11(24)676732⋅+⋅⋅=. 故选：D【点睛】方法点睛：通过三视图找几何体原图常用的方法有：（1）直接法；（2）拼凑法；（3）模型法.本题利用的就是模型法.要根据已知条件灵活选择方法求解. 9．D解析：D【分析】过点F 作//FG AE 交AB 于点G ，连接CG ，则异面直线AE 与CF 所成角为CFG ∠或其补角，然后在CFG △中求解.【详解】如下图所示，在平面ABFE 中，过点F 作//FG AE 交AB 于点G ，连接CG ， 则异面直线AE 与CF 所成角为CFG ∠或其补角，设1EF =，则3AB =，2BC CF AE ===，因为//EF AB ，//FG AE ，所以，四边形AEFG 为平行四边形，所以，2FG AE ==，1AG =，2BG =，由于2ABC π∠=，由勾股定理可得2222CG BC BG =+=所以，222CG CF FG =+，则2CFG π∠=.故选：D.【点睛】 思路点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下：（1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；（2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；（3）计算：求该角的值，常利用解三角形；（4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是0,2π⎛⎤ ⎥⎝⎦，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．10．C解析：C【分析】根据题中所给的几何体的三视图还原几何体，得到相应的三棱锥，之后利用椎体体积公式求得结果.【详解】根据题中所给的几何体的三视图还原几何体如图所示：该三棱锥满足底面BCD△是等腰三角形，且底边和底边上的高线都是2；且侧棱AD⊥底面BCD，1AD=，所以112 =221=323V⨯⨯⨯⨯，故选：C.【点睛】方法点睛：该题考查的是有关根据所给几何体三视图求几何体体积的问题，解题方法如下：（1）应注意把握三个视图的尺寸关系：主视图与俯视图长应对正（简称长对正），主视图与左视图高度保持平齐（简称高平齐），左视图与俯视图宽度应相等（简称宽相等），若不按顺序放置和不全时，则应注意三个视图名称；（2）根据三视图还原几何体；（3）利用椎体体积公式求解即可.11．A解析：A【分析】首先由三视图还原几何体，然后由几何体的空间结构特征求解三棱锥的体积即可.【详解】由三视图可知，在棱长为2的正方体中，其对应的几何体为棱锥P ABC-，该棱锥的体积：11142223323V Sh ⎛⎫==⨯⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭. 故选：A.【点睛】 方法点睛：(1)求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解；(2)若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解． 12．D解析：D【分析】取a αβ⋂=，且//m a ，//n a ，利用线面平行的判定定理可判断A 选项；根据αγ⊥，βγ⊥判断平面α与β的位置关系，可判断B 选项；设AB 、AC 的中点D 、E 在平面β内，记平面ABC 为平面α，判断出A 、B 、C 三点到平面β的距离相等，可判断C 选项；过直线n 作平面γ，使得a αγ⋂=，利用线面平行、面面平行的判定定理可判断D 选项.【详解】对于A 选项，若a αβ⋂=，且//m a ，//n a ，m β⊄,n β⊄,则//m β，βn//，但α与β相交；对于B 选项，若αγ⊥，βγ⊥，则α与β平行或相交；对于C 选项，设AB 、AC 的中点D 、E 在平面β内，记平面ABC 为平面α，如下图所示：D 、E 分别为AB 、AC 的中点，则//DE BC ，DE β⊂，BC β⊄，//BC β∴，所以，点B 、C 到平面β的距离相等，由于D 为AB 的中点，则点A 、B 到平面β的距离相等，所以，点A 、B 、C 三点到平面β的距离相等，但平面α与平面β相交；对于D 选项，如下图所示：由于//n α，过直线n 作平面γ，使得a αγ⋂=，则//a n ，//n a ，a β⊄，n β⊂，//a β∴，//m β，m a A =，m α⊂，a α⊂，//αβ∴.故选：D.【点睛】方法点睛：证明或判断两个平面平行的方法有：①用定义，此类题目常用反证法来完成证明；②用判定定理或推论（即“线线平行”⇒“面面平行”），通过线面平行来完成证明； ③根据“垂直于同一条直线的两个平面平行”这一性质进行证明；④借助“传递性”来完成．二、填空题13．【分析】过作垂足为连接则为二面角的平面角即在中利用余弦定理结合为整数求出的值进而可得外接球直径【详解】如图过作垂足为连接则为二面角的平面角即不妨设因为所以所以所以在中因为为整数所以则设以为长宽高的长 解析：6【分析】过A 作AH OB ⊥，垂足为H ，连接CH ，则AHC ∠为二面角--A OB C 的平面角，即∠=AHC α，在AHC 中，利用余弦定理结合m ，n 为整数，求出m ，n 的值，进而可得外接球直径．【详解】如图，过A 作AH OB ⊥，垂足为H ，连接CH ，则AHC ∠为二面角--A OB C 的平面角，即∠=AHC α．不妨设2OC a =，因为45AOB ∠=︒，所以===CH a AH OH ， 所以21)=HB a ，所以22222(422)=+=-=BC HB HC a AC ．在AHC 中，222cos 2+-==⋅⋅HA HC AC HA HC α2222(422)212+--==a a a m n a因为m ，n 为整数，所以1m =-，2n =，则||1m =，||2n =，||1m n +=． 设以||m ，||n ，||m n +为长、宽、高的长方体的外接球半径为R ，则2222(2)||||||6=+++=R m n m n 6．6【点睛】关键点点睛：本题考查二面角的应用，考查几何体的外接球，考查解三角形，解决本题的关键点是利用定义法找出二面角的平面角，在AHC 中，利用余弦定理结合已知条件求出m ，n 的值，考查学生空间想象能力，考查计算能力，属于中档题．14．【分析】由二面角的大小为可得平面平面得到平面由勾股定理可得答案【详解】连接所以是等边三角形所以因为为中点所以所以即所以因为平面平面平面平面所以平面平面所以所以故答案为：【点睛】对于翻折问题解题时要认 解析：22【分析】由二面角A ED C '--的大小为90，可得平面A ED '⊥平面EDCB ，得到A E '⊥平面EDCB ，由勾股定理可得答案.【详解】连接DB CE 、，2AB AD ==，60A ∠=，所以ABD △、CBD 是等边三角形， 所以2AD BD CD ===，因为E 为AB 中点，1AE A E '==，所以DE AB ⊥，DE A E ⊥'，3DE =， 30EDB ∠=，所以90EDC ∠=，即DE CD ⊥，所以222347EC ED CD =+=+=，因为平面A ED '⊥平面EDCB ，DE A E ⊥'，平面A ED '平面EDCB DE =， 所以A E '⊥平面EDCB ，EC ⊂平面EDCB ，所以A E EC '⊥， 所以221722A C A E EC ''=+=+=.故答案为：22.【点睛】对于翻折问题，解题时要认真分析图形，确定有关元素间的关系及翻折前后哪些量变了，哪些量没有变，根据线线、线面、面面关系正确作出判断，考查了学生的空间想象力.. 15．【分析】取中点为过分别作底面的垂线根据题中条件得到；过分别作的垂线连接由二面角的定义结合线面垂直的判定定理及性质得到为二面角的平面角；为二面角的平面角得出令进而可求出最值【详解】取中点为过分别作底面解析：34【分析】取BC 中点为E ，过P 、M 分别作底面的垂线PO 、MN ，根据题中条件，得到AN NO OE ==，2PO MN =；过O 、N 分别作BC 的垂线OG 、NH ，连接MH ，PG ，由二面角的定义，结合线面垂直的判定定理及性质，得到MHN ∠为二面角M BC A --的平面角；PGO ∠为二面角A BC P --的平面角，得出tan 4tan PGO MHN ∠=∠，()23tan tan tan 14tan MHN PGO MHN MHNα∠=∠-∠=+∠，令tan 0x MHN =∠>，进而可求出最值.【详解】取BC 中点为E ，过P 、M 分别作底面的垂线PO 、MN ， 则O 为ABC 的重心，MN ⊥平面ABC ；PO ⊥平面ABC ； 由于点M 为棱PA 的中点，所以有AN NO OE ==，2PO MN =； 过O 、N 分别作BC 的垂线OG 、NH ，连接MH ，PG ， 因为BC ⊂平面ABC ，所以MN BC ⊥，同理PO BC ⊥； 又MN NH N ⋂=，MN ⊂平面MNH ，NH ⊂平面MNH ， 所以BC ⊥平面MNH ；因为MH ⊂平面MNH ，所以BC MH ⊥， 所以MHN ∠为二面角M BC A --的平面角；同理BC PG ⊥，所以PGO ∠为二面角A BC P --的平面角， 所以tan PO PGO OG ∠=，tan MN MHN HN∠=， 因为NO OE =，//OG NH ，所以12OG NH =； 因此2tan 4tan 12PO MN PGO MHN OG HN ∠===∠， 所以()2tan tan 3tan tan tan 1tan tan 14tan PGO MHN MHN PGO MHN PGO MHN MHN α∠-∠∠=∠-∠==+∠⋅∠+∠， 令tan 0x MHN =∠>，则2333tan 1444x x x x α=≤=+， 当且仅当214x =，即12x =时，等号成立. 故答案为：34. 【点睛】关键点点睛：求解本题的关键在于确定二面角MBC A --、A BC P --以及P BC M --三者之间的关系，由题中条件得出二面角A BC P --是二面角M BC A --的4倍，进而可求得结果.16．【分析】取AB 中点连接根据平行四边形性质可得为等腰梯形ABCD 的外心取SB 中点O 连接则可得O 是四棱锥的外接球球心在中求得r=OA 即可求得体积【详解】取AB 中点连接则所以四边形为平行四边形所以同理所以 解析：823π【分析】取AB 中点1O ，连接11,O C O D ，根据平行四边形性质，可得1O 为等腰梯形ABCD 的外心，取SB 中点O ，连接1,,,OA OC OD OO ，则可得O 是四棱锥S ABCD -的外接球球心，在Rt SAB 中，求得r=OA ，即可求得体积. 【详解】取AB 中点1O ，连接11,O C O D ，则1//CD O A ， 所以四边形1ADCO 为平行四边形， 所以1=1CO ，同理1=1O D ，所以1111=O A O B O C O D ==，即1O 为等腰梯形ABCD 的外心， 取SB 中点O ，连接1,,,OA OC OD OO ，则1//OO SA ，因为SA ⊥平面ABCD ，所以1OO ⊥平面ABCD ，又2AB SA ==, 所以=OA OB OC OD ==，又SA AB ⊥，所以OA OS =，即O 是四棱锥S ABCD -的外接球球心， 在Rt SAB 中，2AB SA ==， 所以122OA SB == 所以34822)33V ππ=⨯=， 故答案为：823π. 【点睛】解决外接球的问题时，难点在于找到球心，可求得两个相交平面的外接圆圆心，自圆心做面的垂线，垂线交点即为球心，考查空间想象，数学运算的能力，属中档题.17．【分析】设出外接球的半径球心的外心半径r 连接过作的平行线交于连接如图所示在中运用正弦定理求得的外接圆的半径r 再利用的关系求得外接球的半径运用球的表面积公式可得答案【详解】设三棱锥外接球的半径为球心为 解析：20π【分析】设出外接球的半径R 、球心O ，ABC 的外心1O 、半径 r , 连接1AO ，过O 作的平行线OE 交AD 于 E ，连接OA ，OD ，如图所示，在ABC 中，运用正弦定理求得 ABC的外接圆的半径r ,再利用1,,R r OO 的关系求得外接球的半径，运用球的表面积公式可得答案. 【详解】设三棱锥外接球的半径为R 、球心为O ，ABC 的外心为1O 、外接圆的半径为r ，连接1AO ，过O 作平行线OE 交AD 于E ，连接OA ，OD ，如图所示，则OA OD R ==，1O A r =，OE AD ⊥，所以E 为AD 的中点.在ABC中，由正弦定理得2sin BC r BAC ==∠r =. 在ABC 中，由余弦定理2222cos BC AB AC AB AC BAC =+-⋅⋅∠，可得2117963AB AB =+-⋅⋅，得4AB =.所以11sin 34223ABC S AB AC BAC =⋅⋅∠=⨯⨯⨯=△因为11333D ABC ABC V S AD AD -=⋅⋅=⨯=△，所以4AD =.连接1OO ，又1//OO AD ，所以四边形1EAO O 为平行四边形，1128EA OO AD ===，所以R ===所以该三棱锥的外接球的表面积224π4π20πS R ===.故答案为：20π.【点睛】本题考查三棱锥的外接球，及球的表面积计算公式，解决问题的关键在于利用线面关系求得外接球的球心和球半径，属于中档题.18．【分析】在平面的投影为的外心即中点设球半径为则解得答案【详解】故在平面的投影为的外心即中点故球心在直线上设球半径为则解得故故答案为：【点睛】本题考查了三棱锥的外接球问题意在考查学生的计算能力和空间想 解析：163π【分析】P 在平面ABC 的投影为ABC 的外心，即AB 中点1O ，设球半径为R ，则()22211R CO R PO =+-，解得答案.【详解】PA PB PC ==，故P 在平面ABC 的投影为ABC 的外心，即AB 中点1O ，故球心O 在直线1PO 上，1112CO AB ==，1133PO ==， 设球半径为R ，则()22211R CO R PO =+-，解得23R =21643S R ππ==. 故答案为：163π.【点睛】本题考查了三棱锥的外接球问题，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.19．【分析】由题意知圆锥的轴截面为外接球的最大截面即过球心的截面且球心在上由等边三角形性质有即求得外接球的半径为R 进而求外接球的表面积【详解】设外接球球心为连接设外接球的半径为R 依题意可得在中有即解得故 解析：163π【分析】由题意知圆锥PO 的轴截面为外接球的最大截面，即过球心的截面且球心在PO 上，由等边三角形性质有Rt AO O '△，即222O A AO O O ''=+求得外接球的半径为R ，进而求外接球的表面积. 【详解】设外接球球心为O '，连接AO '，设外接球的半径为R ，依题意可得1AO =，3PO =，在Rt AO O '△中，有222O A AO O O ''=+，即)22213R R =+，解得3R =， 故外接球的表面积为24164433S R πππ==⋅=.故答案为：163π. 【点睛】本题考查了求圆锥体的外接球面积，由截面是等边三角形，结合等边三角形的性质求球半径，进而求外接球面积，属于基础题.20．【分析】由矩形的边长可得底面外接圆的半径再由为等腰直角三角形可得其外接圆的半径又平面平面可得底面外接圆的圆心即为外接球的球心由题意可得外接球的半径进而求出外接球的体积【详解】解：取矩形的对角线的交点 解析：323π【分析】由矩形的边长可得底面外接圆的半径，再由PAD △为等腰直角三角形可得其外接圆的半径，又平面PAD ⊥平面ABCD 可得底面外接圆的圆心即为外接球的球心，由题意可得外接球的半径，进而求出外接球的体积． 【详解】解：取矩形的对角线的交点O 和AD 的中点E ，连接OE ，OP ，OE ， 则O 为矩形ABCD 的外接圆的圆心，而2DPA π∠=，23AD =，2AB =，PA PD =，则//OE AB ，112OE AB ==， 132PE AD ==， 所以E 为PAD △的外接圆的圆心，因为平面PAD ⊥平面ABCD ， 所以O 为外接球的球心，OP 为外接球的半径，在POE △中，222222(3)14R OP PE OE ==+=+=，所以2R =， 所以外接球的体积343233V R ππ==， 故答案为：323π．【点睛】本题考查四棱锥的棱长与外接球的半径的关系及球的体积公式，属于中档题．三、解答题21．（1）证明见解析；（2）105. 【分析】（1）由PA ⊥底面ABCD ，得PA DE ⊥，由Rt ABH Rt DAE ≌△△，得DE AH ⊥，可得答案.（2）由可知DE ⊥平面PAH ，连接PG ，则DPG ∠即为直线PD 与平面PAH 所成线面角，在Rt PDG △中，由sin DPG ∠可得答案. 【详解】（1）因为PA ⊥底面ABCD ，DE ⊂底面ABCD ，所以PA DE ⊥，因为E ，H 分别为正方形ABCD 的边AB ，BC 的中点，,,AB DA BH AE HBAEAD ，所以Rt ABH Rt DAE ≌△△，所以BAH ADE ∠=∠，由90AED ADE ∠+∠= 所以90BAH AED ∠+∠=，所以DE AH ⊥， 因为PA ⊂平面PAH ，AH ⊂平面PAH ，PA AH A ⋂=，所以DE ⊥平面PAH .（2）由（1）可知DE ⊥平面PAH ，设AH DE G ⋂=，如图，连接PG ，则DPG ∠即为直线PD 与平面PAH 所成线面角， 因为2PA AD ==，所以22PD =，5DE =， 在Rt DAE 中，由于AG DE ⊥，所以2AD DG DE =⋅， 所以45DG =⋅，所以5DG =， 所以在Rt PDG △中，105sin 522DG DPG PD ∠===，即直线PD 与平面PAH 所成线面角的正弦值为105.【点睛】本题主要考查线面垂直的证明、线面角的求法，对于线面角的求法的步骤,作：作（或找）出斜线在平面上的射影，证：证明某平面角就是斜线与平面所成的角；算：通常在垂线段、斜线段和射影所组成的直角三角形中计算. 22．（1）证明见解析；（2）23. 【分析】（1）连接11B D ，设11111B D AC O ⋂=，连接1DO ，证明11B O DO 是平行四边形，再利用线面平行的判定定理即可证明.（2）由题意可得平面11DA C ⊥平面11B D DB ，过点O 作1OH DO ⊥于H ，在矩形11B D DB 中，连接1OO ，可得1O OD OHD ∽△△，由三角形相似，对应边成比例即可求解. 【详解】（1）证明：连接11B D ，设11111B D AC O ⋂=，连接1DO .11//O B DO 且11O B DO =， 11B O DO ∴是平行四边形.11//B O DO ∴.又1DO ⊂平面11DA C ，1B O ⊂/平面11DA C ，1//B O ∴平面11DA C .（2）1111A C B D ⊥，111AC BB ⊥，且1111BB B D B ⋂=，11A C ∴⊥平面11B D DB .∴平面11DA C ⊥平面11B D DB ，且交线为1DO .在平面11B D DB 内，过点O 作1OH DO ⊥于H ，则OH ⊥平面11DA C ， 即OH 的长就是点O 到平面11DA C 的距离.在矩形11B D DB 中，连接1OO ，1O OD OHD ∽△△，则11O D ODO O OH=， 22236OH ⨯∴==即点O 到平面11DA C 的距离为233. 【点睛】关键点点睛：本题考查了线面平行的判定定理，点到面的距离，解题的关键是过点O 作1OH DO ⊥于H ，得出OH 的长就是点O 到平面11DA C 的距离，考查了计算能力.23．（1）证明见解析；（2）23． 【分析】（1）连接BD 交AC 于点O ，由中位线定理得//OM PB ，从而得证线面平行； （2）由M 是PD 中点，得12M ACD P ACD V V --=，求出三棱锥P ACD -的体积后可得． 【详解】（1）如图，连接BD 交AC 于点O ，连接OM ，则O 是BD 中点，又M 是PD 中点， ∴//OM PB ，又PB ⊄平面ACM ，OM ⊂平面ACM ， 所以//PB 平面ACM ； （2）由已知12222ACDS=⨯⨯=，11422333P ACD ACD V S PA -=⋅=⨯⨯=△，又M 是PD 中点，所以1223M ACD P ACD V V --==， 所以23P ACM P ACD M ACD V V V ---=-=．【点睛】思路点睛：本题考查证明线面平行，求三棱锥的体积．求三棱锥的体积除掌握体积公式外，还需要注意割补法，不易求体积的三棱锥（或一个不规则的几何体）的体积可通过几个规则的几何体（柱、锥、台等）的体积加减求得．三棱锥的体积还可通过转化顶点，转移底面利用等体积法转化为求其他三棱锥的体积，从而得出结论． 24．（1）证明见解析；（2）22. 【分析】（1）利用面面垂直的性质先证明出BC ⊥面PAB ，得到PA BC ⊥，再由PA PB ⊥，结合线面垂直的判定定理可知PA ⊥面PBC ，又PA ⊂面PAC ，然后证得平面PBC ⊥平面PAC ；（2）先计算三棱锥P BCE -的体积，然后再计算PBC 的面积，利用等体积法P BCE E PBC V V --=求解.【详解】解：（1）证明：∵面PAB ⊥面ABCD ，且平面PAB ⋂平面ABCD AB =，BC AB ⊥，BC ⊂面ABCD BC ∴⊥面PAB ， 又PA ⊂面PAB PA BC ∴⊥又因为由已知PA PB ⊥且PB BC B ⋂=，所以PA ⊥面PBC ，又PA ⊂面PAC ∴面PAC ⊥面PBC .(2)PAB △中，PA PB =，取AB 的中点O ，连PO ，则PO AB ⊥ ∵面PAB ⊥面ABCD 且它们交于,AB PO ⊂面PABPO ∴⊥面ABCD由1133BCEEPBC P BCE PBC BCE PBCSPOV V S h S PO h S--=⇒=⇒=，由已知可求得1PO =，1BCES=，2PBCS=，所以22h =. 所以点E 到平面PBC 的距离为22.【点睛】（1）证明面面垂直的核心为证明线面垂直，要证明线面垂直只需郑敏面外的一条弦和面内的两条相交线垂直即可；（2）点到面的距离求解一般采用等体积法求解，也可采用空间向量法求解. 25．（1）证明见解析；（223【分析】（1）先由面面垂直的性质，得到CB ⊥平面ABE ，推出CB AE ⊥，根据题中条件，得到AE BE ⊥，利用线面垂直的判定定理，得到AE ⊥平面BCE ；得出AE BF ⊥，再次利用线面垂直的判定定理，即可证明结论成立；。

(完整版)高中数学必修2立体几何考题(附答案)

(完整版)高中数学必修2立体几何考题(附答案)

高中数学必修2立体几何考题13．如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别是A1B1，B1C1的中点．问：(1)AM和CN是否是异面直线？说明理由；(2)D1B和CC1是否是异面直线？说明理由．解析：(1)由于M、N分别是A1B1和B1C1的中点，可证明MN∥AC，因此AM与CN不是异面直线．(2)由空间图形可感知D1B和CC1为异面直线的可能性较大，判断的方法可用反证法．探究拓展：解决这类开放型问题常用的方法有直接法(即由条件入手，经过推理、演算、变形等)，如第(1)问，还有假设法，特例法，有时证明两直线异面用直线法较难说明问题，这时可用反证法，即假设两直线共面，由这个假设出发，来推证错误，从而否定假设，则两直线是异面的．解：(1)不是异面直线．理由如下：∵M、N分别是A1B1、B1C1的中点，∴MN∥A1C1.又∵A1A∥D1D，而D1D綊C1C，∴A1A綊C1C，∴四边形A1ACC1为平行四边形．∴A1A∥AC，得到MN∥AC，∴A、M、N、C在同一个平面内，故AM和CN不是异面直线．(2)是异面直线．理由如下：假设D1B与CC1在同一个平面CC1D1内，则B∈平面CC1D1，C∈平面CC1D1.∴BC⊂平面CC1D1，这与在正方体中BC⊥平面CC1D1相矛盾，∴假设不成立，故D1B与CC1是异面直线．14．如下图所示，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M为AB的中点，N为BB1的中点，O为面BCC1B1的中心．(1)过O作一直线与AN交于P，与CM交于Q(只写作法，不必证明)；(2)求PQ的长(不必证明)．解析：(1)由ON∥AD知，AD与ON确定一个平面α.又O、C、M三点确定一个平面β(如下图所示)．∵三个平面α，β和ABCD两两相交，有三条交线OP、CM、DA，其中交线DA与交线CM不平行且共面．∴DA与CM必相交，记交点为Q.∴OQ是α与β的交线．连结OQ与AN交于P，与CM交于Q，故OPQ即为所作的直线．(2)解三角形APQ可得PQ＝14 3.15．如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝BC＝B1B＝a，∠ABC＝90°，D、E分别为BB1、AC1的中点．(1)求异面直线BB1与AC1所成的角的正切值；(2)证明：DE为异面直线BB1与AC1的公垂线；(3)求异面直线BB1与AC1的距离．解析：(1)由于直三棱柱ABC－A 1B1C1中，AA1∥BB1，所以∠A1AC1就是异面直线BB1与AC1所成的角．又AB＝BC＝B1B＝a，∠ABC＝90°，所以A1C1＝2a，tan∠A1AC1＝2，即异面直线BB1与AC1所成的角的正切值为 2.(2)证明：解法一：如图，在矩形ACC1A1中，过点E作AA1的平行线MM1分别交AC、A1C1于点M、M1，连结BM，B1M1，则BB1綊MM1.又D、E分别是BB1、MM1的中点，可得DE綊BM.在直三棱柱ABC－A1B1C1中，由条件AB＝BC得BM⊥AC，所以BM⊥平面ACC1A1，故DE⊥平面ACC1A1，所以DE⊥AC1，DE⊥BB1，即DE为异面直线BB1与AC1的公垂线．解法二：如图，延长C1D、CB交于点F，连结AF，由条件易证D是C1F的中点，B是CF的中点，又E是AC1的中点，所以DE∥AF.在△ACF中，由AB＝BC＝BF知AF⊥AC.在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，所以AF⊥AA1，故AF⊥平面ACC1A1，故DE⊥平面ACC1A1，所以DE⊥AC1，DE⊥BB1，即DE为异面直线BB1与AC1的公垂线．(3)由(2)知线段DE的长就是异面直线BB1与AC1的距离，由于AB＝BC＝a，∠ABC＝90°，所以DE＝2 2a.反思归纳：两条异面直线的公垂线是指与两条异面直线既垂直又相交的直线，两条异面直线的公垂线是惟一的，两条异面直线的公垂线夹在两条异面直线之间的线段的长度就是两条异面直线的距离．证明一直线是某两条异面直线的公垂线，可以分别证明这条直线与两条异面直线垂直．本题的思路是证明这条直线与一个平面垂直，而这一平面与两条异面直线的位置关系是一条直线在平面内，另一条直线与这个平面平行．16．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O，M分别是BD1，AA1的中点．(1)求证：MO是异面直线AA1和BD1的公垂线；(2)求异面直线AA1与BD1所成的角的余弦值；(3)若正方体的棱长为a，求异面直线AA1与BD1的距离．解析：(1)证明：∵O是BD1的中点，∴O是正方体的中心，∴OA＝OA 1，又M为AA1的中点，即OM是线段AA1的垂直平分线，故OM⊥AA1.连结MD1、BM，则可得MB＝MD1.同理由点O为BD1的中点知MO⊥BD1，即MO 是异面直线AA 1和BD 1的公垂线． (2)由于AA 1∥BB 1，所以∠B 1BD 1就是异面直线AA 1和BD 1所成的角． 在Rt △BB 1D 1中，设BB 1＝1，则BD 1＝3，所以cos ∠B 1BD 1＝33，故异面直线AA 1与BD 1所成的角的余弦值等于33.(3)由(1)知，所求距离即为线段MO 的长，由于OA ＝12AC 1＝32a ，AM ＝a 2，且OM ⊥AM ，所以OM ＝22a .13．如图所示，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，侧面对角线AB 1，BC 1上分别有两点E 、F ，且B 1E ＝C 1F ，求证：EF ∥ABCD .证明：解法一：分别过E 、F 作EM ⊥AB 于M ，FN ⊥BC 于N ，连结MN .∵BB 1⊥平面ABCD ， ∴BB 1⊥AB ，BB 1⊥BC ， ∴EM ∥BB 1，FN ∥BB 1， ∴EM ∥FN .又B 1E ＝C 1F ，∴EM ＝FN ，故四边形MNFE 是平行四边形， ∴EF ∥MN ，又MN 在平面ABCD 中， 所以EF ∥平面ABCD .解法二：过E 作EG ∥AB 交BB 1于G ，连结GF ，则B 1E B 1A ＝B 1GB 1B，∵B 1E ＝C 1F ，B 1A ＝C 1B ， ∴C 1F C 1B ＝B 1G B 1B，∴FG ∥B 1C 1∥BC . 又EG ∩FG ＝G ，AB ∩BC ＝B ， ∴平面EFG ∥平面ABCD ， 而EF ⊂平面EFG ， ∴EF ∥平面ABCD .14．如下图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD ＝DC .过BD 作与P A 平行的平面，交侧棱PC 于点E ，又作DF ⊥PB ，交PB 于点F .(1)求证：点E 是PC 的中点； (2)求证：PB ⊥平面EFD .证明：(1)连结AC ，交BD 于O ，则O 为AC 的中点，连结EO . ∵P A ∥平面BDE ，平面P AC ∩平面BDE ＝OE ，∴P A ∥OE . ∴点E 是PC 的中点；(2)∵PD ⊥底面ABCD 且DC ⊂底面ABCD ，∴PD ⊥DC ，△PDC 是等腰直角三角形，而DE 是斜边PC 的中线， ∴DE ⊥PC ，①又由PD ⊥平面ABCD ，得PD ⊥BC .∵底面ABCD 是正方形，CD ⊥BC ，∴BC ⊥平面PDC .而DE ⊂平面PDC .∴BC ⊥DE .②由①和②推得DE ⊥平面PBC .而PB ⊂平面PBC ， ∴DE ⊥PB ，又DF ⊥PB 且DE ∩DF ＝D ， 所以PB ⊥平面EFD .15．如图，l 1、l 2是互相垂直的异面直线，MN 是它们的公垂线段．点A 、B 在l 1上，C 在l 2上，AM ＝MB ＝MN .(1)求证AC ⊥NB ； (2)若∠ACB ＝60°，求NB 与平面ABC 所成角的余弦值．证明：(1)如图由已知l 2⊥MN ，l 2⊥l 1，MN ∩l 1＝M ，可得l 2⊥平面ABN .由已知MN ⊥l 1，AM ＝MB ＝MN ，可知AN ＝NB 且AN ⊥NB . 又AN 为AC 在平面ABN 内的射影， ∴AC ⊥NB .(2)∵Rt △CNA ≌Rt △CNB ，∴AC ＝BC ，又已知∠ACB ＝60°，因此△ABC 为正三角形． ∵Rt △ANB ≌Rt △CNB ，∴NC ＝NA ＝NB ，因此N 在平面ABC 内的射影H 是正三角形ABC 的中心．连结BH ，∠NBH 为NB 与平面ABC 所成的角．在Rt △NHB 中，cos ∠NBH ＝HB NB ＝33AB22AB ＝63.16．如图，在四面体ABCD 中，CB ＝CD ，AD ⊥BD ，点E 、F 分别是AB 、BD 的中点．求证：(1)直线EF ∥平面ACD ； (2)平面EFC ⊥平面BCD .命题意图：本小题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系，考查空间想象能力、推理论证能力．证明：(1)在△ABD 中，∵E 、F 分别是AB 、BD 的中点，所以EF ∥AD . 又AD ⊂平面ACD ，EF ⊄平面ACD ，∴直线EF ∥平面ACD . (2)在△ABD 中，∵AD ⊥BD ，EF ∥AD ，∴EF ⊥BD .在△BCD 中，∵CD ＝CB ，F 为BD 的中点，∴CF ⊥BD .∵EF ⊂平面EFC ，CF ⊂平面EFC ，EF 与CF 交于点F ，∴BD ⊥平面EFC . 又∵BD ⊂平面BCD ，∴平面EFC ⊥平面BCD .13．如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是边长为a 的正方形，P A ⊥平面ABCD ，且P A ＝2AB .(1)求证：平面P AC ⊥平面PBD ； (2)求二面角B －PC －D 的余弦值． 解析：(1)证明：∵P A ⊥平面ABCD ， ∴P A ⊥BD .∵ABCD 为正方形，∴AC ⊥BD .∴BD ⊥平面P AC ，又BD 在平面BPD 内，∴平面P AC ⊥平面BPD . (2)在平面BCP 内作BN ⊥PC ，垂足为N ，连结DN ， ∵Rt △PBC ≌Rt △PDC ， 由BN ⊥PC 得DN ⊥PC ；∴∠BND 为二面角B －PC －D 的平面角，在△BND 中，BN ＝DN ＝56a ，BD ＝2a ，∴cos ∠BND ＝56a 2＋56a 2－2a 253a 2＝－15.14．如图，已知ABCD －A 1B 1C 1D 1是棱长为3的正方体，点E 在AA 1上，点F 在CC 1上，G 在BB 1上，且AE ＝FC 1＝B 1G ＝1，H 是B 1C 1的中点．(1)求证：E 、B 、F 、D 1四点共面； (2)求证：平面A 1GH ∥平面BED 1F . 证明：(1)连结FG .∵AE ＝B 1G ＝1，∴BG ＝A 1E ＝2， ∴BG 綊A 1E ，∴A 1G 綊BE . ∵C 1F 綊B 1G ，∴四边形C 1FGB 1是平行四边形． ∴FG 綊C 1B 1綊D 1A 1，∴四边形A 1GFD 1是平行四边形． ∴A 1G 綊D 1F ，∴D 1F 綊EB ， 故E 、B 、F 、D 1四点共面．(2)∵H 是B 1C 1的中点，∴B 1H ＝32.又B 1G ＝1，∴B 1G B 1H ＝32.又FC BC ＝23，且∠FCB ＝∠GB 1H ＝90°， ∴△B 1HG ∽△CBF ，∴∠B 1GH ＝∠CFB ＝∠FBG ， ∴HG ∥FB .又由(1)知A 1G ∥BE ，且HG ∩A 1G ＝G ， FB ∩BE ＝B ，∴平面A 1GH ∥平面BED 1F .15．在三棱锥P －ABC 中，P A ⊥面ABC ，△ABC 为正三角形，D 、E 分别为BC 、AC 的中点，设AB ＝P A ＝2.(1)求证：平面PBE ⊥平面P AC ；(2)如何在BC 上找一点F ，使AD ∥平面PEF ，请说明理由； (3)对于(2)中的点F ，求三棱锥B －PEF 的体积． 解析：(1)证明：∵P A ⊥面ABC ，BE ⊂面ABC ， ∴P A ⊥BE .∵△ABC 是正三角形，E 为AC 的中点， ∴BE ⊥AC ，又P A 与AC 相交， ∴BE ⊥平面P AC ，∴平面PBE ⊥平面P AC .(2)解：取DC 的中点F ，则点F 即为所求． ∵E ，F 分别是AC ，DC 的中点， ∴EF ∥AD ，又AD ⊄平面PEF ，EF ⊂平面PEF ， ∴AD ∥平面PEF .(3)解：V B －PEF ＝V P －BEF ＝13S △BEF ·P A ＝13×12×32×32×2＝34.16．(2009·天津，19)如图所示，在五面体ABCDEF 中，F A ⊥平面ABCD ，AD ∥BC ∥FE ，AB ⊥AD ，M 为CE 的中点，AF ＝AB ＝BC ＝FE ＝12AD .(1)求异面直线BF 与DE 所成的角的大小； (2)求证：平面AMD ⊥平面CDE ； (3)求二面角A －CD －E 的余弦值．解答：(1)解：由题设知，BF ∥CE ，所以∠CED (或其补角)为异面直线BF 与DE 所成的角．设P 为AD 的中点，连结EP ，PC .因为FE 綊AP ，所以F A 綊EP .同理，AB 綊PC .又F A ⊥平面ABCD ，所以EP ⊥平面ABCD .而PC ，AD 都在平面ABCD 内，故EP ⊥PC ，EP ⊥AD .由AB ⊥AD ，可得PC ⊥AD .设F A ＝a ，则EP ＝PC ＝PD ＝a ，CD ＝DE ＝EC ＝2a .故∠CED ＝60°.所以异面直线BF 与DE 所成的角的大小为60°.(2)证明：因为DC ＝DE 且M 为CE 的中点，所以DM ⊥CE .连结MP ，则MP ⊥CE .又MP ∩DM ＝M ，故CE ⊥平面AMD .而CE ⊂平面CDE ，所以平面AMD ⊥平面CDE .(3)设Q 为CD 的中点，连结PQ ，EQ .因为CE ＝DE ，所以EQ ⊥CD .因为PC ＝PD ，所以PQ ⊥CD ，故∠EQP 为二面角A －CD －E 的平面角．由(1)可得，EP ⊥PQ ，EQ ＝62a ，PQ ＝22a .于是在Rt △EPQ 中，cos ∠EQP ＝PQ EQ ＝33.所以二面角A －CD －E 的余弦值为33.13．(2009·重庆)如图所示，四棱锥P －ABCD 中，AB ⊥AD ，AD ⊥DC ，P A ⊥底面ABCD ，P A ＝AD ＝DC ＝12AB ＝1，M 为PC 的中点，N 点在AB 上且AN ＝13NB .(1)求证：MN ∥平面P AD ；(2)求直线MN 与平面PCB 所成的角．解析：(1)证明：过点M 作ME ∥CD 交PD 于E 点，连结AE .∵AN ＝13NB ，∴AN ＝14AB ＝12DC ＝EM .又EM ∥DC ∥AB ，∴EM 綊AN ， ∴AEMN 为平行四边形，∴MN ∥AE ，∴MN ∥平面P AD .(2)解：过N 点作NQ ∥AP 交BP 于点Q ，NF ⊥CB 于点F . 连结QF ，过N 点作NH ⊥QF 于H ，连结MH ， 易知QN ⊥面ABCD ，∴QN ⊥BC ，而NF ⊥BC ， ∴BC ⊥面QNF ，∵BC ⊥NH ，而NH ⊥QF ，∴NH ⊥平面PBC ，∴∠NMH 为直线MN 与平面PCB 所成的角．通过计算可得MN ＝AE ＝22，QN ＝34，NF ＝342，∴NH ＝QN ·NF QF ＝ON ·NF QN 2＋NF 2＝64，∴sin ∠NMH ＝NH MN ＝32，∴∠NMH ＝60°，∴直线MN 与平面PCB 所成的角为60°. 14．(2009·广西柳州三模)如图所示，已知直平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AD ⊥BD ，AD ＝BD ＝a ，E 是CC 1的中点，A 1D ⊥BE .(1)求证：A 1D ⊥平面BDE ；(2)求二面角B －DE －C 的大小．解析：(1)证明：在直平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中， ∵AA 1⊥平面ABCD ，∴AA 1⊥BD . 又∵BD ⊥AD ，∴BD ⊥平面ADD 1A 1，即BD ⊥A 1D . 又∵A 1D ⊥BE 且BE ∩BD ＝B ， ∴A 1D ⊥平面BDE .(2)解：如图，连B 1C ，则B 1C ⊥BE ， 易证Rt △BCE ∽Rt △B 1BC ，∴CE BC ＝BC B 1B，又∵E 为CC 1中点， ∴BC 2＝12BB 21.BB 1＝2BC ＝2a .取CD 中点M ，连结BM ，则BM ⊥平面CC 1D 1C ， 作MN ⊥DE 于N ，连NB ，由三垂线定理知：BN ⊥DE ，则∠BNM 是二面角B －DE －C 的平面角．在Rt △BDC 中，BM ＝BD ·BC DC ＝22a ，Rt △CED 中，易求得MN ＝1010a ，Rt △BMN 中，tan ∠BNM ＝BMMN＝5，则二面角B －DE －C 的大小为arctan 5.15．如图，已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 为AB 的中点．(1)求直线B 1C 与DE 所成的角的余弦值； (2)求证：平面EB 1D ⊥平面B 1CD ； (3)求二面角E －B 1C －D 的余弦值．解析：(1)连结A 1D ，则由A 1D ∥B 1C 知，B 1C 与DE 所成的角即为A 1D 与DE 所成的角．连结A 1E ，由正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1，可设其棱长为a ，则A 1D ＝2a ，A 1E ＝DE ＝52a ，∴cos ∠A 1DE＝A 1D 2＋DE 2－A 1E 22·A 1D ·DE ＝105.∴直线B 1C 与DE 所成角的余弦值是105. (2)证明取B 1C 的中点F ，B 1D 的中点G ，连结BF ，EG ，GF . ∵CD ⊥平面BCC 1B 1，且BF ⊂平面BCC 1B 1，∴DC ⊥BF . 又∵BF ⊥B 1C ，CD ∩B 1C ＝C ， ∴BF ⊥平面B 1CD .又∵GF 綊12CD ，BE 綊12CD ，∴GF 綊BE ，∴四边形BFGE 是平行四边形， ∴BF ∥GE ，∴GE ⊥平面B 1CD . ∵GE ⊂平面EB 1D ，∴平面EB 1D ⊥平面B 1CD . (3)连结EF .∵CD ⊥B 1C ，GF ∥CD ，∴GF ⊥B 1C . 又∵GE ⊥平面B 1CD ，∴EF ⊥B 1C ，∴∠EFG 是二面角E －B 1C －D 的平面角． 设正方体的棱长为a ，则在△EFG 中，GF ＝12a ，EF ＝32a ，∴cos ∠EFG ＝FG EF ＝33，∴二面角E －B 1C －D 的余弦值为33.16．(2009·全国Ⅱ，18)如图所示，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ⊥AC ，D 、E 分别为AA 1、B 1C 的中点，DE ⊥平面BCC 1.(1)求证：AB ＝AC ；(2)设二面角A －BD －C 为60°，求B 1C 与平面BCD 所成的角的大小． 解析：(1)证明：取BC 中点F ，连结EF ，则EF 綊12B 1B ，从而EF 綊DA .连结AF ，则ADEF 为平行四边形，从而AF ∥DE .又DE ⊥平面BCC 1，故AF ⊥平面BCC 1，从而AF ⊥BC ，即AF 为BC 的垂直平分线，所以AB ＝AC .(2)解：作AG ⊥BD ，垂足为G ，连结CG .由三垂线定理知CG ⊥BD ，故∠AGC 为二面角A －BD －C 的平面角．由题设知，∠AGC ＝60°.设AC ＝2，则AG ＝23.又AB ＝2，BC ＝22，故AF ＝ 2.由AB ·AD ＝AG ·BD 得2AD ＝23·AD 2＋22，解得AD ＝2，故AD ＝AF .又AD ⊥AF ，所以四边形ADEF 为正方形．因为BC ⊥AF ，BC ⊥AD ，AF ∩AD ＝A ，故BC ⊥平面DEF ，因此平面BCD ⊥平面DEF . 连结AE 、DF ，设AE ∩DF ＝H ，则EH ⊥DF ，EH ⊥平面BCD .连结CH ，则∠ECH 为B 1C 与平面BCD 所成的角．因ADEF 为正方形，AD ＝2，故EH ＝1，又EC ＝12B 1C ＝2，所以∠ECH ＝30°，即B 1C 与平面BCD 所成的角为30°.13．在正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，底面边长为22，侧棱长为4，E 、F 分别为棱AB 、BC 的中点．(1)求证：平面B 1EF ⊥平面BDD 1B 1； (2)求点D 1到平面B 1EF 的距离d .分析：(1)可先证EF ⊥平面BDD 1B 1.(2)用几何法或等积法求距离时，可由B 1D 1∥BD ，将点进行转移：D 1点到平面B 1EF 的距离是B 点到它的距离的4倍，先求B 点到平面B 1EF 的距离即可．解答：(1)证明：⎭⎪⎬⎪⎫EF ⊥BD EF ⊥B 1B ⇒EF ⊥平面BDD 1B 1⇒平面B 1EF ⊥平面BDD 1B 1.(2)解：解法一：连结EF 交BD 于G 点． ∵B 1D 1＝4BG ，且B 1D 1∥BG ，∴D 1点到平面B 1EF 的距离是B 点到它的距离的4倍． 利用等积法可求．由题意可知，EF ＝12AC ＝2，B 1G ＝17.S △B 1EF ＝12EF ·B 1G ＝12×2×17＝17，S △BEF ＝12BE ·BF ＝12×2×2＝1.∵VB －B 1EF ＝VB 1－BEF ，设B 到面B 1EF 的距离为h 1，则13×17×h 1＝13×1×4，∴h 1＝41717.∴点D 1到平面B 1EF 的距离为h ＝4h 1＝161717.解法二：如图，在正方形BDD 1B 1的边BD 上取一点G ，使BG ＝14BD ，连结B 1G ，过点D 1作D 1H ⊥B 1G 于H ，则D 1H 即为所求距离．可求得D 1H ＝161717(直接法)．14．如图直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱CC 1＝2，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝2，M 是棱BC 的中点，N 是CC 1中点．求：(1)二面角B 1－AN －M 的大小； (2)C 1到平面AMN 的距离． 解析：(1)∵∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝2，M 是棱BC 的中点， ∴AM ⊥BC ，BC ＝2，AM ＝1. ∴AM ⊥平面BCC 1B 1.∴平面AMN ⊥平面BCC 1B 1.作B 1H ⊥MN 于H ，HR ⊥AN 于R ，连结B 1R ， ∴B 1H ⊥平面AMN .又由三垂线定理知，B 1R ⊥AN .∴∠B 1RH 是二面角B 1－AN －M 的平面角． 由已知得AN ＝3，MN ＝2，B 1M ＝5＝B 1N ，则B 1H ＝322，又Rt △AMN ∽Rt △HRN ，RH AM ＝HN AN ，∴RH ＝66.∴B 1R ＝143，∴cos ∠B 1RH ＝RH B 1R ＝714.∴二面角B 1－AN －M 的大小为arccos 714.(2)∵N 是CC 1中点，∴C 1到平面AMN 的距离等于C 到平面AMN 的距离． 设C 到平面AMN 的距离为h ， 由V C －AMN ＝V N －AMC 得13×12·MN ·h ＝13×12AM ·MC . ∴h ＝22.15．(2009·北京海淀一模)如图所示，四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为直角梯形，且AB ∥CD ，∠BAD ＝90°，P A ＝AD ＝DC ＝2，AB ＝4.(1)求证：BC ⊥PC ；(2)求PB 与平面P AC 所成的角的正弦值； (3)求点A 到平面PBC 的距离．解析：(1)证明：如图，在直角梯形ABCD 中， ∵AB ∥CD ，∠BAD ＝90°，AD ＝DC ＝2， ∴∠ADC ＝90°，且AC ＝2 2. 取AB 的中点E ，连结CE ，由题意可知，四边形ABCD 为正方形， ∴AE ＝CE ＝2.又∵BE ＝12AB ＝2.∴CE ＝12AB ，∴△ABC 为等腰直角三角形， ∴AC ⊥BC .又∵P A ⊥平面ABCD ，且AC 为PC 在平面ABCD 内的射影， BC ⊂平面ABCD ，由三垂线定理得， BC ⊥PC .(2)由(1)可知，BC ⊥PC ，BC ⊥AC ，PC ∩AC ＝C ， ∴BC ⊥平面P AC .PC 是PB 在平面P AC 内的射影，∴∠CPB 是PB 与平面P AC 所成的角．又CB ＝22， PB 2＝P A 2＋AB 2＝20，PB ＝25，∴sin ∠CPB ＝BC PB ＝105，即PB 与平面P AC 所成角的正弦值为105.(3)由(2)可知，BC ⊥平面P AC ，BC ⊂平面PBC ， ∴平面PBC ⊥平面P AC .过A 点在平面P AC 内作AF ⊥PC 于F ， ∴AF ⊥平面PBC ，∴AF 的长即为点A 到平面PBC 的距离．在直角三角形P AC 中， P A ＝2，AC ＝22，PC ＝23，∴AF ＝263.即点A 到平面PBC 的距离为263.16．(2009·吉林长春一模)如图所示，四棱锥P －ABCD 的底面是正方形，P A ⊥底面ABCD ，P A ＝2，∠PDA ＝45°，点E 、F 分别为棱AB 、PD 的中点．(1)求证：AF ∥平面PCE ；(2)求二面角E －PD －C 的大小； (3)求点A 到平面PCE 的距离．解析：(1)证明：如图取PC 的中点G ，连结FG 、EG ， ∴FG 为△PCD 的中位线，∴FG ＝12CD 且FG ∥CD .又∵底面四边形ABCD 是正方形，E 为棱AB 的中点，∴AE ＝12CD 且AE ∥CD ，∴AE ＝FG 且AE ∥FG .∴四边形AEGF 是平行四边形， ∴AF ∥EG .又EG ⊂平面PCE ，AF ⊄平面PCE ， ∴AF ∥平面PCE .(2)解：∵P A ⊥底面ABCD ， ∴P A ⊥AD ，P A ⊥CD . 又AD ⊥CD ， P A ∩AD ＝A ， ∴CD ⊥平面P AD . 又∵AF ⊂平面P AD ， ∴CD ⊥AF .又P A ＝2，∠PDA ＝45°， ∴P A ＝AD ＝2.∵F 是PD 的中点，∴AF ⊥PD . 又∵CD ∩PD ＝D ， ∴AF ⊥平面PCD .∵AF ∥EG ，∴EG ⊥平面PCD . 又GF ⊥PD ，连结EF ，则∠GFE 是二面角E －PD －C 的平面角． 在Rt △EGF 中，EG ＝AF ＝2，GF ＝1，∴tan ∠GFE ＝GEGF＝ 2.∴二面角E －PD －C 的大小为arctan 2. (3)设A 到平面PCE 的距离为h ，由V A －PCE ＝V P －ACE ，即13×12PC ·EG ·h ＝13P A ·12AE ·CB ，得h ＝63，∴点A 到平面PCE 的距离为63.13．(2009·陕西，18)如图所示，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝1，AC ＝AA 1＝3，∠ABC ＝60°.(1)求证：AB ⊥A 1C ；(2)求二面角A －A 1C －B 的大小．解析：(1)证明：∵三棱柱ABC －A 1B 1C 1为直三棱柱， ∴AB ⊥AA 1，在△ABC 中，AB ＝1，AC ＝3，∠ABC ＝60°，由正弦定理得∠ACB ＝30°， ∴∠BAC ＝90°，即AB ⊥AC .∴AB ⊥平面ACC 1A 1，又A 1C ⊂平面ACC 1A 1，∴AB ⊥A 1C .(2)解：如图，作AD ⊥A 1C 交A 1C 于D 点，连结BD ，由三垂线定理知BD ⊥A 1C ，∴∠ADB 为二面角A －A 1C －B 的平面角．在Rt △AA 1C 中，AD ＝AA 1·AC A 1C ＝3×36＝62，在Rt △BAD 中，tan ∠ADB ＝AB AD ＝63， ∴∠ADB ＝arctan63，即二面角A －A 1C －B 的大小为arctan 63. 14．如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1的底面是边长为a 的正三角形，侧面ABB 1A 1是菱形且垂直于底面，∠A 1AB ＝60°，M 是A 1B 1的中点．(1)求证：BM ⊥AC ；(2)求二面角B －B 1C 1－A 1的正切值； (3)求三棱锥M －A 1CB 的体积．解析：(1)证明：∵ABB 1A 1是菱形，∠A 1AB ＝60°⇒△A 1B 1B 是正三角形， ⎭⎪⎬⎪⎫∵M 是A 1B 1的中点，∴BM ⊥A 1B 又∵平面AA 1B 1B ⊥平面A 1B 1C 1 ⇒BM ⊥平面A 1B 1C 1. ⎭⎪⎬⎪⎫∴BM ⊥A 1C 1又∵AC ∥A 1C 1⇒BM ⊥AC .⎭⎪⎬⎪⎫(2)过M 作ME ⊥B 1C 1且交于点E ，∵BM ⊥平面A 1B 1C 1，⇒BE ⊥B 1C 1，∴∠BEM 为所求二面角的平面角， △A 1B 1C 1中，ME ＝MB 1·sin60°＝34a ，Rt △BMB 1中，MB ＝MB 1·tan60°＝32a ， ∴tan ∠BEM ＝MBME＝2，∴所求二面角的正切值是2.(3)VM －A 1CB ＝12VB 1－A 1CB ＝12VA －A 1CB ＝12VA 1－ABC ＝12×13×34a 2·32a ＝116a 3.15．(2009·广东汕头一模)如图所示，已知△BCD 中，∠BCD ＝90°，BC ＝CD ＝1，AB ⊥平面BCD ，∠ADB ＝60°，E 、F 分别是AC 、AD 上的动点，且AE AC ＝AFAD＝λ(0<λ<1)．(1)求证：不论λ为何值，总有EF ⊥平面ABC ；(2)若λ＝12，求三棱锥A －BEF 的体积．解析：(1)证明：∵AB ⊥平面BCD ， ∴AB ⊥CD .又∵在△BCD 中，∠BCD ＝90°， ∴BC ⊥CD .∵又AB ∩BC ＝B ，∴CD ⊥平面ABC .又∵在△ACD 中，E 、F 分别是AC 、AD 上的动点，且AE AC ＝AFAD＝λ(0<λ<1)，∴不论λ为何值，都有EF ∥CD ， ∴EF ⊥平面ABC .(2)在△BCD 中，∠BCD ＝90°，BC ＝CD ＝1， ∴BD ＝ 2.又∵AB ⊥平面BCD ， ∴AB ⊥BC ，AB ⊥BD .又∵在Rt △ABD 中，∠ADB ＝60°， ∴AB ＝BD ·tan60°＝6， 由(1)知EF ⊥平面ABC ， ∴V A －BEF ＝V F －ABE ＝13S △ABE ·EF ＝13×12S △ABC ·EF ＝16×12×1×6×12＝624. 故三棱锥A －BEF 的体积是624.16．在四棱锥P －ABCD 中，侧面PDC 是边长为2的正三角形，且与底面垂直，底面ABCD 是面积为23的菱形，∠ADC 为菱形的锐角．(1)求证：P A ⊥CD ；(2)求二面角P －AB －D 的大小； (3)求棱锥P －ABCD 的侧面积；解析：(1)证明：如图所示，取CD 的中点E ，由PE ⊥CD ，得PE ⊥平面ABCD ，连结AC 、AE .∵AD ·CD ·sin ∠ADC ＝23， AD ＝CD ＝2，∴sin ∠ADC ＝32，即∠ADC ＝60°，∴△ADC 为正三角形，∴CD ⊥AE . ∴CD ⊥P A (三垂线定理)．(2)解：∵AB ∥CD ，∴AB ⊥P A ，AB ⊥AE ， ∴∠P AE 为二面角P －AB －D 的平面角． 在Rt △PEA 中，PE ＝AE ，∴∠P AE ＝45°. 即二面角P －AB －D 的大小为45°. (3)分别计算各侧面的面积： ∵PD ＝DA ＝2，P A ＝6，∴cos ∠PDA ＝14，sin ∠PDA ＝154.S △PCD ＝3，S △P AB ＝12AB ·P A ＝12·2·2·3＝6，S △P AD ＝S △PBC ＝12PD ·DA ·sin ∠PDA ＝152.∴S P －ABCD 侧＝3＋6＋15.13．把地球当作半径为R 的球，地球上A 、B 两地都在北纬45°，A 、B 两点的球面距离是π3R ，A 点在东经20°，求B 点的位置． 解析：如图，求B 点的位置即求B 点的经度，设B 点在东经α，∵A 、B 两点的球面距离是π3R .∴∠AOB ＝π3，因此三角形AOB 是等边三角形，∴AB ＝R ，又∵∠AO 1B ＝α－20°(经度差)问题转化为在△AO 1B 中借助AO 1＝BO 1＝AO cos45°＝22R ，求出∠AO 1B ＝90°，则α＝110°，同理：B 点也可在西经70°，即B 点在北纬45°东经110°或西经70°.14．在球心同侧有相距9cm 的两个平行截面，它们的面积分别为49πcm 2和400πcm 2，求球的表面积和体积．解析：如图，两平行截面被球大圆所在平面截得的交线分别为AO 1、BO 2，则AO 1∥BO 2. 若O 1、O 2分别为两截面圆的圆心，则由等腰三角形性质易知OO 1⊥AO 1，OO 2⊥BO 2， 设球半径为R ，∵πO 2B 2＝49π， ∴O 2B ＝7cm ，同理O 1A ＝20cm. 设OO 1＝x cm ，则OO 2＝(x ＋9)cm. 在Rt △OO 1A 中，R 2＝x 2＋202， 在Rt △OO 2B 中，R 2＝(x ＋9)2＋72， ∴x 2＋202＝72＋(x ＋9)2，解得x ＝15cm. ∴R ＝25cm ，∴S 球＝2500πcm 2，V 球＝43πR 3＝625003πcm 3.15．设A 、B 、C 是半径为1的球面上的三点，B 、C 两点间的球面距离为π3，点A 与B 、C 两点间的球面距离均为π2，O 为球心，求：(1)∠AOB 、∠BOC 的大小； (2)球心O 到截面ABC 的距离．解析：(1)如图，因为球O 的半径为1，B 、C 两点间的球面距离为π3，点A 与B 、C 两点间的球面距离均为π2，所以∠BOC ＝π3，∠AOB ＝∠AOC ＝π2， (2)因为BC ＝1，AC ＝AB ＝2，所以由余弦定理得cos ∠BAC ＝34，sin ∠BAC ＝74，设截面圆的圆心为O 1，连结AO 1，则截面圆的半径r ＝AO 1，由正弦定理得r ＝BC 2sin ∠BAC＝277，所以OO 1＝OA 2－r 2＝217.16．如图四棱锥A －BCDE 中，AD ⊥底面BCDE ，AC ⊥BC ，AE ⊥BE . (1)求证：A 、B 、C 、D 、E 五点共球； (2)若∠CBE ＝90°，CE ＝3，AD ＝1，求B 、D 两点的球面距离． 解析：(1)证明：取AB 的中点P ，连结PE ，PC ，PD ，由题设条件知△AEB 、△ADB 、△ABC 都是直角三角形．故PE ＝PD ＝PC ＝12AB ＝P A ＝PB .所以A 、B 、C 、D 、E 五点在同一球面上． (2)解：由题意知四边形BCDE 为矩形， 所以BD ＝CE ＝3，在Rt △ADB 中，AB ＝2，AD ＝1，∴∠DPB ＝120°，D 、B 的球面距离为23π.17．(本小题满分10分)如图，四棱锥S —ABCD 的底面是正方形，SA ⊥底面ABCD ，E 是SC 上一点．(1)求证：平面EBD ⊥平面SAC ；(2)假设SA ＝4，AB ＝2，求点A 到平面SBD 的距离；解析：(1)∵正方形ABCD ，∴BD ⊥AC ，又∵SA ⊥平面ABCD ，∴SA ⊥BD ，则BD ⊥平面SAC ，又BD ⊂平面BED ，∴平面BED ⊥平面SAC .(2)设AC ∩BD ＝O ，由三垂线定理得BD ⊥SO .AO ＝12AC ＝122AB ＝12·2·2＝2，SA ＝4，则SO ＝SA 2＋AO 2＝16＋2＝32，S △BSD ＝12BD ·SO ＝12·22·32＝6.设A 到面BSD 的距离为h ，则V S －ABD ＝V A －BSD ，即13S △ABD ·SA ＝13S △BSD ·h ，解得h ＝43，即点A 到平面SBD 的距离为43. 18．(本小题满分12分)如图，正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ＝4，点E 在C 1C 上且C 1E ＝3EC .(1)证明A 1C ⊥平面BED ；(2)求二面角A 1－DE －B 的大小． 解析：依题设知AB ＝2，CE ＝1，(1)证明：连结AC 交BD 于点F ，则BD ⊥AC . 由三垂线定理知，BD ⊥A 1C .在平面A 1CA 内，连结EF 交A 1C 于点G ，由于AA 1FC ＝AC CE＝22，故Rt △A 1AC ∽Rt △FCE ，∠AA 1C ＝∠CFE ，∠CFE 与∠FCA 1互余． 于是A 1C ⊥EF .A 1C 与平面BED 内两条相交直线BD 、EF 都垂直． 所以A 1C ⊥平面BED .(2)作GH ⊥DE ，垂足为H ，连结A 1H . 由三垂线定理知A 1H ⊥DE ，故∠A 1HG 是二面角A 1－DE －B 的平面角． EF ＝CF 2＋CE 2＝3，CG ＝CE ×CF EF ＝23.EG ＝CE 2－CG 2＝33.EG EF ＝13，GH ＝13×EF ×FD DE ＝215. 又A 1C ＝AA 21＋AC 2＝26，A 1G ＝A 1C －CG ＝563， tan ∠A 1HG ＝A 1GHG＝5 5.所以二面角A 1－DE －B 的大小为arctan5 5.19．(本小题满分12分)如图，四棱锥S －ABCD 的底面是直角梯形，∠ABC ＝∠BCD ＝90°，AB ＝BC ＝SB ＝SC ＝2CD ＝2，侧面SBC ⊥底面ABCD .(1)由SA 的中点E 作底面的垂线EH ，试确定垂足H 的位置； (2)求二面角E －BC －A 的大小．解析：(1)作SO ⊥BC 于O ，则SO ⊂平面SBC ， 又面SBC ⊥底面ABCD ， 面SBC ∩面ABCD ＝BC ， ∴SO ⊥底面ABCD ①又SO ⊂平面SAO ，∴面SAO ⊥底面ABCD ， 作EH ⊥AO ，∴EH ⊥底面ABCD ② 即H 为垂足，由①②知，EH ∥SO ， 又E 为SA 的中点，∴H 是AO 的中点． (2)过H 作HF ⊥BC 于F ，连结EF ， 由(1)知EH ⊥平面ABCD ，∴EH ⊥BC ，又EH ∩HF ＝H ，∴BC ⊥平面EFH ，∴BC ⊥EF ，∴∠HFE 为面EBC 和底面ABCD 所成二面角的平面角． 在等边三角形SBC 中，∵SO ⊥BC ， ∴O 为BC 中点，又BC ＝2.∴SO ＝22－12＝3，EH ＝12SO ＝32，又HF ＝12AB ＝1，∴在Rt △EHF 中，tan ∠HFE ＝EH HF ＝321＝32，∴∠HFE ＝arctan 32.即二面角E －BC －A 的大小为arctan 32.20．(本小题满分12分)(2010·唐山市高三摸底考试)如图，在正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝1，AA 1＝2，N 是A 1D 的中点，M ∈BB 1，异面直线MN 与A 1A 所成的角为90°.(1)求证：点M 是BB 1的中点；(2)求直线MN 与平面ADD 1A 1所成角的大小；(3)求二面角A －MN －A 1的大小．解析：(1)取AA 1的中点P ，连结PM ，PN .∵N 是A 1D 的中点，∴AA 1⊥PN ，又∵AA 1⊥MN ，MN ∩PN ＝N ， ∴AA 1⊥面PMN .∵PM ⊂面PMN ，∴AA 1⊥PM ，∴PM ∥AB ， ∴点M 是BB 1的中点．(2)由(1)知∠PNM 即为MN 与平面ADD 1A 1所成的角．在Rt △PMN 中，易知PM ＝1，PN ＝12，∴tan ∠PNM ＝PMPN＝2，∠PNM ＝arctan2.故MN 与平面ADD 1A 1所成的角为arctan2.(3)∵N 是A 1D 的中点，M 是BB 1的中点，∴A 1N ＝AN ，A 1M ＝AM ， 又MN 为公共边，∴△A 1MN ≌△AMN .在△AMN 中，作AG ⊥MN 交MN 于G ，连结A 1G ，则∠A 1GA 即为二面角A －MN －A 1的平面角．在△A 1GA 中，AA 1＝2，A 1G ＝GA ＝305，∴cos ∠A 1GA ＝A 1G 2＋GA 2－AA 212A 1G ·GA ＝－23，∴∠A 1GA ＝arccos(－23)，故二面角A －MN －A 1的大小为arccos(－23)．21．(2009·安徽，18)(本小题满分12分)如图所示，四棱锥F －ABCD 的底面ABCD 是菱形，其对角线AC ＝2，BD ＝ 2.AE 、CF 都与平面ABCD 垂直，AE ＝1，CF ＝2.(1)求二面角B －AF －D 的大小；(2)求四棱锥E －ABCD 与四棱锥F －ABCD 公共部分的体积． 命题意图：本题考查空间位置关系，二面角平面角的作法以及空间几何体的体积计算等知识．考查利用综合法或向量法解决立体几何问题的能力．解答：(1)解：连接AC 、BD 交于菱形的中心O ，过O 作OG ⊥AF ，G 为垂足，连接BG 、DG .由BD ⊥AC ，BD ⊥CF 得BD ⊥平面ACF ，故BD ⊥AF .于是AF ⊥平面BGD ，所以BG ⊥AF ，DG ⊥AF ，∠BGD 为二面角B －AF －D 的平面角．由FC ⊥AC ，FC ＝AC ＝2，得∠F AC ＝π4，OG ＝22.由OB ⊥OG ，OB ＝OD ＝22，得∠BGD ＝2∠BGO ＝π2.(2)解：连接EB 、EC 、ED ，设直线AF 与直线CE 相交于点H ，则四棱锥E －ABCD 与四棱锥F －ABCD 的公共部分为四棱锥H －ABCD .过H 作HP ⊥平面ABCD ，P 为垂足． 因为EA ⊥平面ABCD ，FC ⊥平面ABCD ，所以平面ACEF ⊥平面ABCD ，从而P ∈AC ，HP ⊥AC . 由HP CF ＋HP AE ＝AP AC ＋PC AC ＝1，得HP ＝23. 又因为S 菱形ABCD ＝12AC ·BD ＝2，故四棱锥H －ABCD 的体积V ＝13S 菱形ABCD ·HP ＝229.22．(2009·深圳调考一)(本小题满分12分)如图所示，AB 为圆O 的直径，点E 、F 在圆O 上，AB ∥EF ，矩形ABCD 所在平面和圆O 所在的平面互相垂直．已知AB ＝2，EF ＝1.(1)求证：平面DAF ⊥平面CBF ；(2)求直线AB 与平面CBF 所成角的大小；(3)当AD 的长为何值时，二面角D －FE －B 的大小为60°？ 解析：(1)证明：∵平面ABCD ⊥平面ABEF ，CB ⊥AB ， 平面ABCD ∩平面ABEF ＝AB ， ∴CB ⊥平面ABEF .∵AF ⊂平面ABEF ，∴AF ⊥CB ， 又∵AB 为圆O 的直径，∴AF ⊥BF ， ∴AF ⊥平面CBF .∵AF ⊂平面DAF ，∴平面DAF ⊥平面CBF . (2)解：根据(1)的证明，有AF ⊥平面CBF ， ∴FB 为AB 在平面CBF 上的射影，因此，∠ABF 为直线AB 与平面CBF 所成的角． ∵AB ∥EF ，∴四边形ABEF 为等腰梯形， 过点F 作FH ⊥AB ，交AB 于H .AB ＝2，EF ＝1，则AH ＝AB －EF 2＝12.在Rt △AFB 中，根据射影定理AF 2＝AH ·AB ，得AF ＝1，sin ∠ABF ＝AF AB ＝12，∴∠ABF ＝30°，∴直线AB 与平面CBF 所成角的大小为30°.(3)解：过点A 作AM ⊥EF ，交EF 的延长线于点M ，连结DM . 根据(1)的证明，DA ⊥平面ABEF ，则DM ⊥EF ， ∴∠DMA 为二面角D －FE －B 的平面角， ∠DMA ＝60°.在Rt △AFH 中，∵AH ＝12，AF ＝1，∴FH ＝32. 又∵四边形AMFH 为矩形，∴MA ＝FH ＝32. ∵AD ＝MA ·tan ∠DMA ＝32·3＝32. 因此，当AD 的长为32时，二面角D －FE －B 的大小为60°.。

高中数学必修二《立体几何》练习题

高中数学必修二《立体几何》练习题

立体几何一、选择题1、（2016年北京高考）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（ ）A.B. C. D. 【答案】A2、（2016年山东高考）有一个半球和四棱锥组成的几何体，其三 视图如右图所示，则该几何体的体积为（A ） （B ） （C ） （D ） 【答案】C3、（2016年全国I高考）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相1613121π32+31π32+31π62+31π62+1垂直的半径.若该几何体的体积是28π3，则它的表面积是（A ）17π （B ）18π （C ）20π （D ）28π【答案】A4、（2016年全国I 高考）平面过正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的顶点A ，//平面CB 1D 1，平面ABCD =m ，平面ABB 1 A 1=n ，则m ，n 所成角的正弦值为（A ） （B ） （C ） （D ） 【答案】A5、（2016年全国II 高考）右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（A ）20π （B ）24π （C ）28π （D ）32π 【答案】C6、（2016年全国III 高考）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实现画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为α-ααI αI22313（A ）（B ）（C ）90 （D ）81 【答案】B7、（2016年全国III 高考）在封闭的直三棱柱内有一个体积为V 的球，若，，，，则V 的最大值是（A ）4π （B ） （C ）6π （D ）【答案】B二、填空题1、（2016年上海高考）如图，在正四棱柱中，底面的边长为3，与底面所成角的大小为，则该正四棱柱的高等于____________【答案】2、（2016年四川高考）已知三棱锥的四个面都是腰长为2的等腰三角形，该三棱锥的正视图如图所示，则该三棱锥的体积是__________．18+54+111ABC A B C -AB BC ⊥6AB =8BC =13AA =92π323π1111D C B A ABCD -ABCD 1BD 32arctan3、（2016年天津高考）已知一个四棱锥的底面是平行四边形，该四棱锥的三视图如图所示（单位：m），则该四棱锥的体积为_______m3.【答案】24、（2016年全国II高考）是两个平面，是两条直线，有下列四个命题：（1）如果，那么.[（2）如果，那么.（3）如果，那么.（4）如果，那么与所成的角和与所成的角相等.其中正确的命题有．.(填写所有正确命题的编号）【答案】②③④5、（2016年浙江高考）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的表面积是 cm2，体积是 cm3.,αβ,m n,,//m n m nαβ⊥⊥αβ⊥,//m nαα⊥m n⊥//,mαβα⊂//mβ//,//m nαβmαnβ【答案】 6、（2016年浙江高考）如图，在△ABC 中，AB =BC =2，∠ABC =120°.若平面ABC 外的点P 和线段AC 上的点D ，满足PD =DA ，PB =BA ，则四面体PBCD 的体积的最大值是 .【答案】三、解答题1、（2016年北京高考） 如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，，（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值；（3）在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，说明理由. 【解】⑴∵面面 面面723212P ABCD -PAD ⊥ABCD PA PD ⊥PA PD =AB AD ⊥1AB =2AD =AC CD ==PD ⊥PAB PB PCD PA M //BM PCD AMAP∵，面∴面∵面∴又∴面⑵取中点为，连结，∵∴∵∴以为原点，如图建系易知，，，，则，，，设为面的法向量，令，则与面夹角有⑶假设存在点使得面设，由（2）知，，，，有∴∵面，为的法向量∴即∴∴综上，存在点，即当时，点即为所求.' 2、（2016年山东高考）在如图所示的圆台中，AC是下底面圆O的直径，EF是上底面圆O的直径，FB 是圆台的一条母线.（I ）已知G ,H 分别为EC ，FB 的中点，求证：GH ∥平面ABC ； （II ）已知EF =FB =AC =，AB =BC .求二面角的余弦值.【解】(Ⅰ)连结，取的中点，连结， 因为，在上底面内，不在上底面内， 所以上底面，所以平面； 又因为，平面，平面，所以平面； 所以平面平面，由平面，所以平面． (Ⅱ) 连结，以为原点，分别以为轴， 建立空间直角坐标系．，，于是有，，，， 可得平面中的向量，, 于是得平面的一个法向量为， 又平面的一个法向量为， 设二面角为，12F BC A --FC FC M HM GM,GM//EF EF GM GM//GM//ABC MH//B C⊂BC ABC ⊄MH ABC MH//ABC GHM//ABC ⊂GH GHM GH//ABC OB B C AB = OB A ⊥∴O O O O OB,OA,'z y,x,BC AB ,32AC 21FB EF ==== 3)(22=--='FO BO BF O O )0,0,3A(2)0,0,3C(-2)0,3B(0,2)3,3F(0,FBC )3,(30,-=)0,,(3232=FBC )1,3,3(1-=n ABC )1,0,0(2=n A -BC -F θ B则． 二面角的余弦值为．3、（2016年上海高考）将边长为1的正方形（及其内部）绕的旋转一周形成圆柱，如图，长为，长为，其中与在平面的同侧。

高一数学必修二立体几何练习题含答案

高一数学必修二立体几何练习题含答案

一．选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的) 1、下列命题为真命题的是（ ）A. 平行于同一平面的两条直线平行；B.与某一平面成等角的两条直线平行；C. 垂直于同一平面的两条直线平行；D.垂直于同一直线的两条直线平行。

2、下列命题中错误的是：（ ）A. 如果α⊥β，那么α一定存在直线平行于平面β；B. 如果α⊥β，那么α所有直线都垂直于平面β；C. 如果平面α不垂直平面β，那么α一定不存在直线垂直于平面β；D. 如果α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝l,那么l ⊥γ.3、右图的正方体ABCD-A ’B ’C ’D ’中,异面直线AA ’与BC 所成的角是（ ） A. 300 B.450 C. 600 D. 9004、右图的正方体ABCD- A ’B ’C ’D ’中， 二面角D ’-AB-D 的大小是（ ） A. 300 B.450 C. 600 D. 900 5.在空间中，下列命题正确的是A.若三条直线两两相交，则这三条直线确定一个平面B.若直线m 与平面α的一条直线平行，则α//mC.若平面βα⊥，且l =βα ，则过α一点P 与l 垂直的直线垂直于平面βD.若直线a 与直线b 平行，且直线a l ⊥，则b l ⊥A BDA ’B ’D ’ CC ’ABD CE F6．设平面α∥平面β，A ，C ∈α，B ，D ∈β，直线AB 与CD 交于点S ，且点S 位于平面α，β之间，AS ＝8，BS ＝6，CS ＝12，则SD ＝（ ）A ．3B ．9C ．18D ．107．下图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是( )A ．9πB ．10πC ．11πD ．12π8. 正方体的切球和外接球的半径之比为（ ）A. 3B. 3C. 3D. 39．已知△ABC 是边长为a 2的正三角形，那么它的斜二侧所画直观图A B C 的面积为( )A.32a 2B.34a 2C.64a 2 D.6a 210．若正方体的棱长为2，则以该正方体各个面的中心为顶点的多面体的体积为( )A.26B.23C.33D.2311. 在空间四边形ABCD 中，AD=BC=2，E 、F 分别是AB 、CD 的中点，EF=2，求AD 与BC 所成角的大小．( ) A. 30B. 45 C.60οD. 9012.如图，在多面体ABCDEF 中，已知平面ABCD 是边长为3的正方形，//EF AB ,32EF =,且EF 与平面ABCD 的距离为2，则该多面体的体积为（ ）A92B 5C 6D 152二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上） 13． Rt ABC ∆中，3,4,5AB BC AC ===，将三角形绕直角边AB 旋转一周所成的几何体的体积为.14．一个圆台的母线长为5 cm ，两底面面积分别为4πcm 2 和25π cm 2.则圆台的体积 ________． 15. 三棱锥S-ABC 中SA平面ABC ，AB 丄BC,SA= 2,AB=B C =1，则三棱锥S-ABC 的外接球的表面积等于______.16．如图，在直角梯形ABCD 中，,,BC DC AE DC ⊥⊥M 、N 分别是AD 、BE 的中点，将三角形ADE 沿AE 折起。

必修2书本练习立体几何

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P81如图，四棱柱的六个面都是平行四边形，这个四棱柱可以由哪个平面图形按怎样的方向平移得到？2. 画一个三棱锥和一个四棱台.3•多面体至少有几个面？这个多面体是怎样的几何体?P101. 指出课本练习1几何体分别由哪些简单几何体构成.2•如图，将平行四边行ABCD绕AB边所在的直线旋转一周，由此形成的几何体是由哪些简单几何体构成的？3•充满气的车轮内胎可以通过什么图形旋转生成?P131画出下列各几何体的三视图.2. 画出下列各几何体的三视图.P221. _________________________________________________________ 用符号表示“点A在直线l上，l在平面〉夕卜” __________________________________________2. 下列叙述中，正确的是（ ）A 打 P Eot ,Q € w PQ € ac . 丁 AB uot ,C E AB,D E AB,「. CD £ aB 打 P ^a ,Q ^ P ,”•. a c 0 = PQ D 匸 AB u a , AB u B ，二口 c B = AB3. 为什么许多自行车后轮旁只安装一只撑脚？4•四条线段顺次首尾相接，所得的图形一定是平面图形吗？ 5•请指出下列说法是否正确，并说明理由 （1）空间3点确定一个平面（2）如果2平面有公共点，那么公共点就不止一个（3）因为平面型斜屋面不与地面相交，所以屋面所在平面与地面不相交。

P271.下列说法正确的有 ___________________ .（填上正确的序号） ①.过直线外一点可作无数条直线与已知直线成异面直线. ② .过直线外一点只有一条直线与已知直线垂 直. ③ .若 a//b , c_a ，贝U c_b . ④ .若 a _ c , b _ c ，贝U a//b .2•如图哪些直线与 AA 是异面直线且相互垂直 3•如果两条直线没有公共点，那么他们具有怎样 的位置关系4. 如果a,b 分别是长方体的两个相邻面的对角线，那么 1.如果三条直线两两相交，那么这三条直线是否共面？ 2四条线段首位顺次相连，所得图形一定是平面图形吗？3. 画“三个平面两两相交”的直观图4. 已知空间不共面的四点，过其中任意三点可确定一个平面，由这四个点能确定几个平面？ 5如果a,b 是异面直线，直线 c 与a,b 都相交，那么由这三条直线中的任意两条所确定的平 面共有多少个？6. 在体ABCD - AB J C J D J 中，过AD 与BB 1能否作长方体的截面？为什么?7. 如果AB,CD 是两条异面直线，那么 AC,BD 一定是异面直线吗？为什么？8.已知ABC^ - A|B 1C 1D 1是棱长为a 的正方体, （1 ）哪些棱所在直线与直线 DC 是异面直线? （2） 哪些棱所在直线与直线 EF 垂直？ （3） 直线C 1D 1与EF 的夹角是多少？a,b 具有怎样的位置关系?5•在两个相交的平面内各画一条直线，使它们（ 1）相交（2）平行（3）异面E ,F 分别是AA, AB 的中点.9已知ABCD-AB1GD1是棱长为a的正方体，E, F分别是AA, AB的中点，P34i .已知直线l , m , n 与平面爲，指出下列命题是否正确，并说明理由:EiF 分别是GD i ,GC 中点，求证EF//E 1F 110如图ABCD - AB i C i D i 中，求作面 AGM 与底面的交线P3ii .指出下列命题是否正确，并说明理由：(I )如果一条直线不在某个平面内，那么这条直线就与这个平面平行； (2) 过直线外一点有无数个平面与这条直线平行； (3) 过平面外一点有无数条直线与这个平面平行. 2 .已知直线a , b 与平面：•，下列命题正确的是( )A 若 a // :- , b 二：；，则 a // bB 、若 a // :- ,b // :•，贝U a // b3.如图，在长方体 AC i 的侧面和底面所在的平面中:(i )与直线 AB 平行的平面是(2) 与直线 AA i 平行的平面是 ___________________________ (3) 与直线AD 平行的平面是 ____________________________ 4.如图：一块矩形木板 ABCD 的一边AB 在平面〉内， 把这块矩形木板绕 AB 转动，在转动过程中， AB 的对边 CD 是否都和平面:平行？为什么？A i EFBD iBC(1) 若 l 丄•二，则l 与芒相交;4.如图，已知PA 丄：•，PB ± ■-,垂足分别为 A , B ，且〉n - =1 ,求证：丨丄平面APB .P35.BCA =90 , PC _平面ABC ，则在 ABCPAC 的边所在直线中: (1 )与PC 垂直的直线有： __________________________________ (2)与AP 垂直的直线有：___________________________________ 2.在正方体ABCD - AB .GU 中，直线AD ,与平面ABCD 所成的角是P 在平面 ABC 内的射影一定是△ ABC 的 () .外心 D .垂心 :-内与直线a 垂直的直线 ( ) C.是平面〉内的所有直线 D.不存在3.如果PA PB PC 两两垂直，那么A .重心B .内心 C5直线a 与平面〉不垂直，那么在平面A.只有一条B.有无数条1.如图,P36.1 如图，AB // .工，AC // BD , C 三：二，D 三：二，求证：AC = BD .2.： ［二CD, "； =EF, E Q F = AB, 求证：（1）四点E F 、G H 共面;(2) BD / 平面 EFGH AC / 平面 EFGH4.在三棱柱 ABC-AQG 中，BC , F ■ BQ i , EF//CQ ，点 M •侧面 AA ,B 1B ，点M ， E ， F 确定平面 ，试作出平面 与三棱柱 ABC —A ]B 1C 1表面的交线.A C3. E 、F 、G H 分别是空间四边形ABC 啲边AB BC CD DA 的中点,AB//-,求证：CD// EF .5.如图，在正方体ABCD - A1B1C1D!中，求证BD!丄AC .6四棱锥P 一ABCD中，ABCD是矩形，PA _平面ABCD .(1 )指出图中有哪些三角形是直角三角形，并说明理由；(2)若PA = AD =AB，试求PC与平面ABCD所成角的正切值.7如图，AB是圆0的直径，PA垂直于圆0所在平面, 求证：BC丄平面PAC .8已知，直线a〃平面：•，直线b _ ：•，求证：a丄b .9在三棱锥P-ABC中，顶点P在平面ABC内的射影是求证：PA = PB = PC .D i C iBC是圆上不同于A, B的任一点,B10•如图，在四棱锥 P — ABCDh M N 分别是AB PC 的中点，若 ABCD 是平行四边形，求证：MN 平面PADP401 •判断下列命题是否正确，并说明理由： (1)若平面a 内的两条直线分别平行于平面 3，则平面a //平面3 ； (2) 若平面a 内有无数条直线平行于平面 3，则平面a //平面3 ；(3 )平行于同一条直线的两个平面平行；(4)过已知平面外一点，有且只有一个平面与已知平面平行； (5 )过已知平面外一条直线，必能作出与已知平面平行的平面. 2•求证：夹在两平行平面间平行线段相等 P431. _______________________________ 设m 、n 是两条不同的直线，a 、3、丫是三个不同的平面，给出下列四个命题中正确 命题的序号是 . ①若 m 丄 a , n // a ,贝U m ± n ； ②若 a // 3 , 3 〃Y , m 丄 a,贝 U m 丄 丫； ③若m // a , a 丄3，贝V m // a ； ④若a 丄丫， 3丄丫，则a // 3 •2.rv =a,〉_求证：a_.4 •如图，a 丄 3 , a Q 3 = l , AB a , AB 丄 I , BC 3 , DE 3 , BC 丄 DE , 求证：AC 丄DE .P441 •已知a , b 是两条不重合的直线， a , 3 , 丫是三个两两不重合的平面，给出下列四PCM B个命题，其中正确命题的序号是 ①若a 丄a, a 丄B ，则圧// :③若〉ll £：,a 二 y.,b ~ I-',则allb ④若〉ll 二 a, 一： 二 b,则allb 2.平面外的一条直线上有两点到这个平面的距离相等,则直线与该平面的位置关系3. 如图，在多面体 ABC-ABC 中,如果在平面 AB 内， / 1+ / 2=180°,在平面 BG 内，/ 3+Z 4=180°,那么平面ABC 与平面ABC 的关系 _____________ .4. 已知两平面：•，一：，直线丨，且:-ll '■ ,^： !：：;,l ll'.，切证丨」5•已知AB,AC 分别是平面:-的垂线和斜线，B,C 分别是垂 足和斜足，CD _AC ，求证面 6•在四棱锥 P-ABCD 中，若PA 丄ABCD 且底面是菱形，求证： PAC 丄面PBD 7•如图在正方体AC i 中，E 、F 、G 分别为CC i 、BC 、CD 的中点, P49i .已知正四棱柱的底面边长是 3cm ，侧面的对角线长是 3 5cm ,则这个正四棱柱的侧面积为 ________________________ . 2. 求底面边长为2m ，高为im 的正三棱锥的全面积.3．如果用半径为 r 的半圆形铁皮卷成一个圆锥筒，那么这个圆锥筒的高是多少？求证：⑴面EFGll 面AB i D i ;中, 面角C i -BD-C 的正切值②若 a 丄b , all B,则 b// '■CC i E C8如图正方体 ABCD-A I B I C I D I4. 已知一个正三棱台的两个底面的边长分别是8cm 和18cm,侧棱长为13cm,求它的侧面积。

高一数学必修2立体几何初步单元测试题（修改）

高一数学必修2立体几何初步单元测试题（修改）

高一数学必修2立体几何初步单元测试题（修改）高一数学必修2立体几何初步单元测试题班级：姓名：学号：一、选择题：1、线段AB 在平面α内，则直线AB 与平面α的位置关系是（）A 、AB α? B 、AB α?C 、由线段AB 的长短而定D 、以上都不对2、下列说法正确的是A 、三点确定一个平面B 、四边形一定是平面图形C 、梯形一定是平面图形D 、平面α和平面β有不同在一条直线上的三个交点3、垂直于同一条直线的两条直线一定（）A 、平行B 、相交C 、异面D 、以上都有可能 4、在正方体1111ABCD A BC D -中，下列几种说法正确的是（）A 、11AC AD ⊥B 、11DC AB ⊥ C 、1AC 与DC 成45角 D 、11AC 与1BC成60角 5、若直线l ∥平面α，直线a α?，则l 与a 的位置关系是（）A 、l ∥aB 、l 与a 异面C 、l 与a 相交D 、l 与a 没有公共点6、下列命题中：（1）平行于同一直线的两个平面平行；（2）平行于同一平面的两个平面平行；（3）垂直于同一直线的两直线平行；（4）垂直于同一平面的两直线平行。

其中正确的个数有（）A 、1B 、2C 、3D 、47、a ，b ，c 表示直线，M 表示平面，给出下列四个命题：①若a ∥M ，b ∥M ，则a ∥b ；②若b íM ，a ∥b ，则a ∥M ；③若a ⊥c ，b ⊥c ，则a ∥b ；④若a ⊥M ，b ⊥M ，则a ∥b .其中正确命题的个数有（）A 、0个B 、1个C 、2个D 、3个8、如图:直三棱柱ABC —A 1B 1C 1的体积为V ，点P 、Q 分别在侧棱AA 1和CC 1上，AP=C 1Q ，则四棱锥B —APQC 的体积为（）A 、2VB 、3VC 、4VD 、5V二、填空题：9、等体积的球和正方体,它们的表面积的大小关系是S 球_____S 正方体(填”大于、小于或等于”).10、正方体1111ABCD A BC D -中，平面11AB D 和平面1BCD 的位置关系为QC'B'A'CBAB1C 1A 1D 1BAC D11、已知PA 垂直平行四边形ABCD 所在平面，若PC BD ⊥，则平行四边形ABCD 一定是 .12、如图，在直四棱柱A 1B 1C 1 D 1－ABCD 中，当底面四边形ABCD满足条件_________时，有A 1 B ⊥B 1 D 1．(注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情形.)三、解答题：13、已知圆台的上下底面半径分别是2、5,且侧面面积等于两底面面积之和,求该圆台的母线长.14、已知E 、F 、G 、H 为空间四边形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA 上的点,且ＥＨ∥ＦＧ．求证：EH ∥BD .15、已知ABC ?中90ACB ∠=,SA ⊥面ABC ,AD SC ⊥,求证：AD ⊥面SBC ．H G FE D B A CSDBA16、已知正方体1111ABCD A BC D -，O 是底ABCD 对角线的交点.,求证：(１) C 1O ∥面11AB D ；(2)面1BDC //面11AB D ．17、已知△BCD 中，∠BCD =90°，BC =CD =1，AB ⊥平面BCD ，∠ADB =60°，E 、F 分别是AC 、AD 上的动点，且ADAFAC AE = 求证：平面BEF ⊥平面ABC .D 1ODB AC 1B 1A 1CFEDBAC高一数学必修2立体几何测试题参考答案一、选择题 ACDDD BBB 二、填空题11、小于 12、平行 13、菱形 14、对角线A 1C 1与B 1D 1互相垂直三、解答题15、解:设圆台的母线长为l ,则圆台的上底面面积为224S ππ=?=上圆台的上底面面积为2525S ππ=?=下，所以圆台的底面面积为29S S S π=+=下上又圆台的侧面积(25)7S l l ππ=+=侧于是725l ππ= 即297l =为所求. 16、证明：,EH FG EH ? 面BCD ，FG ?面BCD∴EH ∥面BCD又EH ? 面BCD ，面BCD 面ABD BD =，∴EH ∥BD17、证明：90ACB ∠=BC AC ∴⊥又SA ⊥面ABC SA BC ∴⊥ BC ∴⊥面SAC BC AD ∴⊥ 又,SC AD SC BC C ⊥=AD ∴⊥面SBC19、证明：（1）连结11AC ，设11111ACB D O = 连结1AO ， 1111ABCD A BCD -是正方体11A ACC ∴是平行四边形∴A 1C 1∥AC 11AC AC = 又1,O O 分别是11,AC AC 的中点，∴O 1C 1∥AO 且11OC AO = 11AOC O ∴是平行四边形111,C O AO AO ∴? 面11ABD ，1C O ?面11AB D∴C 1O ∥面11AB D（2）1CC ⊥ 面1111A B C D 11!CC B D ∴⊥又1111AC B D ⊥ ，1111B D AC C ∴⊥面 111AC B D ⊥即同理可证11AC AB ⊥，又1111D B AB B =∴1AC ⊥面11AB D 20、证明：（Ⅰ）∵AB ⊥平面BCD ，∴AB ⊥CD ，∵CD ⊥BC 且AB ∩BC=B ，∴CD ⊥平面ABC.又ADAFAC AE = ∴EF ∥CD ，∴EF ⊥平面ABC ，EF ?平面BEF,∴平面BEF ⊥平面ABC.。

新人教版高一数学必修2试题立体几何

新人教版高一数学必修2试题立体几何

高一数学（必修2）立体几何试题参考公式一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，将答案直接填在下表中）（1）下列命题为真命题的是（）（A）平行于同一平面的两条直线平行（B）垂直于同一平面的两条直线平行（C）与某一平面成等角的两条直线平行（D）垂直于同一直线的两条直线平行（2）若一个角的两边分别和另一个角的两边平行，那么这两个角（）（A）相等（B）互补（C）相等或互补（D）无法确定（3）正三棱锥的底面边长为2，侧面均为直角三角形，则此棱锥的体积为（）（A（B（C（D（4）已知PD⊥矩形ABCD所在的平面，图中相互垂直的平面有（）（A）2对（B）3对（C）4对（D）5对（5）如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底面为45°，腰和上底均为１的等腰梯形，那么原平面图形的面积是（）（A）2（B）12+（C）22+（D）1（C）（1，3，5）（D）（－1，－3，5）二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）（11）底面直径和高都是4cm的圆柱的侧面积为cm2．（12）若两个球的表面积之比是4∶9，则它们的体积之比是．（13）图①中的三视图表示的实物为_____________；PA B CD图②为长方体积木块堆成的几何体的三视图，此几何体共由_______块木块堆成．三、解答题（本大题共4小题，共36分．解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程） （17）（本小题满分9分）如图，O 是正方形ABCD 的中心， PO ⊥底面ABCD ，E 是PC 的中点．求证：（Ⅰ）P A ∥平面BDE ；（Ⅱ）平面P AC ⊥平面BDE ．（18）（本小题满分9分）已知圆台的上、下底面半径分别是2、6，且侧面面积等于两底面面积之和． （Ⅰ）求该圆台的母线长； （Ⅱ）求该圆台的体积．高一数学（必修2）训练题参考答案一、选择题二、填空题（11）π16 （12）8∶27 （13）圆锥；4 （14）60° （15）（0，3） （16）8 三、解答题 （17） 证明：（Ⅰ）连结EO ，在△P AC 中，∵O 是AC 的中点，E 是PC ∴OE ∥AP ． 又∵OE ⊂平面BDE ， P A ⊄平面BDE ， ∴P A ∥平面BDE ．（Ⅱ）∵PO ⊥底面ABCD ，∴PO ⊥BD ．图①正视图 左视图俯视图 正视图 左视图又∵AC ⊥BD ，且AC PO ＝O ， ∴BD ⊥平面P AC ． 而BD ⊂平面BDE ， ∴平面P AC ⊥平面BDE ．（18）解：（Ⅰ）设圆台的母线长为l ，则圆台的上底面面积为224S ππ=⋅=上， 圆台的下底面面积为2636S ππ=⋅=下， 所以圆台的底面面积为40S S S π=+=下上 又圆台的侧面积(26)8S l l ππ=+=侧，于是840l ππ=，即5l =为所求．（Ⅱ）由（Ⅰ）可求得，圆台的高为3h ==．∴ (13V S S h =++圆台下上＝(143633ππ+⋅＝52π．。

《1.1 空间几何体的结构》(同步训练)高中数学必修2_人教A版_2024-2025学年

《1.1 空间几何体的结构》(同步训练)高中数学必修2_人教A版_2024-2025学年

《1.1 空间几何体的结构》同步训练(答案在后面)一、单选题（本大题有8小题，每小题5分，共40分）1、下列几何体中，哪一个是多面体？A、球体B、圆柱C、正方体D、圆锥2、在正方体的一个顶点上，有一个顶点到该顶点所在面的相邻三面的交线所形成的三角形，其内角和是多少？A. 180°B. 270°C. 360°D. 540°3、在长方体的长、宽、高分别为2cm、3cm、4cm的情况下，该长方体的对角线长度是：A. 5cmB. 7cmC. 9cmD. 10cm4、一个圆锥的底面半径为3cm，高为4cm，则其体积为（）。

A、12π cm³B、24π cm³C、36π cm³D、48π cm³5、已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E为棱CC1的中点，点F为棱A1B1上的一点，且BF=BB1，如果AE与EF垂直，则∠EFB=（）A.30°B.45°C.60°D.90°6、已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a，则体对角线A1D的长度为：A、√3aB、2√3aC、√6aD、√2a7、一个直三棱柱的底面是一个直角三角形，其中两个直角边的长度分别为3和4，斜边为5。

该直三棱柱的体积是多少？A. 6B. 12C. 18D. 248、正方体的所有棱长均为2厘米，该正方体的对角线长为（）A、2√3 厘米B、4√2 厘米C、4√3 厘米D、6√3 厘米二、多选题（本大题有3小题，每小题6分，共18分）1、下列关于空间几何体的说法正确的是（）A. 圆柱是由两个平行的圆形底面和一个曲面侧面组成的立体图形。

B. 棱锥的所有侧棱相交于一点，这一点叫做顶点。

C. 球体可以看作是一个半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周形成的立体图形。

D. 棱台的上下底面不一定平行。

2、在下列各对几何体中，哪些是全等的关系？A. 正方体和长方体B. 正四面体和正六面体C. 球和圆柱D. 正方体和正方体的一个面E. 正四面体和正方体的一个面3、一个圆柱的底面半径为2，高为4，则该圆柱的侧面积和体积分别为（）。

高中数学必修2立体几何部分试卷及答案

高中数学必修2立体几何部分试卷及答案

高中数学必修2立体几何部分试卷试卷满分100分。

时间70分钟考号 班级 姓名第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、垂直于同一条直线的两条直线一定 （ ）A 、平行B 、相交C 、异面D 、以上都有可能 2、过直线l 外两点作与直线l 平行的平面，可以作（ ）A ．1个B ．1个或无数个C ．0个或无数个D ．0个、1个或无数个 3、正三棱锥底面三角形的边长为3，侧棱长为2，则其体积为 （ ）A ．41 B ．21 C ．43 D ．49 4、右图是一个实物图形，则它的左视图大致为 （ ）5、已知正四棱台的上、下底面边长分别为3和6，其侧面积等于两底面积之和，则该正四棱台的高是 （ ）A ．2B ．25C ．3D ．27 6、已知α、β是平面，m 、n 是直线，则下列命题不正确．．．的是 （ ） A ．若//,m n m α⊥，则n α⊥ B ．若,m m αβ⊥⊥，则//αβ C ．若,//,m m n n αβ⊥⊂，则αβ⊥ D ．若//,m n ααβ=I，则//m n7、正六棱柱ABCDEF －A 1B 1C 1D 1E 1F 1的侧面是正方形，若底面的边长为a ，则该正六棱柱的外接球的表面积是 ( )A ．4πa 2 B.5 πa 2 C. 8πa 2 D.10πa 28、如右下图，在ABC ∆中，2AB =，BC=1.5，120ABC ∠=o，如图所示。

若将ABC ∆绕BC 旋转一周，则所形成的旋转体的体积是（ ） （A ）92π （B ）72π （C ）52π （D ）32π（第8题图）9、如左上图是由单位立方体构成的积木垛的三视图，据此三视图可知，构成这堆积木垛的单 位正方体共有 （ ） A ．6块 B ．7块 C ．8块 D ．9块10、给出下列命题①过平面外一点有且仅有一个平面与已知平面垂直 ②过直线外一点有且仅有一个平面与已知直线平行 ③过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线垂直 ④过平面外一点有且仅有一条直线与已知平面垂直 其中正确命题的个数为（ ） A ．0个 B ．1个C ．2个D ．3个第Ⅱ卷（非选择题 共60分）二、填空题（每小题4分，共16分）11、已知直线m 、n 及平面α，其中m ∥n ，那么在平面α内到两条直线m 、n 距离相等的点的集合可能是：①一条直线；②一个平面；③一个点；④空集。

高中数学必修2空间立体几何大题.docx

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实用文案必修 2 空间立体几何大题一．解答题（共18 小题）1．如图，在三棱锥V﹣ ABC 中，平面 VAB ⊥平面 ABC ，△VAB 为等边三角形，AC ⊥ BC 且 AC=BC=，O，M分别为 AB ，VA 的中点．（ 1）求证： VB ∥平面 MOC ；（ 2 ）求证：平面MOC ⊥平面 VAB （ 3 ）求三棱锥V ﹣ABC 的体积．2．如图，三棱锥P﹣ ABC 中， PA⊥平面 ABC ， PA=1 ， AB=1 ，AC=2 ，∠BAC=60 °．（ 1）求三棱锥P﹣ ABC 的体积；（ 2）证明：在线段PC 上存在点M ，使得 AC ⊥ BM ，并求的值．3．如图，长方体 ABCD ﹣ A 1 B1 C1D 1中，AB=16 ，BC=10 ，AA 1=8 ，点 E，F 分别在 A 1 B1，D 1C1上，A 1E=D 1F=4 ．过E，F 的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形（Ⅰ）在图中画出这个正方形（不必说出画法和理由）（Ⅱ）求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值．实用文案4．如图，直三棱柱ABC ﹣A 1B1 C1的底面是边长为 2 的正三角形， E， F 分别是 BC， CC1的中点，（Ⅰ）证明：平面AEF⊥平面 B1BCC1；（Ⅱ）若直线 A 1C 与平面 A 1ABB 1所成的角为45 °，求三棱锥 F﹣ AEC 的体积．5．如图，在直三棱柱ABC ﹣ A 1 B1 C1中，已知A C ⊥ BC， BC=CC 1，设 AB 1的中点为D， B1 C∩BC 1=E ．求证：（1） DE∥平面 AA 1 C1 C；（2 ）BC 1⊥ AB 1．6．如题图，三棱锥 P﹣ ABC 中，平面 PAC⊥平面 ABC ，∠ABC=，点D、E在线段AC上，且AD=DE=EC=2，PD=PC=4，点 F 在线段 AB 上，且 EF∥BC．（Ⅰ）证明： AB ⊥平面 PFE．（Ⅱ）若四棱锥P﹣ DFBC 的体积为 7 ，求线段BC 的长．实用文案7．如图， AB 是圆 O 的直径，点 C 是圆 O 上异于（Ⅰ）若 D 为线段 AC 的中点，求证；AC ⊥平面（Ⅱ）求三棱锥P﹣ ABC 体积的最大值；A ，B 的点， PO 垂直于圆O 所在的平面，且PO=OB=1，PDO ；8．如图，四边形ABCD 为菱形， G 为 AC 与 BD 的交点， BE⊥平面 ABCD ．（Ⅰ）证明：平面AEC⊥平面 BED；（Ⅱ）若∠ ABC=120 °，AE⊥ EC，三棱锥E﹣ACD 的体积为，求该三棱锥的侧面积．9．如图，已知AA 1⊥平面 ABC ， BB1∥AA 1， AB=AC=3，BC=2，AA1=，BB1=2，点E和F分别为BC和标准文档（Ⅰ）求证： EF∥平面 A 1B1 BA ；（Ⅱ）求证：平面AEA 1⊥平面 BCB 1；（Ⅲ）求直线A 1B1与平面 BCB 1所成角的大小．10 ．如图所示，已知AB ⊥平面 BCD ， M 、 N 分别是 AC 、 AD 的中点， BC⊥CD ．（ 1）求证： MN ∥平面 BCD ；（ 2 ）求证：平面BCD ⊥平面 ABC ．11 ．如图，圆柱的轴截面ABCD 是正方形，点 E 在底面的圆周上，BF⊥ AE， F 是垂足．（ 1）求证： BF⊥ AC ；（ 2）若 CE=1 ，∠CBE=30 °，求三棱锥 F﹣BCE 的体积．12 ．如图，已知四边形ABCD 和 BCEG 均为直角梯形，AD ∥BC， CE∥BG ，且∠BCD= ∠BCE=，平面ABCD⊥平面BCEG， BC=CD=CE=2AD=2BG=2．求证：（Ⅰ） EC⊥ CD ；（Ⅱ）求证： AG ∥平面 BDE ；（Ⅲ）求：几何体EG﹣ABCD 的体积．13 ．如图，已知三棱锥 A ﹣ BPC 中， AP ⊥ PC， AC⊥ BC ，M 为 AB 的中点， D 为 PB 的中点，且△ PMB 为正三角形．（1）求证： DM ∥平面 APC ；（2）若 BC=4 ， AB=20 ，求三棱锥 D ﹣BCM 的体积．14 ．如图，在四棱锥P﹣ABCD 中， PD⊥平面 ABCD ，底面 ABCD 是菱形，∠ BAD=60 °，AB=2 ，PD=，O为AC 与BD 的交点， E 为棱 PB 上一点．（Ⅰ）证明：平面 EAC⊥平面 PBD ；（Ⅱ）若 PD ∥平面 EAC ，求三棱锥 P﹣ EAD 的体积．15 ．已知正四棱柱ABCD ﹣ A1 B1C1D 1，底面边长为，点P、Q、R分别在棱A A 1、BB1、 BC 上， Q 是 BB1中点，且PQ ∥AB ，C1Q ⊥ QR（1）求证： C1Q⊥平面 PQR ；（2）若 C1Q=，求四面体C1PQR的体积．16 ．如图，直三棱柱ABC ﹣ A 1B1C1中， D ， E 分别是 AB ，BB 1的中点．（ 1）证明 BC 1∥平面 A1 CD（ 2）设 AA 1=AC=CB=2，AB=2，求三菱锥C﹣A 1DE 的体积．17 ．如图甲，⊙ O 的直径 AB=2 ，圆上两点C， D 在直径 AB 的两侧，且∠ CBA= ∠DAB=．沿直径AB 折起，使两个半圆所在的平面互相垂直（如图乙）， F 为 BC 的中点， E 为 AO 的中点．根据图乙解答下列各题：（Ⅰ）求证： CB⊥ DE；（Ⅱ）求三棱锥C﹣ BOD 的体积；（Ⅲ）在劣弧上是否存在一点G，使得 FG∥平面 ACD ？若存在，试确定点G 的位置；若不存在，请说明理由．18 ．如图：是直径为的半圆，O为圆心，C是上一点，且．DF⊥ CD，且DF=2，，E为FD 的中点， Q 为 BE 的中点， R 为 FC 上一点，且FR=3RC ．（Ⅰ）求证：面BCE⊥面 CDF ；（Ⅱ）求证： QR ∥平面 BCD ；（Ⅲ）求三棱锥F﹣BCE 的体积．必修 2 空间立体几何大题参考答案与试题解析一．解答题（共18 小题）1．（ 2015 ? 北京）如图，在三棱锥V﹣ ABC 中，平面 VAB ⊥平面 ABC ，△VAB 为等边三角形， AC ⊥ BC 且 AC=BC=，O ， M 分别为 AB ， VA 的中点．（ 1）求证： VB ∥平面 MOC ；（ 2）求证：平面MOC ⊥平面 VAB（ 3）求三棱锥V﹣ ABC 的体积．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定．专题：综合题；空间位置关系与距离．分析：（1 ）利用三角形的中位线得出OM ∥VB ，利用线面平行的判定定理证明VB ∥平面MOC ；（2）证明： OC⊥平面 VAB ，即可证明平面 MOC ⊥平面 VAB（3）利用等体积法求三棱锥 V ﹣ABC 的体积．解答：（1 ）证明：∵ O ， M 分别为 AB ， VA 的中点，∴OM ∥VB ，∵VB ? 平面 MOC ， OM ? 平面 MOC ，∴VB ∥平面 MOC ；（2）∵AC=BC ， O 为 AB 的中点，∴OC ⊥ AB ，∵平面 VAB ⊥平面 ABC ，OC ? 平面 ABC ，∴OC ⊥平面 VAB ，∵OC ? 平面 MOC ，∴平面 MOC ⊥平面 VAB（3 ）在等腰直角三角形ACB 中， AC=BC=，∴AB=2，OC=1，∴S△VAB =，∵OC ⊥平面 VAB ，∴V C﹣VAB=?S△VAB =，∴V V﹣ABC =V C﹣VAB=．点评：本题考查线面平行的判定，考查平面与平面垂直的判定，考查体积的计算，正确运用线面平行、平面与平面垂直的判定定理是关键．2．（ 2015 ? 安徽）如图，三棱锥P﹣ ABC 中， PA⊥平面 ABC ， PA=1 ， AB=1 ， AC=2 ，∠BAC=60 °．（ 1）求三棱锥P﹣ ABC 的体积；（ 2）证明：在线段PC 上存在点M ，使得 AC ⊥ BM ，并求的值．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；点、线、面间的距离计算．专题：综合题；空间位置关系与距离．分析：（1 ）利用 V P﹣ABC = ?S△ABC ?PA，求三棱锥P﹣ ABC 的体积；（2 ）过 B 作 BN ⊥ AC，垂足为N ，过 N 作 MN ∥PA ，交 PA 于点 M ，连接 BM ，证明 AC ⊥平面 MBN ，可得 AC ⊥ BM ，利用 MN ∥PA，求的值．解答：（1 ）解：由题设，AB=1 ， AC=2 ，∠BAC=60 °，可得 S△ABC ==．因为 PA⊥平面 ABC ， PA=1 ，所以 V P﹣ABC = ?S△ABC ?PA=；（2）解：过 B 作 BN ⊥ AC，垂足为 N ，过 N 作 MN ∥PA，交 PC 于点 M ，连接 BM ，由 PA⊥平面 ABC ，知 PA⊥ AC ，所以 MN ⊥ AC，因为 BN ∩MN=N ，所以 AC⊥平面 MBN ．因为 BM ? 平面 MBN ，所以 AC⊥ BM ．在直角△BAN 中， AN=AB ?cos ∠BAC=，从而 NC=AC ﹣AN=．由 MN ∥PA 得==．点评：本题考查三棱锥P﹣ ABC 的体积的计算，考查线面垂直的判定与性质的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．3．（ 2015 ? 黑龙江）如图，长方体ABCD ﹣ A 1 B1 C1D 1中， AB=16 ， BC=10 ， AA 1 =8 ，点 E， F 分别在 A 1 B1，D 1C1上， A 1E=D 1F=4 ．过 E， F 的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形（Ⅰ）在图中画出这个正方形（不必说出画法和理由）（Ⅱ）求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；平面的基本性质及推论．专题：综合题；空间位置关系与距离．分析：（Ⅰ）利用平面与平面平行的性质，可在图中画出这个正方形；（Ⅱ）求出MH==6 ，AH=10 ，HB=6 ，即可求平面 a 把该长方体分成的两部分体积的比值．解答：解：（Ⅰ）交线围成的正方形EFGH 如图所示；（Ⅱ）作EM ⊥ AB ，垂足为 M ，则 AM=A1E=4，EB1=12，EM=AA1=8．因为 EFGH 为正方形，所以EH=EF=BC=10，于是 MH==6 ，AH=10，HB=6．因为长方体被平面α分成两个高为10 的直棱柱，所以其体积的比值为．点评：本题考查平面与平面平行的性质，考查学生的计算能力，比较基础．4．（ 2015 ? 湖南）如图，直三棱柱ABC ﹣ A 1 B1 C1的底面是边长为2的正三角形，E，F 分别是 BC， CC1的中点，（Ⅰ）证明：平面AEF⊥平面 B1BCC1；（Ⅱ）若直线 A 1C 与平面 A 1ABB 1所成的角为45 °，求三棱锥 F﹣ AEC 的体积．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：（Ⅰ）证明AE ⊥ BB1，AE⊥ BC ，BC∩BB 1=B ，推出 AE ⊥平面 B1 BCC1，利用平面余平米垂直的判定定理证明平面AEF ⊥平面 B1BCC1；（Ⅱ）取 AB 的中点 G，说明直线 A 1C 与平面 A 1ABB 1所成的角为45 °，就是∠CA1 G，求出棱锥的高与底面面积即可求解几何体的体积．解答：（Ⅰ）证明：∵几何体是直棱柱，∴BB1⊥底面 ABC ， AE ? 底面 ABC ，∴AE ⊥BB1，∵直三棱柱 ABC ﹣ A 1 B1 C1的底面是边长为 2 的正三角形， E 分别是 BC 的中点，∴AE ⊥BC，BC ∩BB1 =B ，∴AE⊥平面 B1BCC 1，∵AE ? 平面 AEF，∴平面 AEF⊥平面 B1 BCC1；（Ⅱ）解：取AB 的中点 G，连结 A1 G， CG，由（Ⅰ）可知CG⊥平面 A 1ABB 1，直线 A 1C 与平面 A 1ABB 1所成的角为45 °，就是∠CA 1G，则 A 1G=CG=，∴AA 1==，CF=．三棱锥 F﹣ AEC 的体积：×==．点评：本题考查几何体的体积的求法，平面与平面垂直的判定定理的应用，考查空间想象能力以及计算能力．5．（2015 ? 江苏）如图，在直三棱柱ABC ﹣ A 1 B1C1中，已知 AC ⊥ BC， BC=CC 1，设 AB 1的中点为D， B1 C∩BC1=E ．求证：（1） DE∥平面 AA 1 C1 C；（2） BC1⊥ AB 1．考点：直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的性质．专题：证明题；空间位置关系与距离．分析：（1 ）根据中位线定理得DE∥AC ，即证 DE ∥平面 AA 1C1 C；（2）先由直三棱柱得出 CC1⊥平面 ABC ，即证 AC ⊥ CC1；再证明 AC ⊥平面 BCC1 B1，即证 BC1⊥AC ；最后证明 BC1⊥平面 B1 AC，即可证出 BC 1⊥AB 1．解答：证明：（ 1 ）根据题意，得；E 为 B1 C 的中点， D 为 AB 1的中点，所以DE ∥AC ；又因为 DE ? 平面 AA 1C1C， AC ? 平面 AA 1 C1 C，所以 DE∥平面 AA 1 C1C；（2）因为棱柱 ABC ﹣ A1 B1C1是直三棱柱，所以 CC1⊥平面 ABC ，因为 AC? 平面 ABC ，所以 AC⊥ CC1；又因为 AC ⊥ BC，CC1? 平面 BCC1B1，BC? 平面 BCC1 B1，BC∩CC1 =C ，所以 AC⊥平面 BCC1 B1；又因为 BC1 ? 平面 BCC 1B1，所以 BC1⊥AC ；因为 BC=CC 1，所以矩形BCC1 B1是正方形，所以 BC1⊥平面 B1 AC；又因为 AB 1? 平面 B1 AC，所以 BC1⊥AB 1．点评：本题考查了直线与直线，直线与平面以及平面与平面的位置关系，也考查了空间想象能力和推理论证能力的应用问题，是基础题目．6．（ 2015 ? 重庆）如题图，三棱锥 P﹣ ABC 中，平面 PAC⊥平面 ABC ，∠ABC=，点D、E在线段AC上，且AD=DE=EC=2，PD=PC=4，点F在线段AB上，且EF∥BC．（Ⅰ）证明： AB ⊥平面 PFE．（Ⅱ）若四棱锥P﹣ DFBC 的体积为7 ，求线段 BC 的长．考点：直线与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：开放型；空间位置关系与距离．分析：（Ⅰ）由等腰三角形的性质可证PE⊥AC ，可证 PE⊥ AB ．又 EF∥BC，可证 AB⊥ EF，从而 AB 与平面 PEF 内两条相交直线PE， EF 都垂直，可证AB ⊥平面 PEF．由 AD=AE ，可求 S △AFD ，从而求得四边形 DFBC 的面积，由（Ⅰ）知PE 为四棱锥P ﹣ DFBC 的高，求得 PE ，由体积 V P ﹣DFBC = S DFBC ?PE=7 ，即可解得线段 BC 的长．解答： 解：（Ⅰ）如图，由 DE=EC ， PD=PC 知， E 为等腰△PDC 中 DC 边的中点，故PE ⊥AC ，又平面 PAC ⊥平面 ABC ，平面 PAC ∩平面 ABC=AC ， PE? 平面 PAC ， PE ⊥AC ，所以 PE ⊥平面 ABC ，从而 PE ⊥AB ．因为∠ABC=，EF ∥BC ，故 AB ⊥ EF ，从而 AB 与平面 PEF 内两条相交直线PE ， EF 都垂直，所以 AB ⊥平面 PEF ．（Ⅱ）设 BC=x ，则在直角△ ABC 中， AB== ，从而 S △ABC = AB ?BC= x，由 EF ∥BC 知，得△AFE ≌△ABC ，故= （ ）2= ，即 S △AFE = S △ABC ，由 AD=AE ， S △AFD ==S △ABC = S △ABC = x，从而四边形 DFBC 的面积为： S DFBC =S △ABC ﹣ S AFD = x﹣x = x ．由（Ⅰ）知， PE ⊥平面 ABC ，所以 PE 为四棱锥 P ﹣ DFBC 的高．在直角△PEC 中， PE===2 ，故体积 V P ﹣DFBC =S DFBC ?PE=x=7 ，故得 x 4 ﹣ 36x 2+243=0 ，解得 x 2 =9 或 x 2=27 ，由于 x ＞ 0，可得 x=3或 x=3 ．所以： BC=3 或 BC=3．点评：本题主要考查了直线与平面垂直的判定，棱柱、棱锥、棱台的体积的求法，考查了空间想象能力和推理论证能力，考查了转化思想，属于中档题．7．（ 2015 ? 福建）如图，AB 是圆 O 的直径，点 C 是圆 O 上异于 A，B 的点，PO 垂直于圆O 所在的平面，且 PO=OB=1，（Ⅰ）若 D 为线段 AC 的中点，求证；AC ⊥平面 PDO ；（Ⅱ）求三棱锥P﹣ ABC 体积的最大值；（Ⅲ）若 BC=，点E在线段PB上，求CE+OE的最小值．考点：直线与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：空间位置关系与距离．分析：（Ⅰ）由题意可证AC⊥ DO ，又 PO ⊥ AC ，即可证明AC ⊥平面 PDO ．（Ⅱ）当CO ⊥ AB 时， C 到 AB 的距离最大且最大值为 1 ，又 AB=2 ，即可求△ ABC面积的最大值，又三棱锥P﹣ ABC 的高 PO=1 ，即可求得三棱锥P﹣ ABC 体积的最大值．（Ⅲ）可求PB===PC ，即有 PB=PC=BC ，由 OP=OB ，C′P=C ′B，可证 E 为 PB 中点，从而可求OC ′=OE+EC ′==，从而得解．解答：解：（Ⅰ）在△ AOC 中，因为OA=OC ，D 为 AC 的中点，所以 AC⊥ DO ，又PO 垂直于圆 O 所在的平面，所以 PO ⊥ AC ，因为 DO ∩PO=O ，所以 AC⊥平面 PDO ．（Ⅱ）因为点 C 在圆 O 上，所以当 CO ⊥ AB 时， C 到 AB 的距离最大，且最大值为 1 ，又 AB=2 ，所以△ABC 面积的最大值为，又因为三棱锥P﹣ ABC 的高 PO=1 ，故三棱锥P﹣ ABC 体积的最大值为：．（Ⅲ）在△ POB 中， PO=OB=1，∠POB=90°，所以 PB==，同理 PC=，所以PB=PC=BC，在三棱锥P﹣ ABC 中，将侧面BCP 绕 PB 旋转至平面BC′P，使之与平面ABP 共面，如图所示，当O ，E，C′共线时，CE+OE 取得最小值，又因为 OP=OB ，C′P=C ′B，所以 OC ′垂直平分PB，即 E 为 PB 中点．从而 OC ′=OE+EC ′==．亦即 CE+OE 的最小值为：．点评：本题主要考查了直线与直线、直线与平面的位置关系、锥体的体积的求法等基础知识，考查了空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查了数形结合思想、化归与转化思想，属于中档题．8．（ 2015 ? 河北）如图，四边形ABCD 为菱形， G 为 AC 与 BD 的交点， BE⊥平面 ABCD ．（Ⅰ）证明：平面AEC⊥平面 BED；（Ⅱ）若∠ ABC=120 °，AE⊥ EC，三棱锥E﹣ACD 的体积为，求该三棱锥的侧面积．考平面与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．点：专空间位置关系与距离．题：分（Ⅰ）根据面面垂直的判定定理即可证明：平面AEC⊥平面 BED ；析： （ Ⅱ）根据三棱锥的条件公式，进行计算即可．解 证明：（Ⅰ）∵四边形 ABCD 为菱形，答： ∴AC ⊥ BD ，∵BE ⊥平面 ABCD ，∴AC ⊥ BE ，则 AC ⊥平面 BED ，∵AC? 平面 AEC ，∴平面 AEC ⊥平面 BED ；解：（Ⅱ）设 AB=x ，在菱形 ABCD 中，由∠ABC=120 °，得 AG=GC= x ，GB=GD= ，∵AE ⊥EC ，△EBG 为直角三角形，∴BE= x ，∵三棱锥 E ﹣ACD 的体积 V= = = ，解得 x=2 ，即 AB=2 ，∵∠ABC=120 °，∴AC 2 =AB 2 +BC 2﹣ 2AB ?BCcosABC=4+4 ﹣ 2 × =12 ，即 AC= ，在三个直角三角形 EBA ， EBG ， EBC 中，斜边 AE=EC=ED ，∵AE ⊥EC ，∴△EAC 为等腰三角形，则 AE 2+EC 2 =AC 2 =12 ，即 2AE 2=12 ，∴AE 2 =6 ，则 AE=，∴从而得 AE=EC=ED= ，∴△EAC 的面积 S= =3 ，在等腰三角形 EAD 中，过 E 作 EF ⊥AD 于 F ，则 AE= ， AF= = ，则 EF= ，∴△EAD 的面积和△ ECD 的面积均为 S= = ，故该三棱锥的侧面积为 3+2 ．点 本题主要考查面面垂直的判定，以及三棱锥体积的计算，要求熟练掌握相应的判定定理评： 以及体积公式．9．（2015 ? 天津）如图，已知 AA 1 ⊥平面 ABC ，BB 1 ∥AA 1， AB=AC=3 ，BC=2 ，AA 1= ， BB 1 =2 ，点 E 和 F分别为 BC 和 A 1C 的中点．（Ⅰ）求证： EF ∥平面 A 1B 1 BA ；（Ⅱ）求证：平面AEA 1⊥平面 BCB 1；（Ⅲ）求直线 A 1B1与平面 BCB1所成角的大小．考点：平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定；直线与平面所成的角．专题：空间位置关系与距离．分析：（Ⅰ）连接 A 1 B，易证 EF∥A 1B，由线面平行的判定定理可得；（Ⅱ）易证AE ⊥ BC， BB 1⊥ AE，可证 AE⊥平面 BCB1，进而可得面面垂直；（Ⅲ）取BB1中点 M 和 B1 C 中点 N ，连接 A 1 M ， A 1N ， NE ，易证∠ A 1B1N 即为直线A 1B1与平面 BCB1所成角，解三角形可得．解答：（Ⅰ）证明：连接 A 1B，在△A 1BC 中，∵E 和 F 分别是 BC 和 A 1 C 的中点，∴ EF∥A 1B，又∵A 1 B? 平面 A 1B1BA ， EF? 平面 A 1B1BA ，∴EF∥平面 A 1B1BA ；（Ⅱ）证明：∵ AB=AC ， E 为 BC 中点，∴ AE ⊥ BC，∵AA 1⊥平面 ABC ， BB1∥AA 1，∴BB 1⊥平面 ABC ，∴BB 1⊥AE ，又∵BC∩BB1 =B ，∴AE ⊥平面 BCB1，又∵AE? 平面 AEA ，∴平面 AEA ⊥平面 BCB；（Ⅲ）取BB1中点 M 和 B1 C 中点 N ，连接 A 1 M ， A 1N ， NE ，∵N 和 E 分别为 B1 C 和 BC 的中点，∴ NE 平行且等于B1 B，∴NE 平行且等于 A 1A ，∴四边形 A 1AEN 是平行四边形，∴A 1N 平行且等于AE，又∵AE⊥平面 BCB 1，∴A 1N ⊥平面 BCB1，∴∠A 1B1N 即为直线A1 B1与平面 BCB1所成角，在△ABC 中，可得AE=2 ，∴A 1 N=AE=2，∵BM ∥AA 1，BM=AA1 ，∴A 1M∥AB且A 1 M=AB，又由 AB ⊥ BB1，∴A 1 M ⊥ BB1，在 RT△A 1MB 1中， A 1B1 ==4 ，在 RT△A 1NB 1中， sin ∠A 1B1 N==，∴∠A 1B1N=30 °，即直线 A 1B1与平面 BCB 1所成角的大小为30 °点评：本题考查线面垂直与平行关系的证明，涉及直线与平面所成的角，属中档题．10 ．（ 2015 ? 醴陵市）如图所示，已知AB ⊥平面 BCD ， M 、 N 分别是 AC、 AD 的中点， BC⊥ CD ．（1）求证： MN ∥平面 BCD ；（2）求证：平面 BCD ⊥平面 ABC ．考点：平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：（1 ）由中位线定理和线面平行的判定定理，即可得证；（2 ）由线面垂直的性质和判定定理，可得CD ⊥平面 ABC ，再由面面垂直的判定定理，即可得证．解答：证明：（ 1 ）因为 M ，N 分别是 AC ， AD 的中点，所以 MN ∥CD．又MN ? 平面 BCD 且 CD ? 平面 BCD ，所以 MN ∥平面 BCD ；（2 ）因为 AB ⊥平面 BCD ， CD ? 平面 BCD ，所以 AB ⊥ CD．又CD ⊥ BC， AB ∩BC=B ，所以 CD ⊥平面 ABC ．又CD ? 平面 BCD ，所以平面 BCD ⊥平面 ABC ．点评：本题考查线面平行的判定和面面垂直的判定，考查空间直线和平面的位置关系，考查逻辑推理能力，属于中档题．11 ．（ 2015 ? 葫芦岛一模）如图，圆柱的轴截面ABCD 是正方形，点 E 在底面的圆周上，BF⊥ AE，F 是垂足．（1）求证： BF⊥ AC ；（2）若 CE=1 ，∠CBE=30 °，求三棱锥 F﹣ BCE 的体积．考点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：（1 ）欲证 BF⊥ AC ，先证 BF⊥平面 AEC，根据线面垂直的判定定理可知只需证CE ⊥BF ，BF⊥AE 且 CE∩AE=E ，即可证得线面垂直；（2 ）V F﹣BCE=V C﹣BEF= ?S△BEF?CE= ? ?EF?BF?CE，即可求出三棱锥F﹣ BCE 的体积．解答：（1 ）证明：∵ AB ⊥平面 BEC， CE? 平面 BEC，∴AB ⊥ CE∵BC 为圆的直径，∴ BE⊥ CE．∵BE? 平面 ABE， AB ? 平面 ABE ， BE∩AB=B∴CE⊥平面 ABE ，∵BF? 平面 ABE ，∴CE⊥ BF，又 BF⊥AE 且 CE∩AE=E ，∴BF⊥平面 AEC，∵AC ? 平面 AEC ，∴BF⊥ AC⋯（6 分）（2 ）解：在Rt △BEC 中，∵CE=1 ，∠CBE=30 °∴BE=，BC=2又∵ABCD 正方形，∴ AB=2 ，∴AE=，∴BF?AE=AB ?BE，∴BF=，∴EF=∴V F﹣BCE=V C﹣BEF= ?S△BEF?CE=? ?EF?BF?CE= ? ???1=⋯（12分）点：本小主要考空面关系、柱性、空想象能力和推理能力，考三棱F BCE 的体的算，属于中档．12 ．（ 2015 ? 商丘三模）如，已知四形ABCD 和 BCEG 均直角梯形，AD ∥BC， CE∥BG，且∠BCD= ∠BCE=，平面 ABCD ⊥平面 BCEG， BC=CD=CE=2AD=2BG=2．求：（Ⅰ） EC⊥ CD ；（Ⅱ）求： AG ∥平面 BDE ；（Ⅲ）求：几何体EG ABCD 的体．考点：棱柱、棱、棱台的体；直与平面平行的判定．：合；空位置关系与距离．分析：（Ⅰ）利用面面垂直的性，明EC⊥平面 ABCD ，利用面垂直的性明EC⊥CD ；（Ⅱ）在平面BCEG 中， G 作 GN ⊥ CE 交 BE 于 M ， DM ，明四形ADMG 平行四形，可得AG ∥DM ，即可明AG ∥平面 BDE ；（Ⅲ）利用分割法即可求出几何体EG ABCD 的体．解答：（Ⅰ）明：由平面ABCD ⊥平面 BCEG，平面 ABCD ∩平面 BCEG=BC ， CE⊥ BC， CE? 平面 BCEG，∴EC⊥平面 ABCD ，⋯（ 3 分）又CD ? 平面 BCDA ，故 EC⊥ CD ⋯（4 分）（Ⅱ）明：在平面BCEG 中， G 作 GN ⊥ CE 交 BE 于 M ， DM ，由已知知； MG=MN，MN∥BC∥DA，且，∴MG ∥AD ， MG=AD，故四形ADMG平行四形，∴ AG∥DM⋯（6分）∵DM ? 平面 BDE ， AG ? 平面 BDE ，∴AG ∥平面 BDE ⋯（8 分）（Ⅲ）解：⋯（10 分）=⋯（12 分）点：本考面面垂直、面平行，考几何体体的算，考学生分析解决的能力，正确运用面面垂直、线面平行的判定定理是关键．13 ．（ 2015 ? 南昌模拟）如图，已知三棱锥 A ﹣ BPC 中， AP ⊥ PC， AC ⊥ BC， M 为 AB 的中点， D 为 PB 的中点，且△PMB 为正三角形．（1）求证： DM ∥平面 APC ；（2）若 BC=4 ， AB=20 ，求三棱锥 D ﹣BCM 的体积．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：（1 ）可由三角形的中位线定理得到线线平行，进而得到线面平行．（2 ）先证明MD ⊥底面 BCD ，进而可计算出体积．解答：（1 ）证明：∵ M 为 AB 的中点， D 为 PB 的中点，∴ MD 为△PAB 的中位线，∴ MD ∥AP ．而AP ? 平面 PAC， MD ? 平面 PAC ，∴MD ∥平面 PAC ．（2 ）解：∵△PMB 为正三角形， PD=DB ，∴MD ⊥ PB．∵MD ∥AP， AP ⊥ PC，∴MD ⊥ PC．又 PC∩PB=P ，∴MD ⊥平面 PBC．即 MD 为三棱锥 M ﹣ BCD 的高．由 AB=20 ，∴MB=10，BD=5，∴MD=5．在 Rt △PCB 中（因为 AC ⊥ BC，所以 PC ⊥BC），由勾股定理得PC==2．于是 S△BCD =S △BCP× ==．∴V 三棱锥D﹣BCM =V 三棱锥M﹣BCD ==10．点评：利用三角形的中位线定理证明线线平行是证明线面平行常用的方法之一．先证明线面垂直是求体积的关键．14 ．（ 2015 ? 沈阳模拟）如图，在四棱锥P﹣ ABCD 中， PD⊥平面 ABCD ，底面 ABCD 是菱形，∠ BAD=60 °，AB=2 ，PD=， O 为 AC 与 BD 的交点， E 为棱 PB 上一点．（Ⅰ）证明：平面EAC⊥平面 PBD ；（Ⅱ）若 PD ∥平面 EAC ，求三棱锥P﹣ EAD 的体积．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：（Ⅰ）由已知得AC⊥ PD ，AC ⊥ BD，由此能证明平面EAC ⊥平面 PBD ．（Ⅱ）由已知得PD∥OE，取 AD 中点 H ，连结 BH ，由此利用，能求出三棱锥P﹣ EAD 的体积．解答：（Ⅰ）证明：∵ PD ⊥平面 ABCD ， AC ? 平面 ABCD ，∴AC ⊥ PD ．∵四边形 ABCD 是菱形，∴ AC⊥ BD ，又∵PD ∩BD=D ， AC ⊥平面 PBD ．而AC ? 平面 EAC，∴平面 EAC ⊥平面 PBD ．（Ⅱ）解：∵ PD∥平面 EAC，平面 EAC∩平面 PBD=OE ，∴PD ∥OE，∵O 是 BD 中点，∴ E 是 PB 中点．取 AD 中点 H ，连结 BH ，∵四边形 ABCD是菱形，∠ BAD=60°，∴BH ⊥ AD ，又 BH ⊥ PD， AD ∩PD=D ，∴BD ⊥平面 PAD ，．∴（还可以用 VP-ABD-VE-ABD）==．点评：本题考查平面与平面垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．15 ．（ 2015 ? 上海模拟）已知正四棱柱ABCD ﹣A 1B1C1 D 1，底面边长为，点P、Q、R分别在棱AA 1、BB1、BC 上，Q 是 BB1中点，且PQ ∥AB ， C1Q ⊥ QR（1）求证： C1Q⊥平面 PQR ；（2）若 C1Q=，求四面体C1PQR的体积．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（1 ）由已知得AB ⊥平面 B1 BCC1，从而 PQ ⊥平面 B1 BCC1，进而 C1Q ⊥ PQ ，又C1 Q⊥ QR，由此能证明C1 Q ⊥平面 PQR ．（2 ）由已知得B1Q=1 ，BQ=1 ，△B1 C1 Q ∽△BQR ，从而 BR=，QR=，由C1Q、QR 、QP 两两垂直，能求出四面体C1PQR 的体积．解答：（1 ）证明：∵四棱柱ABCD ﹣ A 1 B1C1D 1是正四棱柱，∴AB ⊥平面 B1 BCC1，又PQ ∥AB ，∴PQ ⊥平面 B1BCC1，∴C1Q ⊥ PQ ，又已知C1Q ⊥ QR ，且 QR∩QP=Q ，∴C1Q ⊥平面 PQR ．（2 ）解：∵ B1 C1 =，，∴B1Q=1 ，∴BQ=1 ，∵Q 是 BB1中点， C1 Q ⊥QR，∴∠B1C1Q= ∠BQR ，∠C1 B1 Q= ∠QBR ，∴△B1 C1Q ∽△BQR，∴BR=，∴QR=，∵C1Q 、 QR 、 QP 两两垂直，∴四面体 C1 PQR 的体积 V=．点评：本小题主要考查空间线面关系、线面垂直的证明、几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力．16 ．（ 2015 ? 凯里市校级模拟）如图，直三棱柱ABC ﹣ A 1B1C1中， D ， E 分别是 AB ， BB 1的中点．（1）证明 BC 1∥平面 A1 CD（ 2）设 AA 1=AC=CB=2，AB=2，求三菱锥C﹣ A 1DE 的体积．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：（1）连结 AC1交 A 1 C 于点 F，连结 DF ，则 BC 1∥DF ，由此能证明 BC 1∥平面 A 1CD ．（2）由已知得 AA 1⊥CD ，CD⊥ AB ，从而 CD ⊥平面 ABB 1 A 1．由此能求出三菱锥 C﹣A 1 DE 的体积．解答：（1）证明：连结 AC 1交 A 1C 于点 F，则F 为 AC 1中点又 D 是 AB 中点，连结 DF ，则 BC1∥DF．因为 DF ? 平面 A 1CD ， BC1不包含于平面 A 1 CD ，所以 BC1∥平面 A 1 CD．（2 ）解：因为ABC ﹣ A1 B1C1是直三棱柱，所以AA 1⊥ CD ．由已知 AC=CB ， D 为又AA 1∩AB=A ，于是由 AA 1 =AC=CB=2 ，AB 的中点，所以CD ⊥AB ．CD⊥平面 ABB 1A 1．得∠ACB=90 °，，，，A1E=3，故A 1D 2+DE2=A 1E2，即 DE⊥ A 1D ．所以三菱锥C﹣ A 1 DE 的体积为：==1 ．点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查三菱锥的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．17 ．（ 2015 ? 东城区一模）如图甲，⊙ O 的直径 AB=2 ，圆上两点C， D 在直径 AB 的两侧，且∠ CBA= ∠DAB=．沿直径 AB 折起，使两个半圆所在的平面互相垂直（如图乙），F为BC的中点，E为AO的中点．根据图乙解答下列各题：（Ⅰ）求： CB⊥ DE；（Ⅱ）求三棱 C BOD 的体；（Ⅲ）在劣弧上是否存在一点G，使得 FG∥平面 ACD ？若存在，确定点G 的位置；若不存在，明理由．考点：棱柱、棱、棱台的体；直与平面平行的性．：合；空位置关系与距离．分析：（Ⅰ）利用等三角形的性可得DE⊥AO ，再利用面面垂直的性定理即可得到DE⊥平面 ABC ，而得出．（Ⅱ）由（Ⅰ）知DE⊥平面 ABC ，利用底面的方法，即可求三棱的体；（Ⅲ）存在，G 劣弧的中点．接OG，OF，FG，通明平面OFG ∥平面 ACD ，即可得到．解答：（Ⅰ）明：在△ AOD 中，∵， OA=OD ，∴△AOD 正三角形，又∵E OA 的中点，∴DE⊥ AO ⋯（1 分）∵两个半所在平面ACB 与平面 ADB 互相垂直且其交AB ，∴DE⊥平面 ABC ．⋯（3分）又 CB? 平面 ABC ，∴CB⊥ DE．⋯5分（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知DE ⊥平面 ABC ，∴DE 三棱 D BOC 的高．∵ D 周上一点，且AB 直径，∴，在△ABD 中，由 AD ⊥ BD ，，AB=2，得AD=1，．⋯（6分）∵，∴==．⋯（8分）（Ⅲ）解：存在足意的点G， G 劣弧的中点．⋯（9分）明如下：接OG ， OF ， FG，易知 OG ⊥ BD ，又 AD ⊥ BD ∴OG ∥AD ，∵OG ? 平面 ACD ，∴OG ∥平面 ACD ．⋯（10分）在△ABC 中， O ，F 分 AB ， BC 的中点，∴OF ∥AC ， OF ? 平面 ACD ，∴OF∥平面 ACD ，⋯（ 11 分）∵OG ∩OF=O ，∴平面 OFG∥平面 ACD ．又 FG? 平面 OFG ，∴FG ∥平面 ACD ．⋯（12分）点：本考、面、面面关系，考垂直的判定、面面垂直的性、面平行的判定及几何体高与体的算，考空想象能力、推理能力、运算求解能力及分析探究和解决的能力．18 ．（2015 ? 威海模）如：是直径的半，O心，C是上一点，且．DF⊥ CD，且DF=2，，E FD 的中点， QBE 的中点， R FC 上一点，且 FR=3RC ．（Ⅰ）求：面 BCE⊥面 CDF ；（Ⅱ）求： QR ∥平面 BCD ；（Ⅲ）求三棱 F BCE 的体．考棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定．点：专 空间位置关系与距离．题：分（Ⅰ）证明 BD ⊥ DF ， DF ⊥ BC ，利用直线与平面垂直的判定定理证明 BC ⊥平面 CFD ，析： 然后证明面 BCE ⊥面 CDF ．（Ⅱ）连接 OQ ，通过证明 RQ ∥OM ，然后证明 QR ∥平面 BCD ．（Ⅲ）利用 v F ﹣BCE =v F ﹣BCD ﹣ v E ﹣BCD 求解几何体的体积即可．解（本小题满分 12 分）答： 证明：（Ⅰ）∵ DF=2 ，，，∴BF 2=BD 2+DF 2，∴BD ⊥ DF ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（1 分）又 DF ⊥ CD ，∴DF ⊥平面 BCD ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ （2 分）∴DF ⊥ BC ，又 BC ⊥ CD ，∴BC ⊥平面 CFD ，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（ 3分）∵BC? 面 BCE∴面 BCE ⊥面 CDF ．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（ 4 分）（Ⅱ）连接 OQ ，在面 CFD 内过 R 点做 RM ⊥ CD ，∵O ，Q 为中点，∴ OQ ∥DF ，且﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（ 5 分）∵DF ⊥ CD ∴RM ∥FD ，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（ 6 分）又 FR=3RC ，∴ ，∴，∵E 为 FD 的中点，∴．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（ 7分）∴OQ ∥RM ，且 OQ=RM∴OQRM为平行四边形，∵RQ∥OM﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（ 8 分）又RQ? 平面 BCD ，OM ? 平面 BCD ，∴QR ∥平面 BCD ．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（ 9 分）（Ⅲ）∵，∴∠DBC=30 °，∴在直角三角形 BCD 中有，，∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12 分）（或求 VB-FCE 1/3*1/2*FE*CD*BC）点本题考查直线与平面垂直的判定定理的应用直线与平面平行的判定定理以及几何体的评：体积的求法，考查空间想象能力以及逻辑推理计算能力．。

(必考题)高中数学必修二第一章《立体几何初步》测试卷(有答案解析)(3)

(必考题)高中数学必修二第一章《立体几何初步》测试卷(有答案解析)(3)

一、选择题1．某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的外接球的表面积（单位：2cm ）是（ ）A ．36πB ．54πC ．72πD ．90π2．现有一个三棱锥形状的工艺品P ABC -，点P 在底面ABC 的投影为Q ，满足12QABQAC QBC PABPACPBCS S S S S S ===△△△△△△，22222213QA QB QC AB BC CA ++=++，93ABCS =，若要将此工艺品放入一个球形容器（不计此球形容器的厚度）中，则该球形容器的表面积的最小值为（ ）A ．42πB ．44πC ．48πD ．49π3．大摆锤是一种大型游乐设备(如图)，游客坐在圆形的座舱中，面向外，通常大摆锤以压肩作为安全束缚，配以安全带作为二次保险，座舱旋转的同时，悬挂座舱的主轴在电机的驱动下做单摆运动.假设小明坐在点A 处，“大摆锤”启动后，主轴OB 在平面α内绕点O 左右摆动，平面α与水平地面垂直，OB 摆动的过程中，点A 在平面β内绕点B 作圆周运动，并且始终保持OB β⊥，B β∈.设4OB AB =，在“大摆锤”启动后，下列结论错误的是（ ）A ．点A 在某个定球面上运动；B ．β与水平地面所成锐角记为θ，直线OB 与水平地面所成角记为δ，则θδ+为定值；C ．可能在某个时刻，AB//α；D ．直线OA 与平面α所成角的正弦值的最大值为17. 4．已知三棱锥A BCD -的各棱长都相等，E 为BC 中点，则异面直线AB 与DE 所成角的余弦值为（ ） A ．13 B ．36C ．33 D ．1165．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积是（ ）A ．2πB ．3πC ．4πD ．16π6．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形.其中3AB =，2AD =，PAD △是以A ∠为直角的等腰直角三角形，若60PAB ∠=︒，则异面直线PC 与AD 所成角的余弦值是（ ）A ．2211B ．2211-C 27D ．11117．如图，正方形ABCD 的边长为4，点E ，F 分别是AB ，B C 的中点，将ADE ，EBF △，FCD 分别沿DE ，EF ，FD 折起，使得A ，B ，C 三点重合于点A '，若点G 及四面体A DEF '的四个顶点都在同一个球面上，则以FDE 为底面的三棱锥G -DEF 的高h 的最大值为（ ）A．263+B．463+C．4263-D．2263-8．某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为V，该几何体所有棱的棱长之和为L，则（）A．8,14253V L==+B．8,1425V L==+C．8,16253V L==+D．8,1625V L==+9．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（）A．16B．13C．23D．210．在四棱锥P -ABCD 中，//AD BC ，2AD BC =，E 为PD 中点，平面ABE 交PC 于F ，则PFFC=（ ） A ．1B ．32C ．2D ．311．平行六面体1111ABCD A B C D -的六个面都是菱形，那么点1A 在面11AB D 上的射影一定是11AB D 的________心，点1A 在面1BC D 上的射影一定是1BC D 的________心（ ）A ．外心、重心B ．内心、垂心C ．外心、垂心D ．内心、重心12．如图（1），Rt ABC ，1,3,2AC AB BC ===，D 为BC 的中点，沿AD 将ACD △折起到AC D '，使得C '在平面ABD 上的射影H 落在AB 上，如图（2），则以下结论正确的是（ ）A ．AC BD '⊥B ．AD BC '⊥ C ．BD C D ⊥' D ．AB C D ⊥'二、填空题13．已知直三棱柱111ABC A B C -，14AB BC AA ===，42AC =，若点P 是上底面111 A B C 所在平面内一动点，若三棱锥P ABC -的外接球表面积恰为41π，则此时点P 构成的图形面积为________．14．如图所示，Rt A B C '''∆为水平放置的ABC ∆的直观图，其中A C B C ''''⊥，2B O O C ''''==，则ABC ∆的面积是________________.15．已知正四棱锥的体积为18，侧棱与底面所成的角为45，则该正四棱锥外接球的表面积为___________.16．已知一个几何体的三视图如图所示，俯视图为等腰三角形，则该几何体的外接球表面积为_________.17．在三棱锥D ABC -中，AD ⊥平面ABC ，3AC =，17BC =，1cos 3BAC ∠=，若三棱锥D ABC -的体积为27，则此三棱锥的外接球的表面积为______18．已知棱长为4的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点M 是棱AD 的中点，点N 是棱AA 1的中点，P 是侧面四边形ADD 1A 1内一动点（含边界），若C 1P ∥平面CMN ，则线段C 1P 长度的取值范围是________.19．如图，在直角梯形ABCD 中，//,,2,3,60AB CD AB AD CD AB ABC ⊥==∠=°，将此梯形以AD 所在直线为轴旋转一周，所得几何体的表面积是_________________．20．将底面直径为8，高为23为______.三、解答题21．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1,2AC BC AC BC CC ⊥===.（1）求三棱柱111ABC A B C -的体积； （2）求异面直线1CB 与1AC 所成角的大小； （3）求二面角1B AC C --的平面角的余弦值.22．如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是边长为2的菱形，60BCD ∠=，已知2PB PD ==，6PA =，E 为PA 的中点.（1）求证：PC BD ⊥；（2）求二面角B PC E --的余弦值； （3）求三棱锥P BCE -的体积.23．如图，在多面体ABCDEF 中，底面ABCD 为菱形，且∠DAB =π3，AB =2，EF //AC ，EA =ED =3，BE =5.（1）求证：平面EAD ⊥平面ABCD ； （2）求三棱锥F -BCD 的体积.24．如图，四棱锥E ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，平面AEB ⊥平面ABCD ，4EBA π∠=，2EB =F 为CE 上的点，BF CE ⊥.（1）求证：BF ⊥平面ACE ； （2）求点D 到平面ACE 的距离.25．如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为梯形，//AD BC ，6BC =，2PA AD CD ===，E 是BC 上一点且23BE BC =，PB AE ⊥.（1）求证：AB ⊥平面PAE ； （2）求点C 到平面PDE 的距离.26．如图，在直角梯形ABED 中，//BE AD ，DE AD ⊥，BC AD ⊥，4AB =，23BE =.将矩形BEDC 沿BC 翻折，使得平面ABC ⊥平面BCDE .（1）若BC BE =，证明：平面ABD ⊥平面ACE ；（2）当三棱锥A BCE -的体积最大时，求平面ADE 与平面ABC 所成的锐二面角的余弦值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【分析】由三视图知该几何体是底面为等腰直角三角形，且侧面垂直于底面的三棱锥，由题意画出图形，结合图形求出外接球的半径，再计算外接球的表面积． 【详解】解：由几何体的三视图知，该几何体是三棱锥P ABC -，底面为等腰ABC ∆， 且侧面PAB ⊥底面ABC ，如图所示；设D 为AB 的中点，又3DA DB DC DP ====，且PD ⊥平面ABC ，∴三棱锥P ABC -的外接球的球心O 在PD 上，设OP R =，则OA R =，3OD R =-，222(3)3R R ∴=-+， 解得3R =，∴该几何体外接球的表面积是32436R cm ππ=．故选：A ． 【点睛】与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.2．D解析：D 【分析】作QM AB ⊥，连接PM ，易证AB PM ⊥，由112122QAB PABAB QMS S AB PM ⨯⨯==⨯⨯△△,得到2PM QM=，再根据12 QAB QACQBCPAB PAC PBCS S SS S S===△△△△△△，由对称性得到AB BC AC==，然后根据22222213QA QB QCAB BC CA++=++，93ABCS=，求得6,23AB AQ==，在AOQ△中，由222AO OQ AQ=+求解半径即可.【详解】如图所示：作QM AB⊥与M，连接PM，因为PQ⊥平面ABC，所以PQ AB⊥，又QM PQ Q⋂=，所以AB⊥平面PQM，所以AB PM⊥，所以112122QABPABAB QMSS AB PM⨯⨯==⨯⨯△△,2PM QM=,因为12QAB QAC QBCPAB PAC PBCS S SS S S===△△△△△△，由对称性得AB BC AC==,又因为22222213QA QB QCAB BC CA++=++，93ABCS=所以21sin60932ABCS AB=⨯⨯=解得6,3AB AQ==所以3,23,3QM PM PQ===，设外接球的半径为r，在AOQ △中，222AO OQ AQ =+，即()()222323r r =-+， 解得72r =， 所以外接球的表面积为2449S r ππ==， 即该球形容器的表面积的最小值为49π. 故选：D 【点睛】关键点点睛：本题关键是由12QAB QAC QBC PABPACPBCS S S S S S ===△△△△△△得到三棱锥是正棱锥，从而找到外接球球心的位置而得解..3．C解析：C 【分析】利用已知条件确定OA 是定值，即得A 选项正确；作模型的简图，即得B 正确；依题意点B 在平面α内，不可能AB//α，得C 错误；设AB a ，结合题意知AB α⊥时，直线OA 与平面α所成角最大，计算此时正弦值，即得D 正确. 【详解】因为点A 在平面β内绕点B 作圆周运动，并且始终保持OB β⊥，所22OA OB AB =+，又因为OB ，AB 为定值，所以OA 也是定值，所以点A 在某个定球面上运动，故A 正确；作出简图如下，OB l ⊥，所以2πδθ+=，故B 正确；因为B α∈，所以不可能有AB//α，故C 不正确； 设AB a ，则4OB a =，2217OA AB OB a =+，当AB α⊥时，直线OA 与平面α所成角最大，此时直线OA 与平面α1717a=，故D 正确. 故选:C. 【点睛】本题解题关键在于认真读题、通过直观想象，以实际问题为背景构建立体几何关系，再运用立体几何知识突破难点.4．B解析：B 【分析】取AC 中点F ，连接,EF DF ，证明FED ∠是异面直线AB 与DE 所成角（或其补角），然后在三角形中求得其余弦值即可得． 【详解】取AC 中点F ，连接,EF DF ，∵E 是BC 中点，∴//EF AB ，12EF AB =， 则FED ∠是异面直线AB 与DE 所成角（或其补角）， 设1AB =，则12EF =，32DE DF ==， ∴在等腰三角形DEF 中，11324cos 63EF FED DE ∠===． 所以异面直线AB 与DE 所成角的余弦值为36． 故选：B ．【点睛】思路点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下： （1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角； （2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角； （3）计算：求该角的值，常利用解三角形；（4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是0,2π⎛⎤⎥⎝⎦，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．5．C解析：C 【分析】由三视图还原出原几何体，确定其结构，再求出外接球的半径得球的表面积． 【详解】由三视图，知原几何体是一个四棱锥P ABCD -，如图，底面ABCD 是边长为1的正方形，PB ⊥底面ABCD ，由PB ⊥底面ABCD ，AD ⊂面ABCD ，得PB AD ⊥，又AD AB ⊥，AB PB B ⋂=，,AB PB ⊂平面PAB ，所以AD ⊥平面PAB ，而PA ⊂平面PAB ，所以AD PA ⊥，同理DC PC ⊥，同样由PB ⊥底面ABCD 得PB BD ⊥，所以PD 中点O 到四棱锥各顶点距离相等，即为其外接球球心，PD 为球直径，222222PD PB BD PA AD AB =+=++=，∴外接球半径为12ADr ==， 表面积为2414S ππ=⨯=． 故选：C ．【点睛】关键点点睛：本题考查由三视图还原几何体，考查棱锥的外接球表面积．解题关键是确定外接球的球心．棱锥的外接球球心在过各面外心（外接圆圆心）且与该面垂直的直线上．6．D解析：D 【分析】在图形中找到（并证明）异面直线所成的角，然后在三角形中计算． 【详解】因为//AD BC ，所以PCB ∠是异面直线PC 与AD 所成角（或其补角）， 又PA AD ⊥，所以PA BC ⊥，因为AB BC ⊥，AB PA A ⋂=，,AB PA ⊂平面PAB ，所以BC ⊥平面PAB ， 又PB ⊂平面PAB ，所以PB BC ⊥． 由已知2PA AD ==，所以22222cos 23223cos607PB PA AB PA AB PAB =+-⋅∠=+-⨯⨯︒=22211cos 11(7)2BC PCB PC ∠===+， 所以异面直线PC 与AD 所成角的余弦值为21111． 故选：D ． 【点睛】思路点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下： （1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角； （2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角； （3）计算：求该角的值，常利用解三角形； （4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是0,2π⎛⎤⎥⎝⎦，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．7．A解析：A 【分析】先求出'A FDE -外接球的半径和外接圆的半径，再利用勾股定理求出外接球的球心到外接圆的圆心的距离，可得高h 的最大值. 【详解】因为A ，B ，C 三点重合于点A '，原来A B C ∠∠∠、、都是直角，所以折起后三条棱'''A F A D A E 、、互相垂直，所以三棱锥'A FDE -可以看作一个长方体的一个角，它们有相同的外接球，外接球的直径就是长方体的体对角线，即为'2'2'22441626R AF AD AE =++=++6R =2241625DE DF AD AE ==++=2222EF BE BF =+= 在DFE △中，22210cos 222522DE EF DF DEF DE EF +-∠===⨯⨯⨯， 所以DEF ∠为锐角，所以2310sin 1cos DEF DEF ∠=-∠=，DEF的外接圆的半径为552 2sin310DFrDEF===∠，则球心到DEF外心的距离为2223R r-=，以FDE为底面的三棱锥G-DEF的高h的最大值为1R OO+的距离为263+.故选：A.【点睛】本题考查了翻折问题和外接球的问题，关键点翻折前后量的变化及理解外接球和三棱锥的关系，考查了学生的空间想象力和计算能力.8．A解析：A【分析】由三视图还原几何体，由棱锥的体积公式可得选项.【详解】在如图所示的正方体1111ABCD A B C D-中，P，E分别为11,B C BC的中点，该几何体为四棱锥P ABCD-，且PE⊥平面ABCD．由三视图可知2AB=，则5,3PC PB PD PA====，则21825681425,2233L V=++=+=⨯⨯=．故选：A.【点睛】方法点睛：三视图问题的常见类型及解题策略：(1)由几何体的直观图求三视图．注意正视图、侧视图和俯视图的观察方向，注意看到的部分用实线表示，不能看到的部分用虚线表示．(2)由几何体的部分视图画出剩余的部分视图．先根据已知的一部分三视图，还原、推测直观图的可能形式，然后再找其剩下部分三视图的可能形式．当然作为选择题，也可将选项逐项代入，再看看给出的部分三视图是否符合．(3)由几何体的三视图还原几何体的形状．要熟悉柱、锥、台、球的三视图，明确三视图的形成原理，结合空间想象将三视图还原为实物图．9．C解析：C【分析】根据题中所给的几何体的三视图还原几何体，得到相应的三棱锥，之后利用椎体体积公式求得结果.【详解】根据题中所给的几何体的三视图还原几何体如图所示：该三棱锥满足底面BCD△是等腰三角形，且底边和底边上的高线都是2；且侧棱AD⊥底面BCD，1AD=，所以112 =221=323V⨯⨯⨯⨯，故选：C.【点睛】方法点睛：该题考查的是有关根据所给几何体三视图求几何体体积的问题，解题方法如下：（1）应注意把握三个视图的尺寸关系：主视图与俯视图长应对正（简称长对正），主视图与左视图高度保持平齐（简称高平齐），左视图与俯视图宽度应相等（简称宽相等），若不按顺序放置和不全时，则应注意三个视图名称；（2）根据三视图还原几何体；（3）利用椎体体积公式求解即可.10．C解析：C【分析】首先通过延长直线,DC AB，交于点G，平面BAE变为GAE，连结PG，EG交于点F，再根据三角形中线的性质，求PFFC的值.【详解】延长,DC AB，交于点G，连结PG，EG交PC于点F，//AD BC ，且2AD BC =，可得点,B C 分别是,AG DG 的中点，又点E 是PD 的中点，PC ∴和GE 是△PGD 的中线，∴点F 是重心，得2PFFC=故选：C 【点睛】关键点点睛：本题的关键是找到PC 与平面BAE 的交点，即将平面BAE 转化为平面GAE 是关键. 11．C解析：C 【分析】将三棱锥111A AB D -、三棱锥11A BC D -分离出来单独分析，根据线段长度以及线线关系证明1A 的射影点分别是11AB D 和1BC D 的哪一种心. 【详解】三棱锥111A AB D -如下图所示：记1A 在面11AB D 上的射影点为O ，连接11,,AO B O D O ，因为11111AA A D A B ==，又1A O ⊥平面11AB D ， 所以222222*********1,,AA AO AO A D AO OD A B AO OB =+=+=+ 所以11AO OB OD ==，所以O 为11AB D 的外心；三棱锥11A BC D -如下图所示：记1A 在面1BC D 上的射影点为1O ，连接1111,,BO C O DO ，因为11//BC AD ，且四边形11ADD A 是菱形，所以11AD A D ⊥，所以11BC A D ⊥， 又因为11A O ⊥平面1BC D ，所以1111111,AO BC AO A D A ⊥=，所以1BC ⊥平面11AO D ，又因为1DO ⊂平面11AO D ，所以11DO BC ⊥， 同理可知：1111,BO DC C O DB ⊥⊥，所以1O 为1BC D 的垂心， 故选：C. 【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是通过1A 的射影点去证明线段长度的关系、线段位置的关系，借助线面垂直的定义和判定定理去分析解答问题.12．C解析：C 【分析】设AH a =，则3BH a =，由线面垂直的性质和勾股定理可求得DH a AH ==，由等腰三角形的性质可证得BD ⊥DH ，再根据线面垂直的判定和性质可得选项. 【详解】设AH a =，则3BH a =，因为'C H ⊥面ABD ，AB 面ABD ，DH ⊂面ABD ，所以'C H ⊥AB ，'C H ⊥DH ，'C H ⊥DB ， 又Rt ABC ，1,3,2AC AB BC ===，D 为BC 的中点，所以'1,6C D BD B DAB π==∠=∠=，所以在'Rt AC H 中，()2''221C H AC AHa =-=-Rt C HD ’中，()2'222'211DH C D C H a a =-=--=，所以DH a AH ==，所以6ADH DAB π∠=∠=，又23ADB π∠=，所以2HDB π∠=，所以BD ⊥DH ，又'C HDH H =，所以BD ⊥面'C DH ，又'C D ⊂面'C DH ，所以BD ⊥'C D ， 故选：C. 【点睛】关键点点睛：在解决折叠问题时，关键在于得出折叠的前后中，线线、线面、面面之间的位置关系的不变和变化，以及其中的边的长度、角度中的不变量和变化的量.二、填空题13．【分析】确定是等腰直角三角形的中点分别是和的外心由直棱柱性质得的外接球的球心在上外接球面与平面的交线是圆是以为圆心为半径的圆求出可得面积【详解】则设分别是的中点则分别是和的外心由直三棱柱的性质得平面 解析：4π【分析】确定ABC 是等腰直角三角形，11,AC A C 的中点1,D D 分别是ABC 和111A B C △的外心，由直棱柱性质得P ABC -的外接球的球心O 在1DD 上，外接球面与平面111A B C 的交线是圆，是以1D 为圆心，1D P 为半径的圆，求出1PD 可得面积． 【详解】4,AB BC AC ===90ABC ∠=︒，设1,D D 分别是11,AC A C 的中点，则1,D D 分别是ABC 和111A B C △的外心，由直三棱柱的性质得1DD ⊥平面ABC ， 所以P ABC -的外接球的球心O 在1DD 上，如图，24()41OA ππ=，则2OP OA ==，32OD ===， 所以11135422OD DD OD AA OD =-=-=-=，12PD ===， P ABC -的外接球面与平面111A B C 的交线是圆，是以1D 为圆心，1D P 为半径的圆，其面积为224S ππ=⨯=． 故答案为：4π．【点睛】关键点点睛：本题考查立体几何中动点轨迹问题的求解，重点考查了几何体的外接球的有关问题的求解，关键是根据外接球的性质确定球心位置，结合勾股定理得出动点所满足的具体条件，结论：三棱锥的外接球的球心在过各面外心且与此面垂直的直线上．14．【分析】根据直观图和原图的之间的关系由直观图画法规则将还原为如图所示是一个等腰三角形直接求解其面积即可【详解】由直观图画法规则将还原为如图所示是一个等腰三角形则有所以故答案为：【点睛】关键点点睛：根 解析：82【分析】根据直观图和原图的之间的关系，由直观图画法规则将Rt A B C '''还原为ABC ，如图所示，ABC 是一个等腰三角形，直接求解其面积即可． 【详解】由直观图画法规则将Rt A B C '''还原为ABC ，如图所示，ABC 是一个等腰三角形,则有2BO OC B O O C ''''====，242AO A O ''==所以114428222ABCSBC AO =⋅=⨯⨯= 故答案为：2【点睛】关键点点睛：根据斜二测画法的规则，可得出三角形的直观图，并求出对应边长，根据面积公式求解．15．【分析】作出图形计算出正四棱锥的高与底面边长设底面的中心为计算得出为正四棱锥的外接球球心可求得该正四棱锥的外接球半径即可得解【详解】如下图所示设正四棱锥的底面的中心为连接设正四棱锥的底面边长为则由于解析：36π【分析】作出图形，计算出正四棱锥P ABCD -的高与底面边长，设底面ABCD 的中心为E ，计算得出E 为正四棱锥P ABCD -的外接球球心，可求得该正四棱锥的外接球半径，即可得解. 【详解】如下图所示，设正四棱锥P ABCD -的底面ABCD 的中心为E ，连接PE 、AC 、BD ，设正四棱锥P ABCD -的底面边长为a ，则2AC BD a ==，由于E 为正四棱锥P ABCD -的底面ABCD 的中心，则PE ⊥平面ABCD ， 由于正四棱锥P ABCD -的侧棱与底面所成的角为45，则45PAC PCA ∠=∠=， 所以，PAC △是以APC ∠为直角的等腰直角三角形， 同理可知，PBD △是以BPD ∠为直角的等腰直角三角形，E 为AC 的中点，1222PE AC a ==，2ABCD S a =正方形， 231122183326P ABCD ABCD V S PE a a a -=⋅=⨯⨯==正方形，解得32a =，232PE a ==，由直角三角形的性质可得1122PE AC BD ==，即PE AE BE CE DE ====，所以，E 为正四棱锥P ABCD -外接球的球心， 球E 的半径为3r PE ==，该球的表面积为2436r ππ=. 故答案为：36π. 【点睛】方法点睛：求空间多面体的外接球半径的常用方法：①补形法：侧面为直角三角形，或正四面体，或对棱二面角均相等的模型，可以还原到正方体或长方体中去求解；②利用球的性质：几何体中在不同面均对直角的棱必然是球大圆直径，也即球的直径； ③定义法：到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据带其他顶点距离也是半径，列关系求解即可.16．【分析】首先把三视图转换为直观图进一步求出几何体的外接球的半径最后求出球的表面积【详解】根据几何体的三视图可知该几何体是底面为等腰三角形高为2的三棱锥体如图所示:设底面外接圆的半径为t 圆心为H 则解得 解析：414π 【分析】首先把三视图转换为直观图，进一步求出几何体的外接球的半径，最后求出球的表面积.【详解】根据几何体的三视图可知该几何体是底面为等腰三角形，高为2的三棱锥体．如图所示:设底面外接圆的半径为t ,圆心为H ，则2221(2)t t =+-，解得54t =， 设外接球的半径r ，球心为O ，则OH ⊥底面，且1OH =， 则22541()144r =+=所以41414().164S ππ=⨯⨯= 故答案为：414π 【点睛】 关键点点睛：球心与底面外接圆圆心连线垂直底面，且OH 等于棱锥高的一半，利用勾股定理求出球的半径，由面积公式计算即可.17．【分析】设出外接球的半径球心的外心半径r 连接过作的平行线交于连接如图所示在中运用正弦定理求得的外接圆的半径r 再利用的关系求得外接球的半径运用球的表面积公式可得答案【详解】设三棱锥外接球的半径为球心为 解析：20π【分析】设出外接球的半径R 、球心O ，ABC 的外心1O 、半径 r , 连接1AO ，过O 作的平行线OE 交AD 于 E ，连接OA ，OD ，如图所示，在ABC 中，运用正弦定理求得 ABC的外接圆的半径r ,再利用1,,R r OO 的关系求得外接球的半径，运用球的表面积公式可得答案.【详解】设三棱锥外接球的半径为R 、球心为O ，ABC 的外心为1O 、外接圆的半径为r ，连接1AO ，过O 作平行线OE 交AD 于E ，连接OA ，OD ，如图所示，则OA OD R ==，1O A r =，OE AD ⊥，所以E 为AD 的中点.在ABC 中，由正弦定理得172sin 22BC r BAC ==∠，解得334r =. 在ABC 中，由余弦定理2222cos BC AB AC AB AC BAC =+-⋅⋅∠，可得2117963AB AB =+-⋅⋅，得4AB =. 所以1122sin 3442223ABC S AB AC BAC =⋅⋅∠=⨯⨯⨯=△. 因为112742333D ABC ABC V S AD AD -=⋅⋅=⨯⨯=△，所以144AD =.连接1OO ，又1//OO AD ，所以四边形1EAO O 为平行四边形，111428EA OO AD ===，所以22221114324588R OO AO ⎛⎫⎛⎫=+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 所以该三棱锥的外接球的表面积()224π4π520πS R ===.故答案为：20π.【点睛】本题考查三棱锥的外接球，及球的表面积计算公式，解决问题的关键在于利用线面关系求得外接球的球心和球半径，属于中档题.18．【分析】分别取棱的中点连接易证平面平面由题意知点必在线段上由此可判断在或处时最长位于线段中点处时最短通过解直角三角形即可求得【详解】如下图所示连分别为所在棱的中点则又平面平面平面四边形为平行四边形又 解析：[32,25]【分析】分别取棱1BB 、11B C 的中点M 、N ，连接MN ，易证平面1//A MN 平面AEF ，由题意知点P 必在线段MN 上，由此可判断P 在M 或N 处时1A P 最长，位于线段MN 中点处时最短，通过解直角三角形即可求得．【详解】如下图所示，连MN ，EF ，1A D ，EMM ，N ，E ，F 分别为所在棱的中点，则1//MN A D ，1//EF A D ，//EF MN ∴，又MN ⊂平面1C EF ，EF ⊂平面1C EF ，//MN ∴平面1C EF ．11//,C C EM C C EM =，∴四边形1C CME 为平行四边形，1//C E CM ，又CM ⊄平面1C EF ，1C E ⊂平面1C EF ，//CM ∴平面1C EF ，又NM CM M =， ∴平面//NMC 平面1C EF ．P 是侧面四边形ADD 1A 1内一动点，且C 1P ∥平面CMN ，∴点P 必在线段EF 上．在Rt △11C D E 中，222211114225C E C D D E =+=+=同理，在Rt △11C D F 中，可得125C F =， ∴△1C EF 为等腰三角形．当点P 为EF 中点O 时，1C P EF ⊥，此时1C P 最短；点P 位于,E F 处时，1C P 最长． ()222211(25)232C O C E OE =-=-=1125C E C F ==∴线段1C P长度的取值范围是．故答案为：【点睛】本题考查点、线、面间的距离问题，考查学生的运算能力及推理转化能力，属中档题，解决本题的关键是通过构造平行平面寻找P点位置．19．【分析】此梯形以AD所在直线为轴旋转一周得到的是圆台然后根据圆台的侧面积和表面积公式进行计算【详解】将此梯形以AD所在直线为轴旋转一周得到的是圆台其中圆台的上底半径为r＝CD＝2下底半径为R＝AB＝解析：23π【分析】此梯形以AD所在直线为轴旋转一周，得到的是圆台，然后根据圆台的侧面积和表面积公式进行计算．【详解】将此梯形以AD所在直线为轴旋转一周，得到的是圆台，其中圆台的上底半径为r＝CD＝2，下底半径为R＝AB＝3，母线BC＝2，∴圆台的上底面积为πr2＝4π，下底面积为πR2＝9π，圆台的侧面积为（πr+πR）•BC＝π（2+3）×2＝10π，∴圆台的表面积为4π+9π+10π＝23π，故答案为23π．【点睛】本题考查圆台表面积的计算，利用旋转体的定义确定该几何体是圆台是解决本题的关键．20．【分析】欲使圆柱侧面积最大需使圆柱内接于圆锥设圆柱的高为h底面半径为r用r表示h从而求出圆柱侧面积的最大值【详解】欲使圆柱侧面积最大需使圆柱内接于圆锥；设圆柱的高为h底面半径为r则解得；所以；当时取解析：【分析】欲使圆柱侧面积最大，需使圆柱内接于圆锥，设圆柱的高为h，底面半径为r，用r表示h，从而求出圆柱侧面积的最大值.【详解】欲使圆柱侧面积最大，需使圆柱内接于圆锥；设圆柱的高为h ，底面半径为r ， 23423r =，解得33h r =； 所以()23222334S rh r r r πππ⎛⎫===- ⎪ ⎪⎝⎭圆柱侧； 当2r 时，S 圆柱侧取得最大值为43π 故答案为：3π.【点睛】本题考查了求圆柱侧面积的最值，考查空间想象能力，将问题转化为函数求最值，属于中档题.三、解答题21．（1）4；（2）60︒；（3）33. 【分析】（1）根据棱锥的体积公式求解即可；（2）作辅助线，利用平行得出异面直线1CB 与1AC 所成角就是COE ∠，再结合等边三角形的性质得出夹角；（3）过C 作1CF AC ⊥于点F ，连接,CF BF ，由11,CF AC BF AC ⊥⊥结合定义得出二面角1B AC C --的平面角，再由直角三角形的边角关系得出平面角的余弦值.【详解】（1）三棱柱111ABC A B C -的体积1122242ABC V S CC ⎛⎫=⋅=⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭（2）记1BC 与1B C 的交点为O ，作AB 的中点E ，连接,OE CE ，异面直线1CB 与1AC 所成角就是COE ∠2CO OE CE ===60COE ︒∴∠=（3）过C 作1CF AC ⊥于点F ，连接,CF BF11,CF AC BF AC BFC ⊥⊥⇒∠为所求角 3tan 2,cos 2BC BFC BFC FC ∠===∠=【点睛】关键点睛：在求异面直线的夹角时，关键是利用中位线定理得出平行，从而得出异面直线的夹角.22．（1）证明见解析；（2）155；（3）12. 【分析】（1）连接AC 交BD 于点O ，连接PO ，推导出BD ⊥平面PAC ，进而可得出PC BD ⊥；（2）过点O 在平面PAC 内作OF PC ⊥，垂足为点F ，连接BF ，推导出OFB ∠为二面角B PC E --的平面角，计算出OF 、BF ，可计算出cos OFB ∠，即可得解； （3）计算出PCE 的面积，利用锥体的体积公式可得出13P BCE B PCE PCE V V S OB --==⋅△，即可得解. 【详解】证明：（1）连接AC 交BD 于O 点，连接PO ，∵四边形ABCD 是菱形，AC BD ∴⊥，则O 是BD 的中点，PB PD =，PO BD ∴⊥，又AC PO O =，AC 、OP ⊂平面PAC ，BD ∴⊥平面PAC ，又PC ⊂平面PAC ，PC BD ∴⊥；（2）由（1）知BO ⊥平面PAC ，PC ⊂平面PAC ，则OB PC ⊥，过O 在平面PAC 内作OF PC ⊥于F ，连接BF ，由OB OF O ⋂=，则PC ⊥平面OBF ，BF ⊂平面OBF ，得BF PC ⊥，故OFB ∠为二面角B PC E --的平面角， 四边形ABCD 是菱形，60BAD ∠=，ABD ∴为等边三角形，2BD AB AD ∴===，112OB BD ∴==，223OC OA AB OB ==-= OB ⊥平面PAC ，OP ⊂平面PAC ，OP OB ∴⊥，223OP PB OB ∴-= 3OA =3OP =6PA =222OP PA OA +∴=，即OA OP ⊥，即PO AC ⊥，3366PO OC OF PC ⋅⨯∴===，222261012BF BO OF ⎛⎫=+=+= ⎪ ⎪⎝⎭， 故615cos 510OF OFB BF ∠===，即二面角B PC E --的余弦值是155； （3）E 为PA 的中点，11333222PCE PAC POA S S S ∴====△△△， 又OB ⊥平面PAC ，113113322P BCE B PCE PCE V V S OB --∴==⋅=⨯⨯=△. 【点睛】方法点睛：求二面角常用的方法：（1）几何法：二面角的大小常用它的平面角来度量，平面角的作法常见的有： ①定义法；②垂面法，注意利用等腰三角形的性质；（2）空间向量法：分别求出两个平面的法向量，然后通过两个平面法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求二面角是锐角还是钝角.。

必修2立体几何参考试题

必修2立体几何参考试题

必修2立体几何参考习题一．选择题（共19小题）1．（2011•番禺区）设M是正四面体ABCD的高线AH上一点，连接MB、MC，若∠BMC=90°，则的值为（）．C D2．（2006•浙江）如图，正三棱柱ABC﹣A1B1C1的各棱长都2，E，F分别是AB，A1C1的中点，则EF的长是（）C D．3．在正方体八个顶点中任取四个顺次连接得到三棱锥，则所得三棱锥中至少有三个面都是直角三角形的概率为．C D．．C D．．C D．7．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为棱DD1，AB上的点．已知下列判断：①A1C⊥平面B1EF；②△B1EF在侧面BCC1B1上的正投影是面积为定值的三角形；③在平面A1B1C1D1内总存在与平面B1EF平行的直线；④平面B1EF与平面ABCD所成的二面角（锐角）的大小与点E的位置有关，与点F的位置无关，其中正确判断的个数有（）8．（理）水平桌面上放置着一个容积为V的密闭长方体玻璃容器ABCD﹣A1B1C1D1，其中装有的水，给出下列操作与结论：①把容器一端慢慢提起，使容器的一条棱AD保持在桌面上，这个过程中，水的形状始终是柱体；②在①中的运动过程中，水面始终是矩形；③把容器提离桌面，随意转动，水面始终过长方体内一个定点；9．如图，P是正方体ABCD﹣A1B1C1D1对角线AC1上一动点，设AP的长度为x，若△PBD的面积为f（x），则f （x）的图象大致是（）．C D．10．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分别是BC1，CD1的中点，则下列说法错误的是（）11．如图所示，在单位正方体ABCD﹣A1B1D 1的面对角线A1B上存在一点P使得AP+D1P取得最小值，则此最小值为（）C+．12．正三棱锥V﹣ABC的底面边长为2a，E、F、G、H分别是V A、VB、BC、AC的中点，则四边形EFGH面积的取值范围是（）CD ．14．如图所示，已知空间四边形的每条边和对角线长都等于a ，点E 、F 、G 分别为AB 、AD 、DC 的中点，则a 2等于（ ）••••15．（2011•江西）将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的左视图为．CD ．16．（2011•浙江）几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是（ ）．CD ．17．一梯形的直观图是一个如图所示的等腰梯形，且梯形OA /B /C /的面积为，则原梯形的面积为（ ）C．C D．二．填空题（共3小题）20．如图，在正方体的一角上截取三棱锥P﹣ABC，PO为棱锥的高，记，，那么M，N的大小关系是_________．21．如图所示，在四面体ABCD中，E，F，G分别是棱AB，AC，CD的中点，则过E，F，G的截面把四面体分成两部分的体积之比V ADEFGH：V BCEFGH=_________．22．棱长为2的正四面体S﹣ABC中，M为SB上的动点，则AM+MC的最小值为_________．三．解答题（共3小题）23．如图是表示以AB=4，BC=3的矩形ABCD为底面的长方体被一平面斜截所得的几何体，其中四边形EFGH为截面．已知AE=5，BF=8，CG=12．（1）作出截面EFGH与底面ABCD的交线l；（2）截面四边形EFGH是否为菱形？并证明你的结论；（3）求DH的长．24．在三棱锥P﹣ABC中，△PAB、△PBC、△PCA都为直角三角形，试指出△ABC的形状，并证明你的结论．25．如图所示，空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA上的点，请回答下列问题：（1）满足什么条件时，四边形EFGH为平行四边形？（2）满足什么条件时，四边形EFGH为矩形？（3）满足什么条件时，四边形EFGH为正方形？参考答案与试题解析一．选择题（共19小题）1．（2011•番禺区）设M是正四面体ABCD的高线AH上一点，连接MB、MC，若∠BMC=90°，则的值为（）．C D+a，故有a+x===AH，即BH=2．（2006•浙江）如图，正三棱柱ABC﹣A1B1C1的各棱长都2，E，F分别是AB，A1C1的中点，则EF的长是（）C D．EF=3．在正方体八个顶点中任取四个顺次连接得到三棱锥，则所得三棱锥中至少有三个面都是直角三角形的概率为．C D．．C D．=．C D．=；7．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为棱DD1，AB上的点．已知下列判断：①A1C⊥平面B1EF；②△B1EF在侧面BCC1B1上的正投影是面积为定值的三角形；③在平面A1B1C1D1内总存在与平面B1EF平行的直线；④平面B1EF与平面ABCD所成的二面角（锐角）的大小与点E的位置有关，与点F的位置无关，其中正确判断的个数有（）8．（理）水平桌面上放置着一个容积为V的密闭长方体玻璃容器ABCD﹣A1B1C1D1，其中装有的水，给出下列操作与结论：①把容器一端慢慢提起，使容器的一条棱AD保持在桌面上，这个过程中，水的形状始终是柱体；②在①中的运动过程中，水面始终是矩形；③把容器提离桌面，随意转动，水面始终过长方体内一个定点；的水，而平分正方体体积的平面必定经过正方体的中心，推出结论；的水，而平分正方体体积的平面必定经过正方体的中心，即水面始终过长方体内一个定9．如图，P是正方体ABCD﹣A1B1C1D1对角线AC1上一动点，设AP的长度为x，若△PBD的面积为f（x），则f （x）的图象大致是（）．C D．=BDPO==××10．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分别是BC1，CD1的中点，则下列说法错误的是（）11．如图所示，在单位正方体ABCD﹣A1B1D1的面对角线A1B上存在一点P使得AP+D1P取得最小值，则此最小值为（）C+．=12．正三棱锥V﹣ABC的底面边长为2a，E、F、G、H分别是V A、VB、BC、AC的中点，则四边形EFGH面积C D．A=VB=VC=A=×=14．如图所示，已知空间四边形的每条边和对角线长都等于a，点E、F、G分别为AB、AD、DC的中点，则a2等于（）••••，＞，化简2，＞，•=a15．（2011•江西）将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的左视图为．C D．16．（2011•浙江）几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是（）．C D．的正视图为答案中侧视图为17．一梯形的直观图是一个如图所示的等腰梯形，且梯形OA/B/C/的面积为，则原梯形的面积为（）C倍，由此平面图中梯形的高×=2倍，梯形的面积为×正三棱锥，aa：．C D．，半径为：所以，正方体的内切球与外接球的半径之比为：二．填空题（共3小题）20．如图，在正方体的一角上截取三棱锥P﹣ABC，PO为棱锥的高，记，，那么M，N的大小关系是M=N．，21．如图所示，在四面体ABCD中，E，F，G分别是棱AB，AC，CD的中点，则过E，F，G的截面把四面体分成两部分的体积之比V ADEFGH：V BCEFGH=1：1．22．棱长为2的正四面体S﹣ABC中，M为SB上的动点，则AM+MC的最小值为．×=故答案为三．解答题（共3小题）23．如图是表示以AB=4，BC=3的矩形ABCD为底面的长方体被一平面斜截所得的几何体，其中四边形EFGH为截面．已知AE=5，BF=8，CG=12．（1）作出截面EFGH与底面ABCD的交线l；（2）截面四边形EFGH是否为菱形？并证明你的结论；（3）求DH的长．24．在三棱锥P﹣ABC中，△PAB、△PBC、△PCA都为直角三角形，试指出△ABC的形状，并证明你的结论．25．如图所示，空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA上的点，请回答下列问题：（1）满足什么条件时，四边形EFGH为平行四边形？（2）满足什么条件时，四边形EFGH为矩形？（3）满足什么条件时，四边形EFGH为正方形？BD BD。

高一必修二立体几何练习题(含答案)

高一必修二立体几何练习题(含答案)

《立体几何初步》练习题一、 选择题1、一条直线和三角形的两边同时垂直，则这条直线和三角形的第三边的位置关系是（ ）A 、垂直B 、平行C 、相交不垂直D 、不确定2. 在正方体1111ABCD A B C D -中, 与1A C 垂直的是（ ）A. BDB. CDC. BCD. 1CC3、线n m ,和平面βα、，能得出βα⊥的一个条件是( )A.βα//n ,//m ,n m ⊥B.m ⊥n ,α∩β=m ,n ⊂αC.αβ⊆⊥m n n m ,,//D.βα⊥⊥n m n m ,,//4、平面α与平面β平行的条件可以是（ ）A.α内有无穷多条直线与β平行；B.直线a//α,a//βC.直线a α⊂,直线b β⊂,且a//β,b//αD.α内的任何直线都与β平行5、设m 、n 是两条不同的直线，,,αβγ是三个不同的平面，给出下列四个命题： ①若m ⊥α，n //α，则m n ⊥ ②若αβ//，βγ//，m ⊥α，则m ⊥γ③若m //α，n //α，则m n // ④若αγ⊥，βγ⊥，则//αβ其中正确命题的序号是( )A.①和②B.②和③C.③和④D.①和④6.点P 为ΔABC 所在平面外一点，PO ⊥平面ABC ，垂足为O,若PA=PB=PC ，则点O 是ΔABC 的（ ）A.内心B.外心C.重心D.垂心7. 若l 、m 、n 是互不相同的空间直线，α、β是不重合的平面，则下列命题中为真命题的是（ ）A ．若//,,l n αβαβ⊂⊂，则//l nB ．若,l αβα⊥⊂，则l β⊥C. 若,//l l αβ⊥，则αβ⊥ D ．若,l n m n ⊥⊥，则//l m8. 已知两个平面垂直，下列命题中正确的个数是（ ）①一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的任意一条直线；②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线；③一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面；④过一个平面内任意一点作交线的垂线，则垂线必垂直于另一个平面.A.3B.2C.1D.09．（2013浙江卷）设m.n 是两条不同的直线,α.β是两个不同的平面,（ ） A ．若m∥α,n∥α,则m∥n B ．若m∥α,m∥β,则α∥βC ．若m ∥n,m⊥α,则n⊥αD ．若m∥α,α⊥β,则m⊥β10．（2013广东卷）设l 为直线,,αβ是两个不同的平面,下列命题中正确的是（ ）A ．若//l α,//l β,则//αβB ．若l α⊥,l β⊥,则//αβC ．若l α⊥,//l β,则//αβD ．若αβ⊥,//l α,则l β⊥ 二、填空题11、在棱长为2的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是棱AB ，BC 中点，则三棱锥B —B 1EF 的体积为 .12．对于空间四边形ABCD ，给出下列四个命题：①若AB=AC ，BD=CD 则BC ⊥AD ；②若AB=CD ，AC=BD 则BC ⊥AD ；③若AB ⊥AC ，BD ⊥CD 则BC ⊥AD ；④若AB ⊥CD ， BD ⊥AC 则BC ⊥AD ；其中真命题序号是 ．13. 已知直线b//平面α，平面α//平面β，则直线b 与β的位置关系为 .14. 如图，△ABC 是直角三角形，∠ACB=︒90，PA ⊥平面ABC ，此图形中有 个直角三角形选择题：AACDA,BCCCB填空题：11、1312、①④ 13、//b b ββ⊂或 14、4 解答题：15、作,AD PB ⊥A BC P。

高一数学 必修2 立体几何测试1

高一数学 必修2 立体几何测试1

立体几何测试1一．选择题1.四棱锥的四个侧面中，直角三角形最多可能有（）A.1B.2C.3D.42.给出下列几个命题：（1）棱柱的侧面都是平行四边形；（2）棱锥的侧面为三角形，且所有侧面都有一个公共顶点；（3）多面体至少有四个面；（4）棱台的侧棱所在直线均相交于同一点.其中，假命题的个数是（）A.0B.1C.2D.33.下列命题中错误的是( )A.圆柱的轴截面是过母线的截面中面积最大的一个；B.圆锥的轴截面是所有过顶点的截面中面积最大的一个；C.圆台的所有平行于底面的截面都是圆；D.圆锥所有的轴截面是全等的等腰三角形.4.一个棱柱是正四棱柱的条件是（）A.底面是正方形，有两个侧面是矩形;B.底面是正方形，有两个侧面垂直于底面;C.底面是菱形，且有一个顶点处的三条棱两两垂直;D.每个侧面都是全等矩形的四棱柱.5.用一个平面去截一个几何体，得到的截面是四边形，这个几何体可能是（）A.圆锥B.圆柱C.球体D.以上都可能6.下图是由哪个平面图形旋转得到的（）7.下列说法正确的是（）A．互相垂直的两条直线的直观图一定是互相垂直的两条直线B．梯形的直观图可能是平行四边形C．矩形的直观图可能是梯形D．正方形的直观图可能是平行四边形8.有一个几何体的三视图如下图所示，这个几何体应是一个( )A.棱台B.棱锥C.棱柱 D.都不对9.如图正方形OABC的边长为1cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是（）A.8cmB.6 cmC.2(1+3)cmD.2(1+2)c m10.如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为045，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是（）A．22+B．221+C．222+D．21+二．填空题11.一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等，那么这个几何体可以是_________(填三个）主视图侧视图俯视图xyCBAO12.一个四棱锥和一个三棱锥恰好可以拼接成一个三棱柱，这个四棱锥的底面为正方形，且底面边长与各棱长相等，这个三棱锥的底面边长与各侧棱长也都相等.设四棱锥、三棱锥、三棱柱的高分别,,,321h h h 则=321::h h h _______.13.若长方体的一个顶点上的三条棱的长分别为3,4,5，从长方体的一条对角线的一个端点出发,沿表面运动到另一个端点,其最短路程是______________。

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立体几何同步练习
二是一个平面，则a 、b 在：•上的射影有可能是
②两条互相垂直的直线
④一条直线及其外一点
（写出所有正确结论的编号） 2•多面体上，位于同一条棱两端的顶点称为相邻的，如图，正方体的一 个顶点A 在
平面内，其余顶点在:-的同侧，正方体上与顶点 A 相邻的 三个顶点到:-的距离分别
为1,2和4, P 是正方体的其余四个顶点中的一 个，则P 到平面的距离可能是：
①3; ②4; ③5; ④6; ⑤7
以上结论正确的为 ____________ 。

（写出所有正确结论的编号 ）
3.—个长方体的长、宽、高分别为
9cm 、6cm 、5cm ，先从这个长方体上尽可能
大地切下一 个正方体，再从剩下部分上尽可能大地切下一个正方体，
最后再从第二次剩下
部分上尽可能 大地切下一个正方体，那么，经过三次切割后剩余部分的体积为
cm 3
4•在正三棱柱 AB^A 1B 1C 1中，AB =d .若二面角C-AB-C^!的大小
为60 ',则点C 到平面ABC i 的距离为 ________________ .
5.正四面体 ABCD 的棱长为1,棱AB //平面a ，则正四面体上的所有点在平面
a 内的射
影构成的图形面积的取值范围是 ________ .
1已知a 、b 为不垂直的异面直线,
①两条平行直线
③同一条直线
在上面结论中，正确结论的编号是
6有一个各棱长均为a的正四棱锥，现用一张正方形包装纸将其完全包住，不能裁剪，可以
折叠，那么包装纸的最小边长为____________________ .
积为V i ，若将同样的正方形纸片按照如图(
2)中虚线所示的方法 剪开后拼接成一正四棱锥，设其体积为
V 2，则V 1和V 2的大小关系
是( ) A . V 1 V 2B . V 1 : V 2C . y =V 2D . V 1 <V 2
9•如图，在正三棱柱 ABC-AB^!^中，AB = 3, AA 1 = 4 , M 为AA 1的中点，P 是BC 上 一点，且由P 沿棱柱侧面经过棱 CC 1到M 的最短路线长为■. 29，设这条最短路线与
CC 1的交点为N ，求：
(I )该三棱柱的侧面展开图的对角线长 ；
(II) PC 和NC 的长；
(III) 平面MNP 与平面ABC 所成二面角(锐角)的正切值。

底面ABCD 与正方体的某一个平面平行，
且各顶点均在正方体的面 上，则这样的几何体体积的可能值有 (A ) 1 个 (B ) 2 个
图1
(C ) 3 个 (D )无穷多个 8长为4a 的正方形纸片按照如图
(1)中虚线所示的方法剪开后拼接成一正四棱柱,
设其体 N
B
同步练习参考答案
1.(1) (2)(4)
2.9 6 5 _(534323) = 73
3. ①③④⑤
4.
6•将正四棱锥的偶面都展开到所在的平面，展开图如图所示，若包装按虚线设计，可使包装
—、2- 2 亠• 6 纸最小，则最小边长为C.3
1)a a
2 2
7.D
2 1 2 ■' 2 2 8 J 2 3
8.由于V1 = 4a a，V2 4a .9a -a a ,所以
3 3
V V。

故选A o
9. (I) (II)如图，沿AA1侧棱展开
一 4
易求对角线长等于■. 97 , PC =2 , NC
5
(III)延长MN与AC相交于O点，连OP，则OP即为平面MNP与平面
ABC的交线。

过M作ME _ OP于E，连AE ,则.MEA即为平面MNP 与平面ABC所成二面角
的平面角。

5 4 易求A’ , 5 MEA蔦。

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