2017届高考数学一轮复习第十一章计数原理、概率、随机变量及其分布第二节排列与组合课后作业理

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高三数学一轮复习第11章第1课时课件

＝2 100 元．
两个计数原理的综合应用
对于某些复杂的问题，有时既要用分类计数原理，又要用分步计数原理，重视两个原理的灵活运用，并注意以下几点： (1)认真审题，分析题目的条件、结论，特别要理解题目中所讲的“事情”是什么，完成这件事情的含义和标准是什么． (2)明确完成这件事情需要 “ 分类 ” 还是 “ 分
2．混合问题一般是先分类再分步． 3．分类时标准要明确，做到不重复不遗漏． 4．要恰当画出示意图或树状图，使问题的分
析更直观、清楚，便于探索规律．
从近两年的高考试题来看，分类加法计数原理和分步乘法计数原理是考查的热点．题型为选择题、填空题，分值在5分左右，属中档题．两个计数原理较少单独考查，一般与排列、组合的知识相结合命题．
(2010·广东卷)为了迎接 2010 年广州亚运会，某大
楼安装了 5 个彩灯，它们闪亮的顺序不固定，每
个彩灯只能闪亮红、橙、黄、绿、蓝中的一种颜
色，且这 5 个彩灯所闪亮的颜色各不相同，记这 5
个彩灯有序地各闪亮一次为一个闪烁，在每个闪
烁中，每秒钟有且仅有一个彩灯闪亮，而相邻两
个闪烁的时间间隔均为 5 秒，如果要实现所有不
(2)确定第二象限的点，可分两步完成：第一步确定 a，由于 a<0，所以有 3 种确定方法；第二步确定 b，由于 b>0，所以有 2 种确定方法．由分步乘法计数原理，得到第二象限点的个数是 3×2＝6.
(3)点 P(a，b)在直线 y＝x 上的充要条件是 a ＝b.因此 a 和 b 必须在集合 M 中取同一元素，共有 6 种取法，即在直线 y＝x 上的点有 6 个．由(1)得不在直线 y＝x 上的点共有 36－ 6＝30(个)．

高三数学一轮复习第十一篇计数原理概率随机变量及其分布第2节排列与组合课件理(1)

个.
解析: (2)若 0 在 1,3 之间,则在 0,1,3 隔开的四个空位中插入 2,4 即可,此时的五位数个数为 A22A24 =24;若 0 在 1,3 右边,则 1,3 之间需插入一个数,另一个数在最高位,或者在 0 左右,此时五位数的个数为 A22C12 ×3=12;若 0 在 1,3 左边,此时 2,4 只能一个在 0 的左边(最高位)、一个在 1,3 之间,此时的五位数个数为 A22A22 =4.故共可组成五位数有 24+12+4=40(个).
不同元素中取出 m 个元素的排列数
n 个不同元素中取出 m 个元素的组合数
排列数公式
A
m n
=n(n-1)(n-2)…
公式
(n-m+1) =
n!
(n m)!
组合数公式
C
m n
=
Amn Amm
=
n(n 1)(n 2)...(n m 1) = n!
m!
m!(n m)!
性质
A
n n
【即时训练】 (2015河南郑州市二次质量预测)某校开设A类选修课2 门,B类选修课3门,一位同学从中选3门.若要求两类课程中各至少选一门,则不同的选法共有( ) (A)3种 (B)6种 (C)9种 (D)18种
解析:直接法: C12C32 + C22C13 =9. 间接法: C35 -1=9. 故选 C.
答案: (2)40
备选例题
【例 1】
(1)若
3
A
3 x
=2
A2 x 1
+6
A
2 x
,则
x=
.
(2)若
Cx2 16

高三理科数学一轮复习讲义：第十一章计数原理概率随机变量及其分布11.8条件概率n次独立重复试验与二项分布

§11.8 条件概率、n 次独立重复试验与二项分布考纲展示►1.了解条件概率和两个事件相互独立的概念．2．理解n 次独立重复试验的模型及二项分布，并能解决一些简单的实际问题．考点1 条件概率条件概率 (1)定义设A ，B 为两个事件，且P (A )>0，称P (B |A )＝P ABP A为在事件A 发生条件下，事件B 发生的条件概率．(2)性质①0≤P (B |A )≤1；②如果B 和C 是两个互斥事件，则P (B ∪C |A )＝P (B |A )＋P (C |A )．条件概率的性质．(1)有界性：0≤P (B |A )≤1.( )(2)可加性：如果B 和C 为互斥事件，则P ((B ∪C )|A )＝P (B |A )＋P (C |A )．( )[典题1] (1)从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A ：“取到的2个数之和为偶数”，事件B ：“取到的2个数均为偶数”，则P (B |A )＝( )A.18B.14C.25D.12(2)1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球，现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱，然后从2号箱随机取出一球，则两次都取到红球的概率是( )A.1127B.1124C.827D.924[点石成金] 条件概率的两种求解方法 (1)定义法：先求P (A )和P (AB )，再由P (B |A )＝P ABP A求P (B |A )．(2)基本事件法：借助古典概型概率公式，先求事件A 包含的基本事件数n (A )，再求事件AB 所包含的基本事件数n (AB )，得P (B |A )＝n ABn A.考点2 事件的相互独立性(1)定义：设A ，B 为两个事件，如果P (AB )＝________，则称事件A 与事件B 相互独立． (2)性质：若事件A 与B 相互独立，则A 与B 、A 与B 、A 与B 也都相互独立，P (B |A )＝________，P (A |B )＝________.[典题2] 为了分流地铁高峰的压力，某市发改委通过听众会，决定实施低峰优惠票价制度．不超过22千米的地铁票价如下表：的概率分别为14，13，甲、乙乘车超过6千米且不超过12千米的概率分别为12，13.(1)求甲、乙两人所付乘车费用不相同的概率；(2)设甲、乙两人所付乘车费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列．[点石成金] 1.利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解；2．正面计算较繁或难以入手时，可从其对立事件入手计算.在一块耕地上种植一种作物，每季种植成本为 1 000元，此作物的市场价格和这块地上的产量均具有随机性，且互不影响，其具体情况如下表：(1)设X(2)若在这块地上连续3季种植此作物，求这3季中至少有2季的利润不少于2 000元的概率．考点3 独立重复试验与二项分布独立重复试验与二项分布(1)[教材习题改编]某人抛掷一枚硬币，出现正反的概率都是12，构造数列{a n }，使得a n＝⎩⎪⎨⎪⎧第n 次出现正面，－第n 次出现反面，记S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n (n ∈N *)，则S 4＝2的概率为________．(2)[教材习题改编]小王通过英语听力测试的概率是13，他连续测试3次，那么其中恰有1次获得通过的概率是________．二项分布：P (X ＝k )＝C k n p k(1－p )n －k(k ＝0,1,2，…，n )．设随机变量X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫6，12，则P (X ＝3)的值是________．[典题3] [2019·湖南长沙模拟]博彩公司对2019年NBA 总决赛做了大胆地预测和分析，预测西部冠军是老辣的马刺队，东部冠军是拥有詹姆斯的年轻的骑士队，总决赛采取7场4胜制，每场必须分出胜负，场与场之间的结果互不影响，只要有一队获胜4场就结束比赛．前4场，马刺队胜利的概率为12，第5,6场马刺队因为平均年龄大，体能下降厉害，所以胜利的概率降为25，第7场，马刺队因为有多次打第7场的经验，所以胜利的概率为35.(1)分别求马刺队以4∶0,4∶1,4∶2,4∶3胜利的概率及总决赛马刺队获得冠军的概率； (2)随机变量X 为分出总冠军时比赛的场数，求随机变量X 的分布列．[点石成金] 利用独立重复试验概率公式可以简化求概率的过程，但需要注意检查该概率模型是否满足公式P (X ＝k )＝C k n p k(1－p )n －k的三个条件：(1)在一次试验中某事件A 发生的概率是一个常数p ；(2)n 次试验不仅是在完全相同的情况下进行的重复试验，而且各次试验的结果是相互独立的；(3)该公式表示n 次试验中事件A 恰好发生了k 次的概率.某市为了调查学校“阳光体育活动”在高三年级的实施情况，从本市某校高三男生中随机抽取一个班的男生进行投掷实心铅球(重3 kg)测试，成绩在6.9米以上的为合格．把所得数据进行整理后，分成5组画出频率分布直方图的一部分(如图所示)，已知成绩在[9.9,11.4)的频数是4.(1)求这次铅球测试成绩合格的人数；(2)若从今年该市高中毕业男生中随机抽取两名，记ξ表示两人中成绩不合格的人数，利用样本估计总体，求ξ的分布列．[方法技巧] 1.古典概型中，A 发生的条件下B 发生的条件概率公式为P (B |A )＝P ABP A＝n AB n A ，其中，在实际应用中P (B |A )＝n ABn A是一种重要的求条件概率的方法．2．判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有二：其一是独立性，即一次试验中，事件发生与不发生二者必居其一；其二是重复性，即试验是独立重复地进行了n次．3．n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次可看作是C k n个互斥事件的和，其中每一个事件都可看作是k个A事件与n－k个A事件同时发生，只是发生的次序不同，其发生的概率都是p k(1－p)n－k.因此n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率为C k n p k(1－p)n－k.[易错防范] 1.相互独立事件是指两个事件发生的概率互不影响，计算公式为P(AB)＝P(A)P(B)．互斥事件是指在同一试验中，两个事件不会同时发生，计算公式为P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．2．运用公式P(AB)＝P(A)P(B)时一定要注意公式成立的条件，只有当事件A，B相互独立时，公式才成立．真题演练集训1．[2018·重庆模拟]投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试．已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为( )A．0.648 B．0.432C．0.36 D．0.3122．[2018·天津模拟]某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是( )A．0.8 B．0.75C．0.6 D．0.45课外拓展阅读误用“二项分布与超几何分布”二项分布和超几何分布是两类重要的概率分布模型，这两种分布存在着很多的相似之处，在应用时应注意各自的适用条件和情境，以免混用出错．[典例1] 某农场计划种植某种新作物，为此对这种作物的两个品种(分别称为品种甲和品种乙)进行田间试验．现在在总共8小块地中，随机选4小块地种植品种甲，另外4小块地种植品种乙．种植完成后若随机选出4块地，其中种植品种甲的小块地的数目记为X，求X的分布列和数学期望．[思路分析]判断分布的类型→确定X的取值及其概率→列出分布列并求数学期望易错提示本题容易错误地得到X 服从二项分布，每块地种植甲的概率为12，故X ～B (4,0.5)．错误的根源在于每块地种植甲或乙不是相互独立的，它们之间是相互制约的，无论怎么种植都要保证8块地中有4块种植甲，4块种植乙，事实上X 应服从超几何分布．如果将题目改为：在8块地中，每块地要么种植甲，要么种植乙，那么在选出的4块地中种植甲的数目为X ，则这时X ～B (4,0.5)(这时这8块地种植的方法总数为28，会出现所有地都种植一种作物的情况，而题目要求4块地种植甲，4块地种植乙，其方法总数为C 48)．[典例2] 某高校设计了一个实验学科的实验考查方案：考生从6道备选题中一次性随机抽取3题，按照题目要求独立完成全部实验操作．规定：至少正确完成其中2题的便可提交通过．已知6道备选题中考生甲有4道题能正确完成，2道题不能完成；考生乙每题正确完成的概率都是23，且每题正确完成与否互不影响．(1)分别写出甲、乙两考生正确完成题数的概率分布列，并计算数学期望；(2)试从两位考生正确完成题数的数学期望及至少正确完成2题的概率分析比较两位考生的实验操作能力．易错提示本题容易错误地得到甲、乙两考生正确完成的题数均服从二项分布，实际上题目中已知甲、乙两考生按照题目要求独立完成全部实验操作，甲考生正确完成的题数服从超几何分布，乙考生正确完成的题数服从二项分布．。

60 高中数学知识点总结(第十一章计数原理与概率、随机变量及其分布第二节排列与组合)

第二节排列与组合1.排列、组合的定义A m n＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝n！n－m！C m n＝A m nA m m＝n n－1n－2…n－m＋1m！(1)C m n＝C n－mn：从n个不同元素中取出m个元素的方法数等于取出剩余n－m个元素的方法数.(2)C m n＋C m－1n＝C m n＋1：从n＋1个不同元素中取出m个元素可分以下两种情况：①不含特殊元素A有C m n种方法；②含特殊元素A有C m－1n种方法.考点一排列问题[典例精析]有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数.(1)选5人排成一排；(2)排成前后两排，前排3人，后排4人；(3)全体排成一排，甲不站排头也不站排尾；(4)全体排成一排，女生必须站在一起；(5)全体排成一排，男生互不相邻.[解](1)从7人中选5人排列，有A57＝7×6×5×4×3＝2 520(种).(2)分两步完成，先选3人站前排，有A37种方法，余下4人站后排，有A44种方法，共有A37A44＝5 040(种).(3)法一：(特殊元素优先法)先排甲，有5种方法，其余6人有A66种排列方法，共有5×A66＝3 600(种).法二：(特殊位置优先法)首尾位置可安排另6人中的两人，有A26种排法，其他有A55种排法，共有A26A55＝3 600(种).(4)(捆绑法)将女生看作一个整体与3名男生一起全排列，有A44种方法，再将女生全排列，有A44种方法，共有A44·A44＝576(种).(5)(插空法)先排女生，有A44种方法，再在女生之间及首尾5个空位中任选3个空位安排男生，有A35种方法，共有A44·A35＝1 440(种).[解题技法]求解排列应用问题的6种主要方法[题组训练]1.(2019·太原联考)高三要安排毕业晚会的4个音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序，要求2个舞蹈节目不连排，则不同排法的种数是()A.1 800B.3 600C.4 320D.5 040解析：选B先排除舞蹈节目以外的5个节目，共A55种，再把2个舞蹈节目插在6个空位中，有A26种，所以共有A55A26＝3 600(种).2.(2019·石家庄模拟)用数字0,1,2,3,4组成没有重复数字且大于3 000的四位数，这样的四位数有()A.250个B.249个C.48个D.24个解析：选C①当千位上的数字为4时，满足条件的四位数有A34＝24(个)；②当千位上的数字为3时，满足条件的四位数有A34＝24(个).由分类加法计数原理得满足条件的四位数共有24＋24＝48(个)，故选C.3.将7个人(其中包括甲、乙、丙、丁4人)排成一排，若甲不能在排头，乙不能在排尾，丙、丁两人必须相邻，则不同的排法共有()A.1 108种B.1 008种C.960种D.504种解析：选B将丙、丁两人进行捆绑，看成一人.将6人全排列有A22A66种排法；将甲排在排头，有A22A55种排法；乙排在排尾，有A22A55种排法；甲排在排头，乙排在排尾，有A22A44种排法.则甲不能在排头，乙不能在排尾，丙、丁两人必须相邻的不同排法共有A22A66－A22A55－A22A55＋A22A44＝1 008(种).考点二组合问题[典例精析]某市工商局对35种商品进行抽样检查，已知其中有15种假货.现从35种商品中选取3种.(1)其中某一种假货必须在内，不同取法有多少种？(2)其中某一种假货不能在内，不同取法有多少种？(3)恰有2种假货在内，不同取法有多少种？(4)至少有2种假货在内，不同取法有多少种？(5)至多有2种假货在内，不同取法有多少种？[解](1)从余下的34种商品中，选取2种有C234＝561(种)取法，所以某一种假货必须在内的不同取法有561种.(2)从34种可选商品中，选取3种，有C334种或者C335－C234＝C334＝5 984(种)取法.所以某一种假货不能在内的不同取法有5 984种.(3)从20种真货中选取1种，从15种假货中选取2种有C120C215＝2 100(种)取法.所以恰有2种假货在内的不同的取法有2 100种.(4)选取2种假货有C120C215种，选取3种假货有C315种，共有选取方式C120C215＋C315＝2 100＋455＝2 555(种).所以至少有2种假货在内的不同的取法有2 555种.(5)法一：(间接法)选取3种商品的总数为C335，因此共有选取方式C335－C315＝6 545－455＝6 090(种).所以至多有2种假货在内的不同的取法有6 090种.法二：(直接法)共有选取方式C320＋C220C115＋C120C215＝6 090(种).所以至多有2种假货在内的不同的取法有6 090种.[解题技法]组合问题的2类题型及求解方法(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外的元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取.(2)“至少”或“至多”含有几个元素的组合题型：解这类题必须十分重视“至少”与“至多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解.用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理.[题组训练]1.(2018·南宁二中、柳州高中第二次联考)从{1,2,3，…，10}中选取三个不同的数，使得其中至少有两个相邻，则不同的选法种数是()A.72B.70C.66D.64解析：选D从{1,2,3，…，10}中选取三个不同的数，恰好有两个数相邻，共有C12·C17＋C17·C16＝56种选法，三个数相邻共有C18＝8种选法，故至少有两个数相邻共有56＋8＝64种选法.2.(2019·辽宁五校协作体联考)在《爸爸去哪儿》第二季第四期中，村长给6位“萌娃”布置一项搜寻空投食物的任务.已知：①食物投掷地点有远、近两处；②由于Grace年纪尚小，所以要么不参与该项任务，但此时另需一位小孩在大本营陪同，要么参与搜寻近处投掷点的食物；③所有参与搜寻任务的小孩须被均分成两组，一组去远处，一组去近处.那么不同的搜寻方案有()A.10种B.40种C.70种D.80种解析：选B若Grace不参与任务，则需要从剩下的5位小孩中任意挑出1位陪同，有C15种挑法，再从剩下的4位小孩中挑出2位搜寻远处，有C24种挑法，最后剩下的2位小孩搜寻近处，因此一共有C15C24＝30种搜寻方案；若Grace参与任务，则其只能去近处，需要从剩下的5位小孩中挑出2位搜寻近处，有C25种挑法，剩下3位小孩去搜寻远处，因此共有C25＝10种搜寻方案.综上，一共有30＋10＝40种搜寻方案.3.(2018·全国卷Ⅰ)从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有________种.(用数字填写答案)解析：从2位女生，4位男生中选3人，共有C36种情况，没有女生参加的情况有C34种，故共有C 36－C 34＝20－4＝16(种).答案：16考点三分组、分配问题考法(一) 整体均分问题[例1] 国家教育部为了发展贫困地区教育，在全国重点师范大学免费培养教育专业师范生，毕业后要分到相应的地区任教.现有6个免费培养的教育专业师范毕业生要平均分到3所学校去任教，有________种不同的分派方法.[解析] 先把6个毕业生平均分成3组，有C 26C 24C 22A 33＝15(种)方法.再将3组毕业生分到3所学校，有A 33＝6(种)方法，故6个毕业生平均分到3所学校，共有C 26C 24C 22A 33·A 33＝90(种)分派方法. [答案] 90考法(二) 部分均分问题[例2] 有4名优秀学生A ，B ，C ，D 全部被保送到甲、乙、丙3所学校，每所学校至少去一名，则不同的保送方案共有________种.[解析] 先把4名学生分为2,1,1共3组，有C 24C 12C 11A 22＝6(种)分法，再将3组对应3个学校，有A 33＝6(种)情况，则共有6×6＝36(种)不同的保送方案.[答案] 36考法(三) 不等分问题[例3] 若将6名教师分到3所中学任教，一所1名，一所2名，一所3名，则有________种不同的分法.[解析] 将6名教师分组，分三步完成：第1步，在6名教师中任取1名作为一组，有C 16种取法；第2步，在余下的5名教师中任取2名作为一组，有C 25种取法；第3步，余下的3名教师作为一组，有C 33种取法.根据分步乘法计数原理，共有C 16C 25C 33＝60种取法.再将这3组教师分配到3所中学，有A 33＝6种分法，故共有60×6＝360种不同的分法.[答案] 360[题组训练]1.安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有( )A.12种B.18种C.24种D.36种解析：选D 因为安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，所以必有1人完成2项工作.先把4项工作分成3组，即2,1,1，有C 24C 12C 11A 22＝6种，再分配给3个人，有A 33＝6种，所以不同的安排方式共有6×6＝36(种).2.冬季供暖就要开始，现分配出5名水暖工去3个不同的居民小区检查暖气管道，每名水暖工只去一个小区，且每个小区都要有人去检查，那么分配的方案共有______种.解析：5名水暖工去3个不同的居民小区，每名水暖工只去一个小区，且每个小区都要有人去检查，5名水暖工分组方案为3,1,1和1,2,2，则分配的方案共有⎝⎛⎭⎫C 35C 122＋C 15C 242·A 33＝150(种).答案：150 考点四排列、组合的综合问题[典例精析](1)从0,1,2,3,4,5这六个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数的个数为( )A.300B.216C.180D.162(2)用数字0,1,2,3,4,5,6组成没有重复数字的四位数，其中个位、十位和百位上的数字之和为偶数的四位数共有________个.(用数字作答)[解析] (1)分两类：第一类，不取0，即从1,2,3,4,5中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数，根据分步乘法计数原理可知，共有C 23·C 22·A 44＝72(个)符合要求的四位数；第二类，取0，此时2和4只能取一个，再取两个奇数，组成没有重复数字的四位数，根据分步乘法计数原理可知，共有C 12·C 23·(A 44－A 33)＝108(个)符合要求的四位数.根据分类加法计数原理可知，满足题意的四位数共有72＋108＝180(个).(2)当个位、十位和百位上的数字为三个偶数时，若选出的三个偶数含有0，则千位上把剩余数字中任意一个放上即可，方法数是C 23A 33C 14＝72；若选出的三个偶数不含0，则千位上只能从剩余的非0数字中选一个放上，方法数是A 33C 13＝18，故这种情况下符合要求的四位数共有72＋18＝90(个).当个位、十位和百位上的数字为一个偶数、两个奇数时，若选出的偶数是0，则再选出两个奇数，千位上只要在剩余数字中选一个放上即可，方法数为C23A33C14＝72；若选出的偶数不是0，则再选出两个奇数后，千位上只能从剩余的非0数字中选一个放上，方法数是C13 C23A33C13＝162，故这种情况下符合要求的四位数共有72＋162＝234(个).根据分类加法计数原理，可得符合要求的四位数共有90＋234＝324(个).[答案](1)C(2)324[解题技法]解决排列、组合综合问题的方法(1)仔细审题，判断是组合问题还是排列问题，要按元素的性质分类，按事件发生的过程进行分步.(2)以元素为主时，先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素；以位置为主时，先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置.(3)对于有附加条件的比较复杂的排列、组合问题，要周密分析，设计出合理的方案，一般先把复杂问题分解成若干个简单的基本问题，然后应用分类加法计数原理或分步乘法计数原理来解决，一般遵循先选后排的原则.[题组训练]1.(2019·广州调研)某学校获得5个高校自主招生推荐名额，其中甲大学2个，乙大学2个，丙大学1个，并且甲大学和乙大学都要求必须有男生参加，学校通过选拔定下3男2女共5个推荐对象，则不同的推荐方法共有()A.36种B.24种C.22种D.20种解析：选B根据题意，分两种情况讨论：第一种，3名男生每个大学各推荐1人，2名女生分别推荐给甲大学和乙大学，共有A33A22＝12种推荐方法；第二种，将3名男生分成两组分别推荐给甲大学和乙大学，共有C23A22A22＝12种推荐方法.故共有24种推荐方法.2.(2019·成都诊断)从甲、乙等8名志愿者中选5人参加周一到周五的社区服务，每天安排一人，每人只参加一天.若要求甲、乙两人至少选一人参加，且当甲、乙两人都参加时，他们参加社区服务的日期不相邻，那么不同的安排种数为________.(用数字作答)解析：根据题意，分2种情况讨论，若甲、乙之中只有一人参加，有C12·C46·A55＝3 600(种)；若甲、乙两人都参加，有C22·A36·A＝241 440(种).则不同的安排种数为3 600＋1 440＝5 040.答案：5 040[课时跟踪检测]A级1.某小区有排成一排的7个车位，现有3辆不同型号的车需要停放，如果要求剩余的4个车位连在一起，那么不同的停放方法的种数为()A.16B.18C.24D.32解析：选C将4个车位捆绑在一起，看成一个元素，先排3辆不同型号的车，在3个车位上任意排列，有A33＝6(种)方法，再将捆绑在一起的4个车位插入4个空当中，有4种方法，故共有4×6＝24(种)方法.2.(2019·惠州调研)旅游体验师小明受某网站邀请，决定对甲、乙、丙、丁这四个景区进行体验式旅游，若不能最先去甲景区旅游，不能最后去乙景区和丁景区旅游，则小李可选的旅游路线数为()A.24B.18C.16D.10解析：选D分两种情况，第一种：最后体验甲景区，则有A33种可选的路线；第二种：不在最后体验甲景区，则有C12·A22种可选的路线.所以小李可选的旅游路线数为A33＋C12·A22＝10.3.(2019·开封模拟)某地实行高考改革，考生除参加语文、数学、英语统一考试外，还需从物理、化学、生物、政治、历史、地理六科中选考三科.学生甲要想报考某高校的法学专业，就必须要从物理、政治、历史三科中至少选考一科，则学生甲的选考方法种数为()A.6B.12C.18D.19解析：选D从六科中选考三科的选法有C36种，其中不选物理、政治、历史中任意一科的选法有1种，因此学生甲的选考方法共有C36－1＝19种.4.(2019·沈阳教学质量监测)若4个人按原来站的位置重新站成一排，恰有1个人站在自己原来的位置，则不同的站法共有()A.4种B.8种C.12种D.24种解析：选B将4个人重排，恰有1个人站在自己原来的位置，有C14种站法，剩下3人不站原来位置有2种站法，所以共有C14×2＝8种站法.5.(2018·甘肃二诊)某微信群中有甲、乙、丙、丁、戊五个人玩抢红包游戏，现有4个红包，每人最多抢一个，且红包被全部抢完，4个红包中有2个6元，1个8元，1个10元(红包中金额相同视为相同红包)，则甲、乙都抢到红包的情况有()A.18种B.24种C.36种D.48种解析：选C若甲、乙抢的是一个6元和一个8元的红包，剩下2个红包，被剩下的3人中的2个人抢走，有A22A23＝12种；若甲、乙抢的是一个6元和一个10元的红包，剩下2个红包，被剩下的3人中的2个人抢走，有A22A23＝12种；若甲、乙抢的是一个8和一个10元的红包，剩下2个红包，被剩下的3人中的2个人抢走，有A22C23＝6种；若甲、乙抢的是两个6元的红包，剩下2个红包，被剩下的3人中的2个人抢走，有A23＝6种，根据分类加法计数原理可得，共有12＋12＋6＋6＝36种情况.6.(2019·南昌调研)某校毕业典礼上有6个节目，考虑整体效果，对节目演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前三位，且节目丙、丁必须排在一起.则该校毕业典礼节目演出顺序的编排方案共有()A.120种B.156种C.188种D.240种解析：选A记演出顺序为1～6号，按甲的编排进行分类，①当甲在1号位置时，丙、丁相邻的情况有4种，则有C14A22A33＝48种；②当甲在2号位置时，丙、丁相邻的情况有3种，共有C13A22A33＝36种；③当甲在3号位置时，丙、丁相邻的情况有3种，共有C13A22A33＝36种.所以编排方案共有48＋36＋36＝120种.7.从5名学生中选出4名分别参加数学、物理、化学、生物四科竞赛，其中甲不能参加生物竞赛，则不同的参赛方案种数为()A.48B.72C.90D.96解析：选D由于甲不参加生物竞赛，则安排甲参加另外3场竞赛或甲不参加任何竞赛.①当甲参加另外3场竞赛时，共有C13A34＝72种选择方案；②当甲学生不参加任何竞赛时，共有A44＝24种选择方案.综上所述，所有参赛方案有72＋24＝96(种).8.某班上午有五节课，分别安排语文、数学、英语、物理、化学各一节课.要求语文与化学相邻，数学与物理不相邻，且数学课不排第一节，则不同排课方案的种数是()A.16B.24C.8D.12解析：选A根据题意，分三步进行分析，①要求语文与化学相邻，将语文和化学看成一个整体，考虑其顺序，有A22＝2种情况；②将这个整体与英语全排列，有A22＝2种情况，排好后，有3个空位；③数学课不排第一节，有2个空位可选，在剩下的2个空位中任选1个，安排物理，有2种情况，则数学、物理的安排方法有2×2＝4种，则不同排课方案的种数是2×2×4＝16.9.(2019·洛阳第一次统考)某校有4个社团向高一学生招收新成员，现有3名同学，每人只选报1个社团，恰有2个社团没有同学选报的报法有________种.(用数字作答)解析：第一步，选2名同学报名某个社团，有C 23C 14＝12种报法；第二步，从剩余的3个社团里选一个社团安排另一名同学，有C 13C 11＝3种报法.由分步乘法计数原理得共有12×3＝36种报法.答案：3610.(2018·莆田期中)某学校需从3名男生和2名女生中选出4人，分派到甲、乙、丙三地参加义工活动，其中甲地需要选派2人且至少有1名女生，乙地和丙地各需要选派1人，则不同的选派方法有________种.(用数字作答)解析：由题设可分两类：一是甲地只选派1名女生，先考虑甲地有C 12C 13种情形，后考虑乙、丙两地，有A 23种情形，共有C 12C 13A 23＝36种情形；二是甲地选派2名女生，则甲地有C 22种情形，乙、丙两地有A 23种情形，共有C 22A 23＝6种情形.由分类加法计数原理可知共有36＋6＝42种情形.答案：4211.(2018·南阳二模)如图所示2×2方格，在每一个方格中填入一个数字，数字可以是1,2,3,4中的任何一个，允许重复.若填入A 方格的数字大于B 方格的数字，则不同的填法共有______种.(用数字作答)解析：根据题意，对于A ，B 两个方格，可在1,2,3,4中任选2个，大的放进A 方格，小的放进B 方格，有C 24＝6种情况，对于C ，D 两个方格，每个方格有4种情况，则共有4×4＝16种情况，则不同的填法共有16×6＝96种.答案：96B 级1.将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有( )A.12种B.10种C.9种D.8种解析：选A 将4名学生均分为2个小组共有C 24C 22A 22＝3(种)分法；将2个小组的同学分给2名教师共有A 22＝2(种)分法；最后将2个小组的人员分配到甲、乙两地有A 22＝2(种)分法.故不同的安排方案共有3×2×2＝12(种).2.(2019·马鞍山模拟)某学校有5位教师参加某师范大学组织的暑期骨干教师培训，现有5个培训项目，每位教师可任意选择其中一个项目进行培训，则恰有两个培训项目没有被这5位教师中的任何一位教师选择的情况数为( )A.5 400B.3 000C.150D.1 500解析：选D 分两步：第一步：从5个培训项目中选取3个，共C 35种情况；第二步：5位教师分成两类：①选择选出的3个培训项目的教师人数分别为1人，1人，3人，共C 35C 12C 11A 22种情况；②选择选出的3个培训项目的教师人数分别为1人，2人，2人，共C 25C 23C 11A 22种情况.故选择情况数为C 35⎝⎛⎭⎫C 35C 12C 11A 22＋C 25C 23C 11A 22A 33＝1 500(种). 3.将编号为1,2,3,4,5,6的六个小球放入编号为1,2,3,4,5,6的六个盒子中，每个盒子放一个小球，若有且只有三个盒子的编号与放入的小球编号相同，则不同的放法总数是( )A.40B.60C.80D.100解析：选A 根据题意，有且只有三个盒子的编号与放入的小球编号相同，在六个盒子中任选3个，放入与其编号相同的小球，有C 36＝20种选法，剩下的三个盒子的编号与放入的小球编号不相同，假设这三个盒子的编号为4,5,6，则4号小球可以放入5,6号盒子，有2种选法，剩下的2个小球放入剩下的两个盒子，有1种情况，则不同的放法总数是20×2×1＝40.4.(2019·赣州联考)将标号分别为1,2,3,4,5,6的6个小球放入3个不同的盒子中.若每个盒子放2个，其中标号为1,2的小球放入同一盒子中，则不同的放法共有( )A.12种B.16种C.18种D.36种解析：选C 先将标号为1,2的小球放入盒子，有3种情况；再将剩下的4个球平均放入剩下的2个盒子中，共有C 24·C 222！·A 22＝6(种)情况，所以不同的放法共有3×6＝18(种). 5.将A ，B ，C ，D ，E 排成一列，要求A ，B ，C 在排列中顺序为“A ，B ，C ”或“C ，B ，A ”(可以不相邻)，这样的排列数有__________种.解析：五个元素没有限制全排列数为A 55，由于要求A ，B ，C 的次序一定(按A ，B ，C 或C ，B ，A )，故除以这三个元素的全排列A 33，可得这样的排列数有A 55A 33×2＝40(种). 答案：406.如图，∠MON 的边OM 上有四点A 1，A 2，A 3，A 4，ON 上有三点B 1，B 2，B 3，则以O ，A 1，A 2，A 3，A 4，B 1，B 2，B 3为顶点的三角形个数为________.解析：用间接法.先从这8个点中任取3个点，最多构成三角形C 38个，再减去三点共线的情形即可.共有C 38－C 35－C 34＝42(个).答案：427.将7个相同的小球放入4个不同的盒子中.(1)不出现空盒时的放入方式共有多少种？(2)可出现空盒时的放入方式共有多少种？解：(1)将7个相同的小球排成一排，在中间形成的6个空当中插入无区别的3个“隔板”将球分成4份，每一种插入隔板的方式对应一种球的放入方式，则共有C36＝20种不同的放入方式.(2)每种放入方式相当于将7个相同的小球与3个相同的“隔板”进行一次排列，即从10个位置中选3个位置安排隔板，故共有C310＝120种不同的放入方式.。

新高考数学一轮复习第十一章计数原理概率随机变量及其分布：离散型随机变量及其分布列pptx课件人教B版

【解析】选B.由分布列的性质知2q2+ 11 -3q+ 1 =1,解得q=1或q= 1 ,
6
6
2
又因为2q2<1,0< 11 3q <1,所以舍去q=1,
6
所以q= 1 .
2
3.(选修2-3 P47习题2-1BT2改编)设随机变量X的概率分布列为
X
1
2
3
4
P
1
m
1
1
3
4
6
则P(|X-3|=1)=________.
④一个在数轴上随机运动的质点,它在数轴上的位置记为X.其中是离散型随机变量的是 ( ) A.①② B.①③ C.①④ D.①②④
2.若随机变量X的概率分布列为
X
x1
x2
P
p1
p2
且p1=
1 2
p2,则p1等于
(
)
A. 1
B. 1
C. 1
D. 1
2
3
4
6
3.某学习小组共12人,其中有五名是“三好学生”,现从该小组中任选5人参加
n
pi
=1.
i1
2.常见的两类分布列 (1)两点分布：若随机变量X服从两点分布，即其分布列为
X
0
1
P
_1_-_p_
p
其中p= _P_(_X_=_1_)_称为成功概率.
(2)超几何分布
在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则P(X=k)=
C C k nk M NM
，
CnN
k=0，1，2，…，m，其中m=min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*.
【解析】选C.因为P(X=1)= 1 ，所以A，B不正确；

高考总复习一轮数学精品课件第十一章计数原理、概率、随机变量及其分布第二节排列与组合

比赛,在下列情形中各有多少种选派方法?
(1)男运动员3名,女运动员2名;
(2)至少有1名女运动员;
(3)队长中至少有1人参加;
(4)既要有队长,又要有女运动员.
解 (1)分两步完成:第 1 步,选 3 名男运动员,有C63 种选派方法;第 2 步,选 2 名女
运动员,有C42 种选派方法.由分步乘法计数原理可得,共有C63 × C42 =120 种选派
A.1 800
B.3 600
C.4 320
)
D.5 040
(3)(2024九省联考)甲、乙、丙等5人站成一排,且甲不在两端,乙和丙之间
恰有2人,则不同排法共有(
A.20种
B.16种
)
C.12种
D.8种
答案 (1)B (2)B
(3)B
解析 (1)因为 A 在 B 的前面出场,且 A,B 都不在 3 号位置,则情况如下:
n!.
-1

4.kC =nC-1 .
5.C
=

-1
C-1
=

6.A
=
C
·A

.

-

C-1
=
- +1

-1
·C .
对点演练
1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.
(1)所有元素完全相同的两个排列为相同排列.( × )
(2)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同.( √
有 2C84 + C83 =196 种选派方法.
5
(方法 2 间接法)从 10 人中任选 5 人有C10
种选派方法,其中不选队长的选派

第十一章第二节二项式定理高三数学一轮复习

(3)每一项字母a的指数与字母b的指数的和等于n.
微思考某项的二项式系数与某项的系数相等吗?
提示:不一定相等.
2.二项式系数的性质
(1)对称性:与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等.

2
−1
2
(2)最大值:当n是偶数时,中间的一项C 取得最大值;当n是奇数时,中间的两项C
+1
2
与C 相等,且同时取得最大值.
A.28
B.-28
C.112 D.-112

2
【解析】选A.(1-2 )8展开式的通项公式为Tk+1=C8 (-2 )k=(-2)kC8 .

要求x项的二项式系数,只需 =1,解得k=2,
2
2 8×7
所以x项的二项式系数为C8 = =28.
2×1
)
核心考点·分类突破
核心考点·分类突破
考点一通项公式的应用
对点训练
(2024·北海模拟)(1+2x)(1+x)3展开式中,x2的系数为(
A.3
B.6
C.9
)
D.12
【解析】选C.(1+2x)(1+x)3=(1+2x)(1+3x+3x2+x3),故x2的系数为3+6=9.
角度3 形如(a+b+c)n(n∈N*)的展开式问题
[例3](x2-x+1)10的展开式中x3的系数为(
第m项为Tm=C−1 xn-m+1·(-y)m-1=(-1)m-1·C−1 xn-m+1·ym-1,
所以第m项的系数为(-1)m-1C−1 .
)
3.(2023·北京高考)(2 −

高考数学一轮复习第十一章计数原理、概率、随机变量及其分布第二节排列与组合课件理

第二十页，共56页。
由 0,1,2,3,4,5 这六个数字组成的无重复数字的自然数，
求：(1)有多少个含有 2,3，但它们不相邻的五位数？
(2)有多少个数字 1,2,3，必须由大到小顺序排列的六位数？
第二十一页，共56页。
解：(1)先不考虑 0 是否在首位，0,1,4,5 先排三个位置，
答案：5
第十二页，共56页。
6．已知C1m5 －C1m6 ＝107Cm7 ，则 C8m＝________.
解析：由已知得 m 的取值范围为 m|0≤m≤5，m∈Z，m！55！－m！－m！66！－m！＝ 7×71－0×m7！！m！，整理可得 m2－23m＋42＝0，解得 m＝21(舍去)或 m＝2.故 Cm8 ＝C28＝28.
(1) Anm＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝n－n！m！
公式 (2) Cnm＝AAmnmm＝nn－1n－m2！…n－m＋1
＝m！nn！－m！
性质
(1)0！＝ 1 ；Ann＝ n！ (2)Cmn ＝Cnn－m；Cnm＋1＝
第六页，共56页。
[自我查验] 1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)所有元素完全相同的两个排列为相同排列．( ) (2)Anm＝n(n－1)(n－2)×…×(n－m)．( ) (3)若组合式 Cxn＝Cmn ，则 x＝m 成立．( )
第十八页，共56页。
[探究 4] 本例(1)中将条件“选其中 5 人排成一排”改为“全体站成一排，甲不站排头也不站排尾”，其他条件不变，则有多少不同的排法？
解：先安排甲，从除去排头和排尾的 5 个位中安排甲，有 A15＝5 种排法；再安排其他人，有 A66＝720 种排法．所以共有 A15·A66＝3 600 种排法．

高考数学一轮复习第十一章计数原理概率随机变量及其分布品位高考感悟考情课件理

(2) X 可能取的值为 0,1,2,3，相应的概率为 P (X＝0)＝C03·(1－0.6)3＝0.064， P (X＝1)＝C13·0.6(1－0.6)2＝0.288， P (X＝2)＝C23·0.62(1－0.6)＝0.432， P (X＝3)＝C33·0.63＝0.216. X 的分布列为
(2)设 X 为选出的 4 人中种子选手的人数，求随机变量 X 的分布列和数学期望．
解：(1)由已知，有 P(A)＝C22C23C＋48C23C23＝365. 所以，事件 A 发生的概率为365.
(2)随机变量 X 的所有可能取值为 1,2,3,4.
所以，随机变量 X 的分布列为
X1 23 4
P
(1)小明的两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率；
(2)两次回球结束后，小明得分之和 ξ 的分布列与数学期望．
解：(1)记 A i 为事件“小明对落点在 A 上的来球回球的得分为 i 分”(i＝0,1,3)，
则 P (A 3)＝12，P (A 1)＝13，P (A 0)＝1－12－13＝16；记 Bi 为事件“小明对落点在 B 上的来球回球的得分为 i 分 ”(i＝0,1,3)，则 P (B 3)＝15，P (B 1)＝35，P (B 0)＝1－15－35＝15. D 为事件“小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上”．
解析：选 A 先安排 1 名教师和 2 名学生到甲地，再将剩下的 1 名教师和 2 名学生安排到乙地，共有 C12C24＝12 种安排方案．
2．(2014·安徽高考)从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为 60°的共有( )
A．24 对 B．30 对 C．48 对 D．60 对
将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立．

高考数学一轮复习第十一章第二节排列与组合课后作业理0

学习资料专题【创新方案】2017届高考数学一轮复习第十一章计数原理、概率、随机变量及其分布第二节排列与组合课后作业理[全盘巩固]一、选择题1．将甲、乙等 5 名交警分配到三个不同路口疏导交通，每个路口至少一人，且甲、乙在同一路口的分配方案共有( )A．18 种 B．24 种 C．36 种 D．72种2．某市委从组织机关10名科员中选3人担任驻村第一书记，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为( )A．85 B．56 C．49 D．283．某会议室第一排有9个座位，现安排4人就座，若要求每人左右均有空位，则不同的坐法种数为( )A．8 B．16 C．24 D．604．市内某公共汽车站有6个候车位(成一排)，现有3名乘客随便坐在某个座位上候车，则恰好有2个连续空座位的候车方式的种数为( )A．48 B．54 C．72 D．845．将甲、乙等 5 位同学分别保送到北京大学，上海交通大学，浙江大学这三所大学就读，则每所大学至少保送一人的不同保送方法为( )A．240种 B．180种 C．150种 D．540种二、填空题6．数列{a n}共有六项，其中四项为1，其余两项各不相同，则满足上述条件的数列{a n}共有________个．7．如图所示，使电路接通，开关不同的开闭方式有________种．8．(2016·江苏淮海中学期中)若A，B，C，D，E，F六个不同元素排成一列，要求A 不排在两端，且B，C相邻，则不同的排法有________种(用数字作答)．三、解答题9．有9名学生，其中2名会下象棋但不会下围棋，3名会下围棋但不会下象棋，4名既会下围棋又会下象棋；现在要从这9名学生中选出2名学生，一名参加象棋比赛，另一名参加围棋比赛，共有多少种不同的选派方法？10．有5个男生和3个女生，从中选出5人担任5门不同学科的科代表，求分别符合下列的选法数：(1)有女生但人数必须少于男生；(2)某女生一定担任语文科代表；(3)某男生必须包括在内，但不担任数学科代表；(4)某女生一定要担任语文科代表，某男生必须担任科代表，但不担任数学科代表．[冲击名校]1．某班组织文艺晚会，准备从A，B等 8 个节目中选出 4 个节目演出，要求A，B两个节目至少有一个选中，且A，B同时选中时，它们的演出顺序不能相邻，那么不同演出顺序的种数为( )A．1 860 B．1 320 C．1 140 D．1 0202．(2016·深圳模拟)某班准备从含甲、乙的7名男生中选取4人参加4×100米接力赛，要求甲、乙两人至少有一人参加，且若甲、乙同时参加，则他们在赛道上顺序不能相邻，那么不同的排法种数为( )A．720 B．520 C．600 D．3603．从0,2中选一个数字，从1,3,5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为( )A．24 B．18 C．12 D．64．将5名学生分到A，B，C三个宿舍，每个宿舍至少1人至多2人，其中学生甲不到A宿舍的不同分法有( )A．18种 B．36种 C．48种 D．60种5．数字1,2,3,4,5,6按如图形式随机排列，设第一行的数为N1，其中N2，N3分别表示第二、三行中的最大数，则满足N1<N2<N3的所有排列的个数是________．答案[全盘巩固]一、选择题1. 解析：选C 若甲、乙在同一路口，则有C23A33＝18种；若甲、乙与其余一名交警在同一路口，则有C13A33＝18种，所以一共有 36 种分配方案．2. 解析：选C 由于丙不入选，相当于从9人中选派3人．法一：(直接法)甲、乙两人均入选，有C 22C 17种选法，甲、乙两人只有1人入选，有C 12C 27种选法．∴由分类加法计数原理，共有C 22C 17＋C 12C 27＝49种不同选法．法二：(间接法)从9人中选3人有C 39种选法，其中甲、乙均不入选有C 37种选法．∴满足条件的选派方法有C 39－C 37＝84－35＝49种不同选法．3. 解析：选C 根据题意，9个座位中满足要求的座位只有4个，现有4人就座，把4人进行全排列，即有A 44＝24种不同的坐法．4. 解析：选C 先把3名乘客进行全排列，有A 33＝6种排法，排好后，有4个空，再将1个空位和余下的2个连续的空位插入4个空中，有A 24＝12种排法，则共有6×12＝72种候车方式．5. 解析：选C 5名学生分成 2,2,1或3,1,1两种形式，当 5 名学生分成 2,2,1时，共有12C 25C 23A 33＝90 种方法，当 5 名学生分成 3,1,1时，共有C 35A 33＝60 种方法，根据分类加法计数原理知共有 90＋60＝150种．二、填空题6. 解析：在数列的六项中，只要考虑两个非1的项的位置，即得不同数列，共有A 26＝30个不同的数列．答案：307. 解析：当第一组开关有一个接通时，电路接通有C 12·(C 13＋C 23＋C 33)＝14种方式；当第一组有两个接通时，电路接通有C 22(C 13＋C 23＋C 33)＝7种方式，所以共有14＋7＝21种方式．答案：218. 解析：由于B ，C 相邻，把B ，C 看做一个整体，有 2 种排法．这样，6个元素变成了 5 个．先排A ，由于A 不排在两端，则A 在中间的 3 个位子中，有A 13＝3 种方法，其余的 4 个元素任意排，有A 44种不同方法，故不同的排法有 2×3×A 44＝144 种．答案：144三、解答题9. 解：设2名会下象棋但不会下围棋的同学组成集合A,3名会下围棋但不会下象棋的同学组成集合B,4名既会下围棋又会下象棋的同学组成集合C ，则选派2名参赛同学的方法可以分为以下4类：第一类：A 中选1人参加象棋比赛，B 中选1人参加围棋比赛，方法数为C 12·C 13＝6种；第二类：C 中选1人参加象棋比赛，B 中选1人参加围棋比赛，方法数为C 14·C 13＝12种；第三类：C 中选1人参加围棋比赛，A 中选1人参加象棋比赛，方法数为C 14·C 12＝8种；第四类：C中选2人分别参加两项比赛，方法数为A24＝12种；由分类加法计数原理，选派方法数共有6＋12＋8＋12＝38(种)．10. 解：(1)先选后排，先选可以是2女3男，也可以是1女4男，先取有C35C23＋C45C13种，后排有A55种，共有(C35C23＋C45C13)·A55＝5 400种．(2)除去该女生后，先取后排，有C47·A44＝840种．(3)先选后排，但先安排该男生，有C47·C14·A44＝3 360种．(4)先从除去该男生该女生的6人中选3人有C36种，再安排该男生有C13种，选出的3人全排有A33种，共C36·C13·A33＝360种．[冲击名校]1. 解析：选C 当A，B节目中只选其中一个时，共有C12C36A44＝960 种演出顺序；当A，B节目都被选中时，由插空法得共有C26A22A23＝180 种演出顺序，所以一共有1 140种演出顺序．2. 解析：选C 根据题意，分2种情况讨论．①甲乙只有其中一人参加，有C12C35A44＝480种情况；②甲乙两人都参加，有C22C25A44＝240种情况，其中甲乙相邻的有C22C25A33A22＝120种情况．不同的排法种数为480＋240－120＝600种，故选C.3. 解析：选B 根据所选偶数为0和2分类讨论求解．①当选数字0时，再从1,3,5中取2个数字排在个位与百位．∴排成的三位奇数有C23A22＝6个．②当选数字2时，再从1,3,5中取2个数字有C23种方法．然后将选中的两个奇数数字选一个排在个位，其余2个数字全排列．∴排成的三位奇数有C23C12A22＝12个．∴由分类加法计数原理，共有18个符合条件的三位奇数．4. 解析：选D 由题意知A，B，C三个宿舍中有两个宿舍分到2人，另一个宿舍分到1人．若甲被分到B宿舍：(1)A中2人，B中1人，C中2人，有C24＝6种分法；(2)A中1人，B中2人，C中2人，有C24C12＝12种分法；(3)A中2人，B中2人，C中1人，有C24C12＝12种分法，即甲被分到B宿舍的分法有30种，同样甲被分到C宿舍的分法也有30种，所以甲不到A宿舍一共有60种不同的分法，故选D.5. 解析：(元素优先法)由题意知6必在第三行，安排6有C13种方法，第三行中剩下的两个空位安排数字有A25种方法，在留下的三个数字中，必有一个最大数，把这个最大数安排在第二行，有C12种方法，剩下的两个数字有A22种排法，根据分步乘法计数原理，所有排列的个数是C13A25C12A22＝240.答案：240。

高考总复习一轮数学精品课件第11章计数原理、概率、随机变量及其分布第1节排列与组合

各个步骤之间不重复、不遗漏.
2.排列与组合的概念
名称
排列
组合
定义
一定的顺序
按照__________排成一列
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素
作为一组
微点拨定义中规定m≤n,如果m<n,则这样的排列只是取一部分元素作排列,
叫做选排列;如果m=n,则这样的排列是取出所有元素作排列,叫做全排列.
微思考排列问题与组合问题的区别是什么?
解析 (方法 1 直接法)甲在 6 种课外读物中任选 2 种,有C62 种选法,乙在甲选
的 2 种课外读物中挑一种有C21 种选法,乙在甲选 2 种课外读物后剩下的 4 种
中选一种有C41 种选法,则这两人选读的课外读物中恰有一种相同的选法共有
C62
·C21
·C41
=
6×5
×2×4=120
种.
2×1
第13题
第13题
第19题第21题第12题
优化备考策略
1.概率与统计在高考命题中常整体统筹,本章在高考中至少命制一道客观
题,对于解答题,要么倾向于考查概率和分布列,要么侧重成对数据的统计
分析.有时也把二者综合命题.
2.从考查内容上看,选择、填空题中主要考查排列组合、古典概型、条件
概率、正态分布等.解答题常以现实生产、生活、科技等真实情境为背景,

.

A
-1
有种方法.
自主诊断
题组一思考辨析(判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”)
1.在分类加法计数原理中,每类方案中的每种方法都能直接完成这件事.
( √ )
2.所有元素完全相同的两个排列为相同排列.( × )

新课改地区高考数学一轮复习第十一章计数原理概率随机变量及其分布112排列组合与二项式定理课件新人教

2021/4/17
机变量及其分布112排列组合与二项式定理课件新人教B
10
【常用结论】 1.(a+b)n的展开式的三个重要特征 (1)项数：项数为n+1. (2)各项次数：各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数和为n. (3)顺序：字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到0；字母b按升幂排列，从第一项开始，次数由0逐项增1直到n.
2021/4/17
机变量及其分布112排列组合与二项式定理课件新人教B
2
内容索引
必备知识·自主学习核心考点·精准研析核心素养测评
新课改地区高考数学一轮复习第十一章计数原理概率随
2021/4/17
机变量及其分布112排列组合与二项式定理课件新人教B
3
新课改地区高考数学一轮复习第十一章计数原理概率随
2021/4/17
机变量及其分布112排列组合与二项式定理课件新人教B
23
结束语
同学们，你们要相信梦想是价值的源泉，相信成功的信念比成功本身更重要，相信人生有挫折没有失败，相信生命的质量来自决不妥协的信念，考试加油。
(4) kCkn＝nCkn－ 11 . (
)
(5) C
r an-rbr是(a+b)n的展开式中的第r项.
n
(
)
(6)二项展开式中某项的系数与该项的二项式系数一定相同. ( )
新课改地区高考数学一轮复习第十一章计数原理概率随
2021/4/17
机变量及其分布112排列组合与二项式定理课件新人教B
13
提示:(1)√.
【解析】选C. (x 1 )12 的展开式的第4项
3x
T4=
C

北师版高考总复习一轮数学精品课件第十一章计数原理、概率、随机变量及其分布高考解答题专项六

(0.01+0.002
1
5)×20=0.25=4.
故从全省考生中随机选取 3 人,成绩在 110 及以上的考生人数 X~B

1
P(X=k)=C3 4
X 的分布列为
1 3-
1- 4
=
3 3-
1
C3 4
,k=0,1,2,3.
4
1
3, 4
.则
X
P
由于 X~B
1
3,
4
0
1
27
64
1
,∴EX=np=3×
6
8
12
(75,115]
3
7
10
(1)估计事件“该市一天空气中PM2.5浓度不超过75,且SO2浓度不超过150”
的概率;
(2)根据所给数据,完成下面的2×2列联表:
PM2.5
SO2
[0,150]
(150,475]
[0,75]
(75,115]
(3)根据(2)中的列联表, 能否认为该市一天空气中PM2.5浓度与SO2浓度有
年龄
30岁及以下人数
30岁以上人数
总计
不喜欢使用语音
喜欢使用语音
总计
(2)每天使用6次及以上语音的人称为“语音达人”,视频率为概率,在该市所
有“语音达人”中随机抽取3名用户.
①求抽取的3名用户,既有30岁及以下的“语音达人”又有30岁以上“语音达
人”的概率;
②为鼓励30岁以上用户使用语音,对抽取的30岁以上“语音达人”,每人奖励
100元话费,记奖励总金额为X,求X的数学期望.
2
(-)
2
附:χ =
,其中 n=a+b+c+d.

2017高考数学一轮复习第十一章计数原理、概率、随机变量及其分布(10课时)理

某人去有四个门的商场购物，若进出商场不同门，则不同的进出方案有()
A.256种B.81种C.16种D.12种
解：进商场的方案有4种，则出商场的方案有3种，由分步计数原理知，共有进出商场的方案4×3＝12种.故选D.
点Q(x，y)中x∈{1，2}，y∈{2，3，4}，则不在直线y＝x上的点Q(x，y)的个数是()
(3)若借两本不同学科的书，则有多少种不同的借法？
解：(1)因为需完成的事情是“借一本书”，所以借给他数学、物理、化学书中的任何一本，都可以完成这件事情.
故用分类计数原理，共有5＋4＋3＝12(种)不同的借法.
(2)需完成的事情是“每科各借一本书”，意味着要借给乙三本书，只有从数学、物理、化学三科中各借一本，才能完成这件事情.
第十一章计数原理、概率、随机变量
1.计数原理
(1)理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理，能正确区分“类”和“步”，并能利用两个原理解决一些简单的实际问题.
(2)理解排列的概念及排列数公式，并能利用公式解决一些简单的实际问题.
(3)理解组合的概念及组合数公式，并能利用公式解决一些简单的实际问题.
(4)会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.
故用分步计数原理，共有5×4×3＝60(种)不同的借法.
(3)需完成的事情是“从三种学科的书中借两本不同学科的书”，要分三种情况：①借一本数学书和一本物理书，只有两本书都借，事情才能完成，由分步计数原理知，有5×4＝20(种)借法；②借一本数学书和一本化学书，同理，由分步计数原理知，有5×3＝15(种)借法；③借一本物理书和一本化学书，同理，由分步计数原理知，有4×3＝12(种)借法.而上述的每一种借法都可以独立完成这件事情，由分类计数原理知，共有20＋15＋12＝47(种)不同的借法.

2017版高考数学一轮复习第十一章计数原理、随机变量及其分布第2讲排列与组合课件理

个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数.
不同组合的 (2) 从 n 个不同元素中取出 m(m≤n) 个元素的所有 _________
个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数.
3.排列数、组合数的公式及性质
(1)Am n ＝________________________ 公 n！ n(n－1)(n－2)„(n－m＋1) ＝（n－m）！
第2讲
考试要求
排列与组合
1.排列、组合的概念，B级要求；2.排列数公式、组合
数公式以及利用排列、组合解决简单的实际问题，B级要求.
知识梳理
1.排列与组合的概念名称排列组合定义一定的顺序排成一列从n个不同元素中取出按照___________ m(m≤n)个不同元素合成一组
2.排列数与组合数不同排列的 (1) 从 n 个不同元素中取出 m(m≤n) 个元素的所有 _________
3 此共有 A6 6·A3＝4 320(种)不同排法.
(2)(插空法)先排 5 个男生，有 A5 5种排法，这 5 个男生之间和两端有 6 个位置，从中选取 3 个位置排女生，有 A3 6种排法，
3 因此共有 A5 5·A6＝14 400(种)不同排法.
(3)法一(位置分析法)
因为两端不排女生，只能从 5 个男生
m n（n－1）（n－2）„（n－m＋1） A n m m＝式 (2)Cn ＝Am m！
n！＝_______________ n，m∈N*，且 m≤n).特别地 C0 m！（n－m）！ n＝1
1 ；An n！性 (1)0！＝___ n＝______.
质
m m－1 m n－m m n n (2)Cn ＝Cn ；Cn＋1＝_____________

北师版高考总复习一轮数学精品课件第11章计数原理、概率、随机变量及其分布概率与统计中的综合问题

0 1 3 1
1 1 3 3
2 1 3 3
3 1 3 1
P(ξ=0)=C3 ( ) = ,P(ξ=1)=C3 ( ) = ,P(ξ=2)=C3 ( ) = ,P(ξ=3)=C3 ( ) = , ....6
2
8
2
8
2
8
2
8
所以 ξ 的分布列为
分
ξ
P
0
1
1
8
2
3
8
3
3
8
1
8
........................................................................................................................... 7 分
(1)设X表示指定的两只小白鼠中分配到对照组的只数,求X的分布列和数
学期望;
关键点:结合题意弄清楚X服从的是超几何分布还是二项分布.
(2)试验结果如下:
对照组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为
15.2
18.8 20.2
21.3
22.5 23.2
25.8
26.5 27.5
34.3
34.8 35.6
35.6
C47
C13 C34
P(η=1)=
C47
=
12
C23 C24
,P(η=2)=
35
C47
=
18
C33 C14
,P(η=3)=
35
C47
1
2
=
4
.
35
所以 η 的分布列为
η
P
所以 Eη=0×

(通用版)高考数学一轮复习第十一章计数原理、概率、随机变量及其分布列学案理-人教版高三全册数学

第十一章计数原理、概率、随机变量及其分布列第一节排列、组合本节主要包括2个知识点： 1.两个计数原理； 2.排列、组合问题.突破点(一) 两个计数原理[基本知识]1．分类加法计数原理完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n 种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m＋n种不同的方法．2．分步乘法计数原理完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m×n种不同的方法．3．两个计数原理的比较名称分类加法计数原理分步乘法计数原理相同点都是解决完成一件事的不同方法的种数问题不同点运用加法运算运用乘法运算分类完成一件事，并且每类办法中的每种方法都能独立完成这件事情，要注意“类”与“类”之间的独立性和并列性．分类计数原理可利用“并联”电路来理解分步完成一件事，并且只有各个步骤都完成才算完成这件事情，要注意“步”与“步”之间的连续性．分步计数原理可利用“串联”电路来理解[基本能力]1．判断题(1)在分类加法计数原理中，某两类不同方案中的方法可以相同．( )(2)在分步乘法计数原理中，只有各步骤都完成后，这件事情才算完成．( )(3)在分步乘法计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的．( ) 答案：(1)×(2)√(3)√2．填空题(1)从0,1,2,3,4,5这六个数字中，任取两个不同数字相加，其和为偶数的不同取法的种数是________．解析：从0,1,2,3,4,5六个数字中，任取两数和为偶数可分为两类，①取出的两数都是偶数，共有3种方法；②取出的两数都是奇数，共有3种方法，故由分类加法计数原理得共有N＝3＋3＝6(种)．答案：6(2)从集合{0,1,2,3,4,5,6}中任取两个互不相等的数a，b组成复数a＋b i，其中虚数有________个．解析：∵a＋b i为虚数，∴b≠0，即b有6种取法，a有6种取法，由分步乘法计数原理知可以组成6×6＝36个虚数．答案：36(3)书架的第1层放有4本不同的语文书，第2层放有5本不同的数学书，第3层放有6本不同的体育书．从第1,2,3层分别各取1本书，则不同的取法种数为________．解析：由分步乘法计数原理，从1,2,3层分别各取1本书不同的取法种数为4×5×6＝120.答案：120[全析考法]分类加法计数原理(1)完成一件事有若干种方法，这些方法可以分成n类．(2)用每一类中的每一种方法都可以完成这件事．(3)把各类的方法数相加，就可以得到完成这件事的所有方法数．[例1] (1)三个人踢毽子，互相传递，每人每次只能踢一下，由甲开始踢，经过4次传递后，毽子又被踢回给甲，则不同的传递方式共有( )A．4种B．6种C．10种D．16种(2)(2018·杭州二中月考)满足a，b∈{－1,0,1,2}，且关于x的方程ax2＋2x＋b＝0有实数解的有序数对(a，b)的个数为( )A．14 B．13C．12 D．10[解析] (1)分两类：甲第一次踢给乙时，满足条件的有3种方法(如图)，同理，甲先踢给丙时，满足条件有3种方法．由分类加法计数原理，共有3＋3＝ 6种传递方式．(2)①当a＝0时，有x＝－b2，b＝－1,0,1,2，有4种可能；②当a≠0时，则Δ＝4－4ab≥0，ab≤1，(ⅰ)当a＝－1时，b＝－1,0,1,2，有4种可能；(ⅱ)当a＝1时，b＝－1,0,1，有3种可能；(ⅲ)当a＝2时，b＝－1,0，有2种可能．∴有序数对(a，b)的个数为4＋4＋3＋2＝13.[答案] (1)B (2)B[易错提醒](1)根据问题的特点确定一个合适的分类标准，分类标准要统一，不能遗漏．(2)分类时，注意完成这件事的任何一种方法必须属于某一类，不能重复．分步乘法计数原理能用分步乘法计数原理解决的问题具有以下特点：(1)完成一件事需要经过n个步骤，缺一不可．(2)完成每一步有若干种方法．(3)把各个步骤的方法数相乘，就可以得到完成这件事的所有方法数．[例2] (1)从－2,0,1,8这四个数中选三个数作为函数f(x)＝ax2＋bx＋c的系数，则可组成________个不同的二次函数，其中偶函数有________个(用数字作答)．(2)如图，某电子器件由3个电阻串联而成，形成回路，其中有6个焊接点A，B，C，D，E，F，如果焊接点脱落，整个电路就会不通．现发现电路不通，那么焊接点脱落的可能情况共有________种．[解析] (1)一个二次函数对应着a，b，c(a≠0)的一组取值，a的取法有3种，b的取法有3种，c的取法有2种，由分步乘法计数原理知共有3×3×2＝18个二次函数．若二次函数为偶函数，则b＝0，同理可知共有3×2＝6个偶函数．(2)因为每个焊接点都有脱落与未脱落两种情况，而只要有一个焊接点脱落，则电路就不通，故共有26－1＝63种可能情况．[答案] (1)18 6 (2)63[易错提醒](1)利用分步乘法计数原理解决问题时要注意按事件发生的过程来合理分步，即分步是有先后顺序的，并且分步必须满足：完成一件事的各个步骤是相互依存的，只有各个步骤都完成了，才算完成这件事．(2)谨记分步必须满足的两个条件：一是各步骤互相独立，互不干扰；二是步与步确保连续，逐步完成．两个计数原理的综合问题原理，即分类时，每类的方法可能要运用分步完成，而分步时，每步的方法数可能会采取分类的思想求解．分类的关键在于做到“不重不漏”，分步的关键在于正确设计分步的程序，即合理分类，准确分步．[例3] (1)用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中比40 000大的偶数共有( )A．144个B．120个C．96个D．72个(2)如图矩形的对角线把矩形分成A，B，C，D四部分，现用5种不同颜色给四部分涂色，每部分涂1种颜色，要求共边的两部分颜色互异，则共有________种不同的涂色方法．[解析] (1)由题意可知，符合条件的五位数的万位数字是4或5.当万位数字为4时，个位数字从0,2中任选一个，共有2×4×3×2＝48个偶数；当万位数字为5时，个位数字从0,2,4中任选一个，共有3×4×3×2＝72个偶数．故符合条件的偶数共有48＋72＝120(个)．(2)区域A有5种涂色方法；区域B有4种涂色方法；区域C的涂色方法可分2类：若C 与A涂同色，区域D有4种涂色方法；若C与A涂不同色，此时区域C有3种涂色方法，区域D也有3种涂色方法，所以共有5×4×4＋5×4×3×3＝260种涂色方法．[答案] (1)B (2)260[方法技巧]使用两个计数原理进行计数的基本思想对需用两个计数原理解决的综合问题要“先分类，再分步”，即先分为若干个“既不重复也不遗漏”的类，再对每类中的计数问题分成若干个“完整的步骤”，求出每个步骤的方法数，按照分步乘法计数原理计算各类中的方法数，最后再按照分类加法计数原理得出总数．[全练题点]1.[考点二]某班新年联欢会原定的6个节目已排成节目单，开演前又增加了3个新节目，如果将这3个新节目插入节目单中，那么不同的插法种数为( )A．504 B．210C．336 D．120解析：选A 分三步，先插一个新节目，有7种方法，再插第二个新节目，有8种方法，最后插第三个节目，有9种方法．故共有7×8×9＝504种不同的插法．2.[考点二]某电话局的电话号码为139××××××××，若前六位固定，最后五位数字是由6或8组成的，则这样的电话号码的个数为( )A．20 B．25C．32 D．60解析：选C 依据题意知，后五位数字由6或8组成，可分5步完成，每一步有2种方法，根据分步乘法计数原理，符合题意的电话号码的个数为25＝32.3.[考点一]从集合{1,2,3，…，10}中任意选出三个不同的数，使这三个数成等比数列，这样的等比数列的个数为( )A．3 B．4C．6 D．8解析：选D 先考虑递增数列，以1为首项的等比数列为1,2,4；1,3,9.以2为首项的等比数列为2,4,8.以4为首项的等比数列为4,6,9.同理可得到4个递减数列，∴所求的数列的个数为2(2＋1＋1)＝8.4.[考点一]在三位正整数中，若十位数字小于个位和百位数字，则称该数为“驼峰数”．比如“102”，“546”为“驼峰数”，由数字1,2,3,4可构成无重复数字的“驼峰数”有________个．解析：十位数的数为1时，有213,214,312,314,412,413，共6个，十位上的数为2时，有324,423，共2个，所以共有6＋2＝8(个)．答案：85.[考点三]如图，用4种不同的颜色对图中5个区域涂色(4种颜色全部使用)，要求每个区域涂一种颜色，相邻的区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色方法有________种．解析：按区域1与3是否同色分类．①区域1与3同色：先涂区域1与3，有4种方法，再涂区域2,4,5(还有3种颜色)，有3×2×1＝6种方法．所以区域1与3涂同色时，共有4×6＝24种方法．②区域1与3不同色：先涂区域1与3，有4×3＝12种方法，第二步，涂区域2有2种涂色方法，第三步，涂区域4只有一种方法，第四步，涂区域5有3种方法．所以这时共有12×2×1×3＝72种方法．故由分类加法计数原理，不同的涂色方法的种数为24＋72＝96.答案：96突破点(二) 排列、组合问题[基本知识]1．排列与排列数从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个排列不同元素中取出m个元素的一个排列从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数叫做从n个不同元排列数素中取出m个元素的排列数，记作A m nA m n ＝n (n －1)(n －2)…(n －m ＋1)＝n ！n －m ！ Cm n ＝A mn A m m ＝n n －1…n －m ＋1m ！＝n ！m ！n －m ！ 4．排列与组合的区别[基本能力]1．判断题(1)所有元素完全相同的两个排列为相同排列．( )(2)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同．( )(3)若组合式C x n ＝C mn ，则x ＝m 成立．( )(4)(n ＋1)！－n ！＝n ·n ！.( )(5)A m n ＝n A m －1n －1.( )(6)k C k n ＝n C k －1n －1.( )答案：(1)× (2)√ (3)× (4)√ (5)√ (6)√2．填空题(1)A 、B 、C 、D 、E 五人并排站成一排，不同的排法共有________种．答案：120(2)某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了毕业留言________条．解析：由题意，得毕业留言共A 240＝1 560(条)．答案：1 560(3)甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙两人所选的课程中恰有1门相同的选法有________种．解析：依题意得知，满足题意的选法共有C 14·C 13·C 12＝24(种)．答案：24(4)方程3A 3x ＝2A 2x ＋1＋6A 2x 的解为________．解析：由排列数公式可知3x (x －1)(x －2)＝2(x ＋1)x ＋6x (x －1)，∵x ≥3且x ∈N *，∴3(x －1)(x －2)＝2(x ＋1)＋6(x －1)，解得x ＝5或x ＝23(舍去)，∴x ＝5. 答案：5(5)已知1C m 5－1C m 6＝710C m 7，则m ＝________. 解析：由已知得m 的取值范围为{}m |0≤m ≤5，m ∈Z ，原等式可化为m ！5－m ！5！－m ！6－m ！6！＝7×7－m ！m ！10×7！，整理可得m 2－23m ＋42＝0，解得m ＝21(舍去)或m ＝2. 答案：2[全析考法]排列问题[例1] (1)的排法共有( )A．192种B．216种C．240种D．288种(2)把5件不同产品摆成一排，若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有________种．[解析] (1)第一类：甲在最左端，有A55＝120种排法；第二类：乙在最左端，有4A44＝96种排法，所以共有120＋96＝216种排法．(2)记其余两种产品为D，E，由于A，B相邻，则视为一个元素，先与D，E排列，有A22A33种方法．再将C插入，仅有3个空位可选，共有A22A33C13＝2×6×3＝36种不同的摆法．[答案] (1)B (2)36[方法技巧] 求解排列问题的六种主要方法直接法把符合条件的排列数直接列式计算优先法优先安排特殊元素或特殊位置捆绑法把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的内部排列插空法对不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空当中定序问题除法处理对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列间接法正难则反、等价转化的方法组合问题常见题型一般有选派问题、抽样问题、图形问题、集合问题、分组问题等解题思路(1)分清问题是否为组合问题；(2)对较复杂的组合问题，要搞清是“分类”还是“分步”，一般是先整体分类，然后局部分步，将复杂问题通过两个计数原理化归为简单问题选出4人参加比赛，要求男、女生都有，则男生甲与女生乙至少有1人入选的方法种数为( ) A．85 B．86C．91 D．90(2)设集合A＝{(x1，x2，x3，x4，x5)|x i∈{－1,0,1}，i＝1,2,3,4,5}，那么集合A中满足条件“1≤|x1|＋|x2|＋|x3|＋|x4|＋|x5|≤3”的元素个数为( )A．130 B．120C．90 D．60(3)(2017·浙江高考)从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有________种不同的选法．(用数字作答)．[解析] (1)法一(直接法)：由题意，可分三类考虑：第1类，男生甲入选，女生乙不入选的方法种数为：C13C24＋C23C14＋C33＝31；第2类，男生甲不入选，女生乙入选的方法种数为：C14C23＋C24C13＋C34＝34；第3类，男生甲入选，女生乙入选的方法种数为：C23＋C14C13＋C24＝21.所以男生甲与女生乙至少有1人入选的方法种数为31＋34＋21＝86.法二(间接法)：从5名男生和4名女生中任意选出4人，男、女生都有的选法有C49－C45－C44＝120种；男、女生都有，且男生甲与女生乙都没有入选的方法有C47－C44＝34种．所以男生甲与女生乙至少有1人入选的方法种数为120－34＝86.(2)易知|x1|＋|x2|＋|x3|＋|x4|＋|x5|＝1或2或3，下面分三种情况讨论．其一：|x1|＋|x2|＋|x3|＋|x4|＋|x5|＝1，此时，从x1，x2，x3，x4，x5中任取一个让其等于1或－1，其余等于0，于是有C15C12＝10种情况；其二：|x1|＋|x2|＋|x3|＋|x4|＋|x5|＝2，此时，从x1，x2，x3，x4，x5中任取两个让其都等于1或都等于－1或一个等于1、另一个等于－1，其余等于0，于是有2C25＋C25C12＝40种情况；其三：|x1|＋|x2|＋|x3|＋|x4|＋|x5|＝3，此时，从x1，x2，x3，x4，x5中任取三个让其都等于1或都等于－1或两个等于1、另一个等于－1或两个等于－1、另一个等于1，其余等于0，于是有2C35＋C25C13＋C15C24＝80种情况．所以满足条件的元素个数为10＋40＋80＝130.(3)从8人中选出4人，且至少有1名女学生的选法种数为C48－C46＝55.从4人中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人的选法为A24＝12种．故总共有55×12＝660种选法．[答案] (1)B (2)A (3)660[方法技巧]有限制条件的组合问题的解法组合问题的限制条件主要体现在取出元素中“含”或“不含”某些元素，或者“至少”或“最多”含有几个元素：(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型．“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取．(2)“至少”或“最多”含有几个元素的题型．考虑逆向思维，用间接法处理．分组分配问题分组后分配．关于分组问题，有整体均分、部分均分和不等分三种，无论分成几组，都应注意只要有一些组中元素的个数相等，就存在均分现象．[例3] (1)教育部为了发展贫困地区教育，在全国重点师范大学免费培养教育专业师范生，毕业后要分到相应的地区任教．现有6个免费培养的教育专业师范毕业生要平均分到3所学校去任教，有________种不同的分派方法．(2)某科室派出4名调研员到3个学校，调研该校高三复习备考近况，要求每个学校至少一名，则不同的分配方案种数为________．(3)若将6名教师分到3所中学任教，一所1名，一所2名，一所3名，则有________种不同的分法．[解析] (1)先把6个毕业生平均分成3组，有C 26C 24C 22A 33种方法，再将3组毕业生分到3所学校，有A 33＝6种方法，故将6个毕业生平均分到3所学校，共有C 26C 24C 22A 33·A 33＝90种不同的分派方法．(2)分两步完成：第一步，将4名调研员按2,1,1分成三组，其分法有C 24C 12C 11A 22种；第二步，将分好的三组分配到3个学校，其分法有A 33种，所以满足条件的分配方案有C 24C 12C 11A 22·A 33＝36种． (3)将6名教师分组，分三步完成：第1步，在6名教师中任取1名作为一组，有C 16种分法；第2步，在余下的5名教师中任取2名作为一组，有C 25种分法；第3步，余下的3名教师作为一组，有C 33种分法．根据分步乘法计数原理，共有C 16C 25C 33＝60种分法．再将这3组教师分配到3所中学，有A 33＝6种分法，故共有60×6＝360种不同的分法．[答案] (1)90 (2)36 (3)360[方法技巧] 分组分配问题的三种类型及求解策略[全练题点]1.[考点一]某工程队有6项工程需要单独完成，其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行，工程丙必须在工程乙完成后才能进行，工程丁必须在工程丙完成后立即进行．则安排这6项工程的不同方法种数为( )A ．10B ．20C ．30D ．40 解析：选 B 因为工程丙完成后立即进行工程丁，若不考虑与其他工程的顺序，则安排这6项工程的不同方法数为A 55，对于甲、乙、丙、丁所处位置的任意排列有且只有一种情况符合要求，因此，符合条件的安排方法种数为A 55A 33＝5×4＝20. 2.[考点三]世界华商大会的某分会场有A ，B ，C 三个展台，将甲、乙、丙、丁共4名“双语”志愿者分配到这三个展台，每个展台至少1人，其中甲、乙两人被分配到同一展台的不同分法的种数为( )A ．12B ．10C ．8D ．6 解析：选D ∵甲、乙两人被分配到同一展台，∴可以把甲与乙捆在一起，看成一个人，然后将3个人分到3个展台上进行全排列，即有A 33种，∴甲、乙两人被分配到同一展台的不同分法的种数为A 33＝6.3.[考点三]某局安排3名副局长带5名职工去3地调研，每地至少去1名副局长和1名职工，则不同的安排方法总数为( )A ．1 800B ．900C ．300D ．1 440解析：选B 分三步：第一步，将5名职工分成3组，每组至少1人，则有⎝ ⎛⎭⎪⎫C 35C 12C 11A 22＋C 15C 24C 22A 22种不同的分组方法；第二步，将这3组职工分到3地有A 33种不同的方法；第三步，将3名副局长分到3地有A 33种不同的方法．根据分步乘法计数原理，不同的安排方案共有⎝⎛⎭⎪⎫C 35C12C 11A 22＋C 15C 24C 22A 22·A 33A 33＝900(种)，故选B. 4.[考点一、二](2017·天津高考)用数字1,2,3,4,5,6,7,8,9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有________个．(用数字作答)解析：(1)有一个数字是偶数的四位数有C 14C 35A 44＝960个．(2)没有偶数的四位数有A 45＝120个．故这样的四位数一共有960＋120＝1 080个．答案：1 0805.[考点二]现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张，从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同取法的种数为________．解析：第一类，含有1张红色卡片，不同的取法有C 14C 212＝264种．第二类，不含有红色卡片，不同的取法有C 312－3C 34＝220－12＝208种．由分类加法计数原理，不同的取法种数为264＋208＝472.答案：472[全国卷5年真题集中演练——明规律]1．(2017·全国卷Ⅱ)安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有( )A ．12种B ．18种C ．24种D ．36种解析：选D 第一步：将4项工作分成3组，共有C 24种分法．第二步：将3组工作分配给3名志愿者，共有A 33种分配方法，故共有C 24·A 33＝36种安排方法．2．(2016·全国卷Ⅱ)如图，小明从街道的E 处出发，先到F 处与小红会合，再一起到位于G 处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为( )A．24 B．18C．12 D．9解析：选B 分两步：第一步，从E→F，有6条可以选择的最短路径；第二步，从F→G，有3条可以选择的最短路径．由分步乘法计数原理可知有6×3＝18条可以选择的最短路径．故选B.3．(2016·全国卷Ⅲ)定义“规范01数列”{a n}如下：{a n}共有2m项，其中m项为0，m 项为1，且对任意k≤2m，a1，a2，…，a k中0的个数不少于1的个数，若m＝4，则不同的“规范01数列”共有( )A．18个B．16个C．14个D．12个解析：选C 当m＝4时，数列{a n}共有8项，其中4项为0,4项为1，要满足对任意k≤8，a1，a2，…，a k中0的个数不少于1的个数，则必有a1＝0，a8＝1，a2可为0，也可为1.(1)当a2＝0时，分以下3种情况：①若a3＝0，则a4，a5，a6，a7中任意一个为0均可，则有C14＝4种情况；②若a3＝1，a4＝0，则a5，a6，a7中任意一个为0均可，有C13＝3种情况；③若a3＝1，a4＝1，则a5必为0，a6，a7中任意一个为0均可，有C12＝2种情况；(2)当a2＝1时，必有a3＝0，分以下2种情况：①若a4＝0，则a5，a6，a7中任一个为0均可，有C13＝3种情况；②若a4＝1，则a5必为0，a6，a7中任一个为0均可，有C12＝2种情况．综上所述，不同的“规范01数列”共有4＋3＋2＋3＋2＝14(个)，故选C.4．(2014·全国大纲卷)有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组．则不同的选法共有( )A．60种B．70种C．75种D．150种解析：选C 从6名男医生中选出2名有C26种选法，从5名女医生中选出1名有C15种选法，由分步乘法计数原理得不同的选法共有C26·C15＝75(种)．故选C.[课时达标检测][小题对点练——点点落实]对点练(一) 两个计数原理1．集合P＝{x,1}，Q＝{y,1,2}，其中x，y∈{1,2,3，…，9}，且P⊆Q.把满足上述条件的一个有序整数对(x，y)作为一个点的坐标，则这样的点的个数是( ) A．9 B．14C．15 D．21解析：选B 当x＝2时，x≠y，点的个数为1×7＝7个．当x≠2时，由P⊆Q，∴x＝y，∴x可从3,4,5,6,7,8,9中取，有7种方法，因此满足条件的点的个数是7＋7＝14.2．(2018·云南调研)设集合A＝{－1,0,1}，集合B＝{0,1,2,3}，定义A*B＝{(x，y)|x ∈A∩B，y∈A∪B}，则A*B中元素的个数是( )A．7 B．10C．25D．52解析：选B 因为集合A＝{－1,0,1}，集合B＝{0,1,2,3}，所以A∩B＝{0,1}，A∪B＝{－1,0,1,2,3}，所以x有2种取法，y有5种取法，所以根据分步乘法计数原理得有2×5＝10(个)．3．某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友一本，则不同的赠送方法共有( )A．4种B．10种C．18种D．20种解析：选B 赠送1本画册，3本集邮册．需从4人中选取1人赠送画册，其余赠送集邮册，有4种方法．赠送2本画册，2本集邮册，只需从4人中选出2人赠送画册，其余2人赠送集邮册，有6种方法．由分类加法计数原理，不同的赠送方法有4＋6＝10(种)．4．(2018·绍兴模拟)用0,1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为( )A．243 B．252C．261 D．279解析：选B 0,1,2，…，9共能组成9×10×10＝900个三位数，其中无重复数字的三位数有9×9×8＝648个，∴有重复数字的三位数的个数为900－648＝252.5．有4件不同颜色的衬衣，3件不同花样的裙子，另有2套不同样式的连衣裙．需选择一套服装参加“五一”节歌舞演出，则不同的选择方式种数为( )A．24 B．14C．10 D．9解析：选B 第一类：一件衬衣，一件裙子搭配一套服装有4×3＝12种方式；第二类：选2套连衣裙中的一套服装有2种选法，由分类加法计数原理，共有12＋2＝14种选择方式．6.如图所示，将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端异色，如果只有5种颜色可供使用，则不同的染色方法总数为________．解析：先染顶点S，有5种染法，再染顶点A有4种染法，染顶点B有3种染法，顶点C的染法有两类：若C与A同色，则顶点D有3种染法；若C与A不同色，则C有2种染法，D有2种染法，所以共有5×4×3×3＋5×4×3×2×2＝420种染色方法．答案：420对点练(二) 排列、组合问题1．(2018·福建漳州八校联考)有六人排成一排，其中甲只能在排头或排尾，乙、丙两人必须相邻，则满足要求的排法有( )A．34种B．48种C．96种D．144种解析：选C 特殊元素优先安排，先让甲从头、尾中选取一个位置，有C12种选法，乙、丙相邻，捆绑在一起看作一个元素，与其余三个元素全排列，最后乙、丙可以换位，故共有C12·A44·A22＝96种排法，故选C.2．将5名学生分配到甲、乙两个宿舍，每个宿舍至少安排2名学生，那么互不相同的安排方法的种数为( )A．10 B．20C．30 D．40解析：选B 将5名学生分配到甲、乙两个宿舍，每个宿舍至少安排2名学生，那么必然是一个宿舍2名，而另一个宿舍3名，共有C35C22A22＝20(种)．3．“住房”“医疗”“教育”“养老”“就业”成为现今社会关注的五个焦点．小赵想利用国庆节假期调查一下社会对这些热点的关注度．若小赵准备按照顺序分别调查其中的4个热点，则“住房”作为其中的一个调查热点，但不作为第一个调查热点的种数为( ) A．13 B．24C．18 D．72解析：选D 可分三步：第一步，先从“医疗”“教育”“养老”“就业”这4个热点中选出3个，有C34种不同的选法；第二步，在调查时，“住房”安排的顺序有A13种可能情况；第三步，其余3个热点调查的顺序有A33种排法．根据分步乘法计数原理可得，不同调查顺序的种数为C34A13A33＝72.4．(2017·舟山二模)将甲、乙等5名交警分配到三个不同路口疏导交通，每个路口至少一人，且甲、乙在同一路口的分配方案共有( )A．18种B．24种C．36种D．72种解析：选C 1个路口3人，其余路口各1人的分配方法有C13A33种.1个路口1人，2个路口各2人的分配方法有C23A33种，由分类加法计数原理知，甲、乙在同一路口的分配方案为C13A33＋C23A33＝36(种)．5．(2018·豫南九校联考)某医院拟派2名内科医生、3名外科医生和3名护士共8人组成两个医疗分队，平均分到甲、乙两个村进行义务巡诊，其中每个分队都必须有内科医生、外科医生和护士，则不同的分配方案有( )A．72种B．36种C．24种D．18种解析：选B A12(C23C13＋C13C23)＝36(种)．6．7位身高均不等的同学排成一排照相，要求中间最高，依次往两端身高逐渐降低，共有________种排法．解析：先排最中间位置有1种排法，再排左边3个位置，由于顺序一定，共有C36种排法，再排剩下右边三个位置，共1种排法，所以排法种数为C36＝20.答案：207．把座位编号为1,2,3,4,5的五张电影票全部分给甲、乙、丙、丁四个人，每人至少一张，至多两张，且分得的两张票必须是连号，那么不同的分法种数为________(用数字作答)．解析：先将票分为符合条件的4份，由题意，4人分5张票，且每人至少一张，至多两张，则三人每人一张，一人2张，且分得的票必须是连号，相当于将1,2,3,4,5这五个数用3个板子隔开，分为四部分且不存在三连号．在4个空位插3个板子，共有C34＝4种情况，再对应到4个人，有A44＝24种情况，则共有4×24＝96种情况．答案：968．若把英语单调“good”的字母顺序写错了，则可能出现的错误种数共有________种．解析：把g，o，o，d 4个字母排一行，可分两步进行，第一步：排g和d，共有A24种排法；第二步：排两个o，共1种排法，所以总的排法种数为A24＝12种．其中正确的有一种，所以错误的共A24－1＝12－1＝11(种)．答案：11[大题综合练——迁移贯通]。

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