人教版高中数学选修1-2
新人教A版高中数学选修1-2第二章：推理与证明
第二章推理与证明2.1 合情推理与演绎推理2.1.1 合情推理A级基础巩固一、选择题1．下列推理是归纳推理的是()A．F1，F2为定点，动点P满足|PF1|＋|PF2|＝2a>|F1F2|，得P 的轨迹为椭圆B．由a1＝1，a n＝3n－1，求出S1，S2，S3，猜想出数列的前n 项和S n的表达式C．由圆x2＋y2＝r2的面积πr2，猜想出椭圆x2a2＋y2b2＝1的面积S＝πabD．科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇解析：由归纳推理的定义知，B项为归纳推理．答案：B2．根据给出的数塔猜测123 456×9＋7等于()1×9＋2＝1112×9＋3＝111123×9＋4＝1 1111 234×9＋5＝11 11112 345×9＋6＝111 111A．111 1110B．1 111 111C．1 111 112 D．1 111 113解析：由1×9＋2＝11；12×9＋3＝111；123×9＋4＝1 111；1 234×9＋5＝111 111；…归纳可得，等式右边各数位上的数字均为1，位数跟等式左边的第二个加数相同，所以123 456×9＋7＝1 111 111.答案：B3．观察图形规律，在其右下角的空格内画上合适的图形为()解析：观察可发现规律：①每行、每列中，方、圆、三角三种形状均各出现一次，②每行、每列有两个阴影一个空白，应为黑色矩形．答案：A4．设n是自然数，则18(n2－1)[1－(－1)n]的值()A．一定是零B．不一定是偶数C．一定是偶数D．是整数但不一定是偶数解析：当n为偶数时，18(n2－1)[1－(－1)n]＝0为偶数；当n为奇数时(n＝2k＋1，k∈N)，18(n2－1)[1－(－1)n]＝18(4k2＋4k)·2＝k(k＋1)为偶数．所以18(n 2－1)[1－(－1)n ]的值一定为偶数． 答案：C5．在平面直角坐标系内，方程x a ＋y b＝1表示在x 轴，y 轴上的截距分别为a 和b 的直线，拓展到空间，在x 轴，y 轴，z 轴上的截距分别为a ，b ，c (abc ≠0)的平面方程为( )A.x a ＋y b ＋z c＝1 B.x ab ＋y bc ＋z ca ＝1 C.xy ab ＋yz bc ＋zx ca ＝1 D ．ax ＋by ＋cz ＝1解析：从方程x a ＋y b＝1的结构形式来看，空间直角坐标系中，平面方程的形式应该是x a ＋y b ＋z c＝1. 答案：A二、填空题6．已知a 1＝1，a n ＋1>a n ，且(a n ＋1－a n )2－2(a n ＋1＋a n )＋1＝0，计算a 2，a 3，猜想a n ＝________．解析：计算得a 2＝4，a 3＝9，所以猜想a n ＝n 2.答案：n 27．在平面上，若两个正三角形的边长比为1∶2.则它们的面积比为1∶4.类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长比为1∶2，则它们的体积比为________．解析：V 1V 2＝13S 1h 113S 2h 2＝S 1S 2·h 1h 2＝14×12＝18. 答案：1∶88．观察下列各式：①(x3)′＝3x2；②(sin x)′＝cos x；③(e x－e－x)′＝e x＋e－x；④(x cos x)′＝cos x－x sin x.根据其中函数f(x)及其导数f′(x)的奇偶性，运用归纳推理可得到的一个命题是__________________________________________．解析：对于①，f(x)＝x3为奇函数，f′(x)＝3x2为偶函数；对于②，g(x)＝sin x为奇函数，f′(x)＝cos x为偶函数；对于③，p(x)＝e x－e－x为奇函数，p′(x)＝e x＋e－x为偶函数；对于④，q(x)＝x cos x 为奇函数，q′(x)＝cos x－x sin x为偶函数．归纳推理得结论：奇函数的导函数是偶函数．答案：奇函数的导函数是偶函数三、解答题9．有以下三个不等式：(12＋42)(92＋52)≥(1×9＋4×5)2；(62＋82)(22＋122)≥(6×2＋8×12)2；(132＋52)(102＋72)≥(13×10＋5×7)2.请你观察这三个不等式，猜想出一个一般性结论，并证明你的结论．解：一般性结论为(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2.证明：因为(a2＋b2)(c2＋d2)－(ac＋bd)2＝a2c2＋b2c2＋a2d2＋b2d2－(a2c2＋2abcd＋b2d2)＝b2c2＋a2d2－2abcd＝(bc－ad)2≥0，所以(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2.10．如图所示，在△ABC中，射影定理可表示为a＝b·cos C＋c·cos B，其中a，b，c分别为角A，B，C的对边，类比上述定理，写出对空间四面体性质的猜想．解：如右图所示，在四面体PABC中，设S1，S2，S3，S分别表示△PAB，△PBC，△PCA，△ABC的面积，α，β，γ依次表示平面PAB，平面PBC，平面PCA与底面ABC所成二面角的大小．猜想射影定理类比推理到三维空间，其表现形式应为S＝S1·cos α＋S2·cos β＋S3·cos γ.B级能力提升1．用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：按照上面的规律，第n个“金鱼”图需要火柴的根数为() A．6n－2 B．8n－2C．6n＋2 D．8n＋2解析：从①②③可以看出，从图②开始每个图中的火柴棒都比前一个图中的火柴棒多6根，故火柴棒数成等差数列，第一个图中火柴棒为8根，故可归纳出第n个“金鱼”图需火柴棒的根数为6n＋2.答案：C2．等差数列{a n}中，a n>0，公差d>0，则有a4·a6>a3·a7，类比上述性质，在等比数列{b n}中，若b n>0，q>1，写出b5，b7，b4，b8的一个不等关系________．解析：将乘积与和对应，再注意下标的对应，有b4＋b8>b5＋b7.答案：b4＋b8>b5＋b73．观察下列等式： ①sin 210°＋cos 240°＋sin 10°cos 40°＝34； ②sin 26°＋cos 236°＋sin6°cos36°＝34. 由上面两题的结构规律，你能否提出一个猜想？并证明你的猜想．解：由①②知，两角相差30°，运算结果为34， 猜想：sin 2α＋cos 2(α＋30°)＋sin αcos(α＋30°)＝34. 证明：左边＝1－cos 2α2＋1＋cos （2α＋60°）2＋sin αcos(α＋30°)＝1－cos 2α2＋cos 2αcos 60°－sin 2αsin 60°2＋ sin α⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos α－sin α2 ＝1－12cos 2α＋14cos 2α－34sin 2α＋34sin 2α－1－cos 2α4＝34＝右边 故sin 2α＋cos 2(α＋30°)＋sin αcos(α＋30°)＝34. 2.1.2 演绎推理A 级 基础巩固一、选择题1．若大前提是“任何实数的平方都大于0”，小前提是“a∈R”，结论是“a2>0”，那么这个演绎推理()A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．没有错误解析：因为“任何实数的平方非负”，所以“任何实数的平方都大于0”是错误的，即大前提错误．答案：A2．在“△ABC中，E，F分别是边AB，AC的中点，则EF∥BC”的推理过程中，大前提是()A．三角形的中位线平行于第三边B．三角形的中位线等于第三边长的一半C．E，F为AB，AC的中点D．EF∥BC解析：大前提是“三角形的中位线平行于第三边”．答案：A3．下列四个推导过程符合演绎推理“三段论”形式且推理正确的是()A．大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：π是无理数；结论：π是无限不循环小数B．大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：π是无限不循环小数；结论：π是无理数C．大前提：π是无限不循环小数；小前提：无限不循环小数是无理数；结论：π是无理数D．大前提：π是无限不循环小数；小前提：π是无理数；结论：无限不循环小数是无理数解析：对于A，小前提与结论互换，错误；对于B，符合演绎推理过程且结论正确；对于C和D，均为大小前提及结论颠倒，不符合演绎推理“三段论”形式．答案：B4．下列四类函数中，具有性质“对任意的x>0，y>0，函数f(x)满足f(x＋y)＝f(x)·f(y)”的是()A．幂函数B．对数函数C．指数函数D．余弦函数解析：只有指数函数f(x)＝a x(a>0，a≠1)满足条件．答案：C5．有这样一段演绎推理：“有些有理数是真分数，整数是有理数，则整数是真分数”结论显然是错误的，这是因为() A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．非以上错误解析：用小前提“S是M”，判断得到结论“S是P”时，大前提“M是P”必须是所有的M，而不是部分，因此此推理不符合演绎推理规则．答案：C二、填空题6．已知△ABC中，∠A＝30°，∠B＝60°，求证a<b.证明：∵∠A＝30°，∠B＝60°，∴∠A<∠B，∴a<b，画线部分是演绎推理的________．解析：结合三段论的特征可知，该证明过程省略了大前提“在同一个三角形中大角对大边”，因此画线部分是演绎推理的小前提．答案：小前提7．在求函数y ＝log 2x －2的定义域时，第一步推理中大前提是当a 有意义时，a ≥0；小前提是log 2x －2有意义；结论是________．解析：要使函数有意义，则log 2x －2≥0，解得x ≥4，所以函数y ＝log 2x －2的定义域是[4，＋∞)．答案：函数y ＝log 2x －2的定义域是[4，＋∞)8．下面几种推理过程是演绎推理的是________(填序号)．①两条直线平行，同旁内角互补，如果∠A 和∠B 是两条平行线的同旁内角，那么∠A ＋∠B ＝180°②由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质③某高校共有10个班，1班有51人，2班有53人，3班有52人，由此推测各班都超过50人④在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a n －1＋1a n －1(n ≥2)，由此归纳出{a n }的通项公式．解析：①为演绎推理，②为类比推理，③④为归纳推理．答案：①三、解答题9．设m 为实数，利用三段论求证方程x 2－2mx ＋m －1＝0有两个相异实根．证明：如果一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的判别式Δ＝b 2－4ac >0，那么方程有两相异实根．(大前提)一元二次方程x 2－2mx ＋m －1＝0的判别式Δ＝(2m )2－4(m －1)＝4m 2－4m ＋4＝(2m －1)2＋3>0，(小前提)所以方程x 2－2mx ＋m －1＝0有两相异实根．(结论)10．设函数f (x )＝sin(2x ＋φ)(－π<φ<0)，y ＝f (x )的图象的一条对称轴是直线x ＝π8. (1)求φ；(2)求函数f (x )的单调增区间．解：(1)∵x ＝π8是函数y ＝f (x )的图象的对称轴， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π8＋φ＝±1.∴π4＋φ＝k π＋π2，k ∈Z. ∵－π<φ<0，∴φ＝－3π4. (2)由(1)知φ＝－3π4，因此y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －3π4. 由题意，得2k π－π2≤2x －3π4≤2k π＋π2，k ∈Z ， ∴k π＋π8≤x ≤5π8＋k π，k ∈Z. 故函数f (x )的增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π8，k π＋5π8，k ∈Z. B 级 能力提升1．某人进行了如下的“三段论”：如果f ′(x 0)＝0，则x ＝x 0是函数f (x )的极值点，因为函数f (x )＝x 3在x ＝0处的导数值f ′(0)＝0，所以x ＝0是函数f (x )＝x 3的极值点．你认为以上推理的( )A ．大前提错误B ．小前提错误C ．推理形式错误D ．结论正确解析：若f ′(x 0)，则x ＝x 0不一定是函数f (x )的极值点，如f (x )＝x 3，f ′(0)＝0，但x ＝0不是极值点，故大前提错误．答案：A2．设a >0，f (x )＝e x a ＋a e x 是R 上的偶函数，则a 的值为________． 解析：因为f (x )是R 上的偶函数，所以f (－x )＝f (x )，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫a －1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫e x －1e x ＝0对于一切x ∈R 恒成立，由此得a －1a ＝0，即a 2＝1.又a >0，所以a ＝1.答案：13．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝4a n －3n ＋1(n ∈N *)．(1)证明数列{a n －n }是等比数列；(2)求数列{a n }的前n 项和S n ；(3)证明不等式S n ＋1≤4S n 对任意n ∈N *皆成立．(1)证明：由已知a n ＋1＝4a n －3n ＋1，得a n ＋1－(n ＋1)＝4(a n －n )，n ∈N *，又a 1－1＝2－1＝1≠0，所以数列{a n －n }是首项为1，公比为4的等比数列．(2)解：由(1)得a n －n ＝4n －1，所以a n ＝4n －1＋n .所以S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝1＋4＋42＋…＋4n －1＋(1＋2＋3＋…＋n )＝4n －13＋n （n ＋1）2. (3)证明：对任意的n ∈N *，S n ＋1－4S n ＝4n ＋1－13＋（n ＋1）（n ＋2）2－4⎣⎢⎡⎦⎥⎤4n －13＋n （n ＋1）2＝－12(3n 2＋n －4)＝－12(3n ＋4)(n －1)≤0. 所以不等式S n ＋1≤4S n 对任意n ∈N *皆成立．2.2 直接证明与间接证明2.2.1 综合法和分析法第1课 时综合法A 级 基础巩固一、选择题1．在下列函数f (x )中，满足“对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，当x 1<x 2时，都有f (x 1)>f (x 2)”的是( )A ．f (x )＝1xB ．f (x )＝(x －1)2C ．f (x )＝e xD ．f (x )＝ln(x ＋1)解析：由题设知，f (x )在(0，＋∞)上是减函数，由f (x )＝1x，得f ′(x )＝－1x2<0，所以f (x )＝1x 在(0，＋∞)上是减函数． 答案：A2．已知函数f (x )＝lg 1－x 1＋x，若f (a )＝b ，则f (－a )等于( ) A ．bB ．－b C.1b D ．－1b解析：f (x )定义域为(－1，1)，f (－a )＝lg 1＋a 1－a ＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－a 1＋a －1＝－lg 1－a 1＋a ＝－f (a )＝－b .答案：B3．命题“如果数列{a n }的前n 项和S n ＝2n 2－3n ，那么数列{a n }一定是等差数列”是否成立( )A ．不成立B ．成立C ．不能断定D ．与n 取值有关解析：当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝4n －5又a 1＝S 1＝2×12－3×1＝－1适合上式．∴a n ＝4n －5(n ∈N *)，则a n －a n －1＝4(常数)故数列{a n }是等差数列．答案：B4．若a ，b ∈R ，则下面四个式子中恒成立的是( )A ．lg(1＋a 2)>0B ．a 2＋b 2≥2(a －b －1)C ．a 2＋3ab >2b 2 D.a b <a ＋1b ＋1解析：在B 中，因为a 2＋b 2－2(a －b －1)＝(a 2－2a ＋1)＋(b 2＋2b ＋1)＝(a －1)2＋(b ＋1)2≥0，所以a 2＋b 2≥2(a －b －1)恒成立．答案：B5．在△ABC 中，已知sin A cos A ＝sin B cos B ，则该三角形是( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰或直角三角形解析：由sin A cos A ＝sin B cos B 得sin 2A ＝sin 2B ，所以2A ＝2B 或2A ＝π－2B ，即A ＝B 或A ＋B ＝π2.所以该三角形是等腰或直角三角形．答案：D二、填空题6．命题“函数f(x)＝x－x ln x在区间(0，1)上是增函数”的证明过程“对函数f(x)＝x－x ln x求导，得f′(x)＝－ln x，当x∈(0，1)时，f′(x)＝－ln x>0，故函数f(x)在区间(0，1)上是增函数”，应用了________的证明方法．解析：本命题的证明，利用题设条件和导数与函数单调性的关系，经推理论证得到了结论，所以应用的是综合法的证明方法．答案：综合法7．角A，B为△ABC内角，A>B是sin A>sin B的________条件(填“充分”“必要”“充要”或“即不充分又不必要”)．解析：在△ABC中，A>B⇔a>b由正弦定理asin A＝bsin B，从而sin A>sin B.因此A>B⇔a>b⇔sin A>sin B，为充要条件．答案：充要8．已知p＝a＋1a－2(a>2)，q＝2－a2＋4a－2(a>2)，则p，q的大小关系为________．解析：因为p＝a＋1a－2＝(a－2)＋1a－2＋2≥2（a－2）·1a－2＋2＝4，又－a2＋4a－2＝2－(a－2)2<2(a>2)，所以q＝2－a2＋4a－2<4≤p.答案：p>q三、解答题9．已知a>0，b>0，且a＋b＝1，求证：1a＋1b≥4.证明：因为a >0，b >0且a ＋b ＝1，所以1a ＋1b ＝a ＋b a ＋a ＋b b ＝2＋b a ＋a b≥2＋2 b a ·a b ＝4. 当且仅当b a ＝a b，即a ＝b 时，取等号， 故1a ＋1b≥4. 10．设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，若函数y ＝f (x ＋1)与y ＝f (x )的图象关于y 轴对称，求证：函数y ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12为偶函数． 证明：∵函数y ＝f (x )与y ＝f (x ＋1)的图象关于y 轴对称．∴f (x ＋1)＝f (－x )则y ＝f (x )的图象关于x ＝12对称 ∴－b 2a ＝12，∴a ＝－b . 则f (x )＝ax 2－ax ＋c ＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋c －a 4 ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＝ax 2＋c －a 4为偶函数． B 级 能力提升1．设f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f (x )单调递减，若x 1＋x 2>0，则f (x 1)＋f (x 2)的值( )A ．恒为负值B ．恒等于零C ．恒为正值D ．无法确定正负解析：由f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f (x )单调递减，可知f (x )是R 上的单调递减函数，由x 1＋x 2>0，可知x 1>－x 2，f (x 1)<f (－x 2)＝－f (x 2)，则f (x 1)＋f (x 2)<0.答案：A2．已知sin x＝55，x∈⎝⎛⎭⎪⎫π2，3π2，则tan⎝⎛⎭⎪⎫x－π4＝________．解析：∵sin x＝55，x∈⎝⎛⎭⎪⎫π2，3π2，∴cos x＝－45，∴tan x＝－12，∴tan⎝⎛⎭⎪⎫x－π4＝tan x－11＋tan x＝－3.答案：－33．(2016·江苏卷)如图，在直三棱柱ABC A1B1C1中，D，E分别为AB，BC的中点，点F在侧棱B1B上，且B1D⊥A1F，A1C1⊥A1B1.求证：(1)直线DE∥平面A1C1F；(2)平面B1DE⊥平面A1C1F.证明：(1)在直三棱柱ABC A1B1C1中，A1C1∥AC.在△ABC中，因为D，E分别为AB，BC的中点，所以DE∥AC，所以DE∥A1C1.因为DE⊄平面A1C1F，A1C1⊂平面A1C1F，所以直线DE∥平面A1C1F.(2)在直三棱柱ABC A1B1C1中，A1A⊥平面A1B1C1，因为A1C1⊂平面A1B1C1，所以A1A⊥A1C1.又A1C1⊥A1B1，A1A⊂平面ABB1A1，A1B1⊂平面ABB1A1，A1A∩A1B1＝A1，所以A1C1⊥平面ABB1A1.又因为B1D⊂平面ABB1A1，所以A1C1⊥B1D.又B1D⊥A1F，A1C1⊂平面A1C1F，A1F⊂平面A1C1F，A1C1∩A1F＝A1，所以B1D⊥平面A1C1F.因为B1D⊂平面B1DE，所以平面B1DE⊥平面A1C1F.第2课时分析法A级基础巩固一、选择题1．关于综合法和分析法的说法错误的是()A．综合法和分析法是直接证明中最基本的两种证明方法B．综合法又叫顺推证法或由因导果法C．综合法和分析法都是因果分别互推的两头凑法D．分析法又叫逆推证法或执果索因法解析：由综合法和分析法的意义与特点，知C错误．答案：C2．分析法又叫执果索因法，若使用分析法证明：设a>b>c，且a＋b＋c＝0，求证：b2－ac<3a，则证明的依据应是() A．a－b>0B．a－c>0C．(a－b)(a－c)>0 D．(a－b)(a－c)<0解析：b2－ac<3a⇔b2－ac<3a2⇔(a＋c)2－ac<3a2⇔(a－c)·(2a ＋c)>0⇔(a－c)(a－b)>0.答案：C3．在不等边△ABC中，a为最大边，要想得到A为钝角的结论，对三边a，b，c应满足的条件，判断正确的是()A．a2<b2＋c2B．a2＝b2＋c2C．a2>b2＋c2D．a2≤b2＋c2解析：要想得到A为钝角，只需cos A<0，因为cos A＝b2＋c2－a22bc，所以只需b2＋c2－a2<0，即b2＋c2<a2.答案：C4．对于不重合的直线m，l和平面α，β，要证明α⊥β，需要具备的条件是()A．m⊥l，m∥α，l∥βB．m⊥l，α∩β＝m，l⊂αC．m∥l，m⊥α，l⊥βD．m∥l，l⊥β，m⊂α解析：对于选项A，与两相互垂直的直线平行的平面的位置关系不能确定；对于选项B，平面内的一条直线与另一个平面的交线垂直，这两个平面的位置关系不能确定；对于选项C，这两个平面有可能平行或重合；根据面面垂直的判定定理知选项D正确．答案：D5．设P＝2，Q＝7－3，R＝6－2，则P，Q，R的大小关系是()A．P>Q>R B．P>R>QC．Q>P>R D．Q>R>P解析：先比较Q与R的大小．Q－R＝7－3－(6－2)＝(7＋2)－(6＋3)．因为(7＋2)2－(6＋3)2＝7＋2＋214－(6＋3＋218)＝2(14－18)<0，所以Q<R.又P＝2>R＝2(3－1)，所以P>R>Q.答案：B二、填空题6．如果a a＋b b>a b＋b a，则实数a，b应满足的条件是________．解析：a a＋b b>a b＋b a⇔a a－a b>b a－b b⇔a(a－b)>b(a－b)⇔(a－b)(a－b)>0⇔(a＋b)(a－b)2>0，故只需a≠b且a，b都不小于零即可．答案：a≥0，b≥0且a≠b7．当x>0时，sin x与x的大小关系为________．解析：令f(x)＝x－sin x(x>0)，则f′(x)＝1－cos x≥0，所以f(x)在(0，＋∞)上是增函数，因此f(x)>f(0)＝0，则x>sin x.答案：x>sin x8．如图，在直四棱柱A1B1C1D1ABCD(侧棱与底面垂直)中，当底面四边形ABCD满足条件________时，有A1C⊥B1D1(注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情形)．解析：要证明A 1C ⊥B 1D 1只需证明B 1D 1⊥平面A 1C 1C因为CC 1⊥B 1D 1只要再有条件B 1D 1⊥A 1C 1，就可证明B 1D 1⊥平面A 1CC 1 从而得B 1D 1⊥A 1C 1.答案：B 1D 1⊥A 1C 1(答案不唯一)三、解答题9．已知a >1，求证：a ＋1＋a －1<2a .证明：因为a >1，要证a ＋1＋a －1<2a ，只需证(a ＋1＋a －1)2<(2a )2，只需证a ＋1＋a －1＋2（a ＋1）（a －1）<4a ， 只需证（a ＋1）（a －1）<a ，只需证a 2－1<a 2，即证－1<0.该不等式显然成立，故原不等式成立．10．求证：2cos(α－β)－sin （2α－β）sin α＝sin βsin α. 证明：欲证原等式2cos(α－β)－sin （2α－β）sin α＝sin βsin α成立． 只需证2cos(α－β)sin α－sin(2α－β)＝sin β，①因为①左边＝2cos(α－β)sin α－sin[(α－β)＋α]＝2cos(α－β)sin α－sin(α－β)cos α－cos(α－β)sin α ＝cos(α－β)sin α－sin(α－β)cos α＝sin β＝右边．所以①成立，所以原等式成立．B 级 能力提升1．设a ，b ，c ，d 为正实数，若a ＋d ＝b ＋c 且|a －d |<|b －c |，则有( )A ．ad ＝bcB ．ad <bcC ．ad >bcD ．ad ≤bc解析：∵|a －d |<|b －c |⇔(a －d )2<(b －c )2⇔a 2＋d 2－2ad <b 2＋c 2－2bc ①又a ＋d ＝b ＋c∴a 2＋d 2＋2ad ＝b 2＋c 2＋2bc ②由②－①，得4ad >4bc ，即ad >bc .答案：C2．设函数f (x )是定义在R 上的以3为周期的奇函数，若f (1)>1，f (2)＝3a －4a ＋1，则实数a 的取值范围是________． 解析：因为f (x )是周期为3的奇函数，且f (1)>1，所以f (2)＝f (－1)＝－f (1)，因此3a －4a ＋1<－1，则4a －3a ＋1<0， 解之得－1<a <34. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，34 3．设实数a ，b ，c 成等比数列，非零实数x ，y 分别为a 与b ，b 与c 的等差中项，证明：a x ＋c y＝2.证明：要证明ax＋cy＝2，只要证ay＋cx＝2xy，也就是证明2ay＋2cx＝4xy.由题设条件b2＝ac，2x＝a＋b，2y＝b＋c，所以2ay＋2cx＝a(b＋c)＋(a＋b)c＝ab＋2ac＋bc，4xy＝(a＋b)(b＋c)＝ab＋b2＋bc＋ac＝ab＋2ac＋bc，所以2ay＋2cx＝4xy成立，故ax＋cy＝2成立．2.2.2 反证法A级基础巩固一、选择题1．应用反证法推出矛盾的推导过程中，要把下列哪些作为条件使用()①结论的否定即假设；②原命题的条件；③公理、定理、定义等；④原命题的结论．A．①②B．①②④C．①②③D．②③解析：由反证法的定义知，可把①②③作为条件使用，而④原命题的结论是不可以作为条件使用的．答案：C2．用反证法证明命题：“设a，b为实数，则方程x2＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是()A．方程x2＋ax＋b＝0没有实根B．方程x2＋ax＋b＝0至多有一个实根C．方程x2＋ax＋b＝0至多有两个实根D．方程x2＋ax＋b＝0恰好有两个实根解析：“方程x2＋ax＋b＝0至少有一个实根”的反面是“方程x2＋ax＋b＝0没有实根．”答案：A3．用反证法证明命题“若直线AB、CD是异面直线，则直线AC、BD也是异面直线”的过程归纳为以下三个步骤：①则A、B、C、D四点共面，所以AB、CD共面，这与AB、CD是异面直线矛盾；②所以假设错误，即直线AC、BD也是异面直线；③假设直线AC、BD是共面直线．则正确的序号顺序为()A．①②③B．③①②C．①③②D．②③①解析：结合反证法的证明步骤可知，其正确步骤为③①②.答案：B4．否定结论“自然数a，b，c中恰有一个偶数”时，正确的反设为()A．a，b，c都是奇数B．a，b，c都是偶数C．a，b，c中至少有两个偶数D．a，b，c都是奇数或至少有两个偶数解析：自然数a，b，c中奇数、偶数的可能情况有：全为奇数，恰有一个偶数，恰有两个偶数，全为偶数．除去结论即为反设，应选D.答案：D5．设实数a 、b 、c 满足a ＋b ＋c ＝1，则a ，b ，c 中至少有一个数不小于( )A ．0B.13C.12 D ．1解析：假设a ，b ，c 都小于13，则a ＋b ＋c <1，与a ＋b ＋c ＝1矛盾，选项B 正确．答案：B二、填空题6．已知平面α∩平面β＝直线a ，直线b ⊂α，直线c ⊂β，b ∩a ＝A ，c ∥a ，求证：b 与c 是异面直线，若利用反证法证明，则应假设________．解析：∵空间中两直线的位置关系有3种：异面、平行、相交， ∴应假设b 与c 平行或相交．答案：b 与c 平行或相交7．完成反证法证题的全过程．设a 1，a 2，…，a 7是1，2，…，7的一个排列，求证：乘积p ＝(a 1－1)(a 2－2)…(a 7－7)为偶数．证明：假设p 为奇数，则a 1－1，a 2－2，…，a 7－7均为奇数．因奇数个奇数之和为奇数，故有奇数＝________＝0.但0≠奇数，这一矛盾说明p 为偶数．解析：由假设p 为奇数可知(a 1－1)，(a 2－2)，…，(a 7－7)均为奇数，故(a 1－1)＋(a 2－2)＋…＋(a 7－7)＝(a 1＋a 2＋…a 7)－(1＋2＋…＋7)＝0为偶数．答案：(a 1－1)＋(a 2－2)＋…＋(a 7－7)8．已知数列{a n }，{b n }的通项公式分别为a n ＝an ＋2，b n ＝bn ＋1(a ，b 是常数，且a >b )，那么这两个数列中序号与数值均对应相同的项有________个．解析：假设存在序号和数值均相等的项，即存在n 使得a n ＝b n ，由题意a >b ，n ∈N *，则恒有an >bn ，从而an ＋2>bn ＋1恒成立，所以不存在n 使a n ＝b n .答案：0三、解答题9．设x ，y 都是正数，且x ＋y >2，试用反证法证明：1＋x y <2和1＋y x<2中至少有一个成立．证明：假设1＋x y <2和1＋y x <2都不成立，即1＋x y ≥2，1＋y x≥2. 又因为x ，y 都是正数，所以1＋x ≥2y ，1＋y ≥2x .两式相加，得2＋x ＋y ≥2x ＋2y ，则x ＋y ≤2，这与题设x ＋y >2矛盾，所以假设不成立．故1＋x y <2和1＋y x<2中至少有一个成立． 10．已知三个正数a ，b ，c ，若a 2，b 2，c 2成公比不为1的等比数列，求证：a ，b ，c 不成等差数列．证明：假设a ，b ，c 成等差数列，则有2b ＝a ＋c ，即4b 2＝a 2＋c 2＋2ac ，又a2，b2，c2成公比不为1的等比数列，且a，b，c为正数，所以b4＝a2c2且a，b，c互不相等，即b2＝ac，因此4ac＝a2＋c2＋2ac，所以(a－c)2＝0，从而a＝c＝b，这与a，b，c互不相等矛盾．故a，b，c不成等差数列．B级能力提升1．设a，b，c大于0，则3个数：a＋1b，b＋1c，c＋1a的值()A．都大于2 B．至少有一个不大于2 C．都小于2 D．至少有一个不小于2解析：假设a＋1b，b＋1c，c＋1a都小于2则a＋1b<2，b＋1c<2，c＋1a<2∴a＋1b＋b＋1c＋c＋1a<6，①又a，b，c大于0所以a＋1a≥2，b＋1b≥2，c＋1c≥2.∴a＋1b＋b＋1c＋c＋1a≥6.②故①与②式矛盾，假设不成立所以a＋1b，b＋1c，c＋1a至少有一个不小于2.答案：D2．对于定义在实数集R上的函数f(x)，如果存在实数x0，使f(x0)＝x0，那么x0叫作函数f(x)的一个好点．已知函数f(x)＝x2＋2ax＋1不存在好点，那么a的取值范围是()A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，12 C ．(－1，1) D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)解析：假设函数f (x )存在好点，则x 2＋2ax ＋1＝x 有实数解，即x 2＋(2a －1)x ＋1＝0有实数解．所以Δ＝(2a －1)2－4≥0，解得a ≤－12或a ≥32. 所以f (x )不存在好点时，a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32. 答案：A3．已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0，c >0)的图象与x 轴有两个不同的交点，若f (c )＝0且0<x <c 时，恒有f (x )>0.(1)证明：1a是f (x )＝0的一个根； (2)试比较1a与c 的大小． (1)证明：因为f (x )的图象与x 轴有两个不同的交点，所以f (x )＝0有两个不等实根x 1，x 2.因为f (c )＝0，所以x 1＝c 是f (x )＝0的根，又x 1x 2＝c a， 所以x 2＝1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ≠c ， 所以1a是f (x )＝0的一个根． (2)解：假设1a<c ，又1a>0，且0<x <c 时，f (x )>0， 所以知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a >0，这与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝0矛盾， 因此1a≥c ， 又因为1a≠c ， 所以1a>c .。
高中数学选修1-2知识点总结
知识点总结选修1-2知识点总结第一章 统计案例1．线性回归方程①变量之间的两类关系：函数关系与相关关系； ②制作散点图，判断线性相关关系 ③线性回归方程：a bx y +=∧（最小二乘法）其中，1221ni i i nii x y nx y b x nx a y bx==⎧-⎪⎪=⎪⎨-⎪⎪=-⎪⎩∑∑ 注意：线性回归直线经过定点),(y x .2．相关系数（判定两个变量线性相关性）：∑∑∑===----=ni ni i ini i iy y x xy y x xr 11221)()())((注：⑴r >0时，变量y x ,正相关；r <0时，变量y x ,负相关； ⑵①||r 越接近于1，两个变量的线性相关性越强；②||r 接近于0时，两个变量之间几乎不存在线性相关关系。
3.条件概率对于任何两个事件A 和B ，在已知B 发生的条件下，A 发生的概率称为B 发生时A 发生的条件概率. 记为P (A |B ) , 其公式为P (A |B )＝P （AB ）P （A ）4相互独立事件(1)一般地，对于两个事件A ，B ，如果_ P (AB )＝P (A )P (B ) ，则称A 、B 相互独立．(2)如果A 1，A 2，…，A n 相互独立，则有P (A 1A 2…A n )＝_ P (A 1)P (A 2)…P (A n ).(3)如果A ，B 相互独立，则A 与B －，A －与B ，A －与B －也相互独立．5．独立性检验（分类变量关系）：(1)2×2列联表设,A B 为两个变量，每一个变量都可以取两个值，变量121:,;A A A A =变量121:,;B B B B =通过观察得到右表所示数据：并将形如此表的表格称为2×2列联表．(2)独立性检验根据2×2列联表中的数据判断两个变量A ，B 是否独立的问题叫2×2列联表的独立性检验．(3) 统计量χ2的计算公式χ2=n （ad －bc ）2（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ）第二章 推理与证明考点一 合情推理与类比推理根据一类事物的部分对象具有某种性质,退出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理,叫做归纳推理,归纳是从特殊到一般的过程,它属于合情推理根据两类不同事物之间具有某些类似(或一致)性,推测其中一类事物具有与另外一类事物类似的性质的推理,叫做类比推理.类比推理的一般步骤:(1) 找出两类事物的相似性或一致性;(2) 用一类事物的性质去推测另一类事物的性质,得出一个明确的命题(猜想);(3) 一般的,事物之间的各个性质并不是孤立存在的,而是相互制约的.如果两个事物在某些性质上相同或相似,那么他们在另一写性质上也可能相同或类似,类比的结论可能是真的.(4) 一般情况下,如果类比的相似性越多,相似的性质与推测的性质之间越相关,那么类比得出的命题越可靠.考点二 演绎推理(俗称三段论)由一般性的命题推出特殊命题的过程,这种推理称为演绎推理.考点三 数学归纳法:它是一个递推的数学论证方法. 步骤:A.命题在n=1（或0n ）时成立，这是递推的基础； B.假设在n=k 时命题成立 C.证明n=k+1时命题也成立,完成这两步,就可以断定对任何自然数(或n>=0n ,且n N ∈)结论都成立。
人教版高中数学选修1-2知识点总结
人教版高中数学选修1-2知识点第一章统计案例1.线性回归方程①变量之间的两类关系：函数关系与相关关系；[来源：简单高中生(ID:jiandan100cn)]②制作散点图，判断线性相关关系；∧1nnx i y i -nx i =1y ⎪⎪③线性回归方程：y =bx +a (最小二乘法)。
其中，⎨⎪b =i =x i2-nx 2⎪⎪⎧⎩a =y -b ⎪x∑∑注意：线性回归直线经过定点(x ,y ).2.相关系数(判定两个变量线性相关性)：∑nnnr =i =1i =i =11(i-x )y i -y ∑(xi-x )∑(yi-y )22(x注意：(1)r >0时，变量x ,y 正相关；r <0时，变量x ,y 负相关；(2)①|r |越接近于1，两个变量的线性相关性越强；②|r |接近于0时，两个变量之间几乎不存在线性相关关系。
3.条件概率对于任何两个事件A 和B ，在已知B 发生的条件下，A 发生的概率称为B 发生时A 发生的条件概率.记为P (A |B ),其公式为P (A |B )＝P （AB ）P （A ）4.相互独立事件(1)一般地，对于两个事件A ，B ，如果P (AB )＝P (A )P (B )，则称A 、B 相互独立.(2)如果A 1，A 2，…，A n 相互独立，则有P (A 1A 2…A n )＝P (A 1)P (A 2)…P (A n ).(3)如果A ，B 相互独立，则A 与－B ，－A 与B ，－A 与－B 也相互独立.5.独立性检验(分类变量关系)：[来源：简单高中生(ID:jiandan100cn)](1)2×2列联表设A,B为两个变量，每一个变量都可以取两个值，变量A:A1,A2=A1;变量B:B1,B2=B1;通过观察得到下表所示数据：并将形如此表的表格称为2×2列联表(2)独立性检验根据2×2列联表中的数据判断两个变量A，B是否独立的问题叫2×2列联表的独立性检验。
高中数学人教版选修1-2全套教案
高中数学人教版选修1-2全套教案第一章统计案例第一课时 1.1回归分析的基本思想及其初步应用（一）教学目标1、知识与技能目标 认识随机误差；2、过程与方法目标（1）会使用函数计算器求回归方程； （2）能正确理解回归方程的预报结果. 3、情感、态度、价值观通过本节课的学习，加强数学与现实生活的联系，以科学的态度评价两个变量的相关性，理解处理问题的方法，形成严谨的治学态度和锲而不舍的求学精神.培养学生运用所学知识，解决实际问题的能力.教学中适当地利用学生合作与交流，使学生在学习的同时，体会与他人合作的重要性.教学重点：了解线性回归模型与函数模型的差异，了解判断刻画模型拟合效果的方法－相关指数和残差分析. 教学难点：解释残差变量的含义，了解偏差平方和分解的思想. 教学过程： 一、复习准备：1. 提问：“名师出高徒”这句彦语的意思是什么？有名气的老师就一定能教出厉害的学生吗？这两者之间是否有关？2. 复习：函数关系是一种确定性关系，而相关关系是一种非确定性关系. 回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法，其步骤：收集数据→作散点图→求回归直线方程→利用方程进行预报. 二、讲授新课： 1. 教学例题：① 例1 从某大学中随机选取8名女大学生，其身高和体重数据如下表所示： 编 号 1 2 3 4 5 6 7 8 身高/cm165165 157 170 175 165 155 170 体重/kg 4857505464614359求根据一名女大学生的身高预报她的体重的回归方程，并预报一名身高为172cm 的女大学生的体重. （分析思路→教师演示→学生整理）第一步：作散点图第二步：求回归方程 第三步：代值计算010203040506070150155160165170175180身高/cm体重/k g② 提问：身高为172cm 的女大学生的体重一定是60.316kg 吗？ 不一定，但一般可以认为她的体重在60.316kg 左右. ③ 解释线性回归模型与一次函数的不同事实上，观察上述散点图，我们可以发现女大学生的体重y 和身高x 之间的关系并不能用一次函数y bx a =+来严格刻画（因为所有的样本点不共线，所以线性模型只能近似地刻画身高和体重的关系）. 在数据表中身高为165cm 的3名女大学生的体重分别为48kg 、57kg 和61kg ，如果能用一次函数来描述体重与身高的关系，那么身高为165cm 的3名女在学生的体重应相同. 这就说明体重不仅受身高的影响还受其他因素的影响，把这种影响的结果e （即残差变量或随机变量）引入到线性函数模型中，得到线性回归模型y bx a e =++，其中残差变量e 中包含体重不能由身高的线性函数解释的所有部分. 当残差变量恒等于0时，线性回归模型就变成一次函数模型. 因此，一次函数模型是线性回归模型的特殊形式，线性回归模型是一次函数模型的一般形式.2. 相关系数：相关系数的绝对值越接近于1，两个变量的线性相关关系越强，它们的散点图越接近一条直线，这时用线性回归模型拟合这组数据就越好，此时建立的线性回归模型是有意义.3. 小结：求线性回归方程的步骤、线性回归模型与一次函数的不同.第二课时 1.1回归分析的基本思想及其初步应用（二）教学目标：1知识与技能：会建立回归模型，进而学习相关指数（相关系数r 、总偏差平方和、随机误差的效应即残差、残差平方和、回归平方和、相关指数R2、残差分析） 2过程与方法：通过学习会求上述的相关指数3情感态度价值观：从实际问题发现已有知识不足，激发好奇心、求知欲。
人教版A版高中数学选修1-2课后习题解答
人教版A版高中数学选修1-2课后习题解答高中数学选修1-2课后题答案第一章统计案例1.1 回归分析的基本思想及其初步应用回归分析是一种统计分析方法，用于探究自变量与因变量之间的关系。
它的基本思想是通过建立数学模型，利用已知数据进行拟合，从而预测或解释未知数据。
回归分析的初步应用包括简单线性回归和多元线性回归。
1.2 独立性检验的基本思想及其初步应用独立性检验是一种用于检验两个变量之间是否存在关联的方法。
其基本思想是通过观察两个变量之间的频数或频率分布，来判断它们是否相互独立。
独立性检验的初步应用包括卡方检验和Fisher精确检验。
第二章推理证明2.1 合情推理与演绎推理合情推理是指根据已知事实和常识，推断出可能的结论。
演绎推理是指根据已知的前提和逻辑规则，推导出必然的结论。
两种推理方法都有其适用的场合，需要根据具体情况进行选择。
2.2 直接证明与间接证明直接证明是指通过逻辑推理，直接证明所要证明的命题成立。
间接证明是指采用反证法或归谬法，证明所要证明的命题的否定不成立，从而推出所要证明的命题成立。
第三章数系的扩充与复数的引入3.1 数系的扩充与复数的概念数系的扩充是指在实数系的基础上引入新的数，使得一些原来不可解的方程可以得到解。
复数是指由实部和虚部组成的数，可以表示在平面直角坐标系中的点。
复数的引入扩充了数系，使得一些原本无解的方程可以得到解。
3.2 复数的代数形式的四则运算复数的代数形式是指将复数表示为实部和虚部的和的形式。
复数的四则运算包括加减乘除四种运算，可以通过对实部和虚部分别进行运算来得到结果。
第四章框图4.1 流程图流程图是一种用图形表示算法或过程的方法。
它由各种基本符号和连线构成，用于描述算法或过程的各个步骤及其执行顺序。
流程图可以帮助人们更好地理解算法或过程，从而提高效率。
4.2 结构图结构图是一种用于描述程序结构的图形表示方法。
它包括顺序结构、选择结构和循环结构三种基本结构，可以用来表示程序的控制流程。
高中数学选修1-2第二章课后习题解答
高中数学高中数学新课程标准数学选修1—2第二章课后习题解答第二章 推理与证明2．1合情推理与演绎推理 练习（P30）1、由12341a a a a ====，猜想1na=.2、相邻两行数之间的关系是：每一行首尾的数都是1，其他的数都等于上一行中与之相邻的两个数的和.3、设111O PQ R V -和222O P Q R V -分别是四面体111O PQ R -和222O P Q R -的体积，的体积， 则111222111222O PQR O P Q R V OP OQ OR V OP OQ OR --=××. 4、略. 练习（P33）1、略.2、因为通项公式为n a 的数列{}n a ，若1n na p a +=，p 是非零常数，则{}n a 是等比数列；是等比数列； …………………………大前提…………………………大前提又因为0cq ¹，则q 是非零常数，则11n n nna cq q a cq ++==；……………………小前提……………………小前提 所以，通项公式为(0)n n a cq cq =¹的数列{}n a 是等比数列.……………………结论……………………结论 3、由A D B D >，得到ACD BCD Ð>Ð的推理是错误的. 因为这个推理的大前提是因为这个推理的大前提是“在同一“在同一个三角形中，大边对大角”，小前提是“AD BD >”，而AD 与BD 不在同一个三角形中. 4、略.习题2.1A 组（P35） 1、2(1)n -（n 是质数，且5n ³）是24的倍数.2、21n a n =+()n N *Î. 3、2F V E +=+. 4、当6n £时，122(1)n n -<+；当7n =时，122(1)n n -=+；当8n =时，122(1)n n ->+()n N *Î.5、212111(2)n n A A A n p++³-（2n >，且n N *Î）. 6、121217n n b b b b b b -=（17n <，且n N *Î）.7、如图，作DE ∥AB 交BC 于E . 因为两组对边分别平行的四边形是平行四边形，因为两组对边分别平行的四边形是平行四边形，因为两组对边分别平行的四边形是平行四边形， 又因为AD ∥BE ，AB ∥DE . 所以四边形所以四边形ABED 是平行四边形是平行四边形.. 因为平行四边形的对边相等因为平行四边形的对边相等因为平行四边形的对边相等. . DEBAC（第7题）又因为四边形ABED 是平行四边形是平行四边形. .所以所以AB DE =.因为与同一条线段等长的两条线段的长度相等，因为与同一条线段等长的两条线段的长度相等，因为与同一条线段等长的两条线段的长度相等， 又因为AB DE =，AB DC =, 所以DE DC = 因为等腰三角形的两底角是相等的. 又因为△DEC 是等腰三角形是等腰三角形, , 所以DEC C Ð=Ð 因为平行线的同位角相等因为平行线的同位角相等 又因为DEC Ð与B Ð是平行线AB 和DE 的同位角的同位角, , 所以DEC B Ð=Ð 因为等于同角的两个角是相等的，因为等于同角的两个角是相等的， 又因为DEC C Ð=Ð，DEC B Ð=Ð, 所以B C Ð=Ð习题2.1B 组（P35） 1、由123S =-，234S =-，345S =-，456S =-，567S =-，猜想12n n S n +=-+.2、略.3、略. 2．2直接证明与间接证明 练习（P42）1、因为442222cos sin (cos sin )(cos sin )cos 2q q q q q q q -=+-=，所以，命题得证. 2、要证67225+>+，只需证22(67)(225)+>+， 即证1324213410+>+，即证42210>，只需要22(42)(210)>，即证4240>，这是显然成立的. 所以，原命题得证.3、因为、因为222222222()()()(2sin )(2tan )16sin tan a b a b a b a a a a -=-+==， 又因为又因为 sin (1cos )sin (1cos )1616(tan sin )(tan sin )16cos cos ab a a a a a a a a a a +-=+-=×22222222sin (1cos )sinsin161616sin tan cos cos aa aa a a aa-===，从而222()16a b ab -=，所以，命题成立.说明：进一步熟悉运用综合法、分析法证明数学命题的思考过程与特点.练习（P43）1、假设B Ð不是锐角，则90B г°. 因此9090180C B Ð+г°+°=°. 这与三角形的内角和等于180°矛盾. 所以，假设不成立. 从而，B Ð一定是锐角.2、假设2，3，5成等差数列，则2325=+.所以22(23)(25)=+，化简得5210=，从而225(210)=，即2540=， 这是不可能的. 所以，假设不成立. 从而，2，3，5不可能成等差数列. 说明：进一步熟悉运用反证法证明数学命题的思考过程与特点.习题2.2A 组（P44） 1、因为、因为(1tan )(1tan )2A B ++=展开得展开得1tan tan tan tan 2A B A B +++=，即tan tan 1tan tan A B A B +=-. ① 假设1tan tan 0A B -=，则cos cos sin sin 0cos cos A B A B A B -=，即cos()0cos cos A B A B += 所以cos()0A B +=.因为A ，B 都是锐角，所以0A B p <+<，从而2A B p+=，与已知矛盾.因此1tan tan 0A B -¹.①式变形得①式变形得 tan tan 11tan tan A BA B +=-，即tan()1A B +=. 又因为0A B p <+<，所以4A B p+=.说明：本题也可以把综合法和分析法综合使用完成证明. 2、因为PD ^平面ABC ，所以PD AB ^. 因为AC BC =，所以ABC D 是等腰三角形. 因此ABC D 底边上的中线CD 也是底边上的高，也是底边上的高， 因而CD AB ^ 所以AB ^平面PDC . 因此AB PC ^.3、因为,,a b c 的倒数成等差数列，所以211b ac =+.假设2B p<不成立，即2B p³，则B 是ABC D 的最大内角，的最大内角，所以,b a b c >>（在三角形中，大角对大边），从而从而 11112a c b b b +>+=. 这与211b a c =+矛盾.所以，假设不成立，因此，2B p<.习题2.2B 组（P44） 1、因为、因为 1tan 12tan aa-=+，所以12tan 0a +=，从而2sin cos 0a a +=.另一方面，要证另一方面，要证3sin 24cos2a a =-， 只要证226sin cos 4(cos sin )a a a a =-- 即证即证 222sin 3sin cos 2cos 0a a a a --=，即证即证 (2s i n c o s )(s i n 2c o s a a a a+-= 由2sin cos 0a a +=可得，(2sin cos )(sin 2cos )0a a a a +-=，于是命题得证.说明：本题可以单独使用综合法或分析法进行证明，但把综合法和分析法结合使用进行证明的思路更清晰.2、由已知条件得、由已知条件得2b ac = ① 2x a b =+，2y b c =+ ②要证2a cx y +=，只要证2ay cx xy +=，只要证224ay cx xy +=由①②，得由①②，得22()()2ay cx a b c c a b ab ac bc +=+++=++， 24()()2x y a b b c a b b a c b c a b a c b c=++=+++=++， 所以，224ay cx xy +=，于是命题得证.第二章 复习参考题A 组（P46）1、图略，共有(1)1n n -+（n N *Î）个圆圈.2、333n 个（n N *Î）.3、因为2(2)(1)4f f ==，所以(1)2f =，(3)(2)(1)8f f f ==，(4)(3)(1)16f f f ==………… 猜想()2n f n =.4、如图，设O 是四面体A BCD -内任意一点，连结AO ，BO ，CO ，DO 并延长交对面于A ¢，B ¢，C ¢，D ¢，则，则1O A O B O C O D A A B B C C D D ¢¢¢¢+++=¢¢¢¢ 用“体积法”证明：用“体积法”证明： O A O B O C O DA AB BC CD D¢¢¢¢+++¢¢¢¢ O B C D O C D AO D A B OA B C A B C D BC D A CD AB D A B CV VV V V VVV --------=+++1A B C D A B C DVV --==5、要证、要证(1tan )(1tan )2A B ++= 只需证只需证 1tan tan tan tan 2A B A B +++=即证即证t a n t a n 1t a n t a A B A B +=- 由54A B p +=，得tan()1A B +=. ①又因为2A B k p p +¹+，所以tan tan 11tan tan A BA B+=-，变形即得①式.所以，命题得证. 第二章 复习参考题B 组（P47）1、（1）25条线段，16部分；部分； （2）2n 条线段；条线段；（3）222n n ++部分. 2、因为90BSC Ð=°，所以BSC D 是直角三角形.A BCDA'B'D'C'（第4题）在Rt BSC D 中，有222BC SB SC =+.类似地，得类似地，得 222AC SA SC =+，222AB SB SA =+ 在ABC D 中，根据余弦定理得中，根据余弦定理得2222cos 02AB AC BC SA A AB AC AB AC+-==>××2222cos 02AB BC AC SB B AB BCAB BC+-==>×× 2222cos 02BC AC AB SC C BC ACBC AC +-==>×× 因此，,,A B C 均为锐角，从而ABC D 是锐角三角形. 3、要证、要证cos 44cos 43b a -= 因为因为 cos 44cos 4cos(22)4cos(22)b a b a -=´-´ 2212sin 24(12sin 2)b a =--´-222218s i n c o s 4(18s i n c o s )b b a a =--´-222218s i n (1s i n )4[18s i n (1s i n )]bb a a=---´-- 只需证只需证 222218sin (1sin )4[18sin (1sin )]3b b a a ---´--= 由已知条件，得由已知条件，得 sincos sin2q q a +=，2sin sin cos b q q =，代入上式的左端，得代入上式的左端，得 222218sin (1sin )4[18sin (1sin )]b b a a ---´-- 2238sin cos (1sin cos )32sin (1sin )q q q q a a =---+-2238sin cos 8sin cos 2(12sin cos )(32sin cos )q q q q q q q q =--+++-222238s i n c o s 8s i nc o s 68s i n c o s 8s i nc o sq q q q q q q q =--++-+ 3= 因此，cos 44cos 43b a -=。
高中数学人教版选修1-2 第二章 推理与证明 反证法
2.2.2反证法[教材研读]，思考以下问题预习课本P42～431．著名的“道旁苦李”的故事：王戎小时候爱和小朋友在路上玩耍．一天，他们发现路边的一棵树上结满了李子，小朋友一哄而上，去摘李子，独有王戎没动．等到小朋友摘了李子一尝，原来是苦的．他们都问王戎：“你怎么知道李子是苦的呢？”王戎说：“假如李子不苦的话，早被路人摘光了，而这棵树上却结满了李子，所以李子一定是苦的．”王戎的论述运用了什么推理思想？2．“反证法”的关键是得出矛盾，那么矛盾可以是哪些矛盾？[要点梳理]1．反证法假设原命题不成立(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法．2．反证法常见矛盾类型反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与已知条件矛盾，或与假设定义矛盾，或与公理、定理、事实矛盾等．[自我诊断]判断(正确的打“√”，错误的打“×”)1．反证法属于间接证明问题的方法．()2．反证法的证明过程既可以是合情推理也可以是一种演绎推理．()3．反证法的实质是否定结论导出矛盾．()[答案] 1.√ 2.× 3.√题型一用反证法证明“否定性”命题思考：根据反证法的定义如何证明一个命题？提示：反证法证明可考虑以下步骤：①反设；②归谬；③存真．已知f (x )＝a x ＋x －2x ＋1(a >1)，证明方程f (x )＝0没有负实根．[思路导引] 此题从正面证明无所适从，可考虑用反证法，即设方程f (x )＝0存在负实根．[证明] 假设方程f (x )＝0有负实根x 0，则x 0<0且x 0≠－1且a x 0＝－x 0－2x 0＋1， 由0<a x 0<1⇒0<－x 0－2x 0＋1<1， 解得12<x 0<2，这与x 0<0矛盾．故方程f (x )＝0没有负实根．用反证法证明否定性命题的适用类型结论中含有“不”“不是”“不可能”“不存在”等词语的命题称为否定性命题，此类问题的正面比较模糊，而反面比较具体，适合使用反证法．[跟踪训练]设函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，a，b，c均为整数，且f(0)，f(1)均为奇数．求证：f(x)＝0无整数根．[证明]假设f(x)＝0有整数根n，则an2＋bn＋c＝0(n∈Z)，而f(0)，f(1)均为奇数，即c为奇数，a＋b为偶数，则an2＋bn＝－c为奇数，即n(an＋b)为奇数．∴n，an＋b均为奇数，又∵a＋b为偶数，∴an－a为奇数，即a(n－1)为奇数，∴n－1为奇数，这与n为奇数矛盾．∴f(x)＝0无整数根．题型二用反证法证明“至多”、“至少”型问题思考：什么样的命题证明可用反证法？提示：直接证明情况比较多，不易证明从词语上看含有“至多”“至少”等词语．已知a，b，c∈(0,1)，求证：(1－a)b，(1－b)c，(1－c )a 不能都大于14.[思路导引] 从量词角度分析，该命题的否定只含一种情况．[证明] 假设(1－a )b ，(1－b )c ，(1－c )a 都大于14.因为a ，b ，c ∈(0,1)，所以1－a >0,1－b >0,1－c >0.所以(1－a )＋b 2>(1－a )b >14＝12.同理(1－b )＋c 2>12，(1－c )＋a 2>12. 三式相加得(1－a )＋b 2＋(1－b )＋c 2＋(1－c )＋a 2>32， 即32>32，矛盾．所以(1－a )b ，(1－b )c ，(1－c )a 不能都大于14.证明时常见的“结论词”与“反设词”[跟踪训练]已知函数y＝f(x)在区间(a，b)上是增函数．求证：函数y＝f(x)在区间(a，b)上至多有一个零点．[证明]假设函数y＝f(x)在区间(a，b)上至少有两个零点，设x1，x2(x1≠x2)为函数y＝f(x)在区间(a，b)上的两个零点，且x1<x2，则(x1)＝f(x2)＝0.因为函数y＝f(x)在区间(a，b)上为增函数，x1，x2∈(a，b)且x1<x2，∴f(x1)<f(x2)，与f(x1)＝f(x2)＝0矛盾，假设不成立，故原命题正确．题型三用反证法证明“唯一性”命题已知：一点A和平面α.求证：经过点A只能有一条直线和平面α垂直．[思路导引]用反证法，假设存在另一条直线．[证明]根据点A和平面α的位置关系，分两种情况证明．①如图，点A在平面α内，假设经过点A至少有平面α的两条垂线AB，AC，那么AB，AC是两条相交直线，它们确定一个平面β，平面β和平面α相交于经过点A的一条直线a.因为AB⊥平面α，AC ⊥平面α，a⊂α，所以AB⊥a，AC⊥a，在平面β内经过点A有两条直线都和直线a垂直，这与平面几何中经过直线上一点只能有已知直线的一条垂线相矛盾．②如图，点A在平面α外，假设经过点A至少有平面α的两条垂线AB，AC(B，C为垂足)，那么AB，AC是两条相交直线，它们确定一个平面β，平面β和平面α相交于直线BC，因为AB⊥平面α，AC⊥平面α，BC⊂α，所以AB⊥BC，AC⊥BC.在平面β内经过点A 有两条直线都和BC垂直，这与平面几何中经过直线外一点只能有已知直线的一条垂线相矛盾．综上，经过一点A只能有平面α的一条垂线．证明“唯一性”问题的方法“唯一性”包含“有一个”和“除了这个没有另外一个”两层意思．证明后一层意思时，采用直接证明往往会相当困难，因此一般情况下都采用间接证明，即用反证法(假设“有另外一个”，推出矛盾)或同一法(假设“有另外一个”，推出它就是“已知那一个”)证明，而用反证法有时比用同一法更方便．提醒：证明“有且只有”的问题，需要证明两个命题，即存在性和唯一性．[跟踪训练]用反证法证明：过已知直线a外一点A有且只有一条直线b与已知直线a平行．[证明]由两条直线平行的定义可知，过点A至少有一条直线与直线a平行．假设过点A还有一条直线b′与已知直线a平行，即b∩b′＝A，b′∥a.因为b∥a，由平行公理知b′∥b.这与假设b∩b′＝A矛盾，所以假设错误，原命题成立．1.反证法的证题步骤：(1)反设；(2)推理归谬；(3)存真，即假设不成立，原命题成立．2．用反证法证明问题时要注意以下三点：(1)必须先否定结论，即肯定结论的反面，当结论的反面呈现多样性时，必须罗列出各种可能性结论，缺少任何一种可能，反证都是不完全的．(2)反证法必须从否定结论进行推理，即应把结论的反面作为条件，且必须根据这一条件进行推证，否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行推理，就不是反证法．(3)推导出的矛盾可能多种多样，有的与已知矛盾，有的与假设矛盾，有的与事实矛盾等，推导出的矛盾必须是明显的.1．用反证法证明命题“a，b∈N，如果ab可被5整除，那么a，b至少有1个能被5整除”，则假设的内容是()A．a，b都能被5整除B．a，b都不能被5整除C．a不能被5整除D．a，b有1个不能被5整除[解析]用反证法只否定结论即可，而“至少有一个”的反面是“一个也没有”，故B正确．[答案] B2．“a<b”的反面应是()A．a≠b B．a>bC．a＝b D．a＝b或a>b[解析]“a<b”的反面即否定，为“a≥b”．[答案] D3．用反证法证明“在同一平面内，若a⊥c，b⊥c，则a∥b”时，应假设()A．a不垂直于c B．a，b都不垂直于cC．a⊥b D．a与b相交[解析]在同一平面a与b平行的否定为a与b相交．[答案] D4．否定“等差数列{b n}中任意不同的三项不可能为等比数列”时，正确的反设是：________________________________________.[答案]假设等差数列{b n}中存在不同的三项成等比数列5．已知a是整数，a2是偶数，求证a也是偶数．[证明](反证法)假设a不是偶数，即a是奇数．设a＝2n＋1(n∈Z)，则a2＝4n2＋4n＋1.∵4(n2＋n)是偶数，∴4n2＋4n＋1是奇数，这与已知a2是偶数矛盾．由上述矛盾可知，a一定是偶数．。
高中数学选修1-2课程纲要
高中数学选修1-2课程纲要课程名称：高中数学选修1-2课程类型：文科选修教学材料：人民教育出版社高中数学选修1-2授课时间：30—35课时授课教师：郑州市第十九中学张振授课对象：郑州市第十九中学高二（11）（12）班课程目标：1．统计案例①通过对典型案例（如“肺癌与吸烟有关吗”）的探究，了解独立性检验（只要求2×2列联表）的基本思想、方法及初步应用。
②通过对典型案例（如“质量控制”、“新药是否有效”）的探究，了解实际推断原理和假设检验的基本思想、方法及初步应用。
③通过对典型案例（如“昆虫分类”）的探究，了解聚类分析的基本思想、方法及其初步应用。
④通过对典型案例（如“学习成绩与学习时间的关系”）的探究，了解回归的基本思想、方法及其初步应用。
2．推理和证明⑴合情推理与演绎推理①结合已学过的数学实例和生活中的实例，了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，体会并认识合情推理在数学发现中的作用。
②结合已学过的数学实例和生活中的实例，体会演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理。
③通过具体实例，了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异。
⑵直接证明与间接证明①结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点。
②结合已经学过的数学实例，了解间接证明的一种基本方法：反证法；了解反证法的思考过程、特点。
数学文化①通过介绍“四色问题”和吴文俊在计算机自动推理领域作出的贡献，体会计算机在数学证明中的作用。
②通过对实例的分析（如欧几里得《几何原本》、马克思《资本论》、杰弗逊《独立宣言》、牛顿三定律），体会公理化思想。
3．框图⑴流程图①通过具体实例，进一步认识程序框图。
②通过具体实例，了解工序流程图即统筹图。
③能绘制简单实际问题的流程图，体会流程图在解决实际问题中的作用。
⑵结构图①通过实例，了解结构图；运用结构图梳理已学过的知识、整理收集到的资料信息。
人教版高中数学选修1-2第一章2.1.2演绎推理
新课导入（1）所有的金属都能够导电，观察铀是金属，所以铀能导电.（2）太阳系的行星以椭圆形轨道绕太阳运行，天王星是太阳系的行星，因此天王星以椭圆形轨道绕太阳运行. （3）一切奇数都不能被2整除,因为(2100+1)是奇数,所以(2100+1)不能被2整除.（5）两条直线平行，同旁内角互补.如果∠A 和∠B 是两条平行直线的同旁内角， 那么∠A+∠B=180°.（4）三角函数都是周期函数,α因为tan 三角函数, α 所以是tan周期函数. 观察 这些说法有什么共同点？探究思考都是以某些一般地判断为前提，得出一些个别的、具体的判断.你觉得这些说法正确吗?如果认为正确，那么这样的推论又是什么呢？这些说法的共同点是：教学目标【知识与能力】1.了解演绎推理的含义.2.能运用“三段论”进行简单的推理.【过程与方法】通过已学过的数学实例和生活中的实例，从中挖掘、提炼出演绎推理的含义和推理方法，使学生更好的掌握这种思维方法.【情感态度与价值观】使学生掌握这种思维方法，并能在今后的学习中有意识的使用它，以培养言之有理、论证有据的习惯.教学重难点重点了解演绎推理的含义，能利用“三段论”进行简单地推理.难点用“三段论”进行简单的推理.知识要点若推理都是从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理.简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理.现在可以知道，上面列举的例子都是演绎推理的例子且每个例子都有三段，称为“三段论”.所有的金属都能导电因为铜是金属,所以铜能够导电.大前提小前提结论（一般原理）（特殊情况）（所得结论）下面请同学们自己说出其余例子的“三段”. （2）太阳系的行星以椭圆形轨道绕太阳运行， 天王星是太阳系的行星，因此天王星以椭圆形轨道绕太阳运行；大前提 小前提 结论（3）一切奇数都不能被2整除, 因为(2100+1)是奇数, 大前提小前提所以(2100+1)不能被2整除.结论 （4）三角函数都是周期函数, α因为tan 三角函数, α所以是tan 周期函数. 大前提 小前提 结论（5）两条直线平行，同旁内角互补. 如果∠A 和∠B 是两条平行直线的同旁内角， 那么∠A+∠B=180°. 大前提 小前提 结论“三段论”是演绎推理的一般模式，那现在大家想想它的内容是什么？（1）大前提——已知的一般原理；（2）小前提——所研究的特殊情况；（3）结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断.“三段论”可以表示为大前提：M是P.小前提：S是M.结论： S是P.三段论推理的依据,用集合的观点来理解: 若集合M的所有元素都具有性质P,S 是M的一个子集,那么S中所有元素也都具有性质P.例题1 如图：在锐角三角形ABC 中,AD ⊥BC, BE ⊥AC,D,E 是垂足,求证AB 的中点M 到D,E 的距离相等.A DE C M B证明:(1)因为有一个内角是直角的三角形是直角三角形, 在△ABC 中,AD ⊥BC,即∠ADB=900 大前提小前提所以△ABD 是直角三角形. 结论 同理△ABE 是直角三角形.(2)因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半, 大前提 M 是Rt △ABD 斜边AB 的中点,DM 是斜边上的中线， 小前提所以 DM= AB 12结论 同理 EM= AB 12所以 DM = EM.归纳由此可见，应用三段论解决问题时，首先应明确什么是大前提和小前提.但为了叙述简洁，如果大前提是显然的，则可以省略.自己试试看！如图：D,E,F 分别是BC,CA,AB 上的点,∠BFD= ∠A,DE ∥BA,求证：ED=AF. 练一练A B D C EF (1)同位角相等,两直线平行, ∠BFD 与∠A 是同位角,且∠BFD= ∠A ,证明：所以, DF ∥EA. 大前提小前提 结论(2)两组对边分别平行的四边形是平行四边形, DE ∥BA 且DF ∥EA, 所以,四边形AFDE 是平行四边形. (3)平行四边形的对边相等,ED 和AF 为平行四边形的对边, 所以,ED=AF. 大前提 小前提 结论大前提 小前提 结论 AB D CE F例题2分析证明函数f(x)= -x2+2x 在(-∞,1）上是增函数.证明本例所依据的大前提是：在某个区间（a,b）内，如果 y= ，那么函数y=f（x）在这个区间内单调递增.f(x)证明：根据“三段论”得，函数f(x)=-x 2+2x 在（-∞,1）上是增函数.小前提是f(x)=-x 2+2x 的导数在区间(-∞,1）内满足 >0，这是证明本题的关键. 'f (x) =-2x+2.当x ∈(-∞，1)时，有1-x>0，所以=-2x+2=2（1-x ）>0.于是，f (x)'f (x)'还有其他的证明方法吗？ 证明函数f(x)=-x2+2x 在(-∞,1）上是增函数.提示根据增函数的定义进行证明.继续解答……任取x1,x2 ∈(-∞,1]且x1<x2 , f(x1)-f(x2)=(-x12+2x1)-(x22+2x2) =(x2-x1)(x1+x2-2)因为x1<x2所以 x2-x1>0因为x1,x2≤1所以x1+x2-2<0因此f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2)证明:满足对于任意x1,x2∈D,若x1<x2,有f(x1)<f(x2)成立的函数f(x),是区间D上的增函数.大前提小前提所以函数f(x)=-x2+2x在(-∞,1)上是增函数.结论在演绎推理中，应用三段论解决问题时，怎样才能保证结论是正确的呢？想一想注意演绎推理是由一般到特殊的推理，这也决定了演绎推理的结论不会超出前提所界定的范围，所以其前提和结论之间的联系是必然的.因此，在演绎推理中，只要前提和推理形式正确，结论就必然正确.例题3 因为指数函数y=a x 是增函数,而y=a x 是指数函数,所以是增函数. 结论大前提 小前提 （1）上面的推理形式正确吗？（2）推理的结论正确吗？为什么？解：上述推理的形式正确，但大前提是错误的（因为当0<a<1时，指数函数y=a x是减函数），所以所得的结论是错误的.记住反思通过本例的学习，使我们更深刻的理解了“在演绎推理中，只要前提和推理形式正确，结论就必然正确”.知识要点至此，我们学习了两种推理方式——合理推理与演绎推理.大家想想它们两者的区别与联系？自己总结归纳一下吧！区别：1.归纳是由部分到整体、个别到一般的推理；类比是由特殊到特殊的推理；而演绎推理是由一般到特殊的推理.2.从推理的结论来看,合情推理的结论不一定正确,有待证明；演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正确的前提下，得到的结论一定正确.联系：1.合情推理的结论需要演绎推理的验证，而演绎推理的内容一般是通过合情推理获得的.2. 从认识事物的过程中所发挥的作用的角度考虑，演绎推理与合情推理又是紧密联系，相辅相成的.课堂小结1.演绎推理的概念：若推理都是从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理.简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理.2.“三段论”是演绎推理的一般模式，它的内容是：(1)大前提---已知的一般原理；(2)小前提---所研究的特殊情况；(3)结论-----据一般原理，对特殊情况做出的判断．3.在演绎推理中，只要前提和推理形式正确，结论就必然正确.4.合情推理和演绎推理的联系与区别：总的来说，从推理形式和推理所得结论的正确性上讲，二者有差异，从二者在认识事物的过程中所发挥的作用的角度考虑，它们又是紧密联系，相辅相成的.合情推理的结论需要演绎推理的验证，而演绎推理的内容一般是通过合情推理获得的.随堂练习1.指出下列推理中的错误,并分析产生错误的原因.(1)整数是自然数,大前提不正确.-3是整数,-3是自然数.(2)无理数是无限小数,(3) 凡金属都是导电的，水是导电的，所以，水是金属. 1(=0.333)3是无限小数, 是无理数.13大前提不正确,无理数是无限不循环小数. 小前提不正确,水不是金属.已知a,b,m均为正实数,b<a,求证: b b+m <.a a+m证:⎫⎬⎭b amb ma ab+mb ab+mam0<⇒<⇒<>⎫⎬⎭b(a+m)a(b+m)a(a+m)0b(a+m)a(b+m)a(a+m)a(a+m)b b+ma a+m⇒<>⇒<⇒<又2.习题答案 2.因为通项公式为 的数列{ }，若 其中p 是非零常数，则{ }是等比数列.‥‥‥‥大前提 又因为cq≠0,则q≠0,且 n a n+1n a =p a n+1n+1n n a cq ==q.a cq练习（第81页）1.答案课上已给出.n a n a ‥‥‥‥小前提3.由AD>BD ，得到∠ACD>∠BCD 的推理是错误的.因为这个推理的大前提是“在同一个三角形中，大边对大角”，小前提是“AD>BD ”，而AD 与BD 不在同一个三角形中. 所以通项公式为 的数列{ }是等比数列.‥‥‥‥结论n n a =cq cq 0（） n a。
人教版高中数学【选修1-2】[知识点整理及重点题型梳理]框图（1）
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⼈教版⾼中数学【选修1-2】[知识点整理及重点题型梳理]框图（1）⼈教版⾼中数学选修1-2知识点梳理重点题型（常考知识点）巩固练习框图【学习⽬标】1．通过具体实例，进⼀步认识程序框图，了解⼯序的流程图。
2．能绘制简单实际问题的流程图，体会流程图在解决实际问题中的作⽤。
3. 能画出简单问题的结构图，能解读结构图。
【要点梳理】要点⼀、框图的分类本节概念分类如右图：要点⼆、流程图的概念、分类及其关系1. 流程图：由⼀些图形符号和⽂字说明构成的图⽰称为流程图，它常⽤来表⽰⼀些动态过程，通常会有⼀个“起点”，⼀个或多个“终点”．2. 流程图的分类：流程图可分为程序框图与⼯序流程图．3. 程序框图：程序框图就是算法步骤的直观图⽰，算法的输⼈、输出、条件、循环等基本单元构成了程序框图的基本要素，基本要素之间的关系由流程线来建⽴。
要点诠释：程序框图主要⽤于描述算法，⼀个程序的流程图要基于它的算法。
在设计流程图的时候要分步进⾏，把⼀个⼤的流程图分割成⼩的部分，按照三个基本结构，即顺序结构、选择结构、循环结构来局部安排，最后把流程图进⾏部分之间的组装，从⽽完成完整的程序流程图．4．⼯序流程图：流程图可⽤于描述⼯业⽣产的流程，这样的流程图称为⼯序流程图．要点诠释：⼯序流程图（统筹图）⽤于描述⼯业⽣产流程。
每⼀个矩形框代表⼀道⼯序，流程线则表⽰两相邻⼯序之间的关系，这是⼀个有向线，⽤于指⽰⼯序进展的⽅向，因此画图时要分清先后顺序，判断是⾮区别，分清流向．特别注意：在程序框图中可以有⾸尾相接的圈图或循环回路，⽽在⼯序流程图上，不允许出现⼏道⼯序⾸尾相接的圈图或循环回路．要点三、程序框图、⼯序流程图的画图与识图1.程序框图的画法：最基本的程序框有四种：起⽌框，输⼊输出框，处理框（执⾏框），判断框．画法要求：（1）使⽤标准的框图符号；（2）框图⼀般按照从上到下、从左到右的顺序画；（3）除判断框外，⼤多数程序框只有⼀个进⼊点和⼀个退出点，判断框是具有超过⼀个退出点的唯⼀符号；（4）⼀种判断框是“是”与“否”两分⽀的判断，⽽且有且仅有两个结果；另⼀种是多分⽀判断，有⼏种不同的结果；（5）在框图符号内描述的语⾔要⾮常简练、清楚．2.⼯序流程图的画法：将⼀个⼯作或⼯程从头⾄尾依先后顺序分为若⼲道⼯序（即⾃顶向下），每⼀道⼯序⽤矩形框表⽰，并在该矩形框内注明此⼯序的名称或代号．两相邻⼯序之间⽤流程线相连．有时为合理安排⼯程进度，还要在每道⼯序框上注明完成该⼯序所需的时间．开始时⼯序流程图可以画得粗疏，然后再对每⼀框逐步细化。
人教版高中数学新课程选修1-2学习指导
人教版高中数学新课程选修1-2学习指导第一局部 统计案例一、常识要求及变化1．《课程尺度》中对本模块的内容及要求：通过典型案例，学习以下一些常见的统计方法，并能初步应用这些方法解决一些实际问题. 学生在必修课程学习统计的根底上，通过对典型案例的讨论，了解和使用一些常用的统计方法，进一步领会运用统计方法解决实际问题的根本思想，认识统计方法在决策中的作用.2．课程尺度要求与大纲比拟3．阶段性要求与终结要求的说明〔1〕会求回归直线方程回归直线方程是在学习《数学》必修3后，继续对线性相关问题的进一步研究。
内容包罗 作散点图，求回归直线方程x b a y ˆˆˆ+=以及回归系数b a ˆ,ˆ等.了解求回归直线方程的一般步调：①作出散点图〔由样本点是否呈条状分布来判断两个量是否具有线性相关关系〕，假设存在线性相关关系→②求回归系数b a ˆ,ˆ→③写出回归直线方程x b a y ˆˆˆ+=，并操纵回归直线方程进行预测说明.如，提问：按照所求方程能否求出给定身高的女大学生的体重？也就是身高为172厘米的女大学生的体重必然是60.316吗？对你的预测可以做一下解释吗？〔1〕求〔2〕预测水深为1.95m 时水的流速y 是多少？回归直线方程求解需要复杂的运算，随着新课程尺度的继续实施和新课程高考鼎新的不竭深入，考查学生数据处置能力，出格是运用计算器等现代技术东西对进行数据处置的能力，将是鼎新的标的目的之一.求解：回归直线方程时要遇到很复杂的运算，为准确运算，可借助计算器与计算机，先列表求出相关数据，然后求回归系数b a ˆ,ˆ. 从而写出回归直线方程.〔2〕了解随机误差的概念及其它对预报变量的影响从散点图中我们可以看到，样本点分布在某一直线的附近，而不是在一条直线上，所以不克不及用一次函数来描述它们之间的关系，这时我们把身高与体重的关系用下面的线性回归模型来暗示：y=bx+a+e,此中a,b为待定的未知参数，e称为随机误差.〔3〕能进行简单回归阐发能从散点图直不雅的判断相关关系，但散点图不明显时，我们就要进行相关性查验，按照相关系数∑∑∑---=))((2222y nyx nxy x nyxriiii判断：||r越接近1时，线性相关程度越强；||r越接近0时，线性相关程度越弱.在确定具有线性关系后，就需成立回归模型，而成立回归模型的根本步调是：①确定研究对象，明确哪个变量是解释变量，哪个变量是预报变量；②画好确定好的解释变量和预报变量的散点图，不雅察它们之间的关系〔线性关系〕.③由经验确定回归方程的类型.④按必然规那么估计回归方程中的参数baˆ,ˆ〔最小二乘法〕；⑤得出结论后在阐发残差图是否异常，假设存在异常，那么查验数据是否有误，后模型是否适宜等.例：为研究重量y）：x对弹簧长度克单位(〔单元：厘米〕的影响，对不同重量的6根弹簧进行测量，数据如下表：①画出散点图；②如果散点图中的各点大致分布在一条直线的附近，求y与x之间的回归直线方程；③对y、x两个变量进行相关性查验；④画出残差图，并说明它是否异常.线性回归阐发是统计中额定一个重要内容，随着新课标的实施和新课程高考鼎新的不竭深入，这局部的内容也将回越来越受到重视.非线性回归问题有时并不给出经验公式，这时候我们可以画出已时数据的散点图，把它与必修模块数学1中学过的各种函数〔幂函数、指数函数、对数函数、二次函数等〕图象比拟，挑选一种跟这些点拟合最好成的函数，然后采纳适当的置换，把问题化为线性回归问题，使其得到解决〔如课本的例2〕.〔4〕有关理论要求学生理解，公式也不需要死记硬背.二、重点和难点1．教学重点：①通过对实际问题的阐发，了解回归阐发的必要性与回归阐发的一般步调；②测验考试做散点图，求回归直线方程；③能用所学的常识对实际问题进行回归阐发，体会回归阐发的实际价值与根本思想.④了解独立性查验的常用方法：三维柱形图和二维条形图，及其K²〔或R²〕的大小关系.⑤并能运用本身所学的常识对具体案例进行查验.确定以上内容为教学重点是基于以下考虑：⑴它与我们的生活息息相关，密不成分，是我们以后要经常面对和解决的问题，学习它有着积极的现实意义. 而且他渗透比拟抽象的数学建模思想入门时学生会感到有必然的难度，理解需要一个过程。
人教A版高中数学选修一1-2-1 《充分条件与必要条件》教案
§1.2.1 充分条件与必要条件教学目标1、知识与技能（1）理解充分条件、必要条件及充要条件的概念；理解“⇒”的含义。
（2）初步掌握充分、必要条件及充要条件的判断方法。
（3）在理解定义的基础上，能对定义进行转化，转化成推理关系及集合的包含关系。
2、过程与方法通过对充分条件、必要条件、充要条件概念的理解和运用，培养学生分析、判断和归纳的逻辑思维能力．在观察和思考中，在解题和证明题中，培养学生思维能力的严密性品质．3、情感、态度与价值观（1）通过学生的举例，培养他们的辨析能力以及培养他们的良好的思维品质，在练习过程中进行辩证唯物主义思想教育．（2）通过学习本节课体验成功的愉悦，激发学生的学习热情和求知欲，培养严谨的学习态度，培养积极进取的精神．教学重点（1）对充分条件、必要条件、充要条件概念的理解和判断.（2）利用定义法、从集合角度、等价命题解决充要条件问题.教学难点理解充分条件、必要条件、充要条件的判断方法.教学方法小组合作学习，由微课引入课题，用例子的形式和同学一起探究得出问题的解决办法. 教学过程一、微课《水滴石穿》引入新课教师板书课题--1.2 充分条件与必要条件二、新授课1、新的数学符号：“⇒”读作:推出； “⇒/”读作：推不出.2、教师总结板书定义：一般地，“若p ，则q ”为真命题，是指由p 通过推理可以得出q.这时，我们就说，由p 可推出q ，记作：p ⇒q ，并且说p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件.也可以简单说成：⎧⎨⎩前者是后者的充分条件；如果前者能推出后者后者是前者的必要条件. 3、教师板书定义：如果q ⇒p ，那么我们就说，p 是q 的必要条件,q 是p 的充分条件.4、教师板书定义：若p ⇒q 且q ⇒/p ，即p 是q 成立的充分条件，但不是必要条件，我们称p 是q 的充分不必要条件．下面我们对定义加以运用，看下面的例题.221.(1).1,430.(2).(),().(3).,.p q p q x x x f x x f x R x x =-+==例下列“若、则”的命题中，哪些命题中的是的充分条件？若则若则在上是增函数若为无理数则为无理数学生思考分析：因为(1) (2)中p ⇒q ，(3)中p ⇒/q ，所以p 是q 的充分条件.教师点评例2 下列“若p ，则q”形式的命题中，哪些命题中的p 是q 的必要条件？(1)若x 2=y 2，则x=y.(2)若两个三角形的面积相等,则这两个三角形全等.(3)若ac 2>bc 2，则a>b.学生思考分析：命题(1) (2)中q ⇒p ，命题(3)中q ⇒/p ，所以命题(1)(2)中的p 是q 的必要条件. 教师点评加法总结：如何判断p 是q 的充分条件,p 是q 的必要条件？教师板书：1、可以判断命题的真假；2、看p q ⇒是否成立；看q p ⇒是否成立.例3下列“若p ，则q ”形式的命题中，哪些命题中的p 是q 的充分不必要条件？（1）若x y =，则22x y =；（2）若两个三角形全等，则这两个三角形的面积相等；（3）若0ab =，则a=0.学生思考分析：命题（1）（2）中p ⇒q 且q ⇒/p ，所以命题（1）（2）中的q 是p 的充分不必要条件. 教师提问：命题（3）中p ⇒q ，q ⇒p 吗？那么p 是q 的什么条件呢？我们给出新的定义.5、教师板书定义：若p ⇒/q 且q ⇒p ，即p 是q 成立的必要条件，但不是充分条件，我们称p 是q 的必要不充分条件．思考：条件p ：三角形的三条边相等，结论q ：三角形的三个角相等，p ⇒q ，q ⇒p 成立吗？因此，p q 是的什么条件？6、教师板书定义：如果p ⇒q 且q ⇒p ，记作p ⇔q ．这时，p 既是q 成立的充分条件，又是q 的必要条件，我们称p 是q 的充分必要条件，简称p 是q 的充要条件．另外，如果p ⇒/q 且q ⇒/p ，那么称p 是q 的既不充分又不必要条件练习1：下列各组语句中，p 是q 的什么条件？（1）p ：a ＞0，b ＞0，q ：a ＋b ＞0； 充分不必要条件（2）p ：四边形的四条边相等，q ：四边形是正方形； 必要不充分条件（3）p ：|x|＜1，q ：－1＜x ＜1； 充要条件（4） p ：a ＞b ，q ：a 2＞b 2. 既不充分也不必要条件学生小组研究完成，再由学生回答。
人教版B版高中数学选修1-2(B版)流程图
2.3.
程序框图如下所示.
迁移与应用
程序框图如图所示.
1.程序框图是一种用规定的图形、指向线及文字说明来准确表示 算法的图形,能清楚地展现算法的逻辑结构,具有直观、形象的特点.
2.程序框图要基于它的算法,在对一个算法作了透彻分析的基础上 再设计流程图,在设计流程图的时候要分步进行,把一个大的流程图分 解成若干个小的部分,按照顺序结构、条件结构、循环结构来局部安排, 最后再对各部分进行组装,从而完成完整的程序框图.
迁移与应用
(1)画工序流程图遵循的一般原则 ①从需要管理的任务的总进度着眼,进行合理的工作或工序的划 分. ②明确各工作或工序之间的关系.即 衔接关系,各工作或各工序之间的先后顺序. 平等关系,各工作或各工序之间可以独立进行,根据实际情况,可以 安排它们同时进行. 交叉关系,一次工作或工序进行时,另外一些工作或工序可以穿插 进行. ③根据各工作或各工序所需要的工时进行统筹安排. ④开始时流程图可以画得粗疏,然后再对每一框进行逐步细化. (2)在程序框图中允许有闭合回路,而在工序流程图中不允许有闭 合回路.
出的结果 i=
.
答案:4
一、程序框图及其画法 活动与探究
例1 某市的士收费办法如下：不超过2.3公里收7元， 超过2.3公里的里程每公里收2.6元，另没车次收燃油附 加费1元（其他因素不考虑）画出相应收费系统的程序 框图.
思路分析：由已知需判断行驶的路程，计算收费 情况运用条件画出程序框图.
解:设收费为
y,则
y=
8
+
8,0 < ������ ≤ 2.3, 2.6(������-2.3),������ >
实际问题的流程图 活动与探究 例4某省公安消防局对消防产品的监督程序步骤如下：首先受理 产品请求，如果由公安部发证的产品，则审核考察、领导复核 ，不同意，则由窗口信息反馈;同意，则报公安部审批，再由窗 口把反馈信息反馈出去.如果不是由公安部发证的产品，则直接 由窗口把信息反馈出去. 试画出公安消防局对消防产品的监督流程图.
人教版高中数学《选修1-2》单元教材教学分析
第一课时：函数的导函数的概念
第二课时：函数的单调性
第三课时：函数在区间上的极值
第四课时：函数在区间上的最值
……
说明
函数的最大值、最小值问题在必修模块中已经有所涉及，主要是在函数和不等式等章节中体现。以前学习最值时要求比较低，学生掌握的方法比较局限。本节内容在学生掌握了用导数求函数的单调性和极值的基础上，用导数的方法来处理最值的问题，进一步处理一些实际生活中的最优化问题。从学生的知识准备上来讲，明确函数在区间上存在最值，且最值是函数在此区间上的极值或者端点处的函数值。明确极值是函数的局部性质，最值是函数的整体性质，由局部到整体，由旧的知识生发新的知识，从极值的概念自然过渡到最值的概念，并总结出函数在区间上最值的求解步骤。基于学生的情况教师可以通过具体的问题让学生观察、归纳，进而发现结果。在用导数的方法求最值时，解方程、不等式也是本节的一个重要内容，应该引导学生养成良好的解题习惯。
人教版高中数学《选修1-2》单元教材教学分析
学段及学科
高中数学
教材版本
人教版
单元名称
《选修1-2》
单元教材主题内容与价值作用
本节在学习了用导数处理函数的单调性与极值的基础上，利用导数的方法来解决函数的最值问题，并利用导数的方法解决实际生活中的一些最优化问题。在讲授本课内容时，要让学生体会导数在处理最值问题中的特点。培养学生数形结合的数学思想，函数与方程的思想，化归与转化的思想。
教学方法和手段的设计
教学方法启发式教学
学法指导
通过一系列的问题，让学生从已有的函数在区间的极值（局部性质）过渡到函数在区间的最值（整体性质）；同时让学生发现极值与最值的联系与区别，得出求函数在闭区间上的最值的方法。最后通过具体的问题巩固知识，应用知识。
高中数学新课标人教A版选修1-2课件
类比推理的结论不一定成立.
第二十五页，编辑于星期一：点 十三分。
.
.
第二十六页，编辑于星期一：点 十三分。
圆的概念和性质
球的类似概念和性质
圆心与弦(非直径)中点连线垂直于 球心与截面圆(不经过球心的截面圆)
推理与证明
推理
证明
合情推理
演绎推理 直接证明 间接证明
第一页，编辑于星期一：点 十三分。
已知的判断
确定
新的判断
根据一个或几个已知的判断来确定一个新 的判断的思维过程就叫推理.
第二页，编辑于星期一：点 十三分。
第三页，编辑于星期一：点 十三分。
数学皇冠上璀璨的明珠——哥德巴赫猜想
3＋7＝10 3＋17＝20 13＋17＝30
第三十五页，编辑于星期一：点 十三分。
再 见
第三十六页，编辑于星期一：点 十三分。
八面体
三棱柱
四棱锥
尖顶塔
第十页，编辑于星期一：点 十三分。
凸多面体
四棱柱 三棱锥 八面体 三棱柱 四棱锥 尖顶塔
面数（F） 顶点数（V） 棱数（E）
第十一页，编辑于星期一：点 十三分。
四棱柱
凸多面体
四棱柱 三棱锥 八面体 三棱柱 四棱锥 尖顶塔
面数（F） 顶点数（V） 棱数（E）
6
8
12
第十二页，编辑于星期一：点 十三分。
n ＝1时，a1＝1 第1个圆环从1到3. n＝2时，a2＝3 前1个圆环从1到2;
第2个圆环从1到3; 第1个圆环从2到3.
2
1
3
第三十三页，编辑于星期一：点 十三分。
人教版高中数学选修1-1选修1-2选修2-1选修2-2选修2-3选修4-1选修4-4选修4-5课程目录与教学计划表
人教版高中数学选修1-1选修1-2选修2-1选修2-2选修2-3选修4-1选修4-4选修4-5课程目录与教学计划表
教材课本目录是一本书的纲领，是教与学的路线图。
不管是做教学计划、实施教学活动，还是做复习安排、工作总结，都离不开目录。
目录是一本书的知识框架，要做到心中有书、胸有成竹，就从目录开始吧！
选修1-1课程目录教学计划、进度、课时安排
第一章常用逻辑用语
1.1命题及其关系
1.2充分条件与必要条件
1.3简单的逻辑联结词
1.4全称量词与存在量词
小结
第二章圆锥曲线与方程
2.1椭圆
2.2双曲线
2.3抛物线
小结
第三章导数及其应用
3.1变化率与导数
3.2导数的计算
3.3导数在研究函数中的应用
3.4生活中的优化问题举例
小结
总复习
选修1-2课程目录教学计划、进度、课时安排
第一章统计案例
1.1回归分析的基本思想及其初步应用
1.2独立性检验的基本思想及其初步应用
小结
第二讲参数方程
总复习
选修4-5课程目录教学计划、进度、课时安排第一讲不等式和绝对值不等式
第二讲证明不等式的基本方法
第三讲柯西不等式与排序不等式
第四讲数学归纳法证明不等式
总复习。
(完整版)高中数学选修1-2课后习题答案
me an di n高中数学选修1-2课后习题答案第Ⅰ卷选择题共50分一、选择题(本大题共10小题，每题5分，共50分，每小题给出的4个选项中，只有一选项是符合题目要求的)参考公式P k ≥2（K ）0.500.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.001k0.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.8281.在画两个变量的散点图时，下面哪个叙述是正确的( )A 预报变量在轴上，解释变量在轴上B 解释变量在轴上，预报变量在轴上x y x y C 可以选择两个变量中任意一个变量在轴上 D 可以选择两个变量中任意一个变量在轴上x y 2.数列…中的等于（）2,5,11,20,,47,x x A B C D 283233273.复数的共轭复数是（ ）25-i A i +2 B i -2C -i -2D 2 - i4.下面框图属于（ ）A 流程图B 结构图C 程序框图D 工序流程图5.设大于0，则3个数：，，的值( ),,a b c 1a b +1b c +1c a+A 都大于2 B 至少有一个不大于2 C 都小于2 D 至少有一个不小于26.当时，复数在复平面内对应的点位于（ ）132<<m )2()3(i i m +-+A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限7.考察棉花种子经过处理跟生病之间的关系得到如下表数据：种子处理种子未处理合计得病32101133不得病61213274合计93314407根据以上数据，则( )A 种子经过处理跟是否生病有关B 种子经过处理跟是否生病无关C 种子是否经过处理决定是否生病D 以上都是错误的11,9，8,5，若在实际问题中，的预报最大取值是10，则的最大取值不能超过( )y x A 16 B 17 C 15 D 129.根据右边程序框图，当输入10时，输出的是（）A 12B 19C 14.1D-3010.把正整数按下图所示的规律排序，则从2003到2005的箭头方向依次为( )第Ⅱ卷非选择题（共100分）二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，把答案填在答题卡的横线上）11.在复平面内，平行四边形ABCD 的三个顶点A 、B 、C 对应的复数分别是1+3i,-i,2+i,则点D 对应的复数为_________。
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选修1-2模块测试试题
一、选择题：(本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)
1、已知某回归方程为：ˆˆ23y
x =-，则当解释变量增加1个单位时，预报变量平均：
A 、增加3个单位
B 、增加13个单位
C 、减少3个单位
D 、减少13
个单位 2、若复数3422i z i
+=+，则复数z 在：
A 、第一象限
B 、第二象限
C 、第三象限
D 、第四象限
3错误！未指定书签。
、右图是学校学生会的组成机构，
那么它属于：
A 、流程图
B 、程序框图
C 、结构图
D 、A,B,C 都
不对。
4、下列关于相关指数的说法正确的是：
A 、相关指数只用于先行回归模型
B 、相关指数用字母r 表示
C 、相关指数可用于任何回归模型
D 、相关指数越大，模型拟合度越差
5、已知数列1121231234,,,,2334445555++++++ 则这个数列的第100项为： A 、49 B 、49.5 C 、50 D 、50.5
6错误！未指定书签。
、若大前提是：任何实数的平方都大于0，小前提是：a R ∈，结论是：20a >，那么这个演绎推理出错在：
A 、大前提
B 、小前提
C 、推理过程
D 、没有出错
7、若数列{}n a 的通项公式为：241n a n n =++，则下列关于数列的说法正确的是：
A 、数列中可以出现偶数
B 、数列的各项都是奇数
C 、数列的各项都是质数
D 、数列中可以出现合数
8、若实数,,,a b c d 成等比数列，则下列说法错误．．
的是： A 、可能都是正数 B 、可能都是负数 C 、乘积一定是正数 D 、乘积一定是负数
9、数列及数列的前n 项和均可以看成特殊的函数，同样具备单调性。
若()f n 是等差数列{}n a 的前n 项和，则()f n 单调递减的充要条件是：
A 、0d <且1a d <-
B 、10a <
C 、0d <
D 、10a <且0d < 10、122006n n n S i i i +++=+++ ，（n Z ∈，i 是复数单位），则下列5个数中有可能为S 的值的有：（1）0，（2）1i +，（3）1i -+，（4）1i -，（5）1i --
A 、1个
B 、2个
C 、3个
D 、4个
11．复数z 对应的点在第二象限，它的模为3，实部是5-，则z 是（ ）
（A ）5-+2i （B ）5--2i （C ）5+2i （D ）5-2i
12．某考察团对全国10大城市进行职工人均平均工资x 与居民人均消费y 进行
统计调查, y 与x 具有相关关系,回归方程562.166.0ˆ+=x y
(单位:千元),若某城市居民消费水平为7.675,估计该城市消费额占人均工资收入的百分比为（ ）
(A) 66% (B) 72.3% (C) 67.3% (D) 83%
二、填空题：（本大题共4小题，每小题3分，共12分）
13、已知方程ˆˆ0.8585.7y
x =-是根据女大学生的身高预报她的体重的回归方程，其中ˆˆ,x y 的单位分别是,c m k g ，则该方程在样本(165,57处的残差为
________________________。
14、比较大小：72-_____223-。
15、定义某种运算⊗，S a b =⊗的运算原理如右图：则式
子5324⊗+⊗=___________________________。
16、若||93z z i +=-，则z =________________。
三、解答题：（本大题共5小题，共52分，解答
应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.)
17、（10分）计算：620068(13)2(1)12i i i i i
-+-++-+- 18．（10分）已知f(z)=|1+z |－z ，且f(－z )=10+3i ，求复数z .
19、（10分）用分析法证明：(cos sin )[cos()sin()](cos sin )m i m i n i n αααβαβββ+=-+-+，其中,,,m n R αβ∈，且0n ≠，i 是虚数单位。
20、（10分）根据下列程序，画出它的程序框图
21、（12分）已知n S 是数列{}n a 前n 项和，且有11a =，1321,(2)n n S S n n -=+-≥，求出{}n a 的前4项，猜想其通项公式，并证明。