2015年外校考试试题数学真题

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2015年成都七中招收外地生考试数学试题

成都七中2015年招收外地生考试数学试卷考试时间：120分钟总分：150分注意：本试卷为复原版，并非真题，部分题目字句有改动，部分图形已省略，选择题的选项已省略一、选择题（每题6分，共60分）1、等腰△ABC 中，∠A=60°，其面积为27347+，它的内切圆面积为______ 2、对角线长为4和2的菱形绕中心旋转90°后得到一个四角星，其周长为__________3、已知x=3+1，那么代数式22x 4x 24+++x 的值为________4、代数式2x 2+4xy+5y 2-4x+2y-5的最小值是________5、一三棱锥的三视图如下，这个三棱锥最长棱的长度为________6、x 、y 、z 、w 满足x ≤y ≤z ≤w ≤6，方程x+y+z+w=18有_____组正整数解7.m 、n 为正整数，1=156113211101901721561421301111216121++++++++++++n m 1≤x ≤m ，1≤y ≤n ，m ≤n ，则代数式12+++x y x 的最小值为_______ 8、一个两位数的平方末两位仍是这个两位数，这样的两位数有______个9、正整数p 、q 使得关于x 的方程x 2-px+q=0和x 2-qx+p=0都有2个整数根，求|p-q|=___10、正方形ABCD 所在平面内有直线l ，使得A 、B 、C 、D 四个顶点到直线l 的距离只有2个值，其比值为3：1，这样的直线有______条二、填空题（每题7分，共28分）11、四边形ABCD 中，∠A=∠B=60°，BC=8，CD=19，AD=10，求AB=______12、正方形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 上的点，△ABE 、△CEF 、△ADF 的面积分别为2、3、4，那么△AEF 的面积为______13、抛物线y=x 2+mx+m 4与x 轴两交点间距离的最大值为_______14、117+的整数部分是________三、填空题（每题8分，共32分）15、已知++++=22222413121116π…，求++++222271513111…=_________ 16、四边形ABCD 中，AD=BC ，∠CAD=82°，∠CBD=98°，∠ADC=70°，求∠CDB=____17、方程x xx x =-+-111的解为________ 18、△ABC 内接于⊙O ，AB=2，AC=4，求AO ·BC 的最小值为_______四、解答题（19题14分，20题16分，共30分） 19、直角坐标系中有正方形ABCO ，直线OA 和AB 的解析式分别为y=43x 和y=34-x+325，D 、E 分别为CD 、AB 的中点，P 为AO 上一点，连接CP 交DE 于点Q（1）求证Q 为△COP 的外心（2）求正方形的边长（3）若AB 与⊙Q 相切求点P 坐标20、L 为正实数，对于某一函数图象上任意两点P 1（x 1，y 1）P 2（x 2，y 2），若|y 1－y 2|≤L|x 1－x 2|恒成立，则称这个函数为李氏函数，L 为李氏系数（1）判断y=2x-1和y=x 1是不是李氏函数（2）若y=x 1（21＜x ＜1）是李氏函数，求L 的取值范围（3）若y=x 3（a ≤x ≤a+1）是李氏函数，且L min =3，求a 的取值范围俯视图左视图主视图。

2015年XXX入学考试卷

2015年XXX入学考试卷XXX2015年入学考试数学试卷考试说明：本试卷共25小题，满分150分，考试时间120分钟。

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1.5的相反数是（）A.－5B.5C.D.22.使二次根式11x2有意义的x的取值范围是（）A.x≠2B.x＞2C.x≤2D.x≥23.在下列运算中，计算正确的是（）A.XXXB.XXXC.(a2)3a6D.XXX4.下列几个图形是国际通用的交通标志，其中不是中心对称图形的是（）A．B．C．D．5.一个不透明的袋中装有除颜色外均相同的3个红球和2个黄球，从中随机摸出一个，摸到红球的概率是（）A.2123B.3555C.D.6.如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径．若∠OCB=50°，则∠A等于（）．A.60°B.50°C.40°D.30°7.若一元二次方程x2﹣ax+1=有两个相等的实数根，则a 的值可以是（）A．B．1C．2D.48.如图，XXX用长3.2m的竹竿做测量工具测量学校旗杆的高度，移动竹竿，使竹竿、旗杆顶端的影子恰好落在地面的同一点．此时，竹竿与这一点相距8m，与旗杆相距22m，则旗杆的高为（）A．12mB．10mC．8mD．7m9.如图，在平面直角坐标系中，正方形OACB的顶点O、C的坐标分别是（，），（2，），则顶点B的坐标是（）A．（1，1）B．（﹣1，﹣1）C．（1，﹣1）D．（﹣1，1）10.如图，已知点A（﹣1，）和点B（1，2），在坐标轴上确定点P，使得△ABP为直角三角形，则满足这样条件的点P共有（）A．2个B．4个C．6个D．7个二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11.分解因式：x24＝（x+2）（x-2）。

12.将点A（2，1）向上平移3个单位长度得到点B的坐标是（2，4）。

13.底面半径长为3cm，母线长为5cm的圆锥的侧面积为（15π）。

湖南2015届十三校数学试题联考理数——答案

# # ' 由 1 1槡所以1 可得2 所以椭圆的方程为 # 7$ 1 1 &槡 ' 1 & % ! (分 & # % $ $ # & # # 设 - 则 -3 1 槡 # # 1 #!4 7 $ $ # # # ' 4 # 4 ( # #!4 7 # & ! 1 #! 7 # & ! ( ( ' ' &分其中! % $ #" % $! % $ % $ ! " *4*
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2015年全国高中数学联赛一试二试试题及详细解析

一、填空题（本大题共8小题，每小题8分，共64分）1.设,a b 为不相等的实数,若二次函数2()f x x ax b =++满足()()f a f b =,则(2)f 的值是 .【答案】4【解析】由已知条件及二次函数图象的轴对称性，可得22a b a+=-，即20a b +=，所以 (2)424f a b =++=2.若实数θ满足cos tan θθ=,则41cos sin θθ+的值为 . 【答案】2【解析】由条件知，2cos sin αα=，反复利用此结论，并注意到22cos sin 1αα+=，得2242221cos sin cos sin (1sin )(1cos )2sin cos 2sin sin αααααααααα++=+=++-=+-= 3.已知复数数列{}n z 满足111,1(1,2,)n n z z z ni n +==++=,其中i 为虚数单位, n z 表示n z 的共轭复数,则2015z 的值是 .【答案】2015+1007i【解析】由已知得，对一切正整数n,有211(1)1(1)2n n n n z z n i z ni n i z i ++=+++=++++=++ 于是201511007(2)20151007z z i i =++=+ z 学科xx 网k4.在矩形ABCD 中,2,1AB AD ==,边DC 上(包括点,)D C 的动点P 与CB 延长线上(包括点)B 的动点Q 满足||||DP BQ =,则向量PA 与向量PQ 的数量积PA PQ ⋅的最小值为 .【答案】3422133(2)(1)(1)1()244PA PQ t t t t t t ⋅=-⋅-+-⋅--=-+=-+≥当t=12时，min 3()4PA PQ ⋅= 5.在正方体中随机取三条棱,它们两两异面的概率为 . 【答案】255【解析】设正方体为ABCD-EF GH ，它共有12条棱，从中任意选出3条棱的方法共有312C =220种.下面考虑使3条棱两两异面的取法数，由于正方体的棱共确定3个互不平行的方向（即AB 、AD 、AE 的方向），具有相同方向的4条棱两两共面，因此取出的3条棱必属于3个不同的方向.可先取定AB 方向的棱，这有4种取法.不妨设取的棱就是AB ，则AD 方向只能取棱EH 或棱FG ，共2种可能，当AD 方向取棱是EH 或FG 时，AE 方向取棱分别只能是CG 或DH.由上可知，3条棱两两异面的取法数为4×2=8，故所求的概率为8222055=. z 学科xx 网k 6.在平面直角坐标系xOy 中,点集{(,)|(|||3|6)(|3|||6)0}K x y x y x y =+-+-≤所对应的平面区域的面积为 . 【答案】247.设ω为正实数,若存在,(2)a b a b ππ≤<≤,使得sin sin 2a b ωω+=,则实数ω的取值范围是【答案】9513[,][,)424w ∈+∞ 【解析】由sin sin 2wa wb +=知sin sin 1wa wb ==，而[,][,2],wa wb w w ππ⊆故题目条件等价于：存在整数()k l k l <，，使得222.22w k l w ππππππ≤+<+≤ ⑴当4w ≥时,区间[,2]w w ππ的长度不小于4π,故必存在k,l 满足(1)式. 当04w <<时，注意到[,2]0,8w w πππ⊆（），故仅需考虑如下几种情况: 5)2,22i w w ππππ≤<≤（此时15,24w w ≤≥且无解；59)2,22ii w w ππππ≤<≤（此时有95;42w ≤≤913()222iii w w ππππ≤<≤，此时有13913,4424w w ≤≤≤<得.综合)()(),i ii iii （、、并注意到4w ≥亦满足条件，可知9513[,][,)424w ∈+∞. z 学科xx 网k8.对四位数(19,0,,9)abcd a b c d ≤≤≤≤,若,,a b b c c d ><>,则称abcd 为P 类数,若,,a b b c c d <><,则称abcd 为Q 类数,用()N P 与()N Q 分别表示P 类数与Q 类数的个数,则()()N P N Q -的值为【答案】285下面计算0||:A 对任一四位数00,abc A b ∈可取0,19⋅⋅⋅，，，对其中每个b ，由9b a <≤及9b c <≤知，a 和c 分别有9-b 种取法，从而992200191019||=(9)285.6b k b k ==⨯⨯-===∑∑A 因此()()285.N P N Q -=二、解答题（本大题共3个小题，共56分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 9. （本题满分16分）若实数,,a b c 满足242,424a b c a b c +=+=,求c 的最小值. 【解析】将2,2,2a b c 分别记为,,x y z ，则,,0x y z >由条件知，222,,x y z x y z +=+=故 2222224()2z y x z y z y z y -==-=-+ 因此，结合均值不等式可得，4223321111113(2)3222444y y y y y y y y y +=++≥⋅⋅⋅=z= 当212=y y ，即312y =时，z 的最小值为3324.此时相应的x 值为3124，符合要求. 由于2,z c=log 故c 的最小值为32235log (2)log 3.43=- 10.(本题满分20分)设1234,,,a a a a 是四个有理数,使得{|14}i j a a i j ≤<≤,31{24,2,,,1,3}28=---- 求1234a a a a +++的值.2231412113{,}{,24}{2,},82a a a a a a =--=-- z 学科xx 网k 结合1,a Q ∈只可能11.4a =±由此易知，123411,4,642a a a ==-==-，a 或者123411,4,642a a a =-==-=，a . 经检验知这两组解均满足问题的条件，故12349.4a a a ++=±+a11.(本题满分20分)在平面直角坐标系xOy 中,12,F F 分别是椭圆2212x y +=的左,右焦点,设不经过焦点1F 的直线l 与椭圆C 交于两个不同的点,A B ,焦点2F 到直线l 的距离为d .如果直线11,,AF l BF 的斜率成等差数列,求d 的取值范围.22222=4)4(21)(22)8(21)0km k m k m ∆-+-=+->（，即2221.(2)k m +>由直线11AF l BF 、、的斜率121211y yk x x ++、、依次成等差数列知, 12112212+2,,11y yk y kx m y kx m x x ==+=+++又，所以122112)(1))(1)2(1)(1).kx m x kx m x k x x +++++=++（（化简并整理得，12)(2)0m k x x -++=（假如m=k ，则直线L 的方程为y=kx+k,即l 经过点11,0F （-），不符合条件.因此必有122=0x x ++，故由方程（1）及韦达定理知，z 学科xx 网k12241()2,.(3)212km x x m k k k=-+==++即由22212321=2k m k k +>+（）、（）知，（），化简得221,4k k >这等价于2||2k > 反之当m,k 满足（3）及2||2k >l 必不经过点1F （否则将导致,m k =与（3）矛盾），21313()().(4)222t t t t⋅+=⋅+d= z 学科xx 网k考虑到函数13()()2f t t t=⋅+在[1,3]上单调递减，故由（4）得，(3)(1),f d f <<即(3,2)d ∈.一．（本题满分40分）设12,,,(2)n a a a n ≥是实数,证明:可以连取12,,,{1,1}n εεε∈-使得222111()()(1)()nnni i i i i i i a a n a ε===+≤+∑∑∑【证明】我们证明：[]2222111[]12()()(1)()(1)nnnni i j i n i i i j a a a n a ====++-≤+∑∑∑∑1,,[],1;[]1,,,122i i n ni i n εε=⋅⋅⋅==+⋅⋅⋅=-即对取对取符合要求，[].)x x （这里，表示实数的整数部分1事实上，（）的左边为[][]222211[]1[]122(+)+()nn nni j i j nn i i j j a a a a ===+=+-∑∑∑∑[]2221[]12=2(+2)nni j n i j a a ==+∑∑）（[]2221[]122[]([]))(22n ni j n i j n n a a ==+≤∑∑）+2(n-（柯西不等式）[]2221[]12++=2[](+]))([]])2222n ni j ni j n n a a n ==+-=∑∑n 1n 1）2([（利用[ z 学科xx 网k[]2221[]12()([]n ni j n i j n a a x x ==+≤≤∑∑）+(n+1)（利用）[]221n+1(1.ni i a =≤∑（）），所以（）得证，从而本题得证二、(本题满分40分)设12{,,,}n S A A A =,其中12,,,n A A A 是n 个互不相同的有限集合(2)n ≥,满足对任意,i j A A S ∈,均有ij A A S ∈,若1min ||2i i nk A ≤≤=≥,证明:存在1n i i x A =∈,使得x 属于12,,,n A A A 中的至少nk个集合(这里||X 表示有限集合X 的元素个数)1121212={,}.,,k n s A A A A A A A B B B ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅设，，在，，中除去，，，12,t C C C n s t ⋅⋅⋅--，，后，在剩下的个集合中，设包含 i k),n-s-t i a x ≤≤的集合有个（1由于剩下的个集合中1i A a 每个集合与的交非空，即包含某个，从而12+.k x x x n s t +⋅⋅⋅+≥--111max ,,i i kn s tx x x n s t k≤≤--=≥--不妨设则由上式知即在剩下的个集合中，1112(1,,),,i t n s tA C i t C C C k--⊆=⋅⋅⋅⋅⋅⋅包含a 的集合至少有个，又由于故，，都 11,a a 包含因此包含的集合个数至少为(1)+(2)n s t n s k t n s t t k k k k ---+--+=≥≥利用()nt s k≥≥利用三、(本题满分50分)如图,ABC ∆内接于圆,O P 为BC 上一点,点K 在线段AP 上,使得BK 平分ABC ∠,过,,K P C 三点的圆Ω与边AC 交于点D ,连结BD 交圆Ω于点E ,连结PE 并延长与边AB 交于点F ,证明:2ABC FCB ∠=∠四、(本题满分50分)求具有下述性质的所有正整数k :对任意正整数(1)1,2k n n -+不整除()!!kn n . 【解析】对正整数m,设2()v m 表示正整数m 的标准分解中素因子2的方幂，则熟知2(!)(),(1)v m m s m =- z 学科xx 网k().s m m 这里表示正整数在二进制表示下的数码之和1)12)!)!2()(1),!!k n kn kn v k n n n -+≤-（（（由于不整除等价于即22(()!)(!),1kn v kn n v n -≥-进而由（）知，本题等价于 ≥求所有正整数k,使得s(kn)s(n)对任意正整数n 成立.(0,1,2,).a a =⋅⋅⋅我们证明，所有符号条件的k 为2(2)()a S n S n n =一方面，由于对任意正整数成立，故2.a k =符合条件 22,0,1.a k k q a q =⋅≥另一方面，若不是的方幂，设是大于的奇数 )().)=2)(),a n S kn S n S kn S qn S qn <=下面构造一个正整数，使得（因为（（ ,)().mq m S m S q<因此问题等价于我们选取的一个倍数使得（ z 学科xx 网k212102,u u u u q q --<<由于故正整数的二进制表示中的最高次幂小于，由此2121(01),22t tu u lu ju i j i j t q qαα++--≤<≤-⋅⋅易知，对任意整数，数与的二进制表示中没有相同的项.210,20,1,,1)1tu lu t l t qαα+->⋅=⋅⋅⋅-又因为故（的二进制表示中均不包含，故(0,1,2,).a a =⋅⋅⋅综合上述的两个方面可知，所求的k 为2 z 学科xx 网k。

湖北省武汉实验外国语学校2015届中考数学二模试题(含解析)

湖北省武汉实验外国语学校2015届中考数学二模试题一、选择题1．要使二次根式有意义，字母的取值范围是（）A．x≥B．x≤C．x＞D．x＜2．下面的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B． C．D．3．下列事件是必然事件的是（）A．某运动员射击一次击中靶心B．抛一枚硬币，正面朝上C．3个人分成两组，一定有2个人分在一组D．明天一定是晴天4．若x1，x2是一元二次方程x2﹣5x﹣6=0的两个根，则x1•x2的值是（）A．﹣5 B．5 C．﹣6 D．65．如图，将三角尺ABC（其中∠ABC=60°，∠C=90°）绕B点按顺时针方向转动一个角度到A1BC1的位置，使得点A，B，C1在同一条直线上，那么这个角度等于（）A．120°B．90° C．60° D．30°6．如图，有一圆心角为120°，半径长为6cm的扇形，若将OA、OB重合后围成一圆锥侧面，那么圆锥的高是（）A．4cm B． cm C．2cm D．2cm7．Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径作⊙O交AC于D，作直径DE，连接BE，若sin∠ACB=，BC=6，则BE=（）A．6 B．C．D．88．已知一元二次方程ax2+bx+c=0（a＞0）的两个实数根x1，x2满足x1+x2=4和x1•x2=3，那么二次函数ax2+bx+c（a＞0）的图象有可能是（）A．B．C．D．9．如图，△ABC面积为1，第一次操作：分别延长AB，BC，CA至点A1，B1，C1，使A1B=AB，C1B=CB，C1A=CA，顺次连接A1，B1，C1，得到△A1B1C1．第二次操作：分别延长A1B1，B1C1，C1A1至点A2，B2，C2，使A2B1=A1B1，B2C1=B1C1，C2A1=C1A1，顺次连接A2，B2，C2，得到△A2B2C2，…按此规律，要使得到的三角形的面积超过2014，最少经过（）次操作．A．7 B．6 C．5 D．410．如图，⊙O1的半径为1，正方形ABCD的边长为6，点O2为正方形ABCD的中心，O1O2垂直AB于P 点，O1O2=8．若将⊙O1绕点P按顺时针方向旋转360°，在旋转过程中，⊙O1与正方形ABCD的边只有一个公共点的情况一共出现（）A．3次B．5次C．6次D．7次二、填空题11．计算cos60°=．12．半径为2的等边三角形的边长为，中心角是°，面积是．13．平面直角坐标系中，一点P（﹣2，3）关于原点的对称点P′的坐标是．14．小敏从A地出发向B地行走，同时小聪从B地出发向A地行走，如图所示，相交于点P的两条线段l1、l2分别表示小敏、小聪离B地的距离y（km）与已用时间x（h）之间的关系，则x= h 时，小敏、小聪两人相距7km．15．已知x1，x2是关于x的方程x2+m2x+n=0的两个实根，y1、y2是关于y的方程y2+5my+7=0的两个实数根，且x1﹣y1=2，x2﹣y2=2，则m= ，n= ．16．如图，以G（0，1）为圆心，半径为2的圆与x轴交于A、B两点，与y轴交于C、D两点，点E 为⊙G上一动点，CF⊥AE于F，当点E从B点出发顺时针运动到D点时，点F经过的路径长为．三、解答题（共72分）17．解方程：x2﹣4x+2=0．18．如图，AB和CD分别是⊙O上的两条弦，圆心O到它们的距离分别是OM和ON，如果AB=CD，求证：OM=ON．19．将抛物线y=x2+ax向上平移3个单位，再向右平移4个单位后经过点（5，2），求a的值．20．如图，有四张不透明的卡片，除正面写有不同的数字外，其它均相同．将这四张卡片背面向上洗匀，从中随机抽取一张，记录数字后放回，重新洗匀后再从中随机抽取一张，记录数字．试用列表或画树状图的方法，求抽出的两张卡片上的数字都是正数的概率．21．如图，网格中每个小正方形的边长都是1个单位．折线段ABC的位置如图所示．（1）现把折线段ABC向右平移4个单位，画出相应的图形A′B′C′；（2）把折线段A′B′C′绕线段AA′的中点D顺时针旋转90°，画出相应的图形A″B″C″；（3）在上述两次变换中，点C→C′→C″的路径的长度比点A→A′→A″的路径的长度大个单位．22．AB为⊙O的直径，PA为⊙O的切线，BC∥OP交⊙O于C，PO交⊙O于D，（1）求证：PC为⊙O的切线；（2）过点D作DE⊥AB于E，交AC于F，PO交AC于H，BD交AC于G，DF=FG，DF=5，CG=6，求⊙O 的半径．23．如图所示，公园要建造圆形的喷水池，水池中央垂直于水面处安装一个柱子OA，O恰在水面中心，OA=1.25m，由柱子顶端A处喷头向外喷水，水流在各个方向沿形状相同的抛物线落下，为使水流形状较为漂亮，要求设计成水流在OA距离为1m处达到距水面最大高度2.25m．（1）若不计其他因素，那么水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流不能落到池外？（2）若水流喷出的抛物线形状与（1）相同，水池的半径为3.5m，要使水流不落到池外，此时水流最大高度应达多少米？24．如图，足够大的直角三角板ABP的顶点P固定在直线OM：y=x上，且点P的横坐标为，直角三角板的边AP、BP分别与y轴、x轴交于C、D两点，在图1中直角三角板的边AP与y轴垂直．（1）将图1中的直角三角板绕顶点P逆时针旋转30°，如图2，则PC= ，PD= ；若CD交OP于点E，求△PED的面积；（2）将（1）问中的三角板继续绕顶点P逆时针旋转，若PA交直线OD于点G，当△PGD与△OCD相似时，求OD的长．25．在如图的直角坐标系中，已知点A（1，0）、B（0，﹣2），将线段AB绕点A按逆时针方向旋转90°至AC，若抛物线y=﹣x2+bx+2经过点C．（1）求抛物线的解析式；（2）如图，将抛物线平移，当顶点至原点时，过Q（0，﹣2）作不平行于x轴的直线交抛物线于E、F两点，问在y轴的正半轴上是否存在一点P，使△PEF的内心在y轴上？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．（3）在抛物线上是否存在一点M，使得以M为圆心，以为半径的圆与直线BC相切？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．2015年湖北省武汉实验外国语学校中考数学二模试卷参考答案与试题解析一、选择题1．要使二次根式有意义，字母的取值范围是（）A．x≥B．x≤C．x＞D．x＜【考点】二次根式有意义的条件．【分析】二次根式的被开方数应为非负数，列不等式求解．【解答】解：由题意得：1﹣2x≥0，解得x≤，【点评】主要考查了二次根式的意义和性质．概念：式子（a≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．2．下面的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B． C．D．【考点】中心对称图形；轴对称图形．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；B、既是轴对称图形，又是中心对称图形．故本选项正确；C、不是轴对称图形，是中心对称图形．故本选项错误；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误．故选B．【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．3．下列事件是必然事件的是（）A．某运动员射击一次击中靶心B．抛一枚硬币，正面朝上C．3个人分成两组，一定有2个人分在一组D．明天一定是晴天【考点】随机事件．【分析】必然事件就是一定会发生的事件，依据定义即可判断．【解答】解：A、是不确定事件，故选项错误；B、是不确定事件，故选项错误；C、是必然事件，故选项正确．D、是不确定事件，故选项错误．故选C．【点评】解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．4．若x1，x2是一元二次方程x2﹣5x﹣6=0的两个根，则x1•x2的值是（）A．﹣5 B．5 C．﹣6 D．6【考点】根与系数的关系．【分析】由x1，x2是一元二次方程x2﹣5x﹣6=0的两个根，根据根与系数的关系即可求得x1•x2的值．【解答】解：∵x1，x2是一元二次方程x2﹣5x﹣6=0的两个根，∴x1•x2=﹣6．【点评】此题考查了一元二次方程根与系数的关系．此题比较简单，注意掌握若x1，x2是方程x2+px+q=0的两根，则x1+x2=﹣p，x1x2=q是解此题的关键．5．如图，将三角尺ABC（其中∠ABC=60°，∠C=90°）绕B点按顺时针方向转动一个角度到A1BC1的位置，使得点A，B，C1在同一条直线上，那么这个角度等于（）A．120°B．90° C．60° D．30°【考点】旋转的性质．【专题】计算题．【分析】利用旋转的性质计算．【解答】解：∵∠ABC=60°，∴旋转角∠CBC1=180°﹣60°=120°．∴这个旋转角度等于120°．故选：A．【点评】本题考查了旋转的定义，明确三角尺的度数的常识并熟记旋转角的定义是解题的关键．6．如图，有一圆心角为120°，半径长为6cm的扇形，若将OA、OB重合后围成一圆锥侧面，那么圆锥的高是（）A．4cm B． cm C．2cm D．2cm【考点】弧长的计算；勾股定理．【专题】压轴题．【分析】本题已知扇形的圆心角及半径就是已知圆锥的底面周长，能求出底面半径，底面半径，圆锥的高，母线长即扇形半径，构成直角三角形，课以利用勾股定理解决．【解答】解：由圆心角为120°、半径长为6cm，可知扇形的弧长为=4πcm，即圆锥的底面圆周长为4πcm，则底面圆半径为2cm，已知OA=6cm，由勾股定理得圆锥的高是4cm．【点评】本题主要考查了圆锥的侧面与扇形的关系，圆锥弧长等于圆锥底面周长，圆锥母线长等于扇形半径长．7．Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径作⊙O交AC于D，作直径DE，连接BE，若sin∠ACB=，BC=6，则BE=（）A．6 B．C．D．8【考点】解直角三角形；圆周角定理．【专题】常规题型．【分析】首先在Rt△ABC中，求出线段AB的长度，再证明∠CBD=∠CAB，然后根据圆周角定理求出∠DAB=∠DEB，最后在Rt△BDE中求出BE的长．【解答】解：∵Rt△ABC中，∠ABC=90°，sin∠ACB=，∴AB=tan∠ACB•BC=8，∵AB为圆O的直径，∠ABC=90°，∴CB是圆的切线，∴∠CBD=∠CAB，∵AB为圆O的直径，∴∠ADB=90°，∵∠DAB=∠DEB，∴在Rt△BDE中，BE=cos∠BED•DE=×8=．故选B．【点评】本题主要考查解直角三角形和圆周角的知识点，解答本题的关键是熟练运用圆周角的知识和解直角三角形的知识，本题比较简单．8．已知一元二次方程ax2+bx+c=0（a＞0）的两个实数根x1，x2满足x1+x2=4和x1•x2=3，那么二次函数ax2+bx+c（a＞0）的图象有可能是（）A．B．C．D．【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数的图象．【专题】压轴题；数形结合．【分析】根据二次函数二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴的交点横坐标就是一元二次方程ax2+bx+c=0（a＞0）的两个实数根，利用两个实数根x1，x2满足x1+x2=4和x1•x2=3，求得两个实数根，作出判断即可．【解答】解：∵已知一元二次方程ax2+bx+c=0（a＞0）的两个实数根x1，x2满足x1+x2=4和x1•x2=3，∴x1，x2是一元二次方程x2﹣4x+3=0的两个根，∴（x﹣1）（x﹣3）=0，解得：x1=1，x2=3∴二次函数ax2+bx+c（a＞0）与x轴的交点坐标为（1，0）和（3，0）故选：C．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点坐标及二次函数的图象，解题的关键是根据题目提供的条件求出抛物线与横轴的交点坐标．9．如图，△ABC面积为1，第一次操作：分别延长AB，BC，CA至点A1，B1，C1，使A1B=AB，C1B=CB，C1A=CA，顺次连接A1，B1，C1，得到△A1B1C1．第二次操作：分别延长A1B1，B1C1，C1A1至点A2，B2，C2，使A2B1=A1B1，B2C1=B1C1，C2A1=C1A1，顺次连接A2，B2，C2，得到△A2B2C2，…按此规律，要使得到的三角形的面积超过2014，最少经过（）次操作．A．7 B．6 C．5 D．4【考点】三角形的面积．【专题】规律型．【分析】先根据已知条件求出△A1B1C1及△A2B2C2的面积，再根据两三角形的倍数关系求解即可．【解答】解：△ABC与△A1BB1底相等（AB=A1B），高为1：2（BB1=2BC），故面积比为1：2，∵△ABC面积为1，∴S△A1B1B=2．同理可得，S△C1B1C=2，S△AA1C=2，∴S△A1B1C1=S△C1B1C+S△AA1C+S△A1B1B+S△ABC=2+2+2+1=7；同理可证△A2B2C2的面积=7×△A1B1C1的面积=49，第三次操作后的面积为7×49=343，第四次操作后的面积为7×343=2401．故按此规律，要使得到的三角形的面积超过2014，最少经过4次操作．故选D．【点评】考查了三角形的面积，此题属规律性题目，解答此题的关键是找出相邻两次操作之间三角形面积的关系，再根据此规律求解即可．10．如图，⊙O1的半径为1，正方形ABCD的边长为6，点O2为正方形ABCD的中心，O1O2垂直AB于P 点，O1O2=8．若将⊙O1绕点P按顺时针方向旋转360°，在旋转过程中，⊙O1与正方形ABCD的边只有一个公共点的情况一共出现（）A．3次B．5次C．6次D．7次【考点】直线与圆的位置关系；正方形的性质．【分析】根据⊙O1的半径为1，正方形ABCD的边长为6，点O2为正方形ABCD的中心，O1O2垂直AB 于P点，设O1O2交圆O于M，求出PM=4，得出圆O1与以P为圆心，以4为半径的圆相外切，即可得到答案．【解答】解：∵⊙O1的半径为1，正方形ABCD的边长为6，点O2为正方形ABCD的中心，O1O2垂直AB 于P点，设O1O2交圆O于M，∴PM=8﹣3﹣1=4，圆O1与以P为圆心，以4为半径的圆相外切，∴根据图形得出有5次．故选B．【点评】本题主要考查对直线与圆的位置关系，正方形的性质等知识点的理解和掌握，能求出圆的运动路线是解此题的关键．二、填空题11．计算cos60°=．【考点】特殊角的三角函数值．【专题】计算题．【分析】根据记忆的内容，cos60°=即可得出答案．【解答】解：cos60°=．故答案为：．【点评】此题考查了特殊角的三角函数值，属于基础题，注意掌握特殊角的三角函数值，这是需要我们熟练记忆的内容．12．半径为2的等边三角形的边长为2，中心角是120 °，面积是3．【考点】等边三角形的性质．【分析】连接OB，作OD⊥BC于D，则∠ODB=90°，由等边三角形的性质得出∠OBD=30°，BD=BC，由三角函数求出OD的数值，再由含30°角的直角三角形的性质得出OB=2OD，即可得出结果．【解答】解：连接OB，作OD⊥BC于D，如图所示：则∠ODB=90°，∠OBD=∠ABC=30°，BD=CD=BC，∵OB=2，∴OD=1，∴BD=，BC=2，面积=，中心角是120°，故答案为：2；120；3【点评】本题考查了等边三角形与圆、等边三角形的性质、三角函数、含30°角的直角三角形的性质；熟练掌握等边三角形的性质，由三角函数求出OD是解决问题的关键．13．平面直角坐标系中，一点P（﹣2，3）关于原点的对称点P′的坐标是（2，﹣3）．【考点】关于原点对称的点的坐标．【专题】计算题．【分析】平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（﹣x，﹣y），从而可得出答案．【解答】解：根据中心对称的性质，得点P（﹣2，﹣3）关于原点对称点P′的坐标是（2，﹣3）．故答案为：（2，﹣3）．【点评】本题考查关于原点对称的点坐标的关系，是需要识记的基本问题．记忆方法是结合平面直角坐标系的图形记忆．14．小敏从A地出发向B地行走，同时小聪从B地出发向A地行走，如图所示，相交于点P的两条线段l1、l2分别表示小敏、小聪离B地的距离y（km）与已用时间x（h）之间的关系，则x= 或h时，小敏、小聪两人相距7km．【考点】一次函数的应用．【分析】由待定系数法分别求出l1，l2的解析式，当y1﹣y2=7或y2﹣y1=7时求出x的值即可．【解答】解：设l1的解析式为y=k1x+b，由题意，得，解得：，∴y=﹣4x+11.2；设l2的解析式为y=k2x，由题意，得4.8=1.6k2，∴k2=3，∴y=3x．当﹣4x+11.2﹣3x=7时．∴x=0.6．当3x﹣（﹣4x+11.2）=7时，x=．故答案为：或．【点评】本题考查了运用待定系数法求一次函数的解析式的运用，一元一次方程的解法的运用，解答时求出一次函数的解析式是关键．15．已知x1，x2是关于x的方程x2+m2x+n=0的两个实根，y1、y2是关于y的方程y2+5my+7=0的两个实数根，且x1﹣y1=2，x2﹣y2=2，则m= 4 ，n= ﹣29 ．【考点】根与系数的关系．【分析】由根与系数的关系可得：x1+x2=﹣m2，y1+y2=﹣5m，y1•y2=7与x1﹣y1=x2﹣y2=2联立可解出m、n的值．【解答】解：根据题意得x1+x2=﹣m2，y1+y2=﹣5m，两式相减得x1﹣y1+x2﹣y2=﹣m2+5m，所以2+2=﹣m2+5m，整理得m2﹣5m+4=0，解得m1=1，m2=4，当m=1时，方程x2+x+1=0和方程y2+5y+7=0都没有实数根，所以m的值为4．因此y1+y2=﹣20，联立y1•y2=7，解得y1=﹣10+，y2=﹣10﹣．又x1﹣y1=x2﹣y2=2解得x1=﹣8+，x2=﹣8﹣，又x1•x2=n解得：n=﹣29m=4，n=﹣29．故答案为：4，﹣29．【点评】本题考查了根与系数的关系的知识，解答本题要掌握若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=﹣，x1x2=．也考查了根的判别式．16．如图，以G（0，1）为圆心，半径为2的圆与x轴交于A、B两点，与y轴交于C、D两点，点E为⊙G上一动点，CF⊥AE于F，当点E从B点出发顺时针运动到D点时，点F经过的路径长为π．【考点】轨迹；坐标与图形性质．【分析】连接AC，AG，由OG垂直于AB，利用垂径定理得到O为AB的中点，由G的坐标确定出OG 的长，在直角三角形AOG中，由AG与OG的长，利用勾股定理求出AO的长，进而确定出AB的长，由CG+GO求出OC的长，在直角三角形AOC中，利用勾股定理求出AC的长，由CF垂直于AE，得到三角形ACF始终为直角三角形，点F的运动轨迹为以AC为直径的半径，如图中红线所示，当E位于点B时，CO⊥AE，此时F与O重合；当E位于D时，CA⊥AE，此时F与A重合，可得出当点E从点B出发顺时针运动到点D时，点F所经过的路径长，在直角三角形ACO中，利用锐角三角函数定义求出∠ACO的度数，进而确定出所对圆心角的度数，再由AC的长求出半径，利用弧长公式即可求出的长．【解答】解：连接AC，AG，∵GO⊥AB，∴O为AB的中点，即AO=BO=AB，∵G（0，1），即OG=1，∴在Rt△AOG中，根据勾股定理得：AO==，∴AB=2AO=2，又CO=CG+GO=2+1=3，∴在Rt△AOC中，根据勾股定理得：AC==2，∵CF⊥AE，∴△ACF始终是直角三角形，点F的运动轨迹为以AC为直径的半圆，当E位于点B时，CO⊥AE，此时F与O重合；当E位于D时，CA⊥AE，此时F与A重合，∴当点E从点B出发顺时针运动到点D时，点F所经过的路径长，在Rt△ACO中，tan∠ACO==，∴∠ACO=30°，∴度数为60°，∵直径AC=2，∴的长为=π，则当点E从点B出发顺时针运动到点D时，点F所经过的路径长π．故答案为：π．【点评】此题属于圆的综合题，涉及的知识有：坐标与图形性质，勾股定理，锐角三角函数定义，弧长公式，以及圆周角定理，其中根据题意得到点E从点B出发顺时针运动到点D时，点F所经过的路径长是解本题的关键．三、解答题（共72分）17．解方程：x2﹣4x+2=0．【考点】解一元二次方程-配方法．【分析】本题要求用配方法解一元二次方程，首先将常数项移到等号的右侧，将等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方，即可将等号左边的代数式写成完全平方形式．【解答】解：x2﹣4x=﹣2x2﹣4x+4=2（x﹣2）2=2或∴，．【点评】配方法的步骤：形如x2+px+q=0型：第一步移项，把常数项移到右边；第二步配方，左右两边加上一次项系数一半的平方；第三步左边写成完全平方式；第四步，直接开方即可．18．如图，AB和CD分别是⊙O上的两条弦，圆心O到它们的距离分别是OM和ON，如果AB=CD，求证：OM=ON．【考点】垂径定理．【专题】证明题．【分析】连接OA、OC，根据垂径定理求出CD=2CN，AB=2AM，求出CN=AM，根据HL证Rt△ONC≌Rt△OMA，根据全等三角形的性质推出即可．【解答】证明：如图，连接OC、OA，则OC=OA，∵圆心O到它们的距离分别是OM和ON，∴∠ONC=∠OMA=90°，CD=2CN，AB=2AM，∵AB=CD，∴CN=AM，在Rt△ONC和Rt△OMA中，，∴Rt△ONC≌Rt△OMA（HL），∴OM=ON．【点评】本题考查了垂径定理，全等三角形的性质和判定的应用，解此题的关键是构造直角三角形，题目比较典型，难度不大．19．将抛物线y=x2+ax向上平移3个单位，再向右平移4个单位后经过点（5，2），求a的值．【考点】二次函数图象与几何变换．【分析】先根据函数图象平移的法则得出抛物线y=x2+ax向上平移3个单位，再向右平移4个单位所得函数解析式，再把点（5，2）代入即可得出a的值．【解答】解：将抛物线y=x2+ax向上平移3个单位，再向右平移4个单位后得到抛物线y=（x+﹣4）2+3﹣，∵新抛物线过过点（5，2），∴2=（1+）2+3﹣，∴a=﹣2．【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换、待定系数法求二次函数的解析式，熟知以上知识是解答此题的关键．20．如图，有四张不透明的卡片，除正面写有不同的数字外，其它均相同．将这四张卡片背面向上洗匀，从中随机抽取一张，记录数字后放回，重新洗匀后再从中随机抽取一张，记录数字．试用列表或画树状图的方法，求抽出的两张卡片上的数字都是正数的概率．【考点】列表法与树状图法．【分析】首先根据题意画树状图，然后根据树状图求得所有等可能的结果与抽出的两张卡片上的数字都是正数情况，再根据概率公式求解即可．【解答】解：画树状图得：∴一共有16种等可能的情况，抽出的两张卡片上的数字都是正数的有4种情况，∴抽出的两张卡片上的数字都是正数的概率为=．【点评】此题考查了树状图法与列表法求概率．树状图法与列表法可以不重不漏的表示出所有等可能的结果．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．21．如图，网格中每个小正方形的边长都是1个单位．折线段ABC的位置如图所示．（1）现把折线段ABC向右平移4个单位，画出相应的图形A′B′C′；（2）把折线段A′B′C′绕线段AA′的中点D顺时针旋转90°，画出相应的图形A″B″C″；（3）在上述两次变换中，点C→C′→C″的路径的长度比点A→A′→A″的路径的长度大（﹣1）π个单位．【考点】作图-旋转变换；作图-平移变换．【分析】（1）由把折线段ABC向右平移4个单位得到A′B′C′，根据平移的性质，找出对应点进而画出图形即可；（2）由将折线段A′B′C′绕线段AA′的中点D顺时针旋转90°得到折线A″B″C″，根据旋转的性质，找出对应点，即可画得A″B″C″；（3）根据弧长公式分别求出以及的长度，进而得出答案．【解答】解：（1）、（2）如图所示：；（3）∵CC′=4， ==π，AA′=4， ==π，∴CC′+=π+4，AA′+=π+4，∴点C→C′→C″的路径的长度比点A→A′→A″的路径的长度大（﹣1）π个单位故答案为：（﹣1）π．【点评】此题主要考查了图形的旋转与平移变换以及弧长公式应用，根据已知得出C，A点运动路径是解题关键．22．AB为⊙O的直径，PA为⊙O的切线，BC∥OP交⊙O于C，PO交⊙O于D，（1）求证：PC为⊙O的切线；（2）过点D作DE⊥AB于E，交AC于F，PO交AC于H，BD交AC于G，DF=FG，DF=5，CG=6，求⊙O 的半径．【考点】切线的判定；全等三角形的判定与性质；勾股定理．【专题】计算题．【分析】（1）连OC，由BC∥OP，得到∠AOP=∠OBC，∠POC=∠OCB，则∠AOP=∠POC，可得△POA≌△POC，得到∠PAO=∠PC0，而PA为⊙O的切线，得∠OAP=90°，所以∠PC0=90°，根据切线的判定即可得到PC为⊙O的切线；（2）连AD，由AB为⊙O的直径，得∠ADB=90°，而DE⊥AB，则∠ADE=∠ABD，所以∠ADE=∠ABD，从而易得到∠DAG=∠ADF，有AF=DF=FG=5，AC=5+5+6=16，得到AH=AC=8．易证Rt△AOH≌Rt△DOE，得DE=AH=8，则EF=DE﹣DF=8﹣5=3，在Rt△AEF中，利用勾股定理可求得AE=4，在Rt△DOE中，利用勾股定理即可得到⊙O的半径．【解答】证明：（1）连OC，如图，∵BC∥OP，∴∠AOP=∠OBC，∠POC=∠OCB，而OB=OC，即∠OCB=∠OBC，∴∠AOP=∠POC，又∵OA=OC，OP公共，∴△POA≌△POC，∴∠PAO=∠PC0，而PA为⊙O的切线，∴∠OAP=90°，∴∠PC0=90°，∴PC为⊙O的切线；（2）连AD，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB=90°，而DE⊥AB，∴∠ADE=∠ABD，由（1）得∠AOP=∠COP，∴∠ABD=∠DAF，∴∠DAG=∠ADF，∴AF=DF=FG=5，∴AC=5+5+6=16．∴AH=AC=8，又∵OA=OD，∴Rt△AOH≌Rt△DOE，∴DE=AH=8．∴EF=DE﹣DF=8﹣5=3，在Rt△AEF中，AE===4，设⊙O半径为r，在Rt△DOE中，r2=82+（r﹣4）2．∴r=10．所以⊙O的半径为10．【点评】本题考查了切线的判定：经过半径的外端点与半径垂直的直线是圆的切线．也考查了切线的性质和三角形全等的判定与性质以及勾股定理．23．如图所示，公园要建造圆形的喷水池，水池中央垂直于水面处安装一个柱子OA，O恰在水面中心，OA=1.25m，由柱子顶端A处喷头向外喷水，水流在各个方向沿形状相同的抛物线落下，为使水流形状较为漂亮，要求设计成水流在OA距离为1m处达到距水面最大高度2.25m．（1）若不计其他因素，那么水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流不能落到池外？（2）若水流喷出的抛物线形状与（1）相同，水池的半径为3.5m，要使水流不落到池外，此时水流最大高度应达多少米？【考点】二次函数的应用；二次函数的最值．【专题】压轴题．【分析】（1）根据已知得出二次函数的顶点坐标，即可利用顶点式得出二次函数解析式，令y=0，则﹣（x﹣1）2+2.25=0，求出x的值即可得出答案．（2）当水流喷出的抛物线形状与（1）相同，即a=﹣1，当x=3.5时，y=0，进而求出答案即可．【解答】解：（1）以O为原点，顶点为（1，2.25），设解析式为y=a（x﹣1）2+2.25过点（0，1.25），解得a=﹣1，所以解析式为：y=﹣（x﹣1）2+2.25，令y=0，则﹣（x﹣1）2+2.25=0，解得x=2.5 或x=﹣0.5（舍去），所以花坛半径至少为2.5m．（2）根据题意得出：设y=﹣x2+bx+c，把点（0，1.25）（3.5，0）∴，解得：，∴y=﹣x2+x+=﹣（x﹣）2+，∴水池的半径为3.5m，要使水流不落到池外，此时水流最大高度应达米．【点评】此题主要考查了二次函数的应用，根据顶点式求出二次函数的解析式是解题关键．24．如图，足够大的直角三角板ABP的顶点P固定在直线OM：y=x上，且点P的横坐标为，直角三角板的边AP、BP分别与y轴、x轴交于C、D两点，在图1中直角三角板的边AP与y轴垂直．（1）将图1中的直角三角板绕顶点P逆时针旋转30°，如图2，则PC= 2 ，PD= 2 ；若CD交OP于点E，求△PED的面积；（2）将（1）问中的三角板继续绕顶点P逆时针旋转，若PA交直线OD于点G，当△PGD与△OCD相似时，求OD的长．【考点】一次函数综合题．【专题】压轴题；数形结合．【分析】（1）如图1所示：过点P作PF⊥y轴，垂足为FPG⊥x轴，垂足为G．先求得点P的坐标为（，），然后由特殊锐角三角函数值可求得PC=2，PD=2，FC=GD=1，于是得到C（0，），D（，0），由角平分线的性质可知点E到x轴、y轴的距离相等，故此，从而可求得，最后根据求解即可；（2）设直线PA的解析式为y=k（x﹣）+，直线PB的解析式为y1=（x﹣）+，可求得G（，0），点C（0，）点D的坐标为（，0），如图2、图3所示利用相似三角形的性质可求得k的值，从而可求得OD的长．【解答】解：（1）如图1所示：过点P作PF⊥y轴，垂足为FPG⊥x轴，垂足为G．∵点P的横坐标为且点P在y=x上，∴点P的坐标为（，）．∴PF=PG=．∵∠FPC=∠DPG=30°，∴PC==2，PD==2．∴FC=GD=1．∴点C的坐标为（0，），点D的坐标为（，0）．∵点E在y=x上，∴点E到x轴、y轴的距离相等．∴，即．∴．∴==．故答案为：2；2．（2）设直线PA的解析式为y=k（x﹣）+，直线PB的解析式为y1=（x﹣）+．令y=0得：k（x﹣）+=0，解得：x=+，令x=0得；y=﹣，则点G的坐标为（，0），点C的坐标为（0，）．令y1=0得（x﹣）+=0，解得：x=k+．∴点D的坐标为（，0）．如图2所示：∵△PDG∽△DOC，∴∠PGD=∠CDG．∴CG=CD．∵OC⊥GD，∴OG=OD．∴+=0．解得：k1=，k2=（舍去）．∴OD==．如图3所示：∵△PDG∽△DOC，∴∠PDG=∠CDO．∴∠OCG=∠CDO．∴△OCG∽△ODC．∴OC2=OG•OD，即=（）×（）．解得：k1=，k2=（舍去），k3=1（舍去）．∴OD==+=+2．综上所述，OD的长为或．【点评】本题主要考查的是相似三角形的性质和判定、旋转的性质、一次函数的图象和性质、角平分线的性质，设出直线PA、PB的解析式，求得点C、D、G的坐标（用含k的式子表示），然后由相似三角形的性质求得k的值是解题的关键．25．在如图的直角坐标系中，已知点A（1，0）、B（0，﹣2），将线段AB绕点A按逆时针方向旋转90°至AC，若抛物线y=﹣x2+bx+2经过点C．（1）求抛物线的解析式；（2）如图，将抛物线平移，当顶点至原点时，过Q（0，﹣2）作不平行于x轴的直线交抛物线于E、F两点，问在y轴的正半轴上是否存在一点P，使△PEF的内心在y轴上？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．（3）在抛物线上是否存在一点M，使得以M为圆心，以为半径的圆与直线BC相切？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）根据题意得出△AOB≌△CDA，从而求得OA=CD=1，AD=OB=2，即可求得C的坐标，然后把C的坐标代入抛物线的解析式即可求得b；（2）将抛物线平移，当顶点至原点时，解析式为y=﹣x2，设EF的解析式为y=kx﹣2（k≠0）．假设存在满足题设条件的点P（0，t），过P作GH∥x轴，分别过E，F作GH的垂线，垂足为G，H．由△PEF的内心在y轴上，得出∠GEP=∠EPQ=∠QPF=∠HFP，那么△GEP∽△HFP，根据相似三角形对应边成比例以及根与系数的关系即可求解；（3）根据B、C坐标根据待定系数法求得解析式，求得直线与x轴的解得坐标，在y轴上去一点K，作KS⊥BC于S，使KS=，易证得△BOG∽△BSK，由对应边成比例求得BK的出，既然求得K的坐标，过K点作BC平行线交抛物线的交点即为M点，求得平行线的解析式，然后和抛物线的解析式联立方程即可求得．【解答】解：（1）如图1，∵点A（1，0）、B（0，﹣2），将线段AB绕点A按逆时针方向旋转90°至AC，∴AB=AC，连接AB，作CD⊥OD于D，∵△AOB≌△CDA，∴OA=CD，AD=OB，∴C（3，﹣1），∵抛物线y=﹣x2+bx+2经过点C．∴﹣1=﹣×9+3b+2，解得b=，。

2015年普通高等学校招生全国统一考试数学试题及答案(全word可编辑版,全解全析)

2015年普通高等学校招生全国统一考试课标全国Ⅰ理科数学注意事项:1.本试题分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,第Ⅰ卷1至3页,第Ⅱ卷3至5页.2.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置.3.全部答案在答题卡上完成,答在本试题上无效.4.考试结束后,将本试题和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2015课标全国Ⅰ,理1)设复数z满足1+z=i,则|z|=()A.1B.2C.3D.2答案:A解析:∵1+z=i,∴z=i−1=(i−1)(−i+1)=i,∴|z|=1.2.(2015课标全国Ⅰ,理2)sin 20°cos 10°-cos 160°sin 10°=()A.-32B.32C.-12D.12答案:D解析:sin20°cos10°-cos160°sin10°=sin20°cos10°+cos20°sin10°=sin(10°+20°)=sin30°=12.3.(2015课标全国Ⅰ,理3)设命题p:∃n∈N,n2>2n,则p为()A.∀n∈N,n2>2nB.∃n∈N,n2≤2nC.∀n∈N,n2≤2nD.∃n∈N,n2=2n答案:C解析:∵p:∃n∈N,n2>2n,∴p:∀n∈N,n2≤2n.故选C.4.(2015课标全国Ⅰ,理4)投篮测试中,每人投3次,至少投中2次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为0.6,且各次投篮是否投中相互独立,则该同学通过测试的概率为()A.0.648B.0.432C.0.36D.0.312答案:A解析:由条件知该同学通过测试,即3次投篮投中2次或投中3次.故P=C320.62(1-0.6)+C330.63=0.648.5.(2015课标全国Ⅰ,理5)已知M(x0,y0)是双曲线C:x 22-y2=1上的一点,F1,F2是C的两个焦点.若MF1·MF2<0,则y0的取值范围是()A. −3,3B. −3,3C. −22,22D. −23,23答案:A解析:由条件知F1(-3,0),F2(3,0),∴MF1=(-3-x0,-y0),MF2=(3-x0,-y0),∴MF1·MF2=x02+y02-3<0.①又∵x022−y02=1,∴x02=2y02+2.代入①得y02<13,∴-3<y0<3. 6.(2015课标全国Ⅰ,理6)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图,米堆为一个圆锥的四分之一),米堆底部的弧长为8尺,米堆的高为5尺,问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺,圆周率约为3,估算出堆放的米约有( ) A .14斛 B .22斛 C .36斛 D .66斛答案:B解析:设底面圆半径为R ,米堆高为h.∵米堆底部弧长为8尺,∴14·2πR=8,∴R=16π.∴体积V=1×1·πR 2h=1×π× 16 2×5.∵π≈3,∴V ≈3209(尺3). ∴堆放的米约为3209×1.62≈22(斛).7.(2015课标全国Ⅰ,理7)设D 为△ABC 所在平面内一点,BC =3CD ,则( )A .AD =-1AB +4AC B .AD =1AB −4AC C .AD =43AB +13AC D .AD=43AB −13AC 答案:A解析:如图:∵AD =AB +BD,BC =3CD , ∴AD =AB +43BC =AB +43(AC −AB )=-13AB +43AC. 8.(2015课标全国Ⅰ,理8)函数f (x )=cos(ωx+φ)的部分图像如图所示,则f (x )的单调递减区间为( ) A . kπ−1,kπ+3 ,k ∈Z B . 2kπ−1,2kπ+3 ,k ∈Z C . k −14,k +34 ,k ∈Z D . 2k −1,2k +3 ,k ∈Z 答案:D解析:不妨设ω>0,由函数图像可知,其周期为T=2× 54−14=2,所以2πω=2,解得ω=π. 所以f (x )=cos(πx+φ).由图像可知,当x=12 14+54=34时,f (x )取得最小值,即f 3 =cos3π+φ =-1,解得3π4+φ=2k π+π(k ∈Z ),解得φ=2k π+π4(k ∈Z ).令k=0,得φ=π,所以f (x )=cos πx +π.令2k π≤πx+π≤2k π+π(k ∈Z ),解得2k-14≤x ≤2k+34(k ∈Z ).所以函数f (x )=cos πx +π4的单调递减区间为 2k−14,2k +34(k ∈Z ).结合选项知应选D .9.(2015课标全国Ⅰ,理9)执行下面的程序框图,如果输入的t=0.01,则输出的n=( )A .5B .6C .7D .8答案:C解析:∵S=1,n=0,m=1,t=0.01,∴S=S-m=12,m=m 2=14,n=n+1=1,S>0.01,∴S=14,m=18,n=2,S>0.01,∴S=1,m=1,n=3,S>0.01,∴S=1,m=1,n=4,S>0.01,∴S=132,m=164,n=5,S>0.01,∴S=1,m=1,n=6,S>0.01,∴S=1,m=1,n=7,S<0.01,∴n=7.10.(2015课标全国Ⅰ,理10)(x 2+x+y )5的展开式中,x 5y 2的系数为( ) A .10 B .20 C .30 D .60 答案:C解析:由于(x 2+x+y )5=[(x 2+x )+y ]5,其展开式的通项为T r+1=C 5r (x 2+x )5-r y r (r=0,1,2,…,5),因此只有当r=2,即T 3=C 52(x 2+x )3y 2中才能含有x 5y 2项.设(x 2+x )3的展开式的通项为S i+1=C 3i (x 2)3-i ·x i =C 3i x 6-i(i=0,1,2,3),令6-i=5,得i=1,则(x 2+x )3的展开式中x 5项的系数是C 31=3,故(x 2+x+y )5的展开式中,x 5y 2的系数是C 52·3=10×3=30. 11.(2015课标全国Ⅰ,理11)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r )组成一个几何体,该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为16+20π,则r=( ) A .1 B .2 C .4 D .8 答案:B解析:由条件知,该几何体是由一个圆柱被过圆柱底面圆直径的平面所截剩下的半个圆柱及一个半球拼接而成,其表面积是一个矩形面积、两个半圆面积、圆柱侧面积的一半、球表面积的一半相加所得,所以表面积为S 表=2r×2r+2×12πr 2+πr×2r+12×4πr 2=5πr 2+4r 2=16+20π,解得r=2.12.(2015课标全国Ⅰ,理12)设函数f (x )=e x (2x-1)-ax+a ,其中a<1,若存在唯一的整数x 0使得f (x 0)<0,则a 的取值范围是( )A. −32e ,1B. −32e,34C.32e ,34D.32e,1答案:D解析:设g(x)=e x(2x-1),h(x)=a(x-1),则不等式f(x)<0即为g(x)<h(x).因为g'(x)=e x(2x-1)+2e x=e x(2x+1),当x<-12时,g'(x)<0,函数g(x)单调递减;当x>-12时,g'(x)>0,函数g(x)单调递增.所以g(x)的最小值为g −1.而函数h(x)=a(x-1)表示经过点P(1,0),斜率为a的直线.如图,分别作出函数g(x)=e x(2x-1)与h(x)=a(x-1)的大致图像.显然,当a≤0时,满足不等式g(x)<h(x)的整数有无数多个.函数g(x)=e x(2x-1)的图像与y轴的交点为A(0,-1),与x轴的交点为D1,0.取点C −1,−3e.由图可知,不等式g(x)<h(x)只有一个整数解时,须满足k PC≤a<k PA.而k PC=0−−3e=3,k PA=0−(−1)=1,所以32e ≤a<1.故选D.第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13题~第21题为必考题,每个试题考生都必须做答.第22题~第24题为选考题,考生根据要求做答.二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.13.(2015课标全国Ⅰ,理13)若函数f(x)=x ln(x+ a+x2)为偶函数,则a=.答案:1解析:∵f(x)是偶函数,∴f(-1)=f(1).又f(-1)=-ln(-1+a+1)=ln a+1+1a,f(1)=ln(1+a+1),因此ln(a+1+1)-ln a=ln(a+1+1),于是ln a=0,∴a=1.14.(2015课标全国Ⅰ,理14)一个圆经过椭圆x 2+y2=1的三个顶点,且圆心在x轴的正半轴上,则该圆的标准方程为.答案: x−32+y2=25解析:由条件知圆经过椭圆的三个顶点分别为(4,0),(0,2),(0,-2),设圆心为(a,0)(a>0),所以(a−0)2+(0−2)2=4-a,解得a=32,故圆心为32,0,此时半径r=4-32=52,因此该圆的标准方程是 x−322+y2=254.15.(2015课标全国Ⅰ,理15)若x,y满足约束条件x−1≥0,x−y≤0,x+y−4≤0,则yx的最大值为.答案:3解析:画出约束条件对应的平面区域(如图),点A为(1,3),要使y最大,则y−0最大,即过点(x,y),(0,0)两点的直线斜率最大,由图形知当该直线过点A时,yx max =3−01−0=3.16.(2015课标全国Ⅰ,理16)在平面四边形ABCD 中,∠A=∠B=∠C=75°,BC=2,则AB 的取值范围是 . 答案:( 6− 2, 6+ 2) 解析:如图.作CE ∥AD 交AB 于E ,则∠CEB=75°,∠ECB=30°. 在△CBE 中,由正弦定理得,EB= − 延长CD 交BA 的延长线于F ,则∠F=30°. 在△BCF 中,由正弦定理得,BF= 6+ 2, 所以AB 的取值范围为( 6− 2, 6+ 2).三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本小题满分12分)(2015课标全国Ⅰ,理17)S n 为数列{a n }的前n 项和.已知a n >0,a n 2+2a n =4S n +3. (1)求{a n }的通项公式; (2)设b n =1a n a n +1,求数列{b n }的前n 项和.解:(1)由a n 2+2a n =4S n +3,可知a n +12+2a n+1=4S n+1+3.可得a n +12−a n 2+2(a n+1-a n )=4a n+1,即2(a n+1+a n )=a n +12−a n 2=(a n+1+a n )(a n+1-a n ). 由于a n >0,可得a n+1-a n =2.又a 12+2a 1=4a 1+3,解得a 1=-1(舍去),a 1=3.所以{a n }是首项为3,公差为2的等差数列,通项公式为a n =2n+1. 6分(2)由a n =2n+1可知b n =1n n +1=1=11−1.设数列{b n }的前n 项和为T n ,则 T n =b 1+b 2+…+b n=12 13−15 + 15−17 +⋯+12n +1−12n +3=n . 12分18.(本小题满分12分)(2015课标全国Ⅰ,理18)如图,四边形ABCD 为菱形,∠ABC=120°,E ,F 是平面ABCD 同一侧的两点,BE ⊥平面ABCD ,DF ⊥平面ABCD ,BE=2DF ,AE ⊥EC.(1)证明:平面AEC ⊥平面AFC ;(2)求直线AE 与直线CF 所成角的余弦值. 解:(1)连结BD ,设BD ∩AC=G ,连结EG ,FG ,EF.在菱形ABCD 中,不妨设GB=1. 由∠ABC=120°,可得AG=GC=由BE ⊥平面ABCD ,AB=BC ,可知AE=EC. 又AE ⊥EC ,所以EG= 3,且EG ⊥AC. 在Rt △EBG 中,可得BE= 2,故DF= 2. 在Rt △FDG 中,可得FG= 62.在直角梯形BDFE 中,由BD=2,BE= 2,DF= 22,可得EF=3 22. 从而EG 2+FG 2=EF 2,所以EG ⊥FG. 又AC ∩FG=G ,可得EG ⊥平面AFC.因为EG ⊂平面AEC ,所以平面AEC ⊥平面AFC. 6分(2)如图,以G 为坐标原点,分别以GB ,GC 的方向为x 轴、y 轴正方向,|GB |为单位长,建立空间直角坐标系G-xyz.由(1)可得A (0,- E (1,0, F −1,0,2,C (0, 3,0),所以AE =(1, 3, 2),CF= −1,− 3, 2 . 10分故cos <AE ,CF >=AE ·CF|AE ||CF|=- 33. 所以直线AE 与直线CF 所成角的余弦值为 3.12分19.(本小题满分12分)(2015课标全国Ⅰ,理19)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费,需了解年宣传费x (单位:千元)对年销售量y (单位:t)和年利润z (单位:千元)的影响.对近8年的年宣传费x i 和年销售量y i (i=1,2,…,8)数据作了初步处理,得到下面的散点图及一些统计量的值.表中w i = x i ,w =18∑i =18w i. (1)根据散点图判断,y=a+bx 与y=c+d x 哪一个适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型?(给出判断即可,不必说明理由)(2)根据(1)的判断结果及表中数据,建立y 关于x 的回归方程;(3)已知这种产品的年利润z 与x ,y 的关系为z=0.2y-x.根据(2)的结果回答下列问题: ①年宣传费x=49时,年销售量及年利润的预报值是多少? ②年宣传费x 为何值时,年利润的预报值最大?附:对于一组数据(u 1,v 1),(u 2,v 2),…,(u n ,v n ),其回归直线v=α+βu 的斜率和截距的最小二乘估计分别为β^=∑i =1n(u i −u )(v i −v )∑i =1n(u i −u )2,α^=v −β^u .解:(1)由散点图可以判断,y=c+d x 适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型.2分(2)令w= x ,先建立y 关于w 的线性回归方程.由于d ^=∑i =18(w i −w )(y i −y )∑i =18(w i −w )2=108.81.6=68, c ^=y −d ^w =563-68×6.8=100.6,所以y 关于w 的线性回归方程为y ^=100.6+68w ,因此y 关于x 的回归方程为y ^=100.6+68 x . 6分(3)①由(2)知,当x=49时,年销售量y 的预报值y ^=100.6+68 49=576.6,年利润z 的预报值z ^=576.6×0.2-49=66.32. 9分②根据(2)的结果知,年利润z 的预报值z ^=0.2(100.6+68 x )-x=-x+13.6 x +20.12.所以当 x =13.6=6.8,即x=46.24时,z ^取得最大值.故年宣传费为46.24千元时,年利润的预报值最大.12分20.(本小题满分12分)(2015课标全国Ⅰ,理20)在直角坐标系xOy 中,曲线C :y=x 24与直线l :y=kx+a (a>0)交于M ,N两点.(1)当k=0时,分别求C 在点M 和N 处的切线方程;(2)y 轴上是否存在点P ,使得当k 变动时,总有∠OPM=∠OPN ?说明理由. 解:(1)由题设可得M (2 a ,a ),N (-2 a ,a ),或M (-2 a ,a ),N (2 a ,a ).又y'=x 2,故y=x 24在x=2 a 处的导数值为 a ,C 在点(2 a ,a )处的切线方程为y-a= a (x-2 a ),即 a x-y-a=0. y=x 2在x=-2 a 处的导数值为- a ,C 在点(-2 a ,a )处的切线方程为y-a=- a (x+2 a ),即 a x+y+a=0. 故所求切线方程为 a x-y-a=0和 a x+y+a=0. 5分(2)存在符合题意的点,证明如下:设P (0,b )为符合题意的点,M (x 1,y 1),N (x 2,y 2),直线PM ,PN 的斜率分别为k 1,k 2. 将y=kx+a 代入C 的方程得x 2-4kx-4a=0. 故x 1+x 2=4k ,x 1x 2=-4a.从而k 1+k 2=y 1−b x 1+y 2−bx 2=2kx 1x 2+(a−b )(x 1+x 2)x 1x 2=k (a +b )a.当b=-a 时,有k 1+k 2=0,则直线PM 的倾角与直线PN 的倾角互补,故∠OPM=∠OPN ,所以点P (0,-a )符合题意. 12分21.(本小题满分12分)(2015课标全国Ⅰ,理21)已知函数f (x )=x 3+ax+1,g (x )=-ln x.(1)当a 为何值时,x 轴为曲线y=f (x )的切线;(2)用min{m ,n }表示m ,n 中的最小值,设函数h (x )=min{f (x ),g (x )}(x>0),讨论h (x )零点的个数. 解:(1)设曲线y=f (x )与x 轴相切于点(x 0,0),则f (x 0)=0,f'(x 0)=0,即 x 03+ax 0+1=0,3x 02+a =0.解得x 0=1,a=-3.因此,当a=-34时,x 轴为曲线y=f (x )的切线. 5分(2)当x ∈(1,+∞)时,g (x )=-ln x<0,从而h (x )=min{f (x ),g (x )}≤g (x )<0,故h (x )在(1,+∞)无零点. 当x=1时,若a ≥-54,则f (1)=a+54≥0,h (1)=min{f (1),g (1)}=g (1)=0,故x=1是h (x )的零点;若a<-54,则f (1)<0,h (1)=min{f (1),g (1)}=f (1)<0,故x=1不是h (x )的零点.当x ∈(0,1)时,g (x )=-ln x>0.所以只需考虑f (x )在(0,1)的零点个数.(ⅰ)若a ≤-3或a ≥0,则f'(x )=3x 2+a 在(0,1)无零点,故f (x )在(0,1)单调.而f (0)=14,f (1)=a+54,所以当a ≤-3时,f (x )在(0,1)有一个零点;当a ≥0时,f (x )在(0,1)没有零点.(ⅱ)若-3<a<0,则f (x )在 0, −3单调递减,在 −3,1 单调递增,故在(0,1)中,当x= −3时,f (x )取得最小值,最小值为f −a =2a −a +1. ①若f −a >0,即-3<a<0,f (x )在(0,1)无零点; ②若f −a =0,即a=-3,则f (x )在(0,1)有唯一零点;③若f −3 <0,即-3<a<-34,由于f (0)=14,f (1)=a+54,所以当-54<a<-34时,f (x )在(0,1)有两个零点;当-3<a ≤-54时,f (x )在(0,1)有一个零点.10分综上,当a>-3或a<-5时,h (x )有一个零点;当a=-3或a=-5时,h (x )有两个零点;当-5<a<-3时,h (x )有三个零点. 12分请考生在第22、23、24三题中任选一题做答.注意:只能做所选定的题目.如果多做,则按所做的第一个题目计分,做答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.22.(本小题满分10分)(2015课标全国Ⅰ,理22)选修4—1:几何证明选讲如图,AB是☉O的直径,AC是☉O的切线,BC交☉O于点E.(1)若D为AC的中点,证明:DE是☉O的切线;(2)若OA=3CE,求∠ACB的大小.解:(1)连结AE,由已知得,AE⊥BC,AC⊥AB.在Rt△AEC中,由已知得,DE=DC,故∠DEC=∠DCE.连结OE,则∠OBE=∠OEB.又∠ACB+∠ABC=90°,所以∠DEC+∠OEB=90°,故∠OED=90°,DE是☉O的切线.5分(2)设CE=1,AE=x,由已知得AB=2,BE=2.由射影定理可得,AE2=CE·BE,所以x2=12−x2,即x4+x2-12=0.可得x=3,所以∠ACB=60°.10分23.(本小题满分10分)(2015课标全国Ⅰ,理23)选修4—4:坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中,直线C1:x=-2,圆C2:(x-1)2+(y-2)2=1,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求C1,C2的极坐标方程;(2)若直线C3的极坐标方程为θ=π4(ρ∈R),设C2与C3的交点为M,N,求△C2MN的面积.解:(1)因为x=ρcosθ,y=ρsinθ,所以C1的极坐标方程为ρcosθ=-2,C2的极坐标方程为ρ2-2ρcosθ-4ρsinθ+4=0.5分(2)将θ=π4代入ρ2-2ρcosθ-4ρsinθ+4=0,得ρ2-32ρ+4=0,解得ρ1=22,ρ2= 2.故ρ1-ρ2=2,即|MN|= 2.由于C2的半径为1,所以△C2MN的面积为1.10分24.(本小题满分10分)(2015课标全国Ⅰ,理24)选修4—5:不等式选讲已知函数f(x)=|x+1|-2|x-a|,a>0.(1)当a=1时,求不等式f(x)>1的解集;(2)若f(x)的图像与x轴围成的三角形面积大于6,求a的取值范围.解:(1)当a=1时,f(x)>1化为|x+1|-2|x-1|-1>0.当x≤-1时,不等式化为x-4>0,无解;当-1<x<1时,不等式化为3x-2>0,解得2<x<1;当x≥1时,不等式化为-x+2>0,解得1≤x<2.所以f(x)>1的解集为 x2<x<2.5分(2)由题设可得,f(x)=x−1−2a,x<−1,3x+1−2a,−1≤x≤a,−x+1+2a,x>a.所以函数f(x)的图像与x轴围成的三角形的三个顶点分别为A2a−13,0,B(2a+1,0),C(a,a+1),△ABC的面积为2(a+1)2.由题设得23(a+1)2>6,故a>2.所以a的取值范围为(2,+∞).10分。

武汉市部分学校2015年10月九年级联考数学考试试题

1 / 5武汉市部分学校九年级10月月考数学试卷一、选择题：( 每小题3分，共30分）1、下列方程是一元二次方程的是（） A. 220x -= B. 3235x += C. 134x x+= D. 24x y += 2、若方程20x x m -+=的一个根是x=﹣1，则m 的值为（） A. 2 B. ﹣2 C. 1 D. ﹣1 3、不解方程，判别方程：290x -+=的根的情况是（）A. 有两个相等的实数根B. 有两个不相等的实数根C. 只有一个实数根D. 没有实数根4、设一元二次方程2240x x --=的两个实数根为1x 和2x ，则下列结论正确的是（） A. 122x x += B. 124x x +=- C. 122x x ⋅=- D. 124x x ⋅=5、下列各点，在抛物线24y x =-上的点是（）A. （4 ，4）B. （1 ，﹣4）C. （2 ，0）D. （0 ，4） 6、对于抛物线2(1)2y x =--的图象，下列说法正确的是（） A. 开口向下 B. 对称轴是直线x=﹣1 C. 顶点坐标是（1 ，2） D. 与x 轴有两个交点 7、若1(0,)A y ，2B(1,)y ，3C(3,)y 在抛物线22(1)y x k =--+上，则（）A. 1y ＞2y ＞3yB. 2y ＞ 1y ＞3yC. 3y ＞ 2y ＞1yD. 1y ＞2y =3y 8、将抛物线2y=3x 向上平移3个单位，再向左平移2个单位，那么得到的抛物线的解析式为（）A. 2y=3x 3（＋2）＋ B. 2y=3x 3（－2）＋ C. 2y=3x 3（＋2）－ D. 2y=3x 3（－2）－ 9、已知三角形两边长分别为2和9，第三边的长为一元二次方程214480x x -+=的一根，则这个三角形的周长为（）A. 11B. 17C. 17或19D. 1910、已知：抛物线2(1)y a x =+的顶点为A ，图象与y 轴负半轴交点为B ，且OB=OA ，若点 C （﹣3 ，b ）在抛物线上，则△ABC 的面积为（）A. 3B. 3.5C. 4D. 4.5二、填空题：(每小题3分，共18分）11、2014年一月份越南发生禽流感的养鸡场100家，后来二, 三月份新发生禽流感的养鸡场共250家，设二, 三月份平均每月禽流感的感染率为x ，依题意列出的方程是12、关于x 的一元二次方程22(1)x 10a x a -++-=的一个根是0 ，则a 的值为13、若关于x 的方程220x ax -+=与2(1)0x a x a -++=有一个相同的实数根，则a 的值是 14、已知抛物线2y x =沿直线y=x个单位后，所得的抛物线为15、如图，在平面直角坐标系中，二次函数2y ax c =+（a ≠0）的图象过正方形ABOC 的三个顶点A 、B 、C ，则ac 的值为16、关于x 的一元二次方程22(2k 1)x k 20x +++-=的两实数根的平方和等于11，则k 的值为三、解答题：(共72分)17（8分）、解方程： (1) 2470x x --= (2) x x x 22)1(3-=-18（8分）、有一个人患了流感，经过两轮传染后，共有100人患了流感，求每轮传染中平均一个人传染多少个人？x2 / 519（8分）、已知二次函数的图象的顶点坐标为（1 ，2），且经过点（3 ，-10），求这个抛物线的解析式；20（8分）、已知关于x 的方程0)3(4122=+--m x m x 有两个不相等的实数根，求m 取最大整数值时方程的解；21（8分）、已知关于x 的一元二次方程210ax bx ++=中，1b m =+ ；（1）若a=4 ，求b 的值；（2）若方程210ax bx ++=有两个相等的实数根，求方程的根；22（8分）、如图，利用一面墙（墙EF 最长可利用28米），围成一个矩形的花园ABCD ，与围墙平行的一边BC 上要预留2米宽的入口（如图中虚线MN 所示，不用砌墙），用砌60米长的墙的材料；（1）当矩形的长BC 为多少米时，矩形花园的面积为（2）能否围成480平方米的矩形花园，为什么？23（10分）、如图，直线AB ：3y kx =+过点（—2 ，4）与抛物线212y x =交于A 、B 两点；（1）直接写出点A 、点B 的坐标；（2）在直线AB 的下方的抛物线上求点P ，使△ABP 的面积等于5；24（12分）、如图，抛物线2(1)y x m =-+的图象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，且AB=4 ；（1）求抛物线的解析式；（2）将抛物线沿对称轴向上平移k 个单位长度后与线段BC 交于D 、E 两个不同的点，求k 的取值范围；（3）M 为线段OB 上一点（不含O 、B 两点）过点M 作y 轴的平行线交抛物线于点N ，交线段BC 于点P ，若△PCN 为等腰三角形，求M 点的坐标；蔡甸区部分学校九年级10月月考数学试卷一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）x x xx3 / 5二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）11、 _ 12、 13、14、 15、 16、4 / 518、 19x = 211x =-（舍） 19、 23(1)2y x =--+ 20、 4x =-±21、 b=5 ，121x x ==-22、（1） 112x = 250x =（舍）（2）不能 23、（1） A （2 ，2） B （—3，92）（2） P （1，12）或P （—2 ，2） 24、（1） 223y x x =-- （2） 0≤k ＜94（3） M （2 ，0）或 M （1 ，0）或 M （3-，0）5 / 5。

2015年武汉外校初中招生考试数学试题解析

2015年武汉外校初中招生考试数学试题解答1.三角形斜边长6cm ，面积为6cm 2，以斜边为轴，旋转一周，求转出图形的体积。

解答：∵三角形斜边长6cm, 面积为6cm 2,∴三角形斜边上的高为2cm斜边上的高把三角形分成两个直角三角形，旋转得到两个圆锥，两个圆锥的底面半径等于1cm ，两个圆锥的高之和等于6cm ，∵圆锥体积 =（底面积×高）÷3，∴这两个圆锥的体积 =（π×22×6）÷3 = 8π (cm 3)2.略3.甲:乙=4:5，甲比乙少多少？解答：乙为5份，甲为4份，甲比乙少1份，1份占乙的1/5。

4.口袋中有红、黑、白、黄四种球给10个，他们的外形和重量都一样，至少摸出多少个球才能保证有2个颜色相同的球？解答：略。

5.选A 的有10人，占20%；选B 的有16人；选C 的占n%；选D 的有6人，占12%，求n 为多少？解答：∵选A 的10人，占20%，∴总人数是50人。

选C 的人数50-10-16-6=18人，占18/50=36%。

6.如图，三角形纸板、正方形纸板、圆形纸板面积相同，都为60平方厘米，阴影部分面积和为40平方厘米，3张纸板盖住的总面积为100平方厘米，则黄色部分面积为多少？解答：∵ 1白色 + 2阴影 + 3黄色 = 1801白色 + 1阴影 + 1黄色 = 100∴ 1阴影 + 2黄色 = 80∵1阴影 = 40∴2黄色 = 40∴1黄色 = 207.一项工程，甲单独完成需要30天，乙单独完成需要60天，则两人合作需要多少天完成？解答：假设共有60份工作，甲的工效是2份/天，乙的工效是1份/天，工效和是3，合作要20天。

8.甲乙共有20多本书，甲给乙若干本，乙就比甲多3/4，乙给甲同样多本书，甲就是乙的1.2倍，甲乙一共有多少本书？解答：假设第一次给过之后，甲有4份书，那么乙就有7份书，他们共有11份书，一份为1本、3本都不行，只有当一份是2本时，符合20多本的要求，即22本。

2015年港澳台联考数学真题 (含答案与详细解析)

2
2
2
AB AC ，所以△ ABC 的外接圆的半径为 r 14 ，故 d R2 r 2 2 ．
（17）在空间直角坐标系中，过原点作平面 2 x z 2 0 的垂线，垂足为______________．【答案】 ( , 0, )
数学科试题第 7 页（共 6 页）
b2 3 故 b 2a cos A 2 ，解得 b 3 ， 4b a 2 c 2 b2 1 4 3 1 由 cos B ，故 B ． 2ac 2 1 2 2 3
（20）设函数 f ( x) （I）求 a ；（II）求 f ( x) 的单调区间。【解析】 f ( x) 的定义域为 {x | x 0} ， f ( x) x （I）由 f (1) 1
（B） {x | 6
）
（A） {x | x 1}
x 1}
（C） {x | x 4}
（D） {x | x 0}
【答案】A 【解析】方法一：特殊值法，取 x 0 ，不等式成立，排除 B，D；再令 x 2 ，不等式不成立，排除 C。方法二：分段讨论法：当 x 2 时， x 时， x
绝密★启用前
2015 年中华人民共和国普通高等学校联合招收华侨、港澳地区、台湾省学生入学考试
数
目要求的。（1） sin 225 （A）
学
一、选择题：本大题共 12 小题；每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
（
2 2
）
（B）
2 2
（C）
1 2
（D）
1 2
x 2 x x 2 2x 2 4 ，解得 2 x 1 ；当 x 2

2015年中考数学试题(含答案)

2015年河南初中学业水平暨高级中等学校招生考试试题数学注意事项：1. 本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟。

2. 本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上。

答在试卷上的答案无效。

一、选择题（每小题3分，共24分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的。

1. 下列各数中最大的数是（）A. 5B.3C. πD. －8 2. 如图所示的几何体的俯视图是（）3. 据统计，2014年我国高新技术产品出口总额达40 570亿元，将数据40 570亿用科学记数法表示为（） A.4.0570×109 B. 0.40570×1010 C. 40.570×1011 D. 4.0570×10124. 如图，直线a ，b 被直线c ，d 所截，若∠1=∠2，∠3=125°，则∠4的度数为（） A. 55° B. 60° C.70° D. 75°5. 不等式组⎩⎨⎧>-≥+13,05x x 的解集在数轴上表示为（）6. 小王参加某企业招聘测试，他的笔试，面试、技能操作得分分别为85分，80分，90分，若依次按照2:3:5的比例确定成绩，则小王的成绩是（）A. 255分B. 84分C. 84.5分D.86分7. 如图，在□ABCD 中，用直尺和圆规作∠BAD 的平分线AG 交BC 于点E ，若BF =6，AB =5，则AE 的长为（）C DB A 正面第2题dc ba第4题-52 0 -520 -52 0 -520 CDBAA. 4B. 6C. 8D. 108. 如图所示，在平面直角坐标系中，半径均为1个单位长度的半圆O 1，O 2，O 3，… 组成一条平滑的曲线，点P 从原点O 出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒2π个单位长度，则第2015秒时，点P 的坐标是（）A.（2014,0）B.（2015，－1）C. （2015,1）D. （2016,0）二、填空题（每小题3分，共21分） 9.计算：(－3)0+3－1=.10. 如图，△ABC 中，点D 、E 分别在边AB ，BC 上，DE //AC ，若DB =4，DA =2，BE =3，则EC = . 11. 如图，直线y =kx 与双曲线)0(2>=x xy 交于点 A （1，a ）,则k = .12. 已知点A （4，y 1），B （2，y 2），C （－2，y 3）都在二次函数y =(x －2)2－1的图象上，则y 1，y 2，y 3的大小关系是 . 13. 现有四张分别标有数字1，2，3，4的卡片，它们除数字外完全相同，把卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取一张后放回，再背面朝上洗匀，从中随机抽取一张，则两次抽出的卡片所标数字不同的概率是 .14. 如图，在扇形AOB 中，∠AOB =90°，点C 为OA 的中点，CE ⊥OA 交AB 于点E ，以点O 为圆心，OC 的长为半径作CD 交OB 于点D ，若OA =2，则阴影部分的面积为 .15. 如图，正方形ABCD 的边长是16，点E 在边AB 上，AE =3，点F 是边BC 上不与点B 、C 重合的一个动点，把△EBF 沿EF 折叠，点B 落在B ′处，若△CDB ′恰为等腰三角形，则DB ′的长为 .E FCDBGA第7图第8题E CDBA第14题EFCDBA 第15题B ′三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）16.（8分）先化简，再求值：)11(22222ab b a b ab a -÷-+-，其中15+=a ，15-=b .17.（9分）如图，AB 是半圆O 的直径，点P 是半圆上不与点A 、B 重合的一个动点，延长BP 到点C ，使PC =PB ，D 是AC 的中点，连接PD ，PO . （1）求证：△CDP ≌△POB ；（2）填空：① 若AB =4，则四边形AOPD 的最大面积为； ② 连接OD ，当∠PBA 的度数为时，四边形BPDO18.（9分）为了了解市民“获取新闻的最主要途径”，某市记者开展了一次抽样调查，根据调查结果绘制了如下尚不完整的统计图。

成都七中2015年外地生招生考试数学试题及解析(精)

成都七中2015年外地生招生考试数学试题考试时间：120分钟满分150分一、选择题(6′×10＝60′)1．已知等腰△ABC 的面积为1，∠A ＝120°，则△ABC 的内切圆面积为( C )A ．318π B ．354π C ．(73－12)πD ．(73＋12)π分析：(设元法)如图，作BC 边上的高AD ，垂足为D ． ∵在等腰△ABC 中，∠A ＝120°，∴∠BAD ＝∠CAD ＝12∠BAC ＝60°，BC ＝2BD ，设△ABC 的内切圆圆心为O ，则点O 必在AD 上，过点O 分别作OE ⊥AB ，OF ⊥AC ，垂足分别为E ，F ．设内切圆半径OD ＝OE ＝OF ＝r ，在Rt △OAE 中，sin ∠OAE ＝OEOA ，∴OA ＝r sin ∠OAE ＝r sin60°＝233r ，∴AD ＝OA ＋OD ＝233r ＋r ＝23＋33r ，∵BD ＝3AD ，∴BC ＝2BD ＝23AD ＝2(2＋3)r ． ∵S △ABC ＝12BC ·AD ＝1，∴12·2(2＋3)r ·23＋33r ＝1．解得 r 2＝3(2＋3)2＝37＋43＝73－12．故△ABC 的内切圆面积S ⊙O ＝πr 2＝(73－12) π.2．如图两对角线分别为4和2的菱形围绕其中心旋转90°，可形成一个四角星(其各边用实线标注)，则该四角星的周长为( A ) A ．1653B ．1633C ．853D ．833方法1：如图，设菱形ABCD 的两对角线交于点O ，另一菱形落在OA 上的顶点为E ，与AB 边交于点M ．易得OB ＝OE ＝AE ＝1，OM 平分∠AOB ，利用角平分线的性质可得AM BM ＝AOOB＝2，故AM ＝23AB ＝23AO 2＋BO 2＝2322＋12＝253，所以四角星的周长为8AC ＝1653．注：关于结论AM BM ＝AOOB 的由来，可作MN ⊥OA 于N ，易得ON ＝MN ，MN ∥OB ，∴AM BM ＝AN ON ＝AN MN ，而AN OA ＝MN OB ，即AN MN ＝OA OB，所以AM BM ＝AOOB，得证.方法2：解：如图，连接AB ，DE ，设两菱形的两长对角线交于点O (红色) ∵对角线长为2倍关系，∴D 、E 分别为AO ，BO 的中点， ∴DE 为△ABO 的中位线，∴DE ∥AB ，且DE ＝12AB ，∴△DEC ∽△BAC ,∴CE ＝12AC ，在Rt △AOE 中，(AC ＋CE )2＝AO 2＋OE 2，即(AC ＋12AC )2＝22＋12，解得AC ＝253，∴周长＝8AC ＝1653．3．已知x ＝3＋1，则x 4＋4x 2＋2x ＋2＝( B )A ．3B ．4C ．4＋2 3D ．8＋4 3分析：由x ＝3＋1，得x －1＝3，故(x －1)2＝3，展开整理，得x 2－2x ＝2，∴x 2＝2x ＋2，原式＝(x 2)2＋4x 2＋2x ＋2＝(2x ＋2)2＋4x 2＋2x ＋2＝4x 2＋8x ＋8x 2＋2x ＋2＝4(x 2＋2x ＋2)x 2＋2x ＋2＝4．4．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的最长棱的棱长为( B )A ． 5B ．2 2C ．2 3D ．4分析：如图，由主视图知PA ⊥平面ABC ，PA ＝2，由俯视图知底面△ABC 是一个等腰三角形，底边AB ＝2，结合左视图知，△ABC 底边上的高CD ＝1，故△ABC 是等腰直角三角形，因此，该三棱锥最长棱为PB ，且PB ＝P A 2＋AB 2＝22＋22＝22．注：此题选自于北京市2014年中考题第11题．C EA DO BCDP5．设x ，y 为实数，则代数式2x 2＋4xy ＋5y 2－4x ＋2y －5的最小值为( D )A ．－8B ．8C ．0D ．－10解：方法1：(常规方法)原式＝(x 2＋4xy ＋4y 2)＋(x 2－4x ＋4)＋(y 2＋2y ＋1)－10＝(x ＋2y )2＋(x －2)2＋(y ＋1)2－10．由非负数的性质可知，当x ＋2y ＝0，且x －2＝0，且y ＋1＝0，即x ＝2，y ＝－1时，原式取得最小值－10．注：运用此方法时，一定要注意，x ＋2y ＝0，x －2＝0，y ＋1＝0是否能同时成立，若不能同时成立，则必须换用以下两种方法解答！方法2：(主元法)将原多项式按x 的降幂排列后再配方．原式＝2x 2＋4(y －1)x ＋(5y 2＋2y －5)＝2[x 2＋2(y －1)x ＋(y －1)2] ＋(5y 2＋2y －5)－2(y －1)2 ＝2[x ＋(y －1)]2＋3(y ＋1)2－10∴当x ＋y －1＝0，且y ＋1＝0，即x ＝2，y ＝－1时，原式取得最小值－10．注：本题也可将原多项式按y 的降幂排列后再配方．方法3：(判别式法)设w ＝2x 2＋4xy ＋5y 2－4x ＋2y －5， ∵x ，y 为实数，∴关于x 的一元二次方程2x 2＋4(y －1)x ＋(5y 2＋2y －5－w )＝0必有实数根， ∴Δ＝[4(y －1)]2－4×2(5y 2＋2y －5－w )≥0，化简，整理得－3y 2－6y ＋7＋w ≥0，即w ≥3y 2＋6y －7＝3(y ＋1)2－10≥－10．∴当y ＝－1时(此时x ＝2)，原式取得最小值－10．6．已知x ≤y ≤z ≤w ≤6，则方程x ＋y ＋z ＋w ＝18的正整数解的个数为( D )A ．5B ．6C ．7D ．8分析：∵x ≤y ≤z ≤w ≤6，x ＋y ＋z ＋w ＝18，∴18＝x ＋y ＋z ＋w ≤4w ，即w ≥4.5，∴w 的值只能是5或6．由此可枚举如下：∴有8组解满足条件．7．定义分子为1且分母为正整数的分数为单位分数，把1分成若干个不同的分数单位之和，如：1＝12＋16＋112＋1m ＋1n ＋130＋142＋156＋172＋190＋1110＋1132＋1156，其中m ≤n ．设1≤x ≤m ，1≤y ≤n ，则x ＋y ＋2x ＋1的最小值为( C ) A ．232B ．52C ．87D ．343分析：由已知可得，11×2＋12×3＋13×4＋1m ＋1n ＋15×6＋16×7＋17×8＋18×9＋19×10＋110×11＋111×12＋112×13＝1，裂项得 1－12＋12－13＋13－14＋1m ＋1n ＋15－16＋16－17＋…＋111－112＋112－113＝1，即1－14＋1m ＋1n ＋15－113＝1，故1m ＋1n ＝14－15＋113＝113＋120．由于m ，n 是正整数且m ≤n ，因此可得其唯一解为m ＝13，且n ＝20，因为x ＋y ＋2x ＋1＝(x ＋1)＋(y ＋1)x ＋1＝1＋y ＋1x ＋1，且1≤x ≤m ，1≤y ≤n ，所以当x ＝13，y ＝1时，原式的值最小为87．8．若一个两位数平方的末两位数恰等于本身，则这样的两位数有( A )A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个方法1：设该两位数为10x ＋y ，且(10x ＋y )2＝1000a ＋100b ＋10x ＋y ，其中0＜x ≤9，0≤y ≤9，0≤a ≤9，0＜b ≤9．化简得100x 2＋20xy ＋y 2＝1000a ＋100b ＋10x ＋y ，①0～9这10个数字中平方后个位数字为这个数本身的有0，1，5，6，但显然0不符合本题的要求，故只需考虑y ＝1，5，6的情况，且x ≠0．当y ＝1时，整理①得：10x 2＋x ＝10(10a ＋b )，∴等式右边的个位数是0，而左边的个位数是x (已知x ≠0)，∴y ＝1时，没有这样的两位数；当y ＝5时，整理①得：100(x 2＋x )＋25＝1000a ＋100b ＋10x ＋5，∴等式左边的末两位数为25，右边的末两位数为10x ＋5，∴25＝10x ＋5，∴y ＝5时，x ＝2，即这个两位数为：25．当y ＝6时，整理①得：10x 2＋11x ＋3＝10(10a ＋b )，∴等式右边的个位数为0，即要求11x ＋3的个位数也是0，∴x ＝7，即y ＝6时，x ＝7，即这个两位数为：76． ∴只有2个这样的两位数，它们是25和76．方法2：设这个两位数是x ，其平方数为100m ＋x (1≤m ≤99)，由题得x 2＝100m ＋x ，即x (x －1)＝100m ，由于x ，x －1是两个连续正整数，故它们必是一奇一偶；显然，m ＝99时，x ＝100，不符合题意，故只有x (x －1)＝25×4m ＝75×43m 可能符合题意，检验可得m ＝6或m ＝57时，x ＝25或x ＝76符合题意．注：252＝625，762＝5776．9．设p ，q 为不相等的正整数，且关于x 的方程x 2－px ＋q ＝0和x 2－qx ＋p ＝0的根都是正整数，则｜p －q ｜＝( A ) A ．1B ．2C ．3D ．4方法1：设方程x2－px＋q＝0的两个整数根分别为x1，x2，且x1≤x2，方程x2－qx＋p＝0的两个整数根分别为x3，x4，且x3≤x4，则有：x1＋x2＝p，x1x2＝q，x3＋x4＝q，x3x4＝p，∵p，q，x1，x2，x3，x4都是正整数，∴(x1－1)(x2－1)＋(x3－1)(x4－1)＝(q－p＋1)＋(p－q＋1)＝2，∴(x1－1)(x2－1)＝0，(x3－1)(x4－1)＝2，或∴(x1－1)(x2－1)＝1，(x3－1)(x4－1)＝1，或∴(x1－1)(x2－1)＝2，(x3－1)(x4－1)＝0，由(x1－1)(x2－1)＝0，(x3－1)(x4－1)＝2得x1＝x2＝1，x3＝2，x4＝3，∴p＝6，q＝5，∴｜p－q｜＝1由(x1－1)(x2－1)＝1，(x3－1)(x4－1)＝1得x1＝x2＝x3＝x4＝2∴p＝q＝4(不合题意舍弃)由(x1－1)(x2－1)＝2，(x3－1)(x4－1)＝0得x1＝2，x2＝3，x3＝x4＝1，∴p＝5，q＝6，∴｜p－q｜＝1综上所述｜p－q｜＝1．方法2：设方程x2－px＋q＝0的两个整数根分别为x1，x2，方程x2－qx＋p＝0的两个整数根分别为x3，x4，则有：x1＋x2＝p，x1x2＝q，x3＋x4＝q，x3x4＝p，∵p，q，x1，x2，x3，x4都是正整数，当p＞q时,有x1＋x2＞x1·x2，即x1·x2－x1－x2＜0，∴(x1－1)(x2－1)＜1，∵x1，x2都是正整数，∴x1,x2中必有一个数为1，∴p－q＝x1＋x2－x1·x2＝1；当p＜q时，有x3＋x4＞x3·x4，同理可知x3,x4中必有一个数为1，∴q－p＝x3＋x4－x3·x4＝1．综上可得｜p－q｜＝1．10．在正方形ABCD所在平面上的直线l满足下列条件：正方形ABCD的四个顶点到直线l的距离只取两个值，其中一个值是另一个值的3倍.则这样的直线l的条数为( D)A．4 B．8 C．12 D．16分析：根据直线与正方形的位置关系，应分两种情况讨论：直线在正方形外和直线在正方形内(即直线与正方形的边相交)，如图，这样的直线共有16条．CDACDACDACDAB B B B变式练习：(2011·江岸区校级自主招生)在等边△ABC所在平面上的直线m满足的条件是：等边△ABC的3个顶点到直线m的距离只取2个值，其中一个值是另一个值的2倍，这样的直线m的条数是(C) A．16 B．18 C．24 D．27分析：根据已知可以分成两类．第一类：过一边的中点的直线有4条，所以这样的直线共有12条；第二类：与一边平行的直线有4条，这样的直线也有12条．二、填空题(7′×4＝28′)11．在四边形ABCD中，BC＝8，CD＝19，AD＝10，∠A＝∠B＝60°，则AB＝．分析：方法1：如图，分别过点C，D作CE⊥AB于E，DF⊥AB于F，再过点C作CG⊥DF于G，易得AF＝5，DF＝53，BE＝4，CE＝43，故DG＝3，Rt△CDG中，由勾股定理得CG＝DC2－DG2＝(19)2－(3)2＝4，故AB＝5＋4＋4＝13．方法2：延长AD和BC交于E点．∵∠A＝∠B＝60°，∴△ABE为正三角形，∠E＝60°．过D作DF⊥EB于点F，则∠EDF＝30°，设EF＝x，DE＝2x，DF＝3x，∴AE＝10＋2x＝EB，∴FC＝BE－EF－CB＝10＋2x－x－8＝2＋x，∴在Rt△DFC中，CD2＝DF2＋FC2，即19＝3x2＋(2＋x)2,整理得(2x－3)(2x＋5)＝0,解得x＝1.5，∴AB＝AE＝AD＋DE＝10＋2x＝10＋3＝13．12．如图，点E，F分别是正方形ABCD边BC，CD上的点，而△ABE，△ECF，△FDA的面积分别为2，3，4，则△AEF的面积为．108GDCA108FDCEA分析：方法1：如图(1)，设正方形的边长为a ，由题意，得BE ＝4a ，DF ＝8a ，因为△CEF 中，12CE ·CF ＝3，所以(a －4a )( a －8a )＝6，即a 2－12＋32a 2＝6，去分母整理得a 4－18a 2＋32＝0，解得a 2＝16或4(不合题意，舍去)．故△AEF 的面积是16－2－3－4＝7．方法2：(特值法)如图，设正方形的边长为4，则BE ＝1，EC ＝3，CF ＝2，DF ＝2，AD ＝4．2注：如图，把“正方形ABCD ”改成“矩形ABCD ”，其余条件不变，该题的结论同样成立；设AB ＝x ，AD ＝y ，则可得等式(y －4x )(x －8y)＝6，去括号、去分母整理得(xy )2－18xy ＋32＝0，解得xy ＝16或2，即矩形的面积为16. 故△AEF 的面积是16－2－3－4＝7．一般地，设△ABE ，△ECF ，△FDA 的面积分别为a ，b ，c ，则△AEF 的面积为(a ＋b ＋c )2－4ac ． 13．函数y ＝x 2＋mx ＋m 4的图象被x 轴所截弦长的最大值为．分析：设抛物线与x 轴的交点为A (x 1，0)，B (x 2，0)，则x 1＋x 2＝－m ，x 1·x 2＝m 4，AB ＝｜x 1－x 2｜＝(x 1＋x 2)2－4 x 1·x 2＝(－m )2－4 m 4＝－4(m 2－18)2＋116，当m 2＝18时，Δ＝116＞0符合题意，此时AB 的最大值为116＝14． 14．已知[x ]表示不超过x 的最大整数.如[π]＝3，[3]＝1，[3]＝3，则[7＋11]＝．分析：因为(7＋11)2＝7＋11＋277＝18＋308，而17＜308＜18，所以35＜(7＋11)2＜36，于是5＜7＋11＜6，所以[7＋11]＝5．a ayx三、填空题(8′×4＝32′)15．已知13＝3·，即13＝0.3＋0.03＋0.003＋…，等式两边同乘3，则有1＝0.9＋0.09＋0.009＋…，也即1＝9·．借鉴上述操作：若有π26＝112＋122＋132＋142＋…，那么112＋132＋152＋172＋…＝．分析：由题意，得112＋132＋152＋172＋…＝π26－(122＋142＋162＋182＋…)＝π26－122(112＋122＋132＋142＋…)＝π26－122×π26＝π28. 16．在四边形ABCD 中，∠DAC ＝98°，∠DBC ＝82°，∠BCD ＝70°，BC ＝AD ，则∠ACD ＝．分析：方法1：如图，过点C 作CE ⊥BD 于E ，过点D 作DF ⊥CA 于F ， ∴∠BEC ＝∠CED ＝∠F ＝90°． ∵∠DAC ＝98°，∠DBC ＝82°， ∴∠DAF ＝180°－98°＝82°＝∠DBC ．又BC ＝AD ，∴△DAF ≌△CBE ，(AAS ) ∴DF ＝CE ．在Rt △CED 和Rt △DFC 中，CD ＝DC ，DF ＝CE ． ∴Rt △CED ≌Rt △DFC ，(HL ) ∴∠ACD ＝∠BDC ． ∵∠BCD ＝70°，∴在△BCD 中，∠BDC ＝180°－70°－82°＝28°， ∴∠ACD ＝28°.方法2：延长CA 至点E ，使AE ＝BD ， ∵∠DAC ＝98°，∠DBC ＝82°， ∴∠DAE ＝180°－98°＝82°＝∠DBC 又BC ＝AD ，∴△CBD ≌△DAE (SAS ) ∴CD ＝ED ，∠BDC ＝∠E ， ∴∠ACD ＝∠E ． ∵∠BCD ＝70°，∴∠BDC ＝180°－70°－82°＝28°， ∴∠E ＝28°，∴∠ACD ＝28°.方法3：以CD 为对称轴作△CDE 与△CBD 对称，则∠DEC ＝∠DBC ，CE ＝CB ，∵∠DAC ＝98°，∠DBC ＝82°，∴∠DEC ＝82°，∴∠DEC ＋∠DAC ＝180°，∴A ，D ，E ，C 四点共圆， ∵BC ＝AD ，CE ＝CB ，∴CE ＝AD ， ∴∠DCA ＝∠CDE ＝∠CDB ， ∵∠BCD ＝70°，∠DBC ＝82°，∴∠BDC ＝180°－∠BCD －∠DBC ＝28°， ∴∠ACD ＝∠BDC ＝28°． 17．方程x －1x＋1－1x＝x 的解为．分析：根据题有x ≥0,x －1x ≥0，1－1x ≥0，解得x ≥1．将原方程移项，得x －1x＋＝x －1－1x，两边平方，得 x －1x ＝x 2＋1－1x－2x1－1x，即x 2－x ＋1－2x1－1x＝0，此方程可变为 (x 2－x )－2x 2－x ＋1＝0，即(x 2－x －1)2＝0，所以x 2－x ＝1，解得x 1＝1＋52，x 2＝1－52(舍去)，所以原方程的解为x ＝1＋52．18．已知O 为△ABC 的外心，有AB ＝2，AC ＝4，则AO ·BC 的最小值为．解：如图所示，△ABC 中，AB ＝2，AC ＝4，O 为△ABC 的外心，结合平面向量数量积的几何意义及点O 在线段AB ，AC 上的射影为相应线段的中点，可得 →AO •→AB ＝12→AB 2＝12×4＝2，→AO •→AC ＝12→AC 2＝12×16＝8，∴→AO •→BC ＝→AO •(→AC －→AB )＝→AO •→AC －→AO •→AB ＝8－2＝6．四、解答题(本大题共2题，19题14分，20题16分，共30分)19．如图正方形OABC 的顶点O ，且OA 边和AB 边所在直线的解析式分别为y ＝34x 和y ＝－43x ＋253，D ，E 分别为OC ，AB 的中点，P 为OA 边上的一动点(点P 与点O 不重合)，连结DE 和CP ，交点为Q . (1)求证：点Q 为△COP 的外心； (2)求正方形OABC 的边长；(3)当⊙Q 与AB 相切时，求点P 的坐标．解：(1)∵D ，E 分别为OC ，AB 中点，∴DE ∥OA ，∴Q 也是CP 中点．B又∵CP 是Rt △COP 的斜边，∴点Q 是△COP 的外心． (2)联立⎩⎨⎧y ＝34x ，y ＝－43x ＋253，得⎩⎨⎧x ＝4，y ＝3．所以A 点坐标为(4，3) ．过点A 作AF ⊥x 轴于点F ，则OF ＝4，AF ＝3， ∴OA ＝OF 2＋AF 2＝42＋32＝5，故正方形OABC 的边长为5．在直线DE 上，且DE ⊥AB ． ∴E 为⊙Q 与AB 相切的切点．又AE 和APO 分别是⊙Q 的切线与割线， ∴AE 2＝AP ·AO ，∵OA ＝5，AE ＝52，∴AP ＝54．∴当⊙Q 与AB 相切时，OP ＝5－54＝154．过点P 作PH ⊥x 轴于点H ，则PH ∥AF ， ∴OP OA ＝OH OF ＝PH AF， ∴OH ＝OP ·OF OA ＝3，PH ＝OP ·AF OA ＝94，故P (3，94)．方法2：∵AE 与⊙Q 相切于E ，OA 是⊙Q 的割线， ∴AE 2＝AP ·AO ，∵OA ＝5，AE ＝52，∴AP ＝54．∴当⊙Q 与AB 相切时，OP ＝5－54＝154．设点P 的坐标为(x ，34x )，则有x 2＋(34x )2＝(154)2,解得x ＝3或－3(舍去)，∴y ＝34x ＝94，∴点P 的坐标为(3, 94)． 20．若存在正常数L ，对某一函数图象上任意不同两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，有不等式｜y 1－y 2｜≤L ｜x 1－x 2｜恒成立，则称该函数为李氏函数，L 为该函数的李氏系数．(1)判断函数y ＝2x ＋1和y ＝1x是否为李氏函数(只判断不用说明理由)； (2)若函数y ＝1x (12＜x ＜1)为李氏函数，求其李氏系数L 的取值范围； (3)若函数y ＝x 3(a ＜x ＜a ＋1)为李氏函数，其李氏系数L 的最小值为3，求a 的取值范围. 解：(1)在直线y ＝2x －1上，取两个点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，∴y 1＝2x 1－1，y 2＝2x 2－1，∴｜y 1－y 2｜＝2｜x 1－x 2｜．∵｜y 1－y 2｜≤L ｜x 1－x 2｜恒成立，∴2｜x 1－x 2｜≤L ｜x 1－x 2｜，∴L ≥2．即：存在正实数L ，｜y 1－y 2｜≤L ｜x 1－x 2｜恒成立，∴y ＝2x －1是李氏函数；在双曲线y ＝1x上，取两个点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)， ∴y 1＝1x 1，y 2＝1x 2， ∴｜y 1－y 2｜＝｜x 1－x 2x 1·x 2｜． ∵｜y 1－y 2｜≤L ｜x 1－x 2｜恒成立，∴｜x 1－x 2x 1·x 2｜≤L ｜x 1－x 2｜， ∴L ≥1｜x 1·x 2｜． ∵x 1，x 2是非零实数，∴不存在正实数L ，使｜y 1－y 2｜≤L ｜x 1－x 2｜恒成立，∴y ＝1x不是李氏函数； (2)在双曲线y ＝1x (12＜x ＜1)上，取两个点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，(其中12＜x 1＜x 2＜1) ∴y 1＝1x 1，y 2＝1x 2． ∵y ＝1x (12＜x ＜1)是李氏函数， ∴｜y 1－y 2｜≤L ｜x 1－x 2｜恒成立，∴｜y 1－y 2｜＝｜1x 1－1x 2｜＝｜x 1－x 2x 1·x 2｜≤L ｜x 1－x 2｜，∴L ≥｜1x 1·x 2｜． ∵12＜x 1＜x 2＜1， ∴14＜x 1x 2＜1， ∴1＜1x 1·x 2＜4 ∴L ≥4．(3)在y ＝x 3的图象上，取两个点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，(其中a ＜x 1＜x 2＜a ＋1) ∴y 1＝x 13，y 2＝x 23．∵y ＝x 3(a ＜x ＜a ＋1)是李氏函数，∴｜y 1－y 2｜≤L ｜x 1－x 2｜恒成立，∴｜y 1－y 2｜＝｜x 13－x 23｜＝｜x 1－x 2｜·｜x 12＋x 22＋x 1x 2｜≤L ｜x 1－x 2｜，∴L ≥｜x 12＋x 22＋x 1x 2｜＝｜(x 1＋12x 2)2＋34x 22｜． ∵a ＜x 1＜x 2＜a ＋1，(x 1＋12x 2)2＋34x 22≥0， ∴x 12＋x 22＋x 1x 2≤L ．∵L min ＝3，∴x 12＋x 22＋x 1x 2≤3．当｜a ｜≥｜a ＋1｜时，即：a ≤－12时，a 2＋a 2＋a 2≤3， ∴－1≤a ≤1，∴－1≤a ≤－12；当｜a ｜＜｜a ＋1｜时，即：a ＞－12时，(a ＋1)2＋(a ＋1)2＋(a ＋1)2≤3， ∴－1≤a ＋1≤1，∴－2≤a ≤0，∴－12＜a ≤0 即：a 的取值范围为－1≤a ≤0．。

2015年江苏省苏州市外国语学校数学笔试试卷(e)(解析版)

③程老师回去时的速度是每分钟 ④去时在 600 米处遇到熟人停留了
23．树林中的两棵树上共落着 90 只鸟，如果从第一棵树上飞走 10 只落在第二棵上；接着第二棵树上又飞走了 15 只，这时第一棵树上鸟是第二棵树上的 2 倍．原来两棵树各有多少只？ 24．如图面积是 81 平方厘米的等腰直角三角形内有两种不同摆放的正方形，求这两个正方形的面积分别是多少？
25．甲、乙二人上午 8 时同时从东村骑车到西村去，甲每小时比乙快 6 千米，中午 12 时甲到达西村后立即返回东村，在距西村 15 千米处遇到乙．问东西两村相距
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千米．
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2015 年江苏省苏州市外国语学校数学笔试试卷（E）
参考答案与试题解析
一、解答题（共 1 小题，满分 0 分） 1．能简算的要简算． 2.4×7.6+76×0.66+7.6 ﹣[ 999×99 ﹣ + ﹣ + ﹣ + ﹣ + ﹣ ﹣（ + ）]
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（2）0.4＝＞0.4；
，
（3）＞
，1﹣
，
故答案为：＜，＞，＞． 4．2 盒巧克力共有 16 块，平均分给 10 个同学，每人分得的．盒，每人分得这些巧克力
【解答】解：2÷10＝（盒） 1÷10＝答：每人分得盒，每人分得这些巧克力的故答案为：，． 15 个，剪．
2
，
三、选择 13．如果 A÷B＝，那么 B÷（A+B）等于（ A． B．） C．）
14 ．下面盒子上写的标签只有一张是正确的，请判断乒乓球在个盒子里．（

2015年武汉外国语学校高中招生资格综合能力测试题（附答案）

2015年武汉外国语学校⾼中招⽣资格综合能⼒测试题（附答案）武汉市外国语学校2015年⾼中招⽣资格考试数学试题⼀、填空题（共13题，每⼩题5分，满分65分）1．化简：)12)(12(2)12)(12(2)12)(12(2)12)(12(2)12)(12(2655544433322211++++++++++++++＝____2．对于任意的有理数a ，⽅程2x 2－(a ＋1)x －(3a 2－4a ＋b )＝0的根总是有理数，则b 的值为____3．如图，矩形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝4，在AB 、BC 、CD 和DA 上分别取点E 、F 、G 、H ，使得AE ＝AH ＝CF ＝CG ，则四边形EFGH ⾯积的最⼤值为_______4．⼝袋A 中装有标号分别为1到10的10个红球，⼝袋B 中装有标号分别为1到8的8个⿊球．现在从两个⼝袋中随机各取出⼀个球，则红球标号⽐⿊球标号⼤的概率为__________5．如图，直线三⾓形ABC 中，∠C ＝90°，BC ∶AC ＝4∶3，圆O 是三⾓形ABC 的内切圆，点D是斜边AB 的中点，则sin ∠ODA ＝__________6．已知a ＋b ＝2，4)1()1(22-=-+-ab b a ，则ab ＝__________7．已知实数x 、y 满⾜：x 4＋x 2＝3，32424=+y y ，则444yx +＝_______8．如图，在等边三⾓形内，三个半径相等的圆两两外切，并且每个圆都和等边三⾓形的两条边相切．若三⾓形的边长为4，则图中夹在三个圆之间的阴影部分的⾯积为__________（⽤含π的代数式表⽰）9．已知A 、B 、C 、D 、E 是反⽐例函数xy 16=（x ＞0）图象上的五个整点（即横纵坐标都是整数的点），分别以这些点向横轴或纵轴作垂线段，由垂线段所在的正⽅形边长为半径作四分之⼀圆周的两条弧，组成如图所⽰的五个橄榄形（阴影部分）．若取圆周率π为3.14，则这五个橄榄形的⾯积总和是__________10．下列四张图中，只有⼀张图的曲线满⾜拿住曲线的两端拉直后不会打结，请将该图对应的序号填在横线上__________11．如图，在三⾓形ABC 中，AB ＝AC ，∠ABD ＝∠CBE ，BE ＝DE ．若BC ＝1，则点C 到BD 所在直线的距离为__________12．对于正整数n ，记n !＝1×2×3×……×(n －1)×n ，例如：4!＝24，5!＝120，则2015!的尾部（从个位往前计数）连续的0的个数是__________13．1789年的发过巴黎，⼀位对后世有深重影响的伟⼤数学家在这⾥诞⽣，他的名字叫柯西，柯西的⼀⽣对数学领域有着很⾼的建树和造诣，很多数学定理和公式都⽤他的名字来命名，如著名的柯西不等式：(ac ＋bd )2≤(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)，在该式中a 、b 、c 、d 可以是任意实数，当且仅当ad ＝bc 时等号成⽴，根据该式，对于有意义的实数x ，则x x 221-++的最⼤值为__________三、解答题（共2题，第14题10分，第15题15分，满分25分）14．已知函数1312+-=x y ，当a ≤x ≤b 时，y 的最⼩值为2a ，最⼤值为2b ，求a 、b 的值15．平⾯直⾓坐标系中，点F 坐标为(0，1)，点A 是抛物线241x y =上异于原点O 的任意⼀点(1)过A 作直线l ：y ＝－1的垂线，垂⾜为M ，求证：AF ＝AM (2)设直线AF 与抛物线的另⼀交点为B ，判断以AB 为直径的圆与直线l ：y ＝－1的位置关系并证明(3)过B 作直线l ：y ＝－1的垂线，垂⾜为N ，求证：A 、O 、N 三点共线(4)若AF ＝3BF ，求△AOB 的⾯积求x x 221-++的最⼤值。

2015年江苏省苏州市外国语学校数学笔试试卷(a)(解析版)

）
23．（2 分）甲乙丙丁 4 人身高都不相等，乙不是最高，但他比甲和丙都高，而甲不比丙高，从高到低排列的话，排在第 3 的是（ A．甲 B．乙） C．丙 D．丁）

24．（2 分）将一个圆柱体削成一个最大的长方体，这个长方体体积与圆柱体体积之比为（ A．2：π B．3：π C．3：4 D．2：3
20．（2 分）如图所示：一个大长方形被分成 4 个小长方形，它们的面积分别是 8、6、5，那么阴影部分面积是：（）
A．
B．
C．
D．）点
21．（2 分）如图是一个正方形纸盒的展开图，当折叠成正方体纸盒时，D 点与（重合．
A．A
B．B
C．C
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D．E
22．（2 分）在四位数 12□□中的方框里填上数字，使它能同时被 2、 3、 5 整除，最多有（种填法． A．2 B．3 C．4 D．5
7．（2 分）一批树苗的成活率在 80%﹣90%之间，要确保 720 棵树苗成活，至少要种树． 8．（2 分）三个连续奇数的和为 m，则最小的奇数是 9．（2 分）已知：x+y＝5.2 x+2a+y＝9.2，那么 a＝．．
棵
10．（2 分）一个口袋中有大小形状都相同的红球 6 个，黄球 8 个和一些白球，要使摸到白球的可能性是 30%，白球应放个． 11．（2 分）（如图）如果 m 与 n 成正比例， X 等于 m n 9 45 5 X ．如果 m 与 n 成反比例， X 等于．个．要使摸到红球的可能性小于 20%，白球最多放
．
15．（2 分）某校参加数学竞赛的男生与女生的人数比是 6：5，后来又增加了 5 名女生，这时女生人数是男生人数的．原来参加数学竞赛的女生有多少人？ 16．（2 分）100 名旅客中，有 60 人懂英语，有 50 人懂韩语，既懂英语又懂韩语的有 25 人，那么既不懂英语又不懂韩语的有人．

2015年成都七中外地生招生考试数学试题(答案)

成都七中2015年外地生招生考试数学试题考试时间：120分钟满分：150分注意：请将答案涂写在答题卡上，本试卷作答无效。

一、单项选择题（本大题共10小题，每题6分，共60分）1、已知等腰△ABC 的面积为1，其中∠A=120°，则△ABC 内切圆的面积为A. 18B. 54C. 9D. 272如图所示，两对角线长分别为4和2的菱形围绕其中心旋转90︒，可以围成一个四角星（其各边用实线标注），则该四角星的周长为A. 3B. 3C. 3D. 33、已知1x =，则4242x x +=+A.3B.4C. 4+D. 8+4、某三棱锥的三视图如右图所示，则该三棱锥的最长棱长为A. B. C. D.45、设x 、y 为实数，则代数式22245425x xy y x y ++-+-的最小值是A.-8B.8C.0D.-106、已知6x y z w ≤≤≤≤，则方程18x y z w +++=的正整数解的个数为 A.5 B. 6 C.7 D.87、定义分子为1且分母为正整数的分数为单位分数，把1分拆成若干个不同的单位分数之和。

如：1=156113211101901721561421301111216121++++++++++++n m ，其中m n ≤。

设1x m ≤≤，1y n ≤≤，则21x y x +++的最小值为 A. 232 B. 52 C. 87 D. 3438、若一个两位数平方的末两位恰好等于其本身，则这样的两位数有（）个 A.2 B.3 C.4 D.5 9、设p 、q 为不相等的正整数，且关于x 的方程20x px q -+=和20x qx p -+=的根都是正整数，则p q -=A.1B.2C.3D.410、在正方形ABCD 所在平面上的直线l 满足下列条件：正方形ABCD 的四个顶点到直线l 的距离只取两个值，其中的一个值是另一个值的3倍，这样的直线l 的条数为A.4B.8C.12D.16二、填空题（本大题共4小题，每题7分，共28分）11、在四边形ABCD 中， BC=8，CD=19，AD=10，∠A=∠B=60°，则AB=______12、如右图，点E 、F 分别是正方形ABCD 的边BC 、CD 上的点，而△ABE 、△ECF 、△FDA 的面积分别为2、3、4，那么△AEF 的面积为______13、函数24y x mx m =++的图像被x 轴所截的最大值为_______14、已知[]x 表示不超过x 的最大整数，如[]π=3. []3=3，那么=________三、填空题（本大题共4小题，每题8分，共32分）15、已知.10.33=，即10.30.030.003 (3)=+++，等式两边同乘3.则有10.90.090.009.....=+++，也即.10.9=，借鉴上述操作，若有222221111.....61234π=++++，那么++++222271513111…=_________16、在四边形ABCD 中，∠DAC=98°，∠DBC=82°，∠BCD=70°，BC=AD ，则∠ACD=____17、方程x xx x =-+-111的解为________ 18、已知o 为△ABC 的外心，有AB=2，AC=4，则AO ·BC 的最小值为_______ 四、解答题（本大题共2小题，19题14分，20题16分，共30分） 19、如图正方形OABC 的顶点O 在坐标原点，且OA 边和AB 边所在直线的解析式分别为34y x =和42533y x =-+，D 、E 分别为OC 、AB 的中点，P 为OA 边上一动点（点P 与点O 不重合），连接DE 和CP ，交点为Q（1）求证：Q 为△COP 的外心（2）求正方形OABC 的边长（3）当圆Q 与AB 相切时，求点P 的坐标20、若存在正常数L ，对某一函数图像上任意不同两点111(,)P x y ，222(,)P x y ，有不等式1212y y L x x -≤-恒成立，则称该函数为李氏函数，L 为该函数的李氏系数。