插值法与最小二乘法

( 5
18
(
4
)(5
18 3
)( )
)
sin(
6
)
6 46 3
( 5
18
(
6
)(5
18 3
)( )
)
sin( 4
)
( 5
18
(
6
)(5
18 4
)( )
)
sin( 3
)
4 64 3
3 63 4
拉格朗日插值多项式程序设计
计算公式(3-5)的程序为二重循环。由内循环（j循环）通
称上式为插值多项式 pn (x) 的插值余项。
设 f (x)在区间 [a, b上] 有直到 n 1阶导数，
x0
,
x1,
, xn 为
项[式a。, b那]上么n对于1任个何互，异有的节点，pn (x) 为满足条件的 n次插值多
Rn (x)
n
f (n1) ( )
(n 1)!
n1
(
x)
其中 n1(x) (x xi ), (a,b) 且依赖于
pn (x) a0 a1x a2x2 anxn
满足
pn (xi ) yi (i 0,1, 2, , n)
其中 a0 , a1, , an 均为实数
（3-1） （3-2）
y f (x) 称为被插值函数；pn (x) 称插值多项式；
条件（3-2）为插值条件；x0, x1, , xn 为插值点。其
64
46
用x0 / 6, x1 / 4, x3 / 3为节点，有
sin( 5
18
)
L2
( 5
18
)
(x ( x0
x1)(x x3 ) x1)(x0 x3 )
sin(
6
)
(x x0 )(x x3) sin( ) (x x0 )(x x1) sin( )
(x1 x0 )(x1 x3 ) 4 (x3 x0 )(x3 x1) 3
再由（3-4）式知，x0 , x1, , xi1, xi1, xn 是 li (x) 的
零点，故按因式定理必含有因式：
(x x0 )(x x1) (x xi1)(x xi1) (x xn )
li (x) 既是n 次多项式，可知
li (x) c(x x0 )(x x1) (x xi1)(x xi1) (x xn )
几何意义为
pn
f
x0
x1 x2
xn
图3-1 插值几何意义
满足（3-2）式的插值多项式是存在且唯一的。原因是满足
（3-2）式的多项式的未知系数行列式为著名的范德蒙 德（Vardermonde）行列式
1 x0 x02 1 x1 x12
1 xn xn2
故解是存在且唯一的。
x0n
x1n
(xi x j ) 0 （3-3）
第三章 插值法与最小二乘法
在实际问题中遇到的函数 f (x)有些有解析表达式， 但很复杂，有些只给出一些离散数据，这给我们求解 函数值、导数值、零点、极值和积分值等带来了诸多 不便。对于这些情况，自然的想法是，设法找到某个 简单近似函数满足 f (x) p(x)。本章介绍两种方法， 即插值法和最小二乘法。
§3.1 插值法
3.1.1 多项式的插值概念
在众多的插值函数中，多项式是最简单最易计算的。设 y f (x)
函数在区间[a, b]上连续，且在n+1个不同的点a x0, x1, , xn b 上分别取值为 y0, y1, , yn 。在多项式插值中，最基本、最简单
的问题是求一个次数不超过n 的代数多项式
DO J=0,N T=T*(X-X(J))/(X(I)-X(J)) END DO LN=LN+T*Y(I) END DO WRITE(*,*) ‘LN=‘,LN
3.1.3 插值多项式余项
1、插值余项
对插值后，用 pn (x)代替 f (x)必定会产生误差，其误差可表示为
Rn (x) f (x) pn (x)
LN=0 I=0,N T=1 J=0,N
J=I?
NO T=(X-Xj)/(Xi-Xj)*T
END J LN=LN+Yi*T
YES
END I
OUTPUT
END
拉格朗日算法程序
DIMENSION X(I),Y(I) REAL LN READ(*,*) N DO K=1,N READ(*,*) X(I),Y(I) END DO LN=0.0 DO I=0,N T=1
过累乘求得基函数 到插值结果y.
li
( x)，然后通过外循环（i循环）得
下图描述了拉格朗日算法流程，对于该框图中的有关参 数说明如下：
N: 插值多项式次数（插值点个数-1）
Xi：插值点
Yi: 插值点上的函数值
LN:拉格朗日插值结果
T: 存放累乘积
I: 外循环变量
J: 内循环变量
START INPUT N,X,Xi,Yi(I=0,…N)
解：令 x0 / 6, x1 / 4, x2 5 /18, x3 / 3
用 x0 / 6, x1 / 4 为节点，有
sin(5
18
)
5
L1( 18
)
x x1 x0 x1
sin( )
6
x x0 x1 x0
sin( )
4
5
18 4
( )
1 2
5
18
(
6
)
2 0.7761 2
再由条件 li (x1) 1，得
c 1/(x x0 )(x x1) (x xi1)(x xi1) (x xn )
于是有
li
(x)
(x x0 )(x x1) (xi x0 )(xi x1)
(x xi1)(x xi1) (x xn ) (xi xi1)(xi xi1) (xi xn )
n (x xj )
j0 (xi x j )
ji
因此拉格朗日插值多项式可写为
Ln (x)
n i0
li (x) yi
n i0
n
j0 x j )
yi
（3-5）
例3-1 已知特殊角 / 6, / 4, / 3, 5 /18 ，用
一次和二次拉格朗日插值公式求 sin(5 /18) 的近似值。
0 jin
xnn
3.1.2 拉格朗日插值多项式
在每个插值点 x0, x1, x2, xn 构造插值基函数 lk (x) 为一个n
次多项式 pn (x) ，且满足条件
1 i k
lk (xi ) 0
ik
（3-4）
由（3-4）式和多项式 pn (x) 的定义以及（3-2）式的
插值条件，我们有：
pn (x) a0l0 (x) a1l1(x) aklk (x) anln (x) y0l0 (x) y1l1(x) yklk (x) ynln (x)