平行线的性质与判定复习3
(完整版)平行线的判定和性质练习题
平行线的判断定理和性质定理[ 一] 、平行线的判断一、填空1．如图１，若A=3，则∥；若 2=E，则∥；若+= 180 °，则∥．D5ac dAE 1 212a51 2442133b3b B CA B C3图１图２图３图４2．若 a⊥c，b⊥c，则 a b ．3．如图２，写出一个能判断直线l ∥l的条件：124．在四边形 ABCD中，∠ A +∠B = 180 °，则∥5．如图３，若∠ 1 + ∠2 = 180 °，则∥。
6．如图４，∠ 1、∠ 2、∠ 3、∠ 4、∠5 中，同位角有内错角有；同旁内角有7．如图５，填空并在括号中填原因：（ 1）由∠ ABD =∠CDB 得∥（（ 2）由∠ CAD =∠ACB 得∥（（ 3）由∠ CBA +∠BAD = 180°得∥（A D5l112O43B l2C图５图６8．如图６，尽可能多地写出直线l 1∥l2的条件：9．如图７，尽可能地写出能判断AB∥CD的条件来：10．如图８，推理填空：（ 1）∵∠ A =∠（已知），∴AC∥ED（）；（ 2）∵∠ 2 = ∠（已知），∴AC∥ED（）；（ 3）∵∠ A +∠= 180 °（已知），∴AB∥FD（）；（ 4）∵∠ 2 + ∠= 180 °（已知），∴AC∥ED（）；二、解答以下各题11．如图９，∠ D =∠A，∠ B =∠FCB，求证：ED∥CF．．（）．；．）；）；）A D21435BC图７．．AEF213B D C图８E DC FA B图９（第 1页，共 3 页）12．如图 10，∠ 1∶∠ 2∶∠ 3 = 2 ∶3∶4， ∠AFE = 60 °，∠ BDE =120°，写出图中平行的直线，并说明原因．A1FE23BD C图 1013．如图 11，直线 AB 、 CD 被 EF 所截，∠ 1 = ∠2，∠ CNF =∠BME 。
七年级数学下册 5.3平行线的性质(八大题型)(解析版 )
七年级下册数学《第五章相交线与平行线》5.3平行线的性质平行线性质定理性质定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等．几何语言表示：∵a∥b(已知)，∴∠2＝∠3(两直线平行，同位角相等)．性质定理2：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等．几何语言表示：∵a∥b(已知)，∴∠2＝∠4.(两直线平行，内错角相等)．性质定理3：两条平行线被地三条直线所截，同旁内角互补．简单说成：两直线平行，同旁内角互补．几何语言表示：∵a∥b(已知)，∴∠1＋∠2＝180°(同旁内角互补，两直线平行)．平行线的判定与性质（1）平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．（2）应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆．（3）平行线的判定与性质的联系与区别：区别：性质由形到数，用于推导角的关系并计算；判定由数到形，用于判定两直线平行．联系：性质与判定的已知和结论正好相反，都是角的关系与平行线相关．（4）辅助线规律，经常作出两平行线平行的直线或作出联系两直线的截线，构造出三类角．概念：判断一件事情的语句，叫做命题．【注意】（1）.只要对一件事情作出了判断，不管正确与否，都是命题.（2）.如果一个句子没有对某一件事情作出任何判断，那么它就不是命题.命题的组成每个命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．命题写成“如果…，那么…”的形式，这时，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面解的部分是结论．【注意】在改写成“如果……那么……”的形式时，需对命题的语序进行调整或增减词语，使句子完整通顺，但不改变原意.真命题：如果题设成立，那么结论一定成立，这样的命题叫做真命题；假命题：题设成立时，不能保证结论一定成立，这样的命题叫做假命题.【注意】判断一个命题是假命题，只要举出一个反例，它符合命题的题设，但不满足结论就可以了.定理：经过推理证实的真命题叫做定理，定理可以作为继续推理论证的依据．【拓展】数学中有些命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的，并把它们作为判断其他命题真假的原始依据，这样的真命题叫做公理.如直线公理：两点确定一条直线.证明：在很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理，才能作出判断，这个推理过程叫做证明.（）2＝a（a≥0）（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）．【注意】（1）证明中的每一步推理都要有根据，不能“想当然”.这些根据，可以是已知条件，也可以是学过的定义、基本事实、定理等.（2）.定理一定是真命题，但真命题不一定是定理.证明的一般步骤：①根据题意画出图形；②依据题设、结论，结合图形，写出已知、求证；③经过分析，找出由已知条件推出结论的方法，或依据结论探寻所需要的条件，再由题设进行挖掘，寻求证明的途径；④书写证明过程.是（）A．40°B．50°C．60°D．70°【分析】由垂线可得∠ACB＝90°，从而可求得∠B的度数，再结合平行线的性质即可求∠BCD的度数．【解答】解：∵BC⊥AE，∴∠ACB＝90°，∵∠A＝50°，∴∠B＝180°﹣∠ACB﹣∠A＝40°，∵CD∥AB，∴∠BCD＝∠B＝40°．故选：A．【点评】本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，内错角相等．解题技巧提炼两直线平行时，应联想到平行线的三个性质，由两条直线平行的位置关系得到两个相关角的数量关系，由角的关系求相应角的度数.【变式1-1】（2023秋•简阳市期末）如图，a∥b，∠1＝40°，∠2＝∠3，则∠4＝（）A．70°B．110°C．140°D．150°【分析】先根据a∥b，∠1＝40°得出∠2+∠3的度数，由平角的定义得出∠5的度数，再由∠2＝∠3得出∠2的度数，再得出∠2+∠5的度数，进而可得出结论．【解答】解：∵a∥b，∠1＝40°，∴∠2+∠3＝180°﹣40°＝140°，∴∠5＝180°﹣140°＝40°，∵∠2＝∠3，∴∠2＝70°，∴∠2+∠5＝70°+40°＝110°，∴∠4＝∠2+∠5＝110°．故选：B．【点评】本题考查的是平行线的性质，熟知两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等是解题的关键．【变式1-2】（2022春•五莲县期末）如图，已知AB∥DE∥CF，若∠ABC＝70°，∠CDE＝130°，则∠BCD的度数为（）A．10°B．15°C．20°D．35°【分析】由AB∥CF，∠ABC＝70°，易求∠BCF，又DE∥CF，∠CDE＝130°，那么易求∠DCF，于是∠BCD＝∠BCF﹣∠DCF可求．【解答】解：∵AB∥CF，∠ABC＝70°，∴∠BCF＝∠ABC＝70°，又∵DE∥CF，∴∠DCF+∠CDE＝180°，∴∠DCF＝50°，∴∠BCD＝∠BCF﹣∠DCF＝70°﹣50°＝20°．故选：C．【点评】本题主要考查了平行线的性质，两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补．【变式1-3】（2021秋•霍州市期末）如图，如果AB∥EF、EF∥CD，若∠1＝50°，则∠2+∠3的和是（）A．200°B．210°C．220°D．230°【分析】由平行线的性质可用∠2、∠3分别表示出∠BOE和∠COF，再由平角的定义可得出答案．【解答】解：∵AB∥EF，∴∠2+∠BOE＝180°，∴∠BOE＝180°﹣∠2，同理可得∠COF＝180°﹣∠3，∵O在EF上，∴∠BOE+∠1+∠COF＝180°，∴180°﹣∠2+∠1+180°﹣∠3＝180°，∴∠2+∠3＝180°+∠1＝180°+50°＝230°，故选：D．【点评】本题主要考查平行线的性质，掌握平行线的性质和判定是解题的关键，即①同位角相等⇔两直线平行，②内错角相等⇔两直线平行，③同旁内角互补⇔两直线平行，④a∥b，b∥c⇒a∥c．【变式1-4】（2022秋•安岳县期末）已知∠1的两边分别平行于∠2的两边，若∠1＝40°，则∠2的度数为．【分析】①图1时，由两直线平行，同位角相等，等量代换和角的和差计算出∠2的度数为40°；②图2时，同两直线平行，内错角相等，两直线平行，同旁内角互补，等量代换和角的和差计算出∠2的度数为140°．【解答】解：①若∠1与∠2位置如图1所示：∵AB∥DE，∴∠1＝∠3，又∵DC∥EF，∴∠2＝∠3，∴∠1＝∠2，又∵∠1＝40°，∴∠2＝40°；②若∠1与∠2位置如图2所示：∵AB∥DE，∴∠1＝∠3，又∵DC∥EF，∴∠2+∠3＝180°，∴∠2+∠1＝180°，又∵∠1＝40°∴∠2＝180°﹣∠1＝180°﹣40°＝140°，综合所述：∠2的度数为40°或140°，故答案为：40°或140°．【点评】本题综合考查了平行线的性质，角的和差，等量代换，邻补角性质，对顶角性质等相关知识点，重点掌握平行线的性质，难点是两个角的两边分别平行是射线平行，分类画出符合题意的图形后计算．【变式1-5】（2022春•海淀区月考）如图，点C在∠MON的一边OM上，过点C的直线AB∥ON，CD 平分∠ACM．当∠DCM＝60°时，求∠O的度数．【分析】根据角平分线的定义，即可得到∠ACM的度数，进而得出∠OCB的度数，再依据平行线的性质，即可得到∠O的度数．【解答】解：∵CD平分∠ACM，∴∠ACM＝2∠DCM．∵∠DCM＝60°，∴∠ACM＝120°．∵直线AB与OM交于点C，∴∠OCB＝∠ACM＝120°（对顶角相等），∵AB∥ON，∴∠O+∠OCB＝180°（两直线平行，同旁内角互补），∴∠O＝60°．【点评】本题主要考查了角的计算，平行线的性质以及角平分线的定义．解题的关键是熟练掌握平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补．【变式1-6】（2023秋•海门区期末）如图，直线CE，DF相交于点P，且CE∥OB，DF∥OA．（1）若∠AOB＝45°，求∠PDB的度数；（2）若∠CPD＝45°，求∠AOB的度数；（3）像（1）（2）中的∠AOB，∠CPD称四边形PCOD的一组“对角”，则该四边形的另一组对角相等吗？请说明理由．【分析】（1）根据两直线平行，同位角相等即可求得答案；（2）根据两直线平行，同位角相等及两直线平行，内错角相等即可求得答案；（3）根据两直线平行，同旁内角互补即可证得结论．【解答】解：（1）∵DF∥OA，∠AOB＝45°，∴∠PDB＝∠AOB＝45°；（2）∵CE∥OB，∴∠CPD＝∠PDB，∵DF∥OA，∴∠PDB＝∠AOB，∴∠AOB＝∠CPD，∵∠CPD＝45°，∴∠AOB＝45°；（3）相等，理由如下：∵CE∥OB，DF∥OA，∴∠OCP+∠AOB＝180°，∠CPD+∠ODP＝180°，∵∠AOB＝∠CPD，∴∠OCP＝∠ODP．【点评】本题考查平行线性质，熟练掌握并利用平行线的性质是解题的关键．【变式1-7】（2021春•黄冈期中）如图，DB∥FG∥EC，A是FG上的一点，∠ADB＝60°，∠ACE＝36°，AP平分∠CAD，求∠PAG的度数．【分析】根据平行线的性质，可以得到∠DAG和∠CAG度数，然后根据AP平分∠CAD，即可得到∠PAG 的度数．【解答】解：∵DB∥FG∥EC，∴∠BDA＝∠DAG，∠ACE＝∠CAG，∵∠ADB＝60°，∠ACE＝36°，∴∠DAG＝60°，∠CAG＝36°，∴∠DAC＝96°，∵AP平分∠CAD，∴∠CAP＝48°，∴∠PAG＝12°．【点评】本题考查平行线的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．【变式1-8】（2023秋•原阳县校级期末）如图，已知AB∥CD，BE平分∠ABC．BE垂直于CE，求证：CE平分∠BCD．【分析】过E作EF∥AB交BC于点F，根据平行线的性质可求得∠ABC+∠BCD＝180°，再结合垂线的定义可得∠ABE+∠DCE＝90°，∠EBC+∠ECB＝90°，再利用角平分线的定义可证明结论．【解答】证明：过E作EF∥AB交BC于点F，∴∠ABE＝∠FEB，∵AB∥CD，∴EF∥CD，∠ABC+∠BCD＝180°，∴∠DCE＝∠FEC，∵BE⊥CE，∴∠BEF+∠CEF＝∠ABE+∠DCE＝90°，∴∠EBC+∠ECB＝90°，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠EBC，∴∠DCE＝∠BCE，∴CE平分∠BCD．【点评】本题主要考查平行线的性质，角平分线的定义，垂线的定义，证明∠ABE+∠DCE＝90°，∠EBC+∠ECB＝90°是解题的关键．【例题2】已知，如图所示，四边形ABCD中，∠B＝90°，DE平分∠ADC，CE平分∠DCB，∠1+∠2＝90°，试说明DA⊥AB．【分析】由角平分线的定义和条件可得∠ADC+∠BCD＝180°，可证明DA∥BC，再由平行线的性质可得到∠A＝90°，可证明DA⊥AB．【解答】证明：∵DE平分∠ADC，CE平分∠DCB，∴∠ADC＝2∠1，∠BCD＝2∠2，∵∠1+∠2＝90°，∴∠ADC+∠BCD＝180°，∴AD∥BC，∴∠A+∠B＝180°，∴∠A＝180°﹣∠B＝90°，∴DA⊥AB．【点评】本题主要考查平行线的判定和性质，掌握平行线的判定和性质是解题的关键，即①两直线平行⇔同位角相等，②两直线平行⇔内错角相等，③两直线平行⇔同旁内角互补，④a∥b，b∥c⇒a∥c．解题技巧提炼准确识别图形，理清图中各角度之间的关系是解题的关键，再综合角平分线的定义、对顶角的性质及邻补角的定义求解.【变式2-1】（2022春•龙岗区期末）已知，如图，∠1＝∠ACB，∠2＝∠3，FH⊥AB于H，求证：CD⊥AB．【分析】先根据垂直的定义得出∠BHF＝90°，再由∠1＝∠ACB得出DE∥BC，故可得出∠2＝∠BCD，根据∠2＝∠3得出∠3＝∠BCD，所以CD∥FH，由平行线的性质即可得出结论．【解答】证明：FH⊥AB（已知），∴∠BHF＝90°．∵∠1＝∠ACB（已知），∴DE∥BC（同位角相等，两直线平行），∴∠2＝∠BCD．（两直线平行，内错角相等）．∵∠2＝∠3（已知），∴∠3＝∠BCD（等量代换），∴CD∥FH（同位角相等，两直线平行），∴∠BDC＝∠BHF＝90°，（两直线平行，同位角相等）∴CD⊥AB．【点评】本题考查的是平行线的判定，熟知平行线的判定定理是解答此题的关键．【变式2-2】如图，已知DA⊥AB，DE平分∠ADC，CE平分∠DCB，且∠1+∠2＝90°，试说明BC⊥AB．【分析】过E作EF∥AD，交CD于F，求出∠FEC＝∠2＝∠BCE，根据平行线的判定推出BC∥EF，即可得出答案．【解答】解：过E作EF∥AD，交CD于F，则∠ADE＝∠DEF，∵DE平分∠ADC，∴∠1＝∠ADE，∴∠1＝∠DEF，∵∠1+∠2＝90°，∴∠DEC＝90°，∴∠DEF+∠FEC＝90°，∴∠2＝∠FEC，∵CE平分∠DCB，∴∠2＝∠BCE，∴∠FEC＝∠BCE，∴BC∥EF，∴BC∥AD，∵DA⊥AB，∴BC⊥AB．【点评】本题考查了平行线的性质和判定，三角形内角和定理，角平分线定义的应用，能正确作出辅助线，并综合运用定理进行推理是解此题的关键．【变式2-3】（2022春•海淀区校级月考）如图，AD∥BE，∠B＝∠D，∠BAD的平分线交BC的延长线于点E，CF平分∠DCE．求证：CF⊥AE．【分析】由AD∥BE，∠B＝∠D，可推出∠B+∠BAD＝180°，∠B＝∠DCE，AB∥CD，再由角平分线定义可得：∠BAE=12∠BAD，∠FCG=12∠DCE，进而得出：∠CGF=12∠BAD，∠FCG=12∠B，可推出：∠CGF+∠FCG=12（∠BAD+∠B）=12×180°＝90°，根据三角形内角和为180°，可得∠CFG＝90°，由垂直定义可证得结论．【解答】证明：∵AD∥BE，∴∠DCE＝∠D，∠B+∠BAD＝180°，∵∠B＝∠D，∴∠B＝∠DCE，∴AB∥CD，∴∠CGF＝∠BAE，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE=12∠BAD，∴∠CGF=12∠BAD，∵CF平分∠DCE，∴∠FCG=12∠DCE，∴∠FCG=12∠B，∴∠CGF+∠FCG=12（∠BAD+∠B）=12×180°＝90°，∴∠CFG＝180°﹣（∠CGF+∠FCG）＝180°﹣90°＝90°，∴CF⊥AE．【点评】本题考查了平行线的性质和判定，角平分线定义，垂直定义，三角形内角和定理等知识，解题的关键是掌握平行线判定定理和性质定理．【例题3】（2023秋•深圳期末）太阳灶、卫星信号接收锅、探照灯及其他很多灯具都与抛物线有关．如图，从点O照射到抛物线上的光线OB，OC反射后沿着与PO平行的方向射出，已知图中∠ABO＝44°，∠BOC＝133°，则∠OCD的度数为（）A．88°B．89°C．90°D．91°【分析】依题意得AB∥OP∥CD，进而根据平行线的性质得∠BOP＝∠ABO＝44°，∠OCD＝∠POC，从而可求出∠POC＝∠BOC﹣∠BOP＝89°，进而可得∠OCD的度数．【解答】解：∵AB∥OP∥CD，∠ABO＝44°，∴∠BOP＝∠ABO＝44°，∠OCD＝∠POC，∵∠BOC＝133°，∴∠POC＝∠BOC﹣∠BOP＝133°﹣44°＝89°，∴∠OCD＝∠POC＝89°．故选：B．【点评】此题主要考查了平行线的性质，准确识图，熟练掌握平行线的性质是解决问题的关键．解题技巧提炼给出一个实际问题，联系平行线的性质解答实际问题，有时需要通过作辅助线构造平行线，同时还会综合运用平行线的判定和性质.【变式3-1】如图，在A、B两地之间要修一条笔直的公路，从A地测得公路走向是北偏东48°，A，B 两地同时开工，若干天后公路准确接通，若公路AB长8千米，另一条公路BC长是6千米，且BC的走向是北偏西42°，则A地到公路BC的距离是千米．【分析】根据方位角的概念，图中给出的信息，再根据已知转向的角度求解．【解答】解：根据两直线平行，内错角相等，可得∠ABG＝48°，∵∠ABC＝180°﹣∠ABG﹣∠EBC＝180°﹣48°﹣42°＝90°，∴AB⊥BC，∴A地到公路BC的距离是AB＝8千米，故答案为：8．【点评】此题是方向角问题，结合生活中的实际问题，将解三角形的相关知识有机结合，体现了数学应用于实际生活的思想．【变式3-2】（2022春•沧县期中）某学员在驾校练习驾驶汽车，两次拐弯后的行驶方向与原来的方向相反，则两次拐弯的角度可能是（）A．第一次向左拐30°，第二次向右拐30°B．第一次向左拐45°，第二次向左拐45°C．第一次向左拐60°，第二次向右拐120°D．第一次向左拐53°，第二次向左拐127°【分析】根据平行线的性质分别判断得出即可．【解答】解：∵两次拐弯后，按原来的相反方向前进，∴两次拐弯的方向相同，形成的角是同旁内角，且互补，故选：D．【点评】此题主要考查了平行线的性质，利用两直线平行，同旁内角互补得出是解题关键．【变式3-3】如图是潜望镜工作原理示意图，阴影部分是平行放置在潜望镜里的两面镜子．已知光线经过镜子反射时，有∠1＝∠2，∠3＝∠4，请解释进入潜望镜的光线l为什么和离开潜望镜的光线m是平行的？【分析】根据平行线的性质结合条件可得∠1＝∠2＝∠3＝∠4，可证得∠5＝∠6，可证明l∥m，据此填空即可．【解答】解：∵AB∥CD（已知），∴∠2＝∠3（两直线平行，内错角相等），∵∠1＝∠2，∠3＝∠4（已知），∴∠1＝∠2＝∠3＝∠4（等量代换），∴180°﹣∠1﹣∠2＝180°﹣∠3﹣∠4（平角定义），即：∠5＝∠6（等量代换），∴l∥m．【点评】本题主要考查平行线的判定和性质，掌握平行线的判定和性质是解题的关键，即①两直线平行⇔同位角相等，②两直线平行⇔内错角相等，③两直线平行⇔同旁内角互补，④a∥b，b∥c⇒a∥c．【变式3-4】（2023秋•市南区期末）如图是一种躺椅及其简化结构示意图，扶手AB与底座CD都平行于地面，靠背DM与支架OE平行，前支架OE与后支架OF分别与CD交于点G和点D，AB与DM交于点N，当前支架OE与后支架OF正好垂直，∠ODC＝32°时，人躺着最舒服，则此时扶手AB与靠背DM的夹角∠ANM＝．【分析】由AB∥CD可求得∠BOD的度数，再根据OE∥DM即可求出∠ANM的度数．【解答】解：∵AB∥CD，∠ODC＝32°，∴∠BOD＝∠ODC＝32°．∵OE⊥OF，∴∠EOF＝90°，∴∠EOB＝90°+32°＝122°．∵OE∥DM，∠ANM＝∠EOB＝122°．故答案为：122°．【点评】本题考查了平行线的性质，垂直的定义，熟练掌握平行线的性质是解答本题的关键．【变式3-5】（2023秋•东莞市校级期末）如图为某椅子的侧面图，∠DEF＝120°．DE与地面平行，∠ABD＝50°，则∠ACB＝．【分析】根据平行得到∠ABD＝∠EDC＝50°，再利用外角的性质和对顶角相等，进行求解即可．【解答】解：由题意得：DE∥AB，∴∠ABD＝∠EDC＝50°，∵∠DEF＝∠EDC+∠DCE＝120°，∴∠DCE＝70°，∴∠ACB＝∠DCE＝70°，故答案为：70°．【点评】本题考查平行线的性质，三角形外角的性质，对顶角．熟练掌握相关性质，是解题的关键．【变式3-6】（2022•小店区校级开学）如图1是一个由齿轮、轴承、托架等元件构成的手动变速箱托架，其主要作用是动力传输．如图2是乎动变速箱托架工作时某一时刻的示意图，已知AB∥CD，CG∥EF，∠BAG＝150°，∠AGC＝80°，则∠DEF的度数为（）A．110°B．120°C．130°D．140°【分析】过点F作FM∥CD，因为AB∥CD，所以AB∥CD∥FM，再根据平行线的性质可以求出∠MFA，∠EFA，进而可求出∠EFM，再根据平行线的性质即可求得∠DEF．【解答】解：如图，过点F作FM∥CD，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥FM，∴∠DEF+∠EFM＝180°，∠MFA+∠BAG＝180°，∴∠MFA＝180°﹣∠BAG＝180°﹣150°＝30°．∵CG∥EF，∴∠EFA＝∠AGC＝80°．∴∠EFM＝∠EFA﹣∠MFA＝80°﹣30°＝50°．∴∠DEF＝180°﹣∠EFM＝180°﹣50°＝130°．故选：C．【点评】本题考查平行线的性质，解题关键是结合图形利用平行线的性质进行角的转化和计算．【变式3-7】（2023春•岱岳区期末）如图，EF，MN分别表示两面互相平行的镜面，一束光线AB照射到镜面MN上，反射光线为BC，此时∠1＝∠2；光线BC经镜面EF反射后的反射光线为CD，此时∠3＝∠4，试判断AB与CD的位置关系，并说明理由．【分析】先根据MN∥EF得出∠2＝∠3，再由∠1＝∠2，∠3＝∠4可得出∠1＝∠2＝∠3＝∠4，故可得出∠1+∠2＝∠3+∠4，再由∠ABC＝180°﹣（∠1+∠2），∠BCD＝180°﹣（∠3+∠4），故可得出∠ABC＝∠BCD，据此得出结论．【解答】解：AB∥CD．理由：∵MN∥EF，∴∠2＝∠3，∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，∴∠1＝∠2＝∠3＝∠4，∴∠1+∠2＝∠3+∠4，∵∠ABC＝180°﹣（∠1+∠2），∠BCD＝180°﹣（∠3+∠4），∴∠ABC＝∠BCD，∴AB∥CD．【点评】本题考查的是平行线的判定与性质，熟知两直线平行，内错角相等是解题的关键．【例题4】（2022春•秦淮区校级月考）已知直线a∥b，将一块含30°角的直角三角板（∠BAC＝30°，∠ACB ＝90°）按如图所示的方式放置，并且顶点A，C分别落在直线a，b上，若∠1＝22°．则∠2的度数是（）A．38°B．45°C．52°D．58°【分析】根据已知易得∠DAC＝52°，然后利用平行线的性质即可解答．【解答】解：如图：∵∠1＝22°，∠BAC＝30°，∴∠DAC＝∠1+∠BAC＝52°，∵直线a∥b，∴∠2＝∠DAC＝52°，故选：C．【点评】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．【变式4-1】（2022秋•琼海期中）如图，将三角板的直角顶点按如图所示摆放在直尺的一边上，则下列结论不一定正确的是（）A．∠1＝∠2B．∠2+∠3＝90°C．∠3+∠4＝180°D．∠1+∠2＝90°【分析】根据平行线的性质定理求解．【解答】解：∵两直线平行，同位角相等，∴∠1＝∠2，故选项A不符合题意；∠1+∠2不一定等于90°，故D符合题意；由题意可得：90°+∠2+∠3＝180°，∴∠2+∠3＝90°，故选项B不符合题意；∵两直线平行，同旁内角互补，∴∠3+∠4＝180°，故选项C不符合题意；故选：D．【点评】本题主要考查平行线的性质，解题关键是熟练掌握平行线的性质定理．【变式4-2】（2023秋•榆树市校级期末）把一副三角板按如图所示摆放，使FD∥BC，点E落在CB的延长线上，则∠BDE的大小为度．【分析】由题意可得∠EDF＝45°，∠ABC＝60°，由平行线的性质可得∠BDF＝∠ABC＝60°，从而可求∠BDE的度数．【解答】解：由题意得：∠EDF＝45°，∠ABC＝60°，∵FD∥BC，∴∠BDF＝∠ABC＝60°，∴∠BDE＝∠BDF﹣∠EDF＝15°．故答案为：15．【点评】本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，内错角相等．【变式4-3】（2023秋•新野县期末）如图，直线m∥n，且分别与直线l交于A，B两点，把一块含60°角的三角尺按如图所示的位置摆放，若∠2＝98°，则∠1＝．【分析】先根据平角的定义求出∠4的度数，再根据角平分线的性质即可得出答案．【解答】解：由已知可得，∠3＝30°，∵∠2＝98°，∴∠4＝180°﹣∠2﹣∠3＝52°，∵m∥n，∴∠1＝∠4＝52°．故答案为：52°．【点评】本题主要考查了平行线的性质，解题的关键是牢记平行线的性质．【变式4-4】（2022•大渡口区校级模拟）将一副直角三角板按如图所示的方式叠放在一起，若AC∥DE．则∠BAE的度数为（）A．85°B．75°C．65°D．55°【分析】由题意得∠E＝60°，∠DAE＝∠B＝90°，∠BAC＝45°，由平行线的性质可求得∠CAE＝120°，从而可求得∠CAD＝30°，则∠BAD＝15°，即可求∠BAE的度数．【解答】解：由题意得：∠E＝60°，∠DAE＝∠B＝90°，∠BAC＝45°，∵AC∥DE，∴∠E+∠CAE＝180°，∴∠CAE＝180°﹣∠E＝120°，∴∠CAD＝∠CAE﹣∠DAE＝30°，∴∠BAD＝∠BAC﹣∠CAD＝15°，∴∠BAE＝∠DAE﹣∠BAD＝75°．故选：B．【点评】本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质并灵活运用．【变式4-5】（2022秋•绿园区校级期末）如图，AB∥CD，一副三角尺按如图所示放置，∠AEG＝20°，则∠HFD的度数为（）A．40°B．35°C．30°D．25°【分析】将∠AEG，∠GEF的度数，代入∠AEF＝∠AEG+∠GEF中，可求出∠AEF的度数，由AB∥CD，利用“两直线平行，内错角相等”，可求出∠DFE的度数，再结合∠HFD＝∠DFE﹣∠EFH，即可求出∠HFD 的度数．【解答】解：∵∠AEG＝20°，∠GEF＝45°，∴∠AEF＝∠AEG+∠GEF＝20°+45°＝65°．∵AB∥CD，∴∠DFE＝∠AEF＝65°，∴∠HFD＝∠DFE﹣∠EFH＝65°﹣30°＝35°．故选：B．【点评】本题考查了平行线的性质，牢记“两直线平行，内错角相等”是解题的关键．【变式4-6】（2023秋•盐城期末）将一副三角板按如图所示的方式摆放，其中∠ACB＝∠ECD＝90°，∠A＝45°，∠D＝60°．若AB∥DE，则∠ACD的度数为．【分析】过点C作CF∥AB，则有AB∥CF∥DE，从而可得∠ACF＝∠A＝45°，∠DEF＝∠D＝60°，即可求∠ACD的度数．【解答】解：过点C作CF∥AB，如图，∵AB∥DE，∴AB∥CF∥DE，∴∠ACF＝∠A＝45°，∠DEF＝∠D＝60°，∴∠ACD＝∠ACF+∠DCF＝105°．故答案为：105°．【点评】本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，内错角相等．【例题5】如图所示，把一张长方形纸条ABCD沿EF折叠，若∠1＝58°，则∠AEG的度数（）A．58°B．64°C．72°D．60°【分析】由平行线的性质得∠DEF＝∠1＝58°，由折叠的性质得∠GEF＝∠DEF＝58°，再由平角定义求出∠AEG即可．【解答】解：∵四边形ABCD是长方形，∴AD∥BC，∴∠DEF＝∠1＝58°，由折叠的性质得：∠GEF＝∠DEF＝58°，∴∠AEG＝180°﹣58°﹣58°＝64°；故选：B．【点评】本题考查了平行线的性质、翻折变换的性质、长方形的性质以及平角定义；熟练掌握平行线的性质和翻折变换的性质是解题的关键．【变式5-1】（2022秋•陈仓区期末）如图，将矩形纸条ABCD折叠，折痕为EF，折叠后点C，D分别落在点C′，D′处，D′E与BF交于点G．已知∠BGD′＝26°，则∠α的度数是（）A．77°B．64°C．26°D．87°【分析】依据平行线的性质，即可得到∠AEG的度数，再根据折叠的性质，即可得出∠α的度数．【解答】解：∵矩形纸条ABCD中，AD∥BC，∴∠AEG＝∠BGD'＝26°，∴∠DEG＝180°﹣26°＝154°，由折叠可得，∠α=12∠DEG=12×154°＝77°，故选：A．【点评】本题主要考查了平行线的性质，折叠问题，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．【变式5-2】（2023•台州）用一张等宽的纸条折成如图所示的图案，若∠1＝20°，则∠2的度数为．【分析】利用平行线的性质和各角之间的关系即可求解．【解答】解：如图，标注三角形的三个顶点A、B、C．∠2＝∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB．∵图案是由一张等宽的纸条折成的，∴AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB．又∵纸条的长边平行，∴∠ABC＝∠1＝20°，∴∠2＝∠BAC＝180°﹣2∠ABC＝180°﹣2∠1＝180°﹣2×20°＝140°．故答案为：140°．【点评】本题比较简单，主要考查了平行线的性质的运用．【变式5-3】（2022秋•昭阳区期中）如图，把△ABC沿线段DE折叠，使点A落在点F处，BC∥DE；若∠B＝50°，则∠BDF的度数为（）A．40°B．50°C．80°D．100°【分析】首先利用平行线的性质得出∠ADE＝50°，再利用折叠前后图形不发生任何变化，得出∠ADE＝∠EDF，从而求出∠BDF的度数．【解答】解：∵BC∥DE，若∠B＝50°，∴∠ADE＝50°，又∵△ABC沿线段DE折叠，使点A落在点F处，∴∠ADE＝∠EDF＝50°，∴∠BDF＝180°﹣50°﹣50°＝80°，故选：C．【点评】此题主要考查了折叠问题与平行线的性质，利用折叠前后图形不发生任何变化，得出∠ADE＝∠EDF是解决问题的关键．【变式5-4】（2023秋•阳城县期末）将一张长方形纸条折成如图所示的形状，若∠1＝110°，则∠2＝．【分析】证明∠2＝∠4，再利用三角形的外角的性质解决问题．【解答】解：如图，∵a∥b，∴∠2＝∠5，由翻折变换的性质可知∠4＝∠5，∴∠4＝∠2，∵∠1＝∠2+∠4＝110°，∴∠2＝∠4＝55°，故答案为：55°．【点评】本题考查平行线的性质，翻折变换等知识，解题的关键是理解翻折变换的性质，属于中考常考题型．【变式5-5】（2022•沭阳县模拟）已知长方形纸条ABCD，点E，G在AD边上，点F，H在BC边上．将纸条分别沿着EF，GH折叠，如图，当DC恰好落在EA'上时，∠1与∠2的数量关系是（）A．∠1+∠2＝135°B．∠2﹣∠1＝15°C．∠1+∠2＝90°D．2∠2﹣∠1＝90°【分析】根据折叠的性质和平角的定义解答即可．【解答】解：∵DC恰好落在EA'上，∴∠ED′G＝90°，∴∠D′EG+∠D′GE＝90°，∴∠A′EA+∠D′GD＝360°﹣90°＝270°，由折叠得，∠1=12∠A′EA，∠2=12∠D′GD，∴∠1+∠2＝135°，故选：A．【点评】本题考查折叠的性质和角平分线的定义，由折叠的性质得到∠1=12∠A′EA，∠2=12∠D′GD是解题关键．【变式5-6】如图，长方形ABCD中，沿折痕CE翻折△CDE得△CD′E，已知∠ECD′被BC分成的两个角相差18°，则图中∠1的度数为（）A．72°或48°B．72°或36°C．36°或54°D．72°或54°【分析】设∠FCD'＝α，则∠BCE＝α+18°或α﹣18°，分两种情况进行讨论：①当∠BCE＝α+18°时，∠ECD'＝2α+18°＝∠DCE，②当∠BCE＝α﹣18°时，∠ECD'＝2α﹣18°＝∠DCE，分别根据∠BCD＝90°列式计算即可．【解答】解：如图，设∠FCD'＝α，则∠BCE＝α+18°或α﹣18°，①当∠BCE＝α+18°时，∠ECD'＝2α+18°＝∠DCE，∵∠BCD＝90°，∴α+18°+2α+18°＝90°，解得α＝18°，∴∠CFD'＝90°﹣18°＝72°＝∠1；②当∠BCE＝α﹣18°时，∠ECD'＝2α﹣18°＝∠DCE，∵∠BCD＝90°，∴α﹣18°+2α﹣18°＝90°，解得α＝42°，∴∠CFD'＝90°﹣42°＝48°＝∠1；综上所述，图中∠1的度数为72°或48°，故选：A．【点评】本题主要考查了折叠问题，解题时注意：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．【例题6】（2023秋•仁寿县期末）如图，在△ABC中，AD⊥BC，EF∥BC，EC⊥CF，∠EFC＝∠ACF，则下列结论：①AD⊥EF；②CE平分∠ACB；③∠FEC＝∠ACE；④AB∥CF．其中正确的结论个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】根据平行线的性质得到AD⊥EF，故①符合题意；∠CEF＝∠BCE，根据余角的性质得到∠CEF ＝∠ACE，故③符合题意；根据角平分线的定义得到CE平分∠ACB，故②符合题意；根据已知条件无法证明AB∥CF，故④不符合题意．【解答】解：∵AD⊥BC，EF∥BC，∴AD⊥EF，故①符合题意；∵EF∥BC，∴∠CEF＝∠BCE，∵EC⊥CF，∴∠ECF＝90°，∴∠CEF+∠F＝∠ACE+∠ACF＝90°，∵∠EFC＝∠ACF，∴∠CEF＝∠ACE，故③符合题意；∴∠ACE＝∠BCE，∴CE平分∠ACB，故②符合题意；∵EC⊥CF，要使AB∥CF，则CE⊥AB，∵CE平分∠ACB，但AC不一定与BC相等，∴无法证明AB∥CF，故④不符合题意，故选：C．【点评】本题考查了平行线的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．【变式6-1】（2023秋•浚县期末）如图a∥b，c与a相交，d与b相交，下列说法：①若∠1＝∠2，则∠3＝∠4；②若∠1+∠4＝180°，则c∥d；③∠4﹣∠2＝∠3﹣∠1；④∠1+∠2+∠3+∠4＝360°，正确的有（）A．①③④B．①②③C．①②④D．②③【分析】根据平行线的性质和判定逐一进行判断求解即可．【解答】解：①若∠1＝∠2，则a∥e∥b，则∠3＝∠4，故此说法正确；②若∠1+∠4＝180°，由a∥b得到，∠5+∠4＝180°，则∠1＝∠5，则c∥d；故此说法正确；③由a∥b得到，∠5+∠4＝180°，由∠2+∠3+∠5+180°﹣∠1＝360°得，∠2+∠3+180°﹣∠4+180°﹣∠1＝360°，则∠4﹣∠2＝∠3﹣∠1，故此说法正确；④由③得，只有∠1+∠4＝∠2+∠3＝180°时，∠1+∠2+∠3+∠4＝360°．故此说法错误．故选：B．【点评】此题考查了平行线的性质与判定，熟练掌握平行线的性质与判定是解题的关键．【变式6-2】（2022秋•南岗区校级期中）如图，AB∥CD∥EF，则下列各式中正确的是（）A．∠1+∠2+∠3＝180°B．∠1+∠2＝180°+∠3C．∠1+∠3＝180°+∠2D．∠2+∠3＝180°+∠1【分析】根据两直线平行，同旁内角互补可得∠2+∠BDC＝180°，再根据两直线平行，内错角相等可得∠3＝∠CDE，而∠CDE＝∠1+∠BDC，整理可得∠2+∠3﹣∠1＝180°．【解答】解：∵AB∥CD∥EF，∴∠2+∠BDC＝180°，∠3＝∠CDE，又∠BDC＝∠CDE﹣∠1，∴∠2+∠3﹣∠1＝180°．故选：D．【点评】本题主要考查平行线的性质，从复杂图形中找出内错角，同旁内角是解题的关键．【变式6-3】（2023春•镇江期中）如图，AB∥CF，∠ACF＝80°，∠CAD＝20°，∠ADE＝120°．（1）直线DE与AB有怎样的位置关系？说明理由；（2）若∠CED＝71°，求∠ACB的度数．【分析】（1）根据平行线的性质，得出∠BAC＝∠ACF＝80°，根据∠CAD＝20°，求出∠BAD＝60°，根据∠BAD+∠ADE＝180°，即可得出结论；（2）根据平行线的性质得出∠B＝∠CED＝71°，根据三角形内角和定理求出∠ACB＝29°．【解答】解：（1）DE∥AB；理由如下：∵AB∥CF，∠ACF＝80°，∴∠BAC＝∠ACF＝80°，∵∠CAD＝20°，∴∠BAD＝∠BAC﹣∠DAC＝60°，∵∠ADE＝120°，∴∠BAD+∠ADE＝60°+120°＝180°，∴DE∥AB．（2）DE∥AB，∠CED＝71°，∴∠B＝∠CED＝71°，∵∠BAC＝80°，∴∠ACB＝180°﹣∠B﹣∠BAC＝180°﹣71°﹣80°＝29°．【点评】本题主要考查了平行线的判定和性质，三角形内角和定理的应用，解题的关键是熟练掌握平行线的判定．【变式6-4】（2022春•舞阳县期末）如图，点D在AC上，点F、G分别在AC、BC的延长线上，CE平分∠ACB并交BD于H，且∠EHD+∠HBF＝180°．（1）若∠F＝30°，求∠ACB的度数；（2）若∠F＝∠G，求证：DG∥BF．【分析】（1）由对顶角相等、同旁内角互补，两直线平行判定BF∥EC，则同位角∠ACE＝∠F，再根据角平分线的性质即可求解；（2）结合已知条件，角平分线的定义，利用等量代换推知同位角∠BCE＝∠G，则易证DG∥BF．【解答】（1）解：∵∠EHD+∠HBF＝180°，∠EHD＝∠BHC，∴∠BHC+∠HBF＝180°，∴BF∥EC，∴∠ACE＝∠F＝30°，又∵CE平分∠ACB，∴∠ACB＝2∠ACE＝60°．故∠ACB的度数为60°；（2）证明：∵CE平分∠ACB，∴∠BCE＝∠ACE，∵∠ACE＝∠F，∠F＝∠G，∴∠BCE＝∠G，∴DG∥EC，又∵BF∥EC，∴DG∥BF．【点评】本题考查了平行线的判定．解答此类要判定两直线平行的题，可围绕截线找同位角、内错角和同旁内角．【变式6-5】（2022春•温江区校级期中）如图，已知点E、F在直线AB上，点G在线段CD上，ED与FG交于点H，∠D+∠AED＝180°，∠C＝∠EFG．。
平行线的判定及性质 例题及练习
平行线的判定及性质一、【基础知识精讲】1、平行线的判定（1）平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行. （2）平行公理的推论：平行于同一条直线的两条直线. （3）在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线. （4）同位角相等，两直线平行. （5）内错角相等，两直线平行.（6）同旁内角互补，两直线平行.3、平行线的性质（1）两直线平行，同位角相等. （2）两直线平行，内错角相等.（3）两直线平行，同旁内角互补.二、【例题精讲】专题一：余角、补角、对顶角与三线八角例题1：∠A的余角与∠A的补角互为补角，那么2∠A是（）A．直角 B.锐角 C.钝角 D.以上三种都有可能【活学活用1】如图2-79中，下列判断正确的是（）A.4对同位角，2对内错角，4对同旁内角B.4对同位角，2对内错角，2对同旁内角C.6对同位角，4对内错角，4对同旁内角D.6对同位角，4对内错角，2对同旁内角【活学活用2】如图2-82，下列说法中错误的是( )A.∠3和∠5是同位角B.∠4和∠5是同旁内角C.∠2和∠4是对顶角D.∠1和∠2是同位角【活学活用3】如图,直线AB与CD交于点O,OE⊥AB于O,图中∠1与∠2的关系是（）A.对顶角B.互余C.互补D相等例题2：如果两个角的两边分别平行，而其中一个角比另一个角的4倍少30°，那么这两个角分别是_______.【活学活用4】如图，∠AOC +∠DOE +∠BOF = .专题二：平行线的判定例题3：如图，已知∠EFB+∠ADC=180°，且∠1=∠2，试说明DG ∥AB.1 2A BCDF E G【活学活用】1、长方体的每一对棱相互平行，那么这样的平行棱共有 ( )A ．9对B ．16对 C.18对 D ．以上答案都不对2、已知:如图2-96,DE ⊥AO 于E,BO ⊥AO,FC ⊥AB 于C ，∠1=∠2,求证：DO ⊥AB.3、如图2-97,已知：∠1=∠2=，∠3=∠4，∠5=∠6.求证:AD ∥BC.4、如图2—101，若要能使AB ∥ED ，∠B 、∠C 、∠D 应满足什么条件?ABCDOE F5、同一平面内有四条直线a 、b 、c 、d ，若a ∥b ，a ⊥c ，b ⊥d ，则c 、d 的位置关系为（ ） A.互相垂直 B ．互相平行 C.相交 D ．没有确定关系专题三：平行线的性质1、如图，110,ABC ACB BO ∠+∠=、CO 分别平分ABC ∠和,ACB EF ∠过点O 与BC 平行，则BOC ∠= . 2、如图，AB //CD ，BC //DE ，则∠B+∠D = .3、如图，直线AB 与CD 相交于点O ，OB 平分∠DOE .若60DOE ∠=，则∠AOC 的度数是 .4、 如图，175,2120,375∠=∠=∠=，则4∠= .13 425、如图，//AB CD ，直线EF 分别交AB 、CD 于E 、F ，ED 平分BEF ∠，若172∠=，则2∠= .【例题讲解】例1：如图，已知：AD ∥BC, ∠AEF=∠B,求证：AD ∥EF 。
5.3 平行线的性质(三)同步作业(含答案)
5.3 平行线的性质(三)◆典型例题【例1】下列语句是不是命题.(1)画∠AOB的角平分线;(2)平面上有几个点；(3)两点之间，线段最短;(4)若a≠b，则|a|≠|b|.【解析】(1)是操作性的语句；(2)是问句；(3)、(4)是判定语句.【答案】(1)、(2)不是命题；(3)、(4)是命题.【例2】指出下列命题的题论、结论:(1)如果两条直线相交，那么它们只有一个交点.(2)两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，即这两条直线平行.(3)两条平行平行线被第三条直线所截，内错角相等.(4)若∠1=∠2，∠2=∠3，则∠1=∠3.【解析】每个命题都是由题设、结论两部分组成，题设是知事项，结论是由已知事项推出的事项，命题常写成“如果…，那么…”的形式，具有这种形式的命题中，用“如果”开始的部分是题设，用“那么”开始的部分是结论.【答案】(1)题设:两条直线相交；结论:它们只有—个交点；(2)题设:两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补；结论:这两条直线平行.(3)因为这个命题可以改写成：“如果两条平行线被第三条直线所截，那么内错角相等”；也可以简写成“如果两直线平行，那么内错角相等”，所以可以简单说成，题设:两直线平行，结论:内错角相等.(4)题设:∠1=∠2，∠2=∠3，结论:∠1=∠3.◆课前热身1.每个命题都由____________和____________两部分组成.2.命题“对顶角相等”的题设是____________,结论________________________.◆课上作业3.命题“同位角相等”改写成“如果…，那么…”的形式是____________________________.4.请用“如果…，那么…”的形式写一个命题______________5.一个命题，如果题设成立，结论一定成立，这样的命题是_____________命题；如果题设成立，结论不成立或不一定成立，这样的命题叫_______命题(填“真”、“假”).6.以下四个命题：①一个锐角与一个钝角的和为180°；②若m不是正数，则m一定小于零；③若ab＞0，则a＞0，b＞0；④如果一个数能被2整除，那么这个数一定能被4整除.真命题有_______个.◆课下作业一、填空题7.下列语句∶①对顶角相等；②OA是∠BOC的平分线；③相等的角都是直角；④线段AB.其中不是命题的是____________________________________________.8.“垂线段最短”的题设是_____________________，结论是____________________.9.命题“a、b是有理数，若a＞b，则a2＞b2”，若结论保持不变，怎样改变条件，命题才是真命题.请你写出一种改法：_______________________________________________10.对于同一平面的三条直线a、b、c，给出以下五个结论:①a∥b;②b∥c;③a⊥b;④a∥c;⑤a⊥c以其中两个为题设，一个为结论，组成一个正确的命题______________________.二、选择题11.唐伯虎点秋香的故事家喻户晓了，现在来玩个游戏：“唐伯虎点秋香”【规则】下面有四个人，其中一个人是秋香，请你通过下面提示辨别出谁是秋香.友情提示:这四个人分别是∶春香、夏香、秋香、冬香【所给人物】A、B、C、D①A不是秋香，也不是夏香；②B不是冬香，也不是春香；③如果A不是冬香，那么C不是春香；④D既不是夏香，也不是春香；⑤C不是春香，也不是冬香若上面的命题都是真命题，问谁是秋香?A.AB.BC.CD.D12.下列命题正确的是( )A.两直线与第三条直线相交，同位角相等;B.两直线与第三条直线相交，内错角相等C.两直线平行，内错角相等;D.两直线平行，同旁内角相等三、解答题13.阅读以下两小题后作出相应的解答:(1)“同位角相等，两直线平行”，“两直线平行，同位角相等”，这两个命题的题设和结论在命题中的位置恰好对凋，我们把其中一命题叫做另一个命题的逆命题，请你写出命题“角平分线上的点到角两边的距离相等的逆命题，并指出逆命题的题设和结论；(2)根据以下语句作出图形，并写出该命题的文字叙述.已知:过直线AB上一点O任作射线OC，OM、ON分别平分∠AOC、∠BOC，则OM⊥ON.14.如图5-122，给出下列论断:(1)AB∥DC；(2)AD∥BC；(3)∠A+∠B=180°；(4)∠B+∠C=180°，以其中一个作为题设，一个作为结论，写出一个真命题.想一想，若连接BD，你能自已写出一个真命题吗?试写出—个真命题并写出推理过程.图5-122参考答案◆课下作业一、填空题7.下列语句∶①对顶角相等；②OA是∠BOC的平分线；③相等的角都是直角；④线段AB.其中不是命题的是____________________________________________.答案：④8.“垂线段最短”的题设是_____________________，结论是____________________.答案：连接直线外一点与直线上一点的所有线段中；垂线段最短9.命题“a、b是有理数，若a＞b，则a2＞b2”，若结论保持不变，怎样改变条件，命题才是真命题.请你写出一种改法：_______________________________________________答案：答案不唯一，如：a＞b＞0，|a|＞|b|等10.对于同一平面的三条直线a、b、c，给出以下五个结论:①a∥b;②b∥c;③a⊥b;④a∥c;⑤a⊥c以其中两个为题设，一个为结论，组成一个正确的命题______________________.答案：下列答案任选其一：①若a∥b，b∥c则a∥c②若a∥b，a∥c则b∥c；③若a∥c，b∥c，则a∥b④若a⊥b，a⊥c，则b∥c⑤若a⊥c,b∥c，则a⊥b;⑥若a⊥b，b∥c，则a⊥c二、选择题11.唐伯虎点秋香的故事家喻户晓了，现在来玩个游戏：“唐伯虎点秋香”【规则】下面有四个人，其中一个人是秋香，请你通过下面提示辨别出谁是秋香.友情提示:这四个人分别是∶春香、夏香、秋香、冬香【所给人物】A、B、C、D①A不是秋香，也不是夏香；②B不是冬香，也不是春香；③如果A不是冬香，那么C不是春香；④D既不是夏香，也不是春香；⑤C不是春香，也不是冬香若上面的命题都是真命题，问谁是秋香?A.AB.BC.CD.D答案：D12.下列命题正确的是( )A.两直线与第三条直线相交，同位角相等;B.两直线与第三条直线相交，内错角相等C.两直线平行，内错角相等;D.两直线平行，同旁内角相等答案：C三、解答题13.阅读以下两小题后作出相应的解答:(1)“同位角相等，两直线平行”，“两直线平行，同位角相等”，这两个命题的题设和结论在命题中的位置恰好对凋，我们把其中一命题叫做另一个命题的逆命题，请你写出命题“角平分线上的点到角两边的距离相等的逆命题，并指出逆命题的题设和结论；(2)根据以下语句作出图形，并写出该命题的文字叙述.已知:过直线AB上一点O任作射线OC，OM、ON分别平分∠AOC、∠BOC，则OM⊥ON.答案：(1)到角两边距离相等的点在这个角的平分线上；题设是到角两边距离相等的点，结论是该点在这个角的平分线上(2)图略；邻补角的平分线互相垂直14.如图5-122，给出下列论断:图5-122(2)AB∥DC；(2)AD∥BC；(3)∠A+∠B=180°；(4)∠B+∠C=180°，以其中一个作为题设，一个作为结论，写出一个真命题.想一想，若连接BD，你能自已写出一个真命题吗?试写出—个真命题并写出推理过程.答案：(1)(4)、(2)(3)、(4)(1)、(3)(2)中任选一个；AD∥BC则∠ADB=∠CBD或∠ADB=∠CBD则AD∥BC.略。
平行线及其性质和判定
平行线及其性质和判定
核心纲要1．平行线
(1)定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，直线a与直线b互相平行，记作a∥b．
(2)平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行．注：点必须在直线外，而不是在直线上．
(3)平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．即“平行于同一条直线的两条直线平行”．
2．两条直线的位置关系
在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：
(1)相交；
(2)平行．
注：判断同一平面内两直线的位置关系时，可以根据它们的公共点的个数来确定：①有且只有一个公共点，两直线相交；②无公共点，两直线平行；
3．两直线平行的判定方法
(1)平行线的定义．
(2)平行公理的推论．
(3)同位角相等，两直线平行．
(4)内错角相等，两直线平行．
(5)同旁内角互补，两直线平行．
4．平行线的性质
(1)两直线平行，同位角相等．
(2)两直线平行，内错角相等．
(3)两直线平行，同旁内角互补．
本节重点讲解：一个定义(平行线)，一个位置，五个判定，三个性质．。
北师大版数学八年级上册期末考试考前复习高频考点专题练习一遍过：《平行线性质》(三)
八年级上册期末考试考前复习高频考点专题练习一遍过：《平行线性质》（三）1．如图，已知AB∥CD，CE、BE的交点为E，现作如下操作：第一次操作，分别作∠ABE和∠DCE的平分线，交点为E1，第二次操作，分别作∠ABE1和∠DCE1的平分线，交点为E2，第三次操作，分别作∠ABE2和∠DCE2的平分线，交点为E3，…，第n次操作，分别作∠ABE n﹣1和∠DCE n﹣1的平分线，交点为E n．（1）如图①，已知∠ABE＝50°，∠DCE＝25°，则∠BEC＝°；（2）如图②，若∠BEC＝140°，求∠BE1C的度数；（3）猜想：若∠BEC＝α度，则∠BE n C＝°．2．如图，现有一块含有30°的直角三角板ABC，且l1∥l2，其中∠ABC＝30°．（1）如图（1），当直线l1和l2分别过三角板ABC的两个顶点时，且∠1＝35°，则∠2＝°．（2）如图（2），当∠ADE＝80°时，求∠GFB的度数．（3）如图（3），点Q是线段CD上的一点，当∠QFC＝2∠CFN时，请判断∠ADE和∠QFG的数量关系，并说出理由．3．问题情境：如图1，已知AB ∥CD ，∠APC ＝108°．求∠PAB +∠PCD 的度数．经过思考，小敏的思路是：如图2，过P 作PE ∥AB ，根据平行线有关性质，可得∠PAB +∠PCD ＝ ．问题迁移：如图3，AD ∥BC ，点P 在射线OM 上运动，∠ADP ＝∠α，∠BCP ＝∠β． （1）当点P 在A 、B 两点之间运动时，∠CPD 、∠α、∠β之间有何数量关系？请说明理由．（2）如果点P 在A 、B 两点外侧运动时（点P 与点A 、B 、O 三点不重合），请你直接写出∠CPD 、∠α、∠β之间的数量关系．问题拓展：如图4，MA 1∥NA n ，A 1﹣B 1﹣A 2﹣…﹣B n ﹣1﹣A n 是一条折线段．依据此图信息，把你所发现的结论，用简洁的数学式子表达为 ．4．已知△ABC，过点B作DE⊥BC于点B，过点C作FH∥DE．（1）BC与FH的位置关系是；（2）如图1，点M在直线DE和FH之间，连接BM，CM．若∠ABM＝∠ABD，∠ACM＝∠ACF，∠BAC＝72°，求∠BMC的度数；（3）若∠ABE和∠ACH的平分线交于点N，在图2中补全图形，用等式表示∠BNC与∠BAC 的数量关系，并证明．5．如图，直线AB∥CD，点E、F分别是AB、CD上的动点（点E在点F的右侧），点M为线段EF上的一点，点N为射线FD上的一点，连接MN．（1）如图1，若∠BEF＝150°，MN⊥EF，则∠MNF＝；（2）作∠EMN的角平分线MQ，且MQ∥CD．求∠MNF与∠AEF之间的数量关系；（3）在（2）的条件下，连接EN．且EN恰好平分∠BEF，∠MNF＝2∠ENM，求∠EMN的度数．6．已知AB∥CD，点M、N分别是AB、CD上两点，点E在AB、CD之间，连接EM、EN．（1）如图1，已知∠EMB＝30°，∠END＝40°，求∠MEN的度数；（2）如图2，若点P是AB上方一点，EN平分∠CNP，AM平分∠EMP，已知∠CNE＝25°，求∠MEN+∠P的度数；（3）如图3，若点P是CD下方一点，连接PM、PN，且EN的延长线NF平分∠DNP，PM 平分∠EMB，2∠P+∠MEN＝105°，求∠DNP的度数．7．如图，已知AB∥CD，现将直角三角形PMN放入图中，其中∠P＝90°，PM交AB于点E，PN交CD于点F．（1）当直角三角形PMN所放位置如图①所示时，∠PFD与∠AEM存在怎样的数量关系？请说明理由．（2）当直角三角形PMN所放位置如图②所示时，请直接写出∠PFD与∠AEM之间存在的数量关系．（3）在（2）的条件下，若MN与CD交于点O，且∠AEM＝40°，∠DON＝20°，则∠N的度数为．8．如图，已知AM∥BN，∠A＝58°，点P是射线AM上一动点（与点A不重合），BC、BD 分别平分∠ABP和∠PBN，分别交射线AM于点C，D．（1）①∠ABN的度数是度；②∵AM∥BN，∴∠ACB＝∠．（2）求∠CBD的度数．（3）当点P运动时，∠APB与∠ADB之间的数量关系是否随之发生变化？若不变化，请写出它们之间的关系，并说明理由；若变化，请写出变化规律．（4）当点P运动到使∠ACB＝∠ABD时，∠ABC的度数是．（直接写出结果）9．（1）已知AB∥CD，点M为平面内一点．如图1，BM⊥CM，小颖说过点M作MP∥AB，很容易说明∠ABM和∠DCM互余．请你帮小颖写出具体的思考过程；（2）如图2，AB∥CD，点M在射线ED上运动，当点M移动到点A与点D之间时，试判断∠BMC与∠ABM，∠DCM的数量关系，并说明理由；（3）在（2）的条件下，当点M在射线ED上的其他地方运动时（点M与E，A，D三点不重合），请直接写出∠BMC与∠ABM，∠DCM之间的数量关系．10．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，DE平分∠ADB，∠BDC＝∠BCD．（1）求证：∠1+∠2＝90°；（2）若∠ABD的平分线与CD的延长线交于F，且∠F＝55°，求∠ABC；（3）若H是BC上一动点，F是BA延长线上一点，FH交BD于M，FG平分∠BFH，交DE 于N，交BC于G．当H在BC上运动时（不与B点重合），试判断∠BAD+∠DMH与∠DNG 的数量关系，并说明理由．参考答案1．解：（1）如图①，过E作EF∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥EF∥CD，∴∠B＝∠1，∠C＝∠2，∵∠BEC＝∠1+∠2，∴∠BEC＝∠ABE+∠DCE＝75°；（2）如图2，∵∠ABE和∠DCE的平分线交点为E1，∴由（1）可得，∠BE1C＝∠ABE1+∠DCE1＝∠ABE+∠DCE＝∠BEC＝70°；（3）如图2，∵∠ABE1和∠DCE1的平分线交点为E2，∴由（1）可得，∠BE2C＝∠ABE2+∠DCE2＝∠ABE1+∠DCE1＝∠CE1B＝∠BEC；∵∠ABE 2和∠DCE 2的平分线，交点为E 3，∴∠BE 3C ＝∠ABE 3+∠DCE 3＝∠ABE 2+∠DCE 2＝∠CE 2B ＝∠BEC ； …以此类推，∠E n ＝∠BEC ，∴当∠BEC ＝α度时，∠BE n C 等于（）°．故答案为：75°；（）．2．解：（1）∵l 1∥l 2，∴∠2+∠CAB +∠1+∠ABC ＝180°， ∵∠1＝35°， ∴∠2＝55°． 故答案为：55；（2）∵∠ADE ＝80°，∠A ＝60°，∴∠AED＝40°，∵l1∥l2，∴∠AGF＝40°，∴∠GFB＝10°；（3）3∠ADE＝∠QFG+90°．∵∠ADE+∠CFN＝∠C＝90°，设∠CFN＝x，则∠QFC＝2x，∴∠ADE＝90°﹣x，∠QFG＝180°﹣3x，∴3∠ADE＝∠QFG+90°．3．解：如图2，过P作PE∥AB，∵AB∥CD，∴PE∥AB∥CD，∴∠PAB+∠APE＝180°，∠PCD+∠CPE＝180°，∵∠APC＝108°，∴∠PAB+∠PCD＝360°﹣108°＝252°；故答案为：252°；（1）∠CPD＝∠α+∠β，理由如下：如图3，过P作PE∥AD交CD于E，∵AD∥BC，∴AD∥PE∥BC，∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，∴∠CPD ＝∠DPE +∠CPE ＝∠α+∠β；（2）当P 在BA 延长线时，∠CPD ＝∠β﹣∠α；理由： 如图3﹣1，过P 作PE ∥AD 交CD 于E ， ∵AD ∥BC ， ∴AD ∥PE ∥BC ，∴∠α＝∠DPE ，∠β＝∠CPE ， ∴∠CPD ＝∠CPE ﹣∠DPE ＝∠β﹣∠α； 当P 在BO 之间时，∠CPD ＝∠α﹣∠β．理由： 如图3﹣2，过P 作PE ∥AD 交CD 于E ， ∵AD ∥BC ， ∴AD ∥PE ∥BC ，∴∠α＝∠DPE ，∠β＝∠CPE ， ∴∠CPD ＝∠DPE ﹣∠CPE ＝∠α﹣∠β．问题拓展：分别过A 2，A 3…，A n ﹣1作直线∥A 1M ，过B 1，B 2，…，B n ﹣1作直线∥A 1M ， 由平行线的性质和角的和差关系得∠A 1+∠A 2+…+∠A n ＝∠B 1+∠B 2+…+∠B n ． 故答案为：∠A 1+∠A 2+…+∠A n ＝∠B 1+∠B 2+…+∠B n ．4．解：（1）∵DE⊥BC，∴∠DBC＝90°，∵FH∥DE，∴∠BCF＝180°﹣90°＝90°，∴BC⊥FH；（2）∵∠BAC＝72°，∴∠ABC+∠ACM＝108°，∵FH∥DE，∴∠ABD+∠ACF＝72°，∵∠ABM＝∠ABD，∠ACM＝∠ACF，∴∠ABM+∠ACM＝18°，∴∠BMC＝180°﹣108°﹣18°＝54°；（3）2∠BNC+∠BAC＝360°．如图，∠ABE＝∠ABC+90°，∠ACH＝∠ACB+90°，∵∠ABE和∠ACH的平分线交于点N，∴∠ABN+∠ACN＝∠ABE+∠ACH＝（∠ABC+∠ACB+180°）＝（180°﹣∠BAC+180°）＝180°﹣∠BAC，∵∠ABN+∠ACN＝∠ABC+∠NBC+∠ACB+∠NCB＝180°﹣∠BAC+180°﹣∠BNC，∴180°﹣∠BAC＝180°﹣∠BAC+180°﹣∠BNC，∴2∠BNC+∠BAC＝360°．故答案为：BC⊥FH．5．解：（1）∵AB∥CD，∠BEF＝150°，∴∠DEF＝30°，∵MN⊥EF，∴∠FMN＝90°，∴∠MNF＝60°；（2）如图，∵AB∥CD，MQ∥CD，∴MQ∥AB，∴∠MNF＝∠NMQ，∠EMQ＝∠AEF，∵MQ是∠EMN的角平分线，∴∠NMQ＝∠EMQ，∴∠MNF＝∠AEF；（3）∵AB∥CD，∴∠ENF＝∠BEN，∵EN平分∠BEF，∴∠BEN＝∠FEN，∴∠ENF＝∠FEN，∵∠MNF＝∠AEF，∠MNF＝2∠ENM，∴8∠ENM＝180°，解得∠ENM＝22.5°，∴∠EMN＝2∠MNF＝4∠ENM＝90°．故答案为：60°．6．解：（1）如图1中，作EQ∥AB．∵AB∥CD，EQ∥AB，∴EQ∥CD∥AB，∴∠EMB＝∠QEM，∠END＝∠QEN，∴∠MEN＝∠QEM+∠QEN＝∠EMB+∠END＝30°+40°＝70°．（2）如图2中，设∠AMP＝∠AME＝x，∵∠ENC＝∠ENP＝25°，∴∠E＝x+25°，∴x＝∠E﹣25°，∵∠P+2x＝∠E+25°，∴∠P+2∠E﹣50°＝∠E+25°，∴∠P+∠E＝75°．（3）如图3中，设∠PME＝∠PMB＝x，∠FND＝∠FNP＝y．则有，∴2（x﹣2y）+180°﹣2x+y＝105°，∴y＝25°，∴∠DNP＝2y＝50°．7．解：（1）如图①，作PH∥AB，则∠AEM＝∠HPM，∵AB∥CD，PH∥AB，∴PH∥CD，∴∠PFD＝∠HPN，∵∠MPN＝90°，∴∠PFD+∠AEM＝90°，故答案为：∠PFD+∠AEM＝90°；（2）猜想：∠PFD﹣∠AEM＝90°；理由如下：∵AB∥CD，∴∠PFD+∠BHN＝180°，∵∠BHN＝∠PHE，∴∠PFD+∠PHE＝180°，∵∠P＝90°，∴∠PHE+∠PEB＝90°，∵∠PEB＝∠AEM，∴∠PHE+∠AEM＝90°，∴∠PFD﹣∠AEM＝90°；（3）∵∠P＝90°，∠PEB＝∠AEM＝40°，∴∠PHE＝90°﹣∠PEB＝90°﹣40°＝50°，∵AB∥CD，∴∠HFO＝∠PHE＝50°，∵∠DON＝20°，∴∠N＝∠HFO﹣∠DON＝30°．故答案为：30°．8．解：（1）①∵AM∥BN，∠A＝58°，∴∠A+∠ABN＝180°，∴∠ABN＝122°；②∵AM∥BN，∴∠ACB＝∠CBN；（2）∵AM∥BN，∴∠ABN+∠A＝180°，∴∠ABN＝180°﹣58°＝122°，∴∠ABP+∠PBN＝122°，∵BC平分∠ABP，BD平分∠PBN，∴∠ABP＝2∠CBP，∠PBN＝2∠DBP，∴2∠CBP+2∠DBP＝122°，∴∠CBD＝∠CBP+∠DBP＝61°；（3）不变，∠APB：∠ADB＝2：1．∵AM∥BN，∴∠APB＝∠PBN，∠ADB＝∠DBN，∵BD平分∠PBN，∴∠PBN＝2∠DBN，∴∠APB：∠ADB＝2：1；（4）∵AM∥BN，∴∠ACB＝∠CBN，当∠ACB＝∠ABD时，则有∠CBN＝∠ABD，∴∠ABC+∠CBD＝∠CBD+∠DBN，∴∠ABC＝∠DBN，由（1）可知∠ABN＝122°，∠CBD＝61°，∴∠ABC+∠DBN＝61°，∴∠ABC＝30.5°．故答案为：122，CBN；30.5°．9．解：（1）如图1，过M作MP∥AB，则∠BMP＝∠ABM，又∵AB∥CD，∴MP∥CD，∴∠PMC＝∠MCD，又∵BM⊥CM，∴∠BMP+∠PMC＝90°，∴∠ABM+∠MCD＝90°，∴∠ABM和∠DCM互余；（2）∠ABM+∠DCM＝∠BMC，理由如下：如图2，过M作MF∥AB，交BC于F，则∠ABM＝∠BMF，又∵AB∥CD，∴MF∥CD，∴∠DCM＝∠FMC，∴∠ABM+∠DCM＝∠BMF+∠CMF＝∠BMC；（3）当点M在E、A两点之间时，如图3，∠BMC＝∠DCM﹣∠ABM；当点M在AD的延长线上时，如图4，∠BMC＝∠ABM﹣∠DCM．10．（1）证明：AD∥BC，∠ADC+∠BCD＝180，∵DE平分∠ADB，∠BDC＝∠BCD，∴∠ADE＝∠EDB，∠BDC＝∠BCD，∵∠ADC+∠BCD＝180°，∴∠EDB+∠BDC＝90°，∴∠1+∠2＝90°；（2）解：∠FBD+∠BDE＝90°﹣∠F＝35°，∵DE平分∠ADB，BF平分∠ABD，∴∠ADB+∠ABD＝2（∠FBD+∠BDE）＝70°，又∵四边形ABCD中，AD∥BC，∴∠DBC＝∠ADB，∴∠ABC＝∠ABD+∠DBC＝∠ABD+∠ADB，即∠ABC＝70°；（3）解：在△BMF中，∠BMF＝∠DMH＝180°﹣∠ABD﹣∠BFH，又∵∠BAD＝180°﹣（∠ABD+∠ADB），∴∠DMH+∠BAD＝（180°﹣∠ABD﹣∠BFH）+（180°﹣∠ABD﹣∠ADB）＝360°﹣∠BFH ﹣2∠ABD﹣∠ADB，∴∠DNG＝∠FNE＝180°﹣∠BFH﹣∠AED＝180°﹣∠BFH﹣∠ABD﹣∠ADB＝（∠DMH+∠BAD），即∠BAD+∠DMH＝2∠DNG．。
平行线综合复习及三角形全等基本判定
平行线综合复习及三角形全等基本判定一、知识梳理： （一）平行线1、平行线的判定方法：⑴平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线； ⑵平行公理推论：平行于同一条直线的两条直线平行； ⑶在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行； ⑷ 同位角相等，两条直线平行； ⑸ 内错角相等，两条直线平行； ⑹ 同旁内角互补，两直线平行。
2、平行线的性质：⑴平行线不相交(根据定义)； ⑵两条直线平行，同位角相等； ⑶两条直线平行，内错角相等； ⑷两条直线平行，同旁内角互补。
（二）认识三角形：1. 三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，三角形任意两边之差小于第三边.判断三线段能否构成三角形方法：较短两段之和是否大于最长线段。
2. 三角形中的角的关系：(1)三角形的三个内角的和等于180°； （2）三角形的外角和等于360°；（3）三角形的一个外角等于不相邻的两内角之和； （4）三角形的一个外角大于不相邻的内角. 3. 三角形三线：（1）有三条角平分线，交于一点，在三角形的内部； （2）有三条中线，交于一点，在三角形内部；（3）有三条高线，交于一点，在锐角三角形的内部、在直角三角形的直角顶点处、在钝角三角形的外部.4. 三角形分类： Ⅰ、按角分类：（1）锐角三角形；（2）直角三角形；（3）钝角三角形. Ⅱ、按边分类：（1）不等边三角形；（2）等腰三角形；（3）等边三角形.（三）三角形全等的判定方法：1．全等图形定义：两个能够重合的图形称为全等图形． 2．全等图形的性质：（1）全等图形的形状和大小都相同，对应边相等，对应角相等 （2）全等图形的面积相等3．全等三角形：两个能够完全重合的三角形称为全等三角形（1）表示方法：两个三角形全等用符号“≌”来表示，读作“全等于” 如DEF ABC ∆∆与全等，记作ABC ∆≌DEF ∆（2）符号“≌”的含义：“∽”表示形状相同，“=”表示大小相等，合起来就是形状相同，大小也相等，这就是全等．的角叫做对应角．（4）证两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上． 4．全等三角形的判定（一）：三边对应相等的两个三角形全等，简写成“边边边”或“SSS ”．如图，在ABC ∆和DEF ∆中⎪⎩⎪⎨⎧===DF AC EF BC DE ABABC ∆∴≌DEF ∆ 全等三角形的判定（二）：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS”.几何表示：如图，在ABC ∆和DEF ∆中，ABC EF BC E B DEAB ∆∴⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=≌)(SAS DEF ∆全等三角形的判定（三）：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等．简写成“角边角”或“ASA ” 如图，在ABC ∆与DEF ∆中EB DE AB DA ∠=∠=∠=∠∴)(ASA DEF ABC ∆≅∆ASA 公理推论（AAS 公理）：有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等．直角三角形全等的另外一种特殊判定方法：斜边和直角边对应相应的两直角三角形全等，简写成“斜边直角边”或“HL ”. 如图：在ABC ∆与DEF ∆中，∠C=∠E=90°AB DFAC DE=⎧⎨=⎩ 则Rt ABC ≌Rt DFE二、分类探究：（一）平行线综合巩固：例1、如图，已知AB ∥CD ∥EF ，GC ⊥CF ，∠B ＝60°，∠EFC ＝45°，求∠BCG 的度数. A B C DEFA BCED FD EFAB CA 2C F 3 ED 1 B例2、如图，已知∠1＝∠2，∠C ＝∠D ． 求证：∠A ＝∠F .例3、如图，已知，AB ∥CD .求证：∠α、∠β、∠γ、∠ψ之间的关系是∠α＋∠γ＋∠ψ－∠β＝180°例4、如图，已知AB ∥ MP ∥CD , MN 平分∠AMD ，∠A ＝20°，∠D ＝30°，求∠NMP 的度数.例5、如图，已知∠1＋∠2＝180°，∠3＝∠B ． 求证：∠AED ＝∠ACB.例6、如图将面积为a 2的小正方形和面积为b 2的大正方形放在一起，用添补法如何求出阴影部分面积？（二）认识三角形：例1、下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能摆成三角形吗？为什么？（单位：cm ）（1） 1， 3， 3 （ ） （2） 3， 4， 7 （ ） （3） 5， 9， 13 （ ） （4） 11， 12， 22 （ ） （5） 14， 15， 30 （ ）例2、已知一个三角形的两边长分别是3cm 和4cm ，则第三边长x 的取值范围是 ；若x 是奇数，则x 的值是 ，这样的三角形有 个；若x 是偶数，则x 的值是 ；这样的三角形又有 个。
平行线的判定和性质知识点详解
平行线的判定和性质（综合篇）一、重点和难点:重点：平行线的判定性质。
难点:①平行线的性质与平行线的判定的区分②掌握推理论证的格式。
二、例题：这部分内容所涉及的题目主要是从已知图形中辨认出对顶角、同位角、内错角或同旁内角.解答这类题目的前提是熟练地掌握这些角的概念,关键是把握住这些角的基本图形特征，有时还需添加必要的辅助线，用以突出基本图形的特征.上述类型题目大致可分为两大类。
一类题目是判断两个角相等或互补及与之有关的一些角的运算问题。
其方法是“由线定角”,即运用平行线的性质来推出两个角相等或互补。
另一类题目主要是“由角定线"，也就是根据某些角的相等或互补关系来判断两直线平行，解此类题目必须要掌握好平行线的判定方法.例1．如图,已知直线a,b，c被直线d所截，若∠1=∠2，∠2+∠3=180°，求证：∠1=∠7分析：运用综合法,证明此题的思路是由已知角的关系推证出两直线平行，然后再由两直线平行解决其它角的关系。
∠1与∠7是直线a和c被d所截得的同位角。
须证a//c。
法（一）证明：∵d是直线(已知）∴∠1+∠4=180°(平角定义）∵∠2+∠3=180°，∠1=∠2（已知）∴∠3=∠4(等角的补角相等）∴a//c(同位角相等，两直线平行）∴∠1=∠7（两直线平行,同位角相等）法(二）证明：∵∠2+∠3=180°，∠1=∠2(已知）∴∠1+∠3=180°(等量代换）∵∠5=∠1,∠6=∠3（对顶角相等）∴∠5+∠6=180°（等量代换）∴a//c （同旁内角互补，两直线平行）∴∠1=∠7（两直线平行，同位角相等）。
例2．已知如图，∠1+∠2=180°，∠A=∠C，AD平分∠BDF，求证：BC平分∠DBE.分析：只要求得∠EBC=∠CBD，由∠1+∠2=180°推出∠1=∠BDC,从而推出AE//FC，从而推出∠C=∠EBC而∠C=∠A于是可得∠A=∠EBC.因此又可得AD//BC，最后再运用平行线性质和已知条件便可推出∠EBC=∠DBC.证明：∵∠2+∠BDC=180°（平角定义）又∵∠2+∠1=180°（已知）∴∠BDC=∠1（同角的补角相等）∴AE//FC（同位角相等两直线平行）∴∠EBC=∠C（两直线平行内错角相等）又∵∠A=∠C（已知)∴∠EBC=∠A(等量代换)∴AD//BC（同位角相等，两直线平行）∴∠ADB=∠CBD（两直线平行，内错角相等）∠ADF=∠C（两直线平行，同位角相等）又∵DA平分∠BDF（已知）∴∠ADB=∠ADF（角平分线定义)∴∠EBC=∠DBC(等量代换）∴BC平分∠DBE（角平分线定义）说明：这道题反复应用平行线的判定和性质，这是以后在证题过程中经常使用的方法，见到“平行"应想到有关的角相等，见到有关的角相等,就应想到能否判断直线间的平行关系.把平行线的判定与性质紧密地结合在一起也就是使直线平行和角相等联系在一起，这样解题能得心应手，灵活自如。
平行线的判定与性质讲习
E 1
┏ ┏
G 2
D
B
F
C
分析问题的方法： 由已知看可知，扩大已知面。 由未知想需知，明确解题方向 识图的方法： 在定理图形中提炼基本图形， 在解题时把复杂图形分解为基本图形
如图，直线AD与AB,CD相交于A，D两 点，EC,BF与AB,CD相交于点E，C，B， F，如果∠ 1= ∠ 2， ∠ B= ∠ C，求证： ∠ A= ∠ D
∵AD∥BC（ ∴∠1=∠ABC（ ∠5=∠C（ 又∵∠ABC=∠C （ ）， ∴∠1=∠5（ 即AD平分∠EAC。 ）， ）， ）。
4
E
A
3
1
D
5
B 2 C
），
已知：CD∥EF, ∠1= ∠2,求证： ∠AGD= ∠ACB。 A
证明：∵CD ∥EF ( ∴ ∠2= ∠3 ( ∵ ∠1= ∠2 ( C D F 1 G ) )
A
F 形模式
引入 建模
Z 形模式
应用
小结
C 形模式
next
感悟模式
A ∵DE∥BC D B E C
∵ ∠B＝∠ADE ∵ ∠C＝∠AED
∴∠B＝∠ADE ∴∠C＝∠AED ∴∠B＋∠BDE＝180°
∴∠C＋∠CED＝180°
∴DE∥BC
∵ ∠B＋∠BDE＝180° ∵ ∠C＋∠CED＝180°
名称:
． ）．
6．如图6，直线l1∥l2，AB⊥l1于O，BC与l2交于E，∠1 = 43°，则∠2 = 7．如图7，AB∥CD，AC⊥BC，图中与∠CAB互余的角有 8．如图8，AB∥EF∥CD，EG∥BD，则图中与∠1相等的角（不包括∠1）共有
． ． 个．
1．如图１，若角A=角3，则 ∥ ； 若角2=角E，则 若角 +角 = 180°，则 ∥ ．
5.3.1.2 平行线的判定与性质 复习(kj)
如图1，直线a、b、c被直线l所截，量得 ∠1=∠2=∠3.
从∠1=∠2可以知道 a∥ b ，它的根据 是 同位角相等，两直线平行。
从∠1=∠3可以知道 a ∥ c，它的根据 是 内错角相等，两。直线平行 l
1
a
23
b c
图1
如图，若∠1=∠2，则 AD∥ BC； 理由是 内错角相等，两；直线平行
E
∴ DE//BC（同位角相等，两直线平行）. B
C
∴ ∠AED=∠C=800 ( 两直线平行，同位角相等 ).
注意：此处 应用的是平 行线的判定。
注意：此处 应用的是平 行线的性质。
若∠1与∠2的关系为内错角,∠1=40°,
则∠2等于( D )
A.40°
B. 140°
C. 40°或140° D. 不确定
如图, AB//CD, BC//DE, 则B D是多少？
ABE
C
D
变式题：把上题中AB//CD, BC//DE，B D __ 这三个语句重新排序，能编写几个命题？
你认为是真命题的，写出证明，你认为是假命题 的，举出一个反例.
1. 证明角相等的基本方法 ：
⑴同角(等角)的余角(补角)相等； ⑵对顶角相等； ⑶两直线平行,同位角相等(内错角相等,同旁内角互补)
2. 平行线的判定与性质的区别： 平行线的判定和平行线的性质不能混淆,应分清定理的条 件结论： ⑴判定说的是满足什么条件的两直线是互相平行的． ⑵性质说的是如果两条直线平行，它具有什么性质． 由此可见，判定定理与性质定理是因果关系倒置的两类 定理（称为“互逆”定理）．
已知D是AB上一点, E是AC上一点, ADE 60,B 60, AED 40. (1)DE和BC平行吗?为什么?
平行线的判定与性质(重点题专项讲练)(人教版)(解析版)
专题5.4 平行线的判定与性质【典例1】如图，已知点A在EF上，点P，Q在BC上，∠E＝∠EMA，∠BQM＝∠BMQ．（1）求证：EF∠BC；（2）若FP∠AC，∠2+∠C＝90°，求证：∠1＝∠B；（3）若∠3+∠4＝180°，∠BAF＝3∠F﹣20°，求∠B的度数．【思路点拨】E＝∠EMA，∠BQM＝∠BMQ，结合对顶角相等可得∠E＝∠BQM，利用内错角相等两直线平行可证明结论；（2）根据垂直的定义可得∠PGC＝90°，由两直线平行同旁内角互补可得∠EAC+∠C＝180°，结合∠2+∠C＝90°，可求得∠BAC＝90°，利用同位角相等两直线平行可得AB∠FP，进而可证明结论；（3）根据同旁内角互补可判定AB∠FP，结合∠BAF＝3∠F﹣20°可求解∠F的度数，根据平行线的性质可得∠B＝∠F，即可求解．【解题过程】E＝∠EMA，∠BQM＝∠BMQ，∠EMA＝∠BMQ，∠∠E＝∠BQM，∠EF∠BC；（2）证明：∠FP∠AC，∠∠PGC＝90°，∠EF∠BC，∠∠EAC+∠C＝180°，∠∠2+∠C＝90°，∠∠BAC＝∠PGC＝90°，∠AB∠FP，∠∠1＝∠B；（3）解：∠∠3+∠4＝180°，∠4＝∠MNF，∠∠3+∠MNF＝180°，∠AB∠FP，∠∠F+∠BAF＝180°，∠∠BAF＝3∠F﹣20°，∠∠F+3∠F﹣20°＝180°，解得∠F＝50°，∠AB∠FP，EF∠BC，∠∠B＝∠1，∠1＝∠F，∠∠B＝∠F＝50°．1．（2021•鞍山一模）如图，∠1＝∠2＝∠3＝56°，则∠4的度数是（）A．56°B．114°C．124°D．146°【思路点拨】根据对顶角相等得到∠2＝∠5，结合∠1＝∠2，得到∠1＝∠5，即可判定l1∠l2，根据平行线的性质得出∠6＝56°，再根据邻补角的定义求解即可．【解题过程】解：如图，∠∠1＝∠2，∠2＝∠5，∠∠1＝∠5，∠l1∠l2，∠∠3＝∠6，∠∠3＝56°，∠∠6＝56°，∠∠4+∠6＝180°，∠∠4＝180°﹣56°＝124°，故选：C．2．（2021•雁塔区校级模拟）如图，在三角形ABC中，CD平分∠ACB，∠1＝∠2＝36°，则∠3＝（）A．36°B．52°C．72°D．80°【思路点拨】由平行线的判定定理可得AC∠DE，由平行线的性质可得∠ACB＝∠3，由平分线的定义可得∠ACB＝2∠1＝72°，即得∠3的度数．【解题过程】解：∠∠1＝∠2＝36°，∠AC∠DE，∠∠ACB＝∠3，∠CD平分∠ACB，∠∠ACB＝2∠1＝72°，∠∠3＝72°．故选：C．3．（2021春•单县期末）如图，AB∠BC于点B，DC∠BC于点C，DE平分∠ADC交BC于点E，点F为线段CD延长线上一点，∠BAF＝∠EDF，则下列结论正确的有（）∠∠BAD+∠ADC＝180°；∠AF∠DE；∠∠DAF＝∠F．A．3个B．2个C．1个D．0个【思路点拨】∠证明AB∠CD，可做判断；∠根据平行线的判定和性质可做判断；∠根据AF∠ED得内错角相等和同位角相等，再由角平分线的定义得∠ADE＝∠CDE，从而可做判断．【解题过程】解：∠∠AB∠BC，DC∠BC，∠AB∠CD，∠∠BAD+∠ADC＝180°，故∠正确；∠∠AB∠CD，∠∠AFD+∠BAF＝180°，∠∠BAF＝∠EDF，∠∠AFD+∠EDF＝180°，∠AF∠DE，故∠正确；∠∠AF∠ED，∠∠DAF＝∠ADE，∠F＝∠CDE，∠DE平分∠ADC，∠∠ADE＝∠CDE，∠∠DAF＝∠F，故∠正确；故选：A．4．（2021春•德宏州期末）如图所示，AC∠BC，DC∠EC，则下列结论：∠∠1＝∠3；∠∠ACE+∠2＝180°；∠若∠A＝∠2，则有AB∠CE；∠若∠2＝∠E，则有∠4＝∠A．其中正确的有（）A．∠∠∠B．∠∠∠C．∠∠D．∠∠∠∠【思路点拨】由已知可得∠1+∠2＝90°，∠3+∠2＝90°，等量代换即可得出∠结论；延长EC，如图1，由已知条件可得∠1+∠5＝90°，∠1+∠2＝90°，可得∠2＝∠5，根据平角的性质可得∠ACE+∠5＝180°，等量代换即可得出∠结论；由已知条件可得∠A＝∠2，∠ACE+∠2＝180°，等量代换可得∠A+∠ACE＝180°，根据平行线的判定即可得出∠结论；由平行线的性质可得∠E＝∠4，由已知条件∠2＝∠E，∠2＝∠A，等量代换可得∠4＝∠A．即可得出∠结论．【解题过程】证明：∠AC∠BC，DC∠EC，∠∠1+∠2＝90°，∠3+∠2＝90°，∠∠1＝∠3．故结论∠正确；延长EC，如图1，∠DC∠CE，AC∠BC，∠∠1+∠5＝90°，∠1+∠2＝90°，∠∠2＝∠5，∠∠ACE+∠5＝180°，∠∠ACE+∠2＝180°．故结论∠正确；∠∠A＝∠2，∠ACE+∠2＝180°，∠∠A+∠ACE＝180°，∠AB∠CE．故结论∠正确；∠AB∠CE，∠∠E＝∠4，∠∠2＝∠E，∠2＝∠A，∠∠4＝∠A．故结论∠正确．所以结论正确的有∠∠∠∠．故选：D．5．（2021春•汉川市期末）如图，AD∠BC，∠B＝∠D，延长BA至点E，连接CE，∠EAD∠EAD+∠ECD；∠若和∠ECD的角平分线交于点P．下列三个结论：∠AB∠CD；∠∠AOC=12∠E＝60°，∠APC＝70°，则∠D＝80°．其中结论正确的个数有（）A．0B．1C．2D．3【思路点拨】∠EAD，∠E＝∠根据平行线的性质与判定即可判断；∠∠AOC＝∠EAP+∠E，而∠EAP==12∠ECD，即可判断；∠利用平行线的性质和角平分线定义即可判断．【解题过程】解：∠AD∠BC，∠∠BAD+∠B＝180o，∠∠B＝∠D，∠∠BAD+∠D＝180o，∠AB∠CD，故∠正确；∠AB∠CD，∠∠ECD＝∠E，∠AP平分∠EAD，∠EAD∠∠EAP=12∠∠AOC＝∠EAP+∠E，∠∠AOC=1∠EAD+∠ECD，故∠正确；2∠∠ECD＝∠E＝60o，∠CP平分∠ECD，∠ECD＝30°，∠∠ECP=12∠∠APC＝70°，∠AOE＝∠COP，∠∠EAP＝40°，∠AP平分∠EAD，∠∠EAD＝2∠EAP＝80°，∠AB∠CD，∠∠D＝∠EAD＝80°，故∠正确；故选：D．6．（2021春•夏津县期末）如图，CB平分∠ACD，∠2＝∠3，若∠4＝60°，则∠5的度数是．【思路点拨】由∠2与∠3间关系，可得到AB与CD的位置关系，利用角平分线的性质和平行线的性质可求得∠5度数．【解题过程】解：∠CB平分∠ACD，∠ACD．．∠∠1＝∠2=12∠∠2＝∠3，∠AB∠CD．∠∠5＝∠2，∠4＝∠ACD＝60°．∠∠5＝∠2＝30°．故答案为：30°．7．（2021秋•嵩县期末）如图，AE∠CF，∠ACF的平分线交AE于点B，G是CF上的一点，∠GBE的平分线交CF于点D，且BD∠BC，下列结论：∠BC平分∠ABG；∠AC∠BG；∠与∠DBE互余的角有2个；∠若∠A＝α，则∠BDF＝180°−α．其中正确的是．（请把正确结论的序号都填上）8【思路点拨】根据平行线的性质得出∠A和∠ACB的关系，再根据角平分线的性质找出图中相等的角，由等角的余角相等即可得出结论．【解题过程】解：∠CBD＝90°，∠∠ABC+∠EBD＝90°，又∠∠DBG＝∠EBD，∠∠ABC＝∠CBG，∠BC平分∠ABG，∠∠正确，∠∠GBC＝∠ABC＝∠ACB，∠AC∠BG，∠∠正确，∠∠DBE＝∠DBG，∠与∠DBE互余的角有∠ABC，∠GBC，∠ACB，∠GCB，有4个，∠∠错误，∠∠BDF＝180°﹣∠BDG，∠BDG＝90°﹣∠CBG＝90°﹣∠ACB，又∠∠ACB=12×（180°﹣α）＝90°−α2，∠∠BDF＝180°﹣[90°﹣（90°−α2）]＝180°−α2，∠∠错误，故答案为：∠∠．8．（2021春•凤山县期末）如图，已知∠1＝∠2，∠C＝∠F．请指出∠A与∠D的数量关系，并说明理由．【思路点拨】根据∠1＝∠2，∠3＝∠2，可得∠1＝∠3，得BF∠CE，根据平行线的性质得∠ABF＝∠C，由∠C ＝∠F，得∠ABF＝∠F，即可得出AC∠DF，得∠A和∠D的数量关系是相等．【解题过程】解：∠A和∠D的数量关系是相等．理由是：如图，∠∠1＝∠2，∠3＝∠2，∠∠1＝∠3，∠BF∠CE，∠∠ABF＝∠C，∠∠C＝∠F，∠∠ABF＝∠F，∠AC∠DF，∠∠A＝∠D．9．（2021春•陇县期末）如图，∠AEM+∠CDN＝180°，EC平分∠AEF．若∠EFC＝62°，求∠C的度数．【思路点拨】根据同角的补角相等可得出∠AEM＝∠CDM，利用“同位角相等，两直线平行”可得出AB∠CD，由“两直线平行，同旁内角互补”及∠EFC＝62°可求出∠AEF＝118°，结合角平分线的定义可求出∠AEC的度数，再利用“两直线平行，内错角相等”即可求出∠C的度数．【解题过程】解：∠∠CDM+∠CDN＝180°，又∠∠AEM+∠CDN＝180°，∠∠AEM＝∠CDM，∠AB∠CD，∠∠AEF+∠EFC＝180°，∠∠EFC＝62°，∠∠AEF＝118°，∠EC平分∠AEF，∠∠AEC＝59°，∠AB∠CD，∠∠C＝∠AEC＝59°．10．（2021春•江都区校级期中）已知：如图，CD∠AB，FG∠AB，垂足分别为D、G，点E 在AC上，且∠1＝∠2．（1）那么DE与BC平行吗？为什么？（2）如果∠B＝40°，且∠A比∠ACB小10°，求∠DEC的度数．【思路点拨】（1）根据CD∠AB，FG∠AB，可判定CD∠FG，利用平行线的性质可知∠2＝∠BCD，已知∠1＝∠2，等量代换得∠1＝∠BCD，故可证DE与BC平行；（2）根据三角形内角和求出∠ACB＝75°，再根据平行线的性质即可求解．【解题过程】解：（1）DE∠BC，理由如下：∠CD∠AB，FG∠AB，∠CD∠FG．∠∠2＝∠BCD，又∠∠1＝∠2，∠∠1＝∠BCD，∠DE∠BC；（2）∠∠B＝40°，∠ACB﹣10°＝∠A，∠∠ACB+（∠ACB﹣10°）+40°＝180°，∠∠ACB＝75°，由（1）知，DE∠BC，∠∠DEC+∠ACB＝180°，∠∠DEC＝105°．11．（2021春•老河口市期末）如图，已知∠1＝∠BDC，∠2+∠3＝180°．（1）求证：AD∠CE；（2）若DA平分∠BDC，CE∠AE于E，∠F AB＝55°，求∠1的度数．【思路点拨】（1）根据同位角相等，两直线平行可判定AB∠CD，得到∠2＝∠ADC，等量代换得出∠ADC+∠3＝180°，即可根据同旁内角互补，两直线平行得解；（2）由CE∠AE，AD∠CE得出∠DAF＝∠CEF＝90°，再根据平行线的性质即可求出∠ADC ＝∠2＝35°，再根据角平分线的定义即可得解．【解题过程】（1）证明：∠∠1＝∠BDC，∠AB∠CD，∠∠2＝∠ADC，∠∠2+∠3＝180°，∠∠ADC+∠3＝180°，∠AD∠CE；（2）解：∠CE∠AE于E，∠∠CEF＝90°，由（1）知AD∠CE，∠∠DAF＝∠CEF＝90°，∠∠ADC＝∠2＝∠DAF﹣∠F AB，∠∠F AB＝55°，∠∠ADC＝35°，∠DA平分∠BDC，∠1＝∠BDC，∠∠1＝∠BDC＝2∠ADC＝70°．12．（2021春•镇江期中）已知：如图所示，∠BAC和∠ACD的平分线交于E，AE交CD于点F，∠1+∠2＝90°．（1）求证：AB∠CD；（2）试探究∠2与∠3的数量关系，并说明理由．【思路点拨】（1）根据角平分线定义得出∠BAC＝2∠1，∠ACD＝2∠2，根据∠1+∠2＝90°得出∠BAC+∠ACD ＝180°，根据平行线的判定得出即可；（2）根据平行线的性质和角平分线定义得出∠1＝∠3，即可求出答案．【解题过程】（1）证明：∠∠BAC和∠ACD的平分线交于E，∠∠BAC＝2∠1，∠ACD＝2∠2，∠∠1+∠2＝90°，∠∠BAC+∠ACD＝180°，∠AB∠CD；（2）解：∠2+∠3＝90°，理由如下：∠AF平分∠BAC，∠∠BAF＝∠1，∠AB∠CD，∠∠BAF＝∠3，∠∠1＝∠3，∠∠1+∠2＝90°，∠∠2+∠3＝90°．13．（2021秋•禅城区期末）已知：如图，点B、C在线段AD的异侧，点E、F分别是线段AB、CD上的点，∠AEG＝∠AGE，∠C＝∠DGC．（1）求证：AB∠CD；（2）若∠AGE+∠AHF＝180°，求证：∠B＝∠C；（3）在（2）的条件下，若∠BFC＝4∠C，求∠D的度数．【思路点拨】（1）由对顶角相等可得∠AGE＝∠DGC，从而可得∠AEG＝∠C，则可判定AB∠CD；（2）由平角的定义可得∠AGE+∠EGH＝180°，从而可求得∠EGH＝∠AHF，则可判定EC∠BF，则有∠B＝∠AEG，从而可求证；（3）由（2）得BF∠EC，则有∠C+∠BFC＝180°，从而可求∠C的度数，利用三角形的内角和即可求∠D的度数．【解题过程】（1）证明：∠∠AEG＝∠AGE，∠C＝∠DGC，∠AGE＝∠DGC，∠∠AEG＝∠C，∠AB∠CD；（2）证明：∠∠AGE+∠EGH＝180°，∠AGE+∠AHF＝180°，∠∠EGH＝∠AHF，∠EC∠BF，∠∠B＝∠AEG，∠AB∠CD，∠∠C＝∠AEG，∠∠B＝∠C；（3）解：∠BF∠EC，∠∠C+∠BFC＝180°，∠∠BFC＝4∠C，∠∠C+4∠C＝180°，解得∠C＝36°，∠∠C＝∠DGC，∠∠DGC＝36°，∠∠D＝180°﹣∠C﹣∠DGC＝108°．14．（2021秋•南岗区期末）已知：在四边形ABCD中，∠B＝∠D，点E在边BC的延长线上，连接AE交CD于点F，若∠BAF+∠AFC＝180°．（1）如图1，求证：AD∠BC；（2）如图2，过点D作DG∠AE交BE的延长线于点C，若∠G＝∠B，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中除∠B以外的四个与∠G相等的角．【思路点拨】（1）由已知条件可得AB∠CD，从而有∠B＝∠ECD，则可求得∠D＝∠ECD，即可得AD∠BC；（2）利用平行线的性质进行求解即可．【解题过程】（1）证明：∠∠BAF+∠AFC＝180°，∠AB∠CD，∠∠B＝∠ECD，∠∠D＝∠ECD，∠AD∠BC；（2）∠DG∠AE，∠∠G＝∠AEB，由（1）得AD∠BC，∠∠AEB＝∠DAE，∠ADC＝∠DCG，∠∠G＝∠DAE，∠∠B＝∠ADC，∠G＝∠B，∠∠G＝∠ADC＝∠DCG，综上所述，所∠G相等的角有：∠AEB，∠DAE，∠ADC，∠DCG．15．（2021秋•安居区期末）如图，∠ADE+∠BCF＝180°，AF平分∠BAD，∠BAD＝2∠F．（1）AD与BC平行吗？请说明理由．（2）AB与EF的位置关系如何？为什么？（3）若BE平分∠ABC．试说明：∠∠ABC＝2∠E；∠∠E+∠F＝90°．【思路点拨】（1）由∠ADE+∠BCF＝180°结合邻补角互补，可得出∠BCF＝∠ADC，再利用“同位角相等，两直线平行”可得出AD∠BC；（2）根据角平分线的定义及∠BAD＝2∠F，可得出∠BAF＝∠F，再利用“内错角相等，两直线平行”可得出AB∠EF；（3）∠由AB∠EF，利用“两直线平行，内错角相等”可得出∠ABE＝∠E，结合角平分线的定义可得出∠ABC＝2∠E；∠由AD∠BC，利用“两直线平行，同旁内角互补”可得出∠BAD+∠ABC＝180°，再结合∠BAD ＝2∠F，∠ABC＝2∠E可得出∠E+∠F＝90°．【解题过程】解：（1）AD∠BC，理由如下：∠∠ADE+∠BCF＝180°，∠ADE+∠ADC＝180°，∠∠BCF＝∠ADC，（2）AB∠EF，理由如下：∠AF平分∠BAD，∠BAD＝2∠F，∠BAD＝∠F，∠∠BAF=12∠AB∠EF．（3）∠∠ABC＝2∠E，理由如下：∠AB∠EF，∠∠ABE＝∠E．∠BE平分∠ABC，∠∠ABC＝2∠ABE＝2∠E．∠∠E+∠F＝90°，理由如下：∠AD∠BC，∠∠BAD+∠ABC＝180°．∠∠BAD＝2∠F，∠ABC＝2∠E，∠2∠E+2∠F＝180°，∠∠E+∠F＝90°．16．（2021春•铁西区期末）如图，直线MN分别与直线AC、DG交于点B、F，且∠1＝∠2．∠ABF 的角平分线BE交直线DG于点E，∠BFG的角平分线FC交直线AC于点C．（1）请直接写出直线AC与DG的位置关系；（2）求证：BE∠CF；（3）若∠C＝35°，求∠BED的度数．【思路点拨】（1）由对顶角相等可得∠ABF＝∠1，从而有∠ABF＝∠2，即可得AC∠DG；（2）求出∠1＝∠BFG，根据平行线的判定得出AC∠DG，求出∠EBF＝∠BFC，根据平行线的判定得出即可；（3）根据平行线的性质得出∠C＝∠CFG＝∠BEF＝35°，再求出答案即可．【解题过程】解：（1）AC∠DG，理由如下：∠∠ABF＝∠1，∠1＝∠2，∠∠ABF＝∠2，∠AC∠DG；（2）由（1）知AC∠DG，∠∠ABF＝∠BFG，∠∠ABF的角平分线BE交直线DG于点E，∠BFG的角平分线FC交直线AC于点C，∠∠EBF=12∠ABF，∠CFB=12∠BFG，∠∠EBF＝∠CFB，∠BE∠CF．（3）∠AC∠DG，∠C＝35°，∠∠C＝∠CFG＝35°，∠BE∠CF，∠∠CFG＝∠BEG＝35°，∠∠BED＝180°﹣∠BEG＝145°．17．（2021春•广陵区校级期中）如图1，直线MN与直线AB、CD分别交于点E、F，∠1与∠2互补．（1）试判断直线AB与直线CD的位置关系，并说明理由；（2）如图2，∠AEF与∠EFC的角平分线交于点P，EP延长线与CD交于点G，点H是MN 上一点，且PF∠GH，试判断直GH与EG的位置关系，并说明理由．【思路点拨】（1）利用邻补角的定义及已知得出∠1＝∠CFE，即可判定AB∠CD；（2）利用（1）中平行线的性质推知∠AEF+∠EFC＝180°，然后根据角平分线的性质、三角形内角和定理证得∠EPF＝90°，即EG∠PF，故结合已知条件PF∠GH，易证GH∠EG；【解题过程】解：（1）AB∠CD，理由如下：∠∠1与∠2互补，∠∠1+∠2＝180°，又∠∠2+∠CFE＝180°，∠∠1＝∠CFE，∠AB∠CD；（2）GH∠EG，理由如下：由（1）知，AB∠CD，∠∠AEF+∠EFC＝180°．又∠∠AEF与∠EFC的角平分线交于点P，∠∠FEP+∠EFP=1（∠BEF+∠EFD）＝90°，2∠∠EPF＝90°，即EG∠PF，∠PF∠GH，∠GH∠EG．18．（2021秋•嵩县期末）图1展示了光线反射定律：EF是镜面AB的垂线，一束光线m射到平面镜AB上，被AB反射后的光线为n，则入射光线m，反射光线n与垂线EF所夹的锐角θ1＝θ2．（1）在图1中，证明：∠1＝∠2．（2）图2中，AB，BC是平面镜，入射光线m经过两次反射后得到反射光线n，已知∠1＝30°，∠4＝60°，判断直线m与直线n的位置关系，并说明理由．（3）图3是潜望镜工作原理示意图，AB，CD是平行放置的两面平面镜．请解释进入潜望镜的光线m为什么和离开潜望镜的光线n是平行的？【思路点拨】（1）根据角的关系解答即可；（2）求出∠5+∠6＝180°，根据平行线的判定得出即可；（3）根据平行线的性质和平均的定义得到∠5＝∠6，根据平行线的判定得出即可．【解题过程】（1）证明：∠∠AFE＝∠BFE＝90°，∠θ1＝θ2．（2）解：直线m∠直线n，理由：如图2，∠∠1＝∠2＝30°，∠3＝∠4＝60°，∠∠5＝180°﹣∠1﹣∠2＝120°，∠6＝180°﹣∠3﹣∠4＝60°，∠∠5+∠6＝180°，∠直线m∠直线n；（3）解：∠AB∠CD，∠∠2＝∠3，∠∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠∠1＝∠2＝∠3＝∠4，∠180°﹣∠1﹣∠2＝180°﹣∠3﹣∠4，即：∠5＝∠6，∠m∠n．19．（2021秋•上蔡县期末）已知：如图，AB∠CD∠GH，GH过点P．（1）如图1，若∠BAP＝40°，∠DCP＝30°，则∠APC＝（直接写出结果）；（2）如图2，直线MN分别交AB于点E，交CD于点F，点P在线段EF上，点Q在射线FC上．若∠MEB＝110°，∠PQF＝50°，求∠EPQ的度数；（3）如图3，点P在射线FN上，点Q在射线FD上，∠AEF的平分线交CD于点O．若∠PQF= 1∠MEB，试判断OE与PQ是否平行？并说明理由．2（1）依据平行线的性质，即可得到∠APG ＝∠BAP ＝40°，∠CPG ＝∠DCP ＝30，再根据∠APC ＝∠APG +∠CPG 进行计算即可；（2）利用邻补角的定义可得∠BEP ＝180°﹣110°＝70°，利用（1）的结论即可得∠EPQ 的度数； （3）根据对顶角相等以及角平分线的定义可得∠PQF =12∠MEB =12∠AEF ＝∠AEO ，再根据平行线的性质∠AEO ＝∠EOF ，可得∠PQF ＝∠EOF ，根据内错角相等两直线平行即可得OE ∠PQ ．【解题过程】解：（1）∠AB ∠CD ∠GH ，∠∠APG ＝∠BAP ＝40°，∠CPG ＝∠DCP ＝30，∠∠APC ＝∠APG +∠CPG ＝40°+30°＝70°，故答案为：70°；（2）∠∠MEB ＝110°，∠∠BEP ＝180°﹣110°＝70°，由（1）可得：∠EPQ ＝∠EPG +∠QPG ＝∠BEP +∠PQF ＝70°+50°＝120°；（3）OE ∠PQ ．理由：∠∠PQF =12∠MEB ，∠MEB ＝∠AEF ，∠∠PQF =12∠MEB =12∠AEF ，∠EO 平分∠AEF ．∠∠PQF =12∠AEF ＝∠AEO ， ∠AB ∠CD ，∠∠AEO ＝∠EOF ，∠∠PQF ＝∠EOF ，∠OE ∠PQ ．20．（2021春•汉阳区期中）如图1，已知两条直线AB ，CD 被直线EF 所截，分别交于点E ，F ，EM 平分∠AEF 交CD 于点M ，且∠FEM ＝∠FME ．（1）直线AB 与直线CD 的位置关系是 ；（2）如图2，点G 是射线FD 上一动点（不与点F 重合），EH 平分∠FEG 交CD 于点H ，过点H 作HN ∠EM 于点N ，设∠EHN ＝α，∠EGF ＝β．∠当点G 在运动过程中，若β＝56°，求α的度数；∠当点G 在运动过程中，α和β之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明．【思路点拨】（1）根据角平分线的性质可得∠AEM＝∠FEM，由已知条件∠FEM＝∠FME，等量代换可得∠AEM＝∠FME，由平行线的判定即可得出答案；（2）由平行线的性质可得β＝∠GEB，由平角的性质可得∠AED＝180°﹣∠GEB，根据角平分线的性质可得∠CEF=12∠AEF，∠FEH=12∠FEG，由∠CEH＝∠CEF+∠FEH可计算出度数，根据垂线的性质可得α+∠CEH＝90°，代入计算即可得出答案；（3）证明方法同（2）．【解题过程】证明：（1）∠EM平分∠AEF，∠∠AEM＝∠FEM，∠∠FEM＝∠FME，∠∠AEM＝∠FME，∠AB∠CD．故答案为：AB∠CD；（2）∠∠AB∠CD，∠β＝∠GEB＝56°，∠∠AEG＝180°﹣∠GEB＝180°﹣56°＝124°，∠EH平分∠FEG，EM平分∠AEF，∠∠CEF=12∠AEF，∠FEH=12∠FEG，∠∠CEH＝∠CEF+∠FEH=12∠AEF+12∠FEG=12(∠AEF+∠FEG)=12∠AED=12×124°=62°，∠HN∠EM，∠α+∠CEH＝90°，∠α＝90°﹣∠CEH＝90°﹣62°＝28°；∠a=12β．理由如下：∠AB∠CD，∠β＝∠GEB，∠∠AED＝180°﹣∠GEB＝180°﹣β，∠EH平分∠FEG，EM平分∠AEF，∠∠CEF=12∠AEF，∠FEH=12∠FEG，∠∠CEH＝∠CEF+∠FEH=12∠AEF+12∠FEG=12(∠AEF+∠FEG)=12∠AEG=12(180°−β)，∠HN∠EM，∠α+∠CEH＝90°，∠α+12(180°−β)=90°，即a=12β．21．（2021秋•南岗区校级期中）已知，直线EF分别与直线AB、CD相交于点G、H，并且∠AGE+∠DHE＝180°．（1）如图1，求证：AB∠CD．（2）如图2，点M在直线AB、CD之间，连接MG、HM，当∠AGM＝32°，∠MHC＝68°时，求∠GMH的度数．（3）只保持（2）中所求∠GMH的度数不变，如图3，GP是∠AGM的平分线，HQ是∠MHD 的平分线，作HN∠PG，则∠QHN的度数是否改变？若不发生改变，请求出它的度数．若发生改变，请说明理由．（本题中的角均为大于0°且小于180°的角）【思路点拨】（1）先由邻补角得到∠AGE+∠BGE＝180°，然后结合∠AGE+∠DHE＝180°得到∠BGE＝∠DHE，最后得证AB∠CD；（2）先由AB∠CD得到∠AGH+∠CHG＝180°，即∠AGM+∠MGH+∠MHG+∠MHC＝180°，再结合∠MGH+∠MHG+∠GMH＝180°得到∠GMH＝∠AGM+∠MHC，最后结合已知条件得到∠GMH的大小；（3）先由（2）得到∠AGM+∠MHC＝∠GMH＝100°，∠MGH+∠MHG＝80°，然后结合角平分线的定义得到∠MGP和∠MHQ，再结合HN∠PG得到∠GHN＝∠PGH，最后由∠QHN＝∠GHN﹣∠GHQ求得∠QHN的大小．【解题过程】（1）证明：∠∠AGE +∠BGE ＝180°，∠AGE +∠DHE ＝180°，∠∠BGE ＝∠DHE ，∠AB ∠CD ．（2）解：∠AB ∠CD ，∠∠AGH +∠CHG ＝180°，即∠AGM +∠MGH +∠MHG +∠MHC ＝180°，∠∠MGH +∠MHG +∠GMH ＝180°，∠∠GMH ＝∠AGM +∠MHC ，∠∠AGM ＝32°，∠MHC ＝68°，∠∠GMH ＝100°．（3）解：∠QHN 的度数不发生改变，理由如下，由（2）得，∠AGM +∠MHC ＝∠GMH ＝100°，∠∠MGH +∠MHG ＝80°，∠GP 、HQ 分别平分∠MGA 和∠MHD ，∠∠MGP =12∠MGA ，∠MHQ =12∠MHD =12（180°﹣∠MHC ）＝90°−12∠MHC ， ∠∠PGH ＝∠MGP +∠MGH =12∠MGA +∠MGH ， ∠HN ∠PG ， ∠∠GHN ＝∠PGH =12∠MGA +∠MGH ，∠∠QHN ＝∠GHN ﹣∠GHQ ＝（12∠MGA +∠MGH ）﹣（∠MHQ ﹣∠MHG ）=12∠MGA +∠MGH ﹣∠MHQ +∠MHG =12∠MGA +80°﹣∠MHQ ，∠∠QHN =12∠MGA +80°﹣（90°−12∠MHC ）＝﹣10°+12（∠MGA +∠MHC ）＝﹣10°+12×100°＝40°．22．（2021秋•香坊区校级期中）点E 在射线DA 上，点F 、G 为射线BC 上两个动点，满足∠DBF ＝∠DEF ，∠BDG ＝∠BGD ，DG 平分∠BDE ．（1）如图1，当点G 在F 右侧时，求证：BD ∠EF ；（2）如图2，当点G 在BF 左侧时，求证：∠DGE ＝∠BDG +∠FEG ；（3）如图3，在（2）的条件下，P 为BD 延长线上一点，DM 平分∠BDG ，交BC 于点M ，DN 平分∠PDM ，交EF 于点N ，连接NG ，若DG ∠NG ，∠B ﹣∠DNG ＝∠EDN ，求∠B 的度数．【思路点拨】（1）通过证明∠DBF＝∠EFG，利用同位角相等，两直线平行即可得出结论；（2）过点E作GH∠BD，交AD于点H，利用（1）的结论和平行线的性质即可得出结论；（3）设∠BDM＝∠MDG＝α，则∠BDG＝∠EDG＝∠DGB＝2α，∠PDE＝180°﹣4α，∠PDM ＝180°﹣α；利用已知条件用含α的式子表示∠PDN，∠EDN，∠GDN，∠DNG，再利用∠B ﹣∠DNG＝∠EDN，得到关于α的方程，解方程求得α的值，则∠B＝180°﹣4α，结论可求．【解题过程】证明：（1）∠DG平分∠BDE，∠∠BDG＝∠ADG．又∠∠BDG＝∠BGD，∠∠ADG＝∠DGB．∠AD∠BC．∠∠DEF＝∠EFG．∠∠DBF＝∠DEF，∠∠DBF＝∠EFG．∠BD∠EF．（2）过点G作GH∠BD，交AD于点H，如图，∠BD∠EF，∠GH∠EF．∠∠BDG＝∠DGH，∠GEF＝∠HGE，∠∠DGE＝∠DGH+∠HGE，∠∠DGE＝∠BDG+∠FEG．（3）设∠BDM＝∠MDG＝α，则∠BDG＝∠EDG＝∠DGB＝2α，∠PDE＝180°﹣4α．∠∠PDM＝180°﹣α．∠DN平分∠PDM∠∠PDN=∠MDN=90°−α2．∠∠EDN=∠PDN−∠PDE=90°−α2−(180°−4α)=72α−90°．∠∠GDN＝∠MDN﹣∠MDG＝90°−α2−α＝90°−32α．∠DG∠ON，∠∠DNG＝90°．∠∠DNG=90°−(90°−32α)=32α．∠DE∠BF，∠∠B＝∠PDE＝180°﹣4α．∠∠B﹣∠DNG＝∠EDN，∠180°−4α−32α=72α−90°，解得：α＝30°．∠∠B＝180°﹣4α＝60°．。
第二节 平行线的性质和判定(含答案)...七年级数学 学而思
第二节 平行线的性质和判定1．平行线(1)定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，直线a 与直线b 互相平行，记作a∥b； 注：必须强调在同一平面内，否则无法说明平行．(2)平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，注：点必须在直线外，而不能在直线上； (3)平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也相互平行，即“平行于同一条直线的两直线平行”．2．两条直线的位置关系在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：(1)相交；(2)平行，注：判断同一平面内两条直线的位置关系时，可以根据它们的公共点的个数来确定：①有且只有一个公共点，两直线相交；②无公共点，两直线平行． 3．两直线平行的判定方法 (1)平行线的定义； (2)平行公理的推论；(3)同位角相等，两直线平行； (4)内错角相等，两直线平行； (5)同旁内角互补，两直线平行． 4．平行线的性质(1)两直线平行，同位角相等；(2)两直线平行，内错角相等；(3)两直线平行，同旁内角互补．1.平行的判定和证明：证明平行一般从寻找相等的同位角，内错角或互补的同旁内角 出发，而这些角关系的获得条件一般有： ①已知平行条件； ②三角形内角和； ③角平分线； ④垂直；⑤互余互补关系．例1．如图5-2-1所示，如果,//,//CD EF EF AB 请写出一个关于3,2,1∠∠∠的等量关系125-- 225-- 325--检测1．如图5-2-2所示，已知a ‖b,0701=∠,,402ο=∠则=∠3 例2．如图5-2-3所示，已知,9021ο=∠+∠,,//AG CD FC DE ⊥求证：.//FH AG检测2．如图5-2-4所示，直线a ，b 被直线c 所截，下列条件能使b a //的是;61∠=∠①;62∠=∠②;31∠=∠③;75∠=∠④+∠2⑤;1807ο=∠.71∠=∠⑥例3．（江西兴国县期末）学习了平行线后，小龙同学想出了“过已知直线m 外一点P 画这条直线的平行线的新方法”，他是通过折一张半透明的正方形纸得到的．525--观察图5-2-5所示，经两次折叠展开后折痕CD 所在的直线即为过点P 的已知直线m 的平行线．从图中可知，小明画平行线的依据有( )①两直线平行，同位角相等； ②两直线平行，内错角相等； ③同位角相等，两直线平行； ④内错角相等，两直线平行． A.①② B．②③ C ．③④ D ．①④425--检测3．如图5-2-6所示，把一个长方形纸片沿EF 折叠后，点D ，C 分别落在C D ,的位置，若,60ο=∠EFB 则=∠AED例4．已知，,100,//ο=∠=∠A B OA BC 试回答下列问题：725-- 825-- 925--(1)如图5-2-7所示，求证：;//AC OB(2)如图5-2-8所示，若点E ，F 在线段BC 上，且满足，AOC FOC ∠=∠并且OE 平分.BOF ∠则EOC ∠的度数等于 （在横线上填上答案即可）；(3)在(2)的条件下，若平行移动AC ，如图5-2-9，那么OFB OCB ∠∠:的值是否随之发生变化？若变化，试说明理由；若不变，求出这个比值； (4)在(3)的条件下，如果平行移动AC 的过程中，若使,OCA OEB ∠=∠此时OCA ∠度数等于 （在横线上填上答案即可）．检测4．（广东澄海区期末）如图5 -2 -10所示，直线MN 与直线AB 、CD 分别交于点E 、F ，1∠与2∠互补．(1)试判断直线AB 与直线CD 的位置关系，并说明理由； (2)如图5-2 -11所示，BEF ∠与FFD ∠的角平分线交于点P ，EP 与CD 交于点G ．点H 是MN 上一点，且GHlEG ，求证：;//GH PF(3)如图5-2 -12所示，在(2)的条件下，连接PH ，K 是GH 上一点使=∠PHK ,HPK ∠作PQ 平分EPK ∠问HPQ ∠的大小是否发生变化？若不变，请求出其值；若变化，说明理由，625---122-5-5--1110225-第二节平行线的性质和判定（建议用时 35分钟）实战演练1．（浙江绍兴期末）如图5-2-1所示，,//,////DB EG DC EF AB 则图中与1∠相等的角(1∠除外）共有( )6.A 个 5.B 个 4.C 个 3.D 个2．（浙江金华中考）以下四种沿AB 折叠的方法中，不一定能判定纸带两条边线以，6互相平行的是( )125-- 225-- 325-- 425-- 525--A ．如图5-2-2所示，展开后测得21∠=∠B ．如图5-2-3所示，展开后测得4321∠=∠∠=∠且C ．如图5-2-4所示，测得21∠=∠D ．如图5-2-5所示，展开后再沿CD 折叠，两条折痕的交点为0，测得,OB OA =OD =OC3．如图5-2-6所示是五条胡同的路线图，),(F F D C B A →--→→→经过测量得到C B ∠=∠,70ο=,110ο=∠=∠E D 则图中互相平行的线有( )A ．1对B ．2对C ．3对D ．4对625-- 725-- 825-- 925--4．（山东聊城中考）如图5-2-7所示，,//CD AB ,68ο=∠B ,20ο=∠E 则D ∠的度数为（ ）ο28.A o B 38. ο48.C ο88.D5．如图5-2-8所示，HG EF BC AD ,,//交于点HI P ,平分,GHF ∠PM 平分EPH ∠HI 交PM 的反向延长线于Q ，//PN,HI 下列结论：,GEP EGP ∠=∠①若则;//AD PM 2=∠GEP ②;MPN ∠,2Q FPN ∠=∠③其中正确的是( )①②③.A ①③.B ②③.C ①②.D6，（山东聊城模拟）如图5-2-9所示，在四边形ABCD 中，=∠B ,120ο,50oD =∠将C ∠向内折出一个,PRC ∆恰好使,//AB CP //CR ,AD 则C ∠的度数是( )ο80.A ο85.B ο95.C o D 110.7．如图5 -2 - 10所示，已知,AB GF ⊥,21∠=∠,B AGH ∠=∠则下列结论：;//BC GH ①;HGM D ∠=∠②;//FG DE ③,AB HE ⊥④其中正确的是( )①②⋅A ③ ②③④⋅B ①③④⋅C ①②③④⋅D1125-- 1225--8．（广西玉州区期末）如图5 -2 - 11所示，已知BAD CD AB ∠,//和BCD ∠的平分线交于点E ．,1001ο=∠,m BAD =∠ο则EC A ∠的度数为9，如图5 -2 - 12所示，直线,//21l l 若,125ο=∠A ,85ο=∠B 则=∠+∠21 10．如图 5 -2 - 13所示，已知,180ο=∠+∠BCD B .D B ∠=∠求证：.DFE E ∠=∠证明：οΘ180=∠+∠BCD B （ ）CD AB //∴（ ）=∠∴B （两直线平行，同位角相等）， D B ∠=∠Θ（已知）， D DCE ∠=∠∴（等量代换）， BF AD //∴（ ）DFE E ∠=∠∴（ ）11．如图5 -2 - 14所示，直线AB ，CD 被EF 所截，,21∠=∠,BME CNF ∠=∠求证：AB ,//CD .//NQ MP12.（山东招远市期耒）如图5-2 -15所示，点D ，E 分别在ABC ∆的边AB ，AC 上，点F 在DC 上，且,18021ο=∠+∠.3B ∠=∠求证：.//BC DE1325--1425--1525--13.小明将一直角三角板(ο30=∠A )放在如图5 -2 - 16所示的位置，且.21C ∠=∠+∠ (1)证明：;//b a(2)经测量知,1A ∠=∠求;2∠(3)如图5-2 - 17所示，将三角板进行适当转动，直角顶点始终在两直线间，M 在线段CD 上，且CEH CEM ∠=∠给出下列结论：BDFMEG∠∠①的值不变：BDF MEG ∠-∠②的值不变，可以证明，其中只有一个是正确的，请你作出正确的选择并直接写出此值，1625-- 1725--14.如图5-2-18所示，.F D B E C A ∠+∠+∠=∠+∠+∠求证：.//CD AF15.问题情景：如图5-2 - 19所示，,//CD AB ,130oPAB =∠,120ο=∠PCD 求APC ∠的度数． (1)天天同学看过图形后立即口答出：,110oAPC =∠请你补全他的推理依据．如图5 -2 - 20所示，过点P 作,//AB PE,//CD AB ΘCD AB PE ////∴（ .180ο=∠+∠∴APE Aο180=∠+∠CPE C （ ）,120,130οΘ=∠=∠PCD PAB O.60.50ο=∠=∴⊥CPE APE o1825--ο110=∠+∠=∠∴CPE APE APC （ ）问题迁移：(2)如图5-2- 21所示，,//BC AD 当点P 在A ，B 两点之间运动时，,α∠=∠ADP ,β∠=∠BCP 求βα∠∠∠,与CPD 之间有何数量关系？请说明理由．(3)在(2)的条件下，如果点P 在A ，B 两点外侧运动时（点P 与点A ，B ，0三点不重合），请你直接写出CPD ∠与βα∠∠,之间的数量关系．1925-- 2025-- 2125--拓展创新16.（辽宁鞍山期末）实验证明，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等．(1)如图5 -2 - 22所示，一束光线m 射到平面镜a 上，被a 反射到平面镜b 上，又被b 反射．若被6反射出的光线n 与光线m 平行，且,381ο=∠则=∠2 ;=∠3(2)在(1)中，若ο551=∠则=∠3 ;若,401ο=∠则=∠3(3)由(1)．(2)猜想：当两平面镜a ，b 的夹角=∠3 时，可以使任何射到平面镜a 上的光线m ，经过平面镜a ，b 的两次反射后，入射光线m 与反射光线n 平行．你能说明理由吗？拓展1．有一款灯，内有两面镜子AB ，BC ，当光线经过镜子反射时，入射角等于反射角，即图5 -2 - 23、图5-2 -24中的.43,21∠=∠∠=∠2225--2325-- 2425--(1)如图5 -2 - 23所示，当BC AB ⊥时，说明为什么进入灯内的光线EF 与离开灯的光线GH 互相平行； (2)如图5-2 - 24所示，若两面镜子的夹角为)900(οο<<αα时，进入灯内的光线与离开灯的光线的夹角为),900(οο<<ββ试探索α与β的数量关系；(3)若两面镜子的夹角为),18090(οο<<αα进入灯内的光线与离开灯的光线所在直线的夹角为).900(οο<<ββ直接写出α与β的数量关系．拓展2．（湖北武昌区期末）一个长方形台球桌面ABCD )90,//,//(ο=∠A BC AD DC AB 如图5 -2 - 25所示，已知台球在与台球桌边沿碰撞的过程中，撞击线路与桌边的夹角等于反射线路与桌边的夹角，即.21∠=∠(1)台球经过如图5 -2 - 26所示的两次反弹后，撞击线路EF ，第二次反弹线路GH ， 求证：;//GH EF(2)台球经过如图5 -2 - 27所示的两次反弹后，撞击线路EF 和第二次反弹线路GH 是否仍然平行，给出你的结论并说明理由．2525-- 2625-- 2725--极限挑战17．平面上有100条直线，其中有20条是互相平行的，问这100条直线最多能将平面分成部分，课堂答案培优答案。
平行线的判定与性质典型题
∴∠BGF= ∠BHA（同角的补角相等）, ∴AE//DF(同位角相等，两直线平行）,
∴∠A= ∠BFD(两直线平行，同位角相等).
又∵∠D=∠A，所以∠BFD= ∠D, ∴AB//CD（内错角相等，两直线平行）.
∴∠B=∠C（两直线平行，内错角相等）.
练习
1.如图1-15，已知∠ABC+∠C=180°， BD平分∠ABC。∠CBD与∠D相等吗？ 请说明理由。
∠D=∠A．求证：∠B=∠C．
问题分析： ⑴观察图形中的∠B与∠C具有 怎样的位置关系？ ⑵AB与CD具有怎样的位置关系 时，才能说明∠B=∠C？ ⑶由已知条件能说明AB与CD平 行吗？
综合应用
1. 如 图 ， ∠ BHE 与 ∠ BGF 互 为 补 角 ， ∠D=∠A．求证：∠B=∠C．
解： ∵∠BHE+ ∠BGF=180°,
C
练习
2.∠A=120°,∠B=60°,∠EFC=∠DCG, 试说明：AD//EF。 A
E
D
F
C G
解： ∵∠A=120°,∠B=60°(已知)
B
∴∠A+∠B=120°+60°=180° (等式性质) ∴AD//BC(同旁内角互补，两直线平行)
∵∠EFC=∠DCG(已知)
∴EF//BC(内错角相等，两直线平行)
平行线的判定与性质复习
平行线的判定与性质的区别
平行线的判定
平行线的性质
条件
同位角相等 内错角相等 同旁内角互补
结论条件结论同角相等两直线平行 两直线平行 内错角相等 同旁内角互补
平行线的判定回答了：满足怎样条件的两条直线才平行.
平行线的性质回答了：由两条直线平行能得到什么结论.
苏教版七年级数学下册平行线的判定与性质复习课
7.1~7.2 平行线的判定与性质复习
请欣赏
运 动 还 是 静 止 ？
运 动 还 是 静 止 ？源自（前后移动你的身体并观察图片… ）
到底有几个黑点！
方 柱 还 是 圆 柱？
这是一组平行线吗？
学习目标
1. 了解平行线的概念及平行线的基本性质。会用平行关
④ 平 行 线 判 定 定 理
同位角相等 内错角相等 同旁内角互补 两直线平行
位置关系
数量关系
理一理
1、平行线的判定与平行线的性质的区别。 判定： 角的关系 平行的关系 角的关系
性质： 平行的关系
2、证平行，用判定。知平行，用性质。
F Z U
.exe
A E D
B
C
A
D
∠B+∠C=∠BEC. 解答如下：过点E作EF∥AB B ∵ AB∥CD 1 ∴ EF∥AB∥CD E 2 F ∴ ∠B=∠1 ∠C=∠2 C ∴ ∠B+∠C=∠1+∠2=∠BEC 图①
系的传递性进行推理。
2. 会用一直线截两平行直线所得的同位角相等、内错角 相等、同旁内角互补等性质进行推理和计算； 会用同位角相等，或内错角相等，或同旁内角互补判 定两条直线平行。 3. 会用三角尺和直尺过已知直线外一点画这条直线的平 行线。
回 顾
判定直线平行的方法有哪些？
① 在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。 ② 如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。 ③ 同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行。
A E
B F
C
D
A E G D
B F C
知识拓展
A E D
《平行线》全章复习与巩固(基础)知识讲解
《平行线》全章复习与巩固（基础）知识讲解【学习目标】1. 熟练找出“同位角、内错角、同旁内角”；2. 区别平行线的判定与性质，能用性质和判定解决综合问题；3. 通过具体实例认识平移，理解平移的性质；4. 会运用平行线和平移的知识解决有关的简单问题.【知识网络】【要点梳理】要点一、平行线的定义及三线八角1.平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线．要点诠释：（1）平行线定义中包含三层含义：在同一平面内、不相交、两条直线．（2）基本事实：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．2.三线八角：要点二、平行线的判定和性质1．平行线的判定判定方法1：同位角相等，两直线平行．判定方法2：内错角相等，两直线平行．判定方法3：同旁内角互补，两直线平行．要点诠释：根据平行线的定义和平行公理的推论，平行线的判定方法还有：（1）平行线的定义：在同一平面内，如果两条直线没有交点（不相交），那么两直线平行.（2）如果两条直线都平行于第三条直线，那么这两条直线平行（平行线的传递性）.（3）在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行.（4）平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行.2．平行线的性质性质1：两直线平行，同位角相等；性质2：两直线平行，内错角相等；性质3：两直线平行，同旁内角互补.要点诠释：根据平行线的定义和平行公理的推论，平行线的性质还有：（1）若两条直线平行，则这两条直线在同一平面内，且没有公共点．（2）如果一条直线与两条平行线中的一条直线垂直，那么它必与另一条直线垂直．3．两条平行线间的距离如图，直线AB∥CD，EF⊥AB于E，EF⊥CD于F，则称线段EF的长度为两平行线AB与CD间的距离.要点诠释：（1）两条平行线间的距离处处相等.（2）初中阶级学习了三种距离：两点间的距离、点到直线距离、平行线间的距离.这三种距离的共同点在于都是线段的长度,它们的区别是两点间的距离是连接这两点的线段的长度,点到直线距离是直线外一点引已知直线的垂线段的长度, 平行线间的距离是一条直线上的一点到与之平行的另一直线的距离.（3）“垂线段”与“距离”的关系：垂线段是一个图形，距离是线段的长度，是一个量，它们之间不能等同. 要点三、图形的平移定义：一个图形沿某个方向移动，在移动的过程中，原图形上所有的点都沿同一个方向移动相等的距离，这样的图形运动叫做图形的平移．要点诠释：平移的性质：（1）平移不改变图形的形状与大小，只改变图形的位置.（2）一个图形和它经过平移所得的图形中，两组对应点的连线平行（或在同一条直线上）且相等.【典型例题】类型一、平行线的定义及三线八角1. （乌兰察布校级期中）a、b、c是平面上任意三条直线，交点可以有（）A．1个或2个或3个B．0个或1个或2个或3个C．1个或2个D．都不对举一反三：【变式】如图，在正方体中：（1）找出与线段AB平行的线段：_________；（2）找出与线段AB相交的线段：______．2.如图，已知直线a、b被直线c所截. 图中八个角共有组同位角，组内错角，组同旁内角.举一反三：【变式】观察下图并填空：(1) ∠1 与是同位角；(2) ∠5 与是同旁内角；(3) ∠1 与是内错角.类型二、平行线的判定和性质3.如图，已知∠ADE = ∠B，∠1 =∠2，那么CD∥FG吗？并说明理由.举一反三：【变式】如图，已知∠1+∠2=180°，∠3=∠B，试判断∠AED与∠ACB的大小关系，并说明理由．4．如图所示，AB∥EF，那么∠BAC+∠ACE+∠CEF＝( ).A．180°B．270°C．360°D．540°举一反三：【变式】如图所示，如果∠BAC+∠ACE+∠CEF＝360°，则AB与EF的位置关系．类型三、图形的平移5.如图(1)，线段AB经过平移有一端点到达点C，画出线段AB平移后的线段CD．举一反三：【变式】（福州自主招生）如图，4根火柴棒形成象形“口”字，只通过平移火柴棒，原图形能变成的汉字是（）A． B． C． D．．类型四、综合应用6.如图是一块长方形草地，长方形的长是16，宽是10．中间有两条道路，一条是长方形，一条是平行四边形，它们的宽都是2，求草地部分的面积（阴影部分）有多大？【巩固练习】一、选择题1．下列图中,∠1和∠2是对顶角的有()个.A．1个B．2个C．3个D．4个2．如图所示是同位角关系的是()．A．∠3和∠4 B．∠1和∠4 C．∠2和∠4 D．不存在3．（春•鄂城区月考）下列语句正确的有（）个①任意两条直线的位置关系不是相交就是平行②过一点有且只有一条直线和已知直线平行③过两条直线a，b外一点P，画直线c，使c∥a，且c∥b④若直线a∥b，b∥c，则c∥a．A．4 B．3 C．2 D．14．∠1和∠2是直线AB和CD被直线EF所截得到的同位角，那么∠1和∠2的大小关系是()．A．∠1＝∠2 B．∠1＞∠2 C．∠1＜∠2 D．无法确定5．如图所示中，不能通过基本图形平移得到的是()．6．一个人从A点出发向北偏东60°方向走到B点，再从B点出发向南偏西15°方向走到C点，那么∠ABC等于()．A．75°B．105°C．45°D．135°7．下列说法中，正确的是()．A．过点P画线段AB的垂线.B．P是直线AB外一点，Q是直线AB上一点，连接PQ，使PQ⊥AB.C．过一点有且只有一条直线垂直于已知直线.D．过一点有且只有一条直线平行于已知直线.8．如果在同一平面内有两个图形甲和乙，通过平移，总可以完全重合在一起(不论甲和乙的初始位置如何)，则甲和乙是()．A．两个点B．两个半径相等的圆C．两个点或两个半径相等的圆D．两个能够完合重合的多边形二、填空题９．如图所示，AB∥CD，EF分别交AB、CD于G、H两点，若∠1＝50°，则∠EGB＝________．10．（盐津县校级月考）平行用符号 表示，直线AB 与CD 平行，可以记作为 ．11．每天小明上学时，需要先由家向东走150米到公共汽车站点，然后再乘车向西900米到学校，每天小明由家到学校移动的方向是________，移动的距离是________．12. （大庆校级自主招生）如图，点E 在AC 的延长线上，对于给出的四个条件： （1）∠3=∠4；（2）∠1=∠2；（3）∠A=∠DCE ；（4）∠D+∠ABD=180°． 能判断AB ∥CD 的有 个．13．如图，已知AB ∥CD ，CE ，AE 分别平分∠ACD ，∠CAB ，则∠1+∠2=________.14．同一平面内的三条直线a ，b ，c ，若a ⊥b ，b ⊥c ，则a________c ．若a ∥b ，b ∥c ，则a________c ．若a ∥b ，b ⊥c ，则a________c ．15. 如图，在甲、乙两地之间修一条笔直的公路，从甲地测得公路的走向是北偏东48°．甲、乙两地间同时开工，若干天后，公路准确接通，则乙地所修公路的走向是南偏西 ．16．如图所示，AC ⊥BC 于点C ，CD ⊥AB 于点D ，DE ⊥BC 于点E ，能表示点到直线（或线段）的距离的线段有 条．三、解答题17．（滨湖区校级期末）把图中的互相平行的线写出来，互相垂直的线写出来：18．如图所示，已知∠1＝∠2，AC 平分∠DAB ，你能推断哪两条线段平行?说明理由．19.如图，在一块长为a 米，宽为b 米的长方形地上，有一条弯曲的柏油马路，马路的任何地方的水平宽度都是2米，其它部分都是草地．求草地的面积．北 北 甲 乙20．如图所示，点P是∠ABC内一点．(1)画图：①过点P画BC的垂线，垂足为D；②过点P画BC的平行线交AB于点E，过点P画AB的平行线交BC于点F．(2)∠EPF等于∠B吗?为什么?。
平行线的判定和性质知识点详解
平行线的判定和性质知识点详解平行线是在同一个平面上，永不相交的两条直线。
在平行线的判定和性质中，我们会涉及到直线和角的相关概念以及它们之间的关系。
1.同位角平行线判定：如果两条直线与一条横截线相交，且同位角相等，则这两条直线是平行线。
同位角是指两条直线被横截线所形成的内外两对相似角。
2.顶角平行线判定：如果两条直线被一条直线所截断，使得内侧的两个顶角互补，则这两条直线是平行线。
顶角是指两条直线被截断所形成的内外两个相交角。
3.对顶角平行线判定：如果两条直线被一条直线所截断，使得对顶角互补，则这两条直线是平行线。
对顶角是指两条直线被截断所形成的相对两侧的相交角。
平行线的性质如下：1.同位角性质：同位角是两条平行线被横截线所形成的内外两对相似角。
性质有：同位角相等；同位角的对应角相等；同位角的内外两个对顶角互补。
2.内错角性质：内部错位的两个角，分别在两对同位角之间，互为补角。
3.外错角性质：外部错位的两个角，分别在两对同位角之间，互为补角。
4.顶角性质：顶角是两条平行线被一条截断线所形成的内外两个相交角。
性质有：顶角相等；顶角的对应角相等；顶角的内外两个对位角互为补角。
5.对顶角性质：对顶角是两条平行线被一条截断线所形成的相对两侧的相交角。
性质有：对顶角互为补角。
6.互补角性质：互补角是指两个角的和为90度。
在平行线中，同位角和对位角都是互补角。
7.直角性质：如果一条直线垂直于一条平行线，则它与这条平行线的对位角都是直角。
8.平行线之间的距离性质：平行线之间的距离在任意两点之间是相等的。
总结起来，平行线的判定方法包括同位角平行线判定、顶角平行线判定和对顶角平行线判定。
而平行线的性质包括同位角性质、内错角性质、外错角性质、顶角性质、对顶角性质、互补角性质、直角性质以及平行线之间的距离性质等。
这些性质可以帮助我们在解决平行线相关问题时更加便捷地推导和证明结论。
线、面平行的判定与性质知识点及题型归纳
线、面平行的判定与性质知识点及题型归纳一、线平行的判定与性质知识点1. 线平行的定义两条线段（或直线）在平面内没有交点的情况下，我们称它们为平行线。
2. 线平行的判定方法判定两条线段（或直线）是否平行，有以下几种方法：- 角度判定法：两条线段（或直线）的倾斜角度相等时，它们是平行线。
- 距离判定法：两条线段（或直线）上的任意两点的距离相等时，它们是平行线。
- 斜率判定法：两条直线的斜率相等时，它们是平行线。
对于线段而言，需要先把线段延长成直线，再进行斜率的比较。
3. 线平行的性质根据平行线的定义，我们可以得出以下性质：- 平行线之间的距离是保持不变的。
- 平行线之间的角度是相等的。
- 平行线的斜率是相等的。
二、面平行的判定与性质知识点1. 面平行的定义两个平面没有交线的情况下，我们称它们为平行面。
2. 面平行的判定方法判定两个平面是否平行，有以下几种方法：- 直线判定法：两个平面上直线的倾斜角度相等时，它们是平行面。
- 距离判定法：两个平面上直线上的任意两点的距离相等时，它们是平行面。
3. 面平行的性质根据平行面的定义，我们可以得出以下性质：- 平行面之间的距离是保持不变的。
- 平行面之间的角度是相等的。
三、题型归纳在考试中，关于线、面平行的题型常见的有：- 判断两条线段或直线是否平行的题目。
- 判断两个平面是否平行的题目。
- 根据给定条件判定线段（直线）是否与给定平面平行的题目。
- 根据给定条件判定点是否在给定的线段（直线）上的题目。
- 根据给定条件判定点是否在给定平面上的题目。
以上是关于线、面平行的判定与性质的知识点归纳以及常见的题型。
希望对你有所帮助！。
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C．两条直线被第三条直线所截，那么这两条直线平行
D．如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行
2．如图，可以得到DE∥BC的条件是______[ ]
A．∠ACB=∠BACB．∠ABC+∠BAE=180°
C．∠ACB+∠BAD=180°D．∠ACB=∠BAD
二、填空题
6．如图，由下列条件可判定哪两条直线平行，并说明根据．
(1)∠1=∠2，________________________．(2)∠A=∠3，________________________．(3)∠ABC+∠C=180°，________________________．
7．如果两条直线被第三条直线所截，一组同旁内角的度数之比为3∶2，差为36°，那么这两条直线的位置关系是________．
A．第一次向右拐40°，第二次向左拐40°B．第一次向右拐50°，第二次向左拐130°
C．第一次向右拐50°，第二次向右拐130°D．第一次向左拐50°，第二次向左拐130°
5．如图，如果∠1=∠2，那么下面结论正确的是_________．[ ]
A．AD∥BCB．AB∥CDC．∠3=∠4 D．∠A=∠C
8．同垂直于一条直线的两条直线________．
三、解答题
9．已知：如图，∠1=∠2，且BD平分∠ABC．
求证：AB∥CD．
10．已知：如图，AD是一条直线，∠1=65°，∠2=115°．求证：BE∥CF．
11．已知：如图，∠1=∠2，∠3=100°，∠B=80°．求证：EF∥CD．
我的收获：
我的困惑：
2013-2014学年度第二学期导学案
初一年级数学学科课题平行线的性质和判定复习（三）
主备教师宋云红李秀玲刘明月复备使用教师授课日期
学习目标：1、掌握平行线的三个性质.
2、区分平行线的判定及性质.
3、综合运用平行线的性质、判定等知识解题.
重点：平行线的判定与性质的综合应用，提高解题能力
难点：平行线的判定与性质的综合应用，提高解题能力
学法导学：在学习过程中，注意性质和判定的区别。性质是已经知道两线平行，而判定是还不知道平行，是要根据所学知识来证明两线平行。
思维引导：注意上下题目之间的联系，注意上下步骤之间的理严密性。
知识链接：平行线的判定方法和平行线的性质
导学过程：
一、选择题
1．下列命题中，不正确的是____[ ]
A．两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行
3．如图，直线a、b被直线c所截，现给出下列四个条件:
(1)∠1=∠2，(2)∠3=∠6，(3)∠4+∠7=180°，(4)∠5+∠8=180°，
其中能判定a∥b的条件是_________[ ]
A．(1)(3) B．(2)(4)C．(1)(3)(4) D．(1)(2)(3)(4)
4．一辆汽车在笔直的公路上行驶，两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向相同，这两次拐弯的角度可能是________[ ]