2018届好教育云平台高三第二次模拟考试(二模)仿真卷(四)理科数学-教师版
普通高等学校2018届高三招生全国统一考试仿真卷(二)数学(理)试题含答案
绝密★启用前2018年普通高等学校招生全国统一考试仿真卷理科数学（二）本试题卷共2页，23题（含选考题）。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
★祝考试顺利★注意事项：1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。
2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。
答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
5、考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1z的共轭复数为（）AB C D2．若双曲线221yxm-=的一个焦点为()3,0-，则m=（）A．B．C．D．643()fx）ABC D4．函数()12xf x⎛⎫= ⎪⎝⎭，()0,x∈+∞的值域为D，在区间()1,2-上随机取一个数x，则x D∈的概率是（）A．12B．13C．14D．15．记()()()()72701272111x a a x a x a x-=+++++⋅⋅⋅++，则012a a a+++6a⋅⋅⋅+的值为（）A．1 B．2 C．129 D．21886．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．83B．163C．203D．87．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有大夫、不更、簪裹、上造、公士，凡五人，共猎得五鹿，欲以爵次分之，问各得几何？”其意思：“共有五头鹿，5人以爵次进行分配（古代数学中“以爵次分之”这种表述，一般表示等差分配，在本题中表示等差分配）．”在这个问题中，若大夫得“一鹿、三分鹿之二”，则簪裹得（）A ．一鹿、三分鹿之一B．一鹿C．三分鹿之二D．三分鹿之一8）A．B．C．D．9．阅读如图所示的程序框图，运行相应程序，输出的结果是（）A ．12B ．18C ．120D ．12510．当实数x ，y 满足约束条件3310x y x y y +⎧⎪-⎨⎪⎩≤≥≥，表示的平面区域为C ，目标函数2z x y =-的最小值为1p ，而由曲线()230y x y =≥，直线3x =及x 轴围成的平面区域为D ，向区域D 内任投入一个质点，该质点落入C 的概率为2p ，则1224p p -的值为（ ）A ．12B ．23C ．35D ．4311．已知点1F 是抛物线C ：22x py =的焦点，点2F 为抛物线C 的对称轴与其准线的交点，过2F 作抛物线C 的切线，切点为A ，若点A 恰好在以1F ，2F 为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为（ ）AB1- C1D12．已知函数()e e x x f x -=+（其中是自然对数的底数），若当0x >时，()e 1x mf x m -+-≤恒成立，则实数m 的取值范围为（ ）A ．10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,3⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦C ．1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ D ．11,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
2018届好教育云平台高三第二次模拟考试(二模)仿真卷(一)文科数学-教师版
2018届好教育云平台高三第二次模拟考试仿真卷文科数学（一）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．[2018·菏泽期末]已知()13i 2i z +=，则复数z 的共轭复数z 在复平面内所对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】D【解析】对应点为31,55⎛⎫- ⎪⎝⎭，在第四象限，故选D ．2．[2018·武邑中学]设α为锐角，()sin ,1α=a ，()1,2=b ，若a 与b 共线，则角α=（ ） A ．15° B ．30° C ．45° D ．60°【答案】B【解析】由题意2sin 1α=，1sin 2α=，又α为锐角，∴30α=︒．故选B ． 3．[2018·丹东期末]下列函数为奇函数的是（ ） A ．12y x = B ．e xy =C ．cos y x =D ．e e x xy -=-【答案】D【解析】12y x =和e x y =非奇非偶函数，cos y x =是偶函数，e e x x y -=-是奇函数，故选D ．4．[2018·渭南质检]如图，执行所示的算法框图，则输出的S 值是（ ）A．1- BC D ．4【答案】D【解析】按照图示得到循环一次如下：4S =，1i =；1S =-，2i =；23S =，3i =； 4i =；4S =，5i =；1S =-，6i =；23S=，7i =；8i =；4S =，9i =．不满足条件，得到输出结果为：4．故答案为：D ．5．[2018·吉林实验中学]函部分图像如下图，且，则图中m 的值为（ ）A ．1BC ．2 D2 【答案】B【解析】B ．6．[2018·赣中联考]李冶（1192-1279），真实栾城（今属河北石家庄市）人，金元时期的数学家、诗人，晚年在封龙山隐居讲学，数学著作多部，其中《益古演段》主要研究平此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号考场号 座位号面图形问题：求圆的直径、正方形的边长等．其中一问：现有正方形方田一块，内部有一个圆形水池，其中水池的边缘与方田四边之间的面积为13.75亩，若方田的四边到水池的最近距离均为二十步，则圆池直径和方田的边长分别是（注：240平方步为1亩，圆周率按3近似计算）（ ） A ．10步，50步 B ．20步，60步C ．30步，70步D ．40步，80步【答案】B【解析】设圆池的半径为r 步，则方田的边长为()240r +步，由题意，得()22240313.75240r r =+-⨯，解得10r =或170r =-（舍），所以圆池的直径为20步，方田的边长为60步，故选B ．7．[2018·育才中学]如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则这个几何体的体积为（ ）A ．4B ．8CD【答案】D【解析】如图所示，在棱长为2的正方体中，题中三视图所对应的几何体为四棱锥P ABCD -，该几何体的体积为：()1822233V =⨯⨯⨯=．本题选择D 选项．8．[2018·嵊州期末]若实数x ，y 满足约束条件020 20y x y x y ≥-+≥+-≥⎧⎪⎨⎪⎩，则2z x y =-的取值范围是（ ）A ．[]44-，B ．[]24-，C ．[)4-+∞，D ．[)2-+∞，【答案】D【解析】画出020 20y x y x y ≥-+≥+-≥⎧⎪⎨⎪⎩表示的可行域，如图所示的开放区域，平移直线2y x z =-，由图可知，当直线经过()0,2时，直线在纵轴上的截距取得最大值，此时2z x y =-有最小值2-，无最大值，2z x y ∴=-的取值范围是[)2-+∞，，故选D ．9．[2018·天津期末]在ABC △中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin sin 2C B =，且2b =，c =a 等于（ ） A ．12BC ．2 D．【答案】C【解析】∵sin sin 22sin cos C B B B ==，且2b =，c =，sin 0B ≠，可得：cos 4B =， ∴由余弦定理2222cos b a c ac B -=+，可得：2432a a =+-⨯， 可得：22320a a -=-，∴解得：2a =．故选：C ．10．[2018·衡水金卷]若函数()y f x =图像上存在两个点A ，B 关于原点对称，则对称点(),A B 为函数()y f x =的“孪生点对”，且点对(),A B 与(),B A 可看作同一个“孪生点对”．若函数()322,0 692,0x f x x x x a x <=-+-+-≥⎧⎨⎩恰好有两个“孪生点对”，则实数a 的值为（ ） A ．0 B ．2C ．4D ．6【答案】A【解析】当0x ≥时，()()()()223129343313f x x x x x x x =-+-=--+=---'，故函数在区间[)0,1，()3,+∞上递减，在()1,3上递增，故在1x =处取得极小值．根据孪生点对的性质可知，要恰好有两个孪生点对，则需当0x ≥时，函数图像与2y =-的图像有两个交点，即()122f a =--=-，0a =．11．[2018·乌鲁木齐一模]已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为(),3,2F M ，直线MF 交抛物线于,A B 两点，且M 为AB 的中点，则p 的值为（ ） A ．3 B ．2或4C ．4D ．2【答案】B【解析】设()11A x y ，，()22B x y ，，2112222 2y px y px ==⎧⎨⎩， 两式相减得()()()1212122y y y y p x x +-=-，1212122y y px x y y -=-+， M 为AB 的中点，124y y ∴+=，12122032y y p x x --=--，代入22432pp =-， 解得2p =或4，故选B ．12．[2018·江西联考]()()3g x b f x =--，其中b ∈R ，若函数()()y f x g x =-恰有4个零点，则实数b 的取值范围是（ ）A ．11,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B ．113,4⎛⎫-- ⎪⎝⎭C ．11,4⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭D ．()3,0-【答案】B【解析】由题可知()()23,03,03 3,3x x f x x x x x ⎧--<⎪⎪=-≤≤⎨⎪-->⎪⎩，故()2,03,0 3 6,3x x f x x x x x ⎧-<⎪-=-≤≤⎨⎪->⎩，∵函数()()()()3y f x g x f x f x b =-=+--恰有4个零点， ∴方程()()30f x f x b +--=有4个不同的实数根，即函数y b =与函数()()3y f x f x =+-的图象恰有4个不同的交点．又()()223,033,03 715,3x x x y f x f x x x x x ⎧---<⎪=+-=-≤≤⎨⎪-+->⎩，在坐标系内画出函数函数()()3y f x f x =+-的图象，其中点A ，B 的坐标分别为711,24⎛⎫-⎪⎝⎭．由图象可得，当1134b -<<-时，函数y b =与函数()()3y f x f x =+-的图象恰有4个不同的交点，故实数b 的取值范围是113,4⎛⎫-- ⎪⎝⎭．选B ．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．[2018·淮安一模]已知集合{}20A x x x =-=，{}1,0B =-，则A B =________． 【答案】{}1,0,1-【解析】{}0,1A =，所以{}1,0,1A B =-．14．[2018·孝感八校]到函数()y g x =的图像，若()g x 最小正周期为a ，则6a g ⎛⎫= ⎪⎝⎭__________．个单位后得到函数()2sin 2g x x =，函数的最小正周期是π，那么15．[2018·淮南一模]过动点P 作圆：()()22341x y -+-=的切线PQ ，其中Q 为切点，若PQ PO =（O 为坐标原点），则PQ 的最小值是________．【答案】125【解析】设(),P x y ，得()()2222341x y x y +=-+--，即3412x y +=，所以点P 的运动轨迹是直线3412x y +=，所以16．[2018·乐山期末]如图，在三棱锥A BCD -中，E 、F 、G 分别为AB 、AC 、CD 中点，且2AD BC ==，EG ，则异面直线AD 与BC 所成的角的大小为_________．【答案】60︒【解析】由三角形中位线的性质可知：EF BC ∥，GF AD ∥，则EFG ∠或其补角即为所求，由几何关系有：111,122EF BC GF AD ====，由余弦定理可得：，则120EFG ∠=︒，据此有：异面直线AD 与BC 所成的角的大小为18012060-︒︒=︒．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：60分，每个试题12分．17．[2018·达州期末]已知n S 是数列{}n a 的前n 项和，14a =，()212n a n n =+≥． （1）证明：当2n ≥时，2n n S a n =+；（2）若等比数列{}n b 的前两项分別为25,S S ，求{}n b 的前n 项和n T ． 【答案】（1）见解析．（2）()341n n T =-． 【解析】（1）证明：当2n ≥时， ()45721n S n =+++⋅⋅⋅++···········3分 ()()521142n n ++-=+221n n =++，···········5分()2221n n S n n a n ∴=++=+．···········6分 （2）解：由（1）知，29S =，···········7分536S =，···········8分 ∴等比数列{}n b 的公比3649q ==，···········9分 又129b S ==，···········10分()()91434114n nn T -∴==--．···········12分 18．[2018·濮阳一模]进入12月以业，在华北地区连续出现两次重污染天气的严峻形势下，我省坚持保民生，保蓝天，各地严格落实机动车限行等一系列“管控令”．某市交通管理部门为了了解市民对“单双号限行”的态度，随机采访了200名市民，将他们的意见和是否拥有私家车的情况进行了统计，得到如下的22⨯列联表：（1）根据上面的列联表判断能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“对限行的态度与是否拥有私家车有关”；（2）为了了解限行之后是否对交通拥堵、环境染污起到改善作用，从上述调查的不赞同限行的人员中按是否拥有私家车分层抽样抽取6人，再从这6人中随机抽出3名进行电话回访，求3人中至少有1人没有私家车的概率． 附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．【答案】（1）在犯错误概率不超过0.001的前提下，不能认为“对限行的态度与是否拥有私家车”有关；（2）0.8． 【解析】（1）()2222020704090559.16710.828601601101106K ⨯⨯-⨯==≈<⨯⨯⨯．···········4分 所以在犯错误概率不超过0.001的前提下，不能认为“对限行的态度与是否拥有私家车”有关．···········6分（2）设从没有私家车的人中抽取x 人，从有私家车的人中抽取y 人，由分层抽样的定义可知6602040x y ==，解得2,4x y ==，···········7分 在抽取的6人中，没有私家车的2人记为12,A A ，有私家车的4人记为1B ，2B ，3B ，4B ，则所有的基本事件如下：{}121,,A A B ，{}122,,A A B ，{}123,,A A B ，{}124,,A A B ，{}112,,A B B ，{}113,,A B B ，{}114,,A B B ，{}123,,A B B ，{}124,,A B B ，{}134,,A B B ，{}212,,A B B ，{}213,,A B B ，{}214,,A B B ，{}223,,A B B ，{}224,,A B B ，{}234,,A B B ，{}123,,B B B ，{}124,,B B B ，{}134,,B B B ，{}234,,B B B 共20种．···········9分其中至少有1人没有私家车的情况有16种．···········11分 记事件A 为“至少有1人没有私家车”，则()160.820P A ==．···········12分 19．[2018·菏泽期末]如图所示，在四棱锥P ABCD -中，BCD △，PAD △都是等边三角形，平面PAD ⊥平面ABCD ，且24AD AB ==，CD =（1）求证：平面PCD ⊥平面PAD ；（2）E 是AP 上一点，当BE ∥平面PCD 时，三棱锥C PDE -的体积． 【答案】（1）证明见解析；（2）6．【解析】（1）因为4AD =，2AB =，BD =所以222AD AB BD =+，所以AB BD ⊥，30ADB ∠=︒，又因为BCD △是等边三角形，所以90ADC ∠=︒，所以DC AD ⊥，·······2分 因为平面PAD ⊥平面ABCD ， 平面PAD 平面ABCD AD =， 所以CD ⊥平面PAD ，···········4分因为CD ⊂平面PCD ，所以PCD ⊥平面PAD ．···········6分 （2）过点B 作BG CD ∥交AD 于G ，过点G 作EG PD ∥交AP 于E ， 因为BG CD ∥，BG ⊂平面PCD ，CD ⊂平面PCD ，所以BG ∥平面PCD ， 同理可得EG ∥平面PCD ，所以平面BEG ∥平面PCD ，···········7分因为BE ⊂平面BEG ，所以BE ∥平面PCD ．因为EG PD ∥，所以PE DGPA DA=，在直角三角形BGD中，BD =30BDG ∠=︒，所以3DG =︒=，所以34PE DG PA DA ==，···········9分 在平面PAD 内过E 作EH PD ⊥于H ，因为CD ⊥平面PAD ，EH ⊂平面PAD ，所以CD EH ⊥， 因为PD CD D =，所以EH ⊥平面PCD ，所以EH 是点E 到平面PCD 的距离，···········10分 过点A 作AM PD ⊥于M，则4AM == 由AM EH ∥，得34EH PE AM PA ==，所以EH =，因为142PCDS ∆=⨯⨯163C PDE V -=⨯=．······12分20．[2018·乌鲁木齐一模]已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的焦距为2，且过点1,2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭． （1）求椭圆C 的方程；（2）过点()2,0M 的直线交椭圆C 于,A B 两点，P 为椭圆C 上一点，O 为坐标原点，且满足OA OB tOP +=，其中2t ⎫∈⎪⎪⎝⎭，求AB 的取值范围．【答案】（1）2212x y +=；（2）⎛ ⎝⎭． 【解析】（1···········3分 ∴椭圆方程2212x y +=．···········4分（2）由题意可知该直线存在斜率，设其方程为()2y k x =-，。
2018届高三下学期第二次教学质量检测(二模)数学(理) 含答案
渭南市2018年高三教学质量检测（2）理科数学试题第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、已知集合{}0,2,,M zi i =为虚数单位，{1,3},{1}N M N ==，则复数z =A ．i -B ．iC ．2i -D ．2i2、对具有线性相关关系的两个变量x 和y ，测得一组数据如下表所示根据上表利用最小二乘法得到他们的回归直线方程为10.5 1.5y x =+，则m = A ．85.5 B ．80 C ．85 D ．903、直线0x y m -+=与圆22210x y x +--=有两个不同交点的一个必要不充分条件是 A ．01m << B ．40m -<< C ．1m < D ．31m -<<4、已知向量(2,),(1,2)a m b ==-，若a b ⊥，则a 在向量c a b =+上的投影为A． C．5、成等差数列的三个正数的和等于12，并且这三个数分别加上1,4,11后成为等比数列{}n b 中的234,,b b b ，则数列{}n b 的通项公式为A ．2n n b =B ．3n n b =C ．12n n b -=D ．13n n b -=6、已知变量,x y 满足约束条件0020x y x y x +<⎧⎪-<⎨⎪+>⎩，则1y x +的取值范围为A ．31(,]22-B ．1(,]2-∞C ．31(,)22-D ．1(,)2-∞ 7、某几何体的三视图如图，其俯视图与左视图均为半径是12的圆，则该几何体的表面积是A ．16πB ．8πC ．πD ．8π 8、宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题： 松长五尺，竹长量尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等，右图是源于其思想的一个程序框图，若输入的,a b 分别为5和2，则输出的b = A ．8 B ．16 C ．32 D ．649、设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，253,25a S ==，若11{}n n a a +的 前n 项和为10082017，则n 的值为 A ．504 B ．1008 C ．1009 D ．201810、函数()2sin 20142x f x x =++，则()f x '的大致图象是11、函数()sin()(0,0)f x wx w ϕϕπ=+><<的图象中相邻对称中心的距离为2π，若角的终边经过点，则()f x 图象的一条对称轴为 A ．6x π=B ．4x π=C ．3x π=D ．6x π=-12、在某商业促销的最后一场活动中，甲、乙、丙、丁、戊、己6名成员随机抽取4个礼品，每人最多抽一个礼品，其礼品全被抽光，4个礼品中有两个完全相同的笔记本电脑，两个完全相同的山地车，则甲乙两人都抽到礼品的情况有 A ．36种 B ．24种 C ．18种 D ．9种第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上..13、设()43log 1,012,03x x x f x x a x ->⎧⎪=⎨-+≤⎪⎩，若11((4))3f f =，则a = 14、已知1113e n dx x-=⎰，在(1)n x +的展开式中，2x 的系数是 （用数字填写答案）1522221(0,0)x y a b a b-=>>的一个焦点与抛物线220y x =的焦点重合，则该双曲线的标准方程为 16、体积43π为的球与正三棱柱的所有均相切，则该棱柱的体积为三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17、（本小题满分12分）已知函数()1cos cos 2(0)2f x wx wx x w =->的最小正周期为2π. （1）求w 的值；（2）在ABC ∆中，sin ,sin ,sin B A C 成等比数列，求此时()f A 的值域.18、（本小题满分12分）如图，四边形ABCD是体积为的圆柱OQ 的轴截面，点P 在底面圆周上，2,BP OA G ==是DP 的中点.（1）求证：AG ⊥平面DPB ； （2）求二面角P AG B --的正弦值.19、（本小题满分12分）在一次爱心捐款活动中，小李为了了解捐款数额是否和居民自身的经济收入有关，随机调查了某地区的100个捐款居民每月平均的经济收入，在捐款超过100元的居民中，每月平均的经济收入没有达到2000元的有60个，达到2000元的有20个；在捐款不超过100元的居民中，每月平均的经济收入没有达到2000元的有10个.（1）在下图表格空白处填写正确数字，并说明是否有95%以上的把握认为捐款数额是否超过100元和居民每月平均的经济收入是达到2000元有关？（2）将上述调查所得的频率视为概率，现在从该地区大量居民中，采用随机抽样方法每次抽取1个居民，共抽取3次，记被抽取的3个居民中经济收入达到2000元的人数为X，求P(X=2)和期望EX的值.20、（本小题满分12分）已知,P Q是椭圆2222:1(0)x yE a ba b+=>>上关于原点O对称的任意两点，且点,P Q都不在x轴上.（1）若(,0)D a，求证：直线PD和QD的斜率之积为定值；（2）若椭圆长轴长为4，点(0,1)A 在椭圆上，设M 、N 是椭圆上异于点A 的任意两点，且AM AN ⊥，问直线MN 是否过一个定点？若过定点，求出该定点坐标；若不过定点，请说明理由.21、（本小题满分12分）已知()(),(1),xf x bx bg x bx e b R =-=-∈.（1）若0b ≥，讨论()g x 的单调性；（2）若不等式()()f x g x >有且仅有两个整数解，求b 的取值范围.请考生在第（22）、（23）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡上． 22、（本小题满分10分） 选修4-4 坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程22cos (2sin x y ϕϕϕ=+⎧⎨=⎩为参数）以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立坐标系. （1）求曲线C 的极坐标方程； （2）直线l 的极坐标方程是cos()23πρθ+=，直线3πθ=与曲线C 交于O 和P ，与直线l 交于点Q ，求PQ 的长.23、（本小题满分10分））选修4-5 不等式选讲 已知函数()21f x x =-.（1）若不等式1()21(0)2f x m m +≤+>的解集为33[,]22-，求实数m 的值；（2）若不等式()2f x y a y x ≤+-+，对任意的实数,x y R ∈都成立，求正实数a 的最小值.。
全国高考2018届高三仿真试卷(四)数学(理)试题
全国高考2018届高三仿真试卷（四）数学（理）试题本试题卷共14页，23题（含选考题）。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
★祝考试顺利★注意事项：1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。
2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。
答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
5、考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷（选择题60分）一、选择题（本大题包括12个小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只．有一项．．．是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上）．1. 已知集合，则集合中元素的个数为A. B. C. D.【答案】D本题选择D选项.2. 已知复数的实部和虚部相等，则A. B. C. D.【答案】D【解析】令,解得故．3. 已知是上的奇函数，则“”是“”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】∵函数f(x)是奇函数，∴若x1+x2=0，则x1=−x2，则f(x1)=f(−x2)=−f(x2)，即f(x1)+f(x2)=0成立，即充分性成立，若f(x)=0,满足f(x)是奇函数,当x1=x2=2时，满足f(x1)=f(x2)=0,此时满足f(x1)+f(x2)=0，但x1+x2=4≠0，即必要性不成立，故“x1+x2=0”是“f(x1)+f(x2)=0”的充分不必要条件，本题选择A选项.4. 在等比数列中，已知，则A. B.C. D.【答案】B【解析】由题意可得：，解得：.本题选择B选项.5. 若,则直线必不经过A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B【解析】令x=0，得y=sinα<0，令y=0，得x=cosα>0，直线过(0,sinα)，(cosα,0)两点，因而直线不过第二象限。
黑龙江省2018年普通高等学校招生全国统一考试仿真模拟(二)数学(理科)试题(精编含解析)
普通高等学校招生全国统一考试仿真模拟(二)理科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：因,故,应选B.考点：集合的交集运算.2. 复数，，是虚数单位.若，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．【详解】z=（a+i）（1﹣i）=a+1+（1﹣a）i，∴|z|=2=，化为a2=1．解得a=±1．故选：D．【点睛】本题考查了复数的运算法则、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3. 某公司为了增加其商品的销售利润，调查了该商品投入的广告费用与销售利润的统计数据如下表：广告费用（万元）2356销售利润（万元）57911由表中数据，得线性回归方程：，，则下列结论错误的是（）A. B. C. 直线过点 D. 直线过点【答案】D【解析】【分析】求出回归直线方程，根据回归方程进行判断．【详解】=，．∴直线l经过点（4，8）．=（﹣2）×（﹣3）+（﹣1）×（﹣1）+1×1+2×3=14．=（﹣2）2+（﹣1）2+12+22=10．∴=，=8﹣1.4×4=2.4．∴回归方程为y=1.4x+2.4．当x=2时，y=1.4×2+2.4=5.2．∴直线l过点（2，5.2）故选：D．【点睛】本题主要考查线性回归方程，属于难题.求回归直线方程的步骤：①依据样本数据画出散点图，确定两个变量具有线性相关关系；②计算的值；③计算回归系数；④写出回归直线方程为；回归直线过样本点中心是一条重要性质，利用线性回归方程可以估计总体，帮助我们分析两个变量的变化趋势.4. 已知数列为等差数列，，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用等差数列的通项公式即可得出．【详解】设等差数列{a n}的公差为d，∵a2+a3=1，a10+a11=9，∴2a1+3d=1，2a1+19d=9，解得a1=﹣，d=．∴a5+a6=2a1+9d=﹣2×+9×=4．故选：A．【点睛】在解决等差、等比数列的运算问题时，有两个处理思路,一是利用基本量,将多元问题简化为一元问题,虽有一定量的运算,但思路简洁,目标明确；二是利用等差、等比数列的性质是两种数列基本规律的深刻体现，应有意识地去应用.但在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形. 在解决等差、等比数列的运算问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法.5. 已知函数则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由分段函数的表达式从内向外依次代入求值即可．【详解】f（）=log5=﹣2，=f（﹣2）=，故选：B．【点睛】(1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值．(2)当给出函数值求自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围．6. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用三视图判断几何体为三棱柱，求其面积即可．【详解】三棱柱的表面积为5个面的面积之和，又因为底面是正三角形，边长为2，棱柱的高为：3．所以S=2×+3×2×3=18+2．故选：B．【点睛】思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.7. 已知直线与圆相交于，，且为等腰直角三角形，则实数的值为（）A. 或B.C. 或D.【答案】C【分析】由题意可得△ABC是等腰直角三角形，可得圆心C（1，﹣a）到直线ax+y﹣1=0的距离等于r•sin45°，再利用点到直线的距离公式求得a的值．【详解】由题意可得△ABC是等腰直角三角形，∴圆心C（1，﹣a）到直线ax+y﹣1=0的距离等于r•sin45°=，再利用点到直线的距离公式可得=，∴a=±1，故选：C．【点睛】这个题目考查的是直线和圆的位置关系，一般直线和圆的题很多情况下是利用数形结合来解决的，联立的时候较少；还有就是在求圆上的点到直线或者定点的距离时，一般是转化为圆心到直线或者圆心到定点的距离，再加减半径，分别得到最大值和最小值。
2018年高三第二次模拟数学(理科)测试题 及答案
2018年高三第二次模拟数学（理科）测试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合2{|20}A x x =->，{|0}B x x =>，则AB =（ ）A．(0 B ．(2)(0)-∞-+∞，， C．)+∞ D．((0)-∞+∞，，2.复数13ii -=+（ ） A ．931010i - B ．131010i + C ．931010i + D ．131010i -3. 以下关于双曲线M ：228x y -=的判断正确的是（ ） A ．M 的离心率为2 B ．M 的实轴长为2 C.M 的焦距为16 D ．M 的渐近线方程为y x =±4.若角α的终边经过点(1-，，则tan()3πα+=（ ）A． B．5.某几何体的三视图如图所示，其中俯视图中的圆的半径为2，则该几何体的体积为（ ）A ．51296π-B ．296 C.51224π- D ．512 6.设x ，y 满足约束条件330280440x y x y x y -+⎧⎪+-⎨⎪+-⎩≥≤≥，则3z x y =+的最大值是（ ）A ．9B ．8 C.3 D ．47.执行如图所示的程序框图，若输入的11k =，则输出的S =（ ）A ．12B ．13 C.15 D ．188.我国南宋著名数学家秦九韶发现了三角形三边求三角形面积的“三斜求积公式”，设ABC △三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，面积为S，则“三斜求积公式”为S =.若2sin 24sin a C A =，2(sin sin )()(27)sin a C B c b a A -+=-，则用“三斜求积公式”求得的S =（ ） ABD9.某种产品的质量以其质量指标值来衡量，质量指标值越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于100的产品为优质产品.现用两种新配方（分别称为A 配方和B 配方）做试验，各生产了100 件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值（都在区间[90110]， 内），将这些数据分成4 组：[9095)，，[95100)，，[100105)，，[105110]，，得到如下两个频率分布直方图：已知这2 种配方生产的产品利润y （单位：百元）与其质量指标值t 的关系式均为19509510011001052105t t y t t -<⎧⎪<⎪=⎨<⎪⎪⎩，，≤，≤，≥.若以上面数据的频率作为概率，分别从用A 配方和B 配方生产的产品中随机抽取一件，且抽取的这2 件产品相互独立，则抽得的这两件产品利润之和为0 的概率为（ ） A ．0.125 B ．0.195 C.0.215 D ．0.235 10. 设38a =，0.5log 0.2b =，4log 24c =，则（ ）A ．a c b <<B ．a b c << C.b a c << D ．b c a << 11. 将函数sin 2cos2y x x =+的图象向左平移ϕ（02πϕ<<）个单位长度后得到()f x 的图象，若()f x 在5()4ππ，上单调递减，则ϕ的取值范围为（ ）A ．3()88ππ，B ．()42ππ， C.3[]88ππ， D ．[)42ππ，12.过圆P ：221(1)4x y ++=的圆心P 的直线与抛物线C ：23y x = 相交于A ，B 两点，且3PB PA =，则点A 到圆P 上任意一点的距离的最大值为（ ） A ．116 B ．2 C.136 D ．73第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知向量()AB m n =，，(21)BD =，，(38)AD =，，则mn =． 14.71(4)2x - 的展开式中3x 的系数为．15. 若函数32()3f x x x a =--（0a ≠）只有2个零点，则a =．16.在等腰三角形ABC 中，23A π∠=，AB =BC 边上的高AD 翻折，使BCD △ 为正三角形，则四面体ABCD 的外接球的表面积为．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和n S ，11S +，3S ，4S 成等差数列，且1a ，2a ，5a 成等比数列.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若4S ，6S ，10S 成等比数列，求n 及此等比数列的公比.18. 4月23日是“世界读书日”，某中学在此期间开展了一系列的读书教育活动，为了解高三学生课外阅读情况，采用分层抽样的方法从高三某班甲、乙、丙、丁四个小组中随机抽取10 名学生参加问卷调查.各组人数统计如下：（1）从参加问卷调查的10 名学生中随机抽取两名，求这两名学生来自同一个小组的概率； （2）在参加问卷调查的10 名学生中，从来自甲、丙两个小组的学生中随机抽取两名，用X 表示抽得甲组学生的人数，求X 的分布列及数学期望.19. 如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，F ，G 分别是棱1CC ，1AA 的中点，E 为棱AB 上一点，113B M MA = 且GM ∥ 平面1B EF .（1）证明：E 为AB 的中点；（2）求平面1B EF 与平面11ABC D 所成锐二面角的余弦值.20. 已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的离心率2e =，直线10x +-= 被以椭圆C （1）求椭圆C 的方程；（2）过点(40)M ， 的直线l 交椭圆于A ，B 两个不同的点，且MA MB λ=⋅，求λ 的取值范围.21. 已知函数3()ln(1)ln(1)(3)f x x x k x x =+----（k ∈R ） （1）当3k = 时，求曲线()y f x = 在原点O 处的切线方程； （2）若()0f x > 对(01)x ∈， 恒成立，求k 的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为cos 1sin x t y t αα=⎧⎨=+⎩（t 为参数）.以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为2sin 0ρθθ-=. （1）写出直线l 的普通方程及曲线C 的直角坐标方程；（2）已知点(01)P ，，点0)Q ，直线l 过点Q 且曲线C 相交于A ，B 两点，设线段AB 的中点为M ，求PM 的值. 23.选修4-5：不等式选讲 已知函数()23f x x x =-++. （1）求不等式()15f x ≤的解集；（2）若2()x a f x -+≤对x ∈R 恒成立，求a 的取值范围.广西区2018年3月高三年级第二次高考模拟联合考试数学参考答案（理科）一、选择题1-5:DADBC 6-10:ACDBA 11、12：CC 二、填空题13.7 14.140- 15.4- 16.15π 三、解答题17. 1）设数列{}n a 的公差为d由题意可知3142215210S S S a a a d =++⎧⎪=⎨⎪≠⎩，整理得1112a d a =⎧⎨=⎩，即112a d =⎧⎨=⎩所以21n a n =-（2）由（1）知21n a n =-，∴2n S n =，∴416S =，836S =，又248n S S S =，∴22368116n ==，∴9n =，公比8494S q S == 18.由已知得，问卷调查中，从四个小组中抽取的人数分别为3，4，2，1，从参加问卷调查的10 名学生中随机抽取两名的取法共有21045C = 种， 这两名学生来自同一小组的取法共有22234210C C C ++= 种.所以所求概率102459P == （2）由（1）知，在参加问卷调查的10 名学生中，来自甲、丙两小组的学生人数分别为3，2.X 的可能取值为0，1，2，22251(0)10C P X C ===，1132253(1)5C C P X C ===，23253(2)10C P X C ===.所以X 的分布列为()012105105E X =⨯+⨯+⨯=19.（1）证明：取11A B 的中点N ，连接AN ，因为1=3B M MA ，所以M 为1A N 的中点，又G 为1AA 的中点，所以GM AN ∥， 因为GM ∥ 平面1B EF ，GM ⊂ 平面11ABB A ，平面11ABB A 平面11B EF B E =所以1GM B E ∥，即1AN B E ∥，又1B N AE ∥，所以四边形1AEB N 为平行四边形，则1AE B N =，所以E 为AB 的中点. （2）解：以D 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -，不妨令正方体的棱长为2，则1(222B ，，），(210)E ，，，(021)F ，，，1(202)A ，，，可得1(012)B E =--，，，(211)EF =-，，，设()m x y z =，， 是平面1B EF 的法向量，则12020m B E y z m EF x y z ⎧⋅=--=⎪⎨⋅=-++=⎪⎩，令2z =，得(142)m =--，， 易得平面11ABC D 的一个法向量为1(202)n DA ==，，所以cos 4222m n m n m n⋅===， 故所求锐二面角的余弦值为4220.解：（1）因为原点到直线10x -=的距离为12，所以2221()2b +=（0b >），解得1b =. 又22222314c b e a a ==-=，得2a =所以椭圆C 的方程为2214x y +=. （2） 当直线l 的斜率为0 时，12MA MB λ=⋅=当直线l 的斜率不为0 时，设直线l ：4x my =+，11()A x y ，，22()B x y ，，联立方程组22414x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得22(4)8120m y my +++=由22=6448(4)0m m ∆-+>，得212m >， 所以122124y y m =+21122212(1)312(1)44m MA MB y m m λ+=⋅===-++由212m >，得2330416m <<+，所以39124λ<<. 综上可得：39124λ<≤，即39(12]4λ∈，21.解：（1）当3k = 时，211()9(1)11f x x x x'=+--+-，∴(0)11f '=故曲线()y f x = 在原点O 处的切线方程为11y x =（2）22223(1)()1k x f x x+-'=- 当(01)x ∈， 时，22(1)(01)x -∈，，若23k -≥，2223(1)0k x +->，则()0f x '>，∴()f x 在(01)， 上递增，从而()(0)0f x f >=.若23k <-，令()0(01)f x x '=⇒=，，当(0x ∈时，()0f x '<，当1)x ∈ 时，()0f x '>，∴min ()(0)0f x f f =<= 则23k <-不合题意. 故k 的取值范围为2[)3-+∞，22.解：（1）由直线l 的参数方程消去t ，得l 的普通方程为sin cos cos 0x y ααα-+=，由2sin 0ρθθ-=得22sin cos 0ρθθ-=所以曲线C的直角坐标方程为2y =（2）易得点P 在l，所以tan 3PQ k α===-，所以56πα= 所以l的参数方程为112x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，代入2y = 中，得21640t t ++=.设A ，B ，M 所对应的参数分别为1t ，2t ，0t . 则12082t t t +==-，所以08PM t == 23.解：（1）因为213()532212x x f x x x x --<-⎧⎪=-⎨⎪+>⎩，，≤≤，，13x <-≤ 所以当3x <- 时，由()15f x ≤ 得83x -<-≤； 当32x -≤≤ 时，由()15f x ≤ 得32x -≤≤； 当2x > 时，由()15f x ≤ 得27x <≤ 综上，()15f x ≤ 的解集为[87]-，（2）（方法一）由2()x a f x -+≤ 得2()a x f x +≤，因为()(2)(3)5f x x x --+=≥，当且仅当32x -≤≤ 取等号， 所以当32x -≤≤ 时，()f x 取得最小值5.所以，当0x = 时，2()x f x + 取得最小值5， 故5a ≤，即a 的取值范围为(5]-∞，（方法二）设2()g x x a =-+，则max ()(0)g x g a ==， 当32x -≤≤ 时，()f x 的取得最小值5， 所以当0x = 时，2()x f x + 取得最小值5， 故5a ≤，即a 的取值范围为(5]-∞，。
2018届好教育云平台高三第二次模拟考试仿真卷理科数学(四)(解析版)
2018届好教育云平台高三第二次模拟考试仿真卷理科数学（四）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．[2018·太原期末]已知，都是实数，那么“”是“”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】D【解析】：，与没有包含关系，故为“既不充分也不必要条件”．故选D ．2．[2018·豫南九校]抛物线的焦点坐标为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】．故选B ． 3．[2018·牡丹江一中]十字路口来往的车辆，如果不允许掉头，则行车路线共有（ ） A ．24种B ．16种C ．12种D ．10种a b 22a b >22a b >p 22a b a b >⇔>q a b >a b >22(0)x py p =>,02p ⎛⎫ ⎪⎝⎭1,08p ⎛⎫ ⎪⎝⎭0,2p ⎛⎫ ⎪⎝⎭10,8p ⎛⎫ ⎪⎝⎭1,08p ⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】C【解析】根据题意，车的行驶路线起点有4种，行驶方向有3种，所以行车路线共有种，故选C ．4．[2018·行知中学]设，满足约束条件，则目标函数的最小值为（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】A 【解析】如图，过时，取最小值，为．故选A ．5．[2018·三门峡期末]《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，系统地总结了战国、秦、汉时期的数学成就．书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”，若某“阳马”的三视图如图所示（网格纸上小正方形的边长为1），则该“阳马”最长的棱长为（ ）A ．BCD ．【答案】D【解析】由三视图知：几何体是四棱锥，且四棱锥的一条侧棱与底面垂直，如图：43=12⨯x y 36020 0,0x y x y x y ⎧⎪⎨⎪+⎩---≤≥≥≥2z x y =-+4-2-02()2,02z x y =-+4-5其中平面，∴，，，，D ． 6．[2018·龙岩质检大致的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】是偶函数，故它的图象关于轴对称，再由当趋于时，函数值趋于零，故答案为：D ．7．[2018·安庆一中]函数的取值不可能为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】， ∵PA ⊥ABCD 3PA =4AB CD ==5AD BC ==)())0,π)())0,πy x π()sin cos (0)f x x x ωωω=->ω14151234k ∈Z k ∈Z ()sin cos (0)f x x x ωωω=->D．8．[2018·三门峡期末]运行如图所示的程序框图，设输出数据构成的集合为，从集合中任取一个元素，则函数，是增函数的概率为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由框图可知，其中基本事件的总数为5，设集合中满足“函数，是增函数”为事件E，当函数，是增函数时，，事件E包含基本事件的个数为3A．9．[2018·西城期末]已知，是函数的图象上的相异两点，若点，到直线的距离相等，则点，的横坐标之和的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】设，，不妨设，函数为单调增函数，若点，到直线的距离相等，则，即．有．由基本不等式得：．（因为，等号取不到）．故选A Aa ay x=()0,x∈+∞35453437{}3,0,1,8,15A=-ay x= [)0,x∈+∞ay x=[)0,x∈+∞0a＞开始输出y结束是否3x=-3x≤22y x x=+1x x=+A B2xy=A B12y=A B(),1-∞-(),2-∞-(),3-∞-(),4-∞-()11,A x y()22,B x y12x x<2xy=A B 12y=121122y y-=-121y y+=12221x x+=122x x+<-12x x≠B ．10．[2018·天一大联考]在四面体中，若，，，则四面体的外接球的表面积为（ ） A． B ． C ． D ．【答案】C【解析】如图所示，该四面体的四个顶点为长方体的四个顶点，设长、宽、高分别为，，，则，三式相加得：，所以该四面体的外接球直径为长方体的体对角线长，故外接球体积为：．11．[2018·江西联考]设是函数的极值点，数列满足，，，若表示不超过的最大整数，则=（ ）A ．2017B ．2018C ．2019D ．2020【答案】A【解析】由题意可得，∵是函数的极值点，∴，即．∴， ∴，，，，，以上各式累加可得．∴．ABCD AB CD ==2AC BD ==AD BC ==ABCD 2π4π6π8πa b c 22222254 3a b a c b c +=+=+=⎧⎪⎨⎪⎩2226a b c ++=246R π=π1x =()()32121n n n f x a x a x a x n +++=--+∈N {}n a 11a =22a =21log n n b a +=[]x x 122320182019201820182018b b b b b b ⎡⎤+++⎢⎥⎣⎦()21232n n n f x a x a x a ++=--'1x =()f x ()121320n n n f a a a ++=-'-=21320n n n a a a ++-+=()2112n n n n a a a a +++-=-211a a -=32212a a -=⨯=243222a a -=⨯=212n n n a a ---=12n n a -=212log log 2n n n b a n +===∴∴．选A ．12．[2018·周口期末]上单调递增，则实数的取值范围（ ） A ． B ． C ． D ．【答案】C【解析】当在区间上单调递增， 在区间，解得， 当在区间上单调递增，满足条件． 当在，解得，综上所述，实数的取值范围，故选C ．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．[2018·天津期末]已知． 122320182018b b b b b b +++12018++⨯1223201820192018201820182017b b b b b b ⎡⎤+++=⎢⎥⎣⎦[]0,1a ()1,1-()1,-+∞[]1,1-(]0,+∞0a >[]0,1[]0,1](0,1a ∈0a =[]0,10a <R 1a -≥a []1,1-i14．[2018·菏泽期末]已知等比数列中，，，则的前6项和为__________．【答案】【解析】，，则，．15．[2018·湖师附中]在矩形中，，，为的中点，若为该矩形内（含边界）任意一点，则的最大值为__________．【答案】【解析】如图所示：设与的夹角为，则知，只有点取点取得最大值．,故填．16．[2018·漳州调研]设F为双曲线：(，)的右焦点，过F直线与双曲线的两条渐近线分别交于，两点，，则双曲线的离心率为_____．【答案】{}na21a=58a=-{}n a2123528aqa==-2q=-2112aaq==-()()()661611212121122a qSq⎡⎤----⎣⎦===---ABCD2AB=1BC=E BC FAE AF⋅92AE AFθ221||||cos2||cosAE AF AE AF AFθθ⎛⎫⋅==+ ⎪F C cosAFθ()19=22,1AE AF⎛⎫∴⋅⋅=⎪，92C22221x ya b-=0a＞0b＞l C A B2AF BF=C 2【解析】若，则由图1可知，渐近线的斜率为，，在中，由角平分线定理可得，所以，，所以，．若，则由图可知，渐近线为边的垂直平分线，故为等腰三角形，故可以求出，根据的方程：和准线方程：，可以求出点，根据，求出，，即该双曲线的离心率为．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：60分，每个试题12分．17．[2018·宜昌一中]（1）求的最大值、最小值；（2）为的内角平分线，已知，，． 【答案】（1），；（2【解析】（1······3分∵↑↓，∴，·······6分2AF BF =-OB ba-l OB ⊥Rt OBA △2OA FA OBFB==60AOB ∠=︒30xOA ∠=︒b a =c e a ===2AF BF =2OB AOF △AF AOF △OA c =l ()0ay x c b-=-b y x a =22222,a c abc A a b a b ⎛⎫ ⎪--⎝⎭OA c =b a =2c e a ===2yxOF AB图1lyxOFA B 图2l()f x CD ABC △()max AC f x =()min BC f x =CD C ∠()max 6f x =()min 3f x =()f x ()max 6f x =()min 3f x =（2），∵，，， ∵·······9分中， 中，， ∴······12分18．[2018·漳州期末]随着科学技术的飞速发展，手机的功能逐渐强大，很大程度上代替了电脑、电视．为了了解某高校学生平均每天使用手机的时间是否与性别有关，某调查小组随机抽取了名男生、名女生进行为期一周的跟踪调查，调查结果如表所示：（1）能否在犯错误的概率不超过的前提下认为学生使用手机的时间长短与性别有关？ （2）在这名女生中，调查小组发现共有人使用国产手机，在这人中，平均每天使用手机不超过小时的共有人．从平均每天使用手机超过小时的女生中任意选取人，求这人中使用非国产手机的人数的分布列和数学期望．参考公式：【答案】（1）能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为学生使用手机的时间长短与性别有关；（2）见解析．ADC △BDC △sin sin ADC BDC ∠=∠6AC =3BC =2AD BD =BCD △ACD △2446822C C AD =-=-cos22C =30200.0120151539333X ()()()()()22n ad bc K a c b d a b c d -=++++()n a b c d =+++【解析】（1）．·······3分所以能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为学生使用手机的时间长短与性别有关．·······4分（2）可取0，1，2，3．·······6分，·······7分，·······8分，·······9分，·······10分所以的分布列为．·······12分 19．[2018·晋中调研]如图，已知四棱锥，平面，底面中，，，且，为的中点．（1）求证：平面平面；（2）问在棱上是否存在点，使平面，若存在，请求出二面角的余弦值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）见解析；（2）存在． 【解析】∴以为原点，射线，，分别为，，轴的正半轴，()2502511598104663530201634K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯．．X 3639(502)1C P X C ===12363915)128(C C P X C ===2136393()214C C P X C ===3339(138)4C P X C ===X ()515310123121281484E X =⨯+⨯+⨯+⨯=P ABCD -PA ⊥ABCD ABCD BC AD ∥AB AD ⊥22PA AD AB BC ====M AD PCM ⊥PAD PD Q PD ⊥CMQ P CM Q --Q A AB AD AP x y z建立空间直角坐标系如图所示：，，，，，，，，为的中点，∴，．·······2分（1），， ∴，．·······4分平面，平面，且，∴平面．·······5分平面，∴平面⊥平面．·······6分（2）存在点使平面，在内，过做垂足为， 由（1）平面，平面，，，平面，·······8分设平面的一个法向量为，则，， 取．·······10分平面，是平面的一个法向量．·······11分由图形知二面角的平面角是锐角，所以二面角余弦值为·······12分 20．[2018·池州期末]已知定点、，直线、相交于点，且它们的斜22PA AD AB BC ====()0,0,0A ()200B ,,()2,1,0C ()020D ,,()002P ,,()020AD =,,()002AP =,,M AD ()0,1,0M ()200MC =,,0MC AD ⋅=0MC AP ⋅=CM PA ⊥CM AD ⊥PA ⊂PAD AD ⊂PAD PAAD A =CM ⊥PAD CM ⊂PCM PCM PAD Q PD ⊥CMQ PAD △M MQ PD ⊥Q CM ⊥PAD PD ⊂PAD CM PD ∴⊥MQ CM M =PD ∴⊥CMQ PCM ()x y z =,,n 200MC x x ⋅==⇒=n ()()012202PM x y z y z y z ⋅=⋅-=-=⇒=,,,,n ()02,1=,n PD ⊥CMQ ()022PD =-,,CMQ P CM Q --θ25PD PD⋅=()3,0A -()3,0B AM BM M率之积为，记动点的轨迹为曲线．（1）求曲线的方程；（2）过点的直线与曲线交于、两点，是否存在定点，使得直线与斜率之积为定值，若存在求出坐标；若不存在请说明理由．【答案】（1）曲线的方程为；（2）见解析．【解析】（1）设动点， ·······2分即． 化简得：，由已知，故曲线的方程为．·······4分（2）由已知直线过点，设的方程为，则联立方程组， 消去得,设，·······6分直线与斜率分别为，，·······8分19-M C C ()1,0T l C P Q (),0S s SP SQ S C 2219x y +=()3x ≠±(),M x y 3MB y k x =-()3x ≠±MA MB k k ⋅1339y y x x ⋅=-+-2219x y +=3x ≠±C 2219x y +=()3x ≠±l ()1,0T l 1x my =+22199x my x y =++=⎧⎨⎩x ()229280m y my ++-=()11,P x y ()22,Q x y SP SQ 11111SP y y k x s my s ==-+-22221SQ y y k x s my s==-+-()()121111SP SP y y k k my s my s =+-+-．·······10分当所以存在定点，使得直线与斜率之积为定值．·······12分21．[2018·龙岩质检]已知函数，．（1）求函数的极值； （2对恒成立，求的取值范围．【答案】（1）见解析；（2）的取值范围为．【解析】（1），，·······1分∵的定义域为．即时，在上递减，在上递增，，无极大值．·······2分 ②即时，在和上递增，在上递减， ，．·······3分③即时，在上递增，没有极值．·······4分 ④即时，在和上递增，在上递减， ()()()1222121211y y m y y m s y y s =+-++-()()2228991sm s -=-+-3s =3s =-()3,0S ±SP SQ ()22ln f x x x a x =--()g x ax =()()()F x f x g x =+0x ≥a a 1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭()22ln F x x x a x ax =--+()()21x a x x+-()F x ()0,+∞0a ≥()F x ()0,1()F x ()1,+∞()1F x a =-极小()F x 012a <-<20a -<<()F x 0,2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭()1,+∞,12a ⎛⎫- ⎪⎝⎭()2a F x F ⎛⎫=- ⎪⎝⎭极大2ln 42a a a a ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭()()11F x F a ==-极小12a-=2a =-()F x ()0,+∞()F x 12a ->2a <-()F x ()0,1,2a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭()F x 1,2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭∴，·······5分综上可知：时，，无极大值；时，，；时，没有极值；时，，．··6分（2设，则，∴在上递增，∴的值域为，·······8分时，，为上的增函数，∴，适合条件．·······9分②当·······10分③当， 令时，，∴在上单调递减，∴， 即在时，，∴不适合条件．()()11F x F a ==-极大()2a F x F ⎛⎫=- ⎪⎝⎭极小0a ≥()1F x a =-极小()F x 20a -<<()2a F x F ⎛⎫=- ⎪⎝⎭极大2ln 42a a a a ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭()()11F x F a ==-极小2a =-()F x 2a <-()()11F x F a ==-极大()2a F x F ⎛⎫=- ⎪⎝⎭极小2ln 42a a a a ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭cos t x =[]1,1t ∈-()()2122tt t ϕ+=+()t ϕ[]1,1-()t ϕ11,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦()0h x '≥()h x []0,+∞()()00h x h =≥0a ≤103a <<()sin 3x h x ax <-()sin 3x T x ax =-()00,x x ∈()0T x '<()T x ()00,x ()()000T x T <=()00,x x ∈()0h x <综上，的取值范围为．·······12分（二）选考题（共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做第一题计分）22．[2018·赤峰期末]选修4-4：极坐标系与参数方程(10分)在直角坐标系中,曲线为参数),将曲线上各点的横坐标都缩短为原来的倍,纵坐标坐标都伸长为原来的倍,得到曲线,在极坐标系(与直角坐标系取相同的长度单位,且以原点为极点,以轴非负半轴为极轴)中,直线的极坐标方程（1）求直线和曲线的直角坐标方程；（2）设点是曲线上的一个动点,求它到直线的距离的最大值．【答案】（1），（2）【解析】（1）因为直线所以有，即直线的直角坐标方程为：·······2分因为曲线为参数),经过变换后为(为参数) 所以化为直角坐标方程为：·······5分（2）因为点在曲线上,故可设点的坐标为，从而点到直线······8分由此得,,取得最大值,且最大值为·······10分a1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭xOy 1C α1C 122C xOy O x l l 2C Q 2C l 40x y -+=221x y +=1l cos sin 40ρθρθ-+=l 40x y -+=1C αcos sin x y αα==⎧⎨⎩α221x y +=Q 2C Q ()cos ,sin ααQ l d 123．[2018·太原期末]选修4-5：不等式选讲设函数，．（1）求不等式的解集；（2）设不等式的解集为，当时，证明：．【答案】（1）（2）见解析 【解析】（1则有①或②或③·······3分解①得，解②得，解③得， 则不等式的解集为．·······5分（2），解得，则，所以．当时，，，，则成立． 当时，，则． 综上，成立．·······10分()12f x x x =++-()254g x x x =-+-()5f x ≤M ()0g x ≥N x M N ∈()()3f x g x +≤{|23}M x x =-≤≤1240x x -+⎧⎨⎩≤≥12 20x -<<-⎧⎨⎩≤2260x x -⎧⎨⎩≥≤21x --≤≤12x -<<23x ≤≤{|23}M x x =-≤≤()20540g x x x ⇔-+≥≤14x ≤≤{|14}N x x =≤≤{|13}MN x x =≤≤12x ≤≤()3f x =()()225935424f x g x x x x ⎛⎫--=-+=-- ⎪⎝⎭()()3f x g x +≤23x <≤()26f x x =-()()3f x g x <+()()3f x g x +≤。
2018届好教育云平台高三第二次模拟考试(二模)仿真卷(四)理综(教师版)
2017-2018学年下学期高三年级第二次模拟仿真测试卷理科综合能力测试（四）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
可能用到的相对原子质量：H 1 C 12 N 14 O 16 Al 27 P 31 Cl 35.5 Ga 70 As 75第Ⅰ卷一、选择题：本大题共13小题，每小题6分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。
1. 下列句子出自某报文章“一支‘甲流’疫苗的‘成长自述’”，其中表述有误的是 A. 一枚鸡胚——处于孵化过程中的鸡蛋，是我成长的“土壤” B. 我在鸡胚里头快速分裂繁殖，一个变两个，两个变四个……C. 工作人员用一种叫裂解剂的物质使我由一个完整的病毒分开成碎片，除去我身上的核酸D. 我需要在2℃—8℃的温度下避光保存 【答案】B【解析】病毒需要在活细胞内寄生，鸡胚是活细胞，A 正确；病毒只能在宿主细胞内复制增殖而不是裂殖，B 错误；疫苗是灭活的病毒，让病毒保留衣壳上的抗原决定簇使人能发生特异性免疫产生抗体等，除去其核酸是为了让其丧失增殖使人致病能力，以制成疫苗，C 正确；为避免疫苗被一些微生物分解破坏，故需要低温避光以抑制微生物的代谢，保存疫苗，D 错误。
2. 下列关于实验材料的选择，不合理的是A. 用紫色的牵牛花瓣探究植物细胞的失水和吸水B. 用念珠藻观察叶绿体C. 用马蛔虫受精卵观察有丝分裂D. 用H 2O 2溶液探究pH 对酶活性的影响【答案】B 【解析】紫色的牵牛花瓣中含有紫色的大液泡，有利于观察植物细胞的质壁分离和复原现象，因此可用紫色的牵牛花瓣探究植物细胞的失水和吸水，A 正确；念珠藻属于蓝藻的范畴，蓝藻属于原核生物，其细胞中没有叶绿体，因此不能用念珠藻观察叶绿体，B 错误；蛔虫受精卵可进行旺盛的有丝分裂，可用于观察有丝分裂过程，C 正确；H 2O 2酶催化H 2O 2水解为H 2O 和O 2，在探究pH 对酶活性的影响，自变量是不同的pH ，可选用H 2O 2为底物，观察不同pH 条件下O 2的生成速率，D 正确。
重庆市2018届高三下学期二模理科数学试题(附解析)
重庆市2018届高三下学期二模理科数学试题（附解析）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集{}6,5,4,3,2,1=U ，集合{}3,5,1=A ，集合{}Z x x x x B ∈≤--=,0)4)(2(|，则()U A B =ð（ ）A ．{}1,6B ．{}6C ．{}63，D ．{}1,3 2．在复平面内，复数Z 所对应的点的坐标为）（4,3，则ZZ=（ ） A ．i 5453-B ．i 5354-C ．i 5453+D ．i 5354+3．已知数列{}n a 为等差数列，其前n 项和为n S ，若6482=-+a a a ，则11=S （ ） A ．132B ．108C ．66D ．不能确定4．某车间为了规划生产进度提高生产效率，记录了不同时段生产零件个数x （百个）与相应加工总时长y （小时）的几组对应数据，根据表中提供的数据，求出y 关于x 的线性回归方程为05.07.0ˆ+=x y ，则下列结论错误．．的是（ ） A ．加工总时长与生产零件数呈正相关 B ．该回归直线一定过点)5.2,5.3(C ．零件个数每增加1百个，相应加工总时长约增加0.7小时D ．m 的值是2.855．已知函数⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤=1,4sin 10,2)(x x x x f x π，则=-+)7log 3()2(2f f （ ）A ．87B ．157C ．158D ．2276．某几何体的三视图如图所示，其侧视图为等边三角形，则该几何体的体积为（ ）A ．3263+πB ．43+πC ．32123+πD ．432+π7．已知25tan 1tan =+αα，)2,4(ππα∈，则)42sin(πα-的值为（ ） A ．1027-B ．102C ．102-D ．1027 8．秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入的2,2==n x ，则输出的=S （ ）A ．8B ．10C ．12D ．229．已知向量b a ,5==+的取值范围是（ ） A ．]5,0[B ．]25,5[C ．]7,25[D ．]10,5[10．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点分别为12F F 、，以O 为圆心，12F F 为直径的圆与椭圆在第一象限相交于点P ，且直线OP 的斜率为3，则椭圆的离心率为（ ）A ．13-B ．213- C ．22 D ．23 11．已知实数b a ,满足不等式1)1(22≤-+b a ，则点)1,1(-A 与点)1,1(--B 在直线01=++by ax 的两侧的概率为（ ） A ．43B ．32C ．21D ．3112．已知函数mx x x x f ++=233)(，)0(,)1ln()(>++=n nx x x g ，若函数)(x f 的图像关于点)1,1(--对称,且曲线)(x f 与)(x g 有唯一公共点，则=+n m （ ）A ．3B ．5C ．7D ．9第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．若51(2)(1)ax x++展开式中常数项为12，则实数a 等于 ．14．甲、乙、丙三个同学在看c b a ,,三位运动员进行“乒乓球冠军争夺赛”.赛前，对于谁会得冠军进行预测，甲说：不是b ，是c ；乙说：不是b ，是a ；丙说：不是c ，是b ．比赛结果表明，他们的话有一人全对，有一人对一半错一半，有一人全错，则冠军是 ．15．已知三棱锥ABC P -的外接球的球心为O ，⊥PA 平面ABC ，AB AC ⊥，2AB AC ==，1PA =，则球心O 到平面PBC 的距离为 ．16．如图，在平面四边形ABCD 中，ACD ∆的面积为3，132-==BC AB ，，135120=∠=∠BCD ABC ，，则=AD ．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）有如下数阵，，，，，)2,2,2()2,2,2()2,2()2(:12154332-+n n n 其中第n 个括号内的所有元素之和记为n a ．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令22(1)log (4)n n n n b n a =-⋅+-，求数列{}n b 的前100项和100S ．18．（12分）当前，以“立德树人”为目标的课程改革正在有序推进．高中联招对初三毕业学生进行体育测试，是激发学生、家长和学校积极开展体育活动，保证学生健康成长的有效措施．重庆2018年初中毕业生升学体育考试规定，考生必须参加立定跳远、掷实心球、1分钟跳绳三项测试，三项考试满分为50分，其中立定跳远15分，掷实心球15分，1分钟跳绳20分，某学校在初三上期开始时要掌握全年级学生每分钟跳绳的情况，随机抽取了100名学生进行测试，得到右边频率分布直方图，且规定计分规则如下表：（1）现从样本的100名学生中,任意选取2人,求两人得分之和不大于35分的概率； （2）若该校初三年级所有学生的跳绳个数X 服从正态分布),(2σμN ，用样本数据的平均值和方差估计总体的期望和方差,已知样本方差1692≈S (各组数据用中点值代替)．根据往年经验，该校初三年级学生经过一年的训练，正式测试时每人每分钟跳绳个数都有明显进步，假设今年正式测试时每人每分钟跳绳个数比初三上学期开始时个数增加10个，现利用所得正态分布模型:（ⅰ）预估全年级恰好有2000名学生时，正式测试每分钟跳182个以上的人数；（结果 四舍五入到整数）（ⅱ）若在全年级所有学生中任意选取3人，记正式测试时每分钟跳195个以上的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列和期望．附：若随机变量X 服从正态分布),(2σμN ，则6826.0)(=+<<-σμσμX P ，)22(σμσμ+<<-X P .9974.0)33(9544.0=+<<-=σμσμX P ，19．（12分）如图，在矩形ABCD 中，点G F E 、、分别为CD 和AB 的三等分点，其中AD AG AB 33==23=，现将ADE ∆和BCF ∆分别沿BF AE ，翻折到AME ∆和BNF ∆的位置，得到一个以、、、、、M F E B A N 为顶点的空间五面体．（1）证明//:MN 平面;ABCD（2）若2=MG ，求平面AME 与平面EGN 所成锐二面角的余弦值．20．（12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知两定点11(0,)(0,)33M N -，，平面内的动点P 在y 轴上的射影为1P ，且1||||MN MP NM NP +=+，记点P 的轨迹为C ． （1）求点P 的轨迹方程C ；（2）设点),1,2(),1,0(A F 以A 为圆心，||AF 为半径的圆A 与直线1-=y 相切于点,B 过F 作斜率大于0的直线与曲线C 在第一象限交于点Q ，与圆A 交于点.H 若直线QB QA QH ,,的斜率成等差数列，且E 为QB 的中点，求QFB ∆和QHE ∆的面积比．21．（12分）已知函数()ln ().au x x a R x=-∈ （1）若曲线)(x u 与直线0=y 相切，求a 的值． （2）若,21e a e <<+设,ln |)(|)(xxx u x f -=求证：()f x 有两个不同的零点12,x x ，且 21x x e -<．（e 为自然对数的底数）请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线M 的参数方程为12cos 12sin x y ββ=+⎧⎨=+⎩β(为参数),以原点为极 点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线1l 的极坐标方程为=θα，直线2l 的极坐标方程为=+2πθα．（1）写出曲线M 的极坐标方程，并指出它是何种曲线；（2）设1l 与曲线M 交于C A 、两点，2l 与曲线M 交于D B 、两点，求四边形ABCD 面积的取值范围．23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】 已知函数)()(R x x x f ∈=．（1）求不等式4)1()1(≤++-x f x f 的解集;M （2）若,,M b a ∈证明.4)()(2:+≤+ab f b a f2018届重庆市高三第二次模拟考试卷数学（理）答案一、选择题． 1-5：BACDB 6-10：ADDBA 11、12：CB二、填空题．13．2 14．C 15．66 16．22三、解答题．17．解：（1）n a =.2421)21(2222121n n n n n n n-=--=++-+ ………… 5分（2）222log (4)(1)(1)n n n n n b a n n n =-+-⋅=+-⋅.10100)14(2)1001(100501100=-++⋅=∴∑=k k S ……………… 12分18．解：（1）两人得分之和不大于35分，即两人得分均为17分，或两人中1人17分，1人18分，;16502921001121626=+=C C C C P ……………… 3分 （2）18508.02101.020030.019034.018012.017006.0160=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=X （个）5分 又,13,1692≈≈s S 所以正式测试时，182,13,195=-∴==σμσμ （ⅰ）,8413.026826.011)182(=--=>∴ξP 16836.168220008413.0≈=⨯∴（人） … 7分（ⅱ）由正态分布模型，全年级所有学生中任取1人，每分钟跳绳个数195以上的概率为0.5，即,125.0)5.01()0(),5.0,3(~303=-⋅==∴C P B ξξ122233333(1)0.5(10.5)0.375,(2)0.5(10.5)0.375,(3)0.50.125;P C P C P C ξξξ==⋅⋅-===⋅⋅-===⋅=∴ξ的分布列为.5.15.03)(=⨯=X E ……… 12分19．解：（1）⊄AB CD AB ,// 平面//,AB EFNM ∴平面,EFNM 又⊂AB 平面,ABNM 平面 ABNM 平面,MN EFNM =;//AB MN ∴⊄MN 平面//,MN ABCD ∴平面.ABCD ……………… 5分（2）取AE 中点,O 连接,,,MG OG MO 由勾股定理逆定理易证,OG MO ⊥O ME MA ,= 为AE 中点，.AE MO ⊥∴又⊥∴=OM O OG AE , 平面,ABCD如图，分别以OM OG OA 、、为z y x 、、轴建立空间直角坐标系 显然平面AME 的一个法向量()0,1,01=n ，)0,0,1(-E ，).0,1,0(G法一：取BF 中点记为H ，由（1）知//MN 平面,ABCD 故N 到平面ABCD 的距离,1===NH OM dN 在平面ABCD 的射影与H 重合，易得点N 的坐标为).1,2,2(-法二：连接,,HN OH 由（1）知,//AB MN 又,//,//OH MN AB OH ∴ 由 ,552cos cos =∠=∠HMN MHO 可得,22=MN 即OHNM 为矩形． N 在平面ABCD 的射影与H 重合，易得点N 的坐标为).1,2,2(-法三：由最小角定理可得,3,21cos cos cos π=∠∴=∠∠=∠MAB EAG MAO MAB可得,2AG MN =().1,2,22-=+=+=∴AG OM MN OM ON设平面EGN 的一个法向量为()),1,2,1(),0,1,1(,,,2-===z y x n则有⎩⎨⎧=++-=+020z y x y x ，可取().3,1,12-=n设平面AME 与平面EGN 所成锐二面角为θ .1111cos cos ==∴θ…… 12分 20．解：（1）设(,)P x y ，则1(0,)P y121(0,)(0,)(0,1)33MN MP y y ∴+=++=+，21(0,)(,)(,1)33NM NP x y x y +=-+-=- 由1||||MN MP NM NP +=+可得222(1)(1)y x y +=+-即24x y =．24C x y ∴=的轨迹方程为：． ……… 4分 （2）设2(,)4t Q t ，由2,QF QB QA k k k +=得222111444222t t t t t t -+-+=--，得2t =+t =舍) Q ∴,1,QF k =………… 8分90QFB ∴∠=且易得(2,3)H ，11(31)422QFB S FQ FB ∴=⋅=⋅+⋅+……………… 10分 又1112222222QHE QHB S S HB ∆∆===，: 2.QFB QHE S S ∴==…… 12分 21．解：（1）设切点)0,(0x P ,)('2x x a x u -+=.,002x a x x a k -=∴=-+=∴ 又切点在函数)(x u 上，,0)(0=∴x u 即,1ln 0ln 000-=⇒=-x x x a.1,10ea e x -=∴=∴ ……………… 4分（2）证明:不妨设12x x <， 21()0a u x x x'=--<，所以()u x 在(0,)+∞上单调递减， 又()10,(2)ln 202a au e u e e ee=->=-<， 所以必存在0(,2)x e e ∈，使得0()0u x =，即,ln 00x x a =⎪⎩⎪⎨⎧>--≤<--=∴00,ln ln 0,ln ln )(x x x x x a x x x x x x x ax f ． 6分①当00x x <≤时，222211ln ln (1)1(1)()0a x x x a x x a f x x x x x x---+---+'=---=≤<， 所以()f x 在区间0(0,]x 上单调递减，注意到1()10a f e ee=-->，00000ln ln ()ln 0x x a f x x x x x =--=-<所以函数()f x 在区间0(0,]x 上存在零点1x ，且10e x x <<． ………… 9分 ②当0x x >时,22211ln ln (1)()0a x x x a f x xx x x -++-'=+-=> 所以()f x 在区间0(,)x +∞上单调递增，又0ln ln ln )(0000000<-=--=x x x x x a x x f ， 且ln 21ln 241411(2)ln 2ln 21ln 20222252522a e f e e e e e e e e e=-->--->->->， 所以()f x 在区间0(,2)x e 上必存在零点2x ，且022x x e <<．综上，()f x 有两个不同的零点1x 、2x ，且21212x x x x e e e -=-<-=． ……… 12分22．解：（1）由12cos 12sin x y ββ=+⎧⎨=+⎩（β为参数）消去参数β得：22(1)(1)4x y -+-=，将曲线M 的方程化成极坐标方程得：2-2(sin cos )20ρρθθ+-=， ∴曲线M 是以)1,1(为圆心,2为半径的圆． …………… 5分（2）设12||,||OA OC ρρ==，由1l 与圆M 联立方程可得22(sincos )20ρραα-+-=1212+=2(sin cos )=2ρρααρρ∴+⋅-，，∵O ，A ，C 三点共线，则12||||AC ρρ=-==①， ∴用+2πα代替α可得||BD =, 121,=2ABCD l l S ⊥∴⋅四边形2sin 2[0,1]ABCD S α∈∴∈四边形． ……………… 10分23．解：（1）2,1112,112,1x x x x x x x -<-⎧⎪-++=-≤<⎨⎪≥⎩由];2,2[411-=⇒≤++-M x x ……………… 5分 （2）法一：要证42+≤+ab b a ，只需证()()2244a b ab +≤+，即证()222484816a ab b ab ab ++≤++，ab ab 88≤只需证()2224416a b ab +≤+，即证()()22440a b --≥由（1）,2,2≤≤b a ：上式显然成立，故原命题得证． 法二：b a b a +≥+ ，∴要证42+≤+ab b a 只需证422+≤+ab b a ，即证()()220a b --≥ 由（1）,2,2≤≤b a ：上式显然成立，故原命题得证．。
2018年高考数学二模试卷(理科)带答案精讲
2018年高考数学二模试卷（理科）一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）若集合，则m的取范围值为（）A．（2，+∞）B．（﹣∞，﹣1）C．﹣1或2 D．2或2．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a4=9，a6=11，则S9等于（）A．180 B．90 C．72 D．103．（5分）在样本的频率分布直方图中，共有5个长方形，若中间一个小长方形的面积等于其它4个小长方形的面积和的，且样本容量为100，则正中间的一组的频数为（）A．80 B．0.8 C．20 D．0.24．（5分）若满足条件的△ABC有两个，那么a的取值范围是（）A．（1，）B．（） C．D．（1，2）5．（5分）复数2+i与复数在复平面上的对应点分别是A、B，则∠AOB等于（）A．B．C．D．6．（5分）已知x，y满足约束条件的最小值是（）A．B．C．D．17．（5分）2011年某通讯公司推出一组手机卡号码，卡号的前七位数字固定，后四位数从“0000”到“9999”共10000个号码．公司规定：凡卡号的后四位带数字“6”或“8”的一律作为“金兔卡”，享受一定优惠政策，则这组号码中“金兔卡”的个数为（）A．2000 B．4096 C．5904 D．83208．（5分）有三个命题①函数f（x）=lnx+x﹣2的图象与x轴有2个交点；②函数的反函数是y=（x﹣1）2（x≥﹣1）；③函数的图象关于y轴对称．其中真命题是（）A．①③B．②C．③D．②③9．（5分）若长度为定值的线段AB的两端点分别在x轴正半轴和y轴正半轴上移动，O为坐标原点，则△OAB的重心、内心、外心、垂心的轨迹不可能是（）A．点B．线段C．圆弧D．抛物线的一部分10．（5分）已知点G是△ABC的重心，点P是△GBC内一点，若的取值范围是（）A． B． C． D．（1，2）二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）11．（5分）二项式（﹣2x2）9展开式中，除常数项外，各项系数的和为．12．（5分）边长是的正三角形ABC内接于体积是的球O，则球面上的点到平面ABC的最大距离为．13．（5分）函数，在区间（﹣π，π）上单调递增，则实数φ的取值范围为．14．（5分）已知过椭圆的右焦点F斜率是1的直线交椭圆于A、B两点，若，则椭圆的离心率是．15．（5分）在数学中“所有”一词，叫做全称量词，用符号“∀”表示；“存在”一词，叫做存在量词，用符号“∃”表示．设．①若∃x0∈（2，+∞），使f（x0）=m成立，则实数m的取值范围为；②若∀x1∈（2，+∞），∃x2∈（2，+∞）使得f（x1）=g（x2），则实数a的取值范围为．三、解答题（共6小题，满分75分）16．（12分）已知=（cosx+sinx，sinx），=（cosx﹣sinx，2cosx）．（I）求证：向量与向量不可能平行；（II）若•=1，且x∈[﹣π，0]，求x的值．17．（12分）已知某高中某班共有学生50人，其中男生30人，女生20人，班主任决定用分层抽样的方法在自己班上的学生中抽取5人进行高考前心理调查．（I）若要从这5人中选取2人作为重点调查对象，求至少选取1个男生的概率；（II）若男生学生考前心理状态好的概率为0.6，女学生考前心理状态好的概率为0.5，ξ表示抽取的5名学生中考前心理状态好的人数，求P（ξ=1）及Eξ．18．（12分）如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=a，E为棱A1D1中点．（I）求二面角E﹣AC﹣B的正切值；（II）求直线A1C1到平面EAC的距离．19．（12分）已知{a n}是正数组成的数列，其前n项和2S n=a n2+a n（n∈N*），数列{b n}满足，．（I）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（II）若c n=a n b n（n∈N*），数列{c n}的前n项和．20．（13分）若圆C过点M（0，1）且与直线l：y=﹣1相切，设圆心C的轨迹为曲线E，A、B为曲线E上的两点，点．（Ⅰ）求曲线E的方程；（Ⅱ）若t=6，直线AB的斜率为，过A、B两点的圆N与抛物线在点A处共同的切线，求圆N的方程；（Ⅲ）分别过A、B作曲线E的切线，两条切线交于点Q，若点Q恰好在直线l 上，求证：t与均为定值．21．（14分）已知函数f（x）=ax+lnx，a∈R．（I）当a=﹣1时，求f（x）的最大值；（II）对f（x）图象上的任意不同两点P1（x1，x2），P（x2，y2）（0＜x1＜x2），证明f（x）图象上存在点P0（x0，y0），满足x1＜x0＜x2，且f（x）图象上以P0为切点的切线与直线P1P2平等；（III）当时，设正项数列{a n}满足：a n=f'（a n）（n∈N*），若数列{a2n}是递+1减数列，求a1的取值范围．参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）若集合，则m的取范围值为（）A．（2，+∞）B．（﹣∞，﹣1）C．﹣1或2 D．2或【分析】根据集合，解得A={2}，在根据B=（1，m），A⊆B，即2必须要在（1，m）中，得到m≥2即可求解【解答】解：∵解得：x=2，x=﹣1（舍）∴A={2}∵B=（1，m），A⊆B∴m＞2故选A【点评】本题以集合为依托，考查了解物理方程以及集合关系中的参数取值问题，属于基础题．2．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a4=9，a6=11，则S9等于（）A．180 B．90 C．72 D．10【分析】由a4=9，a6=11利用等差数列的性质可得a1+a9=a4+a6=20，代入等差数列的前n项和公式可求．【解答】解：∵a4=9，a6=11由等差数列的性质可得a1+a9=a4+a6=20故选B【点评】本题主要考查了等差数列的性质若m+n=p+q，则a m+a n=a p+a q和数列的求和．解题的关键是利用了等差数列的性质：利用性质可以简化运算，减少计算量．3．（5分）在样本的频率分布直方图中，共有5个长方形，若中间一个小长方形的面积等于其它4个小长方形的面积和的，且样本容量为100，则正中间的一组的频数为（）A．80 B．0.8 C．20 D．0.2【分析】由已知中在样本的频率分布直方图中，共有5个长方形，若中间一个小长方形的面积等于其它4个小长方形的面积和的，我们出该组的频率，进而根据样本容量为100，求出这一组的频数．【解答】解：∵样本的频率分布直方图中，共有5个长方形，又∵中间一个小长方形的面积等于其它4个小长方形的面积和的，则该长方形对应的频率为0.2又∵样本容量为100，∴该组的频数为100×0.2=20故选C【点评】本题考查的知识点是频率分布直方图，其中根据各组中频率之比等于面积之比，求出该组数据的频率是解答本题的关键．4．（5分）若满足条件的△ABC有两个，那么a的取值范围是（）A．（1，）B．（） C．D．（1，2）【分析】由已知条件C的度数，AB及BC的值，根据正弦定理用a表示出sinA，由C的度数及正弦函数的图象可知满足题意△ABC有两个A的范围，然后根据A 的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出sinA的范围，进而求出a的取值范围．【解答】解：由正弦定理得：=，即=，变形得：sinA=，由题意得：当A∈（60°，120°）时，满足条件的△ABC有两个，所以＜＜1，解得：＜a＜2，则a的取值范围是（，2）．故选C【点评】此题考查了正弦定理及特殊角的三角函数值．要求学生掌握正弦函数的图象与性质，牢记特殊角的三角函数值以及灵活运用三角形的内角和定理这个隐含条件．5．（5分）复数2+i与复数在复平面上的对应点分别是A、B，则∠AOB等于（）A．B．C．D．【分析】利用复数的几何意义：复数与复平面内的点一一对应，写出A，B的坐标；利用正切坐标公式求出角∠XOA，∠XOB，写最后利用和角公式求出∠AOB．【解答】解：∵点A、B对应的复数分别是2+i与复数，则=∴A（2，1），B（，﹣），∴tan∠XOA=，tan∠XOB=，∴tan∠AOB=tan（∠XOA+∠XOB）==1，则∠AOB等于故选B．【点评】本题考查复数的几何意义，复数与复平面内的点一一对应．解答的关键是利用正切的和角公式．6．（5分）已知x，y满足约束条件的最小值是（）A．B．C．D．1【分析】本题属于线性规划中的延伸题，对于可行域不要求线性目标函数的最值，而是求可行域内的点与原点（0，0）构成的线段的长度问题，注意最后要平方．【解答】解：先根据约束条件画出可行域，z=x2+y2，表示可行域内点到原点距离OP的平方，点P到直线3x+4y﹣4=0的距离是点P到区域内的最小值，d=，∴z=x2+y2的最小值为故选B．【点评】本题利用直线斜率的几何意义，求可行域中的点与原点的斜率．本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题．巧妙识别目标函数的几何意义是我们研究规划问题的基础，纵观目标函数包括线性的与非线性，非线性问题的介入是线性规划问题的拓展与延伸，使得规划问题得以深化．7．（5分）2011年某通讯公司推出一组手机卡号码，卡号的前七位数字固定，后四位数从“0000”到“9999”共10000个号码．公司规定：凡卡号的后四位带数字“6”或“8”的一律作为“金兔卡”，享受一定优惠政策，则这组号码中“金兔卡”的个数为（）A．2000 B．4096 C．5904 D．8320【分析】由题意知凡卡号的后四位不带数字“6”或“8”的一律不能作为“金兔卡”，后四位没有6和8，后四位中的每一个组成数字只能从另外8个中选，每一位有8种选法，根据分步计数原理得到结果，用总数减去不合题意的即可．【解答】解：∵凡卡号的后四位带数字“6”或“8”的一律作为“金兔卡”，∴凡卡号的后四位不带数字“6”或“8”的一律不能作为“金兔卡”，后四位没有6和8，∴后四位中的每一个组成数字只能从另外8个中选，根据分步计数原理知共有8×8×8×8=4096，∴符合条件的有10000﹣4096=5904，故选C．【点评】本题考查分步计数原理的应用，考查带有约束条件的数字问题，这种题目若是从正面来做包括的情况比较多，可以选择从反面来解决．8．（5分）有三个命题①函数f（x）=lnx+x﹣2的图象与x轴有2个交点；②函数的反函数是y=（x﹣1）2（x≥﹣1）；③函数的图象关于y轴对称．其中真命题是（）A．①③B．②C．③D．②③【分析】对于①，考查f（x）的单调性即可；对于②，欲求原函数y=﹣1（x ≥0）的反函数，即从原函数式中反解出x，后再进行x，y互换，即得反函数的解析式．对于③，考查函数f（x）的奇偶性即可．【解答】解：对于①，考察f（x）的单调性，lnx和x﹣2在（0，+∞）上是增函数，故f（x）=lnx+x﹣2在（0，+∞）上是增函数，图象与x轴最多有1个交点，故错．对于②，∵y=﹣1（x≥0），∴x=（y+1）2（y≥﹣1），∴x，y互换，得y=（x+1）2（x≥﹣1）．故错．对于③，考察函数f（x）的奇偶性，化简得y=是偶函数，图象关于y轴对称，故对．故选C．【点评】本小题主要考查函数单调性的应用、函数奇偶性的应用、反函数等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．9．（5分）若长度为定值的线段AB的两端点分别在x轴正半轴和y轴正半轴上移动，O为坐标原点，则△OAB的重心、内心、外心、垂心的轨迹不可能是（）A．点B．线段C．圆弧D．抛物线的一部分【分析】本题是个选择题，利用排除法解决．首先由△OAB的重心，排除C；再利用△OAB的内心，排除B；最后利用△OAB的垂心，排除A；即可得出正确选项．【解答】解：设重心为G，AB中点为C，连接OC．则OG=OC （这是一个重心的基本结论）．而OC=AB=定值，所以G轨迹圆弧．排除C；内心一定是平分90度的那条角平分线上，轨迹是线段．排除B；外心是三角形外接圆圆心，对于这个直角三角形，AB中点C就是三角形外接圆圆心，OC是定值，所以轨迹圆弧，排除C；垂心是原点O，定点，排除A故选D．【点评】本题考查三角形的重心、内心、外心、垂心、以及轨迹的求法．解选择题时可利用排除法．10．（5分）已知点G是△ABC的重心，点P是△GBC内一点，若的取值范围是（）A． B． C． D．（1，2）【分析】由点P是△GBC内一点，则λ+μ≤1，当且仅当点P在线段BC上时，λ+μ最大等于1；当P和G重合时，λ+μ最小，此时，=，λ=μ=，λ+μ=．【解答】解：∵点P是△GBC内一点，则λ+μ＜1，当且仅当点P在线段BC上时，λ+μ最大等于1，当P和G重合时，λ+μ最小，此时，==×（）=，∴λ=μ=，λ+μ=．故＜λ+μ＜1，故选：B．【点评】本题考查三角形的重心的性质，两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，属于基础题．二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）11．（5分）二项式（﹣2x2）9展开式中，除常数项外，各项系数的和为671．【分析】利用二项展开式的通项公式求出通项令x的指数为0得到常数项；令二项式中x为1求出各项系数和，从而解决问题．【解答】解：二项式展开式的通项令3r﹣9=0得r=3故展开式的常数项为﹣C93×23=﹣672．令二项式中的x=1得到系数之和为：（1﹣2）9=﹣1除常数项外，各项系数的和为：671．故答案为671．【点评】本题涉及的考点：（1）二项式定理及通项公式；（2）二项式系数与系数，解答时注意二项式系数与系数的区别．12．（5分）边长是的正三角形ABC内接于体积是的球O，则球面上的点到平面ABC的最大距离为．【分析】由已知中，边长是的正三角形ABC内接于体积是的球O，我们易求出△ABC的外接圆半径及球的半径，进而求出球心距，由于球面上的点到平面ABC的最大距离为球半径加球心距，代入即可得到答案．【解答】解：边长是的正三角形ABC的外接圆半径r=．球O的半径R=．∴球心O到平面ABC的距离d==．∴球面上的点到平面ABC的最大距离为R+d=．故答案为：．【点评】本题考查的知识点是点、面之间的距离，其中根据球的几何特征分析出球面上的点到平面ABC的最大距离为球半径加球心距，是解答本题的关键．13．（5分）函数，在区间（﹣π，π）上单调递增，则实数φ的取值范围为．【分析】求出函数的单调增区间，通过子集关系，确定实数φ的取值范围．【解答】解：函数，由2kπ﹣πφ≤2kπ，可得6kπ﹣3π﹣3φ≤x≤6kπ﹣3φ，由题意在区间（﹣π，π）上单调递增，所以6kπ﹣3π﹣3φ≤﹣π 且π≤6kπ﹣3φ，因为0＜φ＜2π，所以k=1，实数φ的取值范围为；故答案为：【点评】本题是基础题，考查三角函数的单调性的应用，子集关系的理解，考查计算能力．14．（5分）已知过椭圆的右焦点F斜率是1的直线交椭圆于A、B两点，若，则椭圆的离心率是．【分析】设出A、B两点的坐标，A（m，m﹣c），B（n，n﹣c），由得m+2n=3c ①，再根据椭圆的第二定义，=2=，可得2n﹣m=②，由①②解得m 和n的值，再代入椭圆的第二定义，e===，解方程求得e的值．【解答】解：右焦点F（c，0），直线的方程为y﹣0=x﹣c．设A（m，m﹣c），B（n，n﹣c），由得（c﹣m，c﹣m）=2 （n﹣c，n﹣c），∴c﹣m=2（n﹣c），m+2n=3c ①．再根据椭圆的第二定义，=2=，∴2n﹣m=②，由①②解得m=，n=．据椭圆的第二定义，e=====，∴3e3﹣3e﹣e2+=0，（e2﹣1）•（3e﹣）=0．∵0＜e＜1，∴e=，故椭圆的离心率是，故答案为．【点评】本题考查椭圆的定义、椭圆的标准方程，以及椭圆的简单性质的应用．15．（5分）在数学中“所有”一词，叫做全称量词，用符号“∀”表示；“存在”一词，叫做存在量词，用符号“∃”表示．设．①若∃x0∈（2，+∞），使f（x0）=m成立，则实数m的取值范围为（，+∞）；②若∀x1∈（2，+∞），∃x2∈（2，+∞）使得f（x1）=g（x2），则实数a的取值范围为不存在．【分析】①先对函数配方，求出其对称轴，判断出其在给定区间上的单调性进而求出函数值的范围，即可求出实数m的取值范围；②先利用单调性分别求出两个函数的值域，再比较即可求出实数a的取值范围．【解答】解：因为f（x）==，（2，+∞），f（x）＞f（2）=；g（x）=a x，（a＞1，x＞2）．g（x）＞g（2）=a2．①∵∃x0∈（2，+∞），使f（x0）=m成立，∴m；②∵∀x1∈（2，+∞），∃x2∈（2，+∞）使得f（x1）=g（x2），∴⇒a不存在．故答案为：（，+∞）：不存在．【点评】本题主要考查函数恒成立问题以及借助于单调性研究函数的值域，是对基础知识的综合考查，属于中档题目．三、解答题（共6小题，满分75分）16．（12分）已知=（cosx+sinx，sinx），=（cosx﹣sinx，2cosx）．（I）求证：向量与向量不可能平行；（II）若•=1，且x∈[﹣π，0]，求x的值．【分析】（I）先假设两个向量平行，利用平行向量的坐标表示，列出方程并用倍角和两角和正弦公式进行化简，求出一个角的正弦值，根据正弦值的范围推出矛盾，即证出假设不成立；（II）利用向量数量积的坐标表示列出式子，并用倍角和两角和正弦公式进行化简，由条件和已知角的范围进行求值．【解答】解：（I）假设∥，则2cosx（cosx+sinx）﹣sinx（cosx﹣sinx）=0，1+cosxsinx+cos2x=0，即1+sin2x+=0，∴sin（2x+）=﹣3，解得sin（2x+）=﹣＜﹣1，故不存在这种角满足条件，故假设不成立，即与不可能平行．（II）由题意得，•=（cosx+sinx）（cosx﹣sinx）+2cosxsinx=cos2x+sin2x=sin （2x+）=1，∵x∈[﹣π，0]，∴﹣2π≤2x≤0，即≤，∴=﹣或，解得x=或0，故x的值为：或0．【点评】本题考查了向量共线和数量积的坐标运算，主要利用了三角恒等变换的公式进行化简，对于存在性的题目一般是先假设成立，根据题意列出式子，再通过运算后推出矛盾，是向量和三角函数相结合的题目．17．（12分）已知某高中某班共有学生50人，其中男生30人，女生20人，班主任决定用分层抽样的方法在自己班上的学生中抽取5人进行高考前心理调查．（I）若要从这5人中选取2人作为重点调查对象，求至少选取1个男生的概率；（II）若男生学生考前心理状态好的概率为0.6，女学生考前心理状态好的概率为0.5，ξ表示抽取的5名学生中考前心理状态好的人数，求P（ξ=1）及Eξ．【分析】（I）根据分层抽样的定义知：在自己班上的学生中抽取5人中有3男2女，“至少选取1个男生”的对立面是“全为女生”则所求的概率为：1﹣“全为女生”的概率（II）P（ξ=1）表示抽取的5名学生中考前心理状态好的人数为男生1人和女生1人ξ表示抽取的5名学生中考前心理状态好的人数可表示为：用ξ1表示3个男生中考前心理状态好的人数，ξ2表示2个女生考前心理状态好的人数，则ξ1～B（3，0.6），ξ2～B（2，0.5）根据Eξ=Eξ1+Eξ2即可运算【解答】解：（I）男生被抽取人数为3人，女生被抽取人数为2人选取的两名学生都是女生的概率P=∴所求的概率为：1﹣P=（II）P（ξ=1）=C31×0.6×0.42×0.52+C21×0.43×0.52=0.104用ξ1表示3个男生中考前心理状态好的人数，ξ2表示2个女生考前心理状态好的人数，则ξ1～B（3，0.6），ξ2～B（2，0.5），∴Eξ1=3×0.6=1.8，Eξ2=2×0.5=1，∴Eξ=Eξ1+Eξ2=2.8【点评】本题考查了等可能事件的概率，离散型随机变量的期望，特别是二项分布的期望与方差也是高考中常考的内容之一．18．（12分）如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=a，E为棱A1D1中点．（I）求二面角E﹣AC﹣B的正切值；（II）求直线A1C1到平面EAC的距离．【分析】（I）取AD的中点H，连接EH，则EH⊥平面ABCD，过H作HF⊥AC与F，连接EF，我们可得∠EFH即为二面角E﹣AC﹣B的补角，解三角形EFH后，即可求出二面角E﹣AC﹣B的正切值；（II）直线A1C1到平面EAC的距离，即A1点到平面EAC的距离，利用等体积法，我们根据=，即可求出直线A 1C1到平面EAC的距离．【解答】解：（I）取AD的中点H，连接EH，则EH⊥平面ABCD，过H作HF⊥AC 与F，连接EF，则EF在平面ABCD内的射影为HF，由三垂线定理得EF⊥AC，，∴∠EFH即为二面角E﹣AC﹣B的补角∵EH=a，HF=BD=∴∠tan∠EFH===2∴二面角E﹣AC﹣B的正切值为﹣2…6分（II）直线A1C1到平面EAC的距离，即A1点到平面EAC的距离d，…8分∵=•d=∴S△EAC∵EF====•AC•EF=•a•=∴S△EAC而=••a=∴•d=•a∴d=∴直线A1C1到平面EAC的距离【点评】本题考查的知识点是二面角的平面角及求法，点到平面的距离，其中（I）的关键是得到∠EFH即为二面角E﹣AC﹣B的补角，（II）中求点到面的距离时，等体积法是最常用的方法．19．（12分）已知{a n}是正数组成的数列，其前n项和2S n=a n2+a n（n∈N*），数列{b n}满足，．（I）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（II）若c n=a n b n（n∈N*），数列{c n}的前n项和．【分析】（I）由题设知a1=1，a n=S n﹣S n﹣1=，a n2﹣a n﹣12﹣a n﹣a n﹣1=0，故（a n+a n﹣1）（a n﹣a n﹣1﹣1）=0，由此能导出a n=n．于是b n+1=b n+3n，b n+1﹣b n=3n，由此能求出b n．（II），，由错位相减法能求出，由此能得到==．【解答】解：（I），∴a1=1，n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=，∴a n2﹣a n﹣12﹣an﹣a n﹣1=0，（a n+a n﹣1）（a n﹣a n﹣1﹣1）=0，∴a n﹣a n﹣1=1．∴数列{a n}是首项为1，公差为1的等差数列，∴a n=n．于是b n+1=b n+3n，∴b n+1﹣b n=3n，b n=b1+（b2﹣b1）+（b3﹣b2）+…+（b n﹣b n﹣1）=．（II），∴，，∴==，，∴==．【点评】第（I）题考查数列通项公式的求法，解题时要注意迭代法的合理运用；第（II）题考查前n项和的计算和极限在数列中的运用，解题时要认真审题，仔细解答，注意数列性质的合理运用．20．（13分）若圆C过点M（0，1）且与直线l：y=﹣1相切，设圆心C的轨迹为曲线E，A、B为曲线E上的两点，点．（Ⅰ）求曲线E的方程；（Ⅱ）若t=6，直线AB的斜率为，过A、B两点的圆N与抛物线在点A处共同的切线，求圆N的方程；（Ⅲ）分别过A、B作曲线E的切线，两条切线交于点Q，若点Q恰好在直线l 上，求证：t与均为定值．【分析】（I）由点C到定点M的距离等于到定直线l的距离与抛物线的定义可得点C的轨迹为抛物线所以曲线E的方程为x2=4y．（II）由题得直线AB的方程是x﹣2y+12=0联立抛物线的方程解得A（6，9）和B（﹣4，4），进而直线NA的方程为，由A，B两点的坐标得到线段AB中垂线方程为，可求N点的坐标，进而求出圆N的方程．（III）设A，B两点的坐标，由题意得过点A的切线方程为又Q（a，﹣1），可得x12﹣2ax1﹣4=0同理得x22﹣2ax2﹣4=0所以x1+x2=2a，x1x2=﹣4．所以直线AB的方程为所以t=﹣1．根据向量的运算得=0．【解答】【解】（Ⅰ）依题意，点C到定点M的距离等于到定直线l的距离，所以点C的轨迹为抛物线，曲线E的方程为x2=4y．（Ⅱ）直线AB的方程是，即x﹣2y+12=0．由及知，得A（6，9）和B（﹣4，4）由x2=4y得，．所以抛物线x2=4y在点A处切线的斜率为y'|x=6=3．直线NA的方程为，即．①线段AB的中点坐标为，线段AB中垂线方程为，即．②由①、②解得．于是，圆C的方程为，即．（Ⅲ）设，，Q（a，1）．过点A的切线方程为，即x12﹣2ax1﹣4=0．同理可得x22﹣2ax2﹣4=0，所以x1+x2=2a，x1x2=﹣4．又=，所以直线AB的方程为，即，亦即，所以t=1．而，，所以==．【点评】本题主要考查抛物线的定义和直线与曲线的相切问题，解决此类问题的必须熟悉曲线的定义和曲线的图形特征，这也是高考常考的知识点．21．（14分）已知函数f（x）=ax+lnx，a∈R．（I）当a=﹣1时，求f（x）的最大值；（II）对f（x）图象上的任意不同两点P1（x1，x2），P（x2，y2）（0＜x1＜x2），证明f（x）图象上存在点P0（x0，y0），满足x1＜x0＜x2，且f（x）图象上以P0为切点的切线与直线P1P2平等；（III）当时，设正项数列{a n}满足：a n=f'（a n）（n∈N*），若数列{a2n}是递+1减数列，求a1的取值范围．【分析】（I）求出函数的导函数判断出其大于零得到函数在区间[1，e]上为增函数，所以f（1）为最小值，f（e）为最大值，求出即可；（II）直线P1P2的斜率k由P1，P2两点坐标可表示为；由（1）知﹣x+lnx≤﹣1，当且仅当x=1时取等号；可得+＜﹣1，整理可得＜，同理，由，得；所以P1P2的斜率，在x∈（x1，x2）上，有，可得结论．【解答】解：（Ⅰ）当a=﹣1时，f（x）=﹣x+lnx，．对于x∈（0，1），有f'（x）＞0，∴f（x）在区间（0，1]上为增函数，对于x∈（1，+∞），有f'（x）＜0，∴f（x）在区间（1，+∞）上为减函数，．∴f max（x）=f（1）=﹣1；（II）直线P1P2的斜率为；由（1）知﹣x+lnx≤﹣1，当且仅当x=1时取等号，∴，同理，由，可得；故P1P2的斜率，又在x∈（x1，x2）上，，所以f（x）图象上存在点P0（x0，y0），满足x1＜x0＜x2，且f（x）图象上以P0为切点的切线与直线P1P2平行；（III）f（x）=，f′（x）=，∴a n+1=+，a3=，a4==＜a2⇒2a22﹣3a2﹣2＞0，⇒（2a2+1）（a2﹣1）＞0⇒a2＞2⇒⇒0＜a1＜2，下面我们证明：当0＜a1＜2时，a2n+2＜a2n，且a2n＞2（n∈N+）事实上，当n=1时，0＜a1＜2⇒a2=，a4﹣a2=⇒a4＜a2，结论成立．若当n=k时结论成立，即a2k+2＜a2k，且a2k＞2，则a2k+2=⇒a2k+4=，a2k+4﹣a2k+2=⇒a2k+4＜a2k+2，由上述证明可知，a1的取值范围是（0，2）．【点评】本题综合考查了利用导数研究曲线上过某点的切线方程，利用导数研究函数的单调区间以及根据函数的增减性得到函数的最值问题，也考查了利用函数证明不等式的问题，以及利用数学归纳法证明数列不等式，考查运算能力和分析解决问题能力，属难题．。
2018届高三好教育特供卷 理科数学(二)教师版
好教育云平台 内部特供卷 第1页（共12页） 好教育云平台 内部特供卷 第2页（共12页）2018届高三好教育云平台12月份内部特供卷高三理科数学（二）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}22(,)1A x y x y =+=，{}(,)B x y y x ==，则A B 中元素的个数为（ ） A ．3 B ．2 C ．1 D ．0【答案】B2．设复数z 满足(1i)2i z +=，则z =（ ）A ．12B．CD ．2【答案】C3．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问塔底几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的底层共有灯（ ） A ．3盏 B ．9盏C ．192盏D ．9384盏【答案】C4．为了研究某班学生的脚长x （单位：厘米）和身高y （单位：厘米）的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出y 与x 之间有线性相关关系，设其回归直线方程为ˆˆˆybx a =+．已知101240i i x ==∑，1011700i i y ==∑，ˆ4b =．该班某学生的脚长为25.5，据此估计其身高为（ ） A ．167 B ．176C ．175D ．180【答案】B5．已知m ∈R ，“函数21x y m =+-有零点”是“函数log m y x =在()0,+∞上为减函数”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B6．已知函数()(i ) s n f x A x b ωϕ=++()00A ω＞，＞的图象如图所示，则() f x 的解析式为（ ）A ．()2sin()263f x x ππ=++B ．1()3sin()236f x x π=-+C ．()2sin()366f x x ππ=++D ．()2sin()363f x x ππ=++【答案】D7．函数()()log 3101a y x a a =+->≠且的图象恒过定点A ，若点A 在直线10mx ny ++=上，其中0mn >，则11m n+的最小值为（ ） A．3- B ．5 C．3+D．3【答案】C8．已知[]x 表示不超过．．．x 的最大．．整数．执行如图所示的程序框图，若输入x 的值为2，则输出z 的值为（ ）此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号A ．1B ．05-．C ．05．D ．04-．【答案】B9．已知如下六个函数：y x =，2y x =，ln y x =，2x y =，sin y x =，cos y x =，从中选出两个函数记为()f x 和()g x ，若()()()F x f x g x =+的图象如图所示，则()F x =（ ）A ．2cos x x +B ．2sin x x +C ．2cos x x +D ．2sin x x +【答案】D10．已知1F ，2F 是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的两个焦点，()00,M x y ()000,0x y >>是双曲线的渐近线上一点，满足12MF MF ⊥，如果以2F 为焦点的抛物线22y px =()0p >经过点M ，则此双曲线的离心率为（ ） A．2+B．2C．2D2【答案】C11．过点(1,1)P -作圆()22()(2)1x t y t t C -+-+=∈R ：的切线，切点分别为A ，B ，则PA PB的最小值为（ ）A ．103B ．403C ．214D．3【答案】C12．已知定义在R 上的函数() y f x =对任意的x 都满足() 2() f x f x +=，当11x -≤＜时，()sin 2f x x π=，若函数()() log a g x f x x =-至少有6个零点，则a 的取值范围是（ ）A ．()10,5,5⎛⎤+∞ ⎥⎝⎦B ．[)10,5,5⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．()11,5,775⎛⎤⎥⎝⎦D ．[)11,5,775⎛⎫⎪⎝⎭【答案】A【解析】当1a ＞时，作函数()f x 与函数log a y x =的图象如下：结合图象可知，log |5|1log |5|1a a -<⎧⎨<⎩，故5a ＞；当01a ＜＜时，作函数()f x 与函数log a y x =的图象如下：结合图象可知，log |5|1log |5|1a a --⎧⎨-⎩≥≥，故015a ＜≤．故选A ．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知向量()1,2a = ，(),1b x =-，若()a ab - ∥，则a b ⋅= ____________．【答案】52-14．若x ，y 满足约束条件0,20,0,x y x y y -⎧⎪+-⎨⎪⎩≥≤≥则34z x y =-的最小值为____________．好教育云平台 内部特供卷 第5页（共12页） 好教育云平台 内部特供卷 第6页（共12页）【答案】1-15．曲线)0y a =>与曲线y =a 的值为_______．【答案】1e16．已知数列{}n a 的前n 项和()1112n n nS +=-，如果存在正整数n ，使得()()10n n p a p a +--<成立，则实数p 的取值范围是____________．【答案】3142p -<< 【解析】112a =，234a =-，又222122121130222k k k k k k a S S --=-=--=-<； 21212212211130222k k k k k k a S S ++++=-=+=>，易知，数列{}n a 的奇数项为递减的等比数列且各项为正；偶数项为递增的等比数列且各项为负，于是不等式()()10n n p a p a +--<成立，即存在正整数k 使得221k k a p a -<<成立，只需要2422131k k a a a p a a a -<<⋅⋅⋅<<<<⋅⋅⋅<<， 即213142a p a -=<<=即可，故3142p -<<． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12分）设数列{}n a ()123n ⋯＝，，，的前n 项和n S 满足12n n S a a =-，且1a ，21a +，3a 成等差数列．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{1}n a +的前n 项和．【答案】（1）由已知12n n S a a =-，有()11222n n n n n a S S a a n -=-=--≥， 即()122n n a a n -=≥，从而212a a =，32124a a a ==， 又因为1a ，21a +，3a 成等差数列，即13221()a a a +=+， 所以111421)2(a a a +=+，解得12a =，所以数列{}n a 是首项为2，公比为2的等比数列，故2n n a =．（2）设{}1n a +的前n 项和为n T ，则1122(12)()2212n n n n T a a a n n n +-=++++=+=-+- ． 18．（本小题满分12分）已知()2cos sin 2f x x x x =+． （1）求()f x 的单调增区间； （2）在ABC △中，A 为锐角且()2f A =，BC 边上的中线3AD =，AB =sin BAD ∠．【答案】（1）由题可知())1sin 21cos 2sin 22223f x x x x π⎛⎫=-++=- ⎪⎝⎭，令222232k x k ππππ--π+≤≤，k ∈Z ，即函数()f x 的单调递增区间为5,1212k k ππ⎡⎤π-π+⎢⎥⎣⎦，k ∈Z ．（2）由()f A =，所以sin 23A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，解得3A π=或2A π=（舍），以AB 、AC 为邻边作平行四边形ABEC ，因为3AD =， 所以6AE =，在ABE △中，3AB =120ABE ∠=︒，由正弦定理可得sin AEB =∠，解得1sin 4AEB ∠=且cos 4AEB ∠=，因此11sin sin 324BAD AEB π⎛⎫∠=-∠=-=⎪⎝⎭ ． 19．（本小题满分12分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：22221x y a b+=()0a b ＞＞的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 为椭圆上一点（在x 轴上方），连结1PF 并延长交椭圆于另一点Q ，设11PF FQ λ=． （1）若点P 的坐标为3(1,)2，且2PQF △的周长为8，求椭圆C 的方程； （2）若2PF 垂直于x 轴，且椭圆C的离心率1,2e ∈⎡⎢⎣，求实数λ的取值范围．【答案】（1）因为1F ，2F 为椭圆C 的两焦点，且P ，Q 为椭圆上的点， 所以12122PF PF QF QF a +=+=， 从而2PQF △的周长为4a ． 由题意，得48a =，解得2a =．因为点P 的坐标为31,2⎛⎫⎪⎝⎭，所以221914a b+=，解得23b =． 所以椭圆C 的方程为22=143x y +．（2）因为2PF x ⊥轴，且P 在x 轴上方，故设0P c y （，），00y ＞．设11Q x y （，）． 因为P 在椭圆上，所以220221y c a b+=，解得20b y a =，即2(,)b P c a ．因为10F c -（，），所以1PF 2(2,)b c a=--，1FQ ()11x c y =+，． 由11PF FQ λ= ，得12c x c λ-=+（），21b y aλ-=， 解得12x c λλ+=-，21b y aλ=-， 所以22(,)bc Q aλλλ+--． 因为点Q 在椭圆上，所以2222221b e a λλλ+⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 即()()222221e e λλ++－＝，()22243-1e λλλ++＝．因为10λ+≠，所以()231e λλ+＝－，从而222314=311e e eλ+=---．因为12e ⎡∈⎢⎣⎦，所以21142e ≤≤，即753λ≤≤． 所以λ的取值范围是7,53⎡⎤⎢⎥⎣⎦．20．（本小题满分12分）设函数()22( )0f x a x a =＞，()ln g x b x =．（1）若函数() y f x =图象上的点到直线30x y --=距离的最小值为a 的值； （2）对于函数() f x 与()g x 定义域上的任意实数x ，若存在常数k ，m ，使得() f x kx m +≥和()g x kx m +≤都成立，则称直线y kx m =+为函数() f x 与()g x 的“分界线”．设a ，e b ＝，试探究() f x 与()g x 是否存在“分界线”？若存在，求出“分界线”的方程；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）因为()22f x a x =，所以()22f x a x '=， 令()221f x a x '==，得212x a =，此时214y a=，则点2211,24a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭到直线30x y --=的距离为即=，解得a =（负值舍去）． （2）设()()()()21eln 02F x f x g x x x x =-=->，则()(2e e x x x F x x x x x+-'=-==．所以当0x <<()0F x '＜；当x >()0F x '>．因此x =()F x 取得最小值0，则()f x 与()g x的图象在x =e 2⎫⎪⎭．设()f x 与()g x 存在“分界线”，方程为(e 2y k x -=，即e2y kx =+- 由()e2f x kx +-≥x ∈R 上恒成立，则22e +20x kx --在x ∈R 上恒成立．所以()(222442e 484e =40k k k ∆=-=-≤成立，因此k = 下面证明()()e 02g x x ->恒成立．设()e eln 2G x x =-，则()e G x x '==所以当0x <<()0G x '>；当x >()0G x '<．因此x =()G x 取得最大值0，好教育云平台 内部特供卷 第9页（共12页） 好教育云平台 内部特供卷 第10页（共12页）则()()e 02g x x ->成立．故所求“分界线”方程为e 2y =-．21．（本小题满分12分）已知函数()21ln 2f x x ax x =-+，a ∈R ．（1）令()()()1g x f x ax =--，讨论()g x 的单调区间；（2）若2a =-，正实数1x ，2x 满足()()12120f x f x x x ++=，证明12x x + 【答案】（1）()()()211ln 12g x f x ax x ax x ax =--=-+--， 所以()()211ax a x g x x-+-+'=，当0a ≤时，因为0x >，所以()0g x >，即()g x 在()0,+∞单调递增，当0a >时，()()11a x x a g x x ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭'=，令()0g x '=，得1x a=，所以当10,x a⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '>，()g x 单调递增，所以当1,x a⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0g x '<，()g x 单调递减，综上，当0a ≤时，函数单调递增区间为()0,+∞，无递减区间；当0a >时，函数单调递增区间为10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递减区间为1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭；（2）当2a =-时，()2ln f x x x x =++，0x >，由()()12120f x f x x x ++=可得2212112212ln 0x x x x x x x x +++++= 即()()212121212ln x x x x x x x x +++=-， 令12t x x =，()ln t t t ϕ=-，则()111t t ttϕ-'=-=， 则()t ϕ在区间()0,1上单调递减，在区间()1,+∞上单调递增， 所以()()11t ϕϕ=≥，所以()()212121x x x x +++≥，又120x x +>，故12x x +． 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．（本小题满分10分）【选修4—4：坐标系与参数方程】在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为1cos sin x t y t αα=-+⎧⎨=⎩（t 为参数，α为直线的倾斜角）．以平面直角坐标系xOy 的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的长度单位，建立极坐标系．圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=，设直线l 与圆C 交于A ，B 两点． （1）求角α的取值范围；（2）若点P 的坐标为()1,0-，求11PA PB+的取值范围． 【答案】（1）圆C 的直角坐标方程2220x y x +-=，把1cos sin x t y t αα=-+⎧⎨=⎩代入2220x y x +-=得24cos 30t t α-+= ① 又直线l 与圆C 交于A ，B 两点，所以216cos 120α∆=->，解得：cos α>cos α<又由[)0,α∈π，故50,,66αππ⎡⎫⎛⎫∈π⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭．（2）设方程①的两个实数根分别为1t ，2t ，则由参数t 的几何意义可知：12124cos 113t t PA PB t t α++==，cos 1α<≤4cos 433α<≤， 于是11PA PB +的取值范围为43⎤⎥⎦． 23．（本小题满分10分）【选修4—5：不等式选讲】 已知函数()3f x x x =+-．（1）解关于x 的不等式()5f x x -≥；（2）设(),{|}m n y y f x ∈=，试比较4mn +与()2m n +的大小．【答案】（1）32,0()|||3|3,0323,3x x f x x x x x x -<⎧⎪=+-=⎨⎪->⎩≤≤，从而得0325x x x <⎧⎨-+⎩≥或0335x x ⎧⎨+⎩≤≤≥或3235x x x >⎧⎨-+⎩≥，解之得23x -≤或 x ∈∅或8x ≥，所以不等式的解集为2(,][8,)3-∞-+∞ ． （2）由（1）易知()3f x ≥，所以3m ≥，3n ≥， 由于()()()()2422422m n mn m mn n m n +-+=-+-=--且3m ≥，3n ≥，所以20m ->，20n -<，即()()220m n --<， 所以()24m n mn +<+．【重庆市梁平区2018届高三二调（12月）理科数学试卷用稿】。
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2018届好教育云平台高三第二次模拟考试仿真卷理科数学（四）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．[2018·太原期末]已知a ，b 都是实数，那么“22a b >”是“22a b >”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】D【解析】p ：22a b a b >⇔>，qa b >与a b >没有包含关系，故为“既不充分也不必要条件”．故选D ．2．[2018·豫南九校]抛物线22(0)x py p =>的焦点坐标为（ ）A ．,02p ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,08p ⎛⎫⎪⎝⎭C ．0,2p ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．10,8p ⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】B【解析】1,08p ⎛⎫ ⎪⎝⎭．故选B ． 3．[2018·牡丹江一中]十字路口来往的车辆，如果不允许掉头，则行车路线共有（ ） A ．24种 B ．16种 C ．12种 D ．10种【答案】C【解析】根据题意，车的行驶路线起点有4种，行驶方向有3种，所以行车路线共有43=12⨯种，故选C ．4．[2018·行知中学]设x ，y 满足约束条件36020 0,0x y x y x y ⎧⎪⎨⎪+⎩---≤≥≥≥，则目标函数2z x y =-+的最小值为（ ） A ．4- B ．2- C ．0 D ．2【答案】A 【解析】如图，过()2,0时，2z x y =-+取最小值，为4-．故选A ．5．[2018·三门峡期末]《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，系统地总结了战国、秦、汉时期的数学成就．书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”，若某“阳马”的三视图如图所示（网格纸上小正方形的边长为1），则该“阳马”最长的棱长为（ ）A ．5 B．CD．【答案】D【解析】由三视图知：几何体是四棱锥，且四棱锥的一条侧棱与底面垂直，如图：其中PA ⊥平面ABCD ，∴3PA =，4AB CD ==，5AD BC ==此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号该几何体最长棱的棱长为故选D ．6．[2018·龙岩质检)())0,π大致的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】)())0,π是偶函数，故它的图象关于y 轴对称，再由当x 趋于π时，函数值趋于零，故答案为：D ．7．[2018·安庆一中]函数()sincos (0)f x x x ωωω=->ω的取值不可能为（ ） A ．14B ．15C ．12D．34【答案】D【解析】k ∈Z k ∈Z ，∵()sin cos (0)f x x x ωωω=->在D ．8．[2018·三门峡期末]运行如图所示的程序框图，设输出数据构成的集合为A ，从集合A 中任取一个元素a ，则函数a y x =，()0,x ∈+∞是增函数的概率为（ ）A ．35B ．45C ．34D ．37【答案】A【解析】由框图可知{}3,0,1,8,15A =-，其中基本事件的总数为5，设集合中满足“函数a y x =，[)0,x ∈+∞是增函数”为事件E ，当函数a y x =，[)0,x ∈+∞是增函数时，0a ＞，事件E 包含基本事件的个数为3A ．开始输出y结束是否3x =-3x ≤22y x x=+1x x =+9．[2018·西城期末]已知A ，B 是函数2x y =的图象上的相异两点，若点A ，B 到直线12y =的距离相等，则点A ，B 的横坐标之和的取值范围是（ ） A ．(),1-∞- B ．(),2-∞- C ．(),3-∞- D ．(),4-∞-【答案】B【解析】设()11,A x y ，()22,B x y ，不妨设12x x <，函数2x y =为单调增函数，若点A ，B到直线12y =的距离相等，则12112y y -=-，即121y y +=．有12221x x +=．由基本不等122x x +<-．（因为12x x ≠，等号取不到）．故选B ．10．[2018·天一大联考]在四面体ABCD 中，若A B C D ==，2AC BD ==，AD BC ==ABCD 的外接球的表面积为（ ） A ．2π B ．4π C ．6π D ．8π【答案】C【解析】如图所示，该四面体的四个顶点为长方体的四个顶点，设长、宽、高分别为a ，b ，c ，则22222254 3a b a c b c +=+=+=⎧⎪⎨⎪⎩，三式相加得：2226a b c ++=，所以该四面体的外接球直径为长方体的体对角线长，故外接球体积为：246R π=π．11．[2018·江西联考]设1x =是函数()()32121n n n f x a x a x a x n +++=--+∈N 的极值点， 数列{}n a 满足11a =，22a =，21log n n b a +=，若[]x 表示不超过x 的最大整数，则122320182019201820182018b b b b b b ⎡⎤+++⎢⎥⎣⎦=（ ） A ．2017 B ．2018C ．2019D ．2020【答案】A【解析】由题意可得()21232n n n f x a x a x a ++=--'，∵1x =是函数()f x 的极值点， ∴()121320n n n f a a a ++=-'-=，即21320n n n a a a ++-+=．∴()2112n n n n a a a a +++-=-， ∴211a a -=，32212a a -=⨯=，243222a a -=⨯=，，212n n n a a ---=，以上各式累加可得12n n a -=．∴212log log 2n n n b a n +===．∴122320182018b b b b b b +++12018++⨯∴1223201820192018201820182017b b b b b b ⎡⎤+++=⎢⎥⎣⎦．选A ． 12．[2018·周口期末][]0,1上单调递增，则实数a 的取值范围（ ） A ．()1,1- B ．()1,-+∞ C ．[]1,1- D ．(]0,+∞【答案】C【解析】当0a >在区间[]0,1上单调递增， 在区间[]0,1上单调递增，则，解得](0,1a ∈， 当0a =在区间[]0,1上单调递增，满足条件． 当0a <在R 上单调递增，令，解得1a -≥，综上所述，实数a 的取值范围[]1,1-，故选C ．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．[2018·天津期末]已知i 为虚数单位，则．14．[2018·菏泽期末]已知等比数列{}n a 中，21a =，58a =-，则{}n a 的前6项和为__________． 【答案】212【解析】3528a q a ==-，2q =-，则2112a a q ==-，()()()661611212121122a q S q ⎡⎤----⎣⎦===---．15．[2018·湖师附中]在矩形ABCD 中，2AB =，1BC =，E 为BC 的中点，若F 为该矩形内（含边界）任意一点，则AE AF ⋅的最大值为__________． 【答案】92【解析】如图所示：设AE 与AF 的夹角为θ，则221|||c o s2||c o s AE AF A E A F A F θθ⎛⎫⋅==+ ⎪，由投影的定义知，只有点F 取点C 时，cos AF θ取得最大值．()1=22,1AE AF ⎛⎫∴⋅⋅= ，故填92．16．[2018·漳州调研]设F 为双曲线C ：22221x y a b-=(0a ＞，0b ＞)的右焦点，过F 且斜率l 与双曲线C 的两条渐近线分别交于A ，B 2AF BF =，则双曲线C 的离心率为_____．【答案】2【解析】若2AF BF =-，则由图1可知，渐近线OB 的斜率为ba-，l OB ⊥，在Rt OBA△中，由角平分线定理可得2OA FA OBFB==，所以60AOB∠=︒，30xOA ∠=︒，所以b a =c e a ===．若2AF BF =，则由图2可知，渐近线OB 为AOF △边AF 的垂直平分线，故AOF △为等腰三角形，故可以求出OA c =，根据l 的方程：()0ay x c b-=-和准线方程：by x a =，可以求出点22222,a c abc A a b a b ⎛⎫⎪--⎝⎭，根据OA c =，求出b a =，2c e a ===，即该双曲线的离心率为2 yxOF AB图1lyxOFA B 图2l三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：60分，每个试题12分．17．[2018·宜昌一中]（1）求()f x 的最大值、最小值；（2）CD 为ABC △的内角平分线，已知()max AC f x =，()min BC f x =，CD 求C ∠． 【答案】（1）()max 6f x =，()min 3f x =；（2 【解析】（1······3分∵()f x ↑↓，∴()max 6f x =，()min 3f x =·······6分（2）ADC △中，，BDC △ ∵sin sin ADC BDC ∠=∠，6AC =，3BC =， ∵2AD BD =·······9分BCD △中，ACD △中，2446822CAD =-=-，∴cos22C =······12分 18．[2018·漳州期末]随着科学技术的飞速发展，手机的功能逐渐强大，很大程度上代替了电脑、电视．为了了解某高校学生平均每天使用手机的时间是否与性别有关，某调查小组随机抽取了30名男生、20名女生进行为期一周的跟踪调查，调查结果如表所示：（1）能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为学生使用手机的时间长短与性别有关？（2）在这20名女生中，调查小组发现共有15人使用国产手机，在这15人中，平均每天使用手机不超过3小时的共有9人．从平均每天使用手机超过3小时的女生中任意选取3人，求这3人中使用非国产手机的人数X 的分布列和数学期望．参考公式：()()()()()22n ad bc K a c b d a b c d -=++++()n a b c d =+++【答案】（1）能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为学生使用手机的时间长短与性别有关；（2）见解析． 【解析】（1）()2502511598104663530201634K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯．．．·······3分所以能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为学生使用手机的时间长短与性别有关．·······4分（2）X 可取0，1，2，3．·······6分3639(502)1C P X C ===，·······7分 12363915)128(C C P X C ===，·······8分 2136393()214C C P X C ===，·······9分 3339(138)4C P X C ===，·······10分 所以X 的分布列为()0123121281484E X =⨯+⨯+⨯+⨯=．·······12分 19．[2018·晋中调研]如图，已知四棱锥P ABCD -，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 中，BC AD ∥，AB AD ⊥，且22PA AD AB BC ====，M 为AD 的中点． （1）求证：平面PCM ⊥平面PAD ；（2）问在棱PD 上是否存在点Q ，使PD ⊥平面CMQ ，若存在，请求出二面角PCM Q --的余弦值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）见解析；（2）存在Q ． 【解析】∴以A 为原点，射线AB ，AD ，AP 分别为x ，y ，z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系如图所示：22PA AD AB BC ====，()0,0,0A ，()200B ,,，()2,1,0C ，()020D ,,，()002P ,,，()020AD =,,，()002AP =,,，M 为AD 的中点，∴()0,1,0M ，()200MC =,,．·······2分（1）0MC AD ⋅=，0MC AP ⋅=， ∴CM PA ⊥，CM AD ⊥．·······4分PA ⊂平面PAD ，AD ⊂平面PAD ，且PAAD A =，∴CM ⊥平面PAD ．·······5分CM ⊂平面PCM ，∴平面PCM ⊥平面PAD ．·······6分（2）存在点Q 使PD ⊥平面CMQ ，在PAD △内，过M 做MQ PD ⊥垂足为Q ， 由（1）CM ⊥平面PAD ，PD ⊂平面PAD ，CM PD ∴⊥， MQ CM M =，PD ∴⊥平面CMQ ，·······8分 设平面PCM 的一个法向量为()x y z =,,n ，则200MC x x ⋅==⇒=n ，()()012202PM x y z y z y z ⋅=⋅-=-=⇒=,,,,n ， 取()02,1=,n ．·······10分PD ⊥平面CMQ ，()022PD =-,,是平面CMQ 的一个法向量．·······11分由图形知二面角P CM Q --的平面角θ是锐角， 25PD PD⋅=所以二面角余弦值为·······12分 20．[2018·池州期末]已知定点()3,0A -、()3,0B ，直线AM 、BM 相交于点M ，且它们。