高三数学理科一模试卷
河南省开封市2023届高三一模考试 理科数学试题(后附参考答案)
理科数学 第 页 (共4页)开封市2023届高三年级第一次模拟考试理科数学注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名㊁考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效.3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.一㊁选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A =x 12<2x<8,B =-1,0,1,2 ,则A ɘB =A .2B .-1,0C .0,1,2D .-1,0,1,22.设命题p :∀x ɪR ,e xȡx +1,则¬p 是A .∀x ɪR ,e xɤx +1B .∀x ɪR ,e x<x +1C .∃x ɪR ,e x ɤx +1D .∃x ɪR ,e x<x +13.若3+4iz 是纯虚数,则复数z 可以是A .-3+4iB .3-4iC .4+3i D.4-3i4.已知әA B C 中,D 为B C 边上一点,且B D =13B C ,则A D ң=A .13A C ң+23AB ңB .23AC ң+13A B ңC .14A C ң+34A B ңD .34A C ң+14A B ң5.已知圆锥的底面半径为1,其侧面展开图为一个半圆,则该圆锥的体积为A .3π6B .3π3C .3πD .π36.如图为甲㊁乙两位同学在5次数学测试中成绩的茎叶图,已知两位同学的平均成绩相等,则甲同学成绩的方差为A .4B .2C .3 D.27.已知x +y -3ɤ0,x -y +1ȡ0,x ȡ0,y ȡ0,则x +2y 的最大值为A .2B .3C .5 D.68.设f (x )是定义域为R 的偶函数,且在[0,+ɕ)上单调递减,则满足f (x )<f (x -2)的x 的取值范围是A .(-ɕ,-2)B .(-2,+ɕ)C .(-ɕ,1)D .(1,+ɕ)1理科数学 第 页 (共4页)9.已知数列a n 的前n 项和S n =2n +1-2,若p +q =5(p ,q ɪN *),则a p a q =A .8B .16C .32D .6410.已知点P (x ,y )到点F 1(-3,0)和点F 2(3,0)的距离之和为4,则x yA.有最大值1B .有最大值4C .有最小值1 D.有最小值-411.如图,在正方体A B C D -A 1B 1C 1D 1中,点M ,N 分别是A 1D ,D 1B 的中点,则下述结论中正确的个数为①MN ʊ平面A B C D ;②平面A 1N D ʅ平面D 1M B ;③直线MN 与B 1D 1所成的角为45ʎ;④直线D 1B 与平面A 1N D 所成的角为45ʎ.A .1B .2C .3D .412.在数学中,布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理,它可应用到有限维空间,并且是构成一般不动点定理的基石.简单地讲就是对于满足一定条件的连续函数f (x ),存在点x 0,使得f (x 0)=x 0,那么我们称该函数为 不动点 函数.若函数f (x )=x (a e x-l n x )为 不动点 函数,则实数a 的取值范围是A .(-ɕ,0]B .-ɕ,1eC .(-ɕ,1]D .(-ɕ,e ]二㊁填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.若函数f (x )=A s i n x -c o s x 的一个零点为π6,则f 5π12=.14.已知点A (1,0),B(2,2),C 为y 轴上一点,若øB A C =π4,则A B ң㊃A C ң=.15.3D 打印是快速成型技术的一种,它是一种以数字模型文件为基础,运用粉末状金属或塑料等可粘合材料,通过逐层打印的方式来构造物体的技术.如图所示的塔筒为3D 打印的双曲线型塔筒,该塔筒是由离心率为5的双曲线的一部分围绕其旋转轴逐层旋转打印得到的,已知该塔筒(数据均以外壁即塔筒外侧表面计算)的上底直径为6c m ,下底直径为9c m ,高为9c m ,则喉部(最细处)的直径为c m.16.在数列a n 中,a 1=1,a n +2+(-1)n a n =2(n ɪN *).记S n 是数列a n的前n 项和,则S 4n =.三㊁解答题:共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22㊁23题为选考题,考生根据要求作答.(一)必考题:共60分.17.(12分)在әA B C 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,已知a c o s B +C2=b s i n A ,2a =3b .(1)求c o s B 的值;(2)若a =3,求c .2理科数学 第 页 (共4页)18.(12分)甲㊁乙两人组成 星队 参加猜成语活动,每轮活动由甲㊁乙各猜一个成语,已知甲每轮猜对的概率为23,乙每轮猜对的概率为p .在每轮活动中,甲和乙猜对与否互不影响,各轮结果也互不影响.已知 星队 在第一轮活动中猜对1个成语的概率为12.(1)求p 的值;(2)记 星队 在两轮活动中猜对成语的总数为X ,求X 的分布列与期望.19.(12分)如图,әA B C 是正三角形,在等腰梯形A B E F 中,A B ʊE F ,A F =E F =B E =12A B .平面A B C ʅ平面A B E F ,M ,N 分别是A F ,C E 的中点,C E =4.(1)证明:MN ʊ平面A B C ;(2)求二面角M -A B -N 的余弦值.20.(12分)已知函数f (x )=2s i n x -a x ,a ɪR .(1)若f (x )是R 上的单调递增函数,求实数a 的取值范围;(2)当a =1时,求g (x )=f (x )-l n (x +1)在0,π6上的最小值;(3)证明:s i n12+s i n 13+s i n 14+ +s i n 1n >l n n +12.3理科数学 第 页 (共4页)21.(12分)如图1所示是一种作图工具,在十字形滑槽上各有一个活动滑标M ,N ,有一根旋杆将两个滑标连成一体,|MN |=3,D 为旋杆上的一点且在M ,N 两点之间,且|N D |=λ|DM |.当滑标M 在滑槽E F 内做往复运动,滑标N 在滑槽G H 内随之运动时,将笔尖放置于D 处进行作图,当λ=1和λ=2时分别得到曲线C 1和C 2.如图2所示,设E F 与G H 交于点O ,以E F 所在的直线为x 轴,以G H 所在的直线为y 轴,建立平面直角坐标系.(1)求曲线C 1和C 2的方程;(2)已知直线l 与曲线C 1相切,且与曲线C 2交于A ,B 两点,记әO A B 的面积为S ,证明:S ɤ378.(二)选考题:共10分.请考生在22㊁23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.22.[选修4-4:坐标系与参数方程](10分)在直角坐标系x O y 中,曲线C 的参数方程为x =2pt y =2pt 2(t 为参数),(2,4)为曲线C 上一点的坐标.(1)将曲线C 的参数方程化为普通方程;(2)过点O 任意作两条相互垂直的射线分别与曲线C 交于点A ,B ,以直线O A 的斜率k 为参数,求线段A B 的中点M 的轨迹的参数方程,并化为普通方程.23.[选修4-5:不等式选讲](10分)已知函数f (x )=|x +a |+2|x -1|.(1)当a =1时,求f (x )的最小值;(2)若a >0,b >0时,对任意x ɪ[1,2]使得不等式f (x )>x 2-b +1恒成立,证明:a +122+b +122>2.4开封市2023届高三年级第一次模拟考试数学（理科）参考答案一、选择题（每小题5分，共60分）题号123456789101112答案C D D A B BCDCACB二、填空题（每小题5分，共20分）13.14.515.16.24+2n n三、解答题（共70分）17.（1）因为A B C π++=，所以222B C A π+=-，得cos sin 22B C A+=，……1分由正弦定理，可得sin sin sin sin 2A A B A ⋅=⋅，sin 0A ≠，所以sin sin 2AB =，……2分又因为,A B 均为三角形内角，所以2AB =，即2A B =，……3分又因为23a b =，即2sin 3sin A B =，即4sin cos 3sin B B B =，……4分sin 0B ≠，得3cos 4B =；……5分（2）若3a =，则2b =，由（1）知3cos 4B =，由余弦定理2222cos b a c ac B =+-可得29502c c -+=，……7分即()5202c c ⎛⎫--= ⎪⎝⎭，所以2c =或52，……9分当2c =时，b c =，则22A B C ==，即ABC ∆为等腰直角三角形，又因为a ≠，此时不满足题意，……11分所以52c =.……12分18.（1）“星队”在第一轮活动中猜对1个成语的概率为12，所以()2211+1=332p p ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，解得1=2p .……4分（2）设i A 表示事件“甲在两轮中猜对i 个成语”，i B 表示事件“乙在两轮中猜对i 个成语”()0,1,2i =，根据独立性假定，得()()()012111124224===2===339339339P A P A P A ⨯⨯⨯⨯，()()()012111===424P B P B P B ，，，……6分X 的可能取值为0,1,2,3,4，所以()()001110===9436P X P A B =⨯()()()0110114131=+=+=929418P X P A B P A B =⨯⨯()()()()021120114141132=++=++=94929436P X P A B P A B P A B =⨯⨯⨯，()()()1221414133=+=+=94929P X P A B P A B =⨯⨯，()()224114===949P X P A B =⨯X 的分布列如下表所示：X 01234P13631813363919……10分()1313311=0+1+2+3+4=2.361836993E X ⨯⨯⨯⨯⨯……12分19.（1）取CF 的中点D ，连接DM DN ，，M N ，分别是AF CE ，的中点，DM AC DN EF ∴∥，∥，又DM ABC AC ABC ⊄⊂ 平面，平面，.DM ABC ∴∥平面……2分又EF AB ∥，DN AB ∴∥，同理可得，DN ABC ∥平面.……3分=DM MND DN MND DM DN D ⊂⊂ 平面，平面，，.MND ABC ∴平面∥平面……5分.MN MND MN ABC ⊂∴ 平面，∥平面……6分（2）取AB 的中点O ，连接OC OE ，.由已知得=OA EF ∥，OAFE ∴是平行四边形，=OE AF ∴∥.ABC ∆ 是正三角形，OC AB ∴⊥，ABC ABEF ⊥ 平面平面，=ABC ABEF AB 平面平面，OC ABEF∴⊥平面，又OE ABEF ⊂平面，OC OE ∴⊥.……7分设1====2AF EF EB AB a ，OC ，在Rt COE ∆中，由222+=OC OE CE ，解得=2a ，即1====22AF EF EB AB (8)分取EF 的中点P ，连接OP，则OP AB ⊥，以O 为原点，OP OB OC ，，所在直线分别为x y z ，，轴，建立直角坐标系如图所示.则()()310,2,022A C E N -⎝，，，，()1=0,2,0=,22OA ON -⎝ ，，由已知易得，平面ABM 的一个法向量为(=OC，……9分设平面ABN 的法向量为()=,,x y z n ,则2=0=01=022y OA x y ON -⎧⎧⋅⎪⎨+⋅⎪⎪⎩⎩ ，，即，，n n 取2x =，则平面ABN 的一个法向量为()=2,0,1-n .……10分cos ,O OC OC C ⋅〈〉==∴n n n 分二面角--M AB N 为锐角，∴二面角--M AB N ……12分20.（1）由已知可得：0cos 2)(≥-='a x x f ，……1分即x a cos 2≤恒成立，则有]2,(--∞∈a .……3分（2）由已知可得：111cos 2)(+--='x x x g，令()=()h x g x '，21()2sin (1)h'x x x =-++在[0,6π上单调递减，……4分又因为，(0)h'0>，(6h'π0<，所以存在6,0(0π∈x 使得()0h'x =，……5分则有又有115(0)=0(1101631162g g ππ''=-->--->++，，所以在(0,6π上)(x g '0>，……7分则)(x g 在]6,0[π∈x 上单调递增，所以最小值为0)0(=g .……8分（3）由（2）可得x x x ++>)1ln(sin 2在(0,)6π上恒成立，令()()=ln +1x x x ϕ-，在(0,)6π上()=0+1x 'x x ϕ>，所以()x ϕ单调递增且(0)0ϕ=，所以ln(1)x x >+，)1ln(2sin 2+>x x ，从而当(0,)6x π∈时)1ln(sin +>x x ，……10分令n x 1,,41,31,21 =，得到23ln 21sin >，34ln 31sin >，45ln 41sin >，⋯，nn n 1ln 1sin +>，相加得：11111sin sin sin sin ln2342n n +++++> .……12分21.（1）由题意，=ND DM λ，设()()()00,,00,，，，D x y M x N y 所以()()00,=,=---，，ND x y y DM x x y ()()00,=,---，x y y x x y λ……1分由()()00==-⎧⎪⎨--⎪⎩，，x x x y y y λλ解得()()001+==1+⎧⎪⎨⎪⎩，，x x y y λλλ又因为2200+=9，x y 所以()()222221++1+=9，x y λλλ……3分将=1=2λλ和分别代入，得2219+=4：C x y ……4分222+=1.4x C y ：……5分（2）①直线l 斜率不存在时，3=2l x ±：，带入2C方程得ABS 分②直线l 斜率存在时，设=+l y kx m ：，l 与曲线1C()229+13=24k m ，即，……7分联立22+=14=+x y y kx m ⎧⎪⎨⎪⎩，，可得()2221+4+8+44=0k x kmx m -，x),0(0x )6,(0πx ()h'x 正负)(x g '递增递减()()222225=641614107k m k m k ∆-+->>由得，()2121222418==1414m km x x x x k k--+，，……8分1222=1+41+4AB x k k-，……10分()4224247+25=16+8+1k k AB k k -，因为()()422424247+2572487=016+8+14416+8+1k k k k k k k ----<，所以2AB <，8S <.……11分综合①②可证，S ……12分22.（1）消去参数t 可得：22x py =，将点()2,4带入可得12p =，……2分所以曲线C 的普通方程为：y x =2.……4分（2）由已知得：OB OA ,的斜率存在且不为0，设OA 的斜率为k ，方程为kx y =，则OB 的方程为：x ky 1-=，联立方程2y kx x y =⎧⎨=⎩，，可得：()2,k k A ，同理可得：211,B k k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，……6分设()y x M ,，所以22112112x k k y k k ⎧⎛⎫=- ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪=+ ⎪⎪⎝⎭⎩，，……8分所以=24x 222122-=-+y kk ，所以=22x 1-y 即为点M 轨迹的普通方程.……10分23.（1）当1a =时，()121-++=x x x f ，当()()()min 1,31,14;x f x x f x f ≤-=-+=-=当()()()11,3,2,4;x f x x f x -<<=-+∈当()()()min 1,31,12;x f x x f x f ≥=-==……2分∴当1a =时，()f x 的最小值为2.……4分（2）00a b >>，，当12x ≤≤时，221+1x a x x b ++-->可化为233a b x x +>-+……6分令()233h x x x =-+，[]1,2x ∈，()()max 11h x h ==，∴1a b +>，……8分∴()222221111222222a b a b a b a b a b +⎛⎫⎛⎫+++=+++++++> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭≥.……10分。
2024届高三第一次模拟数学(理科)试卷答案
银川一中2024届高三第一次模拟数学(理科)参考答案1．【答案】C 由2230x x --≤,解得13x -≤≤，又因为x N ∈，所以{}0,1,2,3A =，又由2023log 0x ≤，可得20232023log log 1x ≤，解得01x <≤，所以{R |01}B x x =∈<≤，所以A B =I {1}，2．由z 1+i =1−1i =1+i ，得z =(1+i)2=2i ，则z =−2i ，所以|z |=2.故选：C.3．A4．【答案】C 【解析】 由题意知，成绩优秀的学生数是30，成绩非优秀的学生数是75，所以c＝20，b ＝45，选项A 、B 错误．根据列联表中的数据，得到K 2＝105×（10×30－20×45）255×50×30×75≈6.109>5.024，因此有97.5%的把握认为“成绩与班级有关系”． 5.【答案】B【解析】对于A ，若a b r r∥，则有142t ⨯=-⨯，所以8t =-，A 错误；对于B ，若a b ⊥r r，则有420t -+=，所以2t =，B 正确；对于C ，(3,2)a b t +=-+r r ，所以||5a b +==r r，解得2t =或6t =-，C 错误；若a r 与b r 的夹角为钝角，则420a b t ⋅=-+<r r ，即2t <，且a r 与b r不能共线且反向，由A 选项可知，当8t =-时，4b a =-r r ，此时a r 与b r共线且反向，所以若a r 与b r的夹角为钝角，则2t <且8t ≠-，D 错误，故选:B.6．【答案】A【详解】由点P 在单位圆上，则22315y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，解得45y =±，由锐角π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，即ππ3π,444α⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，则45y =，故π3π4cos ,sin 4545αα⎛⎫⎛⎫+=-+= ⎪ ⎪⎝⎭，ππππππcos cos cos cos sin cos444444αααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭3455=-=.故选A.7.【答案】C【分析】利用基本不等式可求得2≤，知A 错误；由()2,0x ∈-时，0y =<可知B 错误；根据y =、图象中的特殊点及函数的奇偶性、单调性可知C 正确；根据函数定义域可知D【详解】对于A ，2=≤=Q （当且仅当224x x =-，即x∴在()2,2-上的最大值为2，与图象不符，A 错误；对于B ，当()2,0x ∈-时，0y =<，与图象不符，B 错误；对于C ，y =Q ∴当1x =±时，max 1y =；又y =()()()2,0,2,0,0,0-；由220x x -+≥得：()20x x -≤，解得：22x -≤≤，即函数定义域为[]22-,；y ∴=[]22-,上的偶函数，图象关于y 轴对称；当[]0,2x ∈时，y =，则函数在()0,1上单调递增，在()1,2上单调递减；综上所述：y=C正确；对于D，由220x x-+≥得：02x≤≤，y∴=不存在()2,0x∈-部分的图象，D错误.故选：C.8.【答案】B【详解】由题意，点()()2,0,2,0A B-且满足2PA PB-=，根据双曲线的定义，可得点P的轨迹表示以,A B为焦点的双曲线C的右支，其中22,24a c==，可得1,2a c==，则b==可得双曲线C的渐近线方程为by xa=±=，又因为点P满足方程0(0,0)nx my m n±=>>，即ny xm=±，结合双曲线的几何性质，可得0nm<<nm的取值范围是.故选：B.9.【答案】A解：“m∀，*n∈N，m n m na a a+=”，取1m=，则11n na a+=-，{}na∴为等比数列．反之不成立，{}n a为等比数列，设公比为q()0q≠，则1m nm na q+-+=-，()()112nnmmm na a q q q--+-=-⨯-=，只有1q=-时才能成立满足m n m na a a+=．∴数列{}na满足11a=-，则“m∀，*n∈N，m n m na a a+=”是“{}na为等比数列”的充分不必要条件．10.【答案】D设切点()00,lnP x x．因为lny x=，所以1yx'=，所以点P处的切线方程为()001lny x x xx-=-，又因为切线经过点(),a b，所以()001lnb x a xx-=-，即1lnab xx+=+.令()ln(0)af x x xx=+>，则1y b=+与()ln(0)af x x xx=+>有且仅有1个交点，()221a x af xx x x'-=-=，当0a≤时，()0f x¢>恒成立，所以()f x单调递增，显然x→+∞时，()f x→+∞，于是符合题意；当0a>时，当0x a<<时，()0f x'<，()f x递减，当x a>时，()0f x¢>，()f x递增，所以()min()ln1f x f a a==+，则1ln1b a+=+，即lnb a=．综上，0a≤或lnb a=．故选：D11. 【答案】B12.【答案】C对A选项结合勒洛三角形得到其截面图，利用扇形面积和三角形面积公式即可得到答案，而A选项的截面积为C选项的最大截面积，对B选项四面体的能够容纳的最大球的半径，即可判断D选项.【详解】对于A()2221π322322π23ABC ABCABCS S S S⎛⎫=-⋅+=⨯⨯⨯=-⎪⎪⎝⎭V V截扇形故A错误，截面示意图如下：对于B，由对称性知,勒洛四面体ABCD内切球球心是正四面体ABCD的内切球、外接球球心O,如图：正BCD △外接圆半径122cos303O B =⋅⋅=o 正四面体ABCD 的高1AO==令正四面体ABCD 的外接球半径为R ,在1Rt BOO V 中,222R R⎫=-+⎪⎪⎭，解得R =,此时我们再次完整地抽取部分勒洛四面体如图所示：图中取正四面体ABCD 中心为O ,连接BO交平面ACD 于点E ，交»AD于点F ，其中»AD 与ABD△共面，其中BO 即为正四面体外接球半径R =，设勒洛四面体内切球半径为r ，则由图得2r OF BF BO ==-=，故B 错误；对于C 某三个顶点的截面，由对A 的分析知()max 2S π=-截C 正确；对于D ，勒洛四面体能够容纳的最大球与勒洛四面体的4个弧面都相切,,所以勒洛四面体ABCD 能够容纳的最大球的半径为2D 错误.故选：C ．13.π314.54由题意可得：甲、乙都不是第一名，且乙不是最后一名，先排乙，有第二、三、四名3种情况，再排甲，除第一名和乙排的名次外，甲有3种情况，其他三名同学排在三位置全排列有33A 种，由分步乘法计数原理可知共有3333A 54⨯⨯=种，故答案为：54.15. 【详解】设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），M （x 0，y 0），则1201202,2.x x x y y y +=⎧⎨+=⎩又2112224,4,y x y x ⎧=⎨=⎩两式相减得121212()()4()y y y y x x +-=-121212042y y k x x y y y -===-+.设圆心为C （5，0），则kOM =005y x -，因为直线l 与圆相切，所以000215y y x ⋅=--，解得03x =，代入22(5)9x y -+=得002y k y ====16．先对函数化简变形，然后由题意可得6f π⎛⎫= ⎪⎝⎭求得b =，再由()085f x a =可得04sin 35x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，再利用诱导公式和二倍角公式可求得结果【详解】因为()()sin cosf x a x b x x ϕ=+=+，0ab ≠其中sin ϕ=，cos ϕ=，由于函数的图象关于6xπ=对称，所以6fπ⎛⎫=⎪⎝⎭，即12a+，化简得b=，所以()00008sin cos2sin35f x a x x a x aπ⎛⎫=+=+=⎪⎝⎭，即4sin35xπ⎛⎫+=⎪⎝⎭，所以20000227sin2sin2cos22sin16323325 x x x xπππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-=-+=+-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故选：C.17. （1）()11n nna n a-=+，11n na an n-∴=+，且112a=，∴数列1nan⎧⎫⎨⎬+⎩⎭是以每一项均为1的常数列，则11nan=+，即()*1na n n N=+∈；（2）由（1）得1na n=+，()()2222211221na n n n nn∴=<=-+++，11111111113113243522122nTn n n n∴<-+-+-++-=+--<+++L.18.（1）证明：菱形ABCD中，AC BD⊥，设AC，BD交于点O，连接EO，FO，则EO BD⊥，FO BD⊥，又EO FO O=I，EO⊂平面EOF，FO⊂平面EOF，所以BD⊥平面EOF；又EF⊂平面EOF，所以BD EF⊥；（2）因为菱形ABCD边长为1，AC=，所以12OE OF OA OC AC=====，则1BD==，又32EF=，所以2221cos22OE OF EFEOFOE OF+-∠==-⋅，则120EOF∠=o，所以1sin1202OEFS OE OF=⋅⋅=oVDEFV中，1DE DF==，32EF=，则2221cos28ED DF EFEDFDE DF∠+-==-⋅，所以sin EDF∠=，所以1sin2DEFS DE DF EDF∠=⋅⋅=V；设点B到平面DEF的距离为h，由题意，B DEF B OEF D OEFV V V---=+即11113333DEF OEF OEF OEFS h S OB S OD S BD⋅=⋅+⋅=⋅V V V V，则1OEFDEFS BDhS⋅===VV.19.【详解】（1）设每件产品的销售利润为ξ元，则ξ的所有可能取值为1.5，3.5，5.5，由直方图可得，A ，B ，C 三类产品的频率分别为0.15、0.45、0.4，所以，()1.50.15P ξ==，()3.50.45P ξ==，()5.50.4P ξ==，所以随机变量ξ的分布列为：ξ1.5 3.5 5.5P0.150.450.4所以， 1.50.15 3.50.45 5.50.44E ξ=⨯+⨯+⨯=，故每件产品的平均销售利润为4元；（2）（i ）由b y a x =⋅得，()ln ln ln ln by a x a b x =⋅=+，令ln u x =，ln y υ=，ln c a =，则c bu υ=+，由表中数据可得，()()()515210.41ˆ0.251.61ii i i i uu bu uυυ==--===-∑∑，则24.8716.30ˆˆ0.25 4.15955cbu υ=-=-⨯=，所以，ˆ 4.1590.25u υ=+，即14.1594ˆln 4.1590.25ln ln y x e x ⎛⎫=+=⋅ ⎪⎝⎭，因为 4.15964e =，所以14ˆ64y x =，故所求的回归方程为1464y x =；（ii ）设年收益为z 万元，则()14256z E y x x x ξ=⋅-=-，设14t x =，()4256f t t t =-，则()()332564464f t t t '=-=-，当()0,4t ∈时，()0f t '>，()f t 在()0,4单调递增，当()4t ,∈+∞时，()0f t '<，()f t 在()4,+∞单调递减，所以，当4t =，即256x=时，z 有最大值为768，即该厂应投入256万元营销费，能使得该产品一年的收益达到最大768万元.20.【小问1详解】因为2x =的焦点坐标为(，所以(F ，所以22,b MN OF c a ===．因为MN OF =2=，化简可得2b a =，又2222a b c -==，解得223,1a b ==，所以椭圆C 的标准方程为2213y x +=．【小问2详解】由（1）可知()2,0P ，可知过点P 的直线l 的斜率存在且不为0，设直线l 的方程为()2y k x =-，由()22213y k x y x ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩，化简可得()222234430k x k x k +-+-=，设()()1122,,,A x y B x y ，则212243k x x k +=+，2122433k x x k -=+，由()()()2222Δ443430k k k =--+->，解得201k <<．根据弦长公式可得2AP BP x⋅=()()()22121212122142k x x k x x x x=+-⋅-=+-++()()()()22222224384391133k k k kkk k+-+-+=+⋅=++．因为APEV的面积为1,S BPE△的面积为2S，设点E到直线l的距离为d，根据点到直线的距离公式可得d=所以1211,22S AP d S BP d=⋅=⋅，因此()22221222291118181314434343k kS S AP BP dk k k+⎛⎫⋅=⋅⋅=⋅⋅=⋅=-⎪+++⎝⎭，因为201k<<，所以2334k<+<，则281381014316k⎛⎫<-<⎪+⎝⎭，从而94<<，的取值范围是90,4⎛⎫⎪⎝⎭．21．【解析】（1）由()f x有两个零点，得方程13e xxa=有两个解，设()3e xxr x=，则()()31e xxr x-'=，由()0r x'>，可得1x<，()r x单调递增，由()0r x'<，可得1x>，()r x单调递减，所以()r x的最大值为()31er=，当x→+∞时()0r x→，当x→-∞时，()r x→-∞，所以可得函数()r x的大致图象，所以13ea<<，解得3ea>，所以，()f x有两个零点时，a的取值范围是e,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭；（2）设()()()12sing x f x a x=--，（3）即()()1e312sinxg x x a xa=---，则()0g x≥恒成立，由()100g aa=-≥，π6π1πe3066ga=-⨯⎫⎪⎝⎭≥⎛，可得01a<≤，下面证明当01a<≤时，()()1e312sin0*x x a xa---≥，即证213e2sin10x x xa a-+-≥，令1b a=，则证2e 32sin 10x b bx x -+-≥，[)1,b ∈+∞，令()2e 32sin 1xh b b bx x =-+-为开口向上的二次函数，对称轴为32e xxb =，由（1）可知3312e 2e x x b =≤<，故()h b 在[)1,b ∈+∞时单调递增，则()()1e 32sin 1xh b h x x ≥=-+-，下面只需证明e 32sin 10x x x -+-≥即可，即证32sin 110e xx x -+-≤，令()32sin 11e x x x F x -+=-，则()232sin 2cos exx x xF x -+-'=，令()232sin 2cos q x x x x =-+-，则()π32cos 2sin 304q x x x x ⎛⎫'=-++=+-< ⎪⎝⎭，所以函数()q x 单调递减，且()00q =，所以当0x <时，()0F x '>，当0x >时，()0F x '<，所以函数()F x 在(),0∞-上单调递增，在()0,∞+上单调递减，故()()00F x F ≤=，即32sin 110exx x -+-≤，从而不等式()*得证，综上，a 的取值范围是(]0,1．22.【答案】解：(1)依题意，曲线C 1:(x−2)2+y 2=4，即x 2+y 2−4x =0,故ρ2−4ρcos θ=0，即ρ=4cos θ,因为ρ2=41+3sin 2α，故ρ2+3ρ2sin 2α=4.即x 2+4y 2=4，即x 24+y 2=1.将θ=θ0代入ρ2=41+3sin 2α得，ρ2Q =41+3sin 2θ0.将θ=θ0代入ρ=4cos θ得，ρP =4cos θ0.由|OQ|=|PQ|，得ρP =2ρQ ，即(4cos θ0)2=161+3sin 2θ0.解得sin 2θ0=23，则cos 2θ0=13又0<θ0<π2，故ρQ =41+3sin 2θ0=233，ρP =4cos θ0=433故△PMQ 的面积S △PMQ =S △OMP −S △OMQ =12⋅|OM|⋅(ρP −ρQ )⋅sin θ0=12⋅233⋅63=23.23. 【详解】（1）,,0a b c >Q ，()()494949f x x a x b c x a x b c a b c ∴=-+++≥--++=++，当且仅当()()490x a x b -+≤时取等号，494a b c ∴++=，要证9ab bc ca abc ++≥，只要证1119a b c++≥，由柯西不等式得()2211149(231)36a b c a b c ⎛⎛⎫++++≥=++= ⎪ ⎝⎭⎝，当且仅当2233a b c ===时取等号，1119,9ab bc ca abc a b c∴++≥∴++≥．（2）由基本不等式得494a b b c c a +≥+≥+≥以上三式当且仅当4493a b c ===时同时取等号，将以上三式相加得49948a b b c c a ≤+++++=，即4≤．。
陕西省咸阳市2023届高三下学期一模理科数学试题(解析版)
【答案】B
【解析】
【分析】根据给定条件，求出抛物线C的焦点坐标及准线方程，再利用定义求解作答.
【详解】抛物线C： 的焦点 ，准线方程 ，
显然点A的横坐标为2，由抛物线定义得： ，所以 .
故选：B6.执行如图所来自的程序框图，若输入 ，则输出s＝（）
A. B. C. D.
【答案】A
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意得 ，进而结合双曲线的性质和已知条件得 ， ， ，再根据 ， ， 得 ，进而根据离心率公式求解即可.
【详解】解：如图，设直线 为双曲线 的两条渐近线，
则直线 的方程分别为 ， ，
因为 ，所以 ，即 ，
因为 ，直线 的方程分别为 ，即 ，
所以 到直线 的距离为 ，
所以， 的实数解有 个，
所以，函数 零点的个数是 个.
故答案为：
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分．
17.已知数列 的前n项之积为 ．
（1）求数列 的通项公式；
A.11.1米B.10.1米C.11.11米D.11米
【答案】C
【解析】
【分析】根据给定条件，利用等比数列通项及前n项和公式计算作答.
【详解】依题意，乌龟爬行的距离依次排成一列构成等比数列 ， ，公比 ， ，
所以当阿喀斯与乌龟相距0.01米时，乌龟共爬行的距离 .
故选：C
5.设F为抛物线C： 的焦点，点A在C上，且A到C焦点的距离为3，到y轴的距离为2，则p＝（）
【小问1详解】
高三(理科)一模数学试卷
高三第一次模拟试卷(数学试题)姓名：________ 分数：________第I 卷(选择题，共60分)一、选择题∶本大题共12 小题，每小题5 分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．已知集合A ={x |x 2≤1)，B ={x |3x <1)，则A ∪(C R B )=( ) A ．{x |x <0}B ．{x |0≤x ≤1}C ．{x |-1≤x <0}D ．{x |x ≥-1}2．已知复数z 1=2+i ，z 2=-1+2i ，则121z z z 为( ) A ．1 B ．2C ．2D ．53．已知向量a =(2，-1)，b =(3，-2)，c =(1，m )，若(a -b )⊥c ，则|c|=( )A ．1B ．2C ．3D ．2 ．4．很多关于大数的故事里(例如“棋盘上的学问”，“64片金片在三根金针上移动的寓言”)都涉及264这个数．请你估算这个数264大致所在的范围是( )(参考数据∶lg2≈0.30，lg3≈0.48) A ．(1012，1013)B ．(1019，1020)C ．(1020，1021)D ．(1030，1031)5．为落实《国家学生体质健康标准》达标测试工作，全面提升学生的体质健康水平，某校高二年级体育组教师在高二年级随机抽取部分男生，测试了立定跳远项目，依据测试数据绘制了如图所示的频率直方图．已知立定跳远200cm 以上成绩为及格，255cm 以上成绩为优秀，根据图中的数据估计该校高二年级男生立定跳远项目的及格率和优秀率分别是(★)A ．87%，3%B ．80%，3%C ．87%，6%D ．80%，6%6．某几何体的三视图均为如图所示的五个边长为单位1的小正方形构成，则该几何体与其外接球的表面积分别为 (★)A ．18，3πB ．20，3πC ．30，11πD ．32，11π7．过点P (x ，y )作圆C 1：x 2+y 2=1与圆C 2:(x -2) 2＋(y -2)2=1的切线，切点分别为A 、B ，若|PA | =|PB |，则x 2+y 2的最小值为( ) A ．2B ．2C ．22D ．88．已知双曲线 C : 22a x -22by =1 (a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，且以F 1F 2为直径的圆与双曲线C 的渐近线在第四象限交点为P ，PF 1交双曲线左支于Q ，若2F 1=P Q ， 则双曲线的离心率为(★) A ．21+10 B ．10C ．21+5D ．59．若sin (3π＋α)=31，则cos(3π-2α)=( )A ．-97B ．32 C ．-32 D ．9710．若x ，y 满足约束条件,a y x y x y x ≤4,≥20,≥63-+4++2且z =3x -y 的最大值为12，则α取值为( )A ．a ≥4B ．a ≥16C ．a =12D ．a =1611．已知直线y =kx (k >0)和曲线f (x )=x -a ln x (a ≠0)相切，则a 取值范围是( ) A ．(-∞，0) ∪(0， e) B ．(0， e)C ．(0， 1) ∪(1， e)D ．(-∞，0) ∪ (1， e)12．设1<a <2，m =log 4(2n +3n )，n =log 5(3m +4m )，则( ) A ．n =2 B ．n > 2C ．n <2D ．以上均有可能第Ⅱ卷(非选择题共 90 分)二、填空题∶本大题共4 小题，每小题5分，满分20分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上．(注: 14题第一空2分，第二空3 分)13．某“2020年宝鸡市防震减灾科普示范学校”组织4名男生6名女生志愿者到社区进行防震减灾图片宣讲，若这些选派学生只考虑性别，则派往甲社区宣讲的3人中至少有2男生的概率为___．14．已知函数f (x )是定义域为R 上的奇函数，且对任意x ∈R ，都有f (2-x )=f (x )成立，当x ∈[-1，1] 时，f (x )= xxa 2+12-，则a =________；当x ∈[1，3]时，f (x )= __________．15．记S n为等比数列{a n} 的前n项和．设S3=6，S4=a1-3，则S6=__________.16．沿正三角形ABC的中线AD翻折，使点B与点C间的距离为3，若该正三角形边长为2，则四面体ABCD外接球表面积为________．三、解答题：共70分．解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17-21 题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23 题为选考题，考生根据要求作答．(一)必考题∶共60 分17．设涵数f(x)=12cos2x-43sin x cos x-5．(1)求f(x)的最小正周期和值域；(2)在锐角△ABC中，角A、B、C的对边长分别为a、b、c若f(A)=-5，a=3，求△ABC周长的取值范围．18．如图三棱柱ABC-A1B1C1中，底面△ABC是边长为2的等边三角形，E，F分别为AB，AA1的中点，CE⊥FB1，AB=2AA1=332EB(1)证明：EF⊥平面CEB1；(2)求二面角E-CF-B1的平面角大小．19．自从新型冠状病毒爆发以来，美国疫情持续升级，以下是美国2020年4月9日-12月14日每隔25天统计1次共11次累计确诊人数(万)∶(1)将4月9日作为第1次统计，若将统计时间顺序作为变量x，每次累计确诊人数作为变量y，得到函数关系y=ae bx(a、b>0)．对上表的数据作初步处理，得到部分数据已作近似处理的一些统计量的值x̅=6，y̅=603.09，111∑111=iln y i=5.98，∑111=i(x i-x̅)(y i-y̅) =15835.70，∑111=i(x i-x̅)(ln y i-yln) =35.10，∑111=i(x i-x)2 =110，∑111=i(ln y i-yln)2 =11.90，e4.06≈57.97，e4.07≈58.56，e4.08≈59.15．根据相关数据，确定该函数关系式(函数的参数精确到0．01).(2)经过医学研究，发现新型冠状病毒极易传染，一个病毒的携带者在病情发作之前通常有长达14天的潜伏期，这个期间如果不采取防护措施，则感染者与一位健康者接触时间超过15 秒，就有可能传染病毒，如果一位新型冠状病毒的感染者传染给他人的概率为0.3，在一次36 人的家庭聚餐中，只有一位感染者参加了聚餐，记余下的人员中被感染的人数为X，求X=k最有可能(即概率最大)的值是多少，20．已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，直线l:y=2x+a与抛物线C交于A，B两点，(1)若a= -1，求△F AB的面积；(2)已知圆M:(x-3)2+y2=4，过点P(4，4)作圆M的两条切线，与曲线C交于另外两点分别为D，E，求证直线DE也与圆M相切．21．已知函数f(x)=x3＋bx2-x，(b∈R)(1)讨论函数f(x)单调性；(2)设f′(x)是f(x)的导数，g(x)=f(x)-f′(x)，求证函数g(x)存在三个零点．(二)选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，若多做，则按所做的第一题计分．作答时请先涂题号．22．(选修4-4 坐标系与参数方程)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C1的极坐标方程为ρsin(θ+4π)=22，0≤θ≤2π，曲线C2的参数方程为{1+2-=1-2+=ttyttx(t为参数)，(1)将曲线C1的极坐标方程、C2的参数方程化为普通方程；(2)设C1，C2的交点为P，求圆心在极轴上，且经过极点和P的圆的极坐标方程．23．(选修4=5 不等式选讲)已知函数f(x)=|x+1|+2|x-a|．(1)当a=2时，求f(x)的最小值；(2)若函数在区间[-1，1]上递减，求a的取值范围．。
高三数学理科一模试卷
考试时间：120分钟满分：150分一、选择题（每题5分，共50分）1. 下列各数中，有理数是（）。
A. √2B. πC. √3 - 2D. -√(-1)2. 已知函数f(x) = x^2 - 4x + 4，则f(x)的图像是（）。
A. 开口向上的抛物线B. 开口向下的抛物线C. 直线D. 双曲线3. 若复数z满足|z-1| = |z+1|，则z在复平面上的位置是（）。
A. 位于实轴上B. 位于虚轴上C. 位于原点D. 位于直线y = x上4. 已知数列{an}的前n项和为Sn，若an = 3n - 2，则S10的值为（）。
A. 145B. 150C. 155D. 1605. 下列各式中，正确的是（）。
A. sin(α + β) = sinαcosβ + cosαsinβB. cos(α + β) = cosαcosβ - sinαsinβC. tan(α + β) = tanα + tanβD. cot(α + β) = cotα - cotβ6. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1 = 2，公差d = 3，则S10的值为（）。
A. 55B. 60C. 65D. 707. 已知函数f(x) = ax^2 + bx + c，若f(1) = 3，f(-1) = 5，则a + b + c的值为（）。
A. 2B. 3C. 4D. 58. 下列各图中，能表示函数y = log2x的图像是（）。
9. 已知函数f(x) = e^x，则f'(x)的值为（）。
A. e^xB. e^x - 1C. e^x + 1D. e^x - 210. 已知数列{an}的前n项和为Sn，若an = 2n - 1，则S10的值为（）。
A. 90B. 95C. 100D. 105二、填空题（每题5分，共50分）11. 若sinα = 1/2，cosα = √3/2，则tanα的值为______。
12. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1 = 3，公差d = 2，则S10的值为______。
2024届高三数学仿真模拟卷(全国卷)(理科)(考试版)
2024年高考第三次模拟考试高三数学（理科）（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．4．测试范围：高考全部内容5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合{}24A x x =-≤≤，{}260B x x x =-≥，则A B = （）A ．[]2,0-B ．[]0,4C ．[]2,6-D ．[]4,62．已知3i 2z a =（R a ∈，i 是虚数单位），若21322z =，则=a （）A ．2B ．1C ．12D ．143．如图，已知AM 是ABC 的边BC 上的中线，若AB a=，AC b = ，则AM 等于（）A ．()12a b- B ．()12a b-- C ．()12a b+ D ．()12a b-+ 4．已知函数()()πtan 0,02f x x ωϕωϕ⎛⎫=+><< ⎝⎭的最小正周期为2π，直线π3x =是()f x 图象的一条对称轴，则()f x 的单调递减区间为（）A ．()π5π2π,2πZ 66k k k ⎛⎤-+∈ ⎥⎝⎦B ．()5π2π2π,2πZ 33k k k ⎛⎤--∈ ⎥⎝⎦C ．()4ππ2π,2πZ 33k k k ⎛⎤--∈ ⎥⎝⎦D ．()π2π2π,2πZ 33k k k ⎛⎤-+∈ ⎥⎝⎦5．已知直线l 过点()1,1A 交圆22:4O x y +=于,C D 两点，则“CD =l 的斜率为0”的（）A ．必要而不充分条件B ．充分必要条件C ．充分而不必要条件D ．即不充分也不必要条件6．甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行唱歌比赛，决出第一名到第五名．丙和丁去询问成绩，回答者对丙说：很遗憾，你和丁都没有得到冠军，对丁说：你当然不会是最差的从这两个回答分析，5人的名次排列方式共有（）A ．24种B ．54种C ．96种D ．120种7．函数()πln sin 2x x f x x⎛⎫⋅- ⎪⎝⎭=的部分图象大致为（）A ．B ．C．D．8．祖暅是我国南北朝时期伟大的数学家．祖暅原理用现代语言可以描述为“夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等”．例如，可以用祖暅原理推导半球的体积公式，如图，底面半径和高都为R 的圆柱与半径为R 的半球放置在同一底平面上，然后在圆柱内挖去一个半径为R ，高为R 的圆锥后得到一个新的几何体，用任何一个平行于底面的平面α去截这两个几何体时，所截得的截面面积总相等，由此可证明半球的体积和新几何体的体积相等．若用平行于半球底面的平面α去截半径为R 的半球，且球心到平面α的距离为2R ，则平面α与半球底面之间的几何体的体积是（）A3R B3R C3R D3R9．已知函数()21e 3ln ,ln ,ln ,ln 222f x x a f b f c f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则（）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c<a<bD ．a c b<<10．已知数列{}n a 满足1,231,nn n n n a a a a a +⎧⎪=⎨⎪+⎩当为偶数时当为奇数时，若81a =，1a 的所有可能取值构成集合M ，则M 中的元素的个数是（）A ．7个B ．6个C ．5个D ．4个11．如图，已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右焦点分别为1(,0)F c -，2(,0)F c ，点A 在C 上，点B 在y 轴上，A ，2F ，B 三点共线，若直线1BF1AF的斜率为，则双曲线C 的离心率是（）AB ．32CD ．312．已知()f x ，()g x 都是定义在R 上的函数，对任意x ，y 满足()()()()()f x y f x g y g x f y -=-，且()()210f f -=≠，则下列说法正确的是（）A ．()01f =B ．函数()21g x +的图象关于点()1,0对称C ．()()110g g +-=D ．若()11f =，则()202311n f n ==∑第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13．已知数列{}n a 的前n 项和2n S n n =+，当9n nS a +取最小值时，n =.14．若函数()sin 1f x x x ωω=-在[]0,2π上恰有5个零点，且在ππ[,415-上单调递增，则正实数ω的取值范围为.15．已知52345012345(23)x a a x a x a x a x a x +=+++++，则123452345a a a a a -+-+=．（用数字作答）16．已知定义在R 上的函数()f x 满足()4()0f x f x '+>，且(01f =），则下列说法正确的是.①()f x 是奇函数；②(0,),()0x f x ∃∈+∞>；③41(1)e f >；④0x ∀>时，41()e xf x <三、解答题：本大题共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）已知()sin ,5sin 5sin m B A C =+ ，()5sin 6sin ,sin sin n B C C A =--垂直，其中A ，B ，C 为ABC的内角．(1)求cos A 的大小；(2)若BC =ABC 的面积的最大值．18．（12分）2016年10月“蓝瘦香菇”等网络新词突然在网络流行，某社区每月都通过问卷形式进行一次网上调查，现从社区随机抽取了60名居民进行调查．已知上网参与问卷调查次数与参与人数的频数分布如下表：参与调查问卷次数[)0,2[)2,4[)4,6[)6,8[)8,10[]10,12参与调查问卷人数814814106(1)若将参与调查问卷不少于4次的居民称为“关注流行语居民”，请你根据频数分布表，完成22⨯列联表，据此调查你是否有99%的把握认为在此社区内“关注流行语与性别有关”？男女合计关注流行语8不关注流行语合计40(2)从被调查的人中按男女比例随机抽取6人，再从选取的6人中选出3人参加政府听证会，求选出的3人为2男1女的概率．附：参考公式()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++及附表()2P K k ≥0.1000.0500.0100.001k2.7063.8416.63510.82819．（12分）在几何体中，底面ABC 是边长为2的正三角形．⊥AE 平面ABC ，若,5,4,3AE CD BF AE CD BF ===∥∥．(1)求证：平面DEF ⊥平面AEFB ；(2)是否在线段AE 上存在一点P ，使得二面角P DF E --的大小为π3．若存在，求出AP 的长度，若不存在，请说明理由．20．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为F ，点31,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭在椭圆C 上，且PF 垂直于x 轴．(1)求椭圆C 的方程；(2)直线l 斜率存在，交椭圆C 于,A B 两点，,,A B F 三点不共线，且直线AF 和直线BF 关于PF 对称．（ⅰ）证明：直线l 过定点；（ⅱ）求ABF △面积的最大值．21．（12分）已知函数()2,0eax x f x a =>．(1)当2a =时，求函数()f x 的单调区间和极值；(2)当0x >时，不等式()()2cos ln ln 4f x f x a x x ⎡⎤-≥-⎣⎦恒成立，求a 的取值范围．（二）选考题：共10分．请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．选修4-4：坐标系与参数方程22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为12cos 2sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数）.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为sin 42πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭.(1)求C 的普通方程和l 的直角坐标方程；(2)设直线l 与x 轴相交于点A ，动点B 在C 上，点M 满足AM MB =，点M 的轨迹为E ，试判断曲线C与曲线E 是否有公共点.若有公共点，求出其直角坐标；若没有公共点，请说明理由.选修4-5：不等式选讲23．已知()2122f x x x x =-+-+.(1)求()2f x ≥的解集；(2)记()f x 的最小值为t ，且2(0,0)3a b t a b +=>>，求证：11254a b a b ⎛⎫⎛⎫++≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.。
广西玉林、贵港、贺州市2023届高三联合调研考试(一模)数学(理)试题(解析版)
2023年高考玉林、贵港、贺州市联合调研考试
数学（理科）
注意事项：
1．本试卷分选择题和非选择题两部分，满分150分，考试时间120分钟．
2．答题前，考生将自己的姓名、准考证号填写在答题卡指定位置上．
3．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚．
4．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效．
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.设集合 ，集合 ，则A∩B=（）
A. ∪[2，+∞）B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】解不等式得集合 ，然后由交集定义计算．
20.已知椭圆 过 两点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）F为椭圆C 右焦点，直线l交椭圆C于P，Q（均不与点A重合）两点，记直线AP，AQ，l的斜率分别为k1， ， ，若 ，求△FPQ的周长．
21.已知函数
（1）当 时，求函数 最小值；
（2）若关于x的方程 有两个不同的实根，证明： ．
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题做答．如果多做，则按所做的第一题计分．
A. 的一条对称轴为
B. 的一个对称中心为
C. 在 上的值域为
D. 的图象可由 的图象向右平移 个单位得到
8.已知抛物线 ）的焦点为 ，准线为l，过 的直线与抛物线交于点A、B，与直线l交于点D，若 ，则p=（）
A.1B. C.2D.3
9.牛顿冷却定律描述物体在常温环境下的温度变化：如果物体的初始温度为 ，则经过一定时间t分钟后的温度T满足 ， 称为半衰期，其中 是环境温度.若 ，现有一杯80°C的热水降至75°C大约用时1分钟，那么此杯热水水温从75°C降至45°C大约还需要（参考数据： ）（）
高三数学试卷一模理科
高三数学试卷一模理科一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分。
每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请将正确选项的字母填在题后的括号内。
）1. 已知函数f(x) = 2x^2 - 3x + 1，下列说法正确的是（）A. 函数的图像开口向下B. 函数的图像开口向上C. 函数的图像关于y轴对称D. 函数的图像关于x=1/2对称2. 若a, b, c是等差数列，且a + b + c = 9，b = 3，则a + c的值为（）A. 3B. 6C. 9D. 123. 已知集合A = {1, 3, 5}，B = {2, 4, 6}，则A∪B = （）A. {1, 2, 3, 4, 5, 6}B. {1, 3, 5}C. {2, 4, 6}D. {1, 2, 3, 5, 6}...10. 已知直线y = 2x + 3与抛物线y = x^2 - 4x + 5相交于点P和Q。
则|PQ|的值为（）A. 2B. 4C. 6D. 8二、填空题（本题共5小题，每小题4分，共20分。
请将答案直接写在题后的横线上。
）11. 已知函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2，求f'(x) = ______。
12. 已知等比数列的前三项分别为2, 2q, 2q^2，且公比q > 0，求q 的值 = ______。
13. 已知向量a = (1, 2)，b = (3, -4)，求向量a与向量b的点积 = ______。
14. 已知圆的方程为x^2 + y^2 - 4x - 6y + 9 = 0，求圆心坐标 = ______。
15. 已知函数y = ln(x + √(1 + x^2))，求函数在x = 1处的导数值= ______。
三、解答题（本题共5小题，共40分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
）16. （本题满分8分）已知函数f(x) = x^2 - 4x + 3，求函数的最小值。
17. （本题满分8分）已知数列{an}的通项公式为an = 2n - 1，求数列的前n项和Sn。
高三数学试卷理科_一模
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1. 下列各数中，无理数是（）A. √4B. 3.14C. 0.1010010001...D. √92. 已知函数f(x) = 2x + 1，若f(a) = f(b)，则a和b的关系是（）A. a = bB. a = b + 1C. a = b - 1D. a + b = 03. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3 = 12，S5 = 25，则公差d为（）A. 2B. 3C. 4D. 54. 下列命题中，正确的是（）A. 任意两个等差数列都是等比数列B. 任意两个等比数列都是等差数列C. 如果一个数列既是等差数列又是等比数列，那么它一定是常数数列D. 等差数列的通项公式一定为an = a1 + (n - 1)d5. 已知函数f(x) = x^2 - 4x + 4，则f(x)的图像是（）A. 顶点在x轴上的抛物线B. 顶点在y轴上的抛物线C. 顶点在原点上的抛物线D. 顶点在x = 2上的抛物线6. 已知复数z = 3 + 4i，其共轭复数是（）A. 3 - 4iB. 4 + 3iC. -3 - 4iD. -4 - 3i7. 已知数列{an}的通项公式an = n^2 - n + 1，则数列的前10项之和S10为（）A. 385B. 390C. 400D. 4058. 已知直线l的方程为2x - 3y + 6 = 0，则直线l的斜率为（）A. 2/3B. -2/3C. 3/2D. -3/29. 已知圆C的方程为x^2 + y^2 = 16，则圆C的半径为（）A. 2B. 4C. 8D. 1610. 已知函数f(x) = |x - 2| + |x + 1|，则f(x)的图像是（）A. 两段斜率为1的直线B. 两段斜率为-1的直线C. 一段斜率为1，一段斜率为-1的直线D. 一段斜率为0，一段斜率为1的直线二、填空题（本大题共5小题，每小题10分，共50分）11. 已知函数f(x) = (x - 1)^2，则f(x)的图像的顶点坐标是______。
_2023年广西南宁三中高考数学一模试卷(理科)
邕衡金卷·南宁三中2023届高三校一模理科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设集合{}2100M x Z x x =∈−<，{}2100x N x Z =∈>，则M N =A ．{}5,6,7B ．{}6,7,8C ．{}7,8,9D ．{}8,9,102．已知函数()1,02,0x x x f x x −+<⎧=⎨≥⎩，那么()()1f f −=A ．7B ．6C ．5D ．4 3．已知直线y x =是曲线()ln f x a x =+的切线，则a =A ．1−B ．2−C ．1D ．24．在平面直角坐标系中，角α与β的顶点在原点，始边与x 轴非负半轴重合，它们的终边关于原点对称，且sin α=，则cos()αβ+= A ．89B ．89−C ．59−D ．595．已知,,,,a b c d e 成等比数列，１和４是其中的两项，则e 的最小值为A ．64−B ．8−C ．164D ．186．有下列四个命题，其中是假命题的是A ．已知()()1i 12i z =+−，其在复平面上对应的点落在第四象限B ．“全等三角形的面积相等”的否命题C ．在ABC Δ中，“6A π>”是“1sin 2A >”的必要不充分条件 D ．命题“321,x x x ∀>>”的否定是“321,x x x ∃>≤”7．如图所示的是古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着的一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等．相传这个图形表达了阿基米德最引以为荣的发现．设圆柱的体积与球的体积之比为m ，圆柱的表面积与球的表面积之比为n ，则621n x mx ⎛⎫− ⎪⎝⎭的展开式中的常数项是 A ．15− B ．20−C ．15D ．208．如图，网格纸上用粗实线绘制了一个几何体的三视图，每一个小正方形的边长为1，则该几何体的体积为 A ．484π− B ．48π8− C ．648π−D ．644π−9．某人决定就近打车前往目的地，前方开来三辆车，且车况分别为“好”“中”“差”．有以下两种方案：方案一：决定不乘第一辆车，若第二辆车的车况好于第一辆车，就乘坐此车；否则直接乘坐第三辆车．方案二：直接乘坐第一辆车．若三辆车开过来的先后次序等可能，记方案一和方案二坐到车况为“好”的车的概率分别为12,p p ，则 A ．112p =B ．216p =C ．1213p p ==D ．1214p p ==10．已知抛物线C ：24y x =的焦点为F ，过点F 作两条互相垂直的直线1l ，2l ，且直线1l ，2l 分别与抛物线C 交于A ，B 和D ，E ，则四边形ADBE 面积的最小值是A ．32B ．64C ．128D ．25611．若3273log 273log a b a b +=+，则A ．3a b <B ．3a b >C ．2a b >D ．2a b <12．已知()(),f x g x ′′分别为定义在R 上的()f x ,()g x 的导函数，且()()2f x g x −′=，()()22f x g x +′−=，若()g x 是偶函数，则下列结论一定正确的是A ．函数()f x 的图象关于点()1,1对称B ．函数()f x ′的图象关于直线2x =对称C ．3是()g x ′的一个周期D ．()20241f =二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
陕西省榆林市第一中学2024届高三第一次模拟考试理科数学试题
陕西省榆林市第一中学2024届高三第一次模拟考试理科数学试题一、单选题1．复数41i z i-=+的共轭复数的虚部为 A ．52i - B ．52- C ．52i D ．52 2．设集合{}2340A x x x =--<，12log B x y x ⎧⎫⎪⎪==⎨⎬⎪⎪⎩⎭，则A B =I A ．()1,4- B ．()0,1 C ．()1,4 D ．()0,4 3．某中学调查该校学生对新冠肺炎防控的了解情况，组织一次新冠肺炎防控知识竞赛，从该学校1000名参赛学生中随机抽取100名学生，并统计这100名学生成绩的情况（满分100分，其中90分及以上为优秀），得到样本频率分布直方图（如图），根据频率分布直方图估计，这1000名学生中竞赛成绩为优秀的学生人数大约为（ ）A ．40B ．60C ．80D ．1004．设x ，y 满足约束条件40,220,210,x y x y x y +-≥⎧⎪--≥⎨⎪-+≤⎩则目标函数2z x y =+的最小值为（ ）A ．6B ．7C ．9D ．105．在如图所示的直角梯形ABCD 中，利用“两个全等的直角三角形和一个等腰直角三角形的面积之和等于直角梯形的面积”.可以简洁明了地推证出勾股定理，把这一证明方法称为“总统证法”.设2,1a b ==，在梯形ABCD 中随机取一点，则此点取自等腰直角三角形CDE 中（阴影部分）的概率是（ ）A ．23 B ．59 C ．12 D ．496．对任意实数x ，有()4234012342(2)(2)(2)x a a x a x a x a x =++++++++，则01a a +的值为（ ）A ．20-B ．16-C ．22D ．307．已知函数()()πsin 03f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的图象向左平移π12后所得的函数为奇函数，则ω的最小值为（ ）A ．2B ．4C ．6D ．88．商后母戊鼎（也称司母戊鼎）是迄今世界上出土最大､最重的青铜礼器，享有“镇国之宝”的美誉，某礼品公司计划制作一批该鼎的工艺品，已知工艺品四足均为圆柱形，圆柱的高为20cm ，半径为4cm ，中间容器部分可近似看作一个无盖的长方体容器，该长方体壁厚3cm ，外面部分的长､宽､高的尺寸分别为50cm ，35cm ，30cm .两耳的总体积与其中一足的体积近似相等.则该工艺品所耗费原材料的体积约为（ ）A ．()31600π18048cm +B ．()31600π20080cm + C ．()31800π18048cm + D ．()31800π20080cm + 9．在ABC V 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，向量()sin ,m b C a =u r ，1sin ,2cos 2n A A ⎛⎫= ⎪⎝⎭r .已知4a =，且m n u r r ∥，则22b c +的值为（ ） A ．16 B ．18 C ．20 D ．2410．已知函数()ln f x x x =+的零点为0x ，过原点作曲线()y f x =的切线l ，切点为(),P m n ，则00e x mx =（ ）A ．1eB ．eC ．21eD ．2e11．已知点P 是圆22:4O x y +=上的动点，以P 为圆心的圆经过点()1,0Q ，且与圆O 相交于,A B 两点.则点Q 到直线AB 的距离为（ ）A ．34B ．12 C ．14 D ．不是定值12．定义在R 上的函数()f x ，()g x 满足(0)0f <，(3)(1)f x f x -=+，(2)()2g x g x -+=，1()(2)12g x f x +=+，则下列说法中错误．．的是（ ） A ．6x =是函数()f x 图象的一条对称轴B ．2是()g x 的一个周期C ．函数()f x 图象的一个对称中心为()3,0D ．若*n ∈N 且2023n <，()(1)(2023)0f n f n f ++++=L ，则n 的最小值为2二、填空题13．已知()1,2a =r ，()1,3b =r ，则向量a r ，b r 的夹角的余弦值为.14．已知抛物线2:2(0)C y px p =>上的点P 到定点()2,0Q p 的最小距离为2，则p =. 15．如图，已知球C 与圆锥VO 的侧面和底面均相切，且球的体积为圆锥体积的一半．若球的半径为1，则该圆锥的侧面积为．16．双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左，右焦点分别为1F ，2F ，右支上有一点M ，满足1290F MF ∠=︒，12F MF △的内切圆与y 轴相切，则双曲线C 的离心率为．三、解答题17．国宝大熊猫“丫丫”的回国路，牵动着十四亿中国人的心，由此掀起了热爱、保护动物的热潮．某动物保护机构为了调查研究人们“保护动物意识的强弱与性别是否有关”，从某市市民中随机抽取200名进行调查，得到部分统计数据如下表：(1)根据以上数据，判断能否有99％的把握认为保护动物意识的强弱与性别有关？并说明原因；(2)将频率视为概率，现从该市女性的市民中用随机抽样的方法每次抽取1人，共抽取3次．记被抽取的3人中“保护动物意识强”的人数为X，若每次抽取的结果是相互独立的，求X的分布列和数学期望()E X．附：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++，其中n a b c d=+++．18．如图，在四棱锥E ABCD-中，EC⊥底面,,//,1,3 ABCD AB BC AB CD AB CB CD CE⊥====（1）若F 在侧棱DE 上，且2DF FE =，证明：//AF 平面BCE ；（2）求平面ADE 与平面BCE 所成锐二面角的余弦值19．记n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知12a =，21a =-，且()*2160n n n a a a n +++-=∈N ． (1)证明：{}13n n a a ++为等比数列；(2)求数列{}n a 的通项公式n a 及前n 项和n S ．20．已知椭圆C ：22221x y a b+=()0a b >>的焦距为1F ，2F 分别为C 的左，右焦点，过1F 的直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点，2F MN V 的周长为8．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)过点()3,0G 且斜率不为零的直线与椭圆C 交于E ，H 两点，试问：在x 轴上是否存在一个定点T ，使得ETO HTG ∠=∠．若存在，求出定点T 的坐标；若不存在，说明理由．21．已知函数()()()2212ln f x x a x a x a =-++∈R ．(1)讨论()f x 的单调性，并求()f x 的极大值()g a ；(2)若存在正实数0x ，使得()()2220000816261ln 2299910f x x a x a x a ⎛⎫+-≤-+++ ⎪⎝⎭成立，求a 的值．22．已知倾斜角为45︒的直线l的参数方程为12x mt y =+⎧⎪⎨=⎪⎩t 为参数）．在直角坐标系xOy 中，(1,2)P ，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线M 的极坐标方程为()225cos 14ρθ-=．直线l 与曲线M 交于,A B 两点．(1)求m 的值及曲线M 的直角坐标方程；(2)求||||PA PB ⋅的值．23．已知函数()|3|5,()|2|2f x x g x x =--=+-．(1)求不等式()2||f x x ≤的解集；(2)若不等式()()3f x g x m -≥-有解，求实数m 的取值范围．。
陕西省宝鸡23届高三一模数学(理)含答案
绝密★考试结束前2023年宝鸡市高考模拟检测（一）数学（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷解答题又分必考题和选考题两部分，选考题为二选一.考生作答时，将所有答案写在答题卡上，在本试卷上答题无效.注意事项1.答题前，务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡规定的位置上.2.选择题答案使用铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；非选择题答案使用毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，书写要工整､笔迹清楚，将答案书写在答题卡规定的位置上.3.所有题目必须在答题卡上作答，在试卷上答题无效.第I 卷（选择题共60分）一､选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.1.已知集合{}{}lg ,2,1,0,1,2A xy x B ===--∣，那么A B ⋂等于（）A.{}2,1,0,1,2--B.{}0,1,2C.{}2,1,1,2--D.{}1,22.已知复数1i1iz -=+，则z =（）A.1C.2D.43.双曲线2221x y -=的渐近线方程是（）A.y =B.2y x =±C.2y x=± D.12y x =±4.最早发现于2019年7月的某种流行疾病给世界各国人民的生命财产带来了巨大的损失.近期某市由于人员流动出现了这种疾病，市政府积极应对，通过3天的全民核酸检测，有效控制了疫情的发展，决定后面7天只针对41类重点人群进行核酸检测，下面是某部门统计的甲､乙两个检测点7天的检测人数统计图，则下列结论不正确的是（）A.甲检测点的平均检测人数多于乙检测点的平均检测人数B.甲检测点的数据极差大于乙检测点的数据极差C.甲检测点数据的中位数大于乙检测点数据的中位数D.甲检测点数据的方差大于乙检测点数据的方差5.已知正四棱柱1111ABCD A B C D -的底面边长为2，侧棱长为4，则异面直线AC 与1DC 所成角的正切值为（）A. B. C.36.已知向量,m n 满足()23m n n -⊥ ，且||||m n =，则,m n 夹角为（）A.6π B.3π C.23π D.56π7.已知()10,,sin cos 5απαα∈-=，则tan2α=（）A.43-B.43C.247-D.2478.椭圆22:143x y C +=的左､右顶点分别为12,A A ，点P 在C 上，且直线2PA 斜率取值范围是11,2⎡⎤--⎢⎣⎦，那么直线1PA 斜率取值范围是（）A.13,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦B.33,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.[]1,2 D.3,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦9.已知等差数列{}n a 满足47580,4a a a a +=+=-，则下列命题：①{}n a 是递减数列；②使0n S >成立的n 的最大值是9；③当5n =时，n S 取得最大值；④60a =，其中正确的是（）A.①②B.①③C.①④D.①②③10.已知直线(0,0)y mx n m n =+>与圆22(1)(1)1x y -+-=相切，则m n +的取值范围是（）A.(]0,2 B.(]0,4 C.[)2,∞+ D.[)4,∞+++ 的整数部分是（）A.3B.4C.5D.612.已知函数()()320f x ax bx cx d a =+++≠满足()()()22,1xf x f xg x x +-==-，若函数()y f x =与()y g x =的图像恰有四个交点，则这四个交点的横坐标之和为（）A.2B.4C.6D.8第II 卷（非选择题共90分）二､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.621x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中常数项为__________.14.若命题“2,210x R ax ax ∃∈++”是假命题，则实数a 的取值范围是__________.15.七巧板是古代劳动人民智慧的结晶.如图是某同学用木板制作的七巧板，它包括5个等腰直角三角形､一个正方形和一个平行四边形.若用四种颜色给各板块涂色，要求正方形板块单独一色，其余板块两块一种颜色，而且有公共边的板块不同色，则不同的涂色方案有__________种.16.在棱长为1的正方体111ABCD B C D -中，M 是侧面11BB C C 内一点（含边界）则下列命题中正确的是（把所有正确命题的序号填写在横线上）__________.①使AM =M 有且只有2个；②满足1AM B C ⊥的点M 的轨迹是一条线段；③满足AM ∥平面11A C D 的点M 有无穷多个；④不存在点M 使四面体1MAA D 是鳖臑（四个面都是直角三角形的四面体）.三､解答题：共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共50分17.（本小题满分12分）已知向量)(),cos ,cos ,cos m x x n x x ==- ，定义函数()12f x m n =⋅- .（1）求函数()f x 的最小正周期；（2）在ABC 中，若()0f C =，且3,AB CD =是ABC 的边AB 上的高，求CD 长度的最大值.18.（本小题满分12分）如图在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，且底面ABCD 是平行四边形.已知2,1,PA AB AD AC E ====是PB 中点.（1）求证：平面PBC ⊥平面ACE ；（2）求平面PAD 与平面ACE 所成锐二面角的余弦值.19.（本小题满分12分）.已知点()0,2A x -在抛物线2:2(0)C y px p =>上，且A 到C 的焦点F 的距离与到x 轴的距离之差为12.（1）求C 的方程；（2）当2p <时，,M N 是C 上不同于点A 的两个动点，且直线,AM AN 的斜率之积为2,,AD MN D -⊥为垂足.证明：存在定点E ，使得DE 为定值.20.（本小题满分12分）甲､乙两个代表队各有3名选手参加对抗赛.比赛规定：甲队的1，2，3号选手与乙队的1，2，3号选手按编号顺序各比赛一场，某队连赢3场，则获胜，否则由甲队的1号对乙队的2号，甲队的2号对乙队的1号加赛两场，胜场多者最后获胜（每场比赛只有胜或负两种结果）.已知甲队的1号对乙队的1，2号选手的胜率分别是0.5，0.6，甲队的2号对乙队的1，2号选手的胜率都是0.5，甲队的3号对乙队的3号选手的胜率也是0.5，假设每场比赛结果相互独立.（1）求甲队仅比赛3场获胜的概率；（2）已知每场比赛胜者可获得200个积分，求甲队队员获得的积分数之和X 的分布列及期望.21.（本小题满分12分）已知函数()()()1(0),2ln 1xf x m x e mg x x x =+>=++.（1）求曲线()y g x =在点()()1,1g 处的切线方程；（2）若曲函数()y f x =的图像与()y g x =的图像最多有一个公共点，求实数m 的取值范围.（二）选考题：共10分.请考生在第､题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.作答时请先涂题号.22.（选修4-4坐标系与参数方程）（本小题满分10分）在直角坐标系xoy 中，曲线1C 的参数方程为2,2x t ty t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数）.以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为()3R πθρ=∈.（1）求曲线1C 的普通方程和曲线2C 的直角坐标方程；（2）求曲线1C 的任意一点到曲线2C 距离的最小值.23.（选修4-5不等式选讲）（本小题满分10分）已知0a b c >>>，求证：（1）114a b b c a c+≥---；（2）222a b c b c c a a b a b c a b c +++>.2023年宝鸡市高考模拟检测（一）数学（理科）试题答案一､选择题：1-12DAACCACBDCBB二､填空题：13.1514.[0,1)15.7216.②③三､解答题：17.（1）()1 2f x m n =⋅-21cos cos 2x x x --=31cos 21sin 2sin(22226x x x π+--=-）-1()f x ∴的最小正周期为π()0,sin 216f c c π⎛⎫=∴-= ⎪⎝⎭ 0C π<<又，5 2,266662C C πππππ∴-<-<∴-=， 3C π∴=.又12ABCS = AB 1sin 602CD ab ︒⋅=，6CD ab ∴=.由余弦定理得229a b ab ab =+-≥，当且仅当3a b ==时，“=”成立，max CD ∴=332.18.():1解证明：PA ⊥ 面ABCD ，且2,1PA AC ==，PC BC ∴=，且2PA AB ==又E PB 为中点，,,PB CE PB AE CE AE E ∴⊥⊥⋂=且，PB ACE ∴⊥平面，且PB PBC ⊂平面，PBC ACE ∴⊥平面平面.()2 222BC AB AC =+， ∴AB AC ⊥，以A 为原点建系，如图则()()()()()0,0,0,0,2,0,1,2,0,0,0,2,0,1,1A B D P E -设平面PAD 的法向量(),,,n x y z =则00n AP n AD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，得2020z x y =⎧⎨-=⎩，取()2,1,0n =，由（1）得()0,2,2PB =-是平面ACE 的法向量，且1010cos n PB ⋅=，∴平面PAD 与平面ACE 所成锐二面角的余弦值为1010.19 :解（1）依题意，2 2p p +-2=12，解之得p =1或p =4，22 2 8y x y x ∴==或.（2） 2, p <∴22y x =，A （2,2-）.设MN ：x my n =+，()11,M x y ，()22,N x y ，联立22,y x x my n⎧=⎨=+⎩得2220y my n --=，2480m n ∆=+>①且12122,2y y m y y n +==-，∴1222222AM AN k k y y --⋅=⋅=-∴()()12222y y --=-，即()1212260y y y y -++=，∴ 23n m +=适合①将32n =-m 代入x my n =+得()32x m y -=-∴直线MN 恒过定点Q （3，2）.又 AD ∴D 点在以为AQ 直径的圆上，其方程为2251724x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，所以存在E5,0,2使得172DE =.20.解：（1）甲队1，2，3号选手与乙队1，2，3号选手比赛获胜的概率分别为0.5,0.5,0.5，，甲队比赛3场获胜的概率为P =0.50.50.50.125.⨯⨯=（2）X 所以可能取得值为0,200,400,600,800.()300.5P x ==，()13332000.50.40.50.60.5P x C ==⨯⨯=⨯，()()132********.50.60.50.40.50.50.40.5 2.10.5P x C C ==⨯+⨯+⨯⨯⨯=⨯，()()3132333 6000.50.50.60.50.50.60.50.40.5P x C C ==+⨯⨯+⨯⨯+⨯33.40.5=⨯，()23338000.50.60.50.90.5P x C ==⨯⨯=⨯.即X 0200400600800P0.1250.0750.26250.4250.1125333 00.52000.60.5400 2.10.5EX ∴=⨯+⨯⨯+⨯⨯+33600 3.40.58000.90.5⨯⨯+⨯⨯=46521.（1）解：依题()2g x x'=+1，()1k g ∴='=3，()12g =则()y g x =在点()()1,1g 处的切线方程为()231y x -=-，310x y --=即.（2）令()()()()121xF x f x g x m x e lnx x =-=+---，则()()()21212(xx F x m x e x me x x =+--=+-'） (0).x >由()0F x '=，得1xme x =.0001x x me x =设满足.则当0(0,x x ∈）时，()00F x '<，0(,x x ∈+∞）时，()00F x '>，所以()min F x =()0F x =()0000121xm x e lnx x +---.又001x mex =且00ln ln m x x +=-，所以()0F x =00012lnx x x --.因为()()10,0,f x g f x e ⎛⎫>< ⎪⎝⎭指数函数的增长速度更快且与()()0,0g x F x ≥都是单调递增的所以.因为12y lnx x=-+-x -单调递减，且()10F =，001,x ∴<≤又001x m x e =，且函数1xy xe =单调递减，所以m >1e.22.解：（1）由22x t t y t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，消去t 得221:8C x y -=又曲线2C 是经过原点且倾斜角为3π的直线其直角坐标方程为y =.（2）设2(P t t +，2)t t-，则2P C 点到直线的距离())121122d t t=+≥当且仅当)1t =±时等号成立.23.证明：（1）1111(a b b c a b b c +=+----）()()1a b b c a c ⎡⎤-+-⎣⎦-12b c a b a b b c a c --⎛⎫=++ ⎪---⎝⎭又因为a b >>c >0， 0,0,0a b b c a c ∴->->->，∴1112a b b c a c ⎛+≥+ ---⎝=4a c -.（当且仅当bc a ba b b c--=--时，“=”成立）（2）因为222222a b c a b ca b a c b c b a c a c bb c c a a b b c c a a b a b c a b c a a b b c c a b c a b c------++++++=⋅⋅=⋅⋅=（)b ca ca b a b a b c c ---⎛⎫⎛⎫⋅⋅ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，因为a b >>0∴1ab>，0a b ->，∴（a b a b ->1同理1,b ca cb ac c --⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭>1，∴222a b c b c c a a b a b c a b c+++>1，故222a b c b c c a a b a b c a b c +++>.。
高三数学试卷理科一模
考试时间：120分钟满分：150分一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1. 函数f(x) = |x - 2| + 1的图像与x轴的交点个数为（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个2. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1 + a5 = 10，a3 + a7 = 20，则数列的公差d为（）A. 1B. 2C. 3D. 43. 若复数z满足|z - 1| = |z + 1|，则复数z在复平面内的轨迹是（）A. 线段ABB. 线段BCC. 线段CDD. 线段DA其中A(-1,0)，B(1,0)，C(0,1)，D(0,-1)4. 已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且a1 = 1，a1 + a2 + a3 = 9，则数列的公比q为（）A. 1B. 2C. 3D. 3/25. 若直线y = kx + 1与圆x^2 + y^2 = 1相切，则k的取值范围是（）A. (-√2,√2)B. (-√3, √3)C. (-√2, √2]D. (-√3, √3]6. 已知函数f(x) = x^3 - 3x + 1，则f(x)的图像关于点（1，-1）对称，则f(x)的零点个数为（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个7. 若向量a = (2, -3)，向量b = (1, 2)，则向量a与向量b的夹角θ的余弦值为（）A. 1/5B. 2/5C. 3/5D. 4/58. 若函数f(x) = x^2 - 4x + 3在区间[1, 3]上的最大值为2，则f(x)在区间[3, 5]上的最小值为（）A. 1B. 2C. 3D. 49. 已知数列{an}的通项公式为an = n^2 - 3n + 2，则数列{an}的前10项和S10为（）A. 210B. 220C. 230D. 24010. 若不等式x^2 - 2ax + a^2 < 0的解集为(0, 2)，则a的值为（）A. 1B. 2C. 3D. 4二、填空题（本大题共5小题，每小题10分，共50分）11. 若函数f(x) = ax^2 + bx + c在区间[0, 1]上单调递增，则a，b，c的符号分别为_________。
高考数学理科模拟试题(附答案)
高三年级第一次模拟考试数 学 试 题（理）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题，共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，将答案涂在答题卡上．．．．．．．．．。
1．复数23()1i i +-= （ ）A ．-3-4iB ．-3+4iC ．3-4iD ．3+4i2．已知条件:|1|2,:,p x q x a +>>⌝⌝条件且p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1a ≥ B ．1a ≤ C ．1a ≥- D ．3a ≤-3．函数()|2|ln f x x x =--在定义域内零点可能落在下列哪个区间内（ ）A ．（0，1）B ．（2，3）C ．（3，4）D ．（4，5） 4．如右图，是一程序框图，则输出结果为（ ）A ．49B ．511 C ．712 D ．613 5．已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若641241,4,S S S S S ==则 的值为（ ）A ．94B ．32C ．54D ．46．要得到函数()sin(2)3f x x π=+的导函数'()f x 的图象，只需将()f x 的图象（ ）A ．向左平移2π个单位，再把各点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）B ．向左平移2π个单位，再把各点的纵坐标缩短到原来的12倍（横坐标不变）C ．向右平移4π个单位，再把各点的纵坐标伸长到原来的12倍（横坐标不变）D ．向右平移4π个单位，再把各点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变） 7．过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一个焦点F 引它的渐近线的垂线，垂足为M ，延长FM 交y 轴于E ，若|FM|=2|ME|，则该双曲线的离心率为（ ）A ．3B ．2C ．3D ．28．如图所示的每个开关都有闭合与不闭合两种可能，因此5个开关共有25种可能，在这25种可能中电路从P 到Q 接通的情况有（ ）A ．30种B ．10种C ．24种D ．16种第Ⅱ卷（非选择题，共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，将答案填写在答题纸上。
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高三第一次模拟试卷
数学试卷（理科）
一、选择题
1.已知集合{}3,2,1,0,1-=A 。
{}
x y x B 3log 1|-==，则集合=B A （ ） A.{}2,1,0
B.{}2,1
C.{}3,2,1,0
D.{}3,2,1
2.已知复数i i
z 345+=（i 是虚数单位），则z 的虚部为（ ） A.
i 5
4
B.i 54-
C.54
D.5
4-
3.某产品广告宣传费与销售额的统计数据如下表，根据数据表的回归直线方程a x b y ˆˆˆ+=，其中2ˆ=b
，据此模型预测广告费用为9千元时，销售额为（ ） 广告宣传费x （千元） 2 3 4 5 6 销售额y （万元） 2 4 7
10
12
A.17万元
B.18万元
C.19万元
D.20万元
4.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若673=+a a ，则=9S （ ） A.15
B.18
C.27
D.39
5.定义在R 上的奇函数)(x f 满足)()2(x f x f =+，当)0,1(-∈x 时，x
e x
f -=)(，则=)2
9
(f （ ）
A.e
B.e -
C.
e 1 D.e
1- 6.已知n x
x )2
(3+的展开式的各项系数之和为243，则展开式中7
x 的系数为（ ） A.5
B.40
C.20
D.10
7.设变量y x ,满足约束条件⎪⎩
⎪
⎨⎧≤-+≥+≤--0
4200
2y x y x y x ，y x z 21-=的最大值为（ ）
A.6-
B.
2
3 C.
3
7 D.3
8.《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，书中有一问题：“今有方物一束，外周一匝有三十二枚，问积几何？”该著作中提出了一种解决方法：“重置二位，左位减八，余加右位，至尽虚减一，即得。
”通过对该题的研究发现，若一束方物外周一匝的枚数n 是8的整数倍时，均可采用此法求解。
右图是解决这类问题的程序框图，若输入24=n ，则输出的结果为（ ） A.23 B.47 C.24 D.48
9.若函数)0(12cos )42(
sin sin 4)(2>-++⋅=ωωπ
ωωx x x x f 在]3
2,2[π
π-上是增函数，
则ω的取值范围是（ ） A.)1,0[ B.),4
3[+∞
C.),1[+∞
D.]4
3,0(
10.双曲线)0,0(122
22>>=-b a b
y a x 的左右焦点分别为21,F F ，过2F 作倾斜角为60°的直线与y 轴
和双曲线的左支分别交于点A ，B ，若)(2OF OB OA +=，则双曲线的离心率是（ ） A.3
B.2
C.32+
D.5
11.已知函数)(x f y =对任意),0(π∈x 满足x x f x x f cos )(sin )(>'（)(x f '为)(x f 的导函数），则下列不等式成立的是（ ）
A.)6(2)4(ππf f <
B.)6(2)4(ππf f >
C.)4(2)6(ππf f >
D.)4
(2)6(π
πf f < 12.已知)32()(23b a d cx bx ax x f <+++=在R 上是单调递增函数，则a
b c
32-的最小值是（ ）
A.1
B.2
C.3
D.4
二、填空题
13.若非零向量b a ,=，0)2=⋅-a b ，则a 与b 的夹角为________________- 14.在△ABC 中，角A,B,C 的对边分别为a,b,c ，若13360==︒=b a B ，，，则c 的值为________________________
15.已知)0,2(F 为椭圆)0(122
22>>=+b a b y a x 的右焦点，过F 且垂直于x 轴的弦长为 6.若
)2,2(-A ，点M 为椭圆上一点，则MF MA +的最大值为_______________
16.如图一张矩形白纸ABCD ，210,10==AD AB ，E,F 分别为AD ，BC 的中点，现分别将△ABE ，
△CDF 沿BE ，DF 折起，且A ，C 在平面BFDE 同侧。
下列命题正确的是__________________-
①当平面ABE ∥平面CDF 时，AC ∥平面BFDE ； ②当平面ABE ∥平面CDF 时，AE ∥CD ； ③当A ，C 重合于P 点时，PG ⊥PD ；
④当A ，C 重合于P 点，时，三棱锥P -DEF 的外接球的表面积为π150。
三、解答题
17.已知各项均为正数的等比数列{}n a ，满足3
2112111a a a a =-=，。
（1）求等比数列{}n a 的通项公式；
（2）若数列{}n b 满足12log +=n n a b ，求数列{}n a 的前n 项和n T .
18.如图，在三棱柱ABC -DEF 中，AE 与BD 相交于点O ，C 在平面ABED 内的射影为O ，G 为CF 的中点。
（1）求证：平面ABED ⊥平面GED ；
（2）若AB=BD=BE=EF=2，求二面角A -CE -B 的余弦值。
19.某高中学校对全体学生进行体育达标测试，每人测试A ，B 两个项目，每个项目满分均为60分。
从全体学生中随机抽取100人，分别统计他们A ，B 两个项目的测试成绩，得到A 项目测试成绩的频率分布直方图和B 项目测试成绩的频数分布表如下：
将学生成绩划分为三个等级如图。
（1）在抽取的100人中，求A 项目等级为优秀的人数；
（2）已知A 项目等级为优秀的学生中女生有14人，A 项目等级为一般或良好的学生有34人。
试完成下列2×2列联表，并分析是否有95%以上的把握认为“A 项目等级为优秀”与性别有关？
（3）将样本的频率作为总体的概率，并假设A 项目和B 项目测试成绩互不影响，现从该校学生中随机抽取1人进行调查，试估计棋A 项目等级比B 项目等级高的概率。
20.已知抛物线)0(22
>=p py x 和圆)0(2
2
2
>=+r r y x 的公共弦过抛物线的焦点F ，且弦长为4. （1）求抛物线和圆的方程；
（2）过点F 的直线l 与抛物线相交于A 、B 两点，抛物线在点A 处的切线与x 轴的交点为M ，求△ABM 面积的最小值。
21.已知
)(ln 2
1)(2
R a x a x x f ∈-=
有两个零点。
（1）求a 的取值范围；
（2）设21,x x 是)(x f 的两个零点，求证：a x x 221>+。
22.[选修4-4：坐标系与参数方程]已知直线l 的参数方程为)(2
22122
21为参数t t y t
x ⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧-=+=，椭圆C 的参数方程为)(sin cos 2为参数ααα
⎩
⎨⎧==y x 。
在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴
建立极坐标系，点A 的极坐标为）
，（3
2π。
（1）求椭圆C 的直角坐标方程和点A 在直角坐标系下的坐标；
（2）直线l 与椭圆C 交于P ，Q 两点，求△APQ 的面积。
23.[选修4-5：不等式选讲]已知函数0,12)(≤---=a a x x x f （1）当0=a 时，求不等式1)(<x f 的解集； （2）若)(x f 的图象与x 轴围成的三角形面积大于2
3
，求a 的取值范围。