高二数学下册期中测试试题1

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高二数学下学期期中考试试卷含答案(共5套,word版)

高二下学期数学期中考试试卷时量：120分钟总分：150分一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 设全集R I =，集合}1|{},3,log |{A 3-==>==x y x B x x y y ，则（）A ．B A ⊆ B ．A B A =⋃C ．φ=⋂B AD ．φ≠⋂)(B C A I 2.已知i 是虚数单位，复数z 满足i z i 2)1(=-，则z 的虚部是（） A ．1 B ．i C ．－1 D ．－i3. 函数x x f 3log )(=的图象与函数()sin g x x π=的图象的交点个数是( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．54. 若向量,a b 的夹角为32π，且1||,2||==b a ，则向量b a 2+与向量a 的夹角为（） A ．6π B ．3π C. 23π D ．56π5. 已知0a >，0b >，若不等式313ma b a b+≥+恒成立，则m 的最大值为（）A ．9B ．12C ．18D ．246.已知21)4tan(=-πα，且0<<-απ，则αα2sin 22sin +等于（）A ．B ．25-C ．25D ．5127.已知直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1，AB ⊥BC ，AB=BC=AA 1=2，若该三棱柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（）A ．π48B ．π32C ．π12D ．π8 8. 已知定义在R 上的函数()21x mf x -=- （m 为实数）为偶函数，记)3(log 5.0f a =,),2(),5(log 2m f c f b ==则,,a b c 的大小关系为（）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．c b a <<9.直线02=++y x 分别与轴轴，y x 交于B A ,两点，点P 在圆2)2(22=+-y x 上，则ABP ∆面积的取值范围是（）A ．]6,2[B ．]8,4[ C. ]23,2[ D ．]23,22[ 10. 执行如图所示的程序框图，则输出的k 值为（） A ．4B ．5C ．7D ．911.已知函数)(x f 是定义在R 上的偶函数，设函数)(x f 的导数为)(x f '，若对任意的0>x 都有0)()(2>'+x f x x f 成立，则（）A ．)3(9)2(4f f <-B ． )3(9)2(4f f >-C ．)2(3)3(2->f fD ．)2(2)3(3-<-f f12.设双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x C ，：的左、右焦点分别为1F 、2F 。

天津市滨海新区塘沽第一中学2021-2022学年高二下学期期中考试数学试题

塘沽一中2021-2022学年度第二学期高二年级期中考试数学学科试题第I 卷（60分）一．选择题（共12题，每小题5分）1．已知集合A ={x |-1<x ≤2}，B ={-2，-1，0，2，4}，则(C R A ) B =()A ．∅B ．{-1，2}C ．{-2，4}D ．{-2，-1，4}2．设x ∈R ，则“x 2<4”是“x2>1”的()A ．充分不必要条件C ．充要条件B ．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件6的展开式中的常数项为3．二项式(x -()A ．9B ．12D ．18C ．154．若a >b >0，则下列不等式一定成立的是()A ．b a a B b>．11b b a a +>C ．a -b 1>b -a1D +>5．已知函数y =f (x )(x ∈R )的图象如图所示，则不等式xf '(x )<0的解集为()A ．(-∞,0) (31,2)C ．(-∞,31) (2,+∞)B ．(-∞,31 (31,2)D ．(-1，0) (1，3)6．第24届冬奥会奥运村有智能餐厅A 、人工餐厅B ，运动员甲第一天随机地选择一餐厅用餐，如果第一天去A 餐厅，那么第二天去A 餐厅的概率为0.7；如果第一天去B 餐厅，那么第二天去A 餐厅的概率为0.8．运动员甲第二天去A 餐厅用餐的概率为(A ．0.75)C ．0.5B ．0.76D ．0.387．为研究某种细菌在特定环境下，随时间变化的繁殖情况，得到如下实验数据：()天数x （天)3456繁殖个数y （千个）2.5344.5由最小二乘法得y 与x 的线性回归方程为yˆ=0.7x +a ˆ，则当x =7时，繁殖个数y 的预测值为()A ．4.9B ．5.25C ．5.95D ．6.15π2,0]上的极小值是8．函数f (x )=-x -2cos x 在区间[-()A ．0B ．6πC ．56πD ．π9．《长津湖》和《我和我的父辈》都是2021年国庆档的热门电影．某电影院的某放映厅在国庆节的白天可以放映6场，晚上可以放映4场电影．这两部影片只各放映一次，且两部电影不能连续放映（白天最后一场和晚上第一场视为不连续），也不能都在白天放映，则放映这两部电影不同的安排方式共有()A ．30种B ．54种C ．60种D ．64种10．下列说法正确的个数是()①两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数r 的绝对值越接近于1；②随机变量X 服从二项分布B (6,21)，则P (X =1)=136；③命题“∀x ≥1，x 2+3≥4”的否定是“∃x <1，x 2+3<4”；④在一个2⨯2列联表中，由计算得，依据α=0.010的独立性检验认为这两个变量间有关系；本题可参考独立性检验临界值表：α0.0500.0250.0100.0013.84x α15.0246.63510.828A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个11．关于x 的不等式x 2-(a +1)x +a <0的解集中恰有三个整数解，则a 的取值范围是()B ．(-3，-2)⋃(4，5)D ．[-3，-2)⋃(4，5A ．(4,5)C ．(4，5]]12．已知函数g (x )=lnx +43x -41x -1，f (x )=x 2-2tx +4，若对任意的x 1∈(0,2)存在x 2∈[1，2]，使f (x 2)，则实数t 的取值范围是g (x 1) ()A ．[2,17]B ．[187，+∞8)C ．[141，+∞)D ．[23，+∞2)第II 卷（共90分）二．填空题（共8题，每题5分）13．随机变量ξ~N (110,σ2)，若P (100≤ξ≤110)=0.35，则P (ξ≥120)=．14．位移s （单位：m )与时间t （单位：s )之间满足函数关系式s =5t 2，则当t =3s 时的瞬时速度为m /s ．15．已知袋子内有7个球，其中4个红球，3个白球，从中不放回地依次抽取2个球，那么在已知第一次抽到红球的条件下，第二次也抽到红球的概率是．16．已知函数f (x )=x 3+ax 2-ax 在R 上单调递增，则实数a 的取值范围是．17．在(ax -x1)n 的展开式中，只有第6项的二项式系数最大，则n =；并且所有项的系数之和为0，则含x 6的项的系数为（用数字作答）．18．某校有甲、乙、丙、丁四名学生参加北大、清华、浙大3所大学自主招生考试，每人限报一所学校，种不同的报考方法；若甲不报考北大，则共有每所大学至少有1人报考，则共有方法.（用数字作答种不同的报考）19．已知a >0，b >0，且a +b =1，则：①当且仅当a =2时，1a b+取得最小值；②(b +b1)的1a 最小值是．,0x ln 1)e x ,x x x ⎧20.已知函数f (x )=⎨⎪+(≤>⎪，若函数g (x )=f (x )-a 的零点有两个或三个，则实数a 的取值范⎩x围为．三．解答题（共4小题）21．（12分）已知箱中装有2个白球,1个红球和3个黑球，现从该箱中任取（无放回，且每球取到的机会均等）3个球，（1）求取出的三个球的颜色互不相同的概率；（2）记随机变量X 为取出3球中白球的个数，求X 的分布列及期望．22．（12分）已知函数f (x )=e x (x 2+a )(a ∈R )．（1）当a =-8时，求函数f (x )的单调区间和极值；（12）若对于∀x ∈,2⎤⎡⎢⎦⎥，都有不等⎣2式(x x f )-2ln x ≥0恒成立，求实数a 的取值范围e ．23．（13分）在一次国际大型体育运动会上，某运动员报名参加了其中3个项目的比赛．已知该运动员在2这3个项目中，每个项目能打破世界纪录的概率都是（1）求该运动员至少能打破2项世界纪录的概率，那么在本次运动会上3：；（2）若该运动员能打破世界纪录的项目数为X ，求X 的分布列及期望．2-klnx )+n [e x +1(41e x +1-ax +a -1)]，其中e =2.718⋯是自然对数的底数，f '(x )24．已知函数f (x )=m (x 2是函数f (x )的导数．（Ⅰ）若m =1，n =0，（ⅰ）当k =1时，求曲线f (x )在x =1处的切线方程．（ⅱ）当k >0时，判断函数f (x )在区间(1上零点的个数．7（Ⅱ）若m =0，n =1，当a 8=时，求证：若x 1≠x 2，且x 1+x 2=-2，则f (x 1)+f (x 2)>2．塘沽一中2021-2022学年度第二学期高二年级期中考试数学学科试题参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．题号（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）（11）（12）答案DBCDAABBBADB二、填空题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．题号（13）（14）（15）（16）（17）（18）（19）（20）答案0.153012[]3,0-10；4536；121[e -，1]e三．解答题（共4小题，共50分）21．解答：（1）设取出的三个球的颜色互不相同的事件为M ．1112133663()2010C C C P M C ∴===（1）由题意得X 取0，1，2，且03243641(0)205C C P X C ===，122436123(1)=205C C P X C ⋅===，21243641(2)=205C C P X C ⋅===．所以X 的分布列为X 012P1535151310121555EX ∴=⨯+⨯+⨯=22．解答：（1）当8a =-时，2()(8)x f x e x =-，x R∈∴2()(8)2(4)(2)x x x f x e x xe e x x '=-+=+-，令()0f x '=得，124,2x x =-=,(),()x f x f x '∴的变化如下表：x (,4)-∞--4(4,2)-2(2,)+∞()f x '+0-0+()f x 增函数极大值减函数极小值增函数()f x ∴的增区间为：(,4)-∞-，(2,)+∞；减区间为：(4,2)-42()(4)8,()(2)4f x f e f x f e -∴=-===-极大值极小值（2）()2ln 0xf x x e -≥22ln 0x a x ∴+-≥令2()2ln ,(0,)h x x a x x =+-∈+∞22222(1)(1)()2x x x h x x x x x -+-'∴=-==()01h x x '=⇒=所以(0,1)x ∈时，()0h x '<，()h x 单调递减；(1,)x ∈+∞时，()0h x '>，()h x 单调递增．min ()(1)10h x h a ∴==+≥恒成立所以1a ≥-．23解答：（1）设该运动员打破世界纪录的项目数为随机变量ξ，该运动员至少能打破2项世界纪录为事件A ，每个项目能打破世界纪录的概率都是23，且相互独立，则ξ服从二项分布，则P （A ）223321220(2)(3)()()(33327P P C ξξ==+==+=．（2）该运动员能打破世界纪录的项目数为X ，X 的所有可能取值为0，1，2，3，2~(3,3X B ，3321()()(33k k k P X k C -==，0k =，1，2，3，故X 的分布列为：X 0123P1272949827故2()323E X =⨯=．24．（Ⅰ）解答：（ⅰ）当1m =，0n =，1k =时，2()2x f x lnx =-，则f （1）12=，1()f x x x'=-，所以f '（1）0=，故切点坐标为1(1,)2，切线的斜率为0，故切线方程为12y =；()ii 由2()(0)2x f x klnx k =->可得，2()k x kf x x x x-'=-=，令()0f x '=，解得x k =当0x k <<时，()0f x '<，则()f x 单调递减，当x k >时，()0f x '>，则()f x 单调递增，所以当x k =()f x 取得极小值即最小值(1)(2k lnk f k -=，①当0k e <<时，()f x 无零点；②当k e =时，()f x 在区间(1，e 上单调递减，且(0f e =，所以x e =()f x 在(0e 上的唯一零点；③当k e >时，()f x 在区间)e 上单调递减，且又f （1）102=>，()02e kf e -=<，所以()f x 在区间(1e 上仅有一个零点．综上所述，当0k e <<时，()f x 在区间(1]e 上无零点；当k e时，()f x 在区间(1]e 上仅有一个零点；（Ⅱ）证明：当0m =，1n =，当78a =时，1111171173()()[(1)]488484x x x x f x e e x e e x ++++=--=-++，令1x t +=，120t t +=，不妨设110t x =+>，173()()484t t h t e e t =-+，令171171()((288288t t t t H t e e t e e --=---+-171()()()()288t t t t t t t t e e e e t e e e e ----=+--+--711()[()]()[()2]08216t t t t t t t t e e e e t e e e e ----=+--+-+- ，其中11[()]()1022t t t t e e t e e ----'=+- ，因为(0)2H =，所以当0t >时，()2H t >，故若12x x ≠，且122x x +=-，则12()()2f x f x +>．。

山东省济宁市第一中学2022-2023学年高二下学期期中考试数学试题

山东省济宁市第一中学2022-2023学年高二下学期期中考
试数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．在两个变量
4个不同的模型，它们的样本相关系Y与X的回归模型中，分别选择了
数r如表所示，其中线性相关性最强的模型是（）
二、多选题
9．已知()727012712x a a x a x a x -=+++×××+，则（）
A ．01
a =B ．7
2
2a =
三、填空题
13．曲线()ln
x=处的切线的方程为______.
=在1
f x x x
14．如图，用6种不同颜色对图中A，B，C，D四个区域染色，要求同一区域染同一
色，相邻区域不能染同一色，允许同一颜色可以染不同区域，则不同的染色方案有________种．
15．随机变量X 服从正态分布()
24,X N s ～，若()0.540.38P X ££=，则
()7.5P X ³=________．
16．已知,A B 两个不透明的盒中各有形状､大小都相同的红球､白球若干个，A 盒中有
(08)m m <<个红球与8m -个白球，B 盒中有8m -个红球与m 个白球，若从,A B 两盒
中各取1个球，x 表示所取的2个球中红球的个数，则()D x 的最大值为__________．
19．某种鱼苗育种基地，饲养员每隔两天观察并统计育种池内鱼苗的尾数，统计结果如下表：。

2023-2024学年浙江省宁波市高二下学期期中数学试题(含答案)

2023-2024学年浙江省宁波市高二下册期中数学试题一、单选题1．已知集合{}2N 340A x x x =∈--<，{}N 12B x x =∈-<≤，则A B = （）A ．{}0,1,2B ．{}0,1,2,3C ．∅D ．()1,2-【正确答案】A【分析】计算{}0,1,2,3A =，{}0,1,2B =，再计算交集得到答案.【详解】{}{}{}2N 340N 140,1,2,3A x x x x x =∈--<=∈-<<=，{}{}N 120,1,2B x x =∈-<≤=，故{}0,1,2A B = .故选：A2．设,R x y ∈，则“x y <”是()2“0x y x -⋅<”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【正确答案】B【分析】根据给定条件，利用充分条件、必要条件的定义直接判断作答.【详解】x ，R y ∈，若0,0x y =>满足x y <，则()20x y x -⋅=，即()20x y x -⋅<不成立；若()20x y x -⋅<，即有0x ≠，必有20x >，从而得0x y -<，即x y <成立，所以x y <是()20x y x -⋅<成立的必要不充分条件.故选：B3．已知随机变量()2~20,2X N ，则(16)P X <=（）(附：若()2~,X N μσ，则()0.6827P μσξμσ-≤≤+≈，()220.9545P μσξμσ-≤≤+≈)A ．0.02275B ．0.1588C ．0.15865D ．0.34135【正确答案】A【分析】根据题意结合正态分布的对称性运算求解.【详解】由题意可得：20,2μσ==，则()16240.9545P ξ≤≤≈，所以()1(16)1160.02274522P X P ξ≤≤≈<=-⎡⎤⎣⎦.故选：A.4．如表为某商家1月份至6月份的盈利y （万元）与时间x （月份）的关系，其中123 6.5t t t ++=，其对应的回归方程为 0.7y x a=+，则下列说法正确的是（）x123456y0.31t 2.22t 3t 4.5A ．y 与x 负相关B ． 0.2a=C ．回归直线可能不经过点()3.5,2.25D ．2023年10月份的盈利y 大约为6.8万元【正确答案】D【分析】0.70>，y 与x 正相关，A 错误，计算中心点带入计算得到B 错误，回归直线一定经过中心点，C 错误，带入数据计算得到D 正确，得到答案.【详解】对选项A ：回归方程为 0.7y x a=+，0.70>，y 与x 正相关，错误；对选项B ：1234563.56x +++++==，1235 0.3 2.2 2.64.25y t t t +==++++，故 2.250.7 3.5a=⨯+，解得0.2a =-，错误；对选项C ：回归直线一定经过点()3.5,2.25，错误；对选项D ： 0.70.2y x =-，当10x =时， 6.8y =，正确.故选：D5．函数21()|1|21f x x x x =---+的部分图像大致是（）A ．B ．C ．D ．【正确答案】C【分析】分析函数的定义域排除A ，利用()()11f x f x +=-判断函数对称性排除D ，再代入特殊点，计算(0)0f =，排除B.【详解】由函数解析式可得，函数()21()|1|1f x x x =---，定义域为()(),11,x ∈-∞+∞ ，所以排除A ；因为()2211(1)|11|11f x x x x x -=---=---，()()2211(1)|11|111f x x x f x x x +=+---=-+-所以函数图像关于直线1x =对称，故排除AD ；又因为()21(0)|01|001f =--=-，所以排除B.故选：C6．我们把各个数位上的数字之和为8的三位数称为“幸运数”，例如“170，332，800”都是“幸运数”.问“幸运数”的个数共有（）A ．35个B ．36个C ．37个D ．38个【正确答案】B【分析】按照首位数字为18 进行分类，相加得到答案.【详解】当首位数字为1时，后两位相加为7，共有8种；当首位数字为2时，后两位相加为6，共有7种；当首位数字为3时，后两位相加为5，共有6种；当首位数字为4时，后两位相加为4，共有5种；当首位数字为5时，后两位相加为3，共有4种；当首位数字为6时，后两位相加为2，共有3种；当首位数字为7时，后两位相加为1，共有2种；当首位数字为8时，后两位相加为0，共有1种；故共有1234567836+++++++=个数.故选：B7．已知随机变量ξ满足(0)1P p ξ==-，(1)P p ξ==，其中01p <<.令随机变量|()|E ηξξ=-，则（）A ．()()E E ηξ>B ．()()E E ηξ<C ．()()D D ηξ>D ．()()D D ηξ<【正确答案】D【分析】根据题意,列表求得随机变量ξ及η的分布列,可知均为两点分布.由两点分布的均值及方差表示出()(),E D ξξ和()E η()D η,根据01p <<比较大小即可得解.【详解】随机变量ξ满足(0)1P p ξ==-,(1)P p ξ==,其中01p <<.则随机变量ξ的分布列为:ξ1P1p-p所以()()(),1E p D p p ξξ==-随机变量|()|E ηξξ=-,所以当0ξ=时,()E p ηξξ=-=,当1ξ=时,()1E pηξξ=-=-所以随机变量|()|E ηξξ=-的分布列如下表所示(当0.5p =时,η只有一个情况,概率为1):ηp1p-P1p-p则()()()()1121E p p p p p pη=-+-=-()()()()22211121D p p p p p p p pη=--⋅-+---⋅⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()2121p p p =--当()()E E ξη=即()21p p p =-,解得12p =.所以A 、B 错误.()()D D ξη-()()()21121p p p p p =----()22410p p =->恒成立.所以C 错误,D 正确故选:D本题考查了随机变量的分布列,两点分布的特征及均值和方差求法,属于中档题.8．设()f x 是定义在D 上的函数，如果12,x x D ∀∈，当12x x <时，都有12()()f x f x ³，则称()f x 为D 上的“非严格递减函数”，已知集合12345{,,,,}A a a a a a =，其中12345a a a a a <<<<，集合*110{N |C 45}n B n +=∈≥，则满足定义域是A ，值域是B 的子集的非严格递减函数有（）个A ．56B ．126C ．252D ．462【正确答案】D【分析】计算17n ≤≤得到1,2,3,4,57{},6,B =，转化为1234511()4()3()2()1()1f a f a f a f a f a ≥+>+>+>+>>，计算得到答案.【详解】281010C C 45==，110C 45n +≥，故218n ≤+≤，17n ≤≤，故集合1,2,3,4,57{},6,B =，由12345a a a a a <<<<，则123457()()()()()1f a f a f a f a f a ≥≥≥≥≥≥，即有1234511()4()3()2()1()1f a f a f a f a f a ≥+>+>+>+>≥，则共有511C 462=个函数，故选：D.二、多选题9．下列命题正确的是（）A ．命题“存在0x >，使得不等式210x x ++<成立”的否定是“任意0x ≤，都有不等式210x x ++≥成立”.B ．若事件A 与B 相互独立，且()01P A <<，()01P B <<，则()()P A B P A =.C ．已知24a b <+<，02a b <-<，则3311a b <+<.D ．在回归分析中，对一组给定的样本数据1122(,),(,),,(,)n n x y x y x y 而言，若残差平方和越大，则模型的拟合效果越差；反之，则模型的拟合效果越好.【正确答案】BD【分析】对于A ：根据特称命题的否定分析判断；对于B ：根据独立事件的概率乘法公式结合条件概率公式分析运算；对于C ：以,a b a b +-为整体表示3a b +，结合不等式的性质分析运算；对于D ：根据残差的定义分析判断.【详解】对于A ：“存在0x >，使得不等式210x x ++<成立”的否定是“任意0x >，都有不等式210x x ++≥成立”，故A 错误；对于B ：由条件概率可知：()()()P AB P A B P B =，∵事件A 与B 相互独立，则()()()P AB P A P B =⋅，∴()()()()()()()P AB P A P B P A B P A P B P B ⋅===，故B 正确；对于C ：∵()()32a b a b a b +=++-，由24a b <+<，02a b <-<，可得()428a b <+<，∴4310a b <+<，故C 错误；对于D ：根据残差的定义可知：残差平方和越大，则模型的拟合效果越差；反之，则模型的拟合效果越好，故D 正确；故选：BD.10．已知关于x 的函数：2()21f x ax ax =-+，其中a ∈R ，则下列说法中正确的是（）A ．当1a =时，不等式()4f x >的解集是(1,3)-.B ．若不等式()0f x ≤的解集为空集，则实数a 的取值范围为(0,1).C ．若方程()0f x =的两个不相等的实数根都在()0,2内，则实数a 的取值范围为()1,+∞.D ．若方程()0f x =有一正一负两个实根，则实数a 的取值范围为(),0∞-.【正确答案】CD【分析】对于A ：解一元二次不等式即可；对于B ：分析可得原题意等价于2210ax ax -+>恒成立，结合恒成立问题运算求解；对于C 、D ：整理可得212x x a-=-，根据题意结合图象分析运算.【详解】对于A ：当1a =时，不等式2()214f x x x =-+>，即2230x x -->，解得3x >或1x <-，即不等式()4f x >的解集是()(),13,-∞-⋃+∞，故A 错误；对于B ：若不等式()0f x ≤的解集为空集，等价于2210ax ax -+>恒成立，当0a =时，则10>恒成立，符合题意；当0a ≠时，则2Δ440a a a >⎧⎨=-<⎩，解得01a <<；综上所述：实数a 的取值范围为[)0,1，故B 错误；若方程2()210f x ax ax =-+=有根，则有：当0a =时，则10=不成立，不符合题意；当0a ≠时，则212x x a -=-，即22y x x =-与1=-y a有交点，结合图象，对于C ：若方程()0f x =的两个不相等的实数都在()0,2内，则22y x x =-与1=-y a有交点横坐标均在()0,2内，可得110a-<-<，解得1a >，所以实数a 的取值范围为(1,)+∞，故C 正确；对于D ：若方程()0f x =有一正一负两个实根，则22y x x =-与1=-y a有交点横坐标一个为正数一个为负数，可得10a->，解得a<0，所以实数a 的取值范围为(),0∞-，故D 正确；故选：CD.11．已知正数x 、y ，满足2x y +=，则下列说法正确的是（）A ．xy 的最大值为1.B 的最大值为2.C ．21x y+的最小值为3.D ．2211x y x y +++的最小值为1.【正确答案】ABD【分析】对于AB ，利用基本不等式及其推论即可判断；对于CD ，利用换元法与基本不等式“1”的妙用即可判断.【详解】对于A ，因为0,0,2x y x y >>+=，所以2x y =+≥1xy ≤，当且仅当x y =且2x y +=，即1x y ==时，等号成立，所以xy 的最大值为1，故A 正确；对于B ，因为()2222222()2()0a b a b a b ab a b +-+=+-=-≥，所以()222()2a b a b +≤+，当且仅当a b =时，等号成立，所以()222224x y ⎡⎤≤+=+=⎣⎦2≤，=且2x y +=，即1x y ==时，等号成立，2，故B 正确；对于C ，211213()313222212y x x y x y y y x x ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=++≥+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭当且仅当2y xx y=且2x y +=，即42x y =-=-时等号成立，所以21x y +的最小值为32，故C 错误；对于D ，令1s x =+，1t y =+，则1x s =-，1y t =-，24s t x y +=++=，0,0s t >>，所以()()22221111112211s t x y s t x y s t s t s --+=+=-++-+=+++()11111221444ts s t s t s t ⎛⎛⎫⎛⎫=++=++≥+= ⎪⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝，当且仅当s t =且4s t +=，即2s t ==，即1x y ==时，等号成立，所以2211x y x y +++的最小值为1，故D 正确.故选：ABD.12．已知()f x 为非常值函数，若对任意实数x ，y 均有()()()()()1f x f y f x y f x f y ++=+⋅，且当0x >时，()0f x >，则下列说法正确的有（）A ．()f x 为奇函数B ．()f x 是()0,∞+上的增函数C ．()1f x <D ．()f x 是周期函数【正确答案】ABC【分析】令0x y ==，代入()()()()()1f x f y f x y f x f y ++=+⋅，即可得到()0f 再由()00f =，分别应用函数的奇偶性，单调性，值域和周期性判断A,B,C,D 选项即可【详解】对于A:由题意()()()()()1f x f y f x y f x f y ++=+⋅，令0x y ==，()()()202100f f f =+,解得：()00f =或()01f =±当()01f =时，令0y =，则()()()()()()()1==11100f x f f x f x f x f f x ++=+⋅+恒成立，又已知()f x 为非常值函数故舍去，当()01f =-时，令0y =，则()()()()()()()1==11100f x f f x f x f x f f x +-=-+⋅-恒成立，又已知()f x 为非常值函数故舍去，∴()00f =，令y x =-，则()()()()()=010f x f f f x f x x -+⋅-+=，所以()()=0f x f x +-，即()()=f x f x --，所以()f x 为奇函数，故A 正确；对于C ：令2x x y ==，()2222112222x x f f f f x x x x f f x f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭==⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⋅+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，因为212,22x x f f ⎛⎫⎛⎫+≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭若12x f ⎛⎫= ⎪⎝⎭,则()222112x f f x x f ⎛⎫⎪⎝⎭==⎛⎫+ ⎪⎝⎭,又()f x 为非常值函数故舍去，所以12x f ⎛⎫≠ ⎪⎝⎭，所以212,22x x f f ⎛⎫⎛⎫+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以()222112x f f x x f ⎛⎫ ⎪⎝⎭=<⎛⎫+ ⎪⎝⎭,故C 正确:对于B:设任意的12,R x x ∈且120x x <<令21,x x y x ==-所以()()()()()2121211f x f x f x x x x f f +-+⋅--=，又因为()f x 为奇函数，所以()()()()()1122121f x f x f x x f x x f --=-⋅，()()121,1,f x f x <<()()()()11221,10x f x f f x f x ⋅<-⋅>又因为当0x >时，()0f x >，所以()()210,0f x f x >>，210x x ->，()()()()()21212101f x f x f x x f x f x --=>-⋅,即()()21f x f x >，所以()f x 是()0,∞+上的增函数,故B 正确;对于D:因为()f x 是()0,∞+上的增函数,又因为()f x 为奇函数且()00f =,所以()f x 是(),-∞+∞上的增函数,故()f x 不是周期函数,故D 错误.故选:ABC.三、填空题13．已知条件:11p k x k -<<+，3:21x q x -≥+，p 是q 的充分条件，则实数k 的取值范围是_______.【正确答案】[]4,2--【分析】先根据分式不等式求出q ，设条件p 对应的集合为A ，条件q 对应的集合为B ，由p 是q 的充分条件，可得A B ⊆，进而可得出答案.【详解】由321x x -≥+，得501x x +≤+，解得51x -≤<-，设{}{}11,51A x k x k B x x =-<<+=-≤<-，因为p 是q 的充分条件，所以A B ⊆，所以1511k k -≥-⎧⎨+≤-⎩，解得42k -≤≤-，所以实数k 的取值范围是[]4,2--.故答案为.[]4,2--14．已知：8290129(2)(1)(1)(1)x x a a x a x a x -=+-+-++- ，则4a =______.【正确答案】14【分析】变换()()()8881211(11)x x x x x =----+--，再利用二项式定理得到()()3434488C 1C 1a =-+-，计算得到答案.【详解】()()()()()888811111111)1(2x x x x x x x =-+--=---+---，()811x --展开式的通项为()()818C 11rrrr T x -+=--，()()3434488C 1C 1567014a =-+-=-+=.故1415．若函数2(2)3,14(),142,4a x a x f x x x x ax x -+≤⎧⎪⎪<≤⎨⎪-+>⎪⎩是R 上的单调函数，则实数a 的取值范围为_______．【正确答案】17(2,]8【详解】因为()22,4f x x ax x =-+>，是开口向下的二次函数，故只能是在4x >上单减，故要求整个函数在R 上都是减的，每一段都是减的，则要求20,17234281816a a a a a -<⎧⎪-+≥⇒<≤⎨⎪≥-⎩，故答案为172,8⎛⎤⎥⎝⎦．点睛：这个题目考查了，已知分段函数的单调性求参的问题，一般这类题目要满足两个条件，一是分段函数每一段都是单调的，且要求在定义域上函数是上台阶或下台阶的，即每段的连接点处必须是连接起来的或者都是向下或向上的趋势，不能错位．16．将1，2，3，……，9，10这10个整数分别填入图中10个空格中，样本空间Ω为满足“每一行的最大数比上一行的最大数要大”的所有样本点构成的集合，事件A 为“第四行有一个数字是1”，事件B 为“第三行有一个数字是2”，则在事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率为_______.【正确答案】310/0.3【分析】利用排列组合的性质和条件概率公式即可求解.【详解】假设每一行数字由小到大排列（最后再乘每一行的排列数），那么当每一行最后一个数字给定，只需挑出每一行的前几个数字即可，且10在第四行第4个数.当1在第四行时，第四行前3个数字选法28C ，第三行前2个数字选法25C ，第二行第1个数字选法12C .当1在第四行，2在第三行时，第四行前3个数字选法27C ，第三行前2个数字选法14C ，第二行第1个数字选法12C .所以2114321742432122143218524321C C C A A A A ()3(|)()C C C A A A A 10P AB P B A P A ⨯⨯⨯⨯⨯⨯===⨯⨯⨯⨯⨯⨯，故答案为.310四、解答题17．在21nx ⎛⎫+ ⎪⎝⎭（n 为正整数）二项展开式中，若012C C C C 64nn n n n ++++= ，求：(1)展开式中所有项的系数之和；(2)展开式中含21x 的项的系数.【正确答案】(1)729(2)240【分析】（1）根据题意结合二项式系数的性质求得=6n ，再令1x =，求所有项的系数之和；（2）利用二项展开式的通项公式运算求解.【详解】（1）由题意可得0122=C C C C 64n n n n n n ++++= ，可得=6n ，故二项式为621x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，令1x =，可得661237291⎛⎫+== ⎪⎝⎭，所以展开式中所有项的系数之和为729.（2）设621x ⎛⎫ ⎪⎝⎭的通项为(6521662661C 2C rr rrr r rT x x -+--⎛⎫⋅==⋅ ⎪⎝⎭，令6522r -=-时，则2r =，此时2236422C 240T x x --⋅=⋅=，故展开式中含21x 的项的系数为240.18．为助力乡村振兴，某电商平台为某地的农副特色产品开设直播带货专场，得到天数与直播间人数的数据如下表所示：日期第一天第二天第三天第四天第五天第六天第七天日期代码x 1234567直播间人数y （万人）4122123252728(1)求直播间人数y 和与日期代码x 的样本相关系数（精确到0.01）；(2)若使用ln y c d x =+作为y 关于x 的回归方程模型，计算该回归方程（结果保留1位小数），并预测至少要到哪一天直播间人数可以超过30万人.参考公式和数据：相关系数ni ix y nx yr -⋅=∑，其中711ln ,7i i i i u x u u ===∑，回归直线方程ˆˆˆybx a =+中，1221ˆˆˆ,ni ii nii x y n x yb a y b xxn x ==-⋅⋅==-⋅-⋅∑∑【正确答案】(1)0.93(2)ˆ5.212.3ln y x =+，第8天【分析】（1）根据题意可求得4,20x y ==，结合题中数据和公式运算求解；（2）根据题意令ln u x =，可得y c du =+，结合题中数据和公式求,cd ，进而根据回归方程运算求解.【详解】（1）由题意可得：777117722111114,2140,30,268666,77i i i i i i i i i i i x y x y x x y y ============∑∑∑∑∑，则ni i x ynx yr -⋅=∑530.932.65210.8≈≈⨯⨯，故直播间人数y 和与日期代码x 的样本相关系数为0.93.（2）∵ln y c d x =+，由题意令ln u x =，则y c du =+，可得77211213.20, 1.2,206.4,i i i i i u y u y u ===≈≈≈∑∑，则717221206.47201.2ˆ12.313.27 1.21.2i i ii i u yn u y dunu==-⋅⋅-⨯⨯=≈≈-⨯⨯-∑∑，ˆˆ2012.31.2 5.2cy d u =-⋅≈-⨯≈，所以ˆ 5.212.3yu =+，故y 关于x 的回归方程为 5.212.3ln y x =+⨯$，令 5.212.3ln 30y x =+>$，整理得ln 2.0x >，则2e 7.39x >≈，且*x ∈N ，所以8x ≥，故至少要到第8天才能超过30万人.19．对飞机进行射击，按照受损伤影响的不同，飞机的机身可分为Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ三个部分.要击落飞机，必须在Ⅰ部分命中一次，或在Ⅱ部分命中两次，或在Ⅲ部分命中三次.设炮弹击落飞机时，命中Ⅰ部分的概率是16，命中Ⅱ部分的概率是13，命中Ⅲ部分的概率是12，射击进行到击落飞机为止.假设每次射击均击中飞机，且每次射击相互独立.(1)求恰好在第二次射击后击落飞机的概率；(2)求击落飞机的命中次数X 的分布列、数学期望和方差.【正确答案】(1)14(2)分布列见解析，()83E X =，19()18D X =【分析】（1）恰好在第二次射击后击落飞机存在两种情况，一种是连续命中Ⅱ部分两次，另一种情况是第一次击中Ⅱ部分或Ⅲ部分，第二次命中Ⅰ部分，根据这两种情况即可求出概率；（2）根据题意可知，击落飞机的次数可为1，2，3，4四种取值情况，根据四种取值情况求出对应概率即可求出分布列、数学期望和方差.【详解】（1）设恰好在第二次射击后击落飞机为事件A ，满足事件A 的情况有连续命中Ⅱ部分两次，或者第一次击中Ⅱ部分或Ⅲ部分，第二次命中Ⅰ部分，则25111()()6634P A =⨯+=.（2）依题意，X 的可能取值为1，2，3，4，1(1)6P X ==，1(2)4P X ==，12211111111(3)C ()()()32632623P X ==⨯⨯⨯++⨯+=，123111(4)C ()1324P X ==⨯⨯⨯=，所以X 的分布列为：X1234P16141314X 的数学期望()11118123464343E X =⨯+⨯+⨯+⨯=.2X 14916P16141314()21111491491664346E X =⨯+⨯+⨯+⨯=X 的方差()22496419()(())6918D XE XE X =-=-=20．已知()224ax bx cf x x ++=+是定义在[]22-,上的函数，若满足()()0f x f x +-=且()115f =.(1)求()f x 的解析式；(2)判断函数()f x 在[]22-,上的单调性（不用证明），并求使()()22110f t f t ++-<成立的实数t的取值范围；(3)设函数2()24(R)g x x mx m =-+∈，若对任意12,[1,2]x x ∈，都有21()()g x f x <恒成立，求m 的取值范围.【正确答案】(1)()24x f x x =+(2)单调递增，302t -≤<(3)125m >【分析】（1）确定函数为奇函数，()00f =，()115f =，()115f -=-，代入数据计算得到答案.（2）确定函数单调递增，根据函数的奇偶性得到222212212211t t t t -≤+≤⎧⎪-≤-≤⎨⎪+<-⎩，解得答案.（3）只要2max 1min ()()g x f x <，最小值为1(1)5f =，题目转化为max 1925m x x ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭，根据单调性计算最值得到答案.【详解】（1）[]2,2x ∈-，且()()0f x f x +-=，所以()f x 为奇函数，将0x =代入()()0f x f x +-=可得()00f =，即04c=，所以0c =，即()224ax bxf x x +=+，因为()115f =，所以()115f -=-，代入可得155155a b a b +⎧=⎪⎪⎨-⎪=-⎪⎩，解得01a b =⎧⎨=⎩，故()24xf x x =+；()24x f x x =+，()()24xf x f x x -==-+，函数为奇函数，满足，故()24x f x x =+.（2）设1222x x -≤<≤，则()()()()()()211221212222212144444x x x x x x f x f x x x x x ---=-=++++，1222x x -≤<≤ ，211200,4x x x x ∴-->>，()()210f x f x ∴->，即()()21f x f x >，故函数()24x f x x =+在[]22-,上单调递增，因为()24xf x x =+为奇函数，所以()()22110f t f t ++-<，即()()()222111f t f t f t +<--=-，根据单调性及定义域可得：222212212211t t t t -≤+≤⎧⎪-≤-≤⎨⎪+<-⎩，解得312220t t t ⎧-≤≤⎪⎪⎪≤≤⎨⎪-<<⎪⎪⎩302t -≤<.（3）只要2max 1min ()()g x f x <，函数()f x 在[]1,2上单调递增，最小值为1min 1()(1)5f x f ==.法一：21()245g x x mx =-+<在[]1,2上恒成立，只要max 1925m x x ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭，195y x x =+在1,5⎡⎢⎥⎣⎦上单调递减，在,25⎛⎤ ⎥ ⎝⎦上单调递增，当1x =时，192455x x +=，当2x =时，1939245105x x +=<，故当1x =时，max 192455x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以125m >.法二：222()24()4g x x mx x m m =-+=-+-，[]1,2x ∈，当32m ≤时，max 1()(2)5g x g =<，14445m -+<，解得3920m >，舍去；当32m >时，max 1()(1)5g x g =<，11245m -+<，解得125m >，因此125m >，综上所述.125m >21．数学兴趣小组为研究本校学生数学成绩与语文成绩的关系，采取有放回的简单随机抽样，从学校抽取样本容量为200的样本，将所得数学成绩与语文成绩的样本观测数据整理如下：语文成绩合计优秀不优秀数学成绩优秀503080不优秀4080120合计90110200(1)根据0.010α=的独立性检验，能否认为数学成绩与语文成绩有关联？(2)根据22⨯列联表的信息，A 表示“选到的学生语文成绩不优秀”，B 表示“选到的学生数学成绩不优秀”，求()|P B A 的值；(3)现从数学成绩优秀的样本中，按分层抽样的方法选出8人组成一个小组，从抽取的8人里再随机抽取3人参加数学竞赛，求这3人中，语文成绩优秀的人数X 的概率分布列及数学期望.附.()()()()22()n ad bc a b c d a c b dχ-=++++α0.0500.0100.001x α3.8416.63510.828【正确答案】(1)能(2)311(3)分布列见解析，158【分析】（1）计算216.498 6.635χ≈>，得到答案.（2）()(|)()P AB P B A P A =，计算得到答案.（3）根据分层抽样比例关系得到人数，确定随机变量X 的所有可能取值为0,1,2,3，计算概率得到分布列，再计算数学期望得到答案.【详解】（1）零假设0H ：数学成绩与语文成绩无关，则22200(50803040)16.498 6.6359011012080χ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，根据小概率值0.010α=的2χ的独立性检验，我们推断0H 不成立，故认为数学成绩与语文成绩有关；（2）()(|)()30311110P AB P B A P A ===，（3）按分层抽样，语文成绩优秀的5人，语文成绩不优秀的3人，随机变量X 的所有可能取值为0,1,2,3.()3338C 10C 56P X ===，()125338C C 151C 56P X ===，()215338C C 30152C 5628P X ====，()3538C 1053C 5628P X ====，故X 的概率分布列为：X0123P15615561528528数学期望()11515510515012356562828568E X =⨯+⨯+⨯+⨯==.22．设0a >，0b >，函数2()f x ax bx a b =--+.(1)求不等式()(1)f x f <的解集；(2)若()f x 在[]0,1上的最大值为b a -，求ba的取值范围；(3)当[0,]x m ∈时，对任意的正实数a ，b ，不等式()(1)|2|f x x b a ≤+-恒成立，求m 的最大值.【正确答案】(1)答案见解析(2)[)1,+∞(3)1【分析】（1）变换得到(1)()0x ax a b -+-<，考虑1b a a ->，1b a a -<，1b aa-=三种情况，解不等式得到答案.（2）确定函数对称轴为2b x a=，考虑1022b a <<和122b a ≥两种情况，计算最值得到范围.（3）注意分类讨论的思想，分当2b a ≥时和当2b a <时两种情况进行讨论，当2b a ≥时2310b b x x a a ⎛⎫---≤ ⎪⎝⎭注意用换元法把b a 换成t ，得到()2310x t x x +--≥又由题意对任意的12t ≥不等式恒成立，而310x +>，只要12t =时不等式成立即可从而解出m 的取值范围，同理可求另一种情况【详解】（1）()(1)f x f <即()0f x <，即(1)()0x ax a b -+-<，()()10x ax a b -+-=的两根为1和b aa-当1b a a ->，即20b a >>时，解集为1,b a a -⎛⎫⎪⎝⎭；当1b a a -<，即02b a <<时，解集为,1b a a -⎛⎫⎪⎝⎭；当1b aa-=，即20b a =>时，解集为∅.综上所述：当20b a >>时，解集为1,b a a -⎛⎫⎪⎝⎭；当02b a <<时，解集为,1b a a -⎛⎫ ⎪⎝⎭；当20b a =>时，解集为∅.（2）因为0a >，0b >，所以0ba >，2()f x ax bx ab =--+的对称轴为2b x a=，当1022b a <<时，即b a <时，()()max 10f x f b a ==>-，不合题意；当122b a ≥时，即b a ≥时，()()max 0f x f =，而(0)0(1)f b a f =-≥=，符合题意.故ba取值范围为[)1,+∞.（3）①当2b a ≥时，不等式即为：()222ax bx a b b a x b a --+≤-+-，整理得：()230ax b a x b ---≤即：2310b b x x a a ⎛⎫---≤ ⎪⎝⎭，令bt a=，则12t ≥，所以不等式即()2310x t x t ---≤，即：()2310x t x x +--≥，由题意：对任意的12t ≥不等式恒成立，而310x +>，∴只要12t =时不等式成立即可，211022x x ∴--≤，112x ∴-≤≤而[]0x m ∈，，01m ∴<≤；②当2b a <时，同理不等式可整理为：23120b b x x a a ⎛⎫---+≤ ⎪⎝⎭，令b t a =，则102t <<，所以不等式即()21230x t x t ---+≤，即：()2320x t x x ++--≤，由题意：对任意的102t <<不等式恒成立，而30x +>，∴只要12t =时不等式成立即可，211022x x ∴--≤，112x ∴-≤≤而[]0x m ∈，，01m ∴<≤；综上，m 的最大值为1关键点睛：本题考查了解不等式，不等式恒成立问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力。

高二数学下学期期中检测卷(解析版)

高二数学下学期期中检测卷(解析版)高二数学下学期期中检测卷(解析版)注意：本试卷共120分，考试时间120分钟。

第一部分：选择题（共70分）本部分共10小题，每小题7分。

从每小题所给的四个选项中，选出一个最佳答案，并将其标号填入答题卡相应的位置。

1. 已知直线L1的斜率为k1，点A(x1, y1)在直线L1上，若直线L1与直线L2垂直，则直线L2的斜率为（）。

A. -1/k1B. 1/k1C. k1D. -k12. 已知抛物线y=ax²+bx+c的顶点为（1,3），则a+b+c的值为（）。

A. 3B. -3C. 1D. -13. 设f(x) = (x-a)(x-b)(x-c)(x-d)，其中a，b，c，d都是正数，且a+b+c+d=16，abc+abd+acd+bcd=60，则abcd的值为（）。

A. 70B. 80C. 90D. 1004. 函数f(x)=x³+3x²+3x+1的单调递减区间为（）。

A. (-∞, -1)B. (-1, 0)C. (0, 1)D. (1, +∞)5. 已知集合A={x|x²-2x-8<0}，则A的解集为（）。

A. x∈(-∞,-2)U(4, +∞)B. x∈(-∞,-2)U(2, +∞)C. x∈(-∞,-4)U(2, +∞)D. x∈(-∞,-4)U(4, +∞)6. 在直角三角形ABC中，∠C = 90°，AC=3，BC=4，则三角形ABC中斜边AB的长度为（）。

A. 5B. 6C. 7D. 87. 已知函数y=ln(x+1)+a是函数y=f(x)=ln(x)的图像上任意一点(x, y)的图像，若f(x)在点(1,0)处的切线方程为y=2x-1，则a的值为（）。

A. 1B. 2C. 3D. 48. 设集合A={x|log₂(x+1)≥0}，则A的解集为（）。

A. x≥-1B. x>-1C. x>-2D. x≥-29. 已知向量a=(2,3)和b=(4,5)，则向量a与向量b的数量积为（）。

高二下学期期中考试数学试卷-附带参考答案和解析

高二下学期期中考试数学试卷-附带参考答案和解析本试卷共5页 22小题满分150分.考试用时120分钟.考生注意事项：1．试卷分第Ⅰ卷和第Ⅰ卷第Ⅰ卷用2B 铅笔涂在答题卡上第Ⅰ卷用黑色钢笔签字笔在答题卡上作答2．质量监测时间120分钟全卷满分150分．一、选择题：本大题共8小题每小题5分共40分每小题只有一项是符合题目要求的．1．已知集合(){}2log 20A x x =∈-≤N {A x y =∈N ，则A B ⋃=（）A ．{}0,1,2B ．{}1,2C ．{}0,1D ．{}1【答案】C【分析】根据对数的单调性一元二次不等式的解法结合并集的定义进行求解即可. 【详解】由(){}2log 20021121x x x A -≤⇒<-≤⇒≤<⇒=由{}210110,1x x B -≥⇒-≤≤⇒=所以A B ⋃={}0,1 故选：C2．复数z 满足()1i i z += i 为虚数单位，则下列说法正确的是（） A ．1z = B ．z 在复平面内对应的点位于第二象限 C ．z 的实部为12D ．z 的虚部为1i 2【答案】C【分析】根据复数的除法运算求出复数z 即可求得其模以及实部和虚部以及对应的点所在象限一一判断各选项即得答案.【详解】因为()1i i z += 故i i (1i)11i 1i (1i)(1i)22z ⋅-===+++-则z ==A 错误 z 在复平面内对应的点为11(,)22位于第一象限 B 错误z 的实部为12C 正确z 的虚部为12D 错误故选：C ．3．在ABC 中点D 是线段AB 上靠近B 的四等分点点E 是线段CD 上靠近D 的三等分点，则AE =（）A ．2133CA CB -+ B ．1526CA CB -C ．1233CA CB -+D 5162CA CB -+．【答案】D【分析】方法一：利用平面向量基本定理得到答案方法二：设ABC 是等腰直角三角形且4CA CB == 建立空间直角坐标系写出点的坐标设m A CA nCB E =+ 从而得到方程组求出答案.【详解】方法一：如图由题意得23CE CD = 34AD AB =故()22123333AE AC CE AC CD AC AD AC AC AD =+=+=+-=+()111151323262AC AB CA CB CA CA CB =+=-+-=-+方法二：不妨设ABC 是等腰直角三角形且4CA CB == 以C 为坐标原点建立平面直角坐标系如图所示则()()()()20,0,0,4,4,0,3,1,2,3C A B D E ⎛⎫ ⎪⎝⎭则()()0,4,4,0CA CB == 设m A CA nCB E =+故()()102,0,44,03m n ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭所以1042,43n m ==- 解得51,62m n =-=故5162CA C A B E -=+．故选：D ．4．函数()()()2sin 0,ππf x x ωϕωϕ=+>-<<的部分图像如图所示，则ω ϕ的值分别是（）A ．2 π6- B ．2 π3-C ．2π3D ．4 5π6-【答案】B【分析】根据三角函数图像与性质求ω ϕ的值即可. 【详解】设()f x 的周期为T则由图像知35π9π3πππ4123124T T ⎛⎫=--==⇒= ⎪⎝⎭所以2π2Tω==，则()()2sin 2f x x ϕ=+ 因为()f x 在5π12x =处取得最大值所以5π2π2π,Z 122k k ϕ⨯+=+∈ 得π2π,Z 3k k ϕ=-+∈因为ππϕ-<< 所以π0,3k ϕ==-.故选：B5．在数列{}n a 中的相邻两项n a 与()*1n a n +∈N 之间插入一个首项为1n a n- 公差为1n -的等差数列的前n 项记构成的新数列为{}n b 若21n a n =+，则{}n b 前65项的和为（） A ．252-B ．-13C ．272-D ．-14【答案】A【分析】根据题意得到数列{}n b 中n a 及其后面n 项的和为n S ()()1112n n n n S n a n+=+-⨯求解. 【详解】解：数列{}n b 为：1122233331121,1,,,1,,,,1,,,233n n a a a a a a a a a a a n-------1231,,,,1,,n n n n n n a a a a a n nn+-----设n a 及其后面n 项的和为n S ，则()()()1111123222n n n n n S n a n n ++=+-⨯=-=- 所以数列{}n S 是以1为首项公差为12-的等差数列.所以{}n b 前65项的和为1210710125222S S S ⎛⎫- ⎪⎝⎭+++==-故选：A.6．冬季是流感高发期其中甲型流感病毒传染性非常强．基本再生数0R 与世代间隔T 是流行病学基本参考数据．某市疾控中心数据库统计分析可以用函数模型()2rtW t =来描述累计感染甲型流感病毒的人数()W t 随时间t Z t ∈（单位：天）的变化规律其中指数增长率r 与基本再生数0R 和世代间隔T 之间的关系近似满足01R rT =+ 根据已有数据估计出04R =时 12T =．据此回答累计感染甲型流感病毒的人数增加至()0W 的3倍至少需要（参考数据：lg 20.301≈ lg30.477≈）（）A ．6天B ．7天C ．8天D ．9天【答案】B【分析】先求得r 然后根据“()0W 的3倍”列方程化简求得需要的时间. 【详解】依题意 01R rT =+ 且04R =时 12T =即14112,4r r =+⨯= 所以()142tW t = ()10W =令()1423tW t == 两边取以10为底的对数得14lg 340.477lg 2lg 3, 6.34lg 20.301t t ⨯==≈≈ 所以至少需要7天. 故选：B7．如图在长方形ABCD 中 2AB = 1BC = E 为DC 的中点 F 为线段EC （端点除外）上的动点．现将AFD △沿AF 折起使平面ABD ⊥平面ABC 在平面ABD 内过点D 作DK AB ⊥ K 为垂足．设AK t ，则t 的取值范围是（）A ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．11,42⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．51,4⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】C【分析】设DF x = 求得x 关于t 的表达式根据x 的取值范围求得t 的取值范围. 【详解】如图在平面ADF 内过点D 作DH AF ⊥垂足为H 连接HK ．过点F 作//FP BC 交AB 于点P ．设FAB θ∠= AE AC == 所以cos θ∈⎝⎭．设DF x =，则12x <<．因为平面ABD ⊥平面ABC 平面ABD ⋂平面ABC AB =DK AB ⊥ DK ⊂平面ABD 所以DK ⊥平面ABC又AF ⊂平面ABC 所以DK AF ⊥．又因为DHAF ⊥DKDH D = DK DH ⊂平面DKH 所以AF ⊥平面DKH 所以AF HK ⊥ 即AH HK ⊥．在Rt ADF 中 AF DH因为ADF △和APF 都是直角三角形 PF AD = 所以Rt Rt ADF FPA ≌△△ AP DF x ==．因为AHD ADF ∽△△,1AH DH AH AH AD DF ===所以cos AH AP AK AF θ=== 得1x t=．因为12x << 所以112t<< 所以112t <<．故选：C【点睛】方法点睛：线面垂直面面垂直转化的过程中要从线面垂直得到面面垂直需要“经过一个平面的垂线” 要从面面垂直得到线面垂直，则需要“在一个平面内垂直于交线” 在答题过程中要注意使用正确的符号语言.8．在直角坐标系xOy 内圆22:(2)(2)1C x y -+-= 若直线:0l x y m ++=绕原点O 顺时针旋转90后与圆C 存在公共点，则实数m 的取值范围是（）A．⎡⎣ B．44⎡--⎣C．22⎡--⎣D．2⎡-⎣【答案】A【分析】由题意首先得出旋转后的直线为1:0l x y m 然后由直线与圆的位置关系列出不等式即可求解. 【详解】连接OP 设POx θ∠=（即以x 轴正方向为始边 OP 为终边的角）由题意对于直线:0l x y m ++=上任意一点(),P x y存在R a θ=∈ 使得()cos ,sin P a a θθ 则直线:0l x y m ++=绕原点O 顺时针旋转90后点()cos ,sin P a a θθ对应点为1ππcos ,sin 22P a a θθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 即()1sin ,cos Pa a θθ- 因为()cos ,sin P a a θθ在直线:0l x y m ++=上所以满足cos sin 0a a m θθ++= 设11sin ,cos x a y a θθ==- 所以110y x m -++= 即()1sin ,cos P a a θθ-所在直线方程为1:0l xy m而圆22:(2)(2)1C x y -+-=的圆心半径分别为()2,2,1r = 若直线:0l x y m ++=绕原点O 顺时针旋转90后与圆C 存在公共点所以圆心()2,2C 到直线1:0l x y m 的距离1d r =≤= 解得m ≤故选：A.【点睛】关键点睛：关键是求出旋转后的直线从而即可顺利得解.二多选题9．某校举行演讲比赛 6位评委对甲乙两位选手的评分如下：甲：7.5 7.5 7.8 7.8 8.0 8.0 乙：7.5 7.8 7.8 7.8 8.0 8.0 则下列说法正确的是（）A ．评委对甲评分的平均数低于对乙评分的平均数B ．评委对甲评分的方差小于对乙评分的方差C ．评委对甲评分的40%分位数为7.8D ．评委对乙评分的众数为7.8 【答案】ACD【分析】由平均数方差百分位数众数的概念及求法分别求解判断即可. 【详解】选项A 评委对甲评分的平均数7.57.57.87.88.08.017.87.8630x +++++==-<甲评委对乙评分的平均数7.57.87.87.88.08.017.87.8660x +++++==+>乙所以x x <甲乙故A 正确选项B 由A 知两组数据平均数均约为7.8且纵向看甲组数据与乙组数据仅一组数据7.5,7.8不同其余数据相同又甲组数据7.5与平均数的差明显大于乙组数据7.8与平均数的差且差距较大故与平均数比较甲组数据波动程度明显大些即评委对甲评分的方差大于对乙评分的方差故B 错误选项C 由640% 2.4⨯=不是整数则评委对甲评分的40%分位数为从小到大第3个数据即：7.8 故C 正确选项D 评委对乙评分中最多的数据即众数为7.8 故D 正确.故选：ACD.10．下列说法正确的是（）A ．“α为第一象限角”是“2α为第一象限角或第三象限角”的充分不必要条件 B ．“π2π6k α=+ Z k ∈”是“1sin 2α=”的充要条件C ．设ππ,Z 4M k k αα⎧⎫==±∈⎨⎬⎩⎭ π,Z 4k N k αα⎧⎫==∈⎨⎬⎩⎭，则“M θ∈”是“N θ∈”的充分不必要条件D ．“sin 0θ>”是“θtan 02>”的必要不充分条件【答案】AC【分析】对于A 利用象限角求得角α的范围可判定充分性取π3α= 验证必要性即可对于B 考查1sin 2α=时 α的取值范围可判定必要性不成立对于C 根据集合M N 的关系即可判定对于D 根据条件求得α的取值范围即可判断. 【详解】对于A,因为α为第一象限角所以π2π2π,Z 2k k k α<<+∈ 则πππ,Z 4k k k α<<+∈, 当k 为偶数时 α为第一象限角当k 为奇数时 α为第三象限角所以充分性成立当π3α=时 α为第一象限角，则2π23α= 为第二象限角即必要性不成立故A 正确对于B 当π2π6k α=+ Z k ∈时 1sin 2α=成立，则充分性成立当1sin 2α=时 π2π6k α=+或5π2π6k α=+ Z k ∈, 故必要性不成立，则B 错误对于C ()41πππ,Z ,Z 44k M k k k αααα⎧⎫⎧⎫⎪⎪==±∈==∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎪⎪⎩⎭而π,Z 4k N k αα⎧⎫==∈⎨⎬⎩⎭则MN 故则“M θ∈”是“N θ∈”的充分不必要条件故C 正确对于D,当sin 0θ>时 2π2ππ,Z k k k θ<<+∈, 则πππ,Z 22k k k θ<<+∈ 则θtan 02> 故充分性成立当θtan02>时 πππ,Z 22k k k θ<<+∈则2π2ππ,Z k k k θ<<+∈ 则sin 0θ>成立所以“sin 0θ>”是“θtan 02>”的充要条件故D 错误故选：AC.11．椭圆C 的标准方程为22121,,82x y F F +=为椭圆的左右焦点点()2,1P ．12PF F △的内切圆圆心为(),I I I x y 与1212,,PF PF F F 分别相切于点,,D E H ，则（）A ．126PF F S =△ B ．13x C ．1233y = D ．226PD PE ==【答案】BCD【分析】根据椭圆中焦点三角形的性质求解12PF F S再结合三角形内切圆的几何性质逐项判断即可得结论.【详解】椭圆C ：22182x y +=，则22,2,826a b c ===-= 所以()()126,0,6,0F F又()2,1P 所以点P 再椭圆上连接12,,,,,ID IE IH IP IF IF则121211122PF F p SF F y =⋅=⨯ 故A 不正确由椭圆的定义可得122PF PF a +==又12PF F △的内切圆圆心为(),I I I x y 所以内切圆半径I r y = 由于121212PF F IF F IF PIF PSSSS=++()(121212121111122222I I I I I F F y PF y PF y y F F PF PF y =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=⋅++=⋅故3I r y === 故C 正确又1122,,PD PE DF F H EF HF ===所以12121212PF PF PD DF PE EF PD F H PE HF PD PE F F +=+++=+++=++=则2PD = 所以PD PE == 故D 正确又2PF == 所以222HF EF PF PE ==-又H I x x = I x = 即1x 故B 正确. 故选：BCD.12．已知函数()()e xf x a x =+ ()()lng x x a x =+，则下列说法正确的是（）A ．若函数()y f x =存在两个极值，则实数a 的取值范围为21,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．当1a =时函数()y g x =在(0,)+∞上单调递增C ．当1a =时若存在1x ≥ 使不等式()()2()ln f mx fxx x ≥+成立，则实数m 的最小值为0D ．当1a =时若()()12(0)f x g x t t ==>，则()121ln x x t +⋅的最小值为1e【答案】BC【分析】对A 选项：由极值点的性质结合导数讨论单调性即可得对B 选项：结合导数讨论单调性即可得对C 选项：结合()f x 单调性可转化为当1x ≥时有()1ln m x x ≥+成立求出()1ln x x +最小值即可得对D 选项：采用同构法可确定12e xx = 再将多变量化为单变量后结合导数讨论单调性即可得.【详解】对A 选项：()()()e e 1e x x xf x x a x a +=+'=++若函数()y f x =存在两个极值，则函数()f x '必有两个变号零点令()()1e 0x f x x a =++='，则()1e xa x =-+令()()1e xh x x =-+，则()()2e xh x x +'=-则当2x >-时 ()0h x '< 当<2x -时 ()0h x '> 故()h x 在(),2∞--上单调递增在()2,∞-+上单调递减故()()()221221e e h x h -≤-=--+=又当1x >-时 ()()1e 0xh x x =-+<恒成立当x →-∞时 ()0h x →故当210,e a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭函数()f x '有两个变号零点即若函数()y f x =存在两个极值，则实数a 的取值范围为210,e⎛⎫ ⎪⎝⎭故A 错误对B 选项：当1a =时 ()(1)ln g x x x =+ ()11ln ln 1x g x x x x x='+=+++ 令()()x g x μ='，则()22111x x x x xμ'-=-= 则当()0,1x ∈时 ()0x μ'< 当()1,x ∞∈+时 ()0x μ'> 故()x μ在()0,1上单调递减在()1,∞+上单调递增故()()120g x g '='≥> 故函数()y g x =在(0,)+∞上单调递增故B 正确对C 选项：当1a =时 ()()e 1xf x x =+()()()e e 11e 1x x x f x x x =++=++'令()()m x f x ='，则()()2e xm x x +'=则当<2x -时 ()0m x '< 当2x >-时 ()0m x '> 故()m x 在(),2∞--上单调递减在()2,∞-+上单调递增故()()2212e 110e f x f -≥-=-+=-'>' 故()f x 在R 上单调递增则存在1x ≥ 使不等式()()2()ln f mx fxx x ≥+成立等价于存在1x ≥ 使不等式()2ln mx x x x ≥+成立则当1x ≥时有()1ln m x x ≥+成立由当1a =时 ()(1)ln g x x x =+ 且()y g x =在(0,)+∞上单调递增故()11ln10m ≥+= 即实数m 的最小值为0 故C 正确对D 选项：当1a =时由B C 可知 ()f x ()g x 均为定义域上的增函数由()00f = ()10g = 故有1>0x 21x >由()()12f x g x =，则()()1122e 11ln xx x x +=+即()()()111122e 1e 1ln e 1ln x x x x x x +=+=+ 故12e xx =又()()111e 10xf x t x ==+> 故()121ln ln x x t t t +⋅=令()ln n x x x =，则()1ln n x x x ='+ 令()()1ln p x n x x x==+'则()22111x p x x x x='-=- 则当()0,1x ∈时 ()0p x '< 当()1,x ∞∈+时 ()0p x '> 故()p x 在()0,1上单调递减在()1,∞+上单调递增即()()10n x n ''≥= 故()n x 在()0,∞+上单调递增故()n x 无最小值即()121ln x x t +⋅无最小值故D 错误. 故选：BC.【点睛】思路点睛：本题考查导数在研究函数中的综合应用问题其中D 选项中涉及到多变量问题的求解求解此类问题的基本思路是根据已知中的等量关系将多变量转化为单变量的问题从而将其转化为函数最值问题的求解. 三填空题13．()622x x y y ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中42x y 的系数为．（用数字作答）【答案】40-【分析】由二项式定理得到()62x y -的通项公式结合2xy+得到34,T T 得到42x y 的系数. 【详解】()62x y -的通项公式为()()66166C 2C 2rrr r r r r r T x y x y --+=-=-令2r =得 ()22424236C 260T x y x y =-= 此时4242602120x y x y ⋅=令3r =得 ()33333346C 2160T x y x y =-=- 此时3342160160xx y x y y-⋅=- 故42x y 的系数为12016040-=- 故答案为：40-14．设数列{}n a 满足12a = 26a = 且2122n n n a a a ++-+= 若[]x 表示不超过x 的最大整数，则122021202120212021a a a ⎡⎤+++=⎢⎥⎣⎦．【答案】2020【分析】根据题意得到()()2112n n n n a a a a +++---= 得到{}1n n a a +-为等差数列求得其通项公式结合累加法得到(1)n a n n =+ 求得2021112021()1n a n n =-+ 再利用裂项求和求得12202120212021202120212021(2020,2021)2022a a a +++=⨯∈ 即可求解. 【详解】因为2122n n n a a a ++-+= 可得()()2112n n n n a a a a +++---= 又因为12a = 26a = 可得214a a -=所以数列{}1n n a a +-是首项为4 公差为2的等差数列所以14(1)222n n n a n a +-=+-⨯=+ 当2n ≥时 112211()()()n n n n n a a a a a a a a ---=-+-++-+(1)22(1)2222(1)2n n n n n n +=+-++⨯+=⨯=+ 且当1n =时 12a =也成立所以()1n a n n =+ 所以202111120212021()(1)1n a n n n n =⨯=-++ 所以122021202120212021111112021[(1)()()]22320212022a a a +++=-+-++- 120212021(1)2021(2020,2021)20222022=-=⨯∈所以1220212021202120212020a a a ⎡⎤+++=⎢⎥⎣⎦. 故答案为：2020.15．已知椭圆 22221(0)x y C a b a b+=>>：的左右焦点为12,F F ．直线y kx =与椭圆C 相交于,P Q 两点若112PF QF = 且12π3PFQ ∠= ，则椭圆C 的离心率为．【分析】由椭圆的对称性可得四边形12PFQF 为平行四边形再根据椭圆的定义求出12,PF PF 再在12PF F △中利用余弦定理求出,a c 的关系即可得解.【详解】由椭圆的对称性可得四边形12PFQF 为平行四边形，则21PF QF =由12π3PFQ ∠= 得12π3F PF ∠= 因为112PF QF = 所以122PF PF = 又122PF PF a += 所以1242,33a aPF PF == 在12PF F △中由余弦定理得222121212122cos F F PF PF PF PF F PF =+-∠ 即2222164421442993323a a a a ac =+-⨯⨯⨯=所以c a =即椭圆的离心率c e a ==16．已知A M N 是棱长为1的正方体表面上不同的三点，则·AM AN 的取值范围是．【答案】1,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【分析】根据正方体的性质可得·3cos ,a AM AN AM AN =≤结合夹角的定义可得3a ≤ 可得其最大值根据数量积的运算可知24≥-MN a 可得其最小值.【详解】正方体表面上任意两点间距不超过体对角线长度d 则,AM AN d ≤ 故·3cos ,a AM AN AM AN =≤ 而[]cos ,1,1AM AN ∈- 故3a ≤如图建立空间直角坐标系取()0,0,0A ,M N 重合为()1,1,1时则()()1,1,11,1,13a =⋅= 取得最大值3由对称性设A 在下底面 (),,AM x y z = (),,AN a b c =由A 在下底面知0,0,0z c zc ≥≥≥ 当且仅当,M N 也在下底面时取等此时,,A M N 共面时设MN 中点为E ，则EM EN =-()()()()()2222··4MN a AM AN AE EM AE EN AE EN EN==++=-≥-=-当且仅当,A E 重合时取等又因为2MN ≤ 可得2142-≥-≥a MN 例如11,,022A ⎛⎫ ⎪⎝⎭ ()()1,0,0,0,1,0M N ，则11111·,,0,,022222a AM AN ⎛⎫⎛⎫==--=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭所以·AM AN 的取值范围是1,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 故答案为：1,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.四解答题（共70分）17．（本题10分）如图在ABC 中 6AB AC == 点D 是边BC 上一点且,cos AD AB CAD ∠⊥=2AE EB =(1)求BCE 的面积 (2)求线段AD 的长. 【答案】(1)(2)=AD【分析】（1）根据13BCE ABC S S =△△求解即可（2）解法1：在ABC 中根据余弦定理求出BC 结合等腰三角形的性质求cos B 在ABD △中勾股定理求AD 即可解法2：由A BCABDACDSSS=+求得AD .【详解】（1）12,3BCEABCAE EB SS =∴=而11πsin 66sin 222ABCSAB AC BAC CAD ⎛⎫=⋅⋅∠=⨯⨯⨯∠+ ⎪⎝⎭ 18cos 18CAD =∠== 1423BCEABCSS ∴==（2）解法1：()1cos 0,π,sin 3CAD CAD CAD ∠=∠∈∴∠= π1cos cos sin 23CAB CAD CAD ⎛⎫∴∠=∠+=-∠=- ⎪⎝⎭在ABC 中 22212cos 3636266963BC AB AC AB AC CAB ⎛⎫=+-⋅⋅∠=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭BC ∴=∴在等腰ABC 中12cos BCB BA ==∴Rt ABD △中6cos ,BA BBD BD BD===∴=AD ∴==解法2：()1cos 0,π,sin 3CAD CAD CAD ∠=∠∈∴∠== 由A BCABDACDSSS=+得1166sin 22AD AD CAD =⨯⨯+⨯⨯⋅∠,即()11166223AD AD =⨯⋅+⋅⋅⋅解得=AD18．（本题12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S 11a = 且满足()()11112n n n S nS n n ++=-+.(1)求数列{}n a 的通项公式(2)设()23cos πn a n n b a n =+⋅ 求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】(1)n a n =(2)()()()()11133,,24133,.24n n n n n n T n n n ++⎧++--⎪⎪=⎨++-⎪--⎪⎩为偶数为奇数【分析】（1）利用构造法和等差数列的定义与通项公式可得()12n n n S +=结合1n n n a S S -=-即可求解（2）由（1）知()()213nnn b n =-+- 利用分组求和法计算即可求解. 【详解】（1）根据题意 ()()11112n n n S nS n n ++=-+ 所以1112n n S S n n +-=+由于1111S a ==，则n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以首项为1 公差为12的等差数列所以()111122n S n n n +=+-⨯= 所以()12n n n S += 当2n ≥时 1(1)(1)22n n n n n n na S S n -+-=-=-=. 验证1n =时11a =满足通项公式故数列{}n a 的通项公式为n a n =.（2）由（1）知()()()223cos π13n n na n nb a n n =+⋅=-+-.设()21nn -的前n 项和为n A ，则当n 为偶数时 ()22222212341n A n n =-+-+-⋅⋅⋅--+()()()()()()2121434311n n n n ⎡⎤⎡⎤=-++-++⋅⋅⋅+--+-⎣⎦⎣⎦ ()()1123412n n n n +=++++⋅⋅⋅+-+=. 当n 为奇数时 ()()2211122n n n n n n A A n n --+=-=-=-设()3n-的前n 项和为n B ，则()()()131333134nn nB +⎡⎤-⋅-----⎣⎦==+. 因为=+n n n T A B 所以()()()()11133,,24133,.24n n n n n n T n n n ++⎧++--⎪⎪=⎨++-⎪--⎪⎩为偶数为奇数 19．（本题12分）如图在四棱锥P ABCD -中 PAD 为等边三角形 AD CD ⊥ //AD BC 且22AD BC ==CD =PB = E 为AD 中点．(1)求证：平面PAD ⊥平面ABCD(2)若线段PC 上存在点Q 使得二面角Q BE C --的大小为60︒ 求CQCP的值．【答案】(1)证明见解析 (2)12【分析】（1）首先连接PE 根据线面垂直的判定定理证明PE ⊥平面ABCD 再利用面面垂直的判定定理证明平面PAD ⊥平面ABCD . （2）设()01CQ CP λλ=≤≤,再利用向量法求二面角Q BE C --的平面角再列方程得到12λ= 即得CQCP 的值．【详解】（1）证明：连接PEPAD 是边长为2的等边三角形 E 是AD 的中点PE AD ⊥∴PE =//DE BC DE BC = AD CD ⊥ ∴四边形BCDE 是矩形BE CD ∴==222PE BE PB ∴+= PE BE ∴⊥又AD BE E = AD BE ⊂平面ABCDPE ∴⊥平面ABCD又PE ⊂平面PAD∴平面PAD ⊥平面ABCD ．（2）以E 为原点以EA EB EP 为坐标轴建立空间直角坐标系如图所示：则(00P()C -()0B ()0,0,0E ()0EB ∴=， ()100BC =-，，(1CP = 设()01CQCPλλ=≤≤则()1BQ BC CQ BC CP λλ=+=+=- 设平面QBE 的法向量为(),,m x y z =则00m EB m BQ ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即()010x y z λ⎧=⎪⎨-=⎪⎩，，令1z = 得()301m λλ=-，，又PE ⊥平面ABCD()001n ∴=，，为平面BEC 的一个法向量cos 3m n m n m nλ⋅∴==，二面角Q BE C --的大小为60︒12= 解得12λ=． 12CQ CP ∴=． 20．（本题12分）2023年秋末冬初呼和浩特市发生了流感疾病. 为了彻底击败病毒人们更加讲究卫生讲究环保. 某学校开展组织学生参加线上环保知识竞赛活动现从中抽取200名学生记录他们的首轮竞赛成绩并作出如图所示的频率直方图根据图形请回答下列问题：(1)若从成绩低于60分的同学中按分层抽样方法抽取5人成绩求5人中成绩低于50分的人数 (2)以样本估计总体利用组中值估计该校学生首轮竞赛成绩的平均数(3)首轮竞赛成绩位列前10%的学生入围第二轮的复赛请根据图中信息估计入围复赛的成绩（记为K ）. 【答案】(1)2人 (2)71 (3)88K ≥【分析】（1）利用分层抽样的定义求解即可（2）利用平均数公式求解即可（3）根据题意设入围复赛的成绩的临界值为[)80,90K ∈，则()900.0250.050.1K -⨯+= 求出K 的值即可. 【详解】（1）成绩在[)40,50的人数为0.011020020⨯⨯=（人）成绩在[)50,60的人数为0.0151020030⨯⨯=（人）则按分层抽样方法从成绩低于60分的同学中抽取5人成绩低于50分的人数为20522030⨯=+（人）. 故5人中成绩低于50分的人数为2人（2）由()0.010.0150.0150.0250.005101a +++++⨯= 得0.030a = 则平均数450.1550.15650.15750.3850.25950.0571x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=故该校学生首轮竞赛成绩的平均数约为71分（3）根据频率分布直方图可知：[]90,100的频率为0.005100.05⨯= [)80,90的频率为0.025100.25⨯=所以入围复赛的成绩一定在[)80,90可知入围复赛的成绩的临界值为[)80,90K ∈则()900.0250.050.1K -⨯+= 解得88K =故估计入围复赛的成绩为88K ≥分.21．（本题12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>> 斜率为2的直线l 与x 轴交于点M l 与C 交于A B 两点 D 是A 关于y 轴的对称点．当M 与原点O 重合时 ABD △面积为169． (1)求C 的方程(2)当M 异于O 点时记直线BD 与y 轴交于点N 求OMN 周长的最小值．【答案】(1)22142x y += (2)2【分析】（1）设出各点坐标表示出面积后结合面积与离心率计算即可得（2）要求OMN 的周长，则需把各边长一一算出即需把M x N y 算出设出直线方程与椭圆方程联立得与横坐标有关韦达定理借助韦达定理表示出M x N y 可得OMN 各边边长结合基本不等式即可求得最值.【详解】（1）当M 与原点O 重合时可设()00,A x y ，则有()00,B x y -- ()00,D x y -且002y x = 即有AD BD ⊥, 则()()00001116229ABD S AD BD x x y y =⋅=++=即201649x = 又00x > 故023x =，则043y = 即有22416199a b +=即c a =则22222a c b c ==+ 故222a b = 即有224161189b b += 解得22b = 故24a = 即C 的方程为22142x y +=（2）设直线l 方程为2y x t =+ 令0y = 有2t x =- 即2M t x =- 设点()11,A x y ()22,B x y ，则()11,D x y - 联立直线与椭圆方程：222142y x t x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 消去y 有2298240x tx t ++-= ()222Δ64362414480t t t =--=->即t -<有1289t x x -+= 212249t x x -= BD l 为()122212y y y x x y x x -=-+-- 令0x = 故21222122122221122121212N x y x y x y x y x y x y x y x y y y x x x x x x -+-+++=+==--++ 由2y x t =+ 故()()2112211212121212224x x t x x t x y x y x x t x x x x x x ++++==++++ 其中2121224198429t x x t t x x t -==-+-+ 即12442N t y t t t ⎛⎫=-++= ⎪⎝⎭则22OMN N M t C y x t =+=+2≥=当且仅当2t =±时等号成立故OMN周长的最小值为2+【点睛】本题考查了椭圆的方程在求解直线与椭圆的位置关系问题时常用方法是设而不求借助韦达定理等手段将多变量问题转变为单变量问题再用基本不等式或函数方式求取范围或最值.22．（本题12分）已知函数21()ln 2f x x x ax =+-． (1)当12a =时求在曲线()y f x =上的点(1,(1))f 处的切线方程 (2)讨论函数()f x 的单调性(3)若()f x 有两个极值点1x 2x 证明：()()121222f x f x a x x -<--．【答案】(1)3230x y --=(2)详见解析(3)详见解析.【分析】（1）根据导数的几何意义求出（2）求出导函数()1(0)f x x a x x '=+-> 在定义域()0,∞+内分类讨论解含参不等式即可求出（3）由题意得2a > 12x x a += 121=x x 而()()1212f x f x x x --1212ln ln 12x x a x x -=-- 只需证明1212ln ln 2x x x x -<- 即证：11111ln ln 2x x x x ⎛⎫+<- ⎪⎝⎭ 即证：1111ln x x x <-对任意的1(1,)x ∈+∞恒成立即可．【详解】（1）由题可知当12a =时 211()ln 22f x x x x =+- ()112f x x x ∴=+-' ∴(1)0f = 3(1)2f '= ∴切点为(1,0) 切线的斜率为32 ∴切线方程为：30(1)2y x -=- 即3230x y --=（2）对函数()f x 求导可得 ()1(0)f x x a x x '=+->．当2a ≤时 ()120f x x a a x=+-≥-≥'．则()f x 在(0,)+∞上单调递增．当2a >时 ()2110x ax f x x a x x -+=+-=='．则1x =2x = 令()0f x '>，则10x x << 或2x x >．()0f x '<，则12x x x <<综上：当2a ≤时 ()f x 在(0,)+∞上单调递增当2a >时 ()f x在⎛ ⎝⎭和∞⎫+⎪⎪⎝⎭上单调递增 ()f x在⎝⎭上单调递减．（3）()f x 有两个极值1x 2x1x ∴ 2x 是方程210x ax -+=的两个不等实根则2a > 12x x a += 121=x x()()2211122212121211ln ln 22x x ax x x ax f x f x x x x x ⎛⎫+--+- ⎪-⎝⎭=-- ()()()121212*********ln ln ln ln 122x x x x x x a x x x x a a x x x x -+-+---==+--- 1212ln ln 12x x a x x -=--．要证：()()121222f x f x a x x -<--．即证：1212ln ln 2x x x x -<-．不妨设1210x x >>> 即证：11111ln ln 2x x x x ⎛⎫+<- ⎪⎝⎭．即证：1111ln x x x <-对任意的1(1,)x ∈+∞恒成立．令1()ln f x x x x =-+ (1)x >．则()22211110x x f x x x x -+=--=-<'．从而()f x 在(1,)+∞上单调递减故()(1)0f x f <=．所以()()121222f x f x a x x -<--．【点睛】本题考查了切线方程问题考查函数的单调性问题考查导数的应用以及分类讨论思想训练了构造函数法证明不等式的成立属难题.。

高二数学下学期期中考试试卷含答案

高二数学下学期期中考试试卷含答案高二下学期数学期中考试试卷（含答案）时量：120分钟满分：150分一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。

）1.已知全集 $U=R$，集合 $M=\{x|x<1\}$，$N=\{y|y=2x,x\in R\}$，则集合 $\complement_U (M\cup N)$ =（）A。

$(-\infty。

-1]\cup [2,+\infty)$B。

$(-1,+\infty)$C。

$(-\infty,1]$D。

$(-\infty,2)$2.曲线 $f(x)=2x-x^2+1$ 在 $x=1$ 处的切线方程为（）A。

$5x-y-3=0$B。

$5x-y+3=0$C。

$3x-y-1=0$D。

$3x-y+1=0$3.已知函数 $f(x)=\sin(\omegax+\frac{\pi}{3})(\omega>0,0<\frac{\pi}{3}<\omega<\frac{\pi}{2 })$ 的图象与直线 $y=1$ 的交点中相邻两点之间的距离为$2\pi$，且函数 $f(x)$ 的图象经过点 $(\frac{\pi}{6},0)$，则函数 $f(x)$ 的图象的一条对称轴方程可以为（）A。

$x=\frac{\pi}{6}$B。

$x=\frac{\pi}{4}$C。

$x=\frac{\pi}{3}$D。

$x=\frac{\pi}{2}$4.函数 $f(x)=\frac{e^x-1}{x(x-3)}$ 的图象大致是（）A.图略]B.图略]C.图略]D.图略]5.在 $\triangle ABC$ 中，角 $A,B,C$ 的对边分别为$a,b,c$，$C=120^\circ$，若 $b(1-\cos A)=a(1-\cos B)$，则$A=$（）A。

$90^\circ$B。

$60^\circ$C。

$45^\circ$D。

北京市2023-2024学年高二下学期期中测试数学试卷含答案

北京市2023～2024学年第二学期高二数学期中测试（答案在最后）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷第1页至第2页；第Ⅱ卷第2页至第6页，答题纸第1页至第3页．共150分，考试时间120分钟．请在答题纸上侧密封线内书写班级、姓名、准考证号．考试结束后，将本试卷的答题纸交回．第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．）1.函数1()f x x =在3x =处的瞬时变化率为（）A.3- B.9- C.13-D.19-【答案】D 【解析】【分析】根据给定条件，求出函数()f x 在3x =处的导数值即得.【详解】由1()f x x =，求导得21()f x x'=-，所以1(3)9f '=-.故选：D2.设函数()y f x =的导函数图象如图所示，则()f x 的解析式可能是（）A.()exf x = B.()ln f x x=C.()e xf x x =⋅ D.()ln f x x x=⋅【答案】D 【解析】【分析】由图象可得导函数的定义域及单调性，再逐项求导并判断得解.【详解】观察图象知，函数()y f x =的导函数定义域为(0,)+∞，且在(0,)+∞上单调递增，有一个正零点，对于A ，()e x f x '=，其定义域为R ，无零点，不符合题意，A 不是；对于B ，()ln f x x =定义域为(0,)+∞，求导得1()f x x'=，函数()f x '在(0,)+∞上单调递减，不符合题意，B 不是；对于C ，()(1)e x f x x '=+定义域为R ，而零点为1-，不符合题意，C 不是；对于D ，函数()ln f x x x =⋅定义域为(0,)+∞，()1ln f x x '=+在(0,)+∞上单调递增，有唯一零点1ex =，符合题意，D 是.故选：D3.设ξ的分布列如表所示，又设25ηξ=+，则()E η等于（）ξ1234P16161313A.76B.176C.173D.323【答案】D 【解析】【分析】根据分布列求出()E ξ，再根据期望的性质计算可得.【详解】解：依题意可得111117()123466336E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=，所以1732()(25)2()52563E E E ηξξ=+=+=⨯+=．故选：D ．4.已知函数()sin cos f x x x =+，()f x '为()f x 的导函数，则（）A.()()2sin f x f x x '+=B.()()2cos f x f x x '+=C.()()2sin f x f x x -'-=D.()()2cos f x f x x-'-=【答案】B 【解析】【分析】根据基本初等函数的求导公式结合导数的加法运算法则即可得出答案.【详解】解：因为()sin cos f x x x =+，所以()cos sin f x x x '=-，所以()()2cos f x f x x '+=，()()2sin f x f x x '-=.故选：B.5.从1，2，3，4，5中不放回地抽取2个数，则在第1次抽到偶数的条件下，第2次抽到奇数的概率是()A.25B.12C.35D.34【答案】D 【解析】【分析】设事件i A 为“第i 次抽到偶数”，i ＝1，2，则所求概率为()()()12211n A A P A A n A =∣【详解】设事件i A 为“第i 次抽到偶数”，i ＝1，2，则事件“在第1次抽到偶数的条件下，第2次抽到奇数”的概率为：()()()1122321124111C C 3C C 4n A A P A A n A ===∣.故选：D.6.某校高二年级计划举办篮球比赛，采用抽签的方式把全年级10个班分为甲、乙两组，每组5个班，则高二（1）班、高二（2）班恰好都在甲组的概率是（）A.14B.29C.49D.12【答案】B 【解析】【分析】利用概率的古典概型计算公式结合组合的应用即可求得结果.【详解】易知将10个班分为甲、乙两组共有510C 种分组方式，其中高二（1）班、高二（2）班恰好都在甲组的情况共有38C 种，所以高二（1）班、高二（2）班恰好都在甲组的概率是38510C 2C 9P ==.故选：B7.投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为A.0.648B.0.432C.0.36D.0.312【解析】【详解】试题分析：该同学通过测试的概率为，故选A ．考点：次独立重复试验．8.设函数()324f xax bx x =++的极小值为－8，其导函数()y f x ='的图象过点（－2，0），如图所示，则()f x ＝（）A.32243x x x --+ B.3224x x x --+C.34x x -+ D.3224x x x-++【答案】B 【解析】【分析】由题设2()324f x ax bx '=++，根据所过的点可得31b a =+，结合图象求出极小值点并代入()f x 求参数，即可得解析式，注意验证所得参数是否符合题设.【详解】由题设，2()324f x ax bx '=++，则(2)12440f a b '-=-+=，故31b a =+，所以2()32(31)4(32)(2)f x ax a x ax x '=+++=++，令()0f x '=，可得2x =-或23x a=-，由图知：a<0且2x =-处有极小值，所以8488a b -+-=-，即1a =-，2b =-，经验证满足题设，故32()24f x x x x =--+.故选：B9.一道考题有4个答案，要求学生将其中的一个正确答案选择出来．某考生知道正确答案的概率为13，而乱猜时，4个答案都有机会被他选择，则他答对正确答案的概率是（）A.13B.512C.12D.712【答案】C【分析】依题意分两种情况对答对正确答案进行讨论，再利用全概率公式计算可得结论.【详解】根据题意可设“知道正确答案”为事件A ，“他答对正确答案”为事件B ；易知()()13P AB P A ==；而()()()()6141123P AB P A P B =-=⨯=；因此他答对正确答案的概率是()()()216131P B P AB P AB =+=+=.故选：C10.设P 为曲线e x y =上一点，Q 为曲线ln y x =上一点，则|PQ |的最小值为（）A.2B.1C.D.2【答案】C 【解析】【分析】由导数求出两曲线的切线【详解】e x y =，e x y '=，0x =时，1y '=，1y =，所以1y x =+是e x y =图象的一条切线，切点为(0,1)，ln y x =，1y x'=，1x =时，1y '=，0y =，所以1y x =-是ln y x =的图象的一条切线，切点为(1,0)，10101k -==--，这两条切线平行，两切点连线恰好与切线垂直，|PQ |的最小值即为两切点间的距离．所以min PQ =，故选：C ．第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分．）11.设函数()ln xf x x=，则(1)f '=___．【答案】1【解析】【分析】求出函数的导函数，代入计算可得；【详解】解：因为()ln x f x x =，所以()21ln x f x x -'=，所以()21ln1111f -'==；故答案为：112.某不透明纸箱中共有8个小球，其中2个白球，6个红球，它们除颜色外均相同．一次性从纸箱中摸出4个小球，摸出红球个数为X ，则()E X =______．【答案】3【解析】【分析】根据给定条件，可得X 服从超几何分布，再利用超几何分布的期望公式计算即得.【详解】依题意，摸出红球个数X 服从超几何分布，63,484p n ===，所以()3==E X np .故答案为：313.已知随机变量X 的分布列如下：X012Pp0.6若() 1.2E X =，则p =______；当p =______时，()D X 最大．【答案】①.0.1##110②.0.2##15【解析】【分析】根据给定条件，利用分布列的性质，期望公式计算得p 值；利用方差与期望的关系建立关于p 的函数，探讨函数的最大值即可.【详解】由() 1.2E X =，得010.62(0.4) 1.2p p ⨯+⨯+⨯-=，因此0.1p =；依题意，() 1.42E X p =-，2222()010.62(0.4) 2.24E X p p p =⨯+⨯+⨯-=-，因此()()()()()()2222 2.24 1.4240.20.4D X E X E Xp p p =-=---=--+，则当0.2p =时，()D X 取得最大值.故答案为：0.1；0.214.李明自主创业，经营一家网店，每售出一件A 商品获利8元．现计划在“五一”期间对A 商品进行广告促销，假设售出A 商品的件数m （单位：万件）与广告费用x （单位：万元）符合函数模型231m x =-+．若要使这次促销活动获利最多，则广告费用x 应投入_______万元．【答案】3【解析】【分析】设李明获得的利润为()f x 万元，求出()f x 关于x 的表达式，利用基本不等式可求得()f x 的最小值及其对应的x 的值.【详解】设李明获得的利润为()f x 万元，则0x ≥，则()()2161688324251252111f x m x x x x x x x ⎛⎫⎡⎤=-=--=--=-+≤- ⎪⎢⎥+++⎝⎭⎣⎦25817=-=，当且仅当1611x x +=+，因为0x ≥，即当3x =时，等号成立.故答案为：3.【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.15.函数()e ln kxf x x =⋅（k 为常数）的图象可能为______．（选出所有可能的选项）①②③④【答案】①②③【解析】【分析】求导可得()1e ln kxf x k x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭'，并构造函数()1ln g x k x x=+，对参数k 的取值进行分类讨论并得出函数()g x 的最值，进而求得函数()f x 的单调性，即可求得结论.【详解】易知函数()e ln kxf x x =⋅的定义域为()0,∞+，则()1e ln kxf x k x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭'，令()1ln g x k x x =+，可得()2211k kx g x x x x='-=-；显然当0k =时，()ln f x x =，没有对应函数图象；因此0k ≠，当0k <时，易知()210kx g x x -'=<在()0,∞+恒成立，可知()1ln g x k x x=+在()0,∞+上单调递减，易知()110g =>，即()10f '>；当x 趋近于+∞时，()1ln g x k x x=+趋近于-∞；即存在()01,x ∞∈+，使得()00g x =，也即()00f x '=;所以当()00,x x ∈时，()00f x '>，此时()f x 单调递增，当()0,x x ∞∈+时，()00f x '<，此时()f x 单调递减，又易知()10f =，且1x >时()0f x >，1x <时()0f x <，此时图象可能为③；当0k >时，令()210kx g x x -'==，解得1x k=；当10,x k ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '<，此时()g x 在10,k ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减；当1,x k ∞⎛⎫∈+⎪⎝⎭时，()0g x '>，此时()g x 在1,k ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭上单调递增；即()()min 11ln 1ln g x g k k k k k k ⎛⎫==+=-⎪⎝⎭，若0e k <≤时，()()min 1ln 0g x k k =-≥，即()1e ln 0kxf x k x x ⎛⎫=+≥ ⎪⎝⎭'恒成立，此时函数()f x 单调递增，且()10f =，此时图象可能为①；若e k >时，()()min 1ln 0g x k k =-<，即存在两个实数根12,x x ，且()12,0,1x x ∈满足()1ln 0g x k x x=+=，不妨取()120,1x x <∈，因此可得当()10,x x ∈时，()0g x '>，此时()g x 在()10,x 上单调递增；当()12,x x x ∈时，()0g x '<，此时()g x 在()12,x x 上单调递减；当()2,x x ∞∈+时，()0g x '>，此时()g x 在()2,x ∞+上单调递增；且()10f =，因此图象可能为②.由于()0f x =时，1x =，函数不可能有2个零点，故④不可能，故答案为：①②③【点睛】关键点点睛：本题关键在于对函数()f x 求导，构造函数并对参数k 的取值进行分类讨论，进而得出函数单调性即可得出结论.三、解答题：（本大题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）16.已知函数32()324f x x x x=+-（1）求()f x 的图象在点(1,(1))f 处的切线方程；（2）求()f x 的单调区间.【答案】（1）1550x y ++=；（2）单调递增区间是(,4),(2,)-∞-+∞，单调递减区间是(4,2)-.【解析】【分析】（1）求出函数()f x 的导数，利用导数的几何意义求出切线方程即得.（2）由（1）的导函数，解导函数大于0，小于0的不等式即可.【小问1详解】函数32()324f x x x x =+-，求导得2()3624f x x x '=+-，则(1)15f '=-，而(1)20f =-，所以()f x 的图象在点(1,(1))f 处的切线方程为2015(1)y x +=--，即1550x y ++=.【小问2详解】函数32()324f x x x x =+-的定义域为R ，由（1）得)()34((2)f x x x +'=-，由()0f x '>，得<4x -或2x >，由()0f x '<，得42x -<<，所以函数()f x 的单调递增区间是(,4),(2,)-∞-+∞，单调递减区间是(4,2)-.17.某地区组织所有高一学生参加了“科技的力量”主题知识竟答活动，根据答题得分情况评选出一二三等奖若干，为了解不同性别学生的获奖情况，从该地区随机抽取了500名参加活动的高一学生，获奖情况统计结果如下：性别人数获奖人数一等奖二等奖三等奖男生200101515女生300252540假设所有学生的获奖情况相互独立．（1）分别从上述200名男生和300名女生中各随机抽取1名，求抽到的2名学生都获一等奖的概率；（2）用频率估计概率，从该地区高一男生中随机抽取1名，从该地区高一女生中随机抽取1名，以X 表示这2名学生中获奖的人数，求X 的分布列和数学期望EX ；（3）用频率估计概率，从该地区高一学生中随机抽取1名，设抽到的学生获奖的概率为0p ；从该地区高一男生中随机抽取1名，设抽到的学生获奖的概率为1p ；从该地区高一女生中随机抽取1名，设抽到的学生获奖的概率为2p ，试比较0p 与122p p +的大小．（结论不要求证明）【答案】（1）1240（2）分布列见解析，期望12EX =（3）1202p p p +>【解析】【分析】（1）直接计算概率11102511200300C C ()C C P A =；（2）X 的所有可能取值为0,1,2，求出高一男生获奖概率和高一女生获奖概率，再计算概率得到分布列，最后计算期望即可；（3）计算出01350p =，12124p p +=，比较大小即可.【小问1详解】设事件A 为“分别从上述200名男生和300名女生中各随机抽取1名,抽到的2名学生都获一等奖”，则11102511200300C C 1()C C 240P A ==，【小问2详解】随机变量X 的所有可能取值为0,1,2.记事件B 为“从该地区高一男生中随机抽取1名,该学生获奖”,事件C 为“从该地区高一女生中随机抽取1名,该学生获奖”.由题设知,事件B ,C 相互独立,且()P B 估计为1015151,()2005P C ++=估计为252540330010++=.所以1328(0)()()()1151050P X P BC P B P C ⎛⎫⎛⎫====-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,131319(1)()()()()()1151051050P X P BC BC P B P C P B P C ⎛⎫⎛⎫==⋃=+=⨯-+-⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,133(2)()()()51050P X P BC P B P C ====⨯=.所以X 的分布列为X012P28501950350故X 的数学期望()2819310125050502E X =⨯+⨯+⨯=【小问3详解】1202p p p +>，理由：根据频率估计概率得04090135250050200p +===，由（2）知115p =，2310p =，故1213150510224200p p ++===，则1202p p p +>.18.为了解甲、乙两厂的产品质量，从甲、乙两厂生产的产品中分别抽取了几件测量产品中的微量元素x 的含量（单位：毫克）．规定微量元素x 的含量满足：160170x ≤<（单位：毫克）为优质品．甲企业的样本频率分布直方图和乙企业的样本频数分布表如下：含量频数[)150,1551[)155,1602[)160,1654[)165,1702[]170,1751（1）从乙厂抽取的产品中随机抽取2件，求抽取的2件产品中优质品数ξ的分布列及其数学期望；（2）从甲乙两厂的产品中各随机抽取2件，求其中优质品数之和为2的概率；（3）在（2）的条件下，写出甲乙两厂的优质品数之和η的数学期望．（结论不要求证明）【答案】（1）分布列见解析，65（2）37100；（3）115.【解析】【分析】（1）求出ξ的可能值及对应的概率，列出分布列并求出数学期望.（2）利用频率估计概率，求出甲乙厂产品中优质品率，再分别求出抽出的2件产品中优质品数的概率，进而求出优质品数和为2的概率.（3）由（2）的信息求出η的分布列及数学期望.【小问1详解】乙厂抽取的10件产品中优质品数有6件，ξ的可能取值为0,1,2，11224664222101010C C C C 281(0),(1),(0)C 15C 15C 3P P P ξξξ=========，所以ξ的分布列为：ξ012P21581513数学期望为2816()012151535E ξ=⨯+⨯+⨯=.【小问2详解】记甲乙两厂的优质品数分别为,X Y ，由样本频率估计：甲厂产品中优质品率为12，乙厂产品中优质品率为35，21221111111(0)(1),(1)C (1),(2)()2422224P X P X P X ==-===⋅⋅-====，()212234331239(0)(1),(1)C (1,2(5255525525P Y P Y P Y ==-===⋅⋅-====，(2)(0,2)(1,1)(2,0)P X Y P X Y P X Y P X Y +====+==+==191121437425225425100=⨯+⨯+⨯=，所以优质品数之和为2的概率为37100.【小问3详解】由（2）知，η的可能值为0,1,2,3,4，14111214137(0),(1),(2)425254252255100P P P ηηη==⨯===⨯+⨯===，191123199(3),(4)22542510425100P P ηη==⨯+⨯===⨯=，所以η的数学期望11373911()01234255100101005E η=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.19.已知函数()1e xaxf x +=（1）当13a =-时，求()f x 的极值；判断此时()f x 是否有最值，如果有请写出最值（结论不要求证明）（2）若()f x 是单调函数，求a 的取值范围．【答案】（1）()f x 的极小值为413e -，无极大值；最小值为413e-，无最大值；（2）{}0【解析】【分析】（1）求函数()f x 求导，代入13a =-得出函数()f x 在定义域内的单调性可得()f x 在4x =处取得极小值()4143e f =-，也是最小值；（2）对参数a 的取值范围进行分类讨论，得出不同情况下的单调性，满足()f x 是单调函数即可得出结论.【小问1详解】易知()f x 的定义域为R ，由()1exaxf x +=可得()()()2e 1e 1e e x xxxa ax a axf x -+--=='，当13a =-时，()111433e 3ex xxx f x --+-=='，令()0f x '=可得4x =；因此当(),4x ∞∈-时，()0f x '<，此时()f x 在(),4∞-上单调递减，当()4,x ∞∈+时，()0f x '>，此时()f x 在()4,∞+上单调递增，因此可得()f x 在4x =处取得极小值()4143ef =-；所以()f x 的极小值为413e -，无极大值；根据极值与最值得关系可得，此时()f x 在4x =处也取得最小值413e -，无最大值；【小问2详解】由（1）可知，()1e xa axf x '--=，显然当0a =时，()10ex f x '-=<恒成立，此时()f x 为R 上单调递减函数，满足题意；当0a ≠时，令()10e x a axf x --'==，解得1a x a-=；由一次函数1ax y a -=+-的性质可知，当0a >时，1ax y a -=+-为单调递减，若1,a x a ∞-⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，()0f x '>，此时()f x 为1,a a ∞-⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增函数；若1,a x a ∞-⎛⎫∈+⎪⎝⎭，()0f x '<，此时()f x 为1,a a ∞-⎛⎫+ ⎪⎝⎭上单调递减函数；显然此时()f x 不是单调函数，不满足题意；当a<0时，1ax y a -=+-为单调递增，若1,a x a ∞-⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，()0f x '<，此时()f x 为1,a a ∞-⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减函数；若1,a x a ∞-⎛⎫∈+⎪⎝⎭，()0f x '>，此时()f x 为1,a a ∞-⎛⎫+ ⎪⎝⎭上单调递增函数；显然此时()f x 不是单调函数，不满足题意；综上可知，0a =;即a 的取值范围为{}0.20.已知函数()(m )e ,x f x x m R =-∈，.（1）若2m =，求()f x 在区间[1,2]-上的最大值和最小值；（2）设()()=g x x f x ，求证：()g x 恰有2个极值点；（3）若[2,1]x ∀∈-，不等式e 2x k x ≥+恒成立，求k 的最小值.【答案】（1）()()max min e,0f x f x ==.（2）证明见解析（3）min ek =【解析】【分析】（1）求得()(1)e x f x x '=-，令()0f x '=，可得1x =，求得函数的单调区间，结合极值的概念与计算，即可求解；（2）求得2()[(2)]e x g x x m x m '=----，结合0∆>，得到方程2(2)0x m x m ---=有两个不同的根，结合极值点的定义，即可求解；（3）根据题意转化为[2,1]x ∀∈-，不等式2e x x k +≥恒成立，设2()xx h x +=e，利用导数求得函数()h x 的单调性与最大值，即可求解.【小问1详解】解：由函数()(2)e x f x x =-，可得()(1)e x f x x '=-，令()0f x '=，可得1x =，则()(),,x f x f x '的关系，如图下表：x1-(1,1)-1(1,2)2()f x '+0-()f x 3(1)ef -=极大值(1)ef =(2)0f =综上可得，函数max min ()(1),()(2)0f x f e f x f ====.【小问2详解】解：由函数2()()()x g x xf x mx x e ==-，可得22()(2)e [(2)]e x x g x mx x m x x m x m '=-+-=----，因为22(2)440m m m ∆=-+=+>，所以方程2(2)0x m x m ---=有两个不同的根，设为12,x x 且12x x <，则有x1()x -∞，1x 12()x x ，2x 2(,)x ∞+()g x '-0+0-()g x极小值极大值综上可得，函数()g x 恰有2个极值点.【小问3详解】解：因为e 0x >，所以[2,1]x ∀∈-，不等式2e xx k +≥恒成立，设2()xx h x +=e，可得2(2)(1)()x x x x e x e x h x e e -+--'==，所以()(),,x h x h x '的关系，如图下表：x 2-(2,1)--1-(1,1)-1()h x '+0-()h x (2)0h -= 极大值(1)eh -=3(1)eh =所以max ()(1)e k h x h ≥=-=，所以实数k 的最小值为e .【点睛】方法技巧：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．21.对任意正整数n ，记集合(){}121212,,,,,,,n nnn A a a a a a aa a a n =⋅⋅⋅⋅⋅⋅∈++⋅⋅⋅+=N ，(){}121212,,,,,,,2n n n n B b b b b b b b b b n =⋅⋅⋅⋅⋅⋅∈++⋅⋅⋅+=N ．()12,,,n n a a a A α=⋅⋅⋅∈，()12,,,n n b b b B β=⋅⋅⋅∈，若对任意{}1,2,,i n ∈⋅⋅⋅都有i i a b ≤，则记αβ<．（1）写出集合2A 和2B ；（2）证明：对任意n A α∈，存在n B β∈，使得αβ<；（3）设集合(){},,,n nnS A B αβαβαβ=∈∈<．求证：nS中的元素个数是完全平方数．【答案】（1）()()(){}22,0,0,2,1,1A =，()()()()(){}24,0,3,1,2,2,1,3,0,4B =（2）证明见解析（3）证明见解析【解析】【分析】（1）根据集合n A 与n B 的定义，写出集合2A 和2B 即可；（2）任取()12,,,n n a a a A α=⋅⋅⋅∈，令()121,1,,1n a a a β=++⋅⋅⋅+，只需证明n B β∈，即可证明结论成立；（3）通过集合n A 、n B 、n S 的定义，说明满足条件的解对()()()1212,,,,,,,nna a ab b b ⋅⋅⋅⋅⋅⋅与方程12n x x x n ++⋅⋅⋅+=的两解组成对()()()1212,,,,,,,n n a a a z z z ⋅⋅⋅⋅⋅⋅是一一对应的关系.进而证明n S 中的元素个数是完全平方数.【小问1详解】()()(){}22,0,0,2,1,1A =，()()()()(){}24,0,3,1,2,2,1,3,0,4B =【小问2详解】任取()12,,,n n a a a A α=⋅⋅⋅∈，令()121,1,,1n a a a β=++⋅⋅⋅+，则αβ<，同时1i a +∈N ，{}1,2,,i n ∈⋅⋅⋅且()1112n niii i a n an ==+=+=∑∑，则n B β∈，所以对任意n A α∈，存在n B β∈，使得αβ<；【小问3详解】设方程：12n x x x n ++⋅⋅⋅+=①，122n y y y n ++⋅⋅⋅+=②()12,,,n a a a ⋅⋅⋅是方程①的解，()12,,,n b b b ⋅⋅⋅是方程②的解；若()12,,,n a a a α=⋅⋅⋅，()12,,,n b b b β=⋅⋅⋅，αβ<，即()()()1212,,,,,,,nna a ab b b ⋅⋅⋅ 是一个满足条件的解对，令i i i z b a =-（1i =，2，…，n ），则122n z z z n n n ++⋅⋅⋅+=-=，则（1z ，2z ，…，n z ）是方程①的解，即当()()()1212,,,,,,,nna a ab b b ⋅⋅⋅⋅⋅⋅是满足条件的解对时，()()()1212,,,,,,,nna a a z z z ⋅⋅⋅⋅⋅⋅是方程①的一对解对；反之()()()1212,,,,,,,nna a a z z z ⋅⋅⋅⋅⋅⋅是方程①的解时，令i i i b a z =+，则()()()1212,,,,,,,nna a ab b b ⋅⋅⋅⋅⋅⋅是满足条件的解对．即满足条件的解对()()()1212,,,,,,,nna a ab b b ⋅⋅⋅⋅⋅⋅与方程①的两解组成对()()()1212,,,,,,,nna a a z z z ⋅⋅⋅⋅⋅⋅是一一对应的关系．所以满足条件解对个数2m m m ⨯=，即n S 中的元素个数是完全平方数．。

高二下学期期中考试数学试卷含答案

高二下学期期中考试数学试卷含答案下学期期中考试数学试题一、选择题1.已知i是虚数单位，z是z的共轭复数，若z(1+i)=3+2i，则z的虚部为（）。

A。

-1B。

iC。

-iD。

12.把4个不同的小球全部放入3个不同的盒子中，使每个盒子都不空的放法总数为（）。

A。

2B。

3C。

4D。

53.曲线y=xex+1在点(0,1)处的切线方程是（）。

A。

2x-y+1=0B。

x-y+1=0C。

x-y-1=0D。

x-2y+2=04.函数f(x)=xlnx的单调递减区间是（）。

A。

(0,1/e)B。

(1/e,0)C。

(e,+∞)D。

(-∞,0)5.二项式1+x+x2(1-x)展开式中x4的系数为（）。

A。

120B。

135C。

140D。

1006.设随机变量的分布列为P(X=k)=C(6,k)/2^6，则P(X≥3)的值为（）。

A。

1B。

7/8C。

5/8D。

3/87.将2名教师、4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有（）种。

A。

10B。

12C。

9D。

88.设函数f(x)在R上可导，其导函数f'(x)，且函数f(x)在x=-2处取得极小值，则函数y=xf'(x)的图像可能是（）。

A.B.C.D.9.若z∈C且z+2-2i=1，则z-1-2i的最小值是（）。

A。

3B。

2C。

4D。

510.在10件产品中，有3件一等品，4件二等品，3件三等品，从这10件产品任取3件，取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率是（）。

A。

37/120B。

3/10C。

4/9D。

1/211.已知(1-x)^10=a+a1x+a2x^2+。

+a10x^10，则a8的值为（）。

A。

-180B。

45C。

180D。

-4812.定义在R上的函数f(x)满足f(x)+f'(x)>1，f(0)=4，则不等式exf(x)>ex+3的解集为（）。

A。

(0,+∞)B。

高二数学期中考试试题

高二数学期中考试试题一、选择题：（每题5分共60分）1.已知a，b，c是△abc三边之长，若满足等式(a＋b－c)(a＋b＋c)＝ab，则角c的大小为()a．60°b．90°c．120°d．150°2.已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于()a.12b.22c.2d.323.在△abc中，已知sinacosb＝sinc，那么△abc一定是()a．直角三角形b．等腰三角形c．等腰直角三角形d．正三角形4.如果,那么下列不等式成立的是（）a．b．c．d．5.目标函数，变量满足，则有（）a．b．无最小值c．无最大值d．既无最大值，也无最小值6.下列有关命题的说法正确的是a．命题“若，则”的否命题为：“若，则”；b．命题“使得”的否定是：“均有”；c．在中，“”是“”的充要条件；d．“或”是“”的非充分非必要条件.7..设f(n)＝2＋24＋27＋210＋…＋23n＋1(n∈n*)，则f(n)等于（）a.27(8n－1)b.27(8n＋1－1)c.27(8n＋3－1)d.27(8n＋4－1)8.已知等差数列的前项和为，，，取得最小值时的值为（）a．b．c．d．10.若点o和点f分别为椭圆x24＋y23＝1的中心和左焦点，点p 为椭圆上的任意一点，则op→fp→的最大值为()a．2b．3c．6d．8二.填空题（每题5分共20分）13.不等式的解集是，则a＋b的值是14.已知数列满足，，则的最小值为____.15.已知椭圆的焦点是,Ｐ为椭圆上一点，且是和的等差中项.若点p在第三象限，且∠＝120°，则.16.已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左，右焦点分别为f1(－c,0)，f2(c,0)，若椭圆上存在点p使asin∠pf1f2＝csin∠pf2f1成立，则该椭圆的离心率的取值范围为________．三、解答题(每题12分)17.命题p：关于x的不等式对于一切恒成立，命题q：若为真，为假，求实数a的取值范围。

高二数学下学期期中试卷含解析试题

金山中学2021学年度第二学期高二年级数学学科期中考试卷〔时间是120分钟满分是150分〕一、填空题(本大题满分是54分)本大题一一共有12题，其中第1题至第6题每一小题4分，第7题至第12题每一小题5分，考生应在答题纸上相应编号的空格内直接填写上结果，否那么一律得零分．，假设，那么实数=____【答案】3【解析】因为，所以的反函数为，那么________.【答案】0【解析】【分析】利用反函数的性质转化为求方程的解.【详解】令，那么，故，填.【点睛】一般地，单调函数必有反函数，并且原函数的值域就是反函数的定义域，原函数的定义域就是反函数的值域.的最小正周期________.【答案】【解析】【分析】利用行列式的计算规那么可以得到，故可求得函数的最小正周期.【详解】，故最小正周期，填.【点睛】一般地，正弦型函数的最小正周期为.与三角函数的函数，要求其周期、对称中心等需把函数化成根本型〔、、〕.的焦点与圆的圆心重合，那么m的值是________.【答案】【解析】【分析】抛物线的焦点坐标为，圆的圆心坐标为，利用两者一样可得的值.【详解】抛物线的焦点坐标为，圆的圆心坐标为，故即，填. 【点睛】圆的一般方程为，其圆心为，注意.求圆锥曲线的根本量时，需要把圆锥曲线的方程写成HY形式，便于根本量的计算.5.假设圆柱的侧面展开图是一个正方形，那么它的母线长和底面半径的比值是__________．【答案】【解析】试题分析：设圆柱的底面半径为r,母线长为l，由题意r=l，∴考点：此题考察了圆柱展开图的性质点评：掌握圆柱的性质是解决此类问题的关键，属根底题6.一个正四棱锥的底面正方形边长为2，侧棱长为2，那么该棱锥的侧棱与底面所成角的大小为________.【答案】.【解析】【分析】利用底面为正方形可以得到底面的对角线的长度为，再利用为直角三角形得到，从而求出侧棱与底面所成的角.【详解】如图，，，因为底面为正方形，故，故，因为锐角，故，填.【点睛】一般地，在正棱锥中，有四个直角三角形〔如下图，〕，它们沟通了棱锥的侧棱、底边的边长、斜高和高之间的关系，关于棱锥的计算问题中，注意利用这四个直角三角形实现不同量之间的转化.7.假设一个圆锥的母线长为2，母线与旋转轴的夹角大小为，那么这个圆锥的侧面积为______.【答案】.【解析】【分析】该圆锥的轴截面为等边三角形，故底面圆的半径为，利用公式可以计算其侧面积.【详解】因为母线与旋转轴的夹角为，故轴截面为等边三角形，其底面圆的半径为，该圆锥的侧面积为，填.【点睛】旋转体〔如圆锥、圆柱、圆台等〕的轴截面中有底面的半径、母线长和体高等几何量，因此关于旋转体的侧面积、外表积和体积等计算应该利用轴截面来沟通不同几何量之间的关系.，，，并且该长方体的八个顶点都在一个球的球面上，那么此球的外表积为____________．【答案】【解析】9.从甲、乙、丙、丁四个人中任选两名志愿者，那么甲被选中的概率是．【答案】【解析】试题分析：从甲、乙、丙、丁四个人中任选两名志愿者有〔甲，乙〕、〔甲，丙〕、〔甲，丁〕、〔乙，丙〕、〔乙，丁〕、〔丙，丁〕六种取法，其中甲被选中有〔甲，乙〕、〔甲，丙〕、〔甲，丁〕三种，所以甲被选中的概率为考点：本小题主要考察古典概型概率的求解.点评：求古典概型概率时，要保证每一个根本领件都是等可能的.中，为边BC的中点，动点E在线段AD上挪动时，假设，那么的最大值为________.【答案】.【解析】【分析】利用三点一共线可以得到，利用不一共线可得，所以，利用根本不等式可求最大值.【详解】因为一共线，故存在，使得，而且不一共线，所以，消去得到.，当时，有最大值，填.【点睛】一般地，假如为不在直线上的定点，为直线的点，那么存在实数使得.的左、右顶点分别为是椭圆上不同于、的一点，直线、的倾斜角分别为、，那么________.【答案】【解析】【分析】利用点在椭圆上可得，也就是，再利用两角和、差的余弦和同角的三角函数的根本关系式得到后代入前者可得所求之值.【详解】设，那么，所以，又，填.【点睛】一般地，椭圆的左右顶点分别为，对于椭圆上任意异于的点，都有，椭圆中不少定点定值问题都和它有关.的棱长为2，为过直线的平面，那么截该正方体的截面面积的取值范围是________.【答案】【解析】【分析】建立空间直角坐标系，设与棱的交点为，利用空间向量计算到的最小间隔和最大间隔可得面积的最值.【详解】建立如下图的空间直角坐标系，那么，设与棱的交点为，与棱的交点为，那么四边形为平行四边形.在面内过作的垂线，垂足为，那么截面的面积为.设，，那么，.因为，故即，故.因，故.又，其中，所以，故，填.【点睛】空间中点到直线的间隔的计算，可把间隔放在可解的几何图形中，利用解三角形等方法计算该间隔，假如找不到适宜的几何图形“安置〞该间隔，那么可以建立空间直角坐标系，通过空间向量的方法计算该间隔 .二、选择题(本大题满分是20分)本大题一一共有4题，每一小题只有一个正确答案.考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否那么一律得零分．13.是空间三条不同的直线，那么以下命题正确的选项是〔〕A. B.C. 一共面D. 一共点一共面【答案】B【解析】试题分析：根据空间两条直线所成角的概念“空间中假如一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或者互补〞可知B选项正确.考点：空间线面平行、垂直关系的证明．，那么的值是〔〕A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】展开式中，的正负是交织出现且，故，在展开式中令可得该式的值.【详解】，其中.故，在展开式中令，那么有，应选B.【点睛】二项展开式中，关于系数和的计算，通常用赋值法来求和式的值，赋何值需根据和式的特征来选取.和对任意的都有，当时，数列和的极限分别是和，那么〔〕A. B.C. D. 和的大小关系不确定【答案】B【解析】【分析】因为，故两者的极限满足.【详解】因为，故即，应选B.【点睛】此题考察数列极限的性质，属于根底题.16.的一边在平面内，，点在平面内的射影为点，那么与的大小关系为〔〕A. B.C. D. 以上情况都有可能【答案】D【解析】【分析】考虑两种动态变化的情况：〔1〕为锐角三角形时，考虑绕边旋转时变化的情况；〔2〕当为钝角时，考虑绕边旋转时变化的情况.【详解】分情况讨论：〔1〕为锐角三角形时，当绕顺时针旋转时〔起始位置为与重合〕，从变化到〔平面平面时〕，故旋转过程中会有.〔2〕为钝角时，当绕顺时针旋转时〔起始位置为与重合〕，从变化到〔平面平面时〕，故旋转过程中会有.综上，应选D.【点睛】比拟空间角的大小关系时，假如直接计算比拟它们的大小比拟困难时，那么可考虑在动态变化过程中特定角变化的过程，从而得到两者之间的大小关系.三、解答题(本大题满分是76分)本大题一一共有5题，解答以下各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．，其中，，为虚数单位. 假设是方程的一个根，且在复平面内对应的点在第一象限，求与的值.【答案】,【解析】【分析】先计算出方程的复数根，再利用复数相等得到满足的方程组，解这个方程组可以得到与的值.【详解】解：方程的根为.又在复平面内对应的点在第一象限，故，所以 .解得.又，故.从而.所以，.【点睛】〔1〕实系数的一元二次方程必有两个复数根且它们是一共轭复数.〔2〕两个复数相等的等价条件是它们的实部与虚局部别相等.的右焦点为，且过点. 过焦点且与轴不重合的直线与椭圆交于、两点(点在轴上方)，点关于坐标原点的对称点为，直线、分别交直线于、两点.(1) 求椭圆的方程；(2) 当直线的斜率为时，求的值.【答案】(1);(2)【解析】【分析】〔1〕利用右焦点和椭圆所过之点得到关于的方程组，解这个方程组可以得到椭圆方程. 〔2〕联立直线方程和椭圆方程，解出交点坐标再通过直线求得的坐标后得到.【详解】(1)由, 解得.所以椭圆的方程为.(2)直线的方程为.由，得或者.所以，，从而.因此，直线的方程为，.直线的方程为，..【点睛】求椭圆的HY方程，关键是根本量确实定，方法有待定系数法、定义法等.直线与椭圆的位置关系，需联立直线方程和椭圆方程，消元后判断所得一元二次方程的解的个数，有时方程的解不易解出，那么需要考虑把目的表示成关于两根之和、两根之积的代数式，再用韦达定理化简.19.如图，四棱锥的底面是边长为2的正方形，平面，且四棱锥的体积为，是的中点.(1) 求异面直线与所成角的大小；(2) 求点到平面的间隔 .【答案】(1);(2)【解析】【分析】〔1〕连接，它们交于，连接，那么或者其补角为异面直线所成的角，解三角形可得的大小.〔2〕先计算，再利用等积计算点到平面的间隔 .【详解】(1)平面，由，得.连结、交于点,连结,那么.故是异面直线与所成的角.又，，.在中，,又为锐角，故. 故异面直线与所成角的大小为.(2)设点到平面的间隔为，那么. 又.由，得.即点到平面的间隔为.【点睛】异面直线所成的角的计算，可通过平移把空间角归结为平面角，再通过解三角形等方法计算角的大小.点到平面的间隔的计算，可利用面面垂直构建线面垂直，从而得到点到平面的间隔，也可以利用等积法来计算.，函数.(1) 假设，求的单调递减区间；(2) 假设为奇函数，且关于的不等式对所有的恒成立，务实数的取值范围；(3) 当时，假设方程有三个不相等的实数根、、，且，务实数的值.【答案】(1)的单调递减区间为和;(2);(3)【解析】【分析】〔1〕去绝对值符号后画出函数的图像，从而得到函数的单调减区间.〔2〕根据函数为奇函数可得，再利用去掉绝对值符号，最后参变别离求的取值范围.〔3〕先去掉绝对值符号，画出函数图像，因为有三个不同的解，可以得到其中有两个根的和为，再利用求根公式求出最大根，从而得到关于的方程，解方程可得的值. 【详解】(1) 当时，.如图知，的单调递减区间为和.(2) 由为奇函数，得，解得.当时，.从而，.又在上递增，故当时，.故.(3)当时，.如图，要有三个不相等的实根，那么，解得.不妨设，当时，由，即，得.当时，由，即，得.由，解得.因，得的值是.【点睛】此题中的函数实际上是分段函数，解决与之相关的不等式、方程等问题，可由数形结合来分析.注意一元二次不等式的恒成立问题，优先考虑参变别离的方法.，使得数列满足对一切恒成立，那么称为“可控数列〞.(1) 假设数列的通项公式为，试判断数列是否为“可控数列〞？并说明理由；(2) 假设是首项为5的“可控数列〞，且单调递减，问是否存在常数，使？假设存在，求出的值；假设不存在，请说明理由；(3) 假设“可控数列〞的首项为2，，求不同取值的个数及最大值.(直接写出结果)【答案】(1)为“可控数列〞;(2);(3)的不同取值个数是2021，最大值为2021 【解析】【分析】〔1〕根据定义验证即可.〔2〕利用为可控数列且单调递减得到，再利用累加法求得数列的通项为，分别讨论和时的极限后可得的大小.〔3〕当为递增数列时，最大且最大值为，当为递减数列时，最小且最小值值为，又必为奇数，故不同的取值个数为2021.【详解】(1) ，.故为“可控数列〞.(2) 假设存在常数满足题意.由是单调递减的“可控数列〞，得.累加，得.当时，，不合题意.当时，，.令，得.故的值是.(3) 的不同取值个数是2021，最大值为2021.【点睛】数列中的新定义问题，应根据定义得到数列满足的递推关系，再利用常见的数列通项的求法〔如累加法、累乘法、待定系数法等〕求得通项，最后在通项的根底上讨论数列的性质.励志赠言经典语录精选句；挥动**，放飞梦想。

高二数学下学期期中考试试卷含答案(word版)

第二学期期中考试高二级数学试卷考试时间：120分钟满分：150分第Ⅰ卷一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知命题:,sin 1p x x ∀∈≤R ，它的否定是（） A ．存在,sin 1x x ∈>R B ．任意,sin 1x x ∈≥R C ．存在,sin 1x x ∈≥R D ．任意,sin 1x x ∈>R2．已知复数z 满足（z-1）i=i+1，复平面内表示复数z 的点位于（） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．函数()f x 在0x=x 处导数存在，若p ：f ‘（x 0）=0；q ：x=x 0是()f x 的极值点，则( ) A ．p 是q 的充分必要条件B ．p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件C ．p 是q 的必要条件，但不是 q 的充分条件D ． p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件4．有下列命题：①若0xy =，则0x y +=；②若a b >，则a c b c +>+；③矩形的对角线互相垂直．其中真命题有（）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个5．设复数z=()()12i i a ++为纯虚数，其中a 为实数，则a =（）A ．2-B ．12-C ． 12 D ．26．双曲线2214y x -=的渐近线方程和离心率分别是（）A ． 2,y x e =±=B ． 1,2y x e =±=C ．1,2y x e =± D ．2,y x e =±=7．若函数()ln f x x x =-的单调递增区间是( ) A ．()0,1 B ．()0,e C ．()0,+∞ D ．()1,+∞8．按照图1——图3的规律，第10个图中圆点的个数为（）个． A ．40 B ．36 C ．44 D ．52图1图2图39．某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表：广告费用x (万元) 4 2 3 5 销售额y (万元)49263954根据上表可得回归方程y bx a =+ 中的b 为9．4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为( )． A ．63.6万元B ．65.5万元C ．67.7万元D ．72.0万元10．甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩，老师说，你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩，看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩，根据以上信息，则( )A ．乙可以知道两人的成绩B ．丁可能知道两人的成绩C ．乙、丁可以知道自己的成绩D ．乙、丁可以知道对方的成绩11．已知函数3()63f x x bx b =-+在(0,1)内有极小值，则b 的取值范围是( )A ． ,0-∞B ．1(0,)2C ． 1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ． ()0,112．设A 、B 是椭圆C ：2213x y m+=长轴的两个端点，若C 上存在点M 满足∠AMB =120°，则m 的取值范围是( )A ．(0,1][4,)+∞B ．3][4,)+∞C ．(0,1][9,)+∞D ．3][9,)+∞第II 卷二．填空题：本大题共4小题．每小题5分，满分20分． 13．设()11i x yi +=+，其中,x y 是实数，则x yi += ．14．如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中“更相减损术”．执行该程序框图，若输入的a ，b 分别为98、63，则输出的a = ．15．已知双曲线的顶点为椭圆2212y x +=长轴的端点，且双曲线的离心率与椭圆的离心率的乘积等于1，则双曲线的方程是16．已知曲线ln y x x =+在点 ()1,1处的切线与曲线()221y ax a x =+++ 相切，则a = ．三．解答题：本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．17．（本小题满分12分）已知:p 关于x 的方程210x mx ++=有两个不等的负根；:q 关于x 的方程244(2)10x m x +-+=无实根。

2021-2022学年天津市南开中学高二下学期期中数学试题(解析版)

2021-2022学年天津市南开中学高二下学期期中数学试题一、单选题1．下列求导运算正确的是（） A ．(cos )sin 33'=-ππB ．1(ln )(ln )x x x x x'=+e eC ．1(ln 2)2x x'= D ．(3)3x x '=【答案】B【分析】根据基本初等函数的导数公式及导数的四则运算和复合函数求导数的法则即可求解. 【详解】对于A ，11cos ,cos 03232''⎛⎫⎛⎫=∴== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ππ，故A 不正确；对于B ，()()1(ln )l l n l n n x x x x x x x x x ⎛⎫'''==+ ⎪⎭+⎝e e e e ，故B 正确；对于C ，()11(ln 2)22x x x x''==，故C 不正确；对于D ，(3)3ln 3x x '=，故D 不正确. 故选：B.2．函数()f x 的图象如图所示，则不等式(2)()0x f x '+<的解集（）A ．(,2)(1,1)-∞--B ．()(,2)1,2-∞-⋃C ．(,2)(1,)-∞-+∞D ．()2,1(1,)--⋃+∞【答案】A【分析】先通过原函数的单调性判断导函数的正负，在判断(2)()x f x '+的正负即可【详解】由函数()f x 的单调性可得，在()(),1,1,∞∞--+上()0f x '>，在()1,1-上()0f x '<又因为2x +在()2-∞，-为负，在()2-+∞，为正故(2)()0x f x '+<的区间为(,2)(1,1)-∞-- 故选：A3．()25y x x y x ⎛⎫ ⎪⎭+⎝-的展开式中42x y 的系数为（）A ．3B ．5C ．9D ．10【答案】C【分析】根据二项式定理分析出42x y 在第几项即可. 【详解】()()()22555y y x x y x x y x y x x ⎛⎫ +⎪⎝⎭-=+-+ ，在()5x x y +中出现42x y 的项是23242510xC x y x y = ，在()25y x y x-+ 中出现42x y 的项是205425y C x x y x -=- ，所以其系数为10-1=9；故选：C.4．用0，1，2，3，4，5可以组成无重复数字且能被2整除的三位数的个数是（） A ．50 B ．52 C ．54 D ．56【答案】B【解析】特殊元素优先考虑，即优先考虑个位数是0的情况，再考虑不是0的情况，最后将所有结果加起来即可.【详解】能被2整除的三位数是偶数，当个位数是0时，有25A 种情形；当个位数是2或4时，其中最高位不能是0，则有111244C C C ⋅⋅种情形，因此，能被2整除的三位数的个数是2111524452A C C C +⋅⋅=种.故选：B【点睛】本题考查排列组合中的排数问题，属于基础题.5．安排5名班干部周一至周五值班，每天1人，每人值1天，若甲、乙两人要求相邻两天值班，甲、丙两人都不排周二，则不同的安排方式有（） A ．13 B ．18 C ．22 D ．28【答案】D【解析】根据题意，分两类，第一类，乙安排在周二，第二类，乙不安排在周二，根据分类计数原理可得.【详解】第一类，乙安排在周二，则有33212A =种，第二类，乙不安排在周二，则从甲乙丙以外的2人中选1人，安排在周二，把甲乙安排在周三周四或周四周五，其余人任意排，故有1122222216A C A A =种，根据分类计数原理可得，共有121628+=种，故选：D【点睛】本小题主要考查分类加法计数原理，属于基础题.6．某大街在甲、乙、丙三处设有红绿灯，汽车在这三处遇到绿灯的概率分别是112,,323，则汽车在这三处共遇到两次绿灯的概率为（） A ．19B ．16C ．13D ．718【答案】D【分析】把汽车在三处遇两次绿灯的事件M 分拆成三个互斥事件的和，再利用互斥事件、对立事件、相互独立事件的概率公式计算得解.【详解】汽车在甲、乙、丙三处遇绿灯的事件分别记为A ，B ，C ，则112(),(),()323P A P B P C ===，汽车在三处遇两次绿灯的事件M ，则M ABC ABC ABC =++，且ABC ，ABC ，ABC 互斥，而事件A ，B ，C 相互独立，则112112112()()()()(1)(1)(1)323323323P M P ABC P ABC P ABC =++=⨯⨯-+⨯-⨯+-⨯⨯718=，所以汽车在这三处共遇到两次绿灯的概率为718. 故选：D7．将5名支援某地区抗疫的医生分配到A 、B 、C 三所医院，要求每所医院至少安排1人，则其中甲、乙两医生恰分配到相同医院的概率为（） A ．12B ．625C ．716 D ．49【答案】B【分析】由已知，5名医生分配到三所医院，每所医院至少安排1人，有“311++”和“221++”两种人数分配方法，分别计算两种分配方法的数目以及满足甲、乙两医生恰分配到相同医院的分配数目，然后加在一起，利用古典概型的公式即可完成求解. 【详解】由已知，5名医生分配到三所医院，每所医院至少安排1人，则人数的分配方法有“311++”和“221++”两种，分别是：①，若采用“311++”时，共有31152122C C C 10A =种分堆方法，再分配到三所医院，共有3113521322C C C A 60A =种分配方法，其中甲、乙两医生恰分配到相同医院，需要将甲、乙两医生放到3人组，并从其他3位医生中再选一位凑够3人，剩下的全排，共有1333C A 18=种分配方法；②，若采用“221++”时，共有22153122C C C 15A =种分堆方法，再分配到三所医院，共有2213531322C C C A 90A =种分配方法，其中甲、乙两医生恰分配到相同医院，需要将甲、乙两医生放到2人组，分配剩下的3人，为2131C C 3=种，然后再全排，共有213313C C A 18=种分配方法；所以，5名医生分配到三所医院，每所医院至少安排1人，则人数的分配方法共有 6090150+=种分配方法，甲、乙两医生恰分配到相同医院的分配方法有181836+=种，所以甲、乙两医生恰分配到相同医院的概率为36615025P ==. 故选：B.8．有甲、乙两个袋子，甲袋子中有3个白球，2个黑球；乙袋子中有4个白球，4个黑球．现从甲袋子中任取2个球放入乙袋子，然后再从乙袋子中任取一个球，则此球为白球的概率为（） A ．25B ．1325C ．12D ．35【答案】B【分析】根据独立事件与古典概型计算分从甲袋子取出2个白球放入乙袋子、从甲袋子取出2个黑球放入乙袋子和从甲袋子取出1个白球和1个黑球放入乙袋子三种情况讨论，从而可得出答案．【详解】解：若从甲袋子取出2个白球放入乙袋子，然后再从乙袋子中任取一个球，则此球为白球的概率为213621510950C C C C ⋅=；若从甲袋子取出2个黑球放入乙袋子，然后再从乙袋子中任取一个球，则此球为白球的概率为212421510125C C C C ⋅=；若从甲袋子取出1个白球和1个黑球放入乙袋子，然后再从乙袋子中任取一个球，则此球为白球的概率为11132521510310C C C C C ⋅⋅=． ∴从甲袋子中任取2个球放入乙袋子，然后再从乙袋子中任取一个球，则此球为白球的概率为9131350251025++=．故选：B.9．已知函数()32391f x x mx mx =-++在()1,+∞上为单调递增函数，则实数m 的取值范围为（） A ．(),1-∞- B ．[]1,1- C ．[]1,3 D ．[]1,3-【答案】D【分析】求导，由单调性得到23690x mx m -+≥在()1,+∞上恒成立，由二次函数数形结合得到不等关系，求出m 的取值范围.【详解】()2369f x x mx m '=-+，因为()f x 在()1,+∞上为单调递增函数，所以23690x mx m -+≥在()1,+∞上恒成立，令()2369g x x mx m =-+，要满足()61610m x f -⎧=-≤⎪⎨⎪≥⎩①，或()6160m x f m -⎧=->⎪⎨⎪≥⎩②，由①得：[]1,1m ∈-，由②得：(]1,3m ∈，综上：实数m 的取值范围是[]1,3-. 故选：D10．若2x =是函数()()2224ln f x x a x a x =+--的极大值点，则实数a 的取值范围是（） A ．(),2-∞- B ．()2,-+∞ C ．()2,+∞ D ．()2,2-【答案】A【分析】求出()f x '，分0a ≥，2a <-，20a -<<，2a =-分别讨论出函数的单调区间，从而可得其极值情况，从而得出答案.【详解】()()()()()22224224222x a x a x x a a f x x a x x x+---+'=+--==，()0x > 若0a ≥时，当2x >时，()0f x '>；当02x <<时，()0f x '<；则()f x 在()0,2上单调递减；在()2,+∞上单调递增.所以当2x =时，()f x 取得极小值，与条件不符合,故满足题意.当2a <-时，由()0f x '>可得02x <<或x a >-；由()0f x '<可得2x a <<- 所以在()0,2上单调递增；在()2,a -上单调递减，在(),a -+∞上单调递增. 所以当2x =时，()f x 取得极大值，满足条件.当20a -<<时，由()0f x '>可得0x a <<-或2x >；由()0f x '<可得2a x -<< 所以在()0,a -上单调递增；在(),2a -上单调递减，在()2,+∞上单调递增. 所以当2x =时，()f x 取得极小值，不满足条件.当2a =-时，()0f x '≥在()0,∞+上恒成立，即()f x 在()0,∞+上单调递增. 此时()f x 无极值. 综上所述：2a <-满足条件故选：A 二、填空题11．在82x⎛⎝的展开式中，1x 的系数是___________. 【答案】112【分析】由二项式定理求解【详解】由二项式定理知82x⎛ ⎝的展开式的通项为()()38882188221rr rr rr r r T C x C x---+⎛==- ⎝ 令3812r -=-得6r =故7112T x=故答案为：11212．已知函数()ln f x x ax =+的图象在点(1,(1))f 处的切线过点(2,1)，则=a ________．【答案】0【分析】根据导数的几何意义可求出函数()f x 在点(1,(1))f 的切线方程，把点(2,1)代入切线方程即可求出a 的值.【详解】因为()ln f x x ax =+，所以1()f x a x'=+，设函数()f x 在点(1,(1))f 处切线的斜率为k ，则(1)1k f a '==+，又因为(1)f a =，所以函数()f x 在点(1,(1))f 的切线方程为(1)(1)y a a x -=+-，因为切线过点(2,1)，所以1(1)(21)a a -=+-，解得0a =. 故答案为：0.13．抛郑红、蓝两颗质地均匀的骰子，记事件A 为“蓝色骰子的点数为4或6”，事件B 为“两颗骰子的点数之和大于8”，则在事件A 发生的条件下事件B 发生的概率为___________．【答案】120.5【分析】分别求出事件A ,事件B 和事件AB 同时发生的概率，由条件概率的公式计算即可.【详解】解：抛掷红、蓝两颗骰子，事件总数为6636⨯=，事件A 的基本事件数为6212⨯=，∴121()363==P A ，由于366345548,4664558,56658,668+=+=+=+>+=+=+>+=+>+>，所以事件B 的基本事件数为432110+++=， ∴105()3618==P B ，事件AB 同时发生的概率为，61()366P AB ==，由条件概率公式，得()()()12P AB P B A P A ==，故答案为：1214．箱子中有6个大小、材质都相同的小球，其中4个红球，2个白球.每次从箱子中随机有放回摸出一个球，共摸2次，记“X ”表示摸到红球个数，则()E X =__________.【答案】43【分析】由题可得22,3XB ⎛⎫⎪⎝⎭，即得. 【详解】由题可知从箱子中随机有放回摸出一个球为红球的概率为4263=，所以22,3XB ⎛⎫ ⎪⎝⎭，故()24233E X =⨯=.故答案为：43.15．10名同学合影，站成了前排3人，后排7人，现摄影师要从后排7人中抽2人站前排，其他人的相对顺序不变，则不同的调整方法的种数为_______（用数字作答）．【答案】420【分析】从后排7人中任取2人，插入前排（按2人相邻和不相邻分类计数）【详解】可从后排7人中任取2人，插入前排，调整方法数为22217424()420C A A C +=．故答案为：420．三、解答题16．一个盒子里装有7张卡片，其中有红色卡片4张，编号分别为1，2，3，4；白色卡片3张，编号分别为2，3，4．从盒子中任取4张卡片（假设取到任何一张卡片的可能性相同）．(1)求取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率；(2)在取出的4张卡片中红色卡片编号的最大值设为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望．【答案】(1)67；(2)分布列见解析，175. 【分析】（1）运用古典概型运算公式，结合和事件的概率公式进行求解即可；（2）根据古典概型运算公式，结合数学期望公式进行求解即可. 【详解】(1)设“取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片”为事件A ，则()1322252547C C C C 6C 7P A +==．所以取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率为67；(2)随机变量X 的所有可能取值为1，2，3，4．()3347C 11C 35P X ===，()3447C 42C 35P X ===，()3547C 23C 7P X ===，()3647C 44C 7P X ===．所以随机变量X 的分布列为随机变量X 的数学期望()14241712343535775E X =⨯+⨯+⨯+⨯=．17．已知函数3211()2()32f x x ax x a =--∈R 在2x =处取得极值.(1)求()f x 在[2,1]-上的最小值；(2)若函数()()()g x f x b b =+∈R 有且只有一个零点，求b 的取值范围.【答案】(1)136-(2)710,,63⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【分析】（1）首先求出函数的导函数，依题意可得(2)0f '=，即可求出参数a 的值，即可求出函数解析式，从而求出函数的单调区间，再求出区间端点的函数值，即可求出函数的最小值；（2）依题意32112()32b x x x b -=--∈R 有唯一解，即函数y b =-与()y f x =只有1个交点，由（1）可得函数()f x 的单调性与极值，结合函数图象即可求出参数的取值范围；【详解】(1)解：因为3211()2()32f x x ax x a =--∈R ，所以2()2f x x ax '=--，()f x 在2x =处取得极值，(2)0f '∴=，即22220a --=解得1a =，3211()232f x x x x ∴=--，所以2()2(1)(2)f x x x x x ==+'---，所以当1x <-或2x >时()0f x '>，当12x -<<时()0f x '<，()f x ∴在[2,1)--上单调递增，在(]1,1-上单调递减，又32321121113(2)(2)(2)2(2),(1)1121323326f f -=⨯--⨯--⨯-=-=⨯-⨯-⨯=-，()f x ∴在[2,1]-上的最小值为136-. (2)解：由（1）知，3211()232f x x x x =--，若函数()()()g x f x b b =+∈R 有且只有一个零点，则方程()()b f x b -=∈R 有唯一解，即32112()32b x x x b -=--∈R 有唯一解，由（1）知，()f x 在(,1),(2,)-∞-+∞上单调递增，在(1,2)-上单调递减，又710(1),(2)63f f -==-，函数图象如下所示：103b ∴-<-或76b ->，得103b >或76b <-，即b 的取值范围为710,,63⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.18．已知函数 ()()()211ln 12x f x a x a x a =--+->，．(1)讨论函数 ()f x 的单调区间；(2)若 ()()1f m f = 且 1m >，证明： ()()11ln 1x m a x x ∀∈->-，，．【答案】(1)当12a <<时，()f x 的单调增区间为(0,1)a -和(1,)+∞，单调减区间为(1,1)a -，当2a =时，()f x 的单调增区间为(0,)+∞，无减区间，当2a >时，()f x 的单调增区间为(0,1)和(1,)a -+∞，单调减区间为(1,1)a -. (2)证明见解析【分析】（1）求导[](1)(1)1()x x a a f x x a x x----=-+='，令()0f x '=，解得1x =或1x a =-，含参分类讨论即可得到()f x 的单调性.（2）由ln 1≤-x x ，转化为证：1(1,),1ln -∀∈->x x m a x ，令1()ln x g x x-=，利用导数法得到1()()ln -<=m g x g m m，转化为证11ln m a m -->，由()(1)f m f =，转化为证1ln 21m m m ->+，令2(1)()ln ,11x H x x x x -=->+，用导数证明．【详解】(1)解：()f x 的定义域为(0,)+∞，[](1)(1)1()x x a a f x x a xx----=-+='，因为1a >，所以10a ->，令()0f x '=，解得1x =或1x a =-，当11a -=时，即2a =，()0f x '≥恒成立，所以()f x 在(0,)+∞为增函数，当11a ->时，即2a >，若(0,1)x ∈和(1,)x a ∈-+∞时，()0f x '>，若(1,1)x a ∈-时，第 11 页共 11 页 ()0f x '<，所以()f x 在(0,1)和(1,)a -+∞为增函数，在(1,1)a -为减函数，当011a <-<时，即12a <<，若(0,1)x a ∈-和(1,)x ∈+∞时，()0f x '>，若(1,1)x a ∈-时，()0f x '<，所以()f x 在(0,1)a -和(1,)+∞为增函数，在(1,1)a -为减函数，综上所述：当12a <<时，()f x 的单调增区间为(0,1)a -和(1,)+∞，单调减区间为(1,1)a -，当2a =时，()f x 的单调增区间为(0,)+∞，无减区间，当2a >时，()f x 的单调增区间为(0,1)和(1,)a -+∞，单调减区间为(1,1)a -.(2)令()ln 1h x x x =-+，定义域为(0,)+∞，则1()x h x x-'=，若(0,1)x ∈，()0h x '>，若(1,)x ∈+∞，()0h x '<，故()h x 在(0,1)单调递增，在(1,)+∞上单调递减，故()(1)0h x h ≤=，即ln 1≤-x x ，欲证：(1,),(1)ln 1∀∈->-x m a x x ，即证：1(1,),1ln -∀∈->x x m a x，令1()ln x g x x -=，1x m <<．则21ln 1()(ln )x x g x x +='-，因为ln 1≤-x x ，故1ln 10x x-+≥，所以()0g x '>，()g x 在(1,)m 上单调递增，所以1()()ln -<=m g x g m m，故欲证1(1,),1ln -∀∈->x x m a x ，只需证11ln m a m -->，因为()(1)f m f =，所以21(1)(1)ln 22--+-=m a m a m ，即2(1)(1)(1ln )2m a m m -=---，因为ln 1m m <-，故1ln 0m m -->，故等价于证明：1ln 21m m m ->+，令2(1)()ln ,11x H x x x x -=->+，则22(1)()0,()(1)-=>'+x H x H x x x 在(1,)+∞上单调递增，故()(1)0H x H >=，即2(1)ln 1x x x ->+，从而结论得证．【点睛】本题第二问关键是利用ln 1,()(1)≤-=x x f m f ，转化为证明1ln 21m m m ->+而得证．。

2021-2022学年山东省泰安肥城市高二下学期期中考试数学试题(解析版)

2021-2022学年山东省泰安肥城市高二下学期期中考试数学试题一、单选题1．已知函数()y f x =在0x x =处的导数()01f x '=-，则()()000lim x f x x f x x∆→+∆-=∆（）A ．1-B ．1C ．12D ．2-【答案】A【分析】根据题意，由导数的定义可得0lim x ∆→000()()()f x x f x f x x+∆-'=∆，即可得答案．【详解】根据题意，函数()y f x =在0x x =处的导数为0()1f x '=-，而0000()()lim ()1x f x x f x f x x∆→+∆-'==-∆，故选：A2．学校食堂的一个窗口共卖5种菜，甲、乙、丙3名同学每人从中选一种，假设每种菜足量，则不同的选法共有（） A ．53种B ．35种C ．35A 种D ．35C 种【答案】B【分析】根据分步乘法计数原理进行计算，即每人有5种选法，分三步完成，可求得答案.【详解】窗口共卖5种菜，甲、乙、丙3名同学每人从中选一种，即每人都有5种选法，分3步完成，故不同的选法有35555⨯⨯= 种，故选：B3．记()02012101101x a a x a x a x +=+++⋅⋅⋅+，则12310a a a a +++⋅⋅⋅+=（）A ．1024B ．1023C ．1-D ．0【答案】B【分析】利用赋值法求二次项系数和，令0x =求出0a ，再令1x =即可求解. 【详解】由题意可知，令0x =，得()100101a =+=，令1x =，得()1010100121024112a a a a +++⋅⋅⋅++===，所以1231001024102411023a a a a a +++⋅⋅⋅+=-=-=. 故选：B.4．已知函数()sin f x x mx =-在(),-∞+∞上单调递增，则实数m 的取值范围是（）A ．[]1,1-B ．[)1,+∞C ．(],1-∞-D ．()1,1-【答案】C【分析】求得导数()cos f x x m '=-，根据题意转化为不等式cos x x ≤在R 上恒成立，结合余弦函数的值域，即可求解.【详解】由题意，函数()sin f x x mx =-，可得()cos f x x m '=-，因为函数()f x 在(),-∞+∞上单调递增，可得()0f x '≥在R 上恒成立，即不等式cos 0x m -≥在R 上恒成立，即不等式cos m x ≤在R 上恒成立，因为1cos 1x -≤≤，所以1m ≤-，所以实数m 的取值范围是(],1-∞-. 故选：C.5．将5名临床医学检验专家（3男2女）分配到2家医院进行核酸检测指导，要求每家医院分配男、女专家各1名，剩下1名专家负责统筹安排，则不同的分配方案有（） A ．6种 B ．9种 C ．12种 D ．16种【答案】C【分析】根据题意，先从3名男专家取2名，再分别安排男专家和女专家，即可求解. 【详解】由题意，每家医院分配男、女专家各1名，剩下1名专家负责统筹安排，则不同的分配方案有22223222C C A A 312212=⨯⨯⨯=种.故选：C.6．()712x +的展开式的第4项的系数为（） A ．335x B ．35 C ．3280x D ．280【答案】D【分析】根据二项式的展开式的通项公式，即可求解.【详解】由题意二项式()712x +的展开式的第4项为33347C (2)280T x x ==，所以展开式中4项的系数为280. 故选：D.7．某小区的道路网如图所示，则由A 到C 的最短路径中，经过B 的走法有（）A ．6种B ．8种C ．9种D ．10种【答案】C【分析】由题意，从点A 到点B ，共走三步，需向上走一步，向右走两步，从点B 到点C ，共走三步，需向上走一步，向右走两步，结合分步计数原理，即可求解.【详解】由题意，从点A 到点B ，共走三步，需向上走一步，向右走两步，共有13C 3=种走法；从点B 到点C ，共走三步，需向上走一步，向右走两步，共有13C 3=种走法，由分步计数原理，可得共有339⨯=种不同的走法. 故选：C.8．过曲线()3:C f x x ax b =-+外一点1,0A 作C 的切线恰有两条，则（）A ．a b =B ．1a b -=C ．1b a =+D ．2a b =【答案】A【分析】设出切点，求出切点处的导函数即切线的斜率，据点斜式写出切线的方程，将切点代入，列出关于切点横坐标的方程，据题意此方程有两个根，构造函数，通过导函数求出两个极值，令极值为0，求出a ，b 的关系.【详解】()23f x x a '=-，过点1,0A 作曲线C 的切线，设切点()()00,x f x ，则切线方程为：()()2031y x a x =--，将()()00,x f x 代入得：()()()230000031f x x a x x ax b =--=-+即3200230x x a b -+-=（）由条件切线恰有两条，方程（）恰有两根．令()3223u x x x a b =-+-，()()26661u x x x x x '=-=-，显然有两个极值点0x =与1x =，于是()00u =或()10u = 当()00u =时，a b =；当()10u =时，1a b -=，此时()()()32111f x x ax a x x x a =-+-=-++-经过()1,0与条件不符，所以a b =，故选：A. 二、多选题9．下列求导运算正确的是（）A ．2111x x x'⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭B ．()22ln 2x x '=⋅C ．222e e x xx x x '⎛⎫-= ⎪⎝⎭ D ．()22cos 2cos sin x x x x x x '⋅=⋅+⋅【答案】BC【分析】根据导数的运算公式及运算法则进行计算即可. 【详解】A 选项，2111x x x '⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，故A 选项错误； B 选项，()22ln 2x x '=⋅，故B 选项正确；C 选项，22222?·2()x x x x xx x e x e x x e e e '⎛⎫--== ⎪⎝⎭，故C 选项正确； D 选项，()222cos 2cos (sin )2cos sin x x x x x x x x x x '⋅=⋅+⋅-=⋅-⋅，故D 选项错误；故选：BC.10．第24届冬奥会于2022年2月4日在北京和张家口联合举行. 甲、乙等5名志愿者计划到高山滑雪、自由式滑雪、短道速滑和花样滑冰4个比赛区从事志愿者活动，则下列说法正确的有（）A ．若每个比赛区至少安排一名志愿者，则有240种不同的方案B ．安排5名志愿者排成一排拍照，若甲、乙相邻，则有42种不同的站法C ．若短道速滑必须安排两名志愿者，其余各安排一名志愿者，则有60种不同的方案D ．已知5名志愿者身高各不相同，若安排5名志愿者拍照，前排两名，后排三名，后排要求身高最高的站中间，则有40种不同的站法【答案】ACD【分析】根据分组分配法即可判断AC ，根据捆绑法可以判断B ，根据特殊位置优先安排可判断D ．【详解】解：对于A ：若每个比赛区至少安排1人，则有2454C A 240=种不同的方案，故A 正确；对于B ：把甲乙捆绑在一起，看作一个复合元素，再和另外的三人全排，则有2424A A 48=种，故B 错误；对于C ：短道速滑赛区必须安排2人，其余各安排1人，则有2353C A 60=种不同的方案，故C 正确；对于D ：先排前排，由25A 20=种，后排3人中身高最高的站中间，则两边的有22A 2=种，则有20240⨯=种，故D 正确．故选：ACD11．若()()()()22*012121212nn n x x x a a x a x a x n ++++⋅⋅⋅++=+++⋅⋅⋅+∈N ，06a =，则下列结论中正确的是（） A ．12n = B ．142a = C ．064ni i a ==∑D ．()116nii i ia =-=∑【答案】BD【分析】对于A ，根据已知条件及赋值法令0x =即可求解；对于B ，利用二项式展开式的通项公式求指定项系数即可；对于C ，利用赋值法求二项式系数令1x =即可求解；对于D ，根据已知等式两边同时求导数再利用赋值法令1x =-即可求解.【详解】对于A ，由题意可知，令0x =时 ()()()201201201206na +⨯++⨯+⋅⋅⋅++⨯==，解得6n =，故A 不正确；对于B ，由()12n x +展开式的通项公式为()1C 122C rr n r r r rr n n T x x -+=⋅⋅=⋅⋅，由6n =，得()()()26121212x x x ++++⋅⋅⋅++展开式中含x 的项的系数和为111111111123461522C 2C 2C 2C 2C 2468101242a =+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=+++++=，故B 正确；对于C ，令1x =，得660122603309231i i a a a a a ==+++⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+==++∑，故C 不正确；对于D ，对()()()22012121212nn n x x x a a x a x a x ++++⋅⋅⋅++=+++⋅⋅⋅+，两边同时求导，得()()()6255122121231261226x x x a a x a x ⎡⎤+++++⋅⋅⋅++=++⋅⋅⋅+⎣⎦，令1x =-，得12345623456a a a a a a -+-+-()()()()()2345212123124125126126⎡⎤=+⨯-+⨯-+⨯-+⨯-+⨯-=-⎣⎦. 所以()1234561234566a a a a a a -+-+-+=()()612345611234566iii ia a aa a a a =-=-+-+-+=∑，故D 正确.故选：BD.12．已知函数()ln x f x x=，e是自然对数的底数，则（） A ．()f x 的最大值为1eB ．π2π2ln 33ln π3ln 2>>C ．若1221ln ln =x x x x ，则212e x x +=D ．对任意两个正实数12,x x ，且12x x ≠，若()()12f x f x =，则212e x x > 【答案】ABD【分析】对于A ，求出函数的导数，判断导数正负，确定函数单调性，即可求得最大值；对于B ，根据函数()ln xf x x=的单调性，即可判断；对于C ，构造函数()(e+)(e ),(0,e)g t f t f t t =--∈，判断其单调性，结合1221ln ln =x x x x 即()()12f x f x =即可判断；对于D ，将()()12f x f x =展开整理得12121212(),ln ln ln ln ()m x x x x x x x m x +=+-=-，然后采用分析法的思想，推出1121222(1)ln1x x x x x x ->+，构造函数2(1)(1)ln u t t t t --=+，求其最小值即可判断. 【详解】由题意得()ln x f x x =，则21ln ()xf x x -'=，当0e x << 时，()0f x '>，()f x 递增，当e x > 时，()0f x '<，()f x 递减，故max 1()(e)ef x f ==，故A 正确；由于3π<，由于当e x > 时，()f x 递减，故(3)(π)f f > ，即ln 3ln π,2πln3>23ln π3π>⨯ ，即π22ln33ln π>，因为ln 2ln 4(2)(4)(π)24f f f ===< ，故ln 2ln π,3πln2<32ln π2π<⨯，即2π3ln π3ln 2>，故π2π2ln 33ln π3ln 2>>，故B 正确；因为1221ln ln =x x x x ，即121122ln ln ,()()x x f x f x x x ==，设()(e+)(e ),(0,e)g t f t f t t =--∈ ，由于当0e x << 时，()f x 递增，当e x > 时， ()f x 递减，故()(e+)(e ),(0,e)g t f t f t t =--∈单调减函数，故()(0)0g t g <=，即(e+)<(e )f t f t -，由于12()()f x f x =，不妨设20e x <<，则122e x x <- ，即212e x x +<，故C 错误；对任意两个正实数12,x x ，且12x x ≠，若()()12f x f x =，不妨设210x x << ，即1212ln ln x x x x =，设1212ln ln x x m x x ==，则1122ln ,ln x mx x mx ==，则12121212(),ln ln ln ln ()m x x x x x x x m x +=+-=-，1212ln ln x x m x x -=-，而212121212121222()ln ln e ln ln 2x x x x x x x x x x x m x -+>⇔+>⇔>-+>⇔112112112222l 2(1n )2()ln 1ln x x x xx x x x x x x x --->⇔>++⇔ ，设211,x x t => 令2(1)(1)ln u t t t t --=+ ，则2222(1)2(1)(1)0(1)(11)()t t t t t u t t t '+----=>++=，即2((1)ln ,(11))t u t t t t -->+=为单调增函数，故()(1)0u t u >=，即1121222(1)ln1x x x x x x ->+成立，故212e x x >，故D 正确，故选：ABD 三、填空题13．若()1nx +的展开式中，2x 的系数为15，则n =___________. 【答案】6【分析】先求得()1nx +的展开式的通项公式，再根据2x 的系数为15求解. 【详解】因为()1nx +的展开式的通项公式为1rn r r n T x C -+=，且2x 的系数为15，所以2215n nn C C -==，即()1152n n -=，解得5n =-(舍)或6n =. 故答案为：614．若()()3log 0f x x x =>，则()1f '=________. 【答案】1ln 3【分析】根据初等函数的导数公式，可得()1ln3f x x '=，即可求解.【详解】根据初等函数的导数公式，可得()1ln3f x x '=，所以()11ln 3f '=. 故答案为：1ln 3. 15．在如图所示的杨辉三角中，按图中箭头所示的前n 个数字之和为________.【答案】32n C +【分析】根据组合数的运算性质，即可容易求得. 【详解】由表格可知，所求数列的前n 项和为：2222322223413341n n C C C C C C C C ++++++=++++322323441512n n n C C C C C C ++++++=++=.故答案为：32n C +.【点睛】本题考查组合数的运算性质，属中档题. 四、双空题16．若函数()()()()()()32112f x x x x x x x =---++，则()1f '=________；曲线()()24ln 31ln 3y f x x x x =+++-在点()1,8ln 2处的切线方程为________.【答案】 12 338ln 20x y +--=【分析】根据题意求得()f x '，得出()1f '的值，再结合导数的几何意义，求得切线的方程，得到答案. 【详解】由题意，函数()()()()()()()()()()32112(1)[3212]f x x x x x x x x x x x x x =---++=---++，可得()()()()()()()()()()1[(3)212]1[3212]f x x x x x x x x x x x x x '''=---+++---++()()()()()()()()[(3)212]1[3212]x x x x x x x x x x x '=--+++---++ 所以()12(1)12312f '=-⨯-⨯⨯⨯=；又由()()24ln 31ln 3y f x x x x =+++-，可得1|4ln 48ln 21030x y ==+=+-，且()()()()()2222ln 3ln 34331ln 3x x x x y x xx f x f x +-+-'=+⨯++--'' ()()()()2221ln 324331ln 3x x x f x f x x x x x ⎛⎫'- ⎪⎝+-+⎭=+⨯++-，所以()()12103034|333110132x y -+-⨯'=++-⨯=-+-，即切线的斜率为3k =-，所以曲线在点()1,8ln 2处的切线方程为8ln 23(1)y x -=--，即338ln 20x y +--=. 故答案为：12；338ln 20x y +--=. 五、解答题17．盒子里装有六个大小相同的小球，分别标有数字1、2、3、4、5、6. 现从盒子里随机不放回地抽取3次，每次抽取1个小球，按抽取顺序将球上数字分别作为一个三位数的百位、十位与个位数字.(1)一共能组成多少个不同的三位数？(2)一共能组成多少个不同的大于500的三位数？【答案】(1)120 (2)40【分析】（1）由抽取的三位数各不相同，可由排列数公式求得组成不同三位数的个数．（2）大于500的三位数，则百位应该从5或6中选一个，其他的从剩下的五个里面选2个进行排列，再根据分步计算原理即可得到结果．【详解】(1)解：（1）因为抽取的三位数各不同，所以组成三位数的总数为36A 654120=⨯⨯=.(2)解：百位为5或6，则个位、十位是剩余5个数字中的两个，则有1225C A 40⨯=个大于500的三位数.18．已知函数()2ln x f x x x-=-． (1)求()f x 的单调区间；(2)求()f x 在区间[]1,e 上的最值．【答案】(1)单调递减区间为()0,2，单调递增区间为()2,+∞ (2)()f x 在区间[]1,e 上的最小值是ln 2，最大值是1【分析】（1）对函数()f x 求导，通过导函数的正负判断()f x 的增加区间；（2）根据（1）中的单调性可得()f x 的极值，与区间端点值比较可得最值. 【详解】(1)由题意知：()()220x f x x x -'=>．令()0f x '=，解得2x =．2x =把()f x 定义域划分成两个区间，()f x '在各区间上的正负，以及()f x 的单调性如下表所示.所以()f x 的单调递减区间为()0,2，单调递增区间为()2,+∞． (2)结合（1）的结论，列表如下：所以()f x 在区间[]1,e 上的最小值是ln 2，最大值是1．19．在二项式12nx ⎛+ ⎝的展开式中.(1)若展开式后三项的二项式系数的和等于46，求展开式中二项式系数最大的项； (2)若n 为满足812n <<的整数，且展开式中有常数项，试求n 的值和常数项.【答案】(1)展开式中二项式系数最大的项为3563T x -=，362252x T -=(2)9n =，常数项为7672T =【分析】（1）根据已知条件可得出关于n 的等式，结合N n *∈可求得n 的值，利用二项式系数的单调性可结合二项式定理可求得展开式中二项式系数最大的项；（2）设第1r +项为常数项，则r 为整数，写出二项展开式通项，令x 的指数为零，可得出32rn =，根据812n <<可求得整数r 的值，进而可求得n 的值，再利用二项式定理可求得展开式中的常数项.【详解】(1)解：由已知()212101C C C C C C 1462n n n n n n n n n n n n ---++=++=++=，整理得2900n n +-=，即()()9100n n -+=，N n *∈，解得9n =. 则展开式中二项式系数最大的项为第5项和第6项，即(5443591C 632T x x -⎛⎫== ⎪⎝⎭，(43552691C 2522T x x -⎛⎫== ⎪⎝⎭.(2)解：设第1r +项为常数项，则r 为整数，(322211C C 22n rr n rr r r nr nnT xx ---+⎛⎫== ⎪⎝⎭，则有3202r n -=，即32rn =，所以81322r <<，可得1683r <<，解得6r =或7r =. 当6r =时，9n =；当7r =时，212n =（不合题意舍去），所以9n =. 常数项为6379C 2672T =⋅=.20．已知函数()()()2f x x x c c =-∈R . (1)若()f x 在2x =处有极大值，求c 的值；(2)若()f x 在2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭存在单调递减区间，求c 的取值范围．【答案】(1)6c = (2)2(,)3+∞【分析】（1）求导因式分解后可得当3c x =时，()f x 有极大值，故此时23c=，所以6c =.（2）即()0f x '≤在2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上有解，所以23c >.【详解】(1)因为()()23222f x x x c x cx c x =-=-+，所以()()()22343f x x cx c x c x c '=-+=--.当0fx，即3cx =，或x c =时，函数()f x 可能有极值.由题意，当2x =时，函数()f x 有极大值，所以0c >.当x 变化时，f x ，()f x 的变化情况如下表所示：x,3c ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ 3c,3c c ⎛⎫⎪⎝⎭c(),c +∞f x+-+()f x单调递增极大值单调递减极小值单调递增因此，当3c x =时，()f x 有极大值，此时23c=，所以6c =.(2)由（1）可知：()()()3f x x c x c '=--，当0fx时，3cx =，或x c =.由题意，()f x 在2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭存在单调递减区间，所以()0f x '≤在2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上有解，由（1）知，()f x 在[,]3c c 上单调递减，所以23c >，解得23c >，或2c ≥，即23c >.综上所述，c 的取值范围是2(,)3+∞.21．如图，实线部分的公园是由圆P 和圆Q 围成，圆P 和圆Q 的半径都是2千米，点P 在圆Q 上，现要在公园内建一块顶点都在圆P 上的多边形活动场地ABCD ．若要建的活动场地ABCD 为等腰梯形，且AD 必须切圆Q 于P ，APB θ∠=π02θ⎛⎫<< ⎪⎝⎭.(1)记活动场地ABCD 的面积为()S θ，求()S θ的表达式；(2)当θ为何值时，活动场地ABCD 的面积最大，并求最大面积．【答案】(1)()π()4sin sin cos 02S θθθθθ⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭(2)3πθ=时，场地ABCD 面积取得最大值为3S π⎛⎫= ⎪⎝⎭（平方千米）【分析】（1）通过对等腰梯形进行分割，结合三角形面积公式即可得结果；（2）通过导数判断函数的单调性，进而可得最值.【详解】(1)由题意：()()1122sin 222sin π222S θθθ=⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯-()π4sin sin cos 02θθθθ⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭.(2)令()sin sin cos f θθθθ=+，则()()2cos cos cos sin sin 2cos cos 1f θθθθθθθθ'=++-=+-．令()0f θ'=，得1cos 23πθθ==，.又03πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，()0f θ'>；,32ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f θ'<，所以()sin sin cos f θθθθ=+在3πθ=处取到极大值也是最大值，故3πθ=时，场地ABCD 面积取得最大值为3S π⎛⎫= ⎪⎝⎭（平方千米）． 22．已知函数()22ln e x xf x a x=-+． (1)当1ea =时，求()f x 在1x =处的切线方程；(2)若()f x 有两个零点，求实数a 的取值范围．【答案】(1)0x y -= (2)20,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】（1）利用导数的几何意义及直线的点斜式方程即可求解；（2）根据函数零点的存在性定理及利用导数法求函数的单调性及函数的最值，再结合分类讨论即可求解. 【详解】(1)因为()()221ln e x x f x a x-'=-，所以当1ea =时，()11f '=.又因为()11f =，所以()f x 在1x =处的切线方程11y x -=-，所以()f x 在1x =处的切线方程为0x y -=.(2)因为()()2ln e xx x ax f x x+-=，其中0x >，设()()2ln e xg x x x ax =+-，则()()()12e x x ax g x x+-'=，当0a ≤时，()0g x '>，则()g x 在()0,+∞单调递增，()g x 在()0,+∞上至多有一个零点，即()f x 在()0,+∞上至多有一个零点，不合题意，舍去．当0a >时，设()2e x h x ax =-，()()1e xh x a x '=-+，所以()0h x '<， ()h x 在()0,+∞上单调递减. 又()020h =>，2222e 0a h a ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，所以020,a x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭∃，使得()00h x =，即00e 2xax =，当()00,x x ∈时，()0h x >，此时0g x ，所以()g x 在()00,x 单调递增；当()0,x x ∈+∞时，()0h x <，此时()0g x '<，所以()g x 在()0,x +∞单调递减. 所以()g x 在()0,+∞有极大值()0g x ，即()()()()00000000max 2ln e 2ln 22ln 1x g x x x ax x x x x =+-=+-=+-⎡⎤⎣⎦若00ln 10x x +-≤，则()0g x ≤，所以()0≤f x ，()f x 在()0,+∞上至多有一个零点，不合题意.… 若00ln 10x x +->，设()ln p x x x =+，()110p x x'=+>，所以()p x 在()0,+∞单调递增. 又()11p =，所以01x >.因为()()e 1e 0x x x x '=+>，所以e x y x =在()0,+∞单调递增，所以002e e x x a=>，即20e a <<，此时()00g x >，()00f x >因为111e e11122(1)e 2e 0e e e e g a a -⎛⎫=-+-=-+-< ⎪⎝⎭， ()g x 在()00,x 单调递增，()00g x >，所以101,e x x ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，使得()10f x =.又因为e 11ln x x x x ≥+>-≥，e 1x x x ≥+>，所以444444442ln 4e 2ln e e 0aa a g a a a a a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=-+-<⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦. 因为()g x 在()0,x +∞单调递减，()00g x >，且因为020,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以04x a >，所以204,x x a ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，使得()20g x =.所以204,x x a ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，使得()20f x =．综上所述，若()f x 有两个零点，则实数a 的取值范围为20,e ⎛⎫⎪⎝⎭．【点睛】解决此类题型的关键第一问直接利用导数的几何意义及点斜式即可，第二问利用零点的存在性定理及导数法求函数的单调性和最值但要注意对参数进行分类讨论.。