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高二下数学期中测试卷

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重庆市巴蜀中学校2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题

重庆市巴蜀中学校2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题

1 2
B．1
e
C．
D． e
2．
æ çè
x
+
2 x
ö5 ÷ø
的二项展开式中
x
的系数为（
）
A． -40
B．40
C． -80
D．80
3．已知公比为正数的等比数列{an} 前 n 项和为 Sn ，且 S2 = 1 ， S4 = 5 ，则 a1 = （ ）
A． -1 或 1 3
B． -1
C． 1 3
D．
-
1 3
所以当
-
3 2
<
x
<
-1或1 <
x
<Байду номын сангаас
3 2
时
f
¢( x)
<
0
，
当 -1 < x < 1时 f ¢(x) > 0 ，
所以
f
(
x)
在
æ çè
-
3 2
,
-1ö÷ø
， æçè1,
3 2
ö ÷ø
上单调递减，在
( -1,1)
上单调递增，
所以
f
(
x)
在
x=-
1
处取得极小值，又
f
( -1)
=
-1 ，
f
æ çè
3 2
ì
( ) ï
a1
1- q2
( ) 所以
ï í ï
a1
1- q 1- q4
ï î
1- q
=1
ìïía1
=
1 3
，解得 ïî q = 2 ，
=5
所以

山东省青岛第二中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷(含简单答案)

山东省青岛第二中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷(含简单答案)

青岛第二中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 设集合，则（ ）A. B. C. D.2. 若关于的不等式成立的充分条件是，则实数的取值范围是（ ）A B. C. D.3. 下列有关一元线性回归分析的命题正确的是（ ）A. 若两个变量的线性相关程度越强，则样本相关系数就越接近于1B. 经验回归直线是经过散点图中样本数据点最多的那条直线C. 在经验回归方程中，若解释变量增加1个单位，则预测值平均减少0.5个单位D. 若甲、乙两个模型的决定系数分别为0.87和0.78，则模型乙的拟合效果更好4. 已知，则下列命题为真命题的是（ ）A. 若，则 B. 若，则C. 若，则 D. 若，则5. 7名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排3名，乙场馆安排2名，丙场馆安排2名，则不同的安排方法共有（ ）A. 210种B. 420种C. 1260种D. 630种6. 已知一组样本数据的方差为9，且，则样本数据的方差为（ ）A. 9.2B. 8.2C. 9.8D. 97. 若不等式的解集为，则不等式解集为（ ）A B. ..{1,2,3,4,5},{1,3,5},{1,2,5}U T S ===()U S T = ð{2}{1,2}{2,4}{1,2,4}x |1|x a +<04x <<a 1a ≤-5a >1a <-5a ≥r ˆ20.5yx =-x ˆy 2R ,,R a b c ∈a b >ac bc>0a b >>0.40.4a b -->a b >1122a cb c++⎛⎫⎛⎫< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭0,0a b c >>>b b c a a c+>+125,,,x x x 1324x x x x +=+123451,1,1,1,x x x x x -+-+20ax bx c ++≥[]1,30ax ccx b+≥+(]4,3,3∞∞⎡⎫--⋃+⎪⎢⎣⎭(]4,3,3∞∞⎛⎫--⋃+⎪⎝⎭C. D. 8. 某人在次射击中击中目标的次数为，其中，击中偶数次为事件A ，则（ ）A. 若，则取最大值时B. 当时，取得最小值C. 当时，随着的增大而减小 D. 当的，随着的增大而减小二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9. 在的展开式中，下列说法正确的是（ ）A. 各二项式系数的和为64 B. 常数项是第3项C. 有理项有3项D. 各项系数的绝对值的和为72910. 已知位于第一象限的点在曲线上，则（ ）A. B. C. D.11. 二次函数是常数，且的自变量与函数值的部分对应值如下表：…-1012……22…且当时，对应的函数值．下列说法正确的有（ ）A. B. C. 关于的方程一定有一正、一负两个实数根，且负实数根在和0之间D. 和在该二次函数的图象上，则当实数时，三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12. 函数定义域是______．13. 已知集合，，若中恰有一个整数，的43,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦43,3⎡⎫-⎪⎢⎣⎭n ,~(,)X X B n p N*,01n p ∈<<10,0.8n p ==()P X k =9k =12p =()D X 112p <<()P A n 102p <<()P A n 61x ⎛- ⎝(,)a b 111x y+=(1)(1)1a b --=-228a b +≥23a b +≥+221223a b +≥2,(,y ax bx c a b c =++0)a ≠x y x ym n32x =0y <0abc >1009mn >x 20ax bx c ++=12-()112,P t y +()222,P t y -12t <12y y >()ln(21)f x x =+-{}2|60M x x x =+->{}2|230,0N x x ax a =-+≤>M N ⋂则的最小值为_________.14. 已知函数，若对于恒成立，则实数的取值范围是______．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15. 2024年4月25日，神舟十八号载人飞船发射升空，并于北京时间2024年4月26日3时32分，成功对接于空间站天和核心舱径向端口，整个自主交会对接过程历时约6.5小时!奔赴星辰大海，中国人探索浪漫宇宙脚步驰而不息，逐梦太空的科学探索也不断向前。

辽宁省实验中学北校区2023-2024学年高二下学期期中测试数学试题(原卷版)

辽宁省实验中学北校区2023-2024学年高二下学期期中测试数学试题(原卷版)

2023—2024学年下学期期中测试　高二年级　数学学科一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知等差数列的前项和为，，，则的值为（）A. 70B. 80C. 90D. 1002. 下列变量之间的关系不是相关关系的是（ ）A. 光照时间与大棚内蔬菜的产量 B. 举重运动员所能举起的最大重量与他的体重C. 某正方形的边长与此正方形的面积D. 人的身高与体重3. 函数的导函数（ ）A.B.C.D.4. 已知等比数列满足，记，则数列（ ）A. 有最大项，有最小项 B. 有最大项，无最小项C. 无最大项，有最小项D. 无最大项，无最小项5. 已知函数的图象如图所示，则的极小值点的集合为（ ）A. B. C. D. 6. 设是等差数列的前n 项和，且，则下列结论正确的是（ ）A B. C. D. 7. 已知，则（ ）A B. C.D...{}n a n n S 11a =59a =10S ()xe f x x=()f x '=()21xx e x-()1xx e x-()21xx e x-()21xx e x +{}n a 1132,2a q ==-()12n n T a a a n +=∈N {}n T ()f x ()f x {}123,,x x x {}13,x x {}124,,x x x {}3x n S {}n a 675S S S >>110S >120S <130S >86S S >2()sin (1)f x x f x π'=+(1)f =0122ππ8. 已知等比数列满足若，则（ ）A. B. C. D. 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9. 已知，则下列说法正确的是（）A. B. C. D.10. 已知函数，现给出如下结论，其中正确结论个数为（）A. 是奇函数 B. 0是的极值点C. 在区间上有且仅有三个零点D. 的值域为R11. 意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，8，13，其中从第三项起，每个数都等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”，记为数列的前项和，则下列结论正确的是（ ）A. B. C. D. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，其中15小题第一空2分，第二空3分，共15分）12. 已知函数，则__________．13. 在首项为1数列中，则______14. 数列中，如果存在，使得“且”成立（其中，），则称为的一个峰值.（1）若，则的峰值为___________（2）若，且不存在峰值，则实数的取值范围是___________三、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）的{}n a 343ln .a a a +=11a >3241,a a a ><3241,a a a <<3241,a a a >>3241,a a a <>()2N ,ξμσ ()E ξμ=()D ξσ=()12P ξμ<=()()P P ξμσξμσ<-=>+()sin cos =-f x x x x ()f x ()f x ()f x (,)22ππ-()f x {}n a n S {}n a n 713a =897S =22212202420242025a a a a a ++⋅⋅⋅+=135199200a a a a a +++⋅⋅⋅+=()1f x x =0(2)(2)limx f x f x∆→+∆-=∆{}n a 112nn n a a n +⎛⎫-=⋅ ⎪⎝⎭n a ={}n a k a 1k k a a ->1k k a a +>2k ≥*k ∈N k a {}n a 2311n a n n =-+{}n a 23n a n tn =-+{}n a t15. 已知等比数列的首项为2，等差数列的前n 项和为，且，，．（1）求，的通项公式；（2）设，求数列的前n 项和．16. 年卡塔尔世界杯即将于月日开幕．某球迷协会欲了解会员是否前往现场观看比赛，按性别进行分层随机抽样，已知男女会员人数之比为，统计得到如下列联表：前往现场观看不前往现场观看合计女性男性合计（1）求，的值，依据小概率值的独立性检验，能否认为是否前往现场观看比赛与性别有关？（2）用频率估计概率，假设会员是否前往现场观看互不影响，若从拟前往现场观看会员中随机抽取人进行访谈，求在访谈者中，女性不少于人的概率．附：，其中．17. 已知数列的前n 项和为，满足，且为，的等比中项．（1）求数列的通项公式；（2）设为数列的前n 项和，证明：．18. （1）求函数的极值．（2）已知曲线，求曲线过点的切线方程．的{}n a {}n b n S 126a a +=1342b a b +=323S a ={}n a {}n b n n b c a ={}n c 202211203:28ab840a b =0.01α4222()()()()()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++=n a b c d +++α0.10.050.010.0050.001x α2.7063.8416.6357.87910.828{}n a n S ()()11N n n na S n n n *+-=+∈4a 2a 8a {}n a n T 11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭1184n T ≤<4232()1432x x f x x =-+-32221y x x x =-++()0,1P（3）讨论函数，单调性19. 集合，集合，若集合中元素个数为，且所有元素从小到大排列后是等差数列，则称集合为“好集合”.（1）判断集合、是否为“好集合”；（2）若集合是“好集合”，求的值；（3）“好集合”的元素个数是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由.的21()ln 2f x ax x x =-+a ∈R {}()*12,,,,1,2,n i S a a a a i n =∈=N {},1ij ij i j T b b a a i j n ==+≤<≤T ()12n n -S {}11,2,3S ={}21,2,3,4S ={}()31,3,5,5S m m =>m S。

2022-2023学年山东省德州市高二(下)期中数学试卷【答案版】

2022-2023学年山东省德州市高二(下)期中数学试卷【答案版】

2022-2023学年山东省德州市高二（下）期中数学试卷一、选择题（本题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.）1．已知函数f （x ）＝sin x ，则Δx →0limf(π3+Δx)−f(π3)Δx =（ ） A ．12B ．√32C ．−√32D ．−122．在等差数列{a n }中，a 3+a 5＝15，a 6＝7，则a 2＝（ ） A ．14B ．12C ．10D ．83．某单位为了落实“绿水青山就是金山银山”理念，制定节能减排的目标，先调查了用电量y （单位：度）与气温x （单位：℃）之间的关系，随机选取了4天的用电量与当天气温，并制作了对照表：由表中数据得线性回归方程：y =−3x +60．则a 的值为（ ） A ．20B ．22C ．25D ．284．已知S n 为等比数列{a n }的前n 项和，S 2＝1，S 4＝5，则S 8的值为（ ） A ．85B ．64C ．84D ．215．设三次函数f （x ）的导函数为f ′（x ），函数y ＝x •f ′（x ）的图象的一部分如图所示，则正确的是（ ）A ．f （x ）的极大值为f(√3)，极小值为f(−√3)B ．f （x ）的极大值为f(−√3)，极小值为f(√3)C ．f （x ）的极大值为f （﹣3），极小值为f （3）D ．f （x ）的极大值为f （3），极小值为f （﹣3）6．已知函数f （x ）＝lnx +ax 2，若对任意两个不等的正实数x 1，x 2，都有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＞2，则实数a 的取值范围是（ ） A ．（14，+∞）B ．（12，+∞）C ．[14，+∞）D ．[12，+∞）7．中国古代许多著名的数学家对推导高阶等差数列的求和公式很感兴趣，创造并发展了名为“垛积术”的算法，展现了聪明才智，如南宋数学家杨辉在《详解九章算法•商功》一书中记载的三角垛、方垛等的求和都与高阶等差数列有关．如图是一个三角垛，最顶层有1个小球，第二层有3个，第三层有6个，第四层有10个，则第25层小球的个数为（）A．324B．325C．326D．3958．设函数y＝f（x）的定义域为D，且其图象上所有点均在直线y＝t的上方，则称函数y＝f（x）为“D﹣t函数”，若函数f（x）＝（x﹣t）e x的定义域为R，且为“（﹣∞，+∞）﹣t函数”，则实数t的最大整数值为（）A．﹣2B．﹣1C．1D．2二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）9．下列命题正确的是（）A．回归直线y=b x+a恒过样本点的中心(x，y)，且至少过一个样本点B．在回归直线方程y=0.5x+2中，变量y与x正相关C．变量x，y的样本相关系数|r|越大，表示它们的线性相关性越强D．在回归分析中，残差平方和越大，模型的拟合效果越好10．已知x﹣lny＞y﹣lnx，则（）A．1x ＞1yB．x−y＞1x−1y C．ln（x﹣y）＞0D．x3＞y311．斐波那契数列又称黄金分割数列，斐波那契数列{a n}满足：a1＝a2＝1，a n+2＝a n+1+a n，记∑n i=1a i=a1+ a2+⋯+a n，则下列结论正确的是（）A．a6＝8B．3a n＝a n﹣2+a n+2（n⩾3）C．∑2023i=1a i=a2025D．∑2023i=1a i2=a2023⋅a202412．已知函数f（x）＝xlnx﹣mx2，下列说法正确的是（）A．若f（x）为单调递减函数，则m≥12B．当m≤0或m=12时，f（x）有且仅有一个极值点C．当m=1e时，f（x）图象与x轴相切D ．当m ≤0或m =1e时，f （x ）有且仅有一个零点 三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．若函数f （x ）＝2x ﹣alnx 在（1，f （1））处的切线方程为y ＝x +1，则实数a ＝ ． 14．写出一个同时具有下列性质①②的数列{a n }的通项公式：a n ＝ ． ①a m ﹣n ＝a m ﹣a n （m ＞n ，m ，n ∈N *）； ②{a n }单调递增．15．如图甲是第七届国际数学家大会（简称ICME ﹣7）的会徽图案，会徽的主题图案是由图乙的一连串直角三角形演化而成的．已知A 1，A 2，A 3，⋯为直角顶点，设|OA 1|＝|A 1A 2|＝|A 2A 3|＝|A 3A 4|＝⋯＝1，|OA 1|，|OA 2|，…|OA n |，⋯构成数列{a n }，令b n =1a n+1+a n ，S n 为数列{b n }的前n 项和，则S 80＝ ．16．已知函数f(x)={2elnxx ，1≤x ≤t ，f(x−t+1)2，x ＞t ((t ≥4)，其中e ＝2.71828⋯．若t ＝4，则f （x ）的最大值为 ；若方程f(x)=4e 有且只有1个实根，则实数t 的取值范围为 ．四、解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．（10分）已知函数f （x ）＝﹣x 3+3ax 2﹣5，x ＝2是函数f （x ）的一个极值点． （1）求实数a 的值；（2）求函数f （x ）在区间[﹣2，4]上的最大值和最小值．18．（12分）为了解学生对党的“二十大”精神的学习情况，学校开展了“二十大”相关知识的竞赛活动，全校共有1000名学生参加，其中男生450名，采用分层抽样的方法抽取100人，将他们的比赛成绩，分为6组：[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，得到如图所示的频率分布直方图．其中成绩不低于80分为“优秀”，低于80分为“非优秀”． （1）求实数a 的值，并估算全校1000名学生中成绩优秀的人数；（2）完成下列2×2列联表，判断是否有95%的把握认为比赛成绩优秀与性别有关．附：χ2=n(ad−bc)(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n ＝a +b +c +d ．19．（12分）已知数列{a n }满足a 1＝1，a n +1＝2a n +2．（1）证明数列{a n +2}是等比数列，并求数列{a n }的通项公式； （2）求数列{a n }落入区间（10，2023）的所有项的和．20．（12分）在扶贫政策的大力支持下，某县农副产品加工厂经营得十分红火，不仅解决了就业问题，而且为脱贫工作作出了重大贡献，该工厂收集了1月份至5月份的销售量数据（如下表），并利用这些数据对后期生产规模做出决策．该工厂为了预测未来几个月的销售量，建立了y 关于x 的回归模型：y =b x 2+a ．表中：w i =x i 2，w =15∑ 5i=1w i． （1）根据所给数据与回归模型，求y 关于x 的回归方程（b 的值精确到0.1，a 的值精确到整数位）； （2）已知该工厂的月利润z （单位：万元）与x ，y 的关系为z =5y+35x+2，根据（1）的结果，预测该工厂哪一个月的月利润最小．参考公式：对于一组数据（x 1，y 1），（x 2，y 2），…，（x n ，y n ），其回归直线y =b x +a 的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： b =∑(x i −x)ni=1(y i −y)∑(x i −x)2n i=1=∑ n i=1x i y i −nxy ∑ ni=1x i 2−nx2，a =y −b x ．21．（12分）已知数列{an 3n }是以13为首项的常数列，S n 为数列{a n }的前n 项和．（1）求S n ；（2）设正整数m ＝b 0×30+b 1×31+⋯+b k ×3k ，其中b i ∈{0，1，2}，i ，k ∈N ．例如：3＝0×30+1×31，则b 0＝0，b 1＝1；4＝1×30+1×31，则b 0＝1，b 1＝1．若f （m ）＝b 0+b 1+⋯+b k ，求数列{S n •f （S n ）}的前n 项和T n ．22．（12分）已知函数f （x ）＝x 2+（2﹣a ）x ﹣alnx ． （1）讨论函数f （x ）的单调性；（2）若函数f （x ）有两个零点x 1和x 2，求证：f （x ）在x 1+x 22处的切线斜率恒为正数．2022-2023学年山东省德州市高二（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.）1．已知函数f （x ）＝sin x ，则Δx →0limf(π3+Δx)−f(π3)Δx =（ ）A ．12B ．√32C ．−√32D ．−12解：因为f （x ）＝sin x ，所以f ′（x ）＝cos x ，所以Δx →0limf(π3+Δx)−f(π3)Δx =f′(π3)=cos π3=12．故选：A ．2．在等差数列{a n }中，a 3+a 5＝15，a 6＝7，则a 2＝（ ） A ．14B ．12C ．10D ．8解：由a 3+a 5＝15，a 6＝7，又{a n }为等差数列，得a 3+a 5＝2a 1+6d ＝15，a 6＝a 1+5d ＝7， 解得a 1=334，d =−14，则a 2=a 1+d =334−14=8． 故选：D ．3．某单位为了落实“绿水青山就是金山银山”理念，制定节能减排的目标，先调查了用电量y （单位：度）与气温x （单位：℃）之间的关系，随机选取了4天的用电量与当天气温，并制作了对照表：由表中数据得线性回归方程：y =−3x +60．则a 的值为（ ） A ．20B ．22C ．25D ．28解：由表格数据可知，x =17+14+10+(−1)4=10，样本点中心(x ，y)必在回归直线上，所以y =−3×10+60=30， 所以y =21+a+34+404=30，解得：a ＝25． 故选：C ．4．已知S n 为等比数列{a n }的前n 项和，S 2＝1，S 4＝5，则S 8的值为（ ） A ．85B ．64C ．84D ．21解：设等比数列的公比为q ，S 4S 2=S 2+a 3+a 4S 2=1+a 3+a 4a 1+a 2=1+q 2=5，得q 2＝4，S 8S 4=S 4+a 5+a 6+a 7+a 8S 4=1+a 5+a 6+a 7+a 8a 1+a 2+a 3+a 4=1+q 4=17，所以S 8＝17S 4＝85． 故选：A ．5．设三次函数f （x ）的导函数为f ′（x ），函数y ＝x •f ′（x ）的图象的一部分如图所示，则正确的是（ ）A ．f （x ）的极大值为f(√3)，极小值为f(−√3)B ．f （x ）的极大值为f(−√3)，极小值为f(√3)C ．f （x ）的极大值为f （﹣3），极小值为f （3）D ．f （x ）的极大值为f （3），极小值为f （﹣3）解：观察图象知，x ＜﹣3时，y ＝x •f ′（x ）＞0，∴f ′（x ）＜0． ﹣3＜x ＜0时，y ＝x •f ′（x ）＜0，∴f ′（x ）＞0． 由此知极小值为f （﹣3）．0＜x ＜3时，y ＝x •f ′（x ）＞0，∴f ′（x ）＞0． x ＞3时，y ＝x •f ′（x ）＜0，∴f ′（x ）＜0． 由此知极大值为f （3）． 故选：D ．6．已知函数f （x ）＝lnx +ax 2，若对任意两个不等的正实数x 1，x 2，都有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＞2，则实数a 的取值范围是（ ） A ．（14，+∞）B ．（12，+∞）C ．[14，+∞）D ．[12，+∞）解：由题意，不妨设x 1＞x 2＞0，因为对任意两个不等的正实数x 1，x 2，都有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＞2，所以f （x 1）﹣f （x 2）＞2x 1﹣2x 2，即f （x 1）﹣2x 1＞f （x 2）﹣2x 2， 构造函数g （x ）＝f （x ）﹣2x ＝lnx +ax 2﹣2x （x ＞0），则g （x 1）＞g （x 2）， 所以g （x ）在（0，+∞）上单调递增，所以g ′（x ）=1x +2ax ﹣2≥0在（0，+∞）上恒成立，即a≥1x−12x2在（0，+∞）上恒成立，设m（x）=1x−12x2（x＞0），则m′（x）=−1x2+1x3=1−xx3，所以当x∈（0，1）时，m′（x）＞0，m（x）单调递增；x∈（1，+∞）时，m′（x）＜0，m（x）单调递减；所以m（x）max＝m（1）＝1−12=12，所以a≥1 2．当故选：D．7．中国古代许多著名的数学家对推导高阶等差数列的求和公式很感兴趣，创造并发展了名为“垛积术”的算法，展现了聪明才智，如南宋数学家杨辉在《详解九章算法•商功》一书中记载的三角垛、方垛等的求和都与高阶等差数列有关．如图是一个三角垛，最顶层有1个小球，第二层有3个，第三层有6个，第四层有10个，则第25层小球的个数为（）A．324B．325C．326D．395解：记第n层有a n个球，则a1＝1，a2＝3，a3＝6，a4＝10，结合高阶等差数列的概念知a2﹣a1＝2，a3﹣a2＝3，a4﹣a3＝4，⋯，a n﹣a n﹣1＝n（n≥2），则第25层的小球个数：a25＝（a25﹣a24）+（a24﹣a23）+⋯+（a2﹣a1）+a1＝25+24+23+⋯+2+1＝325．故选：B．8．设函数y＝f（x）的定义域为D，且其图象上所有点均在直线y＝t的上方，则称函数y＝f（x）为“D﹣t函数”，若函数f（x）＝（x﹣t）e x的定义域为R，且为“（﹣∞，+∞）﹣t函数”，则实数t的最大整数值为（）A．﹣2B．﹣1C．1D．2解：∵函数f（x）＝（x﹣t）e x的定义域为R，且为“（﹣∞，+∞）﹣t函数”，∴（x﹣t）e x≥t在（﹣∞，+∞）上恒成立，即xe xe x+1≥t在（﹣∞，+∞）上恒成立，设g(x)=xe xe x+1，则g′(x)=(x+1)e x(e x+1)−xe2x(e x+1)2=e x(x+e x+1)(e x+1)2，令h（x）＝x+e x+1，则h′（x）＝1+e x＞0，∴h（x）＝x+e x+1在R上单调递增，又h（﹣2）＝﹣1+e﹣2＜0，h（﹣1）＝e﹣1＞0，∴存在x0∈（﹣2，﹣1）使得h（x0）＝0，∴当x＜x0时，g′（x）＜0，函数g（x）在（﹣∞，x0）上单调递减，当x＞x0时，g′（x）＞0，函数g（x）在（x0，+∞）上单调递增，∴当x＝x0时，函数g（x）取最小值，最小值为g(x0)=x0e x0e x0+1，且x0+e x0+1=0，∴g(x0)=x0(−x0−1)−x0=x0+1，故函数g（x）的最小值为x0+1，又x0∈（﹣2，﹣1），∴x0+1∈（﹣1，0），故t的最大整数值为﹣1．故选：B．二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）9．下列命题正确的是（）A．回归直线y=b x+a恒过样本点的中心(x，y)，且至少过一个样本点B．在回归直线方程y=0.5x+2中，变量y与x正相关C．变量x，y的样本相关系数|r|越大，表示它们的线性相关性越强D．在回归分析中，残差平方和越大，模型的拟合效果越好解：对于A，回归直线y=b x+a恒过样本点的中心(x，y)，但可以不经过任何一个样本点，A错误；对于B，在回归直线方程y=0.5x+2中，0.5＞0，所以变量y与x正相关，B正确；对于C，变量x，y的样本相关系数|r|越大，越靠近1，表示它们的线性相关性越强，C正确；对于D，在回归分析中，残差平方和越小，模型的拟合效果越好，D错误．故选：BC．10．已知x﹣lny＞y﹣lnx，则（）A．1x ＞1yB．x−y＞1x−1y C．ln（x﹣y）＞0D．x3＞y3解：由题可得，x+lnx＞y+lny，设f（x）＝x+lnx，x＞0，所以f′(x)=1+1x＞0，即函数f（x）在（0，+∞）上递增，所以由f（x）＞f（y）可得：x＞y＞0．对于A，由函数y=1x在（0，+∞）上递减，所以当x＞y＞0时，1x＜1y，A错误；对于B，易知函数y=x−1x在（0，+∞）上递增，所以当x＞y＞0时，x−1x＞y−1y，即x−y＞1x−1y，B正确；对于C，当x＞y＞0时，若x﹣y＜1，则ln（x﹣y）＜0，C错误；对于D，因为函数y＝x3在（0，+∞）上递增，所以当x＞y＞0时，x3＞y3，D正确．故选：BD．11．斐波那契数列又称黄金分割数列，斐波那契数列{a n}满足：a1＝a2＝1，a n+2＝a n+1+a n，记∑n i=1a i=a1+ a2+⋯+a n，则下列结论正确的是（）A．a6＝8B．3a n＝a n﹣2+a n+2（n⩾3）C．∑2023i=1a i=a2025D．∑2023i=1a i2=a2023⋅a2024解：对于A项，因为a1＝1，a2＝1，a n+2＝a n+1+a n，所以a3＝a2+a1＝2，a4＝a3+a2＝3，a5＝a4+a3＝5，a6＝a5+a4＝8，故A项正确；对于B项，因为a n+2＝a n+1+a n，所以当n≥3时，a n﹣2+a n+2＝a n﹣2+（a n+1+a n）＝a n﹣2+（a n+a n﹣1）+a n ＝（a n﹣2+a n﹣1）+a n+a n＝a n+a n+a n＝3a n，故B项正确；对于C项，因为a n+2＝a n+1+a n，所以a n+2﹣a n+1＝a n，所以a3﹣a2＝a1，a4﹣a3＝a2，a5﹣a4＝a3，…，a2025﹣a2024＝a2023，由累加法得：a2025﹣a2＝a1+a2+a3+⋯+a2023，又因为a2＝1，所以a1+a2+a3+⋯+a2023＝a2025﹣1，即：∑2023i=1a i=a2025−1，故C项错误；对于D项，因为a n+12=a n+1×a n+1=a n+1×（a n+2﹣a n）＝a n+1a n+2﹣a n+1a n，a1＝1，a2＝1，所以∑2023i=1a i2=a12+a22+a32+⋯+a20232=a1a2+(a2a3−a2a1)+(a3a4−a3a2)+⋯+(a2023a2024−a2023a2022)=a2023a2024，故D项正确．故选：ABD．12．已知函数f（x）＝xlnx﹣mx2，下列说法正确的是（）A．若f（x）为单调递减函数，则m≥12B．当m≤0或m=12时，f（x）有且仅有一个极值点C．当m=1e时，f（x）图象与x轴相切D．当m≤0或m=1e时，f（x）有且仅有一个零点解：函数f（x）＝xlnx﹣mx2的定义域为（0，+∞），求导得f′（x）＝1+lnx﹣2mx，对于A，由f（x）为单调递减函数，得∀x＞0，f′(x)≤0⇔2m≥1+lnxx，令g(x)=1+lnxx，x＞0，求导得g′(x)=−lnxx2，当x∈（0，1）时，g′（x）＞0，g（x）递增，当x∈（1，+∞）时，g′（x）＜0，g（x）递减，则当x＝1时，g（x）max＝g（1）＝1，于是2m≥1，解得m≥12，A正确；对于B，由选项A知，当m=12时，f（x）为单调递减函数，无极值点，B错误；对于C，当m=1e时，f(x)=xlnx−1ex2，显然f（e）＝0，f′(x)=1+lnx−2ex，且f′（e）＝0，因此函数f（x）的图象在点（e，0）处的切线为y＝0，为x轴，C正确；对于D，由f（x）＝0，得lnx﹣mx＝0，令h（x）＝lnx﹣mx，x＞0，求导得ℎ′(x)=1x−m，当m≤0时，h′（x）＞0，函数h（x）在（0，+∞）上单调递增，而当m＝0时，h（1）＝0，当m＜0时，h（e m）＝m﹣me m＝m（1﹣e m）＜0，h（1）＝﹣m＞0，因此函数仅只一个零点；当m＞0时，x∈(0，1m)，h′（x）＞0，h（x）递增，函数值集合为(−∞，ℎ(1m))，x∈(1m，+∞)，h′（x）＜0，h（x）递减，函数值集合为(−∞，ℎ(1m))，则当x=1m时，ℎ(x)max=ℎ(1m)=−lnm−1，函数f（x）只有一个零点，当且仅当﹣lnm﹣1＝0，解得m=1 e ，所以当m≤0或m=1e时，f（x）有且仅有一个零点，D正确．故选：ACD．三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．若函数f（x）＝2x﹣alnx在（1，f（1））处的切线方程为y＝x+1，则实数a＝1．解：由f（x）＝2x﹣alnx，得f′(x)=2−a x ，∵函数f（x）＝2x﹣alnx在（1，f（1））处的切线方程为y＝x+1，∴f′（1）＝2﹣a＝1，得a＝1．故答案为：1．14．写出一个同时具有下列性质①②的数列{a n}的通项公式：a n＝kn（k＞0）（符合此种形式即可）．①a m﹣n＝a m﹣a n（m＞n，m，n∈N*）；②{a n}单调递增．解：假设数列为等差数列，设其公差为d，首项为a1，由性质①可得：a1+（m﹣n﹣1）d＝a1+（m﹣1）d﹣a1﹣（n﹣1）d⇒a1＝d，即a n ＝a 1+（n ﹣1）d ＝dn ，再根据②可知，公差d ＞0，显然a n ＝kn （k ＞0）满足题意． 故答案为：kn （k ＞0）（符合此种形式即可）．15．如图甲是第七届国际数学家大会（简称ICME ﹣7）的会徽图案，会徽的主题图案是由图乙的一连串直角三角形演化而成的．已知A 1，A 2，A 3，⋯为直角顶点，设|OA 1|＝|A 1A 2|＝|A 2A 3|＝|A 3A 4|＝⋯＝1，|OA 1|，|OA 2|，…|OA n |，⋯构成数列{a n }，令b n =1a n+1+a n ，S n 为数列{b n }的前n 项和，则S 80＝ 8 ．解：由题意得|OA n |=√|OA n−1|2+|A n−1A n |2=√|OA n−1|2+1 ∵|OA 1|＝|A 1A 2|＝|A 2A 3|＝|A 3A 4|＝⋯＝1， ∴|OA n |=√n ， ∴a n =√n ，∴b n =1a n+1+a n =1√n+1+√n =√n +1−√n ，∴S n =b 1+b 2+⋯+b n =√2−1+√3−√2+⋯+√n +1−√n =√n +1−1， ∴S 80=√81−1=8． 故答案为：8．16．已知函数f(x)={2elnxx ，1≤x ≤t ，f(x−t+1)2，x ＞t ((t ≥4)，其中e ＝2.71828⋯．若t ＝4，则f （x ）的最大值为 2 ；若方程f(x)=4e 有且只有1个实根，则实数t 的取值范围为 [4，e 2） ． 解：当t ＝4时，x ∈[1，4]时： f(x)=elnxx ，f′(x)=2e ⋅1−lnxx 2， 当4≥x ＞e 时，f ′（x ）＜0，f （x ） 单调递减， 当1≤x ＜e 时，f ′（x ）＞0，f （x ）单调递增， 并且f （x ）≥0；所以在x ∈[1，4]时，f （x ）max ＝f （e ）＝2； 当x ＞4时，f(x)=f(x−t+1)2，即f （x ）≤f （x ﹣t +1），∴x∈[1，+∞）时，f（x）max＝f（e）＝2；当t≥4时，f(t)=2elnt t，由于当x＞t时，f(x)=f(x−t+1)2，函数的大致图象如下：∴欲使得f(x)=4e只有一个解，则必须f(t)=2elntt＞4e，即lntt＞2e2，设g(t)=lntt，则g′(t)=1−lntt2，t≥4，∴g′（t）＜0，g（t）单调递减，又g(e2)=2e2，∴t＜e2．故答案为：2；[4，e2）．四、解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）已知函数f（x）＝﹣x3+3ax2﹣5，x＝2是函数f（x）的一个极值点．（1）求实数a的值；（2）求函数f（x）在区间[﹣2，4]上的最大值和最小值．解：（1）由题意知，f′（x）＝﹣3x2+6ax，由x＝2是极值点，得f′（2）＝12a﹣12＝0，故a＝1，经检验：a＝1成立．故a的值为1．（2）由（1）知，f（x）＝﹣x3+3x2﹣5，所以f′（x）＝﹣3x2+6x，令f′（x）＝0⇒x1＝0，x2＝2当x∈（﹣2，0）时，f′（x）＜0，则f（x）单调递减．当x∈（0，2）时，f′（x）＞0，则f（x）单调递增．当x∈（2，4）时，f′（x）＜0，则f（x）单调递减．又f（﹣2）＝15，f（0）＝﹣5，f（2）＝﹣1，f（4）＝﹣21所以f（x）在[﹣2，4]上最大值为15，最小值为﹣21．18．（12分）为了解学生对党的“二十大”精神的学习情况，学校开展了“二十大”相关知识的竞赛活动，全校共有1000名学生参加，其中男生450名，采用分层抽样的方法抽取100人，将他们的比赛成绩，分为6组：[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，得到如图所示的频率分布直方图．其中成绩不低于80分为“优秀”，低于80分为“非优秀”．（1）求实数a的值，并估算全校1000名学生中成绩优秀的人数；（2）完成下列2×2列联表，判断是否有95%的把握认为比赛成绩优秀与性别有关．附：χ2=n(ad−bc)(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n＝a+b+c+d．解：（1）由题意可得：（0.005+0.015+0.030+0.025+0.005+a）×10＝1，解得a＝0.020，样本中成绩优秀的频率为：（0.020+0.005）×10＝0.25，以样本估计总体，全校1000名学生中成绩优秀的人数为：0.25×1000＝250（人）．（2）由题意，采用分层抽样，男生抽取人数4501000×100=45人，女生抽取100﹣45＝55人，且样本中优秀的人数为100×0.25＝25人，故2×2列联表如下：可得χ2=100×(15×45−30×10)245×55×25×75=10033≈3.030，因为3.030＜3.841，故没有95%的把握认为比赛成绩优秀与性别有关19．（12分）已知数列{a n}满足a1＝1，a n+1＝2a n+2．（1）证明数列{a n+2}是等比数列，并求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{a n }落入区间（10，2023）的所有项的和．解：（1）证明：由a n +1＝2a n +2，得a n +1+2＝2（a n +2），又a 1+2＝3， 所以a n+1+2a n +2=2，所以{a n +2}是首项3，公比为2的等比数列，所以a n +2=3×2n−1，即a n =3×2n−1−2．（2）由题意10＜a n ＜2023，即10＜3×2n ﹣1﹣2＜2023，解得：4＜2n ﹣1＜675，即3＜n ≤10，故{a n }落入区间（10，2023）的项为a 4，a 5，a 6，a 7，a 8，a 9，a 10， 所以其和S ＝a 4+a 5+a 6+a 7+a 8+a 9+a 10＝3×（23+24+⋯+29）﹣2×7=3×8−10241−2−14 ＝3034．20．（12分）在扶贫政策的大力支持下，某县农副产品加工厂经营得十分红火，不仅解决了就业问题，而且为脱贫工作作出了重大贡献，该工厂收集了1月份至5月份的销售量数据（如下表），并利用这些数据对后期生产规模做出决策．该工厂为了预测未来几个月的销售量，建立了y 关于x 的回归模型：y =b x 2+a ．表中：w i =x i 2，w =15∑ 5i=1w i． （1）根据所给数据与回归模型，求y 关于x 的回归方程（b 的值精确到0.1，a 的值精确到整数位）； （2）已知该工厂的月利润z （单位：万元）与x ，y 的关系为z =5y+35x+2，根据（1）的结果，预测该工厂哪一个月的月利润最小．参考公式：对于一组数据（x 1，y 1），（x 2，y 2），…，（x n ，y n ），其回归直线y =b x +a 的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： b =∑(x i −x)ni=1(y i −y)∑(x i −x)2n i=1=∑ n i=1x i y i −nxy ∑ ni=1x i 2−nx2，a =y −b x ．解：（1）由题意，y =b x 2+a ，令ω＝x 2得y =b ω+a ； 所以b =∑5i=1i i −5ωy ∑5i=1i 22=81.1374≈0.2，a =y −b −ω=7.2−81.1374×11≈5， 所以y 关于x 的回归方程为y =0.2x 2+5；（2）由（1）知y ＝0.2x 2+5，故z =5y+35x+2=x 2+60x+2；z =x 2+60x+2=x +2+64x+2−4≥2√64−4=12，当且仅当x +2=64x+2即x ＝6时等号成立，所以该工厂6月份的月利润最小． 21．（12分）已知数列{an 3n }是以13为首项的常数列，S n 为数列{a n }的前n 项和．（1）求S n ；（2）设正整数m ＝b 0×30+b 1×31+⋯+b k ×3k ，其中b i ∈{0，1，2}，i ，k ∈N ．例如：3＝0×30+1×31，则b 0＝0，b 1＝1；4＝1×30+1×31，则b 0＝1，b 1＝1．若f （m ）＝b 0+b 1+⋯+b k ，求数列{S n •f （S n ）}的前n 项和T n ．解：（1）由题意可得：a n 3n=13，则a n =3n−1，可得a n+1a n=3n 3n−1=3，可知数列{a n }是以首项a 1＝1，公比q ＝3的等比数列，所以S n =1−3×3n−11−3=3n−12．（2）因为S n =30+31+32+⋯+3n−1=1×30+1×31+1×32+⋯+1×3n ﹣1， 则b 0＝b 1＝⋯＝b n ﹣1＝1，由题意f （S n ）＝b 0+b 1+⋯+b n ﹣1＝1+1+⋯+1＝n ，所以S n ⋅f(S n )=n×3n−n2，可得T n =1×3−12+2×32−22+⋯+n×3n−n 2=12[(1×3+2×32+⋯+n ×3n )−(1+2+⋯+n)]， （i ）先求数列{n ×3n }的前n 项和，记之为T ′， 则T ′＝1×31+2×32+⋯+n ×3n ①， 3T ′＝1×32+2×33+⋯+n ×3n +1②， ①﹣②得：﹣2T ′＝3+32+33+⋯+3n﹣n ×3n +1=3−3n+1−2−n ×3n+1=−32+(12−n)×3n+1，所以T ′=34+2n−14×3n+1； （ⅱ）再求{n }的前n 项和，记之为T ″，则T ″=n(n+1)2； 综上所述：T n =12(T′−T″)=12[(34+2n−14×3n+1)−n(n+1)2]=38+2n−18×3n+1−n(n+1)4． 22．（12分）已知函数f （x ）＝x 2+（2﹣a ）x ﹣alnx ．（1）讨论函数f （x ）的单调性；（2）若函数f （x ）有两个零点x 1和x 2，求证：f （x ）在x 1+x 22处的切线斜率恒为正数．解：（1）由题意得函数定义域为（0，+∞），f ′(x)=2x +(2−a)−ax =(x+1)(2x−a)x， 当a ≤0时，2x ﹣a ＞0，即f ′（x ）＞0，故f （x ）在（0，+∞）上单调递增； 当a ＞0时，由f ′（x ）＞0得x ＞a 2，由f '（x ）＜0得0＜x ＜a2， ∴f （x ）在(0，a 2)上单调递减，在(a 2，+∞)上单调递增， 综上所述，当a ≤0时，f （x ）在（0，+∞）上单调递增；当a ＞0时，f （x ）在(0，a 2)上单调递减，在(a2，+∞)上单调递增． （2）证明：由（1）得f （x ）有两个零点，则a ＞0，则f(x 1)=f(x 2)=0⇒{x 12+2x 1=a(x 1+lnx 1)x 22+2x 2=a(x 2+lnx 2)，不妨设0＜x 1＜x 2，∴x 12−x 22+2(x 1−x 2)=a[(x 1−x 2)+(lnx 1−lnx 2)]，化简得x 1+x 2+2=a(1+lnx 1−lnx 2x 1−x 2)．令y(t)=lnt −2(t−1)t+1(t ＞1)，y ′(t)=(t−1)2t(t+1)2＞0∴y ＝y （t ）在（1，+∞）上单调递增．∴当t ＞1时，y （t ）＞y （1）＝0，即lnt −2(t−1)t+1＞0， 取t =x 2x 1＞1，则ln x 2x 1−2(x2x 1−1)x 2x1+1＞0， 即lnx 2−lnx 1−2(x 2−x 1)x 2+x 1＞0(x 2＞x 1＞0)， ∴lnx 2−lnx 1x 2−x 1＞2x 2+x 1，即lnx 1−lnx 2x 1−x 2＞2x 1+x 2，∴x 1+x 2+2＞a ⋅(1+2x 1+x 2)⇒x 1+x 2＞a ，又f ′(x 1+x 22)=x 1+x 22+1x 1+x 22×(x 1+x 2−a)＞0，故f （x ）在x =x 1+x 22处切线斜率恒为正．。

山东省实验中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题(含简单答案)

山东省实验中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题(含简单答案)

山东省实验中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.展开式中 的系数为（ ）A. B. C. 30D. 902. 若是区间上的单调函数，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. 或 D.3. 2020年是脱贫攻坚年，为顺利完成“两不愁，三保障”，即农村贫困人口不愁吃、不愁穿，农村贫困人口义务教育、基本医疗、住房安全有保障，某市拟派出6人组成三个帮扶队，每队两人，对脱贫任务较重的甲、乙、丙三县进行帮扶，则不同的派出方法种数共有A. 15 B. 60 C. 90 D. 5404. 若，则（ ）A. B. C. D. 5. 在5个大小相同的球中有2个红球和3个白球，不放回地依次摸出2个球，在第1次摸出红球的条件下，第2次也摸到红球的概率是（ ）A.B.C.D.6. 随机变量ξ的分布列如下：其中，则等于（ ）A.B.()()6231x x --3x 90-30-()32112132f x x x x =-+++()1,4m m -+m 5m ≤-3m ≥5m ≤-3m ≥53m -≤≤2022220220122022(32)x a a x a x a x -=++++ 2022a a =2022220221()220222(320223()2110142512ξ1-01Pabc2b a c =+(1)P ξ=1314C.D.7. 蜂房绝大部分是一个正六棱柱的侧面，但它的底部却是由三个菱形构成的三面角. 18世纪初，法国学者马拉尔奇曾经专门测量过大量蜂巢的尺寸. 令人惊讶的是，这些蜂巢组成底盘的菱形的所有钝角都是，所有的锐角都是. 后来经过法国数学家克尼格和苏格兰数学家马克洛林从理论上的计算，如果要消耗最少的材料，制成最大的菱形容器正是这个角度. 从这个意义上说，蜜蜂称得上是“天才的数学家兼设计师”. 如图所示是一个蜂巢和部分蜂巢截面. 图中竖直线段和斜线都表示通道，并且在交点处相遇．现在有一只蜜蜂从入口向下（只能向下，不能向上）运动，蜜蜂在每个交点处向左到达下一层或者向右到达下一层的可能性是相同的．蜜蜂到达第层（有条竖直线段）第通道（从左向右计）的不同路径数为. 例如：，. 则不等式的解集为（）A. B. C. D. 8. 已知函数，若恰有四个不同的零点，则a 取值范围为（）A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9. 已知A ，B ，C 为随机事件，则下列表述中不正确的是（ ）A B. C. D. 10. 对于函数，下列说法中正确是（ ）A. 存在有极大值也有最大值.的122310928'︒7032'︒n n m (),A n m ()3,11A =()4,23A =()10,81A m ≤{}1,2,3,7,8,9{}1,2,3,8,9,10{}1,2,3,9,10,11{}4,5,6,7,8()xf x x e =()()()21g x fx af x =-+()2,∞+1,e e⎛⎫++∞ ⎪⎝⎭12,e e ⎛⎫+⎪⎝⎭1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭()()()P AB P A P B =()()()P B C A P B A P C A ⋃=+()1P A A =()()P A B P AB ≥()222272exx x f x +-=()f xB. 有三个零点C. 当时，恒成立D. 当时，有3个不相等的实数根11. 在信道内传输信号，信号的传输相互独立，发送某一信号时，收到的信号字母不变的概率为，收到其他两个信号的概率均为．若输入四个相同的信号的概率分别为，且．记事件分别表示“输入”“输入”“输入”，事件表示“依次输出”，则（ ）A. 若输入信号，则输出信号只有两个的概率为B.C.D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12. 若，则实数a 取值范围为________13. 编号为A 、B 、C 、D 、E 的5种蔬菜种在如图所示的五块实验田里，每块只能种一种蔬菜，要求A 品种不能种在1，2试验田里，B 品种必须与A 种在相邻的两块田里，则不同的种植方法种数为________14. 设为随机变量，从边长为1的正方体12条棱中任取两条，当两条棱相交时，；当两条棱异面时，；当两条棱平行时，的值为两条棱之间的距离，则数学期望=________.四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16，17题15分，第18，19题17分，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．的的()f x x ⎫∈+∞⎪⎪⎭()0f x >450,2e a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()f x a =,,M N P ()01αα<<12α-,,MMMM NNNN PPPP 123,,p p p 1231p p p ++=111,,M N P MMMM NNNN PPPP D MNPM MMMM M ()221αα-()22112P D M αα-⎛⎫= ⎪⎝⎭()3112P D P αα-⎛⎫= ⎪⎝⎭()()1112311p P M D p ααα=-+-e ln()x ax x ax -≥-+ξ0ξ=1ξ=ξE ξ15. 在二项式的展开式中，已知第2项与第8项的二项式系数相等．（1）求展开式中各项系数之和；（2）求展开式中二项式系数最大的项；（3）求展开式中的有理项．16. 学生甲想加入校篮球队，篮球教练对其进行投篮测试．测试规则如下：①投篮分为两轮，每轮均有两次机会，第一轮在罚球线处，第二轮在三分线处；②若他在罚球线处投进第一球，则直接进入下一轮，若第一次没投进可以进行第二次投篮，投进则进入下一轮，否则不预录取；③若他在三分线处投进第一球，则直接录取，若第一次没投进可以进行第二次投篮，投进则录取，否则不予录取．已知学生甲在罚球线处投篮命中率为，在三分线处投篮命中率为．假设学生甲每次投进与否互不影响．（1）求学生甲被录取的概率；（2）在这次测试中，记学生甲投篮的次数为，求的分布列．17. 已知函数在点处切线与直线垂直.（1）求的值；（2）求的单调区间和极值.18. 人工智能是研究用于模拟和延伸人类智能的技术科学，被认为是21世纪最重要的尖端科技之一，其理论和技术正在日益成熟，应用领域也在不断扩大.人工智能背后的一个基本原理：首先确定先验概率，然后通过计算得到后验概率，使先验概率得到修正和校对，再根据后验概率做出推理和决策.基于这一基本原理，我们可以设计如下试验模型；有完全相同的甲、乙两个袋子，袋子有形状和大小完全相同的小球，其中甲袋中有9个红球和1个白球乙袋中有2个红球和8个白球.从这两个袋子中选择一个袋子，再从该袋子中等可能摸出一个球，称为一次试验.若多次试验直到摸出红球，则试验结束.假设首次试验选到甲袋或乙袋的概率均为（先验概率）.（1）求首次试验结束的概率；（2）在首次试验摸出白球的条件下，我们对选到甲袋或乙袋的概率（先验概率）进行调整.①求选到的袋子为甲袋的概率，②将首次试验摸出的白球放回原来袋子，继续进行第二次试验时有如下两种方案；方案一，从原来袋子中摸球；方案二，从另外一个袋子中摸球.请通过计算，说明选择哪个方案第二次试验结束的概率更大.19. 已知函数，．的1n⎫⎪⎭3423X X ()21ex x af x -+=()()1,1f 420240x y ++=a ()f x 12()23ln f x a x ⎛⎫=+⎪⎝⎭R a ∈（1）若的定义域为，值域为，求的值；（2）若，且对任意的，当，时，总满足，求的取值范围．（附加题）20. 帕德近似是法国数学家亨利．帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法．给定两个正整数m ，n ，函数在处的阶帕德近似定义为：，且满足：，，，…，．（注：，，，，…；为的导数）已知在处的阶帕德近似为．（1）求实数a ，b 的值；（2）比较与的大小；（3）若在上存在极值，求的取值范围．()f x {|0,R}x x x ≠∈R a 0a >1,13c ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦1x 2x ∈()()12ln2f x f x -≤a ()f x 0x =[,]m n 011()1mm nn a a x a x R x b x b x+++=+++ (0)(0)f R =(0)(0)f R ''=(0)(0)f R ''''=()()(0)(0)m n m n f R ++=[]()()f x f x '='''[]()()f x f x ''''''=[](4)()()f x f x ''''=(5)(4)()()f x f x '⎡⎤=⎣⎦()()n f x (1)()n f x -()ln(1)f x x =+0x =[]1,1()1ax R x bx=+()f x ()R x ()1()()()2f x h x m f x R x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭(0,)+∞m山东省实验中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题简要答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．【1题答案】【答案】D【2题答案】【答案】C【3题答案】【答案】C【4题答案】【答案】C【5题答案】【答案】B【6题答案】【答案】D【7题答案】【答案】B【8题答案】【答案】B二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．【9题答案】【答案】AB【10题答案】【答案】CD【11题答案】【答案】BCD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．【12题答案】【答案】【13题答案】【答案】30【14题答案】四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16，17题15分，第18，19题17分，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．【15题答案】【答案】（1）0（2）（3）有理项为，，【16题答案】【答案】（1）（2）分布列略【17题答案】【答案】（1）（2）单调递减区间为和，单调递增区间为，的极大值为，极小值为.【18题答案】【答案】（1） （2）①；②方案二中取到红球的概率更大.【19题答案】【答案】（1） （2）（附加题）【20题答案】【答案】（1），； (]0,e 4370x -228x -156x --1563a =-(),1-∞-()3,+∞()1,3-()f x ()263e f =()212e f -=-1120190a =45,7∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭1a =12b =（2）答案略；（3）．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭。

河北省石家庄市第二中学教育集团2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题(含简单答案)

河北省石家庄市第二中学教育集团2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题(含简单答案)

石家庄市第二中学教育集团2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷（时间：120分钟，分值150分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 下列函数的求导正确的是（）A. B.C. D.2. 设曲线和曲线在它们的公共点处有相同的切线，则的值为（）A. 0B.C. 2D. 33. 已知随机变量的分布列如下，随机变量满足，则随机变量的期望E(Y)等于（）012A. B. C. D.4. 函数的大致图像是（）A. B.C. D.5. 为了培养同学们的团队合作意识，在集体活动中收获成功、收获友情、收获自信、磨砺心志，2023年4月17日，石家庄二中实验学校成功举办了首届“踔厉奋发新征程，勇毅前行赢未来”25公里远足活动. 某班()22x x'-=-()2e2ex x'=()cos cos sinx x x x x'=-()()122xx x-'=⋅()e xf x a b=+()πcos2xg x c=+()02P，+ab cπX Y21Y X=-YXP1613a43835373()(1)ln1f x x x=+-现有5名志愿者分配到3个不同的小组里协助班主任摄影，记录同学们的青春光影，要求每个人只能去一个小组，每个小组至少有一名志愿者，则不同的分配方案的总数为（ ）A 120B. 150C. 240D. 3006. 的展开式中的系数为（ ）A B. 17C. D. 137. 设，，，则（ ）A. B. C. D. 8. 若方程有三个不同的解，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 已知，则下列结论正确的是（ ）A. B. C. D. 展开式中最大的系数为10. 已知函数，下列说法正确的有（ ）A. 若，，则函数F (x )有最小值B. 若，，则过原点可以作2条直线与曲线相切C. 若，且对任意，恒成立，则D. 若对任意，任意，恒成立，则的最小值是11 已知函数，若且，则有（ ）...()632x x ⎛- ⎝6x 17-13-35ln 23a =253e 5b =1c =c b a >>a b c >>a c b >>c a b>>()()23ln 12ln x a x ax x x--=a 224e 104e 4e ⎛⎫+ ⎪-⎝⎭，224e 114e 4e ⎛⎫+ ⎪-⎝⎭，()224e 10114e 4e ⎛⎫+⋃ ⎪-⎝⎭，，()224e 1014e 4e ⎧⎫+⋃⎨⎬-⎩⎭，()62601262a a x a x a x =+++⋯+3360a =-()()2202461351a a a a a a a +++-++=(6612622a a a ++⋯+=--2a ()()()2e 114ax F x m x m =++++0m =1a =-1m =-0a ≠()y F x =0a =m ∈R ()0F x >11x -<<R m ∈0x >()0F x ≥a 2e()()y f x x =∈R ()0f x >()()0f x xf x '+>A. 可能是奇函数或偶函数B. C. 当时， D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 为弘扬我国古代“六艺文化”，某夏令营主办方计划利用暑期开设“礼”、“乐”、“射”、“御”、“书”，“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周，则课程“御”“书”“数”排在不相邻的三周，共有______种排法.13. 某校辩论赛小组共有5名成员，其中女生比男生多，现要从中随机抽取2名成员去参加外校交流活动，若抽到一男一女的概率为，则抽到2名男生的概率为_____________.14. 若，使得成立（其中为自然对数的底数），则实数的取值范围是_____________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 已知二项式的展开式中，所有项的二项式系数之和为，各项的系数之和为，（1）求的值；（2）求其展开式中所有的有理项．16. 某学校为了增进全体教职工对党史知识的了解，组织开展党史知识竞赛活动并以支部为单位参加比赛．现有两组党史题目放在甲､乙两个纸箱中，甲箱有个选择题和个填空题，乙箱中有个选择题和个填空题，比赛中要求每个支部在甲或乙两个纸箱中随机抽取两题作答．每个支部先抽取一题作答，答完后题目不放回纸箱中，再抽取第二题作答，两题答题结束后，再将这两个题目放回原纸箱中．（1）如果第一支部从乙箱中抽取了个题目，求第题抽到的是填空题的概率；（2）若第二支部从甲箱中抽取了个题目，答题结束后错将题目放入了乙箱中，接着第三支部答题，第三支部抽取第一题时，从乙箱中抽取了题目．求第三支部从乙箱中取出的这个题目是选择题的概率．17. 已知函数.（1）求函数的极值；（2）若对任意恒成立，求的最大整数值.18. 张强同学进行三次定点投篮测试，已知第一次投篮命中的概率为，第二次投篮命中的概率为，前的()f x ()()11f f -<ππ42x <<()()cos22sin e cos x f x f x >()()01f >35[]0,2x ∃∈()1eln e e 1ln xa a x x a --+≥-+e 2.71828= a nx ⎛- ⎝a b 32a b +=n 5343222()ln f x x x x =+()f x ()()1k x f x -<1x >k 1312两次投篮是否命中相互之间没有影响.第三次投篮受到前两次结果的影响，如果前两次投篮至少命中一次，则第三次投篮命中的概率为，如果前两次投篮均未命中，则第三次投篮命中的概率为.（1）求张强同学三次投篮至少命中一次的概率；（2）记张强同学三次投篮命中的次数为随机变量，求的概率分布.19. 设定义在R 上的函数．（1）若存在，使得成立，求实数a 的取值范围；（2）定义：如果实数s ，t ，r 满足，那么称s 比t 更接近r ．对于（1）中的a 及，问：和哪个更接近？并说明理由．石家庄市第二中学教育集团2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷 简要答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.【1题答案】【答案】C 【2题答案】【答案】C 【3题答案】【答案】C 【4题答案】【答案】B 【5题答案】【答案】B 【6题答案】2315ξξ()()e xf x ax a =-∈R [)01,x ∈+∞()0e f x a <-s r t r -≤-1x ≥ex1e x a -+ln x【答案】C 【7题答案】【答案】A 【8题答案】【答案】B二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.【9题答案】【答案】BCD 【10题答案】【答案】ACD 【11题答案】【答案】BC三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.【12题答案】【答案】【13题答案】【答案】##【14题答案】【答案】四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.【15题答案】【答案】（1）4 （2）【16题答案】【答案】（1） （2）【17题答案】【答案】（1）极小值，无极大值为1441100.121e,e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦42135,54,81T x T x T x-===377122e --（2）3【18题答案】【答案】（1）；（2）答案略.【19题答案】【答案】（1） （2）比更接近，理由略1115e a >ex1e x a -+ln x。

广东省深圳市高级中学(集团)2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷(解析版)

广东省深圳市高级中学(集团)2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷(解析版)

深圳市高级中学2023-2024学年第二学期期中考试高二数学注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并填涂相应的考号信息点.2.选择题必须使用2B 铅笔填涂；解答题必须使用黑色墨水的签字笔书写，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清楚.3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答题无效；在草稿纸、试题卷上答题无效.4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若4名学生报名参加数学､语文､英语兴趣小组，每人选报1项，则不同的报名方式有（ ） A. 432×× B. 34C. 43D. 32×【答案】C 【解析】【分析】根据题意，分析可得4名学生，每人有3种可选方案，由分步计数原理计算可得答案． 【详解】根据题意，4名学生报名参加数学､语文､英语兴趣小组，每人选报1项， 则每人有3种可选方案，则4人共有433333×××=种分式， 故选：C ．2. 设随机变量X 服从正态分布()22,N σ且(4)0.9P X <=，则(02)P X <<=（ ） A. 0.3 B. 0.4 C. 0.5D. 0.9【答案】B 【解析】【分析】利用正态分布对称性计算可得. 【详解】随机变量X 服从正态分布()22,N σ且(4)0.9P X <=，则(4)0.1P X ≥=，()102(24)(4)0.42P X P X P X <<=<<=−≥=.故选：B3.二项式62x展开式的常数项为（ ）A. 160−B. 60C. 120D. 240【答案】B 【解析】【分析】利用二项展开式的通项公式进行求解即可.【详解】62x展开式的通项为：()()32666166C 2C 21kk k k k k k k T x x −−−+ ==⋅⋅−⋅ ， 令3602k −=得4k =， 所以展开式的常数项为()2644C 2160××−=， 故选：B ．4. 一个盒中有10个球，其中红球7个，黄球3个，随机抽取两个，则至少有一个黄球的概率为（ ） A.35B.115C.715D.815【答案】D 【解析】【分析】记抽取黄球的个数为X ，则由题意可得X 服从超几何分布，然后根据超几何分布的概率公式求解即可.【详解】记抽取黄球的个数为X ，则X 服从超几何分布，其分布列为()237210C C C k k P X k −==，0k =，1，2． 所以，()()()11203737221010C C C C 8112C C 15P X P X P X ≥==+==+=． 或()()0237210C C 81101C 15P X P X ≥=−==−=． 故选：D ．5. 教育扶贫是我国重点扶贫项目，为了缩小教育资源的差距，国家鼓励教师去乡村支教，某校选派了5名教师到A 、B 、C 三个乡村学校去支教，每个学校至少去1人，每名教师只能去一个学校，不同的选派方法数有（ ）种 A. 25 B. 60 C. 90 D. 150【答案】D 【解析】【分析】按照分类分步计数原理可先将5人分成3组，再将3组人员分配到3个学校去，即可计算出结果. 【详解】由题意可知，先将5人分成三组有2类分法， 第一类：各组人数分别为1，1，3，共有35C 种分法；第二类：各组人数分别为1，2，2，共有12254222C C C A 种分法， 再将三组人员分配到A 、B 、C 三个乡村学校去，共有33A 种，所以不同的选派方法共有122335425322C C C C A 150A +=种. 故选：D6. 已知ABC ∆是以BC 为斜边的直角三角形，P 为平面ABC 外一点，且平面PBC⊥平面ABC ，3BC =，PB =PC =，则三棱锥−P ABC 外接球的体积为（ ）A 10πB.C.53πD.【答案】D 【解析】【分析】由ABC 为直角三角形，可知BC 中点M 为ABC 外接圆的圆心，又平面PBC⊥平面ABC ，所以球心在过M 与平面ABC 垂直的直线上，且球心为PBC 的外心.利用正余弦定理求出PBC 外接圆的半径即为球的半径，从而求出球的体积.【详解】解：取BC 中点M ，过点M 做直线l 垂直BC ，因为ABC 为直角三角形，所以点M 为ABC 外接圆的圆心，又平面PBC ⊥平面ABC ，所以l ⊂平面ABC ，根据球的性质，球心一定在垂线l 上，且球心为PBC 的外心.在PBC中，222cos 2PB BC PC PBC PB BC+−∠==⋅所以sin PBC ∠，则PBC 外接圆半径为12.的V =. 故选：D7. 过点(),P a b 可作3条直线与函数()32f x x =−的图象相切，则（ ）A. 312a b <−B. 312a b >−C. 32a b<−D. 32a b>−【答案】A 【解析】【分析】设切点坐标，利用导数求出切线，由切线过点(),P a b ，整理得32460t at b −−=有3组解，转化为三次函数有三个零点问题，利用导数解决.【详解】设过点(),P a b 的直线与函数()32f x x =−的图象切于点()3,2Q t t−，()26f x x ′=−，则函数()f x 在点Q 处的切线斜率()26k f t t ′==−， 切线方程为()3226y t t x t +=−−，由切线过点(),P a b ，所以有()3226b t t a t +=−−，整理得32460t at b −−=，设()3246g t t at b =−−，则问题转化为()g t 有3个零点， 因为()21212g t t at =−′，由()0g t ′=得0=t 或t a =，若0a =，()0g t ′≥恒成立，()g t 在R 上单调递增，不合题意. 当0a >时，()0g t ′>解得0t <或t a >，()0g t ′<解得0t a <<，此时()g t 在(),0∞−和(),a +∞上单调递增，在()0,a 上单调递减，()0g 为函数极大值，()g a 为函数极小值；当0a <时，()0g t ′>解得t a <或0t >，()0g t ′<解得0a t <<，此时()g t 在(),a −∞和()0,∞+上单调递增，在(),0a 上单调递减，()g a 为函数极大值，()0g 为函数极小值；()g t 有3个零点，则()0g 与()g a 异号，即()()()3020g g a b a b =−−−<，所以()320b a b +<， 得332210a b a b b +=+<，所以312a b <−.故选：A8. 已知双曲线22221(0,0)x y a b a b−=>>的左､右焦点分别为12,F F ，右焦点2F 到渐近线的距离为31F 作圆222:C x y a +=的切线，交双曲线右支于点M ，若121cos 2F MF ∠=，则圆C 的面积为（ ） A. 9π B. 8πC. 6πD. 4π【答案】A 【解析】b ，可得b ，结合双曲线定义与121cos 2F MF ∠=可得a ，即可得圆C 的面积.【详解】如图，因为右焦点2F 到渐近线的距离为3，故3b = 作1OA F M ⊥于点21,A F B F M ⊥于点B ，因为1F M 与圆222:C x y a +=相切，所以21,22,2OA a F B OA a F B b ====， 因为121cos 2F MF ∠=，即1260F MF ∠=，在直角2F MB 中，2tan 60F B MB M === ， 又点M 在双曲线上，由双曲线的定义可得：121222F M F M F B MB F M b a −=+−=−=，整理得b =，因为3b =3a =，圆C 的面积22ππ9πS r a ===.故选：A.【点睛】关键点点睛：本题关键在于借助作1OA F M ⊥于点21,A F B F M ⊥于点B ，从而结合双曲线定义与直角三角形的性质可得a ，即可得圆C 的面积.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 已知数列{}n a 的前n 项和24nS n n =−，则（ ） A. {}n a 不是等差数列 B. 25na n =− C. 数列n S n是等差数列 D. 121067a a a +++=【答案】BC 【解析】【分析】根据11,1,2n n n S n a S S n −= =−≥ 即可求出数列{}n a 的通项，再根据等差数列的定义和前n 项和公式逐一判断即可.【详解】由24nS n n =−， 当1n =时，11143a S ==−=−， 当2n ≥时，()()221414125n n n a S S n n n n n − =−=−−−−−=−，当1n =时，上式也成立，所以25na n =−，故B 正确； 因为()()1215252n na a n n +−=+−−−=，所以{}n a 是等差数列，故A 错误； 对于C ，244n S n nn n n−==−，因为()114411n n S S n n n n +−=+−−−=+，所以数列n S n是等差数列，故C 正确； 对于D ，令250n a n −≥，则52n ≥， 所以当3n ≥时，0n a >，当2n ≤时，0n a <，故312101211200260868a a a a a a a S S +++−+++=−=+=−= ，故D 错误. 故选：BC.10. 甲箱中有3个红球和2个白球，乙箱中有2个红球和2个白球（两箱中的球除颜色外没有其他区别），先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别用事件1A 和2A 表示从甲箱中取出的球是红球和白球；再从乙箱中随机取出两球，用事件B 表示从乙箱中取出的两球都是红球，则（ ） A. 13()5P A =B. 11()50P B =C. ()1950P B A = D. 22()11P A B =【答案】ABD 【解析】【分析】根据条件概率的概率公式及全概率的概率公式计算可得.【详解】依题意可得13()5P A =，22()5P A =，()23125C 3C 10P B A ==，()22225C 1C 10P B A ==， 所以()()()()()112233211151051050P B P A P B A P A P B A =+=×+×=，故A 正确、B 正确、C 错误； ()()()()()222212|2105()111150P A B P B A P A P A B P B P B ×====，故D 正确.故选：ABD11. 已知函数()2ln 11f x x x =−−−，则下列结论正确的是（ ） A. ()f x 的单调递增区间是()0,1，()1,+∞ B. ()f x 的值域为RC ()()20232024log 2024log 20231f f +=.D. 若()e 1e 1b b f a b +=−−，()0,1a ∈，()0,b ∈+∞，则e 1b a =【答案】ABD 【解析】【分析】A 选项，求出定义域，求导得到函数单调性，得到答案；B 选项，在A 选项基础上得到函数的值域；C 选项，计算出()10f f x x +=，结合202320241log 2024log 2023=得到C 正确；D 选项，利用同构变换得到()1e bf a f=，结合()0,1a ∈，()0,b ∞∈+得到1e ba =，D 正确. 【详解】A 选项，()2ln 11f x x x =−−−的定义域为()()0,11,∞∪+， ()()21201f x x x =−′+>在定义域上恒成立， 故()f x 的单调递增区间是()0,1，()1,∞+，A 正确；B 选项，当x 趋向于0时，()f x 趋向于−∞，当x 趋向于+∞时，()f x 趋向于+∞， 故()f x 的值域为R ，B 正确；C 选项，0x >，()1221ln 122011x f f x x x x x x+−−++−−=−+=−−， 又202320241log 2024log 2023=，所以()()20232024log 2024log 20230f f +=，C 错误； D 选项，()e 1e 122121ln e ln 12e 1e 1e 1e e 1b b b b b b b b f a b b +−+=−=−=+−=−++ −−−−12e 121211111e e 1e e 11ln ln l e n e b b b b b b b=−+=−+=−−−−−， 又()2ln 11f x x x =−−−，故121ln 11e e 1eb b b f−−=−， 故()1e b f a f =，因为()0,b ∞∈+，所以()10,1e b∈， 又()0,1a ∈，故1eb a =，即e 1b a =，D 正确. 故选：ABD【点睛】关键点点睛：当函数中同时出现e x 与ln x ，通常使用同构来进行求解，本题难点是D 选项变形得到()12ln11e 1e bbf a =−−−，得到()1e b f a f= ，从而进行求解. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 由样本数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，(x 3，y 3)，(x 4，y 4)，(x 5，y 5)得到的回归方程为y ＝56x ＋a ，已知5112ii x==∑，5122i i y ==∑，则实数a 的值为________．【答案】2.4 【解析】【详解】由题表得x ＝2.4，y ＝4.4，代入回归方程，解得a ＝2.4. 13. 已知随机变量的ξ分布列为则x y +=________；若(2)1E ξ=，则()D ξ=_______． 【答案】 ①. 12②.2312【解析】【分析】由概率和等于1，可求出x y +的值，然后根据(2)1E ξ=，可求出()E ξ，进而由数学期望的计算公式可求出,x y 的值，然后计算()D ξ即可. 【详解】由题意得，11136x y +++=，则12x y +=. 因为(2)1E ξ=，所以1()2E ξ=，则112262x y −++=，即16x y −+=，又12x y +=，解得11,63x y ==， 所以22221111111123()20122623262312D ξ =−−×+−×+−×+−×=． 故答案为：12；2312. 【点睛】本题主要考查离散型随机变量的分布列、数学期望和方差的计算等，考查数学运算核心素养，属于中档题.14. 若函数()ln e ln e xxa xf x x x a x=+−−（R a ∈）有2个不同的零点，则实数a 的取值范围是______． 【答案】()()0,11,+∞ 【解析】【分析】化简函数()()ln e xa f x x x x=+−，得到()ln g x x x =+和()e x h x x =在()0,∞+上单增，结合存在唯一的()10,1x ∈，使()10g x =，即11ln 0x x +=，且存在唯一的()20,x ∞∈+，使()2h x a =，结合12x x =，进而得到实数a 的取值范围． 【详解】由函数()()()ln e ln 1ln e ,(0)xxx a f x x x a x x x x x=+−+=+−>， 设()ln g x x x =+，可得()110g x x+′=>，()g x 单调递增， 且11ln 2022g=−+<，()1010g =+>， 所以存在唯一的()10,1x ∈，使()10g x =，即11ln 0x x +=， 令e 0xax−=，即e x a x =， 设()e xh x x =，可得()(1)e 0xh x x =+>′，则()h x 在()0,∞+上单增， 又由()00h =且x →+∞时，()h x ∞→+，所以当()0,a ∞∈+时，存在唯一的()20,x ∞∈+，使()2h x a =，即22e xa x =，若12x x =时，可得1111ln 0ex x x a x += = ，则11ln x x =−，可得11e x x −=，所以11e 1xx =， 所以1a =，综上所述，实数a 的取值范围为()()0,11,∞∪+．故答案为：()()0,11,∞∪+．【点睛】方法技巧：已知函数零点（方程根）的个数，求参数的取值范围问题的三种常用方法： 1、直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式（组），再通过解不等式（组）确定参数的取值范围2、分离参数法，先分离参数，将问题转化成求函数值域问题加以解决；3、数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中作出函数的图象，然后数形结合求解. 结论拓展：与e x 和ln x 相关的常见同构模型①e ln e ln e ln a a a a b b b b ≤⇔≤，构造函数()ln f x x x =或()e xg x x =； ②e e ln ln e ln a a a b b a b b<⇔<，构造函数()ln x f x x =或()e x g x x =； ③e ln e ln e ln a a a a b b b b ±>±⇔±>±，构造函数()ln f x x x =±或()e xg x x =±. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 已知各项均为正数的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，4是13,a a 的等比中项，且63312S S −=． （1）求{}n a 的通项公式；（2）求数列1n S n +的前n 项和为n T ． 【答案】（1）31na n =− （2）()231n n T n =+ 【解析】【分析】（1）根据等比中项的性质及等差数列求和公式得到关于1a 、d 的方程组，解得即可； （2）由（1）求出n S ，从而得到121131n S n n n =− ++，再利用裂项相消法计算可得. 【小问1详解】设正项等差数列{}n a 的公差为(0)d d >， 因为4是13,a a 的等比中项，所以2134a a =，即()11216a a d +=， 又63312S S −=，即()1161533312a d a d +−+=，即124d a =+，解得123a d = = 或140a d =− =（舍去）， 所以()23131n a n n =+−=−；【小问2详解】由（1）可得()2131213222n S n n n n n =+−×=+， 所以()312n S n n n +=+， 所以()1212113131n S n n n n n =×=− +++， 所以()21111121211322313131n n T n n n n =−+−++−=−= +++ ． 16. “蛟龙号”从海底中带回的某种生物，甲乙两个生物小组分别独立开展对该生物离开恒温箱的成活情况进行研究，每次试验一个生物，甲组能使生物成活的概率为13，乙组能使生物成活的概率为12，假定试验后生物成活，则称该试验成功，如果生物不成活，则称该次试验是失败的．（1）甲小组做了三次试验，求至少两次试验成功的概率；（2）若甲乙两小组各进行2次试验，设试验成功的总次数为ξ，求ξ的分布列及数学期望．【答案】（1）727（2）分布列见解析，()53E ξ=【解析】 【分析】（1）根据相互独立事件及互斥事件的概率公式计算可得；（2）依题意ξ的可能取值为0，1，2，3，4，求出所对应的概率，即可得到分布列与数学期望.【小问1详解】记至少两次试验成功为事件A ，则甲小组做了三次实验，至少两次试验成功的概率()2323331117C 1C 33327P A ××−+= = . 【小问2详解】由题意ξ的可能取值为0，1，2，3，4，所以()0222212110C C 3329P ξ ==⋅= ， ()112021110012222121121111C C C C 33233223P ξ ==⋅+⋅=⋅⋅⋅， ()202112022201102222222121121121132C C C C C C 33233233236P ξ ==⋅⋅+⋅= + ， ()2021122112222212112113C C C C 3323326P ξ ==⋅+⋅= ， ()202222212114C C 33236P ξ ==⋅= ， 故ξ的分布列为 所以()11131150123493366363E ξ=×+×+×+×+×=. 17. 如图，在三棱锥−P ABC 中，PAB 与ABC 都为等边三角形，平面PAB ⊥平面,,ABC M O 分别为,PA AB 的中点，且,PO BM G N = 在棱BC 上，且满足2BN NC =，连接GN ．（1）求证：GN ∥平面PAC ；（2）设2AB =，求直线PN 与平面BGN 所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析（2 【解析】【分析】（1）作出辅助线，由重心性质得到线线平行，证明出线面平行；（2）由面面垂直得到线面垂直，线线垂直，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，从而求出线面角的正弦值.【小问1详解】证明：连接MC ，如图所示．在PAB 中，因为,M O 分别为,PA AB 的中点，PO BM G ∩=，所以G 为PAB 的重心，所以2BG GM=， 又2NB CN=，所以GN MC ∥， 又GN 平面,PAC MC ⊂平面PAC ，所以GN ∥平面PAC ．【小问2详解】连接OC ，因为PAB 为等边三角形，O 为AB 的中点，所以PO AB ⊥，又平面PAB ⊥平面ABC ，平面PAB ∩平面,ABC AB PO =⊂平面PAB ， 所以PO ⊥平面CAB ，又,OC AB ⊂平面CAB ，所以,PO OC PO AB ⊥⊥．因为ABC 为等边三角形，O 为AB 的中点，所以CO AB ⊥．以O 为坐标原点，,,OC OB OP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，如图所示．的则)()(,0,1,0,,C B P G ，所以(),0,CB BG − ． 设平面BGN 的法向量(),,n x y z =，则0,0,n CB y n BG y z ⋅+= ⋅=−+=令1x =，解得3y z =， 所以平面BGN的一个法向量()n = ，(()111333NP CP CN CP CB =−=−=−=− ． 设直线PN 与平面BGN 所成角的大小为θ，则sin cos ,n NP n NP n NP θ⋅===⋅ ， 即直线PN 与平面BGN． 18. 已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，3,2M m−为C 上一点，且32MF . （1）求C 的方程；（2）过点()4,0P 且斜率存在的直线l 与C 交于不同的两点,A B ，且点B 关于x 轴的对称点为D ，直线AD 与x 轴交于点Q .（i ）求点Q 的坐标；（ii ）求OAQ 与OAB 面积之和的最小值.【答案】（1）23y x =（2）（i ）(4,0)Q −；（ii） 【解析】【分析】（1）由条件结合抛物线的定义列方程求,p m ，由此可得抛物线方程；的（2）（i ）设l 的方程为4x my =+，联立方程组并化简，设112222(,),(,),(,)A x y B x y D x y −，应用韦达定理得1212,y y y y +，写出直线AD 方程，求出它与x 轴的交点坐标即得；（ii ）由（i ）的结论计算三角形面积和，结合基本不等式求其最值．【小问1详解】 由题意可得322924p m pm += = ，解得32p =， 所以C 的方程为：23y x =；【小问2详解】（i ）由已知可得直线l 的斜率不为0，且过点()4,0，故可设的直线l 的方程为4x my =+， 代入抛物线23y x =的方程，可得23120y my −−=，方程23120y my −−=的判别式2Δ9480m =+>，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，22(,)D x y −不妨设10y >，则12123,12y y m y y +==−, 所以直线AD 的方程为：121112()y y y y x x x x +−=−−，即121112()()y y y y x x m y y +−=−− 即()11123y y x x y y −=−−，令0y =，可得()()212113y y y x y −⋅−=−， 所以()()2121112312x y y y y y y =−⋅−+==−，所以4x =−所以(4,0)Q −；（ii ）如图所示，可得111114222OAQ S OQ y y y =⋅⋅=××= ， 121211442222OAB S y y y y =××+××=+ ， 所以OAQ 与OAB 的面积之和1121222242OAQ OAB S S S y y y y y =+=++=+11111224424y y y y −=+=+≥=当且仅当11244y y =时，即1y =时，等号成立， 所以OAQ 与OAB的面积之和的最小值为 【点睛】方法点睛：本题主要考查抛物线的标准方程及几何性质、及直线与抛物线的位置关系的综合应用，解答此类题目，通常联立直线方程与抛物线方程，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等。

2023-2024学年天津市高二(下)期中数学试卷(含解析)

2023-2024学年天津市高二(下)期中数学试卷(含解析)

2023-2024学年天津市高二（下）期中数学试卷一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．（5分）已知函数321()23f x x x =-，则()f x 的单调减区间是()A ．(4,)+∞B ．(0,2)C ．(0,4)D ．(,0)-∞2．（5分）某厂家生产的新能源汽车的紧急刹车装置在遇到特别情况时需在2s 内完成刹车，其位移h （单位：)m 关于时间t （单位：)s 的函数关系式为340()23h t t t =--+，则h '（1）的实际意义是()A ．汽车刹车后1s 内的位移B ．汽车刹车后1s 内的平均速度C ．汽车刹车后1s 时的瞬时速度D ．汽车刹车后1s 时的瞬时加速度3．（5分）已知函数()f x 的图象如图所示，()f x '为()f x 的导函数，根据图象判断下列叙述正确的是()A ．12()()f x f x '<'B ．12()()f x f x '>'C ．12()()0f x f x <'<D ．12()()0f x f x '>>4．（5分）已知2x =是2()23f x lnx ax x =+-的极值点则()f x 在1[3，3]上的最大值是()A ．9232ln -B ．52-C ．17238ln --D ．224ln -5．（5分）用1，2，3，4，5，6组成没有重复数字的五位数，要求偶数不能相邻，则这样的五位数有()个．A ．120B ．216C ．222D ．2526．（5分）若53(2x x-的展开式中的二项式系数和为A ，各项系数和为B ，则(A B -=)A ．33B ．31C ．33-D ．31-7．（5分）已知()f x 为定义在(-∞，0)(0⋃，)+∞上的偶函数，()f x '是()f x 的导函数，若当0x >时，()()0f x f x lnx x'+<，则不等式(1)()0x f x -<的解集是()A ．(1,)+∞B ．(0,1)C ．(-∞，0)(1⋃，)+∞D ．(,0)-∞8．（5分）已知函数122()x f x e -=，()2g x lnx =+，若()()f m g n =，则m n -的最大值是()A ．212ln +-B ．14e-C ．12ln +D ．223ln +二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分。

高二数学下学期期中考试试卷含答案

高二数学下学期期中考试试卷含答案

高二数学下学期期中考试试卷含答案高二下学期数学期中考试试卷（含答案）时量：120分钟满分：150分一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。

）1.已知全集 $U=R$，集合 $M=\{x|x<1\}$，$N=\{y|y=2x,x\in R\}$，则集合 $\complement_U (M\cup N)$ =（）A。

$(-\infty。

-1]\cup [2,+\infty)$B。

$(-1,+\infty)$C。

$(-\infty,1]$D。

$(-\infty,2)$2.曲线 $f(x)=2x-x^2+1$ 在 $x=1$ 处的切线方程为（）A。

$5x-y-3=0$B。

$5x-y+3=0$C。

$3x-y-1=0$D。

$3x-y+1=0$3.已知函数 $f(x)=\sin(\omegax+\frac{\pi}{3})(\omega>0,0<\frac{\pi}{3}<\omega<\frac{\pi}{2 })$ 的图象与直线 $y=1$ 的交点中相邻两点之间的距离为$2\pi$，且函数 $f(x)$ 的图象经过点 $(\frac{\pi}{6},0)$，则函数 $f(x)$ 的图象的一条对称轴方程可以为（）A。

$x=\frac{\pi}{6}$B。

$x=\frac{\pi}{4}$C。

$x=\frac{\pi}{3}$D。

$x=\frac{\pi}{2}$4.函数 $f(x)=\frac{e^x-1}{x(x-3)}$ 的图象大致是（）A.图略]B.图略]C.图略]D.图略]5.在 $\triangle ABC$ 中，角 $A,B,C$ 的对边分别为$a,b,c$，$C=120^\circ$，若 $b(1-\cos A)=a(1-\cos B)$，则$A=$（）A。

$90^\circ$B。

$60^\circ$C。

$45^\circ$D。

北京市汇文中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷(含简单答案)

北京市汇文中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷(含简单答案)

北京市汇文中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学本试卷共6页，试卷分值为150分.考试时长为120分钟.请考生务必答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.一、选择题：本题共10个小题，每小题5分，共50分.1 集合，，则（ ）A. B. C. D. 2. 如图，曲线在点处的切线l 过点，且，则的值为（ ）A. B. 1 C. 2 D. 33. 下列函数中，的最小值是2的是（ ）A B. C. D.4. 已知，，，则（ ）A. B. C. D. 5. 已知函数，则（ ）A. 是奇函数，且在上是增函数B. 是奇函数，且在上是减函数C. 是偶函数，且在上是增函数..2{|0}A x x x =-≤{|1}B x x =<-R A B = ð{}1x x >-{|01}x x ≤≤{|01}x x <≤{|1}x x ≥-()y f x =()()1,1P f ()2,0()12f '=-()1f 1-y 1y x x=+ln y x x =-1x y e x =-+1cos 0cos 2y x x x π⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭0.12a =0.413b ⎛⎫= ⎪⎝⎭21log e c =a b c>>b c a>>a c b>>c a b>>()lg |1|lg |1|f x x x =++-()f x (1,)+∞(1,)+∞(1,)+∞D. 是偶函数，且在上是减函数6. 7张卡片上分别写有数字1 2 3 4 5 6 7 从中随机取出2张，记事件A ＝“所取2张卡片上的数字之和为偶数”，事件B ＝“所取2张卡片上的数字之和小于8”，则＝（ ）A.B.C.D.7. 小明家里有一盆花交给邻居帮忙照顾，如果邻居记得浇水，那么花存活的概率为，如果邻居忘记浇水，那么花存活的概率为. 已知邻居记得浇水的概率为，忘记浇水的概率为，那么李老师回来后发现花还存活的概率为（ ）A. B. C. D. 8. 被誉为信息论之父的香农提出了一个著名的公式：，其中为最大数据传输速率，单位为；为信道带宽，单位为Hz ；为信噪比. 香农公式在5G 技术中发挥着举足轻重的作用.当，时，最大数据传输速率记为；当，时，最大数据传输速率记为，则为（ ）A. B.C.D. 9. 已知函数，则“”是“函数在处取得极小值”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件10. 设函数的定义域为，如果，，使得成立，则称函数为“函数”. 给出下列四个函数：①；②；③；④，则其中“函数”共有（ ）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个二、填空题：本题共6个小题，每小题5分，共30分.11. 函数的定义域是____________．12. 已知函数则________；的值域为_______．13. 若函数存在极值点，则实数a 的取值范围为________．14. 甲、乙两人约定进行乒乓球比赛，采取三局两胜制（在三局比赛中，优先取得两局胜利的一方获胜，(1,)+∞()P B A 132349590.80.30.60.40.450.50.60.722log (1)SC W N=+C bis /s W SN99S N =2000Hz W =1C 9999SN=3000Hz W =2C 21C C 1521543()()221e xf x x a x =++a =()f x =1x -()f x D x D ∀∈y D ∃∈()()f x fy =-()f x Ωsin y x =4y x x =+11y x =-()ln f x x =-Ω()ln f x x =+22,1,()log ,1,x x f x x x ⎧<=⎨-⎩…(0)f =()f x ()32113f x x ax x =-++无平局），乙每局比赛获胜的概率都为，则最后甲获胜的概率是______________．15. 如图，将一边长为的正方形铁皮四角各截去一个大小相同的小正方形，然后沿虚线折起，得到一个无盖长方体容器，若要求所得容器的容积最大，则截去的小正方形边长为___________.16. 已知函数的定义域是，关于函数给出下列命题：①对于任意，函数存最小值；②对于任意，函数是上的减函数；③存在，使得对于任意的，都有成立；④存在，使得函数有两个零点.其中正确命题的序号是______.三、解答题：本题共5个小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17. 已知函数（1）求函数在上的最大值和最小值；（2）求证：当时，函数的图象在的下方．18. 某学校食堂为了解师生对某种新推出菜品的满意度，从品尝过该菜品的学生和老师中分别随机调查了20人，得到师生对该菜品的满意度评分如下：教师：60 63 65 67 69 75 77 77 79 79 82 83 86 87 89 92 93 96 96 96学生：47 49 52 54 55 57 63 65 66 66 74 74 75 77 80 82 83 84 95 96根据师生对该菜品满意度评分，将满意度从低到高分为三个等级：满意度评分低于70分70分到89分不低于90分满意度等级不满意满意非常满意假设教师和学生对该菜品的评价结果相互独立，根据所给数据，用事件发生的频率估计相应事件发生的概率．（1）设数据中教师和学生评分的平均值分别为和，方差分别为和，试比较和，和在的的136m ()e ln x f x a x =-()0,∞+()f x ()0,a ∈+∞()f x (),0a ∈-∞()f x ()0,∞+(),0a ∈-∞()0,x ∈+∞()0f x >()0,a ∈+∞()f x 2()ln f x x x=+()f x [1,]e x (1,)∈+∞()f x 3221()32g x x x =+1μ2μ1η2η1μ2μ1η2η的大小（结论不要求证明）；（2）从全校教师中随机抽取3人，设X 为3人中对该菜品非常满意的人数，求随机变量X 的分布列及数学期望；（3）求教师的满意度等级高于学生的满意度等级的概率．19. 网购生鲜蔬菜成为很多家庭日常消费的新选择.某小区物业对本小区三月份参与网购生鲜蔬菜的家庭的网购次数进行调查，从一单元和二单元参与网购生鲜蔬菜的家庭中各随机抽取10户，分别记为A 组和B 组，这20户家庭三月份网购生鲜蔬菜的次数如下：A 组：8，9，11，13，15，17，18，26，29，30B 组：5，12，14，21，24，27，28，33，35，39假设用频率估计概率，且各户网购生鲜蔬菜的情况互不影响.（1）从一单元参与网购生鲜蔬菜的家庭中随机抽取1户，估计该户三月份网购生鲜蔬菜次数大于20的概率；（2）从一单元和二单元参与网购生鲜蔬菜的家庭中各随机抽取1户，记这两户中三月份网购生鲜蔬菜次数大于20的户数为，估计的数学期望；（3）从组和组中分别随机抽取2户家庭，记为A 组中抽取的两户家庭三月份网购生鲜蔬菜次数大于20的户数，为B 组中抽取的两户家庭三月份网购生鲜蔬菜次数大于20的户数，比较方差与的大小.（结论不要求证明）20. 已知函数.（1）若曲线在处的切线方程为，（ⅰ）求和的值；（ⅱ）求函数的单调区间和极值；（2）当时，求函数的极值点的个数.21. 由个正整数构成的有限集（其中），记，特别规定，若集合满足：对任意的正整数，都存在集合的两个子集，使得成立，则称集合为“满集”.（1）分别判断集合与是否为“满集”，请说明理由；X X ()E X A B 1ξ2ξ()1D ξ()2D ξ()()31ln ax a f x a x+-=∈R ()y f x =()()e,e f 22e y x b =+a b ()f x 1a <()f x m {}123,,,,m M a a a a =⋅⋅⋅123m a a a a <<<⋅⋅⋅<()12m P M a a a =++⋅⋅⋅+()0P ∅=M ()k P M ≤M ,A B ()()k P A P B =-M {}11,2M ={}22,3M =（2）若集合为“满集”，求的值；（3）若是首项为，公比为的等比数列，判断集合是否为“满集”，并说明理由.M 1a 123,,,,m a a a a 12M北京市汇文中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学 简要答案一、选择题：本题共10个小题，每小题5分，共50分.【1题答案】【答案】D 【2题答案】【答案】C 【3题答案】【答案】C 【4题答案】【答案】A 【5题答案】【答案】C 【6题答案】【答案】A 【7题答案】【答案】C 【8题答案】【答案】D 【9题答案】【答案】A 【10题答案】【答案】D二、填空题：本题共6个小题，每小题5分，共30分.【11题答案】【答案】【12题答案】【答案】①. 1②. 【13题答案】(]0,1(),2∞-【答案】【14题答案】【答案】【15题答案】【答案】1【16题答案】【答案】①④三、解答题：本题共5个小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.【17题答案】【答案】（1）的最小值是，最大值是；（2）证明详略.【18题答案】【答案】（1）>，<；（2）分布列略，数学期望；（3）.【19题答案】【答案】（1）（2） （3）【20题答案】【答案】（1）（ⅰ）；（ⅱ）答案略 （2）答案见详解【21题答案】【答案】（1）是“满集”，不是“满集”；理由略；（2）；（3）是“满集”，理由略.()(),11,-∞-⋃+∞2027()f x (1)1f =2()1f e e =+1μ2μ1η2η()34E X =1940310()1E X =()()12=D D ξξ31,e a b ==-1M 2M 1。

2023-2024学年天津市高二数学下学期期中考试卷附答案解析

2023-2024学年天津市高二数学下学期期中考试卷附答案解析

2023-2024学年天津市高二数学下学期期中考试卷试卷共120分，考试用时100分钟第Ⅰ卷一、选择题：本大题共9小题，每小题4分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．曲线1y x x=-在2x =处的切线斜率为（）A ．－3B ．34C ．54D ．52．用0~6这7个自然数，可以组成没有重复数字的三位数的个数为（）A ．60B ．90C ．180D ．2103．函数ln xy x=的单调递增区间为（）A ．(),e -∞B ．()0,e C ．()1,+∞D ．()e,+∞4．()()52x y x y +-的展开式中33x y 的系数为A ．30B ．10C ．30-D ．10-5．已知函数()y f x =，其导函数()y f x ='的图象如图所示，则对于()y f x =的描述正确的是（）A ．在区间(),0∞-上单调递减B ．当0x =时取得最大值C ．在区间()3,∞+上单调递减D ．当1x =时取得最小值6．甲乙两位同学从5种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有（）A ．30种B ．60种C ．120种D ．240种7．已知函数()32113f x x x ax =+-+在R 上单调递增，则实数a 的取值范围为（）A ．(],1-∞-B ．(),1-∞-C ．()1,-+∞D ．[)1,-+∞8．函数()()sin 1cos f x x x x =-+在区间[]0,2π上的最大值为（）A ．－1B ．1C ．π1+D ．π2+9．若对任意的()12,,x x m ∈+∞，不等式122112ln ln 2x x x x x x ->-恒成立，则实数m 的取值范围是（）A ．31,e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．31,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．()3e ,+∞D ．)3e ,⎡+∞⎣第Ⅱ卷二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．10．设函数()21e xf x -=，()f x '为其导函数，则()1f '=．11．765765A 6A 6A --=．12．在1，2，3，L ，500中，被5除余3的数共有个．13．在6⎛ ⎝的展开式中，2x 的系数为；14．如图，现要用4种不同的颜色对4个区域进行着色，要求有公共边的两个区域不能用同一种颜色，共有种不同的着色方法．（用数字作答）15．已知函数()()()()22f x x a x a =--∈R ，当2x =时，()f x 有极大值，则a 的取值范围为．三、解答题：本大题共5小题，共60分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16．已知函数3()12f x x x =-．(1)求函数()f x 的单调区间；(2)求函数()f x 的极值．17．班上每个小组有12名同学，现要从每个小组选4名同学代表本组与其他小组进行辩论赛．(1)每个小组有多少种选法?(2)如果还要从选出的同学中指定1名作替补，那么每个小组有多少种选法?(3)如果还要将选出的同学分别指定为第一、二、三、四辩手，那么每个小组有多少种选法？18．已知函数()()()256ln f x a x x a =-+∈R ，曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线与y 轴相交于点()0,6．(1)求a 的值；(2)求()f x 在区间[]1,3上的最小值．19．已知函数()ln af x x x=+，a ∈R ．(1)若()f x 在点()()1,1f 处取得极值．①求a 的值；②证明：()1f x ≥；(2)求()f x 的单调区间．20．已知函数()e x f x x x a =--，()22g x x x =-，a ∈R ．(1)求函数()y f x =-的导数；(2)若对任意的[]11,e x ∈，[]21,2x ∈，使得()()12f x g x ≥成立，求a 的取值范围；(3)设函数()()ln h x f x x =-，若在区间()0,e 上存在零点，求a 的最小值．1．C【分析】先求导数，利用导数的几何意义可得答案.【详解】211'=+y x ，当2x =时，54y '=，所以曲线1y x x =-在2x =处的切线斜率为54.故选：C 2．C【分析】借助分步乘法计数原理计算即可得.【详解】百位上有1~6共6种选择，十位、个位共有6530⨯=种选择，故共有630180⨯=个.故选：C.3．B【分析】先求导数，利用导数大于零可得增区间.【详解】定义域为()0,∞+，21ln xy x-'=，令0'>y 得ln 1x <，即0e x <<，增区间为()0,e .故选：B4．D【解析】利用乘法分配律以及二项式展开式的通项公式，求得展开式中33x y 的系数.【详解】()5x y -的展开式中32x y ，23x y 的系数分别为25C ，35C -所以()()52x y x y +-的展开式中33x y 的系数为2355210C C -=-.故选：D ．【点睛】本小题主要考查二项式展开式通项公式的运用，属于基础题.5．C【分析】根据导数图象与函数图象的关系可得答案.【详解】由图可知，0x <时，()0f x ¢>，()f x 为增函数；01x <<时，()0f x '<，()f x 为减函数；当0x =时，()f x 有极大值，不一定为最大值；13x <<时，()0f x ¢>，()f x 为增函数；当1x =时，()f x 有极小值，不一定为最小值；3x >时，()0f x '<，()f x 为减函数；综上可得只有C 正确.故选：C 6．B【分析】借助分步乘法计数原理计算即可得.【详解】相同的那一本有5种可能选法，不同的一本有4312⨯=种可能选法，故共有51260⨯=种选法.故选：B.7．A【分析】由题设可得()0f x '≥在R 上恒成立，结合判别式的符号可求实数a 的取值范围.【详解】因为函数()32113f x x x ax =+-+，则()22f x x x a =+-'，因为()f x 在R 上为单调递增函数，故()0f x '≥在R 上恒成立，所以440a ∆=+≤，即1a ≤-，故选：A.8．C【分析】借助导数可求得函数的单调性，即可得其最大值.【详解】()()()cos cos 1sin 1sin f x x x x x x x '=-++=+,则当()0,πx ∈时，()0f x ¢>，当()π,2πx ∈时，()0f x '<，故()f x 在()0,π上单调递增，在()π,2π上单调递减，故()()()πsin ππ1cos ππ1f x f ≤=-+=+.故选：C.9．D【分析】首先不等式通过变形，再构造函数()ln 2x f x x-=，转化为利用导数判断函数的单调区间，即可求参数的取值范围.【详解】设12x x m >>，不等式122112ln ln 2x x x x x x ->-，变形为2121ln 2ln 2x x x x -->，设函数()ln 2x f x x-=，则函数()f x 在区间(),m ∞+单调递减，由()23ln 0xf x x'-==，得3e x =，当()30,e x ∈时，()0f x '>，()f x 单调递增，当()3e ,x ∞∈+时，()0f x '<，()f x 单调递减，所以3e m ≥.故选：D 10．2e【分析】首先求函数的导数，再求导数值.【详解】由()21e x f x -=可知，()212e x f x -'=，所以()12e f '=.故答案为：2e 11．0【分析】借助排列数的计算公式计算即可得.【详解】765666765666A 6A 6A 7A 6A A 0--=--=.故答案为：0.12．100【分析】构造出等差数列52n a n =-，求项数即可.【详解】被5除余3的数是()51352,n n n *-+=-∈N ，则其是首项为3，公差为5的等差数列通项公式，则52n a n =-，10051002498500a =⨯-=< ，10151012503500a =⨯-=>，且该数列为递增数列，∴在1500-个数字中，有100个数被5除余3，故答案为：100.13．192-【分析】先求出二项展开式的通项公式，令x 的幂指数等于2，求出r 的值，即可求出展开式中2x 项的系数.【详解】由二项展开式的通项公式得()6116322166C 2C 21rrr r r r r r T x x x ----+⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其中令32r -=，即1r =，故展开式中2x 的系数为()1156C 21192-=-.故答案为：192-.14．48【分析】按照分步计数原理，即可求解.【详解】按照分步计数原理，第1块有4种方法，第2块有3种方法，第3块有2种，第4块有2种方法，所以共有432248⨯⨯⨯=种涂色方法.故答案为：4815．2a >【分析】先求导数，结合极大值情况可求范围.【详解】()()()()()()22222322f x x x a x x x a '=-+--=---，令()0f x '=，得2x =或223a x +=，且()f x '是开口向上的二次函数，因为当2x =时，()f x 有极大值，所以2223a +>，解得2a >.故答案为：2a >16．(1)单调增区间为(,2)-∞-和(2,)+∞，单调减区间为(2,2)-(2)极大值16，极小值16-【分析】（1）对()f x 求导，利用导数与单调性的关系即可求解；（2）根据函数的单调性，求出函数的极值即可.【详解】（1）函数()f x 的定义域为R ，导函数2()312f x x '=-，令()0f x '=，解得2x =±，则()f x '，()f x 随x 的变化情况如下表：x(,2)-∞-2-(2,2)-2(2,)+∞()f x '+0-0+()f x取极大值取极小值故函数()f x 的单调增区间为(,2)-∞-和(2,)+∞，单调减区间为(2,2)-;（2）由小问1知，当2x =-时，函数()f x 取得极大值16;当2x =时，函数()f x 取得极小值16-．17．(1)495(2)1980(3)11880【分析】（1）从12名学生中任选4名即可，（2）先从12名学生中选4名，然后再从这4名学生中选1人，再利用分步乘法原理可求得结果，（3）先从12名学生中选4名，然后对这4名学生进行全排列即可【详解】（1）由题意可得每个小组有41212111094954321C ⨯⨯⨯==⨯⨯⨯种选法，（2）由题意可得先从12名学生中选4名，然后再从这4名学生中选1人，所以由分步乘法原理可得共有4112412111094495419804321C C ⨯⨯⨯=⨯=⨯=⨯⨯⨯种选法，（3）由题意可得先从12名学生中选4名，然后对这4名学生进行全排列，所以由分步乘法原理可得共有4412449543211880C A =⨯⨯⨯=种选法18．(1)12a =(2)8【分析】（1）借助导数的几何意义计算即可得；（2）借助导数可得函数的单调性，即可得函数的最值.【详解】（1）因为()()256ln f x a x x =-+，所以()()625f x a x x'=-+，令1x =，则()116f a =，()168f a '=-，所以曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为：()()16681y a a x -=--，由点()0,6在切线上，可得61686a a -=-，解得12a =；（2）由（1）得()()()2156ln 02=-+>f x x x x ，所以()()()2365x x f x x x x--'=-+=，令()0f x '=，解得12x =，23x =，当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如表所示：x()1,22()2,3()f x '＋－()f x 单调递增单调递减又由于()18f =，()326ln38f =+>，所以，当1x =时，()f x 取得最小值8.19．(1)①1；②证明见解析；(2)答案见解析.【分析】（1）①先由()f x 在点()()1,1f 处取得极值，求出参数a 的值；②经分析函数()1ln f x x x=+在区间(0,1)上单调递减，在区间(1,)+∞上单调递增，即1x =时，()f x 取得最小值，即可得证；（2）分0a ≤和0a >两种情况讨论函数的单调区间即可.【详解】（1）①由于函数()ln a f x x x =+，得()221a x af x x x x-'=-+=，因为()f x 在点()()1,1f 处取得极值，所以()11101af a -'==-=,所以1a =，经检验()1ln f x x x =+的导函数()21x f x x-'=在区间(0,1)上小于0，在区间(1,)+∞上大于0，故()f x 在点()()1,1f 处取得极小值．②由①得，()1ln f x x x =+，()21x f x x-'=．令()0f x '=，解得1x =．当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如表所示．x ()0,11()1,+∞()f x '－＋()f x 单调递减1单调递增所以，当1x =时，()f x 取得最小值．所以()()11f x f ≥=，即()1f x ≥．（2）函数()f x 的定义域为()0,∞+，且()221a x af x x x x-'=-+=，当0a ≤时，()0f x ¢>恒成立，所以()f x 的单调递增区间为()0,∞+，无单调递减区间；当0a >时，令()0f x '=解得x a =，()0f x ¢>的解集为{}x x a >，()0f x '<的解集为{}0x x a <<，所以()f x 的单调递增区间为(),a +∞，单调递减区间为()0,a 综上所述：当0a ≤时，()f x 的单调递增区间为()0,∞+，无单调递减区间；当0a >时，()f x 的单调递增区间为(),a +∞，单调递减区间为()0,a .20．(1)e e 1x x y x --'=-++；(2)(],e 1-∞-；(3)1.【分析】（1）求出函数()f x -，再结合复合函数求导法则求导即得.（2）求出函数()f x 在[]1,e 上的最小值，()g x 在[]1,2上的最大值，再由给定恒成立建立不等式求解.（3）求出函数()h x ，由()0h x =分离参数，构造函数()e ln x p x x x x =--，利用导数探讨值域即可得解.【详解】（1）函数()e xf x x x a =--，则()e x f x x x a --=-+-，由e x y x x a -=-+-，求导得e e 1x x y x --'=-++，所以函数()y f x =-的导数是e e 1x x y x --'=-++.（2）函数()e x f x x x a =--，求导得()()1e 1xf x x '=+-，[]1,e x ∈，e 211e,e e e x x ≤+≤+≤≤，则e 2e (1)e (1e)e x x ≤+≤+，()0f x ¢>，函数()f x 在[]1,e 上单调递增，于是e 1()e 1,[e e ]f x a a +∈----．又()()22211g x x x x =-=--，则()g x 在[]1,2上也是单调递增，()[]1,0g x ∈-，由对任意的[]11,e x ∈，[]21,2x ∈，使()()12f x g x ≥成立，等价于1min 2max [()][()]f x g x ≥，因此e 10a --≥，解得e 1a ≤-，所以实数a 的范围是(],e 1-∞-．（3）依题意，()e ln x h x x x x a =---，由()0h x =，得e ln x x x x a --=，令()e ln xp x x x x =--，(0,e)x ∈，求导得11(1)(e 1)()e e 1(1)e x x xxx x x p x x x x x x++-'=+--=+-=，令()e 1x q x x =-，(0,e)x ∈，求导得()e e 0x x q x x '=+>，即函数()q x 在()0,e 上单调递增，显然()010q =-<，()1e 10q =->，则存在唯一的()00,1x ∈，使得()00q x =，即00e 10xx -=，即01e x x =，00ln x x =-，则当00x x <<时，0())(0,q p x x <'<，当0e x x <<时，()0,()0q x p x '>>，函数()p x 在0(0,)x 上单调递减，函数()p x 在0(,e)x 单调递增，因此0min 000000(e ln 11)()xp x p x x x x x x ==--=-+=，当00x x <<时，令()e x x x x ϕ=-，求导得()(1)e 1x x x ϕ'=+-，11令(1)e 1x y x =+-，当00x x <<时，(2)e 0x y x '=+>，即函数()x ϕ'在0(0,)x 上递增，()(0)0x ϕϕ''>=，函数()ϕx 在0(0,)x 上递增，()(0)0x ϕϕ>=，于是当00x x <<时，()e ln ln x p x x x x x =-->-，而函数ln y x =-在0(0,)x 上递减，值域为0(ln ,)x -+∞，因此当00x x <≤时，函数()p x 无最大值，值域为[1,)+∞，函数()p x 在(0,e)的值域为[1,)+∞，要使()h x 在()0,e 存在零点，则1a ≥，所以a 的最小值为1．【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：一般地，已知函数()[],,y f x x a b =∈，()[],,y g x x c d =∈①若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∀∈，总有()()12f x g x <成立，故()()max min f x g x <；②若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x <成立，故()()max max f x g x <；③若[]1,x a b ∃∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x <成立，故()()min max f x g x <；④若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x =，则()f x 的值域是()g x 值域的子集．。

2022-2023学年河北省石家庄市北华中学高二(下)期中数学试卷【答案版】

2022-2023学年河北省石家庄市北华中学高二(下)期中数学试卷【答案版】

2022-2023学年河北省石家庄市北华中学高二（下）期中数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知函数f （x ）可导，且满足Δx →0limf(3+Δx)−f(3)Δx=2，则函数y ＝f （x ）在x ＝3处的导数为（ ） A ．2 B ．1 C ．﹣1 D ．﹣22．已知A n 2=C nn−3，则n ＝（ ） A ．6 B ．7 C ．8 D ．93．下列导数运算正确的是（ ） A ．(sin π3)′=cos π3B ．(log 3x)′=1x⋅log 3e C ．（e 2x ）′＝e 2xD ．(1√x )′=12√x 34．已知直线l 是曲线y ＝e x 的切线，切点横坐标为﹣1，直线l 与x 轴和y 轴分别相交于A 、B 两点，则△OAB 面积为（ ） A ．12B ．1C ．2eD ．4e5．某人从2023年起，每年1月1日到银行新存入2万元（一年定期），若年利率为2%保持不变，且每年到期存款均自动转为新的一年定期，到2033年1月1日将之前所有存款及利息全部取回，他可取回的钱数约为（ ）（单位：万元）参考数据：1.029≈1.195，1.0210≈1.219，1.0211≈1.243 A ．2.438B ．19.9C ．22.3D ．24.36．学校音乐团共有10人，其中4人只会弹吉他，2人只会打鼓，3人只会唱歌，另有1人既能弹吉他又会打鼓．现需要1名主唱，2名吉他手和1名鼓手组成一个乐队，则不同的组合方案共有（ ） A ．36种B ．78种C ．87种D ．90种7．已知定义在R 上的可导函数f （x ）的导函数为f ′（x ），满足f '（x ）＜f （x ）且f （x +2）为偶函数，f （0）＝e 4，则不等式f （x ）＜e x 的解集为（ ） A ．（﹣∞，4）B ．（0，+∞）C ．（2，+∞）D ．（4，+∞）8．已知函数f （x ）＝xe x +1﹣kx +k ，有且只有一个负整数x 0，使f （x 0）≤0成立，则k 的取值范围是（ ） A ．(23e ，12]B ．(0，12]C ．[23e ，12)D ．[0，12)二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2023-2024学年辽宁省鞍山市高二下学期期中考试数学试题

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2023-2024学年辽宁省鞍山市高二下学期期中考试数学试题1.设随机变量X服从正态分布，若，则（）A．B．C．D．12.设等比数列的前n项和为，且，则公比q=A．B．C．2D．33.已知某公路上经过的货车与客车的数量之比为2：1，货车和客车中途停车修理的概率分别为0.02，0.01，则一辆汽车中途停车修理的概率为（）A．B．C．D．4.函数的导数的部分图象大致为（）A．B．C．D．5.若二项展开式的第二项的二项式系数等于第五项的二项式系数，则该展开式中的含项的系数为（）A．80B．C．14D．6.有一批灯泡寿命超过500小时的概率为0.9，寿命超过800小时的概率为0.8，在寿命超过，500小时的灯泡中寿命能超过800小时的概率为（）A．B．C．D．7.数学活动小组由12名同学组成，现将12名同学平均分成四组分别研究四个不同课题，且每组只研究一个课题，并要求每组选出一名组长，则不同的分配方案的种数为A．B．C．D．8.已知函数在R上是单调函数，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．9.对两个变量与进行线性相关性和回归效果分析，得到一组样本数据：，则下列说法正确的是（）A．残差平方和越小的模型，拟合的效果越好B．由样本数据利用最小二乘法得到的回归方程表示的直线必过样本点的中心C．用相关指数来刻画回归效果，越小，说明模型的拟合效果越好D．若变量x与y之间的相关系数，则变量x与y之间具有很强的线性相关性10.设等差数列的前项和为，公差为.已知，，，则（）A．数列的最小项为第项B．C．D．时，的最大值为11.如果函数对定义域内的任意实数，都有，则称函数为“F函数”．下列函数不是“F函数”的是（）A．B．C．D．12.演讲比赛结束后，4名选手与1名指导教师站成一排合影留念要求指导教师不能站在两端，那么有______种不同的站法用数字作答13.已知随机变量X，Y满足，且随机变量X的分布列如下：X012P则随机变量Y的方差等于______；14.若函数有个不同的零点,则实数的取值范围为______.15.已知数列的前项和为，，从条件①、条件②和条件③中选择两个能够确定一个数列的条件，并完成解答．（条件①：；条件②：；条件③：.）选择条件和．(1)求数列的通项公式；(2)设数列满足，并求数列的前项的和16.已知函数．（1）求曲线的斜率等于1的切线方程；（2）求函数的极值．17.随着人们生活水平的提高，国家倡导绿色安全消费，菜篮子工程从数量保障型转向质量效益型.为了测试甲、乙两种不同有机肥料的使用效果，某科研单位用西红柿做了对比实验，分别在两片实验区各摘取100个，对其质量的某项指标值进行检测，质量指数值达到35及以上的为“质量优等”，由测量结果绘成如下频率分布直方图.其中质量指数值分组区间是：，，，，.(1)请根据题中信息完成下面的列联表，并判断是否有99.9%的把握认为“质量优等”与使用不同的肥料有关；甲有机肥料乙有机肥料合计质量优等质量非优等合计(2)在摘取的用乙种有机肥料的西红柿中，从“质量优等”中随机选取2个，记区间中含有的个数为，求的分布列及数学期望.附：.0.1000.0500.0100.0050.0012.7063.8416.6357.87910.82818.已知数列满足，.(1)证明：数列是等比数列；(2)设，求数列的前项和.19.设函数，且．(1)求函数的单调性；(2)若恒成立，求实数a 的取值范围．。

河南省郑州多所中学2023-2024学年高二下学期期中学业水平测试数学试题

河南省郑州多所中学2023-2024学年高二下学期期中学业水平测试数学试题

河南省郑州多所中学2023-2024学年高二下学期期中学业水平测试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．现有3幅不同的油画，4幅不同的国画，5幅不同的水彩画，从这些画中选一幅布置房间，则不同的选法共有（ ）A ．36种B ．20种C ．12种D ．10种2．若2525C A n =，则n =（ ）A ．6B ．8C ．9D ．103．函数()331f x x x =-+在点(1,1)P -处切线的斜率为（ ）A ．1-B ．3-C ．1D ．04．将9个志愿者的名额分配给4个班，每班至少一个名额，则不同的分配方法的种数为（）A ．504B ．126C ．112D ．565．若函数()2ln 1f x x a x =-+在[)1,+¥上单调递增，则实数a 的最大值为（ ）A ．1-B ．0C ．1D ．26．甲辰龙年春节哈尔滨火爆出圈，成为春节假期旅游城市中的“顶流”．甲、乙等6名网红主播在哈尔滨的中央大街、冰雪大世界、圣索菲亚教堂、音乐长廊4个景点中选择一个打卡游玩，若每个景点至少有一个主播去打卡游玩，每位主播都会选择一个景点打卡游玩，且甲、乙各单独1人去某一个景点打卡游玩，则不同游玩方法有（ ）A ．96种B ．132种C ．168种D ．204种7．已知定义在R 上的函数()f x ，其导函数为()f x ¢，且()()f x f x <¢，则（ ）A ．()()20242023f f >B ．()()2024e 2023f f >C ．()()e 20242023f f <D ．()()22024e 2023f f <8．“中国剩余定理”又称“孙子定理”，此定理讲的是关于同余的问题.用m x ∣表示整数x 被m 整除，设*,,a b m ÎÎZ N 且1m >，若()m a b -∣，则称a 与b 对模m 同余，记为()mod a b m º.已知0161151421516161616C 5C 5C 5C 5a =´-´++´-´L ，则（ ）A ．()2030mod7a ºB ．()2031mod7a ºC ．()2032mod7a ºD ．()2033mod7a º074。

天津市河东区2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷

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天津市河东区2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷一、单选题1．从甲、乙、丙3幅不同的画中选出2幅，分别挂在左、右两边墙上的指定位置，则不同的挂法共有（ ） A ．9种B ．6种C ．5种D ．4种2．二项式7(12)x +的展开式的第4项的系数是（ ） A ．8B ．35C ．280D ．5603．某个班级有45名学生，其中男生、女生的人数及团员的人数如下表所示：如果已知选到的是团员，那么选到的是男生的概率是（ ） A ．815B ．59C ．23D ．16254．下列求导数的运算中正确的是（ ）A ．()2e 2e x x x x '=⋅B ．'=C ．()2[ln 21]21x x '-=- D ．()22ln21x x a '+=⋅+5．已知函数()πsin cos 4f x f x x ⎛⎫=- ⎪'⎝⎭，那么π4f ⎛⎫' ⎪⎝⎭的值为（ ）A1 B 1 C ．2 D ．26．已知随机变量X 的分布列如下表：若()1E X =，离散型随机变量Y 满足21Y X =-，则（ ） A ．0.4a =B ．0.2b =C ．()2E Y =D ．() 3.2D Y =7．已知函数3()1f x x x =-+，则（ ） A ．()f x 有三个极值点B ．()f x 有三个零点C ．点(0,1)是曲线()y f x =的对称中心D ．直线2y x =是曲线()y f x =的切线8．将一个边长为a 的正方形铁片的四角截去四个边长均为x 的小正方形，做成一个无盖方盒．若要使方盒的容积V 最大，则边长x 为（ ） A ．8aB ．6aC ．4aD ．2a9．设()0,1a ∈，若函数()(1)x xf x a a =++在()0,∞+上单调递增，则a 的取值范围是（ ）A ．⎛ ⎝⎭B ．⎛ ⎝⎦C ．⎫⎪⎪⎝⎭D ．⎫⎪⎪⎣⎭二、填空题10．一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X 表示抽到的二等品件数，则DX =．11．12⎫⎝的展开式的中间一项为. 12．函数()=2cos f x x x -在区间[]0,π上的最大值为.13．某校高三年级进行了一次高考模拟测试，这次测试的数学成绩()2~90,X N δ，且()600.1P X <=，规定这次测试的数学成绩高于120分为优秀．若该校有1200名高三学生参加测试，则数学成绩为优秀的人数是．14．从0，2，4，6中任取3个数字，从1，3，5中任取2个数字，一共可以组成个没有重复数字的五位数．15．已知函数()21nn f x x x x =+++-L ，其中[)0,,N x n ∈+∞∈且2n ≥，则()2n f '=．三、解答题16．盒中有 4个球，分别标有数字1、1、2、3，从中随机取2个球． (1)求取到2个标有数字1的球的概率；(2)设X 为取出的2个球上的数字之和，求随机变量X 的分布列及数学期望．17．在nax⎛⎝的展开式中，所有项的二项式系数的和为128.(1)求n 的值；(2)若展开式中x 的系数为280-，求实数a 的值.18．已知函数()2ln 2f x x x ax a =+-∈R ,.(1)若函数()y f x =在1x =处取得极大值，求a 的值；(2)设()()()0,4a g x f x a x <=+-，试讨论函数()y g x =的单调性.19．设函数()3e ax bf x x x +=-，曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为1y x =-+．(1)求,a b 的值；(2)求()f x 的极值点的个数．。

浙江省杭州第二中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题(解析版)

浙江省杭州第二中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题(解析版)

2023学年第一学期杭州二中高二期中考试数学1. 两条平行直线1l ：注意事项：1．本试卷满分150分，考试用时120分钟.2．答题前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写答题卡上.用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.3．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.4．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.5．考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，多选、错选或不选都给不分.3450x y +−=与2l：6850x y +−=之间的距离是（ ） A. 0 B.12C. 1D.32【答案】B 【解析】【分析】利用平行线间距离公式进行求解即可. 【详解】345068100x y x y +−=⇒+−=，12， 故选：B2. 已知圆()()()2122292:x m y m m C −+−=−与圆22288340:x y x C y m +−−+−=，则“4m = ”是“圆1C 与圆2C 外切”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】利用两圆相切圆心距与两半径之和相等，分别证明充分性和必要性是否成立即可得出答案. 【详解】根据题意将圆2C 化成标准方程为()()22442x y m −+−=−； 易知20m −>，所以可得圆心()12,2C m m，半径为1r =，圆心()24,4C，半径为2r =可得122C C =−，两半径之和12r r += 若4m=，圆心距12C C =，两半径之和12r r +，此时1212C C r r =+=， 所以圆1C 与圆2C 外切，即充分性成立；若圆1C 与圆2C外切，则2−=4m =或2m =（舍）， 所以必要性成立；即“4m =”是“圆1C 与圆2C 外切”的充分必要条件. 故选：C3. 已知直线y kx m =+（m 为常数）与圆224x y +=交于点M N ，，当k 变化时，若||MN 的最小值为2，则m =A. 1±B. C. D. 2±【答案】C 【解析】【分析】先求得圆心到直线距离，即可表示出弦长，根据弦长最小值得出m 【详解】由题可得圆心为()0,0，半径为2，则圆心到直线的距离d =，则弦长为||MN =， 则当0k =时，MN 取得最小值为2=，解得m =. 故选：C.4. 直线20x y ++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆()2222x y −+=上，则ABP 面积的取值范围是A. []26，B. []48，C. D.【答案】A 【解析】【详解】分析：先求出A ，B 两点坐标得到AB ，再计算圆心到直线距离，得到点P 到直线距离范围，由面积公式计算即可详解： 直线x y 20++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点 ()()A 2,0,B 0,2∴−−,则AB = 点P 在圆22x 22y −+=（）上∴圆心为（2，0），则圆心到直线距离1d =故点P 到直线x y 20++=的距离2d 的范围为则[]2212,62ABPS AB d ==∈故答案选A.点睛：本题主要考查直线与圆，考查了点到直线的距离公式，三角形的面积公式，属于中档题．5. 已知正方形ABCD 的边长为2，点M 在以C 为圆心，1为半径的圆上，则2MB MD +的最小值为（ ）A.B.C.D.【答案】D 【解析】【分析】建立直角坐标系，取点1(0,)2E ，探讨满足条件||2||M D M E ′′=的点M ′的轨迹，再结合已知，求出两条线段长度和的最小值作答.【详解】依题意，以点C 为原点，直线,CB CD 分别为,x y 轴建立平面直角坐标系，则(2,0),(0,2)B D ，如图，取点1(0,)2E ，设(,)M x y ′，当||2||M D M E ′′=化简整理得221x y +=，即点M ′的轨迹是以C 为圆心，1为半径的圆，而点M 在以C 为圆心，1为半径的圆上，因此||2||MD ME =，显然点B 在圆C ：221x y +=外，则22||2||2(||||)2||MB MD MB ME MB ME BE +=+=+≥，当且仅当M 为线段BE 与圆C 的交点时取等号，而||BE ，所以2MB MD +的最小值为2||BE =故选：D【点睛】关键点睛：建立坐标系，取点1(0,)2E 并求出满足条件||2||M D M E ′′=的点M ′的轨迹是解题的关键.6. 设椭圆()222210x y a b a b+=>>的左焦点为F ，O 为坐标原点，过F 且斜率为1的直线交椭圆于A ，B两点（A 在x 轴上方）.A 关于x 轴的对称点为D ，连接DB 并延长交x 轴于点E ，若DOF S ，DEF S △，DOE S △成等比数列，则椭圆的离心率e 的值为（ ）A.B.C.D.【答案】D 【解析】【分析】根据DOF S ，DEF S △，DOE S △成等比数列，得到2EF OF OE =⋅，设直线AB 的方程为：()()()112211,,,,,,y x c A x x c B x x c D x x c =+++−−，与椭圆方程联立，再设直线BD 的方程为：()122221x x c y x cx x x x ++−−=−−，令0y =结合韦达定理，得到点E 的坐标，代入2EF OF OE =⋅求解.【详解】解：如图所示：设,,DOF DEF DOE 分别以OF ，EF ，OE 为底，高为h ，则111,,222DOFDEF DOE S OF h S EF h S OE h === ， 因为DOF S ，DEF S △，DOE S △成等比数列，所以2DEFDOF DEF S S S =⋅ ，即2EF OF OE =⋅，设直线AB 的方程为：()()()112211,,,,,,y x c A x x c B x x c D x x c =+++−−，联立22221x y a b y x c += =+，消去y 得()2222222220a b x a cx a c a b +++−=， 由韦达定理得：2121222222222,2x x x x a ca c ab a b a b−+=−=++⋅， 直线BD 的方程为：()1222212x x cy x c x x x x ++−−=−−，令0y =得，()12121222E x x c x x x x x c⋅++=++，则()22121212222222222222222222E x x c x x a x c a c a b a c a b a b a b x x c c c a ⋅−⋅++===−++−++−++， 则2EF OF OE =⋅，即为222a a c c c c ⋅−，则()22222c a ac =−，即422430a c a c −+=，即42310e e −+=，解得2e =e =，故选：D7. 已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，经过1F 的直线交椭圆于A ，B ，2ABF △的内切圆的圆心为I ，若23450++=IB IA IF ，则该椭圆的离心率是（ ）A.B.23C.D.12【答案】A 【解析】【分析】对23450++= IB IA IF 变形得到2351882IB IF IA +=−，进而得到以22::3:4:5AF BF AB =，结合椭圆定义可求出2AF a =，245,33BF a AB a ==，1AF a =，由余弦定理求解,a c 关系式，求出离心率.【详解】因为23450++= IB IA IF ，所以2351882IB IF IA +=−， 如图，在2BF 上取一点M ，使得2:5:3BM MF =，连接IM ，则12IM IA =−，则点I 为AM 上靠近点M 的三等分点，所以22::3:4:5IAF IBF IBA S S S = ， 所以22::3:4:5AF BF AB =设23AF x =，则24,5BF x AB x ==， 由椭圆定义可知：224AF BF AB a ++=，即124x a =，所以3ax =， 所以2AF a =，245,33BF a AB a ==，1AF a = 故点A 与上顶点重合， 在2ABF △中，由余弦定理得：222222222222516399cos 52523a a a AB F A F B BAF AB F A a +−+−∠===⋅×，在12AF F △中，2222243cos 25a a c BAF a +−∠==，解得：c a =故选：A【点睛】对于求解圆锥曲线离心率问题，要结合题目中的条件，直接求出离心率或求出,,a b c 的齐次方程，解出离心率，本题的难点在于如何将23450++=IB IA IF 进行转化，需要作出辅助线，结合内心的性质得到三角形2ABF 三边关系，求出离心率.8. 在平面直角坐标系xOy 中，若抛物线C :y 2=2px (0p >)的焦点为F ，直线x =3与抛物线C 交于A ，B 两点，｜AF |=4，圆E 为FAB 的外接圆，直线OM 与圆E 切于点M ，点N 在圆E 上，则OM ON ⋅的取值范围是（ ）A. 63,925−B. []3,21−C. 63,2125D. []3,27【答案】B 【解析】【分析】由已知及抛物线的定义，可求p ，进而得抛物线的方程，可求A ，B ，F 的坐标，直线AF 的方程，可得圆的半径，求得圆心，设N 的坐标，求得M 的坐标，结合向量数量积的坐标表示，以及辅助角公式和正弦函数的值域，可得所求范围．【详解】解：由题意，设(A ，所以||342pAF =+=，解得2p =，所以抛物线的方程为24y x =，(3,A ，(3,B −，(1,0)F ，所以直线AF 的方程为1)yx =−，设圆心坐标为0(x ，0)，所以2200(1)(3)12x x −=−+，解得05x =，即(5,0)E ，∴圆的方程为22(5)16x y −+=，不妨设0M y >，设直线OM 的方程为y kx =，则0k >，4=，解得43k =， 由2243(5)16y x x y= −+=，解得912,55M， 设(4cos 5,4sin )N θθ+，所以364812cos sin 9(3cos 4sin )9555OM ON θθθθ⋅=++=++ ， 因为[]3cos 4sin5sin()5,5θθθϕ+=+∈−， 所以OM ON ⋅∈[]3,21−． 故选：B ．【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是：首先求出圆的方程为22(5)16x y −+=，然后利用直线OM 与圆E 切于点M ，求出M 点的坐标，引入圆的参数方程表示N 点坐标，再根据向量数量积的坐标表示及辅助角公式，可得所求范围．.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 已知直线1l ：230ax y a ++=和直线2l ：()3170x a y a +−+−=，下列说法正确的是（ ） A. 当25a =时，12l l ⊥ B. 当2a =−时，12l l ∥C. 直线1l 过定点()3,0-，直线2l 过定点()1,1−D. 当1l ，2l 【答案】AD 【解析】【分析】A 选项：把a 的值分别代入两直线，根据直线垂直时，斜率相乘为1−，直接判断即可； B 选项，把a 的值分别代入两直线，根据直线平行时，斜率相等判断即可； C 选项，把直线的方程变形，根据直线过定点的定义判断即可；D 选项，由直线平行时，斜率相等，可求得a 得值，排除重合情况，再利用平行直线的距离公式直接求解即可.【详解】对于A ，当25a =时，那么直线1l 为262055x y ++=，直线2l 为3237055x y −+−=，此时两直线的斜率分别为115k =−和25k =，所以有121k k ⋅=-，所以12l l ⊥，故A 选项正确；对于B ，当2a =−时，那么直线1l 为30x y −+=，直线2l 为30x y −+=，此时两直线重合，故B 选项错误；对于C ，由直线1l ：230ax y a ++=，整理可得： ()320a x y ++=，故直线1l 过定点()3,0-，直线2l ：()3170x a y a +−+−=，整理可得：()1370a y x y −+−+=，故直线2l 过定点()2,1−，故C 选项错误；对于D ，当1l ，2l 平行时，两直线的斜率相等，即213a a −−=−，解得：3a =或2a =−，当2a =−时，两直线重合，舍去；当3a =时，直线1l 为3290x y ++=，2l 为3240x y ++=，此时两直线的距离d，故D 选项正确. 故选：AD .10. 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左，右两焦点分别是12,F F ，其中12||2F F c =.直线()():R l y k x c k =+∈与椭圆交于,A B 两点，则下列说法中正确的有（ ）A. 2ABF △的周长为4aB. 若AB 的中点为M ，则22OMb k k a⋅=C. 若2124AF AF c ⋅=，则椭圆的离心率的取值范围是 D. 若1k =时，则2ABF △【答案】ACD 【解析】【分析】根据椭圆定义可知2ABF △的周长为4a ，可判断A 正确；联立直线和椭圆方程求出点M 的坐标，表示出斜率公式即可得22OMb k k a⋅=−，可得B 正确；由2124AF AF c ⋅= 易知A 点在以()0,0为圆心，半径为的圆上，即可得圆222115x y c +=与椭圆22221x y a b+=有交点，需满足b a ≤≤，可得离心率e ∈，可知C 正确；将1k =代入联立的方程可得2ABF △的面积12S c x x =−，可得D 正确.【详解】由12||2F F c =可知，()()12,0,,0F c F c −；显然直线()():R l y k x c k =+∈过点()1,0F c −，如下图所示：由椭圆定义可知2ABF △的周长为2212214AB AF BF AF AF BF BF a ++=+++=，所以A 正确； 设()()1122,,,A x y B x y ，中点()0,Mx y ；将直线和椭圆方程联立()22221x y a b y k x c += =+ ，消去y 整理可得()2222222222220b a k x a k cx a k c a b +++−=； 由韦达定理可得22122222a k c x x b a k +=−+，所以221202222x x a k cx b a k+==−+，代入直线方程解得20222b cky b a k =+，即222222222,a k c b ck M b a k b a k − ++； 所以2222222222222200OMb ckb ck b b a k k a kc a k c a k b a k −+==−=−−−+， 可得2222OMk b k a k b k a⋅−==⋅−，所以B 错误；根据B 选项，由2124AF AF c ⋅=可得()()2222111111,4,c x y c x y x c y c −⋅=+−−=−−−， 可得222115x y c +=，即A 点在以()0,0圆上； 又A 点在椭圆上，即可得圆222115x y c +=与椭圆22221x y a b+=有交点，根据对称性可知b a ≤≤，即22256c a c ≤≤，所以可得离心率e ∈，即C 正确；若1k =时，由选项B 可知联立直线和椭圆方程可得()2222222220b axa cx a c ab +++−=； 所以可得22222121222222,a c a c a b x x x x b a b a−+=−=++； 所以12x x −==易知2ABF △面积12112212121122S F F y F F y c y y c x x =+=−==− 即可得2ABF△，故D 正确. 故选：ACD【点睛】方法点睛：在求解圆锥曲线与直线的位置关系时，特别是在研究跟焦点三角形有关的问题时，经常将直线和圆锥曲线联立并利用韦达定理求解，注意变量间的相互转化即可.11. 已知斜率为k 的直线交抛物线()220y px p =>于()11,A x y 、()22,B x y 两点，下列说法正确的是（ ） A. 12x x 为定值B. 线段AB 的中点在一条定直线上的的C.11OA OBk k +为定值（OA k 、OB k 分别为直线OA 、OB 的斜率） D. AF BF为定值（F 为抛物线的焦点）【答案】BC 【解析】【分析】分析可知，0k ≠，设直线AB 的方程为y kx m =+，将直线AB 的方程与抛物线的方程联立，利用韦达定理可判断A 选项；求出线段AB 中点的纵坐标，可判断B 选项；利用斜率公式结合韦达定理可判断C 选项；利用抛物线的焦半径公式可判断D 选项.【详解】若0k =，则直线AB 与抛物线()220y px p =>只有一个交点，不合乎题意，则0k ≠， 设直线AB 的方程为y kx m =+，联立22y kx m y px=+ = 可得()222220k x km p x m +−+=， ()2222224480km p k m p kmp ∆=−−=−>，对于A 选项，2122m x x k =不一定是定值，A 错；对于B 选项，设线段AB 的中点为()00,P x y ，则12022x x p kmx k+−==， 00p km p y kx m m k k−++为定值，故线段AB 的中点在定直线py k =上，B 对；对于C 选项，()121212122222111222OA OB p kmm k x x m x x y y k k k y y p p p k−+++++=+====为定值，C 对；对于D 选项，21222222222p km p p x x AF k p p BF x x −+−+==++不一定为定值，D 错.故选：BC.12. 已知圆22:(2)1M x y +−=，点P 为x 轴上一个动点，过点P 作圆M 的两条切线，切点分别为A ，B ，直线AB 与MP 交于点C ，则下列结论正确的是（ ）A. 四边形PAMB周长的最小值为2 B. ||AB 的最大值为2C. 若(1,0)P ，则三角形PAB 的面积为85D.若Q ，则||CQ 的最大值为94【答案】CD 【解析】【分析】首先设||MP t =，对于选项A ，根据题意，表达四边形PAMB 周长关于t 的函数，由t 的取值范围求函数的最小值可判断A 错误；对于选项B ，根据等面积法，求出||AB 关于t 的函数关系，由t 的取值范围求函数的最大值可判断B 错误；对于选项C ，根据题意，计算PAB 底和高，求出面积判断C 正确；对于选项D ，设动点(,0)P m AB 的方程与直线PM 的方程，二者联立消去m 得到二者交点C 的轨迹是圆，||CQ 的最大值为圆心1O 与Q 距离加半径，可判断D 正确． 【详解】对于选项A ，设||MP t =，则||||BP AP ==则四边形PAMB周长为2+，则当t 最小时周长最小，又t 最小值为2， 所以四边形PABM周长最小为2+，故A 错误；对于选项B ，12||||2MAP PAMBS S MP AB ==△四边形，即1121||22t AB ××=，所以||AB =，因为2t，所以)||AB ∈，故B 错误； 对于选项C ，因为(1,0)P，所以||MP =t =，所以||AB ，1||||2AC AB ==，||2AP =，||PC ，所以三角形PAB 的面积为18||||25AB PC =，故C 正确；的对于选项D ，设(,0)P m ，()11,A x y ,则切线PA 的方程为()()11221x x y y +−−=， 又因为直线PA 过点(,0)P m ，代入可得()()112021x m y +−−=化简得11230mx y −+= 设()22,B x y ,同理可得22230mx y −+=， 因此点,A B 都过直线230mx y −+=，即直线AB 的方程为230mx y −+=， MP 的方程为22y x m=−+， 二者联立得，22230y x mmx y =−+−+=①②， 由①式解出22x m y =−，代入②式并化简得227302x y y +−+=， 配方得2271()416x y +−=，2y ≠， 所以点C 的轨迹是以(70,4)为圆心，14为半径的圆， 设其圆心为1O ，所以||CQ的最大值为1119||2444O Q R ++=+=，故D 正确． 故选：CD.【点睛】本题综合性较强，难度较大，具备运动变化的观点和函数思想是解题的关键，对于AB 选项，设变量||MP t =，用t 分别表达周长函数和距离函数求最值，对于D 选项，设出动点(),0P m ，分别表达直线AB 和MP 的方程，联立消去m ，得到动点C 的轨迹，进一步求解答案.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知实数0,0a b ><的取值范围是______.【答案】[)2,1−− 【解析】【分析】根据题意，设直线l ：0ax by +=的几何意义为，点(1,到直线l 的距离，即可求出取值范围.【详解】根据题意，设直线l ：0ax by +=，设点(1,A那么点(1,A 到直线l的距离为：d因为0,0a b ><，所以d =l 的斜率0ak b=−>， 当直线l的斜率不存在时，1d ==，所以1d >，当OA l ⊥时，max 2d OA ===，所以12d <≤，即12<≤，=21−≤<−，故答案为：[)2,1−−.14. 形如()0b y ax b x=+≠的函数图象均为双曲线，则双曲线4135y x x =−的一个焦点坐标为______.【答案】或 【解析】【分析】先确定双曲线的渐近线、对称轴方程，确定焦点位置及实半轴a ，最后由渐近线与对称轴夹角正切值确定b ，利用双曲线性质求出焦点. 【详解】由4135−x y =x 知，其两条渐近线分别为403x x =,y =， 所以双曲线4135−x y =x 的两条对称轴为403xx =,y =的夹角平分线， 令43x y =的倾斜角为0,2πθ ∈，则4tan 3θ=，且一条对称轴倾斜角为42πθ+，而22tan42tan 31tan 2θθθ==−，则22tan 3tan 2022θθ+−=，解得tan 22θ=−（舍去），1tan 22θ=， 所以11+tan 1+22tan ==31421tan 122π +=−−θθθ，即一条对称轴为3y x =， 故另一条对称轴为13y x =−，显然13y x =−与4135−x y =x有交点, 即为双曲线的顶点，则双曲线的实半轴长a = 而渐近线0x =与对称轴13y x =−夹角的正切值为3，3b a =，又因为=a，所以33b =a = 由2222641553+=c =a +b =，设焦点为13 − m,m ，则221433 +−=m m ，所以m =, .故答案为：或.15. 在椭圆2213x y +=上有点31,22P ，斜率为1的直线l 与椭圆交于不同的A ，B 两点（且不同于P ），若三角形ABO 的外接圆恰过点P ，则外接圆的圆心坐标为______. 【答案】71,88 −【解析】【分析】根据题意得到():0AB y x b b =+≠，联立直线AB 与椭圆方程，利用韦达定理求得12x x +，12x x ，12y y +，12y y ；法一：先利用点斜式求得,OP AB 的中垂线方程，联立两者方程即可求得圆心C ，再由半径相等得到2222AC BC OC +=，利用两点距离公式，代入上述式子得到关于b 的方程，解之即可； 法二：根据题意得到圆的方程，联立直线AB 与圆的方程，利用韦达定理求得12x x +，12x x ，进而得到,D E 关于b 的表达式，又由点P 在圆上得到关于b 的方程，解之即可.【详解】依题意，设()11,A x y ，()22,B x y ，直线():0AB y x b b =+≠， 联立2213y x bx y =++=，消去y ，得246330x bx b ++−=， 所以1232x x b +=−，()212314b x x −=， 则121212y y x b b b x ++=+=+，()()2121234b y y x b b x =+−=+， .法一：因为31,22P ，所以10123302OP k −==−，OP 的中点坐标为3,414 ，OP 中垂线的斜率为3−，所以OP 中垂线方程为113:344l y x −=−−，即532y x =−+， 因为AB 的斜率为1，AB 的中点坐标为1212,22x x y y ++ ，即31,44b b− ，所以AB 中垂线的斜率为1−，则AB 中垂线方程213:44l y b x b−=−+，即12y x b =−−， 联立53212y x y x b=−+ =−− ，解得54354b x b y + = + =− ，则圆心坐标535,44b b C ++ − ， 因为22222AC BC OC AC +==， 所以222222112253515355354424444b b b b b b x y x y +++++++=−+++−++， 整理得()()22221212121253522044b b x x x x y y y y ++ +−+++++=， 因为1232x x b +=−，()212314b x x −=，1212y y b +=，21234b y y −=， 所以()22222112123624x x x x b x x +=+−+=，()2222211212624y b y y y y y −+=+−+=， 则2203563614242532244b b b b b b ++  −++=  − + +−× ， 整理得22530b b ++=，解得32b =−，1b =-， 当1b =-时，直线:1AB y x =−，显然直线AB 过P 点，舍去，当32b =−时，()2299361633361633044b b ∆=−−=×−×−>，直线3:2AB y x =−，满足题意，又535,44b b C ++ −，所以此时圆心坐标71,88C − . 法二：因为圆过原点()0,0O ，所以设圆的方程为220x y Dx Ey +++=()220D E +>，联立220y x b x y Dx Ey =++++=，消去y ，得()22220x b D E x b Eb +++++=， 所以1222b D E x x +++=−，2122b Ebx x =+， 又1232x x b +=−，()212314b x x −=，所以3222b D E b ++−=−，()223142b b Eb −+=， 所以1322D b b=+，1322E b b =−， 因为P 点在圆上，所以913104422D E +++=，即530D E ++=，所以13135302222b b b b +++−=，整理得22530b b ++=，解得32b =−，1b =-， 当1b =-时，直线:1AB y x =−，显然直线AB 过P 点，舍去， 当32b =−时，1332722234D =×−+×−=− ，1332122234E =×−−×−= ， 对于方程2246330x bx b ++−=，有()2299361633361633044b b ∆=−−=×−×−>，对于方程()22220x b D E x b Eb +++++=，即29152028x x −+=，有2915Δ42028 =−−××>，满足题意，又因为外接圆的圆心坐标为,22D E −− ，所以圆心为71,88− . 故答案为：71,88 −.【点睛】方法点睛：直线与圆锥曲线位置关系的题目，往往需要联立两者方程，利用韦达定理解决相应关系，其中的计算量往往较大，需要反复练习，做到胸有成竹.16. 已知直线l 过抛物线C ：24y x =的焦点F ，与抛物线交于A 、B 两点，线段AB 的中点为M ，过M作MN 垂直于抛物线的准线，垂足为N ，则2324NF AB +的最小值是______.【答案】【解析】【分析】设直线:1AB x my =+，()11,A x y ，()22,B x y ，联立抛物线方程得到关于y 的一元二次方程，得到韦达定理式，求出,M N 坐标，利用弦长公式和两点距离公式得到AB 和NF 的表达式，再利用基本不等式即可得到答案.【详解】显然当直线AB 斜率为0时，不合题意；故设直线:1AB x my =+，()11,A x y ，()22,B x y ， 联立抛物线方程有2440y my −−=，则216160m ∆=+>，124y y m +=，124y y =−，则1222My y y m +==，111x my =+，221x my =+， 则()21221224221222M m y y x x m x m ++++====+，则()221,2M m m +，准线方程为=1x −，()1,0F ，则()1,2N m −，()22||41AB y m =−=+，()()()22222||1124441||[4,)NF m m m AB =++−=+=+=∈+∞，所以232||32||||4||4NF AB AB AB +=+==，当且仅当32||||4AB AB =，即()2||41AB m =+=时等号成立，此时m .故答案为：【点睛】关键点点睛：本题的关键是采取设线法联立抛物线方程得到韦达定理式，再利用中点公式得到,M N 点坐标，最后利用弦长公式和两点距离公式得到相关表达式，最后利用基本不等式即可得到答案.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知点()1,0A −和点B 关于直线l ：10x y +−=对称． （1）若直线1l 过点B ，且使得点A 到直线1l 的距离最大，求直线1l 的方程； （2）若直线2l 过点A 且与直线l 交于点C ，ABC 的面积为2，求直线2l 的方程．【答案】（1）30x y +−=（2）0y =或=1x − 【解析】【分析】根据对称先求出B 点坐标（1）过点B 到点A 距离最大的直线与直线AB 垂直，从而求出直线方程；（2）画出图像，可求出点C 到直线AB 的距离，又点C 在直线l 上，可设出C 点的坐标，利用点到直线的距离公式求出C ，又直线过点A ，利用两点A 、C 即可求出直线2l 的方程. 【详解】解：设点(),B m n则1102211m nn m −+ +−== + ，解得：12m n = = ，所以点()1,0A −关于直线l ：10x y +−=对称的点的坐标为()1,2B（1）若直线1l 过点B ，且使得点A 到直线1l 的距离最大，则直线1l 与过点AB 的直线垂直，所以1k =−，则直线1l 为：()21y x −=−−，即30x y +−=. （2）由条件可知：AB =，ABC 的面积为2，则ABC的高为h =又点C 在直线l 上，直线l 与直线AB 垂直，所以点C 到直线AB. 直线AB 方程为1y x =+，设(),C a b，即1b a =−或3b a =+又1b a =−，解得：10a b == 或12a b =− =则直线2l 为：0y =或=1x −【点睛】本题考查求点关于直线的对称点，考查直线与直线相交的综合应用..方法点睛：（1）设出交点坐标（2）两点的中点在直线上，两点连线与原直线垂直，列方程组； （3）解出点坐标.18. 已知圆221:(1)5C x y +−=，圆222:420C x y x y +−+=.（1）求圆1C 与圆2C 的公共弦长；（2）求过两圆的交点且圆心在直线241x y +=上的圆的方程.【答案】（1）（2）22317222x y −++=【解析】【分析】（1）将两圆方程作差可求出公共弦的方程，然后求出圆心1C 到公共弦的距离，再利用弦心距，半径和弦的关系可求得答案，（2）解法一：设过两圆的交点的圆为()()222242240,1x y x y x y y λλ+−+++−−≠−，求出圆心坐标代入241x y +=中可求出λ，从而可求出圆的方程，解法二：将公共弦方程代入圆方程中求出两圆的交点坐标，设所求圆的圆心坐标为(),a b ，然后列方程组可求出,a b ，再求出圆的半径，从而可求出圆的方程.【小问1详解】将两圆的方程作差即可得出两圆的公共弦所在的直线方程，即()()222242240x y x y x y y +−+−+−−=，化简得10x y −−=，所以圆1C 的圆心()0,1到直线10x y −−=的距离为d ，则22215232AB r d =−=−=，解得AB =所以公共弦长为【小问2详解】 解法一：设过两圆的交点的圆为()()222242240,1x y x y x y y λλ+−+++−−≠−， 则2242240,1111x y x y λλλλλλ−+−+−=≠−+++； 由圆心21,11λλλ− −++ 在直线241x y +=上，则()414111λλλ−−=++，解得13λ=， 所求圆的方程为22310x y x y +−+−=，即22317222x y −++=. 解法二：由（1）得1y x =−，代入圆222:420C x y x y +−+=， 化简可得22410x x −−=，解得x =；当x =时，y =x =时，y =；设所求圆的圆心坐标为(),a b ，则2222241a b a b a b −+=++ += ，解得3212a b ==−；所以222317222r =+−−= ； 所以过两圆的交点且圆心在直线241x y +=上的圆的方程为22317222x y −++=19. 已知双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b−=>>的焦距为10，且经过点M ．A ，B 为双曲线E 的左、右顶点，P 为直线2x =上的动点，连接P A ，PB 交双曲线E 于点C ，D （不同于A ，B ）．（1）求双曲线E 的标准方程．（2）直线CD 是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由． 【答案】（1）221169x y −= （2）直线CD 过定点，定点坐标为(8,0)． 【解析】【分析】（1）方法一：将M 代入方程，结合222+=a b c 求得,a b 得双曲线方程；方法二：根据双曲线定义求得a 得双曲线方程.（2）方法一：设CD 的方程为x my t =+，与双曲线联立，由A 点与C 点写出AC 方程，求出p y ，由B 点与D 点写出BD 方程，求出p y ，利用两个p y 相等建立关系式，代入韦达定理可求得t 为定值.方法二：设CD 的方程为,(2,)x my t P n =+，与双曲线联立，由P 点与A 点写出AC 方程，由P 点与B 点写出BD 方程，将()()1122,,,C x y D x y 代入以上两方程，两式相比消去n 建立关系式，代入韦达定理可求得t 为定值. 【小问1详解】法一．由222225,64271,a b ab += −=解得2216,9a b ==，∴双曲线E 的标准方程为221169x y −=． 法二．左右焦点为()()125,0,5,0F F −，125,28c a MF MF ∴==−=，22294,a b c a ∴===−，∴双曲线E 的标准方程为221169x y −=． 【小问2详解】直线CD 不可能水平，故设CD 方程为()()1122,,,,x my t C x y D x y =+， 联立221169x my t x y =+−= 消去x 得()()2222916189144=0,9160m y mty t m −++−−≠， 12218916mt y y m −∴+=−，21229144916t y y m −=−，12y y −，AC 的方程为11(4)4y yx x ++，令2x =，得1164p y y x =+， 的BD 的方程为22(4)4y yx x −−，令2x =，得2224p y y x −=−，1221112212623124044y y x y y x y y x x −∴=⇔−++=+− ()()21112231240my t y y my t y y ⇔+−+++=()()1212431240my y t y t y ⇔+−++= ()()()()12121242480my y t y y t y y ⇔+−++−−=()22249144(24)180916916m t t mt m m −−⇔−±=−−3(8)(0m t t ⇔−±−=(8)30t m ⇔−±=， 解得8t =3m =±，即8t =或4t =（舍去）或4t =−（舍去）， ∴CD 的方程为8x my =+，∴直线CD 过定点，定点坐标为(8,0)． 方法二．直线CD 不可能水平，设CD 的方程为()()1122,,,,,(2,)x my t C x y D x y P n =+， 联立22,1,169x my t x y =+ −=，消去x 得()2229161891440m y mty t −++−=， 2121222189144,916916mt t y y y y m m −−∴+==−−， AC 的方程为(4)6nyx =+，BD 的方程为(4)2ny x −−， ,C D 分别在AC 和BD 上，()()11224,462n ny x y x ∴=+=−−， 两式相除消去n 得()211211223462444x y y y x x x y −−−=⇔+=+−， 又22111169x y −=，()()211194416x x y ∴+−=． 将()2112344x y x y −−+=代入上式，得()()1212274416x x y y −−−=⇔()()1212274416my t my t y y −+−+−=()()221212271627(4)27(4)0m y y t m y y t ⇔++−++−=⇔()22222914418271627(4)27(4)0916916t mtm t m t m m −−++−+−=−−． 整理得212320t t +=−，解得8t =或4t =（舍去）． ∴CD 方程为8x my =+，∴直线CD 过定点，定点坐标为(8,0)． 【点睛】圆锥曲线中直线过定点问题通法，先设出直线方程y kx m =+，通过韦达定理和已知条件若能求出m 为定值可得直线恒过定点，若得到k 和m 的一次函数关系式，代入直线方程即可得到直线恒过定点.20. 已知双曲线22:154x y Γ−=的左右焦点分别为1F ，2F ，P 是直线8:9l y x =−上不同于原点O 的一个动点，斜率为1k 的直线1PF 与双曲线Γ交于A ，B 两点，斜率为2k 的直线2PF 与双曲线Γ交于C ，D 两点．（1）求1211k k +的值；（2）若直线OA ，OB ，OC ，OD 的斜率分别为OA k ，OB k ，,OC k ，OD k ，问是否存在点P ，满足0OA OB OC OD k k k k +++=，若存在，求出P 点坐标；若不存在，说明理由．【答案】（1）94−； （2）存在98(,)55P −或98(,)55P −满足题意．【解析】【分析】（1）设出(9,8)P λλ−，然后计算1211k k +即可得；（2）假设存在，设设00(9,8)P x x −，写出直线AB 方程，设1122(,),(,)A x y B x y ，直线方程代入双曲线方程整理后应用韦达定理得1212,x x x x +，代入到式子OA OB k k +中，同理设3344(,),(,)C x y D x y ，直线CD方程代入双曲线方程，应用韦达定理，代入计算OC OD k k +，然后由条件0OA OB OC OD k k k k +++=求得0x 得定点坐标．的【小问1详解】由已知1(3,0)F −，2(3,0)F ，设(9,8)P λλ−，(0)λ≠， ∴1839k λλ=−−，2893k λλ−=−，121139939884k k λλλλ−−−+=+=−−；【小问2详解】 设00(9,8)P x x −，（00x ≠），∴010893x k x −=+，∴直线AB 的方程是008(3)93x yx x −++，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，008(3)93x yx x −++代入双曲线方程得2220203204(69)20(93)x x x x x −++=+， 即222200000(549)480(112527045)0x x x x x x x ++−−++=， 2012200480549x x x x x +=++，20012200112527045549x x x x x x ++=−++， 00121212012012883()33(2)[2]9393OA OB x x y y x x k k x x x x x x x x ++=+=−++=−+++2000200008832(2(2)93932561x x x x x x x =−+=−−++++ 2000220000082(31)16(31)9325612561x x x x x x x x −+−+=⋅=+++++， 同理CD 的方程为008(3)93x yx x −−−，设33(,)C x y ，44(,)D x y ，仿上，直线方程代入双曲线方程整理得：222200000(549)4801125270450x x x x x x x −++−+−=，234200480549x x x x x +=−−+，20034200112527045549x x x x x x −+−=−+， ∴2303400423403400083()83480[2](2)9393112527045OC ODy x x x x x y k k x x x x x x x x −+−⋅+=+=−=−−−−+ 20000220000083216(31)(2)9325613(2561)x x x x x x x x x −−−=−=−−+−+．由0OA OB OC OD k k k k +++=得00022000016(31)16(31)025613(2561)x x x x x x x −+−−+=++−+， 整理得200(251)0x x −=，∵00x ≠，∴015x =±， ∴存在98(,)55P −或98(,)55P −满足题意．【点睛】方法点睛：是假设定点存在，题中设00(9,8)P x x −，写出直线方程，设出直线与双曲线的交点坐标如1122(,),(,)x y x y ，直线方程代入双曲线方程整理后应用韦达定理得1212,x x x x +，代入到式子OA OB k k +中，最后利用已知条件求得0x ，若求不出结果说明不存在．本题考查了学生的逻辑能力，运算求解能力，属于困难题．21. 抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点为F ，准线为,l A 为C 上的一点，已知以F 为圆心，FA 为半径的圆F 交l 于,B D 两点，（1）若90,BFD ABD ∠=的面积为p 的值及圆F 的方程（2）若直线y kx b =+与抛物线C 交于P ，Q 两点，且OP OQ ⊥，准线l 与y 轴交于点S ，点S 关于直线PQ 的对称点为T ，求||FT 的取值范围.【答案】（1）2p =，圆F 的方程为()2218x y +−=（2）(],4p p 【解析】【分析】（1）由焦半径和圆的半径得到2A py FA FD +===，结合ABD △面积求出2p =，圆F 的方程为()2218x y +−=；（2）表达出0,2p S −关于直线PQ 的对称点的坐标，利用垂直关系列出方程，求出2b p =，从而利用两点间距离公式表达出(],2FT p p ==. 【小问1详解】由对称性可知：90,BFD FS BS DS p ∠=°===， 设(),A A A x y，由焦半径可得：2A py FA FD +===，112222ABD A p S BD y p=⋅⋅+=×=解得：2p =圆F 的方程为：()2218x y +−=【小问2详解】由题意得：直线PQ 的斜率一定存在，其中0,2p S−，设0,2p S−关于直线PQ 的对称点为(),T m n ，则12222p n m kp n m k b + =− − =⋅+ ，解得：221212b p m k k b p pn k + =− + +=− + ，联立y kx b =+与22x py =得：2220x pkx pb −−=，设()()1122,,,P x y Q x y ，则12122,2x x pk x x pb +==−， 则()()()2212121212y y kx b kx b k x x kb x x b =++=+++，则()()22121212121x x y y k x x kb x x b +=++++ ()222221220pb k pk b b pb b −+++=−+=，解得：0b =（此时O 与P 或Q 重合，舍去）或2b p =，所以FT =(],4p p ==， 【点睛】圆锥曲线相关的取值范围问题，一般思路为设出直线方程，与圆锥曲线联立，得到两根之和，两根之积，由题干条件列出方程，求出变量之间的关系，再表达出弦长或面积等，结合基本不等式，导函数，函数单调性等求出最值或取值范围.22. 如图，已知点P 是抛物线24C y x =：上位于第一象限的点，点()20A −，，点,M N 是y 轴上的两个动点(点M 位于x 轴上方)， 满足,PM PN AM AN ⊥⊥，线段PN 分别交x 轴正半轴、抛物线C 于点,D Q ，射线MP 交x 轴正半轴于点E ．（1）若四边形ANPM 为矩形，求点P 的坐标；（2）记,DOP DEQ △△的面积分别为12S S ，，求12S S ⋅的最大值．【答案】（1）(2,P（2）192 【解析】【分析】（1）根据矩形性质，可得对角线互相平分，即AP 的中点在y 轴上，然后点P 在抛物线，即可得(2,P ；（2）联立直线PQ 方程与抛物线C ，根据韦达定理求得,P Q 两点的纵坐标关系，再根据,PM PN AM AN ⊥⊥条件判断MOE △与DON △相似，进而求得,D E 两点的坐标关系，再表示并化简12S S ⋅为关于m 的函数，根据,D E 两点的位置关系，以线段DE 为直径的圆K 与抛物线C 有交点得出关于m 的约束，即可确定12S S ⋅中m 取值范围，最后可得12max ()(4192S S g ⋅=−= 【小问1详解】当四边形ANPM 为矩形时，AP 的中点在y 轴上，则有：2P A x x =−=故(2,P -【小问2详解】设点(,0)D m ，直线PQ 方程：x m ty −=， 显然有0,0m t >≠联立直线PQ 与抛物线C ，得：24x m ty y x −==消去x 得：2440y ty m −−=则有：4P Q y y m ⋅=− 由AM AN ⊥，得：2||||||4OM ON OA ⋅==又由PM PN ⊥，可得：△MOE ∽△DON 则有：||||||||OM OE OD ON = 从而||||||||4OE OD OM ON ⋅=⋅=，即4E D x x ⋅=所以4E x m=，进而有：4||E D DE x x m m =−=− 结合||,4P Q OD m y y m =⋅=−（注：由E D x x >，得4m m >，故有02m <<） 可得：12111(||||)(||||)||||||224P Q P Q S S OD y DE y OD DE y y ⋅=⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅ 314()444m m m m m m=⋅⋅−⋅=−+ 又由题意知，存在抛物线上的点P 满足条件，即以线段DE 为直径的圆K 与抛物线C 有交点，且易得圆K 方程：24()()0x m x y m−⋅−+=联立抛物线C 与圆K ，得224()()04x m x y my x−⋅−+= = 消去y 得：24(4)40x m x m−+−+= 由0∆≥，结合02m <<，可解得：04m <≤−令3()4g m m m =−+，求导可知()g m在上单调递增又4−≤ 故有：()g m在(0,4−上单调递增因此，12max ()(4192S S g ⋅=−=【点睛】解答直线与抛物线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x (或y )建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系；在求解相关最值问题时，通常是先建立目标函数，然后应用函数的知识来解决问题；。

2022-2023学年江苏省淮安市高二下学期期中数学试题【含答案】

2022-2023学年江苏省淮安市高二下学期期中数学试题【含答案】

2022-2023学年江苏省淮安市高二下学期期中数学试题一、单选题1．已知离散型随机变量的概率分布如表：则其数学期望等于（ ）ξ()E ξξ135P 0.5m 0.2A ．1B ．0.6C ．D ．2.423m+【答案】D【解析】根据所给的分布列，根据分布列中所有的概率之和是1，求出m 的值，求期望即可．【详解】∵分布列中出现的所有的概率之和等于1，∴0.5+m +0.2＝1，∴m ＝0.3，∴随机变量的数学期望E （ξ）＝1×0.5+3×0.3+5×0.2＝2.4．故选：D ．【点睛】本题考查分布列的性质和方差，本题解题的关键是根据分布列的性质做出分布列中未知的字母，本题是一个基础题．2．5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同报名方法有（ ）A ．10种B ．20种C ．25种D ．32种【答案】D【分析】由分步乘法原理计算．【详解】由题意，每个同学有2种选择，故不同报名方式为.5232=故选：D3．如图，在正方体中，以为原点建立空间直角坐标系，为的中点，为1111ABCD A B C D -D E 1BB F 的中点，则下列向量中，能作为平面的法向量的是（ ）．11A D AEFA ．（1，，4）B ．（，1，）2-4-2-C ．（2，，1）D ．（1，2，）2-2-【答案】B【分析】设正方体的棱长为2，依次求出各点坐标，设向量是平面的法向量，根据(,,)n x y z =AEF 法向量的定义，逐一验证各选项即可求出答案．【详解】解：设正方体的棱长为2，则，，(2,0,0),(2,2,1)A E (1,0,2)F ∴，(0,2,1),(1,0,2)AE AF ==-设向量是平面的法向量，(,,)n x y z = AEF 则取，得，20,20,n AE y z n AF x z ⎧⋅=+=⎨⋅=-+=⎩1y =2,4z x =-=-则是平面的一个法向量，(4,1,2)n =-- AEF 结合其他选项，只需和共线即可，(4,1,2)n =--检验可知，ACD 选项均不与共线.(4,1,2)n =-- 所以能作为平面的法向量只有选项B AEF 故选：B ．4．已知随机变量，，且，，则（ ）()6,X B p ~()2,Y N μσ()122P Y ≥=()()E X E Y =p =A ．B ．C ．D ．12131416【答案】B【分析】根据随机变量可知，再根据，，()6,X B p ~()6E x p=()2Y N μσ，()122P Y ≥=可求出，利用，建立方程，即可求出结果.()2E Y =()()E X E Y =【详解】因为随机变量，所以，()6,X B p ~()6E X p=因为，，所以，即，()2Y N μσ，()122P Y ≥=2μ=()2E Y =又()()E X E Y =所以，即.62p =13p =故选：B.5．从甲､乙､丙､丁四名同学中选出三名同学，分别参加三个不同科目的竞赛，其中甲同学必须参赛，则不同的参赛方案共有（ ）A ．24种B ．18种C ．21种D ．9种【答案】B【分析】参赛方案可分两步完成，第一步从乙，丙，丁三人中选两人，第二步将甲和所选两人安排去参加三个不同科目的竞赛，故这是一个分步完成的排列组合综合问题.【详解】参赛方案可分两步完成，第一步从乙，丙，丁三人中选两人，有种方法，23C 第二步将甲和所选两人安排去参加三个不同科目的竞赛，有种方法，33A 由分步乘法计数原理可得共有种方法.233318C A =故选：B.6．的展开式的常数项是（ ）()51211x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭A ．B ．C ．D ．10-9-119【答案】B【分析】写出的展开式的通项为，分别令，511⎛⎫- ⎪⎝⎭x ()51551C 11C rr r r r rr T x x --+⎛⎫=⋅⋅-=-⋅ ⎪⎝⎭1r -=-，即可求得常数项.0r -=【详解】因为的展开式的通项为，511⎛⎫- ⎪⎝⎭x ()51551C 11C rr r r rr r T x x --+⎛⎫=⋅⋅-=-⋅ ⎪⎝⎭所以令，，则，，1r -=-0r -=0r =1r =所以的展开式为常数项的是()51211x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭()()1011005521C 11C 1019x x x -⋅-+⋅-=-+=-故选：B7．甲和乙两位同学准备在体育课上进行一场乒乓球比赛，假设甲对乙每局获胜的概率都为，比13赛采取三局两胜制（当一方获得两局胜利时，该方获胜，比赛结束），则甲获胜的概率为（ ）A ．B ．C ．D ．5277272919【答案】B【分析】按照相互独立事件的概率乘法法则，分类计算求和即可.【详解】分三类：①甲直接获得前两局胜利，不进行第三局，此时甲获胜的概率为：；131139⨯=②甲输第一局，赢后两局，此时甲获胜的概率为：；1112(1)33327-⨯⨯=③甲赢第一局和第三局，输第二局，此时甲获胜的概率为：.1112(1)33327⨯-⨯=故甲获胜的概率为：.12279272727++=故选：B.8．已知三棱柱的底面是边长为2的等边三角形，侧棱长为3，在底面ABC 上的射111ABC A B C -1A 影D 为BC 的中点，则异面直线AB 与所成的角的为（ ）1CCA ．B ．C ．D ．6π4π3π2π【答案】C 【分析】连接，由，得到为异面直线与所成的角，结合余弦11,,A D AD A B11//CC AA 1A AB ∠AB 1CC 定理，即可求解.【详解】连接，由，所以为异面直线与所成的角，11,,A D AD A B11//CC AA 1A AB ∠AB 1CC 因为三棱锥的底面是边长为的等边三角形，且侧棱长为，111ABC A B C -23在底面ABC 上的射影D 为BC 的中点，1A可得,11AD A D A B ======由余弦定理，可得，19471cos 2322A AB +-∠==⨯⨯因为，所以，1(0,]2A AB π∠∈13A AB π∠=所以异面直线AB 与所成的角的为.1CC 3π故选：C.二、多选题9．下列有关排列数、组合数的等式中，正确的是（ ）A ．B ．A C !mmnnn =()()2221A A m m n n n n ++++=C ．D ．111C C C m m m n n n +++=+1232C C C C n nn n n n =++++ 【答案】BC【分析】对于AC,根据组合数的公式即可;对于B ，根据排列数的公式即可;对于D ，根据二项式定理即可.【详解】对于A,,故A 错误；A C !mmnnm =对于B ，，故B 正确；()()()121221A 2A A m m m n n n n n n ++++++=+=对于C ，组合数的性质，，故C 正确；111C C C m m m n n n +++=+对于D ，由二项式定理知，=，故D 错误；()012311C C C C +C nnn n n n n+=++++ 2n故选：BC.10．一袋中有大小相同的4个红球和2个白球，给出下列4个结论，其中正确的有（ ）A ．从中任取3球，恰有一个白球的概率是35B ．从中有放回的取球6次，每次任取一球，则取到红球次数的方差为43C ．现从中不放回的取球2次，每次任取1球，则在第一次取到红球后，第二次再次取到红球的概率为25D ．从中有放回的取球3次，每次任取一球，则至少有一次取到红球的概率为2627【答案】ABD【解析】A.由古典概型的概率求解判断；B.根据取到红球次数X ～B ，再利用方差公式求解判26,3⎛⎫ ⎪⎝⎭断；C ．设A ＝{第一次取到红球}，B ＝{第二次取到红球}．由P (B |A )＝求解判断；D ．易()()p A B P A ⋂得每次取到红球的概率P ＝，然后再利用对立事件求解判断.23【详解】A.恰有一个白球的概率，故A 正确；12243635p C CC ==B.每次任取一球，取到红球次数X ～B ，其方差为，故B 正确；26,3⎛⎫ ⎪⎝⎭22461333⎛⎫⨯⨯-= ⎪⎝⎭C ．设A ＝{第一次取到红球}，B ＝{第二次取到红球}．则P (A )＝，P (A ∩B )＝，所以23432655⨯=⨯P (B |A )＝，故C 错误；()()35p A B P A ⋂=D ．每次取到红球的概率P ＝，所以至少有一次取到红球的概率为，故D 正确．23322611327⎛⎫--=⎪⎝⎭故选：ABD.11．4名男生和3名女生排队（排成一排）照相，下列说法正确的是（ ）A ．若女生必须站在一起，那么一共有种排法5335A AB ．若女生互不相邻，那么一共有种排法3434A A C ．若甲不站最中间，那么一共有种排法1666C AD ．若甲不站最左边，乙不站最右边，那么一共有种排法7676A 2A -【答案】AC【分析】分别利用捆绑法、插空法、优先安排特殊元素法、间接法依次求解.【详解】选项,利用捆绑法，将3名女生看成一个整体，其排列方式有种，加上4名男生一共A 33A有5个个体，则有种排列方式，则由乘法原理可知一共有种排法，故正确；55A 5335A A A 选项,利用插空法，4名男生排成一排形成5个空，其排列方式有种，再将3名女生插入空中，B 44A 有种排列方式，则由乘法原理可知一共有种排法，故不正确；35A 4345A A B 选项,利用优先安排特殊元素法，甲不站最中间,甲先从除中间之外的6个位置选一个，其选择方C 式有种，再将剩余的6人全排列，有种排列方式，则由乘法原理可知一共有种排法，故16C 66A 1666C A 正确；C 选项,利用间接法，3人站成一排共有种排法，若甲站最左边有种排法，乙站最右边有D 77A 66A种排法，甲站最左边且乙站最右边有种排法，所以甲不站最左边，乙不站最右边，那么一共66A 55A 有种排法，故不正确；765765A 2A A -+D 故选：AC.12．如图所示，在棱长为2的正方形中，点，分别是，的中点，则（ 1111ABCD A B C D -E F BC 1CC ）A ．1A D AF⊥B ．与平面1D CAEF C ．二面角的余弦值为A EF C --13D ．平面截正方体所得的截面周长为AEF +【答案】BD【分析】利用坐标法，对A ，由向量数量积与垂直的关系即可判断；对B ，由向量法求线面角；对C ，由向量法求面面角；对D ，分析得，则平面AEF 截正方体所得的截面为四边形1//EF AD，即可根据几何关系求周长，1EFD A 【详解】以D 为原点建立如图所示空间直角坐标系，则D xyz -，()()()()()()()110,0,0,2,0,0,2,0,2,0,2,1,0,0,2,0,2,0,1,2,0D A A F D CE 对A ， ，，故与不垂直，A 错；()()12,0,2,2,2,1A D AF =--=-140220A D AF ×=+-=¹1A D AF 对B ，，设平面AEF 的法向量为，则()()()11,2,0,2,2,1,0,2,2AE AF CD =-=-=-(),,n x y z =，令，则有，20220n AE x y n AF x y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-++=⎪⎩2x =()2,1,2n = 设与平面AEF 所成角为，则B 对；1D Cθ111||sin cos ,n CD θn CD n CD×===对C ，平面EFC 的一个法向量为，则，∴二面角()0,1,0m =1cos ,3m =的余弦值为，C 错；A EF C --13-对D ，由，，可得，平面AEF 截正方体所得的截()()12,0,2,1,0,1AD EF-=-=12AD EF=1//EF AD 面为四边形，1EFD A 则有AEF截正方体所得的截面周长为11AD EF AE D F ==D 对.故选：BD.三、填空题13．现从某校2022年高三上学期某次测试成绩中随机抽取部分学生的物理成绩作为样本进行分ξ析，成绩近似服从正态分布，且，则__________．ξ()273,N σ()770.78P ξ<=()6973P ξ<<=【答案】/0.28725【分析】根据题意结合正态分布的对称性运算求解.【详解】由题意可得：，则，()730.50P ξ≤=()73770.28P ξ<<=故.()()697373770.28P P ξξ<<=<<=故答案为：.0.2814．“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，最早出现在中国南宋数学家杨辉于1261年所著的《详解九章算法》一书中，欧洲数学家帕斯卡在1654年才发现这一规律，比杨辉要晚近四百年.如图，在由二项式系数所构成的“杨辉三角”中，记第2行的第3个数字为，第3行的第3个数字为1a ，…，第行的第3个数字为，则___________.2a 1n +n a 12310a a a a ++++=【答案】220【分析】先利用二项式定理，得，再进行组合数计算即可.21C n n a +=【详解】由题意，得，21C n n a +=所以12310a a a a ++++ 222223411C C C C =+++⋅⋅⋅+65768798109111013610212121212121⨯⨯⨯⨯⨯⨯=+++++++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯13610152128364555=+++++++++.220=故答案为：220.15．在长方体中，，，若E 为的中点，则点E 到面1111ABCD A B C D -11AD AA ==2AB =AB 的距离是______.1ACD 【答案】13【分析】以D 为原点，为x 轴，为y 轴，为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法DA DC 1DD能求出点E 到面的距离.1ACD 【详解】以D 为原点，为x 轴，为y 轴，为z 轴，建立空间直角坐标系，如下图所示：DA DC 1DD ，，，，()1,1,0E ()1,0,0A ()0,2,0C ()10,0,1D ，，，()1,2,0AC =-()11,0,1AD =-()0,1,0AE =设平面的法向量，1ACD (),,n x y z =则，取，得，1200n AC x y n AD x z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩1y =()2,1,2n = ∴点E 到面的距离为.1ACD 13AE n d n ⋅==故答案为：.13【点睛】本题考查点到平面距离的向量求法，属于基础题.16．经检测有一批产品合格率为，现从这批产品中任取5件，设取得合格产品的件数为，则34ξ取得最大值时的值为__________.()P k ξ=k 【答案】4【分析】由已知可得，，根据二项分布的分布列公式求出时的概率，即35,4B ξ⎛⎫⎪⎝⎭ 0,1,2,3,4,5ξ=可得出答案.【详解】由已知可得，，.0,1,2,3,4,5ξ=35,4B ξ⎛⎫⎪⎝⎭ 则，，()0553310C 1441024P ξ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()141533151C 1441024P ξ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，()23253390452C 1441024512P ξ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()3235332701353C 1441024512P ξ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，()4145334054C 1441024P ξ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()5055332435C 1441024P ξ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以，当时，取得最大值.4k =()P k ξ=故答案为：.4四、解答题17．已知的展开式中，其前三项的二项式系数的和等于56.22nx ⎛ ⎝(1)求展开式中所有二项式系数的和；(2)求展开式中的常数项.【答案】(1)1024(2)180【分析】（1）根据前三项的二项式系数之和列出方程，求出，进而求出所有二项式系数的和；10n =（2）利用展开式的通项公式，令的次数为0，求出，得到答案.x 9180T =【详解】（1）前三项的二项式系数和为，()0121C C C 1562n n n n n n -++=++=解得或-11（舍去），10n =中，展开式中所有二项式系数的和为；1022x ⎛ ⎝1021024=（2）的展开式通项公式为，1022x ⎛ ⎝()()1520102102211010C 21C 2rr r r r r r r T x x x ----+⎛⎫=-=-⋅ ⎪⎝⎭令得，故.52002r -=8r =()8829101C 2454180T =-⋅=⨯=18．已知向量，()1,0,1a =- ()1,2,0b =- (1)求与的夹角；a ()a b - (2)若与垂直，求实数t 的值．2a b + a tb -【答案】(1)π4(2)1【分析】(1)结合向量数量积性质夹角公式的坐标表示即可求解；(2)由向量垂直的坐标表示即可求解.【详解】（1），，()1,0,1a =- ()1,2,0b =-∴()2,2,1a b -=- ，3a -= 令与的夹角为，a()a b -θ则，cos a a b a a bθ=→→→→→→⎛⎫⋅- ⎪⎝⎭==⋅-则与的夹角为.a ()a b - π4（2），， ()21,2,2a b +=-- ()1,2,1a tb t t -=-- 又与垂直，，2a b + a tb - ∴()()20a b a tb +-= 即，解得.()()1122120t t -⨯--+⨯-+⨯=1t =19．有5个男生和3个女生，从中选出5人担任5门不同学科的科代表，求分别符合下列条件的选法数.(1)有女生但人数必须少于男生；(2)某女生一定担任语文科代表；(3)某男生必须包括在内，但不担任语文科代表.【答案】(1)5400（种）(2)840（种）(3)3360（种）【分析】（1）先选后排，分类讨论列式求解；（2）除去一定担任语文科代表的女生后先选后排，，先选后排计算可得；（3）先安排不担任语文科代表的该男生，先选后排计算可得.【详解】（1）先选后排，5人可以是2女3男，也可以是1女4男，所以先选有种，后排有种，32415353C C C C +55A 所以共有不同选法（种）.()3241553535C C C C A 5400+⋅=（2）除去一定担任语文科代表的女生后，先选后排，共有不同选法（种）.4474C A =840⋅（3）先选后排，但先安排不担任语文科代表的该男生，所以共有不同选法（种）.414744C C A 3360⋅⋅=20．盒中有大小形状完全相同的8个红球和2个黑球．(1)现随机从中取出一球，观察颜色后放回，并加上与取出的球同色的球2个，再从盒中第二次取出一球，求第二次取出黑球的概率；(2)从中抽取3个球进行检测，随机变量表示取出黑球的个数，求的分布列及期望．X X 【答案】(1)15(2)分布列见解析，期望为.35【分析】（1）根据全概率公式即可求解，（2）根据超几何分布求解概率，进而可求分布列以及期望.【详解】（1）记第二次取出黑球为事件A,第一次取出红球记为事件,第一次取出黑球记为事件，1B 2B 所以.()()()()()112282241101210125P A P A B P B P A B P B =+=⨯+⨯=（2）可能为0，1，2,X38310C 567(0)C 12015P X ====2182310C ×C 567(1)=C 12015P X ===.1282310C ×C 81(2)=C 12015P X ===的分布列为：X X012P 715715115.7713()0121515155E X =⨯+⨯+⨯=21．某市为了更好的了解全体中小学生感染新冠感冒后的情况，以便及时补充医疗资源.从全市中小学生中随机抽取了100名抗原检测为阳性的中小学生监测其健康状况，100名中小学生感染奥密克戎后的疼痛指数为，并以此为样本得到了如下图所示的表格：X 疼痛指数X10X ≤1090X <<90X ≥人数（人）10819名称无症状感染者轻症感染者重症感染者其中轻症感染者和重症感染者统称为有症状感染者.(1)统计学中常用表示在事件A 发生的条件下事件发生的似然比.现从样本中随机抽取()()P B A L P B A =∣∣B 1名学生，记事件：该名学生为有症状感染者，事件：该名学生为重症感染者，求似然比的A B L 值；(2)若该市所有抗原检测为阳性的中小学生的疼痛指数近似的服从正态分布，且X ()2N 50,σ.若从该市众多抗原检测为阳性的中小学生中随机抽取3名，设这3名学生中轻症感()19010P X ≥=染者人数为，求的分布列及数学期望.Y Y 【答案】(1)19(2)分布列见解析，2.4【分析】（1）应用条件概率公式计算求解即可；（2）应用，由二项分布分别写出求分布列及计算数学期望.4B 3,5Y ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 【详解】（1）由题意得：，8199991981(),(),(),(),()10010100100100100P A P B P B P AB P AB +======，()()()9110091010P AB P B A P A ∴===∣，81()9100()9()1010P AB P B A P A ===∣.1()1109()910P B A L P B A ∴===∣∣（2），()()1109010P X P X ≤=≥= ，则，14(1090)12105P X ∴<<=-⨯=4B 3,5Y ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 可能的取值为，Y 0,1,2,3()()()3221233311141241480C ;1C ;2C ;51255512555125P Y P Y P Y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴==⨯===⨯⨯===⨯⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()3334643C 5125P Y ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭的分布列为：Y ∴Y0123P 1125121254812564125数学期望.∴()43 2.45E Y =⨯=22．如图，在四棱锥P−ABCD 中，AB//CD ，且.90BAP CDP ∠=∠= （1）证明：平面PAB ⊥平面PAD ；（2）若PA =PD =AB =DC ，，求二面角A −PB −C 的余弦值.90APD ∠=【答案】（1）见解析；（2）【详解】（1）由已知，得AB ⊥AP ，CD ⊥PD ．90BAP CDP ∠=∠=︒由于AB//CD ，故AB ⊥PD ，从而AB ⊥平面PAD ．又AB 平面PAB ，所以平面PAB ⊥平面PAD ．⊂（2）在平面内作，垂足为，PAD PF AD ⊥F 由（1）可知，平面，故，可得平面.AB ⊥PAD AB PF ⊥PF ⊥ABCD 以为坐标原点，的方向为轴正方向，为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系F FAx AB .F xyz -由（1）及已知可得，，，.A ⎫⎪⎪⎭P ⎛⎝B ⎫⎪⎪⎭C ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭所以，，，.PC ⎛=⎝ )CB =PA = ()0,1,0AB = 设是平面的法向量，则(),,n x y z = PCB 即0,0,n PC n CB ⎧⋅=⎨⋅=⎩0,0,x y z ⎧+=⎪⎨⎪=⎩可取.(0,1,n =- 设是平面的法向量，则(),,m x y z =PAB 即可取.0,0,m PA m AB ⎧⋅=⎨⋅=⎩0,0.z y =⎪=⎩()1,0,1m =则，cos,n mn mn m⋅==所以二面角的余弦值为A PB C--【名师点睛】高考对空间向量与立体几何的考查主要体现在以下几个方面：①求异面直线所成的角，关键是转化为两直线的方向向量的夹角；②求直线与平面所成的角，关键是转化为直线的方向向量和平面的法向量的夹角；③求二面角，关键是转化为两平面的法向量的夹角.建立空间直角坐标系和表示出所需点的坐标是解题的关键.。

四川省成都市树德中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题(含简单答案)

四川省成都市树德中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题(含简单答案)

成都市树德中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 4名同学分别报名参加足球队､篮球队､乒乓球队，每人限报一个运动队，不同的报名方法有（ ）A. 81种B. 64种C. 24种D. 12种2. 下列结论正确的是（ ）A. B. C. 若，则 D. 若，则3. 已知数列满足，，则数列前2025项的积为（ ）A. 2B. 3C.D. 64. 如图，射线和圆，当从开始在平面上绕端点按逆时针方向匀速转动（转动角度不超过）时，它扫过的圆内阴影部分的面积是时间的函数，这个函数的图象大致是（ ）AB. C. D.5. 已知等比数列的前3项和为168，，则（ ）A. 14B. 12C. 6D. 36. 已知数列满足，，则等于（ ）.[]1ln(21)21x x '-=-0(1)(1)lim(1)x f x f f x∆→-∆-'=∆πcos4y =πsin 4y '=-2()(1)f x f x x '=-(1)1f '={}n a 12a =111nn na a a ++=-{}n a 12-{}n a 2542a a -=6a ={}n a 11a =()11N+*+-=∈n n n n a a na a n naAB.C.D.7. 已知函数，则不等式的解集为（ ）A. B. C. D. 8. 已知函数的定义域为为的导函数.若，且在上恒成立，则不等式的解集为（ ）A. B. C. D. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，选对部分得部分分，多选、错选或不选得0分，共18分）9. 等差数列的前n 项和为，若，则下列结论正确的是（ ）AB. C. D.10. 设是三次函数的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为三次函数的“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”且“拐点”就是三次函数图象的对称中心．设函数，则以下说法正确的是（ ）A. 拐点为 B. 有极值点，则C. 过的拐点有三条切线D. 若，，则11. 已知，.若存在，，使得成立，则下列结论中正确的是（ ）A. 当时， B. 当时，C. 不存在，使得成立D. 恒成立，则第Ⅱ卷三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）..的22n n -222n n -+22n n-222n n -+2()sin cos f x x x x x =++1(ln )ln2(1)f x f f x ⎛⎫+< ⎪⎝⎭(,)e +∞(0,)e 10,(1,)e e ⎛⎫⋃ ⎪⎝⎭1e e⎛⎫ ⎪⎝⎭,()f x (),f x 'R ()f x ()1e f =()()e xf x f x +<'R ()()2e xf x x <-(),2-∞()2,+∞(),1-∞()1,+∞{}n a n S 9100,0a a <>109S S >170S <1819S S >190S >()f x '()y f x =()f x ''()f x '()0f x ''=0x 00(,())x f x ()y f x =32()f x x bx cx =++()f x ,33bb f ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()f x 230b c ->()f x 3b =-1c =(2)()2f x f x -+=-()e xf x x =()lng x x x =1x ∈R ()20,x ∈+∞()()12f x g x t ==0t >12x x t=0t >12eln t x x ≤t ()()12f x g x =''()()f x g x mx >+2m ≤12. 已知等比数列前项和为，若，，则________．13. 将5个人排成一排，若甲和乙须排在一起，则有__________种不同的排法．（用数字作答）14. 已知对任意，且当时，都有：，则的取值范围是__________.四、解答题（本大题共5题，15题13分，16-17题每题15分，18-19题每题17分共77分）15. 在数列中，，点在直线上.（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前n 项和.16. 已知函数.（1）当时，求的单调区间，并求的极值；（2）若函数在区间上的最大值为，求的值.17. 某企业为一个高科技项目注入了启动资金1000万元，已知每年可获利25%，但由于竞争激烈，每年年底需从利润中抽取200万元资金进行科研、技术改造与广告投入，方能保持原有的利润增长率，设经过年后，该项目的资金为万元.（1）求数列的通项公式.（2）求至少需经过多少年，该项目的资金才可以达到或超过翻两番（即为原来的4倍）的目标（取）；（3）若，，求数列的前项和.18. 已知函数.（1）若时，求曲线在点处的切线方程；（2）若时，（i ）方程在上有唯一的实根，求的取值范围；（ii ）函数.若，是方程的两个实根，求证：.的{}n b n n T 31T =67T =9T =()12,0,x x ∈+∞12x x <()212112ln ln 11a x x x x x x -<+-a {}n a 616a =()()1,n n a a n *+∈N 30x y -+={}n a 2nn n b a ={}n b n T ()ln f x ax x =+1a =-()f x ()f x ()f x (0,e)3-a n n a {}n a lg 20.3=1(1049)n b n a =-21n n n c b b +={}n c n n S ()e 1x f x ax =+-2a =()y f x =(0,0)1a =-()f x m =[1,2]-m ()()1)e 2(x f x b x F x +-+=1x 2x ()1F x =12123e e 2e x x x x +-+>19. 意大利画家达·芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线是悬链线.1691年，莱布尼茨等得出悬链线可为双曲余弦函数的图象，类似的可定义双曲正弦函数.它们与正、余弦函数有许多类似的性质.（1）类比正弦函数的二倍角公式，请写出（不证明）双曲正弦函数的一个正确的结论：________；（2）当时，比较与的大小，并说明理由；（3）证明：e e ch()2x xx -+=e e sh()2x xx --=sh(2)x =0x >sh()x x *22sh sh sh(2)sh(1)432(N )111tan121tan tan tan23n nn n n n⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭++++>∈+成都市树德中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题简要答案一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．【1题答案】【答案】A【2题答案】【答案】D【3题答案】【答案】A【4题答案】【答案】C【5题答案】【答案】D【6题答案】【答案】D【7题答案】【答案】D【8题答案】【答案】D二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，选对部分得部分分，多选、错选或不选得0分，共18分）【9题答案】【答案】ABD【10题答案】【答案】ABD【11题答案】【答案】AB第Ⅱ卷三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）【12题答案】【答案】【13题答案】【答案】【14题答案】【答案】四、解答题（本大题共5题，15题13分，16-17题每题15分，18-19题每题17分共77分）【15题答案】【答案】（1）； （2）.【16题答案】【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为；极大值为，无极小值； （2）.【17题答案】【答案】（1）（2）12年 （3）【18题答案】【答案】（1） （2）（i ）或；（ii ）证明略【19题答案】【答案】（1） （2），理由略 （3）证明略4348(],2-∞32n a n =-1(35)210n n T n +=-⋅+(0,1)(1,)+∞(1)1f =-2e a =-158002504n n a -⎛⎫=+⨯ ⎪⎝⎭31142224n S n n =--++3y x =0m =21e 3em <≤-sh(2)2sh()ch()x x x =⋅sh()x x >。

高二第二学期期中考试数学试卷

高二第二学期期中考试数学试卷

高二年级第二学期期中检测数学试题（满分:150分，考试时间:120分钟）一、选择题:本题共8小题，每小腿5分，共40分.只有一项符合题目要求.1.函数y = f （x ）位点（x 0，y o ）处的切线方形为y = 2x + 1.则x x x f x f x ∆∆--→2)2()(lim 000 等于（ ）A.4B. - 2C.2D.4 2.函数 f （x ）= 的图象大致形状是（ ）3.（x + 2y ）×（x - y ）5的展开式中x 2y 4的系数为（ ）A. - 15B.5C. - 20D.254.甲、乙、丙等6人排成一排，则甲和乙相邻且他们和和两不相邻的排法共有（ ）A.36种B.72种C.144种D.246种 5.函数f （x ）= k x- lnx 在[1，e ]上单调递增，则k 的收值范围是（ ）A. [1， +∞）B.（e 1， +∞）C.[e 1， +∞）D.（1， +∞） 6.若函数f （x ）=31x 3 - 2+x 2 在（a - 4.a + 1）上有最大值，则实数a 的取值范围为（ ） A.（- 3.2] B.（- 3，2） C.（- 3.0） D.（- 3.0]7.将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰.短道速滑和冰壶3个项目进行集训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（ ）种.A.30B60 C.90 D150 8.设a =24l 24e n ）（- ，b = e 1，c =44ln ，则a ，b ，c 的大小顺序为（ ） A.a < c < b B. c < a < b C .a < b < cD.b < a < c二、选择题:本题共4小题，每小题5分，共20分，有多项符合题目要求.全选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.以下求导运算正确的是（ ） A.)1(2x ʹ = 32x B.(ln 2x)ʹ = x 1 C .（l gx ）ʹ =10l 1n x D .（cos 2）' =-sin 210.由0.1，2，3，5，组成的无重复数字的五位数的四数，则（ ）A.若五位数的个位数是0，则可组成24个无重复数字的五位数的偶数B.若五位数的个位数是2，则可组成18个无重复数字的五位数的偶数C.若五位数的个位数是2，则可组成24个无重复数字的五位数的偶数D.总共可组成48个无重复数字的五位数的偶数11.甲箱中有3个白球和3个黑球，乙箱中有2个白球和4个黑球.先从甲箱中随机抽出一球放入乙箱中，分别以A 1，A 2表示由甲箱中取出的是白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，以B 表示从乙箱中取出的球是黑球的事件，则下列结论正确的是A.A 1，A 2两两互斥B.P （B|A 2） =75 C.事件B 与事件A 2相互独立 D.P （B ） = 149 12.已知函数f （x ） = e x - ax 2（a 为常数），则下列结论正确的有（ ）A.若f （x ）有3个零点，则a 的取值范围为（42e ，+ ）B.a = 2e 时，x = 1是f （x ）的极值点 C.a =21 时，f （x ）有唯一零点x 0且 - 1 < x 0 <- 21 D.a = 1时，f （x ）≥0恒成立三、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知函数f （x ）= 2ln x - x 2 + 1，则f （x ）的单调递增区间是 _________4.将3封不同的信随机放入2个不同的信箱中，共有n 种不同的放法，则在（x -x1）n 的展开式中，含x 2项的系数为 _________ .15.若直线y = kx + b 是曲线y = 1nx + 1的切线，也是曲线y = ln （x + 2）的切线.则b = _________16.给图中六个区域进行染色，每个区域只染一种颜色且相邻的区域不同色.若有4种不同的颜色可供选择，则共有_________ 种不同的染色方案.四、解答题:本题共6小圆，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算.17.（本小题满分12分）已知数列{a n}的前n项和为S n且S n底2a n- 2（n∈N）（1）求数列{a n}的通项公式:（2）若b n =n naa 2log1+.求数列{b n}的前n项和T n18.（本小M满分12分）如图所示，在四棱锥P - ABCD中，PA⊥面ABCD，AB⊥BC，AB⊥AD，且PA = AB = BC = 0.5AD = 1. （1）求PB与CD所成的角:（2）求直线PD与面PAC所成的角的余弦值:（3）求点B到平面PCD的距离.从6名男生和4名女生中随机选出3名同学参加一项竞技测试.（1）求选出的3名同学中至少有1名女生的概率；（2）设∑表示选出的3名同学中男生的人数，求∑的分布列.20.（本小题满分12分）甲、乙两人进行定点投篮游戏，投篮者若投中，则继续投篮，否则由对方投篮，第一次由甲投篮；已知每次投篮甲、乙命中的概率分别为4331，.（1）求第三次由乙投篮的概率:（2）在前3次投篮中，乙投篮的次数为∑求∑的分布列:（3）求∑的期望及标准差.已知函数f （x ）= x ln x +2 x（1）求曲线y =f （x ）在点（1，f （1））处的切线方程:（2）当x > 1时，mx - m < f （x ）恒成立，求整数m 的最大值.22.（本小题满分12分）已知函数f （x ） = axlnx 2 - 2x .若f （x ）在x = 1处取得极值，求f （x ）的单调区间:（2）若a = 2，求f （x ）在区同[0.5，2]上的最值:（3）若函数h （x ） =xx f )( - x 2 + 2有1个零点，求a 的取值范围.（修考做据:1 m2 = 0.693）。

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期中测试卷作者：黄丽芳说明：本试卷分为第Ⅰ、Ⅱ卷两部分，请将第Ⅰ卷选择题的答案填入题后括号内，第Ⅱ卷可在各题后直接作答.共150分，考试时间120分钟.第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.教室内有一直尺，无论怎样放置，在地面总有直线与直尺所在直线 A.平行 B.垂直 C.相交 D.异面解析：当直尺与地面相交时，A 不成立；当直尺与地面平行时，C 不成立；当直尺在地面内时，D 不成立.答案：B2.设不同直线m 、n 和不同平面α、β,给出下列四个命题:①⇒⎭⎬⎫⊂αβαm //m ∥β;②⇒⎭⎬⎫β////m n m n ∥β;③⇒⎭⎬⎫⊂⊂βαn m m 、n 异面;④⇒⎭⎬⎫⊥αβα//m m ⊥β.其中假命题有 A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 解析:①正确;②错误,因为n 可能在β内;③错误,因为m 、n 可能平行;④错误,因为m 可能平行于β.答案：B3.一个简单多面体共有12个面和8个顶点,其中两个顶点处各有6条棱,其他顶点处各有相同数目的棱,则其他顶点各有__________条棱A.4B.5C.6D.7解析:F =12,V =8,E =V +F －2=18.设其他顶点各有x 条棱,则有E =2662x+⨯,解得x =4. 答案:A4.已知a =（1－t ,1－t ,t ),b =(2,t ,t ),则|b －a |的最小值是 A.55 B.555 C.553 D.511 解析：b －a =（2,t ,t )－(1－t ,1－t ,t )=(1+t ,2t －1,0), ∴|b －a |=22)12()1(-++t t =2252+-t t ≥553. 答案：C5.设a 、b 是平面α外的任意两条线段，则“a 、b 的长相等”是“a 、b 在平面α内的射影长相等”的A.非充分也非必要条件B.充要条件C.必要而非充分条件D.充分而非必要条件解析：从平面外一点向这个平面引垂线段和斜线段，条件不足，结论就不正确.在这里，a 、b 长相等，它们的射影不一定相等；a 、b 射影相等，a 、b 长也不一定相等.答案：A6.a 、b 是两条互不垂直的异面直线，过a 、b 分别作平面α、β，对于下列4种情况，可能的情况种数有①b ∥α ②b ⊥α ③α∥β ④α⊥β A.1 B.2 C.3 D.4解析：观察如下两个图，由图（1）可知，b ∥α可能，α∥β亦可能.由图（2）可知 α⊥β可能，但若b ⊥α,则b ⊥a 与已知条件矛盾.故b ⊥α不可能.αβbaαβba(1) (2)答案：C7.设P 是60°的二面角α－l －β内一点,P A ⊥平面α,PB ⊥平面β,垂足分别为A 、B ,P A =4,PB =2,则AB 的长是A.23B.25C.27D.42解析:由已知条件易得∠APB =120°,∴|AB |=72120cos ||||2||||22=︒-+•PB PA PB PA . 答案:C8.已知球的表面积为20π，球面上有A 、B 、C 三点，如果AB =AC =BC =23，则球心到平面ABC 的距离为A.1B.2C.3D.2解析：如图所示，设该球的半径为R ，S 表=4πR 2＝20π,∴R =5.在△ABC 中,AB =BC =AC =23,∴由正弦定理，得△ABC 外接圆的半径r =CABsin 2=2.∴所求距离为22r R -=45-=1.答案：A9.两个完全相同的长方体的长、宽、高分别为5 cm 、4 cm 、3 cm,把它们重叠在一起组成一个新长方体,在这个新长方体中,最长的对角线的长度是A.77 cmB.72 cmC.55 cmD.102 cm解析:两个完全相同的长方体重叠在一起有三种情况,分别计算三种情况的体对角线为77、98、125,所以最长的对角线为125=55.答案:C10.正六棱柱ABCDEF －A 1B 1C 1D 1E 1F 1的底面边长为1,侧棱长为2,则这个棱柱侧面对角线E 1D 与BC 1所成的角是A.90°B.60°C.45°D.30°解析:连结FE 、FD ，则由正六棱柱相关性质得FE 1∥BC 1.在△EFD 中,EF =ED =1,∠FED =120°，∴FD =3. 在Rt △EFE 1和Rt △EE 1D 中,易得E 1F =E 1D =3.∴△E 1FD 是等边三角形.∴∠FE 1D =60°. ∴BC 1与DE 1所成的角为60°. 答案:B11.球的直径为d ,体积为V 球，一正方体的棱长为a ,体积为V 正，若它们有相同的表面积，则有A.d >a ,V 球>V 正B.d >a ,V 球<V 正C.d <a ,V 球>V 正D.d <a ,V 球<V 正 解析：由于球的体积为34πR 3=V 球，表面积为4πR 2,因直径为d ，故表面积为πd 2.而正方体的表面积为6a 2=πd 2,∴d >a .排除C 、D ，从而正方体的体积为a 3=6πd 3·6π.而V 球=34π(2d )3=6πd 3,∵6π<1,故选A.答案：A12.如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB =AC =13，BB 1=BC =6，E 、F 为侧棱AA 1上的两点，且EF =3,则多面体BB 1C 1CEF 的体积为BBE F 1A.30B.18C.15D.12解析：V 111C B A F -=31S 111C B A ∆·A 1F , V E －ABC =31S △ABC ·AE , ∴V CEF C BB 11=V 111C B A ABC -－(V 111C B A F -+V E －ABC )=S △ABC ·AA 1－31S △ABC ·(AA 1－EF ) =S △ABC ·6－S △ABC =5S △ABC =30. 答案：A第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分)13.正方形ABCD 所在平面与正方形ABEF 所在平面成60°二面角,则异面直线AD 和BF 所成角的余弦值是__________.解析:如图,∠DAF =60°,设正方形棱长为1,则FD =1.D E又CD ⊥面ADF ,∴Rt △CDF 中,CF =2.又BC =1,BF =2,cos CBF =122)2(1)2(222⨯⨯-+=42, 即AD 与BF 所成角的余弦值为42. 答案:42 14.如图，在底面边长为2的正三棱锥V －ABC 中，E 是BC 的中点，若△VAE 的面积是41，则侧棱VA 与底面所成角的大小为__________.（结果用反三角函数值表示）BBV －ABC ,AE =2·23=3，21AE ·VO =41，得VO =321，tan VAO =AO VO =41,得VA 与底面所成的角的大小为arctan41. 答案：arctan41 15.在平行四边形ABCD 中，AB =AC =1，∠ACD =90°，将它沿对角线AC 折起，使AB 与CD 成60°角，则B 、D 间的距离为__________.解：如下图，因为∠ACD =90°，所以·=0. 同理·AC =0.∵AB 与CD 成60°角，所以〈BA , CD 〉=60°或120°.ABC(1) (2)∵BD = BA + AC +CD ，∴2=2+2+2+2·+2·+2· =2+2+2+2·=3+2×1×1×cos 〈, 〉=⎪⎩⎪⎨⎧︒>=<︒>=<).120,(2),60,(4∴||=2或2，即B 、D 间的距离为2或2. 答案：2或216.正四棱锥的侧棱长是底面边长的k 倍，则k 的取值范围是__________. 解析：如图所示，设正四棱锥V －ABCD 底面中心为O ，令BC =a ,则VB =ka ,而OB =22a ,在Rt △VOB 中,BCDOVcos VBO =kka a2222=. ∵∠VBO ∈(0,2π), ∴0<k 22<1,1<2k <+∞,22 <k <+∞. ∴k 的取值范围是（22，+∞). 答案：(22,+∞) 三、解答题(本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.（本小题满分12分）如图，两条线段AB 、CD 所在的直线是异面直线，CD ⊂平面α，AB ∥α，M 、N 分别是AC 、BD 的中点，且AC 是AB 、CD 的公垂线段.'A BB CDE M Nα （1）求证：MN ∥α ;（2）若AB =CD =a ，AC =b ，BD =c ，求线段MN 的长.（1）证明：过B 作BB ’⊥α,垂足为B ’，连结CB ’、DB ’，设E 为B ’D 的中点，连结NE 、CE ，则NE ∥BB ’且NE =21BB ’.又AC =BB ’， ∴MCNE ,四边形MCEN 为平行四边形（矩形）.3分 ∴MN ∥CE .又CE ⊂α,MN ⊄α,∴MN ∥α.6分（2）解：由（1）知MN =CE ，AB =CB ’=a =CD ,B ’D =22'BB BD -=22b c -,9分∴CE =2222224141)(41c b a b c a -+=--, 即线段MN 的长为2224141c b a -+. 12分18.（本小题满分12分）如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB =a .1（1）求证：平面AD 1B 1∥平面C 1（2）求证：A 1C ⊥平面AD 1B 1；（3）求平面AB 1D 1与平面BC 1D 之间的距离. （1）证明：∵D 1B 1∥DB ,∴D 1B 1∥平面C 1D B. 1分 同理AB 1∥平面C 1D B. 2分 又D 1B 1∩AB 1=B 1，∴平面AD 1B 1∥平面C 1D B. 3分 （2）证明：∵A 1C 1⊥D 1B 1，而A 1C 1为A 1C 在平面A 1B 1C 1D 1上的射影， ∴A 1C 1⊥D 1B 1. 5分 同理A 1C ⊥AB 1，D 1B 1∩AB 1=B 1， ∴A 1C ⊥平面AD 1B 1. 7分 （3）解：设A 1C ∩平面AB 1D 1=M ，A 1C ∩平面BC 1D =N ，O 1、O 分别为上底面A 1B 1C 1D 1、下底面ABCD 的中心， 则M ∈AO 1，N ∈C 1O ,且AO 1∥C 1O ，MN 的长即等于平面AD 1B 1与平面C 1DB 的距离, 10分 即MN =A 1M =NC =31A 1C =33a .12分19.（本小题满分12分）如图,在四棱锥P －ABCD 中,底面ABCD 是一直角梯形,∠BAD =90°,AD ∥BC ,AB =BC =a ,AD =2a ,P A ⊥底面ABCD ,PD 与底面成30°角.x yz (1)若AE ⊥PD ,E 为垂足,求证:BE ⊥PD;(2)求异面直线AE 与CD 所成的角.(1)证明:以A 为原点,AB 、AD 、AP 所在直线为坐标轴,建立直角坐标系,则 A (0,0,0),B (a ,0,0),D (0,2a ,0),P (0,0,a ),2分AB ·PD =(a ,0,0)·(0,2a ,－a )=0.又·=0,∴⊥, ⊥.∴PD ⊥BE . 4分 (2)解:∵P A ⊥面ABCD ,PD 与底面成30°角, ∴∠PDA =30°.6分过E 作EF ⊥AD ,垂足为F ,则AE =a ,∠EAF =60°,AF =21a ,EF =23a ,∴E (0,21a , 23a ).8分于是=(0,21a , ).又C (a ,a ,0),D (0,2a ,0), ∴=(－a ,a ,0).10分设与的夹角为θ,则cos θ•=42. ∴θ=arccos42.12分20.（本小题满分12分）如图，点P 为斜三棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧棱BB 1上一点，PM ⊥BB 1交AA 1于点M ，PN ⊥BB 1交CC 1于点N .B C1 （1）求证：CC 1⊥MN ；（2）在任意△DEF 中有余弦定理DE 2=DF 2+EF 2－2DF ·EF cos DFE .拓展到空间，类比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱的三个侧面面积与其中两个侧面所成的二面角之间的关系式，并予以证明.（1）证明：∵CC 1∥BB 1⇒CC 1⊥PM ,CC 1⊥PN , 2分 ∴CC 1⊥平面PMN ⇒CC 1⊥MN . 5分（2）解：在斜三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，有S 11A ABB 2=S 11B BCC 2+S 11A ACC 2－2S 11B BCC ·S 11A ACC cos α，其中α为平面CC 1B 1B 与平面CC 1A 1A 所组成的二面角. 7分 ∵CC 1⊥平面PMN ，∴上述的二面角为∠MNP . 8分 在△PMN 中，PM 2=PN 2+MN 2－2PN ·MN cos MNP ⇒PM 2CC 12=PN 2CC 12+MN 2CC 12－2(PN ·CC 1)·（MN ·CC 1）cos MNP . 10分由于S 11B BCC =PN ·CC 1·S 11A ACC =MN ·CC 1·S 11A ABB =PM ·BB 1， ∴有S 11A ABB 2=S 11B BCC 2+S 11A ACC 2－2S 11B BCC ·S 11A ACC cos α.12分21.（本小题满分12分）在斜三棱柱A 1B 1C 1－ABC 中，底面是等腰三角形,AB =AC ，侧面BB 1C 1C ⊥底面AB C.C （1）若D 是BC 的中点，求证：（2）过侧面BB 1C 1C 的对角线BC 1的平面交侧棱于M ，若AM =MA 1，求证：截面MBC 1⊥侧面BB 1C 1C ；（3）AM =MA 1是截面MBC 1⊥平面BB 1C 1C 的充要条件吗？请叙述判断理由. （1）证明：∵AB =AC ,D 是BC 的中点，∴AD ⊥B C. 1分 ∵底面ABC ⊥平面BB 1C 1C ， ∴AD ⊥侧面BB 1C 1C. 2分 ∴AD ⊥CC 1. 3分 （2）证明：∵延长B 1A 1与BM 交于N ，连结C 1N . ∴AM =MA 1.∵NA 1=A 1B 1, 4分 ∵A 1B 1=A 1C 1,∴A 1C 1=A 1N =A 1B 1. ∴C 1N ⊥C 1B 1. 5分 ∵底面NB 1C 1⊥侧面BB 1C 1C ， ∴C 1N ⊥侧面BB 1C 1C. 6分 ∴截面C 1NB ⊥侧面BB 1C 1C. ∴截面MBC 1⊥侧面BB 1C 1C. 7分 （3）解：结论是肯定的，充分性已由（2）证明， 8分 下面证明必要性.过M 作ME ⊥BC 1于点E ，连结DE .∵截面MBC 1⊥侧面BB 1C 1C ， ∴ME ⊥侧面BB 1C 1C. 9分 又∵AD ⊥侧面BB 1C 1C ，∵ME ∥AD ，∴M 、E 、D 、A 四点共面. 10分 ∵AM ∥侧面BB 1C 1C ，∴AM ∥DE . ∴四边形AMED 是平行四边形.11分∵CC 1∥AM ，∴DE ∥CC 1.∵D 是BC 的中点，∴E 是BC 1的中点. ∴AM =DE =21CC 1=21AA 1. ∴AM =MA 1. 12分22.（本小题满分14分）如图，已知三棱柱ABC －A 1B 1C 1的各棱长均为2，侧棱B 1B 与底面ABC 所成角为3,且侧面ABB 1A 1垂直于底面ABC ，1（1）求证：A B ⊥CB 1； （2）求三棱锥B 1－ABC 的体积； （3）求二面角C －AB 1－B 的大小.1 （1）证明：在平面ABB 1A 1∵侧面ABB 1A 1⊥平面ABC ， ∴B 1D ⊥平面AB C. 2分 ∴∠B 1BA 是B 1B 与底面ABC 所成的角， 即∠B 1BA =60°.3分又三棱柱的各棱长均为2， ∴△ABB 1是正三角形. ∴D 是AB 的中点.连结CD ，在正△ABC 中，CD ⊥AB ， ∴AB ⊥CB 1.5分（2）解：∵B 1D ⊥平面ABC ，∴B 1D 是三棱锥B 1－ABC 的高.由B 1B =2，∠B 1BA =60°,得B 1D =2sin60°=3, 7分 ∴V ABC B 1=31S △ABC ·B 1D =31（21×23×2×2）3=1.9分 （3）解：∵△ABC 为正三角形，CD ⊥AB ，CD ⊥B 1D ， ∴CD ⊥平面ABB 1. 10分 在平面ABB 1中，作DE ⊥AB 1于点E ，连结CE ，则CE ⊥AB 1， 即∠CED 为二面角C －AB 1－B 的平面角. 12分 在Rt △CED 中，CD =2sin60°=3.连结BA 1交AB 1于O ，则BO =3. ∴DE =21BO =23.∴tan CED =DE CD=2.∴所求二面角C －AB 1－B 的大小为arctan2. 14分。

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