七年级数学上册期末复习知识点

有理数的概念

一、本节学习指导

本节知识点比较多，同学们要认真学习并加以总结，用自己的语言来理解部分知识是有助于我们记忆的。对于本节的知识如果一时记不住也不要急，毕竟我们才刚刚进入初级数学的学习。

二、知识要点

1、正数和负数

（1）、大于0的数叫做正数。

（2）、在正数前面加上负号“-”的数叫做负数。

（3）、数0既不是正数，也不是负数，0是正数与负数的分界。

（4）、在同一个问题中，分别用正数与负数表示的量具有相反的意义。

2、有理数

(1)凡能写成分数形式的数，都是有理数，整数和分数统称有理数.

注意：0即不是正数，也不是负数；-a 不一定是负数，如：-（-2）=4，这个时候的a=-2。 π不是有理数；

(2)有理数的分类:①⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧负分数负整数负有理数零正分数正整数正有理数有理数②⎪⎪⎪⎩

⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧负分数正分数分数负整数零正整数整数有理数 (3)自然数⇔0和正整数； a ＞0 ⇔a 是正数；

a ＜0 ⇔a 是负数；a ≥0⇔a 是正数或 0⇔是非负数；

a ≤0⇔a 是负数或0⇔a 是非正数.

3、数轴【重点】

（1）、用一条直线上的点表示数，这条直线叫做数轴。它满足以下要求：

① 在直线上任取一个点表示数0，这个点叫做原点；

② 通常规定直线上从原点向右（或上）为正方向，从原点向左（或下）为负方向；

③ 选取适当的长度为单位长度，直线上从原点向右，每隔一个单位长度取一个点，依次表示 1,2,3…；从原点向左，用类似的方法依次表示-1,-2，-3…

（2）、数轴的三要素：原点、正方向、单位长度。

（3）、画数轴的步骤：一画（画一条直线并选取原点）；二取（取正反向）；三选（选取单位长度）；四标（标数字）。数轴的规范画法：是条直线，数字在下，字母在上。 注意：所有的有理数都可以用数字上的点表示，但是数轴上的所有点并不都表示有理数。

（4）、一般地，设a 是一个正数，则数轴上表示数a 的点在原点的右边，与原点的距离是a 个单位长度；表示数-a 的点在原点的左边，与原点的距离是a 个单位长度。

4、相反数

（1）、只有符号不同的两个数叫做互为相反数。

① 注意：a 的相反数是-a ；a-b 的相反数是b-a ；a+b 的相反数是-(a+b)=-a-b ；

② 非零数的相反数的商为-1；

③ 相反数的绝对值相等。

（2）、一般地，设a 是一个正数，数轴上与原点的距离是a 的点有两个，他们分别在原点的两侧，表示a 和-a ，我们说这两点关于原点对称。

（3）、a 和-a 互为相反数。0的相反数是0，正数的相反数是负数，负数的相反数是正数。相反数是它本身的数只有0。

（4）、在任意一个数前面添上“-”号，新的数就表示原数的相反数。

（5）、若两个数a 、b 互为相反数，就可以得到a+b=0；反过来若a+b=0，则a 、b 互为相反数。

（6）、多重符号的相乘由“-”的个数来定：若“-”的个数为偶数，相乘结果为正数；若“-“的个数为奇数，化简结果为负数。比如：-2×4×（-3）×（-1）×（-5），首先由4个负号，所以最终结果是正数，再算数字相乘得到120

5、绝对值

（1）、绝对值的定义：一个数a 的绝对值就是数轴上表示数a 的点与原点的距离。数a 的绝对值记作|a|。

（2）、正数的绝对值等于它本身；0的绝对值是0（或者说0的绝对值是它本身，或者说0的绝对值是它的相反数）；负数的绝对值等于它的相反数；（注意：绝对值的意义是数轴上表示某数的点离开原点的距离；）。0是绝对值最小的数。

（3）、绝对值可表示为：⎪⎩

⎪⎨⎧<-=>=)0()0(0)0(a a a a a a 或⎩⎨⎧≤-≥=)0()0(a a a a a ； （4）、01>⇔=a a a ；01<⇔-=a a a ；

（5）、任何数的绝对值总是非负数（非负数是正数或0），即|a|≥0。

（6）、互为相反数的两个数的绝对值相等。绝对值相等的两个数可能是互为相反数或者相等。

（7）、有理数比大小：

① 正数比0大，0大于负数，正数大于负数；

② 两个负数比较，绝对值大的反而小；

③ 数轴上的两个数，右边的数总比左边的数大；

（8）、比较两个负数的大小的步骤如下：

① 先求出两个数负数的绝对值；

② 比较两个绝对值的大小；

③ 根据“两个负数，绝对值大的反而小”做出正确的判断。

三、经验之谈：

本节我们要理解很多的名词概念，希望同学们多读几遍。其次我们还要重点理解正数和

负数的关系，以及对绝对值几何意义，还有数轴的画法。总之本节我们要认真学习。

有理数的运算

一、本节学习指导

有理数的运算和我们小学学习的四则运算很相似，运算规律都一样，不同的是有负数参与，所以相对要复杂一些，本节要多加练习。本节有配套学习视频。

二、知识要点

1、有理数的加法

（1）、有理数加法法则：

①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；

②异号两数相加，取绝对值较大加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；

③一个数与0相加，仍得这个数.

（2）、加法计算步骤：先定符号，再算绝对值。

（3）、有理数加法的运算律：

①加法的交换律：a+b=b+a；

②加法的结合律：（a+b）+c=a+（b+c）.

（4）、为了计算简便，往往会采取以下方法：

①互为相反的两个数，可以先相加；

②符号相同的数，可以先相加；

③分母相同的数，可以先相加；

④几个数相加能得到整数，可以先相加。

2、有理数的减法

（1）、有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数；即a-b=a+（-b）.（有理数减法运算时注意两“变”：①减法变加法；②把减数变为它的相反数.）

注：有理数的减法实质就是把减法变加法。

3、有理数的乘法

（1）、有理数乘法法则：

①两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；

②任何数同零相乘都得零；

（2）、一个数同1相乘，结果是原数；一个数同-1相乘，结果是原数的相反数。

（3）、乘积为1的两个数互为倒数；

注意：0没有倒数；若ab=1<====>a、b互为倒数。

（4）、几个不是偶的数相乘，积的符号由负因式的个数决定。负因数的个数是偶数时，积是正数；负因数的个数是奇数是，积是负数。

（5）、有理数乘法的运算律：

①乘法的交换律：ab=ba；

②乘法的结合律：（ab）c=a（bc）；

③乘法的分配律：a（b+c）=ab+ac.

4、有理数的除法

（1）、有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数。

（2）、有理数除法符号法则：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。0除以任何一个不等于0的数，都得0。