28.2.3切线长定理(2)
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回顾反思 1.切线长定理
· O ·
B
A
·
P
从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相 等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。
回顾反思 2.三角形的内切圆、内心、内心的性质
A
D
O B
ห้องสมุดไป่ตู้
E
F
C
三角形的内切圆的有关计算 如图，△ABC的内切圆的半径为r, △ABC的周长为l, 求△ABC的面积S. A
G E
F H
4、以正方形ABCD的一边BC为直径的半圆上有 一个动点K，过点K作半圆的切线EF，EF分别 交AB、CD于点E、F，试问：四边形AEFD的周 长是否会因K点的变动而变化？为什么？
A E
D
K F
B
C
5.小红家的锅盖坏了,为了配一个锅盖,需要测量锅盖的 直径(锅边所形成的圆的直径),而小红家只有一把长20cm 的直尺,根本不够长,怎么办呢?小红想了想,采取以下方 法:首先把锅平放到墙根,锅边刚好靠到两墙,用直尺紧贴 墙面量得MA的长,即可求出锅盖的直径,请你利用图乙,说 明她这样做的道理.
P
5、如图，AB是⊙O的直径， AD、DC、BC是切线，点A、E、B 为切点，若BC=9，AD=4，求OE的长.
C E D A · O D F B A · O
E
C
B
6、如图，在梯形ABCD中，AD//BC， AB⊥BC，以AB为直径的⊙O与DC相切于 E．已知AB=8，边BC比AD大6， 求边AD、BC的长。
A 16cm C 12cm A B D D C E B P 14cm 8cm
练一练
1、已知：两个同心圆PA、PB是大圆的两条切线， PC、PD是小圆的两条切线，A、B、C、D为切点。 求证：AC=BD
A P B
C O· D
2、如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切 点，∠OAB＝30°． （1）求∠APB的度数； （2）当OA＝3时，求AP的长． A
如图，Rt△ABC中，∠C＝90°,BC＝a,AC＝b, AB＝c,⊙O为Rt△ABC的内切圆. 求：Rt△ABC的内切圆的半径 r. 解：设Rt△ABC的内切圆与三边相切于D、E、F， 连结OD、OE、OF则OA⊥AC，OE⊥BC，OF⊥AB。 A ∵ ⊙O与Rt△ABC的三边都相切 ∴AD＝AF,BE＝BF,CE＝CD 设AD= x , BE= y ,CE＝ r 则有 x＋r＝b y＋r＝a x＋ y ＝ c
D O F
·
B
a＋ b－ c C 解得 r＝ 2 a＋ b－ c
2
E
设Rt△ABC的直角边为a、b，斜边为c，则Rt△ABC的
内切圆的半径 r＝
或r＝ a＋b＋c
ab
1.边长为3、4、5的三角形的内切圆的半径为——
2. 边长为5、5、6的三角形的内切圆的半径为—— 3. 已知:△ABC的面积S=4cm,周长等于 10cm.求内切圆⊙O的半径r.
A D E O
B
C
基础题：
1.既有外接圆,又内切圆的平行四边形是正方形 ______. 2.直角三角形的外接圆半径为5cm,内切圆半径为1cm, 22cm 则此三角形的周长是_______. 3.⊙O是边长为2cm的正方形ABCD的内切圆,EF切⊙O 2cm 于P点，交AB、BC于E、F，则△BEF的周长是_____.
A
·O E C B
一、判断
练习
）
（1）过任意一点总可以作圆的两条切线（
（2）从圆外一点引圆的两条切线，它们的长相等。 二、填空 (1)如图PA、PB切圆于A、B两点， APB 50 连结PO，则 APO 25 度。 A O P
B
（3）如图，PA、PB、DE分别切⊙O于A、B、 C，DE分别交PA，PB于D、E，已知P到⊙O的 切线长为8CM，则Δ PDE的周长为（ A ）
（2）填空：AB+CD = AD+BC B L （>,<,=) 结论：圆的外切四边形的两组对边和相等。 比较圆的内接四边形的性质：
圆的内接四边形：角的关系
圆的外切四边形：边的关系
例3.如图所示PA、PB分别切圆 O于A、B，并与圆O的切线分别 相交于C、D，• 已知PA=7cm， D (1)求△PCD的周长． (2) 如果∠P=46°, P 求∠COD的度数
解：设△ABC的内切圆与三边相切于D、E、F， D
连结OA、OB、OC、OD、OE、OF， 则OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC.
∴S△ABC＝S△AOB＋S△BOC ＋S△AOC B
1 1 1 ＝ 2 AB· OD＋ 2 BC· OE＋ 2 AC· OF 1 ＝ 2 l· r
F O
·
C
E
设△ABC的三边为a、b、c，面积为S， 2S 则△ABC的内切圆的半径 r＝ a＋b＋c
同学们要好好学习
老师期盼你们快快进步！
例2、 已知四边形ABCD的边AB、BC、CD、 DA分别与⊙O相切于P、Q、M、N， 求证：AB+CD=AD+BC。 D M C
N
O A P Q
B
（1）找出图中所有相等的线段 N D C DN=DP，AP=AL，BL=BM，CN=CM P O M
A
已知：四边形ABCD的边 AB，BC，CD，DA和圆O 分别相切于L，M，N，P。探索圆外切四边形边 的关系。
O B P
随堂训练 3、如图，AC为⊙O的直径，PA、PB分别切 ⊙O于点A、B，OP交⊙O于点M，连结BC。 (1)若OA=3cm, ∠APB=60°，则PA=______. (2)观察OP与BC的位置关系，并给予证明。
A
O P
M B
C
4、试一试：已知：如图，P为⊙O外一点，PA， PB为⊙O的切线，A和B是切点，BC是直径。 ∠C＝50， ①求∠APB的度数 ②求证：AC∥OP。 A C O B
· O ·
B
A
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从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相 等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。
回顾反思 2.三角形的内切圆、内心、内心的性质
A
D
O B
ห้องสมุดไป่ตู้
E
F
C
三角形的内切圆的有关计算 如图，△ABC的内切圆的半径为r, △ABC的周长为l, 求△ABC的面积S. A
G E
F H
4、以正方形ABCD的一边BC为直径的半圆上有 一个动点K，过点K作半圆的切线EF，EF分别 交AB、CD于点E、F，试问：四边形AEFD的周 长是否会因K点的变动而变化？为什么？
A E
D
K F
B
C
5.小红家的锅盖坏了,为了配一个锅盖,需要测量锅盖的 直径(锅边所形成的圆的直径),而小红家只有一把长20cm 的直尺,根本不够长,怎么办呢?小红想了想,采取以下方 法:首先把锅平放到墙根,锅边刚好靠到两墙,用直尺紧贴 墙面量得MA的长,即可求出锅盖的直径,请你利用图乙,说 明她这样做的道理.
P
5、如图，AB是⊙O的直径， AD、DC、BC是切线，点A、E、B 为切点，若BC=9，AD=4，求OE的长.
C E D A · O D F B A · O
E
C
B
6、如图，在梯形ABCD中，AD//BC， AB⊥BC，以AB为直径的⊙O与DC相切于 E．已知AB=8，边BC比AD大6， 求边AD、BC的长。
A 16cm C 12cm A B D D C E B P 14cm 8cm
练一练
1、已知：两个同心圆PA、PB是大圆的两条切线， PC、PD是小圆的两条切线，A、B、C、D为切点。 求证：AC=BD
A P B
C O· D
2、如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切 点，∠OAB＝30°． （1）求∠APB的度数； （2）当OA＝3时，求AP的长． A
如图，Rt△ABC中，∠C＝90°,BC＝a,AC＝b, AB＝c,⊙O为Rt△ABC的内切圆. 求：Rt△ABC的内切圆的半径 r. 解：设Rt△ABC的内切圆与三边相切于D、E、F， 连结OD、OE、OF则OA⊥AC，OE⊥BC，OF⊥AB。 A ∵ ⊙O与Rt△ABC的三边都相切 ∴AD＝AF,BE＝BF,CE＝CD 设AD= x , BE= y ,CE＝ r 则有 x＋r＝b y＋r＝a x＋ y ＝ c
D O F
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B
a＋ b－ c C 解得 r＝ 2 a＋ b－ c
2
E
设Rt△ABC的直角边为a、b，斜边为c，则Rt△ABC的
内切圆的半径 r＝
或r＝ a＋b＋c
ab
1.边长为3、4、5的三角形的内切圆的半径为——
2. 边长为5、5、6的三角形的内切圆的半径为—— 3. 已知:△ABC的面积S=4cm,周长等于 10cm.求内切圆⊙O的半径r.
A D E O
B
C
基础题：
1.既有外接圆,又内切圆的平行四边形是正方形 ______. 2.直角三角形的外接圆半径为5cm,内切圆半径为1cm, 22cm 则此三角形的周长是_______. 3.⊙O是边长为2cm的正方形ABCD的内切圆,EF切⊙O 2cm 于P点，交AB、BC于E、F，则△BEF的周长是_____.
A
·O E C B
一、判断
练习
）
（1）过任意一点总可以作圆的两条切线（
（2）从圆外一点引圆的两条切线，它们的长相等。 二、填空 (1)如图PA、PB切圆于A、B两点， APB 50 连结PO，则 APO 25 度。 A O P
B
（3）如图，PA、PB、DE分别切⊙O于A、B、 C，DE分别交PA，PB于D、E，已知P到⊙O的 切线长为8CM，则Δ PDE的周长为（ A ）
（2）填空：AB+CD = AD+BC B L （>,<,=) 结论：圆的外切四边形的两组对边和相等。 比较圆的内接四边形的性质：
圆的内接四边形：角的关系
圆的外切四边形：边的关系
例3.如图所示PA、PB分别切圆 O于A、B，并与圆O的切线分别 相交于C、D，• 已知PA=7cm， D (1)求△PCD的周长． (2) 如果∠P=46°, P 求∠COD的度数
解：设△ABC的内切圆与三边相切于D、E、F， D
连结OA、OB、OC、OD、OE、OF， 则OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC.
∴S△ABC＝S△AOB＋S△BOC ＋S△AOC B
1 1 1 ＝ 2 AB· OD＋ 2 BC· OE＋ 2 AC· OF 1 ＝ 2 l· r
F O
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设△ABC的三边为a、b、c，面积为S， 2S 则△ABC的内切圆的半径 r＝ a＋b＋c
同学们要好好学习
老师期盼你们快快进步！
例2、 已知四边形ABCD的边AB、BC、CD、 DA分别与⊙O相切于P、Q、M、N， 求证：AB+CD=AD+BC。 D M C
N
O A P Q
B
（1）找出图中所有相等的线段 N D C DN=DP，AP=AL，BL=BM，CN=CM P O M
A
已知：四边形ABCD的边 AB，BC，CD，DA和圆O 分别相切于L，M，N，P。探索圆外切四边形边 的关系。
O B P
随堂训练 3、如图，AC为⊙O的直径，PA、PB分别切 ⊙O于点A、B，OP交⊙O于点M，连结BC。 (1)若OA=3cm, ∠APB=60°，则PA=______. (2)观察OP与BC的位置关系，并给予证明。
A
O P
M B
C
4、试一试：已知：如图，P为⊙O外一点，PA， PB为⊙O的切线，A和B是切点，BC是直径。 ∠C＝50， ①求∠APB的度数 ②求证：AC∥OP。 A C O B