第五章课题分式方程 2017-2018学年八年级数学下册北师大版名师导学案

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北师大版八年级数学下册第五章分式与分式方程 5.2 分式的乘除法教案

数学八年级下北师大版第五章第二节《分式的乘除法》教学设计一、内容分析1. 教材的地位及作用本节课为北师大版数学教材八年级下册第五章《分式与分式方程》第二节《分式的乘除法》的内容，本节课是学生初中阶段代数部分学习的一个重要内容.在知识的联系上，本节是在学习了分式基本性质、分式的约分和因式分解的基础上，进一步学习分式的乘除法；另一方面，又为学习分式加减法和分式方程等知识奠定了基础.在能力的培养上，学生的运算能力和逻辑思维能力得到了发展和提高.在数学思想方法上，本节课是培养学生类比的一个好素材，同时培养了学生的探索精神和用数学的意识.2. 学情分析（1）从心理学的分析来说，初二学生处于逻辑抽象的起点，思维发展的转折点，表现从经验型思维向理论型思维转化的特点.他们身心发展较快，对事物发展的好奇心强，有一定的求知欲，需要我们不断引导.（2）经过七年级的学习，学生已经具备了一定的知识储备知识技能和良好的数学学习习惯，并且学生已经学习分式基本性质、分式的约分和因式分解，通过与分数的乘除法类比，促进知识的正迁移.（3）八年级的学生接受能力、思维能力、自我控制能力都有很大变化和提高，自学能力较强，通过类比学习加快知识的学习.3. 教学目标（1）知识技能：理解分式的乘除运算法则；会进行简单的分式的乘除法运算.（2）数学思考：经历探索分式的乘除法法则的过程，让学生熟悉“数、式通性”“类比、转化”的数学思想方法，感知数学知识具有普遍的联系性.（3）问题解决：会用分式乘除法法则进行分式乘除法运算，并能解决简单的实际问题，增强应用意识，提高实践能力.（4）情感态度：通过师生观察、猜想、讨论、交流、归纳，培养学生合作探究的意识和能力，同时增强学生的创新意识和应用意识，使学生体验在数学学习活动中探索与创造的乐趣，了解数学的价值，同时化简分式的最简结果也让学生感受到数学的简洁美.4.教学重点难点重点：分式乘除法的法则及应用.难点：分子分母是多项式的分式的乘除法运算.二、教法学法1. 教法分析教育的本质在于引导的艺术，为了充分调动学生学习的积极性，培养学生的运算能力，使本节课教学丰富有效，本课的教法为：在教师的引导下学生经历“类比分数――观察猜想――归纳明晰――理解应用”的活动过程，体会知识的形成和应用，感受学习过程中数学方法的渗透.采用ppt辅助课堂教学，直观呈现教学素材，激发学生的学习兴趣，提高学习效率，体验在数学学习活动中探索的乐趣，体会数学的应用价值.2. 学法指导学习过程中，充分引导学生积极思维，让每个学生都动口、动手、动脑，让学生在自主探索、合作交流中加深理解分式的乘除运算，充分发挥学生学习的主动性.三、教学过程环节过程设计学生活动教师活动设计意图情境引入请你来帮忙！同学们，请你们来帮助老师算一算老师在火星上的体重是变重了还是变轻了？学生积极运算并回答.教师根据学生的回答板书算式：162738239183291=⨯⨯=⨯该问题的提出，立刻给课堂注入活力，极大的激发了学生的学习兴趣，同时引出分数的乘除法，为后面类比得到分式的乘除法做好准备，同时数学的应用价值也得以体现.探究新知1.复习分数的乘法法则162738239183291=⨯⨯=⨯叙述法则并填空：两个分数相乘, 把分子相乘的积作为积的分子,把分母相乘的积作为积的分母;2.复习分数的除法法则学生独立运算，回忆并能够语言描述分数的乘除法法则.通过引例得到分数乘法算式，启发引导学生依据算理回顾分数乘法法则.以同样思路复习回顾分数的除法法则.分数的除法运算关键在与将除法运算转化3364823913829183291=⨯⨯=⋅=÷ 叙述法则：两个分数相除, 把除式的分子分母颠倒位置后,再与被除式相乘. 3. 类比得分式的乘法法则归纳分式的乘法法则：两个分式相乘, 把分子相乘的积作为积的分子,把分母相乘的积作为积的分母; 4. 类比得分式的除法法则归纳分式的乘法法则：两个分式相除, 把除式的分子分母颠倒位置后再与被除式相乘. 5.分式乘法拓展-分式乘方：n na ba b 与n⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛有什么关系？分析：教师引导提问，提示学生类比分数的乘除法运算法则.学生全面参与，独立思考，广泛交流，自主归纳出法则.学生思考并解答，教师为乘法运算，体现转化思想.类比分数的乘除法法则得到分式的乘除法则，由学生自己尝试探索猜想、归纳总结，把课堂还给学生，激发学生自主学习的积极性.探索的过程体现了从特殊到一般的思想方法，符合学生的认知规律，易于学生理解、接受，同时培养学生观察分析、猜想、归纳的能力，及有条理的思维和表达的能力.该问题是分式乘法的延伸，即分式的乘方.学生应理解其推导过程，明确算理，同时也是对乘法法则的深入理解.a b a b a b a b a b ⋅⋅⋅⋅⋅=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n（乘方的意义） a a a a bb b b ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=（分式乘法法则）nn a b =（乘方的意义）强调：1. 分式乘除法运算的根据是分式乘除法法则，实质是分式约分，而分式约分的根据是分式的基本性质；2. 当分式的分子分母中有多项式时，先分解因式，再进行乘除运算；3. 分式乘除的最后结果要化成最简分式或整式. 点拨思路.应用新知典例分析例1 计算：223a 2y 4y 3a ）1（⋅ x 6y(2)3xy 22÷ 例2 计算： a 2a 12-a 2a (1)2+⋅+ 4a 1a 44a -a 1-a (2)222--÷+ 教师点拨： 1.分式乘除法运算的根据是分式乘除法法则，实质是分式约分，而分式约分的根据是分式的基本性质.2.当分式的分子分母中有多项式时，先分解因式，再进行乘除运算.3.分式乘除的最后结果要化成最简分式或整式.明确算理，准确运算，结果最简教师示范例1第（1）题，一位学生板演第（2）题，教师巡视并及时评价. 学生完成后教师点评. 教师示范例2第（1）题，一位学生板演第（2）题，教师巡视批改，学生完成后，全班讲评，明确步骤算理.例1设计的这两道题都是分子分母为单项式的分式乘除法运算，解题过程中，使学生会根据法则，体会并理解每一步的算理，从而进行简单的分式的乘除法运算，达到突破重点的目的.例2设计的这两道题是分子、分母为多单项式的分式乘除法则的运用，通过学生板演，和学生一起详细分析，提醒学生关注易错易漏的环节，学会解题的方法，从而使难点迎刃而解. 两个例题是将课本例题做重新整合编排，学习内容由简至难，符合学生的认知规律，根据学情合理使用教材，使例题具有针对性和有效性.反馈练习A组2abba）1（⋅1-aa）a-a（(2)2÷22yx-1y1(3)÷-xxx3x4x96x-x2x(4)2222--÷++B组购买西瓜时，人们总希望西瓜瓤占整个西瓜的比例越大越好. 假如我们把西瓜都看成球形,并且西瓜瓤的分布是均匀的, 西瓜的皮厚都是d .已知球体的体积公式为334RVπ=（其中R为球的半径），那么(1) 西瓜瓤与西瓜的体积各是多少?(2) 西瓜瓤与西瓜的体积的比是多少?(3) 买大西瓜合算还是买小西瓜合算?四位学生板演，其他学生在练习本上独立完成.做完后教师讲评，同桌交换批改，举手看正答情况.教师巡视，了解学生的作答情况，及时评价.学生先猜测结果，认真审题后，结合问题完成讨论.第3小题若课堂时间不够，可留作课下思考题，下节课再讨论.A组四道题目紧扣课本，是对例题中的各个类型题目的巩固练习，第三小题改编自课本习题，遇到分式的分子或分母符号为负数时，可将负号提出后放在分式的前面，便于计算，这也是学生的易错点，则要通过练习加以巩固.四位学生板演既是对这几个学生知识掌握情况的了解，也是以此估计全班学习情况的手段，了解学生知识技能的掌握情况，检查教学目标完成效果.B组通过实例进一步丰富分式乘除运算的实际背景，增强学生的代数推理能力与应用意识.一开始设问“买大西瓜划算还是买小西瓜划算”，引起学生质疑和兴趣，引出计算体积，再与学生共同讨论分析后，根据三个问题的设问层层递进，降低问题的难度，得以顺利解决.此题一方面巩固了分式乘除法法则，应用了nnabab=⎪⎪⎭⎫⎝⎛n的关系进行讨论，培养了学生的钻研精神和发散思维，提高了学生的运算能力，培养了学生的应用意识，体现了数学的价值.小结提升将本节课知识梳理如下：学生回答相互补充，交流，归纳.课堂小结是对整节课的完整概括，框图形成了完整的知识结构，清晰明了.布置作业1.习题 5.3：第1、2、3、4题；2.预习第三节内容.3.你还有什么问题吗？若有，课下可与同学交流.学生课后认真完成.作业的布置巩固了学生对知识的扎实掌握，训练了学生利用有关概念性质解决问题的能力；预习旨在培养了学生良好的学习习惯.提问是有意识的培养学生发现问题、提出问题的能力和创新意识.课后寄语祝同学们今天一路奋斗、一路付出、一路坚持；明天一份欢欣、一份成长、一份收获！给学生美好祝愿！四、板书设计5.2 分式的乘除法分式乘除法法则：例1：（1）例2：（1）bcad c d b a =⨯bcad c d b a b a =⨯=÷d c （2）（2）。

2017年八下数学第5章分式与分式方程名师教案(北师大版)

2017年八下数学第5章分式与分式方程名师教案（北师大版）第五分式与分式方程1经历用分式、分式方程表示现实情境中数量关系的过程,了解分式、最简分式、分式方程的概念,体会分式、分式方程的模型思想,进一步发展符号意识2熟练掌握分式的基本性质,会进行分式的约分、通分和加减乘除四则运算,会求分式的值,会解可化为一元一次方程的分式方程,会检验分式方程的解,发展运算能力1经历通过观察、归纳、类比、猜想,从而获得分式的基本性质、分式乘除法则、分式加减法则的过程,发展合情推理能力与代数式的恒等变形能力,积累类比的活动经验2能解决一些与分式、分式方程有关的实际问题,发展分析问题、解决问题的能力和应用意识培养学生的观察能力和类比意识,培养学生勇于质疑、严谨求实的科学态度本主要学习分式的概念、基本性质与运算,分式方程及其应用分式是代数式的重要组成部分分式的基本性质与运算法则是代数式恒等变形的重要依据,是有关比例的学习基础分式与分数、因式分解、一元一次方程、反比例函数等联系密切,在中学数学、物理、化学等学科和生产实践中有着广泛的应用根据《标准》的要求,本教科书特别关注了下列几个方面:(1)分式、分式方程是描述现实世界数量关系的模型在学习分式、分式方程的概念时,教科书通过用字母表示现实情境中的数量关系,丰富了分式、分式方程的实际背景,以帮助学生领会分式、分式方程的模型作用,体会分式、分式方程与现实生活的密切联系(2)在学习分式的基本性质及其运算法则时,十分注重观察、归纳、类比、猜想等思维方法的应用(3)分式运算的教学重点是运算法则建立的过程和对算理的理解在分式运算的设计中,教科书适当降低了分式纯运算的难度,只对较简单的分式进行化简、求值与运算具体地,教科书设计了4节内容:第1节“认识分式”通过土地沙化、上海世博会等实例中存在的数量关系引入分式的概念,体会分式的模型作用;通过类比分数的基本性质,理解分式的基本性质第2节“分式的乘除法”通过类比分数乘除法的法则,获得分式乘除法的法则,并会用法则进行分式运算第3节“分式的加减法”通过类比分数加减法的法则,获得分式加减法的法则,并会用法则进行分式运算第4节“分式方程”通过列出刻画行程、捐款等实例的方程,分析所列出方程的共同特征,理解分式方程的概念,进而学习怎样解分式方程,并会用分式方程解决简单的实际问题【重点】1分式的概念,正确理解分式的基本性质2运用分式乘除法的法则进行简单的分式乘除运算3会进行简单的分式加减运算4能将实际问题中的等量关系用分式方程表示出;会解可化为一元一次方程的分式方程,会检验根的合理性【难点】1理解和掌握分式有意义的条;推导分式的基本性质;运用分式的基本性质将分式进行变形2分式乘除法法则的推导3确定公分母,分式方程的正确变形,检验根的合理性4列分式方程解应用题1让学生经历用字母表示实际问题中数量关系的过程,进一步发展符号感让学生经历用字母表示实际问题中数量关系的过程是发展学生符号感的重要环节,与以前用字母表示数量关系相比,本表示量与量之间关系的代数式可以是分式教学时应鼓励学生独立思考、自主探索问题情境中的数量关系,并运用符号进行表示在此基础上可根据教学的实际情况组织学生对一些难点问题展开讨论、交流2让学生通过观察、类比、猜想、尝试等活动学习分式的运算法则,发展学生的合情推理能力教科书为学生探索分式运算的法则提供了丰富的素材,教学时应将重点放在对法则的探索过程上,使学生充分活动起,在观察、类比、猜想、尝试等一系列思维活动中,发现法则、理解法则、应用法则同时,还要关注学生对算理的理解,以培养学生的代数表达能力、运算能力和有条理思考问题的能力3解分式方程的关键是把分式方程转化为整式方程在引导学生探索分式方程的解法时,要注意体现这种“转化”的思想另外,对分式方程的解法,只要求掌握可化为一元一次方程的分式方程,教学过程中要注意把握这一要求4列分式方程解决应用问题比列一元一次方程(组)要稍复杂一些教学时要引导学生抓住寻找等量关系、恰当设未知数、确定主要等量关系、用含未知数的分式或整式表示等量关系等关键环节对于常用的数量关系,虽然学生以前大都接触过,但在本的教学中仍要注意复习、总结,引导学生举一反三,进一步提高分析问题与解决问题的能力此外,教学时要有意识地进一步提高学生的阅读理解能力,鼓励学生从多角度思考问题,注意检验、理解所获得结果的合理性1认识分式2时2分式的乘除法1时3分式的加减法3时4分式方程3时回顾与思考1时1认识分式1了解分式的概念,明确分式和整式的区别,会用分式表示生活情境中的数量关系2掌握分式是否有意义、分式的值是否为零的判断方法3在分数性质的基础上掌握分式的基本性质,并能利用分式的基本性质对分式进行变形让学生观察、分析分式的特点,提高学生分析问题、解决问题的能力培养学生类比的思维习惯,培养学生严谨认真的科学态度【重点】分式的概念与基本性质【难点】分式有意义和分式值为零的条及其应用第时1能用分式表示现实情境中的数量关系,体会分式的模型思想,进一步发展符号感2了解分式的概念,明确分式与整式的区别1经历用字母表示现实情境中数量关系的过程,了解分式的概念,体会分式的模型思想,进一步发展符号感2使学生经历分析、类比、归纳等活动,培养学生的自学能力,获得学习代数知识的常用方法1通过教材土地沙化问题的情境,体会保护人类生存环境的重要性2培养学生类比联想的思维习惯【重点】分式的概念【难点】理解和掌握分式有意义的条【教师准备】多媒体【学生准备】回忆小学学过的分数的有关知识及七年级学过的整式的有关知识导入一:【问题】下列式子中哪些是整式?哪些是单项式?哪些是多项式? a,-3x23,x-1,x2+x+2,解:a,-3x23,x-1,x2+x+2,是整式;a,-3x23,是单项式;x-1,x2+x+2是多项式[设计意图]因为分式概念的学习是学生通过观察、比较分式与整式的区别而获得的,所以必须熟练掌握整式的概念导入二:【问题】学生思考讨论,用式子表达题目中的数量关系:(1)面对日益严重的土地沙化问题,某县决定在一定期限内固沙造林2400公顷,实际每月固沙造林的面积比原计划多30公顷,结果提前完成原计划的任务如果设原计划每月固沙造林x公顷,那么原计划完成造林任务需要个月,实际完成造林任务用了个月(2)林书店库存一批图书,其中一种图书的原价是每册a元,现每册降价x元销售,当这种图书的库存全部售出时,其销售额为b元降价销售开始时,林书店这种图书的库存量是多少?【师生活动】让学生充分思考,最好让学生积极投身于问题情境中,根据学生的情况教师可以给予适当的提示和引导解:(1)(2)册[设计意图]让学生经历探索实际问题中数量关系的过程通过问题情境,让学生初步感受分式是解决问题的一种模型,体会分式的意义,发展符号感一、认识分式思路一(针对导入一)1分式初探[过渡语]同学们刚才看到的式子都是整式,我们可以发现它们有这样的特点:没有分母或者分母是数字,那么如同,等这样的式子和整式一样吗?这就是我们本节要研究的问题解决下列问题:(1)一箱苹果售价a元,箱子与苹果的总质量为g,箱子的质量为n g,则每千克苹果的售价是多少元?(2)一块土地分为两块棉田,第一块x公顷,收棉花千克,第二块公顷,收棉花n千克,这块土地平均每公顷的棉产量是多少?(3)林书店库存一批图书,其中一种图书的原价是每册a元,现每册降价x元销售,当这种图书的库存全部售出时,其销售额为b元降价销售开始时,林书店这种图书的库存量是多少?根据学生交流、讨论,可得出结果解:(1)(2) g(3)册2认识分式问题1刚才这些代数式有什么共同特征?它们与整式有什么不同?学生分组交流讨论,展示讨论结果,教师及时补充它们的共同特征:(1)它们是由分子、分母与分数线构成的;(2)分母中都含有字母它们与整式的不同点:它们的分母中都含有字母,而整式的分母中不含有字母,例如,,它们都含有分母,但分母中都不含有字母,所以它们是整式一般地,用A,B表示两个整式,A÷B可以表示成的形式如果B中含有字母,那么称为分式,其中A称为分式的分子,B称为分式的分母问题2分式中,字母可以取任意实数吗?学生领会分式的概念并思考得出:不可以因为分式中分母含有字母,而分母是除式,不能为零,因此字母的取值就受到制约,即字母的取值不能使分母为零,否则分式就会失去意义问题3在什么情况下分式的值为0?学生通过类比分数的性质得出:分式的分子为0的时候,分式的值为0 思路二(针对导入二)1分式初探[过渡语]刚才同学们得到的三个代数式与我们之前学过的代数式有什么不同呢?讨论目的:以小组的形式对前面出现的式子进行讨论,进而得出分式的概念,体会分式的意义讨论内容:(针对前面列出的三个代数式)这些代数式有什么共同特征?它们与整式有什么不同?老师提出思考问题:(1)整式中的分母有没有字母?(2)前面的三个代数式中,分母中有没有字母?(3)前面的三个代数式是不是分数呢?(4)前面的三个代数式中,字母能取任意值吗?()前面的三个代数式的值在什么情况下为零?问题预设:学生会比较容易发现这几个式子的分母中都含有字母,但容易与整式中有数字分母的情况混淆,把字母等同于数字看待,这就无法顺利总结出分式的概念2认识分式根据学生的观察、讨论,老师进行总结:这三个代数式的共同特征是分母中都含有字母,而整式中虽然也有分母,但分母中不含字母这样的代数式我们称为分式一般地,用A,B表示两个整式,A÷B可以表示为的形式,如果B中含有字母,那么称为分式其中A称为分式的分子,B称为分式的分母对于任意一个分式,分母都不能为零[设计意图]让学生通过观察、归纳总结出整式与分式的异同,从而得出分式的概念学生通过观察、类比及小组讨论,基本能得出分式的定义,对于分式的分母不能为0,有的小组考虑到了,有的没有考虑到,就这一点可以让学生类比分数的分母不能为0加以理解这样获得的知识,理解更加透彻,掌握更加牢固,运用起会更灵活[知识拓展]1当整式相除不能整除时,就出现了分式,所以分式实际上是一个商式,其分子是被除式,分母是除式2整式和分式统称为有理式,即有理式包括整式和分式3分式的概念包括3个方面:(1)分式是两个整式相除的商式,其中分子为被除式,分母为除式,分数线起除号的作用;(2)分式的分母中必须含有字母,而分子中可以含有字母,也可以不含字母,这是区别整式的重要依据;(3)在任何情况下,分式的分母的值都不可以为0,否则分式无意义这里,分母是指除式而言,而不是只就分母中某一个字母说的也就是说,分式的分母不为零是隐含在此分式中而无需注明的条二、例题讲解(教材例1)(1)当a=1,2,-1时,分别求分式的值;(2)当a取何值时,分式有意义?〔解析〕(1)分式的值是由字母的取值决定的,但要注意的是字母的取值一定不能让分母为0,即一定要让分式有意义(2)只有当分式的分母不为0时,分式才有意义解:(1)当a=1时,==2当a=2时,==1当a=-1时,==0(2)当分母的值为零时,分式没有意义,除此以外,分式都有意义由分母2a-1=0,得a=所以当a≠时,分式有意义[设计意图]让学生体会分式的意义,理解如果字母的取值使得分母的值为零,那么分式没有意义,反之则有意义通过例题讲解,让学生从两方面理解分式:一是分式中的字母可以表示使分式有意义的任何数;二是分式可与分数类比,分式的分母也不能为零学生基本能够计算出分式的值,但对于分式在什么条下有意义,一下子掌握还有一定的难度, 需要通过与分数进行类比,多举例才能理解得更深刻1分式的概念一般地,用A,B表示两个整式,A÷B可以表示成的形式,如果B中含有字母,那么称为分式其中A称为分式的分子,B称为分式的分母2分式有意义的条分式有意义的条是分母不为03分式的值为0的条是分子等于0,且分母不等于01(201•随州中考)若代数式+有意义,则实数x的取值范围是()Ax≠1Bx≥0x≠0Dx≥0且x≠1解析:若代数式+有意义,则有解得x≥0且x≠1故选D2若分式有意义,则x的取值范围是解析:依题意得3x+≠0,解得x≠-,因此x的取值范围是x≠-故填x≠-3若分式的值为0,则x的值是解析:在这个分式中,x2-1是分子,x+1是分母,因此,分式的值为0的条是x2-1=0且x+1≠0,所以x=1故填14对于分式,已知当x=-3时,分式的值为0;当x=2时,分式无意义试求,n 的值解:∵当x=-3时,分式的值为0,∴即又∵当x=2时,分式无意义,∴-2n+3×2=0,即-2n=-6解方程组得第1时一、认识分式1分式初探2认识分式二、例题讲解一、教材作业【必做题】教材第109页随堂练习的1,2题【选做题】教材第109页习题1的1,2,3题二、后作业【基础巩固】1下列各式是分式的是()AB+D2(201•金华中考)要使分式有意义,则x的取值应满足() Ax=-2Bx≠2x>-2Dx≠-23若分式的值为0,则()Ax=-2Bx=0x=1或-2Dx=14若分式有意义,则x的取值范围是()Ax≠3Bx=3x>3Dx<3【能力提升】使分式无意义的a的值为()A2B-2±2D36若分式的值为1,则x的值为()A1B-2±1D27一项工作,甲单独做x小时完成,乙单独做比甲多用6小时完成,那么乙单独做t小时(t<6)能完成这项工作的()ABD8下列各式中,可能取值为0的是()ABD9若的值为正数,则x的取值范围是()Ax<-2Bx<1x>-2且x≠1Dx>110要使分式的值为负,则x11当x时,分式有意义【拓展探究】12把体积为200 3的水倒入底面积为33 2的圆柱形容器中,水面高度为;把体积为V的水倒入底面积为S的圆柱形容器中,水面高度为13已知当x=1时,分式无意义;当x=4时,此分式的值为零,求a+b的值【答案与解析】1B(解析:由分式的定义可知,分母中含有字母的是分式,注意π为实数,不是字母故选B)2D(解析:分式有意义的条是分母不为0,则由题意得x+2≠0,则x≠-2故选D)3D(解析:分式值为0的条是分子为0且分母不为0,所以有解之即可故选D)4A(解析:分式有意义的条是分母不为0,即3-x≠0,解之即可故选A) (解析:分式无意义的条是分母为0,即-2=0,解之即可故选)6D(解析:分式值为1的条是分子等于分母,且分母不为0,即解之即可故选D)7(解析:乙单独做完这项工作需要(x+6)小时,则单独做t小时(t<6)能完成这项工作的故选)8B(解析:A中分子2+1>0;B中当=1时,分子为0,分母不为0,分式的值为0;中当=-1时,分子为0,分母为0,分式无意义;D中分子2+1>0故选B)9(解析:因为分式的分母x2-2x+1=(x-1)2≥0,所以若分式的值为正数,则有x+2>0且x-1≠0,即x>-2且x≠1故选)10>3(解析:要使分式的值为负,需使分母3-x<0,即x>3故填>3)11≠±1(解析:若分式有意义,则x2-1≠0,解之即可故填≠±1)1213解:因为当x=1时,分式无意义,所以1-a=0,解得a=1;因为当x=4时,此分式的值为零,所以4+2b=0,解得b=-2,所以a+b=1+(-2)=-1在学习分式的概念时,避免了传统教学中对于概念的直接给出,叫学生死记硬背,忽略学生学习的过程,也不考虑学生是否真正理解,本时是让学生通过观察、归纳出整式与分式的异同,从而总结出分式的概念,学生对这样获得的知识,理解得更透彻对学生学习效果的反馈不够及时,还不能够较全面地了解学生的学习情况,对不足之处未能及时补充在学习中,要注意观察学生的情感变化,是否遇到困难,学生的积极性、热情是否发挥出,投入的程度有多少,是否每个学生都参与其中等,作为教师应时刻关注这些,以便适时地引导他们,调动他们,鼓励他们随堂练习(教材第109页)1解:(1)当x取1以外的任何实数时,分式都有意义(2)当x取±3以外的任何实数时,分式都有意义2解:当x=0时,=-当x=-2时,=当x=时,=03提示: g习题1(教材第109页)1解:(2)(4)是整式,(1)(3)是分式2提示:(1)x=(2)x=-23解:当a=-1,b=时,==4提示:这箱橘子的零售价至少应定为元/g提示:(1)平均每公顷的棉产量是g(2)这种商品每的成本是元易错点考虑问题不全面导致错误已知分式的值为整数,求整数x的所有可能值错解:若分式的值为整数,则x-1的值可为1,2,3,6∴x=2,3,4,7错因分析:忽略了分式的值为负整数时x的值,造成漏解正解:若分式的值为整数,则x-1的值可为±6,±3,±2,±1,∴x=7,4,3,2,-,-2,-1,0第时1能正确理解和运用分式的基本性质2能解决一些与分式有关的简单的实际问题3会进行简单分式的乘除运算,具有一定的代数化归能力4增强学生的代数推理能力与应用意识通过与分数的基本性质相比较,归纳得出分式的基本性质,体验类比的思想方法通过运用分式的基本性质对分式进行变形,获得分式变形的基本方法,体验学习的乐趣【重点】理解分式的基本性质,会进行分式的化简【难点】灵活应用分式的基本性质将分式变形【教师准备】预设学生学习过程中容易出错的地方【学生准备】复习分数的基本性质导入一:【问题】有位老爷爷把一块地分给三个儿子老大分到了这块地的,老二分到了这块地的,老三分到了这块地的老大、老二觉得自己很吃亏,于是他们就争吵起刚好阿凡提路过,问清争吵的原因后,哈哈大笑了起,给他们讲了几句话后,三兄弟就停止了争吵你知道阿凡提给他们讲的是什么吗?这里涉及了分数的基本性质,那么分式也有这样的性质吗?[设计意图]创设故事情境导入新,激发了学生学习的好奇心,同时复习了分数的基本性质,为学习分式的基本性质做好铺垫导入二:上节我们类比整式和分数的概念学习了分式的概念,今天我们继续学习分式的相关知识,请看下面的问题:问题1如图(1)所示,面积为1的长方形平均分成了4份,则阴影部分的面积是多少?问题2如图(2)所示,面积为1的长方形平均分成了2份,则阴影部分的面积是多少?问题3这两块阴影部分的面积相等吗?这个问题同学们会很快说出答案,依据就是分数的基本性质,那么分式是否具有和分数一样的性质呢?[设计意图]提示学生运用类比的思想进行本时的学习,为学生提供本时学习方法方面的指导一、分式的基本性质[过渡语]下面我们看看分式是否具有与分数类似的性质思路一请看下面的问题(1)填空:==;==(2)你认为分式与相等吗?为什么?与呢?与同伴交流学生独立思考第(1)题,根据分数的基本性质,的分子分母同乘4,可得,的分子分母同时除以2,可得,小组讨论类比第(1)题解决第(2)题类比分数的基本性质,你能猜想出分式的基本性质吗?学生尝试归纳,相互补充,总结得出分式的基本性质分式的分子与分母都乘(或除以)同一个不等于零的整式,分式的值不变这一性质可以用式子表示为:=,=(≠0)思路二[过渡语]类比分数的基本性质,你能猜想出分式有什么性质吗?请看下面的问题:问题1如图(1)所示,面积为1的长方形,长为a,那么长方形的宽怎么表示呢?问题2如图(2)所示,两个图(1)中的长方形拼接在一起,它的宽怎么表示呢?问题3两图中长方形的宽相等吗?问题4通过怎样的变形可以由得到?通过怎样的变形可以由得到?变形的依据是什么?问题若n个这样的长方形拼接在一起,它的宽又该如何表示呢?学生分析得出答案为教师进一步追问:和,相等吗?通过怎样的变形可以使它们相等呢?问题6若(+1)个这样的长方形拼接在一起,宽又如何表示呢?追问:和,相等吗?通过怎样的变形可以使它们相等呢?问题7能类比分数的基本性质,归纳出分式的基本性质吗?学生根据上面的问题尝试归纳分式的基本性质,教师在学生回答的基础上补充完善总结:分式的分子与分母都乘(或除以)同一个不等于零的整式,分式的值不变这一性质可以用式子表示为:=,=(≠0)教师强调:a,b,均为整式,≠0引导学生分析分数的基本性质与分式的基本性质的区别:在分数的基本性质中,“数”是一个具体的、唯一的确定值,在分式的基本性质中,“整式”的值随整式中的字母的取值不同而变化[设计意图]一方面提高学生对分式的基本性质的认识,另一方面通过师生归纳,进一步加深对分式基本性质的理解二、例题讲解[过渡语]利用分式的基本性质只是改变分式的形式,不改变分式的值请看下面的例题(教材例2)下列等式的右边是怎样从左边得到的?(1)=(≠0);(2)=处理方式:引导学生观察等式的左边和右边各发生了什么变化,讨论解题思路〔解析〕(1)的分母2x乘才能化为2x,为保证分式的值不变,根据分式的基本性质,分子b 也要乘,才能得到(2)的分子ax除以x得到a,所以分母bx也需要除以x得到b在这里,由于已知,所以x≠0解:(1)因为≠0,所以==(2)因为x≠0,所以==(教材例3)化简下列分式:(1);(2)处理方式:引导学生观察分式的分子和分母是否有公因式,利用分式的基本性质,对分式进行化简〔解析〕(1)的分子和分母均有因式ab,所以根据分式的基本性质,可以同时除以ab,则分式可化为a(2)对于分式,先对分子和分母进行因式分解,x2-1=(x+1)(x-1),x2-2x+1=(x-1)2,发现分子分母有公因式x-1,由分式的基本性质可化简解:(1)==a(2)==总结:像上面的例3,把一个分式的分子和分母的公因式约去,这种变形称为分式的约分[知识拓展]1从已知的两个分子或分母的比较中,找到分式变形的依据,再运用分式的基本性质求未知,是解决这类题的方法2应用分式的基本性质对分式进行变形需要注意的问题:(1)分子、分母应同时做乘、除法中的同一种运算;(2)所乘或除以的必须是同一个整式;(3)所乘或除以的整式的值应该不等于零三、做一做化简下列分式:(1);(2)〔解析〕根据分式的基本性质进行化简解:(1) ==(2)==四、议一议在化简时,小颖和小明出现了分歧,小颖认为=,而小明认为==,你对他们两人的做法有何看法?与同伴交流解:在小明的化简结果中,分子和分母已没有公因式,这样的分式称为最简分式小明的做法正确[知识拓展]化简分式时,通常要使结果成为最简分式或整式约分是。

2017-2018学年北师大版八年级数学下册教案：5.4分式方程

（2）分式方程的应用：能够将实际问题抽象成分式方程，并运用所学的解法解决实际问题。
-重点举例：根据实际问题，如“甲、乙两人分别以不同的速度跑步，甲每分钟跑$x$米，乙每分钟跑$y$米，已知甲5分钟跑的路程等于乙6分钟跑的路程，求$x$和$y$的关系”，引导学生列出分式方程。
（3）分式方程的讨论：分析解的个数，理解增根与减根的概念，并能够应用到具体的分式方程中。
-难点举例：在解分式方程时，学生可能会忘记乘以分母的公倍数，或者在乘法过程中出现计算错误。
（2）分式方程实际应用题的建模：从实际问题中抽象出分式方程是学生的一大难点，需要教师通过实例分析和引导，帮助学生建立模型。
-难点举例：学生在面对应用题时，可能会混淆题目中的关系，不知如何下手建立方程。
（3）分式方程解的讨论：对于解的个数和增根减根的理解，学生可能会感到困惑，需要通过具体例子的分析，帮助学生理解其背后的数学原理。
3.应用题
-利用分式题的能力
4.分式方程的讨论
-分析分式方程解的个数
-探讨增根与减根的概念及其在分式方程中的应用
5.练习与巩固
-完成教材课后练习题，巩固所学知识
-通过变式题，提高对分式方程的理解和应用能力
二、核心素养目标
1.培养学生的逻辑推理能力：通过分式方程的学习，使学生能够理解方程的逻辑结构，掌握解题过程中的推理方法，提高解题效率。
2.提升学生的数学建模能力：引导学生运用分式方程解决实际问题，学会从实际问题中抽象出数学模型，培养学生数学建模的意识和能力。
3.强化学生的数学运算能力：在求解分式方程的过程中，培养学生准确、快速地进行数学运算，提高运算的准确性和速度。
4.增强学生的数据分析能力：通过分析分式方程的解的个数、讨论增根与减根等问题，使学生能够对数据进行分析，形成严谨的数据分析观念。

北师大版八年级数学下册第五章 5.4 分式方程第2课时分式方程的解法【名师教案+集体备课】

4 分式方程第2课时分式方程的解法【教学目标】【知识与技能】1.理解分式方程的概念;2.会通过设适当的未知数并根据等量关系列出分式方程；3.学生掌握解分式方程的基本方法和步骤.【过程与方法】通过列出的方程归纳出它们的共同特点，得出分式方程的概念.了解分式的概念，明确分式和整式的区别；经历和体会解分式方程的必要步骤；使学生进一步了解数学思想中的“转化”思想.【情感态度】在建立分式方程的数学模型的过程中培养能力和克服困难的勇气，并从中获得成就感，提高解决问题的能力.【教学重点】1、掌握分式方程的解法、解，分式方程要验根.2、在进一步理解分式方程意义的基础上，掌握分式方程的一般解法；【教学难点】1、掌握分式方程的解法、解，分式方程要验根.2、了解解分式方程可能会产生增根，掌握解分式方程一定要验根及验根方法．【教学过程】一、情境导入问题1：填空：(1)分母中不含未知数的方程叫做整式方程；(2)分母中含有未知数的方程叫做分式方程．问题2：判断下列说法是否正确： ①2x ＋32＝5是分式方程； ②34－4x ＝4x ＋3是分式方程； ③x 2x ＝1是分式方程； ④1x ＋1＝1y －1是分式方程．解：①不是分式方程，因为分母中不含有未知数．②是分式方程．因为分母中含有未知数．③是分式方程．因为分母中含有未知数．④是分式方程．因为分母中含有未知数．问题3：方程5x －2＝3x与以前学习的方程有什么不同？怎样解这样的方程？二、合作探究探究点一：分式方程的解法【类型一】解分式方程解方程：(1)5x ＝7x －2；(2)1x －2＝1－x 2－x－3. 解析：分式方程两边同乘以最简公分母，把分式方程转化为整式方程求解，注意验根．解：(1)方程两边同乘x (x －2)，得5(x －2)＝7x ，5x －10＝7x ，2x ＝－10，解得x ＝－5，检验：把x ＝－5代入最简公分母，得x (x －2)≠0，∴x ＝－5是原方程的解；(2)方程两边同乘最简公分母(x －2)，得1＝x －1－3(x －2)，解得x ＝2，检验：把x ＝2代入最简公分母，得x －2＝0，∴原方程无解．方法总结：解分式方程的步骤：①去分母；②解整式方程；③检验；④写出方程的解．注意检验有两种方法，一是代入原方程，二是代入去分母时乘的最简公分母，一般是代入公分母检验．【类型二】由分式方程的解确定字母的取值范围关于x的方程2x＋ax－1＝1的解是正数，则a的取值范围是____________．解析：去分母得2x＋a＝x－1，解得x＝－a－1，∵关于x的方程2x＋ax－1＝1的解是正数，∴x＞0且x≠1，∴－a－1＞0且－a－1≠1，解得a＜－1且a≠－2，∴a的取值范围是a＜－1且a≠－2.方法总结：求出方程的解(用未知字母表示)，然后根据解的正负性，列关于未知字母的不等式求解，特别注意分母不能为0.探究点二：分式方程的增根【类型一】求分式方程的增根若方程3x－2＝ax＋4x（x－2）有增根，则增根为( )A．0 B．2 C．0或2 D．1解析：∵最简公分母是x(x－2)，方程有增根，则x(x－2)＝0，∴x＝0或x＝2.去分母得3x＝a(x －2)＋4，当x＝0时，2a＝4，a＝2；当x＝2时，6＝4不成立，∴增根只能为x＝0，故选A.方法总结：增根是使分式方程的分母为0的根，所以判断增根只需让分式方程的最简公分母为0，注意应舍去不合题意的解．【类型二】分式方程有增根，求字母的值如果关于x的分式方程2x－3＝1－mx－3有增根，则m的值为( )A．－3 B．－2C．－1 D．3解析：方程两边同乘以x－3，得2＝x－3－m①.∵原方程有增根，∴x－3＝0，即x＝3.把x＝3代入①，得m＝－2.故选B.方法总结：增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．【类型三】分式方程无解，求字母的值若关于x的分式方程2x－2＋mxx2－4＝3x＋2无解，求m的值．解析：先把分式方程化为整式方程，再分两种情况讨论求解：一元一次方程无解与分式方程有增根．解：方程两边都乘以(x＋2)(x－2)，得2(x＋2)＋mx＝3(x－2)，即(m－1)x＝－10.①当m－1＝0时，此方程无解，此时m＝1；②方程有增根，则x＝2或x＝－2，当x＝2时，代入(m－1)x＝－10得(m－1)×2＝－10，m＝－4；当x＝－2时，代入(m－1)x＝－10得(m－1)×(－2)＝－10，解得m＝6，∴m的值是1，－4或6.方法总结：分式方程无解与分式方程有增根所表达的意义是不一样的．分式方程有增根仅仅针对使最简公分母为0的数，分式方程无解不但包括使最简公分母为0的数，而且还包括分式方程化为整式方程后，使整式方程无解的数．三、板书设计1．分式方程的解法方程两边同乘以最简公分母，化为整式方程求解，再检验．2．分式方程的增根(1)解分式方程为什么会产生增根；(2)分式方程检验的方法．四、教学反思这节课主要是通过对比有分数系数的整式方程的解法来学习分式方程的解法，从而归纳出分式方程的基本解题步骤．在教学过程中要着重讲解分式方程为什么要检验，要让学生理解增根的由来，从而牢记分式方程在解题后要进行检验，避免解题出错．在完成解题步骤归纳之后，通过例题与练习让学生在出错中找到正确的解法，让学生自己归纳理解解题时容易出错的地方，防止犯错.。

2017-2018学年北师大版八年级数学下册教案：第5章分式与分式方程课题分式的基本性质

（4）分式的等价变形及其应用：掌握分式的等价变形，应用于解决实际问题。
举例：将分式2x+1 / x-3通过等价变形，转化为2 / (x-3) + 5 / (x-3)。
2.教学难点
（1）约分与通分的运用：学生在进行约分和通分时容易出错，特别是涉及多个项的分子、分母。
举例：对分式(2x+1)/(x-3) * (x+3)/(2x-1)进行通分时，需要找到各个分母的最小公倍数。
五、教学反思
今天我们在课堂上学习了分式的基本性质，回顾整个教学过程，我觉得有几个地方值得思考和改进。
首先，关于导入新课的部分，我通过提问的方式引导学生思考日常生活中的分式应用，但感觉学生的反应并不如预期。可能是我提出的问题不够贴近他们的实际生活，或者问题本身不够有趣。在今后的教学中，我需要更加注意问题的设计，让它能更好地激发学生的兴趣。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了分式的定义、基本性质和它在实际中的应用。通过实践活动和小组讨论，我们加深了对分式的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
4.分式值的不变性质，即分式的分子、分母同乘（除）一个非零常数，分式的值不变；
5.分式的等价变形及其应用。
二、核心素养目标
本章节的核心素养目标旨在培养学生以下能力：
1.理解并掌握分式的定义与性质，提升学生的数学抽象思维；
2.能够运用分式的基本性质进行约分、通分、分式的乘除及加减运算，增强学生的逻辑推理能力；
2017-2018学年北师大版八年级数学下册教案：第5章分式与分式方程课题分式的基本性质

北师大版八年级数学下册第五章分式与分式方程 5.2 分式的乘除法教案

北师大版数学八年级下册5.4《分式方程的解法》(第2课时)说课稿

北师大版数学八年级下册5.4《分式方程的解法》（第2课时）说课稿一. 教材分析《分式方程的解法》是北师大版数学八年级下册第五章第四节的内容，本节内容是在学生已经掌握了分式方程的概念和性质的基础上进行讲授的。

分式方程是初中数学中的重要内容，也是学生学习高中数学的基础。

本节课主要让学生掌握分式方程的解法，培养学生解决实际问题的能力。

二. 学情分析八年级的学生已经掌握了分式方程的基本概念和性质，对分式方程有一定的认识。

但是，学生在解分式方程时，往往因为对运算法则掌握不熟练，导致解题过程中出现错误。

此外，学生在解决实际问题时，往往不知道如何将实际问题转化为分式方程，从而解决问题。

因此，在教学过程中，教师需要帮助学生巩固分式方程的基本概念和性质，引导学生掌握解分式方程的方法，并培养学生将实际问题转化为分式方程的能力。

三. 说教学目标1.知识与技能目标：使学生掌握分式方程的解法，能够熟练运用解法解分式方程。

2.过程与方法目标：通过自主学习、合作交流，培养学生解决实际问题的能力。

3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的耐心和自信心。

四. 说教学重难点1.教学重点：分式方程的解法。

2.教学难点：如何将实际问题转化为分式方程，以及解分式方程时的运算技巧。

五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用自主学习、合作交流、教师讲解相结合的方法。

2.教学手段：利用多媒体课件辅助教学，引导学生直观地理解分式方程的解法。

六. 说教学过程1.导入新课：通过复习分式方程的基本概念和性质，为学生学习本节课的内容做好铺垫。

2.自主学习：让学生自主探究分式方程的解法，引导学生发现解题规律。

3.合作交流：学生之间相互讨论，分享解题心得，教师巡回指导。

4.教师讲解：针对学生普遍存在的问题，进行讲解和辅导。

5.应用拓展：出示实际问题，让学生运用所学知识解决问题。

6.总结归纳：对本节课的内容进行总结，使学生形成知识体系。

七. 说板书设计板书设计如下：1.分式方程的概念和性质2.分式方程的解法–方法一：（去分母）–方法二：（去分母）3.实际问题与分式方程的转化八. 说教学评价本节课的评价主要从学生的知识掌握、能力培养和情感态度三个方面进行。

北师版2018八年级(下册)数学第五章分式与分式方程5.4 分式方程(3课时)教学课件

第五章分式与分式方程
面对日益严重的土地沙化问题，某县决定分期分批固沙造林，一期工程计划在一定期限内固沙造林 2400公顷，实际每月固沙造林的面积比原计划多30公顷，结果提前4个月完成计划任务。原计划每月固沙造林多少公顷？
面对日益严重的土地沙化问题，某县决定分期分批固沙造林，一期工程计划在一定期限内固沙造林2400公顷，实际每月固沙造林的面积比原计划多30公顷，结果提前4个月完成计划任务。原计划每月固沙造林多少公顷？
300 480 解： +4 x 2x
1.什么是分式方程？ 2.分式方程与整式方程的联系与区别.
3.分式方程是刻划现实生活的又一数学模型.
4.要注意掌握列方程的最基本的思维步骤.
第五章分式与分式方程
1.分式方程的定义
分母中含未知数的方程叫做分式方程.
2.整式方程与分式方程的区别整式方程的未知数不在分母中，分式方程的分母中含有未知数。
你能设法求出上一节课中的分式方程的
9000 15000 x x 3000
解吗?
你能将上式方程化成整式方程吗?
分式方程
整式方程
1 3 . 例1 解方程 x2 x
解 : 方程的两边乘以 xx 2, 得
化成一元一次方程来求解。
x 3x 2.
x 3.
解这个程, 得
1400 1400 9 x 2.8 x
4800 5000 x x 20
（1）分母中都含有未知数.
（2）分母中含有未知数的方程叫做分式方程。
1.找找看，下列方程哪些是分式方程：
1 (1) ( x 3) x （否） 2 x 1 (3) 3 x 1 2（ x 是） 1 ; (2) 1（）是 2x x x （） ; (4) 1 否 2 3

2018-2019学年八年级数学北师大版下册名师导学案：第五章课题分式方程的应用

课题分式方程的应用【学习目标】1．掌握列分式方程解应用题的方法和步骤,提高学生分析问题解决问题的能力．2．用分式方程解决现实情境中的问题,通过分式方程的应用教学,培养学生数学应用意识．【学习重点】学会建立分式方程模型,解决实际问题．【学习难点】列分式方程表示实际问题中的等量关系．行为提示:点燃激情,引发学生思考本节课学什么．行为提示:教会学生怎么交流,先对学,再群学,充分在小组内展示自己,分析答案,提出疑惑,共同解决．方法指导:列分式方程解应用题的注意事项:列分式方程解应用题的步骤跟其他应用题有点不一样的是:要检验两次,既要检验求出来的解是否为原方程的根,又要检验是否符合题意(即实际意义)．学习笔记:解决应用题的关键是分析题意,找出题目中的相等关系．情景导入生成问题旧知回顾:1．解分式方程的基本步骤有哪些？答:(1)化为整式方程:方程两边同时乘以最简公分母；(2)解整式方程:去括号；移项；合并同类项；系数化为1；(3)验根；(4)写出结果．2．列方程解应用题的一般步骤是什么？答:审题,设未知数；找相等关系；列方程；解方程；写出答案．自学互研生成能力知识模块分式方程的应用范例1:(扬州中考)扬州建城2 500年之际,为了继续美化城市,计划在路旁栽树1 200棵．由于志愿者的参加,实际每天栽树的棵数比原计划多20%,结果提前2天完成任务,求原计划每天栽树多少棵？解:设原计划每天栽树x 棵,则实际每天栽树的棵数为(1＋20%)x,由题意得1 200x － 1 200（1＋20%）x＝2,解得x ＝100.经检验,x ＝100是原分式方程的解,且符合题意．答:原计划每天栽树100棵．仿例1:(昆明中考)某部队将在指定山区进行军事演习,为了使道路便于部队重型车辆通过,部队工兵连接抢修一段3 600 m 道路的任务,按原计划完成总任务的13后,为了让道路尽快投入使用,工兵连将工作效率提高了50%, 一共用了10 h 完成任务．(1)按原计划完成总任务的13时,已抢修道路1__200m ；(2)求原计划每小时抢修道路多少米？解:设原计划每小时抢修道路x m ,根据题意得1 200x ＋3 600－1 200（1＋50%）x＝10,解得x ＝280.经检验,x ＝280是原方程的解,且符合题意．答:原计划每小时抢修道路280 m .归纳:列分式方程解决实际问题的一般步骤:(1)审:审清题意,弄清已知量和未知量；(2)设:设未知数；(3)列:列出分式方程；(4)解:解这个分式方程；(5)检验:检验所求得的根是否为所列分式方程的根,又要检验所求得的根是否符合实际意义；(6)答:写出答案．仿例2:两个小组同时开始攀登一座450 m 高的山,第一组的攀登速度比第二组快1 m /min ,他们比第二组早15 min 到达顶峰,若设第一组的攀登速度是x m /min ,则所列方程为( A )A .450x －1－450x ＝15B .450x －450x －1＝15 C .450x －1－450x ＝1560 D .450x －450x ＋1＝15行为提示:在群学后期教师可有意安排每组的展示问题,并给学生板书题目和组内演练的时间．有展示 ,有补充、有质疑、有评价穿插其中．学习笔记:检测可当堂完成．仿例3:一艘轮船在两个码头之间航行,顺水航行60 km 所需时间与逆水航行48 km 所需时间相同,已知水流速度为2 km /h ,则轮船在静水中航行的速度为18__km /h ．仿例4:“十一”黄金周,几位同学包租一辆面包车去旅游,面包车的租价为180元．出发时,又增加了2名同学,结果每个同学比原来少分摊15元车费．若设原来参加旅游的学生共有x 人,则所列方程为( A )A .180x －180x ＋2＝15B .180x ＋2－180x＝15 C .180x －180x －2＝15 D .180x －2－180x＝15 交流展示生成新知【交流预展】1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上,并将疑难问题也板演到黑板上,再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务,由代表将“问题和结论”展示在黑板上,通过交流“生成新知”．【展示提升】知识模块分式方程的应用检测反馈达成目标【当堂检测】见所赠光盘和学生用书；【课后检测】见学生用书．课后反思查漏补缺1．收获:________________________________________________________________________2．存在困惑:________________________________________________________________________。

北师大版初二数学下册第五章分式与分式方程回顾与思考

北师大版八年级（下）数学第五章回顾与思考（一）教学设计西安高新第一学校车大鹏一、教材分析本节是第五章《分式与分式方程》的最后一节，占两个课时，这是第一课时，它主要让学生回顾在学习分式的基本概念与分式的运算时用到的几种法则，熟练掌握分式的运算法则，通过螺旋式上升的认识，让学生逐步熟悉运用分式运算的基本技能，培养学生的代数表达能力，通过本节课的教学使学生对分式的运算能有更深的认识．二、教学目标●知识与技能（1）学生进一步熟悉分式的意义及分式的运算；（2）提高学生分式的基本运算技能．●过程与方法（1）通过制作思维导图，将头脑中零散的知识点用思维导图有机地组合起来，形成知识网络。

（2）通过典例分析，学生在应用这些知识时，能顺藤摸瓜地找到对应的及相关的知识点，同时能把这些知识加以灵活运用。

●情感、态度与价值观（1）提高学生的运算能力，发展学生的合情推理能力；（2）注重学生对分式的理解，提高学生分析问题的能力．三、教学重点、难点教学重点：进一步熟悉分式的意义及分式的运算；教学难点：提高学生分式的基本运算技能．四、教学方法●学生学习现状分析学生的技能基础：学生已经学习了分式及分式的运算等有关概念，对分式及其运算有了初步的认识，但对技巧性较高的运算题还不熟悉．学生活动经验基础：在本章内容的学习过程中，学生已经经历了观察、对比、类比、讨论等活动方法，获得了解决实际问题所必须的一些数学活动经验基础，同时在以前的数学学习中学生已经经历了很多合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力．●教法分析在本章的学习中，学生已经掌握了分式的概念与分式加减乘除法的运算，本课时安排让学生对本章内容进行回顾与思考，旨在把学生头脑中零散的知识点用一条线有机地组合起来，从而形成一个知识网络，使学生对这些知识点不再是孤立地看待，而是在应用这些知识时，能顺藤摸瓜地找到对应的及相关的知识点，同时能把这些知识加以灵活运用。

因此采用“回顾、反思、应用”有机结合的教学法。

八年级数学下册第五章分式与分式方程分式方程教案新版北师大版

4 分式方程第1课时一、教学目标1.知识与技能（1）理解分式方程的概念；（2）能够根据实际问题建立分式方程的数学模型，并能归纳出分式方程的描述性定义．2.过程与方法体会到分式方程作为实际问题的模型，能够根据实际问题建立分式方程的数学模型，并能归纳出分式方程的描述性定义．3.情感态度及价值观在建立分式方程的数学模型的过程中培养能力和克服困难的勇气，并从中获得成就感，提高解决问题的能力．二、教学重点、难点重点：能根据实际问题的数量关系列出分式方程，归纳出分式方程的定义．难点：能根据实际问题中的等量关系列出分式方程．三、教具准备课件.四、教学过程（一）创设情境，引入新课［师］在这一章的第一节《认识分式》中，我们曾研究过一个“固沙造林，绿化家园”的问题．当时，我们设原计划每月固沙造林x 公顷，那么原计划完成一期工程需要x 2400个月，实际完成一期工程用了302400+x 个月．根据题意，可得方程x 2400－302400+x =4．（1）我们说x 2400，302400+x 分母中含有字母，我们现在知道它们是不同于整式的代数式——分式．可是，我们也是第一次遇到这样的方程，它和我们学过的一元一次方程一样能刻画现实世界，是一种反映现实世界的数学模型．接下来，我们再来看几个这样的例子．（二）讲授新课列出刻画现实世界的数学模型——方程．（多媒体出示）1.［小麦实验田问题］有两块面积相同的小麦试验田，第一块使用原品种，第二块使用新品种，分别收获小麦 9 000 kg 和15000 kg ．已知第一块试验田每公顷的产量比第二块少3 000 kg ，分别求这两块试验田每公顷的产量．你能找出这一问题中所有的等量关系吗？如果设第一块试验田每公顷的产量为x kg ，那么，第二块试验田每公顷的产量是____________kg ．根据题意，可得方程_________ ___．［师］在这个问题中涉及到了哪几个基本量？它们的关系如何？［生1］涉及到三个基本量：总产量，每公顷试验田的产量，试验田的面积．其中总产量=每公顷试验田的产量×试验田的面积．［师］你能找出这一问题的所有等量关系吗？［生2］第一块试验田的面积=第二块试验田的面积．（a ）［生3］还有一个等量关系是：第一块试验田每公顷的产量+3000 kg=第二块试验田每公顷的产量（b ）［师］我们接着回答下面的问题：如果设第一块试验田每公顷的产量为x kg ，那么第二块试验田每公倾的产量是多少千克呢？［生］根据等量关系（b ），可知第二块试验田每公顷的产量是（x +3000）kg ．［生］根据题意，利用等量关系（a ），可得方程：x 9000=300015000+x ．（2）［师］x 9000，300015000+x 的实际意义是什么呢？［生］它们分别表示第一块试验田和第二块试验田的面积．［师］有没有别的方法列出方程呢？同学们可以以小组为单位讨论，交流，我们看哪一个组思维最敏捷．［生］根据等量关系（a ），我们可以设两块试验田的面积都为x 公顷，那么x9000表示第一块试验田每公顷的产量，x15000表示第二块试验田每公顷的产量，根据等量关系（b ）可列出方程：x 9000+3000=x15000.（3）［师］接下来，我们再来看一个问题.（多媒体出示）2.［电脑网络培训问题］王军同学准备在课外活动时间组织部分同学参加电脑网络培训，按原定的人数估计共需费用300元．后因人数增加到原定人数的2倍，费用享受了优惠，一共只需要480元，参加活动的每个同学平均分摊的费用比原计划少4元．原定的人数是多少？这一问题中有哪些等量关系？如果设原定是x 人，那么每人平均分摊____________元；人数增加到原定人数的2倍后，每人平均分摊____________元．根据题意，可得方程____________．［师］我们先来审题，找到题中的等量关系．［生］由题意，可知：实际参加活动的人数=原定人数×2倍．（c ）［生］还有一个等量关系为：原计划每个同学平均分摊的费用=实际每个同学平均分摊的费用+4元．（d ）［师］同学们已经过审题，找到了题中的等量关系，接下来该干什么呢？［生］设出未知数，列出方程，将具体实际的问题转化为数学模型．［师］很好！下面同学们就分组来完成刚才这位同学所说的，你有几种列方程的方法呢？讨论后，各小组可选代表回答上面的问题．［生］我代表第一小组回答．我们设未知数的方法采用中方法：设原定是x 人，那么每人平均分摊x 300元；人数增加到原来人数的2倍后，每人平均分摊x2480元，根据题意，利用等量关系（d ），得方程x 300－4=x 2480.（4）［生］我们组没有按照投影片上的设法，而是设原定每人平摊y 元，那么原定人数为y 300；实际参加活动的每个同学平摊（y －4）元，那么实际参加活动的人数为4480-y ，根据题意，利用等量关系（c ），得方程2×y 300=4480-y ．（5）［师］上面两个组的回答都很精彩，鼓励一下他们．（鼓掌）从同学们的表现不难看出，用方程这样的数学模型刻画现实世界的情境，同学们掌握得很好．观察方程：x 2400－302400+x =4 （1） x 9000=300015000+x （2） x 9000+3000=x15000 （3） x 300－4=x2480 （4） 2×y 300=4480-y （5）上面所得到的方程有什么共同特点？［生］方程中的未知数都含在分母中，不是一元一次方程．［师］是的．这就是我们今天要认识的一种新的方程——分式方程即分母中含有未知数的方程．（三）随堂练习1．已知鱼塘中有x 千克鱼，每千克鱼的捕捞费用是x +102000元．现从鱼塘中捕捞101千克鱼花了捕捞费用200元，求x 满足的方程．分析：题中的等量关系是：101千克鱼×每千克鱼的捕捞费用=200元．解：x 满足的方程是101×x+102000=200． 2．某商场有管理人员40人，销售人员80人，为了提高服务水平和销售量，商场决定从管理人员中抽调一部分人充实销售部分，使管理人员与销售人员的人数比为1∶4，那么应抽调的管理人员数x 满足怎样的方程？解：抽调管理人员x 人后，管理人员有（40－x ）人，销售人员有（80+x ）人，根据题意得 x x +-8040=41．（四）课堂小结这节课我们从现实情境问题中建立方程这一重要的数学模型，认识了一种新的方程——分式方程．（五）教学反思第2课时教学目标1.知识与技能（1）掌握解分式方程的一般步骤；（2）理解检验分式方程的根的必要性．2.过程与方法（1）通过具体例子，让学生独立探索方程的解法，经历和体会解分式方程的必要步骤；（2）使学生进一步了解数学思想中的“转化”思想，认识到能将分式方程转化为整式方程，从而找到解分式方程的途径．3.情感态度及价值观（1）培养学生自觉反思求解过程和自觉检验的良好习惯，培养严谨的治学态度；（2）运用“转化”的思想，将分式方程转化为整式方程，从而获得一种成就感和学习数学的自信．二、教学重点、难点重点：（1）解分式方程的一般步骤；（2）检验分式方程的根的必要性．难点：明确解分式方程验根的必要性．三、教具准备课件.四、教学过程（一）提出问题，引入新课［师］在上节课的几个问题，我们根据题意将具体实际的情境，转化成了数学模型——分式方程．但要使问题得到真正的解决，则必须设法解出所列的分式方程．这节课，我们就来学习分式方程的解法．我们不妨先来回忆一下我们曾学过的一元一次方程的解法，也许你会从中得到启示，寻找到解分式方程的方法．解方程：213-x +325+x =2－624-x ［师生共解］解：去分母，方程两边同乘分母的最小公倍数6，得3（3x －1）+2（5x +2）=6×2－（4x －2），去括号，得9x －3+10x +4=12－4x +2，移项，得9x +10x +4x =12+2+3－4，合并同类项，得23x =13，系数化为1，得x =2313．（二）讲解新课，探索分式方程的解法［师］刚才我们一同回忆了解一元一次方程的步骤．下面我们来看一个分式方程．［例1］解方程：21-x =x3．（1）［师］解这个方程，能不能也像解含有分母的一元一次方程一样去分母呢？［生］可以．［师］同学们可以接着讨论，方程两边同乘什么样的整式（或数），可以去掉分母呢？［生］乘分式方程中所有分母的公分母．［生］解一元一次方程，去分母时，方程两边同乘分母的最小公倍数，比较简单．解分式方程时，我认为方程两边同乘分母的最简公分母，去分母也比较简单．［师］我觉得这两位同学的想法都非常好．那么这个分式方程的最简公分母是什么呢？［生］x （x －2）．［师生共析］方程两边同乘x （x －2），得x （x －2）·21-x =x （x －2）·x3，整理，得x =3（x －2）．（2）［师］我们可以发现，采用去分母的方法把分式方程转化为了整式方程，而且是我们曾学过的一元一次方程．再往下解，我们就可以像解一元一次方程一样，解出x ．即去括号，得x =3x －6.移项、合并同类项，得2x =6.系数化为1，得x =3．［师］x =3是方程（2）的解吗？是方程（1）的解吗？为什么？同学们可以在小组内讨论．（教师可参与到学生的讨论中，倾听学生的说法）［师］x =3是由一元一次方程x =3（x －2）（2）解出来的，x =3一定是方程（2）的解．但是不是原分式方程（1）的解，需要检验．把x =3代入方程（1）的左边=231-=1，右边=33=1，左边=右边，所以x =3是方程（1）的解．［师］请同学们用同样的方法完成例2的解答．［例2］解方程：x 300－x2480=4. （由学生在练习本上试着完成，然后师生共同解答）.解：方程两边同乘2x ，得600－480=8x.解这个方程，得x =15.检验：将x =15代入原方程，得左边=4，右边=4，左边=右边，所以x =15是原方程的根．［师］很好！同学们现在不仅解出了分式方程的解，还有了检验结果的好习惯．我这里还有一个题，我们再来一起解决一下.（多媒体出示，先隐藏小亮的解法）议一议：解方程：32--x x =x-31－2．（可让学生在练习本上完成，发现有和小亮同样解法的同学，可用实物投影仪显示他的解法，并共同分析）［师］我们来看小亮同学的解法：32--x x =x-31－2. 解：方程两边同乘（x －3），得2－x =－1－2（x －3）解这个方程，得x =3．［生］小亮解完没检验x =3是不是原方程的解．［师］检验的结果如何呢？［生］把x =3代入原方程中，使方程的分母x －3和3－x 都为零，即x =3时，方程中的分式无意义，因此x =3不是原方程的根．［师］它是去分母后得到的整式方程的根吗？［生］x =3是去分母后的整式方程的根．［师］为什么x =3是整式方程的根，它使得最简公分母为零，而不是原分式方程的根呢？同学们可在小组内讨论．（教师可参与到学生的讨论中，倾听同学们的想法）［生］在解分式方程时，我们在分式方程两边都乘最简公分母才得到整式方程．如果整式方程的根使得最简公分母的值为零，那么它就相当于分式方程两边都乘零，不符合等式变形时的两个基本性质，得到的整式方程的解必将使分式方程中有的分式分母为零，也就不适合原方程了．［师］很好！分析得很透彻，我们把这样的不适合原方程的整式方程的根，叫原方程的增根．在把分式方程转化为整式方程的过程中会产生增根，那么是不是就不要这样解？或采用什么方法补救？［生］还是要把分式方程转化成整式方程来解．解出整式方程的解后可用检验的方法看是不是原方程的解．［师］怎样检验较简单呢？还需要将整式方程的根分别代入原方程的左、右两边吗？学生先思考，教师再讲解.［师］产生增根的原因是这个根使去分母时的最简公分母为零造成的．因此最简单的检验方法是：把整式方程的根代入最简公分母．若使最简公分母为零，则是原方程的增根；若使最简公分母不为零，则是原方程的根．是增根，必舍去．在解一元一次方程时每一步的变形都符合等式的性质，解出的根都应是原方程的根．但在解分式方程时，解出的整式方程的根一定要代入最简公分母检验．小亮就犯了没有检验的错误．（三）应用，升华1．解方程：（1）13-x =x 4；（2）1210-x +x 215-=2． 2．回顾，总结想一想：解分式方程一般需要经过哪几个步骤？［师］同学们可根据例题和练习题的步骤，讨论总结．［生］解分式方程分三大步骤：（1）方程两边都乘最简公分母，约去分母，化分式方程为整式方程；（2）解这个整式方程；（3）把整式方程的根代入最简公分母，看结果是否为零，使最简公分母为零的根是原方程的增根，应舍去．使最简公分母不为零的根才是原方程的根．3．解分式方程：（1）x 9000=300015000+x ；（2）x h 2=x a a -（a ，h 常数）.（四）课堂小结［师］同学们这节课的表现很活跃，一定收获不小．［生］我们学会了解分式方程，明白了解分式方程的三个步骤缺一不可．［生］我明白了分式方程转化为整式方程为什么会产生增根．［生］我又一次体验到了“转化”在学习数学中的重要作用，但又进一步认识到每一步转化并不一定都那么“完美”，必须经过检验，反思“转化”过程．（五）教学反思第3课时一、教学目标1.知识与技能会利用分式方程的数学模型反映、解决现实情境中的实际问题．2.过程与方法经历运用分式方程解决实际问题的过程，发展抽象概括、分析问题和解决问题的能力；3.情感态度及价值观（1）经历建立分式方程模型解决实际问题的过程，体会数学模型的应用价值，从而提高学习数学的兴趣；（2）培养学生的创新精神，从中获得成功的体验．二、教学重点、难点重点：（1）审明题意，寻找等量关系，将实际问题转化成分式方程的数学模型．（2）根据实际意义检验解的合理性．难点：寻求实际问题中的等量关系．三、教具准备课件.四、教学过程（一）提出问题，引入新课［师］前两节课，我们认识了分式方程这样的数学模型，并且学会了解分式方程．接下来，我们就用分式方程解决生活中实际问题．（二）讲授新课做一做（多媒体出示）某单位将沿街的一部分房屋出租．每间房屋的租金第二年比第一年多500元，所有房屋出租的租金第一年为9．6万元，第二年为10．2万元．（1）你能找出这一情境的等量关系吗？（2）根据这一情境，你能提出哪些问题？［师］现在我们一起来寻求这一情境中的等量关系．［生］第二年每间房屋的租金=第一年每间房屋的租金+500元．（1）［生］还有一个等量关系：第一年租出的房屋间数=第二年租出的房屋的间数．［师］根据“做一做”的情境，你能提出哪些问题呢？在我们的数学学习中，提出问题比解决问题更重要．同学们尽管提出符合情境的问题．［生］问题可以是：每年各有多少间房屋出租？［生］问题也可以是：这两年每年房屋的租金各是多少？［师］很好，下面我们就来先解决第一个问题：每年各有多少间房屋出租？［师生共析］解：设每年各有x 间房屋出租，那么第一年每间房屋的租金为x 96000元，第二年每间房屋的租金为x 102000元.根据题意，得x 102000=x96000+500. 解这个方程，得x =12.经检验x =12是原方程的解，也符合题意．所以每年各有12间房屋出租．［师］我们接着再来解决第二个问题：这两年每间房屋的租金各是多少？［生］根据第一问的答案可计算，得第一年每间房屋的租金为1296000=8 000（元），第二年每间房屋的租金为12102000=8 500（元）．［师］如果没有第一问，该如何解答第二问？［生］解：设第一年每间房屋的租金为x 元，第二年每间房屋的租金为（x +500）元．第一年租出的房间为x 96000间，第二年租出的房间为500102000+x 间，根据题意，得 x 96000= 500102000+x . 解得x = 8000.x +500=8 500（元）.经检验，x =8 000是原分式方程的解，也符合题意．所以这两年每间房屋的租金分别为8 000元，8 500元．［师］我们利用分式方程解决了实际问题．现在我们再来看一个例题，我们可以从中感受到节约用水是每个公民应该关心的事情．［例］某自来水公司水费计算办法如下：若每户每月用水不超过5 m 3，则每立方米收费1.5元；若每户每月用水超过5 m 3，则超出部分每立方米收取较高的定额费用．1月份，张家用水量是李家用水量的32，张家当月水费是17.5元，李家当月水费是27.5元．超出5 m 3的部分每立方米收费多少元？［师］解决实际情境问题，最关键的是什么呢？［生］审清题意，找出题中的等量关系．［师］很好．某自来水公司水费计算办法可用表格表示出来（如下表）.［生］此题主要的等量关系是：1月份张家用水量是李家用水量的32．［师］怎样表示出张家1月份的用水量和李家1月份的用水量呢？［生］根据自来水公司水费计算的办法，用水量可以用水费除以单价得出，但计算时要将水费分成两部分：5 m 3的水费与超出5 m 3部分的水费．［师］下面我们就来用等量关系列出方程．［师生共析］设超出5 m 3部分的水每立方米收费为x 元，则1月份张家超出5 m 3的部分水费为（17．5－1．5×5）元，超出 5 m 3的用水量为x55.15.17⨯- m 3，总用水量为5+x55.15.17⨯- m 3；李家超出5 m 3部分的水费为（27.5－1.5×5）元，超出5 m 3的用水量为x55.15.27⨯- m 3，总用水量为（5+x55.15.27⨯-）m 3. 根据等量关系，得x 55.15.17⨯-+5=（x 55.15.27⨯-+5）×32. 解这个方程，得x =2．经检验x =2是所列方程的根．所以超出5 m 3部分的水每立方米收费2元．（三）随堂练习小芳带了15元钱去商店买笔记本．如果买一种软皮本，正好需付15元钱．但售货员建议她买一种质量好的硬皮本，这种本子的价格比软皮本高出一半，因此她只能少买一本笔记本．这种软皮本和硬皮本每本的价格各是多少？［师］我们先来找到题中的等量关系．［生］题中的等量关系有两个：15元钱买的软皮本的本数=15元钱买的硬皮本的本数+1本；硬皮本的价格=软皮本的价格×（1+21）. ［师］我们找到了等量关系，接下来请同学们在练习本上完成第1题．［生］解：设软皮本每本的价格为x 元，则硬皮本每本的价格为（1+21）x 元，那么15元钱可买软皮本x 15本，硬皮本x )211(15+本．根据题意，得，x 15=x )211(15++1 解得x =5.经检验x =5是原方程的根，也符合题意.所以（1+21）x =23×5=7.5（元）. 答：软皮本每本的价格为5元，硬皮本每本的价格为7.5元.（四）课堂小结列方程解决实际情境中的具体问题，是数学实用性最直接的体现，而解决这一问题是如何将实际问题建立方程这样的数学模型，关键则在于审清题意，找出题中的等量关系，找到它就为列方程指明了方向．（五）教学反思。

2023-2024学年八年级数学北师大版下册名师教学设计：第五章课题分式方程的应用

2023-2024学年八年级数学北师大版下册名师教学设计：第五章课题分式方程的应用一. 教材分析第五章“分式方程的应用”是北师大版八年级数学下册的重要内容。

本章主要让学生学会建立分式方程，并利用分式方程解决实际问题。

内容安排上，先让学生通过实际问题引入分式方程的概念，然后通过例题和练习，让学生掌握分式方程的解法和应用。

本章内容既是对前面知识点的巩固，也为后面的学习打下基础。

二. 学情分析八年级的学生已经掌握了分式的基本知识，对解方程也有了一定的了解。

但是，学生对于分式方程的应用，尤其是在解决实际问题时的建立方程、求解方程的能力还有待提高。

此外，学生在解决实际问题时，往往缺乏条理性和逻辑性，对问题的分析不够深入。

三. 教学目标1.知识与技能：学生会建立分式方程，并能够求解分式方程。

2.过程与方法：学生通过解决实际问题，学会分析问题、建立方程、求解方程的方法。

3.情感态度价值观：学生培养对数学的兴趣，提高解决实际问题的能力。

四. 教学重难点1.教学重点：学生能够建立分式方程，并求解分式方程。

2.教学难点：学生对于如何将实际问题转化为分式方程，以及如何在复杂的情况下求解分式方程。

五. 教学方法1.情境教学法：通过实际问题，引导学生建立分式方程，提高学生的学习兴趣和动力。

2.案例教学法：通过例题和练习，让学生学会分析问题、建立方程、求解方程的方法。

3.小组合作学习：学生在小组内讨论问题，共同解决问题，提高学生的合作能力和解决问题的能力。

六. 教学准备1.教材和教辅：北师大版八年级数学下册教材、相关教辅资料。

2.多媒体教学设备：电脑、投影仪等。

3.练习题：准备一些与本节课内容相关的练习题，用于巩固和拓展学生的知识。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题，引导学生思考如何建立方程，并引入本节课的主题——分式方程的应用。

2.呈现（15分钟）讲解一个简单的分式方程应用问题，让学生了解如何建立分式方程，并求解分式方程。

北师大版八年级数学下册优秀教学案例5.4分式方程

2.学生在解决实际问题中运用分式方程的能力，以及团队合作、沟通表达等方面的发展。
3.学生对数学学科的兴趣、自信心及科学态度的培养。
六、教学反思
在教学过程中，要关注学生的个体差异，针对不同学生制定合适的教学策略，使每位学生都能在课堂上得到充分发展。同时，注重培养学生的数学思维，提高学生运用数学知识解决实际问题的能力。在教学评价方面，要关注学生的全面发展，既要关注学生的知识与技能，也要关注过程与方法、情感态度与价值观的培养。不断反思教学，调整教学策略，提高教学质量。
（三）小组合作
1.小组讨论：将学生分成若干小组，针对问题进行讨论，培养学生的团队协作能力和沟通能力。
2.分工合作：在解决分式方程的过程中，让学生分工合作，每个人都有明确的任务，提高工作效率。
3.分享与交流：小组成员将各自的研究成果进行分享，互相学习，共同提高。
（四）反思与评价
1.自我反思：让学生在课后对所学内容进行反思，总结自己的学习心得，发现自身不足，为下一步学习做好准备。
3.实际应用：让学生运用分式方程解决实际问题，培养学生的应用能力。
五、教学拓展
1.开展数学活动：组织数学竞赛、讲座等活动，激发学生学习兴趣，提高学生的数学素养。
2.家庭作业设计：结合学生实际情况，设计富有挑战性的家庭作业，让学生在课后进行思考和探索。
3.学科交叉：与其他学科相结合，如科学、信息技术等，让学生感受到数学的广泛应用。
2.同伴评价：学生之间相互评价，给出建设性意见，促进共同进步。
Hale Waihona Puke 3.教师评价：教师要对学生的学习情况进行评价，关注学生的知识掌握程度、思维发展水平、情感态度等方面，为下一步教学提供参考。
四、教学实践
1.课堂讲解：结合具体案例，讲解分式方程的解法，引导学生主动思考。

2023-2024学年八年级数学北师大版下册名师教案：第五章课题分式方程

2023-2024学年八年级数学北师大版下册名师教案：第五章课题分式方程一. 教材分析北师大版八年级数学下册第五章《分式方程》是学生在学习了分式、方程的基础知识后，进一步拓展分式知识的模块。

本章通过引入分式方程，让学生理解分式方程的概念，掌握解分式方程的方法，提高学生解决实际问题的能力。

教材以生活中的实际问题为背景，引导学生发现分式方程，激发学生的学习兴趣，培养学生解决实际问题的能力。

二. 学情分析学生在学习本章内容之前，已经掌握了分式和方程的基础知识，具备一定的逻辑思维能力。

但部分学生在解决实际问题时，仍存在将实际问题转化为数学问题的能力不足，对分式方程的理解和应用有待提高。

因此，在教学过程中，要关注学生的个体差异，针对性地进行指导，帮助学生建立清晰的数学思维。

三. 教学目标1.了解分式方程的概念，理解分式方程与实际问题的联系。

2.掌握解分式方程的基本方法，提高解决实际问题的能力。

3.培养学生的逻辑思维能力，提高学生的数学素养。

四. 教学重难点1.重点：分式方程的概念、解分式方程的方法。

2.难点：将实际问题转化为分式方程，灵活运用解分式方程的方法。

五. 教学方法采用问题驱动、案例引导、合作探讨的教学方法，以学生为主体，教师为主导，激发学生的学习兴趣，培养学生的自主学习能力。

六. 教学准备1.准备相关的实际问题，用于引入和巩固分式方程的概念。

2.准备分式方程的案例，用于讲解和练习。

3.准备课堂练习题，用于检验学生的学习效果。

七. 教学过程1.导入（5分钟）以生活中的实际问题为切入点，引导学生发现分式方程。

例如，给出一个实际问题：某商场举行打折活动，原价为100元的商品，打8折后，顾客实际支付96元。

请列出打折后的价格与原价的关系式。

通过这个问题，引导学生思考，发现分式方程。

2.呈现（10分钟）呈现分式方程的概念，讲解分式方程的定义和特点。

以具体案例为例，解释分式方程的含义，让学生理解分式方程与实际问题的联系。

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课题分式方程【学习目标】1．理解分式方程的概念，会解分式方程并掌握解分式方程的验根方法．2．经历探索分式方程的解法，体会数学中化归思想．【学习重点】理解并掌握分式方程的解法．【学习难点】分式方程验根的原因．行为提示：创景设疑，帮助学生知道本节课学什么．行为提示：教会学生看书，独学时对于书中的问题一定要认真探究，书写答案，教会学生落实重点．情景导入生成问题旧知回顾：1．解一元一次方程的步骤是什么？答：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1.2．将比例式a c ＝c d化成ad ＝bc ，依据是什么？答：依据等式的基本性质，将等式两边同乘以bd.3．解方程：1x －2＝12x ＋1. 解：依据上题做法，方程两边同乘(x －2)(2x ＋1)得2x ＋1＝x －2，解得x ＝－3.自学互研生成能力知识模块一分式方程的相关概念【自主探究】阅读教材P 125的内容，回答下列问题：什么是分式方程？答：分母中含有未知数的方程叫做分式方程．只要是分母中含有未知数的方程就是分式方程，可见，判断一个方程是否为分式方程，关键看分母里是否有未知数．归纳：解分式方程的指导思想是把分式方程转化为整式方程，其步骤为“一乘，二解，三检验”．所谓“乘”即将分式方程的两边同时乘以“最简公分母”，将分式方程化为整式方程；所谓“解”即解整式方程．学习笔记：归纳：若分式方程有增根，根据分母可知增根的值，代入去分母后的整式方程，可得方程中未知系数的值．行为提示：在群学后期教师可有意安排每组的展示问题，并给学生板书题目和组内演练的时间．有展示，有补充、有质疑、有评价穿插其中．学习笔记：教会学生整理反思．范例1：下列关于x 的方程，是分式方程的是(D )A .3＋x 2－3＝2＋x 5B .2x －17＝x 2C .x π＋1＝2－x 3D .12＋x ＝1－2x仿例：下列方程：①x －35＝1；②3x ＝2；③1＋x 5＋x ＝12；④x 2＋2x2＋1＝5；⑤x π＋x 2π＝4.其中是分式方程的有(D ) A ．①②B ．②③C ．③④D ．②③④知识模块二分式方程的解法阅读教材P 126－127的内容，回答下列问题：1．解分式方程的基本思想是什么？具体做法是什么？答：解分式方程基本思想是去分母，把分式方程化为整式方程，具体做法是方程两边同乘各分母的最简公分母，即可化为整式方程．范例2：(1)(山西中考)12x －1＝12－34x －2；解：去分母得2＝2x －1－3，解得x ＝3，经检验x ＝3是分式方程的解；(2)(宁夏中考)x x －1－2x －1x2－1＝1；解：方程两边同乘(x ＋1)(x －1)，得x(x ＋1)－(2x －1)＝(x ＋1)(x －1)，解得x ＝2.经检验当x ＝2时，(x ＋1)(x －1)≠0，故原分式方程的解为x ＝2；(3)2＋x 2－x ＋16x2－4＝－1. 解：去分母得－(x ＋2)2＋16＝4－x 2，去括号得－x 2－4x －4＋16＝4－x 2，解得x ＝2.经检验x ＝2是增根，故原分式方程无解．2．什么是增根？产生增根的原因是什么？为什么解分式方程必须检验？如何检验？答：在分式方程化为整式方程的过程中，若整式方程的根使原分式方程的分母为零，那么这个根叫做原方程的增根．产生增根的原因是由于在方程两边同乘了一个使分母为0的整式，因为解分式方程可能产生增根，所以解分式方程必须检验．检验的方法是检验所得的根是否使原方程中分式分母的值等于0.范例3：关于x 的分式方程7x －1＋3＝m x －1有增根，则增根为(A ) A ．x ＝1B ．x ＝－1C ．x ＝3D ．x ＝－3仿例1：(黑龙江中考)关于x 的分式方程m x2－4－1x ＋2＝0无解，则m ＝0或－4．仿例2：(营口中考)若关于x 的分式方程2x －3＋x ＋m 3－x＝2有增根，则m 的值是(A ) A ．m ＝－1 B ．m ＝0 C ．m ＝3 D ．m ＝0或m ＝3交流展示生成新知【交流预展】1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的结论展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．【展示提升】知识模块一分式方程的相关概念知识模块二分式方程的解法检测反馈达成目标【当堂检测】见所赠光盘和学生用书；【课后检测】见学生用书．课后反思查漏补缺1．收获：________________________________________________________________________2．存在困惑：________________________________________________________________________。

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