2013年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题(山东卷,含答案)
2013年山东省高考数学试卷(文科)答案与解析讲解学习
2013年山东省高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一．选择题：本题共12个小题，每题5分，共60分．1．（5分）（2013•山东）复数z=（i为虚数单位），则|z|（）=，．2．（5分）（2013•山东）已知集合A、B全集U={1、2、3、4}，且∁U（A∪B）={4}，B={1，3．（5分）（2013•山东）已知函数f（x）为奇函数，且当x＞0时，f（x）=x2+，则f（﹣1）4．（5分）（2013•山东）一个四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，其正（主）视图如图所示该四棱锥侧面积和体积分别是（）4S=V=5．（5分）（2013•山东）函数f（x）=的定义域为（）=6．（5分）（2013•山东）执行两次如图所示的程序框图，若第一次输入的a的值为﹣1.2，第二次输入的a的值为1.2，则第一次、第二次输出的a的值分别为（）7．（5分）（2013•山东）△ABC的内角A、B、C的对边分别是a、b、c，若B=2A，a=1，Bb==得：===cosA=8．（5分）（2013•山东）给定两个命题p，q．若￢p是q的必要而不充分条件，则p是￢q．．．．x=时，10．（5分）（2013•山东）将某选手的9个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，7个剩余分数的平均分为91，现场做的9个分数的茎叶图后来有一个数据模糊，无法辨认，在图中以x表示：则7个剩余分数的方差为（）B=91（．11．（5分）（2013•山东）抛物线C1：的焦点与双曲线C2：的右焦点的连线交C1于第一象限的点M．若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线，B求出函数在，得），得，则抛物线的焦点与双曲线的右焦点的连线所在直线方程为处的切线的斜率为由题意可知，得）．p=12．（5分）（2013•山东）设正实数x，y，z满足x2﹣3xy+4y2﹣z=0，则当取得最小值时，代入=+，求得二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分13．（4分）（2013•山东）过点（3，1）作圆（x﹣2）2+（y﹣2）2=4的弦，其中最短的弦长为2．=，2=214．（4分）（2013•山东）在平面直角坐标系xOy中，M为不等式组所表示的区域上一动点，则直线|OM|的最小值为．=的最小值等于故答案为：15．（4分）（2013•山东）在平面直角坐标系xOy中，已知，，若∠ABO=90°，则实数t的值为5．利用已知条件求出解：因为知，=，所以16．（4分）（2013•山东）定义“正对数”：ln+x=，现有四个命题：①若a＞0，b＞0，则ln+（a b）=bln+a；②若a＞0，b＞0，则ln+（ab）=ln+a+ln+b；③若a＞0，b＞0，则；④若a＞0，b＞0，则ln+（a+b）≤ln+a+ln+b+ln2．其中的真命题有①③④（写出所有真命题的序号），，．时，此时lnb=，此时则，此时，，＜三．解答题：本大题共6小题，共74分，17．（12分）（2013•山东）某小组共有A、B、C、D、E五位同学，他们的身高（单位：米）2（Ⅰ）从该小组身高低于1.80的同学中任选2人，求选到的2人身高都在1.78以下的概率（Ⅱ）从该小组同学中任选2人，求选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5，23.9）中的概率．p=p=18．（12分）（2013•山东）设函数f（x）=﹣sin2ωx﹣sinωxcosωx（ω＞0），且y=f（x）的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为，（Ⅰ）求ω的值（Ⅱ）求f（x）在区间[]上的最大值和最小值．[]﹣，故周期为，所以）时，，，[]上的最大值和最小值分别为：19．（12分）（2013•山东）如图，四棱锥P﹣ABCD中，AB⊥AC，AB⊥PA，AB∥CD，AB=2CD，E，F，G，M，N分别为PB、AB、BC、PD、PC的中点．（Ⅰ）求证：CE∥平面PAD（Ⅱ）求证：平面EFG⊥平面EMN．AB CD=20．（12分）（2013•山东）设等差数列{a n}的前n项和为S n，且S4=4S2，a2n=2a n+1．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设数列{b n}满足=1﹣，n∈N*，求{b n}的前n项和T n．，+++++时，=时，=）﹣（==，+++，T++T+++）﹣﹣﹣21．（12分）（2013•山东）已知函数f（x）=ax2+bx﹣lnx（a，b∈R）（Ⅰ）设a≥0，求f（x）的单调区间（Ⅱ）设a＞0，且对于任意x＞0，f（x）≥f（1）．试比较lna与﹣2b的大小．时，．可得出﹣＜）上是减函数，在（），单调递增区间是（，，）上，导数小于在区间（，），单调递增区间是（，，），单调递增区间是（，）知，是函数的唯一极小值点故=1==0x=＜＜（22．（14分）（2013•山东）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C的中心在原点O，焦点在x轴上，短轴长为2，离心率为（Ⅰ）求椭圆C的方程（Ⅱ）A，B为椭圆C上满足△AOB的面积为的任意两点，E为线段AB的中点，射线OE交椭圆C与点P，设，求实数t的值．（Ⅰ）设椭圆的标准方程为，解出即可得到椭圆的方程．的关系，再利用（Ⅰ）由题意设椭圆的标准方程为，焦距为，解得，∴椭圆的方程为．，另一方面，==，∴，，∴，，解得，或，∴综上可得：。
2013年高考文科数学山东卷-答案
xy xy
xy
xy
当且仅当 x2 =4y2 即 x=2y 时， z 有最小值 1。将 x=2y 代入原式得 z=2y2 ， xy
所以 x+2y-z=2y+2y-2y2 =-2y2 +4y ，当 y=1时有最大值 2。故选 C。
第Ⅱ卷
二、填空题 13.【答案】 2 2
【解析】如下图，当 AB 所在直线与 AC 垂直时弦 BD 最短， AC 3 22 1 22 2 ， CB=r=2 ∴ BA 22 22 2 ，∴ BD=2 2 。
x1 b
b2 8a 4a
， x2
b
b2 8a 4a
。显然， x1 0 ， x2
0。
当 0 x x2 时， f (x) 0 ，函数 f (x) 单调递减。当 x x2 ， f (x) 0 ，函数 f (x) 单调递增。
所以函数
f
(x)
的单调递减区间是
62
(Ⅱ)从该小组同学中任选 2 人，其一切可能的结果组成的基本事件有：(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，
E)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(C，D)，(C，E)，(D，E)，共 10 个。由于每个人被选到的机会均等，
因此这些基本事件的出现是等可能的。选到的 2 人身高都在 1.70 以上且体重指标都在[18.5，23.9)中的事件
91，94，94，87，方差为 s2 290 912 291 912 294 912 87 912 36 。
7
7
11.【答案】D
【解析】设 M
1
x0
,
2
p
x0
2
2013年山东省高考数学试卷(文科)答案与解析
2013年山东省高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一．选择题：本题共12个小题，每题5分，共60分．1．（5分）（2013•山东）复数z=（i为虚数单位），则|z|（）=，．2．（5分）（2013•山东）已知集合A、B全集U={1、2、3、4}，且∁U（A∪B）={4}，B={1，3．（5分）（2013•山东）已知函数f（x）为奇函数，且当x＞0时，f（x）=x2+，则f（﹣1）4．（5分）（2013•山东）一个四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，其正（主）视图如图所示该四棱锥侧面积和体积分别是（）4S=V=5．（5分）（2013•山东）函数f（x）=的定义域为（）=6．（5分）（2013•山东）执行两次如图所示的程序框图，若第一次输入的a的值为﹣1.2，第二次输入的a的值为1.2，则第一次、第二次输出的a的值分别为（）7．（5分）（2013•山东）△ABC的内角A、B、C的对边分别是a、b、c，若B=2A，a=1，Bb==得：===cosA=8．（5分）（2013•山东）给定两个命题p，q．若￢p是q的必要而不充分条件，则p是￢q．．．．x=时，10．（5分）（2013•山东）将某选手的9个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，7个剩余分数的平均分为91，现场做的9个分数的茎叶图后来有一个数据模糊，无法辨认，在图中以x表示：则7个剩余分数的方差为（）B=91（．11．（5分）（2013•山东）抛物线C1：的焦点与双曲线C2：的右焦点的连线交C1于第一象限的点M．若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线，B求出函数在，得），得，则抛物线的焦点与双曲线的右焦点的连线所在直线方程为处的切线的斜率为由题意可知，得）．p=12．（5分）（2013•山东）设正实数x，y，z满足x2﹣3xy+4y2﹣z=0，则当取得最小值时，代入=+，求得二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分13．（4分）（2013•山东）过点（3，1）作圆（x﹣2）2+（y﹣2）2=4的弦，其中最短的弦长为2．=，2=214．（4分）（2013•山东）在平面直角坐标系xOy中，M为不等式组所表示的区域上一动点，则直线|OM|的最小值为．=的最小值等于故答案为：15．（4分）（2013•山东）在平面直角坐标系xOy中，已知，，若∠ABO=90°，则实数t的值为5．利用已知条件求出解：因为知，=，所以16．（4分）（2013•山东）定义“正对数”：ln+x=，现有四个命题：①若a＞0，b＞0，则ln+（a b）=bln+a；②若a＞0，b＞0，则ln+（ab）=ln+a+ln+b；③若a＞0，b＞0，则；④若a＞0，b＞0，则ln+（a+b）≤ln+a+ln+b+ln2．其中的真命题有①③④（写出所有真命题的序号），，．时，此时lnb=，此时则，此时，，＜三．解答题：本大题共6小题，共74分，17．（12分）（2013•山东）某小组共有A、B、C、D、E五位同学，他们的身高（单位：米）2（Ⅱ）从该小组同学中任选2人，求选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5，23.9）中的概率．p=p=18．（12分）（2013•山东）设函数f（x）=﹣sin2ωx﹣sinωxcosωx（ω＞0），且y=f（x）的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为，（Ⅰ）求ω的值（Ⅱ）求f（x）在区间[]上的最大值和最小值．[]﹣，故周期为，所以）时，，，[]上的最大值和最小值分别为：19．（12分）（2013•山东）如图，四棱锥P﹣ABCD中，AB⊥AC，AB⊥PA，AB∥CD，AB=2CD，E，F，G，M，N分别为PB、AB、BC、PD、PC的中点．（Ⅰ）求证：CE∥平面PAD（Ⅱ）求证：平面EFG⊥平面EMN．AB CD=20．（12分）（2013•山东）设等差数列{a n}的前n项和为S n，且S4=4S2，a2n=2a n+1．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设数列{b n}满足=1﹣，n∈N*，求{b n}的前n项和T n．，+++，++时，=时，=）﹣（==，+++，T++T+++）﹣﹣﹣21．（12分）（2013•山东）已知函数f（x）=ax2+bx﹣lnx（a，b∈R）（Ⅰ）设a≥0，求f（x）的单调区间（Ⅱ）设a＞0，且对于任意x＞0，f（x）≥f（1）．试比较lna与﹣2b的大小．时，．可得出﹣＜）上是减函数，在（），单调递增区间是（，，）上，导数小于在区间（，），单调递增区间是（，，），单调递增区间是（，）知，是函数的唯一极小值点故=1==0x=＜＜（22．（14分）（2013•山东）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C的中心在原点O，焦点在x轴上，短轴长为2，离心率为（Ⅰ）求椭圆C的方程（Ⅱ）A，B为椭圆C上满足△AOB的面积为的任意两点，E为线段AB的中点，射线OE交椭圆C与点P，设，求实数t的值．（Ⅰ）设椭圆的标准方程为的关系，再利用（Ⅰ）由题意设椭圆的标准方程为，焦距为，解得，∴椭圆的方程为．，另一方面，==，∴，，∴，，解得，或，∴综上可得：。
【数学】2013年高考真题山东卷(文)解析版
2013年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）文科数学参考公式：如果事件B A ,互斥，那么)()()(B P A P B A P +=+ 一．选择题:本题共12个小题，每题5分，共60分。
(1)、复数)()2(2为虚数单位i ii z -=，则=||z(A)25(B)41(C)6 (D)5(2)、已知集合B A 、均为全集}4,3,2,1{=U 的子集，且(){4}U AB =ð,{1,2}B =,则U A B =ð(A){3}(B){4}(C){3,4}(D)∅(3)、已知函数)(x f 为奇函数，且当0>x 时，xx x f 1)(2+=，则=-)1(f (A)2(B)1(C)0(D)-2(4)、一个四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，其正（主）视图如右图所示该四棱锥侧面积和体积分别是(A)(B) 83 (C) 81),3+ (D) 8,8(5)、函数()f x = (A)(-3，0](B) (-3，1](C) (,3)(3,0]-∞-- (D) (,3)(3,1]-∞--(6)、执行右边的程序框图，若第一次输入的a 的值为-1.2，第二次输入的a 的值为1.2，则第一次、 第二次输出的a 的值分别为 (A)0.2，0.2 (B) 0.2，0.8 (C) 0.8，0.2 (D) 0.8，0.8 (7)、ABC ∆的内角A B C 、、的对边分别是a b c 、、，若2B A =，1a =，b =，则c =(A) (B) 2(D)1(8)、给定两个命题q p ,，p q ⌝是的必要而不充分条件，则p q ⌝是(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件(C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件(9)、函数x x x y sin cos +=的图象大致为(10)、将某选手的9个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，7个剩余分数的平均分为91，现场做的9个分数的茎叶图后来有一个数据模糊，无法辨认，在图中以x 表示：8779401091x则7个剩余分数的方差为(A)1169(B)367(C)36(D)(11)、抛物线)0(21:21>=p x p y C 的焦点与双曲线222:13x C y -=的右焦点的连线交1C 于第一象限的点M ，若1C 在点M 处的切线平行于2C 的一条渐近线，则p =(A)163(B)83 (C)332 (D)334 (12)、设正实数z y x ,,满足04322=-+-z y xy x ，则当zxy取得最大值时，2x y z +-的最大值为(A)0(B)98(C)2 (D)94二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分(13)、过点(3，1)作圆22(2)(2)4x y -+-=的弦，其中最短的弦长为__________(14)、在平面直角坐标系xOy 中，M 为不等式组2360200x y x y y +-≤⎧⎪+-≥⎨⎪≥⎩所表示的区域上一动点，则直线OM 的最小值为_______(15)、在平面直角坐标系xOy 中，已知(1,)OA t =-，(2,2)OB =，若90o ABO ∠=，则实数t 的值为______(16).定义“正对数”：0(01)ln ln (1)x x x x +<<⎧=⎨≥⎩，，，现有四个命题：①若0,0>>b a ，则a b a b++=ln )(ln ； ②若0,0>>b a ，则b a ab ++++=ln ln )(ln ③若0,0>>b a ，则b a ba +++-=ln ln )(ln ④若0,0>>b a ，则2ln ln ln )(ln ++≤++++b a b a其中的真命题有____________(写出所有真命题的序号)三．解答题：本大题共6小题，共74分， (17)(本小题满分12分) 某小组共有A B C D E 、、、、五位同学，他们的身高（单位:米）以及体重指标（单位:千克/米2）如下表所示：(Ⅰ)从该小组身高低于1.80的同学中任选2人，求选到的2人身高都在1.78以下的概率 (Ⅱ)从该小组同学中任选2人，求选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5，23.9)中的概率(18)(本小题满分12分)设函数2()sin cos (0)f x x x x ωωωω=->，且()y f x =的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为4π，(Ⅰ)求ω的值 (Ⅱ)求()f x 在区间3[,]2ππ上的最大值和最小值(19)(本小题满分12分)如图，四棱锥P ABCD -中，,AB AC AB PA ⊥⊥,,2AB CD AB CD =∥,,,,,E F G M N 分别为 ,,,,PB AB BC PD PC 的中点(Ⅰ)求证：CE PAD ∥平面 (Ⅱ)求证：EFG EMN ⊥平面平面(20)(本小题满分12分)设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且244S S =,122+=n n a a (Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式 (Ⅱ)设数列{}n b 满足*121211,2n n n b b b n N a a a +++=-∈ ，求{}n b 的前n 项和n T(21)(本小题满分12分)已知函数2()ln (,)f x ax bx x a b R =+-∈ (Ⅰ)设0a ≥，求)(x f 的单调区间 (Ⅱ) 设0a >，且对于任意0x >，()(1)f x f ≥。
2013山东高考数学理科+文科试题(有详细答案)
绝密★启用并使用完毕前2013年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)理科数学本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分。
共4页，满分150分。
考试用时150分钟.考试结束后，将本卷和答题卡一并交回。
注意事项：1. 答题前，考试务必用0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类在答题卡和试卷规定的位置上。
2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案不能答在试卷上。
3. 第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色墨水签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带。
不按以上要求作答的答案无效。
4. 填空题请直接填写答案,解答题应写出文字说明\证明过程或演算步骤.参考公式:如果事件A ，B 互斥，那么P （A+B ）=P(A)+P(B)；如果事件A ，B 独立，那么P （AB ）=P(A)*P(B) 第Ⅰ卷 （共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1、复数z 满足i i z (5)2)(3(=--为虚数单位），则z 的共轭复数-z 为（ ） （A ）2+i （B ）2-i （C ）5+i （D ）5-i2、已知集合}2,1,0{=A ，则集合},|{A y A x y x B ∈∈-=中元素的个数是（ ） （A ）1 （B ）3 （C ）5 （D ）93、已知函数)(x f 为奇函数，且当0>x 时，xx x f 1)(2+=，则)1(-f =（ ） （A ）-2 （B ）0 （C ）1 （D ）2 4、已知三棱柱111C B A ABC -的侧棱与底面垂直，体积为49，底面是边长为3的正三角形，若P 为底面111C B A 的中心，则PA 与平面ABC 所成角的大小为（ ） （A ）125π （B ）3π （C ）4π （D ）6π 5、若函数)2sin()(ϕ+=x x f 的图像沿x 轴向左平移8π个单位，得到一个偶函数的图像，则ϕ的一个可能取值为（ ） （A ）43π （B ）4π （C ）0 （D ）4π-6、在平面直角坐标系x O y 中，M 为不等式组220210380x y x y x y --≥⎧⎪+-≥⎨⎪+-≤⎩，所表示的区域上一动点，则直线O M 斜率的最小值为()2A ()1B ()13C -()12D -7、给定两个命题，、q p 若p ⌝是q 的必要而不充分条件，则p 是q ⌝的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件（C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件 8、函数x x x y sin cos +=的图象大致为xyπOxyπOxyπOxyπO(A) (B) (C) (D)9、过点（3，1）作圆1)1(22=+-y x 作圆的两条切线切点为A ，B ，则直线AB 的方程 （A ）032=-+y x （B ）032=--y x （C ）034=--y x （D ）034=-+y x10、用0,1， ，9十个数字可以组成有重复数字的三位数的个数为 （A ）243 （B ）252 （C ）261 （D ）27911、抛物线)0(21:21>=p x p y C 的焦点与双曲线13:222=-y x C 的右焦点的连线交1C 于第一象限的点M ，若1C 在点M 处的切线平行于2C 的一条渐近线，则=p63 （B ）83 （C ）332 （D ）33412、设正实数z y x ,,满足04322=-+-z y xy x ，则当z xy 取最大值时，z y x 212-+的最大值为（A ）0 （B ）1 （C ）49（D ）3二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分13、执行右面的程序框图，若输入的ε值为0.25，则输出的n 的值为______________14、在区间[]3,3-上随机取一个数x ，使得121x x +--≥成立的概率为______________.15、已知向量−→−AB 与−→−AC 的夹角1200，且|−→−AB |=3，|−→−AC |=2，若−→−−→−−→−+=AC AB AP λ，且−→−−→−⊥BC AP ，则实数λ的值为____________.16、 定义“正对数”: 0,01ln ,ln ,1x x x x +<<⎧=⎨≥⎩现有四个命题：①若0,0,a b >>()l n l n ;b a b a ++=②若0,0,a b >>()l n l n l n ;a b a b +++=+ ③若0,0,a b >>l n l n l n ;a a b b +++⎛⎫≥- ⎪⎝⎭④若0,0,a b >>()l n l n l n +l n 2;a b a b ++++≤+ 其中真命题有____________.（写出所有真命题的编号）三、解答题：本大题共6小题，共74分。
2013年山东省高考文科数学真题及答案
2013年山东省高考数学试卷（文科）一．选择题：本题共12个小题，每题5分，共60分．1．（5分）复数z=（i为虚数单位），则|z|（）A．25 B． C．5 D．2．（5分）已知集合A、B全集U={1、2、3、4}，且∁U（A∪B）={4}，B={1，2}，则A∩∁U B=（）A．{3}B．{4}C．{3，4}D．∅3．（5分）已知函数f（x）为奇函数，且当x＞0时，f（x）=x2+，则f（﹣1）=（）A．2 B．1 C．0 D．﹣24．（5分）一个四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，其正（主）视图如图所示该四棱锥侧面积和体积分别是（）A．4，8 B．C．D．8，85．（5分）函数f（x）=的定义域为（）A．（﹣3，0]B．（﹣3，1]C．（﹣∞，﹣3）∪（﹣3，0）D．（﹣∞，﹣3）∪（﹣3，1）6．（5分）执行两次如图所示的程序框图，若第一次输入的a的值为﹣1.2，第二次输入的a的值为1.2，则第一次、第二次输出的a的值分别为（）A．0.2，0.2 B．0.2，0.8 C．0.8，0.2 D．0.8，0.87．（5分）△ABC的内角A、B、C的对边分别是a、b、c，若B=2A，a=1，b=，则c=（）A．B．2 C．D．18．（5分）给定两个命题p，q．若￢p是q的必要而不充分条件，则p是￢q的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件9．（5分）函数y=xcosx+sinx的图象大致为（）A．B．C．D．10．（5分）将某选手的9个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，7个剩余分数的平均分为91，现场做的9个分数的茎叶图后来有一个数据模糊，无法辨认，在图中以x表示：则7个剩余分数的方差为（）A． B．C．36 D．11．（5分）抛物线C1：的焦点与双曲线C2：的右焦点的连线交C1于第一象限的点M．若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线，则p=（）A．B．C．D．12．（5分）设正实数x，y，z满足x2﹣3xy+4y2﹣z=0，则当取得最小值时，x+2y ﹣z的最大值为（）A．0 B．C．2 D．二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分13．（4分）过点（3，1）作圆（x﹣2）2+（y﹣2）2=4的弦，其中最短的弦长为．14．（4分）在平面直角坐标系xOy中，M为不等式组所表示的区域上一动点，则直线|OM|的最小值为．15．（4分）在平面直角坐标系xOy中，已知，，若∠ABO=90°，则实数t的值为．16．（4分）定义“正对数”：ln+x=，现有四个命题：①若a＞0，b＞0，则ln+（a b）=bln+a；②若a＞0，b＞0，则ln+（ab）=ln+a+ln+b；③若a＞0，b＞0，则；④若a＞0，b＞0，则ln+（a+b）≤ln+a+ln+b+ln2．其中的真命题有（写出所有真命题的序号）三．解答题：本大题共6小题，共74分，17．（12分）某小组共有A、B、C、D、E五位同学，他们的身高（单位：米）以及体重指标（单位：千克/米2）如表所示：（Ⅰ）从该小组身高低于1.80的同学中任选2人，求选到的2人身高都在1.78以下的概率（Ⅱ）从该小组同学中任选2人，求选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5，23.9）中的概率．18．（12分）设函数f（x）=﹣sin2ωx﹣sinωxcosωx（ω＞0），且y=f（x）的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为，（Ⅰ）求ω的值（Ⅱ）求f（x）在区间[]上的最大值和最小值．19．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，AB⊥AC，AB⊥PA，AB∥CD，AB=2CD，E，F，G，M，N分别为PB、AB、BC、PD、PC的中点．（Ⅰ）求证：CE∥平面PAD（Ⅱ）求证：平面EFG⊥平面EMN．20．（12分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，且S4=4S2，a2n=2a n+1．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设数列{b n}满足=1﹣，n∈N*，求{b n}的前n项和T n．21．（12分）已知函数f（x）=ax2+bx﹣lnx（a，b∈R）（Ⅰ）设a≥0，求f（x）的单调区间（Ⅱ）设a＞0，且对于任意x＞0，f（x）≥f（1）．试比较lna与﹣2b的大小．22．（14分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C的中心在原点O，焦点在x 轴上，短轴长为2，离心率为（Ⅰ）求椭圆C的方程（Ⅱ）A，B为椭圆C上满足△AOB的面积为的任意两点，E为线段AB的中点，射线OE交椭圆C与点P，设，求实数t的值．2013年山东省高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一．选择题：本题共12个小题，每题5分，共60分．1．（5分）（2013•山东）复数z=（i为虚数单位），则|z|（）A．25 B． C．5 D．【分析】化简复数z，然后求出复数的模即可．【解答】解：因为复数z==，所以|z|==．故选C．2．（5分）（2013•山东）已知集合A、B全集U={1、2、3、4}，且∁U（A∪B）={4}，B={1，2}，则A∩∁U B=（）A．{3}B．{4}C．{3，4}D．∅【分析】通过已知条件求出A∪B，∁U B，然后求出A∩∁U B即可．【解答】解：因为全集U={1.2.3.4．}，且∁U（A∪B）={4}，所以A∪B={1，2，3}，B={1，2}，所以∁U B={3，4}，所以A={3}或{1，3}或{3，2}或{1，2，3}．所以A∩∁U B={3}．故选A．3．（5分）（2013•山东）已知函数f（x）为奇函数，且当x＞0时，f（x）=x2+，则f（﹣1）=（）A．2 B．1 C．0 D．﹣2【分析】由条件利用函数的奇偶性和单调性的性质可得f（﹣1）=﹣f（1），运算求得结果．【解答】解：∵已知函数f（x）为奇函数，且当x＞0时，f（x）=x2+，则f（﹣1）=﹣f（1）=﹣（1+1）=﹣2，故选D．4．（5分）（2013•山东）一个四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，其正（主）视图如图所示该四棱锥侧面积和体积分别是（）A．4，8 B．C．D．8，8【分析】由题意可知原四棱锥为正四棱锥，由四棱锥的主视图得到四棱锥的底面边长和高，则其侧面积和体积可求．【解答】解：因为四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，所以该四棱锥为正四棱锥，其主视图为原图形中的三角形PEF，如图，由该四棱锥的主视图可知四棱锥的底面边长AB=2，高PO=2，则四棱锥的斜高PE=．所以该四棱锥侧面积S=，体积V=．故选B．5．（5分）（2013•山东）函数f（x）=的定义域为（）A．（﹣3，0]B．（﹣3，1]C．（﹣∞，﹣3）∪（﹣3，0）D．（﹣∞，﹣3）∪（﹣3，1）【分析】由函数解析式可得1﹣2x≥0 且x+3＞0，由此求得函数的定义域．【解答】解：由函数f（x）=可得1﹣2x≥0 且x+3＞0，解得﹣3＜x≤0，故函数f（x）=的定义域为{x|﹣3＜x≤0}，故选A．6．（5分）（2013•山东）执行两次如图所示的程序框图，若第一次输入的a的值为﹣1.2，第二次输入的a的值为1.2，则第一次、第二次输出的a的值分别为（）A．0.2，0.2 B．0.2，0.8 C．0.8，0.2 D．0.8，0.8【分析】计算循环中a的值，当a≥1时不满足判断框的条件，退出循环，输出结果即可．【解答】解：若第一次输入的a的值为﹣1.2，满足上面一个判断框条件a＜0，第1次循环，a=﹣1.2+1=﹣0.2，第2次判断后循环，a=﹣0.2+1=0.8，第3次判断，满足上面一个判断框的条件退出上面的循环，进入下面的循环，不满足下面一个判断框条件a≥1，退出循环，输出a=0.8；第二次输入的a的值为1.2，不满足上面一个判断框条件a＜0，退出上面的循环，进入下面的循环，满足下面一个判断框条件a≥1，第1次循环，a=1.2﹣1=0.2，第2次判断后不满足下面一个判断框的条件退出下面的循环，输出a=0.2；故选C．7．（5分）（2013•山东）△ABC的内角A、B、C的对边分别是a、b、c，若B=2A，a=1，b=，则c=（）A．B．2 C．D．1【分析】利用正弦定理列出关系式，将B=2A，a，b的值代入，利用二倍角的正弦函数公式化简，整理求出cosA的值，再由a，b及cosA的值，利用余弦定理即可求出c的值．【解答】解：∵B=2A，a=1，b=，∴由正弦定理=得：===，∴cosA=，由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA，即1=3+c2﹣3c，解得：c=2或c=1（经检验不合题意，舍去），则c=2．故选B8．（5分）（2013•山东）给定两个命题p，q．若￢p是q的必要而不充分条件，则p是￢q的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】根据互为逆否命题真假性相同，可将已知转化为q是¬p的充分不必要条件，进而根据逆否命题及充要条件的定义得到答案．【解答】解：∵¬p是q的必要而不充分条件，∴q是¬p的充分不必要条件，即q⇒¬p，但¬p不能⇒q，其逆否命题为p⇒¬q，但¬q不能⇒p，则p是¬q的充分不必要条件．故选A．9．（5分）（2013•山东）函数y=xcosx+sinx的图象大致为（）A．B．C．D．【分析】给出的函数是奇函数，奇函数图象关于原点中心对称，由此排除B，然后利用区特值排除A和C，则答案可求．【解答】解：因为函数y=xcosx+sinx为奇函数，所以排除选项B，由当x=时，，当x=π时，y=π×cosπ+sinπ=﹣π＜0．由此可排除选项A和选项C．故正确的选项为D．故选D．10．（5分）（2013•山东）将某选手的9个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，7个剩余分数的平均分为91，现场做的9个分数的茎叶图后来有一个数据模糊，无法辨认，在图中以x表示：则7个剩余分数的方差为（）A． B．C．36 D．【分析】根据题意，去掉两个数据后，得到要用的7个数据，先根据这组数据的平均数，求出x，再用方差的个数代入数据和平均数，做出这组数据的方差．【解答】解：∵由题意知去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的数据是87，90，90，91，91，94，90+x．∴这组数据的平均数是=91，∴x=4．∴这这组数据的方差是（16+1+1+0+0+9+9）=．故选：B．11．（5分）（2013•山东）抛物线C1：的焦点与双曲线C2：的右焦点的连线交C1于第一象限的点M．若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线，则p=（）A．B．C．D．【分析】由曲线方程求出抛物线与双曲线的焦点坐标，由两点式写出过两个焦点的直线方程，求出函数在x取直线与抛物线交点M的横坐标时的导数值，由其等于双曲线渐近线的斜率得到交点横坐标与p的关系，把M点的坐标代入直线方程即可求得p的值．【解答】解：由，得x2=2py（p＞0），所以抛物线的焦点坐标为F（）．由，得，．所以双曲线的右焦点为（2，0）．则抛物线的焦点与双曲线的右焦点的连线所在直线方程为，即①．设该直线交抛物线于M（），则C1在点M处的切线的斜率为．由题意可知，得，代入M点得M（）把M点代入①得：．解得p=．故选：D．12．（5分）（2013•山东）设正实数x，y，z满足x2﹣3xy+4y2﹣z=0，则当取得最小值时，x+2y﹣z的最大值为（）A．0 B．C．2 D．【分析】将z=x2﹣3xy+4y2代入，利用基本不等式化简即可求得x+2y﹣z的最大值．【解答】解：∵x2﹣3xy+4y2﹣z=0，∴z=x2﹣3xy+4y2，又x，y，z为正实数，∴=+﹣3≥2﹣3=1（当且仅当x=2y时取“=”），即x=2y（y＞0），∴x+2y﹣z=2y+2y﹣（x2﹣3xy+4y2）=4y﹣2y2=﹣2（y﹣1）2+2≤2．∴x+2y﹣z的最大值为2．故选：C．二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分13．（4分）（2013•山东）过点（3，1）作圆（x﹣2）2+（y﹣2）2=4的弦，其中最短的弦长为2．【分析】由圆的方程找出圆心与半径，判断得到（3，1）在圆内，过此点最短的弦即为与过此点直径垂直的弦，利用垂径定理及勾股定理即可求出．【解答】解：根据题意得：圆心（2，2），半径r=2，∵=＜2，∴（3，1）在圆内，∵圆心到此点的距离d=，r=2，∴最短的弦长为2=2．故答案为：214．（4分）（2013•山东）在平面直角坐标系xOy中，M为不等式组所表示的区域上一动点，则直线|OM|的最小值为．【分析】首先根据题意做出可行域，欲求|OM|的最小值，由其几何意义为点O （0，0）到直线x+y﹣2=0距离为所求，代入点到直线的距离公式计算可得答案．【解答】解：如图可行域为阴影部分，由其几何意义为点O（0，0）到直线x+y﹣2=0距离，即为所求，由点到直线的距离公式得：d==，则|OM|的最小值等于．故答案为：．15．（4分）（2013•山东）在平面直角坐标系xOy中，已知，，若∠ABO=90°，则实数t的值为5．【分析】利用已知条件求出，利用∠ABO=90°，数量积为0，求解t的值即可．【解答】解：因为知，，所以=（3，2﹣t），又∠ABO=90°，所以，可得：2×3+2（2﹣t）=0．解得t=5．故答案为：5．16．（4分）（2013•山东）定义“正对数”：ln+x=，现有四个命题：①若a＞0，b＞0，则ln+（a b）=bln+a；②若a＞0，b＞0，则ln+（ab）=ln+a+ln+b；③若a＞0，b＞0，则；④若a＞0，b＞0，则ln+（a+b）≤ln+a+ln+b+ln2．其中的真命题有①③④（写出所有真命题的序号）【分析】由题意，根据所给的定义及对数的运算性质对四个命题进行判断，由于在不同的定义域中函数的解析式不一样，故需要对a，b分类讨论，判断出每个命题的真假．【解答】解：（1）对于①，由定义，当a≥1时，a b≥1，故ln+（a b）=ln（a b）=blna，又bln+a=blna，故有ln+（a b）=bln+a；当a＜1时，a b＜1，故ln+（a b）=0，又a＜1时bln+a=0，所以此时亦有ln+（a b）=bln+a，故①正确；（2）对于②，此命题不成立，可令a=2，b=，则ab=，由定义ln+（ab）=0，ln+a+ln+b=ln2，所以ln+（ab）≠ln+a+ln+b，故②错误；（3）对于③，i．≥1时，此时≥0，当a≥b≥1时，ln+a﹣ln+b=lna﹣lnb=，此时则，命题成立；当a＞1＞b＞0时，ln+a﹣ln+b=lna，此时，＞lna，则，命题成立；当1＞a≥b＞0时，ln+a﹣ln+b=0，成立；ii．＜1时，同理可验证是正确的，故③正确；（4）对于④，当a≥1，b≥1时，ln+（a+b）=ln（a+b），ln+a+ln+b+ln2=lna+lnb+ln2=ln（2ab），∵a+b﹣2ab=a﹣ab+b﹣ab=a（1﹣b）+b（1﹣a）≤0，∴a+b≤2ab，∴ln（a+b）＜ln（2ab），∴ln+（a+b）≤ln+a+ln+b+ln2．当a＞1，0＜b＜1时，ln+（a+b）=ln（a+b），ln+a+ln+b+ln2=lna+ln2=ln（2a），∵a+b﹣2a=b﹣a≤0，∴a+b≤2a，∴ln（a+b）＜ln（2a），∴ln+（a+b）≤ln+a+ln+b+ln2．当b＞1，0＜a＜1时，同理可证ln+（a+b）≤ln+a+ln+b+ln2．当0＜a＜1，0＜b＜1时，可分a+b≥1和a+b＜1两种情况，均有ln+（a+b）≤ln+a+ln+b+ln2．故④正确．故答案为①③④．三．解答题：本大题共6小题，共74分，17．（12分）（2013•山东）某小组共有A、B、C、D、E五位同学，他们的身高（单位：米）以及体重指标（单位：千克/米2）如表所示：（Ⅰ）从该小组身高低于1.80的同学中任选2人，求选到的2人身高都在1.78以下的概率（Ⅱ）从该小组同学中任选2人，求选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5，23.9）中的概率．【分析】（Ⅰ）写出从身高低于1.80的同学中任选2人，其一切可能的结果组成的基本事件，查出选到的2人身高都在1.78以下的事件，然后直接利用古典概型概率计算公式求解；．（Ⅱ）写出从该小组同学中任选2人，其一切可能的结果组成的基本事件，查出选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5，23.9）中的事件，利用古典概型概率计算公式求解．【解答】（Ⅰ）从身高低于1.80的同学中任选2人，其一切可能的结果组成的基本事件有：（A，B），（A，C），（A，D），（B，C），（B，D），（C，D）共6个．由于每个同学被选到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．选到的2人身高都在1.78以下的事件有：（A，B），（A，C），（B，C）共3个．因此选到的2人身高都在1.78以下的概率为p=；（Ⅱ）从该小组同学中任选2人，其一切可能的结果组成的基本事件有：（A，B），（A，C），（A，D），（A，E），（B，C），（B，D），（B，E），（C，D），（C，E），（D，E）共10个．由于每个同学被选到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5，23.9）中的事件有：（C，D）（C，E），（D，E）共3个．因此选到的2人的身高都在 1.70以上且体重指标都在[18.5，23.9）中的概率p=．18．（12分）（2013•山东）设函数f（x）=﹣sin2ωx﹣sinωxcosωx（ω＞0），且y=f（x）的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为，（Ⅰ）求ω的值（Ⅱ）求f（x）在区间[]上的最大值和最小值．【分析】（Ⅰ）通过二倍角的正弦函数与余弦函数化简函数为一个角的一个三角函数的形式，利用函数的正确求出ω的值（Ⅱ）通过x 的范围求出相位的范围，利用正弦函数的值域与单调性直接求解f （x）在区间[]上的最大值和最小值．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=﹣sin2ωx﹣sinωxcosωx===．因为y=f（x）的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为，故周期为π又ω＞0，所以，解得ω=1；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，f（x）=﹣sin（2x﹣），当时，，所以，因此，﹣1≤f（x），所以f（x）在区间[]上的最大值和最小值分别为：．19．（12分）（2013•山东）如图，四棱锥P﹣ABCD中，AB⊥AC，AB⊥PA，AB∥CD，AB=2CD，E，F，G，M，N分别为PB、AB、BC、PD、PC的中点．（Ⅰ）求证：CE∥平面PAD（Ⅱ）求证：平面EFG⊥平面EMN．【分析】（Ⅰ）取PA的中点H，则由条件可得HE和CD平行且相等，故四边形CDHE为平行四边形，故CE∥DH．再由直线和平面平行的判定定理证明CE∥平面PAD．（Ⅱ）先证明MN⊥平面PAC，再证明平面EFG∥平面PAC，可得MN⊥平面EFG，而MN在平面EMN内，利用平面和平面垂直的判定定理证明平面EFG⊥平面EMN．【解答】解：（Ⅰ）证明：∵四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，AB=2CD，E，F，G，M，N分别为PB、AB、BC、PD、PC的中点，取PA的中点H，则由HE∥AB，HE=AB，而且CD∥AB，CD=AB，可得HE和CD平行且相等，故四边形CDHE为平行四边形，故CE∥DH．由于DH在平面PAD内，而CE不在平面PAD内，故有CE∥平面PAD．（Ⅱ）证明：由于AB⊥AC，AB⊥PA，而PA∩AC=A，可得AB⊥平面PAC．再由AB∥CD可得，CD⊥平面PAC．由于MN是三角形PCD的中位线，故有MN∥CD，故MN⊥平面PAC．由于EF为三角形PAB的中位线，可得EF∥PA，而PA在平面PAC内，而EF不在平面PAC内，故有EF∥平面PAC．同理可得，FG∥平面PAC．而EF 和FG是平面EFG内的两条相交直线，故有平面EFG∥平面PAC．∴MN⊥平面EFG，而MN在平面EMN内，故有平面EFG⊥平面EMN．20．（12分）（2013•山东）设等差数列{a n}的前n项和为S n，且S4=4S2，a2n=2a n+1．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设数列{b n}满足=1﹣，n∈N*，求{b n}的前n项和T n．【分析】（Ⅰ）设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，由S4=4S2，a2n=2a n+1得到关于a1与d的方程组，解之即可求得数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，a n=2n﹣1，继而可求得b n=，n∈N*，于是T n=+++…+，利用错位相减法即可求得T n．【解答】解：（Ⅰ）设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，由S4=4S2，a2n=2a n+1得：，解得a1=1，d=2．∴a n=2n﹣1，n∈N*．（Ⅱ）由已知++…+=1﹣，n∈N*，得：当n=1时，=，当n≥2时，=（1﹣）﹣（1﹣）=，显然，n=1时符合．∴=，n∈N*由（Ⅰ）知，a n=2n﹣1，n∈N*．∴b n=，n∈N*．又T n=+++…+，∴T n=++…++，两式相减得：T n=+（++…+）﹣=﹣﹣∴T n=3﹣．21．（12分）（2013•山东）已知函数f（x）=ax2+bx﹣lnx（a，b∈R）（Ⅰ）设a≥0，求f（x）的单调区间（Ⅱ）设a＞0，且对于任意x＞0，f（x）≥f（1）．试比较lna与﹣2b的大小．【分析】（Ⅰ）由函数的解析式知，可先求出函数f（x）=ax2+bx﹣lnx的导函数，再根据a≥0，分a=0，a＞0两类讨论函数的单调区间即可；（Ⅱ）由题意当a＞0时，是函数的唯一极小值点，再结合对于任意x＞0，f（x）≥f（1）．可得出=1化简出a，b的关系，再要研究的结论比较lna与﹣2b的大小构造函数g（x）=2﹣4x+lnx，利用函数的最值建立不等式即可比较大小【解答】解：（Ⅰ）由f（x）=ax2+bx﹣lnx（a，b∈R）知f′（x）=2ax+b﹣又a≥0，故当a=0时，f′（x）=若b≤0时，由x＞0得，f′（x）＜0恒成立，故函数的单调递减区间是（0，+∞）；若b＞0，令f′（x）＜0可得x＜，即函数在（0，）上是减函数，在（，+∞）上是增函数、所以函数的单调递减区间是（0，），单调递增区间是（，+∞），当a＞0时，令f′（x）=0，得2ax2+bx﹣1=0由于△=b2+8a＞0，故有x2=，x1=显然有x1＜0，x2＞0，故在区间（0，）上，导数小于0，函数是减函数；在区间（，+∞）上，导数大于0，函数是增函数综上，当a=0，b≤0时，函数的单调递减区间是（0，+∞）；当a=0，b＞0时，函数的单调递减区间是（0，），单调递增区间是（，+∞）；当a＞0，函数的单调递减区间是（0，），单调递增区间是（，+∞）（Ⅱ）由题意，函数f（x）在x=1处取到最小值，由（1）知，是函数的唯一极小值点故=1整理得2a+b=1，即b=1﹣2a令g（x）=2﹣4x+lnx，则g′（x）=令g′（x）==0得x=当0＜x＜时，g′（x）＞0，函数单调递增；当＜x＜+∞时，g′（x）＜0，函数单调递减因为g（x）≤g（）=1﹣ln4＜0故g（a）＜0，即2﹣4a+lna=2b+lna＜0，即lna＜﹣2b22．（14分）（2013•山东）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C的中心在原点O，焦点在x轴上，短轴长为2，离心率为（Ⅰ）求椭圆C的方程（Ⅱ）A，B为椭圆C上满足△AOB的面积为的任意两点，E为线段AB的中点，射线OE交椭圆C与点P，设，求实数t的值．【分析】（Ⅰ）设椭圆的标准方程为，焦距为2c．由题意可得，解出即可得到椭圆的方程．（Ⅱ）由题意设直线AB的方程为x=my+n，代入椭圆方程x2+2y2=2，化为（m2+2）y2+2mny+n2﹣2=0，利用判别式、根与系数的关系即可得到弦长|AB|，再利用点到直线的距离公式即可得到原点O到直线AB的距离，进而得到三角形AOB的面积，利用即可得到m，n，t的关系，再利用，及中点坐标公式即可得到点P的坐标代入椭圆的方程可得到m，n，t的关系式与上面得到的关系式联立即可得出t的值．【解答】解：（Ⅰ）由题意设椭圆的标准方程为，焦距为2c．则，解得，∴椭圆的方程为．（Ⅱ）由题意设直线AB的方程为x=my+n，代入椭圆方程x2+2y2=2，化为（m2+2）y2+2mny+n2﹣2=0，则△=4m2n2﹣4（m2+2）（n2﹣2）=4（2m2+4﹣2n2）＞0，（*），，∴|AB|===．原点O到直线AB的距离d=，∵，∴=，化为．（**）另一方面，=，∴x E=my E+n==，即E．∵，∴．代入椭圆方程得，化为n2t2=m2+2，代入（**）得，化为3t4﹣16t2+16=0，解得．∵t＞0，∴．经验证满足（*）．当AB∥x轴时，设A（u，v），B（﹣u，v），E（0，v），P（0，±1）．（u＞0）．则，，解得，或．又，∴，∴．综上可得：．。
2013年全国普通高等学校招生统一考试文科数学(山东卷带解析)答案解析docx
2013年全国普通高等学校招生统一考试文科（山东卷）数学试题1、【答案】C【解析】【考点定位】本题考查复数的基本概念和运算，通过分母实数化思想来考查运算能力,要注意在运算中多次出现，符号确定容易出错.2、【答案】A【解析】,因为，所以中必有元素，【考点定位】本题考查集合的交集、并集和补集运算，考查推理判断能力.对于，这两个条件，可以判断集合中的元素有三种情形，而指出中必有元素，简化了运算，使结果判断更容易.3、【答案】D【解析】【考点定位】本题考查函数的奇偶性的应用，考查运算求解能力和转化思想. 根据直接运算而若求在上的解析式再求便“多余”了.【答案】B【解析】由正视图可知该四棱锥为正四棱锥，底面边长为，高为，侧面上的斜高为，所以【考点定位】本题考查三视图的应用，考查空间想象能力和运算能力. 因求体积的影响，可能会把求侧面积误认为全面积而选C. 此外棱锥体积运算时不要漏乘5、【答案】A【解析】由题意得，所以【考点定位】本题考查函数的定义域的求法，考查数形结合思想和运算能力. 根据函数解析式确定函数的定义域，往往涉及到被开放数非负、分母不能为零，真数为正等多种特殊情形，然后通过交集运算确定.6、【答案】C【解析】两次运行结果如下：第一次第二次【考点定位】本题考查程序框图的运行途径，考查读图能力和运算能力. 本题不同于以往所见试题，两次运行程序输出结果.针对类似问题可根据框图中的关键“部位”进行数据罗列，从而确定正确的输出结果.【答案】B【解析】,所以，整理得求得或若，则三角形为等腰三角形，不满足内角和定理，排除. 【考点定位】本题考查正弦定理和余弦定理的应用，考查运算能力和分类讨论思想.当求出后，要及时判断出，便于三角形的初步定型，也为排除提供了依据.如果选择支中同时给出了或，会增大出错率.8、【答案】A【解析】由且可得且，所以是的充分不必要条件.【考点定位】本题考查充分必要条件的判断，通过等价命题的转化化难为易，也渗透了转化思想的考查. 本题依据原命题的逆否命题进行判断较为简单，也可以依据题目条件构造一个满足“是的必要而不充分条件”的简单例子，进行转化比较，从而确定答案.9、【答案】D【解析】函数在时为负，排除A,由奇函数的性质可排除B，再比较C,D，不难发现在取接近于的正值时排除C.【考点定位】本题考查函数的奇偶性、函数的单调性、函数的值域等函数的重要性质，考查了函数图象的识别能力.本题可根据函数的性质对比图象进行逐一验证，若通过求导方法来研究该函数的图象和性质后再做准确判断，增加了运算负担.10、【答案】B【解析】由图可知去掉的两个数是，所以，【考点定位】本题考查茎叶图的识别、方差运算能统计知识，考查数据处理能力和运算能力. 确定被去掉的数据是解题的关键，本题给出的数据中最大，即便是处理方差运算时要对方差概念牢固掌握，避免与标准差混淆误选D.11、【答案】D【解析】画图可知被在点M处的切线平行的渐近线方程应为，设，则利用求导得又点共线，即点共线，所以，解得所以【考点定位】本题考查了抛物线和双曲线的概念、性质和导数的意义，进一步考查了运算求解能力.这一方程形式为导数法研究提供了方便，本题“切线”这一信号更加决定了“求导”是“必经之路”.根据三点共线的斜率性质构造方程，从而确定抛物线方程形式,此外还要体会这种设点的意义所在.12、【答案】C【解析】当且仅当时成立，因此所以【考点定位】本题考查基本不等式的应用，考查运算求解能力、推理论证能力和转化思想、函数和方程思想. 基本不等式的使用价值在于简化最值确定过程，而能否使用基本不等式的关键是中的是否为定值，本题通过得以实现.13、【答案】【解析】最短弦为过点与圆心连线的垂线与圆相交而成，，所以最短弦长为【考点定位】本题考查直线和圆的位置关系，考查数形结合思想和运算能力. 圆的半径、弦心距、半弦构成的直角三角形在解决直线和圆问题常常用到，本题只需要简单判断最短弦的位置就能轻松解答,有时候可能会出现点到直线的距离公式来求弦心距的长度.14、【答案】【解析】确定可行域为点形成的三角形，因此的最小值为点到直线的距离，所以【考点定位】本题考查线性规划下的最值求法，考查数形结合思想、图形处理能力和运算能力. 线性规划问题的重点是确定可行域，要根据已知条件逐一画出直线并代点验证从而确定区域位于直线的某一侧，类比集合的交集运算确定公共部分,再按照研究方向求得结果.15、【答案】【解析】,所以【考点定位】本题考查平面向量的加减坐标运算和数量积坐标运算，考查转化思想和运算能力. 本题通过进行运算极易想到，但求时往往出现坐标的“倒减”，虽然不影响运算的结果，被填空题型所掩盖，但在解答题中就会被发现.16、【答案】①③④【解析】对于①可分几种情形加以讨论，显然时，依运算，成立，时亦成立.若，则成立.综合①正确.对于②可取特殊值验证排除.对于③分别研究在内的不同取值，可以判断正确；对于④根据在内的不同取值，进行判断，显然中至少有一个小于结论成立，当均大于时，，所以满足运算，结论成立.【考点定位】本题通过新定义考查分析问题解决问题的能力，考查了分类讨论思想，并对推理判断能力和创新意识进行了考查. “正对数”与“普通对数”的差异只在于内，因此在取值验证时要特别注意这一“差异”，对于“正对数”的四则运算法则才能作出正确判断.17、【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)【解析】（I）可得到满足条件的基本事件有种情形，目标事件只有种，所以选到的人都在以下的概率为(II)把研究学生的人数扩大到人，基本事件个数增加到，并且要通过身高和体重两方面的限制确定目标事件,因此选到的人的身高都在以上且体重指标都在中的概率为【考点定位】本题考查古典概型的运算，通过对基本事件和目标事件的罗列考查数据处理能力和运算能力. 判断为古典概型后，根据题意罗列可能的结果组成的基本事件是关键.由于本题的两个问题研究的对象发生变化，在寻找基本事件和目标事件时要做到不重不漏.18、【答案】(Ⅰ) (Ⅱ) ，.【解析】因为图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为，又，所以（II）由（I）知，当时，，所以因此故在区间上的最大值和最小值分别为，.【考点定位】.本题考查三角函数的图象和性质，通过三角恒等变换考查转化思想和运算能力.第一问先逆用倍角公式化为的形式，再利用图象研究周期关系，从而确定第二问在限制条件下求值域，需要通过不等式的基本性质先求出的取值范围再进行求解.式子结构复杂，利用倍角公式简化时要避免符号出错导致式子结构不能形成这一标准形式，从而使运算陷入困境.19、【答案】见解析【解析】（I）取的中点，连接因为为的中点，所以，又,所以因此四边形是平行四边形.所以又平面，平面，因此平面.另解：连结.因为为的中点，所以又所以又，所以四边形为平行四边形，因此. 又平面，所以平面.因为分别为的中点，所以又平面，所以平面.因为，所以平面平面.（II）证明因为分别为的中点，所以，又因为，所以同理可证.又,平面，平面，因此平面.又分别为的中点，所以.又，所以因此平面，又平面，所以平面平面.【考点定位】本题考查空间直线与平面，平面与平面间的位置关系，考查推理论证能力和空间想象能力.要证平面，可证明平面与所在的某个平面平行，不难发现平面平面.证明平面平面时，可选择一个平面内的一条直线（）与另一个平面垂直.线面关系与面面关系的判断离不开判定定理和性质定理，而形成结论的“证据链”依然是通过挖掘题目已知条件来实现的，如图形固有的位置关系，中点形成的三角形的中位线等，都为论证提供了丰富的素材.20、【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)【解析】(I) 设等差数列的首项为，公差为.由,得，解得因此(Ⅱ) 由可得当时，，当时，所以又，两式相减得所以【考点定位】本题考查等差数列的通项公式、错位相减求和方法，考查方程思想、转化思想和运算能力、推理论证能力.根据已知条件列出关于首项和公差的方程组，从而确该数列的通项公式，这一问相对简单，第二问通过递推关系得到数列的通项公式后再按照错位相减方法转化为等比数列的求和运算进行解决.本题第二问的条件因其结构复杂在使用上形成障碍，如果表示为数列的前项和的形式，则不难想到利用这一熟悉结构来处理.21、【答案】(Ⅰ) 单调递减区间是，单调递增区间是(Ⅱ)【解析】(Ⅰ)由得（1）当时，(i)若，当时，恒成立，所以函数的单调递减区间是.(ii)若，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增.所以的单调递减区间是，单调递增区间是（2）当时，令得，由得显然当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增.所以函数的单调递减区间是，单调递增区间是.(Ⅱ)由题意知函数在处取得最小值，由（I）知是的唯一极小值点，故，整理得，令则由得当时，，单调递增；当时，，单调递减.因此故，即即【考点定位】本题考查导数法研究函数的单调性和相关函数值的大小比较，考查分类讨论思想、推理论证能力和运算求解能力.函数的单调区间判断必然通过导数方法来解决，伴随而来的是关于的分类讨论.比较与的大小时要根据已知条件和第一问的知识储备，构造新的函数利用单调性直接运算函数值得到结论.本题具备导数研究函数单调性的特征，必然按照程序化运行，即求导、关于参数分类讨论、确定单调区间等步骤进行.而第二问则是在第一问的基础上进一步挖掘解题素材，如隐含条件的发现、新函数的构造等，都为解决问题提供了有力支持.22、【答案】(I) (Ⅱ) 或【解析】(I)设椭圆的方程为,由题意知，解得因此椭圆的方程为(II)（1）当两点关于轴对称时，设直线的方程为，由题意知或，将代入椭圆方程得.所以解得或.又，因为为椭圆上一点，所以，或又因为所以或（2）当两点关于轴不对称时，设直线的方程为，将其代入椭圆方程得.设，由判别式可得，此时所以，因为点到直线的距离为，所以令，则解得或，即或.又，因为为椭圆上一点，所以，即，所以或又因为所以或经检验，适合题意.综上可知或【考点定位】本题基于椭圆问题综合考查椭圆的方程、直线和椭圆的位置关系、平面向量的坐标运算等知识，考查方程思想、分类讨论思想、推理论证能力和运算求解能力.第一问通过椭圆的性质确定其方程，第二问根据两点关于轴的对称关系进行分类讨论，分别设出直线的方程，通过联立、判断、消元等一系列运算“动作”达成目标.本题极易简单考虑设直线的形式而忽略斜率不存在的情况造成漏解.在联立方程得到后，后续运算会多次出现这一式子，换元简化运算不失为一种好方法，令，搭建了与的桥梁，使坐标的代入运算更为顺畅，使“化繁为简”这一常用原则得以完美呈现。
2013年山东高考数学试题及答案 (文科)
2013年山东高考数学试题及答案 (文科)一、选择题1． 复数z ＝（2－i ）2i(i 为虚数单位)，则|z|＝( )A ．25 B.41 C ．5 D. 51．C [解析] ∵z ＝（2－i ）2i ＝i （2－i ）2i 2＝－4－3i ，∴|z|＝()－42＋()－32＝5.2． 已知集合A ，B 均为全集U ＝{1，2，3，4}的子集，且∁U (A ∪B)＝{4}，B ＝{1，2}，则A ∩∁U B ＝( )A ．{3}B ．{4}C ．{3，4}D ．2．A [解析] ∵U ＝{1，2，3，4}，∁U (A ∪B)＝{4}，∴A ∪B ＝{1，2，3}，又∵B ＝{1，2}，∴{3}A {1，2，3}，∴∁U B ＝{3，4}，A ∩∁U B ＝{3}．3． 已知函数f(x)为奇函数，且当x>0时，f(x)＝x 2＋1x，则f(－1)＝( )A ．2B ．1C ．0D ．－23．D [解析] ∵f(x)为奇函数，∴f(－1)＝－f(1)＝－⎝⎛⎭⎫12＋11＝－2. 4． 一个四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，其正(主)视图如图1－1所示，则该四棱锥侧面积和体积分别是( )图1－1A ．4 5，8B ．4 5，83C ．4(5＋1)，83D ．8，84．B [解析] 由正视图知该几何体的高为2，底面边长为2，斜高为22＋1＝5，∴侧面积＝4³12³2³5＝4 5，体积为13³2³2³2＝83.5． 函数f(x)＝1－2x ＋1x ＋3的定义域为( )A ．(－3，0]B ．(－3，1]C ．(－∞，－3)∪(－3，0]D ．(－∞，－3)∪(－3，1]5．A [解析] 要使函数有意义，须有⎩⎪⎨⎪⎧1－2x≥0，x ＋3>0，解之得－3<x ≤0.图1－26． 执行两次图1－2所示的程序框图，若第一次输入的a 的值为－1.2，第二次输入的a 的值为1.2，则第一次、第二次输出的a 的值分别为( )A ．0.2，0.2B ．0.2，0.8C ．0.8，0.2D ．0.8，0.86．C [解析] 当a ＝－1.2时，执行第一个循环体，a ＝－1.2＋1＝－0.2<0再执行一次第一个循环体，a ＝－0.2＋1＝0.8，第一个循环体结束，输出；当a ＝1.2时，执行第二个循环体，a ＝1.2－1＝0.2，输出．7． △ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.若B ＝2A ，a ＝1，b ＝3，则c ＝( )A ．2 3B ．2 C. 2 D ．17．B [解析] 由正弦定理a sinA ＝b sinB ，即1sinA ＝3sinB ＝32sinAcosA ，解之得cosA ＝32，∴A ＝π6，B ＝π3，C ＝π2，∴c ＝a 2＋b 2＝()32＋12＝2.8． 给定两个命题p ，q ，若⌝p 是q 的必要而不充分条件，则p 是⌝q 的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8．A [解析] ∵“若q ，则⌝p ”与“若p ，则⌝q ”互为逆否命题，又“若q ，则⌝p ”为真命题，故p 是⌝q 的充分而不必要条件．9． 函数y ＝xcos x ＋sin x 的图像大致为( )图1－39．D [解析] ∵f(－x)＝－xcos(－x)＋sin(－x)＝－(xcos x ＋sin x)＝－f(x)，∴y ＝xcos x＋sin x 为奇函数，图像关于原点对称，排除选项B ，当x ＝π2，y ＝1>0，x ＝π，y ＝－π<0，故选D.10． 将某选手的9个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，7个剩余分数的平均分为91.现场作的9个分数的茎叶图后来有1个数据模糊，无法辨认，在图中以x 表示．则7个剩余分数的方差为( )8 7 7 9 4 0 1 0 x 9 1图1－4A.1169B.367C ．36 D.6 7710．B [解析] 由题得91³7＝87＋90³2＋91³2＋94＋90＋x ，解得x ＝4，剩余7个数的方差s 2＝17[(87－91)2＋2(90－91)2＋2(91－91)2＋2(94－91)2]＝367.11．， 抛物线C 1：y ＝12p x 2(p>0)的焦点与双曲线C 2：x23－y 2＝1的右焦点的连线交C 1于第一象限的点M.若C 1在点M 处的切线平行于C 2的一条渐近线，则p ＝( )A.316B.38C.2 33D.4 3311．D [解析] 抛物线C 1：y ＝12p x 2()p>0的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫0，p 2，双曲线x 23－y 2＝1的右焦点坐标为(2，0)，连线的方程为y ＝－p4(x －2)，联立⎩⎨⎧y ＝－p4（x －2），y ＝12px 2得2x 2＋p 2x －2p 2＝0.设点M 的横坐标为a ，则在点M 处切线的斜率为.又∵双曲线x 23－y 2＝1的渐近线方程为x 3±y ＝0，其与切线平行，∴a p ＝33，即a ＝33p ，代入2x 2＋p 2x －2p 2＝0得，p ＝4 33或p ＝0(舍去)．12． 设正实数x ，y ，z 满足x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0，则当zxy取得最小值时，x ＋2y －z 的最大值为( )A ．0 B.98C ．2 D.9412．C [解析] 由题意得z ＝x 2－3xy ＋4y 2，∴z xy ＝x 2－3xy ＋4y 2xy ＝x y ＋4y x －3≥2 x y ·4y x－3＝1， 当且仅当x y ＝4yx，即x ＝2y 时，等号成立，∴x ＋2y －z ＝2y ＋2y －()4y 2－6y 2＋4y 2＝－2(y －1)2＋2≤2.13． 过点(3，1)作圆(x －2)2＋(y －2)2＝4的弦，其中最短弦的长为________．13．2 2 [解析] 设弦与圆的交点为A 、B ，最短弦长以(3，1)为中点，由垂径定理得⎝⎛⎭⎫|AB|22＋(3－2)2＋(2－1)2＝4，解之得|AB|＝2 2. 14． 在平面直角坐标系xOy 中，M 为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y －6≤0，x ＋y －2≥0，y ≥0所表示的区域上一动点，则|OM|的最小值是________．14.2 [解析] 可行域如图，当OM 垂直于直线x ＋y －2＝0时，|OM|最小，故|OM|＝|0＋0－2|1＋1＝ 2.图1－5 15． 在平面直角坐标系xOy 中，已知OA →＝(－1，t)，OB →＝(2，2)．若∠ABO ＝90°，则实数t 的值为________．15．5 [解析] 由题意得AB →＝OB →－OA →＝(3，2－t)，又∵∠ABO ＝90°，∴OB →²AB →＝2³3＋2(2－t)＝0，解得t ＝5.16．， 定义“正对数”：ln ＋x ＝⎩⎪⎨⎪⎧0，0<x<1，ln x ，x ≥1.现有四个命题：①若a>0，b>0，则ln ＋(a b )＝bln ＋a ；②若a>0，b>0，则ln ＋(ab)＝ln a ＋ln ＋b ；③若a>0，b>0，则ln ＋(a b )≥ln ＋a －ln ＋b ；④若a>0，b>0，则ln ＋(a ＋b)≤ln ＋a ＋ln ＋b ＋ln 2. 其中的真命题有________．(写出所有真命题的编号)16．①③④ [解析] ①中，当a b ≥1时，∵b>0，∴a ≥1，ln ＋a b ＝ln a b ＝bln a ＝bln ＋a ；当0<a b <1时，∵b>0，∴0<a<1，ln ＋a b ＝bln ＋a ＝0，∴①正确．②中，当0<ab<1，且a>1时，左边＝ln ＋(ab)＝0，右边＝ln ＋a ＋ln ＋b ＝ln a ＋0＝ln a>0，∴②不成立．③中，当a b ≤1，即a ≤b 时，左边＝0，右边＝ln ＋a －ln ＋b ≤0，左边≥右边，成立；当a b >1时，左边＝ln ab＝ln a －ln b>0，若a>b>1时，右边＝ln a －ln b ，左边≥右边成立；若0<b<a<1时，右边＝0, 左边≥右边成立；若a>1>b>0，左边＝ln ab＝ln a －ln b>ln a ，右边＝ln a ，左边≥右边成立，∴③正确．④中，若0<a ＋b<1，左边＝ln ＋(a ＋b)＝0，右边＝ln ＋a ＋ln ＋b ＋ln 2＝ln 2>0，左边≤右边；若a ＋b ≥1，ln ＋(a ＋b)－ln 2＝ln(a ＋b)－ln 2＝ln ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2.又∵a ＋b 2≤a 或a ＋b 2≤b ，a ，b 至少有1个大于1，∴ln ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2≤ln a 或ln ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2≤ln b ，即有ln ＋(a ＋b)－ln 2＝ln (a ＋b)－ln 2＝ln ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2≤ln ＋a ＋ln ＋b ，∴④正确．17． 某小组共有A ，B ，C ，D ，E 五位同学，他们的身高(单位：米)及体重指标(单位：千克/米2)如下表所示：A B C D E身高1.69 1.73 1.75 1.79 1.82 体重指标19.2 25.1 18.5 23.3 20.9 (1)从该小组身高低于1.80的同学中任选2人，求选到的2人身高都在1.78以下的概率； (2)从该小组同学中任选2人，求选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5，23.9)中的概率．17．解：(1)从身高低于1.80的同学中任选2人，其一切可能的结果组成的基本事件有：(A ，B)，(A ，C)，(A ，D)，(B ，C)，(B ，D)，(C ，D)，共6个．由于每个人被选到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．选到的2人身高都在1.78以下的事件有：(A ，B)，(A ，C)，(B ，C)，共3个．因此选到的2人身高都在1.78以下的概率为P ＝36＝12.(2)从该小组同学中任选2人，其一切可能的结果组成的基本事件有：(A ，B)，(A ，C)，(A ，D)，(A ，E)，(B ，C)，(B ，D)，(B ，E)，(C ，D)，(C ，E)，(D ，E)，共10个．由于每个人被选到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．选到的2人身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5，23.9)中的事件有：(C ，D)，(C ，E)，(D ，E)，共3个．因此选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5，23.9)中的概率为P 1＝310.18．， 设函数f(x)＝32－3sin 2 ωx －sin ωx cos ωx (ω>0)，且y ＝f(x)图像的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4.(1)求ω的值；(2)求f(x)在区间[π，3π2]上的最大值和最小值．18．解：(1)f(x)＝32－3sin 2ωx －sin ωxcos ωx＝32－3²1－cos 2ωx 2－12sin 2ωx ＝32cos 2ωx －12sin 2ωx ＝－sin ⎝⎛⎭⎫2ωx －π3.因为图像的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4，又ω＞0，所以2π2ω＝4³π4.因此ω＝1.(2)由(1)知f(x)＝－sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3.当π≤x ≤3π2时，5π3≤2x －π3≤8π3.所以－32≤sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3≤1.因此－1≤f(x)≤32.故f(x)在区间⎣⎡⎦⎤π，3π2上的最大值和最小值分别为32，－1.19．， 如图1－5，四棱锥P —ABCD 中，AB ⊥AC ，AB ⊥PA ，AB ∥CD ，AB ＝2CD ，E ，F ，G ，M ，N 分别为PB ，AB ，BC ，PD ，PC 的中点．(1)求证：CE ∥平面PAD ；(2)求证：平面EFG ⊥平面EMN.图1－619．证明：(1)证法一：取PA 的中点H ，联结EH ，DH. 因为E 为PB 的中点，所以EH ∥AB ，EH ＝12AB.又AB ∥CD ，CD ＝12AB ，所以EH ∥CD ，EH ＝CD.因此四边形DCEH 是平行四边形． 所以CE ∥DH.又DH 平面PAD ，CE 平面PAD ， 因此CE ∥平面PAD.证法二：联结CF.因为F 为AB 的中点，所以AF ＝12AB.又CD ＝12AB ，所以AF ＝CD. 又AF ∥CD ，所以四边形AFCD 为平行四边形． 因此CF ∥AD.又CF 平面PAD ， 所以CF ∥平面PAD.因为E ，F 分别为PB ，AB 的中点， 所以EF ∥PA.又EF 平面PAD ， 所以EF ∥平面PAD. 因为CF ∩EF ＝F ，故平面CEF ∥平面PAD. 又CE 平面CEF ， 所以CE ∥平面PAD.(2)因为E ，F 分别为PB ，AB 的中点， 所以EF ∥PA. 又AB ⊥PA ， 所以AB ⊥EF.同理可证AB ⊥FG .又EF ∩FG ＝F ，EF 平面EFG ，FG 平面EFG ， 因此AB ⊥平面EFG .又M ，N 分别为PD ，PC 的中点， 所以MN ∥CD. 又AB ∥CD ， 所以MN ∥AB ， 因此MN ⊥平面EFG. 又MN 平面EMN ，所以平面EFG ⊥平面EMN.20． 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 4＝4S 2，a 2n ＝2a n ＋1. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足b 1a 1＋b 2a 2＋…＋b n a n ＝1－12n ，n ∈*，求{b n }的前n 项和T n .20．解：(1)设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d. 由S 4＝4S 2，a 2n ＝2a n ＋1得 ⎩⎪⎨⎪⎧4a 1＋6d ＝8a 1＋4d ，a 1＋（2n －1）d ＝2a 1＋2（n －1）d ＋1. 解得a 1＝1，d ＝2. 因此a n ＝2n －1，n ∈*.(2)由已知b 1a 1＋b 2a 2＋…＋b n a n ＝1－12n ，n ∈*，当n ＝1时，b 1a 1＝12；当n ≥2时，b n a n ＝1－12n －⎝⎛⎭⎫1－12n －1＝12n .所以b n a n ＝12n ，n ∈*.由(1)知a n ＝2n －1，n ∈*，所以b n ＝2n －12n ，n ∈*.又T n ＝12＋322＋523＋…＋2n －12n ，12T n ＝122＋323＋…＋2n －32n ＋2n －12n ＋1， 两式相减得12T n ＝12＋⎝⎛⎭⎫222＋223＋…＋22n －2n －12n ＋1 ＝32－12n －1－2n －12n ＋1， 所以T n ＝3－2n ＋32n .21． 已知函数f(x)＝ax 2＋bx －ln x (a ，b ∈)． (1)设a ≥0，求f(x)的单调区间；(2)设a>0，且对任意x>0，f(x)≥f(1)．试比较ln a 与－2b 的大小． 21．解：(1)由f(x)＝ax 2＋bx －ln x ，x ∈(0，＋∞)，得f′(x)＝2ax 2＋bx －1x.①当a ＝0时，f ′(x)＝bx －1x.(i)若b ≤0，当x ＞0时，f ′(x)＜0恒成立， 所以函数f(x)的单调递减区间是(0，＋∞)．(ii)若b ＞0，当0＜x ＜1b时，f ′(x)＜0，函数f(x)单调递减，当x ＞1b时，f ′(x)＞0，函数f(x)单调递增．所以，函数f(x)的单调递减区间是⎝⎛⎭⎫0，1b ，单调递增区间是⎝⎛⎭⎫1b ，＋∞. ②当a ＞0时，令f′(x)＝0， 得2ax 2＋bx －1＝0. 由Δ＝b 2＋8a ＞0得x 1＝－b －b 2＋8a 4a ，x 2＝－b ＋b 2＋8a 4a.显然，x 1＜0，x 2＞0.当0＜x ＜x 2时，f ′(x)＜0，函数f(x)单调递减； 当x ＞x 2时，f ′(x)＞0，函数f(x)单调递增．所以函数f(x)的单调递减区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－b ＋b 2＋8a 4a ，单调递增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫－b ＋b 2＋8a 4a ，＋∞.综上所述，当a ＝0，b ≤0时，函数f(x)的单调递减区间是(0，＋∞)；当a ＝0，b>0时，函数f(x)的单调递减区间是⎝⎛⎭⎫0，1b ，单调递增区间是⎝⎛⎭⎫1b ，＋∞； 当a>0时，函数f(x)的单调递减区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－b ＋b 2＋8a 4a ，单调递增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫－b ＋b 2＋8a 4a ，＋∞.(2)由题意，函数f(x)在x ＝1处取得最小值，由(1)知－b ＋b 2＋8a4a是f(x)的唯一极小值点，故－b ＋b 2＋8a 4a＝1，整理得2a ＋b ＝1，即b ＝1－2a. 令g(x)＝2－4x ＋ln x.则g′(x)＝1－4xx.令g′(x)＝0，得x ＝14.当0＜x ＜14时，g ′(x)＞0，g(x)单调递增；当x ＞14时，g ′(x)＜0，g(x)单调递减．因此g(x)≤g ⎝⎛⎭⎫14＝1＋ln 14＝1－ln 4＜0. 故g(a)＜0，即2－4a ＋ln a ＝2b ＋ln a ＜0， 即ln a ＜－2b. 22．， 在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 的中心在原点O ，焦点在x 轴上，短轴长为2，离心率为22.(1)求椭圆C 的方程；(2)A ，B 为椭圆C 上满足△AOB 的面积为64的任意两点，E 为线段AB 的中点，射线OE 交椭圆C 于点P.设OP →＝tOE →，求实数t 的值．22．解：(1)设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，故题意知⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝b 2＋c 2，c a ＝22，2b ＝2，解得a ＝2，b ＝1，因此椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)(i)当A ，B 两点关于x 轴对称时，设直线AB 的方程为x ＝m ，由题意－2＜m ＜0或0＜m ＜ 2.将x ＝m 代入椭圆方程x 22＋y 2＝1，得|y|＝2－m 22.所以S △AOB ＝|m|2－m 22＝64.解得m 2＝32或m 2＝12.①又OP →＝tOE →＝12t(OA →＋OB →)＝12t(2m ，0)＝(mt ，0)，因为P 为椭圆C 上一点，所以（mt ）22＝1.②由①②得 t 2＝4或t 2＝43，又因为t>0，所以t ＝2或t ＝2 33.(ii)当A ，B 两点关于x 轴不对称时， 设直线AB 的方程为y ＝kx ＋h.将其代入椭圆的方程x 22＋y 2＝1，得(1＋2k 2)x 2＋4khx ＋2h 2－2＝0， 设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)．由判别式Δ>0可得1＋2k 2>h 2，此时x 1＋x 2＝－4kh1＋2k 2，x 1x 2＝2h 2－21＋2k 2，y 1＋y 2＝k(x 1＋x 2)＋2h ＝2h1＋2k 2，所以|AB|＝1＋k 2（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝2 21＋k 21＋2k 2－h 21＋2k 2.因为点O 到直线AB 的距离d ＝|h|1＋k 2，所以S △AOB ＝12|AB|d＝12³2 21＋k 21＋2k 2－h 21＋2k 2|h|1＋k 2＝ 2 1＋2k 2－h 21＋2k 2|h|.又S △AOB ＝64，所以 2 1＋2k 2－h 21＋2k2|h|＝64.③ 令n ＝1＋2k 2，代入③整理得3n 2－16h 2n ＋16h 4＝0，解得n ＝4h 2或n ＝43h 2，即1＋2k 2＝4h 2或1＋2k 2＝43h 2.④又OP →＝tOE →＝12t(OA →＋OB →)＝12t(x 1＋x 2，y 1＋y 2)＝⎝⎛⎭⎫－2kht 1＋2k 2，ht 1＋2k 2，因为P 为椭圆C 上一点，所以t2⎣⎡⎦⎤12⎝⎛⎭⎫－2kh 1＋2k 22＋⎝⎛⎭⎫h 1＋2k 22＝1， 即h 21＋2k 2t 2＝1.⑤ 将④代入⑤得t 2＝4或t 2＝43，又知t>0，故t ＝2或t ＝2 33，经检验，适合题意． 综合(i)(ii)得t ＝2或t ＝。
2013山东高考数学文科试题(解析版)
2013年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）文科数学乐享玲珑，为中国数学增光添彩！免费玲珑3D 画板，全开放的几何教学软件，功能强大，好用实用参考公式：如果事件B A ,互斥，那么)()()(B P A P B A P +=+ 一．选择题:本题共12个小题，每题5分，共60分。
1．复数)()2(2为虚数单位i ii z -=，则=||z(A)25 (B) 41 (C)5 (D)5【答案】C【解析】（法一）由2(2)i z i -=得34(34)34431i i i i z i i i i --⋅+====--⋅-，∴ 22(4)(3)5z =-+-=. （法二）由2(2)i z i -=得22222(2)(2)22(1)5i i z i i i--===-=+-=．2．已知集合B A 、均为全集}4,3,2,1{=U 的子集，且(){4}U A B =U ð,{1,2}B =,则U A B =I ð(A){3} (B){4} (C){3,4} (D)∅【答案】A【解析】∵{}1,2,3,4U =，{}()4U C A B =U ，∴ {}1,2,3A B =U ，又∵{}1,2B =，∴ 3A ∈，且{}3,4U C B =，∴{}3U A C B =I ．3．已知函数)(x f 为奇函数，且当0>x 时，xx x f 1)(2+=，则=-)1(f (A)2 (B)1 (C)0 (D)-2 【答案】D【解析】∵ 当0x >时，21()f x x x =+，∴ 21(1)121f =+=，又∵()f x 为奇函数，∴ (1)(1)2f f -=-=-.4．一个四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，其正（主）视图如右图所示该四棱锥侧面积和体积分别是(A)45,8 (B) 845,3 (C) 84(51),3(D) 8,8【解析】由其正（主）视图可知2AB BC OP ===，在t R POE ∆中，侧面的高为22215PE =+=，∴该四棱的侧面积侧1425452S =⨯⨯⨯=；体积为锥2182233V =⨯⨯=．答案：B ．5．函数()123x f x x =-+的定义域为 (A)(-3，0] (B) (-3，1] (C) (,3)(3,0]-∞--U (D) (,3)(3,1]-∞--U 【答案】A【解析】要使函数()123xf x x =-+有意义，只须12030xx ⎧-≥⎨+>⎩，解得30x -<≤． 6．执行右边的程序框图，若第一次输入的a 的值为-1.2，第二次输入的a 的值为1.2，则第一次、第二次输出的a 的值分别为(A)0.2，0.2 (B) 0.2，0.8 (C) 0.8，0.2 (D) 0.8，0.8 【答案】C【解析】∵ 第一次输入的 1.20a =-<， 1.210.20a =-+=-<，0.210.80a =-+=>，∴ 第一次输出的a 值为0.8；∵第二次输入的 1.21a =>， 1.210.21a =-=<，∴ 第二次输出的a 值为0.2． 7．ABC ∆的内角A B C 、、的对边分别是a b c 、、， 若2B A =，1a =，3b =，则c =(A) 23 (B) 2 2 (D)1否是否 是开始 输入aa=a +1 a <0 a=a-1a ≥1 输出a 结束【解析】在ABC ∆中，∵ 2B A =，1a =，3b =，由正弦定理sin sin a b A B=得13sin A =，∴ 3cos A =，∵02A π<<，∴6A π=，263B ππ=⨯=，∴ 2C π=，∴在t R ABC ∆中，22(3)12c =+=．8．给定两个命题q p ,，p q ⌝是的必要而不充分条件，则p q ⌝是(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】∵p⌝是q的必要而不充分条件，∴且p q p ⌝⌝⇐q，等价于且q p q⌝⌝⇐p ，∴p 是q ⌝的充分而不必要条件．9．函数x x x y sin cos +=的图象大致为【答案】D【解析】∵ 函数cos sin y x x x =+为奇函数，∴答案B 不正确；∵ 06x π<<时，0y >，∴答案C 不正确；∵x π=时，0y <，∴答案A 不正确．10．将某选手的9个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，7个剩余分数的平均分为91，现场做的9个分数的茎叶图后来有一个数据模糊，无法辨认，在图中以x 表示：则7个剩余分数的方差为(A)1169 (B)367(C)36 (D)67 【答案】B【解析】∵ 7个剩余分数的平均分为91， ∴1(87949090919190)917x +++++++=，解得4x =， 8 7 79 4 0 1 0 9 1x∴ 7个剩余分数的方差为 221(8791)7s ⎡=-+⎣22(9491)(9091)-+-+ 22(9091)(9191)-+-+22(9191)(9491)⎤-+-⎦367=．11．抛物线)0(21:21>=p x py C 的焦点与双曲线222:13x C y -=的右焦点的连线交1C 于第一象限的点M ，若1C 在点M 处的切线平行于2C 的一条渐近线，则p =(A)163 (B)83 (C)332 (D) 334【答案】D【解析】抛物线211:(0)2C y x p p =>的焦点为(0,)2p F ，双曲线222:13x C y -=的右焦点为2(2,0)F ，∴ 直线2FF 的方程为122x y p +=，即420px y p +-=．由22420x py px y p ⎧=⎨+-=⎩消y 得222220x p x p +-=，解得1,2x =，∵ 0x >，∴x =又∵1y x p'=，∴1C 在点M处的切线斜率为1k p ==，∵双曲线222:13x C y -=的渐近线为y x =，∴3=，解得p =． 12．设正实数z y x ,,满足04322=-+-z y xy x ，则当zxy取得最大值时，2x y z +-的最大值为 (A)0 (B)98 (C)2 (D)94【答案】C【解析】∵正实数x，y，z满足22340x xy y z -+-=，∴223443z x xy y xy xy xy =-+≥-=，∴1z xy ≥．当zxy取得最小值时，xy z =且2x y =，∴ 22z y =，∵0y >，∴22222x y z y y y +-=+-22(1)22y =--+≤，所以2x y z +-的最大值为2．二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分13．过点(3，1)作圆22(2)(2)4x y -+-=的弦，其中最短的弦长为__________【答案】22【解析】圆22 (2)(2)4x y-+-=的圆心(2,2)C，半径为2r=，当点()，31P为弦的中点时，其弦最短，∴最短弦的长为2222(2)22-=．14．在平面直角坐标系xOy中，M为不等式组236020x yx yy+-≤⎧⎪+-≥⎨⎪≥⎩所表示的区域上一动点，则直线OM 的最小值为_______【答案】2．【解析】画出不等式组236020x yx yy+-≤⎧⎪+-≥⎨⎪≥⎩所表示的区域如图，当M点位于AB的中点N时，OM的值最小，最小值是2222⨯=．15．在平面直角坐标系xOy中，已知(1,)OA t=-u u u r，(2,2)OB=u u u r，若90oABO∠=，则实数t的值为______【答案】5．【解析】∵，(1)OA t=-u u u r，，(22)OB=u u u r，∴(2,2)AB OB OA=-=u u u r u u u r u u u r(1,)(3,2)t t--=-，又∵90ABO∠=o，∴AB OB⊥u u u r u u u r，∴232(2)0AB OB t⋅=⨯+⨯-=u u u r u u u r，解得5t=．16．定义“正对数”：0(01)lnln(1)xxx x+<<⎧=⎨≥⎩，，，现有四个命题：①若0,0>>ba，则aba b++=ln)(ln；②若0,0>>ba，则baab++++=lnln)(ln③若0,0>>ba，则baba+++-=lnln)(ln④若0,0>>ba，则2lnlnln)(ln++≤++++baba其中的真命题有____________(写出所有真命题的序号)【答案】①③④【解析】定义“正对数”：001ln ln 1x x x x +<<⎧=⎨≥⎩，对① 若0a >，0b >，则ln ()ln ba b a ++=；当01a <<，0b >时，01b a <<，左边=ln ()0ba +=，右边=ln 00b a b +=⨯=，命题成立； 当1a ≥，0b >时，1b a ≥，左边=ln ()ln()ln bba ab a +==，右边=ln ln b a b a +=，命题成立；所以①正确．对② 若0a >，0b >，则ln ()ln ln ab a b +++=+；当2a =，13b =时，2013ab <=<，左边=ln ()0ab +=，右边=ln200+>，所以命题②不正确．对③ 若0a >，0b >，则ln ()ln ln aa b b+++≥-；当1a b ≥≥时，1a b ≥，左边=ln ()ln ln ln a aa b b b+==-，右边=ln ln a b -，命题成立；当1b a ≥≥时，01a b <≤，左边=ln ()0ab +=，右边=ln ln 0a b -≤，命题成立；当10a b >>>时，1a b >，左边=ln ()ln ln ln ln a aa b a b b+==->，右边=ln 0ln a a -=，命题成立；当10b a >>>时，01a b <<，左边=ln ()0ab +=，右边=0ln 0b -<，命题成立； 当01b a <<<时，1a b >，左边=ln ()ln 0a ab b+=>，右边=000-=，命题成立；当01a b <<<时，01a b <<，左边=ln ()0ab+=，右边=000-=，命题成立；所以③正确．对④ 若0a >，0b >，则ln ()ln ln ln 2a b a b ++++≤++． 当1a ≥，1b ≥时，2a b +≥，左边=ln ()ln()a b a b ++=+，右边=ln ln ln 2ln ln ln 2ln(2)ln()ln()a b a b ab ab ab a b ++++=++==+≥+，命题成立；当1a ≥，01b <<时，1a b +>，左边=ln ()ln()a b a b ++=+，右边=ln ln ln 2ln 0ln 2ln(2)ln()a b a a a b ++++=++=>+，命题成立；当1b ≥，01a <<时，1a b +>，左边=ln ()ln()a b a b ++=+，右边=ln ln ln 20ln ln 2ln(2)ln()a b b b a b ++++=++=>+，命题成立；当01a <<，01b <<时，2a b +<，左边=0或左边=ln ()ln()a b a b ++=+ln2<，右边=ln ln ln 200ln 2ln 2a b ++++=++=，命题成立；所以④正确．故答案：① ③ ④三．解答题：本大题共6小题，共74分， 17．(本小题满分12分)某小组共有A B C D E 、、、、五位同学，他们的身高（单位:米）以及体重指标（单位:千克/米2）(Ⅰ)(Ⅱ)从该小组同学中任选2人，求选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5，23.9)中的概率【解析】（I ）从身高低于1.80的同学中任选2人,其一切可能的结果组成的基本事件有：(A ，B)，(A ，C)，(A ，D)，(B ，C)，(B ，D)，(C ，D)，共６个．由于每个人被选到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．选到的2人身高都在1.78以下的事件有(A ，B)，(A ，C)，(B ，C)，共3个．因此选到的2人身高都在1.78以下的概率为31P==62． （II ）从该小组同学中任选2人,其一切可能的结果组成的基本事件有：(A ，B)，(A ，C)，(A ，D)，(A ，Ｅ)，(Ｂ，C)，(Ｂ，D)，(Ｂ，Ｅ)，(Ｃ，D)，(Ｃ，Ｅ)，(Ｄ，Ｅ)，共10个． 由于每个人被选到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的． 选到的２人身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5,23.9)中的事件有： (Ｃ，D)，(Ｃ，Ｅ)，(Ｄ，Ｅ)，共3个． 因此 选到的2人身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5,23.9)中的概率为13P =10．18．(本小题满分12分)设函数2()sin cos (0)f x x x x ωωωω=->，且()y f x =的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为4π，(Ⅰ)求ω的值(Ⅱ)求()f x 在区间3[,]2ππ上的最大值和最小值【解析】（I ）2()sin cos 2f x x x x ωωω=--1sin 222x ω=--1sin 22x x ωω=-sin(2)3x πω=--． 因为图象的一个对称中心到最近的对称轴距离为4π， 又0ω>，所以2424ππω=⨯，因此1ω= （II ）由（I ）知()sin(2)3f x x πω=--．当32x ππ≤≤时，582333x πππ≤-≤所以3sin(2)13x πω-≤--≤ 因此31()2f x -≤≤． 故()f x 在区间3[,]2ππ上的最大值和最小值分别为3,1-．19．(本小题满分12分)如图，四棱锥P ABCD -中，,AB AC AB PA ⊥⊥,,2AB CD AB CD =∥,,,,,E F G M N 分别为,,,,PB AB BC PD PC 的中点(Ⅰ)求证：CE PAD ∥平面；(Ⅱ)求证：EFG EMN ⊥平面平面【解析】（I ）证法一：取PA 的中点H ，连接EH ，DH ． 因为 E 为PB 的中点，所以 E H ∥AB ，12EH AB =． 又因为 A B ∥CD,12CD AB =所以 E H ∥CD ，E H ＝CD ，因此 四边形DCEH 是平行四边形．又 ,DH PAD CE PAD ⊂⊄平面平面， 因此 CE ∥平面PAD ． 证法二： 连接CF ．因为 F 为AB 的中点， 所以 12AF AB =．又 12CD AB =， 所以 AF CD =． 又 AF ∥CD ，所以 四边形AFCD 为平行四边形． 因此 CF ∥AD ，又 CF PAD ⊄平面， 所以 CF ∥平面PAD ．因为 E ，F 分别为PB ，AB 的中点， 所以 EF ∥PA ．又 EF PAD ⊄平面， 所以 EF ∥平面PAD ． 因为 CF EF F =I ， 故 平面CEF ∥平面PAD ． 又 CE CEF ⊂平面，所以 CE ∥平面PAD ． （II ）证明：因为 E ，F 分别为PB ，AB 的中点， 所以 EF ∥PA ． 又 AB ⊥PA ， 所以 AB ⊥EF ． 同理可证 AB ⊥FG ．又 ,,EF FG F EF EFG FG EFG =⊂⊂I 平面平面， 因此 AB ⊥平面EFG ．又 M ，N 分别为PD ，PC 的中点，又 AB ∥CD ， 所以 MN ∥AB ．因此 MN ⊥平面EFG ．又 MN EMN ⊂平面, 所以 平面EFG ⊥平面EMN ．20．(本小题满分12分)设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且244S S =,122+=n n a a (Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式 (Ⅱ)设数列{}n b 满足*121211,2n n n b b b n N a a a +++=-∈g g g ，求{}n b 的前n 项和n T【解析】（I ）设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ． 由424S S =，221n n a a =+得 11114684(21)2(21)1a d a da n d a n d +=+⎧⎨+-=+-+⎩．解得 11,2a d ==．因此 *21,n a n n N =-∈．（II ）由已知*121211,2n n n b b b n N a a a ++⋅⋅⋅+=-∈， 当1n =时，1112b a =； 当2n ≥时，11111(1)222n n n n n b a -=---=． 所以12n n n b a =，*n N ∈． 由（I ）知 *21,n a n n N =-∈，所以 *21,2n nn b n N -=∈． 又23135212222n n n T -=+++⋅⋅⋅+， 又231113232122222n n n n n T +--=++⋅⋅⋅++ 两式相减得2311122221()222222n n n n T +-=+++⋅⋅⋅+- 113121222n n n -+-=--， 所以 2332n nn T +=-．21．(本小题满分12分)已知函数2()ln (,)f x ax bx x a b R =+-∈ (Ⅰ)设0a ≥，求)(x f 的单调区间(Ⅱ) 设0a >，且对于任意0x >，()(1)f x f ≥。
2013年山东高考数学文科试卷带详解
2013年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）文科数学一．选择题:本题共12个小题，每题5分，共60分.1．复数2(2i)iz -=（i 为虚数单位），则z = ( )A ．25 B.41 C.5 D.5 【测量目标】复数的代数的四则运算，复数的基本概念（复数的模）. 【考查方式】给出复数的乘方与除法形式,求复数的模. 【参考答案】C【试题解析】利用复数的乘方和乘除运算计算出z ，进而求出z ，2222(2i)44i+i 34i =43i,z (4)(3)5i i iz ---===--∴=-+-=.2．已知集合,A B 均为全集{}=1,2,3,4U 的子集，且{}()4U A B = ð,{}=1,2B ,则U A B = ð ( )A.{3}B.{4}C.{3，4}D.∅【测量目标】集合间的基本运算.【考查方式】集合的表示(列举法),给出集合间的四则运算结果，去计算A B 与的补集的交集.【参考答案】A【试题解析】利用所给条件计算出A 和U B ð，进而求交集{}{}=1,2,3,4,()4U U A B = ，ð(步骤1) {}{}{}{}1,2,3.=123123.A B B A ∴=∴⊆⊆ 又，，，，(步骤2) 又{}{}=34,3.U UB A B ∴= ，痧(步骤3)3．已知函数()f x 为奇函数，且当0x >时()21f x x x=+，则()1f -= ( ) A ．2 B.1 C.0 D.-2【测量目标】函数奇偶性的综合运用.【考查方式】已知函数的部分解析式、利用函数的奇偶性，解决函数的求值问题. 【参考答案】D【试题解析】利用奇函数的性质()()f x f x -=-求解.当2210(),(1)11 2.x f x x f x>=+∴=+=时， ()f x 为奇函数.(1)(1)2f f ∴-=-=-4．一个四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，其正（主）视图如右图所示该四棱锥侧面积和体积分别是 ( ) A ．45,8 B.845,3C.84(51),3+ D. 8,8 【测量目标】由三视图求几何体表面积与体积.【考查方式】给出四棱锥的主视图，描述四棱锥棱的情况，求解四棱锥的侧面积与体积.【参考答案】B 【试题解析】有正视图知：四棱锥的底面是边长为2的正方形，四棱锥的高为2，21822.33V ∴=⨯⨯=四棱锥的侧面是全等的等腰三角形，底为2，高为15,=425=452S ∴⨯⨯⨯侧5．函数1()123xf x x =-++的定义域为 ( ) A.(-3，0] B. (-3，1] C. ()(],33,0-∞-- D. ()(],33,1-∞-- 【测量目标】函数的定义域.【考查方式】通过给定函数式，使每个部分有意义，求其定义域. 【参考答案】A【试题解析】求函数定义域就是是这个式子有意义的自变量x 的取值范围，由题意，自变量x 应满足120,30,x x ⎧-⎨+>⎩…解得0,303,x x x ⎧∴-<⎨>-⎩……6．执行右边的程序框图，若第一次输入的a 的值为-1.2，第二次输入的a 的值为1.2，则第一次、第二次输出的a 的值分别为 ( )A.0.2，0.2B. 0.2，0.8C. 0.8，0.2D. 0.8，0.8 【测量目标】循环结构的程序框图.【考查方式】给出具体的算法流程图，求输出的结果.【参考答案】C【试题解析】根据输入a 的值的不同而执行不同的程序.当 1.20, 1.210.2,0,a a a a =-<∴=-+=-< 时，0.210.8,0.0.81,a a =-+=>< 输出0.8.a =当 1.21, 1.210.2.a a a =∴=-=时，…0.21,< 输出0.2.a =7．ABC △的内角A B C 、、的对边分别是a b c 、、，若=2,=1,=3,B A a b 则c = ( )A. 23B. 2C.2D.1【测量目标】用正余弦定理判断三角形形状，勾股定理，二倍角.【考查方式】已知三角形的边角关系求边长，考查正弦定理、二倍角公式. 【参考答案】B【试题解析】先利用正弦定理，求出角A ,进而求出角B 和角C ，得出角C 为直角，从而用勾股定理求出边c 由正弦定理得,2,1,3,sin sin a bB A a b A B==== 13.sin 2sin cos A A A∴=（步骤1） A 为三角形的内角3sin 0.cos 2A A ∴≠∴=，.(步骤2)ππ0π,2.63A A B A <<∴=∴==又，(步骤3)ππ2C A B ABC ∴=--=∴，△为直角三角形由勾股定理得221(3) 2.c =+=（步骤4）8．给定两个命题q p ,，p ⌝是q 的必要而不充分条件，则p 是q ⌝ ( ) A ．充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.不充分也不必要条件 【测量目标】充分、必要条件，四种命题之间的关系.【考查方式】根据逻辑连接词,来主要考查命题的基本关系及充分必要条件. 【参考答案】A【试题解析】借助原命题与逆否命题等价判断.若p ⌝是q 的必要不充分条件，则q p ⇒⌝但p q ⌝≠，其逆否命题为,p q q p p q ⇒⌝⌝≠∴⌝但是的充分不必要条件.9．函数cos sin y x x x =+的图象大致为 ( )A B C D【测量目标】函数奇偶性的综合运用，函数图象的阅读及处理. 【考查方式】通过给定的函数式，确定函数的大概图象.【参考答案】D【试题解析】结合给出的函数图象，带入特殊值，利用排除法求解.π10,C 2π,1,B 2π,π0 A.Dx y x y x y ==>=-=-==-<时，排除当排除当排除故选10．将某选手的9个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，7个剩余分数的平均分为91，现场做的9个分数的茎叶图后来有一个数据模糊，无法辨认，在图中以x 表示：则7个剩余分数的方差为 （ ）A.1169 B.367 C.36 D.677【测量目标】茎叶图、用样本数字特征估计总体数字特征（方差，平均数）.【考查方式】给定茎叶图，里面含有未知数，给定去高去低后的平均数，求剩余分数的方差.【参考答案】B【试题分析】利用平均数为91，求出x 的值，利用方差的定义，计算方差，根据茎叶图.[]22222222187+94909190(90)9191, 4.7136(8791)(9491)(9091)(9191)(9091)(9491)(9191)77x x s ++++++=∴=⎡⎤=-+-+-+-+-+-+-=⎣⎦11．抛物线211:()2C y x p p=>0的焦点与双曲线222:13x C y -=的右焦点的连线交1C 于第一象限的点M ，若1C 在点M 处的切线平行于2C 的一条渐近线，则p = （ ）A ．316 B.38 C.233 D.433【测量目标】双曲线、抛物线的简单几何性质，抛物线与直线的位置关系.【考查方式】给定两抛物线交点位置，交点处的切线与抛物线的关系，去求抛物线中的未知数.【参考答案】D【试题解析】做出草图，数形结合，建立方程求解.双曲线2223x C y -:=1,∴右焦点为F (2,0)，渐近线方程为33y x =±（步骤1） 抛物线21102C y x p p=>：(),焦点为(0,).2p F '（步骤2）设200001.2M x y y x p=(,), 020001222,.2113,|.3MF FF x x p p x p k k x y x y x p p ''=-=∴=-''=∴== 得433p =（步骤3） 12．设正实数,,x y z 满足22340x xy y z -+-=，当zxy取得最大值时，2x y z +-的最大值为()A ．0 B.98 C.2 D.94【测量目标】基本不等式求最值.【考查方式】给定三个未知数满足的方程式，用基本不等式求式子的最大值. 【参考答案】B【试题解析】含三个参数,,x y z 消元，利用基本不等式及配方法求最值.222234(0,0,0),44323134z x xy y x y z xy xy x y x yz x xy y y x y x=-+>>>∴==+--=-+ …(步骤1) 当且仅当42x yx y y x==,时等号成立2222222223446422222242(1)2z x xy y y y y y x y z y y y y y y =-+=-+=∴+-=+-=-+=--+(步骤2)12y x y z ∴=+-,的最大值是2(步骤3)二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分13．过点(3，1)作圆22(2)(2)4x y -+-=的弦，其中最短的弦长为__________ 【测量目标】圆的简单几何性质.【考查方式】给定定点，与圆的标准方程，求过点的最短弦长. 【参考答案】22【试题解析】借助圆的几何性质，确定圆的最短弦位置，利用半径，弦心距及半弦长的关系求弦长.设A （3,1），可知圆心C （2,2），半径r =2，当弦过点A （3,1）且与CA 垂直时为最短弦22(23)(21)2CA =-+-=（步骤1）所以半弦长22=422r CA -=-=最短弦长为2214．在平面直角坐标系xOy 中，M 为不等式组2360200x y x y y +-⎧⎪+-⎨⎪⎩………所表示的区域上一动点，则直线OM 的最小值为_______【测量目标】二元线性规划求目标函数的最小值.【考查方式】给出约束条件，应用数形结合思想画出不等式组所表示的平面区域，求出线性规划目标函数的最小值． 【参考答案】2 【试题解析】如图所示，M 为图中阴影部分的一个动点，由于点到直线的距离最短，所以OM 的最小值2==2215．在平面直角坐标系xOy 中，已知(1,),(2,2)OA t OB =-= ，若90ABO ∠=，则实数t 的值为______【测量目标】平面向量在平面几何中的应用，向量的坐标运算.【考查方式】给出两向量的坐标表示，两向量的垂直关系，求未知数t . 【参考答案】5【试题解析】利用向量垂直的充要条件，列方程求解.90,,0.ABO AB OB OB AB ∠=∴⊥∴=(2,2)(1,)(3,2),AB OB OA t t =-=--=-又(步骤1)(2,2)(3,2)62(2)0t t ∴-=+-= 5t ∴=(步骤2)16．定义“正对数”：()()0,01ln ln ,1x x x x +<<⎧⎪=⎨⎪⎩…，现有四个命题：①若0,a b >>0，则()lnlnba b a ++=；②若0,0a b >>，则ln ()ln ln ab a b +++=+ ③若0,0a b >>，则ln ln ln a a b b +++⎛⎫- ⎪⎝⎭… ④若0,0a b >>，则()lnln ln ln2a b a b ++++++…其中的真命题有____________(写出所有真命题的序号) 【测量目标】分段函数，对数的性质，不等式恒成立问题.【考查方式】给定分段函数，求所给的4个小命题的正确性，逐一论证. 【参考答案】○1○3○4【试题解析】本题是新定义型问题，解题时要严格按照所给定义，对每一个选项逐一论证或排除.○11,0,1,ln ()ln ln ln .bb b a b aa ab a b a ++>∴∴=== 当厖(步骤1)01,0,1,l n ()bba b a a +<<>∴<∴= 当(步骤2) ln 0,ln 0,ln ()ln ba b a a b a ++++=∴=∴=又(步骤3) 故○1正确. ○2112,,ln ()ln 0,42a b ab ++====当而ln ln 2,ln 0,ln ln ln 2a b a b ++++==∴+=(步骤4) 故○2不成立. ○3a.01,01,ln ln 0a b a b ++<<-=当剟而ln 0,ln ln ln a a a b b b ++++⎛⎫⎛⎫∴-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭厖(步骤5)b ．当+01,1,ln ln ln 0a b a b b ++<>-=-<…而+ln ()0,ln ()ln ln a a a b bb +++=∴-…(步骤6)c ．当1,01,1,aa b a b ><>剠(步骤7) ln ()ln()ln ln ln ln a a a a a b b b ++++∴===-…ln ()ln ln a a b b+++∴-… (步骤8)d ．当1,1,,ln ()0a a b a b b+>><=且 ln ln 0,ln ()ln ln a a b a b b+++++-<∴-…(步骤9)e ．当1,1,,1aa b a b b>>>>且时ln ()ln()ln ln ln ln a aa b a b b b +++∴==-=-(步骤10)综上：ln ()ln ln a a b b+++-…，故○3正确.○4a.01,01,01,ln ()0a b ab a b +<+<<∴+=当剟?ln ln ln 200ln 20a b ++++=++>+ln ()ln ln ln 2a b a b ++∴+<++(步骤11)b ．1,a b +>当分下列三种情况：（i ）当 11,12,a b a b b b b b <+++= 0，剠剟ln ()ln()ln 2ln ln ln 2a b a b b a b +++∴+=+=++…(步骤12) (ii)1,011+2,a b a b aa a a <++= 当时，厔剟+ln ()ln()ln 2ln ln 2ln ln ln 2a b a b a a a b ++∴+=+=+=++…(步骤13)(iii)01,012,ln 0,a ba b a +<<∴+=当时，且剟?ln 0.ln ()ln()ln 2ln ln ln 2b a b a b a b ++++=∴++=++剟(步骤14)综上：ln ()ln ln ln 2a b a b ++++++…，故○4正确.三．解答题：本大题共6小题，共74分， 17．(本小题满分12分) 某小组共有A B C D E 、、、、五位同学，他们的身高（单位:米）以及体重指标（单位:千克/米2）如下表所示：ABCDE身高 1.69 1.73 1.75 1.79 1.82 体重指标 19.225.118.523.320.9（1）从该小组身高低于1.80的同学中任选2人，求选到的2人身高都在1.78以下的概率（2）从该小组同学中任选2人，求选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5，23.9)中的概率【测量目标】列举法、古典概型，随机事件与概率.【考查方式】给出五个学生的身高与体重，按照一定条件求概率.【试题分析】解（1）从身高低于1.80的同学中任选2人，其一切可能的结果组成的基本事件有（,A B ）,(,A C ),(,A D ),(,B C ),(,B D ),(,C D )共6个.(步骤1)由于每个人被选到的机会均等，因此这些基本事件的出现是均等的.选到的2人身高都在1.78以下的事件有(,A B ),(,A C ),(,B C ),共3人.(步骤2)因此选到的俩人身高都在1.78以下的概率为12p =(步骤3) （2）从该小组同学中人选两人，其组成成分有(,A B ),(,A C ),(,A D ),(,A E ),(,B C ),(,B D ),(,B E ),(,C D ),(,C E ),(,D E ),共10个(步骤4) 选到的2人的身高都在 1.70以上且体重指标都在[)18.5,23.9中的事件有(,C D ),(,C E ),(,D E ),共三个(步骤5)选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在[)18.5,23.9中的概率310P =(步骤6) 18．(本小题满分12分)设函数23()3sin sin cos (0)2f x x x x ωωωω=-->，且()y f x =的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4，（1）求ω的值. （2）求()f x 在区间3ππ,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值. 【测量目标】两角和与差的三角函数公式、二倍角公式、三角函数的图象与性质【考查方式】利用倍角公式化简函数式,数形结合求未知数ω再求函数在一段区间上的最值.【试题分析】（1）先利用倍角公式，两角和与差的三角公式把()f x 的解析式进行化简整理，再利用对称中心到最近的对称轴的距离为π4求出ω，（2）先根据x 的取值范围求出π23x -的取值范围，然后利用三角函数的图象，并结合其单调性求出()f x 的最值. 23()3sin sin cos 231cos 213sin 2222f x x x x x x ωωωωω=---=-- （1）31πcos 2sin 2sin 2223x x x ωωω⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭(步骤1) 因为图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4， 又2ππ0,424ωω>∴=⨯ 因此1ω=(步骤2)（2）由（1）知π()sin 2.3f x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭当3π5ππ8ππ,2.2333xx -剟剟 3πsin 2 1.23x ⎛⎫∴-- ⎪⎝⎭剟(步骤3) 因此31()2f x -剟 故()f x 在区间3ππ,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值分别为3,12-(步骤4) 19．(本小题满分12分)如图，四棱锥P ABCD -中，,,AB AC AB PA ⊥⊥,2,,,,,AB CD AB CD E F G M N = 分别为,,,,PB AB BC PD PC 的中点(Ⅰ)求证：CEPAD 平面 ；(Ⅱ)求证：EFG EMN ⊥平面平面【测量目标】线面平行的判定定理，线面垂直，面面垂直的判定定理，平行线的传递性.【考查方式】根据所给出的直线间的位置关系,用线线平行推导线面平行，根据线面垂直，去证明面面垂直.【试题分析】要证明线面平行，可考虑证明线线平行，也可先证明面面平行，进而转化为证线面平行，利用三角形的中位线或平行四边形的性质证明线线平行是证明平行问题首先要考虑的;要证明EFG EMN ⊥平面平面，可先考虑证明平面EMN 中的MN 垂直于平面EFG ,即转化为证明线面垂直，而要证明MN EFG ⊥平面，需要证明MN 垂直于平面EFG 中的两条相交直线(1):如图，取,PA H EH DH 的中点，连接E 为PB 的中点1,.2EH AB EH AB ∴= (步骤1)1,2AB CD CD AB =,.EH CD CD EH ∴= (步骤2)所以四边形DCEH 是平行四边形 (步骤3).CE DH ∴ (步骤4),DH PAD CE PAD ⊂又平面平面Ü CE PAD ∴平面 (步骤5)(2)因为,E F 分别为,PB AB 的中点，所以.,.EF PA AB PA AB EF ⊥∴⊥又 (步骤6)同理可证AB FG ⊥(步骤7),,EF FG F EF EFG FG =⊂⊂ 又平面平面EFGAB ⊥因此平面EFG (步骤8)又,M N 分别为,PD PC 的中点MN DC ∴ (步骤9) 又,,AB DC MN AB MN ∴∴⊥ 平面EFG (步骤10)MN ⊂又平面,EMN 所以平面EFG ⊥平面EMN (步骤11)20．(本小题满分12分)设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且4224,21n n S S a a ==+. (Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式 (Ⅱ)设数列{}n b 满足*12121...1,2n n n b b b n a a a +++=-∈N ，求{}n b 的前n 项和n T . 【测量目标】等差数列通项公式及前n 项和公式，错位相减法求和.【考查方式】已知{}n a 为等差数列，给定{}2n n S a 与进行逆推{}n a ，再由题给出的{}{}n n a b 与的关系式错位相减求出结果.【试题分析】（1）由于已知{}n a 是等差数列，因此可以考虑用基本量1,a d 表示已知等式，进而求出{}n a 的通项公式.（2）先求出nnb a ，进而求出{}n b 的通项公式，再用错位相减法求{}n b 的前n 项和.解：（1）设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d . 由422421,n n S S a a ==+，11114684,(21)22(1)1a d a d a n d a n d +=+⎧⎨+-=+-+⎩ 解得112a d =⎧⎨=⎩(步骤1) 因此，*21,n a n n =-∈N (步骤2)*121211111,,211,;21112,11222n n n n n n n n b b b n a a a b n a b n a -++⋅⋅⋅+=-∈==⎛⎫=---= ⎪⎝⎭N (2)由已知当当…*1,.2n n n b n a ∴=∈N (步骤3) 由*21,,n a n n =-∈N （1）*21,2n nn b n -∴=∈N (步骤4) 2313521,2222n n n T -∴=+++⋅⋅⋅+23113232122222n n n n n T --=++⋅⋅⋅++(步骤5) 两式相减，得231111122221()2222223121,222n n n n n n T n +-+-=+++⋅⋅⋅+--=--2332n nn T +∴=-(步骤6)21．(本小题满分12分)已知函数2()ln (,)f x ax bx x a b =+-∈R , (Ⅰ)设0a …，求()f x 的单调区间(Ⅱ) 设0a >，且对于任意0,()(1)x f x f >….试比较ln a 与2b -的大小【测量目标】利用导数求函数的单调区间，利用导数解决不等式问题. 【考查方式】用导数求含参数函数的单调区间，利用导数证明不等式.【试题分析】（1）求()f x 的单调区间，需要对()f x 求导.当()0,()f x f x '>是增函数，()0,()f x f x '<是减函数，但是需要对参数,a b 进行讨论（2）()f x 的最小值为(1)f ，当()f x 有唯一极小值点时，极小值就是最小值，然后构造函数求解.解：由2()ln ,(0,),f x ax bx x x =+-∈+∞221()ax bx f x x +-'=(步骤1)11.0,().bx a f x x-'==a ．若0b …，当0x >，()0f x '<恒成立 所以函数()f x 的单调递减区间是()0,+∞.(步骤2)1b.0,0,()0b x f x b'><<<若当函数()f x 单调递减1,(),x f x b'>函数()f x 单调递增(步骤3)所以函数()f x 的单调递减区间1(0,)b ，单调递增区间是1(,)b+∞（步骤4）2.当20,()0,210.a f x ax bx '>=+-=令得(步骤5) 由280b a +>得221288,44b b a b b ax x a a--+-++==(步骤6) 显然120,0.x x <>当20,()0,x x f x '<<<函数()f x 单调递减2,()0,x x f x '>>当函数()f x 单调递增(步骤7)所以函数()f x 的单调递减区间是280,4b b a a ⎛⎫-++ ⎪ ⎪⎝⎭，单调递增区间是28,4b b a a ⎛⎫-+++∞⎪ ⎪⎝⎭(步骤8) 综上所述，当0,0a b =…，函数()f x 的单调递减区间是()0,+∞当0,0a b =>，函数()f x 的单调递减区域是10,b ⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递增区域是1,b ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭当0a >，函数()f x 的单调递减区间是280,4b b a a ⎛⎫-++ ⎪ ⎪⎝⎭，单调递增区间是28,4b b a a ⎛⎫-+++∞⎪ ⎪⎝⎭.(步骤9) （2）由题意知函数()1f x x =在处取最小值，由284b b a a-++（1）知是()f x 的唯一极小值点(步骤10)故28=14b b a a-++.整理，21,a b +=即12.b a =-(步骤11)令14()24ln ,().xg x x x g x x-'=-+=则(步骤12) 令1()0,4g x x '==得(步骤13) 10,()0,()4x g x g x '<<>单调递增1,4x >()0g x '<,()g x 单调递减.(步骤13)因此11()()1ln 1ln 4044()0,24ln 2ln 0,g x g g a a a b a =+=-<<-+=+<即… 即ln 2a b <-(步骤14)22．(本小题满分14分)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 的中心在原点O ，焦点在x 轴上，短轴长为2，离心率为22(I)求椭圆C 的方程(Ⅱ),A B 为椭圆C 上满足AOB △的面积为64的任意两点，E 为线段AB 的中点，射线OE 交椭圆C 与点P ，设OP tOE =，求实数t 的值.【测量目标】椭圆的标准方程及简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，点到直线的距离公式，向量的线性运算，平面向量在平面几何中的应用.【考查方式】给出椭圆的位置情况，短轴及离心率，用待定系数法去求椭圆方程，（Ⅱ）中给出AOB △的面积及部分支线的几何位置，求满足向量方程的未知数. 【试题解析】（1）可用待定系数法求出,a b ，进而求出椭圆C 的方程.（2）设出直线AB 的方程，带入椭圆方程，设而不求，利用根与系数的关系转化，但要注意AB 与x 轴垂直时的情况.解：（1）设椭圆C 的方程为22221(0),x y a b a b+=>>由题意 2222,222a b c cab ⎧=+⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩解得21a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 因此椭圆C 的方程为 22 1.2x y +=(步骤1) （2）（i ）当,A B 两点关于x 轴对称，设直线AB 的方程为x m =. 由题意得20m <<-或02m <<(步骤2)将x m =带入椭圆方程22221,22x m y y -+==(步骤3) 226.24AOBm S m -∴== △解得223122m m ==或 ○1 (步骤4) 11()(2,0)(,0),22OP tOE t OA OB t m mt ==+==又P 为椭圆C 上一点212mt ∴=（） ○2 (步骤5)由○1○2，得22443t t ==或 又230,23t t t >∴==或 (步骤6) （ii ）当,A B 两点关于x 轴不对称时，设直线AB 的方程为y kx h =+将其代入椭圆的方程2212x y +=，得 ()222124220.k xkhx h +++-=(步骤7)设1122(,),(,).A x y B x y 由判定式0∆>可得2212k h +>(步骤8)21212221212222121242,,12122()2,121()4kh h x x x x k khy y k x x h k AB k x x x x +=-=+++=++=+∴=+⨯+-222212221.12k h k k+-=⨯+⨯+(步骤9) 因为点O 到直线AB 的距离21h d k=+，2221122212AOBk h S AB d h k +-∴==⨯⨯+△(步骤10) 2221+262124k h h k -∴⨯⨯=+ ○3 (步骤11) 212,n k =+令代入○3整理得224316160n h n h -+= 解得22443n h n h ==或， 即222241241+23k h k h +==或 ○4 (步骤12) 121211()(,)22OP tOE t OA OB t x x y y ==+=++222,1212khtht k k ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭(步骤13) 又P 为椭圆C 上一点，2222212()121212kh h t k k ⎡⎤⎛⎫∴-+=⎢⎥ ⎪++⎝⎭⎢⎥⎣⎦即222112h t k=+ ○5(步骤13) 将○4代入○5，得22443t t ==或 (步骤14) 230,2.3t t t >==又故或(步骤15) 经检验,符合题意23i ii 23t t ==综合（）（），得或(步骤16)。
【精校】2013年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)数学文
2013年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）数学文一.选择题：本题共12个小题，每题5分，共60分.1.(5分)复数z=(i为虚数单位)，则|z|( )A. 25B.C. 5D.解析：因为复数z==，所以|z|==.答案：C.2.(5分)已知集合A、B全集U={1、2、3、4}，且C U(A∪B)={4}，B={1，2}，则A∩C U B=( )A. {3}B. {4}C. {3，4}D.解析：因为全集U={1.2.3.4.}，且C U(A∪B)={4}，所以A∪B={1，2，3}，B={1，2}，所以C U B={3，4}，所以A={3}或{1，3}或{3，2}或{1，2，3}.所以A∩C U B={3}. 答案：A.3.(5分)已知函数f(x)为奇函数，且当x＞0时，f(x)=x2+，则f(-1)=( )A. 2B. 1C. 0D. -2解析：∵已知函数f(x)为奇函数，且当x＞0时，f(x)=x2+，则f(-1)=-f(1)=-(1+1)=-2，答案：D.4.(5分)一个四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，其正(主)视图如图所示该四棱锥侧面积和体积分别是( )A. 4，8B.C.D. 8，8解析：因为四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，所以该四棱锥为正四棱锥，其主视图为原图形中的三角形PEF，如图，由该四棱锥的主视图可知四棱锥的底面边长AB=2，高PO=2，则四棱锥的斜高PE=.所以该四棱锥侧面积S=，体积V=.答案：B.5.(5分)函数f(x)=的定义域为( )A. (-3，0]B. (-3，1]C. (-∞，-3)∪(-3，0)D. (-∞，-3)∪(-3，1)解析：由函数f(x)=可得 1-2x≥0 且x+3＞0，解得-3＜x≤0，故函数f(x)=的定义域为 {x|-3＜x≤0}，答案：A.6.(5分)执行两次如图所示的程序框图，若第一次输入的a的值为-1.2，第二次输入的a的值为1.2，则第一次、第二次输出的a的值分别为( )A. 0.2，0.2B. 0.2，0.8C. 0.8，0.2D. 0.8，0.8解析：若第一次输入的a的值为-1.2，满足上面一个判断框条件a＜0，第1次循环，a=-1.2+1=-0.2，第2次判断后循环，a=-0.2+1=0.8，第3次判断，满足上面一个判断框的条件退出上面的循环，进入下面的循环，不满足下面一个判断框条件a≥1，退出循环，输出a=0.8；第二次输入的a的值为1.2，不满足上面一个判断框条件a＜0，退出上面的循环，进入下面的循环，满足下面一个判断框条件a≥1，第1次循环，a=1.2-1=0.2，第2次判断后不满足下面一个判断框的条件退出下面的循环，输出a=0.2；答案：C.7.(5分)△ABC的内角A、B、C的对边分别是a、b、c，若B=2A，a=1，b=，则c=( )A.B. 2C.D. 1解析：∵B=2A，a=1，b=，∴由正弦定理=得：===，∴cosA=，由余弦定理得：a2=b2+c2-2bccosA，即1=3+c2-3c，解得：c=2或c=1(经检验不合题意，舍去)，则c=2.答案：B8.(5分)给定两个命题p，q.若￢p是q的必要而不充分条件，则p是￢q的( )A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件解析：∵¬p是q的必要而不充分条件，∴q是¬p的充分不必要条件，即q ⇒¬p，但¬p 不能⇒q，其逆否命题为p⇒¬q，但¬q不能⇒p，则p是¬q的充分不必要条件.答案：A.9.(5分)函数y=xcosx+sinx的图象大致为( )A.B.C.D.解析：因为函数y=xcosx+sinx为奇函数，所以排除选项B，由当x=时，，当x=π时，y=π×cosπ+sinπ=-π＜0.由此可排除选项A和选项C.故正确的选项为D.答案：D.10.(5分)将某选手的9个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，7个剩余分数的平均分为91，现场做的9个分数的茎叶图后来有一个数据模糊，无法辨认，在图中以x表示：则7个剩余分数的方差为( )A.B.C. 36D.解析：∵由题意知去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的数据是87，90，90，91，91，94，90+x.∴这组数据的平均数是=91，∴x=4.∴这这组数据的方差是(16+1+1+0+0+9+9)=，答案：B.11.(5分)抛物线C1：的焦点与双曲线C2：的右焦点的连线交C1于第一象限的点M.若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线，则p=( )A.B.C.D.解析：由，得x2=2py(p＞0)，所以抛物线的焦点坐标为F(). 由，得，.所以双曲线的右焦点为(2，0). 则抛物线的焦点与双曲线的右焦点的连线所在直线方程为，即①.设该直线交抛物线于M()，则C1在点M处的切线的斜率为.由题意可知，得，代入M点得M()，把M点代入①得：.解得p=.答案：D.12.(5分)设正实数x，y，z满足x2-3xy+4y2-z=0，则当取得最小值时，x+2y-z的最大值为( )A. 0B.C. 2D.解析：∵x2-3xy+4y2-z=0，∴z=x2-3xy+4y2，又x，y，z为正实数，∴=+-3≥2-3=1(当且仅当x=2y时取“=”)，即x=2y(y＞0)，∴x+2y-z=2y+2y-(x2-3xy+4y2)=4y-2y2=-2(y-1)2+2≤2.∴x+2y-z的最大值为2.答案：C.二.填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分13.(4分)过点(3，1)作圆(x-2)2+(y-2)2=4的弦，其中最短的弦长为 .解析：根据题意得：圆心(2，2)，半径r=2，∵=＜2，∴(3，1)在圆内，∵圆心到此点的距离d=，r=2，∴最短的弦长为2=2.答案：214.(4分)在平面直角坐标系xOy中，M为不等式组所表示的区域上一动点，则直线|OM|的最小值为 .解析：如图可行域为阴影部分，由其几何意义为点O(0，0)到直线x+y-2=0距离，即为所求，由点到直线的距离公式得：d==，则|OM|的最小值等于.答案：.15.(4分)在平面直角坐标系xOy中，已知，，若∠ABO=90°，则实数t的值为.解析：因为知，，所以=(3，2-t)，又∠ABO=90°，所以，可得：2×3+2(2-t)=0.解得t=5.答案：5.16.(4分)定义“正数对”：ln+x=，现有四个命题：①若a＞0，b＞0，则ln+(a b)=bln+a；②若a＞0，b＞0，则ln+(ab)=ln+a+ln+b；③若a＞0，b＞0，则；④若a＞0，b＞0，则ln+(a+b)≤ln+a+ln+b+2.其中的真命题有(写出所有真命题的序号)解析：对于①，由定义，当a≥1时，a b≥1，故ln+(a b)=ln(a b)=blna，又bln+a=blna，故有ln+(a b)=bln+a；当a＜1时，a b＜1，故ln+(a b)=0，又a＜1时bln+a=0，所以此时亦有ln+(a b)=bln+a.由上判断知①正确；对于②，此命题不成立，可令a=2，b=，则ab=，由定义ln+(ab)=0，ln+a+ln+b=ln2，所以ln+(ab)≠ln+a+ln+b；由此知②错误；对于③，当a≥b＞0时，≥1，此时≥0，当a≥b≥1时，ln+a-ln+b=lna-lnb=，此时命题成立；当a＞1＞b时，ln+a-ln+b=lna，此时，故命题成立；同理可验证当1＞a≥b＞0时，成立；当＜1时，同理可验证是正确的，故③正确；对于④，可分a≤1，b≤1与两者中仅有一个小于等于1、两者都大于1三类讨论，依据定义判断出④是正确的.答案：①③④三.解答题：本大题共6小题，共74分，17.(12分)某小组共有A、B、C、D、E五位同学，他们的身高(单位：米)以及体重指标(单位：千克/米2)如下表所示：(Ⅰ)从该小组身高低于1.80的同学中任选2人，求选到的2人身高都在1.78以下的概率(Ⅱ)从该小组同学中任选2人，求选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5，23.9)中的概率.解析：(Ⅰ)写出从身高低于1.80的同学中任选2人，其一切可能的结果组成的基本事件，查出选到的2人身高都在1.78以下的事件，然后直接利用古典概型概率计算公式求解；.(Ⅱ)写出从该小组同学中任选2人，其一切可能的结果组成的基本事件，查出选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5，23.9)中的事件，利用古典概型概率计算公式求解.答案：(Ⅰ)从身高低于1.80的同学中任选2人，其一切可能的结果组成的基本事件有：(A，B)，(A，C)，(A，D)，(B，C)，(B，D)，(C，D)共6个.由于每个同学被选到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的.选到的2人身高都在1.78以下的事件有：(A，B)，(A，C)，(B，C)共3个.因此选到的2人身高都在1.78以下的概率为p=；(Ⅱ)从该小组同学中任选2人，其一切可能的结果组成的基本事件有：(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(C，D)，(C，E)，(D，E)共10个.由于每个同学被选到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的.选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5，23.9)中的事件有：(C，D)(C，E)，(D，E)共3个.因此选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5，23.9)中的概率p=.18.(12分)设函数f(x)=-sin2ωx-sinωxcosωx(ω＞0)，且y=f(x)的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为，(Ⅰ)求ω的值(Ⅱ)求f(x)在区间[]上的最大值和最小值.解析：(Ⅰ)通过二倍角的正弦函数与余弦函数化简函数为一个角的一个三角函数的形式，利用函数的正确求出ω的值(Ⅱ)通过x 的范围求出相位的范围，利用正弦函数的值域与单调性直接求解f(x)在区间[]上的最大值和最小值.答案：(Ⅰ)函数f(x)=-sin2ωx-sinωxcosωx===.因为y=f(x)的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为，故周期为π又ω＞0，所以，解得ω=1；(Ⅱ)由(Ⅰ)可知，f(x)=-sin(2x-)，当时，，所以，因此，-1≤f(x)，所以f(x)在区间[]上的最大值和最小值分别为：.19.(12分)如图，四棱锥P-ABCD中，AB⊥AC，AB⊥PA，AB∥CD，AB=2CD，E，F，G，M，N分别为PB、AB、BC、PD、PC的中点.(Ⅰ)求证：CE∥平面PAD(Ⅱ)求证：平面EFG⊥平面EMN.解析：(Ⅰ)取PA的中点H，则由条件可得HE和CD平行且相等，故四边形CDHE为平行四边形，故CE∥DH.再由直线和平面平行的判定定理证明CE∥平面PAD.(Ⅱ)先证明MN⊥平面PAC，再证明平面EFG∥平面PAC，可得MN⊥平面EFG，而MN在平面EMN内，利用平面和平面垂直的判定定理证明平面EFG⊥平面EMN.答案：(Ⅰ)∵四棱锥P-ABCD中，AB∥CD，AB=2CD，E，F，G，M，N分别为PB、AB、BC、PD、PC的中点，取PA的中点H，则由HE∥AB，HE=AB，而且CD∥AB，CD=AB，可得HE和CD平行且相等，故四边形CDHE为平行四边形，故CE∥DH.由于DH在平面PAD内，而 CE不在平面PAD内，故有CE∥平面PAD.(Ⅱ)由于AB⊥AC，AB⊥PA，而PA∩AC=A，可得AB⊥平面PAC.再由AB∥CD可得，CD⊥平面PAC.由于MN是三角形PCD的中位线，故有MN∥CD，故MN⊥平面PAC.由于EF为三角形PAB的中位线，可得EF∥PA，而PA在平面PAC内，而EF不在平面PAC 内，故有EF∥平面PAC.同理可得，FG∥平面PAC.而EF 和FG是平面EFG内的两条相交直线，故有平面EFG∥平面PAC.∴MN⊥平面EFG，而MN在平面EMN内，故有平面EFG⊥平面EMN.20.(12分)设等差数列{a n}的前n项和为S n，且S4=4S2，a2n=2a n+1.(Ⅰ)求数列{a n}的通项公式；(Ⅱ)设数列{b n}满足=1-，n∈N*，求{b n}的前n项和T n.解析：(Ⅰ)设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，由S4=4S2，a2n=2a n+1得到关于a1与d 的方程组，解之即可求得数列{a n}的通项公式；(Ⅱ)由(Ⅰ)知，a n=2n-1，继而可求得b n=，n∈N*，于是T n=+++…+，利用错位相减法即可求得T n.答案：(Ⅰ)设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，由S4=4S2，a2n=2a n+1得：，解得a1=1，d=2.∴a n=2n-1，n∈N*.(Ⅱ)由已知++…+=1-，n∈N*，当n=1时，=，当n≥2时，=(1-)-(1-)=，显然，n=1时符合.∴=，n∈N*由(Ⅰ)知，a n=2n-1，n∈N*.∴b n=，n∈N*.又T n=+++…+，∴T n=++…++，两式相减得：T n=+(++…+)-=--，∴T n=3-.21.(12分)已知函数f(x)=ax2+bx-lnx(a，b∈R)(Ⅰ)设a≥0，求f(x)的单调区间(Ⅱ)设a＞0，且对于任意x＞0，f(x)≥f(1).试比较lna与-2b的大小.解析：(Ⅰ)由函数的解析式知，可先求出函数f(x)=ax2+bx-lnx的导函数，再根据a≥0，分a=0，a＞0两类讨论函数的单调区间即可；(Ⅱ)由题意当a＞0时，是函数的唯一极小值点，再结合对于任意x＞0，f(x)≥f(1).可得出=1化简出a，b的关系，再要研究的结论比较lna与-2b的大小构造函数g(x)=2-4x+lnx，利用函数的最值建立不等式即可比较大小.答案：(Ⅰ)由f(x)=ax2+bx-lnx(a，b∈R)，知f′(x)=2ax+b-，又a≥0，故当a=0时，f′(x)=，若b=0时，由x＞0得，f′(x)＜0恒成立，故函数的单调递减区间是(0，+∞)；若b＞0，令f′(x)＜0可得x＜，即函数在(0，)上是减函数，在(，+∞)上是增函数，所以函数的单调递减区间是(0，)，单调递增区间是(，+∞)，当a＞0时，令f′(x)=0，得2ax2+bx-1=0，由于△=b2+8a＞0，故有x2=，x1=，显然有x1＜0，x2＞0，故在区间(0，)上，导数小于0，函数是减函数；在区间(，+∞)上，导数大于0，函数是增函数，综上，当a=0，b≤0时，函数的单调递减区间是(0，+∞)；当a=0，b＞0时，函数的单调递减区间是(0，)，单调递增区间是(，+∞)；当a＞0，函数的单调递减区间是(0，)，单调递增区间是(，+∞).(Ⅱ)由题意，函数f(x)在x=1处取到最小值，由(1)知，是函数的唯一极小值点故=1，整理得2a+b=1，即b=1-2a，令g(x)=2-4x+lnx，则g′(x)=，令g′(x)==0得x=，当0＜x＜时，g′(x)＞0，函数单调递增；当＜x＜+∞时，g′(x)＜0，函数单调递减，因为g(x)≤g()=1-ln4＜0，故g(a)＜0，即2-4a+lna=2b+lna＜0，即lna＜-2b.22.(14分)在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C的中心在原点O，焦点在x轴上，短轴长为2，离心率为(Ⅰ)求椭圆C的方程(Ⅱ)A，B为椭圆C上满足△AOB的面积为的任意两点，E为线段AB的中点，射线OE 交椭圆C与点P，设，求实数t的值.解析：(Ⅰ)设椭圆的标准方程为，焦距为2c.由题意可得，解出即可得到椭圆的方程.(Ⅱ)由题意设直线AB的方程为x=my+n，代入椭圆方程x2+2y2=2，化为(m2+2)y2+2mny+n2-2=0，利用判别式、根与系数的关系即可得到弦长|AB|，再利用点到直线的距离公式即可得到原点O到直线AB的距离，进而得到三角形AOB的面积，利用即可得到m，n，t的关系，再利用，及中点坐标公式即可得到点P 的坐标代入椭圆的方程可得到m，n，t的关系式与上面得到的关系式联立即可得出t的值.答案：(Ⅰ)由题意设椭圆的标准方程为，焦距为2c.则，解得，∴椭圆的方程为.(Ⅱ)由题意设直线AB的方程为x=my+n，代入椭圆方程x2+2y2=2，化为(m2+2)y2+2mny+n2-2=0，则△=4m2n2-4(m2+2)(n2-2)=4(2m2+4-2n2)＞0，(*)，，∴|AB|===.原点O到直线AB的距离d=，∵，∴=，化为.(**)另一方面，=，∴x E=my E+n==，即E.∵，∴.代入椭圆方程得，化为n2t2=m2+2，代入(**)得，化为3t4-16t2+16=0，解得.∵t＞0，∴.经验证满足(*).当AB∥x轴时，设A(u，v)，B(-u，v)，E(0，v)，P(0，±1).(u＞0).则，，解得，或.又，∴，∴.综上可得：.考试高分秘诀是什么？试试这四个方法，特别是中考和高考生谁都想在考试中取得优异的成绩，但要想取得优异的成绩，除了要掌握好相关的知识定理和方法技巧之外，更要学会一些考试技巧。
2013年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)
2013年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）文科数学参考公式：如果事件B A ,互斥，那么)()()(B P A P B A P +=+ 一．选择题:本题共12个小题，每题5分，共60分。
(1)、复数)()2(2为虚数单位i ii z -=，则=||z(A)25 (B)41 (C)6 (D) 5(2)、已知集合B A 、均为全集}4,3,2,1{=U 的子集，且(){4}U A B =U ð,{1,2}B =,则U A B =I ð (A){3} (B){4} (C){3,4} (D)∅(3)、已知函数)(x f 为奇函数，且当0>x 时，xx x f 1)(2+=， 则=-)1(f(A)2 (B)1 (C)0 (D)-2】(4)、一个四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，其正（主）视图如右图所示该四棱锥侧面积和体积分别是(A)45,8 (B) 845,3 (C) 84(51),3+ (D) 8,8(5)、函数1()123xf x x =-++的定义域为 (A)(-3，0] (B) (-3，1](C) (,3)(3,0]-∞--U (D) (,3)(3,1]-∞--U(6)、执行右边的程序框图，若第一次输入的a 的值为-1.2，第二次输入的a 的值为1.2，则第一次、 第二次输出的a 的值分别为 (A)0.2，0.2 (B) 0.2，0.8 (C) 0.8，0.2 (D) 0.8，0.8(7)、ABC ∆的内角A B C 、、的对边分别是a b c 、、， 若2B A =，1a =，3b =，则c =(A) 23 (B) 2 2 (D)1(8)、给定两个命题q p ,，p q ⌝是的必要而不充分条件，则p q ⌝是(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件(9)、函数x x x y sin cos +=的图象大致为(10)、将某选手的9个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，7个剩余分数的平均分为91，现场做的9个分数的茎叶图后来有一个数据模糊，无法辨认，在图中以x 表示：8779401091x则7个剩余分数的方差为(A)1169 (B)367(C)36 (D) 677(11)、抛物线)0(21:21>=p x py C 的焦点与双曲线222:13x C y -=的右焦点的连线交1C 于第一象限的点M ，若1C 在点M 处的切线平行于2C 的一条渐近线，则p =(A)163 (B)83 (C)332 (D) 334(12)、设正实数z y x ,,满足04322=-+-z y xy x ，则当zxy取得最大值时，2x y z +-的最大值为(A)0 (B)98(C)2 (D)94。
2013年普通高等学校招生全国统一考试数学(山东卷)文
2013年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷) 数学(文科)本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分,共4页,满分150分.考试用时120分钟.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回. 注意事项:1.答题前,考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上.2.第Ⅰ卷每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号,答案不能答在试卷上.3.第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置,不能写在试卷上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不能使用涂改液、胶带纸、修正带.不按以上要求作答的答案无效.4.填空题请直接填写答案,解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 参考公式:如果事件A ,B 互斥,那么P (A+B )=P (A )+P (B ).第Ⅰ卷(共60分)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2013山东,文1)复数z=(2-i )2i (i 为虚数单位),则|z|=(). A.25 B.√41 C.5D.√5答案:C 解析:z=4-4i -1i=3-4ii=-4-3i,所以|z|=√(-4)2+(-3)2=5.故选C .2.(2013山东,文2)已知集合A ,B 均为全集U={1,2,3,4}的子集,且∁U (A ∪B )={4},B={1,2},则A ∩∁U B=( ). A.{3} B.{4} C.{3,4} D.⌀答案:A解析:∵∁U (A ∪B )={4},∴A ∪B={1,2,3}.又∵B={1,2},∴A 一定含元素3,不含4. 又∵∁U B={3,4},∴A ∩∁U B={3}.3.(2013山东,文3)已知函数f (x )为奇函数,且当x>0时,f (x )=x 2+1x ,则f (-1)=( ). A.2 B.1C.0D.-2答案:D解析:∵f (x )为奇函数,∴f (-1)=-f (1)=-(1+11)=-2.4.(2013山东,文4)一个四棱锥的侧棱长都相等,底面是正方形,其正(主)视图如右图所示,则该四棱锥侧面积和体积分别是( ). A.4√5,8 B.4√5,83 C.4(√5+1),83 D.8,8答案:B解析:由正(主)视图数据可知正四棱锥的底面是边长为2的正方形,高也是2,如图:由图可知PO=2,OE=1,所以PE=√22+12=√5, 所以V=13×4×2=83,S=4×2×√5×12=4√5. 5.(2013山东,文5)函数f (x )=√1-2x +x+3的定义域为( ).A.(-3,0]B.(-3,1]C.(-∞,-3)∪(-3,0]D.(-∞,-3)∪(-3,1] 答案:A解析:由题可知{1-2x ≥0x +3>0⇒{2x ≤1x >-3⇒{x ≤0,x >-3,∴定义域为(-3,0].6.(2013山东,文6)执行两次右图所示的程序框图,若第一次输入的a 的值为-1.2,第二次输入的a 的值为1.2,则第一次、第二次输出的a 的值分别为( ). A.0.2,0.2 B.0.2,0.8 C.0.8,0.2 D.0.8,0.8 答案:C解析:第一次:a=-1.2<0,a=-1.2+1=-0.2,-0.2<0,a=-0.2+1=0.8>0,a=0.8≥1不成立,输出0.8.第二次:a=1.2<0不成立,a=1.2≥1成立,a=1.2-1=0.2≥1不成立,输出0.2.7.(2013山东,文7)△ABC 的内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c.若B=2A ,a=1,b=√3,则c=( ). A.2√3 B.2 C.√2 D.1答案:B解析:由正弦定理a sinA =b sinB 得:1sinA=√3sinB,又∵B=2A ,∴1sinA =√3sin2A =√32sinAcosA , ∴cos A=√32,∴∠A=30°, ∴∠B=60°,∠C=90°, ∴c=√12+(√3)2=2.8.(2013山东,文8)给定两个命题p ,q.若 p 是q 的必要而不充分条件,则p 是 q 的( ). A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件 答案:A解析:由题意:q ⇒ p , p q ,根据命题四种形式之间的关系,互为逆否的两个命题同真同假,所以{q⇒ p ,pq 等价于{p⇒ q , qp ,所以p 是 q 的充分而不必要条件.故选A .9.(2013山东,文9)函数y=x cos x+sin x 的图象大致为( ).答案:D解析:因f (-x )=-x ·cos(-x )+sin(-x )=-(x cos x +sin x )=-f (x ),故该函数为奇函数,排除B,又x ∈(0,π2),y>0,排除C,而x=π时,y=-π,排除A,故选D .10.(2013山东,文10)将某选手的9个得分去掉1个最高分,去掉1个最低分,7个剩余分数的平均分为91.现场作的9个分数的茎叶图后来有1个数据模糊,无法辨认,在图中以x 表示:则7个剩余分数的方差为( ). A.1169B.367C.36D.6√77答案:B解析:∵模糊的数为x ,则:90+x+87+94+91+90+90+91=91×7, x=4,所以7个数分别为90,90,91,91,94,94,87, 方差为s 2=2(90-91)2+2(91-91)2+2(94-91)2+(87-91)27=367.11.(2013山东,文11)抛物线C 1:y=12px 2(p>0)的焦点与双曲线C 2:x 23-y 2=1的右焦点的连线交C 1于第一象限的点M.若C 1在点M 处的切线平行于C 2的一条渐近线,则p=( ). A.√316B.√38C.2√33D.4√33答案:D 解析:设M (x 0,12p x 02),y'=(12p x 2)'=x p,故M 点切线的斜率为x 0p=√33,故M (√33p ,16p).由(√33p ,16p),(0,p2),(2,0)三点共线,可求得p=43√3,故选D .12.(2013山东,文12)设正实数x ,y ,z 满足x 2-3xy+4y 2-z=0.则当z取得最小值时,x+2y-z 的最大值为( ). A.0 B.98C.2D.94答案:C 解析:由x 2-3xy+4y 2-z=0得x 2+4y 2-3xy=z ,zxy=x 2+4y 2xy -3≥2√x 2·4y 2xy -3=4xy xy-3=1, 当且仅当x 2=4y 2即x=2y 时,z有最小值1,将x=2y 代入原式得z=2y 2, 所以x+2y-z=2y+2y-2y 2=-2y 2+4y , 当y=1时有最大值2.故选C .第Ⅱ卷(共90分)二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分.13.(2013山东,文13)过点(3,1)作圆(x-2)2+(y-2)2=4的弦,其中最短弦的长为 . 答案:2√2解析:如图,当AB 所在直线与AC 垂直时弦BD 最短,AC=√(3-2)2+(1-2)2=√2,CB=r=2,∴BA=√22-(√2)2=√2,∴BD=2√2.14.(2013山东,文14)在平面直角坐标系xOy 中,M 为不等式组{2x +3y -6≤0,x +y -2≥0,y ≥0所表示的区域上一动点,则|OM|的最小值是 . 答案:√2解析:由约束条件可画出可行域如图阴影部分所示.由图可知OM 的最小值即为点O 到直线x+y-2=0的距离,即d min =2=√2.15.(2013山东,文15)在平面直角坐标系xOy 中,已知OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,t ),OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,2).若∠ABO=90°,则实数t 的值为 . 答案:5解析:∵OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,t ),OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,2),∴BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-3,t-2).又∵∠ABO=90°,∴BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0, 即(-3,t-2)·(2,2)=0, -6+2t-4=0, ∴t=5.16.(2013山东,文16)定义“正对数”:ln +x ={0,0<x <1,lnx ,x ≥1.现有四个命题:①若a>0,b>0,则ln +(a b )=b ln +a ; ②若a>0,b>0,则ln +(ab )=ln +a+ln +b ; ③若a>0,b>0,则ln +(ab )≥ln +a-ln +b ; ④若a>0,b>0,则ln +(a+b )≤ln +a+ln +b+ln 2.其中的真命题有 .(写出所有真命题的编号) 答案:①③④三、解答题:本大题共6小题,共74分.17.(2013山东,文17)(本小题满分12分)某小组共有A ,B ,C ,D ,E 五位同学,他们的身高(单位:米)及体重指标(单位:千克/米2)如下表所示:(1)从该小组身高低于1.80的同学中任选2人,求选到的2人身高都在1.78以下的概率;(2)从该小组同学中任选2人,求选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5,23.9)中的概率. 解:(1)从身高低于1.80的同学中任选2人,其一切可能的结果组成的基本事件有:(A ,B ),(A ,C ),(A ,D ),(B ,C ),(B ,D ),(C ,D ),共6个.由于每个人被选到的机会均等,因此这些基本事件的出现是等可能的. 选到的2人身高都在1.78以下的事件有:(A ,B ),(A ,C ),(B ,C ),共3个. 因此选到的2人身高都在1.78以下的概率为P=36=12.(2)从该小组同学中任选2人,其一切可能的结果组成的基本事件有:(A ,B ),(A ,C ),(A ,D ),(A ,E ),(B ,C ),(B ,D ),(B ,E ),(C ,D ),(C ,E ),(D ,E ),共10个.由于每个人被选到的机会均等,因此这些基本事件的出现是等可能的.选到的2人身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5,23.9)中的事件有:(C ,D ),(C ,E ),(D ,E ),共3个. 因此选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5,23.9)中的概率为P=310.18.(2013山东,文18)(本小题满分12分)设函数f (x )=√32−√3sin 2ωx-sin ωx cos ωx (ω>0),且y=f (x )图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4. (1)求ω的值; (2)求f (x )在区间[π,3π2]上的最大值和最小值. 解:(1)f (x )=√32−√3sin 2ωx-sin ωx cos ωx=√32−√3·1-cos2ωx 2−12sin 2ωx =√32cos 2ωx-12sin 2ωx =-sin (2ωx -π3).因为图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4, 又ω>0,所以2π2ω=4×π4.因此ω=1. (2)由(1)知f (x )=-sin (2x -π3). 当π≤x ≤3π2时,5π3≤2x-π3≤8π3. 所以-√32≤sin (2x -π3)≤1,因此-1≤f (x )≤√32. 故f (x )在区间[π,3π2]上的最大值和最小值分别为√32,-1. 19.(2013山东,文19)(本小题满分12分)如图,四棱锥P-ABCD中,AB ⊥AC ,AB ⊥PA ,AB ∥CD ,AB=2CD ,E ,F ,G ,M ,N 分别为PB ,AB ,BC ,PD ,PC 的中点.(1)求证:CE ∥平面PAD ; (2)求证:平面EFG ⊥平面EMN.(1)证法一:取PA 的中点H ,连接EH ,DH.因为E 为PB 的中点, 所以EH ∥AB ,EH=12AB. 又AB ∥CD ,CD=12AB , 所以EH ∥CD ,EH=CD.因此四边形DCEH 是平行四边形, 所以CE ∥DH.又DH ⊂平面PAD ,CE ⊄平面PAD , 因此CE ∥平面PAD.证法二:连接CF.因为F为AB的中点,所以AF=1AB.2AB,又CD=12所以AF=CD.又AF∥CD,所以四边形AFCD为平行四边形.因此CF∥AD.又CF⊄平面PAD,所以CF∥平面PAD.因为E,F分别为PB,AB的中点,所以EF∥PA.又EF⊄平面PAD,所以EF∥平面PAD.因为CF∩EF=F,故平面CEF∥平面PAD.又CE⊂平面CEF,所以CE∥平面PAD.(2)证明:因为E,F分别为PB,AB的中点,所以EF∥PA.又AB⊥PA,所以AB⊥EF.同理可证AB⊥FG.又EF∩FG=F,EF⊂平面EFG,FG⊂平面EFG,因此AB⊥平面EFG.又M,N分别为PD,PC的中点,所以MN∥CD.又AB∥CD,所以MN∥AB.因此MN⊥平面EFG.又MN⊂平面EMN,所以平面EFG⊥平面EMN.20.(2013山东,文20)(本小题满分12分)设等差数列{a n}的前n项和为S n,且S4=4S2,a2n=2a n+1.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)若数列{b n }满足b 1a 1+b 2a 2+…+b n a n =1-12n ,n ∈N *,求{b n }的前n 项和T n .解:(1)设等差数列{a n }的首项为a 1,公差为d,由S 4=4S 2,a 2n =2a n +1得:{4a 1+6d =8a 1+4d ,a 1+(2n -1)d =2a 1+2(n -1)d +1,解得a 1=1,d=2. 因此a n =2n-1,n ∈N *.(2)由已知b 1a 1+b 2a 2+…+b n a n=1-12n ,n ∈N *,当n=1时,b 1a 1=12;当n ≥2时,b n a n=1-12n −(1-12n -1)=12n .所以b n a n=12n ,n ∈N *.由(1)知a n =2n-1,n ∈N *, 所以b n =2n -12n ,n ∈N *. 又T n =12+322+523+…+2n -12n, 12T n =122+323+…+2n -32n +2n -12n+1, 两式相减得1T n =1+(222+223+…+2n )−2n -12n+1=32−12n -1−2n -12n+1,所以T n =3-2n+32n. 21.(2013山东,文21)(本小题满分12分)已知函数f(x)=ax 2+bx-ln x(a,b ∈R ). (1)设a ≥0,求f(x)的单调区间;(2)设a>0,且对任意x>0,f(x)≥f(1).试比较ln a 与-2b 的大小. 解:(1)由f(x)=ax 2+bx-ln x,x ∈(0,+∞),得f'(x)=2ax 2+bx -1x.①当a=0时,f'(x)=bx -1x. 若b ≤0,当x>0时,f'(x)<0恒成立, 所以函数f(x)的单调递减区间是(0,+∞).若b>0,当0<x<1b 时,f'(x)<0,函数f(x)单调递减. 当x>1b 时,f'(x)>0,函数f(x)单调递增.所以函数f(x)的单调递减区间是(0,1b ),单调递增区间是(1b ,+∞). ②当a>0时,令f'(x)=0, 得2ax 2+bx-1=0. 由Δ=b 2+8a>0得 x 1=-b -√b 2+8a4a,x 2=-b+√b 2+8a4a.显然,x 1<0,x 2>0.当0<x<x 2时,f'(x)<0,函数f(x)单调递减; 当x>x 2时,f'(x)>0,函数f(x)单调递增. 所以函数f(x)的单调递减区间是(0,-b+√b 2+8a4a),单调递增区间是(-b+√b 2+8a4a,+∞).综上所述,当a=0,b ≤0时,函数f(x)的单调递减区间是(0,+∞);当a=0,b>0时,函数f(x)的单调递减区间是(0,1b ),单调递增区间是(1b,+∞);当a>0时,函数f(x)的单调递减区间是(0,-b+√b 2+8a4a),单调递增区间是(-b+√b 2+8a4a,+∞).(2)由题意,函数f(x)在x=1处取得最小值, 由(1)知-b+√b 2+8a4a是f(x)的唯一极小值点,故-b+√b 2+8a4a=1,整理得2a+b=1,即b=1-2a. 令g(x)=2-4x+ln x, 则g'(x)=1-4xx, 令g'(x)=0,得x=14.当0<x<14时,g'(x)>0,g(x)单调递增; 当x>14时,g'(x)<0,g(x)单调递减.因此g(x)≤g (14)=1+ln 14=1-ln 4<0,故g(a)<0,即2-4a+ln a=2b+ln a<0,即ln a<-2b.22.(2013山东,文22)(本小题满分14分)在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆C 的中心在原点O,焦点在x 轴上,短轴长为2,离心率为√22.(1)求椭圆C 的方程;(2)A,B 为椭圆C 上满足△AOB 的面积为√64的任意两点,E 为线段AB 的中点,射线OE 交椭圆C 于点P.设OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =t OP⃗⃗⃗⃗⃗ ,求实数t 的值. 解:(1)设椭圆C 的方程为x 22+y 2b 2=1(a>b>0), 由题意知{a 2=b 2+c 2,c a =√22,2b =2,解得a=√2,b=1.因此椭圆C 的方程为x 22+y 2=1.(2)当A,B 两点关于x 轴对称时,设直线AB 的方程为x=m,由题意-√2<m<0或0<m<√2.将x=m 代入椭圆方程x 22+y 2=1, 得|y|=√2-m 22.所以S △AOB =|m|√2-m 22=√64. 解得m 2=32或m 2=12.①又OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =t OE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12t(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=12t(2m,0)=(mt,0), 因为P 为椭圆C 上一点,所以(mt )22=1.② 由①②得t 2=4或t 2=43.又因为t>0,所以t=2或t=2√33. 当A,B 两点关于x 轴不对称时,设直线AB 的方程为y=kx+h.将其代入椭圆的方程x 22+y 2=1,得(1+2k 2)x 2+4khx+2h 2-2=0,设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),由判别式Δ>0可得1+2k 2>h 2,此时x 1+x 2=-4kh1+2k 2,x 1x 2=2h 2-21+2k 2, y 1+y 2=k(x 1+x 2)+2h=2h 1+2k 2,所以|AB|=√1+k 2√(x 1+x 2)2-4x 1x 2 =2√2√1+k 2√1+2k 2-h 21+2k 2.因为点O 到直线AB 的距离d=√1+k , 所以S △AOB =12|AB|d =12×2√2√1+k 2√1+2k 2-h 22√1+k =√2√1+2k 2-h 21+2k 2|h|. 又S △AOB =√64, 所以√2√1+2k 2-h 21+2k 2|h|=√64.③ 令n=1+2k 2,代入③整理得3n 2-16h 2n+16h 4=0, 解得n=4h 2或n=43h 2,即1+2k 2=4h 2或1+2k 2=43h 2.④又OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =t OE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12t(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =12t(x 1+x 2,y 1+y 2)=(-2kht1+2k 2,ht1+2k 2),因为P 为椭圆C 上一点,所以t 2[12(-2kh 1+2k 2)2+(h 1+2k 2)2]=1, 即h 21+2k 2t 2=1.⑤将④代入⑤得t2=4或t2=4,3又知t>0,故t=2或t=2√3.3经检验,适合题意..综上所得t=2或t=2√33。
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2013年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）
文科数学
参考公式：如果事件B A ,互斥，那么)()()(B P A P B A P +=+
一．选择题:本题共12个小题，每题5分，共60分。
(1)、复数)()2(2
为虚数单位i i
i z -=，则=||z (A)25 (B) 41 (C)6 (D) 5
(2)、已知集合B A 、均为全集}4,3,2,1{=U 的子集，且(){4}U A B = ð,{
1,2}B =,则U A B = ð
(A){3} (B){4} (C){3,4} (D)∅
(3)、已知函数)(x f 为奇函数，且当0>x 时，x
x x f 1)(2+=，
则=-)1(f
(A)2 (B)1 (C)0 (D)-2
(4)、一个四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，
其正（主）视图如右图所示该四棱锥侧面积和体积分别是
(A) (B) 83 (C) 81),3 (D) 8,8
(5)、函数()
f x =的定义域为 (A)(-3，0] (B) (-3，1]
(C) (,3)(3,0]-∞-- (D) (,3)(3,1]-∞--
(6)、执行右边的程序框图，若第一次输入的a 的值
为-1.2，第二次输入的a 的值为1.2，则第一次、
第二次输出的a 的值分别为
(A)0.2，0.2 (B) 0.2，0.8
(C) 0.8，0.2 (D) 0.8，0.8
(7)、ABC ∆的内角A B C 、、的对边分别是a b c 、、，
若2B A =，1a =，b =c =
(A) (8)、给定两个命题q p ,，p q ⌝是的必要而不充分条件，则p q ⌝
是
(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件
(9)、函数x x x y sin cos +=的图象大致为
(10)、将某选手的9个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，7个剩余分数的平均分为91，
现场做的9个分数的茎叶图后来有一个数据模糊，无法辨认，在图中以x 表示：
8779401091
x 则7个剩余分数的方差为
(A)
1169 (B)367 (11)、抛物线)0(21:21>=p x p y C 的焦点与双曲线222:13
x C y -=的右焦点的连线交1C 于第一象限的点M ，若1C 在点M 处的切线平行于2C 的一条渐近线，则p = (A)163 (B)83 (C)332 (D) 3
34 (12)、设正实数z y x ,,满足04322=-+-z y xy x ，则当
z xy 取得最大值时，2x y z +-的最大值为 (A)0 (B)98 (C)2 (D)94
二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分
(13)、过点(3，1)作圆22
(2)(2)4x y -+-=的弦，其中最短的弦长为__________
(14)、在平面直角坐标系xOy 中，M 为不等式组2360200x y x y y +-≤⎧⎪+-≥⎨⎪≥⎩
所表示的区域上一动点，则直线OM 的最小值为_______
(15)、在平面直角坐标系xOy 中，已知(1,)OA t =- ，(2,2)OB = ，若90o ABO ∠=，则实
数t 的值为______
(16).定义“正对数”：0(01)ln ln (1)x x x x +<<⎧=⎨
≥⎩，，， 现有四个命题：
①若0,0>>b a ，则a b a b ++=ln )(ln ；
②若0,0>>b a ，则b a ab ++++=ln ln )(ln
③若0,0>>b a ，则b a b a +++-=ln ln )(ln
④若0,0>>b a ，则2ln ln ln )(ln ++≤++++b a b a
其中的真命题有____________(写出所有真命题的序号)
三．解答题：本大题共6小题，共74分，
(17)(本小题满分12分)
某小组共有A B C D E 、、、、五位同学，他们的身高（单位:米）以及体重指标（单位:
千克/米2）
(Ⅰ)从该小组身高低于1.80的同学中任选2人，求选到的2人身高都在1.78以下的概率
(Ⅱ)从该小组同学中任选2人，求选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5，23.9)中的概率
(18)(本小题满分12分)
设函数2()sin cos (0)f x x x x ωωωω=->，且()y f x =的图象的一个对
称中心到最近的对称轴的距离为
4π， (Ⅰ)求ω的值
(Ⅱ)求()f x 在区间3[,
]2
ππ上的最大值和最小值
(19)(本小题满分12分) 如图，四棱锥P ABCD -中，,AB AC AB PA ⊥⊥,
,2AB CD AB CD =∥,,,,,E F G M N 分别为
,,,,PB AB BC PD PC 的中点
(Ⅰ)求证：CE PAD ∥平面
(Ⅱ)求证：EFG EMN ⊥平面平面
(20)(本小题满分12分)
设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且244S S =,122+=n n a a
(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式
(Ⅱ)设数列{}n b 满足
*121211,2n n n b b b n N a a a +++=-∈ ，求{}n b 的前n 项和n T
(21)(本小题满分12分)
已知函数2()ln (,)f x ax bx x a b R =+-∈
(Ⅰ)设0a ≥，求)(x f 的单调区间
(Ⅱ) 设0a >，且对于任意0x >，()(1)f x f ≥。
试比较ln a 与2b -的大小
(22)(本小题满分14分)
在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 的中心在原点O ，焦点在x 轴上，短轴长为2，离
心率为
2
(I)求椭圆C 的方程
(II)A,B 为椭圆C 上满足AOB ∆E 为线段AB 的中点，射线OE 交椭圆C 与点P ，设OP tOE = ，求实数t 的值。