高中数学 解题方法与技巧 有关组合数的计算与证明 (初始课件)[新版].ppt
高中数学 排列、组合、二项式定理 组合数(初始课件)
描述
课件名称
组合数
课程内容
组合数 概念及其特点 激趣导入：通过具体例子引出组合数概念。 知识新授：通过实例总结组合数 课堂练习：通过一小题巩固组合数 课堂小结：总结
教学设计
组合数
主讲教师：栾小敏
1.从 a , b , c三个不同的元素中取出两个元素的所有组 合分别是: ab , ac , bc (3个) 2.已知4个元素a , b , c , d ,写出每次取出两个元素的 所有组合.
m 第2步，求每一个组合中m 个元素的全排列数An ．
m A nn 1n 2n m 1 m n 因此：Cn m Am m! * m 、 n N 这里 ，且 m n ，这个公式叫做组合
m m m A C A 根据分步计数原理，得到： n n m
数公式．
概念讲解
从 n 个不同元中取出m个元素的排列数
A C A
n n
m
m
m m
组合数公式:
A n(n 1)(n 2) (n m 1) C A m!
m n m n m m
n! 0 C 我们规定：Cn 1. m !(n m)!
m n
例题分析
例1计算：⑴
C
4 7
⑵
C
7 10
• 【（1）35,（2）120】
例2.甲、乙、丙、丁4支足球队举行单循环赛，
(1)列出所有各场比赛的双方；
（2)列出所有冠亚军的可能情况. 解：(1) 甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁 （2）甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁
乙甲、丙甲、丁甲、丙乙、丁乙、丁丙
小结
组合的概念 排列 联系 组合是选择的 结果，排列是 选择后再排序 的结果 组合 组合数的概念
高中组合问题ppt课件
在数据处理中的应用
数据分组
对数据进行分组时，可以应用组合计数方法来计算分组数。例如，对10个人进行分组， 可以分为C(10,3)组，即从10个人中选择3个人为一组的方法数。
数据排序
在数据处理中，经常需要对数据进行排序。组合计数方法可以用来计算不同排序方法的可 能性数量。例如，对3个数进行排序，可以分为C(3,3)/A(3,3)种不同的排序方法。
高中组合问题ppt课 件
目录
• 组合问题概述 • 组合的基本性质 • 组合问题的解决方法 • 组合问题的实际应用 • 练习与思考
01 组合问题概述
什么是组合
组合是从n个不同元素中，任取m（m≤n）个元素并成一组，叫做从n个不同元 素中取出m个元素的一个组合；从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有 组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数。
组合数公式：C(n,m)=n!/[(n-m)!m!]
组合与排列的区别
排列与组合的区别在于：排列不考虑 取出元素的顺序，而组合需要考虑取 出元素的顺序。
从排列与组合异同点来看，它们都是 从n个不同元素中取出m个元素，而排 列不考虑取出元素的顺序，组合需要 考虑取出元素的顺序。
组合问题的应用场景
• 组合在日常生活中有着广泛的应用，如彩票、博彩 、概率统计、密码学等领域。在解决实际问题时， 我们需要根据具体问题的要求和条件，灵活运用组 合的知识和方法来寻找最优解。
组合的乘法原理
总结词
组合的乘法原理是指当两个组合数相等且具有相同的元素时，它们可以相乘。
详细描述
设两个集合A和B，它们的元素个数分别为n和m。从A中选取k个元素，从B中选取k个元素进行组合， 得到的组合数为C(n,k)×C(m,k)。这个组合数等于C(n+m,2k)，即从n+m个元素中选出2k个元素的组 合数等于从n个元素中选出k个元素的组合数乘以从m个元素中选出k个元素的组合数。
《组合与组合数公式》课件
3
详细解答
我们将逐步解答例题并给出详细的推导过程和计算方法。
组合公式的拓展
排列组合
排列组合是组合数学的一个重要 拓展，它涉及考虑元素的顺序的 排列方式。
分而治之
组合数学可以与分治算法结合， 解决具有组合性质的问题。
组合优化
组合数学在网络优化和组合优化 问题中发挥着重要作用。
总结与收尾
பைடு நூலகம்
1 重要性
组合与组合数公式对现实 世界和数学领域具有重要 意义。
《组合与组合数公式》 PPT课件
在这个PPT课件中，我们将深入探讨组合与组合数公式的概念、应用和推导过 程。让我们一起探索这个有趣而有用的数学领域！
什么是组合
组合的基本概念
组合是从一组元素中选择特定数 量的元素，不考虑顺序的排列。
组合的应用
组合数学在化学、信息论、概率 统计等领域有着广泛的应用。
组合的例题讲解
让我们通过一些有趣的情境和实 际问题来深入了解组合的运用。
组合公式的推导
阶乘公式
阶乘是组合数公式推导的基础，它表示从1到n的所有正整数的乘积。
组合数公式的推导
通过数学归纳法和排列组合的原理，我们可以推导出组合数公式。
二项式定理
二项式定理描述了如何将一个二项式（两个项的和或差的表达式）扩展为幂次多项式。
组合公式的应用
概率与统计
组合数公式在概率和统计中用于计算事件的可能性和样本空间的大小。
计算组合数
我们可以使用组合数公式快速计算出给定条件下的组合数量。
密码学
组合数学在密码学中被用于设计和分析密码系统的安全性。
组合公式的例题讲解
1
问题提出
我们将通过一个实际问题引入本节的例题讲解。
组合与组合数公式课件
超几何分布的概率值可以通过组合数公式进行计 算，特别是当总体大小远大于样本大小时。
二项式系数与组合数的关系
二项式系数
二项式系数表示在n次独立实验中成功k次的概率，通常表 示为C(n, k) = binomial(n, k) / k!
组合数公式
组合数公式是计算从n个不同元素中选取k个元素的不同方 式的数量。
关系
二项式系数是组合数的一种特例，当n次实验中每次成功 的概率为p时，二项式系数可以表示为C(n, k) = p^k * (1p)^(n-k)。
组合数与卡特兰数的关系
卡特兰数
卡特兰数是组合数学中的一类特殊数，通常用于计数排列、组合等 问题的解中选取k个元素的不同方式的数量 。
组合数的定义
总结词
组合数表示从n个不同元素中取出 m个元素的组合方式数量，记作 C(n, m)或C_n^m。
详细描述
组合数的定义基于组合的定义， 通过数学公式表示为C(n, m) = n! / (m!(n-m)!)，其中"!"表示阶乘 。
组合数的性质
总结词
组合数具有一些重要的性质，包括组合数的递推关系、对称性、非负性等。
组合数的计算公式具有对称性 ，即C(n，m)=C(n，n-m)，同 时还有C(n，0)=C(n，n)=1的 特殊性质。
组合数的性质在计算中的应用
利用组合数的性质可以简化组合数的计算，例如利用对称性可以避免一些不必要的 计算。
利用组合数的性质可以推导出一些重要的组合恒等式，例如二项式定理、帕斯卡三 角等。
当m=n时，排列就是组合；当取出元素不同时，排列和组合是不同的。
组合数的计算公式
组合数的计算公式为C(n， m)=n!/(m!(n-m)!)，其中n是 总的元素个数，m是需要取出 的元素个数，C(n，m)表示从n 个元素中取出m个元素的组合 数。
解决高考数学中的排列与组合问题
解决高考数学中的排列与组合问题高考数学中的排列与组合问题常常让考生头疼不已，但只要掌握正确的解题方法和技巧，这些问题将变得简单而有趣。
本文将为大家介绍一些解决高考数学中的排列与组合问题的有效方法。
一、排列问题解决方法排列是从n个元素中选取m个元素进行排列，其中元素的顺序是重要的。
下面是一些解决排列问题的方法：1. 公式法排列问题可以使用公式进行求解，公式为P(n,m) = n!/(n-m)!，其中"!"表示阶乘运算符。
这个公式可以直接计算出排列的结果。
2. 集合法使用集合的概念可以简化排列问题的解决。
将n个元素放入一个集合中，然后从集合中选取m个元素进行排列，最后将所有可能的排列方式求和即可得到结果。
3. 分类讨论法对于一些特殊的排列问题，可以使用分类讨论的方法求解。
将问题分解成几个简单的子问题，然后分别求解并将结果相加即可得到最终的答案。
二、组合问题解决方法组合是从n个元素中选取m个元素进行组合，其中元素的顺序是不重要的。
下面是一些解决组合问题的方法：1. 公式法组合问题可以使用公式进行求解，公式为C(n,m) = n!/(m!(n-m)!)。
通过将排列公式中的重复计数去掉，就可以得到组合的公式。
2. 集合法与排列问题相似，使用集合的概念同样可以简化组合问题的解决。
将n个元素放入一个集合中，然后从集合中选取m个元素进行组合，最后将所有可能的组合方式求和即可得到结果。
3. 分类讨论法对于一些特殊的组合问题，同样可以使用分类讨论的方法求解。
将问题分解成几个简单的子问题，然后分别求解并将结果相加即可得到最终的答案。
三、解决高考数学中的排列与组合问题的技巧除了掌握以上的解题方法外，还有一些技巧可以帮助我们更轻松地解决高考数学中的排列与组合问题：1. 灵活运用计数原理计数原理是解决排列与组合问题的基础，灵活运用计数原理可以帮助我们简化问题，加快解题速度。
2. 注意边界条件解决排列与组合问题时，要注意边界条件的处理。
高考数学解排列组合问题的常用方法大纲人教版(1)[1]PPT课件
![高考数学解排列组合问题的常用方法大纲人教版(1)[1]PPT课件](https://img.taocdn.com/s3/m/081c6db9f18583d0496459d6.png)
位题主置最,排先然需分常,排以后先析用末免排安法也位不首排和是共合位特元最有要共殊素基_求有元C _分本31_的_素C 析的_41 元_,法方再素是法处占解,理了若决其这以排它两元列元个素组素位分合.置析若问为以 位处考置理虑最由分其一后分析它个排步为位约其计主置束它数。条,位原需若件置理先有的共得满多同足有C 个时31 _特AC 约还_4341_殊AC束要4位3 41 条兼=置2件顾8的8A，其4要3 往它求往条,是件再C 31
(1)设集合A={a,b,c,d,e}，则集合A的含有 3个元素的子集有多少个? 组合问题
(2)某铁路线上有5个车站，则这条铁路线上 共需准备多少种车票? 排列问题 有多少种不同的火车票价？ 组合问题
(3)10名同学分成人数相同的数学和
英语两个学习小组，共有多少种分法?组合问题
(4)10人聚会，见面后每两人之间要 握手相互问候，共需握手多少次?
分步计数原理各步相互依存，每步中的方法 完成事件的一个阶段，不能完成整个事件．
1.排列和组合的区别和联系：
名称 定义
种数 符号 计算 公式 关系 性质
排列
组合
从n个不同元素中取出m个元 素，按一定的顺序排成一列
从n个不同元素中取出m个元 素，把它并成一组
所有排列的的个数
所有组合的个数
A
m n
C
m n
例： 6个同学和2个老师排成一排照相， 2个老 师站中间，学生甲不站排头，学生乙不站排尾， 共有多少种不同的排法？
分析：先安排甲，按照要求对其进行分类，分两类：
1）若甲在排尾上，则剩下的5人可自由安排，有
A
5 5
种方法.
2）若有甲A 41在种第,2第、23、、36、、67、位7，位则的排排尾法的有排法A 44有种A，41种根，据1分位步的计排数法
高中数学选修课件：组合与组合数公式
从n个不同元素中取出m（m≤n，m与n均为自然数,下同）个不同元素按照一定的顺序排 成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列；从n个不同元素中取出m个元素 的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数。
组合数公式推导过程
推导过程
考虑从n个元素中取出m个元素的所有可能情况，这相当于对n个元素进行全排 列，然后除以m个元素的全排列和剩余(n-m)个元素的全排列，以消除排列中 的重复情况。
进行快速计算。
组合的应用
在概率统计、排列组合问题、 编码理论等领域有广泛应用。
易错点剖析及注意事项
区分排列与组合
排列是有顺序的，而组合是无顺序的。在计算时，要注意题目要求的 是排列数还是组合数。
注意组合数的范围
由于组合数是从n个元素中取出m个，因此必须满足0≤m≤n的条件， 否则组合数无意义。
阶乘的计算
解答题思路剖析
仔细审题
明确题目要求，理解题意。
制定解题计划
根据题目条件和所学知识，制定详细的解 题步骤和计划。
执行解题计划
检查答案
按照计划逐步进行计算和推导，注意每一 步的正确性和合理性。
对答案进行检验和审查，确保没有遗漏和错 误。如果答案不符合题目要求，需要重新检 查和修正解题过程。
05 练习题巩固提高
证明组合数恒等式
利用组合数的性质和递推关系可以证 明一些组合数恒等式，如范德蒙德恒 等式等。
在概率统计中作用
计算事件概率
在概率论中，组合数经常用于计 算一些事件的概率，如超几何分
布、二项分布等。
抽样问题
在统计学中，组合数也常用于解决 一些抽样问题，如从总体中抽取一 定数量的样本进行检验等。
高中数学如何利用组合数求解排列组合问题
高中数学如何利用组合数求解排列组合问题在高中数学中，排列组合问题是一个常见且重要的考点。
排列组合问题涉及到对一组元素进行选择和排列的方式，而组合数则是解决这类问题的重要工具之一。
本文将介绍如何利用组合数求解排列组合问题，并通过具体的例题进行说明。
一、排列组合问题的基本概念排列和组合是数学中的两个重要概念。
排列指的是从一组元素中选取若干个元素按照一定的顺序排列，而组合则是从一组元素中选取若干个元素不考虑顺序。
排列和组合的计算公式如下：排列：P(n, k) = n! / (n-k)!组合：C(n, k) = n! / (k!(n-k)!)其中，n代表元素的总个数，k代表选取的元素个数，n!表示n的阶乘。
二、利用组合数求解排列组合问题的步骤1. 确定问题的要求：明确题目中要求的是排列还是组合，以及选取元素的个数。
2. 确定元素的总个数和选取的元素个数：根据题目中给出的条件，确定元素的总个数和选取的元素个数。
3. 计算组合数：根据组合数的计算公式，计算出对应的组合数。
4. 根据题目要求进行计算：根据题目中给出的条件，利用组合数进行计算，得出最终结果。
下面通过具体的例题来说明如何利用组合数求解排列组合问题。
例题1：从1、2、3、4、5五个数字中选取3个数字，能够组成多少个不重复的三位数？解析：这是一个组合问题，要求选取3个数字组成三位数。
根据步骤，我们可以得到元素的总个数n=5，选取的元素个数k=3。
根据组合数的计算公式，可以得到C(5, 3) = 5! / (3!(5-3)!) = 10。
所以能够组成10个不重复的三位数。
例题2：某班有10个学生，其中3个学生被选为班长、4个学生被选为副班长，剩下的学生不担任任何职务。
问有多少种不同的选举结果？解析：这是一个排列问题，要求选取3个学生作为班长，4个学生作为副班长。
根据步骤，我们可以得到元素的总个数n=10，选取的元素个数k=3+4=7。
根据排列数的计算公式，可以得到P(10, 7) = 10! / (10-7)! = 60480。
组合与组合数公式PPT课件
3 3.
A 从而 3 C A 4
3
C434 3
P3 4
P3 3
3
从 n 个不同元中取出m个元素的排列数
A C A m m m
n
n
m
组合数公式:
Cnm
Anm Amm
n(n 1)(n 2) m!
(n m 1)
Cnm
n! m!(n
m)!
C 例1计算：⑴
4 7
⑵ C170
C A (3) 已知 3 2 ,求 n ．
问题一：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参
加某天的一项活动，其中1名同学参加上午的
活动，1名同学参加下午的活动，有多少种不
同的选法？
A32 6
有顺序
问题二：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参 加一项活动，有多少种不同的选法？
甲、乙；甲、丙；乙、丙
无顺序
组合定义: 一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n）
排列与元素的顺序有关，而组合则与元素的顺序无关
想一想:ab与ba是相同的排列还是相同的组合?为什么?
两个相同的排列有什么特点?两个相同的组合呢?
判断下列问题是组合问题还是排列问题?
(1)设集合A={a,b,c,d,e}，则集合A的含有3个元素的 子集有多少个? 组合问题
(2)某铁路线上有5个车站，则这条铁路线上共需准备 多少种车票? 排列问题 有多少种不同的火车票价？ 组合问题
请赛，通过单循环决出冠亚军．
（1）列出所有各场比赛的双方；
（2）列出所有冠亚军的可能情况。
（1） 中国—美国 美国—古巴
中国—古巴 美国—俄罗斯
中国—俄罗斯 古巴—俄罗斯
（2） 冠 军
中
高中数学解组合问题的技巧
高中数学解组合问题的技巧在高中数学中，组合问题是一个常见的题型，它考察的是从给定的元素集合中选取若干元素组成一个子集的方式和方法。
解决组合问题需要一些特定的技巧和方法，下面我将结合具体题目，为大家介绍一些解组合问题的技巧。
一、排列与组合的区别在解组合问题之前，我们首先要明确排列和组合的区别。
排列是指从给定的元素集合中选取若干元素按照一定的顺序排列起来，而组合是指从给定的元素集合中选取若干元素组成一个子集，不考虑元素的顺序。
例如，有5个人要选出3个人组成一个小组，那么排列问题是考虑选出的人的顺序，而组合问题只考虑选出的人的组合。
二、组合问题的基本思路解决组合问题的基本思路是利用组合数的性质进行计算。
组合数表示从n个元素中选取r个元素组成一个子集的方式数，记作C(n,r)。
组合数的计算公式为：C(n,r) = n! / (r! * (n-r)!)其中n!表示n的阶乘，即从1到n的连乘。
三、组合问题的解题技巧1. 利用组合数的性质简化计算有时候，我们可以利用组合数的性质来简化计算。
例如，如果题目中要求计算C(10,3)，可以利用组合数的对称性质C(n,r) = C(n,n-r)，将问题转化为计算C(10,7)，从而减少计算量。
2. 利用组合数的递推关系组合数有一个重要的递推关系：C(n,r) = C(n-1,r-1) + C(n-1,r)。
利用这个递推关系，我们可以将一个组合问题转化为两个规模较小的组合问题，从而简化计算。
例如，题目中要求计算C(5,3)，可以利用递推关系将其转化为计算C(4,2)和C(4,3)的和，即C(5,3) = C(4,2) + C(4,3)。
3. 利用组合数的性质求解实际问题组合问题不仅仅是纯粹的数学计算，还可以应用到实际问题中。
例如，题目中要求从10个不同的球中选取5个球，其中有3个红球和2个蓝球，问有多少种选法。
我们可以将问题转化为计算从3个红球中选取r个球和从2个蓝球中选取5-r个球的组合数的和，其中r的取值范围为0到2。
《高中数学组合课件》
欢迎来到《高中数学组合课件》！在这个课件中，我们将探索数学组合的概 念、基本原理、计算方法、应用场景和解决策略，以及总结要点。让我们一 起开启数学组合的奇妙之旅吧！
数学组合的概念
1 定义
2 关键特点
数学组合是从给定的元素集 合中，选取出指定数目的元 素并按照一定条件进行排列。
组合不考虑元素的顺序，只 关注元素的选择和数量。
组合的应用场景
1
密码锁
使用组合问题的解决策略破解密码锁。
排队
2
计算乘客排队的组合方式，以优化服务
流程。
3
图书馆
安排书籍的组合方式，以最大化空间利 用率。
组合问题的解决策略
穷举法
逐个尝试所有可能的组合情况， 找到满足条件的解决方案。
减治法
通过对问题进行剪枝，减少搜 索空间，提高解决效率。
动态规划
通过分解问题为子问题，并保 存中间结果，来进行高效的计 算。
组合的排列与组合的区别
排列
排列考虑元素的顺序，组合不考虑元素的顺序。
排列数量
排列数明显多于组合数，因为顺序不同的排列被 视为不同的解决方案。
组合的计算方法
公式 计算 示例
Hale Waihona Puke C(n, r) = n! / (r! * (n-r)!)
通过计算阶乘来求解组合数，其中n为元素总数， r为选取的元素数。
C(5, 2) = 5! / (2! * (5-2)!) = 10
结论和要点
数学知识的重要组成部分
组合是高中数学中的一个重要概 念，深入了解组合问题将有助于 学生在数学上的发展。
合作与团队
组合问题培养学生的合作意识和 团队精神，鼓励他们一起寻找最 佳解决方案。
高中数学选修2-3 1.3.1组合与组合数公式课件(共17张PPT)
少个三位数?
1.组合的概念
无序
一般的，从ｎ个不同的元素中取出ｍ（ｍ≤ｎ）个元素合
成一组，叫做从ｎ个不同元素中取出ｍ个元素的一个组合。
组合数与组合数公式
从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有组合 的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合
数，用符号 Cnm表示.
注意： Cnm 是一个数，应该把它与“组合”区别开来．
排列
组合 联系
组合是选择的 结果，排列是 选择后再排序 的结果
组合的概念 组合数的概念及性质
，
可得：
C34
=
A34 A 33
组合
123 124 134 234
排列
123 213 312 132 231 321
124 214 412 142 241 421
134 314 413 143 314 431
234 324 423 243 342 432
不写出所有组合，怎样才能知道组合的种数？
A 求 3可分两步考虑： 4
4.解不等式： Cmm4
C m6 m1
C6 m1
(4)
例1：(1)平面内有10个点,以其中每2个点为端点的
线段共有多少条?
C120 =45
(2)平面内有10个点,以其中每2个点为端点的
有向线段共有多少条?
A120 =45
例2
解：（1）C1300 161700 (2)C21 C928 9506
C 第一步， 3 （ 4）个； 4
A 第二步， 3 （ 6）个； 3
A C A 根据分步计数原理， 3 4
3
4
3 3.
3
A 从而 3 C4
4 3
A3
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m 1 n-m
(m
n! 1)!(n -
m
-1)!
•
n! m!(n - m)!
Cnm
，
•
n
-
m m
1
C m-1 n
n
-
m m
1
(m
n! -1)!(n -
m
1) !
•
n! m!(n - m)!
Cnm
，
•
所以
m 1 n-m
C m1 n
n
-
m m
1
C m-1 n
.
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11
题型 5 化简、求和问题
• 例5. 化简下式：
以原不等式的解集是｛x|4≤x＜12，
x∈N*｝.
•
点评：解组合式型的不等式有
两个关键之处：一是先转化为常规的
不等式，二是符合公式意义的自然数
解.
优选文档
9
题型4 证明组合数恒等式
•
例4.
证明等式：m 1
n-m
C m1 n
n
-
m m
1
C m-1 n
•
优选文档
10
•
解：因为
m 1 n-m
C m1 n
• •
C n1 n3
C n-1 n1
C n-2 n
Cn n1
•
解：
方程可化为
C2 n3
C2 n1
Cn2
C1 n1
(n
2)
，
•
即Cn22
C1 n2
C2 n2
Cn2
，所以 Cn1 2
Cn2
，
•
即n 2 n(n -1) ，所以n2-3n-4=0.
2
•
所以n=4或n=-1(舍去).
•
故n=4是原方程的解.
内容
描述
课件名称 有关组合的证明与计算
课程内容 有关组合的证明与计算
教学设计
激趣导入：复习组合知识要点。 知识新授：有关组合的证明与计算。 课堂练习：巩固 课堂小结：总结
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1
有关组合的证明与计算
主讲教师：栾小敏
优选文档
2
• •
12..组C合nm 数= 的AAnmmm两个=_性_m_质!_(n_n是_-! m_:_)_C!___nm____C_nn_-m__;
-
2)!
(22ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
-
21！ x)！( x
-1)！
，
1
1
•
即 (25 - x)(24 - x) (x - 2)(x - 3) ，
1 1
23 - x x -1
•
(25 - x)(24 - x)(x - 2)(x - 3)
•
即 23 - x x -1
，
4 x 22 优选文档
8
•
由此解得，4≤x＜12(x∈N*).所
• 点评：解组合数方程时，一般先把组合式化成全排
式(阶乘式)，然后约去一些公共因式，得到基本方
程，最后求得的解需符合优选文组档 合式的意义.
7
题型3 解组合数不等式
•
例
3.
解不等式:
C x-4 21
C2x1-2
C2x1-1
• 解：原不等式可化为
•
(25
-
21! x)！( x
-
4)！ (23
-
21! x)!( x
(n 1)! m![(n 1) m]!
C . m n1
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4
c c c m m m1
n1
n
n
注:1 公式特征：下标相同而上标差1的两个组合数之 和，等于下标比原下标多1而上标与原组合数上标较
大的相同的一个组合数．
2 此性质的作用：恒等变形，简化运算．在今后学 习“二项式定理”时，我们会看到它的主要应用．
m! (m 1)! (m 2)! (m n)!
0! 1!
2!
n!
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12
• 解：原式
m!1
(m 1)! m!
(m 2)! m!2!
(m n)! m!n!
m !(Cm0 1
C1 m1
C2 m2
Cmnn )
m!(Cmm21
Cm m2
Cn mn
)
m!(Cmmn1
Cm mn
)
m!Cmmn11 m!Cmnn1.
• _C_n_m___C_nm_-1___C__nm___1_.
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3
c c c 性质2 m m m1
n1
n
n
证明:
C C m
m1
n
n
n!
n!
m!(n m)! (m 1)![n (m 1)]!
n!(n m 1) n!m (n m 1 m)n!
m!(n m 1)!
m!(n 1 m)!
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5
题型1 组合数的四则运算
• 例1. 计算下式的值：
C 98 100
C 97 100
A3 101
•
解：原式＝C1200A1301C1300
C3 101
C1301·3
1 3!
1
6.
•
点评：组合数公式的化简与运算，就
是公式的顺用、逆用和变用的结合.
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6
题型2 解组合数方程
•
例 2. 解下列方程：
合数的运算，一般用阶乘的形式运算较方便.
•
4. 对解含字母组合数的方程和不等式，应先
利用相关公式将方程和不等式化归为常规问题，但
必须注意字母的取值范围，防止增根.
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14
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13
总结
•
1. 公式的应用体现为三种形式，即正向应用、
逆向应用和变式应用，其中变式应用是较难掌握的，
它要根据实际问题的需要进行变式，如利用组合数
性质的变式：Cnm-1
Cm n1
- Cnm
求和.
•
2. 对含组合数的代数式的计算，要注意利用
组合数性质和提取公因式等手段简化运算过程.
•
3. 组合数公式都有两种形式，对含字母的组