吉林省辽源一中2018_2019学年高三数学上学期期末考试试题理

12018-2019学年上学期高三期末考试理科数学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．[2018·攀枝花统考]已知集合{}12A x x =-<<，(){}30B x x x =->，则集合A B =（ ）A ．{}13x x -<<B ．{}23x x x <>或C ．{}02x x <<D ．{}03x x x <>或2．[2018·南宁三中]复数z 满足()12i 3i z +=+，则z =（ ） A ．1i 5+B ．1i -C ．1i 5-D ．1i +3．[2018·青岛调研]如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱1BB 的中点，用过点A ，E ，1C 的平面截去该正方体的上半部分，则剩余几何体的侧视图为（ ）A ．B ．C ．D ．4．[2018·佛山调研]已知tan 2a =，则2sin 2cos a a +=（ ） A ．35B ．35-C ．35-或1D ．15．[2018·枣庄二模]若()1021x a x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式中6x 的系数为30，则a =（ ）A ．12-B ．2-C ．12D ．26．[2018·中山一中]函数()πtan 26x f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的单调递增区间是（ ）A ．2π4π2π,2π33k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k ∈ZB ．2π4π2π,2π33k k ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，k ∈ZC ．2π4π4π,4π33k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k ∈ZD ．2π4π4π,4π33k k ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，k ∈Z7．[2018·山师附中]函数()f x 是R 上的偶函数，且()()1f x f x +=-，若()f x 在[]1,0-上单调递减，则函数()f x 在[]3,5上是（ ） A ．增函数B ．减函数C ．先增后减的函数D ．先减后增的函数8．[2018·棠湖中学]已知两点(),0A a ，()(),00B a a ->，若曲线22230x y y +--+=上存在点P ，使得90APB ∠=︒，则正实数a 的取值范围为（ ）A ．(]0,3B ．[]1,2C ．[]2,3D ．[]1,39．[2018·优创名校]函数()211ln 22f x x x =+-的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号210．[2018·南海中学]已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的右焦点为F ，点A 在双曲线的渐近线上，OAF △是边长为2的等边三角形（O 为原点），则双曲线的方程为（ ）A ．2213x y -=B ．2213y x -= C ．221412x y -=D ．221124x y -= 11．[2018·黄陵中学]在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a =，c =，tan 21tan A cB b+=，则C ∠=（ ） A ．π6B ．π4C ．π4或3π4D ．π312．[2018·开封月考]已知空间四边形ABCD ，2π3BAC ∠=，AB AC ==6BD CD ==，且平面ABC ⊥平面BCD ，则空间四边形ABCD 的外接球的表面积为（ ） A ．60πB ．36πC ．24πD ．12π第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．[2018·南康模拟]已知单位向量a ，b 的夹角为60︒，则()()23+⋅-=a b a b ________．14．[2018·曲靖统测]随机变量ξ服从正态分布()2,N ξμσ~，若()20241P μξμ-<≤=．，则()2P ξμ>+=__________．15．[2018·高新区月考]若实数x ，y 满足不等式组00220y x y x y ≥⎧⎪-≥⎨⎪--≥⎩，则11y w x -=+的取值范围是__________．16．[2018·盐城期中]已知函数()2221f x x ax a =-+-，()2g x x a =-，[]11,1x ∀∈-，[]21,1x ∃∈-，使()()21f x g x =，则实数a 的取值范围是__________．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）[2018·华侨中学]已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且22n S n n =+．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ．18．（12分）[2018·唐山摸底]甲、乙两位工人分别用两种不同工艺生产同一种零件，已知尺寸在[]223,228（单位：mm ）内的零件为一等品，其余为二等品，测量甲乙当天生产零件尺寸的茎叶图如图所示：（1）从甲、乙两位工人当天所生产的零件中各随机抽取1个零件，求抽取的2个零件等级互不相同的概率；（2）从工人甲当天生产的零件中随机抽取3个零件，记这3个零件中一等品数量为错误！未找到引用源。

，求错误！未找到引用源。

的分布列和数学期望．319．（12分）[2018·长沙一中]在边长为4的菱形ABCD 中，60DAB ∠=︒，点E ，F 分别是边CD ，CB 的中点，ACEF O =，沿EF 将CEF △翻折到PEF △，连接PA ，PB ，PD ，得到如图的五棱锥，且PB =（1）求证：平面PEF ⊥平面POA ；（2）求直线PE 与平面PAB 所成的角的正弦值．20．（12分）[2018·成都实验中学]已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x轴上，焦距为，离心（1）求椭圆C 的方程；（2）设直线L 经过点()0,1M ，且与椭圆C 交于A ，B 两点，若2AM MB =，求直线L 的方程．421．（12分）[2018·大庆实验中学]设函数()21ln 22x f x a x =--． （1）当1a =时，求函数()f x 的极值．（2）若函数()f x 在区间[]1,e 上有唯一的零点，求实数a 的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】[2018·南昌模拟]在平面直角坐标系x y O 中，直线l 的参数方程为212x ty t =+⎧⎨=+⎩（t 为参数）．以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，C 的极坐标方程为24sin 120ρρθ--=． （1）求C 的参数方程； （2）求直线l 被C 截得的弦长．23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】[2018·安康中学]已知函数()11f x x x =-++． （1）解不等式()2f x ≤；（2）设函数()f x 的最小值为m ，若a ，b 均为正数，且14m a b+=，求a b +的最小值．2018-2019学年上学期高三期末考试 理科数学答案第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．【答案】B【解析】集合(){}{}3003B x x x x x x =->=<>或，∵{}12A x x =-<<，∴{}23A B x x x =<>或，故选B ． 2．【答案】D【解析】∵()12i 3i z +=+，∴()()()()3i 12i 3i55i 1i 12i 12i 12i 5z +-+-====-++-，∴z 1i =+．故选D ． 3．【答案】C【解析】取1DD 中点F ，连接AF ，1CF ．平面1AFC E 为截面．如下图：∴故选C ． 4．【答案】D【解析】∵222222sin cos cos 2tan 1sin 2cos sin cos tan 1ααααααααα+++==++，又∵tan 2a =，∴22221sin 2cos 121αα⨯++==+．故选D ． 5．【答案】D【解析】由题意二项式101x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式为10102110101C C rr r r rr T x xx --+⎛⎫== ⎪⎝⎭， 展开式的6x 为()2342632610101010C C C C xx a xa x-⋅=-⋅，∴321010C C 30a -⋅=，解得2a =，故选D ． 6．【答案】B【解析】由题意，函数()πtan 26x f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，令πππππ2262x k k -+<-<+，k ∈Z ，解得2π4π2π2π33k x k -<<+，k ∈Z ， 即函数()f x 单调递增区间是2π4π2π,2π33k k ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，k ∈Z ，故选B ． 7．【答案】D【解析】已知()()1f x f x +=-，则函数周期2T =， ∵函数()f x 是R 上的偶函数，在[]1,0-上单调递减，∴函数()f x 在[]0,1上单调递增，即函数在[]3,5先减后增的函数．故选D ． 8．【答案】D【解析】∵90APB ∠=︒，∴点P 在圆222x y a +=，又点P 还在圆(()2211x y -+-=，故121a a -≤≤+，解不等式有13a ≤≤，故选D ． 9．【答案】C【解析】由()()f x f x -=，得()f x 为偶数，图象关于y 轴对称，排除D ； 21310e 22e f ⎛⎫=-+< ⎪⎝⎭，排除A ；()211e e 022f =+>，排除B ，故选C ．10．【答案】B【解析】双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的右焦点为F ，点A 在双曲线的渐近线上，OAF △是边长为2的等边三角形（O 为原点），可得2c =，ba=223b a =，2223c a a -=， 解得1a=，b =，双曲线的焦点坐标在x 轴，所得双曲线的方程为2213y x -=，故选B ． 11．【答案】B【解析】利用正弦定理，同角三角函数关系，原式可化为：sin cos 2sin 1cos sin sin A B CA B B+=， 去分母移项得：sin cos sin cos 2sin cos B A A B C A +=，∴()sin sin 2sin cos A B C C A +==，∴1cos 2A =．由同角三角函数得：sin A =， 由正弦定理sin sin a c A C=，解得sin C =π4C ∠=或3π4（舍）．故选B ． 12．【答案】A【解析】由余弦定理得2112122362BC ⎛⎫=+-⋅-= ⎪⎝⎭，∴6BC =，由正弦定理得62sin120r =︒，∴r =ABC的外接圆半径为．设外接球的球心为O ，半径为R ，球心到底面的距离为h ，设三角形ABC 的外接圆圆心为E ，BC 的中点为F ，过点O 作OG DF ⊥， 连接DO ，BE ，OE ． 在直角OBE △中，(222R h =+（1），在直角DOG △中，()22R h=+（2），解（1）（2）得hR =．∴外接球的表面积为4π60π=．故选A ．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．【答案】72-【解析】1==a b ，111122⋅=⨯⨯=a b ， ()()2257232532322+⋅-=--=--=-a b a b a ab b ，故答案为72-． 14．【答案】0.259【解析】∵()2,N ξμσ~，∴()()221220.518P P μμξμ+=--<≤=．()20.259P ξμ>+=． 故答案为0.259． 15．【答案】1,12⎡⎫-⎪⎢⎣⎭【解析】∵实数x ，y 满足00220y x y x y ≥⎧⎪-≥⎨⎪--≥⎩，对应的平面区域如图所示：则11y w x -=+表示可行域内的点(),x y 到()1,1-的两点的连线斜率的范围，由图可知11y w x -=+的取值范围为1,12⎡⎫-⎪⎢⎣⎭．16．【答案】[]2,1--【解析】[]11,1x ∀∈-，[]21,1x ∃∈-，使()()21f x g x =， 即()g x 的值域是()f x 的子集，()[]2,2g x a a ---∈， ()2221f x x ax a =-+-，[]1,1x ∈-，当1a ≤-时，()222,2f x a a a a ⎡⎤∈+-⎣⎦，即222a a a +≤--，222a a a -≤-，解得[]2,1a ∈--；当10a -<≤时，()21,2f x a a ⎡⎤∈--⎣⎦，即12a -≤--，222a a a -≤-，不等式组无解； 当01a <≤时，()21,2f x a a +⎡⎤∈-⎣⎦，即12a -≤--，222a a a ≤+-，不等式组无解； 当1a >时，()222,2f x a a a a ⎡⎤∈-+⎣⎦，即222a a a -≤--，222a a a -≤+，不等式组无解； 综上所述，a 的范围为[]2,1--．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．【答案】（1）()21n a n n *=+∈N ；（2）()323nn +．【解析】（1）当1n =时，113a S ==；当2n ≥时，()()221212121n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=+--+-=+⎣⎦．当1n =时，也符合上式，故()21n a n n *=+∈N ． （2）∵()()111111212322123n n a a n n n n +⎛⎫==- ⎪++++⎝⎭， 故()11111111112355721232323323n nT n n n n ⎛⎫⎛⎫=-+-+⋯+-=-=⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭． 18．【答案】（1）12；（2）65． 【解析】（1）由茎叶图可知，甲当天生产了10个零件，其中4个一等品，6个二等品；乙当天生产了10个零件，其中5个一等品，5个二等品， ∴抽取的2个零件等级互不相同的概率4565110102P ⨯+⨯==⨯；（2）X 可取0，1，2，3．()0346310C C 106C P X ===，()1246310C C 112C P X ===，()2146310C C 3210C P X ===，()3046310C C 1330C P X ===，X 的分布列为∴随机变量X的期望()1131601236210305E X=⨯+⨯+⨯+⨯=．19．【答案】（1）证明见解析；（2【解析】（1）∵点E，F分别是边CD，CB的中点，∴BD EF∥，∵菱形ABCD的对角线互相垂直，∴BD AC⊥，EF AC⊥，EF AO⊥，EF PO⊥，∵AO⊂平面PAO，PO⊂平面PAO，AO PO O=，∴EF⊥平面PAO，又∵EF⊂平面PEF，∴平面PEF⊥平面POA．（2）设AO BD H=，连接BO，∵60DAB∠=︒，∴ABD△为等边三角形，∴4BD=，2BH=，HA=HO PO==在Rt BHO△中，BO=PBO△中，22210BO PO PB+==，∴PO BO⊥，∴PO EF⊥，EF BO O=，∴PO⊥平面BFED，以O为原点，OF，AO，OP所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系O xyz-，则()0,A-，()2,B，(P，()1,0,0E-，∴(AP=，()2,AB=，(1,0,PE=-，设平面PAB的一个法向量为(),,x y z=n，由n AP⊥，n AB⊥得20x⎧=⎪⎨+=⎪⎩，令1y=，得()3=-n，设直线PE与平面PAB所成的角为θ，2PEPEPE⋅⋅==nnn1）2214x+=；（2【解析】（1）设椭圆方程为()222210x ya ba b+=>>，∵c=cea==，∴4a=，2b=，所求椭圆方程为221164x y+=．（2）由题得直线L的斜率存在，设直线L方程为1y kx=+，则由2211164y kxx y=+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()22148120k x kx++-=，且0∆>．设()11,A x y，()22,B x y，则由2AM MB=，得122x x=-，又122814kx xk+=-+，1221214x xk=-+，∴22814kxk--+=，22212214xk--+=，消去2x解得2320k=，k=∴直线L的方程为1y=+．21．【答案】（1）极小值为0，无极大值；（2）2e112x a a⎧⎫-⎪⎪≤>⎨⎬⎪⎪⎩⎭或．【解析】（1）1a=时，()21ln22xf x x=--函数的定义域为()0,+∞，()211xf x xx x-'=-=，令()0f x'=解得1x=或1x=-（舍）01x<<时，()0f x'<，()f x单调递减；1x>时，()0f x'>，()f x单调递增列表如下∴1x=时，函数的极小值为0，函数无极大值．（2）()2a x af x xx x-'=-=，其中[]1,ex∈，当1a≤时，()0f x'≥恒成立，()f x单调递增，又∵()10f =，∴函数()f x 在区间[]1,e 上有唯一的零点，符合题意． 当2e a ≥时，()0f x '≤恒成立，()f x 单调递减，又∵()10f =，∴函数()f x 在区间[]1,e 上有唯一的零点，符合题意． 当21e a <<时，1x ≤时，()0f x '<，()f x 单调递减， 又∵()10f =，∴函数()f x在区间⎡⎣上有唯一的零点；e x ≤时，()0f x '>，()f x 单调递增，又∵0f<，∴当()e 0f <时符合题意，即2e 1022a --<，∴2e 12a ->时，函数()f x在区间⎡⎣上有唯一的零点； ∴a 的取值范围是2e 112x a a ⎧⎫-⎪⎪≤>⎨⎬⎪⎪⎩⎭或．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．【答案】（1）C 的参数方程为4cos 24sin x y θθ=⎧⎨=+⎩（θ为参数）；（2）．【解析】（1）∵C 的极坐标方程为24sin 120ρρθ--=，∴C 的直角坐标方程为224120x y y +--=，即()22216x y +-=， ∴C 的参数方程为4cos 24sin x y θθ=⎧⎨=+⎩（θ为参数）．（2）∵直线l 的参数方程为212x ty t =+⎧⎨=+⎩（t 为参数），∴直线l 的普通方程为230x y --=，∴圆心到直线l的距离d ==∴直线l 被C截得的弦长为= 23．【答案】（1）[]1,1-；（2）92． 【解析】（1）∵()212,112,1x x f x x x x -≤-⎧⎪=-<≤⎨⎪>⎩,，∴122x x ≤-⎧⎨-≤⎩或1122x -<≤⎧⎨≤⎩或122x x >⎧⎨≤⎩， ∴11x -≤≤，∴不等式解集为[]1,1-；（2）∵()()11112x x x x -++≥--+=，∴2m =， 又142a b +=，0a >，0b >，∴1212a b+=， ∴()125259222222a b a b a b a b b a ⎛⎫+=++=++≥+=⎪⎝⎭， 当且仅当1422a b b a⎧+=⎪⎨⎪=⎩，即323a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩时取等号，∴()min 92a b +=．。