人教版九年级上册与圆有关位置关系讲与练(含答案)

合集下载

人教版九年级数学上册第二十四单元圆和圆的位置关系同步练习1带答案

人教版九年级数学上册第二十四单元圆和圆的位置关系同步练习1带答案

人教版九年级数学上册第二十四单元《圆和圆的位置关系》同步练习1带答案◆随堂检测1.大圆半径为6,小圆半径为3,两圆圆心距为10,那么这两圆的位置关系为( )A .外离B .外切 C.相交 D .内含2.已知两圆的半径别离为3和7,且这两圆有公共点,那么这两圆的圆心距d 为( )A .4 .10 C 或10 D.104≤≤d3.如下图,EB 为半圆O 的直径,点A 在EB 的延长线上,AD 切半圆O 于点D ,BC ⊥AD 于点C ,AB=2,半圆O 的半径为2,那么BC 的长为_________.半径别离为cm 5和cm 4,这两个圆的圆4.已知相切两圆的心距是_________.5.已知1O ⊙和2O ⊙的半径别离是一元二次方程2320x x -+=的两根,且122OO =,请判定1O ⊙和2O ⊙的位置关系. ◆典例分析半径别离为5和32的两圆相交,测得公共弦长为6,求两圆的圆心距是多少?分析:在平常学习中,咱们所见到的两圆相交大多数是两圆圆心都在公共弦异侧的情形,而两圆圆心还有在公共弦同侧的情形,而这种情形又常常被咱们所忽略掉,因此常常会显现少解的情形.在做几何题时,当题目中没有画出图形时,专门要注意有无多种情形,是不是需要分类讨论,要考虑全面,不要少解、漏解.讨论时,第一应依照不同情形进行作图,然后对所做图形别离进行描述,再说明所做的辅助线,最后进行有关线段的计算与转换. 解:分类讨论:(1)当两圆圆心在公共弦异侧时,如下图:圆A ,圆B 的半径别离为5和32,圆A 与圆B 相交于C 、D ,CD 的长为6,别离连接AB ,E D CA BAC ,BC ,设AB 交CD 于E ,因为圆A ,圆B 的公共弦,AB 为圆A ,圆B 的连心线,因此AB 垂直平分CD.在直角三角形ACE 中,因为AC=5,CE=21CD=3,依照勾股定理得AE 2+CE 2=AC 2,因此22EC AC -=2235-=4,在直角三角形BCE 中,因为BC=32,依照勾股定理得BE 2+CE 2=BC 2,因此BE=22CE BC -=3,因此AB=AE+BE=7. (2)当两圆圆心在公共弦同侧时,如下图:圆A ,圆B 的半径别离为5和32,圆A 和圆B 别离交于C 、D ,CD 的长为6,连接AB ,延长AB 交CD 于E ,别离连接AC 、BC ,因为CD 为圆A ,圆B 的公共弦,AB 为圆A ,圆B 的连心线,因此直线AB 垂直平分CD.在直角三角形ACE 中,因为AC=5,CE=3,依照勾股定理AE=22EC AC -=4,在直角三角形BCE 中,因为BC=32,依照勾股定理得BE 2+CE 2=BC 2,因此BE=22CE BC -=3,因此AB=AE-BE=1.综上所述,两圆的圆心距为7或1.◆课下作业●拓展提高1.已知两圆的半径别离为5cm 和7cm ,圆心距为8cm ,那么这两个圆的位置关系是( )A .内切B .相交C .外切D .外离2.如图,已知EF 是⊙O 的直径,把∠A 为60°的直角三角板ABC 的一条直角边BC 放在直线EF 上,斜边AB 与⊙O 交于点P,点B 与点O 重合.将三角板ABC 沿OE 方向平移,使得点B 与点E 重合为止.设∠POF=x °,那么x 的取值范围是( )A .3060x ≤≤B .3090x ≤≤C .30120x ≤≤D .60120x ≤≤C ED A B3.⊙O 从直线AB 上的点A(圆心O 始终在直线AB 上,移动速度1cm/秒)向右运动,已知线段AB=6cm ,⊙O 、⊙B 的半径别离为1cm 和2cm.当两圆相交时,⊙O 的运动时刻t(秒)的取值范围为_________.4.已知ABC △的三边别离是a b c ,,,两圆的半径12r ar b ==,,圆心距d c =,那么这两个圆的位置关系是________.5.如图,在以O 为圆心的两个同心圆中,AB 通过圆心O ,且与小圆相交于点A .与大圆相交于点B .小圆的切线AC 与大圆相交于点D ,且CO 平分∠ACB .(1)试判定BC 所在直线与小圆的位置关系,并说明理由;(2)试判定线段之间的数量关系,并说明理由;(3)假设8cm 10cm AB BC ==,,求大圆与小圆围成的圆环的面积.(结果保留π)●体验中考1.(2020年,肇庆)假设1O ⊙与2O ⊙相切,且125O O =,1O ⊙的半径12r =,那么2O ⊙的半径2r 是( )A .3B .5C .7D .3或72.(2020年,湖州)已知1O ⊙与2O ⊙外切,它们的半径别离为2和3,那么圆心距12O O 的长是( )A .12O O =1B .12O O =5C .1<12O O <5D .12O O >53.(2020年,齐齐哈尔市)已知相交两圆的半径别离为5cm 和4cm ,公共弦长为6cm ,那么这两个圆的圆心距是______________.参考答案:◆随堂检测.. 两圆相交或相切.4.cm 1或cm 95.解:将方程2320x x -+=化为()()120x x --=,解得11x =,22x =.∵122OO =,∴211212x x OO x x -<<+,∴1O ⊙和2O ⊙相交. ◆课下作业●拓展提高..3.35t <<或79t <<.4.相交.5.解:(1)BC 所在直线与小圆相切.理由如下:过圆心O 作OE BC ⊥,垂足为E ,∵AC 是小圆的切线,AB 通过圆心O ,∴OA AC ⊥,又∵CO 平分ACB OE BC ∠⊥,.∴OE OA =.∴BC 所在直线是小圆的切线.(2)AC+AD=BC.理由如下:连接OD .∵AC 切小圆O 于点A ,BC 切小圆O 于点E ,∴CE CA =.∵在Rt OAD △与Rt OEB △中,90OA OE OD OB OAD OEB ==∠=∠=,,, ∴Rt Rt OAD OEB △≌△(HL ),∴EB AD =.∵BC CE EB =+,∴BC AC AD =+.(3)∵90BAC ∠=,810AB C ==,B ,∴6AC =.BC AC AD =+,∴4AD BC AC =-=.圆环的面积)(2222OA OD OA OD S -=-=πππ,又222OD OA AD -=,∴22164cm S ππ==.●体验中考1.D ..3.(4.。

人教版数学九年级上册24.2《点和圆、直线和圆的位置关系》知识点+例题+练习(精品)

人教版数学九年级上册24.2《点和圆、直线和圆的位置关系》知识点+例题+练习(精品)

点、直线、圆与圆的位置关系_知识点+例题+练习1.点和圆的位置关系2.(1)点与圆的位置关系有3种.设⊙O的半径为r,点P到圆心的距离OP=d,则有:3.①点P在圆外⇔d>r4.②点P在圆上⇔d=r5.①点P在圆内⇔d<r6.(2)点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系,反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系.7.(3)符号“⇔”读作“等价于”,它表示从符号“⇔”的左端可以得到右端,从右端也可以得到左端.2.确定圆的条件不在同一直线上的三点确定一个圆.注意:这里的“三个点”不是任意的三点,而是不在同一条直线上的三个点,而在同一直线上的三个点不能画一个圆.“确定”一词应理解为“有且只有”,即过不在同一条直线上的三个点有且只有一个圆,过一点可画无数个圆,过两点也能画无数个圆,过不在同一条直线上的三点能画且只能画一个圆.3.三角形的外接圆与外心(1)外接圆:经过三角形的三个顶点的圆,叫做三角形的外接圆.(2)(2)外心:三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点,叫做三角形的外心.(3)(3)概念说明:(4)①“接”是说明三角形的顶点在圆上,或者经过三角形的三个顶点.(5)②锐角三角形的外心在三角形的内部;直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点;钝角三角形的外心在三角形的外部.(6)③找一个三角形的外心,就是找一个三角形的两条边的垂直平分线的交点,三角形的外接圆只有一个,而一个圆的内接三角形却有无数个.4.反证法(了解)(1)对于一个命题,当使用直接证法比较困难时,可以采用间接证法,反证法就是一个间接证法.反证法主要适合的证明类型有:①命题的结论是否定型的.②命题的结论是无限型的.③命题的结论是“至多”或“至少”型的.(2)(2)反证法的一般步骤是:(3)①假设命题的结论不成立;(4)②从这个假设出发,经过推理论证,得出矛盾;(5)③由矛盾判定假设不正确,从而肯定原命题的结论正确.5.直线和圆的位置关系(1)直线和圆的三种位置关系:①相离:一条直线和圆没有公共点.②相切:一条直线和圆只有一个公共点,叫做这条直线和圆相切,这条直线叫圆的切线,唯一的公共点叫切点.③相交:一条直线和圆有两个公共点,此时叫做这条直线和圆相交,这条直线叫圆的割线.(2)判断直线和圆的位置关系:设⊙O的半径为r,圆心O到直线l的距离为d.①直线l和⊙O相交⇔d<r②直线l和⊙O相切⇔d=r③直线l和⊙O相离⇔d>r.6.切线的性质(1)切线的性质(2)①圆的切线垂直于经过切点的半径.(3)②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点.(4)③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.(5)(2)切线的性质可总结如下:(6)如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个,那么它一定满足第三个条件,这三个条件是:①直线过圆心;②直线过切点;③直线与圆的切线垂直.(7)(3)切线性质的运用(8)由定理可知,若出现圆的切线,必连过切点的半径,构造定理图,得出垂直关系.简记作:见切点,连半径,见垂直.7.切线的判定8.(1)切线的判定定理:经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.9.(2)在应用判定定理时注意:10.①切线必须满足两个条件:a、经过半径的外端;b、垂直于这条半径,否则就不是圆的切线.11.②切线的判定定理实际上是从”圆心到直线的距离等于半径时,直线和圆相切“这个结论直接得出来的.12.③在判定一条直线为圆的切线时,当已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时,常过圆心作该直线的垂线段,证明该线段的长等于半径,可简单的说成“无交点,作垂线段,证半径”;当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时,常连接过该公共点的半径,证明该半径垂直于这条直线,可简单地说成“有交点,作半径,证垂直”.8.切线的判定与性质(1)切线的性质①圆的切线垂直于经过切点的半径.②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点.③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.(2)切线的判定定理:经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.(3)常见的辅助线的:①判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”;②有切线时,常常“遇到切点连圆心得半径”.9.切线长定理(1)圆的切线定义:经过圆外一点作圆的切线,这点和切点之间的线段的长,叫做这点到圆的切线长.(2)(2)切线长定理:从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,圆心和这一点的连线,平分两条切线的夹角.(3)(3)注意:切线和切线长是两个不同的概念,切线是直线,不能度量;切线长是线段的长,这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点,可以度量.(4)(4)切线长定理包含着一些隐含结论:(5)①垂直关系三处;(6)②全等关系三对;(7)③弧相等关系两对,在一些证明求解问题中经常用到.10.三角形的内切圆与内心(1)内切圆的有关概念:与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆,三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心,这个三角形叫做圆的外切三角形.三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点.(2)任何一个三角形有且仅有一个内切圆,而任一个圆都有无数个外切三角形.(3)三角形内心的性质:三角形的内心到三角形三边的距离相等;三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角.11.圆与圆的五种位置关系(1)圆与圆的五种位置关系:①外离;②外切;③相交;④内切;⑤内含.如果两个圆没有公共点,叫两圆相离.当每个圆上的点在另一个圆的外部时,叫两个圆外离,当一个圆上的点都在另一圆的内部时,叫两个圆内含,两圆同心是内含的一个特例;如果两个圆有一个公共点,叫两个圆相切,相切分为内切、外切两种;如果两个圆有两个公共点叫两个圆相交.(2)圆和圆的位置与两圆的圆心距、半径的数量之间的关系:①两圆外离⇔d>R+r;②两圆外切⇔d=R+r;③两圆相交⇔R-r<d<R+r(R≥r);④两圆内切⇔d=R-r(R>r);⑤两圆内含⇔d<R-r(R>r).12.相切两圆的性质相切两圆的性质:如果两圆相切,那么连心线必经过切点.这说明两圆的圆心和切点三点共线,为证明带来了很大方便.13.相交两圆的性质(1)相交两圆的性质:(2)相交两圆的连心线(经过两个圆心的直线),垂直平分两圆的公共弦.(3)注意:在习题中常常通过公共弦在两圆之间建立联系.(4)(2)两圆的公切线性质:(5)两圆的两条外公切线的长相等;两圆的两条内公切线的长也相等.(6)两个圆如果有两条(内)公切线,则它们的交点一定在连心线上.4. 判断圆的切线的方法及应用判断圆的切线的方法有三种:(1)与圆有惟一公共点的直线是圆的切线;(2)若圆心到一条直线的距离等于圆的半径,则该直线是圆的切线;(3)经过半径外端,并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.【例4】如图,⊙O的直径AB=4,∠ABC=30°,BC=34,D是线段BC的中点.(1)试判断点D与⊙O的位置关系,并说明理由.(2)过点D作DE⊥AC,垂足为点E,求证:直线DE是⊙O的切线.【例5】如图,已知O为正方形ABCD对角线上一点,以O为圆心,OA的长为半径的⊙O与BC相切于M,与AB、AD分别相交于E、F,求证CD与⊙O相切.【例6】如图,半圆O为△ABC的外接半圆,AC为直径,D为劣弧上一动点,P在CB 的延长线上,且有∠BAP=∠BDA.求证:AP 是半圆O 的切线.【知识梳理】1. 直线与圆的位置关系:2. 切线的定义和性质:3.三角形与圆的特殊位置关系:4. 圆与圆的位置关系:(两圆圆心距为d ,半径分别为21,r r )相交⇔2121r r d r r +<<-; 外切⇔21r r d +=;内切⇔21r r d -=; 外离⇔21r r d +>; 内含⇔210r r d -<<【注意点】与圆的切线长有关的计算.【例题精讲】例1.⊙O 的半径是6,点O 到直线a 的距离为5,则直线a 与⊙O 的位置关系为( )A .相离B .相切C .相交D .内含例 2. 如图1,⊙O 内切于ABC △,切点分别为D E F ,,.50B ∠=°,60C ∠=°,连结OE OF DE DF ,,,,则EDF ∠等于( )A .40°B .55°C .65°D .70°例3. 如图,已知直线L 和直线L 外两定点A 、B ,且A 、B 到直线L 的距离相等,则经过A 、B 两点且圆心在L 上的圆有( )A .0个B .1个C .无数个D .0个或1个或无数个例4.已知⊙O 1半径为3cm ,⊙O 2半径为4cm ,并且⊙O 1与⊙O 2相切,则这两个圆的圆心距为( ) A.1cm B.7cm C.10cm D. 1cm 或7cm例5.两圆内切,圆心距为3,一个圆的半径为5,另一个圆的半径为 例6.两圆半径R=5,r=3,则当两圆的圆心距d 满足___ ___•时,•两圆相交;•当d•满足___ ___时,两圆不外离.例7.⊙O 半径为6.5cm ,点P 为直线L 上一点,且OP=6.5cm ,则直线与⊙O•的位置关系是____例8.如图,PA 、PB 分别与⊙O 相切于点A 、B ,⊙O 的切线EF 分别交PA 、PB 于点E 、F ,切点C 在弧AB 上,若PA 长为2,则△PEF 的周长是 _.例9. 如图,⊙M 与x 轴相交于点(20)A ,,(80)B ,,与y 轴切于点C ,则圆心M 的坐标是例10. 如图,四边形ABCD 内接于⊙A ,AC 为⊙O 的直径,弦DB ⊥AC ,垂足为M ,过点D 作⊙O 的切线交BA 的延长线于点E ,若AC=10,tan ∠DAE=43,求DB 的长.【当堂检测】1.如果两圆半径分别为3和4,圆心距为7,那么两圆位置关系是( )A .相离B .外切C .内切D .相交2.⊙A 和⊙B 相切,半径分别为8cm 和2cm ,则圆心距AB 为( )A .10cmB .6cmC .10cm 或6cmD .以上答案均不对3.如图,P 是⊙O 的直径CB 延长线上一点,PA 切⊙O 于点A ,如果PA =3,PB =1,那么∠APC 等于( )A. 15B. 30C. 45D. 60O O2O14. 如图,⊙O 半径为5,PC 切⊙O 于点C ,PO 交⊙O 于点A ,PA =4,那么PC 的长等于( ) A )6 (B )25 (C )210 (D )2145.如图,在10×6的网格图中(每个小正方形的边长均为1个单位长).⊙A 半径为2,⊙B 半径为1,需使⊙A 与静止的⊙B 相切,那么⊙A 由图示的位置向左平移 个单位长.6. 如图,⊙O 为△ABC 的内切圆,∠C = 90,AO 的延长线交BC 于点D ,AC =4,DC =1,,则⊙O 的半径等于( )A. 45B. 54C. 43D. 657.⊙O 的半径为6,⊙O 的一条弦AB 长63,以3为半径⊙O 的同心圆与直线AB 的位置关系是( )A.相离B.相交C.相切D.不能确定8.如图,在ABC △中,12023AB AC A BC =∠==,°,,A ⊙与BC 相切于点D ,且交AB AC 、于M N 、两点,则图中阴影部分的面积是 (保留π).9.如图,B 是线段AC 上的一点,且AB :AC=2:5,分别以AB 、AC 为直径画圆,则小圆的面积与大圆的面积之比为_______.10. 如图,从一块直径为a+b 的圆形纸板上挖去直径分别为a 和b 的两个圆,则剩下的纸板面积是___.11. 如图,两等圆外切,并且都与一个大圆内切.若此三个圆的圆心围成的三角形的周长为18cm .则大圆的半径是______cm .12.如图,直线AB 切⊙O 于C 点,D 是⊙O 上一点,∠EDC=30º,弦EF ∥AB ,连结OC 交EF 于H 点,连结CF ,且CF=2,则HE 的长为_________.13. 如图,PA 、PB 是⊙O 的两条切线,切点分别为A 、B ,若直径AC=12cm ,∠P=60°.求弦AB 的长. 【中考连接】 一、选择题 1. 正三角形的内切圆半径为1,那么三角形的边长为( )A.2B.32C.3D.3 2.⊙O 是等边ABC △的外接圆,⊙O 的半径为2,则ABC △的边长为( )A .3B .5C .23D .253. 已知⊙O 的直径AB 与弦AC 的夹角为 30,过C 点的切线PC 与AB 延长线交于P 点.PC =5,则⊙O 的半径为 ( )A. 335 B. 635 C. 10 D. 54. AB 是⊙O 的直径,点P 在BA 的延长线上,PC 是⊙O 的切线,C 为切点,PC =26,PA =4,则⊙O 的半径等于( )A. 1B. 2C. 23D. 265.某同学制做了三个半径分别为1、2、3的圆,在某一平面内,让它们两两外O D C B ABPA OC 第3题图 第4题图 第5题图 第6题图 第8题图 第9题图 第11题图 第10题图 第12题图切,该同学把此时三个圆的圆心用线连接成三角形.你认为该三角形的形状为( )A.钝角三角形B.等边三角形C.直角三角形D.等腰三角形6.关于下列四种说法中,你认为正确的有( )①圆心距小于两圆半径之和的两圆必相交 ②两个同心圆的圆心距为零③没有公共点的两圆必外离 ④两圆连心线的长必大于两圆半径之差A.1个B.2个C.3个D.4个二、填空题 6. 如图,AB 、AC 是⊙O 的两条切线,切点分别为B 、C ,D 是优弧BC 上的一点,已知∠BAC =80°,那么∠BDC =__________度.7. 如图,AB 是⊙O 的直径,四边形ABCD 内接于⊙O ,,,的度数比为3∶2∶4,MN 是⊙O 的切线,C 是切点,则∠BCM 的度数为________.8.如图,在△ABC 中,5cm AB AC ==,cos B 35=.如果⊙O 的半径为10cm ,且经过点B 、C ,那么线段AO = cm .9.两个等圆⊙O 与⊙O ′外切,过点O 作⊙O ′的两条切线OA 、OB ,A 、B 是切点,则∠AOB = .10.如图6,直线AB 与⊙O 相切于点B ,BC 是⊙O 的直径,AC 交⊙O 于点D ,连结BD ,则图中直角三角形有 个.11.如图,60ACB ∠=°,半径为1cm 的O ⊙切BC 于点C ,若将O ⊙在CB 上向右滚动,则当滚动到O ⊙与CA 也相切时,圆心O 移动的水平距离是__________cm .12.如图, AB 与⊙O 相切于点B ,线段OA 与弦BC 垂直于点D ,∠AOB =60°,B C=4cm ,则切线AB = cm.13.如图,⊙A 和⊙B 与x 轴和y 轴相切,圆心A 和圆心B 都在反比例函数1y x =图象上,则阴影部分面积等于 .14. Rt △ABC 中,9068C AC BC ∠===°,,.则△ABC的内切圆半径r =______.15.⊙O 的圆心到直线l 的距离为d ,⊙O 的半径为r ,当d 、r 是关于x 的方程x 2-4x+m=0的两根,且直线l 与⊙O 相切时,则m 的值为_____.16.已知:⊙A 、⊙B 、⊙C 的半径分别为2、3、5,且两两相切,则AB 、BC 、CA 分别为 .17.⊙O 的圆心到直线l 的距离为d ,⊙O 的半径为r ,当d 、r 是关于x 的方程x 2-4x+m=0的两根,且直线l 与⊙O 相切时,则m 的值为_____.三、解答题18. 如图,AB 是⊙O 的弦,OA OC ⊥交AB 于点C ,过B 的直线交OC 的延长线于点E ,当BE CE =时,直线BE 与⊙O 有怎样的位置关系?请说明理由. 第3题图 第6题图 第7题图 第8题图 第10题图 第11题图 第12题图 第13题图19.如图1,在⊙O 中,AB 为⊙O 的直径,AC 是弦,4OC =,60OAC ∠=. (1)求∠AOC 的度数;(2)在图1中,P 为直径BA 延长线上的一点,当CP 与⊙O 相切时,求PO 的长;(3)如图2,一动点M 从A 点出发,在⊙O 上按A 照逆时针的方向运动,当MAO CAO S S =△△时,求动点M 所经过的弧长.第18题图。

人教版 九年级数学上册 圆的基本性质及位置关系 课后练习题(含答案)-文档资料

人教版 九年级数学上册 圆的基本性质及位置关系 课后练习题(含答案)-文档资料

2019年九年级数学上册圆的基本性质及位置关系课后练习题一、选择题:1、如图,点A,B,C,在⊙O上,∠ABO=32°,∠ACO=38°,则∠BOC等于()A.60°B.70°C.120°D.140°2、下列命题正确的是()A.长度相等的弧是等弧。

B.平分弦的直径垂于弦。

C.等弧对等弦D.等弦对等弧3、如图,在5×5正方形网格中,一条圆弧经过A,B,C三点,已知点A的坐标是(-2,3),点C 的坐标是(1,2),那么这条圆弧所在圆的圆心坐标是()A.(0,0)B.(-1,1)C.(-1,0)D.(-1,-1)4、如图,将⊙O沿弦AB折叠,圆弧恰好经过圆心O,P是优弧上一点,则∠APB度数为()A.30°B.45°C.60°D.75°5、如图,直线l与半径为5cm的⊙O相交于A、B两点,且与半径OC垂直,垂足为H.若AB=8cm,l 要与⊙O相切,则l应沿OC所在直线向下平移()A.1cmB.2cmC.3cmD.4cm6、如图,四边形PAOB是扇形OMN的内接矩形,顶点P在上,且不与M,N重合,当P点在上移动时,矩形PAOB的形状、大小随之变化,则AB的长度( )A.变大B.变小C.不变D.不能确定7、如图,在平面直角坐标系中,⊙A与y轴相切于原点O,平行于x轴的直线交⊙A于M、M两点,若点M的坐标是(-4,-2),则点N的坐标为()A.(-1,-2)B.(1,2)C.(-1.5,-2)D.(1.5,-2)8、如图,在⊙O的内接四边形ABCD中,AB是直径,∠BCD=120°,过D点的切线PD与直线AB交于点P,则∠ADP的度数为()A.40°B.35°C.30°D.45°9、如图是油路管道的一部分,延伸外围的支路恰好构成一个直角三角形,两直角边分别为6m和8m.按照输油中心O到三条支路的距离相等来连接管道,则O到三条支路的管道总长(计算时视管道为线,中心O为点)是()A.2mB.3mC.6mD.9m10、如图,在⊙O中,AB是⊙O的直径,AB=12,点C、D是的三等分点,M是AB上一动点,则CM+DM 的最小值是()A.16B.12C.8D.6二、填空题:11、图,OC是⊙O的半径,AB是弦,且OC⊥AB,点P在⊙O上,∠APC=26°,则∠BOC= 度.12、如图,A,B,C是⊙O上的三个点,若∠AOC=100°,则∠ABC等于13、半圆形纸片的半径为1cm,用如图所示的方法将纸片对折,使对折后半圆弧的中点M与圆心O重合,则折痕CD的长为 cm.14、如图,点O是△ABC的内切圆的圆心,若∠BAC=80°,则∠BOC= .15、如图,在△ABC中,AB=AC,∠B=40°,以B为圆心,BA的长为半径画弧,交BC于点D,连接AD,则∠DAC的度数是_______°.16、如图,已知⊙P半径为1,圆心P在抛物线上运动,当⊙P与轴相切时,圆心P坐标为 .三、解答题:17、如图,AB是半圆的直径,0是圆心,C是半圆上一点,D是弧AC的中点,0D交弦AC于E,连接BE.若AC=8,DE=2,求BE的长度.18、一条排水管的截面如图所示.已知排水管的半径OB=10,水面宽AB=16.求截面圆心O到水面的距离.19、如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的⊙O交BC于点M,MN⊥AC于点N.求证:MN是⊙O的切线.20、如图,在△ABC中,∠C=90°,AD是∠BAC的平分线,O是AB上一点,以OA为半径的⊙O经过点D.求证:BC是⊙O切线.21、如图,四边形ABCD内接于⊙O,点E在对角线AC上,EC=BC=DC.(1)若∠CBD=39°,求∠BAD的度数;(2)求证:∠1=∠2.22、已知:AB是⊙O的直径,BD是⊙O的弦,延长BD到点C,使AB=AC,连结AC,过点D作DE⊥AC,垂足为E.(1)求证:DC=BD(2)求证:DE为⊙O的切线.参考答案1、D2、C3、B4、C5、B6、C7、A8、.C9、C10、B11、52_12、130°.13、.14、130°15、30;16、,(0,-1)17、解:如图,连接BCD是弧AC的中点OD垂直平分AC EA=EC=设OD=OA=x,则OE=x-2,即,解得x=5AB=2OA=10答:BE的长度为.18、解:过O作OC⊥AB垂足为C,∵OC⊥AB∴BC=8cm在RT△OBC中,由勾股定理得,OC===6,答:圆心O到水面的距离6.19、证明:连接OM,∵AB=AC,∴∠B=∠C,∵OB=OM,∴∠B=∠OMB,∴∠OMB=∠C,∴OM∥AC,∵MN⊥AC,∴OM⊥MN.∵点M在⊙O上,∴MN是⊙O的切线.20、证明:如图,连接OD.设AB与⊙O交于点E.∵AD是∠BAC的平分线,∴∠BAC=2∠BAD,又∵∠EOD=2∠EAD,∴∠EOD=∠BAC,∴OD∥AC.∵∠ACB=90°,∴∠BDO=90°,即OD⊥BC,又∵OD是⊙O的半径,∴BC是⊙O切线.21、(1)解:∵BC=DC,∴∠CBD=∠CDB=39°,∵∠BAC=∠CDB=39°,∠CAD=∠CBD=39°,∴∠BAD=∠BAC+∠CAD=39°+39°=78°;(2)证明:∵EC=BC,∴∠CEB=∠CBE,而∠CEB=∠2+∠BAE,∠CBE=∠1+∠CBD,∴∠2+∠BAE=∠1+∠CBD,∵∠BAE=∠BDC=∠CBD,∴∠1=∠2.22、证明:(1)连接AD,∵AB是⊙O的直径,∴∠ADB=90°,又∵AB=AC,∴DC=BD;(2)连接半径OD,∵OA=OB,CD=BD,∴OD∥AC,∴∠ODE=∠CED,又∵DE⊥AC,∴∠CED=90°,∴∠ODE=90°,即OD⊥DE.∴DE是⊙O的切线.。

人教版数学九年级上学期课时练习-圆及有关概念(知识讲解)(人教版)

人教版数学九年级上学期课时练习-圆及有关概念(知识讲解)(人教版)

专题24.1 圆及有关概念(知识讲解)【学习目标】1.理解圆的本质属性;经历探索点与圆的位置关系的过程,会运用点到圆心的距离与圆的半径之间的数量关系判断点与圆的位置关系;2.了解圆及其有关概念,理解弦、弧、半圆、优弧、劣弧、同心圆、等圆、等弧等与圆有关的概念,理解概念之间的区别和联系;【要点梳理】要点一、圆的定义第一定义:如图,在一个平面内,线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周,另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆,固定的端点O叫做圆心,线段OA叫做半径. 以点O为圆心的圆,记作“⊙O”,读作“圆O”.特别说明:①圆心确定圆的位置,半径确定圆的大小;确定一个圆应先确定圆心,再确定半径,二者缺一不可;②圆是一条封闭曲线.第二定义:圆心为O,半径为r的圆是平面内到定点O的距离等于定长r的点的集合. 特别说明:①定点为圆心,定长为半径;②圆指的是圆周,而不是圆面;③强调“在一个平面内”是非常必要的,事实上,在空间中,到定点的距离等于定长的点的集合是球面,一个闭合的曲面.1.点和圆的三种位置关系:由于平面上圆的存在,就把平面上的点分成了三个集合,即圆内的点,圆上的点和圆外的点,这三类点各具有相同的性质和判定方法;设⊙O的半径为r,点P到圆心的距离为d,则有要点二、与圆有关的概念1.弦弦:连结圆上任意两点的线段叫做弦.直径:经过圆心的弦叫做直径.弦心距:圆心到弦的距离叫做弦心距.特别说明:直径是圆中通过圆心的特殊弦,也是圆中最长的弦,即直径是弦,但弦不一定是直径.2.弧弧:圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧.以A、B为端点的弧记作,读作“圆弧AB”或“弧AB”.半圆:圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧,每一条弧都叫做半圆; 优弧:大于半圆的弧叫做优弧;劣弧:小于半圆的弧叫做劣弧.特别说明:①半圆是弧,而弧不一定是半圆;②无特殊说明时,弧指的是劣弧.3.同心圆与等圆圆心相同,半径不等的两个圆叫做同心圆.圆心不同,半径相等的两个圆叫做等圆.同圆或等圆的半径相等.4.等弧在同圆或等圆中,能够完全重合的弧叫做等弧.特别说明:①等弧成立的前提条件是在同圆或等圆中,不能忽视;②圆中两平行弦所夹的弧相等.类型一、圆的定义1.如图,已知O 的圆心原点()0,0O ,半径长为(10,8),A a 是O 上的在第一象限的点,求a 的值.【答案】6【分析】根据圆的基本性质,可得OA =10,再由(),8A a ,可得AB =8,然后由勾股定理,求出OB =6,即可求解.解:如图,过点B 作AB ⊥x 轴于点B ,连接OA ,⊥O 的半径长为10,⊥OA =10,⊥(),8A a ,⊥AB =8,在Rt AOB 中,由勾股定理得:6OB = ,⊥(),8A a 在第一象限内,⊥0a > ,⊥6a =.【点拨】本题主要考查了圆的基本性质,勾股定理,点的坐标,熟练掌握圆的基本性质,勾股定理是解题的关键.举一反三:【变式1】 ABC 中,90C ∠=︒.求证:A B C ,,三点在同一个圆上.【分析】取AB 的中点O ,根据直角三角形的性质得到CO =AO =BO ,故可求解. 解:如图所示,取AB 的中点O ,连接CO在Rt ⊥ABC 中,⊥AO = BO ,⊥ACB = 90°,⊥CO =12AB ,即CO =AO =BO .⊥A ,B ,C 三点在同一个圆上,圆心为点O .【点拨】此题主要考查证明三点共圆,解题的关键是熟知圆的基本性质及直角三角形的特点.【变式2】如图,已知MN 为O 的直径,四边形ABCD ,EFGD 都是正方形,小正方形EFGD 的面积为16,求圆的半径.【答案】r =【分析】连接OC ,OF ,设O 的半径为r ,2AD x =,则12DO AD x ==,在Rt ⊥COD 和Rt ⊥FOG 中,分别根据勾股定理可得222(2)832x x x x +=++,解方程即可求解.解:如图,连接OC ,OF ,设O 的半径为r ,2AD x =,则12DO AD x ==, ⊥222DO CD CO +=,⊥222(2)x x r +=,⊥正方形EFGD 的面积为16,⊥4DG FG ==,⊥4OG x =+,又⊥222OF OG FG =+,⊥2222(4)4832r x x x =++=++,⊥222(2)832x x x x +=++, 解得14x =,22x =-(不合题意,舍去),⊥2224880r =+=,r =【点拨】本题考查勾股定理的应用圆的认识和性质,解题的关键是熟练掌握在一个直角三角形中两条直角边的平方和等于斜边的平方.类型二、与圆有关的概念3.如图,在O 中,半径有________,直径有________,弦有________,劣弧有________,优弧有________.【答案】OA,OB,OC,OD AB AB,BC AC,BC,BD,CD,AD ADC,BAC,BAD,ACD,DAC【分析】根据圆的基本概念,即可求解.解:在O中,半径有OA,OB,OC,OD;直径有AB;弦有AB,BC;劣弧有AC,BC,BD,CD,AD;优弧有ADC,BAC,BAD,ACD,DAC;故答案为:OA,OB,OC,OD;AB;AB,BC;AC,BC,BD,CD,AD;ADC,BAC,BAD,ACD,DAC.【点拨】本题主要考查了圆的基本概念,熟练掌握圆的半径、直径、弦、弧的概念是解题的关键.举一反三:【变式1】小于半圆的弧(如图中的________)叫做______;大于半圆的弧(用三个字母表示,如图中的_______)叫做______ .【注意】1)弧分为是优弧、劣弧、半圆.2)已知弧的两个起点,不能判断它是优弧还是劣弧,需分情况讨论.【答案】AC劣弧ABC优弧【变式2】如图,以点A为端点的优弧是____________,以点A为端点的劣弧是_____________.【答案】AEC,ADE AE,AC【分析】根据劣弧和优弧的定义求解.解:在⊥O中,以A为端点的优弧有AEC,ADE;以A为端点的劣弧有AE,AC;故答案为:AEC,ADE;AE,AC.【点拨】本题考查了圆的认识:掌握与圆有关的概念,注意:大于半圆的弧是优弧,小于半圆的弧是劣弧,半圆既不是优弧,也不是劣弧.类型三、点和圆的位置关系3.已知⊥O的半径r=5cm,圆心O到直线l的距离d=OD=3cm,在直线l上有P、Q、R三点,且有PD=4cm,QD>4cm,RD<4cm,P、Q、R三点与⊥O位置关系各是怎样的【答案】PD=4cm,点P在⊥O上.QD>4cm,点Q在⊥O外.RD<4cm,点R在⊥O 内.【分析】依题意画出图形(如图所示),计算出P、Q、R三点到圆心的距离与圆的半径比较大小.解:连接PO,QO,RO.⊥PD=4cm,OD=3cm,⊥PO5r==.⊥ 点P 在⊥O 上.5QO r ===,⊥ 点Q 在⊥O 外.5RO r ==,⊥ 点R 在⊥O 内.【点拨】本题主要考查点与圆的位置关系,点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系,反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系.举一反三:【变式1】已知:如图,△ABC 中,90,2cm,4cm AC C C B ∠==︒=,CM 是中线,以C长为半径画圆,则点A 、B 、M 与⊥C 的关系如何?【答案】点A 在⊥O 内;点B 在⊥C 外;M 点在⊥C 上【分析】点与圆的位置关系由三种情况:设点到圆心的距离为d ,则当d =r 时,点在圆上;当d >r 时,点在圆外;当d <r 时,点在圆内.解:根据勾股定理,有AB =cm );⊥CA =2cm ,⊥点A 在⊥O 内,⊥BC =4cm ,⊥点B 在⊥C 外;由直角三角形的性质得:CM⊥M 点在⊥C 上.【点拨】本题考查了对点与圆的位置关系的判断.关键要记住若半径为r,点到圆心的距离为d,则有:当d>r时,点在圆外;当d=r时,点在圆上,当d<r时,点在圆内.【变式2】画图说明:端点分别在两条互相垂直的直线上,且长度为5 cm的所有线段的中点所组成的图形.【答案】以两条已知直线的交点(垂足)为圆心,2.5 cm长为半径的一个圆.【分析】如图所示,当线段两个端点在O,F时,此时的的中点为B点,同理可知也可在A,G,H点,这些点在已知直线的交点为圆心,2.5 cm长为半径的一个圆上;当线段两个端点在C,D时,其中点为E,根据直角三角形斜边上的中点是斜边的一半知CE=DE=OE,则E点在以O为圆心2.5 cm长为半径的一个圆上;综上即可画出图形.解:如图所示,以两条已知直线的交点(垂足)为圆心,2.5 cm长为半径的一个圆.【点拨】此题主要考查点与圆的关系,解题的关键是正确理解题意,再画出图形.类型四、圆中弦的问题4、已知:线段AB = 4 cm,画图说明:和点A、B的距离都不大于3 cm的所有点组成的图形.【答案】所求图形为阴影部分(包括阴影的边界).【分析】以A,B点为圆心,半径为3作圆,重叠的部分即为所求.解:如图所示,以点A,B为圆心,3cm为半径画圆,两个圆相交的部分为阴影部分,图中阴影部分就是到点A和点B的距离都不大于3 cm的所有点组成的图形.【点拨】此题主要考查点与圆的位置关系,解题的关键是根据题意画出图形,根据所学的点与圆的位置关系的判断方法来解答.举一反三:【变式1】如图所示,AB 为O 的一条弦,点C 为O 上一动点,且30BCA ∠=︒,点E ,F 分别是AC ,BC 的中点,直线EF 与O 交于G ,H 两点,若O 的半径为7,求GE FH +的最大值.【答案】GE FH +的最大值为212. 【分析】由GE FH +和EF 组成O 的弦GH ,在O 中,弦GH 最长为直径14,而EF 可求,所以GE FH +的最大值可求.解:连结AO ,BO ,⊥30BCA ∠=︒ ⊥60BOA ∠=︒⊥AOB 为等边三角形,7AB =⊥点E ,F 分别是AC ,BC 的中点 ⊥1722EF AB ==,⊥ GH 为O 的一条弦 ⊥GH 最大值为直径14 ⊥GE FH +的最大值为7211422-=. 【点拨】利用直径是圆中最长的弦,可以解决圆中一些最值问题.【变式2】如图,已知等边⊥ABC 的边长为8,点 P 是 AB 边上的一个动点(与点 A 、B 不重合).直线 l 是经过点 P 的一条直线,把⊥ABC 沿直线 l 折叠,点 B 的对应点是点B '.当 PB =6 时,在直线 l 变化过程中,求⊥ACB'面积的最大值.【答案】【分析】如图,过点P 作PH AC ⊥,当B ',P ,H 共线时,ACB '△的面积最大,求出PH 的长即可解决问题.解:如图,过点P 作PH ⊥AC ,由题可得,B '在以P 为圆心,半径长为6的圆上运动,当HP 的延长线交圆P 于点B '时面积最大,在Rt APH 中,8AB =,6PB =,2PA ∴=, ABC 是等边三角形,60PAH ∴∠=︒,1AH ∴=,PH =6BH ∴=ACB S '∴的最大值为18(6242⨯⨯=. 【点拨】本题考查圆与三角形综合问题,根据题意构造出图形是解题的关键. 类型五、与圆周长和面积有关的问题5、如图所示,求如图正方形中阴影部分的周长.(结果可保留π)【答案】正方形中阴影部分的周长为()2060cm π+【分析】阴影部分的周长=半圆弧长+14圆弧长+正方形边长的3倍,依此计算即可求解. 解:根据题意得:1110(cm)2l d ππ==, 2210(cm 41)r l ππ=⋅=, ()1010602060cm C πππ=++=+.故正方形中阴影部分的周长为()2060cm π+.【点拨】本题主要考查列代数式,解题的关键是掌握圆的周长公式.举一反三:【变式1】如图,长方形的长为a ,宽为b ,在它的内部分别挖去以b 为半径的四分之一圆和以b 为直径的半圆.(1)用含a 、b 的代数式表示阴影部分的面积;(2)当a =8,b =4时,求阴影部分的面积(π取3).【答案】(1)阴影部分的面积=ab ﹣38πb 2;(2)14.【分析】 (1)根据阴影部分面积=矩形面积-14圆的面积-半圆的面积,结合图形14圆的半径、半圆的半径和矩形的宽的关系,并利用它们的面积公式即可求解.(2)将a ,b 的值代入(1)中所求的代数式进行计算.解:(1)14圆的半径即为矩形的宽=b ,半圆的半径为矩形宽的12=12b , 阴影部分面积=矩形面积-14圆的面积-半圆的面积即:阴影部分面积=2221113()4228ab b b ab b πππ--=- (2)因为π取3,将84a b ==,代入(1)所得的代数式得:原式=238434=148⨯-⨯⨯. 【点拨】本题考查求圆的面积的公式及根据题意列代数式,明确阴影部分面积=矩形面积-14圆的面积-半圆的面积是解题的关键. 【变式2】如图,长方形的长为a ,宽为2a ,用整式表示图中阴影部分的面积,并计算当2a =时阴影部分的面积(π取3.14).【答案】2(2)4a π-,1.14 【分析】根据对称性用a 表示出阴影的面积,再将a=2代入求解即可.解:由题意可知:S 阴=211442222a a a π⎡⎤⎛⎫-⋅⋅⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦ 2(2)4a π-= 当2a =时,S 阴=(3.142)4 1.144-⨯=. 【点拨】本题考查列代数式、代数式求值、圆的面积公式、三角形的面积公式,解答的关键是找出面积之间的关系,利用基本图形的面积公式解决问题.类型六、坐标系中圆的问题6、如图,点P 是反比例函数(0)k y x x=<图象上一点,PA x ⊥轴于点A ,点M 在y 轴上,M 过点A ,与y 轴交于B 、D ,已知A 、B 两点的坐标分别为()()6,00,2A B -,,PB 的延长线交M 于另一点C .(1)求M 的半径的长;(2)当45APB ∠=︒时,试求出k 的值;(3)在(2)的条件下,请求出线段PC 的长.【答案】(1) 10 (2) 48- (3) 【分析】(1)设()0,M m ,由题意知,22AM BM =,即()()()2226002m m --+-=-,求出满足要求的m ,求出MB 的长,进而可得半径;(2)由题意,设()6,P n -,设过P B ,的直线的解析式为y ax b =+,交x 轴于E ,将P B ,代入得62a b n b -+=⎧⎨=⎩,可得过P B ,的直线的解析式为226n y x -=+,将0y =代入,求得12,02E n -⎛⎫ ⎪-⎝⎭,由45APB ∠=︒ ,90PAB ∠=︒,可知AP PE =,则()1262n n -=---,求出满足要求的n 值,得到P 点坐标,然后代入反比例函数解析式求k 即可;(3)由(2)可知,过P B ,的直线的解析式为28226y x x -=+=-+,设(),2C a a -+,由题意知,10MC =,则()2222810a a +-++=,求出符合要求的a 值,进而可得C 的坐标,然后利用勾股定理求PC 的值即可.(1)解:设()0,M m ,由题意知,22AM BM =,即()()()2226002m m --+-=-,解得:8m =-,⊥()0,8M -,⊥()2810--=,⊥M 的半径的长为10.(2)解:由题意,设()6,P n -,设过P B ,的直线的解析式为y ax b =+,交x 轴于E ,如图,将P B ,代入得62a b n b -+=⎧⎨=⎩, 解得262n a b -⎧=⎪⎨⎪=⎩, ⊥过P B ,的直线的解析式为226n y x -=+, 将0y =代入得122x n-=-, ⊥12,02E n -⎛⎫ ⎪-⎝⎭, ⊥45APB ∠=︒ ,90PAE ∠=︒,⊥45PEA ∠=︒,⊥AP AE =, ⊥()1262n n-=---, 整理得280n n -=,解得8n =,0n =(不合题意,舍去),⊥()6,8P -,将()6,8P -代入k y x =得,86k =-, 解得48k =-,⊥k 的值为48-.(3)解:由(2)可知,过P B ,的直线的解析式为28226y x x -=+=-+, 设(),2C a a -+,由题意知,10MC =,⊥()2222810a a +-++=,解得10a =, 0a =(不合题意,舍去),⊥()10,8C -,⊥PC =⊥PC 的长为【点拨】本题考查了圆的概念,反比例函数与一次函数的综合,等角对等边,勾股定理等知识.解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用.举一反三:【变式1】如图,在平面直角坐标系中,方程222()()x a y b r -+-=表示圆心是(),a b ,半径是r 的圆,其中0a >,0b >.(1)请写出方程22(3)(4)25x y ++-=表示的圆的半径和圆心的坐标;(2)判断原点()0,0和第(1)问中圆的位置关系.【答案】(1)半径为5,圆心()3,4- (2)在圆上【分析】(1)根据题目所给的“在平面直角坐标系中,方程222()()x a y b r -+-=表示圆心是(),a b ,半径是r 的圆”即可直接得出答案;(2)将原点()0,0的坐标代入22(3)(4)25x y ++-=,即可判断出点与圆的位置关系.(1)解:在平面直角坐标系中,方程222()()x a y b r -+-=表示圆心是(),a b ,半径是r 的圆,∴将22(3)(4)25x y ++-=化成()2223(4)5x y --+-=⎡⎤⎣⎦, ∴22(3)(4)25x y ++-=表示的圆的半径为5,圆心的坐标为()3,4-;(2)解:将原点()0,0代入22(3)(4)25x y ++-=,左边2222(03)(04)3491625=++-=+=+==右边,∴原点()0,0在22(3)(4)25x y ++-=表示的圆上.【点拨】此题主要考查对未学知识以新定义形式出现的题型,读懂题意,根据新定义解决问题是本题的关键.【变式2】阅读下列材料:平面上两点P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2)之间的距离表示为12PP =,称为平面内两点间的距离公式,根据该公式,如图,设P (x ,y )是圆心坐标为C (a ,b )、半径为r 的圆上任意一点,则点P r =,变形可得:(x ﹣a )2+(y ﹣b )2=r 2,我们称其为圆心为C (a ,b ),半径为r 的圆的标准方程.例如:由圆的标准方程(x ﹣1)2+(y ﹣2)2=25可得它的圆心为(1,2),半径为5.根据上述材料,结合你所学的知识,完成下列各题.(1)圆心为C (3,4),半径为2的圆的标准方程为: ;(2)若已知⊥C 的标准方程为:(x ﹣2)2+y 2=22,圆心为C ,请判断点A (3,﹣1)与⊥C 的位置关系.【答案】(1)()()223425x y -+-=;(2)点A 在⊥C 的内部.【分析】(1)先设圆上任意一点的坐标(x ,y ),根据圆的标准方程公式求解即可;(2)先根据圆的标准方程求出圆心坐标,利用两点距离公式求出点A 到圆心的距离d ,然后与半径r 相比较,d >r ,点在圆外,d =r ,点在圆上,d <r ,点在圆内,即可判断点A与圆的位置关系.解:(1)设圆上任意一点的坐标为(x ,y ),⊥()()223425x y -+-=,故答案为()()223425x y -+-=;(2)⊥⊥C 的标准方程为:(x ﹣2)2+y 2=22,⊥圆心坐标为C (2,0),⊥点A (3,﹣1),AC 2 ⊥点A 在⊥C 的内部.【点拨】本题考查两点距离公式的拓展内容,圆的标准方程,正确理解题意、熟练掌握基本知识是解题关键.。

人教版九年级上册数学同步练习《点和圆、直径和圆的位置关系》(习题+答案)

人教版九年级上册数学同步练习《点和圆、直径和圆的位置关系》(习题+答案)
7.如图, 是 的直径,点 , 是 上两点,且 ,连接 , ,过点 作 交 延长线于点 ,垂足为 .
(1)求证: 是 的切线;
(2)若 ,求 的半径.
8.在同一平面直角坐标系中有5个点: , , , , .
(1)画出 的外接圆 ,并指出点 与 的位置关系;
(2)若直线 经过点 , ,判断直线 与 的位置关系.
3.点 为 的外心,已知 ,则 度.
4.用反证法证明命题“三角形中必有一内角不大于 ”时,首先假设这个三角形中( )
A.有一个内角小于 B.每一个内角都小于
C.有一个内角大于 D.每一个内角都大于
5.如图, 的外心坐标是.
6.在 中, , , ,以 为圆心,以 为半径作 ,问点 , 及 的中点 与 有怎样的位置关系?
5.如图,在 中, , , ,则 的内切圆半径 .
6.三角形的周长为10cm,三角形的内切圆的半径为2cm,则这个三角形的面积为 .
7.如图,在 中,点 是 的内心,则 度.
8.已知 的面积为16,周长为24.
(1)求作 的内切圆 ;
(2)求 的半径.
9.已知如图, 的内切圆 与 , , 分别相切于点 , , ,且 cm, cm, cm,求 , , 的长.
(1)写出其余满足条件的圆 的圆心坐标;
(2)在图中标出所有圆心,并用线段依次连接各圆心,求所得几何图形的周长.
3.(1)已知,如图①, 的周长为 ,面积为 ,其内切圆的圆心为 ,半径为 ,求证 .
(2)已知,如图②, 中, , , 三点的坐标分别为 , , .若 内心为 ,求点 坐标.
(3)与三角形的一边和其他两边的延长线相切的圆,叫旁切圆,圆心叫旁心.请求出条件(2)中的 位于第一象限的旁心的坐标.

最新人教版九年级上《24.2与圆有关的位置关系》课堂测试卷含答案

最新人教版九年级上《24.2与圆有关的位置关系》课堂测试卷含答案

图①
图②
第 5页 共 5页
20、 ( Ⅰ ) 证明 : 如解图 , 连接 OA、 OD,设∠ ABD=x, ∵∠ ABC:∠ACB:∠ ADB=1:2:3, ∴∠ ADB=3x,∠ ACB=2x, ∴∠ DAC=∠ADB-∠ ACB=x,∠AOD=2∠ ABC=2x,∴∠ OAD=90°- x, ∴∠ OAC=90°- x+ x=90° , ∴OA⊥ AC,∴ AC是⊙ O的切线 ; ( Ⅱ ) 解 : ∵ BD是⊙ O的直径 , ∴∠ BAD=90° , ∴∠ ABC+∠ ADB=90° , ∵∠ ABC:∠ACB:∠ ADB=1:2:3, ∴ 4∠ ABC=90° , ∴∠ ABC=22.5° , ∴∠ ADB=67.5° , ∠ACB=45°, ∴∠ CAD=∠ ADB-∠ ACB=22.5° .
19、已知△ ABC中 ,BC=5, 以 BC为直径的⊙ O交 AB边于点 D. ( Ⅰ ) 如图① , 若 AC与⊙ O相切 , 且 AC=BC求, BD的长 ; ( Ⅱ ) 如图② , 若∠ A=45° , 且 AB=7,求 BD的长 .
20、如图① , 在△ ABC中 , 点 D 在边 BC上 , ∠ ABC:∠ACB:∠ ADB=1:2:3, ⊙ O是△ ABD的外接圆 . ( Ⅰ ) 求证 :AC 是⊙ O的切线 ; ( Ⅱ ) 当 BD是⊙ O的直径时 ( 如图② ), 求∠ CAD的度数 .
第 4页 共 4页
参考答案 1、 A 2、 B 3、 B 4、 B 5、 B; 6、 B. 7、 B. 8、 B 9、 B 10、 C 11、答案为: 5 12、答案为: 1; 13、答案为: 2 . 14、答案为: 40° . 15、答案为: 6cm 16、答案为: 50. 17、证明:连结 OC,如图, ∵ CD为⊙ O的切线,∴ OC⊥AD, ∵AD⊥ CD,∴ OC∥ AD,∴∠ 1=∠2,∵ OC=O,A ∴∠ 1=∠ 3,∴∠ 2=∠3,∴ AC平分∠ DAB. 18、证明:连接 OM,∵ AB=AC,∴∠ B=∠ C,∵ OB=O,M∴∠ B=∠ OMB,∴∠ OMB∠= C,∴ OM∥ AC, ∵MN⊥ AC,∴ OM⊥ MN.∵点 M在⊙ O上,∴ MN是⊙ O的切线 .

24.2.1 点和圆的位置关系 人教版数学九年级上册同步练习(含答案)

24.2.1 点和圆的位置关系 人教版数学九年级上册同步练习(含答案)

24.2.1点和圆的位置关系1.⊙O的半径为R,点P到圆心O的距离为d,并且d≥R,则P点()A.在⊙O内或⊙O上B.在⊙O外C.在⊙O上D.在⊙O外或⊙O上2.已知点A是数轴上一定点,点B是数轴上一动点,点A表示的实数为«Skip Record If...»,点B所表示的实数为«Skip Record If...»,作以A为圆心,«Skip Record If...»为半径的⊙A,若点«Skip Record If...»在⊙A外,则«Skip Record If...»的值可能是(). A.«Skip Record If...»B.«Skip Record If...»C.«Skip Record If...»D.«Skip Record If...»3.如图,已知«Skip Record If...»是«Skip Record If...»的外心,«Skip Record If...»,«Skip Record If...»分别是«Skip Record If...»,«Skip Record If...»的中点,连接«Skip Record If...»,«Skip Record If...»,分别交«Skip Record If...»于点«Skip Record If...»,«Skip Record If...».若«Skip Record If...»,«Skip Record If...»,«Skip Record If...»,则«Skip Record If...»的面积为()A.72B.96C.120D.1444.九个相同的等边三角形如图所示,已知点O是一个三角形的外心,则这个三角形是()A.△ABC B.△ABE C.△ABD D.△«Skip Record If...»ACE5.如图,平面直角坐标系中,点A是y轴正半轴上任意一点,B(-3,0),C(4,0),则当点A在y轴上运动时,△ABC的外心不可能在()A.第三象限B.第一象限C.第四象限D.x轴上6.点«Skip Record If...»是非圆上一点,若点«Skip Record If...»到«Skip Record If...»上的点的最小距离是«Skip Record If...»,最大距离是«Skip Record If...»,则«Skip Record If...»的半径是______.7.直角三角形的两直角边长分别为8和6,则此三角形的外接圆半径是_____.8.在如图所示的平面直角坐标系中,△ABC的顶点坐标分别为A(0,3),B(1,0),C(3,2),仅用无刻度的直尺在给出的网格中画图(画图用实线表示),并回答题目中的问题(1)在图1中画出△ABC关于点D成中心对称的图形;(2)在图2中作出△ABC的外接圆的圆心M(保留作图痕迹);(3)△ABC外接圆的圆心M的坐标为 .9.已知«Skip Record If...»,«Skip Record If...».按下列要求用直尺和圆规作图.(保留作图痕迹,不写作法)(1)在图①中求作一点«Skip Record If...»,使«Skip Record If...»,且«Skip Record If...»、«Skip Record If...»在直线«Skip Record If...»异侧;(2)在图②中求作一点«Skip Record If...»,使«Skip Record If...»,且«Skip Record If...»、«Skip Record If...»在直线«Skip Record If...»同侧.10.如图,在四边形ABCD中,AB=6,BC=8,CD=24,AD=26,∠B=90°,以AD为直径作圆O,证明点C在圆O上;11.如图,在«Skip Record If...»中,«Skip Record If...»,点«Skip Record If...»为«Skip Record If...»的中点.(1)以点«Skip Record If...»为圆心,4为半径作«Skip Record If...»,则点«Skip Record If...»分别与«Skip Record If...»有怎样的位置关系?(2)若以点«Skip Record If...»为圆心作«Skip Record If...»,使«Skip Record If...»三点中至少有一点在«Skip Record If...»内,且至少有一点在«Skip Record If...»外,求«Skip Record If...»的半径的取值范围.12.如图,在等腰△ABC中,AB=AC,⊙O是△ABC的外接圆,S△ABC=32,BC=8.(1)求出⊙O的半径r.(2)求S△ABO.13.已知AB是«Skip Record If...»的弦,点C为圆上一点.(1)用直尺与圆规作«Skip Record If...»;(2)作以AB为底边的圆内接等腰三角形;(3)若已知圆的半径«Skip Record If...»,求所作等腰三角形底边上的高.14.如图,∠BCD=90°,BC=DC,直线PQ经过点D.设∠PDC=α(45°<α<135°),BA⊥PQ于点A,将射线CA绕点C按逆时针方向旋转90°,与直线PQ交于点E.(1)判断:∠ABC ∠PDC(填“>”或“=”或“<”);(2)猜想△ACE的形状,并说明理由;(3)若△ABC的外心在其内部(不含边界),直接写出α的取值范围.15.已知线段AB=4 cm,以3 cm长为半径作圆,使它经过点A.B,能作几个这样的?请作出符合要求的图.参考答案1.D【分析】根据⊙O的半径为R和点P到圆心O的距离为d之间的关系,对点与圆的位置关系进行判断即可.【详解】解:∵d≥R,∴点P在⊙O上或点P在⊙O外.故选D.【点拨】本题考查了点与圆的位置关系,设⊙O的半径为r,点P到圆心的距离OP=d,则有:点P 在圆外⇔d>r;点P在圆上⇔d=r点P在圆内⇔d<r.解题关键是熟记点和圆的位置关系与圆的半径和点到圆心的距离的关系.2.A【分析】根据点与圆的位置关系计算即可;【详解】∵B在«Skip Record If...»外,∴AB>2,∴«Skip Record If...»>2,∴b>«Skip Record If...»或b<«Skip Record If...»,∴b可能是-1.故选A.【点拨】本题主要考查了点与圆的位置关系,准确分析计算是解题的关键.3.B【分析】连接AF,AD,AE,BE,CE,根据三角形外心的定义,可得PE垂直平分AB,QE垂直平分AC,进而求得AF,DF,AD的长度,可知△AD F是直角三角形,即可求出△ABC的面积.如图,连接AF,AD,AE,BE,CE,∵点E是△ABC的外心,∴A E=B E=C E,∴△AB E,△AC E是等腰三角形,∵点P、Q分别是AB.AC的中点,∴PE⊥AB,Q E⊥AC,∴PE垂直平分AB,QE垂直平分AC,∴A F=B F=10,AD=CD=8,在△AD F中,∵«Skip Record If...»,∴△AD F是直角三角形,∠AD F=90°,∴S△ABC= «Skip Record If...»,故选:B.【点拨】本题考查三角形外心的定义,勾股定理逆定理等知识点,解题的关键是得到△AD F是直角三角形.4.C【分析】根据三角形的外心和等边三角形的性质解答;【详解】∵外心为三角形三边中垂线的交点,且钝角三角形的外心在三角形的外部,∴点«Skip Record If...»是«Skip Record If...»的外心.故答案选C.本题主要考查了等边三角形的性质和三角形外接圆的圆心,准确分析判断是解题的关键.5.A【分析】根据三角形的外心O是三角形外接圆的圆心,即是三边垂直平分线的交点,由B.C坐标可知,边BC的垂直平分线在y轴的右侧,结合三角形的形状判断即可.【详解】解:∵B(-3,0),C(4,0),∴边BC的垂直平分线在y轴的右侧,∴三角形的外心O在不可能在第二象限或第三象限,故A错误;当△ABC为锐角三角形时,三角形的外心O在三角形内部,并在第一象限,故B正确;当△ABC为钝角三角形时,三角形的外心O在三角形外部,并在第四象限,故C正确;当△ABC为直角三角形时,三角形的外心O在三角形斜边中点处,即在x轴上,故D正确,故选:A.【点拨】本题考查三角形的外心定义,解答的关键是熟知三角形的外心位置与三角形的形状关系,当三角形为锐角三角形时,三角形的外心O在三角形内部;当三角形为钝角三角形时,三角形的外心O在三角形外部;当三角形为直角三角形时,三角形的外心O在三角形斜边中点处.6.«Skip Record If...»或«Skip Record If...»【分析】分点«Skip Record If...»在«Skip Record If...»外和«Skip Record If...»内两种情况分析;设«Skip Record If...»的半径为«Skip Record If...»,根据圆的性质列一元一次方程并求解,即可得到答案.【详解】设«Skip Record If...»的半径为«Skip Record If...»当点«Skip Record If...»在«Skip Record If...»外时,根据题意得:«Skip Record If...»∴«Skip Record If...»当点«Skip Record If...»在«Skip Record If...»内时,根据题意得:«Skip Record If...»∴«Skip Record If...»故答案为:«Skip Record If...»或«Skip Record If...».【点拨】本题考查了圆、一元一次方程的知识;解题的关键是熟练掌握圆的性质,从而完成求解.7.5.【分析】根据勾股定理可得斜边是10,再根据其外接圆的半径是斜边的一半,即可得出其外接圆的半径.【详解】∵直角边长分别为6和8,∴斜边=«Skip Record If...»=10,∴这个直角三角形的外接圆的半径为10÷2=5.故答案为:5【点拨】本题考查了三角形的外接圆,知道直角三角形外接圆的直径是斜边的长是解题关键.8.(1)见解析;(2)见解析;(3)«Skip Record If...»【分析】(1)分别作出点A.B.C关于点D的对称点A'、B'、C',再顺次连接即可;(2)找出AB边和BC边的垂直平分线即可;(3)分别求出直线AD和直线EF的解析式,联立即可求得M的坐标;【详解】解:(1)如图,△A'B'C′为所求;(2)如图,取格点E.F、D,连接EF和AD相交于点M;∵AE∥BF,∴∠AEN=∠BFN,∵AE=BF,∠ANE=∠BNF,∴△AEN≌△BFN,∴AN=BN,∵«Skip Record If...»,«Skip Record If...»,∴«Skip Record If...»,«Skip Record If...»,∴«Skip Record If...»,∴∠BNF=90°,∴EF垂直平分AB,根据正方形的性质可得:AD垂直平分BC,∴点M为△ABC的外接圆的圆心;(3)设直线AD的解析式为y=kx+b,则有«Skip Record If...»;解得:«Skip Record If...»;∴直线AD的解析式为y=-x+3,设直线EF的解析式为y=mx+n,则有«Skip Record If...»;解得:«Skip Record If...»;∴直线AD的解析式为«Skip Record If...»,∴«Skip Record If...»;解得:«Skip Record If...»∴«Skip Record If...»【点拨】本题考查作图-复杂作图,坐标与图形性质,中心对称,三角形的外心、一次函数与一元一次方程组等知识,解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题,属于中考常考题型.9.(1)见解析;(2)见解析.【分析】(1)分别以B,C为圆心,BA为半径画弧,两弧交于点P,连接BP,PC即可;(2)作△ABC的外接圆,在优弧BC上任意取一点P,连接BP,PC即可.【详解】(1)如图①,«Skip Record If...»即为所求;(2)如图②,«Skip Record If...»即为所求.【点拨】本题考查了作图-复杂作图,等腰三角形的性质,三角形的外接圆,圆周角定理等知识,解题的关键是理解题意,灵活运用所学知识解决问题.10.证明见解析【分析】连接CO;由勾股定理求出AC,利用勾股定理的逆定理证明△ACD是直角三角形,得出∠A CD=90°;再根据斜边上中线的性质和圆的对称性分析,即可完成证明.【详解】如图,连接CO∵AB=6,BC=8,∠B=90°,∴«Skip Record If...»∵CD=24,AD=26∴«Skip Record If...»∴△ACD是直角三角形,∴∠ACD=90°∵AD为⊙O的直径∴AO=OD∴OC为Rt△ACD斜边上的中线∴«Skip Record If...»∴点C在圆O上.【点拨】本题考查了圆、勾股定理、直角三角形斜边中线的知识;解题的关键是熟练掌握圆的对称性、勾股定理及其逆定理、直角三角形斜边中线的性质,从而完成求解.11.(1)«Skip Record If...»在圆上,点«Skip Record If...»在圆外,点«Skip Record If...»在圆内(2)«Skip Record If...»【分析】(1)根据点与圆的位置关系判定方法,比较AC,C M,BC与AC的大小关系即可得出答案;(2)利用分界点当A.B.M三点中至少有一点在⊙C内时,以及当至少有一点在⊙C外时,分别求出即可.【详解】(1)∵在△ABC中,∠C=90°,AC=4,BC=5,AB的中点为点M,«Skip Record If...»,«Skip Record If...»,∵以点C为圆心,4为半径作⊙C,∴AC=4,则A在圆上,∵«Skip Record If...»,则M在圆内,BC=5>4,则B在圆外;(2)以点«Skip Record If...»为圆心作«Skip Record If...»,使«Skip Record If...»三点中至少有一点在«Skip Record If...»内时,«Skip Record If...»;当至少有一点在«Skip Record If...»外时,«Skip Record If...»,故«Skip Record If...»的半径«Skip Record If...»的取值范围为:«Skip Record If...».【点拨】本题主要考查了点与圆的位置关系,正确根据点到圆心距离d与半径r的关系,d>r,在圆外,d=r,在圆上,d<r,在圆内判断是解题关键.12.(1)⊙O半径为5;(2)10【分析】(1)连接OC,根据已知条件得到AO在BC中垂线上,延长AO交BC于点D,则D是BC 中点,AD⊥BC,根据勾股定理即可得到结论;(2)由(1)得AD=8,BD=4,由勾股定理得到«Skip Record If...»,过O作OH⊥AB于H,根据三角形的面积公式即可得到结论.【详解】解:(1)连接OC,∵AB=AC,OB=OC,∴AO在BC中垂线上,延长AO交BC于点D,则D是BC中点,AD⊥BC,∵«Skip Record If...»∴AD=8,∵OD=8﹣r,BO=r,BD=«Skip Record If...»BC=4,在R t△OBD中,r2=(8﹣r)2+42,解得:r=5,∴⊙O半径为5;(2)由(1)得AD=8,BD=4,∴«Skip Record If...»过O作OH⊥AB于H,∴BH=«Skip Record If...»AB=2«Skip Record If...» ,∴«Skip Record If...»∴«Skip Record If...»【点拨】本题考查了三角形的外接圆与外心、等腰三角形的性质,垂径定理,掌握圆的性质、正确的作出辅助线、是解题的关键.13.(1)见解析;(2)见解析;(3)8或2【分析】(1)连接AC,分别作AB.AC的中垂线,交点即为圆心O,然后以O为圆心,OA为半径作圆即可;(2)AB的中垂线与⊙O交点分别为E1.E2,△ABE1与△ABE2均为以AB为底的圆的内接等腰三角形;(3)由R=5,AB=8,根据勾股定理易得AB对应的弦心距为3,进而得到h=5+3=8或h=5-3=2.【详解】解:(1)如图所示,连接AC,分别作AB.AC的中垂线,交点即为圆心O,然后以O为圆心,OA为半径作圆即可;(2)如图所示,若AB的中垂线与⊙O交点分别为E1.E2,则△ABE1与△ABE2均为以AB为底的圆的内接等腰三角形;(3)由圆的半径R=5,AB=8,由勾股定理可得AB对应的弦心距为3,∴△ABE1中,h=5+3=8;△ABE2中,h=5-3=2.【点拨】本题主要考查了等腰三角形的性质,三角形的外接圆与外心的运用,解决问题时注意:找一个三角形的外心,就是找一个三角形的两条边的垂直平分线的交点,三角形的外接圆只有一个.14.(1)=;(2)△ACE是等腰直角三角形,理由见解析;(3)45°<α<90°【分析】(1)利用四边形内角和等于360度得:∠B+∠ADC=180°,而∠ADC+∠EDC=180°,即可求解;(2)证明△ABC≌△EDC(AAS)即可推知△ACE是等腰直角三角形;(3)当∠ABC=α=90°时,△ABC的外心在其直角边上,∠ABC=α>90°时,△ABC的外心在其外部,即可求解.【详解】解:(1)在四边形BADC中,∠B+∠ADC=360°﹣∠BAD﹣∠DCB=180°,而∠ADC+∠EDC=180°,∴∠ABC=∠PDC.故答案是:=;(2)△ACE是等腰直角三角形,理由如下:∵∠ECD+∠DCA=90°,∠DCA+∠ACB=90°,∴∠ACB=∠ECD.由(1)知:∠ABC=∠PDC,又∵BC=DC,∴△ABC≌△EDC(AAS),∴AC=CE.又∵∠ACE=90°,∴△ACE是等腰直角三角形;(3)当∠ABC=α=90°时,△ABC的外心在其直角边上,∠ABC=α>90°时,△ABC的外心在其外部,而45°<α<135°,故:45°<α<90°.【点拨】本题考查的是圆的综合运用,涉及到三角形全等、三角形外心等基本知识,难度不大.15.作图见解析.【解析】试题分析:由所作圆过点A.B,可知,圆心到A.B的距离相等,由此可知,圆心在线段AB的垂直平分线上,且到点A的距离等于3 cm,这样先作AB的垂直平分线,再以点A为圆心,3 cm为半径作弧与AB的垂直平分线相交,则交点为所求圆的圆心,这样就可作出所求圆了.试题解析:这样的圆能画2个.作AB的垂直平分线l,再以点A为圆心,3 cm为半径作圆交l于O1和O2,然后分别以O1和O2为圆心,以3 cm为半径作圆,如图:则⊙O1和⊙O2为所求圆.。

部编数学九年级上册第11讲点和圆、直线和圆的位置关系(一)(解析版)含答案

部编数学九年级上册第11讲点和圆、直线和圆的位置关系(一)(解析版)含答案

理解点和圆的位置关系的“两点”技巧:(1)等价关系:点和圆的位置关系Û点到圆心的距离(d)和半径(r)的数量关系.(2)数形结合:解决点与圆的位置关系的捷径是利用数形结合的方法,借助图形进行判断.典型例题PO=,则点P与⊙O的例题1.(2022·江苏·九年级课时练习)平面内有两点P,O,⊙O的半径为5,若6位置关系是()A.圆内B.圆上C.圆外D.圆上或圆外【答案】C【详解】∵⊙O的半径为5,PO=6,∴点P到圆心O的距离大于半径,∴点P在⊙O的外部,故选C.例题2.(2022·四川·渠县崇德实验学校九年级期末)已知⊙O的半径为3,点M在⊙O上,则OM的长可能是( )A.2B.3C.4D.5【答案】B【详解】解:∵点M 在⊙O 上,⊙O 的半径为3,∴OM =3,故选:B .例题3.(2021·全国·九年级专题练习)已知O e 的半径为5cm ,点A 在O e 内,则OA 的长度可能是( )A .4cmB .5cmC .6cmD .7cm【答案】A【详解】解:∵点A 为⊙O 内的一点,且⊙O 的半径为5cm ,∴线段OA 的长度<5cm .故选:A .例题4.(2022·全国·九年级专题练习)在平面直角坐标系中,以原点O 为圆心,4为半径作圆,点P 的坐标是(5,5),则点P 与⊙O 的位置关系是( )A .点P 在⊙O 上B .点P 在⊙O 内C .点P 在⊙O 外D .点P 在⊙O 上或在⊙O 外【答案】C【详解】解:∵点P 的坐标是(5,5),∴OP ==而O e 的半径为4,∴OP 等于大于圆的半径,∴点P 在O e 外.故选:C .例题5.(2021·浙江绍兴·九年级期中)已知⊙O 的半径为5cm ,点P 在⊙O 外,则OP _____5cm (填>或=,<).【答案】>【详解】∵⊙O 的半径为5cm ,点P 在⊙O 外OP>∴5cm故答案为:>.例题6.(2022·全国·九年级单元测试)已知圆外点到圆上各点的距离中,最大值是6,最小值是1,则这个圆的半径是______.【答案】2.5【详解】解:如图所示:MO半径,最小值可表示为MO-半径,当点M在圆外时,外点到圆上各点的距离中,最大值可表示为+\点到圆上的最小距离MB=1,最大距离MA=6,∴2半径=6﹣1=5,∴半径r=2.5,故答案为:2.5.点评:例题6主要考查了点与圆的位置关系,根据题意画出图形是解决本题的关键.画出图形,根据点在圆外时,点到圆周上点的最大距离最小距离转化为点到圆心的距离表示即可得到结论.例题7.(2022·江苏·九年级专题练习)已知⊙O的半径r=5cm,圆心O到直线l的距离d=OD=3cm,在直线l上有P、Q、R三点,且有PD=4cm,QD>4cm,RD<4cm,P、Q、R三点与⊙O位置关系各是怎样的【答案】PD=4cm,点P在⊙O上.QD>4cm,点Q在⊙O外.RD<4cm,点R在⊙O内.【详解】解:连接PO,QO,RO.∵PD=4cm,OD=3cm,∴ PO 5r ===.∴ 点P 在⊙O 上.5QO r ==>==,∴ 点Q 在⊙O 外.5RO r ==<==,∴ 点R 在⊙O 内.1.(2019·山东潍坊·九年级期中)矩形ABCD 中,8AB =,6BC =,如果A e 是以点A 为圆心,9为半径的圆,那么下列判断正确的是( )A .点B 、C 均在A e 外B .点B 在A e 外,点C 在A e 内C .点B 在A e 内,点C 在A e 外D .点B 、C 均在A e 内【答案】C【详解】解:根据题意,绘制图形如下,连接AC ,∵矩形ABCD ,8AB =,6BC =,∴Rt ABC D 中,10AC ===,∴点B 在A e 内,点C 在A e 外,故选:C .2.(2022·广东广州·一模)A ,B 两个点的坐标分别为(3,4),(﹣5,1),以原点O 为圆心,5为半径作⊙O ,则下列说法正确的是( )A .点A ,点B 都在⊙O 上B .点A 在⊙O 上,点B 在⊙O 外C .点A 在⊙O 内,点B 在⊙O 上D .点A ,点B 都在⊙O 外【答案】B【详解】解:∵OA 5,OB >5,∴点A 在⊙O 上,点B 在⊙O 外.故选:B .3.(2022·江苏江苏·九年级期末)已知O e 的半径为4cm ,点P 在O e 上,则OP 的长为( )A .4cmB .5cmC .8cmD .10cm 【答案】A【详解】解:∵⊙O 的半径为4cm ,点P 在⊙O 上,∴OP =4cm .故选:A .4.(2021·全国·九年级专题练习)在数轴上,点A 所表示的实数为5,点B 所表示的实数为a ,⊙A 的半径为3,要使点B 在⊙A 内,则实数a 的取值范围是( ).A .2a <B .8a <C .8a >D .28a <<【答案】D【详解】解:∵⊙A 的半径为3,若点B 在⊙A 内,∴AB <3,∵点A 所表示的实数为5,∴2<a <8,故选:D .5.(2022·浙江·九年级单元测试)已知O e 的半径为5,点P 到圆心O 的距离为d ,如果点P 在圆内,则d 的取值范围为( )A .5d <B .5d =C .5d >D .05d <…【答案】D【详解】解:Q 点P 在圆内,且O e 的半径为5,05d \<…,故选:D .6.(2020·广西南宁·九年级期末)已知O e 的半径3,cm 点P 在O e 内,则OP _________3cm (填>或=,<)【答案】<【详解】解:O Q e 的半径为3,cm 点P 在O e 内,3OP cm \<.故答案为:<.7.(2022·浙江·九年级单元测试)已知A 为⊙O 外一点,若点A 到⊙O 上的点的最短距离为2,最长距离为4,则⊙O 的半径为______.【答案】1【详解】解:如图:连接AO 并延长交圆O 于点B ,C 两点,点A 到⊙O 上的点的最短距离线段AB 的长,最长距离为线段AC 的长度.设圆的半径为r ,则:BC =2r =AC −AB =4−2=2,∴r =1.故答案为:1.8.(2022·全国·九年级课时练习)已知A 为O e 上的一点,O e 的半径为1,O e 所在的平面上另有一点P .(1)如果PA P 与O e 有怎样的位置关系?(2)如果PA =,那么点P 与O e 有怎样的位置关系?【答案】(1)点P 在O e 外;(2)点P 可能在O e 外,也可能在O e 内,还可能在O e 上,实际上,点P 位于以A【详解】解:(1)PA =Q ,O e 的直径为2\点P 的位置只有一种情况在圆外,即点P 与O e 的位置关系是点在圆外.(2)PA =Q O e 的直径为2\点P 的位置有三种情况:①在圆外,②在圆上,③在圆内.即点P 可能在O e 外,也可能在O e 内,还可能在O e 上,实际上,点P 位于以A 圆上.9.(2020·浙江·杭州市保俶塔实验学校九年级阶段练习)如图所示,已知△ABC 中,∠C=90°,AC=3,BC=4,M 为AB 的中点.(1)以C 为圆心,3为半径作⊙C ,则点A 、B 、M 与⊙C 的位置关系如何?(2)若以C 为圆心,作⊙C ,使A 、M 两点在⊙A 内且B 点在⊙C 外,求⊙C 的半径r 的取值范围.【答案】(1)A 在圆上,M 在圆内,B 在圆外;(2)3<r <4【详解】解:(1)∵在△ABC 中,∠C=90°,AC=3,BC=4,AB 的中点为点M ,∴5=,CM=12AB=52,∵以点C 为圆心,3为半径作⊙C ,∴AC=3,则A 在圆上,CM=52<3,则M 在圆内,BC=4>3,则B 在圆外;(2)以C 为圆心,作⊙C ,使A 、M 两点在⊙内且B 点在⊙C 外,3<r <4,故⊙C 的半径r 的取值范围为:3<r <4.类型二:有关三角形外接圆的计算和证明典型例题例题1.(2021·河北·九年级专题练习)边长为2的正三角形的外接圆的半径是( )A .B .2CD 【答案】C【详解】解:如图,等边△ABC 中,三边的垂直平分线交一点O ,则O 是△ABC 外接圆的圆心,BC=1,∴∠OBC=∠OCB=30°,BF=CF=12∴OF BF∴OB=2OF答案:C.例题2.(2022·广东珠海·九年级期末)如图,在平面直角坐标系xOy中,点A(0,3),点B(2,1),点C (2,-3).则经画图操作可知:△ABC的外接圆的圆心坐标是()A.(-2,-1)B.(-1,0)C.(-1,-1)D.(0,-1)【答案】A【详解】解:∵△ABC的外心即是三角形三边垂直平分线的交点,如图所示:EF与MN的交点O′即为所求的△ABC的外心,∴△ABC的外心坐标是(﹣2,﹣1).故选:A的半径是______.【答案】1【详解】解:连接OA 、OC ,45ABC Ð=°Q ,290AOC ABC \Ð=Ð=°,222OA OC AC \+=,即222OA =,解得:1OA =,故答案为:1.例题4.(2022·湖南·长沙市北雅中学九年级阶段练习)已知:在ABC △中,=AB AC ,<90°A Ð.(1)找到ABC △的外心,画出ABC △的外接圆(要求:尺规作图,保留作图痕迹,不写过程)(2)若ABC △的外接圆的圆心O 到BC 边的距离为8,12BC =,请求出O ⊙的面积.【答案】(1)见解析(2)100p【详解】(1)解:如图O ⊙即为所求.①分别以点B ,点C 为圆心,大于12BC 的长为半径,画弧,作出线段BC 的中垂线;②同理作出线段AB 的中垂线;③两条中垂线的交点O 为圆心,OA 为半径画圆,即为所求.(2)解:如图,连接OB ,由题意得:=8OD ,∵=AB AC ,AD BC ^,∴1==62BD BC ,∴10OB ===,∴圆O 的面积为:2=100r p p .1.(2022·广东·佛山市华英学校三模)如图,点A,B,C都在格点上,ABCV的外接圆的圆心坐标为()A.(5,2)B.(2,4)C.(3,3)D.(4,3)【答案】A【详解】解:根据ABCV的外接圆的定义,作AB和BC的垂直平分线相交于点P,∴点P(5,2),故选:A.2.(2021·广东·广州市实验外语学校九年级阶段练习)三角形的三边长为6,8,10,那么此三角形的外接圆的半径长为()A.2B.3C.4D.5【答案】D【详解】解:∵2226810+=,∴三角形为直角三角形,∵直角三角形的外接圆的圆心是斜边的中点,斜边为直角三角形中最长边,∴三角形外接圆的半径1105 2=´=,∴三角形外接圆的半径等于5.故选:D .3.(2022·全国·九年级专题练习)如图,在平面直角坐标系中,()0,3A -,()2,1B -,()2,3C .则△ABC 的外心坐标为( )A .()0,0B .()1,1-C .()2,1--D .()2,1-【答案】D 【详解】解:∵B 点坐标为(2,-1),C 点坐标为(2, 3),∴直线BC ∥y 轴,∴直线BC 的垂直平分线为直线y =1,∵外心是三角形三条边的垂直平分线的交点,∴△ABC 外心的纵坐标为1,设△ABC 的外心为P (a ,1),∴()()()22222222131621148PA a a PB a a a =++=+==-++=-+,∴221648a a a +=-+,解得2a =-,∴△ABC 外心的坐标为(-2, 1),故选D .4.(2022·江苏·九年级课时练习)三角形两边的长是3和4,第三边的长是方程2-12+35=0x x 的根,则该三角形外接圆的半径为______.【答案】52【详解】解:2-12+35=0x x ,()()570x x --=,解得215,7x x ==,当7x =时,347+=不能构成三角形;当5x =时,22234255+==,\这个三角形是斜边为5的直角三角形,\该三角形外接圆的半径为52,故答案为:52.5.(2022·重庆渝中·二模)如图,菱形ABCD 中,2AB =,DE BC ^于点E ,F 为CD 的中点,连接AE ,AF ,EF .若90AFE Ð=°,则AEF V 的外接圆半径为______.【详解】∵菱形ABCD∴//AD BC ,2AD BC CD ===∵DE BC^∴DE AD ^∵90AFE Ð=°∴AEF V 的外接圆的圆心为AE 中点O如图:∵DE AD ^,即90ADE Ð=°∴点D 在O e 上∵DE BC^∴112EF CD ==∴22222AD DE AF EF AE +=+=∴22241DE AF AE +=+=∴224DE AE =-,221AF AE =-∵224AE DE =+∴24AE >∵EAF CDE Ð=Ð,90AFE CED Ð=Ð=°∴AFE DEC △∽△ ∴AF AE DE CD =,即2AF AE DE =∴2224AF AE DE =∴222144AE AE AE -=-设2AE m = ∴144m m m -=-∴4=m 或4=-m (舍去)经检验,4=m 是原方程的解∴(2241AE =+=∴1AE =+或1AE =-∴AEF V 的外接圆半径12AE ==6.(2021·福建省永春崇贤中学九年级阶段练习)如图,已知△ABC 为等腰三角形,AD ⊥BC ;(1)尺规作图:作△ABC 的外接圆⊙O (保留作图痕迹,不写作法);(2)若底边6BC =,腰5AB =,求△ABC 外接圆⊙O 的半径.【答案】(1)见解析(2)258【详解】(1)解:如图所示:如图O e 是所求作的ABC D 的外接圆.(2)解:如图: ∵ABC D 是等腰三角形,底边6BC =,腰5AB =,∴OA BC ^,132BD CD BC ===∴在Rt ABD D 中,4AD ===.在Rt BOD D 中,()22234r r =+-.∴258r =.7.(2020·江苏·沭阳县怀文中学九年级阶段练习)如图,在平面直角坐标系中,A (0,4)、B (4,4)、C (6,2).(1)在图中画出经过A 、B 、C 三点的圆弧所在圆的圆心M 的位置;(2)点M 的坐标为 ;⊙M 的半径为 ;(3)点D (5,﹣2)与⊙M 的位置关系是点D 在⊙M ;(4)若画出该圆弧所在圆,则在整个平面直角坐标系网格中该圆共经过 个格点.【答案】(1)见解析;(2)(2,0),(3)内部;(4)8【详解】解:(1)如图,点M即为所求.(2)M(2,0),MA=故答案为:(2,0),(3)点D(5﹣2)在⊙M内部.故答案为:内部.(4)如图,满足条件的点有8个.故答案为:8.类型三:确定圆的条件典型例题例题1.(2022·全国·九年级单元测试)小王不慎把一面圆形镜子打碎了,其中三块如图所示,三块碎片中最有可能配到与原来一样大小的圆形镜子的碎片是()A.①B.②C.③D.都不能【答案】B【详解】解:第②块出现两条完整的弦,作出这两条弦的垂直平分线,两条垂直平分线的交点就是圆心,进而可得到半径的长.故选:B.例题2.(2021·北京·九年级期中)有下列四个命题,其中正确的个数是()(1)经过三个点一定可以作一个圆;(2)任意一个三角形有且仅有一个外接圆;(3)三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等;(4)在圆中,平分弦的直径一定垂直于这条弦;A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】B【详解】(1)经过不在同一直线上的三个点一定可以作一个圆,故本说法错误;(2)任意一个三角形有且仅有一个外接圆,本说法正确;(3)三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等,本说法正确;(4)在圆中,平分弦(不是直径)的直径一定垂直于这条弦,故本说法错误;故选:B.´的正方形网格中,一条圆弧经过A,B,C三点,那么例题3.(2022·全国·九年级课时练习)如图,在55这条圆弧所在圆的圆心是()A.点P B.点Q C.点R D.点M【答案】B【详解】解:作AB的垂直平分线,作BC的垂直平分线,如图,它们都经过Q,所以点Q为这条圆弧所在圆的圆心.故选:B.点评:例题3考查了垂径定理的推论:弦的垂直平分线必过圆心.这也常用来确定圆心的方法.根据垂径定理的推论:弦的垂直平分线必过圆心,分别作AB,BC的垂直平分线即可得到答案.例题4.(2021·江苏宿迁·九年级阶段练习)已知直线l:y=x+4,点A(0,2),点B(2,0),设点P为直线l上一动点,当P的坐标为______时,过P,A,B三点不能作出一个圆.【答案】(−1, 3)【详解】解:设直线AB的解析式为y=kx+b,∵A(0,2),点B(2,0),∴220bk b=ìí+=î,解得12kb=-ìí=î,∴y=−x+2.解方程组24y xy x=-+ìí=+î,得13xy=-ìí=î,∴当P的坐标为(−1, 3)时,过P,A,B三点不能作出一个圆.故答案为(−1, 3).例题5.(2021·河南南阳·九年级期末)如图,在单位长度为1的正方形网格中,一段圆弧经过网格的交点A,B,C,请完成下列填空:(1)请用尺规作图(不写作法,保留作图痕迹)的方法作出该弧所在圆心D点的位置;e的半径是______;(2)并写出圆心D坐标是______,D(3)求弧AC的长.【答案】(1)见解析(2)(2,0),【详解】(1)解:如图所示,点D即为所求;(2)解:由(1)可知点D的坐标为(2,0),∴AD==故答案为:(2,0),(3)解:如图所示,连接AD,CD,∴AD CD==AC==,∴222+=,AD CD AC∴∠∴»AC==.1.(2022·江苏·九年级专题练习)小明不慎把家里的圆形镜子打碎了,其中四块碎片如图所示,为了配到与原来大小一样的圆形镜子( )A.第一块B.第二块C.第三块D.第四块【答案】A【详解】解:第①块出现一段完整的弧,可在这段弧上任做两条弦,两条垂直平分线的交点就是圆心.故选:A.2.(2022·江苏·九年级专题练习)下列说法:①平分弦的直径,平分这条弦所对的弧;②在等圆中,如果弦相等,那么它们所对的弧也相等;③等弧所对的圆心角相等;④过三点可以画一个圆;⑤圆是轴对称图形,任何一条直径都是它的对称轴;⑥三角形的外心到三角形的三边距离相等.正确的个数有()A.1B.2C.3D.4【答案】A【详解】解:当被平分的这条弦是直径时,平分弦的直径,不平分这条弦所对的弧;故①不符合题意;在等圆中,如果弦相等,那么它们所对的弧也不一定相等;因为圆当中任意一条弦都与两条弧相对,故②不符合题意;等弧所对的圆心角相等;正确,故③符合题意;过不在同一直线上的三点可以画一个圆;故④不符合题意;圆是轴对称图形,任何一条直径所在的直线都是它的对称轴;故⑤不符合题意;三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等.故⑥不符合题意;故选A3.(2020·浙江·余姚市兰江中学九年级阶段练习)如图,方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度,点O,A,B,C在格点上,以点O为原点建立直角坐标系,则过A,B,C三点的圆的圆心坐标为()A.(-1,-2)B.(-2,-1)C.(1,2)D.(2,1)【答案】A【详解】连接CB,作CB的垂直平分线,如图所示:在CB的垂直平分线上找到一点D,所以D是过A,B,C三点的圆的圆心,即D的坐标为(﹣1,﹣2),故选:A.4.(2022·江苏·九年级专题练习)当点A(1,2),B(3,﹣3),C(5,n)三点可以确定一个圆,则n需要满足的条件为__.【答案】n≠﹣8【详解】解:设直线AB的解析式为y=kx+b,∵A(1,2),B(3,﹣3),∴233 k bk b+=ìí+=-î,解得:59,22k b=-=,∴直线AB的解析式为5922y x=-+,∵点A(1,2),B(3,﹣3),C(5,n)三点可以确定一个圆时,∴点C不在直线AB上,∴当点C在直线AB上时,595822n=-´+=-,∴当点A(1,2),B(3,﹣3),C(5,n)三点可以确定一个圆,则n需要满足的条件为n≠﹣8,故答案为:n≠﹣8.5.(2021·江苏·沭阳县怀文中学九年级阶段练习)已知直线l:y=x−4,点A(0,2),点B(2,0),设点P为直线l 上一动点,当P的坐标为______时,过P,A,B三点不能作出一个圆.【答案】(3,−1)【详解】设直线AB的解析式为y=kx+b,∵A(0,2),点B(2,0),∴220bk b=ìí+=î,解得12kb=-ìí=î,∴y=−x+2.解方程组24y xy x=-+ìí=-î,得31xy=ìí=-î,∴当P的坐标为(3,−1)时,过P,A,B三点不能作出一个圆.故答案为(3,−1).6.(2021·全国·九年级课时练习)已知点A,B和直线l,作一个圆,使它经过点A和点B,并且圆心在直线l上.(1)当直线l与直线AB不垂直时,可作几个圆?(2)当直线l与直线AB垂直但不经过AB的中点时,可作几个圆?(3)当直线l是线段AB的垂直平分线时,可作几个圆?【答案】(1)1个;(2)0个;(3)无数个.【详解】解:(1)如图1,过A、B的圆的圆心在线段AB垂直平分线m上,而直线m与直线l只有1个交点,∴当直线l与直线AB不垂直时,只能作1个圆;(2)如图2,过A、B的圆的圆心在线段AB垂直平分线m上,而直线m与直线l没有个交点,∴当直线l与直线AB垂直但不经过AB的中点时,不能作圆;(3)如图3,过A、B的圆的圆心在线段AB垂直平分线m上,而直线m与直线l重合,即直线l上所有点均可作为经过A,B的圆的圆心,∴当直线l是线段AB的垂直平分线时,能作无数个圆.7.(2021·江苏·扬州市梅岭中学九年级阶段练习)如图,在单位长度为1的正方形网格中,一段圆弧经过网格格点A、B、C.(1)请完成如下操作:①以点O为原点、竖直和水平方向所在的直线为坐标轴、网格边长为单位长,建立平面直角坐标系;②用直尺画出该圆弧所在圆的圆心D的位置(不用写作法,保留作图痕迹),并连接AD、CD.(2)请在(1)的基础上,完成下列问题:①写出点的坐标:C、D;②⊙D的半径=.(结果保留根号);③若扇形ADC是一个圆锥的侧面展开图,求该圆锥的底面半径.【答案】(1)①见解析;②见解析(2)①(6,2);(2,0);②【详解】(1)①如图,建立平面直角坐标系;②利用过三点的圆可得圆心为圆上任意两条弦的垂直平分线的交点,即可得到D,如图,(2)①根据平面直角坐标系可得C(6,2);D(2,0);故答案为:C(6,2);D(2,0);②在Rt AOD△中,OA=故答案为:③由图可知,∵OD=CF,AD=CD,∠AOD=∠CFD=90°,∴△AOD≌△DFC,∴∠OAD=∠CDF,∵∠OAD+∠ADO=90°,∴∠ADO+∠CDF=90°,∴∠∴»AC==,∴,。

人教版 九年级数学 与圆有关的位置关系讲义 (含解析)

人教版 九年级数学 与圆有关的位置关系讲义 (含解析)

第11讲与圆有关的位置关系知识定位讲解用时:3分钟A、适用范围:人教版初三,基础偏上B、知识点概述:本讲义主要用于人教版初三新课,本节课我们首先学习与圆有关的三类位置关系:点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系以及圆与圆的位置关系,重点掌握各种与圆位置关系的判断方法,其次学习切线的有关性质与判定以及切线长定理及应用,能够结合已知题意证明相关切线,最后掌握圆的外接三角形与三角形内切圆概念。

本节课的重点是三类位置关系的判断方法以及切线的性质与判定定理,属于中考重点内容,也是难点之一,希望同学们能够好好学习,扎实基础。

知识梳理讲解用时:25分钟与圆有关的位置关系(1)点与圆的位置关系点与圆的位置关系有3种,设⊙O的半径为r,点P到圆心的距离OP=d,则有:⊙点P在圆外⊙d>r⊙点P在圆上⊙d=r⊙点P在圆内⊙d<r注意:点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系,反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系。

课堂精讲精练【例题1】到圆心的距离不大于半径的点的集合是( )。

A .圆的外部B .圆的内部C .圆D .圆的内部和圆【答案】D【解析】此题考查圆的认识以及点与圆的位置关系,根据点和圆的位置关系,知圆的内部是到圆心的距离小于的所有点的集合; 圆是到圆心的距离等于半径的所有点的集合.所以与圆心的距离不大于半径的点所组成的图形是圆的内部(包括边界). 故选:D .讲解用时:3分钟解题思路:根据圆是到定点距离等于定长的点的集合,以及点和圆的位置关系即可解决。

教学建议:理解圆上的点、圆内的点和圆外的点所满足的条件。

难度:3 适应场景:当堂例题 例题来源:盱眙县校级月考 年份:2016秋 【练习1】已知Rt⊙ABC 中,⊙C=90°,AC=3,BC=7,CD⊙AB ,垂足为点D ,以点D 为圆心作⊙D ,使得点A 在⊙D 外,且点B 在⊙D 内,设⊙D 的半径为r ,那么r 的取值范围是 。

人教版九年级数学第24章 圆的有关计算 知识点精讲精练(含答案)

人教版九年级数学第24章 圆的有关计算 知识点精讲精练(含答案)

第二十四章圆的有关计算【导航篇】知识点一:点和圆、直线和圆的位置关系1.点和圆的位置关系点和圆的位置关系分三种(设⊙O的半径为r,点P到圆心的距离OP=d):注意:符号“⇔”读作“等价于”,它表示从符号“⇔”的左端可以推出右端,从右端也可以推出左端.2. 确定一个圆的条件(1)已知圆心、半径,可以确定一个圆;(2)不在同一条直线上的三个点确定一个圆.注意:“确定”是“有且只有”的意思,(2)中不能忽略“不在同一条直线上”这个前提条件,过在同一条直线上的三个点不能作圆.3. 三角形的外接圆(1)三角形的外接圆:经过三角形的三个顶点可以作一个圆,这个圆叫做三角形的外接圆,这个三角形叫做这个圆的内接三角形.注意:一个圆可以有无数个内接三角形,但是一个三角形只有一个外接圆.(2)三角形的外心:三角形的外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点,叫做这个三角形的外心.(3)三角形外心的性质:三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等,等于其外接圆的半径.(4)三角形外心的位置:锐角三角形的外心在三角形的内部,直角三角形的外心是斜边的中点,钝角三角形的外心在三角形的外部.4. 反证法:假设命题的结论不成立,由此经过推理得出矛盾,由矛盾断定所作假设不正确,从而得到原命题成立. 这种方法叫做反证法. 反证法是一种间接证明命题的方法.5. 直线和圆的位置关系【例1】如图,已知正方形ABCD 中,AB =2,以点A 为圆心画圆,半径为r . 当点D 在⊙A 内且点C 在⊙A 外时,r 的取值范围是____________.【例1】【解析】连接AC ,∵正方形ABCD 中,AB =2,∴AC=,AD =2,以点A为圆心画圆,要使点D 在⊙A 内,则r >AD ,即r >2,要使点C 在⊙A 外,则r <AC ,即r <A 的半径r 的取值范围是2<r <.【答案】2<r < 【巩固】1. 圆的直径为10 cm ,若点P 到圆心O 的距离是d ,则( ) A. 当d =8 cm 时,点P 在⊙O 内 B. 当d =10 cm 时,点P 在⊙O 上 C. 当d =5 cm 时,点P 在⊙O 上 D. 当d =6 cm 时,点P 在⊙O 内2. 已知⊙O 的直径为12 cm ,圆心到直线l 的距离5 cm ,则直线l 与⊙O 的公共点的个数为( )A. 2B. 1C. 0D. 不确定3. 如图,在Rt △ABC 中,∠ACB =90°,CD =5,D 是AB 的中点,则它的外接圆的直径DCBAABCD为_____________.【巩固答案】 1. C 2. A 3. 10知识点二:切线的判定和性质1. 切线的判定定理:经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.注意:应用该定理时,两个条件缺一不可:一是经过半径的外端;二是垂直于这条半径. 2. 切线的判定方法(1)定义法:与圆有唯一公共点的直线是圆的切线; (2)数量法:到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线;(3)判定定理法:经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 3. 切线的性质定理:圆的切线垂直于过切点的半径.【例2】如图,AB 是⊙O 的直径,点C 为⊙O 上一点,过点B 作BD ⊥CD ,垂足为点D ,连接BC ,BC 平分∠ABD . 求证:CD 为⊙O 的切线.【例2】【解析】证明切线的方法:①当已知直线与圆有公共点时,连接圆心和这个公共点,即连半径,然后证明直线垂直于这条半径,简称“连半径,证垂直”;②当直线与圆的公共点没有明确时,可过圆心作直线的垂线,再证圆心到直线的距离等于半径,简称“作垂直,CDAB本题利用方法①证明即可,因为半径OC已连接,所以只要证明OC⊥CD,利用等腰三角形的性质、平行线的性质和判定即可得证.【答案】证明:∵BC平分∠ABD,∴∠OBC=∠DBC.∵OB=OC,∴∠OBC=∠OCB,∴∠DBC=∠OCB,∴OC∥BD,∴∠OCD+∠CDB=180°,∵BD⊥CD,∴∠CDB=90°,∴∠OCD=180°-∠CDB=180°-90°=90°.即OC⊥CD,又∵OC为半径,∴CD为⊙O的切线.【巩固】1.下列说法中,不正确的是()A. 与圆只有一个交点的直线是圆的切线B. 经过半径的外端,且垂直于这条半径的直线是圆的切线C. 与圆心的距离等于半径的直线是圆的切线D. 垂直于半径的直线是圆的切线2. 如图,AB是⊙O的直径,MN是⊙O的切线,切点为N,如果∠MNB=52°,则∠NOA 的度数为()A. 76°B. 56°C. 54°D. 52°A1.D2.A知识点三:切线长定理和三角形的内切圆1.切线长:经过圆外一点的圆的切线上,这点和切点之间线段的长,叫做这点到圆的切线长.2.切线长定理:从圆外一点可以引圆的两条切线,它们的切线长相等,这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.3.三角形的内切圆:与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆,这个三角形叫做这个圆的外切三角形.4.三角形的内心:三角形的内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点,叫做三角形的内心.5.三角形内心的性质:三角形的内心到三角形三条边的距离相等,且等于其内切圆的半径.【例3】如图,P A、PB为⊙O的切线,切点分别为A、B,PO交AB于点C,PO的延长线交⊙O于点D,下列结论不一定成立的是()A.P A=PBB. ∠BPD=∠APDC. AB⊥PDD. AB平分PD【例3】【解析】因为P A、PB为⊙O的切线,由切线长定理可知P A=PB,∠BPD=∠APD,所以A、B选项成立;在等腰三角形ABP中,根据等腰三角形的性质得到AB⊥PD,所以C选项成立,只有当AD∥PB,BD∥P A时,AB平分PD,所以D选项不一定成立. 故选D.【答案】D【巩固】1.如图,P A,PB分别切⊙O于点A,B,如果∠P=60°,P A=2,那么AB的长为()A. 1B. 2C. 3D. 42.如图,点I是△ABC的内心,∠BIC=130°,则∠BAC的度数为()A. 60°B. 65°C. 70°D. 80°AIB C 【巩固答案】1.B2.D知识点四:正多边形和圆1.正多边形及有关概念(1)正多边形:各边相等、各角也相等的多边形是正多边形.(2)圆内接正多边形:把圆分成n(n≥3)等份,依次连接各分点得到的多边形就是这个圆的内接正n边形,这个圆就是这个正n边形的外接圆.(3)与正多边形有关的概念(4)正多边形的对称性所有的正多边形都是轴对称图形,一个正n 边形共有n 条对称轴,每条对称轴都通过正n 边形的中心,n 为偶数时,它还是中心对称图形,它的中心就是对称中心. 2. 正多边形的有关计算(1)正n 边形的每个内角都等于()nn ︒⋅-1802.(2)正n 边形的每个中心角都等于n ︒360.(3)正n 边形的每个外角都等于n︒360.(4)设正n 边形的半径为R ,边长为a ,边心距为r ,则:①半径、边长、边心距的关系为2222⎪⎭⎫⎝⎛+=a r R ;②周长l =na ; ③面积lr n ar S 2121=⋅=. 【例4】如图,边长为12 cm 的圆内接正三角形的边心距是_________cm.【例4】【解析】如图,作OH ⊥BC 于H ,连接OB ,在正三角形ABC 中,AB =BC =AC =12 cm ,∴BH =CH =6 cm ,∵∠ABC =60°,∴∠OBH =30°. 设OH =x cm ,∴OB =2x cm ,在Rt △OBH 中,由勾股定理得x 2+62=(2x )2,解得x=即OH=cm.【答案】 【巩固】1. 如图,正六边形ABCDEF 内接于⊙O ,连接OC 、OD ,则∠COD 的大小是( ) A. 30° B. 45° C. 60° D. 90°2. 如图,正方形ABCD 内接于⊙O ,若⊙O 的半径是2,则正方形的边长是__________.【巩固答案】 1. C 2. 2知识点五:弧长和扇形面积1. 弧长公式: 在半径为R 的圆中,n °的圆心角所对的弧长l 的计算公式为180Rn l π=. 2. 扇形:由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫做扇形. 3. 扇形面积公式(1)已知半径R 和n °的圆心角,则3602R n S π=扇形. (2)已知弧长l 和半径R ,则lR S 21=扇形. 4. 与圆锥有关的概念(1)圆锥:圆锥是由一个底面和一个侧面围成的几何体. 圆锥可以看作是一个直角三角形绕它的一条直角边所在的直线旋转一周形成的图形.(2)圆锥的母线:连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线. (3)圆锥的高:连接圆锥顶点与底面圆心的线段叫做圆锥的高. 5. 圆锥的侧面积和全面积如图,沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平,容易得到,圆锥的侧面展开图是一个扇形. 设圆锥的母线长为l ,底面圆的半径为r ,那么这个扇形的半径为l ,扇形的弧长为2πr , 因此rl l r S S ππ=⨯⨯==221扇形侧,()r l r r rl S S S +=+=+=πππ2底侧全.【例5】如图,已知⊙O 的半径是2,点A ,B ,C 在⊙O 上,若四边形OABC 是菱形,则图中阴影部分的面积为( ) A.3232-π B. 332-π C. 3234-π D. 334-π【例5】【解析】由题意可知,阴影部分的面积是由两个面积相等的弓形面积组成,弓形面积可以看成是扇形OBC 的面积和三角形OBC 的面积的差,因为四边形OABC 是菱形,所以OC =BC ,又OB =OC ,所以△OBC 是等边三角形,所以S =阴影()2=OBC OBC S S ∆-扇形2602142236023ππ⎛⋅-⨯=- ⎝故选C.【答案】C 【巩固】r1. 如图,AB 是⊙O 的直径,点D 为⊙O 上一点,且∠ABD =30°,BO =4,则BD 的长为( ) A. π32 B. π34 C. π2 D. π382. 如图,ABCDEF 为⊙O 的内接正六边形,AB =a ,则图中阴影部分的面积是( )A.26a π B. 2436a ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-π C . 243a D . 2433a ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-π【巩固答案】1. D2. B。

第04讲 点与圆的位置关系(原卷版)-2024-2025学年九年级数学上册同步学与练(人教版)

第04讲  点与圆的位置关系(原卷版)-2024-2025学年九年级数学上册同步学与练(人教版)

第04讲点与圆的位置关系知识点01 点与圆的位置关系1.点与圆的位置关系:设⊙O的半径为r,点P到圆心O的距离OP为d。

如图:(1)如图1:d>r⇔点在。

(2)如图2:d r⇔点在圆上。

(3)如图3:d<r⇔点在。

题型考点:①点与圆的位置关系的判断。

【即学即练1】1.已知⊙O的半径为5cm,当线段OA=5cm时,则点A在()A.⊙O内B.⊙O上C.⊙O外D.无法确定【即学即练2】2.⊙O的半径为5cm,点A到圆心O的距离OA=3cm,则点A与⊙O的位置关系为()A.点A在⊙O上B.点A在⊙O内C.点A在⊙O外D.无法确定【即学即练3】3.已知⊙O的半径为3,点P到圆心O的距离为4,则点P与⊙O的位置关系是()A.点P在⊙O外B.点P在⊙O上C.点P在⊙O内D.无法确定【即学即练4】4.在平面直角坐标系中,以原点O为圆心,5为半径作圆,点P的坐标是(4,3),则点P与⊙O的位置关系是()A.点P在⊙O内B.点P在⊙O外C.点P在⊙O上D.点P在⊙O上或在⊙O外知识点02 确定圆的条件1.确定圆的条件:①由不在上的三点可以确定唯一的圆。

②确定与能确定唯一的圆。

③已知圆的能确定唯一的圆。

【即学即练1】5.下列条件中,不能确定一个圆的是()A.圆心与半径B.直径C.平面上的三个已知点D.三角形的三个顶点6.下列条件中,能确定一个圆的是()A.经过已知点MB.以点O为圆心,10cm长为半径C.以10cm长为半径D.以点O为圆心知识点03 反证法1.反证法:先假设命题的结论不成立,由此经过推理得出矛盾,由矛盾断定假设结论不成立,从而得到原命题成立,这种方法叫做。

【即学即练1】7.用反证法证明命题“三角形中必有一个内角不小于60°”时,首先应假设:这个三角形中()A.有一个内角小于60°B.有一个内角大于60°C.每一个内角都小于60°D.每一个内角都大于60°【即学即练2】8.用反证法证明:△ABC中至少有两个角是锐角.知识点04 三角形的外接圆与外心1.三角形的外接圆:如图:若三角形的三个顶点都在圆上,则此时三角形是圆的内接三角形,圆是三角形的外接圆。

人教版2021年九年级数学上册同步练习 圆-与圆有关的位置关系(含答案)

人教版2021年九年级数学上册同步练习 圆-与圆有关的位置关系(含答案)

18.如图,已知 AB 是⊙O 的直径,弦 CD⊥AB 于点 E,G 是 上一点,AG 与 DC 的延长线交于点 F. (1)如 CD=8,BE=2,求⊙O 的半径长; (2)求证:∠FGC=∠AGD.
19.如图,AB 为⊙O 的直径,点 C 在⊙O 上,延长 BC 至点 D,使 DC=CB,延长 DA 与⊙O 的另一 个交点为 E,连接 AC,CE. (1)求证:∠B=∠D; (2)若 AB=4,BC﹣AC=2,求 CE 的长.
6.如图,在⊙O中,弦AC∥半径OB,若∠BOC=50°,则∠B的大小为(

A.25°
B.30°
C.50°
D.60°
7.根据圆规作图的痕迹,可用直尺成功找到三角形外心的是( )
A.
B.
C.
D.
8.如图,在 Rt△ABC 中,∠C=90°,∠B=30°,BC=4cm,以点 C 为圆心,以 2.1cm 的长为半径
14.如图,⊙O的内接四边形ABCD中,∠A=115°,则∠BOD等于

15.如图,等边△ABC及其内切圆与外接圆构成的图形中,若外接圆的半径为 3,则图中阴影部
分的面积为

16.如图,在四边形 ABCD 中,AB∥CD,AB=BC=BD=2,AD=1,则 AC=

三、解答题 17.如图,AB 是⊙O 的直径,CD 是⊙O 的切线,切点为 C,BE⊥CD,垂足为 E,连接 AC、BC. (1)求证:BC 平分∠ABE; (2)若∠A=60°OA=4,求 CE 的长.
A.40°
B.60°
C.70°
D.80°
5.如图,四边形 ABCD 是⊙O 的内接四边形,AC 是⊙O 直径,点 P 在 AC 的延长线上,PD 是⊙O

九年级数学同步练习:与圆有关的位置关系

九年级数学同步练习:与圆有关的位置关系

九年级数学同步练习:与圆有关的位置关系例1、:⊙A、⊙B、⊙C的半径区分为2、3、5,且两两相切,求AB、BC、CA的长解:分类讨论:(1)当⊙A与⊙B外切时,分4种状况:①如图1,AB=5,BC=8,CA=7;②如图2,AB=5,BC=2,CA=3;③如图3,AB=5,BC=8,CA=3;④如图4,AB=5,BC=2,CA=7;(2)当⊙A与⊙B内切时,分2种状况:①如图5,AB=1,BC=2,CA=3;②如图6,AB=1,BC=8,CA=7.说明:此题需求两次分类,但关键是以什么为规范停止分类,才干不重不漏.例2、两个等圆⊙Ol和⊙O2相交于A,B两点,⊙Ol经O2。

求OlAB的度数.剖析:由所学定理可知,O1O2是AB的垂直平分线,又⊙O1与⊙O2是两个等圆,因此连结O1O2和AO2,AO1,△O1AO2构成等边三角形,同时可以推证⊙Ol和⊙O2构成的图形不只是以O1O2为对称轴的轴对称图形,同时还是以AB为对称轴的轴对称图形.从而可由OlAO2=60,推得OlAB=30.解:⊙O1经过O2,⊙O1与⊙O2是两个等圆OlA= O1O2= AO2O1AO2=60,又ABO1O2OlAB =30.例3、R1、R2为两圆半径,圆心距d=5,且R1,R2,R1-R2是方程x3-6x2+11x-6=0的三个根,试判别以R1,R2为半径的两圆的位置关系。

剖析:经过解方程,把R1,R2,R1-R2都求出来以后,依据两圆位置关系的判定方法,即可作出结论。

解:将方程x3-6x2+11x-6=0变形得:(x-1)(x-2)(x-3)=0解得:x1=1,x2=2,x3=3∵R1,R2,R1-R2是方程的根(1)当R1=3,R2=2,R1-R2=1时,两圆外切。

(2)当R1=3,R2=1,R1-R2=2时,两圆外离。

故由(1)(2)可得:两圆的位置关系是外切或外离。

例4、:如图,⊙O1和⊙O2外切于P,直线APC交⊙O1于点A,交⊙O2于C,AB切⊙O2于B,设⊙O1的半径为r1,⊙O2的半径为r2。

2021年九年级中考数学 专题训练:与圆有关的位置关系(含答案)

2021年九年级中考数学 专题训练:与圆有关的位置关系(含答案)

2021中考数学专题训练:与圆有关的位置关系一、选择题1. 如图,已知AB是☉O的直径,点P在BA的延长线上,PD与☉O相切于点D,过点B作PD的垂线交PD的延长线于点C.若☉O的半径为4,BC=6,则P A的长为()A.4B.2√3C.3D.2.52. 已知⊙O的半径为5 cm,圆心O到直线l的距离为5 cm,则直线l与⊙O的位置关系为()A.相交B.相切C.相离D.无法确定3. 如图,已知⊙O1,⊙O2,⊙O3,⊙O4是四个半径为3的等圆,在这四个圆中,若某圆的圆心到直线l的距离为6,则这个圆可能是()A.⊙O1B.⊙O2C.⊙O3D.⊙O44. 2019·武汉江岸区期中点P到直线l的距离为3,以点P为圆心,以下列长度为半径画圆,能使直线l与⊙P相交的是()A.1 B.2 C.3 D.45. 如图,已知⊙O上三点A,B,C,半径OC=1,∠ABC=30°,切线PA交OC 的延长线于点P,则PA的长为()A.2 B. 3 C. 2 D.1 26. (2019•益阳)如图,PA、PB为圆O的切线,切点分别为A、B,PO交AB于点C,PO的延长线交圆O于点D,下列结论不一定成立的是A.PA=PB B.∠BPD=∠APDC.AB⊥PD D.AB平分PD7. 在公园的O处附近有E,F,G,H四棵树,位置如图所示(图中小正方形的边长均相等).现计划修建一座以O为圆心,OA长为半径的圆形水池,要求池中不留树木,则E,F,G,H四棵树中需要被移除的为()A.E,F,G B.F,G,HC.G,H,E D.H,E,F8. 如图,⊙C的半径为1,圆心的坐标为(3,4),P(m,n)是⊙C内或⊙C上的一个动点,则m2+n2的最小值是()A.9 B.16 C.25 D.36二、填空题9. 如图,☉O分别切∠BAC的两边AB,AC于点E,F,点P在优弧EDF⏜上.若∠BAC=66°,则∠EPF等于度.10. 如图,菱形ABOC的边AB,AC分别与☉O相切于点D,E,若点D是AB 的中点,则∠DOE=.11. 如图1,已知△ABC的外心为O,BC=10,∠BAC=60°,分别以AB,AC 为腰向三角形外作等腰直角三角形ABD与ACE,连接BE,CD交于点P,则OP长的最小值是________.12. 如图,⊙M的圆心在一次函数y=12x+2的图象上运动,半径为1.当⊙M与y轴相切时,点M的坐标为__________.13. 如图,AB是⊙O的直径,⊙O交BC于点D,DE⊥AC,垂足为E,要使DE 是⊙O的切线,则图中的线段应满足的条件是____________.14. 如图,已知△ABC的内切圆⊙O与BC边相切于点D,连接OB,OD.若∠ABC =40°,则∠BOD的度数是________.15. 如图,在△ABC中,∠A=60°,BC=5 cm.能够将△ABC完全覆盖的最小圆形纸片的直径是________cm.16. 如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=3,点O在AB上,OB=2,以OB 长为半径的⊙O与AC相切于点D,交BC于点F,OE⊥BC于点E,则弦BF的长为________.三、解答题17. 在平面直角坐标系中,圆心P的坐标为(-3,4),以r为半径在坐标平面内作圆:(1)当r为何值时,⊙P与坐标轴有1个公共点?(2)当r为何值时,⊙P与坐标轴有2个公共点?(3)当r为何值时,⊙P与坐标轴有3个公共点?(4)当r为何值时,⊙P与坐标轴有4个公共点?如图,在△ABC中,∠C=90°,∠BAC的平分线交BC于点D,点O在AB上,以点O为圆心,OA为半径的圆恰好经过点D,分别交AC,AB于点E、F.(1)试判断直线BC与⊙O的位置关系,并说明理由;(2)若BD=23,BF=2,求阴影部分的面积(结果保留π).19. 如图,AB为⊙O的直径,PD切⊙O于点C,交AB的延长线于点D,且∠D =2∠A.(1)求∠D的度数;(2)若CD=2,求BD的长.20.如图,△ABC中,∠ACB=90°,D为AB上一点,以CD为直径的⊙O交BC于点E,连接AE交CD于点P,交⊙O于点F,连接DF,∠CAE=∠ADF.(1)判断AB与⊙O的位置关系,并说明理由;(2)若PF∶PC=1∶2,AF=5,求CP的长.2021中考数学专题训练:与圆有关的位置关系-答案一、选择题1. 【答案】A[解析]如图,连接OD.∵PC切☉O于点D,∴OD⊥PC.∵☉O的半径为4,∴PO=P A+4,PB=P A+8.∵OD⊥PC,BC⊥PD,∴OD∥BC,∴△POD∽△PBC,∴ODBC =POPB,即46=PA+4PA+8,解得P A=4.故选A.2. 【答案】B3. 【答案】B4. 【答案】D5. 【答案】B[解析] 连接OA.因为∠ABC=30°,所以∠AOC=60°.因为PA为⊙O的切线,所以∠OAP=90°,所以∠P=90°-∠AOC=30°.因为OA=OC=1,所以OP=2OA=1,所以PA= 3.6. 【答案】D【解析】∵PA,PB是⊙O的切线,∴PA=PB,所以A成立;∠BPD=∠APD,所以B成立;∴AB⊥PD,所以C成立;∵PA,PB是⊙O的切线,∴AB⊥PD,且AC=BC,只有当AD∥PB,BD∥PA时,AB平分PD,所以D不一定成立,故选D.7. 【答案】A[解析]设小正方形的边长为1个单位长度,所以OA=12+22= 5. 因为OE=2<OA,所以点E在⊙O内;OF=2<OA,所以点F在⊙O内;OG=1<OA,所以点G在⊙O内;OH=22+22=2 2>OA,所以点H在⊙O外.故选A.8. 【答案】B[解析] 如图,连接OC交⊙C于点P′.∵圆心C的坐标为(3,4),点P的坐标为(m,n),∴OC=5,OP=m2+n2,∴m2+n2是点P到原点的距离的平方,∴当点P运动到线段OC上,即点P′处时,点P离原点最近,即m2+n2取得最小值,此时OP=OC-PC=5-1=4,即m2+n2=16.二、填空题9. 【答案】57[解析]连接OE,OF.∵☉O分别切∠BAC的两边AB,AC于点E,F,∴OF⊥AC,OE⊥AB,∴∠BAC+∠EOF=180°,∵∠BAC=66°,⏜上,∴∠EOF=114°.∵点P在优弧EDF∴∠EPF=1∠EOF=57°.故填:57.210. 【答案】60°[解析]连接OA ,∵四边形ABOC 是菱形, ∴BA=BO ,∵AB 与☉O 相切于点D , ∴OD ⊥AB. ∵D 是AB 的中点,∴OD 是AB 的垂直平分线,∴OA=OB , ∴△AOB 是等边三角形, ∴∠AOD=12∠AOB=30°, 同理∠AOE=30°,∴∠DOE=∠AOD +∠AOE=60°, 故答案为60°. 111. 【答案】5-533 [解析] ∵∠BAD =∠CAE =90°,∴∠DAC =∠BAE .在△DAC 和△BAE 中,⎩⎨⎧AD =AB ,∠DAC =∠BAE ,AC =AE ,∴△DAC ≌△BAE (SAS), ∴∠ADC =∠ABE ,从而∠PDB +∠PBD =90°, 即∠DPB =90°,从而∠BPC =90°, ∴点P 在以BC 为直径的圆上.如图,过点O 作OH ⊥BC 于点H ,连接OB ,OC .∵△ABC 的外心为O ,∠BAC =60°, ∴∠BOC =120°.又∵BC =10, ∴OH =533,∴OP 长的最小值是5-53 3.12. 【答案】(1,52)或(-1,32) [解析] ∵⊙M 的圆心在一次函数y =12x +2的图象上运动,∴设当⊙M 与y 轴相切时圆心M 的坐标为(x ,12x +2).∵⊙M 的半径为1,∴x =1或x =-1,当x =1时,y =52,当x =-1时,y =32.∴点M 的坐标为(1,52)或(-1,32).13. 【答案】BD =CD或AB =AC (答案不唯一)[解析] (1)连接OD .要使DE 是⊙O 的切线,结合DE ⊥AC ,只需OD ∥AC ,根据O 是AB 的中点,只需BD =CD 即可;(2)根据(1)中探求的条件,要使BD =CD ,则连接AD ,由于∠ADB =90°,只需AB =AC ,根据等腰三角形的三线合一即可.12∠ABC =14. 【答案】70°[解析] 由切线长定理可知∠OBD =20°.∵BC 是⊙O 的切线,∴OD ⊥BC ,∴∠BOD =90°-∠OBD =70°.15. 【答案】10 33 如图,能够将△ABC 完全覆盖的最小圆形纸片是△ABC 的外接圆⊙O.连接OB ,OC ,则∠BOC =2∠A =120°.过点O 作OD ⊥BC 于点D ,则∠BOD =12∠BOC =60°.∴∠OBD =30°,∴OB =2OD.由垂径定理,得BD =12BC =52 cm ,在Rt △BOD 中,由勾股定理,得OB2=OD2+BD2,即(2OD)2=OD2+(52)2,解得OD=56 3 cm.∴OB=5 33cm,∴能够将△ABC完全覆盖的最小圆形纸片的直径是10 33cm.16. 【答案】2[解析] 如图,连接OD.∵OE⊥BF于点E,∴BE=12BF.∵AC是⊙O的切线,∴OD⊥AC,∴∠ODC=∠C=∠OEC=90°,∴四边形ODCE是矩形,∴EC=OD=OB=2.又∵BC=3,∴BE=BC-EC=3-2=1,∴BF=2BE=2.三、解答题17. 【答案】解:(1)根据题意,知⊙P和y轴相切,则r=3.(2)根据题意,知⊙P和y轴相交,和x轴相离,则3<r<4.(3)根据题意,知⊙P和x轴相切或经过坐标原点,则r=4或r=5.(4)根据题意,知⊙P和x轴相交且不经过坐标原点,则r>4且r≠5.18. 【答案】(1)解:BC与⊙O相切.理由如下:解图如解图,连接OD,∵AD平分∠BAC,∴∠CAD=∠OAD.又∵∠OAD=∠ODA,∴∠CAD=∠ODA.∴OD∥AC,(2分)∴∠BDO=∠C=90°,又∵OD是⊙O的半径,∴BC与⊙O相切.(4分)(2)解:设⊙O的半径为r,则OD=r,OB=r+2,由(1)知∠BDO=90°,∴在Rt△BOD中,OD2+BD2=OB2,即r2+(23)2=(r+2)2. 解得r=2.(5分)∵tan∠BOD=BDOD=232=3,∴∠BOD=60°.(7分)∴S阴影=S△OBD-S扇形ODF=12·OD·BD-60πr2360=23-23π.(8分)19. 【答案】解:(1)连接OC.∵OA=OC,∴∠A=∠OCA,∴∠COD=∠A+∠OCA=2∠A. ∵∠D=2∠A,∴∠COD=∠D. ∵PD与⊙O相切于点C,∴OC⊥PD,即∠OCD=90°,∴∠D=12×(180°-90°)=45°.(2)由(1)可知∠COD=∠D,∴OC=CD=2. 由勾股定理,得OD=22+22=2 2,∴BD=OD-OB=2 2-2.20. 【答案】解:(1)AB与⊙O相切.理由如下:∵∠ACB=90°,∴∠CAE+∠AEC=90°,又∵∠AEC=∠CDF,∠CAE=∠ADF,∴∠CDF+∠ADF=90°,∴∠ADC=90°,又∵CD为⊙O的直径,∴AB与⊙O相切.(3分)(2)如解图,连接CF,解图∵CD 为⊙O 的直径,∴∠CDF +∠DCF =90°, 又∵∠CDF +∠ADF =90°, ∴∠DCF =∠ADF , 又∵∠CAE =∠ADF , ∴∠CAE =∠DCF , 又∵∠CPA =∠FPC , ∴△PCF ∽△PAC , ∴PC PA =PF PC ,(6分)又∵PF ∶PC =1∶2,AF =5, 故设PF =a ,则PC =2a , ∴2a a +5=a 2a ,解得a =53,∴PC =2a =2×53=103.(8分)。

  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。

与圆有关的位置关系一、中考考点透视:本章包括圆中的三种位置关系的判断即点与圆的位置关系,直线与圆的位置关系,还有就是直线与圆相切的判定与性质. 二、应考策略:与圆有关的三种位置关系,在中考试题中多数题目出现在选择、填空题中,题目难度也比较低.复习时只要掌握好点与圆位置关系的判断方法即点到圆心的距离与半径就可以了;对于直线与圆有关的位置关系,则要很好的掌握切线的性质和判定,中考对于切线的性质和判定出现在解答题情况较多. 三、典例借鉴与剖析:例1.已知矩形ABCD 的边AB =15,BC =20,以点B 为圆心作圆,使A 、C 、D 三点至少有一点在⊙B 内,且至少有一点在⊙B 外,则⊙B 的半径r 的取值范围是( ) A .r >15B .15<r <20C .15<r <25D .20<r <25分析:以B 为圆心,只能使A 、C 两点在圆内,D 点在圆外,所以其r 的范围大于BC 的长度小于矩形对角线AD 的长度. 解:本题选D .点拨:点与圆的位置判断 可根据点与圆心的距离与半径进行比较做出判断. 例2.如图2,ABC △内接于⊙O ,点D 在半径OB 的延长线上,30BCD A ∠=∠=°.(1)试判断直线CD 与⊙O 的位置关系,并说明理由;(2)若⊙O 的半径长为1,求由弧BC 、线段CD 和BD 所围成的阴影部分面积(结果保留π和根号).分析:可以直观的判断直线CD 与⊙O 相切.理由就是想办法证明OC CD ⊥,根据30BCD A ∠=∠=°条件可以判断OBC △是正三角形,从而求出90OCD ∠=°从而得到证明,至于阴影部分的面积可以利用间接法即求出Rt △OCD 的面积再减去扇形OBC 的面积. 解:(1)直线CD 与⊙O 相切.理由如下:在⊙O 中,223060COB CAB ∠=∠=⨯=°°. 又OB OC =∵,OBC ∴△是正三角形, 60OCB ∠=∴°. 又30BCD ∠=∵°,603090OCD ∠=+=∴°°°, OC CD ⊥∴. 又OC ∵是半径,∴直线CD 与⊙O 相切.(2)由(1)得COD △是Rt △,60COB ∠=°.1OC =∵,3CD =∴.AOC BD图21322COD S OC CD ==△∴·. 又1π6OCB S =扇形∵, 3133ππ266COD OCB S S S -=-=-=△阴影扇形∴. 点拨:判断直线与圆相切,当切点比较明确时,可以证明圆心与切点的连线互相垂直.四、备战中考实战演练:基础巩固训练一、选择题1.如图3,是奥运会自行车比赛项目标志,则图中两轮所在的位置关系是( )A .内含B .相交C .相切D .外离2.已知⊙1O 半径为3cm ,P 1O =4cm ,则点P 到⊙1O 上一点A 距离的最大值为( ) A .1; B .3; C .4; D .7.3.如图4,PA 为⊙O 的切线,A 为切点,PO 交⊙O 于点B ,PA =3,OA =4,则cos ∠APO 的值为( )A .34 B .35 C .45 D . 434.如图5,两等圆⊙O 和⊙O ′相外切,过O 作⊙O ′的两条切线OA 、OB ,A 、B 是切点,则∠AOB 等于( )A .90° B .60° C .45°D .30°5.图6中,EB 为半圆O 的直径,点A 在EB 的延长线上,AD 切半圆O 于点D ,BC ⊥AD 于点C ,AB =2,半圆O 的半径为2,则BC 的长为( ) A .2 B .1 C .1.5 D .0.56.正三角形内切圆半径r 与外接圆半径R 之间的关系为( )A .4R =5rB .3R =4rC .2R =3rD .R =2r7.如图8,⊙O 内切于ABC △,切点分别为D E F ,,.已知50B ∠=°,60C ∠=°,连结OE OF DE DF ,,,,那么EDF ∠等于( )A.40° B.55° C.65° D.70°8.如图9,在平面直角坐标系中,点A 在第一象限,⊙A 与轴相切于B ,与轴交于C (0,1),D (0,4)两点,则点A 的坐标是 ( )·B C Oy x图9DDOAFCBE图8 图3ABC DO 图6E图4A .35(,)22B .3(,2)2C .5(2,)2D .53(,)22二、填空题9.在平面内,⊙O 的半径为5cm ,点P 到圆心O 的距离为3cm ,则点P 与⊙O 的位置关系是 .10.如图10,⊙O 的半径为5,PA 切⊙O 于点A ,30APO ∠=°,则切线长PA 为 .(结果保留根号)11.相交两圆的半径分别为5 cm 和4 cm ,公共弦长为6 cm .,则这两圆的圆心距为_____.12.林业工人为调查树木的生长情况,常用一种角卡为工具,可以很快测出大树的直径,其工作原理如图11所示.现已知∠BAC=60°,AB =0.5米,则这棵大树的直径为 _______米. 三、解答题13.已知:如图13,在△ABC 中,AB =AC ,以AB 为直径的⊙O 交BC 于点D ,过点D 作DE ⊥AC 于点E .求证:DE 是⊙O 的切线. 14.如图14,AB 是⊙O 的直径,AD 是弦,∠DAB =22.5º,延长AB 到点C ,使得∠ACD=45º.(1)求证:CD 是⊙O 的切线; (2)若AB =22,求BC 的长.15.如图15-1是一个小朋友玩“滚铁环”的游戏,铁环是圆形的,铁环向前滚动时,铁环钩保持与铁环相切.将这个游戏抽象为数学问题,如图15-2.已知铁环的半径为5个单位(每个单位为5cm ),设铁环中心为O ,铁环钩与铁环相切点为M ,铁环与地面接触点为A ,MOA α=∠,且3sin 5α=. (1)求点M 离地面AC 的高度BM (单位:厘米);(2)设人站立点C 与点A 的水平距离AC 等于11个单位,求铁环钩MF 的长度(单位:厘米).O A P图10A B MOFC 图15-2图15-1图11图13图14探究创新提高1.如24-16,在平面直角坐标系中,点A 1是以原点O 为圆心,半径为2的圆与过点(0,1)且平行于x 轴的直线l 1的一个交点;点A 2是以原点O 为圆心,半径为3的圆与过点(0,2)且平行于x 轴的直线l 2的一个交点;……按照这样的规律进行下去,点A n 的坐标为 .2.如图17,已知⊙O 的半径为6cm ,射线PM 经过点O ,10cm OP =,射线PN 与⊙O 相切于点Q .A B ,两点同时从点P 出发,点A 以5cm /s 的速度沿射线PM 方向运动,点B 以4cm /s 的速度沿射线PN 方向运动.设运动时间为t s . (1)求PQ 的长;(2)当t 为何值时,直线AB 与⊙O 相切?答案一、1.D 2.D 3.B 4.B 5.B 6.D 7.B 8.C 二、10. 点P 在⊙O 内 11.53 12.4+7 三、13.连结OD ,则OD OB =,1B ∴∠=∠.AB AC =,B C ∴∠=∠. 1C ∴∠=∠. OD AC ∴∥.图16 xyO A 1A 2A 3 l 2l 1l 3 1 4 2 3 图17AB QO P NMD E CAOB1ODE DEC ∴∠=∠.DE AC ⊥,90DEC ∴∠=.90ODE ∴∠=,即DE OD ⊥. DE ∴是⊙O 的切线.14.(1)证明:如图,连接. , . 又,,即. 是⊙O 的切线.(2)解:由(1)可得:是等腰直角三角形.,是直径, . . .15. 如图,过M 作与AC 平行的直线,与OA 、 FC 分别相交于H 、 N . (1)在 RtΔOHN 中,∠OHN =900, OM =5, HM =OM .sin α=3 ∴OH =4, MB =HA =1 ∴铁环钩离地面的高度为5cm .(2)∵∠MOH +∠OMH =∠OMH +∠FMN =900, ∠FMN =∠OMH =α∴3sin 5FN FM α== 即得FN =35FM在RtΔFMN 中,∠FNM =900,MN =BC =AC -AB =8 ∴FM =10∴铁环钩的长度为50cm .探究创新提高1.(12+n ,n ).2.(1)连接OQ .PN 与⊙O 相切于点Q ,OQ PN ∴⊥,即90OQP ∠=. 10OP =,6OQ =,OD 22.52DAB DOC DAB ∠=∠=∠,45DOC ∴∠=45ACD ∠=18090ODC ACD DOC ∴∠=-∠-∠=OD CD ⊥CD ∴ODC △22AB =AB 2OD OB ∴==22OC OD ∴==22BC OC OB ∴=-=-17题图221068(cm)PQ ∴=-=.(2)过点O 作OC AB ⊥,垂足为C .点A 的运动速度为5cm /s ,点B 的运动速度为4cm /s ,运动时间为t s ,5PA t ∴=,4PB t =. 10PO =,8PQ =, PA PBPO PQ∴=. P P ∠=∠,PAB POQ ∴△∽△.90PBA PQO ∴∠=∠=.90BQO CBQ OCB ∠=∠=∠=, ∴四边形OCBQ 为矩形.BQ OC ∴=.⊙O 的半径为6,6BQ OC ∴==时,直线AB 与⊙O 相切. ①当AB 运动到如图1所示的位置.84BQ PQ PB t =-=-. 由6BQ =,得846t -=. 解得0.5(s)t =.②当AB 运动到如图2所示的位置.48BQ PB PQ t =-=-. 由6BQ =,得486t -=. 解得 3.5(s)t =.所以,当t 为0.5s 或3.5s 时直线AB 与⊙O 相切.图A B QO PNMC 图AB QOP NMC。

相关文档
最新文档