扬州市2019—2020学年度第二学期 高二期末检测 数学试题 含答案
2019-2020年高二下学期期末考试 数学试题 含答案
2019-2020年高二下学期期末考试 数学试题 含答案一、选择题：（本大题共12小题，每题5分，共60分） 1．设，，，则下列结论正确的是（ ） A ． B ． C ． D ． 2．的共轭复数是（ ）A ．B ．C ．D ．3．若0.311321log 2,log 3,(),2a b c ===则（ ）A. B. C. D. 4. “”是“为真命题”的（ ）A. 充要条件B. 必要但不充分条件C. 充分但不必要条件D. 既不充分也不必要条件 5. 已知函数，下列结论正确的个数是( ) ①图象关于对称 ②函数在上的最大值为2 ③函数图象向左平移个单位后为奇函数 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 6. 已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A. 2B. 1C. D.7. 若函数()(1)(0xxf x k a a a -=-->且）在R 上既是奇函数，又是减函数，则函数的图象是（ ）8. 设是抛物线的焦点，点是抛物线与双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的一条渐近线的一个公共点，且轴，则双曲线的离心率为 ( )A. 2B.C.D.9. 右图是函数的部分图象，则函数的零点所在的区间是（ ） A ． B ． C ． D ． 10. 若2*31(1)()()nx x x n N x+++∈的展开式中没有常数项，则n的可能取值是( ) A ．7 B. 8 C. 9 D. 1011. 在中，点是上一点，且Q 是BC 的中点，AQ 与CP 的交点为M, 又, 则的值为（ ） A. B. C. D.12．已知函数，g (x )＝x 2－2bx ＋4，若对任意x 1∈(0，2)，存在x 2∈[1，2]，使f (x 1)≥g (x 2)，则实数b 的取值范围是( )A ．B ．[1，＋∞]C ．D ．[2，＋∞] 二、填空题：（本大题共4小题，每题5分，共20分）13. 设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，8a 2+a 5=0, 则＝ . 14. 已知二次函数的导函数为，，f (x )与x 轴恰有一个交点，则的最小值为_______ .15. 有两排座位，前排4个座位，后排5个座位，现安排2人就坐，并且这2人不相邻（一前一后也视为不相邻），那么不同坐法的种数是 .16. 定义在R 上的函数是减函数，且函数的图象关于（1，0）成中心对称，若满足不等式，则当时，的取值范围是 . 三、解答题：（本大题共6小题，共70分）17. (本小题满分12分) 中，所对的边分别为，E 为AC 边上的中点且2cos cos cos b B c A a C =+. （Ⅰ）求的大小；（Ⅱ）若的面积，求BE 的最小值.18.（本小题满分12分） 已知函数，，，，，，将它们分别写在六张卡片上，放在一个盒子中，（Ⅰ）现从盒子中任取两张卡片，将卡片上的函数相加得到一个新函数，求所得的函数是奇函数的概率；（Ⅱ）从盒子中任取两张卡片，已知其中一张卡片上的函数为奇函数，求另一张卡片上的函数也是奇函数的概率；（Ⅲ）现从盒子中逐一抽取卡片，且每次取出后均不放回，若取到一张记有偶函数的卡片则停止抽取，否则继续进行，求抽取次数的分布列和数学期望．19. (本小题满分12分)如图，四棱锥的底面是直角梯形，，，和是两个边长为的正三角形，，为的中点，为的中点． （Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ）求证：平面；（Ⅲ）求面与面所成角的大小．20. （本小题满分12分）已知椭圆：的右焦点，过原点和轴不重合的直线与椭圆 相交于，两点，且，最小值为．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若圆:的切线与椭圆相交于，两点，当，两点横坐标不相等时，问：与是否垂直？若垂直，请给出证明；若不垂直，请说明理由． 21．（本小题满分12分）已知函数.(Ⅰ)若函数在上是增函数，求正实数的取值范围； (Ⅱ)若，且，设,求函数在上的最大值和最小值.请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22. (本小题满分10分) 选修4-1：几何证明选讲如图，是△的外接圆，D 是AC⌒ 的中点，BD 交AC 于E ．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）若，O到AC的距离为1，求⊙O的半径．23. (本小题满分10分) 选修4—4：坐标系与参数方程在直角坐标系x O y 中，曲线C1的参数方程为（为参数）M是C1上的动点，P点满足, P点的轨迹为曲线C2(Ⅰ)求C2的方程；(Ⅱ)在以O为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线与C1的异于极点的交点为A，与C2的异于极点的交点为B，求.24. (本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲设函数, 其中.（Ⅰ）当时，求不等式的解集；（Ⅱ）若不等式的解集为，求a的值.高二理科期末考试数学试题答案1---12 DADCDD ABBCCC13---16 -11, 2, 58,17.18. 解：（Ⅰ）-----3分（Ⅱ）412326232623262623=-=-=C C C C C C C C P -------7分 （Ⅲ）可能取值１,２,３,４-----8分 ，，()2033141315121613=⋅⋅==C C C C C C P ξ，()2014141115121613=⋅⋅==C C C C C C P ξ-----------10分则420420310221=⨯+⨯+⨯+⨯=ξE ----------------------------12分 19.（Ⅰ）证明：设为的中点，连接，则∵，，，∴四边形为正方形， ∵为的中点， ∴为的交点， ∵， ∴， (2分) ∵， ∴，，在三角形中，，∴，（3分∵，∴平面 （ 4分）(Ⅱ)方法1：连接，∵为的中点，为中点， ∴，∵平面，平面，∴平面. （8分）A DOCPBEF方法2：由(Ⅰ)知平面，又，所以过分别做的平行线，以它们做轴，以为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 由已知得： ，， ，，， ， 则，，，. ∴ ∴∵平面，平面， ∴平面； (8分)(Ⅲ) 设平面的法向量为， 则，即， 解得，设平面的法向量为同理可得 则，面与面所成角的大小为（12分） 20．解：（Ⅰ）设AB()F(c,0)则2222=∴==+a a BF AF -----------------------------------------1分 ()()2202222202202021222a x c b b a x x y x AB +=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=+=122min =∴==∴b b AB 所以有椭圆E 的方程为-----------------5分（Ⅱ）由题设条件可知直线的斜率存在，设直线L 的方程为y=kx+mL 与圆相切，∴∴-----------------7分 L 的方程为y=kx+m 代入中得：()()0128,022*******2>-+=∆=-+++m k m kmx xk 令，① ②()22222121221212k k m m x x km x x k y y +-=+++=③--------------------10分0212232122122222222222121=+--=+-++-=+=⋅kk m k k m k m y y x x ∴------------------------------------------------------12分 21.(Ⅰ)解:由题设可得 因为函数在上是增函数， 所以,当时，不等式即恒成立因为,当时，的最大值为，则实数的取值范围是-----4分 (Ⅱ) 解: ，11()ln (1)ln ln x xF x x k x k x x x--=++-=+ 所以,'''22(1)(1)1()x x x x k kx F x x x x----=+= …………6分 （1） 若,则，在上, 恒有，所以在上单调递减 ，…………7分 (2) 时（i ）若，在上,恒有 所以在上单调递减min 111()()ln 1e e F x F e k e k k e e e--==+=+=+- max 1()()1F x F e k e==--…………9分ii)时，因为，所以 ，所以所以在上单调递减min 111()()ln 1e e F x F e k e k k e e e--==+=+=+- max 1()()1F x F e k e==--…………11分综上所述：当时，，；当 且时，，.…………12分22、解：（I ）证明：∵，∴，又，∴△～△，∴，∴CD =DE ·DB ； ………………（5分）23、（I ）设P(x,y),则由条件知M().由于M 点在C 1上，所以⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=∂=sin 222,cos 22y x 即 从而的参数方程为（为参数）（Ⅱ）曲线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为。
2019-2020年高二下学期期末考试数学试题 含答案
2019-2020年高二下学期期末考试数学试题 含答案考生注意：1、本试卷包括试题卷和答题纸两部分，答题纸另页，正反面2、在本试题君上答题无效，必须在答题纸上的规定位置按照要求答题3、可使用符合规定的计算器答题一、填空题（本大题满分56分，共14个小题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分）1、已知向量，且，则2、双曲线的右焦点的坐标为3、与向量垂直的一个单位向量4、若（是复数单位），则5、若()(1)(2)()f n n n n n =++++++L ，则6、已知无穷等比数列的前n 项和，则7、一个方程组的增广矩阵为，则该方程组的解为8、若一个三角形的三个内角成等差数列，且已知一个角为，则另外两个角的读书分别 为9、已知圆锥的侧面展开图为扇形，若其弧长为，半径，则该圆锥的体积为10、过球的一条半径的中心，作垂直于半径的平面，则所得截面的面积与球的表面积的比为11、汽车前灯反射镜与轴截面的交线是抛物线的一部分，灯口所在的圆面与反射镜的轴垂直，灯泡位于抛物线的焦点处，已知灯口直径是26厘米，灯深11厘米，则灯泡与反射镜的顶点的距离为 厘米（精确到0.1厘米）12、若，且，则向量与的夹角为13、将全体正整数排成一个三角形的数阵：按照以上排量的规律，第n 行（），从左向右的第3个数为14、在中，已知:1:3,:1:4AM AB AN AC ==BN 与CM 交于点E ，，则（用表示）二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题知且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．15、两个非零向量垂直的充要条件是（ ）A ．B ．C ．D ．16、某店一个月的收入和支出总共记录了N 个数据，其中，收入记为正数，支出记为负数，该店用右边的程序框图计算月总收入S 和月净盈利V 那么，在图中空白的判断框和处理框中，应分别填入下列四个选项中的（ ）A ．B ．C ．D ．17、设椭圆的左、右焦点分别为，抛物线的焦点，若，则的值为（ ）A ．B ．2C ．D ．18、若数列满足当成立时，总可以推出成立，研究下列四个命题：（1）若，则 (2) 若，则(2) 若，则 (4) 若，则其中错误的命题是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个三、解答题（本大题满分74分）共5题，解答下列各题必须写出必要的步骤．19、（本题满分12分）已知点，（1）求直线AB 的方程（2）若点P 满足，求P 点的轨迹方程．20、（本题满分14分）如图，在直平行六面体中，底面ABCD 是边长为2的菱形，，与底面ABCD 所成角的大小为，M 为的中点．（1） 求四棱锥M-ABCD 的体积；（2） 求异面直线BM 和所成角的大小（结果用反三角函数表示）21、（本题满分14分）已知，命题实系数一元二次方程的两根都是虚数；命题存在复数同时满足且．（1）若命题中根的虚部为整数，求实数的值；（2）若命题同为真命题，求实数的取值范围．22、（本题满分16分）如图，在平面直角坐标系中，M 、N 分别是椭圆的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P 、A 两点，其中P 在第一象限，过P 作x 轴的垂线，垂足为Q ，连接AQ ，并延长交椭圆于点B ，设直线PA 的斜率k.(1)当直线PA 平分线断MN 时，求k 的值；（2）当k=2时，求点P 到直线AB 的距离d ；（3）对任意k0，求证PAPB ．23、（本题满分18分）已知数列，满足：（1）若，求数列的通项公式；（2）若121,,341n a a a a b n λ=-==⋅=-且是递增数列，求a 的取值范围；（3）若，且，记，求证：数列为等差数列．。
江苏省扬州市高二年级(下)期末考试数学学科试卷(含答案)
江苏省扬州市高二年级（下）期末考试数学学科试卷姓名：_________ 考试时间：_____________（全卷满分160分， 考试时间120分钟）注意事项：1. 答卷前，请考生务必将自己的学校，姓名，考试号等信息填写在答案规定的地方。
2. 试题答案均写在答题卷相应位置，答在其他地方无效。
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在相应的位置上）1. 已知集合A=⎩⎨⎧⎭⎬⎫413-，，B=⎩⎨⎧⎭⎬⎫412-，，则A ⋂B= . 2. 设复数z 满足i i z 24+-=-（i 为虚数单位），则z 的虚部为 .3. 若幂函数)(x f y =的图像经过点）（9,31，则）=-)2(f . 4. 已知角α的终边经过点P(8,y ），且αcos =54，则y 的值为 . 5. )(x f 为定义在R 上的奇函数，且)()2(x f x f -=+，则=)102(f .6. 设a ∈R ，若复数)2)(-2i a i +（在复平面内对应的点位于直线x y -=上，则a = . 7. 若直线0432:1=-+ay x l 与直线01)2(:2=+-+y a ax l 垂直，则实数的a 值为 . 8. ”“2|1|<-x 是”“3<x 的 条件（在“充分不必要”、“必要不充分”、“既不充分又不必要”、“充要”中选择填空）.9. 已知函数)2||,0,0)(sin()(πϕωϕω<>>+=A x A x f 的图象上有一个最高的坐标为 （3，2），点（7，-2）是其一个相邻的最低点，则此函数解析式=)(x f .10. 观察式子......,474131211,3531211,23211222222<+++<++<+则可归纳出<+++++222)1(1......31211n . 11.已知函数),32,6(,sin cos sin 92)(2ππ∈-+=x x x x x f 则)(x f 的值域为 .12.已知直线032:=+-+k ky x l 过定点P ，过点P 作圆C:074422=+-++y x y x的两条切线，切点分别为A 、B ，则直线AB 的方程为 .13.设)(x f 是（0，+∞）上的单调函数，且对任意),0(+∞∈x ，都有11]log )([2=-x x f f ，若0x 是方程8)()('=-x f x f 的一个解，且),(),1,2(*0N a a a x ∈--∈，则a 的值为 .14.设函数⎪⎩⎪⎨⎧≤-+>++-=0,20,123)(23x x x x x x a x x f 的图象上存在两点P 、Q ，其中点P 在y 轴右侧，且线段PQ 与y 轴的交点恰好是线段PQ 靠近点P 的一个三等分点,若OP 和OQ 斜率之和等于-3，则实数a 的取值范围是 .二、解答题:（本大题共6道题，计90分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤15.（本小题满分14分）已知复数z ＝3＋mi （m ∈R ），且（1＋3i ）z 为纯虚数(1) 求复数z ；(2)若z ＝ω)2(i -，求复数ω的模ω16.（本小题满分14分）已知命题p:R x ∈∃，使;01)1(2<+-+x a x 命题q:]4,2[∈∀x 使0log 2≥-a x（1）若命题p 为假命题，求实数a 的取值范围；（2）若q p ∨为真命题，q p ∧为假命题，求实数a 的取值范围已知函数)20,0(),cos()sin(3)(πϕωϕωϕω<<>+++=x x x f 的图象经过点)3,3(π且相邻两条对称轴间的距离为π（1）求函数)(x f 的解析式和单调减区间 （2）若将)(x f 的图象上所有点的横坐标变为原来的31，纵坐标不变，得到函数)(x h 的图象，求函数)(x h 在区间)3,6(ππ上的值域某种儿童型防蚊液储存在一个容器中，该容器由两个半球和一个圆柱组成，（其中上半球是容器的盖子，防蚊液储存在下半球及圆柱中）容器轴截面如图所示，两头是半圆形，中间区域是矩形ABCD ，其外周长为100毫米防蚊液所点的体积为圆柱体体积和一个半球体积之和假设AD 的长为x 2毫米（注:Sh V R V ==柱球,343π，其中R 为球半径， s 为圆柱的底面积，h 为圆柱的高）（1）求容器中防蚊液的体积y 关于x 的函数关系式:（2）如何设计AD 与AB 的长度，使得y 最大？已知圆M:0222=+-y ax x ，直线l :0368=--y x 被圆M 截得的弦长为3，且圆心M 在直线l 的下方（1）求实数a 的值；（2）过点P （2，4）作圆M 的切线m ，求切线m 的方程（3）已知点A （-5，0），O 为坐标原点，Q 为圆M 上任意一点，在x 轴上是否存在异于A 点的B 点，使得QA QB 为常数，若存在，求出点B 坐标，不存在说明理由）20.（本小题满分16分）已知函数f （x ）＝12---x x e x（1）求函数y ＝)('x f 的单调区间（2）已知a ≥-1，且1)(2-++-≥b ax x x f 恒成立，求（a ＋1）b 的最大值；（3）若存在不相等的实数21,x x 使)(')('21x f x f =成立，试比较21x x +与2ln2的大小高二年级（下）统考期末考试数学学科答案一、填空题1.2. 33.4. 6±5. 06. -67. 0或8. 充分不必要9.)44sin(2)(ππ-=x x f10. 112++n n11. )223,11[ 12. 01754=+-y x13. 314. ),2(+∞-二、解答题15.(1)i z +=3 (2)216.（1）]3,1[- （2）),3(]1,1[+∞⋃-17.（1）)3sin(2)(π+=x x f 递增区间为]672,62[ππππ++k k （2）)1,3()(-∈x h18.（1）)50,0(,50)32(232ππππ∈+-=x x x y （2）时有最大值，23100502-3200--==πππAB AD 19. (1)1=a(2)028152=+-=y x x 或 (3))0,65(B 20.(1)上递增上递减，),2(ln )2ln ,(+∞-∞ (2)2)1(,2,1e b a e b e a 的最大值为+==+(3)2ln 221<+x x。
扬州市2019—2020学年度第二学期 高二期末检测 数学试题答案
………8 分 ………9 分
先证明 g(x) 在 ( x0, +) 上有且只有 1 个零点，过程如下：
g ( x0 ) = 1− m 0 ， g(m) = ln m + m +
1 mem
− m = ln m +
1 mem
………10 分
因为 2 0.161 6.635
所以在犯错误概率不超过 0.01 的前提下，不能认为线上学习满意度与学生性别有关. ………12 分
20、解：因为四边形 ABCD 是菱形，所以 AC ⊥ BD ，且 O 是 AC, BD 中点，
又 PAC 是正三角形，且 AC = 2 ，则 PO ⊥ AC, PO = 3 AC = 3, AO = 1， 2
由于 n N * ，所以当 n = 7 时， f (n) 取最大值104.9 ．
即当他的答题数量 n =7 时，他的复赛成绩的期望值最大．
22．解：（1）若 b
=
0 ，则
f
(x)
=
ln
x
+
a ，(x x
0)
，
f
(x)
=
x−a x2
当 a 0 时， f (x) 0 ，所以 f (x) 在 (0, +) 上单调递增；
依题意为了获取答 n 道题的资格，甲需要“花”掉的分数为： 0.2 (1+ 2 + 3 + + n) = 0.1(n2 + n) ， 设甲答完 n 题后的复赛成绩的期望值为 f (n) ，
则 f (n) = 100 − 0.1(n2 + n) +1.5n = −0.1(n − 7)2 +104.9 ，
2020年江苏省扬州市数学高二下期末统考试题含解析
2020年江苏省扬州市数学高二(下)期末统考试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．已知复数Z 满足：(2)1i z -⋅=，则25z -=（ ） A ．125B ．15C ．55D ．252．已知函数()y f x =的导函数'()y f x =的图像如图所示，则()f x （ ）A ．有极小值，但无极大值B ．既有极小值，也有极大值C ．有极大值，但无极小值D ．既无极小值，也无极大值3．复数1(z i i =-为虚数单位）的虚部为（ ） A ．1B ．1-C ．iD ．i -4．已知命题p ：|x －1|≥2，命题q ：x ∈Z ，若“p 且q”与“非q”同时为假命题，则满足条件的x 为（ ） A ．{x|x≥3或x≤－1，x ∈Z} B ．{x|－1≤x≤3， x ∈Z} C ．{0,1,2} D ．{－1,0,1,2,3}5．在一个袋子中装有12个除颜色外其他均相同的小球，其中有红球6个、白球4个、黄球2个，从袋中随机摸出一个球，记下颜色后放回，连续摸3次，则记下的颜色中有红有黄但没有白的概率为（ ） A ．13B ．14C ．16D ．186．从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，那么互斥而不对立的事件是（ ） A ．至少有一个红球与都是红球 B ．至少有一个红球与都是白球 C ．恰有一个红球与恰有二个红球 D ．至少有一个红球与至少有一个白球7．已知三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的六个顶点都在球O 的球面上，且侧棱AA 1⊥平面ABC ，若AB=AC=3，12,83BAC AA π∠==，则球的表面积为（ ）A ．36πB ．64πC ．100πD ．104π8．在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB BC ==，12AA =，则异面直线1AD 与1DB 所成角的余弦值为A ．3010B ．56C ．15D ．249．若22,3P π⎛⎫ ⎪⎝⎭是极坐标系中的一点，则8552,,2,,2,,2,3333Q R M N ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫---- ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭四个点中与点P 重合的点有（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个10．已知数列{}n a 为单调递增的等差数列，n S 为前n 项和，且满足11a =，1a 、3a 、9a 成等比数列，则10S =( )A ．55B ．65C ．70D ．7511．若点()000,P x y 在椭圆22221(0)x y a b a b+=>>内，则被0P 所平分的弦所在的直线方程是2200002222x x y y x y a b a b +=+，通过类比的方法，可求得：被()1,1P 所平分的双曲线2214x y -=的弦所在的直线方程是（ ） A ．430x y -+= B ．450x y +-= C ．450x y --=D ．430x y ++=12．已知函数()f x 在0x x =处的导数为l ，则()()000limh f x h f x h→--=（ ）A ．1B ．1-C ．3D ．3-二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）13．设实数3AD =满足101010x y y x y -+≥⎧⎪+≥⎨⎪++≤⎩，则2x y -的最小值为______14．复数(12)(3),z i i =+-其中i 为虚数单位，则z 的实部是________________. 15．若关于x 的实系数一元二次方程有一个根为，则______16．已知随机变量()21,XN σ，且()210.4P X -<≤=，则()2P X >-=______.三、解答题（本题包括6个小题，共70分）17．在创建“全国文明卫生城市”过程中，某市“创城办”为了调查市民对创城工作的了解情况，进行了一次创城知识问卷调查(一位市民只能参加一次).通过随机抽样，得到参加问卷调查的100人的得分(满分100分)统计结果如下表所示: 组别[)30,40 [)40,50 [)50,60 [)60,70 [)70,80 [)80,90 []90,100频数2 15 20 25 24 10 4（1）由频数分布表可以大致认为，此次问卷调查的得分Z 服从正态分布8(),19N μ，μ近似为这100人得分的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)，利用该正态分布，求()3779P Z <≤ （2）在（1）的条件下，“创城办”为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案: ①得分不低于μ的可以获赠2次随机话费，得分低于μ的可以获赠1次随机话费; ②每次获赠的随机话费和对应的概率为: 赠送话费的金额(单位:元)20 40 概率3414现有市民甲参加此次问卷调查，记ξ (单位:元)为该市民参加问卷调查获赠的话费，求ξ的分布列与均值. 附:参考数据与公式19814.≈若2~(,)X N μσ，则 0.6826, ())22(P X P X μσμσμσμσ-<≤+=-<≤+=0.9544，33 0.99)7( 4.P X μσμσ-<<+=18．已知()()()3231ln ,2xf x x e e xg x x x a =--=-++． （1）讨论()f x 的单调性；（2）若存在()10,x ∈+∞及唯一正整数2x ，使得()()12f x g x =，求a 的取值范围．19．（6分）央视传媒为了解央视举办的“朗读者”节目的收视时间情况，随机抽取了某市名30观众进行调查，其中有12名男观众和18名女观众，将这30名观众收视时间编成如图所示的茎叶图（单位：分钟），收视时间在35分钟以上（包括35分钟）的称为“朗读爱好者”，收视时间在35分钟以下（不包括35分钟）的称为“非朗读爱好者”.（1）若采用分层抽样的方法从“朗读爱好者”和“非朗读爱好者”中随机抽取5名，再从这5名观众中任选2名，求至少选到1名“朗读爱好者”的概率；（2）若从收视时间在40分钟以上（包括40分钟）的所有观众中选出男、女观众各1名，求选出的这两名观众时间相差5分钟以上的概率. 20．（6分）已知函数()213f x x x =++-.（1）画出函数()f x 的大致图象，并写出()f x 的值域；（2）若关于x 的不等式()21x m f x +-≥有解，求实数m 的取值范围.21．（6分）将前12个正整数构成的集合{}1,2,,12M =中的元素分成四个三元子集，使得每个三元子集中的三数都满足：其中一数等于另外两数之和，试求不同的分法种数． 22．（8分）已知4a =，3b =，(23)(2)61a b a b -⋅+=.()1求a 与b 的夹角；()2若OA a =， OB b =， 12OC OA =， 23OD OB =，且AD 与BC 交于点P ，求||OP .参考答案一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．B 【解析】 【分析】由复数的四则运算法则求出复数z ，由复数模的计算公式即可得到答案． 【详解】因为(2)1i z -⋅=，则1222(2)(2)55i i z i i i +===+--+，所以2155z -=， 故选B ． 【点睛】本题考查复数的化简以及复数模的计算公式，属于基础题． 2．A【分析】通过导函数大于0原函数为增函数，导函数小于0原函数为减函数判断函数的增减区间，从而确定函数的极值. 【详解】由导函数图像可知：导函数'()y f x =在(),a -∞上小于0，于是原函数()y f x =在(),a -∞上单调递减，'()y f x =在()+a ∞，上大于等于0，于是原函数()y f x =在()+a ∞，上单调递增，所以原函数在x a =处取得极小值，无极大值，故选A. 【点睛】本题主要考查导函数与原函数的联系，极值的相关概念，难度不大. 3．B 【解析】 【分析】由虚数的定义求解． 【详解】复数1z i =-的虚部是－1． 故选：B ． 【点睛】本题考查复数的概念，掌握复数的概念是解题基础． 4．C 【解析】试题分析：由题意知q 真，p 假，∴|x －1|<1． ∴－1<x<3且x ∈Z ．∴x ＝0,1,1．选C ． 考点：命题否定 5．C 【解析】分析：由已知得取出的3球中有2红1黄或2黄1红，2红1黄的情况有3种，2黄1红的情况也有3种，由此能求出记下的颜色中有红有黄但没有白的概率.详解：从袋中随机摸出一个球，摸到红球、白球、黄球的概率分别为111,,236， 由已知得取出的3球中有2红1黄或2黄1红， 2红1黄的情况有3种，2黄1红的情况也有3种，∴下的颜色中有红有黄但没有白的概率为1111111332266626P =⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=.点睛：本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意相互独立事件概率计算公式的合理运用. 6．C 【解析】 【详解】从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，不同的取球情况共有以下几种： 3个球全是红球；2个红球和1个白球；1个红球2个白球；3个全是白球. 选项A 中，事件“都是红球”是事件“至少有一个红球”的子事件； 选项B 中，事件“至少有一个红球”与事件“都是白球”是对立事件；选项D 中，事件“至少有一个红球”与事件“至少有一个白球”的事件为“2个红球1个白球”与“1个红球2个白球”；选项C 中，事件“恰有一个红球”与事件“恰有2个红球”互斥不对立，故选C. 7．C 【解析】分析：求出BC ，由正弦定理可得可得ABC ∆外接圆的半径，从而可求该三棱柱的外接球的半径，即可求出三棱柱的外接球表面积.详解：3,120AB AC BAC ==∠=，BC ∴=199233()332+-⨯⨯⨯-=∴三角形ABC 的外接圆直径2r =3336=，13O A r ∴==，1AA ⊥平面1,8ABC AA =，14OO =，∴该三棱柱的外接球的半径9165R OA ==+=，∴该三棱柱的外接球的表面积为22445100S R πππ==⨯=，故选C ．点睛：本题主要考查三棱柱的外接球表面积，正弦定理的应用、余弦定理的应用以及考查直线和平面的位置关系，意在考查综合空间想象能力、数形结合思想以及运用所学知识解决问题的能力. 8．A 【解析】分析：以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线AD 1与DB 1所成角的余弦值．详解：以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，∵在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB=BC=1，AA 1=2， ∴A （1，0，0），D 1（0，0，2），D （0，0，0）， B 1（1，1，2），1AD =（﹣1，0，2），1DB =（1，1，2）， 设异面直线AD 1与DB 1所成角为θ， 则cosθ=11113330130.301056AD DB AD DB ⋅===⋅⋅∴异面直线AD 1与DB 1所成角的余弦值为3010．故答案为：A ．点睛：（1）本题主要考查异面直线所成的角的向量求法，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析转化能力.(2) 异面直线所成的角的常见求法有两种，方法一：（几何法）找→作（平移法、补形法）→证（定义）→指→求（解三角形）；方法二：（向量法）•cos m n m nα=，其中α是异面直线,m n 所成的角，,m n分别是直线,m n 的方向向量. 9．C 【解析】【分析】分别将各点化为直角坐标即可判断 【详解】P （2，23π）化直角坐标为222cos1,2sin 33x y ππ==-==(- 同理8552,,2,,2,,2,3333Q R M N ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫---- ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭化直角坐标分别为((((;;;Q R M N ---则与点P 重合的点有3个． 故选：C ． 【点睛】本题考查了极坐标与直角坐标互化公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 10．A 【解析】 【分析】设公差为d ，0d >，()12239,1218a a d d a =+=+，解出公差，利用等差数列求和公式即可得解. 【详解】由题：数列{}n a 为单调递增的等差数列，n S 为前n 项和，且满足11a =，1a 、3a 、9a 成等比数列，设公差为d ，0d >，()12239,1218a a d d a =+=+， 解得1d =， 所以1010910552S ⨯=+=. 故选：A 【点睛】此题考查等差数列基本量的计算，根据等比中项的关系求解公差，利用求和公式求前十项之和. 11．A 【解析】 【分析】通过类比的方法得到直线方程是2200002222x x y y x y a b a b-=-，代入数据得到答案.【详解】0P 所平分的弦所在的直线方程是2200002222x x y y x y a b a b+=+，通过类比的方法，可求得双曲线的0P 所平分的弦所在的直线方程是2200002222x x y y x y a b a b-=-代入数据()1,1P ，得到：1143044x y x y -=-⇒-+= 故答案选A 【点睛】本题考查了类比推理，意在考查学生的推理能力. 12．B 【解析】 【分析】根据导数的定义可得到， ()()0000lim()h f x h f x f x h→--='-，然后把原式等价变形可得结果.【详解】 因为()()()()000000limlim()h h f x h f x f x h f x f x hh →→----=-=-'-，且函数()f x 在0x x =处的导数为l ，所以()()000lim1h f x h f x h→--=-，故选B.【点睛】本题主要考查导数的定义及计算，较基础.二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分） 13．-3 【解析】 【分析】作出不等式组对应的平面区域，设2z x y =-，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z 的最小值，得到答案． 【详解】由题意，画出约束条件所对应的平面区域，如图所示，设2z x y =-，则2y x z =-，当直线2y x z =-过点A 时，直线2y x z =-在y 轴上的截距最大，此时目标函数2z x y =-取得最小值，由1010x y y -+=⎧⎨+=⎩ ，解得(2,1)A --， 所以目标函数的最小值为min 2(2)(1)3z =⨯---=-．【点睛】本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题．其中解答中正确画出不等式组表示的可行域，利用“一画、二移、三求”，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，及推理与计算能力，属于基础题． 14．5 【解析】试题分析：(12i)(3i)55i z =+-=+．故答案应填：5 【考点】复数概念【名师点睛】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()()(),,,,a bi c di ac bd ad bc i a b c d R ++=-++∈，其次要熟悉复数的相关概念，如复数(,)a bi a b R +∈的实部为a ，虚部为b ，模为22a b +，共轭为a bi - 15．0 【解析】 【分析】 由题意可得也是实系数一元二次方程的一个虚数根,利用一元二次方程根与系数的关系求出p 和q 的值,即可求得的值.【详解】 由于复数是实系数一元二次方程的一个虚数根, 故也是实系数一元二次方程的一个虚数根,故 ,故,故,故答案为0. 【点睛】本题主要考查实系数的一元二次方程虚根成对定理,一元二次方程根与系数的关系,属于基础题. 16．0.9【解析】【分析】根据正态分布性质计算概率．【详解】由正态分布密度曲线知()10.5P X ≤=，又()210.4P X -<≤=，所以()20.1P X ≤-=，所以()20.9P X >-=.【点睛】本题考查正态分布的性质，由正态分布曲线的对称性得若()2,X N μσ，则()()P X P X μμ<=>，()()P X a P X a μμ<-=>+．三、解答题（本题包括6个小题，共70分）17．（1）0.8185；（2）分布列见解析；37.5E ξ=【解析】【分析】（1）由题意求出65Ez =，从而65μ=，进而(5179)0.6826P Z <=，(3793)0.9544P Z <=．由此能求出(3779)P Z <．（2）由题意知1()()2P Z P Z μμ<==，获赠话费ξ的可能取值为20，40，60，1．分别求出相应的概率，由此能求出的分布列和E ξ．【详解】解：（1）由题意得350.02450.15550.2650.25750.24850.1950.0465Ez =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=． 65μ∴=，19814σ=≈，(65146514)(5179)0.6826P Z P Z ∴-<+=<=，(6521465214)(3793)0.9544P Z P Z -⨯<+⨯=<=， 1(3751)[(3793)(5179)]0.13592P Z P Z P Z ∴<=<-<= 综上(3779)(3751)(5179)0.13590.68260.8185P Z P Z P Z <=<+<≈+=．（2）由题意知1()()2P Z P Z μμ<==， 获赠话费ξ的可能取值为20，40，60，1．133(20)248P ξ==⨯=； 1113313(40)2424432P ξ==⨯+⨯⨯=；1311133(60)24424416P ξ==⨯⨯+⨯⨯=； 1111(80)24432P ξ==⨯⨯=； ξ 的分布列为：313312*********.58321632E ξ∴=⨯+⨯+⨯+⨯=． 【点睛】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查正态分布等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，属于中档题．18．（1）()f x 的单调递减区间是()0,1，单调递增区间是()1,+∞;(2) a 的取值范围是1,22⎡⎫-⎪⎢⎣⎭. 【解析】试题分析：（1）求出函数()f x 的导函数，通过对导函数符号的讨论可得函数的单调性．（2）由题意得函数()f x 在()0,+∞上的值域为[)0,+∞．结合题意可将问题转化为当()x 0,∈+∞时，满足()0g x ≥的正整数解只有1个．通过讨论()g x 的单调性可得只需满足()()1020g g ⎧≥⎪⎨<⎪⎩，由此可得所求范围． 试题解析：（1）由题意知函数的定义域为()0,+∞．因为()()1ln xf x x e e x =--， 所以()x e f x xe x '=-， 令x e y xe x =-，则20x x e y e xe x+'=+>， 所以当0x >时，()x e f x xe x '=-是增函数， 又()10f e e '=-=，故当()0,1x ∈时，()()0,f x f x '<单调递减，当()1,x ∈+∞时，()()0,f x f x '>单调递增．所以()()0,1f x 在上单调递减，在()1,+∞上单调递增．（2）由（1）知当1x =时，()f x 取得最小值，又()10f =，所以()f x 在()0,+∞上的值域为[)0,+∞．因为存在()10,x ∈+∞及唯一正整数2x ，使得()()12f x g x =，所以满足()0g x ≥的正整数解只有1个．因为()3232g x x x a =-++， 所以()()23331g x x x x x =-+'=--， 所以()g x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减，所以()()1020g g ⎧≥⎪⎨<⎪⎩，即10220a a ⎧+≥⎪⎨⎪-+<⎩， 解得122a -≤<． 所以实数a 的取值范围是1,22⎡⎫-⎪⎢⎣⎭． 点睛：本题中研究方程根的情况时，通过导数研究函数的单调性、最大（小）值、函数图象的变化趋势等，根据题目画出函数图象的草图，通过数形结合的思想去分析问题，使问题的解决有一个直观的形象，然后在此基础上再转化为不等式（组）的问题，通过求解不等式可得到所求的参数的取值（或范围）． 19． (1)710(2)25【解析】试题分析：试题解析：（1）根据茎叶图，有“朗读爱好者”12人，“非朗读爱好者”18人，用分层抽样的方法，每个人被抽到的概率是51306= ∴选中的“朗读爱好者”有11226⨯=人，记为,B C ，“非朗读爱好者”有11836⨯=人，记为1,2,3； 记A ：至少有一名是“朗读爱好者”被选中，基本事件有(),B C ，(),1B ，(),2B ，(),3B ，(),1C ，(),2C ，(),3C ，()1,2，()1,3，()2,3共10个；满足事件A 的有(),B C ，(),1B ，(),2B ，(),3B ，(),1C ，(),2C ，(),3C 共7个，∴则()710P A = （2）收视时间在40分钟以上的男观众分别是41，42，44，47，51，女观众分别是40,41，现要各抽一名，则有()41,40，()41,41，()42,40，()42,41，()44,40，()44,41，()47,40，()47,41，()51,40，()51,41共10种情况.收视时间相差5分钟以上的有()47,40，()47,41，()51,40，()51,41，共4种情况.故收视时间相差5分钟以上的概率42105P ==. 20．（1）作图见解析；值域为7,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭（2）52m ≥【解析】【分析】（1）将()213f x x x =++-转化为分段函数，即可画出函数图象；（2）根据（1）求得()f x 分段函数，可得()f x x -分段函数表达式，画出其函数图象，求得()min f x x -⎡⎤⎣⎦ ，即可求得实数m 的取值范围.【详解】（1）∵()123,212134,3232,3x x f x x x x x x x ⎧-≤-⎪⎪⎪=++-=+-<<⎨⎪-≥⎪⎪⎩， ∴()f x 的图象的图像如图，()f x 的值域为7,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.根据图象可得：()f x 的值域为7,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. （2）由（1）()123,214,3232,3x x f x x x x x ⎧-≤-⎪⎪⎪=+-<<⎨⎪-≥⎪⎪⎩得()124,214,3222,3x x f x x x x x ⎧-≤-⎪⎪⎪-=-<<⎨⎪-≥⎪⎪⎩， 画出其函数图象：根据其分段函数图象特征可得: ()min 4f x x -=⎡⎤⎣⎦，由关于x 的不等式()21x m f x +-≥有解 等价于214m -≥，即52m ≥. 【点睛】本题主要考查了求分段函数的值域和根据不等式有解求参数范围问题，解题关键是掌握通过函数图象求值域的方法和根据不等式有解求参数的解法，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.21．8【解析】【详解】设四个子集为(),,i i i i M a b c =，1i =，2，3，4，其中i i i a b c =+，i i b c >，1i =，2，3，4， 设1234a a a a <<<，则412a =，()123417812123922a a a a +++=+++==， 所以12327a a a ++=，故3327a >，因此31011a ≤≤．若310a =，则由1217a a +=，210a <，212217a a a >+=，得29a =，18a =，即有()()1234,,,8,9,10,12a a a a =，再由118b c =+，229b c =+，3310b c =+，4412b c =+，必须411b =，41c =，共得两种情况：12111=+，1073=+，954=+，862=+；以及12111=+，1064=+，972=+，853=+，对应于两种分法：()12,11,1，()10,7,3，()9,5,4，()8,6,2；()12,11,1，()10,6,4，()9,7,2，()8,5,3．若311a =，则1216a a +=，于是2811a <<，分别得()()12,6,10a a =，()7,9． 对于()()1234,,,6,10,11,12a a a a =，得到三种分法： ()12,8,4，()11,9,2，()10,7,3，()6,5,1； ()12,9,3，()11,7,4，()10,8,2，()6,5,1； ()12,7,5，()11,8,3，()10,9,1，()6,4,2． 对于()()1234,,,7,9,11,12a a a a =，也得三种分法： ()12,8,4，()11,10,1，()9,6,3，()7,5,2； ()12,10,2，()11,6,5，()9,8,1，()7,4,3； ()12,10,2，()11,8,3，()9,5,4，()7,6,1． 因此本题的分组方案共八种．22．()123πθ=；()272OP =. 【解析】【分析】 ()1化简(23)(2)61a b a b -⋅+=得到6a b ⋅=-，再利用夹角公式得到答案. ()22(1)(1)3x OP xOA x OD xa b -=+-=+，根据向量关系化简得到1142OP a b =+，再平方得到27||4OP =得到答案. 【详解】()1(23)(2)61a b a b -⋅+=，∴224||43||61a a b b -⋅-=.又||4a =，||3b =，∴6442761a b -⋅-=，∴6a b ⋅=-. ∴61cos 432a b a b θ⋅-===-⨯. 又0θπ≤≤，∴23πθ=. ()2 2(1)(1)3x OP xOA x OD xa b -=+-=+1(1)2y OP yOB y OC yb a -=+-=+∴11,22y x y -==，∴12,(1)43x y x ==-， ∴1142OP a b =+，∴2221117||16444OP a a b b =+⋅+=， ∴72OP =. 【点睛】 本题考查了向量的计算，将1142OP a b =+表示出来是解题的关键，意在考查学生对于向量公式的灵活运用和计算能力.。
江苏省扬州市数学高二下学期理数期末考试试卷
江苏省扬州市数学高二下学期理数期末考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分） (2019高二上·北京月考) 已知集合，，则（）A . PB .C .D .2. （2分） (2020高二下·宾县期末) 函数在上可导,且 ,则（）A . 0B . 1C . -1D . 不确定3. （2分）函数的定义域是（）A . （﹣∞，﹣1）∪（﹣1，+∞）B . [﹣3，+∞）C . [﹣3，﹣1）∪（﹣1，+∞）D . （﹣1，+∞）4. （2分）下列四组中的f（x），g（x），表示同一个函数的是（）A . f（x）=1，g（x）=B . f（x）=x﹣1，g（x）=﹣1C . f（x）=， g（x）=D . f（x）=， g（x）=5. （2分） (2019高一下·丽水月考) 过点(1，0)且与直线x－2y＝0垂直的直线方程是（）A . x－2y－1＝0B . x－2y＋1＝0C . 2x＋y－2＝0D . x＋2y－1＝06. （2分）(2016·铜仁) 给出如下四个命题：①若“”为假命题，则均为假命题；②命题“若,则”的否命题为“若,则”；③命题“任意”的否定是“存在”；④在中，“”是“”的充要条件.其中不正确命题的个数是（）A . 4B . 3C . 2D . 17. （2分）已知点A(-1，2)，B(3，0)，P(-2，-3)，经过点P的直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k的取值范围为（）A . k≤ 或k≥5B . ≤k≤5C . k≤ 或k≥5D . ≤k≤58. （2分）(2018·石嘴山模拟) 某程序框图如图所示，则该程序框图执行后输出的值为（表示不超过的最大整数，如）（）A . 4B . 5C . 7D . 99. （2分） (2016高二上·昌吉期中) 已知命题p：若x＞0，则函数y=x+ 的最小值为1，命题q：若x ＞1，则x2+2x﹣3＞0，则下列命题是真命题的是（）A . p∨qB . p∧qC . （￢p）∧（￢q）D . p∨（￢q）10. （2分）对于命题“任何实数的平方都是非负的”，下列叙述正确的是（）A . 是全称命题B . 是存在性命题C . 是假命题D . 是“若p则q”形式的命题11. （2分） (2019高三上·日照期中) 已知的（）A . 充分而不必要条件B . 必要而不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件12. （2分） (2019高三上·杭州月考) 下列命题中正确的是（）A . 函数的图象恒过定点B . “ ，”是“ ”的充分必要条件C . 命题“若，则或”的逆否命题为“若或，则”D . 若，则二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）在正方体ABCD-A1B1C1D1内随机抽取一点，则该点在三棱锥A1-ABC内的概率是________．14. （1分）某校对高三年级的学生进行体检，现将高三男生的体重（单位：kg）数据进行整理后分成六组，并绘制频率分布直方图（如图）．已知图中从左到右第一、第六小组的频率分别为0.16，0.07，第一、第二、第三小组的频率成等比数列，第三、第四、第五、第六小组的频率成等差数列，且第三小组的频数为100，则该校高三年级的男生总数为________．15. （1分） (2018高三上·湖南月考) 已知，，则与的夹角的余弦值为________．16. （1分）(2020·晋城模拟) 若函数图像的一条对称轴方程为，则________．三、解答题 (共6题；共55分)17. （10分）(2020·海拉尔模拟) 在中，、、的对应边分别为、、，已知，， .（1）求；（2）设为中点，求的长.18. （10分） (2019高二上·榆林期中) 在等差数列中，，；（1）求的通项公式；（2）求数列的前项和 .19. （10分） (2019高二下·青冈期末) 设实数满足，实数满足 .（1）若，且为真，求实数的取值范围；（2）若其中且是的充分不必要条件，求实数的取值范围.20. （5分）如图，已知动直线l交圆（x﹣3）2+y2=9于坐标原点O和点A，交直线x=6于点B；（1）若|OB|=3，求点A、点B的坐标；（2）设动点M满足=，其轨迹为曲线C，求曲线C的方程F（x，y）=0；（3）请指出曲线C的对称性、顶点和图形范围，并说明理由；（4）判断曲线C是否存在渐近线，若存在，请直接写出渐近线方程；若不存在，说明理由．21. （10分）(2018·长安模拟) 设函数 .（1）当时，解不等式；（2）当时，若，使得不等式成立，求实数的取值范围.22. （10分） (2016高一上·南京期中) 已知f（x），g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，且f（x）+g（x）=3x ．（1）求 f（x），g（x）；（2）若对于任意实数t∈[0，1]，不等式f（2t）+ag（t）＜0恒成立，求实数a的取值范围；（3）若存在m∈[﹣2，﹣1]，使得不等式af（m）+g（2m）＜0成立，求实数a的取值范围．参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共55分) 17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、21-1、21-2、22-1、22-2、22-3、第11 页共11 页。
江苏省扬州市2019-2020学年数学高二第二学期期末复习检测试题含解析
江苏省扬州市2019-2020学年数学高二第二学期期末复习检测试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．函数()y f x =在定义域3(,3)2-内可导，其图象如图所示，记()y f x =的导函数为()y f x '=，则不等式()0f x '≤的解集为（ ）A ．1,1[2,3)3⎡⎤-⋃⎢⎥⎣⎦B ．1481,,233⎡⎤⎡⎤-⋃⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦C ．31,[1,2]22⎛⎤-⋃ ⎥⎝⎦D ．3148,1,,32233⎛⎤⎡⎤⎡⎫--⋃⋃ ⎪⎥⎢⎥⎢⎝⎦⎣⎦⎣⎭【答案】A 【解析】 【分析】根据导数大于0时函数单调递增，导数小于0时原函数单调递减，确定函数()f x 的单调性 【详解】解：由图象可知，即求函数的单调减区间， 从而有解集为1,1[2,3)3⎡⎤-⋃⎢⎥⎣⎦， 故选：A ． 【点睛】本题主要考查了函数的单调性与导数的关系，解题的关键是识图，属于基础题． 2．4(2)3x x-的展开式中各项系数之和为（ ） A ．216- B ．16C ．1D ．0【答案】C 【解析】 【分析】令1x =，由此求得二项式4(2)3x x-的展开式中各项系数之和.【详解】令1x =，得各项系数之和为4423(1)11⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭． 故选：C 【点睛】本小题主要考查二项式展开式各项系数之和的求法，属于基础题.3．《九章算术》是人类科学史上应用数学的最早巅峰，书中有这样一道题：“今有大夫、不更、簪裹、上造、公士，凡五人，共猎得五鹿，欲以爵次分之，问各得几何？”其译文是“现有从高到低依次为大夫、不更、簪裹、上造、公士的五个不同爵次的官员，共猎得五只鹿，要按爵次高低分配（即根据爵次高低分配得到的猎物数依次成等差数列），问各得多少鹿？”已知上造分得23只鹿，则大夫所得鹿数为（ ） A ．1只 B ．43只 C ．53只 D ．2只【答案】C 【解析】 【分析】设爵次高低分配得到的猎物数依次成等差数列{a n }，则423a =，由前5项和为5求得3a ，进一步求得d ，则答案可求． 【详解】设爵次高低分配得到的猎物数依次成等差数列{a n }，则423a =，则12348355a a a a a a ++++==， ∴3a =1，则431d 3a a =-=- ，∴13523a a d =-=．∴大夫所得鹿数为53只．故选：C ． 【点睛】本题考查等差数列的通项公式，考查等差数列的性质，属于基础题． 4．下列函数既是偶函数，又在()0,∞+上为减函数的是（ ） A ．1y x =- B ．1ln y x=C ．22x x y -=-D ．222,02,0x x x y x x x ⎧+>=⎨-<⎩【答案】B 【解析】 【分析】通过对每一个选项进行判断得出答案. 【详解】对于A 选项：函数1y x =-在()0,∞+既不是偶函数也不是减函数，故排除；对于B 选项：函数1lny x=既是偶函数，又在()0,∞+是减函数； 对于C 选项：函数22xxy -=-在()0,∞+是奇函数且增函数，故排除；对于D 选项：函数222,02,0x x x y x x x ⎧+>=⎨-<⎩在()0,∞+是偶函数且增函数，故排除；故选：B 【点睛】本题考查了函数的增减性以及奇偶性的判断，属于较易题.5． “杨辉三角”又称“贾宪三角”，是因为贾宪约在公元1050年首先使用“贾宪三角”进行高次开方运算，而杨辉在公元1261年所著的《详解九章算法》一书中，记录了贾宪三角形数表，并称之为“开方作法本源”图．下列数表的构造思路就源于“杨辉三角”．该表由若干行数字组成，从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数，则这个数是（ ）A ．201620172⨯B ．201501822⨯C ．201520172⨯D ．201601822⨯【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】由题意，数表的每一行从右往左都是等差数列，且第一行公差为1,第二行公差为2,第三行公差为4,…,第2015行公差为20142， 故第1行的从右往左第一个数为：122-⨯， 第2行的从右往左第一个数为：032⨯， 第3行的从右往左第一个数为：142⨯， …第n 行的从右往左第一个数为：2(1)2n n -+⨯ ，表中最后一行仅有一个数，则这个数是201501822⨯. 6．函数的大致图象是( )A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】 【分析】利用函数的奇偶性，排除选项B,D ，再利用特殊点的函数值判断即可． 【详解】函数为非奇非偶函数，排除选项B,D ； 当,f （x ）<0，排除选项C ，故选：A ． 【点睛】本题考查函数的图象的判断，函数的奇偶性以及函数的图象的变化趋势是判断函数的图象的常用方法． 7．下列函数中,既是偶函数又在(0,)+∞单调递增的是（ ） A ．y x =B ．ln y x =C ．x y e =D ．cos y x =【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性和单调性，对选项逐一分析，由此得出正确选项. 【详解】对于A 选项，由于定义域不关于原点对称，故为非奇非偶函数.对于B 选项，函数为偶函数，当0x >时，ln y x =为增函数，故B 选项正确.对于C 选项，函数图像没有对称性，故为非奇非偶函数.对于D 选项，cos y x =在(0,)+∞上有增有减.综上所述，本小题选B.【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性与单调性，属于基础题. 8．下列函数在其定义域上既是奇函数又是增函数的是（ ）A ．1y x=-B ．12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭C ．3y x =D ．2log y x =【答案】C 【解析】 【分析】根据函数奇偶性定义，代入-x 检验即可判断是奇函数或偶函数；根据基本初等函数的图像即可判断函数是否为增函数． 【详解】 A ．1y x=-在定义域上既不是增函数，也不是减函数； B ．12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在定义域上既不是偶函数，也不是奇函数； C ．3y x = 在其定义域上既是奇函数又是增函数； D ．2log y x =在定义域上既不是偶函数，也不是奇函数， 故选C ． 【点睛】本题考查了函数的奇偶性及单调性的简单应用，属于基础题．9．已知等差数列{}n a 的前n 项和n S ，且3515S S ==，则7S =（ ） A ．4 B ．7 C ．14 D ．72【答案】B 【解析】 【分析】由题意利用等差数列的定义、通项公式及前n 项和公式，求出首项和公差的值，可得结论． 【详解】等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且3515S S ==， 450a a ∴+=，1270a d ∴+=．再根据313315S a d =+=，可得17a =，2d =-， 则717674921(2)72S a d =+=+⨯-=g ， 故选B ． 【点睛】本题主要考查等差数列的定义、通项公式及前n 项和公式，属于基础题．10．一个几何体的三视图如图所示，正视图、侧视图和俯视图都是由一个边长为a 的正方形及正方形内一段圆弧组成，则这个几何体的表面积是（ ）A ．234a π⎛⎫-⎪⎝⎭B ．262a π⎛⎫-⎪⎝⎭C ．264a π⎛⎫-⎪⎝⎭D ．2364a π⎛⎫-⎪⎝⎭【答案】C 【解析】 【分析】画出直观图，由球的表面积公式求解即可 【详解】这个几何体的直观图如图所示，它是由一个正方体中挖掉18个球而形成的，所以它的表面积为2222213346484a S a a a a πππ⎛⎫⎛⎫=+-+⨯=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：C【点睛】本题考查三视图以及几何体的表面积的计算，考查空间想象能力和运算求解能力. 11．设两个正态分布N(μ1，)(σ1＞0)和N(μ2，)(σ2＞0)的密度函数图象如图所示，则有( )A ．μ1＜μ2，σ1＜σ2B ．μ1＜μ2，σ1＞σ2C ．μ1＞μ2，σ1＜σ2D ．μ1＞μ2，σ1＞σ2【答案】A【解析】由密度函数的性质知对称轴表示期望，图象胖瘦决定方差，越瘦方差越小，越胖方差越大，所以μ1＜μ2，σ1＜σ2.故选A.考点：正态分布.12．下面由火柴棒拼出的一列图形中，第n个图形由n个正方形组成．通过观察可以发现第10个图形中火柴棒的根数是（）A．30B．31C．32D．34【答案】B【解析】每个图形中火柴棒的根数构成一个等差数列，首项为4，公差为3.其数列依次为4,7,10,13,…,所以第10个+⨯=.图形中火柴棒的根数为49331二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）13．5名同学排成一排照相，其中同学甲站在中间，则不同的排法种数为________（用数字作答）.【答案】24【解析】【分析】根据题意，不用管甲，其余4人全排列即可，根据排列数的定义可得出结果.【详解】A=种.根据题意，甲在中间位置固定了，不用管，其它4名同学全排列即可，所以排法种数共有4424故答案为：24.【点睛】本题是排列问题，有限制条件的要先安排，最后安排没有条件要求的即可，属于一般基础题．14．在一栋6层楼房里，每个房间的门牌号均为三位数，首位代表楼层号，后两位代表房间号，如218表示的是第2层第18号房间，现已知有宝箱藏在如下图18个房间里的某一间，其中甲同学只知道楼层号，乙同学只知道房间号，不知道楼层号，现有以下甲乙两人的一段对话：甲同学说：我不知道，你肯定也不知道；乙同学说：本来我也不知道，但是现在我知道了；甲同学说：我也知道了.根据上述对话，假设甲乙都能做出正确的推断，则藏有宝箱的房间的门牌号是______.【答案】325【解析】【分析】利用演绎推理分析可得．根据房间号只出现一次的三个房间排除一些楼层，再在剩下的房间排除筛选可得．【详解】甲同学说：我不知道，你肯定也不知道；由此可以判断甲同学的楼层号不是1，4，6，因为房间号01，15，29都只出现一次，假设甲知道楼层号是1楼，若乙拿到的是01，则乙同学肯定知道自己的房间，所以甲肯定不是1层，同理可得甲也不是4，6层.101 107 126208 211 219311 318 325408 415 425507 518 526611 619 629所以只有以下可能的房间：208 211 219311 318 325507 518 526乙同学说：本来我也不知道，但是现在我知道了；由此可知，乙同学通过甲的信息，排除了1，4，6层，在2，3，5层中，由于211，311都是11号，所以乙同学的房间号肯定不是11号，同理排除了318和518. 208 211 219311 318 325507 518 526所以只有以下可能的房间：208 219325507 526最后甲同学说：我也知道了，只有可能是325，因为只有3层的房间号是唯一的.由此判断出藏有宝箱的门牌号是325.【点睛】本题考查演绎推理，掌握推理的概念是解题基础．15．已知点F 为椭圆:C 2212x y +=的左焦点，点P 为椭圆C 上任意一点，点Q 的坐标为()4,3，则PQ PF +取最大值时，点P 的坐标为 ．【答案】()0,1- 【解析】试题分析：椭圆的左焦点为(1,0)F -，右焦点为(1,0)E ，根据椭圆的定义，2PF a PE =-，∴PF +22()PQ PQ a PE a PQ PE =+-=+-，由三角形的性质，知PQ PE QE -≤，当P 是QE 延长线与椭圆的交点(0,1)-时，等号成立，故所求最大值为．考点：椭圆的定义，三角形的性质．16．已知椭圆Γ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为22，三角形ABC 的三个顶点都在椭圆Γ上，设它的三条边AB 、BC 、AC 的中点分别为D 、E 、F ，且三条边所在直线的斜率分别1k 、2k 、3k ，且1k 、2k 、3k 均不为0.O 为坐标原点，若直线OD 、OE 、OF 的斜率之和为1，则123111k k k ++= ______. 【答案】2- 【解析】 【分析】求出椭圆方程，设出,,A B C 的坐标，利用椭圆中的结论：22AB ODb k k a ⋅=-，22BC OE b k k a⋅=-，22AC OFb k k a⋅=-，结合直线,,OD OE OF 的斜率之和为1进行运算.【详解】因为椭圆的离心率为22，所以22222222c c a a b a =⇒=⇒=，又22AB ODb k k a ⋅=-，22BC OE b k k a ⋅=-，22AC OF b k k a⋅=-，所以221OD AB a k k b =-⋅，221OE BC a k k b =-⋅，221OF AC a k k b =-⋅， 所以22123(121)1OD OE OF a k k k bk k k -+++==-+. 故答案为：-2 【点睛】解析几何小题若能灵活利用一些二级结论，能使问题的求解更简便，计算量更小，本题22AB OD b k k a⋅=-等三个结论均可利用设而不求点差法证出. 三、解答题（本题包括6个小题，共70分）17．继共享单车之后，又一种新型的出行方式------“共享汽车”也开始亮相南昌市，一款共享汽车在南昌提供的车型是“吉利”.每次租车收费按行驶里程加用车时间,标准是“1元/公里＋0.1元/分钟”，李先生家离上班地点10公里，每次租用共享汽车上、下班，由于堵车因素，每次路上开车花费的时间是一个随机变量，根据一段时间统计40次路上开车花费时间在各时间段内的情况如下： 时间（分钟） [)15,25 [)25,35 [)35,45 [)45,55 []5565，次数814882以各时间段发生的频率视为概率，假设每次路上开车花费的时间视为用车时间，范围为[]15,65分钟. （1）若李先生上、下班时租用一次共享汽车路上开车不超过45分钟，便是所有可选择的交通工具中的一次最优选择，设ξ是4次使用共享汽车中最优选择的次数，求ξ的分布列和期望.（2）若李先生每天上、下班均使用共享汽车，一个月（以20天计算）平均用车费用大约是多少（同一时段，用该区间的中点值作代表）. 【答案】（Ⅰ）见解析;（Ⅱ）542元. 【解析】试题分析：（1）首先求为最优选择的概率是34，故ξ的值可能为0，1，2，3，4，且ξ～B （4，34），进而求得分布列和期望值；（2）根据题意得到每次花的平均时间为35.5，根据花的费用为10+35.5*0.1得到费用. 解析：（Ⅰ）李先生一次租用共享汽车，为最优选择的概率依题意ξ的值可能为0，1，2，3，4，且ξ～B （4，），，，，，， ∴ξ的分布列为：ξ1234P（或）．（Ⅱ）每次用车路上平均花的时间（分钟）每次租车的费用约为10+35.5×0.1=13.55元． 一个月的平均用车费用约为542元．18．在直角坐标系xOy 中,曲线1C 的参数方程为cos 3x y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩(α为参数),以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线2C 的极坐标方程为cos 34πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭. (Ⅰ)求曲线1C 的普通方程和曲线2C 的直角坐标方程;(Ⅱ)若点M 在曲线1C 上,点N 在曲线2C 上,求MN 的最小值及此时点M 的直角坐标.【答案】 (Ⅰ) C 1的普通方程2213y x +=,C 2的直角坐标方程320x y --=；(Ⅱ) |MN|取得最小值32,此时M(12,32-). 【解析】 【分析】(Ⅰ)利用三种方程的转化方法，即可写出C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程；(Ⅱ) 设3，则|MN|的最小值为M 到320x y --=距离最小值，利用三角函数知识即可求解． 【详解】(Ⅰ)曲线1C 的参数方程为cos 3x y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩(α为参数),普通方程为2213y x +=，曲线2C 的极坐标方程为cos 34πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭223cos sin θθ-=，直角坐标方程为223 22x y-=，即320x y--=；(Ⅱ)设M(cosα,3sinα)，则|MN|的最小值为M到320x y--=距离，即222cos+32cos3sin32321+1πααα⎛⎫-⎪--⎝⎭=，当且仅当α=2kπ-3π(k∈Z)时, |MN|取得最小值32-,此时M(12,32-).【点睛】本题考查参数方程化成普通方程，利用三角函数知识即可求解，属于中等题.19．某种子培育基地新研发了,A B两种型号的种子，从中选出90粒进行发芽试验，并根据结果对种子进行改良.将试验结果汇总整理绘制成如下22⨯列联表：（1）将22⨯列联表补充完整，并判断是否有99%的把握认为发芽和种子型号有关；（2）若按照分层抽样的方式，从不发芽的种子中任意抽取20粒作为研究小样本，并从这20粒研究小样本中任意取出3粒种子，设取出的A型号的种子数为X，求X的分布列与期望.2()P K k≥0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 0k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.82822()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++，其中n a b c d=+++.【答案】 (1)有99%的把握认为发芽和种子型号有关(2)见解析【解析】【分析】()1根据表格完成表格的填空并计算出2K做出判断()2X的可能值为0，1，2，3，分别计算出概率，然后计算期望（1）()22903032820360014.575 6.63550403852247K⨯⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯所以有99%的把握认为发芽和种子型号有关.（2）按分层抽样的方式抽到的20粒种子中，A型号的种子共4粒，B型号的种子共16粒，所以X的可能值为0,1,2,3，()3163202857CP XC===，()124163208119C CP XC===，()214163208295C CP XC===，()3432013285CP XC===所以X的分布列为()8815731231995285955E X=⨯+⨯+⨯==.【点睛】本题考查了2K的计算和分布列与期望，只要将联表补充完整，按照计算方法即可求出2K，继而可以求出分布列与期望，较为基础。
2019-2020学年江苏省扬州市数学高二下期末复习检测试题含解析
2019-2020学年江苏省扬州市数学高二下期末复习检测试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知,x y R ∈，那么“0xy >”是“0x >且0y >”的 A ．充分而不必要条件 B ．充要条件C ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】 【分析】先利用取特殊值法判断x•y ＞0时，x ＞0且y ＞0不成立，再说明x ＞0且y ＞0时，x•y ＞0成立，即可得到结论． 【详解】若x ＝﹣1，y ＝﹣1，则x•y ＞0，但x ＞0且y ＞0不成立， 若x ＞0且y ＞0，则x•y ＞0一定成立， 故“x•y ＞0”是“x ＞0且y ＞0”的必要不充分条件 故选：C ． 【点睛】本题考查的知识点是充要条件的定义，考查了不等式的性质的应用，考查了逻辑推理能力，属于基础题． 2．某班共有52人，现根据学生的学号，用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本．已知3号、29号、42号同学在样本中，那么样本中还有一个同学的学号是( ) A ．10 B ．11C ．12D ．16【答案】D 【解析】 【分析】由题计算出抽样的间距为13，由此得解． 【详解】由题可得，系统抽样的间距为13， 则31316+=在样本中． 故选D 【点睛】本题主要考查了系统抽样知识，属于基础题． 3．对于问题：“已知是互不相同的正数，求证：三个数至少有一个数大于2”，用反证法证明上述问题时，要做到的假设是（ ） A ．至少有一个不小于2B ．至少有一个不大于2C ．都小于等于2D ．都大于等于2【答案】C 【解析】 【分析】找到要证命题的否定即得解. 【详解】“已知，，是互不相同的正数，求证：三个数，，至少有一个数大于2”，用反证法证明时，应假设它的反面成立． 而它的反面为：三个数，，都小于或等于2，故选：． 【点睛】本题主要考查用反证法证明数学命题，命题的否定，属于基础题． 4．已知集合{2,3}A =，集合B 满足{}2,3A B ⋃=，则集合B 的个数为 A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】D 【解析】分析：根据题意得到B 为A 的子集，确定出满足条件的集合B 的个数即可 详解：集合{}23A =，，集合B 满足{}23A B ⋃=，， B A ∴⊆则满足条件的集合B 的个数是224= 故选D点睛：本题是基础题，考查了集合的子集，当集合中有n 个元素时，有2n 个子集。
2019-2020学年江苏省扬州市数学高二第二学期期末复习检测试题含解析
2019-2020学年江苏省扬州市数学高二第二学期期末复习检测试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知双曲线2222x y 1(a 0,b 0)a b-=>>，过原点作一条倾斜角为π3直线分别交双曲线左、右两支P ，Q两点，以线段PQ 为直径的圆过右焦点F ，则双曲线离心率为( )A 1B 1C ．2D 【答案】B 【解析】 【分析】求得直线PQ 的方程，联立直线的方程和双曲线的方程，求得,P Q 两点坐标的关系，根据FQ FP ⊥列方程，化简后求得离心率. 【详解】设()()1122,,,P x y Q x y ，依题意直线PQ 的方程为y =，代入双曲线方程并化简得222222222223,333a b a b x y x b a b a ===--，故221212220,,3a b x x x x b a -+=⋅=- 12y y ⋅= 221222333a b x x b a-⋅=-，设焦点坐标为(),0F c ，由于以PQ 为直径的圆经过点F ，故0FP FQ ⋅=，即()()1122,,0x c y x c y -⋅-=，即21240x x c +=，即4224630b a b a --=，两边除以4a 得42630b b a a ⎛⎫⎛⎫--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得23b a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭故1e ===，故选B.【点睛】本小题主要考查直线和双曲线的交点，考查圆的直径有关的几何性质，考查运算求解能力，属于中档题. 2．复数1()2iz a R ai+=∈-在复平面上对应的点不可能在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】C 【解析】 【分析】把复数化为(,)m ni m n R +∈形式，然后确定实部与虚部的取值范围． 【详解】21(1)(2)2(2)2(2)(2)4i i ai a a iz ai ai ai a +++-++===--++，2a >时，20,20a a -<+>，对应点在第二象限；2a <-时，20,20a a ->+<，对应点在第四象限；22a -<<时，20,20a a ->+>，对应点在第一象限．2a =或2a =-时，对应点在坐标轴上；∴不可能在第三象限． 故选：C ． 【点睛】本题考查复数的除法运算，考查复数的几何意义．解题时把复数化为(,)m ni m n R +∈形式，就可以确定其对应点的坐标． 3．展开式中的系数为（ ）A ．10B ．30C ．45D ．210【答案】B 【解析】（-1-x+x 2）10=[（x 2-x ）-1]10 的展开式的通项公式为，所以或，故展开式中的系数为故选B4．正方体1111ABCD A B C D -中，直线AD 与平面11A BC 所成角正弦值为（ ） A ．12B ．32C ．33D ．63【答案】C 【解析】 【分析】作出相关图形，设正方体边长为1，求出11B C 与平面11A BC 所成角正弦值即为答案. 【详解】如图所示，正方体1111ABCD A B C D -中，直线AD 与11B C 平行，则直线AD 与平面11A BC 所成角正弦值即为11B C 与平面11A BC 所成角正弦值.因为11A BC ∆为等边三角形，则1B 在平面11A BC 即为11A BC ∆的中心，则11B C O ∠为11B C 与平面11A BC 所成角.可设正方体边长为1，显然36=2=33BO ⨯，因此2163=1()=3B O -，则1111103sin B B C O B C ∠==，故答案选C.【点睛】本题主要考查线面所成角的正弦值，意在考查学生的转化能力，计算能力和空间想象能力. 5．已知函数()()1,0(1)1,0ln x m x f x m ax b x ⎧++≥=<-⎨-+<⎩，对于任意s R ∈，且0s ≠，均存在唯一实数t ，使得()()f s f t =，且s t ≠，若关于x 的方程()2m f x f ⎛⎫= ⎪⎝⎭有4个不相等的实数根，则a 的取值范围是（）A ．()4,2--B ．()1,0-C ．()2,1--D ．()()4,11,0--⋃-【答案】A 【解析】 【详解】解：由题意可知f （x ）在[0，+∞）上单调递增， 值域为[m ，+∞），∵对于任意s ∈R ，且s ≠0，均存在唯一实数t ， 使得f （s ）＝f （t ），且s ≠t ，∴f （x ）在（﹣∞，0）上是减函数，值域为（m ，+∞）， ∴a ＜0，且﹣b+1＝m ，即b ＝1﹣m ． ∵|f （x ）|＝f （2m）有4个不相等的实数根， ∴0＜f （2m）＜﹣m ，又m ＜﹣1， ∴02am -＜＜m ，即0＜（2a+1）m ＜﹣m ， ∴﹣4＜a ＜﹣2，∴则a 的取值范围是（﹣4，﹣2），故选A ．点睛：本题中涉及根据函数零点求参数取值，是高考经常涉及的重点问题， （1）利用零点存在的判定定理构建不等式求解；（2）分离参数后转化为函数的值域（最值）问题求解，如果涉及由几个零点时，还需考虑函数的图象与参数的交点个数；（3）转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解.6．若实数,x y 满足32x x y y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则2x y +的取值范围为( )A ．[]1,9 B ．[]5,9C ．[]3,9D ．[]3,5【答案】C 【解析】分析：作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，即可求z 的取值范围. 详解：作出不等式组对应的平面区域如图：设2z x y =+，得2y x z =-+， 平移直线2y x z =-+，由图象可知当直线2y x z =-+经过点()1,1A 时，直线的截距最小， 此时z 最小，为213z =+=，当直线2y x z =-+经过点()3,3B 时，直线的截距最大，此时时z 最大，为2339z =⨯+=， 即39z ≤≤. 故选：C.点睛：本题主要考查线性规划的基本应用，利用目标函数的几何意义是解决问题的关键，利用数形结合是解决问题的基本方法. 7．已知函数()()ln af x x a R x=+∈有两个不相同的零点，则a 的取值范围为（ ） A ．1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．10,e⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．(),e +∞【答案】C 【解析】 【分析】对函数求导得()2'x af x x -=，当0a ≤时，原函数单调递增，不能有两个零点，不符合题意，当0a >时，()f a 为最小值，函数在定义域上有两个零点，则()1ln 0f a a =+<，即10a e<<，又()10f a =>，则()f x 在(),a +∞上有唯一的一个零点，由210ea a <<<，那么()212ln f a a a =+，构造新函数()12ln g a a a =+1(0)a e<<，求导可得g(a)单调性，再由()()220g a f a e ==->，即可确定f(x)在()0,a 上有一个零点，则a 的范围可知．【详解】函数()f x 的定义域为()0,∞+，且()2'x af x x-=. ①当0a ≤时，()'0f x >成立，所以函数()f x 在()0,∞+为上增函数，不合题意； ②当0a x <<时，()'0f x >，所以函数()f x 在(),a +∞上为增函数； 当0x a <<时，()'0f x <，所以函数()f x 在()0,a 上为减函数. 此时()f x 的最小值为()f a ，依题意知()1ln 0f a a =+<，解得10a e<<. 由于1a >，()10f a =>，函数()f x 在(),a +∞上为增函数，所以函数()f x 在(),a +∞上有唯一的一个零点.又因为10a e <<，所以210ea a <<<. ()2211ln 2ln f a a a a a =+=+，令()12ln g a a a =+，当10a e <<时，()2212210'a a a a g a -=-+=<，所以()()2112ln 20f a g a a g e e a ⎛⎫==+>=-> ⎪⎝⎭. 又()0f a <，函数()f x 在()0,a 上为减函数，且函数()f x 的图象在()2,a a 上不间断，所以函数()f x在()0,a 上有唯一的一个零点. 综上，实数a 的取值范围是10,e ⎛⎫⎪⎝⎭.故选C. 【点睛】本题考查已知函数有两个不同零点，利用导数求函数中参数的取值范围．通过求导逐步缩小参数a 的范围，题中()f a 为()f x 的最小值且()0f a <，解得10a e<<，()10f >，先运用零点定理确定点a 右边有唯一一个零点，同理再通过构造函数，求导讨论单调性的方法确定点a 左边有另一个唯一一个零点，最终得出参数范围，题目有一定的综合性． 8．已知，，则有( )A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】 【分析】首先通过诱导公式，化简三个数，然后判断它们的正负性，最后利用商比法判断 的大小，最后选出正确答案. 【详解】，而，故本题选D.【点睛】本题考查了诱导公式、以及同角三角函数关系，以及商比法判断两数大小.在利用商比法时，要注意分母的正负性.9．已知函数()y f x =是可导函数，且()'12f =，则()()11lim 2x f x f x∆→+∆-=∆( )A ．12B ．2C ．1D ．1-【答案】C 【解析】分析：由题意结合导数的定义整理计算即可求得最终结果.详解：由题意可得：()()112x f x f limx ∆→+∆-=∆()()()01111lim '122x f x f f x ∆→+∆-=∆,即：()()112x f x f limx∆→+∆-=∆1212⨯=. 本题选择C 选项.点睛：本题主要考查函数在某一点处导数的定义及其应用，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 10．已知双曲线的左、右焦点分别为，过作的渐近线的垂线，垂足为点，则的离心率为A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】 【分析】利用点到直线的距离公式求出，利用勾股定理求出，由锐角三角函数得出，由诱导公式得出，在利用余弦定理可得出、、的齐次方程，可解出双曲线离心率的值。
江苏省扬州市2019-2020学年数学高二下期末复习检测试题含解析
江苏省扬州市2019-2020学年数学高二下期末复习检测试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．用反证法证明“如果a ＜b ，那么33a b ＜”，假设的内容应是（ ） A ．33a b =B ．33a b ＜C ．33a b =且33a b ＜D ．33a b =或33a b ＞【答案】D 【解析】解：因为用反证法证明“如果a>b ，那么3a >3b ”假设的内容应是3a ＝3b 或3a <3b ，选D 2．观察下列各式：221,3,a b a b +=+=3344554,7,11,a b a b a b +=+=+=则1010a b +=（）A ．28B ．76C ．123D ．199 【答案】C 【解析】试题分析：观察可得各式的值构成数列1，3，4，7，11，…，其规律为从第三项起，每项等于其前相邻两项的和，所求值为数列中的第十项．继续写出此数列为1，3，4，7，11，18，29，47，76，123，…，第十项为123，即1010123a b += 考点：归纳推理3．在边长为1的正ABC ∆中， D ， E 是边BC 的两个三等分点（D 靠近于点B ），AD AE ⋅等于（ ） A ．16B ．29C ．1318D ．13【答案】C 【解析】 试题分析：如图，1,,60AB AC AB AC ==〈〉=D ，E 是边BC 的两个三等分点，221121122521333333399918AD AE AB BC AC CB AB AC AB AC AB AB AC AC ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴⋅=+⋅+=+⋅+=+⋅+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭故选C.考点：平面向量数量积的运算4．数列{}n a ，{}n b 满足111a b ==，112n n n nb a a b ++-==，n *∈N ，则数列{}na b 的前n 项和为（ ）．A ．()14413n -- B ．()4413n- C ．()11413n -- D ．()1413n- 【答案】D 【解析】 【分析】由题意是数列{}n a 是等差数列，数列{}n b 的等比数列，分别求出它们的通项，再利用等比数列前n 项和公式即可求得. 【详解】 因为112n n n nb a a b ++-==，111a b ==，所以数列{}n a 是等差数列，数列{}n b 的等比数列， 因此()12121n a n n =+-=-，11122n n n b --=⨯=，数列{}n a b 的前n 项和为：1213521n a a a n b b b b b b b -+++=++++02422222n =++++()14141143n n -==--. 故选：D . 【点睛】本题主要考查的是数列的基本知识，等差数列、等比数列的通项公式以及等比数列的求和公式的应用，是中档题.5．已知数列{}n a 满足112a =，11n n a a +=+，*n N ∈，设n S 为数列{}n a 的前n 项之和，则19S =（ ） A ．3232-B ．3242-C ．3232D ．3612【答案】A 【解析】 【分析】由11n n a a +=+可知数列{}n a 为等差数列且公差为1-，然后利用等差数列求和公式代入计算即可． 【详解】由11n n a a +=+可知数列{}n a 为等差数列且公差为1-，所以19119181191832319192222S a d ⨯⨯=+=⨯-=- 故选A ． 【点睛】本题主要考查等差数列的概念及求和公式，属基础题．6．函数()x f x e x =-(e 为自然对数的底数)在区间[]1,1-上的最大值是( ) A ．11e+B ．1C ．1e +D ．1e -【答案】D 【解析】分析：先求导，再求函数在区间[-1,1]上的最大值. 详解：由题得()1,xf x e =-'令10,0.xe x -=∴=因为111(1)11,(1)11,(0)101f e f e e f e--=+=+=-=-=-=. 所以函数在区间[-1,1]上的最大值为e-1. 故答案为D.点睛：（1）本题主要考查利用导数求函数的最值，意在考查学生对该知识的掌握水平.(2) 设()y f x =是定义在闭区间[],a b 上的函数，()y f x =在(),a b 内有导数，可以这样求最值： ①求出函数在(),a b 内的可能极值点（即方程/()0f x =在(),a b 内的根12,,,n x x x ）；②比较函数值()f a ，()f b 与12(),(),,()n f x f x f x ，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值. 7．已知函数()()ln af x x a R x=+∈有两个不相同的零点，则a 的取值范围为（ ） A ．1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．10,e⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．(),e +∞【答案】C 【解析】 【分析】对函数求导得()2'x af x x-=，当0a ≤时，原函数单调递增，不能有两个零点，不符合题意，当0a >时，()f a 为最小值，函数在定义域上有两个零点，则()1ln 0f a a =+<，即10a e<<，又()10f a =>，则()f x 在(),a +∞上有唯一的一个零点，由210ea a <<<，那么()212ln f a a a =+，构造新函数()12ln g a a a =+1(0)a e<<，求导可得g(a)单调性，再由()()220g a f a e ==->，即可确定f(x)在()0,a 上有一个零点，则a 的范围可知．【详解】函数()f x 的定义域为()0,∞+，且()2'x af x x-=. ①当0a ≤时，()'0f x >成立，所以函数()f x 在()0,∞+为上增函数，不合题意；②当0a x <<时，()'0f x >，所以函数()f x 在(),a +∞上为增函数； 当0x a <<时，()'0f x <，所以函数()f x 在()0,a 上为减函数. 此时()f x 的最小值为()f a ，依题意知()1ln 0f a a =+<，解得10a e<<. 由于1a >，()10f a =>，函数()f x 在(),a +∞上为增函数，所以函数()f x 在(),a +∞上有唯一的一个零点.又因为10a e <<，所以210ea a <<<. ()2211ln 2ln f a a a a a =+=+，令()12ln g a a a =+，当10a e <<时，()2212210'a a a a g a -=-+=<，所以()()2112ln 20f a g a a g e e a ⎛⎫==+>=-> ⎪⎝⎭. 又()0f a <，函数()f x 在()0,a 上为减函数，且函数()f x 的图象在()2,a a 上不间断，所以函数()f x 在()0,a 上有唯一的一个零点.综上，实数a 的取值范围是10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭.故选C. 【点睛】本题考查已知函数有两个不同零点，利用导数求函数中参数的取值范围．通过求导逐步缩小参数a 的范围，题中()f a 为()f x 的最小值且()0f a <，解得10a e<<，()10f >，先运用零点定理确定点a 右边有唯一一个零点，同理再通过构造函数，求导讨论单调性的方法确定点a 左边有另一个唯一一个零点，最终得出参数范围，题目有一定的综合性．8．已知,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则下列命题正确的是 A ．//,,αβmαn β，则//m nB ．//,//m m n α，则//n αC ．,//,m n m αβα⊥⊥，则//n βD ．,//m m n α⊥，则n α⊥ 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间中直线与平面的位置关系的相关定理依次判断各个选项即可. 【详解】两平行平面内的直线的位置关系为：平行或异面，可知A 错误；//m α且//m n ，此时//n α或n α⊂，可知B 错误；αβ⊥，//m n ，m α⊥，此时n β⊥或n β⊂，可知C 错误；两平行线中一条垂直于一个平面，则另一条必垂直于该平面，D 正确. 本题正确选项：D 【点睛】本题考查空间中直线与平面、平面与平面位置关系的判定，考查学生对于定理的掌握程度，属于基础题.9．已知椭圆2221(5)25x y a a +=> 的两个焦点为12,F F ,且128F F =,弦AB 过点1F ,则2ABF ∆的周长为( ) A ．10 B ．20C ．241D ．441【答案】D 【解析】 【分析】求得椭圆的a ，b ，c ，由椭圆的定义可得△ABF 2的周长为|AB|+|AF 2|+|BF 2|=4a ，计算即可得到所求值． 【详解】由题意可得椭圆22x a +225y =1的b=5，c=4，a=22b c +=41，由椭圆的定义可得|AF 1|+|AF 2|=|BF 1|+|BF 2|=2a ， 即有△ABF 2的周长为|AB|+|AF 2|+|BF 2| =|AF 1|+|AF 2|+|BF 1|+|BF 2|=4a=441． 故选D ． 【点睛】本题考查三角形的周长的求法，注意运用椭圆的定义和方程，定义法解题是关键，属于基础题． 10．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A ．8B ．12C ．16D ．24【答案】A 【解析】 【分析】根据三视图可知几何体为三棱锥，根据棱锥体积公式求得结果. 【详解】由三视图可知，几何体为三棱锥∴三棱锥体积为：1115 2.448332V Sh ==⨯⨯⨯⨯= 本题正确选项：A 【点睛】本题考查棱锥体积的求解，关键是能够通过三视图确定几何体为三棱锥，且通过三视图确定三棱锥的底面和高.11．已知3,2a b ==，且()a ab ⊥-，则向量a 在b 方向上的投影为（ ）A ．1 BC ．32D 【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】分析：由()a ab ⊥-推导出()20a a b a a b ⋅-=-⋅=，从而3cos ,2a b =，由此能求出向量a 在向量b 方向上的投影.详解：3,2a b ==，且()a ab ⊥-，()2332cos ,0a a b a a b a b ∴⋅-=-⋅=-⨯⨯=，3cos ,2a b ∴=，∴向量a 在向量b 方向上的投影为3cos ,322a ab =⨯=，故选C.点睛：本题主要考查向量的模及平面向量数量积公式，属于中档题.平面向量数量积公式有两种形式，一是cos a b a b θ⋅=，二是1212a b x x y y ⋅=+，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角， cos a b a bθ=（此时a b 往往用坐标形式求解）；（2）求投影，a 在b 上的投影是a b b⋅；（3）,a b 向量垂直则0a b ⋅=;(4)求向量ma nb + 的模（平方后需求a b ⋅）.12．已知()2a cosx dx π=-⎰，则912ax ax ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式中，3x 项的系数为（ ） A ．638B ．212- C ．6316D ．638- 【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】()20a cosx dx π=-⎰=20 |sinx π-=﹣1，则二项式912ax ax ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的通项公式为T r+1=﹣9r C •921•2rrx -⎛⎫ ⎪⎝⎭， 令9﹣2r=3，求得r=3， ∴展开式中x 3项的系数为﹣39C •18=﹣212-，故选B 【点睛】本题考查集合的混合运算. 二、填空题：本题共4小题13．已知幂函数y x α=的图象经过点(4,4，则实数α的值是_______. 【答案】34- 【解析】 【分析】由幂函数的定义，把代入可求解. 【详解】点(4,4在幂函数y x α=的图象上， ∴ 244，32222，332,24故答案为： 34- 【点睛】本题考查幂函数的定义.幂函数的性质: (1)幂函数在(0)+∞，上都有定义；(2)幂函数的图象过定点(1,1)； (3)当0α>时，幂函数的图象都过点(1,1)和(0,0)，且在(0)+∞，上单调递增； (4)当0α<时，幂函数的图象都过点(1,1)，且在(0)+∞，上单调递减； (5)当α为奇数时，幂函数为奇函数；当α为偶数时，幂函数为偶函数．14．已知函数3()log 5f x x x =+-的零点0(,1)x a a ∈+，则整数a 的值为______. 【答案】3 【解析】 【分析】根据函数单调性可知若存在零点则零点唯一，由零点存在定理可判断出零点所在区间，从而求得结果. 【详解】由题意知：()f x 在()0,∞+上单调递增()f x ∴若存在零点，则存在唯一一个零点又()313510f =+-=-<，()334log 445log 410f =+-=-> 由零点存在定理可知：()03,4x ∈，则3a = 本题正确结果：3 【点睛】本题考查零点存在定理的应用，属于基础题.15．62()x x-的二项展开式中2x 项的系数为________. 【答案】60 【解析】 【分析】先写出二项展开式的通项，662166(2)(2)---+=-=-r r r r r r rr T C x x C x ，令622r -=，进而可求出结果.【详解】因为62()x x-的二项展开式的通项为：662166(2)(2)---+=-=-r r r r r r r r T C x x C x ，令622r -=，则2r ，所以2x 项的系数为226(2)60-=C .故答案为：60 【点睛】本题主要考查求指定项的系数，熟记二项式定理即可，属于常考题型. 16．定义在(,)22ππ-上的奇函数()f x 的导函数为()f x '，且(1)0f =．当0x >时，()()tan f x f x x '<⋅,则不等式()0f x <的解为__________． 【答案】(,1)(0,1)2π--【解析】 【分析】当0x >时，由()()tan 'f x xf x <可得()'0sin f x x ⎛⎫> ⎪⎝⎭，()()sin f x g x x =在()0,∞+上递增，根据奇偶性可得()g x 在(),0-∞上递减，()0f x <，等价于()sin 0xg x <，结合()g x 的单调性与()()()11011f g g sin ===-，分类讨论解不等式即可.【详解】当0x >时，由()()tan 'f x xf x <()()'sin cos 0f x x f x x ->，可得()'0sin f x x ⎛⎫> ⎪⎝⎭，()()sin f x g x x=在()0,∞+上递增， ()g x 为偶函数， ()g x ∴在(),0-∞上递减，()()()11011f g g sin ===-，()0f x <，等价于()sin 0xg x <， ()()01sin 0g x g x ⎧>=-⎨<⎩或()()01sin 0g x g x ⎧<=⎨>⎩可得12x π-<<-或01x <<，()0f x <的解集为(),10,12π⎛⎫--⋃ ⎪⎝⎭，故答案为(),10,12π⎛⎫--⋃ ⎪⎝⎭.【点睛】本题主要考查抽象函数的单调性以及函数的求导法则，属于难题.求解这类问题一定要耐心读题、读懂题，通过对问题的条件和结论进行类比、联想、抽象、概括，准确构造出符合题意的函数是解题的关键；解这类不等式的关键点也是难点就是构造合适的函数，构造函数时往往从两方面着手：①根据导函数的“形状”变换不等式“形状”；②若是选择题，可根据选项的共性归纳构造恰当的函数.本题通过观察四个选项，联想到函数()()cos g x f x x =，再结合条件判断出其单调性，进而得出正确结论.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
江苏省扬州市2020年高二下数学期末达标测试试题含解析
江苏省扬州市2020年高二(下)数学期末达标测试试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）1．若函数()()212log 35f x x ax =-+ 在区间()1,-+∞上是减函数，则实数a 的取值范围是（ ） A ．()8,-+∞ B ．[)6-+∞, C ．(],6-∞-D ．[]8,6--2．设a R ∈，则“1a =”是“直线1:240l ax y +-=与2:(1)20l x a y +++=平行”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知点F 是抛物线C ：y 2＝8x 的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N ，若M 是FN 的中点，则M 点的纵坐标为（ ） A ．22B ．4C ．±22D ．±44．已知函数()f x 图象如图，'()f x 是()f x 的导函数，则下列数值排序正确的是（ ）A ．0'(2)'(3)(3)(2)f f f f <<<-B ．0'(3)'(2)(3)(2)f f f f <<<-C ．0'(3)(3)(2)'(2)f f f f <<-<D ．0(3)(2)'(2)'(3)f f f f <-<<5．用5种不同颜色给图中的A 、B 、C 、D 四个区域涂色，规定一个区域只涂一种颜色，相邻的区域颜色不同，共有 种不同的涂色方案．A ．420B ．180C ．64D ．256．从标有1、2、3、4、5的五张卡片中，依次不放回地抽出2张，则在第一次抽到奇数的情况下，第二次抽到偶数的概率为( ) A ．14B ．12C ．13D ．237．已知复数z 在复平面上对应的点为(2,1)Z -，则（ ） A ．12z i =-+B ．5z =C ．z 对应的向量为()21-，D ．2z -是纯虚数8．已知命题:,25x P x R ∀∈>，则p ⌝为 A ．,25x x R ∀∉> B ．,25x x R ∀∈≤ C ．00,25x x R ∃∈≤ D ．00,25x x R ∃∈>9．如图，平面ABCD 与平面BCEF 所成的二面角是3π，PQ 是平面BCEF 内的一条动直线，4DBC π∠=，则直线BD 与PQ 所成角的正弦值的取值范围是（ ）A ．3⎤⎥⎣⎦ B ．6⎤⎥⎣⎦ C ．23⎣⎦D ．2⎤⎥⎣⎦10．在底面为正方形的四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，PA AB =，则异面直线PB 与AC 所成的角是（ ） A ．90︒B ．60︒C ．45︒D ．3011．已知函数()()21,12,1xx f x f x x ⎧->-⎪=⎨+≤-⎪⎩，则()3f -=（ ）A ．78-B ．12-C ．1D ．712．已知点()0,4M ，点P 在抛物线28x y =上运动，点Q 在圆()2221x y +-=上运动，则2PM PQ的最小值为（ ） A ．2B ．83C ．4D ．163二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分） 13．函数2()2ln f x x x =-的单调递减区间是_________.14．若正数a ，b 满足3ab a b =++，则ab 的取值范围是________． 15．若函数1()ln(1)(0,0)1xf x ax x a x-=++≥>+的单调递增区间是[1,)+∞，则a 的值是__________． 16．在平面几何中有如下结论：若正三角形ABC 的内切圆周长为1C ，外接圆周长为2C ，则1212C C =.推广到空间几何可以得到类似结论：若正四面体ABCD 的内切球表面积为1S ，外接球表面积为2S ，则12S S =__________． 三、解答题（本题包括6个小题，共70分） 17．已知()|2|||f x x x =++. （1）求不等式()4f x x -<的解集；（2）若x R ∀∈，2()f x m m -恒成立，求m 的取值范围.18．现有4个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择.为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏.（Ⅰ）求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率；（Ⅱ）求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率； （Ⅲ）用X ，Y 分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数，记，求随机变量的分布列与数学期望.19．（6分）已知,,a b c ∈R ,且1a b c ++=.证明： （Ⅰ）22213a b c ++≥； （Ⅱ）2221a b c b c a++≥.20．（6分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为53()1,0F c -，()2,0F c 分别为椭圆的左、右焦点，点4,3c ⎛⎫ ⎪⎝⎭在椭圆上. （1）求C 的方程；（2）若直线()1y k x =-与椭圆C 相交于A ，B 两点，试问：在x 轴上是否在点D ，当k 变化时，总有ODA ODB ∠=∠若存在求出点D 的坐标，若不存在，请说明理由.21．（6分）为调查某地区老人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人，结果如下： 性别是否需要志愿者男女需要 40 30 不需要160270（1）估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例；（2）请根据上面的数据分析该地区的老年人需要志愿者提供帮助与性别有关吗 22．（8分）如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D －中，已知AB ＝2，15AA ＝ ，E 、F 分别为1D D 、1B B 上的点，且11DE B F ＝＝.(1)求证：BE⊥平面ACF ； (2)求点E 到平面ACF 的距离．参考答案一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．D 【解析】 【分析】根据复合函数的单调性，同增异减，则235t x ax =-+，在区间()1,-+∞上是增函数，再根据定义域则2350t x ax =-+>在区间()1,-+∞上恒成立求解.【详解】因为函数()()212log 35f x x ax =-+ 在区间()1,-+∞上是减函数， 所以235t x ax =-+，在区间()1,-+∞上是增函数，且2350t x ax =-+>在区间()1,-+∞上恒成立. 所以16a≤-且350a ++≥， 解得86a -≤≤-.故选：D 【点睛】本题主要考查复合函数的单调性，还考查了理解辨析和运算求解的能力，属于中档题. 2．C 【解析】 【分析】先由直线1l 与2l 平行，求出a 的范围，再由充分条件与必要条件的概念，即可得出结果. 【详解】因为直线1:240l ax y +-=与2:(1)20l x a y +++=平行，所以(1)20a a +-=， 解得1a =或2a =-，又当2a =-时，1:20l x y -+=与2:20l x y -+=重合，不满足题意，舍去； 所以1a =；由1a =时，1l 与2l 分别为1:240l x y +-=，2:220l x y ++=，显然平行；因此“1a =”是“直线1:240l ax y +-=与2:(1)20l x a y +++=平行”的充要条件； 故选C 【点睛】本题主要考查由直线平行求参数，以及充分条件与必要条件的判定，熟记概念即可，属于常考题型. 3．C 【解析】 【分析】求出抛物线的焦点坐标，推出M 的坐标，然后求解，得到答案． 【详解】由题意，抛物线2:8C y x =的焦点(2,0)F ，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N ，若M 为FN 的中点，如图所示，可知M 的横坐标为1，则M 的纵坐标为±， 故选C ．【点睛】本题主要考查了抛物线的简单性质的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题． 4．C 【解析】结合函数的图像可知过点(2,(2))A f 的切线的倾斜角最大，过点(3,(3))B f 的切线的倾斜角最小，又因为点(2,(2))A f 的切线的斜率1(2)k f ='，点(3,(3))B f 的切线斜率2(3)k f ='，直线AB 的斜率(3)(2)(3)(2)32AB f f k f f -==--，故(3)(3)(2)(2)f f f f <-'<'，应选答案C ．点睛：本题旨在考查导数的几何意义与函数的单调性等基础知识的综合运用．求解时充分借助题设中所提供的函数图形的直观，数形结合进行解答．先将经过两切点,A B 的直线绕点A 逆时针旋转到与函数的图像相切，再将经过两切点的直线绕点B 顺时针旋转到与函数的图像相切，这个过程很容易发现(3)(3)(2)(2)f f f f <-'<'，从而将问题化为直观图形的问题来求解．5．B 【解析】分析：由于规定一个区域只涂一种颜色，相邻的区域颜色不同，可分步进行，区域A 有5种涂法，B 有4种涂法，C 有3种，D 有3种涂法，根据乘法原理可得结论． 详解：由题意，由于规定一个区域只涂一种颜色，相邻的区域颜色不同，可分步进行，区域A 有5种涂法，B 有4种涂法，C 有3种，D 有3种涂法 ∴共有5×4×3×3=180种不同的涂色方案． 故答案为：B.点睛：解答排列、组合应用题要从“分析”、“分辨”、“分类”、“分步”的角度入手． (1)“分析”就是找出题目的条件、结论，哪些是“元素”，哪些是“位置”； (2)“分辨”就是辨别是排列还是组合，对某些元素的位置有、无限制等；(3)“分类”就是将较复杂的应用题中的元素分成互相排斥的几类，然后逐类解决；(4)“分步”就是把问题化成几个互相联系的步骤，而每一步都是简单的排列、组合问题，然后逐步解决． 6．B 【解析】由题意，记“第一次抽到奇数”为事件A ，记“第二次抽到偶数”为事件B ，则()131535C P A C ==，()11321154310C C P AB C C =⨯=，所以()()()12P AB P A B P A ==.故选B. 7．D 【解析】 【分析】直接由复数的基本概念，对选项进行一一验证，即可得答案． 【详解】复数z 在复平面上对应的点为(2,1)Z -，2z i ∴=-，|z |=2z i =+，2z i -=-是纯虚数．故选：D ． 【点睛】本题考查了复数的基本概念，考查了复数模的求法，是基础题． 8．C 【解析】分析：把全称改为特称，大于改为小于等于。
江苏省扬州市2019-2020学年高二下学期期末2份数学复习检测试题
同步练习一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．给出下列三个命题:命题1：存在奇函数()f x 1()x D ∈和偶函数()g x 2()x D ∈,使得函数()()f x g x 12()x D D ∈是偶函数；命题2：存在函数()f x 、()g x 及区间D ，使得()f x 、()g x 在D 上均是增函数, 但()()f x g x 在D 上是减函数；命题3：存在函数()f x 、()g x （定义域均为D ），使得()f x 、()g x 在0x x =0()x D ∈处均取到最大值，但()()f x g x 在0x x =处取到最小值. 那么真命题的个数是 ( )． A ．0B ．1C ．2D ．32．在含有3件次品的10件产品中，任取2件，恰好取到1件次品的概率为 A ．715B ．730C ．115D ．1303．在数学归纳法的递推性证明中，由假设n k =时成立推导1n k =+时成立时，()f n =1+1112321n ++⋅⋅⋅+-增加的项数是( ) A ．1B ．21k +C ．2kD ．21k -4．点的极坐标，它关于极点的对称点的一个极坐标是A ．B ．C ．D ．5．设集合{|12}A x x =-<， []{|2,0,2}xB y y x ==∈，则A B =A ．[]0,2B ．()1,3C ．[)1,3D ．()1,46．两个线性相关变量x 与y 的统计数据如表： x 9 9.5 10 10.5 11 y1110865其回归直线方程是4ˆ0ˆybx =+，则相对应于点（11，5）的残差为（ ） A ．0.1B ．0.2C ．﹣0.1D ．﹣0.27．执行如图所示的程序框图，若输出的57S =，则判断框内应填入的条件是（ ）A ．4k >B ．5k >C ．6k >D ．7k >8．在二项式()91x +的展开式中任取2项，则取出的2项中系数均为偶数的概率为（ ） A ．512B ．215C ．13D ．8159．用数学归纳法证明某命题时，左式为在验证时，左边所得的代数式为（ ）A ．B ．C ．D ．10．设x 0是函数f （x ）＝lnx+x ﹣4的零点，则x 0所在的区间为（ ） A ．（0，1）B ．（1，2）C ．（2，3）D ．（3，4）11．对于实数x ，符号[x]表示不超过x 的最大整数，例如[π]=3，[﹣1.08]=﹣2，定义函数f （x ）=x ﹣[x]，则下列命题中正确的是①函数f （x ）的最大值为1； ②函数f （x ）的最小值为0； ③方程()()12G x f x =-有无数个根； ④函数f （x ）是增函数． A ．②③B ．①②③C ．②D ．③④12．已知1z ，2z ∈C ．“120z z ==”是“1||z 220z +=”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件二、填空题：本题共4小题13．已知平面向量,,a b c 满足21a b a ⋅==，1b c -=，则a c ⋅的最大值是____． 14．若复数是纯虚数(是虚数单位)，为实数，则复数的模为__________．15．已知复数z 满足()1243i z i +=+，则z =_____．16．已知抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ,准线与x 轴的交点为,M N 为抛物线上的一点,且满足32NF MN =,则NMF ∠ =_____. 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
江苏省扬州市2020年高二第二学期数学期末达标测试试题含解析
江苏省扬州市2020年高二第二学期数学期末达标测试试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．口袋中装有5个形状和大小完全相同的小球，编号分别为1，2，3，4，5，从中任意取出3个小球，以ξ表示取出球的最大号码，则()E ξ= ( ) A ．4.5 B ．4 C ．3.5 D ．3【答案】A 【解析】 【分析】首先计算各个情况概率,利用数学期望公式得到答案. 【详解】3335(3)110C P C ξ===2335(4)310C P C ξ===2435(5)610C P C ξ===故3()345 4.5101016451010E ξ=⨯+⨯+⨯==. 故本题正确答案为A. 【点睛】本题考查了概率的计算和数学期望的计算,意在考查学生的计算能力. 2．期末考试结束后，甲、乙、丙、丁四位同学预测数学成绩 甲：我不能及格. 乙：丁肯定能及格. 丙：我们四人都能及格.丁：要是我能及格，大家都能及格.成绩公布后，四人中恰有一人的预测是错误的，则预测错误的同学是（ ） A ．甲 B ．乙 C ．丙 D ．丁 【答案】A【解析】分析：若甲预测正确，显然导出矛盾．详解：若甲预测正确，则乙，丙 ， 丁都正确，乙：丁肯定能及格.丙：我们四人都能及格.丁：要是我能及格，大家都能及格.，即四人都及格显然矛盾，点睛：本题考查推理与论证，根据已知分别假设得出矛盾进而得出是解题关键． 3．由曲线1xy =与直线y x =，3y =所围成的封闭图形面积为（ ）A ．2ln3-B ．ln3C ．2D ．4ln3-【答案】D 【解析】根据题意作出所围成的图形，如图所示，图中从左至右三个交点分别为1(,3),(1,1),(3,3)3，所以题中所求面积为1312311131311(3)(3)(3ln )|(3)|4ln 32S dx x dx x x x x x =-+-=-+-=-⎰⎰ ，故选D 4．下列四个结论：①在回归分析模型中，残差平方和越大，说明模型的拟合效果越好；②某学校有男教师60名、女教师40名，为了解教师的体育爱好情况，在全体教师中抽取20名调查，则宜采用的抽样方法是分层抽样；③线性相关系数r 越大，两个变量的线性相关性越弱；反之，线性相关性越强；④在回归方程0.52y x =+中，当解释变量x 每增加一个单位时，预报变量y 增加0.5个单位. 其中正确的结论是（ ） A ．①② B ．①④ C ．②③ D ．②④【答案】D 【解析】 【分析】根据残差的意义可判断①；根据分成抽样特征，判断②；根据相关系数r 的意义即可判断③；由回归方程的系数，可判断④． 【详解】根据残差的意义，可知当残差的平方和越小，模拟效果越好，所以①错误；根据回归方程的系数为0.5，所以当解释变量x 每增加一个单位时，预报变量y 增加0.5个单位. 综上，②④正确，故选D. 【点睛】本题考查了统计的概念和基本应用，抽样方法、回归方程和相关系数的概念和性质，属于基础题． 5．在一次抽奖活动中，一个箱子里有编号为1至10的十个号码球(球的大小、质地完全相同，但编号不同)，里面有n 个号码为中奖号码，若从中任意取出4个小球，其中恰有1个中奖号码的概率为821，那么这10个小球中，中奖号码小球的个数n 为 A ．2 B ．3 C ．4 D ．5【答案】C 【解析】 【分析】利用古典概型列出恰有1个中奖号码的概率的方程，解方程即可． 【详解】依题意，从10个小球中任意取出1个小球，其中恰有1个中奖号码的概率为821， 所以1310410821n nC C C -⨯=， 所以n （10﹣n ）（9﹣n ）（8﹣n ）＝180，（n ∈N *） 解得n ＝1． 故选：C ． 【点睛】本题考查了古典概型的概率公式的应用，考查了计数原理及组合式公式的运算，属于中档题． 6．从甲地去乙地有3班火车，从乙地去丙地有2班轮船，则从甲地去丙地可选择的旅行方式有（ ） A ．5种 B ．6种C ．7种D ．8种【答案】B 【解析】由分步计数原理得，可选方式有2×3＝6种．故选B ． 考点：分步乘法计数原理．7．已知函数()ln f x x x =，则()f x 在x e =处的切线方程为（ ） A ．0x y -= B ．10x y --=C ．20x y e --=D ．(1)0e x ey e +--=【答案】C分析：求导得到()f x 在x e =处的切线斜率，利用点斜式可得()f x 在x e =处的切线方程.详解：已知函数()ln f x x x =，则()1ln ,f x x =+' 则()1ln 2,f e e =='+ 即()f x 在x e =处的切线斜率为2，又()ln ,f e e e e == 则()f x 在x e =处的切线方程为()2,y e x e -=- 即20x y e --=. 故选C.点睛：本题考查函数在一点处的切线方程的求法，属基础题.8．已知双曲线2222x y 1(a 0,b 0)a b-=>>，过原点作一条倾斜角为π3直线分别交双曲线左、右两支P ，Q两点，以线段PQ 为直径的圆过右焦点F ，则双曲线离心率为( )A 1B 1C ．2D 【答案】B 【解析】 【分析】求得直线PQ 的方程，联立直线的方程和双曲线的方程，求得,P Q 两点坐标的关系，根据FQ FP ⊥列方程，化简后求得离心率. 【详解】设()()1122,,,P x y Q x y ，依题意直线PQ 的方程为y =，代入双曲线方程并化简得222222222223,333a b a b x y x b a b a ===--，故221212220,,3a b x x x x b a -+=⋅=- 12y y ⋅= 221222333a b x x b a-⋅=-，设焦点坐标为(),0F c ，由于以PQ 为直径的圆经过点F ，故0FP FQ ⋅=，即()()1122,,0x c y x c y -⋅-=，即21240x x c +=，即4224630b a b a --=，两边除以4a 得42630b b a a ⎛⎫⎛⎫--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得23b a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭故1e ===，故选B.【点睛】本小题主要考查直线和双曲线的交点，考查圆的直径有关的几何性质，考查运算求解能力，属于中档题. 9．已知复数()1z ai a R =+∈，若2z 为纯虚数，则||z =（ ）A ．1 BC ．2D ．4【答案】B计算2z，根据纯虚数的概念，可得2a，然后根据复数的模的计算，可得结果.【详解】2212iz a a=-+为纯虚数，2210,1a a∴-==，22||12z a∴=+=，故选：B【点睛】本题考查复数中纯虚数的理解以及复数的模的计算，审清题干，细心计算，属基础题.10．中国铁路总公司相关负责人表示，到2018年底，全国铁路营业里程达到13.1万公里，其中高铁营业里程2.9万公里，超过世界高铁总里程的三分之二，下图是2014年到2018年铁路和高铁运营里程（单位：万公里）的折线图，以下结论不正确的是（）A．每相邻两年相比较，2014年到2015年铁路运营里程增加最显著B．从2014年到2018年这5年，高铁运营里程与年价正相关C．2018年高铁运营里程比2014年高铁运营里程增长80%以上D．从2014年到2018年这5年，高铁运营里程数依次成等差数列【答案】D【解析】【分析】由折线图逐项分析即可求解【详解】选项A，B显然正确；对于C，2.9 1.60.81.6->，选项C正确；1.6,1.9,2.2,2.5,2.9不是等差数列，故D错.本题考查统计的知识，考查数据处理能力和应用意识,是基础题11．现有5人参加抽奖活动，每人依次从装有5张奖票（其中3张为中奖票）的箱子中不放回地随机抽取一张，直到3张中奖票都被抽出时活动结束，则活动恰好在第4人抽完后结束的概率为（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】试题分析：将5张奖票不放回地依次取出共有55120A =种不同的取法，若活动恰好在第四次抽奖结束，则前三次共抽到2张中奖票，第四次抽到最后一张中奖票．共有211321336A A A =种取法，∴36312010P == 考点：古典概型及其概率计算公式12． “三个臭皮匠，赛过诸葛亮”，这是我们常说的口头禅，主要是说集体智慧的强大. 假设李某智商较高，他独自一人解决项目M 的概率为10.3P =；同时，有n 个水平相同的人也在研究项目M ，他们各自独立地解决项目M 的概率都是0.1.现在李某单独研究项目M ，且这n 个人组成的团队也同时研究项目M ，设这个n 人团队解决项目M 的概率为2P ，若21P P ≥，则n 的最小值是( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6【答案】B 【解析】 【分析】设这个n 人团队解决项目M 的概率为2P ，则021(0.9)n n P C =-，由21P P ，得10.90.3n -， 由此能求出n 的最小值． 【详解】李某智商较高，他独自一人解决项目M 的概率为10.3P =，有n 个水平相同的人也在研究项目M ，他们各自独立地解决项目M 的概率都是0.1， 现在李某单独研究项目M ，且这n 个人组成的团队也同时研究M ， 设这个n 人团队解决项目M 的概率为2P ，则021(0.9)n nP C =-， 21P P ，10.90.3n∴-， 解得4n ≥．本题考查实数的最小值的求法，考查n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率的计算 公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题． 二、填空题：本题共4小题 13．已知函数ln ()x f x x =，则1'f e ⎛⎫= ⎪⎝⎭____________.【答案】22e 【解析】 【分析】求导，代入数据得到答案. 【详解】2ln 1ln ()'()x xf x f x x x -=⇒=2212'21()f e e e⎛⎫== ⎪⎝⎭ 故答案为：22e 【点睛】本题考查了导数的计算，意在考查学生的计算能力. 14．定积分211(2)x dx x+⎰的值为_____ ．【答案】3ln 2+ 【解析】2112x dx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰221(ln )4ln 2103ln 2x x =+=+--=+ 15．已知α是第四象限角，5tan 12α=-，则sin α=_______； 【答案】513- 【解析】 【分析】：由同角三角关系求解 【详解】：三角正余弦值的定义为22sin x y α=+，22cos x y α=+。
江苏省扬州市2020年高二第二学期数学期末达标测试试题含解析
江苏省扬州市2020年高二第二学期数学期末达标测试试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．下列函数中，与函数||3x y =-的奇偶性相同，且在(,0)-∞上单调性也相同的是（ ） A ．21y x =-B ．2log ||y x =C ．1y x=-D ．31y x =-2．椭圆3cos (4sin x y θθθ=⎧⎨=⎩为参数)的离心率是( )A ．4 B ．3C ．2D ．53．设随机变量X ～N(μ，σ2)且P(X<1)＝12，P(X>2)＝p ，则P(0<X<1)的值为( ) A ．12p B ．1－p C ．1－2p D ．12－p4．已知向量()1,,a x =v ()2,4b =-v ，()//a a b -vv v ，则x =（ ）A ．2-B ．1-C ．3D ．15．某大型联欢会准备从含甲、乙的6个节目中选取4个进行演出，要求甲、乙2个节目中至少有一个参加，且若甲、乙同时参加，则他们演出顺序不能相邻，那么不同的演出顺序的种数为（ ） A ．720B ．520C ．600D ．2646．甲、乙两人进行乒乓球比赛,比赛规则为“3局2胜”,即以先赢2局者为胜,根据经验,每局比赛中甲获胜的概率为0.4,则本次比赛甲获胜的概率是（ ） A ．0.216B ．0.36C ．0.352D ．0.6487．已知x>0，y>0,x+2y+2xy=8，则x+2y 的最小值是 A ．3B ．4C ．92D ．1128．变量X 与Y 相对应的一组数据为(10,1)，(11.3,2)，(11.8,3)，(12.5,4)，(13,5)；变量U 与V 相对应的一组数据为(10,5)，(11.3,4)，(11.8,3)，(12.5,2)，(13,1)．r 1表示变量Y 与X 之间的线性相关系数，r 2表示变量V 与U 之间的线性相关系数，则 A ．r 2<r 1<0B ．r 2<0<r 1C ．0<r 2<r 1D ．r 2＝r 19．已知a ，b ，c ，R d ∈，且满足1a b +=，1c d +=，1ac bd +>，对于a ，b ，c ，d 四个数的判断，给出下列四个命题：①至少有一个数大于1；②至多有一个数大于1；③至少有一个数小于0；④至多有一个数小于0.其中真命题的是（ ） A ．①③B ．②④C ．①④D ．②③10．我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“— —”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是A．516B．1132C．2132D．111611．已知三棱锥A BCD-的顶点都在球O的球面上，AB⊥平面,,1,2BCD BD CD AB CD BD⊥===，则球O的表面积为（）A．2πB．πC．2πD．4π12．设随机变量ξ服从正态分布()1,4N，且()20.3Pξ>=，则()01Pξ<<=（）A．0.15B．0.2C．0.4D．0.7二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）13．已知函数()12ln,eef x a x x⎛⎫⎡⎤=+∈⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的图象上存在点P,函数()22g x x=--的图象上存在点Q,且点P和点Q关于原点对称，则实数a的取值范围是________.14．交通部门对某路段公路上行驶的汽车速度实施监控，从速度在5090km/h-的汽车中抽取300辆进行分析，得到数据的频率分布直方图如图所示，则速度在70km / h以下的汽车有_____辆.15．在平面直角坐标系xOy中，若圆C1：x2＋（y－1）2＝r2（r>0）上存在点P，且点P关于直线x－y＝0的对称点Q在圆C2：（x－2）2＋（y－1）2＝1上，则r的取值范围是________．16．已知棱长为1的正方体1111ABCD A B C D-中，E，F分别是11B C和11C D的中点，点1A到平面DBEF 的距离为________________．三、解答题（本题包括6个小题，共70分）17．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为3(5x tty t=-⎧⎪⎨=⎪⎩为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的单位长度，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆C的方程为5ρθ=. （1）求圆C的直角坐标方程；（2）设圆C与直线l交于A，B两点，若点P坐标为（35，求||||PA PB⋅的值.18．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为1x ty t=⎧⎨=+⎩（t 为参数），直线m 与直线l 平行，且过坐标原点，圆C 的参数方程为1cos 2sin x y ϕϕ=+⎧⎨=+⎩（ϕ为参数）．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求直线m 和圆C 的极坐标方程；（2）设直线m 和圆C 相交于点A 、B 两点，求ABC ∆的周长．19．（6分）已知在平面直角坐标系xOy 内,点(),P x y 在曲线1:x cos C y sin θθ=+⎧⎨=⎩(θ为参数, R θ∈)上运动.以Ox 为极轴建立极坐标系,直线l 的极坐标方程为cos 04πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（1）写出曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程;（2）若l 与C 相交于,A B 两点,点M 在曲线C 上移动,试求ABM ∆面积的最大值. 20．（6分）在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos 1sin x r y r ϕϕ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩（0r >，ϕ为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为cos()106πρθ++=.若直线l 与曲线C 相切.（1）求曲线C 的极坐标方程；（2）在曲线C 上任取两点M ，N ，该两点与原点O 构成MON ∆，且满足6MON π∠=，求MON ∆面积的最大值.21．（6分）如图所示，在底面为平行四边形的四棱锥中，,平面，且，，点是的中点．（1）求证：平面； （2）求二面角的大小．22．（8分）某班主任对全班50名学生的学习积极性和对待班级工作的态度进行了调查，统计数据如下表所示：(1)如果随机抽查这个班的一名学生，那么抽到积极参加班级工作的学生的概率是多少？抽到不太主动参加班级工作且学习积极性一般的学生的概率是多少？(2)试运用独立性检验的思想方法分析：学生的学习积极性与对待班级工作的态度是否有关，并说明理由．参考答案一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．A 【解析】 【分析】先分析||3x y =-的奇偶性以及在(,0)-∞的单调性，然后再对每个选项进行分析. 【详解】函数||3x y =-为偶函数,且在(,0)-∞上为增函数，对于选项A ,函数21y x =-为偶函数，在(,0)-∞上为増函数，符合要求； 对于选项B ,函数2log ||y x =是偶函数，在(,0)-∞上为减函数，不符合题意； 对于选项C ,函数1y x=-为奇函数，不符合题意； 对于选项D ,函数31y x =-为非奇非偶函数，不符合要求； 只有选项A 符合要求，故选A . 【点睛】奇偶函数的判断：（满足定义域关于原点对称的情况下） 若()()f x f x -=-，则()f x 是奇函数； 若()()f x f x -=，则()f x 是偶函数.2．A 【解析】 【分析】先求出椭圆的普通方程，再求其离心率得解. 【详解】椭圆3cos 4sin x y θθ=⎧⎨=⎩的标准方程为221916x y +=，所以.所以e ＝4. 故答案为A 【点睛】(1) 本题主要考查参数方程和普通方程的互化，考查椭圆的简单几何性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力. (2)在椭圆中，222,.c c a b e a=-= 3．D 【解析】 【分析】 由1(1)2P X <=，得正态分布概率密度曲线关于1μ=对称，又由(2)P X p >=，根据对称性，可得(0)P X p <=，进而可得1(01)2P X p <<=-，即可求解．【详解】由随机变量(,)X N μσ:，可知随机变量服从正态分布，其中X μ=是图象的对称轴， 又由1(1)2P X <=，所以1μ=， 又因为(2)P X p >=，根据正态分布概率密度曲线的对称性，可得(0)P X p <=， 所以1(01)2P X p <<=-，故选D ． 【点睛】本题主要考查了正态分布曲线性质的简单应用，其中熟记正态分布概率密度曲线的对称性，合理推算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题． 4．A 【解析】 【分析】先求出a b -v v的坐标，再根据向量平行的坐标表示，列出方程，求出x . 【详解】(3,4)a b x -=-v vQ 由()//a a b -r r r 得，1(4)30x x ⨯--=解得2x =-，故选A ． 【点睛】本题主要考查向量的加减法运算以及向量平行的坐标表示． 5．D 【解析】 【分析】根据题意，分别讨论：甲、乙两节目只有一个参加，甲、乙两节目都参加，两种情况，分别计算，再求和，即可得出结果. 【详解】若甲、乙两节目只有一个参加，则演出顺序的种数为：134244192C C A =， 若甲、乙两节目都参加，则演出顺序的种数为：22242372C A A =；因此不同的演出顺序的种数为19272264+=. 故选：D. 【点睛】本题主要考查有限制的排列问题，以及计数原理的简单应用，熟记计数原理的概念，以及有限制的排列问题的计算方法即可，属于常考题型. 6．C 【解析】 【分析】先列举出甲获胜的情况，再利用独立事件的概率乘法公式可计算出所求事件的概率。
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江苏省扬州市2019-2020学年度第二学期期末检测试题高二数学2020.07(全卷满分150分，考试时间120分钟)注意事项:1.答卷前，请考生务必将自己的学校、姓名、考试号等信息填写在答卷规定的地方.2.试题答案均写在答题卷相应位置，答在其它地方无效.参考公式:期望E(X)=μ=x1P1 +x2P2+.....+x n P n方差V(X)=(x1-u)2p1+(x z-u)2p2....+(x n -u)2p n .一、单项选择题(本大题共9小题，每小题5分，共45分,在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求) .1. A42- C32的值为( )A. 3B.9C.12D.152.下列结论中正确的是( )A.若y=x2 +ln2,则y'=2x+12B.若y=(2x+1)2则y'=3(2x+1)2C.若y=x2e x,则y'=2x e x,D.若y=lnxx ，则y'=1−lnxx23.将2封不同的信投入3个不同的信箱，不同的投法种数为( )A. A32B. C32C. 32D.234.若复数z满足z(3-i)=8-6i (i为虚数单位)，则z的虛部为( )A. 1B. 3C. -1D. -35.若某地区刮风的概率为215，下雨的概率为415，既刮风又下雨的概率为110，则在下雨天里，刮风的概率为( )A.12B.34C.38D.82256.为全面贯彻党的教育方针，落实立德树人的根本任务，某学校积极推进教学改革，开发了10门校本课程，其中艺术类课程4门，劳动类课程6门.小明从10门课程中任选3门,则出现艺术类课程的概率为( )A.56B.12C.310D.157.关于(2x−1x2)6的展开式，下列说法中正确的是( )A.展开式中二项式系数之和为32;B.展开式中各项系数之和为1;C.展开式中二项式系数最大的项为第3项;D.展开式中系数最人的项为第4项8.某省新高考方案规定的选科要求为:学生先从物理、历史两科中任选一科，再从化学、生物、政治、地理四门学科中任选两科.现有甲、乙两名学生按上面规定选科，则甲、乙恰有一门学科相同的选科方法有( )A.24种B.30种C.48种D.60种9. 已知集合A={1,2,3,4},B={1,2,3,4,5}，从集合A中任取3个不同的元素，其中最小的元素用a表示，从集合B中任取3个不同的元素,其中最大的元素用b表示，记X =b-a,则随机变量X的期望为( )A.134B. 154c,3 D.4二、多项选择题(本大题共3个小题，每小题5分，共15分，在每小题给出的四个选项中有多项符合要求，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分).10.已知i为虚数单位,则下列选项中正确的是( )A.复数z=3+4i的模|z|=5;B.若复数z=3+4i，则Z→(即复数z的共轭复数)在复平面内对应的点在第四象限;C.若复数(m2 +3m-4)+(m2-2m- 24)i是纯虚数，则m=1或m=-4;D.对任意的复数z，都有z2≥0A. E(ξ)= E(ξ)B. V(ξ)=V(n)C. E(ξ)增大D. V(η) 先增大后减小12.已知函数f(x)=x e x，若x1<x2<0，则下列选项中正确的是( )A. (x1-x2)[f(x1)<f(x2)]>0B. x1f(x2)> x2f(x1)C. | f(x1)<f(x2)|<1eD. f(x1)<f(x2)< x2-x1三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13.若随机变量X ~ N(2,32)，且P(X <a)=0.20,则P(2<X <4-a)=.____________14.种植某种树苗，成活率为23，现种植这种树苗4棵，则恰好成活3棵的概率为___________15.如图在长方体ABCD- A1B1C1D1中，AB=2，AD= AA1=1,则点B1.到平面D1BC的距离为_________16.若对任意正实数x,y,不等式(2x-y)-(lny-lnx+1)≤ x恒成立，则a实数a的取值范围a为__________四、解答题(本大题共6小题，计70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17. (本小题10分)已知(2x)2(n∈N* )的展开式中第2项与第3项的二项式系√x数之和是21,(1)求n的值;(2)求展开式中的常数项.18. (本小题12分)已知函数f(x)=x3+ax2 + bx+c在点P(1,3)处的切线方程为y= 3x，且函数f(x)在x=-2处取得极值.(1)求函数f(x)的解析式;(2)当x∈[-3,1]时，求函数f(x)的最大值.19.(本小题12分)学校为了解班级线上学习情况，某位班主任老师进行了有关调查研究.(1)从班级随机选出5名同学，对比研究了线上学习前后两次数学考试成绩，如下参考公式:在线性回归方程(2)针对全班45名同学(25名女生，20 名男生)的线上学习满意度调查中，女姓满意率为80%，男生满意率为75%,填写下面列联表,判断能否在犯错误概率不超过0.0120. (本小题12分)如图，在四棱锥P- ABCD中，四边形ABCD是菱形，AC∩BD=0,△PAC为正三角形，AC=2.(1)求直线PA与平面PBD所成角的大小;(2)若∠BPO=30°，求二面角A- PB- D的正切值.21. (本小题12分)某市举办了一次“诗词大赛”，分预赛和复赛两个环节，己知共有20000名学生参加了预赛，现从参加预赛的全体学生中随机地(1)规定预赛成绩不低于80分为优良，若从样本中预赛成绩不低于60分的学生中随机地抽取2人，求恰有1人预赛成绩优良的概率;.(2)由样本数据分析可知，该市全体参加预赛学生的预赛成绩Z服从正态分布N(μ,σ2),其中μ可近似为样本中的100名学生预赛成绩的平均值(同一组数据用该组数据的中间值代替)，且σ2 =361.利用该正态分布，估计全市参加预赛的全体学生中预赛成绩不低于72分的人数;(3)预赛成绩不低于91分的学生将参加复赛，复赛规则如下: .①参加复赛的学生的初始分都设置为100分;②参加复赛的学生可在答题前自己决定答题数量n,每一题都需要“花”掉一定分数来获取答题资格(即用分数来买答题资格)，规定答第k题时“花”掉的分数为0.2k(k = 1,2,.n);③每答对一题得2分，答错得0分;④答完n题后参加复赛学生的最终分数即为复赛成绩.已知学生甲答对每道题的概率均为0.75，且每题答对与否都相互独立，则当他的答题数量n为多少时，他的复赛成绩的期望值最大?参考数据:若Z~N(μ,σ2), 则P(μ-σ<Z<μ+σ)≈0.6827,P(μ- 2σ<Z<μ+2σ)≈0.9545, P(μ-3σ<Z < μ+3σ)≈0.997322. (本小题12分)己知函数f(x)=lnx+q+bx (其中a,b 为参数).x(1)若b=0，求函数f(x)的单调区间;(2) 若a=0,b=1，且函数g(x)= f(x)+q-m有且只有2个零点，求实数m的取值范xe x围.2019—2020学年度第二学期期末检测试题高二数学参考答案 2020．71.B 2． D 3．C 4.C 5. C 6. A 7．B 8．D 9. A 10． AB 11．BC 12． BCD 13. 0.3 14.328116.(]0,117．解（1）由题意得1221+=n n C C ，即(6)(7)0−+=n n ，解得6n =； ………4分（2）622n x x ⎛⎛= ⎝⎝，36662166(2)2−−−+==r rrr r rr T C x C x ，令3602r −=，则4r =， ………8分所以，展开式中得常数项为2646260C −=⋅． ………10分18． 解（1）()232f x x ax b =++'，由题意得()()()131320''⎧=⎪=⎨⎪−=⎩f f f ，即133231240+++=⎧⎪++=⎨⎪−+=⎩a b c a b a b ………3分解得2a =，4b =−，4=c ．所以()32244=+−+f x x x x ， ………5分检验符合要求． ………6分（2）()2344f x x x '=+−，令()0f x '=，则23x =或2x =−． ………8分………10分又因为()212−=f ，()13=f ，所以()max 2(2)1=−=f f x ． ………12分 19．解（1）100120==，x y ………1分12222221()()2025+1010+0+1510+20201150ˆ 1.1520+10+0+10+201000()==−−⨯⨯⨯⨯====−∑∑niii nii x x y y bx x ………4分所以ˆˆ120 1.151005=−=−⨯=，a y bx………5分所以线性回归方程 1.155ˆ=+yx ………6分 （2）列联表如下：………8分提出假设 0H :学生线上学习满意度与学生性别无关，计算得：2245(75100)90.1612025351056−==≈⨯⨯⨯χ ………10分因为20.161 6.635≈<χ所以在犯错误概率不超过0.01的前提下，不能认为线上学习满意度与学生性别有关. ………12分 20、解：因为四边形ABCD 是菱形，所以BD AC ⊥，且O 是BD AC ,中点， 又PAC ∆是正三角形，且2=AC ，则1,323,===⊥AO AC PO AC PO ， ⑴因为PO AC BD AC ⊥⊥,，⊂PO 平面PBD ，⊂BD 平面O BD PO PBD = ，，所以⊥AC 平面PBD ， ………2分 所以PO 为PA 在平面PBD 内的射影， ………3分 所以APO ∠即为直线PA 与平面PBD 所成的角， ………4分 在正PAC ∆中，PO 是AC 边上的中线，所以30=∠APO . ………6分 ⑵在BPO ∆中，作PB OH ⊥于H ，连AH ， ………7分因为30=∠BPO ，所以2321==PO OH 因为⊥AO 平面PBD ，⊂PB 平面PBD ， 所以PB AO ⊥，又⊂=AO O OH AO , 平面AOH ，⊂HO 平面AOH ，所以⊥PB 平面AOH ， ………8分 因为⊂AH 平面AOH ，所以AH PB ⊥， 又PB OH ⊥，所以AHO ∠即为所求二面角D PB A −−的平面角， ………10分 在AOH Rt ∆中，1,23==AO OH ，所以332231tan ===∠HO AO AHO ………12分 21. 解：（1）由题意得样本中成绩不低于60分的学生共有40人，其中成绩优良的人数为15人， 记“从样本中预赛成绩不低于60分的学生中随机地抽取2人，恰有1人预赛成绩优良”为事件A ，则112515240C C 25P(A)C 52== 答：“从样本中预赛成绩不低于60分的学生中随机地抽取2人，恰有1人预赛成绩优良”的概率为2552………3分（2）由题意知样本中的100名学生预赛成绩的平均值为：5315.09025.0703.0502.0301.010=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=x ，则53=μ， ………4分由3612=σ得19=σ，所以15865.0))(1(21)()72(≈+≤<−−=+≥=≥σμσμσμZ P Z P Z P ， ………6分 所以，估计全市参加参赛的全体学生中成绩不低于72分的人数为317315865.020000=⨯， 即全市参赛学生中预赛成绩不低于72分的人数为3173． ………7分 （3）以随机变量ξ表示甲答对的题数，则ξ～)75.0,(n B ，且()0.75=E n ξ，记甲答完n 题所加的分数为随机变量X ，则ξ2=X ，∴()2() 1.5==E X E n ξ， ………9分 依题意为了获取答n 道题的资格，甲需要“花”掉的分数为：)(1.0)321(2.02n n n +=+⋅⋅⋅+++⨯， 设甲答完n 题后的复赛成绩的期望值为()f n ，则22()1000.1() 1.50.1(7)104.9=−++=−−+f n n n n n ， 由于*N n ∈，所以当7=n 时，()f n 取最大值9.104．即当他的答题数量n =7时，他的复赛成绩的期望值最大． ………12分 22．解：（1）若0=b ，则()ln (0)=+>，af x x x x ，2()−'=x af x x 当0≤a 时，()0'>f x ，所以()f x 在()0,+∞上单调递增； ………2分 当0>a 时，()f x 在()0,a 上单调递减，在(),+∞a 上单调递增. ………4分 （2）若0,1==a b ，则11()()ln =+−=++−x xg x f x m x x m xe xe ， ()22221(1)111()1xx x x x xxe x x xe x e x g x x x e x e x e −+++−−'=+−== ………5分令()0g x '=，则1xxe =．令()1−=x h x xe （0x >），则()(1)0xh x x e '=+>，∵11022⎛⎫=−<⎪⎝⎭h ，(1)10=−>h e ，且在上连续， ∴存在唯一01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得000()10==−xh x x e ………6分 且当()00,x x ∈时，()10=−<x h x xe ，当()0,x x ∈+∞时，()10=−>x h x xe ，∴()0min 0000()ln =+=+−x g g x x x x ex m ………7分 ∵001x x e=，∴()00ln 0=x x e ，即00ln 0x x +=，∴()0min (1)==−g g x x m ………8分 ∵函数()g x 有且只有2个零点 ∴必需有()()0min 10==−<g x g x m ，即1>m ………9分 下面用零点存在性定理证明：当1>m 时，函数()g x 有且只有2个零点. 先证明()g x 在()0,x +∞上有且只有1个零点，过程如下：()010=−<g x m ，11()ln ln 0=++−=+>m mg m m m m m me me， 又()g x 在()0,x +∞上单调递增且连续，∴()g x 在()0,x +∞上有且只有1个零点. ………10分 再证明()g x 在()00,x 上有且只有1个零点，过程如下：11()ln ln =++−=+−xx xg x x x m xe m xe xe ，()00,∈x x ， 令=xxe t （其中01<<t ），则1()ln =+−H t t m t，∵01−<<me ∴()2−=−m m H e e m ，令()2=−mm e m ϕ（其中1>m ），则()20'=−>mm e ϕ，∴()m ϕ在()1,+∞上单调递增，∴()2(1)20=−>=−>mm e m e ϕϕ.又()010=−<g x m ，()g x 在()00,x 上单调递减且连续，∴()g x 在()00,x 上有且只有1个零点， 综上得：1>m ………12分 注：第（2）中通过分参求函数1ln =++xm x x xe 的值域得，但未用零点存在性定理处理的给4分.()h x (0,)+∞1>m。