北师大文科数学高考总复习练习：导数的概念及运算 含答案

第三章导数及其应用

第1讲导数的概念及运算

基础巩固题组

(建议用时：40分钟)

一、选择题

1．设y＝x2e x，则y′＝

() A．x2e x＋2x B．2x e x

C．(2x＋x2)e x D．(x＋x2)e x

解析y′＝2x e x＋x2e x＝(2x＋x2)e x.

答案 C

2．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2x·f′(1)＋ln x，则f′(1)等于

() A．－e B．－1

C．1 D．e

解析由f(x)＝2xf′(1)＋ln x，得f′(x)＝2f′(1)＋1 x ，

∴f′(1)＝2f′(1)＋1，则f′(1)＝－1.

答案 B

3．曲线y＝sin x＋e x在点(0,1)处的切线方程是

() A．x－3y＋3＝0 B．x－2y＋2＝0

C．2x－y＋1＝0 D．3x－y＋1＝0

解析y′＝cos x＋e x，故切线斜率为k＝2，切线方程为y＝2x＋1，即2x－y ＋1＝0.

答案 C

4．(2017·成都诊断)已知曲线y＝ln x的切线过原点，则此切线的斜率为

()

A．e B．－e C.1

e D．－

1

e

解析y＝ln x的定义域为(0，＋∞)，且y′＝1

x

，设切点为(x0，ln x0)，则y′|x

＝x0＝1

x0

，切线方程为y－ln x0＝1

x0(x－x0)，因为切线过点(0,0)，所以－ln x0

＝－1，解得x0＝e，故此切线的斜率为1

e. 答案 C

5．(2017·昆明诊断)设曲线y＝1＋cos x

sin x在点⎝

⎛

⎭

⎪

⎫

π

2，1处的切线与直线x－ay＋1＝0

平行，则实数a等于

()

A．－1 B.1 2

C．－2 D．2

解析∵y′＝－1－cos x

sin2x

，∴＝－1.

由条件知1

a

＝－1，∴a＝－1.

答案 A

二、填空题

6．若曲线y＝ax2－ln x在点(1，a)处的切线平行于x轴，则a＝________.

解析因为y′＝2ax－1

x

，所以y′|x＝1＝2a－1.因为曲线在点(1，a)处的切线

平行于x轴，故其斜率为0，故2a－1＝0，解得a＝1

2.

答案1 2

7.(2017·长沙一中月考)如图，y＝f(x)是可导函数，直线l：y＝kx＋2是曲线y＝f(x)

在x＝3处的切线，令g(x)＝xf(x)，其中g′(x)是g(x)的导函数，则g′(3)＝________.

解析 由图形可知：f (3)＝1，f ′(3)＝－1

3，∵g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )， ∴g ′(3)＝f (3)＋3f ′(3)＝1－1＝0. 答案 0

8．(2015·全国Ⅱ卷)已知曲线y ＝x ＋ln x 在点(1,1)处的切线与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切，则a ＝________.

解析 由y ＝x ＋ln x ，得y ′＝1＋1

x ，得曲线在点(1,1)处的切线的斜率为k ＝y ′|x ＝1＝2，所以切线方程为y －1＝2(x －1)，即y ＝2x －1. 又该切线与y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切， 消去y ，得ax 2＋ax ＋2＝0， ∴a ≠0且Δ＝a 2－8a ＝0，解得a ＝8. 答案 8 三、解答题

9．已知点M 是曲线y ＝1

3x 3－2x 2＋3x ＋1上任意一点，曲线在M 处的切线为l ，求：

(1)斜率最小的切线方程； (2)切线l 的倾斜角α的取值范围． 解 (1)y ′＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2－1≥－1， 所以当x ＝2时，y ′＝－1，y ＝5

3， 所以斜率最小的切线过点⎝ ⎛

⎭

⎪⎫2，53，

斜率k ＝－1，所以切线方程为x ＋y －11

3＝0. (2)由(1)得k ≥－1，

所以tan α≥－1，所以α∈⎣⎢⎡

⎭⎪⎫0，π2∪⎣⎢⎡⎭

⎪⎫3π4，π.

10．已知曲线y ＝x 3＋x －2在点P 0处的切线l 1平行于直线4x －y －1＝0，且点P 0

在第三象限． (1)求P 0的坐标；

(2)若直线l ⊥l 1，且l 也过切点P 0，求直线l 的方程． 解 (1)由y ＝x 3＋x －2，得y ′＝3x 2＋1， 由已知令3x 2＋1＝4，解之得x ＝±1. 当x ＝1时，y ＝0；当x ＝－1时，y ＝－4.

又∵点P 0在第三象限，∴切点P 0的坐标为(－1，－4)．

(2)∵直线l ⊥l 1，l 1的斜率为4，∴直线l 的斜率为－1

4.∵l 过切点P 0，点P 0的坐标为(－1，－4)，∴直线l 的方程为y ＋4＝－1

4(x ＋1)，即x ＋4y ＋17＝0.

能力提升题组 (建议用时：20分钟)

11．(2016·山东卷)若函数y ＝f (x )的图像上存在两点，使得函数的图像在这两点处的切线互相垂直，则称y ＝f (x )具有T 性质，下列函数中具有T 性质的是

( )

A ．y ＝sin x

B ．y ＝ln x

C ．y ＝e x

D ．y ＝x 3

解析 若y ＝f (x )的图像上存在两点(x 1，f (x 1))，(x 2，f (x 2))， 使得函数图像在这两点处的切线互相垂直，则f ′(x 1)·f ′(x 2)＝－1.

对于A ：y ′＝cos x ，若有cos x 1·cos x 2＝－1，则当x 1＝2k π，x 2＝2k π＋π(k ∈Z )时，结论成立；

对于B ：y ′＝1x ，若有1x 1

·

1x 2

＝－1，即x 1x 2＝－1，∵x 1＞0，x 2>0，∴不存在x 1，