勾股定理中的数学思想

勾股定理中的数学思想
山东省临沭县第一初级中学 276700 马贵胜
数学思想是数学的精髓，是解决数学问题的灵魂，在学习中起着非常重要的作用.现将用勾股定理解题的常用思想方法总结如下，以便同学们学习时参考.
一、方程思想
例1（2011山东菏泽）如图所示，已知在三角形纸片ABC 中，BC =3， AB =6，∠BCA =90°，在AC 上取一点E ，以BE 为折痕，使AB 的一部分与BC 重合，A 与BC 延长线上的点D 重合，则DE 的长度为
A ．6
B ．3
C ．
D ．
解析：本题考查了折叠、垂直平分线的性质以及勾股定理等知识.由折叠可知BC =BA =6，DE =AE ，∵BC =3，∴CD =BC =3，∴BE =DE =AE ，由勾股定理可得AC
=设DE =AE =BE =x ，在Rt △BCE 中，32
＋()2x =x 2
，解得x
=DE
的长度为，故选C. 点评：把所要求的问题用未知数表示出来,可以使计算更简洁,一目
了然，从而使运算变得简单.
二、转化思想
例2如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B 离点C 的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A 爬到点B ，需要爬行的最短距离是（ ）
A
． B ．25 C
．5
D ．35 解析: 求立体图形表面上两点之间的最短路程
时，一般是将立体图形展开，转化为平面图形，将求
立体图形表面上两点之间的最短距离转化为求直角三
角形两点之间的距离.将长方体侧面沿CD 展开可得图
2，在Rt △ABE 中，AE ＝20，BE ＝10+5=15，根据勾股
定理可得：AB
25==，所以蚂蚁爬行的最短距离为25.故本题应选B.
点评：要计算蚂蚁的最短距离，我们一般是先将长方体侧面展开，利用“两点之间，线段最短”来找出最短的路线，然后根据勾股定理，在一个直角三角形中求出这个最短的距离.
三、数形结合思想
例3（2011云南玉溪）如图，在△ABC 中，∠ABC =90°，分别以BC 、AB 、AC 为边向外作正方形，面积分别记为S 1、S 2、S 3，若S 2=4，S 3=6，则S 1=________.
解析：本题利用正方形的面积正好为直角三角形一条直角边的平方，在结合勾股定理即
可求得问题的解.由题意得：S 1=2CB ，S 2=2
AB ，S 3=2AC ，由勾股定理可得：2AB +2CB =2AC ；则有S 2+ S 1= S 3，即4+ S 1=6，则S 1=2；故填2.
S 1S 2S 3C
B
A C
点评：数形结合思想就是在研究问题时把数和形结合起来考虑，或者把问题的数量关系转化为图形的性质，或者把图形的性质转化为数量关系，从而使复杂的问题简单化，抽象的问题具体化.它可以培养学生思维的灵活性，形象性和深刻性.
四、分类讨论思想
例4已知直角三角形的两边长分别为3、4，求第三边长.
解析：由于本题中并没有说明3、4为直角边，这说明该两边可能是直角边；也可能4是斜边，而所求第三边为直角边.因而所求的第三边可能为斜边，但也可能为直角边.
==；
（1）当两直角边为3和45
（2）当斜边为4，一直角边为3=
点评：当问题答案不唯一时，我们要分情况讨论，这样才不会漏解，此类题可以培养学生细心观察、分类讨论的能力.。