概率论1-4
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概率论与数理统计 --- 第四章{随机变量的数字特征} 第一节：数学期望
32 30 17 21 0 1 2 3 1.27 100 100 100 100
这个数能否作为 X的平均值呢？
若统计100天,
可以想象, 若另外统计100天, 车工小张不出废品, 这另外100天每天的平均废品数也不一定是1.27. 一般来说, 若统计n天 ,
(假定小张每天至多出三件废品)
又设飞机机翼受到的正压力W 是V 的函数 : W kV 2 ( k 0, 常数), 求W 的数学期望.
解: 由上面的公式
1 1 2 E (W ) kv f (v )dv kv dv ka a 3 0
2 2
a
例7 设二维连续型随机变量（X , Y）的概率密度为
A sin( x y ) 0 x , 0 y f ( x, y) 2 2 0 其它 (1)求系数A , ( 2)求E ( X ), E ( XY ).
x f ( x )x
i i i
i
阴影面积近似为
这正是:
f ( xi )xi
x f ( x )dx
的渐近和式.
小区间[xi, xi+1)
定义: 设X是连续型随机变量, 其密度函数为 f (x), 如果积分: xf ( x )dx
概率论
绝对收敛, 则称此积分值为X的数学期望, 即:
2. 设二维连续型随机变量 (X, Y) 的联合概率密度为 f (x, y), 则： E ( X )
E (Y )
xf X ( x )dx
yfY
( y )dy
xf ( x , y )dxdy,
这个数能否作为 X的平均值呢？
若统计100天,
可以想象, 若另外统计100天, 车工小张不出废品, 这另外100天每天的平均废品数也不一定是1.27. 一般来说, 若统计n天 ,
(假定小张每天至多出三件废品)
又设飞机机翼受到的正压力W 是V 的函数 : W kV 2 ( k 0, 常数), 求W 的数学期望.
解: 由上面的公式
1 1 2 E (W ) kv f (v )dv kv dv ka a 3 0
2 2
a
例7 设二维连续型随机变量（X , Y）的概率密度为
A sin( x y ) 0 x , 0 y f ( x, y) 2 2 0 其它 (1)求系数A , ( 2)求E ( X ), E ( XY ).
x f ( x )x
i i i
i
阴影面积近似为
这正是:
f ( xi )xi
x f ( x )dx
的渐近和式.
小区间[xi, xi+1)
定义: 设X是连续型随机变量, 其密度函数为 f (x), 如果积分: xf ( x )dx
概率论
绝对收敛, 则称此积分值为X的数学期望, 即:
2. 设二维连续型随机变量 (X, Y) 的联合概率密度为 f (x, y), 则： E ( X )
E (Y )
xf X ( x )dx
yfY
( y )dy
xf ( x , y )dxdy,
1-4 等可能概型(古典概型)
n! 一共有 n !n ! n !种分法。(n1+n2+„+nk = n ) 1 2 k
n
1
证：从n个不同的元素中取出n1个元素有 n n !( n n )! 种取法；
1 1
n!
(n n1 )! 再从剩下的n-n1个元素中取出n2个元素有 n !(n n n )! 2 1 2
组合分析的两条基本原理
火车2次 火车
成都
汽车3次
重庆
成都
汽车
重庆
火车 飞机 轮船
武汉
共有23=6种方法 共有2+3=5种方法 1.加法原理 若完成一件事有两种方式，第一种方式有n1种方法， 第二种方式有n2种方法，无论通过哪种方法都可以完成这件事，
则完成这件事总共有n1+n2种方法。 2.乘法原理 若完成一件事有两个步骤，第一个步骤有n1种方法，
种分法。
例题7
例7 将15名新生随机地平均分配到三个班级中去，这15名新生中
种取法；„
从最后剩下的n-(n1+n2+„+nk-1)个元素中取出nk个元素有
[n (n1 n2 nk 1 )]! 种取法。 nk ![n (n1 n2 nk )]!
按乘法原理，n个不同的元素，分成k组，每组分别有n1,n2,„,nk 个元素,应该有
[n (n1 n2 nk 1 )]! n! (n n1 )! n! n1!(n n1 )! n2!(n n1 n2 )! nk !0! n1!n2! nk !
P ( A) kA 16 4 , n 36 9
kB 4 1 . n 36 9 5 8 P( A B) P( A) P( B) , P(C ) P( B) 1 P( B) 9 9 P( B)
n
1
证：从n个不同的元素中取出n1个元素有 n n !( n n )! 种取法；
1 1
n!
(n n1 )! 再从剩下的n-n1个元素中取出n2个元素有 n !(n n n )! 2 1 2
组合分析的两条基本原理
火车2次 火车
成都
汽车3次
重庆
成都
汽车
重庆
火车 飞机 轮船
武汉
共有23=6种方法 共有2+3=5种方法 1.加法原理 若完成一件事有两种方式，第一种方式有n1种方法， 第二种方式有n2种方法，无论通过哪种方法都可以完成这件事，
则完成这件事总共有n1+n2种方法。 2.乘法原理 若完成一件事有两个步骤，第一个步骤有n1种方法，
种分法。
例题7
例7 将15名新生随机地平均分配到三个班级中去，这15名新生中
种取法；„
从最后剩下的n-(n1+n2+„+nk-1)个元素中取出nk个元素有
[n (n1 n2 nk 1 )]! 种取法。 nk ![n (n1 n2 nk )]!
按乘法原理，n个不同的元素，分成k组，每组分别有n1,n2,„,nk 个元素,应该有
[n (n1 n2 nk 1 )]! n! (n n1 )! n! n1!(n n1 )! n2!(n n1 n2 )! nk !0! n1!n2! nk !
P ( A) kA 16 4 , n 36 9
kB 4 1 . n 36 9 5 8 P( A B) P( A) P( B) , P(C ) P( B) 1 P( B) 9 9 P( B)
概率论与数理统计课件：1-4 概率论的基本概念 补充内容 几何概型
几何概型的例子
例1 蒲丰（Buffon）投针问题
平面上画有间隔为d 的等距平行线，
向平面任意投掷一枚长为l (l<d) 一条平行线的
距离，又以表示针与此直线间的交角.
易知样本空间S满足：
0 x d/2; 0 . S形成x-平面上的一个矩形，其面积为：
几何概率的计算公式
随机事件 A 包含的样本点测度 P (A ) = ———————————————
样本空间 S 包含的样本点测度
关于“测度”( measure )的理解 1. “测度” 是一个数学概念，它是我们现实生活中的
“度量” 概念的数学抽象 ( 一种集合函数 ) 。 2. 几何概率里的测度一般取为长度、面积、体积等等。 3. 古典概型中的 “样本点个数” 也是一种测度。
C
D
圆面积的1/4，故所求概率等于
1/4(见图)。
同一问题有三种不同的答案，细究其原因，发现是在
4. 前面课程中对 “概率” 的定义就是一种测度定义。
几何概率的基本性质
从几何概型的概率研究中，我们发现概率有下面三个基 本性质：
⑴对于任何事件A,P(A)≥0； ⑵P(S)=1； ⑶若A1 ，A2 ，… 两两互不相容，则
P An P( An ) n1 n1
第一个性质称为概率的非负性，第二个性质称为概率 的规范性，第三个性质称为概率的可列可加性。前两个性质 与古典概率相同，后一个性质则要求对可列个两两互不相容 的事件成立。
B A
N
[解法二] 弦长只跟它与圆心的距离有
关，而与方向无关，因此可以假定它
A
C 1/2 B
垂直于某一直径。当且仅当它与圆心
1/2
的距离小于1/2时，才满足要求，因
1-4概率的公理化定义及性质
因而
P(B A)
P(B)
P( AB)
1 2
1 8
3. 8
A AB B S
三、小结
概率的主要性质 (1) 0 P(A) 1, P(S) 1, P() 0; (2) P( A) 1 P( A); (3) P( A B) P( A) P(B) P( AB); (4) 设 A, B 为两个事件,且 A B,则 P( A) P(B), P( A B) P( A) P(B).
P( A1 A3 ) P( A1 A2 A3 ).
例1 设事件 A, B 的概率分别为1 和 1 , 求在下列 32
三种情况下 P(B A) 的值.
(1) A与B互斥; (2) A B; (3) P( AB) 1 . 8
解 (1)由图示得 P(B A) P(B),
故 P(B A) P(B) 1 .
但反过来，如果P（A）=0，未必有A=Φ 例如：
一个质地均匀的陀螺的圆周上均匀地刻有[0 , 5) 上诸数字，在桌面上旋转它，求当它停下来时，圆周 与桌面接触处的刻度为2的概率等于0，但该事件有可 能发生。
(2) 若A1, A2, , An是两两互不相容的事件,则有 P( A1 A2 An ) P( A1) P( A2 ) P( An ).
所以 1 P(S) P( A A)
P( A) P( A).
P( A) 1 P( A).
(6) (加法公式) 对于任意两事件 A, B 有 P( A B) P( A) P(B) P( AB).
证明 由图可得
A B A (B AB), 且 A (B AB) ,
概率论与数理统计第一章1-4高职高专
A、 B不可能同
A
B
时发生
A1 , A2 ,, An 两两互斥
Ai Aj , i j, i, j 1,2,, n A1 , A2 ,, An , 两两互斥
Ai Aj , i j, i, j 1,2,
7. 事件的对立
AB , A B
习 题（P 50-51） 1.
ABC 2% 23% 20% 3% 7% 5% ABC
B
C
ABC 30%
A
2. (1) ABC=A
BC
B A
C
(2)
A
B C
3. 试把 相容的事件的和。
表示成n个两两互不
A
B
AB
ABC
C
6. 解：
(1) (2) (3) (4) (5)
第三节
频率定义
频率与概率
频率——对于随机事件A，若在N次试验中出现
—— A 与B 互相对立 每次试验 A、 B中
B A
A
有且只有一个发生
称B 为A的对立事件(or逆事件)， 记为 B A 注意：“A 与B 互相对立”与 “A 与B 互斥”是不同的概念
8. 完备事件组
若 A1 , A2 ,, An两两互斥，且 Ai
n
则称 A1 , A2 ,, An 为完备事件组 或称 A1 , A2 ,, An 为 的一个分割
(1) 将3名优秀生分配到三个班级，共有3！种分 法，其余12名新生平均分配到三个班级，共有 种分法，因此所求概率为
交换 ( B C ) ( AB)C A( BC ) 分配律 ( A B) C ( A C ) ( B C ) A ( BC ) ( A B)( A C )
A
B
时发生
A1 , A2 ,, An 两两互斥
Ai Aj , i j, i, j 1,2,, n A1 , A2 ,, An , 两两互斥
Ai Aj , i j, i, j 1,2,
7. 事件的对立
AB , A B
习 题（P 50-51） 1.
ABC 2% 23% 20% 3% 7% 5% ABC
B
C
ABC 30%
A
2. (1) ABC=A
BC
B A
C
(2)
A
B C
3. 试把 相容的事件的和。
表示成n个两两互不
A
B
AB
ABC
C
6. 解：
(1) (2) (3) (4) (5)
第三节
频率定义
频率与概率
频率——对于随机事件A，若在N次试验中出现
—— A 与B 互相对立 每次试验 A、 B中
B A
A
有且只有一个发生
称B 为A的对立事件(or逆事件)， 记为 B A 注意：“A 与B 互相对立”与 “A 与B 互斥”是不同的概念
8. 完备事件组
若 A1 , A2 ,, An两两互斥，且 Ai
n
则称 A1 , A2 ,, An 为完备事件组 或称 A1 , A2 ,, An 为 的一个分割
(1) 将3名优秀生分配到三个班级，共有3！种分 法，其余12名新生平均分配到三个班级，共有 种分法，因此所求概率为
交换 ( B C ) ( AB)C A( BC ) 分配律 ( A B) C ( A C ) ( B C ) A ( BC ) ( A B)( A C )
1-4古典概型
解：以分钟为单位, 则上一次报时时刻为下一次报时时刻长为60，
10 P ( A) 60
例9：(会面问题) 甲、乙两人相约在7点到8点之间在某地会面, 先到者等候另一人20分钟, 过时就离开. 如果每个人可在指定 的一小时内任意时刻到达, 试计算二人能够会面的概率. 记7点为计算时刻的0时, 以分钟为单位, 用 x , y 分别记表 解： 示甲、乙两人到达指定地点的时刻, 显然
A 表示“n 个人的生日均不相同”, 这相当于每间房子至
多做一个人，
于是由例4有： P( A)
Cn 365 n ! 365n
Cn 365 n ! 365
50
n
P( A) 1 P( A) 1
经计算可得下述结果： N 20 23 30 40
.
64
100
p 0.411 0.507 0.706 0.891 0.970 0.997 0.9999997
0 x 60,0 y 60
则样本空间为：
S {( x, y) | 0 x 60,0 y 60}
用字母A表示事件“两人能会面”, 则
A {( x, y ) | ( x, y) S , | x y | 20}
P(A) = 阴影部分的面积/正方形的面积
( A) 602 402 5 . 2 (S ) 60 9
1 Cm (n 1)! m n! n
练习: 一个八位数的电话号码，记住了前5位，而后三位只记 的是0、5、6三个数，而具体排列记不住，问试拨一次就拨 对的可能性有多大？
解：用A来表示“试拨一次就拨对”，
3 总的基本事件总数： P 3
3! 6
A所包含的基本事件数： 1
概率论f1-4
概率论f1-4概率论的基本概念§1-4 等可能概型目录索引等可能概型(古典概型)返回主目录第一章概率论的基本概念等可能概型1. 等可能概型(古典概型)考虑最简单的一类随机试验，它们的共同特点是：样本空间的元素只有有限个；(有限性) 每个基本事件发生的可能性相同。
(等可能性) 我们把这类试验称为等可能概型，考虑到它在概率论早期发展中的重要地位，又把它叫做古典概型。
返回主目录第一章概率论的基本概念等可能概型基本事件的概率:设S ={e1, e2, 。
en }, 由古典概型的等可能性，得P ({e1 }) P ({e2 }) P ({en })又由于基本事件两两互不相容，所以1 P ( S ) P ({e1 }) P ({e2 }) ( P{en }),1 P ({ei }) , n i 1,2, , n.返回主目录第一章概率论的基本概念随机事件的概率:若事件A 包含k 个基本事件，即等可能概型A {en1 , en2 , , enk }则有：k P ( A) P ({eni }) n i 1kA包含的基本事件数即：P ( A) . S中基本事件总数例1 将一枚硬币抛掷三次。
设：事件A1=“恰有一次出现正面”返回主目录第一章概率论的基本概念事件A2 =“至少有一次出现正面”, 求P (A1 ), P (A2 )。
解：根据上一节的记号，E2 的样本空间S2={HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT TTH,TTT},等可能概型n = 8,即S2 中包含有限个元素，且由对称性知每个基本事件发生的可能性相同，属于古典概型。
A1为“恰有一次出现正面”,A1={HTT, THT, TTH},返回主目录第一章概率论的基本概念等可能概型k = 3,k 3 P ( A 1) = = , n 8事件A2=“至少有一次出现正面”,A2={HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH }k2 = 7 ,k2 7 P ( A 2) = = , n 81 另解: 由于A2 = {T T T}, k A 2 = 1 ,P ( A 2 ) = = , n 8A2k1 7 P ( A2 ) = 1 P ( A2 ) = 1 = . 8 8返回主目录第一章概率论的基本概念等可能概型例2 一口袋装有6 只球，其中4 只白球、2 只红球。
《概率论与数理统计》1-4全概公式
365 400 97 146097
146097 20871 7
20871 52 400 71 P B 400 400
方法二 利用全概公式
A 表示平年,
则 A, A 构成一划分
B 表示有53个星期天
P A 97 400
1 2 P B | A , P B | A 7 7
125 198
注 : 一定要写清事件, 公式 , 不得只写算式.
p 2500 2000 1500 5% 3% 1% 3.3% X 6000 6000 6000
全概率公式和贝叶斯公式是概率论中的两个重要公式,
有着广泛的应用.若把事件Ai 理解为‘原因’, 而把 B理 解为‘结果’ P, 则 B| A 是原因 Ai
为 0.01, 各车间的产品数量分别为2500, 2000, 1500件 . 出厂时 , 三车间的产品完全混合, 现从中任取一产品, 求该 产品是次品的概率. 若已知抽到的产品是次品, 求该产品 是一车间的概率.
解 : 设 Ai 为取到第 i个车间的产品, B为取到次品 由全概率公式得:
P( B) P( Ai ) P( B Ai )
i 1
3
P( A1 ) P( B A1 ) P( A2 ) P( B A2 ) P( A3 ) P( B A3 )
2500 2000 1500 5% 3% 1% 3.3% 6000 6000 6000
由贝叶斯公式得:
P A1 B
P A1 P B A1 P B
P B P BA1 P BA2 P BA3 P A1 P B | A1 P A2 P B | A2 P A3 P B | A3
1-4 等可能概型
【评】古典概型在概率论中占有相当重要的地位。 一方面，由于它简单，对它的讨论有助于直观地理解
概率论的许多基本概念，因此，我们常从古典概型 开始引入新的概念；另一方面，古典概型概率的计算
在产品质量抽样检查等实际问题中有重要的应用。
二、基本排列与组合公式
乘法原理：若进行A1过程有n1种方法，进行A2过程有 n2种方法，则进行A1过程后再进行A2过程共有n1n2种 方法。 加法原理：若进行A1过程有n1种方法，进行A2过程有
r n
设r1+r2+…+rk=n，把n个不同的元素分成k个部分，
第一部分含r1个元素，第二部分含r2个元素，…
则不同的分法为
C C
r1 n
r2 n r1
C
rk 1 rk n r1 rk 2 n r1 rk 1
C
n! r1 !r2 ! rk !
一些常用公式
1 3 5 6 1 2 1 64 2 3 6 1 3
Bk-1={取得的n个数中最大的数不超过k-1}，
则 Bk-1Bk，且 A=Bk-Bk-1，依概率的性质，
C C 【注】利用事件间的关系与运算求解概率。
P(A)= P(Bk)-P(Bk-1)
Ckn
n 10
Ckn1
n 10
例3 从1～9这9个数中有放回地取出 n 个数， 试求取出的 n个数的乘积能被 10 整除的概率。
§4 等可能概型
教学纲目 一、古典概型的定义与计算公式
二、基本排列与组合公式
三、典型例题
10 放回抽样与不放回抽样； 20 抽签与顺序无关；
30生日问题； 40超几何分布；
50 实际推断原理。
四、几何概型
《概率论》第1章§4、5条件概率与全概率
2 (1)P(A ) 5
(2)P(B | A ) 1 4
(3)P(B A ) 2
4
1
2
§4、5 条件概率与全概率 将一枚硬币连抛两次，则样本空间是 设 A , B 是两个事件，且 P ( B ) 0, 记
3/36
S {H H ,HP T(,AB T H), T T } P( A | B) (B T ), T H } , 则 记 A { 一次正面一次反面 } {PH 称为在事件 B 发生的条件下事件 P ( A ) 1A 发生的条件概率 2 若 P ( A ) 0,如果我们已经知道试验结果中“至少出 则称 P ( AB ) P ( B | A ) 现了一次正面”,问此时 P ( A ) 两个概率含义不 P ( A) 条件概率 同，值也不相同 为 A 发生的条件下 B 发生的 记 B { 至少出现一次正面 } {H H , H T , T H }
§4、5 条件概率与全概率
7/36
例2一盒中混有100只新、旧乒乓球，各有红、白两色， 分类如下表.从盒中随机取出一球，若取得的是一只红 球，试求该红球是新球的概率.信息见下表：
红 新 旧 40 20 白 30 10
解：记 A＝{从盒中随机取到一只红球}. B＝{从盒中随机取到一只新球}. 则有： n AB 40 n 60
一 般 地 ， 若 A1 , A 2 , A n 是 n 个 事 件 ， 且 P ( A1 A 2 A n 1 ) 0
则由归纳法可得：
P ( A1 A 2 A n ) P ( A n A1 A 2 A n 1 ) P ( A n 1 A1 A 2 A n 2 ) P ( A 2 A1 ) P ( A1 )
(2)P(B | A ) 1 4
(3)P(B A ) 2
4
1
2
§4、5 条件概率与全概率 将一枚硬币连抛两次，则样本空间是 设 A , B 是两个事件，且 P ( B ) 0, 记
3/36
S {H H ,HP T(,AB T H), T T } P( A | B) (B T ), T H } , 则 记 A { 一次正面一次反面 } {PH 称为在事件 B 发生的条件下事件 P ( A ) 1A 发生的条件概率 2 若 P ( A ) 0,如果我们已经知道试验结果中“至少出 则称 P ( AB ) P ( B | A ) 现了一次正面”,问此时 P ( A ) 两个概率含义不 P ( A) 条件概率 同，值也不相同 为 A 发生的条件下 B 发生的 记 B { 至少出现一次正面 } {H H , H T , T H }
§4、5 条件概率与全概率
7/36
例2一盒中混有100只新、旧乒乓球，各有红、白两色， 分类如下表.从盒中随机取出一球，若取得的是一只红 球，试求该红球是新球的概率.信息见下表：
红 新 旧 40 20 白 30 10
解：记 A＝{从盒中随机取到一只红球}. B＝{从盒中随机取到一只新球}. 则有： n AB 40 n 60
一 般 地 ， 若 A1 , A 2 , A n 是 n 个 事 件 ， 且 P ( A1 A 2 A n 1 ) 0
则由归纳法可得：
P ( A1 A 2 A n ) P ( A n A1 A 2 A n 1 ) P ( A n 1 A1 A 2 A n 2 ) P ( A 2 A1 ) P ( A1 )
概率论与数理统计期中试卷(1-4章)附答案及详解
X，23π+=X Y5．设随机变量1X ,2X ,3X 相互独立，1X 在)5,1(-服从均匀分布，)2,0(~22N X，)2(~3Exp X （指数分布），记32132X X X Y +-=，则)(Y E )(Y D6. 设二维正态分布的随机变量)0,3,4,2,1( ),(22-N ~Y X ，且知8413.0)1(=Φ，则-<+)4(Y X P7. 已知随机变量X 的概率密度201()0 a bx x f x⎧+<<=⎨⎩其他, 且41)(=X E ，则a b )(X D 8. 设4.0,36)(,25)(===XY Y D X D ρ，则=+)(Y X D =-)(Y X D 二. （10分） 某车间有甲乙两台机床加工同一种零件，甲机床加工的零件数量比乙机床多一倍，甲乙机床加工零件的废品率分别为0.03，0.02. 两机床加工出的零件放在一起. 试求 （1）任取一个零件是合格品的概率；（2）任取一个零件经检验是废品，试求它是由乙机床生产的概率.解：设“从放在一起的零件中任取一件发现是甲/乙机床加工的”分别记为事件,A .A再记“从放在一起的零件中任取一件发现是废品”为事件.B 由已知得.02.0)(,03.0)(;31)(,32)(====A B P A B P A P A P …… 3’（1）由全概率公式知027.075202.03103.032)()()()()(≈=⨯+⨯=+=A B P A P A B P A P B P . …… 3’ 故任取一个零件是合格品的概率73()1()0.973.75P B P B =-=≈ …… 1’ （2）由贝叶斯公式知.4102.03103.03202.031)()()()()()()(=⨯+⨯⨯=+=A B P A P A B P A P A B P A P B A P …… 3’三. （10分）设某型号的电子元件的寿命X （单位: 小时）的分布密度为⎪⎩⎪⎨⎧>=其它,01000,1000)(2x x x f各元件在使用中损坏与否相互独立，现在从一大批这种元件中任取5只，求其中至少有一只元件的寿命大于1500小时的概率。
概率1-4独立性
2 3 2
概率论
请注意：
若将本例中的“有放回”改为”无放回”, 那么各次 试验条件就不同了, 此试验就不是伯努利试验 . 此 时, 只能用古典概型求解.
C C P(B) 0.00618 C
1 2 95 5 3 100
概率论
伯努利试验对试验结果没有等可能的要求， 但有下述要求： （1）每次试验条件相同； （2）每次试验只考虑两个互逆结果 A 或 且 P(A)=p ， P ( A) 1
前面我们看到独立与互斥的区别和联系， 再请你做个小练习. 设A、B为互斥事件，且P(A)>0,P(B)>0,下面四 个结论中，正确的是：
1. P(B|A)>0 3. P(A|B)=0
2. P(A|B)=P(A) 4. P(AB)=P(A)P(B)
设A、B为独立事件，且P(A)>0,P(B)>0,下面四 个结论中，正确的是： 1. P(B|A)>0 3. P(A|B)=0 2. P(A|B)=P(A) 4. P(AB)=P(A)P(B)
i 1
n
概率论
定义4 若随机变量序列A1，A2，…， An ，…中任意有限个事件相互独立， 则称该随机事件序列相互独立。
概率论
例3 甲、乙、丙三人各射击目标一次， 击中与否相互独立，甲、乙、丙射中 的概率分别为0.5、0.6、0.8，求下列 事件发生的概率，（1）恰有一人击 中；（2）至少有一人击中。
概率论
二、多个事件的独立性 定义2 设 A1 , A2 , , An 为 n 个 事 件 , 如 果 对 于 任 意 两个事件Ai ， Aj，有Ai ， Aj独立，即：
P( Ai Aj ) P( Ai )P( Aj )
则称A1 ， A2， … …， An，两两独立。
概率论
请注意：
若将本例中的“有放回”改为”无放回”, 那么各次 试验条件就不同了, 此试验就不是伯努利试验 . 此 时, 只能用古典概型求解.
C C P(B) 0.00618 C
1 2 95 5 3 100
概率论
伯努利试验对试验结果没有等可能的要求， 但有下述要求： （1）每次试验条件相同； （2）每次试验只考虑两个互逆结果 A 或 且 P(A)=p ， P ( A) 1
前面我们看到独立与互斥的区别和联系， 再请你做个小练习. 设A、B为互斥事件，且P(A)>0,P(B)>0,下面四 个结论中，正确的是：
1. P(B|A)>0 3. P(A|B)=0
2. P(A|B)=P(A) 4. P(AB)=P(A)P(B)
设A、B为独立事件，且P(A)>0,P(B)>0,下面四 个结论中，正确的是： 1. P(B|A)>0 3. P(A|B)=0 2. P(A|B)=P(A) 4. P(AB)=P(A)P(B)
i 1
n
概率论
定义4 若随机变量序列A1，A2，…， An ，…中任意有限个事件相互独立， 则称该随机事件序列相互独立。
概率论
例3 甲、乙、丙三人各射击目标一次， 击中与否相互独立，甲、乙、丙射中 的概率分别为0.5、0.6、0.8，求下列 事件发生的概率，（1）恰有一人击 中；（2）至少有一人击中。
概率论
二、多个事件的独立性 定义2 设 A1 , A2 , , An 为 n 个 事 件 , 如 果 对 于 任 意 两个事件Ai ， Aj，有Ai ， Aj独立，即：
P( Ai Aj ) P( Ai )P( Aj )
则称A1 ， A2， … …， An，两两独立。
概率论与数理统计 第四章
可见,方差是二阶中心矩,协方差是二阶混合中心
矩，它们都是随机变量函数的数学期望。
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【例3】[P.115:eg6]
〖解〗设X为随机取一球的标号,则r.v.X等可 能地取值1,2,3,4,5,6;
又Y=g(X),且
g(1)= g(2)= g(3)=1; g(4)= g(5)=2, g(6)=5. 故随机摸一球得分的期望为
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显然, 方差D(X)就是随机变量X的函数 g ( X ) [ X E( X )]2 的数学期望.因此,当X的分布律 p 或概率密度 k 已知时,有
2 [ x E ( X )] pk , 离散型 k k 1 D ( X ) [ x E ( X )]2 f ( x)dx, 连续型
1500 (分) □
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二、随机变量函数的数学期望 利用随机变量函数的分布可以证明下列两定理: 定理1 设Y=g(X)是随机变量X的连续函数，则 Y 也是随机变量，且其数学期望为
离散型 g ( xk ) pk , k 1 E (Y ) E[ g ( X )] g ( x) f ( x)dx, 连续型
X2 Pk 3X2+5 Pk 0 0.3 5 0.3 4 0.7 17 0.7
于是,
E(X)=(-2)×0.4+0×0.3+2×0.3=-0.2;
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例6-续
E(X2)=0×0.3+4×0.7=2.8; E(3X2+5)=5×0.3+17×0.7=13.4.
方法2(定义+性质法) 因为 E(X)=(-2)×0.4+0×0.3+2×0.3=-0.2; E(X2)=(-2)2×0.4+02×0.3+22×0.3=2.8; 所以, E(3X2+5)=3E(X2)+5=3×2.8+5=13.4. □
矩，它们都是随机变量函数的数学期望。
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【例3】[P.115:eg6]
〖解〗设X为随机取一球的标号,则r.v.X等可 能地取值1,2,3,4,5,6;
又Y=g(X),且
g(1)= g(2)= g(3)=1; g(4)= g(5)=2, g(6)=5. 故随机摸一球得分的期望为
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显然, 方差D(X)就是随机变量X的函数 g ( X ) [ X E( X )]2 的数学期望.因此,当X的分布律 p 或概率密度 k 已知时,有
2 [ x E ( X )] pk , 离散型 k k 1 D ( X ) [ x E ( X )]2 f ( x)dx, 连续型
1500 (分) □
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二、随机变量函数的数学期望 利用随机变量函数的分布可以证明下列两定理: 定理1 设Y=g(X)是随机变量X的连续函数，则 Y 也是随机变量，且其数学期望为
离散型 g ( xk ) pk , k 1 E (Y ) E[ g ( X )] g ( x) f ( x)dx, 连续型
X2 Pk 3X2+5 Pk 0 0.3 5 0.3 4 0.7 17 0.7
于是,
E(X)=(-2)×0.4+0×0.3+2×0.3=-0.2;
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例6-续
E(X2)=0×0.3+4×0.7=2.8; E(3X2+5)=5×0.3+17×0.7=13.4.
方法2(定义+性质法) 因为 E(X)=(-2)×0.4+0×0.3+2×0.3=-0.2; E(X2)=(-2)2×0.4+02×0.3+22×0.3=2.8; 所以, E(3X2+5)=3E(X2)+5=3×2.8+5=13.4. □
第一章-4条件概率
应用定义
解法2: P ( A | B )
3 6
1 2
在B发生后的缩减 样本空间中计算
例3 已知某家庭有3个小孩，且至少有一个是女孩，
求该家庭至少有一个男孩的概率． 解：设 A={ 3个小孩至少有一个女孩 } B={ 3个小孩至少有一个男孩 } 样本空间={ggg, ggb, gbg, gbb, bgg, bgb, bbg, bbb }
设 A , B , C 为事件 , 且 P ( AB ) 0 , 则有
P ( ABC ) P (C AB ) P ( B A) P ( A).
(注意:由假设P(AB)>0 ,可得到P(A) ≥P(AB)>0 .) 推广到多个事件的乘法公式:
当 P(A1A2…An-1)> 0 时，有 P(A1A2…An)= P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2) „ „ P(An| A1A2…An-1)
P( B)
2) 在减缩的样本空间中 (加入条件后改变了的 情况)直接计算.
例2 掷两颗均匀骰子,已知第一颗掷出6点,问 “掷出点数之和不小于10”的概率是多少? 解:设A={点数之和不小于10}, B={第一颗掷出6点} 解法1: P ( A | B )
P ( AB ) P( B)
3 36 6 36 1 2
i 1, 2 , 3 ,4 ,5 .
,
则有 P ( A1 )
2 5
,
P ( A 2 ) P ( A 2 S ) P ( A 2 ( A1 A1 ))
P ( A1 A 2 A1 A 2 ) P ( A1 A 2 ) P ( A1 A 2 )
P ( A1 ) P ( A 2 A1 ) P ( A1 ) P ( A 2 A1 )
1-4古典概型
七张同样的卡片上，并且将卡片放入同一盒中， 现从盒中任意一张一张地将卡片取出，并将其按 取到的顺序排成一列，假设排列结果恰好拼成一 个英文单词：
SC I ENCE
问：在多大程度上认为这样的结果
是奇怪的，甚至怀疑是一种魔术？
解 七个字母的排列总数为7！
拼成英文单词SCIENCE 的情况数为
22 4
概率.
解 同时掷两枚硬币有44个个等等可可能能 的结果，即样本
空间为
古典概型
={(正,正), (正,反), (反,正), (反,反)}
又事件A, B, C 分别包含 1个、2个和 1个样本点，
P( A)
1 4
;
P(B)
2 4
1 2
;
P(C )
1 4
.
抽样模型
例4 从有9件正品、3件次品的箱子中任取两次 每次取一件 ,试分别以:
箱中摸球
分球入箱
随机取数
分组分配
是常见的几种模型 . 课下可通过作业进一步掌握.
二、几何概率
定义 当随机试验的样本空间是某个区域,并且
任意一点落在度量（长度, 面积, 体积）相同的 子区域是等可能的,则事件A的概率可定义为
P( A) SA
S
（其中S是样本空间的度量，S
是构成事件A的子区
A
域的度量）这样借助于几何上的度量来合理规定
箱
人 任一天
旅客 车站
某城市每周发生7次车祸, 假设每天发生 车祸的概率相同. 求每天恰好发生一次车祸 的概率.
车祸 天
211
月
波尔克和哈定
的生日
3月 菲尔莫尔和
8 塔夫脱的祭日
12月 杜鲁门和福
26 特
SC I ENCE
问：在多大程度上认为这样的结果
是奇怪的，甚至怀疑是一种魔术？
解 七个字母的排列总数为7！
拼成英文单词SCIENCE 的情况数为
22 4
概率.
解 同时掷两枚硬币有44个个等等可可能能 的结果，即样本
空间为
古典概型
={(正,正), (正,反), (反,正), (反,反)}
又事件A, B, C 分别包含 1个、2个和 1个样本点，
P( A)
1 4
;
P(B)
2 4
1 2
;
P(C )
1 4
.
抽样模型
例4 从有9件正品、3件次品的箱子中任取两次 每次取一件 ,试分别以:
箱中摸球
分球入箱
随机取数
分组分配
是常见的几种模型 . 课下可通过作业进一步掌握.
二、几何概率
定义 当随机试验的样本空间是某个区域,并且
任意一点落在度量（长度, 面积, 体积）相同的 子区域是等可能的,则事件A的概率可定义为
P( A) SA
S
（其中S是样本空间的度量，S
是构成事件A的子区
A
域的度量）这样借助于几何上的度量来合理规定
箱
人 任一天
旅客 车站
某城市每周发生7次车祸, 假设每天发生 车祸的概率相同. 求每天恰好发生一次车祸 的概率.
车祸 天
211
月
波尔克和哈定
的生日
3月 菲尔莫尔和
8 塔夫脱的祭日
12月 杜鲁门和福
26 特
概率论与数理统计第一章4
练习：全年级有100名学生，男生有80名，女生20名；北 京籍的有20名，其中有12名男生，8名女生；如果A =“北 京籍的学生” ； B =“男生” （1）试求出P（A）、P(B) 、 P（A/B）、P（ B / A ）、 P（AB），并解释它们的含义。 （2）P（ A / B）和P（AB）、P（ B ）的关系如何 ？
目 录 前一页 后一页 退 出
▪ 例：设袋中有r只红球，t只白球，每次自袋 中任取一只球，观察颜色然后放回，并再 放入a只与所取出的那只球同色的球，若在 袋中连续取球四次，试求第一、二次取到 红球，且第三、四次取到白球的概率
▪ 练习： 袋中有一个白球与一个黑球，现每 次从中取出一球，若取出白球，则除把白 球放回外再加进一个白球，直至取出黑球 为止．求取了n 次都未取出黑球的概率．
设Ai "箱中有i件次品"(i 0,1,2); B "该箱产品通过验收".
则Ai Aj
(i
2
j);
i0
Ai
,
且P(
Ai
)
1 3
(i
0,1,2);
P(B
|
A0
)
1;
P(B
|
A1)
C92 C120
;
P(B
|
A2
)
C82 C120
.
(1) P(B)= P(A0)P(B|A0) +P(A1)P(B|A1)+ P(A2)P(B|A2)
解:(1) P（A）=20/100, P(B) =80/100, P（A/B）=12/80 P（ B / A ）=12/20 , P（AB）=12/100 . (2) P（A/B）=12/80= P( AB)
概率论1-4
(2)将3名特长生分配在同一个班级的分法共有3种, 对于每一种分法,其余12名新生的分法有 12! 种.
2! 5! 5!
因此3名特长生分配在同一个班级的分法共有
(3 12!) (2! 5! 5!) 种, 因此所求概率为
3 12! p2 2! 5! 5!
15! 6 . 5! 5! 5! 91
P(A B) PA PB 5
9
PC P B 1 PB 8 9
(b)不放回抽样的情况。
P( A) 4 3 2 65 5
P(B) 21 1 6 5 15
由 于AB ， 得
P(A B) PA PB 7
返回
几何概率问题的提出
在古典概型中利用等可能性的概念，成功地计算了某 一类问题的概率；不过，古典概型要求可能场合的总数必须 有限。因此历史上有不少人企图把这种做法推广到有无限多 结果而又有某种等可能性的场合。这类问题一般可以通过几 何方法来求解。
先从几个简单的例子开始。 [例1] 某人午觉醒来，发觉表停了，他打开收音机， 想听电台报时，求他等待的时间短于10分钟的概率。 [例2] 在400毫升自来水中有一个大肠杆菌，今从中 随机抽出2毫升水样放到显微镜下观察，求发现大肠杆菌的 概率。 一种相当自然的答案是认为例1所求的概率等于1/6， 例2所求的概率等于1/200。在求出这些概率时，我们事实 上是利用了几何的方法，并假定了某种等可能性。
第一个性质称为概率的非负性，第二个性质称为概率 的规范性，第三个性质称为概率的可列可加性。前两个性质 与古典概率相同，后一个性质则要求对可列个两两互不相容 的事件成立。
练习
1: 从分别写有数字1，2，…，9的9张卡片中有 放回地 抽取n次，求n次所抽取的卡片上的数字 乘积能被10 整除的概率。
【概率论】1-4：事件的的并集（UnionofEventsandStaticalSwindles）
【概率论】1-4：事件的的并集
（UnionofEventsandStaticalSwindles）
title: 【概率论】1-4:事件的的并集(Union of Events and Statical Swindles)
categories:
Mathematic
Probability
keywords:
Union of two Events
两个事件的并
Union of Finite Number of Events
有限个事件的并
Statical Swindles
概率欺骗
toc: true
date: 2018-01-30 09:22:40
Abstract: 本⽂主要介绍事件的并集对应的概率计算，以及⼀个补充的概率⼩知识，怎么⽤统计骗⼈
Keywords: Union of two Events，Union of Finite Number of Events，Statical Swindles
开篇废话
废话还是说说数学吧，学数学真的看不到⽴竿见影的事，相⽐学个C++、TensorFlow，这些更有成就感，毕竟写了就有结果可以看，数学学习的结果就是，你可能只会做两道题，没办法直接让你升值加薪，但是凡事都有因果，通过这⼏个⽉简单的学习，我发现⾝边的很多事都能⽤数学解释，⽐如今天要写的，如果我早些学习可能可以避免很多不必要的损失，⽽且通过学数学分析，可以通过⼀个⼈的语⾔来判断这个⼈的逻辑，进⽽判断这个⼈的性格，这是⼼理学的内容了，我不懂⼼理学，但是很感兴趣，如果有机会去研究下⼼理学，毕竟也跟⼈⼯智能强相关。
本篇介绍两个⼩知识点，关于事件的并集的概率求法，以及⼀些概率的⽇常应⽤
Union of Two Events（两个事件的并）。
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P( AB) 对于古典概型， 对于古典概型，当P(A)>0时， P ( B | A ) = 时 P ( A)
都成立
若 假 设 试 验 的 基 本 事 件 总 数 为 n， A 包 含 的 基 本 事 件 数 为 n A ( n A > 0 ) , A B 所 包 含 的 基 本 事 件 数 为 n AB , 事 件 A B 所 包 含 的 样 本 点 数 n AB P ( A B ) = 即 有 P (B | A) = 事 件 A所 包 含 的 样 本 点 数 n A P ( A)
一般地 P(A|B) ≠ P(A)
掷出2点 ， 例如，掷一颗均匀骰子，A={掷出 点}， 掷一颗均匀骰子， 掷出 B={掷出偶数点 ， P(A )=1/6， P(A|B)=？ 掷出偶数点}， ？ 掷出偶数点 ， 已知事件B发生， 已知事件 发生，此时试验所有可能 发生 掷骰子 结果构成的集合就是B， 结果构成的集合就是 B中共有 个元素 它们的出现是等 中共有3个元素 中共有 个元素,它们的出现是等 可能的,其中只有 个在A中 其中只有1个在 可能的 其中只有 个在 中. 于是 P(A|B)= 1/3. 容易看到
B发生后的缩减 发生后的缩减 样本空间所含样 本点总数
掷骰子
1 3
在缩减样本空 间中A所含样 间中 所含样 本点个数
掷两颗均匀骰子,已知第一颗掷出 已知第一颗掷出6点 问 例2: 掷两颗均匀骰子 已知第一颗掷出 点,问“掷出点 数之和不小于10”的概率是多少 的概率是多少? 数之和不小于 的概率是多少 掷出点数之和不小于10}; B={第一颗掷出 点} 第一颗掷出6点 解 设A={掷出点数之和不小于 掷出点数之和不小于 第一颗掷出 解法1: 解法
P( AB) 因此P(B|A)=1/3= . 因此 P(B)
计算P(A|B)时，这个前提条件未变，只是加 时 这个前提条件未变， 计算 事件B已发生 这个新的条件. 已发生” 上“事件 已发生”这个新的条件
这好象给了我们一个“情报” 这好象给了我们一个“情报”，使我们得以在 某个缩小了的范围内来考虑问题. 某个缩小了的范围内来考虑问题
2. 条件概率的定义 是两个事件， 设A、B是两个事件，且P(B)>0,则称 是两个事件 则称
P( AB) 事件 的条件概率 为在事件 发生的条件下,事件 的条件概率. 发生的条件下 事件A的条件概率 若事件B已发生 若事件 已发生, 则为使 已发生 A也发生 , 试验结果必须是既 也发生 中又在A中的样本点 在 B 中又在 中的样本点 , 即 此点必属于AB. 由于我们已经 此点必属于 知道B已发生 已发生, 知道 已发生 故B变成了新的 变成了新的 样本空间 , 于是 有(1).
计算每个人抽到“入场券”的概率到底有多大 计算每个人抽到“入场券”的概率到底有多大?
P ( A1 A2 … An −1 ) > 0 , 则 由 条 件 概 率 的 定 义 , 可 得
P ( A1 A2 … An ) = P ( An | A1 A2 … An -1 ) P ( An −1 | A1 A2 … An -2 ) …
⋅ P ( A3 | A1 A2 ) P ( A2 | A1 ) P ( A1 )
∞ P ∪ Bi A = i =1
∑ P (B A)
i =1 i
∞
4. 条件概率的计算 条件概率的计算: 1) 用定义计算 用定义计算:
P( AB) P(A | B) = , P(B)
P(B)>0
2)从加入条件后改变了的情况去算 从加入条件后改变了的情况去算 例1：A={掷出 点}，B={掷出偶数点 掷出2 掷出偶数点} ： 掷出 ， 掷出偶数点 P(A|B）= ）
1－4 条件概率 －
在解决许多概率问题时， 在解决许多概率问题时，往往需要在有某 些附加信息(条件 下求事件的概率. 条件)下求事件的概率 些附加信息 条件 下求事件的概率 一、条件概率 1. 条件概率的概念 在事件B发生的条件下求事件 发生的概率 在事件 发生的条件下求事件A发生的概率， 发生的条件下求事件 发生的概率， 叫做B条件下 的概率，记作P(A|B)或PB(A). 条件下A的概率 叫做 条件下 的概率，记作 或
应用定义
3 36 1 P( AB) = = P(A | B) = 6 36 2 P(B)
解法2 解法
3 1 P(A | B) = = 6 2
在B发生后的缩减样本 发生后的缩减样本 空间中计算
设某种动物由出生算起活到20年以上的概率为 例3: 设某种动物由出生算起活到 年以上的概率为 0.8，活到 年以上的概率为 年以上的概率为0.4. 问现年 岁的这种 问现年20岁的这种 ，活到25年以上的概率为 动物，它能活到25岁以上的概率是多少 岁以上的概率是多少？ 动物，它能活到 岁以上的概率是多少？ 能活20年以上 能活25年以上 解 设A={能活 年以上 ，B={能活 年以上 能活 年以上}， 能活 年以上} 所求为 P(B|A) . 依题意， 依题意， P(A)=0.8, P(B)=0.4
P ( B ) 0.4 P( AB) = = = 0.5 P (B | A) = P ( A ) 0.8 P ( A)
条件概率P(A|B)与P(A)的区别 与 的区别: 条件概率 的区别 每一个随机试验都是在一定条件下进行的 ,设A 设 是随机试验的一个事件， 是随机试验的一个事件，则P(A)是在该试验条件下 是在该试验条件下 事件A发生的可能性大小 发生的可能性大小. 事件 发生的可能性大小 而条件概率 P(A|B) 是在原条件下又添加 “B 发生 ” 这个条件时A发生的可能性大小 即 P(A|B) 这个条件时 发生的可能性大小, 发生的可能性大小 仍是概率. 仍是概率 P(A) 与 P(A |B) 的区别在于两者发生的条件不同,它 的区别在于两者发生的条件不同 它 们是两个不同的概念,在数值上一般也不同 们是两个不同的概念 在数值上一般也不同
乘法定理可以推广到多个事件的积事件的情况 .
设 A、 B、 C 为 三 个 事 件 , 且 P ( A B ) > 0 , 则
P ( A B C ) = P (C | A B ) P ( B | A ) P ( A ).
一 般 地 , 设 有 n 个 事 件 A1 , A 2 , … , A n , n ≥ 2 , 并 且
B
AB A
Ω
3. 条件概率的性质
条 件 概 率 P (• | A ) 也 具 备 概 率 定 义 的 三 个 条 件 :
(1 )
非 负 性 : 对 于 任 意 的 事 件 B ,P ( B | A ) ≥ 0 ;
(2 ) (3 )
规 范 性 : P (Ω | A ) = 1 ;
可 列 可 加 性 : 设 B1 , B 2 , … 是 两 两 互 斥 事 件 , 则 有
1 1 6 P( AB) = P(A|B) = = 3 3 6 P(B)
又如，将一枚硬币抛掷２ 又如，将一枚硬币抛掷２次，设事件Ａ为“至 设事件Ａ 少有１次为正面” 事件Ｂ 两次掷出同一面” 少有１次为正面”，事件Ｂ为“两次掷出同一面”， 现在来求已知事件 发生的条件下事件Ｂ发生的概 事件Ａ 现在来求已知事件Ａ发生的条件下事件Ｂ发生的概 率。 这里样本空间 = {HH,HT,TH,TT}, A={HH,HT,TH}, B={HH,TT}，从这里可以看出只 ， 这个基本事件发生，Ｂ 有Ａ中{HH}这个基本事件发生，Ｂ才有可能 这个基本事件发生，Ｂ才有可能
一场精彩的足球赛将要举行, 个 一场精彩的足球赛将要举行 5个 球迷好不容易才搞到一张入场券.大家 球迷好不容易才搞到一张入场券 大家 都想去,只好用抽签的方法来解决 只好用抽签的方法来解决. 都想去 只好用抽签的方法来解决
入场 券 5张同样的卡片 只有一张上写有“入场券”,其余的什么也没 张同样的卡片,只有一张上写有 入场券” 其余的什么也没 张同样的卡片 只有一张上写有“ 将它们放在一起,洗匀 洗匀,让 个人依次抽取 个人依次抽取. 写. 将它们放在一起 洗匀 让5个人依次抽取
乘法公式应用举例
（波里亚罐子模型） 波里亚罐子模型） b个白球 r个红球 个白球, 个红球 个白球 一个罐子中包含b个白球和 个红球 随机地 一个罐子中包含 个白球和r个红球 个白球和 个红球. 抽取一个球，观看颜色后放回罐中， 抽取一个球，观看颜色后放回罐中，并且再加进 c 个与所抽出的球具有相同颜色的球. 这种手续进行 个与所抽出的球具有相同颜色的球 试求第一、二次取到白球且第三、 四次 ，试求第一、二次取到白球且第三、四次取 到红球的概率. 到红球的概率
二、 乘法公式
P ( AB ) 由条件概率的定义： 由条件概率的定义： P ( A | B ) = P(B)
若已知P(B), P(A|B)时, 可以反求 若已知 时 可以反求P(AB). 即 若P(B)>0,则P(AB)=P(B)P(A|B) 则 (2)
的位置对调， 将A、B的位置对调，有 的位置对调 (2)和(3)式都称为乘法公式 利用 式都称为乘法公式, 和 式都称为乘法公式 P(A)>0,则P(BA)=P(A)P(B|A) 若 则 它们可计算两个事件同时发生的概率 则 故 P(AB)=P(BA) P(A)>0 , 则 P(AB)=P(A)P(B|A) (3)
都成立
若 假 设 试 验 的 基 本 事 件 总 数 为 n， A 包 含 的 基 本 事 件 数 为 n A ( n A > 0 ) , A B 所 包 含 的 基 本 事 件 数 为 n AB , 事 件 A B 所 包 含 的 样 本 点 数 n AB P ( A B ) = 即 有 P (B | A) = 事 件 A所 包 含 的 样 本 点 数 n A P ( A)
一般地 P(A|B) ≠ P(A)
掷出2点 ， 例如，掷一颗均匀骰子，A={掷出 点}， 掷一颗均匀骰子， 掷出 B={掷出偶数点 ， P(A )=1/6， P(A|B)=？ 掷出偶数点}， ？ 掷出偶数点 ， 已知事件B发生， 已知事件 发生，此时试验所有可能 发生 掷骰子 结果构成的集合就是B， 结果构成的集合就是 B中共有 个元素 它们的出现是等 中共有3个元素 中共有 个元素,它们的出现是等 可能的,其中只有 个在A中 其中只有1个在 可能的 其中只有 个在 中. 于是 P(A|B)= 1/3. 容易看到
B发生后的缩减 发生后的缩减 样本空间所含样 本点总数
掷骰子
1 3
在缩减样本空 间中A所含样 间中 所含样 本点个数
掷两颗均匀骰子,已知第一颗掷出 已知第一颗掷出6点 问 例2: 掷两颗均匀骰子 已知第一颗掷出 点,问“掷出点 数之和不小于10”的概率是多少 的概率是多少? 数之和不小于 的概率是多少 掷出点数之和不小于10}; B={第一颗掷出 点} 第一颗掷出6点 解 设A={掷出点数之和不小于 掷出点数之和不小于 第一颗掷出 解法1: 解法
P( AB) 因此P(B|A)=1/3= . 因此 P(B)
计算P(A|B)时，这个前提条件未变，只是加 时 这个前提条件未变， 计算 事件B已发生 这个新的条件. 已发生” 上“事件 已发生”这个新的条件
这好象给了我们一个“情报” 这好象给了我们一个“情报”，使我们得以在 某个缩小了的范围内来考虑问题. 某个缩小了的范围内来考虑问题
2. 条件概率的定义 是两个事件， 设A、B是两个事件，且P(B)>0,则称 是两个事件 则称
P( AB) 事件 的条件概率 为在事件 发生的条件下,事件 的条件概率. 发生的条件下 事件A的条件概率 若事件B已发生 若事件 已发生, 则为使 已发生 A也发生 , 试验结果必须是既 也发生 中又在A中的样本点 在 B 中又在 中的样本点 , 即 此点必属于AB. 由于我们已经 此点必属于 知道B已发生 已发生, 知道 已发生 故B变成了新的 变成了新的 样本空间 , 于是 有(1).
计算每个人抽到“入场券”的概率到底有多大 计算每个人抽到“入场券”的概率到底有多大?
P ( A1 A2 … An −1 ) > 0 , 则 由 条 件 概 率 的 定 义 , 可 得
P ( A1 A2 … An ) = P ( An | A1 A2 … An -1 ) P ( An −1 | A1 A2 … An -2 ) …
⋅ P ( A3 | A1 A2 ) P ( A2 | A1 ) P ( A1 )
∞ P ∪ Bi A = i =1
∑ P (B A)
i =1 i
∞
4. 条件概率的计算 条件概率的计算: 1) 用定义计算 用定义计算:
P( AB) P(A | B) = , P(B)
P(B)>0
2)从加入条件后改变了的情况去算 从加入条件后改变了的情况去算 例1：A={掷出 点}，B={掷出偶数点 掷出2 掷出偶数点} ： 掷出 ， 掷出偶数点 P(A|B）= ）
1－4 条件概率 －
在解决许多概率问题时， 在解决许多概率问题时，往往需要在有某 些附加信息(条件 下求事件的概率. 条件)下求事件的概率 些附加信息 条件 下求事件的概率 一、条件概率 1. 条件概率的概念 在事件B发生的条件下求事件 发生的概率 在事件 发生的条件下求事件A发生的概率， 发生的条件下求事件 发生的概率， 叫做B条件下 的概率，记作P(A|B)或PB(A). 条件下A的概率 叫做 条件下 的概率，记作 或
应用定义
3 36 1 P( AB) = = P(A | B) = 6 36 2 P(B)
解法2 解法
3 1 P(A | B) = = 6 2
在B发生后的缩减样本 发生后的缩减样本 空间中计算
设某种动物由出生算起活到20年以上的概率为 例3: 设某种动物由出生算起活到 年以上的概率为 0.8，活到 年以上的概率为 年以上的概率为0.4. 问现年 岁的这种 问现年20岁的这种 ，活到25年以上的概率为 动物，它能活到25岁以上的概率是多少 岁以上的概率是多少？ 动物，它能活到 岁以上的概率是多少？ 能活20年以上 能活25年以上 解 设A={能活 年以上 ，B={能活 年以上 能活 年以上}， 能活 年以上} 所求为 P(B|A) . 依题意， 依题意， P(A)=0.8, P(B)=0.4
P ( B ) 0.4 P( AB) = = = 0.5 P (B | A) = P ( A ) 0.8 P ( A)
条件概率P(A|B)与P(A)的区别 与 的区别: 条件概率 的区别 每一个随机试验都是在一定条件下进行的 ,设A 设 是随机试验的一个事件， 是随机试验的一个事件，则P(A)是在该试验条件下 是在该试验条件下 事件A发生的可能性大小 发生的可能性大小. 事件 发生的可能性大小 而条件概率 P(A|B) 是在原条件下又添加 “B 发生 ” 这个条件时A发生的可能性大小 即 P(A|B) 这个条件时 发生的可能性大小, 发生的可能性大小 仍是概率. 仍是概率 P(A) 与 P(A |B) 的区别在于两者发生的条件不同,它 的区别在于两者发生的条件不同 它 们是两个不同的概念,在数值上一般也不同 们是两个不同的概念 在数值上一般也不同
乘法定理可以推广到多个事件的积事件的情况 .
设 A、 B、 C 为 三 个 事 件 , 且 P ( A B ) > 0 , 则
P ( A B C ) = P (C | A B ) P ( B | A ) P ( A ).
一 般 地 , 设 有 n 个 事 件 A1 , A 2 , … , A n , n ≥ 2 , 并 且
B
AB A
Ω
3. 条件概率的性质
条 件 概 率 P (• | A ) 也 具 备 概 率 定 义 的 三 个 条 件 :
(1 )
非 负 性 : 对 于 任 意 的 事 件 B ,P ( B | A ) ≥ 0 ;
(2 ) (3 )
规 范 性 : P (Ω | A ) = 1 ;
可 列 可 加 性 : 设 B1 , B 2 , … 是 两 两 互 斥 事 件 , 则 有
1 1 6 P( AB) = P(A|B) = = 3 3 6 P(B)
又如，将一枚硬币抛掷２ 又如，将一枚硬币抛掷２次，设事件Ａ为“至 设事件Ａ 少有１次为正面” 事件Ｂ 两次掷出同一面” 少有１次为正面”，事件Ｂ为“两次掷出同一面”， 现在来求已知事件 发生的条件下事件Ｂ发生的概 事件Ａ 现在来求已知事件Ａ发生的条件下事件Ｂ发生的概 率。 这里样本空间 = {HH,HT,TH,TT}, A={HH,HT,TH}, B={HH,TT}，从这里可以看出只 ， 这个基本事件发生，Ｂ 有Ａ中{HH}这个基本事件发生，Ｂ才有可能 这个基本事件发生，Ｂ才有可能
一场精彩的足球赛将要举行, 个 一场精彩的足球赛将要举行 5个 球迷好不容易才搞到一张入场券.大家 球迷好不容易才搞到一张入场券 大家 都想去,只好用抽签的方法来解决 只好用抽签的方法来解决. 都想去 只好用抽签的方法来解决
入场 券 5张同样的卡片 只有一张上写有“入场券”,其余的什么也没 张同样的卡片,只有一张上写有 入场券” 其余的什么也没 张同样的卡片 只有一张上写有“ 将它们放在一起,洗匀 洗匀,让 个人依次抽取 个人依次抽取. 写. 将它们放在一起 洗匀 让5个人依次抽取
乘法公式应用举例
（波里亚罐子模型） 波里亚罐子模型） b个白球 r个红球 个白球, 个红球 个白球 一个罐子中包含b个白球和 个红球 随机地 一个罐子中包含 个白球和r个红球 个白球和 个红球. 抽取一个球，观看颜色后放回罐中， 抽取一个球，观看颜色后放回罐中，并且再加进 c 个与所抽出的球具有相同颜色的球. 这种手续进行 个与所抽出的球具有相同颜色的球 试求第一、二次取到白球且第三、 四次 ，试求第一、二次取到白球且第三、四次取 到红球的概率. 到红球的概率
二、 乘法公式
P ( AB ) 由条件概率的定义： 由条件概率的定义： P ( A | B ) = P(B)
若已知P(B), P(A|B)时, 可以反求 若已知 时 可以反求P(AB). 即 若P(B)>0,则P(AB)=P(B)P(A|B) 则 (2)
的位置对调， 将A、B的位置对调，有 的位置对调 (2)和(3)式都称为乘法公式 利用 式都称为乘法公式, 和 式都称为乘法公式 P(A)>0,则P(BA)=P(A)P(B|A) 若 则 它们可计算两个事件同时发生的概率 则 故 P(AB)=P(BA) P(A)>0 , 则 P(AB)=P(A)P(B|A) (3)