最新八年级下册勾股定理17.1勾股定理第1课时勾股定理教案新版新人教

17．1 勾股定理第1课时勾股定理

1．经历探索及验证勾股定理的过程，体会数形结合的思想；(重点)

2．掌握勾股定理，并运用它解决简单的计算题；(重点)

3．了解利用拼图验证勾股定理的方法．(难点)

一、情境导入

如图所示的图形像一棵枝叶茂盛、姿态优美的树，这就是著名的毕达哥拉斯树，它由若干个图形组成，而每个图形的基本元素是三个正方形和一个直角三角形．各组图形大小不一，但形状一致，结构奇巧．你能说说其中的奥秘吗？

二、合作探究

探究点一：勾股定理

【类型一】

直接运用勾股定理

如图，在△ABC中，∠ACB＝

90°，AB＝13cm，BC＝5cm，CD⊥AB于D

，

求：

(1)AC的长；

(2)S△ABC；

(3)CD的长．

解析：(1)由于在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝13cm，BC＝5cm，根据勾股定理即可求出AC的长；(2)直接利用三角形的面积公式即可求出S△ABC；(3)根据面积公式得到CD·AB＝BC·AC即可求出CD.

解：(1)∵在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝13cm，BC＝5cm，∴AC＝AB2－BC2＝12cm；

(2)S△ABC＝

1

2

CB·AC＝

1

2

×5×12＝30(cm2)；

(3)∵S△ABC＝

1

2

AC·BC＝

1

2

CD·AB，∴CD ＝

AC·BC

AB

＝

60

13

cm.

方法总结：解答此类问题，一般是先利用勾股定理求出第三边，然后利用两种方法表示出同一个直角三角形的面积，然后根据面积相等得出一个方程，再解这个方程即可．

【类型二】分类讨论思想在勾股定

理中的应用

在△ABC中，AB＝15，AC＝13，BC边上的高AD＝12，试求△ABC的周长．解析：本题应分△ABC为锐角三角形和钝角三角形两种情况进行讨论．

解：此题应分两种情况说明：

(1)当△ABC为锐角三角形时，如图①所示．在Rt△ABD中，BD＝AB2－AD2＝152－122＝9.在Rt△ACD中，CD＝AC2－AD2＝132－122＝5，∴BC＝5＋9＝14，∴△ABC的周长为15＋13＋14

＝42；

(2)当△ABC 为钝角三角形时，如图②所示．在Rt △ABD 中，BD ＝AB 2

－AD 2

＝152

－122

＝9.在Rt △ACD 中，CD ＝

AC 2－AD 2＝132－122＝5，∴BC ＝9－5＝

4，∴△ABC 的周长为15＋13＋4＝32.∴当△ABC 为锐角三角形时，△ABC 的周长为42；当△ABC 为钝角三角形时，△ABC 的周长为32.

方法总结：解题时要考虑全面，对于存在的可能情况，可作出相应的图形，判断是否符合题意．

【类型三】

勾股定理的证明

探索与研究： 方

法

1

：

如

图

：

对任意的符合条件的直角三角形ABC 绕其顶点A 旋转90°得直角三角形AED ，所以∠BAE ＝90°，且四边形ACFD 是一个正方形，它的面积和四边形ABFE 的面积相等，而四边形ABFE 的面积等于Rt △BAE 和Rt △BFE 的面积之和．根据图示写出证明勾股定理的过程；

方法2：如图： 该图形是由任意的符合条件的两个全等的Rt △BEA 和Rt △ACD 拼成的，你能根据图示再写出一种证明勾股定理的方法吗？

解析：方法1：根据四边形ABFE 面积等于Rt △BAE 和Rt △BFE 的面积之和进行

解答；方法2：根据△ABC 和Rt △ACD 的面积之和等于Rt △ABD 和△BCD 的面积之和解答．

解：方法1：S

正方形ACFD

＝S

四边形ABFE

＝S △

BAE

＋S △BFE ，即b 2

＝12c 2＋12

(b ＋a )(b －a )，整

理得2b 2

＝c 2

＋b 2

－a 2

，∴a 2

＋b 2

＝c 2

；

方法2：此图也可以看成Rt △BEA 绕其直角顶点E 顺时针旋转90°，再向下平移得到．∵S 四边形ABCD ＝S △ABC ＋S △ACD ，S 四边形ABCD ＝S △ABD ＋S △BCD ，∴S △ABC ＋S △ACD ＝S △ABD ＋S △BCD ，即12b 2＋12ab ＝12c 2＋12

a (

b －a )，整理得b 2

＋ab ＝c 2＋a (b －a )，b 2＋ab ＝c 2＋ab －a 2，

∴a 2

＋b 2

＝c 2

.

方法总结：证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，

然后利用大图形的面积等于几个小图形

的面积和化简整理证明勾股定理．

探究点二：勾股定理与图形的面积

如图是一株美丽的勾股树，其中

所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A 、B 、C 、D 的面积分别为2，5，1，2.则最大的正方形E

的面积是________．

解析：根据勾股定理的几何意义，可得正方形A 、B 的面积和为S 1，正方形C 、

D 的面积和为S 2，S 1＋S 2＝S 3，即S 3＝2＋5

＋1＋2＝10.故答案为10.

方法总结：能够发现正方形A 、B 、C 、

D 的边长正好是两个直角三角形的四条直