2018衡水中学高三六调理科数学试题及答案

合集下载

河北省衡水中学2019届高三下学期六调数学(理)试题(含解析)

2018-2019学年河北省衡水中学高三（下）六调数学试卷（理科）（5月份）一、选择题（每小题5分，共60分.下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）1．（5分）已知x，y∈R，i为虚数单位，且（x﹣2）i﹣y＝﹣1+i，则（1+i）x+y的值为（）A．4B．4+4i C．﹣4D．2i2．（5分）已知集合A＝{x|﹣1≤x≤1}，B＝{x|x2﹣5x+6≥0}，则下列结论中正确的是（）A．A∩B＝B B．A∪B＝A C．A⊊B D．∁R A＝B3．（5分）已知△ABC的面积为2，在△ABC所在的平面内有两点P、Q，满足，＝2，则△APQ的面积为（）A．B．C．1D．24．（5分）如图，一个空间几何体的正视图、侧视图都是面积为，且一个内角为60°的菱形，俯视图为正方形，那么这个几何体的表面积为（）A．B．C．4D．85．（5分）七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，被誉为“东方模板”，它是由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的．如图所示的是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一点，则此点取自黑色部分的概率为（）A．B．C．D．6．（5分）定义运算：＝a1a4﹣a2a3，将函数f（x）＝的图象向左平移m（m＞0）个单位，所得图象对应的函数为偶函数，则m的最小值是（）A．B．C．D．7．（5分）已知a＝3ln2π，b＝2ln3π，c＝3lnπ2，则下列选项正确的是（）A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．c＞b＞a D．b＞c＞a8．（5分）双曲线C的左右焦点分别为F1，F2，且F2恰为抛物线y2＝4x的焦点，设双曲线C与该抛物线的一个交点为A，若△AF1F2是以AF1为底边的等腰三角形，则双曲线C的离心率为（）A．B．1C．1D．29．（5分）如图①，利用斜二侧画法得到水平放置的△ABC的直观图△A′B′C′，其中A′B′∥y′轴，B′C′∥x′轴．若A′B′＝B′C′＝3，设△ABC的面积为S，△A′B′C的面积为S′，记S＝kS′，执行如图②的框图，则输出T的值（）A．12B．10C．9D．610．（5分）如图，第（1）个多边形是由正三角形“扩展“而来，第（2）个多边形是由正方形“扩展”而来，……，如此类推．设由正n边形“扩展”而来的多边形的边数为a n，则＝（）A．B．C．D．11．（5分）过椭圆上一点H作圆x2+y2＝2的两条切线，点A，B为切点，过A，B的直线l与x轴，y轴分布交于点P，Q两点，则△POQ面积的最小值为（）A．B．C．1D．12．（5分）若函数f（x）在其图象上存在不同的两点A（x1，y1），B（x2，y2），其坐标满足条件：|x1x2+y1y2|的最大值为0，则称f（x）为“柯西函数”，则下列函数：①f（x）＝x+（x＞0）；②f（x）＝lnx（0＜x＜e）；③f（x）＝cos x；④f（x）＝x2﹣1．其中为“柯西函数”的个数为（）A．1B．2C．3D．4二、填空题（每题5分，共20分.把答案填在答题纸的横线上）13．（5分）已知等比数列{a n}的第5项是二项式（﹣）6展开式的常数项，则a3a7＝．14．（5分）已知在平面直角坐标系中，O（0，0），M（1，），N（0，1），Q（2，3），动点P（x，y）满足不等式0≤•≤1，0≤•≤1，则W＝•的最大值为．15．（5分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n+1＝2a n，则使不等式a12+a22+…+a n2＜5×2n+1成立的n的最大值为．16．（5分）若四面体ABCD的三组对棱分别相等，即AB＝CD，AC＝BD，AD＝BC，则．（写出所有正确结论的编号）①四面体ABCD每个面的面积相等②四面体ABCD每组对棱相互垂直③连接四面体ABCD每组对棱中点的线段相互垂直平分④从四面体ABCD每个顶点出发的三条棱的长都可以作为一个三角形的三边长三、解答题（本大题共5小题，共62分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，写在答题纸的相应位置）17．设△ABC的三内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，已知a、b、c成等比数列，且sin A sin C＝．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）设向量＝（cos A，cos2A），＝（﹣，1），当•取最小值时，判断△ABC的形状．18．在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，△ABC是正三角形，AC与BD的交点M恰好是AC中点，又PA＝AB＝4，∠CDA＝120°．（1）求证：BD⊥PC；（2）设E为PC的中点，点F在线段AB上，若直线EF∥平面PAD，求AF的长；（3）求二面角A﹣PC﹣B的余弦值．19．在一次高三年级统一考试中，数学试卷有一道满分10分的选做题，学生可以从A，B两道题目中任选一题作答．某校有900名高三学生参加了本次考试，为了了解该校学生解答该选做题的得分情况，计划从900名考生的选做题成绩中随机抽取一个容量为10的样本，为此将900名考生选做题的成绩按照随机顺序依次编号为001一900．（1）若采用随机数表法抽样，并按照以下随机数表，以加粗的数字5为起点，从左向右依次读取数据，每次读取三位随机数，一行读数用完之后接下一行左端．写出样本编号的中位数；05 26 93 70 60 22 35 85 15 13 92 03 51 59 77 59 56 78 06 83 52 91 05 70 7407 97 10 88 23 09 98 42 99 64 61 71 62 99 15 06 51 29 16 93 58 05 77 09 5151 26 87 85 85 54 87 66 47 54 73 32 08 11 12 44 95 92 63 16 29 56 24 29 4826 99 61 65 53 58 37 78 80 70 42 10 50 67 42 32 17 55 85 74 94 44 67 16 9414 65 52 68 75 87 59 36 22 41 26 78 63 06 55 13 08 27 01 50 15 29 39 39 43（2）若采用系统抽样法抽样，且样本中最小编号为08，求样本中所有编号之和：（3）若采用分层轴样，按照学生选择A题目或B题目，将成绩分为两层，且样本中A题目的成绩有8个，平均数为7，方差为4：样本中B题目的成绩有2个，平均数为8，方差为1．用样本估计900名考生选做题得分的平均数与方差．20．已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为M，∠F1MF2＝60°，P为椭圆上任意一点，且△PF1F2的面积的最大值为．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）若点A，B为椭圆C上的两个不同的动点，且•＝t（O为坐标原点），则是否存在常数t，使得O点到直线AB的距离为定值？若存在，求出常数t和这个定值；若不存在，请说明理由．21．已知函数f（x）＝alnx﹣x2．（1）当a＝2时，求函数y＝f（x）在[，2]上的最大值；（2）令g（x）＝f（x）+ax，若y＝g（x））在区间（0，3）上为单调递增函数，求a的取值范围；（3）当a＝2时，函数h（x）＝f（x）﹣mx的图象与x轴交于两点A（x1，0），B （x2，0），且0＜x1＜x2，又h′（x）是h（x）的导函数．若正常数α，β满足条件α+β＝1，β≥α．试比较h'（αx1+βx2）与0的关系，并给出理由．请考生在22、23三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4一4：坐标系与参数方程选讲]22．选修4﹣4：参数方程选讲已知平面直角坐标系xOy，以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，P 点的极坐标为，曲线C的极坐标方程为．（Ⅰ）写出点P的直角坐标及曲线C的普通方程；（Ⅱ）若Q为C上的动点，求PQ中点M到直线l：（t为参数）距离的最小值．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）＝|x+1|+|x﹣5|，x∈R．（Ⅰ）求不等式f（x）≤x+10的解集；（Ⅱ）如果关于x的不等式f（x）≥a﹣（x﹣2）2在R上恒成立，求实数a的取值范围．2018-2019学年河北省衡水中学高三（下）六调数学试卷（理科）（5月份）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共60分.下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）1．（5分）已知x，y∈R，i为虚数单位，且（x﹣2）i﹣y＝﹣1+i，则（1+i）x+y的值为（）A．4B．4+4i C．﹣4D．2i【分析】利用复数相等的性质求出x，y，再利用复数的代数形式的乘除运算法则能求出结果．【解答】解：∵x，y∈R，i为虚数单位，且（x﹣2）i﹣y＝﹣1+i，∴，解得x＝3，y＝1，∴（1+i）x+y＝（1+i）4＝（2i）2＝﹣4．故选：C．【点评】本题考查实数值的求法，涉及到复数相等、复数的代数形式的乘除运算法则等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，是基础题．2．（5分）已知集合A＝{x|﹣1≤x≤1}，B＝{x|x2﹣5x+6≥0}，则下列结论中正确的是（）A．A∩B＝B B．A∪B＝A C．A⊊B D．∁R A＝B【分析】由x2﹣5x+6≥0，解得x≥3，x≤2，【解答】解：由x2﹣5x+6≥0，化为（x﹣2）（x﹣3）≥0，解得x≥3，x≤2，∴B ＝{x|x≥3，x≤2}，∴A⊊B，故选：C．【点评】本题考查了一元二次不等式的解法、集合之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3．（5分）已知△ABC的面积为2，在△ABC所在的平面内有两点P、Q，满足，＝2，则△APQ的面积为（）A．B．C．1D．2【分析】画出△ABC，通过足，＝2，标出满足题意的P、Q位置，利用三角形的面积公式求解即可．【解答】解：由题意可知，P为AC的中点，＝2，可知Q为AB的一个三等分点，如图：因为S△ABC＝＝2．所以S△APQ＝＝＝．故选：B．【点评】本题考查向量在几何中的应用，三角形的面积的求法，考查转化思想与计算能力．4．（5分）如图，一个空间几何体的正视图、侧视图都是面积为，且一个内角为60°的菱形，俯视图为正方形，那么这个几何体的表面积为（）A．B．C．4D．8【分析】由题意求出菱形的边长，由三视图可得，几何体是由两个底面正方形的正四棱锥组合而成，求出正四棱锥侧面积，即可求解．【解答】解：一个空间几何体的正视图、侧视图都是面积为，且一个内角为60°的菱形，所以菱形的边长为：1，由三视图可得，几何体是由两个底面正方形的正四棱锥组合而成，底面边长为1，侧棱长为：，所以几何体的表面积为：＝4．故选：C．【点评】本题是基础题，考查三视图推出几何体的判断，几何体的表面积的求法，注意视图的应用．5．（5分）七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，被誉为“东方模板”，它是由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的．如图所示的是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一点，则此点取自黑色部分的概率为（）A．B．C．D．【分析】根据几何概型的概率公式转化为对应面积之间的关系进行求解即可．【解答】解：以最小的等腰三角形为基本单位，则大正方体有16个小等腰直角三角形构成，则阴影部分对应的有7个小等腰直角三角形，则对应概率P＝，故选：D．【点评】本题主要考查几何概型的概率的计算，结合面积之比是解决本题的关键．6．（5分）定义运算：＝a1a4﹣a2a3，将函数f（x）＝的图象向左平移m（m＞0）个单位，所得图象对应的函数为偶函数，则m的最小值是（）A．B．C．D．【分析】由题表达函数f（x）＝sin﹣cos＝2sin（x﹣）；向左平移m（m＞0）个单位即为：g（x）＝f（x+m）＝2sin（﹣）；利用新函数g（x）为偶函数，由三角函数图象的性质可得答案．【解答】解：定义运算：＝a1a4﹣a2a3，将函数f（x）＝化为：f（x）＝sin﹣cos＝2sin（x﹣）再向左平移m（m＞0）个单位即为：g（x）＝f（x+m）＝2sin（﹣）；又因为新函数g（x）为偶函数，由三角函数图象的性质可得，即x＝0时函数值为最大或最小值，即：sin（﹣）＝1；或sin（﹣）＝﹣1；所以：﹣＝kπ+，k∈Z；即m＝2kπ+，k∈Z；又m＞0，所以m的最小值是：故选：C．【点评】本题考查对三角函数定义的理解能力，三角函数恒等变性，三角函数图象及性质．7．（5分）已知a＝3ln2π，b＝2ln3π，c＝3lnπ2，则下列选项正确的是（）A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．c＞b＞a D．b＞c＞a【分析】由，，＝，则a，b，c的大小比较可以转化为的大小比较．设f（x）＝，则f′（x）＝，根据对数的运算性质，导数和函数的单调性，即可比较．【解答】解：，，＝，∵6π＞0，∴a，b，c的大小比较可以转化为的大小比较．设f（x）＝，则f′（x）＝，当x＝e时，f′（x）＝0，当x＞e时，f′（x）＞0，当0＜x＜e时，f′（x）＜0∴f（x）在（e，+∞）上，f（x）单调递减，∵e＜3＜π＜4∴，∴b＞c＞a，故选：D．【点评】本题考查了不等式的大小比较，导数和函数的单调性，属于难题．8．（5分）双曲线C的左右焦点分别为F1，F2，且F2恰为抛物线y2＝4x的焦点，设双曲线C与该抛物线的一个交点为A，若△AF1F2是以AF1为底边的等腰三角形，则双曲线C的离心率为（）A．B．1C．1D．2【分析】求出抛物线的焦点坐标，即可得到双曲线C的值，利用抛物线与双曲线的交点以及△AF1F2是以AF1为底边的等腰三角形，结合双曲线a、b、c关系求出a 的值，然后求出离心率．【解答】解：抛物线的焦点坐标（1，0），所以双曲线中，c＝1，又由已知得|AF2|＝|F1F2|＝2，而抛物线准线为x＝﹣1，根据抛物线的定义A点到准线的距离＝|AF2|＝2，因此A点坐标为（1，2），由此可知是△AF1F2是以AF1为斜边的等腰直角三角形，因为双曲线C与该抛物线的一个交点为A，若△AF1F2是以AF1为底边的等腰三角形，所以双曲线的离心率e＝＝＝＝＝+1．故选：B．【点评】本题考查抛物线的简单性质以及双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．9．（5分）如图①，利用斜二侧画法得到水平放置的△ABC的直观图△A′B′C′，其中A′B′∥y′轴，B′C′∥x′轴．若A′B′＝B′C′＝3，设△ABC的面积为S，△A′B′C的面积为S′，记S＝kS′，执行如图②的框图，则输出T的值（）A．12B．10C．9D．6【分析】由斜二侧画法的画图法则，结合已知可求出S及k值，模拟程序的运行过程，分析变量T的值与S值的关系，可得答案．【解答】解：∵在直观图△A′B′C′中，A′B′＝B′C′＝3，∴S′＝A′B′•B′C′•sin45°＝由斜二侧画法的画图法则，可得在△ABC中，AB＝6．BC＝3，且AB⊥BC∴S＝AB•BC＝9则由S＝kS′得k＝2，则T＝T＝（m﹣1）＝2（m﹣1）故执行循环前，S＝9，k＝2，T＝0，m＝1，满足进行循环的条件，执行循环体后，T＝0，m＝2当T＝0，m＝2时，满足进行循环的条件，执行循环体后，T＝2，m＝3当T＝2，m＝3时，满足进行循环的条件，执行循环体后，T＝6，m＝4当T＝6，m＝4时，满足进行循环的条件，执行循环体后，T＝12，m＝5当T＝12，m＝5时，不满足进行循环的条件，退出循环后，T＝12，故输出的结果为12故选：A．【点评】根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模．10．（5分）如图，第（1）个多边形是由正三角形“扩展“而来，第（2）个多边形是由正方形“扩展”而来，……，如此类推．设由正n边形“扩展”而来的多边形的边数为a n，则＝（）A．B．C．D．【分析】先观察图形再结合归纳推理可得解．【解答】解：a3＝12，a4＝20，a5＝30，猜想a n＝n（n+1）（n≥3，n∈N+），所以＝＝，所以+…＝（））+（）+…+（）＝＝，故选：A．【点评】本题考查了观察能力及归纳推理，属中档题．11．（5分）过椭圆上一点H作圆x2+y2＝2的两条切线，点A，B为切点，过A，B的直线l与x轴，y轴分布交于点P，Q两点，则△POQ面积的最小值为（）A．B．C．1D．【分析】由点H在椭圆上，知H（3cosθ，2sinθ），由过椭圆上一点H（3cosθ，2sinθ）作圆x2+y2＝2的两条切线，点A，B为切点，知直线AB的方程为：（3cosθ）x+（2sinθ）y＝2，由此能求出△POQ面积最小值．【解答】解：∵点H在椭圆上，∴H（3cosθ，2sinθ），∵过椭圆上一点H（3cosθ，2sinθ）作圆x2+y2＝2的两条切线，点A，B 为切点，∴直线AB的方程为：（3cosθ）x+（2sinθ）y＝2，∵过A，B的直线l与x轴，y轴分布交于点P，Q两点，∴P（，0），Q（0，），∴△POQ面积S＝＝×，∵﹣1≤sin2θ≤1，∴当sin2θ＝1时，△POQ面积取最小值．【点评】本题考查三角形面积的最小值的求法，具体涉及到椭圆、圆、直线方程、三角函数、参数方程等基本知识点，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用．12．（5分）若函数f（x）在其图象上存在不同的两点A（x1，y1），B（x2，y2），其坐标满足条件：|x1x2+y1y2|的最大值为0，则称f（x）为“柯西函数”，则下列函数：①f（x）＝x+（x＞0）；②f（x）＝lnx（0＜x＜e）；③f（x）＝cos x；④f（x）＝x2﹣1．其中为“柯西函数”的个数为（）A．1B．2C．3D．4【分析】由“柯西函数”得函数f（x）在其图象上存在不同的两点A（x1，y1），B （x2，y2由），使得、共线，即存在点A、B与点O共线，判断满足条件即可．【解答】解：由柯西不等式得：对任意实数x1，y1，x2，y2：|x1x2+y1y2|≤0恒成立（当且仅当存在实数k，使得x1＝kx2，y1＝ky2取等号），又函数f（x）在其图象上存在不同的两点A（x1，y1），B（x2，y2），满足条件：|x1x2+y1y2|的最大值为0，则函数f（x）在其图象上存在不同的两点A（x1，y1），B（x2，y2），使得、共线，即存在点A、B与点O共线；设AB的方程为y＝kx，对于①，由于y＝kx（x＞0）与f（x）＝x+只有一个交点，所以①不是柯西函数；对于②，由于y＝kx与f（x）＝lnx（0＜x＜e）最多只有一个交点，所以②不是柯西函数；对于③，取A（0，0），点B任意，均满足定义，所以③是柯西函数；对于④，取A（﹣1，0），B（1，0），均满足定义，所以④是柯西函数．故选：B．【点评】本题考查了函数的新定义与应用问题，也考查了函数性质与应用问题，是中档题．二、填空题（每题5分，共20分.把答案填在答题纸的横线上）13．（5分）已知等比数列{a n}的第5项是二项式（﹣）6展开式的常数项，则a3a7＝．【分析】先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于0，求得r的值，即可求得展开式中的常数项的值．再根据该项是等比数列{a n}的第5项，再利用等比数列的性质求得a3a7的值．【解答】解：二项式（﹣）6展开式的通项公式为T r+1＝••，令3﹣＝0，求得r＝2，故展开式的常数项为•＝．等比数列{a n}的第5项a5＝，可得a3a7＝＝，故答案为：．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，等比数列的定义和性质，属于基础题．14．（5分）已知在平面直角坐标系中，O（0，0），M（1，），N（0，1），Q（2，3），动点P（x，y）满足不等式0≤•≤1，0≤•≤1，则W＝•的最大值为4．【分析】利用向量的坐标求法求出各个向量的坐标，利用向量的数量积公式求出各个数量积代入已知不等式得到P的坐标满足的不等式，将的值用不等式组中的式子表示，利用不等式的性质求出范围．【解答】解：由题得：，＝（x，y），＝（0，1），＝（2，3）．∵0≤≤1，0≤≤1．∴⇒∵＝2x+3y＝（2x+y）+2y；∴∈[0，4]．∴所求最大值为4．故答案为：4．【点评】本题考查向量的坐标形式的数量积公式、不等式的性质．15．（5分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n+1＝2a n，则使不等式a12+a22+…+a n2＜5×2n+1成立的n的最大值为4．【分析】利用及等比数列的通项公式即可得出a n，利用等比数列的前n项和公式即可得出，再化简即可得出答案．【解答】解：当n＝1时，a1+1＝2a1，解得a1＝1．当n≥2时，∵S n+1＝2a n，S n﹣1+1＝2a n﹣1，∴a n＝2（a n﹣a n﹣1），∴．∴数列{a n}是以1为首项，2为公比的等比数列．∴，∴．∴＝1+4+42+…+4n﹣1＝＝．∴．∴2n（2n﹣30）＜1，可知使得此不等式成立的n的最大值为4．【点评】熟练掌握及等比数列的通项公式、等比数列的前n 项和公式、不等式的解法等是解题的关键．16．（5分）若四面体ABCD的三组对棱分别相等，即AB＝CD，AC＝BD，AD＝BC，则①③④．（写出所有正确结论的编号）①四面体ABCD每个面的面积相等②四面体ABCD每组对棱相互垂直③连接四面体ABCD每组对棱中点的线段相互垂直平分④从四面体ABCD每个顶点出发的三条棱的长都可以作为一个三角形的三边长【分析】由对棱相等知四面体为长方体的面对角线组成的三棱锥，借助长方体的性质判断各结论是否正确即可．【解答】解：由题意可知四面体ABCD为长方体的面对角线组成的三棱锥，如图所示；由四面体的对棱相等可知四面体的各个面全等，它们的面积相等，则①正确；当四面体棱长都相等时，四面体的每组对棱互相垂直，则②错误；由长方体的性质可知四面体的对棱中点连线必经过长方体的中心，由对称性知连接四面体ABCD每组对棱中点的线段相互垂直平分，则③正确；由AC＝BD，AB＝CD，AD＝BC，可得过四面体任意一点的三条棱的长为△ABD的三边长，则④正确．故答案为：①③④．【点评】本题考查了棱锥的结构特征与命题真假的判断问题，解题的关键是把三棱锥放入长方体中，是基础题．三、解答题（本大题共5小题，共62分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，写在答题纸的相应位置）17．设△ABC的三内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，已知a、b、c成等比数列，且sin A sin C＝．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）设向量＝（cos A，cos2A），＝（﹣，1），当•取最小值时，判断△ABC的形状．【分析】（Ⅰ）根据正弦定理和等比数列的关系建立方程关系即可求角B的大小；（Ⅱ）根据向量的数量积公式进行计算，然后利用三角函数的图象和性质即可判断三角形的性质．【解答】解：（Ⅰ）因为a、b、c成等比数列，则b2＝ac．由正弦定理得sin2B＝sin A sin C．又sin A sin C＝，所以sin2B＝．因为sin B＞0，则sin B＝．因为B∈（0，π），所以B＝或．又b2＝ac，则b≤a或b≤c，即b不是△ABC的最大边，故B＝．（Ⅱ）因为向量＝（cos A，cos2A），＝（﹣，1），所以•＝﹣cos A+cos2A＝﹣cos A+2cos2A﹣1＝2（cos A﹣）2﹣，所以当cos A＝时，•取的最小值﹣．因为cos A＝，所以．因为B＝，所以A+B．从而△ABC为锐角三角形．【点评】本题主要考查三角形的形状的判断，利用正弦定理和三角函数的公式是解决本题的关键，考查学生的运算能力．18．在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，△ABC是正三角形，AC与BD的交点M恰好是AC中点，又PA＝AB＝4，∠CDA＝120°．（1）求证：BD⊥PC；（2）设E为PC的中点，点F在线段AB上，若直线EF∥平面PAD，求AF的长；（3）求二面角A﹣PC﹣B的余弦值．【分析】（1）利用线面垂直的判定定理，证明BD⊥平面PAC，可得BD⊥PC；（2）设取DC中点G，连接FG，证明平面EFG∥平面PAD，可得FG∥平面PAD，求出AD＝CD，即可求AF的长；（3）建立空间直角坐标系，求出平面PAC、平面PBC的法向量，利用向量的夹角公式，即可求二面角A﹣PC﹣B的余弦值．【解答】（1）证明：∵△ABC是正三角形，M是AC中点，∴BM⊥AC，即BD⊥AC．又∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BD．又PA∩AC＝A，∴BD⊥平面PAC．∴BD⊥PC．（2）解：取DC中点G，连接FG，则EG∥平面PAD，∵直线EF∥平面PAD，EF∩EG＝E，∴平面EFG∥平面PAD，∵FG⊂平面EFG，∴FG∥平面PAD∵M为AC中点，DM⊥AC，∴AD＝CD．∵∠ADC＝120°，AB＝4，∴∠BAD＝∠BAC+∠CAD＝90°，AD＝CD＝，∵∠DGF＝60°，DG＝，∴AF＝1（3）解：分别以AB，AD，AP为x轴，y轴，z轴建立如图的空间直角坐标系，∴B（4，0，0），C（2，2，0），D（0，，0），P（0，0，4）．＝（4，﹣，0）为平面PAC的法向量．设平面PBC的一个法向量为＝（x，y，z），则∵＝（2，2，﹣4），＝（4，0，﹣4），∴，令z＝3，得x＝3，y＝，则平面PBC的一个法向量为＝（3，，3），设二面角A﹣PC﹣B的大小为θ，则cosθ＝＝．∴二面角A﹣PC﹣B余弦值为．【点评】本题考查线面垂直的判定定理与性质，考查二面角，考查学生分析解决问题的能力，考查向量法的运用，确定平面的法向量是关键．19．在一次高三年级统一考试中，数学试卷有一道满分10分的选做题，学生可以从A，B两道题目中任选一题作答．某校有900名高三学生参加了本次考试，为了了解该校学生解答该选做题的得分情况，计划从900名考生的选做题成绩中随机抽取一个容量为10的样本，为此将900名考生选做题的成绩按照随机顺序依次编号为001一900．（1）若采用随机数表法抽样，并按照以下随机数表，以加粗的数字5为起点，从左向右依次读取数据，每次读取三位随机数，一行读数用完之后接下一行左端．写出样本编号的中位数；05 26 93 70 60 22 35 85 15 13 92 03 51 59 77 59 56 78 06 83 52 91 05 70 7407 97 10 88 23 09 98 42 99 64 61 71 62 99 15 06 51 29 16 93 58 05 77 09 5151 26 87 85 85 54 87 66 47 54 73 32 08 11 12 44 95 92 63 16 29 56 24 29 4826 99 61 65 53 58 37 78 80 70 42 10 50 67 42 32 17 55 85 74 94 44 67 16 9414 65 52 68 75 87 59 36 22 41 26 78 63 06 55 13 08 27 01 50 15 29 39 39 43（2）若采用系统抽样法抽样，且样本中最小编号为08，求样本中所有编号之和：（3）若采用分层轴样，按照学生选择A题目或B题目，将成绩分为两层，且样本中A题目的成绩有8个，平均数为7，方差为4：样本中B题目的成绩有2个，平均数为8，方差为1．用样本估计900名考生选做题得分的平均数与方差．【分析】（1）由题取出十个编号，先将编号从小到大排列再求中位数（2）按照系统抽样法，抽出的编号可组成以8为首项，以90为公差的等差数列，求该数列的前10项和．（3）分别求出样本的平均数和方差，900名考生选做题得分的平均数与方差和样本的平均数与方差相等．【解答】解：（1）根据题意，读出的编号依次是：512，916（超界），935（超界），805，770，951（超界），512（重复），687，858，554，876，647，547，332．将有效的编号从小到大排列，得332，512，547，554，647，687，770，805，858，876，所以中位数为×（647+687）＝667；（2）由题易知，按照系统抽样法，抽出的编号可组成以8为首项，以90为公差的等差数列，所以样本编号之和即为该数列的前10项之和，即S10＝10×8+＝4130；（3）记样本中8个A题目成绩分别为x1，x2，…x8，2个B题目成绩分别为y1，y2，由题意可知x i＝8×7＝56，＝8×4＝32，y i＝16，＝2×1＝2，故样本平均数为＝×（x i+y i）＝×（56+16）＝7.2；样本方差为s2＝×[+]＝×{+}＝×[﹣0.4（x i﹣7）+8×0.22++1.6（y i﹣8）+2×0.82]＝×（32﹣0+0.32+2+0+1.28）＝3.56；所以估计该校900名考生该选做题得分的平均数为7.2，方差为3.56．【点评】本题考查了随机数表法抽样应用问题，也考查了系统抽样和平均数、方差的计算问题，是中档题．20．已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为M，∠F1MF2＝60°，P为椭圆上任意一点，且△PF1F2的面积的最大值为．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）若点A，B为椭圆C上的两个不同的动点，且•＝t（O为坐标原点），则是否存在常数t，使得O点到直线AB的距离为定值？若存在，求出常数t和这个定值；若不存在，请说明理由．【分析】（Ⅰ）由题得，，解得a2＝4，b2＝3，即可求出椭圆方程，（Ⅱ）设A（x1，y1）、B（x2，y2），当直线AB的斜率存在时，设其直线方程为：y＝kx+n，由得由此利用韦达定理、向量知识，结合已知条件能求出结果．【解答】解：（Ⅰ）由题得，，解得a2＝4，b2＝3，∴椭圆的标准方程为+＝1．（Ⅱ）设A（x1，y1）、B（x2，y2），当直线AB的斜率存在时，设其直线方程为：y＝kx+n，则原点O到直线AB的距离为d＝，联立方程，化简得，（4k2+3）x2+8knx+4n2﹣12＝0，由△＞0得4k2﹣n2+3＞0，则x1+x2＝﹣，x1x2＝，∴•＝x1x2+y1y2＝x1x2+（kx1+n）（kx2+n）＝（k2+1）x1x2+kn（x1+x2）+n2＝t即（7d2﹣12﹣4t）k2+7d2﹣12﹣3t＝0对任意的k∈R恒成立，则，解得t＝0，d＝，当直线AB斜率不存在时，也成立．故当t＝0时，O点到直线AB的距离为定值d＝．【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查满足向量的数量积之和为定值的实数值的求法，考查直线方程、椭圆性质、韦达定理等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．21．已知函数f（x）＝alnx﹣x2．（1）当a＝2时，求函数y＝f（x）在[，2]上的最大值；（2）令g（x）＝f（x）+ax，若y＝g（x））在区间（0，3）上为单调递增函数，求a的取值范围；（3）当a＝2时，函数h（x）＝f（x）﹣mx的图象与x轴交于两点A（x1，0），B （x2，0），且0＜x1＜x2，又h′（x）是h（x）的导函数．若正常数α，β满足条件α+β＝1，β≥α．试比较h'（αx1+βx2）与0的关系，并给出理由．【分析】（1）当a＝2时，利用导数的符号求得函数的单调性，再根据函数的单调性求得函数y＝f（x）在[，2]上的最大值；（2）先求得g′（x）＝﹣2x+a，因为g（x）在区间（0，3）上单调递增，所以g'（x）≥0在（0，3）上恒成立，运用参数分离和函数的单调性，求得右边函数的范围，由此可得a的范围；（3）h′（αx1+βx2）＜0．理由：由题意可得，f（x）﹣mx＝0有两个实根x1，x2，化简可得m＝﹣（x1+x2），可得h'（αx1+βx2）＝﹣2（αx1+βx2）﹣+（x1+x2）＝﹣﹣+（2α﹣1）（x2﹣x1），由条件知（2α﹣1）（x2﹣x1）≤0，再用分析法证明h′（αx1+βx2）＜0．【解答】解：（1）∵f（x）＝2lnx﹣x2，可得，函数f（x）在[，1]是增函数，在[1，2]是减函数，所以f（1）取得最大值，且为﹣1；（2）因为g（x）＝alnx﹣x2+ax，所以g′（x）＝﹣2x+a，因为g（x）在区间（0，3）上单调递增，所以g'（x）≥0在（0，3）上恒成立，即有a≥在（0，3）的最大值，由y＝的导数为y′＝＞0，则函数y＝在（0，3）递增，可得y＜，则a≥；（3）由题意可得，h′（x）＝﹣2x﹣m，又f（x）﹣mx＝0有两个实根x1，x2，∴2lnx1﹣x12﹣mx1＝0，2lnx2﹣x22﹣mx2＝0，两式相减，得2（lnx1﹣lnx2）﹣（x12﹣x22）＝m（x1﹣x2），∴m＝﹣（x1+x2），于是h'（αx1+βx2）＝﹣2（αx1+βx2）﹣m＝﹣2（αx1+βx2）﹣+（x1+x2）＝﹣﹣+（2α﹣1）（x2﹣x1），∵β≥α，∴2α≤1，∴（2α﹣1）（x2﹣x1）≤0．可得h′（αx1+βx2）＜0．要证：h′（αx1+βx2）＜0，只需证：﹣＜0，只需证：﹣ln＞0．（*）令＝t∈（0，1），∴（*）化为+lnt＜0，只证u（t）＝+lnt即可．∵u′（t）＝+＝﹣＝，又∵≥1，0＜t＜1，∴t﹣1＜0，∴u′（t）＞0，∴u（t）在（0，1）上单调递增，故有u（t）＜u（1）＝0，∴+lnt＜0，即﹣ln＞0．∴h′（αx1+βx2）＜0．【点评】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，利用函数的单调性求函数在闭区间上的最值，用分析法证明不等式，体现了转化的数学思想，属于难题．请考生在22、23三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4一4：坐标系与参数方程选讲]22．选修4﹣4：参数方程选讲已知平面直角坐标系xOy，以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，P 点的极坐标为，曲线C的极坐标方程为．（Ⅰ）写出点P的直角坐标及曲线C的普通方程；（Ⅱ）若Q为C上的动点，求PQ中点M到直线l：（t为参数）距离的最小值．【分析】（1）利用x＝ρcosθ，y＝ρsinθ即可得出；（2）利用中点坐标公式、点到直线的距离公式及三角函数的单调性即可得出，【解答】解（1）∵P点的极坐标为，∴＝3，＝．∴点P的直角坐标把ρ2＝x2+y2，y＝ρsinθ代入可得，即∴曲线C的直角坐标方程为．（2）曲线C的参数方程为（θ为参数），直线l的普通方程为x ﹣2y﹣7＝0设，则线段PQ的中点．那么点M到直线l的距离.，∴点M到直线l的最小距离为．【点评】本题考查了极坐标与直角坐标的互化、中点坐标公式、点到直线的距离公式、两角和差的正弦公式、三角函数的单调性等基础知识与基本技能方法，考查了计算能力，属于中档题．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）＝|x+1|+|x﹣5|，x∈R．（Ⅰ）求不等式f（x）≤x+10的解集；（Ⅱ）如果关于x的不等式f（x）≥a﹣（x﹣2）2在R上恒成立，求实数a的取值范围．【分析】（Ⅰ）化简f（x）的解析式，分类讨论求得不等式f（x）≤x+10的解集．（Ⅱ）由题意可得f（x）在x∈[﹣1，5]上的最小值大于或等于g（x）的最大值．。

2018年河北省衡水金卷调研卷全国卷 I A 理科数学模拟(三)试题(三)(解析版)

2018年河北省衡水金卷调研卷全国卷 I A 理科数学模拟（三）试题（三）（解析版）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】A={x|2﹣x﹣x2＞0}={x|x2+x﹣2＜0}={x|﹣2＜x＜1}，B=N，∴A∩B={0}．故选：A．2. 复数（其中为虚数单位，）满足是纯虚数，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】根据题意可设∴∴，解得：∴，∴故选：D3. 已知；.若“”是真命题，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由“p∧q”是真命题，则p为真命题，q也为真命题，若p为真命题，则，∴a1．若q为真命题，即x2+2ax+2﹣a=0有实根，△=4a2﹣4（2﹣a）≥0，解得a≤﹣2或a≥1．4. 已知双曲线的离心率为，其中一条渐近线的倾斜角的取值范围是，其斜率为，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=±x，由一条渐近线的倾斜角的取值范围[，]，则tan≤≤tan，即为≤≤，即，记易知：在上单调递减，上单调递增，，∴的取值范围是故选:D5. 电路从到上共连接着6个灯泡（如图），每个灯泡断路的概率是，整个电路的连通与否取决于灯泡是否断路，则从到连通的概率是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】如图，可知AC之间未连通的概率是连通的概率是.EF之间连通的概率是，未连通的概率是，故CB之间未连通的概率是，故CB之间连通的概率是，故AB之间连通的概率是故选：B6. 已知点，若实数满足则目标函数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】作出可行域如图所示：目标函数,其中的几何意义为可行域上的动点与定点M连线的斜率，设为，其最小值为，其最大值为,即故故选：D7. 已知，，，则的大小关系是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】∵∴故选：C8. 某锥体的三视图如图所示，用平行于锥体底面的平面把锥体截成体积相等的两部分，则截面面积为（）A. 2B.C.D.【答案】C【解析】题中三视图所表示的几何体是四棱锥，镶嵌入棱长为2的正方体中，即四棱锥的底面为ABCD，面积为4，设截面面积为S，所截得小四棱锥高为h，则解得：故选：C点睛：三视图问题的常见类型及解题策略(1)由几何体的直观图求三视图．注意正视图、侧视图和俯视图的观察方向，注意看到的部分用实线表示，不能看到的部分用虚线表示．(2)由几何体的部分视图画出剩余的部分视图．先根据已知的一部分三视图，还原、推测直观图的可能形式，然后再找其剩下部分三视图的可能形式．当然作为选择题，也可将选项逐项代入，再看看给出的部分三视图是否符合．(3)由几何体的三视图还原几何体的形状．要熟悉柱、锥、台、球的三视图，明确三视图的形成原理，结合空间想象将三视图还原为实物图．9. 意大利数学家列昂纳多·斐波那契是第一个研究了印度和阿拉伯数学理论的欧洲人，斐波那契数列被誉为是最美的数列，数列的通项以及求和由如图所示的框图给出.则最后输出的结果等于（）A. B. C. D.【答案】D【解析】第一次循环：第二次循环：第三次循环：第四次循环：第五次循环：；第N次循环：此时退出循环，故输出，归纳可得，故选：D点睛：本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.10. 将函数的图象按以下次序变换：①纵坐标不变，横坐标变为原来的，②向左平移个单位，得到函数的图象（如图所示），其中点，点，则函数在区间上的对称中心为（）A. ，B.C. ，D. ，，【答案】D【解析】由图可设.由，得到，故是由向右移个单位所得，故，将向右平移个单位，得到然后纵坐标不变，横坐标变为原来的倍，所得，∴,∴，令，，故所有的取值为，故所求在区间上的对称中心为，，故选：D11. 已知，，，.给出以下三个命题：①分别过点，，作的不同于轴的切线，两切线相交于点，则点的轨迹为椭圆的一部分；②若，相切于点，则点的轨迹恒在定圆上；③若，相离，且，则与，都外切的圆的圆心在定椭圆上.则以上命题正确的是（）A. ①②B. ①③C. ②③D. ①②③【答案】A【解析】对于①，如图所示，，故点M恒在以E，F为焦点，AB为长轴的椭圆上，①正确；对于②，若与x轴相切于点A，与x轴相切于点B，由题意知相外切，且，相切于点H，过点Ｈ作两圆公切线，交ｘ轴于点Ｑ，如图所示，则，故Ｑ与Ｏ点重合，所以，故点Ｈ的轨迹恒在定圆上，②正确；对于③设与，都相切的圆的圆心为Ｔ，半径为ｒ，则Ｔ满足，，得到，故圆心T的轨迹是双曲线的一部分，③不正确，故选：A12. 已知函数（其中为自然对数的底数）有两个极值点，则函数的零点个数为（）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】D【解析】函数（其中e为自然对数的底数）有两个极值点，即有两个正数根，即一元二次方程有两个正数根，等价于：，得：，得到即。

河北省衡水中学2018届高三下学期第6周周考数学(理)试题(精校Word版含答案)

理数周日测试6 一、选择题1.已知集合{}{}2,,1,0,2,3,4,8A x x n n Z B ==∈=-，则()R A B ⋂=ð（） A. {}1,2,6 B. {}0,1,2 C. {}1,3- D.{}1,6- 2.已知i 是虚数单位，则2331i i i -⎛⎫-= ⎪+⎝⎭（）A. 32i --B. 33i --C. 24i -+D. 22i -- 3.已知2sin 3α=，则()3tan sin 2ππαα⎛⎫++= ⎪⎝⎭（） A. 23-B. 23C.4.已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的离心率为12，且椭圆的长轴与焦距之差为4，则该椭圆为方程为（）A. 22142x y +=B. 22184x y +=C. 221164x y +=D.2211612x y += 5.公元五世纪，数学家祖冲之估计圆周率π的值的范围是：3.1415926 3.1415927π<<，为纪念祖冲之在圆周率的成就，把3.1415926称为“祖率”，这是中国数学的伟大成就.某小学教师为帮助同学们了解“祖率”，让同学们从小数点后的7位数字1,4,1,5,9,2,6随机选取两位数字，整数部分3不变，那么得到的数字大于3.14的概率为（） A.2831 B. 1921 C. 2231 D.1721 6.运行如图所示的程序，输出的结果为（）A. 8B. 6C. 5D.47.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A. 6πB. 8πC. 6π+6D.8π+48.已知直线1:1l y x =+与2:l y x m =+之间的距离为2，则直线2l 被圆()22:18C x y ++=截得的弦长为（）A. 4B.3C.2D.19.已知实数,x y 满足不等式组10201x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则目标函数3z x y =-的最大值为（）A.1B.2C.53 D. 7310.在边长为1的正ABC ∆中，点D 在边BC 上，点E 是AC 中点，若316AD BE =-，则BDBC=（） A.14 B. 12 C. 34 D. 7811.已知定义在R 上的函数()f x ，满足()()()f m x f m x x R +=-∈，且1x ≥时，()22x n f x -+=，图象如图所示，则满足()2n mf x -≥的实数x 的取值范围是（） A. []-1,3 B. 1322⎡⎤⎢⎥⎣⎦， C. []0,2 D. 15,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦12.已知函数()()23sin cos 4cos 0f x x x x ωωωω=->的最小正周期为π，且()12f θ=，则2f πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（） A. 52-B. 92-C. 112-D. 132- 二、填空题13.在正方体1111ABCD A BC D -中，点M 是11C D 的中点，则1A M 与AB 所成角的正切值为. 14.已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的离心率为2，过双曲线的右焦点垂直于x 轴的直线被双曲线截得的弦长为m ，则ma=. 15.已知函数()()()()ln 0ln 0x x f x x x >⎧⎪=⎨--<⎪⎩，若()()()20,0f a f b a b =><，且224a b +的最小值为m ，则()22log mab +-=.16.已知ABC ∆的三个内角所对的边分别为,,a b c ，且cos cos 2cos b C c B a B +=，sin 3sin B A =，则a c=. 三、解答题17.（12分）已知等比数列{}n a 满足：112a =，且895618a a a a +=+. （1）求{}n a 的通项公式及前n 项和；（2）若n nb na =，求{}n b 的前n 项和n T .18.（12分）如图，三棱锥P ABC -中，PAB ABC ⊥平面平面，PA PB =，且AB PC ⊥.（1）求证：CA CB =；（2）若2,PA PB AB PC ====P ABC -的体积.19.（12分）某搜索引擎广告按照付费价格对搜索结果进行排名，点击一次付费价格排名越靠前，被点击的次数也可能会提高，已知某关键词被甲、乙等多个公司竞争，其中甲、乙付费情况与每小时点击量结果绘制成如下的折线图.（1）试根据所给数据计算每小时点击次数的均值方差并分析两组数据的特征；（2）若把乙公司设置的每次点击价格为x ，每小时点击次数为y ，则点（x ，y ）近似在一条直线附近.试根据前5次价格与每小时点击次数的关系，求y 关于x 的回归直线ˆˆˆybx a =+.（附：回归方程系数公式：1221ˆˆˆ,ni ii nii x y nxybay bx xnx =-=-==--∑∑） 20.（12分）如图，直线10l y ++=与y 轴交于点A ，与抛物线()2:20C x py p =>交于P ，Q ，点B 与点A 关于x 轴对称，连接QB ，BP 并延长分别与x 轴交于点M ，N. （1）若PQ =，求抛物线C 的方程；（2）若3MN =，求BMN ∆外接圆的方程.21.（12分）已知函数()()2ln f x x axa R =+∈.（1）若()y f x =在2x =处的切线与x 轴平行，求()f x 的极值；（2）若函数()()1g x f x x =--在()0∞，+上单调递增，求实数a 的取值范围. 选考题22.（10分）选修4-4坐标系与参数方程以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为()253cos28ρθ-=，直线l的参数方程为22x m t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（其中t 为参数）.（1）把曲线C 的极坐标方程化为普通方程；（2）若直线l 与曲线C 有两个公共点，求实数m 的取值范围.23.（10分）选修4-5不等式选讲已知函数()12f x x x =-+.（1）关于x 的不等式()2f x <的解集为M ，且(),12m m M -⊆，求实数m 的取值范围；（2）求()()22g x f x x x =-+-的最小值，及对应的x 的取值范围. 附加题. 已知函数()()()2ln f x x g x ax bx a b ==-，、为常数.（Ⅰ）求函数()f x 在点()()1,1f 处的切线方程；（Ⅱ）当函数()2g x x =在处取得极值-2，求函数()g x 的解析式；（Ⅲ）当12a=时，设()()()h x f x g x=+，若函数()h x在定义域上存在单调减区间，求实数b的取值范围.河北衡水中学2018届高三数学复习周日测答案1.【答案】C 【解析】由条件可知A 为偶数集，故(){}R 1,3A B =-I ð.2.【答案】B 【解析】()()()22231i 3i 3i i i 12i i 33i 1i 2轾--骣-÷犏ç-=+=-+=--÷ç÷犏ç桫+臌. 3.【答案】A 【解析】()()32tan sin tan cos sin 23p p a a a a a 骣÷ç++=-=-=-÷ç÷ç桫. 4.【答案】D 【解析】设椭圆的焦距为2c ，由条件可得12c a =，故2a c =，由椭圆的长轴与焦距之差为4可得()24a c -=，即2a c -=，所以，4a =，2c =，故22212b a c =-=，故该椭圆的方程为2211612x y +=.5.【答案】A 【解析】从1，4，1，5，9，2，6这7位数字中任选两位数字的不同情况有：14，11，15，19，12，16，41，45，49，42，46，59，52，56，92，96，26，51，91，21，61，54，94，24，64，95，25，65，29，69，62，共31种不同情况，其中使得到的数字不大于3.14的情况有3种不同情况，故所求概率为32813131-=. 6.【答案】D 【解析】所给程序的运行过程如下：1b =，3a =；2b =，7a =；3b =，15a =；4b =，31a =，不满足30a <，输出b 的值为4.7.【答案】C 【解析】由三视图可知，该几何体是一个圆柱的34，故表面积为()232123213664p p p ??创=+.8.【答案】A 【解析】由条件可知，直线1l 过圆心():1,0C -，则圆心C 到直线2l 的距离等于直线1l 与2l 之间的距离2，故直线2l 被圆C 截得的弦长为4. 9.【答案】B 【解析】不等式组表示的平面区域如下图中的阴影部分所示：且点12,33A 骣÷ç-÷ç÷ç桫，()1,2B ，()1,2C -，易得目标函数3z x y =-在点C 处取得最大值5.10.【答案】C 【解析】设AB =uu u r a ，AC =uuu r b ，BD BC l =uu u r uu u r，则()()1AD AB BD l l l =+=+-=-+u u u r u u u r u u u r a b a a b ，12BE AE AB =-=-u u u r u u u r u u u r b a ，则()()()()()()2211111312221133131142416AD BE l l l l l l l l l 骣÷ç轾?-+?=-?-+÷ç臌÷ç桫=-+-+=-=-uuu r uu u r a b b a a b a b故34l =，即34BD BC =. 11.【答案】B 【解析】由条件可知，()f x 的图象关于直线1x =对称，结合()()()f m x f m x x +=-?R 可得1m =，而()11f =，即221n -+=，解之得2n =，由()2n m f x -≥可得()12f x ≥，当1x ≥时，由22122x -+≥，解之得32x ≤，所以，312x ≤≤，再结合对称性可得x 的取值范围是13,22轾犏犏臌.12.【答案】B 【解析】()()2353sin cos 4cos sin 22cos22sin 2222f x x x x x x x w w w w w w j =-=--=--，其中4sin 5j =，3cos 5j =，由()12f q =可得()sin 21wq j -=，即()f x 关于x q =对称，而2x p q =+与x q =的距离为12个周期，故sin 212p w q j 轾骣÷ç犏+-=-÷ç÷ç犏桫臌，所以，592222f p q 骣÷ç+=--=-÷ç÷ç桫. 13.【答案】2【解析】11MA B Ð即为1A M 与AB 所成角，取11A B 中点N ，连接MN ，则11MN A B ^，则111tan 2MNMA B A N?=. 14.【答案】6【解析】设双曲线的焦距为2c ，则2ca=，即2c a =，则b =2x c a==代入双曲线可得2b y a =?，故22b m a =，所以，2226m b a a==.15.【答案】3【解析】由()()()20,0f a f b a b =><可得()ln ln 2a b =--，即21ab -=，∴12ab =-，则2242242a b a bab +?=≥，当且仅当122ab a b ìïï=-ïíïï=-ïî，即112a b ì=ïïïíï=-ïïî时，224a b +取得最小值2.故()22212log 2log 32m ab +=+=.16.cos cos 2cos b C c B a B +=及正弦定理可得sin cos sin 2sin cos B C Ccos B A B +=，即()sin 2sin cos B C A B +=，而()sin sin 0A B C =+>，∴1cos 2B =.由sin 3sin B A =可得3b a =，由余弦定理可得2222cos b a c ac B =+-，即2229a a c ac =+-，解之得a c=（舍去负值）. 17.【解析】（1）设{}n a 的公比为q ，由895618a a a a +=+可得318q =，∴12q =，∴12n n a =，∴11112211212n n n S 骣÷ç-÷ç÷ç桫==--.（5分）（2）由（1）可得2n n n b =，则231232222n n nT =++++L ① 所以，2341112322222n n nT +=++++L ②由①-②可得2311111111111222112222222212n n n n n n n n n T +++骣÷ç-÷ç÷ç桫+=++++-=-=--L ，所以，222n nn T +=-.（12分） 18.【解析】（1）取AB 的中点O ，连接PO ，PC .∵PA PB =，∴PO AB ^， ∵AB PC ^，PC PO P =I ，PC ，PO Ì平面POC ， ∴AB ^平面POC ，又∵OC Ì平面POC ，∴AB OC ^，而O 是AB 的中点，∴CA CB =.（6分）（2）∵平面PAB ^平面ABC ，PO Ì平面PAB ，平面PAB I 平面ABC AB =， ∴PO ^平面ABC，由条件可得PO =OC =.则11222ABC S AB OC =?创V ∴三棱锥P ABC -的体积为：1133ABC V S PO =?V .（12分）19.【解析】（1）由题图可知，甲公司每小时点击次数为9，5，7，8，7，6，8，6，7，7，乙公司每小时点击次数为2，4，6，8，7，7，8，9，9，10. 甲公司每小时点击次数的平均数为：9578768677710x +++++++++==甲，乙公司每小时点击次数的平均数为：24687789071091x +++++++++==乙.甲公司每小时点击次数的方差为：()()222222122212140 1.210S 轾=+-+??+?犏臌甲；乙公司每小时点击次数的方差为：()()()22222222153******** 5.410S 轾=-+-+-+??+?犏臌乙，由计算已知，甲、乙公司每小时点击次数的均值相同，但是甲的方差较小，所以，甲公司每小时点击次数更加稳定.（6分）（2）根据折线图可得数据如下：则3x =， 5.4y =，则5152215 1.4i i i ii x y xy b x n x=-=-==-åå$， 1.2a =$， ∴所求回归直线方程为： 1.4 1.2y x =+$.（12分）20.【解析】（1）由2102y x py++=ï=ïî可得220x p ++=，设点()11,P x y ，()22,Q x y，则()280p D=->，即1p >，12x x +=-，122x x p =，故12PQ x =-=.由2p =（舍去负值）， ∴抛物线C 的方程为24x y =.（5分）（2）设直线BN ，BM 的斜率分别为1k ，2k 点，21221111212111111122222x y x p x x x x x p k x x px px p-----=====，22222221221222221122222x y x p x x x x x p k x x px px p-----=====， ∴120k k +=.直线BN 的方程为：11y k x =+，直线BM 的方程为：21y k x =+，则11,0N k 骣÷ç÷-ç÷ç÷桫，21,0M k 骣÷ç÷-ç÷ç÷桫，则12211211k k MN k k k k -=-==，由120k k +=可得12k k =-，∴1212k k =，∴1k =2k =120k k <，故tan tan BNM BMN ??，即BMN V 是等腰三角形，且1OB =，则BMN V 的外接圆的圆心一定在y 轴上，设为()0,t ，由圆心到点M ，B 的距离相等可得()2221t t -=+桫，解之得16t =-，外接圆方程为22149636x y 骣÷ç++=÷ç÷ç桫.（12分） 21.【解析】（1）∵()2ln f x x ax =+，∴()()120f x ax x x ¢=+>，由条件可得()11402f a ¢=+=，解之得18a =-， ∴()21ln 8f x x x =-，()()()()2211044x x f x x x x x --+¢=-=>，令()0f x ¢=可得2x =或2x =-（舍去）当02x <<时，()0f x ¢>；当2x >时，()0f x ¢<即()f x 在()0,2上单调递增，在()2,+?上单调递减，故()f x 有极大值()12ln 22f =-，无极小值（5分）（2）()2ln 1g x x ax x =+--，则()()2121210ax x g x ax x x x-+¢=+-=> 设()221h x ax x =-+，①当0a =时，()1x g x x-¢=-，当01x <<时，()0g x ¢>，当1x >时，()0g x ¢<，即()g x 在()0,1上单调递增，在()1,+?上单调递减，不满足条件；②当0a <时，()221h x ax x =-+是开口向下的抛物线，方程2210ax x -+=有两个实根，设较大实根为0x .当0x x >时，有()0h x <，即()0g x ¢<，∴()g x 在()0,x +?上单调递减，故不符合条件（8分）③当0a >时，由()0g x ¢≥可得()221h x ax x =-+在()0,+?上恒成立，故只需()0010400h a a ìïïïï-ïï-ïíïïD >ïïïï>ïî≥≤或0D ≤，即101041800a a a ìïïïïïïïíïï->ïïïï>ïî≥≤或1800a a ì-ïïíï>ïî≤，解之得18a ≥. 综上可知，实数a 的取值范围是1,8轹÷ê+?÷÷êøë.（12分） 22.【解析】（1）方程()253cos28r q -=可化为()22532cos 18r q 轾--=犏臌，即22243cos 4r r q -=，把222c o s x x y r r q ìï=+ïíï=ïî代入可得()222434x y x +-=，整理可得2214x y +=.（5分）（2）把x m y ìïï=-ïïïíïïï=ïïî代入2214x y +=可得225280t m -+-=，由条件可得()()2220280m D =--->，解之得m -<即实数m的取值范围是(-.（10分）23.【解析】（1）当1x ≤时，不等式()2f x <可变为()122x x --+<，解之得1x <，∴1x <；当1x >时，不等式()2f x <可变为()122x x -+<，解之得1x <，∴x 不存在. 综上可知，不等式()2f x <的解集为(),1M =-?.由(),12m m M -?，可得12121m m m ì<-ïïíï-ïî≤，解之得103m <≤，即实数m 的取值范围是10,3轹÷ê÷÷êøë.（5分）（2）()()()()2212121g x f x x x x x x x =-+-=-+----=≥，当且仅当()()120x x --≤，即12x ≤≤时，()g x 取得最小值1，此时，实数x 的取值范围是[]1,2.（10分）附加题（1）1y x =-（2）()2122g x x x =-（3）()2,b ∈+∞ 试题解析：(Ⅰ)由()ln f x x =(0x >)，可得()1'f x x =(0x >)， ∴()f x 在点()()1,1f 处的切线方程是()()()111y f f x '-=-，即1y x =-，所求切线方程为1y x =-. (Ⅱ)∵又()2g x ax bx =-可得()2g x ax b '=-，且()g x 在2x =处取得极值2-. ∴()()20,22,g g '⎧=⎪⎨=-⎪⎩可得40,422,a b a b -=-=-⎧⎨⎩解得12a =，2b =. 所求()2122g x x x =-（x R ∈）. (Ⅲ)∵()()()21ln 2h x f x g x x x bx =+=+-，()21x bx h x x -+'=(0x >). 依题存在0x >使()210x bx h x x-+'=<，∴即存在0x >使210x bx -+<，不等式210x bx -+<等价于1b x x >+(*) 令()1x x x=+λ（0x >），∵()()()221111(0)x x x x x x λ+-'=-=>. ∴()x λ在()0,1上递减，在[)1,+∞上递增，故()[)12,x x x=+∈+∞λ， ∵存在0x >，不等式(*)成立，∴2b >，所求()2,b ∈+∞.。

河北省衡水中学2017-2018学年高三下学期第六次调研考试理数试题(A卷) Word版含解析

2017-2018学年一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1．复数122ii+-的共轭复数是（） A ．35iB ．35i -C ．iD ． i -【答案】D 【解析】试题分析：由于122i i +-i ii ii =-+=)2()21(,因此应选D ．考点：复数的运算． 2．已知集合()(){}240,2101x A x RB x R x a x a x ⎧-⎫=∈≤=∈---<⎨⎬+⎩⎭，若A B =∅，则实数a 的取值范围是（） A ．()2,+∞B ．[)2,+∞C ．{}[)12,+∞D ．()1,+∞ 【答案】C考点：二次不等式的解法和集合的运算．3．某工厂生产A 、B 、C 三种不同型号的产品，产品数量之比依次为:5:3k ，现用分层抽样方法抽出一个容量为120的样本，已知A 种型号产品共抽取了24件，则C 种型号产品抽取的件数为（） A ．24B ．30C ．36D ．40 【答案】C 【解析】试题分析：因120248=+k k ,故36120103,2=⨯=k ,应选C.考点：抽样方法及计算． 4．如图给出的是计算111124620+++⋅⋅⋅+的值的一个框图，其中菱形判断框内应填入的条件是（） A ．8?i >B ．9?i >C ．10?i >D ．11?i >【答案】C 【解析】试题分析：从所给算法流程可以看出当10=i 时仍在运算,当1011>=i 时运算就结束了,所以应选C.考点：算法流程图的识读和理解．5．已知把函数()sin f x x x =+的图像向右平移4π个单位，再把横坐标扩大到原来的2倍，得到函数()g x ，则函数()g x 的一条对称轴为（） A ．6x π=B ．76x π=C ．12x π=D ．56x π=【答案】D考点：三角函数的图象和性质．6．已知等比数列{}n a 的前n 项的和为12n n S k -=+，则()3221f x x kx x =--+的极大值为（） A ．2B ．3C ．72D ．52【答案】D 【解析】试题分析：因k a S S k a a S k a S +=+=+=+=+==4,2,132321211,即2,1,1321==+=a a k a ,故题设21,1)1(2-==+k k ,所以1221)(23+-+=x x x x f ,由于)1)(23(23)(2/+-=-+=x x x x x f ,因此当)1,(--∞∈x 时, )(,0)(/x f x f >单调递增；当)32,1(-∈x 时, )(,0)(/x f x f <单调递减,所以函数)(x f 在1-=x 处取极大值2512211)1(=+++-=-f ,应选D. 考点：等比数列的前n 项和与函数的极值.7．已知身穿红、黄两种颜色衣服的各有两人，身穿蓝颜色衣服的有一人，现将这五人排成一行，要求穿相同颜色衣服的人不能相邻，则不同的排法共有（） A ．48种B ．72种C ．78种D ．84种【答案】A考点：排列组合数公式及两个计数原理的运用.8．已知椭圆221167x x +=的左、右焦点12,F F 与双曲线()222210x x a b a b-=>>的焦点重合．且直线10x y --=与双曲线右支相交于点P ，则当双曲线离心率最小时的双曲线方程为（）A ．2218x x -= B ．22163x x -= C ．22172x x -= D ．22154x x -= 【答案】D 【解析】试题分析：因3716=-=c ,故)0,3(2F ,设交点)0)(1,(>-t t t P ,则2PF =,右准线方程为32a x =,点P 到这条直线的距离为32a t d -=,所以31082322a t t t a-+-=,即2222221082)3(a t a t a a t +-=-,也即0102)92(42222=-+--a a t a t a ,该方程有正根,所以0)10)(92(444224≥---=∆a a a a ,解之得52≤a 或92≥a ,所以当52=a 时,双曲线的离心率最小,此时4592=-=b ,应选D. 考点：双曲线的几何性质．【易错点晴】本题考查的是圆锥曲线的基本量的计算问题.解答这类问题的一般思路是依据题设条件想方设法建构含c b a ,,的方程,然后再通过解方程或方程组使问题获解.解答本题的难点是如何建立和求出关于离心率的目标函数,再进一步探求该函数取得最小值时的条件,从而求出双曲线的标准方程中的b a ,的值.本题中的函数是运用两点之间的距离公式建立的,求解时是解不等式而求出b a ,的值.9．一个长方体的四个顶点构成一个四面体EFHG ，在这个长方体中把四面体EFHG 截出如图所示，则四面体EFHG 的侧视图是（）A ．B ．C ．D ．【答案】D考点：三视图的识读和理解．10．已知函数()321f x x ax =++的对称中心的横坐标为()000x x >，且()f x 有三个零点，则实数a 的取值范围是（）A ．(),0-∞B ．,2⎛⎫-∞- ⎪ ⎪⎝⎭C ．()0,+∞D ．(),1-∞- 【答案】B 【解析】试题分析：由于)32(323)(2/a x x ax x x f +=+=因此函数()321f x x ax =++有两个极值点32,0a -,因01)0(>=f ,故01274)32(3<+=-a a f ,即2233-<a ,应选B.考点：导数在研究函数的零点中的运用．11．已知三棱锥P ABC -的四个顶点都在球O 的球面上，若2PA AB ==，1AC =，120BAC ∠=︒，且PA ⊥平面ABC ，则球O 的表面积为（）A ．403πB ．503πC ．12πD ．15π【答案】A考点：球的几何性质与表面积的计算．【易错点晴】本题考查的是多面体的外接球的表面积问题.解答本题的难点是如何求出该四棱锥的外接球的半径,如何确定球心的位置,这对学生的空间想象能力的要求非常高.解答时充分借助题设条件,先求出三角形ABC ∆的外接圆的半径37=r ,再借助PA ⊥平面ABC ,球心O 与ABC ∆的外接圆的圆心1O 的连线也垂直于ABC ∆所在的平面,从而确定球心O 与1,,O A P 共面.求出了球的半径,找到解题的突破口.12．已知函数()21,0,log ,0,kx x f x x x +≤⎧=⎨>⎩下列是关于函数()()1y f f x =+的零点个数的四种判断：①当0k >时，有3个零点；②当0k <时．有2个零点；③当0k >时，有4个零点；④当0k <时，有1个零点．则正确的判断是（） A ．③④B ．②③C ．①④D ．①② 【答案】A 【解析】试题分析：若xx f x 2log )(,0=>.当log 2>x ,即1>x 时,01)(log log ))((22=+=x x f f ,解得2=x ；当0lo g 2≤x ,即10≤<x 时,011)(log ))((2=++=x k x f f ,当0>k ,解得122<=-kx 适合；当0<k ,解得122>=-kx 不适合.若1)(,0+=≤kx x f x ,若01<+kx ,则011))((2=+++=k x k x f f ,即022=++k x k ,当22,0kk x k +-=>合适,0<k 时不合适；若01>+kx ,则01)1(log ))((2=++=kx x f f ,即211=+kx 也即kx 21-=,当0>k 时适合；当0<k 不合适.因此当0>k 时有四个根k kk k21,2,2,222-+--；当0<k 只有一个根2=x ,应选A. 考点：函数的零点和分类整合思想．【易错点晴】本题考查的是函数零点的个数及求解问题.解答时借助题设条件,合理运用分类整合的数学思想,通过对变量x 的分类讨论,建立了关于函数)(x f 的方程,再通过对参数k 的分类讨论,求解出方程01))((=+x f f 的根,求解时分类务必要求合乎逻辑力争做到不重不漏,要有条理.解答本题的难点是如何转化方程01))((=+x f f ,如何进行分类整合.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）13．已知抛物线()220y px p =>的焦点为F ，ABC ∆的顶点都在抛物线上，且满足FA FB FC +=-，则111AB BC CAk k k ++=______．【答案】0考点：抛物线的几何性质．14．设曲线()1*n y xx N +=∈在点()1,1处的切线与x 轴的交点横坐标为n x ，则 20151201522015320152014log log log log x x x x +++⋅⋅⋅+的值为______．【答案】1- 【解析】试题分析：因n x n x f )1()(/+=,而1)1(/+=n f ,即切线的斜率1+=n k ,故切线方程为)1)(1(1-+=-x n y ,令0=y 得1+=n n x n ,所以11143322121+=+⋅⋅⋅=⋅⋅⋅n n n x x x n ,而20151201522015320152014log log log log x x x x +++⋅⋅⋅+1120141log )(log 20152014212015-=+=⋅⋅⋅=x x x .考点：导数的几何意义．15．已知ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知cos 2cos 22cos 2A B C +=，则cos C 的最小值为______．【答案】21考点：余弦定理和基本不等式的运用．【易错点晴】本题考查的是以三角形中的三角变换为背景,其实是和解三角形有关的最小值问题.求解本题的关键是如何将题设条件cos 2cos 22cos 2A B C +=与cos C 的最小值进行联系,这也是解答好本题的突破口.解答时先运用二倍角公式将其化为C B A 222sin 2sin sin =+,再运用正弦定理将其转化为三角形的边的等式2222c b a =+.然后再借助余弦定理和基本不等式进行联系,从而求出cos C 的最小值. 16．若函数()f x 在定义域D 内的某个区间I 上是增函数，且()()f x F x x=在I 上也是增函数，则称()y f x =是I 上的“完美函数”．已知()ln 1xg x e x x =+-+，若函数()g x 是区间,2m ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上的“完美函数”，则整数m 的最小值为______．【答案】3 【解析】试题分析：令x x x e x G x 1ln )(+-+=,则2//2ln )1()(,11)(x x e x x G x e x g x x -+-=-+=,当2=m 时, 02)(,0)1(//<-=>=x G e g ,不合题设；当3=m 时, 3/231()023g e =+>，32/13ln 2322()0924e G +-=>符合题设,所以所求最小的正整数3=m .考点：导函数的几何意义．【易错点晴】本题以新定义的完美函数为背景,考查的是导函数的与函数的单调性之间的关系的应用问题.解答本题的关键是如何建立满足不等式的实数m 的值.求解时依据题设条件先对函数()ln 1x g x e x x =+-+和xx g x F )()(=求导,建立不等式组,求参数m 的值时运用的是试验验证法,即根据题设条件对适合条件的实数m 的值进行逐一检验,最终获得答案. 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．（本小题满分12分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且首项()*113,3n n n a a S n N +≠=+∈．（1）求证：{}3nn S -是等比数列；（2）若{}n a 为递增数列，求1a 的取值范围．【答案】(1)证明见解析；(2)()()+∞-,33,9 .（2）由（1）得，()11332nn n S a --=-⨯，所以()11323n n n S a -=-⨯+．当2n ≥时，考点：等比数列及递增数列等有关知识的运用．18．（本小题满分12分）有一批货物需要用汽车从生产商所在城市甲运至销售商所在城市乙，已知从城市甲到城市乙只有两条公路，且通过这两条公路所用的时间互不影响．据调查统计，通过这两条公路从城市甲到城市乙的200辆汽车所用时间的频率分布如下表：频数假设汽车A只能在约定日期（某月某日）的前11天出发，汽车B只能在约定日期的前12天出发（将频率视为概率）．（l）为了尽最大可能在各自允许的时间内将货物运往城市乙，估计汽车A和汽车B应如何选择各自的路径；（2）若通过公路1、公路2的“一次性费用”分别为3.2万元、1.6万元（其他费用忽略不计），此项费用由生产商承担．如果生产商恰能在约定日期当天将货物送到，则销售商一次性支付给生产商40万元，若在约定日期前送到，每提前一天销售商将多支付给生产商2万元；若在约定日期后送到，每迟到一天，生产商将支付给销售商2万元．如果汽车,A B按（1）中所选路径运输货物，试比较哪辆汽车为生产商获得的毛利润更大．【答案】(1) 汽车A选择公路1，汽车B选择公路2；(2)汽车B为生产商获得毛利润更大．.X=．（Ⅱ）设X表示汽车A选择公路1时，销售商付给生产商的费用，则42,40,38,36X的分布列如下：()420.2400.4380.2360.239.2E X=⨯+⨯+⨯+⨯=．-=（万元）．∴表示汽车A选择公路1时的毛利润为39.2 3.236.0设Y 表示汽车B 选择公路2时的毛利润，42.4,40.4,38.4,36.4Y =．则Y 的分布列如下：0.4()42.40.140.40.438.40.436.40.139.4E Y =⨯+⨯+⨯+⨯=．∵36.039.4<，∴汽车B 为生产商获得毛利润更大．考点：概率和随机变量的分布列与数学期望等有关知识的运用． 19．（本小题满分12分）如图，平面PAC ⊥平面ABC ，AC BC ⊥，PAC ∆为等边三角形，PE BC ，过BC 作平面交AP 、AE 分别于点N 、M ．（1）求证：MN PE ；（2）设ANAPλ=，求λ的值，使得平面ABC 与平面MNC 所成的锐二面角的大小为45︒．【答案】(1)证明见解析；(2) 1λ=.考点：空间直线与平面的位置关系及空间向量等有关知识的运用．【易错点晴】空间向量是理科高考的必考的重要内容之一,也是高考的难点之一.解答这类问题的关键是运算求解能力不过关和灵活运用数学知识和思想方法不到位.解答本题的两个问题时,都是通过建立空间直角坐标系,充分借助题设条件和空间向量的有关知识进行推证和求解.第一问中的求证是借助向量共线定理进行推证的；第二问中充分运用向量的数量积公式建立方程的,通过解方程从而求出1λ=.如何通过计算建立方程是解答好本题的难点和关键之所在.20．（本小题满分12分）如图，已知圆(22:16E x y +=，点)F，P 是圆E 上任意一点线段PF 的垂直平分线和半径PE 相交于Q ．（1）求动点Q 的轨迹Γ的方程；（2）设直线l 与（1）中轨迹Γ相交下,A B 两点，直线,,OA l OB 的斜率分别为12,,k k k （其中0k >）．OA B ∆的面积为S ，以,O A O B 为直径的圆的面积分别为12,S S ．若12,,k k k 恰好构成等比数列，求12S S S+的取值范围．【答案】(1) 2214x y +=；(2)5,4π⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.（2）设直线l 的方程为y kx m =+，()()1122,,,A x y B x y由2214y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩可得()()222148410k x kmx m +++-=，又22221212144x x y y +=+= 则()222222121122123324444S S x y x y x x ππ⎛⎫+=⋅+++=⋅++ ⎪⎝⎭()212123521624x x x x πππ⎡⎤=+-+=⎣⎦为定值．12分∴125544S S S ππ+=≥当且仅当1m =±时等号成立．综上：125,4S S S π+⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭．14分考点：直线与椭圆的位置关系等有关知识的运用． 21．（本小题满分12分）已知函数()()1ln 0x f x x a ax-=-≠．（l ）求函数()f x 的单调区间；（2）当1a =时，求()f x 在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值()0.69ln 20.70<<；（3）求证：21ln e x x x+≤．【答案】(1) 若0a <，函数()f x 的单调减区间为()0,+∞，若0a >，()f x 的单调增区间为10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调减区间为1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭；(2)最大值为0，最小值为1ln 2-+；(3)证明见解析.考点：导数在研究函数的单调性和最值中的运用．【易错点晴】本题以探求函数的单调性和不等式的推证为背景,考查的是导函数的与函数的单调性之间的关系的综合应用问题.解答本题的第一问时,是直接依据题设条件运用分类讨论的思想求出单调区间；第二问中的最值求解则是运用导数研究函数在各个区间上的单调性,再依据最值的定义求出最值；第三问中的不等式的证明和推证则是依据题设条件,将问题进行合理有效的转化为求最值问题.体现数学中的化归与转化的数学思想的巧妙运用.请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲已知直线AC 与圆O 相切于点B ，AD 交圆O 于F 、D 两点，CF 交圆于,E F ，BD CE ，AB BC =，2AD =，1BD =．（1）求证：BDF FBC ∆∆∽；（2）求CE 的长．【答案】(1)证明见解析；(2)4CE =.考点：圆的有关知识的及运用．23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在极坐标系中，圆C 的方程为()2cos 0a a ρθ=≠，以极点为坐标原点，极轴为x 轴正半轴建立平面直角坐标系，设直线l 的参数方程为31,43x t y t =+⎧⎨=+⎩（t 为参数）．（1）求圆C 的标准方程和直线l 的普通方程；（2）若直线l 与圆C 恒有公共点，求实数a 的取值范围．【答案】(1) 4350x y -+=，()222x a y a -+=；(2) 59a ≤-或5a ≥.考点：极坐标方程和参数方程等有关知识及运用．24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲（1）设函数()5,2f x x x a x R =-+-∈，若关于x 的不等式()f x a ≥在R 上恒成立，求实数a 的最大值；（2）已知正数,,x y z 满足231x y z ++=，求321x y z++的最小值．【答案】(1)54；(2)16+【解析】试题分析：(1)依据题设条件运用绝对值不等式的性质求解；(2)借助题设条件运用柯西不等式求解.试题解析:考点：绝对值不等式和柯西不等式等有关知识及运用．。

河北省衡水中学2018届高三十六模理科数学试题(含答案)

2017-2018学年度第二学期高三年级十六模考试理数试卷第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知i 是虚数单位，则复数集合37iz i+=的实部和虚部分别是（） A ．7,3- B ．7,3i - C ．7,3- D ．7,3i -2.已知集合{}1,0,2P =-，{}sin ,Q y y R θθ==∈，则P Q ⋂=（） A ．∅ B ．{}0 C ．{}1,0- D ．{}1,0,2-3.已知随机变量X 服从正态分布(,4)N a ，且(1)0.5P X >=，(2)0.3P X >=，(0)P X <等于（） A ．0.2 B ．0.3 C ．0.7 D ．0.84.下列有关命题的说法正确的是（）A ．命题“若0xy =，则0x =”的否命题为“若0xy =，则0x ≠”B ．命题“若0x y +=，则,x y 互为相反数”的逆命题是真命题C.命题“x R ∃∈，使得2210x -<”的否定是“x R ∀∈，都有2210x -<” D ．命题“若cos cos x y =，则x y =”的逆否命题为真命题5.已知α满足1sin 3α=，则cos()cos()44ππαα+-=（） A ．718 B ．2518 C. 718- D ．2518-6.某几何体的三视图如图所示，三个视图中的正方形的边长均为6，俯视图中的两条曲线均为圆弧，则该几何体的体积为（）A ．2163π-B ．216 4.5π- C.2166π- D ．2169π- 7.已知函数()2sin(2)6f x x π=+，现将()y f x =的图形向左平移12π个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到函数()y g x =的图象，则()g x 在50,24π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为（） A ．[]1,2- B ．[]0,1 C.[]0,2 D ．[]1,0-8.我国古代名著《九章算术》用“更相减损术”求两个正整数的最大公约数是一个伟大创举，这个伟大创举与我国古老的算术——“辗转相除法”实质一样，如图的程序框图即源于“辗转相除法”，当输入6402a =，2046b =时，输出的a =（）A ．66B ．12 C. 36 D ．1989.已知实数,x y 满足约束条件5001202x y y x y x ⎧⎪+-≥⎪-≥⎨⎪⎪--≤⎩，若不等式22(1)2(42)0a x xy a y -++-≥恒成立，则实数a 的最大值为（） A ．73 B ．53C.5 D ．6 10.已知函数()ln f x x =，()(23)g x m x n =++，若对任意的(0,)x ∈+∞，总有()()f x g x ≤恒成立，记(23)m n +的最小值为(,)f m n ，则(,)f m n 最大值为（）A ．1B ．1e C. 21e D ．1e11.设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，过2F 的直线与双曲线的右知交于两点,A B ，若1:3:4AF AB =，且2F 是AB 的一个四等分点，则双曲线C 的离心率是（）A ．52 B ．102 C.52D ．5 12.已知偶函数()f x 满足(4)(4)f x f x +=-，且当(]0,4x ∈时，ln(2)()x f x x=，关于x 的不等式2()()0f x af x +>在区间[]200,200-上有且只有300个整数解，则实数a 的取值范围是（）A ．1(ln 2,ln 6)3--B ．1(ln 2,ln 6]3-- C.13ln 2(ln 6,)34--D ．13ln 2(ln 6,]34-- 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知平面向量a ，b ，1a =，2b =，且1a b ⋅=，若e 为平面单位向量，则()a b e +⋅的最大值为．14.二项式651()x x x+展开式中的常数项是．15.已知点A 是抛物线2:2(0)C x py p =>上一点，O 为坐标原点，若,A B 是以点(0,8)M 为圆心，OA 的长为半径的圆与抛物线C 的两个公共点，且ABO ∆为等边三角形，则p 的值是．16.已知直三棱柱11ABC A B C -中，120BAC ∠=︒，1AB AC ==，12AA =,若棱1AA 在正视图的投影面α内，且AB 与投影面α所成角为(3060)θθ︒≤≤，设正视图的面积为m ，侧视图的面积为n ，当θ变化时，mn 的最大值是．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知等差数列{}n a 的前*()n n N ∈项和为n S ，数列{}n b 是等比数列，13a =，11b =，2210b S +=,5232a b a -=.（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）若2,,n n nn S c b n ⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数，设数列{}n c 的前n 项和为n T ，求2n T .18. 如图，在底面是菱形的四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，60ABC ∠=，2PA AB ==，点E F 、分别为BC PD 、的中点，设直线PC 与平面AEF 交于点Q . （1）已知平面PAB PCD l ⋂=平面，求证：//AB l ；（2）求直线AQ 与平面PCD 所成角的正弦值.19. 作为加班拍档、创业伴侣、春运神器，曾几何时，方便面是我们生活中重要的“朋友”，然而这种景象却在近5年出现了戏剧性的逆转，统计显示，2011年之前，方便面销量在中国连续18年保持两位数增长，2013年的年销量更是创下462亿包的辉煌战绩；但2013年以来，方便面销量却连续3年下跌，只剩385亿包，具体如下表.相交于方便面，网络订餐成为大家更加青睐的消费选择.近年来，网络订餐市场规模的“井喷式”增长，也充分反映了人们消费方式的变化.全国方便面销售情况（单位：亿包/桶）（数据来源：世界方便面协会）年份 2013201420152016时间代号t 1 2 3 4 年销量y （亿包/桶）462444404385（1）根据上表，求y 关于t 的线性回归方程ˆˆˆybt a =+，用所求回归方程预测2017年(5)t =方便面在中国的年销量；（2）方便面销量遭遇滑铁卢受到哪些因素影响？中国的消费业态发生看怎样的转变？某媒体记者随机对身边的10为朋友做了一次调查，其中5位受访者表示超过1年未吃过方便面，3为受访者认为方便面是健康食品；9位受访者有过网络订餐的经历.现从这10人中抽取3人进行深度访谈，记ξ表示随机抽取的3人，认为方便面是健康食品的人数，求随机变量ξ的分布列及数学期望.参考公式：回归方程：ˆˆˆybt a =+，其中2121()()ˆ()ni i i nii t t y y btt ==--=-∑∑，ˆˆay bt =-. 参考数据：421()()135.5ii i tt y y =--=-∑20. 如图，设抛物线21:4(0)C y mx m =->的准线l 与x 轴交于椭圆22222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点21,F F 为的左焦点，椭圆的离心率为12e =，抛物线1C 与椭圆2C 交于x 轴上方一点P ，连接1PF 并延长其交1C 于点,Q M 为1C 上一动点，且在,P Q 之间移动.（1）当32a b+取最小值时，求1C 和2C 的方程；（2）若12PF F ∆的边长恰好是三个连续的自然数，当MPQ ∆面积取最大值时，求面积最大值以及此时直线MP 的方程.21. 已知函数()(ln 2)xf x e x k -=-（k 为常数， 2.71828...e =是自然对数的底数），曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与y 轴垂直.（1）求()f x 的单调区间；（2）设1(ln 1)()xx x g x e-+=，对任意0x >，证明：2(1)()x x x g x e e -+⋅<+. 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线1C 的参数方程为2cos sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2sin 4cos ρθθ=.（1）求1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；（2）若过点(1,0)F 的直线l 与1C 交于,A B 两点，与2C 交于,M N 两点.求FA FBFM FN的最值范围.23.选修4-5：不等式选讲已知()11f x x =-+，(),3()123,3f x x F x x x ≤⎧=⎨->⎩.（1）解不等式()23f x x ≤+；（2）若方程()F x a =有三个解，求实数a 的取值范围.试卷答案一、选择题1-5:ACBBA 6-10:DAAAC 11、12：BD二、填空题13.7 14.5 15.2316.33 三、解答题17.解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ， ∵13a =，11b =，2210b S +=,5232a b a -= ∴331034232q d d q d +++=⎧⎨+-=+⎩，∴2d =，2q =∴21n a n =+，12n n b -=.（2）由（1）知，(321)(2)2n n n S n n ++==+，∴111,22,n n n c n n n -⎧-⎪=+⎨⎪⎩为奇数为偶数∴2111(1..335n T =-+-+11.)2121n n +-+-- 13521(222 (2))n -++++21121321n n ++=-+18.解：（1）∵//AB CD ，AB ⊄平面PCD ，CD ⊂平面PCD . ∴//AB 平面PCD∵AB ⊂平面PAB ，平面PAB ⋂平面PCD l =， ∴//AB l .（2）∵底面是菱形，E 为BC 的中点，2AB =， ∴1BE =，3AE =，AE BC ⊥，∴AE AD ⊥∵PA ⊥平面ABCD ，则以点A 为原点，直线AE AD AP 、、分别为轴建立如图所示空间直角坐标系，则(0,2,0)D ，(0,0,2)P ，(3,1,0)C ，(3,0,0)E ，∴(0,1,1)F ，(3,0,0)AE =，(0,1,1)AF =，(3,1,0)DC -，(0,2,2)DP =-，设平面PCD 的法向量为(,,)n x y z =，得(1,3,3)n =设(1)AQ AC AP λλ=+-，则(3,,2(1))AQ λλλ=-，AQ mAE nAF =+，则332(1)mn n λλλ⎧=⎪=⎨⎪-=⎩解得23m n λ===， ∴222(3,,)333AQ λ= 设直线AQ 与平面PCD 所成角为α则3105sin cos ,35n AQ α==∴直线AQ与平面PCD 所成角的正弦值为310535.19.解：（1） 2.5t =，423.75y =，421()5ii tt =-=∑，135.5ˆ27.15b -==-，ˆ423.75(27.1) 2.5491.5a =--⨯=，所以ˆ27.1491.5yt =-+，当5t =时，ˆ27.15491.5356y=-⨯+=. （2）依题意，10人中认为方便面是健康食品的有3人，ξ的可能值为0,1,2,3，所以373107(0)24C P C ξ===；123731021(1)40C C P C ξ===；21373107(2)40C C P C ξ===；333101(3)120C P C ξ===； ξ 0 1 2 3P724 2140 740 1120721719()012324404012010E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=20.解：（1）因为c m =，12c e a ==，则2a m =，3b m =，所以32a b+取最小值时1m =，此时抛物线21:4C y m =-，此时2a =，23b =，所以椭圆2C 的方程为22143x y +=.（2）因为c m =，12c e a ==，则2a m =，3b m =，设椭圆的标准方程为2222143x y m m+=，00(,)P x y ，11(,)Q x y ，由222221434x y m m y mx ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，得22316120x mx m --=，所以023x m =-或06x m =（舍去），代入抛物线方程得 0263y m =，即226(,)33m mP -，于是153m PF =，21723mPF a PF =-=， 12623m F F m ==，又12PF F ∆的边长恰好是三个连续的自然数，所以3m =，此时抛物线方程为212y x =-，1(3,0)F -，(2,26)P -，则直线PQ 的方程为26(3)y x =+，联立226(3)12y x y x⎧=+⎪⎨=-⎪⎩，得192x =-或22x =-（舍去），于是9(,36)2Q --.所以22925(2)(2636)22PQ =-+++=，设2(,)((36,26))12t M t t -∈-到直线PQ 的距离为d .则26675(+)3022d t =⨯- 当62t =-时，max 675563024d =⨯=，所以MPQ ∆的面积最大值为12556125622416⨯⨯=，462:633MP y x =--21.解：（1）因为1ln 2)'()(0)xx k x f x x e -+=>，由已知得12'(1)0k f e +==，所以12k =-，所以1ln 1'()xx x f x e --=，设1()ln 1k x x x=--，则211'()0k x x x=--<在(0,)+∞上恒成立，即()k x 在(0,)+∞上单调递减，由(1)0k =知，当01x <<时，()0k x >，从而'()0f x >，当1x >时，，从而. 综上可知，()f x 的单调递增区间是(0,1)，单调递减区间是(1,)+∞.（2）因为0x >，要证原式成立即证2()11x g x e e x -+<+成立.当1x ≥时，由（1）知2()01g x e -≤<+成立；当01x <<时，1xe >，且由（1）知，()0g x >，所以1ln ()1ln xx x xg x x x x e-+=<-- 设()1ln F x x x x =-+，(0,1)x ∈，则'()(ln 2)F x x =-+，当2(0,)x e -∈时，'()0F x >，当2(,1)x e -∈时，'()0F x <，所以当2x e -=时，()F x 取得最大值22()1F e e --=+，所以2(x)()1g F x e -<≤+，即当01x <<时，2(x)1g e -<+，①综上所述，对任意0x >，2(x)1g e -<+恒成立.令()1(0)xG x e x x =-->，则'()1x G x e =-恒成立，所以()G x 在(0,)+∞上单调递增，()(0)0G x G >=恒成立，即10x e x >+>，即1101x e x <<+，② 当1x ≥时，有2()101x g x e e x -+≤<+ 当01x <<时，有①②式，2()11x g x e e x -+<+ 综上所述，当0x >时，2()11x g x e e x -+<+成立，故原不等式成立. 22.解：（1）曲线1C 的普通方程为2212x y +=，曲线2C 的直角坐标方程为24y x =. （2）设直线l 的参数方程为1cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数）又直线l 与曲线2C ：24y x =存在两个交点，因此sin 0α≠.联立直线l 与曲线1C ：2212x y +=，可得22(1sin )2cos 10t t αα++-=，则12211sin FA FB t t α⋅==+，联立直线l 与曲线2C ：24y x =，可得22sin 4cos 40t t αα--=，则1224sin FM FN t t α⋅==，即FA FB FM FN= 222211sin 1sin 441sin sin αααα+=⋅+21110,1481sin α⎛⎤=⋅∈ ⎥⎝⎦+ 23.解：（1）不等式()23f x x ≤+，即为1123x x -+≤+ 当1x ≥时，即化为1123x x -+≤+，得3x ≥-，此时不等式的解集为1x ≥.当1x <时，即化为(1)123x x --+≤+，解得13x ≥-，此时不等式的解集为113x -≤<. 综上，不等式()23f x x ≤+的解集为1,3⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭.（2）(),3()123,3f x x F x x x ≤⎧=⎨->⎩即2,1(),13123,3x x F x x x x x -<⎧⎪=≤≤⎨⎪->⎩作出函数()F x 的图形如图所示，当直线y a =与函数()y F x =的图象有三个公共点时，方程()F x a =有三个解，所以13a <<.所以实数a 的取值范围是(1,3)。

2018-2019学年度衡水中学高三第六次诊断考试数学(理)试题含答案

2018-2019学年度衡水中学高三第六次诊断考试数学（理科）试卷全卷满分150分，考试时间120分钟。

★祝考试顺利★注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题作答用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

答在试卷和草稿纸上无效。

3．非选择题作答用0.5毫米黑色墨水签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

答在试卷和草稿纸上无效。

考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，只需上交答题卡。

一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个正确答案）在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的，选出正确的选项并将该选项在答题卡上涂黑。

1．设全集Q ＝{x|2x 2－5x≤0，x ∈N}，且P ⊆Q ，则满足条件的集合P 的个数是( )A ．3B ．4C ．7D ．82．已知复数()为虚数单位i R a aii i a z ,52122∈-+-=,若z 是纯虚数，则a 的值是（）A.+lB.0或1C.-1D.03．已知等差数列{a n }满足a 1+a 3 +a 5=12，a 10 +a 11+a 12= 24，则{a n }的前13项的和为 ( ) A ．12 B ．36 C ．78 D ．156 4．有下述命题①若0)()(<⋅b f a f ，则函数)(x f 在),(b a 内必有零点；②当1>a 时，总存在R x ∈0，当0x x >时，总有x x a a n x log >>； ③函数)(1R x y ∈=是幂函数；其中真命题的个数是（）A 、0B 、1C 、2D 、35．已知函数f(x)为定义在R 上的奇函数，且当x≥0时,f(x ）=x 2+ 2x+ mcosx ，记a= -3f(-3)，b=- 2f(-2)， c= 4f(4)，则a ，b ，c 的大小关系为 ( ) A.b <a <c B.a<c<b C ．c<b<a D ．a<b<c6．函数f （x ）=的图象大致为（）A. B ． C ． D ．7. 已知公差为d 的等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，若存在正整数0n ，对任意正整数m ，000<⋅+m n n S S 恒成立，则下列结论不一定成立的是（）A. 01<d aB. ||n S 有最小值C. 0100>⋅+n n a aD. 02100>⋅++n n a a 8．已知函数(x)= sin2x -2cos 2x ，将f(x)的图象上的所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，再把所得图象向上平移1个单位长度，得到函数g(x)的图象，若g(x 1)·g(x 2)=-4，则|x 1-x 2|的值可能为 ( )A ．B ．C ． D. π9．已知、为非零向量，则“⊥”是“函数)()()(a b x b a x x f -∙+=为一次函数”的（）A 、充分不必要条件B 、必要不充分条件C 、充要条件D 、既不充分也不必要条件10.矩形ABCD 中， 2AB =， 1BC =， E 在线段BC 上运动，点F 为线段AB 的中点，则·DE EF 的取值范围是（）A. 7,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦B. 7,4⎡⎤-∞-⎢⎥⎣⎦C. 72,4⎡⎤--⎢⎥⎣⎦D. [)2,+∞11. 已知函数()⎪⎩⎪⎨⎧≤->=1,451,ln 2x x x x x f ，存在x 1,x 2,……,x n , 满足()()()m x x f x x f x x f nn ==== 2211，则当n 最大时，实数m 的取值范围是（）A ．（，）B ．（，）C ．[，）D ．[，）12.已知数列{a n }的首项a 1=1，函数()()122cos 14+-+=+n n a x a x x f 有唯一零点，则通项a n = （）A 、13-n B 、12-n C 、12-n D 、23-n第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请将答案填写在答题卡相应的位置， 13.若()()dx x f x x f ⎰+=012，则()dx x f ⎰01= 。

2018-2019学年河北省衡水中学高三(下)六调数学试卷(理科)(5月份)

2018-2019学年河北省衡水中学高三（下）六调数学试卷（理科）（5月份）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知x ，y ∈R ，i 为虚数单位，且(x −2)i −y =−1+i ，则(1+i)x+y 的值为( )A. 4B. 4+4iC. −4D. 2i2. 已知集合A ={x|−1≤x ≤1}，B ={x|x 2−5x +6≥0}，则下列结论中正确的是( )A. A ∩B =BB. A ∪B =AC. A ⊊BD. ∁R A =B3. 已知△ABC 的面积为2，在△ABC 所在的平面内有两点P 、Q ，满足PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC⃗⃗⃗⃗⃗ =0，QA ⃗⃗⃗⃗⃗ =2BQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则△APQ 的面积为( ) A. 12B. 23C. 1D. 24. 如图，一个空间几何体的正视图、侧视图都是面积为√32，且一个内角为60°的菱形，俯视图为正方形，那么这个几何体的表面积为( )A. 2√3B. 4√3C. 4D. 85. 七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，被誉为“东方模板”，它是由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的．如图所示的是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一点，则此点取自黑色部分的概率为( )A. 316B. 38 C. 516D. 7166. 定义运算：∣∣∣a 1a 2a 3a 4∣∣∣=a 1a 4−a 2a 3，将函数f(x)=∣∣∣∣∣√3cos x21sin x 2∣∣∣∣∣的图象向左平移m(m >0)个单位，所得图象对应的函数为偶函数，则m 的最小值是( )A. π3B. 2π3 C. 4π3 D. 7π37. 已知a =3ln2π，b =2ln3π，c =3lnπ2，则下列选项正确的是( )A. a >b >cB. c >a >bC. c >b >aD. b >c >a8. 双曲线C 的左右焦点分别为F 1，F 2，且F 2恰为抛物线y 2=4x 的焦点，设双曲线C与该抛物线的一个交点为A ，若△AF 1F 2是以AF 1为底边的等腰三角形，则双曲线C 的离心率为( ) A. √2 B. 1+√2 C. 1+√3 D. 2+√39. 如图①，利用斜二侧画法得到水平放置的△ABC 的直观图△A′B′C′，其中A′B′//y′轴，B′C′//x′轴．若A′B′=B′C′=3，设△ABC 的面积为S ，△A′B′C 的面积为S′，记S =kS′，执行如图②的框图，则输出T 的值( )A. 12B. 10C. 9D. 610. 如图，第(1)个多边形是由正三角形“扩展“而来，第(2)个多边形是由正方形“扩展”而来，……，如此类推．设由正n 边形“扩展”而来的多边形的边数为a n ，则1a 3+1a 4+1a 5+⋯+1a 99=( )A. 97300B. 97100C. 3100D. 110011. 过椭圆x 29+y 24=1上一点H 作圆x 2+y 2=2的两条切线，点A ，B 为切点，过A ，B 的直线l 与x 轴，y 轴分布交于点P ，Q 两点，则△POQ 面积的最小值为( )A. 12B. 43C. 1D. 2312. 若函数f(x)在其图象上存在不同的两点A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，其坐标满足条件：|x 1x 2+y 1y 2|−√x 12+y 12⋅√x 22+y 22的最大值为0，则称f(x)为“柯西函数”，则下列函数：①f(x)=x +1x (x >0)； ②f(x)=lnx(0<x <e)； ③f(x)=cosx ； ④f(x)=x 2−1.其中为“柯西函数”的个数为( )A. 1B. 2C. 3D. 4 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知等比数列{a n }的第5项是二项式(√x −13x )6展开式的常数项，则a 3a 7=______． 14. 已知在平面直角坐标系中，O(0,0)，M(1,12)，N(0,1)，Q(2,3)，动点P(x,y)满足不等式0≤OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ≤1，0≤OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ≤1，则W =OQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OP ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值为______． 15. 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n +1=2a n ，则使不等式a 12+a 22+⋯+a n 2<5×2n+1成立的n 的最大值为______．16. 若四面体ABCD 的三组对棱分别相等，即AB =CD ，AC =BD ，AD =BC ，则______.(写出所有正确结论的编号)①四面体ABCD 每个面的面积相等②四面体ABCD每组对棱相互垂直③连接四面体ABCD每组对棱中点的线段相互垂直平分④从四面体ABCD每个顶点出发的三条棱的长都可以作为一个三角形的三边长三、解答题（本大题共7小题，共84.0分）17.设△ABC的三内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，已知a、b、c成等比数列，．且sinAsinC=34(Ⅰ)求角B的大小；,1)，当m⃗⃗ ⋅n⃗取最小值时，判断△ABC的(Ⅱ)设向量m⃗⃗ =(cosA,cos2A)，n⃗=(−125形状．18.在四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，△ABC是正三角形，AC与BD的交点M恰好是AC中点，又PA=AB=4，∠CDA=120°．(1)求证：BD⊥PC；(2)设E为PC的中点，点F在线段AB上，若直线EF//平面PAD，求AF的长；(3)求二面角A−PC−B的余弦值．19.在一次高三年级统一考试中，数学试卷有一道满分10分的选做题，学生可以从A，B两道题目中任选一题作答．某校有900名高三学生参加了本次考试，为了了解该校学生解答该选做题的得分情况，计划从900名考生的选做题成绩中随机抽取一个容量为10的样本，为此将900名考生选做题的成绩按照随机顺序依次编号为001一900．(1)若采用随机数表法抽样，并按照以下随机数表，以加粗的数字5为起点，从左向右依次读取数据，每次读取三位随机数，一行读数用完之后接下一行左端．写出样本编号的中位数；05269370602235851513920351597759567806835291057074079710882309984299646171629915065129169358 05 77 09 5151 26 87 85 85 54 87 66 47 54 73 32 08 11 12 44 95 92 63 16 29 56 24 29 4826 99 61 65 53 58 37 78 80 70 42 10 50 67 42 32 17 55 85 74 94 44 67 16 9414 65 52 68 75 87 59 36 22 41 26 78 63 06 55 13 08 27 01 50 15 29 39 39 43(2)若采用系统抽样法抽样，且样本中最小编号为08，求样本中所有编号之和： (3)若采用分层轴样，按照学生选择A 题目或B 题目，将成绩分为两层，且样本中A 题目的成绩有8个，平均数为7，方差为4：样本中B 题目的成绩有2个，平均数为8，方差为1.用样本估计900名考生选做题得分的平均数与方差．20. 已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，上顶点为M ，∠F 1MF 2=60°，P 为椭圆上任意一点，且△PF 1F 2的面积的最大值为√3．(Ⅰ)求椭圆C 的标准方程；(Ⅱ)若点A ，B 为椭圆C 上的两个不同的动点，且OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =t(O 为坐标原点)，则是否存在常数t ，使得O 点到直线AB 的距离为定值？若存在，求出常数t 和这个定值；若不存在，请说明理由．21. 已知函数f(x)=alnx −x 2．(1)当a =2时，求函数y =f(x)在[12,2]上的最大值；(2)令g(x)=f(x)+ax ，若y =g(x))在区间(0,3)上为单调递增函数，求a 的取值范围；(3)当a =2时，函数ℎ(x)=f(x)−mx 的图象与x 轴交于两点A(x 1,0)，B(x 2,0)，且0<x 1<x 2，又ℎ′(x)是ℎ(x)的导函数．若正常数α，β满足条件α+β=1，β≥α.试比较与0的关系，并给出理由．22. 选修4−4：参数方程选讲已知平面直角坐标系xOy ，以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，P点的极坐标为(2√3,π6)，曲线C 的极坐标方程为ρ2+2√3ρsinθ=1． (Ⅰ)写出点P 的直角坐标及曲线C 的普通方程；(Ⅱ)若Q 为C 上的动点，求PQ 中点M 到直线l ：{x =3+2ty =−2+t (t 为参数)距离的最小值．23. 设函数f(x)=|x +1|+|x −5|，x ∈R ．(Ⅰ)求不等式f(x)≤x +10的解集；(Ⅱ)如果关于x 的不等式f(x)≥a −(x −2)2在R 上恒成立，求实数a 的取值范围．答案和解析1.【答案】C【解析】解：∵x ，y ∈R ，i 为虚数单位，且(x −2)i −y =−1+i ， ∴{x −2=1−y =−1，解得x =3，y =1， ∴(1+i)x+y =(1+i)4=(2i)2=−4．故选：C ．利用复数相等的性质求出x ，y ，再利用复数的代数形式的乘除运算法则能求出结果．本题考查实数值的求法，涉及到复数相等、复数的代数形式的乘除运算法则等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，是基础题． 2.【答案】C【解析】解：由x 2−5x +6≥0，化为(x −2)(x −3)≥0，解得x ≥3，x ≤2，∴B ={x|x ≥3,x ≤2}， ∴A ⊊B ，故选：C ．由x 2−5x +6≥0，解得x ≥3，x ≤2，本题考查了一元二次不等式的解法、集合之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 3.【答案】B【解析】解：由题意PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC⃗⃗⃗⃗⃗ =0可知，P 为AC 的中点，QA⃗⃗⃗⃗⃗ =2BQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，可知Q 为AB 的一个三等分点，如图：因为S △ABC =12AB ⋅ACsinA =2．所以S △APQ =12AP ⋅AQsinA =12×12AB ⋅23ACsinA =23．故选：B ．画出△ABC ，通过足PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，QA ⃗⃗⃗⃗⃗ =2BQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，标出满足题意的P 、Q 位置，利用三角形的面积公式求解即可．本题考查向量在几何中的应用，三角形的面积的求法，考查转化思想与计算能力． 4.【答案】C【解析】解：一个空间几何体的正视图、侧视图都是面积为√32，且一个内角为60°的菱形，所以菱形的边长为：1，由三视图可得，几何体是由两个底面正方形的正四棱锥组合而成，底面边长为1，侧棱长为：√52，所以几何体的表面积为：8×12×1×1=4．故选：C ．由题意求出菱形的边长，由三视图可得，几何体是由两个底面正方形的正四棱锥组合而成，求出正四棱锥侧面积，即可求解．本题是基础题，考查三视图推出几何体的判断，几何体的表面积的求法，注意视图的应用．5.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查几何概型的概率的计算，结合面积之比是解决本题的关键．根据几何概型的概率公式转化为对应面积之间的关系进行求解即可．【解答】解：以最小的等腰三角形为基本单位，则大正方体有16个小等腰直角三角形构成，则阴影部分对应的有7个小等腰直角三角形，则对应概率P =716，故选D ．6.【答案】C【解析】解：定义运算：∣∣∣a 1a 2a3a 4∣∣∣=a 1a 4−a 2a 3，将函数f(x)=∣∣∣∣∣√3cos x21sin x 2∣∣∣∣∣化为： f(x)=√3sin x 2−cos x 2=2sin(x −π6)再向左平移m(m >0)个单位即为：g(x)=f(x +m)=2sin(x+m 2−π6)；又因为新函数g(x)为偶函数，由三角函数图象的性质可得，即x =0时函数值为最大或最小值，即：sin (m2−π6)=1；或sin (m2−π6)=−1；所以：m2−π6=kπ+π2，k ∈Z ；即m =2kπ+4π3，k ∈Z ；又m >0，所以m 的最小值是：4π3 故选：C ．由题表达函数f(x)=√3sin x2−cos x2=2sin(x −π6)；向左平移m(m >0)个单位即为：g(x)=f(x +m)=2sin(x+m 2−π6)；利用新函数g(x)为偶函数，由三角函数图象的性质可得答案．本题考查对三角函数定义的理解能力，三角函数恒等变性，三角函数图象及性质． 7.【答案】D【解析】【分析】由a6π=ln22，b 6π=ln33，c 6π=lnππ，则a ，b ，c 的大小比较可以转化为ln22,ln33,lnππ的大小比较．设f(x)=lnx x，则f′(x)=1−lnx x 2，根据对数的运算性质，导数和函数的单调性，即可比较．本题考查了不等式的大小比较，导数和函数的单调性，属于难题．【解答】解：a6π=ln22，b 6π=ln33，c 6π=lnππ，∵6π>0，∴a，b，c的大小比较可以转化为ln22,ln33,lnππ的大小比较．设f(x)=lnxx，则，当x=e时，，当x>e时，，当0<x<e时，0'/> ∴f(x)在(e,+∞)上，f(x)单调递减，∵e<3<π<4，∴ln33>lnππ>ln44=ln22，∴b>c>a，故选：D．8.【答案】B【解析】解：抛物线的焦点坐标(1,0)，所以双曲线中，c=1，又由已知得|AF2|=|F1F2|=2，而抛物线准线为x=−1，根据抛物线的定义A点到准线的距离=|AF2|=2，因此A点坐标为(1,2)，由此可知是△AF1F2是以AF1为斜边的等腰直角三角形，因为双曲线C与该抛物线的一个交点为A，若△AF1F2是以AF1为底边的等腰三角形，所以双曲线的离心率e=ca =2c2a=|F1F2||AF1−AF2|=2√2−2=√2+1．故选：B．求出抛物线的焦点坐标，即可得到双曲线C的值，利用抛物线与双曲线的交点以及△AF1F2是以AF1为底边的等腰三角形，结合双曲线a、b、c关系求出a的值，然后求出离心率．本题考查抛物线的简单性质以及双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．9.【答案】A【解析】解：∵在直观图△A′B′C′中，A′B′=B′C′=3，∴S′=12A′B′⋅B′C′⋅sin45°=9√24由斜二侧画法的画图法则，可得在△ABC中，AB=6.BC=3，且AB⊥BC∴S=12AB⋅BC=9则由S=kS′得k=2√2，则T=T=√22k(m−1)=2(m−1)故执行循环前，S=9，k=2√2，T=0，m=1，满足进行循环的条件，执行循环体后，T=0，m=2当T=0，m=2时，满足进行循环的条件，执行循环体后，T=2，m=3当T=2，m=3时，满足进行循环的条件，执行循环体后，T=6，m=4当T=6，m=4时，满足进行循环的条件，执行循环体后，T=12，m=5当T=12，m=5时，不满足进行循环的条件，退出循环后，T=12，故输出的结果为12故选：A．由斜二侧画法的画图法则，结合已知可求出S及k值，模拟程序的运行过程，分析变量T的值与S值的关系，可得答案．根据流程图(或伪代码)写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：①分析流程图(或伪代码)，从流程图(或伪代码)中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据(如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理)⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模． 10.【答案】A【解析】解：a 3=12，a 4=20，a 5=30，猜想a n =n(n +1)(n ≥3,n ∈N +)，所以1a n=1n(n+1)=1n −1n+1，所以1a 3+1a 4+1a 5+⋯+1a 99=(13−14)+(14−15)+(15−16)+⋯+(199−1100)=13−1100=97300，故选：A ．先观察图形再结合归纳推理可得解．本题考查了观察能力及归纳推理，属中档题． 11.【答案】D【解析】解：∵点H 在椭圆x 29+y 24=1上，∴H(3cosθ,2sinθ)，∵过椭圆x 29+y 24=1上一点H(3cosθ,2sinθ)作圆x 2+y 2=2的两条切线，点A ，B 为切点，∴直线AB 的方程为：(3cosθ)x +(2sinθ)y =2，∵过A ，B 的直线l 与x 轴，y 轴分布交于点P ，Q 两点， ∴P(23cosθ,0)，Q(0,1sin θ)，∴△POQ 面积S =12×23cosθ×1sin θ=23×1sin2θ，∵−1≤sin2θ≤1，∴当sin2θ=1时，△POQ 面积取最小值23．由点H 在椭圆x 29+y 24=1上，知H(3cosθ,2sinθ)，由过椭圆x 29+y 24=1上一点H(3cosθ,2sinθ)作圆x 2+y 2=2的两条切线，点A ，B 为切点，知直线AB 的方程为：(3cosθ)x +(2sinθ)y =2，由此能求出△POQ 面积最小值．本题考查三角形面积的最小值的求法，具体涉及到椭圆、圆、直线方程、三角函数、参数方程等基本知识点，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用． 12.【答案】B【解析】解：由柯西不等式得：对任意实数x 1，y 1，x 2，y 2：|x 1x 2+y 1y 2|−√x 12+y 12⋅√x 22+y 22≤0恒成立(当且仅当存在实数k ，使得x 1=kx 2，y 1=ky 2取等号)，又函数f(x)在其图象上存在不同的两点A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，满足条件：|x 1x 2+y 1y 2|−√x 12+y 12⋅√x 22+y 22的最大值为0，则函数f(x)在其图象上存在不同的两点A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，使得OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 、OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 共线，即存在点A 、B 与点O 共线；设AB 的方程为y =kx ，对于①，由于y =kx(x >0)与f(x)=x +1x 只有一个交点，所以①不是柯西函数；对于②，由于y =kx 与f(x)=lnx(0<x <e)最多只有一个交点，所以②不是柯西函数；对于③，取A(0,0)，点B 任意，均满足定义，所以③是柯西函数；对于④，取A(−1,0)，B(1,0)，均满足定义，所以④是柯西函数．故选：B ．由“柯西函数”得函数f(x)在其图象上存在不同的两点A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2由)，使得OA⃗⃗⃗⃗⃗ 、OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 共线，即存在点A 、B 与点O 共线，判断满足条件即可．本题考查了函数的新定义与应用问题，也考查了函数性质与应用问题，是中档题．13.【答案】259【解析】解：二项式(√x −13x )6展开式的通项公式为T r+1=C 6r ⋅(−13)r ⋅x 3−3r2，令3−3r 2=0，求得r =2，故展开式的常数项为C 62⋅19=53．等比数列{a n }的第5项a 5=53，可得a 3a 7=(a 5)2=259，故答案为：259．先求出二项式展开式的通项公式，再令x 的幂指数等于0，求得r 的值，即可求得展开式中的常数项的值．再根据该项是等比数列{a n }的第5项，再利用等比数列的性质求得a 3a 7的值．本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，等比数列的定义和性质，属于基础题． 14.【答案】4【解析】解：由题得：OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,12)，OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x,y)，ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1)，OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,3)． ∵0≤OP⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ≤1，0≤OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ≤1． ∴{0≤ x +12y ≤ 10≤y ≤1⇒{0≤2x +y ≤20≤y ≤1 ∵OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2x +3y =(2x +y)+2y ； ∴OP⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∈[0,4]． ∴所求最大值为4．故答案为：4．利用向量的坐标求法求出各个向量的坐标，利用向量的数量积公式求出各个数量积代入已知不等式得到P 的坐标满足的不等式，将 OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的值用不等式组中的式子表示，利用不等式的性质求出范围．本题考查向量的坐标形式的数量积公式、不等式的性质． 15.【答案】4【解析】解：当n =1时，a 1+1=2a 1，解得a 1=1．当n ≥2时，∵S n +1=2a n ，S n−1+1=2a n−1，∴a n =2(a n −a n−1)，∴ana n−1=2．∴数列{a n }是以1为首项，2为公比的等比数列．∴a n =2n−1，∴a n 2=4n−1．∴a 12+a 22+⋯+a n 2=1+4+42+⋯+4n−1=4n −14−1=13(4n −1).∴13(4n −1)<5×2n+1．∴2n (2n −30)<1，可知使得此不等式成立的n 的最大值为4．利用a n ={S 1,n =1S n −S n−1,n ≥2及等比数列的通项公式即可得出a n ，利用等比数列的前n 项和公式即可得出a 12+a 22+⋯+a n2，再化简即可得出答案．熟练掌握a n ={S 1,n =1S n −S n−1,n ≥2及等比数列的通项公式、等比数列的前n 项和公式、不等式的解法等是解题的关键．16.【答案】①③④【解析】解：由题意可知四面体ABCD 为长方体的面对角线组成的三棱锥，如图所示；由四面体的对棱相等可知四面体的各个面全等，它们的面积相等，则①正确；当四面体棱长都相等时，四面体的每组对棱互相垂直，则②错误；由长方体的性质可知四面体的对棱中点连线必经过长方体的中心，由对称性知连接四面体ABCD 每组对棱中点的线段相互垂直平分，则③正确；由AC =BD ，AB =CD ，AD =BC ，可得过四面体任意一点的三条棱的长为△ABD 的三边长，则④正确．故答案为：①③④．由对棱相等知四面体为长方体的面对角线组成的三棱锥，借助长方体的性质判断各结论是否正确即可．本题考查了棱锥的结构特征与命题真假的判断问题，解题的关键是把三棱锥放入长方体中，是基础题．17.【答案】解：(Ⅰ)因为a 、b 、c 成等比数列，则b 2=ac.由正弦定理得sin 2B =sinAsinC ．又sinAsinC =34，所以sin 2B =34．因为sinB >0，则sinB =√32．因为B ∈(0,π)，所以B =π3或2π3．又b 2=ac ，则b ≤a 或b ≤c ，即b 不是△ABC 的最大边，故B =π3．(Ⅱ)因为向量m ⃗⃗ =(cosA,cos2A)，n ⃗ =(−125,1)，所以m⃗⃗ ⋅n ⃗ =−125cosA +cos2A =−125cosA +2cos 2A −1=2(cosA −35)2−4325，所以当cosA=35时，m⃗⃗ ⋅n⃗取的最小值−4325．因为12<cosA=35<√32，所以π6<A<π3．因为B=π3，所以A+B>π2．从而△ABC为锐角三角形．【解析】(Ⅰ)根据正弦定理和等比数列的关系建立方程关系即可求角B的大小；(Ⅱ)根据向量的数量积公式进行计算，然后利用三角函数的图象和性质即可判断三角形的性质．本题主要考查三角形的形状的判断，利用正弦定理和三角函数的公式是解决本题的关键，考查学生的运算能力．18.【答案】(1)证明：∵△ABC是正三角形，M是AC中点，∴BM⊥AC，即BD⊥AC．又∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BD．又PA∩AC=A，∴BD⊥平面PAC．∴BD⊥PC．(2)解：取DC中点G，连接FG，则EG//平面PAD，∵直线EF//平面PAD，EF∩EG=E，∴平面EFG//平面PAD，∵FG⊂平面EFG，∴FG//平面PAD∵M为AC中点，DM⊥AC，∴AD=CD．∵∠ADC=120°，AB=4，∴∠BAD=∠BAC+∠CAD=90°，AD=CD=4√33，∵∠DGF=60°，DG=2√33，∴AF=1(3)解：分别以AB，AD，AP为x轴，y轴，z轴建立如图的空间直角坐标系，∴B(4,0，0)，C(2,2√3,0)，D(0,4√33,0)，P(0,0，4)． DB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(4,−4√33,0)为平面PAC 的法向量．设平面PBC 的一个法向量为n⃗ =(x,y ，z)，则 ∵PC⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,2√3,−4)，PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(4,0，−4)， ∴{2x +2√3y −4z =04x −4z =0，令z =3，得x =3，y =√3，则平面PBC 的一个法向量为n ⃗ =(3,√3,3)，设二面角A −PC −B 的大小为θ，则cosθ=n⃗ ⋅DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |n ⃗ ||DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√77． ∴二面角A −PC −B 余弦值为√77．【解析】(1)利用线面垂直的判定定理，证明BD ⊥平面PAC ，可得BD ⊥PC ；(2)设取DC 中点G ，连接FG ，证明平面EFG//平面PAD ，可得FG//平面PAD ，求出AD =CD ，即可求AF 的长；(3)建立空间直角坐标系，求出平面PAC 、平面PBC 的法向量，利用向量的夹角公式，即可求二面角A −PC −B 的余弦值．本题考查线面垂直的判定定理与性质，考查二面角，考查学生分析解决问题的能力，考查向量法的运用，确定平面的法向量是关键．19.【答案】解：(1)根据题意，读出的编号依次是： 512，916(超界)，935(超界)，805，770，951(超界)， 512(重复)，687，858，554，876，647，547，332．将有效的编号从小到大排列，得332，512，547，554，647，687，770，805，858，876，所以中位数为12×(647+687)=667；(2)由题易知，按照系统抽样法，抽出的编号可组成以8为首项，以90为公差的等差数列，所以样本编号之和即为该数列的前10项之和，即S 10=10×8+10×9×902=4130；(3)记样本中8个A 题目成绩分别为x 1，x 2，…x 8，2个B 题目成绩分别为y 1，y 2，由题意可知∑x i 8i=1=8×7=56，∑(8i=1x i −7)2=8×4=32，∑y i 2i=1=16，∑(2i=1y i −8)2=2×1=2，故样本平均数为x −=18+2×(∑x i 8i=1+∑y i 2i=1)=110×(56+16)=7.2；样本方差为s 2=18+2×[∑(8i=1x i −7.2)2+∑(2i=1y i −7.2)2]=110×{∑[8i=1(x i −7)−0.2]2+∑[2i=1(y i −8)+0.8]2} =110×[∑(8i=1x i −7)2−0.4∑(8i=1x i −7)+8×0.22+∑(2i=1y i −8)2+1.6∑(2i=1y i −8)+2×0.82]=110×(32−0+0.32+2+0+1.28) =3.56；所以估计该校900名考生该选做题得分的平均数为7.2，方差为3.56．【解析】(1)由题取出十个编号，先将编号从小到大排列再求中位数(2)按照系统抽样法，抽出的编号可组成以8为首项，以90为公差的等差数列，求该数列的前10项和．(3)分别求出样本的平均数和方差，900名考生选做题得分的平均数与方差和样本的平均数与方差相等．本题考查了随机数表法抽样应用问题，也考查了系统抽样和平均数、方差的计算问题，是中档题． 20.【答案】解：(Ⅰ)由题得，{ca=1212×2c ×b =√3a 2=b 2+c 2，解得a 2=4，b 2=3，∴椭圆的标准方程为x 24+y 23=1．(Ⅱ)设A(x 1,y 1)、B(x 2,y 2)，当直线AB 的斜率存在时，设其直线方程为：y =kx +n ，则原点O 到直线AB 的距离为d =√1+k 2，联立方程{x 24+y 23=1y =kx +n，化简得，(4k 2+3)x 2+8knx +4n 2−12=0，由△>0得4k 2−n 2+3>0，则x 1+x 2=−8kn4k 2+3，x 1x 2=4n 2−124k 2+3，∴OA⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =x 1x 2+y 1y 2=x 1x 2+(kx 1+n)(kx 2+n)=(k 2+1)x 1x 2+kn(x 1+x 2)+n 2=t即(7d 2−12−4t)k2+7d 2−12−3t =0对任意的k ∈R 恒成立，则{7d 2−12−4t =07d 2−12−3t =0，解得t =0，d =2√217，当直线AB 斜率不存在时，也成立．故当t =0时，O 点到直线AB 的距离为定值d =2√217．【解析】(Ⅰ)由题得，{ca=1212×2c ×b =√3a 2=b 2+c 2，解得a 2=4，b 2=3，即可求出椭圆方程， (Ⅱ)设A(x 1,y 1)、B(x 2,y 2)，当直线AB 的斜率存在时，设其直线方程为：y =kx +n ，由得由此利用韦达定理、向量知识，结合已知条件能求出结果．本题考查椭圆方程的求法，考查满足向量的数量积之和为定值的实数值的求法，考查直线方程、椭圆性质、韦达定理等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．21.【答案】解：(1)∵f(x)=2lnx −x 2，可得f′(x)=2x−2x =2−2x 2x，函数f(x)在[12,1]是增函数，在[1,2]是减函数，所以f(1)取得最大值，且为−1； (2)因为g(x)=alnx −x 2+ax ，所以g′(x)=ax −2x +a ，因为g(x)在区间(0,3)上单调递增，所以在(0,3)上恒成立，即有a ≥2x 2x+1在(0,3)的最大值，由y =2x 2x+1的导数为y′=2x 2+4x (x+1)2>0，则函数y =2x 2x+1在(0,3)递增，可得y <92，则a ≥92；(3)由题意可得，ℎ′(x)=2x −2x −m ，又f(x)−mx =0有两个实根x 1，x 2，∴2lnx 1−x 12−mx 1=0，2lnx 2−x 22−mx 2=0，两式相减，得2(lnx 1−lnx 2)−(x 12−x 22)=m(x 1−x 2)， ∴m =2(lnx 1−lnx 2)x 1−x 2−(x 1+x 2)，于是=2αx 1+βx 2−2(αx 1+βx 2)−2(lnx 1−lnx 2)x 1−x 2+(x 1+x 2)=2αx1+βx 2--2(lnx 1−lnx 2)x 1−x 2+(2α−1)(x 2−x 1)，∵β≥α，∴2α≤1，∴(2α−1)(x 2−x 1)≤0．可得ℎ′(αx 1+βx 2)<0．要证：ℎ′(αx 1+βx 2)<0，只需证：2αx1+βx 2−2(lnx 1−lnx 2)x 1−x 2<0，只需证：x 1−x 2αx 1+βx 2−ln x 1x 2>0.(∗)令x 1x 2=t ∈(0,1)， ∴(∗)化为1−tαt+β+lnt <0，只证u(t)=1−t αt+β+lnt 即可． ∵u′(t)=1t +−(αt+β)−(1−t)α(αt+β)2=1t−1(αt+β)2=α2(t−1)(t−β2α2)t(αt+β)2，又∵β2α2≥1，0<t <1，∴t −1<0，∴u′(t)>0，∴u(t)在(0,1)上单调递增，故有u(t)<u(1)=0，∴1−tαt+β+lnt <0，即x 1−x 2αx 1+βx 2−ln x1x 2>0．∴ℎ′(αx 1+βx 2)<0．【解析】(1)当a =2时，利用导数的符号求得函数的单调性，再根据函数的单调性求得函数y =f(x)在[12,2]上的最大值；(2)先求得g′(x)=a x −2x +a ，因为g(x)在区间(0,3)上单调递增，所以在(0,3)上恒成立，运用参数分离和函数的单调性，求得右边函数的范围，由此可得a 的范围； (3)ℎ′(αx 1+βx 2)<0.理由：由题意可得，f(x)−mx =0有两个实根x 1，x 2，化简可得m =2(lnx 1−lnx 2)x 1−x 2−(x 1+x 2)，可得--2(lnx 1−lnx 2)x 1−x 2+(2α−1)(x 2−x 1)，由条件知(2α−1)(x 2−x 1)≤0，再用分析法证明ℎ′(αx 1+βx 2)<0．本题主要考查利用导数研究函数的单调性，利用函数的单调性求函数在闭区间上的最值，用分析法证明不等式，体现了转化的数学思想，属于难题．22.【答案】解 (1)∵P 点的极坐标为(2√3,π6)，∴x P =2√3cos π6=2√3×√32=3，y P =2√3sin π6=2√3×12=√3．∴点P 的直角坐标(3,√3)把ρ2=x 2+y 2，y =ρsinθ代入ρ2+2√3ρsinθ=1可得x 2+y 2+2√3y =1，即x 2+(y +√3)2=4∴曲线C 的直角坐标方程为x 2+(y +√3)2=4．(2)曲线C 的参数方程为{x =2cosθy =−√3+2sinθ(θ为参数)，直线l 的普通方程为x −2y −7=设Q(2cosθ,−√3+2sinθ)，则线段PQ 的中点M(32+cosθ,sinθ)．那么点M 到直线l 的距离d =|32+cosθ−2sinθ−7|√12+22=|cosθ−2sinθ−112|√5=√5sin (θ−φ)+112√5．≥−√5+112√5=11√510−1，∴点M 到直线l 的最小距离为11√510−1．【解析】(1)利用x =ρcosθ，y =ρsinθ即可得出；(2)利用中点坐标公式、点到直线的距离公式及三角函数的单调性即可得出，本题考查了极坐标与直角坐标的互化、中点坐标公式、点到直线的距离公式、两角和差的正弦公式、三角函数的单调性等基础知识与基本技能方法，考查了计算能力，属于中档题．23.【答案】解：(Ⅰ)∵f(x)={−2x +4(x ≤−1)6(−1<x ≤5)2x −4(x >5)，当x ≤−1时，应有−2x +4≤x +10，解不等式得−2≤x ≤−1，当−1<x ≤5时，应有6≤x +10，解不等式得−1<x ≤5，当x >5时，应有2x −4≤x +10，解不等式得5<x ≤14，综上可得，不等式f(x)≤x +10的解集为[−2,14]．(Ⅱ)设g(x)=a −(x −2)2，由函数f(x)与g(x)的解析式，可得f(x)在x ∈[−1,5]上取最小值为6，g(x)在x =2时取最大值为a ，若f(x)≥g(x)恒成立，则a ≤6．【解析】本题主要考查带有绝对值的函数，函数的恒成立问题，属于中档题． (Ⅰ)化简f(x)的解析式，分类讨论求得不等式f(x)≤x +10的解集． (Ⅱ)由题意可得f(x)在x ∈[−1,5]上的最小值大于或等于g(x)的最大值．。

【水印已去除】2018-2019学年河北省衡水中学高三(下)六调数学试卷(理科)(5月份)

衡水市衡水中学2019年高考下学期六调考试理科数学试题卷含答案详析

2018-2019 学年度高三年级第二学期六调考试
文科数学试卷
第 I 卷（选择题共 60 分）一、选择题（每小题 5 分，共 60 分.下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号涂在答题卡上）
1.设全集U x N | 1 x 5，集合 A 1，3，则集合 CU A 的子集的个数是（）
因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题“∀n∈N，f（n）∉N 且 f（n）≤n”的否定形式是： ∃n0∈N，f（n0）∈N 或 f（n0）＞n0，故选 C．点睛：(1)对全称(存在性)命题进行否定的两步操作：①找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义加上量词，再进行否定；②对原命题的结论进行否定.(2)判定全称命题“∀x∈M，p(x)”是真命题，需要对集合 M 中的每个元素 x，证明 p(x)成立；要判定一个全称命题是假命题，只要举出集合 M 中的一个特殊值 x0，使 p(x0)不成立即可.要判断存在性命题是真命题，只要在限定集合内至少能找到一个 x＝x0，使 p(x0)成立即可，否则就是假命题.
1 4.直线 l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到 l 的距离为其短轴长的 4 ，则该椭圆的离心
率为 ( )
1
1
A. 3
B. 2
2
3
C. 3
D. 4
【答案】B
【解析】
l
试题分析：不妨设直线
:
x c

y b
1 ，即 bx

cy
bc

0

椭圆中心到 l
的距离
| bc | 2b b2 c2 4
∴ ab 40 ．
由余弦定理得 c2 a2 b2 2ab cos C ，即 49 a2 b2 ab (a b)2 3ab (a b)2 120 ，解得 a b 13 ． ∴ a b c 20 ．

2018衡水中学高三六调理科数学试题及答案

2017—2018学年度上学期高三年级六调考试数学(理科)试卷本试卷分第I卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分，考试时间120分钟．第I卷(选择题共60分)一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分．从每小题所给的四个选项中，选出最佳选项，并在答题纸上将该项涂黑)1．已知数集«Skip Record If...»，设函数f（x）是从A到B的函数，则函数f（x）的值域的可能情况的个数为A．1 B．3 C．7 D．82．已知i为虚数单位，且«Skip Record If...»A．1 B．«Skip Record If...»C．«Skip Record If...»D．2 3．已知等差数列«Skip Record If...»的前n项和为«Skip Record If...»A．18 B．36 C．54 D．724．已知«Skip Record If...»为第二象限角，«Skip Record If...»A．«Skip Record If...»B．«Skip Record If...»C．«Skip Record If...»D．«Skip Record If...»5．已知双曲线«Skip Record If...»轴交于A，B两点，«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»的面积的最大值为A．1 B．2 C．4 D．86．某校毕业典礼由6个节目组成，考虑整体效果，对节目演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前三位，且节目丙、丁必须排在一起，则该校毕业典礼节目演出顺序的编排方案共有A．120种B．156种C．188种D．240种7．在等比数列«Skip Record If...»中，«Skip Record If...»为A．64 B．81 C．128 D．2438．如图所示的程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入的a，b分别为72，27，则输出的«Skip Record If...»A．18 B．9 C．6 D．39．已知点M在抛物线«Skip Record If...»上，N为抛物线的准线l上一点，F为该抛物线的焦点，若«Skip Record If...»，则直线MN的斜率为A．±«Skip Record If...»B．±l C．±2 D．±«Skip Record If...»10．规定投掷飞镖3次为一轮，3次中至少两次投中8环以上的为优秀．现采用随机模拟实验的方法估计某人投掷飞镖的情况：先由计算器产生随机数0或1，用0表示该次投镖未在8环以上，用1表示该次投镖在8环以上；再以每三个随机数作为一组，代表一轮的结果．经随机模拟实验产生了如下20组随机数：据此估计，该选手投掷飞镖三轮，至少有一轮可以拿到优秀的概率为A．«Skip Record If...»B．«Skip Record If...»C．«Skip Record If...»D．«Skip Record If...»11．已知三棱锥A－BCD的四个顶点A，B，C，D都在球O的表面上，«Skip Record If...»平面BCD，且«Skip Record If...»，则球O的表面积为A．«Skip Record If...»B．«Skip Record If...»C．«Skip Record If...»D．«Skip Record If...»12．若对任意的实数t，函数«Skip Record If...»在R上是增函数，则实数a的取值范围是A．«Skip Record If...»B．«Skip Record If...»C．«Skip Record If...»D．«Skip Record If...»第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)13．曲线«Skip Record If...»和直线«Skip Record If...»所围成的图形的面积是_________．14．若«Skip Record If...»的值为_________．15．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的四个面中，最大面的面积为_________．16．已知函数«Skip Record If...»，数列«Skip Record If...»为等比数列，«Skip Record If...»«Skip Record If...»____________．三、解答题(共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答)(一)必考题：共60分．17．(本小题满分12分)如图，在«Skip Record If...»的平分线BD交AC于点D，设«Skip Record If...»，其中«Skip Record If...»是直线«Skip Record If...»的倾斜角．(1)求sin A；(2)若«Skip Record If...»，求AB的长．18．(本小题满分12分)如图，在三棱柱«Skip Record If...»«Skip Record If...»分别为«Skip Record If...»的中点．(1)在平面ABC内过点A作AM∥平面«Skip Record If...»交BC于点M，并写出作图步骤。

河北省衡水中学2019届高三数学六调考试试题理(含解析)

2018～2019学年度第二学期高三年级六调考试理科数学试卷一、选择题（每小题5分，共60分.下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）1.已知，，为虚数单位，且，则的值为（）A. 4B.C. -4D.【答案】C【解析】试题分析：根据复数相等的概念可知，，∴，∴，故选C 考点：本题考查了复数的运算点评：熟练掌握复数的概念及运算法则是解决此类问题的关键，属基础题2.已知集合，，则下列结论中正确的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：由得，故，选项为C.考点：集合间的关系.【此处有视频，请去附件查看】3.已知的面积为2，在所在的平面内有两点、，满足，，则的面积为（）A. B. C. D. 1【答案】C【解析】【分析】画出△ABC，通过，2，标出满足题意的P、Q位置，利用三角形的面积公式求解即可．【详解】由题意可知，P为AC的中点，2，可知Q为AB的一个三等分点，如图：因为S△ABC2．所以S△APQ．故选：B．【点睛】本题考查向量在几何中的应用，三角形的面积的求法，考查转化思想与计算能力．4.如图，一个空间几何体的正视图、侧视图都是面积为，一个内角为60°的菱形，俯视图为正方形，那么这个几何体的表面积为（）A. B. C. 8 D. 4【答案】D【解析】试题分析：因为一个空间几何体的正视图、侧视图都是面积为，且一个内角为的菱形，所以菱形的边长为，由三视图可得，几何体是由两个底面正方形的正四棱锥组合而成，底面边长为，侧棱长为，所以几何体的表面积为：，故选D．考点：1、三视图；2、多面体的表面积．【此处有视频，请去附件查看】5.七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，被誉为“东方模板”，它是由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的.如图所示的是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一点，则此点取自黑色部分的概率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】将右下角黑色三角形进行移动，可得黑色部分面积等于一个等腰直角三角形加一个直角梯形的面积之和，求解出面积再根据几何概型公式求得结果.【详解】设正方形的边长为则①处面积和右下角黑色区域面积相同故黑色部分可拆分成一个等腰直角三角形和一个直角梯形等腰直角三角形面积为：直角梯形面积为：黑色部分面积为：则所求概率为：本题正确选项：【点睛】本题考查几何概型中的面积类问题，属于基础题.6.定义运算：，将函数的图像向左平移个单位，所得图像对应的函数为偶函数，则的最小值是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：，将函数化为再向左平移（）个单位即为:又为偶函数,由三角函数图象的性质可得,即时函数值为最大或最小值,即或,所以,即,又,所以的最小值是.考点：对定义的理解能力,三角函数恒等变性, 三角函数图象及性质.7.已知，，，则下列选项正确的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由，，，则a，b，c的大小比较可以转化为的大小比较．设f（x），则f′（x），根据对数的运算性质，导数和函数的单调性，即可比较．【详解】，，，∵6π＞0，∴a，b，c的大小比较可以转化为的大小比较．设f（x），则f′（x），当x＝e时，f′（x）＝0，当x＞e时，f′（x）＞0，当0＜x＜e时，f′（x）＜0∴f（x）在（e，+∞）上，f（x）单调递减，∵e＜3＜π＜4∴，∴b＞c＞a，故选：D．【点睛】本题考查了不等式的大小比较，导数和函数的单调性，属于难题．8.双曲线的左右焦点分别为，，且恰为抛物线的焦点，设双曲线与该抛物线的一个交点为，若是以为底边的等腰三角形，则双曲线的离心率为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】试题分析：∵，∴焦点为，即，∵，∴，即，∴，则，即，∴．考点：抛物线的标准方程及几何性质．9.如图①，利用斜二侧画法得到水平放置的的直观图，其中轴，轴.若，设的面积为，的面积为，记，执行如图②的框图，则输出的值A. 12B. 10C. 9D. 6【答案】A【解析】【分析】由斜二侧画法的画图法则，结合已知可求出S及k值，模拟程序的运行过程，分析变量T的值与S值的关系，可得答案．【详解】∵在直观图△A′B′C′中，A′B′＝B′C′＝3，∴S′A′B′•B′C′•sin45°由斜二侧画法的画图法则，可得在△ABC中，AB＝6．BC＝3，且AB⊥BC∴S AB•BC＝9则由S＝kS′得k＝2，则T＝T（m﹣1）＝T2（m﹣1）故执行循环前，S＝9，k＝2，T＝0，m＝1，满足进行循环的条件，执行循环体后，T＝0，m ＝2当T＝0，m＝2时，满足进行循环的条件，执行循环体后，T＝2，m＝3当T＝2，m＝3时，满足进行循环的条件，执行循环体后，T＝6，m＝4当T＝6，m＝4时，满足进行循环的条件，执行循环体后，T＝12，m＝5当T＝12，m＝5时，不满足进行循环的条件，退出循环后，T＝12，故输出的结果为12故选：A．【点睛】根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模．10.如下图，第（1）个多边形是由正三角形“扩展“而来，第（2）个多边形是由正方形“扩展”而来，……，如此类推.设由正边形“扩展”而来的多边形的边数为，则（）A. ；B. ；C. ；D.【答案】A【解析】，猜想,,,故选A.11.过椭圆上一点作圆的两条切线，点，为切点，过，的直线与轴，轴分别交于点，两点，则的面积的最小值为（）A. B. C. 1 D.【答案】B【解析】试题分析：：∵点在椭圆上，∴设，∵过椭圆上一点作圆的两条切线，点为切点，则∴以O为圆心，以|AM|为半径的圆的方程为①．又圆的方程为②．①-②得，直线AB的方程为：∵过A，B的直线l与x轴，y轴分别交于点P，Q两点，∴P，Q，∴△POQ面积，∵-1≤sin2θ≤1，∴当sin2θ=±1时，△POQ面积取最小值．考点：圆与圆锥曲线的综合12.若函数在其图象上存在不同的两点，，其坐标满足条件：的最大值为0，则称为“柯西函数”，则下列函数：①：②：③:④.其中为“柯西函数”的个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】【分析】由柯西不等式得对任意的实数都有≤0，当且仅当时取等，此时即A,O,B三点共线，结合“柯西函数”定义可知，f(x)是柯西函数f(x)的图像上存在两点A与B，使得A,O,B三点共线过原点直线与f(x)有两个交点.再利用柯西函数的定义逐个分析推理得解.【详解】由柯西不等式得对任意的实数都有≤0，当且仅当时取等，此时即A,O,B三点共线，结合“柯西函数”定义可知，f(x)是柯西函数f(x)的图像上存在两点A与B，使得A,O,B三点共线过原点直线与f(x)有两个交点.①,画出f(x)在x＞0时，图像若f(x)与直线y=kx有两个交点，则必有k≥2，此时，，所以（x＞0），此时仅有一个交点，所以不是柯西函数；②，曲线过原点的切线为，又（e,1）不是f(x)图像上的点，故f(x)图像上不存在两点A,B与O共线，所以函数不是；③；④．显然都是柯西函数.故选：B【点睛】本题主要考查柯西不等式，考查学生对新概念理解和应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.二、填空题（每题5分，共20分.把答案填在答题纸的横线上）13.若等比数列的第5项是二项式展开式的常数项，则________【答案】【解析】，则其常数项为，所以，则14.已知在平面直角坐标系中，，，，，动点满足不等式，，则的最大值为________.【答案】4【解析】试题分析：∵，，，，，∴，又∵∴故本例转化为在线性约束条件下，求线性目标函数的最大值问题.可作出如右图的可行域，显然在点时为最优解.∵即∴考点：线性规划.15.已知数列的前项和为，且，则使不等式成立的的最大值为________.【答案】4【解析】试题分析：当时，，得，当时，，所以，所以，又因为适合上式，所以，所以，所以数列是以为首项，以4为公比的等比数列，所以，所以，即，易知的最大值为4.考点：1.等比数列的求和公式；2.数列的通项公式.16.若四面体的三组对棱分别相等，即，，，则________.（写出所有正确结论的编号）①四面体每个面的面积相等②四面体每组对棱相互垂直③连接四面体每组对棱中点的线段相互垂直平分④从四面体每个顶点出发的三条棱的长都可以作为一个三角形的三边长【答案】【解析】【分析】由对棱相等知四面体为长方体的面对角线组成的三棱锥，借助长方体的性质判断各结论是否正确即可．【详解】由题意可知四面体ABCD为长方体的面对角线组成的三棱锥，如图所示；由四面体的对棱相等可知四面体的各个面全等，它们的面积相等，则正确；当四面体棱长都相等时，四面体的每组对棱互相垂直，则错误；由长方体的性质可知四面体的对棱中点连线必经过长方体的中心，由对称性知连接四面体ABCD每组对棱中点的线段相互垂直平分，则正确；由，，，可得过四面体任意一点的三条棱的长为的三边长，则正确．故答案为：．【点睛】本题考查了棱锥的结构特征与命题真假的判断问题，解题的关键是把三棱锥放入长方体中，属于难题．三、解答题（本大题共6小题，共62分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，写在答题纸的相应位置）17.设的三内角、、的对边长分别为、、，已知、、成等比数列，且. （I）求角的大小；（Ⅱ）设向量，，当取最小值时，判断的形状.【答案】（I）；（Ⅱ）为锐角三角形.【解析】【分析】（Ⅰ）根据正弦定理和等比数列的关系建立方程关系即可求角B的大小；（Ⅱ）根据向量的数量积公式进行计算，然后利用三角函数的图象和性质即可判断三角形的形状．【详解】（I）因为、、成等比数列，则.由正弦定理得.又，所以·因为，则.因为，所以或.又，则，当且仅当a=c等号成立，即故. （Ⅱ）因为，所以.所以当时，取得最小值.此时，于是.又，从而为锐角三角形.【点睛】本题主要考查三角形的形状的判断，利用正弦定理和三角函数的公式是解决本题的关键，考查学生的运算能力．18.在四棱锥中，平面，是正三角形，与的交点恰好是中点，又，.（1）求证：；（2）设为的中点，点在线段上，若直线平面，求的长；（3）求二面角的余弦值.【答案】（1）见解析；（2）1；（3）.【解析】【分析】（1）利用线面垂直的判定定理，证明BD⊥平面PAC，可得BD⊥PC；（2）取DC中点G，连接FG，证明平面EFG∥平面PAD，可得FG∥平面PAD，证明三角形AMF为直角三角形，即可求AF 的长；（3）建立空间直角坐标系，求出平面PAC、平面PBC的法向量，利用向量的夹角公式，即可求二面角A﹣PC﹣B的余弦值．【详解】（1）∵是正三角形，是中点，∴，即.又∵平面，∴.又，∴平面.∴.（2）取中点，连接，则平面，又直线平面，EG∩EF=E所以平面平面，所以∵为中点，，∴.∵，，∴，则三角形AMF为直角三角形，又，故（3）分别以，，为轴，轴，轴建立如图的空间直角坐标系，∴，，，.为平面的法向量.，.设平面的一个法向量为，则，即，令，得，，则平面的一个法向量为，设二面角的大小为，则.所以二面角余弦值为.【点睛】本题考查线面垂直的判定定理与性质，考查二面角，考查学生分析解决问题的能力，考查向量法的运用，确定平面的法向量是关键．19.在一次高三年级统一考试中，数学试卷有一道满分10分的选做题，学生可以从，两道题目中任选一题作答.某校有900名高三学生参加了本次考试，为了了解该校学生解答该选做题的得分情况，计划从900名考生的选做题成绩中随机抽取一个容量为10的样本，为此将900名考生选做题的成绩按照随机顺序依次编号为001一900.（1）若采用随机数表法抽样，并按照以下随机数表，以方框内的数字5为起点，从左向右依次读取数据，每次读取三位随机数，一行读数用完之后接下一行左端.写出样本编号的中位数；（2）若采用系统抽样法抽样，且样本中最小编号为08，求样本中所有编号之和：（3）若采用分层轴样，按照学生选择题目或题目，将成绩分为两层，且样本中题目的成绩有8个，平均数为7，方差为4：样本中题目的成绩有2个，平均数为8，方差为1.用样本估计900名考生选做题得分的平均数与方差.【答案】（1）667（2）4130（3）平均数为7.2，方差为3.56 【解析】【分析】（1）由题取出十个编号，先将编号从小到大排列再求中位数（2）按照系统抽样法，抽出的编号可组成以8为首项，以90为公差的等差数列，求该数列的前10项和。

河北省衡水中学2018届高三下学期第6周周考理科数学试题 Word版含解析

理数周日测试6一、选择题1.已知集合，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由条件可知A为偶数集，求出，即可得到.【详解】由条件可知A为偶数集，，故.故选C【点睛】本题考查集合的混合运算，属基础题.2.已知i是虚数单位，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据虚数单位i的性质以及复数的基本运算法则，直接计算化简．【详解】故选B.【点睛】本题考查复数代数形式的混合运算．除法中关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，实现分母实数化．3.已知，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用诱导公式及同角的三角函数基本关系式即可化简求值．【详解】已知,则由三角函数的诱导公式可得.故选A.【点睛】本题考查的知识点是运用诱导公式化简求值，属于基础题．4.已知椭圆的离心率为，且椭圆的长轴与焦距之差为4，则该椭圆为方程为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用已知条件求出a，b，即可求解椭圆方程．【详解】设椭圆的焦距为，由条件可得，故，由椭圆的长轴与焦距之差为4可得，即，所以，，，故，故该椭圆的方程为. 【点睛】本题考查椭圆的简单性质椭圆方程的求法，是基本知识的考查．5.公元五世纪，数学家祖冲之估计圆周率的值的范围是：3.1415926＜＜3.1415927，为纪念祖冲之在圆周率的成就，把3.1415926称为“祖率”,这是中国数学的伟大成就.某小学教师为帮助同学们了解“祖率”，让同学们从小数点后的7位数字1,4,1,5,9,2,6随机选取两位数字，整数部分3不变，那么得到的数字大于3.14的概率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】选择数字的方法有：种，其中得到的数字不大于3.14的数字为：，据此可得：得到的数字大于3.14的概率为 .本题选择A选项.点睛：求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法：一是直接求解法，将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和，运用互斥事件的求和公式计算．二是间接求法，先求此事件的对立事件的概率，再用公式P(A)＝1－P()，即运用逆向思维(正难则反)，特别是“至多”，“至少”型题目，用间接求法就显得较简便．6.运行如图所示的程序，输出的结果为（）A. 8B. 6C. 5D. 4【答案】D【解析】【分析】由已知中的程序语句，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【详解】所给程序的运行过程如下：，；，；，；，，不满足，输出b的值为4.故选D.【点睛】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．7.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A. 6πB. 8πC. 6π+6D. 8π+4【答案】C【解析】【分析】几三视图可知，该几何体是一个圆柱的，结合直观图求相关几何量的数据，把数据代入柱体的表面积公式计算即可．【详解】三视图可知，该几何体是一个圆柱的，故表面积为.故选C.【点睛】本题考查了由三视图求几何体的表面积，根据三视图判断几何体的结构特征及求相关几何量的数据是解答本题的关键．8.已知直线与之间的距离为2，则直线被圆截得的弦长为（）A. 4B. 3C. 2D. 1【答案】A【解析】【分析】由条件可知，直线过圆心，则圆心C到直线的距离等于直线与之间的距离2，根据勾股定理可求直线被圆截得的弦长【详解】由条件可知，直线过圆心，则圆心C到直线的距离等于直线与之间的距离2，故直线被圆C截得的弦长为.故选A.【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，以及直线与圆相交时的弦长问题，属于中档题．9.已知实数满足不等式组，则目标函数的最大值为（）A. 1B. 2C.D.【答案】B【解析】【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．【详解】等式组表示的平面区域如下图中的阴影部分所示：且点，，，易得目标函数在点C处取得最大值5.故选B.【点睛】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．10.在边长为1的正中，点D在边BC上，点E是AC中点，若，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】设，，，则，，则由求出，即可得到.【详解】设，，，则，，则故，即.【点睛】本题考查向量的线性运算及向量的数量积的运算，属中档题.11.已知定义在R上的函数，满足，且时，，图象如图所示，则满足的实数x的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由条件可知，的图象关于直线对称，结合可得，而，可得，由可得，结合图像根据对称性可得实数x的取值范围.【详解】由条件可知，的图象关于直线对称，结合可得，而，即，解之得，由可得，当时，由，解之得，所以，，再结合对称性可得x的取值范围是.故选B.【点睛】本题考查了基本初等函数的图象与性质、对数不等式等知识，属于中档题．12.已知函数的最小正周期为，且，则( )A. B. C. D.【答案】B【解析】由题可知：由最小正周期为2可得又代入可得：，得，则二、填空题13.在正方体中，点M是的中点，则与所成角的正切值为__________.【答案】2【解析】【分析】根据异面直线所成角的定义可得即为与所成角，在中计算即可.【详解】即为与所成角，取中点N，连接，则，则.即答案为2.【点睛】本题考查异面直线所成角的定义及计算，属基础题.14.已知双曲线的离心率为2，过双曲线的右焦点垂直于x轴的直线被双曲线截得的弦长为m，则__________.【答案】6【解析】【分析】根据双曲线的离心率求出a、b的关系，再求出过右焦点且垂直于x轴的直线被双曲线截得的弦长m，即可计算的值．【详解】双曲线的焦距为，则，即，则把代入双曲线可得，故，所以，.【点睛】本题考查了双曲线的简单几何性质的应用问题，是中档题．15.已知函数，若，且的最小值为m，则__________.【答案】3【解析】【分析】由题意，由可得，即，结合，且的最小值为m，即可求出的值．【详解】由可得，即，∴，则，当且仅当，即时，取得最小值2.故.即答案为3.【点睛】本题考查分段函数的运用，考查基本不等式的应用，考查学生的计算能力，属中档题．16.已知的三个内角所对的边分别为，且，，则__________.【答案】【解析】【分析】由及正弦定理可得，.由可得，由余弦定理可得，即，解之得.【详解】由及正弦定理可得，即，而，∴.由可得，由余弦定理可得，即，解之得（舍去负值）.【点睛】本题考查利用正弦定理和余弦定理解三角形，属中档题.三、解答题17.已知等比数列满足：，且.（1）求的通项公式及前n项和；（2）若，求的前n项和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）设的公比为q，由可得，由此可求的通项公式及前n项和；2）由（1）可得，则，利用错位相减法可求的前n项和. 【详解】（1）设的公比为q，由可得，∴，∴，∴.（2）由（1）可得，则①所以，②由①②可得，所以，.【点睛】本题考查等比数列的通项公式及前n项和；以及利用错位相减法求和，属基础题.18.如图，三棱锥中，，，且.（1）求证：；（2）若，求三棱锥的体积.【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）取的中点O，连接，.易证平面，又∵平面，∴，而O是的中点，∴.（2）由平面平面，平面，由条件可得，.则，则三棱锥的体积可求【详解】（1）取的中点O，连接，.∵，∴，∵，，，平面，∴平面，又∵平面，∴，而O是的中点，∴.（2）∵平面平面，平面，平面平面，∴平面，由条件可得，.则，∴三棱锥的体积为：.【点睛】本题考查线面垂直的证明以及三棱锥体积的求法，属中档题.19.某搜索引擎广告按照付费价格对搜索结果进行排名，点击一次付费价格排名越靠前，被点击的次数也可能会提高，已知某关键词被甲、乙等多个公司竞争，其中甲、乙付费情况与每小时点击量结果绘制成如下的折线图.（1）试根据所给数据计算每小时点击次数的均值方差并分析两组数据的特征；（2）若把乙公司设置的每次点击价格为x，每小时点击次数为y，则点（x，y）近似在一条直线附近.试根据前5次价格与每小时点击次数的关系，求y关于x的回归直线.（附：回归方程系数公式：）【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）结合图象分别求出甲、乙公司的平均数和方差，根据其大小判断结论即可；（2）求出平均数，计算回归方程的系数，求出回归方程即可．【详解】（1）由题图可知，甲公司每小时点击次数为9，5，7，8，7，6，8，6，7，7，乙公司每小时点击次数为2，4，6，8，7，7，8，9，9，10.甲公司每小时点击次数的平均数为：，乙公司每小时点击次数的平均数为：.甲公司每小时点击次数的方差为：；乙公司每小时点击次数的方差为：，由计算已知，甲、乙公司每小时点击次数的均值相同，但是甲的方差较小，所以，甲公司每小时点击次数更加稳定. （2）根据折线图可得数据如下：则，，则，，∴所求回归直线方程为：.【点睛】本题考查了均值和方程的求法，考查回归方程问题，是一道中档题．20.如图，直线与y轴交于点A，与抛物线交于P，Q，点B 与点A关于x轴对称，连接QB，BP并延长分别与x轴交于点M，N.（1）若，求抛物线C的方程；（2）若，求外接圆的方程.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）联立可得，设点，，由，可得，，，表示出.利用，可得，即可可得到抛物线方程；（2）设直线，的斜率分别为，点，由，，可得.则直线的方程为：，直线的方程为：，由此可得，结合可得，，∴，且，故，即是等腰三角形，且，则的外接圆的圆心一定在y轴上，设为，由圆心到点M，B的距离相等可解得，于是得到外接圆方程.【详解】（1）由可得，设点，，则，即，，，故.由可得（舍去负值），∴抛物线C的方程为.（2）设直线，的斜率分别为，点，，，∴.直线的方程为：，直线的方程为：，则，，则，由可得，∴，∴，∴，且，故，即是等腰三角形，且，则的外接圆的圆心一定在y轴上，设为，由圆心到点M，B的距离相等可得，解之得，外接圆方程为.【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查抛物线方程的求法，考查圆的方程等知识，属难题.21.已知函数.（1）若的图像在处的切线与轴平行，求的极值；（2）若函数在内单调递增，求实数的取值范围．【答案】（1）极大值，无极小值；（2）.【解析】试题分析：（1）求出，由求得，研究函数的单调性，即可求得的极值；（2）化简，可得，对求实数分三种情况讨论，分别利用导数研究函数的单调性，验证函数在内是否单调递增即可得结果.试题解析：（1）因为，所以．由条件可得，解之得，所以，．令可得或（舍去）．当时，；当时，，所以在内单调递增，在内单调递减，故有极大值，无极小值；（2），则．设，①当时，，当时，，当时，，所以在内单调递增，在内单调递减，不满足条件；②当时，是开口向下的抛物线，方程有两个实根，设较大实根为．当时，有，即，所以在内单调递减，故不符合条件；③当时，由可得在内恒成立，故只需或，即或，解之得．综上可知，实数的取值范围是．22.以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为，直线l的参数方程为（其中t为参数）.（1）把曲线C的极坐标方程化为普通方程；（2）若直线l与曲线C有两个公共点，求实数m的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）曲线C的极坐标方程化为4ρ2-3ρ2cos2θ=4，由此能求出曲线C的普通方程．（2）把代入，得5x2-8mx+4m2-4=0，由直线l与曲线C有两个公共点，能求出实数m的取值范围．【详解】（1）方程可化为，即，把代入可得，整理可得.（2）把代入可得，由条件可得，解之得，即实数m的取值范围是.【点睛】本题考查曲线的普通方程的求法，考查实数的取值范围的求法，考查根据的判别式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．23.已知函数.（1）关于x的不等式的解集为M，且，求实数m的取值范围；（2）求的最小值，及对应的x的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）分当时和当时两种情况解不等式，得到解集M，由，可得可解得实数m的取值范围；（2）利用三角不等式可得，可得的最小值，及对应的x的取值范围.【详解】（1）当时，不等式可变为，解之得，∴；当时，不等式可变为，解之得，∴x不存在.综上可知，不等式的解集为.由，可得，解之得，即实数m的取值范围是. （2），当且仅当，即时，取得最小值1，此时，实数x的取值范围是.【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，三角不等式等知识，属中档题.24.已知函数.（Ⅰ）求函数在点处的切线方程；（Ⅱ）当函数处取得极值-2，求函数的解析式；（Ⅲ）当时，设，若函数在定义域上存在单调减区间，求实数b的取值范围.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）求出函数f（x）的导数，求得切线的斜率和切点，运用点斜式方程即可得到切线方程；（2）求得g（x）的导数，由题意可得g（2）=-2，g′（2）=0，解方程即可得到所求解析式；（3）若函数h（x）在定义域上存在单调减区间依题存在x＞0使()．h′（x）＜0（x＞0）即存在x＞0使x2-bx+1＜0，运用参数分离，求得右边的最小值，即可得到所求范围【详解】(Ⅰ)由()，可得()，∴在点处的切线方程是，即，所求切线方程为. (Ⅱ)∵又可得，且在处取得极值.∴可得解得，.所求（）.(Ⅲ)∵，().依题存在使，∴即存在使，不等式等价于(*)令（），∵.∴在上递减，在上递增，故，∵存在，不等式(*)成立，∴，所求.【点睛】本题考查导数的运用：求切线方程和单调区间、极值和最值，同时考查函数的单调性的运用以及存在性问题，属于中档题．。

河北省衡水市衡水中学2018届高三年级第一次月考理科数学(解析版)

2017~2018学年度上学期高三年级一调考试数学（理科）试卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．从每小题所给的四个选项中，选出最佳选项，并在答题纸上将该项涂黑）1．设集合2{1,2,4},{|40}A B x x x m ==-+=．若{1}A B =，则B =（）A ．{1,3}-B ．{1,0}C ．{1,3}D ．{1,5}1．答案：C解析：由题意可知1B ∈，将1x =代入240x x m -+=，得3m =，所以2430x x -+=，即(1)(3)0x x --=，解得1x =或3x =，所以{1,3}B = 2．已知i 是虚数单位，若复数i12ia -+为纯虚数，则实数a 的值是（） A ．12-B ．0C ．12D ．22．答案：D 解析：设ii,12i a b b R -=∈+，则i i(12i)2i a b b b -=+=-+，所以21a b b =-⎧⎨=-⎩，故2a = 3．执行如图所示的程序框图，为使输出S 的值小于91，则输入的正整数N 的最小值为（）A ．5B ．4C ．3D ．23．答案：D解析：1,100,0t M S ===→是100,10,2S M t →==-=→是90,1,3S M t →===→否→输出9091S =<，结束，所以正整数N 的最小值为2．4．已知点(2,0)A -，点(,)M x y 为平面区域220,240,33x y x y x y +-⎧⎪-+⎨⎪--⎩≥≥≤0上的一个动点，则AM 的最小值是（） A ． 5 B ．3CD．4．答案：C解析：作可行域如图所示，则AM 的最小值为点A 到直线220x y +-=的距离，5d ===5．已知ABC △的三个内角,,A B C 依次成等差数列，BC边上的中线2AD AB ==，则ABC S =△（）A ．3 B．C．D ．65．答案：C解析：因为,,A B C 成等差数列，所以2B A C =+，又因为180A B C ++=︒，所以60B =︒，在ABD △中，由余弦定理可得2222cos60AD AB BD AB BD =+-⋅⋅︒，即2230BD BD --=，所以(3)(1)0BD BD -+=，所以3BD =，故26BC BD ==，1sin 602ABC S AB BC =⨯⨯︒=△6．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的所有棱中，最长的棱为（） A ．3 B．C．D6．答案：A解析：该几何体的直观图如图所示，则1,2,3BC AC CD BD AB AD ======所以最长的棱为3ABCD7．已知数列{}n a满足110,()n a a n N *+==∈，则20a =（）A ．0 B．CD7．答案：B解析：解法1：123410,02a a a a a -======-，周期3T =，所以202a a == 解法2：设tan n n a α=，则1tan 0a =，11tan tan3tan 1tan tan 3n n n a πααπα++-===+tan 3n πα⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以13n n παα+=-，所以数列{}n α是一个首项为0，公差为3π-的等差数列，13n n απ-=-，所以2020201919,tan tan tan tan 3333a ππαπαπ⎛⎫⎛⎫=-==-=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭8．已知0ω>，函数()sin 3f x x πω⎛⎫=-⎪⎝⎭在,32ππ⎛⎫⎪⎝⎭内单调递减，则ω的取值范围是（） A ．110,3⎛⎤⎥⎝⎦B ．511,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．13,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦8．答案：B 解析：当,32x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，,33323x πππππωωω⎛⎫-∈-- ⎪⎝⎭，根据题意可得3,2,2,332322k k k Z ππππππωωππ⎛⎫⎛⎫--⊆++∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以2332,32232k k Z k πππωππππωπ⎧-+⎪⎪∈⎨⎪-+⎪⎩≥≤，解得：125121123k k ω++≤≤，所以1251211023k k ++<≤，所以571212k -<≤，又因为k Z ∈，所以0k =，所以511,23ω⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦9．设函数()2sin(),f x x x R ωϕ=+∈，其中0,ωϕπ><．若5112,088f f ππ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且()f x 的最小正周期大于2π，则（）A ．17,224πωϕ==B ．211,312πωϕ==-C ．111,324πωϕ==-D ．2,312πωϕ==9．答案：D 解析：根据题意1153(21),8844k T k Z πππ+-==∈，所以3,21T k Z k π=∈+，又因为2T π>，所以220,3,3k T T ππω====，当58x π=时，52,,122x k k Z ππωϕϕπ+=+=+∈212k πϕπ∴=+，又因为ϕπ<，所以12πϕ=10．已知函数31()xxf x e x e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若实数a 满足()()20.5log log 2(1)f a f a f +≤，则实数a 的取值范围是（） A ．1,(2,)2⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭B ．1,[2,)2⎛⎤-∞+∞ ⎥⎝⎦C ．1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭10．答案：C解析：函数()f x 为偶函数，且在(0,)+∞上单调递增，0.52log log a a =-，所以()22log 2(1)f a f ≤，所以()2log (1)f a f ≤，所以21log 1a -≤≤，所以122a ≤≤11．已知函数32()1f x x ax =++的图像的对称中心的横坐标为00(0)x x >，且()f x 有三个零点，则实数a 的取值范围是（）A ．(,0)-∞ B．,⎛-∞ ⎝⎭ C ．(0,)+∞ D ．(,1)-∞-11．答案：B解析：2()32f x x ax '=+，()f x '的对称轴为3a x =-，所以003ax =->，所以0a <，令 ()0f x '=，得1220,03a x x ==->，所以当0x =时，()f x 取得极大值1，当23ax =-时，()f x 取得极小值34127a +，要想使()f x 有三个零点，则必须341027a +<，解得2a <-12．定义在[1,)+∞内的函数()f x 满足：①当24x ≤≤时，()13f x x =--；②(2)()f x c f x =（c 为正常数）．若函数的所有极大值点都落在同一直线上，则常数c 的值是（） A ．1 B ．2±C ．12或3 D ．1或212．答案：D解析：在区间[2,4]上，当3x =时，()f x 取得极大值1，极大值点为(3,1)A ，当[4,8]x ∈时，[2,4]2x ∈，()2x f x cf ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以在区间[4,8]上，当32x =，即6x =时，()f x 取得极大值c ，极大值点为(6,)B c ，当[1,2]x ∈时，2[2,4]x ∈，所以1()(2)f x f x c=，所以在区间[1,2]上，当23x =，即32x =时，()f x 取得极大值1c ，所以极大值点为31,2C c ⎛⎫⎪⎝⎭，根据题意，(3,1)A ，(6,)B c ，31,2C c ⎛⎫⎪⎝⎭三点共线，所以111332c c --=，解得1c =或2 第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．如图，正方形ABCD 中，,M N 分别是,BC CD 的中点，若AC AM BN λμ=+，则λμ+= ．13．答案：85解析：不妨设正方形边长为2，以A 为坐标原点建立如图所示平面直角坐标系，则(2,2)AC =，(2,1),(1,2)AM BN ==-，因为AC AM BN λμ=+，所以(2,2)(2,2)λμλμ-+=，所以2222λμλμ-=⎧⎨+=⎩，解得685,255λλμμ⎧=⎪⎪∴+=⎨⎪=⎪⎩AMx14．已知定义在实数集R 上的函数()f x 满足(1)4f =，且()f x 的导函数()3f x '<，则不等式(ln )3ln 1f x x >+的解集为．14．答案：(0,)e解析：设ln t x =，则()31f t t >+，即()31f t t ->，设()()3g t f t t=-，则(1)(1)31g f =-=，且()()30g t f t ''=-<，所以函数()g t 是一个单调递减函数，不等式()31f t t ->等价于()(1)g t g >，所以1t <，即ln 1x <，解得(0,)x e ∈15．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，126,4,0n S S S ==>，且22122,,n n n S S S -+成等比数列，212221,,n n n S S S -++成等差数列，则2016a 等于．15．答案：1009-解析：由题意可得2212222221212n n n n n n S S S S S S -++-+⎧=⎪⎨=+⎪⎩，因为0n S>，所以222n S +所以)n N *=∈，故数列为等差数列，又由126,4S S ==，2124S S S =⋅，可得49S =；4132S S S =+，可得312S =，所以数列2=为首1=1n =+，即22(1)n S n =+，故21(1)(2)n S n n -==++，故2201620151009,10091010S S ==⨯，所以2016201620151009a S S =-=-16．已知函数()y f x =是定义域为R 的偶函数，当0x ≥时，5sin ,01,42()11, 1.4xx x f x x π⎧⎛⎫⎪⎪⎝⎭⎪=⎨⎛⎫⎪+> ⎪⎪⎝⎭⎩≤≤，若关于x 的方程25[()](56)()60()f x a f x a a R -++=∈有且仅有6个不同的实数根，则实数a 的取值范围是． 16．答案：01a <≤或54a =解析：由25[()](56)()60f x a f x a -++=可得[5()6][()]0f x f x a -⋅-=，所以6()5f x =或()f x a =，画出()y f x =的图像，当6()5f x =时，因为65154<<，所以该方程有4个根；因2（1）求角A 的大小；（2）求25cos 2sin 22C B π⎛⎫--⎪⎝⎭的取值范围．17．解：（1cos (2)cos C b A =-及正弦定理可得：cos (2sin )cos 2sin cos cos A C B C A B A C A ==，故2sin cos cos sin cos ))B A A C C A A C B =+=+=，0πB <<，sin 0B ∴≠，cos A ∴=0πA <<，所以6πA =（2）25cos 2sin sin cos 1sin cos()122πC B B C B A B ⎛⎫--=+-=-+-⎪⎝⎭3sin coscos sinsin 1sin cos 1166226πππB B B B B B ⎛⎫=-+-=--=-- ⎪⎝⎭ 由6πA =，可得50,6πB ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以2,663πππB ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，从而1sin ,162πB ⎛⎫⎛⎤-∈- ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦，116πB ⎛⎤⎛⎫--∈ ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦，故25cos 2sin 22C B π⎛⎫-- ⎪⎝⎭的取值范围是1⎛⎤ ⎥ ⎝⎦18．（本小题满分12分）高三某班12月月考语文成绩服从正态分布2(100,17.5)N ，数学成绩的频率分布直方图如图，如果成绩大于135分，则认为特别优秀．（1）这500名学生中本次考试语文、数学特别优秀的大约各多少人？（2）如果语文和数学两科都特别优秀的共有6人，从（1）中的这些同学中随机抽取3人，设三人中两科都特别优秀的有X 人，求X 的分布列和数学期望．参考数据：若2(,)XN μσ，则()0.68,(22)0.96P X P X μσμσμσμσ-<<+=-<<+=18．解：因为语文成绩服从正态分布2(100,17.5)N ，所以语文成绩特别优秀的概率为11(135)(10.96)0.022p P X =>=-⨯=，数学成绩特别优秀的概率为230.0016200.0244p =⨯⨯= 所以语文成绩特别优秀的同学有5000.0210⨯=（人），数学特别优秀的同学有5000.02412⨯=（人）……………………（5分）（2）因为语文、数学两科都优秀的有6人，单科优秀的有10人，X 的所有可能取值为0,1,2,3321123101061066333316161616327151(0),(1),(2),(3),14565628C C C C C C P X P X P X P X C C C C ============()0123145656288E X =⨯+⨯+⨯+⨯=…………………………（12分）19．（本小题满分12分）如图①，在平行四边形11ABB A 中，11160,4,2,,ABB AB AA C C ∠=︒==分别为11,AB A B 的中点，现把平行四边形11AAC C 沿1CC 折起，如图②所示，连接1111,,B C B A B A ①②ACBA 1C 1B 1ACBA 1C 1B 1（1）求证：11AB CC ⊥；（2）若1AB 11C AB A --的余弦值．19．（1）证明：由已知可得，四边形1111,ACC A BCC B 均为边长为2的菱形，且11160ACC B C C ∠=∠=︒，取1CC 的中点O ，连接11,,AO B O AC ，则1ACC △是等边三角形，所以1AO CC ⊥，同理可得11B O CC ⊥．又因为1AOB O O =，所以1CC ⊥平面1AOB ，又因为1AB ⊂平面1AOB ，所以11AB CC ⊥．…………………………（5分）AC BA 1C 1B 1O（2）由已知得1OA OB AB ===2221OA OB AB +=，故1OA OB ⊥，分别以11,,OB OC OA 的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，得11(0,1,0),C B A A -．设平面1CAB 的法向量111(,,)m x y z =，1(3,0,3),(0,1,AB AC =-=-，11111300AB m xAC m y ⎧⋅=-=⎪∴⎨⋅=--=⎪⎩，令11x =，得 111,z y ==1CAB 的法向量(1,m =．设平面11AA B 的法向量222(,,)n x y z =，11(3,0,3),(0,2,0)AB AA =-=，由122123020AB n x AA n y ⎧⋅==⎪⎨⋅==⎪⎩，令21x =，得221,0z y ==，所以平面11AA B 的法向量(1,0,1)n =，于是cos ,55m n m n m n⋅===⨯⋅．因为二面角11C AB A --的平面角为钝角，所以二面角11C AB A --的余弦值为5-20．（本小题满分12分）已知曲线2()ln f x ax bx x =+在点(1,(1))f 处的切线方程是21y x =-．（1）求实数,a b 的值；（2）若2()(1)f x kx k x +-≥对任意(0,)x ∈+∞恒成立，求实数k 的最大值． 20．解：（1）()2ln f x a bx x bx '=++，由(1)1(1)2f a f a b ==⎧⎨'=+=⎩，可得1a b ==……（4分）（2）由22ln (1)x x x kx k x ++-≥对任意(0,)x ∈+∞恒成立，即2ln 1x x k x ++≤恒成立，令 2ln ()(0)1x x g x x x +=>+，则22(ln 1)(1)2ln ln 1()(1)(1)x x x x x x g x x x ++--+-'==++，显然ln 1y x x =+-单调递增，且有唯一零点1x =，所以()g x 在(0,1)内单调递减，在(1,)+∞内单调递增，所以min ()(1)1g x g ==，所以1k ≤，故k 的最大值为1………………………………（12分）21．（本小题满分12分）已知函数211()ln 22f x ax x ax ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭（a 为常数，0a >）．（1）当1a =时，求函数()f x 的图像在1x =处的切线方程；（2）当()y f x =在12x =处取得极值时，若关于x 的方程()0f x b -=在[0,2]上恰有两个不相等的实数根，求实数b 的取值范围；（3）若对任意的(1,2)a ∈，总存在01,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使不等式20()(23)f x m a a >+-成立，求实数m 的取值范围．21．解：（1）当1a =时，211()ln 22f x x x x ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭，所以13()21,(1)12f x x f x ''=+-=+，又(1)0f =，即切点为(1,0)，所以切线方程为3(1)2y x =-，即3230x y --=．……（3分）（2）()21a f x x a ax '=+-+，依题意，1101212a f a a ⎛⎫'=+-= ⎪⎝⎭+，即220a a --=，因为 0a >，所以2a =，此时2(21)()12x x f x x -'=+，所以()f x 在10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，又1135(0)ln ,,(2)ln 2242f f f ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭，所以31ln 42b -<≤．…………（6分）（3）2222(2)2(2)()2111x ax a a ax a x f x x a ax ax ax⎡⎤--+-⎣⎦'=+-==+++，因为12a <<，所以221(2)(1)0222a a a a a --+-=<，即22122a a -<，所以()f x 在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以max 11()(1)ln 122f x f a a ⎛⎫==++- ⎪⎝⎭．问题等价于对任意的(1,2)a ∈，不等式211ln 1(23)22a a m a a ⎛⎫++->+-⎪⎝⎭恒成立，设211()ln 1(23)(12)22h a a a m a a a ⎛⎫=++--+-<< ⎪⎝⎭，则212(41)2()12211ma m a m h a ma m a a --+-'=---=++，又(1)0h =，所以()h a 在1a =右侧需先单调递增，所以(1)0h '≥，即18m -≤．当18m -≤时，设2()2(41)2g a ma m a m =--+-，其对称轴为1114a m=--<，又20m ->，开口向上，且(1)810g m =--≥，所以在(1,2)内，()0g a >，即()0h a '>，所以()h a 在(1,2)内单调递增，()(1)0h a h >=，即211ln 1(23)(12)22a a m a a a ⎛⎫++->+-<< ⎪⎝⎭．于是，对任意的(1,2)a ∈，总存在01,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使不等式20()(23)f x m a a >+-成立．综上可知，18m -≤…………………………（12分）（二）选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x 轴的非负半轴重合，直线l 的参数方程为1,212x y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=．（1）写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程；（2）设直线l 与曲线C 相交于,P Q 两点，求PQ 的值．22．解：（1）将4c o s ρθ=化为24cos ρρθ=，由222,c os ρρθx y x =+=，得224x y x +=，所以曲线C 的直角坐标方程为22(2)4x y -+=．由1,212x t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩消去t解得10x +=，所以直线l的普通方程为10x +=……………………（5分）（2）把1,212x t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入22(2)4x y -+=，整理得250t -+=，设其两根为12,t t ，则12125t t t t +==，所以12PQ t t =-==………………（10分）方法2，圆C 的圆心为(2,0)C ，半径2r =，圆心C 到直线l 的距离32d =，所以PQ ==………………（10分）方法3，将1x =-代入22(2)4x y -+=，化简得：2450y -+=，由韦达定理得：12125,24y y y y +==，PQ === 23．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲已知函数()223,()12f x x a x g x x =-++=-+．（1）解不等式()5g x <；（2）若对任意1x R ∈，都有2x R ∈，使得12()()f x g x =成立，求实数a 的取值范围．23．解：（1）由125x -+<，得5125x -<-+<，所以13x -<，即313x -<-<，解得： 24x -<<，所以原不等式的解集为{|24}x x -<<（2）因为对任意1x R ∈，都有2x R ∈，使得12()()f x g x =成立，所以{|()}{|()}y y f x y y g x =⊆=，又()223(2)(23)3f x x a x x a x a =-++--+=+≥，当且仅当(2)(23)0x a x -+≤时取等号，()122g x x =-+≥，所以32a +≥，解得：1a -≥或5a -≤，所以实数a 的取值范围是(,5][1,)-∞--+∞。

河北省衡水中学2018届高三复习数学试题及答案

2017—2018学年高三复习卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、设集合{1,2,3,4,5},{2,4},{1,2,3}U A B ===，则图中阴影部分所表示的集合是A ．{}4B ．{}2,4C ．{}4,5D ．{}1,3,42、已知集合{|10},{|02}P x x Q x x =-≤=≤≤，则()R C P Q =I A ．(0,1) B ．(0,2] C ．[1,2] D ．(1,2]3、设,a b R ∈，则“1ab>”是“0a b >>”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 4、一个含有三个实数的集合可表示成{,,1}ba a，也可表示成2{,,0}a a b +，则20162016a b +等于 A ．0 B ．1 C ．1- D ．1±5、已知集合{|20},{|}A x x B x x a =-<=<，若A B A =I ，则实数a 的取值范围是 A ．(,2]-∞- B ．[2,)-+∞ C ．(,2]-∞ D ．[2,)+∞6、设集合{|1},{|}A x x B x x p =≤=>，要使A B φ=I ，则P 应满足的条件是 A ．1p > B ．1p ≥ C ．1p < D ．1p ≤7、下列五个写法：①{}{}11,2,3∈；②{}0φ⊆；③{}{}0,1,21,2,0⊆；④0φ∈；⑤0φφ=I ，其中错误的写法的个数为A ．1B ．2C ．3D ．48、设集合222{|1},{|1}2x A x y B y y x =+===-，则A B =I A ．[2]- B ．6161{(),()}22 C ．6161{(),(),(0,1)}22- D ．[2,2] 9、对任意实数x ，若[]x 表示不超过x 的最大整数，则“11x y -<-<”是“[][]x y =”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件10、已知命题2000:,0p x R x ax a ∃∈++<，若p ⌝是真命题，则实数a 的取值范围是A ．[0,4]B ．(0,4)C ．(,0)(4,)-∞+∞UD ．(,0][4,)-∞+∞U11、对于任意两个正整数,m n ，定义某种运算“*”，法则如下：当,m n 都是正奇数时，m n m n *=+；当,m n 不全为正奇数时，m n mn *=，则在此定义下，集合{(,)|16,,}M a b a b a N b N ++=*=∈∈ 的真子集的个数是A ．721-B ．1121-C ．1321-D ．1421- 12、设函数()2(,,,0)f x ax bx c a b c R a =++∈> ，则“(())02bf f a-<”是“()f x 与(())f f x ”都恰有两个零点的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上..13、设命题200:,1p x R x ∃∈>，则p ⌝为14、若集合2{|60},{|10}P x x x T x mx =+-==+=，且T P ⊆，则实数m 的可能值组成的集合是 15、若不等式1x a -<成立的一个充分条件是04x <<，则实数a 的取值范围是16、已知221:12,:2103x p q x x m --≤-+-≤，若p ⌝是q ⌝的必要不充分条件，则实数m 的取值范围是三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17、（本小题满分10分）已知集合{|23},{|1A x a x a B x x =≤≤+=<-或5}x >. （1）若1a =-，求,()R A B C A B U I ；（2）若A B φ=I ，求实数a 的取值范围.18、（本小题满分12分）已知命题:p 方程2220x ax a +-=在区间[]1,1-上有解，命题:q 只有一个实数0x 满足不等式200220x ax a ++≤，若命题“”是假命题，求实数a 的取值范围.19、（本小题满分12分）已知全集U R =，集合{|4A x x =<-或1},{|312}x B x x >=-≤-≤. （1）求,()()U U A B C A C B I U ；（2）若集合{|2121}M x k x k =-≤≤+是集合A 的子集，求实数k 的取值范围.20、（本小题满分12分）已知命题:p 实数x 满足22430x ax a -+<（其中0a >），命题:q 实数x 满足12302x x x ⎧-≤⎪⎨+≥⎪-⎩ .（1）若1a =，且p q ∧为真，求实数x 的取值范围；（2）若p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，求实数的a 的取值范围.21、（本小题满分12分）已知a R ∈，命题2:[1,2],0p x x a ∀∈-≥，命题2000:,220q x R x ax a ∃∈++-=.（1）若命题p 为真命题，求实数a 的取值范围；（2）若命题“p q ∧”为真命题，命题“p q ∨”为假命题，求实数a 的取值范围22、（本小题满分12分）已知命题:p 方程210x mx ++=有两个不等的实数根；命题:q 方程244(2)10x m x +-+=无实根，若“p q ∨”为真，“p q ∧”为假，求实数m 的取值范围.。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

2017—2018学年度上学期高三年级六调考试
数学(理科)试卷
本试卷分第I卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分，考试时间120分钟．
第I卷(选择题共60分)
一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分．从每小题所给的四个选项中，选出最佳选项，并在答题纸上将该项涂黑)
1．已知数集错误！未找到引用源。

，设函数f（x）是从A到B的函数，则函数f（x）的值域的可能情况的个数为
A．1 B．3 C．7 D．8
2．已知i为虚数单位，且错误！未找到引用源。

A．1 B．错误！未找到引用源。

C．错误！未找到引用源。

D．2
3．已知等差数列错误！未找到引用源。

的前n项和为错误！未找到引用源。

A．18 B．36 C．54 D．72
4．已知错误！未找到引用源。

为第二象限角，错误！未找到引用源。

A．错误！未找到引用源。

B．错误！未找到引用源。

C．错误！未找到引用源。

D．错误！未找到引用源。

5．已知双曲线错误！未找到引用源。

轴交于A，B两点，错误！未找到引用源。

，则错误！未找到引用源。

的面积的最大值为
A．1 B．2 C．4 D．8
6．某校毕业典礼由6个节目组成，考虑整体效果，对节目演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前三位，且节目丙、丁必须排在一起，则该校毕业典礼节目演出顺序的编排方案共有
A．120种B．156种C．188种D．240种
7．在等比数列错误！未找到引用源。

中，错误！未找到引用源。

为
A．64 B．81 C．128 D．243
8．如图所示的程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入的a，b分别为72，27，则输出的错误！未找到引用源。

A．18 B．9 C．6 D．3
9．已知点M在抛物线错误！未找到引用源。

上，N为抛物线的准线l上一点，F为该抛物线的焦点，若错误！未找到引用源。

，则直线MN的斜率为
A．±错误！未找到引用源。

B．±l C．±2 D．±错误！未找到引用源。

10．规定投掷飞镖3次为一轮，3次中至少两次投中8环以上的为优秀．现采用随机模拟实验的方法估计某人投掷飞镖的情况：先由计算器产生随机数0或1，用0表示该次投镖未在8环以上，用1表示该次投镖在8环以上；再以每三个随机数作为一组，代表一轮的结果．经随机模拟实验产生了如下20组随机数：
据此估计，该选手投掷飞镖三轮，至少有一轮可以拿到优秀的概率为
A．错误！未找到引用源。

B．错误！未找到引用源。

C．错误！未找到引用源。

D．错误！未找到引用源。

11．已知三棱锥A－BCD的四个顶点A，B，C，D都在球O的表面上，错误！未找到引用源。

平面BCD，且错误！未找到引用源。

，则球O的表面积为
A．错误！未找到引用源。

B．错误！未找到引用源。

C．错误！未找到引用源。

D．错误！未找到引用源。

12．若对任意的实数t，函数错误！未找到引用源。

在R上是增函数，则实数a的取值范围是A．错误！未找到引用源。

B．错误！未找到引用源。

C．错误！未找到引用源。

D．错误！未找到引用源。

第Ⅱ卷(非选择题共90分)
二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)
13．曲线错误！未找到引用源。

和直线错误！未找到引用源。

所围成的图形的面积是_________．14．若错误！未找到引用源。

的值为_________．
15．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的四个面中，最大面的面积为_________．
16．已知函数错误！未找到引用源。

，数列错误！未找到引用源。

为等比数列，错误！未找到引用源。

错误！未找到引用源。

____________．
三、解答题(共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答)
(一)必考题：共60分．
17．(本小题满分12分)如图，在错误！未找到引用源。

的平分线BD交AC于点D，设错误！未找到引用源。

，其中错误！未找到引用源。

是直线错误！未找到引用源。

的倾斜角．
(1)求sin A；
(2)若错误！未找到引用源。

，求AB的长．
18．(本小题满分12分)如图，在三棱柱错误！未找到引用源。

错误！未找到引用源。

分别为错误！未找到引用源。

的中点．
(1)在平面ABC内过点A作AM∥平面错误！未找到引用源。

交BC于点M，并写出作图步骤。

不要求证明；
(2)若侧面错误！未找到引用源。

侧面错误！未找到引用源。

，求直线A1C1与平面PQB1所成角的正弦值．
19．(本小题满分12分)已知在测试中，客观题难度的计算公
式为错误！未找到引用源。

，其中错误！未找到引用源。

为第i
题的难度，错误！未找到引用源。

为答对该题的人数，N为参
加测试的总人数．现对某校高三年级120名学生进行一次测试，共5道客观题．测试前根据对学生的了解，预估了每道题的难度，如下表所示：
测试后，从中随机抽取了10名学生，将他们编号后统计各题的作答情况，如下表所示(“√”表示答对，“×”表示答错)：
(1)根据题中数据，将被抽取的10名学生每道题实测的答对人数及相应的实测难度填入下表，并估计这120名学生中第5题的实测答对人数．
(2)从编号为1到5的5人中随机抽取2人，求恰好有1人答对第5题的概率．
(3)定义统计量错误！未找到引用源。

，其中错误！未找到引用源。

为第i题的实测难度，错误！未找到引用源。

为第i题的预估难度(错误！未找到引用源。

)．规定：若S≤0.05，则称该次测试的难度预估合理，否则为不合理．判断本次测试的难度预估是否合理．
20．(本小题满分12分)已知点A(2，0)，O为坐标原点，动点P满足错误！未找到引用源。

．
(1)求动点P的轨迹C的标准方程；
(2)过点A且不垂直于坐标轴的直线l轨迹C于不同的两点M，N，线段MN的垂直平分线与x 交于点D，线段MN的中点为H，求错误！未找到引用源。

的取值范围．
21． (本小题满分12分)已知函数错误！未找到引用源。

．
(1)求函数f（x）的单调区间；
(2)当错误！未找到引用源。

时，关于x方程错误！未找到引用源。

在区间[1，e2]上有唯一实数解，求实数m取值范围．
(二)选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．
22．(本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系错误！未找到引用源。

中，直线l过点错误！未找到引用源。

，且倾斜角为错误！未找到引用源。

．以原点O极点，x的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C极坐标方程为错误！未找到引用源。

．
(1)写出直线l一个参数方程和圆C的直角坐标方程；
(2)设圆C与直线l于A，B两点，求错误！未找到引用源。

的值．
23．(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲．
已知函数错误！未找到引用源。

．
(1)解不等式错误！未找到引用源。

；
(2)已知错误！未找到引用源。

，若关于x的不等式错误！未找到引用源。

恒成立，求实数a 的取值范围．。

2018衡水中学高三六调理科数学试题及答案

河北省衡水中学2019届高三下学期六调数学(理)试题(含解析)

2018年河北省衡水金卷调研卷 全国卷 I A 理科数学模拟(三)试题(三)(解析版)

河北省衡水中学2018届高三下学期第6周周考数学(理)试题(精校Word版含答案)

河北省衡水中学2017-2018学年高三下学期第六次调研考试理数试题(A卷) Word版含解析

河北省衡水中学2018届高三十六模理科数学试题(含答案)

2018-2019学年度衡水中学高三第六次诊断考试数学(理)试题含答案

2018-2019学年河北省衡水中学高三(下)六调数学试卷(理科)(5月份)

【水印已去除】2018-2019学年河北省衡水中学高三(下)六调数学试卷(理科)(5月份)

衡水市衡水中学2019年高考下学期六调考试理科数学试题卷含答案详析

2018衡水中学高三六调理科数学试题及答案

河北省衡水中学2019届高三数学六调考试试题理(含解析)

河北省衡水中学2018届高三下学期第6周周考理科数学试题 Word版含解析

河北省衡水市衡水中学2018届高三年级第一次月考理科数学(解析版)

河北省衡水中学2018届高三复习数学试题及答案

2018年河北省衡水金卷调研卷全国卷 I A 理科数学模拟(三)试题(三)(解析版)