一次函数与反比例函数图象教学课件
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反比例函数的图像和性质课件
曲线运动问题
通过给定物体的速度和运 动轨迹的曲率半径，利用 反比例关系求解物体在不 同位置的速度。
浓度问题建模与求解
溶液稀释问题
通过给定溶液的初始浓度 和稀释后的体积，利用反 比例关系求解稀释后的浓 度。
溶液混合问题
通过给定两种不同浓度的 溶液的体积和浓度，利用 反比例关系求解混合后的 浓度。
物质溶解问题
通过给定三角形的面积和底边长度，利用反比例关系求解高。
平行四边形面积问题
03
通过给定平行四边形的面积和一组对边的长度，利用反比例关
系求解另一组对边的长度。
速度问题建模与求解
01
02
03
匀速直线运动问题
通过给定物体的速度和运 动时间，利用反比例关系 求解物体运动的距离。
变速直线运动问题
通过给定物体的加速度和 运动时间，利用反比例关 系求解物体在不同时间点 的速度。
在第一象限和第三象限内，随着 $x$ 的增大 ，$y$ 值逐渐减小。
函数图像关于原点对称。
函数值变化规律
01
当 $k < 0$ 时
在第二象限和第四象限内，随着 $x$ 的增大，$y$ 值逐渐增大。
无论 $k$ 取何值，反比例函数 在其定义域内总是连续的，且在 其定义域内没有极值点。
02
03
04
函数图像关于原点对称。
2
反比例型复合函数图像
反比例型复合函数的图像形状和位置取 决于 $f(x)$ 的性质和取值范围。一般来 说，其图像可能不再是双曲线，但仍然 具有一些反比例函数的特性。
3 反比例型复合函数性质
反比例型复合函数具有一些特殊的性质 ，如单调性、奇偶性等，这些性质与 $f(x)$ 的性质和取值范围密切相关。在 实际应用中，需要根据具体情况进行分 析和判断。
教学课件：第1课时-反比例函数
Fra bibliotek学习技巧
数形结合
利用数形结合的方法，通 过图像来理解反比例函数 的性质和变化规律。
归纳总结
对反比例函数的图像、性 质、应用进行归纳总结， 形成完整的知识体系。
善于类比
通过与其他函数的类比， 加深对反比例函数的理解。
学习反比例函数的注意事项
注意定义域和值域
与其他知识的结合
反比例函数的定义域和值域是有限的， 需要注意这一点在解题中的应用。
解析式与几何意义的区别
01
解析式是函数的一种数学表达形 式，通过解析式可以计算出任意 点的函数值，但不能直观地看出 函数的图形。
02
几何意义则可以直观地展示函数 的图形，但无法直接通过图形计 算出任意点的函数值。
解析式与几何意义的综合应用
在解决实际问题时，需要将解析式与几何意义结合起来，通过解析式计算出函数 值，再结合几何意义理解函数的性质和变化规律。
然而，在研究函数的图像和性质时，可以通过绘制反比例函 数的图像来了解其与二次函数的差异。例如，反比例函数的 图像是关于原点对称的，而二次函数的图像则取决于a的符号 和值。
与幂函数的联系
幂函数是形如y=x^n的函数，其中n是实数。当n<0时， 幂函数可以转化为反比例函数的形式。
例如，当n=-1时，幂函数y=1/x可以转化为反比例函数的 形式。此外，幂函数和反比例函数在图像和性质方面也有 一些相似之处。例如，当n<0时，幂函数的图像也是关于 原点对称的。
在经济中的应用
供需关系
在经济学中，商品的价格与供应量、 需求量之间存在反比例关系。当供应 量增加时，价格下降；反之，当供应 量减少时，价格上升。
投资回报
投资回报与投资风险之间也存在反比 例关系。随着投资风险的增加，投资 回报率通常会相应降低。
数形结合
利用数形结合的方法，通 过图像来理解反比例函数 的性质和变化规律。
归纳总结
对反比例函数的图像、性 质、应用进行归纳总结， 形成完整的知识体系。
善于类比
通过与其他函数的类比， 加深对反比例函数的理解。
学习反比例函数的注意事项
注意定义域和值域
与其他知识的结合
反比例函数的定义域和值域是有限的， 需要注意这一点在解题中的应用。
解析式与几何意义的区别
01
解析式是函数的一种数学表达形 式，通过解析式可以计算出任意 点的函数值，但不能直观地看出 函数的图形。
02
几何意义则可以直观地展示函数 的图形，但无法直接通过图形计 算出任意点的函数值。
解析式与几何意义的综合应用
在解决实际问题时，需要将解析式与几何意义结合起来，通过解析式计算出函数 值，再结合几何意义理解函数的性质和变化规律。
然而，在研究函数的图像和性质时，可以通过绘制反比例函 数的图像来了解其与二次函数的差异。例如，反比例函数的 图像是关于原点对称的，而二次函数的图像则取决于a的符号 和值。
与幂函数的联系
幂函数是形如y=x^n的函数，其中n是实数。当n<0时， 幂函数可以转化为反比例函数的形式。
例如，当n=-1时，幂函数y=1/x可以转化为反比例函数的 形式。此外，幂函数和反比例函数在图像和性质方面也有 一些相似之处。例如，当n<0时，幂函数的图像也是关于 原点对称的。
在经济中的应用
供需关系
在经济学中，商品的价格与供应量、 需求量之间存在反比例关系。当供应 量增加时，价格下降；反之，当供应 量减少时，价格上升。
投资回报
投资回报与投资风险之间也存在反比 例关系。随着投资风险的增加，投资 回报率通常会相应降低。
反比例函数的图像和性质ppt课件
7、若点（-2，y1）、（-1，y2）、（2，y3）在
反比例函数 y = - 1 0 0 的图象上，则（
xቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
B
）
A、y1>y2>y3 C、y3>y1>y2
B、y2>y1>y3 D、y3>y2>y1
资金是运动的价值，资金的价值是随 时间变 化而变 化的， 是时间 的函数 ，随时 间的推 移而增 值，其 增值的 这部分 资金就 是原有 资金的 时间价 值
已知点A(2,y1)， B（5,y2)C是（反-3比,y例3)函是数y 象上的两点．请比较y1,y2的,y大3的小大．小．
4 x
图
y
⑴代入求值
y1 A B
-3 y2 O2 5
C y3
⑵利用增减性
⑶根据图象判断
x
资金是运动的价值，资金的价值是随 时间变 化而变 化的， 是时间 的函数 ，随时 间的推 移而增 值，其 增值的 这部分 资金就 是原有 资金的 时间价 值
1、反比例函数y= - 5 的图象大致是（ D ）
y
x
y
A：
o
x
B：
o
x
y
C：
o
x
D：
y
o x
资金是运动的价值，资金的价值是随 时间变 化而变 化的， 是时间 的函数 ，随时 间的推 移而增 值，其 增值的 这部分 资金就 是原有 资金的 时间价 值
2、我校食堂有5吨煤，用y表示可以用的天数
，用x表示每天的烧煤量，则y关于x的函数的
10
１、这几个函数图象有 8 什么共同点？
２、函数图象分别位于 6 哪几个象限？
4
３、y随的x变化有怎
26.1 第1课时 反比例函数的图象 课件(共21张PPT)数学人教版九年级下册
(1) 当 k ＞ 0 时，双曲线的两支分别位于第一、三 象限，在每一象限内，y 随 x 的增大而减小；
(2) 当 k ＜ 0 时，双曲线的两支分别位于第二、四 象限，在每一象限内，y 随 x 的增大而增大.
k 的正负决定反比例函 数图象的位置和增减性
当堂练习
１．已知反比例函数 y m 2 的图象在第一、三
y
4 x
的图象.
解析：通过刚刚的学习可知画图象的三个步骤为
列表
描点
连线
需要注意的是在反比例函数中自变量 x 不能为 0．
解：列表如下
x … -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 …
y
…2 3
0.8 1
4 3
2
4 -4 -2 － 4 -1
3
-0.8 － 2 …
3
y
y=
4 x
6
5 4 3
为(-1，3)，则它们的另一个交点坐标是
( C)
A. (1，3)
y
B. (3，1) C. (1，-3)
x O
D. (-1，3)
4.已知反比例函数y k 的图象经过点 A (2，3)． x
(1) 求这个函数的表达式；
解：∵ 反比例函数 y k 的图象经过点 A(2，3)， x
∴ 把点 A 的坐标代入表达式，得 3 k ， 2
例3 已知反比例函数的图象经过点 A (2，6). (1) 这个函数的图象位于哪些象限？y 随 x 的增大如
何变化？
解：因为点 A (2，6) 在第一象限，所以这个函数的 图象位于第一、三象限； 在每一个象限内，y 随 x 的增大而减小.
(2) 点B(3，4)，C( 2 1 ， 4 4)，D(2，5)是否在这个
一次函数反比例函数及二次函数课件
2.求解与二次函数有关的不等式问题，可借助二次函数的 图象特征，分析不等关系成立的条件.
考点 2 含参数问题的讨论 师生互动 考向 1 区间固定对称轴动型 [例 1]已知函数 f(x)＝x2＋2ax＋2，求 f(x)在[－5，5]上的最 大值与最小值. 解：f(x)＝x2＋2ax＋2＝(x＋a)2＋2－a2，x∈[－5，5]，对称 轴为直线 x＝－a. (1)当－a＜－5，即 a＞5 时，函数 f(x)在[－5，5]上单调递 增，如图 2-8-2(1)， ∴f(x)max＝f(5)＝52＋2a×5＋2＝27＋10a，
根据图象知，A 选项 b＝0 不对 ； B 选项，若 g(x)成立，则 a>0，b>0，－ 2ba<0，此时 f(x)图 象不对；
C 选项，若 g(x)成立，则 a<0，b>0，－ b >0，此时 f(x)图 2a
象不对；
D 选项显然是正确的，故选 D. 答案：D
2. 设 abc ＞0，二次函数 f(x) ＝ax2 ＋bx ＋c 的图象可能是 ()
∴f(10)－f(t)＝12－t，即 t2－17t＋72＝0.
解得 t＝8(舍去)或 t＝9.∴t＝9. 综上所述，存在常数 t＝15－2 17或 t＝8 或 t＝9 满足条件.
【考法全练】 2.(多选题)一般地，若函数 f(x)的定义域为[a，b]，值域为[ka， kb]，则称[a，b]为 f(x)的“k 倍跟随区间”；特别地，若函数 f(x) 的定义域为[a，b]，值域也为[a，b]，则称[a，b]为 f(x)的“跟随
(2)二次函数在给定区间[m，n]上的最值求解，常见的有以 下四种情况：
①对称轴与区间
③定轴动区间，即对称轴是确定的，区间[m，n]不确定；
考点 2 含参数问题的讨论 师生互动 考向 1 区间固定对称轴动型 [例 1]已知函数 f(x)＝x2＋2ax＋2，求 f(x)在[－5，5]上的最 大值与最小值. 解：f(x)＝x2＋2ax＋2＝(x＋a)2＋2－a2，x∈[－5，5]，对称 轴为直线 x＝－a. (1)当－a＜－5，即 a＞5 时，函数 f(x)在[－5，5]上单调递 增，如图 2-8-2(1)， ∴f(x)max＝f(5)＝52＋2a×5＋2＝27＋10a，
根据图象知，A 选项 b＝0 不对 ； B 选项，若 g(x)成立，则 a>0，b>0，－ 2ba<0，此时 f(x)图 象不对；
C 选项，若 g(x)成立，则 a<0，b>0，－ b >0，此时 f(x)图 2a
象不对；
D 选项显然是正确的，故选 D. 答案：D
2. 设 abc ＞0，二次函数 f(x) ＝ax2 ＋bx ＋c 的图象可能是 ()
∴f(10)－f(t)＝12－t，即 t2－17t＋72＝0.
解得 t＝8(舍去)或 t＝9.∴t＝9. 综上所述，存在常数 t＝15－2 17或 t＝8 或 t＝9 满足条件.
【考法全练】 2.(多选题)一般地，若函数 f(x)的定义域为[a，b]，值域为[ka， kb]，则称[a，b]为 f(x)的“k 倍跟随区间”；特别地，若函数 f(x) 的定义域为[a，b]，值域也为[a，b]，则称[a，b]为 f(x)的“跟随
(2)二次函数在给定区间[m，n]上的最值求解，常见的有以 下四种情况：
①对称轴与区间
③定轴动区间，即对称轴是确定的，区间[m，n]不确定；
北师大版九年级上册6.1反比例函数的定义 课件(共27张ppt)
草坪，草坪的长y（单位：m）随宽x（单位：m）
的变化而变化．则xy=______,用x表示y的函数表
1000
达式为________.（忽略道路宽度）
函数的表达方式：
两变量的乘积为一个定值
①关系式： =
形如这样的形式，称I是R的反比例函数.
x
②表格： y
1
60
③图象：明天讲
2
30
3
20
4
k
(1)定义：y (k为常数，k 0)
x
(2)反比例函数解析式的三 种形式
k
1. y (k为常数，k 0)
x
2.xy k (k为常数， k 0)
1
3. y kx (k为常数， k 0)
课堂小结
家庭作业
A本------第42页
x
-3
y
2
3
-2
-1
1
−
2
1
2
1
2
（1）写出这个反比例函数的表达式.
（2）根据函数表达式完成上表.
2
-1
3
训练：A本--第42页-----第10题
1
10.若y+1与x成反比例,当y=1时,x= .
2
求:(1)y与x之间的函数关系式;
(2)当x=3时,y的值.
当堂训练
若 y m 1x
m2 2
第六章
反比例函数
6.1反比例函数的定义
书本第149页
以前学过哪些函数？
正比例函数：y kx(k为常数， k 0)
一次函数：y kx b(k , b为常数， k 0)
正比例函数：
第八讲 一次函数与反比例函数PPT教学课件
这两坐标轴为对应图像的渐近线
性质： 当 k>0 时，图像的两支分别在第一、三象限内，
且在每个象限内 y 随 x 增大而减小
当 k<0 时，图像的两支分别在第二、四象限内， 且在每个象限内 y 随 x 的增大而增大
例3、若函数 y(m2)xm 23m 1是反比例函数，
且当 x 0 时，y 随 x 的增大而减小，求 m 的值
概念：函数 ykxb(k0 )称 y 是 x 的一次函数 当 b=0 时，ykx(k0)称 y 是 x 的正比例函数
图像： 一次函数 ykxb(k0 )的图像是经过
(0,b),(b,0) 的一条直线， k
b 叫做直线在 y 轴上的截距
性质： 当 k >0 时，y 随 x 的增大而增大 当 k <0 时，y 随 x 的增大而减小
反比例函数 y k 的图像关于原点成中心对称 x
函数 y k 呢？ x2
左加右减 （2，0）
函数 y k 1呢？ x2
上加下减 （2，1）
函数 y k b(k0) xa
平移法则
（a，b）
例4、求函数 y x 2 的对称中心，
x 1
并说出其图像是如何变化而来的
已知一次函数
yx6和反比例函数
y
k x
(k
0)
有两个交点A , B，试判断∠AOB是锐角还是钝角，
并说明理由。
PPT教学课件
谢谢观看
Thank You For Watching
例1、已知一直线经过点A（-1，-1）和B（1，-5） 求直线AB的解析式.
例2、已知一次函数 y(m 3 )x m 2 1 6， 且 y 的值随 x 的增大而增大 （1）求 m 的取值范围 （2）若它恰好是正比例函数，求m的值
性质： 当 k>0 时，图像的两支分别在第一、三象限内，
且在每个象限内 y 随 x 增大而减小
当 k<0 时，图像的两支分别在第二、四象限内， 且在每个象限内 y 随 x 的增大而增大
例3、若函数 y(m2)xm 23m 1是反比例函数，
且当 x 0 时，y 随 x 的增大而减小，求 m 的值
概念：函数 ykxb(k0 )称 y 是 x 的一次函数 当 b=0 时，ykx(k0)称 y 是 x 的正比例函数
图像： 一次函数 ykxb(k0 )的图像是经过
(0,b),(b,0) 的一条直线， k
b 叫做直线在 y 轴上的截距
性质： 当 k >0 时，y 随 x 的增大而增大 当 k <0 时，y 随 x 的增大而减小
反比例函数 y k 的图像关于原点成中心对称 x
函数 y k 呢？ x2
左加右减 （2，0）
函数 y k 1呢？ x2
上加下减 （2，1）
函数 y k b(k0) xa
平移法则
（a，b）
例4、求函数 y x 2 的对称中心，
x 1
并说出其图像是如何变化而来的
已知一次函数
yx6和反比例函数
y
k x
(k
0)
有两个交点A , B，试判断∠AOB是锐角还是钝角，
并说明理由。
PPT教学课件
谢谢观看
Thank You For Watching
例1、已知一直线经过点A（-1，-1）和B（1，-5） 求直线AB的解析式.
例2、已知一次函数 y(m 3 )x m 2 1 6， 且 y 的值随 x 的增大而增大 （1）求 m 的取值范围 （2）若它恰好是正比例函数，求m的值
《反比例函数》课件PPT
教学设计总体要求：1.“统一”设计“分段”教学；2.围绕“三维”落实“三问”；3.充实“心案”活化“形案”。
教学设计总体要求：1.“统一”设计“分段”教学；2.围绕“三维”落实“三问”；3.充实“心案”活化“形案”。
教学设计总体要求：1.“统一”设计“分段”教学；2.围绕“三维”落实“三问”；3.充实“心案”活化“形案”。
课时与时间教师活动学生活动◇资源准备□评价○反思第二课时15 创设情境温旧引新5′应用迁移巩固提高20′依托“面积”加深理解15′反思小结观点提炼5′布置作业问题：已知点（5，2）在反比例函数 y= 的图象上，判断点（- 5，- 2）是否也在此图象上.题中的“？”是被一名同学不小心擦掉的数字，请你分析一下“？”代表什么数，并解答此题.例1已知反比例函数的图象经过点A（2，6），（1）这个函数的图象分布在哪个象限？y随x的增大如何变化？（2）点B（3，4）、C（- 2，- 4）和D（2，5）是否在这个函数的图像上？例2如图是反比例函数y= 的图象的一支，根据图象回答下列问题：（1）图象的另一支在哪个象限？常数m的取值范围是什么？（2）在图中的图象上取点A（a，b）和B（a′，b′），如果a＞a′，那么b和b′有怎样的大小关系？巩固练习：教材45页第1、2题.过图象上任意一点作坐标轴的垂线段，与坐标轴构成的长方形的面积S=| k|.反比例函数的性质运用的注意点：1）k的符号决定图象所在象限，反之，图象所在象限决定k的符号.2）在每一个象限内，y随x的变化情况，在不同象限切忌使用.3）从反比例函数的图象上任一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足及坐标原点所构成的三角形面积等于| k|.4）要注意发挥图象的作用.习题17.1第7、9题学生思考后解答小组合作、探究学生独立完成学生归纳，教师引导并补充△好奇心能生发求知欲.使学生在宽松的环境中彼此分享成功的喜悦.△使学生养成团结协作的意识.△巩固所学知识.△培养学生的归纳能力.教学设计总体要求：1.“统一”设计“分段”教学；2.围绕“三维”落实“三问”；3.充实“心案”活化“形案”。
一次函数与反比例函数综合课件
一次函数与反比例函数综合 专题复习
知识要点
1. 形如 y kx b(k 0) 的函数是一次函数。 它的图像是（一条直线 ） 它与x轴交点为（ b ,0 ）
k
它与y轴交点为（ 0, b ）
当 b 0时，即成为正比例函数。
正比例函数的图像是一条经过（ 原 ） 点的（直线 ）
2.一次函数图像的性质是由 K、b 的符 号决定。
求双曲线的函数表达式．
k ＞ 0，y随x的增大而增大； k ＜ 0，y随x的增大而减小。
b ＞ 0，图像与y轴交点在正半轴上； b ＜ 0，图像与y轴交点在负半轴上；
3.形如
y k (k 0) x
的函数是反比例函数。
反比例函数的其他表示形式 y kx1或xy k(k 0)
其图像是 双曲线
当 k ＞ 0 时，图像在一、三象限，在每个象限 内，y随x的增大而 减小
（1）求m的值；
（2）若点A （x1，y1），B（x2，y2）在双
曲线
y
m5 x
上，且x1＜x2＜0，试比较
y1，y2的大小
大显身手
2.如图：已知一次函数y=kx+b(k≠0)图像与x轴y轴分
别交于A,B两点，且与反比例函数 y m (m 0) 的图
像
x
交于点C，过点C作CD⊥x轴，垂足为D。若
当 k ＜ 0 时，图像在二、四象限，在每个象限 内，y随x的增大而 增大
面积性质
设P(m, n)是双曲线 y k (k 0)上任意
y
B P(m,n)
oA x
P(m,n) oA x
则S矩形OAPB OA AP | m | • | n || k | .
OA=OB=OD=1
知识要点
1. 形如 y kx b(k 0) 的函数是一次函数。 它的图像是（一条直线 ） 它与x轴交点为（ b ,0 ）
k
它与y轴交点为（ 0, b ）
当 b 0时，即成为正比例函数。
正比例函数的图像是一条经过（ 原 ） 点的（直线 ）
2.一次函数图像的性质是由 K、b 的符 号决定。
求双曲线的函数表达式．
k ＞ 0，y随x的增大而增大； k ＜ 0，y随x的增大而减小。
b ＞ 0，图像与y轴交点在正半轴上； b ＜ 0，图像与y轴交点在负半轴上；
3.形如
y k (k 0) x
的函数是反比例函数。
反比例函数的其他表示形式 y kx1或xy k(k 0)
其图像是 双曲线
当 k ＞ 0 时，图像在一、三象限，在每个象限 内，y随x的增大而 减小
（1）求m的值；
（2）若点A （x1，y1），B（x2，y2）在双
曲线
y
m5 x
上，且x1＜x2＜0，试比较
y1，y2的大小
大显身手
2.如图：已知一次函数y=kx+b(k≠0)图像与x轴y轴分
别交于A,B两点，且与反比例函数 y m (m 0) 的图
像
x
交于点C，过点C作CD⊥x轴，垂足为D。若
当 k ＜ 0 时，图像在二、四象限，在每个象限 内，y随x的增大而 增大
面积性质
设P(m, n)是双曲线 y k (k 0)上任意
y
B P(m,n)
oA x
P(m,n) oA x
则S矩形OAPB OA AP | m | • | n || k | .
OA=OB=OD=1
反比例函数的图象和性质课件
02
当 k > 0 时，反比例函数的图像 分布在第一象限和第三象限；当 k < 0 时，反比例函数的图像分 布在第二象限和第四象限。
反比例函数的基本形式
反比例函数的基本形式是 y = k/x (k ≠ 0)，也可以表示为 xy = k。
在这个函数中，x 和 y 的乘积始终等 于 k，而 k 的值决定了函数的图像在 哪个象限分布。
反比例函数的图像
反比例函数的图像通常是以原点为中心的双曲线，分布在四个象限。
当 k > 0 时，图像在第一象限和第三象限；当 k < 0 ，图像在第二象限和第四象 限。
反比例函数的图像不会与坐标轴相交，因为当 x 或 y 趋于无穷大时，y 或 x 将趋于 0。
CHAPTER 02
反比例函数的图像性质
人口增长与资源消耗的关 系
随着人口的增长，资源消耗也相应增加，但 这种增加并不是线性的，而是呈现出反比例 关系。这意味着人口增长得越快，资源消耗 得也越快，进一步加剧了资源紧张的局面。
在数学问题中的应用
解决几何问题
在几何学中，反比例函数经常被用来描述和解决与面积、体积和角度等相关的数学问题 。通过利用反比例关系，可以简化复杂问题的求解过程。
压强与体积的关系
在气体压力问题中，压强与体积成反比，即当体积增大时， 压强减小；反之亦然。这是解释和预测气体压力和体积关系 的基础。
在实际生活中的应用
药物剂量与效果的关系
在药物研究中，药物的剂量与其效果之间往 往存在反比例关系。这意味着当剂量增加时 ，效果可能减弱；反之亦然。了解这种关系 对于药物设计和使用非常重要。
反比例函数的图象和 性质ppt课件
contents
目录
• 反比例函数简介 • 反比例函数的图像性质 • 反比例函数的数学性质 • 反比例函数的应用 • 反比例函数与其他知识点的联系
当 k > 0 时，反比例函数的图像 分布在第一象限和第三象限；当 k < 0 时，反比例函数的图像分 布在第二象限和第四象限。
反比例函数的基本形式
反比例函数的基本形式是 y = k/x (k ≠ 0)，也可以表示为 xy = k。
在这个函数中，x 和 y 的乘积始终等 于 k，而 k 的值决定了函数的图像在 哪个象限分布。
反比例函数的图像
反比例函数的图像通常是以原点为中心的双曲线，分布在四个象限。
当 k > 0 时，图像在第一象限和第三象限；当 k < 0 ，图像在第二象限和第四象 限。
反比例函数的图像不会与坐标轴相交，因为当 x 或 y 趋于无穷大时，y 或 x 将趋于 0。
CHAPTER 02
反比例函数的图像性质
人口增长与资源消耗的关 系
随着人口的增长，资源消耗也相应增加，但 这种增加并不是线性的，而是呈现出反比例 关系。这意味着人口增长得越快，资源消耗 得也越快，进一步加剧了资源紧张的局面。
在数学问题中的应用
解决几何问题
在几何学中，反比例函数经常被用来描述和解决与面积、体积和角度等相关的数学问题 。通过利用反比例关系，可以简化复杂问题的求解过程。
压强与体积的关系
在气体压力问题中，压强与体积成反比，即当体积增大时， 压强减小；反之亦然。这是解释和预测气体压力和体积关系 的基础。
在实际生活中的应用
药物剂量与效果的关系
在药物研究中，药物的剂量与其效果之间往 往存在反比例关系。这意味着当剂量增加时 ，效果可能减弱；反之亦然。了解这种关系 对于药物设计和使用非常重要。
反比例函数的图象和 性质ppt课件
contents
目录
• 反比例函数简介 • 反比例函数的图像性质 • 反比例函数的数学性质 • 反比例函数的应用 • 反比例函数与其他知识点的联系
反比例函数的图像和性质(1)图像课件(31张PPT)冀教版数学九年级上册
第27章
反比例函数
27.2 反比例函数的图像和性质
第1课时 反比例函数的图像
1
学习目标
2
课时导入
3
探究新知
4
随堂检测
5
课堂小结
1、能画出反比例函数的图象，根据图象和表达式探索并理解k＞0和k
＜0时图象的变化情况，概括反比例函数的性质.
2、经历反比例函数画图、归纳性质的过程，培养在理性思考中发展
科学思维的能力，提高思维素质. 体会类比思想和数形结合的思想.
作的时间为t(时)，那么能正确表示d与t之间的函数
关系图像的是(
C
)
例2
已知点P(-6,8)在反比例函数 y
k
的图像上.
x
(1)求这个反比例函数的表达式.
(2)判断点M(4,-12)和N(2,24)是否在这个反比例函
数的图像上.
思考
1.函数图像上点的坐标与函数表达式之间的关系是什么?
函数图像上的点的坐标满足函数表达式，反之，满足函数表
(2)画双曲线时，取的点越密集，描出的图像就越准确，
但计算量会越大，故一般在原点的两侧各取3～5个点
即可；
(3)连线时，要按自变量从小到大(或从大到小)的顺序用
平滑的曲线连接．注意：两个分支不连接．
例1
感悟新知
已知某种品牌电脑的显示器的寿命大约为2×104
时，这种显示器工作的天数为d(天)，平均每天工
b
当a＞0，x＜- 时，y随x增大而减小．
2a
b
当a＞0，x＞- 时，y随x增大而增大．
2a
温故知新
二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）
y
O
反比例函数
27.2 反比例函数的图像和性质
第1课时 反比例函数的图像
1
学习目标
2
课时导入
3
探究新知
4
随堂检测
5
课堂小结
1、能画出反比例函数的图象，根据图象和表达式探索并理解k＞0和k
＜0时图象的变化情况，概括反比例函数的性质.
2、经历反比例函数画图、归纳性质的过程，培养在理性思考中发展
科学思维的能力，提高思维素质. 体会类比思想和数形结合的思想.
作的时间为t(时)，那么能正确表示d与t之间的函数
关系图像的是(
C
)
例2
已知点P(-6,8)在反比例函数 y
k
的图像上.
x
(1)求这个反比例函数的表达式.
(2)判断点M(4,-12)和N(2,24)是否在这个反比例函
数的图像上.
思考
1.函数图像上点的坐标与函数表达式之间的关系是什么?
函数图像上的点的坐标满足函数表达式，反之，满足函数表
(2)画双曲线时，取的点越密集，描出的图像就越准确，
但计算量会越大，故一般在原点的两侧各取3～5个点
即可；
(3)连线时，要按自变量从小到大(或从大到小)的顺序用
平滑的曲线连接．注意：两个分支不连接．
例1
感悟新知
已知某种品牌电脑的显示器的寿命大约为2×104
时，这种显示器工作的天数为d(天)，平均每天工
b
当a＞0，x＜- 时，y随x增大而减小．
2a
b
当a＞0，x＞- 时，y随x增大而增大．
2a
温故知新
二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）
y
O
反比例函数与一次函数的综合-完整版课件
为学生后续学习更复 杂的数学知识和解决 实际问题打下基础。
培养学生的数学思维 和解决问题的能力， 提高学生的数学素养 。
课件内容概述
01
02
03
04
反比例函数的基本概念、图像 和性质。
一次函数的基本概念、图像和 性质。
反比例函数与一次函数的综
通过实例和练习题，加深学生 对反比例函数和一次函数的理
下节课预习提示和作业布置
预习提示
下节课将学习反比例函数与二次函数的综合应用，请学生提前预习相关内容，了 解基本概念和性质
作业布置
布置与反比例函数与一次函数综合应用相关的练习题和思考题，要求学生认真完 成并提交作业
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
反比例函数的图像关于原点对称，即 满足奇函数的性质 $f(-x) = -f(x)$。
反比例函数在其定义域内具有单调性 ：在第一、三象限内单调递减，在第 二、四象限内单调递增。
反比例函数在其定义域内没有极值点 ，也没有拐点。
CHAPTER 03
一次函数基本概念与性质
一次函数定义及表达式
一次函数定义
可导性
一次函数的导数为常数 $k$， 即其斜率。
对称性
一次函数图像关于点 $(h, k)$ 中心对称，其中 $h = b/2a$，$k = f(h)$。
线性变换性质
一次函数具有线性变换性质， 即 $f(ax+b) = k(ax+b) + b
= akx + (ab+b)$。
CHAPTER 04
反比例函数与一次函数综合 应用
一次函数是形如 $y = kx + b$（其 中 $k neq 0$）的函数，它描述了两 个变量之间的线性关系。
一次函数和反比例函数PPT课件
y
1 -1
解：（2）作图 y=3x-2 x y 0 -2 2/3 0
y=3x-2
2 3
o
-1
-2
1
x
-3
例1．若一次函数的图象与直线y＝3x平行，且过A(2，4)点。 (1)求此一次函数的解析式； (2)画出此函数的图象； (3)求 这条直线与x轴、y轴围成的三角形的面积； (4)若在这条直 线上有两点M(x1，y1)和N(x2，y2)，且x1<x2，试比较y1，与 y2的大小。
k 2．反比例函数(y＝ ，k≠0) x (1)k的符号对图象的影响是怎样的? (2)如何画反比例函数的图象?画图象时与上 述的一次函数的图象的画法有何区别?
(3)双曲线经过一点，能确定它的解析式吗?
(4)反比例函数的性质是如何描述的?
二、范例
例1．若一次函数的图象与直线y＝3x平行，且过A(2，4)点。 (1)求此一次函数的解析式； (2)画出此函数的图象； (3)求 这条直线与x轴、y轴围成的三角形的面积； (4)若在这条直 线上有两点M(x1，y1)和N(x2，y2)，且x1<x2，试比较y1，与 y2的大小。
三、课堂练习
1．画出一次函数y＝x－2的图象，并回答下列问题 (1)当x取何值时，y＝0； (2)当x取何值时，y<0； (3)若1≤x≤6，求y的取值范围。
2．为加强公民的节水和用水意识，合理利用水资源， 各地采用调控等手段达到节约用水的目的，某市规定如 下用水收费标准，每户的用水不超过6(m3)时，水费按 每立方米a元收费；超过6(m3)时，不超过的部分每立方 米仍按a元收费，超过的部分每立方米按c元收费． 该市某户今年7、8月份的用水量和水费如下表所示：
解：（1）∵一次函数的图象与直线y＝3x平行 ∴设一次函数的表达式为：y=3x+b 把点（2，4）代入表达式得：4=3×2+b 解得 b=-2 ∴该一次函数的解析式为： y=3x-2
1 -1
解：（2）作图 y=3x-2 x y 0 -2 2/3 0
y=3x-2
2 3
o
-1
-2
1
x
-3
例1．若一次函数的图象与直线y＝3x平行，且过A(2，4)点。 (1)求此一次函数的解析式； (2)画出此函数的图象； (3)求 这条直线与x轴、y轴围成的三角形的面积； (4)若在这条直 线上有两点M(x1，y1)和N(x2，y2)，且x1<x2，试比较y1，与 y2的大小。
k 2．反比例函数(y＝ ，k≠0) x (1)k的符号对图象的影响是怎样的? (2)如何画反比例函数的图象?画图象时与上 述的一次函数的图象的画法有何区别?
(3)双曲线经过一点，能确定它的解析式吗?
(4)反比例函数的性质是如何描述的?
二、范例
例1．若一次函数的图象与直线y＝3x平行，且过A(2，4)点。 (1)求此一次函数的解析式； (2)画出此函数的图象； (3)求 这条直线与x轴、y轴围成的三角形的面积； (4)若在这条直 线上有两点M(x1，y1)和N(x2，y2)，且x1<x2，试比较y1，与 y2的大小。
三、课堂练习
1．画出一次函数y＝x－2的图象，并回答下列问题 (1)当x取何值时，y＝0； (2)当x取何值时，y<0； (3)若1≤x≤6，求y的取值范围。
2．为加强公民的节水和用水意识，合理利用水资源， 各地采用调控等手段达到节约用水的目的，某市规定如 下用水收费标准，每户的用水不超过6(m3)时，水费按 每立方米a元收费；超过6(m3)时，不超过的部分每立方 米仍按a元收费，超过的部分每立方米按c元收费． 该市某户今年7、8月份的用水量和水费如下表所示：
解：（1）∵一次函数的图象与直线y＝3x平行 ∴设一次函数的表达式为：y=3x+b 把点（2，4）代入表达式得：4=3×2+b 解得 b=-2 ∴该一次函数的解析式为： y=3x-2
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1、已知函数 与 在同一直角 坐标系中的图象大致如图， >0 ，n=_____ 则m=_____ <0 。 2、函数 函数
y
的图象如图2所示，那么 的图象大致是（ C ）
y
y
y
y
O
x
o
x
o
x
o
x
o
x
图2
A
B
C
D
Eg1:在同一直角坐标系中，函数
与
y
的图象大致是（ C ）
y y y
X
X
X
X
Ａ
．
Ｂ ．
Ｃ
2、如图,一次函数的图象与反比例函数的图 象相交于A________ （-6，-2）、B________ （4，3） ，交x轴 于D________ （-2，0） ，过B点作BC⊥x轴， 15 。 则△ABC的面积为___
3 1 D -3 -2 -1 -1 -2
-6 -5 -4
2
3
C
3、如图，已知一次函数
2、求面积要紧紧地同点的坐标相结合。
想一想
议一议
1、如图1，一次函数与反比例函数的图像 相交于A、B两点， 则图中使反比例函数的 值小于一次函数的值的x的取值范围是（ D ） （A）x＜－1 （B）x＞2 （C）－1＜x＜0，或x＞2 （D）x＜－1，或0＜x＜2
想一想
议一议
2、如图2，直线 与函数 的图象相交于A、B，设点A的坐标 为 ，那么长为 ，宽为 的矩形 面积和周长分别是（A） A.4，12 B.8，12 C.4，6 D.8，6
y B
A O x
．
Ｄ
．
Eg2:
已知一次函数 的图象交于点
与反比例函数 和 。
求： ①求反比例函数与一次函数的解析式； y ②求△OPQ的面积。
x
练习： 1、如图，反比例函数 与直线 相 交 于 点 A( － 1 ， b) 。 点 A 的 坐 标 A___________ （-1，2） ，此反比例 函数的解析式为___________。
的图
象与反比例函数
的图象交于A、
B两点，且点A的横坐标和点B的纵坐标 都是－2。 A 求：①点A和点B的坐标；
②一次函数的解析式； ③ △AOB的面积。
M O B
小结
1、完成表格
一、三 象限；k<0时，过__________ 二、四 象 相 k>0时，过_________ 同 限。 点 x≠0 ； ①x的取值范围任意实数 _______； 不 ①x的取值范围_______ 直线 ； ②图象是双曲线 _______； 同 ②图象是一条_______ 点 ③k>0时，y随的x增大而 ③k>0时，y随的x增大而 减小 增大 ____ ___（在每个象限内） k<0时，y随的x增大而 k<0时，y随的x增大而 减小 增大 ____ ___ （在每个象限内）
一次函数与反比例 函数图象
复习巩固
一、三 象限，y 1、函数 的图象过____________ 增大 。 随x的增大而_____________
2、函数 的图象在二、四象限， <2 则m______________ 。
3、已知反比例函数的图象经过点A（1， 2）,则其解析式是_______ 。
知识回顾：
y
的图象如图2所示，那么 的图象大致是（ C ）
y
y
y
y
O
x
o
x
o
x
o
x
o
x
图2
A
B
C
D
Eg1:在同一直角坐标系中，函数
与
y
的图象大致是（ C ）
y y y
X
X
X
X
Ａ
．
Ｂ ．
Ｃ
2、如图,一次函数的图象与反比例函数的图 象相交于A________ （-6，-2）、B________ （4，3） ，交x轴 于D________ （-2，0） ，过B点作BC⊥x轴， 15 。 则△ABC的面积为___
3 1 D -3 -2 -1 -1 -2
-6 -5 -4
2
3
C
3、如图，已知一次函数
2、求面积要紧紧地同点的坐标相结合。
想一想
议一议
1、如图1，一次函数与反比例函数的图像 相交于A、B两点， 则图中使反比例函数的 值小于一次函数的值的x的取值范围是（ D ） （A）x＜－1 （B）x＞2 （C）－1＜x＜0，或x＞2 （D）x＜－1，或0＜x＜2
想一想
议一议
2、如图2，直线 与函数 的图象相交于A、B，设点A的坐标 为 ，那么长为 ，宽为 的矩形 面积和周长分别是（A） A.4，12 B.8，12 C.4，6 D.8，6
y B
A O x
．
Ｄ
．
Eg2:
已知一次函数 的图象交于点
与反比例函数 和 。
求： ①求反比例函数与一次函数的解析式； y ②求△OPQ的面积。
x
练习： 1、如图，反比例函数 与直线 相 交 于 点 A( － 1 ， b) 。 点 A 的 坐 标 A___________ （-1，2） ，此反比例 函数的解析式为___________。
的图
象与反比例函数
的图象交于A、
B两点，且点A的横坐标和点B的纵坐标 都是－2。 A 求：①点A和点B的坐标；
②一次函数的解析式； ③ △AOB的面积。
M O B
小结
1、完成表格
一、三 象限；k<0时，过__________ 二、四 象 相 k>0时，过_________ 同 限。 点 x≠0 ； ①x的取值范围任意实数 _______； 不 ①x的取值范围_______ 直线 ； ②图象是双曲线 _______； 同 ②图象是一条_______ 点 ③k>0时，y随的x增大而 ③k>0时，y随的x增大而 减小 增大 ____ ___（在每个象限内） k<0时，y随的x增大而 k<0时，y随的x增大而 减小 增大 ____ ___ （在每个象限内）
一次函数与反比例 函数图象
复习巩固
一、三 象限，y 1、函数 的图象过____________ 增大 。 随x的增大而_____________
2、函数 的图象在二、四象限， <2 则m______________ 。
3、已知反比例函数的图象经过点A（1， 2）,则其解析式是_______ 。
知识回顾：