反比例函数与一次函数与反比例函数综合经典例题解析

反比例函数与一次函数综合经典例题解析 在历年中考试题中一次函数和反比例函数常以综合题形式出现，这类试题不仅

能考查两个函数的基本性质，而且能考查同学们综合分析问题的能力。现以以下典型例题为例，浅谈这类问题的解法，供参考。 一. 探求同一坐标系下的图象 例1. 已知函数m x y =与x

n

y =在同一直角坐标系中的图象大致如图1，则下列结论正确的是（ ） A. 0n ,0m >> B. 0n ,0m <> C. 0n ,0m ><

D. 0n ,0m <<

分析：由图知，一次函数m x y =中，y 随x 的增大而增大，所以0m >；反比例函数x

n

y = 在第二、四象限，所以0n <。观察各选项知，应选B 。

评注：本题要由所给图象结合一次函数和反比例函数的性质，方能作出正确选择。 例2.在同一直角坐标系中，函数k kx y +-=与)0k (x

k

y ≠=

的图象大致是（ ）

A.

B.

C.

D.

图2

分析：本题可采用排除法。由选项A 、B 的一次函数图象知，0k >-即0k <，则一次函数k kx y +-=图象与y 轴交点应在y 轴负半轴，而选项A 、B 都不符合要求，故都排

除；由选项D 的一次图象知，0k <-即0k >，则反比例函数)0k (x

k

y ≠=

图象应在第一、三象限，而选项D 不符合要求，故也排除；所以本题应选C 。

评注：本题把一次函数和反比例函数的图象在同一坐标系中给出，有较强的综合性，解决这类问题常用排除法。

二. 探求函数解析式

例3.如图3，直线b x k y 1+=与双曲线x

k y 2

=

只有一个交点A （1，2），且与x 轴，y 轴分别交于B ，C 两点，AD 垂直平分OB ，垂足为D ，求直线与双曲线的解析式。

解析：因为双曲线x

k y 2

=

过点A （1，2）， 所以2k ,1

k 222

==

得双曲线的解析式为x

2y =

。 因为AD 垂直平分OB ，A 点的坐标为（1，2）。所以B 点的坐标为（2，0）。 因为b x k y 1+=过点A （1，2）和B （2，0），

所以⎩⎨⎧=+=+0b k 22b k 11

解得⎩

⎨⎧=-=4b 2k 1

所以直线的解析式为4x 2y +-=

评注：解决本题的关键是确定点B 的坐标，由AD 垂直OB 知，点D 和点A 的横坐标应相同，所以点D 的坐标为（1，0），又AD 平分OB 知，2OD 2OB ==，所以点B 坐标为（2，0），进而求出一次函数解析式。

三. 探求三角形面积

例4.如图4，反比例函数x 4y -=的图象与直线x 3

1

y -=的交点为A ，B ，过点A 作y 轴的平行线与过点B 作x 轴的平行线相交于点C ，则ABC ∆的面积为（ ）

A. 8

B. 6

C. 4

D. 2

解析：把x 4y -

=代入x 3

1

y -=，得 x 3

1

x 4-=-

整理得12x 2=

解得32x ,32x 21=-= 把32x ,32x 21=-=分别代入

x

4

y -

=， 得33

2y ,332y 21-==

所以点A 的坐标为)33

2

,

32(-

点B 的坐标为)33

2

,32(-

由题意知，点C 的横坐标与点A 的横坐标相同，点C 的纵坐标与点B 的纵坐标相同，所以点C 的坐标为（33

2

,32-

-）。 因为33

4332332AC =+=

， 343232BC =+=

所以ABC ∆的面积为

83433

4

21BC AC 21=⨯⨯=⋅ 故应选A 。

例5.如图5，已知点A 是一次函数x y =的图象与反比例函数x

2

y =

的图象在第一象限内的交点，点B 在x 轴的负半轴上，且OA=OB ，那么AOB ∆的面积为（ ）

A. 2

B.

2

2

C. 2

D. 22

析解：把x y =代入x 2y =

，得x

2x =， 整理得2x 2=，解得2x ,2x 21=-= 得2x ,2x 21=-=分别代入x y = 得2y ,2y 21=-=

又点A 在第一象限内，所以点A 的坐标为)2,2(

在AOC ∆中2OC ,2AC == 由勾股定理，得,2OA =所以OB=2。 所以AOB ∆的面积为

2222

1

AC OB 21=⨯⨯=⋅， 故应选（C ）

评注：例4和例5中都利用解方程来求出两函数图象的交点坐标，这是求两函数图象交点坐标的常用方法，蕴含着转化思想。 四. 探求点的坐标

例6.如图6，直线1x 2

1

y +=

分别交x 轴、

y 轴于点A ，C ，点P 是直线AC 与双曲线x k y = 在第一象限内的交点，x PB ⊥轴，垂足为点B ，APB ∆的面积为4。

（1）求点P 的坐标；（2）略。

析解：在1x 2

1

y +=

中，令0x =，则1y =；令0y =，则2x -=。 所以点A 的坐标为（-2，0），点C 的坐标为（0，1）。 因为点P 的直线1x 2

1

y +=

上， 不妨设点P 的坐标为)1m 2

1,m (+

所以1m 2

1

PB ,2m AB +=

+=。