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全等三角形难度题综合卷

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初中数学三角形全等证明综合题(含答案)

初中数学三角形全等证明综合题(含答案)

七年级下册数学三角形全等证明综合题北师版一、单选题(共9道，每道11分)1.如图，AE=BF，AD∥BC，AD=BC，试说明DF=CE，小明是这样做的，老师扣他了3分，大家帮他找一下，他到底那个地方扣分了？证明：∵AE=BF∴AE -EF= BF-EF，即AF=EB①又∵AD∥BC∴∠C=∠D②在△ADF和△BCE中③ ∴△ADF≌△BEC（SAS）④ ∴DF=CE 上面过程中出错的序号有（）A.①②③④B.②③④C.①②③D.③④答案：B试题难度：三颗星知识点：证明题的书写步骤及定理应用考察2.已知如下左图，△ABC中，AB=AC，AD是角平分线，BE=CF，图中全等的三角形有（）对A.1B.2C.3D.4答案：C试题难度：三颗星知识点：全等三角形的个数3.如图，已知BD、CE是△ABC的高，点P在BD的延长线上，BP=AC，点Q在CE上，CQ=AB．判断线段AP和AQ的关系，并证明．小红在做这道题目的时候部分分析思路如下：猜测AP和AQ的数量关系应该是相等的，证明线段AP=AQ，将这两条线段放到两个三角形中，即证明__≌__，题中已知BP=AC，CQ=AB，采取的判定方法是__，此时需要找的第三组条件=__.①△APD≌△QAE ②△APB≌△QAC ③SAS ④SSS ⑤AP=AQ⑥∠ABP=∠QCA ⑦∠PAB=∠AQC ⑧∠BPA=∠CAQA.①③⑧B.②③⑦C.②③⑥D.②④⑤答案：C试题难度：三颗星知识点：三角形全等解题思路4.已知，如图∠ACE=90°，AC=CE，B为AE上一点，ED⊥CB于D，AF⊥CB交CB的延长线于F．求证：DF=CF－AF.小强在做这道题目的时候部分分析思路如下：从图中知道DF=CF－CD，只需证明AF=CD，即证明△ACF≌△CED,题中已知AC=CE，ED⊥CB，AF⊥CB，采取的判定方法是AAS，此时需要找的第三组条件__=__.因为ED⊥CB，所以__+__=90°，而∠ACE=90°，即__+__=90°，根据等量代换即可得到第三组条件.①∠CAF=∠CED ②∠ACF=∠CED ③∠DBE+∠BED=90°④∠DCE+∠DEC=90° ⑤∠ACF+∠CAF=90° ⑥∠ACF+∠FCE=90°A.①③⑤B.①③⑥C.②④⑤D.②④⑥答案：D试题难度：三颗星知识点：三角形全等解题思路5.如图，在中，,AB=12，则中线AD的取值范围是（）A.7＜AD＜17B.C.5＜AD＜12D.答案：B试题难度：三颗星知识点：倍长中线法6.如图，在△ABC中，AB＞AC，∠1＝∠2，P为AD上任意一点.则下列式子正确的是（）A.AB-AC＜PB-PCB.AB-AC≧PB-PCC.AB-AC=PB-PCD.AB-AC＞PB-PC答案：D试题难度：三颗星知识点：截长补短法7.已知△ABC，∠BAD=∠CAD，AB=2AC，AD=BD，下列式子中正确的是（）A.AB=2ADB.AD=CDC.AD⊥BDD.DC⊥AC答案：D解题思路：利用翻折的思想来进行解决，在AB上截取AE=AC，在AB上截取AE=AC，连接DE，∵AB=2AC，∴AE=BE，又∵AD=BD，∴DE⊥AB，再证明△ADE≌ADC，∴∠ACD=∠AED=90°，即DC⊥AC．试题难度：三颗星知识点：折叠与全等8.如图，已知△ABC，BD=EC≠DE，则对于AB+AC与AD+AE的大小关系正确的是（）A.AB+AC=AD+AEB.AB+AC≧AD+AEC.AB+AC＞AD+AED.AB+AC≦AD+AE答案：C解题思路：利用平移的思想来进行解题，可以将△AEC平移至BD处，使EC与BD重合，假设为△BDF，DF与AB交于点G，则可先证△BDF≌△ECA，则在△BGF和△DGA中，BG+FG ＞BF，DG+AG＞AD，即AB+AC＞AD+AE．解：过点B和D作BF∥AE，DF∥AC，BF与DF交于点F，DF 与AB交于点G，则△BDF≌△ECA（ASA），∴BF=AE，DF=AC，在△BGF和△DGA中，BG+FG ＞BF，DG+AG＞AD，二式相加可得BG+FG+ DG+AG＞BF+ AD 即AB+AC＞AD+AE．试题难度：三颗星知识点：平移与全等9.如图，EF分别是正方形ABCD的边BC、CD上的点，且∠EAF=45°，AH⊥EF，H为垂足，则下列说法中正确的是（）A.直接证明△ABE和△AHE全等可以证明AH=ABB.EF=BE+DFC.AE=AFD.∠AEB=∠AFE答案：B解题思路：利用旋转的思想来进行解题，延长EB使得BH=DF，易证△ABH≌△ADF（SAS）可得∠EAH=∠EAF=45°，进而求证△AEH≌△AEF可得EF=BE+DF解：延长EB到点H，使得BH=DF，连接AH，可得△ABH≌△ADF（SAS），∴∠DAF=∠BAH，AF=AH，∠EAH=∠EAF=45°∴△AEG≌△AEF（SAS）∴EF=EH=BE+DF试题难度：三颗星知识点：旋转与全等。

七年级全等三角形测试题(卷)八套

七年级全等三角形测试题(卷)八套

全等三角形测试题一1.下图中全等的三角形是（）A.Ⅰ和ⅡB.Ⅱ和ⅣC.Ⅱ和ⅢD.Ⅰ和Ⅲ2.在△ABC和△A'B'C'中 , 要使△ABC≌△A'B'C' , 需满足条件（）A.AB=A'B', AC=A'C', ∠B=∠B'B.AB =A'B', BC=B'C', ∠A=∠A'C.AC=A'C', BC=B'C', ∠C=∠C'D.AC=A'C', BC=B'C', ∠C=∠B'3.如图，AB∥CD，AC∥DB，AD与BC交于0，AE⊥BC．于E，DF⊥BC于F，那么图中全等的三角形有( )对A．5 B．6 C．7 D．84.如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°．AD平分∠BAC，BE⊥AD交AC的延长线于F，E为垂足．则结论：①AD=BF；②CF=CD；③AC+CD=AB；④BE=CF；⑤BF=2BE，其中正确结论的个数是( )A．1 B.2 C．3 D．45.如图,△ABD≌△ACE,则AB的对应边是_________,∠BAD的对应角是______．6.已知:如图,△ABE≌△ACD,∠B=∠C,则∠AEB=_______,AE=__ ______．7.如图，0A=0B，OC=OD，∠O=60°,∠C=25°,则∠BED等于8.在△ABC中，高AD和BE交于H点，且BH=AC，则∠ABC=9.如图，已知AE平分∠BAC，BE上AE于E，ED∥AC，∠BAE=36°，那么∠BED=10.如图，把△ABC绕点C顺时针旋转35度，得到△A′B′C, A′B′交AC乎点D，已知∠A′DC=90°，求∠A的度数11.已知：如图AB=CD,AD=BC 求证：AD∥BC.12.已知：如图 , E, B, F, C四点在同一直线上, ∠A=∠D=90° , BE=FC, AB=DF．求证：∠E=∠C13.如图 , AB BC于B , AD DC于D , 且CB=CD , AC , BD相交于O．求证：∠ABD=∠ADB14.已知：如图 , AE , FC都垂直于BD , 垂足为E、F , AD=BC , BE=DF．求证：OA=OC.15.已知：如图 , AB=CD , D、B到AC的距离DE=BF．求证：AB∥CD．16.已知：如图，∠A=∠D=90°，AC，BD交于O，AC=BD.求证：OB=OC．全等三角形测试题二1.如图，已知AB=AD，要使△ABC≌△ADC，可增加条件，理由是定理。

全等三角形综合测试及解析

全等三角形综合测试及解析

全等三角形综合测试一、选择题t1．在△ABC中，∠B=∠C，与△ABC全等的三角形有一个角是100°，那么△ABC中与这个角对应的角是（）A．∠A B．∠B C．∠C D．∠D2．如图，已知AB=AD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△ADC的是（）A．CB=CD B．∠BAC=∠DAC C．∠BCA=∠DCA D．∠B=∠D=90°3．如图所示，亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形，那么这两个三角形完全一样的依据是（）A．SSS B．SAS C．AAS D．ASA4．如图，已知AB∥DC，AD∥BC，BE=DF，则图中全等的三角形有（）A．3对B．4对C．5对D．6对5．在△ABC和△DEF中，已知AB=DE，∠A=∠D，若补充下列条件中的任意一条，就能判定△ABC≌△DEF的是（）①AC=DF ②BC=EF ③∠B=∠E ④∠C=∠F．A．①②③B．②③④C．①③④D．①②④6．在△ABC中，∠A=90°，CD平分∠ACB，DE⊥BC于点E，若AB=6，则DE+DB=（）A．4 B．5 C．6 D．77．根据下列已知条件，能唯一画出△ABC的是（）A．AB=3，BC=4，AC=8 B．AB=4，BC=3，∠A=30°C．∠A=60°，∠B=45°，AB=4 D．∠C=90°，AB=648．如图是人字型金属屋架的示意图，该屋架由BC、AC、BA、AD四段金属材料焊接而成，其中A、B、C、D四点均为焊接点，且AB=AC，D为BC的中点，假设焊接所需的四段金属材料已截好，并已标出BC段的中点D，那么，如果焊接工身边只有可检验直角的角尺，而又为了准确快速地焊接，他应该首先选取的两段金属材料及焊接点是（）A．AD和BC，点D B．AB和AC，点A C．AC和BC，点C D．AB和AD，点A9．如图，已知OQ平分∠AOB，点P为OQ上任意一点，点N为OA上一点，点M为OB上一点，若∠PNO+∠PMO=180°，则PM和PN的大小关系是（）A．PM＞PN B．PM＜PN C．PM=PN D．不能确定A10．如图，已知点C是∠AOB的平分线上一点，点P、P′分别在边OA、OB上．如果要得到OP=OP′，需要添加以下条件中的某一个即可，请你写出所有可能的结果的序号为（）①∠OCP=∠OCP′；②∠OPC=∠OP′C；③PC=P′C；④PP′⊥OC．A．①② B．④③ C．①②④D．①④③二、填空题11．如图，△ABC≌△ADE，∠B=100°，∠BAC=30°，那么∠AED= 度．12．如图，∠1=∠2，要使△ABE≌△ACE，还需添加一个条件是（填上你认为适当的一个条件即可）．13．如图，AE=BF，AD∥BC，AD=BC，则有△ADF≌，且DF= ．14．如图，△ABC中，AD⊥BC于D，要使△ABD≌△ACD，若根据“HL”判定，还需要加条件，若加条件∠B=∠C，则可用判定．15．把两根钢条AA′、BB′的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的工具（卡钳），如图，若测得AB=5厘米，则槽宽为米．16．如图，AD=AE，BE=CD，∠1=∠2=100°，∠BAE=60°，那么∠CAE= ．17．如图，∠A=∠E，AC⊥BE，AB=EF，BE=10，CF=4，则AC= ．18．如图，∠C=90°，AC=10，BC=5，AM⊥AC，点P和点Q从A点出发，分别在射线AC和射线AM上运动，且Q点运动的速度是P点运动速度的2倍，当点P运动至处时，△ABC 与△APQ全等．19．AD是△ABC的边BC上的中线，AB=12，AC=8，则边BC的取值范围是；中线AD的取值范围是．20．如图，BD是∠ABC的角平分线，DE⊥AB于E，△ABC的面积是30cm2，AB=18cm，BC=12cm，则DE= cm．三、解答题21．已知：如图，∠ABC=∠DCB，BD、CA分别是∠ABC、∠DCB的平分线．求证：AB=DC．22．两块完全相同的三角形纸板ABC和DEF，按如图所示的方式叠放，阴影部分为重叠部分，点O为边AC和DF的交点，不重叠的两部分△AOF与△DOC是否全等？为什么？23．如图，∠DCE=90°，CD=CE，AD⊥AC，BE⊥AC，垂足分别为A、B．求证：AD+AB=BE．24．如图，是一个用六根竹条连接而成的凸六边形风筝骨架，考虑到骨架的稳定性、对称性、实用性等因素，请再加三根竹条与其顶点连接．要求：在图（1）、（2）中分别加三根竹条，设计出两种不同的连接方案．（用直尺连接）25．已知：如图①，在△AOB和△COD中，OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD=50°（1）求证：①AC=BD；②∠APB=50°；（2）如图②，在△AOB和△COD中，OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD=α，则AC与BD间的等量关系为，∠APB的大小为26．如图①A、E、F、C在一条直线上，AE=CF，过E、F分别作DE⊥AC，B F⊥AC，若AB=CD．（1）图①中有对全等三角形，并把它们写出来；（2）求证：BD与EF互相平分于G；（3）若将△ABF的边AF沿GA方向移动变为图②时，其余条件不变，第（2）题中的结论是否成立，如果成立，请予证明．全等三角形综合测试——参考答案与试题解析一、选择题1．在△ABC中，∠B=∠C，与△ABC全等的三角形有一个角是100°，那么△ABC中与这个角对应的角是（）A．∠A B．∠B C．∠C D．∠D【考点】全等三角形的性质．【分析】只要牢记三角形只能有一个钝角就易解了．【解答】解：∵一个三角形中只能有一个钝角．∴100°的角只能是等腰三角形中的顶角．∴∠B=∠C是底角，∠A是顶角∴△ABC中与这个角对应的角是∠A．故选A．【点评】本题考查的知识点为：全等的三角形的对应角相等，知道一个三角形中只能有一个钝角是解决本题的关键．2．如图，已知AB=AD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△ADC的是（）A．CB=CD B．∠BAC=∠DAC C．∠BCA=∠DCA D．∠B=∠D=90°【考点】全等三角形的判定．【分析】要判定△ABC≌△ADC，已知AB=AD，AC是公共边，具备了两组边对应相等，故添加CB=CD、∠BAC=∠DAC、∠B=∠D=90°后可分别根据SSS、SAS、HL能判定△ABC≌△ADC，而添加∠BCA=∠DCA后则不能．【解答】解：A、添加CB=CD，根据SSS，能判定△ABC≌△ADC，故A选项不符合题意；B、添加∠BAC=∠DAC，根据SAS，能判定△ABC≌△ADC，故B选项不符合题意；C、添加∠BCA=∠DCA时，不能判定△ABC≌△ADC，故C选项符合题意；D、添加∠B=∠D=90°，根据HL，能判定△ABC≌△ADC，故D选项不符合题意；故选：C．【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．3．如图所示，亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形，那么这两个三角形完全一样的依据是（）A．SSS B．SAS C．AAS D．ASA【考点】全等三角形的应用．【分析】根据图象，三角形有两角和它们的夹边是完整的，所以可以根据“角边角”画出．【解答】解：根据题意，三角形的两角和它们的夹边是完整的，所以可以利用“角边角”定理作出完全一样的三角形．故选D．【点评】本题考查了三角形全等的判定的实际运用，熟练掌握判定定理并灵活运用是解题的关键．4．如图，已知AB∥DC，AD∥BC，BE=DF，则图中全等的三角形有（）A．3对B．4对C．5对D．6对【考点】全等三角形的判定．【分析】根据全等三角形的判定方法进行判断．全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件．【解答】解：∵AB∥DC，AD∥BC，∴∠DAC=∠BCA，∠CDB=∠ABD，∠DCA=∠BAC，∠ADB=∠CBD，又∵BE=DF，∴由∠ADB=∠CBD，DB=BD，∠ABD=∠CDB，可得△ABD≌△CDB；由∠DAC=∠BCA，AC=CA，∠DCA=∠BAC，可得△ACD≌△CAB；∴AO=CO，DO=BO，由∠DAO=∠BCO，AO=CO，∠AOD=∠COB，可得△AOD≌△COB；由∠CDB=∠ABD，∠COD=∠AOB，CO=AO，可得△COD≌△AOB；由∠DCA=∠BAC，∠COF=∠AOE，CO=AO，可得△AOE≌△COF；由∠CDB=∠ABD，∠DOF=∠BOE，DO=BO，可得△DOF≌△BOE；故选（D）【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质的运用，解题时注意：若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，或者是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．5．在△ABC和△DEF中，已知AB=DE，∠A=∠D，若补充下列条件中的任意一条，就能判定△ABC≌△DEF的是（）①AC=DF ②BC=EF ③∠B=∠E ④∠C=∠F．A．①②③B．②③④C．①③④D．①②④【考点】全等三角形的判定．【分析】根据已知条件，已知一角和一边，所以要证两三角形全等，可以根据角边角、角角边、边角边判定定理添加条件，再根据选项选取答案．【解答】解：如图，∵AB=DE，∠A=∠D，∴根据“边角边”可添加AC=DF，根据“角边角”可添加∠B=∠E，根据“角角边”可添加∠C=∠F．所以补充①③④可判定△ABC≌△DEF．故选C．【点评】本题主要考查三角形全等的判定，根据不同的判定方法可选择不同的条件，所以对三角形全等的判定定理要熟练掌握并归纳总结．6．在△ABC中，∠A=90°，CD平分∠ACB，DE⊥BC于点E，若AB=6，则DE+DB=（）A．4 B．5 C．6 D．7【考点】角平分线的性质．【分析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得AD=DE，然后根据AD+DB=AB等量代换即可得解．【解答】解：∵∠A=90°，CD平分∠ACB，DE⊥BC，∴AD=DE，∵AD+DB=AB，∴DE+DB=AB=6．故选C．【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟记性质是解题的关键．7．根据下列已知条件，能唯一画出△ABC的是（）A．AB=3，BC=4，AC=8 B．AB=4，BC=3，∠A=30°C．∠A=60°，∠B=45°，AB=4 D．∠C=90°，AB=6【考点】全等三角形的判定．【专题】作图题；压轴题．【分析】要满足唯一画出△ABC，就要求选项给出的条件符合三角形全等的判定方法，不符合判定方法的画出的图形不一样，也就是三角形不唯一，而各选项中只有C选项符合ASA，是满足题目要求的，于是答案可得．【解答】解：A、因为AB+BC＜AC，所以这三边不能构成三角形；B、因为∠A不是已知两边的夹角，无法确定其他角的度数与边的长度；C、已知两角可得到第三个角的度数，已知一边，则可以根据ASA来画一个三角形；D、只有一个角和一个边无法根据此作出一个三角形．故选C．【点评】此题主要考查了全等三角形的判定及三角形的作图方法等知识点；能画出唯一三角形的条件一定要满足三角形全等的判定方法，不符合判定方法的画出的三角形不确定，当然不唯一．8．如图是人字型金属屋架的示意图，该屋架由BC、AC、BA、AD四段金属材料焊接而成，其中A、B、C、D四点均为焊接点，且AB=AC，D为BC的中点，假设焊接所需的四段金属材料已截好，并已标出BC段的中点D，那么，如果焊接工身边只有可检验直角的角尺，而又为了准确快速地焊接，他应该首先选取的两段金属材料及焊接点是（）A．AD和BC，点D B．AB和AC，点A C．AC和BC，点C D．AB和AD，点A【考点】全等三角形的应用．【分析】根据全等三角形的判定定理SSS推知△ABD≌△ACD，则∠ADB=∠ADC=90°．【解答】解：根据题意知，∵在△ABD与△ACD中，，∴△ABD≌△ACD（SSS），∴∠ADB=∠ADC=90°，∴AD⊥BC，根据焊接工身边的工具，显然是AD和BC焊接点D．故选：A．【点评】本题考查了全等三角形的应用．巧妙地借助两个三角形全等，寻找角与角间是数量关系．9．如图，已知OQ平分∠AOB，点P为OQ上任意一点，点N为OA上一点，点M为OB上一点，若∠PNO+∠PMO=180°，则PM和PN的大小关系是（）A．PM＞PN B．PM＜PN C．PM=PN D．不能确定【考点】角平分线的性质；全等三角形的判定与性质．【分析】作PE⊥OB于E，PF⊥OA于F，根据角平分线的性质定理证明PE=PF，根据三角形全等的判定定理证明△PFN≌△PEM，得到答案．【解答】解：作PE⊥OB于E，PF⊥OA于F，∵OQ平分∠AOB，∴PE=PF，∵∠PNO+∠PNA=180°，∠PNO+∠PMO=180°，∴∠PNA=∠PMO，在△PFN和△PEM中，，∴△PFN≌△PEM，∴PM=PN．故选：C．【点评】本题考查的是角平分线的性质和全等三角形的判定和性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．10．如图，已知点C是∠AOB的平分线上一点，点P、P′分别在边OA、OB上．如果要得到OP=OP′，需要添加以下条件中的某一个即可，请你写出所有可能的结果的序号为（）①∠OCP=∠OCP′；②∠OPC=∠OP′C；③PC=P′C；④PP′⊥OC．A．①② B．④③ C．①②④D．①④③【考点】全等三角形的判定与性质．【分析】根据所加条件，结合已知条件，能够证明OP和OP′所在的三角形全等即可．【解答】解：①若加∠OCP=∠OC P′，则根据ASA可证明△OPC≌△OP′C，得OP=OP′；②若加∠OPC=∠OP′C，则根据AAS可证明△OPC≌△OP′C，得OP=OP′；③若加PC=P′C，则不能证明△OPC≌△OP′C，不能得到OP=OP′；④若加PP′⊥OC，则根据ASA可证明△OPC≌△OP′C，得OP=OP′．故选C．【点评】此题考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握判定方法是关键．二、填空题11．如图，△ABC≌△ADE，∠B=100°，∠BAC=30°，那么∠AED= 50 度．【考点】全等三角形的性质．【分析】先运用三角形内角和定理求出∠C，再运用全等三角形的对应角相等来求∠AED．【解答】解：∵在△ABC中，∠C=180﹣∠B﹣∠BAC=50°，又∵△ABC≌△ADE，∴∠AED=∠C=50°，∴∠AED=50度．故填50【点评】本题考查的是全等三角形的性质，全等三角形的对应边相等，对应角相等．是需要识记的内容．12．如图，∠1=∠2，要使△ABE≌△ACE，还需添加一个条件是∠B=∠C （填上你认为适当的一个条件即可）．【考点】全等三角形的判定．【专题】开放型．【分析】根据题意，易得∠AEB=∠AEC，又AE公共，所以根据全等三角形的判定方法容易寻找添加条件．【解答】解：∵∠1=∠2，∴∠AEB=∠AEC，又 AE公共，∴当∠B=∠C时，△ABE≌△ACE（AAS）；或BE=CE时，△ABE≌△ACE（SAS）；或∠BAE=∠CAE时，△ABE≌△ACE（ASA）．【点评】此题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．13．如图，AE=BF，AD∥BC，AD=BC，则有△ADF≌△BCE ，且DF= CE ．【考点】全等三角形的判定与性质．【专题】常规题型．【分析】由题中条件可由ASA判定△ADF≌△BCE，进而得出DF=CE．【解答】解：∵AE=BF，∴AF=BE，∵AD∥BC，∴∠A=∠D，又AD=BC，∴△ADF≌△BCE，∴DF=CE．故答案为：△BCE，CE．【点评】本题主要考查了全等三角形的判定及性质，能够熟练掌握．14．如图，△ABC中，AD⊥BC于D，要使△ABD≌△ACD，若根据“HL”判定，还需要加条件AB=AC ，若加条件∠B=∠C，则可用AAS 判定．【考点】直角三角形全等的判定．【分析】要使△ABD≌△ACD，且利用HL，已知AD是直边，则要添加对应斜边；已知两角及一对应边相等，显然根据的判定为AAS．【解答】解：添加AB=AC∵AD⊥BC，AD=AD，AB=AC∴△ABD≌△ACD已知AD⊥BC于D，AD=AD，若加条件∠B=∠C，显然根据的判定为AAS．【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、SSA、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．15．把两根钢条AA′、BB′的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的工具（卡钳），如图，若测得AB=5厘米，则槽宽为0.05 米．【考点】全等三角形的应用．【专题】计算题．【分析】连接AB，A′B′，根据O为AB′和BA′的中点，且∠A′OB′=∠AOB即可判定△OA′B′≌△OAB，即可求得A′B′的长度．【解答】解：连接AB，A′B′，O为AB′和BA′的中点，∴OA′=OB，OA=OB′，∵∠A′OB′=∠AOB∴△OA′B′≌△OAB，即A′B′=AB，故A′B′=5cm，5cm=0.05m．故答案为0.05．【点评】本题考查了全等三角形在实际生活中的应用，考查了全等三角形的证明和对应边相等的性质，本题中求证△OA′B′≌△OAB是解题的关键．16．如图，AD=AE，BE=CD，∠1=∠2=100°，∠BAE=60°，那么∠CAE= 40°．【考点】全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质．【分析】求出BD=CE和∠B的度数，根据SAS推出△ADB≌△AEC，推出∠C=∠B=40°，根据三角形内角和定理求出即可．【解答】解：∵BE=CD，∴BE﹣DE=CD﹣DE，∴BD=CE，∵∠2=100°，∠BAE=60°，∴∠B=∠2﹣∠BAE=40°，∵在△ADB和△AEC中∴△ADB≌△AEC，∴∠C=∠B=40°，∵∠2+∠C+∠CAE=180°，∴∠CAE=180°﹣100°﹣40°=40°，故答案为：40°．【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的外角性质，三角形内角和定理的应用，解此题的关键是求出△ADB≌△AEC，注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等．17．如图，∠A=∠E，AC⊥BE，AB=EF，BE=10，CF=4，则AC= 6 ．【考点】全等三角形的判定与性质．【分析】由AAS证明△ABC≌△EFC，得出对应边相等AC=EC，BC=CF=4，求出EC，即可得出AC的长．【解答】解：∵AC⊥BE，∴∠ACB=∠ECF=90°，在△ABC和△EFC中，，∴△ABC≌△EFC（AAS），∴AC=EC，BC=CF=4，∵EC=BE﹣BC=10﹣4=6，∴AC=EC=6；故答案为：6．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质；证明三角形全等得出对应边相等是解决问题的关键．18．如图，∠C=90°，AC=10，BC=5，AM⊥AC，点P和点Q从A点出发，分别在射线AC和射线AM上运动，且Q点运动的速度是P点运动速度的2倍，当点P运动至P点运动到AC 中点处时，△ABC与△APQ全等．【考点】全等三角形的判定．【分析】本题要分情况讨论：①Rt△APQ≌Rt△CBA，此时AP=BC=5cm，可据此求出P点的位置．②Rt△QAP≌Rt△BCA，此时AP=AC，P、C重合．【解答】解：根据三角形全等的判定方法HL可知：①当P运动到AP=BC时，∵∠C=∠QAP=90°，在Rt△ABC与Rt△QPA中，，∴Rt△ABC≌Rt△QPA（HL），即AP=BC=5，即P点运动到AC中点；故答案为：P点运动到AC中点．【点评】本题考查三角形全等的判定方法和全等三角形的性质，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．由于本题没有说明全等三角形的对应边和对应角，因此要分类讨论，以免漏解．19．AD是△ABC的边BC上的中线，AB=12，AC=8，则边BC的取值范围是4＜BC＜20 ；中线AD的取值范围是2＜AD＜10 ．【考点】全等三角形的判定与性质；三角形三边关系．【专题】计算题．【分析】BC边的取值范围可在△ABC中利用三角形的三边关系进行求解，而对于中线AD的取值范围可延长AD至点E，使AD=DE，得出△ACD≌△EBD，进而在△ABE中利用三角形三边关系求解．【解答】解：如图所示，在△ABC中，则AB﹣AC＜BC＜AB+AC，即12﹣8＜BC＜12+8，4＜BC＜20，延长AD至点E，使AD=DE，连接BE，∵AD是△ABC的边BC上的中线，∴BD=CD，又∠ADC=∠BDE，AD=DE∴△ACD≌△EBD，∴BE=AC，在△ABE中，AB﹣BE＜AE＜AB+BE，即AB﹣AC＜AE＜AB+AC，12﹣8＜AE＜12+8，即4＜AE＜20，∴2＜AD＜10．故此题的答案为4＜BC＜20，2＜AD＜10．【点评】本题主要考查了全等三角形的判定及性质以及三角形的三边关系问题，能够理解掌握并熟练运用．20．如图，BD是∠ABC的角平分线，DE⊥AB于E，△ABC的面积是30cm2，AB=18cm，BC=12cm，则DE= 2 cm．【考点】角平分线的性质．【分析】过点D，作DF⊥BC，垂足为点F，根据BD是∠ABC的角平分线，得DE=DF，根据等高的三角形的面积之比等于其底边长之比，得△BDC与△BDA的面积之比，再求出△BDA的面积，进而求出DE．【解答】解：如图，过点D，作DF⊥BC，垂足为点F∵BD是∠ABC的角平分线，DE⊥AB，∴DE=DF∵△ABC的面积是30cm2，AB=18cm，BC=12cm，=•DE•AB+•DF•BC，即×18×DE+×12×DE=30，∴S△ABC∴DE=2（cm）．故填2．【点评】本题考查了角平分线的性质；解题中利用了“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”、等高的三角形的面积之比等于其底边长之比，三角形的面积计算公式等知识．三、解答题21．已知：如图，∠ABC=∠DCB，BD、CA分别是∠ABC、∠DCB的平分线．求证：AB=DC．【考点】全等三角形的判定与性质．【专题】证明题．【分析】根据角平分线性质和已知求出∠ACB=∠DBC，根据ASA推出△ABC≌△DCB，根据全等三角形的性质推出即可．【解答】证明：∵AC平分∠BCD，BD平分∠ABC，∴∠DBC=∠ABC，∠ACB=∠DCB，∵∠ABC=∠DCB，∴∠ACB=∠DBC，∵在△ABC与△DCB中，，∴△ABC≌△DCB（ASA），∴AB=DC．【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定和角平分线性质的应用，关键是推出△ABC≌△DCB，题目比较好，难度适中．22．两块完全相同的三角形纸板ABC和DEF，按如图所示的方式叠放，阴影部分为重叠部分，点O为边AC和DF的交点，不重叠的两部分△AOF与△DOC是否全等？为什么？【考点】全等三角形的判定．【专题】证明题．【分析】根据题意AB=BD，AC=DF，∠A=∠D，AB=BD，AC=DF可得AF=DC，利用AAS即可判定△AOF≌△DOC．【解答】答：△AOF≌△DOC．证明：∵两块完全相同的三角形纸板ABC和DEF，∴AB=DB，BF=BC，∴AB﹣BF=BD﹣BC，∴AF=DC∵∠A=∠D，∠AOF=∠DOC，即，∴△AOF≌△DOC（AAS）．【点评】此题主要考查学生对全等三角形判定定理的理解和掌握，解答此题的关键是根据题意得出AF=DC，AO=DO．23．如图，∠DCE=90°，CD=CE，AD⊥AC，BE⊥AC，垂足分别为A、B．求证：AD+AB=BE．【考点】全等三角形的判定与性质．【专题】证明题．【分析】利用同角的余角相等得到一对角相等，再由一对直角相等，CD=CE，利用AAS得到三角形ECB与三角形CDA全等，利用全等三角形对应边相等得到BC=AD，BE=AC，由AB+BC=AC=BE，等量代换即可得证．【解答】证明：∵∠ECB+∠DCA=90°，∠DCA+∠D=90°，∴∠ECB=∠D，在△ECB和△CDA中，，∴△ECB≌△CDA（AAS），∴BC=AD，BE=AC，∴AD+AB=AB+BC=AC=BE．【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．24．如图，是一个用六根竹条连接而成的凸六边形风筝骨架，考虑到骨架的稳定性、对称性、实用性等因素，请再加三根竹条与其顶点连接．要求：在图（1）、（2）中分别加三根竹条，设计出两种不同的连接方案．（用直尺连接）【考点】利用轴对称设计图案．【专题】方案型．【分析】本题主要是利用轴对称图形的性质来画，本题为开放题答案不唯一．【解答】解：．【点评】本题主要考查了轴对称图形的性质．25．已知：如图①，在△AOB和△COD中，OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD=50°（1）求证：①AC=BD；②∠APB=50°；（2）如图②，在△AOB和△COD中，OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD=α，则AC与BD间的等量关系为AC=BD ，∠APB的大小为α【考点】全等三角形的判定与性质．【分析】（1）根据∠AOB=∠COD=50°求出∠AOC=∠BOD，根据SAS推出△AOC≌△BOD，根据全等三角形的性质得出AC=BD，∠CAO=∠DBO，根据三角形内角和可知∠CAO+∠AOB=∠DBO+∠APB，推出∠APB=∠AOB即可．（2）根据∠AOB=∠COD=50°求出∠AOC=∠BOD，根据SAS推出△AOC≌△BOD，根据全等三角形的性质得出AC=BD，∠CAO=∠DBO，根据三角形内角和可知∠CAO+∠AOB=∠DBO+∠APB，推出∠APB=∠AOB即可．【解答】证明：（1）∵∠AOB=∠COD=50°，∴∠AOC=∠BOD，在△AOC和△BOD中，∴△AOC≌△BOD，∴AC=BD，∠CAO=∠DBO，根据三角形内角和可知∠CAO+∠AOB=∠DBO+∠APB，∴∠APB=∠AOB=50°．（2）解：AC=BD，∠APB=α，理由是：）∵∠AOB=∠COD=50°，∴∠AOC=∠BOD，在△AOC和△BOD中，∴△AOC≌△BOD，∴AC=BD，∠CAO=∠DBO，根据三角形内角和可知∠CAO+∠AOB=∠DBO+∠APB，∴∠APB=∠AOB=α，故答案为：AC=BD，α．【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，解此题的关键是求出△AOC≌△BOD，注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等．26．如图①A、E、F、C在一条直线上，AE=CF，过E、F分别作DE⊥AC，B F⊥AC，若AB=CD．（1）图①中有 3 对全等三角形，并把它们写出来△AFB≌△DEC，△DEG≌△BFG，△AGB≌△CGD ；（2）求证：BD与EF互相平分于G；（3）若将△ABF的边AF沿GA方向移动变为图②时，其余条件不变，第（2）题中的结论是否成立，如果成立，请予证明．【考点】全等三角形的判定与性质．【专题】证明题．【分析】（1）利用A、E、F、C在一条直线上，AE=CF，过E、F分别作DE⊥AC，B F⊥AC，若AB=CD可判断全等三角形的个数．（2）先根据DE⊥AC，B F⊥AC，AE=CF，求证△ABF≌△CDE，再求证△DEG≌△BFG，即可．（3）先根据DE⊥AC，B F⊥AC，AE=CF，求证△ABF≌△CED，再求证△BFG≌△DEG，即可得出结论．【解答】解：（1）图①中有3对全等三角形，它们是△AFB≌△DEC，△DEG≌△BFG，△AGB ≌△CGD．（2）∵DE⊥AC，BF⊥AC，∴∠AFB=∠CED=90°∵AE=CF，∴AE+EF=CF+EF，即AF=CE，在Rt△ABF和Rt△CDE中，，∴Rt△ABF≌Rt△CED（HL），∴ED=BF．由∠AFB=∠CED=90°得DE∥BF，∴∠EDG=∠GBF，∵∠EGD和∠FGB是对顶角，ED=BF，△DEG≌△BFG，∴EG=FG，DG=BG，所以BD与EF互相平分于G；（3）第（2）题中的结论成立，理由：∵AE=CF，∴AE﹣EF=CF﹣EF，即AF=CE，∵DE⊥AC，BF⊥AC，∴∠AFB=∠CED=90°，在Rt△ABF和Rt△CDE中，，∴Rt△ABF≌Rt△CED（HL），∴BF=ED．∵∠BFG=∠DEG=90°，∴BF∥ED，∴∠FBG=∠EDG，∴△BFG≌△DEG，∴FG=GE，BG=GD，即第（2）题中的结论仍然成立．【点评】此题主要考查学生对全等三角形的判定与性质的理解和掌握，此题难度并不大，但是需要证明多次全等，步骤繁琐，是一道综合性较强的中档题．。

三角形全等中等难度

三角形全等中等难度

三角形全等中等难度一、单选题（共15题；共30分）1.如图，已知∠1=2，AC=AD，从下列条件：①AB=AE②BC=ED③∠C=∠D④∠B=∠E中添加一个条件，能使△ABC≌△AED的有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个2.如图，AB⊥BC，AD⊥CD，垂足分别为B、D，若CB=CD，则△ABC≌△ACD，理由是（）A. SASB. AASC. HLD. ASABC长为半径作弧，两弧3.已知Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D是BC中点，分别过B、C为圆心，大于线段12交于点P，作直线PD交AC于点E，连接BE，则下列结论中不正确的是（）ABA. ED⊥BCB. BE平分∠AEDC. E为△ABC的外接圆圆心D. ED=124.如图，在正方形ABCD中，边长为2的等边三角形AEF的顶点E、F分别在BC和CD上，下列结论：①CE=CF；②∠AEB=75°③BE+DF=EF；④CE= √3，其中正确的结论的个数为（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个5.如图，在△ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，垂足分别为点D，E，AD与BE交于点F，BF=AC，∠ABE=22°，∠CAD 的度数是（）A. 23°B. 22°C. 32°D. 33°6.如图，在4×4方格中作以AB为一边的Rt△ABC，要求点C也在格点上，这样的Rt△ABC能作出（）A. 2个B. 3个C. 4个D. 6个7.如图，已知△ABC≌△DAE，BC=2，DE=5，则CE的长为（）A. 2B. 2.5C. 3D. 3.58.下列命题中是真命题的是（）A. 有两角及其中一角的平分线对应相等的两个三角形全等B. 相等的角是对顶角C. 余角相等的角互余D. 两直线被第三条直线所截，截得的同位角相等9.∠AOB的平分线上一点P到OA的距离为3，Q是OB上任一点，则（）A. PQ＞3B. PQ≥3C. PQ＜3D. PQ≤310.如图,AD ＝AE ，AB=AC ，BD=CE ，∠Ｂ＝40°，∠AEC ＝110°，则∠EAC 等于（ ）A. 10°B. 20°C. 30°D. 40°11.用尺规作已知角的平分线的理论依据是（ ）A. SAS ．B. AASC. SSSD. ASA12.如图，在四边形ABCD 中，AB=AD=6，AB ⊥BC ，AD ⊥CD ，∠BAD=60°，点M 、N 分别在AB 、AD 边上，若AM ：MB=AN ：ND=1：2，则tan ∠MCN=（ ）A. 3√313B. 2√511C. 2√39D. √5 ﹣213.观察图中尺规作图痕迹，下列结论错误的是（ ）A. PQ 为∠APB 的平分线B. PA=PBC. 点A 、B 到PQ 的距离不相等D. ∠APQ=∠BPQ 14.如图，正方形ABCD 中，点E 是AD 边中点，BD 、CE 交于点H ，BE ，AH 交于点G ，则下列结论： ①AG ⊥BE ；②BG=4GE ；③S △BHE =S △CHD ；④∠AHB=∠EHD ．其中正确的个数是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 415.如图，平行四边形ABCD 中，AD∥BC，AB=BC=CD=AD=4，∠A=∠C=60°，连接BD，将△BCD 绕点B 旋转，当BD（即BD′）与AD 交于一点E，BC（即BC′）同时与CD 交于一点F 时，下列结论正确的是（）①AE=DF；②∠BEF=60°；③∠DEB=∠DFB；④△DEF 的周长的最小值是4+2 √3A. ①②B. ②③C. ①②④D. ①②③④二、填空题（共15题；共15分）16.如图，∠C＝90°，∠BAD＝∠CAD，若BC＝11cm，BD＝7cm，则点D到AB的距离为________cm．17.如图，∠AOC=∠BOC，点P在OC上，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E，若OD=8，OP=10，则PE=________．18.已知，如图，O是△ABC的∠ABC、∠ACB的角平分线的交点，OD∥AB交BC于D，OE∥AC交BC于E，若BC=10 cm，则△ODE的周长________cm．19.如图，∠ABP与∠PBC互余，∠CBD=30°，BP平分∠ABD，则∠ABP=________度。

八年级全等三角形单元综合测试(Word版 含答案)

八年级全等三角形单元综合测试(Word版 含答案)

八年级全等三角形单元综合测试（Word版含答案）一、八年级数学轴对称三角形填空题（难）1．△ABC与△DEF是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠D=90°，AB=AC=6．现将△DEF与△ABC按如图所示的方式叠放在一起，使△ABC保持不动，△DEF运动，且满足点E在边BC上运动（不与B，C重合），边DE始终经过点A，EF与AC交于点M．在△DEF 运动过程中，若△AEM能构成等腰三角形，则BE的长为______．【答案】363【解析】【分析】分若AE＝AM 则∠AME＝∠AEM＝45°；若AE＝EM；若MA＝ME 则∠MAE＝∠AEM＝45°三种情况讨论解答即可；【详解】解：①若AE＝AM 则∠AME＝∠AEM＝45°∵∠C＝45°∴∠AME＝∠C又∵∠AME＞∠C∴这种情况不成立；②若AE＝EM∵∠B＝∠AEM＝45°∴∠BAE+∠AEB＝135°，∠MEC+∠AEB＝135°∴∠BAE＝∠MEC在△ABE和△ECM中，BBAE CENAE EIIC∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABE≌△ECM（AAS），∴CE＝AB6，∵AC＝BC2AB＝3∴BE＝23﹣6；③若MA＝ME 则∠MAE＝∠AEM＝45°∵∠BAC＝90°，∴∠BAE＝45°∴AE平分∠BAC∵AB＝AC，∴BE＝1BC＝3．2故答案为23﹣6或3．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，掌握分类讨论的数学思想是解答本题的关键．2．在平面直角坐标系xOy中，已知点A（2，3），在x轴上找一点P，使得△AOP是等腰三角形，则这样的点P共有_____个．【答案】4【解析】【分析】以O为圆心，OA为半径画弧交x轴于点P1、P3，以A为圆心，AO为半径画弧交x轴于点P4，作OA的垂直平分线交x轴于P2．【详解】解：如图，使△AOP是等腰三角形的点P有4个．故答案为4．【点睛】本题考查了在平面直角坐标系中寻找等腰三角形，掌握两圆一线找等腰三角形是解题的关键．3．在ABC ∆中，边AB 、AC 的垂直平分线分别交边BC 于点D 、点E ，20DAE ∠=︒，则BAC ∠=______°.【答案】80或100【解析】【分析】根据题意，点D 和点E 的位置不确定，需分析谁靠近B 点，则有如下图（图见解析）两种情况：（1）图1中，点E 距离点B 近，根据垂直平分线性质可知，,BD AD AE CE ==，从而有1,2B DAE C DAE ∠=∠+∠∠=∠+∠，再根据三角形的内角和定理可得180B C BAC ∠+∠+∠=︒，联立即可求得；（2）图2中，点D 距离点B 近，根据垂直平分线性质可知，,BD AD AE CE ==，从而有3,4B C ∠=∠∠=∠，由三角形的内角和定理得180B C BAC ∠+∠+∠=︒，联立即可求得.【详解】由题意可分如下两种情况：（1）图1中，根据垂直平分线性质可知，,BD AD AE CE ==，1,2B DAE C DAE ∴∠=∠+∠∠=∠+∠（等边对等角），两式相加得12B C DAE DAE ∠+∠=∠+∠+∠+∠，又12DAE BAC ∠+∠+∠=∠20B C BAC DAE BAC ∴∠+∠=∠+∠=∠+︒，由三角形内角和定理得180B C BAC ∠+∠+∠=︒，20180BAC BAC ∴∠+︒+∠=︒，80BAC ∴∠=︒；（2）图2中，根据垂直平分线性质可知，,BD AD AE CE ==，3,4B C ∴∠=∠∠=∠（等边对等角），两式相加得34B C ∠+∠=∠+∠，又34DAE BAC ∠+∠+∠=∠，3420BAC DAE BAC ∴∠+∠=∠-∠=∠-︒，20B C BAC ∴∠+∠=∠-︒由三角形内角和定理得180B C BAC ∠+∠+∠=︒，20180BAC BAC ∴∠-︒+∠=︒，100BAC ∴∠=︒.故答案为80或100.【点睛】本题考查了垂直平分线的性质（垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）、等腰三角形的定义和性质（等边对等角）、以及三角形内角和定理，本题的难点在于容易漏掉第二种情况，出现漏解.4．如图，在01A BA △中，20B ∠=︒，01A B A B =，在1A B 上取点C ，延长01A A 到2A ，使得121A A AC =；在2A C 上取一点D ，延长12A A 到3A ，使得232A A A D =；…，按此做法进行下去，第n 个等腰三角形的底角n A ∠的度数为__________．【答案】11()802n -︒⋅.【解析】【分析】先根据等腰三角形的性质求出∠BA 1 A 0的度数，再根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质分别求出∠CA 2A 1，∠DA 3A 2及∠EA 4A 3的度数，找出规律即可得出第n 个等腰三角形的底角∠A n 的度数．【详解】解：∵在△A 0BA 1中，∠B=20°，A 0B=A 1B ， ∴∠BA 1 A 0= 1801802022B ︒︒︒-∠-= =80°， ∵A 1A 2=A 1C ，∠BA 1 A 0是△A 1A 2C 的外角，∴∠CA 2A 1= 108022BA A ︒∠= =40°； 同理可得，∠DA 3A 2=20°，∠EA 4A 3=10°，∴第n个等腰三角形的底角∠A n= 11()802n-︒⋅.【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质及三角形外角的性质，根据题意得出∠CA2A1，∠DA3A2及∠EA4A3的度数，找出规律是解答此题的关键．5．如图，线段AB，DE的垂直平分线交于点C，且72ABC EDC∠=∠=︒，92AEB∠=︒，则EBD∠的度数为 ________ ．【答案】128︒【解析】【分析】连接CE，由线段AB，DE的垂直平分线交于点C，得CA=CB，CE=CD，ACB=∠ECD=36°，进而得∠ACE=∠BCD，易证∆ACE≅∆BCD，设∠AEC=∠BDC=x，得则∠BDE=72°-x，∠CEB=92°-x，BDE中，∠EBD=128°，根据三角形内角和定理，即可得到答案．【详解】连接CE，∵线段AB，DE的垂直平分线交于点C，∴CA=CB，CE=CD，∵72ABC EDC∠=∠=︒=∠DEC，∴∠ACB=∠ECD=36°，∴∠ACE=∠BCD，在∆ACE与∆BCD中，∵CA CBACE BCDCE CD=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴∆ACE≅∆BCD（SAS），∴∠AEC=∠BDC，设∠AEC=∠BDC=x，则∠BDE=72°-x，∠CEB=92°-x，∴∠BED=∠DEC-∠CEB=72°-（92°-x）=x-20°，∴在∆BDE中，∠EBD=180°-（72°-x）-（x-20°）=128°．故答案是：128︒．【点睛】本题主要考查中垂线的性质，三角形全等的判定和性质定理以及三角形内角和定理，添加辅助线，构造全等三角形，是解题的关键．6．如图，在ABC ∆中，AB AC =，点D 和点A 在直线BC 的同侧，,82,38BD BC BAC DBC =∠=︒∠=︒，连接,AD CD ，则ADB ∠的度数为__________．【答案】30°【解析】【分析】先根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理以及角的和差求出ABD ∠的度数，然后作点D 关于直线AB 的对称点E ，连接BE 、CE 、AE ，如图，则BE=BD ，∠EBA=∠DB ，∠BEA =∠BDA ，进而可得∠EBC=60°，由于BD=BC ，从而可证△EBC 是等边三角形，可得∠BEC =60°，EB=EC ，进一步即可根据SSS 证明△AEB ≌△AEC ，可得∠BEA 的度数，问题即得解决．【详解】解：∵AB AC =，82BAC ∠=︒，∴180492BAC ABC ︒-∠∠==︒， ∵38DBC ∠=︒，∴493811ABD ∠=︒-︒=︒，作点D 关于直线AB 的对称点E ，连接BE 、CE 、AE ，如图，则BE=BD ，∠EBA=∠DBA =11°，∴∠EBC=11°+11°+38°=60°，∵BD=BC，∴BE=BC，∴△EBC是等边三角形，∴∠BEC=60°，EB=EC，又∵AB=AC，EA=EA，∴△AEB≌△AEC（SSS），∴∠BEA=∠CEA=1302BEC∠=︒，∴∠ADB=30°．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、三角形的内角和定理、等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质以及轴对称的性质等知识，涉及的知识点多、综合性强，难度较大，作点D关于直线AB的对称点E，构造等边三角形和全等三角形的模型是解题的关键．7．如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，D为BC上一点，DA⊥AC，AD=24 cm，则BC 的长________cm．【答案】72【解析】【分析】按照等腰三角形的性质、角的和差以及含30°直角三角形的性质进行解答即可.【详解】解：∵AB=AC，∠BAC=120°∴∠B=∠C=30°∵DA⊥AC，AD=24 cm∴DC=2AD=48cm，∵∠BAC=120°，DA⊥AC∴∠BAD=∠BAC-90°=30°∴BD=AD=24cm∴BC=BD+DC=72cm故答案为72.【点睛】本题考查了腰三角形的性质、角的和差以及含30°直角三角形的性质，其中灵活运用含30°直角三角形的性质是解答本题的关键.8．如图，在△ABC中，AB=AC，D、E是△ABC内的两点，AE平分∠BAC，∠D=∠DBC=60°，若BD=5cm，DE=3cm，则BC的长是 ______cm．【答案】8．【解析】【分析】作出辅助线后根据等边三角形的判定得出△BDM为等边三角形，△EFD为等边三角形，从而得出BN的长，进而求出答案．【详解】解：延长DE交BC于M，延长AE交BC于N，作EF∥BC于F，∵AB=AC，AE平分∠BAC，∴AN⊥BC，BN=CN，∵∠DBC=∠D=60°，∴△BDM为等边三角形，∴△EFD为等边三角形，∵BD=5，DE=3，∴EM=2，∵△BDM为等边三角形，∴∠DMB=60°，∵AN⊥BC，∴∠ENM=90°，∴∠NEM=30°，∴NM=1，∴BN=4，∴BC=2BN=8（cm），故答案为8．【点睛】本题考查等边三角形的判定与性质；等腰三角形的性质．9．如图，ABC ∆中，AB AC =，点D 是ABC ∆内部一点，DB DC =，点E 是边AB 上一点，若CD 平分ACE ∠，100AEC =∠，则BDC ∠=______°【答案】80【解析】【分析】根据角平分线得到∠ACE=2∠ACD ，再根据角的和差关系得到∠ECB =∠ACB －2∠ACD ，然后利用外角定理得到∠ABC+∠ECB=100°，代换化简得出∠ACB －∠ACD=50°，即∠DCB=50°，从而求出∠BDC 即可.【详解】∵CD 平分∠ACE ，∴∠ACE=2∠ACD=2∠ECD ，∴∠ECB=∠ACB －∠ACE=∠ACB －2∠ACD ，∵∠AEC=100°，∴∠ABC+∠ECB=100°，∴∠ABC+∠ACB －2∠ACD=100°，∵AB=AC ，∴∠ABC=∠ACB,∴2∠ACB －2∠ACD=100°，∴∠ACB－∠ACD=50°，即∠DCB=50°，∵DB=DC，∴∠DBC=∠DCB，∴∠BDC=180°－2∠DCB=180°－2×50°=80°.【点睛】本题考查了角平分线，三角形内角和，外角定理，及等边对等角的性质等知识，熟练掌握基本知识，找出角与角之间的关系是解题的关键.10．如图，∠BOC=60°，点A是BO延长线上的一点，OA=10cm，动点P从点A出发沿AB 以2cm/s的速度移动，动点Q从点O出发沿OC以1cm/s的速度移动，如果点P、Q同时出发，用t(s)表示移动的时间，当t=_____s时，△POQ是等腰三角形.【答案】103或10【解析】【分析】根据△POQ是等腰三角形，分两种情况进行讨论：点P在AO上，点P在BO上，分别计算，即可得解.【详解】当PO=QO时，△POQ是等腰三角形，如图1所示当点P在AO上时，∵PO=AO-AP=10-2t，OQ=t当PO=QO时，102t t-=解得103 t=当PO=QO时，△POQ是等腰三角形，如图2所示当点P在BO上时∵PO=AP-AO=2t-10，OQ=t当PO=QO时，210t t-=解得10t=故答案为：103或10【点睛】本题考查等腰三角形的性质及动点问题，熟练掌握等腰三角形的性质以及分类讨论思想是解题关键.二、八年级数学轴对称三角形选择题（难）11．如图，平面直角坐标系中存在点A（3，2），点B（1,0），以线段AB为边作等腰三角形ABP，使得点P在坐标轴上.则这样的P点有（）A．4个B．5个C．6个D．7个【答案】D【解析】【分析】本题是开放性试题，由题意知A、B是定点，P是动点，所以要分情况讨论：以AP、AB为腰、以AP 、BP 为腰或以BP 、AB 为腰．则满足条件的点P 可求．【详解】由题意可知：以AP 、AB 为腰的三角形有3个；以AP 、BP 为腰的三角形有2个；以BP 、AB 为腰的三角形有2个．所以，这样的点P 共有7个.故选D ．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定及坐标与图形的性质；分类别寻找是正确解答本题的关键．12．如图，AOB α∠=，点P 是AOB ∠内的一定点，点,M N 分别在OA OB 、上移动，当PMN ∆的周长最小时，MPN ∠的值为（ ）A ．90α+B ．1902α+C ．180α-D ．1802α-【答案】D【解析】【分析】 过P 点作角的两边的对称点，在连接两个对称点，此时线段与角两边的交点，构成的三角形周长最小.再根据角的关系求解.【详解】解：过P 点作OB 的对称点1P ，过P 作OA 的对称点2P ,连接12PP ，交点为M,N ，则此时PMN 的周长最小，且△1P NP 和△2PMP 为等腰三角形.此时∠12P PP =180°-α；设∠NPM=x°，则180°-x°=2（∠12P PP -x°）所以 x°=180°-2α【点睛】求出M,N在什么位子△PMN周长最小是解此题的关键.13．如图，在锐角△ABC中，AC＝10，S△ABC＝25，∠BAC的平分线交BC于点D，点M，N分别是AD和AB上的动点，则BM＋MN的最小值是（）A．4 B．245C．5 D．6【答案】C【解析】试题解析：如图，∵AD是∠BAC的平分线，∴点B关于AD的对称点B′在AC上，过点B′作B′N⊥AB于N交AD于M，由轴对称确定最短路线问题，点M即为使BM+MN最小的点，B′N=BM+MN，过点B作BE⊥AC于E，∵AC=10，S△ABC=25，∴12×10•BE=25，解得BE=5，∵AD是∠BAC的平分线，B′与B关于AD对称，∴AB=AB′，∴△ABB′是等腰三角形，∴B′N=BE=5，即BM+MN的最小值是5．故选C．14．如图，点D，E是等边三角形ABC的边BC，AC上的点，且CD=AE，AD交BE于点P，BQ⊥AD于点Q，已知PE=2，PQ=6，则AD等于( )A．10 B．12 C．14 D．16【答案】C【解析】【分析】由题中条件可得△ABE≌△CAD，得出AD=BE，∠ABE=∠CAD，进而得出∠BPD=60°．在Rt△BPQ中，根据30度角所对直角边等于斜边的一半，求出BP的长，进而可得结论．【详解】∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC，∠BAC=∠C=60°．又∵AE=CD，∴△ABE≌△CAD（SAS），∴∠ABE=∠CAD，AD=BE，∴∠BPD=∠ABE+∠BAP=∠CAD+∠BAP=∠BAC=60°．∵BQ⊥AD，∴∠PBQ=30°，∴BP=2PQ=2×6=12，∴AD=BE=BP+PE=12+2=14．故选C．【点睛】本题考查了含30度角的直角三角形的性质、等边三角形的性质以及全等三角形的判定和性质，证明∠BPD=60°是解答本题的关键．15．如果一个三角形能被一条线段分割成两个等腰三角形，那么称这个三角形为特异三角形．若△ABC是特异三角形，∠A=30°，∠B为钝角，则符合条件的∠B有（）个．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】【分析】【详解】如下图，当30°角为等腰三角形的底角时有两种情况：∠B=135°或90°，当30°角为等腰三角形的顶角时有一种情况：∠B=112.5°，所以符合条件的∠B有三个.又因为∠B为钝角，则符合答案的有两个，故本题应选B.点睛：因为不确定这个等腰三角形的底边，所以应当以点A为一个确定点进行分类讨论：①当以B为顶点时，即以B为圆心，AB长为半径画弧交AC于点D，构成等腰△BAD；②当以点A为顶点时，即以点A为圆心，AB长为半径画弧，交AC于点D，构成等腰△ABD；或作线段AB的垂直平分线交AC于点D构成等腰△DAB.16．如图，在△ABC中，BI，CI分别平分∠ABC，∠ACB，过I点作DE∥BC，交AB于D，交AC于E，给出下列结论：①△DBI是等腰三角形；②△A CI是等腰三角形；③AI平分∠BAC；④△ADE周长等于AB＋AC．其中正确的是( )A．①②③B．②③④C．①③④D．①②④【答案】C【解析】【分析】根据角平分线的性质、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质分别对各选项分析判断后利用排除法求解．【详解】①∵IB平分∠ABC，∴∠DBI=∠CBI．∵DE∥BC，∴∠DIB=∠CBI，∴∠DBI=∠DIB，∴BD=DI，∴△DBI是等腰三角形．故本选项正确；②∵∠BAC不一定等于∠ACB，∴∠IAC不一定等于∠ICA，∴△ACI不一定是等腰三角形．故本选项错误；③∵三角形角平分线相交于一点，BI，CI分别是∠ABC和∠ACB的平分线，∴AI平分∠BAC．故本选项正确；④∵BD=DI，同理可得EI=EC，∴△ADE的周长=AD+DI+EI+AE=AD+BD+EC+AE=AB+AC．故本选项正确；其中正确的是①③④．故选C．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，熟记三角形的角平分线相交于一点是解题的关键．17．如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点．若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，若△CDM周长的最小值为8，则△ABC的面积为（）A．12 B．16 C．24 D．32【答案】A【解析】【分析】连接AD，由于△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，故AD⊥BC，再根据EF是线段AC的垂直平分线可知，点C关于直线EF的对称点为点A，故AD的长为CM+MD的最小值，再根据三角形的周长求出AD的长，由此即可得出结论．【详解】连接AD，∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，∴AD⊥BC，∵EF是线段AC的垂直平分线，∴点C关于直线EF的对称点为点A，∴AD的长为CM+MD的最小值，∵△CDM周长的最小值为8，∴AD=8-12BC=8-2=6∴S△ABC=12BC•AD=12×4×6=12，【点睛】本题考查的是轴对称-最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．18．如图，已知长方形ABCD，AB＝1，BC＝2，点M为矩形内一点，点E为BC边上任意一点，则MA＋MD＋ME的最小值为( )A．1 B．1+3C．2+3D．3【答案】B【解析】【分析】将△AMD绕点A逆时针旋转60°得到△AM’D’，MD=M’D’，易得到△ADD’和△AMM’均为等边三角形，推出AM=MM’可得MA+MD+ME=D’M+MM’+ME，共线时最短；由于点E 也为动点，可得当D’E⊥BC时最短，此时易求得D’E=DG+GE的值.【详解】将△AMD绕点A逆时针旋转60°得到△AM’D’，MD=M’D’，易得到△ADD’和△AMM’均为等边三角形，∴AM=MM’，∴MA+MD+ME=D’M+MM’+ME，∴D′M、MM′、ME共线时最短，由于点E也为动点，∴当D’E⊥BC时最短，此时易求得D’E=DG+GE=4+33，∴MA+MD+ME的最小值为4+33．故选B．本题考查轴对称、旋转变换、矩形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造等边三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题．19．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形OABC是长方形，点A、C的坐标分别为A（10，0 ），C（0，4），点D是OA的中点，点P在BC边上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，点P的坐标为（）A．（3，4），（2，4）B．（3，4），（2，4），（8，4）C．（2，4），（8，4）D．（3，4），（2，4），（8，4），（2.5，4）【答案】B【解析】试题解析：有两种情况：①以O为圆心，以5为半径画弧交BC于P点，此时OP=OD=5，在Rt△OPC中，OC=4，OP=5，由勾股定理得PC=3，则P的坐标是（3，4）；②以D为圆心，以5为半径画弧交BC于P′和P″点，此时DP′=DP″=OD=5，过P′作P′N⊥OA于N，在Rt△OP′N中，设CP′=x，则DN=5-x，P′N=4，OP=5，由勾股定理得：42+（5-x）2=52，x=2，则P′的坐标是（2，4）；过P″作P″M⊥OA于M，设BP″=a，则DM=5-a，P″M=4，DP″=5，在Rt△DP″M中，由勾股定理得：（5-a）2+42=52，解得：a=2，∴BP″=2，CP″=10-2=8，即P ″的坐标是（8，4）；假设0P=PD ，则由P 点向0D 边作垂线，交点为Q 则有PQ 2十QD 2=PD 2，∵0P=PD=5=0D ，∴此时的△0PD 为正三角形，于是PQ=4，QD=120D=2.5，PD=5，代入①式，等式不成立．所以排除此种可能．故选B ．20．如图，在平面直角坐标系中，A(1，2)，B(3，2)，连接AB ，点P 是x 轴上的一个动点，连接AP 、BP ，当△ABP 的周长最小时，对应的点P 的坐标和△ABP 的最小周长分别为( )A ．(1，0)，224+B ．(3，0)，224+C ．(2,0), 25D ．(2,0),252+【答案】D【解析】 作A 关于x 轴的对称点N （1，-2），连接BN 与x 轴的交点即为点P 的位置，此时△ABP 的周长最小.设直线BN 的解析式为y kx b =+，∵N (1，-2)，B (3，2)，∴232k b k b +=-⎧⎨+=⎩， 解得24k b =⎧⎨=-⎩， ∴24y x =-，当0y =时，240x -=，解得，2x=，∴点P的坐标为（2，0）；∵A(1，2)，B(3，2)，∴AB//x轴，∵AN⊥x轴，∴AB⊥x轴，在Rt△ABC中，AB＝2，AN＝4，由勾股定理得，BN==∵AP=NP,∴△ABP的周长最小值为：AB+BP+AP=AB+BP+PN=AB+BN故选D.点睛：本题考查最短路径问题.利用轴对称作出点P的位置是解题的关键.。

全等三角形综合题

全等三角形综合题

养习惯·树态度一．解答题（共17小题）1．如图1，在正方形ABCD中，点E是BC的中点，将△ABE沿AE折叠后得到△AFE，点F在正方形ABCD内部，延长AF交CD于点G．（1）请判断线段GF与GC的大小关系是_________．（2）若将图1中的正方形改成矩形，其他条件不变，如图2，那么线段GF与GC之间的大小关系是否改变？并证明你的结论．（3）若将图1中的正方形改为平行四边形，其他条件不变，如图3，那么线段GF与GC之间的大小关系是否会改变？并证明你的结论．2．在△ABC中，∠ACB为锐角，动点D（异于点B）在射线BC上，连接AD，以AD为边在AD的右侧作正方形ADEF，连接CF．（1）若AB=AC，∠BAC=90°那么①如图一，当点D在线段BC上时，线段CF与BD之间的位置、大小关系是_________（直接写出结论）②如图二，当点D在线段BC的延长上时，①中的结论是否仍然成立？请说明理由．（2）若AB≠AC，∠BAC≠90°．点D在线段BC上，那么当∠ACB等于多少度时？线段CF与BD之间的位置关系仍然成立．请画出相应图形，并说明理由．3．在四边形ABCD中，对角线AC平分∠DAB．（1）如图①，当∠DAB=120°，∠B=∠D=90°时，求证：AB+AD=AC．（2）如图②，当∠DAB=120°，∠B与∠D互补时，线段AB、AD、AC有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给予证明．（3）如图③，当∠DAB=90°，∠B与∠D互补时，线段AB、AD、AC有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给予证明．4．（1）如图，△ABC中，CA=CB，∠ACB=90°，D为△ABC外一点，且AD⊥BD，BD交AC于E，G为BC上一点，且∠BCG=∠DCA，过G点作GH⊥CG交CB于H．求证：CD=CG；（2）如图，△ABC中，CA=CB，∠ACB=90°，D为△ABC外一点，且AD⊥BD，AD交BC于点E，连接CD，过点C作CG⊥CD，交AD于点G．若AD=CG，求证：AB=AC+BH．6．把两个全等的直角三角板的斜边重合，组成一个四边形ABCD以D为顶点作∠MDN，交边AC、BC于M、N．（1）若∠ACD=30°，∠MDN=60°，当∠MDN绕点D旋转时，AM、MN、BN三条线段之间有何种数量关系？证明你的结论；（2）当∠ACD+∠MDN=90°时，AM、MN、BN三条线段之间有何数量关系？证明你的结论；（3）如图③，在（2）的结论下，若将M、N分改在CA、BC的延长上，完成图3，其余条件不变，则AM、MN、BN之间有何数量关系（直接写出结论，不必证明）7．问题背景：某课外学习小组在一次学习研讨中，得到了如下命题：如图①，在正五边形ABCDE中，M、N分别是CD、DE上的点，BM与CN相交于点O，若CM=DN，则∠BON=108°．该小组提出了一个大胆的猜想：如图②，在正五边形ABCDE中，M、N分别是DE、EA上的点，BM与CN相交于点O，若DM=EN，则∠BON=108°．请问他们的猜想是否正确？若正确，请写出解答过程；若不正确，请说明理由．8．已知：如图，在Rt△ABC中，∠CAB=90°，AB=AC，D为AC的中点，过点作CF⊥BD交BD的延长线于点F，过点作AE⊥AF于点．（1）求证：△ABE≌△ACF；（2）过点作AH⊥BF于点H，求证：CF=EH．9．如图，在△ABC和ADE中，AB=AC，AD=AE，且∠BAC=∠DAE，点E在BC上．过点D作DF∥BC，连接DB．求证：（1）△ABD≌△ACE；（2）DF=CE．10．已知四边形ABCD中，AB⊥AD，BC⊥CD，AB=BC，∠ADC=120°．将一块足够大的三角尺MNB的30°角顶点与四边形顶点B重合，当三角尺的30°角（∠MBN）绕着点B旋转时，它的两边分别交边AD，DC所在直线于E，F．（1）当∠MBN绕B点旋转到AE=CF时（如题图1），请直接写出AE，CF，EF之间的数量关系．（2）当∠MBN绕B点旋转到AE≠CF时（如题图2），（1）中的结论是否仍成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AE，CF，EF又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并说明理由．（3）当∠MBN绕B点旋转到AE≠CF时（如题图3和题图4），请分别直接写出线段AE，CF，EF之间的数量关系．11．已知CD是经过∠BCA顶点C的一条直线，CA=CB．E、F分别是直线CD上两点（不重合），且∠BEC=∠CFA=∠a（1）若直线CD经过∠BCA的内部，且E、F在射线CD上，请解决下面问题：①若∠BCA=90°，∠a=90°，请在图1中补全图形，并证明：BE=CF，EF=|BE﹣AF|；②如图2，若0°＜∠BCA＜180°，请添加一个关于∠a与∠BCA关系的条件_________，使①中的两个结论仍然成立；（2）如图3，若直线CD经过∠BCA的外部，∠a=∠BCA，请写出EF、BE、AF三条线段数量关系（不要求证明）．12．如图1，△ABC的边BC在直线l上，AC⊥BC，且AC=BC；△EFP的边FP也在直线l上，边EF与边AC重合，且EF=FP．（1）示例：在图1中，通过观察、测量，猜想并写出AB与AP所满足的数量关系和位置关系．答：AB与AP的数量关系和位置关系分别是_________、_________．（2）将△EFP沿直线l向左平移到图2的位置时，EP交AC于点Q，连结AP，BQ．请你观察、测量，猜想并写出BQ与AP所满足的数量关系和位置关系．答：BQ与AP的数量关系和位置关系分别是_________、_________．（3）将△EFP沿直线l向左平移到图3的位置时，EP的延长线交AC的延长线于点Q，连结AP、BQ．你认为（2）中所猜想的BQ与AP的数量关系和位置关系还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由．14．问题情境：如图1，在直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，可知：∠BAD=∠C（不需要证明）；特例探究：如图2，∠MAN=90°，射线AE在这个角的内部，点B、C在∠MAN的边AM、AN上，且AB=AC，CF⊥AE 于点F，BD⊥AE于点D．证明：△ABD≌△CAF；归纳证明：如图3，点B，C在∠MAN的边AM、AN上，点E，F在∠MAN内部的射线AD上，∠1、∠2分别是△ABE、△CAF的外角．已知AB=AC，∠1=∠2=∠BAC．求证：△ABE≌△CAF；拓展应用：如图4，在△ABC中，AB=AC，AB＞BC．点D在边BC上，CD=2BD，点E、F在线段AD上，∠1=∠2=∠BAC．若△ABC的面积为15，则△ACF与△BDE的面积之和为_________．15．已知点C为线段AB上一点，分别以AC、BC为边在线段AB同侧作△ACD和△BCE，且CA=CD，CB=CE，∠ACD=∠BCE，直线AE与BD交于点F．（1）如图1，求证：△ACE≌△DCB．（2）如图1，若∠ACD=60°，则∠AFB=_________；如图2，若∠ACD=90°，则∠AFB=_________；（3）如图3，若∠ACD=β，则∠AFB=_________（用含β的式子表示）并说明理由．16．如图1，已知AM∥BN，AC平分∠MAB，BC平分∠NBA．（1）过点C作直线DE，分别交AM、BN于点D、E．求证：AB=AD+BE；（2）如图2，若将直线DE绕点C转动，使DE与AM交于点D，与NB的延长线交于点E，则AB、AD、BE三条线的长度之间存在何种等量关系？请你给出结论并加以证明．2014年09月12日1054166241的初中数学组卷参考答案与试题解析一．解答题（共17小题）1．（2014•潮安区模拟）如图1，在正方形ABCD中，点E是BC的中点，将△ABE沿AE折叠后得到△AFE，点F 在正方形ABCD内部，延长AF交CD于点G．（1）请判断线段GF与GC的大小关系是FG=CG．（2）若将图1中的正方形改成矩形，其他条件不变，如图2，那么线段GF与GC之间的大小关系是否改变？并证明你的结论．（3）若将图1中的正方形改为平行四边形，其他条件不变，如图3，那么线段GF与GC之间的大小关系是否会改变？并证明你的结论．考点：四边形综合题；直角三角形全等的判定．专题：证明题；分类讨论．分析：（1）判定直角三角形△ECG和△EFG全等，和全等三角形对应边相等的性质；（2）判定直角三角形△ECG和△EFG全等，和全等三角形对应边相等的性质；（3）判定△ECG和△EFG全等，根据全等三角形对应边相等性质即可证明．解答：解：（1）∵E是BC的中点∴BE=CE∵将△ABE沿AE折叠后得到△AFE∴BE=EF，∴EF=EC；同样，在折叠中，∠B=∠EFA=90°又∵∠C=∠B，∠EFG=∠EFA∴∠C=∠EFG=90°∵EG=EG，∴△ECG≌△EFG∴FG=CG；（2）不会改变．证明：连接EG∵E是BC的中点∴BE=CE∵将△ABE沿AE折叠后得到△AFE∴BE=EF，∴EF=EC；同样，在折叠中，∠B=∠EFA=90°又∵∠C=∠B，∠EFG=∠EFA∴∠C=∠EFG=90°∵EG=EG，∴△ECG≌△EFG∴FG=CG；（3）不会改变．证明：连接EG、FC∵E是BC的中点∴BE=CE∵将△ABE沿AE折叠后得到△AFE∴BE=EF，∠B=∠AFE∴EF=EC∴∠EFC=∠ECF∵矩形ABCD改为平行四边形∴∠B=∠D∵∠ECD=180°﹣∠D，∠EFG=180°﹣∠AFE=180°﹣∠B=180°﹣∠D∴∠ECD=∠EFG∴∠GFC=∠GFE﹣∠EFC=∠ECG﹣∠ECF=∠GCF∴∠GFC=∠GCF∴△ECG≌△EFG∴FG=CG即（1）中的结论仍然成立．点评：本题考查了学生对直角三角形全等的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质．3．（2010•海沧区质检）在△ABC中，∠ACB为锐角，动点D（异于点B）在射线BC上，连接AD，以AD为边在AD的右侧作正方形ADEF，连接CF．（1）若AB=AC，∠BAC=90°那么①如图一，当点D在线段BC上时，线段CF与BD之间的位置、大小关系是CF=BD，CF⊥BD（直接写出结论）②如图二，当点D在线段BC的延长上时，①中的结论是否仍然成立？请说明理由．（2）若AB≠AC，∠BAC≠90°．点D在线段BC上，那么当∠ACB等于多少度时？线段CF与BD之间的位置关系仍然成立．请画出相应图形，并说明理由．考点：全等三角形的判定与性质．分析：（1）①根据正方形和等边三角形的性质得出AD=AF，∠BAC=∠DAF=90°，求出∠BAD=∠CAF，证△BAD≌△CAF，推出BD=CF，∠B=∠ACF，求出∠FCB=90°即可；②求出∠BAD=∠CAF，证△BAD≌△CAF，推出BD=CF，∠B=∠ACF，求出∠FCB=90°即可；（2）在BD上截取AM=AC，连接AM，与（1）证明过程类似证MAD≌△CAF即可求出答案．解答：（1）①CF=BD CF⊥BD，解：结论还成立，CF=BD CF⊥BD，理由是：∵四边形ADEF是正方形，∴AD=AF，∠DAF=90°，∵∠BAC=90°，∴∠BAC﹣∠DAC=∠DAF﹣∠DAC，∴∠BAD=∠CAF，∵在△BAD和△CAF中，∴△BAD≌△CAF，∴CF=BD，∠B=∠ACF，∵∠BAC=90°，∴∠B+∠BCA=90°，∴∠ACF+∠ACB=90°，∴CF⊥BD，故答案为：CF=BD，CF⊥BD．②解：结论还成立，理由是由①知，∠BAC=FAD=90°，∴∠BAC+∠CAD=∠FAD+∠CAD，∴∠BAD=∠FAC，∵在△BAD和△CAF中，∴△BAD≌△CAF，∴CF=BD，∠B=∠ACF，∵∠BAC=90°，∴∠B+∠BCA=90°，∴∠ACF+∠ACB=90°，∴CF⊥BD，即①的结论还成立．（2）解：当∠ACB=45°时，CF⊥BD理由是：如图1，当∠BAC＞90°，过点A作AM⊥CA交BC于M，则AM=AC，由（1）同理可证明△FAC≌△MAD，∴∠ACF=∠AMD=45°，∴∠FCB=90°，即CF⊥BD．点评：本题考查了全等三角形的性质和判定，正方形的性质，主要培养学生的推理能力，本题具有一定的代表性，证明过程类似，透过做此题培养了学生的发散思维能力．4．（2008•宣武区二模）在四边形ABCD中，对角线AC平分∠DAB．（1）如图①，当∠DAB=120°，∠B=∠D=90°时，求证：AB+AD=AC．（2）如图②，当∠DAB=120°，∠B与∠D互补时，线段AB、AD、AC有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给予证明．（3）如图③，当∠DAB=90°，∠B与∠D互补时，线段AB、AD、AC有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给予证明．考点：全等三角形的判定与性质．分析：（1）由AC平分∠DAB，∠DAB=120°，可得∠CAB=∠CAD=60°，又由∠B=∠D=90°，即可得∠ACB=∠ACD=30°，根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，即可得AB+AD=AC；（2）首先过C点分别作AD和AB延长线的垂线段，垂足分别为E、F，由AC平分∠DAB，可得CE=CF，又由∠B与∠D互补，可证得△CED≌△CFB，则可得AD+AB=AE+AF，又由AE+AF=AC，则可得线段AB、AD、AC有怎样的数量关系为AB+AD=AC；（3）首先过C点分别作AB和AD延长线的垂线段，垂足分别是E、F，与（2）同理可得△CEB≌△CFD，则可得∠G=∠DAC=∠CAB=45°，即可求得线段AB、AD、AC有怎样的数量关系为AB+AD=AC．解答：证明：（1）在四边形ABCD中，∵AC平分∠DAB，∠DAB=120°，∴∠CAB=∠CAD=60°．又∵∠B=∠D=90°，∴∠ACB=∠ACD=30°．∴AB=AD=AC，即AB+AD=AC．（2）AB+AD=AC．证明如下：如图②，过C点分别作AD和AB延长线的垂线段，垂足分别为E、F．∵AC平分∠DAB，∴CE=CF．∵∠ABC+∠D=180°，∠ABC+∠CBF=180°，∴∠CBF=∠D．又∵∠CED=∠CFB=90°，∴△CED≌△CFB．∴ED=BF．∴AD+AB=AE+ED+AB=AE+BF+AB=AE+AF．∵AC为角平分线，∠DAB=120°，∴∠ECA=∠FCA=30°，∴AE=AF=AC，∴AE+AF=AC，∴AB+AD=AE+AF=AC．∴AB+AD=AC．（3）AB+AD=AC．证明如下：如图③，过C点分别作AB和AD延长线的垂线段，垂足分别是E、F．∵AC平分∠DAB，∵CE⊥AD，CF⊥AF，∴CE=CF．∵∠ABC+∠ADC=180°，∠ADC+∠EDC=180°，∴∠ABC=∠EDC．又∵∠CED=∠CFB=90°．∴△CFB≌△CED（AAS）．∴CB=CD．延长AB至G，使BG=AD，连接CG．∵∠ABC+∠ADC=180°，∠ABC+∠CBG=180°，∴∠CBG=∠ADC．∴△GBC≌△ADC（SAS）．∴∠G=∠DAC=∠CAB=45°．∴∠ACG=90°．∴AG=AC．∴AB+AD=AC．点评：此题考查了全等三角形的判定与性质，四边形的性质，直角三角形的性质等知识．此题综合性较强，难度适中，解题的关键是数形结合思想的应用．5．（1）如图，△ABC中，CA=CB，∠ACB=90°，D为△ABC外一点，且AD⊥BD，BD交AC于E，G为BC上一点，且∠BCG=∠DCA，过G点作GH⊥CG交CB于H．求证：CD=CG；（2）如图，△ABC中，CA=CB，∠ACB=90°，D为△ABC外一点，且AD⊥BD，AD交BC于点E，连接CD，过点C作CG⊥CD，交AD于点G．若AD=CG，求证：AB=AC+BH．考点：全等三角形的判定与性质．专题：证明题．分析：（1）由AD⊥BD得到∠ADB=90°，而∠ACB=90°，∠AED=∠BEC，根据三角形内角和得∠CAD=∠DBC，再根据等角的余角相等得到∠BCG=∠DCA，然后利用“ASA”可判断△ADC≌△BCG，则CD=CG；（2）延长EC到F使CF=CE，由△AGC≌△BCD得到AG=BD，由CG=BD可代换得到AG=CG，则∠GAC=∠GCA，而∠CGD=45°，所以∠GAC=22.5°，再利用AC⊥BC，CF=CE，得到△AEF为等腰三角形，于是∠FAC=∠EAC=22.5°，利用∠CAB=45°，∠ABC=45°可计算出∠FAB=67.5°，∠F=67.5°，得到∠F=∠FAB，所以AB=BF，而BF=BC+CF=AC+CE，即有AB=AC+CE，只要证出BH=CD即可．解答：（1）解：∵AD⊥BD，∴∠ADB=90°，∵∠ACB=90°，∠AED=∠BEC，∴∠CAD=∠DBH，∵∠BCG=∠DCA，∵在△ACD和△BGC中∴△ACD≌△BGC（ASA），∴CD=CG；（2）证明：延长EC到F使CF=CE，如图，∵△AGC≌△BCD∴AG=BD，∵CG=BD，∴AG=CG，∴∠GAC=∠GCA，∵△CDG为等腰直角三角形，∴∠CGD=45°，∴∠GAC=22.5°，∵AC⊥BC，CF=CE，∴△AEF为等腰三角形，∴∠FAC=∠EAC=22.5°，∵△ABC为等腰直角三角形，∵∠CAB=45°，∠ABC=45°，∴∠FAB=22.5°+45°=67.5°，∴∠F=180°﹣45°﹣67.5°=67.5°，∴∠F=∠FAB，∴AB=BF，而BF=BC+CF=AC+CE，∴AB=AC+CE．点评：本题考查了全等三角形的判定与性质：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的对应边相等．也考查了等腰直角三角形的性质．6．把两个全等的直角三角板的斜边重合，组成一个四边形ABCD以D为顶点作∠MDN，交边AC、BC于M、N．（1）若∠ACD=30°，∠MDN=60°，当∠MDN绕点D旋转时，AM、MN、BN三条线段之间有何种数量关系？证明你的结论；（2）当∠ACD+∠MDN=90°时，AM、MN、BN三条线段之间有何数量关系？证明你的结论；（3）如图③，在（2）的结论下，若将M、N分改在CA、BC的延长上，完成图3，其余条件不变，则AM、MN、BN之间有何数量关系（直接写出结论，不必证明）考点：全等三角形的判定与性质．专题：证明题；几何综合题．分析：（1）延长CB到E，使BE=AM，证△DAM≌△DBE，推出∠BDE=∠MDA，DM=DE，证△MDN≌△EDN，推出MN=NE即可；（2）延长CB到E，使BE=AM，证△DAM≌△DBE，推出∠BDE=∠MDA，DM=DE，证△MDN≌△EDN，推出MN=NE即可；（3）在CB截取BE=AM，连接DE，证△DAM≌△DBE，推出∠BDE=∠MDA，DM=DE，证△MDN≌△EDN，推出MN=NE即可．解答：（1）AM+BN=MN，证明：延长CB到E，使BE=AM，∵∠A=∠CBD=90°，∴∠A=∠EBD=90°，在△DAM和△DBE中，∴△DAM≌△DBE，∴∠BDE=∠MDA，DM=DE，∵∠MDN=∠ADC=60°，∴∠ADM=∠NDC，∴∠BDE=∠NDC，∴∠MDN=∠NDE，在△MDN和△EDN中，∴△MDN≌△EDN，∴MN=NE，∵NE=BE+BN=AM+BN，∴AM+BN=MN．（2）AM+BN=MN，证明：延长CB到E，使BE=AM，连接DE，∵∠A=∠CBD=90°，∴∠A=∠DBE=90°，∵∠CDA+∠ACD=90°，∠MDN+∠ACD=90°，∴∠MDN=∠CDA，∵∠MDN=∠BDC，∴∠MDA=∠CDN，∠CDM=∠NDB，在△DAM和△DBE中，∴△DAM≌△DBE，∴∠BDE=∠MDA=∠CDN，DM=DE，∵∠MDN+∠ACD=90°，∠ACD+∠ADC=90°，∴∠NDM=∠ADC=∠CDB，∴∠ADM=∠CDN=∠BDE，∵∠CDM=∠NDB∴∠MDN=∠NDE，在△MDN和△EDN中，∴△MDN≌△EDN，∴MN=NE，∵NE=BE+BN=AM+BN，∴AM+BN=MN．（3）BN﹣AM=MN，证明：在CB截取BE=AM，连接DE，∵∠CDA+∠ACD=90°，∠MDN+∠ACD=90°，∴∠MDN=∠CDA，∵∠ADN=∠ADN，∴∠MDA=∠CDN，∵∠B=∠CAD=90°，∴∠B=∠DAM=90°，在△DAM和△DBE中，∴△DAM≌△DBE，∴∠BDE=∠ADM=∠CDN，DM=DE，∵∠ADC=∠BDC=∠MDN，∴∠MDN=∠EDN，在△MDN和△EDN中，∴△MDN≌△EDN，∴MN=NE，∵NE=BN﹣BE=BN﹣AM，∴BN﹣AM=MN．点评：本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生运用性质进行推理的能力，运用了类比推理的方法，题目比较典型，但有一定的难度．7．问题背景：某课外学习小组在一次学习研讨中，得到了如下命题：如图①，在正五边形ABCDE中，M、N分别是CD、DE上的点，BM与CN相交于点O，若CM=DN，则∠BON=108°．该小组提出了一个大胆的猜想：如图②，在正五边形ABCDE中，M、N分别是DE、EA上的点，BM与CN相交于点O，若DM=EN，则∠BON=108°．请问他们的猜想是否正确？若正确，请写出解答过程；若不正确，请说明理由．考点：全等三角形的判定与性质；三角形的外角性质；多边形内角与外角．专题：证明题．分析：连接EC、BD，由正五边形推出∴∠CBD=∠CDB=∠ECD=∠DEC=36°，△BCD≌△CDE，证出△CEN≌△BDM推出∠ECN=∠DBM，根据∠BON=∠OBC+∠OCB即可求出答案．解答：结论：猜想正确证明：连接EC、BD，∵五边形ABCDE为正五边形，∴∠BCD=∠CDE=∠DEA=108°，BC=CD=DE，∴∠CBD=∠CDB=∠ECD=∠DEC=36°，△BCD≌△CDE，∴∠NEC=∠BDM=∠BCE=72°，BD=EC，又∵DM=EN，∴△CEN≌△BDM，∴∠ECN=∠DBM，∴∠BON=∠OBC+∠OCB=∠DBC+∠ECB=36°+72°=108°，∴∠BON=108°．点评：本题主要考查对全等三角形的性质，三角形的外角性质，多边形的内角和外角等知识点的理解和掌握，能熟练地运用这些性质进行推理是解此题的关键．8．已知：如图，在Rt△ABC中，∠CAB=90°，AB=AC，D为AC的中点，过点作CF⊥BD交BD的延长线于点F，过点作AE⊥AF于点．（1）求证：△ABE≌△ACF；（2）过点作AH⊥BF于点H，求证：CF=EH．考点：全等三角形的判定与性质．专题：证明题．分析：（1）利用直角关系得出∠BAE=∠CAF，∠ABD=∠DCF，即可得出△ABE≌△ACF，（2）由△ABE≌△ACF，得出AE=AF，再由等腰直角三角形得出AH=EH，再证得△ADH≌△CDF即可得出CF=EH解答：证明：（1）∵AE⊥AF，∠CAB=90°，∴∠EAF=∠CAB=90°∴∠EAF﹣∠EAC=∠CAB﹣∠EAC即∠BAE=∠CAF，∵CF⊥BD，∴∠BFC=90°=∠CAB，∴∠BDA+∠ABD=90°，∠DCF+∠FDC=90°，∵∠ADB=∠FDC，∴∠ABD=∠DCF，在△ABE和△ACF中，，∴△ABE≌△ACF（ASA），（2）∵由（1）知△ABE≌△ACF，∴AE=AF，∵∠EAF=90°，∴∠AEF=∠AFE=45°，∵AH⊥BF，∴∠AHF=∠AHE=90°=∠CFH，∴∠EAH=180°﹣∠AHE﹣∠AEF=45°=∠AEF，∴AH=EH，∵D为AC中点，∴AD=CD，在△ADH和△CDF中，，∴△ADH≌△CDF（AAS），∴AH=CF，∴EH=CF．点评：本题主要考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是能根据角和边的关键得出三角形全等．9．如图，在△ABC和ADE中，AB=AC，AD=AE，且∠BAC=∠DAE，点E在BC上．过点D作DF∥BC，连接DB．求证：（1）△ABD≌△ACE；（2）DF=CE．考点：全等三角形的判定与性质．专题：证明题．分析：（1）求出∠BAD=∠BAC，根据SAS证出△BAD≌△CAE即可；（2）根据全等推出∠DBA=∠C，根据等腰三角形性质得出∠C=∠ABC，根据平行线性质得出∠ABC=∠DFB，推出∠DFB=∠DBF，根据等腰三角形的判定推出即可．解答：（1）证明：∵∠BAC=∠DAE，∴∠BAC﹣∠BAE=∠DAE﹣∠BAE，∴∠BAD=∠EAC，在△BAD和△CAE中∵，∴△BAD≌△CAE（SAS）；（2）证明：∵△BAD≌△CAE，∴∠DBA=∠C，∵AB=AC，∴∠C=∠ABC，∵DF∥BC，∴∠DFB=∠ABC=∠C=∠DBA，即∠DFB=∠DBF，∴DF=CE．点评：本题考查了全等三角形的性质和判定，平行线的性质，等腰三角形的性质和判定等知识点，主要考查学生运用性质进行推理的能力，题目比较典型，是一道比较好的题目．10．已知四边形ABCD中，AB⊥AD，BC⊥CD，AB=BC，∠ADC=120°．将一块足够大的三角尺MNB的30°角顶点与四边形顶点B重合，当三角尺的30°角（∠MBN）绕着点B旋转时，它的两边分别交边AD，DC所在直线于E，F．（1）当∠MBN绕B点旋转到AE=CF时（如题图1），请直接写出AE，CF，EF之间的数量关系．（2）当∠MBN绕B点旋转到AE≠CF时（如题图2），（1）中的结论是否仍成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AE，CF，EF又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并说明理由．（3）当∠MBN绕B点旋转到AE≠CF时（如题图3和题图4），请分别直接写出线段AE，CF，EF之间的数量关系．考点：全等三角形的判定与性质．专题：证明题．分析：（1）AE+CF=EF，证法与（2）相同；（2）延长EA到G，使AG=FC，证△GAB≌△FCB，推出∠GBA=∠FBC，GB=FB，AG=CF，求出∠GBE=30°，证△GBE和△FBE全等即可；（3）在AE上取AM=CF，证△ABM和△BCF全等，证△BME和△BFE全等即可；图4与图3证法类似．解答：解：（1）AE+CF=EF；（2）成立．理由是：延长EA到G，使AG=FC，∵GA=FC，∠GAB=∠FCB=90°，AB=CB，∴△GAB≌△FCB（SAS），∴∠GBA=∠FBC，GB=FB，AG=CF，∵∠FBC+∠FBA=60°，∴∠GBA+∠FBA=60°，即：∠GBF=60°∵∠EBF=30°，∴∠GBE=30°，∵GB=FB，∠GBE=∠FBE，BE=BE，∴△GBE≌△FBE，∴GE=FE∵GE=AG+AE，∴EF=AE+CF；（3）图3：AE﹣CF=EF；图4：AE+EF=CF．点评：本题主要考查对全等三角形的性质和判定的理解和掌握，能熟练地运用性质进行推理是解此题的关键．11．已知CD是经过∠BCA顶点C的一条直线，CA=CB．E、F分别是直线CD上两点（不重合），且∠BEC=∠CFA=∠a（1）若直线CD经过∠BCA的内部，且E、F在射线CD上，请解决下面问题：①若∠BCA=90°，∠a=90°，请在图1中补全图形，并证明：BE=CF，EF=|BE﹣AF|；②如图2，若0°＜∠BCA＜180°，请添加一个关于∠a与∠BCA关系的条件∠α+∠BCA=180°，使①中的两个结论仍然成立；（2）如图3，若直线CD经过∠BCA的外部，∠a=∠BCA，请写出EF、BE、AF三条线段数量关系（不要求证明）．考点：全等三角形的判定与性质．分析：（1）①求出∠BEC=∠AFC=90°，∠CBE=∠ACF，根据AAS证△BCE≌△CAF，推出BE=CF，CE=AF 即可；②求出∠BEC=∠AFC，∠CBE=∠ACF，根据AAS证△BCE≌△CAF，推出BE=CF，CE=AF即可；（2）求出∠BEC=∠AFC，∠CBE=∠ACF，根据AAS证△BCE≌△CAF，推出BE=CF，CE=AF即可．解答：（1）①如图，E点在F点的左侧，∵BE⊥CD，AF⊥CD，∠ACB=90°，∴∠BEC=∠AFC=90°，∴∠BCE+∠ACF=90°，∠CBE+∠BCE=90°，∴∠CBE=∠ACF，在△BCE和△CAF中，∴△BCE≌△CAF（AAS），∴BE=CF，CE=AF，∴EF=CF﹣CE=BE﹣AF，当E在F的右侧时，同理可证EF=AF﹣BE，∴EF=|BE﹣AF|；②∠α+∠ACB=180°时，①中两个结论仍然成立；证明：∵∠BEC=∠CFA=∠a，∠α+∠ACB=180°，∴∠CBE=∠ACF，在△BCE和△CAF中，∴△BCE≌△CAF（AAS），∴BE=CF，CE=AF，∴EF=CF﹣CE=BE﹣AF，当E在F的右侧时，同理可证EF=AF﹣BE，∴EF=|BE﹣AF|；（2）EF=BE+AF．理由是：∵∠BEC=∠CFA=∠a，∠a=∠BCA，又∵∠EBC+∠BCE+∠BEC=180°，∠BCE+∠ACF+∠ACB=180°，∴∠EBC+∠BCE=∠BCE+∠ACF，∴∠EBC=∠ACF，在△BEC和△CFA中，，∴△BEC≌△CFA（AAS），∴AF=CE，BE=CF，∵EF=CE+CF，∴EF=BE+AF．点评：本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，本题比较典型，证明过程类似．12．如图1，△ABC的边BC在直线l上，AC⊥BC，且AC=BC；△EFP的边FP也在直线l上，边EF与边AC重合，且EF=FP．（1）示例：在图1中，通过观察、测量，猜想并写出AB与AP所满足的数量关系和位置关系．答：AB与AP的数量关系和位置关系分别是AB=AP、AB⊥AP．（2）将△EFP沿直线l向左平移到图2的位置时，EP交AC于点Q，连结AP，BQ．请你观察、测量，猜想并写出BQ与AP所满足的数量关系和位置关系．答：BQ与AP的数量关系和位置关系分别是BQ=AP、BQ⊥AP．（3）将△EFP沿直线l向左平移到图3的位置时，EP的延长线交AC的延长线于点Q，连结AP、BQ．你认为（2）中所猜想的BQ与AP的数量关系和位置关系还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由．考点：全等三角形的判定与性质．分析：（1）由于AC⊥BC，且AC=BC，边EF与边AC重合，且EF=FP，则△ABC与△EFP是全等的等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质得到∠BAC=∠CAP=45°，AB=AP，则∠BAP=90°，于是AP⊥AB；（2）延长BO交AP于H点，可得到△OPC为等腰直角三角形，则有OC=PC，根据“SAS”可判断△ACP≌△BCO，则AP=BO，∠CAP=∠CBO，利用三角形内角和定理可得到∠AHO=∠BCO=90°，即AP⊥BO；（3）BO与AP所满足的数量关系为相等，位置关系为垂直．证明方法与（2）一样．解答：解：（1）AB=AP，AB⊥AP；（2）BQ=AP，BQ⊥AP；（3）成立．证明：如图，∵∠EPF=45°，∴∠CPQ=45°．∵AC⊥BC，∴∠CQP=∠CPQ，CQ=CP．在Rt△BCQ和Rt△ACP中，∴Rt△BCQ≌Rt△ACP（SAS）∴BQ=AP；延长QB交AP于点N，∴∠PBN=∠CBQ．∵Rt△BCQ≌Rt△ACP，∴∠BQC=∠APC．在Rt△BCQ中，∠BCQ+∠CBQ=90°，∴∠APC+∠PBN=90°．∴∠PNB=90°．∴QB⊥AP．点评：本题考查了全等三角形的判定与性质：有两组边对应相等，且它们所夹的角相等，那么这两个三角形全等；全等三角形的对应边相等．也考查了等腰直角三角形的判定与性质．14．问题情境：如图1，在直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，可知：∠BAD=∠C（不需要证明）；特例探究：如图2，∠MAN=90°，射线AE在这个角的内部，点B、C在∠MAN的边AM、AN上，且AB=AC，CF⊥AE 于点F，BD⊥AE于点D．证明：△ABD≌△CAF；归纳证明：如图3，点B，C在∠MAN的边AM、AN上，点E，F在∠MAN内部的射线AD上，∠1、∠2分别是△ABE、△CAF的外角．已知AB=AC，∠1=∠2=∠BAC．求证：△ABE≌△CAF；拓展应用：如图4，在△ABC中，AB=AC，AB＞BC．点D在边BC上，CD=2BD，点E、F在线段AD上，∠1=∠2=∠BAC．若△ABC的面积为15，则△ACF与△BDE的面积之和为5．考点：全等三角形的判定与性质．分析：图2，求出∠BDA=∠AFC=90°，∠ABD=∠CAF，根据AAS证两三角形全等即可；图③根据已知和三角形外角性质求出∠ABE=∠CAF，∠BAE=∠FCA，根据ASA证两三角形全等即可；图④求出△ABD的面积，根据△ABE≌△CAF得出△ACF与△BDE的面积之和等于△ABD的面积，即可得出答案．解答：证明：图②，∵CF⊥AE，BD⊥AE，∠MAN=90°，∴∠BDA=∠AFC=90°，∴∠ABD+∠BAD=90°，∠ABD+∠CAF=90°，∴∠ABD=∠CAF，在△ABD和△CAF中，∵，∴△ABD≌△CAF（AAS）；图③，∵∠1=∠2=∠BAC，∠1=∠BAE+∠ABE，∠BAC=∠BAE+∠CAF，∠2=∠FCA+∠CAF，∴∠ABE=∠CAF，∠BAE=∠FCA，在△ABE和△CAF中，∵，∴△ABE≌△CAF（ASA）；图④，解：∵△ABC的面积为15，CD=2BD，∴△ABD的面积是：×15=5，由图3中证出△ABE≌△CAF，∴△ACF与△BDE的面积之和等于△ABE与△BDE的面积之和，即等于△ABD的面积，是5，故答案为：5．点评：本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的面积，三角形的外角性质等知识点，主要考查学生的分析问题和解决问题的能力，题目比较典型，证明过程有类似之处．15．已知点C为线段AB上一点，分别以AC、BC为边在线段AB同侧作△ACD和△BCE，且CA=CD，CB=CE，∠ACD=∠BCE，直线AE与BD交于点F．（1）如图1，求证：△ACE≌△DCB．（2）如图1，若∠ACD=60°，则∠AFB=120°；如图2，若∠ACD=90°，则∠AFB=90°；（3）如图3，若∠ACD=β，则∠AFB=180°﹣β（用含β的式子表示）并说明理由．考点：全等三角形的判定与性质．分析：（1）求出∠ACE=∠DCB，根据SAS证出两三角形全等即可；（2）根据全等三角形性质得出∠AEC=∠DBC，∠CDB=∠CAE，求出∠EAB+∠DBA=∠ACD，∠AFB=180°﹣（∠EAB+∠DBC），代入求出即可；（3）根据全等三角形性质得出∠AEC=∠DBC，∠CDB=∠CAE，求出∠EAB+∠DBA=∠ACD，∠AFB=180°﹣（∠EAB+∠DBC），代入求出即可．解答：（1）证明：∵∠ACD=∠BCE，∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE，∴∠ACE=∠DCB，在△ACE和△DCB中∵，∴△ACE≌△DCB；（2）解：∵∠ACD=60°，∴∠CDB+∠DBC=∠ACD=60°，∵△ACE≌△DCB，∴∠AEC=∠DBC，∠CDB=∠CAE，∴∠CAE+∠DBC=60°，∴∠AFB=180°﹣60°=120°；当∠ACD=90°时，∵∠ACD=90°，∴∠CDB+∠DBC=∠ACD=90°，∵△ACE≌△DCB，∴∠AEC=∠DBC，∠CDB=∠CAE，∴∠CAE+∠DBC=90°，∴∠AFB=180°﹣90°=90°；故答案为：120°，90°；（3）解：当∠ACD=β时，∠AFB=180°﹣β，理由是：∵∠ACD=β，∴∠CDB+∠DBC=∠ACD=β，∵△ACE≌△DCB，∴∠AEC=∠DBC，∠CDB=∠CAE，∴∠CAE+∠DBC=β，∴∠AFB=180°﹣（∠CAE+∠DBC）=180°﹣β；故答案为：180°﹣β．点评：本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的外角性质，三角形的内角和定理，解此题的关键是找出已知量和未知量之间的关系．。

初中数学八年级上册第12章《全等三角形》单元同步检测试题 考卷形式稍难(Word版附答案)

初中数学八年级上册第12章《全等三角形》单元同步检测试题 考卷形式稍难(Word版附答案)

第12章 《全等三角形》单元同步检测试题考生注意： 1.考试时间90分钟.2. 全卷共三大题，满分120分. 题号 一 二 三总分 21 22 23 24 25 26 27 28 分数一、选择题（每题3分，共30分）1.下列说法中不正确的是 （ ）A ．全等三角形的对应高相等B ．全等三角形的面积相等 C.全等三角形的周长相等D ．周长相等的两个三角形全等2.如图所示，在Rt △ABC 中，AD 是斜边上的高，∠ABC 的平分线分别交AD 、AC 于点F 、E ，EG ⊥BC 于G ，下列结论正确的是（ ） A ．∠C=∠ABCB ．BA=BGC ．AE=CED ． AF=FD3.P 是∠AOB平分线上一点，CD ⊥OP 于F ，并分别交OA ．OB 于CD ，则P 点到∠AOB 两边距离之和．( ) A ．小于 B ．大于 C ．等于D ．不能确定4.如果两个三角形全等,则不正确的是 （ ）A ．它们的最小角相等B ．它们的对应外角相等 C.它们是直角三角形D ．它们的最长边相等5.下列条件中，不能判定三角形全等的是 （ ）A ．三条边对应相等B ．两边和一角对应相等C.两角的其中一角的对边对应相等 D ．两角和它们的夹边对应相等6.如图，已知AD=AE ，BE=CD ，∠1=∠2=110°，∠BAC=80°，则∠CAE 的度数是（ ） A ．20° B ．30° C ．40° D ．50°7.如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，BE 、CF 是中线，则由（ ）可得△AFC ≌△AEB .A ． SSSB ． SASC ． AASD ． ASA8.如图所示，亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形，那么这两个三角形完全一样的依据是（ ） A ． SSS B ． SAS C ． AAS D ． ASA9.平面上有△ACD 与△BCE ，其中AD 与BE 相交于P 点，如图．若AC=BC ，AD=BE ，CD=CE ，∠ACE=55°，∠BCD=155°，则∠BPD 的度数为（ ） A ．110°B ．125°C ．130°D ．155°10.如图，从下列四个条件：①BC ＝B ′C ， ②AC ＝A ′C ，③∠A ′CA ＝∠B ′CB ，④AB ＝A ′B ′中，任取三个为条件，余下的一个为结论，则最多可以构成正确的结论的个数是（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题(每小题3分，共24分)11．如图，在△ABC 与△ADC 中，已知AD ＝AB ，在不添加任何辅助线的前提下，要使△ABC ≌△ADC ，只需再添加的一个条件可以是________．12．如图，在直角△ABC 中，∠C ＝90°，AD 平分∠BAC 交BC 于点D ，若CD ＝4，则点DA B CE D G FC DBA21EABCEF 第2题图第3题图 第6题图 第7题图第8题图 第9题图第10题图到斜边AB的距离为________．13．如图，若△AOB≌△A′OB′，∠B＝30°，∠AOA′＝52°，则∠A′CO＝________．14．如图，OP平分∠MON，PE⊥OM于E，PF⊥ON于F，OA＝OB，则图中有________对全等三角形．15.如图，已知AB∥CF，E为AC的中点，若FC＝6cm，DB＝3cm，则AB＝________．16．如图，在△ABC中，∠B＝∠C＝50°，BD＝CF，BE＝CD，则∠EDF的度数是________．17．我们知道：“两边及其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等”．但是，小亮发现：当这两个三角形都是锐角三角形时，它们会全等，除小亮的发现之外，当这两个三角形都是________时，它们也会全等；当这两个三角形其中一个三角形是锐角三角形，另一个是________时，它们一定不全等．18．如图，在平面直角坐标系中，已知点A(0，3)，B(9，0)，且∠ACB＝90°，CA＝CB，则点C的坐标为________．三、解答题(共66分)19．(8分)如图，点C是AE的中点，∠A＝∠ECD，AB＝CD，求证：∠B＝∠D.20.(8分)如图，点D在BC上，∠1＝∠2，AE＝AC，下面有三个条件：①AB＝AD；②BC＝DE；③∠E＝∠C，请你从所给条件①②③中选一个条件，使△ABC≌△ADE，并证明两三角形全等．21．(8分)如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，D是AC上一点，E在BC的延长线上，且AE＝BD，BD的延长线与AE交于点F.试通过观察、测量、猜想等方法来探索BF与AE有何特殊的位置关系，并说明你猜想的正确性．22．(10分)如图，在△ABC中，点O是∠ABC、∠ACB平分线的交点，AB＋BC＋AC＝12，过O作OD⊥BC于D点，且OD＝2，求△ABC的面积．23．(10分)如图，在△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点C的坐标为(－2，0)，点A的坐标为(－6，3)，求点B的坐标．24．(10分)如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC 于F.(1)求证：BE＝CF；(2)如果AB＝8，AC＝6，求AE，BE的长．25．(12分)在直角△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，AD，CE分别是∠BAC和∠BCA的平分线，AD，CE相交于点F.(1)求∠EFD的度数；(2)判断FE与FD之间的数量关系，并证明你的结论．参 考 答 案：一．选择题 1.D 2.B 3.B 4.C 5.B 6.A 7.B 8.D 9.C ． 10.B二、填空题11．DC ＝BC 或∠DAC ＝∠BAC 12.4 13．82° 14.3 15.9 16.50°17．钝角三角形或直角三角形 钝角三角形18．(6，6) 解析：如图，过点C 作CE ⊥OA ，CF ⊥OB ，垂足分别为E ，F .则∠OEC ＝∠OFC ＝90°.∵∠AOB ＝90°，∴∠ECF ＝90°.∵∠ACB ＝90°，∴∠ACE ＝∠BCF .在△ACE 和△BCF 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠AEC ＝∠BFC ＝90°，∠ACE ＝∠BCF ，AC ＝BC ，∴△ACE ≌△BCF (AAS)，∴AE ＝BF ，CE ＝CF ，∴点C 的横纵坐标相等，∴OE ＝OF .∵AE ＝OE －OA ＝OE －3，BF ＝OB －OF ＝9－OF ，∴OE ＝OF ＝6，∴C (6，6)．三、解答题19．证明：∵点C 是AE 的中点，∴AC ＝CE .(2分)在△ABC 和△CDE 中，⎩⎪⎨⎪⎧AC ＝CE ，∠A ＝∠ECD ，AB ＝CD ，∴△ABC ≌△CDE (SAS)，(7分)∴∠B ＝∠D .(8分)20．解：选②BC ＝DE .(1分)∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，∴∠E ＝∠C .(3分)在△ADE 和△ABC 中，⎩⎪⎨⎪⎧AE ＝AC ，∠E ＝∠C ，DE ＝BC ，∴△ADE ≌△ABC (SAS)．(8分)21．解：猜想：BF ⊥AE .(2分)理由如下：∵∠ACB ＝90°，∴∠ACE ＝∠BCD ＝90°.又BC ＝AC ，BD ＝AE ，∴△BDC ≌△AEC (HL)．∴∠CBD ＝∠CAE .(5分)又∵∠CAE ＋∠E ＝90°，∴∠EBF ＋∠E ＝90°.∴∠BFE ＝90°，即BF ⊥AE .(8分)22．解：如图，过点O 作OE ⊥AB 于E ，OF ⊥AC 于F ，连接OA .(2分)∵点O 是∠ABC ，∠ACB 平分线的交点，∴OE ＝OD ，OF ＝OD ，即OE ＝OF ＝OD ＝2.(5分)∴S △ABC ＝S △ABO ＋S △BCO ＋S △ACO ＝12AB ·OE ＋12BC ·OD ＋12AC ·OF ＝12×2×(AB ＋BC ＋AC )＝12×2×12＝12.(10分)23．解：如图，过A 和B 分别作AD ⊥x 轴于D ，BE ⊥x 轴于E ，(1分)∴∠ADC ＝∠CEB ＝90°，∴∠ACD ＋∠CAD ＝90°.∵∠ACB ＝90°，∴∠ACD ＋∠BCE ＝90°，∴∠CAD ＝∠BCE .(3分)在△ADC 和△CEB 中，∠ADC ＝∠CEB ＝90°，∠CAD ＝∠BCE ，AC ＝BC ，∴△ADC ≌△CEB (AAS)，∴CD ＝BE ，AD ＝CE .(6分)∵点C 的坐标为(－2，0)，点A 的坐标为(－6，3)，∴OC ＝2，CE ＝AD ＝3，OD ＝6，∴CD ＝OD －OC ＝4，OE ＝CE －OC ＝3－2＝1，∴BE ＝4，∴点B 的坐标是(1，4)．(10分)24．(1)证明：连接DB ，DC ，∵DG ⊥BC 且平分BC ，∴∠DGB ＝∠DGC ＝90°，BG ＝CG .又DG ＝DG ，∴△DGB ≌△DGC ，∴DB ＝DC .∵AD 为∠BAC 的平分线，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，∴DE ＝DF ，∠BED ＝∠AED ＝∠DFC ＝90°.(3分)在Rt △DBE 和Rt △DCF 中，⎩⎪⎨⎪⎧DB ＝DC ，DE ＝DF ，∴Rt △DBE ≌Rt △DCF (HL)，∴BE ＝CF .(5分)(2)解：在Rt △ADE 和Rt △ADF 中，⎩⎪⎨⎪⎧AD ＝AD ，DE ＝DF ，∴Rt △ADE ≌Rt △ADF (HL)，∴AE ＝AF .(7分)∵AC ＋CF ＝AF ，∴AE ＝AC ＋CF .∵AE ＝AB －BE ，∴AC ＋CF ＝AB －BE ，即6＋BE ＝8－BE ，∴BE ＝1，∴AE ＝8－1＝7.(10分)25．解：(1)∵△ABC 中，∠ACB ＝90°，∠B ＝60°，∴∠BAC ＝30°.(1分)∵AD ，CE 分别是∠BAC 和∠BCA 的平分线，∴∠F AC ＝12∠BAC ＝15°，∠FCA ＝12∠ACB ＝45°.∴∠AFC＝180°－∠F AC －∠FCA ＝120°，∴∠EFD ＝∠AFC ＝120°.(4分)(2)结论：FE ＝FD .(5分)证明：如图，在AC 上截取AG ＝AE ，连接FG ，∵AD 是∠BAC 的平分线，∴∠EAF ＝∠GAF .在△F AE 和△F AG 中，⎩⎪⎨⎪⎧AE ＝AG ，∠EAF ＝∠GAF ，AF ＝AF ，∴△AEF ≌△AGF (SAS)，∴FE ＝FG ，∠AFE ＝∠AFG .(8分)∵∠EFD ＝120°，∴∠DFC ＝60°，∠AFG ＝∠AFE ＝60°，∴∠CFG ＝60°＝∠DFC .∵EC 平分∠BCA ，∴∠DCF ＝∠FCG ＝45°.在△FGC 和△FDC 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧∠GFC ＝∠DFC ，FC ＝FC ，∠FCG ＝∠FCD ，∴△FGC ≌△FDC (ASA)，∴FG ＝FD ，∴FE＝FD .(12分)。

各类型中高难度全等三角形125题(答案版)

各类型中高难度全等三角形125题(答案版)

1.已知：如图，AB ∥DE ，AC ∥DF ，BE =CF ．求证：AB =DE ．A DB EC F 【答案】∵ AB ∥ DE ，∴ ∠B =∠DEF∵AC ∥DF ，∴∠F =∠ACB∵ BE =CF ，∴ BE +EC =CF +EC 即 BC =EF∴∆ABC ≌∆DEF ，∴AB =DE ．2.图中是一副三角板，45︒的三角板Rt ∆DEF 的直角顶点D 恰好在30︒的三角板Rt ∆ABC 斜边AB 的中点处，∠A = 30︒，∠E = 45︒，∠EDF =∠ACB = 90︒，DE 交AC 于点G ，GM ⊥AB 于M ．（1）如图1，当DF 经过点C 时，作CN ⊥AB 于N ，求证：AM =DN ．（2）如图2，当DF ∥AC 时，DF 交BC 于H ，作HN ⊥AB 于N ，（1）的结论仍然成立，请你说明理由．FCEGAM D N B图1ECFG HA B图2【答案】⑴ ∵ ∠A = 30︒，∠ACB = 90︒， D 是 AB 的中点，∴ BC =BD ， ∠B = 60︒ ∴△BCD 是等边三角形．又∵CN ⊥DB ，∴DN =1DB ，2∵∠EDF = 90︒，∆BCD 是等边三角形．∴∠ADG = 30︒，而∠A = 30︒，∴GA =GD ．∵ GM ⊥AB ，∴AM =1 AD 2又∵AD =DB ，∴AM =DN ．⑵∵DF ∥AC ，∴∠BDF =∠A = 30︒，∠AGD =∠GDH = 90︒，∴∠ADG = 60︒．∵∠B = 60︒，AD =DB ，∴∆ADG ≌∆DBH ，∴AG =DH ，又∵∠BDF =∠A ，GM ⊥AB ，HN ⊥AB ，∴∆AMG ≌∆DNH ．∴AM =DN ．3.在正方形ABCD 中，AB 、BC 、CD 三边上分别有点E 、G 、F ，且EF ⊥DG ．求证：EF =DG ．⎨ ⎩ADA DEEM FFB G CBGC【答案】过点C 作 EF 的平行线，交 AB 于 M ．易知CM = EF ．从而证的∆BCM ≌ ∆CDG ，从而有 DG = CM ，故 EF = DG ．4.在正方形 ABCD 中， E 、 F 、G 、 H 分别是 AB 、 BC 、CD 、 DA 边上的点，且 EG ⊥ FH ，求证： EG = FH ．A HD A H N DGGEEMBF CBF C【答案】过点 E 作 EM ⊥ CD ，过点 F 作 FN ⊥ AD ，垂足分别为 M 、N ． 由 EM ⊥ CD ， FN ⊥ AD ， EG ⊥ FH ，易得∠MEG = ∠NFH 因为 EM = BC ， BC = CD ， CD = NF ，所以 EM = NF 故∆EMG ≌ ∆NFH ，所以 EG = FH ．5.∆ABC 中， ∠B = 90︒ ， M 为 AB 上一点，使得 AM = BC ， N 为 BC 上一点，使得CN = BM ，连 AN 、CM 交于 P 点．试求∠APM 的度数，并写出你的推理证明的过程．AMBN C【答案】∠APM 的度数为45︒证明过程如下：如图过点 M 作 AB 的垂线 MD ，使 MD = CN ，连接 DA 、 DN ， 于是因为 MD ∥ CN 且 MD = CN ，所以四边形 MDNC 是平行四边形． 从而∠MDN = ∠MCN ，又因为CN = BM ，得到 DM = BM ，进而在∆MDA 与∆MBC 中， ⎧DM = BM ⎪∠DMA = ∠MBC = 90︒ ， ⎪MA = BC PFP⎨ ⎩所以∆DMA ≌ ∆MBC ，这样 DA = MC ，而 MC = DN ， 所以 DN = DA ．又因为∠ADN = ∠ADM + ∠MDN= ∠ADM + ∠DAM = 90︒ ， 所以得到∆ADN 是一个等腰直角三角形，所以∠AND = 45︒ ，利用 MC ∥ DN ，从而得到∠APM = ∠AND = 45︒ ．ADB NC6.如图，在Rt ∆ABC 中， AB = AC ，AD ⊥ BC ，垂足为 D ． E 、F 分别是CD 、AD 上的点，且CE = AF ．如果∠AED = 62︒ ，那么∠DBF = ．A【答案】28︒BDE7.E 、F 分别是正方形 ABCD 的 BC 、CD 边上的点，且 BE = CF ．求证：AE ⊥ BF ．ADF【答案】在∆ABE 和∆BCF 中⎧ AB = BC ⎪∠ABE = ∠BCF⎪BE = CF∴ ∆ABE ≌ ∆BCF BEC∴ ∠BAE = ∠CBF ∵ ∠BAE + ∠AEB = 90︒ ∴ ∠CBF + ∠AEB = 90︒ ∴ AE ⊥ BF8.E 、F 、G 分别是正方形 ABCD 的 BC 、CD 、AB 边上的点，GE ⊥ EF ，GE = EF ．求证： BG + CF = BC ．AD【答案】显然， ∆BEG ≌ ∆CFE ，GFBECM PC∴ BG = CE ， BE = CF ∴ BG + CF = BC9.如图，矩形 ABCD 中， E 是 AD 上一点， CE ⊥ EF 交 AB 于 F 点，若 DE = 2 ，矩形周长为16 ，且CE = EF ，求 AE 的长．AEDFBC【答案】∵ FE ⊥ EC ，∴ ∠AEF + ∠DEC = 90︒ ．∵ ∠AEF + ∠AFE = 90︒ ， ∴ ∠AFE = ∠DEC ．在三角形 AFE 与∆DEC 中， FE = CE ， ∠A = ∠D = 90︒ ， ∠AFE = ∠DEC ， ∴ ∆AFE ≌ ∆DEC ． ∴ AE = DC ． ∵矩形周长为16 ， ∴ AD + DC = 8 ． ∵ AD = AE + DE ，∴且 DE = 2 ．∴ 2 AE = 8 - DE ． 即 AE = 3 ．10.如图，已知∆ABC 中，∠ABC = 90︒，AB = BC ，三角形的顶点在相互平行的三条直线l 1 ，l 2 ，l 3 上，且l 1 ，l 2 之间的距离为2 ，l 2 ，l 3 之间的距离为3 ，则 AC 的长是 ．Al 1 l 2【答案】2 Bl 311.两个全等的30︒ 、60︒ 的三角板 ADE 、 BAC ，如右下图所示摆放， E 、 A 、C 在一条直线上，连结 BD ．取 BD 的中点 M ，连结 ME 、MC ，试判断∆EMC 的形状， 并说明理由．BMDEA C【解析】判断∆EMC 是等腰直角三角形．理由：如图，连结 AM ．17MBA C∵ ∠DAE = 30︒ ， ∠BAC = 60︒ ，∴ ∠DAB = 90︒ ∵ ∆ADE ≌ ∆BAC ，∴ AD = AB又∵ M 是 BD 的中点，∴ AM = DM = BM ∴ ∠ADM = ∠MAB = 45︒ ∴ ∠EDM = ∠EDA + ∠ADM = 60︒ + 45︒ = 105︒ ∴ ∠MAC = ∠MAB + ∠BAC = 45︒ + 60︒ = 105︒ ∴ ∠EDM = ∠MAC ∵ ED = CA ，∴ ∆EDM ≌ ∆CAM ∴ EM = CM ， ∠DME = ∠AMC而∠DME + ∠EMA = 90︒ ，∴ ∠AMC + ∠EMA = 90︒ 即∠EMC = 90︒ ，∴ ∆EMC 是等腰直角三角形．12.已知等腰直角三角形 ABC ， ∠C 为直角， M 为 BC 的中点． CD ⊥ AM ．求证： ∠AMC = ∠DMB ．求证： ∠AMC = ∠DMB ．CA DB【答案】法一：如图，过 B 作 EB ⊥ BC ，交CD 延长线于 E ．CE∵ ∠3 + ∠1 = 90︒ ， ∠4 + ∠1 = 90︒ ，∴ ∠3 = ∠4 ．又 AC = CB ，∴ Rt ∆CBE ≌ Rt ∆AMC ，∴ BE = CM ， ∠5 = ∠1 ． 又 BM = CM ，∴ BE = BM ．∴ ∠MBD + ∠EBD = 90︒ ，而∠MBD = 45︒ ，∴ ∠EBD =∠MBD ． 又 BD 为公共边，∴ ∆BED ≌ ∆BMD ．∴ ∠5 = ∠2 ．解法二：如图，作底边 AB 的高CE 交 AM 于 F ，则CE 亦为中线和角平分线，3 1 M4 2 ADB5 MDC ∴AE =CE =BE ．又∠3 +∠CDE =∠4 +∠CDE = 90︒．∴∠3 =∠4 ，∴Rt∆DCE = Rt∆FAE ，∴AMA E D B=CE=2，∴∠EDF = 45︒=∠B ，故CM AC 1DF ∥BC ．又 E 、M 为AB 、BC 的中点，∴连接EM ，则EM ∥AC ．∴AC ⊥BC ，∴EM ⊥BC ，故EM ⊥DF ．∴EM 为DF 的中垂线．∴∠FME =∠DME ．而∠FME +∠1 =∠DME +∠2 = 90︒，∴∠1 =∠2 ．解法三：如图，作CG =AG 的平分线CF 交AM 于F ，CA DB 则∠ACF =∠MCF = 45︒，即ACF =∠CBD = 45︒．∵AC ⊥BC ，C D ⊥AM ，∴∠CAF +∠CMF =∠BCD +∠CMF = 90︒．∴BM=1．AC 2又∠B =∠CAD ，∴∆ACF ≌∆CBD ．∴CF =BD ．又CM =BM ，∠MCF =∠MBD ．∴∆CFM ≌∆BDM ．∴∠FMC =∠DMB ．解法四：如图，过D 作DG ⊥CB ．CA∵∠B = 45︒，∴DG =BG ．∵∠DCG +∠AMC =∠FAC +∠AMC = 90︒，∴∠DCG =∠FAC ．∴∆DCG ∽∆MAC ．∴DG∶CG =CM∶AC = 1∶2 ，则BG∶CG = 1∶2 ．∵DG ∥AC ，∴BD∶AD = 1∶2 ，而BM∶AC = 1∶2 ， B =∠CAD ．∴∆BMD ∽∆ACD ，∴∠BMD =∠ACD ．而∠ACD =MGM F3 1FM24AMC ，解法五：如图，延长CB 到 E ，使 BE = BC ．连接 AE ，延长CD 交 AE 于G ，则 AC = BC = BE ，CE∴AM = CE = 2 ．CM AC 1 ∴ Rt ∆ACM ∽ Rt ∆ECA ．∴ ∠CAM = ∠E ． ∵ ∠CAM + ∠ACF = 90︒ ， ∠GCE + ∠ACF = 90︒ ， ∴ ∠CAM = ∠GCE ．即∠GCE = ∠E ．∴ CG = GE ． ∵ ∠CAE + ∠E = 90︒ ， ∠ACG + ∠GCE = 90︒ ，∴ ∠CAE = ∠ACG ，∴ CG = AG ，从而 AG = GE ．又∵ BC = BE ，所以 D 为∆AEC 的重心，∴ BD = 1．而 BM = 1 ， ∠B = ∠CAD ． AD 2AC 2∴ ∆BMD ∽ ∆ACD ，∴ ∠BMD =∠ACD ． 而 ∠AMC = ∠ACF ，∴ ∠BMD = ∠AMC ．解法六：如图，过 A 作 AH ⊥ AM ，与 BC 的延长交于 H ．HD B∵ ∠1 + ∠2 = 90︒ ， ∠1 + ∠AMC = 90︒ ， ∴ ∠2 = ∠AMC ， ∴ Rt ∆AHC ∽ Rt ∆MAC ，∴ HC = AC= 2 ． AC MC而 AC = BC ，∴HC= 2 ．BC∵ HA ∥ C D ，∴ AD = HC= 2 ．BD BC又∵ AC BM = 2 ， ∠CAD = ∠B ，∴ ∆ADC ∽ ∆BDM ，C MFFMAD BG而∠AMC = ∠ACD ，∴ ∠AMC = ∠BMD ．解法七：如图，过 D 作 DE ⊥ BM ，垂足为 E ．CA∵ ∠CAM + ∠CMA = 90︒ ， ∠ECD + ∠CMA = 90︒ ， ∴ ∠CAM = ∠ECD ， ∴ Rt ∆CAM ∽ Rt ECD ，∴ DE = MC = 1 ．CEAC2∵ ∠B = 45︒ ， ∠DEB = 90︒ ，∴ DE = BE ，∴ BE = 1． CE 2设 ME = x ，CM = BE = a ，∴a - x = 1 ，∴ x = a． a + x 2 3∴ DE = BE = a - a = 2a ，∴ ME = 1 = MC，3 3 ∴ Rt ∆CAM ∽ Rt ∆EDM ， ∴ ∠AMC = ∠BMD ．DE 2 AC13.如图所示，已知在等腰直角三角形 ABC 中， ∠BAC 是直角， D 是 AC 上一点， AE ⊥ BD ，AE 的延长线交 BC 于 F ，若∠ADB = ∠FDC ，求证：D 是 AC 的中点．AFC【答案】过C 作CH 垂直于 AC 交 AF 延长线于 H 点；易证∆ABD ≌∆AHC ， HC = AD ；进而证明∆FHC ≌∆FDC ，得到 HC = CD ，则 D 为 AC 中点．A14.如图所示，在等边∆ABC 中， DE ∥ BC ， O 为∆ADE 的中心， M 为 BE 的中点， 求证OM ⊥ CM ．M EDE【答案】如图所示，延长OM 至点 N ，使OM = MN ，连接OA 、OE 、OC 、 BN 、CN ．AAD OEO N D EMMBCNB C因为OM = NM ， BM = ME ， ∠OME = ∠NMB ， 故∆BMN ≌ ∆EMO ，则 BN = EO ， ∠OEM =∠NBM ． 因为 DE ∥ BC ，则∠DEB = ∠CBE ， ∠OED = ∠CBN ．因为O 为∆ADE 的中心，则OA = OE = BN ， ∠OAE = ∠OED = 30︒ = ∠CBN ． 因为 AC = BC ，故∆AOC ≌ ∆BNC ，从而OC = CN ． 因为OM = MN ，故OM ⊥ CM ．【点评】如果具备三角形相似的知识，我们就可以采取下面的解法． 如图所示，取 AE 的中点 N ，连接 MN 、OA 、ON 、OC ． 因为O 为∆ADE 的中心，故∠OAN = 30︒ ， OA =2ON ． 因为 AN = NE ， BM = EM ，故 AB = 2MN = AC ．因为ON ⊥ AC ， MN ∥ AB ，故∠MNE = 60︒ ，因为∠ONM = 30︒ ，故∆OAC ∽ ∆ONM ，∠OMN = ∠OCN ，则O 、M 、C 、N 四点共圆．因为ON ⊥ AC ，故OM ⊥ CM ．15.已知 P 为等腰直角∆ABC 的斜边 AB 上任意一点， PE 、PF 分别为 AC 、BC 之垂线，垂足为 E 、 F ． M 为 AB 之中点．则 E 、 M 、 F 组成等腰直角三角形．A ECF B【答案】解法一：如图，连接CM ，则CM 为 AB 之中线，亦为 AB 之高．P MAECFB∴ ∠CMA = 90︒ ． ∵ ∠PEC = ∠PFC = ∠ECF = 90︒ ， ∴ ECFP 为矩形，故 PE = CF ． 又∵ ∠A = 45︒ ，∴ ∆AEP 为等腰直角三角形，∴ AE = PE ．∴ AE = CF ． 又∵ CM = AM ， ∠MCF = ∠A = 45︒ ， ∴ ∆AEM ≌ ∆CFM ，∴ ∠AME = ∠CMF ， EM = FM ． ∵ ∠CME + ∠AME = 90︒ ，∴ ∠CME + ∠CMF = 90︒ ，即∠EMF = 90︒ ． ∴ ∆EMF 为等腰直角三角形． 解法二：如图，由 M 作 ME ' ⊥ AC ， MF ' ⊥ BC ，则显然由于 M 为 AB 之中点， AC = BC ， AC ⊥ BC ，AE E'CF F'B∴ ME 'CF ' 为正方形，故 ME ' = MF ' ． 又设 ME ' 交 PF 于Q ， 则∵ PE ⊥ AC ， PF ⊥ BC ，∴ ∠EPF = ∠C = 90︒ ．而∠PEE ' = ∠EE 'Q = 90︒ ． ∴ EE 'QP 为矩形，故 EE ' = PQ ． 同理 FF ' = QM ．又∵ PF ∥ AC ，∴ ∠QPM = ∠A = 45︒ ． ∴ ∆PQM 为等腰直角三角形， ∴ PQ = QM ，故 EE ' = FF ' ．又 ME ' = MF ' ， ∠EE 'M = ∠FF 'M = 90︒ ． ∴ ∆EE 'M ≌ ∆FF 'M ，∴ ∠EME ' = ∠FMF ' ， EM =FM ． 又∠E 'MF + ∠FMF ' = 90︒ ， ∴ ∠E 'MF + ∠EME ' = 90︒ ．即∠EMF = 90︒ ，故∆MEF 为等腰直角三角形．解法三：如图，延长 FM 到Q ，使 MQ = FM ，连接 AQ ．PMPMQ2 2 2 A QECFB∵ AM = BM ，∴ A 、 F 、 B 、Q 4 点组成平行四边形． ∴ AQ = FB ， AQ ∥ FB ．又∵ BC ⊥ AC ，∴ AQ ⊥ AC ， ∴ ∠QAE = ∠FCE = 90︒ ．又∵ PF ⊥ BC ， ∠B = 45︒ ，∴ FP = FB ．同理 EP = AE ． ∵ ECFP 为矩形，∴ FP = CE ， EP = CF ，故 AB ．而CM ⊥ AB ， ∴ AQ = CE ， A E = CF ． ∴ Rt ∆AEQ ≌ Rt ∆CFE ． ∴ EQ = FE ， ∠AQE = ∠CEF ， ∠QEA = ∠EFC ． ∵ ∠AQE + ∠QEA = 90︒ ，∴ ∠CEF + ∠QEA = 90︒ ．故 PF= ．QF∴ ∆FEQ 为等腰直角三角形．而 M 为底边之中点，所以∆EMF 亦为等腰直角三角形．解法四：如图，连接CM ，则因为 M 为 AB 之中点，所以CM ⊥ AB ，CM 平分∠ACB ， 即∠MCB = 45︒ ．由 F 向 MB 引垂线 FQ ，向CM 引垂线 FF ' ，显然 F 'FQM 为矩形．则 FF ' = MQ ．AECFB又∵ ∆CF 'F 为等腰直角三角形， CF = 2FF ' = 2MQ ． 又∵ PE ⊥ AC ， PF ⊥ BC ， AC ⊥ BC ， ∴ ECFP 为矩形，故 EP = CF = 2MQ ． 于是在Rt ∆EPF 和Rt ∆MQF 中， PF = FB =2QF ， PF = ， EP= ，∴ PF = EP ，QF MQQF MQ∴ ∆EPF ∽ ∆MQF ，故∠EFP =∠MFQ ． 又∵ ∠PFM + ∠MFQ = 45︒ ， ∵ ∠PFM + ∠EFP = 45︒ ，即 PF = BF ．同理∠FEM = 45︒ ， ∆EMF 为等腰直角三角形．PMPM QF'E解法五：如图，连接CP 、CM ．AECFB∵ PF = BF ， ∆ABC 为等腰直角三角形， ∴ ∠BPF = ∠BCM = 45︒ ．∴ P 、C 、 F 、 M 4 点共圆．∴ ∠CMF = ∠CPF ．又∵ ∠CPF = ∠CEF ，∴ ∠CEF = ∠CMF ，∴ E 、C 、 F 、 M 4 点共圆．∴ ∠MEF = ∠MCF = 45︒ ， ∠MFE = ∠MCE = 45︒ ，∴ iEMF 是等腰直角三角形．16.长方形 ABCD 中， AB = 4 ， BC = 7 ， ∠BAD 的角平分线交 BC 于点 E ， EF ⊥ ED 交 AB 于 F ，则 EF = ．ADFBEC【解析】由 AB = 4 ，AE 平分∠BAD 可知 BE = AB = CD = 4 ．由基本图可知∆BEF ≌∆CDE ， 故 EF = DE又 BC = 7 ， BE = 4 ，故CE = 3 ．由勾股定理可知， DE = 5 ． 从而可知 EF = 5 ．【答案】517.如图，设∆ABC 和∆CDE 都是正三角形，且∠EBD = 62︒ ，则∠AEB A ．124︒ B ．122︒ C ．120︒ D ．118︒的度数是( )ABCD【答案】分析 既然题目这样问，说明这两个角之间必然能找到一定的联系． 解 易知∠ACE = ∠BCD ， ∆AEC ≌ ∆BDC ，于是∠EAC = ∠DBC ,从而∠EBD = ∠CBD + ∠CBE = ∠EAC + ∠CBE ,在考虑到∠EAC + ∠AEC + ∠ACE + ∠CEB + ∠ECB + ∠EBD = 360,有：∠BEC + ∠AEC = 360 - 60 - 62 = 360 - ∠AEB 从而∠AEB = 122 ，选B 。

山东师范大学附属中学数学全等三角形综合测试卷(word含答案)

山东师范大学附属中学数学全等三角形综合测试卷(word含答案)

一、八年级数学全等三角形解答题压轴题（难）1．如图，已知△ABC中，AB＝AC＝20cm，BC＝16cm，点D为AB的中点．（1）如果点P在线段BC上以6cm/s的速度由B点向C点运动，同时点Q在线段CA上由C向A点运动．①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？（2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿△ABC三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇？【答案】（1）①△BPD≌△CQP，理由见解析；②V7.5Q（厘米/秒）；（2）点P、Q在AB边上相遇，即经过了803秒，点P与点Q第一次在AB边上相遇．【解析】【分析】（1）①先求出t=1时BP=BQ=6，再求出PC=10=BD，再根据∠B＝∠C证得△BPD≌△CQP；②根据V P≠V Q，使△BPD与△CQP全等，所以CQ＝BD＝10，再利用点P的时间即可得到点Q的运动速度；（2）根据V Q＞V P，只能是点Q追上点P，即点Q比点P多走AB+AC的路程，设运动x秒，即可列出方程1562202x x，解方程即可得到结果.【详解】（1）①因为t＝1（秒），所以BP＝CQ＝6（厘米）∵AB＝20，D为AB中点，∴BD＝10（厘米）又∵PC＝BC﹣BP＝16﹣6＝10（厘米）∴PC＝BD∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，在△BPD与△CQP中，BP CQ B C PC BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩, ∴△BPD ≌△CQP （SAS ），②因为V P ≠V Q ，所以BP ≠CQ ，又因为∠B ＝∠C ，要使△BPD 与△CQP 全等，只能BP ＝CP ＝8，即△BPD ≌△CPQ ，故CQ ＝BD ＝10．所以点P 、Q 的运动时间84663BP t （秒）， 此时107.543Q CQ V t （厘米/秒）．（2）因为V Q ＞V P ，只能是点Q 追上点P ，即点Q 比点P 多走AB +AC 的路程设经过x 秒后P 与Q 第一次相遇，依题意得1562202x x ， 解得x=803(秒) 此时P 运动了8061603（厘米） 又因为△ABC 的周长为56厘米，160＝56×2+48， 所以点P 、Q 在AB 边上相遇，即经过了803秒，点P 与点Q 第一次在AB 边上相遇． 【点睛】此题考查三角形全等的证明，三角形与动点相结合的解题方法，再证明三角形全等时注意顶点的对应关系是证明的关键.2．(1)如图1：在四边形ABCD 中，AB =AD ，∠BAD =120°，∠B =∠ADC =90°．E ，F 分别是BC ，CD 上的点．且∠EAF =60°．探究图中线段EF ，BE ，FD 之间的数量关系．小明同学探究的方法是：延长FD 到点G ．使DG =BE ．连结AG ，先证明△ABE ≌△ADG ，再证明△AEF ≌△AGF ，可得出结论，他的结论是 （直接写结论，不需证明）；(2)如图2，若在四边形ABCD 中，AB =AD ，∠B +∠D =180°，E 、F 分别是BC ，CD 上的点，且∠EAF 是∠BAD 的二分之一，上述结论是否仍然成立，并说明理由．(3)如图3，四边形ABCD 是边长为5的正方形，∠EBF =45°，直接写出三角形DEF 的周长．【答案】（1）EF=BE+DF．（2）成立，理由见解析；（3）10.【解析】【分析】（1）如图1，延长FD到G，使得DG=DC,先证△ABE≌△ADG，得到AE=AG，∠BAE=∠DAG，进一步根据题意得∠EAF=∠GAF，再证明△AEF≌△AGF，得到EF=FG，最后运用线段的和差证明即可.(2)如图2，延长FD到点G．使DG=BE．连结AG，证得△ABE≌△ADG，得到AE=AG，∠BAE=∠DAG，再结合题意得到∠EAF=∠GAF，再证明△AEF≌△AGF，得到EF=FG，最后运用线段的和差证明即可.（3）如图3，延长DC到点G，截取CG=AE，连接BG，先证△AEB≌△CGB，得到BE=BG，∠ABE=∠CBG，结合已知条件得∴∠CBF+∠CBG=45°，再证明△EBF≌△GBF，得到EF=FG，最后求三角形的周长即可.【详解】解答：（1）解：如图1，延长FD到G，使得DG=DC在△ABE和△ADG中，∵DC DGB ADG AB AD=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABE≌△ADG（SAS），∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，∵∠EAF=12∠BAD，∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD-∠EAF=∠EAF，∴∠EAF=∠GAF，在△AEF和△GAF中，∵EAF GAFAF AF⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AEF≌△AGF（SAS），∴EF=FG，∵FG=DG+DF=BE+DF，∴EF=BE+DF；故答案为：EF=BE+DF．（2）解：结论EF=BE+DF仍然成立；理由：如图2，延长FD到点G．使DG=BE．连结AG在△ABE和△ADG中，∵DG BEB ADGAB AD=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，∵∠EAF=12∠BAD，∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD-∠EAF=∠EAF，∴∠EAF=∠GAF，在△AEF和△GAF中，∵AE AGEAF GAFAF AF=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AEF≌△AGF（SAS），∴EF=FG，∵FG=DG+DF=BE+DF，∴EF=BE+DF；（3）解：如图3，延长DC到点G，截取CG=AE，连接BG，在△AEB与△CGB中，∵A BOG AF BF ⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AEB ≌△CGB （SAS ），∴BE =BG ，∠ABE =∠CBG ．∵∠EBF =45°，∠ABC =90°，∴∠ABE +∠CBF =45°，∴∠CBF +∠CBG =45°．在△EBF 与△GBF 中，∵BE BG EBF GBF BF BF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△EBF ≌△GBF （SAS ），∴EF =GF ，∴△DEF 的周长=EF +ED +CF =AE +CF +DE +DF =AD +CD =10．【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，灵活运用全等三角形的性质和判定是解答本题的关键.但本题分为三问，难度不断增加，对提升思维能力大有好处.3．如图1，在△ACB 和△AED 中，AC ＝BC ，AE＝DE ，∠ACB ＝∠AED ＝90°，点E 在AB 上，F 是线段BD 的中点，连接CE 、FE ．（1）请你探究线段CE 与FE 之间的数量关系（直接写出结果，不需说明理由）；（2）将图1中的△AED 绕点A 顺时针旋转，使△AED 的一边AE 恰好与△ACB 的边AC 在同一条直线上（如图2），连接BD ，取BD 的中点F ，问（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由；（3）将图1中的△AED绕点A顺时针旋转任意的角度（如图3），连接BD，取BD的中点F，问（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由．【答案】（1）线段CE与FE之间的数量关系是CE FE；（2）（1）中的结论仍然成立．理由见解析；（3）（1）中的结论仍然成立．理由见解析【解析】【分析】（1）连接CF，直角△DEB中，EF是斜边BD上的中线，因此EF=DF=BF，∠FEB=∠FBE，同理可得出CF=DF=BF，∠FCB=∠FBC，因此CF=EF，由于∠DFE=∠FEB+∠FBE=2∠FBE，同理∠DFC=2∠FBC，因此∠EFC=∠EFD+∠DFC=2（∠EBF+∠CBF）=90°，因此△EFC是等腰直角三角形，EF；（2）思路同（1）也要通过证明△EFC是等腰直角三角形来求解．连接CF，延长EF交CB 于点G，先证△EFC是等腰三角形，可通过证明CF是斜边上的中线来得出此结论，那么就要证明EF=FG，就需要证明△DEF和△FGB全等．这两个三角形中，已知的条件有一组对顶角，DF=FB，只要再得出一组对应角相等即可，我们发现DE∥BC，因此∠EDB=∠CBD，由此构成了两三角形全等的条件．EF=FG，那么也就能得出△CFE是个等腰三角形了，下面证明△CFE是个直角三角形．由上面的全等三角形可得出ED=BG=AD，又由AC=BC，因此CE=CG，∠CEF=45°，在等腰△CFE中，∠CEF=45°，那么这个三角形就是个等腰直角三角形，因此就能得出（1）中的结论了；（3）思路同（2）通过证明△CFE来得出结论，通过全等三角形来证得CF=FE，取AD的中点M，连接EM，MF，取AB的中点N，连接FN、CN、CF．那么关键就是证明△MEF和△CFN全等，利用三角形的中位线和直角三角形斜边上的中线，我们不难得出EM=PN=12AD，EC=MF=12AB，我们只要再证得两对应边的夹角相等即可得出全等的结论．我们知道PN是△ABD的中位线，那么我们不难得出四边形AMPN为平行四边形，那么对角就相等，于是90°+∠CNF=90°+∠MEF，因此∠CNF=∠MEF，那么两三角形就全等了．证明∠CFE是直角的过程与（1）完全相同．那么就能得出△CEF是个等腰直角三角形，于是得出的结论与（1）也相同．【详解】（1）如图1，连接CF，线段CE与FE之间的数量关系是CE；解法1：∵∠AED＝∠ACB＝90°∴B、C、D、E四点共圆且BD是该圆的直径，∵点F是BD的中点，∴点F是圆心，∴EF＝CF＝FD＝FB，∴∠FCB＝∠FBC，∠ECF＝∠CEF，由圆周角定理得：∠DCE＝∠DBE，∴∠FCB+∠DCE＝∠FBC+∠DBE＝45°∴∠ECF＝45°＝∠CEF，∴△CEF是等腰直角三角形，∴CE＝2EF．解法2：易证∠BED＝∠ACB＝90°，∵点F是BD的中点，∴CF＝EF＝FB＝FD，∵∠DFE＝∠ABD+∠BEF，∠ABD＝∠BEF，∴∠DFE＝2∠ABD，同理∠CFD＝2∠CBD，∴∠DFE+∠CFD＝2（∠ABD+∠CBD）＝90°，即∠CFE＝90°，∴CE＝2EF．（2）（1）中的结论仍然成立．解法1：如图2﹣1，连接CF，延长EF交CB于点G，∵∠ACB＝∠AED＝90°，∴DE∥BC，∴∠EDF＝∠GBF，又∵∠EFD＝∠GFB，DF＝BF，∴△EDF≌△GBF，∴EF＝GF，BG＝DE＝AE，∵AC＝BC，∴CE＝CG，∴∠EFC＝90°，CF＝EF，∴△CEF为等腰直角三角形，∴∠CEF＝45°，∴CE2；解法2：如图2﹣2，连结CF、AF，∵∠BAD＝∠BAC+∠DAE＝45°+45°＝90°，又点F是BD的中点，∴FA＝FB＝FD，而AC＝BC，CF＝CF，∴△ACF≌△BCF，∴∠ACF＝∠BCF＝12∠ACB＝45°，∵FA＝FB，CA＝CB，∴CF所在的直线垂直平分线段AB，同理，EF所在的直线垂直平分线段AD，又DA⊥BA，∴EF⊥CF，∴△CEF为等腰直角三角形，∴CE＝2EF．（3）（1）中的结论仍然成立．解法1：如图3﹣1，取AD的中点M，连接EM，MF，取AB的中点N，连接FN、CN、CF，∵DF＝BF，∴FM∥AB，且FM＝12 AB，∵AE＝DE，∠AED＝90°，∴AM＝EM，∠AME＝90°，∵CA＝CB，∠ACB＝90°∴CN=AN=12AB，∠ANC＝90°，∴MF∥AN，FM＝AN＝CN，∴四边形MFNA为平行四边形，∴FN＝AM＝EM，∠AMF＝∠FNA，∴∠EMF＝∠FNC，∴△EMF≌△FNC，∴FE＝CF，∠EFM＝∠FCN，由MF∥AN，∠ANC＝90°，可得∠CPF＝90°，∴∠FCN+∠PFC＝90°，∴∠EFM+∠PFC＝90°，∴∠EFC＝90°，∴△CEF为等腰直角三角形，∴∠CEF＝45°，∴CE＝2FE．【点睛】本题解题的关键是通过全等三角形来得出线段的相等，如果没有全等三角形的要根据已知条件通过辅助线来构建．4．（1）如图（1），已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB=AC，直线m经过点A，BD⊥直线m, CE⊥直线m,垂足分别为点D、E.证明:DE=BD+CE.（2）如图（2），将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB=AC，D、A、E三点都在直线m 上,并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=α,其中α为任意锐角或钝角.请问结论DE=BD+CE是否成立?如成立,请你给出证明;若不成立,请说明理由.（3）拓展与应用：如图（3），D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点（D、A、E三点互不重合）,点F为∠BAC平分线上的一点,且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD、CE,若∠BDA=∠AEC=∠BAC，试判断△DEF的形状.【答案】（1）见解析（2）成立（3）△DEF为等边三角形【解析】解：（1）证明：∵BD⊥直线m，CE⊥直线m，∴∠BDA＝∠CEA=900．∵∠BAC＝900，∴∠BAD+∠CAE=900．∵∠BAD+∠ABD=900，∴∠CAE=∠ABD．又AB="AC" ，∴△ADB≌△CEA（AAS）．∴AE=BD，AD=CE．∴DE="AE+AD=" BD+CE．（2）成立．证明如下：∵∠BDA =∠BAC=α，∴∠DBA+∠BAD=∠BAD +∠CAE=1800—α．∴∠DBA=∠CAE．∵∠BDA=∠AEC=α，AB=AC，∴△ADB≌△CEA（AAS）．∴AE=BD，AD=CE．∴DE=AE+AD=BD+CE．（3）△DEF为等边三角形．理由如下：由（2）知，△ADB≌△CEA，BD=AE，∠DBA =∠CAE，∵△ABF和△ACF均为等边三角形，∴∠ABF=∠CAF=600．∴∠DBA+∠ABF=∠CAE+∠CAF．∴∠DBF=∠FAE．∵BF=AF，∴△DBF≌△EAF（AAS）．∴DF=EF，∠BFD=∠AFE．∴∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=600．∴△DEF为等边三角形．（1）因为DE=DA+AE，故由AAS证△ADB≌△CEA，得出DA=EC，AE=BD，从而证得DE=BD+CE．（2）成立，仍然通过证明△ADB≌△CEA，得出BD=AE，AD=CE，所以DE=DA+AE=EC+BD．（3）由△ADB≌△CEA得BD=AE，∠DBA =∠CAE，由△ABF和△ACF均等边三角形，得∠ABF=∠CAF=600，FB=FA，所以∠DBA+∠ABF=∠CAE+∠CAF，即∠DBF=∠FAE，所以△DBF≌△EAF，所以FD=FE，∠BFD=∠AFE，再根据∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=600得到△DEF是等边三角形．5．如图，∠BAD=∠CAE=90°，AB=AD，AE=AC，AF⊥CB，垂足为F．（1）求证：△ABC≌△ADE；（2）求∠FAE的度数；（3）求证：CD=2BF+DE．【答案】（1）证明见解析；（2）∠FAE=135°；（3）证明见解析.【解析】【分析】（1）根据已知条件易证∠BAC=∠DAE，再由AB=AD，AE=AC，根据SAS即可证得△ABC≌△ADE；（2）已知∠CAE=90°，AC=AE，根据等腰三角形的性质及三角形的内角和定理可得∠E=45°，由（1）知△BAC≌△DAE，根据全等三角形的性质可得∠BCA=∠E=45°，再求得∠CAF=45°，由∠FAE=∠FAC+∠CAE即可得∠FAE的度数；（3）延长BF到G，使得FG=FB，易证△AFB≌△AFG，根据全等三角形的性质可得AB=AG，∠ABF=∠G，再由△BAC≌△DAE，可得AB=AD，∠CBA=∠EDA，CB=ED，所以AG=AD，∠ABF=∠CDA，即可得∠G=∠CDA，利用AAS证得△CGA≌△CDA，由全等三角形的性质可得CG=CD，所以CG=CB+BF+FG=CB+2BF=DE+2BF．【详解】（1）∵∠BAD=∠CAE=90°，∴∠BAC+∠CAD=90°，∠CAD+∠DAE=90°，∴∠BAC=∠DAE，在△BAC 和△DAE 中，AB AD BAC DAE AC AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△BAC ≌△DAE （SAS ）；（2）∵∠CAE=90°，AC=AE ，∴∠E=45°，由（1）知△BAC ≌△DAE ，∴∠BCA=∠E=45°，∵AF ⊥BC ，∴∠CFA=90°，∴∠CAF=45°，∴∠FAE=∠FAC+∠CAE=45°+90°=135°；（3）延长BF 到G ，使得FG=FB ，∵AF ⊥BG ，∴∠AFG=∠AFB=90°，在△AFB 和△AFG 中，BF F AFB AFG AF AF G =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△AFB ≌△AFG （SAS ），∴AB=AG ，∠ABF=∠G ，∵△BAC ≌△DAE ，∴AB=AD ，∠CBA=∠EDA ，CB=ED ，∴AG=AD ，∠ABF=∠CDA ，∴∠G=∠CDA ，在△CGA 和△CDA 中，GCA DCA CGA CDA AG AD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△CGA ≌△CDA ，∴CG=CD ，∵CG=CB+BF+FG=CB+2BF=DE+2BF ，∴CD=2BF+DE ．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，解决第3问需作辅助线，延长BF 到G ，使得FG=FB ，证得△CGA ≌△CDA 是解题的关键．6．如图1，在等边△ABC 中，E 、D 两点分别在边AB 、BC 上，BE =CD ，AD 、CE 相交于点F ．（1）求∠AFE 的度数；（2）过点A 作AH ⊥CE 于H ，求证：2FH +FD =CE ；（3）如图2，延长CE 至点P ，连接BP ，∠BPC =30°，且CF =29CP ，求PF AF的值． （提示：可以过点A 作∠KAF =60°，AK 交PC 于点K ，连接KB ） 【答案】（1）∠AFE =60°；（2）见解析；（3）75【解析】【分析】（1）通过证明 BCE CAD ≌ 得到对应角相等，等量代换推导出60AFE ∠=︒；（2）由（1）得到60AFE ∠=︒，CE AD = 则在Rt AHF △ 中利用30°所对的直角边等于斜边的一半，等量代换可得；（3）通过在PF 上取一点K 使得KF =AF ，作辅助线证明ABK 和ACF 全等，利用对应边相等，等量代换得到比值.(通过将ACF 顺时针旋转60°也是一种思路.)【详解】（1）解：如图1中．∵ABC 为等边三角形，∴AC =BC ，∠BAC =∠ABC =∠ACB =60°， 在BCE 和CAD 中，60BE CD CBE ACD BC CA =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，∴ BCE CAD ≌（SAS ），∴∠BCE =∠DAC ，∵∠BCE +∠ACE =60°，∴∠DAC +∠ACE =60°，∴∠AFE =60°．（2）证明：如图1中，∵AH ⊥EC ，∴∠AHF =90°，在Rt △AFH 中，∵∠AFH =60°，∴∠FAH =30°，∴AF =2FH ，∵ EBC DCA ≌，∴EC =AD ，∵AD =AF +DF =2FH +DF ，∴2FH +DF =EC ．（3）解：在PF 上取一点K 使得KF =AF ，连接AK 、BK ，∵∠AFK =60°，AF =KF ，∴△AFK 为等边三角形，∴∠KAF =60°，∴∠KAB =∠FAC ，在ABK和ACF中，AB ACKAB ACFAK AF=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴ABK ACF≌(SAS)，BK CF=∴∠AKB=∠AFC=120°，∴∠BKE=120°﹣60°=60°，∵∠BPC=30°，∴∠PBK=30°，∴29BK CF PK CP===，∴79PF CP CF CP=-=，∵45()99AF KF CP CF PK CP CP CP==-+=-=∴779559CPPFAF CP== .【点睛】掌握等边三角形、直角三角形的性质，及三角形全等的判定通过一定等量代换为本题的关键.7．如图，Rt△ABC≌Rt△CED（∠ACB＝∠CDE＝90°），点D在BC上，AB与CE相交于点F(1) 如图1，直接写出AB与CE的位置关系(2) 如图2，连接AD交CE于点G，在BC的延长线上截取CH＝DB，射线HG交AB于K，求证：HK＝BK【答案】（1）AB⊥CE；（2）见解析.【解析】【分析】（1）由全等可得∠ECD=∠A，再由∠B+∠A=90°，可得∠B+ECD=90°，则AB⊥CE.（2）延长HK 于DE 交于H ，易得△ACD 为等腰直角三角形，∠ADC=45°，易得DH=DE ，然后证明△DGH ≌△DGE ，所以∠H=∠E ，则∠H=∠B ，可得HK=BK.【详解】解：（1）∵Rt △ABC ≌Rt △CED ，∴∠ECD=∠A ，∠B=∠E ，BC=DE ，AC=CD∵∠B+∠A=90°∴∠B+ECD=90°∴∠BFC=90°，∴AB ⊥CE（2）在Rt △ACD 中，AC=CD ，∴∠ADC=45°，又∵∠CDE=90°，∴∠HDG=∠CDG=45°∵CH ＝DB ，∴CH+CD=DB+CD ，即HD=BC ，∴DH=DE ，在△DGH 和△DGE 中，DH=DE HDG=EDG=45DG=DG ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩∴△DGH ≌△DGE （SAS ）∴∠H=∠E又∵∠B=∠E∴∠H=∠B ，∴HK=BK【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，利用全等找出角相等，再利用等角对等边判定线段相等是本题的关键.8．如图（1），AB=4cm ，AC ⊥AB ，BD ⊥AB ，AC=BD=3cm ，点P 在线段AB 上以1cm/s 的速度由点A 向点B 运动，同时，点Q 在线段BD 上由点B 向点D 运动，他们的运动时间为t(s).（1）若点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，当t=1时，△ACP 与△BPQ 是否全等，请说明理由（2）判断此时线段PC 和线段PQ 的关系，并说明理由。

全等三角形综合练习题含答案

全等三角形综合练习题含答案

全等三角形的判定（SSS）1、如图1，AB=AD，CB=CD，∠B=30°，∠BAD=46°，则∠ACD的度数是( )°°°°2、如图2，线段AD与BC交于点O，且AC=BD，AD=BC，•则下面的结论中不正确的是( )A.△ABC≌△BADB.∠CAB=∠DBA =OC D.∠C=∠D3、在△ABC和△A1B1C1中，已知AB=A1B1，BC=B1C1，则补充条件____________，可得到△ABC≌△A1B1C1．4、如图3，AB=CD，BF=DE，E、F是AC上两点，且AE=CF．欲证∠B=∠D，可先运用等式的性质证明AF=________，再用“SSS”证明______≌_______得到结论．5、如图，AB=AC，BD=CD，求证：∠1=∠2．6、如图，已知AB=CD，AC=BD，求证：∠A=∠D．7、如图，AC与BD交于点O，AD=CB，E、F是BD上两点，且AE=CF，DE=BF.请推导下列结论：⑴∠D=∠B；⑵AE∥CF．8、已知如图，A、E、F、C四点共线，BF=DE，AB=CD.⑴请你添加一个条件，使△DEC≌△BFA；⑵在⑴的基础上，求证：DE∥BF.全等三角形的判定方法SAS专题练习1.如图，AB=AC，AD=AE，欲证△ABD≌△ACE，可补充条件( )A.∠1=∠2B.∠B=∠CC.∠D=∠ED.∠BAE=∠CAD2.能判定△ABC≌△A′B′C′的条件是（）A．AB=A′B′，AC=A′C′，∠C=∠C′B. AB=A′B′，∠A=∠A′，BC=B′C′C. AC=A′C′，∠A=∠A′，BC=B′CD. AC=A′C′，∠C=∠C′，BC=B′C3.如图，AB与CD交于点O，OA=OC，OD=OB，∠AOD= ，根据_________可得到△AOD≌△COB，从而可以得到AD=_________．4.如图，已知BD=CD，要根据“SAS”判定△ABD≌△ACD，则还需添加的条件是。

第一章全等三角形综合提优卷(含答案)

第一章全等三角形综合提优卷(含答案)

【第一章全等三角形综合提优卷（时间：60分钟满分：100分）一、选择题（每题3分，共30分）1．有下列四种说法：①所有的等边三角形都全等；②两个三角形全等，它们的最大边是对应边；③两个三角形全等，它们的对应角相等；④对应角相等的三角形是全等三角形．其中正确的说法有( )．A．1个B．2个 C．3个 D．4个2．在△ABC和△A'B'C'中，下面能得到△ABC≌△A'B'C'的条件是( )．A．AB＝A'B'，AC＝A'C，∠B＝∠B'； B．AB＝A'B'，BC＝B'C，∠A＝∠A'；C．AC＝A'C'，BC＝B'C'，∠C＝∠C'； D．AC＝A'C'，BC＝B'C'，∠B＝∠B'￥3．如图，小强利用全等三角形的知识测量池塘两端M、N的距离，如果△PQO≌△NMO，则只需测出其长度的线段是( )A．PO B．PQ C．MO D．MQ4．如图，已知EA⊥AB，BC∥EA，EA＝AB＝2BC，D为AB的中点，则下面式子中不能成立的是( )．A．∠1＋∠3＝90° B．DE⊥AC且DE＝ACC．∠3＝60° D．∠2＝∠35．如图所示，在Rt△ABC中，E为斜边AB的中点，ED⊥AB，且∠CAD：∠BAD＝1：7，则∠BAC的度数为( )．A．70° B．48° C．45° D．60°!6．用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如图所示，则能说明∠AOC＝∠BOC的依据是( )．A．SSS B．ASAC．AAS D．角平分线上的点到角两边距离相等7．如图所示，AB＝AC，要说明△ADC≌△AEB，需添加的条件不能是( )．第7题第8题第9题第10题A．∠B＝∠C B．AD＝AE C．∠ADC＝∠AEB； D．DC＝BE<8．如图，在四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝∠CDA＝90°，BE⊥AD于点E，且四边形ABCD 的面积为4，则BE等于( )．A．1 B．3 C．2 D．9．如图，点A在DE上，点F在AB上，且AC＝CE，∠1＝∠2＝∠3，则DE的长等于( )．A．DC B．BC C．AB D．AE＋AC10．如图，在四边形ABCD中，对角线AC平分∠BAD，AB>AD，下列结论中正确的是( )． A．AB－AD>CB－CD B．AB－AD＝CB－CDC．AB－AD<CB－CD D．AB－AD与CB－CD的大小关系不确定二、填空题（每题2分，共12分）^11．如图，已知AC=BD，要使△ABC≌△DCB，则只需添加一个适当的条件是_______．（填一个即可）第11题第13题第14题第15题12．在△ABC中，∠C＝30°．将△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△ADE，AE与BC交于F，则∠AFB＝_______．13．如图，正方形ABCD内有两条相交线段MN、EF，M、N、E、F分别在边AB、CD、AD、BC 上．①若MN＝EF，则MN⊥EF；②若MN⊥EF，则MN＝EF．你认为正确的是_______．（填序号）14．如图，有一个直角三角形ABC，∠C＝90°，AC＝10，BC＝5，一条线段PQ＝AB，P、Q 两点分别在AC和过点A且垂直于AC的射线AX上运动，问P点运动到_______位置时，才能使△ABC≌△QP A．15．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°．BC＝2 cm，CD⊥AB，在AC上取一点E，使EC＝BC，过点E作EF⊥AC交CD的延长线于点F，若EF＝5 cm，则AE＝_______cm．）16．将长度为20 cm的铁丝折成三边长均为整数的三角形，那么，不全等的三角形的个数为_______．三、解答题（共58分）17．如图，方格中有一个△ABC，请你在方格内，画出满足条件A1B1＝AB，B1C1＝BC，∠A1＝∠A的△A1B1C1，并判断△A1B1C1与△ABC是否一定全等18．如图，已知点A、E、F、C在同一直线上，∠1＝∠2，AE＝CF，AD＝C B．请你判断BE 和DF的位置关系．"19．如图，已知△ABC为等边三角形，点D、E分别在边BC、AC上，且AE＝CD，AD与BE 相交于点F．(1)说明△ABE≌△CAD的理由；(2)求∠BFD的度数．20．如图(1)，已知点C为线段AB上一点，△ACM、△BCN都是等边三角形．(1)求证：AN＝BM；(2)若把原题中“△ACM和△BCN是两个等边三角形”换成两个正方形(如图(2)所示），AN与BM的关系如何请说明理由．-21．如图，点C在线段AB上，DA⊥AB，EB⊥AB，FC⊥AB，且DA＝BC，EB＝AC，FC＝AB，∠AFB＝51°，求∠DFE的度数．22．如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥DF，试判断BE＋CF与EF的大小关系，并证明你的结论．"23．如图，四边形ABCD中，CD∥AB，E是AD中点，CE交BA延长线于点F．(1)试说明：CD＝AF；(2)若BC＝BF，试说明：BE⊥CF．】24．一张长方形纸片沿对角线剪开，得到两张三角形纸片，再将这两张三角形纸片摆成如图所示的形式，使点B、F、C、D在同一条直线上．(1)求证：AB⊥ED；(2)若PB＝BC，请找出图中与此条件有关的一对全等三角形，并给予证明．25．某校七(1)班学生到野外活动，为测量一池塘两端A、B之间的距离，设计出如下几种方案：~①如图(1)所示，先在平地上取一个可直接到达A、B的点C，再连接AC、BC，并分别延长AC至D，BC至E，使DC＝AC，EC＝BC，最后测出DE的距离即为AB之长，②如图(2)所示，过点B作AB的垂线BF，再在BF上取C、D两点，使BC＝CD，接着过点D作BD的垂线DE，交AC的延长线于点E，则测出了DE的长即为A、B之间的距离．阅读后回答下列问题：(1)方案①是否可行答：_______，理由是_______；(2)方案②是否可行答：_______，理由是_______；(3)方案②中作BD⊥AB，ED⊥BF的目的是_______，若仅满足∠ABD＝∠BDE≠90°，方案②的结论是否仍成立，答：_______．26．已知在Rt△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，D为边AB的中点，∠EDF＝90°，∠EDF绕点D旋转，它的两边分别交AC、CB(或它们的延长线)于点E、F．]当∠EDF绕点D旋转到DE⊥AC于点E时(如图(1))，易证S△DEF＋S△CEF＝12S△AB C．当∠EDF绕点D旋转到DE和AC不垂直时，在图(2)和图(3)这两种情况下，上述结论是否成立若成立，请给予说明；若不成立，S△DEF、S△CEF、S△ABC又有怎样的数量关系请写出你的猜想，不需说明．参考答案1．B 2．C 3．B 4．C 5．B 6．A 7．D 8．C 9．C 10．A11．AB＝DC(答案不唯一)12．90°13．①②—14．AC中点15．316．817．略18．BE∥DF19．(1)略(2)60°20．(1)略(2)AN＝BM．理由略．21．39°22．相等23．(1)易得△DEC≌△AEF，所以CD＝AF (2)说明△BEC≌△BEF，得BE⊥CF．24．25．(1)可行△ABC≌△DEC(2)可行△ABC≌△EDC(3)略26．图(2)成立；图(3)不成立．。

全等三角形专项练习及答案

全等三角形专项练习及答案

评卷人得分一、选择题（题型注释）、1．小明想用三根木棒为边制作一个三角形，则可以选用的木棒长为（）A．8cm、15cm 、6cm B．7cm、9cm、13cmC．10cm、20cm、30cm D．20cm、40cm、60cm【答案】B2．如图所示，已知△ABE≌△ACD，∠1=∠2，∠B=∠C，下列不正确的等式是（）=AC B.∠BAE=∠CAD =DC =DE【答案】D[3．已知：如图所示，AC=CD，∠B=∠E=90°，AC⊥CD，则不正确的结论是（）A、∠A与∠D互为余角B、∠A=∠2C、△ABC≌△CEDD、∠1=∠2【答案】D4．如图,△ABC中,∠C=90°,AC=BC,AD平分∠CAB,交BC于D,DE⊥AB于＝6cm,则△DEB 的周长为（）A. 4cmB. 6cmC. 10cmD. 14cm【答案】B5．如图，OA＝OC，OB＝OD，OA⊥OB，OC⊥OD，下列结论：①△AOD≌△COB；②CD＝AB；③∠CDA＝∠ABC；&AB CDE1]其中正确的结论是( )A．①② B．①②③ C．①③ D．②③》【答案】B【解析】试题分析：因为OA＝OC，OB＝OD，OA⊥OB，OC⊥OD，可得△COD≌△AOB, ∠CDO＝∠ABO；∠DOC+∠AOC=∠AOB+∠AOC, OA＝OC，OB＝OD,所以△AOD≌△COB，所以CD＝AB,∠ADO=∠CBO；所以∠CDA＝∠ABC.故①②③都正确.故选B考点：三角形全等的判定和性质6．如图，△ABC中，∠B=∠C，BD=CF，BE=CD，∠EDF=α，则下列结论正确的是（）…A．2α+∠A=180° B．α+∠A=90° C．2α+∠A=90° D．α+∠A=180°【答案】A【解析】试题分析：根据已知条件可证明△BDE≌△CFD，则∠BED=∠CDF，由∠A+∠B+∠C=180°，得∠B=，因为∠BDE+∠EDF+∠CDF=180°，所以得出a与∠A的关系2a+∠A=180°．考点：全等三角形的判定和性质，三角形的内角和定理7．如图，AD是△ABC的中线，E、F分别在AB、AC上，且DE⊥DF，则（）~A．BE+CF＞EFB．BE+CF=EFC．BE+CF＜EFD．BE+CF与EF的大小关系不能确定．【答案】A．8．如图，△ABC中边AB的垂直平分线分别交BC，AB于点D，E，AE=3cm，△ADC的周长为9cm，则△ABC的周长是（）A．10cm B．12cm C．15cm D．17cm}【答案】C．【解析】试题分析：∵AB的垂直平分AB，∴AE=BE，BD=AD，∵AE=3cm，△ADC的周长为9cm，∴△ABC的周长是9cm+2×3cm=15cm，故选C．考点：线段垂直平分线的性质．9．如图所示，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的结果为（）A．90° B．1 80° C．360° D．无法确定【答案】?【解析】试题分析：延长BE交AC于F，∵∠A+∠B=∠2，∠D+∠E=∠1，∠1+∠2+∠C=180°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°，考点：1．三角形内角和定理；2．三角形的外角性质．10．若△ABC中，2（∠A+∠C）=3∠B，则∠B的外角度数为何（）>A、36B、72C、108D、144【答案】C【解析】∵∠A+∠B+∠C=180°，∴2（∠A+∠B+∠C）=360°，∵2（∠A+∠C）=3∠B，∴∠B=72°，11．如图，AB∥CD，∠D =∠E =35°，则∠B的度数为（）.A．60° B．65° C．70° D．75°【答案】C.~12．如图，已知△ABC，O是△ABC内的一点，连接OB、OC，将∠ABO、∠ACO分别记为∠1、∠2，则∠1、∠2、∠A、∠O四个角之间的数量关系是（）A ．∠1+∠0=∠A+∠2B ．∠1+∠2+∠A+∠O=180°C ．∠1+∠2+∠A+∠O=360°D ．∠1+∠2+∠A=∠O【答案】D ．【解析】 试题分析：连接AO 并延长，交BC 于点D ，》∵∠BOD 是△AOB 的外角，∠COD 是△AOC 的外角，∴∠BOD=∠BAD+∠1①，∠COD=∠CAD+∠2②，①+②得，∠BOC=（∠BAD+∠CAD ）+∠1+∠2，即∠BOC=∠BAC+∠1+∠2．故选D ．考点：1．三角形的外角性质；2．三角形内角和定理．13．如图，BD 是∠ABC 的角平分线，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥BC 于F ，，，，△cm 12BC cm 18AB cm 362ABC ===S 则DE 的长是（ ）B.cm 512 D.cm 514 ￥【答案】B【解析】试题分析：∵BD 是∠ABC 的角平分线，DE ⊥AB ，DF ⊥BC,由角平分线的性质可得DE=DF ∴DCB S S ∆∆+=ADB ABC S △=DF DE ⋅⨯+⋅⨯12211821=9DE+6DF=15DE=36∴DE=cm 512 所以选B.考点：角平分线的性质？第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明评卷人得分~二、填空题（题型注释）14．如图，△ABC中，∠A＝90°，DE是BC的垂直平分线，AD=DE，则∠C的度数是°．【答案】30°．【解析】试题分析：∵DE是BC的垂直平分线，∴DE⊥BC，∵∠A＝90°，AD=DE，∴BD平分∠AABC，∴∠ABD=∠DBC，∵DE是BC的垂直平分线，∴DC=BD，∴∠C=∠DBC，∴3∠C=90°，∴∠C=30°．故答案为：30°．考点：1．线段垂直平分线的性质；2．角平分线的性质．!15．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB的垂直平分线DE交AB于E，交AC于D，∠DBC＝30°，BD＝，则D到AB的距离为。

全等三角形难度题含答案

全等三角形难度题含答案

全等三角形测试题荟萃（1）一．选择题1．如图，EB交AC于M，交FC于D，AB交FC于N，∠E=∠F=90°，∠B=∠C，AE=AF，给出下列结论：①∠1=∠2；②BE=CF；③△ACN≌△ABM；④CD=DN．其中正确的结论有（）A．4个B．3个C．2个D．1个【解】∵∠E=∠F=90°，∠B=∠C，AE=AF∴△ABE≌△ACF∴BE=CF∠BAE=∠CAF∠BAE﹣∠BAC=∠CAF﹣∠BAC∴∠1=∠2△ABE≌△ACF∴∠B=∠C，AB=AC又∠BAC=∠CAB△ACN≌△ABM．④CD=DN不能证明成立，3个结论对．故选：B．2．如图，△ABC为等边三角形，D、E分别是AC、BC上的点，且AD=CE，AE与BD相交于点P，BF⊥AE于点F．若BP=4，则PF的长（）A．2 B．3 C．1 D．2【解】∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC．∴∠BAC=∠C．在△ABD和△CAE中，，∴△ABD≌△CAE（SAS）．∴∠ABD=∠CAE．∴∠APD=∠ABP+∠PAB=∠BAC=60°．∴∠BPF=∠APD=60°．∵∠BFP=90°，∠BPF=60°，∴∠PBF=30°．∴PF=．故选：A．3．如图，OA=OC，OB=OD且OA⊥OB，OC⊥OD，下列结论：①△AOD≌△COB；②CD=AB；③∠CDA=∠ABC；其中正确的结论是（）A．①②B．①②③C．①③D．②③【解答】解：∵OA⊥OB，OC⊥OD，∴∠AOB=∠COD=90°．∴∠AOB+∠AOC=∠COD+∠AOC，即∠COB=∠AOD．在△AOB和△COD中，，∴△AOB≌△COD（SAS），∴AB=CD，∠ABO=∠CDO．在△AOD和△COB中，∴△AOD≌△COB（SAS）∴∠CBO=∠ADO，∴∠ABO﹣∠CBO=∠CDO﹣∠ADO，即∠ABC=∠CDA．综上所述，①②③都是正确的．故选：B．二．解答题4．如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AB=AC，点E是BD上一点，且AE=AD，∠EAD=∠BAC．（1）求证：∠ABD=∠ACD；（2）若∠ACB=65°，求∠BDC的度数．【解答】证明：（1）∵∠BAC=∠EAD∴∠BAC﹣∠EAC=∠EAD﹣∠EAC即：∠BAE=∠CAD在△ABE和△ACD中∴△ABE≌△ACD ∴∠ABD=∠ACD（2）∵∠BOC是△ABO和△DCO的外角∴∠BOC=∠ABD+∠BAC，∠BOC=∠ACD+∠BDC∴∠ABD+∠BAC=∠ACD+∠BDC∵∠ABD=∠ACD∴∠BAC=∠BDC∵∠ACB=65°，AB=AC∴∠ABC=∠ACB=65°∴∠BAC=180°﹣∠ABC﹣∠ACB=180°﹣65°﹣65°=50°∴∠BDC=∠BAC=50°．5．（1）如图①，在四边形ABCD中，AB∥DC，E是BC的中点，若AE是∠BAD的平分线，试探究AB，AD，DC之间的等量关系，证明你的结论；（2）如图②，在四边形ABCD中，AB∥DC，AF与DC的延长线交于点F，E 是BC的中点，若AE是∠BAF的平分线，试探究AB，AF，CF之间的等量关系，证明你的结论．【解答】解：（1）证明：延长AE交DC的延长线于点F，∵E是BC的中点，∴CE=BE，∵AB∥DC，∴∠BAE=∠F，在△AEB和△FEC中，，∴△AEB≌△FEC，∴AB=FC，∵AE是∠BAD的平分线，∴∠BAE=∠EAD，∵AB∥CD，∴∠BAE=∠F，∴∠EAD=∠F，∴AD=DF，∴AD=DF=DC+CF=DC+AB，（2）如图②，延长AE交DF的延长线于点G，∵E是BC的中点，∴CE=BE，∵AB∥DC，∴∠BAE=∠G，在△AEB和△GEC中，，∴△AEB≌△GEC，∴AB=GC，∵AE是∠BAF的平分线，∴∠BAG=∠FAG，∵AB∥CD，∴∠BAG=∠G，∴∠FAG=∠G，∴FA=FG，∴AB=CG=AF+CF，6．已知：在△ABC中，AB=AC，D为AC的中点，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为点E，F，且DE=DF．求证：△ABC是等边三角形．【解】证明：∵DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为点E，F，∴∠AED=∠CFD=90°，∵D为AC的中点，∴AD=DC，在Rt△ADE和Rt△CDF中，，∴Rt△ADE≌Rt△CDF，∴∠A=∠C，∴BA=BC，∵AB=AC，∴AB=BC=AC，∴△ABC是等边三角形．7．已知，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，点D为BC的中点．（1）如图①，若点E、F分别为AB、AC上的点，且DE⊥DF，求证：BE=AF；（2）若点E、F分别为AB、CA延长线上的点，且DE⊥DF，那么BE=AF吗？请利用图②说明理由．【解】（1）证明：连接AD，如图①所示．∵∠A=90°，AB=AC，∴△ABC为等腰直角三角形，∠EBD=45°．∵点D为BC的中点，∴AD=BC=BD，∠FAD=45°．∵∠BDE+∠EDA=90°，∠EDA+∠ADF=90°，∴∠BDE=∠ADF．在△BDE和△ADF中，，∴△BDE≌△ADF（ASA），∴BE=AF；（2）BE=AF，证明如下：连接AD，如图②所示．∵∠ABD=∠BAD=45°，∴∠EBD=∠FAD=135°．∵∠EDB+∠BDF=90°，∠BDF+∠FDA=90°，∴∠EDB=∠FDA．在△EDB和△FDA中，，∴△EDB≌△FDA（ASA），∴BE=AF．8．如图，在Rt△ABC，∠ACB=90°，AC=BC，分别过A、B作直线l的垂线，垂足分别为M、N．（1）求证：△AMC≌△CNB；（2）若AM=3，BN=5，求AB的长．【解】：（1）∵AM⊥l，BN⊥l，∠ACB=90°，∴∠AMC=∠ACB=∠BNC=90°，∴∠MAC+∠MCA=90°，∠MCA+∠NCB=180°﹣90°=90°，∴∠MAC=∠NCB，在△AMC和△CNB中，，∴△AMC≌△CNB（AAS）；（2）∵△AMC≌△CNB，∴CM=BN=5，∴Rt△ACM中，AC===，∵Rt△ABC，∠ACB=90°，AC=BC=，∴AB===2．9．已知，如图，在等腰直角三角形中，∠C=90°，D是AB的中点，DE⊥DF，点E、F在AC、BC上，求证：DE=DF．【解】证明：连接CD．∵在等腰直角三角形ABC中，D是AB的中点．∴CD为等腰直角三角形ABC 斜边BC上的中线．∴CD⊥AB，∠ACD=∠BCD=45°，CD=BD=AD．又∵DE⊥DF∴∠EDC=∠FDB在△ECD和△FBD中∴△ECD≌△FDB（ASA）∴DE=DF10．如图，OC是∠MON内的一条射线，P为OC上一点，PA⊥OM，PB⊥ON，垂足分别为A，B，PA=PB，连接AB，AB与OP交于点E．（1）求证：△OPA≌△OPB；（2）若AB=6，求AE的长．【解】（1）∵PA⊥OM，PB⊥ON，∴∠PAO=∠PBO=90°，又∵PA=PB，PO=PO，∴Rt△AOP≌Rt△BOP；（2）∵△OPA≌△OPB，∴∠APE=∠BPE，又∵PA=PB，∴AE=BE，∴AE=AB=3．11．如图，△ABC和△ADE分别是以BC，DE为底边且顶角相等的等腰三角形，点D在线段BC上，AF平分DE交BC于点F，连接BE，EF．（1）CD与BE相等？若相等，请证明；若不相等，请说明理由；（2）若∠BAC=90°，求证：BF2+CD2=FD2．【解】（1）CD=BE，理由如下：∵△ABC和△ADE为等腰三角形，∴AB=AC，AD=AE，∵∠EAD=∠BAC，∴∠EAD﹣∠BAD=∠BAC﹣∠BAD，即∠EAB=∠CAD，在△EAB与△CAD中，∴△EAB≌△CAD，∴BE=CD，（2）∵∠BAC=90°，∴△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∴∠ABF=∠C=45°，∵△EAB≌△CAD，∴∠EBA=∠C，∴∠EBA=45°，∴∠EBF=90°，在Rt△BFE中，BF2+BE2=EF2，∵AF平分DE，∴AF垂直平分DE，∴EF=FD，由（1）可知，BE=CD，∴BF2+CD2=FD212．如图，OC是∠AOB的角平分线，P是OC上一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E．F是OC上另一点，连接DF，EF．求证：DF=EF．【解】证明：∵OC是∠AOB的角平分线，P是OC上一点，PD⊥OA，PE⊥OB，∴∠DOP=∠EOP，PD=PE．在Rt△POD和Rt△POE中，，∴Rt△POD≌Rt△POE（HL），∴OD=OE．在△ODF和△OEF中，，∴△ODF≌△OEF（SAS），∴DF=EF．13．如图，OP平分∠AOB，PE⊥OA于E，PF⊥OB于F，点M在OA上，点N 在OB上，且PM=PN．求证：EM=FN．【解】证明：∵点P在∠AOB的平分线上，PE丄0A于E，PF丄OB于F，∴PF=PE，在Rt△PEM和Rt△PEN中，∴Rt△PEM≌Rt△PEN（HL），∴EM=FN．14．如图，△ABC中，D为BC边上一点，BE⊥AD的延长线于E，CF⊥AD于F，BE=CF．求证：D为BC的中点．【解】证明：∵BE⊥AD的延长线于E，CF⊥AD于F，∴∠CFD=∠BED=90°，在△BED和△CFD中，∴△CDF≌△BDE（AAS）∴CD=BD．∴D为BC的中点．全等三角形测试题荟萃（2）2、 如图，在ABC ∆中，BE 是∠ABC 的平分线，AD BE ⊥，垂足为D 。

全等三角形综合测试题

全等三角形综合测试题

全等三角形综合测试题（100分）1、已知等腰三角形的一个内角为50°，则这个等腰三角形的顶角为（）【单选题】（3分）A.50°B.80°C.50°或80°D.40°或65°正确答案: C2、已知一个三角形的两边长分别是2厘米和9厘米，且第三边为奇数，则第三边长为（）【单选题】（3分）A.5cmB.7cmC.9cmD.11cm正确答案: C3、下列可使两个直角三角形全等的条件是（）【单选题】（3分）A.A、一条边对应相等B.B、两条直角边对应相等C.C、一个锐角对应相等D.D、两个锐角对应相等正确答案: B4、如图，D是BC的中点，E.F分别是AD和AD延长线上的点且DE=DF，连结BF，CE.下列说法:①CE=BF;②ΔABD和ΔACD面积相等;③BF//CE;△BDF≌ΔCDE其中正确的有（）【单选题】（3分）A.1个B.2个C.3个D.4个正确答案: D5、用两个全等的直角三角形，拼下列图形:①平行四边形;②矩形;③菱形;④正方形;⑤等腰三角形;⑥等边三角形，其中不一定能拼成的图形是（）【单选题】（3分）A.①②③B.②③C.③④⑤D.③④⑥正确答案: D6、如图，平行四边形ABCD中，AC、BD相交于点0过点O，过点O作直线分别交于AD、BC于点E、F.那么图中全等的三角形共有（）【单选题】（3分）A.2对B.4对C.6对D.8对正确答案: C7、根据下列条件，能判定△ABC≌△A’B’C’的是（）【单选题】（3分）A.)AB=A’B’，BC=B’C‘，∠A=∠A’B.∠A=∠A’，∠B=∠B‘，AC=BCC.∠A=∠A’，∠B=∠B‘,∠C=∠C’D.AB=A‘B’，BC=B’C’，ABC的周长等于△A’B’C’的周长正确答案: D8、【单选题】（3分）A.HLB.SSSC.SASD.ASA正确答案: B9、【填空题】（4分）________________________答案解析: AC=AD(答案不唯一）10、【填空题】（4分）________________________正确答案: CE=DF（回答与答案完全相同才得分）11、如图，在△ABC中，∠C=90°，AB的垂直平分线交AC于D，垂足为E，若CA=30°，DE=2，∠DBC的度数为____CD的长为____【填空题】（4分）________________________正确答案: 30° 2（回答包含答案即可得分）12、如图，ΔABC中，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD与BE相交于点F，若BF=AC.则∠ABC的度数是____【填空题】（4分）________________________正确答案: 45°（回答与答案完全相同才得分）13、【填空题】（8分）________________________正确答案: 证明:(1)∵BF=DE，∴BF+FE=DE+FE,即BE=DF …… 1 分又∵AB=CD，∠B=∠D，∴△ABE≌△CDF(SAS) ……3 分∴AE=CF ……4 分 (2) 先证明△AFE≌△CEF ……6分得∠AFE=∠CEF ……7分∴AF//CE……8 分 (方法不唯一，其他证明方法酌情给分)（回答包含答案即可得分）答案解析: 证明:(1)∵BF=DE，∴BF+FE=DE+FE,即BE=DF …… 1 分又∵AB=CD，∠B=∠D，∴△ABE≌△CDF(SAS) ……3 分∴AE=CF……4 分(2) 先证明△AFE≌△CEF ……6分得∠AFE=∠CEF ……7分∴AF//CE……8 分(方法不唯一，其他证明方法酌情给分)14、【填空题】（6分）________________________正确答案: 证明：(1)·∵∠BHD=∠AHE，∠BDH=∠AEH=90°∴∠DBH+∠BHD=∠HAE+∠AHE=90° ......2分.∴∠DBH=∠HAE......3分∵∠HAE=∠DAC ，∴∠DBH=∠DAC;......4分(2)∵AD⊥BC ∴∠ADB=∠ADC.....5分在△BDH与△ADC中，{∠ADB=∠ADC AD=BD ∠DBH=∠DAC} ∴.△BDH≌△ADC.......6分（回答包含答案即可得分）答案解析: 证明：(1).∵∠BHD=∠AHE，∠BDH=∠AEH=90°∴∠DBH+∠BHD=∠HAE+∠AHE=90° (2)分.∴∠DBH=∠HAE......3分∵∠HAE=∠DAC，∴∠DBH=∠DAC;......4分(2)∵AD⊥BC∴∠ADB=∠ADC.....5分在△BDH与△ADC中，{∠ADB=∠ADCAD=BD∠DBH=∠DAC}∴.△BDH≌△ADC.......6分15、【填空题】（6分）________________________正确答案: 证明:(1)∵BE、CF分别是AC、 AB两边上的高，∴∠AFC=∠AEB=90°(垂直定义)， (1)分∴∠ACG=∠DBA(同角的余角相等 )，......2分又∵BD=CA，AB=GC，∴△ABD≌△GCA; (4)分(2)连接DG，则△ADG是等腰三角形. 证明如下: .∵△ABD≌AGCA .∴AG=AD，......5分∴△ADG 是等腰三角形.......6分（回答包含答案即可得分）答案解析: 证明:(1)∵BE、CF分别是AC、 AB两边上的高，∴∠AFC=∠AEB=90°(垂直定义)， (1)分∴∠ACG=∠DBA(同角的余角相等)，......2分又∵BD=CA，AB=GC，∴△ABD≌△GCA;......4分(2)连接DG，则△ADG是等腰三角形.证明如下:.∵△ABD≌AGCA.∴AG=AD，......5分∴△ADG是等腰三角形.......6分16、【填空题】（7分）________________________正确答案: DF//BC.......2分证明:∵BE⊥AC，.∴∠BEC=90，......3分∴∠C+∠CBE=90° (4)分∵∠AB C=90°，.∴∠ABF+∠CBE=90°，∴∠C=∠ABF (5)分.∵DF//BC，.∴∠C=∠ADF，.∴∠ABF=∠ADF，......6分在△AFD和△AFB中∠1=∠2 ∠ABF=∠ADF AF=AF .∴△AF D≌AAFB(AAS)......7分（回答包含答案即可得分）答案解析: DF//BC.......2分证明:∵BE⊥AC，.∴∠BEC=90，......3分∴∠C+∠CBE=90° (4)分∵∠AB C=90°，.∴∠ABF+∠CBE=90°，∴∠C=∠ABF (5)分.∵DF//BC，.∴∠C=∠ADF，.∴∠ABF=∠ADF，......6分在△AFD和△AFB中∠1=∠2 ∠ABF=∠ADF AF=AF.∴△AF D≌AAFB(AAS)......7分17、【填空题】（7分）________________________正确答案: ①DF//BC.......1分证明:∵BE⊥AC，.∴∠BEC=90，∴∠C+∠CBE=90°，......3分∵∠AB C=90°，.∴∠ABF+∠CBE=90°，∴∠C=∠ABF， (5)分.∵DF//BC，.∴∠C=∠ADF，.∴∠ABF=∠ADF......6分在△AFD和△AFB中{∠1=∠2 ∠ABF=∠ADF AF=AF} .∴△AF D≌△AFB(AAS)......7分（回答包含答案即可得分）答案解析: ①DF//BC.......1分证明:∵BE⊥AC，.∴∠BEC=90，∴∠C+∠CBE=90°，......3分∵∠AB C=90°，.∴∠ABF+∠CBE=90°，∴∠C=∠ABF， (5)分.∵DF//BC，.∴∠C=∠ADF，.∴∠ABF=∠ADF......6分在△AFD和△AFB中{∠1=∠2 ∠ABF=∠ADF AF=AF}.∴△AF D≌△AFB(AAS)......7分18、【填空题】（7分）________________________正确答案: 证明：当动点P运动到AC边上中点位置时，AAPE≌AEDB......1分∵DE//CA，∴△BED∽△BAC，......2分∴BE/AB=DB/CB ∴D是BC的中点......3分∵E是AB中点，.∴BD/CB=1/2 ∴BE/AB=1/2 ∴E是AB中点∴DE=1/2AC，BE=AE,......5分∵DE// AC，∴∠A=∠BED，要使△APE≌△EDB，还缺少一个条件DE=AP，又有DE=1/2AC，∴P 必须是AC 中点......7分（回答包含答案即可得分）答案解析: 证明：当动点P运动到AC边上中点位置时，AAPE≌AEDB......1分∵DE//CA，∴△BED∽△BAC，......2分∴BE/AB=DB/CB∴D是BC的中点......3分∵E是AB中点，.∴BD/CB=1/2∴BE/AB=1/2∴E是AB中点∴DE=1/2AC，BE=AE,......5分∵DE// AC，∴∠A=∠BED，要使△APE≌△EDB，还缺少一个条件DE=AP，又有DE=1/2AC，∴P 必须是AC 中点......7分19、【填空题】（7分）________________________正确答案: 解:连接CD，∵∠ACB=90°，D是AB边的中点∴CD=AD，∠DAC=∠DCF ......2分∵DE 与CF 平行且相等.∴∠EDA=∠DAC......4分.∴∠EDA=∠DCF......5分在AAED和ACFD中 {CD=AD，∠EDA=∠DCF，DE=CF} ∴△AED≌△CFD ∴AE=DF......7分（回答包含答案即可得分）答案解析: 解:连接CD，∵∠ACB=90°，D是AB边的中点∴CD=AD，∠DAC=∠DCF ......2分∵DE与CF 平行且相等.∴∠EDA=∠DAC......4分.∴∠EDA=∠DCF......5分在AAED和ACFD中{CD=AD，∠EDA=∠DCF，DE=CF}∴△AED≌△CFD∴AE=DF......7分20、如图，山脚下有A、B两点，要测出A、B两点的距离，请说说你的解决方案。

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B
A
O
D C
E
图8 16．如图9所示，△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，AD 是BC 边上的中线，过C 作AD 的垂线，交AB 于点E ，交AD 于点F ，求证：∠ADC ＝∠BDE ．
14． 如图5－7，△ABC 的边BC 的中垂线DF 交△BAC 的 外角平分线AD 于D, F 为垂足, DE ⊥AB 于E ，且AB>AC ， 求证：BE －AC=AE ．
（2008年重庆市）已知：如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，BC=DC ，CF 平分∠BCD ，DF ∥AB ，BF 的延长线交DC 于点E 。

求证：（1）△BFC ≌△DFC ；（2）AD=DE
1. (2008年·东莞市)（本题满分9分）（1）如图7，点O 是线段AD 的中点，分别以AO 和DO 为边在线
段AD 的同侧作等边三角形OAB 和等边三角形OCD ，连结AC 和BD ，相交于点E ，连结BC ．
求∠AEB 的大小；
（2）如图8，ΔOAB 固定不动，保持ΔOCD 的形状和大小不变，将ΔOCD 绕着点O 旋转（ΔOAB
和ΔOCD 不能重叠），求∠AEB 的大小.
答案：
A
B
C D
E F
图9
A
F C
D
C
B
O
D 图7 A E
图7
O
D
C
A
23．如图，在∠AOB 的两边OA ,OB 上分别取OM =ON ，OD =OE ， DN 和EM 相交于点C ． 求证：点C 在∠AOB 的平分线上．
24． (1)如图１，以A B C △的边A B 、A C 为边分别向外作正方形A B D E 和正方形 A C F G ，连结E G ，试判断A B C △与AEG △面积之间的关系，并说明理由．
(2)园林小路，曲径通幽，如图２所示，小路由白色的正方形理石和黑色的三角形理石 铺成．已知中间的所有正方形的面积之和是a 平方米，内圈的所有三角形的面积之和 是b 平方米，这条小路一共占地多少平方米？
A
B
D
C E
O
M
N
F
B
D （图１）。

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