导数7

如果有函数其自变量不是单个实数，而是多于一个元素，例如：

这时可以把其中一个元素（比如）看做参数，那么可以看做是关于另一个元素的参数函数：

也就是说，对于某个确定的，函数就是一个关于的函数。在固

定的情况下，可以计算这个函数关于的导数。

这个表达式对于所有的都对。这种导数称为偏导数，一般记作：

这里的符号∂是字母的圆体变体，一般读作的首音节或读“偏”，以便与

区别。

更一般地来说，一个多元函数在点处对的偏导数定义为：

上面的极限中，除了外所有的自变元都是固定的，这就确定了一个一元函数：

因此，按定义有：

偏导数的实质仍然是一元函数的导数。[22]:56

多变量函数的一个重要的例子，是从（例如或）映射到上的标量

值函数。在这种情况下，关于每一个变量都有偏导数

。在点，这些偏导数定义了一个矢量：

。

这个矢量称为在点的梯度。如果在定义域中的每一个点都是可微的，那

么梯度便是一个矢量值函数，它把点映射到矢量。这样，梯度便决定了一个矢量场。