(完整版)导数的定义

设运动规律 s s(t )（例如自由落体 : s 1 gt 2 ) ,
2
求在t t0时刻的瞬时速度v ( t0 ).
设从时刻 t0 到 t0 t 的运动位移为 s
s s ( t0 t ) s ( t0 )
s s( t0 t ) s( t0 )
t
t
Δt 很小，速度近乎均匀，则
平均速度
s(t0 )
s(t0 t)
s
s t v(t0 )
令 t t) 1 gt 2 2
s s(t0 t) s(t0 )
t
t
1 2
g(t0
t)2
1 2
gt
2 0
t
1 2
g(t
2 0
2t0
t
t 2 )
1 2
gt
2 0
t
s(t0 )
s
s(t0 t)
★ 函数f(x)在点x0的导数 f (x0 ) ，
正是该函数的导数 f (x) 在该点x0的值 ，
即
f (x0 ) f (x) |xx0
例5 求函数y=x3在x=2的导数y，并求y|x=2 。
解 先求导函数
y
lim (x x)3 x3
x0
x
lim 3x2x 3x(x)2 (x)3
x0
x2 x 2
练习：求函数 y
f (x)
1在
x
x2
的导数
2.单侧导数
若 lim x x0
f (x) f (x0) x x0
A,称 A为
f ( x)在 x0 的左导数，记作
f' ( x0 ),
f '( x0 0)。
若 lim x x0
f (x) f (x0 ) B ,称 B 为 x x0
导函数：若函数 f在某开区间（a,b)上每一点可导
则称f 在区间(a,b)可导。对每一x ( a , b ) 都对应一个导数值 f '( x ), 这样就定义了一个函数 f ,
f : x f ( x), x (a, b)
称为导函数(简称导数 ),
记作 f '(x)或 dy 或 df (x) 及 y ' dx dx
解 由于f(0)=0，根据左导数与右导数的定义
f(0)
lim
x0
f (0 x) f (0) x
| x |
x
lim lim
x0 x x0 x
= 1
f(0)
lim
x0
f (0 x) f (0) x
lim | x | x0 x
lim x x0 x
=1
因为 f(0) f(0)
所以函数f(x)=|x|在x=0处不可导。
f
(
x)
在
x0
的右导数，记作
f
'
(
x0
),
f '( x0 0)。
lim f ( x) f ( x0 ) A lim f ( x) f ( x0 ) A lim f ( x) f ( x0 )
x x0
x x0
x x0
x x0
x x0
x x0
例4 讨论函数f(x)=|x|在x=0处是否可导。
第二章 导数与微分
导数思想最早由法国
微积分学的创始人:
数学家 Fermat 在研究 极值问题中提出.
英国数学家 Newton
德国数学家 Leibniz
导数 微分学 微分
描述函数变化快慢 描述函数变化程度
都是描述物质运动的工具 (从微观上研究函数)
§2.1 导数概念
一、导数（微商）的背景
1.自由落体运动的瞬时速度问题
· · x0
△x x0+△x
x
于是 ,
f
'(
x0 )
lim
x0
f ( x0 x) x
f ( x0 ) lim x x0
f ( x) f ( x0 ) x x0
三种常用的表示形式：
f ( x0 )
lim
x0
f ( x0
x) x
f ( x0 ) .
(1)
f
( x0
)
lim
x x0
f ( x) f ( x0 ) . x x0
C
o
即 lim NMT 0. MN 0
y f (x) N
M
T
x
设 M ( x0 , y0 ) , N ( x0 x , y0 y )
当 N M 时, 割线 MN 的极限位置是切线 MT ,于是
N M (也即 x 0 ) 时 ,
y
.
y f (x) N
也就有 tan tan
而
y lim
lim
f ( x0 x ) f ( x0 )
x0 x x0
x
则称此函数在x0可导，极限值为函数 f 在点 x0 处
的导数或微商 , 记作
f ( x0 ) , y |xx0
或
d
f ( x0 ) , d y dx dx
x x0
,即
f
'(
x0
)
y
lim
x0 x
在极限表示式中 , 若令 x0 x x , 则 x x x0 ,
(2)
f ( x0 )
lim
h0
f ( x0
h) h
f ( x0 ) .
(3)
例3 求函数y=f(x)=x在x=2的导数。
解 用（1）式. 在x=2处，当自变量有改变量x时
相应的函数改变量为
f ( x0 )
lim
x0
f ( x0
x) x
f ( x0 ) .
y =f(2+ x) f(2) =2+ x2 =x
x
3x2
将x=2代入导函数中求出导数值
y |x2 3x2 |x2 =12
类似可以得出
(x ) x 1
例6 求常量函数y=C的导数。
解 对函数y=C在定义域上的任意一点x，若自变量有改变量x， 则相应的函数改变量为 y=CC=0 于是 lim y lim 0 0
tan y , 这样便得 C M
T
x lim y tan
x0 x
o
x0 x0 x x
抽去具体的物理、几何内容，从抽象的数量关系来看, 都归
结为下面形式的极限 lim y lim f ( x0 x ) f ( x0 )
x x0
x0
x
二、导数概念
1.导数定义
定义: 设y f (x)在点x0的某邻域内有定义, 若存在极限
因此，在x =2处函数y =x的导数
f (2) lim y lim f (2 x) f (2) lim x
x0 x x0
x
x0 x
=1
用（2）式.
f (2) lim f (x) f (2)
x2 x 2
x
f
2
( x0
)
lim
x x0
f ( x) f ( x0 ) . x x0
lim =1
g 2
(2t0
t).
令
t 0 ，得瞬时速度
v(t0 )
lim
t 0
g(t0 2
t)
gt0
2.切线问题 割线的极限位置——切线位置
切线
切线可看作曲线上过某定点的一系列割线的极限位置。
过点M做割线MN，当N沿曲 y 线C向M滑动时， 若割线MN极
限位置MT存在， 则称直线MT
为曲线C在M处的切线.