导数应用

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(3)f′(x)＝(lxn2x＋2xx2)′＝(lxn2x)′＋(2xx2)′ ＝1x·x2－xln4x·2x＋2x（ln2·x4x2－2x） ＝（1－2lnx）x＋（x4ln2·x2－2x）·2x ＝1－2lnx＋（xln32·x－2）2x.
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(3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点． (4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线． (5)若 f(x)＝a3＋2ax－x2，则 f′(x)＝3a2＋2x. 答案 (1)× (2)× (3)√ (4)× (5)×
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思考题 2 求下列函数的导数．
(1)f(x)＝(x3＋1)(2x2＋8x－5)；
(2)f(x)＝11＋ －
xx＋11＋－
x； x
(3)f(x)＝lnxx＋2 2x；
(4)f(x)＝ 1－1 2x2；
(5)f(x)＝cos(3x2－π6 )．
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★状元笔记★ 导数的计算方法
(1)连乘积形式：先展开化为多项式的形式，再求导． (2)分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为 简单的分式函数，再求导． (3)根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导． (4)三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再 求导． (5)复合函数：确定复合关系，由外向内逐层求导．
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第三章 导数及应用
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第1课时 导数的概念及运算
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…2018考纲下载… 1．了解导数概念的某些实际背景(如瞬时速度、加速度、光 滑曲线切线的斜率等)，掌握函数在一点处的导数的定义和导数 的几何意义，理解导函数的概念． 2．熟记基本导数公式(c，xm(m为有理数)，sinx，cosx， ex，ax，lnx，logax的导数)，掌握两个函数和、差、积、商的求 导法则，了解复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导 数．
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6．有一机器人的运动方程为 s＝t2＋3t (t 是时间，s 是位移)， 则该机器人在时刻 t＝2 时的瞬时速度为________．
答案
13 4
解析 ∵s(t)＝t2＋3t ，∴s′(t)＝2t－t32.
∴机器人在时刻 t＝2 时的瞬时速度为 s′(2)＝4－34＝143.
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题型二 导数的基本运算
求下列函数的导数： (1)y＝(3x3－4x)(2x＋1)； (3)y＝x2ln＋x1； (5)y＝ln1x＋e－2x.
(2)y＝3xex－2x＋e； π
(4)y＝sin2(2x＋ 3 )；
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f（x＋Δx）－f（x）
Δx
.
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导数的几何意义 函数 f(x)在 x＝x0 处的导数就是曲线 y＝f(x)在点 P(x0，f(x0)) 处的切线的斜率，即曲线 y＝f(x)在点 P(x0，f(x0))处的切线的斜率 k＝f′(x0)，切线方程为 y－y0＝f′(x0)(x－x0)．
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授人以渔
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题型一 导数的概念
利用导数定义求函数 f(x)＝ x在 x＝1 处的导数．
【解析】 f′(1)＝ f（1＋ΔxΔ）x－f（1）＝
1＋Δx－1 Δx
（ ＝
1＋ΔΔxx（－11）＋（Δx＋1＋1）Δx＋1）＝
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5．(2018·陕西检测)已知直线 y＝－x＋m 是曲线 y＝x2－3lnx
的一条切线，则 m 的值为( )
A．0
B．2
C．1
D．3
答案 B 解析 因为直线 y＝－x＋m 是曲线 y＝x2－3lnx 的切线，所以 令 y′＝2x－3x＝－1，得 x＝1 或 x＝－32(舍去)，即切点为(1，1)， 又切点(1，1)在直线 y＝－x＋m 上，所以 m＝2，故选 B.
【解析】 (1)方法一：y＝(3x3－4x)(2x＋1) ＝6x4＋3x3－8x2－4x，∴y′＝24x3＋9x2－16x－4. 方法二：y′＝(3x3－4x)′·(2x＋1)＋(3x3－4x)(2x＋1)′＝ (9x2－4)(2x＋1)＋(3x3－4x)·2＝24x3＋9x2－16x－4. (2)y′＝(3xex)′－(2x)′＋e′＝(3x)′ex＋3x(ex)′－(2x)′＝ 3xln3·ex＋3xex－2xln2＝(ln3＋1)·(3e)x－2xln2.
导数的概念
(1)函数 y＝f(x)在 x＝x0 处的导数就是 f(x)在 x＝x0 处的瞬时 变化率，记作：y′|x＝x0 或 f′(x0)，
即 f′(x0)＝ f（x0＋ΔxΔ）x－f（x0）.
(2)当把上式中的 x0 看做变量 x 时，f′(x)即为 f(x)的导函数，
简称导数，即 y′＝f′(x)＝
π 4．设正弦函数 y＝sinx 在 x＝0 和 x＝ 2 附近的平均变化率
为 k1，k2，则 k1，k2 的大小关系为( )
A．k1>k2
B．k1<k2
C．k1＝k2
D．不确定
答案 A
解析 ∵y＝sinx，∴y′＝(sinx)′＝cosx.
π k1＝cos0＝1，k2＝cos 2 ＝0，∴k1>k2.
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(3)导数定义中，x 在 x0 处增量是相对的，可以是 Δx，也可
以是 2Δx，－Δx 等，做题要将分子分母中增量统一为一种．
(4) 导 数 定 义 lim Δx→0
f（x0＋Δx）－f（x0） Δx
＝
f
′
(x0)
，
也
即
lim
Δx→0
f（x）x－－fx（0 x0）＝f′(x0)．
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(4)设 y＝u－12，u＝1－2x2， 则 y′＝(u－12)′(1－2x2)′＝(－12u－32)·(－4x) ＝－12(1－2x2)－32(－4x)＝2x(1－2x2)－32. (5)y′＝－sin(3x2－π6 )(3x2－π6 )′ ＝－6xsin(3x2－π6 )．
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基本初等函数的导数公式
(1)C′＝0(C 为常数)；
2)(xn)′＝nxn－1(n∈Q*)；
(3)(sinx)′＝cosx；
来自百度文库
4)(cosx)′＝－sinx；
(5)(ax)′＝axlna；
6)(ex)′＝ex；
(7)(logax)′＝xl1na；
8)(lnx)′＝1x．
1＋1Δx＋1＝12.
【答案】
1 2
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★状元笔记★ 导数定义探究
(1)判断一个函数在某点是否可导就是判断该函数的平均变 化率ΔΔyx当 Δx→0 时极限是否存在．
(2)利用导数定义求函数的导数时，先算函数的增量 Δy，再 算比值ΔΔyx＝f（x＋ΔxΔ）x－f（x），再求极限 y′＝Δlxi→m0ΔΔyx.
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思考题 1 设 f(x)＝x3－8x，则 lΔxi→m0f（2＋ΔxΔ）x－f（2）＝________； lΔxi→m0f（2－ΔxΔ）x－f（2）＝________； lxi→m2 f（x）x－ －f2（2）＝________． 【答案】 4，－4，4
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【答案】 (1)f′(x)＝10x4＋32x3－15x2＋4x＋8 (2)f′(x)＝（1－4 x）2 (3)f′(x)＝1－2lnx＋（xln32·x－2）2x (4)f′(x)＝2x(1－2x2)－32 (5)f′(x)＝－6xsin(3x2－π6 )
【解析】 (1)∵f′(x)＝(2x5＋8x4－5x3＋2x2＋8x－5)′， ∴f′(x)＝10x4＋32x3－15x2＋4x＋8. (2)∵f(x)＝11＋－ xx＋11＋－ xx＝（1＋1－xx）2＋（1－1－xx）2 ＝21＋－2xx＝1－4 x－2， ∴f′(x)＝(1－4 x－2)′＝－4（（11－－xx））2′＝（1－4x）2.
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两个函数的四则运算的导数 若 u(x)，v(x)的导数都存在，则 (1)(u±v)′＝u′±v′； (2)(u·v)′＝u′v＋uv′； (3)(uv)′＝u′v－v2 uv′(v≠0)； (4)(cu)′＝cu′(c 为常数)．
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(3)y′＝（lnx）′（x2＋（1x）2＋－1）lnx2·（x2＋1）′ ＝1x·（x2（＋x12）＋－1）ln2x·2x＝x2＋x（1－x2＋2x12·）l2nx. (4)y＝sin2(2x＋π3 )＝12－12cos(4x＋23π)， 故设 y＝12－12cosu，u＝4x＋23π， 设 yx′＝yu′·ux′＝12sinu·4＝2sinu＝2sin(4x＋23π)．
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(5)y＝－lnx＋e－2x,∴y′＝－1x＋e－2x·(－2x)′＝－1x－2e－2x. 【答案】 (1)y′＝24x3＋9x2－16x－4 (2)y′＝(ln3＋1)·(3e)x－2xln2 (3)y′＝x2＋x（1－x2＋2x12·）l2nx (4)y′＝2sin(4x＋23π) (5)y′＝－1x－2e－2x
复合函数的导数 设 u＝g(x)在点 x 处可导，则复合函数 y＝f[g(x)]在点 x 处可 导，且 f′(x)＝f′(u)·u′x．
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1．判断下列说法是否正确(打“√”或“×”)． (1)f′(x)与 f′(x0)(x0 为常数)表示的意义相同． (2)在曲线 y＝f(x)上某点处的切线与曲线 y＝f(x)过某点的切 线意义是相同的．
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请注意 本章中导数的概念，求导运算、函数的单调性、极值和最 值是重点知识，其基础是求导运算，而熟练记忆基本导数公式 和函数的求导法则又是正确进行导数运算的基础，复习中要引 起重视．
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课前自助餐
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题型三 导数的几何意义(微专题) 微专题1：求曲线的切线方程
已知曲线y＝x3－2x. (1)求曲线在点P(1，－1)处的切线方程； (2)求曲线过点P(1，－1)的切线方程．
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【解析】 (1)∵y′＝3x2－2， ∴在点 P(1，－1)处的切线的斜率 k＝y′|x＝1＝1. ∴曲线在点 P(1，－1)处的切线方程为 y＋1＝x－1，即 x－y －2＝0. (2)设 P(x0，y0)为切点，则切线的斜率为 f′(x0)＝3x02－2.故 切线方程为 y－y0＝(3x02－2)(x－x0)． 即 y－(x03－2x0)＝(3x02－2)(x－x0)．
3．(2017·课标全国Ⅰ，文)曲线 y＝x2＋1x在点(1，2)处的切线 方程为________．
答案 y＝x＋1 解析 因为 y′＝2x－x12，所以在点(1，2)处的切线方程的斜率 为 y′|x＝1＝2×1－112＝1，所以切线方程为 y－2＝x－1，即 y＝x ＋1.
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2．计算： (1)(x4－3x3＋1)′＝________； (2)(ln1x)′＝________； (3)(xex)′＝______； (4)(sinx·cosx)′＝______． 答案 (1)4x3－9x2 (2)－xln12x (3)ex＋xex (4)cos2x
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