高中数学4.2.2圆与圆的位置关系教学案新人教版A版必修2
必修2 4.2.2 圆与圆的位置关系 教学设计
第四章 圆与方程4.2.2 圆与圆的位置关系高中数学必修2（人教A 版）第四章4.2.2圆与圆的位置关系一节，本节课是在前面已学习直线方程与圆的方程基础上，通过方程思想与几何法判定圆与圆的位置关系，培养学生方程思想和数形结合的思想方法。
重点：掌握用几何法和解析法判断圆与圆的位置关系。
难点：灵活地运用“数形结合”、解析法来解决直线与圆的相关问题。
【问题导思】对于圆与圆的位置关系，是在将两圆放在同一平面内运动状态下，通过观察、分析、比较、判断得到平面上两圆位置关系有五种.1．如何利用两圆的半径和圆心距的关系判定圆与圆的位置关系？2．已知两圆的方程，能否用方程组的观点来判断两圆的位置关系？如何判断？【知识讲解】圆与圆位置关系的判定(1)几何法：若两圆的半径分别为r 1、r 2，两圆的圆心距为d ，则两圆的位置关系的判断方法如下：位置关系外离 外切 相交 内切 内含 图示d 与r 1、r 2的关系 d >r 1＋r 2 d ＝r 1＋r 2 |r 1－r 2|<d <r 1＋r 2 d ＝|r 1－r 2| d <|r 1－r 2|(2) ⎭⎪⎬⎪⎫圆C 1方程圆C 2方程――→消元 一元二次方程⎩⎪⎨⎪⎧ Δ>0⇒相交Δ＝0⇒内切或外切Δ<0⇒外离或内含【知识运用】▶例1已知两圆C 1：x 2＋y 2＋4x ＋4y －2＝0，C 2：x 2＋y 2－2x －8y －8＝0，判断圆C 1与圆C 2的位置关系． ▶课堂练习两圆x 2＋y 2＝a 与x 2＋y 2＋6x －8y －11＝0内切，求a 的值．▶例2 已知圆C 1：x 2＋y 2＋2x －6y ＋1＝0，圆C 2：x 2＋y 2－4x ＋2y －11＝0，求两圆的公共弦所在的直线方程及公共弦长．▶课堂练习1. 两圆相交于点A (1,3)，B (m ，－1)，两圆的圆心均在直线l ：x －y ＋c ＝0上，则m ＋c ＝________.2. 已知两圆x 2＋y 2－2x ＋10y －24＝0和x 2＋y 2＋2x ＋2y －8＝0.(1)试用几何法证明两圆相交；(2)求公共弦所在的直线方程；(3)求公共弦的长度．▶例3已知P (－1,2)为圆x 2＋y 2＝8内一定点．(1)求过点P 且被圆所截得的弦最短的直线方程；(2)求过点P 且被圆所截得的弦最长的直线方程．▶课堂练习1. 求过直线2x ＋y ＋4＝0与圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0的交点，且面积最小的圆的方程．2. 点P 在圆x 2＋y 2－8x －4y ＋11＝0上，点Q 在圆x 2＋y 2＋4x ＋2y ＋1＝0上，则|PQ |的最小值是________．【课堂小结】判断圆与圆位置关系的方式通常有代数法和几何法两种，其中几何法较为简便。
人教课标版高中数学必修二《圆与圆的位置关系》教案-新版
4.2.2 圆与圆的位置关系（一）核心素养通过学习圆与圆的位置关系，掌握解决问题的方法――代数法、几何法. （二）学习目标1.明确两个圆之间的五种位置关系.2.能根据给定的两个圆的方程判断两个圆的位置关系.3.两圆相交时的公共弦方程及弦长计算.（三）学习重点圆与圆的位置关系及其判断方法.（四）学习难点1.用圆的方程解决问题.2.用几何法和代数法判断两圆之间的位置关系.二、教学设计（一）课前设计1.预习任务（1）读一读：阅读教材，明确：圆与圆的五种位置关系——外离、外切、相交、内切、内含的几何含义是：（2）记一记：直线与圆的位置关系的判断方法 方法一：几何方法设两圆的圆心距d ，半径12,r r ，则： ①当12d r r >+时，圆1C 与圆2C 相离； ②当12d r r =+时，圆1C 与圆2C 外切； ③当<-||21r r 12d r r <+时，圆1C 与圆2C 相交； ④当12||d r r =-时，圆1C 与圆2C 内切； ⑤当12||d r r <-时，圆1C 与圆2C 内含；步骤：①计算两圆半径12,r r ；②计算两圆圆心距d ；③根据d 与12,r r 的关系判断两圆的位置关系. 方法二：代数方法方程组22111222220x y D x E y F x y D x E y F ⎧++++=⎪⎨++++=⎪⎩ 有两组不同实数解⇔相交；有两组相同实数解⇔相切（内切或外切）；无实数解⇔相离（外离或内含）. 2.预习自测（1）根据图片说出圆与圆之间的位置关系.【知识点】圆与圆位置关系 【数学思想】数形结合【解题过程】根据图像和定义直接得出结果 【思路点拨】看两圆交点个数【答案】（图一至图六依次为）外离、内含、内含、外切、内切、相交. （2）判断下列两圆的位置关系()()12222=-++y x 与()()165222=-+-y x .【知识点】圆与圆位置关系 【数学思想】数形结合 ()()221222255r r --+-==+，所以两圆外切.【思路点拨】看圆心距和半径间的关系 【答案】外切. (二)课堂设计 1.知识回顾（1）直线与圆的位置关系：相离、相交、相切；（2）判断直线与圆的位置关系的方法：根据圆心到直线的距离；根据直线的方程和圆的方程组成方程组的实数解的个数； （3）与圆相切的直线方程的计算方法. 2.问题探究探究一 圆与圆的位置关系★●活动① 明确概念我们知道根据圆心到直线距离的长度与圆半径长度的比较之后，明确了直线与圆有三种位置关系，分别是：相离、相切和相交. 那么圆与圆之间也同样有这样的关系，我们通过两个圆半径之间与两圆圆心之间距离的长度还有公共点的个数比较来判断两个圆的位置关系：当公共点个数为0时，若21r r d +>，则两圆外离，若21r r d -<，则两圆内含；当公共点个数为1时，若21r r d +=，则两圆外切，若21r r d -=，则两圆内切；当公共点个数为2时，2121r r d r r +<<-，则两圆相交. 【例题】【知识点】圆与圆位置关系 【数学思想】数形结合【解题过程】根据图像和定义直接得出结果 【思路点拨】看两圆圆心距和两半径的关系【答案】（图一至图五依次为）外离、外切、相交、内切、内含. 【设计意图】解决数学问题，体会概念与数形结合方法. ●活动② 给定方程，判断位置关系当我们给定两圆的方程，有几种判别两圆位置关系的方法呢？（抢答）首先是代数法：设两个圆的方程组成的方程组为22111222220,0,x y D x E y F x y D x E y F ⎧++++=⎪⎨++++=⎪⎩ 如果方程组有两组不同的实数解⇔两圆相交； 有两组相同的实数解⇔两圆外切或内切；无实数解⇔ 两圆相离或内含. 其次是几何法：设两圆圆心分别为O 1、O 2，半径为r 1、r 2(r 1≠r 2)，则O 1O 2＞r 1＋r 2⇔相离；O 1O 2＝r 1＋r 2⇔外切；|r 1－r 2|＜O 1O 2＜r 1＋r 2⇔相交；O 1O 2＝|r 1－r 2|⇔内切；O 1O 2＜|r 1－r 2|⇔内含.看下面的例题判断两圆07622=-++x y x 与027622=-++y y x 的位置. 【知识点】圆与圆位置关系 【数学思想】数形结合、方程思想【解题过程】第一个圆的方程07622=-++x y x 可以改写为()16322=++y x ，第二个圆的方程027622=-++y y x 可以改写为()36322=++y x ，两圆圆心的的距离为()()23030322=-+-半径和为1021=+r r ，半径差为122r r -=，故两圆相交.【思路点拨】看两圆圆心距和两半径的关系 【答案】相交.【设计意图】通过对概念理解和计算方法的运用，加深对圆与圆位置关系的理解. 探究二 两圆相交时的公共弦方程及弦长计算 ●活动① 根据图像判断公切线的条数在直线与圆的位置关系一节中我们探究了在圆内、圆上、圆外一点做圆的切线的问题，发现在圆内没有切线、在圆上有一条切线、在圆外有两条切线. 同理我们可以探究两圆的位置关系，再以此判断两圆的公切线的条数. 那么大家可以总结出来吗？（抢答）总结公切线条数如下：若两圆外离，两圆有四条公切线；相交，两圆有两条公切线；若两圆外切，两圆有三条公切线；若两圆内切，两圆有一条公切线；若两圆内含，两圆没有公切线.●活动② 给定两圆的方程，判断公切线的条数我们想要判定公切线的条数首先需要我们判定两圆位置关系.【例题】判断两圆07622=-++x y x 与027622=-++y y x 的公切线条数. 【知识点】圆与圆位置关系、公切线【数学思想】数形结合【解题过程】2211(3)16,(3,0),4x y o r ++=-=，2221(3)36,(0,3),6x y o r ++=-=122121210o o r r r r =-=<<+=则，则两圆相交，所以有2条公切线 【思路点拨】两圆的位置关系是相交 【答案】2●活动③ 过两圆交点的圆系方程的应用当两圆相交时，两圆有两个交点，这两个交点所在直线就是一条公共弦，那么这条弦的方程该如何计算呢？（举手回答）法一：联立两圆方程求出两圆交点，并用两点式求出直线方程. 法二：两圆相交，则两圆相减的方程为公共弦方程.例1 圆224410x y x y ++--=与圆222130x y x ++-=相交于,P Q 两点，求直线PQ 的方程.【知识点】圆与圆位置关系、公共弦问题 【数学思想】方程思想【解题过程】两圆的公共弦方程就是两式相减的直线方程，22(441)x y x y ++---22(213)0x y x ++-=可得260x y -+=【思路点拨】两圆方程相减得出一条直线 【答案】260x y -+=；【同类训练】求以圆1C ：22122130x y x y +---=和圆2C ：221216250x y x y +++-=公共弦为直径的圆的方程.【知识点】圆与圆位置关系、公共弦问题 【数学思想】方程思想【解题过程】解法一：22221221301216250x y x y x y x y ⎧+---=⎪⎨+++-=⎪⎩相减得公共弦所在直线方程4320x y +-=，再由224320122130x y x y x y +-=⎧⎨+---=⎩联立得两交点坐标()1,2A -、()5,6B -.∵所求圆以AB 为直径，∴圆心是AB 的中心点()2,2M -，圆的半径为152r AB ==.于是圆的方程()()222225x y -++=. 解法二：（使用圆系方程求解：120o o λ+=）设所求圆2212x y x +--()222131216250y x y x y λ-++++-=()λ参数，得圆心()()1212162,2121λλλλ⎛⎫---- ⎪ ⎪++⎝⎭， ∵圆心在公共弦AB 所在直线上，∴()()121216243202121λλλλ⎛⎫⎛⎫--⨯-+--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，解得12λ=. 故所求圆的方程2244170x y x y +-+-=即()()222225x y -++=. 【思路点拨】圆心在公共弦上 【答案】2244170x y x y +-+-= 探究三 两圆位置关系中的参数问题 ●活动① 已知两圆位置关系，求参数范围同直线与圆位置关系一样，我们在圆与圆位置关系的题目中同样涉及到参数的求解问题，接下来就根据这一道例题来掌握这一类问题中使用的代数思想. 例2 m y x =+22与圆0118622=--++y x y x 相交，求实数m 的范围. 【知识点】圆与圆位置关系 【数学思想】数形结合、方程不等式【解题过程】圆0118622=--++y x y x 改写为()()364322=-++y x ，则两圆圆心距离为5，使得两圆相交，则6562121+=+<<-=-m r r m r r ，最终解出.()121,1∈m【思路点拨】根据定义即可 【答案】()121,1∈m 【同类训练】已知圆0542:2221=-++-+m y mx y x C ，圆03222222=-+-++m my x y x C ：，当m 为何值时，(1)圆C 1与圆C 2外切；(2)圆C 1与圆C 2内含？【知识点】圆与圆位置关系 【数学思想】数形结合、方程不等式【解题过程】对于圆C 1与圆C 2的方程，经配方后()()92221=++-y m x C ：；()()41222=-++m y x C ：. (1)如果C 1与C 2外切，则有()()232122+=+++m m ,()()252122=+++m m ，01032=-+m m ，解得25=-=m m 或.(2)如果C 1与C 2内含，则有()()232122-<+++m m ，1)2()1(22<+++m m ，0232<++m m ，解得12-<<-m ，∴当25=-=m m 或时，圆C 1与圆C 2外切；当12-<<-m 时，圆C 1与圆C 2内含. 【思路点拨】根据定义建立不等式 【答案】25=-=m m 或；12-<<-m 3.课堂总结 知识梳理（1）两个圆的位置关系一共有五种：外离、外切、相交、内切、内含. （2）给定两圆方程来判断两个圆之间的位置关系可以使用代数方法和几何方法. （3）两圆相交时公共弦所在直线和弦长的计算以及该弦的圆系方程. 重难点归纳（1）圆与圆的位置关系及其判断方法. （2）圆系方程解决问题. （三）课后作业 基础型 自主突破1.两个大小不等的圆，其位置关系有几种？分别是什么？ 【知识点】考察几种圆与圆位置关系的定义 【数学思想】归类总结 【解题过程】直接根据定义回答 【思路点拨】根据定义即可【答案】五种，内含、内切、相交、外切、外离2.圆4)2(22=++y x 与圆9)1()2(22=-+-y x 的位置关系为__________.【知识点】两圆方程判断两圆位置 【数学思想】【解题过程】∵两圆的圆心距为17)01()22(22=-++， 又∵231723+<<-，∴两圆相交 【思路点拨】定义 【答案】相交3.已知圆0882221=-+++y x y x C ：和 圆0144:222=---+y x y x C ，试判断圆C 1与圆C 2的位置关系.【知识点】已知两圆方程判断两圆位置 【数学思想】【解题过程】圆心距：5335-<<+ 【思路点拨】定义解题 【答案】相交4.若圆222x y m +=与圆2268x y x y ++-110-=相交，求实数m 的取值范围. 【知识点】已知位置关系，求参数范围，不等式 【数学思想】不等式方程思想【解题过程】1122(0,0),;(3,4),6O r m O r =-=，125,O O = 则因为两圆相交，所以656,m m -<<+解得m ∈(11,1)(1,11)--.【思路点拨】使用相交时圆心距离与两圆半径之间的关系来求解 【答案】(11,1)(1,11)--.5.判断两圆2220x y x +-=与2240x y y +-=的位置关系，若相交，请求出其公共弦长 .【知识点】两圆位置关系，弦长 【数学思想】方程思想【解题过程】把两圆改写成222212:(1)1;:(2)4;o x y o x y -+=+-=122112o o -<=<+ ,所以两圆相交，两圆相减可得直线方程为20x y -=，1o d l ===到直线的弦长 【思路点拨】定义解题. 6.两圆2222440,2120x y x y x y x ++-=++-=相交于A ,B 两点，则直线AB 的方程是 .【知识点】两圆相交时求公共弦的方程 【数学思想】方程思想【解题过程】()()0122442222=-++--++x y x y x y x 【思路点拨】两圆方程相减即可 【答案】260x y --=. 能力型 师生共研7.已知01r <<+，则两圆222x y r +=与22(1)(1)2x y -++=的位置关系是 .【知识点】圆与圆的位置关系判别 【数学思想】数形结合【解题过程】两圆心距离为2，与两圆半径和与两圆半径差比较 【思路点拨】定义解题 【答案】相交8.已知圆()22422010x y ax ay a +-++-=与圆224x y +=相切，则a 的值为_________.【知识点】圆与圆的位置关系 【数学思想】方程思想.、分类讨论 【解题过程】圆()22422010x y ax ay a +-++-=改写成222(2)()5(2)x a y a a -+-=-，d =圆心距相切可得22+或者22-解得1a =±.【思路点拨】定义解题，得出方程【答案】1a =±探究型 多维突破9.求过圆221:420C x y x y +-+=和圆222:240C x y y +--=的交点，且圆心在直线:2410l x y +-=上的圆的方程. 【知识点】过两圆交点的圆系问题【数学思想】方程思想【解题过程】圆方程可设为222242(24)0x y x y x y y λ+-+++--=，求出圆心21(,)11λλλ-++，带入直线:2410l x y +-=可得13λ=，再代入所设方程可得圆的方程为22310x y x y +-+-=【思路点拨】圆系【答案】22310x y x y +-+-=10.已知圆2260x y x +-=与圆22244x y y m +-=-(0)m >，则m = 时，两圆相切.【知识点】两圆位置【数学思想】分类讨论思想【解题过程】 两圆改成2211(3)9,(3,0),3x y o r -+==，22222(2),(0,2),x y m o r m +-==d =圆心距,若外切则3,3;3m m m =+=-=-，解得3m =+【思路点拨】两圆相切分为两种：内切和外切3±自助餐1.已知圆221:2610C x y x y ++-+=，圆222:42110C x y x y +-+-=，求两圆的公共弦所在的直线方程及公共弦长.【知识点】相交两圆的公共弦问题【数学思想】数形结合【解题过程】两圆相减【思路点拨】结论解题【答案】0643=+-y x ；245. 2.已知圆0342:22=+-++y x y x C .若圆Q 与圆C 关于直线03=--y x 对称，求圆Q 的方程；【知识点】圆与圆位置关系的综合运用【数学思想】数形结合【解题过程】(1)将圆的方程化成标准式()()22122=-++y x ，圆心()21，-C ，半径2=r ，圆心()21，-C 关于直线03=--y x 的对称点()45-，Q ，圆Q 半径2=r ，∴圆Q 的方程为()()24522=++-y x . 【思路点拨】圆关于直线对称还是圆【答案】()()24522=++-y x ； 3.已知点(5,4)P ，圆C ：2268110x y x y +---=，过P 作圆D ，使C 与D 相切，并且使D 的圆心坐标是正整数，求圆D 的标准方程.【知识点】位置关系、圆的方程【数学思想】分类讨论思想【解题过程】点P 在圆C 内部，所以圆D 与圆C 内切，设圆D ()()222x a y b r -+-=，由点在圆上和两圆内切得到133a r =-，14r ≤≤，讨论r后只有2r =和4满足，圆D 方程为()()22744x y -+-=或()()221416x y -+-=.【思路点拨】在圆与圆的位置关系中有内切和外切两种【答案】()()22744x y -+-=或()()221416x y -+-=.4.圆经过直线240x y ++=与圆222410x y x y ++-+=的两个交点，并且面积最小，求此圆的方程.【知识点】两圆位置关系、圆系方程【数学思想】数形结合【解题过程】抓住直线即为直径【思路点拨】通过圆系方程可知，该直径是公共弦 【答案】221364()()555x y ++-= 5.已知圆1C ：222210x y kx k +-+-=和圆2C ：2222(1)20x y k y k k +-+++=，则当它们圆心之间的距离最短时，两圆的位置关系如何?【知识点】两圆位置关系、最值【数学思想】函数思想【解题过程】圆1C 的方程可以改写为()122=+-y k x ，圆2C 改写为()()1122=+-+k y x 两圆圆心距离最短时1222++k k ，21-=k ，此时22min =d 【思路点拨】两圆距离最短不仅大于0而且小于2.【答案】两圆的位置关系为相交.6.在平面直角坐标系xOy 中，已知圆4)1()3(221=-++y x C ：和圆4)5()4(222=-+-y x C ：.(1)若直线l 过点)04(，A ，且被圆C 1截得的弦长为32，求直线l 的方程；(2)设P 为平面上的点，满足：存在过点P 的无穷多对互相垂直的直线l 1和l 2，它们分别与圆C 1和圆C 2相交，且直线l 1被圆C 1截得的弦长与直线l 2被圆C 2截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P 的坐标.【知识点】直线与圆、圆与圆位置关系的综合运用【数学思想】数形结合、方程思想【解题过程】(1)由于直线4=x 与圆C 1不相交，所以直线l 的斜率存在 设直线l 的方程为)4(-=x k y ，圆C 1的圆心到直线l 的距离为d ，因为直线l 被圆C 1截得的弦长为32，所以1)3(222=-=d . 由点到直线的距离公式，得21)43(1k k d +---=，从而0)724(=+k k ，即0=k 或247-=k ， 所以直线l 的方程为0=y 或028247=-+y x .(2)设点),(b a P 满足条件，不妨设直线l 1的方程为0),(≠-=-k a x k b y ，则直线l 2的方程为)(1a x kb y --=-. 因为圆C 1和C 2的半径相等，及直线l 1被圆C 1截得的弦长与直线l 2被圆C 2截得的弦长相等，所以圆C 1的圆心到直线l 1的距离和圆C 2的圆心到直线l 2的距离相等， 即2211)4(151)3(1kb a k k b a k +--+=+----，整理得bk a k b ak k --+=-++4531， 从而bk a k b ak k --+=-++4531或bk a k b ak k ++--=-++4531， 即3)2(+-=-+a b k b a 或5)8(-+=+-b a k b a ，因为k 的取值有无穷多个，所以⎩⎨⎧=+-=-+0302a b b a 或⎩⎨⎧=-+=+-0508b a b a ， 解得5212a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩或⎪⎩⎪⎨⎧=-=21323b a 这样点P 只可能是点⎪⎭⎫ ⎝⎛-21,251P 或点⎪⎭⎫ ⎝⎛-213,232P . 经检验点P 1和P 2满足题目条件【思路点拨】条件直译【答案】（1）0282470=-+=y x y 或；（2）⎪⎭⎫ ⎝⎛-21,251P 或点⎪⎭⎫ ⎝⎛-213,232P .。
高中数学：4.2.2《圆与圆的位置关系》教案(新人教A必修2)
4..2.2圆与圆的位置关系教学目的：让学生掌握用解方程组法或求圆心之间距离与两圆半径之和、两圆半径之 差之间的关系判断圆与圆的位置关系。
教学重点：圆与圆位置关系的判断。
教学难点：圆与圆位置关系的判断。
教学过程一、复习提问初中学过圆与圆有几种位置关系？怎样用数量关系表示圆与圆的位置关系？ 设两圆半径为r 1，r 2，圆心距为d ，关系如下表〔用数轴也可以表示〕。
外离 外切 相交 内切 内含d ＞r 1＋r 2 d ＞r 1＋r 2 r 1－r 2＜d ＜r 1＋r 2 d ＝r 1－r 2 d ＜r 1＋r 2二、新课例3、圆C 1：x 2＋y 2＋2x ＋8y －8＝0，圆C 2：x 2＋y 2－4x －4y －2＝0，试判 断圆C 1与圆C 2的关系。
解法一：圆C 1与圆C 2的方程联立，得到方程组：①－②，得：x ＋2y －1＝0，即y ＝21x 代入①，并整理，得： x 2－2x －3＝0此方程的判别式：△＝16＞0方程有两个不同的实数根，所以两圆有两个公共点，解上述方程，可求得两个交点坐标。
解法二：把圆C1化成标准方程：〔x＋1〕2＋〔y＋4〕2＝25，圆心为点〔－1，－4〕，半径为5圆C2化成标准方程：〔x－2〕2＋〔y－2〕2＝10，圆心为点〔2,2〕，半径为10两圆的连心线长〔圆心距〕为：22)2-+-＝35-(-41()2两圆半径之和：r1＋r2＝5＋10两圆半径之差：r1－r2＝5－10因为5－10＜35＜5＋10，即r1－r2＜35＜r1＋r2所以，两圆相交，有两个公共点解答此题之前，也可以根据圆心和半径画出两个圆的草图，看两圆有无交点，对解题有一定的帮助。
练习：P141作业：P1444、5、6、7。
高中数学必修二(人教新A版)教案31圆与圆的位置关系
教师：引导学生阅读教科书中的相关内容，注意个别辅导，解答
程 学生疑难，并引导学生自己总结解题的方法．
及 学生：观察图形并思考，发表自己的解题方法．
方
3．例 3
你能根据题目，在同一个直角坐标系中画出两个方程所表示的圆
法 吗？你从中发现了什么？
教师：应该关注并发现有多少学生利用“图形”求，对这些学生
应该给予表扬．同时强调，解析几何是一门数与形结合的学科．
7．阅读例 3 的两种解法，解决第 137 页的练习题． 师：指导学生完成练习题． 生：阅读教科书的例 3，并完成第 137 页的练习题．
8．若将两个圆的方程相减，你发现了什么？ 师：引导并启发学生相交弦所在直线的方程的求法． 生：通过判断、分析，得出相交弦所在直线的方程．
9．两个圆的位置关系是否可以转化为一条直线与两个圆中的一个圆的 关系的判定呢？ 师：引导学生验证结论． 生：互相讨论、交流，验证结论．
情感态度价值观
学生数形结合的思想．
重点 用坐标法判断圆与圆的位置关系．
难点 用坐标法判断圆与圆的位置关系．
问题与情境及教师活动 过程与方法：
学生活动
1． 初中学过的平面几何中，圆与圆的位置关系有几类？教 教师：引导学来自回忆、举例，并对学生活动进行评价；
学 学生：回顾知识点时，可互相交流．
过
2．判断两圆的位置关系，你有什么好的方法吗？
问题与情境及教师活动
学生活动
学
师：启发学生利用图形的特征，用代数的方法来解决几何问题．
过 生：观察图形，并通过思考，指出两圆的交点，可以转化为两个圆的方
程联立方程组后是否有实数根，进而利用判别式求解．
程
及 5．从上面你所画出的图形，你能发现解决两个圆的位置的其它方法吗？
高中数学新人教版必修2教案4.2.2 圆与圆的位置关系.doc
课 后 反 思
4
4
3
教师课时教案
问题与情境及教师活动
学生活动
10.教师总结：
设两圆的连心线长为 l ，则判别圆与圆的位置关系的依据有以下几点： （1）当 l r1 r2 时，圆 C1 与圆 C2 相离；
（2）当 l r1 r2 时，圆 C1 与圆 C2 外切；
教 （3）当 | r1 r2 | l r1 r2 时，圆 C1 与圆 C2 相交；
学 （4）当 l | r1 r2 | 时，圆 C1 与圆 C2 内切；
（5）当 l | r1 r2 | 时，圆 C1 与
（1）通过两个圆的位置关系的判断，你学到了什么？
学
（2）判断两个圆的位置关系有几种方法？它们的特点是什么？
小
结
（3）如何利用两个圆的相交弦来判断它们的位置关系？
重点 用坐标法判断圆与圆的位置关系．
难点 用坐标法判断圆与圆的位置关系．
教
问题与情境及教师活动
学生活动
1
过程与方法： 学 1． 初中学过的平面几何中，圆与圆的位置关系有几类？
过
教师：引导学生回忆、举例，并对学生活动进行评价；
学生：回顾知识点时，可互相交流．
程 2．判断两圆的位置关系，你有什么好的方法吗？
4．根据你所画出的图形，可以直观判断两个圆的位置关系．如何
把这些直观的事实转化为数学语言呢？
教师课时教案
教
问题与情境及教师活动
学生活动
2
学 师：启发学生利用图形的特征，用代数的方法来解决几何问题． 过 生：观察图形，并通过思考，指出两圆的交点，可以转化为两个圆的方
程联立方程组后是否有实数根，进而利用判别式求解．
高中数学《4.2.2圆与圆的位置关系》学案 新人教A版必修2
4.2.2 圆与圆的位置关系学案一．学习目标：能根据给定圆的方程，判断圆与圆的位置关系. 掌握坐标法的思想，用解方程组判别位置关系或求交点坐标.二．重点、难点：重点：难点：三．知识要点： 两圆的位置关系及其判定： 设两圆圆心分别为12,O O ，半径分别为12,r r ，则：（1）两圆相交121212||||r r O O r r ⇔-<<+；（2）两圆外切1212||O O r r ⇔=+；（3）两圆内切1212||||O O r r ⇔=-；四．自主探究：（一）例题精讲：【例1】已知圆1C ：22660x y x +--=①，圆2C ：22460x y y +--=②（1）试判断两圆的位置关系；（2）求公共弦所在的直线方程.解：（1）∵圆1C 的圆心为（3,0），半径为1r =圆2C 的圆心为（0，2），半径为2r ，又12||C C 12||r r -＜12||C C <12r r +，∴圆1C 与2C 相交.（2）由①－②，得公共弦所在的直线方程为320x y -=.【例2】求经过两圆22640x y x ++-=和226280x y y ++-=的交点，并且圆心在直线40x y --=上的圆的方程.解：设所求圆的方程为22628x y y ++-22(64)0x y x λ+++-=，即22(1)(1)662840x y x y λλλλ+++++--=, 则所求圆的圆心为33(,)11λλλ--++. ∵圆心在直线40x y --=上， ∴334011λλλ-+-=++，解得17λ=-. ∴ 所求圆的方程为2x ＋27320y x y -+-=【例3】（04年全国卷Ⅱ.文理4）已知圆C 与圆22(1)1x y -+=关于直线y x =-对称，则圆C 的方程为A.22(1)1x y ++=B.221x y +=C.22(1)1x y ++=D.22(1)1x y +-= 解：已知圆的半径1r =，圆心(1,0)，圆心(1,0)关于直线y x =-的对称点为(0,1)-，则圆C 的方程为22(1)1x y ++=. 选C.点评：圆关于直线的对称图形仍然是圆，半径不变，圆心关于直线对称. 我们要掌握一些常见对称问题的解答思路，例如点关于直线的对称，曲线关于直线的对称，曲线关于点的对称等，解答理论基础有中点坐标公式、垂直时斜率乘积为－1、代入法、转化思想.同时，我们也要掌握一些简单对称，如点(,)a b 关于直线y x =的对称点为(,)b a .【例4】求圆2240x y +-=与圆2244120x y x y +-+-=的公共弦的长. （教材P 144 习题A 组9题）解：由题意，列出方程组22224044120x y x y x y ⎧+-=⎪⎨+-+-=⎪⎩，消去二次项，得2y x =+. 把2y x =+代入2220x y x y +-+=，得220x x +=，解得122,0x x =-=，于是120,2y y ==，两圆的交点坐标是(2,0)A -，(0,2)B ，所以，公共弦长||AB =另解：由题意，列出方程组22224044120x y x y x y ⎧+-=⎪⎨+-+-=⎪⎩，消去二次项，得2y x =+，它即公共弦所在直线的方程.圆2240x y +-=的圆心到直线20x y -+=的距离为d =所以，两圆的公共线长为=点评：为何两圆的方程消去二次项后，即为公共弦所在直线的方程，我们易由曲线系的知识可得. 比较方程思想与几何方法求解两圆的公共弦长，几何方法更为简捷. 先求公共弦所在直线，再求一圆心到直线的距离，通过公式求得弦长.五．目标检测（一）基础达标1．圆221:()(2)9C x m y -++=与圆222:(1)()4C x y m ++-=外切，则m 的值为（ ）.A. 2B. －5C. 2或－5D. 不确定2．圆2220x y x ++=和2240x y y +-=的公共弦所在直线方程为（ ）.A. 20x y -=B. 20x y +=C. 20x y -=D. 20x y +=3．若圆228x y +=和圆22440x y x y ++-=关于直线l 对称，则直线l 的方程为（ ）.A. 0x y -=B. 0x y +=C. 20x y -+=D. 20x y ++=4．（1995全国文）圆x 2＋y 2－2x ＝0和x 2＋y 2＋4y ＝0的位置关系是（ ）.A.相离B.外切C.相交D.内切5．（04年湖北卷.文4）两个圆221:2220C x y x y +++-=与222:4210C x y x y +--+=的公切线有且仅有（ ）.A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条6．两圆：x 2 + y 2 + 6 x + 4y = 0及x 2+y 2 + 4x + 2y – 4 =0的公共弦所在直线方程为 .7．（2000上海春，11）集合A ＝｛（x ，y ）|x 2＋y 2＝4｝，B ＝｛（x ，y ）|(x －3)2＋(y －4)2＝r 2｝，其中r ＞0，若A ∩B 中有且仅有一个元素，则r 的值是 .（二）能力提高8．求与圆222410x y x y +-++=同心，且与直线210x y -+=相切的圆的方程.9．求圆22412390x y x y ++-+=关于直线3450x y --=的对称圆方程.（三）探究创新10．求一宇宙飞船的轨道，使得在轨道上任一点处看地球和月球的视角都相等.。
高中数学4.2.2圆与圆的位置关系学案设计新人教A版必修2
第四章圆与方程
4.2 直线、圆的位置关系
4.2.2 圆与圆的位置关系
学习目标
1.理解并掌握圆与圆的位置关系及其判定方法.
2.通过用代数法和几何法分析圆与圆的位置关系,培养分析问题、解决问题的能力,并进一步体会数形结合的思想.
学习过程
一、设计问题,创设情境
在前面我们学习了点与圆的位置关系和直线与圆的位置关系,
问题1:点与圆的位置关系有哪几种?如何判断?
问题2:直线与圆的位置关系有哪几种?如何判断?
问题3:初中学过的平面几何中,圆与圆的位置关系有几种?我们怎样判断圆与圆的位置
关系呢?
二、学生探索,尝试解决
如何判断圆与圆的这五种位置关系?
1.从方程的角度来看:由两个圆组成的方程组的解的情况来看:方程组有两个解,则两圆;方程组有一个解,则两圆;方程组没有实数解,则两圆;
2.判断两圆位置关系的方法多采用几何方法:设两圆的圆心距d,半径r1,r2,通过两个圆的和之间的关系进行判断.
三、信息交流,揭示规律
3.几何法
(1)当时,圆C1与圆C2相离;
(2)当d=r1+r2时,圆C1与圆C2;
(3)当时,圆C1与圆C2相交;
(4)当d=|r1-r2|时,圆C1与圆C2;
(5)当时,圆C1与圆C2内含;
步骤:(1)计算两圆半径r1,r2;(2)计算两圆圆心距d;(3)根据d与r1,r2的关系判断两圆的位置关系.
4.代数方法:方程组
有两组不同实数解?;有两组相同实数解?相切();
无实数解?(外离或内含)
1。
高中数学 4.2.2 圆与圆位置关系导学案 新人教A版必修2
4.2.2 圆与圆的位置关系【学习目标】（1）理解圆与圆的位置的种类；（2）利用平面直角坐标系中两点间的距离公式求两圆的连心线长；（3）会用连心线长判断两圆的位置关系．【学习重点】用坐标法判断圆与圆的位置关系．【知识链接】1．直线与圆的位置关系，， .2．直线截圆所得的弦长 .3.圆与圆的位置关系有哪几种？(作图说明)4. 设圆两圆的圆心距设为d.当时，两圆当时，两圆当时，两圆当时，两圆当时，两圆【基础知识】问题1：圆与圆的位置关系两个大小不等的圆，其位置关系有内含、内切、相交、外切、外离等五种，在平面几何中，这些位置关系是如何判定的？问题2:判断圆和圆的位置关系的方法(1)几何法(2)代数法【例题讲解】例1 已知圆，圆，试判断圆与圆的关系？相交变式：若将这两个圆的方程相减，你发现了什么？例2圆的方程是:，圆的方程是:,为何值时两圆⑴相切；⑵相交；⑶相离；⑷内含.（1）m=-2或m=-1（2）m=-5或m=2（3）-5<m<-2或-1<m<-2（4）m>2或m<-5（5）-2<m<-1【达标检测】1、判断下列两圆的位置关系：(1)(x+2)2+(y-2)2=1与(x-2)2+(y-5)2=16外切(2)x2+y2+6x-7=0与x2+y2+6y-27=0相交2、x2+y2=m与圆x2+y2+6x-8y-11=0相交，求实数m的范围1<m<1213、已知以（-4,3）为圆心的圆与x2+y2=1 相切，求圆C的方程..(x+4)2+(y-3)2=16或4、求过点A(0,6)且与圆x2+y2+10x+10y=0切于原点的圆的方程。
(x-3)2+(y-3)2=185、求与点A(1,2)的距离为1，且与点B(3,1)的距离为2的直线共有 2 条。
6. 已知，则两圆与的位置关系是（ B ）.A．外切 B．相交 C．外离 D．内含7. 两圆与的公切线有（ D ）.A．1条 B．2条 C．4条 D．3条8. 两圆相交于两点，则直线的方程是 .9. 两圆和的公切线方程 x=1或.【问题与收获】。
新人教A版高中数学(必修2)4.2.2《圆与圆的位置关系》word教案
§4.2.2圆与圆的位置关系教学目标1、知识技能目标：（1）理解圆与圆的位置的种类；（2）利用平面直角坐标系中两点间的距离公式求两圆的圆心距；（3）会用圆心距判断两圆的位置关系．2、过程方法目标：通过一系列例题，培养学生观察问题、分析问题和解决问题的能力．3、情感态度价值观目标：让学生通过观察图形，理解并掌握圆与圆的位置关系，培养学生数形结合的思想．教学重点 圆与圆的位置关系教学难点 圆与圆的位置关系的几何判定 教学过程 一、自学导航 1.问题情境：（1）初中学过的平面几何中，圆与圆的位置关系有几种？ （2）在初中，我们怎样判断圆与圆的位置关系呢？ 2.学生活动（1）你能说出判断圆与圆的位置关系的两种方法吗？方法一：利用圆与圆的交点个数；方法二：利用圆心距d 与半径之间的关系. （2）如何用圆与圆的方程判断它们之间的位置关系呢？ （3）若将两个圆的方程相减，你发现了什么？ 二、探究新知1、两个圆的位置关系有外离、外切、相交、内切、内含.2、判断两圆位置关系的方法：（1）几何方法：设两圆的圆心距d ，半径12,r r ，则： ①当12d r r >+时，圆1C 与圆2C 相离； ②当12d r r =+时，圆1C 与圆2C 外切；③当<-||21r r 12d r r <+时，圆1C 与圆2C 相交； ④当12||d r r =-时，圆1C 与圆2C 内切； ⑤当12||d r r <-时，圆1C 与圆2C 内含；步骤：①计算两圆半径12,r r ；②计算两圆圆心距d ；③根据d 与12,r r 的关系判断两圆的位置关系.（2）代数方法：方程组221112222200x y D x E y F x y D x E y F ⎧++++=⎪⎨++++=⎪⎩ 有两组不同实数解⇔相交；有两组相同实数解⇔相切（内切或外切）；无实数解⇔相离（外离或内含）.3.两圆相交时的公共弦方程及弦长计算设相交两圆的方程为：222211122200x y D x E y F x y D x E y F ++++=++++=与 则公共弦的方程为：121212(-)(-)(-)0D D x E E y F F ++= 三、例题精讲：例1（书P 104例1） 判断下列两圆的位置关系：2222(1)(2)(2)1(2)(5)16x y x y ++-=-+-=与 222226706270x y x x y y ++-=++-=（）与变式题1：已知圆1C ：2224x y mx y +-++250m -=，圆2C ： 2222x y x my +--+230m -=，m 为何值时，（1）圆1C 与圆2C 相 外切？（52m m =-=或）（2）圆1C 与圆2C 相内含？（21m -<<-） 变式题2：已知圆()22422010x y ax ay a +-++-=与圆224x y +=相切，求a 的值.（1a =） 例2 圆224410x y x y ++--=与圆222130x y x ++-=相交于,P Q 两点，求直线PQ 的方 程及公共弦PQ 的长． 答案：260x y -+=；6变式题：求以圆1C ：22122130x y x y +---=和圆2C ：221216250x y x y +++-=公共弦为直径的圆的方程.22221221301216250x y x y x y x y ⎧+---=⎪⎨+++-=⎪⎩相减得公共弦 所在直线方程为4320x y +-=，再由224320122130x y x y x y +-=⎧⎨+---=⎩联立得两交点坐标()1,2A -、()5,6B -.∵所求圆以AB为直径，∴圆心是AB 的中心点()2,2M -，圆的半径为152r AB ==.于是圆的方程为()()222225x y -++=.方法二：设所求圆2212x y x +--()222131216250y x y x y λ-++++-=()λ参数，得圆心()()1212162,2121λλλλ⎛⎫---- ⎪ ⎪++⎝⎭，∵圆心在公共弦AB 所在直线上，∴()()121216243202121λλλλ⎛⎫⎛⎫--⨯-+--= ⎪ ⎪⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，解得12λ=.故所求圆的方程2244170x y x y +-+-=. 点评：圆系方程经过220,0x y Dx Ey F Ax By C ++++=++=与交点的圆方程为22()0x y Dx Ey F Ax By C λ+++++++=经过011122=+++++F y E x D y x与022222=++++F y E x D y x 交点的圆系方程为：0)(2222211122=++++++++++F y E x D y x F y E x D y x λ例3（书P 104例2）求过点(0,6)A 且与圆22:10100C x y x y +++=切于原点的圆的方程．变式题1：求过直线x + y + 4 = 0与圆x 2 + y 2 + 4x – 2y – 4 = 0的交点且与y = x 相切的圆的方程.解：设所求的圆的方程为x 2 + y 2 + 4x – 2y – 4 + λ(x + y + 4) = 0.联立方程组22424(4)0y xx y x y x y λ=⎧⎨++--+++=⎩得：2(1)2(1)0x x λλ+++-=. 因为圆与y = x 相切，所以∆=0. 即2(1)8(1)0,λλλ++-=则=3故所求圆的方程为x 2 + y 2 + 7x + y + 8 = 0. 变式题2： 求过两圆x 2 + y 2 + 6x – 4 = 0求x 2 + y 2 + 6y – 28 = 0的交点，且圆心在直线x – y – 4 = 0上的圆的方程.解：依题意所求的圆的圆心，在已知圆的圆心的连心线上，又两已知圆的圆心分别为(–3，0)和(0，–3).则连心线的方程是x + y + 3 = 0.由3040x y x y ++=⎧⎨--=⎩ 解得1272x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩. 所以所求圆的圆心坐标是17(,)22-. 设所求圆的方程是x 2 + y 2 – x + 7y + m = 0由三个圆有同一条公共弦得m = –32. 故所求方程是x 2 + y 2 – x + 7y – 32 = 0. 四、课堂精练1.判断下列两个圆的位置关系：2222(1)(3)(2)1(7)(1)36x y x y -++=-+-=与； 2222(2)2232030x y x y x y x y +-+=+--=与3．2.已知以C （-4,3）为圆心的圆与圆221x y +=相切，求圆C 的方程. 答案：（1）内切；（2）相交3.若圆222x y m +=与圆2268x y x y ++-110-=相交，求实数m 的取值范围． 答案：(11,1)(1,11)--4. 已知圆1C ：222210x y kx k +-+-=和圆2C ：2222(1)20x y k y k k +-+++=，则当它们圆心之间的距离最短时，两圆的位置关系如何? 答案：两圆的位置关系为相交5.已知一个圆经过直线240x y ++=与圆222410x y x y ++-+=的两个交点，并且有最小面积，求此圆的方程． 答案：221364()()555x y ++-=6.已知圆221:2610C x y x y ++-+=，圆222:42110C x y x y +-+-=，求两圆的公共弦所在的直线方程及公共弦长． 答案：3x -4y +6=0；245五、回顾小结：提出下列问题让学思考：（1）通过两个圆的位置关系的判断，你学到了什么？（2）判断两个圆的位置关系有几种方法？它们的特点是什么？ （3）如何求相交两圆的相交弦的方程及弦长？分层训练1.已知01r <<，则两圆222x y r +=与22(1)(1)2x y -++=的位置关系是 .相交 2. 两圆2220x y x +-=与2240x y y +-=的公共弦长.3.两圆2222440,2120x y x y x y x ++-=++-=相交于A ,B 两点，则直线AB 的方程是 . 答案：260x y --=4.已知两圆2260x y x +-=与224x y y m +-=,则m 时，两圆相切. 答案：18+18-5.求经过点M (2,-2)，及圆2260x y x +-=与224x y +=交点的圆的方程. 答案： 22320x y x +--=6.求过两圆221:420C x y x y +-+=和圆222:240C x y y +--=的交点,且圆心在直线:2410l x y +-=上的圆的方程. 答案：22310x y x y +-+-=六、拓展延伸1.已知点(5,4)P ，圆C ：2268110x y x y +---=，过P 作圆D ，使C 与D 相切，并且使D 的圆心坐标是正整数，求圆D 的标准方程.解：点P 在圆C 内部，所以圆D 与圆C 内切，设圆D ()()222x a y b r -+-=，由点在圆上和两圆内切得到133a r =-，14r ≤≤，讨论r 后只有2r =和4满足，圆D 方程为()()22744x y -+-=或()()221416x y -+-=）2.已知两圆1C ：2260x y y +-=， 2C ：(()2211x y -+-=.（1）求证两圆外切，且x 轴是它们的一条外公切线； （2）求出它的另一条外公切线方程.解：（1）略（2）解：如下图由条件可得12C C 的斜率为k ==12C C 的倾斜角为0150，由平面几何知识可知另一条外公切线AB 的倾斜角为0120，∵直线12C C 的方程为33y x -=-，令0y =得x =，∴两外公切线交点坐标为()，∴另一条外公切线AB 的方程为y x =-. 七、课后作业创新课时训练15课时 八、教学后记：。
新人教A版必修2高中数学学案教案： 4.2.2圆与圆的位置关系
数学 4.2.2圆与圆的位置关系教案 新人教A 版必修2一、教学目标1、知识与技能：（1）能根据给定圆的方程，判断圆与圆的位置关系；（2）掌握求圆的切线方程的方法。
2、过程与方法：探索圆与圆的位置关系的判断方法；会求圆的切线的方程。
3、情感态度与价值观：通过观察图形，理解并掌握圆与圆的位置关系，培养学生数形结合的思想。
二、教学重点、难点：重点：圆与圆的位置关系的判断，圆的切线方程的求法。
难点：用坐标法判断圆与圆的位置关系，求圆的切线的方程。
三、教学过程（一）实例引入例1、已知圆C 1：088222=-+++y x y x ，圆C 2：024422=---+y x y x ，试判断圆C 1与圆C 2的关系。
思考：圆与圆的位置关系有哪几种？如何根据圆的方程，判断它们之间的位置关系？（二）解决问题圆与圆的位置关系：相离，外切，相交，内切，内含。
判断方法： 方法一：联立方程组，考察方程组有无实数解。
方法二：依据圆心距l = |C 1C 2|与两半径长的和21r r +或两半径的差的绝对值||21r r -的大小关系，判断两圆的位置关系：（1）当21r r l +>时，圆1C 与圆2C 相离；（2）当21r r l +=时，圆1C 与圆2C 外切； （3）当<-||21r r 21r r l +<时，圆1C 与圆2C 相交；（4）当||21r r l -=时，圆1C 与圆2C 内切；（5）当||21r r l -<时，圆1C 与圆2C 内含。
解法一：联立方程组，相减得：x + 2y – 1 = 0，代入圆的方程，并整理得： 0322=--x x ，因为△ > 0，所以两个圆有两个公共点。
解法二：因为10),2,2(;5),4,1(2211==--r C r C ，所以53||21=C C ， 得10553105+<<-，所以<-||21r r 21r r l +<，两个圆相交。
数学必修Ⅱ人教A版4.2.2《圆与圆的位置关系》精品教案
课题： 圆与圆的位置关系课 型：新授课教学目标：（1）理解圆与圆的位置关系的种类；（2）利用平面直角坐标系中两点间的距离公式求两圆的连心线长；（3）会用连心线长判断两圆的位置关系．教学重点、难点：用坐标法判断圆与圆的位置关系．教学过程：一、新课引入：问题1：直线与圆的位置关系有哪几种？怎样判断？（引入课题）问题2：初中学过的平面几何中，圆与圆的位置关系有几类？（引入新课）二、新课教学：问题：判断两圆的位置关系，你有什么好的方法吗？（学生展开讨论） 例1．（课本例3）已知圆1:C 222880x y x y +++-= ，圆2C ：22442x y x y +---=0试判断圆1C 与圆2C 的关系。
分析:解法一:说明：（见第129页）解法二:小结：设两圆的连心线长为l ，则判别圆与圆的位置关系的依据有以下几点：（1）当21r r l +>时，圆1C 与圆2C 相离；（2）当21r r l +=时，圆1C 与圆2C 外切；（3）当<-||21r r 21r r l +<时，圆1C 与圆2C 相交；（4）当||21r r l -=时，圆1C 与圆2C 内切；（5）当||21r r l -<时，圆1C 与圆2C 内含；课堂练习：1.课本130p 练习 ;2.圆221x y +=和圆22(3)(4)16x y -++=的公切线有 3 条3.求圆心为(2,1),且与已知圆2230x y x +-=的公共弦所在直线过点(5,-2)的圆的方程. 答案:22(2)(1)4x y -+-=4.两圆224410y x y ++--=与222130x y x ++-=相交于PQ 两点,则公共弦PQ 的长为 6 .课后作业：课本132p 习题4.2A 组第7，9，10题。
课后记:感谢您的阅读，祝您生活愉快。
高中数学人教A版必修2《4.2.2圆与圆的位置关系》教案5
必修二圆与圆的位置关系教学内容分析1、《圆》的地位与作用《课程标准》指出：在“解析几何初步”这个单元, “学生将在平面直角坐标系中建立直线和圆的代数方程，运用代数方法研究几何性质，体会数形结合的思想”。
第四章《圆》是在学生学习了第三章《直线方程》之后，对“解析法”的思想的进一步学习。
初中的教学中已经初步介绍了圆的基础知识，再次学习的时候，不仅要让学生能够使用“解析法“的工具，更要体会这种方法的优越性和必要性。
2、本节课的地位与作用“圆与圆的位置关系”位于“解析几何初步”这个单元的末尾，应该起到三个作用：（1）完善圆的知识体系；（2）升华数形结合思想；（3）为后续教学做准备。
教学目标设置1.学生掌握判断两个圆的位置关系的方法，能够根据给定的圆的方程判断圆与圆的位置关系2.学生理解两种判断方法的数学本质与不同的适用范围，从而进一步感受“几何问题代数化”得以实现的数学本质，也就是曲线与方程的关系。
其中教学的重点是：圆与圆的位置关系的两种判定方法的操作步骤；教学的难点是：两种判断方法的数学本质与适用范围学生学情分析此时的学生处于从初中到高中的转型期，常常感觉旧的学习方法不适于学习更加抽象的高中知识，所以，他们不仅需要透彻理解数学原理，而且，对学习方法也有渴求。
在本节课之前，学生已经学习了直线和圆的方程，直线与圆的位置关系，初步了解了“坐标法”的特征。
教学策略分析为了实现教学目标，我设计了“三层四段五问”教学模式。
1、准备阶段，包括预习、复习、目标展示等环节；2、探究阶段。
这是课堂的主体，解决是什么、怎么用、何时用的问题。
3、运用阶段，包括模仿练习、比较练习、巩固练习等。
我将它们穿插在问题解决的过程中。
4、建构阶段，包括为什么学和怎样发展两个问题，使得新知识融入旧的知识体系，并促进知识体系的再生长。
“是什么、怎么用、何时用、为什么学和怎样发展”等五个问题，对应着数学知识学习的三个层次：数学工具品质、认知品质和研究品质。
高中数学 4.2.2 圆与圆的位置关系教案 新人教A版必修2
河北武中·宏达教育集团教师课时教案备课人授课时间课题 4.2.2 圆与圆的位置关系课标要求利用平面直角坐标系中两点间的距离公式求两圆的连心线长；教学目标知识目标理解圆与圆的位置的种类技能目标利用平面直角坐标系中两点间的距离公式求两圆的连心线长；情感态度价值观让学生通过观察图形，理解并掌握圆与圆的位置关系，培养学生数形结合的思想．重点用坐标法判断圆与圆的位置关系．难点用坐标法判断圆与圆的位置关系．教问题与情境及教师活动学生活动学过程及方法过程与方法：1．初中学过的平面几何中，圆与圆的位置关系有几类？教师：引导学生回忆、举例，并对学生活动进行评价；学生：回顾知识点时，可互相交流．2．判断两圆的位置关系，你有什么好的方法吗？教师：引导学生阅读教科书中的相关内容，注意个别辅导，解答学生疑难，并引导学生自己总结解题的方法．学生：观察图形并思考，发表自己的解题方法．3．例3你能根据题目，在同一个直角坐标系中画出两个方程所表示的圆吗？你从中发现了什么？教师：应该关注并发现有多少学生利用“图形”求，对这些学生应该给予表扬．同时强调，解析几何是一门数与形结合的学科．4．根据你所画出的图形，可以直观判断两个圆的位置关系．如何把这些直观的事实转化为数学语言呢？1河北武中·宏达教育集团教师课时教案教问题与情境及教师活动学生活动学过程及方法师：启发学生利用图形的特征，用代数的方法来解决几何问题．生：观察图形，并通过思考，指出两圆的交点，可以转化为两个圆的方程联立方程组后是否有实数根，进而利用判别式求解．5．从上面你所画出的图形，你能发现解决两个圆的位置的其它方法吗？师：指导学生利用两个圆的圆心坐标、半径长、连心线长的关系来判别两个圆的位置．生：互相探讨、交流，寻找解决问题的方法，并能通过图形的直观性，利用平面直角坐标系的两点间距离公式寻求解题的途径．6．如何判断两个圆的位置关系呢？师：对于两个圆的方程，我们应当如何判断它们的位置关系呢？引导学生讨论、交流，说出各自的想法，并进行分析、评价，补充完善判断两个圆的位置关系的方法．7．阅读例3的两种解法，解决第137页的练习题．师：指导学生完成练习题．生：阅读教科书的例3，并完成第137页的练习题．8．若将两个圆的方程相减，你发现了什么？师：引导并启发学生相交弦所在直线的方程的求法．生：通过判断、分析，得出相交弦所在直线的方程．9．两个圆的位置关系是否可以转化为一条直线与两个圆中的一个圆的关系的判定呢？师：引导学生验证结论．生：互相讨论、交流，验证结论．河北武中·宏达教育集团教师课时教案教学过程及方法问题与情境及教师活动学生活动10.教师总结：设两圆的连心线长为l，则判别圆与圆的位置关系的依据有以下几点：（1）当21rrl+>时，圆1C与圆2C相离；（2）当21rrl+=时，圆1C与圆2C外切；（3）当<-||21rr21rrl+<时，圆1C与圆2C相交；（4）当||21rrl-=时，圆1C与圆2C内切；（5）当||21rrl-<时，圆1C与圆2C内含；教学小结（1）通过两个圆的位置关系的判断，你学到了什么？（2）判断两个圆的位置关系有几种方法？它们的特点是什么？（3）如何利用两个圆的相交弦来判断它们的位置关系？课后反思4。
人教A版高中数学必修二学圆与圆的位置关系学案新
4.2.2 圆与圆的位置关系【教学目标】1．能根据给定圆的方程，判断圆与圆的位置关系．2．通过圆与圆的位置关系的学习，体会用代数方法解决几何问题的思想．3．通过本节内容的学习，进一步体会到用坐标法解决几何问题的优越性，逐步养成自觉应用坐标法解决几何问题的习惯．【教学重难点】教学重点：能根据给定圆的方程，判断圆与圆的位置关系． 教学难点：用坐标法判断两圆的位置关系．【教学过程】㈠复习导入、展示目标问题：如何利用代数与几何方法判别直线与圆的位置关系？前面我们运用直线与圆的方程，研究了直线与圆的位置关系，这节课我们用圆的方程，讨论圆与圆的位置关系．㈡检查预习、交流展示1.圆与圆的位置关系有哪几种呢？ 2．如何判断圆与圆之间的位置关系呢？㈢合作探究、精讲精练探究一：用圆的方程怎样判断圆与圆之间的位置关系？例 1.已知圆C 1：013222=++++y x yx ，圆C2：023422=++++y x yx ，是判断圆C 1与圆C 2的位置关系.解析：方法一，判断圆与圆的位置关系，就是看由它们的方程组成的方程组有无实数解；方法二，可以依据连心线的长与两半径长的和或两半径长的差的绝对值的大小关系，判断圆与圆的位置关系. 解:(法一)圆C 1的方程配方,得4923)1(22=+⎪⎭⎫ ⎝⎛++y x . 圆心的坐标是⎪⎭⎫⎝⎛--23,1,半径长231=r .圆C 2的方程配方,得41723)2(22=+⎪⎭⎫ ⎝⎛++y x .圆心的坐标是⎪⎭⎫ ⎝⎛--23,2,半径长2172=r . 连心线的距离为1,217321+=+r r ,231721-=-r r . 因为217312317+<<-, 所以两圆相交. (法二)方程013222=++++y x yx 与023422=++++y x yx 相减,得21=x 把21=x 代入013222=++++y x yx ,得011242=++y y因为根的判别式016144>-=∆,所以方程011242=++y y有两个实数根,因此两圆相交.点评:巩固用方程判断圆与圆位置关系的两种方法.变式2222(1)(2)(2)1(2)(5)16x y x y ++-=-+-=与的位置关系解：根据题意得，两圆的半径分别为1214r r ==和，两圆的圆心距5.d == 因为 12d r r =+，所以两圆外切．㈣反馈测试 导学案当堂检测 ㈤总结反思、共同提高判断两圆的位置关系的方法:(1)由两圆的方程组成的方程组有几组实数解确定；(2)依据连心线的长与两半径长的和12r r +或两半径的差的绝对值的大小关系．【板书设计】 一．圆与圆的位置关系 （1）相离，无交点 （2）外切，一个交点 （3）相交，两个交点；（4）内切，一个交点；（5）内含，无交点.二.判断圆与圆位置关系的方法例1变式【作业布置】导学案课后练习与提高4.2.2圆与圆的位置关系课前预习学案一．预习目标回忆圆与圆的位置关系有几种及几何特征，初步了解用圆的方程判断圆的位置关系的方法．二．预习内容1．圆与圆的位置关系有哪几种呢？2．如何判断圆与圆之间的位置关系呢？提出疑惑同学们，通过你的自主学习，你还有那些疑惑，请填在下面的表格中课内探究学案一．学习目标1．能根据给定圆的方程，判断圆与圆的位置关系．2．通过圆与圆的位置关系的学习，体会用代数方法解决几何问题的思想．3．通过本节内容的学习，进一步体会到用坐标法解决几何问题的优越性，逐步养成自觉应用坐标法解决几何问题的习惯．学习重点：能根据给定圆的方程，判断圆与圆的位置关系．学习难点：用坐标法判断两圆的位置关系． 二．学习过程探究：用圆的方程怎样判断圆与圆之间的位置关系？例 1.已知圆C 1：013222=++++y x y x ，圆C2：023422=++++y x yx ，是判断圆C 1与圆C 2的位置关系.变式2222(1)(2)(2)1(2)(5)16x y x y ++-=-+-=与的位置关系.三．反思总结判断两圆的位置关系的方法:四．当堂检测 1．圆0222=-+x yx 和0422=++y yx 位置关系是（ ）A ．相离B ．外切C ．相交D ．内切2．两圆012422=++-+y x y x 和014422=--++y x y x 的公切线有_____条． 3．求圆0422=-+y x 和0124422=-+-+y x y x 的公共弦的长．课后练习与提高1.若直线0=++a y x 与圆a y x =+22相切，则a 为( ) A.0或2Ｂ. 2 Ｃ.2 Ｄ.无解2.两圆094622=+-++y x y x 和01912622=-+-+y x y x 的位置关系是( ) A.外切 Ｂ.内切 Ｃ.相交 Ｄ.外离3.已知圆22:()(2)4(0):30.C x a x a l x y l C -+-=>-+=及直线当直线被截得 的弦长为32时，则a =( )A ．2B ．22-C ．12-D ．12+4.两圆094622=+-++y x y x 和01912622=-+--+y x y x 的公切线有＿＿＿条 5．一圆过圆0222=-+x yx 和直线032=-+y x 的交点,且圆心在y 轴上,则这个圆的方程是________________.6.已知圆C 与圆0222=-+x y x 相外切，并且与直线03=+y x 相切于点)3,3(-Q ，求圆C 的方程．。
高中数学 4.2.2圆与圆的位置关系导学案(无答案)新人教A版必修2
§4.2.2 圆与圆的位置关系【使用说明及学法指导】1.结合问题导学自已复习课本必修II的P１２９页至P１３０页，用红色笔勾画出疑惑点；独立完成探究题，并总结规律方法。
2.针对预习自学及合作探究找出的疑惑点，课上讨论交流，答疑解惑。
3．能综合运用所学知识解决问题，通过对例题的分析讨论，强调数学思想方法的运用，提高学生解决问题的能力；观察图形，培养学生的数形结合的思想；加强合作意识4. “在学习中要敢于做减法，就是减去前人已经解决的部分，看看还有那些问题没有解决，需要我们去探索解决。
”【学习目标】1.通过演示两圆的位置关系，让学生从运动的观点，来研究两圆内含、内切、相交、外切、相离的关系。
使学生关注知识的生成过程，养成勇于发现、积极探索、主动提问、交流、合作的学习态度.2、应用数形结合的思想来分析问题，进一步培养、巩固学生使用代数方法，解决几何问题的能力.3、让学生经历用代数方法刻画两圆位置关系的过程；能根据给定的两圆的方程，判断它们的位置关系.【重点难点】重点是判断圆与圆的位置关系；难点是用坐标法判断圆与圆的位置关系。
一【问题导学】1. 两圆位置关系：相离、外切、相交，内切、内含2. 判断两圆位置关系的方法：法1：代数法：将两圆的方程联立成方程组，消元变换成一元二次方程，判断根的情况（1）如果有解，则两圆，有公共点①方程组有两组实数解时，两圆②方程组有一组实数解（2）如果无解，则两圆，，此时，两圆法2 ：几何法：(1) 如果d > R + r , 则：（2）如果 d < R - r ，则：两圆（3）如果 d = R - r ，则：（4）如果 R - r < d < R - r ，则：(5) 如果d = R + r , 则：3.判断两圆位置关系的方法的步骤：交点 ---- 联立方程组的解 ---- 根的判别式 ---- 代数法距离 ---- 与半径的比较 ------ 大小的关系 ---- 几何法二【小试牛刀】1、直线50x y --=截圆22460x y y +++=所得的弦长是 .2、圆与圆的位置关系有几种，哪几种？三【合作、探究、展示】例1．已知圆221:2880C x y x y +++-=圆222:4420C x y x y ++--= ；试判断圆1C 与圆2C 的位置关系？（说明：用两种方法判定。
人教A版必修2 第四章 4.2.2圆与圆的位置关系 学案
4.2.2 圆与圆的位置关系学习目标 1.理解圆与圆的位置关系的种类.2.掌握圆与圆的位置关系的代数判断方法与几何判断方法，能够利用上述方法判断两圆的位置关系.3.体会根据圆的对称性灵活处理问题的方法和它的优越性．知识点两圆位置关系的判断思考圆与圆的位置关系有几种？如何利用几何方法判断圆与圆的位置关系？答案圆与圆的位置关系有五种，分别为：外离、外切、相交、内切、内含．几何方法判断圆与圆的位置关系设两圆的圆心距为d，两圆的半径分别为r1，r2(r1≠r2)，则(1)当d＞r1＋r2时，圆C1与圆C2外离；(2)当d＝r1＋r2时，圆C1与圆C2外切；(3)当|r1－r2|＜d＜r1＋r2时，圆C1与圆C2相交；(4)当d＝|r1－r2|时，圆C1与圆C2内切；(5)当d＜|r1－r2|时，圆C1与圆C2内含．梳理(1)用几何法判断圆与圆的位置关系已知两圆C1：(x－x1)2＋(y－y1)2＝r21，C2：(x－x2)2＋(y－y2)2＝r22，则圆心距d＝|C1C2|＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2.两圆C1，C2有以下位置关系：(2)用代数法判断圆与圆的位置关系已知两圆：C 1：x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＝0，C 2：x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2＝0，将方程联立⎩⎨⎧x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＝0，x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2＝0， 消去y (或x )得到关于x (或y )的一元二次方程，则①判别式Δ＞0时，C 1与C 2相交；②判别式Δ＝0时，C 1与C 2外切或内切；③判别式Δ＜0时，C 1与C 2外离或内含．1．如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切．(×)2．如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交．(×)3．从两圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程．(×)4．过圆O ：x 2＋y 2＝r 2外一点P (x 0，y 0)作圆的两条切线，切点为A ，B ，则O ，P ，A ，B 四点共圆且直线AB 的方程是x 0x ＋y 0y ＝r 2.(√)类型一 两圆的位置关系 命题角度1 两圆位置关系的判断例1 已知圆M ：x 2＋y 2－2ay ＝0(a ＞0)截直线x ＋y ＝0所得线段的长度是22，则圆M 与圆N ：(x －1)2＋(y －1)2＝1的位置关系是( )A ．内切B ．相交C ．外切D ．外离考点 圆与圆的位置关系题点 判断两圆的位置关系答案 B 解析 由⎩⎨⎧x 2＋y 2－2ay ＝0，x ＋y ＝0，得两交点坐标分别为(0，0)，(－a ，a )．∵圆M 截直线所得线段的长度为22， ∴a 2＋(－a )2＝22，又a ＞0，∴a ＝2.∴圆M 的方程为x 2＋y 2－4y ＝0，即x 2＋(y －2)2＝4，圆心为M (0，2)，半径为r 1＝2.又圆N ：(x －1)2＋(y －1)2＝1，圆心为N (1，1)，半径为r 2＝1，∴|MN |＝(0－1)2＋(2－1)2＝ 2.∵r 1－r 2＝1，r 1＋r 2＝3，1＜|MN |＜3，∴两圆相交．反思与感悟 判断圆与圆的位置关系的一般步骤(1)将两圆的方程化为标准方程(若圆方程已是标准形式，此步骤不需要)．(2)分别求出两圆的圆心坐标和半径长r 1，r 2.(3)求两圆的圆心距d .(4)比较d 与|r 1－r 2|，r 1＋r 2的大小关系．(5)根据大小关系确定位置关系．跟踪训练1 已知圆C 1：x 2＋y 2－2x ＋4y ＋4＝0和圆C 2：4x 2＋4y 2－16x ＋8y ＋19＝0，则这两个圆的公切线的条数为( )A ．1或3B ．4C ．0D ．2考点 圆与圆的位置关系题点 两圆的位置关系与其公切线答案 D解析 由圆C 1：(x －1)2＋(y ＋2)2＝1，圆C 2：(x －2)2＋(y ＋1)2＝14，得C 1(1，－2)，C 2(2，－1)，∴|C 1C 2|＝(2－1)2＋(－1＋2)2＝ 2.又r 1＝1，r 2＝12， 则r 1－r 2＜|C 1C 2|＜r 1＋r 2，∴圆C 1与圆C 2相交．故这两个圆的公切线有2条．命题角度2 已知两圆的位置关系求参数例2 当a为何值时，两圆C1：x2＋y2－2ax＋4y＋a2－5＝0和C2：x2＋y2＋2x－2ay＋a2－3＝0：(1)外切；(2)相交；(3)外离．考点圆与圆的位置关系题点已知圆与圆的位置关系求参数的值或范围解将两圆方程写成标准方程，则C1：(x－a)2＋(y＋2)2＝9，C2：(x＋1)2＋(y－a)2＝4.∴两圆的圆心和半径分别为C1(a，－2)，r1＝3，C2(－1，a)，r2＝2.设两圆的圆心距为d，则d2＝(a＋1)2＋(－2－a)2＝2a2＋6a＋5.(1)当d＝5，即2a2＋6a＋5＝25时，两圆外切，此时a＝－5或a＝2.(2)当1＜d＜5，即1＜2a2＋6a＋5＜25时，两圆相交，此时－5＜a＜－2或－1＜a＜2.(3)当d＞5，即2a2＋6a＋5＞25时，两圆外离，此时a＞2或a＜－5.反思与感悟(1)利用两圆的位置关系求参数的取值范围有以下几个步骤①将圆的方程化成标准形式，写出圆心和半径．②计算两圆圆心的距离d.③通过d，r1＋r2，|r1－r2|的关系来判断两圆的位置关系或求参数的范围，必要时可借助于图形，数形结合．(2)应用几何法判断两圆的位置关系或求参数的范围是非常简单清晰的，要理清圆心距与两圆半径的关系．跟踪训练2 若圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－6x－8y＋m＝0外切，则m等于( ) A．21 B．19C．9 D．－11考点圆与圆的位置关系题点已知圆与圆的位置关系求参数的值或范围答案 C解析 由题意可知，圆C 1的圆心C 1(0，0)，半径r 1＝1，圆C 2的圆心C 2(3，4)，半径r 2＝100－4m 2，|C 1C 2|＝r 1＋r 2， 即5＝1＋100－4m 2，解得m ＝9. 类型二 两圆的公共弦问题例3 已知两圆x 2＋y 2－2x ＋10y －24＝0和x 2＋y 2＋2x ＋2y －8＝0.(1)判断两圆的位置关系；(2)求公共弦所在的直线方程；(3)求公共弦的长度．考点 求过直线与圆或圆与圆交点的圆的方程题点 两圆公共弦弦长问题解 (1)将两圆方程配方化为标准方程，则C 1：(x －1)2＋(y ＋5)2＝50，C 2：(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝10，∴圆C 1的圆心坐标为(1，－5)，半径为r 1＝52，圆C 2的圆心坐标为(－1，－1)，半径为r 2＝10.又∵|C 1C 2|＝25，r 1＋r 2＝52＋10，|r 1－r 2|＝|52－10|，∴|r 1－r 2|<|C 1C 2|<r 1＋r 2，∴两圆相交．(2)将两圆方程相减，得公共弦所在的直线方程为x －2y ＋4＝0.(3)方法一 由(2)知圆C 1的圆心(1，－5)到直线x －2y ＋4＝0的距离为d ＝|1－2×(－5)＋4|1＋(－2)2＝35， ∴公共弦长为l ＝2r 21－d 2＝250－45＝2 5.方法二 设两圆相交于点A ，B ，则A ，B 两点满足方程组⎩⎨⎧x －2y ＋4＝0，x 2＋y 2＋2x ＋2y －8＝0，解得⎩⎨⎧ x ＝－4，y ＝0或⎩⎨⎧ x ＝0，y ＝2， ∴|AB |＝(－4－0)2＋(0－2)2＝2 5.即公共弦长为2 5.反思与感悟 (1)当两圆相交时，公共弦所在的直线方程的求法若圆C 1：x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＝0与圆C 2：x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2＝0相交，则两圆公共弦所在的直线方程为(D 1－D 2)x ＋(E 1－E 2)y ＋F 1－F 2＝0.(2)公共弦长的求法①代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长．②几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，根据勾股定理求解．跟踪训练3 圆C 1：x 2＋y 2＝1与圆C 2：x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0的公共弦所在的直线被圆C 3：(x －1)2＋(y －1)2＝254所截得的弦长为________． 考点 求过直线与圆或圆与圆交点的圆的方程题点 两圆公共弦弦长问题答案 23解析 由题意将两圆的方程相减，可得圆C 1和圆C 2公共弦所在的直线l 的方程为x ＋y －1＝0.又圆C 3的圆心坐标为(1，1)，其到直线l 的距离为d ＝|1＋1－1|12＋12＝22， 由条件知，r 2－d 2＝254－12＝234， 所以弦长为2×232＝23. 类型三 圆系方程及应用例4 求圆心在直线x －y －4＝0上，且过两圆x 2＋y 2－4x －6＝0和x 2＋y 2－4y －6＝0的交点的圆的方程．题点 求过两圆交点的圆的方程解 方法一 设经过两圆交点的圆系方程为x 2＋y 2－4x －6＋λ(x 2＋y 2－4y －6)＝0(λ≠－1)，即x 2＋y 2－41＋λx －4λ1＋λy －6＝0， 所以圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋λ，2λ1＋λ. 又圆心在直线x －y －4＝0上，所以21＋λ－2λ1＋λ－4＝0， 即λ＝－13. 所以所求圆的方程为x 2＋y 2－6x ＋2y －6＝0.方法二 由⎩⎨⎧x 2＋y 2－4x －6＝0，x 2＋y 2－4y －6＝0，得两圆公共弦所在直线的方程为y ＝x . 由⎩⎨⎧ y ＝x ，x 2＋y 2－4y －6＝0，解得⎩⎨⎧ x 1＝－1，y 1＝－1，⎩⎨⎧x 2＝3，y 2＝3. 所以两圆x 2＋y 2－4x －6＝0和x 2＋y 2－4y －6＝0的交点坐标分别为A (－1，－1)，B (3，3)，线段AB 的垂直平分线所在的直线方程为y －1＝－(x －1)． 由⎩⎨⎧ y －1＝－(x －1)，x －y －4＝0，得⎩⎨⎧ x ＝3，y ＝－1，即所求圆的圆心坐标为(3，－1)， 半径为(3－3)2＋[3－(－1)]2＝4.所以所求圆的方程为(x －3)2＋(y ＋1)2＝16.反思与感悟 当经过两圆的交点时，圆的方程可设为(x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1)＋λ(x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2)＝0，然后用待定系数法求出λ即可．跟踪训练4 求过直线x ＋y ＋4＝0与圆x 2＋y 2＋4x －2y －4＝0的交点且与直线y ＝x 相切的圆的方程．题点 求过直线与圆交点的圆的方程解 设所求圆的方程为x 2＋y 2＋4x －2y －4＋λ(x ＋y ＋4)＝0.联立⎩⎨⎧y ＝x ，x 2＋y 2＋4x －2y －4＋λ(x ＋y ＋4)＝0， 得x 2＋(1＋λ)x ＋2(λ－1)＝0.因为所求圆与直线y ＝x 相切，所以Δ＝0，即(1＋λ)2－8(λ－1)＝0，解得λ＝3， 故所求圆的方程为x 2＋y 2＋7x ＋y ＋8＝0.1．两圆x 2＋y 2－1＝0和x 2＋y 2－4x ＋2y －4＝0的位置关系是( )A ．内切B ．相交C ．外切D ．外离考点 圆与圆的位置关系题点 判断两圆的位置关系答案 B解析 圆x 2＋y 2－1＝0的圆心为C 1(0，0)，半径为r 1＝1，圆x 2＋y 2－4x ＋2y －4＝0的圆心为C 2(2，－1)，半径为r 2＝3，两圆的圆心距为d ＝|C 1C 2|＝(2－0)2＋(－1－0)2＝5，又r 2－r 1＝2，r 1＋r 2＝4，所以r 2－r 1<d <r 1＋r 2，故两圆相交．2．圆C 1：x 2＋y 2＝1与圆C 2：x 2＋(y －3)2＝1的内公切线有且仅有( )A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条 考点 圆与圆的位置关系题点 两圆的位置关系与其公切线答案 B解析 因为两圆的圆心距为3，半径之和为2，故两圆外离，所以内公切线的条数为2.3．圆x 2＋y 2－4x ＋6y ＝0和圆x 2＋y 2－6x ＝0交于A ，B 两点，则AB 的垂直平分线的方程是( )A ．x ＋y ＋3＝0B ．2x －y －5＝0C ．3x －y －9＝0D ．4x －3y ＋7＝0考点 求过直线与圆或圆与圆交点的圆的方程题点 两圆公共弦所在直线的方程答案 C解析 AB 的垂直平分线过两圆的圆心，把圆心(2，－3)代入，即可排除A ，B ，D.4．已知以C (4，－3)为圆心的圆与圆O ：x 2＋y 2＝1相切，则圆C 的方程是_______________． 考点 两圆相切的有关问题题点 两圆相切的有关问题答案 (x －4)2＋(y ＋3)2＝16或(x －4)2＋(y ＋3)2＝36解析 设圆C 的半径为r ，圆心距为d ＝(4－0)2＋(－3－0)2＝5，当圆C 与圆O 外切时，r ＋1＝5，r ＝4，当圆C 与圆O 内切时，r －1＝5，r ＝6，∴圆的方程为(x －4)2＋(y ＋3)2＝16或(x －4)2＋(y ＋3)2＝36.5．若圆x 2＋y 2＝4与圆x 2＋y 2＋2ay －6＝0(a ＞0)的公共弦长为23，则a ＝________. 考点 求过直线与圆或圆与圆交点的圆的方程题点 两圆公共弦弦长问题答案 1解析 将两圆的方程相减，得相交弦所在的直线方程为y ＝1a，圆心(0，0)到直线的距离为d ＝1a ＝22－(3)2＝1，所以a ＝1.1．判断两圆的位置关系的方法(1)由两圆的方程组成的方程组有几个实数解确定，这种方法计算量比较大，一般不用．(2)依据圆心距与两圆半径的和或两半径的差的绝对值的大小关系．2．当两圆相交时，把两圆的方程作差消去x 2和y 2就得到两圆的公共弦所在的直线方程．3．求弦长时，常利用圆心到弦所在的直线的距离求弦心距，再结合勾股定理求弦长．一、选择题1．圆x2＋y2－2x＝0与圆x2＋y2＋4y＝0的位置关系是( )A．外离B．外切C．相交D．内切考点圆与圆的位置关系题点判断两圆的位置关系答案 C2．若圆C1：(x＋2)2＋(y－m)2＝9与圆C2：(x－m)2＋(y＋1)2＝4外切，则m的值为( ) A．2 B．－5C．2或－5 D．不确定考点圆与圆的位置关系题点已知圆与圆的位置关系，求参数的值或范围答案 C解析两圆的圆心坐标分别为(－2，m)，(m，－1)，两圆的半径分别为3，2，由题意得(m＋2)2＋(－1－m)2＝3＋2，解得m＝2或－5.3．设r＞0，圆(x－1)2＋(y＋3)2＝r2与圆x2＋y2＝16的位置关系不可能是( )A．内切B．相交C．内切或内含D．外切或外离考点圆与圆的位置关系题点判断两圆的位置关系答案 D解析两圆的圆心距为d＝(1－0)2＋(－3－0)2＝10，两圆的半径之和为r＋4，因为10＜r＋4，所以两圆不可能外切或外离，故选D.4．若圆x 2＋y 2－2x ＋F ＝0和圆x 2＋y 2＋2x ＋Ey －4＝0的公共弦所在的直线方程是x －y ＋1＝0，则( )A ．E ＝－4，F ＝8B ．E ＝4，F ＝－8C ．E ＝－4，F ＝－8D ．E ＝4，F ＝8考点 求过直线与圆或圆与圆交点的圆的方程题点 两圆公共弦所在直线的方程答案 C解析 ⎩⎨⎧ x 2＋y 2－2x ＋F ＝0， ①x 2＋y 2＋2x ＋Ey －4＝0， ②①－②可得4x ＋Ey －F －4＝0，即x ＋E 4y －F ＋44＝0，由两圆的公共弦所在的直线方程为x －y ＋1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ E 4＝－1，－F ＋44＝1，解得⎩⎨⎧ E ＝－4，F ＝－8，5．若圆x 2＋y 2＝r 2与圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋4＝0有公共点，则r 满足的条件是() A ．r ＜5＋1 B ．r ＞5＋1C ．|r －5|≤1D ．|r －5|＜1考点 圆与圆的位置关系题点 已知圆与圆的位置关系求参数的值或范围答案 C解析 由x 2＋y 2＋2x －4y ＋4＝0，得(x ＋1)2＋(y －2)2＝1， 两圆圆心之间的距离为(－1)2＋22＝ 5.∵两圆有公共点，∴|r －1|≤ 5≤r ＋1， ∴5－1≤r ≤5＋1，即－1≤r－5≤1，∴|r－5|≤1.6．半径为6的圆与x轴相切，且与圆x2＋(y－3)2＝1内切，则此圆的方程是( ) A．(x－4)2＋(y－6)2＝6B．(x＋4)2＋(y－6)2＝6或(x－4)2＋(y－6)2＝6C．(x－4)2＋(y－6)2＝36D．(x＋4)2＋(y－6)2＝36或(x－4)2＋(y－6)2＝36考点两圆相切的有关问题题点两圆相切的有关问题答案 D解析由题意可设圆的方程为(x－a)2＋(y－6)2＝36，由题意，得a2＋9＝5，所以a2＝16，所以a＝±4.7．设两圆C1，C2都和两坐标轴相切，且都过点(4，1)，则两圆心的距离|C1C2|等于( ) A．4 B．4 2 C．8 D．8 2考点两圆相切的有关问题题点两圆相切的有关问题答案 C解析∵两圆与两坐标轴都相切，且都经过点(4，1)，∴两圆圆心均在第一象限且每个圆心的横、纵坐标相等．设两圆的圆心坐标分别为(a，a)，(b，b)，则有(4－a)2＋(1－a)2＝a2，(4－b)2＋(1－b)2＝b2，即a，b为方程(4－x)2＋(1－x)2＝x2的两个根，整理得x2－10x＋17＝0，∴a＋b＝10，ab＝17.∴(a－b)2＝(a＋b)2－4ab＝100－4×17＝32，∴|C1C2|＝(a－b)2＋(a－b)2＝32×2＝8.二、填空题8．若圆x2＋y2－2ax＋a2＝2和x2＋y2－2by＋b2＝1外离，则a，b满足的条件是________．考点圆与圆的位置关系题点已知圆与圆的位置关系求参数的值或范围答案a2＋b2＞3＋2 2解析由题意可得两圆的圆心坐标和半径长分别为(a，0)，2和(0，b)，1.因为两圆外离，所以a2＋b2＞2＋1，即a2＋b2＞3＋2 2.9．两圆相交于两点A(1，3)和B(m，－1)，两圆圆心都在直线x－y＋c＝0上，则m＋c的值为________．考点圆与圆的位置关系题点已知圆与圆的位置关系，求参数的值或范围答案 3解析由题意知直线AB与直线x－y＋c＝0垂直，∴k AB×1＝－1，即3－(－1)1－m＝－1，得m＝5，∴AB的中点坐标为(3，1)．又AB的中点在直线x－y＋c＝0上，∴3－1＋c＝0，∴c＝－2，∴m＋c＝5－2＝3.10．圆x2＋y2＝50与圆x2＋y2－12x－6y＋40＝0的公共弦长为________．考点求过直线与圆或圆与圆交点的圆的方程题点两圆公共弦弦长问题答案2 511．集合A＝{(x，y)|x2＋y2＝4}，B＝{(x，y)|(x－3)2＋(y－4)2＝r2}，其中r>0 ，若A∩B 中有且仅有一个元素，则r的值是__________．考点圆与圆的位置关系题点已知圆与圆的位置关系求参数的值或范围答案3或7解析∵A∩B中有且仅有一个元素，∴圆x2＋y2＝4与圆(x－3)2＋(y－4)2＝r2相切．当两圆内切时，由32＋42＝|2－r|，解得r＝7；当两圆外切时，由32＋42＝2＋r ，解得r ＝3.∴r ＝3或7.12．经过直线x ＋y ＋1＝0与圆x 2＋y 2＝2的交点，且过点(1，2)的圆的方程为________________．考点 求过直线与圆或圆与圆交点的圆的方程题点 求过直线与圆交点的圆的方程答案 x 2＋y 2－34x －34y －114＝0 解析 由已知可设所求圆的方程为x 2＋y 2－2＋λ(x ＋y ＋1)＝0，将(1，2)代入，可得λ＝－34，故所求圆的方程为x 2＋y 2－34x －34y －114＝0. 三、解答题13．已知圆O 1：x 2＋(y ＋1)2＝4，圆O 2的圆心O 2(2，1)．(1)若圆O 2与圆O 1外切，求圆O 2的方程；(2)若圆O 2与圆O 1交于A ，B 两点，且|AB |＝22，求圆O 2的方程． 考点 求过直线与圆或圆与圆交点的圆的方程题点 求过两圆交点的圆的方程解 (1)设圆O 2半径为r 2，因为两圆外切，所以|O 1O 2|＝r 2＋2.又|O 1O 2|＝22＋[1－(－1)]2＝22，所以r 2＝|O 1O 2|－2＝2(2－1)，故圆O 2的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝12－8 2.(2)设圆O 2的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝r 22，因为圆O 1的方程为x 2＋(y ＋1)2＝4，将两圆的方程相减，即得两圆公共弦AB 所在的直线方程为4x ＋4y ＋r 22－8＝0， 作O 1H ⊥AB ，H 为垂足，则|AH |＝12|AB |＝2， 所以|O 1H |＝r 21－|AH |2＝4－2＝ 2.由圆心O 1(0，－1)到直线4x ＋4y ＋r 22－8＝0的距离为 |r 22－12|42＝2，得r 22＝4或r 22＝20， 故圆O 2的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4或(x －2)2＋(y －1)2＝20.四、探究与拓展14．已知圆C 1：x 2＋y 2＋4x ＋1＝0和圆C 2：x 2＋y 2＋2x ＋2y ＋1＝0，求以圆C 1与圆C 2的公共弦为直径的圆的方程．考点 求过直线与圆或圆与圆交点的圆的方程题点 两圆公共弦弦长问题解 由两圆的方程相减，得公共弦所在直线的方程为x －y ＝0.∵圆C 1：(x ＋2)2＋y 2＝3，圆C 2：(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝1，圆心C 1(－2，0)，C 2(－1，－1)，∴两圆连心线所在直线的方程为y －0－1－0＝x ＋2－1＋2， 即x ＋y ＋2＝0.由⎩⎨⎧x －y ＝0，x ＋y ＋2＝0，得所求圆的圆心为(－1，－1)． 又圆心C 1(－2，0)到公共弦所在直线x －y ＝0的距离 d ＝|－2－0|2＝2， ∴所求圆的半径r ＝(3)2－(2)2＝1，∴所求圆的方程为(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝1.15．求过两圆C 1：x 2＋y 2－4x ＋2y ＋1＝0与C 2：x 2＋y 2－6x ＝0的交点且过点(2，－2)的圆的方程．考点 求过直线与圆或圆与圆交点的圆的方程题点 求过两圆交点的圆的方程解 设过两圆C 1：x 2＋y 2－4x ＋2y ＋1＝0与C 2：x 2＋y 2－6x ＝0的交点的圆系方程为x 2＋y 2－4x ＋2y ＋1＋λ(x 2＋y 2－6x )＝0，即(1＋λ)x 2＋(1＋λ)y 2－(4＋6λ)x ＋2y ＋1＝0.把(2，－2)代入，得4(1＋λ)＋4(1＋λ)－2(4＋6λ)－4＋1＝0，解得λ＝－34. ∴圆的方程为x 2＋y 2＋2x ＋8y ＋4＝0.。
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4.2.2 圆与圆的位置关系
【教学目标】
1．能根据给定圆的方程，判断圆与圆的位置关系．
2．通过圆与圆的位置关系的学习，体会用代数方法解决几何问题的思想．
3．通过本节内容的学习，进一步体会到用坐标法解决几何问题的优越性，逐步养成自觉应用坐标法解决几何问题的习惯．
【教学重难点】
教学重点：能根据给定圆的方程，判断圆与圆的位置关系． 教学难点：用坐标法判断两圆的位置关系．
【教学过程】
㈠复习导入、展示目标
问题：如何利用代数与几何方法判别直线与圆的位置关系？
前面我们运用直线与圆的方程，研究了直线与圆的位置关系，这节课我们用圆的方程，讨论圆与圆的位置关系．
㈡检查预习、交流展示
1.圆与圆的位置关系有哪几种呢？ 2．如何判断圆与圆之间的位置关系呢？
㈢合作探究、精讲精练
探究一：用圆的方程怎样判断圆与圆之间的位置关系？
例1.已知圆C 1：01322
2
=++++y x y x ，圆C 2：02342
2
=++++y x y x ，
是判断圆C 1与圆C 2的位置关系.
解析：方法一，判断圆与圆的位置关系，就是看由它们的方程组成的方程组有无实数解；方法二，可以依据连心线的长与两半径长的和或两半径长的差的绝对值的大小关系，判断圆与圆的位置关系.
解:(法一)
圆C 1
的方程配方,得4
923)1(2
2
=
+⎪⎭
⎫ ⎝⎛++y x . 圆心的坐标是⎪⎭
⎫ ⎝
⎛--23,1,半径长2
31=r .
圆C 2
的方程配方,得4
1723)2(2
2
=
+⎪
⎭
⎫ ⎝⎛++y x .
圆心的坐标是⎪⎭
⎫
⎝
⎛--23,2,半径长2
172=
r . 连心线的距离为1,217321+=+r r ,2
3
1721-=-r r . 因为
2
17
312317+<<-, 所以两圆相交. (法二)
方程01322
2
=++++y x y x 与02342
2
=++++y x y x 相减,得
2
1=
x 把2
1
=x 代入01322
2
=++++y x y x ,得
011242
=++y y
因为根的判别式016144>-=∆,所以方程011242
=++y y 有两个实数根,因此两圆相交.
点评:巩固用方程判断圆与圆位置关系的两种方法.
变式2222(1)(2)(2)1(2)(5)16x y x y ++-=-+-=与的位置关系 解：根据题意得，两圆的半径分别为1214r r ==和，两圆的圆心距
5.d == 因为 12d r r =+，所以两圆外切．
㈣反馈测试 导学案当堂检测 ㈤总结反思、共同提高
判断两圆的位置关系的方法:
(1)由两圆的方程组成的方程组有几组实数解确定；
(2)依据连心线的长与两半径长的和12r r +或两半径的差的绝对值的大小关系．
【板书设计】 一．圆与圆的位置关系 （1）相离，无交点 （2）外切，一个交点 （3）相交，两个交点；
（4）内切，一个交点；
（5）内含，无交点.
二.判断圆与圆位置关系的方法
例1
变式
【作业布置】
导学案课后练习与提高
4.2.2圆与圆的位置关系
课前预习学案
一．预习目标
回忆圆与圆的位置关系有几种及几何特征，初步了解用圆的方程判断圆的位置关系的方法．
二．预习内容
1．圆与圆的位置关系有哪几种呢？
2．如何判断圆与圆之间的位置关系呢？
三．提出疑惑
同学们，通过你的自主学习，你还有那些疑惑，请填在下面的表格中
课内探究学案
一．学习目标
1．能根据给定圆的方程，判断圆与圆的位置关系．
2．通过圆与圆的位置关系的学习，体会用代数方法解决几何问题的思想．
3．通过本节内容的学习，进一步体会到用坐标法解决几何问题的优越性，逐步养成自觉应用坐标法解决几何问题的习惯．
学习重点：能根据给定圆的方程，判断圆与圆的位置关系．
学习难点：用坐标法判断两圆的位置关系． 二．学习过程
探究：用圆的方程怎样判断圆与圆之间的位置关系？
例1.已知圆C 1：013222
=++++y x y x ，圆C 2：02342
2
=++++y x y x ，
是判断圆C 1与圆C 2的位置关系.
变式2222(1)(2)(2)1(2)(5)16x y x y ++-=-+-=与的位置关系.
三．反思总结
判断两圆的位置关系的方法:
四．当堂检测 1．圆
022
2
=-+
x y
x 和042
2
=++
y y
x 位置关系是（ ）
A ．相离
B ．外切
C ．相交
D ．内切
2．两圆01242
2
=++-+y x y x 和01442
2
=--++y x y x 的公切线有_____条． 3．求圆042
2
=-+y x 和012442
2
=-+-+y x y x 的公共弦的长．
参考答案：1．Ｃ 2．４ 3．解：(法一)
联立方程组，消去二次项，得
y=x+2
将上式代入042
2
=-+y x 得，
022
=+x x ．
解得x 1
＝-2，x 2=0．于是有y 1=0，y 2
=2，所以两圆交点坐标是
A(-2,0)，B(0,2)．公共弦长22=AB ．
(法二)
联立方程组，消去二次项，得
y=x+2
圆心到直线y=x+2的距离是
22
2
00=+-=
d
因为圆半径为2，所以公共弦长()
2222
22
2
=-=AB ．
课后练习与提高
1.若直线0=++a y x 与圆a y x =+2
2
相切，则a 为( ) A.0或2
Ｂ.2 Ｃ.2 Ｄ.无解
2.两圆09462
2
=+-++y x y x 和0191262
2
=-+-+y x y x 的位置关系是( ) A.外切 Ｂ.内切 Ｃ.相交 Ｄ.外离
3.已知圆22
:()(2)4(0):30.C x a x a l x y l C -+-=>-+=及直线当直线被截得 的弦长为32时，则a =( )
A ．2
B ．22-
C ．12-
D ．12+
4.两圆09462
2
=+-++y x y x 和0191262
2
=-+--+y x y x 的公切线有＿＿＿条 5．一圆过圆
022
2
=-+x y
x 和直线032=-+y x 的交点,且圆心在y 轴上,则这个圆的
方程是________________.
6.已知圆C 与圆022
2=-+x y x 相外切，并且与直线03=+y x 相切于点)3,3(-Q ，
求圆C 的方程．
参考答案：1.C 2.A 3.C 4.３ 5．
0642
2
=-++
y y
x
6.解：设圆C 的圆心为),(b a ，由题意得
6
2 34004 231)1(333
2
2==⎩⎨
⎧-==⎩⎨⎧==⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧++=+-=-+r r b a b a b a b a a b 或得
或解得
． 所以圆C 的方程为36)34(4)4(2
222=++=+-y x y x 或．。