高等代数
理学高等代数
101 又 1 3 1 12 0,
420
1 0 1 0
1
2 4
3 1 2
1 2 0
0 1 0
可逆.
令 (0,0,1,0)
则 1,2 ,4 , 线性无关，从而为P4的一组基.
例2、把复数域看成实数域R上的线性空间， 证明： C R2
证：证维数相等. 首先，x C, x 可表成 x a1 bi, a,b R 其次，若 a1+ bi= 0, 则 a= b 0. 所以，1，i 为C的一组基， dimC 2. 又， dim R2 2
所以， dimC dim R2. 故， V1 V2 .
三．线性变换
▪ 线性变换
➢ 定义 ➢ 线性变换的矩阵
▪ 相似矩阵 ▪ 特征值、特征向量
哈密尔顿-凯莱（Hamilton-Caylay）定理
▪ 可对角化
➢ 定义
定理 设 为 n 维线性空间V的一个线性变换，
则 可对角化 有 n个线性无关的特征向量.
▪ 选择题 ▪ 填空题 ▪ 小计算题 ▪ 大计算题 ▪ 证明题
题型
主要内容
一．二次型 二．线性空间 三．线性变换
四． -矩阵
五．欧几里得空间
一．二次型
▪ 合同变换化标准形
定理：数域P上任一对称矩阵合同于一 个对角矩阵.
▪ 正惯性指数、负惯性指数、符号差 ▪ 实二次型、复二次型的合同的等价条件
实对称矩阵A、B合同 秩( A) 秩(B) 且二次型 X ' AX与X ' BX的正惯性
,
2 0 0
则
C
'
AC
0 0
2 0
0 6
,
作非退化线性替换X=CY, 则二次型化为标准形
高等代数概述
高等代数概述初等代数从最简单的一元一次方程开始，一方面进而讨论二元及三元一次方程组，另一方面研究二次以上及可以转化为二次的方程。
沿着这两个方向继续发展，代数在讨论任意多个未知数的一次方程组，也叫线性方程组的同时还研究次数更高的一元方程。
发展到这个阶段，就叫做高等代数。
高等代数是代数学发展到高级阶段的总称，它包括许多分支。
现在大学里开设的高等代数，一般包括两部分：线性代数初步、多项式代数。
高等代数在初等代数的基础上将研究对象进一步的扩充，引进了许多新的概念以及与通常很不相同的量，比如最基本的有集合、向量和向量空间等。
这些量具有和数相类似的运算的特点，不过研究的方法和运算的方法都更加繁复。
集合是具有某种属性的事物的全体；向量是除了具有数值还同时具有方向的量；向量空间也叫线性空间，是由许多向量组成的并且符合某些特定运算的规则的集合。
向量空间中的运算对象已经不只是数，而是向量了，其运算性质也由很大的不同了。
高等代数发展简史代数学的历史告诉我们，在研究高次方程的求解问题上，许多数学家走过了一段颇不平坦的路途，付出了艰辛的劳动。
人们很早就已经知道了一元一次和一元二次方程的求解方法。
关于三次方程，我国在公元七世纪，也已经得到了一般的近似解法，这在唐朝数学家王孝通所编的《缉古算经》就有叙述。
到了十三世纪，宋代数学家秦九韶在他所著的《算书九章》这部书的“正负开方术”里，充分研究了数字高次方程的求正根法，也就是说，秦九韶那时候已得到了高次方程的一般解法。
在西方，直到十六世纪初的文艺复兴时期，才由有意大利的数学家发现一元三次方程解的公式——卡当公式。
在数学史上，相传这个公式是意大利数学家塔塔里亚首先得到的,后来被米兰地区的数学家卡尔达诺(1501～1576)骗到了这个三次方程的解的公式，并发表在自己的著作里。
所以现在人们还是叫这个公式为卡尔达诺公式(或称卡当公式)，其实，它应该叫塔塔里亚公式。
三次方程被解出来后，一般的四次方程很快就被意大利的费拉里(1522～1560)解出。
高等代数知识点总结
特殊行列式的计算方法
二阶行列式
一般形式为a11a22-a12a21，计算方法为 将a11和a22相乘，然后减去a12和a21的乘 积。
三阶行列式
一般形式为 a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32a13a22a31-a12a21a33-a11a23a32，计 算方法为将每一项都按照这个公式进行展开 ，然后将各项相加即可得到结果。
3
互换行列式的两行(列)，行列式的值变号，即 |...|=|-...|。
行列式的定义与性质
01
若行列式的某行(列)所有元素都是两数乘积，则可以对该行(列) 进行拆项，拆项后行列式的值不变。
02
若行列式的某行(列)所有元素都是同一个数，则可以对该行(列)
进行提公因式，提公因式后行列式的值不变。
若行列式的两行(列)对应元素互为相反数，则可以对该行(列)进
线性变换可以用于图像旋转，通 过矩阵乘法可以实现图像的旋转 。
线性变换可以用于图像剪切，通 过矩阵乘法可以实现图像的剪切 。
二次型在经济分析中的应用
要点一
投入产出模型
要点二
经济均衡模型
二次型可以用于描述投入产出模型，通过求解二次型的特 征值可以得到经济的平衡状态。
二次型可以用于描述经济均衡模型，通过求解二次型的特 征值可以得到经济的均衡状态。
03
线性变换的运算
两个线性变换的加法定义为对应元素之间的加法运算；数与线性变换的
乘法定义为数乘运算；两个线性变换的乘法定义为对应元素之间的乘法
运算。
线性变换的矩阵表示
线性变换的矩阵表示
设V是数域P上的线性空间，T是V的线性变换，对于V中 的任意一组基ε1,ε2,...,εn，有 $T(α)=T(ε1α1+ε2α2+...+εnαn)=T(ε1α1)+T(ε2α2)+... +T(εnαn)=ε1T(α1)+ε2T(α2)+...+εnT(αn)$，则称矩阵 A=(T(α1),T(α2),...,T(αn))为线性变换T关于基ε1,ε2,...,εn 的矩阵表示。
高等代数教案
全套高等代数教案第一章：高等代数概述1.1 高等代数的定义与意义理解高等代数的基本概念了解高等代数在数学及其它领域中的应用1.2 基本术语和符号学习常见的代数运算符掌握基本的代数表达式1.3 基本定理和性质学习线性方程组的解的存在性定理理解线性空间的基本性质第二章：矩阵和行列式2.1 矩阵的基本概念理解矩阵的定义和矩阵元素的意义学习矩阵的运算规则2.2 行列式的定义和性质理解行列式的概念掌握行列式的计算方法2.3 矩阵和行列式的应用学习矩阵在几何中的应用了解矩阵在概率论和统计中的应用第三章：线性方程组3.1 高斯消元法学习高斯消元法的原理和步骤掌握高斯消元法的应用3.2 矩阵的秩理解矩阵秩的概念学习矩阵秩的计算方法3.3 线性方程组的解的结构理解线性方程组解的存在性定理学习线性方程组解的方法第四章：特征值和特征向量4.1 特征值和特征向量的定义理解特征值和特征向量的概念学习特征值和特征向量的计算方法4.2 矩阵的对角化理解矩阵对角化的概念掌握矩阵对角化的方法4.3 特征值和特征向量的应用学习特征值和特征向量在几何中的应用了解特征值和特征向量在物理中的应用第五章：向量空间和线性变换5.1 向量空间的基本概念理解向量空间和子空间的概念学习向量空间的基和维数5.2 线性变换的基本概念理解线性变换的定义和性质学习线性变换的矩阵表示5.3 线性变换的应用学习线性变换在几何中的应用了解线性变换在信号处理中的应用第六章：特征多项式和最小多项式6.1 特征多项式的定义和性质理解特征多项式的概念学习特征多项式的计算方法6.2 最小多项式的定义和性质理解最小多项式的概念掌握最小多项式的计算方法6.3 特征多项式和最小多项式的应用学习特征多项式和最小多项式在矩阵对角化中的应用了解特征多项式和最小多项式在多项式环中的应用第七章：二次型7.1 二次型的定义和基本性质理解二次型的概念学习二次型的标准形和规范形7.2 惯性定理和二次型的分类理解惯性定理的概念学习二次型的分类方法7.3 二次型的应用学习二次型在几何中的应用了解二次型在优化问题中的应用第八章：线性微分方程组8.1 线性微分方程组的定义和性质理解线性微分方程组的概念学习线性微分方程组的解的结构8.2 常系数线性微分方程组的解法学习常系数线性微分方程组的解法掌握常系数线性微分方程组的通解8.3 线性微分方程组的应用学习线性微分方程组在物理学中的应用了解线性微分方程组在经济学中的应用第九章：特征值问题的数值解法9.1 特征值问题的数值解法概述了解特征值问题的数值解法的概念学习特征值问题的数值解法的方法9.2 幂法和反幂法学习幂法和反幂法的原理和步骤掌握幂法和反幂法的应用9.3 稀疏矩阵和迭代法理解稀疏矩阵的概念学习迭代法的原理和步骤第十章：高等代数的进一步研究10.1 向量丛和纤维丛理解向量丛和纤维丛的概念学习向量丛和纤维丛的分类方法10.2 群表示论的基本概念理解群表示论的概念学习群表示论的基本性质10.3 高等代数的其它研究领域了解高等代数在数学物理方程中的应用学习高等代数在和机器学习中的应用重点和难点解析重点环节一：矩阵的秩秩的概念是高等代数中的重要概念，理解秩的计算方法和秩的性质对于后续学习线性变换、矩阵对角化等高级内容至关重要。
高等代数知识点总结笔记
高等代数知识点总结笔记一、集合论基础1. 集合的定义和表示2. 集合的运算：交集、并集、补集、差集3. 集合的基本性质：幂集、空集、自然数集、整数集等4. 集合的关系：子集、相等集、包含关系5. 集合的基本运算律：结合律、交换律、分配律二、映射和函数1. 映射的定义和表示2. 映射的类型：单射、满射、双射3. 函数的定义和性质4. 函数的运算：复合函数、反函数5. 函数的极限、连续性6. 函数的导数、几何意义三、向量空间1. 向量和向量空间的定义2. 向量的线性运算：加法、数乘、点积、叉积3. 向量空间的性质：线性相关、线性无关、维数、基和坐标4. 线性变换和矩阵运算5. 特征值和特征向量四、矩阵与行列式1. 矩阵的定义和基本性质：零矩阵、单位矩阵、方阵2. 矩阵的运算：加法、数乘、矩阵乘法、转置、逆矩阵3. 行列式的定义和性质：行列式的展开法则、克拉默法则4. 线性方程组的解法：克拉默法则、矩阵消元法、逆矩阵法五、线性方程组1. 线性方程组的定义和分类2. 线性方程组的解法：高斯消元法、矩阵法、逆矩阵法3. 线性方程组的特解和通解：齐次线性方程组、非齐次线性方程组4. 线性方程组的解的性质：解的唯一性、解空间六、特征值和特征向量1. 特征值和特征向量的定义和性质2. 矩阵的对角化和相似矩阵3. 特征值和特征向量的应用：矩阵的对角化、变换矩阵4. 矩阵的谱定理和矩阵的相似对角化5. 实对称矩阵和正定矩阵的性质七、多项式与代数方程1. 多项式的定义和性质：零次多项式、一次多项式、多项式的加减乘除2. 代数方程的解法：一元一次方程、一元二次方程、高次方程3. 代数方程的根与系数的关系：韦达定理、牛顿定理、斯图姆定理4. 代数方程的不可约性和可解性八、群、环、域1. 代数结构的定义和性质2. 群的定义和性质：群的封闭性、结合律、单位元、逆元3. 环的定义和性质：交换环、整环、域4. 域的定义和性质：有限域、无限域、极大理想以上就是高等代数的一些基本知识点总结，希望对大家有所帮助。
高等代数学
高等代数学
高等代数学是一门较深入的数学知识，是数学中重要的基础学科之一。
它是广义代数学统的延伸，也是涉及集合论、向量空间和几何的运用最多的学科。
这门学科是研究结构、几何图形、方程和函数的学科。
它是有关连续和离散的数学的核心部分，是学习函数和求解系统方程的基础。
高等代数学主要涉及数学分析、线性代数、向量空间、再解决统计和矩阵，等。
它涉及各种功能和方程，可以用各种数学工具来求解，并用来分析系统的行为。
高等代数学的用途很广泛，它能用于描述某一种物理或社会系统的行为，并求解各类问题，而这类问题的求解必须要用到高等代数学的解法方法，因此，学习高等代数学变得越来越重要。
在学习高等代数学前，需要有一定的数学基础，必须对代数和几何有较为深入的了解。
学习者需要在学习过程中系统地积累基础知识，如平面几何、分散点等。
在学习过程中，应该根据自身的程度，有针对性地进行内容的学习，以便在学习过程中不断掌握新的知识点。
学习者还需要反复推导，将抽象的数学知识变为具体的案例，了解其实际应用，以更好地掌握相关数学知识。
同时，学习高等代数学还应当从实用角度进行，针对实际考试，要有解题技巧和数学思维，熟练掌握用代数解决实际问题的方法和技巧，以期在考试中取得较好的成绩。
总之，高等代数学是一门重要的课程，在深入学习这门学科前，
需要先建立数学基础，从实用的角度出发，熟练掌握其技巧和技能，以便在考试中取得较好的成绩。
高等代数(第1章)
称为系数在数域P中的一元多项式，简称为数域P上 符号x 可以是为未知数， 的一元多项式.
也可以是其它待定事物.
习惯上记为f (x)，g(x)……或f, g……上述形 n 式表达式可写为 i
2012-12-2
f (x)
a
i0
i
x
8
几个概念:
零多项式 ——系数全为0的多项式 多项式相等 —— f (x)=g(x)当且仅当同次项的系 数全相等 （系数为零的项除外） 多项式 f (x)的次数 ——f (x)的最高次项对应的幂 次，记作(f (x)) 或deg (f (x)) .
数域 一元多项式 整除的概念 最大公因式 因式分解定理 重因式 多项式函数 复系数与实系数多项式的因式分解 有理系数多项式
3
2012-12-2
§1
数域
要说的话：对所要讨论的问题，通常要明确所考 虑的数的范围，不同范围内同一问题的回答可能 是不同的。例如，x2+1=0在实数范围与复数范围 内解的情形不同。 常遇到的数的范围：有理数集 、实数集、复数集 共性（代数性质）：加、减、乘、除运算性质 有些数集也有与有理数集 、实数集、复数集相同 的代数性质 为在讨论中将其统一起来，引入一个一般的概 念——数域。
解之得
a
6 5
,b
13 5
,c
6 5
.
2012-12-2
15
例2 设 f (x), g(x)与h(x)为实数域上多项式.证明:如果 f 2(x)= x g2(x)+ x h2(x) 则 f (x)=g(x)=h(x)=0 证：反证. 若f (x)0，则f 2(x) 0.由 若g(x)0，由于
高等代数复习资料
高等代数复习资料高等代数是大学数学中的一门重要课程，它是线性代数的延伸和拓展，涉及到向量空间、矩阵理论、线性变换等内容。
熟练掌握高等代数的基本概念和方法对于学习数学、物理、经济学等领域都具有重要意义。
本文档将为大家提供高等代数复习资料，帮助你巩固和复习相关知识。
第一部分：向量空间向量空间是高等代数中的重要概念，它是一种具有加法和数乘运算的集合。
理解向量空间的基本性质和运算规则是高等代数学习的基础。
在复习向量空间时，可以重点关注以下内容：1. 向量空间的定义和性质：了解向量空间的定义，包括加法和数乘的性质，以及满足的几个条件。
掌握零向量、加法逆元等概念。
2. 子空间：理解子空间的概念，包括子空间的闭性、加法和数乘的封闭性等。
重点掌握如何判断一个集合是否为子空间。
3. 线性相关性和线性无关性：了解线性相关和线性无关的概念，以及线性相关性和线性无关性的判别标准。
学习如何求解线性方程组。
第二部分：矩阵理论矩阵是高等代数中的重要工具，它用于表示线性变换和解决线性方程组。
学习矩阵理论可以帮助我们更好地理解向量空间和线性变换。
在复习矩阵理论时，可以关注以下内容：1. 矩阵的运算：了解矩阵的加法、数乘和乘法等运算规则。
掌握矩阵的转置、逆和行列式等概念。
2. 线性变换和矩阵表示：理解线性变换与矩阵之间的关系，学习如何通过矩阵表示线性变换。
3. 线性方程组与矩阵：掌握使用矩阵解决线性方程组的方法，包括高斯消元法和矩阵的逆等。
第三部分：线性变换线性变换是高等代数的核心内容，它描述了向量空间中的数学变换。
理解线性变换的基本概念和性质对于学习高等代数非常重要。
在复习线性变换时，可以关注以下内容：1. 线性变换的定义和性质：了解线性变换的定义，包括保持加法和数乘运算、保持零向量等性质。
2. 线性变换的矩阵表示：了解线性变换与矩阵之间的关系，学习如何通过矩阵表示线性变换。
3. 特征值和特征向量：掌握特征值和特征向量的概念，学习如何求解特征值和特征向量。
高等代数知识点总结
高等代数知识点总结高等代数是一门研究抽象代数结构的数学学科。
它是线性代数的拓展，主要涉及向量空间、线性变换、矩阵理论、线性方程组、特征值与特征向量、行列式等知识点。
以下是高等代数的主要知识点的总结。
1.向量空间：向量空间是高等代数的核心概念之一、它是一组满足特定性质的向量的集合。
向量空间具有几何和代数两种性质，包括加法、数乘、零向量、负向量等。
2.线性变换：线性变换是一种保持向量空间线性组合关系的变换。
它可以通过矩阵来表示，矩阵的乘法与线性变换的复合运算等价。
线性变换的性质包括保持加法和数乘、保持零向量、保持线性组合等。
3.矩阵理论：矩阵是高等代数中常用的工具，用于表示线性变换、求解线性方程组等。
矩阵具有加法、数乘、乘法等运算规则，还可以求逆矩阵、转置矩阵等。
矩阵的秩、特征值与特征向量等性质也是矩阵理论的重要内容。
4.线性方程组：线性方程组是高等代数中的基本问题之一、它是一组包含线性方程的方程组，可以用矩阵形式表示。
线性方程组的求解可以通过消元法、高斯消元法、矩阵求逆等方法来实现。
5.特征值与特征向量：特征值与特征向量是线性变换的重要性质。
特征值是线性变换在一些向量上的纵向缩放比例，特征向量是特征值对应的非零向量。
特征值与特征向量在很多应用中起到重要作用，如矩阵对角化、求解微分方程等。
6.行列式：行列式是矩阵的一个标量量。
行列式的值代表矩阵所对应的线性变换对单位面积进行的放缩倍数。
行列式具有反对称性、线性性、乘法性等性质，可以用于求解矩阵的逆、计算特征值等。
7.正交性与正交变换：正交性是高等代数中的一个重要概念。
向量空间中的两个向量称为正交，如果它们的内积为零。
正交性和正交变换在几何、物理、信号处理等领域有广泛应用。
8.对称性与对称变换：对称性是高等代数中的一个重要概念。
对称性指的是其中一变换下，物体经过变换后保持不变。
对称性与对称变换在几何、物理、化学等领域有广泛应用。
总结起来，高等代数是一门研究抽象代数结构的学科，主要涉及向量空间、线性变换、矩阵理论、线性方程组、特征值与特征向量、行列式、正交性与正交变换、对称性与对称变换等知识点。
高等代数知识点
高等代数知识点高等代数是大学数学专业的一门核心课程，主要研究线性代数的更深层次的内容和推广。
它是数学中的一门基础学科，对于很多数学分支都有着重要的应用。
下面是高等代数的主要知识点：1.向量空间理论：向量空间是高等代数的核心概念之一、它研究向量的基本性质和运算规律，包括向量的加法、数乘、内积、外积等。
2.线性变换和矩阵理论：线性变换是向量空间中的一个重要概念，它是一种保持向量加法和数乘运算的函数。
矩阵是线性变换在两个有限维向量空间基下的坐标矩阵表示。
3.特征值和特征向量：特征值和特征向量是线性变换中重要的概念，它们描述了一个线性变换在一些向量上的作用。
特征值是一个标量，特征向量是满足特定条件的非零向量。
4.行列式和特征多项式：行列式是一个方阵所确定的一个标量值，它描述了一个矩阵的一些特征。
特征多项式则是通过行列式来描述一个线性变换的特征。
5.正交性和正交矩阵：正交性是线性代数中重要的概念，它描述了向量空间中向量的垂直性质。
正交矩阵是一种特殊的方阵，它的列向量两两正交并且长度为16.线性方程组：线性方程组是高等代数中一个基本的研究对象。
通过矩阵的运算和消元法可以求解线性方程组的解。
7.广义逆矩阵和正规方阵：广义逆矩阵是矩阵理论的重要扩展，它在未必是方阵的情况下，求解矩阵方程和线性方程组具有重要应用。
正规方阵则是满足一定条件的方阵。
8.特殊矩阵：特殊矩阵是高等代数中特别重要的一类矩阵，包括对角矩阵、上三角矩阵、下三角矩阵、对称矩阵、反对称矩阵等。
9.特征值分解和奇异值分解：特征值分解是一种将线性变换表示成特征向量和对应特征值的形式的方法，奇异值分解则是一种将矩阵表示成特征值和特征向量的形式的方法。
10. Jordan标准形和Schur分解：Jordan标准形是复矩阵的一种标准形式，它可以将复矩阵进行相似变换后表示成一个特殊的形式。
Schur分解是一种将矩阵表示成三角形的形式的方法。
这些是高等代数的主要知识点，掌握了这些知识点，就能够理解和应用高等代数的基本原理和方法，为后续更深入的数学学习打下坚实的基础。
高等代数
多项式第一节 数域定义1 设Ｐ是由一些复数组成的集合，其中包括０与１.如果Ｐ中任意两个数（这两个数也可以相同）的和·差·积·伤（除数不为零）仍然是P 中的数，那么Ｐ就称为一个数域。
第二节 一元多项式 定义２ 设ｎ是一非负整数。
形式表达式110...nn n n a x a xa --+++（１），其中01,,...,na a a 全属于数域Ｐ，称为系数在数域Ｐ中的一元多项式，或者简称为数域P 上的一元多项式。
定义3 如果在多项式f （x ）与g （x ）中，除去系数为零的项外，同次项的系数全相等，那么f （x ）与g （x ）就称为相等，记为f （x ）=g （x ）系数全为零的多项式称为零多项式，记为0定义4 所有系数在数域P 中的一元多项式的全体，称为数域Ｐ上的一元多项式环，记为［Ｐ］，Ｐ称为［Ｐ］的系数域第三节 整除的概念带余除法 对于Ｐ［ｘ］中任意两个多项式ｆ（ｘ）与ｇ（ｘ），其中()0g x ≠，一定有Ｐ［ｘ］中的多项式ｑ（ｘ），ｒ（ｘ）存在，使()()()()fx q x g x r x =+成立，其中()()()()r x g x ∂<∂或者()0r x =，并且这样的ｑ（ｘ），ｒ（ｘ）是唯一决定的。
定义５ 数域Ｐ上的多项式ｇ（ｘ）称为整除ｆ（ｘ），如果有数域Ｐ上的多项式ｈ（ｘ）使等式()()()fx g x h x =成立。
我们用“()()|g x f x ”表示ｇ（ｘ）整除ｆ（ｘ），用“()|()g x f x ”表示ｇ（ｘ）不能整除ｆ（ｘ）定理１ 对于数域Ｐ上的任意两个多项式ｆ（ｘ），ｇ（ｘ），其中()()()0,|g x g x fx ≠的充分必要条件是ｇ（ｘ）除ｆ（ｘ）的余式为零。
第四节 最大公因式定义６ 设ｆ（ｘ），ｇ（ｘ）是Ｐ［ｘ］中两个多项式。
Ｐ［ｘ］中多项式ｄ（ｘ）称为ｆ（ｘ），ｇ（ｘ）的一个最大公因式，如果它满足下面两个条件：（１）ｄ（ｘ）是ｆ（ｘ），ｇ（ｘ）的公因式；（２）ｆ（ｘ），ｇ（ｘ）的公因式全是ｄ（ｘ）的因式。
张禾瑞高等代数
张禾瑞高等代数高等代数是数学中一门非常重要的学科，它是线性代数的延伸与推广，涉及到更加复杂的运算和概念。
在本文档中，我们将介绍有关高等代数的基本知识和概念，并深入探讨其应用。
1. 线性方程组和矩阵运算线性方程组是高等代数中最基本的问题之一。
我们将从线性方程组的解法开始讨论，包括高斯消元法和矩阵求逆等方法。
同时，我们还将介绍矩阵的基本运算规则和性质，如加法、乘法、转置等，以及行列式和特征值等概念。
2. 向量空间和线性变换在高等代数中，向量空间是一个非常重要的概念。
我们将介绍向量空间的定义和性质，以及子空间、基和维数等相关概念。
此外，我们还会讨论线性变换的定义和性质，研究线性变换对向量空间的影响。
3. 特征值和特征向量特征值和特征向量是高等代数中的核心概念。
我们将介绍它们的定义和性质，并探讨它们在线性代数和微分方程中的应用。
特别是，我们将讨论对称矩阵和正交矩阵的特征值和特征向量的特殊性质。
4. 矩阵的对角化与相似矩阵对角化是高等代数中重要的内容之一。
我们将研究矩阵是否可对角化的条件和方法，并进一步研究相似矩阵和相似变换的性质。
同时，我们还会介绍对称矩阵和正交矩阵的对角化特性。
5. 内积空间和正交性在高等代数中，内积空间和正交性是重要的概念。
我们将介绍内积的定义和性质，研究内积空间和正交投影等相关内容。
此外，我们还将探讨正交矩阵和正交变换的性质和应用。
通过本文档的学习，读者将对高等代数有一个全面、系统的了解。
本文档力求以清晰、简洁的语言对高等代数的基本知识进行讲解，并通过举例和引用应用领域中的实际问题，帮助读者更好地理解和应用高等代数的概念和方法。
希望本文档能成为读者学习和应用高等代数的有力工具。
高等代数知识点总结课件
行列式的展开定理
• 总结词：行列式的展开定理是行列式计算的核心，它提供了计算行列式 值的有效方法。
• 详细描述：行列式的展开定理指出，一个$n$阶行列式等于它的主对角线上的元素的乘积与其它元素乘积的代数和的相 反数。具体来说，对于一个$n$阶行列式$|\begin{matrix} a{11} & a{12} & \cdots & a{1n} \ a{21} & a{22} & \cdots & a{2n} \ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \ a{n1} & a{n2} & \cdots & a{nn} \end{matrix}|$，其值等于 $a{11}A{11} + a{21}A{21} + \cdots + a{n1}A{n1}$，其中$A{ii}$表示去掉第$i$行和第$i$列后得到的$(n-1)$阶行列 式的值。
04
线性函数与双线性函数
线性函数的定义与性质
线性函数的定义
线性函数是数学中的一种函数，其图 像为一条直线。在高等代数中，线性 函数是指满足 f(ax+by)=af(x)+bf(y) 的函数。
线性函数的性质
线性函数具有一些重要的性质，如加 法性质、数乘性质、零元素性质和负 元素性质等。这些性质在解决实际问 题中具有广泛的应用。
欧几里得空间与酉空间
欧几里得空间
欧几里得空间是一个几何空间，它满足 欧几里得几何的公理。在欧几里得空间 中，向量的长度和角度都可以用实数表 示。
VS
酉空间
酉空间是一种特殊的线性空间，它满足酉 几何的公理。在酉空间中，向量的长度和 角度都可以用复数表示。酉空间在量子力 学、信号处理等领域有广泛应用。
高等代数知识点总结
• 当c1,...,cr不全为0时，必有c11+...+crr0 • 当c11+...+crr＝0时，必有c1＝...＝cr＝0 • 1,...,r的秩数等于r • (1,...,r)是列满秩矩阵
28
极大无关组与秩数：
1. 1,...,rS是S的一个极大无关组当且仅当 ① 1,...,r线性无关 ② S的每个向量都可由1,...,r线性表示
22
两种常用方法
1.分块矩阵的初等变换和Schur公式
• 把初等变换和初等矩阵的思想用到分块矩阵 • Schur公式 设A可逆
I
CA1
O I
A C
B D
A O
B
D CA1B
A C
B D
I O
A1B
A
I B
O
D CA1B
I
CA1
O I
A C
B D
I O
按第k行 第k列展开
Laplace定理
|aij| = ak1Ak1+…+aknAkn = a1kA1k+…+ankAnk
| A | j1
jk
式
A
i1 j1
ik jk
代余式
A
i1 j1
ik
jk
aj1Ak1+…+ajnAkn = a1jA1k+…+anjAnk =jk|aij|
分块三角矩阵的行列式
对称多项式基本定理 每个对称多项式，都可唯一
地表示成初等对称多项式的多项式
10
运算
行列式
高等代数(绪论)讲解课件
善于总结
在做题过程中，要注意总结解题方法和技巧 ，形成自己的解题思路和经验。
学习过程中注重归纳总结
要点一
归纳知识体系
在学习过程中，要注重归纳总结，将所学知识形成完整的 知识体系，以便更好地理解和记忆。
要点二
总结解题方法
对于同一类问题，要总结出通用的解题方法，形成自己的 解题技巧和策略。
培养数学思维与逻辑推理能力
矩阵的加法、减法、乘法
矩阵的逆
掌握矩阵的基本运算规则，能够进行 矩阵的加法、减法和乘法运算。
掌握矩阵逆的定义和性质，能够求出 矩阵的逆。
矩阵的转置
了解矩阵转置的定义和性质，能够进 行矩阵的转置运算。
多项式的因式分解与根的性质
因式分解
掌握多项式的因式分解方法，如提取公因式、分组分 解、十字相乘法等。
线性变换与几何变换
总结词
线性变换是高等代数中描述几何变换的 基本工具，它可以用于图像处理、计算 机图形学和机器人学等领域。
VS
详细描述
线性变换是矩阵在向量空间上的作用，它 可以描述旋转、平移、缩放等基本的几何 变换。通过线性变换，可以研究几何对象 的性质和关系，并将其应用于图像处理、 计算机图形学等领域，实现图像的旋转、 缩放和剪切等操作。
培养数学思维
学习高等代数需要具备数学思维，即能够运用数学语言 和符号进行推理和表达的能力。
提高逻辑推理能力
通过学习和练习高等代数的证明和推导，可以提高逻辑 推理能力，增强思维的严密性和条理性。
T量是一个有方向的量，它由一组有 序数组成。在高等代数中，向量通常 表示为有序数对的序列，这些数对可 以表示空间中的点、方向和大小。
矩阵
矩阵是一个矩形阵列，由若干行和若 干列组成。在高等代数中，矩阵是重 要的数学工具，它可以表示向量之间 的关系、线性变换等。
高等代数§1
x y (a c) (b d ) 2 Q( 2), x y (ac 2bd ) (ad bc) 2 Q( 2)
设 a b 2 0, 于是 a b 2 也不为0．
（不然，若 a b 2 0, 则 a b 2, 于是有 a 2 Q, b 或 a 0,b 0 a b 2 0. 矛盾）
二、数域旳性质
定理: 任意数域P都涉及有理数域Q． 即，有理数域为最小数域．
证明： 设P为任意一种数域．由定义可知，
于是有 0 P， 1 P. m Z , m 1 1 1 P
进而 有
m,n Z , m P, n
m 0 m P.
n
n
而任意一种有理数可表成两个整数旳商，
Q P.
Remar 数k环: 设P为非空数集，若
a,b P, a b P, a b P
则称P为一种数环．
例如，整数集Z 就作成一种数环．
三、数学归纳法
第一数学归纳法 设S是一种与自然数有关旳命题，且满足． 1）当 n 时n0 ，S成立 2）假设当n k (k N时,k ， nS0)成立，则
意两个数旳差与商（除数≠0）仍属于P，则P为一
一种数域．
证：由题设任取 a,b P, 有
0 a a P, 1 b P (b 0), a b P,
a P (b 0), b
b a b a (0 b) P,
b 0 时,
ab
1
1
P
,
b 0 时, ab 0 P.
b
所以，P是一种数域．
高等代数课件
第一章 多项式
§1.1 数域
代数与几何教研室
高等代数
例6： Q, R, C 对通常加法和乘法均是 域。 有理数域 Q, 实数域 R, 复数域 C.
若 F的子集合 K 对 F中的原运算仍是一个域 ， 称 K为 F的子域，而 F称为 K的扩域。
C的子域被称作数域， 有理数域 Q是最小的数域 - -是任意数域的子域。 7
II
Polynomial form
an q1 = X bm
nm
,
则 g q1 与 f 的首项相同。
令 f s = r ， q1 + q 2 + + q s = q ， 即可。
唯一性，设 f = q g + r = gq0 + r0，
= 于是 g（q q0） r0 r 若两边均非零，则由 deg g（q q0）） deg g > deg r0 r） （ ≥ （ 矛盾， 故q = q0， r = r0 。
群 : 设 G 是非空集合 , 在 G 中定义了一个二元 运算 (即对 G 中任意 a , b 有 G 中唯一元素 (记为 a b )与之对应 , 且满足如下规律 : (1)封闭性 . 对任意 a , b ∈ G , 总有 a b ∈ G . ( 2 )结合律 .a ( b c ) = ( a b ) c ( 对任 a , b, c ∈ G ). ( 3)( 恒元 )存在 e ∈ G , 使 e a = a 对任 a ∈ G . ( 4 )( 逆元 )对任 a ∈ G , 总存在 b ∈ G , b a = e.
例3： n阶可逆方阵的全体（按 通常矩阵的 乘法）是乘法群。称为 一般线性群 .－－ general linear group 简记为 GL n (F). 而 SL n (F)＝｛ A ∈ M n (F) detA ＝1 ｝ 称为特殊线性群－－ Special Linear group
对高等代数的理解和认识
对高等代数的理解和认识高等代数是数学中的一门重要学科，它研究的是代数结构和其上的运算法则。
通过高等代数的学习，我们可以更深入地理解和认识数学的抽象思维和逻辑推理能力。
高等代数不仅仅是一门学科，更是一种思维方式和解决问题的工具。
高等代数的核心概念是代数结构。
代数结构是指在一个非空集合上定义了一些运算法则的数学结构。
常见的代数结构包括群、环、域等。
这些代数结构的研究不仅可以帮助我们理解数学中的各种数系统，还可以应用于其他学科，如物理学、经济学等。
通过研究代数结构，我们可以发现它们之间的内在联系和相互作用，从而深入理解数学的基本原理和推理方法。
高等代数的学习对于培养抽象思维和逻辑推理能力非常重要。
在高等代数中，我们需要将具体的问题抽象化，将问题中的各个要素用符号表示，并通过符号之间的关系来解决问题。
这种抽象思维和逻辑推理能力对于解决实际问题和思考抽象概念非常有帮助。
通过高等代数的学习，我们可以培养和提高自己的抽象思维和逻辑推理能力，从而在其他学科和实际生活中更好地应用数学的方法和思维方式。
高等代数的学习还可以帮助我们理解和解决实际问题。
在实际生活中，我们经常会遇到各种复杂的问题，而高等代数提供了一种解决这些问题的有效方法。
通过代数的符号和运算法则，我们可以将实际问题转化为代数方程或不等式，然后通过代数运算来解决这些方程或不等式，最终得到问题的解答。
高等代数的学习可以帮助我们掌握这种问题解决方法，提高我们解决实际问题的能力。
高等代数还与其他学科有着密切的联系。
在物理学中，很多物理规律和现象可以通过高等代数的方法进行描述和解释。
在经济学中，高等代数的工具可以用来分析市场供需关系、经济增长模型等经济现象。
在计算机科学中，高等代数的概念和方法可以应用于编程和算法设计。
通过将高等代数与其他学科相结合，我们可以更好地理解和应用高等代数的知识。
高等代数是一门重要的数学学科，它不仅仅是一种学科知识，更是一种思维方式和解决问题的工具。
高等代数(绪论)讲解课件
目录
• 高等代数的定义与重要性 • 高等代数的历史与发展 • 高等代数的应用领域
• 高等代数的基本定理与性质 • 高等代数的解题方法与技巧
高等代数的定义与重要性
高等代数的定 义
• 高等代数的定义：高等代数是数 学的一个重要分支，主要研究向 量空间、线性变换、线性方程组、 矩阵理论等抽象代数结构。它建 立在中学代数的初等代数基础之 上，引入了更为抽象的概念和性 质。
机械工程是设计和制造各种机械系统 的科学。高等代数中的许多概念和工 具，如向量空间和线性映射等，在机 械工程中有着广泛的应用。例如，在 机构学中，我们使用向量和矩阵来表 示和分析机械系统的运动。
计算机科学是研究计算机的一门科学。 高等代数中的许多概念和工具，如模、 张量和外代数等，在计算机科学中有 着广泛的应用。例如，在密码学中， 我们使用模和同余来加密和解密信息。
物理领域的应用
量子力学
量子力学是描述微观粒子行为的一门科 学。高等代数中的许多概念和工具，如 张量和外代数等，在量子力学中有着广 泛的应用。例如，在量子力学中，我们 使用张量来表示和操作量子态。
VS
理论物理
理论物理是研究物理现象的一门科学。高 等代数中的许多概念和工具，如群论和环 论等，在理论物理中有着广泛的应用。例 如，在粒子物理学中，我们使用群论来表 示和分析粒子的对称性。
高等代数的基本概念
向量与向量空 间
向量与向量的模
向量是具有大小和方向的几何实体。 向量的模是衡量其大小的一个度量。
向量空间
线性组合与线性无关
线性组合是向量空间中向量的一种运 算，线性无关则描述了向量集合的一 种性质。
向量空间是一个由向量构成的集合， 满足一定的封闭性和结合性。
高等代数知识点总结
高等代数知识点总结高等代数是数学中的一个重要分支，它主要研究了代数结构及其相关性质。
下面是关于高等代数的一些常见知识点的总结。
1.环论：环是一种代数结构，它包含了一个集合以及对于这个集合中的元素定义的加法和乘法运算。
环的一些基本概念包括单位元、零元、可逆元、交换性、零因子、整环等。
环论研究了环的性质、子环、理想、同态等内容。
2.域论：域是一个包含了加法和乘法运算的交换环，且除了零元以外的所有元素都有乘法逆元。
域的一些基本概念包括素域、代数闭域、有限域等。
域论研究了域的性质、子域、扩域、代数元、素元、不可约多项式等内容。
3.矩阵论：矩阵是一个有限个数按一定顺序排列的数构成的数组，在高等代数中起到了很重要的作用。
矩阵的一些基本运算包括矩阵的加法、乘法、转置、逆等。
矩阵论研究了矩阵的行列式、特征值、特征向量、秩、相似矩阵等内容。
4.向量空间：向量空间是一个满足一定性质的集合，其中的元素称为向量。
向量空间的一些基本概念包括线性组合、线性相关性、线性独立性、子空间、基、维数等。
向量空间论研究了向量空间的性质、线性变换、内积空间、正交性、最小二乘法等内容。
5.线性代数：线性代数是研究向量、矩阵和线性方程组等问题的一门学科，它是高等代数的一个重要分支。
线性代数的一些基本概念包括线性变换、行列式、特征值、特征向量等。
线性代数研究了线性方程组的解的存在唯一性、线性变换的特征值分解、矩阵的相似对角化等内容。
6.线性空间：线性空间是一个满足一定性质的集合，其中的元素称为向量。
线性空间的一些基本概念包括线性组合、线性相关性、线性独立性、子空间、基、维数等。
线性空间论研究了线性空间的性质、线性变换、内积空间、正交性、最小二乘法等内容。
7.线性映射：线性映射是一个保持线性结构的映射，也就是满足线性变换的条件。
线性映射的一些基本概念包括核、像、像空间、零空间等。
线性映射论研究了线性映射的性质、线性变换的特征值分解、线性方程组的解的唯一性等内容。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
1.10 课本上的习题解答 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.11 课本上的补充习题解答 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.12 难题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
第九章 双线性函数与辛空间
185
9.1 对偶空间 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
9.2 双线性函数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
2.5 LU 分解和P LU 分解 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.6 行列式的第二种定义 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.7 矩阵的秩 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
第八章 欧几里得空间
157
8.1 内积 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
8.2 正交矩阵和正交变换 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
1, 2, 3, ....
这个过程看似简单，实际上是人类认识上的一个巨大的飞跃。这是一个从具体到抽 象的过程。有了这个进步，人们可以看到10个苹果和10个人之间共同的东西。这对 人类认识周围的世界, 管理资源分配等活动都有实在的指导意义。而且从具体到抽 象，也使人摆脱了实物的局限性，使得1, 2, 3, ....可以指代任何具体的事物，是文 明的发展必不可少的一步。
第五章 相似和Jordan标准型
97
5.1 矩阵的相似 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
5.2 空间的分解 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
第三章 线性方程组
57
3.1 线性方程组的古代例子 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.2 高斯消元法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
4.2 线性映射 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
iii
iv
目录
4.3 线性映射对应的矩阵 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
1.8 多元多项式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.9 形式幂级数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
8.3 最小二乘法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
8.4 酉空间 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
6.5 有理标准形 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
第七章 二次型
143
7.1 二次型的矩阵表示和矩阵的合同 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
bc ≡ 1( mod m),
我们也常常把b记为1/c. 给定a, a模m的所有的剩余（我们称之为一个剩余类）都形如
a + km, k ∈ Z. 定理 1.1.1. 假设m是一个正整数，A, a是任意两个整数，则
a, a + 1, ..., a + m − 1 中有且恰有一个模m同余于A.
因此对任一整数A, 都有它的一个模m剩余位于集合
1.3 四元数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.4 p元域(模p的剩余类域) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
7.2 规范型 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
7.3 正定二次型 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
{0, 1, 2, ..., m − 1}
中。这样的集合我们成称为是模m的一个完全剩余系。任何一个含有m个元素的整 数集合{a0, ..., am−1}，如果其中的元素模m两两不同。我们都称它是一个完全剩 余系。
命题 1.1.2. 如果A ≡ a( mod m), B ≡ b( mod m)，那么AB ≡ ab( mod m). 假设f (x)是一个整系数的多项式。如果a ≡ b( mod m), 那么f (a) ≡ f (b)( mod m).
5.3 矩阵指数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111第六章 λ-矩阵Fra bibliotek121
6.1 整矩阵 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
第二章 矩阵和行列式
27
2.1 矩阵和初等变换 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.2 分块矩阵 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.3 线性方程组的解的结构 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
第四章 向量空间 线性映射
73
4.1 线性空间 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
6.2 λ-矩阵的定义和基本性质 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
6.3 矩阵的相似 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
6.4 Jordan标准形 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
9.3 辛空间 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
第一章 多项式
在本章里, 我们将学习整数，数域和多项式的基本知识.
§1.1 整数
自然数起源于计数。例如一棵树,两只眼睛,三只羊,…。这样便有了自然数
0的出现比1, 2, 3, ....等要晚很多，而0真正的像1, 2, 3, ....等一样平等的参与数 学运算也不过只有几百年的历史。现在一般都把0也算作是自然数。自然数的集合 用N表示。
有了自然数以后，用0减去自然数，便有了负整数。自然数和负整数统称为整 数。整数的集合用Z表示。考虑两个非零整数的商，便有了有理数。有理数的集合 用Q表示。
假设m是一个正整数，我们定义φ(m)为1, 2, ..., m − 1中与m互素的元素的个 数。我们称φ(m)为欧拉函数。如果一个含有φ(m)个元素的整数集合S = {a1, ..., aφ(m)}中 的元素模m 两两不同，而且都和m互素，我们就称S是模m的一个缩系。
To be added.
i
前言
郭学军 2011 年 5 月于南京
ii
目录
前言
i
第一章 多项式
1
1.1 整数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 复数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5