高等代数教案设计(张禾瑞版)
高等代数(张禾瑞版)教案-第4章线性方程组
第四章 线 性 方 程 组4.1 消元法教学目的：1、掌握线性方程组的和等变换，矩阵的初等变换等概念。
理解线性方程组的和等变换是同解变换，以及线性方程组的初等变换可用增广矩阵的相应的行初等变换代替。
2、熟练地掌握用消元发解线性方程组，以及判断线性方程组有没有解和解的个数。
设方程组:a 11x 1+a 12x 2+…+a 1n x n =b 1; a 21x 1+a 22x 2+…+a 2n x n =b 2; (1) ……………………………… a m1x 1+a m2x 2+…+a mn x n =b m . 1 线性方程组的初等变换: 例1解线性方程组:21 x 1 +31x 2 + x 3=1 (2) x 1+ 35x 2 +3 x 3=32x 1+34x 2+5 x 3=2从第一和第三方程分别减去第二个方程的21倍和2倍,来消去前两个方程中的未知量x 1(即把x 1的系数化为零).我们得到:-21 x 1 -21 x 3= -21 x 1+ 35x 2+3 x 3=3-2 x 2- x 3=-4为了计算的方便,我们把第一个方程乘以-2后,与第二个方程交换,得:x1+35x 2+3x 3= 3 x 2+ x 3= 1 -2x 2- x 3=-4把第二个方程的2倍加到第三个方程,来消去后一方程中的未知量x 2,我们得到:x 1+35x 2+3x 3= 3 x 2+ x 3= 1x 3=-2现在很容易求出方程组的解.从第一个方程减去第三个方程的3倍,再从第二个方程减去第三个方程(相当于把x 3的值-2代入第一和第二个方程),得x 1+35x 2=9 x 2=3 x 3=-2再从第一个方程减去第二个方程的35倍(相当于把x 2的值3代入第一个方程),得 x 1=4x 2=3 x 3=-2这样我们就求出了方程组(2)的解.分析一下以上的例子,我们看到,我们对方程组施行了三种变换: 1) 交换两个方程的位置;2) 用一个不等于零的数乘某一个方程; 3) 用一个数乘某一个方程后加到另一个方程. 我们把这三种变换叫做线性方程组的初等变换. 由初等代数知道,以下定理成立.定理4.1.1 初等变换把一个线性方程组边为一个与它同解的线性方程组. 2 矩阵： 利用线性方程组(1)的系数可以排成如下的一个表:(3) ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛a aa aa a a a a mn m m n n............ (2)12222111211, 而利用(1)的系数和常数项又可以排成下表:(4) ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛b aaa b a a b a a a b a a a m mnm m nn ............... (2)133231222221111211.定义1 由st 个数c ij 排成一个s 行t 列的表⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛c c c cc c c c c st s s t t212222111211叫作一个s 行t 列（或s ⨯t ）矩阵。
高等代数教案设计(张禾瑞版)
适用文案高等代数教课设计第一章首页讲课内容第一章基本观点第 1．1节——第1。
5 节所需课时12 学时1 ．北京师范大学，高等代数高等教育第一版社，1997主要教材或2．北京大学编，高等代数。
高等教育第一版社， 1995参照资料3．华东师范大学，高等代数与几何高等教育第一版社，1997知识目标：教课目的和教课基本要求：（1 ）掌握会合，子集，空集等基本观点，明确会合、子会合之间的关系及表示方法。
（2 ）掌握映照、单射、满射及双射的基本观点。
（3 ）掌握数学概括原理、最小数原理，第二数学概括法原理应用。
教课目的（4 ）掌握带余除法，最大公因数，互素观点和方法。
（5 ）掌握数环，数域及最小数域—有理数域为基本观点。
能力目标：（ 1 ）训练学生领悟和掌握高等代数的基本方法和思想方式。
（2 ）掌握高等代数的基本观点中的公义化定义、性质，而且会解决实质问题教课要点会合、映照、数学概括法、整数的一些整除性质、数环和数域。
教课难点数学概括法原理的证明和应用、数环和数域的抽象观点的理解。
教课方法 1. 讲解法。
2.议论法。
3.讲练联合适用文案§1会合§2映照教课内容及§3数学概括法时间安排2学时2学时2学时§4整数的一些整除性质§5数环和数域2学时2学时习题课 2 学时1.复习教材和笔录中本章内容。
学习指导 2.让学生阅读北京师范大学，高等代数第一章3.让学生阅读《高等代数协助教材》第一章。
教材第一章习题：第 6 页： 6、7；第 14 页：5、10；第 18 页： 1、4、5；作业及思虑题第 29 页： 2、4、5；第 25 页：3、5。
赞同上述安排。
教研室批阅建议教研室主任署名：王书琴2005 年 2月 28 日高等代数教课设计第二章首页讲课内容第二章多项式第 2．1 节——第2。
8 节所需课时28学时1．北京师范大学高等代数高等教育第一版社， 1997主要教材或2．北京大学编高等代数高等教育第一版社， 1995参照资料3．华东师范大学高等代数与几何高等教育第一版社，1997知识目标：教课目的和教课基本要求：（1 ）掌握一元多项式的观点和运算规则，整除互素的观点及简单性质并能进行有关论证。
高等代数电子教案
定理2.6.4 设f (x)与g (x)是R [x]的两个多项式,它们的次数都 不大于n.若是以R中n + 1个或更多的不同的数来代 替x时,每次所得f (x)与g (x)的值都相等,那么 f (x) = g (x) . 证 令 u (x) = f (x) – g (x) 若f (x)≠g (x), 换一句话说, u (x) ≠0 ,那么u (x)是一个 次数不超过n的多项式,并且R中有n + 1个或更多的 根. 这与定理2.6.3矛盾.
当x = c时f (x)的值 f (c) .
综合除法
设f ( x) a0 x n a1 x n 1 a 2 x n 2 a n 1 x a n , 并且设
(1) 其中
f ( x) ( x c) q ( x) r ,
q( x)b x
0 n 1
.... bn 1
f ( x) a0 a1 x ai x a m x , j n g ( x) b0 b1 x b j x bn x ,
i m
c0 , c1 ,cm n .
由于f (x)和g (x)都是本原多项式,所以p不能整除f (x)
的所有系数,也不能整除g (x)的所有系数.令 ai 和b j各
这样,欲求系数 bk ,只要把前一系数 bk 1 乘以c再加 上对应系数 a k ,而余式的 r 也可以按照类似的规律 求出. 因此按照下所指出的算法就可以很快地陆续 求出商式的系数和余式:
c | a0 b0
a1 cb0 b1
a 2 a n 1 cb1 cbn 2 b2 bn r
比较等式(1)中两端同次项的系数,我们得到
a 0 b0 , a1 b1 cb0 , a 2 b2 cb1 , a n 1 bn 1 cbn 2 , a n r cbn 1 .
高等代数电子教案(Ⅲ)
进一步，设 f ( x) a0 a1 x an x . 是F上一个多项式，而 L(V ), 以σ代替x，以 a 0 代替 a 0 ，得到V的一个线性变换
n
a0 a1 an n .
这个线性变换叫做当 记作 f ( ).
x 时f (x)的值，并且
7.4 不变子空间 7.5 本征值和本征向量 7.6 可以对角化矩阵
7.1 线性映射
学习内容 线性映射的定义、线性变换的象与核.
§7.1.1 线性映射的定义
设F是一个数域，V和W是F上向量空间. 定义1 设σ是V 到W 的一个映射. 如果下列条 件被满足，就称σ是V 到W 的一个线性映射： ①对于任意 , V , ( ) ( ) ( ). ②对于任意 a F , V , (a ) a ( ) 容易证明上面的两个条件等价于下面一个条件： ③对于任意 a, b F 和任意 , V ,
设 L(v), σ的负变换－σ指的是V到V的映射 : ( ). 容易验证，－σ也是V的线性变换，并且 （4） ( )
线性变换的数乘满足下列算律：
(5) (6) (7) (8)
k ( ) k k , (k l ) k l , (kl) k (l ), 1 ,
f x 与它对应，根据导数的基本性质，这样定义 的映射是F[x]到自身的一个线性映射.
例8 令C[a, b]是定义在[a, b]上一切连续实函数所
成的R上向量空间，对于每一 f x Ca,b, 规定
f x 仍是[a, b]上一个连续实函数，根据积分的
基本性质，σ是C[a, b]到自身的一个线性映射.
张禾瑞高等代数
f (x)
例1 令Z是一切整数的集合. 对于每一整数n，令 f (n) 2n 与它对应. 那 f 是Z到Z的一个映射，
例2 令R是一切实数的集合，B是一切非负实数的集合 ， 对于每一 x R，令 f (x) x2与它对应； f : x x2 ，那么 f 是R到B的一个映射.
例3 设 A B {1,2,3,4} f :1 2,2 3,3 4,4 1 这是A到B的一个映射.
惠州学院数学系
设给映射 f : A B ，g : B C ，h : C D ，有 h (g f ) (h g) f . 但是，一般情况下 f g g f ，
设A是非空集ห้องสมุดไป่ตู้ jA : A A ，x x,
称为设A上的 恒等映射。
设A，B是两个非空集合，用 jA 和 jB 表示A和B的恒等 映射. 设 f : A B是A到B的一个映射. 显然有：
合，则 A (A
A
B)
或B(是xA一A(切A实BB)数)的(集x 合A.且显x然，B)
惠州学院数学系
交运算 由集合A与B的公共元素所组成的集合叫做A 与B的交集(简称交)，记作：A B ，如图2所示.
A B
显然，A B A ， A B B 例如，A={1，2，3，4}，B={2，3，4，5}，则
注意：并没有要求B是A的子集. 例如，Q C Ø
积运算：
设设A，B是两个集合，令
A B {(a,b) | a A,b B}
称为A与B的笛卡儿积（简称为积）. A B是一切元素对（a, b ）所成的集合，其中第一个 位置的元素a取自A，第二个位置的元素b取自B.
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1．2 映射
一、 内容分布 1.2.1 映射的概念及例 1.2.2 映射的相等及像 1.2.3 映射的合成 1.2.4 单射、满射、双射 二、 教学目的 掌握映射的概念, 映射的合成，满射、单射、可逆映射 的判断。 三、 重点、难点 映射的合成，满射、单射、可逆映射的判断。
高等代数教案
高等代数教案 The pony was revised in January 2021
高等代数
教案
秦文钊
一、章（节、目）授课计划第页
二、课时教学内容第页
二、课时教学内容第页
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a的代数余子式.称为元素
ij
二、课时教学内容第页
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二、课时教学内容第页。
张禾瑞高等代数
张禾瑞高等代数高等代数是数学中一门非常重要的学科，它是线性代数的延伸与推广，涉及到更加复杂的运算和概念。
在本文档中，我们将介绍有关高等代数的基本知识和概念，并深入探讨其应用。
1. 线性方程组和矩阵运算线性方程组是高等代数中最基本的问题之一。
我们将从线性方程组的解法开始讨论，包括高斯消元法和矩阵求逆等方法。
同时，我们还将介绍矩阵的基本运算规则和性质，如加法、乘法、转置等，以及行列式和特征值等概念。
2. 向量空间和线性变换在高等代数中，向量空间是一个非常重要的概念。
我们将介绍向量空间的定义和性质，以及子空间、基和维数等相关概念。
此外，我们还会讨论线性变换的定义和性质，研究线性变换对向量空间的影响。
3. 特征值和特征向量特征值和特征向量是高等代数中的核心概念。
我们将介绍它们的定义和性质，并探讨它们在线性代数和微分方程中的应用。
特别是，我们将讨论对称矩阵和正交矩阵的特征值和特征向量的特殊性质。
4. 矩阵的对角化与相似矩阵对角化是高等代数中重要的内容之一。
我们将研究矩阵是否可对角化的条件和方法，并进一步研究相似矩阵和相似变换的性质。
同时，我们还会介绍对称矩阵和正交矩阵的对角化特性。
5. 内积空间和正交性在高等代数中，内积空间和正交性是重要的概念。
我们将介绍内积的定义和性质，研究内积空间和正交投影等相关内容。
此外，我们还将探讨正交矩阵和正交变换的性质和应用。
通过本文档的学习，读者将对高等代数有一个全面、系统的了解。
本文档力求以清晰、简洁的语言对高等代数的基本知识进行讲解，并通过举例和引用应用领域中的实际问题，帮助读者更好地理解和应用高等代数的概念和方法。
希望本文档能成为读者学习和应用高等代数的有力工具。
高等代数课程教学大纲
《高等代数》课程教学大纲一．课程教学目的与任务本课程是我院数学系数学教育专业的一门重要基础课程。
其主要任务是使学生获得数学的基本思想方法和多项式理论、行列式、线性方程组、矩阵论、向量空间、线性变换、欧氏空间、二次型等方面的系统知识。
它一方面为后继课程（如近世代数、数论、离散数学、计算方法、微分方程、泛函分析）提供一些所需的基础理论和知识；另一方面还对提高学生的抽象思维、辑推理及运算能力，开发学生智能，加强“三基”（基础知识、基本理论、基本理论）和培养学生创造性能力等起到重要作用。
二．与各课程的联系本课程是数学专业的后继课程：如近世代数、数论、离散数学、计算方法、微分方程、泛函分析等的先导课程和基础课程。
三．教学时数及分配总学时198,其中课堂讲授 151学时,习题课（包括复习课）47学时。
各学期教学时数安排情况：第二学期：108学时，自第一章至第五章，周学时6第三学期：90学时，自第五章至第九章，周学时5四．讲授内容与要求：第一章基本概念（12学时）一．教学目的和要求：1. 正确理解集合的概念，明确集合的相等、子集、空集、交集、卡氏集等概念及他们之间的关系。
2．掌握映射、满射、单射、双射、映射的合成、可逆映射的概念和映射可逆的充要条件。
3．理解和掌握数学归纳法原理，能熟练运用数学归纳法。
4．理解和掌握整数的性质及带余除法、最大公因数与互素、素数的一些简单性质。
5．掌握数环，数域的概念，能够判别一些数集是否为数环、数域，懂得任意数域都包含有理数域。
二．教学内容：1.1 集合（2学时）1.2 映射（3学时）1.3 数学归纳法（2学时）1.4 整数的一些整除性质（3学时）1.5 数环，数域（2学时）第二章多项式（37学时）一．教学目的和要求：1．掌握数域上一元多项式的概念、运算以及多项式的和与积的次数。
2．正确理解多项式的整除概念和性质。
理解和掌握带余除法。
3．掌握最大公因式的概念、性质、求法以及多项式互素的概念和性质4．理解不可约多项式的概念，掌握多项式唯一因式分解定理。
高等代数教案-1.4最大公因式
.
以上关于两个多项式所得的结论,都可推广为 个多项式的情形.
注6 个多项式互素时,不一定两两互素.例如 , , 是互素的,但 .但是 个多项式中只要其中两个互素,则它们一定互素.
注一个需要特别强调的问题是:多项式的互素与系数域的选取无关.
例4设 ,则下列结论相互等价:
第一章多项式理论
课题
授课时间
授课时数
2学时
教学目的及要求
1.使学生牢固掌握最大公因式的定义与基本性质,以及最大公因式的求取方法;
2.使学生牢固掌握多项式互素的定义和基本性质;
教学重点
1.最大公因数的定义与求取方法—辗转相除法;
2.多项式互素的定义与基本性质.
难点
1.利用辗转相除法求多项式的最大公因式;
(1) ;
(2) ;
(3) ;;
(4) .
例5设 , , ,求最大公因式.
证明不可忽略!
作业
P29第1题(2),第4题(1)
参考文献
1.张禾瑞,郝丙新,《高等代数》（第四版）,高等教育出版社,1999年.
2.北京大学数学系,《高等代数》（第三版）,高等教育出版社,1999年.
3.北京大学几何与代数教研室代数小组,《高等代数》（第二版）,高等教育出版社,1988年.
2.对多项式互素基本性质的理解与运用.
教学方法
讲授法
教学的主要内容和过程
注记
因为对任意多项式 和任意零次多项式 都有
(1)
所以可以说任意零次多项式都是任意多项式的因式,从而任意两个多项式都以零次多项式为它们的公共的因式,并且这些公共因式的数量有很多.
定义1设 是一个数域, ,若 且 ,则
第2章 高等代数张禾瑞
a0 a1x a2 x 2 an x n an 0 的次数. 记作
0 f x
注：
系数全为零的多项式没有次数,这个多项式叫做 零多项式，记为 0 .
2.1.4 多项式的运算
多项式的加法
给定数环R上两个多项式
f x a0 a1x a2 x 2 an x n gx b0 b1x b2 x 2 bm x m
那么由上面定理的证明得 f xgx 0
推论2 f xgx f xhx, f x 0 gx hx
证 由 f xgx f xhx得 f xgx hx 。但 f x 0
所以由推论1必有 gx hx 0 ,即
gx hx
例 当 a,b, c 是什么数时，多项式
f x ax3 bx 2 c b x3 x 2
f x a0 a1x a2 x 2 an x n , an 0
gx b0 b1x b2 x 2 bm x m , bm 0
且 m n 那么
f x gx a0 b0 a1 b1 x a2 b2 x 2 an bn x n （1）
f xgx a0b0 a0b1 a1b0 x anbm x nm
数为零的项；若是某一个i次项的系数是1 ，那 么这个系数可以省略不写。
2.1.2 相等多项式
定义
若是数环R上两个一元多项式 , f (x) 和g (x)有完全 相同的项,或者只差一些系数为零的项, 那么 f (x) 和 g (x)就说是相等 .
f (x) = g (x)
2.1.3 多项式的次数
an xn叫做多项式 a0 a1 x a2 x 2 an x n an 0
按降幂书写:
f x a0 x n a1 x n1 an1 x an g x b0 x m b1 x m1 bm1 x bm
高等代数(张禾瑞版)教案-第3章行列式
3.3 n 阶 行 列 式教学目的：1、 理解和掌握n 阶行列式的定义和性质。
2、 能熟练地应用行列式的定义和性质来计算和证明有关的行列式。
教学内容：1、 行列式的定义：任意取n 2个数a ij （i=1,2,…,n;j=1,2,…,n ）,排成以下形式： a 11 a 12 … a n 1 a 21 a 22 … a n 2(1)……………. a 1n a 2n … a nn .考察位于（1）的不 同的行与不同的列上的 n 个元素的乘积。
这种乘积可以写成下面的形式：a j 11 a j 22 … a nj n , （2） 这里下标j 1,j 2,...,j n 是1，2，…，n 这n 个数码的一个排列。
反过来，给了n 个数码的任意一 个排列，我们也能得出这样的一个乘积。
因此，一切位于（1）的不同的行与不同的列上的n 个元素的乘积一共有n!个。
我们用符号π(j 1 j 2…j n )表示排列j 1 j 2…j n 的序数。
定义 用符号nnn n nn a a a a a a a a a (2122221)11211表示的 n 阶行列式指的是n!项的代数和，这些项是一切可能的取自（1）的不同的行与不同的列上的n 个元素的乘积a j 11 a j 22…a nj n .项a j 11 a j 22…a nj n 符号为（-1） ,也就是说，当j 1 j 2…j n 是偶排列时，这一项的符号为正，当j 1 j 2…j n 是奇排列时，这一项的符号为负。
一个n 阶行列式正是前面所说的二阶和三阶行列式的推广。
特别，当n=1时，一阶行列式|a |就是数a.例1 我们看一个四阶行列式D=00000000hg f e d c b a . 根据定义，D 是一个4！=24项的代数。
然而在这个行列式里，除了acfh,bdeg,bcfg 这四项外，其余的项都至含有一个因子0，因而等于0。
与上面四项对应的排列依次是1234，1324，4321，4231。
(完整word版)高等代数教案
高等代数
教案
秦文钊
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110,ij ij in ij a a a a -+=====称为元素ij a 的代数余子式.
就是说，行列式等于某一行的元素分别与它们代数余中，如果令第i 行的元素等于另外一行，譬如说，
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n n b x +=,,,2d b b n s 当且仅当)(,s A 的线性组合
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高等代数(张禾瑞版)教案-第9章二次型
第九章 二 次 型9.1双线性函数和二次型教学目的:1 掌握二次型,二次型的矩阵表示,二次型的矩阵,矩阵合同,二次型的秩. 教学内容:1 双线性函数:定义1 设V 是数域F 上的一个n 维向量空间.V 上一个双线性函数指的是一个映射f:V*V →F ,即对于V 中每一对向量(ξ,η),有F 中一个 确定的数f(ξ,η)与它对应,并且满足下列条件:1. f(ξ+η, ζ)=f (ξ, ζ)+f (η, ζ);2. f(ξ,η+ζ)= f(ξ,η)+ f(ξ, ζ);3. f(a ξ,ζ)= f(ξ,a ζ)=a f(ξ, ζ),这里ξ,η,ζ是V 中任意数.由条件1和3,固定第二个变量ζ,f 是V 到F 的一个线性映射;由条件2和3,固定地一个变量ξ,f 也是V 到F 的一个线性映射.由于这个原因,所以称f 是V 上的一个双线性函数.例1 设F 是一个数域.对于二元列空间F 2的每一对向量ξ= ⎪⎪⎭⎫⎝⎛x x 211 η= ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛y y 21 定义f ()ηξ,=⎭⎬⎫⎩⎨⎧--+y x y x y x y x 22122111. 容易验证,f 是F 2 上的一个双线性函数.例2 由8.1的定义1,欧氏空间的内积是一个双线性函数.我们以下主要用到的是所谓对称双线性函数.V 上一个双线性函数f 说是对称的,如果对于V 中的任意两个向量ξ,η,有:4. f(ξ,η)= f(η,ξ) .例如, 欧氏空间的内积就是一个对称双线性函数.设f 是向量空间V 上的一个双线性函数.由定义1的条件1,2,3推出: (1)fξim i ia ∑=1,ηjn j jb ∑=1=∑=m i 1b a jnnm j i ∑=1f(ξi ,ηj),这里().1;1,;,n j m i V F iiiib a ≤≤≤≤∈∈ηξ设V 是F 上一个n 维向量,{}αααn,,,21是V 的一个基.对于V 上任意一个双线性函数f ,令().,1,,n j i fjiija≤≤=αα这n 2个数组成F 上一个n ×n 矩阵.212222111211⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=a aa aa a a a a nn n n n nA矩阵A 叫做双线性函数f 关于基{}αααn,,,21的矩阵.很明显,一个对称双线性函数关于V 的任意基的矩阵是对称矩阵. 如果ααχηξini iini iy ∑∑====11,是V 的任意两个向量,f 是V 上一个双性函数,那么由(1),我们有f(ξ,η)= fx in i ∑=1α ,αjnj jy ∑=1=∑=n i 1yx jnj i∑=1f(αα,ji),=yx jinj ijn i ∑∑==11α.反过来,给了F 上任意一个n*u 矩阵A=(αij),那么公式(2)定义了V 上一个双线性函数f,并且当A 是对称矩阵时,f 是对称双线性函数.利用矩阵的乘法,(20式可以写成以下形式(3) f(ξ,η)={}x x x n,,,21 ，A ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛y y y n 21 双线性函数f 的矩阵自然依赖于基的选取,让我们看一下,基改变时,f 的矩阵怎样改变.设{}βββn,,,21是V 的另一个基.而B=(b ij )是f 关于这个基的矩阵.又P=(pij)是由基{}αααn,,,21到基{}βββn,,,21的过渡矩阵.即.1,1n k ini ikkp ≤≤=∑=αβ那么⎪⎪⎭⎫⎝⎛==∑∑==n i n j j jl i ik l k kl p p b f f 11,),(ααββ.),(1111ppppjlijn i nj ikj i jln i nj ikf ααα∑∑∑∑======最后等式右端正是矩阵P ’AP 的第k 行第l 列位置的元素.这样,我们有(4)B=P’AP,这里P ’是矩阵P 的转置. 2.矩阵的合同定义2 设A ，B 是数域F 上两个n 阶矩阵。
张禾瑞高等代数第五章课件
1 1 ( A ) A A( A . ) I
5.2.3
初等矩阵的定义、性质
定义2 由单位矩阵经过一次初等变换所得的矩阵称为 初等矩阵. n=4
P 14 0 0 0 1 0 1 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 k 0
1 0 0 0
1、交换A的i ，j 行相当于用 如
a11 a 21 a 31 a12 a22 a32
P 左乘A ij
.
a31 a22 a12 a33 a23 P A 13 a13
a13 a31 [1,3] a23 a21 a a33 11
A和B的乘法定义为
n a1i bi1 i 1 n a b AB 2i i1 i 1 n a mi bi1 i 1
a1i bi 2 a
i 1 i 1 n 2i
n
bi 2
a
i 1
n
mi
bi 2
a1i bil i 1 n a 2i bil i 1 n a mi bil i 1
3 1 2 1 1 2 4 3 0 1 , 求 3A 2B. 例 1 已知 A 0 3 2 1 , B 5 3 4 0 3 2 1 2 5 0
3 1 5 例 2 已知 A 1 4 2
0 0 0 1 1 0 T24 (k ) 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 k 0 1
1 0 D3 (k ) 0 0
定理1 对A作初等行变换相当于用同类型的初等矩阵左 乘A; 对A作初等列变换相当于用同类型的初等矩阵右乘 A。如
高等代数CAI课件张禾瑞郝炳新编第四版.ppt
本课程的意义、内容及学习要求
高等代数是大学数学中的一门重要基础课程，从内 容上看，它是中学代数里有关内容的继续和提高。 其中许多理论对于加深中学数学教材的理解有着直 接的指导意义，因此作为一个合格的中学数学教师， 学好这门课程是非常必要的。此外，高等代数的思 想和方法已经渗透到数学的各个领域，在数学分析、 几何、计算技术等学科有广泛的应用，所以，学好 这门课程也有助于学好其它数学课程，并且高代是 考研的一门必考课程。
2）g是不是可逆映射？若是的话，求其逆．
解：1）g是R＋到自身的双射．
∵ x,yR，若
1 x
1 y
，则
x y ，g是单射．
并且 x R ,有 1 R ,使 g(1)x，即g是满射．
x
x
又∵ f g(x)f(g(x))f(1)1，
xx
∴ f gIR， g不是 f 的逆映射． 事实上，f 1 f ．
解：xR，规定 :x 2x
则 是R到R＋的一个映射.
∵若 2x 2y，则 2xy 1,xy， ∴ 是单射．
又 对 aR，存在 xlog2aR，使
(log2a)2log2a a ∴ 是满射．
故 是1—1对应．
2、令 f:x x, g:x 1, xR，问：
x
1）g 是不是R＋到R＋的双射？g 是不是 f 的逆映射？
高等代数CAI课件
张禾瑞 郝炳新 编 (第四版)
第一章 基本概念
第六章 向量空间
第二章 多项式
第七章 线性变换
第三章 行列式
第八章 欧氏空间
第四章 线性方程组
第九章 二次型
第五章 矩阵
广东教育学院数学 代数与几何教研室
何谓高等代数
大家知道，初等代数是研究数及代表数的文字 的代数运算（加法、减法、乘法、除法、乘方、 开方）的理论和方法，也就是研究多项式（实 系数与复系数）的代数运算的理论和方法.而多 项式方程及多项式方程组的解（包括解的公式 和数值解）的求法及其分布的研究恰为初等代 数研究的中心问题，以这个中心问题为基础发 展起来的一般数域上的多项式理论与线性代数 理论就是所谓的高等代数.
高等代数 课程教学方案
《高等代数》课程教学大纲授课学时：总学分：作者：课程类型：专业必修课适用专业：数学与应用数学专业本科一、课程性质、地位和任务高等代数是数学系各专业开设的一门基础课，它不仅是应用学科的重要工具课，而且在抽象代数理论中也是一门很重要的理论基础课，特别是随着当今电子科技的发展，更加显示出高等代数的作用。
二、课程主要内容概述及教学基本要求本课程分以一元多项式为主体的多项式理论和线性代数两部分。
线性代数部分涉及行列式、线性方程组、矩阵、二次型、线性空间、线性变换、矩阵、欧几里得空间。
通过对这门课的学习，使学生不仅能掌握一些处理问题的基本方法，而且能使他们对于高等代数的基础理论有一个深刻的了解，从而为进一步学习专业课打下良好的基础。
培养学生的独立思维能力和解决实际问题的能力。
三、课程内容第一章多项式基本要求：通过本章学习，使学生掌握带余除法、辗转相除法、因式分解定理、复系数与实系数多项式的因式分解定理及有理系数多项式的有关结论。
教学重点：多项式的整除性理论和有理系数多项式，分解定理及复数域，实数域上分解形式。
有理根检验，Eisenstein判别法之使用，有理多项式分解归纳为整系数多项式分解。
教学难点：辗转相除法和有理系数多项式为。
分解定理及复数域，实数域上分解形式。
第二章行列式基本要求：通过本章的学习，使学生深刻理解行列式定义及性质并能用其计算简单行列式熟练掌握行列式的性质、按行（列）展开定理并在计算行列式时有思路。
会运用Cramer法则求线性方程组的解。
教学重点：行列式的定义、行列式按行（列）展开公式、Vandermonde行列式和Cramer法则教学难点：行列式的计算第三章线性方程组基本要求：通过教学使学生掌握n维向量的线性关系、矩阵的秩、线性方程组解的判定及求法。
教学重点：n维向量的线性相关性、向量组秩的概念及求秩方法、线性方程组有解的判别定理及解的结构。
教学难点：线性相关性理论和线性方程组解的理论。
高等代数I教案整除的概念
从而 (h1(x)) (h2(x)) (1) 0 ，因此 (h2(x)) 0 .
故 h2(x) c 0 ，从而 f (x) h2(x)g(x) cg(x) .
若 f (x) 0 ，则由 f (x) | g(x) 得知 g(x) 0
显然此时也有 f (x) cg(x)
（2） 若 f (x) | g(x) ， g(x) | h(x) ，则 f (x) | h(x) 。
g(x) x2 2x 1 3x3 4x2 5x 6 q(x) 3x 13 3x3 9x2 3x** ***13x2 8x 6 **13x2 39x 13 ***r(x) 31x 7
从上式看出 g(x) 不能除尽 f (x) 。用 g(x) 去除 f (x) 得到一个商式 q(x) 3x 13 和一个余式
的多项式 q(x), r(x) 存在，使得
f (x) q(x)g(x) r(x)
（1）
成立。其中 (r(x)) (g(x)) 或者 r(x) 0 ，并且这样的 q(x), r(x) 是唯一决定的。
注 带余除法中所得的 q(x) 通常称为 g(x) 除 f (x) 的商， r(x) 称为 g(x) 除 f (x) 的余式。
2
《 高等代数（I） 》教案
证： 由 f (x) | g(x) 有 g(x) h1(x) f (x) ， 由 g(x) | f (x) 有 f (x) h2(x)g(x) .
于是
f (x) h2(x)g(x) h2(x)h1(x) f (x)
（*）
若 f (x) 0 ，在（*）式中消去 f (x) 得 h2 (x)h1(x) 1.
.若 g(x) | f (x) ，则存在 q(x) P[x] 使 f (x) q(x)g(x) q(x)g(x) 0 即 r(x) 0 。
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41、学问是异常珍贵的东西，从任何源泉吸 收都不可耻。——阿卜·日·法拉兹
42、只有在人群中间，才能认识自 己。——德国
43、重复别人所说的话，只需要教育； 而要挑战别人所说的话，则需要头脑。—— 玛丽·佩蒂博恩·普尔
高等代数CAI课件张 17、一般情况下)不想三年以后的事， 只想现 在的事 。现在 有成就 ，以后 才能更 辉煌。
18、敢于向黑暗宣战的人，心里必须 充满光 明。 19、学习的关键--重复。
20、懦弱的人只会裹足不前，莽撞的 人只能 引为烧 身，只 有真正 勇敢的 人才能 所向披 靡。
44、卓越的人一大优点是：在不利与艰 难的遭遇里百折不饶。——贝多芬
45、自己的饭量自己知道。——苏联
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1.讲授法。2.讨论法。3.讲练结合
教学内容及
时间安排
§1 一元多项式的定义和运算2学时
§2 多项式的整除性4学时
习题课 2学时
§3 多项式的最大公因式2学时
§4 多项式的分解2学时
习题课 2学时
§5 重因式2学时
§6 多项多函数，多项式的根2学时
习题课 2学时
§7 复数和实数域上多项式2学时
§4 整数的一些整除性质2学时
§5 数环和数域2学时
习题课 2学时
学习指导
1.复习教材和笔记中本章内容。
2.让学生阅读北京师范大学，高等代数 第一章
3.让学生阅读《高等代数辅助教材》 第一章。
作业及思考题
教材第一章习题：第6页：6、7； 第14页：5、10；第18页：1、4、5；
第29页：2、4、5；第25页：3、5。
§8 有理数域上多项式4学时
习题课 2学时
学习指导
1.复习教材和笔记中本章内容。
2.让学生阅读北京师范大学，高等代数 第二章
3.让学生阅读《高等代数辅助教材》 第二章。
作业及思考题
教材第二章复习思考题：第31页：3 ；第38页：5、6、7；第48页：6、7、9、10、11 ；第56页：3、5、6；第59页：3、4、5 ；第65页：4、7、8；第71页：2、3、4、5； 第80页：2、3、4。
教学难点
矩阵运算及运算规则、矩阵可逆条件及求逆矩阵的方法，求矩阵的秩。初等变换与初等矩阵的关系，矩阵乘积的秩和矩阵乘积的行列式。
教学方法
1.讲授法。2.讨论法。3.讲练结合
教学内容及
时间安排
§1 矩阵的运算2学时
习题课 2学时
§2 可逆矩阵，矩阵乘积的行列式4学时
§3 矩阵的分块2学时
习题课 2学时
（2）掌握消去法解线性方程组的方法
掌握矩阵的秩，线性方程组可解的判别法及有解、无解、唯一解的理论和解法。
能力目标：（1）训练学生理解和领会矩阵三种初等变换的意义
（2）能应用消去法解线性方程组、以及能熟练应用矩阵的秩，线性方程组可解的判别法的理论。
教学重点
矩阵三种初等变换、应用消去法解线性方程组、
矩阵的秩，线性方程组可解的判别法及有解、无解、唯一解的理论和解法。
（2）掌握n阶行列式的基本理论、性质，并且能应用这些理论进行n阶行列式的计算以及论证问题。
教学重点
n阶行列式的定义和基本性质、行列式的依行依列展开、克拉默定理、
熟练掌握用化上三角形式、依行依列展开法、以及用行列性质、范德蒙
行列式等方法计算行列式，证明行列式的性质及基本理论。
教学难点
子式、余子式、代数余子式及行列式的依行依列展开、克拉默定理应用、
§6 向量空间的同构2学时
习题课 2学时
§7 矩阵的秩，齐次线性方程组的解空间。4学时
习题课与总结 2学时
学习指导
1.复习教材和笔记中本章内容。
2.让学生阅读北京师范大学，高等代数 第六章
3.让学生阅读《高等代数辅助教材》 第六章。
作业及思考题
教材第六章复习思考题：第318页：1、3、4、7、8 ；第332页：3、4、5、6、9、10；第341页：1、3、5、6、7 ；第350页：4、5、6 ；
教学目标
知识目标：教学目的和教学基本要求：
（1）掌握排列、n阶行列式的定义和基本性质
（2）掌握子式、余子式、代数余子式及行列式的依行依列展开，克拉默定理。
（3）熟练掌握用化上三角形式，依行依列展开法，以及用行列式性质，建立递推公式，克拉默定理等方法计算行列式，证明行列式的性质及基本理论。
能力目标：（1）训练学生领会和把握n阶行列式的定义和基本性质。
第353页：2、3；第355页：1、3。
教研室审阅意见
高等代数教案第七章首页
授课内容
第七章 线性变换
第7．1节——第7。7节
所需课时
：
（1）掌握线性映射，线性变换的定义与运算规则；
（2）会求线性变换在基下的矩阵，掌握线性变换与矩阵对应关系。
（3）掌握矩阵特征值和特征向量的概念及求法；
（1）掌握集合，子集，空集等基本概念，明确集合、
子集合之间的关系及表示方法。
（2） 掌握映射、单射、满射及双射的基本概念。
（3） 掌握数学归纳原理、最小数原理，第二数学归纳法原理应用。
（4） 掌握带余除法，最大公因数，互素概念和方法。
（5） 掌握数环，数域及最小数域—有理数域为基本概念。
能力目标：（1）训练学生领会和掌握高等代数的基本方法和思维方式。
教学难点
线性相关性理论、替换定理、基、维数、维数公式、坐标变换公式、线性空间同构、齐次线性方程组解空间的理论。
教学方法
1.讲授法。2.讨论法。3.讲练结合
教学内容及
时间安排
§1 定义和例子2学时
§2 子空间2学时
习题课 2学时
§3 向量的的线性相关性4学时
§4 基和维数2学时
习题课 2学时
§5 坐标4学时
2.让学生阅读北京师范大学，高等代数 第三章
3.让学生阅读《高等代数辅助教材》 第三章。
作业及思考题
教材第三章复习思考题：第110页：1、2、3；第121页：2、4、6、8；
第134页：2、3； 第140页：2、3。
教研室审阅意见
同意上述安排。
教研室主任签字：王书琴
2005年2月28日
高等代数教案第四章首页
2005年2月28日
高等代数教案第六章首页
授课内容
第六章 向量空间
第6．1节——第6。7节
所需课时
28学时
主要教材参考资料
教学目标
知识目标：教学目的和教学基本要求：
（1）掌握向量空间的定义和性质，并能判断验证向量空间。
（2）掌握子空间的定义及充要条件，线性相关性及其理论，掌握替换定理，熟练应用这些理论解决问题。基、维数、维数公式及相关的理论，掌握子空间的运算和等价命题。
高等代数教案第五章首页
授课内容
第五章 矩阵
第5．1节——第5。3节
所需课时
12学时
主要教材或
参考资料
1．北京师范大学 高等代数 高等教育出版社，1997
2．北京大学编 高等代数 高等教育出版社，1995
3．华东师范大学 高等代数与几何 高等教育出版社，1997
教学目标
知识目标：教学目的和教学基本要求：
（5） 能用某些概念和性质进行初等的推理和证明，特别是用等价分解的方法证明某些问题。
能力目标：（1）训练学生能熟练进行矩阵运算，矩阵三种初等变换，求逆矩阵。
（2）能应矩阵三种初等变换，初等矩阵以及矩阵的秩和行列式，矩阵可逆的条件等理论论证问题。
教学重点
矩阵加法，数乘、乘法运算规则，分块运算规则，逆矩阵的定义，可逆的条件及用伴随矩阵及初等变换两种求逆矩阵的方法，初等变换方法求矩阵的秩，能用分块矩阵求某些分块阵的逆矩阵。初等变换与初等矩阵的关系，矩阵秩定义及等价叙述，初等矩阵以及矩阵的秩和行列式
授课内容
第四章 线性方程组
第4．1节——第4。3节
所需课时
12学时
主要教材或
参考资料
1．北京师范大学 高等代数 高等教育出版社，1997
2．北京大学编 高等代数 高等教育出版社，1995
3．华东师范大学 高等代数与几何 高等教育出版社，1997
教学目标
知识目标：教学目的和教学基本要求：
（1）掌握矩阵三种初等变换的意义
（4）掌握坐标的定义、坐标变换公式、线性空间同构的概念。
（5）掌握齐次线性方程组解空间的理论，并能运用这些理论于论证和计算。
能力目标：（1）训练学生能熟练应用基、维数、维数公式理论解决问题。
（2）能应用矩、坐标变换公式、线性空间同构、齐次线性方程组解空间的理论论证和计算。
教学重点
向量空间的定义和性质，子空间的定义及充要条件、线性相关性及其理论、替换定理、基、维数、维数公式及相关的理论，子空间的运算和等价命题、坐标的定义、坐标变换公式、线性空间同构、齐次线性方程组解空间的理论。
教学难点
矩阵三种初等变换、矩阵的秩，线性方程组可解的判别法及有解、无解、唯一解的理论。
教学方法
1.讲授法。2.讨论法。3.讲练结合
教学内容及
时间安排
§1 消元法2学时
§2 矩阵的秩线性方程组可解的判别法4学时
习题课 2学时
§3 线性方程组的公式解2学时
习题课 2学时
学习指导
1.复习教材和笔记中本章内容。
教研室审阅意见
同意上述安排。
教研室主任签字：王书琴
2005年2月28日
高等代数教案第三章首页
授课内容
第三章 行列式
第3．1节——第3。5节
所需课时
18学时
主要教材或
参考资料
1．北京师范大学 高等代数 高等教育出版社，1997
2．北京大学编 高等代数 高等教育出版社，1995
3．华东师范大学 高等代数与几何 高等教育出版社，1997
教学目标
知识目标：教学目的和教学基本要求：
（1）掌握一元多项式的概念和运算规则，整除互素的概念及简单性质并能进行相关论证。
（2）掌握最大公因式概念和求法，因式分解定理及有关因式的条件，在复数实数范围内进行因式分解的理论结果。
（3）掌握多项式有理根判别，有理不可约多项式的概念，艾森斯坦判别法及应用。
能力目标：（1）训练学生领会和把握多项式的概念和运算规则。
教研室审阅意见
同意上述安排。
教研室主任签字：王书琴
2005年2月28日
高等代数教案第二章首页
授课内容
第二章 多项式
第2．1节——第2。8节