近世代数讲义(电子教案)

《近世代数》课程教案第一章基本概念教学目的与教学要求：掌握集合元素、子集、真子集。

集合的交、并、积概念；掌握映射的定义及应注意的几点问题，象，原象的定义；理解映射的相同的定义；掌握代数运算的应用；掌握代数运算的一般结合运算，理解几个元素作代数运算的特点；理解代数运算的结合律；掌握并能应用分配律与结合律的综合应用；掌握满射，单射，一一映射及逆映射的定义。

理解满射，单射，一一映射及逆映射的定义；掌握同态映射、同态满射的定义及应用；掌握同构映射与自同构的定义；掌握等价关系的定义，理解模n 的剩余类。

教学重点：映射的定义及象与原象的定义，映射相同的定义；代数运算的应用，对代数运算的理解；代数运算的结合律；对定理的理解与证明；同态映射，同态映射的定义；同构映射的定义以及在比较集合时的效果；等价关系，模n 的剩余类。

教学难点：元素与集合的关系（属于），集合与集合的关系（包含）；映射定义，应用该定义应注意几点；代数运算符号与映射合成运算符号的区别；结合率的推广及满足结合律的代数运算的定义；两种分配律与⊕的结合律的综合应用；满射，单射，一一映射及逆映射的定义；同态映射在比较两个集合时的结果；模n 的剩余类。

教学措施：网络远程。

教学时数：8学时。

教学过程：§1 集合定义：若干个（有限或无限多个）固定事物的全体叫做一个集合（简称集）。

集合中的每个事物叫做这个集合的元素（简称元）。

定义：一个没有元素的集合叫做空集，记为∅，且∅是任一集合的子集。

（1）集合的要素：确定性、相异性、无序性。

（2）集合表示：习惯上用大写拉丁字母A ，B ，C …表示集合，习惯上用小写拉丁字母a ，b ，c …表示集合中的元素。

若a 是集合A 中的元素，则记为A a A a ∉∈否则记为,。

表示集合通常有三种方法： 1、枚举法（列举法）： 例：A =｛1，2，3，4｝，B =｛1，2，3，…，100｝。

2、描述法：{})(,)(x p x p x A =—元素x 具有的性质。

例：{}41≤≤∈=a Z a a A 且。

显然例6中的A 就是例5的A 。

3、绘图法：用文氏图（Diagram Venn ）可形象地表现出集合的特征及集合之间的关系。

（3）集合的蕴含（包含）定义：若集B 中每个元素都属于集A ，则称B 是A 的子集，记为A B ⊂，否则说B 是A 的子集，记为A B ⊄. 定义：设A B ⊂，且存在B a A a ∉∈但，那么称B 是A 的真子集，否则称B 不是A 的真子集。

定义：若集合A 和B 含有完全一样的元素，那么称A 与B 相等，记为A =B . 结论：显然，A B B A B A ⊂⊂⇔=且. （4）集合的运算①集合的并：{}B x A x x B A ∈∈=或Y ②集合的交：{}B x A x x B A ∈∈=且I ③集合的差：{}B x A x x B A ∉∈=-且 ④集合在全集内的补：{}A x E x x A ∉∈=且 ⑤集合的布尔和（对称差）：{})()()()( B A B A A B B A B A x B x A x x B A I Y Y I -=--=∉∈∈=⊕但或 ⑥集合的卡氏积：{}B b A a b a B A ∈∈=⨯且),(注：B A ⨯中的元素可看成由A 和B 坐标轴所张成的平面上的点。

卡氏积的推广：{}m i A a a a a A A A A m A A A i i m m mi i m ,,2,1,),,,( ,,,2121121ΛΛΛΛ=∈=⨯⨯⨯=∏=：成的卡氏积为个集合，那么由它们做是令对上述集合运算，可以得到一批基本公式：AB A A A B A A A A A A A A A E E A A A E A A A E A A AC A B A C B A C A B A C B A CB AC B A C B A C B A A B B A A B B A ================)(;)()6(;;;)5(.;;;)4()()()();()()()3()()(;)()()2(.;)1(Y I I Y I Y I Y I Y I Y I Y I Y I Y I Y I Y I I I I Y Y Y Y I I Y Y 吸收律：φφφφ例题：例1 A={1.2.3} B={2.5.6} 那么A ∩B={2}A={1.2.3} B={4.5.6} 那么A ∩B=空集合.例2 A={1.2.3} B={2.4.6} 那么A ∪B={1.2.3.4.6} A={1.2.3} B={4.5.6} 那么A ∪B={1.2.3.4.5.6}§2 映射定义：设φ是集合A 到B 的一个对应法则：对于任何一个12n A A A ⨯⨯⨯L 的元12()()n i i a a a a A ⨯⨯⨯∈L ，都能够得到一个唯一的D 的元d ，那么这个法则φ叫做集合12n A A A ⨯⨯⨯L 到集合D 的一个映射。

其中，元d 是12()n a a a ⨯⨯⨯L 在映射φ的象，a 是b 在φ下的逆象。

例1：A1=A2=....=An=D=所有实数作成的集合. φ：（a 1,a 2,……,a n ）→ a 12+a 22+……+a n 2=φ(a 1,a 2,…,a n )是一个 A 1×A 2×…×A N 到D 的映射.例2 ：A 1={东,西},A 2={南}，D={高,低}φ1：（西,南）→高=φ1（西,南）不是一个A 1×A 2到D 的映射. φ2:(西,南）→高，（东,南）→低，则φ2是一个A 1×A 2到D 的映射.例3：A 1=D=所有实数所成的集合. φ：a →a 若a ≠1 1→b 这里b 2=1不是一个A 1到D 的映射.例4：A 1=D=所有实数所成的集合. φ：a →a-1不是一个A 1到D 的映射.定义：我们说，12n A A A ⨯⨯⨯L 到集合D 的两个映射φ1与φ2是相同的，假如对任何一个元12()n a a a ⨯⨯⨯L 来说，φ112()n a a a ⨯⨯⨯L =φ212()n a a a ⨯⨯⨯L 。

例5：A=D=所有正整数的集合. φ1：a →1=φ1（a ）φ2: a →0a =φ2（a ） 则φ1与φ2是相同的.§3 代数运算设给定D A A A f D A A A m m →⨯⨯⨯⨯⨯⨯ΛΛ2121:的映射到， 如果n=2时，f 就叫做代数运算。

一般地有定义：任一个D B A 到⨯的映射都叫做D B A 到⨯的一个代数运算。

例1：A={所有整数}，B={所有不等于零的整数}。

D={所有有理数}0：（a.b ）αba=a οb 是一个A×B 到D 的代数运算，即普通的除法.例2：令V 是数域F 上一个向量空间，那么F 的数与V 的向量空间的乘法是一个F×V 到V 的代数运算.例3：A={1},B={2},D={奇，偶} 0：（1.2）→奇=1ο2 是一个A×B 到D 的代数运算.例4 A={1.2},B={1.2},D={奇，偶} 0：（1.1）→奇 （2.2）→奇 （1.2）→奇 （2.1）→偶 是一个A×B 到D 的代数运算.代数运算表：当B A ,都是有限集时，那么D B A 到⨯的每一个代数运算都可以用运算表表示。

设{}{}m n b b b B a a a A ,,,,,,,2121ΛΛ==，则运算表为：注：对于代数运算D A B →⨯的运算表，要求B A 与中元素在上表中的位置互换。

在实际工作中，更多的是D B A ==的情形，这时，有如下定义：定义：若A A A 到是⨯ο的代数运算，则可称ο是A 的代数运算或二元运算。

§4 结合律例题:A={所有整数}，代数运算是普通减法 那么（a-b ）-c ≠a-(b-c) 除非c=0.定义：设ο是集合A 的一个代数运算，如果A c b a ∈∀,,都有)()(c b a c b a οοοο=，则称ο满足结合律。

定义：设A 中的代数运算为ο，任取)2(>n n 个元素n a a a ,,,21Λ，如果所有加括号的步骤最后算出的结果是一样的，那么这个结果就用n a a a οΛοο21来表示。

定理：如果A 的代数运算ο满足结合律，那么对于A 的任意)2(≥n n 个元素n a a a ,,,21Λ来说，所有加括号的步骤运算的结果总是唯一的，因此，这一唯一的结果就可用n a a a οΛοο21来表示。

[论证思路] •因n 是有限数，所以加括号的步骤必是有限的。

•任取一种加括号的步骤)(21n a a a οΛοοπ，往证：)()(2121n n a a a a a a οΛοοοΛοο=π•对n 用数学归纳法。

①2121)(b b a a a n οοΛοο=π②1b 和2b 分别是i 和i n -个元素经加括号而运算的结果. ③1,1-≤--≤n i n n i ，由归纳假设释之.§5交换律定义：设ο是集合A 的一个代数运算，如果A b a ∈∀,都有a b b a οο=，则称ο满足交换律。

定理：设A 的代数运算ο同时满足结合律和交换律，那么n a a a οΛοο21中的元的次序可以任意掉换。

[论证思路]•采用数学归纳法，归纳假设1-n 时命题成立.•对n 的情形，任掉换i a 的位置，使之成为n i i i a a a οΛοο21.•注意n i i i ,,,21Λ是n ,,2,1Λ的一个排列. 令n i k =. •用结合律和归纳法假设证明之.§6分配律代数运算⊗与⊕的第一分配律和第二分配律的定义，以及⊕的结合律与这两种分配律的综合运用定义：设B A ,都是集合，而⊗是A A B →⨯的代数运算，而⊕是A 的代数运算，如果A a a B b ∈∀∈∀21,,，都有)()()(2121a b a b a a b ⊗⊕⊗=⊕⊗那么称⊕⊗,适合第一分配律。

例. 假如B 与A 都是全体实数的集合，⊗和⊕就是普通的乘法和加法，则 b ⊗ (a 1⊕a 2)=(b ⊗a 1)⊕ (b ⊗a 2)就变为b(a 1+a 2)=(ba 1)+(ba 2) 定理1：设B A ,和⊕⊗,如上，如果⊕满足结合律，且⊕⊗,满足第一分配律，那么A a a aB b n ∈∀∈∀,,,,21Λ，都有)()()()(2121n n a b a b a b a a a b ⊗⊕⊕⊗⊕⊗=⊕⊕⊕⊗ΛΛ[论证思路] •采用数学归纳法，归纳假设1-n 时命题成立。

•先后利用：结合律——2=n 的归纳假设——1-n 的归纳假设直至完成证明。