2019版同步优化探究文数(北师大版)练习：第六章二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题含解析

2019高三数学文北师大版一轮教师用书：第6章第3节二

第三节二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题[考纲传真] 1.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组.2.了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组.3.会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决．(对应学生用书第83页)[基础知识填充]1．二元一次不等式(组)表示的平面区域确定二元一次不等式表示的平面区域的位置把二元一次不等式Ax＋By＋C＞0(＜0)表示为y＞kx＋b或y＜kx＋b的形式．若y＞kx＋b，则平面区域为直线Ax＋By＋C＝0的上方，若y＜kx＋b，则平面区域为直线Ax＋By＋C＝0的下方．[基本能力自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)不等式Ax ＋By ＋C >0表示的平面区域一定在直线Ax ＋By ＋C ＝0的上方．( ) (2)线性目标函数的最优解可能不唯一．( )(3)目标函数z ＝ax ＋by (b ≠0)中，z 的几何意义是直线ax ＋by －z ＝0在y 轴上的截距．( )(4)不等式x 2－y 2<0表示的平面区域是一、三象限角的平分线和二、四象限角的平分线围成的含有y 轴的两块区域．( )[答案] (1)× (2)√ (3)× (4)√2．(教材改编)不等式组⎩⎨⎧x －3y ＋6<0，x －y ＋2≥0表示的平面区域是( )C [x －3y ＋6<0表示直线x －3y ＋6＝0左上方的平面区域，x －y ＋2≥0表示直线x －y ＋2＝0及其右下方的平面区域，故选C ．]3．(2017·全国卷Ⅰ)设x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋3y ≤3，x －y ≥1，y ≥0，则z ＝x ＋y 的最大值为( )A ．0B ．1C ．2D ．3D [根据题意作出可行域，如图阴影部分所示，由z ＝x ＋y得y ＝－x ＋z .作出直线y ＝－x ，并平移该直线，当直线y ＝－x ＋z 过点A 时，目标函数取得最大值．由图知A (3,0)，故z max ＝3＋0＝3.故选D ．]4．(2016·保定调研)在平面直角坐标系xOy 中，若点P (m,1)到直线4x －3y －1＝0的距离为4，且点P (m,1)在不等式2x ＋y ≥3表示的平面区域内，则m ＝__________. 【导学号：00090190】 6 [由题意得|4m －3－1|5＝4及2m ＋1≥3，解得m ＝6.]5．在平面直角坐标系中，不等式组⎩⎨⎧x ≥1，x ＋y ≤0，x －y －4≤0表示的平面区域的面积是__________． 1 [不等式组表示的区域如图中的阴影部分所示，由x ＝1，x ＋y ＝0得A (1，－1)，由x ＝1，x －y －4＝0得B (1，－3)，由x ＋y ＝0，x －y －4＝0得C (2，－2)，∴|AB |＝2，∴S △ABC ＝12×2×1＝1.](对应学生用书第84页)(1)(2016·浙江高考)若平面区域⎩⎨⎧x ＋y －3≥0，2x －y －3≤0，x －2y ＋3≥0夹在两条斜率为1的平行直线之间，则这两条平行直线间的距离的最小值是( )A ．355 B ．2 C ．322D ． 5(2)(2016·衡水中学调研)若不等式组⎩⎨⎧x －y ＋5≥0，y ≥a ，0≤x ≤2表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是( )A ．a <5B ．a ≥7C ．5≤a <7D ．a <5或a ≥7(1)B (2)C [(1)根据约束条件作出可行域如图阴影部分，当斜率为1的直线分别过A 点和B 点时满足条件，联立方程组⎩⎨⎧x ＋y －3＝0，x －2y ＋3＝0求得A (1,2)，联立方程组⎩⎨⎧2x －y －3＝0，x ＋y －3＝0求得B (2,1)，可求得分别过A ，B 点且斜率为1的两条直线方程为x －y ＋1＝0和x －y －1＝0，由两平行线间的距离公式得距离为|1＋1|2＝2，故选B ．(2)如图，当直线y ＝a 位于直线y ＝5和y ＝7之间(不含y ＝7)时满足条件，故选C ．][规律方法] 1.可用“直线定界、特殊点定域”的方法判定二元一次不等式表示的平面区域，若直线不过原点，特殊点常选取原点．2．不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域的交集，画出图形后，面积关系结合平面几何知识求解．[变式训练1](1)不等式组⎩⎨⎧x ＋y －2≥0，x ＋2y －4≤0，x ＋3y －2≥0表示的平面区域的面积为__________. 【导学号：00090191】(2)(2018·潍坊模拟)已知关于x ，y 的不等式组⎩⎨⎧0≤x ≤2，x ＋y －2≥0，kx －y ＋2≥0所表示的平面区域的面积为3，则实数k 的值为________．(1)4 (2)12 [(1)不等式组表示的平面区域为如图所示的阴影部分．由⎩⎨⎧ x ＋3y －2＝0，x ＋2y －4＝0得⎩⎨⎧x ＝8，y ＝－2，∴A (0,2)，B (2,0)，C (8，－2)．直线x ＋2y －4＝0与x 轴的交点D 的坐标为(4,0)．因此S △ABC ＝S △ABD ＋S △BCD ＝12×2×2＋12×2×2＝4.(2)直线kx －y ＋2＝0恒过点(0,2)，不等式组表示的平面区域如图所示，则A (2,2k ＋2)，B (2,0)，C (0,2)，由题意知 12×2×(2k ＋2)＝3，解得k ＝12.]角度1 (1)(2017·全国卷Ⅱ)设x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧2x ＋3y －3≤0，2x －3y ＋3≥0，y ＋3≥0，则z ＝2x ＋y 的最小值是( )A ．－15B ．－9C ．1D ．9(2)(2017·福州质检)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2，x ≥12，y ≥x ，且数列4x ，z,2y 为等差数列，则实数z 的最大值是__________. 【导学号：00090192】 (1)A (2)3 [(1)不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示．将目标函数z ＝2x ＋y 化为y ＝－2x ＋z ，作出直线y ＝－2x 并平移，当直线y ＝－2x ＋z 经过点A (－6，－3)时，z 取最小值，且z min ＝2×(－6)－3＝－15. 故选A ．(2)在平面直角坐标系内画出题中的不等式组表示的平面区域为以⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，(1,1)为顶点的三角形区域(包含边界)，又由题意易得z ＝2x ＋y ，所以当目标函数z ＝2x ＋y经过平面区域内的点(1,1)时，z ＝2x ＋y 取得最大值z max ＝2×1＋1＝3.]角度2 求非线性目标函数的最值(1)(2016·山东高考)若变量x ，y 满足⎩⎨⎧x ＋y ≤2，2x －3y ≤9，x ≥0，则x 2＋y 2的最大值是 ( ) 【导学号：00090193】 A ．4 B ．9 C ．10D ．12(2)(2017·湖北七市4月联考)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ≥－1，y ≥x ，x ＋5y ≤8，则z ＝yx －2的取值范围是__________．(1)C (2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，13 [(1)作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示．x 2＋y 2表示平面区域内的点到原点距离的平方，由⎩⎨⎧x ＋y ＝2，2x －3y ＝9得A (3，－1)，由图易得(x 2＋y 2)max ＝|OA |2＝32＋(－1)2＝10.故选C ．(2)作出不等式组⎩⎨⎧x ≥－1，y ≥x ，3x ＋5y ≤8所表示的区域，如图中△ABC 所表示的区域(含边界)，其中点A (1,1)，B (－1，－1)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，115.z ＝y x －2表示△ABC 区域内的点与点M (2,0)的连线的斜率，显然k MA ≤z ≤k MB ，即11－2≤z ≤－1－1－2，化简得－1≤z≤1 3.]角度3线性规划中的参数问题(2016·河北石家庄质检)已知x，y满足约束条件⎩⎨⎧x≥1，y≥－1，4x＋y≤9，x＋y≤3，若目标函数z＝y－mx(m>0)的最大值为1，则m的值是()A．－209B．1C．2 D．5B[作出可行域，如图所示的阴影部分．∵m>0，∴当z＝y－mx经过点A时，z取最大值，由⎩⎨⎧x＝1，x＋y＝3，解得⎩⎨⎧x＝1，y＝2，即A(1,2)，∴2－m＝1，解得m＝1.故选B．][规律方法] 1.求目标函数的最值的一般步骤为：一作图、二平移、三求值．其关键是准确作出可行域，理解目标函数的意义．2．常见的目标函数有：(1)截距型：形如z＝ax＋by.求这类目标函数的最值时常将函数z＝ax＋by转化为直线的斜截式：y＝－ab x＋zb，通过求直线的截距zb的最值间接求出z的最值．(2)距离型：形如z＝(x－a)2＋(y－b)2.(3)斜率型：形如z ＝y －bx －a. 易错警示：注意转化的等价性及几何意义．(2016·A ，B ，C 三种主要原料．生产1车皮甲种肥料和生产1车皮乙种肥料所需三种原料的吨数如下表所示：现有乙两种肥料．已知生产1车皮甲种肥料，产生的利润为2万元；生产1车皮乙种肥料，产生的利润为3万元．分别用x ，y 表示计划生产甲、乙两种肥料的车皮数．(1)用x ，y 列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域； (2)问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？并求出此最大利润．[解] (1)由已知，x ，y 满足的数学关系式为⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋5y ≤200，8x ＋5y ≤360，3x ＋10y ≤300，x ≥0，y ≥0.该二元一次不等式组所表示的平面区域为图①中的阴影部分． 5分(2)设利润为z 万元，则目标函数为z ＝2x ＋3y .考虑z ＝2x ＋3y ，将它变形为y ＝－23x ＋z 3，它的图像是斜率为－23，随z 变化的一族平行直线，z 3为直线在y 轴上的截距，当z3取最大值时，z 的值最大．根据x ，y 满足的约束条件，由图②可知，当直线z ＝2x ＋3y 经过可行域上的点M 时，截距z3最大，即z 最大．7分解方程组⎩⎨⎧4x ＋5y ＝200，3x ＋10y ＝300，得点M 的坐标为(20,24)，所以z max ＝2×20＋3×24＝112.答：生产甲种肥料20车皮，乙种肥料24车皮时利润最大，且最大利润为112万元.12分[规律方法] 1.解线性规划应用题的步骤(1)转化——设元，写出约束条件和目标函数，从而将实际问题转化为线性规划问题；(2)求解——解这个纯数学的线性规划问题；(3)作答——将数学问题的答案还原为实际问题的答案．2．解线性规划应用题，可先找出各变量之间的关系，最好列成表格，然后用字母表示变量，列出线性约束条件；写出要研究的函数，转化成线性规划问题． [变式训练2] (2016·全国卷Ⅰ)某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料，生产一件产品A 需要甲材料1.5 kg ，乙材料1 kg ，用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0.5 kg ，乙材料0.3 kg ，用3个工时．生产一件产品A 的利润为2 100元，生产一件产品B 的利润为900元．该企业现有甲材料150 kg ，乙材料90 kg ，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为________元．216 000 [设生产产品A 为x 件，产品B 为y 件，则⎩⎪⎨⎪⎧ 1.5x ＋0.5y ≤150，x ＋0.3y ≤90，5x ＋3y ≤600，x ≥0，x ∈N *，y ≥0，y ∈N *.目标函数z ＝2 100x ＋900y .作出可行域为图中的阴影部分(包括边界)内的整数点，图中阴影四边形的顶点坐标分别为(60,100)，(0,200)，(0,0)，(90,0)．当直线z ＝2 100x ＋900y 经过点(60,100)时，z 取得最大值，z max ＝2 100×60＋900×100＝216 000(元)．]。

“二元一次不等式确定平面区域”方法的优化探究

２０２３年１１月上半月㊀学习指导㊀㊀㊀㊀二元一次不等式确定平面区域方法的优化探究◉江苏省苏州市田家炳实验高级中学㊀邓志敏◉江苏省苏州市桃坞高级中学㊀缪诣欣㊀㊀摘要:在高中数学教学中,教师如果能引领学生通过研究㊁讨论㊁总结,形成一些简捷㊁实用的方法或二级结论 ,将会对学生解决数学实际问题提供有力的帮助．本文中尝试在简单的线性规划问题中,传授给学生一种快速确定二元一次不等式所确定的平面区域的办法,力求贴近学生实际,便于有效理解㊁记忆和运用．关键词:线性规划问题;二元一次不等式确定的平面区域; 左右侧判定法１对教材意义的认识简单的线性规划问题是数学实际应用的典范,是培养学生数学建模思想和能力的重要理想素材．对于高中学子而言,简单的二元变量线性规划问题贴近生活实际,让他们觉得数学并不遥远．而且,高中阶段线性规划问题一般涉及在一定条件下合理配置资源,为使某种目的达到最佳,统筹人力㊁物力等作出最优决策而提供数学解决依据．因此,该学习内容能够激发学生学习数学的兴趣,提高运用所学知识解决实际问题的积极性,并在问题解决中获得成功体验．该内容能进一步加深学生对函数的理解,多角度锻炼学生数形结合能力,培养学生应用数学意识,是增强学生分析㊁解决问题能力的良好载体[１]．２问题的提出㊁解决及结论的推广２．１问题的提出关于二元一次不等式(组)所表示的平面区域的确定,以A x＋B y＋C＞０或A x＋B y＋C＜０,A２＋B２ʂ０为例,一般有以下三种方法:(１)取点判别法:直线定边界,一点定区域, 合则在,不合则不在．(２)B符号判别法:直线定边界,符号定区域, 同上异下．(３)A符号判别法:直线定边界,符号定区域, 同右异左．其中后两种判别法具体叙述如下:已知二元一次函数f(x,y)＝A x＋B y＋C(A２＋B２ʂ０)．①B符号判别法:若Bʂ０,则有点P１(x１,y１)在直线A x＋B y＋C＝０上方⇔B与f(x１,y１)同号;点P１(x１,y１)在直线A x＋B y＋C＝０下方⇔B与f(x１,y１)异号．②A符号判别法:若Aʂ０,则有点P１(x１,y１)在直线A x＋B y＋C＝０右侧⇔A与f(x１,y１)同号;点P１(x１,y１)在直线A x＋B y＋C＝０左侧⇔A与f(x１,y１)异号．良好的教学载体往往蕴含着丰富的数学思想和深刻的教育内涵．笔者对这部分内容作了一些研究,在研究和教学实践过程中一直思索如下三个问题:一是哪种方法更贴近学生实际二是怎样揭示数学本质的思维,培养学生能力?三是怎样让学生快速㊁有效记忆数学知识和结论,以达到切实理解和准确运用?２．２问题的解决方法:左右侧判定法．背景:在平面直角坐标系中,一旦直线A x＋B y＋C＝０(A２＋B２ʂ０)的位置确定,则直线把平面区域分为左上㊁右下和左下㊁右上两大类情况,如图１㊁图２．图１㊀㊀㊀图２结论１㊀对于二元一次不等式A x＋B y＋C＞０或A x＋B y＋C＜０(A２＋B２ʂ０),若A＞０,则有:７４学习指导２０２３年１１月上半月㊀㊀㊀不等式A x ＋B y ＋C ＜０表示的区域,在直线A x ＋B y ＋C ＝０的左侧 (含左上㊁左下);不等式A x ＋B y ＋C ＞０表示的区域,在直线A x ＋B y ＋C ＝０的右侧 (含右上㊁右下)．背诵口诀:(在A ＞０的前提下)不等号小于零,区域在直线左侧;不等号大于零,区域在直线右侧．简称左小右大!证明及思维引导(以斜率为正的情况为例):设f (x ,y )＝A x ＋B y ＋C (A ２＋B ２ʂ０)．(１)在直线左侧任取一点P １(x １,y １),则它离直线有一小段距离 ,想一想怎样才能刻画或计算这个距离?图３(２)引导学生作直线y ＝y １交直线l 于点P ０,设P ０的坐标为(x ０,y １),如图３,则距离可以考虑用与 x １－x ０相关的式子来表示．(３)进一步思考,怎样计算能够出现 x １－x ０?(４)由P ０(x ０,y １)在直线l 上,则f (x ０,y １)＝０．考虑f (x １,y １)＝f (x １,y １)－f (x ０,y １)＝(A x １＋B y １＋C ) (A x ０＋B y １＋C )＝A (x １－x ０)．因为P １(x １,y １)在直线l 左侧,所以x １－x ０＜０,而A ＞０,则f (x １,y １)－f (x ０,y １)＜０,故f (x １,y １)＜０,即直线左侧区域的点(x ,y )必满足A x ＋B y ＋C ＜０．因此A ＞０时,不等式A x ＋B y ＋C ＜０表示的区域在直线A x ＋B y ＋C ＝０的左侧．同理,若在直线右侧取点,则x １－x ０＞０,由A ＞０,得f (x １,y １)－f (x ０,y １)＞０,故f (x １,y １)＞０,即直线右侧区域的点(x ,y )必满足A x ＋B y ＋C ＞０．因此当A ＞０时,不等式A x ＋B y ＋C ＞０表示的区域在直线A x ＋B y ＋C ＝０的右侧．２．３结论的推广根据结论１不难得出直线l 同侧的两个点对应的二元函数的值符号相同,异侧的两个点对应的二元函数值符号相反,于是有如下结论:结论２㊀已知二元一次函数f (x ,y )＝A x ＋B y ＋C (A ２＋B ２ʂ０),则有:①点P １(x １,y １),P ２(x ２,y ２)在直线A x ＋B y ＋C ＝０同侧⇔f (x １,y １) f (x ２,y ２)＞０;②点P １(x １,y １),P ２(x ２,y ２)在直线A x ＋B y ＋C ＝０异侧⇔f (x １,y １) f (x ２,y ２)＜０．证明略,可以留作学生思考．相信在结论１的基础上,结论２很容易被学生接受．３方法对比和体会取点判别法 ,即取特殊点,计算函数值,判断点与直线的位置关系再确定平面区域．而 A ,B 符号判别法需由A (或B )的符号与不等式的符号的异同来确定平面区域,其口诀同上异下同右异左的理解具有一定的难度．相比之下,笔者认为左右侧判定法是对 A 符号判定法的深化和进一步简便,优势在于:(１)从根本上避免了取点判别法和 A ,B 符号判别法中代入求f (x １,y １)的计算过程;(２)先将不等式(或直线)的系数A 化为正 ,符合直线的一般式方程系数A 为正的要求,以及学生的一般思维习惯;(３)对于给定的二元一次不等式(组),要快速判定相关区域得到线性规划问题的可行域只需两步:①在坐标系中快速画出直线A x ＋B y ＋C ＝０(A ２＋B ２ʂ０)．②依据结论１的口诀左小右大 ,快速确定相关区域．４运用举例例㊀已知实数x ,y 满足x －３y ＋６＜０,x －y ＋２ȡ０,{求２x ＋y 的取值范围．图４解:在坐标系中分别作出两条直线(如图４),则x －３y ＋６＜０表示的平面区域在直线x －３y ＋６＝０(虚线)左上侧,x －y ＋２ȡ０表示的区域在直线x －y ＋２＝０(实线)的右下侧,故可行域应是图中的阴影区域,且两直线的交点坐标为(０,２)．设z ＝２x ＋y ,得y ＝－２x ＋z ,当斜率为－２的直线经过点(０,２)时,纵截距z 最小,且z m i n ＝２ˑ０＋２＝２．故２x ＋y 的取值范围是(２,＋ɕ)．参考文献:[１]刘洪见．对二元一次不等式确定平面区域的探究[J ]．语数外学习(高考数学),２０１１(５):５９Ｇ６０．Z８４。

(北师大版)高考数学第6章不等式推理与证明第2讲2元1次不等式(组)及简单的线性规划问题9

第2讲二元一次不等式(组)及简单的线性规划问题1．(2021·忻州一模)不等式组⎩⎨⎧x ＋y ≥22x －y ≤4 x －y ≥0所围成的平面区域的面积为( )A ．3 2B ．6 2C ．6D ．3解析：选D.如图 ,不等式组所围成的平面区域为△ABC ,其中A (2 ,0) ,B (4 ,4) ,C (1 ,1) ,所求平面区域的面积为S △ABO －S △ACO ＝12(2×4－2×1)＝3.2．(2021·（高|考）重庆卷)假设不等式组⎩⎨⎧x ＋y －2≤0x ＋2y －2≥0 x －y ＋2m ≥0表示的平面区域为三角形 ,且其面积等于43,那么m 的值为( )A ．－3B ．1 C.43D ．3 解析：选B.作出可行域 ,如图中阴影局部所示 ,易求A ,B ,C ,D 的坐标分别为A (2 ,0) ,B (1－m ,1＋m ) ,C ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2－4m32＋2m 3,D (－2m ,0)．S △ABC ＝S △ADB －S △ADC ＝12|AD |·|y B －y C |＝12(2＋2m )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋m －2＋2m 3＝(1＋m )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋m －23＝43 ,解得m ＝1或m ＝－3(舍去)．3．(2021·（高|考）课标全国卷Ⅰ)设x ,y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥ax －y ≤－1 且z ＝x ＋ay 的最|小值为7 ,那么a ＝( )A ．－5B ．3C ．－5或3D ．5或－3解析：选B.当a ＝－5时 ,作出不等式组表示的可行域 ,如图(1)(阴影局部)．由⎩⎨⎧x －y ＝－1 x ＋y ＝－5得交点A (－3 ,－2) , 那么目标函数z ＝x －5y 过A 点时取得最|大值．z max ＝－3－5×(－2)＝7 ,不满足题意 ,排除A ,C 选项．当a ＝3时 ,作出不等式组表示的可行域 ,如图(2)(阴影局部)．由⎩⎨⎧x －y ＝－1 x ＋y ＝3得交点B (1 ,2) ,那么目标函数z ＝x ＋3y 过B 点时取得最|小值．z min ＝1＋3×2＝7 ,满足题意．4．(2021·江西省红色六校模拟)设变量x ,y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x x ＋3y ≤4x ≥－2那么z ＝|x －3y |的最|大值为( )A ．3B ．8 C.134 D.92解析：选B.作出不等式组满足的平面区域 ,如图 ,法一：令m ＝x －3y ,作出目标线 ,当目标线过A (－2 ,2)时 ,m min B (－2 ,－2)时 ,m max ＝－2－3×(－2)＝4. 所以－8≤m ≤4 ,所以0≤|m |≤8 ,即z max ＝8.法二：令m ＝|x －3y |10 ,那么由点到直线的距离公式知m ＝|x －3y |10表示区域内的点到直线x－3y ＝0的距离 ,而m 取得最|大值时 ,z 取得最|大值 ,由图可知点A (－2 ,2)到直线x －3y＝0的距离最|大 ,故z ＝|x －3y |的最|大值为|－2－3×2|＝8 ,应选B.5．(2021·邢台摸底考试)设x ,y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －2≤0x －y ≥0x ≥0y ≥0假设目标函数z ＝ax ＋by (a >0 ,b >0)的最|大值为4 ,那么a ＋b 的值为( )A.14 B ．2 C ．4 D ．0解析：选C.作出不等式组表示的区域如图阴影局部所示 ,由图可知 ,z ＝ax ＋by (a >0 ,b >0)过点A (1 ,1)时取最|大值 ,所以a ＋b ＝4.6．(2021·江西省重点学校联盟)实数x ,y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0(x －2y ) (x －2y ＋6 )≤0 假设t ≤y ＋2x 恒成立 ,那么t 的取值范围是( )A ．t ≤13B ．t ≤－5C ．t ≤－13D ．t ≤5解析：选B.作出不等式组⎩⎨⎧x －y ＋1≥0(x －2y ) (x －2y ＋ 6 )≤0的可行域如图中的阴影局部所示 ,设z ＝2x ＋y ,结合图形可得当目标线过点A (－2 ,－1)时z 取得最|小值 ,最|小值为－2×2－1＝－5 ,而t ≤y ＋2x 恒成立 ,那么有t ≤－5.7．(2021·景德镇一模)设不等式组⎩⎨⎧0≤x ≤20≤y ≤3 x ＋2y －2≥0所表示的平面区域为S ,假设A ,B 为区域S 内的两个动点 ,那么|AB |的最|大值为________．解析：作出不等式组表示的平面区域 ,如下图 ,那么由图可知A (0 ,3) ,B (2 ,0)两点的距离最|大 ,|AB |的最|大值为13.答案：138．假设实数x ,y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0x ＋y ≥0x ≤0那么z ＝3x ＋2y的值域是________．解析：令t ＝x ＋2y ,那么y ＝－12x ＋t2,作出可行域 ,平移直线y ＝－12x ,由图像知当直线经过O 点时 ,t 最|小 ,当经过点D (0 ,1)时 ,t 最|大 ,所以0≤t ≤2 ,所以1≤z ≤9 ,即z ＝3x ＋2y的值域是[1 ,9]．答案：[1 ,9]9．(2021·郑州预测)假设变量x ,y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0y ≥0 4x ＋3y ≤12那么z ＝y ＋3x ＋1的取值范围是________．解析：不等式组表示的可行域如图中阴影局部所示 ,z ＝y ＋3x ＋1表示可行域内一点P (x ,y )与点(－1 ,－3)的连线的斜率 ,由图像可知当点P 在点(3 ,0)时 ,z min ＝34,在点(0 ,4)时 ,z max ＝7 ,所以34≤z ≤7.答案：⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤34 710．(2021·郑州质检)假设x ,y 满足条件 ⎩⎪⎨⎪⎧3x －5y ＋6≥02x ＋3y －15≤0y ≥0当且仅当x ＝y ＝3时 ,z ＝ax －y 取得最|小值 ,那么实数a 的取值范围是________．解析：画出可行域 ,如图 ,直线3x －5y ＋6＝0与2x ＋3y －15＝0交于点M (3 ,3) ,由目标函数z ＝ax －y ,得y ＝ax －z ,纵截距为－z ,当z 最|小时 ,－z 最|大．欲使纵截距－z 最|大 ,那么－23<a <35.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－23 35 11.D 是以点A (4 ,1) ,B (－1 ,－6) ,C (－3 ,2)为顶点的三角形区域(包括边界与内部)．如下图．(1)写出表示区域D 的不等式组；(2)设点B (－1 ,－6) ,C (－3 ,2)在直线4x －3y －a ＝0的异侧 ,求a 的取值范围．解：(1)直线AB 、AC 、BC 的方程分别为7x －5y －23＝0 ,x ＋7y －11＝0 ,4x ＋y ＋10＝0.原点(0 ,0)在区域D 内 ,故表示区域D 的不等式组为⎩⎨⎧7x －5y －23≤0x ＋7y －11≤0 4x ＋y ＋10≥0.(2)根据题意有[4×(－1)－3×(－6)－a ][4×(－3)－3×2－a ]<0 , 即(14－a )(－18－a )<0 , 得a 的取值范围是－18<a <14.12．(2021·（高|考）陕西卷)在直角坐标系xOy 中 ,点A (1 ,1) ,B (2 ,3) ,C (3 ,2) ,点P (x ,y )在△ABC 三边围成的区域(含边界)上．(1)假设PA →＋PB →＋PC →＝0 ,求|OP →|；(2)设OP →＝mAB →＋nAC →(m ,n ∈R ) ,用x ,y 表示m －n ,并求m －n 的最|大值．解：(1)法一：因为PA →＋PB →＋PC →＝0 , 又PA →＋PB →＋PC →＝(1－x ,1－y)＋(2－x ,3－y)＋(3－x ,2－y)＝(6－3x ,6－3y) ,所以⎩⎪⎨⎪⎧6－3x ＝0 6－3y ＝0解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2 y ＝2即OP →＝(2 ,2) ,故|OP →|＝2 2.法二：因为PA →＋PB →＋PC →＝0 ,那么(OA →－OP →)＋(OB →－OP →)＋(OC →－OP →)＝0 ,所以OP →＝13(OA →＋OB →＋OC →)＝(2 ,2) ,所以|OP →|＝2 2. (2)因为OP →＝mAB →＋nAC → ,所以(x ,y)＝(m ＋2n ,2m ＋n) ,所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝m ＋2n y ＝2m ＋n两式相减得 ,m －n ＝y －x.令y －x ＝t ,由图知 ,当直线y ＝x ＋t 过点B(2 ,3)时 ,t 取得最|大值1 ,故m －n 的最|大值为1.1．(2021·东北三校联合模拟)变量x ,y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≥－1 x －y≥23x ＋y≤14 假设使z ＝ax ＋y 取得最|大值的最|优解有无穷多个 ,那么实数a 的取值集合是( )A ．{－3 ,0}B ．{3 ,－1}C ．{0 ,1}D ．{－3 ,0 ,1}解析：选B .作出不等式组所表示的平面区域 ,如图阴影局部所示．易知直线z ＝ax ＋y 与x －y ＝2或3x ＋y ＝14平行时取得最|大值的最|优解有无穷多个 ,即－a ＝1或－a ＝－3 ,所以a ＝－1或a ＝3.2．(2021·（高|考）浙江卷)实数x ,y 满足x 2＋y 2≤1 ,那么|2x ＋y －4|＋|6－x －3y|的最|大值是________．解析：因为x 2＋y 2≤1 ,所以2x ＋y －4＜0 ,6－x －3y ＞0 ,所以|2x ＋y －4|＋|6－x －3y|＝4－2x －y ＋6－x －3y ＝10－3x －4y.令z ＝10－3x －4y ,如图 ,设OA 与直线－3x －4y ＝0垂直 ,所以直线OA 的方程为y ＝43x.联立⎩⎨⎧y ＝43xx 2＋y 2＝1得A(－35 ,－45) ,所以当z ＝10－3x －4y 过点A 时 ,z 取最|大值 ,z max ＝10－3×(－35)－4×(－45)＝15.答案：153．假设x ,y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y≥1x －y≥－12x －y≤2(1)求目标函数z ＝12x －y ＋12的最|值；(2)假设目标函数z ＝ax ＋2y 仅在点(1 ,0)处取得最|小值 ,求a 的取值范围．解：(1)作出可行域如图 ,可求得A(3 ,4) ,B(0 ,1) ,C(1 ,0)．平移初始直线12x －y ＋12＝0 ,过A(3 ,4)时z 取最|小值－2 ,过C(1 ,0)时z 取最|大值1.所以z 的最|大值为1 ,最|小值为－2.(2)直线ax ＋2y ＝z 仅在点(1 ,0)处取得最|小值 ,由图像可知－1<－a2<2 ,解得－4<a<2.故a 的取值范围是(－4 ,2)．4．某小型工厂安排甲、乙两种产品的生产 ,工厂生产甲、乙两种产品每吨所需要的原材料A ,B ,C 原材料甲(吨) 乙(吨) 资源数量(吨) A 1 1 50 B 4 0 160 C 2 5 200,工厂每周才可获得最|大利润 ?解：设工厂一周内安排生产甲产品x 吨、乙产品y 吨 ,所获周利润为z 元．依据题意 ,得目标函数为z ＝300x ＋200y ,约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y≤504x ≤160 2x ＋5y≤200 y ≥0 x ≥0.欲求目标函数z ＝300x ＋200y ＝100(3x ＋2y)的最|大值 ,先画出约束条件表示的可行域 ,如图中阴影局部所示 ,那么点A(40 ,0) ,B(40 ,10) ,C ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫5031003,D(0 ,40)．作直线3x＋2y＝0 ,当移动该直线过点B(40 ,10)时 ,3x＋2y取得最|大值 ,那么z＝300x ＋200y取得最|大值(也可通过代入凸多边形端点进行计算 ,比拟大小求得)．故z max ,乙产品10吨时 ,才可获得最|大周利润 ,为14 000元．。

2019届高三文科数学同步优化探究(北师大版)课件：6-3二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题

易错通关
1．画平面区域时避免失误的重要方法就是首先使二元一次不等式化为 ax＋by＋c＞0(a＞0)． 2．线性规划问题中的最优解不一定是唯一的，即可行域内使目标函数取得最值的点不一定只有一个，也可能有无数多个，也可能没有．
高考·导航
主干知识自主排查核心考点互动探究
课时作业
首页
上页下页
高考·导航
x＋2y＝1，最小，由 2x＋y＝－1，
x＝－1，解得 y＝1.
课时作业
∴zmin＝－5.
首页上页下页尾页
主干知识自主排查核心考点互动探究
教材通关
5． (2018· 郑州模拟)某校今年计划招聘女教师 a 名，男教师 b 2a－b≥5，名，若 a，b 满足不等式组a－b≤2， a＜7，划招聘教师最多 x 名，则 x＝________.
边界直线包括__________
公共部分各个不等式所表示平面区域的___________
高考·导航
主干知识自主排查核心考点互动探究
课时作业
首页
上页下页
尾页
教材通关
2.线性规划中的基本概念名称约束条件线性约束条件意义由变量 x，y 组成的___________ 不等式(组) 由 x，y 的一次不等式(或方程)组成的不等式(组) 关于 x，y 的函数解析式，如 z＝ 2x＋3y 等关于 x，y 的一次解析式
2x＋3y－3≤0， 2x－3y＋3≥0， y＋3≥0
对应的可行域，如图
中阴影部分所示．易求得可行域的顶点 A(0,1)，B(－6，－3)，C(6，－3)，当直线 z＝2x＋y 过点 B(－6，－3)时，z 取得最小值，zmin＝2×(－6) －3＝－15，选择 A. 法二：易求可行域顶点 A(0,1)，B(－6，－3)，C(6，－3)，分别代入目标函数，求出对应的 z 的值依次为 1，－15,9，故最小值为－15.

2019版同步优化探究文数(北师大版)练习：第六章第二节基本不等式 Word版含解析

课时作业 A 组——基础对点练1．若对任意x >0，xx 2＋3x ＋1≤a 恒成立，即a 的取值范围是( )A ．a ≥15B ．a >15C ．a <15D ．a ≤15解析：因为对任意x >0，xx 2＋3x ＋1≤a 恒成立，所以对x ∈(0，＋∞)，a ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫x x 2＋3x ＋1max ，而对x ∈(0，＋∞)，x x 2＋3x ＋1＝1x ＋1x ＋3≤12x ·1x ＋3＝15，当且仅当x ＝1x 时等号成立，∴a ≥15.答案：A2．(2018·厦门一中检测)设0<a 0，故b >a ＋b2；由基本不等式知a ＋b 2>ab ，综上所述，a <ab <a ＋b2<b ，故选B.答案：B3．(2018·山东名校调研)若正数x ，y 满足3x ＋y ＝5xy ，则4x ＋3y 的最小值是( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．5解析：由3x ＋y ＝5xy ，得3x ＋y xy ＝3y ＋1x ＝5，所以4x ＋3y ＝(4x ＋3y )·15(3y ＋1x )＝15(4＋9＋3yx ＋12x y )≥15(4＋9＋236)＝5，当且仅当3y x ＝12xy ，即y ＝2x 时，“＝”成立，故4x ＋3y 的最小值为5. 答案：D4．若a ，b ∈R ，且ab >0，则下列不等式中，恒成立的是( ) A ．a ＋b ≥2ab B.1a ＋1b >1ab C.b a ＋ab≥2 D ．a 2＋b 2>2ab解析：因为ab >0，所以b a >0，a b >0，所以b a ＋ab ≥2b a ·ab＝2，当且仅当a ＝b 时取等号．答案：C5．下列不等式一定成立的是( ) A ．lg ⎝⎛⎭⎫x 2＋14>lg x (x >0) B ．sin x ＋1sin x ≥2(x ≠k π，k ∈Z)C ．x 2＋1≥2|x |(x ∈R) D.1x 2＋1>1(x ∈R) 解析：对选项A ，当x >0时，x 2＋14－x ＝⎝⎛⎭⎫x －122≥0，∴lg ⎝⎛⎭⎫x 2＋14≥lg x ，故不成立；对选项B ，当sin x <0时显然不成立；对选项C ，x 2＋1＝|x |2＋1≥2|x |，一定成立；对选项D ，∵x 2＋1≥1，∴0<1x 2＋1≤1，故不成立．答案：C6．若实数a ，b 满足1a ＋2b ＝ab ，则ab 的最小值为( )A. 2 B ．2 C ．2 2D ．4解析：法一：由已知得1a ＋2b ＝b ＋2aab ＝ab ，且a >0，b >0，∴ab ab ＝b ＋2a ≥22ab ，∴ab ≥2 2. 法二：由题设易知a >0，b >0， ∴ab ＝1a ＋2b ≥22ab，即ab ≥22，选C. 答案：C7．(2018·天津模拟)若log 4(3a ＋4 b )＝log 2ab ，则a ＋b 的最小值是( ) A ．6＋2 3 B ．7＋2 3 C ．6＋4 3D ．7＋4 3解析：因为log 4(3a ＋4b )＝log 2ab ，所以log 4(3a ＋4b )＝log 4(ab )，即3a ＋4b ＝ab ，且⎩⎪⎨⎪⎧3a ＋4b >0，ab >0，即a >0，b >0，所以4a ＋3b ＝1(a >0，b >0)，a ＋b ＝(a ＋b )·(4a ＋3b )＝7＋4b a ＋3ab≥7＋24b a ·3a b ＝7＋43，当且仅当4b a ＝3ab时取等号，故选D. 答案：D8．(2018·银川一中检测)对一切实数x ，不等式x 2＋a |x |＋1≥0恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－2) B ．[－2，＋∞) C ． [－2,2]D ．[0，＋∞)解析：当x ＝0时，不等式x 2＋a |x |＋1≥0恒成立，此时a ∈R ，当x ≠0时，则有a ≥－1－|x |2|x |＝－(|x |＋1|x |)，设f (x )＝－(|x |＋1|x |)，则a ≥f (x )max ，由基本不等式得|x |＋1|x |≥2(当且仅当|x |＝1时取等号)，则f (x )max ＝－2，故a ≥－2.故选B. 答案：B9．当x >0时，函数f (x )＝2xx 2＋1有( )A ．最小值1B ．最大值1C ．最小值2D ．最大值2解析：f (x )＝2x ＋1x ≤22x ·1x ＝1.当且仅当x ＝1x ，x >0即x ＝1时取等号．所以f (x )有最大值1.答案：B10．(2018·南昌调研)已知a ，b ∈R ，且ab ≠0，则下列结论恒成立的是( ) A ．a ＋b ≥2ab B ．a 2＋b 2>2ab C.a b ＋ba≥2 D ．|a b ＋b a|≥2解析：对于A ，当a ，b 为负数时，a ＋b ≥2ab 不成立；对于B ，当a ＝b 时，a 2＋b 2>2ab 不成立；对于C ，当a ，b 异号时，b a ＋ab ≥2不成立；对于D ，因为b a ，a b 同号，所以|b a ＋a b |＝|b a |＋|ab|≥2|b a |·|ab|＝2(当且仅当|a |＝|b |时取等号)，即|b a ＋ab |≥2恒成立．答案：D11．设f (x )＝ln x,0<a pD ．p ＝r >q解析：∵0<a ab ，又f (x )＝ln x 在(0，＋∞)上单调递增，故f (ab )<f (a ＋b2)，即q >p ，∴r ＝12(f (a )＋f (b ))＝12(ln a ＋ln b )＝ln ab ＝f (ab )＝p ，∴p ＝r <q .故选B.答案：B12．已知正实数a ，b 满足a ＋b ＝4，则1a ＋1＋1b ＋3的最小值为__________．解析：∵a ＋b ＝4，∴a ＋1＋b ＋3＝8， ∴1a ＋1＋1b ＋3＝18[(a ＋1)＋(b ＋3)]⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1＋1b ＋3 ＝18⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋b ＋3a ＋1＋a ＋1b ＋3≥18(2＋2)＝12，当且仅当a ＋1＝b ＋3，即a ＝3，b ＝1时取等号， ∴1a ＋1＋1b ＋3的最小值为12.答案：1213．已知函数f (x )＝4x ＋ax (x >0，a >0)在x ＝3时取得最小值，则a ＝__________.解析：f (x )＝4x ＋ax ≥24x ·a x ＝4a ，当且仅当4x ＝ax，即a ＝4x 2时取等号，则由题意知a ＝4×32＝36. 答案：3614．(2018·邯郸质检)已知x ，y ∈(0，＋∞)，2x －3＝(12)y ，则1x ＋4y 的最小值为________．解析：2x －3＝(12)y ＝2－y ，∴x －3＝－y ，∴x ＋y ＝3.又x ，y ∈(0，＋∞)，所以1x ＋4y ＝13(1x ＋4y )(x＋y )＝13(5＋y x ＋4x y )≥13(5＋2y x ·4x y )＝3(当且仅当y x ＝4xy，即y ＝2x 时取等号)．答案：315．要制作一个容积为4 m 3，高为1 m 的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是________(单位：元)．解析：设底面的相邻两边长分别为x m ，y m ，总造价为T 元，则V ＝xy ·1＝4⇒xy ＝4.T ＝4×20＋(2x ＋2y )×1×10＝80＋20(x ＋y )≥80＋20×2xy ＝80＋20×4＝160(当且仅当x ＝y 时取等号)．故该容器的最低总造价是160元．答案：160B 组——能力提升练1．设正实数x ，y 满足x >12，y >1，不等式4x 2y －1＋y 22x －1≥m 恒成立，则m 的最大值为( )A ．2 2B ．4 2C ．8D ．16解析：依题意得，2x －1>0，y －1>0，4x 2y －1＋y 22x －1＝[(2x －1)＋1]2y －1＋[(y －1)＋1]22x －1≥4(2x －1)y －1＋4(y －1)2x －1≥4×2 2x －1y －1×y －12x －1＝8，即4x 2y －1＋y22x －1≥8，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧2x －1＝1y －1＝12x －1y －1＝y －12x －1，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝2时，取等号，因此4x 2y －1＋y 22x －1的最小值是8，m ≤8，m 的最大值是8，选C.答案：C2．若a ，b ，c ∈ (0，＋∞)，且ab ＋ac ＋bc ＋25＝6－a 2，则2a ＋b ＋c 的最小值为( ) A.5－1 B.5＋1 C ．25＋2D ．25－2解析：由题意，得a 2＋ab ＋ac ＋bc ＝6－25，所以24－85＝4(a 2＋ab ＋ac ＋bc )≤4a 2＋4ab＋b 2＋c 2＋4ac ＋2bc ＝(2a ＋b ＋c )2，当且仅当b ＝c 时等号成立，所以2a ＋b ＋c ≥25－2，所以2a ＋b ＋c 的最小值为25－2，故选D. 答案：D3．(2018·保定调研)设△ABC 的内角A ， B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且C ＝π3，a ＋b ＝λ，若△ABC 面积的最大值为93，则λ的值为( ) A ．8 B ．12 C ．16D ．21解析：S △ABC ＝12ab sin C ＝34ab ≤34·(a ＋b 2)2＝316λ2＝93，当且仅当a ＝b 时取“＝”，解得λ＝12. 答案：B4．已知x ，y 都是正数，且x ＋y ＝1，则4x ＋2＋1y ＋1的最小值为( )A.1315 B ．2 C.94D ．3解析：由题意知，x ＋2>0，y ＋1>0，(x ＋2)＋(y ＋1)＝4，则4x ＋2＋1y ＋1＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋4(y ＋1)x ＋2＋x ＋2y ＋1≥14⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤5＋2 4(y ＋1)x ＋2·x ＋2y ＋1＝94，当且仅当x ＝23， y ＝13时，4x ＋2＋1y ＋1取最小值94. 答案：C5.(3－a )(a ＋6)(－6≤a ≤3)的最大值为( ) A ．9 B.92 C ．3D.322解析：因为－6≤a ≤3，所以3－a ≥0，a ＋6≥0，则由基本不等式可知，(3－a )(a ＋6)≤(3－a )＋(a ＋6)2＝92，当且仅当a ＝－32时等号成立．答案：B6．已知在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且2a cos(B －π3)＝b ＋c ，△ABC的外接圆半径为3，则△ABC 周长的取值范围为( ) A ．(3,9] B ．(6,8] C ．(6,9]D ．(3,8]解析：由2a cos(B －π3)＝b ＋c ，得a cos B ＋3a sin B ＝b ＋c ，由正弦定理得3sin A sin B ＋sinA cosB ＝sin B ＋sin(A ＋B )，即3sin A sin B ＝sin B ＋cos A sin B ，又sin B ≠0，∴3sin A －cos A ＝1，∴sin(A －π6)＝12，由0<A <π得－π6<A －π6<5π6，∴A －π6＝π6，∴A ＝π3.又△ABC 的外接圆半径为3，∴23＝asin A⇒a ＝23sin A ＝3. b ＋c ＝23sin B ＋23sin C ＝23[sin B ＋sin(2π3－B )]＝23(32sin B ＋32cos B )＝6(32sin B ＋12cos B )＝6sin(B ＋π6)，由0<B <2π3得，π6<B ＋π6<5π6，故3<6sin(B ＋π6)≤6，∴6<a ＋b ＋c ≤9.答案：C7．若2x ＋2y ＝1，则x ＋y 的取值范围是( ) A ．[0,2] B ．[－2,0] C ．[－2，＋∞)D ．(－∞，－2]解析：∵2x ＋2y ≥22x ·2y ＝22x ＋y (当且仅当2x ＝2y 时等号成立)，∴2x ＋y ≤12，∴2x ＋y ≤14，x＋y ≤－2，故选D. 答案：D8．若两个正实数x ，y 满足1x ＋4y ＝1，且不等式x ＋y4<m 2－3m 有解，则实数m 的取值范围是( ) A ．(－1,4) B ．(－∞，－1)∪(4，＋∞) C ．(－4,1)D ．(－∞，0)∪(3，＋∞) 解析：∵不等式x ＋y 4<m 2－3m 有解，∴⎝⎛⎭⎫x ＋y 4min <m 2－3m ，∵x >0，y >0，且1x ＋4y ＝1，∴x ＋y4＝⎝⎛⎭⎫x ＋y 4⎝⎛⎭⎫1x ＋4y ＝4x y ＋y 4x ＋2≥24x y ·y 4x ＋2＝4，当且仅当4x y ＝y4x，即x ＝2，y ＝8时取等号， ∴⎝⎛⎭⎫x ＋y4min ＝4，∴m 2－3m >4，即(m ＋1)(m －4)>0，解得m <－1或m >4，故实数m 的取值范围是 (－∞，－1)∪(4，＋∞)．答案：B9．设正实数x ，y ，z 满足x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0.则当xy z 取得最大值时，2x ＋1y －2z 的最大值为( )A ．0B ．1 C.94D ．3解析：xy z ＝xy x 2－3xy ＋4y 2＝1x y ＋4y x －3≤14－3＝1，当且仅当x ＝2y 时等号成立，此时z ＝2y 2，2x ＋1y －2z ＝－1y 2＋2y ＝－⎝⎛⎭⎫1y －12＋1≤1，当且仅当y ＝1时等号成立，故所求的最大值为1. 答案：B10．设等差数列{a n }的公差是d ，其前n 项和是S n ，若a 1＝d ＝1，则S n ＋8a n 的最小值是( )A.92B.72 C ．22＋12D ．22－12解析：a n ＝a 1＋(n －1)d ＝n ，S n ＝n (1＋n )2，∴S n ＋8a n ＝n (1＋n )2＋8n ＝12⎝⎛⎭⎫n ＋16n ＋1 ≥12⎝⎛⎭⎫2n ·16n ＋1 ＝92，当且仅当n ＝4时取等号． ∴S n ＋8a n 的最小值是92，故选A. 答案：A11．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin A －sin B ＝c (sin A －sin C )a ＋b ，b ＝3，则△ABC 的面积的最大值为( ) A.334B.34C.332D.32解析：根据正弦定理由sin A －sin B ＝c (sin A －sin C )a ＋b 可得a －b ＝c (a －c )a ＋b ，得a 2－b 2＝c (a －c )，即a 2＋c 2－b 2＝ac ，故a 2＋c 2－b 22ac ＝12＝cos B ，∵B ∈(0，π)，∴B ＝π3.又由b ＝3，可得a 2＋c 2＝ac ＋3，故a 2＋c 2＝ac ＋3≥2ac ，即ac ≤3，当且仅当a ＝c ＝3时取等号，故ac 的最大值为3，这时△ABC 的面积取得最大值，为12×3×sin π3＝334.答案：A12．(2018·宝鸡模拟)某工厂需要建造一个仓库，根据市场调研分析，运费与工厂和仓库之间的距离成正比，仓储费与工厂和仓库之间的距离成反比，当工厂和仓库之间的距离为4千米时，运费为20万元，仓储费为5万元，当工厂和仓库之间的距离为________千米时，运费与仓储费之和最小，最小为________万元．解析：设工厂和仓库之间的距离为x 千米，运费为y 1万元，仓储费为y 2万元，则y 1＝k 1x (k 1≠0)，y 2＝k 2x(k 2≠0)，∵工厂和仓库之间的距离为4千米时，运费为20万元，仓储费用为5万元，∴k 1＝5，k 2＝20，∴运费与仓储费之和为⎝⎛⎭⎫5x ＋20x 万元， ∵5x ＋20x≥25x ×20x ＝20，当且仅当5x ＝20x，即x ＝2时，运费与仓储费之和最小，为20万元．答案：2 2013．(2018·青岛模拟)已知实数x ，y 均大于零，且x ＋2y ＝4，则log 2x ＋log 2y 的最大值为__________．解析：因为log 2x ＋log 2y ＝log 22xy －1≤log 2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋2y 22－1＝2－1＝1，当且仅当x ＝2y ＝2，即x ＝2，y ＝1时等号成立，所以log 2x ＋log 2y 的最大值为1. 答案：114．在希腊数学家海伦的著作《测地术》中记载了著名的海伦公式，利用三角形的三条边长求三角形面积，若三角形的三边长分别为a ，b ，c ，其面积S ＝p (p －a )(p －b )(p －c )，这里p ＝12(a ＋b ＋c )．已知在△ABC 中，BC ＝6，AB ＝2AC ，则其面积取最大值时，sin A ＝________. 解析：已知在△ABC 中，BC ＝6，AB ＝2AC ，所以三角形的三边长为a ＝6，c ＝2b ，p ＝12(6＋b ＋2b )＝3＋3b2，其面积S ＝p (p －a )(p －b )(p －c )＝ (3＋3b 2)(3b 2－3)(3b 2＋3－b )(3＋3b2－2b )＝ (3＋3b 2)(3b 2－3)(b 2＋3)(3－b 2)＝ (9b 24－9)(9－b 24) ＝34(b 2－4)(36－b 2)≤34×b 2－4＋36－b22＝12，当且仅当b 2－4＝36－b 2，即b ＝25时取等号，此时a ＝6，b ＝25，c ＝45，三角形存在，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝45，所以sin A ＝35.答案：35。

2019版同步优化探究文数(北师大版)练习：第六章第二节基本不等式

课时作业 A 组——基础对点练1．若对任意x >0，xx 2＋3x ＋1≤a 恒成立，即a 的取值范围是( )A ．a ≥15B ．a >15C ．a <15D ．a ≤15解析：因为对任意x >0，xx 2＋3x ＋1≤a 恒成立，所以对x ∈(0，＋∞)，a ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫x x 2＋3x ＋1max ，而对x ∈(0，＋∞)，x x 2＋3x ＋1＝1x ＋1x ＋3≤12x ·1x ＋3＝15，当且仅当x ＝1x 时等号成立，∴a ≥15.答案：A2．(2018·厦门一中检测)设0<a 0，故b >a ＋b2；由基本不等式知a ＋b 2>ab ，综上所述，a <ab <a ＋b2<b ，故选B.答案：B3．(2018·山东名校调研)若正数x ，y 满足3x ＋y ＝5xy ，则4x ＋3y 的最小值是( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．5解析：由3x ＋y ＝5xy ，得3x ＋y xy ＝3y ＋1x ＝5，所以4x ＋3y ＝(4x ＋3y )·15(3y ＋1x )＝15(4＋9＋3yx ＋12x y )≥15(4＋9＋236)＝5，当且仅当3y x ＝12xy ，即y ＝2x 时，“＝”成立，故4x ＋3y 的最小值为5. 答案：D4．若a ，b ∈R ，且ab >0，则下列不等式中，恒成立的是( ) A ．a ＋b ≥2ab B.1a ＋1b >1ab C.b a ＋ab≥2 D ．a 2＋b 2>2ab解析：因为ab >0，所以b a >0，a b >0，所以b a ＋ab ≥2b a ·ab＝2，当且仅当a ＝b 时取等号．答案：C5．下列不等式一定成立的是( ) A ．lg ⎝⎛⎭⎫x 2＋14>lg x (x >0) B ．sin x ＋1sin x ≥2(x ≠k π，k ∈Z)C ．x 2＋1≥2|x |(x ∈R) D.1x 2＋1>1(x ∈R) 解析：对选项A ，当x >0时，x 2＋14－x ＝⎝⎛⎭⎫x －122≥0，∴lg ⎝⎛⎭⎫x 2＋14≥lg x ，故不成立；对选项B ，当sin x <0时显然不成立；对选项C ，x 2＋1＝|x |2＋1≥2|x |，一定成立；对选项D ，∵x 2＋1≥1，∴0<1x 2＋1≤1，故不成立．答案：C6．若实数a ，b 满足1a ＋2b ＝ab ，则ab 的最小值为( )A. 2 B ．2 C ．2 2D ．4解析：法一：由已知得1a ＋2b ＝b ＋2aab ＝ab ，且a >0，b >0，∴ab ab ＝b ＋2a ≥22ab ，∴ab ≥2 2. 法二：由题设易知a >0，b >0， ∴ab ＝1a ＋2b ≥22ab，即ab ≥22，选C. 答案：C7．(2018·天津模拟)若log 4(3a ＋4 b )＝log 2ab ，则a ＋b 的最小值是( ) A ．6＋2 3 B ．7＋2 3 C ．6＋4 3D ．7＋4 3解析：因为log 4(3a ＋4b )＝log 2ab ，所以log 4(3a ＋4b )＝log 4(ab )，即3a ＋4b ＝ab ，且⎩⎪⎨⎪⎧3a ＋4b >0，ab >0，即a >0，b >0，所以4a ＋3b ＝1(a >0，b >0)，a ＋b ＝(a ＋b )·(4a ＋3b )＝7＋4b a ＋3ab≥7＋24b a ·3a b ＝7＋43，当且仅当4b a ＝3ab时取等号，故选D. 答案：D8．(2018·银川一中检测)对一切实数x ，不等式x 2＋a |x |＋1≥0恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－2) B ．[－2，＋∞) C ． [－2,2]D ．[0，＋∞)解析：当x ＝0时，不等式x 2＋a |x |＋1≥0恒成立，此时a ∈R ，当x ≠0时，则有a ≥－1－|x |2|x |＝－(|x |＋1|x |)，设f (x )＝－(|x |＋1|x |)，则a ≥f (x )max ，由基本不等式得|x |＋1|x |≥2(当且仅当|x |＝1时取等号)，则f (x )max ＝－2，故a ≥－2.故选B. 答案：B9．当x >0时，函数f (x )＝2xx 2＋1有( )A ．最小值1B ．最大值1C ．最小值2D ．最大值2解析：f (x )＝2x ＋1x ≤22x ·1x ＝1.当且仅当x ＝1x ，x >0即x ＝1时取等号．所以f (x )有最大值1.答案：B10．(2018·南昌调研)已知a ，b ∈R ，且ab ≠0，则下列结论恒成立的是( ) A ．a ＋b ≥2ab B ．a 2＋b 2>2ab C.a b ＋ba≥2 D ．|a b ＋b a|≥2解析：对于A ，当a ，b 为负数时，a ＋b ≥2ab 不成立；对于B ，当a ＝b 时，a 2＋b 2>2ab 不成立；对于C ，当a ，b 异号时，b a ＋ab ≥2不成立；对于D ，因为b a ，a b 同号，所以|b a ＋a b |＝|b a |＋|ab|≥2|b a |·|ab|＝2(当且仅当|a |＝|b |时取等号)，即|b a ＋ab |≥2恒成立．答案：D11．设f (x )＝ln x,0<a pD ．p ＝r >q解析：∵0<a ab ，又f (x )＝ln x 在(0，＋∞)上单调递增，故f (ab )<f (a ＋b2)，即q >p ，∴r ＝12(f (a )＋f (b ))＝12(ln a ＋ln b )＝ln ab ＝f (ab )＝p ，∴p ＝r <q .故选B.答案：B12．已知正实数a ，b 满足a ＋b ＝4，则1a ＋1＋1b ＋3的最小值为__________．解析：∵a ＋b ＝4，∴a ＋1＋b ＋3＝8， ∴1a ＋1＋1b ＋3＝18[(a ＋1)＋(b ＋3)]⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1＋1b ＋3 ＝18⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋b ＋3a ＋1＋a ＋1b ＋3≥18(2＋2)＝12，当且仅当a ＋1＝b ＋3，即a ＝3，b ＝1时取等号， ∴1a ＋1＋1b ＋3的最小值为12.答案：1213．已知函数f (x )＝4x ＋ax (x >0，a >0)在x ＝3时取得最小值，则a ＝__________.解析：f (x )＝4x ＋ax ≥24x ·a x ＝4a ，当且仅当4x ＝ax，即a ＝4x 2时取等号，则由题意知a ＝4×32＝36. 答案：3614．(2018·邯郸质检)已知x ，y ∈(0，＋∞)，2x －3＝(12)y ，则1x ＋4y 的最小值为________．解析：2x －3＝(12)y ＝2－y ，∴x －3＝－y ，∴x ＋y ＝3.又x ，y ∈(0，＋∞)，所以1x ＋4y ＝13(1x ＋4y )(x＋y )＝13(5＋y x ＋4x y )≥13(5＋2y x ·4x y )＝3(当且仅当y x ＝4xy，即y ＝2x 时取等号)．答案：315．要制作一个容积为4 m 3，高为1 m 的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是________(单位：元)．解析：设底面的相邻两边长分别为x m ，y m ，总造价为T 元，则V ＝xy ·1＝4⇒xy ＝4.T ＝4×20＋(2x ＋2y )×1×10＝80＋20(x ＋y )≥80＋20×2xy ＝80＋20×4＝160(当且仅当x ＝y 时取等号)．故该容器的最低总造价是160元．答案：160B 组——能力提升练1．设正实数x ，y 满足x >12，y >1，不等式4x 2y －1＋y 22x －1≥m 恒成立，则m 的最大值为( )A ．2 2B ．4 2C ．8D ．16解析：依题意得，2x －1>0，y －1>0，4x 2y －1＋y 22x －1＝[(2x －1)＋1]2y －1＋[(y －1)＋1]22x －1≥4(2x －1)y －1＋4(y －1)2x －1≥4×2 2x －1y －1×y －12x －1＝8，即4x 2y －1＋y22x －1≥8，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧2x －1＝1y －1＝12x －1y －1＝y －12x －1，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝2时，取等号，因此4x 2y －1＋y 22x －1的最小值是8，m ≤8，m 的最大值是8，选C.答案：C2．若a ，b ，c ∈ (0，＋∞)，且ab ＋ac ＋bc ＋25＝6－a 2，则2a ＋b ＋c 的最小值为( ) A.5－1 B.5＋1 C ．25＋2D ．25－2解析：由题意，得a 2＋ab ＋ac ＋bc ＝6－25，所以24－85＝4(a 2＋ab ＋ac ＋bc )≤4a 2＋4ab＋b 2＋c 2＋4ac ＋2bc ＝(2a ＋b ＋c )2，当且仅当b ＝c 时等号成立，所以2a ＋b ＋c ≥25－2，所以2a ＋b ＋c 的最小值为25－2，故选D. 答案：D3．(2018·保定调研)设△ABC 的内角A ， B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且C ＝π3，a ＋b ＝λ，若△ABC 面积的最大值为93，则λ的值为( ) A ．8 B ．12 C ．16D ．21解析：S △ABC ＝12ab sin C ＝34ab ≤34·(a ＋b 2)2＝316λ2＝93，当且仅当a ＝b 时取“＝”，解得λ＝12. 答案：B4．已知x ，y 都是正数，且x ＋y ＝1，则4x ＋2＋1y ＋1的最小值为( )A.1315 B ．2 C.94D ．3解析：由题意知，x ＋2>0，y ＋1>0，(x ＋2)＋(y ＋1)＝4，则4x ＋2＋1y ＋1＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋4(y ＋1)x ＋2＋x ＋2y ＋1≥14⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤5＋2 4(y ＋1)x ＋2·x ＋2y ＋1＝94，当且仅当x ＝23， y ＝13时，4x ＋2＋1y ＋1取最小值94. 答案：C5.(3－a )(a ＋6)(－6≤a ≤3)的最大值为( ) A ．9 B.92 C ．3D.322解析：因为－6≤a ≤3，所以3－a ≥0，a ＋6≥0，则由基本不等式可知，(3－a )(a ＋6)≤(3－a )＋(a ＋6)2＝92，当且仅当a ＝－32时等号成立．答案：B6．已知在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且2a cos(B －π3)＝b ＋c ，△ABC的外接圆半径为3，则△ABC 周长的取值范围为( ) A ．(3,9] B ．(6,8] C ．(6,9]D ．(3,8]解析：由2a cos(B －π3)＝b ＋c ，得a cos B ＋3a sin B ＝b ＋c ，由正弦定理得3sin A sin B ＋sinA cosB ＝sin B ＋sin(A ＋B )，即3sin A sin B ＝sin B ＋cos A sin B ，又sin B ≠0，∴3sin A －cos A ＝1，∴sin(A －π6)＝12，由0<A <π得－π6<A －π6<5π6，∴A －π6＝π6，∴A ＝π3.又△ABC 的外接圆半径为3，∴23＝asin A⇒a ＝23sin A ＝3. b ＋c ＝23sin B ＋23sin C ＝23[sin B ＋sin(2π3－B )]＝23(32sin B ＋32cos B )＝6(32sin B ＋12cos B )＝6sin(B ＋π6)，由0<B <2π3得，π6<B ＋π6<5π6，故3<6sin(B ＋π6)≤6，∴6<a ＋b ＋c ≤9.答案：C7．若2x ＋2y ＝1，则x ＋y 的取值范围是( ) A ．[0,2] B ．[－2,0] C ．[－2，＋∞)D ．(－∞，－2]解析：∵2x ＋2y ≥22x ·2y ＝22x ＋y (当且仅当2x ＝2y 时等号成立)，∴2x ＋y ≤12，∴2x ＋y ≤14，x＋y ≤－2，故选D. 答案：D8．若两个正实数x ，y 满足1x ＋4y ＝1，且不等式x ＋y4<m 2－3m 有解，则实数m 的取值范围是( ) A ．(－1,4) B ．(－∞，－1)∪(4，＋∞) C ．(－4,1)D ．(－∞，0)∪(3，＋∞) 解析：∵不等式x ＋y 4<m 2－3m 有解，∴⎝⎛⎭⎫x ＋y 4min <m 2－3m ，∵x >0，y >0，且1x ＋4y ＝1，∴x ＋y4＝⎝⎛⎭⎫x ＋y 4⎝⎛⎭⎫1x ＋4y ＝4x y ＋y 4x ＋2≥24x y ·y 4x ＋2＝4，当且仅当4x y ＝y4x，即x ＝2，y ＝8时取等号， ∴⎝⎛⎭⎫x ＋y4min ＝4，∴m 2－3m >4，即(m ＋1)(m －4)>0，解得m <－1或m >4，故实数m 的取值范围是 (－∞，－1)∪(4，＋∞)．答案：B9．设正实数x ，y ，z 满足x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0.则当xy z 取得最大值时，2x ＋1y －2z 的最大值为( )A ．0B ．1 C.94D ．3解析：xy z ＝xy x 2－3xy ＋4y 2＝1x y ＋4y x －3≤14－3＝1，当且仅当x ＝2y 时等号成立，此时z ＝2y 2，2x ＋1y －2z ＝－1y 2＋2y ＝－⎝⎛⎭⎫1y －12＋1≤1，当且仅当y ＝1时等号成立，故所求的最大值为1. 答案：B10．设等差数列{a n }的公差是d ，其前n 项和是S n ，若a 1＝d ＝1，则S n ＋8a n 的最小值是( )A.92B.72 C ．22＋12D ．22－12解析：a n ＝a 1＋(n －1)d ＝n ，S n ＝n (1＋n )2，∴S n ＋8a n ＝n (1＋n )2＋8n ＝12⎝⎛⎭⎫n ＋16n ＋1 ≥12⎝⎛⎭⎫2n ·16n ＋1 ＝92，当且仅当n ＝4时取等号． ∴S n ＋8a n 的最小值是92，故选A. 答案：A11．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin A －sin B ＝c (sin A －sin C )a ＋b ，b ＝3，则△ABC 的面积的最大值为( ) A.334B.34C.332D.32解析：根据正弦定理由sin A －sin B ＝c (sin A －sin C )a ＋b 可得a －b ＝c (a －c )a ＋b ，得a 2－b 2＝c (a －c )，即a 2＋c 2－b 2＝ac ，故a 2＋c 2－b 22ac ＝12＝cos B ，∵B ∈(0，π)，∴B ＝π3.又由b ＝3，可得a 2＋c 2＝ac ＋3，故a 2＋c 2＝ac ＋3≥2ac ，即ac ≤3，当且仅当a ＝c ＝3时取等号，故ac 的最大值为3，这时△ABC 的面积取得最大值，为12×3×sin π3＝334.答案：A12．(2018·宝鸡模拟)某工厂需要建造一个仓库，根据市场调研分析，运费与工厂和仓库之间的距离成正比，仓储费与工厂和仓库之间的距离成反比，当工厂和仓库之间的距离为4千米时，运费为20万元，仓储费为5万元，当工厂和仓库之间的距离为________千米时，运费与仓储费之和最小，最小为________万元．解析：设工厂和仓库之间的距离为x 千米，运费为y 1万元，仓储费为y 2万元，则y 1＝k 1x (k 1≠0)，y 2＝k 2x(k 2≠0)，∵工厂和仓库之间的距离为4千米时，运费为20万元，仓储费用为5万元，∴k 1＝5，k 2＝20，∴运费与仓储费之和为⎝⎛⎭⎫5x ＋20x 万元， ∵5x ＋20x≥25x ×20x ＝20，当且仅当5x ＝20x，即x ＝2时，运费与仓储费之和最小，为20万元．答案：2 2013．(2018·青岛模拟)已知实数x ，y 均大于零，且x ＋2y ＝4，则log 2x ＋log 2y 的最大值为__________．解析：因为log 2x ＋log 2y ＝log 22xy －1≤log 2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋2y 22－1＝2－1＝1，当且仅当x ＝2y ＝2，即x ＝2，y ＝1时等号成立，所以log 2x ＋log 2y 的最大值为1. 答案：114．在希腊数学家海伦的著作《测地术》中记载了著名的海伦公式，利用三角形的三条边长求三角形面积，若三角形的三边长分别为a ，b ，c ，其面积S ＝p (p －a )(p －b )(p －c )，这里p ＝12(a ＋b ＋c )．已知在△ABC 中，BC ＝6，AB ＝2AC ，则其面积取最大值时，sin A ＝________. 解析：已知在△ABC 中，BC ＝6，AB ＝2AC ，所以三角形的三边长为a ＝6，c ＝2b ，p ＝12(6＋b ＋2b )＝3＋3b2，其面积S ＝p (p －a )(p －b )(p －c )＝ (3＋3b 2)(3b 2－3)(3b 2＋3－b )(3＋3b2－2b )＝ (3＋3b 2)(3b 2－3)(b 2＋3)(3－b 2)＝ (9b 24－9)(9－b 24) ＝34(b 2－4)(36－b 2)≤34×b 2－4＋36－b22＝12，当且仅当b 2－4＝36－b 2，即b ＝25时取等号，此时a ＝6，b ＝25，c ＝45，三角形存在，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝45，所以sin A ＝35.答案：35。

2019版同步优化探究文数(北师大版)练习第六章第一节不等式的性质、一元二次不等式 Word版含解析

课时作业组——基础对点练．已知>>，＋＋＝，则下列不等式成立的是( )．>．>．>．>解析：因为>>，＋＋＝，所以>＋＋＝，所以>，又>，所以>，故选.答案：．函数()＝的定义域为( )．(－]．[－]．(－∞，－]∪[，＋∞)．[－) 解析：要使函数()＝有意义，则(\\((－((＋(≥，＋≠，))解得－<≤，即函数的定义域为(－]．答案：．已知集合＝{∈－－＜}，则集合的子集的个数为( )．．．．解析：不等式－－＜的解集为{－＜＜}，又∈，所以＝{}，故集合的子集的个数为＝，故选.答案：．已知集合＝{－－≥}，＝{－≤＜}，则∩＝( )．[－，－]．[－)．[)．[－]解析：＝{≤－或≥}，故∩＝[－，－]，选.答案：．若>>，则下列不等式不成立的是( )．><<．＋<解析：∵>>，∴<，且>，＋>，又()＝是减函数，∴<.故项不成立．答案：．设集合＝{＋－≤}，集合为函数＝的定义域，则∩等于( )．[]．()．(]．[) 解析：＝{＋－≤}＝{－≤≤}，由－>得>，即＝{>}，所以∩＝{<≤}．答案：．不等式(＋)( －)>的解集是( )．{－<<}．{<}．{<且≠－}．{<－或>}解析：原式可化为(＋)(－)<，∴－<<.答案：．已知>，且≠，＝＋，＝＋，则( )．>．≥．≤．< 解析：由题易知>，>，两式作商，得＝(＋)－(＋)＝(－)，当>时，(－)>，所以(－)>＝，即>；当<<时，(－)<，所以(－)>＝，即>.综上，对任意的>，≠，都有>.答案：．不等式组(\\(－＋<，－＋>))的解集是( )∪()．()∪(，＋∞)．(－∞，)∪(，＋∞)解析：∵－＋<，∴<<.又∵－＋>，∴(－)(－)>，∴<或>，∴原不等式组的解集为∪()．答案：．下列选项中，使不等式<<成立的的取值范围是( )．(－)．(－∞，－)． (，＋∞)．() 解析：当>时，原不等式可化为<<，解得∈∅，当<时，原不等式可化为(\\(>，<，))解得<－，选.答案：．若，，为实数，且＜＜，则下列命题正确的是( )．＞＞．＜＞＜解析：－＝(－)，∵＜＜，∴－＜，∴－＞，∴＞.①又－＝(－)＞，∴＞，②由①②得＞＞.答案：．已知关于的不等式＋＋>的解集为，则不等式－＋－>的解集为．解析：依题意知，)，))解得＝－，＝，∴不等式－＋－>，即为－＋＋>，即－－<，解得－<<.所以不等式的解集为(－)．。

2019高三数学文北师大版一轮教师用书第6章第3节二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题 Word版含解析

第三节二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题[考纲传真].会从实际情境中抽象出二元一次不等式组.了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组.会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决．(对应学生用书第页)[基础知识填充]．二元一次不等式(组)表示的平面区域.[确定二元一次不等式表示的平面区域的位置把二元一次不等式＋＋＞(＜)表示为＞＋或＜＋的形式．若＞＋，则平面区域为直线＋＋＝的上方，若＜＋，则平面区域为直线＋＋＝的下方．[基本能力自测]．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)()不等式＋＋>表示的平面区域一定在直线＋＋＝的上方．( )()线性目标函数的最优解可能不唯一．( )()目标函数＝＋(≠)中，的几何意义是直线＋－＝在轴上的截距．( )()不等式－<表示的平面区域是一、三象限角的平分线和二、四象限角的平分线围成的含有轴的两块区域．( )[答案]()×()√()×()√．(教材改编)不等式组(\\(－＋<，－＋≥))表示的平面区域是( )[－＋<表示直线－＋＝左上方的平面区域，－＋≥表示直线－＋＝及其右下方的平面区域，故选．]．(·全国卷Ⅰ)设，满足约束条件(\\(＋≤，－≥，≥，))则＝＋的最大值为( ) ．．．．[根据题意作出可行域，如图阴影部分所示，由＝＋得＝－＋.作出直线＝－，并平移该直线，当直线＝－＋过点时，目标函数取得最大值．由图知()，故＝＋＝.故选．]．(·保定调研)在平面直角坐标系中，若点()到直线－－＝的距离为，且点()在不等式＋≥表示的平面区域内，则＝. 【导学号：】。

2019(北师大版)探究文数练习：第六章第三节二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题【含答案】

课时作业 A 组——基础对点练1．(2018·武汉市模拟)若实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，2x ＋y ≤2，则z ＝x －2y 的最大值是( )A ．2B ．1C ．0D ．－4解析：不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，2x ＋y ≤2表示的平面区域如图中阴影部分所示，作出直线x －2y ＝0，平移该直线，当直线经过点A (1,0)时，z 取得最大值，此时z max ＝1，故选B.答案：B2．已知实数x ，y 满足不等式|x |＋|2y |≤4，记Z ＝x ＋y ，则Z 的最小值为( ) A ．－2 B ．－6 C ．－4D ．－8解析：|x |＋|2y |≤4表示的平面区域为如图所示的四边形ABCD 内部及其边界，由图可知当直线y ＝－x ＋Z 经过点C (－4,0)时，Z 取得最小值，所以Z min ＝0＋(－4)＝－4.答案：C3．(2018·长沙市模拟)已知变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ≤0，x －2y ＋3≥0，x ≥0，则z ＝8x ·2y 的最大值是( )A ．33B ．32C ．35D ．34解析：z ＝8x ·2y ＝23x ＋y ，求z 的最大值就是求3x ＋y 的最大值，设t ＝3x ＋y ，作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，作直线3x ＋y ＝0，平移该直线，当直线经过点B (1,2)时，t 取得最大值，t max ＝3＋2＝5，则z max ＝25＝32. 答案：B4．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x ＋2，x ＋y ≤6，x ≥1，则z ＝2|x －2|＋|y |的最小值是( )A ．6B ．5C ．4D ．3解析：画出不等式组⎩⎨⎧y ≥x ＋2，x ＋y ≤6，x ≥1表示的可行域，如图阴影部分，其中A (2,4)，B (1,5)，C (1,3)，∴x ∈[1,2]，y∈[3,5]．∴z ＝2|x －2|＋|y |＝－2x ＋y ＋4，当直线y ＝2x －4＋z 过点A (2,4)时，直线在y 轴上的截距最小，此时z 有最小值，∴z min ＝－2×2＋4＋4＝4，故选C. 答案：C5．(2018·兰州实战模拟)已知M (－4,0)，N (0，－3)，P (x ，y )的坐标x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0y ≥03x ＋4y ≤12，则△PMN 面积的取值范围是( ) A ．[12,24] B ．[12,25] C ．[6,12]D ．[6，252]解析：作出不等式组⎩⎨⎧x ≥0y ≥03x ＋4y ≤12表示的平面区域如图中阴影部分所示．又过点M (－4,0)，N (0，－3)的直线的方程为3x ＋4y ＋12＝0，而它与直线3x ＋4y ＝12平行，其距离d ＝|12＋12|32＋42＝245，所以当P 点在原点O 处时，△PMN 的面积最小，其面积为△OMN 的面积，此时S △OMN ＝12×3×4＝6；当P 点在线段AB 上时，△PMN 的面积最大，为12×32＋42×245＝12，故选C.答案：C6．(2018·太原市模拟)已知D ＝{(x ，y )|⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0x －y ＋2≤03x －y ＋6≥0，给出下列四个命题：p 1：任意(x ，y )∈D ，x ＋y ＋1≥0；p 2：任意(x ，y )∈D,2x －y ＋2≤0；p 3：存在(x ，y )∈D ，y ＋1x －1≤－4；p 4：存在(x ，y )∈D ，x 2＋y 2≤2.其中真命题的是( ) A ．p 1，p 2 B ．p 2，p 3 C ．p 2，p 4D ．p 3，p 4解析：因为D ＝{(x ，y )|⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0x －y ＋2≤03x －y ＋6≥0}表示的平面区域如图中阴影部分所示，所以z 1＝x ＋y 的最小值为－2，z 2＝2x －y 的最大值为－2，z 3＝y ＋1x －1的最小值为－3，z 4＝x 2＋y 2的最小值为2，所以命题p 1为假命题，命题p 2为真命题，命题p 3为假命题，命题p 4为真命题，故选C.答案：C7．若实数x ，y 满足：|x |≤y ≤1，则x 2＋y 2＋2x 的最小值为( ) A.12 B ．－12C.22D.22－1解析：作出不等式|x |≤y ≤1表示的可行域，如图．x 2＋y 2＋2x ＝(x ＋1)2＋y 2－1，(x ＋1)2＋y 2表示可行域内的点(x ，y )到点(－1,0)距离的平方，由图可知，(x ＋1)2＋y 2的最小值为⎝⎛⎭⎫222＝12，所以x 2＋y 2＋2x 的最小值为12－1＝－12.选B.答案：B8．(2018·洛阳市统考)已知实数x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0x －2y －2≤02x －y ＋2≥0，若z ＝y －ax 取得最大值时的最优解有且只有一个，则实数a 的取值集合为( ) A ．{2，－1} B ．{a ∈R|a ≠2}C ．{a ∈R|a ≠－1}D ．{a ∈R|a ≠2且a ≠－1}解析：不等式组对应的平面区域如图中阴影部分所示．由z ＝－ax ＋y 得y ＝ax ＋z ，若a ＝0，直线y ＝ax ＋z ＝z ，此时最大的最优解只有一个，满足条件．若a >0，则直线y ＝ax ＋z 的纵截距最大时，z 取得最大值，若z ＝y －ax 取得最大值时的最优解有且只有一个，则a ≠2.若a <0，则直线y ＝ax ＋z 的纵截距最大时，z 取得最大值，若z ＝y －ax 取得最大值时的最优解有且只有一个，则a ≠－1.选D.答案：D9．(2018·沈阳质量监测)实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≤2x ＋2x ＋y －2≥0，x ≤2则z ＝|x －y |的最大值是( )A ．2B ．4C ．6D ．8解析：依题意画出可行域如图中阴影部分所示，令m ＝y －x ，则m 为直线l ：y ＝x ＋m 在y 轴上的截距，由图知在点A (2,6)处m 取最大值4，在C (2,0)处取最小值－2，所以m ∈[－2,4]，所以z 的最大值是4，故选B. 答案：B10．(2018·武昌区调研)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥a x －y ≤－1，且z ＝x ＋ay 的最小值为7，则a ＝( )A ．－5B ．3C ．－5或3D ．5或－3解析：根据约束条件画出可行域如图1中阴影部分所示：可知可行域为开口向上的V 字型．在顶点处z 有最小值，顶点为(a －12，a ＋12)，则a －12＋a (a ＋12)＝7，解得a ＝3或a ＝－5.当a ＝－5时，如图2，虚线向上移动时z 减小，故z →－∞，没有最小值，故只有a ＝3满足题意．选B. 答案：B11．若变量x 、y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≤0，y ≤1，x >－1，则(x －2)2＋y 2的最小值为( )A.322B. 5C.92D ．5解析：作出不等式组对应的平面区域如图，设z ＝(x －2)2＋y 2，则z 的几何意义为区域内的点到定点D (2,0)的距离的平方，由图知C 、D 间的距离最小，此时z 最小．由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝1，x －y ＋1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1，即C (0,1)，此时z min ＝(x －2)2＋y 2＝4＋1＝5，故选D. 答案：D12．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x －2y ≤0，x ＋2y －2≤0，则z ＝x ＋y 的最大值为________．解析：约束条件对应的平面区域是以点(1，12)、(0,1)和(－2，－1)为顶点的三角形，当目标函数y ＝－x ＋z 经过点(1，12)时，z 取得最大值32.答案：3213．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －3≥0，x －3≤0，则z ＝x －2y 的最小值为________．解析：作出可行域，如图中阴影部分所示，由z ＝x －2y 得y ＝12x －12z ，作直线y ＝12x 并平移，观察可知，当直线经过点A (3,4)时，z min ＝3－2×4＝－5. 答案：－514．已知x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0，x ＋y ≥0，x ≤3，若使得z ＝ax ＋y 取最大值的点(x ，y )有无数个，则a 的值等于__________．解析：先根据约束条件画出可行域，如图中阴影部分所示，当直线z ＝ax ＋y 能和直线AB 重合时， z 取得最大值的点(x ，y )有无数个，∴－a ＝k AB ＝1，∴a ＝－1.答案：－115．对任意k ∈[1,5]，直线l ：y ＝kx －k －1都与不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥a ，x ＋y ≤6，x －2y ≤0表示的平面区域有公共点，则实数a 的最大值是________．解：作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥a ，x ＋y ≤6，x －2y ≤0的可行域如图中阴影部分所示．而直线l ：y ＝kx －k －1过定点P (1，－1)，对任意k ∈[1,5]，直线l ：y ＝kx －k －1都与可行域有公共点，当k ＝5时，直线l ：y ＝5x －6经过可行域的点A ，联立，得⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝5x －6，x ＋y ＝6，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝4，所以A (2,4)，点A 是直线x ＝a上的点，可得a 的最大值是2. 答案：2B 组——能力提升练1．在平面直角坐标系中，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤0，x －y ≤0，x 2＋y 2≤r 2(r 为常数)表示的平面区域的面积为π，若x 、y 满足上述约束条件，则z ＝x ＋y ＋1x ＋3的最小值为( )A ．－1B ．－52＋17C.13D ．－75解析：作出不等式组表示的平面区域，如图所示，由题意，知14πr 2＝π，解得r ＝2，z ＝x ＋y ＋1x ＋3＝1＋y －2x ＋3，易知y －2x ＋3表示可行域内的点(x ，y )与点P (－3,2)的连线的斜率，由图可知当点(x ，y )与点P 的连线与圆x 2＋y 2＝r 2相切时斜率最小．设切线方程为y －2＝k (x ＋3)，即kx －y ＋3k ＋2＝0，则有|3k ＋2|k 2＋1＝2，解得k ＝－125或k ＝0(舍)，所以z min ＝1－125＝－75，故选D.答案：D2．已知区域D ：⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －1≥0，3x －y －3≤0的面积为S ，点集T ＝{(x ，y )∈D |y ≥kx ＋1}在坐标系中对应区域的面积为12S ，则k 的值为( ) A.13 B.12 C ．2D ．3解析：作出不等式组对应的区域，如图中阴影部分所示．直线y ＝kx ＋1过定点A (0,1)，点集T ＝{(x ，y )∈D |y ≥kx ＋1}在坐标系中对应区域的面积为12S ，则直线y ＝kx ＋1过BC 中点E .由⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＋1＝0，3x －y －3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝3，即B (2,3)．又C (1,0)，∴BC 的中点为E ⎝⎛⎭⎫32，32，则32＝32k ＋1，解得k ＝13，故选A. 答案：A3．(2018·合肥市质检)设x ， y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋y －2≤0，ax －y －a ≤0，若z ＝2x ＋y 的最大值为72，则a 的值为( )A ．－72B ．0C ．1D ．－72或1解析：由z ＝2x ＋y 存在最大值，可知a >－1，显然a ＝0不符合题意．作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋y －2≤0，ax －y －a ≤0所表示的平面区域，如图1或图2中阴影部分所示，作直线2x ＋y ＝0，平移该直线，易知，当平移到过直线x ＋y －2＝0与ax －y －a ＝0的交点时，z 取得最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2＝0，ax －y －a ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋2a ＋1，y ＝a a ＋1，把⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋2a ＋1，y ＝a a ＋1代入2x＋y ＝72得a ＝1，故选C.答案：C4．已知实数x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧4x －y －8≤0，2x －3y ＋6≥0，x ＋y －2≥0，若x 2＋2y 2≥m 恒成立，则实数m 的最大值为( )A ．5B.43C. 2D.83解析：设t ＝2y ，则y ＝22t ，因为实数x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧4x －y －8≤0，2x －3y ＋6≥0，x ＋y －2≥0，且x 2＋2y 2≥m 恒成立，所以实数x ，t 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧8x －2t －16≤0，4x －32t ＋12≥0，2x ＋2t －4≥0，且x 2＋t 2≥m 恒成立，⎩⎪⎨⎪⎧8x －2t －16≤0，4x －32t ＋12≥0，2x ＋2t －4≥0表示的平面区域如图中阴影部分所示，过点O 向AB 作垂线，垂足为D ，则x 2＋t 2的最小值为|OD |2＝83，所以m ≤83，所以m 的最大值为83，故选D. 答案：D5．已知圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝1，平面区域Ω：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －7≤0，x －y ＋3≥0，y ≥0.若圆心C ∈Ω，且圆C 与x 轴相切，则 a 2＋b 2的最大值为 ( ) A ．5 B ．29 C ．37 D．49解析：平面区域Ω为如图所示的阴影部分，因为圆心C (a ，b )∈Ω，且圆C 与x 轴相切，所以点C 在如图所示的线段MN 上，线段MN 的方程为y ＝1(－2≤x ≤6)，由图形得，当点C 在点N (6,1)处时，a 2＋b 2取得最大值62＋12＝37，故选C. 答案：C6．设变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0x ＋2y －2≥0，2x ＋y －7≤0z ＝a 2x ＋y (0<a <2)的最大值为5，则a ＝( )A ．1 B.12 C.22D.32解析：如图，画出可行域，∵z ＝a 2x ＋y ，∴y ＝－a 2x ＋z ，求z 的最大值，即求直线y ＝－a 2x ＋z 在y 轴上的最大截距，显然当直线y ＝－a 2x ＋z 过点A 时，在y 轴上的截距取得最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1＝02x ＋y －7＝0，解得A (2,3)，则2a 2＋3＝5，可得a＝1.故选A.答案：A7．若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，kx －y ＋2≥0，y ≥0，且z ＝y －x 的最小值为－4，则k 的值为( )A ．2B ．－2 C.12D ．－12解析：作出线性约束条件⎩⎨⎧x ＋y －2≥0，kx －y ＋2≥0，y ≥0的可行域．当k ≥0时，如图(1)所示，显然此时z ＝y －x 无最小值．当k <－1时，z ＝y －x 取得最小值2；当k ＝－1时，z ＝y －x 取得最小值－2，均不符合题意．当－1<k <0时，如图(2)所示，此时可行域为点A (2,0)，B ⎝⎛⎭⎫－2k ，0，C (0,2)所围成的三角形区域，当直线z ＝y －x 经过点B ⎝⎛⎭⎫－2k ，0时，有最小值，即－⎝⎛⎭⎫－2k ＝－4，即k ＝－12.故选D.答案：D8．已知P (x ，y )为区域⎩⎪⎨⎪⎧y 2－x 2≤0，0≤x ≤a 内的任意一点，当该区域的面积为4时，z ＝2x －y 的最大值是( )A ．6B ．0C ．2D ．2 2解析：由⎩⎨⎧y 2－x 2≤0，0≤x ≤a作出可行域如图，易求得A (a ，－a )，B (a ，a )，由题意知S △OAB ＝12·2a ·a ＝4，得a ＝2.∴A (2，－2)，当y ＝2x －z 过A 点时，z 最大，z max ＝2×2－(－2)＝6.故选A. 答案：A9．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤0，x －2y －1≥0，x －4y －3≤0，则z ＝3x ＋5y 的取值范围是( )A ．[3，＋∞)B ．[－8,3]C ．(－∞，9]D ．[－8,9]解析：作出可行域，如图所示的阴影部分，由z ＝3x ＋5y ，得y ＝－35x ＋15z ，15z 表示直线y ＝－35x ＋15z 在y 轴上的截距，截距越大，z 越大．由图可知，当z ＝3x ＋5y 经过点A 时z 最小；当z ＝3x ＋5y 经过点B 时z 最大，由⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＝3，y ＝0可得B (3,0)，此时z max ＝9，由⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＝3，x －2y ＝1可得A (－1，－1)，此时z min ＝－8，所以z ＝3x ＋5y 的取值范围是[－8,9]．答案：D10．(2018·贵阳监测)已知O 是坐标原点，点A (－1,2)，若点M (x ，y )为平面区域⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥2x ≤1y ≤2上的一个动点，则OA →·OM→的取值范围是( ) A ．[－1,0] B ．[0,1] C ．[1,3] D ．[1,4]解析：作出点M (x ，y )满足的平面区域，如图中阴影部分所示，易知当点M 为点C (0,2)时，OA →·OM →取得最大值，即为(－1)×0＋2×2＝4，当点M 为点B (1,1)时，OA →·OM →取得最小值，即为(－1)×1＋2×1＝1，所以OA →·OM →的取值范围为[1,4]，故选D. 答案：D11．已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2x ＋y ≤4－2x ＋y ＋c ≥0，目标函数z ＝6x ＋2y 的最小值是10，则z 的最大值是( )A ．20B ．22C ．24D ．26解析：由z ＝6x ＋2y ，得y ＝－3x ＋z2，由目标函数有最小值，得c >0，作出不等式组所表示的可行域的大致图形如图中阴影部分所示，由图可知当直线y ＝－3x ＋z2经过点C 时，直线的纵截距最小，即z ＝6x ＋2y 取得最小值10，由⎩⎪⎨⎪⎧ 6x ＋2y ＝10x ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝－1，将其代入直线－2x ＋y ＋c ＝0，得c ＝5，即直线方程为－2x ＋y ＋5＝0，平移直线3x ＋y ＝0，当直线经过点D 时，直线的纵截距最大，此时z 取最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧ －2x ＋y ＋5＝0x ＋y ＝4，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3y ＝1，即D (3,1)，将点D 的坐标代入直线z ＝6x ＋2y ，得z max ＝6×3＋2＝20，故选A.答案：A12．(2018·石家庄质检)已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，y ≥－1，4x ＋y ≤9，x ＋y ≤3，若目标函数z ＝y －mx (m >0)的最大值为1，则m的值是( ) A ．－209B ．1C ．2D ．5解析：作出可行域，如图所示的阴影部分．∵m >0，∴当z ＝y －mx 经过点A 时， z 取最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，x ＋y ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2，即A (1,2)，∴2－m ＝1，解得m ＝1.故选B. 答案：B13．已知a >0，实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1x ＋y ≤3y ≥a (x －3)，若z ＝2x ＋y 的最小值为1，则a ＝________.解析：根据题意，如图，在坐标系中画出相应的区域的边界线x ＝1，x ＋y ＝3，再画出目标函数取得最小值时对应的直线2x ＋y ＝1，从图中可以发现，直线2x ＋y ＝1与直线x ＝1的交点为(1，－1)，从而有点(1，－1)在直线y ＝a (x －3)上，代入可得a ＝12.答案：1214．(2018·石家庄模拟)动点P (a ，b )在区域⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x －y ≥0，y ≥0内运动，则ω＝a ＋b －3a －1的取值范围是________．解析：画出可行域如图，ω＝a ＋b －3a －1＝1＋b －2a －1，设k ＝b －2a －1，则k ∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)，所以ω＝a ＋b －3a －1的取值范围是(－∞，－1]∪[3，＋∞)．答案：(－∞，－1]∪[3，＋∞)15．(2018·云南五市联考)已知实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧1≤x ＋y ≤2，－1≤x －y ≤1，则z ＝y ＋1x ＋1的最大值是________．解析：不等式组⎩⎪⎨⎪⎧1≤x ＋y ≤2，－1≤x －y ≤1表示的平面区域如图中阴影部分所示，目标函数z ＝y ＋1x ＋1＝y －(－1)x －(－1)的几何意义是表示平面区域中的动点P (x ，y )与定点Q (－1，－1)所在直线的斜率．由图知，当点P 运动到点A 时，z 取得最大值．因为A (0,1)，所以z max ＝1＋10＋1＝2.答案：216．已知x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －3≥0，x ≤2，若x 2＋y 2的最大值为m ，最小值为n ，则mx ＋ny 的最小值为________．解析：作出不等式组⎩⎨⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －3≥0，x ≤2表示的平面区域，如图中阴影部分所示，即△ABC 及其内部，其中A (1,2)，B (2,1)，C (2,3)．令u ＝x 2＋y 2，其表示阴影部分的点到坐标原点的距离的平方．显然在点C 处x 2＋y 2取得最大值m ，则m ＝22＋32＝13.而原点到直线x ＋y －3＝0的距离d ＝|－3|12＋12＝32，且|OA |＝|OB |＝5，∴x 2＋y 2的最小值n ＝(32)2＝92.故mx ＋ny ＝13x ＋92y ，令z ＝13x ＋92y ，可得y ＝－269x ＋29z ，故当直线y ＝－269x ＋29z 经过点A (1,2)时，z 取得最小值，最小值为z ＝13×1＋92×2＝22.答案：22。

2019版同步优化探究理数(北师大版)练习：第六章第一节不等式的性质、一元二次不等式 Word版含解析

课时作业A组——基础对点练1．已知x>y>z，x＋y＋z＝0，则下列不等式成立的是()A．xy>yz B．xz>yzC．xy>xz D．x|y|>z|y|解析：因为x>y>z，x＋y＋z＝0，所以3x>x＋y＋z＝0，所以x>0，又y>z，所以xy>xz，故选C.答案：C2．函数f(x)＝1－xx＋2的定义域为()A．[－2,1] B．(－2,1]C．[－2,1) D．(－∞，－2]∪[1，＋∞)解析：要使函数f(x)＝1－xx＋2有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧(1－x)(x＋2)≥0，x＋2≠0，解得－2<x≤1，即函数的定义域为(－2,1]．答案：B3．已知集合A＝{x∈N|x2－x－6＜0}，则集合A的子集的个数为()A．3 B．4C．7 D．8解析：不等式x2－x－6＜0的解集为{x|－2＜x＜3}，又x∈N，所以A＝{0,1,2}，故集合A的子集的个数为23＝8，故选D.答案：D4．已知集合A＝{x|x2－2x－3≥0}，B＝{x|－2≤x＜2}，则A∩B＝() A．[－2，－1] B．[－1,2)C．[－1,1] D．[1,2)解析：A＝{x|x≤－1或x≥3}，故A∩B＝[－2，－1]，选A.答案：A5．若a >b >0，则下列不等式不成立的是( ) A.1a <1bB ．|a |>|b |C ．a ＋b <2abD.⎝ ⎛⎭⎪⎫12a <⎝ ⎛⎭⎪⎫12b 解析：∵a >b >0，∴1a <1b ，且|a |>|b |， a ＋b >2ab ，又f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 是减函数，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫12a <⎝ ⎛⎭⎪⎫12b .故C 项不成立．答案：C6．设集合A ＝{x |x 2＋x －6≤0}，集合B 为函数y ＝1x －1的定义域，则A ∩B 等于( ) A ．(1,2) B ．[1,2] C ．[1,2)D ．(1,2]解析：A ＝{x |x 2＋x －6≤0}＝{x |－3≤x ≤2}，由x －1>0得x >1，即B ＝{x |x >1}，所以A ∩B ＝{x |1<x ≤2}．答案：D7．不等式(1＋x )(1－x )>0的解集是( ) A ．{x |－1<x <1} B ．{x |x <1}C ．{x |x <－1或x >1}D ．{x |x <1且x ≠－1}解析：原式可化为(x ＋1)(x －1)<0， ∴－1<x <1. 答案：A8．已知a >0，且a ≠1，m ＝aa 2＋1，n ＝a a ＋1，则( ) A ．m ≥n B ．m >n C ．m <nD ．m ≤n 解析：由题易知m >0，n >0，两式作商，得mn ＝a (a 2＋1)－(a ＋1)＝a a (a －1)，当a >1时，a (a －1)>0，所以a a (a －1)>a 0＝1，即m >n ；当0<a <1时，a (a －1)<0，所以a a (a－1)>a 0＝1，即m >n .综上，对任意的a >0，a ≠1，都有m >n .答案：B9．不等式组⎩⎨⎧x 2－4x ＋3<0，2x 2－7x ＋6>0的解集是( )A ．(2,3)B.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32∪(2,3) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，32∪(3，＋∞) D ．(－∞，1)∪(2，＋∞)解析：∵x 2－4x ＋3<0，∴1<x <3.又∵2x 2－7x ＋6>0，∴(x －2)(2x －3)>0，∴x <32或x >2，∴原不等式组的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32∪(2,3)．答案：B10．下列选项中，使不等式x <1x <x 2成立的x 的取值范围是( ) A ．(－∞，－1) B ．(－1,0) C ．(0,1)D ．(1，＋∞)解析：当x >0时，原不等式可化为x 2<1<x 3，解得x ∈∅，当x <0时，原不等式可化为⎩⎪⎨⎪⎧x 2>1，x 3<1，解得x <－1，选A.答案：A11．若a ，b ，c 为实数，且a ＜b ＜0，则下列命题正确的是( ) A ．ac 2＜bc 2 B ．a 2＞ab ＞b 2 C.1a ＜1bD.b a ＞a b解析：a 2－ab ＝a (a －b )，∵a ＜b ＜0，∴a －b ＜0，∴a 2－ab ＞0，∴a 2＞ab .① 又ab －b 2＝b (a －b )＞0，∴ab ＞b 2，② 由①②得a 2＞ab ＞b 2. 答案：B12．已知关于x 的不等式ax 2＋2x ＋c >0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，12，则不等式－cx 2＋2x－a >0的解集为．解析：依题意知，⎩⎪⎨⎪⎧－13＋12＝－2a ，－13×12＝ca ，解得a ＝－12，c ＝2，∴不等式－cx 2＋2x－a >0，即为－2x 2＋2x ＋12>0，即x 2－x －6<0，解得－2<x <3.所以不等式的解集为(－2，3)．答案：(－2,3)13．若0<a <1，则不等式(a －x )⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a >0的解集是．解析：原不等式为(x －a )⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a <0，由0<a <1得a <1a ，∴a <x <1a .答案：⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪a <x <1a14．已知关于x 的不等式x 2－ax ＋2a >0在R 上恒成立，则实数a 的取值范围是．解析：不等式x 2－ax ＋2a >0在R 上恒成立，即Δ＝(－a )2－8a <0，∴0<a <8，即a 的取值范围是(0,8)．答案：(0,8)15．已知f (x )是定义域为R 的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－4x .求不等式f (x ＋2)＜5的解集．解析：当x ≥0时，f (x )＝x 2－4x <5的解集为[0,5)，又f (x )为偶函数，所以f (x )<5的解集为(－5,5)．所以f (x ＋2)<5的解集为(－7,3)．B 组——能力提升练1．已知a ，b ，c ∈R ，则下列命题正确的是( ) A ．a >b ⇒ac 2>bc 2 B.a c >bc ⇒a >bC.⎭⎪⎬⎪⎫a >bab <0⇒1a >1b D.⎭⎪⎬⎪⎫a >bab >0⇒1a >1b 解析：当c ＝0时，ac 2＝0，bc 2＝0，故由a >b 不能得到ac 2>bc 2，故A 错误；当c <0时，a c >b c ⇒a 0⇔⎩⎨⎧ab >0，a b ，故选项D 错误，C 正确．故选C. 答案：C2．已知a ，b ，c ∈R ，函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c .若f (0)＝f (4)>f (1)，则( ) A ．a >0,4a ＋b ＝0 B ．a <0,4a ＋b ＝0 C ．a >0,2a ＋b ＝0 D ．a <0,2a ＋b ＝0解析：∵f (0)＝f (4)>f (1)， ∴c ＝16a ＋4b ＋c >a ＋b ＋c ， ∴16a ＋4b ＝0，即4a ＋b ＝0，且15a ＋3b >0，即5a ＋b >0，而5a ＋b ＝a ＋4a ＋b ，∴a >0.故选A. 答案：A3．在R 上定义运算：⎝⎛⎭⎪⎫ab cd ＝ad －bc ，若不等式⎝⎛ x －1a ＋1⎭⎪⎫a －2x ≥1对任意实数x 恒成立，则实数a 的最大值为( ) A ．－12 B ．－32 C.12D.32解析：由定义知，不等式⎝⎛ x －1a ＋1⎭⎪⎫a －2x ≥1等价于x 2－x －(a 2－a －2)≥1，∴x 2－x ＋1≥a 2－a 对任意实数x 恒成立．∵x 2－x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34≥34，∴a 2－a ≤34，解得－12≤a ≤32，则实数a 的最大值为32. 答案：D4．“(m －1)(a －1)>0”是“log a m >0”的一个( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：当(m －1)(a －1)>0时，有⎩⎪⎨⎪⎧ m >1，a >1，或⎩⎪⎨⎪⎧m <1，a <1，当m <0，a <0时，log a m 无意义，故log a m >0不一定成立；当log a m >0时，则⎩⎨⎧m >1，a >1或⎩⎪⎨⎪⎧0<m <1，0<a <1，则(m －1)(a －1)>0恒成立，故“(m －1)·(a －1)>0”是“log a m >0”的必要不充分条件．故选B. 答案：B5．若0b C ．a b >b aD ．log b a >log a b解析：对于A ，函数y ＝1x 在(0，＋∞)上单调递减，所以当0b 恒成立；对于C ，当0<a <1时，函数y ＝a x 单调递减，所以a b >a a ，函数y ＝x a 单调递增，所以a a >b a ，所以a b >a a >b a 恒成立．所以选D. 答案：D6．若a |b | B.1a －b >1aC.1a >1bD ．a 2>b 2解析：由不等式的性质可得|a |>|b |，a 2>b 2，1a >1b 成立．假设1a －b >1a 成立，由a 0，由1a －b >1a ⇒a (a －b )·1a －b >1a ·a (a －b )⇒a >a －b ⇒b >0，与已知矛盾，故选B. 答案：B7．已知f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，且在(－∞，0]上是增函数．设a＝f (log 47)，b ＝，c ＝f (21.6)，则a ， b ，c 的大小关系是( )A ．c <a <bB ．c log 47,21.6>2，∴log 47<log 49<21.6.∵f (x )在 (－∞，0]上是增函数，∴f (x )在[0，＋∞)上为减函数，则f (log 47)>f (log 49)>f (21.6)，即c <b <a ，故选B. 答案：B8．(2018·武汉调研)已知圆C ：(x －1)2＋(y －4)2＝10和点M (5，t )，若圆C 上存在两点A ，B ，使得MA ⊥MB ，则实数t 的取值范围为( ) A ．[－2,6] B ．[－3,5] C ．[2,6]D ．[3,5]解析：当MA ，MB 与圆相切时，|CM |＝(5－1)2＋(t －4)2＝20，由题意，圆C上存在两点使MA ⊥MB ，则|CM |＝(5－1)2＋(t －4)2≤20⇒2≤t ≤6，故选C.答案：C9．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|3x －4|(x ≤2)，2x －1(x >2)，则f (x )≥1的解集为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，53B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤53，3 C ．(－∞，1)∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫53，＋∞D ．(－∞，1]∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤53，3解析：不等式f (x )≥1等价于⎩⎪⎨⎪⎧x >2，2x －1≥1或⎩⎪⎨⎪⎧x ≤2，|3x －4|≥1，解之得x ≤1或53≤x ≤3，所以不等式的解集为(－∞，1]∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤53，3，故选D.答案：D10．若不等式组⎩⎨⎧x 2－2x －3≤0，x 2＋4x －(1＋a )≤0的解集不是空集，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－4]B ．[－4，＋∞)C ．[－4,3]D ．[－4,3)解析：不等式x 2－2x －3≤0的解集为[－1,3]，假设⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x －3≤0，x 2＋4x －(a ＋1)≤0的解集为空集，则不等式x 2＋4x －(a ＋1)≤0的解集为集合{x |x <－1或x >3}的子集，因为函数f (x )＝x 2＋4x －(a ＋1)的图像的对称轴方程为x ＝－2，所以必有f (－1)＝－4－a >0，即a <－4，则使⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x －3≤0，x 2＋4x －(1＋a )≤0的解集不为空集的a 的取值范围是a ≥－4. 答案：B11．设0≤α≤π，不等式8x 2－(8sin α)x ＋cos 2α≥0对x ∈R 恒成立，则α的取值范围为．解析：由8x 2－(8sin α)x ＋cos 2α≥0对x ∈R 恒成立，得Δ＝(－8sin α)2－4×8cos 2α≤0，即64sin 2α－32(1－2sin 2α)≤0，得到sin 2α≤14，∵0≤α≤π，∴0≤sin α≤12， ∴0≤α≤π6或5π6≤α≤π，即α的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π6，π.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π6，π12．若关于x 的二次不等式x 2＋mx ＋1≥0的解集为R ，则实数m 的取值范围．解析：不等式x 2＋mx ＋1≥0的解集为R ，相当于二次函数y ＝x 2＋mx ＋1的最小值非负，即方程x 2＋mx ＋1＝0最多有一个实根，故Δ＝m 2－4≤0，解得－2≤m ≤2.。

【精编】2019版理数(北师大版)练习：第六章第一节不等式的性质、一元二次不等式含解析

课时作业A组——基础对点练1．已知x>y>z，x＋y＋z＝0，则下列不等式成立的是( )A．xy>yz B．xz>yzC．xy>xz D．x|y|>z|y|解析：因为x>y>z，x＋y＋z＝0，所以3x>x＋y＋z＝0，所以x>0，又y>z，所以xy>xz，故选C.答案： C2．函数f(x)＝1－xx＋2的定义域为( )A．[－2,1] B．(－2,1]C．[－2,1) D．(－∞，－2]∪[1，＋∞)解析：要使函数f(x)＝1－xx＋2有意义，则⎩⎨⎧1－x x＋2≥0，x＋2≠0，解得－2<x≤1，即函数的定义域为(－2,1]．答案：B3．已知集合A＝{x∈N|x2－x－6＜0}，则集合A的子集的个数为( )A．3 B．4C．7 D．8解析：不等式x2－x－6＜0的解集为{x|－2＜x＜3}，又x∈N，所以A＝{0,1,2}，故集合A的子集的个数为23＝8，故选D.答案：D4．已知集合A＝{x|x2－2x－3≥0}，B＝{x|－2≤x＜2}，则A∩B＝( ) A．[－2，－1] B．[－1,2)C．[－1,1] D．[1,2)解析：A＝{x|x≤－1或x≥3}，故A∩B＝[－2，－1]，选A.答案：A5．若a>b>0，则下列不等式不成立的是( )A.1a <1bB ．|a |>|b |C ．a ＋b <2abD.⎝ ⎛⎭⎪⎫12a <⎝ ⎛⎭⎪⎫12b 解析：∵a >b >0，∴1a <1b，且|a |>|b |，a ＋b >2ab ，又f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 是减函数， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫12a <⎝ ⎛⎭⎪⎫12b .故C 项不成立．答案：C6．设集合A ＝{x |x 2＋x －6≤0}，集合B 为函数y ＝1x －1的定义域，则A ∩B 等于( ) A ．(1,2) B ．[1,2] C ．[1,2)D ．(1,2]解析：A ＝{x |x 2＋x －6≤0}＝{x |－3≤x ≤2}，由x －1>0得x >1，即B ＝{x |x >1}，所以A ∩B ＝{x |1<x ≤2}．答案：D7．不等式(1＋x )(1－x )>0的解集是( ) A ．{x |－1<x <1} B ．{x |x <1}C ．{x |x <－1或x >1}D ．{x |x <1且x ≠－1}解析：原式可化为(x ＋1)(x －1)<0， ∴－1<x <1. 答案：A8．已知a >0，且a ≠1，m ＝aa 2＋1，n ＝a a ＋1，则( ) A ．m ≥n B ．m >n C ．m <nD ．m ≤n解析：由题易知m >0，n >0，两式作商，得mn＝a (a 2＋1)－(a ＋1)＝a a (a －1)，当a >1时，a (a －1)>0，所以a a (a －1)>a 0＝1，即m >n ；当0<a <1时，a (a －1)<0，所以a a (a －1)>a 0＝1，即m >n .综上，对任意的a >0，a ≠1，都有m >n .答案：B9．不等式组⎩⎨⎧x 2－4x ＋3<0，2x 2－7x ＋6>0的解集是( )A ．(2,3)B.⎝⎛⎭⎪⎫1，32∪(2,3)C.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，32∪(3，＋∞)D ．(－∞，1)∪(2，＋∞)解析：∵x 2－4x ＋3<0，∴1<x <3.又∵2x 2－7x ＋6>0，∴(x －2)(2x －3)>0，∴x <32或x >2，∴原不等式组的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32∪(2,3)．答案：B10．下列选项中，使不等式x <1x<x 2成立的x 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)B ．(－1,0)C ．(0,1)D ．(1，＋∞)解析：当x >0时，原不等式可化为x 2<1<x 3，解得x ∈∅，当x <0时，原不等式可化为⎩⎨⎧x 2>1，x 3<1，解得x <－1，选A.答案：A11．若a ，b ，c 为实数，且a ＜b ＜0，则下列命题正确的是( ) A ．ac 2＜bc 2 B ．a 2＞ab ＞b 2 C.1a ＜1bD.b a ＞a b解析：a 2－ab ＝a (a －b )，∵a ＜b ＜0，∴a －b ＜0，∴a 2－ab ＞0，∴a 2＞ab .① 又ab －b 2＝b (a －b )＞0，∴ab ＞b 2，② 由①②得a 2＞ab ＞b 2. 答案：B12．已知关于x 的不等式ax 2＋2x ＋c >0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，12，则不等式－cx 2＋2x －a >0的解集为．解析：依题意知，⎩⎪⎨⎪⎧－13＋12＝－2a，－13×12＝c a，解得a ＝－12，c ＝2，∴不等式－cx 2＋2x －a >0，即为－2x 2＋2x ＋12>0，即x 2－x －6<0，解得－2<x <3.所以不等式的解集为(－2，3)．答案：(－2,3)13．若0<a <1，则不等式(a －x )⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a >0的解集是．解析：原不等式为(x －a )⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a <0，由0<a <1得a <1a ，∴a <x <1a .答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪a <x <1a 14．已知关于x 的不等式x 2－ax ＋2a >0在R 上恒成立，则实数a 的取值范围是．解析：不等式x 2－ax ＋2a >0在R 上恒成立，即Δ＝(－a )2－8a <0，∴0<a <8，即a 的取值范围是(0,8)．答案：(0,8)15．已知f (x )是定义域为R 的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－4x .求不等式f (x ＋2)＜5的解集．解析：当x ≥0时，f (x )＝x 2－4x <5的解集为[0,5)，又f (x )为偶函数，所以f (x )<5的解集为(－5,5)．所以f (x ＋2)<5的解集为(－7,3)．B 组——能力提升练1．已知a ，b ，c ∈R ，则下列命题正确的是( ) A ．a >b ⇒ac 2>bc 2 B.a c >b c⇒a >bC.⎭⎬⎫a >b ab <0⇒1a >1bD.⎭⎬⎫a >b ab >0⇒1a >1b解析：当c ＝0时，ac 2＝0，bc 2＝0，故由a >b 不能得到ac 2>bc 2，故A 错误；当c <0时，a c >b c ⇒a 0⇔⎩⎨⎧ab >0，a <b或⎩⎨⎧ab <0，a >b ，故选项D 错误，C 正确．故选C. 答案：C2．已知a ，b ，c ∈R ，函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c .若f (0)＝f (4)>f (1)，则( ) A ．a >0,4a ＋b ＝0 B ．a <0,4a ＋b ＝0 C ．a >0,2a ＋b ＝0D ．a <0,2a ＋b ＝0解析：∵f (0)＝f (4)>f (1)， ∴c ＝16a ＋4b ＋c >a ＋b ＋c ， ∴16a ＋4b ＝0，即4a ＋b ＝0，且15a ＋3b >0，即5a ＋b >0，而5a ＋b ＝a ＋4a ＋b ，∴a >0.故选A. 答案：A3．在R 上定义运算：⎝⎛⎭⎪⎫ab cd ＝ad －bc ，若不等式⎝ ⎛ x －1a ＋1⎭⎪⎫a －2x≥1对任意实数x 恒成立，则实数a 的最大值为( ) A ．－12B ．－32C.12D.32解析：由定义知，不等式⎝⎛ x －1a ＋1⎭⎪⎫a －2x≥1等价于x 2－x －(a 2－a －2)≥1，∴x 2－x ＋1≥a 2－a 对任意实数x 恒成立．∵x 2－x ＋1＝⎝⎛⎭⎪⎫x －122＋34≥34，∴a 2－a ≤34，解得－12≤a ≤32，则实数a 的最大值为32. 答案：D4．“(m －1)(a －1)>0”是“log a m >0”的一个( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：当(m －1)(a －1)>0时，有⎩⎨⎧m >1，a >1，或⎩⎨⎧m <1，a <1，当m <0，a <0时，log a m无意义，故log a m >0不一定成立；当log a m >0时，则⎩⎨⎧m >1，a >1或⎩⎨⎧0<m <1，0<a <1，则(m －1)(a －1)>0恒成立，故“(m －1)·(a －1)>0”是“log a m >0”的必要不充分条件．故选B. 答案：B5．若0b C ．a b >b aD ．log b a >log a b解析：对于A ，函数y ＝1x 在(0，＋∞)上单调递减，所以当0b 恒成立；对于C ，当0<a <1时，函数y ＝a x 单调递减，所以a b >a a ，函数y ＝x a 单调递增，所以a a >b a ，所以a b >a a >b a 恒成立．所以选D. 答案：D6．若a |b | B.1a －b >1aC.1a >1bD ．a 2>b 2解析：由不等式的性质可得|a |>|b |，a 2>b 2，1a >1b 成立．假设1a －b >1a成立，由a 0，由1a －b >1a ⇒a (a －b )·1a －b >1a·a (a －b )⇒a >a －b ⇒b >0，与已知矛盾，故选B. 答案：B7．已知f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，且在(－∞，0]上是增函数．设a ＝f (log 47)，b ＝，c ＝f (21.6)，则a ， b ，c 的大小关系是( )A ．c <a <bB ．c log 47,21.6>2，∴log 47<log 49<21.6.∵f (x )在 (－∞，0]上是增函数，∴f (x )在[0，＋∞)上为减函数，则f (log 47)>f (log 49)>f (21.6)，即c <b <a ，故选B. 答案：B8．(2018·武汉调研)已知圆C ：(x －1)2＋(y －4)2＝10和点M (5，t )，若圆C 上存在两点A ，B ，使得MA ⊥MB ，则实数t 的取值范围为( ) A ．[－2,6] B ．[－3,5] C ．[2,6]D ．[3,5] 解析：当MA ，MB 与圆相切时，|CM |＝5－12＋t －42＝20，由题意，圆C 上存在两点使MA ⊥MB ，则|CM |＝5－12＋t －42≤20⇒2≤t ≤6，故选C. 答案：C9．函数f (x )＝⎩⎨⎧|3x －4|x ≤2，2x －1x >2，则f (x )≥1的解集为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，53 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤53，3 C ．(－∞，1)∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫53，＋∞D ．(－∞，1]∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤53，3解析：不等式f (x )≥1等价于⎩⎨⎧x >2，2x －1≥1或⎩⎨⎧x ≤2，|3x －4|≥1，解之得x ≤1或53≤x ≤3，所以不等式的解集为(－∞，1]∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤53，3，故选D. 答案：D10．若不等式组⎩⎨⎧x 2－2x －3≤0，x 2＋4x －1＋a ≤0的解集不是空集，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－4]B ．[－4，＋∞)C ．[－4,3]D ．[－4,3)解析：不等式x 2－2x －3≤0的解集为[－1,3]，假设⎩⎨⎧x 2－2x －3≤0，x 2＋4x －a ＋1≤0的解集为空集，则不等式x 2＋4x －(a ＋1)≤0的解集为集合{x |x <－1或x >3}的子集，因为函数f (x )＝x 2＋4x －(a ＋1)的图像的对称轴方程为x ＝－2，所以必有f (－1)＝－4－a >0，即a <－4，则使⎩⎨⎧x 2－2x －3≤0，x 2＋4x －1＋a ≤0的解集不为空集的a的取值范围是a ≥－4. 答案：B11．设0≤α≤π，不等式8x 2－(8sin α)x ＋cos 2α≥0对x ∈R 恒成立，则α的取值范围为．解析：由8x 2－(8sin α)x ＋cos 2α≥0对x ∈R 恒成立，得Δ＝(－8sin α)2－4×8cos 2α≤0，即64sin 2α－32(1－2sin 2α)≤0，得到sin 2α≤14，∵0≤α≤π，∴0≤sin α≤12，∴0≤α≤π6或5π6≤α≤π，即α的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π6，π. 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π6，π 12．若关于x 的二次不等式x 2＋mx ＋1≥0的解集为R ，则实数m 的取值范围．解析：不等式x2＋mx＋1≥0的解集为R，相当于二次函数y＝x2＋mx＋1的最小值非负，即方程x2＋mx＋1＝0最多有一个实根，故Δ＝m2－4≤0，解得－2≤m≤2.。

2019版同步优化探究理数(北师大版)练习第六章第三节二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题 Word版

课时作业组——基础对点练．(·武汉市模拟)若实数，满足约束条件(\\(≥，≥，＋≤，))则＝－的最大值是( )．．．－．解析：不等式组(\\(≥，≥，＋≤))表示的平面区域如图中阴影部分所示，作出直线－＝，平移该直线，当直线经过点()时，取得最大值，此时＝，故选.答案：．已知实数，满足不等式＋≤，记＝＋，则的最小值为( )．－．－．－．－解析：＋≤表示的平面区域为如图所示的四边形内部及其边界，由图可知当直线＝－＋经过点(－)时，取得最小值，所以＝＋(－)＝－.答案：．(·长沙市模拟)已知变量，满足(\\(－≤，－＋≥，≥，))则＝·的最大值是( )．．．．解析：＝·＝＋，求的最大值就是求＋的最大值，设＝＋，作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，作直线＋＝，平移该直线，当直线经过点()时，取得最大值，＝＋＝，则＝＝.答案：．已知实数，满足(\\(≥＋，＋≤，≥，))则＝－＋的最小值是( )．．．．解析：画出不等式组(\\(≥＋，＋≤，≥))表示的可行域，如图阴影部分，其中()，()，()，∴∈[]，∈[]．∴＝－＋＝－＋＋，当直线＝－＋过点()时，直线在轴上的截距最小，此时有最小值，∴＝－×＋＋＝，故选.答案：．(·兰州实战模拟)已知(－)，(，－)，(，)的坐标，满足(\\(≥≥＋≤))，则△面积的取值范围是( )．[]．[]．[，]．[] 解析：作出不等式组(\\(≥≥＋≤))表示的平面区域如图中阴影部分所示．又过点(－)，(，－)的直线的方程为＋＋＝，而它与直线＋＝平行，其距离＝＝，所以当点在原点处时，△的面积最小，其面积为△的面积，此时＝××＝；当点在线△段上时，△的面积最大，为××＝，故选.答案：．(·太原市模。

2019版同步优化探究文数(北师大版)练习第六章第二节基本不等式 Word版含解析

课时作业组——基础对点练．若对任意>，≤恒成立，即的取值范围是( )．>．≥．≤．<解析：因为对任意>，≤恒成立，所以对∈(，＋∞)，≥，而对∈(，＋∞)，＝≤＝，当且仅当＝时等号成立，∴≥.答案：．(·厦门一中检测)设<<，则下列不等式中正确的是( )．<<<．<<<<<<．<<< 解析：因为<<，所以－＝(－)<，故<；－＝>，故>；由基本不等式知>，综上所述，<<<，故选.答案：．(·山东名校调研)若正数，满足＋＝，则＋的最小值是( )．．．．解析：由＋＝，得＝＋＝，所以＋＝(＋)·(＋)＝(＋＋＋)≥(＋＋)＝，当且仅当＝，即＝时，“＝”成立，故＋的最小值为.答案：．若，∈，且>，则下列不等式中，恒成立的是( )＋>．＋≥．＋>＋≥解析：因为>，所以>，>，所以＋≥＝，当且仅当＝时取等号．答案：．下列不等式一定成立的是( )．> (>)．＋)≥(≠π，∈)．＋≥(∈)>(∈)解析：对选项，当>时，＋－＝≥，∴≥，故不成立；对选项，当<时显然不成立；对选项，＋＝＋≥，一定成立；对选项，∵＋≥，∴<≤，故不成立．答案：．若实数，满足＋＝，则的最小值为( )．．．解析：法一：由已知得＋＝＝，且>，>，∴＝＋≥，∴≥.法二：由题设易知>，>，∴＝＋≥，即≥，选.答案：．(·天津模拟)若(＋)＝，则＋的最小值是( )．＋．＋．＋．＋解析：因为(＋)＝，所以(＋)＝()，即＋＝，且(\\(＋>，>，))即>，>，所以＋＝(>，>)，＋＝(＋)·(＋)＝＋＋≥＋＝＋，当且仅当＝时取等号，故选.答案：．(·银川一中检测)对一切实数，不等式＋＋≥恒成立，则实数的取值范围是( )．[－，＋∞)．(－∞，－)．[，＋∞)． [－] 解析：当＝时，不等式＋＋≥恒成立，此时∈，当≠时，则有≥＝－(＋)，设()＝－(＋)，则≥()，由基本不等式得＋≥(当且仅当＝时取等号)，则()＝－，故≥－.故选.答案：．当>时，函数()＝有( )．最大值．最小值．最小值．最大值解析：()＝≤＝.当且仅当＝，>即＝时取等号．所以()有最大值.答案：．(·南昌调研)已知，∈，且≠，则下列结论恒成立的是( )．＋≥．＋>．＋≥＋≥解析：对于，当，为负数时，＋≥不成立；对于，当＝时，＋>不成立；对于，当，异号时，＋≥不成立；对于，因为，同号，所以＋＝＋≥＝(当且仅当＝时取等号)，即＋≥恒成立．答案：．设()＝ <<，若＝()，＝()，＝(()＋())，则下列关系式中正确的是( )。

高考数学一轮复习第六章第二节二元一次不等式组与简单的线性规划问题课时规范练文含解析北师大版

第六章不等式、推理与证明第二节二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题课时规范练 A 组——基础对点练1．下列各点中，与点(2，2)位于直线x ＋y －1＝0的同一侧的是( ) A ．(0，0) B ．(－1，1) C ．(－1，3)D ．(2，－3)解析：点(2，2)使x ＋y －1＞0，点(－1，3)使x ＋y －1＞0，所以此两点位于x ＋y －1＝0的同一侧．答案：C2．(2020·铁岭模拟)已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≤0，3x －y ＋1≥0，x －y －1≤0，则z ＝2x ＋y 的最大值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：作图易知可行域为一个三角形，其三个顶点为(0，1)，(1，0)，(－1，－2)，验证知当直线z ＝2x ＋y 过点A (1，0)时，z 最大是2. 答案：B3．(2020·大连模拟)若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，2x ＋y ≤2，y ≥0，x ＋y ≤a 表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是( ) A.⎣⎡⎭⎫43，＋∞B ．(0，1]C.⎣⎡⎦⎤1，43D．(0，1]∪⎣⎡⎭⎫43，＋∞解析：不等式组⎩⎨⎧x－y≥0，2x＋y≤2，y≥0表示的平面区域如图(阴影部分)，求得A，B两点的坐标分别为⎝⎛⎭⎫23，23和(1，0)，若原不等式组表示的平面区域是一个三角形，则a的取值范围是0＜a≤1或a≥43.答案：D4．若函数y＝log2x的图像上存在点(x，y)满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x＋y－3≤0，2x－y＋2≥0，y≥m，则实数m的最大值为()A.12B．1C.32D．2解析：如图，作出不等式组表示的可行域，当函数y＝log2x的图像过点(2，1)时，实数m有最大值1.答案：B5．(2020·石家庄模拟)已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤5，x －4y ≤0，x －y ＋3≥0则下列目标函数中，在点(4，1)处取得最大值的是( ) A ．z＝15x －yB ．z ＝－3x ＋yC ．z ＝15x ＋yD ．z ＝3x －y解析：画⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤5，x －4y ≤0，x －y ＋3≥0的线性区域，求得A ，B ，C 三点坐标为(4，1)、(1，4)、(－4，－1)，由于只在(4，1)处取得最大值，否定A 、B 、C.答案：D6．若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x ＋2y －2≥0，x －y ＋2m ≥0表示的平面区域为三角形，且其面积等于43，则m 的值为( )A ．－3B ．1 C.43D ．3解析：作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，由图可知，要使不等式组表示的平面区域为三角形，则m >－1.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2＝0，x －y ＋2m ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－m ，y ＝1＋m ，即A (1－m ，1＋m )．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －2＝0，x －y ＋2m ＝0，解得⎩⎨⎧x ＝23－43m ，y ＝23＋23m ，即B ⎝⎛⎭⎫23－43m ，23＋23m . 因为S △ABC ＝S △ADC －S △BDC ＝12(2＋2m )·⎣⎡⎦⎤（1＋m ）－⎝⎛⎭⎫23＋23m ＝13(m ＋1)2＝43，所以m ＝1或m ＝－3(舍去)，故选B. 答案：B7．已知x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0，x ＋y ≥0，x ≤3，则z ＝y －1x ＋3的最大值为( )A ．2B ．3C ．－23D ．－53解析：作出可行域(图略)，问题转化为区域上哪一点与点M (－3，1)连线斜率最大，观察知点A ⎝⎛⎭⎫－52，52使k MA 最大，z max ＝k MA ＝52－1－52＋3＝3. 答案：B8．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y －3≤0，2x －3y ＋3≥0，y ＋3≥0，则z ＝2x ＋y 的最小值是( )A ．－15B ．－9C ．1D ．9解析：法一：作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y －3≤0，2x －3y ＋3≥0，y ＋3≥0对应的平面区域，如图中阴影部分所示．易求得可行域的顶点A (0，1)，B (－6，－3)，C (6，－3)，当直线z ＝2x ＋y 过点B (－6，－3)时，z 取得最小值，z min ＝2×(－6)－3＝－15，选A.法二：易求可行域顶点A (0，1)，B (－6，－3)，C (6，－3)，分别代入目标函数，求出对应的z 的值依次为1，－15，9，故最小值为－15. 答案：A9．若关于x ，y 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，x ＋y ≥0，kx －y ＋1≥0表示的平面区域是等腰直角三角形，则其表示的区域面积为________．解析：直线kx －y ＋1＝0过点(0，1)，要使不等式组表示的区域为等腰直角三角形，只有直线kx －y ＋1＝0垂直于y 轴(如图(1))或与直线x ＋y ＝0垂直(如图(2))时才符合题意．所以S ＝12×1×1＝12或S ＝12× 22×22＝14.答案：12或1410．(2020·兰州诊断)已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥03x ＋4y ≥4，y ≥0则x 2＋y 2的最小值是________．解析：画出不等式组表示的平面区域如图所示，x 2＋y 2表示平面区域内的点到坐标原点的距离的平方．由题意知，当以原点为圆心的圆与直线3x ＋4y －4＝0相切时，x 2＋y 2取得最小值，即x2＋y 2＝|－4|5＝45，所以(x 2＋y 2)min ＝1625.答案：1625B 组——素养提升练11．(2020·太原模拟)已知点(x ，y )所在的可行域如图中阴影部分所示(包含边界)，若使目标函数z ＝ax ＋y 取得最大值的最优解有无数多个，则a 的值为( )A ．4B ．14C.53D ．35解析：因为目标函数z ＝ax ＋y ，所以y ＝－ax ＋z ，易知z 是直线y ＝－ax ＋z 在y 轴上的截距．分析知当直线y ＝－ax ＋z 的斜率与直线AC 的斜率相等时，目标函数z ＝ax ＋y 取得最大值的最优解有无数多个，此时－a ＝225－21－5＝－35，即a ＝35，故选D.答案：D12．(2020·开封模拟)已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，x ＋2y ＋2≥0，x ≤1，则z ＝(12)x －2y 的最大值是( )A.132 B ．116C ．32D ．64解析：法一：作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，设u ＝x －2y ，由图知，当直线u ＝x －2y 经过点A (1，3)时，u 取得最小值，即u min ＝1－2×3＝－5，此时z ＝(12)x －2y取得最大值，即z max ＝(12)－5＝32，故选C.法二：由题易知z ＝(12)x －2y 的最大值在可行域的顶点处取得，只需求出顶点A ，B ，C 的坐标分别代入z ＝(12)x －2y，即可求得最大值．联立得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，x －y ＋2＝0，解得A (1，3)，代入可得z ＝32；联立得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，x ＋2y ＋2＝0，解得B (1，－32)，代入可得z ＝116；联立得⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2＝0，x ＋2y ＋2＝0，解得C (－2，0)，代入可得z ＝4.通过比较可知，在点A (1，3)处，z ＝(12)x －2y 取得最大值32，故选C.答案：C13．(2020·福州模拟)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥1，x ＋2y ≤2的解集记为D .有下面四个命题：p 1：任意(x ，y )∈D ，x －2y ≥2； p 2：存在(x ，y )∈D ，x －2y ≥3； p 3：任意(x ，y )∈D ，x －2y ≥23；p 4：存在(x ，y )∈D ，x －2y ≤－2. 其中的真命题是( ) A ．p 2，p 3 B ．p 1，p 4 C ．p 1，p 2D ．p 1，p 3解析：不等式组表示的平面区域为如图所示的阴影部分，由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝1，x ＋2y ＝2，解得⎩⎨⎧x ＝43，y ＝13，所以M (43，13)．由图可知，当直线z ＝x －2y 过点M (43，13)时，z 取得最小值，且z min ＝43－2×13＝23，所以真命题是p 2，p 3，故选A. 答案：A14．(2020·桂林模拟)若直线ax －y －a ＋3＝0将x ，y 满足的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋5≥0，x ＋y －1≥0，x －y ＋1≤0表示的平面区域分成面积相等的两部分，则z ＝4x －ay 的最大值是( ) A ．－8 B ．2 C ．4D ．8解析：由直线ax －y －a ＋3＝0，得a (x －1)＋(3－y )＝0，此直线恒过点C (1，3)．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋5≥0，x ＋y －1≥0，x －y ＋1≤0表示的平面区域如图中阴影部分所示．由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋5＝0，x －y ＋1＝0，解得B (3，4)．由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋5＝0，x ＋y －1＝0，解得A (－1，2)，可得C (1，3)是AB 的中点．若直线ax －y －a ＋3＝0将阴影部分所表示的平面区域分成面积相等的两部分，则直线过顶点M (0，1)．将M (0，1)代入ax －y －a ＋3＝0，解得a ＝2.z ＝4x －ay ＝4x －2y ，即y ＝2x －z2.易知当y ＝2x －z2经过点B 时，目标函数取得最大值，且最大值为4×3－2×4＝4.故选C.答案：C15．已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y －2≤0，x ＋2y －5≥0，y －2≤0，则z ＝x ＋y ＋2x ＋1的范围是__________．解析：画出满足条件的平面区域，如图所示：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2，x ＋2y －5＝0，解得A (1，2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x －y －2＝0，x ＋2y －5＝0，解得B (3，1)，而z ＝x ＋y ＋2x ＋1＝1＋y ＋1x ＋1，而z ＝y ＋1x ＋1的几何意义表示过平面区域内的点与C (－1，－1)的直线的斜率，显然直线AC 斜率最大，直线BC 斜率最小，k AC ＝2＋11＋1＝32，k BC ＝1＋13＋1＝12，所以z ＝x ＋y ＋2x ＋1的最大值是1＋32＝52，最小值为1＋12＝32.答案：⎣⎡⎦⎤32，5216．某企业生产甲、乙两种产品均需用A ，B 两种原料，已知生产1吨每种产品需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为________.甲乙原料限额 A (吨)3212B(吨)128解析：设每天生产甲、乙两种产品分别为x吨，y吨，利润为z万元，则⎩⎪⎨⎪⎧3x＋2y≤12，x＋2y≤8，x≥0，y≥0，目标函数为z＝3x＋4y.作出二元一次不等式组所表示的平面区域(阴影部分)，即可行域．由z＝3x＋4y得y＝－34x＋z4，平移直线y＝－34x＋z4，由图像可知当直线y＝－34x＋z4经过点A时，直线y＝－34x＋z4在y轴上的截距最大，此时z最大，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x＋2y＝12，x＋2y＝8，得⎩⎪⎨⎪⎧x＝2，y＝3，即A点的坐标为(2，3)，所以z max＝3x＋4y＝6＋12＝18.即每天生产甲、乙两种产品分别为2吨、3吨，能够产生最大的利润，最大的利润是18万元．答案：18万元。

2019版同步优化探究理数北师大版练习：第六章第二节基本不等式含解析

2019版同步优化探究理数北师大版练习：第六章第二节基本不等式含解析1 / 11 / 1课时作业A 组 —— 基础对点练x1．若对随意 x>0，x 2＋3x ＋1≤a 恒建立，则 a 的取值范围是 ()1 1 A ． a ≥5 B ．a>51 1 C ． a<5D ．a ≤5分析：由于对随意 x>0， 2 x≤a 恒建立，x ＋ 3x ＋1 因此对 x ∈(0，＋ ∞)， a ≥2 xmax ，x ＋3x ＋1而对 x ∈(0，＋ ∞ )，x＝ 1 ≤1＝1，x 2＋3x ＋1x ＋ 115x ＋ 3 2 x ·＋3x11当且仅当 x ＝ x 时等号建立，∴a ≥5.答案： A2．(2018 ·厦门一中检测 )设 0<a0，2 ＝2 a ＋ba ＋ba ＋b故 b> 2 ；由基本不等式知 2>ab ，综上所述， a< ab< 2 <b ，应选 B.答案： B3．(2018 ·山东名校调研 )若正数 x ，y 知足 3x ＋y ＝5xy ，则 4x ＋3y 的最小值是 ( )A ． 2B ．3C ． 4D ．5分析：由 3x ＋ y ＝5xy ，得 3x ＋y 3 11 3 1 1 xy ＝＋＝5，因此 4x ＋3y ＝(4x ＋3y)·( ＋)＝ (4y x5 y x5。

高考数学一轮复习第六章不等式二元一次不等式组与简单的线性规划问题学案理含解析北师大版

高考数学一轮复习第六章不等式：第二节二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题命题分析预测学科核心素养从近五年的命题情况来看，本节是高考的重点，命题稳定，难度适中．主要考查利用线性规划知识求目标函数的最值、取值范围、参数的取值（范围）以及实际应用，目标函数大多是线性的，偶尔也会出现斜率型和距离型的目标函数，主要以选择题和填空题的形式出现．本节通过线性规划问题及其应用，提升考生的数学运算、直观想象和数学建模核心素养及数形结合思想的应用能力．授课提示：对应学生用书第123页知识点简单的线性规划1．二元一次不等式（组）表示的平面区域不等式表示区域Ax＋By＋C＞0 直线Ax＋By＋C＝0某一侧的所有点组成的平面区域不包括边界直线Ax＋By＋C≥0包括边界直线不等式组各个不等式所表示平面区域的公共部分2．线性规划中的基本概念名称意义约束条件由变量x，y组成的不等式（组）线性约束条件由x，y的一次不等式（或方程）组成的不等式（组）目标函数关于x，y的函数解析式，如z＝2x＋3y等线性目标函数关于x，y的一次解析式可行解满足线性约束条件的解（x，y）可行域所有可行解组成的集合最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解线性规划问题在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题•温馨提醒•1．画平面区域时避免失误的重要方法就是首先使二元一次不等式化为Ax＋By＋C＞0（A＞0）的形式．2．线性规划问题中的最优解不一定是唯一的，即可行域内使目标函数取得最值的点不一定只有一个，也可能有无数多个，也可能没有．1．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋6≥0，x －y ＋2＜0表示的平面区域是（）答案：B2．（易错题）已知x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0，x ＋y ≥0，x ≤3，若使得z ＝ax ＋y 取最大值的点（x ，y ）有无数个，则a 的值为（） A ．－1 B ．1 C ．2D ．－2解析：先根据约束条件画出可行域，如图中阴影部分所示，当直线z ＝ax ＋y 和直线AB 重合时，z 取得最大值的点（x ，y ）有无数个，所以－a ＝k AB ＝1，所以a ＝－1．答案：A3．投资生产A 产品时，每生产100吨需要资金200万元，需场地200平方米；投资生产B 产品时，每生产100吨需要资金300万元，需场地100平方米．现某单位可使用资金1 400万元，场地900平方米，则上述要求可用不等式组表示为 ________．（用x ，y 分别表示生产A ，B 产品的吨数，x 和y 的单位是百吨）解析：用表格列出各数据A B 总数产品吨数 x y 资金 200x 300y 1 400 场地200x100y900所以不难看出，x ≥0，y ≥0，200x ＋300y ≤1 400，200x ＋100y ≤900．答案：⎩⎪⎨⎪⎧200x ＋300y ≤1 400，200x ＋100y ≤900，x ≥0，y ≥0授课提示：对应学生用书第124页题型一二元一次不等式（组）表示的平面区域1．在平面直角坐标系中，不等式组⎩⎨⎧3x －y ≤0，x －3y ＋2≥0，y ≥0表示的平面区域的面积是（）A ．32B ． 3C ． 2D ．2 3解析：作出不等式组表示的平面区域是以点O （0，0），B （－2，0）和A （1，3）为顶点的三角形区域，如图所示的阴影部分（含边界），由图知该平面区域的面积为12×2×3＝3．答案：B2．已知约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y －4≤0，kx －y ≤0表示面积为1的直角三角形区域，则实数k 的值为（）A ．1B ．－1C ．0D ．－2解析：由于x ＝1与x ＋y －4＝0不可能垂直，所以只有可能x ＋y －4＝0与kx －y ＝0垂直或x＝1与kx －y ＝0垂直．①当x ＋y －4＝0与kx －y ＝0垂直时，k ＝1，检验知三角形区域面积为1，即符合要求；②当x ＝1与kx －y ＝0垂直时，k ＝0，检验不符合要求．综上，实数k 的值为1．答案：A3．已知直线y ＝kx －3经过不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，2x －y ≤4，y ≤4所表示的平面区域，则实数k 的取值范围是（） A ．⎣⎡⎦⎤－72，32 B ．⎝⎛⎦⎤－∞，－72∪⎣⎡⎭⎫32，＋∞ C ．⎣⎡⎦⎤－72，74 D ．⎝⎛⎦⎤－∞，－72∪⎣⎡⎭⎫74，＋∞ 解析：画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，2x －y ≤4，y ≤4所表示的平面区域，如图所示，直线y ＝kx －3过定点M （0，－3），由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝4，x ＋y －2＝0，解得A （－2，4），当直线y ＝kx －3过点A 时，k ＝－3－40－（－2）＝－72；由⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＝4，x ＋y －2＝0，解得B （2，0），当直线y ＝kx －3过点B 时，k ＝－3－00－2＝32．由图形知，实数k 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，－72∪⎣⎡⎭⎫32，＋∞．答案：B根据平面区域确定参数的方法在含有参数的二元一次不等式组所表示的平面区域问题中，首先把不含参数的平面区域确定好，然后用数形结合的方法根据参数的不同取值情况画图观察区域的形状，根据求解要求确定问题的答案．题型二目标函数的最值及应用线性规划问题是高考的重点，而线性规划问题具有代数和几何的双重形式，多与函数、平面向量、数列、三角函数、概率、解析几何等问题交叉渗透，自然地融合在一起，使数学问题的解答变得更加新颖别致．归纳起来常见的命题探究角度有：（1）求线性目标函数的最值；（2）求非线性目标函数的最值；（3）求目标函数中的参数；（4）线性规划的实际应用．考法（一）求线性目标函数的最值[例1] （2020·高考全国卷Ⅰ）若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －2≤0，x －y －1≥0，y ＋1≥0，则z ＝x ＋7y 的最大值为________．[解析] 画出可行域如图阴影部分所示．由z ＝x ＋7y 得y ＝－17x ＋17z ．平移直线l 0：y ＝－17x ，可知当直线y ＝－17x ＋17z 过点A 时z 最大．由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －2＝0，x －y －1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝0，即A （1，0） ∴z max ＝1＋7×0＝1． [答案] 1求目标函数最值的三步骤（1）作图——画出约束条件所确定的平面区域和目标函数所表示的平行直线系中过原点的那一条直线．（2）平移——将l 平行移动，以确定最优解的对应点的位置．（3）求值——解方程组求出对应点坐标（即最优解），代入目标函数，即可求出最值．考法（二）求非线性目标函数的最值[例2] （1）设实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y －2≤0，x ＋2y －5≥0，y －2≤0，则u ＝yx的取值范围是（）A ．⎣⎡⎦⎤13，2 B ．⎣⎡⎦⎤13，12 C ．⎣⎡⎦⎤12，2D ．⎣⎡⎦⎤2，52 （2）（2021·安徽马鞍山模拟）已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≤1，y ≤x ＋1，y ≥1－x ，则x 2＋y 2的最大值与最小值之和为（） A ．5 B ．112C ．6D ．7[解析] （1）在坐标平面上点（x ，y ）所表示的区域如图所示，根据几何意义，u 的值即为区域内的点与坐标原点连线的斜率，显然k OA 最小，k OB 最大．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －5＝0，x －y －2＝0，得点A （3，1），由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －5＝0，y ＝2，得点B （1，2），故13≤u ≤2．（2）作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤1，y ≤x ＋1，y ≥1－x 表示的可行域如图中阴影部分所示，x 2＋y 2的几何意义是原点O 到可行域内点的距离的平方，由图可知，O 到直线x ＋y －1＝0的距离最小，为12．可行域内的点B 与坐标原点的距离最大，为22＋12＝5．所以x 2＋y 2的最大值与最小值之和为5＋12＝112．[答案] （1）A （2）B常见的两种非线性目标函数及其几何意义（1）点到点的距离型：形如z ＝（x －a ）2＋（y －b ）2，表示区域内的动点（x ，y ）与定点（a ，b ）的距离的平方．（2）斜率型：形如z ＝y －bx －a ，表示区域内的动点（x ，y ）与定点（a ，b ）连线的斜率．考法（三）线性规划中的参数问题[例3] 若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，x ＋y －m ≥0，x －3≤0，若z ＝2x －3y 的最大值为9，则正实数m 的值为________．[解析] 作出x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，x ＋y －m ≥0，x －3≤0表示的可行域如图中阴影部分所示，由图可知z ＝2x －3y 在点A 处取得最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －m ＝0，x ＝3解得A （3，m －3），由z max ＝2×3－3（m －3）＝9，解得m ＝2． [答案] 2求解线性规划中含参数问题的基本方法（1）把参数当成常数用，根据线性规划问题的求解方法求出最优解，代入目标函数确定最值，通过构造方程或不等式求解参数的值或取值范围．（2）先分离含有参数的式子，通过观察的方法确定含参的式子所满足的条件，确定最优解的位置，从而求出参数．考法（四）线性规划的实际应用[例4] 为了活跃学生课余生活，我校高三年级部计划使用不超过1 200元的资金购买单价分别为90元、120元的排球和篮球．根据需要，排球至少买3个，篮球至少买2个，并且排球的数量不得超过篮球数量的2倍，则能买排球和篮球的个数之和的最大值是________． [解析] 设买排球x 个，篮球y 个，买排球和篮球的个数之和z ＝x ＋y ．则⎩⎪⎨⎪⎧x ≥3，y ≥2，x ≤2y ，90x ＋120y ≤1 200，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≥3，y ≥2，x ≤2y ，3x ＋4y ≤40.由约束条件作出可行域如图中阴影部分所示．联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ，3x ＋4y ＝40，解得A （8，4），化目标函数z ＝x ＋y 为y ＝－x ＋z ，由图可知，当直线y ＝－x ＋z 过点A 时，直线在y 轴上的截距最大，z 有最大值，此时z ＝8＋4＝12． [答案] 12解答线性规划实际问题的三步骤（1）根据题意设出变量，找出约束条件和目标函数．（2）准确作出可行域，求出最优解．（3）将求解出来的结论反馈到实际问题当中，设计最佳方案．[题组突破]1．（2021·石家庄市高三模拟）已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ，x ＋y ≤1，y ≥－1，则z ＝2x ＋y 的最大值为（）A ．－3B ．32C ．3D ．4解析：画出约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ，x ＋y ≤1，y ≥－1表示的平面区域，如图中阴影部分所示，作出直线2x ＋y ＝0，平移该直线，当直线过点B 时，z ＝2x ＋y 取得最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，y ＝－1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－1，所以B （2，－1），故z max ＝2×2－1＝3．答案：C2．若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，mx －y ≤0，3x －2y ＋2≥0，且z ＝3x －y 的最大值为2，则实数m 的值为（）A ．13B ．23C ．1D ．2解析：若z ＝3x －y 的最大值为2，则此时目标函数为y ＝3x －2，直线y ＝3x －2与3x －2y ＋2＝0和x ＋y ＝1分别交于A （2，4），B ⎝⎛⎭⎫34，14，直线mx －y ＝0经过其中一点，所以m ＝2或m ＝13．当m ＝13时，经检验不符合题意，舍去，故m ＝2．答案：D3．某届冬奥会中国运动健儿发挥稳定，向世界展现了良好的精神风貌．在饮食方面，每天的中餐主办方向运动员提供A 和B 两种套餐．已知一个单位的A 套餐含有6个单位的蛋白质、6个单位的碳水化合物和12个单位的维生素；一个单位的B 套餐含有12个单位的蛋白质、6个单位的碳水化合物和6个单位的维生素．另外，营养师分析：一位运动员每天的中餐需要的营养中至少含有60个单位的蛋白质、42个单位的碳水化合物、54个单位的维生素．若每单位A ，B 套餐所需费用分别为4元和3元，则在满足上述营养的要求下，每位运动员每天的中餐至少花费元．解析：设每位运动员食用x 个单位的A 套餐，食用y 个单位的B 套餐，每天中餐的花费为z元，根据题意，得到约束条件⎩⎪⎨⎪⎧6x ＋12y ≥60，6x ＋6y ≥42，12x ＋6y ≥54，x ，y ∈N ，化简得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≥10，x ＋y ≥7，2x ＋y ≥9，x ，y ∈N ，目标函数z ＝4x ＋3y ．作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≥10，x ＋y ≥7，2x ＋y ≥9，x ≥0，y ≥0表示的平面区域如图中阴影部分所示，结合图形可知目标函数z ＝4x ＋3y 在A （2，5）处取得最小值，所以z min ＝4×2＋3×5＝23，故每位运动员每天的中餐至少花费23元．答案：23 线性规划应用中的核心素养直观想象——线性规划的创新交汇问题[例] 已知不等式组⎩⎨⎧x ＋y －22≥0，x ≤22，y ≤22表示的平面区域为Ω，过区域Ω中的任意一个点P ，作圆x 2＋y 2＝1的两条切线且切点分别为A ，B ，当∠APB 最大时，P A →·PB →的值为（）A ．2B ．32C ．52D ．3[解析] 作出平面区域Ω如图中阴影部分所示，当∠APB 最大时，∠APO 最大，sin ∠APO ＝|AO ||OP |＝1|OP |最大，故|OP |最小，易知|OP |的最小值为点O 到直线x ＋y －22＝0的距离d ，且d ＝2，故sin ∠APO ≤12，当等号成立时，∠APB ＝2∠APO ＝60°，且|P A |＝|PB |＝3，此时P A →·PB →＝|P A →|·|PB →|·cos ∠APB ＝32．[答案] B求解此类问题的关键是利用转化思想与数形结合思想进行求解．[对点训练]已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ≤0，2x ＋y －10≤0，x ≥1，设向量a ＝（y －2x ，m ），b ＝（1，－1），若a ∥b ，则m的最大值为（）A ．－6B ．6C ．1D ．－1解析：因为a ＝（y －2x ，m ），b ＝（1，－1），a ∥b ，所以m ＝2x －y ，作出可行域如图中阴影部分所示，作出直线2x －y ＝0，并平移，结合图像易知，m ＝2x －y 取得最大值的最优解为（4，2），所以m 的最大值为6．答案：B。

2019版同步优化探究文数(北师大版)练习：第六章 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题 含解析

2019高三数学文北师大版一轮教师用书：第6章 第3节 二

“二元一次不等式确定平面区域”方法的优化探究

(北师大版)高考数学第6章不等式推理与证明第2讲2元1次不等式(组)及简单的线性规划问题9

2019届高三文科数学同步优化探究(北师大版)课件：6-3二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题

2019版同步优化探究文数(北师大版)练习：第六章 第二节 基本不等式 Word版含解析

2019版同步优化探究文数(北师大版)练习：第六章 第二节 基本不等式

2019版同步优化探究文数(北师大版)练习第六章 第一节 不等式的性质、一元二次不等式 Word版含解析

2019高三数学文北师大版一轮教师用书第6章 第3节 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题 Word版含解析

2019(北师大版)探究文数练习：第六章 第三节 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题 【含答案】

2019版同步优化探究理数(北师大版)练习：第六章 第一节 不等式的性质、一元二次不等式 Word版含解析