《抛物线及其标准方程》导学案
抛物线及其标准方程(一) 导学案
抛物线及其标准方程（一）命题人:郭小艳审题人：周尚达班级姓名第合作小组【学习目标】1．理解抛物线的定义及标准方程的推导过程；2．准确写出抛物线的四种标准方程；3．会根据定义画出抛物线的草图【重点难点】重点：抛物线的定义难点：抛物线标准方程的不同形式【使用说明及其学法指导】阅读课本P64-67，完成下列任务预习案一．知识梳理1、抛物线的定义：平面内与一个定点F和一条定直线l的距离的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的；直线l叫做抛物线的．2.抛物线的标准方程②抛物线的焦点在标准方程中一次项对应的坐标轴上，且开口方向与一次项的系数的正负一致，比如：抛物线220-，故其焦点在y轴上，开口向负方向（向x y=-的一次项为20y下）二、问题探究如何利用定义,实现抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离之间的转换?三．预习自测1、求下列抛物线的焦点坐标及准线方程。
（1）x 2=5y ；（2）2y x =-；3.若抛物线22y px =的焦点与双曲线2213x y -=的右焦点重合,则p 的值 探究案例1（1）已知抛物线的标准方程是26y x =，求它的焦点坐标和准线方程；（2）已知抛物线的焦点是(0,2)F -，求它的标准方程．（3）已知抛物线的准线方程是y=3，求它的标准方程．（4）焦点到准线的距离是8，求它的标准方程课堂检测1、求下列抛物线的焦点坐标及准线方程。
（1）y=8x 2；（2）y=ax 2(a ≠0)；2、分别求满足下列条件的抛物线的标准方程。
（1）准线为1y 4=- ；（2）焦点到原点的距离为2；3．抛物线24x y =上一点A 的纵坐标为4，则点A 与抛物线焦点的距离为A. 2B.3C.4D.5。
高中数学抛物线及其标准方程精品导学案
抛物线及其标准方程一、课前导学 1.抛物线的定义平面内与一个定点F 和一条定直线l (l 不经过点F ) 的点的轨迹叫做抛物线.点F 叫做抛物线的 ，直线l 叫做抛物线的 2.抛物线的标准方程推导过程： 3．抛物线标准方程的几种形式预习自测1.方程[]22)1()3(2-++y x ＝|x －y ＋3|表示的曲线是( ) A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线2.若动点P 与定点F (1,1)和直线l ：3x ＋y －4＝0的距离相等，则动点P 的轨迹是 ( ) A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．直线3.若动圆与圆(x －2)2＋y 2＝1相外切，又与直线x ＋1＝0相切，则动圆圆心的轨迹是 ( ) A ．椭圆B ．双曲线C ．双曲线的一支D ．抛物线二、课堂导学例1.已知抛物线的方程如下，求其焦点坐标和准线方程.（1）y 2＝－6x ； （2）3x 2＋5y ＝0；（3）y ＝4x 2； （4）y 2＝a 2x (a ≠0). 练习1.抛物线方程为7x ＋4y 2＝0，则焦点坐标为( ) A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫716，0 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－74，0 C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－716，0D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－74 练习2.抛物线y ＝－14x 2的准线方程是 ( )A ．x ＝116B ．x ＝1C ．y ＝1D ．y ＝2例2.分别求满足下列条件的抛物线的标准方程. （1）准线方程为2y ＋4＝0；（2）过点(3，－4)； （3）焦点在直线x ＋3y ＋15＝0上.例3..一种卫星接收天线的轴截面如图（课本59页图1），卫星波速呈近似平行状态射入轴截面为抛物线的接收天线，经放射聚集到焦点处。
已知接收天线的口径（直径）为4.8m ，深度为0.5m 。
试建立适当的坐标系，求抛物线的标准方程和焦点坐标。
三、课堂小结 1.抛物线的定义；2.抛物线的四种标准方程；3.注意抛物线的标准方程中的字母P 的几何意义四、课堂练习1.抛物线y 2=ax (a ≠0)的准线方程是 ( )(A )4a x =-；(B)x =4a ；(C)||4a x =- ；(D)x =||4a2.抛物线21x m y =（m ≠0）的焦点坐标是（ ）(A ) （0，4m ）或（0，4m -）；(B) （0，4m）(C) （0，m 41）或（0，m 41-）；(D) （0，m41）3.根据下列条件写出抛物线的标准方程:(1)焦点是F (0,3)，(2)焦点到准线的距离是2.4.求下列抛物线的焦点坐标和准线方程：(1)y 2=20x ；(2)x 2+8y =0.5.点M 到点（0，8）的距离比它到直线y ＝－7的距离大1，求M 点的轨迹方程。
高中数学选修2-1 抛物线导学案加课后作业及参考答案
抛物线及其标准方程导学案【学习要求】1．掌握抛物线的定义及焦点、准线的概念.2．会求简单的抛物线的方程.【学法指导】通过观察抛物线的形成过程，得出抛物线定义，建系得出抛物线标准方程.通过抛物线及其标准方程的应用，体会抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.【知识要点】1．抛物线的定义平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F) 的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的，直线l叫做抛物线的2．抛物线标准方程的几种形式图形标准方程焦点坐标准线方程探究点一抛物线定义如图，我们在黑板上画一条直线EF，然后取一个三角板，将一条拉链AB固定在三角板的一条直角边上，并将拉链下边一半的一端固定在C点，将三角板的另一条直角边贴在直线EF上，在拉锁D处放置一支粉笔，上下拖动三角板，粉笔会画出一条曲线.问题1画出的曲线是什么形状？问题2|DA|是点D到直线EF的距离吗？为什么？问题3点D在移动过程中，满足什么条件？问题 4在抛物线定义中，条件“l不经过点F”去掉是否可以？例1方程[]22)1()3(2-++yx＝|x－y＋3|表示的曲线是()A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线跟踪训练1（1）若动点P与定点F(1,1)和直线l：3x＋y－4＝0的距离相等，则动点P的轨迹是() A．椭圆B．双曲线C．抛物线D．直线（2）若动圆与圆(x－2)2＋y2＝1相外切，又与直线x＋1＝0相切，则动圆圆心的轨迹是()A．椭圆B．双曲线C．双曲线的一支D．抛物线探究点二抛物线的标准方程问题 1结合求曲线方程的步骤，怎样求抛物线的标准方程？问题2抛物线方程中p有何意义？标准方程有几种类型？问题3根据抛物线方程如何求焦点坐标、准线方程？例2已知抛物线的方程如下，求其焦点坐标和准线方程.（1）y2＝－6x；（2）3x2＋5y＝0；（3）y＝4x2；（4）y2＝a2x (a≠0).跟踪训练2（1）抛物线方程为7x＋4y2＝0，则焦点坐标为()A．⎝⎛⎭⎫716，0B．⎝⎛⎭⎫－74，0C．⎝⎛⎭⎫－716，0D．⎝⎛⎭⎫0，－74（2）抛物线y＝－14x2的准线方程是()A．x＝116B．x＝1 C．y＝1 D．y＝2例3分别求满足下列条件的抛物线的标准方程.（1）准线方程为2y＋4＝0；（2）过点(3，－4)；（3）焦点在直线x＋3y＋15＝0上.跟踪训练3（1）经过点P(4，－2)的抛物线的标准方程为()A．y2＝x或x2＝y B．y2＝x或x2＝8yC．x2＝－8y或y2＝x D．x2＝y或y2＝－8x（2）已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上一点M(m，－3)到焦点F的距离为5，求m的值、抛物线方程及其准线方程.探究点三 抛物线定义的应用例4 已知点A (3,2)，点M 到F ⎝⎛⎭⎫12，0的距离比它到y 轴的距离大12. （1）求点M 的轨迹方程；（2）是否存在M ，使|MA |＋|MF |取得最小值？若存在，求此时点M 的坐标；若不存在，请说明理由. 跟踪训练4 （1）抛物线y ＝4x 2上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是 ( ) A ．1716B ．1516C ．78D ．0（2）已知点P 是抛物线y 2＝2x 上的一个动点，则点P 到点(0,2)的距离与点P 到该抛物线准线的距离之和的最小值是( ) A ．172B ．3C ． 5D ．92【当堂检测】1．已知抛物线的准线方程为x ＝－7，则抛物线的标准方程为 ( ) A ．x 2＝－28y B ．y 2＝28x C ．y 2＝－28x D ．x 2＝28y2．抛物线y 2＝2px (p >0)上一点M 到焦点的距离是a (a >p2)，则点M 的横坐标是 ( )A ．a ＋p2B ．a －p2C ．a ＋pD ．a －p3．已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1，抛物线y 2＝4x 上一动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值是 ( ) A ．2B ．3C ．115D ．37164．焦点在y 轴上，且过点A (1，－4)的抛物线的标准方程是__________【课堂小结】1．抛物线的定义中不要忽略条件：点F 不在直线l 上.2．确定抛物线的标准方程，从形式上看，只需求一个参数p ，但由于标准方程有四种类型，因此，还应确定开口方向，当开口方向不确定时，应进行分类讨论.有时也可设标准方程的统一形式，避免讨论，如焦点在x 轴上的抛物线标准方程可设为y 2＝2mx (m ≠0)，焦点在y 轴上的抛物线标准方程可设为x 2＝2my (m ≠0).【拓展提高】1．若点P 到点(4,0)F 的距离比它到直线50x +=的距离小1，则P 点的轨迹方程是（ ） A ．216y x =- B ．232y x =- C ．216y x = D ．232y x =2．过抛物线x y 42=的焦点作直线交抛物线于),(),,(2211y x B y x A 两点，如果621=+x x ，那么AB =（ ）A ．10B ．8C ．6D ．43．过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线l 交抛物线于点A 、B ，交其准线于点C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝3，则此抛物线方程为( )A ．y 2＝9xB ．y 2＝6xC ．y 2＝3xD ．y 2＝3x4．抛物线x y 42=上的两点A 、B 到焦点的距离之和为10，则线段AB 中点到y 轴的距离为【课后作业】一、基础过关1．抛物线y 2＝－8x 的焦点坐标是( )A ．(2,0)B ．(－2,0)C ．(4,0)D ．(－4,0)2．已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x 轴，焦点在双曲线x 24－y 22＝1上，则抛物线方程为 ( )A ．y 2＝8xB ．y 2＝4xC ．y 2＝2xD ．y 2＝±8x3．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的准线与圆(x －3)2＋y 2＝16相切，则p 的值为( )A ．12B ．1C ．2D ．44．与y 轴相切并和圆x 2＋y 2－10x ＝0外切的动圆的圆心的轨迹为( )A ．圆B ．抛物线和一条射线C ．椭圆D ．抛物线 5．以双曲线x 216－y 29＝1的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为__________.6．抛物线x 2＋12y ＝0的准线方程是__________.7．求经过A (－2，－4)的抛物线的标准方程及其对应的准线、焦点坐标. 二、能力提升8．定长为3的线段AB 的两个端点在抛物线y 2＝2x 上移动，M 为AB 的中点，则M 点到y 轴的最短距离为 ( )A ．12B ．1C ．32D ．29．设M (x 0，y 0)为抛物线C ：x 2＝8y 上一点，F 为抛物线C 的焦点，以F 为圆心，|FM |为半径的圆和抛物线C 的准线相交，则y 0的取值范围是( )A ．(0,2)B ．[0,2]C ．(2，＋∞)D ．[2，＋∞)10．设抛物线y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，P A ⊥l ，A 为垂足，如果直线AF 的斜率为－3，那么|PF |＝________.11．设斜率为2的直线l 过抛物线y 2＝ax (a ≠0)的焦点F ，且与y 轴交于点A ，若△OAF (O 为坐标原点)的面积为4，求抛物线的方程.12．喷灌的喷头装在直立管柱OA的顶点A处，喷出水流的最高点B高5 m，且与OA所在的直线相距4 m，水流落在以O为圆心，半径为9 m的圆上，则管柱OA的长是多少？三、探究与拓展13．已知抛物线C的顶点在原点，焦点F在x轴的正半轴上，设A，B是抛物线C上的两个动点(AB不垂直于x轴)，且|AF|＋|BF|＝8，线段AB的垂直平分线恒经过点Q(6,0)，求抛物线的方程.抛物线的简单几何性质（一）导学案【学习要求】1．了解抛物线的范围、对称性、顶点、焦点、准线等几何性质.2．会利用抛物线的性质解决一些简单的抛物线问题.【学法指导】结合椭圆和双曲线的几何性质，类比抛物线的性质，通过对抛物线的标准方程的讨论，进一步理解用代数方法研究几何性质的优越性，感受坐标法和数形结合的基本思想.【知识要点】1．抛物线的几何性质标准方程y2＝2px(p>0)y2＝－2px(p>0)x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0)图形性质范围对称轴x轴x轴y轴y轴顶点(0,0)离心率e＝2直线过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F，与抛物线交于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，由抛物线的定义知，|AF|＝x1＋p2，|BF|＝x2＋p2，故|AB|＝3．直线与抛物线的位置关系直线y＝kx＋b与抛物线y2＝2px(p>0)的交点个数决定于关于x的方程的解的个数.当k≠0时，若Δ>0，则直线与抛物线有个不同的公共点；当Δ＝0时，直线与抛物线有个公共点；当Δ<0时，直线与抛物线公共点.当k＝0时，直线与抛物线的轴，此时直线与抛物线有个公共点.【问题探究】探究点一抛物线的几何性质问题1类比椭圆、双曲线的几何性质，结合图象，说出抛物线y2＝2px(p>0)的范围、对称性、顶点、离心率.怎样用方程验证？问题 2通过抛物线的几何性质，怎样探求抛物线的标准方程？例1若抛物线y2＝x上一点P到准线的距离等于它到顶点的距离，则点P的坐标为()A．⎝⎛⎭⎫14，±24B．⎝⎛⎭⎫18，±24C．⎝⎛⎭⎫14，24D．⎝⎛⎭⎫18，24跟踪训练1抛物线y2＝2px (p>0)上一点M的纵坐标为－42，这点到准线的距离为6，则抛物线方程为________探究点二抛物线的焦点弦问题例2已知直线l经过抛物线y2＝6x的焦点F，且与抛物线相交于A、B两点.（1）若直线l的倾斜角为60°，求|AB|的值；（2）若|AB|＝9，求线段AB的中点M到准线的距离.跟踪训练2已知过抛物线y2＝4x的焦点F的弦长为36，求弦所在的直线方程.探究点三直线与抛物线的位置关系问题结合直线与椭圆、直线与双曲线的位置关系，请你思考一下怎样讨论直线与抛物线的位置关系？例3已知抛物线的方程为y2＝4x，直线l过定点P(－2,1)，斜率为k，k为何值时，直线l与抛物线y2＝4x：只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点？跟踪训练3过点(－3,2)的直线与抛物线y2＝4x只有一个公共点，求此直线方程.【当堂检测】1．设AB为过抛物线y2＝2px (p>0)的焦点的弦，则|AB|的最小值为()A ．p 2B ．pC ．2pD ．无法确定2．设抛物线y 2＝8x 的准线与x 轴交于点Q ，若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是( ) A ．⎣⎡⎦⎤－12，12B ．[－2,2]C ．[－1,1]D ．[－4,4]3．抛物线y ＝4x 2上一点到直线y ＝4x －5的距离最短，则该点坐标为 ( )A ．(1,2)B ．(0,0)C ．⎝⎛⎭⎫12，1D ．(1,4)4．已知过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A 、B 两点，|AF |＝2，则|BF |＝_______【课堂小结】1．讨论抛物线的几何性质，一定要利用抛物线的标准方程；利用几何性质，也可以根据待定系数法求抛物线的方程.2．直线与抛物线有一个交点，是直线与抛物线相切的必要不充分条件.3．直线与抛物线的相交弦问题共有两类，一类是过焦点的弦，一类是不过焦点的弦.解决弦的问题，大多涉及到抛物线的弦长、弦的中点、弦的斜率.常用的办法是将直线与抛物线联立，转化为关于x 或y 的一元二次方程，然后利用根与系数的关系，这样避免求交点.尤其是弦的中点问题，还应注意“点差法”的运用.【拓展提高】1．若双曲线2221613x y p -=的左焦点在抛物线22y px =的准线上，则p 的值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．422．设O 为坐标原点，F 为抛物线x y 42=的焦点，A 为抛物线上的一点，若4OA AF •=-，则点A 的坐标为（ ）A ．)22,2(±B ．)2,1(±C ．)2,1(D ．)22,2(3．已知直线l ：y ＝－x ＋1和抛物线C ：x y 42=，设直线与抛物线的交点为B A 、，求AB 的长。
抛物线及其标准方程---导学案
抛物线及其标准方程（导学案）学习目标：1、能利用抛物线的定义建立适当的坐标系确定抛物线的方程；2、会根据抛物线的标准方程求焦点坐标和准线方程；3、能根据条件运用待定系数法求抛物线的标准方程；学习过程：想一想：在我们以前的数学学习和生活中，哪些是与抛物线有关的？请举例：复习回顾：求曲线方程的五个步骤：问题情境：如图：点F是定点，直线L为不经过点F的定直线，H是直线上的任意一点，过点H作直线的垂线HM ，线段FH的垂直平分线m交HM于点M，拖动点H，得到点M的轨迹为红色曲线，(取不同的H点画画看得到的曲线是不是红色曲线？)你能发现点M满足的几何条件吗？一、抛物线的定义：我们把的点的轨迹叫做抛物线。
其中点F叫做抛物线的，直线L叫做抛物线的思考：如果点F在直线L上，那么到点F和直线L距离相等的点的轨迹是什么？（结合上图变换条件画一画）二、抛物线标准方程的确定1、思考：设抛物线的焦点F到准线L的距离为常数P(P>0)，如何建立坐标系,使求出抛物线的方程更简单呢？方案一：以定直线L为y轴，过点F且垂直于直线L的直线为x轴，建立坐标系xoy，如图：则焦点F的坐标为，准线L的方程为设抛物线上任意一点M的坐标为()yx,，点M到准线L的距离为d，则MF d==由抛物线的定义得点M的坐标所满足的关系式为：化简得：方案二：以定点F为原点，过点F且垂直于直线L的直线为x轴，过点F且与直线L平行的直线为y轴，建立坐标系xoy，如图：则焦点F的坐标为，准线L的方程为设抛物线上任意一点M的坐标为()yx,，点M到准线L的距离为d，则MF d==由抛物线的定义得点M的坐标所满足的关系式为：化简得：方案三：以经过点F且垂直于直线L的直线为x轴，垂足为K，并使原点与线段KF的中点重合，建立坐标系xoy，如图：则焦点F的坐标为，准线L的方程为x,，点M到准线L的距离为d，则设抛物线上任意一点M的坐标为()yMF d==由抛物线的定义得点M的坐标所满足的关系式为：化简得： 思考：为什么这样建立坐标系，能使抛物线的方程更简单？2、抛物线的标准方程由曲线与方程的关系知，抛物线的标准方程为：它所表示的抛物线的焦点坐标在 ，焦点坐标为 ，准线方程为思考：P 的几何意义为：其它三种开口方向的抛物线你能类比着方案三求出它们的标准方程呢？小试身手：指出抛物线x y 82=的焦点坐标和准线方程三、 抛物线的其他标准方程：1、右图中的两条抛物线的图象关于 对称，由右边抛物线的标准方程为：()022>=p px y 得，的方程为 ，焦点F 的坐标为 ，准线L 的方程为2、右图中的两条抛物线的图象关于 对称，由右边抛物线的标准方程为：()022>=p px y 得，的方程为 ，焦点F 的坐标为 ，准线L 的方程为3、右图中的两条抛物线的图象关于 对称，由上边抛物线的标准方程为：()022>=p py x 得，的方程为 ，焦点F 的坐标为 ，准线L 的方程为4、填表：一条抛物线，由于它在坐标系的位置不同，方程也不同，有四种不同的情况，如下表所示：图形 开口方向 标准方程 焦点坐标 准线方程5、思考：结合上述表格，你能发现四种标准方程有哪些相同点和不同点？相同点：不同点：合作探究：如何根据抛物线四种标准方程的形式，区分抛物线的对称轴和开口方向？四、典例分析：例1：（1）已知抛物线的标准方程是26y x ，求它的焦点坐标和准线方程；（2）已知抛物线的焦点是F （0,2），求它的标准方程。
抛物线及其标准方程导学案
抛物线及其标准方程导学案自主预习·探新知情景引入你可曾留意枝头上的鸟儿展翅高飞的那一瞬间在天空留下的魅力弧线？你可曾看到流星划过天际残留的星痕？你可曾欣赏运动员跳高时纵身一跃所形成的完美曲线？你可曾游览被誉为“西湖十景”之一的“断桥残雪”？……那些就是一条条优美的抛物线.新知导学1．抛物线的定义(1)定义：平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离__相等__的点的轨迹．(2)焦点：__定点F__叫做抛物线的焦点．(3)准线：__定直线l__叫做抛物线的准线．2．抛物线的标准方程图形标准方程焦点坐标准线方程__y2＝2px(p>0)__(p2，0)x＝－p2__y2＝－2px(p>0)__(－p2，0)x＝p2__x2＝2py(p>0)__(0，p2)y＝－p2__x2＝－2py(p>0)__(0，－p2)y＝p2预习自测1．已知抛物线y 2＝mx 的焦点坐标为(2,0)，则m 的值为( D ) A ．12B ．2C ．4D ．8[解析] 由题意得m ＞0，且m4＝2，∴m ＝8，故选D ．2．抛物线y ＝14x 2的准线方程为( C )A ．x ＝－116B ．x ＝－18C ．y ＝－1D ．y ＝2[解析] 抛物线y ＝14x 2化为标准方程为x 2＝4y ，故准线方程为y ＝－1.3．(2020·福州市八县(市)协作校期末)y ＝2x 2的焦点坐标是( D ) A ．(1,0) B ．(14，0)C ．(0，14)D ．(0，18)[解析] ∵由题意知， p ＝14，p 2＝18， ∴焦点坐标是(0，18)．故选D ．4．(2020·浙江宁波高二检测)抛物线x 2＝－2py (p >0)的焦点是双曲线y 23－x 26＝1的一个焦点，则该抛物线的方程是__x 2＝－12y __.[解析] 双曲线的焦点坐标是(0，±3)，根据题意，知抛物线的焦点坐标只能是(0，－3)，即－p2＝－3，p ＝6，故抛物线的方程是x 2＝－12y . 5．求满足下列条件的抛物线的标准方程． (1)准线方程为2y ＋4＝0； (2)过点(3，－4)；(3)焦点在直线x ＋3y ＋15＝0上．[解析] (1)准线方程为2y ＋4＝0，即y ＝－2，故抛物线焦点在y 轴的正半轴上，设其方程为x 2＝2py (p >0)．又p2＝2，所以2p ＝8，故抛物线的标准方程为x 2＝8y .(2)∵点(3，－4)在第四象限，∴设抛物线的标准方程为y 2＝2px (p >0)或x 2＝－2p 1y (p 1>0)．把点(3，－4)的坐标分别代入y 2＝2px 和x 2＝－2p 1y ，得(－4)2＝2p ·3,32＝－2p 1·(－4)，即2p ＝163，2p 1＝94. ∴所求抛物线的标准方程为y 2＝163x 或x 2＝－94y .(3)令x ＝0得y ＝－5；令y ＝0得x ＝－15. ∴抛物线的焦点为(0，－5)或(－15,0)．∴所求抛物线的标准方程为x 2＝－20y 或y 2＝－60x .互动探究·攻重难互动探究解疑 命题方向❶求抛物线的焦点及准线典例1 设抛物线的方程为y ＝ax 2(a ≠0)，求抛物线的焦点坐标与准线方程． [解析] 抛物线方程y ＝ax 2(a ≠0)化为标准形式：x 2＝1a y ，当a >0时，则2p ＝1a ，解得p ＝12a ，p 2＝14a ，∴焦点坐标是(0，14a )，准线方程是y ＝－14a .当a <0时，则2p ＝－1a ，p 2＝－14a.∴焦点坐标是(0，14a )，准线方程是y ＝－14a ，综上，焦点坐标是(0，14a )，准线方程是y ＝－14a .『规律方法』 求抛物线的焦点及准线的步骤： (1)把解析式化为抛物线标准方程形式； (2)明确抛物线开口方向；(3)求出抛物线标准方程中参数p 的值；(4)写出抛物线的焦点坐标或准线方程． ┃┃跟踪练习1__■(1)抛物线C ：y ＝－x 28的焦点坐标为__(0，－2)__；(2)抛物线x 2＝－y 的准线方程为__y ＝14__.[解析] (1)抛物线C 的标准方程为x 2＝－8y,2p ＝8，p ＝4， ∴p2＝2，故抛物线C 的焦点坐标为(0，－2)． (2)抛物线x 2＝－y 中，2p ＝1，p ＝12，p 2＝14，故抛物线的准线方程为y ＝14.命题方向❷抛物线的标准方程典例2 求满足下列条件的抛物线的标准方程． (1)焦点在直线3x ＋4y －12＝0上； (2)焦点是(－2,0)； (3)准线是y ＝－32；(4)焦点到准线的距离是2.[思路分析] 求解这类问题，应首先由已知条件设出标准方程，再根据已知条件求出参数p ，最后写出结论，根据已知条件，确定是四种形式中的哪一种是关键：(1)中直线与坐标轴有两个交点(4,0)，(0,3)，也就有两种情况，(2)开口向左，(3)开口向上，(4)有四种情况． [解析] (1)直线与坐标轴的交点为(4,0)和(0,3)，故抛物线有两种情况： 焦点为(4,0)时，p2＝4，∴p ＝8，∴方程为y 2＝16x ；焦点为(0,3)时，p2＝3，∴p ＝6，∴方程为x 2＝12y .故所求方程为y 2＝16x 或x 2＝12y . (2)焦点为(－2,0)，∴p2＝2，∴p ＝4，∴方程为y 2＝－8x .(3)准线为y ＝－32，∴p 2＝32，∴p ＝3，开口向上，∴方程为x 2＝6y .(4)由于p ＝2，开口方向不确定，故有四种情况， ∴方程为y 2＝4x 或y 2＝－4x 或x 2＝4y 或x 2＝－4y . 『规律方法』 求抛物线标准方程的方法： ①直接法：直接利用题中已知条件确定焦参数p .②待定系数法：先设出抛物线的方程，再根据题中条件，确定焦参数p . 当焦点位置不确定时，应分类讨论或设抛物线方程为y 2＝mx 或x 2＝my .已知焦点坐标或准线方程可确定抛物线标准方程的形式；已知抛物线过某点不能确定抛物线标准方程的形式，需根据四种抛物线的图象及开口方向确定． ┃┃跟踪练习2__■求满足下列条件的抛物线的标准方程： (1)过点(－3,2)；(2)焦点在直线x －2y －4＝0上．[解析] (1)当焦点在x 轴上时，设所求的抛物线方程为y 2＝－2px ，由过点(－3,2)知，4＝－2p (－3)，得p ＝23，此时抛物线的标准方程为y 2＝－43x ；当焦点在y 轴上时，同理可得，抛物线标准方程为x 2＝92y ，故所求的抛物线方程为y 2＝－43x 或x 2＝92y .(2)令x ＝0得y ＝－2，令y ＝0得x ＝4，故抛物线的焦点为(4,0)或(0，－2)．当焦点为(4,0)时，p 2＝4，故p ＝8，此时抛物线方程为y 2＝16x ，当焦点为(0，－2)时，p2＝2，故p ＝4，此时抛物线方程为x 2＝－8y ，从而所求的抛物线的标准方程为y 2＝16x 或x 2＝－8y . 命题方向❸抛物线定义的应用典例3 (1)设抛物线y 2＝8x 上一点P 到y 轴的距离是4，则点P 到该抛物线焦点的距离是( B ) A ．4 B ．6 C ．8D ．12(2)过点A (1,0)，且与直线l ：x ＝－1相切的圆的圆心的轨迹是( D ) A ．圆B ．椭圆C．双曲线D．抛物线[思路分析](1)根据点P到y轴的距离求出它到抛物线准线的距离，利用抛物线定义转化为它到焦点的距离．(2)根据动圆过点A，且与直线l相切，可知圆心到点A的距离等于它到直线l的距离，由抛物线定义知动圆圆心的轨迹是抛物线．[解析](1)抛物线y2＝8x的准线为x＝－2，因为点P到y轴的距离是4，故点P到准线的距离是6，根据抛物线的定义知点P到该抛物线焦点的距离是6.(2)如图，设动圆的圆心为M，由题意，M到直线l的距离等于圆的半径|MA|，由抛物线的定义知，点M的轨迹是以A(1,0)为焦点，以直线l为准线的抛物线．『规律方法』利用抛物线的定义可以将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，这一相互转化关系会给解题带来方便．要注意灵活运用定义解题．┃┃跟踪练习3__■(1)已知抛物线y2＝4x上一点M与该抛物线的焦点F的距离|MF|＝4，则点M的横坐标x＝__3__；(2)(湖南浏阳一中醴陵一中2020年高二联考)已知抛物线y2＝4x上一点P到焦点F的距离为5，则△PFO的面积为__2__.[解析](1)抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，准线为x＝－1.根据抛物线的定义，点M到准线的距离为4，则点M的横坐标为3.(2)由题意得x p＝5－1＝4⇒y p＝±4，因此△PFO的面积为12×4×1＝2.学科核心素养抛物线在实际问题中的应用典例4 如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2 m，水面宽4 m．水位下降1 m 后，求水面的宽度．[思路分析]先建立平面直角坐标系，将A点代入抛物线方程求得p，得到抛物线方程，再把y＝－3代入抛物线方程求得x0，进而得到答案．[解析]建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，则A(2，－2)，将其坐标代入x2＝－2py得p＝1.∴x2＝－2y.当水面下降1 m，得D(x0，－3)(x0>0)，将其坐标代入x2＝－2y得x20＝6，∴x0＝6，∴水面宽|CD|＝2 6 m.『规律方法』抛物线的实际应用问题，关键是建立坐标系，将题目中的已知条件转化为抛物线上点的坐标，从而求得抛物线方程，再把待求问题转化为抛物线的几何量讨论．┃┃跟踪练习4__■如图(1)所示，花坛水池中央有一喷泉，水管O′P＝1 m，水从喷头P喷出后呈抛物线状，先向上至最高点后落下，若最高点距水面2 m，P距抛物线的对称轴1 m，则水池的直径至少应设计多少米？(精确到1 m)图(1)[解析]如图(2)所示，建立平面直角坐标系．设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)．图(2)依题意有P (－1，－1)在此抛物线上，代入得p ＝12.故得抛物线方程为x 2＝－y .又B 在抛物线上，将B (x ，－2)代入抛物线方程得x ＝2，即|AB |＝2，则|O ′B |＝|O ′A |＋|AB |＝2＋1，因此所求水池的直径为2(1＋2) m ，约为5 m ， 即水池的直径至少应设计为5 m. 易混易错警示 考虑问题要全面典例5 设抛物线y 2＝mx 的准线与直线x ＝1的距离为3，求抛物线的方程． [错解] 准线方程为x ＝－m4，因为准线与直线x ＝1的距离为3，所以准线方程为x ＝－2，所以－m4＝－2，所以m ＝8，故抛物线方程为y 2＝8x .[错解分析] 题目条件中未给出m 的符号，当m >0或m <0时，抛物线的准线不同，错解考虑问题欠周到．[正解] 当m >0时，准线方程为x ＝－m 4，由条件知1－(－m4)＝3，所以m ＝8.此时抛物线方程为y 2＝8x ；当m <0时，准线方程为x ＝－m 4，由条件知－m4－1＝3，所以m ＝－16，此时抛物线方程为y 2＝－16x .所以所求抛物线方程为y 2＝8x 或y 2＝－16x .课堂达标·固基础1．(2020·安徽安庆市期末调研)抛物线x ＝4y 2的焦点坐标是( D ) A ．(0,1) B ．(0，－1) C ．(－116，0)D ．(116，0)[解析] 抛物线的方程为x ＝4y 2， 化为标准方程为y 2＝14x ，所以焦点在x 轴上，且p ＝18，故其焦点坐标为(116，0)．故选D ．2．到定点F (1，－1)的距离与到定直线3x －2y －5＝0的距离相等的点P 的轨迹是( D ) A ．抛物线 B ．椭圆 C ．双曲线的一支D ．直线[解析] 由于点F (1，－1)在直线3x －2y －5＝0上，故可知动点P 的轨迹为过点F 且与直线3x －2y －5＝0垂直的直线．3．若椭圆x 23＋4y 2p 2＝1(p >0)的左焦点在抛物线y 2＝2px 的准线上，则p 为4．若抛物线y 2＝2px (p ≠0)的焦点与双曲线x 22－y 22＝1的右焦点重合，则实数p ＝__4__. 5．抛物线y 2＝－2px (p >0)上有一点M 的横坐标为－9，它到焦点的距离为10，求此抛物线方程和M 点的坐标． [解析] 设焦点为F (－p2，0)，M 点到准线的距离为d ， 则d ＝|MF |＝10， 即9＋p2＝10，所以p ＝2，所以抛物线方程为y 2＝－4x . 将M (－9，y )代入抛物线的方程，得y ＝±6，所以M 点坐标为(－9,6)或(－9，－6)．。
高中数学《抛物线及其标准方程》导学案
§2.4抛物线2.4.1抛物线及其标准方程课标要求,学法指导1. 经历从具体问题情境抽象出抛物线模型的过程．2. 掌握抛物线的定义和标准方程．3. 能利用抛物线的定义和标准方程解决有关问题．, 1. 通过动手实验画出抛物线的模型，借助数形结合的思想，深刻理解抛物线的定义．2. 要准确把握抛物线标准方程的四种形式，比较抛物线标准方程的四种形式，找出它们的联系与区别．,,课前自主学习KEQIANZIZHUXUEXI,对应学生用书P461．抛物线的定义平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．2．抛物线的标准方程图形,标准方程,焦点坐标,准线方程,y2＝2px(p>0),(eq \f(p,2,0),x＝－eq \f(p,2,y2＝－2px(p>0),(－eq \f(p,2,0),x＝eq \f(p,2,x2＝2py(p>0),(0，eq \f(p,2),y＝－eq \f(p,2,x2＝－2py(p>0),(0，－eq \f(p,2),y＝eq \f(p,2特别提醒：对抛物线标准方程的理解(1)我们把方程y2＝2px(p>0)叫做抛物线的标准方程，它表示的抛物线的焦点坐标是(eq \f(p,2,0)，准线方程是x＝－eq \f(p,2(其余三种形式同理)；(2)不要把抛物线的标准方程和二次函数的一般形式混为一谈；(3)p(p>0)表示焦点F到准线l的距离；(4)焦点坐标中横(纵)坐标的值是一次项系数的eq \f(1,4，准线方程中的数值是一次项系数的－eq \f(1,4.1. 在抛物线定义中，若去掉条件“l不经过点F”，点的轨迹还是抛物线吗？提示：不一定是抛物线．当直线l经过点F时，点的轨迹是过定点F且垂直于定直线l的一条直线；l不经过点F时，点的轨迹是抛物线．2. 椭圆与双曲线的焦点均有两个，那么抛物线的焦点有几个？提示：抛物线的焦点只有一个，即定义中的定点．3. 抛物线的准线方程为x＝－1，则抛物线的方程是________．提示：由题知p＝2，则y2＝4x.4. 抛物线y＝－2x2的焦点坐标________．提示：由x2＝－eq \f(1,2y，知2p＝eq \f(1,2，p＝eq \f(1,4，焦点坐标为(0，－eq \f(1,8)．,,课堂合作探究KETANGHEZUOTANJIU对应学生用书P47SIWEIJUJIAO 思维聚焦, 1.求抛物线方程的方法(1)定义法直接利用抛物线的定义求解．(2)待定系数法尽管抛物线标准方程有四种，但方程中都只有一个待定系数，一是利用好参数p的几何意义，二是给抛物线定好位，即求抛物线方程遵循先定位，后定量的原则．(3)统一方程法对于焦点在x轴上的抛物线的标准方程可统一设为y2＝ax(a≠0)，a的正负由题设来定，也就是说，不必设为y2＝2px或y2＝－2px(p>0)，这样能减少计算量．同理，焦点在y轴上的抛物线的标准方程可统一设为x2＝ay(a≠0)．2.在解决有关抛物线上的点P到焦点F的距离问题时，常利用抛物线的定义转化为P到准线的距离(1)若M(x，y)在抛物线y2＝2px(p>0)上，则|MF|＝x＋eq \f(p,2；(2)若M(x，y)在抛物线y2＝－2px(p>0)上，则|MF|＝eq \f(p,2－x；(3)若M(x，y)在抛物线x2＝2py(p>0)上，则|MF|＝y＋eq \f(p,2；(4)若M(x，y)在抛物线x2＝－2py(p>0)上，则|MF|＝eq \f(p,2－y.3．如果一个点在抛物线上，常可利用抛物线的方程形式，灵活假设点的坐标(1)当抛物线方程为y2＝2px(p≠0)这一类型时，常可假设该点坐标为( eq \f(m2,2p，m)．(2)当抛物线方程为x2＝2py(p≠0)这一类型时，可假设抛物线上点的坐标为(n，eq \f(n2,2p)．对抛物线上点的坐标进行计算时，还要注意抛物线上点的坐标范围限制．如抛物线y2＝2px(p>0)上点的横坐标应大于或者等于零，这点在解题时常会被忽略．抛物线的定义及其应用例1定长为3的线段AB的端点A、B在抛物线y2＝x上移动，求AB中点到y轴距离的最小值．[思路分析]作出草图，利用抛物线的定义求解．[完美作答]如右图所示，线段AB中点到y轴距离的最小值，就是其横坐标的最小值，这是中点坐标问题，因此，只需研究A、B两点的横坐标之和最小即可．于是，如右图所示，F是抛物线y2＝x的焦点，A、B两点到准线的垂线分别是AC、BD，过AB的中点M作准线的垂线MN，C、D、N为垂足，则|MN|＝eq \f(1,2(|AC|＋|BD|)，由抛物线定义知|AC|＝|AF|，|BD|＝|BF|.∴|MN|＝eq \f(1,2(|AF|＋|BF|)≥eq \f(1,2|AB|＝eq \f(3,2.设点M的横坐标为x，|MN|＝x＋eq \f(1,4，则x≥eq \f(3,2－eq \f(1,4＝eq \f(5,4.当弦AB过点F时等号成立，此时点M到y轴的最短距离为eq \f(5,4.本例利用抛物线的定义，借助图形的形象直观，使问题获得简捷的解法．[针对训练1]已知P为抛物线y2＝4x上一个动点，直线l1：x＝－1，l2：x＋y＋3＝0，则P到直线l1，l2的距离之和的最小值为()A．22B．4C．2 D．eq \f(32,2＋1[解析]本题主要考查抛物线的性质的应用．将P点到直线l1：x＝－1的距离转化为P到焦点F(1,0)的距离，过点F作直线l2的垂线，交抛物线于点P，此即为所求最小值点，∴P到两直线的距离之和的最小值为eq \f(|1＋0＋3|,12＋12＝22，故选A.[答案]A抛物线的标准方程例2根据下列条件，求抛物线的标准方程．(1)焦点到准线的距离是4；(2)过点(1,2)；(3)设过点P(－2,4)，倾斜角为eq \f(3,4π的直线l与抛物线C交于A，B两点，抛物线C的顶点在原点，以x轴为对称轴，若|P A|、|AB|、|PB|成等比数列，求抛物线C的标准方程．[思路分析]求抛物线方程的主要方法是待定系数法，但要依据所给条件选择适当的方程形式．[完美作答](1)p＝4，抛物线的方程有四种形式：y2＝8x，y2＝－8x，x2＝8y，x2＝－8y.(2)解法一：点(1,2)在第一象限，要分两种情形：当抛物线的焦点在x轴上时，设抛物线的方程为y2＝2px(p>0)，则22＝2p·1，解得p＝2，抛物线方程为y2＝4x；当抛物线的焦点在y轴上时，设抛物线的方程为x2＝2py(p>0)，则12＝2p·2，解得p＝eq \f(1,4，抛物线方程为x2＝eq \f(1,2y.解法二：设所求抛物线的标准方程为y2＝mx(m≠0)或x2＝ny(n≠0)，将点(1,2)代入，得m＝4，n＝eq \f(1,2.故所求的方程为y2＝4x或x2＝eq \f(1,2y.(3)由已知得：抛物线的开口方向不定，故可设抛物线方程为y2＝2ax(a≠0)．设A (x1，y1)，B(x2，y2)，由已知直线l过点P(－2,4)，倾斜角为eq \f(3,4π，得l：y＝－x＋2.∴eq \b\lc\{\rc\ (eq \a\vs4\ac\hs10\co1(y2＝2ax，,y＝－x＋2，))消去x整理得：y2＋2ay－4a＝0，∴Δ＝4a2＋16a>0.(#)∴y1＋y2＝－2a，y1y2＝－4a，由|P A|、|AB|、|PB|共线且成等比数列得：|y1－4|、|y1－y2|、|y2－4|成等比数列即有：|y2－y1|2＝|y1－4|·|y2－4|. (*)把y1＋y2＝－2a，y1y2＝－4a代入(*)得：|a＋4|＝a2＋4a且满足(#)．故：a＝1，即所求的抛物线C的标准方程是y2＝2x.所谓抛物线标准方程是指抛物线放置平面直角坐标系的“标准”状态(即顶点在原点，焦点在坐标轴上)下的方程，因而求抛物线的标准方程的程序是：先确定抛物线标准方程的类型(即定位)，再确定焦参数p的值即可．当抛物线标准方程的类型没有确定时，也可以设其方程为y2＝mx(m≠0)或x2＝ny(n≠0)，这样可减少讨论情况的个数．[针对训练2]求适合下列条件的抛物线的标准方程．(1)过点(－3,2)；(2)焦点在直线x－2y－4＝0上．[解](1)设抛物线方程为y2＝－2px或x2＝2py(p>0)，则将点(－3,2)代入方程得2p＝eq \f(4,3或2p＝eq \f(9,2，∴所求的抛物线方程为y2＝－eq \f(4,3x或x2＝eq \f(9,2y.(2)当焦点在y轴上时，令x＝0，由方程x－2y－4＝0得y＝－2，∴抛物线的焦点为F(0，－2)，设抛物线方程为x2＝－2py，则由eq \f(p,2＝2得2p＝8，∴所求抛物线方程为x2＝－8y；当焦点在x轴上时，同理得y2＝16x.利用抛物线的定义求轨迹方程例3已知圆A：(x＋2)2＋y2＝1与定直线l：x＝1，且动圆P与圆A外切并与直线l相切，求动圆的圆心P的轨迹方程．[思路分析]设点P的坐标为(x，y)，利用圆P与圆A外切及与直线l相切建立x，y的方程，化简即得．[完美作答]解法一：设点P坐标为(x，y)，由条件知|AP|＝r＋1，即(x＋2)2＋y2＝|x－1|＋1，化简，整理得y2＝－8x.解法二：如图，作PK垂直直线x＝1，垂足为K，PQ垂直直线x＝2，垂足为Q，则|KQ|＝1，所以|PQ|＝r＋1，又|AP|＝r＋1，所以|AP|＝|PQ|，故点P到圆心A(－2,0)的距离和定直线x＝2的距离相等，所以点P的轨迹为抛物线，A(－2,0)为焦点，直线x＝2为准线．∴eq \f(p,2＝2，∴p＝4，∴点P的轨迹方程为y2＝－8x.可利用直接法求曲线方程的方法确定点P的轨迹方程；在利用抛物线的定义确定轨迹时，要注意转化方法的应用．[针对训练3]平面上动点P到定点F(1,0)的距离比点P到y轴的距离大1，求动点P的轨迹方程．[解]解法一：设P点的坐标为(x，y)，则有(x－1)2＋y2＝|x|＋1.两边平方并化简得y2＝2x＋2|x|.所以y2＝eq \b\lc\{\rc\ (eq \a\vs4\ac\hs10\co1(4x，x≥0，,0，x<0，))即点P的轨迹方程为y2＝4x(x≥0)或y＝0(x<0)．解法二：由题意，动点P到定点F(1,0)的距离比到y轴的距离大1，由于点F(1,0)到y轴的距离为1，故当x<0时，直线y＝0上的点适合条件；当x≥0时，原命题等价于点P到点F(1,0)与到直线x＝－1的距离相等，故点P的轨迹是以F为焦点，x＝－1为准线的抛物线，方程为y2＝4x.故所求动点P的轨迹方程为y2＝4x(x≥0)或y＝0(x<0)．抛物线方程的实际应用例4某河上有座抛物线形拱桥，当水面距拱顶5 m时，水面宽8 m，一木船宽4 m，高2 m，载货后本船露在水面上的部分高为eq \f(3,4 m，问水面上涨到与拱顶相距多少时，木船开始不能通航？[思路分析]以拱桥的拱顶为坐标原点，建立如右图所示的平面直角坐标系，设水面上涨到一定程度时木船与拱桥的接触点为B，B′(B与B′关于y轴对称)，此时木船开始不能通过，水面距拱顶的距离为|yB|＋eq \f(3,4.使用待定系数法求出抛物线方程，由于B点横坐标为2，故可求yB.[完美作答]以拱桥的拱顶为坐标原点，建立如上图所示的平面直角坐标系，设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，由题意知，点A(4，－5)在抛物线上(设AA′为水面宽且AA′＝8 m)，所以16＝－2p×(－5)，2p＝eq \f(16,5，所以抛物线方程为x2＝－eq \f(16,5y(－4≤x≤4)，设水面上涨到船面两侧与拱桥接触于B，B′(B′与B关于y轴对称)时，船开始不能通航，设B点坐标为(2，y)，由22＝－eq \f(16,5y，得y＝－eq \f(5,4，此时水面与抛物线拱顶相距|y|＋eq \f(3,4＝eq \f(5,4＋eq \f(3,4＝2(m)．答：水面上涨到与拱顶相距2 m时，船开始不能通航．(1)对与抛物线有关的应用题，解题时，可画出示意图，即通过数形结合思想来解决，找相关点的坐标时要细心；(2)把实际问题转化为数学问题，利用数学模型，通过数学语言(文字，符号，图形，字母等)表达、分析、解决问题，是中学生必须具备的能力．[针对训练4]“中山桥”是位于兰州市中心，横跨黄河之上的一座百年老桥，如图1，桥上有五个拱形桥架紧密相连，每个桥架的内部有一个水平横梁和八个与横梁垂直的立柱，气势宏伟，素有“天下黄河第一桥”之称．如图2，一个拱形桥架可以近似看作是由等腰梯形ABD8D1和其上方的抛物线D1OD8(部分)组成，建立如图所示的平面直角坐标系，已知AB＝44 m，∠A＝45°，AC1＝4 m，C1C2＝5 m，立柱C2D2＝5.55 m.(1)求立柱C1D1及横梁D1D8的长；(2)求抛物线D1OD8的方程和桥梁的拱高OH.[解]由题意知：∠A＝45°，AC1＝4 m，则C1D1＝4 m.因为ABD8D1是等腰梯形，由对称性知：AH＝HB＝eq \f(1,2AB＝eq \f(1,2×44＝22 m，AC1＝C8B＝4 m，C1H＝eq \f(1,2C1C8＝eq \f(1,2(AB－AC1－C8B)＝eq \f(1,2(44－4－4)＝eq \f(1,2×36＝18(m)．所以D1D8＝C1C8＝36m.(2)由(1)知点D1的横坐标为－18，则D2的横坐标为－(18－5)＝－13，设D1，D2点的纵坐标分别为y1，y2，由图形知|y1－y2|＝|5.55－4|＝1.55.设抛物线的方程为x2＝－2py(p>0)，将点D1，D2代入，得eq \b\lc\{\rc\ (eq \a\vs4\ac\hs10\co1((－18)2＝－2py1，,(－13)2＝－2py2，))两式相减得2p(y2－y1)＝182－132＝155，∴2p＝100，故抛物线方程为x2＝－100y.因此，当x＝18时，y＝－eq \f(1,100x2＝－eq \f(1,100×324＝－3.24 m，故|y1|＝3.24 m，所以桥梁的拱高OH＝3.24＋4＝7.24 m.,易错误区1对抛物线的定义理解不到位失误[典例1]若抛物线y ＝mx2(m≠0)的准线与直线y＝1的距离为3，求抛物线的标准方程．由y＝mx2(m≠0)，∴准线方程为y＝－eq \f(m,4.又∵抛物线的准线与直线y＝1的距离为3.∴－eq \f(m,4－1＝3.即m＝－16.∴抛物线的方程为x2＝－eq \f(1,16y.一是没有把抛物线化成标准形式，错误地得到了准线方程为y＝－eq \f(m,4；二是忽略了一种情况，误认为准线与直线y＝1的距离为3就是－eq \f(m,4－1＝3.y＝mx2(m≠0)化为x2＝eq \f(1,my.故其准线方程为y＝－eq \f(1,4m.由题意知|－eq \f(1,4m－1|＝3，即－eq \f(1,4m＝4或－eq \f(1,4m＝－2，解得m＝－eq \f(1,16或m＝eq \f(1,8.故所求抛物线的标准方程为x2＝8y或x2＝－16y.求抛物线的标准方程一般采用待定系数法，即先定位(即确定抛物线开口方向)，再定量(即确定参数p的值)．其中“定位”很关键，一般结合图形确定方程适合哪种形式，避免漏解．若已知抛物线的焦点坐标或准线方程，则可设出抛物线的标准方程，求出p值即可．若无法定位，则需分类讨论．特别地，已知抛物线上一点的坐标，一般有两种标准方程．[跟踪训练1]当a为任意实数时，直线(2a＋3)x＋y－4a＋2＝0恒过定点P，则过点P的抛物线的标准方程是()A. x2＝32y或y2＝－eq \f(1,2xB. x2＝－32y或y2＝eq \f(1,2xC. y2＝32x或x2＝－eq \f(1,2yD. y2＝－32x或x2＝eq \f(1,2y解析：将直线的方程化为(3x＋y＋2)＋a(2x－4)＝0，令eq \b\lc\{\rc\ (eq \a\vs4\ac\hs10\co1(3x＋y＋2＝0，,2x－4＝0，))得eq \b\lc\{\rc\ (eq \a\vs4\ac\hs10\co1(x＝2，,y＝－8，))∴P(2，－8)．设抛物线的方程为y2＝ax(a≠0)或x2＝ay(a≠0)，∴(－8)2＝2a或22＝－8a，解得a＝32或a＝－eq \f(1,2，故抛物线的方程为y2＝32x或x2＝－eq \f(1,2y.答案：C,易错误区2忽略抛物线定义中的限制条件失误[典例2]动点M(x，y)到y轴的距离比它到定点(2,0)的距离小2，求动点M(x，y)的轨迹方程．∵动点M到y轴的距离比它到定点(2,0)的距离小2，∴动点M到定点(2,0)的距离与到定直线x＝－2的距离相等．∴动点M的轨迹是以(2,0)为焦点，x＝－2为准线的抛物线，且p＝4.∴抛物线方程为y2＝8x，即为M的轨迹方程．错解中只求出了在x≥0的情况下的M的轨迹方程，忽视了x<0的情况．解法一：(1)当x≥0时，解法同错解，得y2＝8x.(2)当x<0时，由于x轴上原点左侧的点到y轴的距离比它到(2,0)的距离小2，∴动点M的轨迹方程为y＝0(x<0)．综上，点M的轨迹方程为y＝0(x<0)和y2＝8x(x≥0)．解法二：设M(x，y)，则有|x|＋2＝(x－2)2＋y2，即x2＋4|x|＋4＝x2－4x＋4＋y2，化简得y2＝4x＋4|x|＝eq \b\lc\{\rc\ (eq \a\vs4\ac\hs10\co1(8x，x≥0，,0，x<0，))∴动点M的轨迹方程为y＝0(x<0)和y2＝8x(x≥0)．抛物线的标准方程是特殊的抛物线方程，对坐标轴的位置有严格的要求．若从题意中无法判断方程是否为标准方程，可按求曲线方程的一般步骤求解．[跟踪训练2]经过点P(16，－4)的抛物线的标准方程为()A. y2＝x或x2＝－64yB. y2＝x或y2＝－64xC. y2＝xD. x2＝－64y解析：当抛物线的开口向右时，抛物线的方程为y2＝2px(p>0)，代入点P(16，－4)得：p＝eq \f(1,2，∴y2＝x；当抛物线的开口向下时，抛物线的方程为x2＝－2py(p>0)代入点P(16，－4)得：p＝32，∴x2＝－64y；综上所述，y2＝x或x2＝－64y.答案：A,,课堂效果落实KETANGXIAOGUOLUOSHI,对应学生用书P491. 抛物线x2＝8y的焦点坐标是()A. (0,2)B. (0，－2)C. (4,0)D. (－4,0)解析：本题主要考查抛物线的标准方程与性质．由抛物线的方程为x2＝8y 知，抛物线的焦点在y轴上，所以2p＝8，eq \f(p,2＝2，所以焦点坐标为(0,2)，故选A.答案：A2. 以双曲线eq \f(x2,16－eq \f(y2,9＝1的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为()A. y2＝16xB. y2＝－16xC. y2＝8xD. y2＝－8x解析：本题主要考查双曲线、抛物线的标准方程及其几何性质．因为双曲线eq \f(x2,16－eq \f(y2,9＝1的右顶点为(4,0)，即抛物线的焦点坐标为(4,0)，所以抛物线的标准方程为y2＝16x，故选A.答案：A3．过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，如果x1＋x2＝6，那么|AB|等于()A．10 B．8C．6 D．4解析：根据抛物线的定义知|AB|＝x1＋x2＋p.答案：B4. 抛物线y2＝2x上的两点A、B到焦点的距离之和是5，则线段AB的中点到y轴的距离是________．解析：本题主要考查抛物线的定义和基本性质的应用．抛物线y2＝2x的焦点为F(eq \f(1,2,0)，准线方程为x＝－eq \f(1,2，设A(x1，y1)、B(x2，y2)，则|AF|＋|BF|＝x1＋eq \f(1,2＋x2＋eq \f(1,2＝5，解得x1＋x2＝4，故线段AB 的中点横坐标为2.故线段AB的中点到y轴的距离是2.答案：25．抛物线的焦点F在x轴上，点A(m，－3)在抛物线上，且|AF|＝5，求抛物线的标准方程．解：设抛物线方程为y2＝2px或y2＝－2px(p>0)，∵点A在抛物线上，∴(－3)2＝2pm或(－3)2＝－2pm.∴m＝±eq \f(9,2p.①又|AF|＝eq \f(p,2＋|m|＝5，②把①代入②可得eq \f(p,2＋eq \f(9,2p＝5，即p2－10p＋9＝0.∴p＝1或p＝9.∴所求抛物线的标准方程为y2＝±2x或y2＝±18x.,,课后课时精练KEHOUKESHIJINGLIAN,对应学生用书P105时间：30分钟满分：75分一、选择题(每小题5分，共30分)1．若抛物线y2＝2px(p>0)的焦点与椭圆eq \f(x2,6＋eq \f(y2,2＝1的右焦点重合，则p的值为()A．－2B．2C．－4 D．4解析：因为抛物线的焦点坐标为(eq \f(p,2,0)，椭圆的右焦点坐标为(2,0)，依题意得eq \f(p,2＝2，得p＝4，故选D.答案：D2．若抛物线y2＝8x上一点P到其焦点的距离为10，则点P的坐标为() A．(8,8) B．(8，－8)C．(8，±8) D．(－8，±8)解析：设P(xP，yP)，因为点P到焦点的距离等于它到准线x＝－2的距离，所以xP＝8，yP＝±8，故选C.答案：C3．焦点在直线3x－4y－12＝0上的抛物线的标准方程为()A．x2＝16y或y2＝16xB．y2＝16x或x2＝12yC．y2＝16x或x2＝－12yD．x2＝16y或y2＝－12x解析：直线3x－4y－12＝0与x轴，y轴的交点分别是(4,0)，(0，－3)，所以抛物线的焦点为(4,0)或(0，－3)，因此，所求抛物线的标准方程为y2＝16x或x2＝－12y.答案：C4．已知F是抛物线y＝eq \f(1,16x2的焦点，P是该抛物线上的动点，则线段PF的中点E的轨迹方程是()A. x2＝8y－16B. x2＝2y－eq \f(1,16C. x2＝y－eq \f(1,2D. x2＝2y－2解析：本题主要考查利用相关点法求轨迹方程．抛物线方程可化为：x2＝16y，焦点F(0,4)，设线段PF的中点E的坐标为(x，y)，P(x0，y0)，则x0＝2x，y0＝2y－4，代入抛物线方程得：(2x)2＝16(2y－4)，即x2＝8y－16，故选A.答案：A5. 已知点A(－2,3)在抛物线C：y2＝2px的准线上，记C的焦点为F，则直线AF的斜率为()A. －eq \f(4,3B. －1C. －eq \f(3,4D. －eq \f(1,2解析：因为点A在抛物线的准线上，所以－eq \f(p,2＝－2，所以该抛物线的焦点F(2,0)，所以kAF＝eq \f(3－0,－2－2＝－eq \f(3,4，选C.答案：C6. 已知抛物线y＝x2－1上一定点B(－1,0)和两个动点P，Q，当BP⊥PQ 时，点Q的横坐标的取值范围是()A. (－∞，－3)∪[1，＋∞)B. [－3,1]C. [1，＋∞)D. (－∞，－3]∪[1，＋∞)解析：设P(t，t2－1)，Q(s，s2－1)，∵BP⊥PQ，∴eq \f(t2－1,t＋1·eq \f((s2－1)－(t2－1),s－t＝－1，即t2＋(s－1)t－s＋1＝0，∵t∈R，P，Q是抛物线上两个不同的点，∴必须有Δ＝(s－1)2＋4(s－1)≥0，即s2＋2s－3≥0，解得s≤－3或s≥1.∴点Q的横坐标的取值范围是(－∞，－3]∪[1，＋∞)，故选D.答案：D二、填空题(每小题5分，共15分)7. 若抛物线y2＝2px的焦点坐标为(1,0)，则p＝________，准线方程为________．解析：本题主要考查对抛物线标准方程的理解和应用因为抛物线y2＝2px的焦点坐标为(eq \f(p,2,0)，准线方程为x＝－eq \f(p,2，抛物线y2＝2px的焦点坐标为(1,0)，所以p＝2，准线方程为x＝－1.答案：2x＝－18．焦点为F的抛物线y2＝2px(p>0)上一点M在准线上的射影为N，若|MN|＝p，则|FN|＝________.解析：依题意，|MF|＝|MN|＝p，MF⊥MN，在Rt△MNF中，∠FMN＝90°，得|FN|＝2p.答案：2p9. 如图，正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为a，b(a<b)，原点O为AD的中点，抛物线y2＝2px(p>0)经过C，F两点，则eq \f(b,a＝________.解析：由正方形的定义可知BC＝CD，结合抛物线的定义得点D为抛物线的焦点，所以|AD|＝p＝a，D(eq \f(p,2,0)，F(eq \f(p,2＋b，b)，将点F的坐标代入抛物线的方程得b2＝2p(eq \f(p,2＋b)＝a2＋2ab，变形得(eq \f(b,a)2－eq \f(2b,a－1＝0，解得eq \f(b,a＝1＋2或eq \f(b,a＝1－2(舍去)，所以eq \f(b,a＝1＋2.答案：1＋2三、解答题(每小题10分，共30分)10. 已知点A(0,4)，B(0，－2)，动点P(x，y)满足eq \o(P A,\s\up6(→))·eq \o(PB,\s\up6(→))－y2＋8＝0.(1)求动点P的轨迹方程；(2)设(1)中所求轨迹与直线y＝x＋2交于C，D两点，求证：OC⊥OD(O为原点)．解：(1)由题意可知，eq \o(P A,\s\up6(→))＝(－x,4－y)，eq \o(PB,\s\up6(→))＝(－x，－2－y)，∴x2＋(4－y)(－2－y)－y2＋8＝0，∴x2＝2y为所求动点P的轨迹方程．(2)设C(x1，y1)，D(x2，y2)，由eq \b\lc\{\rc\ (eq \a\vs4\ac\hs10\co1(y＝x＋2,x2＝2y))，整理得x2－2x－4＝0，∴x1＋x2＝2，x1x2＝－4，∵kOC·kOD＝eq \f(y1,x1·eq \f(y2,x2＝eq \f((x1＋2)(x2＋2),x1x2＝eq \f(x1x2＋2(x1＋x2)＋4,x1x2＝eq \f(－4＋4＋4,－4＝－1，∴OC⊥OD.11．如右图，线段AB过点M(m,0)，m为正数，且点A，B到x轴的距离之积为4m，抛物线C以x轴为对称轴，且经过O，A，B三点(其中O为坐标原点)．(1)求抛物线C的方程；(2)若m＝1，eq \f(|AM|,|MB|＝2，求直线AB的方程．解：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，(1)依题意设所求抛物线C的方程为y2＝2px(p>0)，①AB所在直线方程为x＝ay＋m.②联立①②消去x，得y2－2apy－2pm＝0，则y1y2＝－2pm.由题意得2pm＝4m，所以p＝2.故所求抛物线方程为y2＝4x.(2)因为m＝1，p＝2，y1，y2是方程y2－4ay－4＝0的两根，所以eq \b\lc\{\rc\ (eq \a\vs4\ac\hs10\co1(y1＋y2＝4a，,y1y2＝－4.))又因为eq \f(|AM|,|MB|＝2，所以0＝eq \f(y1＋2y2,3，即y1＝－2y2，故eq \b\lc\{\rc\ (eq \a\vs4\ac\hs10\co1(y22＝2，,y2＝－4a.))所以(－4a)2＝2，故a＝±eq \f(2,4，从而AB的方程为y＝22(x－1)或y＝－22(x－1)．12. 已知抛物线C1的焦点与椭圆C2：eq \f(x2,6＋eq \f(y2,5＝1的右焦点重合，抛物线C1的顶点在坐标原点，过点M(4,0)的直线l与抛物线C1交于A，B两点．(1)写出抛物线C1的标准方程；(2)求△ABO面积的最小值．解：(1)椭圆C2：eq \f(x2,6＋eq \f(y2,5＝1的右焦点为(1,0)，即为抛物线C1的焦点，又抛物线C1的顶点在坐标原点，所以抛物线的标准方程为y2＝4x.(2)当直线AB的斜率不存在时，直线方程为x＝4，此时|AB|＝8，△ABO的面积S＝eq \f(1,2×8×4＝16.当直线AB的斜率存在时，设AB的方程为y＝k(x－4)(k≠0)，联立eq \b\lc\{\rc\ (eq \a\vs4\ac\hs10\co1(y＝k(x－4)，,y2＝4x，))消去x，得ky2－4y－16k＝0，Δ＝16＋64k2>0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根与系数之间的关系得y1＋y2＝eq \f(4,k，y1·y2＝－16，∴S△AOB＝S△AOM＋S△BOM＝eq \f(1,2|OM||y1－y2|＝2eq \f(16,k2＋64>16，综上所述，△ABO面积的最小值为16.。
2.3.1抛物线及其标准方程学案
射洪县太和中学高二数学导学案年级：高二 学科：数学 执笔：柴敏 审核：杜高峰 签字: 授课教师： 授课时间： 班级： 课题抛物线及其标准方程 课型 新授课 备注 【学习目标】1.掌握抛物线的定义及焦点、准线的概念.2.会求简单的抛物线的方程. 【重点难点预测】重点：抛物线的定义及其标准方程的求法. 难点：抛物线定义及方程的应用. 【学法指导】观察、归纳、数形结合法。
【导学流程】一、课前预习导学（预习教材理P 64~ P 67，文P 56~ P 59找出疑惑之处） 回顾旧知，承上启下复习1：函数2261y x x =-+ 的图象是 ，它的顶点坐标是（ ），对称轴是 ．复习2：点M 与定点(2,0)F 的距离和它到定直线8x =的距离的比是1:2，则点M 的轨迹是什么图形？ 二、探究新知探究1：若一个动点(,)p x y 到一个定点F 和一条定直线l 的距离相等，这个点的运动轨迹是怎么样的呢？新知1：抛物线: 平面内与一个定点F 和一条定直线l 的 距离 的点的轨迹叫做抛物线．点F 叫做抛物线的 ；直线l 叫做抛物线的 ．思考：如何建立坐标系,使抛物线的方程更简单,其标准方程形式怎样?写出其推导过程新知2：抛物线的标准方程定点F 到定直线l 的距离为p （0p >）．建立适当的坐标系，得到抛物线的四种标准形式： 图形 标准方程 焦点坐标准线方程22y px =,02p ⎛⎫ ⎪⎝⎭2px =-试试：抛物线220y x =的焦点坐标是（ ），准线方程是 ； 抛物线212x y =-的焦点坐标是（ ），准线方程是 ．三、应用探究案探究一 抛物线的标准方程[例1] 求适合下列条件的抛物线的标准方程：(1)过点M(－6,6)； (2)焦点F 在直线l ：3x －2y －6＝0上．学以致用1:分别求满足下列条件的抛物线的标准方程： (1)过点A(2,3)； (2)焦点到准线的距离为52.探究二 抛物线定义的应用[例2] 已知抛物线y2＝4x 的焦点是F ，点P 是抛物线上的动点，对于定点A(4,2)，求|PA|＋|PF|的最小值，并求出取最小值时，P 点坐标．学以致用2:已知直线l1：4x －3y ＋6＝0和直线l2：x ＝－1，抛物线y2＝4x 上一动点P 到直 线l1和直线l2的距离之和的最小值是( ) A.355 B ．2 C.115 D ．3探究三 抛物线的实际应用[例3] 一辆卡车高3 m ，宽1.6 m ，欲通过断面为抛物线型的隧道，已知拱口宽恰好是拱高的4倍，若拱口宽为a m ，求使卡车通过的a 的最小整数值．四、总结提升 1．抛物线的定义；2．抛物线的标准方程、几何图形． ■达标测评1．抛物线x ＝4y2的准线方程是( )A ．y ＝12B ．y ＝－1C ．x ＝－116D ．x ＝18 2．抛物线y2＝8x 的焦点到准线的距离是( ) A ．1 B ．2 C ．4 D ．83．若直线ax －y ＋1＝0经过抛物线y2＝4x 的焦点，则实数a ＝________.【知识清单】【自主反思】。
高中数学《抛物线及其标准方程》(导学案)
第二章 圆锥曲线与方程 2.3.1抛物线及其标准方程一、学习目标1．掌握抛物线的定义及焦点、准线的概念． 2．会求简单的抛物线的方程． 【重点、难点】1．抛物线的定义及其标准方程的求法．(重点)2．抛物线定义及方程的应用．(难点) 二、学习过程 【复习旧知】在初中，我们学习过了二次函数2y ax bx c =++，知道二次函数的图象是一条抛物线 例如：（1）24y x =，（2）24y x =-的图象（自己画出函数图像）【导入新课】 1.抛物线的定义探究1观察抛物线的作图过程，探究抛物线的定义：抛物线的定义： 2.抛物线的标准方程要求抛物线的方程，必须先建立直角坐标系.探究2 设焦点F 到准线l 的距离为(0)p p >，你认为应该如何选择坐标系求抛物线的方程？按照你建立直角坐标系的方案，求抛物线的方程. 推导过程：我们把方程22(0)y px p =>叫做抛物线的标准方程，它表示的抛物线的焦点坐标是,02p ⎛⎫⎪⎝⎭，准线方程是2p x =-。
在建立椭圆、双曲线的标准方程的过程中，选择不同的坐标系得到了不同形式的标准方程，对于抛物线，当我们选择如图三种建立坐标系的方法，我们也可以得到不同形式的抛物线的标准方程：【典型例题】【例1】分别求满足下列条件的抛物线的标准方程：(1)焦点为(－2,0)；(2)准线为y＝－1；(3)过点A(2,3)；【例2】如图，已知抛物线y2＝2x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，又有点A(3,2)，求|PA|＋|PF|的最小值，并求此时P点坐标．【例3】 (12分)一辆卡车高3 m，宽1.6 m，欲通过断面为抛物线型的隧道，已知拱口宽恰好是拱高的4倍，若拱口宽为a m，求使卡车通过的a的最小整数值．【变式拓展】1.根据下列条件写出抛物线的标准方程：(1)经过点(－3，－1)；(2)焦点为直线3x－4y－12＝0与坐标轴的交点．2.已知点P 是抛物线y 2＝2x 上的一个动点，则点P 到点A (0,2)的距离与P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为( )．A.172B ．2C. 5D.923.某河上有一座抛物线形的拱桥，当水面距拱顶5米时，水面宽8米，一木船宽4米，高2米，载货的木船露在水面上的部分为0.75米，当水面上涨到与拱顶相距多少时，木船开始不能通航？三、总结反思1．抛物线定义的理解(1)抛物线定义的实质可归结为“一动三定”，一个动点，设为M ；一个定点F 即抛物线的焦点；一条定直线l 即抛物线的准线；一个定值即点M 与点F 的距离和它到直线l 的距离之比等于1.(2)在抛物线的定义中，定点F 不能在直线l 上，否则，动点M 的轨迹就不是抛物线，而是过点F 垂直于直线l 的一条直线．如到点F (1,0)与到直线l ：x ＋y －1＝0的距离相等的点的轨迹方程为x －y －1＝0，轨迹为过点F 且与直线l 垂直的一条直线．2．抛物线标准方程的特点四种抛物线及其标准方程的共同特点是：(1)原点在抛物线上；(2)对称轴为坐标轴；(3)p 为大于0的常数，其几何意义表示焦点到准线的距离；(4)准线与对称轴垂直，垂足与焦点关于原点对称；(5)焦点、准线到原点的距离都等于2p 4＝p2.抛物线的焦点坐标、准线方程以及开口方向取决于抛物线的标准方程形式，规律是： 焦点决定于一次项，开口决定于正负号，即标准方程中，如果含的是x 的一次项，则焦点就在x 轴上，并且焦点的横坐标为p 2(或－p2)，相应的准线是x ＝－p 2(或x ＝p2)，如果含的是y 的一次项，有类似的结论.四、随堂检测1．对抛物线y ＝4x 2，下列描述正确的是( )A ．开口向上，焦点为(0,1)B ．开口向上，焦点为(0，116)C ．开口向右，焦点为(1,0)D ．开口向右，焦点为(0，116)2．焦点在直线x ＝1上的抛物线的标准方程是( ) A ．y 2＝2x B ．x 2＝4y C ．y 2＝－4x D ．y 2＝4x3．若抛物线y 2＝ax 的焦点与椭圆x 26＋y 22＝1的左焦点重合，则a 的值为( )A ．－4B ．2C ．－8D ．44．抛物线y 2＝x 上一点P 到焦点的距离是2，则点P 坐标为( )5.已知F 是抛物线y ＝14x 2的焦点，P 是该抛物线上的动点，则线段PF 中点的轨迹方程是( )A ．x 2＝2y －1B ．x 2＝2y －116C ．x 2＝y －12D ．x 2＝2y －2。
抛物线及其标准方程导学案
抛物线及其标准方程（一）学习目标：1、掌握抛物线的定义2、掌握抛物线的四种标准方程形式及其对应的焦点和准线。
3、能根据已知条件求抛物线的标准方程，并会由标准方程求相应准线方程，焦点坐标。
4、提高分析、概括等方面能力，渗透数形结合和分类讨论等数学思想。
一、自主学习:阅读教材p64-65 回答下列问题：1、和椭圆和双曲线的研究过程一样，教材先给出抛物线的定义：平面内与一个定点F 和一条定直线l （_______）的___________的轨迹叫抛物线.点F 叫抛物线的___，直线l 叫做抛物线的_______.2、根据定义推导出了焦点在x 轴上的抛物线的标准方程：________, 这里标准的含义是_________,其中p 的几何意义是_____________。
3、抛物线px y 22=(p ＞0)上一点Ｍ到焦点的距离是⎪⎭⎫ ⎝⎛>2p a a ，则点Ｍ到准线的距离是___，点Ｍ的横坐标是______自学中未解决的问题：二、问题探究（先独立思考，再小组交流）1、在建立椭圆、双曲线的标准方程时，选择不同的坐标系可以得到不同形式的标准方程，那么抛物线的标准方程有哪些不同的形式？探究之后填写下表：图 形 标准方程 焦点坐标 准线方程px y 22=(p ＞0))0,2(p 2p x -=2、说明二次函数()02≠=a ax y 的图象为什么是抛物线，并指出它的焦点坐标和准线方程。
探究结果：三、例题分析1、（1）已知抛物线的标准方程是y2=6x，求它的焦点坐标和准线方程。
（2）已知抛物线的焦点是F（0，-2），求它的标准方程。
2.根据已知条件分别写出抛物线标准方程。
（1）经过点（-3，2）。
（2）焦点在直线x-2y-4=0上。
四、课堂练习（课本P63练习第3、4题）五、课时小结（1）理解掌握抛物线的定义，四种标准方程及参数p的几何意义（2）熟练抛物线标准方程与其焦点坐标及准线方程之间关系。
（3）进一步掌握坐标法求方程的思想方法。
§241抛物线及其标准方程导学案(定稿)
§2.4.1抛物线及其标准方程导学案【学习目标】掌握抛物线的定义、标准方程、几何图形．【重点难点】▲重点：抛物线的定义及其标准方程▲难点：抛物线的标准方程的推导【学法指导】以自学为主，教师讲授为辅【知识链接】预习教材文P 56~ P 59找出疑惑之处【学习过程】探究1:生活中的抛物线——————动画导入【自主探究】探究2：如图，点F 是定点，l 是不经过点F 的定直线。
H 是l 上任意一点，过点H 作M H ⊥l ,线段FH 的垂直平分线m 交MH 与M 。
拖动点H ，观察点M 的轨迹。
————几何画板画图问题1：动点M 的轨迹是什么曲线？问题2：形成该曲线的条件有哪些？问题3：如何定义抛物线的定义？知识点一：抛物线的定义平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离 的点的轨迹叫做抛物线．点F 叫做抛物线的 ；直线l 叫做抛物线的 ．知识点二：抛物线的标准方程的推导问题4：求曲线方程的步骤有哪些？问题5：如何选择坐标系建立的抛物线的方程更简便？写出抛物线的标准方程的推导过程。
归纳：焦点在x轴正半轴的抛物线时1、标准方程为：_________________________2、焦点坐标为：_________________________3、准线方程为：_________________________4、开口方向为：_________________________【小组合作】探究3：抛物线的标准方程还有哪些不同的形式？定点F到定直线l的距离为p（0p>）．建立适当的坐标系，得到抛物线的四种标准形式：图形标准方程焦点位置焦点坐标准线方程22y px=,02p⎛⎫⎪⎝⎭2px=-问题6：标准方程中P的几何意义怎么理解？问题7：如何判断焦点位置与开口方向？小试牛刀：（口答）1、抛物线220y x=的焦点坐标是（），准线方程是；2、抛物线212x y=-的焦点坐标是（），准线方程是．3、抛物线0522=+xy的焦点坐标是（），准线方程是．4、抛物线082=-yx的焦点坐标是（），准线方程是．小结：___________________________※典型例题例1、已知抛物线的焦点是(0,2)F-，求它的标准方程．小结：_______________________________________________________________________________变式1: （1）焦点是)0,2(-F，求它的标准方程（2）已知准线方程为2=x，求它的标准方程变式2：根据下列条件写出抛物线的标准方程：⑴经过点P(-2,-4)的抛物线方程。
2.3.1抛物线及其标准方程(导学案)
（2）将预习中不能解决的问题标出来，并写到后面“我的疑惑”处.预学案【预习导学】1：函数2261y x x=-+的图象是，它的顶点坐标是（），对称轴是．2：点M与定点(2,0)F的距离和它到定直线8x=的距离的比是1:2，则点M的轨迹是什么图形？[预习自测]抛物抛物线21 2x y=-的焦点坐标是（），准线方程是．【预习总结】（请你将预习中未能解决的问题和疑惑的问题写下来，待课堂上与老师同学探究解决）导学案【探究点一】探究1：若一个动点(,)p x y到一个定点F和一条定直线l的距离相等，这个点的运动轨迹是怎么样的呢？知识点一：抛物线的定义平面内与一个定点F和一条定直线l的距离的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的；直线l叫做抛物线的．知识点二：抛物线的标准方程定点F到定直线l的距离为p（0p>）．建立适当的坐标系，得到抛物线的四种标准形式：抛物线220y x=的焦点坐标是（），准线方程是；抛物抛物线212x y=-的焦点坐标是（），准线方程是．抛物线0522=+xy的焦点坐标是（），准线方程是．抛物线082=+yx的焦点坐标是（），准线方程是．※典型例题例1 （1）已知抛物线的标准方程是26y x=，求它的焦点坐标和准线方程；（2）已知抛物线的焦点是(0,2)F-，求它的标准方程．变式练习：根据下列条件写出抛物线的标准方程：⑴焦点坐标是(0,4)；⑵准线方程是14x=-；⑶焦点到准线的距离是2．例2 一种卫星接收天线的轴截面如图所示，卫星波束呈近似平行状态的射入轴截面为抛物线的接收天线，经反射聚集到焦点处，已知接收天线的口径为4.8m，深度为0.5m，试建立适当的坐标系，求抛物线的标准方程和焦点坐标．变式练习1．求满足下列条件的抛物线的标准方程: (1) 焦点坐标是(5,0 )F -；(2) 焦点在直线240x y --=上．2 ．抛物线22y px = (0)p >上一点M 到焦点距离是a ()2pa >，则点M 到准线的距离是 ，点M 的横坐标是 ．【课堂检测】1．对抛物线24y x =，下列描述正确的是（ ）． A ．开口向上，焦点为(0,1)B ．开口向上，焦点为1(0,)16C ．开口向右，焦点为(1,0)D ．开口向右，焦点为1(0,)162．抛物线280x y +=的准线方程式是（ ）． A ．2x = B ．2x =-C ．2y =D ．2y =-3．抛物线210y x =的焦点到准线的距离是（ ）．A. 52B. 5C. 152D. 104.准线方程为2=x 的抛物线的标准方程是（ ）A 、x y 42-=B x y 82-=C x y 42=D x y 82=5．抛物线212y x =上与焦点的距离等于9的点的坐标是 ．6．抛物线24x y =上一点A 的纵坐标为4，则点A 与抛物线焦点的距离为 ．固学案【复习整合】 回扣教材，梳理知识，形成知识提纲。
人教版高中选修2-1《抛物线及其标准方程》导学案
人教版高中选修2-1《抛物线及其标准方程》导学案《人教版高中选修2-1《抛物线及其标准方程》导学案》这是优秀的教学设计文章，希望可以对您的学习工作中带来帮助！2.4.1抛物线及其标准方程导学案(一)教学目标1.知识与技能：(1)理解抛物线的定义明确焦点、焦距的概念。
(2)熟练掌握抛物线的标准方程，会根据所给的条件画出抛物线的草图并确定抛物线的标准方程。
2.过程与方法：事例引入，动手操作理解抛物线的定义明确焦点、焦距的概念。
通过学生动手推导、例题教学让学生熟练掌握抛物线的标准方程，会根据所给的条件画出抛物线的草图并确定抛物线的标准方程。
3.情感、态度与价值观：(1)学生能够发现问题和提出问题，善于独立思考，学会分析问题和创造地解决问题;(2)培养学生抽象概括能力和逻辑思维能力。
(二)教学重点与难点重点：抛物线的定义和标准方程难点：抛物线标准方程的推导(三)教学过程活动一：创设情景、引入课题(5分钟)由篮球的投球抛物线视频引入课题问题1：同学们对抛物线已有了哪些认识?问题2：在二次函数中研究了抛物线的什么?问题3：把一根直尺固定在白纸上直线L位置，把一块三角板的一条直角边紧靠着直尺的边缘,再把一条细绳的一端固定在三角板的另一条直角边的一点A，取绳长等于点A到直角标顶点C的长(即点A到直线L的距离)，并且把绳子的另一端固定在白纸上的一点F用铅笔尖扣着绳子，使点A到笔尖的一段绳子紧靠着三角板，然后将三角板沿着直尺上下滑动，笔尖就在白纸上描出了一条曲线。
活动二：师生交流、进入新知，(20分钟)问题4：实验操作中，点M随着直角三角板运动的过程中，与有什么关系?1、抛物线定义：把平面内与和距离相等的点的轨迹叫作抛物线，这个定点叫做，直线叫做。
即=;焦点：;准线：直线问题5：你能利用我们学过的求曲线的方程的方法求出抛物线的方程吗?求曲线的方程的步骤是什么呢?问题6：探究:若抛物线的焦点分别为、、，抛物线的标准方程是什么?2：抛物线的标准方程活动三：合作学习、探究新知(13分钟)例1:(1)已知抛物线标准方程是，求它的焦点坐标和准线方程(2)已知抛物线的焦点坐标是(0，-2)，求它的标准方程问题7：思考:你能说明二次函数的图象为什么是抛物线吗?指出它的焦点坐标、准线方程。
抛物线及其标准方程导学案
2.3.1 抛物线及其标准方程一、【学习目标】1.理解抛物线的定义，掌握抛物线标准方程的推导；2．掌握抛物线标准方程的四种形式，会求抛物线的焦点坐标及准线方程； 3．能利用定义解决简单的应用问题. 二、【复习引入】 1．椭圆的第二定义:2. 双曲线的第二定义：3．问题：到定点距离与到定直线距离之比是定值e 的点的轨迹，当0<e<1时是（ ），当e>1时是（ ）.此时自然想到，当e=1时轨迹是什么？若一动点到定点F 的距离与到一条定直线l 的距离之比是一个常数1=e 时，那么这个点的轨迹是什么曲线？ 三、【新知探究】 1. 抛物线定义：2．推导抛物线的标准方程：说明：1．方程形式与图形之间的关系： 2．p 的几何意义： 四、【例题精讲】例1：（1）已知抛物线标准方程是x y 62=，求它的焦点坐标和准线方程. （2）已知抛物线的焦点坐标是)2,0(-F ，求它的标准方程.例2： 已知抛物线的标准方程是（1）x y 122=（2）212x y =求它的焦点坐标和准线方程．例3：求满足下列条件的抛物线的标准方程： （1）焦点坐标是)0,5(-F （2）经过点)3,2(-A五、【随堂练习】1．求下列抛物线的焦点坐标和准线方程（1）x y 82=（2）y x 42=（3）0322=+x y （4）261x y -= 2．根据下列条件写出抛物线的标准方程（1）焦点是)0,2(-F （2）准线方程是31=y （3）焦点到准线的距离是4，焦点在y 轴上 （4）经过点)2,6(-A3．抛物线y x 42=上的点P 到焦点的距离是10，求P 点坐标4.P67 1、2、35.P72 习题2.4 A 组1、22.3.2 抛物线的简单几何性质（一）一、【学习目标】1．巩固抛物线定义和标准方程；2．掌握抛物线简单几何性质，会利用性质求方程. 二、【新知探究】 抛物线的几何性质：例1 ：已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点)22,2(-M ，求它的标准方程，并用描点法画出图形．例2 ：探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分，光源位于抛物线的焦点处，已知灯口圆的直径60cm ，灯深为40cm ，求抛物线的标准方程和焦点坐标． 四、【随堂练习】 1.P72 12.P73 习题A 组 42.3.2 抛物线的简单几何性质（二）一、【学习目标】1．掌握与弦中点相关的性质； 2．掌握与OB OA ⊥相关的性质. 二、【新知探究】1.抛物线的焦半径（定义）及其应用： 定义：焦半径公式：2．抛物线的焦点弦： （1）弦长公式：①=AB ________________________ ②=AB ________________________ （2）通径：（px 2 =∆AOB S（4px 2 n BF m AF ==||,||，p n m 211=+（5）=21x x=21y y（1）=21x x =21y y 三、【例题精讲】例1：过抛物线px y 22=的焦点F 任作一条直线m ，交这抛物线于B A ,两点， 求证：以AB 为直径的圆和这抛物线的准线相切．例2：过抛物线x y 42=的焦点作直线交抛物线于()11,y x A ，()22,y x B 两点，如果621=+x x ，那么||AB =（ ）A ．10B ．8C ．6D ．4 例3：过抛物线()02>=a axy 的焦点F 作直线交抛物线于P 、Q 两点，若线段PF 、QF的长分别是p 、q ，则qp 11+=（ ） A ．a 2 B ．a 21 C ．a 4 D ．a4 例4：直线2-=x y 与抛物线x y 22=相交于B A ,两点，求证：⊥.四、【随堂练习】1．已知M 为抛物线x y 42=上一动点，F 为抛物线的焦点，定点()1,3P ，则||||MF MP +的最小值为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6 2.P73 3、52.3.3 专题：直线与抛物线的位置关系一、【知识要点】1.如何确定直线和抛物线的位置关系？ ________⇔直线与抛物线有两个公共点________⇔直线与抛物线有且只有一个公共点 ________⇔直线与抛物线没有公共点2.弦长公式：=AB ________________________3.点差法：4.⇔⊥OB OA ________________________ 二、【典型例题】例1：已知抛物线的方程为x y 42=，直线l 过定点），（12-P ，斜率为k ．k 为何值时，直线l 与抛物线只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点.例2:过点)0,2(M 作斜率为1的直线l ，交抛物线x y 42=于B A ,两点，求||AB .例3：过抛物线x y 42=焦点F 的直线l 与它交于A 、B 两点，则弦AB 的中点的轨迹方程是 _____________.例4：直线2+=x y 与抛物线相交于A 、B 两点，求证：OB OA ⊥. 三、【巩固练习】1． 垂直于x 轴的直线交抛物线x y 42=于B A ,两点，且34||=AB ，求直线AB 的方程.2．顶点在坐标原点，焦点在x 轴上的抛物线被直线12+=x y 截得的弦长为15，求抛物线的方程.3．以双曲线 191622=-y x 的右准线为准线，以坐标原点O 为顶点的抛物线截双曲线的左准线得弦AB ，求△AB O 的面积.4．定长为3的线段AB 的端点A 、B 在抛物线x y =2上移动，求AB 中点M 到y 轴距离的最小值，并求出此时AB 中点M 的坐标.5．在抛物线x y 42=上求一点P ，使得P 到直线3+=x y 的距离最短.6．已知直角OAB ∆的直角顶点O 为原点，A 、B 在抛物线()022>=p px y 上.（1）分别求A 、B 两点的横坐标之积，纵坐标之积；（2）直线AB 是否经过一个定点，若经过，求出该定点坐标，若不经过，说明理由； （3）求O 点在线段AB 上的射影M 的轨迹方程.7．已知直角OAB ∆的直角顶点O 为原点，A 、B 在抛物线()022>=p px y 上，原点在直线AB 上的射影为()1,2D ，求抛物线的方程.8．已知抛物线()022>=p px y 与直线1+-=x y 相交于A 、B 两点，以弦长AB 为直径的圆恰好过原点，求此抛物线的方程.9．已知直线b x y +=与抛物线px y 22=()0>p 相交于A 、B 两点，若OB OA ⊥，（O 为坐标原点）且52=∆AOB S ，求抛物线的方程.10．（1）正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线()022>=p px y 求这个正三角形的边长.（2）正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线()022>=p px y 上，求正三角形外接圆的方程.11．已知ABC ∆的三个顶点是圆0922=-+x y x 与抛物线()022>=p px y 的交点，且ABC ∆的垂心恰好是抛物线的焦点，求抛物线的方程.12．顶点在原点，焦点在y 轴上，且过点(4,2)P 的抛物线方程是（ ）A. y x 82=B. y x 42=C. y x 22= D. y x 212=13．抛物线x y 82=上一点P 到顶点的距离等于它们到准线的距离，这点坐标是( ) A. （2，4） B.（2，±4） C.（1，22） D.（1，±22）14．抛物线顶点在原点，以坐标轴为对称轴，过焦点且与y 轴垂直的弦长等于8，则抛物线方程为 __________.15．抛物线x y 62=，以此抛物线的焦点为圆心，且与抛物线的准线相切的圆的方程是________________.3.1.1 变化率问题一、【学习目标】理解函数平均变化率的概念，会求已知函数的平均变化率。
§2.4.1抛物线及其标准方程导学案(定稿)
§2.4.1抛物线及其标准方程导学案高二备课组 授课教师：【学习目标】掌握抛物线的定义、标准方程、几何图形．【重点难点】▲重点：抛物线的定义及其标准方程▲难点：抛物线的标准方程的推导【学法指导】以自学为主，教师讲授为辅【知识链接】预习教材文P 56~ P 59找出疑惑之处【学习过程】探究1:生活中的抛物线——————动画导入探究2：若一个动点),(y x M 到一个定点F 和一条定直线l 的距离相等，这个点的运动轨迹是怎么样的呢？————几何画板画图问题1：动点M 的轨迹是什么曲线？问题2：形成该曲线的条件有哪些？问题3：如何定义抛物线的定义？知识点一：抛物线的定义平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离 的点的轨迹叫做抛物线．点F 叫做抛物线的 ；直线l 叫做抛物线的 ．知识点二：抛物线的标准方程的推导问题4：求曲线方程的步骤有哪些？问题5：如何选择坐标系建立的抛物线的方程更简便？写出抛物线的标准方程的推导过程。
m l M E F H归纳：焦点在x 轴正半轴的抛物线时1、 标准方程为：_________________________2、 焦点坐标为：_________________________3、 准线方程为：_________________________4、 开口方向为：_________________________探究3：抛物线的标准方程还有哪些不同的形式？定点F 到定直线l 的距离为p （0p >）．建立适当的坐标系，得到抛物线的四种标准形式：问题6：标准方程中P 的几何意义怎么理解？问题7：如何判断焦点位置与开口方向？小试牛刀：抛物线220y x =的焦点坐标是（ ），准线方程是 ；抛物线212x y =-的焦点坐标是（ ），准线方程是 ． 抛物线0522=+x y 的焦点坐标是（ ），准线方程是 ．抛物线082=+y x 的焦点坐标是（ ），准线方程是 ．小结：___________________________※ 典型例题例1、已知抛物线的焦点是(0,2)F -，求它的标准方程．小结：___________________________变式1: （1）焦点是)0,2(-F ，求它的标准方程（2）已知准线方程为2=x ，求它的标准方程变式2：根据下列条件写出抛物线的标准方程：⑴焦点坐标是(0,4)；⑵准线方程是014=+x ；⑶焦点到准线的距离是2．(4)经过点P(-2,-4)的抛物线方程。
(新课程)高中数学《2.4.1抛物线及其标准方程》导学案 新人教A版选修21
学习目标掌握抛物线的定义、标准方程、几何图形．学习过程一、课前准备（预习教材理P64~ P67，文P56~ P59找出疑惑之处）复习1：函数2261y x x=-+的图象是，它的顶点坐标是（），对称轴是．复习2：点M与定点(2,0)F的距离和它到定直线8x=的距离的比是1:2，则点M的轨迹是什么图形？二、新课导学※学习探究探究1：若一个动点(,)p x y到一个定点F和一条定直线l的距离相等，这个点的运动轨迹是怎么样的呢？新知1：抛物线平面内与一个定点F和一条定直线l的距离的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的；直线l叫做抛物线的．新知2：抛物线的标准方程定点F到定直线l的距离为p（0p>）．建立适当的坐标系，得到抛物线的四种标准形式：图形标准方程焦点坐标准线方程22y px=,02p⎛⎫⎪⎝⎭2px=-抛物线220y x=的焦点坐标是（），准线方程是；抛物线212x y=-的焦点坐标是（），准线方程是．※典型例题例1 （1）已知抛物线的标准方程是26y x=，求它的焦点坐标和准线方程；（2）已知抛物线的焦点是(0,2)F-，求它的标准方程．变式：根据下列条件写出抛物线的标准方程：⑴焦点坐标是(0,4)；⑵准线方程是14x=-；⑶焦点到准线的距离是2．12008年下学期◆高二 月 日 班级： 姓名： 第二章 圆锥曲线与方程2例2 一种卫星接收天线的轴截面如图所示，卫星波束呈近似平行状态的射入轴截面为抛物线的接收天线，经反射聚集到焦点处，已知接收天线的口径为4.8m ，深度为0.5m ，试建立适当的坐标系，求抛物线的标准方程和焦点坐标．※ 动手试试练1．求满足下列条件的抛物线的标准方程: (1) 焦点坐标是(5,0 )F -；(2) 焦点在直线240x y --=上．练2 ．抛物线22y px = (0)p >上一点M 到焦点距离是a ()2pa >，则点M 到准线的距离是 ，点M的横坐标是 ．三、总结提升 ※ 学习小结1．抛物线的定义；2．抛物线的标准方程、几何图形． ※ 知识拓展 焦半径公式：设M 是抛物线上一点，焦点为F ，则线段MF 叫做抛物线的焦半径．若00(,)M x y 在抛物线22y px =上，则02pMF x =+学习评价（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分： 1．对抛物线24y x =，下列描述正确的是（ ）． A ．开口向上，焦点为(0,1)B ．开口向上，焦点为1(0,)16C ．开口向右，焦点为(1,0)D ．开口向右，焦点为1(0,)162．抛物线280x y +=的准线方程式是（ ）． A ．2x = B ．2x =- C ．2y = D ．2y =- 3．抛物线210y x =的焦点到准线的距离是（ ）．A. 52B. 5C. 152D. 104．抛物线212y x =上与焦点的距离等于9的点的坐标是 ． 5．抛物线24x y =上一点A 的纵坐标为4，则点A 与抛物线焦点的距离为 ． 课后作业M (0,8)F 7y =-的距离大1，求M 点的轨迹方程．2．抛物线22y px = (0)p >上一点M 到焦点F 的距离2MF p =，求点M 的坐标．3。
3.3.1 抛物线及其标准方程 导学案答案
3.3 抛物线3.3.1 抛物线及其标准方程【课前预习】知识点一相等 焦点 准线诊断分析(1)√ (2)√ (3)× (4)× [解析] (3)抛物线的焦点不可能在准线上.(4)只有当点F 不在直线l 上时,满足条件的点的轨迹才是抛物线.知识点二(p 2,0) (-p 2,0) (0,p 2) (0,-p 2) x=-p 2x=p 2 y=-p 2 y=p 2 诊断分析(1)× (2)× (3)√ (4)× [解析] (1)抛物线的方程不都是二次函数,如开口向右的抛物线的标准方程为y 2=2px (p>0),对任意一个x (x ≠0),y 的值不唯一,所以不是二次函数.(2)原点到准线的距离是p 2(p>0).(3)若一次项是含x 的项,则当一次项系数大于0时,抛物线的开口向右,当一次项系数小于0时,抛物线的开口向左;若一次项是含y 的项,则当一次项系数大于0时,抛物线的开口向上,当一次项系数小于0时,抛物线的开口向下.(4)方程y=ax 2(a ≠0)表示的抛物线的标准方程是x 2=1a y (a ≠0). 【课中探究】探究点一例1 (1)A (2)(6,9)或(-6,9) [解析] (1)设动圆圆心的坐标为(x ,y ),则圆心到点(1,0)的距离与到直线x=-1的距离相等,根据抛物线的定义知,动圆圆心的轨迹为抛物线.故选A .(2)设点P (x 0,y 0),易知抛物线x 2=4y 的焦点坐标为(0,1),准线方程为y=-1,由抛物线的定义得y 0+1=10,∴y 0=9,代入抛物线的方程,得x 0=±6,故点P 的坐标为(6,9)或(-6,9).变式 (1)A (2)A [解析] (1)由题意知,抛物线的准线方程为x=-14.因为|AF|=54x 0,所以根据抛物线的定义可得|AF|=x 0+14=54x 0,解得x 0=1.故选A .(2)将P 点到直线l 1:x=-1的距离转化为P 到焦点F (1,0)的距离,过点F 作直线l 2的垂线,交抛物线于点P ,此即为取得最小值时的点P ,∴P 到两条直线的距离之和的最小值为√12+12=2√2.故选A .拓展 (1)C (2)72 (2,2) [解析] (1)设抛物线的焦点为F ,则F (-1,0),连接PF ,PM ,FM ,作PN 垂直于准线交准线于点N ,由抛物线的定义得|PN|=|PF|,所以|PN|+|PM|=|PF|+|PM|,易知当P ,F ,M 三点共线且P 在线段FM 上时,|PN|+|PM|取得最小值,所以(|PN|+|PM|)min =|FM|=√(-1)2+(-2)2=√5,故选C .(2)分别过点P ,A 作PN ,AB 垂直于抛物线的准线交准线于点N ,B ,则|PA|+|PF|=|PA|+|PN|≥|AB|,当且仅当P 为AB 与抛物线的交点时取等号,∴(|PA|+|PF|)min =|AB|=3+12=72,此时y P =2,代入抛物线的方程得x P =2,故取得最小值时点P 的坐标为(2,2).探究点二例2 解:(1)由题意可知p=4,故抛物线的标准方程为y 2=8x 或y 2=-8x 或x 2=8y 或x 2=-8y.(2)设抛物线的标准方程为x 2=-2py (p>0),将点(-1,-3)的坐标代入,得1=6p ,所以2p=13,所以抛物线的标准方程为x 2=-13y.(3)双曲线的标准方程为x 29-y 216=1,其左顶点的坐标为(-3,0),设抛物线的标准方程为y 2=-2px (p>0),则-p 2=-3,所以2p=12,所以抛物线的标准方程为y 2=-12x.变式 (1)C (2)y 2=4x [解析] (1)直线2x+5y-10=0与坐标轴的交点为(5,0)和(0,2),所以抛物线的焦点为(5,0)或(0,2).当焦点为(5,0)时,抛物线的标准方程为y 2=20x ;当焦点为(0,2)时,抛物线的标准方程为x 2=8y.故选C .(2)依题意得 x 02=2px 0,因为x 0≠0,所以x 0=2p.又|MF|=x 0+p 2=5,解得p=2,所以抛物线C 的方程为y 2=4x. 探究点三例3 解:(1)设抛物线形拱桥与水面的两个交点分别为A ,B ,以AB 的垂直平分线为y 轴,拱圈最高点为坐标原点O ,建立平面直角坐标系,如图,则A (-15,-9),B (15,-9).设拱桥所在的抛物线的标准方程为x 2=-2py (p>0),将点A (-15,-9)的坐标代入抛物线的方程得2p=25,故拱桥所在的抛物线的标准方程是x 2=-25y.(2)因为x 2=-25y ,所以当x=3时,y=-0.36,故当水位暴涨2.46 m 后,船身至少应降低7+2.46-(9-0.36)=0.82(m),又精确到0.1 m,所以船身至少应降低0.9 m .变式C[解析] 如图所示,以碗体的最低点为原点建立平面直角坐标系,设碗体内部的轴截面所在抛物线的方程为x2=2py(p>0),将(5,6.25)代入,得52=2p×6.25,解得p=2,则x2=4y.设盖上碗盖后,碗盖内部最高点到碗底的垂直距离为h cm,则两抛物线在第一象限的交点为(4,h-3),将(4,h-3)代入x2=4y,得42=4(h-3),解得h=7.故选C.。
抛物线的标准方程(导学案)
§2.1抛物线及标准方程
【学习目标】
1.掌握抛物线的定义、抛物线的标准方程及其推导过程．
2.进一步熟练掌握解析几何的基本思想方法，提高分析、对比、概括、转化等方面的能力
【学习重点】掌握抛物线的定义、抛物线的标准方程及其推导过程。
1.椭圆的画法。
2.椭圆的定义
3.椭圆的标准方程
一．基础探究
阅读课本，请同学们探究以下问题
探究1抛物线的定义
①利用直尺、三角板、细绳、铅笔设计一个方案，画一条抛物线
（如图）
②从画抛物线的过程中，我们可以得出抛物线的定义：。
定点F叫做抛物线
的，定直线
l叫做。
想一想：
（1）F∈L时轨迹还是抛物线吗？
（2）若定点F在定直线l上，那么动点的轨迹是什么图形？
回顾：求曲线轨迹方程的步骤：
探究 2抛物线的标准方程
①怎样建立坐标系才使方程的推导简化？
②请同学们建立适当的坐标系推导抛物线的标准方程
二．应用探究
1 ⑴已知抛物线方程为y 2=6x ，写出焦点坐标和准线方程.
⑵已知抛物线的焦点是F （3，0），写出它的标准方程和准线方程.
2.已知抛物线的焦点在x 轴的正半轴上，焦点到准线的距离是2，求抛物线的标准方程，焦点坐标和准线方程.
1. 抛物线x= 4
1y 2的焦点坐标为 ，准线方程为
2. 根据下列条件，写出抛物线的标准方程：
（1）焦点是F （2，0）；
（2）准线方程是x = -4
1；。
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《抛物线及其标准方程》导学案
2.1抛物线及其标准方程(1)
授课
时间第周星期第节课型讲授新课主备课人徐春妮
学习
目标掌握抛物线的定义、图像和标准方程
重点难点重难点是抛物线的标准方程的推导
学习
过程
与方
法自主学习：
阅读P70页一、抛物线的定义
画抛物线的方法？
你能从画法中归纳出抛物线的定义吗?
定义有何限制？
这个定点和定直线叫作抛物线的什么？
阅读P70页二、抛物线的标准方程，回答下列问题
①根据抛物线的定义，如何建立坐标系，求其标准方程？
②抛物线的定义和椭圆的定义有什么不同？
③阅读图3-13，方程中的P指图中那条线段的长？焦点的横坐标
和准线方程有什么关系？
④自己推导抛物线的方程
精讲互动：
⑴阅读例一，例二，想一想知道焦点的坐标，或准线方程为什么可求标准方程
⑵P72页的《思考交流》你自己完成？
达标训练：
完成P72页练习
作业
布置
学习小结/教学
反思
2.1抛物线及其标准方程（2）
授课
时间第周星期第节课型讲授新课主备课人徐春妮
学习
目标①回忆抛物线的定义及标准方程
②抛物线的定义及标准方程中，的几何意义是什么
重点难点①对函数的几何意义的理解
②抛物线的定义及标准方程在实际生活中的应用
学习
过程
与方
法自主学习：
阅读P72页，回答以下问题
①函数上的点满足什么条件？
②文中“某定点”，“某直线”指什么点和线？
③如何找到这个点和线？点线距离和点点距离的计算公式有啥区别？
④对要进行怎样变形？变形的手段是什么？
阅读P73页思考交流，回答提出的问题.
想一想，例3还有哪些方法可解？
“车能安全通过隧道”集装箱应在什么位置？判断的依据是什么？
如何建立坐标系求抛物线方程？
精讲互动：
达标训练：
P76习题3-2A组4 作业
布置
学习小结/教学
反思。