2018江苏高考数学二轮复习专项限时集训3以构建函数模型、解三角形、动点轨迹为背景的实际问题 Word版含答案

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2018年高考数学江苏专版三维二轮专题复习训练3个附加题综合仿真练及答案(6份)

3个附加题综合仿真练(一)1.本题包括A 、B 、C 、D 四个小题，请任选二个作答 A ．[选修4－1：几何证明选讲]如图，A ，B ，C 是圆O 上不共线的三点，OD ⊥AB 于D ，BC 和AC 分别交DO 的延长线于P 和Q ，求证：∠OBP ＝∠CQP .证明：连结OA ，因为OD ⊥AB ，OA ＝OB ，所以∠BOD ＝∠AOD ＝12∠AOB ，又∠ACB ＝12∠AOB ，所以∠ACB ＝∠DOB ，又因为∠BOP ＝180°－∠DOB ，∠QCP ＝180°－∠ACB ，所以∠BOP ＝∠QCP ，所以B ，O ，C ，Q 四点共圆，所以∠OBP ＝∠CQP . B ．[选修4－2：矩阵与变换]已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤211 3，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 10 －1.求矩阵C ，使得AC ＝B . 解：因为⎪⎪⎪⎪⎪⎪2113＝2×3－1×1＝5,所以A－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤35 －15－15 25，又AC ＝B ，所以C ＝A－1B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 35 －15－15 25⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 10 －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤3545－15－35. C ．[选修4－4：坐标系与参数方程]在极坐标系中，已知圆C 的圆心在极轴上，且过极点和点⎝⎛⎭⎪⎫32，π4，求圆C 的极坐标方程．解：法一：因为圆心C 在极轴上且过极点，所以设圆C 的极坐标方程为ρ＝a cos θ，又因为点⎝⎛⎭⎪⎫32，π4在圆C 上，所以32＝a cos π4，解得a ＝6.所以圆C 的极坐标方程为ρ＝6cos θ.法二：点⎝⎛⎭⎪⎫32，π4的直角坐标为(3,3)，因为圆C 过点(0,0)，(3,3)，所以圆心C 在直线为x ＋y －3＝0上．又圆心C 在极轴上，所以圆C 的直角坐标方程为(x －3)2＋y 2＝9. 所以圆C 的极坐标方程为ρ＝6cos θ. D ．[选修4－5：不等式选讲]已知x ，y ，z 为不全相等的正数．求证：x yz ＋y zx ＋z xy >1x ＋1y ＋1z.证明：因为x ，y ，z 都是正数，所以x yz ＋y zx ＝1z ⎝ ⎛⎭⎪⎫x y ＋y x ≥2z. 同理可得y zx ＋z xy ≥2x ，z xy ＋x yz ≥2y，将上述三个不等式两边分别相加，并除以2，得x yz ＋y zx ＋z xy ≥1x ＋1y ＋1z. 由于x ，y ，z 不全相等，因此上述三个不等式中等号至少有一个取不到，所以x yz ＋y zx ＋z xy >1x ＋1y ＋1z. 2．口袋中装有大小相同的卡片八张，其中三张标有数字1，三张标有数字2，两张标有数字3.第一次从口袋中任意抽取一张，放回口袋后第二次再任意抽取一张，记第一次与第二次取到卡片上数字之和为ξ.(1)ξ为何值时，其发生的概率最大？说明理由； (2)求随机变量ξ的数学期望E (ξ)．解：(1)依题意，随机变量ξ的取值是2,3,4,5,6. 因为P (ξ＝2)＝3×382＝964； P (ξ＝3)＝2×3×382＝932； P (ξ＝4)＝3×3＋2×3×282＝2164；P (ξ＝5)＝2×3×282＝316； P (ξ＝6)＝2×28＝116. 所以当ξ＝4时，其发生的概率最大，最大值为P (ξ＝4)＝2164.(2)由(1)知E (ξ)＝2×964＋3×932＋4×2164＋5×316＋6×116＝154，所以随机变量ξ的数学期望E (ξ)＝154. 3．在平面直角坐标系xOy 中，直线l ：x ＝－1，点T (3,0)．动点P 满足PS ⊥l ，垂足为S ，且OP ―→·ST ―→＝0.设动点P 的轨迹为曲线C .(1)求曲线C 的方程；(2)设Q 是曲线C 上异于点P 的另一点，且直线PQ 过点(1,0)，线段PQ 的中点为M ，直线l 与x 轴的交点为N .求证：向量SM ―→与NQ ―→共线．解：(1)设P (x ，y )为曲线C 上任意一点 .因为PS ⊥l ，垂足为S ，又直线l ：x ＝－1，所以S (－1，y )．因为T (3,0)，所以OP ―→＝(x ，y )，ST ―→＝(4，－y )．因为OP ―→·ST ―→＝0，所以4x －y 2＝0，即y 2＝4x . 所以曲线C 的方程为y 2＝4x . (2)证明：因为直线PQ 过点(1,0)，故设直线PQ 的方程为x ＝my ＋1，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)．联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，x ＝my ＋1，消去x ，得y 2－4my －4＝0.所以y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4.因为M 为线段PQ 的中点，所以M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22，即M (2m 2＋1,2m )．又因为S (－1，y 1)，N (－1,0)，所以SM ―→＝(2m 2＋2,2m －y 1)，NQ ―→＝(x 2＋1，y 2)＝(my 2＋2，y 2).因为(2m 2＋2)y 2－(2m －y 1)(my 2＋2)＝(2m 2＋2)y 2－2m 2y 2＋my 1y 2－4m ＋2y 1＝2(y 1＋y 2)＋my 1y 2－4m ＝8m －4m －4m ＝0.所以向量SM ―→与NQ ―→共线．3个附加题综合仿真练(二)1．本题包括A 、B 、C 、D 四个小题，请任选二个作答 A ．[选修4－1：几何证明选讲]如图，四边形ABCD 是圆的内接四边形，BC ＝BD ，BA 的延长线交CD 的延长线于点E .求证：AE 是四边形ABCD 的外角∠DAF 的平分线. 证明：因为四边形ABCD 是圆的内接四边形，所以∠DAE ＝∠BCD ，∠FAE ＝∠BAC ＝∠BDC . 因为BC ＝BD ，所以∠BCD ＝∠BDC ，所以∠DAE ＝∠FAE ，所以AE 是四边形ABCD 的外角∠DAF 的平分线． B ．[选修4－2：矩阵与变换]已知变换T 将平面上的点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，(0,1)分别变换为点⎝ ⎛⎭⎪⎫94，－2，⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，4.设变换T 对应的矩阵为M .(1)求矩阵M ；(2)求矩阵M 的特征值．解：(1)设M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤112＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤94－2，⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤01＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－324，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＋12b ＝94，c ＋12d ＝－2，b ＝－32，d ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝－32，c ＝－4，d ＝4，则M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤3 －32－44. (2)设矩阵M 的特征多项式为f (λ)，可得f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－3 324 λ－4＝(λ－3)(λ－4)－6＝λ2－7λ＋6，令f (λ)＝0，可得λ＝1或λ＝6. C ．[选修4－4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．直线l ：2ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝m (m ∈R)，圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋3cos t ，y ＝－2＋3sin t (t 为参数)．当圆心C 到直线l 的距离为2时，求m 的值．解：由2ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝m ，得2ρsin θcos π4－2ρcos θsin π4＝m ，即x －y ＋m ＝0，即直线l 的直角坐标方程为x －y ＋m ＝0，圆C 的普通方程为(x －1)2＋(y ＋2)2＝9，圆心C 到直线l 的距离d ＝|1－－＋m |2＝2，解得m ＝－1或m ＝－5. D ．[选修4－5：不等式选讲]已知x ，y ，z 都是正数且xyz ＝8，求证：(2＋x )(2＋y )·(2＋z )≥64. 证明：因为x 为正数，所以2＋x ≥22x . 同理2＋y ≥22y ，2＋z ≥22z .所以(2＋x )( 2＋y )( 2＋z )≥22x ·22y ·22z ＝88xyz . 因为xyz ＝8，所以(2＋x )( 2＋y )( 2＋z )≥64.2.在平面直角坐标系xOy 中，点F (1,0)，直线x ＝－1与动直线y ＝n 的交点为M ，线段MF 的中垂线与动直线y ＝n 的交点为P .(1)求动点P 的轨迹E 的方程；(2)过动点M 作曲线E 的两条切线，切点分别为A ，B ，求证：∠AMB 的大小为定值．解：(1)因为直线y ＝n 与x ＝－1垂直，所以MP 为点P 到直线x ＝－1的距离．连结PF (图略)，因为P 为线段MF 的中垂线与直线y ＝n 的交点，所以MP ＝PF . 所以点P 的轨迹是抛物线．焦点为F (1,0)，准线为x ＝－1. 所以曲线E 的方程为y 2＝4x .(2)证明：由题意，过点M (－1，n )的切线斜率存在，设切线方程为y －n ＝k (x ＋1)，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋k ＋n ，y 2＝4x ，得ky 2－4y ＋4k ＋4n ＝0，所以Δ1＝16－4k (4k ＋4n )＝0，即k 2＋kn －1＝0 (*)，因为Δ2＝n 2＋4>0，所以方程(*)存在两个不等实根，设为k 1，k 2，因为k 1·k 2＝－1，所以∠AMB ＝90°，为定值．3．对于给定的大于1的正整数n ，设x ＝a 0＋a 1n ＋a 2n 2＋…＋a n n n，其中a i ∈{0,1,2，…，n －1}，i ＝0,1，2，…，n －1，n ，且a n ≠0，记满足条件的所有x 的和为A n .(1)求A 2； (2)设A n ＝n n n －f n2，求f (n )．解：(1)当n ＝2时，x ＝a 0＋2a 1＋4a 2，a 0∈{0,1}，a 1∈{0,1}，a 2＝1，故满足条件的x 共有4个，分别为x ＝0＋0＋4，x ＝0＋2＋4，x ＝1＋0＋4，x ＝1＋2＋4，它们的和是22，所以A 2＝22. (2)由题意得，a 0，a 1，a 2，…，a n －1各有n 种取法；a n 有n －1种取法，由分步计数原理可得a 0，a 1，a 2…，a n －1，a n 的不同取法共有n ·n ·…·n ·(n －1)＝n n(n －1)，即满足条件的x 共有n n(n －1)个，当a 0分别取0,1,2，…，n －1时，a 1，a 2，…，a n －1各有n 种取法，a n 有n －1种取法，故A n 中所有含a 0项的和为(0＋1＋2＋…＋n －1)·nn －1(n －1)＝n n n －22；同理，A n 中所有含a 1项的和为(0＋1＋2＋…＋n －1)nn －1(n －1)·n ＝n n n －22·n ； A n 中所有含a 2项的和为(0＋1＋2＋…＋n －1)·n n －1(n －1)·n 2＝n n n －22·n 2；A n 中所有含a n －1项的和为(0＋1＋2＋…＋n －1)·n n －1(n －1)·n n －1＝n n n －22·nn －1；当a n 分别取i ＝1,2，…，n －1时，a 0，a 1，a 2，…，a n －1各有n 种取法，故A n 中所有含a n 项的和为(1＋2＋…＋n －1)n n·n n＝n n ＋1n －2·n n.所以A n ＝n n n －22(1＋n ＋n 2＋…＋nn －1)＋n n ＋1n －2·n n＝n n n －22·n n －1n －1＋n n ＋1n －2·n n＝n n n －2(nn ＋1＋n n－1)，故f (n )＝nn ＋1＋n n－1.3个附加题综合仿真练(三)1．本题包括A 、B 、C 、D 四个小题，请任选二个作答 A ．[选修4－1：几何证明选讲]如图，AB 为圆O 的切线，A 为切点，C 为线段AB 的中点，过C 作圆O 的割线CED (E 在C ，D 之间)．求证：∠CBE ＝∠BDE .证明：因为CA 为圆O 的切线，所以CA 2＝CE ·CD ，又CA ＝CB ，所以CB 2＝CE ·CD ，即CB CE ＝CD CB，又∠BCD ＝∠BCD ，所以△BCE ∽△DCB ，所以∠CBE ＝∠BDE .B ．[选修4－2：矩阵与变换]设a ，b ∈R.若直线l ：ax ＋y －7＝0在矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 0－1 b 对应的变换作用下，得到的直线为l ′：9x＋y －91＝0.求实数a ，b 的值．解：法一：在直线l ：ax ＋y －7＝0上取点M (0,7)，N (1，7－a )，由⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 0－1 b ⎣⎢⎡⎦⎥⎤07＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 07b ，⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 0－1 b ⎣⎢⎡⎦⎥⎤17－a ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3 b －a －1，可知点M (0,7)，N (1,7－a )在矩阵A 对应的变换作用下分别得到点M ′(0,7b )，N ′(3，b (7－a )－1)，由题意可知：M ′，N ′在直线9x ＋y －91＝0上，∴⎩⎪⎨⎪⎧7b －91＝0，27＋b －a －1－91＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝13，∴实数a ，b 的值分别为2,13.法二：设直线l 上任意一点P (x ，y )，点P 在矩阵A 对应的变换作用下得到Q (x ′，y ′)，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 0－1 b ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，y ′＝－x ＋by ，由Q (x ′，y ′)在直线l ′：9x ＋y －91＝0上， ∴27x ＋(－x ＋by )－91＝0，即26x ＋by －91＝0， ∵点P 在ax ＋y －7＝0上， ∴26a ＝b 1＝－91－7，解得a ＝2，b ＝13.∴实数a ，b 的值分别为2,13. C ．[选修4－4：坐标系与参数方程]在极坐标系中，直线l 和圆C 的极坐标方程分别为ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝a (a ∈R)和ρ＝4sin θ.若直线l 与圆C 有且只有一个公共点，求a 的值．解：由ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝a ，得32ρcos θ－12ρsin θ＝a ，故化为直角坐标方程为3x －y －2a ＝0，由圆C 的极坐标方程ρ＝4sin θ，得ρ2＝4ρsin θ，化为直角坐标方程为x 2＋(y －2)2＝4，若直线l 与圆C 只有一个公共点，则圆心C 到直线l 的距离等于半径，故d ＝|－2－2a |2＝2，解得a ＝1或a ＝－3. D ．[选修4－5：不等式选讲]已知a ，b ∈R ，a >b >e(其中e 是自然对数的底数)，求证：b a>a b. 证明：∵b a>0，a b>0，∴要证b a>a b，只要证a ln b >b ln a, 只要证ln b b >ln a a，构造函数f (x )＝ln xx，x ∈(e ，＋∞)．则f ′(x )＝1－ln xx 2，x ∈(e ，＋∞)，f ′(x )<0在区间(e ，＋∞)上恒成立，所以函数f (x )在x ∈(e ，＋∞)上是单调递减的，所以当a >b >e 时，有f (b )>f (a )，即ln b b >ln a a，故b a >a b得证．2．从0,1,2,3,4这五个数中任选三个不同的数组成一个三位数，记X 为所组成三位数的各位数字之和．(1)求X 是奇数的概率；(2)求X 的概率分布及数学期望．解：(1)记“X 是奇数”为事件A ，能组成的三位数的个数是4×4×3＝48.X 是奇数的个数是C 12C 23A 33－C 12C 12A 22＝28，所以P (A )＝2848＝712.故X 是奇数的概率为712.(2)X 的可能取值为3,4,5,6,7,8,9.当X ＝3时，组成的三位数是由0,1,2三个数字组成，所以P (X ＝3)＝448＝112；当X ＝4时，组成的三位数是由0,1,3三个数字组成，所以P (X ＝4)＝448＝112；当X ＝5时，组成的三位数是由0,1,4或0,2,3组成，所以P (X ＝5)＝848＝16；当X ＝6时，组成的三位数是由0,2,4或1,2,3组成，所以P (X ＝6)＝1048＝524；当X ＝7时，组成的三位数是由0,3,4或1,2,4组成，所以P (X ＝7)＝1048＝524；当X ＝8时，组成的三位数是由1,3,4三个数字组成，所以P (X ＝8)＝648＝18；当X ＝9时，组成的三位数是由2,3,4三个数字组成，所以P (X ＝9)＝648＝18. 所以X 的概率分布为：故E (X )＝3×112＋4×12＋5×6＋6×24＋7×24＋8×8＋9×8＝4.3．设P (n ，m )＝∑k ＝0n(－1)k C knmm ＋k，Q (n ，m )＝C n n ＋m ，其中m ，n ∈N *.(1)当m ＝1时，求P (n,1)·Q (n,1)的值；(2)对∀m ∈N *，证明：P (n ，m )·Q (n ，m )恒为定值．解：(1)当m ＝1时，P (n,1)＝∑k ＝0n(－1)k C kn11＋k ＝1n ＋1∑k ＝0n (－1)k C k ＋1n ＋1＝1n ＋1，又Q (n,1)＝C 1n ＋1＝n ＋1，显然P (n,1)·Q (n,1)＝1.(2)证明：P (n ，m )＝∑k ＝0n(－1)k C knm m ＋k＝1＋∑k ＝1n －1(－1)k(C kn －1＋C k －1n －1)m m ＋k＋(－1)nmm ＋n＝1＋∑k ＝1n －1(－1)k Ck n －1m m ＋k＋∑k ＝1n(－1)k C k －1n －1mm ＋k＝P (n －1，m )＋∑k ＝1n(－1)k C k －1n －1m m ＋k＝P (n －1，m )－m n ∑k ＝0n (－1)k C k n m m ＋k＝P (n －1，m )－m nP (n ，m ) 即P (n ，m )＝nm ＋nP (n －1，m )，由累乘，易求得P (n ，m )＝n ！m ！n ＋m ！P (0，m )＝1C n n ＋m，又Q (n ，m )＝C nn ＋m ，所以P (n ，m )·Q (n ，m )＝1.3个附加题综合仿真练(四)1．本题包括A 、B 、C 、D 四个小题，请任选二个作答 A ．[选修4－1：几何证明选讲]如图，AB 是圆O 的直径，C 为圆O 外一点，且AB ＝AC ，BC 交圆O于点D ，过D 作圆O 的切线交AC 于点E .求证：DE ⊥AC . 解：如图，连结OD .因为AB ＝AC ，所以∠B ＝∠C . 由圆O 知OB ＝OD ，所以∠B ＝∠BDO .从而∠BDO ＝∠C ，所以OD ∥AC . 又DE 为圆O 的切线，所以DE ⊥OD ，所以DE ⊥AC .B ．[选修4－2：矩阵与变换]已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x y2，X ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 1，且AX ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12 ，其中x ，y ∈R. (1)求x ，y 的值；(2)若B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －10 2，求(AB )－1.解：(1)AX ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 x y 2 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 1 ＝ ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －22－y .因为AX ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，所以⎩⎪⎨⎪⎧x －2＝1，2－y ＝2，解得x ＝3，y ＝0.(2)由(1)知A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2302 ，又B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －102 ，所以AB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 30 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －10 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 40 4 .设(AB )－1＝ ⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b cd ，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 40 4⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 001，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤2a ＋4c 2b ＋4d 4c 4d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 001.所以⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋4c ＝1，4c ＝0，2b ＋4d ＝0，4d ＝1，解得a ＝12，b ＝－12，c ＝0，d ＝14，即 (AB )－1＝ ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 －12 0 14 .C ．[选修4－4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－22t ，y ＝2＋22t (t 为参数)，以坐标原点O为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ－4cos θ＝0，已知直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求线段AB 的长．解：因为曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ－4cos θ＝0，所以ρ2sin 2θ＝4ρcos θ，即曲线C 的直角坐标方程为y 2＝4x .将直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－22t ，y ＝2＋22t 代入抛物线方程y 2＝4x ，得⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋22t 2＝4⎝⎛⎭⎪⎫1－22t ，即t 2＋82t ＝0，解得t 1＝0，t 2＝－8 2. 所以AB ＝|t 1－t 2|＝8 2. D ．[选修4－5：不等式选讲] 设函数f (x )＝|2x ＋1|－|x －2|. (1)求不等式f (x )>2的解集； (2)若∀x ∈R ，f (x )≥t 2－112t 恒成立，求实数t 的取值范围．解：(1)不等式f (x )>2可化为⎩⎪⎨⎪⎧x >2，2x ＋1－x ＋2>2或⎩⎪⎨⎪⎧－12≤x ≤2，2x ＋1＋x －2>2或⎩⎪⎨⎪⎧x <－12，－2x －1＋x －2>2，解得x <－5或x ＞1，所以所求不等式的解集为{x |x <－5或x >1}．(2)由f (x )＝|2x ＋1|－|x －2|＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3，x >2，3x －1，－12≤x ≤2，－x －3，x <－12，可得f (x )≥－52，若∀x ∈R ，f (x )≥t 2－112t 恒成立，则t 2－112t ≤－52，即2t 2－11t ＋5≤0，解得12≤t ≤5. 故实数t 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，5. 2.如图，在直三棱柱ABC A 1B 1C 1中，已知AB ⊥AC ，AB ＝2，AC ＝4，AA 1＝3.D 是线段BC 的中点．(1)求直线DB 1与平面A 1C 1D 所成角的正弦值； (2)求二面角B 1A 1D C 1的余弦值．解：因为在直三棱柱ABC A 1B 1C 1中，AB ⊥AC ，所以分别以AB ，AC，AA1所在的直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A (0,0,0)，B (2,0,0)，C (0,4,0)，A 1(0,0,3)，B 1(2,0，3)，C 1(0,4,3)，因为D 是BC 的中点，所以D (1，2,0)， (1)因为A 1C 1――→＝(0,4,0)，A 1D ―→＝(1,2，－3)，设平面A 1C 1D 的法向量n 1＝(x 1，y 1，z 1)，则⎩⎪⎨⎪⎧n 1·A 1C 1――→＝0，n 1·A 1D ―→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧4y 1＝0，x 1＋2y 1－3z 1＝0，取⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝3，y 1＝0，z 1＝1，所以平面A 1C 1D 的法向量n 1＝(3,0,1)，而DB 1―→＝(1，－2,3)，设直线DB 1与平面A 1C 1D 所成角为θ，所以sin θ＝|cos 〈n 1，DB 1―→〉|＝|n 1·DB 1―→||n 1|·|DB 1―→|＝|3＋3|10×14＝33535，所以直线DB 1与平面A 1C 1D 所成角的正弦值为33535.(2) A 1B 1――→＝(2,0,0)，DB 1―→＝(1，－2,3)，设平面B 1A 1D 的法向量n 2＝(x 2，y 2，z 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧n 2·A 1B 1――→＝0，n 2·DB 1―→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧2x 2＝0，x 2－2y 2＋3z 2＝0，取⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝0，y 2＝3，z 2＝2，所以平面B 1A 1D 的法向量n 2＝(0,3,2)，所以cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝210×13＝13065，故结合图象知二面角B 1A 1D C 1的余弦值13065. 3．已知集合X ＝{1,2,3}，Y n ＝{1,2,3，…，n }(n ∈N *)，设S n ＝{(a ，b )|a 整除b 或b 整除a ，a ∈X ，b ∈Y n }，令f (n )表示集合S n 所含元素的个数．(1)写出f (6)的值；(2)当n ≥6时，写出f (n )的表达式，并用数学归纳法证明．解：(1)Y 6＝{1,2,3,4,5,6}，S 6中的元素(a ，b )满足：若a ＝1，则b ＝1,2,3,4,5,6；若a ＝2，则b ＝1,2,4,6；若a ＝3，则b ＝1,3,6.所以f (6)＝13. (2)当n ≥6时，f (n )＝⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧n ＋2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n 2＋n 3，n ＝6t ，n ＋2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n －12＋n －13，n ＝6t ＋1，n ＋2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n 2＋n －23，n ＝6t ＋2，n ＋2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n －12＋n 3，n ＝6t ＋3，n ＋2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n 2＋n －13，n ＝6t ＋4，n ＋2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n －12＋n －23，n ＝6t ＋5(t ∈N *)．下面用数学归纳法证明：①当n ＝6时，f (6)＝6＋2＋62＋63＝13，结论成立．②假设n ＝k (k ≥6)时结论成立，那么n ＝k ＋1时，S k ＋1在S k 的基础上新增加的元素在(1，k ＋1)，(2，k ＋1)，(3，k ＋1)中产生，分以下情形讨论：a ．若k ＋1＝6t ，则k ＝6(t －1)＋5，此时有f (k ＋1)＝f (k )＋3＝k ＋2＋k －12＋k －23＋3＝(k ＋1)＋2＋k ＋12＋k ＋13，结论成立；b ．若k ＋1＝6t ＋1，则k ＝6t ，此时有f (k ＋1)＝f (k )＋1＝k ＋2＋k 2＋k3＋1＝(k ＋1)＋2＋k ＋－12＋k ＋－13，结论成立；c ．若k ＋1＝6t ＋2，则k ＝6t ＋1，此时有f (k ＋1)＝f (k )＋2＝k ＋2＋k －12＋k －13＋2＝(k ＋1)＋2＋k ＋12＋k ＋－23，结论成立；d ．若k ＋1＝6t ＋3，则k ＝6t ＋2，此时有f (k ＋1)＝f (k )＋2＝k ＋2＋k 2＋k －23＋2＝(k ＋1)＋2＋k ＋－12＋k ＋13，结论成立；e ．若k ＋1＝6t ＋4，则k ＝6t ＋3，此时有f (k ＋1)＝f (k )＋2＝k ＋2＋k －12＋k3＋2 ＝(k ＋1)＋2＋k ＋12＋k ＋－13，结论成立；f ．若k ＋1＝6t ＋5，则k ＝6t ＋4，此时有f (k ＋1)＝f (k )＋1＝k ＋2＋k 2＋k －13＋1＝(k ＋1)＋2＋k ＋－12＋k ＋－23，结论成立．综上所述，结论对满足n ≥6的自然数n 均成立．3个附加题综合仿真练(五)1．本题包括A 、B 、C 、D 四个小题，请任选二个作答 A ．[选修4－1：几何证明选讲]如图，AB 是半圆的直径，C 是半圆上一点，D 是弧AC 的中点，DE ⊥AB 于E ，AC 与DE 交于点M ，求证：AM ＝DM .证明：连结AD ，因为AB 为直径，所以AD ⊥BD ，又DE ⊥AB ，所以∠ABD ＝∠ADE .因为D 是弧AC 的中点，所以∠DAC ＝∠ABD ，所以∠ADE ＝∠DAC . 所以AM ＝DM .B ．[选修4－2：矩阵与变换]已知向量⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1是矩阵A 的属于特征值－1的一个特征向量．在平面直角坐标系xOy 中，点P (1,1)在矩阵A 对应的变换作用下变为P ′(3,3)，求矩阵A .解：设A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab c d ，因为向量⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1是矩阵A 的属于特征值－1的一个特征向量，所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b cd ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a －b c －d ＝(－1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－11. 所以⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝－1，c －d ＝1.①因为点P (1,1)在矩阵A 对应的变换作用下变为P ′(3，3)，所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a ＋b c ＋d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤33.所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝3，c ＋d ＝3.②由①②解得a ＝1，b ＝2，c ＝2，d ＝1，所以A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 22 1.C ．[选修4－4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中，已知直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－32＋22n ，y ＝22n (n 为参数)与曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝18t 2，y ＝t(t为参数)相交于A ，B 两点，求线段AB 的长．解：法一：将曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝18t 2，y ＝t (t 为参数)化为普通方程为y 2＝8x .将直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－32＋22n ，y ＝22n(n 为参数)代入y 2＝8x 得，n 2－82n ＋24＝0，解得n 1＝22，n 2＝6 2. 则|n 1－n 2|＝42，所以线段AB 的长为4 2. 法二：将曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝18t 2，y ＝t(t 为参数)化为普通方程为y 2＝8x,将直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－32＋22n ，y ＝22n(n 为参数)化为普通方程为x －y ＋32＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝8x ，x －y ＋32＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝92，y ＝6.所以AB 的长为⎝ ⎛⎭⎪⎫92－122＋－2＝4 2.D ．[选修4－5：不等式选讲]已知函数f (x )＝3x ＋6，g (x )＝14－x ，若存在实数x 使f (x )＋g (x )>a 成立，求实数a 的取值范围．解：存在实数x 使f (x )＋g (x )＞a 成立，等价于f (x )＋g (x )的最大值大于a ，因为f (x )＋g (x ) ＝3x ＋6＋14－x＝3×x ＋2＋1×14－x ，由柯西不等式得，(3×x ＋2＋1×14－x )2≤(3＋1)(x ＋2＋14－x )＝64，所以f (x )＋g (x )＝3x ＋6＋14－x ≤8，当且仅当x ＝10时取“＝”，故实数a 的取值范围是(－∞，8)．2.如图，在四棱锥O ABCD 中，底面ABCD 是边长为1的菱形，∠ABC ＝45°，OA ⊥底面ABCD ，OA ＝2，M 为OA 的中点．(1)求异面直线AB 与MD 所成角的大小；(2)求平面OAB 与平面OCD 所成锐二面角的余弦值．解：作AP ⊥CD 于点P ，分别以AB ，AP ，AO 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则A (0,0,0)，B (1,0,0)，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22，0，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，22，0， O (0,0,2)，M (0,0,1)．(1)设直线AB 与MD 所成角为θ，由AB ―→＝(1,0,0)，BD ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，22，－1，则cos θ＝|cos 〈AB ―→，BD ―→〉|＝222＝12，故AB 与MD 所成角为60°.(2)OP ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22，－2，OD ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，22，－2，设平面OCD 的法向量n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·OP ―→＝0，n ·OD ―→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧22y －2z ＝0，－22x ＋22y －2z ＝0，取z ＝2，则n ＝(0,4，2).易得平面OAB 的一个法向量为m ＝(0,1,0)，cos 〈n ，m 〉＝432×1＝223，故平面OAB 与平面OCD 所成锐二面角的余弦值为223.3．设a ＞b ＞0，n 是正整数，A n ＝1n ＋1(a n ＋a n －1b ＋a n －2b 2＋…＋a 2b n －2 ＋ab n －1＋b n) ，B n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2n . (1)证明：A 2＞B 2；(2)比较A n 与B n (n ∈N *)的大小，并给出证明．解：(1)证明：A 2－B 2＝13(a 2＋ab ＋b 2)－⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝112(a －b )2>0. (2)A n ≥B n ，证明如下：当n ＝1时，A 1＝B 1；当n ≥3时，A n ＝1n ＋1·a n ＋1－b n ＋1a －b，B n ＝⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2n ，令a ＋b ＝x ，a －b ＝y ，且x >0，y >0，于是A n ＝1n ＋1·⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 2n ＋1－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －y 2n ＋1y＝12n ＋1n ＋y[(x ＋y )n ＋1－(x －y )n ＋1]，B n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2n，因为[(x ＋y )n ＋1－(x －y )n ＋1]＝(2C 1n ＋1x ny ＋2C 3n ＋1·xn －2y 3＋…)≥2C 1n ＋1x ny ，所以A n ≥12n ＋1n ＋y·2C 1n ＋1x ny ＝x n 2n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2n＝B n .3个附加题综合仿真练(六)1．本题包括A 、B 、C 、D 四个小题，请任选二个作答 A ．[选修4－1：几何证明选讲]如图，AB 为半圆O 的直径，直线PC 切半圆O 于点C ，AP ⊥PC ，P 为垂足．求证：(1)∠PAC ＝∠CAB ； (2)AC 2＝AP ·AB .证明：(1)因为PC 切半圆O 于点C ，所以∠PCA ＝∠CBA . 因为AB 为半圆O 的直径，所以∠ACB ＝90°. 因为AP ⊥PC ，所以∠APC ＝90°. 因此∠PAC ＝∠CAB .(2)由(1)知，△APC ∽△ACB ，故AP AC ＝AC AB，即AC 2＝AP ·AB .B ．[选修4－2：矩阵与变换]已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤110，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 002.(1)求AB ；(2)若曲线C 1：x 28＋y 22＝1在矩阵AB 对应的变换作用下得到另一曲线C 2，求C 2的方程．解：(1)因为A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11 0，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 002，所以AB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0110⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 210.(2)设Q (x 0，y 0)为曲线C 1上的任意一点，它在矩阵AB 对应的变换作用下变为P (x ，y )，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 21 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，即⎩⎪⎨⎪⎧2y 0＝x ，x 0＝y ，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝y ，y 0＝x2.因为点Q (x 0，y 0)在曲线C 1上，则x 208＋y 202＝1，从而y 28＋x 28＝1，即x 2＋y 2＝8.因此曲线C 1在矩阵AB 对应的变换作用下得到曲线C 2：x 2＋y 2＝8. C ．[选修4－4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α，y ＝sin α－2(α为参数)．以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为θ＝β，若圆C 与直线l 相切，求直线l 的极坐标方程．解：圆的直角坐标方程为x 2＋(y －2)2＝1，设直线l 对应的直角坐标方程为y ＝kx ，因为圆C 与直线l 相切，所以d ＝|2|1＋k2＝1，得到k ＝±3，故直线l 的极坐标方程θ＝π3或θ＝2π3. D ．[选修4－5：不等式选讲]已知a ，b ，c ，d 为实数，且a 2＋b 2＝4，c 2＋d 2＝16，证明：ac ＋bd ≤8. 证明：由柯西不等式可得：(ac ＋bd )2≤(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)．因为a 2＋b 2＝4，c 2＋d 2＝16，所以(ac ＋bd )2≤64，因此ac ＋bd ≤8.2.已知正六棱锥S ABCDEF 的底面边长为2，高为1.现从该棱锥的7个顶点中随机选取3个点构成三角形，设随机变量X 表示所得三角形的面积．(1)求概率P (X ＝3)的值；(2)求X 的概率分布，并求其数学期望E (X )．解：(1)从7个顶点中随机选取3个点构成三角形，共有C 37＝35种取法．其中X ＝3的三角形如△ABF ，这类三角形共有6个．因此P (X ＝3)＝635.(2)由题意，X 的可能取值为3，2，6，23，3 3. 其中X ＝3的三角形如△ABF ，这类三角形共有6个；其中X ＝2的三角形有两类，如△SAD (3个)，△SAB (6个)，共有9个；其中X ＝6的三角形如△SBD ，这类三角形共有6个；其中X ＝23的三角形如△CDF ，这类三角形共有12个；其中X ＝33的三角形如△BDF ，这类三角形共有2个．因此P (X ＝3)＝635，P (X ＝2)＝935，P (X ＝6)＝635，P (X ＝23)＝1235，P (X ＝33)＝235.所以随机变量X 的概率分布为：所求数学期望E (X )＝3×635＋2×935＋6×635＋23×1235＋33×235＝363＋66＋1835.3．已知数列{a n }满足：a 1＝1，对任意的n ∈N *，都有a n ＋1＝⎝⎛⎭⎪⎫1＋1n 2＋n a n ＋12n . (1)求证：当n ≥2时，a n ≥2；(2)利用“∀x ＞0，ln(1＋x )＜x ”，证明：a n ＜2e 34(其中e 是自然对数的底数)．证明：(1)①由题意，a 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12×1＋12＝2，故当n ＝2时，a 2＝2，不等式成立．21 ②假设当n ＝k (k ≥2，k ∈N *)时不等式成立，即a k ≥2，则当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1k k ＋a k ＋12＞2. 所以，当n ＝k ＋1时，不等式也成立．根据①②可知，对所有n ≥2，a n ≥2成立. (2)当n ≥2时，由递推公式及(1)的结论有a n ＋1＝⎝⎛⎭⎪⎫1＋1n 2＋n a n ＋12n ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n 2＋n ＋12n ＋1a n (n ≥2)．两边取对数，并利用已知不等式ln(1＋x )＜x ，得 ln a n ＋1≤ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n 2＋n ＋12n ＋1＋ln a n ＜ln a n ＋1n 2＋n ＋12n ＋1，故ln a n ＋1－ln a n ＜1n 2＋n ＋12n ＋1(n ≥2)，求和可得ln a n －ln a 2＜12×3＋1 3×4＋…＋1n －n ＋123＋124＋…＋12n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－14＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ＋123·1－12n －21－12＝12－1n ＋122－12n <34. 由(1)知，a 2＝2，故有ln a n 2＜34，即a n ＜2e 34(n ≥2)，而a 1＝1＜2e 34，所以对任意正整数n ，有a n ＜2e 34.。

2018版高考数学理江苏专用大二轮总复习与增分策略配套课件：专题三三角函数、解三角形与平面向量第

解析答案
1 234
3.(2016·天津改编)已知△ABC 是边长为 1 的等边三角形，点 D，E 分别是边 AB，BC 的中点，连结 DE 并延长到点 F，使得 DE＝2EF，则A→F·B→C的
1 值为____8____.
解析
答案
1 234
4.(2016·浙江)已知向量 a，b，|a|＝1，|b|＝2.若对任意单位向量 e，均有|a·e| 1
例1
(1)设 1
0<θ<π2，向量
a＝(sin
2θ，cos
θ)，b＝(cos
θ，1)，若
a∥b，则
tan θ＝___2_____.
解析因为a∥b，所以sin 2θ＝cos2θ，即2sin θcos θ＝cos2θ.
因为 0<θ<π2，所以 cos θ>0，得 2sin θ＝cos θ，tan θ＝12.
＝(13)2＋0－1＝－89.
押题依据
解析答案
Байду номын сангаас 23 4
3.在△ABC 中，A→B＝(cos 32°，cos 58°)，B→C＝(sin 60°sin 118°， 3
sin 120°sin 208°)，则△ABC 的面积为_____8___.
押题依据平面向量作为数学解题工具，通过向量的运算给出条件解决三角函数问题已成为近几年高考的热点.
思维升华
解析
答案
跟踪演练 2 (1)已知点 A，B，C，D 在边长为 1 的方格点图的位置如图所示，则向量A→D在A→B方向上的投影为__－___55___.
解析
答案
(2)如图，在△ABC 中，AB＝AC＝3，cos∠BAC＝13，D→C＝2B→D，则A→D·B→C 的值为__－__2____.

江苏专版2018年高考数学二轮复习知识专题突破专题限时集训3导数

专题限时集训(三) 导数(对应学生用书第83页) (限时：120分钟)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分，请把答案填写在题中横线上．) 1．(湖北省荆州市2017届高三上学期第一次质量检)若函数f (x )＝x 33－a2x 2＋x ＋1在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3上单调递减，则实数a 的取值范围是________. ⎣⎢⎡⎭⎪⎫103，＋∞ [因为函数f (x )＝x 33－a 2x 2＋x ＋1在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3上单调递减，所以f ′(x )＝x 2－ax ＋1≤0在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3上恒成立，所以x 2＋1≤ax ⇒a ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x max ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x max，当且仅当x ＝3时，⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x max ＝103，所以a ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫103，＋∞.]2．(泰州中学2016－2017年度第一学期第一次质量检测)若函数y ＝f (x )的定义域为R ，∀x ∈R ，f ′(x )＜f (x )，且f (x ＋1)为偶函数，f (2)＝1，则不等式f (x )＜e x的解集为________．(0，＋∞) [令g (x )＝f xex，则g ′(x )＝f x －f xex＜0，所以g (x )在定义域内为减函数，因为f (x ＋1)为偶函数，所以f (x ＋1)＝f (－x ＋1)⇒f (0)＝f (2)＝1⇒g (0)＝1，因此f (x )＜e x⇒g (x )＜1＝g (0)⇒x ＞0.]3．(江苏省南通市如东县、徐州市丰县2017届高三10月联考)函数f (x )＝log 2x 在点A (1,2)处切线的斜率为________.【导学号：56394017】1ln 2 [∵f ′(x )＝1x ln 2，∴k ＝f ′(1)＝1ln 2.] 4．(江苏省南通市如东县、徐州市丰县2017届高三10月联考)若实数a ，b ，c ，d 满足|b ＋a 2－4ln a |＋|2c －d ＋2|＝0，则(a －c )2＋(b －d )2的最小值为________．5 [|b ＋a 2－4ln a |＋|2c －d ＋2|＝0⇒b ＋a 2－4ln a ＝0,2c －d ＋2＝0，所以(a －c )2＋(b －d )2表示直线2x －y ＋2＝0上点P 到曲线y ＝4ln x －x 2上点Q 距离的平方．由y ′＝4x －2x ＝2⇒x ＝1(负舍)得Q (1，－1)，所以所求最小值为⎝ ⎛⎭⎪⎫|2＋1＋2|52＝5.] 5．(江苏省南通市如东县、徐州市丰县2017届高三10月联考)已知函数f (x )＝x 3＋mx ＋14，g (x )＝－ln x ，min{a ，b }表示a ，b 中的最小值，若函数h (x )＝min{f (x )，g (x )}(x ＞0)恰有三个零点，则实数m 的取值范围是________．⎝⎛⎭⎪⎫－54，－34 [f ′(x )＝3x 2＋m ，因为g (1)＝0，所以要使h (x )＝min{f (x )，g (x )}(x ＞0)恰有三个零点，需满足f (1)＞0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－m 3 ＜0，m ＜0，解得m ＞－54，－m 3＞12⇒－54＜m ＜－34.] 6．(河北唐山市2017届高三年级期末)已知函数f (x )＝ln(e x ＋e －x )＋x 2，则使得f (2x )＞f (x ＋3)成立的x 的取值范围是________．(－∞，－1)∪(3，＋∞) [因为f (－x )＝ln(e －x＋e x )＋(－x )2＝ln(e x ＋e －x )＋x 2＝f (x )，所以函数f (x )是偶函数，易知函数y ＝e x ＋e －x在x ∈(0，＋∞)是增函数，所以函数f (x )＝ln(e x ＋e －x )＋x 2在x ∈(0，＋∞)也是增函数，所以不等式f (2x )＞f (x ＋3)等价于|2x |＞|x ＋3|，解得x ＜－1或x ＞3.]7．(广东省佛山市2017届高三教学质量检测(一))已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，g (x )＝3x 2＋2ax ＋b (a ，b ，c 是常数)，若f (x )在(0,1)上单调递减，则下列结论中： ①f (0)·f (1)≤0；②g (0)·g (1)≥0；③a 2－3b 有最小值．正确结论的个数为________．2 [由题意，得 f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，若函数 f (x )在(0,1)上单调递减，则⎩⎪⎨⎪⎧f ，f，即⎩⎪⎨⎪⎧b ≤0，3＋2a ＋b ≤0，所以g (0)·g (1)＝b ·(3＋2a ＋b )≥0，故②正确；不妨设f (x )＝x 3－2x 2－3x ＋5，则f (0)·f (1)＝5·(1－2－3＋5)＞0，故①错；画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧b ≤0，3＋2a ＋b ≤0表示的平面区域，如图所示，令z ＝a 2－3b ，则b ＝13a 2－z 3，①当－z 3＞－3，即z ＜9时，抛物线b ＝13a 2－z3与直线2a ＋b ＋3＝0有公共点，联立两个方程消去b 得a 2＋6a ＋9－z ＝0，z ＝(a ＋3)2≥0，所以0≤z ＜9；当－z3≤－3，即z ≥9时，抛物线与平面区域必有公共点，综上所述，z ≥0，所以z ＝a 2－3b 有最小值，故③正确．]8．(广东省佛山市2017届高三教学质量检测(一))对任意的a ∈R ，曲线y ＝e x(x 2＋ax ＋1－2a )在点P (0,1－2a )处的切线l 与圆C ：x 2＋2x ＋y 2－12＝0的位置关系是________. 相交 [由题意，得y ′＝e x (x 2＋ax ＋1－2a )＋e x(2x ＋a )，所以y ′|x ＝0＝1－a ，所以直线l 的方程为y －(1－2a )＝(1－a )x ，即(1－a )x －y ＋1－2a ＝0.化圆C 的方程为(x ＋1)2＋y 2＝13，其圆心(－1,0)到直线l 的距离为－a－－0＋1－2a |－a 2＋－2＝|a |a 2－2a ＋2＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2－1a ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －122＋12≤2＜13，所以直线l 与圆相交．]9．(山东省枣庄市2017届高三上学期期末)定义在R 上的奇函数y ＝f (x )满足f (3)＝0，且当x ＞0时，f (x )＞－xf ′(x )恒成立，则函数g (x )＝xf (x )＋lg|x ＋1|的零点的个数为________.【导学号：56394018】3 [因为当x ＞0时，[xf (x )]′＝f (x )＋xf ′(x )＞0，所以xf (x )在(0，＋∞)上单调递增，又函数f (x )为奇函数，所以函数xf (x )为偶函数，结合f (3)＝0，作出函数y ＝xf (x)与y ＝－lg|x ＋1|的图象，如图所示，由图象知，函数g (x )＝xf (x )＋lg|x ＋1|的零点有3个．]10．(湖北省荆州市2017届高三上学期第一次质量检测)设函数f (x )在R 上存在导函数f ′(x )，对任意的实数x 都有f (x )＝4x 2－f (－x )，当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )＋12＜4x .若f (m ＋1)≤f (－m )＋4m ＋2，则实数m 的取值范围是________.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，＋∞ [∵f (x )－2x 2＋f (－x )－2x 2＝0，设g (x )＝f (x )－2x 2，则g (x )＋g (－x )＝0，∴g (x )为奇函数，又g ′(x )＝f ′(x )－4x ＜－12，∴g (x )在(－∞，0)上是减函数，从而在R 上是减函数，又f (m ＋1)≤f (－m )＋4m ＋2等价于f (m ＋1)－2(m ＋1)2≤f (－m )－2(－m )2，即g (m ＋1)≤g (－m )， ∴m ＋1≥－m ，解得m ≥－12.]11．(湖北省荆州市2017届高三上学期第一次质量检测)已知函数f (x )＝ax sin x －32(a ∈R )，且在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值为π－32，则实数a 的值为________．1 [由已知得f ′(x )＝a (sin x ＋x cos x )，对于任意的x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，有sin x ＋x cosx ＞0，当a ＝0时，f (x )＝－32，不合题意；当a ＜0时，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，f ′(x )＜0，从而f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2单调递减，又函数在图象上是连续不断的，故函数在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值为f (0)＝－32，不合题意；当a ＞0时， x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，f′(x )＞0，从而f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2单调递增，又函数在图象上是连续不断的，故函数在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝π2·a －32＝π－32，解得a ＝1.]12．(天津六校2017届高三上学期期中联考)设函数f (x )＝ln x x，关于x 的方程[f (x )]2＋mf (x )－1＝0有三个不同的实数解，则实数m 的取值范围是________．⎝ ⎛⎭⎪⎫e －1e ，＋∞ [f (x )＝ln x x ⇒f ′(x )＝1－ln x x 2＝0⇒x ＝e ，因此当0＜x ≤e 时，f(x )≤1e ；当x ＞e 时，0＜f (x )＜1e ，因此g (t )＝t 2＋mt －1＝0有两个根，其中t 1∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，1e ，t 2∈(－∞，0]∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫1e ，因为g (0)＝－1，所以g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＞0⇒m ＞e －1e .]13．(山西大学附属中学2017级上学期11月模块诊断)已知函数 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋，x ＞0，12x ＋1，x ≤0，若m ＜n ，且f (m )＝f (n )，则n －m 的取值范围是________.[3－2ln 2,2) [如图，作出函数y ＝f (x )的图象，不妨设f (m )＝f (n )＝t ，由f (m )＝f (n )可知函数f (x )的图象与直线y ＝t 有两个交点，而x ≤0时，函数y ＝f (x )单调递增，其图象与y 轴交于点(0,1)，所以0＜t ≤1.又m ＜n ，所以m ≤0，n ＞0，由0＜t ≤1，得0＜ln(n ＋1)≤1，解得0＜n ≤e－1. 由f (m )＝t ，即12m ＋1＝t ，解得m ＝2t －2；由f (n )＝t ，即ln(n ＋1)＝t ，解得n ＝e t－1；记g (t )＝n －m ＝e t －1－(2t －2)＝e t －2t ＋1(0＜t ≤1)，g ′(t )＝e t－2. 所以当0＜t ＜ln 2时，g ′(t )＜0，函数g (t )单调递减；当ln 2＜t ≤1时，g ′(t )＞0，函数g (t )单调递增．所以函数g (t )的最小值为g (ln 2)＝eln 2－2ln 2＋1＝3－2ln 2；而g (0)＝e 0＋1＝2，g (1)＝e －2＋1＝e －1＜2，所以3－2ln 2≤g (t )＜2.] 14．(贵州遵义市2017届高三第一次联考)已知定义域为R 的偶函数f (x )，其导函数为f ′(x )，对任意x ∈[0，＋∞)，均满足：xf ′(x )＞－2f (x )．若g (x )＝x 2f (x )，则不等式g (2x )＜g (1－x )的解集是________.⎝⎛⎭⎪⎫－1，13 [x ∈[0，＋∞)时，g ′(x )＝2xf (x )＋x 2f ′(x )＝x (2f (x )＋xf ′(x ))＞0，而g (x )＝x 2f (x )也为偶函数，所以g (2x )＜g (1－x )⇔g (|2x |)＜g (|1－x |)⇔|2x |＜|1－x |⇔3x 2＋2x －1＜0⇔－1＜x ＜13.]二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．) 15．(本小题满分14分)(江苏省南通市如东县、徐州市丰县2017届高三10月联考)在互联网时代，网校培训已经成为青年学习的一种趋势，假设某网校的套题每日的销售量h (x )(单位：千套)与销售价格(单位：元/套)满足关系式h (x )＝f (x )＋g (x )(3＜x ＜7，m为常数)，其中f (x )与(x －3)成反比，g (x )与(x －7)的平方成正比，已知销售价格为5元/套时，每日可售出套题21千套，销售价格为3.5元/套时，每日可售出套题69千套． (1)求h (x )的表达式；(2)假设网校的员工工资，办公等所有开销折合为每套题3元(只考虑销售出的套数)，试确定销售价格的值，使网校每日销售套题所获得的利润最大．(保留1位小数) [解] (1)因为f (x )与x －3成反比，g (x )与x －7的平方成正比，所以可设：f (x )＝k 1x －3，g (x )＝k 2(x －7)2，k 1≠0，k 2≠0，则h (x )＝f (x )＋g (x )＝k 1x －3＋k 2(x －7)2. 2分因为销售价格为5元/套时，每日可售出套题21千套，销售价格为3.5元/套时，每日可售出套题69千套，所以，h (5)＝21，h (3.5)＝69，即⎩⎪⎨⎪⎧k 12＋4k 2＝21，2k 1＋494k 2＝69，解得：⎩⎪⎨⎪⎧k 1＝10，k 2＝4，6分所以，h (x )＝10x －3＋4(x －7)2(3＜x ＜7). 8分(2)由(1)可知，套题每日的销售量h (x )＝10x －3＋4(x －7)2，设每日销售套题所获得的利润为F (x )，则F (x )＝(x －3) ⎣⎢⎡⎦⎥⎤10x －3＋x －2＝10＋4(x －7)2(x －3) ＝4x 3－68x 2＋364x －578，10分从而F ′(x )＝12x 2－136x ＋364＝4(3x －13)(x －7)，3＜x ＜7，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3，133时，F ′(x )＞0，所以函数F (x )在⎝⎛⎭⎪⎫3，133上单调递增，12分x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫133，7时，F ′(x )＜0，所以函数F (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫133，7上单调递减，所以x ＝133≈4.3时，函数F (x )取得最大值，即当销售价格为4.3元/套时，网校每日销售套题所获得的利润最大.14分16．(本小题满分14分)(河南省豫北名校联盟2017届高三年级精英对抗赛)已知函数f (x )＝x ＋a ln x (a ∈R )．(1)若曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处与直线y ＝3x －2相切，求a 的值； (2)若函数g (x )＝f (x )－kx 2有两个零点x 1，x 2，试判断g ′⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22的符号，并证明.【导学号：56394019】[解] (1)f ′(x )＝1＋a x，又∵f ′(1)＝3. 2分所以a ＝2.3分(2)函数g (x )的定义域是(0，＋∞). 4分若a ＝0，则g (x )＝f (x )－kx 2＝x －kx 2. 令g (x )＝0，则x －kx 2＝0. 又据题设分析知k ≠0，∴x 1＝0，x 2＝1k.又g (x )有两个零点，且都大于0， ∴a ＝0，不成立.5分据题设知⎩⎪⎨⎪⎧gx 1＝x 1＋a ln x 1－kx 21＝0，gx 2＝x 2＋a ln x 2－kx 22＝0，不妨设x 1＞x 2，x 1x 2＝t ，t ＞1.6分所以x 1－x 2＋a (ln x 1－ln x 2)＝k (x 1－x 2)(x 1＋x 2)．所以1＋ax 1－ln x 2x 1－x 2＝k (x 1＋x 2)，7分又g ′(x )＝1＋a x－2kx ，所以g ′⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22＝1＋2a x 1＋x 2－k (x 1＋x 2)＝1＋2a x 1＋x 2－1－ax 1－ln x 2x 1－x 2＝a ⎝⎛⎭⎪⎫2x 1＋x 2－ln x 1－ln x 2x 1－x 2＝a x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2t ＋1－ln t t －1＝a x 2·1t －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤t －t ＋1－ln t .9分引入h (t )＝t －t ＋1－ln t (t ＞1)，则h ′(t )＝4t ＋2－1t＝－t －2t t ＋2＜0.所以h (t )在(0，＋∞)上单调递减. 10分而h (1)＝0，所以当t ＞1时，h (t )＜0. 易知x 2＞0，1t －1＞0，所以当a ＞0时，g ′⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22＜0；当a ＜0时，g ′⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22＞0.14分17．(本小题满分14分)(广东郴州市2017届高三第二次教学质量监测试卷)已知函数f (x )＝x ln x ，g (x )＝－x 2＋ax －3.(1)求函数f (x )在[t ，t ＋2](t ＞0)上的最小值；(2)对一切x ∈(0，＋∞)，2f (x )≥g (x )恒成立，求实数a 的取值范围；(3)探讨函数F (x )＝ln x －1e x ＋2e x 是否存在零点？若存在，求出函数F (x )的零点；若不存在，请说明理由． [解] (1)f ′(x )＝ln x ＋1，由f ′(x )＜0得，0＜x ＜1e ，由f ′(x )＞0得x ＞1e，∴函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞上单调递增，1分当0＜t ≤1e 时，t ＋2＞1e ，∴f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝－1e ；当t ＞1e时，f (x )在[t ，t ＋2]上单调递增，f (x )min ＝f (t )＝t ln t ，2分∴f (x )min＝⎩⎪⎨⎪⎧－1e ，0＜t ≤1e ，t ln t ，t ＞1e. 3分(2)原问题可化为a ≤2ln x ＋x ＋3x， 4分设h (x )＝2ln x ＋x ＋3x(x ＞0 )，h ′(x )＝x ＋x －x2，当0＜x ＜1时，h ′(x )＜0，h (x )在(0,1)上单调递减；5分当x ＞1时， h ′(x )＞0，h (x )在(1，＋∞)上单调递增；6分 ∴h (x )min ＝h (1)＝4，故a 的取值范围为(－∞，4].7分 (3)令F (x )＝0，得ln x －1e x ＋2e x ＝0，即x ln x ＝x e x －2e (x ＞0)，8分由(1)知当且仅当x ＝1e 时，f (x )＝x ln x (x ＞0)的最小值是－1e，9分设φ(x )＝x e x －2e (x ＞0)，则φ′(x )＝1－xex ，易知φ(x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，∴当且仅当x ＝1时，φ(x )取最大值，且φ(1)＝－1e，12分∴对x ∈(0，＋∞)都有ln x ＞1e x －2e x ，即F (x )＝ln x －1e x ＋2e x ＞0恒成立，故函数F (x )无零点.14分18．(本小题满分16分)(无锡市普通高中2017届高三上学期期中基础性检测)已知函数f (x )＝sin xe x 的定义域为[0,2π]，g (x )为f (x )的导函数．(1)求方程g (x )＝0的解集； (2)求函数g (x )的最大值与最小值；(3)若函数F (x )＝f (x )－ax 在定义域上恰有2个极值点，求实数a 的取值范围． [解] (1)因为f ′(x )＝－sin x e x ＋cos xex ， 1分所以g (x )＝cos x e x －sin x e x ＝0，解得x ＝π4或x ＝5π4；3分 (2)因为g ′(x )＝－cos x e x －sin x e x ＋sin x e x －cos x e x ＝－2cos xe x ，4分令g ′(x )＝0，解得x ＝π2或x ＝3π2，5分所以g (x )的最大值为g (0)＝1，所以g (x )的最小值为g ⎝ ⎛⎭⎪⎫2＝－e π2. 7分(3)因为F ′(x )＝－sin x e x ＋cos xex －a ＝g (x )－a ，所以函数F (x )＝f (x )－ax 在定义域上恰有2个极值点，等价于g (x )－a ＝0在定义域上恰有2个零点且在零点处异号，即y ＝g (x )与y ＝a 的图象恰有两个交点，由(2)知F ′(0)＝g (0)－a ＝1－a ，F ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－a ＝－e －π2－a ，F ′⎝⎛⎭⎪⎫3π2＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－a ＝e －3π2－a ，F ′(2π)＝g (2π)－a ＝e －2π－a ，若F ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2≥0，则F ′⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＞F ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＞0，所以F ′(x )＝0至多只有1个零点，不成立，10分所以只有F ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＜0；11分若F ′⎝⎛⎭⎪⎫3π2＜0，则F ′(2π)＜0，所以F ′(x )＝0只有1个零点，不成立，12分所以F ′⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2≥0，13分若F ′⎝⎛⎭⎪⎫3π2＝0，即a ＝e －3π2，在x ＝3π2处同号，不成立；若F ′(2π)≤0，则F ′(x )＝0有3个零点，不成立，14分所以只有F ′(2π)＞0. 所以满足的条件为：⎩⎪⎨⎪⎧F ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－a ＝－e －π2－a ＜0Fπ＝g π－a ＝e －2π－a ＞0，解得－e －π2＜a ＜e －2π或a ＝e －3π2，16分(注：利用图象直接得出－e －π2＜a ＜e －2π或a ＝e －3π2扣4分．)19．(本小题满分16分)(河北唐山市2017届高三年级期末)已知函数f (x )＝ln xx，g (x )＝x ⎝⎛⎭⎪⎫ln x －ax 2－1.(1)求y ＝f (x )的最大值；(2)当a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，1e 时，函数y ＝g (x )(x ∈(0，e])有最小值．记g (x )的最小值为h (a )，求函数h (a )的值域．[解] (1)f ′(x )＝1－ln xx2(x ＞0)，当x ∈(0，e)时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增；当x ∈(e ，＋∞)时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减，所以当x ＝e 时， f (x )取得最大值f (e)＝1e .4分(2)g ′(x )＝ln x －ax ＝x ⎝⎛⎭⎪⎫ln x x －a ，由(1)及x ∈(0，e]得：①当a ＝1e 时，ln xx －a ≤0，g ′(x )≤0，g (x )单调递减，当x ＝e 时，g (x )取得最小值g (e)＝h (a )＝－e2.8分②当a ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0， 1e ，f (1)＝0≤a ，f (e)＝1e ＞a ，所以存在t ∈[1，e)，g ′(t )＝0且ln t ＝at ，当x ∈(0，t )时，g ′(x )＜0，g (x )单调递减，当x ∈(t ，e]时，g ′(x )＞0，g (x )单调递增，所以g (x )的最小值为g (t )＝h (a ). 12分令h (a )＝G (t )＝t ln t2－t ，因为G ′(t )＝ln t －12＜0，所以G (t )在[1，e)单调递减，此时G (t )∈(－e2，－1]．综上，h (a )∈[－e2，－1].16分20．(本小题满分16分)(江苏省泰州中学2017届高三摸底考试)已知函数f (x )＝e x e x (为自然对数的底数)．(1)求f (x )的单调区间；(2)是否存在正实数使得f (1－x )＝f (1＋x )，若存在请求出，否则说明理由；(3)若存在不等实数x 1，x 2，使得f (x 1)＝f (x 2)，证明：f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22＜0. 【导学号：56394020】[解] (1)函数y ＝f (x )的单调递减区间是(1，＋∞)，单调递增区间为(－∞，1).(2)不存在正实数使得f (1－x )＝f (1＋x )成立，事实上，由(1)知函数y ＝f (x )在(－∞，1)上递增，而当x ∈(0,1)，有y ∈(0,1)，在(1，＋∞)上递减，有0＜y ＜1，因此，若存在正实数使得f (1－x )＝f (1＋x )，必有x ∈(0,1).6分令F (x )＝f (1＋x )－f (1－x )＝x ＋1e x ＋(x －1)e x，令F ′(x )＝x ⎝⎛⎭⎪⎫e x －1e x ，因为x ∈(0,1)，所以F ′(x )＞0，所以F (x )为(0,1)上的增函数，所以F (x )＞F (0)＝0，即f (1＋x )＞f (1－x )，故不存在正实数使得f (1－x )＝f (1＋x )成立. 8分(3)若存在不等实数x 1，x 2，使得f (x 1)＝f (x 2)，则x 1和x 2中，必有一个在(0,1)，另一个在(1，＋∞)，不妨设x 1∈(0,1)，x 2∈(1，＋∞).10分 ①若x 2≥2，则x 1＋x 22∈(1，＋∞)，由(1)知：函数y ＝f (x )在(1，＋∞)上单调递减，所以f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22＜0； ②若x 2∈(1,2)，由(2)知：当x ∈(0,1)，则有f (1＋x )＞f (1－x )，而1－x 1∈(0,1)，所以f (2－x 1)＝f [1＋(1－x 1)]＞f [1－(1－x 1)]＝f (x 1)＝f (x 2)，即f (2－x 1)＞f (x 2)，而2－x 1，x 2∈(1,2)，由(1)知：函数y ＝f (x )在(1，＋∞)上单调递减，13分 ∴2－x 1＜x 2，即有x 1＋x 22∈(1，＋∞)，由(1)知：函数y ＝f (x )在(1，＋∞)上单调递减，所以f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22＜0；综合①②得：若存在不等实数x 1，x 2，使得f (x 1)＝f (x 2)，则总有f ′⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22＜0.16分。

2018年高考数学江苏专版三维二轮专题复习训练：3个附加题综合仿真练三含解析精品

3个附加题综合仿真练(三)1．本题包括A 、B 、C 、D 四个小题，请任选二个作答 A ．[选修4－1：几何证明选讲]如图，AB 为圆O 的切线，A 为切点，C 为线段AB 的中点，过C作圆O 的割线CED (E 在C ，D 之间)．求证：∠CBE ＝∠BDE . 证明：因为CA 为圆O 的切线，所以CA 2＝CE ·CD ，又CA ＝CB ，所以CB 2＝CE ·CD ，即CB CE ＝CDCB，又∠BCD ＝∠BCD ，所以△BCE ∽△DCB ，所以∠CBE ＝∠BDE . B ．[选修4－2：矩阵与变换]设a ，b ∈R.若直线l ：ax ＋y －7＝0在矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 0－1 b 对应的变换作用下，得到的直线为l ′：9x ＋y －91＝0.求实数a ，b 的值．解：法一：在直线l ：ax ＋y －7＝0上取点M (0,7)，N (1，7－a )，由⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 0－1 b ⎣⎢⎡⎦⎥⎤07＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 07b ，⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 0－1 b ⎣⎢⎡⎦⎥⎤17－a ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3 b (7－a )－1，可知点M (0,7)，N (1,7－a )在矩阵A 对应的变换作用下分别得到点M ′(0,7b )，N ′(3，b (7－a )－1)，由题意可知：M ′，N ′在直线9x ＋y －91＝0上，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 7b －91＝0，27＋b (7－a )－1－91＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝13， ∴实数a ，b 的值分别为2,13.法二：设直线l 上任意一点P (x ，y )，点P 在矩阵A 对应的变换作用下得到Q (x ′，y ′)，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 0－1 b ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，y ′＝－x ＋by ，由Q (x ′，y ′)在直线l ′：9x ＋y －91＝0上， ∴27x ＋(－x ＋by )－91＝0，即26x ＋by －91＝0， ∵点P 在ax ＋y －7＝0上，∴26a ＝b 1＝－91－7，解得a ＝2，b ＝13.∴实数a ，b 的值分别为2,13. C ．[选修4－4：坐标系与参数方程]在极坐标系中，直线l 和圆C 的极坐标方程分别为ρcos ⎝⎛⎭⎫θ＋π6＝a (a ∈R)和ρ＝4sin θ.若直线l 与圆C 有且只有一个公共点，求a 的值．解：由ρcos ⎝⎛⎭⎫θ＋π6＝a ，得32ρcos θ－12ρsin θ＝a ，故化为直角坐标方程为3x －y －2a ＝0，由圆C 的极坐标方程ρ＝4sin θ，得ρ2＝4ρsin θ，化为直角坐标方程为x 2＋(y －2)2＝4，若直线l 与圆C 只有一个公共点，则圆心C 到直线l 的距离等于半径，故d ＝|－2－2a |2＝2，解得a ＝1或a ＝－3. D ．[选修4－5：不等式选讲]已知a ，b ∈R ，a >b >e(其中e 是自然对数的底数)，求证：b a >a b . 证明：∵b a >0，a b >0，∴要证b a >a b ，只要证a ln b >b ln a, 只要证ln b b >ln a a，构造函数f (x )＝ln xx ，x ∈(e ，＋∞)．则f ′(x )＝1－ln xx 2，x ∈(e ，＋∞)，f ′(x )<0在区间(e ，＋∞)上恒成立，所以函数f (x )在x ∈(e ，＋∞)上是单调递减的，所以当a >b >e 时，有f (b )>f (a )，即ln b b >ln aa，故b a >a b 得证． 2．从0,1,2,3,4这五个数中任选三个不同的数组成一个三位数，记X 为所组成三位数的各位数字之和．(1)求X 是奇数的概率；(2)求X 的概率分布及数学期望．解：(1)记“X 是奇数”为事件A ，能组成的三位数的个数是4×4×3＝48.X 是奇数的个数是C 12C 23A 33－C 12C 12A 22＝28，所以P (A )＝2848＝712.故X 是奇数的概率为712.(2)X 的可能取值为3,4,5,6,7,8,9.当X ＝3时，组成的三位数是由0,1,2三个数字组成，所以P (X ＝3)＝448＝112；当X ＝4时，组成的三位数是由0,1,3三个数字组成，所以P (X ＝4)＝448＝112；当X ＝5时，组成的三位数是由0,1,4或0,2,3组成，所以P (X ＝5)＝848＝16；当X ＝6时，组成的三位数是由0,2,4或1,2,3组成，所以P (X ＝6)＝1048＝524；当X ＝7时，组成的三位数是由0,3,4或1,2,4组成，所以P (X ＝7)＝1048＝524；当X ＝8时，组成的三位数是由1,3,4三个数字组成，所以P (X ＝8)＝648＝18；当X ＝9时，组成的三位数是由2,3,4三个数字组成，所以P (X ＝9)＝648＝18. 所以X 的概率分布为：故E (X )＝3×112＋4×112＋5×16＋6×524＋7×524＋8×18＋9×18＝254. 3．设P (n ，m )＝ k ＝0n (－1)k C k nm m ＋k ，Q (n ，m )＝C n n ＋m ，其中m ，n ∈N *. (1)当m ＝1时，求P (n,1)·Q (n,1)的值；(2)对∀m ∈N *，证明：P (n ，m )·Q (n ，m )恒为定值．解：(1)当m ＝1时，P (n,1)＝∑k ＝0n(－1)kC k n11＋k ＝1n ＋1∑k ＝0n (－1)k C k ＋1n ＋1＝1n ＋1，又Q (n,1)＝C 1n ＋1＝n ＋1，显然P (n,1)·Q (n,1)＝1. (2)证明：P (n ，m )＝∑k ＝0n(－1)k C k nmm ＋k＝1＋∑k ＝1n －1(－1)k (C k n －1＋C k －1n －1)m m ＋k ＋(－1)n m m ＋n ＝1＋∑k ＝1n －1 (－1)kC k n －1m m ＋k ＋∑k ＝1n (－1)k C k －1n －1mm ＋k＝P (n －1，m )＋∑k ＝1n(－1)k C k －1n －1mm ＋k＝P (n －1，m )－m n ∑k ＝0n (－1)k C k n m m ＋k＝P (n －1，m )－mn P (n ，m )即P (n ，m )＝nm ＋nP (n －1，m )，由累乘，易求得P (n ，m )＝n ！m ！(n ＋m )！P (0，m )＝1C n n ＋m，又Q (n ，m )＝C n n ＋m ，所以P (n ，m )·Q (n ，m )＝1.。

2018版高考数学理江苏专用大二轮总复习与增分策略配套课件：专题三三角函数、解三角形与平面向量第

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专题三三角函数、解三角形与平面向量
第1讲三角函数的图象与性质
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1.(2016·四川改编)为了得到函数 y＝sin2x－π3的图象，只需把函数 y＝sin 2x π
的图象上所有的点向___右___平行移动____6____个单位长度.
由 2x＋π4＝kπ＋π2(k∈Z)，得 x＝k2π＋π8(k∈Z)，故 y＝f(x)的对称轴方程为 x＝k2π＋π8(k∈Z).
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高考押题精练
1 23
1.已知函数
f(x)＝sinωx＋
π5(x∈R，ω>0)图象的相邻两条对称轴之间的距
离为π2.为了得到函数 g(x)＝cos ωx 的图象，只要将 y＝f(x)的图象向
y＝tan x 的递增区间是(kπ－π2，kπ＋π2)(k∈Z).
2.y＝Asin(ωx＋φ)，当φ＝kπ(k∈Z)时为奇函数；
当 φ＝kπ＋π2(k∈Z)时为偶函数；对称轴方程可由 ωx＋φ＝kπ＋π2(k∈Z)求得. y＝Acos(ωx＋φ)，当 φ＝kπ＋π2(k∈Z)时为奇函数；当φ＝kπ(k∈Z)时为偶函数；对称轴方程可由ωx＋φ＝kπ(k∈Z)求得. y＝Atan(ωx＋φ)，当φ＝kπ(k∈Z)时为奇函数.
解析由题意可知，y＝sin2x－π3＝sin2x－π6，则只需把 y＝sin 2x 的图象向右平移π6个单位.
解析答案
1 234
2.(2016·课标全国甲改编)若将函数 y＝2sin 2x 的图象向左平移1π2个单位长度，则平移后图象的对称轴为_x_＝__k2_π_＋__π6_(k_∈__Z_)_. 解析由题意将函数 y＝2sin 2x 的图象向左平移1π2个单位长度后得到函数的解析式为 y＝2sin2x＋π6，由 2x＋π6＝kπ＋π2，k∈Z，得函数的对称轴为 x＝k2π＋π6(k∈Z).

2018高考数学江苏专版三维二轮专题复习训练：3个附加题综合仿真练(三) Word版含解析

3个附加题综合仿真练(三)1、本题包括A 、B 、C 、D 四个小题,请任选二个作答 A 、[选修4－1：几何证明选讲]如图,AB 为圆O 的切线,A 为切点,C 为线段AB 的中点,过C 作圆O的割线CED (E 在C ,D 之间)、求证：∠CBE ＝∠BDE 、证明：因为CA 为圆O 的切线, 所以CA 2＝CE ·CD ,又CA ＝CB , 所以CB 2＝CE ·CD , 即CB CE ＝CD CB , 又∠BCD ＝∠BCD , 所以△BCE ∽△DCB , 所以∠CBE ＝∠BDE 、 B 、[选修4－2：矩阵与变换]设a ,b ∈R 、若直线l ：ax ＋y －7＝0在矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 0－1 b 对应的变换作用下,得到的直线为l ′：9x ＋y －91＝0、求实数a ,b 的值、解：法一：在直线l ：ax ＋y －7＝0上取点M (0,7),N (1,7－a ),由⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 0－1 b ⎣⎢⎡⎦⎥⎤07＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 07b ,⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 0－1b ⎣⎢⎡⎦⎥⎤17－a ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3 b (7－a )－1,可知点M (0,7),N (1,7－a )在矩阵A 对应的变换作用下分别得到点M ′(0,7b ),N ′(3,b (7－a )－1),由题意可知：M ′,N ′在直线9x ＋y －91＝0上,∴⎩⎪⎨⎪⎧ 7b －91＝0，27＋b (7－a )－1－91＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝13，∴实数a ,b 的值分别为2,13、法二：设直线l 上任意一点P (x ,y ),点P 在矩阵A 对应的变换作用下得到Q (x ′,y ′),则⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 0－1b ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′,∴⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，y ′＝－x ＋by ，由Q (x ′,y ′)在直线l ′：9x ＋y －91＝0上, ∴27x ＋(－x ＋by )－91＝0, 即26x ＋by －91＝0, ∵点P 在ax ＋y －7＝0上, ∴26a ＝b 1＝－91－7,解得a ＝2,b ＝13、∴实数a ,b 的值分别为2,13、 C 、[选修4－4：坐标系与参数方程]在极坐标系中,直线l 和圆C 的极坐标方程分别为ρcos ⎝⎛⎭⎫θ＋π6＝a (a ∈R)和ρ＝4sin θ、若直线l 与圆C 有且只有一个公共点,求a 的值、解：由ρcos ⎝⎛⎭⎫θ＋π6＝a ,得32ρcos θ－12ρsin θ＝a , 故化为直角坐标方程为3x －y －2a ＝0, 由圆C 的极坐标方程ρ＝4sin θ,得ρ2＝4ρsin θ, 化为直角坐标方程为x 2＋(y －2)2＝4,若直线l 与圆C 只有一个公共点,则圆心C 到直线l 的距离等于半径,故d ＝|－2－2a |2＝2,解得a ＝1或a ＝－3、 D 、[选修4－5：不等式选讲]已知a ,b ∈R,a >b >e(其中e 是自然对数的底数),求证：b a >a b 、证明：∵b a >0,a b >0,∴要证b a >a b , 只要证a ln b >b ln a, 只要证ln b b >ln a a ,构造函数f (x )＝ln xx ,x ∈(e,＋∞)、则f ′(x )＝1－ln xx 2,x ∈(e,＋∞),f ′(x )<0在区间(e,＋∞)上恒成立,所以函数f (x )在x ∈(e,＋∞)上是单调递减的, 所以当a >b >e 时,有f (b )>f (a ), 即ln b b >ln aa ,故b a >a b 得证、2、从0,1,2,3,4这五个数中任选三个不同的数组成一个三位数,记X 为所组成三位数的各位数字之和、(1)求X 是奇数的概率；(2)求X 的概率分布及数学期望、解：(1)记“X 是奇数”为事件A , 能组成的三位数的个数是4×4×3＝48、X 是奇数的个数是C 12C 23A 33－C 12C 12A 22＝28,所以P (A )＝2848＝712、故X 是奇数的概率为712、(2)X 的可能取值为3,4,5,6,7,8,9、当X ＝3时,组成的三位数是由0,1,2三个数字组成, 所以P (X ＝3)＝448＝112；当X ＝4时,组成的三位数是由0,1,3三个数字组成, 所以P (X ＝4)＝448＝112；当X ＝5时,组成的三位数是由0,1,4或0,2,3组成, 所以P (X ＝5)＝848＝16；当X ＝6时,组成的三位数是由0,2,4或1,2,3组成, 所以P (X ＝6)＝1048＝524；当X ＝7时,组成的三位数是由0,3,4或1,2,4组成, 所以P (X ＝7)＝1048＝524；当X ＝8时,组成的三位数是由1,3,4三个数字组成, 所以P (X ＝8)＝648＝18；当X ＝9时,组成的三位数是由2,3,4三个数字组成, 所以P (X ＝9)＝648＝18、所以X 的概率分布为：故E (X )＝3×112＋4×112＋5×16＋6×524＋7×524＋8×18＋9×18＝254、 3、设P (n ,m )＝∑k ＝0n(－1)k C knm m ＋k,Q (n ,m )＝C n n ＋m ,其中m ,n ∈N *、 (1)当m ＝1时,求P (n,1)·Q (n,1)的值；(2)对∀m ∈N *,证明：P (n ,m )·Q (n ,m )恒为定值、解：(1)当m ＝1时,P (n,1)＝∑k ＝0n(－1)kC k n11＋k ＝1n ＋1∑k ＝0n (－1)k C k ＋1n ＋1＝1n ＋1, 又Q (n,1)＝C 1n ＋1＝n ＋1,显然P (n,1)·Q (n,1)＝1、 (2)证明：P (n ,m )＝∑k ＝0n(－1)k C k nmm ＋k ＝1＋∑k ＝1n －1(－1)k (C k n －1＋C k －1n －1)m m ＋k ＋(－1)n m m ＋n ＝1＋∑k ＝1n －1 (－1)kC k n －1m m ＋k ＋∑k ＝1n (－1)k C k －1n －1m m ＋k＝P (n －1,m )＋∑k ＝1n(－1)k C k －1n －1mm ＋k＝P (n －1,m )－m n ∑k ＝0n (－1)k C k nmm ＋k＝P(n－1,m)－mn P(n,m)即P(n,m)＝nm＋nP(n－1,m),由累乘,易求得P(n,m)＝n！m！(n＋m)！P(0,m)＝1C n n＋m,又Q(n,m)＝C n n＋m,所以P(n,m)·Q(n,m)＝1、。

(新)江苏专版2018年高考数学二轮复习第2部分八大难点突破专项限时集训1与三角变换平面向量综合的三角形问

专项限时集训(一) 与三角变换、平面向量综合的三角形问题(对应学生用书第113页)(限时：60分钟)1．(本小题满分14分)(2015·江苏高考)在△ABC 中，已知AB ＝2，AC ＝3，A ＝60˚.(1)求BC 的长； (2)求sin 2C 的值．[解] (1)由余弦定理知，BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos A ＝4＋9－2×2×3×12＝7，所以BC ＝7.4分(2)由正弦定理知，AB sin C ＝BCsin A，所以sin C ＝AB BC ·sin A ＝2sin 60˚7＝217.因为AB ＜BC ，所以C 为锐角，则cos C ＝1－sin 2C ＝1－37＝277. 因此sin 2C ＝2sin C ·cos C ＝2×217×277＝437. 14分2．(本小题满分14分)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cos C (a cos B ＋b cos A )＝c . (1)求C ；(2)若c ＝7，△ABC 的面积为332，求△ABC 的周长．[解] (1)由已知及正弦定理得2cos C (sin A cos B ＋sin B cos A )＝sin C ，即2cos C sin(A ＋B )＝sin C ，故2sin C cos C ＝sin C . 可得cos C ＝12，所以C ＝π3.6分(2)由已知，12ab sin C ＝332.又C ＝π3，所以ab ＝6.10分由已知及余弦定理得a 2＋b 2－2ab cos C ＝7，故a 2＋b 2＝13，从而(a ＋b )2＝25.所以△ABC 的周长为5＋7. 14分3．(本小题满分14分)(江苏省南通市如东高中2017届高三上学期第二次调研)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，cos C ＝310.(1)若CA →·CB →＝92，求△ABC 的面积；(2)设向量x ＝(2sin B ，－3)，y ＝⎝⎛⎭⎪⎫cos 2B ，1－2sin 2B 2，且x ∥y ，求角B 的值.【导学号：56394091】[解] (1)根据题意，∵CB →·CA →＝92，∴ab cos C ＝92，∴ab ＝15，又∵cos C ＝310，C ∈(0，π)，sin C ＝9110.所以S △ABC ＝12ab sin C ＝3914.6分(2)根据题意，∵x ∥y ，∴2sin B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2sin 2B 2－(－3)·cos 2B ＝0，即2sin B ⎝⎛⎭⎪⎫1－2sin 2B 2＋3cos 2B ＝0，2sin B cos B ＋3cos 2B ＝0，即sin 2B ＋3cos 2B ＝0，显然cos 2B ≠0，所以tan 2B ＝－3，10分所以2B ＝2π3或5π3，即B ＝π3或5π6，因为cos C ＝310＜32，所以C ＞π6，所以B ＝5π6(舍去)，即B ＝π3.14分 4．(本小题满分16分)已知向量a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫k sin x3，cos 2x 3，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x3，－k ，实数k 为大于零的常数，函数f (x )＝a ·b ，x ∈R ，且函数f (x )的最大值为2－12. (1)求k 的值；(2)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边，若π2<A <π，f (A )＝0，且a＝210，求AB →·AC →的最小值．[解] (1)由已知f (x )＝a ·b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫k sin x3，cos 2x 3·⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x3，－k＝k sin x 3cos x 3－k cos 2x 3＝12k sin 2x 3－k ·1＋cos2x 32＝k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2x3－cos 2x 3－k 2＝2k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫22sin 2x 3－22cos 2x 3－k 2 ＝2k 2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 3－π4－k 2. 5分因为x ∈R ，所以f (x )的最大值为2－1k2＝2－12，则k ＝1.7分(2)由(1)知，f (x )＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 3－π4－12，所以f (A )＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A 3－π4－12＝0，化简得sin ⎝⎛⎭⎪⎫2A 3－π4＝22.9分因为π2<A <π，所以π12<2A 3－π4<5π12.则2A 3－π4＝π4，解得A ＝3π4. 因为cos A ＝－22＝b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2＋c 2－402bc ，所以b 2＋c 2＋2bc ＝40，则b 2＋c 2＋2bc ＝40≥2bc ＋2bc ，所以bc ≤402＋2＝20(2－2).14分则AB →·AC →＝|AB →||AC →|cos 3π4＝－22bc ≥20(1－2)．所以AB →·AC →的最小值为20(1－2).16分5．(本小题满分16分)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知b ＋c ＝2a cosB .(1)证明：A ＝2B ；(2)若△ABC 的面积S ＝a 24，求角A 的大小．[解] (1)证明：由正弦定理得sin B ＋sin C ＝2sin A cos B ，故2sin A cos B ＝sin B ＋sin(A ＋B ) ＝sin B ＋sin A cos B ＋cos A sin B ，于是sin B ＝sin(A －B )．又A ，B ∈(0，π)，故0<A －B <π，所以B ＝π－(A －B )或B ＝A －B ，因此A ＝π(舍去)或A ＝2B ，所以A ＝2B . 8分(2)由S ＝a 24得12ab sin C ＝a 24，故有sin B sin C ＝12sin A ＝12sin 2B ＝sin B cos B .因为sin B ≠0，所以sin C ＝cos B ． 12分又B ，C ∈(0，π)，所以C ＝π2±B . 当B ＋C ＝π2时，A ＝π2；当C －B ＝π2时，A ＝π4.综上，A ＝π2或A ＝π4.16分6．(本小题满分16分)(江苏省苏州市2017届高三上学期期中)如图2，有一块平行四边形绿地ABCD ，经测量BC ＝2百米，CD ＝1百米，∠BCD ＝120°，拟过线段BC 上一点E 设计一条直路EF (点F 在四边形ABCD 的边上，不计路的宽度)，将绿地分为面积之比为1∶3的左右两部分，分别种植不同的花卉，设EC ＝x 百米，EF ＝y 百米．图2(1)当点F 与点D 重合时，试确定点E 的位置； (2)试求x 的值，使路EF 的长度y 最短．[解] (1)∵S 平行四边形ABCD ＝2×12×1×2sin 120°＝3，当点F 与点D 重合时，由已知S △CDE ＝14S 平行四边形ABCD ＝34，又∵S △CDE ＝12CE ·CD ·sin 120°＝34x ＝34⇒x ＝1，E 是BC 的中点.6分(2)①当点F 在CD 上，即1≤x ≤2时，利用面积关系可得CF ＝1x，再由余弦定理可得y ＝x 2＋1x2＋1≥3；当且仅当x ＝1时取等号．②当点F 在DA 上时，即0≤x ＜1时，利用面积关系可得DF ＝1－x ，10分(ⅰ)当CE ＜DF 时，过E 作EG ∥CD 交DA 于G (图略)，在△EGF 中，EG ＝1，GF ＝1－2x ，∠EGF ＝60°，利用余弦定理得y ＝4x 2－2x ＋1.(ⅱ)同理当CE ≥DF ，过E 作EG ∥CD 交DA 于G (图略)，在△EGF 中，EG ＝1，GF ＝2x －1，∠EGF ＝120°，利用余弦定理得y ＝4x 2－2x ＋1.由(ⅰ)、(ⅱ)可得y ＝4x 2－2x ＋1，0≤x ＜1， ∴y ＝4x 2－2x ＋1＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －142＋34， ∵0≤x ＜1，∴y min ＝32，当且仅当x ＝14时取等号，由①②可知当x ＝14时，路EF 的长度最短为32.16分。

2018版高考数学理江苏专用大二轮总复习与增分策略配套课件：专题三三角函数、解三角形与平面向量第

解析答案
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4.(2016·江苏 ) 在锐角三角形 ABC 中，若 sin A ＝ 2sin Bsin C ，则tan Atan Btan C的最小值是____8____.
解析
答案
考情考向分析
正弦定理和余弦定理以及解三角形问题是高考的必考内容，主要考查： 1.边和角的计算； 2.三角形形状的判断； 3.面积的计算； 4.有关的范围问题.由于此内容应用性较强，与实际问题结合起来进行命题将是今后高考的一个关注点，不可轻视.
解析
答案
(则2)若θ＝f_(x_－)_＝_π3__3_s_in. (x＋θ)－cos(x＋θ)(－π2≤θ≤π2)是定义在 R 上的偶函数，解析 f(x)＝2sin(x＋θ－π6)，由题意得 θ－π6＝π2＋kπ(k∈Z)，因为－π2≤θ≤π2，所以 k＝－1，θ＝－π3.
解析答案
热点二正弦定理、余弦定理
专题三三角函数、解三角形与平面向量
第2讲三角变换与解三角形
栏目索引
1 高考真题体验 2 热点分类突破 3 高考押题精练
高考真题体验
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64 1.(2016·课标全国丙改编)若 tan α＝34，则 cos2α＋2sin 2α＝___2_5____.
解析 tan α＝34，则 cos2α＋2sin 2α＝cocos2sα2α＋＋2ssiinn22αα＝11＋＋4tatann2αα＝6245.
解析答案
(2)求sin A＋sin C的取值范围. 解由(1)知，C＝π－(A＋B) ＝π－(2A＋π2)＝π2－2A>0，∴A∈(0，π4)，于是 sin A＋sin C＝sin A＋sin(π2－2A) ＝sin A＋cos 2A＝－2sin2A＋sin A＋1 ＝－2(sin A－14)2＋98， ∵0<A<π4，∴0<sin A< 22，因此 22<－2(sin A－14)2＋98≤98，

2018高考数学江苏专版三维二轮专题复习训练：3个附加题综合仿真练(一) Word版含解析

3个附加题综合仿真练(一)1.本题包括A 、B 、C 、D 四个小题,请任选二个作答A ．[选修4－1：几何证明选讲]如图,A ,B ,C 是圆O 上不共线的三点,OD ⊥AB 于D ,BC 和AC 分别交DO 的延长线于P 和Q ,求证：∠OBP ＝∠CQP .证明：连结OA ,因为OD ⊥AB ,OA ＝OB ,所以∠BOD ＝∠AOD ＝12∠AOB , 又∠ACB ＝12∠AOB , 所以∠ACB ＝∠DOB ,又因为∠BOP ＝180°－∠DOB ,∠QCP ＝180°－∠ACB ,所以∠BOP ＝∠QCP ,所以B ,O ,C ,Q 四点共圆,所以∠OBP ＝∠CQP .B ．[选修4－2：矩阵与变换]已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 11 3,B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 10 －1.求矩阵C ,使得AC ＝B . 解：因为⎪⎪⎪⎪⎪⎪2 11 3＝2×3－1×1＝5, 所以A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤35 －15－15 25, 又AC ＝B ,所以C ＝A －1B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 35 －15－15 25⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 10 －1 ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤35 45－15－35. C ．[选修4－4：坐标系与参数方程]在极坐标系中,已知圆C 的圆心在极轴上,且过极点和点⎝⎛⎭⎫32，π4,求圆C 的极坐标方程．解：法一：因为圆心C 在极轴上且过极点,所以设圆C 的极坐标方程为ρ＝a cos θ,又因为点⎝⎛⎭⎫32，π4在圆C 上, 所以32＝a cos π4,解得a ＝6. 所以圆C 的极坐标方程为ρ＝6cos θ.法二：点⎝⎛⎭⎫32，π4的直角坐标为(3,3), 因为圆C 过点(0,0),(3,3),所以圆心C 在直线为x ＋y －3＝0上．又圆心C 在极轴上,所以圆C 的直角坐标方程为(x －3)2＋y 2＝9.所以圆C 的极坐标方程为ρ＝6cos θ.D ．[选修4－5：不等式选讲]已知x ,y ,z 为不全相等的正数．求证：x yz ＋y zx ＋z xy >1x ＋1y ＋1z .证明：因为x ,y ,z 都是正数,所以x yz ＋y zx ＝1z ⎝⎛⎭⎫x y ＋y x ≥2z. 同理可得y zx ＋z xy ≥2x ,z xy ＋x yz ≥2y,将上述三个不等式两边分别相加,并除以2, 得x yz ＋y zx ＋z xy ≥1x ＋1y ＋1z .由于x ,y ,z 不全相等,因此上述三个不等式中等号至少有一个取不到,所以x yz ＋y zx ＋z xy >1x ＋1y ＋1z. 2．口袋中装有大小相同的卡片八张,其中三张标有数字1,三张标有数字2,两张标有数字3.第一次从口袋中任意抽取一张,放回口袋后第二次再任意抽取一张,记第一次与第二次取到卡片上数字之和为ξ.(1)ξ为何值时,其发生的概率最大？说明理由；(2)求随机变量ξ的数学期望E (ξ)．解：(1)依题意,随机变量ξ的取值是2,3,4,5,6.因为P (ξ＝2)＝3×382＝964； P (ξ＝3)＝2×3×382＝932； P (ξ＝4)＝3×3＋2×3×282＝2164； P (ξ＝5)＝2×3×282＝316； P (ξ＝6)＝2×282＝116. 所以当ξ＝4时,其发生的概率最大,最大值为P (ξ＝4)＝2164. (2)由(1)知E (ξ)＝2×964＋3×932＋4×2164＋5×316＋6×116＝154,所以随机变量ξ的数学期望E (ξ)＝154. 3．在平面直角坐标系xOy 中,直线l ：x ＝－1,点T (3,0)．动点P 满足PS ⊥l ,垂足为S ,且OP ―→·ST ―→＝0.设动点P 的轨迹为曲线C .(1)求曲线C 的方程；(2)设Q 是曲线C 上异于点P 的另一点,且直线PQ 过点(1,0),线段PQ 的中点为M ,直线l与x 轴的交点为N .求证：向量SM ―→与NQ ―→共线．解：(1)设P (x ,y )为曲线C 上任意一点 .因为PS ⊥l ,垂足为S ,又直线l ：x ＝－1,所以S (－1,y )．因为T (3,0),所以OP ―→＝(x ,y ),ST ―→＝(4,－y )．因为OP ―→·ST ―→＝0,所以4x －y 2＝0,即y 2＝4x .所以曲线C 的方程为y 2＝4x .(2)证明：因为直线PQ 过点(1,0),故设直线PQ 的方程为x ＝my ＋1,P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2)．联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，x ＝my ＋1，消去x ,得y 2－4my －4＝0. 所以y 1＋y 2＝4m ,y 1y 2＝－4.因为M 为线段PQ 的中点,所以M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22,即M (2m 2＋1,2m )．又因为S (－1,y 1),N (－1,0),所以SM ―→＝(2m 2＋2,2m －y 1),NQ ―→＝(x 2＋1,y 2)＝(my 2＋2,y 2).因为(2m 2＋2)y 2－(2m －y 1)(my 2＋2)＝(2m 2＋2)y 2－2m 2y 2＋my 1y 2－4m ＋2y 1＝2(y 1＋y 2)＋my 1y 2－4m ＝8m －4m －4m ＝0.所以向量SM ―→与NQ ―→共线．。

2018版高考数学(理)江苏版二轮专题复习配套文档：专题一三角函数与平面向量第3讲含答案

第3讲平面向量高考定位平面向量这部分内容在高考中的要求大部分都为B级，只有平面向量的应用为A级要求，平面向量的数量积为C级要求。

主要考查:(1）平面向量的基本定理及基本运算，多以熟知的平面图形为背景进行考查，填空题难度中档；（2)平面向量的数量积，以填空题为主，难度低；(3）向量作为工具，还常与三角函数、解三角形、不等式、解析几何结合,以解答题形式出现。

真题感悟1。

（2015·江苏卷）已知向量a＝（2，1），b＝（1,－2）,若m a＋n b＝(9，－8）（m，n∈R），则m－n的值为________.解析∵a＝（2，1），b＝（1，－2),∴m a＋n b＝(2m＋n，m－2n）＝(9，－8),即错误!解得错误!故m －n＝2－5＝－3。

答案－32。

(2017·江苏卷）如图,在同一个平面内，向量错误!，错误!，错误!的模分别为1,1，错误!,错误!与错误!的夹角为α，且tan α＝7，错误!与错误!的夹角为45°.若错误!＝m错误!＋n错误!(m,n∈R），则m＋n＝________。

解析如图，设错误!＝m错误!，错误!＝n错误!，则在△ODC中有OD＝m，DC＝n，OC＝错误!,∠OCD＝45°，由tan α＝7，得cos α＝错误!，又由余弦定理知错误!即错误!①＋②得4－2n－错误!m＝0，即m＝10－5n，代入①得12n2－49n＋49＝0，解得n＝错误!或n＝错误!，当n＝错误!时，m＝10－5×错误!＝－错误!〈0(不合题意，舍去），当n＝错误!时，m＝10－5×错误!＝错误!，故m＋n＝错误!＋错误!＝3.答案 33.（2016·江苏卷）如图,在△ABC中,D是BC的中点,E,F是AD上的两个三等分点,错误!·错误!＝4，错误!·错误!＝－1，则错误!·错误!的值是________。

2018年高考数学江苏专版三维二轮专题复习训练：3个附加题专项强化练(三)

3个附加题专项强化练(三) 二项式定理、数学归纳法(理科)1．已知函数f 0(x )＝x (sin x ＋cos x )，设f n (x )为f n －1(x )的导数，n ∈N *. (1)求f 1(x )，f 2(x )的表达式；(2)写出f n (x )的表达式，并用数学归纳法证明．解：(1)因为f n (x )为f n －1(x )的导数，所以f 1(x )＝f 0′(x )＝(sin x ＋cos x )＋x (cos x －sin x ) ＝(x ＋1)cos x ＋(x －1)(－sin x )，同理，f 2(x )＝－(x ＋2)sin x －(x －2)cos x .(2)由(1)得f 3(x )＝f 2′(x )＝－(x ＋3)cos x ＋(x －3)sin x ，把f 1(x )，f 2(x )，f 3(x )分别改写为f 1(x )＝(x ＋1)sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＋(x －1)cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π2， f 2(x )＝(x ＋2)sin ⎝⎛⎭⎫x ＋2π2＋(x －2)cos ⎝⎛⎭⎫x ＋2π2， f 3(x )＝(x ＋3)sin ⎝⎛⎭⎫x ＋3π2＋(x －3)cos ⎝⎛⎭⎫x ＋3π2，猜测f n (x )＝(x ＋n )sin ⎝⎛⎭⎫x ＋n π2＋(x －n )cos ⎝⎛⎭⎫x ＋n π2.(*) 下面用数学归纳法证明上述等式． (ⅰ)当n ＝1时，由(1)知，等式(*)成立． (ⅱ)假设当n ＝k (k ∈N *，k ≥1)时，等式(*)成立，即f k (x )＝(x ＋k )sin ⎝⎛⎭⎫x ＋k π2＋(x －k )cos ⎝⎛⎭⎫x ＋k π2. 则当n ＝k ＋1时， f k ＋1(x )＝f k ′(x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋k π2＋(x ＋k )cos ⎝⎛⎭⎫x ＋k π2＋cos ⎝⎛⎭⎫x ＋k π2＋(x －k )⎣⎡⎦⎤－sin ⎝⎛⎭⎫x ＋k π2 ＝(x ＋k ＋1)cos ⎝⎛⎭⎫x ＋k π2＋[x －(k ＋1)]·⎣⎡⎦⎤－sin ⎝⎛⎭⎫x ＋k π2 ＝[x ＋(k ＋1)]sin ⎝⎛⎭⎫x ＋k ＋12π＋[x －(k ＋1)]·cos ⎝⎛⎭⎫x ＋k ＋12π，即当n ＝k ＋1时，等式(*)成立．综上所述，当n ∈N *时，f n (x )＝(x ＋n )·sin ⎝⎛⎭⎫x ＋n π2＋(x －n )cos ⎝⎛⎭⎫x ＋n π2成立． 2．设1,2,3，…，n 的一个排列是a 1，a 2，…，a n ，若a i ＝i 称i 为不动点(1≤i ≤n )． (1)求1,2,3,4,5的排列中恰有两个不动点的排列个数；(2)记1,2,3，…，n 的排列中恰有k 个不动点的排列个数为P n (k )，①求∑k ＝0n P n (k )；②∑k ＝1nkP n (k )．解：(1)1,2,3,4,5的排列中恰有两个数不动，即为有两个a i ＝i ，另三个a i ≠i ，而三个数没有不动点的排列有2个，故1,2,3,4,5的排列中恰有两个不动点的排列个数为2C 25＝20.(2)①在1,2,3，…，n 的排列中分成这样n ＋1类，有0个不动点，1个不动点，2个不动点，…，n 个不动点，故∑k ＝0nP n (k )＝n ！.②由题设可知P n (k )＝C k n P n －k (0)及组合恒等式k C k n ＝n C k －1n －1得∑k ＝1nkP n (k )＝∑k ＝1nk C k n P n －k (0)＝∑k ＝1nn C k －1n －1P n －k (0)＝n ∑k ＝1n C k －1n －1P n －k (0)＝n ∑k ＝0n －1C k n －1P (n －1)－k (0)＝n ！.3．已知(x 2＋2x ＋4)n ＝a 0＋a 1(x ＋1)＋a 2(x ＋1)2＋…＋a 2n (x ＋1)2n (n ∈N *)，令T n ＝∑i ＝12nia i .(1)求a 0和T n 关于n 的表达式；(2)试比较2T nn 与(n －1)a 0＋2n 2的大小，并证明你的结论．解：(1)在(x 2＋2x ＋4)n ＝a 0＋a 1(x ＋1)＋a 2(x ＋1)2＋…＋a 2n (x ＋1)2n 中，令x ＝－1，可得a 0＝3n .对(x 2＋2x ＋4)n ＝a 0＋a 1(x ＋1)＋a 2(x ＋1)2＋…＋a 2n (x ＋1)2n ，两边同时求导得，n (2x ＋2)(x 2＋2x ＋4)n －1＝a 1＋2a 2(x ＋1)＋3a 3(x ＋1)2＋…＋2na 2n (x ＋1)2n －1，令x ＝0，则∑i ＝12nia i ＝2n ×4n －1，所以T n ＝2n ×4n －1.(2)要比较2T nn与(n －1)a 0＋2n 2的大小，即比较4n 与(n －1)3n ＋2n 2的大小．当n ＝1时，4n ＝4>(n －1)3n ＋2n 2＝2；当n ＝2或3或4时，4n <(n －1)3n ＋2n 2；当n ＝5时，4n >(n －1)3n ＋2n 2. 猜想：当n ≥5时，4n >(n －1)3n ＋2n 2. 下面用数学归纳法证明．①由上述过程可知，当n ＝5时，结论成立．②假设当n ＝k (k ≥5，k ∈N *)时结论成立，即4k >(k －1)3k ＋2k 2，两边同乘以4，得4k ＋1>4[(k －1)3k ＋2k 2]＝k ·3k ＋1＋2(k ＋1)2＋[(k －4)3k ＋6k 2－4k －2]，而(k －4)3k ＋6k 2－4k －2＝(k －4)3k ＋6(k 2－k －2)＋2k ＋10＝(k －4)3k ＋6(k －2)(k ＋1)＋2k ＋10>0，所以4k ＋1>[(k ＋1)－1]3k ＋1＋2(k ＋1)2，即n ＝k ＋1时结论也成立．由①②可知，当n ≥5时，4n >(n －1)3n ＋2n 2成立．综上所述，当n ＝1时，2T n n >(n －1)a 0＋2n 2；当n ＝2或3或4时，2T nn <(n －1)a 0＋2n 2；当n ≥5时，2T nn >(n －1)a 0＋2n 2.4．在集合A ＝{1,2,3,4，…，2n }中，任取m (m ≤2n ，m ，n ∈N *)个元素构成集合A m .若A m 的所有元素之和为偶数，则称A m 为A 的偶子集，其个数记为f (m )；若A m 的所有元素之和为奇数，则称A m 为A 的奇子集，其个数记为g (m )．令F (m )＝f (m )－g (m )．(1)当n ＝2时，求F (1)，F (2)，F (3)的值； (2)求F (m )．解：(1)当n ＝2时，集合A ＝{1,2,3,4}，当m ＝1时，偶子集有{2}，{4}，奇子集有{1}，{3}， f (1)＝2，g (1)＝2，F (1)＝0；当m ＝2时，偶子集有{2,4}，{1,3}，奇子集有{1,2}，{1,4}，{2,3}，{3,4}， f (2)＝2，g (2)＝4，F (2)＝－2；当m ＝3时，偶子集有{1,2,3}，{1,3,4}，奇子集有{1,2,4}，{2,3,4}，f (3)＝2，g (3)＝2，F (3)＝0.(2)当m 为奇数时，偶子集的个数f (m )＝C 0n C m n ＋C 2n C m －2n ＋C 4n C m －4n ＋…＋C m －1nC 1n ，奇子集的个数g (m )＝C 1n C m －1n ＋C 3n C m －3n ＋…＋C m n C 0n ，所以f (m )＝g (m )，F (m )＝f (m )－g (m )＝0. 当m 为偶数时，偶子集的个数f (m )＝C 0n C m n ＋C 2n C m －2n ＋C 4n C m －4n ＋…＋C m n C 0n ，奇子集的个数g (m )＝C 1n C m －1n ＋C 3n C m －3n ＋…＋C m －1nC 1n ，所以F (m )＝f (m )－g (m )＝C 0n C m n －C 1n C m －1n ＋C 2n C m －2n －C 3n C m －3n ＋…－C m －1n C 1n ＋C m n C 0n .一方面，(1＋x )n (1－x )n ＝(C 0n ＋C 1n x ＋C 2n x 2＋…＋C n n x n )·[C 0n －C 1n x ＋C 2n x 2－…＋(－1)n C n nx n ]，所以(1＋x )n (1－x )n 中x m 的系数为C 0n C m n －C 1n C m －1n ＋C 2n C m －2n －C 3n C m －3n ＋…－C m －1nC 1n ＋C m n C 0n ；另一方面，(1＋x )n (1－x )n ＝(1－x 2)n ，(1－x 2)n 中x m 的系数为(－1)m 2C m2n ，故F (m )＝(－1)m 2C m 2n .综上，F (m )＝⎩⎪⎨⎪⎧(－1)m 2C m 2n ，m 为偶数，0，m 为奇数.5．设可导函数y ＝f (x )经过n (n ∈N)次求导后所得结果为y ＝f (n )(x )．如函数g (x )＝x 3经过1次求导后所得结果为g (1)(x )＝3x 2，经过2次求导后所得结果为g (2)(x )＝6x ，….(1)若f (x )＝ln(2x ＋1)，求f (2)(x )；(2)已知f (x )＝p (x )·q (x )，其中p (x )，q (x )为R 上的可导函数．求证：f (n )(x )＝∑i ＝0nC i n p (n －i )(x )·q (i )(x )．解：(1)依题意，f (1)(x )＝12x ＋1×2＝2(2x ＋1)－1， f (2)(x )＝－2(2x ＋1)－2×2＝－4(2x ＋1)－2.(2)证明：①当n ＝1时，f (1)(x )＝p (1)(x )·q (x )＋p (x )·q (1)(x )＝∑i ＝01C i n p (n －i )(x )·q (i )(x )；②假设n ＝k 时，f (k )(x )＝∑i ＝0kC i k p (k －i )(x )·q (i )(x )成立，则n ＝k ＋1时，f(k ＋1)(x )＝(f (k )(x ))′＝∑i ＝0kC i k [p (k－i ＋1)(x )·q (i )(x )＋p (k －i )(x )·q (i＋1)(x )]＝C 0k p (k ＋1)(x )·q (x )＋C 1k p (k )(x )·q (1)(x )＋C 2k p(k－1)(x )·q (2)(x )＋…＋C k k p (1)(x )·q (k )(x )＋C 0kp (k )(x )·q (1)(x )＋C 1k p(k－1)(x )·q (2)(x )＋…＋C k －1k p (1)(x )·q (k )(x )＋C k k p (x )·q (k ＋1)(x )＝C 0k p(k＋1)(x )·q (x )＋(C 0k ＋C 1k )p (k )(x )·q (1)(x )＋()C 1k ＋C 2k p (k －1)(x )·q (2)(x )＋…＋(C k －1k ＋C k k )·p (1)(x )·q (k )(x )＋C kk p (x )·q (k ＋1)(x )＝C 0k ＋1p (k＋1)(x )·q (x )＋C 1k ＋1p (k )(x )·q (1)(x )＋C 2k ＋1p (k－1)(x )·q (2)(x )＋…＋C k k ＋1p (1)(x )·q (k )(x )＋C k ＋1k ＋1p (x )·q (k ＋1)(x )＝∑i ＝0k ＋1C i k ＋1p (k＋1－i )(x )·q (i )(x )，所以，结论对n ＝k ＋1也成立．由①②得，f (n )(x )＝∑i ＝0nC i n p (n －i )(x )·q (i )(x )．6．设整数n ≥9，在集合{1,2,3，…，n }中任取三个不同元素a ，b ，c (a >b >c )，记f (n )为满足a ＋b ＋c 能被3整除的取法种数．(1)直接写出f (9)的值； (2)求f (n )表达式．解：(1)f (9)＝12.(2)①当n ＝3k (k ≥3，k ∈N *)时，记k ＝n3，集合为{1,2,3，…，3k －1,3k }．将其分成三个集合：A ＝{1,4，…，3k －2}，B ＝{2，5，…，3k －1}，C ＝{3,6，…，3k }．要使得a ＋b ＋c 能被3整除，a ，b ，c 可以从A 中取三个或从B 中取三个或从C 中取三个或从C 中取一个，从A 中取一个，从B 中取一个(此数与A 中取的那个数之和能被3整除)．故有3C 3k ＋C 1k C 1k C 1k＝k (k －1)(k －2)2＋k 3＝n 3－3n 2＋6n18种取法；②当n ＝3k ＋1(k ≥3，k ∈N *)时，记k ＝n －13，集合为{1,2,3…，3k,3k ＋1}．将其分成三个集合：A ＝{1,4，…，3k －2,3k ＋1}，B ＝{2,5，…，3k －1}，C ＝{3,6，…，3k }．要使得a ＋b ＋c 能被3整除，a ，b ，c 可以从A 中取三个或从B 中取三个或从C 中取三个或从C 中取一个，从B 中取一个，从A 中取一个(此数与B 中取的那个数之和能被3整除)．故有2C 3k ＋C 3k ＋1＋C 1k C 1k C 1k ＋1＝k (k －1)(k －2)3＋(k ＋1)k (k －1)6＋k 2(k ＋1)＝k (k －1)22＋k 2(k ＋1)＝n 3－3n 2＋6n －418种取法；③当n ＝3k ＋2(k ≥3，k ∈N *)时，记k ＝n －23，集合为{1,2,3，…，3k ＋1,3k ＋2}．将其分成三个集合：A ＝{1,4，…，3k －2,3k ＋1}，B ＝{2,5，…，3k －1,3k ＋2}，C ＝{3,6，…，3k }．要使得a ＋b ＋c 能被3整除，a ，b ，c 可以从A 中取三个或从B 中取三个或从C 中取三个或从C 中取一个，从B 中取一个，从A 中取一个(此数与B 中取的那个数之和能被3整除)．故有C 3k ＋2C 3k ＋1＋C 1k C 1k ＋1C 1k ＋1＝k (k －1)(k －2)6＋(k ＋1)k (k －1)3＋k (k ＋1)2＝k 2(k －1)2＋k (k ＋1)2＝n 3－3n 2＋6n －818种取法．综上所述，f (n )＝⎩⎪⎨⎪⎧n 3－3n 2＋6n18，n ＝3k (k ≥3，k ∈N *)，n 3－3n 2＋6n －418，n ＝3k ＋1(k ≥3，k ∈N *)，n 3－3n 2＋6n －818，n ＝3k ＋2(k ≥3，k ∈N *).。

2018年高考数学江苏专版三维二轮专题复习训练：3个附加题综合仿真练(二) Word版含解析

3个附加题综合仿真练(二)1．本题包括A 、B 、C 、D 四个小题，请任选二个作答 A ．[选修4－1：几何证明选讲]如图，四边形ABCD 是圆的内接四边形，BC ＝BD ，BA 的延长线交CD 的延长线于点E .求证：AE 是四边形ABCD 的外角∠DAF 的平分线. 证明：因为四边形ABCD 是圆的内接四边形，所以∠DAE ＝∠BCD ，∠FAE ＝∠BAC ＝∠BDC . 因为BC ＝BD ，所以∠BCD ＝∠BDC ，所以∠DAE ＝∠FAE ，所以AE 是四边形ABCD 的外角∠DAF 的平分线． B ．[选修4－2：矩阵与变换]已知变换T 将平面上的点⎝⎛⎭⎫1，12，(0,1)分别变换为点⎝⎛⎭⎫94，－2，⎝⎛⎭⎫－32，4.设变换T 对应的矩阵为M .(1)求矩阵M ；(2)求矩阵M 的特征值．解：(1)设M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b cd ，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 112＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤94－2，⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b cd ⎣⎢⎡⎦⎥⎤01＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－324，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＋12b ＝94，c ＋12d ＝－2，b ＝－32，d ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝－32，c ＝－4，d ＝4，则M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤3 －32－44. (2)设矩阵M 的特征多项式为f (λ)，可得f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－3 324 λ－4＝(λ－3)(λ－4)－6＝λ2－7λ＋6，令f (λ)＝0，可得λ＝1或λ＝6. C ．[选修4－4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．直线l ：2ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝m (m ∈R)，圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋3cos t ，y ＝－2＋3sin t(t 为参数)．当圆心C 到直线l 的距离为2时，求m 的值．解：由2ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝m ，得2ρsin θcos π4－2ρcos θsin π4＝m ，即x －y ＋m ＝0，即直线l 的直角坐标方程为x －y ＋m ＝0，圆C 的普通方程为(x －1)2＋(y ＋2)2＝9，圆心C 到直线l 的距离d ＝|1－(－2)＋m |2＝2，解得m ＝－1或m ＝－5. D ．[选修4－5：不等式选讲]已知x ，y ，z 都是正数且xyz ＝8，求证：(2＋x )(2＋y )·(2＋z )≥64. 证明：因为x 为正数，所以2＋x ≥22x . 同理2＋y ≥22y ，2＋z ≥22z .所以(2＋x )( 2＋y )( 2＋z )≥22x ·22y ·22z ＝88xyz . 因为xyz ＝8，所以(2＋x )( 2＋y )( 2＋z )≥64.2.在平面直角坐标系xOy 中，点F (1,0)，直线x ＝－1与动直线y ＝n 的交点为M ，线段MF 的中垂线与动直线y ＝n 的交点为P .(1)求动点P 的轨迹E 的方程；(2)过动点M 作曲线E 的两条切线，切点分别为A ，B ，求证：∠AMB 的大小为定值．解：(1)因为直线y ＝n 与x ＝－1垂直，所以MP 为点P 到直线x ＝－1的距离．连结PF (图略)，因为P 为线段MF 的中垂线与直线y ＝n 的交点，所以MP ＝PF . 所以点P 的轨迹是抛物线．焦点为F (1,0)，准线为x ＝－1. 所以曲线E 的方程为y 2＝4x .(2)证明：由题意，过点M (－1，n )的切线斜率存在，设切线方程为y －n ＝k (x ＋1)，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋k ＋n ，y 2＝4x ，得ky 2－4y ＋4k ＋4n ＝0，所以Δ1＝16－4k (4k ＋4n )＝0，即k 2＋kn －1＝0 (*)，因为Δ2＝n 2＋4>0，所以方程(*)存在两个不等实根，设为k 1，k 2，因为k 1·k 2＝－1，所以∠AMB ＝90°，为定值．3．对于给定的大于1的正整数n ，设x ＝a 0＋a 1n ＋a 2n 2＋…＋a n n n ，其中a i ∈{0,1,2，…，n －1}，i ＝0,1，2，…，n －1，n ，且a n ≠0，记满足条件的所有x 的和为A n .(1)求A 2；(2)设A n ＝n n (n －1)f (n )2，求f (n )．解：(1)当n ＝2时，x ＝a 0＋2a 1＋4a 2，a 0∈{0,1}，a 1∈{0,1}，a 2＝1，故满足条件的x 共有4个，分别为x ＝0＋0＋4，x ＝0＋2＋4，x ＝1＋0＋4，x ＝1＋2＋4，它们的和是22，所以A 2＝22.(2)由题意得，a 0，a 1，a 2，…，a n －1各有n 种取法；a n 有n －1种取法，由分步计数原理可得a 0，a 1，a 2…，a n －1，a n 的不同取法共有n ·n ·…·n ·(n －1)＝n n (n －1)，即满足条件的x 共有n n (n －1)个，当a 0分别取0,1,2，…，n －1时，a 1，a 2，…，a n －1各有n 种取法，a n 有n －1种取法，故A n 中所有含a 0项的和为(0＋1＋2＋…＋n －1)·nn －1(n －1)＝n n (n －1)22；同理，A n 中所有含a 1项的和为(0＋1＋2＋…＋n －1)n n －1(n －1)·n ＝n n (n －1)22·n ；A n 中所有含a 2项的和为(0＋1＋2＋…＋n －1)·nn －1(n －1)·n 2＝n n (n －1)22·n 2；A n 中所有含a n －1项的和为(0＋1＋2＋…＋n －1)·nn －1(n －1)·nn －1＝n n (n －1)22·n n －1；当a n 分别取i ＝1,2，…，n －1时，a 0，a 1，a 2，…，a n －1各有n 种取法，故A n 中所有含a n 项的和为(1＋2＋…＋n －1)n n ·n n＝n n ＋1(n －1)2·n n.所以A n ＝n n (n －1)22(1＋n ＋n 2＋…＋n n －1)＋n n ＋1(n －1)2·n n＝n n (n －1)22·n n －1n －1＋n n ＋1(n －1)2·n n ＝n n (n －1)2(n n ＋1＋n n －1)，故f (n )＝n n ＋1＋n n －1.。

【江苏专版】2018年高考数学三维二轮专题复习训练 6个解答题专项强化练三解析几何含解析

6个解答题专项强化练(三) 解析几何1．已知圆M ：x 2＋y 2－2x ＋a ＝0.(1)若a ＝－8，过点P (4,5)作圆M 的切线，求该切线方程；(2)若AB 为圆M 的任意一条直径，且OA ―→·OB ―→＝－6(其中O 为坐标原点)，求圆M 的半径．解：(1)若a ＝－8，则圆M 的标准方程为(x －1)2＋y 2＝9，圆心M (1，0)，半径为3. 若切线斜率不存在，圆心M 到直线x ＝4的距离为3，所以直线x ＝4为圆M 的一条切线；若切线斜率存在，设切线方程为y －5＝k (x －4)，即kx －y －4k ＋5＝0，则圆心到直线的距离为|k －4k ＋5|k 2＋1＝3，解得k ＝815，即切线方程为8x －15y ＋43＝0.所以切线方程为x ＝4或8x －15y ＋43＝0.(2)圆M 的方程可化为(x －1)2＋y 2＝1－a ，圆心M (1，0)，则OM ＝1，半径r ＝1－a (a <1)．因为AB 为圆M 的任意一条直径，所以MA ―→＝－MB ―→，且|MA ―→|＝|MB ―→|＝r ，则OA ―→·OB ―→＝(OM ―→＋MA ―→)·(OM ―→＋MB ―→)＝(OM ―→－MB ―→)·(OM ―→＋MB ―→)＝OM ―→2－MB ―→2＝1－r 2，又因为OA ―→·OB ―→＝－6，解得r ＝7，所以圆M 的半径为7. 2.如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F (－1，0)，且经过点⎝⎛⎭⎫1，32. (1)求椭圆的标准方程；(2)已知椭圆的弦AB 过点F ，且与x 轴不垂直．若D 为x 轴上的一点，DA ＝DB ，求ABDF 的值．解：(1)法一：由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝1，1a 2＋94b 2＝1，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝3.所以椭圆的标准方程为x 24＋y 23＝1.法二：由题意，知2a ＝(1＋1)2＋⎝⎛⎭⎫322＋(1－1)2＋⎝⎛⎭⎫322＝4，所以a ＝2.又c ＝1，a 2＝b 2＋c 2，所以b ＝3，所以椭圆的标准方程为x 24＋y 23＝1.(2)法一：设直线AB 的方程为y ＝k (x ＋1)．①当k ＝0时，AB ＝2a ＝4，FD ＝FO ＝1，所以ABDF＝4；②当k ≠0时，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 的中点为M (x 0，y 0)，把直线AB 的方程代入椭圆方程，整理得(3＋4k 2)x 2＋8k 2x ＋4k 2－12＝0，所以x 1＋x 2＝－8k 23＋4k 2，x 1·x 2＝4k 2－123＋4k 2，所以x 0＝－4k 23＋4k 2，所以y 0＝k (x 0＋1)＝3k3＋4k 2，所以AB 的垂直平分线方程为y －3k3＋4k 2＝－1k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4k 23＋4k 2.因为DA ＝DB ，所以点D 为AB 的垂直平分线与x 轴的交点，所以D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－k 23＋4k 2，0，所以DF ＝－k 23＋4k 2＋1＝3＋3k 23＋4k2. 又因为AB ＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝12＋12k23＋4k 2，所以ABDF＝4.综上，得ABDF 的值为4.法二：①若直线AB 与x 轴重合，则ABDF ＝4；②若直线AB 不与x 轴重合，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 的中点为M (x 0，y 0)，由⎩⎨⎧x 214＋y 213＝1，x 224＋y223＝1，两式相减得x 21－x 224＋y 21－y 223＝0，所以(x 1－x 2)·x 04＋(y 1－y 2)·y 03＝0，所以直线AB 的斜率为y 1－y 2x 1－x 2＝－3x 04y 0，所以直线AB 的垂直平分线方程为y －y 0＝4y 03x 0(x －x 0)．因为DA ＝DB ，所以点D 为AB 的垂直平分线与x 轴的交点，所以D ⎝⎛⎭⎫x 04，0，所以DF ＝x 04＋1. 因为椭圆的左准线的方程为x ＝－4，离心率为12，由AFx 1＋4＝12，得AF ＝12(x 1＋4)，同理BF ＝12(x 2＋4)．所以AB ＝AF ＋BF ＝12(x 1＋x 2)＋4＝x 0＋4，所以ABDF ＝4.综上，得ABDF的值为4.3.如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右顶点和上顶点分别为A ，B ，M 为线段AB 的中点，且OM ―→·AB ―→＝－32b 2.(1)求椭圆的离心率；(2)若a ＝2，四边形ABCD 内接于椭圆，AB ∥DC .记直线AD ，BC 的斜率分别为k 1，k 2，求证：k 1k 2为定值．解：(1)由题意，A (a,0)，B (0，b )，由M 为线段AB 的中点得M ⎝⎛⎭⎫a 2，b 2.所以OM ―→＝⎝⎛⎭⎫a 2，b 2，AB ―→＝(－a ，b )．因为OM ―→·AB ―→＝－32b 2，所以⎝⎛⎭⎫a 2，b 2·(－a ，b )＝－a 22＋b 22＝－32b 2，整理得a 2＝4b 2，即a ＝2b .因为a 2＝b 2＋c 2，所以3a 2＝4c 2，即3a ＝2c . 所以椭圆的离心率e ＝c a ＝32.(2)证明：法一：由a ＝2得b ＝1，故椭圆方程为x 24＋y 2＝1.从而A (2,0)，B (0,1)，直线AB 的斜率为－12.因为AB ∥DC ，故可设DC 的方程为y ＝－12x ＋m ，D (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)．联立方程⎩⎨⎧y ＝－12x ＋m ，x24＋y 2＝1，消去y ，得x 2－2mx ＋2m 2－2＝0，所以x 1＋x 2＝2m ，从而x 1＝2m －x 2. 直线AD 的斜率k 1＝y 1x 1－2＝－12x 1＋m x 1－2，直线BC 的斜率k 2＝y 2－1x 2＝－12x 2＋m －1x 2，所以k 1k 2＝－12x 1＋m x 1－2·－12x 2＋m －1x 2＝14x 1x 2－12(m －1)x 1－12mx 2＋m (m －1)(x 1－2)x 2＝14x 1x 2－12m (x 1＋x 2)＋12x 1＋m (m －1)x 1x 2－2x 2＝14x 1x 2－12m ·2m ＋12(2m －x 2)＋m (m －1)x 1x 2－2x 2＝14x 1x 2－12x 2x 1x 2－2x 2＝14，即k 1k 2为定值14.法二：由a ＝2得b ＝1，故椭圆方程为x 24＋y 2＝1.从而A (2,0)，B (0,1)，直线AB 的斜率为－12.设C (x 0，y 0)，则x 204＋y 20＝1. 因为AB ∥CD ，故CD 的方程为y ＝－12(x －x 0)＋y 0.联立方程⎩⎨⎧y ＝－12(x －x 0)＋y 0，x24＋y 2＝1，消去y ，得x 2－(x 0＋2y 0)x ＋2x 0y 0＝0，解得x ＝x 0或x ＝2y 0. 所以点D 的坐标为⎝⎛⎭⎫2y 0，12x 0. 所以k 1k 2＝12x 02y 0－2·y 0－1x 0＝14，即k 1k 2为定值14.4.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F (－1,0)，左准线方程为x ＝－2.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)已知直线l 交椭圆C 于A ，B 两点．①若直线l 经过椭圆C 的左焦点F ，交y 轴于点P ，且满足PA ―→＝λAF ―→，PB ―→＝μBF ―→.求证：λ＋μ为定值；②若A ，B 两点满足OA ⊥OB (O 为坐标原点)，求△AOB 面积的取值范围．解：(1)由题设知c ＝1，－a 2c ＝－2，解得a 2＝2，b 2＝1，∴椭圆C 的标准方程为x 22＋y 2＝1.(2)①证明：由题设知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)，则P (0，k )．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，把直线l 的方程代入椭圆的方程得x 2＋2k 2(x ＋1)2＝2，整理得(1＋2k 2)x 2＋4k 2x ＋2k 2－2＝0， ∴x 1＋x 2＝－4k 21＋2k 2，x 1x 2＝2k 2－21＋2k2. 由PA ―→＝λAF ―→，PB ―→＝μBF ―→知，λ＝－x 11＋x 1，μ＝－x 21＋x 2，∴λ＋μ＝－x 1＋x 2＋2x 1x 21＋x 1＋x 2＋x 1x 2＝－－4k 21＋2k 2＋4k 2－41＋2k 21＋－4k 21＋2k 2＋2k 2－21＋2k 2＝－－4－1＝－4(定值)．②当直线OA ，OB 分别与坐标轴重合时，易知△AOB 的面积S ＝22，当直线OA ，OB 的斜率均存在且不为零时，设OA ：y ＝kx ，OB ：y ＝－1k x ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，将y ＝kx 代入椭圆C 得到x 2＋2k 2x 2＝2，∴x 21＝22k 2＋1，y 21＝2k 22k 2＋1，同理x 22＝2k 22＋k2，y 22＝22＋k 2，故△AOB 的面积S ＝OA ·OB2＝(k 2＋1)2(2k 2＋1)(k 2＋2).令t ＝k 2＋1∈(1，＋∞)，故S ＝t 2(2t －1)(t ＋1)＝12＋1t －1t2. 再令u ＝1t ∈(0,1)，则S ＝1－u 2＋u ＋2＝1－⎝⎛⎭⎫u －122＋94∈⎣⎡⎭⎫23，22. 综上所述，S ∈⎣⎡⎦⎤23，22.5.如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 24＋y 23＝1的左、右顶点分别为A ，B ，过右焦点F 的直线l 与椭圆C 交于P ，Q 两点(点P 在x 轴上方)．(1)若QF ＝2FP ，求直线l 的方程；(2)设直线AP ，BQ 的斜率分别为k 1，k 2.是否存在常数λ，使得k 1＝λk 2？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．解：(1)因为a 2＝4，b 2＝3，所以c ＝a 2－b 2＝1，所以F 的坐标为(1,0)，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，直线l 的方程为x ＝my ＋1，代入椭圆方程，消去x ，得(4＋3m 2)y 2＋6my －9＝0，则y 1＝－3m ＋61＋m 24＋3m 2，y 2＝－3m －61＋m 24＋3m2. 若QF ＝2FP ，则－y 2＝2y 1，即y 2＋2y 1＝0，所以－3m －61＋m 24＋3m 2＋2×－3m ＋61＋m 24＋3m 2＝0，解得m ＝255，故直线l 的方程为5x －2y －5＝0.(2)由(1)知，y 1＋y 2＝－6m4＋3m 2，y 1y 2＝－94＋3m 2，所以my 1y 2＝－9m4＋3m 2＝32(y 1＋y 2),所以k 1k 2＝y 1x 1＋2·x 2－2y 2＝y 1(my 2－1)y 2(my 1＋3)＝32(y 1＋y 2)－y 132(y 1＋y 2)＋3y 2＝13，故存在常数λ＝13，使得k 1＝13k 2.6.如图，已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，其离心率e ＝12，左准线方程为x ＝－8.(1)求椭圆的方程；(2)过F 1的直线交椭圆于A ，B 两点，I 1，I 2分别为△F 1AF 2，△F 1BF 2的内心. ①求四边形F 1I 1F 2I 2与△AF 2B 的面积比；②是否存在定点C ，使CA ―→·CB ―→为常数？若存在，求出点C 的坐标；若不存在，说明理由．解：(1)由题意⎩⎨⎧c a ＝12，a2c ＝8，解得a ＝4，c ＝2，故b ＝23，所以椭圆的方程为x 216＋y 212＝1.(2)①设△F 1AF 2的内切圆半径为r ，则S △F 1I 1F 2＝12·F 1F 2·r ＝12·2c ·r ＝2r ，S △F 1AF 2＝12·(AF 1＋AF 2＋F 1F 2)·r ＝12·(2a ＋2c )·r ＝6r ，∴S △F 1I 1F 2∶S △F 1AF 2＝1∶3，同理S △F 1I 2F 2∶S △F 1BF 2＝1∶3， ∴S 四边形F 1I 1F 2I 2∶S △AF 2B ＝1∶3.②假设存在定点C (s ，t )，使得CA ―→·CB ―→为常数．若直线AB 存在斜率，设AB 的方程为y ＝k (x ＋2)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋2)，x 216＋y 212＝1，消去y ，得(3＋4k 2)x 2＋16k 2x ＋16k 2－48＝0，由此得x 1＋x 2＝－16k 23＋4k 2，x 1x 2＝16k 2－483＋4k 2，∴CA ―→·CB ―→＝(x 1－s ，y 1－t )·(x 2－s ，y 2－t ) ＝(x 1－s )(x 2－s )＋(y 1－t )(y 2－t )＝(x 1－s )(x 2－s )＋[k (x 1＋2)－t ][k (x 2＋2)－t ]＝(1＋k 2)x 1x 2＋(2k 2－tk －s )(x 1＋x 2)＋s 2＋t 2＋4k 2－4tk ＝(1＋k 2)(16k 2－48)3＋4k 2＋(2k 2－tk －s )(－16k 2)3＋4k 2＋s 2＋t 2＋4k 2－4tk ＝－12tk －12s －333＋4k 2＋s 2＋t 2＋4s －5.∵与k 无关，∴⎩⎪⎨⎪⎧－12t ＝0，－12s －33＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧s ＝－114，t ＝0，此时CA ―→·CB ―→＝－13516；若直线AB 不存在斜率，则A 与B 的坐标为(－2，±3)，CA ―→·CB ―→＝(s ＋2，t －3)·(s ＋2，t ＋3)＝(s ＋2)2＋t 2－9，将⎩⎪⎨⎪⎧s ＝－114，t ＝0代入，此时CA ―→·CB ―→＝－13516也成立．综上所述，存在定点C ⎝⎛⎭⎫－114，0，使得CA ―→·CB ―→为常数．。

2018年江苏高考数学二轮复习练习：专项限时集训4 解析几何中的范围、定值和探索性问题 Word版含答案

专项限时集训(四)解析几何中的范围、定值和探索性问题(对应学生用书第119页)(限时：60分钟)1．(本小题满分14分)(2017·盐城市滨海县八滩中学二模)如图4，点A (1，3)为椭圆x 22＋y 2n＝1上一定点，过点A 引两直线与椭圆分别交于B ，C 两点．图4(1)求椭圆方程；(2)若直线AB ，AC 与x 轴围成以点A 为顶点的等腰三角形，求△ABC 面积的最大值，并求出此时直线BC 的方程．[解] (1)把点A (1，3)代入x 22＋y 2n＝1得n ＝6，故椭圆方程为y 26＋x 22＝1.4分(2)显然题中等腰三角形腰所在的直线不可能与x 轴垂直，因此其斜率必存在，设AB ，AC 的斜率分别为k 1、k 2，由⎩⎪⎨⎪⎧y －3＝k 1x －x 22＋y 26＝1得点B 的横坐标为x ＝1－6＋23k 1k 21＋3，∴点B 的纵坐标为y ＝3－23k 21＋6k 1k 21＋3，即B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－6＋23k 1k 21＋3，3－23k 21＋6k 1k 21＋3.同理可得点C 的坐标为C ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－6＋23k 2k 22＋3，3－23k 22＋6k 2k 22＋3，∵k 1＋k 2＝0，∴直线BC 的斜率为k BC ＝ 3.设直线BC 的方程为y ＝3x ＋m ，代入方程x 22＋y 26＝1得6x 2＋23mx ＋m 2－6＝0，x B ＋x C ＝－33m ，x B x C ＝m 2－66，|BC |＝1＋3|x B －x C |＝213m 2－m 2－3，10分∴|BC |＝23312－m 2，又点A 到直线BC 的距离为d ＝|m |2，∴S ＝12|BC |·d ＝36m2－m2＝36－m 2－2＋36，∴当m 2＝6，即m ＝±6时，△ABC 面积取得最大值为 3. 此时，直线BC 的方程为y ＝3x ± 6.14分2．(本小题满分14分)(2017·江苏省宿迁市三模)如图5，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 24＋y 23＝1的左、右顶点分别为A ，B ，过右焦点F 的直线l 与椭圆C 交于P ，Q 两点(点P 在x 轴上方)．图5(1)若QF ＝2FP ，求直线l 的方程；(2)设直线AP ，BQ 的斜率分别为k 1，k 2，是否存在常数λ，使得k 1＝λk 2？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由.【导学号：56394100】[解] (1)因为a 2＝4，b 2＝3，所以c ＝a 2－b 2＝1，所以F 的坐标为(1,0)，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，直线l 的方程为x ＝my ＋1，代入椭圆方程x 24＋y 23＝1，得(4＋3m 2)y 2＋6my －9＝0，则y 1＝－3m ＋61＋m 24＋3m 2，y 2＝－3m －61＋m 24＋3m 2. 若QF ＝2FP ，即QF →＝2FP →，则－3m －61＋m 24＋3m 2＋2·－3m ＋61＋m 24＋3m 2＝0，解得m ＝255，故直线l 的方程为5x －2y －5＝0. 6分(2)由(1)知，y 1＋y 2＝－6m 4＋3m 2，y 1y 2＝－94＋3m2，所以my 1y 2＝－9m 4＋3m 2＝32(y 1＋y 2)，由A (－2,0)，B (2,0)，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，x 1＝my 1＋1，x 2＝my 2＋1，所以k 1k 2＝y 12＋x 1·x 2－2y 2＝y 1my 2－y 2my 1＋＝32y 1＋y 2－y 132y 1＋y 2＋3y 2＝13，故存在常数λ＝13，使得k 1＝13k 2.14分3．(本小题满分16分)如图6，在平面直角坐标系xOy 中，已知R (x 0，y 0)是椭圆C ：x 224＋y 212＝1上的一点，从原点O 向圆R ：(x －x0)2＋(y －y 0)2＝8作两条切线，分别交椭圆于点P ，Q .图6(1)若R 点在第一象限，且直线OP ，OQ 互相垂直，求圆R 的方程； (2)若直线OP ，OQ 的斜率存在，并记为k 1，k 2，求k 1k 2的值.【导学号：56394101】[解] (1)连接OR (图略)．设圆R 的半径为r ，由圆R 的方程知r ＝22，因为直线OP ，OQ 互相垂直，且和圆R 相切，所以|OR |＝2r ＝4，即x 20＋y 20＝16.① 又点R 在椭圆C 上，所以x 2024＋y 2012＝1，②联立①②，解得⎩⎨⎧x 0＝22，y 0＝22，所以圆R 的方程为(x －22)2＋(y －22)2＝8. 6分(2)因为直线OP ：y ＝k 1x 和OQ ：y ＝k 2x 都与圆R 相切，所以|k 1x 0－y 0|1＋k 21＝22，|k 2x 0－y 0|1＋k 22＝22，化简得(x 20－8)k 21－2x 0y 0k 1＋y 20－8＝0，(x 20－8)k 22－2x 0y 0k 2＋y 20－8＝0.所以k 1，k 2是方程(x 20－8)k 2－2x 0y 0k ＋y 20－8＝0的两个不相等的实数根，由根与系数的关系，得k 1k 2＝y 20－8x 20－8，因为点R (x 0，y 0)在椭圆C 上，所以x 2024＋y 2012＝1，即y 20＝12－12x 20，所以k 1k 2＝4－12x 20x 20－8＝－12.4．(本小题满分16分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，A (a,0)，B (0，b )，O (0,0)，△OAB 的面积为1. (1)求椭圆C 的方程；(2)设P 是椭圆C 上一点，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N .求证：|AN |·|BM |为定值．【解】 (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝32，12ab ＝1，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎨⎧a＝2，b ＝1，c ＝ 3.所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.4分(2)证明：由(1)知，A (2,0)，B (0,1)．设P (x 0，y 0)，则x 20＋4y 20＝4. 当x 0≠0时，直线PA 的方程为y ＝y 0x 0－2(x －2)．令x ＝0，得y M ＝－2y 0x 0－2，从而|BM |＝|1－y M |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋2y 0x 0－2. 直线PB 的方程为y ＝y 0－1x 0x ＋1. 令y ＝0，得x N ＝－x 0y 0－1，从而|AN |＝|2－x N |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2＋x 0y 0－1. 10分所以|AN |·|BM |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2＋x 0y 0－1·⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋2y 0x 0－2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 20＋4y 20＋4x 0y 0－4x 0－8y 0＋4x 0y 0－x 0－2y 0＋2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪4x 0y 0－4x 0－8y 0＋8x 0y 0－x 0－2y 0＋2＝4.当x 0＝0时，y 0＝－1，|BM |＝2，|AN |＝2，所以|AN |·|BM |＝4. 综上，|AN |·|BM |为定值. 16分。

2018年江苏高考数学二轮复习练习：专题限时集训2 函数 Word版含答案

专题限时集训(二) 函数(对应学生用书第80页) (限时：120分钟)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分，请把答案填写在题中横线上．)1．(河南省豫北名校联盟2017届高三年级精英对抗赛)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 5x ，x ＞0，2x，x ≤0，则f⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫125＝________.14 [f ⎝ ⎛⎭⎪⎫125＝log 5125＝－2，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫125＝f (－2)＝2－2＝14.] 2．(江苏省苏州市2017届高三上学期期中)已知函数f (x )是定义在R 上的周期为2的奇函数，当0＜x ＜1时，f (x )＝8x.则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－193＝________.－2 [函数f (x )是定义在R 上的周期为2的奇函数，当0＜x ＜1时，f (x )＝8x，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－193＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝－813＝－2.] 3．(2017·江苏省淮安市高考数学二模)函数f (x )＝－x2的定义域是________．[－2,2] [由lg(5－x 2)≥0，得5－x 2≥1，即x 2≤4，解得－2≤x ≤2. ∴函数f (x )＝－x2的定义域是[－2,2]．故答案为：[－2,2]．]4．(广西柳州市2017届高三10月模拟)设a ，b ，c 均为正数，且2a＝log 12a ，⎝ ⎛⎭⎪⎫12b ＝log 12b ，⎝ ⎛⎭⎪⎫12c ＝log 2c ，则a ，b ，c 的大小关系为________．a ＜b ＜c [画图可得0＜a ＜b ＜1＜c .]5．(广东2017届高三上学期阶段测评(一))定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋2)＝－f (x )，当0≤x ≤1时，f (x )＝x ，则f (37.5)等于________．0.5 [∵f (x ＋2)＝－f (x )，∴f (x ＋4)＝f (x )且f (－x )＝－f (x )，0≤x ≤1时，f (x )＝x ，∴f (37.5)＝f (1.5)＝－f ()－0.5＝f ()0.5＝0.5.]6．(广东省佛山市2017届高三教学质量检测(一))函数f (x )＝1x －log 21＋ax1－x 为奇函数，则实数a＝________.±1 [因为函数f (x )为奇函数，所以f (－x )＝1－x －log 21－ax 1＋x ＝－1x ＋log 21＋ax 1－x ，即1＋x1－ax ＝1＋ax1－x，所以a ＝±1.] 7．(天津六校2017届高三上学期期中联考)已知定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x ＋2)·f (x )＝1对于x ∈R 恒成立，且f (x )＞0，则f (2 015)＝________. 1 [因为f (x ＋2)·f (x )＝1⇒f (x ＋4)＝1fx ＋＝f (x )⇒T ＝4，因此f (2 015)＝f (3)＝f (－1)＝f (1)；而f (x ＋2)·f (x )＝1⇒f (－1＋2)·f (－1)＝1⇒f 2(1)＝1，f (x )＞0⇒f (1)＝1，所以f (2 015)＝1.]8．(河南省豫北名校联盟2017届高三年级精英对抗赛)已知函数f (x )是R 上的单调函数，且对任意实数x ，都有f ⎝⎛⎭⎪⎫fx ＋22x＋1＝13，则f (log 23)＝________. 12 [因为函数f (x )是R 上的单调函数，且f ⎝⎛⎭⎪⎫fx ＋22x＋1＝13，所以可设f (x )＋22x ＋1＝t (t 为常数)，即f (x )＝t －22x ＋1，又因为f (t )＝13，所以t －22t ＋1＝13，令g (x )＝x －22x ＋1，显然g (x )在R 上单调递增，且g (1)＝13，所以t ＝1，f (x )＝1－22x ＋1，f (log 23)＝1－22log 23＋1＝12.]9．(湖北省荆州市2017届高三上学期第一次质量检测)已知函数f (x )＝|ln x |－1，g (x )＝－x2＋2x ＋3，用min{m ，n }表示m ，n 中最小值，设h (x )＝min{f (x )，g (x )}，则函数h (x )的零点个数为________．3 [作出函数f (x )和g (x )的图象(两个图象的下面部分图象)如图，由g (x )＝－x 2＋2x ＋3＝0，得x ＝－1或x ＝3，由f (x )＝|ln x |－1＝0，得x ＝e 或x ＝1e .∵g (e)＞0，∴当x ＞0时，函数h (x )的零点个数为3个．]10．(江苏省南京市2017届高三上学期学情调研)已知f (x )，g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，且f (x )＋g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x .若存在x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1，使得等式af (x 0)＋g (2x 0)＝0成立，则实数a 的取值范围是________.【导学号：56394011】⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，522 [由f (x )＋g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 得f (－x )＋g (－x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x ，即－f (x )＋g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x，所以f (x )＝12(2－x －2x )，g (x )＝12(2－x ＋2x )．存在x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1，使得等式af (x 0)＋g (2x 0)＝0成立，即x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1，a ＝－g x 0f x 0，设h (x )＝－g x f x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1，则h (x)＝－12－2x＋22x12－x －2x＝22x ＋2－2x 2x －2－x ＝(2x －2－x )＋22x －2－x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1时，2x －2－x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，32，设t ＝2x －2－x，则t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，32，而h (x )＝t ＋2t ，易知y ＝t ＋2t 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，2上递减，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，32上递增，因此y min ＝2＋22＝22，y max ＝22＋222＝522，所以h (x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，522，即a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，522.] 11．(江苏省苏州市2017届高三上学期期中)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x ＞0，x 2＋x ，x ≤0，若函数g (x )＝f(x )－m 有三个零点，则实数m 的取值范围是________．⎝ ⎛⎦⎥⎤－14，0 [由g (x )＝f (x )－m ＝0得f (x )＝m ，若函数g (x )＝f (x )－m 有三个零点，等价为函数f (x )与y ＝m 有三个不同的交点，作出函数f (x )的图象如图：当x ≤0时，f (x )＝x 2＋x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122－14≥－14，若函数f (x )与y ＝m 有三个不同的交点，则－14＜m ≤0，即实数m 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－14，0，故答案为：⎝ ⎛⎦⎥⎤－14，0.] 12．(2017·江苏省苏、锡、常、镇四市高考数学二模)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4x －x 2，x ≥0，3x ，x ＜0，若函数g (x )＝|f (x )|－3x ＋b 有三个零点，则实数b 的取值范围为________． (－∞，－6)∪⎝ ⎛⎦⎥⎤－14，0 [函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4x －x 2，x ≥0，3x，x ＜0，若函数g (x )＝|f (x )|－3x＋b 有三个零点，就是h (x )＝|f (x )|－3x 与y ＝－b 有3个交点，h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －x 2，0≤x ≤4，x 2－7x ，x ＞4，－3x－3x ，x ＜0，画出两个函数的图象如图：当x ＜0时，－3x－3x ≥6，当且仅当x ＝－1时取等号，此时－b ＞6，可得b ＜－6；当0≤x ≤4时，x －x 2≤14，当x ＝12时取得最大值，满足条件的b ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－14，0 .综上，b ∈(－∞，－6)∪⎝ ⎛⎦⎥⎤－14，0. 故答案为：(－∞，－6)∪⎝ ⎛⎦⎥⎤－14，0.] 13．(2017·江苏省淮安市高考数学二模)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋m ，x ＜0，x 2－1，x ≥0，其中m ＞0，若函数y ＝f (f (x ))－1有3个不同的零点，则m 的取值范围是________．(0,1) [①当x ＜0时，f (f (x ))＝(－x ＋m )2－1，图象为开口向上的抛物线在y 轴左侧的部分，顶点为(0，m 2－1)；②当0≤x ＜1时，f (f (x ))＝－x 2＋1＋m ，图象为开口向下的抛物线在0≤x ＜1之间的部分，顶点为(0，m ＋1)．根据题意m ＞0，所以m ＋1＞1；③当x ≥1时，f (f (x ))＝(x 2－1)2－1，图象为开口向上的抛物线在x ＝1右侧的部分，顶点为(1，－1)．根据题意，函数y ＝f (f (x ))－1有3个不同的零点，即f (f (x ))的图象与y ＝1有3个不同的交点．根据以上三种分析的情况：第③种情况x ＝1时，f (f (x ))＝－1，右侧为增函数，所以与y ＝1有一个交点；第②种情况，当x →1时，f (f (x ))→m ，所以与y ＝1有交点，需m ＜1；第①种情况，当x →0时，f (f (x ))→m 2－1，只要m 2－1＜1即可，又m ＞0，∴0<m ＜2，综上m 的取值范围为(0,1)．]14．(2017·江苏省无锡市高考数学一模)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧12x －1，x ＜1，ln xx 2，x ≥1，则函数y ＝|f (x )|－18的零点个数为________． 4 [当x ≥1时，ln x x 2＝18，即ln x ＝18x 2，令g (x )＝ln x －18x 2，x ≥1时函数是连续函数，g (1)＝－18＜0，g (2)＝ln 2－12＝ln2e＞0，g (4)＝ln 4－2＜0，由函数的零点判定定理可知g (x )＝ln x －18x 2有2个零点．(结合函数y ＝ln x x 2与y ＝18可知函数的图象有2个交点．)当x ＜1时，y ＝⎩⎪⎨⎪⎧12x－1，x ＜0，1－12x，x ∈[0，，函数的图象与y ＝18的图象如图，考查两个函数有2个交点，综上函数y ＝|f (x )|－18的零点个数为4个．故答案为4.]二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．) 15．(本小题满分14分)(2016－2017学年度江苏苏州市高三期中调研考试)已知函数f (x )＝3x＋λ·3－x(λ∈R )．(1)若f (x )为奇函数，求λ的值和此时不等式f (x )＞1的解集； (2)若不等式f (x )≤6对x ∈[0,2]恒成立，求实数λ的取值范围.【导学号：56394012】[解] (1)函数f (x )＝3x ＋λ·3－x的定义域为R ，∵f (x )为奇函数，∴f (－x )＋f (x )＝0对∀x ∈R 恒成立，即3－x＋λ·3x ＋3x ＋λ·3－x＝(λ＋1)(3x ＋3－x)＝0对∀x ∈R 恒成立，∴λ＝－1. 3分此时f (x )＝3x－3－x＞1，即3x －3－x－1＞0，解得3x ＞1＋52或3x＜1－52(舍去)，6分∴解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＞log 31＋52. 7分(2)由f (x )≤6得3x ＋λ·3－x ≤6，即3x＋λ3x ≤6，令t ＝3x ∈[1,9]，原问题等价于t ＋λt≤6对t ∈[1,9]恒成立，亦即λ≤－t 2＋6t 对t ∈[1,9]恒成立，10分令g (t )＝－t 2＋6t ，t ∈[1,9]，∵g (t )在[1,3]上单调递增，在[3,9]上单调递减． ∴当t ＝9时，g (t )有最小值g (9)＝－27， ∴λ≤－27.14分16．(本小题满分14分)(泰州中学2016－2017年度第一学期第一次质量检测)设函数y ＝lg(－x 2＋4x －3)的定义域为A ，函数y ＝2x ＋1，x ∈(0，m )的值域为B . (1)当m ＝2时，求A ∩B ；(2)若“x ∈A ”是“x ∈B ”的必要不充分条件，求实数m 的取值范围． [解] (1)由－x 2＋4x －3＞0，解得1＜x ＜3，所以A ＝(1,3)， 2分又函数y ＝2x ＋1在区间(0，m )上单调递减，所以y ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫2m ＋1，2，即B ＝⎝⎛⎭⎪⎫2m ＋1，2，5分当m ＝2时，B ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23，2，所以A ∩B ＝(1,2).7分 (2)首先要求m ＞0，9分而“x ∈A ”是“x ∈B ”的必要不充分条件，所以B 是A 的真子集，从而2m ＋1≥1，解得0＜m ≤1.12分所以实数m 的取值范围为(0,1].14分17．(本小题满分14分)(江苏省泰州中学2017届高三上学期第二次月考)无锡市政府决定规划地铁三号线：该线起于惠山区惠山城铁站，止于无锡新区硕放空港产业园内的无锡机场站，全长28公里，目前惠山城铁站和无锡机场站两个站点已经建好，余下的工程是在已经建好的站点之间铺设轨道和等距离修建停靠站．经有关部门预算，修建一个停靠站的费用为6 400万元，铺设距离为x 公里的相邻两个停靠站之间的轨道费用为400x 3＋20x 万元．设余下工程的总费用为f (x )万元．(停靠站位于轨道两侧，不影响轨道总长度)．(1)试将f (x )表示成x 的函数；(2)需要建多少个停靠站才能使工程费用最小，并求最小值．[解] (1)设需要修建k 个停靠站，则k 个停靠站将28公里的轨道分成相等的k ＋1段， ∴(k ＋1)x ＝28⇒k ＝28x－1，3分∴f (x )＝6 400k ＋(k ＋1)(400x 3＋20x )＝6 400⎝ ⎛⎭⎪⎫28x －1＋28x (400x 3＋20x )，化简得f (x )＝28×400x 2＋28×6 400x－5 840，7分(2)f (x )＝28×400x 2＋28×3 200x ＋28×3 200x－5 840≥3328×400x 2·28×3 200x ·28×3 200x－5 840＝128 560(万元)，当且仅当28×400x 2＝28×3 200x ，即x ＝2，k ＝28x－1＝13时取“＝”.13分故需要建13个停靠站才能使工程费用最小，最小值费用为128 560万元.14分18．(本小题满分16分)(泰州中学2017届高三上学期期中考试)已知函数f (x )＝|x 2－1|＋x 2＋kx ，且定义域为(0,2)．(1)求关于x 的方程f (x )＝kx ＋3在(0,2)上的解；(2)若关于x 的方程f (x )＝0在(0,2)上有两个的解x 1，x 2，求k 的取值范围．[解] (1)∵f (x )＝|x 2－1|＋x 2＋kx ，f (x )＝kx ＋3，即|x 2－1|＋x 2＝3.当0＜x ≤1时， |x 2－1|＋x 2＝1－x 2＋x 2＝1，此时该方程无解．当1＜x ＜2时，|x 2－1|＋x 2＝2x 2－1，原方程等价于：x 2＝2，此时该方程的解为 2.综上可知：方程f (x )＝kx ＋3在(0,2)上的解为 2.6分(2)当0＜x ≤1时，kx ＝－1，① 当1＜x ＜2时，2x 2＋kx －1＝0，② 若k ＝0，则①无解，②的解为x ＝±22∉(1,2)，故k ＝0不合题意．若k ≠0，则①的解为x ＝－1k.8分(ⅰ)当－1k∈(0,1]时，k ≤－1时，方程②中Δ＝k 2＋8＞0，故方程②中一根在(1,2)内，一根不在(1,2)内．设g (x )＝2x 2＋kx －1，而x 1x 2＝－12＜0，则⎩⎪⎨⎪⎧g ＜0，g＞0，⎩⎪⎨⎪⎧k ＜－1，k ＞－72，又k ≤－1，故－72＜k ＜－1.12分(ⅱ)当－1k∉(0,1]时，即－1＜k ＜0或k ＞0时，方程②在(1,2)需有两个不同解，而x 1x 2＝－12＜0，知道方程②必有负根，不合题意. 综上所述，故－72＜k ＜－1. 19．(本小题满分16分)(江苏省南通市如东县、徐州市丰县2017届高三10月联考)已知函数f (x )＝－3x＋a 3x ＋1＋b. (1)当a ＝b ＝1时，求满足f (x )＝3x的x 的值； (2)若函数f (x )是定义在R 上的奇函数．①存在t ∈R ，不等式f (t 2－2t )＜f (2t 2－k )有解，求k 的取值范围；②若函数g (x )满足f (x )·[g (x )＋2]＝13(3－x －3x)，若对任意x ∈R ，不等式g (2x )≥m ·g (x )－11恒成立，求实数m 的最大值 .[解] (1) 由题意，－3x＋13x ＋1＋1＝3x ，化简得3·(3x )2＋2·3x－1＝0，解得3x ＝－1(舍)或3x＝13，2分所以x ＝－1.4分(2) 因为f (x )是奇函数，所以f (－x )＋f (x )＝0，所以－3－x＋a 3－x ＋1＋b ＋－3x＋a 3x ＋1＋b＝0，化简并变形得： (3a －b )(32x＋1)＋(2ab －6)·3x＝0，要使上式对任意的x 成立，则3a －b ＝0且2ab －6＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－3，因为f (x )的定义域是R ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1b ＝－3(舍去)，所以a ＝1，b ＝3, 所以f (x )＝－3x＋13x ＋1＋3.6分①f (x )＝－3x＋13x ＋1＋3＝13⎝⎛⎭⎪⎫－1＋23x ＋1，对任意x 1，x 2∈R ，x 1＜x 2有： f (x 1)－f (x 2)＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 1＋1－23x 2＋1＝23⎝⎛⎭⎪⎫3x 2－3x 1x 1＋x 2＋，因为x 1＜x 2，所以3x 2－3x 1＞0，所以f (x 1)＞f (x 2)，因此f (x )在R 上递减.8分因为f (t 2－2t )＜f (2t 2－k )，所以t 2－2t ＞2t 2－k ，即t 2＋2t －k ＜0在t ∈R 上有解，所以Δ＝4＋4k ＞0，解得k ＞－1，所以k 的取值范围为(－1，＋∞). 10分②因为f (x )·[g (x )＋2]＝13(3－x －3x)，所以g (x )＝3－x－3x3f x －2，即g (x )＝3x ＋3－x. 12分所以g (2x )＝32x＋3－2x＝(3x＋3－x )2－2.不等式g (2x )≥m ·g (x )－11恒成立，即(3x＋3－x )2－2≥m ·(3x ＋3－x)－11，即m ≤3x ＋3－x＋93x ＋3－x 恒成立.14分令t ＝3x ＋3－x，t ≥2，则m ≤t ＋9t在t ≥2时恒成立，令h (t )＝t ＋9t ，h ′(t )＝1－9t2，t ∈(2,3)时，h ′(t )＜0，所以h (t )在(2,3)上单调递减， t ∈(3，＋∞)时，h ′(t )＞0，所以h (t )在(3，＋∞)上单调递增，所以h (t )min ＝h (3)＝6，所以m ≤6，所以实数m 的最大值为6 .16分20．(本小题满分16 分)(江苏省南通市如东县、徐州市丰县2017届高三10月联考)给出定义在(0，＋∞)上的两个函数f (x )＝x 2－a ln x ，g (x )＝x －a x . (1)若f (x )在x ＝1处取最值，求a 的值；(2)若函数h (x )＝f (x )＋g (x 2)在区间(0,1]上单调递减，求实数a 的取值范围； (3)在(1)的条件下，试确定函数m (x )＝f (x )－g (x )－6的零点个数，并说明理由.【导学号：56394013】[解] (1)f ′(x )＝2x －a x，由已知f ′(1)＝0，即2－a ＝0，解得a ＝2，经检验a ＝2满足题意，所以a ＝2.4分(2)h (x )＝f (x )＋g (x 2)＝x 2－a ln x ＋x 2－ax ＝2x 2－a (x ＋ln x )，h ′(x )＝4x －a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x ，要使得h (x )＝2x 2－a (x ＋ln x )在区间(0,1]上单调递减，则h ′(x )≤0，即4x －a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x ≤0在区间(0,1]上恒成立， 6分因为x ∈(0,1]，所以a ≥4x2x ＋1，设函数F (x )＝4x2x ＋1，则a ≥F (x )max ，8分F (x )＝4x 2x ＋1＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋1x，因为x ∈(0,1]，所以1x∈[1，＋∞)，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫⎝ ⎛⎭⎪⎫1x2＋1x min ＝2，所以F (x )max ＝2，所以a ≥2.10分- 11 - (3)函数m (x )＝f (x )－g (x )－6有两个零点．因为m (x )＝x 2－2ln x －x ＋2x －6，所以m ′(x )＝2x －2x －1＋1x ＝2x 2－2－x ＋x x ＝x －x x ＋2x ＋x ＋x.当x ∈(0,1)时，m ′(x )＜0，当x ∈(1，＋∞)时， m ′(x )＞0，所以m (x )min ＝m (1)＝－4＜0， 14分m (e －2)＝－＋e ＋2e 3e 4＜0，m (e －4)＝1＋2e 8＋e 42－e 8＞0，m (e 4)＝e 4(e 4－1)＋2(e 2－7)＞0，故由零点存在定理可知：函数m (x )在(e －4,1)上存在一个零点，函数m (x )在(1，e 4)上存在一个零点，所以函数m (x )＝f (x )－g (x )－6有两个零点. 16分。

2018年高考数学二轮复习练习：专项限时集训3 以构建函数模型、解三角形、动点轨迹为背景的实际问题

专项限时集训(三) 以构建函数模型、解三角形、动点轨迹为背景的实际问题(对应学生用书第117页)(限时：60分钟)1．(本小题满分14分)(2017·盐城市滨海县八滩中学二模)如图4是一“T”型水渠的平面视图(俯视图)，水渠的南北方向和东西方向轴截面均为矩形，南北向渠宽为4 m ，东西向渠宽2m(从拐角处，即图中A ，B 处开始)．假定渠内的水面始终保持水平位置(即无高度差)．图4(1)在水平面内，过点A 的一条直线与水渠的内壁交于P ，Q 两点，且与水渠的一边的夹角为θ⎝⎛⎭⎪⎫0＜θ＜π2，将线段PQ 的长度l 表示为θ的函数；(2)若从南面漂来一根长为7 m 的笔直的竹竿(粗细不计)，竹竿始终浮于水平面内，且不发生形变，问：这根竹竿能否从拐角处一直漂向东西向的水渠(不会卡住)？请说明理由.【导学号：56394096】[解] (1)由题意，PA ＝2sin θ，QA ＝4cos θ，所以l ＝PA ＋QA ，即l ＝2sin θ＋4cos θ⎝ ⎛⎭⎪⎫0＜θ＜π2. 4分(2)设f (θ)＝2sin θ＋4cos θ，θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2. 由f ′(θ)＝－2cos θsin 2θ＋4sin θcos 2θ＝222sin 3θ－cos 3θsin 2θcos 2θ， 6分令f ′(θ)＝0，得tan θ0＝22. 8分且当θ∈(0，θ0)，f ′(θ)＜0；当θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫θ0，π2，f ′(θ)＞0，所以，f (θ)在(0，θ0)上单调递减；在⎝ ⎛⎭⎪⎫θ0，π2上单调递增，所以，当θ＝θ0时，f (θ)取得极小值，即为最小值．当tan θ0＝22时，sin θ0＝13，cos θ0＝23，所以f (θ)的最小值为36，12分即这根竹竿能通过拐角处的长度的最大值为3 6 m.因为36＞7，所以这根竹竿能从拐角处一直漂向东西向的水渠.14分2．(本小题满分14分)(2017·江苏省宿迁市三模)某景区修建一栋复古建筑，其窗户设计如图5所示．圆O 的圆心与矩形ABCD 对角线的交点重合，且圆与矩形上下两边相切(E 为上切点)，与左右两边相交(F ，G 为其中两个交点)，图中阴影部分为不透光区域，其余部分为透光区域．已知圆的半径为1 m 且AB AD ≥12，设∠EOF ＝θ，透光区域的面积为S .图5(1)求S 关于θ的函数关系式，并求出定义域；(2)根据设计要求，透光区域与矩形窗面的面积比值越大越好．当该比值最大时，求边AB 的长度．[解] (1)过点O 作OH ⊥FG 于H ，∴∠OFH ＝∠EOF ＝θ；又OH ＝OF sin θ＝sin θ，FH ＝OF cos θ＝cos θ，∴S ＝4S △OFH ＋4S 扇形OEF ＝2sin θcos θ＋4×12θ＝sin 2θ＋2θ；∵AB AD ≥12，∴sin θ≥12，∴θ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫π6，π2； ∴S 关于θ的函数关系式为S ＝sin 2θ＋2θ，θ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫π6，π2；6分(2)由S 矩形＝AD ·AB ＝2×2sin θ＝4sin θ，则透光区域与矩形窗面积比值为2sin θcos θ＋2θ4sin θ＝cos θ2＋θ2sin θ，设f (θ)＝cos θ2＋θ2sin θ，θ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫π6，π2，则f ′(θ)＝－12sin θ＋sin θ－θcos θ2sin 2θ＝sin θ－θcos θ－sin 3θ2sin 2θ ＝sin θcos 2θ－θcos θ2sin 2θ＝cos θ⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin 2θ－θ2sin 2θ； 10分∵π6≤θ＜π2，∴12sin 2θ≤12， ∴12sin 2θ－θ＜0， ∴f ′(θ)＜0，∴f (θ)在θ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫π6，π2上是单调减函数； ∴当θ＝π6时f (θ)取得最大值为π6＋34，此时AB ＝2sin θ＝1(m)；∴当透光区域与矩形窗面的面积比值最大时，所求AB 的长度为1 m ．14分3．(本小题满分14分)(扬州市2017届高三上学期期中)如图6，某市在海岛A 上建了一水产养殖中心．在海岸线l 上有相距70公里的B 、C 两个小镇，并且AB ＝30公里，AC ＝80公里，已知B 镇在养殖中心工作的员工有3百人，C 镇在养殖中心工作的员工有5百人．现欲在BC 之间建一个码头D ，运送来自两镇的员工到养殖中心工作，又知水路运输与陆路运输每百人每公里运输成本之比为1∶2.图6(1)求sin ∠ABC 的大小；(2)设∠ADB ＝θ，试确定θ的大小，使得运输总成本最少．[解] (1)在△ABC 中，cos ∠ABC ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB ·BC ＝900＋4 900－ 64002×30×70＝－17，所以sin ∠ABC ＝437.4分(2)在△ABD 中，由ADsin ∠ABD＝ABsin θ＝BDsin ∠BAD得：30sin θ＝AD437＝BD－17sin θ＋437cos θ.所以AD ＝12037sin θ，BD ＝12037cos θ－307sin θsin θ＝12037cos θsin θ－307.6分设水路运输的每百人每公里的费用为k 元，陆路运输的每百人每公里的费用为2k 元，则运输总费用y ＝(5CD ＋3BD )×2k ＋8×k ×AD ＝2k [5(70－BD )＋3BD ＋4AD ] ＝20k ⎣⎢⎡⎦⎥⎤35－2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1237cos θsin θ－37＋4×1237sin θ＝20k ⎣⎢⎡⎦⎥⎤35＋67＋2437·2－cos θsin θ. 令H (θ)＝2－cos θsin θ，则H ′(θ)＝1－2cos θsin 2θ，令H ′(θ)＝0，解得：cos θ＝12，θ＝π3. 10分当0＜θ＜π3时，H ′(θ)＜0，H (θ)单调递减；当π3＜θ＜π2时，H ′(θ)＞0，H (θ)单调递增， ∴θ＝π3时，H (θ)取最小值，同时y 也取得最小值．此时BD ＝12037cos θsin θ－307＝907，满足0＜907＜70，所以点D 落在BC 之间．所以θ＝π3时，运输总成本最小.14分4．(本小题满分16分) 如图7所示，在一个坡度一定的山坡AC 的顶上有一高度为25 m 的建筑物CD ，为了测量该山坡相对于水平地面的坡角θ，在山坡的A 处测得∠DAC ＝15°，沿山坡前进50 m 到达B 处，又测得∠DBC ＝45°，根据以上数据计算cos θ的值．图7[解] 由∠DAC ＝15°，∠DBC ＝45°可得∠BDA ＝30°，∠DBA ＝135°，∠BDC ＝90°－(15°＋θ)－30°＝45°－θ， 4分由内角和定理可得∠DCB ＝180°－(45°－θ)－45°＝90°＋θ，根据正弦定理可得50sin 30°＝DBsin 15°，即DB ＝100sin 15°＝100×sin(45°－30°)＝252(3－1)，10分又25sin 45°＝2523－1sin 90°＋θ，即25sin 45°＝2523－1cos θ，得到cos θ＝3－1.16分5．(本小题满分16分)(镇江市2017届高三上学期期末)如图8，某公园有三条观光大道AB ，BC ，AC 围成直角三角形，其中直角边BC ＝200 m ，斜边AB ＝400 m ．现有甲、乙、丙三位小朋友分别在AB ，BC ，AC 大道上嬉戏，所在位置分别记为点D ，E ，F .图8(1)若甲、乙都以每分钟100 m 的速度从点B 出发在各自的大道上奔走，到大道的另一端时即停，乙比甲迟2分钟出发，当乙出发1分钟后，求此时甲、乙两人之间的距离； (2)设∠CEF ＝θ，乙丙之间的距离是甲、乙之间距离的2倍，且∠DEF ＝π3，请将甲乙之间的距离y 表示为θ的函数，并求甲乙之间的最小距离． [解] (1)依题意得BD ＝300，BE ＝100，在△ABC 中，cos B ＝BC AB ＝12，∴B ＝π3，2分在△BDE 中，由余弦定理得：DE 2＝BD 2＋BE 2－2BD ·BE ·cos B ＝3002＋1002－2·300·100·12＝70 000，∴DE ＝1007.6分即甲、乙两人之间的距离为1007 m ．7分(2)由题意得EF ＝2DE ＝2y ，∠BDE ＝∠CEF ＝θ，在直角三角形CEF 中，CE ＝EF ·cos∠CEF ＝2y cos θ，9分在△BDE 中，由正弦定理得BE sin ∠BDE ＝DE sin ∠DBE ，即200－2y cos θsin θ＝ysin 60°，∴y ＝10033cos θ＋sin θ＝503sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π3，0＜θ＜π2，12分所以当θ＝π6时，y 有最小值50 3.14分故甲、乙之间的最小距离为50 3 m ．16分6．(本小题满分16分)(2017·江苏省盐城市高考数学三模)一儿童游乐场拟建造一个“蛋筒”型游乐设施，其轴截面如图9中实线所示．ABCD 是等腰梯形，AB ＝20米，∠CBF ＝α(F 在AB 的延长线上，α为锐角)．圆E 与AD ，BC 都相切，且其半径长为100－80 sin α米．EO 是垂直于AB 的一个立柱，则当sin α的值设计为多少时，立柱EO 最矮？【导学号：56394097】图9[解] 如图所示，以AB 所在直线为x 轴，以线段AB 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系．因为B (10,0)，k BC ＝tan α，所以直线BC 的方程为：y ＝tan α(x －10)，即x tan α－y －10tan α＝0，4分设圆心E (0，t )(t ＞0)，由圆E 与直线BC 相切，得100－80sin α＝|－t －10tan α|1＋tan 2α＝t ＋10tan α1cos α，所以EO ＝t ＝100－90sin αcos α，8分令f (α)＝100－90sin αcos α，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则f ′(α)＝100⎝⎛⎭⎪⎫sin α－910cos 2α，设sin α0＝910，α0∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2.列表如下：所以当α＝α0，即sin α＝10时，f (α)取最小值.15分所以当sin α＝910时，立柱EO 最矮.16分。

2018高考数学江苏专版三维二轮专题复习训练：3个附加题综合仿真练(二) Word版含解析

3个附加题综合仿真练(二)1、本题包括A 、B 、C 、D 四个小题,请任选二个作答 A 、[选修4－1：几何证明选讲]如图,四边形ABCD 是圆的内接四边形,BC ＝BD ,BA 的延长线交CD 的延长线于点E 、求证：AE 是四边形ABCD 的外角∠DAF 的平分线、证明：因为四边形ABCD 是圆的内接四边形, 所以∠DAE ＝∠BCD ,∠FAE ＝∠BAC ＝∠BDC 、因为BC ＝BD ,所以∠BCD ＝∠BDC , 所以∠DAE ＝∠FAE ,所以AE 是四边形ABCD 的外角∠DAF 的平分线、 B 、[选修4－2：矩阵与变换]已知变换T 将平面上的点⎝⎛⎭⎫1，12,(0,1)分别变换为点⎝⎛⎭⎫94，－2,⎝⎛⎭⎫－32，4、设变换T 对应的矩阵为M 、(1)求矩阵M ；(2)求矩阵M 的特征值、解：(1)设M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ,则⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 112＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤94－2,⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤01＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－324,即⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋12b ＝94，c ＋12d ＝－2，b ＝－32，d ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝－32，c ＝－4，d ＝4，则M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤3 －32－44、 (2)设矩阵M 的特征多项式为f (λ),可得f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－3 324 λ－4＝(λ－3)(λ－4)－6＝λ2－7λ＋6,令f (λ)＝0,可得λ＝1或λ＝6、 C 、[选修4－4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中,以O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系、直线l ：2ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝m (m ∈R),圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋3cos t ，y ＝－2＋3sin t (t 为参数)、当圆心C 到直线l 的距离为2时,求m 的值、解：由2ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝m , 得2ρsin θcos π4－2ρcos θsin π4＝m ,即x －y ＋m ＝0,即直线l 的直角坐标方程为x －y ＋m ＝0, 圆C 的普通方程为(x －1)2＋(y ＋2)2＝9, 圆心C 到直线l 的距离d ＝|1－(－2)＋m |2＝2,解得m ＝－1或m ＝－5、 D 、[选修4－5：不等式选讲]已知x ,y ,z 都是正数且xyz ＝8,求证：(2＋x )(2＋y )·(2＋z )≥64、证明：因为x 为正数,所以2＋x ≥22x 、同理2＋y ≥22y ,2＋z ≥22z 、所以(2＋x )( 2＋y )( 2＋z )≥22x ·22y ·22z ＝88xyz 、因为xyz ＝8,所以(2＋x )( 2＋y )( 2＋z )≥64、2、在平面直角坐标系xOy 中,点F (1,0),直线x ＝－1与动直线y ＝n 的交点为M ,线段MF 的中垂线与动直线y ＝n 的交点为P 、(1)求动点P 的轨迹E 的方程；(2)过动点M 作曲线E 的两条切线,切点分别为A ,B ,求证：∠AMB 的大小为定值、解：(1)因为直线y ＝n 与x ＝－1垂直,所以MP 为点P 到直线x ＝－1的距离、连结PF (图略),因为P 为线段MF 的中垂线与直线y ＝n 的交点,所以MP ＝PF 、所以点P 的轨迹是抛物线、焦点为F (1,0),准线为x ＝－1、所以曲线E 的方程为y 2＝4x 、(2)证明：由题意,过点M (－1,n )的切线斜率存在,设切线方程为y －n ＝k (x ＋1),联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋k ＋n ，y 2＝4x ，得ky 2－4y ＋4k ＋4n ＝0,所以Δ1＝16－4k (4k ＋4n )＝0,即k 2＋kn －1＝0 (*), 因为Δ2＝n 2＋4>0,所以方程(*)存在两个不等实根,设为k 1,k 2, 因为k 1·k 2＝－1,所以∠AMB ＝90°,为定值、3、对于给定的大于1的正整数n ,设x ＝a 0＋a 1n ＋a 2n 2＋…＋a n n n ,其中a i ∈{0,1,2,…,n －1},i ＝0,1,2,…,n －1,n ,且a n ≠0,记满足条件的所有x 的和为A n 、(1)求A 2；(2)设A n ＝n n (n －1)f (n )2,求f (n )、解：(1)当n ＝2时,x ＝a 0＋2a 1＋4a 2,a 0∈{0,1},a 1∈{0,1},a 2＝1, 故满足条件的x 共有4个,分别为x ＝0＋0＋4,x ＝0＋2＋4,x ＝1＋0＋4,x ＝1＋2＋4,它们的和是22,所以A 2＝22、 (2)由题意得,a 0,a 1,a 2,…,a n －1各有n 种取法；a n 有n －1种取法,由分步计数原理可得a 0,a 1,a 2…,a n －1,a n 的不同取法共有n ·n ·…·n ·(n －1)＝n n (n －1), 即满足条件的x 共有n n (n －1)个,当a 0分别取0,1,2,…,n －1时,a 1,a 2,…,a n －1各有n 种取法,a n 有n －1种取法, 故A n 中所有含a 0项的和为(0＋1＋2＋…＋n －1)·n n －1(n －1)＝n n (n －1)22；同理,A n 中所有含a 1项的和为(0＋1＋2＋…＋n －1)n n －1(n －1)·n ＝n n (n －1)22·n ； A n 中所有含a 2项的和为(0＋1＋2＋…＋n －1)·n n －1(n －1)·n 2＝n n (n －1)22·n 2； A n 中所有含a n －1项的和为(0＋1＋2＋…＋n －1)·n n －1(n －1)·n n －1＝n n (n －1)22·n n －1；当a n 分别取i ＝1,2,…,n －1时,a 0,a 1,a 2,…,a n －1各有n 种取法, 故A n 中所有含a n 项的和为(1＋2＋…＋n －1)n n·n n＝n n ＋1(n －1)2·n n、所以A n ＝n n (n －1)22(1＋n ＋n 2＋…＋n n －1)＋n n ＋1(n －1)2·n n＝n n (n －1)22·n n －1n －1＋n n ＋1(n －1)2·n n ＝n n (n －1)2(n n ＋1＋n n －1),故f (n )＝n n ＋1＋n n －1、。

江苏高考2018年数学二轮复习限时集训全册配套练习及预测试题有答案(共22份)

专题限时集训(一) 集合与常用逻辑用语(对应学生用书第77页)(限时：120分钟)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分，请把答案填写在题中横线上．) 1．(2017·江苏省苏、锡、常、镇四市高考数学二模)已知集合A＝{x|－1＜x＜3}，B＝{x|x＜2}，则A∩B ＝________.{x|－1＜x＜2} [集合A＝{x|－1＜x＜3}，B＝{x|x＜2}，则A∩B＝{x|－1＜x＜2}，故答案为：{x|－1＜x＜2}．]2．(江苏省南通市如东县、徐州市丰县2017届高三10月联考)对于函数y＝f(x)，x∈R，“y＝|f(x)|的图象关于y轴对称”是“y＝f(x)是奇函数”的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)．必要不充分[充分性不成立，如y＝x2图象关于y轴对称，但不是奇函数；必要性成立，y＝f(x)是奇函数，|f(－x)|＝|－f(x)|＝|f(x)|，所以y＝|f(x)|的图象关于y轴对称．]3．(江苏省泰州中学2017届高三上学期第二次月考)已知R为实数集，集合A＝{1,2,3,4,5}，B＝{x|x(4－x)＜0}，则A∩(∁R B) ＝________.{1,2,3,4} [集合A＝{1,2,3,4,5}，B＝{x|x(4－x)＜0}＝{x|x(x－4)＞0}＝{x|x＜0或x＞4}，∴∁R B＝{x|0≤x≤4}，∴A∩(∁R B)＝{1,2,3,4}．故答案为：{1,2,3,4}．]4．(河北唐山市2017届高三年级期末)已知数列{a n}，{b n}满足b n＝a n＋a n＋1，则“数列{a n}为等差数列”是“数列{b n}为等差数列”的________条件．充分不必要[若数列{a n}为等差数列，设其公差为d1，则b n＋1－b n＝(a n＋1＋a n＋2)－(a n＋a n＋1)＝a n＋2－a n ＝2d1，所以数列{b n}是等差数列；若数列{b n}为等差数列，设其公差为d2，则b n＋1－b n＝(a n＋1＋a n＋2)－(a n＋a n＋1)＝a n＋2－a n＝d2，不能推出数列{a n}为等差数列，所以“数列{a n}为等差数列”是“数列{b n}为等差数列”的充分不必要条件．]5．(山东省枣庄市2017届高三上学期期末)若集合A＝{x∈Z|－2＜x＜2}，B＝{x|y＝log2x2}，则A∩B ＝________.【导学号：56394004】{－1,1} [因为A＝{x∈Z|－2＜x＜2}＝{－1,0,1}，B＝{x|y＝log2x2}＝{x|x≠0}，所以A∩B＝{－1,1}．]6．(广东省佛山市2017届高三教学质量检测(一))设等比数列{a n}的公比为q，前n项和为S n，则“|q|＝1”是“S6＝3S2”的________条件 .充要[由S6＝3S2，得a1(1＋q＋q2＋q3＋q4＋q5)＝3a1(1＋q)，即q5＋q4＋q3＋q2－2－2q＝0，(q＋1)2(q－1)(q 2＋2)＝0，解得q ＝±1，所以“|q |＝1”是“S 6＝3S 2”的充要条件．]7．(四川省2016年普通高考适应性测试)设集合A ＝{－1,1}，集合B ＝{x |ax ＝1，a ∈R }，则使得B ⊆A 的a 的所有取值构成的集合是________．{－1,0,1} [因为B ⊆A ，所以B ＝∅，{－1}，{1}，因此a ＝－1,0,1.]8．已知数列{a n }的前n 项和为S n ＝aq n＋b (a ≠0，q ≠0,1)，则“a ＋b ＝0”是数列{a n }为等比数列的________条件．充要 [当a ＋b ＝0时，a 1＝S 1＝aq ＋b ＝a (q －1)，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝aq n －1(q －1)，当n ＝1时，也成立，于是a n ＋1a n ＝aq n q －aq n －1q －＝q (n ∈N *)，即数列{a n }为等比数列；当n ＝1时，a 1＝S 1＝aq ＋b ，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝aq n －1(q －1)，∵q ≠0，q ≠1，∴a n ＋1a n ＝aq n q －aq n －1q －＝q (n ∈N *)，∵{a n }为等比数列，∴a 2a 1＝a n ＋1a n ＝q ，aq 2－aq aq ＋b＝q ，即aq －a ＝aq ＋b ，∴a ＋b ＝0，综上所述，“a ＋b ＝0”是数列{a n }为等比数列的充要条件．]9．(江苏省南通中学2017届高三上学期期中考试)命题“∃x ∈R ，x 2－x ＋1≤0”的否定是________． ∀x ∈R ，x 2－x ＋1＞0 [命题“∃x ∈R ，x 2－x ＋1≤0”的否定是“∀x ∈R ，x 2－x ＋1＞0”．]10．(中原名校豫南九校2017届第四次质量考评)下列四个命题：p 1：任意x ∈R,2x ＞0；p 2：存在x ∈R ，x 2＋x ＋1＜0；p 3：任意x ∈R ，sin x ＜2x ；p 4：存在x ∈R ，cos x＞x 2＋x ＋1.其中的真命题是________．p 1，p 4 [对于x ∈R,2x ＞0，p 1为真命题；x 2＋x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋34＞0，p 2为假命题；sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π2＝1＞2－3π2，p 3为假命题；x ＝－12时，cos x ＞cos π6＝32＞34＝x 2＋x ＋1，p 4为真命题．] 11．(广东郴州市2017届高三第二次教学质量监测试卷)若命题p ：“∃x 0∈R,2x 0－2≤a 2－3a ”是假命题，则实数a 的取值范围是________．[1,2] [“∃x 0∈R,2x 0－2≤a 2－3a ”是假命题等价于∀x ∈R,2x －2＞a 2－3a ，即－2≥a 2－3a ，解之得1≤a ≤2，即实数a 的取值范围是[1,2]．]12．(江苏省泰州中学2017届高三上学期第二次月考)设集合S ＝{0,1,2,3，…，n }，则集合S 中任意两个元素的差的绝对值的和为________．16n 3＋12n 2＋13n [设集合中第k 个元素，则其值为k －1. |(k －1)－k |＋|(k －1)－(k ＋1)|＋…＋|(k －1)－n | ＝1＋2＋…＋(n ＋1－k ) ＝n ＋1－kn ＋1－k ＋2，T n ＝12n 2·n ＋32n ·n ＋n －(1＋2＋…＋n )n －32(1＋2＋…＋n )＋12·(12＋22＋…＋n 2)＝n n ＋n ＋6＝16n 3＋12n 2＋13n .故答案是：16n 3＋12n 2＋13n .] 13．(泰州中学2016－2017年度第一学期第一次质量检测)设实数a ＞1，b ＞1，则“a ＜b ”是“ln a －ln b ＞a －b ”的________条件．(请用“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”中之一填空)充要 [令f (x )＝ln x －x (x ＞1)，则f ′(x )＝1x－1＜0，因此a ＜b ⇔f (a )＞f (b )⇔ln a －a ＞ln b －b⇔ln a －ln b ＞a －b ，即“a ＜b ”是“ln a －ln b ＞a －b ”的充要条件．] 14．(四川省凉山州2017届高中毕业班第一次诊断性检测)下列四个结论： ①若x ＞0，则x ＞sin x 恒成立；②命题“若x －sin x ＝0，则x ＝0”的逆否命题为“若x ≠0，则x －sin x ≠0”； ③“命题p ∧q 为真”是“命题p ∨q 为真”的充分不必要条件； ④命题“∀x ∈R ，x －ln x ＞0”的否定是“∃x 0∈R ，x 0－ln x 0≤0 ”．其中正确结论的个数是________．4 [对于①，令y ＝x －sin x ，则y ′＝1－cos x ≥0，则函数y ＝x －sin x 在R 上单调递增，则当x ＞0时，x －sin x ＞0－0＝0，即x ＞sin x 恒成立，故①正确；对于②，命题“若x －sin x ＝0，则x ＝0” 的逆否命题为“若x ≠0，则x －sin x ≠0”正确；对于③，命题p ∧q 为真，则命题p ，q 均为真，命题p ∨q 为真，反过来，当命题p ∨q 为真时，则p ，q 中至少有一个为真，不能推出命题p ∧q 为真，所以“命题p ∧q 为真”是“命题p ∨q 为真”的充分不必要条件，故③正确；对于④，由全称命题与特称命题的关系可知，命题“∀x ∈R ，x －ln x ＞0 ”的否定是“∃x 0∈R ，x 0－ln x 0≤0”，所以④正确．] 二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)15．(本小题满分14分)(山东潍坊2017届高三上学期期中联考)已知m ∈R ，设p ：∀x ∈[－1,1]，x 2－2x －4m 2＋8m －2≥0成立；q ：∃x ∈[1,2]，log 12(x 2－mx ＋1)＜－1成立，如果“p ∨q ”为真，“p ∧q ”为假，求m 的取值范围.【导学号：56394005】[解] 若p 为真：对∀x ∈[－1,1]，4m 2－8m ≤x 2－2x －2恒成立，设f (x )＝x 2－2x －2，配方得f (x )＝(x －1)2－3， ∴f (x )在[－1,1]上的最小值为－3， ∴4m 2－8m ≤－3，解得12≤m ≤32，2分∴p 为真时：12≤m ≤32；若q 为真：∃x ∈[1,2]，x 2－mx ＋1＞2成立，∴m ＜x 2－1x 成立.4分设g (x )＝x 2－1x ＝x －1x，易知g (x )在[1,2]上是增函数，∴g (x )的最大值为g (2)＝32，∴m ＜32，∴q 为真时，m ＜32，∵“p ∨q ”为真，“p ∧q ”为假，∴p 与q 一真一假，9分当p 真q 假时⎩⎪⎨⎪⎧ 12≤m ≤32，m ≥32，∴m ＝32，当p 假q 真时⎩⎪⎨⎪⎧m ＜12或m ＞32，m ＜32 ，∴m ＜12，12分综上所述，m 的取值范围是m ＜12或m ＝32.14分16．(本小题满分14分)(江苏省南通市如东县、徐州市丰县2017届高三10月联考)设集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪132≤2－x≤4，B ＝{x |x 2＋2mx －3m 2＜0}(m ＞0)． (1)若m ＝2，求A ∩B ；(2)若A ⊇B ，求实数m 的取值范围．[解] 集合A ＝{x |－2≤x ≤5}，因为m ＞0，所以B ＝(－3m ，m )，4分 (1)m ＝2时，B ＝{x |－6＜x ＜2}，所以A ∩B ＝{x |－2≤x ＜2}.8分 (2)B ＝(－3m ，m )，要使B ⊆A ，10分只要⎩⎪⎨⎪⎧－3m ≥－2m ≤5⇒m ≤23，12分所以0＜m ≤23.综上，知m 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，23.14分 17．(本小题满分14分)已知集合A ＝{x |log 2x ＜log 23}，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＋2x －4＜0，C ＝{x |a ＜x ＜a ＋1}． (1)求集合A ∩B ；(2)若B ∪C ＝B ，求实数a 的取值范围． [解] (1)由log 2x ＜log 23，得0＜x ＜3. 2分由不等式x ＋2x －4＜0得(x －4)(x ＋2)＜0，所以－2＜x ＜4.5分所以A ∩B ＝{x |0＜x ＜3}. 7分 (2)因为B ∪C ＝B ，所以C ⊆B ， 9分所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1≤4，a ≥－2.11分解得－2≤a ≤3.所以，实数a 的取值范围是[－2,3].14分18．(本小题满分16分)设命题p ：函数y ＝kx ＋1在R 上是增函数，命题q ：∃x ∈R ，x 2＋(2k －3)x ＋1＝0，如果p ∧q 是假命题，p ∨q 是真命题，求k 的取值范围． [解] ∵函数y ＝kx ＋1在R 上是增函数，∴k ＞0，2分由∃x ∈R ，x 2＋(2k －3)x ＋1＝0得方程x 2＋(2k －3)x ＋1＝0有解，4分 ∴Δ＝(2k －3)2－4≥0，解得k ≤12或k ≥52.6分 ∵p ∧q 是假命题，p ∨q 是真命题，∴命题p ，q 一真一假，10分①若p 真q 假，则⎩⎪⎨⎪⎧ k ＞0，12＜k ＜52，∴12＜k ＜52； 12分②若p 假q 真，则⎩⎪⎨⎪⎧k ≤0，k ≤12或k ≥52，解得k ≤0， 14分综上可得k 的取值范围为(－∞，0]∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，52. 16分19．(本小题满分16分)已知命题p ：函数y ＝log a (2x ＋1)在定义域上单调递增；命题q ：不等式(a －2)x2＋2(a －2)x －4＜0对任意实数x 恒成立，若“p 且﹁q ”为真命题，求实数a 的取值范围． [解] 因为命题p ：函数y ＝log a (2x ＋1)在定义域上单调递增，所以a ＞1.4分∴又因为命题q ：不等式(a －2)x 2＋2(a －2)x －4＜0对任意实数x 恒成立；所以a ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a －2＜0，Δ＝a －2＋a －＜0，综上所述：－2＜a ≤2，10分因为p 且﹁q 为真命题，∴p 真q 假，12分 ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＞1，a ≤－2或a ＞2，∴a ∈(2，＋∞).14分 ∴实数a 的取值范围为(2，＋∞).16分20．(本小题满分16分)(江苏省泰州中学2017届高三上学期第二次月考)已知命题p ：函数f (x )＝x 3＋ax 2＋x 在R 上是增函数；命题q ：若函数g (x )＝e x －x ＋a 在区间[0，＋∞)上没有零点．(1)如果命题p 为真命题，求实数a 的取值范围；(2)命题“p ∨q ”为真命题，“p ∧q ”为假命题，求实数a 的取值范围.【导学号：56394006】[解] (1)如果命题p 为真命题，∵函数f (x )＝x 3＋ax 2＋x 在R 上是增函数，∴f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋1≥0对x ∈(－∞，＋∞)恒成立， 4分 ∴Δ＝4a 2－12≤0⇒a ∈[－3，3].7分(2)g ′(x )＝e x－1≥0对任意的x ∈[0，＋∞)恒成立， ∴g (x )在区间[0，＋∞)上递增，9分若命题q 为真命题，g (0)＝a ＋1＞0⇒a ＞－1，11分由命题“p ∨q ”为真命题，“p ∧q ”为假命题知p ，q 一真一假，若p 真q 假，则⎩⎨⎧ －3≤a ≤3a ≤－1⇒a ∈[－3，－1]， 13分若p 假q 真，则⎩⎨⎧a ＜－3或a ＞3a ＞－1⇒a ∈(3，＋∞)， 14分综上所述，a ∈[－3，－1]∪(3，＋∞). 16分专题限时集训(二) 函数 (对应学生用书第80页) (限时：120分钟)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分，请把答案填写在题中横线上．)1．(河南省豫北名校联盟2017届高三年级精英对抗赛)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 5x ，x ＞0，2x，x ≤0，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫125＝________.14 [f ⎝ ⎛⎭⎪⎫125＝log 5125＝－2，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫125＝f (－2)＝2－2＝14.] 2．(江苏省苏州市2017届高三上学期期中)已知函数f (x )是定义在R 上的周期为2的奇函数，当0＜x＜1时，f (x )＝8x.则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－193＝________.－2 [函数f (x )是定义在R 上的周期为2的奇函数，当0＜x ＜1时，f (x )＝8x，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－193＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝－813＝－2.]3．(2017·江苏省淮安市高考数学二模)函数f (x )＝－x2的定义域是________．[－2,2] [由lg(5－x 2)≥0，得5－x 2≥1，即x 2≤4，解得－2≤x ≤2. ∴函数f (x )＝－x2的定义域是[－2,2]．故答案为：[－2,2]．]4．(广西柳州市2017届高三10月模拟)设a ，b ，c 均为正数，且2a＝log 12a ，⎝ ⎛⎭⎪⎫12b ＝log 12b ，⎝ ⎛⎭⎪⎫12c ＝log 2c ，则a ，b ，c 的大小关系为________．a ＜b ＜c [画图可得0＜a ＜b ＜1＜c .]5．(广东2017届高三上学期阶段测评(一))定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋2)＝－f (x )，当0≤x ≤1时，f (x )＝x ，则f (37.5)等于________．0.5 [∵f (x ＋2)＝－f (x )，∴f (x ＋4)＝f (x )且f (－x )＝－f (x )，0≤x ≤1时，f (x )＝x ， ∴f (37.5)＝f (1.5)＝－f ()－0.5＝f ()0.5＝0.5.]6．(广东省佛山市2017届高三教学质量检测(一))函数f (x )＝1x －log 21＋ax1－x 为奇函数，则实数a ＝________.±1 [因为函数f (x )为奇函数，所以f (－x )＝1－x －log 21－ax 1＋x ＝－1x ＋log 21＋ax 1－x ，即1＋x 1－ax ＝1＋ax1－x ，所以a ＝±1.]7．(天津六校2017届高三上学期期中联考)已知定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x ＋2)·f (x )＝1对于x ∈R 恒成立，且f (x )＞0，则f (2 015)＝________. 1 [因为f (x ＋2)·f (x )＝1⇒f (x ＋4)＝1fx ＋2＝f (x )⇒T ＝4，因此f (2 015)＝f (3)＝f (－1)＝f (1)；而f (x ＋2)·f (x )＝1⇒f (－1＋2)·f (－1)＝1⇒f 2(1)＝1，f (x )＞0⇒f (1)＝1，所以f (2 015)＝1.]8．(河南省豫北名校联盟2017届高三年级精英对抗赛)已知函数f (x )是R 上的单调函数，且对任意实数x ，都有f ⎝⎛⎭⎪⎫fx ＋22x＋1＝13，则f (log 23)＝________. 12 [因为函数f (x )是R 上的单调函数，且f ⎝⎛⎭⎪⎫fx ＋22x＋1＝13，所以可设f (x )＋22x ＋1＝t (t 为常数)，即f (x )＝t －22x ＋1，又因为f (t )＝13，所以t －22t ＋1＝13，令g (x )＝x －22x ＋1，显然g (x )在R 上单调递增，且g (1)＝13，所以t ＝1，f (x )＝1－22x ＋1，f (log 23)＝1－22log 23＋1＝12.]9．(湖北省荆州市2017届高三上学期第一次质量检测)已知函数f (x )＝|ln x |－1，g (x )＝－x 2＋2x ＋3，用min{m ，n }表示m ，n 中最小值，设h (x )＝min{f (x )，g (x )}，则函数h (x )的零点个数为________． 3 [作出函数f (x )和g (x )的图象(两个图象的下面部分图象)如图，由g (x )＝－x 2＋2x ＋3＝0，得x ＝－1或x ＝3，由f (x )＝|ln x |－1＝0，得x ＝e 或x ＝1e .∵g (e)＞0，∴当x ＞0时，函数h (x )的零点个数为3个．]10．(江苏省南京市2017届高三上学期学情调研)已知f (x )，g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，且f (x )＋g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x .若存在x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1，使得等式af (x 0)＋g (2x 0)＝0成立，则实数a 的取值范围是________.【导学号：56394011】⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，522 [由f (x )＋g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 得f(－x )＋g (－x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x ，即－f (x )＋g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x，所以f (x )＝12(2－x －2x )，g (x )＝12(2－x ＋2x )．存在x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1，使得等式af (x 0)＋g (2x 0)＝0成立，即x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1，a ＝－g x 0f x 0，设h (x )＝－g x fx ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1，则h (x )＝－12－2x＋22x12－x －2x＝22x ＋2－2x2x －2－x ＝(2x －2－x )＋22－2，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1时，2x －2－x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，32，设t ＝2x －2－x，则t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，32，而h (x )＝t ＋2t ，易知y ＝t ＋2t 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，2上递减，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，32上递增，因此y min ＝2＋22＝22，y max ＝22＋222＝522，所以h (x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，522，即a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，522.] 11．(江苏省苏州市2017届高三上学期期中)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x ＞0，x 2＋x ，x ≤0，若函数g (x )＝f (x )－m 有三个零点，则实数m 的取值范围是________．⎝ ⎛⎦⎥⎤－14，0 [由g (x )＝f (x )－m ＝0得f (x )＝m ，若函数g (x )＝f (x )－m 有三个零点，等价为函数f (x)与y ＝m 有三个不同的交点，作出函数f (x )的图象如图：当x ≤0时，f (x )＝x 2＋x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122－14≥－14，若函数f (x )与y ＝m 有三个不同的交点，则－14＜m ≤0，即实数m 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－14，0，故答案为：⎝ ⎛⎦⎥⎤－14，0.] 12．(2017·江苏省苏、锡、常、镇四市高考数学二模)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4x －x 2，x ≥0，3x，x ＜0，若函数g (x )＝|f (x )|－3x ＋b 有三个零点，则实数b 的取值范围为________．(－∞，－6)∪⎝ ⎛⎦⎥⎤－14，0 [函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4x －x 2，x ≥0，3x ，x ＜0，若函数g (x )＝|f (x )|－3x ＋b 有三个零点，就是h (x )＝|f (x )|－3x 与y ＝－b 有3个交点，h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －x 2，0≤x ≤4，x 2－7x ，x ＞4，－3x－3x ，x ＜0，画出两个函数的图象如图：当x ＜0时，－3x－3x ≥6，当且仅当x ＝－1时取等号，此时－b ＞6，可得b ＜－6；当0≤x ≤4时，x －x 2≤14，当x ＝12时取得最大值，满足条件的b ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－14，0 .综上，b ∈(－∞，－6)∪⎝ ⎛⎦⎥⎤－14，0. 故答案为：(－∞，－6)∪⎝ ⎛⎦⎥⎤－14，0.] 13．(2017·江苏省淮安市高考数学二模)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋m ，x ＜0，x 2－1，x ≥0，其中m ＞0，若函数y ＝f(f (x ))－1有3个不同的零点，则m 的取值范围是________．(0,1) [①当x ＜0时，f (f (x ))＝(－x ＋m )2－1，图象为开口向上的抛物线在y 轴左侧的部分，顶点为(0，m 2－1)；②当0≤x ＜1时，f (f (x ))＝－x 2＋1＋m ，图象为开口向下的抛物线在0≤x ＜1之间的部分，顶点为(0，m ＋1)．根据题意m ＞0，所以m ＋1＞1；③当x ≥1时，f (f (x ))＝(x 2－1)2－1，图象为开口向上的抛物线在x ＝1右侧的部分，顶点为(1，－1)．根据题意，函数y ＝f (f (x ))－1有3个不同的零点，即f (f (x ))的图象与y ＝1有3个不同的交点．根据以上三种分析的情况：第③种情况x ＝1时，f (f (x ))＝－1，右侧为增函数，所以与y ＝1有一个交点；第②种情况，当x →1时，f (f (x ))→m ，所以与y ＝1有交点，需m ＜1；第①种情况，当x →0时，f (f (x ))→m 2－1，只要m 2－1＜1即可，又m ＞0，∴0<m ＜2，综上m 的取值范围为(0,1)．]14．(2017·江苏省无锡市高考数学一模)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧12－1，x ＜1，ln xx 2，x ≥1，则函数y ＝|f (x )|－18的零点个数为________．4 [当x ≥1时，ln x x 2＝18，即ln x ＝18x 2，令g (x )＝ln x －18x 2，x ≥1时函数是连续函数，g (1)＝－18＜0，g (2)＝ln 2－12＝ln2e＞0，g (4)＝ln 4－2＜0，由函数的零点判定定理可知g (x )＝ln x －18x 2有2个零点．(结合函数y ＝ln x x 2与y ＝18可知函数的图象有2个交点．)当x ＜1时，y ＝⎩⎪⎨⎪⎧12x－1，x ＜0，1－12x，x ∈[0，，函数的图象与y ＝18的图象如图，考查两个函数有2个交点，综上函数y ＝|f (x )|－18的零点个数为4个．故答案为4.]二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)15．(本小题满分14分)(2016－2017学年度江苏苏州市高三期中调研考试)已知函数f (x )＝3x＋λ·3－x(λ∈R )．(1)若f (x )为奇函数，求λ的值和此时不等式f (x )＞1的解集； (2)若不等式f (x )≤6对x ∈[0,2]恒成立，求实数λ的取值范围.【导学号：56394012】[解] (1)函数f (x )＝3x ＋λ·3－x的定义域为R ，∵f (x )为奇函数，∴f (－x )＋f (x )＝0对∀x ∈R 恒成立，即3－x＋λ·3x ＋3x ＋λ·3－x ＝(λ＋1)(3x＋3－x)＝0对∀x ∈R 恒成立，∴λ＝－1. 3分此时f (x )＝3x－3－x＞1，即3x －3－x－1＞0，解得3x ＞1＋52或3x＜1－52(舍去)，6分∴解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＞log 31＋52. 7分(2)由f (x )≤6得3x＋λ·3－x≤6，即3x＋λ3≤6，令t ＝3x∈[1,9]，原问题等价于t ＋λt≤6对t ∈[1,9]恒成立，亦即λ≤－t 2＋6t 对t ∈[1,9]恒成立，10分令g (t )＝－t 2＋6t ，t ∈[1,9]，∵g (t )在[1,3]上单调递增，在[3,9]上单调递减． ∴当t ＝9时，g (t )有最小值g (9)＝－27， ∴λ≤－27.14分16．(本小题满分14分)(泰州中学2016－2017年度第一学期第一次质量检测)设函数y ＝lg(－x 2＋4x －3)的定义域为A ，函数y ＝2x ＋1，x ∈(0，m )的值域为B . (1)当m ＝2时，求A ∩B ；(2)若“x ∈A ”是“x ∈B ”的必要不充分条件，求实数m 的取值范围． [解] (1)由－x 2＋4x －3＞0，解得1＜x ＜3，所以A ＝(1,3)， 2分又函数y ＝2x ＋1在区间(0，m )上单调递减，所以y ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫2m ＋1，2，即B ＝⎝⎛⎭⎪⎫2m ＋1，2，5分当m ＝2时，B ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23，2，所以A ∩B ＝(1,2).7分 (2)首先要求m ＞0，9分而“x ∈A ”是“x ∈B ”的必要不充分条件，所以B 是A 的真子集，从而2m ＋1≥1，解得0＜m ≤1. 所以实数m 的取值范围为(0,1].14分17．(本小题满分14分)(江苏省泰州中学2017届高三上学期第二次月考)无锡市政府决定规划地铁三号线：该线起于惠山区惠山城铁站，止于无锡新区硕放空港产业园内的无锡机场站，全长28公里，目前惠山城铁站和无锡机场站两个站点已经建好，余下的工程是在已经建好的站点之间铺设轨道和等距离修建停靠站．经有关部门预算，修建一个停靠站的费用为6 400万元，铺设距离为x 公里的相邻两个停靠站之间的轨道费用为400x 3＋20x 万元．设余下工程的总费用为f (x )万元．(停靠站位于轨道两侧，不影响轨道总长度)． (1)试将f (x )表示成x 的函数；(2)需要建多少个停靠站才能使工程费用最小，并求最小值．[解] (1)设需要修建k 个停靠站，则k 个停靠站将28公里的轨道分成相等的k ＋1段， ∴(k ＋1)x ＝28⇒k ＝28x－1，3分∴f (x )＝6 400k ＋(k ＋1)(400x 3＋20x )＝6 400⎝ ⎛⎭⎪⎫28x－1＋28x(400x 3＋20x )，化简得f (x )＝28×400x 2＋28×6 400x－5 840，7分(2)f (x )＝28×400x 2＋28×3 200x ＋28×3 200x－5 840≥3328×400x 2·28×3 200x ·28×3 200x－5 840＝128 560(万元)，当且仅当28×400x 2＝28×3 200x ，即x ＝2，k ＝28x－1＝13时取“＝”.13分故需要建13个停靠站才能使工程费用最小，最小值费用为128 560万元.14分18．(本小题满分16分)(泰州中学2017届高三上学期期中考试)已知函数f (x )＝|x 2－1|＋x 2＋kx ，且定义域为(0,2)．(1)求关于x 的方程f (x )＝kx ＋3在(0,2)上的解；(2)若关于x 的方程f (x )＝0在(0,2)上有两个的解x 1，x 2，求k 的取值范围．[解] (1)∵f (x )＝|x 2－1|＋x 2＋kx ，f (x )＝kx ＋3，即|x 2－1|＋x 2＝3.当0＜x ≤1时，|x 2－1|＋x 2＝1－x 2＋x 2＝1，此时该方程无解．当1＜x ＜2时，|x 2－1|＋x 2＝2x 2－1，原方程等价于：x 2＝2，此时该方程的解为 2.综上可知：方程f (x )＝kx ＋3在(0,2)上的解为 2. (2)当0＜x ≤1时，kx ＝－1，① 当1＜x ＜2时，2x 2＋kx －1＝0，② 若k ＝0，则①无解，②的解为x ＝±22∉(1,2)，故k ＝0不合题意．若k ≠0，则①的解为x ＝－1k. (ⅰ)当－1k∈(0,1]时，k ≤－1时，方程②中Δ＝k 2＋8＞0，故方程②中一根在(1,2)内，一根不在(1,2)内．设g (x )＝2x 2＋kx －1，而x 1x 2＝－12＜0，则⎩⎪⎨⎪⎧g ＜0，g ＞0，⎩⎪⎨⎪⎧k ＜－1，k ＞－72，又k ≤－1，故－72＜k＜－1.12分(ⅱ)当－1k ∉(0,1]时，即－1＜k ＜0或k ＞0时，方程②在(1,2)需有两个不同解，而x 1x 2＝－12＜0，知道方程②必有负根，不合题意. 综上所述，故－72＜k ＜－1.16分19．(本小题满分16分)(江苏省南通市如东县、徐州市丰县2017届高三10月联考)已知函数f (x )＝－3x＋a3x ＋1＋b. (1)当a ＝b ＝1时，求满足f (x )＝3x的x 的值； (2)若函数f (x )是定义在R 上的奇函数．①存在t ∈R ，不等式f (t 2－2t )＜f (2t 2－k )有解，求k 的取值范围；②若函数g (x )满足f (x )·[g (x )＋2]＝13(3－x －3x)，若对任意x ∈R ，不等式g (2x )≥m ·g (x )－11恒成立，求实数m 的最大值 .[解] (1) 由题意，－3x＋13x ＋1＋1＝3x ，化简得3·(3x )2＋2·3x－1＝0，解得3x ＝－1(舍)或3x＝13，2分所以x ＝－1.4分(2) 因为f (x )是奇函数，所以f (－x )＋f (x )＝0，所以－3－x＋a 3－x ＋1＋b ＋－3x＋a 3x ＋1＋b＝0，化简并变形得： (3a －b )(32x＋1)＋(2ab －6)·3x＝0，要使上式对任意的x 成立，则3a －b ＝0且2ab －6＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－3，因为f (x )的定义域是R ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1b ＝－3(舍去)，所以a ＝1，b ＝3, 所以f (x )＝－3x＋13x ＋1＋3.6分①f (x )＝－3x＋13x ＋1＋3＝13⎝⎛⎭⎪⎫－1＋23x ＋1，对任意x 1，x 2∈R ，x 1＜x 2有： f (x 1)－f (x 2)＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 1＋1－23x 2＋1＝23⎝⎛⎭⎪⎫3x 2－3x 1x 1＋x 2＋，因为x 1＜x 2，所以3x 2－3x 1＞0，所以f (x 1)＞f (x 2)，因此f (x )在R 上递减.8分因为f (t 2－2t )＜f (2t 2－k )，所以t 2－2t ＞2t 2－k ，即t 2＋2t －k ＜0在t ∈R 上有解，所以Δ＝4＋4k ＞0，解得k ＞－1，所以k 的取值范围为(－1，＋∞). 10分②因为f (x )·[g (x )＋2]＝13(3－x －3x)，所以g (x )＝3－x－3x3f x －2，即g (x )＝3x ＋3－x. 12分所以g (2x )＝32x＋3－2x＝(3x＋3－x )2－2.不等式g (2x )≥m ·g (x )－11恒成立，即(3x＋3－x )2－2≥m ·(3x ＋3－x)－11，即m ≤3x ＋3－x＋93x ＋3－x 恒成立.14分令t ＝3x ＋3－x，t ≥2，则m ≤t ＋9t在t ≥2时恒成立，令h (t )＝t ＋9t ，h ′(t )＝1－9t2，t ∈(2,3)时，h ′(t )＜0，所以h (t )在(2,3)上单调递减， t ∈(3，＋∞)时，h ′(t )＞0，所以h (t )在(3，＋∞)上单调递增，所以h (t )min ＝h (3)＝6，所以m ≤6，所以实数m 的最大值为6 .16分20．(本小题满分16 分)(江苏省南通市如东县、徐州市丰县2017届高三10月联考)给出定义在(0，＋∞)上的两个函数f (x )＝x 2－a ln x ，g (x )＝x －a x . (1)若f (x )在x ＝1处取最值，求a 的值；(2)若函数h (x )＝f (x )＋g (x 2)在区间(0,1]上单调递减，求实数a 的取值范围； (3)在(1)的条件下，试确定函数m (x )＝f (x )－g (x )－6的零点个数，并说明理由.【导学号：56394013】[解] (1)f ′(x )＝2x －a x，由已知f ′(1)＝0，即2－a ＝0，解得a ＝2，经检验a ＝2满足题意，所以a ＝2.4分(2)h (x )＝f (x )＋g (x 2)＝x 2－a ln x ＋x 2－ax ＝2x 2－a (x ＋ln x )，h ′(x )＝4x －a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x ，要使得h (x )＝2x 2－a (x ＋ln x )在区间(0,1]上单调递减，则h ′(x )≤0，即4x －a ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1x ≤0在区间(0,1]上恒成立，6分因为x ∈(0,1]，所以a ≥4x2x ＋1，设函数F (x )＝4x2x ＋1，则a ≥F (x )max ，8分F (x )＝4x 2x ＋1＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋1x，因为x ∈(0,1]，所以1x∈[1，＋∞)，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋1x min ＝2，所以F (x )max ＝2，所以a ≥2.10分(3)函数m (x )＝f (x )－g (x )－6有两个零点．因为m (x )＝x 2－2ln x －x ＋2x －6，所以m ′(x )＝2x －2x－1＋1x＝2x 2－2－x ＋x x＝x －x x ＋2x ＋x ＋x.当x ∈(0,1)时，m ′(x )＜0，当x ∈(1，＋∞)时， m ′(x )＞0，所以m (x )min ＝m (1)＝－4＜0，14分m (e －2)＝－＋e ＋2e3e4＜0，m (e －4)＝1＋2e 8＋e42－e8＞0，m (e 4)＝e 4(e 4－1)＋2(e 2－7)＞0，故由零点存在定理可知：函数m (x )在(e－4,1)上存在一个零点，函数m (x )在(1，e 4)上存在一个零点，所以函数m (x )＝f (x )－g (x )－6有两个零点. 16分专题限时集训(三) 导数 (对应学生用书第83页) (限时：120分钟)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分，请把答案填写在题中横线上．)1．(湖北省荆州市2017届高三上学期第一次质量检)若函数f (x )＝x 33－a2x 2＋x ＋1在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3上单调递减，则实数a 的取值范围是________.⎣⎢⎡⎭⎪⎫103，＋∞ [因为函数f (x )＝x 33－a 2x 2＋x ＋1在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3上单调递减，所以f ′(x )＝x 2－ax ＋1≤0在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3上恒成立，所以x 2＋1≤ax ⇒a ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x max ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x max ，当且仅当x ＝3时，⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x max ＝103，所以a ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫103，＋∞.] 2．(泰州中学2016－2017年度第一学期第一次质量检测)若函数y ＝f (x )的定义域为R ，∀x ∈R ，f ′(x )＜f (x )，且f (x ＋1)为偶函数，f (2)＝1，则不等式f (x )＜e x的解集为________． (0，＋∞) [令g (x )＝f xex，则g ′(x )＝f x －f xex＜0，所以g (x )在定义域内为减函数，因为f (x ＋1)为偶函数，所以f (x ＋1)＝f (－x ＋1)⇒f (0)＝f (2)＝1⇒g (0)＝1，因此f (x )＜e x⇒g (x )＜1＝g (0)⇒x ＞0.]3．(江苏省南通市如东县、徐州市丰县2017届高三10月联考)函数f (x )＝log 2x 在点A (1,2)处切线的斜率为________.【导学号：56394017】1ln 2 [∵f ′(x )＝1x ln 2，∴k ＝f ′(1)＝1ln 2.] 4．(江苏省南通市如东县、徐州市丰县2017届高三10月联考)若实数a ，b ，c ，d 满足|b ＋a 2－4ln a |＋|2c －d ＋2|＝0，则(a －c )2＋(b －d )2的最小值为________．5 [|b ＋a 2－4ln a |＋|2c －d ＋2|＝0⇒b ＋a 2－4ln a ＝0,2c －d ＋2＝0，所以(a －c )2＋(b －d )2表示直线2x －y ＋2＝0上点P 到曲线y ＝4ln x －x 2上点Q 距离的平方．由y ′＝4x－2x ＝2⇒x ＝1(负舍)得Q (1，－1)，所以所求最小值为⎝ ⎛⎭⎪⎫|2＋1＋2|52＝5.]5．(江苏省南通市如东县、徐州市丰县2017届高三10月联考)已知函数f (x )＝x 3＋mx ＋14，g (x )＝－ln x ，min{a ，b }表示a ，b 中的最小值，若函数h (x )＝min{f (x )，g (x )}(x ＞0)恰有三个零点，则实数m 的取值范围是________．⎝ ⎛⎭⎪⎫－54，－34 [f ′(x )＝3x 2＋m ，因为g (1)＝0，所以要使h (x )＝min{f (x )，g (x )}(x ＞0)恰有三个零点，需满足f (1)＞0，f ⎝⎛⎭⎪⎫－m 3 ＜0，m ＜0，解得m ＞－54，－m 3＞12⇒－54＜m ＜－34.] 6．(河北唐山市2017届高三年级期末)已知函数f (x )＝ln(e x＋e －x)＋x 2，则使得f (2x )＞f (x ＋3)成立的x 的取值范围是________．(－∞，－1)∪(3，＋∞) [因为f (－x )＝ln(e －x＋e x )＋(－x )2＝ln(e x ＋e －x )＋x 2＝f (x )，所以函数f (x )是偶函数，易知函数y ＝e x ＋e －x 在x ∈(0，＋∞)是增函数，所以函数f (x )＝ln(e x ＋e －x )＋x 2在x ∈(0，＋∞)也是增函数，所以不等式f (2x )＞f (x ＋3)等价于|2x |＞|x ＋3|，解得x ＜－1或x ＞3.] 7．(广东省佛山市2017届高三教学质量检测(一))已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，g (x )＝3x 2＋2ax ＋b (a ，b ，c 是常数)，若f (x )在(0,1)上单调递减，则下列结论中：①f (0)·f (1)≤0；②g (0)·g (1)≥0；③a 2－3b 有最小值．正确结论的个数为________．2 [由题意，得 f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，若函数f (x )在(0,1)上单调递减，则⎩⎪⎨⎪⎧f ′，f ，即⎩⎪⎨⎪⎧b ≤0，3＋2a ＋b ≤0，所以g (0)·g (1)＝b ·(3＋2a ＋b )≥0，故②正确；不妨设f (x )＝x 3－2x 2－3x ＋5，则f (0)·f (1)＝5·(1－2－3＋5)＞0，故①错；画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧b ≤0，3＋2a ＋b ≤0表示的平面区域，如图所示，令z ＝a 2－3b ，则b ＝13a 2－z 3，①当－z 3＞－3，即z ＜9时，抛物线b ＝13a 2－z 3与直线2a ＋b ＋3＝0有公共点，联立两个方程消去b 得a 2＋6a ＋9－z ＝0，z ＝(a ＋3)2≥0，所以0≤z ＜9；当－z3≤－3，即z ≥9时，抛物线与平面区域必有公共点，综上所述，z ≥0，所以z ＝a 2－3b 有最小值，故③正确．]8．(广东省佛山市2017届高三教学质量检测(一))对任意的a ∈R ，曲线y ＝e x (x 2＋ax ＋1－2a )在点P (0,1－2a )处的切线l 与圆C ：x 2＋2x ＋y 2－12＝0的位置关系是________.相交 [由题意，得y ′＝e x (x 2＋ax ＋1－2a )＋e x(2x ＋a )，所以y ′|x ＝0＝1－a ，所以直线l 的方程为y －(1－2a )＝(1－a )x ，即(1－a )x －y ＋1－2a ＝0.化圆C 的方程为(x ＋1)2＋y 2＝13，其圆心(－1,0)到直线l 的距离为－a－－0＋1－2a |－a 2＋－2＝|a |a 2－2a ＋2＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2－1a ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －122＋12≤2＜13，所以直线l 与圆相交．]9．(山东省枣庄市2017届高三上学期期末)定义在R 上的奇函数y ＝f (x )满足f (3)＝0，且当x ＞0时，f (x )＞－xf ′(x )恒成立，则函数g (x )＝xf (x )＋lg|x ＋1|的零点的个数为________.【导学号：56394018】3 [因为当x ＞0时，[xf (x )]′＝f (x )＋xf ′(x )＞0，所以xf (x )在(0，＋∞)上单调递增，又函数f (x )为奇函数，所以函数xf (x )为偶函数，结合f (3)＝0，作出函数y ＝xf (x )与y ＝－lg|x ＋1|的图象，如图所示，由图象知，函数g (x )＝xf (x )＋lg|x ＋1|的零点有3个．]10．(湖北省荆州市2017届高三上学期第一次质量检测)设函数f (x )在R 上存在导函数f ′(x )，对任意的实数x 都有f (x )＝4x 2－f (－x )，当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )＋12＜4x .若f (m ＋1)≤f (－m )＋4m ＋2，则实数m 的取值范围是________.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，＋∞ [∵f (x )－2x 2＋f (－x )－2x 2＝0，设g (x )＝f (x )－2x 2，则g (x )＋g (－x )＝0，∴g (x )为奇函数，又g ′(x )＝f ′(x )－4x ＜－12，∴g (x )在(－∞，0)上是减函数，从而在R 上是减函数，又f (m ＋1)≤f (－m )＋4m ＋2等价于f (m ＋1)－2(m ＋1)2≤f (－m )－2(－m )2，即g (m ＋1)≤g (－m )，∴m ＋1≥－m ，解得m ≥－12.]11．(湖北省荆州市2017届高三上学期第一次质量检测)已知函数f (x )＝ax sin x －32(a ∈R )，且在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值为π－32，则实数a 的值为________．1 [由已知得f ′(x )＝a (sin x ＋x cos x )，对于任意的x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，有sin x ＋x cos x ＞0，当a ＝0时，f (x )＝－32，不合题意；当a ＜0时，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，f ′(x )＜0，从而f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2单调递减，又函数在图象上是连续不断的，故函数在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值为f (0)＝－32，不合题意；当a ＞0时， x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，f ′(x )＞0，从而f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2单调递增，又函数在图象上是连续不断的，故函数在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝π2·a －32＝π－32，解得a ＝1.]12．(天津六校2017届高三上学期期中联考)设函数f (x )＝ln x x，关于x 的方程[f (x )]2＋mf (x )－1＝0有三个不同的实数解，则实数m 的取值范围是________．⎝ ⎛⎭⎪⎫e －1e ，＋∞ [f (x )＝ln x x ⇒f ′(x )＝1－ln x x 2＝0⇒x ＝e ，因此当0＜x ≤e 时，f (x )≤1e ；当x ＞e 时，0＜f (x )＜1e ，因此g (t )＝t 2＋mt －1＝0有两个根，其中t 1∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，1e ，t 2∈(－∞，0]∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫1e ，因为g (0)＝－1，所以g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e＞0⇒m ＞e －1e.]13．(山西大学附属中学2017级上学期11月模块诊断)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋，x ＞0，12x ＋1，x ≤0，若m＜n ，且f (m )＝f (n )，则n －m 的取值范围是________.[3－2ln 2,2) [如图，作出函数y ＝f (x )的图象，不妨设f (m )＝f (n )＝t ，由f (m )＝f (n )可知函数f (x )的图象与直线y ＝t 有两个交点，而x ≤0时，函数y ＝f (x )单调递增，其图象与y 轴交于点(0,1)，所以0＜t ≤1.又m ＜n ，所以m ≤0，n ＞0，由0＜t ≤1，得0＜ln(n ＋1)≤1，解得0＜n ≤e－1. 由f (m )＝t ，即12m ＋1＝t ，解得m ＝2t －2；由f (n )＝t ，即ln(n ＋1)＝t ，解得n ＝e t－1；记g (t )＝n －m ＝e t －1－(2t －2)＝e t －2t ＋1(0＜t ≤1)，g ′(t )＝e t－2. 所以当0＜t ＜ln 2时，g ′(t )＜0，函数g (t )单调递减；当ln 2＜t ≤1时，g ′(t )＞0，函数g (t )单调递增．所以函数g (t )的最小值为g (ln 2)＝eln 2－2ln 2＋1＝3－2ln 2；而g (0)＝e 0＋1＝2，g (1)＝e －2＋1＝e －1＜2，所以3－2ln 2≤g (t )＜2.]14．(贵州遵义市2017届高三第一次联考)已知定义域为R 的偶函数f (x )，其导函数为f ′(x )，对任意x ∈[0，＋∞)，均满足：xf ′(x )＞－2f (x )．若g (x )＝x 2f (x )，则不等式g (2x )＜g (1－x )的解集是________.⎝⎛⎭⎪⎫－1，13 [x ∈[0，＋∞)时，g ′(x )＝2xf (x )＋x 2f ′(x )＝x (2f (x )＋xf ′(x ))＞0，而g (x )＝x 2f (x )也为偶函数，所以g (2x )＜g (1－x )⇔g (|2x |)＜g (|1－x |)⇔|2x |＜|1－x |⇔3x 2＋2x －1＜0⇔－1＜x ＜13.] 二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)15．(本小题满分14分)(江苏省南通市如东县、徐州市丰县2017届高三10月联考)在互联网时代，网校培训已经成为青年学习的一种趋势，假设某网校的套题每日的销售量h (x )(单位：千套)与销售价格(单位：元/套)满足关系式h (x )＝f (x )＋g (x )(3＜x ＜7，m 为常数)，其中f (x )与(x －3)成反比，g (x )与(x －7)的平方成正比，已知销售价格为5元/套时，每日可售出套题21千套，销售价格为3.5元/套时，每日可售出套题69千套． (1)求h (x )的表达式；(2)假设网校的员工工资，办公等所有开销折合为每套题3元(只考虑销售出的套数)，试确定销售价格的值，使网校每日销售套题所获得的利润最大．(保留1位小数) [解] (1)因为f (x )与x －3成反比，g (x )与x －7的平方成正比，所以可设：f (x )＝k 1x －3，g (x )＝k 2(x －7)2，k 1≠0，k 2≠0，则h (x )＝f (x )＋g (x )＝k 1x －3＋k 2(x －7)2. 2分因为销售价格为5元/套时，每日可售出套题21千套，销售价格为3.5元/套时，每日可售出套题69千套，所以，h (5)＝21，h (3.5)＝69，即⎩⎪⎨⎪⎧k 12＋4k 2＝21，2k 1＋494k 2＝69，解得：⎩⎪⎨⎪⎧k 1＝10，k 2＝4， 6分所以，h (x )＝10x －3＋4(x －7)2(3＜x ＜7). 8分(2)由(1)可知，套题每日的销售量h (x )＝10x －3＋4(x －7)2，设每日销售套题所获得的利润为F (x )，则F (x )＝(x －3) ⎣⎢⎡⎦⎥⎤10x －3＋x －2＝10＋4(x －7)2(x －3) ＝4x 3－68x 2＋364x －578，10分从而F ′(x )＝12x 2－136x ＋364＝4(3x －13)(x －7)，3＜x ＜7，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3，133时，F ′(x )＞0，所以函数F (x )在⎝⎛⎭⎪⎫3，133上单调递增，12分x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫133，7时，F ′(x )＜0，所以函数F (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫133，7上单调递减，所以x ＝133≈4.3时，函数F (x )取得最大值，即当销售价格为4.3元/套时，网校每日销售套题所获得的利润最大.14分16．(本小题满分14分)(河南省豫北名校联盟2017届高三年级精英对抗赛)已知函数f (x )＝x ＋a ln x (a ∈R )．(1)若曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处与直线y ＝3x －2相切，求a 的值； (2)若函数g (x )＝f (x )－kx 2有两个零点x 1，x 2，试判断g ′⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22的符号，并证明.【导学号：56394019】[解] (1)f ′(x )＝1＋a x，又∵f ′(1)＝3. 2分所以a ＝2.3分(2)函数g (x )的定义域是(0，＋∞). 4分若a ＝0，则g (x )＝f (x )－kx 2＝x －kx 2. 令g (x )＝0，则x －kx 2＝0. 又据题设分析知k ≠0， ∴x 1＝0，x 2＝1k.又g (x )有两个零点，且都大于0， ∴a ＝0，不成立.5分据题设知⎩⎪⎨⎪⎧gx 1＝x 1＋a ln x 1－kx 21＝0，gx 2＝x 2＋a ln x 2－kx 22＝0，不妨设x 1＞x 2，x 1x 2＝t ，t ＞1.6分所以x 1－x 2＋a (ln x 1－ln x 2)＝k (x 1－x 2)(x 1＋x 2)．所以1＋ax 1－ln x 2x 1－x 2＝k (x 1＋x 2)，7分又g ′(x )＝1＋a x－2kx ，所以g ′⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22＝1＋2a x 1＋x 2－k (x 1＋x 2)＝1＋2a x 1＋x 2－1－ax 1－ln x 2x 1－x 2＝a ⎝⎛⎭⎪⎫2x 1＋x 2－ln x 1－ln x 2x 1－x 2＝a x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2t ＋1－ln t t －1＝a x 2·1t －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤t －t ＋1－ln t .9分引入h (t )＝t －t ＋1－ln t (t ＞1)，则h ′(t )＝4t ＋2－1t＝－t －2t t ＋2＜0.所以h (t )在(0，＋∞)上单调递减. 10分而h (1)＝0，所以当t ＞1时，h (t )＜0. 易知x 2＞0，1t －1＞0，所以当a ＞0时，g ′⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22＜0；当a ＜0时，g ′⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22＞0.14分17．(本小题满分14分)(广东郴州市2017届高三第二次教学质量监测试卷)已知函数f (x )＝x ln x ，g (x )＝－x 2＋ax －3.(1)求函数f (x )在[t ，t ＋2](t ＞0)上的最小值；(2)对一切x ∈(0，＋∞)，2f (x )≥g (x )恒成立，求实数a 的取值范围；(3)探讨函数F (x )＝ln x －1e x ＋2e x 是否存在零点？若存在，求出函数F (x )的零点；若不存在，请说明理由．[解] (1)f ′(x )＝ln x ＋1，由f ′(x )＜0得，0＜x ＜1e ，由f ′(x )＞0得x ＞1e，∴函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞上单调递增，1分当0＜t ≤1e 时，t ＋2＞1e ，∴f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝－1e ；当t ＞1e时，f (x )在[t ，t ＋2]上单调递增，f (x )min ＝f (t )＝t ln t ，2分∴f (x )min＝⎩⎪⎨⎪⎧－1e ，0＜t ≤1e ，t ln t ，t ＞1e. 3分(2)原问题可化为a ≤2ln x ＋x ＋3x， 4分设h (x )＝2ln x ＋x ＋3x(x ＞0 )，h ′(x )＝x ＋x －x，当0＜x ＜1时，h ′(x )＜0，h (x )在(0,1)上单调递减；5分当x ＞1时， h ′(x )＞0，h (x )在(1，＋∞)上单调递增；6分 ∴h (x )min ＝h (1)＝4，故a 的取值范围为(－∞，4].7分 (3)令F (x )＝0，得ln x －1e x ＋2e x ＝0，即x ln x ＝x e x －2e (x ＞0)，8分由(1)知当且仅当x ＝1e 时，f (x )＝x ln x (x ＞0)的最小值是－1e，9分设φ(x )＝x e x －2e (x ＞0)，则φ′(x )＝1－xex ，易知φ(x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，∴当且仅当x ＝1时，φ(x )取最大值，且φ(1)＝－1e，12分∴对x ∈(0，＋∞)都有ln x ＞1e x －2e x ，即F (x )＝ln x －1e x ＋2e x ＞0恒成立，故函数F (x )无零点.18．(本小题满分16分)(无锡市普通高中2017届高三上学期期中基础性检测)已知函数f (x )＝sin xe x 的定义域为[0,2π]，g (x )为f (x )的导函数．(1)求方程g (x )＝0的解集； (2)求函数g (x )的最大值与最小值；(3)若函数F (x )＝f (x )－ax 在定义域上恰有2个极值点，求实数a 的取值范围． [解] (1)因为f ′(x )＝－sin x e x ＋cos xex ， 1分所以g (x )＝cos x e －sin x e ＝0，解得x ＝π4或x ＝5π4；3分 (2)因为g ′(x )＝－cos x e x －sin x e x ＋sin x e x －cos x e x ＝－2cos xe x ，4分令g ′(x )＝0，解得x ＝π2或x ＝3π2，5分所以g (x )的最大值为g (0)＝1，所以g (x )的最小值为g ⎝ ⎛⎭⎪⎫2＝－e π2. 7分(3)因为F ′(x )＝－sin x e x ＋cos xex －a ＝g (x )－a ，所以函数F (x )＝f (x )－ax 在定义域上恰有2个极值点，等价于g (x )－a ＝0在定义域上恰有2个零点且在零点处异号，即y ＝g (x )与y ＝a 的图象恰有两个交点，9分由(2)知F ′(0)＝g (0)－a ＝1－a ，F ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－a ＝－e －π2－a ，F ′⎝⎛⎭⎪⎫3π2＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－a ＝e －3π2－a ，F ′(2π)＝g (2π)－a ＝e －2π－a ，若F ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2≥0，则F ′⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＞F ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＞0，所以F ′(x )＝0至多只有1个零点，不成立，10分所以只有F ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＜0；11分若F ′⎝⎛⎭⎪⎫3π2＜0，则F ′(2π)＜0，所以F ′(x )＝0只有1个零点，不成立，12分所以F ′⎝⎛⎭⎪⎫3π2≥0，13分。

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专项限时集训(三) 以构建函数模型、解三角形、动点轨迹为背景的实际问题(对应学生用书第117页)(限时：60分钟)1．(本小题满分14分)(2017·盐城市滨海县八滩中学二模)如图4是一“T”型水渠的平面视图(俯视图)，水渠的南北方向和东西方向轴截面均为矩形，南北向渠宽为4 m ，东西向渠宽2m(从拐角处，即图中A ，B 处开始)．假定渠内的水面始终保持水平位置(即无高度差)．图4(1)在水平面内，过点A 的一条直线与水渠的内壁交于P ，Q 两点，且与水渠的一边的夹角为θ⎝⎛⎭⎪⎫0＜θ＜π2，将线段PQ 的长度l 表示为θ的函数；(2)若从南面漂来一根长为7 m 的笔直的竹竿(粗细不计)，竹竿始终浮于水平面内，且不发生形变，问：这根竹竿能否从拐角处一直漂向东西向的水渠(不会卡住)？请说明理由.【导学号：56394096】[解] (1)由题意，PA ＝2sin θ，QA ＝4cos θ，所以l ＝PA ＋QA ，即l ＝2sin θ＋4cos θ⎝ ⎛⎭⎪⎫0＜θ＜π2. 4分(2)设f (θ)＝2sin θ＋4cos θ，θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2. 由f ′(θ)＝－2cos θsin 2θ＋4sin θcos 2θ＝22sin 3θ－cos 3θsin 2θcos 2θ， 6分令f ′(θ)＝0，得tan θ0＝22. 8分且当θ∈(0，θ0)，f ′(θ)＜0；当θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫θ0，π2，f ′(θ)＞0，所以，f (θ)在(0，θ0)上单调递减；在⎝ ⎛⎭⎪⎫θ0，π2上单调递增，所以，当θ＝θ0时，f (θ)取得极小值，即为最小值．当tan θ0＝22时，sin θ0＝13，cos θ0＝23，所以f (θ)的最小值为36，12分即这根竹竿能通过拐角处的长度的最大值为3 6 m.因为36＞7，所以这根竹竿能从拐角处一直漂向东西向的水渠.14分2．(本小题满分14分)(2017·江苏省宿迁市三模)某景区修建一栋复古建筑，其窗户设计如图5所示．圆O 的圆心与矩形ABCD 对角线的交点重合，且圆与矩形上下两边相切(E 为上切点)，与左右两边相交(F ，G 为其中两个交点)，图中阴影部分为不透光区域，其余部分为透光区域．已知圆的半径为1 m 且AB AD ≥12，设∠EOF ＝θ，透光区域的面积为S .图5(1)求S 关于θ的函数关系式，并求出定义域；(2)根据设计要求，透光区域与矩形窗面的面积比值越大越好．当该比值最大时，求边AB 的长度．[解] (1)过点O 作OH ⊥FG 于H ，∴∠OFH ＝∠EOF ＝θ；又OH ＝OF sin θ＝sin θ，FH ＝OF cos θ＝cos θ，∴S ＝4S △OFH ＋4S 扇形OEF ＝2sin θcos θ＋4×12θ＝sin 2θ＋2θ；∵AB AD ≥12，∴sin θ≥12，∴θ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫π6，π2； ∴S 关于θ的函数关系式为S ＝sin 2θ＋2θ，θ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫π6，π2；6分(2)由S 矩形＝AD ·AB ＝2×2sin θ＝4sin θ，则透光区域与矩形窗面积比值为2sin θcos θ＋2θ4sin θ＝cos θ2＋θ2sin θ，设f (θ)＝cos θ2＋θ2sin θ，θ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫π6，π2，则f ′(θ)＝－12sin θ＋sin θ－θcos θ2sin 2θ＝sin θ－θcos θ－sin 3θ2sin 2θ ＝sin θcos 2θ－θcos θ2sin 2θ＝cos θ⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin 2θ－θ2sin 2θ； 10分∵π6≤θ＜π2，∴12sin 2θ≤12， ∴12sin 2θ－θ＜0， ∴f ′(θ)＜0，∴f (θ)在θ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫π6，π2上是单调减函数； ∴当θ＝π6时f (θ)取得最大值为π6＋34，此时AB ＝2sin θ＝1(m)；∴当透光区域与矩形窗面的面积比值最大时，所求AB 的长度为1 m ．14分3．(本小题满分14分)(扬州市2017届高三上学期期中)如图6，某市在海岛A 上建了一水产养殖中心．在海岸线l 上有相距70公里的B 、C 两个小镇，并且AB ＝30公里，AC ＝80公里，已知B 镇在养殖中心工作的员工有3百人，C 镇在养殖中心工作的员工有5百人．现欲在BC 之间建一个码头D ，运送来自两镇的员工到养殖中心工作，又知水路运输与陆路运输每百人每公里运输成本之比为1∶2.图6(1)求sin ∠ABC 的大小；(2)设∠ADB ＝θ，试确定θ的大小，使得运输总成本最少．[解] (1)在△ABC 中，cos ∠ABC ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB ·BC ＝900＋4 900－ 64002×30×70＝－17，所以sin ∠ABC ＝437.4分(2)在△ABD 中，由ADsin ∠ABD＝ABsin θ＝BDsin ∠BAD得：30sin θ＝AD437＝BD－17sin θ＋437cos θ.所以AD ＝12037sin θ，BD ＝12037cos θ－307sin θsin θ＝12037cos θsin θ－307.6分设水路运输的每百人每公里的费用为k 元，陆路运输的每百人每公里的费用为2k 元，则运输总费用y ＝(5CD ＋3BD )×2k ＋8×k ×AD ＝2k [5(70－BD )＋3BD ＋4AD ] ＝20k ⎣⎢⎡⎦⎥⎤35－2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1237cos θsin θ－37＋4×1237sin θ＝20k ⎣⎢⎡⎦⎥⎤35＋67＋2437·2－cos θsin θ. 令H (θ)＝2－cos θsin θ，则H ′(θ)＝1－2cos θsin 2θ，令H ′(θ)＝0，解得：cos θ＝12，θ＝π3. 10分当0＜θ＜π3时，H ′(θ)＜0，H (θ)单调递减；当π3＜θ＜π2时，H ′(θ)＞0，H (θ)单调递增， ∴θ＝π3时，H (θ)取最小值，同时y 也取得最小值．此时BD ＝12037cos θsin θ－307＝907，满足0＜907＜70，所以点D 落在BC 之间．所以θ＝π3时，运输总成本最小.14分4．(本小题满分16分) 如图7所示，在一个坡度一定的山坡AC 的顶上有一高度为25 m 的建筑物CD ，为了测量该山坡相对于水平地面的坡角θ，在山坡的A 处测得∠DAC ＝15°，沿山坡前进50 m 到达B 处，又测得∠DBC ＝45°，根据以上数据计算cos θ的值．图7[解] 由∠DAC ＝15°，∠DBC ＝45°可得∠BDA ＝30°，∠DBA ＝135°，∠BDC ＝90°－(15°＋θ)－30°＝45°－θ， 4分由内角和定理可得∠DCB ＝180°－(45°－θ)－45°＝90°＋θ，根据正弦定理可得50sin 30°＝DBsin 15°，即DB ＝100sin 15°＝100×sin(45°－30°)＝252(3－1)，10分又25sin 45°＝2523－＋θ，即25sin 45°＝2523－cos θ，得到cos θ＝3－1.16分5．(本小题满分16分)(镇江市2017届高三上学期期末)如图8，某公园有三条观光大道AB ，BC ，AC 围成直角三角形，其中直角边BC ＝200 m ，斜边AB ＝400 m ．现有甲、乙、丙三位小朋友分别在AB ，BC ，AC 大道上嬉戏，所在位置分别记为点D ，E ，F .图8(1)若甲、乙都以每分钟100 m 的速度从点B 出发在各自的大道上奔走，到大道的另一端时即停，乙比甲迟2分钟出发，当乙出发1分钟后，求此时甲、乙两人之间的距离； (2)设∠CEF ＝θ，乙丙之间的距离是甲、乙之间距离的2倍，且∠DEF ＝π3，请将甲乙之间的距离y 表示为θ的函数，并求甲乙之间的最小距离． [解] (1)依题意得BD ＝300，BE ＝100，在△ABC 中，cos B ＝BC AB ＝12，∴B ＝π3，2分在△BDE 中，由余弦定理得：DE 2＝BD 2＋BE 2－2BD ·BE ·cos B ＝3002＋1002－2·300·100·12＝70 000，∴DE ＝1007.6分即甲、乙两人之间的距离为1007 m ．7分(2)由题意得EF ＝2DE ＝2y ，∠BDE ＝∠CEF ＝θ，在直角三角形CEF 中，CE ＝EF ·cos∠CEF ＝2y cos θ，9分在△BDE 中，由正弦定理得BE sin ∠BDE ＝DE sin ∠DBE ，即200－2y cos θsin θ＝ysin 60°，∴y ＝10033cos θ＋sin θ＝503sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π3，0＜θ＜π2，12分所以当θ＝π6时，y 有最小值50 3.14分故甲、乙之间的最小距离为50 3 m ．16分6．(本小题满分16分)(2017·江苏省盐城市高考数学三模)一儿童游乐场拟建造一个“蛋筒”型游乐设施，其轴截面如图9中实线所示．ABCD 是等腰梯形，AB ＝20米，∠CBF ＝α(F 在AB 的延长线上，α为锐角)．圆E 与AD ，BC 都相切，且其半径长为100－80 sin α米．EO 是垂直于AB 的一个立柱，则当sin α的值设计为多少时，立柱EO 最矮？【导学号：56394097】图9[解] 如图所示，以AB 所在直线为x 轴，以线段AB 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系．因为B (10,0)，k BC ＝tan α，所以直线BC 的方程为：y ＝tan α(x －10)，即x tan α－y －10tan α＝0，4分设圆心E (0，t )(t ＞0)，由圆E 与直线BC 相切，得100－80sin α＝|－t －10tan α|1＋tan 2α＝t ＋10tan α1cos α，所以EO ＝t ＝100－90sin αcos α，8分令f (α)＝100－90sin αcos α，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则f ′(α)＝100⎝⎛⎭⎪⎫sin α－910cos α，设sin α0＝910，α0∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2.列表如下：所以当α＝α0，即sin α＝10时，f (α)取最小值.15分所以当sin α＝910时，立柱EO 最矮.16分。

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