2015版《复习方略》课件(人教A版数学理)第二章 第十二节导数与生活中的优化问题及综合应用
高考理科数学大二轮专题复习新方略课件导数的简单应用
历年高考真题回顾与解析
01
2022年全国卷导数 大题
通过构造函数，利用导数研究函 数的单调性和最值，解决不等式 恒成立问题。
02
2021年全国卷导数 大题
结合导数的几何意义，考查切线 方程的求解和函数零点存在性定 理的运用。
03
2020年全国卷导数 大题
考查利用导数研究函数的极值和 最值，以及分类讨论思想在解题 中的运用。
应试技巧总结
01
熟练掌握导数的基本公式和运算法则，能够快速准确地求出函数的导 数。
02
理解导数的几何意义，能够灵活运用导数解决切线、法线、单调性、 极值等问题。
03
掌握利用导数研究函数性质的方法，如判断函数的单调性、求函数的 极值和最值等。
04
具备分类讨论思想，能够根据问题的不同情况选择合适的解题方法。
高考理科数学大二轮专题复习新 方略课件导数的简单应用
汇报人：XX 20XX-01-13
目 录
• 导数概念及基本公式 • 导数在函数性质中的应用 • 导数在解决实际问题中的应用 • 微分学基本概念及运算规则 • 高考真题解析与应试技巧
01
导数概念及基本公式
导数定义与几何意义
导数定义
设函数y=f(x)在点x0的某个邻域内有定义，当自变量x在x0处 有增量Δx，(x0+Δx)也在该邻域内时，相应地函数取得增量 Δy=f(x0+Δx)-f(x0)；如果Δy与Δx之比当Δx→0时极限存在 ，则称函数y=f(x)在点x0处可导，并称这个极限为函数y=f(x) 在点x0处的导数。
几何意义
函数y=f(x)在点x0处的导数f'(x0)的几何意义表示函数曲线在 点P0(x0,f(x0))处的切线的斜率（导数的几何意义是该函数曲 线在这一点上的切线斜率）。
高中全程复习方略数学课件：第二章 函数、导数及其应用 2.11.2
名师点评 已知函数极值点或极值求参数的 2 个要领
(1)列式：根据极值点处导数为 0 和极值这两个条件列方程组， 利用待定系数法求解．
(2)验证：因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所 以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性．
编后语
听课对同学们的学习有着非常重要的作用。课听得好好，直接关系到大家最终的学习成绩。如何听好课，同学们可以参考如下建议：
所以 y 在区间[25,26]上单调递增，在区间[26,40]上单调递减， 所以当 x＝26 时，ymax＝100e4， 即当每公斤蘑菇的出厂价为 26 元时，该工厂的每日利润最大， 最大值为 100e4 元.
悟·技法 利用导数解决生活中的优化问题的四步曲 (1)分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模 型，写出实际问题中变量之间的函数关系式 y＝f(x)． (2)求函数的导数 f′(x)，解方程 f′(x)＝0. (3)比较函数在区间端点处和 f′(x)＝0 的点的函数值的大小， 最大(小)者为最大(小)值． (4)回归实际问题作答.
(2)∵f′(x)＝a＋x2x， ∴当 a>0，x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0，即 f(x)在 x∈(0，＋∞)上单 调递增，没有最小值；
当 a<0 时，由 f′(x)>0 得，x>－a2，∴f(x)在－a2，＋∞上单调递 增；由 f′(x)<0 得，0<x<－a2，∴f(x)在0，－a2上单调递减．
解析：(1)因为蓄水池侧面的总成本为 100×2πrh＝200πrh 元， 底面的总成本为 160πr2 元，所以蓄水池的总成本为(200πrh＋160πr2)
元．又根据题意得 200πrh＋160πr2＝12 000π，所以 h＝51r(300－4r2)， 从而 V(r)＝πr2h＝π5(300r－4r3)．由 h＞0，且 r＞0 可得 0＜r＜5 3， 故函数 V(r)的定义域为(0,5 3)．
2015年高考数学第一轮复习课件：2.12导数的综合应用
单调递减区间是(－1，a)．
第八页，编辑于星期五：十一点 四十七分。
导数在方程(函数零点)中的应用
【训练 1】 (2012·天津卷节选)已知函数 f(x)＝13x3＋1－2 ax2－ax－a，x∈R， 其中 a＞0. (1)求函数 f(x)的单调区间； (2)若函数 f(x)在区间(－2,0)内恰有两个零点，求 a 的取值范围．
因为 a∈(－4，－2)，所以－2<a＋2<0，即 m≤－2.
所以实数 m 的取值范围是(－∞，－2]．
第十四页，编辑于星期五：十一点 四十七分。
导数与生活中的优化问题
【例 3】某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距 m 米，余下工 程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩，经预测，一个桥墩的工程费用为 256 万元，距离为 x 米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2＋ x)x 万 元．假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记 余下工程的费用为 y 万元． (1)试写出 y 关于 x 的函数关系式； (2)当 m＝640 米时，需新建多少个桥墩才能使 y 最小？
审题路线
(1)由极值点确 定出实数m的值 ，然后利用导 数求出函数的 单调区间.
第十页，编辑于星期五：十一点 四十七分。
导数在不等式中的应用
【例 2】(2013·新课标全国Ⅱ卷)已知函数 f(x)＝ex－ln(x＋m)． (1)设 x＝0 是 f(x)的极值点，求 m，并讨论 f(x)的单调性； (2)当 m≤2 时，证明 f(x)>0.
(2)当 m≤2，x>－m 时，ln(x＋m)≤ln(x＋2)． 故只需证明当 m＝2 时，f(x)>0.
审题路线
当
m＝2
时，f′(x)＝ex－x＋1 2在(－2，＋∞)上单调递增．
数学人教A版选择性必修第二册5.1.2导数的概念课件
∴当 Δx→0 时，f（x0＋Δx）2－Δxf（x0－Δx）必趋于 f′(x0)＝k，
∴ lim x0
f（x0＋Δx）2－Δxf（x0－Δx）＝k，
∴ lim x0
f（x0＋Δx）Δ－xf（x0－Δx）＝2k.
规律方法 由导数的定义可知，若函数 y＝f(x)在 x＝x0 处可导，则 f′(x)＝
[思考] 1.导数或瞬时变化率可以反应函数变化的什么特征？
提示 导数或瞬时变化率可以反应函数在某一点处变化的快慢程度. 2.函数的平均变化率与瞬时变化率有什么区分和联系？ 提示 (1)平均变化率与瞬时变化率的区分：平均变化率刻画函数值在区间[x1，x2] 上变化的快慢，瞬时变化率刻画函数值在x＝x0处变化的快慢. (2)平均变化率与瞬时变化率的联系：当 Δx 趋于 0 时，平均变化率ΔΔyx趋于一个常数， 这个常数为函数在 x＝x0 处的瞬时变化率，它是一个固定值.
2
＝ lxim 0 Δx[
（Δx）2＋2Δx （Δx）2＋2Δx＋2＋
＝ lim 2] x0
Δx＋2 （Δx）2＋2Δx＋2＋
＝ 2
22.
规律方法 求一个函数 y＝f(x)在 x＝x0 处的导数的步骤如下： (1)求函数值的变化量 Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)； (2)求平均变化率ΔΔxy＝f（x0＋ΔxΔ）x －f（x0）；
又f′(1)＝3，∴a＝3. 答案 3
4.已知函数 f(x)＝ x，则 f′(1)＝________.
解析
f′(1)＝
f（1＋Δx）－f（1） Δx
＝ lim x0
1＋Δx－1 Δx
＝ lim x0
1＋1Δx＋1＝12.
答案
1 2
5.若 lim x0
2014版山东《复习方略》(人教A版数学理)课时提升作业第二章 第十二节导数与生活中的优化问题及综合应用
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课时提升作业(十五)一、选择题1.(2013·日照模拟)已知某生产厂家年利润y(单位:万元)与年产量x(单位:万件)的函数关系式为31y x 81x 234,3=-+-则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为( )(A)13万件 (B)11万件 (C)9万件 (D)7万件 2.若对任意的x>0,恒有ln x ≤px-1(p>0),则p 的取值范围是( ) (A)(0,1] (B)(1,+∞) (C)(0,1) (D)[1,+∞)3.(2013·伊春模拟)在半径为R 的半球内有一内接圆柱,则这个圆柱的体积的最大值是( )R 3 πR 3(C)3πR 3 (D)49πR 34.(2013·德州模拟)已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数，f(1)=0,当x ＞0时，有2xf (x)f (x)0x'-＞成立，则不等式f(x)＞0的解集是( ) (A)(-∞,-1)∪(1,+∞) (B)(-1,0) (C)(1,+∞) (D)(-1,0)∪(1,+∞)5.函数y=2x 3+1的图象与函数y=3x 2-b 的图象有三个不相同的交点,则实数b 的取值范围是( )(A)(-2,-1) (B)(-1,0) (C)(0,1) (D)(1,2)6.(2013·沈阳模拟)设f(x)是定义在R 上的奇函数，且f(2)＝0，当x>0时，有()()2xf x f x x '－<0恒成立，则不等式x 2f(x)>0的解集是( )(A)(－2,0)∪(2，＋∞) (B)(－2,0)∪(0,2) (C)(－∞，－2)∪(2，＋∞) (D)(－∞，－2)∪(0,2) 二、填空题7.已知函数f(x)=xsinx,x ∈R,f(-4),f(43π),f(54π－)的大小关系为 (用“<”连接).8.(2013·江西师大附中模拟)已知f(x)=x 3-3x+m ，在区间［0,2］上任取三个不同的数a,b,c,均存在以f(a),f(b),f(c)为边长的三角形，则m 的取值范围是 .9．(能力挑战题)设函数()()222x e x 1e xf x ,g x x e+=＝,对任意x 1，x 2∈(0,＋∞)，不等式()()12g x f x k k 1≤+恒成立，则正数k 的取值范围是__________. 三、解答题10.(2013·石家庄模拟)已知函数f(x)=(a+1)ln x+ax 2+1. (1)讨论函数f(x)的单调性.(2)设a ≤-2，证明：对任意x 1,x 2∈(0,+∞)，|f(x 1)-f(x 2)|≥4|x 1-x 2|. 11.某唱片公司要发行一张名为《春风再美也比不上你的笑》的唱片，包含《新花好月圆》《荷塘月色》等10首创新经典歌曲.该公司计划用x(百万元)请李子恒老师进行创作，经调研知：该唱片的总利润y(百万元)与(3-x)x 2成正比的关系，当x=2时y=32.又有()x23x -∈(0,t ］，其中t 是常数，且t ∈(0,2］.(1)设y=f(x)，求其表达式及定义域(用t 表示). (2)求总利润y 的最大值及相应的x 的值.12.(能力挑战题)已知函数f(x)=13x 3-x 2+ax-a(a ∈R). (1)当a=-3时,求函数f(x)的极值.(2)若函数f(x)的图象与x 轴有且只有一个交点,求a 的取值范围.答案解析1.【解析】选C.因为y ′=-x 2+81，由y ′=0, 得x=9(-9舍去). 当x ∈(0,9)时，y ′＞0; 当x ∈(9,+≦)时，y ′＜0,所以当x=9时，y 有最大值，故选C.2.【解析】选D.原不等式可化为lnx-px+1≤0,令f(x)=lnx-px+1,故只需f(x)max ≤0.由f ′(x)=1x-p,知f(x)在(0,1p )上单调递增,在(1p,+≦)上单调递减.故f(x)max =f(1p)=-lnp,由-lnp ≤0得p ≥1.3.【解析】选A.设圆柱的高为h,,圆柱的体积为V=π(R 2-h 2)h=-πh 3+πR 2h(0<h<R),V ′=-3πh 2+πR 2V 有最大值为V=πR 3. 4.【解析】选D.令g(x)()f x x=, 当x ＞0时，有()()()2x f x f x g x 0x '-'=＞, 即当x ＞0时，()()f xg x x=是增函数. 又f(x)在R 上是奇函数，所以()()f xg x x=在(-≦,0)∪(0,+≦)上是偶函数.所以，当x ＜0时，()()f xg x x=是减函数.而f(1)=0，所以不等式f(x)＞0的解集是(-1，0)∪(1,+≦).5.【解析】选B.由题意知方程2x3+1=3x2-b,即2x3-3x2+1=-b有三个不相同的实数根,令f(x)=2x3-3x2+1,即函数y=f(x)=2x3-3x2+1与直线y=-b有三个交点.由f′(x)=6x2-6x=6x(x-1)知,函数y=f(x)在区间(-≦,0)上单调递增,在(0,1)上单调递减,在(1,+≦)上单调递增,故f(0)是函数的极大值,f(1)是函数的极小值,若函数y=f(x)=2x3-3x2+1与直线y=-b有三个交点,则f(1)<-b<f(0),解得-1<b<0.6.【思路点拨】x2f(x)化为x3·()f xx,研究函数y＝()f xx的单调性，利用单调性结合图象求解.【解析】选D.当x>0时，有()()2xf x f xx'－＜0，则()f xx'［］<0，()f xx在x>0时单调递减，x2f(x)＞0,即为x3·()f xx>0⇒()f xx>0.f(2)＝0，画出y＝()f xx在x>0时的示意图，知0<x<2.同理，由f(x)是奇函数，则y＝()f xx是偶函数，如图，在x<0时y＝()f xx单调递增，x2f(x)>0，即为x3·()f xx>0⇒()f xx<0.f(－2)＝0，≨x<－2.综上所述，不等式的解集是(－≦，－2)∪(0,2).7.【解析】f ′(x)=sinx+xcosx,当x ∈[5443ππ，]时,sinx<0,cosx<0, ≨f ′(x)=sinx+xcosx<0,则函数f(x)在x ∈[5443ππ，]时为减函数,≨f(43π)<f(4)<f(54π),又函数f(x)为偶函数,≨f(43π)<f(-4)<f(-54π).答案:f(43π)<f(-4)<f(-54π)8.【思路点拨】关键是在［0,2］上任取三个不同的数a,b,c ，均存在以f(a), f(b),f(c)为边长的三角形，三个不同的数a,b,c,对应的f(a),f(b),f(c)可以有两个相同.【解析】f(x)=x 3-3x+m ，f ′(x)=3x 2-3，由f ′(x)=0得到x=1或x=-1，在［0,2］上，函数先减小后增加，计算两端及最小值f(0)=m ，f(2)=2+m,f(1)=-2+m.在［0,2］上任取三个不同的数a,b,c ，均存在以f(a),f(b),f(c)为边的三角形，三个不同的数a,b,c 对应的f(a),f(b),f(c)可以有两个相同.由三角形两边之和大于第三边，可知最小边长的二倍必须大于最大边长. 由题意知，f(1)=-2+m ＞0 ① f(1)+f(1)＞f(0)，得到-4+2m ＞m ② f(1)+f(1)＞f(2)，得到-4+2m ＞2+m ③ 由①②③得到m ＞6，即为所求.答案:m ＞69.【解析】≧k 为正数， ≨对任意x 1，x 2∈(0,＋≦)，不等式()()12g x f x k k 1≤+恒成立⇒()()max min g x f x k k 1≤+［］［］ 由g ′(x)=()x 22xe 1x e +- =0，得x=1，x ∈(0,1)时,g ′(x)＞0,x ∈(1,+≦)时，g ′(x)＜0，≨()()max g x g 1e k k k==［］. 同理由f ′(x)=222e x 1x-=0，得x=1e ， x ∈(0, 1e )时,f ′(x)＜0，x ∈(1e,+≦)时，f ′(x)＞0，()min1f f x 2e e ,k 1k 1k 1==+++（）［］ ≨e 2e k k 1≤+,k ＞0⇒k ≥1. 答案：{k|k ≥1}【变式备选】已知两函数f(x)=8x 2+16x-k,g(x)=2x 3+5x 2+4x,其中k 为实数. (1)对任意x ∈[-3,3],都有f(x)≤g(x)成立,求k 的取值范围. (2)存在x ∈[-3,3],使f(x)≤g(x)成立,求k 的取值范围. (3)对任意x 1,x 2∈[-3,3],都有f(x 1)≤g(x 2),求k 的取值范围. 【解析】(1)设h(x)=g(x)-f(x)=2x 3-3x 2-12x+k, 问题转化为x ∈[-3,3]时,h(x)≥0恒成立, 即h(x)min ≥0,x ∈[-3,3].令h ′(x)=6x 2-6x-12=0,得x=2或x=-1.≧h(-3)=k-45,h(-1)=k+7,h(2)=k-20, h(3)=k-9,≨h(x)min =k-45≥0,得k ≥45. (2)据题意:存在x ∈[-3,3],使f(x)≤g(x)成立, 即为h(x)=g(x)-f(x)≥0在x ∈[-3,3]上能成立, ≨h(x)max ≥0.≨h(x)max =k+7≥0,得k ≥-7. (3)据题意:f(x)max ≤g(x)min ,x ∈[-3,3], 易得f(x)max =f(3)=120-k,g(x)min =g(-3)=-21.≨120-k ≤-21,得k ≥141.10.【解析】(1)f(x)的定义域为(0,+≦)，f ′(x)=2a 12ax a 12ax .x x++++= 当a ≥0时，f ′(x)＞0，故f(x)在(0,+≦)上单调增加; 当a ≤-1时，f ′(x)＜0，故f(x)在(0,+≦)上单调减少;当-1＜a ＜0时，令f ′(x)=0，得当x ∈时，f ′(x)＞0；当x ∈≦)时，f ′(x)＜0，故f(x)在上单调增加,在+≦)上单调减少.综上所述，a ≥0时，f(x)在(0,+≦)上单调增加；-1＜a ＜0时，f(x)在上单调增加，在≦)上单调减少; a ≤-1时，f(x)在(0,+≦)上单调减少.(2)不妨设x 1≤x 2.由于a ≤-2，故f(x)在(0,+≦)上单调减少.所以|f(x 1)-f(x 2)|≥4|x 1-x 2|等价于f(x 1)-f(x 2)≥4x 2-4x 1，即f(x 2)+4x 2≤f(x 1)+ 4x 1.令g(x)=f(x)+4x ，则g ′(x)=2a 12ax 4x a 12ax 4x x++++++=. 令h(x)=2ax 2+4x+a+1,因为a ≤-2，Δ=42-8a(a+1)=-8(a-1)(a+2)≤0. 于是g ′(x)≤0.从而g(x)在(0，+≦)上单调减少，故g(x 1)≥g(x 2),即f(x 1)+4x 1≥f(x 2)+4x 2，故对任意x 1,x 2∈(0,+≦)，|f(x 1)-f(x 2)|≥4|x 1-x 2|. 11.【解析】(1)y=k(3-x)x 2, 当x=2时，y=32,≨k=8, y=f(x)=24x 2-8x 3. ≧()x23x -∈(0,t ］,≨0＜x ≤6t2t 1+. ≨定义域为(0,6t2t 1+］. (2)令 y ′=-24x(x-2)=0, ≨x=0或x=2.讨论：若2≤6t2t 1+，即1≤t ≤2时, f(x)在(0,2)上单调递增，在(2,6t2t 1+)上单调递减.所以y max =f(2)=32, 若2＞6t2t 1+，即0＜t ＜1时, f ′(x)＞0，所以f(x)在(0，6t2t 1+)上为增函数.y max=f(6t2t1+)=()23864t2t1+.综上所述，当1≤t≤2，x=2时，y max=32；当0＜t＜1,x=6t2t1+时，y max=()23864t2t1+.12.【思路点拨】(1)求出导函数的零点,再判断零点两侧导数的符号.(2)三次函数的零点决定于函数的极值的符号,若函数f(x)的图象与x轴有且只有一个交点,则此时极大值与极小值同号.【解析】(1)当a=-3时,f(x)=13x3-x2-3x+3.f′(x)=x2-2x-3=(x-3)(x+1).令f′(x)=0,得x1=-1,x2=3.当x<-1时,f′(x)>0,则函数在(-≦,-1)上是增函数,当-1<x<3时,f′(x)<0,则函数在(-1,3)上是减函数,当x>3时,f′(x)>0,则函数在(3,+≦)上是增函数.所以当x=-1时,函数f(x)取得极大值为f(-1)=-13-1+3+3=143,当x=3时,函数f(x)取得极小值为f(3)=13×27-9-9+3=-6.(2)因为f′(x)=x2-2x+a,所以Δ=4-4a=4(1-a).①当a≥1时,则Δ≤0,≨f′(x)≥0在R上恒成立,所以f(x)在R上单调递增. f(0)=-a<0,f(3)=2a>0,所以,当a≥1时函数的图象与x轴有且只有一个交点.②a<1时,则Δ>0,≨f′(x)=0有两个不等实数根,不妨设为x1,x2(x1<x2),≨x1+x2=2,x1·x2=a,当x变化时,f(x),f′(x)的变化情况如下表:圆学子梦想 铸金字品牌- 11 -≧x 12-2x 1+a=0,≨a=-x 12+2x 1, ≨f(x 1)=32111x x 3-+ax 1-a=32111x x 3-+ax 1+21x -2x 1=311x 3+(a-2)x 1=13x 1[x 12+3(a-2)], 同理f(x 2)=13x 2[x 22+3(a-2)].≨f(x 1)·f(x 2)=19x 1x 2[x 12+3(a-2)][x 22+3(a-2)]=49a(a 2-3a+3).令f(x 1)·f(x 2)>0,解得a>0. 而当0<a<1时,f(0)=-a<0,f(3)=2a>0.故0<a<1时,函数f(x)的图象与x 轴有且只有一个交点. 综上所述,a 的取值范围是(0,+≦). 【方法技巧】巧解方程根的个数问题当函数的极值点很难求解时,可采用设而不求的思想.设出极值点后(设极大值为M,极小值为m),将M 与m 的符号问题转化为M 与m 乘积的符号问题,最后把M 与m 乘积转化为根与系数的关系解决.关闭Word 文档返回原板块。
[整理]版高中全程复习方略数学：2.12导数在研究函数中的应用与生活中的优化问题举例(人教a版·数学理)
![[整理]版高中全程复习方略数学：2.12导数在研究函数中的应用与生活中的优化问题举例(人教a版·数学理)](https://img.taocdn.com/s3/m/434b946f03d8ce2f01662335.png)
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课时提能演练(十四)(45分钟 100分)一、选择题(每小题6分，共36分)1.(2012·郑州模拟)函数f(x)＝(x2－1)3＋2的极值点是( )(A)x＝1 (B)x＝－1(C)x＝1或－1或0 (D)x＝02.对于R上可导的任意函数f(x)，若满足(x－1)f′(x)≥0，则必有( )(A)f(0)＋f(2)＜2f(1)(B)f(0)＋f(2)≤2f(1)(C)f(0)＋f(2)≥2f(1)(D)f(0)＋f(2)＞2f(1)3.若函数y＝a(x3－x)的递减区间为(－33，33)，则a的范围是( )(A)a>0 (B)－1<a<0(C)a>1 (D)0<a<14.(2012·温州模拟)设f(x)＝x(ax2＋bx＋c)(a≠0)在x＝1和x＝－1处均有极值，则下列点中一定在x轴上的是( )(A)(a，b) (B)(a，c)(C)(b ，c) (D)(a ＋b ，c)5.函数f(x)＝12e x (sinx ＋cosx)在区间[0，π2]上的值域为( )(A)[12，12e x 2] (B)(12，12e 2π)(C)[1，e 2π] (D)(1，e 2π)6.已知函数y ＝f(x)(x∈R)的图象如图所示，则不等式xf′(x)<0的解集为( )(A)(－∞，12)∪(12，2)(B)(－∞，0)∪(12，2)(C)(－∞，12) ∪(12，＋∞)(D)(－∞，12)∪(2，＋∞)二、填空题(每小题6分，共18分)7.(易错题)(2012·长春模拟)已知函数f(x)＝x 3＋3mx 2＋nx ＋m 2在x ＝－1时有极值0，则m ＋n ＝ .8.已知函数f(x)＝alnx ＋x 在区间[2,3]上单调递增，则实数a 的取值范围是 .9.(2012·柳州模拟)直线y ＝a 与函数f(x)＝x 3－3x 的图象有相异的三个公共点，则a 的取值范围是 . 三、解答题(每小题15分，共30分) 10.已知函数f(x)＝lnx －ax .(1)求函数f(x)的单调增区间；(2)若函数f(x)在[1，e]上的最小值为32，求实数a 的值.11.(2011·福建高考)某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y ＝a x －3＋10(x －6)2，其中3＜x ＜6，a 为常数，已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克. (1)求a 的值；(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x 的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大. 【探究创新】(16分)某造船公司年最大造船量是20艘，已知造船x 艘的产值函数为R(x)＝3 700x ＋45x 2－10x 3(单位：万元)，成本函数为C(x)＝460x ＋5 000(单位：万元)，又在经济学中，函数f(x)的边际函数Mf(x)定义为Mf(x)＝f(x ＋1)－f(x).(1)求利润函数P(x)及边际利润函数MP(x)；(提示：利润＝产值－成本)(2)问年造船量安排多少艘时，可使公司造船的年利润最大？(3)求边际利润函数MP(x)的单调递减区间，并说明单调递减在本题中的实际意义是什么？答案解析1.【解析】选D.由f′(x)＝3(x2－1)2·2x＝0得x＝0或x＝1或x＝－1，又当x＜－1时，f′(x)＜0，当－1＜x＜0时，f′(x)＜0，当0＜x＜1时，f′(x)＞0，当x＞1时，f′(x)＞0，∴只有x＝0是函数f(x)的极值点.2.【解题指南】分x>1和x＜1两种情况讨论单调性.【解析】选C.当x>1时，f′(x)≥0，若f′(x)＝0，则f(x)为常数函数，若f′(x)>0，则f(x)为增函数，总有f(x)≥f(1).当x<1时，f′(x)≤0，若f′(x)＝0，则f(x)为常数函数.若f′(x)<0，则f(x)为减函数，总有f(x)≥f(1)，∴f(x)在x＝1处取得最小值.即f(0)≥f(1)，f(2)≥f(1)，∴f(0)＋f(2)≥2f(1).3.【解析】选A.∵y′＝a(3x2－1)＝3a(x＋33)(x－33)，∴当－33<x<33时，(x ＋33)(x －33)<0.∴要使y ′<0，必须取a>0.4.【解析】选A.f ′(x)＝3ax 2＋2bx ＋c ，由题意知1，－1是方程3ax 2＋2bx ＋c ＝0的两根，1－1＝－2b3a ，∴b ＝0.故点(a ，b)一定在x 轴上.5.【解析】选A.f ′(x)＝12e x (sinx ＋cosx)＋12e x (cosx －sinx)＝e x cosx ，当0<x<π2时，f ′(x)>0，∴f(x)是[0，π2]上的增函数.∴f(x)的最大值为f(π2)＝12e 2π，f(x)的最小值为f(0)＝12.∴f(x)的值域为[12，12e 2π].6.【解析】选B.由f(x)图象的单调性可得f ′(x)在(－∞，12)和(2，＋∞)上大于0，在(12，2)上小于0，∴xf ′(x)<0的解集为(－∞，0)∪(12，2).7.【解析】∵f ′(x)＝3x 2＋6mx ＋n ， ∴由已知可得⎩⎨⎧f(－1)＝(－1)3＋3m(－1)2＋n(－1)＋m 2＝0f ′(－1)＝3×(－1)2＋6m(－1)＋n ＝0，∴⎩⎨⎧m ＝1n ＝3或⎩⎨⎧m ＝2n ＝9，当⎩⎨⎧ m ＝1n ＝3时，f ′(x)＝3x 2＋6x ＋3＝3(x ＋1)2≥0恒成立与x ＝－1是极值点矛 盾，当⎩⎨⎧m ＝2n ＝9时，f ′(x)＝3x 2＋12x ＋9＝3(x ＋1)(x ＋3)，显然x ＝－1是极值点，符合题意， ∴m ＋n ＝11.答案：11【误区警示】本题易出现求得m ，n 后不检验的错误. 8.【解析】∵f(x)＝alnx ＋x ，∴f ′(x)＝ax ＋1.又∵f(x)在[2,3]上单调递增， ∴ax＋1≥0在x ∈[2,3]上恒成立， ∴a ≥(－x)max ＝－2，∴a ∈[－2，＋∞). 答案：[－2，＋∞)9.【解析】令f ′(x)＝3x 2－3＝0，得x ＝±1，可求得f(x)的极大值为 f(－1)＝2，极小值为f(1)＝－2，画出函数图象如图所示，可得－2<a<2时，恰有三个不同公共点. 答案：(－2,2)【方法技巧】图象的应用对于求函数y ＝f(x)的零点个数或方程f(x)＝0的根的个数的题目，可以转化为求两个函数的图象的交点的个数，利用导数知识可以研究函数的单调性和极值，从而得到函数的图象，通过观察函数图象得到答案. 10.【解析】(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，且f ′(x)＝1x ＋a x 2＝x ＋ax2.a ≥0时，f ′(x)＞0，∴f(x)的单调增区间为(0，＋∞)， a ＜0时，令f ′(x)＞0，得x ＞－a ， ∴f(x)的单调增区间为(－a ，＋∞). (2)由(1)可知，f ′(x)＝x ＋ax2，①若a ≥－1，则x ＋a ≥0，即f ′(x)≥0在[1，e]上恒成立，f(x)在[1，e]上为增函数，∴f(x)min ＝f(1)＝－a ＝32，∴a ＝－32(舍去).②若a ≤－e ，则x ＋a ≤0，即f ′(x)≤0在[1，e]上恒成立，f(x)在[1，e]上为减函数，∴f(x)min ＝f(e)＝1－ae ＝32，∴a ＝－e2(舍去).③若－e ＜a ＜－1，当1＜x ＜－a 时，f ′(x)＜0， ∴f(x)在(1，－a)上为减函数， 当－a ＜x ＜e 时，f ′(x)＞0， ∴f(x)在(－a ，e)上为增函数.∴f(x)min ＝f(－a)＝ln(－a)＋1＝32，∴a ＝－e ，综上所述，a ＝－e.【变式备选】已知函数f(x)＝2x＋alnx －2(a ＞0).(1)若曲线y ＝f(x)在点P(1，f(1))处的切线与直线y ＝x ＋2垂直，求函数y ＝f(x)的单调区间；(2)若对于任意的x ∈(0，＋∞)，都有f(x)＞2(a －1)成立，试求实数a 的取值范围；(3)记g(x)＝f(x)＋x －b(b ∈R).当a ＝1时，方程g(x)＝0在区间[e －1，e]上有两个不同的实根，求实数b 的取值范围. 【解析】(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞).因为f ′(x)＝－2x 2＋ax ，且知直线y ＝x ＋2的斜率为1.所以f ′(1)＝－212＋a1＝－1，所以a ＝1.所以f(x)＝2x ＋lnx －2.f ′(x)＝x －2x2.由f ′(x)＞0，解得x ＞2；由f ′(x)＜0解得0＜x ＜2. 所以f(x)的单调增区间是(2，＋∞)，单调减区间是(0,2). (2)f ′(x)＝－2x 2＋a x ＝ax －2x2.由f ′(x)＞0解得x ＞2a ；由f ′(x)＜0，解得0＜x ＜2a.所以f(x)在区间(2a ，＋∞)上单调递增，在区间(0，2a )上单调递减.所以当x ＝2a 时，函数f(x)取得最小值，y min ＝f(2a).因为对任意的x ∈(0，＋∞)都有f(x)＞2(a －1)成立，所以f(2a )＞2 (a －1)即可.则22a＋aln 2a －2＞2(a －1)，即aln 2a＞a ，解得0＜a ＜2e.所以a 的取值范围是(0，2e).(3)依题意得g(x)＝2x ＋lnx ＋x －2－b ，则g ′(x)＝x 2＋x －2x2. 由g ′(x)＞0解得x ＞1；由g ′(x)＜0解得0＜x ＜1.所以函数g(x)在区间(0,1)上为减函数，在区间(1，＋∞)上为增函数. 又因为方程g(x)＝0在区间[e －1， e]上有两个不同的实根，所以⎩⎪⎨⎪⎧ g(e －1)≥0g(e)≥0g(1)＜0.解得1＜b ≤2e＋e －1. 所以b 的取值范围是(1，2e＋e －1]. 11.【解析】(1)因为x ＝5时y ＝11，所以a 2＋10＝11，所以a ＝2；(2)由(1)知该商品每日的销售量y ＝2x －3＋10(x －6)2， 所以商场每日销售该商品所获得的利润：f(x)＝(x －3)[2x －3＋10(x －6)2]＝2＋10(x －3)(x －6)2，3＜x ＜6；从而f′(x)＝10[(x－6)2＋2(x－3)(x－6)]＝30(x－4)(x－6)，令f′(x)＝0得x＝4，函数f(x)在(3,4)上单调递增，在(4,6)上单调递减，所以当x＝4时函数f(x)取得最大值f(4)＝42.答：当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大.【探究创新】【解析】(1)P(x)＝R(x)－C(x)＝－10x3＋45x2＋3 240x－5 000(x∈N*，且1≤x≤20)；MP(x)＝P(x＋1)－P(x)＝－30x2＋60x＋3 275 (x∈N*，且1≤x≤19).(2)P′(x)＝－30x2＋90x＋3 240＝－30(x－12)(x＋9)，∵x>0，∴P′(x)＝0时，x＝12，当0<x<12时，P′(x)>0，当x>12时，P′(x)<0，∴x＝12时，P(x)有极大值，也是最大值.即年造船量安排12艘时，可使公司造船的年利润最大.(3)MP(x)＝－30x2＋60x＋3 275＝－30(x－1)2＋3 305.所以，当x≥1时，MP(x)单调递减，所以单调减区间为[1,19]，且x∈N*.MP(x)是减函数的实际意义是：随着产量的增加，每艘利润与前一艘比较，利润在减少.。
人教A版高中数学选修1—1第二章3.1.2导数的几何意义复习课件
A.a＝1，b＝1
B.a＝－1，b＝1
C.a＝1，b＝－1
D.a＝－1，b＝－1
解析：f′(0)＝Δlixm→0Δx2＋aΔΔxx＋b－b＝a，
又 f′(0)＝1，∴a＝1.
f(0)＝b，∴0－b＋1＝0，∴b＝1，故选 A.
答案：A
4.(2019·四川棠湖月考)曲线 y＝－x3＋3x2 在点(1,2)处的切线
6.(2019·安徽六安检测)设函数 f(x)＝ax－bx，若曲线 y＝f(x) 在点(2，f(2))处的切线方程为 5x－4y－4＝0.
(1)求 f(x)的解析式； (2)求证：在曲线 y＝f(x)上任意一点处的切线与直线 x＝0 和 y＝x 所围成的三角形面积为定值，并求出此定值. 解：(1)由 f′(2)＝Δlixm→0a2＋Δx－2Δ＋xbΔx－2a＋b2＝a＋b4 ＝54，f(2)＝2a－b2＝32， 解得 a＝b＝1，∴f(x)＝x－1x.
(2)证明：设 P(x0，y0)为曲线上任一点，y0＝f(x0)＝x0－x10， 则 f′(x0)＝Δlixm→0x0＋Δx－xΔ0＋x1 Δx－x0＋x10＝1＋x102， ∴曲线在点 P(x0，y0)处的切线方程为 y－x0－x10＝1＋x102(x－x0)， 令 x＝0，得 y0＝－x20，令 y＝x，得 y＝x＝2x0， 所以点 P(x0，y0)处的切线与直线 x＝0，y＝x 所围成的三角 形的面积为 S＝12－x20|2x0|＝2.
叫位移公式)，那么导数 f′(x0)表示运动物体在时刻 t0 的速度， 即在 x0 的___瞬__时__速__度___，即 vx0＝f′(x0)＝Δlixm→0ΔΔyx.
3.如果 f(x)在开区间(a，b)内每一点 x 的导数都存在，则称 f(x)在区间(a，b)内可导.这样对开区间(a，b)内每一个值 x，都对 应一个确定的导数 f′(x)，于是在区间(a，b)内 f′(x)构成一个 新的函数，我们把这个函数称为函数 y＝f(x)的__导__函__数____，记 为_f_′__(x_)_或__(_y′ ___x、__y_′__)_，简称为_导__数___.今后，如不特别指明某 一点的导数，求导数就是指求导函数.
高中数学一轮复习课件 第12章 导数导数的概念及运算法则
4.函数和、差、积、商的导数 导数的运算法则: [f(x)±g(x)]'=f'(x)±g'(x); [f(x)g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x);
f ( x)
[ ]'= g ( x)
f '( x) g ( x) f ( x) g '( x) [ g ( x)]2 (g(x)≠0).
3 4
【答案】[ ,3]
3 4
高中数学一轮复习课件
题型1 导数的概念及几何意义
例1 (1)给出下列命题:
①若函数y=x,则当x=0时y'=0;
②若函数f'(x)=ax2+1,且f'(2)=13,则f(x)=x3+x;
③加速度是动点位移函数S(t)对时间t的导数.
其中正确的命题有 (
(A)0个. (B)1个.
高中数学一轮复习课件
1.导数的概念
lim f ( x0 x) f ( x0 ) lim 一般地,函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是 = x x0
x0
y ,我们称它为函数y=f(x)在x=x0处的导数,记为f'(x0)或y' | ,即f'(x0)= x
x x0
导数的概念及其几何意义与导数的运算是每年高考的必考内 容,导数的运算是导数的基本内容,在高考中一般不单独命题,而在考 查导数的应用的同时进行考查; 导数的几何意义是高考重点考查的 内容,常与解析几何知识交汇命题,多以选择题和填空题的形式出现, 有时也出现在解答题中关键的一步,结合《考纲》预测2013年试题 在以上各个考查点仍以常规题型为主,试题难度中等.
lim f ( x0 x) f ( x0 ) .如果函数y=f(x)在开区间(a,b)内的每一点处都有 x
2015届高考人教A版数学总复习配套课件：3.1 导数的概念及运算
(3)复合函数的求导，要正 确分析函数的复合层次， 通过设中间变量，确定复 合过程，然后求导．
基础知识
题型分类
思想方法
练出高分 第二十二页，编辑于星期五：九点 五十三分。
题型分类·深度剖析
跟踪训练 2 求下列函数的导数． (1)y＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)； (2)y＝sin 2x(1－2cos24x)； (3)y＝ln(x2＋1)．
基础知识
题型分类
思想方法
练出高分 第十八页，编辑于星期五：九点 五十三分。
题型分类·深度剖析
题型二
导数的运算
【例 2】 求下列函数的导数： (1)y＝ex·ln x；
思维启迪 解析
(3)y＝sin2(2x＋π3)
思维升华
(2)y＝xx2＋x1＋x13； (3)y＝sin22x＋π3；
(4)y＝ln(2x＋5)．
解析 (1)方法一 ∵y＝(x2＋3x＋2)(x＋3) ＝x3＋6x2＋11x＋6， ∴y′＝3x2＋12x＋11.
基础知识
题型分类
思想方法
练出高分 第二十三页，编辑于星期五：九点 五十三分。
题型分类·深度剖析
跟踪训练 2 求下列函数的导数． (1)y＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)； (2)y＝sin 2x(1－2cos24x)； (3)y＝ln(x2＋1)．
方法二 y′＝[(x＋1)(x＋2)]′(x＋3)＋(x＋1)(x＋2)(x＋3)′ ＝[(x＋1)′(x＋2)＋(x＋1)(x＋2)′](x＋3)＋(x＋1)(x＋2) ＝(x＋2＋x＋1)(x＋3)＋(x＋1)(x＋2) ＝(2x＋3)(x＋3)＋(x＋1)(x＋2) ＝3x2＋12x＋11.
基础知识
基础知识
2014~2015学年度 (人教A版)高考数学复习课件 《导数的综合应用》
第二章 基本初等函数、导数及其应用
[规律方法] 构造函数证明不等式的方法 (1)对于(或可化为)左右两边结构相同的不等式，构造函数 f(x)，使原不等式成为形如 f(a)>f(b)的形式． (2)对形如 f(x)>g(x)的不等式，构造函数 F(x)＝f(x)－g(x)． (3)对于(或可化为)f(x1，x2)≥A 的不等式，可选 x1(或 x2)为 主元，构造函数 f(x，x2)(或 f(x1，x))．
0，1 a
1 a
1，＋∞ a
－ 单调递减
0 ＋ 单调递增 极大值 1 1 所以 f(x)max＝fa＝ln <0，∴a>1. a
综上可得实数 a 的取值范围是(1，＋∞)．
第二章 基本初等函数、导数及其应用
[规律方法] 利用导数解决恒成立问题主要涉及以下方面： (1)已知不等式在某一区间上恒成立，求参数的取值范围： 一般先分离参数，再转化为求函数在给定区间上的最值问 题求解； (2)如果无法分离参数可以考虑对参数 a 或自变量进行分类 求解，如果是二次不等式恒成立的问题，可以考虑限制二 次项系数或判别式的方法求解． (3)已知函数的单调性求参数的取值范围：转化为 f′(x)≥ 0(或 f′(x)≤0)恒成立的问题．
第二章 基本初等函数、导数及其应用
2.(2015· 兰州市、 张掖市高三联考)已知函数 f(2 (1)当 a＝0 且 b＝1 时，证明：对∀x>0，f(x)≤g(x)； (2)若 b＝2，且 h(x)＝f(x)－g(x)存在单调递减区间，求 a 的 取值范围．
第二章 基本初等函数、导数及其应用
第14讲 导数的综合应用
第二章 基本初等函数、导数及其应用
考点一 考点二 考点三
高中全程复习方略数学课件：第二章 函数、导数及其应用 2.10
处的切线方程为___x_－__y_＋__1_＝__0______________________；
(2)(2018·保定市高三调研)已知曲线 y＝ln x 的切线过原点，则
此切线的斜率为( C )
A．e B．－e
1 C.e
D．－1e
解析：(1)∵ y′＝2x－x12，∴ y′| x＝1 ＝1， 即曲线在点(1,2)处的切线的斜率 k＝1， ∴ 切线方程为 y－2＝x－1， 即 x－y＋1＝0. (2)y＝ln x 的定义域为(0，＋∞)，设切点为(x0，y0)，则 k＝f′(x0)， ∴切线方程为 y－y0＝x10(x－x0)，又切线过点(0,0)，代入切线方程得 x0＝e，y0＝1，∴k＝f′(x0)＝x10＝1e.
答案：x－y－1＝0
2．(2018·兰州诊断考试)曲线 y＝x3＋11 在点 P(1,12)处的切线与
两坐标轴围成三角形的面积是( )
A．75
75 B. 2
C．27
27 D. 2
解析：本题考查导数的求法、导数的几何意义与直线的方程．依
题意得 y′＝3x2，y′|x＝1＝3，因此该切线方程是 y－12＝3(x－1)， 即 3x－y＋9＝0，该切线与两坐标轴的交点坐标分别是(0,9)，(－3,0)，
的研究方向；分析小说，一般都是从人物、环境、情节三个要素入手；写记叙文，则要从时间、地点、人物和事情发生的起因、经过、结果六个方面进
高中数学复习方略配套课件：2.12导数在实际问题中的应用及综合应用(北师大 理 通用)
f x＜3 x.
2
记h(x)＝(x＋6)f(x)－9x，则当0＜x＜2时， h'(x)＝f(x)＋(x＋6)f'(x)－9
b∈R,a,b为常数)，曲线y=f(x)与直线y= ①求a,b的值.
在(0,0)点相x 切1.
②证明:当0<x<2时，
3x
2
f x 9x .
x6
【思路点拨】(1)观察选项知，所要比较的两数为 与
的大小，故可构造函数
利用其单调性来
f a
比较.
ea
(建②f2e)立构①00 另造点一函在个数曲方，线程借上，助，求函则数a点,b单的; 调坐性标证满明足不曲g等线x式方＝.同程f时，exx应同，注时意根对据于导不数等的式几中何的意无义理可式以，
【变式训练】请你设计一个包装盒．如图所示，ABCD是边长为 60 cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰 直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图 中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒．E，F在AB 上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点．设AE＝ FB＝x(cm)．
第十二节 导数在实际问题中的应用及 综合应用
考向 1 利用导数解决实际生活中的优化问题
【典例1】（2013·黄山模拟）某商场销售某种商品的经验表
明，该商品每日的销售量y（单位：千克）与销售价格x（单位：
元/千克）常
数，已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克.
x＋1 x＋62
＝2＋ x＋1－ 54
2x＋1 x＋62
＜ x＋6 － 54
4x＋1 x＋62
＝
x＋6 3 －216 x＋1 4 x＋1 x＋6 2
【人教版】数学(理)一轮复习：第2章《函数、导数及其应用》(第12节)ppt课件
f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值． 极小值点，极大值点统称为极值点，极大值和极小值统 称为极值．
三、函数的最值 1．在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与 最小值． 2．若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则 f(a)为函数的最小值， f(b)为函数的最大值；若函数 f(x) 在 [a ， b] 上单调递减， 则 f(a) 为函数的最大值， f(b) 为函数的最小值．
令 g′(x)＝0，得 x＝1. 此时 g′(x)，g(x)随 x 的变化情况如下表： x g′(x) g(x) (－1，1) ＋ 1 0 极大值 (1，＋∞) －
∴当 x＝1 时，g(x)取得极大值也是最大值．
由题设可知函数 g(x)在区间[0，2]上有两个不同的零点， 1 g（1）＞0， ln 2＋ －b＞0， 2 ∴g（0）≤0， 即－b≤0， g（2）≤0， ln 3－1－b≤0， 1 解得 ln 3－1≤b＜ln 2＋2， ∴b
[规律方法]பைடு நூலகம்
求可导函数单调区间的一般步骤和方法 (1)确定函数f(x)的定义域； (2)求f′(x)，令f′(x)＝0，求出它在定义域内的一切实数根； (3)把函数f(x)的间断点(即f(x)的无定义点)的横坐标和上面的各实 数根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数 f(x)的定 义区间分成若干个小区间；
当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0， 即f(x)在(1，＋∞)上单调递增． 从而函数f(x)在x＝－2处取得极大值f(－2)＝21， 在x＝1处取得极小值f(1)＝－6.
运用导数解决函数的最值问题 [典题导入] 已知函数f(x)＝(x－k)ex.
(1)求f(x)的单调区间；
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令g(x)＝(x＋6)3－216(x＋1)，则当0＜x＜2时， g′(x)＝3(x＋6)2－216＜0. 因此g(x)在(0,2)内是减函数，又由g(0)＝0，得 g(x)＜0，所以h′(x)＜0. 因此h(x)在(0,2)内是减函数，又h(0)＝0，得h(x)＜0.于是当 0＜x＜2时，f(x)< 9x .
2
x＋6 1 1 54 h x ＝ ＋ － 2 x＋ 1 2 x＋ 1 x＋6
＝
2＋ x＋ 1 54 － 2 x＋ 1 x＋6 2
＜ ＝
x＋6 54 － 4 x＋ 1 x＋6 2
x＋6 －216 x＋1 . 2 4 x＋ 1 x＋6
(1)某厂商要求包装盒的侧面积S(cm2)最大,试问x应取何值? (2)某厂商要求包装盒的容积V(cm3)最大,试问x应取何值?并求 出此时包装盒的高与底面边长的比值.
【解析】设包装盒的高为h(cm)，底面边长为a(cm).由已知得a ＝ 2x ，h＝ 60－2x ＝ 2(30－x) ，0＜x＜30.
f a f 0 【思路点拨】(1)观察选项知,所要比较的两数为 a 与 0
的大小,故可构造函数g(x)= f x ,利用其单调性来比较.
ex
e
e
(2)①点在曲线上，则点的坐标满足曲线方程，同时根据导数 的几何意义可以建立另一个方程，求a,b; ②构造函数，借助函数单调性证明不等式 .同时应注意对于不 等式中的无理式，可利用基本不等式放缩后，变为整式或分式 的形式后再证明.
(3)比较函数在区间端点和f′(x)=0的点的函数值的大小,最大
(小)者为最大(小)值.
(4)回归实际问题作答.
【变式训练】请你设计一个包装盒.如图所示,ABCD是边长为 60cm的正方形硬纸片,切去阴影部分所示的四个全等的等腰直 角三角形,再沿虚线折起,使得A,B,C,D四个点重合于图中的点P, 正好形成一个正四棱柱形状的包装盒.E,F在AB上,是被切去的 一个等腰直角三角形斜边的两个端点.设AE=FB=x(cm).
2
(1)S＝4ah＝8x(30－x)＝－8(x－15)2＋1 800，
所以当x＝15时，S取得最大值.
(2)V＝a2h＝2 2(－x3＋30x2)，V′＝ 6 2 x(20－x).
由V′＝0得x＝0(舍去)或x＝20.
当x∈(0,20)时，V′＞0；当x∈(20,30)时，V′＜0.
所以当x＝20时，V取得极大值，也是最大值.
f x 【规范解答】(1)选B.令g(x)＝ x ， e
≨g′(x)＝
f x e x－f x e x
e
x
2
＝
f x －f x e
x
>0，
≨g(x)在R上为增函数，又≧a>0.
f a f 0 ≨g(a)>g(0)，即 a ＞ 0 , e e
从而f′(x)=10[(x-6)2+2(x-3)(x-6)]
=30(x-4)(x-6).
于是,当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表, x (3,4) 4 (4,6)
f′(x)
f(x)
+
单调递增
0
极大值42
单调递减
由上表可得,x=4是函数f(x)在区间(3,6)内的极大值点,也是最
大值点.
所以,当x=4时,函数f(x)取得最大值,且最大值等于42.
当销售价格为4元/千克时,商场每日销售该商品所获得的利润
最大.
【拓展提升】利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤 (1)分析实际问题中各量之间的关系,列出实际问题的数学模型,
写出实际问题中变量之间的函数关系式y=f(x).
(2)求函数的导数f′(x),解方程f′(x)=0.
ea
(A)f(a)＜eaf(0)
0 (C)f(a)＜ f a e
(2)(2012·辽宁高考)设f(x)=ln(x+1)+ x 1+ax+b(a,b∈R, a,b为常数)，曲线y=f(x)与直线 y 3 x 在(0,0)点相切.
2
①求a,b的值; ②证明:当0<x<2时，f(x)<
9x . x6
此时 h ＝ 1 .即包装盒的高与底面边长的比值为 1 .
a 2 2
考向 2 利用导数解决不等式问题 【典例2】(1)(2013·福州模拟)f(x)为定义在R上的可导函 数，且f′(x)>f(x)，对任意正实数a，则下列式子成立的 是( ) (B)f(a)＞eaf(0) (D)f(a)＞ f 0
第十二节 导数与生活中的优化问题及 综合应用
考向 1 利用导数解决实际生活中的优化问题 【典例1】(2013·烟台模拟)某商场销售某种商品的经验表明, 该商品每日的销售量y(单位:千克)与销售价格x(单位:元/千克) 满足关系式y= a
x 3
+10(x-6)2,其中3<x<6,a为常数,已知销售
即f(a)>eaf(0).
(2)①由y＝f(x)过(0,0)点，得b＝－1.
由y＝f(x)在(0,0)点的切线斜率为 3 ， 又 y
( x＝0＝ 1 1 3 ＋ ＋a) ＝ ＋a， x＋ 1 2 x＋ 2 1 x＝0
2
得a＝0.
②方法一： 由基本不等式，当x＞0时， 2 (x＋ 1) 1＜x＋1＋1＝x＋2， 故 x＋1＜ x ＋1. 记h(x)＝f x － 9x ， 则
【规范解答】(1)因为x=5时,y=11,所以 所以a=2. (2)由(1)可知,该商品每日的销售量 y=
2 +10(x-6)2, x 3 2 +10(x-6)2] x 3
a +10=11, 2
所以商场每日销售该商品所获得的利润 f(x)=(x-3)[
=2+10(x-3)(x-6)2,3<x<6.
价格为5元/千克时,每日可售出该商品11千克. (1)求a的值. (2)若该商品的成本为3元/千克,试确定销售价格x的值,使商场 每日销售该商为5元/千克时,每日可售出该
商品11千克”可知销售函数过点(5,11),将其代入可求得a的值. (2)利润为f(x)=(每件产品的售价-每件产品的成本)〓销量,表 示出函数解析式后,可借助导数求最值.