高中数学第四届全国青年教师优秀课观摩大赛 《数学归纳法及其应用举例》教案
【一等奖教案】 数学归纳法及其应用举例
课题：数学归纳法及其应用举例【教学目标】1．使学生了解归纳法, 理解数学归纳的原理与实质．2．掌握数学归纳法证题的两个步骤；会用“数学归纳法”证明简单的与自然数有关的命题．3．培养学生观察, 分析, 论证的能力, 进一步发展学生的抽象思维能力和创新能力，让学生经历知识的构建过程, 体会类比的数学思想．4．努力创设课堂愉悦情境，使学生处于积极思考、大胆质疑氛围，提高学生学习的兴趣和课堂效率．5．通过对例题的探究，体会研究数学问题的一种方法(先猜想后证明), 激发学生的学习热情，使学生初步形成做数学的意识和科学精神．【教学重点】归纳法意义的认识和数学归纳法产生过程的分析【教学难点】数学归纳法中递推思想的理解【教学方法】类比启发探究式教学方法【教学手段】多媒体辅助课堂教学【教学程序】第一阶段：输入阶段——创造学习情境，提供学习内容1．创设问题情境，启动学生思维(1) 不完全归纳法引例：明朝刘元卿编的《应谐录》中有一个笑话：财主的儿子学写字．这则笑话中财主的儿子得出“四就是四横、五就是五横……”的结论，用的就是“归纳法”，不过，这个归纳推出的结论显然是错误的．(2) 完全归纳法对比引例：有一位师傅想考考他的两个徒弟，看谁更聪明一些．他给每人一筐花生去剥皮，看看每一粒花生仁是不是都有粉衣包着，看谁先给出答案．大徒弟费了很大劲将花生全部剥完了；二徒弟只拣了几个饱满的，几个干瘪的，几个熟好的，几个没熟的，几个三仁的，几个一仁、两仁的，总共不过一把花生．显然，二徒弟先给出答案，他比大徒弟聪明．在生活和生产实际中，归纳法也有广泛应用．例如气象工作者、水文工作者依据积累的历史资料作气象预测，水文预报，用的就是归纳法．这些归纳法却不能用完全归纳法．2． 回顾数学旧知，追溯归纳意识（从生活走向数学，与学生一起回顾以前学过的数学知识，进一步体会归纳意识，同时让学生感受到我们以前的学习中其实早已接触过归纳．）(1) 不完全归纳法实例： 给出等差数列前四项, 写出该数列的通项公式． (2) 完全归纳法实例： 证明圆周角定理分圆心在圆周角内部、外部及一边上三种情况．3． 借助数学史料, 促使学生思辨（在生活引例与学过的数学知识的基础上，再引导学生看数学史料，能够让学生多方位多角度体会归纳法，感受使用归纳法的普遍性．同时引导学生进行思辨：在数学中运用不完全归纳法常常会得到错误的结论，不管是我们还是数学大家都可能如此．那么，有没有更好的归纳法呢？）问题1 已知n a ＝22)55(+-n n （n ∈N ）， (1)分别求1a ；2a ；3a ；4a ．(2)由此你能得到一个什么结论？这个结论正确吗？（培养学生大胆猜想的意识和数学概括能力．概括能力是思维能力的核心．鲁宾斯坦指出：思维都是在概括中完成的．心理学认为“迁移就是概括”，这里知识、技能、思维方法、数学原理的迁移，我找的突破口就是学生的概括过程．）问题2 费马（Fermat ）是17世纪法国著名的数学家，他曾认为，当n ∈N 时，122+n一定都是质数，这是他对n ＝0，1，2，3，4作了验证后得到的．后来，18世纪伟大的瑞士科学家欧拉（Euler ）却证明了1252+＝4 294 967 297＝6 700 417×641，从而否定了费马的推测．没想到当n ＝5这一结论便不成立．问题3 41)(2++=n n n f , 当n ∈N 时，)(n f 是否都为质数？验证： f （0）＝41，f （1）＝43，f （2）＝47，f （3）＝53，f （4）＝61，f （5）＝71，f （6）＝83，f （7）＝97，f （8）＝113，f （9）＝131，f （10）＝151，…，f （39）＝1 601．但是f （40）＝1 681＝241，是合数．第二阶段：新旧知识相互作用阶段——新旧知识作用，搭建新知结构 4． 搜索生活实例，激发学习兴趣（在第一阶段的基础上，由生活实例出发，与学生一起解析归纳原理, 揭示递推过程．孔子说：“知之者不如好之者，好之者不如乐之者．”兴趣这种个性心理倾向一般总是伴随着良好的情感体验．）实例：播放多米诺骨牌录像关键：(1) 第一张牌被推倒； (2) 假如某一张牌倒下, 则它的后一张牌必定倒下． 于是, 我们可以下结论： 多米诺骨牌会全部倒下．搜索：再举几则生活事例：推倒自行车, 早操排队对齐等． 5． 类比数学问题, 激起思维浪花类比多米诺骨牌过程, 证明等差数列通项公式d n a a n )1(1-+=：(1) 当n ＝1时等式成立； (2) 假设当n ＝k 时等式成立, 即d k a a k )1(1-+=, 则d a a k k +=+1=d k a ]1)1[(1-++, 即n ＝k ＋1时等式也成立． 于是, 我们可以下结论：等差数列的通项公式d n a a n )1(1-+=对任何n ∈*N 都成立．（布鲁纳的发现学习理论认为，“有指导的发现学习”强调知识发生发展过程．这里通过类比多米诺骨牌过程，让学生发现数学归纳法的雏形，是一种再创造的发现性学习．）6． 引导学生概括, 形成科学方法证明一个与正整数有关的命题关键步骤如下： (1) 证明当n 取第一个值0n 时结论正确；(2) 假设当n ＝k (k ∈*N ，k ≥0n ) 时结论正确, 证明当n ＝k ＋1时结论也正确． 完成这两个步骤后, 就可以断定命题对从0n 开始的所有正整数n 都正确． 这种证明方法叫做数学归纳法．第三阶段：操作阶段——巩固认知结构，充实认知过程 7． 蕴含猜想证明, 培养研究意识（本例要求学生先猜想后证明，既能巩固归纳法和数学归纳法，也能教给学生做数学的方法，培养学生独立研究数学问题的意识和能力．）例题 在数列{n a }中, 1a ＝1, nnn a a a +=+11(n ∈*N ), 先计算2a ，3a ，4a 的值，再推测通项n a 的公式, 最后证明你的结论． 8． 基础反馈练习, 巩固方法应用（课本例题与等差数列通项公式的证明差不多，套用数学归纳法的证明步骤不难解答，因此我把它作为练习，这样既考虑到学生的能力水平，也不冲淡本节课的重点．练习第3题恰好是等比数列通项公式的证明，与前者是一个对比与补充．通过这两个练习能看到学生对数学归纳法证题步骤的掌握情况．）(1)（第63页例1）用数学归纳法证明：1＋3＋5＋…＋（2n －1）＝2n ． (2)（第64页练习3）首项是1a ，公比是q 的等比数列的通项公式是11-=n n q a a ． 9． 师生共同小结, 完成概括提升(1) 本节课的中心内容是归纳法和数学归纳法；(2) 归纳法是一种由特殊到一般的推理方法，它可以分为完全归纳法和不完全归纳法两种，完全归纳法只局限于有限个元素，而不完全归纳法得出的结论不一定具有可靠性，数学归纳法属于完全归纳法；(3) 数学归纳法作为一种证明方法，其基本思想是递推(递归)思想，使用要点可概括为：两个步骤一结论，递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉；(4) 本节课所涉及到的数学思想方法有：递推思想、类比思想、分类思想、归纳思想、辩证唯物主义思想． 10． 布置课后作业, 巩固延伸铺垫(1) 课本第64页练习第1, 2题； 第67页习题2.1第2题．(2) 在数学归纳法证明的第二步中，证明n ＝k ＋1时命题成立, 必须要用到n ＝k 时命题成立这个假设．这里留一个辨析题给学生课后讨论思考：用数学归纳法证明： 1222221132-=+++++-n n (n ∈*N )时, 其中第二步采用下面的证法：设n ＝k 时等式成立, 即1222221132-=+++++-k k , 则当n ＝k ＋1时,12212122222111132-=--=++++++++-k k kk ．你认为上面的证明正确吗？为什么？ 【教学设计说明】1．数学归纳法是一种用于证明与自然数n有关的命题的正确性的证明方法．它的操作步骤简单、明确，教学重点不应该是方法的应用．我认为不能把教学过程当作方法的灌输，技能的操练．为此，我设想强化数学归纳法产生过程的教学，把数学归纳法的产生寓于对归纳法的分析、认识当中，把数学归纳法的产生与不完全归纳法的完善结合起来．这样不仅使学生可以看到数学归纳法产生的背景，从一开始就注意它的功能，为使用它打下良好的基础，而且可以强化归纳思想的教学，这不仅是对中学数学中以演绎思想为主的教学的重要补充，也是引导学生发展创新能力的良机．2．在教学方法上，这里运用了在教师指导下的师生共同讨论、探索的方法．目的是加强学生对教学过程的参与．为了使这种参与有一定的智能度，教师应做好发动、组织、引导和点拨．学生的思维参与往往是从问题开始的，本节课按照思维次序编排了一系列问题，让学生投入到思维活动中来，把本节课的研究内容置于问题之中，在逐渐展开中，引导学生用已学的知识、方法予以解决，并获得知识体系的更新与拓展．3．运用数学归纳法证明与正整数有关的数学命题，两个步骤缺一不可．理解数学归纳法中的递推思想，尤其要注意其中第二步，证明n＝k＋1命题成立时必须要用到n ＝k时命题成立这个条件．这些内容都将放在下一课时完成，这种理解不仅使我们能够正确认识数学归纳法的原理与本质，也为证明过程中第二步的设计指明了思维方向．二元一次不等式表示平面区域一、教材分析⒈教材的地位和作用本节课主要内容是新教材高二上第七章第4节第一课时：二元一次不等式表示平面区域。
数学归纳法及其应用举例(教案)
数学归纳法及其应用举例(教案)章节一：数学归纳法的概念与步骤教学目标：1. 了解数学归纳法的定义与基本步骤。
2. 掌握数学归纳法的一般形式。
教学内容：1. 引入数学归纳法的概念。
2. 讲解数学归纳法的基本步骤。
3. 示例说明数学归纳法的应用。
教学活动：1. 引导学生思考数学归纳法的定义。
2. 通过具体例子讲解数学归纳法的步骤。
3. 让学生尝试使用数学归纳法解决简单问题。
作业与练习：1. 完成课后练习，巩固数学归纳法的概念与步骤。
2. 选取一些简单的数学问题，尝试使用数学归纳法解决。
章节二：数学归纳法的证明步骤教学目标：1. 掌握数学归纳法的证明步骤。
2. 能够运用数学归纳法证明简单的不等式或定理。
教学内容：1. 讲解数学归纳法的证明步骤。
2. 示例说明数学归纳法在证明不等式和定理中的应用。
教学活动：1. 引导学生理解数学归纳法的证明步骤。
2. 通过具体例子讲解数学归纳法在证明不等式和定理中的应用。
3. 让学生尝试使用数学归纳法证明简单的不等式或定理。
作业与练习：1. 完成课后练习，巩固数学归纳法的证明步骤。
2. 选取一些简单的不等式或定理，尝试使用数学归纳法进行证明。
章节三：数学归纳法的扩展与应用教学目标：1. 了解数学归纳法的扩展形式。
2. 掌握数学归纳法在解决实际问题中的应用。
教学内容：1. 讲解数学归纳法的扩展形式。
2. 示例说明数学归纳法在解决实际问题中的应用。
教学活动：1. 引导学生思考数学归纳法的扩展形式。
2. 通过具体例子讲解数学归纳法在解决实际问题中的应用。
3. 让学生尝试使用数学归纳法解决实际问题。
作业与练习：1. 完成课后练习，巩固数学归纳法的扩展形式。
2. 选取一些实际问题，尝试使用数学归纳法解决。
章节四：数学归纳法的局限性与改进教学目标：1. 了解数学归纳法的局限性。
2. 学会改进数学归纳法的证明过程。
教学内容：1. 讲解数学归纳法的局限性。
2. 示例说明如何改进数学归纳法的证明过程。
《数学归纳法及其应用举例》教案
《数学归纳法及其应用举例》教案一、教学目标：1. 了解数学归纳法的基本概念和步骤。
2. 学会使用数学归纳法证明一些简单的数学命题。
3. 理解数学归纳法在数学研究中的应用和意义。
二、教学内容：1. 数学归纳法的定义和步骤。
2. 数学归纳法的应用举例。
三、教学重点与难点：1. 数学归纳法的步骤和条件。
2. 运用数学归纳法证明数学命题。
四、教学方法：1. 讲授法：讲解数学归纳法的定义、步骤和条件。
2. 案例分析法：分析数学归纳法的应用举例。
3. 练习法：让学生通过练习巩固所学知识。
五、教学准备：1. PPT课件：展示数学归纳法的定义、步骤、条件及应用举例。
2. 教案：详细记录教学过程和内容。
3. 练习题：供学生课后巩固练习。
【课堂导入】（在这里引入数学归纳法的话题，激发学生的兴趣，为学生学习新知识做好铺垫。
）【新课讲解】1. 数学归纳法的定义和步骤。
（1）定义：数学归纳法是一种证明命题的方法，它包括两个步骤：归纳基础和归纳步骤。
（2）步骤：①归纳基础：证明当n取最小值时，命题成立。
②归纳步骤：假设当n=k时，命题成立，证明当n=k+1时，命题也成立。
2. 数学归纳法的应用举例。
（1）举例1：证明n^2 + n + 41是一个质数。
（2）举例2：证明对于任意正整数n，都有n^3 n = n(n-1)(n+1)。
【课堂练习】（请学生上台展示PPT上的练习题，讲解解题思路，巩固所学知识。
）【课堂小结】（总结本节课的主要内容，强调数学归纳法的步骤和应用。
）【课后作业】（布置课后练习题，让学生巩固所学知识。
）六、教学拓展：1. 讨论数学归纳法的一些变体，如双向数学归纳法。
2. 探究数学归纳法在解决其他数学问题中的应用，如数论、组合数学等领域。
七、课堂互动：1. 分组讨论：让学生分组探讨数学归纳法在不同数学问题中的应用。
2. 问答环节：鼓励学生提问，解答学生在学习过程中遇到的问题。
八、教学反思：1. 反思本节课的教学内容、教学方法、教学效果。
高中数学_数学归纳法应用举例教学设计学情分析教材分析课后反思
《数学归纳法及其应用》教学设计执教者指导教师一、教学目标：1．认知目标：（1）了解数学归纳法的原理，并能以递推思想作指导；（2）理解数学归纳法的操作步骤，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题，并能严格按照数学归纳法证明问题的格式书写.2．能力目标：培养学生理解分析、归纳推理和独立实践的能力。
3．情感目标：激发学生的求知欲，增强学生的学习热情，培养学生辩证唯物主义的世界观和勇于探索的科学精神。
.二、教学重点：证明整除性问题，证明与自然数n有关的不等式问题．三、教学难点：在P(k)⇒P(k+1)递推时，找出n=k与n=k+1时的递推公式.四、内容分析：数学归纳法的应用是教学的重点，本节课着重是运用数学归纳法证明整式问题、整除性问题和与自然数n有关的不等式问题，主要是探索递推关系，教会学生思维，离开研究解答问题的思维过程几乎是不可能的.因此在日常教学中，尤其是解题教学中，必须把教学集中在问题解答或解答问题的整个过程上.理清思路是教学的重点.即递推关系的探索发现、创新等思维过程的暴露，知识形成过程的揭示为教学重点.用数学归纳法证明整除问题，P(k)⇒P(k+1)的整式变形是个难点，找出它们之间的差异，从决定n=k时，P(k)做何种变形，一般地只有将n=k+1时P(k+1)的整式进行分拆配凑成P(k)的形式，再利用归纳假设和基本事实.这个变形是难点.用数学归纳法证明不等式的问题时，难点就是在P(k)⇒P(k+1)递推时，找出n=k与n=k+1时的递推公式，这是关键所在.五、教学过程：（一）复习引入：1.数学归纳法:对于某些与自然数n有关的命题常常采用下面的方法来证明它的正确性：先证明当n取第一个值n时命题成立；然后假设当n=k(k∈N*，k≥n)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立这种证明方法就叫做数学归纳法2.用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题的步骤：(1)证明：当n取第一个值n0结论正确；(2)假设当n =k (k ∈N *，且k ≥n 0)时结论正确，证明当n =k +1时结论也正确.（3）由(1)，(2)可知，命题对于从n 0开始的所有正整数n 都正确总结：递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉. （二）例题讲解：类型一 证明等式例1 用数学归纳法证明1）第一步应做什么？此时n0= ，左 ，2) 当n=k 时，等式左边共有 项，第k 项是 。
第四届全国高中青年数学教师优秀课观摩和评选活动资料专辑
第四届全国高中青年数学教师优秀课观摩和评选活动资料专辑湖北省：随机事件及其概率（黄石大冶一中肖阳）湖北省：曲线的切线（武汉六中龚大晖）黑龙江省：选修(3)：算法基本逻辑结构——循环结构（哈尔滨师范大学附属中学张治宇）黑龙江省：必修(1)：用二分法求方程的近似解（齐齐哈尔市第一中学校曲东魁）河南省：必修(1)：函数的概念(一)（郑州外国语学校乔会娜）河南省：必修(5)：算术平均数与几何平均数（焦作市第十一中学郭振东）广西：正态分布（梧州高级中学王建莉）广西：假如我是欧拉……——多面体欧拉定理的发现（南宁二中黄江兰）安徽省：必修(4)任意角的三角函数（马鞍山市第二十二中学孙滨）安徽省：必修(5)等比数列前n项和(第一课时)（无为襄安中学谢业建）福建省：必修(1)用二分法求方程的近似解（福建师大附中黄智灵）福建省：必修(2)几何体与三视图（泉州七中吴建海）甘肃省：数学归纳法及其应用举例（兰州一中何乃文）甘肃省：双曲线及其标准方程(一)（白银市实验中学高波）广东省：选修(1-1)导数的几何意义（东莞市东莞中学刘瑞红）广东省：选修(1-2)回归分析的基本思想及其初步应用（惠州市第一中学刘健）四川省：导数的概念教案（南充高中韩永强）四川省：等差数列前n项和教案（成都七中何然）浙江省：必修(1)方程的根与函数零点（衢州第一中学张未华）浙江省：选修2-2《合情推理》第一课时（天台中学洪琼）上海市：正切函数的图像与性质（敬业中学张丽霞）上海市：无穷等比数列各项的和（复旦大学附属中学李朝晖）陕西省：指数函数（一）（三原南郊中学柏涛）陕西省：角的概念的推广（陕西师范大学附中王全）山西省：直线与平面垂直的判定（太原五中王萍）山西省：直线的倾斜角与斜率（大同二中李瑾）山东省：必修3几何概型（日照实验高级中学尚积成）山东省：必修1用二分法求方程的近似解（一）（临沂市郯城美澳学校杨明）青海省：异面直线及其夹角（门源县第一中学马吉平）青海省：相互独立事件同时发生的概率（一）江苏省：选修2-2《平均变化率》（南京外国语学校严青）江苏省：必修4《向量的加法》（盐城中学侯爱娟）江苏省：必修3《条件语句》（南京师范大学附属中学张跃红）吉林省：必修3《几何概型》（东北师大附属实验学校孙桂萍）吉林省：必修1《幂函数》（东北师范大学附属中学王晓晶）湖南省：必修4《两角差的余弦公式》（湖南师大附中吴菲）湖南省：必修3《几何概型》（长沙市长郡中学王小伟）河北省：《简单的线性规划（二）》（保定市第二中学翟向丽）河北省：《简单的线性规划（一）》（石家庄市第一中学孟庆善）江西省：《空间向量的夹角和距离公式》（南昌大学附属中学高莹）江西省：《数列在分期付款中的应用》（宜春市宜丰中学罗文静）辽宁省：必修1《函数性质的应用》（大连市第24中学张军）辽宁省：选修2-2《合情推理（第一课时）—归纳推理》（沈阳市第120中学天津市：必修1《几类不同增长的函数模型》（河北区57中学姜志惠）天津市：选修2-1《椭圆及其标准方程》（天津南开中学林秋莎）新疆：《函数概念及其表示》（乌鲁木齐八一中学王丽娟）新疆：《平面向量的数量积及运算律》（石河子第一中学曹丽梅）新疆兵团：《线段的定比分点》（新疆兵团二中徐蓉）云南省：《平面向量的坐标运算(一)》（昆明市第三中学黄明秀）云南省：《数学归纳法及其应用举例》（曲靖市第一中学李德安）重庆市：《等差数列》（重庆市第十八中学詹远美）重庆市：《映射》（长寿区川维中学蔡茂）石油系统：《函数的奇偶性》（辽河油田第一高级中学于洪海）宁夏：《正切函数性质与图象》（银川市第二中学西校区邵剑伟）宁夏：《二元一次不等式（组）与平面区域》（银川二中郭新宁）内蒙古：《平面的基本性质（2）》（包头市第一中学张宏海）内蒙古：《等可能事件的概率①》（通辽市霍林郭勒市第一中学）海南省：选修2-2《数系的扩充和复数的概念》（琼海市嘉积中学海桂学校海南省：必修3《随机事件的概率（第一课时）》（海南中学贺航飞）海南农垦：《函数的单调性与导数》（农垦加来高级中学邓柏林）贵州省：用三点共线的向量结论解决平几中的一类求值问题（凯里一中梁贵州省：《三垂线定理及其逆定理（复习课）》（贵州省实验中学李仕魁甘肃省：《双曲线及其标准方程（1）》（白银实验中学高波）甘肃省：《数学归纳法及其应用》（兰州一中何乃文）北京市：必修5《简单线性规划（一）》（北京师范大学第二附属中学王张北京市：必修2《直线与平面垂直的判定》（北京市第五中学熊丹）。
《数学归纳法及其应用举例》教案
《数学归纳法及其应用举例》教案一、教学目标1. 让学生理解数学归纳法的概念和步骤。
2. 培养学生运用数学归纳法解决问题的能力。
3. 通过数学归纳法的学习，提高学生的逻辑思维能力。
二、教学内容1. 数学归纳法的定义和步骤。
2. 数学归纳法的基本性质。
3. 数学归纳法的应用举例。
三、教学重点与难点1. 教学重点：数学归纳法的概念、步骤及应用。
2. 教学难点：数学归纳法的证明过程和逻辑推理。
四、教学方法1. 采用讲解法、案例分析法、讨论法等多种教学方法，引导学生理解数学归纳法的本质。
2. 通过具体的例子，让学生掌握数学归纳法的应用。
3. 组织学生进行小组讨论，培养学生的合作能力和表达能力。
五、教学过程1. 导入：引导学生回顾数学归纳法的定义和步骤。
2. 新课讲解：讲解数学归纳法的基本性质和应用举例。
3. 案例分析：分析具体例子，让学生理解数学归纳法的证明过程。
4. 课堂练习：布置练习题，让学生巩固所学内容。
5. 总结与拓展：总结本节课的主要内容，布置课后作业，引导学生进一步探索数学归纳法的应用。
六、教学评价1. 评价目标：通过本节课的学习，学生能理解数学归纳法的概念和步骤，掌握数学归纳法的证明过程，并能运用数学归纳法解决简单的问题。
2. 评价方法：课堂练习、课后作业、小组讨论、个人报告等。
3. 评价内容：学生的理解能力、应用能力、逻辑思维能力等。
七、教学资源1. 教材：《数学归纳法及其应用》2. 课件：数学归纳法的定义、步骤、例子等。
3. 练习题：针对本节课内容的练习题。
4. 教学辅助工具：黑板、粉笔、多媒体设备等。
八、教学进度安排1. 课时：2课时（90分钟）2. 教学安排：第一课时讲解数学归纳法的定义、步骤和基本性质，分析具体例子；第二课时进行课堂练习，总结本节课的主要内容，布置课后作业。
九、课后作业1. 复习本节课的内容，整理数学归纳法的定义、步骤和应用。
2. 完成课后练习题，巩固所学知识。
3. 选择一个自己感兴趣的问题，尝试运用数学归纳法进行解决，并将解题过程写成报告。
《数学归纳法及其应用举例》教案
《数学归纳法及其应用举例》教案一、教学目标1. 理解数学归纳法的概念和原理。
2. 学会使用数学归纳法证明与n有关的数学命题。
3. 掌握数学归纳法的应用，能够解决一些实际问题。
二、教学内容1. 数学归纳法的定义和原理。
2. 数学归纳法的步骤和注意事项。
3. 数学归纳法的应用举例。
三、教学重点与难点1. 数学归纳法的概念和原理的理解。
2. 数学归纳法的步骤和注意事项的掌握。
3. 数学归纳法在实际问题中的应用。
四、教学方法1. 采用讲解、演示和练习相结合的方法，让学生理解和掌握数学归纳法。
2. 通过例题和练习题，培养学生的动手能力和思维能力。
3. 鼓励学生提问和讨论，提高学生的参与度和学习兴趣。
五、教学准备1. 教案、PPT和教学素材。
2. 练习题和答案。
3. 教学工具和设备。
教案内容：一、教学目标1. 理解数学归纳法的概念和原理。
2. 学会使用数学归纳法证明与n有关的数学命题。
3. 掌握数学归纳法的应用，能够解决一些实际问题。
二、教学内容1. 数学归纳法的定义和原理。
2. 数学归纳法的步骤和注意事项。
3. 数学归纳法的应用举例。
三、教学重点与难点1. 数学归纳法的概念和原理的理解。
2. 数学归纳法的步骤和注意事项的掌握。
3. 数学归纳法在实际问题中的应用。
四、教学方法1. 采用讲解、演示和练习相结合的方法，让学生理解和掌握数学归纳法。
2. 通过例题和练习题，培养学生的动手能力和思维能力。
3. 鼓励学生提问和讨论，提高学生的参与度和学习兴趣。
五、教学准备1. 教案、PPT和教学素材。
2. 练习题和答案。
3. 教学工具和设备。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 引入数学归纳法的话题，让学生猜测数学归纳法的含义。
2. 引导学生思考数学归纳法在数学证明中的应用。
二、数学归纳法的定义和原理（15分钟）1. 讲解数学归纳法的定义和原理。
2. 通过PPT和示例，解释数学归纳法的步骤和注意事项。
三、数学归纳法的应用举例（20分钟）1. 通过具体的例题，演示数学归纳法的应用过程。
高中数学第四届全国青年教师优秀课观摩大赛 二分法教案说明
“用二分法求方程的近似解（一）”教案说明一、授课内容的数学本质本课时的主要任务是结合中的例1，介绍二分法的基本操作思路，在此基础上又从算法思想的角度归纳了二分法的一般操作步骤，并使学生尝试用二分法按给定的精确度、借助计算器或计算机等，求一个具体方程的近似解. 借以体验从具体到一般的认识过程，渗透运动变化（逐步逼近）和极限思想（无限逼近），初步体会“近似是普遍的、绝对的，精确则是特殊的、相对的”辩证唯物主义观点，树立追求真理、崇尚科学的信念.函数与方程是中学数学的重要内容之一，又是初等数学和高等数学的衔接的枢纽，其实质是揭示了客观世界中量的相互依存又互有制约的关系，因而函数与方程思想的教学，有着不可替代的重要位置。
二分法的设置是通过研究函数的某些性质，把函数的零点与方程的解等同起来，加强了函数与方程的联系，突出函数的应用，这又是本节课要渗透的一个数学思想所以本节课的本质是向学生渗透函数与方程的思想、近似的思想、逼近的思想和初步感受程序化地处理问题的算法思想。
二、教学目标定位本节课在教学内容上衔接了上节函数的零点与方程的根的联系，学生在学习了上一节的内容后，已初步理解了函数图象与方程的根之间的关系，具有一定的数形结合思想，这为理解函数零点附近的函数值符号提供了直观认识。
但学生对于函数与方程之间的联系的认识还比较薄弱，对于函数的图象与性质的应用、计算机的使用尚不够熟练，这些都给学生在联系函数与方程、发现函数值逼近函数零点时造成了一定的困难。
所以根据教材的要求，学生的实际情况，我将本课的教学目标设定如下：知识与技能――通过具体实例理解二分法的概念及其适用条件，了解二分法是求方程近似解的常用方法，会用二分法求解具体方程的近似解，从中体会函数与方程之间的联系及其在实际问题中的应用，体会程序化解决问题的思想．过程与方法――借助计算器求二分法求方程的近似解，让学生充分体验近似的思想、逼近的思想和程序化地处理问题的思想及其重要作用，并为下一步学习算法做准备．情感、态度、价值观――通过探究体验、展示、交流养成良好的学习品质，增强合作意识。
全国青年教师优质课大赛课件《数学归纳法》(推荐)
知识应用 巩固深;22+23+…+2n—１ = 2n－1(n∈ N*).
回顾总结 反思提高
勇攀高峰
数学思想：递推思想、 类比思想、归纳思想
数学方法：数学归纳法—— 证明与正整数有关的命题
数学知识：数学归纳法 要点：两个步骤一结论
布置作业
课本： 第95页练习 1、2 第96页习题2.3A组 1
1 2 3 4 …… k K+1 ……
…… n=1时 a1 1
猜想成立
如果n=k时猜想成立即ak
2 k 1
那么当n=k+1时猜想也成立，即
ak 1
(k
2 1)
1
第一项 成立
第k项成立， 第k+1项成立．
演示
证明一个与正整数有关的命题步骤如下：
(1) 证明当n取第一个值n = n0 n0 N* 时命题成立
谢谢合作 再 见！
1.知道空气的质量相对很轻，并且空 气的质 量是可 以测量 的。掌 握测量 空气质 量的实 验方法 。 2.经历测量一袋空气的实验，培养细 致、认 真观察 记录的 能力， 学会运 用思辨 的方法 获得科 学概念 。 3.经历实验探究，体会科学实验的趣 味性与 严谨性. 4.认 识 地 球 是 不透 明、不 发光的 球体， 在阳光 照射下 会产生 昼夜交 替现象 。 5.知 道 昼 夜 交 替现 象有多 种可能 的解释 。 6.初 步 理 解 昼 夜交 替现象 与地球 和太阳 的相对 圆周运 动有关 。 7.认 识 到 积 极 参与 讨论， 并发表 有根据 的解释 是重要 的。 8.认 识 到 同 一 现象 ，可能 有多种 不同的 解释， 需要用 更多的 证据来 加以判 断。
递推奠 基
《数学归纳法及其应用举例》教案说明
《数学归纳法及其应用举例》教案说明云南省曲靖市第一中学李德安一、数学归纳法的地位与作用1．数学归纳法在教材中的地位与作用数学归纳法是证明与正整数有关命题的一种重要的证明方法，它起源于正整数的归纳公理或最小数原理，而演变成各种形式。
《数学归纳法及其应用举例》是人教版高中数学新教材第三册第二章“极限”中第一部分的知识。
通过对数学归纳法的学习，可对中学数学中的许多重要结论，如等差、等比数列的通项公式及前n项和公式、二项式定理以及中小学很多思维上开拓创新的题目可以进行很好地证明，使很多数学结论更加严密，也为后继学习打下了良好的基础。
2．数学归纳法对思维发展的地位与作用人类对问题的研究，结论的发现认同，思维流程通常是观察→归纳→猜想→证明。
猜想的结论对不对，证明是尤为关键的。
运用数学归纳法解题时，有助于学生对等式的恒等变形，不等式的放缩，数、式、形的构造与转化等知识加强训练与掌握。
对数学归纳法原理的理解，蕴含着递归与递推，归纳与推理，特殊到一般，有限到无限等数学思想和方法，对思维的发展起到了完善与推动的作用。
二、数学归纳法的本质与教学目标定位数学归纳法体现了递推的思想，数学归纳法的本质就是利用递推思想去证题的一种方法。
一堂精彩的课不仅仅是传授给学生知识，更重要的是对学生能力的培养和情感的熏陶。
根据本节课的特点及布鲁纳的教学目标，特设置一条明线：如何验证等差数列通项公式的正确性；一条暗线：如何验证由不完全归纳法得到的与正整数有关命题的真假。
将本节课的教学目标定为三重目标：①认知目标：了解数学归纳法的原理，掌握用数学归纳法证题的方法与技巧；②能力目标：培养学生理解分析、归纳推理和独立实践的能力；③情感目标：激发学生的求知欲，增强学生的学习热情，培养学生辩证唯物主义的世界观和勇于探索的科学精神。
三、学法、教法特点及预期效果1．学法指导高中学生具有一定的逻辑思维和推理演算能力，并且对事物的认识逐步的由感性上升到理性，个体的发展由外显转化为内隐，这些都是我们学好本节的有利因素。
高中精品教学设计2.1数学归纳法及其应用举例(2)++教案
高中精品教学设计2.1数学归纳法及其应用举例(2)目的要求：1．进一步理解数学归纳法原理：只有两个步骤正确，才能下结论：对一切n ∈N *，命题正确(强调缺一不可)．2．会用数学归纳法证明一些简单的命题（等式、整除）． 3．理解为证n=k+1成立，必须用n=k 成立的假设． 教学过程：一、 抓住两个步骤，进行数学归纳法原理复习.用不完全归纳法说明缺乏传递性证明不行，那么可以省去第一步吗？ 例 证明：2+4+6+…..+2n=n 2+n+1 若n=k 时，2+4+6+…..+2k=k 2+k+1当n=k+1时，2+4+6十…..+2k+2(k+1)=k 2+k+1+2k+2=(k+1)2+(k 十1)十1 即n=k+1时，原等式成立．但n=1时，2≠3；n=2时，6≠7∴原等式不正确 由此得到结论：两个步骤，缺一不可. 强调两个步骤完成之后，还要下结论． 二、例题例1用数学归纳法证明：(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋2n =n n ()312+例2 用数学归纳法证明：当n 为正奇数时n n x y +能被x +y 整除（对于多项式A,B,如果A=BC,那么A 能被B 整除）. 例3用数学归纳法证明：243+n +125+n 能被14整除.例4 如下证明对吗?如果不正确，应如何改正？用数学归纳法证明：2311111.......122222nn ⎛⎫++++=- ⎪⎝⎭证明：（1）当n=1时，左边=21,右边=1-121⎪⎭⎫ ⎝⎛=21,等试成立.（2）设n=k 时，有kk ⎪⎭⎫⎝⎛-=++++21121 (21212132)那么，当n=k+1时，有11132211211]211[2121........212121+++⎪⎭⎫⎝⎛-=-⎪⎭⎫⎝⎛-=++++kkk即n=k十1时，命题成立．根据(1)、(2)可知，对n∈n*，等式成立，三、作业：同步练习X02012。
《数学归纳法及其应用举例》
《数学归纳法及其应用举例》教案重庆第八中学校 邓礼咸【教学目标】知识与技能：1. 了解由归纳法得出的结论具有不可靠性, 理解数学归纳法的原理与本质;2. 掌握数学归纳法证题的两个步骤及其简单应用；3. 培养学生观察、探究、分析、论证的能力, 体会类比的数学思想． 过程与方法:1.创设情境，激发学生学习兴趣，让学生体验知识的发生与发展过程;2.通过对数学归纳法的学习、应用，逐步体验观察、归纳、猜想、论证的过程，培养学生严谨的逻辑推理意识，并初步掌握论证方法;3.通过发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的过程，培养学生创新能力. 情感与价值观:1. 通过对数学归纳法原理的探究，培养学生严谨的科学态度和勇于探索的精神；2.通过对数学归纳法原理和本质的讨论，培养学生团结协作的精神；3.通过置疑与探究，培养学生独立的人格与敢于创新的精神；【教学重点】数学归纳法产生过程的分析，初步理解数学归纳法的原理并能简单应用.【教学难点】数学归纳法中两个条件的归纳，提炼和理解,及数学归纳法证明命题的两个步骤.【教学方法】师生互动讨论、共同探究的方法【教学手段】多媒体辅助课堂教学【教学过程】一、创设情境，引入课题情境一、“摸球实验”这盒子中装的不是糖，而是乒乓球，下面抽几个同学从盒中分别摸出一个球，并判断乒乓球的颜色，由此猜想这盒子中所有乒乓球的颜色。
问：这个猜想对吗？ 答：不对问：怎样判断这个猜想是对的？ 答：把它全部倒出来看或一个一个摸出来看。
问：为什么可以一个一个摸出来看？答：因为是有限的。
问：如果是无限的呢？ 答：不能采用一个一个摸出来看。
再看一个数学问题：情境二：已知n a ＝22)55(+-n n （*n N ∈），(1) 分别求1a ；2a ；3a ．（由学生齐答1a ；2a ；3a 的值，老师播放幻灯片）(2) 由此猜想出n a 的值？这个猜想正确吗？检验：451,251a a ==≠ 所以这个猜想是错的。
30教案：《数学归纳法及其应用举例》
课题：数学归纳法人民教育出版社全日制普通高级中学教科书数学选修2-2第二章第三节【教材分析】1、教学内容：数学归纳法是人教社全日制普通高级中学教科书数学选修2-2第二章第3节的内容，根据课标要求，本书该节共2课时，这是第一课时，其主要内容是数学归纳法的原理及其应用。
2、地位作用：在已经学习了不完全归纳法的基础上，介绍了数学归纳法，它是一种用于关于正整数命题的直接证法。
教材通过剖析生活实例中蕴含的思维过程揭示数学思想方法，即借助“多米诺骨牌”的设计思想，揭示数学归纳法依据的两个条件及它们之间的关系。
【教学目标】1、知识与技能：（1）了解归纳法，理解数学归纳法的原理与实质，掌握数学归纳法证题的两个步骤。
（2）会证明简单的与正整数有关的命题。
2、过程与方法：努力创设课堂愉悦的情境，使学生处于积极思考，大胆质疑的氛围，提高学生学习兴趣和课堂效率，让学生经历知识的构建过程，体会类比的数学思想。
3、情感、态度与价值观：通过本节课的教学，使学生领悟数学思想和辩证唯物主义观点，激发学生学习热情，提高学生数学学习的兴趣，培养学生大胆猜想，小心求证的辩证思维素质，以及发现问题、提出问题的意见和数学交流能力。
【教学重点】借助具体实例了解数学归纳法的基本思想，掌握它的基本步骤，运用它证明一些简单的与正整数n （n 取无限多个值）有关的数学命题。
【教学难点】（1）学生不易理解数学归纳法的思想实质，具体表现在不了解第二个步骤的作用，不易根据归纳假设作出证明。
（2）运用数学归纳法时，在“归纳递推”的步骤中发现具体问题的递推关系。
【教学方法】运用类比启发探究的数学方法进行教学；【教学手段】借助多媒体呈现多米诺骨牌等生活素材辅助课堂教学； 【教学程序】第一阶段：创设问题情境，启动学生思维 情境1、法国数学家费马观察到：6553712,25712,1712,5124232212=+=+=+=+归纳猜想：任何形如122+n（n ∈*N ）的数都是质数，这就是著名的费马猜想。
《数学归纳法及其应用举例》教案
《数学归纳法及其应用举例》教案中卫市第一中学 俞清华教学目标：1．认知目标：了解数学归纳法的原理，掌握用数学归纳法证题的方法。
2．能力目标：培养学生理解分析、归纳推理和独立实践的能力。
3．情感目标：激发学生的求知欲，增强学生的学习热情，培养学生辩证唯物主义的世界观和勇于探索的科学精神。
教学重点：了解数学归纳法的原理及掌握用数学归纳法证题的方法。
教学难点：数学归纳法原理的了解及递推思想在解题中的体现。
教学过程：一．创设情境，回顾引入师：本节课我们学习《数学归纳法及其应用举例》（板书）。
首先给大家讲一个故事：从前有一个员外的儿子学写字，当老师教他写数字的时候，告诉他一、二、三的写法时，员外儿子很高兴，告诉老师他会写数字了。
过了不久，员外要写请帖宴请亲朋好友到家里做客，员外儿子自告奋勇地要写请帖。
结果早晨开始写，一直到了晚间也没有写完，请问同学们，这是为什么呢？生：因为有姓“万”的。
师：对！有姓“万”的。
员外儿子万万也没有想到“万”不是一万横，而是这么写的“万”。
通过这个故事，你对员外儿子有何评价呢？生：（学生的评价主要会有两种，一是员外儿子愚蠢，二是员外儿子还是聪明的。
）师：其实员外儿子观察、归纳、猜想的能力还是很不错的，但遗憾的是他猜错了！在数学 上，我们很多时候是通过观察→归纳→猜想，这种思维过程去发现某些结论，它是一种创造性的思维过程。
那么，我们在以前的学习过程中，有没有也像员外儿子那样猜想过某些结论呢？生：有。
例如等差数列通项公式的推导。
师：很好。
我们是由等差数列前几项满足的规律：d a a 011+=，d a a +=12，d a a 213+=，d a a 314+=，……归纳出了它的通项公式的。
其实我们推导等差数列通项公式的方法和员外儿子猜想数字写法的方法都是归纳法。
那么你能说说什么是归纳法，归纳法有什么特点吗？生：由特殊事例得出一般结论的归纳推理方法，通常叫做归纳法。
特点：特殊→一般。
人教版-高中数学选修4-5-数学归纳法及其应用举例省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件
那么，当n=k+1时
左＝1+3+5+… +(2k1)＋[2(k+1)-1]
=k2+2k+1
=(k+1)2=右 即n=k+1时等式成立
递推根据
由(1)、(2)可知等式对任何nN*都成立
练1、用数学归纳法证明：
12 22 32 n2 n(n 1)(2n 1) 6
证明：1、当n=1时,左=12=1，右= 1(1)(k 2) +
3
从n=k到n=k+1有什么变化
(k 1)(k 2)
凑假设
= ( 1 k 1)(k 1)(k 2)
3
=
1 (k 1)k 1 1k 1 2
3
∴ n=k+1时命题正确。 由(1)和(2)知，当
凑结论
n N ，命题正确。
用数学归纳法证明恒等式旳环节及注意事项：
(1)当n=1时,左边=
1 1• 2
1
2,
右边=
1 11
1 2
(2)假设n=k(k∈N*)时命题成立 ，
1 1 1 k
1• 2 2•3
k • (k 1) k 1
那么n=k+1时,
左边
(1
1 )
1 (
1 )
(
1
1 )
2 23
k 1 k 2
1 1 k 1 =右边,
k 2 (k 1) 1
命题对从n0开始旳全 部正整数n都成立。
尤其提醒：
找准起点 奠基要稳
数学归纳法是一种证明与自然数有关旳数学命题旳主要措施。 其格式主要有两个环节、一种结论:
（1）证明当n取第一种值n0（如 n0=1或2等）时结论正确； 验证初始条件--------游戏开始
高中数学选修2-2《数学归纳法及其应用举例》教案
课题：数学归纳法及其应用举例教材：人民教育出版社A版一、教学目标【知识目标】（1）了解由有限多个特殊事例得出的一般结论不一定正确。
（2）初步理解数学归纳法原理。
（3）理解和记住用数学归纳法证明数学命题的两个步骤。
（4）初步会用数学归纳法证明一些简单的与正整数有关的恒等式。
【能力目标】（1）通过对数学归纳法的学习、应用，培养学生观察、归纳、猜想、分析能力和严密的逻辑推理能力。
（2）让学生经历发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的过程，培养学生的创新能力。
【情感目标】（1）通过对数学归纳法原理的探究，培养学生严谨的、实事求是的科学态度和不怕困难，勇于探索的精神。
（2）让学生通过对数学归纳法原理的理解，感受数学内在美的振憾力，从而使学生喜欢数学。
（3）学生通过置疑与探究，培养学生独立的人格与敢于创新精神。
二．教学重点、难点【重点】（1）初步理解数学归纳法的原理。
（2）明确用数学归纳法证明命题的两个步骤。
（3）初步会用数学归纳法证明简单的与正整数数学恒等式。
【难点】（1）对数学归纳法原理的理解，即理解数学归纳法证题的严密性与有效性。
（2）假设的利用，即如何利用假设证明当n=k+1时结论正确。
板书设计1．数学归纳法是一种用于证明与自然数n有关的命题的正确性的证明方法．它的操作步骤简单、明确，教学重点应该是方法的应用．但是我们认为不能把教学过程当作方法的灌输，技能的操练．对方法作简单的灌输，学生必然疑虑重重．为什么必须是二步呢？于是教师反复举例，说明二步缺一不可．你怎么知道n=k时命题成立呢？教师又不得不作出解释，可学生仍未完全接受．学完了数学归纳法的学生又往往有应该用时但想不起来的问题，等等．为此，我们设想强化数学归纳法产生过程的教学，把数学归纳法的产生寓于对归纳法的分析、认识当中，把数学归纳法的产生与不完全归纳法的完善结合起来．这样不仅使学生可以看到数学归纳法产生的背景，从一开始就注意它的功能，为使用它打下良好的基础，而且可以强化归纳思想的教学，这不仅是对中学数学中以演绎思想为主的教学的重要补充，也是引导学生发展创新能力的良机．数学归纳法产生的过程分二个阶段，第一阶段从对归纳法的认识开始，到对不完全归纳法的认识，再到不完全归纳法可靠性的认识，直到怎么办结束．第二阶段是对策酝酿，从介绍递推思想开始，到认识递推思想，运用递推思想，直到归纳出二个步骤结束．把递推思想的介绍、理解、运用放在主要位置，必然对理解数学归纳法的实质带来指导意义，也是在教学过程中努力挖掘、渗透隐含于教学内容中的数学思想的一种尝试．2．在教学方法上，这里运用了在教师指导下的师生共同讨论、探索的方法．目的是在于加强学生对教学过程的参与程度．为了使这种参与有一定的智能度，教师应做好发动、组织、引导和点拨．学生的思维参与往往是从问题开始的，尽快提出适当的问题，并提出思维要求，让学生尽快投入到思维活动中来，是十分重要的．这就要求教师把每节课的课题作出层次分明的分解，并选择适当的问题，把课题的研究内容落于问题中，在逐渐展开中，引导学生用已学的知识、方法予以解决，并获得新的发展．本节课的教学设计也想在这方面作些研究．。
高中数学第四届全国高中青年数学教师优秀课观摩大赛 数学归纳法及其应用举例教案
课题：数学归纳法及其应用举例【教学目标】知识与技能：1. 了解由有限多个特殊事例得出的一般结论不一定正确，使学生深入认识归纳法, 理解数学归纳法的原理与实质;2. 掌握数学归纳法证题的两个步骤；初步会用“数学归纳法”证明简单的与自然数有关的命题(如恒等式等)．3. 培养学生观察、分析、论证的能力, 进一步发展学生的抽象思维能力和创新能力，让学生经历数学归纳法原理的构建过程, 体会类比的数学思想．过程与方法:1.努力创设和谐融洽的课堂情境，使学生处于积极思考、大胆质疑氛围，提高学生学习的兴趣和课堂效率．让学生体验知识的构建过程, 体会源于生活的数学思想;2. 通过对数学归纳法的学习、应用，逐步体验观察、归纳、猜想、论证的过程，培养学生由特殊到一般的思维方式和严格规范的论证意识，并初步掌握论证方法;3. 让学生经历发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的过程，培养学生创新能力.情感、态度、价值观:1. 通过对数学归纳法原理的探究，培养学生严谨的、实事求是的科学态度和不怕困难，勇于探索的精神；2. 让学生通过对数学归纳法原理和本质的理解，感受数学内在美的震撼力，从而使学生喜欢数学,激发学生的学习热情，使学生初步形成做数学的意识和科学精神；3. 学生通过置疑与探究，培养学生独立的人格与敢于创新的精神；4. 持续增进师生互信，生生互助，共创教学相长的教与学的氛围和习惯.【教学重点】归纳法意义的认识和数学归纳法产生过程的分析，初步理解数学归纳法的原理并能简单应用.【教学难点】数学归纳法中递推思想的理解,初步明确用数学归纳法证明命题的两个步骤.【教学方法】师生互动讨论、共同探究的方法【教学手段】多媒体辅助课堂教学【教学过程】一、创设情境，启动思维情境一、财主儿子学写字的笑话、“小明弟兄三个，大哥叫大毛……”的脑筋急转弯等；教师总结：财主的儿子很傻很天真，但他懂一样思想方法，是什么？以上都是由特殊情况归纳出一般情况的方法---归纳法，这就是今天的课题. 人们通常也会用归纳法思考问题，小孩也会由此总结出什么年龄人该叫爷爷，什么年龄人叫阿姨，叫哥哥或姐姐.情境二：华罗庚的“摸球实验”1、这里有一袋球共12个，我们要判断这一袋球是白球，还是黑球，请问怎么判断？启发回答:方法一：把它全部倒出来看一看．特点：方法是正确的，但操作上缺乏顺序性．方法二：一个一个拿，拿一个看一个．比如结果为：第一个白球，第二个白球，第三个白球，……，第十二个白球，由此得到：这一袋球都是白球．特点：有顺序，有过程．2、如果想象袋子有足够大容量，球也无限多？要判断这一袋球是白球，还是黑球，上述方法可行吗？情境三: 回顾等差数列{}n a 通项公式推导过程：设计意图：首先设计情境一,分析情境，自然引出课题----归纳法，谈笑间进入正题.再通过情境二的交流激发学生的兴趣，调动学生学习的积极性．情境三点出两种归纳法的不同特点.通过梳理我们熟悉的一些问题，很自然为本节课主题与重点引出打下伏笔.二、师生互动，探究问题承上启下：以上问题的思考和解决，用的都是归纳法.什么是归纳法？ 归纳法特点是什么？上述归纳法有什么不同呢？学生回答以上问题，得出结论：1. 归纳法：由一些特殊事例推出一般结论的推理方法. 特点：由特殊→一般；2. 完全归纳法: 把研究对象一一都考查到了而推出结论的归纳法称为完全归纳法；3. 不完全归纳法: 根据事物的部分(而不是全部)特例得出一般结论的推理方法.在生活和生产实际中，归纳法有着广泛的应用．例如气象工作者、水文工作者，地震工作者依据积累的历史资料作气象预测，水文预报，地震预测用的就是归纳法．4. 引导学生举例：⑴不完全归纳法实例：如欧拉发现立体图形的欧拉公式:2V E F -+=(V 为顶点数,E 为棱数,F 为面数)⑵ 完全归纳法实例： 如证明圆周角定理时，分圆心在圆周角内部、外部及一边上三种情况讨论．设计意图：从生活走向数学，与学生一起回顾以前学过的数学知识，并在这里我安排学生举完全归纳法的实例和不完全归纳法实例，进一步体会归纳意识，同时让学生感受到我们以前的学习中其实早已接触过归纳法，并引导学生积极投入到探寻论证方法过程的氛围中.三 、借助史料, 引申思辨问题1： 已知n a ＝22)55(+-n n （n ∈N ），(1) 分别求1a ；2a ；3a ；4a ．(2) 由⑴你会有怎样的一个猜想？这个猜想正确吗？问题2： 费马（Fermat ）是17世纪法国著名的数学家，他是解析几何的发明者之一，是对微积分的创立作出贡献最多的人之一，是概率论的创始者之一，他对数论也有许多贡献．他曾认为，当n ∈N 时，122+n 一定都是质数，这是他对n ＝0，1，2，3，4作了验证后得到的．后来，18世纪伟大的瑞士科学家欧拉（Euler ）却证明了1252+＝4 294 967 297＝6 700 417×641，从而否定了费马的推测．没想到当n ＝5这一结论便不成立．教师总结: 有人说，费马为什么不再多算一个数呢？今天我们是无法回答的．但是要告诉同学们，失误的关键不在于多算一个数上！问题3 ：41)(2++=n n n f , 当n ∈N 时，)(n f 是否都为质数？验证： f （0）＝41，f （1）＝43，f （2）＝47，f （3）＝53，f （4）＝61，f （5）＝71，f （6）＝83，f （7）＝97，f （8）＝113，f （9）＝131，f （10）＝151，…，f （39）＝1 601．但是f （40）＝1 681＝241，是合数．承上启下：这里算了39个数不算少了吧，但还是不行！我们介绍以上两个资料，不是说世界级大师还出错，我们有错就可以原谅，也不是说归纳法不行，不去学了，而是要找出运用归纳法出错的原因，并研究出对策来 , 寻求数学证明.教师设问：,不完全归纳法为什么会出错？如何弥补不足？怎么给出证明呢？设计意图：在生活引例与已学数学知识的基础上，进一步引导学生看数学史料，能够让学生多方位多角度体会归纳法，感受使用归纳法的普遍性．同时引导学生进行思辨：在数学中运用不完全归纳法常常会得到错误的结论，不管是我们还是数学大师都有可能如此．那么，不完全归纳法价值体现在哪里？不足之处如何去弥补呢？ 结论正确性怎样给出证明？学生一定会带着许多问题进入下一阶段探究.四、实例再现，激发兴趣1、演示多米诺骨牌游戏视频.师生共同探讨多米诺骨牌全部依次倒下的条件：⑴ 第一块要倒下;⑵ 当前面一块倒下时，后面一块必须倒下;当满足这两个条件后，多米诺骨牌全部都倒下.再举例：再举几则生活事例：推倒自行车, 早操排队对齐等．2、学生类比多米诺骨牌依顺序倒下的原理，探究出证明有关正整数命题的方法（建立数学模型）.设计意图：布鲁纳的发现学习理论认为，“有指导的发现学习”强调知识发生发展过程．这里通过类比多米诺骨牌过程，让学生发现数学归纳法的雏形，是一种再创造的发现性学习．另外，这个环节里，我在培养学生大胆猜想、类比概括能力方面实践的不够好．应该让学生在类比多米诺骨牌游戏的基础上说出数学归纳法原理，教师给予肯定和补充即可。
数学归纳法及其应用举例
2Sn
an
1 an
.
证:(1)当=1n,=结1论时成, a 立1 .S 1 1 2 (a 1 a 1 1 ) a 1 2 1 a 1 1 ,1 1 1
(2)假设当n=k时,结论成立,即ak k k1. 则当n=k+1时,
S k 1 2 (a k a 1 k) 1 2 (kk 1 k 1 k 1 )k . ak 1Sk 1Sk1 2(ak 1a1 k 1)k ak 2 12kak 110
用数学归纳法证明:
(1) 123 n1n(n1) 2
（2）1+2+22+…+2n-1=2n-1 （3）首项是a1，公比是q的等比数列的通项公式是 an=a1qn-1
19
感悟与收获
(1) 本节的中心内容是归纳法和数学归纳法;
(2) 归纳法是一种由特殊到一般的推理方法，分为完全归 纳法和不完全归纳法二种;
x 2 (x 2 k y 2 k)、 y 2 k(x y )x( y )都能被x+y整除.
故x2k+2-y2k+2能被x+y整除,即当n=2k+2时命题成立.
由(1)、(2)知原命题对一切正偶数均成立.
15
(3)数学归纳法证明几何问题：
例、平面内有n (n2)条直线，任何两条都不平行，任何
三条不过同一点，问交点的个数 f (n) 为多少?并证明.
解:令n=1,2,并整理得
{
,{ .
1a03b2 b4
以下用数学归纳法证明:
1 22 2 n 2 n 2n(n N *). 1 335 (2 n 1 )2 (n 1 ) 4 n2
(1)当n=1时,由上面解法知结论正确.
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《数学归纳法及其应用举例》教案
教学目标：
1．认知目标：了解数学归纳法的原理，掌握用数学归纳法证题的方法。
2．能力目标：培养学生理解分析、归纳推理和独立实践的能力。
3．情感目标：激发学生的求知欲，增强学生的学习热情，培养学生辩证唯物主义的世界观和勇于探索的科学精神。
教学重点：
了解数学归纳法的原理及掌握用数学归纳法证题的方法。
教学难点：
数学归纳法原理的了解及递推思想在解题中的体现。
教学过程：
一．创设情境，回顾引入
师：本节课我们学习《数学归纳法及其应用举例》（板书）。
首先给大家讲一个故事：从前有一个员外的儿子学写字，当老师教他写数字的时候，告诉他一、二、三的写法时，员外儿子很高兴，告诉老师他会写数字了。
过了不久，员外要写请帖宴请亲朋好友到家里做客，员外儿子自告奋勇地要写请帖。
结果早晨开始写，一直到了晚间也没有写完，请问同学们，这是为什么呢？
生：因为有姓“万”的。
师：对！有姓“万”的。
员外儿子万万也没有想到“万”不是一万横，而是这么写的“万”。
通过这个故事，你对员外儿子有何评价呢？
生：（学生的评价主要会有两种，一是员外儿子愚蠢，二是员外儿子还是聪明的。
） 师：其实员外儿子观察、归纳、猜想的能力还是很不错的，但遗憾的是他猜错了！在数学 上，我们很多时候是通过观察→归纳→猜想，这种思维过程去发现某些结论，它是一种创造性的思维过程。
那么，我们在以前的学习过程中，有没有也像员外儿子那样猜想过某些结论呢？
生：有。
例如等差数列通项公式的推导。
师：很好。
我们是由等差数列前几项满足的规律：d a a 011+=，d a a +=12，d a a 213+=，d a a 314+=，……归纳出了它的通项公式的。
其实我们推导等差数列通项公式的方法和员外儿子猜想数字写法的方法都是归纳法。
那么你能说说什么是归纳法，归纳法有什么特点吗？ 生：由特殊事例得出一般结论的归纳推理方法，通常叫做归纳法。
特点：特殊→一般。
师：对。
（投影展示有关定义）
像这种由特殊事例得出一般结论的归纳推理方法，通常叫做归纳法。
根据推理过程中考察的对象是涉及事物的一部分还是全部，分为不完全归纳法和完全归纳法。
完全归纳法是一种在研究了事物的所有（有限种）特殊情况后得出一般结论的推理方法，又叫做枚举法。
那么，用完全归纳法得出的结论可靠吗？
生：（齐答）可靠。
师：用不完全归纳法得出的结论是不是也是可靠的呢？为什么？
生：不可靠。
这是因为只考察了部分情况，结论不一定具有普遍性。
师：是不可靠的。
不妨再举一例()()()()1000321----=n n n n a n 容易验证01=a ，02=a ，03=a ，…，01000=a ，如果由此作出结论——对于任何*N n ∈，()()() 321---=n n n a n
()01000=-n 都成立，那就是错误的。
事实上，0!10001001≠=a 。
二．设置问题，引导探究
师：请问同学们你们玩过多米诺骨牌吗？
生：（没）玩过。
（课堂气氛由刚才的沉思变得开始活跃）
师：无论玩没玩过，下面我们一起来玩一下。
（投影仪上进行生动、形象的骨牌演示）在观看骨牌玩法时，请思考：满足什么条件，骨牌可以全部倒下？
生：假设第()
*N k k ∈张骨牌倒下，保证第1+k 张骨牌倒下。
师：这样就保证了可以递推下去，骨牌就可以全部倒下了，是吗？
生：不是。
我们不知道第k 张骨牌是否倒下了，从而我们是假设第k 张骨牌倒下。
若第k 张骨牌倒下，需要第1-k 张骨牌倒下；若第1-k 张骨牌倒下，需要第2-k 张骨牌倒下，……，最后递归到需要第1张骨牌倒下，所以，还要有一个条件：第一张骨牌倒下。
师：大家说有了这两个条件，骨牌是不是可以顺次的倒下呢？
生：是。
师：上面同学说得很好，要使骨牌全部倒下应满足两个条件（投影显示）第一个条件是：第一张骨牌倒下；第二个条件是：假设第k 张骨牌倒下，第1+k 张骨牌一定倒下。
现在你能不能利用这种思想（递推思想）来证明等差数列通项公式呢？是不是应该建立一种递推顺序呢？
生：1=n 时结论正确2=⇒n 时结论正确3=⇒n 时，结论正确，k n =⇒⇒ 时结论正确1+=⇒k n 时结论正确 ⇒
师：由于这个过程推理方法是一样的，能否把这个过程一般化呢？
生：假设k n =时结论正确1+=⇒k n 时结论也正确。
师：这样就保证了递推。
下面你能证明等差数列通项公式了吗？
三．解决问题，引出概念
（学生共答，教师板书）
证明：（1）当1=n 时，左边a =，右边110a d a =⋅+=，等式是成立的。
（2）假设当k n =时等式成立，就是d k a a k )1(1-+=，下面看看是否能推出=n 1+k 时等式也成立，那么1+k a 等于什么？
生：[]d k a a k 1)1(11-++=+。
师：哦！看来1+=k n 时等式也成立，这样做对吗？
生：（齐答）不对。
师：注意在证1+=k n 时，一定要用到归纳假设，k n =时等式成立这一步，因为这样才能保证递推，那么1+k a 与k a 有什么关系呢？（学生齐答，教师继续板书）
[]d d k a d a a k k +-+=+=+)1(11[]d k a 1)1(1-++=。
这就是说，当1+=k n 时，等式也成立，大家说有了这两步，是不是就证明了等差数列通项公式的正确性了呢？
生：1=n 时等式成立2=⇒n 时等式成立3=⇒n 时等式成立⇒……所以n 取任何正整数等式都成立。
师：这种证明方法叫做数学归纳法，那么你能谈谈什么是数学归纳法，及其用数学归纳法证题的步骤是怎样的呢？
生：（在学生交流，教师引导完善下）数学归纳法（证明一个与正整数有关的命题的步骤）是：（投影跟踪给出）。
（1）证明当n 取第一个值0n （例如10=n 或2等）时结论正确；
（2）假设当k n =（*N k ∈，且0n k ≥）时结论正确，证明当1+=k n 时结论也正确。
根据（1）和（2），可知命题对从0n 开始的所有正整数n 都正确。
所以数学归纳法是证明一个与正整数有关的命题的一种方法。
概括起来就是“两个步骤，一个结论。
”
师：用数学归纳法证题，实质是一种什么思想？
生：递推思想。
师：在递推中，两个步骤各起到了怎样的作用呢？
生：第一步是奠基，是递推的基础，第二步是保证能够递推，是递推的依据。
（此时投影上注明）
师：这两步可以缺少哪一步吗？
生：（学生举例说明，教师点评，投影上也举出实例，从而明确）两步缺一不可。
师：我们已经知道，由不完全归纳法得到的结论不可靠，因而必须作证明。
若命题是与正整数有关的，证明可考虑用数学归纳法。
下面请同学们看一道例题。
例1：用数学归纳法证明：()212531n n =-++++ （师生共同证题，总结出用数学归纳法证题的技巧是“一凑假设，二凑结论”。
）
练习：用数学归纳法证明：
1．()12
1321+=++++n n n 。
2．12222112-=++++-n n 。
3．首项是1a ，公比是q 的等比数列的通项公式是11-=n n q a a 。
四．归纳小结，深化主题
师：本节的中心内容是什么？为什么要学习数学归纳法？什么是数学归纳法？体现什么思想？
生：（学生积极回答，从而自主地构建本节课的知识网络。
）
（投影展示）小结：
1．归纳法⎩⎨⎧完全归纳法
不完全归纳法
特点：特殊→一般
2．数学归纳法概念及证题步骤。
3．数学归纳法实质是递推思想。
五．布置作业：
P76 1，2。