初中几何知识点-带证明

以后在解析几何里，还有一个常见的周角计量单位是 2π，因为圆与 π 这个数的关系 密切，半圆、圆周的半径或直径对应圆弧的函数关系少不了 π，采用含有 π 的计量单位，
很多情况下使计算变得容易，三角函数更习惯于用这个计量方法。 锐角：小于直角的是锐角； 钝角：大于直角小于平角的角是锐角；
在三角形证明题里，注意有一种坑是忽视了钝角。三角形图形常以锐角三角形显示，锐 角三角形的中线、角平分线、垂直线都落在三角形内部，但钝角三角形的三线可能在三角形 三边外部延长直线。如忽略了钝角的可能性，辅助线和分类讨论就可能掉坑埋在。
代替了“∴”的句式，所有运算符和运算单元相当于列出了所有条件“∵”，例如
17+939+
＝17+3+939 (加法交换律)
＝20+939 （加法运算的“定理”，运算法则）
＝959
（加法运算的“定理”，运算法则）
7*9＝63 （乘法运算口诀“定理”，从加法运算推导出的）
做错题也相当于论证错误，套用定理错误，例如
射线 线段向一边无限延长是射线。射线只有一个端点。 射线理解不算很难，只需要注意它是有方向的。平面直角坐标系里，轴线可以理解成有 方向的、以原点（通常是 0）为端点的射线，整数、实数则以原点为中心展开两条射线。。
＊长度（超出大纲的定义）： 取一个参考线段为标准单位，测量另一个线段。 在一个线段 AB 上，从 A 到 B 的方向（就是以 A 为端点向 B 的射线方向），能按一定 数量的“单位线段”顺序排满，这个对应的数量就是单位长度。。
＊面积： 图形围起来的“大小”是它的面积。 同样是直观能理解却不便简单描述的定义。缺少面积的定义，推到定理时，这个概念可 能突然出现。 直线线线段和曲线线段涉及到的计量单位，在线段上是一维单位长度，而二维的是面积。 ＊正方形面积是它的边长×边长，即“边长的平方”ד边长单位的平方” 初中教材里，面积的基本单位由单位线段围成的正方形定义，而正方形的面积又由单位 线段的乘积得出。建议假定以此为基础产生面积的推论，——后面这一步还缺少详细的论证， 为什么乘积就是面积呢？但大家先接受了再说——假定线段单位是厘米（cm），那么 1cm ×1cm＝1cm²是容易理解的。 由单位面积的正方形“公理式定义”推证到矩形、三角形、多边形、曲面的面积，不需 要直接定义，推导出各自的“定理”就行了。 定义9) 直线图形：被三条以上线段首尾端点依次围起来的图形 三角形、四边形、五边形、六边形……一直到 N 边形。 直线图形中有一类正 N 边形，它由 N 条完成相同长度的线段围成、并且对应线段形成 的所有角完全相同。正三角形、正四边形（即正方形）、正五边形等等等等。
角的单位 初等几何里，一个周角记为 360 个单位，单位为角度，记号是°，更小的单位是角度的 分和秒，1°＝60 分，1 分＝60 秒 一个周角 360°只是一个约定的划分定义。古代欧洲人喜欢用的是 60 进制，60 能被在 60 以下的 2、3、5 等因数整除，方便细分，360 就是 60 的 6 倍，角分和角秒也是 60 进制， 日常可以看到对周角（圆）进行 12 等分的计量，圆形钟就是 12 个“字”（主要用于小时计 量），粗分 4 个“刻”度，细分则是“60”个分，分钟计时转了个半圆的平角，可以用“30 分”或“2 刻”描述、转了半圆的时钟，计量可以用“6 小时（字）”描述
几何里的定义、公理、定理都是真命题，即从结出的条件得到的判断是正确的，定理是
从前面定义、公理等真命题推导出来的真命题。证明中也可以引用一个假命题，它与要论证
的命题是相反的，通过推论否定假命题，从而论证要证明的命题是真命题，即反证法。
数学证明一般是给出一个命题，从定义、公理、定理等要背熟的套路，组合出一个证明
来说，中考不会用到这些牛角尘，当成课外可了解的东西吧。 中学的几何最重要的是三角形相关，关于三角形的各种推导、定理和证明。因为在平面
几何中，大部分直线线段构成的图形都可以分解成三角形，它是大部分证明的基础。 定义1) 点 没有方向和长度、宽度，不能分割的图形。 定义2) 线 没有宽度的“长度”，只有“长度”一个维度的“线”。 在“线”上可以标记无数个点。 我们现在学习的平面几何，“线段”、“射线”和“直线”都是“直”的。“线”有其
它的种类，例如圆是由“曲线”构成。更高等的几何中，“直线”不一定在视觉上是直的， 但一般是“经过两点最短的距离”的“直”线。
线段： 有两个端点的“绷紧的线”。 两个点之间最短的线是线段。 线段没有宽度，只有长度。 线段的中点：线段上的一个点，把线段分成相等的两条线段。这个点称为线段的中点。 在线段相关的定义也很抽象，初中不便做严格定义。直观的理解就是“拉直的线＂。在 中档以上题目里，注意线段和直线的区别，例如“某点到三角形的一条边 AB 的距离（即垂 线）”就有个坑，此类描述中，AB 是线段，但是作垂线是到“AB 所在直线”，时时要考 虑到 AB 延长线上的可能性。
55+3
＝59
（运算法则错误）
55-3 ＝3-55
（错误套用，以为减法符合交换律）
基本定义：点、线、面、圆等
初中几何以欧几里德的几何原本为基础，有公理体系的大致框架，这里把初中课本上的
相关知识点按公理体系汇总整理。
公理体系的特点，是从一组定义和公理为基础出发，所有定理都能从基础上推导出来，
因此，在初中的体系里，明确了哪些是定义、公理（公设），都是要背熟的，而常用的定理
过程，推断出这个命题是真命题。
教材里是诸如以下方式：
已知条件 a,条件 b,条件 c 等，求证：命题 A
∵已知：条件 a；条件 b…【罗列已知条件真命题】
∴某结论是真命题（写出对应公理和定理，允许从上面已知推出结论）
（某结论还不是 A，要继续重复上一步，直到命题 A）
证明时，一定要注意每一步结论（∴）都有足够的定理和条件。有的同学以前做硬式和
三角形 三角形是三个在同一平面上、不在同一条直线上的点，连成的三条线段依次围起来的直 线图形。 三角形三个角都是锐角的是锐角三角形： 三角形有一个直角的是直角三角形； 三角形有一个钝角的是钝角三角形； 三角形三个角都相等的是等边三角形（正三边形）；
四边形 四个点在同一平面上、任意一点都不在其它两点确点的同一条直线上，点和点连成的 4 条互不交叉的线段，这些线段围起来的直线图形。 四边形中只有一对边平行的是梯形； 四边形中有两对边平行的是平行四边形； 平行四边形中四条边相等的是菱形； 四边形四个角为直角的是长方形（矩形）；矩形是特殊的平行四边形； 矩形中四条边相等的是正方形（正四边形）；正方形是特殊的矩形；
＊曲线 ……郁闷中，定义也应该超纲了，没找到它简单的严格定义，初中同学用直觉理解。 曲线的长度是把它“拉直”绷紧到等同于一条线段后的长度。大部分同学生活常识里， 初中几何里涉及的曲线主要是圆和圆弧。 曲线是一种“连续弯曲”形成的线，对应还有一种折线，直线线段在连接点上“拼”成 的线，深入理解是“连续可微”的问题，初中阶段也是先别管定义了，证明时假装知道天然 有曲线的性质吧。 定义3) 面 有长度和宽度两个维度。 在平面几何里，面一般是指“平直的、有长度和宽度的”平面。 三个不在同一条直线上的点确定一个平面。 以后立体几何里还能学到有长宽高的曲面。 定义4) 空间（体） 有长度、宽度、高度的“平直、立体”，有三个维度。 四个不在同一平面上的点确定一个三维空间。 在空间里展开立体几何的计算、证明。一般的几何认识就只到长、宽、高三个维度。更 高的维度中学接触不到，直观想象较困难，一般是用 N 维的坐标向量运算认识相关性质。 私货：科幻小说里会扯到四维空间，往往把三维空间加上时间当第 4 维，然后就开始玩 穿越了，算是神秘化的设定。在代数认识上的“纯”几何，第四维以上应该与长宽高的性质 相似，一般不拿时间代进去，因为时间轴是有方向性的甚至不能逆转向后，扯出的模型与纯 四维空间相比复杂得多。 定义5) 角 从公共端点发出的两条射线组成，或者说一条射线绕它的“端点”旋转形成了角。
周角 射线绕端点一圈形成的角。 一周角＝2 平角＝4 直角.
垂直，垂直线 两条直线相交形成直角，它们互直垂直。 根据直线、角、直角相关定义，可以推出两直线相交的 4 个角都是直角。 过直线外一点作一条直线，与已知直线相交且垂直，是点到直线的垂线。
对顶角、邻补角 角是由两条射线、一个端点组成的。扩展到两条直线相交，会形成四个角，其中相对的 是对顶角，相邻的是邻补角。 根据此定义和其它公理能推出“对顶角相等”定理
包含了基本的证明算法，需要熟练掌握，学生们的证法功底，至少应能看到常用定理，知道
如何“从公理开始”先后有序地证明一系列定理，并且不要陷入“用 A 定理证明了定理 B、
然后用 B 定理反过来证明 A 定理”的循环论证中。
前面打了个“＊”号的定义，是对它们有可能超纲的存疑，就是目前整理中没找到教材
上的较严格描述，如果是真．初中学霸，估计会钻牛角尖找出处，所以给出一些解释，一般
＊在初中的书上，似乎没有对长度的严格定义。欧几里德同志也没有给出定义。我看过 北师大、人教版七年级上级教材，在定义前，突然直接用上了长度和距离这些词，当成“不 假思索就能理解”的概念。
长度涉及“数”的表现及法则，以单位长度为“1”展开自然数、整数、有理数、实数， 加减乘除等自然数运算法则，在直线与线段上都能映射出来，两个维度的长度（直角坐标轴） 还可以展开平面上的复数，其实也是很重要的一个基本概念。
补角：两个角的和是平角，称这两个角互为补角 余角：两个角的和是直角，称这两个角互为余角 定义6) 距离： 点与点的距离：两个点之间的线段长度是它们的距离。 点到直线的距离：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，
即是点到直线的距离。 两条直线之间的距离：一条直线上任取一点，这点到另一条直线上的距离就是
的是假命题，还有无法证明真假和自相矛盾的命题。真命题、假命题、不可确定真假的命题，
都属于命题。
命题可以反过来描述成为逆命题，真命题的逆命题不一定是真命题。例如