27.4正多边形和圆

27.3.2圆锥的侧面积与全面积导学案
学习目标
1.了解正多边形的概念、正多边形与圆的关系.
2.会等分圆周，并会画出相应的正多边形.
3.会运用尺规作图画出特殊的正多边形
学习策略
1.注意独立思考与分组交流结合，共同探究加深理解.
2.学会由特殊到一般的探究方法.
学习过程
一.复习回顾：
1.什么是正多边形?它们具有什么对称性？n边形的内角和是多少？
2.什么三角形的内切圆和外接圆？什么是圆的内接四边形？有何性质？
3.其它的正多边形都有外接圆和内切圆吗？
二.新课学习：
1.自学教材P65-66，回答以下问题：
1、画出教材65页正三角形、正四边形、正五边形和正六边形的对称轴.
2、观察对称轴的交点有何共同点？
测量交点到顶点的距离怎样？
猜想正多边形的顶点是否共圆？
正多边形的外接圆一定存在吗？
3、分析对称轴与正多边形内角的关系，结合角平分线的性质思考交点到各边的距离有何关系？
正多边形内切圆一定存在吗？
4、结合教材图27.4.4和27.4.5学习正多边形的相关概念（中心，中心角，半径、边心距）
2.自学教材P66，回答以下问题：
1、怎样运用等分圆周的方法画正多边形？
2、画圆内接正方形的步骤是什么？自己画一画.
3、画圆内接正六边形的步骤是什么？自己画一画.
三.尝试应用：
1.下列正多边形中，对称轴条数是6条的为（）
A．正三角形B．正方形C．正六边形D．正五边形2.同一个圆的内接正方形与内接正六边形边长之比为
3. 如图，正△ABC外接圆的半径为2，求正△ABC的边长，边心距，周长和面积．
4.用量角器画正10边形.
四.自主总结：
（1）正多边形基本元素：中心，中心角，半径、边心距.
（2）正多边形性质：都有一个外接圆和一个内切圆，圆心都是正多边形的中心.
（3）画正多边形：等分圆周法；尺规作图法.
五.达标测试
一．选择题（共4小题）
1．正多边形的一边所对的中心角与它的一个外角的关系是（）
A．相等 B．互余 C．互补 D．互余或互补
2．已知圆的半径是2，则该圆的内接正六边形的面积是（）
A．3 B．9C．18D．36
3．正六边形ABCDEF内接于⊙O，正六边形的周长是12，则⊙O的半径是（）
A．B．2 C．2D．2
4．下列圆的内接正多边形中，一条边所对的圆心角最大的图形是（）
A．正三角形 B．正方形C．正五边形 D．正六边形
二．填空题（共3小题）
5．如图，⊙O的内接正五边形ABCDE的对角线AD与BE相交于点G，AE=2，则EG的长是．
6．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，⊙O的半径为6，则这个正六边形的边心距OM的长为．
7．如图，正方形ABCD是⊙O的内接正方形，点P在劣弧上不同于点C得到任意一点，则∠BPC的度数是度．
三．解答题（共3小题）
8．作图与证明：
如图，已知⊙O和⊙O上的一点A，请完成下列任务：
（1）作⊙O的内接正六边形ABCDEF；
（2）连接BF，CE，判断四边形BCEF的形状并加以证明．
9．如图，点A是半径为3的⊙O上的点，
（1）尺规作图：作⊙O的内接正六边形ABCDEF；
（2）求（1）中的长．
10．如图，正三角形ABC内接于⊙O，若AB=cm，求⊙O的半径．
1.【分析】可设正多边形是正n边形，则它的一边所对的中心角是，进而由多边形外角和为360°，用含n的式子表示它的一个外角，即可求出答案．
【解答】解：设正多边形是正n边形，则它的一边所对的中心角是，
正多边形的外角和是360°，则每个外角也是，
所以正多边形的一边所对的中心角与它的一个外角相等．
故选A．
2.【分析】根据正六边形被它的半径分成六个全等的等边三角形，再根据等边三角形的边长，求出等边三角形的高，再根据面积公式即可得出答案．
【解答】解：连接OA、OB，作OG⊥AB于G，
∵等边三角形的边长是2，
∴高为3，
∴等边三角形的面积是3，
∴正六边形的面积是：18；
故选C．
3.【分析】连接OA，OB，根据等边三角形的性质可得⊙O的半径，进而可得出结论．
【解答】解：连接OB，OC，
∵多边形ABCDEF是正六边形，
∴∠BOC=60°，
∵OB=OC，
∴△OBC是等边三角形，
∴OB=BC，
∵正六边形的周长是12，
∴BC=2，
∴⊙O的半径是2，
故选B．
4.【分析】根据正多边形的中心角的度数即可得到结论．
【解答】解：∵正三角形一条边所对的圆心角是360°÷3=120°，
正方形一条边所对的圆心角是360°÷4=90°，
正五边形一条边所对的圆心角是360°÷5=72°，
正六边形一条边所对的圆心角是360°÷6=60°，
∴一条边所对的圆心角最大的图形是正三角形，
故选A．
5.
【分析】在⊙O的内接正五边形ABCDE中，设EG=x，易知：∠AEB=∠ABE=∠EAG=36°，∠BAG=∠AGB=72°，推出AB=BG=AE=2，由△AEG∽△BEA，可得AE2=EG•EB，可得22=x（x+2），解方程即可．
【解答】解：在⊙O的内接正五边形ABCDE中，设EG=x，
易知：∠AEB=∠ABE=∠EAG=36°，
∠BAG=∠AGB=72°，
∴AB=BG=AE=2，
∵∠AEG=∠AEB，∠EAG=∠EBA，
∴△AEG∽△BEA，
∴AE2=EG•EB，
∴22=x（x+2），
解得x=﹣1+或﹣1﹣，
∴EG=﹣1，
故答案为﹣1．
6.【分析】根据正六边形的性质求出∠BOM，利用余弦的定义计算即可．
【解答】解：连接OB，
∵六边形ABCDEF是⊙O内接正六边形，
∴∠BOM==30°，
∴OM=OB•cos∠BOM=6×=3；
故答案为：3．
7.【分析】连接OB，OC，由正方形的性质知，△BOC是等腰直角三角形，有∠BOC=90°，由圆周角定理可以求出．
【解答】解：连接OB，OC，如图所示：
∵四边形ABCD为正方形，∴∠BOC=90°，
∴∠P=∠BOC=45°．
故答案为：45．
8.【分析】（1）由正六边形ABCDEF的中心角为60°，可得△OAB是等边三角形，继而可得正六边形的边长等于半径，则可画出⊙O的内接正六边形ABCDEF；
（2）首先连接OE，由六边形ABCDEF是正六边形，易得EF=BC，=，则可得BF=CE，证得四边形BCEF是平行四边形，然后由∠EDC=∠DEF=120°，∠DEC=30°，求得∠CEF=90°，则可证得结论．
【解答】解：（1）如图1，首先作直径AD，然后分别以A，D为圆心，OA长为半径画弧，分别交⊙O于点B，F，C，E，连接AB，BC，CD，DE，EF，AF，
则正六边形ABCDEF即为⊙O所求；
（2）四边形BCEF是矩形．
理由：如图2，连接OE，
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴AB=AF=DE=DC，FE=BC，
∴===，
∴=，
∴BF=CE，
∴四边形BCEF是平行四边形，
∵∠EOD==60°，OE=OD，
∴△EOD是等边三角形，
∴∠OED=∠ODE=60°，
∴∠EDC=∠FED=2∠ODE=120°，
∵DE=DC，
∴∠DEC=∠DCE=30°，
∴∠CEF=∠DEF﹣∠CED=90°，
∴四边形BCEF是矩形．
9.【分析】（1）由正六边形ABCDEF的中心角为60°，可得△OAB是等边三角形，继而可得正六边形的边长等于半径，则可画出⊙O的内接正六边形ABCDEF；
（2）由（1）可求得∠AOC=120°，继而求得（1）中的长．
【解答】解：（1）首先连接OA，然后以A为圆心，OA长为半径画弧，交⊙O于B，F，再分别以B，F为圆心，OA长为半径画弧，交⊙O于点E，C，在以C为圆心，OA长为半径画弧，交⊙O于点D，则正六边形ABCDEF即为所求；
（2）∵正六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形
∴∠AOC=×2=120°，
∵⊙O的半径为3，
∴的长为：=2π．
10.【分析】利用等边三角形的性质得出点O既是三角形内心也是外心，进而求出∠OBD=30°，BD=CD，再利用锐角函数关系得出BO即可．
【解答】解：过点O作OD⊥BC于点D，连接BO，
∵正三角形ABC内接于⊙O，
∴点O即是三角形内心也是外心，
∴∠OBD=30°，BD=CD=BC=AB=，
∴cos30°===，
解得：BO=2，
即⊙O的半径为2cm．。