与圆有关的计算-中考数学知识点归纳总结(华师大版)
【华师大版】2020中考数学总复习知识点梳理：第六单元 圆 第23讲 与圆有关的计算
第23讲与圆有关的计算
一、知识清单梳理
知识点一：正多边形与圆关键点拨与对应举例
1.正多边形与圆（1）正多边形的有关概念：边长(a)、
中心(O)、中心角(∠AOB)、半径(R))、
边心距(r),如图所示①.
（2）特殊正多边形中各中心角、长度比：
中心角=120°中心角=90°中心角=60°，△BOC为等边△
a:r:R=2:1:2a:r:R=2::2a:r:R=2:2
例：(1)如果一个正多
边形的中心角为
72°，那么这个正多
边形的边数是5.
(2)半径为6的正四
边形的边心距为32，
中心角等于90°，面
积为72.
知识点二：与圆有关的计算公式2.弧长
和
扇形面积
的计算扇形的弧长l＝
180
n rπ
；
扇形的面积S＝2
360
n r
π＝1
2
lr
例：已知扇形的圆心
角为45°，半径长为
12，则该扇形的弧长
为3π.
3.圆锥
与
侧面展开图（1）圆锥侧面展开图是一个扇形，扇形的半径等于圆锥
的母线，扇形的弧长等于圆锥
的底面周长.
（2）计算公式：
在求不规则图形的面
积时，注意利用割补
法与等积变化方法归
为规则图形，再利用
规则图形的公式求
,S侧==πrl 解.
例：如图，已知一扇形的半
径为3，
圆心角
为
60°，则图中阴影部分的面积为。
华东师大初中数学中考总复习：圆综合复习--知识讲解(基础)【精编】.doc
中考总复习：圆综合复习—知识讲解（基础）【考纲要求】1.圆的基本性质和位置关系是中考考查的重点，但圆中复杂证明及两圆位置关系中证明定会有下降趋势，不会有太复杂的大题出现；2.今后的中考试题中将更侧重于具体问题中考查圆的定义及点与圆的位置关系，对应用、创新、开放探究型题目，会根据当前的政治形势、新闻背景和实际生活去命题，进一步体现数学来源于生活，又应用于生活．【知识网络】【考点梳理】考点一、圆的有关概念1. 圆的定义如图所示，有两种定义方式：①在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆．固定的端点O叫做圆心，以O为圆心的圆记作⊙O，线段OA叫做半径；②圆是到定点的距离等于定长的点的集合．要点诠释：圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小．2.与圆有关的概念①弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦；如上图所示线段AB，BC，AC都是弦．②直径：经过圆心的弦叫做直径，如AC 是⊙O 的直径，直径是圆中最长的弦．③弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，如曲线BC 、BAC 都是⊙O 中的弧，分别记作BC ，BAC ．④半圆：圆中任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆，如AC 是半圆． ⑤劣弧：像BC 这样小于半圆周的圆弧叫做劣弧．⑥优弧：像BAC 这样大于半圆周的圆弧叫做优弧． ⑦同心圆：圆心相同，半径不相等的圆叫做同心圆． ⑧弓形：由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形． ⑨等圆：能够重合的两个圆叫做等圆．⑩等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧．⑪圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角，如上图中∠AOB ，∠BOC 是圆心角．⑫圆周角：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角，如上图中∠BAC 、∠ACB 都是圆周角．考点二、圆的有关性质 1.圆的对称性圆是轴对称图形，经过圆心的直线都是它的对称轴，有无数条．圆是中心对称图形，圆心是对称中心，又是旋转对称图形，即旋转任意角度和自身重合． 2.垂径定理①垂直于弦的直径平分这条弦，且平分弦所对的两条弧．②平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．如图所示：要点诠释：在图中(1)直径CD ，(2)CD ⊥AB ，(3)AM ＝MB ，(4)C C A B =，(5)AD BD =．若上述5个条件有2个成立，则另外3个也成立．因此，垂径定理也称“五二三定理”．即知二推三． 注意：(1)(3)作条件时，应限制AB 不能为直径． 3.弧、弦、圆心角之间的关系①在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等；②在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，它们所对应的其余各组量也相等．4.圆周角定理及推论①圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．②圆周角定理的推论：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． 要点诠释：圆周角性质的前提是在同圆或等圆中．考点三、与圆有关的位置关系 1.点与圆的位置关系如图所示．d 表示点到圆心的距离，r 为圆的半径．点和圆的位置关系如下表：点与圆的位置关系 d 与r 的大小关系点在圆内 d ＜r 点在圆上 d ＝r 点在圆外 d ＞r要点诠释：(1)圆的确定：①过一点的圆有无数个，如图所示．②过两点A、B的圆有无数个，如图所示．③经过在同一直线上的三点不能作圆．④不在同一直线上的三点确定一个圆．如图所示．(2)三角形的外接圆经过三角形三个顶点可以画一个圆，并且只能画一个．经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆．三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心．这个三角形叫做这个圆的内接三角形．三角形的外心就是三角形三条边的垂直平分线交点．它到三角形各顶点的距离相等，都等于三角形外接圆的半径．如图所示．2.直线与圆的位置关系①设r为圆的半径，d为圆心到直线的距离，直线与圆的位置关系如下表．②圆的切线．切线的定义：和圆有唯一公共点的直线叫做圆的切线．这个公共点叫切点．切线的判定定理：经过半径的外端．且垂直于这条半径的直线是圆的切线．友情提示：直线l是⊙O的切线，必须符合两个条件：①直线l经过⊙O上的一点A；②OA⊥l．切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径．切线长定义：我们把圆的切线上某一点与切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长．切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角．③三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形，三角形的内心就是三角形三个内角平分线的交点．要点诠释：找三角形内心时，只需要画出两内角平分线的交点．三角形外心、内心有关知识比较3.圆与圆的位置关系在同一平面内两圆作相对运动，可以得到下面5种位置关系，其中R、r为两圆半径(R≥r)．d 为圆心距．要点诠释：①相切包括内切和外切，相离包括外离和内舍．其中相切和相交是重点．②同心圆是内含的特殊情况．③圆与圆的位置关系可以从两个圆的相对运动来理解．④“r1－r2”时，要特别注意，r1＞r2．考点四、正多边形和圆 1.正多边形的有关概念正多边形的外接圆(或内切圆)的圆心叫正多边形的中心．外接圆的半径叫正多边形的半径，内切圆的半径叫正多边形的边心距，正多边形各边所对的外接圆的圆心角都相等，这个角叫正多边形的中心角，正多边形的每一个中心角都等于360n°． 要点诠释：通过中心角的度数将圆等分，进而画出内接正多边形，正六边形边长等于半径． 2.正多边形的性质任何一个正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两圆是同心圆．正多边形都是轴对称图形，偶数条边的正多边形也是中心对称图形，同边数的两个正多边形相似，其周长之比等于它们的边长(半径或边心距)之比． 3.正多边形的有关计算定理：正n 边形的半径和边心距把正n 边形分成2n 个全等的直角三角形．正n 边形的边长a 、边心距r 、周长P 和面积S 的计算归结为直角三角形的计算．360n a n =°，1802sin n a R n =°，180cos n r R n=°， 2222n n a R r ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，n n P n a =，1122n nnn n S a r n P r ==．考点五、圆中的计算问题1.弧长公式：180n Rl π=，其中l 为n °的圆心角所对弧的长，R 为圆的半径． 2.扇形面积公式：2360n R S π=扇，其中12S lR =扇．圆心角所对的扇形的面积，另外12S lR =扇．3.圆锥的侧面积和全面积：圆锥的侧面展开图是扇形，这个扇形的半径等于圆锥的母线长，弧长等于圆锥底面圆的周长． 圆锥的全面积是它的侧面积与它的底面积的和． 要点诠释：在计算圆锥的侧面积时要注意各元素之间的对应关系，千万不要错把圆锥底面圆半径当成扇形半径．考点六、求阴影面积的几种常用方法(1)公式法；(2)割补法；(3)拼凑法；(4)等积变形法；(5)构造方程法．【典型例题】类型一、圆的有关概念及性质1． （2015•石景山区一模）如图，A ，B ，E 为⊙0上的点，⊙O 的半径OC ⊥AB 于点D ，若∠CEB=30°，OD=1，则AB 的长为（ ）A ．B ．4C ．2D ．6 【思路点拨】连接OB ，由垂径定理可知，AB=2BD ，由圆周角定理可得，∠COB=60°，在Rt △DOB 中，OD=1，则BD=1×tan60°=，故AB=2． 【答案】C ； 【解析】 连接OB ，∵AB 是⊙O 的一条弦，OC ⊥AB ， ∴AD=BD ，即AB=2BD ， ∵∠CEB=30°， ∴∠COB=60°， ∵OD=1，∴BD=1×tan60°=， ∴AB=2， 故选C ．【总结升华】弦、弦心距，则应连接半径，构造基本的直角三角形是垂径定理应用的主要方法．举一反三：【变式】如图，⊙O 的直径CD=5cm ，AB 是⊙O 的弦，AB ⊥CD ，垂足为M ，OM ：OD=3：5．则AB 的长是（ ）A 、2cmB 、3cmC 、4cmD 、221cm【答案】解：连接OA ，∵CD 是⊙O 的直径，AB 是⊙O 的弦，AB ⊥CD ， ∴AB=2AM ， ∵CD=5cm ，∴OD=OA=12CD=12×5=52cm ， ∵OM ：OD=3：5， ∴OM=35OD=×=， ∴在Rt △AOM 中，AM =22OA OM -=2253()()22-=2， ∴AB=2AM=2×2=4cm． 故选C ．类型二、与圆有关的位置关系2．如图所示，已知AB 为⊙O 的直径，直线BC 与⊙O 相切于点B ，过A 作AD ∥OC 交⊙O 于点D ，连接CD ．(1)求证：CD 是⊙O 的切线；(2)若AD ＝2，直径AB ＝6，求线段BC 的长． 【思路点拨】要证明DC 是⊙O 的切线，因为点D 在⊙O 上，所以连接交点与圆心证垂直即可． 【答案与解析】(1)证明：如图(2)，连接OD ．∵ AD ∥OC ，∴ ∠1＝∠3，∠2＝∠A ，∴ OA ＝OD ，∴ ∠3＝∠A ，∴ ∠1＝∠2． ∵ OD ＝OB ，OC ＝OC ． ∴ △COD ≌△COB ，∴ ∠CDO ＝∠CBO ＝90°， ∴ CD 是⊙O 的切线．(2)解：连接BD ，∵ AB 是⊙O 的直径， ∴ ∠ADB ＝90°． 在△DAB 和△BOC 中，∵ ∠ADB ＝∠OBC ，∠A ＝∠2， ∴ △DAB ∽△BOC ，∴AD BDOB BC，∴ OB BDBC AD=．在Rt △DAB 中，由勾股定理得22226242BD AB AD =-=-=．∴ 342622BC ⨯==． 【总结升华】如果已知直线经过圆上一点，那么连半径，证垂直；如果已知直线与圆是否有公共点在条件中并没有给出，那么作垂直，证半径． 举一反三：【变式】如图所示，已知CD 是△ABC 中AB 边上的高，以CD 为直径的⊙O 分别交CA 、CB 于点E 、F ，点G 是AD 的中点．求证：GE 是⊙O 的切线．【答案与解析】证法1：连接OE 、DE(如图(1))． ∵ CD 是⊙O 的直径，∴ ∠AED ＝∠CED ＝90°．∵ G 是AD 的中点，∴ EG ＝12AD ＝DG ． ∴ ∠1＝∠2．∵ OE ＝OD ，∴ ∠3＝∠4． ∴ ∠1+∠3＝∠2+∠4， 即∠OEG ＝∠ODG ＝90°． ∴ GE 是⊙O 的切线．证法2：连接OE 、ED(如图(2))． 在△ADC 中，∠ADC ＝90°， ∴ ∠A+∠ACD ＝90°． 又∵ CD 是⊙O 的直径， ∴ ∠AED ＝∠CED ＝90°．在△AED 中，∠AED ＝90°，G 是AD 中点， ∴ AG ＝GE ＝DG ，∴ ∠A ＝∠AEG ． 又∵ OE ＝OC ，∴ ∠OEC ＝∠ACD ． 又∵ ∠A+∠ACD ＝90°， ∴ ∠AEG+∠OEC ＝90°．∴ ∠OEG ＝90°，∴ OE ⊥EG ． ∴ GE 是⊙O 的切线．类型三、与圆有关的计算3．在一节数学实践活动课上，老师拿出三个边长都为5cm的正方形硬纸板，他向同学们提出了这样一个问题：若将三个正方形纸板不重叠地放在桌面上，用一个圆形硬纸板将其盖住，这样的圆形硬纸板的最小直径应有多大？问题提出后，同学们经过讨论，大家觉得本题实际上就是求将三个正方形硬纸板无重叠地适当放置，圆形硬纸板能盖住时的最小直径．老师将同学们讨论过程中探索出的三种不同摆放类型的图形画在黑板上，如下图所示：（1）通过计算（结果保留根号与π）．（Ⅰ）图①能盖住三个正方形所需的圆形硬纸板最小直径应为 cm；（Ⅱ）图②能盖住三个正方形所需的圆形硬纸板最小直径为 cm；（Ⅲ）图③能盖住三个正方形所需的圆形硬纸板最小直径为 cm；（2）其实上面三种放置方法所需的圆形硬纸板的直径都不是最小的，请你画出用圆形硬纸板盖住三个正方形时直径最小的放置方法，（只要画出示意图，不要求说明理由），并求出此时圆形硬纸板的直径．【思路点拨】（1）（Ⅰ）连接正方形的对角线BD，利用勾股定理求出BD的长即可；（Ⅱ）利用勾股定理求出小正方形对角线的长即可；（Ⅲ）找出过A、B、C三点的圆的圆心及半径，利用勾股定理求解即可；（2）连接OB，ON，延长OH交AB于点P，则OP⊥AB，P为AB中点，设OG=x，则OP=10-x，再根据勾股定理解答．【答案与解析】解：（1）（Ⅰ）如图连接BD，∵ AD=3×5=15cm，AB=5cm，∴ BD==cm；（Ⅱ）如图所示，∵三个正方形的边长均为5，∴ A、B、C三点在以O为圆心，以OA为半径的圆上，∴ OA==5cm，∴能盖住三个正方形所需的圆形硬纸板最小直径为10cm；（Ⅲ）如图所示，连接OA，OB，∵ CE⊥AB，AC=BC，∴ CE是过A、B、C三点的圆的直径，∵ OA=OB=OD，∴ O为圆心，∴⊙O的半径为OA，OA==5cm，∴能盖住三个正方形所需的圆形硬纸板最小直径为5×2=10cm；（2）如图④为盖住三个正方形时直径最小的放置方法，连接OB，ON，延长OH交AB于点P，则OP⊥AB，P为AB中点，设OG=x，则OP=10-x，则有：，解得：，则ON=，∴直径为．【总结升华】此题比较复杂，解答此题的关键是找出以各边顶点为顶点的圆的圆心及半径，再根据勾股定理解答．举一反三：【变式】如图，图1、图2、图3、…、图n分别是⊙O的内接正三角形ABC，正四边形ABCD、正五边形ABCDE、…、正n边形ABCD…，点M、N分别从点B、C开始以相同的速度在⊙O上逆时针运动．（1）求图1中∠APN的度数是；图2中，∠APN的度数是，图3中∠APN的度数是．（2）试探索∠APN的度数与正多边形边数n的关系（直接写答案）．【答案】解：（1）图1：∵点M、N分别从点B、C开始以相同的速度在⊙O上逆时针运动，∴∠BAM=∠CBN，又∵∠APN=∠BPM ，∴∠APN=∠BPM=∠ABN+∠BAM=∠ABN+∠CBN=∠ABC=60°；同理可得：图2中，∠APN=90°；图3中∠APN=108°．（2）由（1）可知，∠APN=所在多边形的内角度数，故在图n 中，．4．如图所示，半圆的直径AB ＝10，P 为AB 上一点，点C ，D 为半圆的三等分点，则阴影部分的面积等于________．【思路点拨】观察图形，可以适当进行“割”与“补”，使阴影面积转化为扇形面积.【答案】256π； 【解析】连接OC 、OD 、CD ．∵ C 、D 为半圆的三等分点，∴ ∠AOC ＝∠COD ＝∠DOB ＝180603=°°． 又∵ OC ＝OD ，∴ ∠OCD ＝∠ODC ＝60°，∴ DC ∥AB ，∴ PCD OCD S S =△△，∴ 2605253606S S ππ===阴影扇形OCD． 答案：256π． 【总结升华】用等面积替换法将不规则的图形转化为简单的规则图形是解本类题的技巧．类型四、与圆有关的综合应用5．（2014•黄陂区模拟）如图，在△ABC 中，以AC 为直径的⊙O 交BC 于D ，过C 作⊙O 的切线，交AB 的延长线于P ，∠PCB=∠BAC ．（1）求证：AB=AC ；（2）若sin ∠BAC=35，求tan ∠PCB 的值．【思路点拨】（1）连接AD，根据圆周角定理求得∠ADC=90°，根据弦切角定理求得∠PCB=∠CAD，进而求得∠CAD=∠BAD，然后根据ASA证得△ADC≌△ADB，即可证得结论．（2）作BE⊥AC于E，得出BE∥PC，求得∠PCB=∠CBE，根据已知条件得出=，从而求得=，根据AB=AC，得出tan∠CBE===，就可求得tan∠PCB=．【答案与解析】解：（1）连接AD，∵AC是⊙O的直径，∴∠ADC=90°，∴AD⊥BC，∵PC是⊙O的切线，∴∠PCB=∠CAD，∵∠PCB=∠BAC，∴∠CAD=∠BAD，在△ADC和△ADB中，，∴△ADC≌△ADB（ASA），∴AB=AC．（2）作BE⊥AC于E，∵PC是⊙O的切线，∴AC⊥PC，∴BE∥PC，∴∠PCB=∠CBE，∵sin∠BAC==，∴=，∵AB=AC，∴tan∠CBE===，∴tan∠PCB=．【总结升华】本题考查了圆周角定理，切线的性质，三角形全等的判定和性质，直角三角函数等，作出辅助线构建直角三角形是解题的关键．举一反三：【高清课堂：圆的综合复习 例2】【变式】已知：如图，⊙O 是Rt △ABC 的外接圆，AB 为直径，∠ABC=30°，CD 是⊙O 的切线，ED ⊥AB 于F ．(1)判断△DCE 的形状并说明理由；(2)设⊙O 的半径为1，且213-=OF ，求证△DCE ≌△OCB ．【答案】(1)解：∵∠ABC=30°，∴∠BAC=60°．又∵OA=OC,∴△AOC 是正三角形．又∵CD 是切线，∴∠OCD=90°，∴∠DCE=180°-60°-90°=30°．而ED ⊥AB 于F ，∴∠CED=90°-∠BAC=30°．故△CDE 为等腰三角形．(2)证明：在△ABC 中，∵AB=2，AC=AO=1，∴BC=2212-=3．OF=213-,∴AF=AO+OF=213+． 又∵∠AEF=30°,∴AE=2AF=3+1．∴CE=AE-AC=3=BC ．而∠OCB=∠ACB-∠ACO=90°-60°=30°=∠ABC,故△CDE ≌△COB.6．如图，已知⊙O 的直径AB ＝2，直线m 与⊙ O 相切于点A ，P 为⊙ O 上一动点（与点A 、点B 不重合），PO 的延长线与⊙ O 相交于点C ，过点C 的切线与直线m 相交于点D ．（1）求证：△APC ∽△COD ．（2）设AP ＝x ，OD ＝y ，试用含x 的代数式表示y ．（3）试探索x 为何值时， △ACD 是一个等边三角形．【思路点拨】(1)可根据“有两个角对应相等的两个三角形相似”来说明 △APC ∽△COD ； (2)根据相似三角形的对应边成比例,找出x 与y 的关系；(3)若△ACD 是一个等边三角形,逆推求得x 的值.【答案与解析】解 （1）∵PC 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的切线, ∴∠PAC ＝∠OCD ＝90°.由△DOA ≌△DOC ,得到∠DOA ＝∠DOC , ∴∠APC ＝∠COD , ∴△APC∽△COD.（2）由△APC∽△COD，得AP OC PC OD = , ∴y x 12= 则 xy 2= (3)若ACD △是一个等边三角形，则6030ADC ODC ∠=∠=，于是2OD OC =,可得2y =，从而1=x ,故当1x =时，ACD △是一个等边三角形.【总结升华】本例是一道动态几何题.(1)考查了相似三角形的判定,证三角形相似有:两个角分别对应相等的两个三角形相似;两条边分别对应成比例,且夹角相等的两个三角形相似;三条边分别对应成比例的两个三角形相似;(2)考查了相似三角形的性质.利用第一问的结论,得出对应边成比例,找出y 与x 间的关系.(3)动点问题探求条件.一般运用结论逆推的方法找出结论成立的条件.本题应从ACD △是一个等边三角形出发,逆推6030ADC ODC ∠=∠=，,于是2OD OC =，可得2y =，从而1=x , 故当1x =时，ACD △是一个等边三角形.举一反三：【高清课堂：圆的综合复习 例1】【变式】如图，MN 是⊙O 的直径，2MN =，点A 在⊙O 上，30AMN =∠，B 为弧AN 的中点，P 是直径MN 上一动点，则PA PB +的最小值为（ ） Ａ．22 Ｂ．2 Ｃ．1 Ｄ．2【答案】选B ；解：过B 作BB ′⊥MN 交⊙O 于B ′，连接AB ′交MN 于P ，此时PA+PB ＝AB ′最小．连AO 并延长交⊙O 于C ，连接CB ′，在Rt △ACB ′中，AC ＝2，∠C ＝190452⨯=°°，∴2sin45222AB AC'==⨯=°．。
华师大版数学中考复习课件第六章 圆(1)
圆周角，则∠A＝○21 ___∠__D___；
证明圆周角相等
1 相等
(2)
︵
BC
︵
＝ BD
， 则 ∠ A ＝ ○22
___∠__B_C__D____
半圆(或直径)所对的圆周 (1)若 AB 是直径，则∠ACB＝○25 (1)分别连结直径两
推 角是○23 ___9_0_°___；90°的 __9_0_°____；
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第一篇 过教材 ·考点透析
中考复习与训练 数学·配华师
2．圆周角定理的推论 如图，在⊙O 中，AB 为直径，CD 为弦，且 CD⊥AB．
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第一篇 过教材 ·考点透析
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文字描述
数学符号
作用
(1)∠A 和⑳___∠__D___是B︵C 所对的
推 论
在同圆或等圆中，同弧或 等 弧 所 对 的 ⑲ __圆__周__角__
︵︵
若∠AOB＝∠COD，则AB ＝CD ，AB＝CD，OM＝ON.
2．圆心角定理的推论
在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一
组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
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第一篇 过教材 ·考点透析
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考点三 垂径定理
考情概览
地区 遂宁 年份
端点与圆上一点，
论
2 圆 周 角 所 对 的 弦 是 ○24 (2)若∠ACB＝○26 ___9_0_°___，则 AB 得直角；(2)确定圆
第六章 圆
6.1 圆的基本性质
中考复习与训练 数学·配华师
考点精析
考点一 圆的有关概念及性质
2019年华师大版中考总复习知识点梳理：第21讲圆的基本性质
第六单元圆第21讲圆的基本性质一、知识清单梳理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧.只要满足其中两个，另外三个结论一定成立，即推二知三.图a 图b 图c点，∠BAC=40°，则∠D的2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．一个不透明的袋子中装有红球3个，白球1个，除颜色外无其他差别随机摸出一个球后不放回，再摸出一个球，则两次都摸到红球的概率是（ ） A ．916B ．34C ．38D ．122．如图，一个半径为r 的圆形纸片在边长为8 （8＞）的等边三角形内任意运动，则在该边三角形内，这个圆形纸片“接触不到的部分”的面积是（ ）A ．283r π B ．24)3r π C ．8﹣πr 2D ．（π）r 23．安居物业管理公司对某小区一天的垃圾进行了分类统计，如图是分类情况的扇形统表，若一天产生的垃圾的为300kg ，估计该小区一个月（按30天计）产生的可回收垃圾重量约是（ ）A.900kgB.105kgC.3150kgD.5850kg4．如图，在平面直角坐标系中，过点A 且与x 轴平行的直线交抛物线y ＝13（x+1）2于B ，C 两点，若线段BC 的长为6，则点A 的坐标为（ ）A.（0，1）B.（0，4.5）C.（0，3）D.（0，6）5．如图，在矩形ABCD 中，E 是AD 上一点，沿CE 折叠△CDE ，点D 恰好落在AC 的中点F 处，若CD ，则△ACE 的面积为（ ）A ．1B C ．2D ．6．如图,圆O 的直径AB 垂直于弦CD ，垂足是E ，22.5A ∠=，4OC =，则CD 的长为（ ）A ．B ．4C ．D ．87．如图，□ABCD 中，对角线AC 和BD 相交于点O ，如果AC=26,BD=18,AB=x,那么x 的取值范围是 （ ）A ．4< m <13B ．4< m <22C ．9< m <13D ．4< m <98．如图所示，四边形ABCD 是边长为3的正方形，点E 在BC 上，BE ＝1，△ABE 绕点A 逆时针旋转后得到△ADF ，则FE 的长等于（ ）A ．B ．C ．D ．9．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a ＝1，c ＝4，则sinB ＝（ ）A ．5B ．14C ．13D ．410．一个不透明的袋子中装有4个标号为1，2，3，4的小球，它们除标号外其余均相同，先从袋子中随机摸出一个小球记下标号后放回搅匀，再从袋子中随机摸出一个小球记下标号；把第一次摸出的小球标号作为十位数字，第二次摸出的小球标号作为个位数字，则所组成的数是3的倍数的概率是（ ） A ．14B ．13C ．512D ．51611．二次函数y=ax 2+bx+c(a≠0)的部分图象如图所示，图象过点(-1，0)，对称轴为直线x=2，下列结论：(1)2a+b=0；(2)9a+c ＞3b ；(3)5a+7b+2c ＞0；(4)若点A(-3，y 1)、点B(12-，y 2)、点C(72，y 3)在该函数图象上，则y 1＜y 2＜y 3；(5)若方程a(x+1)(x-5)=c 的两根为x 1和x 2，且x 1＜x 2，则x 1＜-1＜5＜x 2，其中正确的结论有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个12．如图，已知矩形ABCD ，AB ＝4，BC ＝6，点M 为矩形内一点，点E 为BC 边上任意一点，则MA+MD+ME 的最小值为( )D.10二、填空题13．把多项式34x x -分解因式的结果是______.14．如图，在正方形ABCD 中，AB ＝4，分别以B 、C 为圆心，AB 长为半径画弧，则图中阴影部分的面积为______．15．将6 800 000用科学记数法表示_____.16．函数y x中，自变量x 的取值范围是 ． 17．如图，圆锥的侧面积为15π，底面半径为3，则圆锥的高AO 为_____．18．计算()322x-的结果等于_____．三、解答题19．现有24个劳力和1000亩鱼塘可供对虾、大黄鱼、蛏子养殖，所需劳力与每十亩产值如下表所示．另外设对虾10x亩，大黄鱼10y亩，蛏子10z亩．（1）用x的式子分别表示y、z；（2）问如何安排劳力与养殖亩数收益最大？20．为了让学生了解环保知识，增强环保意识，红星中学举行了一次“环保知识竞赛”，共有900名学生参加了这次竞赛．为了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（得分取正整数，满分为100分）进行统计．请你根据下面尚未完成并有局部污损的频率分布表和频率分布直方图，解答下列问题：（1）填充频率分布表中的空格；（2）补全频率分布直方图；（3）在该问题中的样本容量是多少？答：______．（4）全体参赛学生中，竞赛成绩落在哪组范围内的人数最多？（不要求说明理由）”答：______．（5）若成绩在90分以上（不含90分）为优秀，则该校成绩优秀的约为多少人？答：______．21．中国“蛟龙”号深潜器目前最大深潜极限为7062.68米。
九年级下册华师大版数学圆知识点
九年级下册华师大版数学圆知识点数学是一门抽象而理性的学科，而圆则是数学中非常重要且常见的一个概念。
在九年级下册的华师大版数学教材中，圆的知识点是一个不可忽视的重点内容。
接下来，我们将对九年级下册华师大版数学中关于圆的知识点进行系统地介绍与讨论。
首先，让我们回顾一下圆的基本概念。
在数学中，圆是由平面中所有到定点距离相等的点组成的集合。
圆通常由圆心和半径来描述。
圆心是圆的中心点，而半径则是从圆心到圆上任意一点的距离。
了解这些基本概念可以帮助我们更好地理解和应用圆的知识。
一、圆的周长和面积是圆的基本属性，也是圆的重要应用。
圆的周长可以通过公式C=2πr计算得出，其中C表示圆的周长，r表示圆的半径。
同样，圆的面积可以通过公式A=πr²计算得出，其中A表示圆的面积。
这些公式的应用可以帮助我们计算圆的周长和面积，解决实际问题，如园艺设计、建筑设计等。
二、在九年级下册华师大版数学中，圆与直线的关系也是一个重要的知识点。
首先，我们来讨论直径与弦之间的关系。
直径是通过圆心的一条直线，而弦是圆上任意两点之间的线段。
在任何一个圆中，直径始终等于两个相对的弦之和。
这个关系在解决实际问题中非常有用，特别是在解决圆形活动场地的划分、圆形轮胎等问题时。
三、九年级下册华师大版数学中，圆和角的关系也是重要的一个内容。
在圆的内部或外部，同一个圆心对应的两条弧所对应的角相等。
这个性质被称为圆心角的性质。
在解决圆环编织、风力发电机桨叶运动范围等问题时，这个性质可以帮助我们得出准确的结论。
四、欧拉公式是九年级下册华师大版数学中关于圆的一个高阶概念。
这个公式被认为是数学中最美丽的公式之一。
欧拉公式是通过圆的半径、弧度以及复数等概念而得出的。
以上是九年级下册华师大版数学中关于圆的知识点的重要内容。
通过对这些知识的学习与实践，我们可以更好地理解和应用圆的性质。
圆是数学中一个富有魅力的概念，它在我们日常生活中随处可见。
掌握圆的知识，不仅可以帮助我们解决实际问题，还可以培养我们的抽象思维和数学推理能力。
华师大版九年级圆知识点
华师大版九年级圆知识点华师大版九年级圆知识点按照如下格式进行讲解：一、圆的概念与性质圆是平面上所有离圆心的距离都相等的点的集合。
圆上的每一条线段都是圆的弦，而通过圆心的弦称为直径。
圆的性质包括：1. 圆心角：圆心角是指以圆心为顶点的角，它的度数等于所对圆弧的度数。
圆心角的度数范围是0°到360°。
2. 弧长：圆上任意弧所对应的圆心角所在的圆弧长度称为弧长。
弧长公式可以表示为：L = 2πr(θ/360°)，其中L是弧长，r是半径，θ是圆心角的度数。
3. 弦长：圆上的弦的长度称为弦长。
弦长公式可以表示为：l = 2r*sin(θ/2)，其中l是弦长，r是半径，θ是圆心角的度数。
4. 切线：切线是与圆仅有一个交点的直线。
切线与半径垂直，形成直角。
二、圆的相关定理1. 圆的面积：圆的面积公式为S = πr^2，其中S是圆的面积，r 是半径。
2. 弧长与半径关系：给定圆心角θ，则圆弧所对应的弧长L与半径r的关系是L = 2πr*(θ/360°)。
3. 圆的切线定理：切线与半径的垂直关系可以推导出切线与切点之间的夹角等于所对的弧和半径的夹角。
4. 切线长度定理：切线段的平方等于切点到圆心的距离与切点到圆心所对应的弧之积。
5. 弦的性质：等长的弦对应的弧长相等；相等的弧对应的弦长相等；垂直于弦的直径平分弦。
三、圆的解题技巧1. 圆心角的计算：根据已知的圆心角度数，可以计算出相应的弧长，应用圆的性质；或者根据圆心角所成的弦长，可以计算出圆的半径。
2. 弧长的计算：根据已知的圆弧对应的圆心角及圆的半径，可以计算出弧长。
3. 切线的计算：利用圆的性质和切线的定理，可以计算出切线与切点之间的夹角、切线长度等。
4. 配准问题：对于两个圆的配准问题，可以利用两圆的半径和圆心之间的关系，求解出未知量。
通过对九年级圆知识点的学习，我们能够了解到圆的概念与性质，掌握圆的相关定理，学会运用解题技巧，提高数学问题的解决能力。
九年级数学 圆中的计算问题华东师大版知识精讲
九年级数学 圆中的计算问题华东师大版【本讲教育信息】一. 教学内容：§28.3 圆中的计算问题二. 重点、难点： 1. 重点：⑴弧长和扇形的面积； ⑵圆锥的侧面积和全面积 2. 难点：弧长和扇形面积公式的推导三. 知识梳理：（一）弧长和扇形的面积 1. 弧长的计算公式如果弧长为l ，圆心角度数为n ，圆的半径为r ，那么，弧长的计算公式为：2360180n n rl r ππ=⋅=． 2. 扇形的面积公式如果设圆心角是n °的扇形面积为S ，圆的半径为r ，那么扇形面积为213602n r S S lr π==或 说明：⑴对于弧长公式和扇形面积公式，无须死记硬背，应在明确其“来历”的基础上理解掌握．⑵在应用弧长公式180n rl π=或扇形面积公式2360n r S π=进行计算时，要注意公式中的n的意义，n 表示1°的圆心角的倍数，因此不带单位．⑶扇形的另一个面积公式12S lr =与三角形的面积公式有些类似．形式基本一样，可以联系起来记忆．（二）圆锥的侧面积和全面积如图，我们把圆锥底面圆周上任意一点与圆锥顶点的连线叫做圆锥的母线．连结顶点与底面圆心的线段叫做圆锥的高．如图，沿着圆锥的母线，把一个圆锥的侧面展开，得到一个扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，而扇形的半径等于圆锥的母线的长．圆锥的侧面积就是弧长为圆锥底面的周长、半径为圆锥的一条母线的长的扇形面积，而圆锥的全面积就是它的侧面积与它的底面积的和．说明：⑴研究圆锥的侧面积和全面积，必须先将其展开．圆锥的侧面展开图是扇形，这个扇形的半径是圆锥的母线长，弧长是圆锥底面圆的周长．⑵若设圆锥的母线长为l ，底面半径为r ，则圆锥的侧面积就是其展开图——扇形的面积，122r l rl ππ⋅⋅=Ｓ＝；圆锥的全面积是侧面积与底面积的和，是2rl r ππ+．另外，知道扇形的半径和弧长，还可以求得扇形的圆心角．【典型例题】例1. 如图，一块长为8的正方形木板ABCD ，在水平桌面上绕点A 按逆时针方向旋转到ADEF 的位置，则顶点C 从开始到结束所经过的路径长为（ ）A. 16 ；B. 162 ；C. 8π ；D. 42π分析：在旋转过程中，AC 的长度保持不变，所以顶点C 从开始到结束所经过的路径长是以A 为圆心，AC 长为半径的90°的弧长，因为AC ＝82，所以，ππ241802890=⋅⋅=l ，故选D ．例2. 如图，⊙A 、⊙B 、⊙C 、⊙D 互相外离，它们的半径都是1，顺次连结四个圆心得到四边形ABCD ，则图中四边形内的四个扇形面积之和为（ ）A. 2π；B.π；C.32π ； D. 21π分析：根据题中的条件无法求出四个扇形的圆心角的度数，因而从整体考虑，可以发现四个扇形的圆心角分别是四边形的四个内角，所以四个扇形的圆心角的度数之和为360°，故选B ．例3. 如图，如果圆锥的底面圆的半径是8，母线长是15，那么这个圆锥侧面展开图的扇形的圆心角的度数是 ．分析：由圆锥的底面圆的半径是8，可以求出底面圆的周长，也就是扇形CAB 的弧长，再利用弧长公式2360180n n rl r ππ=⋅=即可求扇形的圆心角的度数． 解：∵圆锥底面圆的半径是8，∴BC l r C ==⋅=ππ162 ∵母线长为15∵180Rn l BC ⌒π=∴1801516⋅=ππn 192=n∴圆心角的度数为192°．例4. 如图，一把纸扇完全打开后，外侧两竹条AB 和AC 的夹角为120°，AB 长为25cm ，贴纸部分的宽BD 为17cm ，则贴纸部分的面积为_______．（结果保留π）分析：扇形面积公式有两个，一是2360n r S π=，另一个是12S lr =，贴纸部分的面积实际是由两个扇形的面积相减所得．由解意很容易列出关于所求贴纸部分的面积：2212025120(2517)360360ππ⋅⋅⋅⋅--＝187π（cm 2）．例5. 如图1，在正方形铁皮上剪下一个圆形和扇形，使之恰好围成图2所示的一个圆锥模型．设圆的半径为r ，扇形半径为R ，则圆的半径与扇形半径之间的关系为A. R ＝2rB. R ＝94r C. R ＝3r D. R ＝4r分析：注意题中的“底面圆的半径”与“扇形的半径”是两个不同的概念．要找到圆的半径与扇形半径之间的关系，需要得到一个等量关系，由圆锥的有关概念，根据圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长，可得2πr ＝90180πR∴R ＝4r ∴答案选D例6. 如图所示，半径是10cm 的圆纸片，剪去一个圆心角是120°的扇形（图中阴影部分），用剩下部分围成一圆锥，求圆锥的高和底面圆的半径．分析：首先，根据题意画出圆锥体的示意图，从图中可知，要求圆锥的底面圆的半径需求出其所在圆的周长，而底面圆的周长为左图中剩下扇形的弧长，这样转化到求弧长的问题；关于圆锥的高，只要由底面半径与圆锥的母线长构造直角三角形即可．解：如答图中的甲、乙图，∵n ＝360°－120°＝240°，R ＝10cm ，如图（甲）所示，24010401801803OAmB n r l πππ⨯===扇形（cm ） 如图乙中连结O ′P ，则O ′P ⊥CD ，设⊙O ′半径为r ， ∵'',2OAmB O O C l C r π==扇形，∴4023r ππ=，∴r ＝203（cm ） ∴ O ′P ＝22'22201010533PD O D ⎛⎫-=-=⎪⎝⎭（cm ）例7. 已知矩形ABCD 中，AB ＝1cm ，BC ＝2cm ，以B 为圆心，BC 长为半径作41圆弧交AD 于F ，交BA 的延长线于E ，求阴影部分面积．分析：要求阴影部分面积，只须将它转化为求规则图形的面积的和差，故需连结BF ，ABF BFE S S S △扇形阴-=解：连结BF∵BC ＝2，F 点在以B 为圆心，BC 为半径的圆上 ∴BF ＝2∵矩形ABCD ，AB ＝1，BF ＝2 ∴∠ABF ＝60° ∴ππ323602602=⋅⋅=BFES 扇形3BA BF AF ,BAF Rt 22=-=∆中231321=⨯⨯=ABF S △∴ABF BFE S S S △扇形阴-= ＝2cm )2332(-π 答：阴影部分面积为2cm )2332(-π．例8. 如图已知圆锥的底面半径r ＝10cm ，母线长为40cm ．⑴求它的侧面展开图的圆心角和表面积；⑵若一只甲虫从A 点出发沿着圆锥侧面绕行到母线SA 的中点B ，它所走的最短路程是多少？SAB分析：⑴把圆锥的侧面沿母线SA 展开，如图 则⋂'AA 的长为2πr ＝20π，SA ＝40 所以20π＝40180n π⋅所以n ＝90°所以圆锥的侧面展开图的圆心角是90°S 表面＝S 侧＋S 底＝29040360π⋅＋π·102＝500π（cm 2）⑵由圆锥的侧面展开图可见，甲虫从A 点出发沿着圆锥侧面绕行到母线SA 的中点B 所走的最短路程是线段AB 的长在Rt △ASB 中，∠ASB ＝90°，SA ＝40，SB ＝20所以AB ＝22SA ＋SB ＝205cm答：圆锥的侧面展开图的圆心角是90°，圆锥的表面积是500π2cm ，甲虫所走的最短路程长205cm ．例9. 如图，扇形OAB 的圆心角为90°，分别以OA 、OB 为直径在扇形内作半圆，P 和Q 分别表示两个封闭图形的面积，那么P 和Q 的大小关系是（ ）A. P ＝Q ；B. P ＞Q ；C. P ＜Q ；D. 无法确定．分析：本题中两个封闭图形的面积不易直接求，可用代数方法来求，根据图形的对称性，另两个封闭图形的面积相等，不妨设为M ，再设OA ＝2r ，由图形可得M ＋Q ＝221r ⋅π，2M ＋P ＋Q ＝2r ⋅π，解得P ＝Q ，故选A ．[方法探究]在一个问题不能直接解决的情况下，就要善于从另一个角度来寻找其它的途径．本题是通过设未知数，把几何问题转化为代数问题，即通过方程思想，使问题迎刃而解．例10. 如图，秋千拉绳长AB 为3米，静止时踩板离地面0.5米，某小朋友荡该秋千时，秋千在最高处时踩板离地面2米（左右对称），请计算该秋千所荡过的圆弧长（精确到0.1米）？解析：由题意要求圆弧BF 的长，只要求得圆心角∠BAF 的度数即可，根据左右对称，所以将∠BAC 置于一个直角三角形中来计算其度数．过点B 作BE ⊥地面于点E ，作BG ⊥AD 于点G ，则有GD ＝BE ＝2，又AD ＝AC ＋CD ＝3.5，所以AG ＝1.5，则在Rt ΔABG 中，AB ＝3，AG ＝1.5，所以∠BAC ＝60°，所以∠BAF ＝120°．则弧BF 的长＝1203180π⋅⋅＝2π≈6.3（米）．例11. 如图是某学校田径体育场一部分的示意图，第一条跑道每圈为400米，跑道分直道和弯道，直道为长相等的平行线段，弯道为同心的半圆型，弯道与同心的半圆型，弯道与直道相连接．已知直道BC 的长为86.96米，跑道的宽为1米（π＝3.14，结果精确到0.01米） ⑴求第一条跑道的弯道部分⋂AB 的半径；⑵求一圈中第二条跑道比第一条跑道长多少米？⑶若进行200米比赛，求第六道的起点F 与圆心O 的连线FO 与OA 的夹角∠FOA 的度数．解析：⑴弯道的半圆周长为400286.962-⨯＝113.04（米），由圆周长L ＝2πr ，所以半圆弧线长'l r π=，则第一道弯道部分的半径r ＝'113.043.14l π=＝36.00（米）⑵第二道与第一道的直跑道长相等，第二道与第一道的弯跑道的半径之差为1米，第二道与第一道的弯跑道长的差即为两圆周长之差，即2π（r ＋1）－2πr ＝2π＝6.28（米）．⑶从第一道200米，是以A 点为始点，第六道上的运动员需要跑86.96米的直道和113.04米的弯道，即弧长为113.04米，又第六道弯道半圆的半径为41米， 由弧长与半圆、圆心角的关系得n ＝，所以∠FOA ＝180°°°．【模拟试题】（答题时间：30分钟）1. 一个扇形的弧长是20πcm ，面积是240π2cm ，则扇形的半径是（ ）A. 6cmB. 21cmC. 24 cmD. 62 cm2. 一个圆锥的侧面积是底面积的3倍，这个圆锥的侧面展开图的圆心角是（ ） A. 60° B. 90° C. 120° D. 180°3. 底面圆半径为3cm ，高为4cm 的圆锥侧面积是（ ）A. 7. 5π2cmB. 12π2cmC. 15π2cmD. 24π2cm4. 扇形的半径OA ＝20cm ，∠AOB ＝135 ，用它做成一个圆锥的侧面，此圆锥底面的半径是（ ）A. B. C. 15cm D. 30cm5. 如图，⊙A ，⊙B ，⊙C 两两不相交，且半径都是，则圆中的三个扇形即（三个阴影部分）的面积之和为（ ）A.12π2cm B.8π2cm C. 6π2cm D.4π2cm6. 一个圆锥的底面积是25π2cm ，母线长13cm ，则这个圆锥的侧面积是 ．7. 一个圆锥的侧面展开图是一个面积为8π的半圆，则这个圆锥的全面积是________． 8. 如图所示，已知⊙1O 内切于扇形AOB ，切点为C 、D 、E ，⊙1O 的面积为16π，∠AOB ＝60°，求扇形AOB 的周长和面积．9. 如图所示是一管道的横截面示意图，某工厂想测量管道横截面的面积，工人师傅使钢尺与管道内圆相切并交外圆于A 、B 两点，测量结果为AB ＝30cm ， 求管道阴影部分的面积为多少？【试题答案】1. C2. C3. C4. B5. B6. 65π2cm7.12π8. 24π提示：连结O 1C ，OO 1并延长OO 1，则必过切点E ，设⊙O 1的半径为r ∴1O S 圆21,16r S O ππ==圆，∴216r ππ=，r ＝4， ∴O 1C ＝4， ∵OA ，OB 切圆1O 于C ，D ，∠AOB ＝60°， ∴∠AOE ＝30° ∵∠COO 1＝30°，O 1C ＝4，∴O 1O ＝8， ∴R ＝OE ＝OO 1＋O 1E ＝8＋4＝12 ∴24412242,41801260+=⨯+=+==⨯=⋂⋂ππππr l l lAOB OAB AOB扇形∴224360OABn R S ππ==扇形． 9. 解：设钢尺AB 与管道内圆相切于C 点，连结OC 、OA ，则OC ⊥AB ，设OC ＝r ，OA ＝R ，∵AB ＝30cm ，OC ⊥AB ，∴AC ＝152AB=， ∴222222()15225S OA OC R r AC ππππππ=⋅-⋅=-=⨯=⨯=阴影（cm 2）。
华师版 初中九年级数学 中考总复习常考易考 教材基础知识整理梳理 第六单元 圆 第22讲 与圆有关的位置关系
（2）到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线.
（3）经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
切线判定常用的证明方法：①知道直线和圆有公共点时，连半径，证垂直；②不知道直线与圆有没有公共点时，作垂直，证垂线段等于半径.
4.切线
的性质
（1）切线与圆只有一个公共点.
（2）切线到圆心的距离等于圆的半径.
（3）切线垂直于经过切点的半径.
利用切线的性质解决问题时，通常连过切点的半径，利用直角三角形的性质来解决问题.
*5.切线长
（1）定义：从圆外一点作圆的切线，这点与切点之间的线段长叫做这点到圆的切线长.
（2）切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，两切线长相等，圆心与这一点的连线平分两条切线的夹角.
到三角形的三个顶点的距离相等
6.三角形的内切圆
与三角形各边都相
切的圆叫三角形的
内切圆，内切圆的
圆心叫做三角形的
内心，这个三角形叫
圆的外切三角形
到三角形三条角平分线的交点
到三角形的三条边的距离相等
例：如图，AB、AC、DB是⊙O的切线，P、C、D为切点，如果AB=5，AC=3，则BD的长为2.
知识点四：三角形与圆
5.三角形的外接圆
图形
相关概念
圆心的确定
内、外心的性质
内切圆半径与三角形边的关系：
（1）任意三角形的内切圆（如图a），设三角形的周长为C，则S△ABC=1/2Cr.
（2）直角三角形的内切圆（如图b）
相切
相交
由于圆是轴对称和中心对称图形，所以关于圆的位置或计算题中常常出现分类讨论多解的情况.
例：已知：⊙O的半径为2，圆心到直线l的距离为1，将直线l沿垂直于l的方向平移，使l与⊙O相切，则平移的距离是1或3.
华师大九年级圆知识点
华师大九年级圆知识点圆是几何中的基本概念之一，是平面上所有到一个固定点的距离都相等的点的集合。
在华师大九年级数学课程中，学生需要掌握关于圆的一些基本知识和性质。
本文将围绕着华师大九年级圆的知识点展开讲述。
一、圆的定义和基本术语圆的定义：圆是平面上距离一个固定点相等于一个固定长度的点的集合。
圆的基本术语：圆心、半径、直径、弧、弦、切线、正切、圆心角、弦长等。
二、圆的性质与定理1. 圆的半径相等性质：圆上任意两点到圆心的距离相等。
2. 圆的直径性质：直径是连接圆上两点的最长线段，并且直径的长度是半径长度的两倍。
3. 圆的弧性质：圆上的弧可以通过其中一点作为圆心来构造一个圆。
4. 圆的弦性质：连接圆上两点的线段称为弦。
弦的长度不超过直径的长度。
5. 圆的切线性质：切线是与圆只有一个交点的直线。
6. 圆的正切性质：正切是切线和半径之间的关系，正切的值等于圆心角的正切值。
7. 圆心角性质：圆心角是以圆心为顶点的角，圆心角的度数等于所对弧的度数。
三、圆的常见公式1. 圆的周长：圆的周长等于直径或半径乘以2π，即C = πd 或C = 2πr。
2. 圆的面积：圆的面积等于半径的平方乘以π，即A = πr²。
四、圆与三角形、矩形等几何图形的关系1. 圆与三角形：圆内接于三角形的圆称为三角形的内切圆，圆外接于三角形的圆称为三角形的外接圆。
2. 圆与矩形：圆外接于矩形的圆称为矩形的外接圆，矩形内切于圆的圆称为矩形的内切圆。
五、圆的应用1. GPS导航系统中通过圆的定位来确定车辆所在的位置。
2. 圆的应用于建筑设计中，如圆形的屋顶、圆形窗户等。
3. 圆的应用于机械制造中，如轮子的制造等。
4. 圆的应用于日常生活中，如饼干、披萨等的形状。
华师大九年级的圆知识点就是以上所介绍的内容。
通过学习和理解这些知识，学生可以更好地掌握圆的基本概念、性质和应用。
同时，学生还需在实际解题中灵活运用这些知识来解决各种与圆有关的问题。
华师大版数学九年级下册《圆》知识点总结
圆1．圆的认识（1）当一条线段OA绕着它的一个端点O在平面内旋转一周时，它的另一个端点A的轨迹叫做圆。
或到一个定点的距离等于定长的点的集合。
这个以点O为圆心的圆叫作“圆O”，记为“⊙O”。
（2）线段OA、OB、OC都是圆的半径，线段AC为直径。
（3）连结圆上任意两点之间的线段叫做弦如线段AB、BC、AC都是圆O中的弦。
（4）圆上任意两点间的部分叫做弧。
如曲线BC、BAC都是圆中的弧，分别记作BC、BAC其中像弧BC 这样小于半圆周的圆叫做劣弧。
像弧BAC，这样的大于半圆周的圆弧叫做优弧。
（3）圆心角：顶点在圆心，两边与圆相交的角叫做圆心角。
如∠AOB、∠AOC、∠BOC就是圆心角。
2．圆的对称性（1）在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等、所对的弦相等。
在同圆或等圆中，如果弦相等，那么所对的圆心角、所对的弧相等。
在同圆或等圆中，如果弧相等，那么所对的圆心角，所对的弦相等。
（2）圆是轴对称图形，它的任意一条直径所在的直线都是它的对称轴。
3．垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。
推论：平分弦的直径垂直于这条弦，并且平分弦所对的弧；平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦。
4．圆周角（1）圆周角：顶点在圆上，两边与圆相交的角叫做圆周角。
（2）半圆或直径所对的圆周角都相等，都等于90°（直角）。
90°的圆周角所对的弦是圆的直径。
（3）同圆或等圆中，一条弧所对的任意一个圆周角的大小都等于该弧所对的圆心角的一半。
（4）同弧（或等弧）所对的圆周角相等；相等的圆周角所对的弧相等。
5．点与圆的位置关系设⊙O的半径为r，点圆心O的距离为d，则>（1）点在圆外⇔d r=（2）点在圆上⇔d r<（3）点在圆内⇔d r6．（1）过一点可以画无数个圆；过两点可以画无数个圆，圆心在两点连线的垂直平分线上；过不在同一条直线上的三个点可以确定一个圆。
（2）三角形的外接圆：经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心。
初三数学圆全章小结与复习 知识精讲 华东师大版
初三数学圆全章小结与复习知识精讲华东师大版【本讲教育信息】一. 教学内容：第28章圆全章小结与复习二. 重点、难点：（1）用数量关系（点与圆心、直线与圆心、圆心与圆心的距离）识别与圆有关的位置关系，灵活运用圆的基本性质这些知识解决问题；（2）切线的性质、识别方法以及切线长定理，能够应用这些性质回答相关问题；⑶弧长和扇形面积公式，计算弧长和比较复杂图形的面积．三. 知识梳理：1. 圆的基本元素（1）圆心和半径；（2）弦和直径；⑶弧和半圆；⑷圆心角和圆周角．2. 圆周角与圆心角（1）圆周角与圆心角：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．性质的验证，运用了“分类”的思想．（2）圆周角与半圆或直径：半圆或直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是圆的直径.一般地，若题目无直径，需要作出直径．⑶圆周角与同弧或等弧：同弧或等弧所对的圆周角相等；在同一圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等．3. 圆的对称性（1）圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心，圆的旋转不变性使它具有其他中心对称图形所没有的性质，即圆心角、弧、弦之间的关系，概括为：在一个圆（同圆或等圆）中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．（2）圆也是轴对称图形，经过圆心的任意一条直线都是它的对称轴．于是就有了垂直于弦的直径的性质：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．还可概括为：如果一条直线：①垂直于弦；②经过圆心；③平分弦；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧．具备其中任意两个条件，那么就可得到其他三个结论．[注：具备②③条件时，应是平分（不是直径的）弦．]4. 点和圆的位置关系点与圆的位置关系的判定与性质：①如点在圆外，则有性质d>r；若d>r，则可判定出点在圆外．②如点在圆上，则有性质d=r；若d=r，则可判定出点在圆上．③如点在圆内，则有性质d＜r；若d＜r，则可判定出点在圆内．5. 直线和圆的位置关系：相离、相切、相交（1）直线和圆的位置关系的判定与性质：①当直线l和⊙O相离时，则有性质d>r；若d>r，则直线l和⊙O相离②当直线l和⊙O相切时，则有性质d=r：若d=r，则直线l和⊙O相切③当直线l和⊙O相交时，则有性质d＜r．若d＜r，则直线l和⊙O相交其中l表示直线，d是⊙O与直线l的距离，r是⊙O的半径（2）圆的切线垂直于经过切点的半径；经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等．切线长定理是圆的对称性的体现，它为说明线段相等、角相等、弧相等、垂直关系提供了理论依据．（3）三角形的内心与外心：三角形外接圆的圆心叫三角形的外心， 三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点；三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心， 三角形的内心是三角形三条角平分线的交点，它到三边的距离相等．6. 圆和圆的位置关系：外离、外切、相交、内切、内含 设两圆半径分别为R 和r ，圆心距为d ，那么： （1）两圆外离r R d +>⇔； （2）两圆外切r R d +=⇔；⑶两圆相交)(r R r R d r R ≥+<<-⇔； ⑷两圆内切)(r R r R d >-=⇔；⑸两圆内含)(r R r R d --<⇔，同心圆0=⇔d 7. 关于弧长、扇形面积、圆锥侧面积全面积的计算已知⊙O 半径为R ，则圆面积公式为：S=2R π；圆周长公式为：C=2R π；n °圆心角的弧长公式是： 180n Rl π=． 在应用弧长公式进行计算时，要注意公式中n 的意义， n 表示1°圆心角的倍数，它是不带单位的．若设⊙O 半径为R ， 圆心角为n °的扇形的面积公式是：213602n R S S lR π==或说明：只要已知圆的半径、圆心角度数、弧长及扇形面积四个量中的任意两个量就可计算出其它量．在具体解题时，应通过作图、识图、阅读图形，探索弧长、扇形及其组合图形面积的计算方法和解题规律；把不规划图形的问题转化为规则图形的问题． 圆锥的侧面积就是弧长为圆锥底面的周长、半径为圆锥的一条母线的长的扇形面积，而圆锥的全面积就是它的侧面积与它的底面积的和．S 全=πra ＋πr 2．【典型例题】例1. 已知⊙O 1和⊙O 2的半径分别为5和2，圆心距为3，•则两圆的位置关系是（ ）． A. 内含 B. 外切 C. 相交 D. 内切解析：两圆内切时，圆心距等于两半径之差，∵5－2=3，∴两圆内切．答案：D ．例2. 已知⊙O 的半径为5cm ，A 为线段OP 的中点，当OP=6cm 时，点A •与⊙O 的位置关系是（ ）．A. 点A 在⊙O 内B. 点A 在⊙O 上；C. 点A 在⊙O 外D. 不能确定解析：若d<r ，则点在圆内；d=r ，则点在圆上；d>r ，则点在圆外．本题只需判断点A 到圆心O 的距离与半径5cm 的大小．因OP=2·OA ，•所以OA=3cm<5cm ，故点A 在⊙O 内．答案：A ．例3. 已知：如图，圆内接四边形ABCD 的两边AB 、DC 的延长线相交于点E ，DF 过圆心O 交AB 于点F ，AB ＝BE ，连结AC ，且OD ＝3，AF ＝FB ＝5．求AC 的长．解析：连结OA ，∵ DF 过点O ，AF ＝FB ＝5， ∴ ∠AFO ＝90°．∴ 25922=-=-=AF AO FO ．∴ 5=+=FO DO DF ．∴ 3022=+=DF AF AD .7022=+=DF FE DE ．由垂径定理知＝，∴ ∠DCA ＝∠DAB ．∵ ∠ADC 是△ADC 与△EDA 的公共角， ∴ △ADC ∽△EDA ．∴DE AD AE AC =．703054=AC ． ∴ 71054=AC ．领悟整合：与圆有关的计算题常用到垂径定理、勾股定理、相似三角形等知识，常用到的辅助线是过圆心连半径或过圆心作已知弦的垂线构造直角三角形运用垂径定理、勾股定理或相似三角形有关的比例式或与圆有关的比例线段求解．例4. 如图，AC 为⊙O 的直径，B 、D 、E 都是⊙O 上的点，求∠A +∠B +∠C 的度数．CA分析：由AC 为直径，可以得出它所对的圆周角是直角，所以连结AE ，这样将∠CAD （∠A ）、∠C 放在了△AEC 中，而∠B 与∠EAD 是同弧所对的圆周角相等，这样问题便迎刃而解．解：连结AE∵AC 是⊙O 的直径， ∴∠AEC =90° ∴∠CAD +∠EAD +∠C =90°∵ED ED =⌒⌒， ∴∠B =∠EAD ∴∠CAD +∠B +∠C =90°例5. △ABC 中，AC ＝6，BC ＝8，∠C =90°，以点C 为圆心，CA 为半径的圆与AB 交于点D ，求AD 的长．分析：圆中有关弦的计算问题通常利用垂径定理构造直角三角形求解，所以作CH ⊥AB ，这只要求出AH 的长就能得出AD 的长．解：作CH ⊥AB ，垂足为H∵∠C =90°，AC ＝6，BC ＝8 ∴AB =10 ∵∠C =90°，CH ⊥AB∴AB AH AC 2⋅=又∵AC ＝6， AB =10 ∴ AH ＝3.6 ∵CH ⊥AB ∴AD =2AH ∴AD =7.2 答：AD 的长为7.2．例6. （1）如图，△ABC 内接于⊙O ，AB 为直径，∠CAE =∠B ，试说明AE 与⊙O 相切于点A ． （2）在（1）中，若AB 为非直径的弦，∠CAE =∠B ，AE 还与⊙O 相切于点A 吗？请说明理由．（1） （2）分析：第（1）小题中，因为AB 为直径，只要再说明∠BAE 为直角即可．第（2）小题中，AB 为非直径的弦，但可以转化为第（1）小题的情形．解：（1）∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠C =90° ∴∠BAC ＋∠B =90°又∵∠CAE =∠B ， ∴∠BAC ＋∠CAE =90° 即∠BAE =90° ∴AE 与⊙O 相切于点A ． （2）连结AO 并延长交⊙O 于D ，连结CD ． ∵AD 是⊙O 的直径，∴∠ACD =90° ∴∠D ＋∠CAD =90°又∵∠D =∠B ，∴∠B ＋∠CAD =90°又∵∠CAE =∠B ， ∴∠CAE ＋∠CAD =90°即∠EAD =90° ，∴AE 仍然与⊙O 相切于点A ．说明：本题主要考查切线的识别方法．这里可以引导学生依据第（1）小题的特殊情况，大胆提出猜想，渗透“由特殊到一般”的数学思想方法．例7. 如图，已知⊙O 的直径AB 垂直于弦CD 于E ，连结AD 、BD 、OC 、OD ，且OD ＝5． （1）若sin ∠BAD =35，求CD 的长．（2）若 ∠ADO ：∠EDO ＝4：1，求扇形OAC （阴影部分）的面积（结果保留π）．分析：图形中有 “直径对直角”，这样就出现了“直角三角形及斜边上的高”的基本图形，求CD 的长就转化为求DE 的长．第（2）小题求扇形OAC 的面积其关键是求∠AOD 的度数，从而转化为求∠AOC 的大小．解：（1） ∵AB 是⊙O 的直径，OD ＝5 ∴∠ADB ＝90°，AB ＝10又∵在Rt △ABD 中，3sin 5BD BAD AB ==∠ ∴BD =6∵∠ADB ＝90°，AB ⊥CD∴ BD 2=BE ·AB ， CD = 2DE ∵AB ＝10 ， BD =6∴BE =185，在Rt △EBD 中，由勾股定理得：DE =245∴CD DE ==2485答：CD 的长为485．（2）∵AB 是⊙O 的直径，AB ⊥CD ∴CB BD AC AD ⌒⌒⌒⌒，==∴∠BAD ＝∠CDB ，∠AOC ＝∠AOD∵AO ＝DO ∴∠BAD ＝∠ADO ∴∠CDB ＝∠ADO 设∠ADO ＝4k ，则∠CDB ＝4k 由∠ADO ：∠EDO ＝4：1，则∠EDO ＝k ∵∠ADO ＋∠EDO ＋∠EDB ＝90° ∴4490k k k ++=︒ 得k ＝10° ∴∠AOD ＝180°－（∠OAD ＋∠ADO ）＝100° ∴∠AOC ＝∠AOD ＝100°则S OAC 扇形=⨯⨯=1003605125182ππ 答：扇形OAC 的面积为12518π例8. 半径为2.5的⊙O 中，直径AB 的不同侧有定点C 和动点P . 已知BC ：CA =4 ： 3，点P 在半圆AB 上运动（不与A 、B 两点重合），过点C 作CP 的垂线，与PB 的延长线交于点Q ．（1）当点P 与点C 关于AB 对称时，求CQ 的长； （2）当点P 运动到半圆AB 的中点时，求CQ 的长；⑶当点P 运动到什么位置时，CQ 取到最大值？求此时CQ 的长．分析：当点P 与点C 关于AB 对称时，CP 被直径垂直平分，由垂径定理求出CP 的长，再由Rt △ACB ∽Rt △PCQ ，可求得CQ 的长．当点P 在半圆AB 上运动时，虽然P 、Q 点的位置在变，但△PCQ 始终与△ACB 相似，点P 运动到半圆AB 的中点时，∠PCB ＝45°，作BE ⊥PC 于点E ， CP ＝PE +EC ．由于CP 与CQ 的比值不变，所以CP 取得最大值时CQ 也最大．解：（1）当点P 与点C 关于AB 对称时，CP ⊥AB ，设垂足为D ． ∵AB 为⊙O 的直径， ∴∠ACB =90°．∴AB =5，BC ：CA =4：3 ∴BC =4，AC =3 S Rt △ACB =12AC ·BC =12AB ·CD ∴ 1224,.55CD PC ==∵ 在Rt △ACB 和Rt △PCQ 中， ∠ACB ＝∠PCQ =90°， ∠CAB ＝∠CPQ ，∴ Rt △ACB ∽Rt △PCQ∴AC BCPC CQ= ∴ 53234==⋅=PC AC PC BC CQ（2）当点P 运动到弧AB 的中点时，过点B 作BE ⊥PC 于点E （如图）． ∵P 是弧AB 的中点，∴2222,45===︒=∠BC BE CE PCB 又∠CPB =∠CAB∴tan ∠CPB = tan ∠CAB =43∴ 3t a n 42BE PE BE CPB ===∠从而2PC PE EC =+= 由（l ）得，433CQ PC ==⑶点P 在弧AB 上运动时，恒有PC 34AC PC BC CQ =⋅= 故PC 最大时，CQ 取到最大值．当PC 过圆心O ，即PC 取最大值5时，CQ 最大值为203说明：用“运动变化”的观点解决问题时，寻求变化中的不变性（题中的Rt △ACB ∽Rt △PCQ ）往往是解题的关键．【模拟试题】（答题时间：120分钟）一、选择题：（每题3分，共36分） 1. 下列五个命题：（1）两个端点能够重合的弧是等弧；（2）圆的任意一条弧必定把圆分成劣弧和优弧两部分；⑶经过平面上任意三点可作一个圆；⑷任意一个圆有且只有一个内接三角形；⑸三角形的外心到各顶点距离相等．其中真命题有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个2. 如图，⊙O 外接于△ABC ，AD 为⊙O 的直径，∠ABC=30°，则∠CAD=（ ） A. 30° B. 40° C. 50° D. 60°C3. AB 是⊙O 的弦，∠AOB=88°，则弦AB 所对的圆周角等于（ ） A. 44° B. 22° C. 44°或136° D. 22°或68°4. O 是△ABC 的外心，且∠ABC+∠ACB=100°，则∠BOC=（ ） A. 100° B. 120° C. 130° D. 160°5. 一个点到圆的最大距离为9cm ，最小距离为4cm ，则圆的半径是（ ） A. 5cm 或13cm B. 2.5cm C.6.5cm D. 2.5cm 或6.5cm6. 如图，△ABC 的三边分别切⊙O 于D ，E ，F ，若∠A=50°，则∠DEF=（ ） A. 65° B. 50° C. 130° D. 80°B7. Rt △ABC 中，∠C=90°，AB=5，内切圆半径为1，则三角形的周长为（ ）A. 15B. 12C. 13D. 148. 在Rt △ABC 中，∠C=90°，AB=5cm ，BC=3cm ，以A 为圆心，以4cm 为半径作圆，•则直线BC 与⊙A 的位置关系是（ ）A. 相交B. 相切C. 相离D. 无法确定9. 已知两圆的圆心距为3，两圆的半径分别是方程x2－4x+3=0的两根，•那么这两个圆的位置关系是（ ）A. 外离B. 外切C. 相交D. 内切10. ⊙O 的半径为3cm ，点M 是⊙O 外一点，OM=4cm ，则以M 为圆心且与⊙O •相切的圆的半径一定是（ ）A. 1cm 或7cmB. 1cmC. 7cmD. 不确定 11. 一个扇形半径30cm ，圆心角120°，用它作一个圆锥的侧面，则圆锥底面半径为（ ） A. 5cm B. 10cm C. 20cm D. 30cm12. 如图所示，在△ABC 中，AB=AC ，以AB 为直径的⊙O 交BC 于点D ，交AC 于点E ，•连结OD 、AD ，则以下结论：①D 是BC 的中点；②AD ⊥BC ；③AD 是∠BAC 的平分线；④OD ∥AC ．其中正确结论的个数为（ ）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个二、填空题. （每题2分，共20分）1. ⊙O 中，弦MN 把⊙O 分成两条弧，它们的度数比为4：5，如果T 为MN 中点，则∠TMO=_________，则弦MN 所对的圆周角为_______．2. ⊙O 到直线L 的距离为d ，⊙O 的半径为R ，当d 、R 是方程x 2－4x+m=0的根，且L •与⊙O 相切时，m 的值为_________．3. ⊙O 中，若弦AB 、BC 所对的圆心角分别为120°、80°，则弦AC •所对的圆心角为_____；4. 如图所示，AB 为⊙O 的直径，C 、D 是⊙O 上的两点，∠BAC=20°，⋂⋂=CD AD ，•则∠DAC 的度数是_______．5. 在△ABC 中，AB=5cm ，BC=3cm ，AC=4cm ，则△ABC 的内切圆的半径为_________．6. △ABC 三边与⊙O 分别切于D ，E ，F ，已知AB=7cm ，AC=5cm ，AD=2cm ，则BC=________．7. 如图所示，P 为⊙O 外一点，PA 、PB 、AB 都与⊙O 相切，∠P=40°，则∠AOB 的度数为_________．8. 两圆相切，圆心距等于2cm ，其中一个圆的半径等于3cm ，•则另一个圆的半径等于_________．9. 已知两圆外离，圆心距d=12，大圆半径R=7，则小圆半径r •的所有可能的正整数值为_________．10. 圆心角为120°的扇形的弧长是2 cm ，则此扇形的面积为___________．三、解答题. （第1至6题各6分，第7、8两题各9分，第9题10分，共64分）1. 如图，从点P 向⊙O 引两条切线PA ，PB ，切点为A ，B ，AC 为弦，BC 为⊙O •的直径，若∠P=60°，PB=2cm ，求AC 的长．2. 如图，已知扇形AOB 的半径为12，OA ⊥OB ，C 为OB 上一点，以OA 为直径的半圆O 1与以BC为直径的半圆O 2相切于点D ．求图中阴影部分面积．3. 将半径为R 的圆分割成面积之比为1：2：3的三个扇形作为三个圆锥的侧面，•设这三个圆锥的底面半径依次为r 1，r 2，r 3，求r 1+r 2+r 3的值．4. 如图，求作一个⊙O ，使它与已知∠ABC 的边AB ，BC 都相切，并经过另一边BC 上的一点P ．BC5. 如图，已知Rt △ABC 中，∠ACB=90°，以AB ，BC ，AC 为直径作半圆围成两月形（阴影部分）S 1，S 2，设△ABC 的面积为S ．求证：S=S 1+S 2．6. 如图所示，⊙I 是△ABC 的内切圆，AB=9，BC=8，CA=10，点D 、E 分别为AB 、AC 上的点，且DE 是⊙I 的切线，求△ADE 的周长．7. 如图，C 是⊙O 的直径AB 延长线上一点，过点C 作⊙O •的切线CD ，D 为切点，连结AD ，OD ，BD ．请根据图中给出的已知条件（不再标注字母，不再添加辅助线）写出两个你认为正确的结论．mBDCAO8. 如图，已知弦AB 与半径相等，连结OB ，并延长使BC=OB ． （1）问AC 与⊙O 有什么关系．（2）请你在⊙O 上找出一点D ，使AD=AC （自己完成作图，并证明你的结论）．B CAO9. 如图所示，AB 为⊙O 的直径，把AB 分成几条相等线段，以每条线段为直径分别画小圆，设AB=a ，⊙O 的周长为L= a ．计算：（1）把AB分成两条相等的线段，每个小圆的周长L2=12a=______；（2）把AB分成三条相等的线段，每个小圆的周长L3=_______；（3）把AB分成四条相等的线段，每个小圆的周长L4= _______；（4）把AB分成n条相等的线段，每个小圆的周长L n= _______．结论：（1）把大圆的直径分成n条相等的线段，以每条线段为直径分别画小圆，•那么每个小圆的周长是大圆周长的_______；（2）把大圆的直径分成n条相等的线段，以每条线段为直径分别画小圆，•那么这n 个小圆的周长和与大圆周长的关系是_______ ；探索：请仿照上面的探索方式和步骤，计算每个小圆的面积与大圆面积的关系．【试题答案】一、选择题：1. A ．[提示：只有（5）正确，（1）必须在同圆或等圆中；（2）直径要除外；（3）三点必须是不在同一条直线上的三个点；（4）任意一个圆都有无数个内接三角形．]2. D ．[提示：∵AD 为直径，∴∠ACD=90°，∠ABC=30°，∴∠D=30°，∴Rt △ACD 中，∠CAD=60°．]3. C ．4. D ．[提示：∠ABC+∠ACB=100°，∴∠CAB=80°，∴∠BOC=2∠CAB=160°．]5. D6. A ．[提示：连结OD ，OF ．四边形ODAF 中，∠ADO=∠AFO=90°，∠A=50°，∴∠DOF=130°，∴∠DEF=12∠DOF=65°．] 7. B ．[提示：∵内切圆半径r=2AC BC AB +-=1，∴AC+BC －5=2×1，∴AC+BC=7，∴AB+BC+AC=7+5=12．]8. B ．9. C ．[提示：∵x 2－4x+3=0，∴x 1=1，x 2=3．∴半径为1，3．∵3－1<3<3+1，∴两圆相交．]10. A ．[提示：若⊙M 与⊙O 内切，则R －3=OM=4，∴R=7．若⊙M 与⊙O 外切，则R+3=OM=4，∴R=1，∴R=1或7．]11. B ．[提示：扇形弧长L=120180π×30=20π=2πr ，∴r=10．] 12. D ．二、填空题：1. 10°，80°或100°[提示：MN 把⊙O 分成的两条弧之比为4：5，则两弧分别为︒160，200°，∴∠MON=160°，∴∠OMT=10°，则MN 所对的圆周角为80°或100°．]2. 4．[提示：L 与⊙O 相切时，d=R ，d 、R 是方程x 2－4x+m=0的根，∴△=16－4m=0，∴m=4．]3. 40°或160°．4. 35°5. 1cm ．6. 8cm ．7. 70°．8. 1cm 或5cm ．9. 1，2，3，4．[提示：两圆外离，∴d>R+r ，即12>7+r ，∴r<5，∴r=1，2，3，4．]10. 3πcm 2三、解答题：1. 解：连结AB ．∵∠P=60°，AP=BP ，∴△APB 为等边三角形．AB=PB=2cm ，PB 是⊙O 的切线，PB ⊥BC ，∴∠ABC=30°，∴AC=AB ·tan30°=2·3=232. 解：扇形的半径为12，则1O ⊙r =6，设⊙O 2的半径为R ．连结O 1O 2，O 1O 2=R+6，OO 2=12－R ．∴Rt △O 1OO 2中，36+（12－R ）2=（R+6）2，∴R=4．S 扇形=14π·122=36π，S ′=12π·62=18π，S ″=12π·42=8π． ∴S 阴=S 扇形－S ′－S ″=36π－18π－8π=10π．3. 解：半径为R 的圆的周长为2πR ， 则三个扇形的弧长分别为16·2πR ，26·2πR ，36·2πR ， 即13πR ，23πR ，πR ． 而底面半径为r 1，r 2，r 3．∴2πr 1=13πR ，r 1=16R ；2πr 2=23πR ， ∴r 2=13R ；2πr 3=πR ，r 3=12R ， ∴r 1+r 2+r 3=16R+13R+12R=R ． 4. 解：作法：①作∠ABC 的角平分线BD ．②过点P 作PQ ⊥BC ，交BD 于点O ，则O 为所求作圆的圆心．③以O 为圆心，以OP 为半径作圆．则⊙O 就是所求作的圆．5. 解：证明：以AC 为直径的半圆面积为12π（2AC ）2=18πAC 2． 以BC 为直径的半圆面积为12π·（2BC ）2=18πBC 2． 以AB 为直径的半圆面积为12π·（2AB ）2=18πAB 2=18π（AC 2+BC 2）=18πAC 2+18πBC 2． ∴S 1+S 2=18πAC 2+18πBC 2－（18πAC 2+18πBC 2－S ） =18πAC 2+18πBC 2－18πAC 2－18πBC 2+S=S ． ∴S=S 1+S 2．6. 11．7. 答案：CD 2=CB ·CA 或∠CDB=∠A ．8. 解：（1）证明：如图，∵AB 与半径相等，∴∠OAB=60°，∠OBA=60°．∵BC=OB=AB ，∴∠BAC=30°，∴∠OAC=90°，∴AC 与⊙O 相切．（2）①延长BO 交⊙O 于D ，则必有AD=AC ．证明：∵∠BOA=60°，OA=OD ，∴∠D=30°．又∵∠C=30°，∴∠C=∠D ，∴AD=AC ．②作∠OAB 的角平分线交⊙O 于D ，则AD=AC证明略9. （1）把AB 分成两条相等的线段，每个小圆的周长L 2=12 a=2L ； （2）把AB 分成三条相等的线段，每个小圆的周长L 3= 3L ； （3）把AB 分成四条相等的线段，每个小圆的周长L 4= 4L ； （4）把AB 分成n 条相等的线段，每个小圆的周长L n = L n． 结论：（1）把大圆的直径分成n 条相等的线段，以每条线段为直径分别画小圆，•那么每个小圆的周长是大圆周长的1n ； （2）把大圆的直径分成n 条相等的线段，以每条线段为直径分别画小圆，•那么这n 个小圆的周长和与大圆周长的关系是 相等 ；面积关系：把大圆的直径分成几条相等的线段，以每条线段为直径分别画小圆，•则小圆的面积是大圆面积的21n ．。
九年级下册数学华师版圆的知识点
九年级下册数学华师版圆的知识点数学是一门理性与逻辑相结合的学科，其中圆的知识点是九年级下册数学华师版中的重点之一。
圆是我们日常生活中常见的图形之一，而对于任何一个几何学来说，研究圆的性质是非常重要的。
我们来一起探索一下九年级下册数学华师版给出的圆的知识点。
一、圆的定义与常见性质圆是由平面上所有距离某一点（圆心）相等的点构成的，我们常用O表示圆心，r表示半径。
圆一般具有以下性质：1. 圆上的任意两点与圆心的距离相等。
2. 半径相等的圆互相重合。
3. 圆可以分两部分，圆内部和圆外部。
二、圆与直线的位置关系1. 切线：过圆上一点的直线与圆相切，该直线称为切线。
切线与半径相垂直。
2. 弦：圆上两点之间的线段称为弦。
一条弦截圆剩余的线段称为弦切线定理。
3. 弧：圆上两点之间的部分称为弧。
三、圆的角度与弧度制1. 圆心角：以圆心为顶点的角称为圆心角。
圆心角的度数等于其所对的弧所对的圆心角的度数是它所对的弧所对的两个圆相交。
2. 弧度制：度数制是通过360度来度量一个圆，而弧度制是通过弧长对半径的比值来度量圆。
一整个圆周的弧度为2π弧度。
四、扇形与面积计算1. 扇形：以圆心为顶点，圆上的弧为边所围成的图形称为扇形。
扇形的面积计算公式为：S = 0.5 × r² × θ，其中S表示扇形的面积，r表示半径，θ表示圆心角的度数。
2. 弓形：由圆上的一个弧及其两端所在的半径构成。
弓形的面积计算公式为：S = 0.5 × r² ×（θ - sinθ）。
其中S表示弓形的面积，r表示半径，θ表示圆心角的度数。
3. 圆的面积计算公式为：S = πr²。
其中S表示圆的面积，r表示半径。
五、正多边形与圆的关系1. 在圆内作一条弦，该弦可将圆分成两个相等的正多边形。
若将弦的两个端点连线与圆心连接，则与圆心角相对的两个角是相等的。
2. 在圆内作一条弦，圆心角等于弦所对的两个扇形的圆心角之和。
华师版九年级圆知识点总结
华师版九年级圆知识点总结九年级是初中最后一个学年，学生在这一年要进行中考的冲刺备战。
数学作为一门重要的学科，对于九年级学生来说显得尤为重要。
其中，圆是九年级数学中的一个重要知识点。
下面将对华师版九年级圆知识点进行总结，以帮助同学们更好地掌握圆的相关概念和性质。
一、圆的定义和相关术语圆是由平面上任意一点到另一点距离相等的点的集合。
其中，距离相等的两点称为圆的直径，直径的一半称为半径。
圆心是距离直径上任意一点的距离均相等的点。
圆内的任意两点到圆心的距离相等，这个相等的距离称为半径。
圆内的一条线段，它的两个端点都在圆上，这个线段称为弦。
弦的中点在圆心上。
介于圆弧两端点的，除两端点之外的圆上的点所在的弧称为圆弧。
以圆心为端点的弧称为半圆。
二、圆的性质：1. 圆的半径相等性质：在同一个圆中，所有半径的长度相等。
2. 圆周角的性质：位于圆上的两条弧所对的圆周角相等。
3. 圆心角的性质：夹在相同弧上的两个圆心角相等。
4. 与圆相关的角：切线和半径垂直，切线和切线垂直。
5. 弧长和扇形面积公式：弧长等于弧所对的圆心角的度数除以360度后乘以圆周长。
扇形面积等于扇形所对的圆心角的度数除以360度后乘以圆的面积。
三、圆的方程1. 圆心在原点的情况：若一个圆的圆心在原点，半径为r，则圆的方程为 x² + y² = r²。
2. 圆心不在原点的情况：若一个圆的圆心坐标为(h, k)，半径为r，则圆的方程为 (x-h)² + (y-k)² = r²。
四、圆的切线和切点1. 切线：与圆只有一个交点的直线称为圆的切线。
2. 切点：切线与圆的交点称为切点。
3. 切线定理：外切线与半径垂直；内切线与半径夹角是直角。
五、圆与直线的位置关系1. 直线与圆相交：相交的点个数可以有1个、2个或无穷多个。
2. 直线与圆相切：直线与圆相切时，切点是圆的一个点。
3. 直线在圆内部：直线与圆没有交点。
九年级数学圆中的计算问题华东师大版知识精讲
九年级数学圆中的计算问题华东师大版【同步教育信息】一. 本周教学内容： 圆中的计算问题【知识与技能】1. 探索归纳圆的弧长、扇形面积公式，会恰当运用公式进行弧长、扇形面积的有关计算。
2. 了解圆柱、圆锥的特征，认识圆柱、圆锥的侧面展开图分别是矩形、扇形，并会计算侧面积及全面积。
【过程与方法】在探索归纳弧长、扇形面积公式时，体现了“从特殊到一般”的数学思维方法。
【情感、态度、价值观】在探求公式过程中，提高推理、归纳能力及应用意思，培养与他人合作能力，进一步发展我们对立体图形的了解，同时也增强空间立体感。
【教学过程】 1. 弧长公式：l n r=π180注意：（1）在弧长公式中，n 表示“1°”的圆心角的倍数，在应用公式计算时，“n ”和“180”不应再写单位。
（2）在计算时，若题目中没有标明精确度，可以用“π”表示弧长，如弧长是3π，π，15.π等。
（3）在弧长公式中已知l n r 、、中的任意两个量都可以求出第三个量。
2. 扇形：（1）定义：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形。
如图：（2）周长：扇形的周长等于弧长加上两个半径的长，即l r +2。
（3）面积：S n r =π2360或S lr =12注意：①公式S n r =π2360中的“n ”与弧长公式中“n ”的意义一样，表示“1°”圆心角的倍数，参与计算时不带单位。
②S lr =12与三角形面积公式S ah =12十分相似，为了便于记忆，可以把扇形看作曲边三角形，把弧长看作底，半径r 看作底边上的高。
③注意二个公式的区别。
如：已知半径r 、圆心角度数求S ，用S n r =π2360。
已知半径r 、弧长l 求S ，用S lr =12。
④已知：S l n r 、、、四个量中任意两个量，可以求出另外两个量。
3. 圆柱的侧面积与全面积（1）侧面展开图是矩形，一组对边等于母线长，另一组对边等于底面圆的周长。
华师版九年级圆知识点
华师版九年级圆知识点概述：九年级数学教材中，关于圆的知识点是非常重要且基础的内容。
本文将带领大家回顾和学习华师版九年级圆知识点，包括圆的定义、圆周率、弧长和面积等内容。
一、圆的定义在数学中，圆是由平面上到一个固定点的距离恒定的点的集合。
其中，固定点被称为圆心，恒定距离称为半径。
对于圆的定义，我们可以简单地表示为“圆是一组距离圆心相等的点的集合”。
二、圆的要素及相关概念1. 圆心：圆心是圆的中心点，通常用大写字母O表示。
2. 半径：半径是圆心到圆上任意一点的距离，通常用小写字母r表示。
3. 直径：直径是过圆心的一条线段，且两端点都在圆上，它是圆的最长的线段，直径的长度等于半径的两倍。
4. 弦：连接圆上两点的线段称为弦。
5. 弧：在圆上连接两点的弧，是弦所包围的部分。
6. 弧长：弧长是圆上弧的长度，通常用小写字母l表示。
7. 弧度制：弧度制是表示角度大小的一种单位制度，其中一个完整的圆周对应的角度为360度，对应的弧度为2π。
三、圆的性质及定理1. 圆的性质(1) 圆上任意两点之间的弦长相等。
(2) 圆的任意直径都是对称轴，即对于圆上的任意一点P，以圆心O为对称中心，P关于O的对称点P'也在圆上。
(3) 圆的内切正多边形的边数越多，其形状越接近于圆。
2. 圆的常用定理(1) 同圆弧所对的圆心角相等。
(2) 圆心角的度数是其所对弧度数的两倍。
(3) 圆上的两条弧所对的圆心角相等，则这两条弧的长相等。
(4) 圆上的两条弧所对的有公共端点的圆心角相等，则这两条弧的长相等。
(5) 圆的内接四边形的内角和为180度。
四、圆周率π圆周率π是一个无理数，它的值约等于3.1415926535。
在圆的相关计算中，圆周率常用来计算圆的周长和面积。
五、圆的周长和面积1. 周长圆的周长可以通过公式2πr来计算，其中r为圆的半径。
2. 面积圆的面积可以通过公式πr²来计算，其中r为圆的半径。
六、例题解析以下是一些常见的关于圆的例题，通过解析这些例题，可以加深对圆的理解和运用。
华师大版九年级下数学《圆》知识归纳
华师大版九年级下数学《圆》知识归纳圆的知识点归纳圆的定义：1.由定点为圆心，定长为半径的点组成的图形。
2.在同一平面内，到一个定点的距离都相等的点组成的图形。
圆的各元素：1.半径：圆上一点与圆心的连线段。
2.直径：连接圆上两点且经过圆心的线段。
3.弦：连接圆上两点的线段，直径也是弦。
4.弧：圆上两点之间的曲线部分，半圆周也是弧。
1) 劣弧：小于半圆周的弧。
2) 优弧：大于半圆周的弧。
5.圆心角：以圆心为顶点，半径为角的边。
6.圆周角：顶点在圆周上，圆周角的两边是弦。
7.弦心距：圆心到弦的垂线段的长度。
圆的基本性质：1.圆的对称性。
1) 圆是轴对称图形，它的对称轴是直径所在的直线。
2) 圆是中心对称图形，它的对称中心是圆心。
3) 圆是旋转对称图形。
2.垂径定理。
1) 垂直于弦的直径平分这条弦，且平分这条弦所对的两条弧。
2) 推论：平分弦（非直径）的直径，垂直于弦且平分弦所对的两条弧。
平分弧的直径，垂直平分弧所对的弦。
3.圆心角的度数等于它所对弧的度数。
圆周角的度数等于它所对弧度数的一半。
1) 同弧所对的圆周角相等。
2) 直径所对的圆周角是直角；圆周角为直角，它所对的弦是直径。
4.在同圆或等圆中，只要有一对量相等，其余四对量也分别相等。
五对量包括：两条弦、两条弧、两个圆周角、两个圆心角、两条弦心距。
5.夹在平行线间的两条弧相等。
6.设⊙O的半径为r，OP=d。
dd）点P在⊙O内d=r点P在⊙O上d>r（r<d）点P在⊙O外7.(1) 过两点的圆的圆心一定在两点间连线段的中垂线上。
2) 不在同一直线上的三点确定一个圆，圆心是三边中垂线的交点，它到三个点的距离相等。
（直角三角形的外心就是斜边的中点。
）8.直线与圆的位置关系。
直线与圆有两个交点，直线与圆相交。
直线与圆只有一个交点，直线与圆相切。
直线与圆没有交点，直线与圆相离。
9.平面直角坐标系中，A（x1，y1）、B（x2，y2）。
则AB=(x1-x2)+(y1-y2)10.圆的切线判定。
【华东师大版】中考数学知识点归纳及范例点拨：第21讲 圆的基本性质
（4）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角.
（5）圆周角：顶点在圆上，并且两边都与圆还有一个
交点的角叫做圆周角.
（6）弦心距：圆心到弦的距离.
（1）经过圆心的直线是该圆的对称轴，故圆的对称轴有无数条；
（2）3点确定一个圆，经过1点或2点的圆有无数个.
（3）任意三角形的三个顶点确定一个圆，即该三角形的外接圆.
延伸
根据圆的对称性，如图所示，在以下五AE=BE;
④AB⊥CD;⑤CD是直径.
只要满足其中两个，另外三个结论一定成立，即推二知三.
知识点三：圆心角、弧、弦的关系
3.圆心角、弧、弦的关系
定理
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．
圆心角、弧和弦之间的等量关系必须在同圆等式中才成立.
知识点二：垂径定理及其推论
2.垂径定理及其推论
定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
关于垂径定理的计算常与勾股定理相结合，解题时往往需要添加辅助线，一般过圆心作弦的垂线，构造直角三角形.
推论
(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
(2)弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧.
2直径所对的圆周角是直角.如图c,∠C=90°.
3圆内接四边形的对角互补.如图a，∠A+∠C=180°，∠ABC+∠ADC=180°.
在圆中求角度时，通常需要通过一些圆的性质进行转化.比如圆心角与圆周角间的转化；同弧或等弧的圆周角间的转化；连直径，得到直角三角形，通过两锐角互余进行转化等.
例：如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上两点，∠BAC=40°，则∠D的度数为130°．
【精编】华东师大初中数学中考总复习：圆的有关概念、性质与圆有关的位置关系--知识讲解(基础).doc
中考总复习：圆的有关概念、性质与圆有关的位置关系—知识讲解（基础）【考纲要求】1. 圆的基本性质和位置关系是中考考查的重点，但圆中复杂证明及两圆位置关系中证明会有下降趋势，不会有太复杂的大题出现；2.中考试题中将更侧重于具体问题中考查圆的定义及点与圆的位置关系，对应用、创新、开放探究型题目，会根据当前的政治形势、新闻背景和实际生活去命题，进一步体现数学来源于生活，又应用于生活．【知识网络】【考点梳理】考点一、圆的有关概念及性质1．圆的有关概念圆、圆心、半径、等圆；弦、直径、弦心距、弧、半圆、优弧、劣弧、等弧；三角形的外接圆、三角形的内切圆、三角形的外心、三角形的内心、圆心角、圆周角． 要点诠释：等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧．2．圆的对称性圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴，圆有无数条对称轴； 圆是以圆心为对称中心的中心对称图形；圆具有旋转不变性．3．圆的确定不在同一直线上的三个点确定一个圆．要点诠释：圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小．4．垂直于弦的直径垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．推论 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．要点诠释：在图中(1)直径CD ，(2)CD ⊥AB ，(3)AM ＝MB ，(4)C C A B =，(5)AD BD =．若上述5个条件有2个成立，则另外3个也成立．因此，垂径定理也称“五二三定理”．即知二推三． 注意：(1)(3)作条件时，应限制AB 不能为直径．5．圆心角、弧、弦之间的关系定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．推论在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量也相等．6．圆周角圆周角定理在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论1 在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等．推论2 半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径．要点诠释：圆周角性质的前提是在同圆或等圆中．考点二、与圆有关的位置关系1．点和圆的位置关系设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有：点P在圆外⇔d＞r；点P在圆上⇔d＝r；点P在圆内⇔d＜r．要点诠释：圆的确定：①过一点的圆有无数个，如图所示．②过两点A、B的圆有无数个，如图所示．③经过在同一直线上的三点不能作圆．④不在同一直线上的三点确定一个圆．如图所示．2．直线和圆的位置关系（1）切线的判定切线的判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．(会过圆上一点画圆的切线)（2）切线的性质切线的性质定理圆的切线垂直于过切点的半径．（3）切线长和切线长定理切线长经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．切线长定理从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角．要点诠释：直线l是⊙O的切线，必须符合两个条件：①直线l经过⊙O上的一点A；②OA⊥l．3．圆和圆的位置关系(1)基本概念两圆相离、相切、外离、外切、相交、内切、内含的定义．(2)请看下表：要点诠释：①相切包括内切和外切，相离包括外离和内含．其中相切和相交是重点．②同心圆是内含的特殊情况．③圆与圆的位置关系可以从两个圆的相对运动来理解．④“R-r”时，要特别注意，R＞r．【典型例题】类型一、圆的性质及垂径定理的应用【高清课堂：圆的有关概念、性质及与圆有关的位置关系 ID: 经典例题1】1．已知：如图所示，在⊙O 中，弦AB 的中点为C ，过点C 的半径为OD ．(1)若AB ＝OC ＝1，求CD 的长；(2)若半径OD ＝R ，∠AOB ＝120°，求CD 的长.【思路点拨】如图所示，一般的，若∠AOB ＝2n °，OD ⊥AB 于C ，OA ＝R ，OC ＝h ，则AB ＝2R ·sin n °＝2n ·tan n °＝CD ＝R －h ；AD 的长180n R π=． 【答案与解析】解：∵半径OD 经过弦AB 的中点C ，∴半径OD ⊥AB ．(1)∵AB ＝AC ＝BC∵OC ＝1，由勾股定理得OA ＝2．∴CD ＝OD －OC ＝OA －OC ＝1，即CD ＝1.(2)∵OD ⊥AB ，OA ＝OB ，∴∠AOD ＝∠BOD ．∴∠AOB ＝120°，∴∠AOC ＝60°．∵OC ＝OA ·cos ∠AOC ＝OA ·cos60°＝12R ， ∴1122CD OD OC R R R =-=-=． 【总结升华】圆的半径、弦长的一半、弦心距三条线段组成一个直角三角形，其中一个锐角为弦所对圆心角的一半，可充分利用它们的关系解决有关垂径定理的计算问题．举一反三：【变式】在足球比赛场上，甲、乙两名队员互相配合向对方球门进攻，当甲带球冲到A 点时，乙已跟随冲到B 点(如图所示)，此时甲是自己直接射门好还是迅速将球回传给乙，让乙射门好呢?(不考虑其他因素)【答案】解：过M 、N 、B 三点作圆，显然A 点在圆外，设MA 交圆于C ，则∠MAN ＜∠MCN ．而∠MCN ＝∠MBN ，∴∠MAN ＜∠MBN ．因此在B点射门较好．即甲应迅速将球回传给乙，让乙射门．2．（2015•大庆模拟）已知AB是⊙O的直径，C是圆周上的动点，P是弧AC的中点．（1）如图1，求证：OP∥BC；（2）如图2，PC交AB于D，当△ODC是等腰三角形时，求∠A的度数．【思路点拨】（1）连结AC，延长PO交AC于H，如图1，由P是弧AC的中点，根据垂径定理得PH⊥AC，再根据圆周角定理，由AB是⊙O的直径得∠ACB=90°，然后根据OP∥BC；（2）如图2，根据圆心角、弧、弦的关系，以及三角形内角和等推论证来求得∠A的度数.【答案与解析】（1）证明：连结AC，延长PO交AC于H，如图1，∵P是弧AB的中点，∴PH⊥AC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴BC⊥AC，∴OP∥BC；（2）解：如图2，∵P是弧AC的中点，∴PA=PC，∴∠PAC=∠PCA，∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA，∴∠PAO=∠PCO，当DO=DC，设∠DCO=x，则∠DOC=x，∠PAO=x，∴∠OPC=∠OCP=x，∠PDO=2x，∵∠OPA=∠PAO=x，∴∠POD=2x，在△POD中，x+2x+2x=180°，解得x=36°，即∠PAO=36°，当CO=CD，设∠DCO=x，则∠OPC=x，∠PAO=x，∴∠POD=2x，∴∠ODC=∠POD+∠OPC=3x，∵CD=CO，∴∠DOC=∠ODC=3x，在△POC中，x+x+5x=180°，解得x=（）°，即∠PAO=（）°．综上所述，∠A的度数为36°或（）°．【总结升华】本题考查了圆周角定理及其推论同时考查了等腰三角形的性质、垂径定理和三角形内角和定理．举一反三：【变式】（2015•温州模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=5，CB=12，AD是△ABC的角平分线，过A、C、D三点的圆与斜边AB交于点E，连接DE．（1）求BE的长；（2）求△ACD外接圆的半径．【答案】解：（1）∵∠ACB=90°，且∠ACB为圆O的圆周角（已知），∴AD为圆O的直径（90°的圆周角所对的弦为圆的直径），∴∠AED=90°（直径所对的圆周角为直角），又AD是△ABC的角平分线（已知），∴∠CAD=∠EAD（角平分线定义），∴CD=DE（在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弦相等），在Rt△ACD和Rt△AED中，，∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），∴AC=AE（全等三角形的对应边相等）；∵△ABC为直角三角形，且AC=5，CB=12，∴根据勾股定理得：AB==13，∴BE=13﹣AC=13﹣5=8；（2）由（1）得到∠AED=90°，则有∠BED=90°，设CD=DE=x，则DB=BC﹣CD=12﹣x，EB=AB﹣AE=AB﹣AC=13﹣5=8，在Rt△BED中，根据勾股定理得：BD2=BE2+ED2，即（12﹣x）2=x2+82，解得：x=， ∴CD=，又AC=5，△ACD 为直角三角形，∴根据勾股定理得：AD==， 根据AD 是△ACD 外接圆直径，∴△ACD 外接圆的半径为：×=．类型二、圆的切线判定与性质的应用3．如图所示，AB ＝AC ，O 是BC 的中点，⊙O 与AB 相切于点D ，求证：AC 与⊙O 相切．【思路点拨】AC 与⊙O 有无公共点在已知条件中没有说明，因此只能过点O 向AC 作垂线段OE ，长等于⊙O 的半径，则垂足E 必在⊙O 上，从而AC 与⊙O 相切．【答案与解析】证明：连接OD ，作OE ⊥AC ，垂足为E ，连结OA ．∵AB 与⊙O 相切于点D ，∴OD ⊥AB ．∵AB ＝AC ，OB ＝OC ，∴∠1＝∠2，∴OE ＝OD ．∵OD 为⊙O 半径，∴AC 与⊙O 相切．【总结升华】如果已知直线经过圆上一点，那么连半径，证垂直；如果已知直线与圆是否有公共点在条件中并没有给出，那么作垂直，证半径．举一反三：【变式】如图所示，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝a ，AC ＝b ，AB ＝c ．求△ABC 的内切圆的半径．【答案】解：设△ABC 的内切圆与三边的切点分别为D 、E 、F ，根据切线长定理可得：AE ＝AF ，BF ＝BD ，CD ＝CE ，而AE+CE ＝b ，CD+BD ＝a ，AF+BF ＝c ，可求2a b c CE +-=． 连接OE 、OD ，易证OE ＝CE ．即直角三角形的内切圆半径2a b c r +-=．4．如图所示，已知：△ABC 内接于⊙O ，点D 在OC 的延长线上，1sin 2B =，∠D ＝30°． (1)求证：AD 是⊙O 的切线；(2)若AC ＝6，求AD 的长．【思路点拨】（1）连接OA ，根据圆周角定理求出∠O 的度数，根据三角形的内角和定理求出∠OAD ，根据切线的判定推出即可；（2）得出等边三角形AOC ，求出OA ，根据勾股定理求出AD 的长即可．【答案与解析】(1)证明：连接OA ，∵1sin 2B =，∴∠B ＝30°． ∵∠AOC ＝2∠B ，∴∠AOC ＝60°．∵∠D ＝30°，∴∠OAD ＝180°－∠D －∠AOD ＝90°．∴AD 是⊙O 的切线．(2)解：∵OA ＝OC ，∠AOC ＝60°，∴△AOC 是等边三角形，∴OA ＝AC ＝6．∵∠OAD ＝90°，∠D ＝30°，∴AD AO ＝【总结升华】证明直线是圆的切线的方法：①有半径，证垂直；②有垂直，证半径．举一反三：【变式】如图所示，半径OA ⊥OB ，P 是OB 延长线上一点，PA 交⊙O 于D ，过D 作⊙O 的切线交PO 于C 点，求证：PC ＝CD ．【答案】证明：连接OD ．∵CE 切⊙O 于D ，∴OD ⊥CE ．∴∠2+∠3＝90°．∵OA ⊥OB ，∴∠P+∠A ＝90°．∵OD ＝OA ，∴∠3＝∠A ．．∴∠P ＝∠2．又∵∠1＝∠2，∴∠P ＝∠1．∴PC ＝CD ．类型三、切线的性质与等腰三角形、勾股定理综合运用5．已知AB 是⊙O 的直径，点P 是AB 延长线上的一个动点，过P 作⊙O 的切线，切点为C ，∠APC 的平分线交AC 于点D ，求∠CDP 的度数.【思路点拨】连接OC ，根据题意，可知OC⊥PC，∠CPD+∠DPA+∠A+∠ACO=90°，可推出∠DPA+∠A=45°， 即∠CDP=45°．【答案与解析】解：连接OC ，∵OC=OA，，PD 平分∠APC，∴∠CPD=∠DPA，∠A=∠ACO，∵PC 为⊙O 的切线，∴OC⊥PC，∵∠CPD+∠DPA+∠A+∠ACO=90°，∴∠DPA+∠A=45°，即∠CDP=45°．本题主要考查切线的性质、等边三角形的性质、角平分线的性质、外角的性质，解题的关键在于做好辅助线构建直角三角形，求证∠CPD+∠DPA+∠A+∠ACO=90°，即可求出∠CDP=45°．【高清课堂：圆的有关概念、性质及与圆有关的位置关系 ID: 经典例题3】6．如图所示，AB 是⊙O 的直径，AF 是⊙O 的弦，AE 平分∠BAF ，交⊙O 于点E ，过点E 作直线ED⊥AF于点D，交AB的延长线于点C． (1)求证：CD是⊙O的切线；(2)若DE＝4，sinC＝35，求AE的长．【思路点拨】构造半径、半弦、弦心距的直角三角形．【答案与解析】解：(1)证明：连接OE，BF，交于点G，则BF⊥AF，BF∥CD．∵OA＝OE，∴∠OAE＝∠OEA．∵∠OAE＝∠FAE，∴∠OEA＝∠FAE．∴OE∥AF，∵AF⊥DE，∴OE⊥CD．∴CD为⊙O的切线．(2)解：∵ BF∥DE，OE∥AF，∠D＝90°，∴四边形DEGF为矩形．∴BF＝2GF＝2DE＝8．∵BF∥CD，∴∠C＝∠ABF．可求得OA＝OB＝5，OG＝3．∴DF＝EG＝2，AF＝AB·sinC＝6．∴AD＝8，AE=．【总结升华】(1)通过挖掘图形的性质，将分散的条件sinC＝35，DE＝4，集中到一个直角三角形中，使问题最终得到解决；(2)本题第(2)问还可以适当改变后进行变式训练，如改为：若DF＝2，sinC＝35，求AE的长；(3)第(2)问还可以过O作OM⊥AF于M后得OM＝DE＝4，sin∠AOM＝sinC＝35加以解决.。
华师大版初中数学九年级下册第23讲 与圆有关的计算
关键点拨与对应举例
1.正 多 边 （2）特殊正多边形中各中心角、长度比：
形与圆
例：(1) 如果一个正多边形 的中心角为 72°，那么这个 正多边形的边数是 5. (2)半径为 6 的正四边形的边
心距为 3 2 ，中心角等于
90°，面积为 72.
中心角=120°
中心角=90° 中心角=60°，△BOC 为等边
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第 23 讲 与圆有关的计算
一、 知识清单梳理 知识点一 ：正多边形与圆
（1）正多边形的有关概念：边长(a)、中心(O)、 中心角(∠AOB)、半径(R))、边心距(r),如图所示 ①.
△
a:r:R=2:1:2
a:r:R=2::2
a:r:R=2:2
知识点二：与圆有关的计算公式
2.弧长和
扇形面积 的计算
扇形的弧长 l＝ n r 扇形的面积 S＝ n r2 ＝ 1 lr
180 ；
360 2
例：已知扇形的圆心角为 45°，半径长为 12，则该扇 形的弧长为 3π.
3.圆锥与
侧面展 开图
（1）圆锥侧面展开图是一个扇形，扇形的半径等于圆锥的母线，扇形的 弧长等于圆锥的底面周长.
地看待人生
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（2）计算公式：
,S 侧=
=πrl
在求不规则图形的面积时， 注意利用割补法与等积变化 方法归为规则图形，再利用 规则图形的公式求解. 例：如 图，已知 一扇形的 半径为 3， 圆心角为 60°，则图中阴影部分的面
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例：(1)如果一个正多边形的中心角为72°，那么这个正多边形的边数是5.
(2)半径为6的正四边形ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ边心距为 ，中心角等于90°，面积为72.
知识点二：与圆有关的计算公式
2.弧长和
扇形面积
的计算
扇形的弧长l＝ ；扇形的面积S＝ ＝
例：已知扇形的圆心角为45°，半径长为12，则该扇形的弧长为3π.
第23讲与圆有关的计算
一、知识清单梳理
知识点一：正多边形与圆
关键点拨与对应举例
1.正多边形与圆
（1）正多边形的有关概念：边长(a)、中心(O)、中心角(∠AOB)、半径(R))、边心距(r),如图所示①.
（2）特殊正多边形中各中心角、长度比：
中心角=120°中心角=90°中心角=60°，△BOC为等边△
3.圆锥与
侧面展开图
（1）圆锥侧面展开图是一个扇形，扇形的半径等于圆锥的母线，扇形的弧长等于圆锥的底面周长.
（2）计算公式：
,S侧= =πrl
在求不规则图形的面积时，注意利用割补法与等积变化方法归为规则图形，再利用规则图形的公式求解.
例：如图，已知一扇形的半径为3，圆心角为60°，则图中阴影部分的面积为