《圆》知识点归纳及相关题型整理[]

第五章中心对称图形（二）
——知识点归纳以及相关题目总结
一、和圆有关的基本概念
1.圆：
把线段OP的一个端点O固定，使线段OP绕着点O在平面内旋转1周，另一个端点P运动所形成的图形叫做圆。

其中，定点O叫做圆心，线段OP叫做半径。

以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”。

圆是到定点的距离等于定长的点的集合。

2.圆的内部可以看作是到圆心的距离小于半径的点的集合。

3.圆的外部可以看作是到圆心的距离大于半径的点的集合。

4.弦：连接圆上任意两点的线段。

5.直径：经过圆心的弦。

6.弧：圆上任意两点间的部分。

优弧：大于半圆的弧。

劣弧：小于半圆的弧。

半圆：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆。

7.同心圆：圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆。

8.等圆：能够重合的两个圆叫做等圆。

（圆心不同）
9.等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。

（在大小不等的两个圆中，不存在等弧。

10.圆心角：顶点在圆心的角。

11.圆周角：顶点在圆上，两边与圆相交的角。

12.圆的切线长：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长。

13.正多边形：
①定义：各边相等、各角也相等的多边形
②对称性：都是轴对称图形；有偶数条边的正多边形既是轴对称图形有是中心对称图形。

14.圆锥：
①：母线：连接圆锥的顶点和底面圆上任意一点的线段。

②：高：连接顶点与底面圆的圆心的线段。

15.三角形的外接圆：三角形三个顶点确定一个圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形。

16.三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形。

二、和圆有关的重要定理
1.圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心。

2.在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等。

3.在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弦、两条弧中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。

推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。

4.圆心角的度数与它所对的弧的度数相等。

5.圆是轴对称图形，过圆心的任意一条直线都是它的对称轴。

6.垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。

()⎧⎫⎪⇒⎬⎨⎭⎪⎩直线直径平分弦直线过圆心（直径）直线平分弦所对优弧直线垂直于弦直线平分弦所对劣弧
垂径定理的实质可以理解为：一条直线，如果它具有两个性质：(1)经过圆心；(2)垂直于弦，那么这条直线就一定具有另外三个性质：(3)平分弦，(4)平分弦所对的劣弧，(5)平分弦所对的优弧。

推论：圆的两条平行弦所夹的弧相等。

7.同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的一半。

8.直径（或半圆）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。

9.如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

10.确定圆的条件
不在同一条直线上的三个点确定一个圆
经过三角形三个顶点可以画一个圆，并且只能画一个．这个三角形叫做这个圆的内接三角形。

经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆．三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心。

三角形的外心就是三角形三条边的垂直平分线的交点，它到三角形三个顶点的距离相等。

11.三角形的外接圆的圆心是三边的垂直平分线的交点
12.圆的切线垂直于经过切点的半径。

13.经过半径的外端并且垂直于这条半径的是直线是圆的切线。

14.从圆外一点引圆的两条切线，他们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。

三、和圆有关的位置关系
1.点和圆：
如果⊙O 的半径为r ，点P 到圆心O 的距离为d ，那么
2.直线和圆： ①直线与圆有两个公共点时，叫做直线与圆相交。

②直线与圆有唯一公共点时，叫做直线与圆相切。

这条直线叫做圆的切线，这个公共点叫
做切点。

③直线与圆没有公共点时，叫做直线与圆相离。

如果⊙O 的半径为r ，圆心O 到直线l 的距离为d ，那么
3.圆和圆：
①两个圆没有公共点，并且每个圆上的点都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆外离。

②两个圆有唯一的公共点，并且除了这个公共点以外，每个圆上的点都在另一个圆的外部
时，叫做这两个圆外切，这个唯一的公共点叫做切点。

③两个圆有两个公共点时，叫做这两个圆相交。

④两个圆有唯一的公共点，并且除了这个公共点以外，一个圆上的点都在另一个圆的内部时，叫做这两个圆内切，这个唯一的公共点叫做切点。

（两个圆外切和内切统称为两个圆相切。

）
⑤两个圆没有公共点，并且一个圆上的点都在另一个圆的内部时，叫做这两个圆内含。

（两圆同心是两圆内含的一种特例。

）
点P 在圆内 点P 在圆上 点P 在圆外
d<r d=r d>r 直线l 与⊙O 相交 直线l 与⊙O 相切 直线l 与⊙O 相离 d<r d=r d>r
如果两圆的半径分别为R 、r ，圆心距为d ，那么 四、和圆有关的计算
1. 多边形和圆
每个内角的度数：
每个外角的度数：（等于中心角）
正多边形和圆的关系定理：
任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆，因此可以采用作辅助圆的办法，解决一些问题。

对于一些特殊的正n 边形，如正四边形、正八边形、正六边形、正三角形、正十二边形还可以用尺规作图。

2. 扇形： 面积公式： 或
3. 弧长：
弧长公式： 4. 圆锥：
（圆锥的侧面展开图，是一个扇形。

）
圆锥的侧面积=S 侧＝×2πr ×a ＝πra
（圆锥的侧面积与底面积的和称为圆锥的全面积。

）
五、和圆有关的作图
1.圆心
做一个已知圆的圆心
在圆上任意画一条线，作垂直与这条线的直径；再画一条弦，继续作垂直于这条弦的直径；两条直径的交点就是圆心。

2.三角形的外接圆：
已知锐角三角形ABC ，用直尺和圆规作△ABC 的外接圆。

① 分别作边AB 、AC 的垂直平分线DE 、FG ，DE 与FC 相交于点O
② 以O 为圆心，OA 为半径作圆，⊙O 就是所求作的圆。

3.用直尺和圆规做特殊的正多边形：
（1）正四边形
①在⊙O 中作两条互相垂直的直径AC 、BD
②依次连接A 、B 、C 、D 各点，四边形ABCD 就是所求做的正四边形。

（2）正六边形
①在⊙O 中任意做一条直径AD
②分别以A 、D 为圆心，⊙O 的半径作半径作弧，与⊙O 相交于B 、F 和C 、E
③依次连接A 、B 、C 、D 、E 、F 各点，六边形ABCDEF 就是所求作的正六边形。

六、和圆有关的常作辅助线
两圆外离 两圆外切
两圆相交
两圆内切 两圆内含 d>R+r d=R+r R-r<d<R+r(R ≥r) d=R-r(R>r) 0≤d<R-r(R>r)
3602r n S π=lr S 21=180
2360r n r n l ππ=⋅=
1.见弦作弦心距
有关弦的问题，常作其弦心距（有时还需作出相应的半径），通过垂径定理来沟通结论与题设间的关系。

2.见直径作圆周角
在题目中若已知圆的直径，一般是做直径所对的圆周角，利用“直径所对的圆周角是直角”这一特征来证明问题。

3.见切线作半径
命题的条件中含有圆的切线，往往是连接过切点的半径，利用“切线与半径垂直”这一性质来证明问题。

5.两圆相切作公切线
对两圆相切的问题，一般是经过切点作两圆的公切线或作它们的连心线，通过公切线可以找到与圆有关的角的关系。

6.两圆相交作公共弦
对两圆相交的问题，通常是作出公共弦，通过公共弦既可以把两圆的弦联系起来，又可以把两圆中的圆周角或圆心角联系起来。