2014届武昌区高三元月调考数学理科试卷及答案word版
2014年武汉市元月调考数学试卷
2014 年武汉市元月调考数学试卷一、选择题（共 10小题，每题 3 分）1． 实数范围内有意义，则 x 的取值范围是（ ）A ．x >1B ．x ≥1C ． x <1D ． x ≤1 2．如图，点 A 、B 、C 在⊙ O 上，∠ AOB=40 °，则∠ ACB 的度数是（ ）A ．10°B ．20°C ．40°D ． 70°3．下列图形中，为中心对称图形的是（）4．签筒中有 5 根纸签 ,分别标有数字 1，2，3，4， 5，从中随机抽取一根，下列事件属于随机事件的是（7．有一人患了流感经过两轮传染后有 49 人患了流感， 设每轮传染中平均一个人传染了 x 人，则 x 的值为（ ） A ．5 B ．6C ． 7D ．88．若关于 x 的一元二次方程 ax 2+bx+c=0 （ a ≠0）的两根为 x 1，x 2，则 x 1+x 2=﹣ ，x 1?x 2= ．当 a=1，b=6 ， c=5时， x 1x 2+x 1+x 2 的值是（）A ． 5B ．﹣ 5C ． 1D ．﹣ 19．若 + =0，则下列各数中，与 的积为有理数的是（ ）A ．B ．C ．D ．10．如图，扇形 AOD 中，∠ AOD=90 °，OA=6 ，点 P 为 上任意一点（不与 点A 和D 重合），PQ ⊥OD 于点 Q ，点 I 为△OPQ 的内心，过 O 、I 和D 三点的圆的半径为 r ，则当点 P 在 上运动时， r 的值满足（）A. 0 r 3B. r 3C. 3 r 3 2D. r 3 2A ．A ．抽到的纸签上标有的数字 0B ．抽到的纸签上标有的数字小于 6C ．抽到的纸签上标有的数字是1D ．抽到的纸签上标有的数字大于 65．袋子中装有 5 个红球、 3 个绿球， A ． B ． C ．6．下列一元二次方程没有实数根的是（ 22A ． x +3=0B ． x +x=0从袋子中随机摸出一个球，是绿球的概率为（）C ． x 2+2x= ﹣ 1 D ．x 2+3x=1D ．二、填空题（共6 小题，每题 3 分）11．计算：﹣= ．12．平面直角坐标系中，点P（3，1﹣a）与点Q（b+2，3）关于原点对称，则a+b=13．2013 年12 月，有关报告显示近几年江城写字楼价格的增幅远远高于住宅价格增幅，与住宅的价差越来越大，如2011年某写字楼与住宅均价价差为614 元/平方米，2013 年上升至2401元/平方米．设这两年该写字楼与住宅均价价差的年平均增长率为x，根据题意，所列方程为．14．甲口袋中装有 2 个相同的小球，他们分别写有数字 1 和2；乙口袋中装有 3 个相同的小球，它们分别写有数字3， 4 和5，从 2 个口袋中各随机地取出 1 个小球，取出的两个球上的数字之和为 5 的概率是15．如图，P 为直径AB 上的一点，点M 和N 在⊙ O 上，且∠ APM= ∠NPB=30 PN+PM= cm．16．已知圆锥的底面半径为1，全面积为4π，则圆锥的母线长为．三、解答题（共9 小题，满分72 分）217．（6 分）解方程：x2﹣6=﹣2（x+1）18．（6分）如图，点A，C和B都在⊙ O上，且四边形ACBO 为菱形，求证：点 C是的中点．19．（6 分）如图，在平面直角坐标系中，△ ABC 的三个顶点都在格点上，点 A 的坐标为（2，4）（1）画出△ABC 关于x 轴对称的△ A1B 1C1，并写出点A1 的坐标；（2）画出△ABC 绕原点O逆时针旋转90°后得到的△ A2B 2C2，并写出点 A 2的坐标．．若OP=2cm，AB=16cm ，则20．（7 分）小红参加一次竞技活动，活动包括笔试和面试两个环节，都是以抽签答题的方式进行，笔试从B，C和D等四种类型的题目随机抽答一题，面试从E，F和G三种类型的题目随机抽答一题；（1）用列表法或画树形图法求出参加一次活动可能抽答的所有结果；（2）小红对 A 和F两种类型的题目很熟练，求“小红刚好抽答 A 和F两种类型的题目”的概率．221．（7 分）已知关于x 的一元二次方程ax +bx+1=0 中，b= + +m+1 ；（1）若a=4，求 b 的值；2（2）若方程ax2+bx+1=0 有两个相等的实数根，求方程的根．22．（8分）如图1，△ABC 中，AB=AC ，以AB 为直径的⊙ O分别与边BC和AC相交于点E和F，过点E作⊙ O 的切线交边AC 于点H．1）求证：CH=FH ；若OH= ，HC=1 ，求⊙ O 的半径．23．（10 分）如图1，某小区的平面图是一个占地400×300 平方米的矩形，正中央的建筑区是与整个小区长宽比例相同的矩形．如果要使四周的空地所占面积是小区面积的36%，南北空地等宽，东西空地等宽．（1）求该小区四周的空地的宽度；（2）如图2，该小区在东、西、南三块空地上做如图所示的矩形绿化带，绿化带与建筑区之间为小区道路，小区道路宽度一致．已知东、西两侧绿化带完全相同，其长均为200 米，南侧绿化带的长为300 米，绿化面积为18000 平方米，请算出小区道路的宽度．24．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC= ，P为AC边上一动点，PC=t，以点P为中心，将△ABC 逆时针旋转90°，得到△DEF ，DE 交边AC 于点G；A，2）如图2，连接OH ，（1）用含有t 的式子填空：DP= ；AG= ；（2）如图2，当点 F 在AB 上时，求证：PG=PC；（3）如图3，当P为DF 的中点时，求AG：PG 的值．25．（12分）如图1，⊙P的直径AB 的长为16，E为半圆的中点，F为劣弧上的一动点，EF和AB 的延长线交于点C，过点 C 作AB 的垂线交AF 的延长线于点D；（1）求证：BC=DC ；（2）以直线AB为x轴，线段PB的中垂线为y轴，建立如图2的平面直角坐标系xO y，则点B的坐标为（4，20），设点 D 的坐标为（m，n）若m，n 是方程x2+px+p+8=0 的两根，求P 的值；（3）在（2）中的坐标系中，直线y=kx+8 上存在点H ，使△ ABH 为直角三角形，若这样的H 点有且只有两个，请直接写出符合条件的k 的值或取值范围．2014 年湖北省武汉市九年级元月调考数学试卷参考答案一、选择题（共10 小题，每小题 3 分，满分30 分）1．D 2．B3．B4．C5．B6． A 7．B8．D 9．A10．、填空题（共 6 小题，每小题 3 分，满分18分）11．12．-1 13．614（1+x）2=2401 14．15．6 16．3三、解答题（共9 小题，满分72 分）17．18．19．20．（-1）t 25．21．22．23．24．3-t3- +。
湖北省武昌区2014届高三理综1月调考试卷
湖北省武昌区2014届高三理综1月调考试卷（扫描版）武昌区2014届高三年级元月调研考试理 科 综 合 试 卷评分标准一、选择题：本大题共13小题，每小题6分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
二、选择题：本大题共8小题，每小题6分，在每小题给出的四个选项中，有的只有一项符合题目要求，有的有多项符合题目要求。
全部选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错的得0分。
22．(2)AC （2分）(3)2122))((21))((21t Dm M t D m M mgx ∆+-∆+= （3分）23．（1）D （1分）；E （1分） （5）图线如图 （1分） （6）4.5 （2分）9000（.0） （2分）；21000（.0） （2分）6 10 8 12 1424．（14分）（1）取沿杆向上为正方向，由图象可知：在0~2 s 内：m/s 151011=-=t v v a （方向沿杆向上） ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（2分） 在2~5 s 内：m/s 102122-=-=t v v a （“－”表示方向沿杆向下）．．．．．．．．．．．（2分） （2）有风力时的上升过程，由受力分析和牛顿第二定律有：1sin )sin cos (cos ma mg F mg F =-+-θθθμθ ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．①（3分） 停风后的上升阶段，有：2sin cos ma mg mg =--θθμ ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．②（3分） 由②解得： μ = 0.5 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（2分）代入①得： F = 50 N ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（2分） 25．（18分）（1）（1）由R v m qBv 200=得mqBav =0．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（3分）（2）这些粒子中，从O 沿+y 轴方向射入磁场的粒子，从O 到C 耗时最长由0v s t =得 qBm v a t ππ==0max ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（4分） （3）这些粒子经过①区域偏转后方向都变成与 +x 轴平行； 接着匀速直线进入②区域，经过②区域偏转又都通过C 点； 从C 点进入③区域，经过③区域偏转，离开③区域时，所有粒子都变成与－y 轴平行（即垂直进入电场）．．．．．．．．（2分）对于从x = 2a 进入电场的粒子，在－x 方向的分运动有： 21212t m Eq a ⨯⨯=解得 Eqamt 41=．．．．．．．．．．．．（2分） 则该粒子运动到y 轴上的坐标为EmaqBaa t v a y 4101--=--=．．．．（2分） 对于从x = 3a 进入电场的粒子，在－x 方向的分运动有： 22213t mEq a ⨯⨯=解得 Eqamt 62=．．．．．．．．（2分） 则该粒子运动到y 轴上的坐标为EmaqBaa t v a y 6202--=--=．．．．．．．．．．．．．．．（2分）这群粒子运动到y 轴上的区间为EmaqBaa y Em aq Baa 46--≤≤--．．．．．．．．．．．（1分） 26.（15分）（1）Mg 2B 2O 5·H 2O ＋2NaOH === 2NaBO 2＋2Mg(OH)2↓（2分）（2）2Na +＋4BO 2－＋2CO 2＋11H 2O === Na 2B 4O 7·10H 2O↓＋2HCO 3－（2分） （3）c (Na ＋) = c (CO 32－) + c (HCO 3－) + c (H 2CO 3) （2分） （4）利用强酸制备弱酸H 3BO 3 （1分）（5）①淀粉溶液（1分） 溶液由蓝色恰好变为无色（1分）②79.2%（2分）（6）NaBO 3·H 2O （1分） 解题过程 （3分） 解：T 3时 n (Na)=molg ×g /23℅230.20= 0.2 mol （1分）则30.80 g 样品中，依n (Na)∶ n (B)∶n (H)∶n (O)＝l∶1∶n ∶7可得0.2 mol × 23 g/mol + 0.2 mol × 11 g/mol + 0.2n × 1g/mol + 7 × 0.2 mol × 16 g/mol = 30.80 g 解得n = 8故原晶体为NaBO 3·4H 2O （1分） 设T 3时晶体的化学式为NaBO 3·m H 2O 则由T 3时晶体中钠元素的质量分数可得m1848112323+++× 100% = 23%解得m = 1所以T 3时晶体的化学式为NaBO 3·H 2O （1分） 27.（14分）（1）加热（2分） （2）①1.33或34（2分，若书写单位且正确得2分，单位错误不得分） ②C、D （2分） （3）①B、D （2分）②CH 3OCH 3－12e －＋16OH －=== 2CO 32－＋11H 2O （2分） ③C （2分）（4）CH 3OCH 3(g)＋3O 2(g) === 2CO 2(g)＋3H 2O(l) ΔH =－1454.98 kJ/mol （2分） 28．（14分）（1）减少副产物乙醚生成（1分）（2）b 中长直玻璃管内有一段液柱上升（1分）过度冷却，产品1 , 2－二溴乙烷在装置d 中凝固（1分） 防止倒吸（1分） （3）吸收乙烯气体中含有的CO 2、SO 2等酸性气体（2分）（4）①浓硫酸将部分乙醇氧化 ②发生副反应生成乙醚 ③乙醇挥发④乙烯流速过快，未完全发生加成反应（2分） （5）乙醚（2分） D （2分）（6）液封Br 2及1 , 2－二溴乙烷（2分） 29．（11分）（1）排除原有气体对实验结果的干扰（1分） CO 2浓度逐渐降低（1分） C 3（1分） （2）将NaHCO 3溶液换成等量的1%NaOH 溶液，其他条件同该装置（2分）至少再设置两组NaHCO 3溶液浓度不同的该装置，其他条件同该装置（2分）（3）植物光合作用速率达到最大时的最小光照强度（光饱和点）（2分）光照强度大于或等于c 时的真正（或总、实际）光合作用速率（2分）30．（10分）（1）胰岛素（1分） 葡萄糖载体（1分）ATP （1分） 胰岛素受体（的数目）（1分）（2）核糖体、内质网、高尔基体（2分） 胰高血糖素（肾上腺素）（1分） （3）Ⅰ型（1分） 自身免疫（1分） Ⅱ型（1分）31．（8分）（1）黑色（1分） 白色（1分） C a C d ×C a C d（1分） （2）（均为）白色（1分）（3）C a ＞C c ＞C b ＞C d（2分） （4）10（1分） 3（1分） 32．（10分）甲状腺分泌甲状腺激素（2分）（2）①促甲状腺激素释放激素（2分） ②甲状腺（1分） ③等量且适宜浓度的促甲状腺激素溶液（1分）（3）下降（1分） 下降（1分 上升（1分） 下降（1分） 33．【物理——选修3－3】（15分） （1）ACD (6分) （2）（i ）设起始状态气缸内气体压强为p 1，当活塞缓慢拉至气缸顶端，设气缸内气体压强为p 2 由玻意耳定律得： LS p lS p 21= ………………………………………（2分） 在起始状态对活塞由受力平衡得：S p mg S p 01+= …………………（1分） 对活塞由受力平衡得：S p mg S p F 02+=+ ………………………………（1分）解得 F = 110N …………………………………………（1分）（ii ）由盖-吕萨克定律得：T LST lS '=…………………………………………（2分） 其中：K 300=T K )273(t T '+='解得 t '≈ 60.3℃ ……………………………………………………………（2分） 34．【物理——选修3－4】（15分） （1）ABD (6分) （2）（i ）作出光路图，光线在AC 面上的入射角为60°，折射角为30°，则折射率330sin 60sin 00==n ……………………………………………（3分）（ii ）作出光束经BC 面反射后的光路图，因为发生全反射的临界角为2131sin >=C ，即C >30°，所以光线在在F 点发生全反射，在E 、H 点不能发生全反射。
2014年高考湖北理科数学试题及答案(word解析版)
2014年普通高等学校招生全国统一测试（湖北卷）数学（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． （1）【2014年湖北，理1，5分】i 为虚数单位，则21i 1i -⎛⎫⎪+⎝⎭（ ）（A ）1- （B ）1 （C ）i - （D ）i 【答案】A【分析】因为21i 2i 11i 2i --⎛⎫==- ⎪+⎝⎭，故选A ． 【点评】本题考查复数的运算，容易题．（2）【2014年湖北，理2，5分】若二项式72a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中31x 的系数是84，则实数a =（ ）（A ）2 （B ）54 （C ）1 （D ）2 【答案】D【分析】因为()77727722xrrr r r r a C x C a x x ---+⎛⎫⋅⋅=⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭，令723r -+=-，得2r =，22727284C a -⋅⋅=，解得2a =，故选D ．【点评】本题考查二项式定理的通项公式，容易题． （3）【2014年湖北，理3，5分】设U 为全集，A ，B 是集合，则“存在集合C 使得A C ⊆，U B C C ⊆是“A B =∅I ”的（ ）（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件【答案】A【分析】依题意，若A C ⊆，则U U C C C A ⊆，U B C C ⊆，可得A B =∅I ；若A B =∅I ，不能推出U B C C ⊆，故选A ．【点评】本题考查集合和集合的关系，充分条件和必要条件判断，容易题． （4）【2014年湖北，理4，5x 3 4 5 6 7 8y 4.0 2.5 -0.5 0.5 -2.0 -3.0得到的回归方程为ˆy=（A ）0a >，0b > （B ）0a >，0b < （C ）0a <，0b > （D ）0a <，0b < 【答案】B【分析】依题意，画散点图知，两个变量负相关，所以0b <，0a >，故选B ． 【点评】本题考查根据已知样本数判断线性回归方程中的b 和a 的符号，容易题． （5）【2014年湖北，理5，5分】在如图所示的空间直角坐标系O xyz -中，一个四面体的顶点坐标分别是()0,0,2，()2,2,0，()1,2,1，()2,2,2，给出编号①、②、③、④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为（ ）（A ）①和②（B ）③和①（C ）④和③（D ）④和② 【答案】D【分析】在坐标系中标出已知的四个点，根据三视图的画图规则判断三棱锥的正视图为④和俯视图为②，故选D ．【点评】本题考查空间由已知条件，在空间坐标系中作出几何体的形状，再正视图和俯视图，容易题． （6）【2014年湖北，理6，5分】若函数()f x ，()g x 满足()()110f x g x dx -=⎰，则称()f x ，()g x为区间[]1,1- 上的一组正交函数，给出三组函数：①()1sin 2f x x =，()1cos 2g x x =；②()1f x x =+，()1g x x =-；③()f x x =,()2g x x =，其中为区间[]1,1-的正交函数的组数是（ ）（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 【答案】C【分析】对①1111111111sin cos sin cos 02222x x dx x dx x ---⎛⎫⎛⎫⋅=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰，则()f x ，()g x 为区间[]1,1-上的正交函数；对②()()()11231111111103x x dx x dx x x ---⎛⎫+-=-=-≠ ⎪⎝⎭⎰⎰，则()f x ，()g x 不为区间[]1,1-上的正交函数；对③134111104x dx x --⎛⎫== ⎪⎝⎭⎰，则()f x ，()g x 为区间[]1,1-上的正交函数，所以满足条件的正交函数有2组，故选C ．【点评】新定义题型，本题考查微积分基本定理的运用，容易题．（7）【2014年湖北，理7，5分】由不等式0020x y y x ≤⎧⎪≥⎨⎪--≤⎩确定的平面区域记为1Ω，不等式12x y x y +≤⎧⎨+≥-⎩，确定的平面区域记为2Ω，在1Ω中随机取一点，则该点恰好在2Ω内的概率为（ ）（A ）18（B ）14 （C ）34 （D ）78【答案】D【分析】依题意，不等式组表示的平面区域如图，由几何公式知，该点落在2Ω内的概率为：11221172218222P ⨯⨯-⨯⨯==⨯⨯，故选D ．【点评】本题考查不等式组表示的平面区域，面积型的几何概型，中等题． （8）【2014年湖北，理8，5分】《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“盖”的术：置如其周，令相承也．又以高乘之，三十六成一．该术相当于给出了有圆锥的底面周长L 和高h ，计算其体积V 的近似公式21.36v L h ≈它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3．那么近似公式2275v L h ≈相当于将圆锥体积公式中的π近似取为（ ）（A ）227 （B ）258 （C ）15750 （D ）355113【答案】B【分析】设圆锥底面圆的半径为r ，高为h ，依题意，()22L r π=，()22122375r h r h ππ=，所以218375ππ=，即π的近似值为258，故选B ．【点评】本题考查《算数书》中π的近似计算，容易题．（9）【2014年湖北，理9，5分】已知12,F F 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是他们的一个公共点，且123F PF π∠=，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（ ）（A ）43 （B ）23 （C ）3 （D ）2【答案】B【分析】设椭圆的短半轴为a ，双曲线的实半轴为1a ()1a a >，半焦距为c ，由椭圆、双曲线的定义得122PF PF a +=，1212PF PF a -=，所以11PF a a =+，21PF a a =-，因为1260F PF ∠=︒，由余弦定理得：()()()()22211114c a a a a a a a a =++--+-，所以222143c a a =+，即22221112222142a a a a a c c c c c ⎛⎫-=+≥+ ⎪⎝⎭，22111148e e e ⎛⎫∴+≤- ⎪⎝⎭，利用基本不等式可得椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为23，故选B ． 【点评】本题椭圆、双曲线的定义和性质，余弦定理及用基本不等式求最值，难度中等． （10）【2014年湖北，理10，5分】已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，2221()(|||2|3)2f x x a x a a =-+--，若R x ∀∈，(1)()f x f x -≤，则实数a 的取值范围为（ ）（A ）11,66⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ （B ）66,⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ （C ）11,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ （D ）33,⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】B【分析】依题意，当0x ≥时，()2222223220x a x a f x a a x a x x a ⎧->⎪=-<≤⎨⎪-≤≤⎩，作图可知，()f x 的最小值为2a -，因为函数()f x 为奇函数，所以当0x <时，()f x 的最大值为2a ，因为对任意实数x 都有，()()1f x f x -≤，所以，()22421a a --≤，解得66a -≤≤，故实数a 的取值范围是66,⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，故选B ． 【点评】本题考查函数的奇函数性质、分段函数、最值及恒成立，难度中等．二、填空题：共6小题，考生需作答5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应题号．．．．．．．的位置上．．．．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分． （一）必考题（11-14题） （11）【2014年湖北，理11，5分】设向量()3,3a =r ，()1,1b =-r ，若()()a b a b λλ+⊥-r r r r ，则实数λ= ．【答案】3±【分析】因为()3,3a b λλλ+=+-r r ，()3,3a b λλλ+=++r r ，因为()()a b a b λλ+⊥-r r r r ，所以()()()()33330λλλλ+-+++=，解得3λ±．【点评】本题考查平面向量的坐标运算、数量积，容易题． （12）【2014年湖北，理12，5分】直线1:l y x a =+和2:l y x b =+将单位圆22:1C x y +=分成长度相等的四段弧，则22a b += ． 【答案】2【分析】依题意，圆心()0,0到两条直线的距离相等，且每段弧的长度都是圆周的14，即22a b =，2cos 452a=︒=，所以221a b ==，故222a b +=． 【点评】本题考查直线和圆相交，点到直线的距离公式，容易题． （13）【2014年湖北，理13，5分】设a 是一个各位数字都不是0且没有重复数字的三位数．将组成a 的3个数字按从小到大排成的三位数记为()I a ，按从大到小排成的三位数记为()D a （例如815a =，则()158I a =，()851D a =）．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，任意输入一个a ，输出的结果b = ． 【答案】495【分析】当123a =，则321123198123b =-=≠，当198a =，则981198783198b =-=≠；当783a =，则954459b a =-=，终止循环，故输出495b =．【点评】新定义题型，本题考查程序框图，当型循环结构，容易题． （14）【2014年湖北，理14，5分】设()f x 是定义在()0,+∞上的函数，且()0f x >，对任意0a >,0b >,0a >,0b >，若经过点()()af a ,()(),b f x ()()()()b f b a f a ,,,的直线和x 轴的交点为()0,c ，则称c 为a ,b 关于函数()f x的平均数，记为[],f M a b ，例如，当()1f x =())0(1>=x x f 时，可得2f a bM c +==，即(),f M a b 为,a b 的算术平均数．（1）当()f x =________（0x >）时，(),f M a b 为,a b 的几何平均数；（2）当()f x =________（0x >）时，(),f M a b 为,a b 的调和平均数2aba b+；（以上两空各只需写出一个符合要求的函数即可）【答案】（1）x （2）x （或填（1）1k x （2）2k x ，其中12,k k 为正常数均可）【分析】设()()0f x x x =>，则经过点(),a a ，(),b b -的直线方程为y a b a x a b a ---=--，令0y =，所以2abc x a b ==+，所以当()()0f x x x =>，(),f M a b 为,a b 的调和平均数2aba b+．【点评】本题考查两个数的几何平均数和调和平均数，难度中等．（一）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B 铅笔涂黑，如果全选，则按第15题作答结果计分．） （15）【2014年湖北，理15，5分】（选修4-1：几何证明选讲）如图，P 为O e 的两条切线，切点分别为,A B ，过PA 的中点Q 作割线交O e 于,C D 两点，若1QC =，3CD =，则PB = _______． 【答案】4【分析】由切割线定理得()21134QA QC QD =⋅=⨯+=，所以2QA =，4PB PA ==． 【点评】本题考查圆的切线长定理，切割线定理，容易题．（16）【2014年湖北，理16，5分】（选修4-4：坐标系和参数方程）已知曲线1C 的参数方程是3x tty ⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程是2ρ=，则1C 和2C 交点的直角坐标为 ．【答案】()3,1【分析】由3x t t y ⎧=⎪⎨=⎪⎩，消去t 得()2230,0x y x y =≥≥，由2ρ=得224x y +=，解方程组222243x y x y ⎧+=⎪⎨=⎪⎩，得1C 和2C 的交点坐标为()3,1．【点评】本题考查参数方程，极坐标方程和平面直角坐标方程的转化，曲线的交点，容易题．三、解答题：共6题，共75分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． （17）【2014年湖北，理17，11分】某实验室一天的温度（单位：C ︒）随时间t （单位：h ）的变化近似满足函数关系；()103cossin,[0,24)1212f t t t t ππ=--∈．（1）求实验室这一天的最大温差；（2）若要求实验室温度不高于11C ︒，则在哪段时间实验室需要降温？解：（1）因为31()102(cos sin )102sin()12212123f t t t t ππππ=-+=-+，又024t ≤<，所以7,1sin()131233123t t ππππππ≤+<-≤+≤，当2t =时，sin()1123t ππ+=；当14t =时，sin()1123t ππ+=-，于是()f t 在[0,24)上取得最大值12，取得最小值8，故实验室这一天最高温度为12℃，最低温度为8℃，最大温差为4℃． （2）依题意，当()11f t >时实验室需要降温，由（1）得()102sin()123f t t ππ=-+，故有102sin()11123t ππ-+>，即1sin()1232t ππ+<-，又024t ≤<，因此71161236t ππππ<+<，即1018t <<，在10时至18时实验室需要降温． （18）【2014年湖北，理18，12分】已知等差数列{}n a 满足：12a =，且123,,a a a 成等比数列．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记n S 为数列{}n a 的前n 项和，是否存在正整数n ，使得60800n S n >+?若存在，求n 的最小值；若不存在，说明理由．解：（1）设数列{}n a 的公差为d ，依题意，2,2,24d d ++成等比数列，故有2(2)2(24)d d +=+，化简得240d d -=， 解得0d =或4d =，当0d =时，2n a =；当4d =时，2(1)442n a n n =+-⋅=-，从而得数列{}n a 的通项 公式为2n a =或42n a n =-．（2）当2n a =时，2n S n =，显然260800n n <+，此时不存在正整数n ，使得60800S n >+成立，当42n a n =-时，2[2(42)]22n n n S n +-==，令2260800n n >+，即2304000n n -->，解得40n >或10n <-（舍去），此时存在正整数n ，使得60800n S n >+成立，n 的最小值为41综上，当2n a =时，不存在满足题意的n ；当42n a n =-时，存在满足题意的n ，其最小值为41．（19）【2014年湖北，理19，12分】如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，,,,E F M N 分别是棱1111,,,AB AD A B A D 的中点，点,P Q 分别在棱1DD ，1BB 上移动，且 ()02DP BQ λλ==<<．（1）当1λ=时，证明：直线1BC 平面EFPQ ；（2）是否存在λ，使平面EFPQ 和面PQMN 所成的二面角？若存在，求出λ的值；若不存 在，说明理由．解：解法一：（1）如图1，连接1AD ，由1111ABCD A B C D =是正方体，知11//BC AD ，当1λ=时，P 是1DD 的中点，又F 是AD的中点，所以1//FP AD ，所以1//BC FP ，而FP ⊂平面EFPQ ，且1BC ⊄平面EFPQ ，故直线1//BC 平面EFPQ ． （2）如图2，连接BD ，因为E ，F 分别是AB ，AD 的中点，所以//EF BD ，且12EF BD =，又,//DP BQ DP BQ =，所以四边形PQBD 是平行四边形，故//PQ BD ，且PQ BD =，从而//EF PQ ，且12EF PQ =，在Rt EBQ ∆和Rt FDP ∆中，因为BQ DP λ==，1BE DF ==，于是21DQ FP λ==+，所以四边形EFPQ 是等腰梯形．同理可证四边形PQMN 是等腰梯形． 分别取,,EF PQ MN 的中点为,,H O G ，连接,OH OG ，则,GO PQ HO PQ ⊥⊥，而GO HO O =I ， 故GOH ∠是面EFPQ 和面PQMN 所成的二面角的平面角．若存在λ，使面EFPQ 和面PQMN 所成的二面角为直二面角，则90GOH ∠=o ，连接EM ，FN ，则 由//EF MN ，且EF MN =，知四边形EFNM 是平行四边形，连接GH ，因为H ，G 是EF ，MN 的中点，所以2GH ME ==，在GOH ∆中，22222214,1()2GH OH λλ==+-=+，2222211(2)()(2)2OG λλ=+--=-+，由222OG OH GH +=，得2211(2)422λλ-+++=，解得21λ=±，故存在21λ=±，使面EFPQ 和面PQMN 所成的二面角为直二面角．解法二：以D 为原点，射线1,,DA DC DD 分别为,,x y z 轴的正半轴建立如图3所示的空间直角坐标系D xyz -，由已知得(2,2,0)B ，1(0,2,2)C ，(2,1,0)E ，(1,0,0)F ，(0,0,)P λ，(2,0,2)BC -u u u r ，(1,0,)FP λ-u u u r ，(1,1,0)FE u u u r．（1）当1λ=时，(1,0,1)FP =-u u u r ，因为1(2,0,2)BC =-u u u u r ，所以12BC FP =u u u u r u u u r，即1//BC FP ，而FP ⊂平面EFPQ ，且1BC ⊄平面EFPQ ，故直线1//BC 平面EFPQ ．（2）设平面EFPQ 的一个法向量为(,,)n x y z =，则由0FE n FP n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u u r，可得00x y x z λ+=⎧⎨-+=⎩，于是可取(,,1)n λλ=-， 同理可得平面MNPQ 的一个法向量为(2,2,1)m λλ=--，若存在λ，使面EFPQ 和面PQMN 所成的二 面角为直二面角，则(2,2,1)(,,1)0m n λλλλ⋅=--⋅-=，即(2)(2)10λλλλ---+=，解得21λ=． 故存在21λ=，使面EFPQ 和面PQMN 所成的二面角为直二面角． （20）【2014年湖北，理20，12分】计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站，过去50年的水文资料显示，水库年入流量X (年入流量：一年内上游来水和库区降水之和．单位：亿立方米）都在40以上．其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年．将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立． （1）求未来4年中，至多1年的年入流量超过120的概率；（2）水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量X 限制，并有如下关系；若某台发电机运行，则该台年利润为5000万元；若某台发电机未运行，则该台年亏损800万 元，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？解：（1）依题意，110(4080)0.250p P X =<<==，235(80120)0.750p P X =≤≤==，35(120)0.150p P X =>== 由二项分布，在未来4年中至多有1年的年入流量超过120的概率为04134343433991(1)(1)()4()()0.9477101010p C p C p p =-+-=+⨯⨯=．（2）记水电站年总利润为Y （单位：万元）（1）安装1台发电机的情形：由于水库年入流量总大于40，故一台发电机运行的概率为1，对应的年利润5000,()500015000Y E Y ==⨯=．（2）安装2台发电机的情形：依题意，当4080X <<时，一台发电机运行，此时50008004200Y =-=，因此1(4200)(4080)0.2P Y P X p ==<<==；当80X ≥时，两台发电机运行，此时5000210000Y =⨯=，因此(10000)(80)0.8P Y P X p p ==≥=+=；由此得Y 的分布列如下：Y4200 10000 P0.2 0.8 所以，()E Y =（3）安装3台发电机的情形：当4080X <<时，一台发电机运行，此时500016003400Y =-=，因此1(3400)(4080)0.2P Y P X p ==<<==；当80120X ≤≤时，两台发电机运行，此时500028009200Y =⨯-=，因此2(9200)(80120)0.7P Y P X p ==≤≤==；当120X >时，三台发电机运行，5000315000Y =⨯=，因此3(15000)(120)0.1P Y P X p ==>==， 由此得Y Y3400 9200 15000 P0.2 0.7 0.1 所以，综上，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机2台．（21）【2014年湖北，理21，14分】在平面直角坐标系xOy 中，点M 到点()1,0F 的距离比它到y 轴的距离多1，记点M 的轨迹为C ．（1）求轨迹为C 的方程；（2）设斜率为k 的直线l 过定点()2,1p -，求直线l 和轨迹C 好有一个公共点，两个公共点，三个公共点时k 的相应取值范围．解：（1）设点(,)M x y ，依题意得||||1MF x =+22(1)||1x y x -+=+，化简整理得22(||)y x x =+，年入流量X 40<X<80 40≤X ≤80X>120 发电机最多可运行台数 1 2 3故点M 的轨迹C 的方程为24,00,0x x y x ≥⎧=⎨<⎩．（2）在点M 的轨迹C 中，记212:4,:0(0)C y x C y x ==<，依题意，可设直线l 的方程为1(2)y k x -=+，由方程组21(2)4y k x y x-=+⎧⎨=⎩，可得244(21)0ky y k -++= ①（1）当0k =时，此时1y =，把1y =代入轨迹C 的方程，得14x =，故此时直线:1l y =和轨迹C 恰好有一个公共点1(,1)4（2）当0k ≠时，方程①的判别式为216(21)k k ∆=-+- ②设直线l 和x 轴的交点为0(,0)x ，则由1(2)y k x -=+，令0y =，得021k x k+=-③ （ⅰ）若000x ∆<⎧⎨<⎩由②③解得1k <-，或12k >，即当1(,1)(,)2k ∈-∞-⋃+∞时，直线l 和1C 没有公共点，和2C 有一个公共点，故此时直线l 和轨迹C 恰好有一个公共点． （ⅱ）若000x ∆=⎧⎨<⎩或000x ∆>⎧⎨≥⎩，由②③解得1{1,}2k ∈-，或102k -≤<，即当1{1,}2k ∈-时，直线l 和1C只有一个公共点，和2C 有一个公共点，当1[,0)2k ∈-时，直线l 和1C 有两个公共点，和2C 没有公共点，故当11[,0){1,}22k ∈--U 时，直线l 和轨迹C 恰好有两个公共点．（ⅲ）若000x ∆>⎧⎨<⎩由②③解得112k -<<-，或102k <<，即当11(1,)(0,)22k ∈--⋃时，直线l 和1C 有两个公共点，和2C 有一个公共点，故此时直线l 和轨迹C 恰好有三个公共点． 综合（1）（2）可知，当1(,1)(,){0}2k ∈-∞-⋃+∞⋃时，直线l 和轨迹C 恰好有一个公共点；当11[,0){1,}22k ∈--U 时，直线l 和轨迹C 恰好有两个公共点；当11(1,)(0,)22k ∈--U 时，直线l 和轨迹C 恰好有三个公共点．（22）【2014年湖北，理22，14分】π为圆周率，e =2.71828……为自然对数的底数．（1）求函数xxx f ln )(=的单调区间； （2）求33,3,,,3,e e e e ππππ这6个数中的最大数和最小数；（3）将33,3,,,3,ee e e ππππ这6个数按从小到大的顺序排列，并证明你的结论．解：（1）函数()f x 的定义域为(0,)+∞，因为ln ()x f x x =，所以21ln ()xf x x -'=，当()0f x '>，即0x e <<时，函数()f x 单调递增；当()0f x '<，即x e >时，函数()f x 单调递减．故函数()f x 的单调递增区间为(0,)e ， 单调递减区间为(,)e +∞． （2）因为3e π<<，所以ln33ln ,ln ln3e e πππ<<，即ln3ln ,ln ln3e e e πππ<<，于是根据函数ln ,x y x y e ==， x y π=在定义域上单调递增，可得333,3e e e e ππππ<<<<，故这6个数的最大数在3π和3π之中，最小数在3e 和3e 之中．由3e π<<及（1）的结论，得()(3)()f f f e π<<，即ln ln3ln 3eeππ<<． 由ln ln33ππ<，得3ln ln3ππ<，所以33ππ>；由ln3ln 3e e<，得3ln3ln e e <，所以33e e >． 综上，6个数中最大数是3π，最小数是3e．（3）由（2）知，3333,3e e e e πππ<<<<，又由（2）知，ln ln eeππ<，得e e ππ<故只需比较3e 和e π和e π 和3π的大小，由（1）知，当0x e <<时，1()()f x f e e<=，即ln 1x x e<， 在上式中，令2e x π=，又2e e π<，则2ln e e ππ<，从而2ln e ππ-<，即得ln 2eππ>- ①由①得， 2.72ln (2) 2.7(2) 2.7(20.88) 3.02433.1e e e ππ>->⨯->⨯-=>，即ln 3e π>，亦即3ln ln e e π>，所以3e e π<，又由①得，33ln 66ee πππ>->->，即3ln ππ>，所以3e ππ<．综上可得，3333e e e e ππππ<<<<<，即6个数从小到大的顺序为333,,,,,3e e e e ππππ．。
2014届高三数学区一检理科试题(带答案)
2014届高三数学区一检理科试题（带答案）高三理科数学质量检测试题（卷）2013.10本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，考生作答时，将答案写在答题卡上，在本试卷上答题无效，本试卷满分150分，考试时间为120分钟.注意事项：1.考生答题前，先将条形码贴在条形码区，并将本人姓名、学校、准考证号填写在相应位置.2.选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚，将答案书写在答题卡规定的位置上.3.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效.参考公式：，，，，，．第Ⅰ卷（选择题）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设，则“”是“”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2.已知，函数的定义域为集合，则A.B.C.D.3.在一次投掷链球比赛中，甲、乙两位运动员各投掷一次，设命题是“甲投掷在80米之外”，是“乙投掷在80米之外”，则命题“至少有一位运动员没有投掷在80米之外”可表示为A.非或非B.或非C.非且非D.或4.设，，，则A.B.C.D.5.的内角的对边分别是，若，，，则A.B.C.D.6.已知，则的值等于A.B.C.D.7.函数的零点个数为A.B.C.D.8.已知函数，下列结论中错误的是A.存在，B.若是的极小值点，则在区间上单调递减C.若是的极值点，则D.函数无最大值9.已知函数为奇函数，且当时，，则A.B.C.D.10.若函数的图像关于直线对称，则的最大值是A.B.C.或D.不存在第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11.计算：；12.若直线与幂函数的图像相切于点，则直线的方程为；13.已知函数，其导函数的部分图像如图所示，则函数的解析式为；14.观察下列不等式：①；②；③；…则第个不等式为；15.给出下列三个命题中,其中所有正确命题的序号是.①函数在上的最小值是.②命题“函数，当，且时，有”是真命题.③函数，若，且，则动点到直线的最小距离是.三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.(本小题满分12分)叙述并证明余弦定理.17.(本小题满分12分)已知向量，，，设函数.(1)求的最小正周期；(2)求在上的最大值和最小值.18.(本小题满分12分)已知关于的不等式的解集为.(1)当时，求集合；(2)当且时,求实数的范围.19.(本小题满分12分)甲厂以千克/小时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求),每小时可获得的利润是元.(1)求证:生产千克该产品所获得的利润为元；(2)要使生产千克该产品获得的利润最大,问:甲厂应该选取何种生产速度?并求此最大利润.20.(本小题满分13分)设函数且是定义域为的奇函数．(1)求的值；(2)若，且在上的最小值为，求的值．21.(本小题满分14分)已知为函数图像上一点，为坐标原点，记直线的斜率．(1)若函数在区间上存在极值，求实数的取值范围；(2)当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.高三理科数学质量检测试题答案2013.10一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.A2.D3.A4.C5.B6.D7.B8.B9.C10.B二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．2912．13.14.15.②三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.(本小题满分12分)解：余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦之积的两倍.或：在△ABC中，为A，B，C的对边，有，，.（5分）证明：在△ABC中，(8分)∴(10分)∴同理可证：，.(12分)注:此题还有其它证法，酌情按步骤给分.17.(本小题满分12分)解：（1）（4分）的最小正周期.即函数的最小正周期为.（6分）（2），，（8分）由正弦函数的性质，当，即时，取得最大值1.（10分）当，即时，取得最小值.（12分）18．(本小题满分12分)解:解：（1）当时，……5分(2),①……8分,②……11分由①②知……12分19.(本小题满分12分)解:(1)每小时生产千克产品,获利,生产千克该产品用时间为,………3分所获利润为元.………6分(2)生产900千克该产品,所获利润为………9分所以,最大利润为元.………12分20．(本小题满分13分)解：（1）（法一）由题意，对任意，，即，………2分即，，………4分因为为任意实数，所以．………5分（法二）因为且是定义域为的奇函数．………2分所以，即，………4分解得………5分（2）由（1），因为，所以，解得．………7分故，，………8分令，则，………10分由，得，所以，………11分当时，在上是增函数，则，，解得（舍去）．………12分当时，则，，解得，或（舍去）．（13分）21．(本题满分14分)解：（1）由题意，……………2分所以………………4分当时，；当时，．所以在上单调递增，在上单调递减，故在处取得极大值．………………5分因为函数在区间（其中）上存在极值，所以，得．即实数的取值范围是．……………7分（2）由得，……………8分令，则．……………10分令，则，……………………11分因为所以,故在上单调递增．所以,从而……………………12分在上单调递增,所以实数的取值范围是．…………………………………………14分。
2014年高考理科数学湖北卷有答案
绝密★启用前2014年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学（理工类）本试题卷共6页,22题,其中第15、16题为选考题.全卷满分150分.考试用时120分钟.★祝考试顺利★注意事项：1.答卷前,先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上,并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.用统一提供的2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑.2.选择题的作答：每小题选出答案后,用统一提供的2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.填空题和解答题的作答：用统一提供的签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4.选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用统一提供的2B 铅笔涂黑.答案写在答题卡上对应的答案区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.5.考试结束后,请将本试题卷和答题卡一并上交.一、选择题：本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.i 为虚数单位,21i ()1i-=+( ) A .1-B .1C .i -D .i 2.若二项式7(2)a x x +的展开式中31x 的系数是84,则实数a =( ) A .2BC .1D3.设U 为全集,A ,B 是集合,则“存在集合C 使得A C ⊆,U B C ⊆ð”是“A B =∅”的 ( )A .充分而不必要的条件B .必要而不充分的条件C .充要条件D .既不充分也不必要的条件 4.得到的回归方程为y bx a =+,则( )A .0a ＞,0b ＞B .0a ＞,0b ＜C .0a ＜,0b ＞D .0a ＜,0b ＜5.在如图所示的空间直角坐标系-O xyz 中,一个四面体的顶点坐标分别是(0,0,2),(2,2,0),(1,2,1),(2,2,2).给出编号为①、②、③、④的四个图,则该四面体的正视图和俯视图分别为( )A .①和②B .③和①C .④和③D .④和②6.若函数()f x ,()g x 满足11()()d 0f x g x x -=⎰,则称()f x ,()g x 为区间[1,1]-上的一组正交函数.给出三组函数：①1()sin 2f x x =,1()cos 2g x x =；②()1f x x =+,()1g x x =-；③()f x x =,2()g x x =.其中为区间[1,1]-上的正交函数的组数是 ( )A .0B .1C .2D .37.由不等式组0,0,20,x y y x ⎧⎪⎨⎪--⎩≤≥≤确定的平面区域记为1Ω,不等式组1,2,x y x y +⎧⎨+-⎩≤≥确定的平面区域记为2Ω.在1Ω中随机取一点,则该点恰好在2Ω内的概率为( )A .18B .14C .34 D .788.《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土,这是我国现存最早的有系统的数学典籍,其中记载有求“囷盖”的术：置如其周,令相乘也.又以高乘之,三十六成一.该术相当于给出了由圆锥的底面周长L 与高h ,计算其体积V 的近似公式2136V L h ≈.它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3.那么,近似公式2275V L h ≈相当于将圆锥体积公式中的π近似取为( )A .227B .258C .15750D .3551139.已知1F ,2F 是椭圆和双曲线的公共焦点,P 是它们的一个公共点,且12π3F PF ∠=,则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为( )A B C .3D .210.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数,当0x ≥时,2221()(|||2|3)2f x x a x a a =-+--.若x ∀∈R,(1)()f x f x -≤,则实数a 的取值范围为( )A .11[,]66-B .[C .11[,]33-D .[二、填空题：本大题共6小题,考生共需作答5小题,每小题5分,共25分.请将答案填在答．题卡对应题号．．．．．．的位置上.答错位置,书写不清,模棱两可均不得分.（一）必考题（11—14题）11.设向量(3,3)=a ,(1,1)=-b .若()()λλ+-a b a b ⊥,则实数λ= .12.直线1l :y x a =+和2l :y x b =+将单位圆C :221x y +=分成长度相等的四段弧,则--------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无------------------------------------姓名________________ 准考证号_____________22a b += .13.设a 是一个各位数字都不是0且没有重复数字的三位数.将组成a 的3个数字按从小到大排成的三位数记为()I a ,按从大到小排成的三位数记为()D a （例如815a =,则()158I a =,()851D a =).阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,任意输入一个a ,输出的结果b = .14.设()f x 是定义在(0,)+∞上的函数,且()0f x ＞.对任意0a ＞,0b ＞,若经过点(,())a f a ,(,())b f b -的直线与x 轴的交点为(,0)c ,则称c 为a ,b 关于函数()f x 的平均数,记为(,)f M a b .例如,当()1(0)f x x =＞时,可得(,)2f a bM a b c +==,即(,)f M a b 为a ,b 的算术平均数. （Ⅰ）当()f x = (0)x ＞时,(,)f M a b 为a ,b 的几何平均数；（Ⅱ）当()f x = (0)x ＞时,(,)f M a b 为a ,b 的调和平均数2aba b +.（以上两空各只需写出一个符合要求的函数即可）（二）选考题(请考生在第15、16两题中任选一题作答,请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B 铅笔涂黑.如果全选,则按第15题作答结果计分.) 15.（选修4—1：几何证明选讲）如图,P 为O 外一点,过P 点作O 的两条切线,切点分别为A ,B .过PA 的中点Q 作割线交O 于C ,D 两点,若1QC =,3CD =,则PB = .16.（选修4—4：坐标系与参数方程）已知曲线1C的参数方程是x y ⎧=⎪⎨⎪⎩（t 为参数）.以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线2C 的极坐标方程是=2ρ.则1C 与2C 交点的直角坐标为 .三、解答题：本大题共5小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分11分）某实验室一天的温度（单位：℃）随时间t （单位：h ）的变化近似满足函数关系：ππ()10sin ,[0,24).1212f t t t t =-∈（Ⅰ）求实验室这一天的最大温差；（Ⅱ）若要求实验室温度不高于11℃,则在哪段时间实验室需要降温？18.（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 满足：12a =,且1a ,2a ,5a 成等比数列. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）记n S 为数列{}n a 的前n 项和,是否存在正整数n ,使得60800n S n +＞？若存在,求n 的最小值；若不存在,说明理由.19.（本小题满分12分）如图,在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中,E ,F ,M ,N 分别是棱AB ,AD ,11A B ,11A D 的中点,点P ,Q 分别在棱1DD ,1BB 上移动,且(02)DP BQ λλ==＜＜.（Ⅰ）当1λ=时,证明：直线1BC ∥平面EFPQ ；（Ⅱ）是否存在λ,使面EFPQ 与面PQMN 所成的二面角为直二面角？若存在,求出λ的值；若不存在,说明理由.20.（本小题满分12分）计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站.过去50年的水文资料显示,水库年．入流量．．．X (年入流量：一年内上游来水与库区降水之和.单位：亿立方米）都在40以上.其中,不足80的年份有10年,不低于80且不超过120的年份有35年,超过120的年份有5年.将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率,并假设各年的年入流量相互独立.（Ⅰ）求未来4年中,至多．．有1年的年入流量超过120的概率； （Ⅱ）水电站希望安装的发电机尽可能运行,但每年发电机最多可运行台数受年入流量若某台发电机运行,则该台年利润为5 000 万元；若某台发电机未运行,则该台年亏损800 万元.欲使水电站年总利润的均值达到最大,应安装发电机多少台？21.（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中,点M 到点(1,0)F 的距离比它到y 轴的距离多1.记点M 的轨迹为C .（Ⅰ）求轨迹C 的方程；（Ⅱ）设斜率为k 的直线l 过定点(2,1)P -.求直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k 的相应取值范围.22.（本小题满分14分）π为圆周率,e 2.71828=为自然对数的底数.（Ⅰ）求函数ln ()xf x x=的单调区间； （Ⅱ）求3e ,e 3,πe ,e π,π3,3π这6个数中的最大数与最小数；（Ⅲ）将3e ,e 3,πe ,e π,π3,3π这6个数按从小到大的顺序排列,并证明你的结论.A B=∅，由韦恩图知，一定C使得A⊆A B=∅”的充要条件【提示】通过集合的包含关系，以及充分条件和必要条件的判断，推出结果【考点】充要条件，集合的包含关系判断及应用【解析】作出散点图如下：424xx x dx=上的正交函数的组数是111117因此，根据奇函数的图象关于原点对称作出函数2x a ≥在R 上的大致图象如下，3±【解析】因为=(3+,3a b λλ+，(3,3+a b λλ-=()()a b a b λλ+⊥-. ()()a b a b λλ+-(3+)(3)(3)(3+)0λλλλ--==+，解得【提示】给出a ，b 的坐标，求解含λ的两向量垂直时λ的值1(1QC QD =⨯(2,1,0)E .所以(2,0,2)BC =-，(1,0,FP =-，(1,1,0)FE =1=时，(1,0,1)FP =-因为1(2,0,2)BC =-，所以12BC FP =，即BC （Ⅱ）设平面EFPQ 的一个法向量(,,)n x y z =00FE n FP n ⎧=⎪⎨=⎪⎩可得，于是取(,,1)n λλ=-同理可得平面MNPQ 的一个法向量为(2,2m λ=-存在λ，使(2,2,1)(,,1)0m n λλλλ=---=，2)(2)10λλλ---+=，解得1λ=±2求出2BC FP =，可得11),2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭1,02⎡⎫⎫-⎬⎪⎢⎭⎭⎣时，故此时直线10,2⎫⎛⎫⎪⎪⎭⎝⎭时，故此时直线0① 的方程得1x =， 1)②1③11),2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭与轨迹C 恰有一个公共点0∆>⎧1,02⎡⎫⎫-⎬⎪⎢⎭⎭⎣时，故此时直线，由②③解得10,2⎫⎛⎫⎪⎪⎭⎝⎭时，直恰有三个公共点11),2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭1,02⎡⎫⎫-⎬⎪⎢⎭⎭⎣时，故此时直线10,2⎫⎛⎫⎪⎪⎭⎝⎭时，故此时直线设出M 点的坐标，（Ⅱ）设出直线l 的方程为单调增、减区间. （Ⅱ）由e 3π<<，得e l n 3e l n π<，πlne<πln3，即e e <ln3ln π，ππ<lne ln3.再根据函数ln y x =、e x y =、x y =π在定义域上单调递增，可得e e 33<π<π，3e e 3ππ<<，从而六个数的最大数在3π与π3之中，最小数在e 3与3e 之中.由e 3<<π及（Ⅰ）的结论得()(3)(e)f f f π<<，即ln ln3ln eπ<<，由此进而得到结论.。
湖北省武昌区2014届高三1月调考理综试卷扫描版答案
武昌区2014届高三年级元月调研考试理科综合试卷评分标准一、选择题：本大题共13小题，每小题6分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
二、选择题：本大题共8小题，每小题6分，在每小题给出的四个选项中，有的只有一项符合题目要求，有的有多项符合题目要求。
全部选对的得6分，选对但不全的得3分，有22．(1)(2)AC （2分）(3)2122))((21))((21t D m M t D m M mgx ∆+-∆+= （3分） 23．（1）D （1分）；E （1分） （5）图线如图 （1分） （6）4.5 （2分） 9000（.0） （2分）；21000（.0） （2分）24．（14分）（1）取沿杆向上为正方向，由图象可知：在0~2 s 内：m/s 151011=-=t v v a （方向沿杆向上） ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（2分） 在2~5 s 内：m/s 102122-=-=t v v a （“－”表示方向沿杆向下）．．．．．．．．．．．（2分） （2）有风力时的上升过程，由受力分析和牛顿第二定律有：1sin )sin cos (cos ma mg F mg F =-+-θθθμθ ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．①（3分） 停风后的上升阶段，有：2sin cos ma mg mg =--θθμ ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．②（3分） 由②解得： μ = 0.5 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（2分） 代入①得： F = 50 N ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（2分）25．（18分）（1）（1）由Rv m qBv 200=得m qBa v =0．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（3分） （2）这些粒子中，从O 沿+y 轴方向射入磁场的粒子，从O 到C 耗时最长由0v s t =得 qBm v a t ππ==0max ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（4分） （3）这些粒子经过①区域偏转后方向都变成与 +x 轴平行；1K Ω 4 61081214接着匀速直线进入②区域，经过②区域偏转又都通过C 点；从C 点进入③区域，经过③区域偏转，离开③区域时，所有粒子都变成与－y 轴平行（即垂直进入电场）．．．．．．．．（2分） 对于从x = 2a 进入电场的粒子，在－x 方向的分运动有： 21212t mEq a ⨯⨯= 解得 Eq am t 41=．．．．．．．．．．．．（2分） 则该粒子运动到y 轴上的坐标为Emaq Ba a t v a y 4101--=--=．．．．（2分） 对于从x = 3a 进入电场的粒子，在－x 方向的分运动有： 22213t mEq a ⨯⨯= 解得 Eqam t 62=．．．．．．．．（2分） 则该粒子运动到y 轴上的坐标为Em aq Baa t v a y 6202--=--=．．．．．．．．．．．．．．．（2分） 这群粒子运动到y 轴上的区间为Emaq Ba a y Em aq Ba a 46--≤≤--．．．．．．．．．．．（1分） 26.（15分）（1）Mg 2B 2O 5·H 2O ＋2NaOH === 2NaBO 2＋2Mg(OH)2↓（2分）（2）2Na +＋4BO 2－＋2CO 2＋11H 2O === Na 2B 4O 7·10H 2O↓＋2HCO 3－（2分）（3）c (Na ＋) = c (CO 32－) + c (HCO 3－) + c (H 2CO 3) （2分）（4）利用强酸制备弱酸H 3BO 3 （1分）（5）①淀粉溶液（1分） 溶液由蓝色恰好变为无色（1分）②79.2%（2分）（6）NaBO 3·H 2O （1分）解题过程 （3分） 解：T 3时 n (Na)=molg ×g /23℅230.20= 0.2 mol （1分） 则30.80 g 样品中，依n (Na)∶ n (B)∶n (H)∶n (O)＝l ∶1∶n ∶7可得0.2 mol × 23 g/mol + 0.2 mol × 11 g/mol + 0.2n × 1g/mol + 7 × 0.2 mol × 16 g/mol = 30.80 g 解得n = 8故原晶体为NaBO 3·4H 2O （1分）设T 3时晶体的化学式为NaBO 3·m H 2O则由T 3时晶体中钠元素的质量分数可得m1848112323+++ × 100% = 23%解得m = 1所以T 3时晶体的化学式为NaBO 3·H 2O （1分） 27.（14分）（1）加热（2分） （2）①1.33或34（2分，若书写单位且正确得2分，单位错误不得分） ②C 、D （2分） （3）①B 、D （2分）②CH 3OCH 3－12e －＋16OH －=== 2CO 32－＋11H 2O （2分） ③C （2分） （4）CH 3OCH 3(g)＋3O 2(g) === 2CO 2(g)＋3H 2O(l) ΔH =－1454.98 kJ/mol （2分） 28．（14分）（1）减少副产物乙醚生成（1分）（2）b 中长直玻璃管内有一段液柱上升（1分）过度冷却，产品1 , 2－二溴乙烷在装置d 中凝固（1分） 防止倒吸（1分） （3）吸收乙烯气体中含有的CO 2、SO 2等酸性气体（2分）（4）①浓硫酸将部分乙醇氧化 ②发生副反应生成乙醚 ③乙醇挥发④乙烯流速过快，未完全发生加成反应（2分）（5）乙醚（2分） D （2分）（6）液封Br 2及1 , 2－二溴乙烷（2分） 29．（11分）（1）排除原有气体对实验结果的干扰（1分） CO 2浓度逐渐降低（1分） C 3（1分） （2）将NaHCO 3溶液换成等量的1%NaOH 溶液，其他条件同该装置（2分）至少再设置两组NaHCO 3溶液浓度不同的该装置，其他条件同该装置（2分） （3）植物光合作用速率达到最大时的最小光照强度（光饱和点）（2分）光照强度大于或等于c 时的真正（或总、实际）光合作用速率（2分）30．（10分）（1）胰岛素（1分） 葡萄糖载体（1分）ATP （1分） 胰岛素受体（的数目）（1分）（2）核糖体、内质网、高尔基体（2分） 胰高血糖素（肾上腺素）（1分） （3）Ⅰ型（1分） 自身免疫（1分） Ⅱ型（1分）31．（8分）（1）黑色（1分） 白色（1分） C a C d ×C a C d （1分） （2）（均为）白色（1分）（3）C a ＞C c ＞C b ＞C d （2分） （4）10（1分） 3（1分） 32．（10分）甲状腺分泌甲状腺激素（2分）（2）①促甲状腺激素释放激素（2分） ②甲状腺（1分） ③等量且适宜浓度的促甲状腺激素溶液（1分）（3）下降（1分） 下降（1分 上升（1分） 下降（1分） 33．【物理——选修3－3】（15分） （1）ACD (6分) （2）（i ）设起始状态气缸内气体压强为p 1，当活塞缓慢拉至气缸顶端，设气缸内气体压强为p 2由玻意耳定律得： LS p lS p 21= ………………………………………（2分）在起始状态对活塞由受力平衡得：S p mg S p 01+= …………………（1分） 对活塞由受力平衡得：S p mg S p F 02+=+ ………………………………（1分）解得 F = 110N …………………………………………（1分） （ii ）由盖-吕萨克定律得：T LS T lS '=…………………………………………（2分） 其中：K 300=T K )273(t T '+='解得 t '≈ 60.3℃ ……………………………………………………………（2分）34．【物理——选修3－4】（15分） （1）ABD (6分) （2）（i ）作出光路图，光线在AC 面上的入射角为60°，折射角为30°，则折射率330sin 60sin 00==n ……………………………………………（3分）（ii ）作出光束经BC 面反射后的光路图，因为发生全反射的临界角为2131sin >=C ，即C >30°，所以光线在在F 点发生全反射，在E 、H 点不能发生全反射。
2014届湖北省武昌区高三元月调研考试理科数学试题(含答案详解)扫描版
武昌区2014届高三年级元月调研考试 理科数学试题参考答案及评分细则一、选择题：1．C 2．B 3．B 4．A 5．D 6.D 7．A 8．C 9．B 10．B 二、填空题：11．480 12．2517（或0．68） 13．1(,1)2- 14．（Ⅰ）16；（Ⅱ）()211++n n 15．（Ⅰ）120；（Ⅱ）80 三、解答题： 16．（本小题满分12分）解：21cos 2B B =-，所以 2cos 2sin B B B =．因为 0B <<π， 所以 sin 0B >，从而 tan B =所以π3B =．…………………………………………………………………（6分） （Ⅱ）因为 4A π=，π3B =，根据正弦定理得 sin sin AC BC B A =，所以sin sin BC BAC A⋅==因为512C A B π=π--=，所以 5sin sin sin()12464C πππ==+=．所以△ABC 的面积13sin 22S AC BC C +=⋅=．……… ………………（12分） 17．（本小题满分12分）解：(Ⅰ) 因为11=a ，且521,,a a a 依次成等比数列，所以5122a a a ⋅=，即()()d d 41112+⋅=+，所以022=-d d ，解得2=d （0=d 不合要求，舍去）. 所以()12121-=-+=n n a n .因为121-=+n n b b ，所以112(1).n n b b +-=-所以{}1n b -是首项为=-11b 2，公比为2的等比数列． 所以11222.n n n b --=⋅=xyz所以2 1.nn b =+ ……………………………………………………………（6分） （Ⅱ）22211.(21)(21)2121n n a a n n n n +==-⋅-+-+∴1211)121121()5131()3111(+-=+--++-+-=n n n S n 于是1111122(1)11.21212121(21)(21)nn n n nn n S b n n n ---=--+=-=++++++ 所以，当1,2n =时，22nn =，n S =11nb -； 当3n ≥时，22nn <，n S <11nb -．………………………………………（12分） 18．（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）方法一：A A ⋅+=⋅)(110)(=+⋅=⋅=BE AB BC AE BC ，AE C A ⊥∴1；AF DC D A AF C A ⋅+=⋅)(110)(=+⋅=⋅=，AF C A ⊥∴1.⊥∴C A 1平面AEF . …………………………（6分）方法二：⊥BC 平面11A ABB ，⊂AE 平面11A ABB ，∴AE BC ⊥．又∵B A AE 1⊥，∴⊥AE 平面BC A 1． ∵⊂C A 1平面BC A 1，∴C A AE 1⊥．同理可证C A AF 1⊥． ∵A AF AE = ，∴⊥C A 1平面AEF ． …………………………………（6分）（Ⅱ）如图，以为AB 为x 轴，AD 为y 轴，1AA 为z 轴，建立空间直角坐标系， 因为4=AB ，3=AD ，51=AA ，得到下列坐标：)0,0,0(A ，)0,0,4(B ，)0,3,4(C ,)0,3,0(D ，)5,0,0(1A ，)5,0,4(1B ，)5,3,4(1C )5,3,0(1D ．由（Ⅰ）知，)5,3,4(1-=A 是平面AEF 的一个法向量. 设平面BD B D 11的法向量为()0,,y x =，则011=⋅D B .)0,3,4(11-=D B ，034=+-∴y x .令3=x ，4=y ，则()0,4,3=a ． ∴25212)5(34043)5(03443||||,cos 22222211=-++⨯++-⨯+⨯+⨯=⋅>=<C A a AC a ． ∴25337)25212(1sin 2=-=θ. ∴平面AEF 和平面BD B D 11所成的角的正弦值为25437．………………（12分） 19．（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）数学合格的概率约为4032841005++=．物理合格的概率约为4029631004++=．…………………………………………（4分）（Ⅱ）（ⅰ）随机变量X 的所有取值为9，4．5，3，-1．5．()5343549=⨯==X P ； ()20343515.4=⨯==X P ； ()5141543=⨯==X P ； ()20141515.1=⨯=-=X P ． 所以，随机变量X 的分布列为:X9 5.4 3 5.1- P35 320 15 120 6.6201)5.1(5132035.4539=⨯-+⨯+⨯+⨯=EX ．…………………………（9分）（ⅱ）抽查5位同学物理分数，合格n 人，则不合格有5n -人，总学分为56)5(5-=--n n n 个． 依题意，得14)5(5≥--n n ，解得619≥n ．所以4n =或5n =．设“抽查5位同学物理分数所获得的学分不少于14分”为事件A ，则445531381()C ()()444128P A =⨯+=．……………………………………（12分） 20．（本题满分13分） 解：（Ⅰ）设)0,(c F ，则22=a c ，知c a 2=. 过点F 且与x 轴垂直的直线方程为c x =，代入椭圆方程，有1)(2222=+-b y a c ，解得b y 22±=.于是22=b ，解得1=b .又222b c a =-，从而1,2==c a .所以椭圆C 的方程为1222=+y x ． …………………………………………（4分）（Ⅱ）设),(11y x A ，),(22y x B .由题意可设直线AB 的方程为2y kx =+.由⎪⎩⎪⎨⎧=++=,12,222y x kx y 消去y 并整理，得()2221860k x kx +++=. 由0)12(24)8(22>+-=∆k k ，得232>k . 由韦达定理，得126,128221221+=+-=+k x x k k x x . 点O 到直线AB 的距离为212k d +=，AB =， 22221221)12()32(84)(||21+-=-+==∴∆k k x x x x d AB S AOB. 设223t k =-，由232>k ，知0t >. 于是8168)4(82++=+=∆tt t t S AOB .由816≥+t t ，得22≤∆AOB S .当且仅当274,2t k ==时等号成立. 所以△B O A 面积的最大值为22.…………………………………………（8分）（Ⅲ）假设存在直线l 交椭圆于P ，Q 两点，且F 为△PQN 的垂心. 设),(11y x P ，),,(22y x Q 因为)1,0(N ，)0,1(F ，所以1-=NF k . 由PQ NF ⊥，知1=PQ k ．设直线l 的方程为m x y +=，由⎩⎨⎧=++=,22,22y x m x y 得0224322=-++m mx x ． 由0>∆，得32<m ，且3421mx x -=+,322221-=m x x ．由题意，有0=⋅FQ NP .因为),1(),1,(2211y x FQ y x NP -=-=，所以0)1()1(1221=-+-y y x x ，即0)1)(()1(1221=-+++-m x m x x x ， 所以0)1)((222121=-+-++m m m x x x x ．于是0)1(34322222=-+---⨯m m m m m ．解得34-=m 或1=m ． 经检验，当1=m 时，△PQN 不存在，故舍去1=m ． 当34-=m 时，所求直线l 存在，且直线l 的方程为34-=x y ．……………（13分） 21．（本题满分14分）解：（Ⅰ）()f x 的定义域为()+∞-,a ，ax a x a x x f +-+-=-+='111)(． 由0)(='x f ，得a a x ->-=1. 当a x a -<<-1时，()0/>x f；当a x ->1时，()0/<x f ．所以，)(x f 在a x -=1处取得最大值．由题意知()011=+-=-a a f ，所以1=a ．…………………………………（4分） （Ⅱ）（1）当0≥k 时，由012ln )1(<-=f ，知0≥k 不合题意. （2）当0<k 时，设()()22)1ln(kx x x kx x f x g --+=-=.则1)122(2111)(+++-=+-+='x k kx x kx x x g . 令0)(='x g ，得01=x ，12112122->--=+-=kk k x .①当21-≤k 时，02122≤+-=kk x ，0)(>'x g 在),0(+∞∈x 上恒成立，因此)(x g 在),0[+∞上单调递增，从而总有0)0()(=≥g x g ， 即2)(kx x f ≥在),0[+∞上恒成立.②当021<<-k 时，02122>+-=k k x ，对于)212,0(kk x +-∈，0)(<'x g ， 因此)(x g 在)212,0(kk +-上单调递减.因此，当取)212,0(0kk x +-∈时，0)0()(0=<g x g ，即200)(kx x f ≥不成立.故021<<-k 不合题意.综上，k 的最大值为21-. ……………………………………………………（8分）（Ⅲ）由（Ⅱ）得：221)1ln(x x x -≥-+对任意的[0,+)x ∈∞恒成立.即221)1ln(x x x ≤+-对任意的[0,+)x ∈∞恒成立.取122-=i x （),,3,2,1n i =，则2)12(2)1122ln(122-≤+---i i i ， 即2)12(2)]12ln()12[ln(122-≤--+--i i i i . 当1=n 时，23ln 2<-，不等式成立；当2≥n 时，)12ln(122)]12ln()12ln(122[11+--=-++--∑∑==n i i i i ni ni . 因为121321)12)(32(2)12(22---=--<-i i i i i ，所以)121321(3ln 2)12ln(12221---+-<+--∑∑==i i n i ni ni 212113ln 2<--+-=n . 综上，()212ln 1221<+--∑=n i ni ． ………………………………………（14分）。
2014年湖北省八市高三年级三月联考理数试卷和答案
理科数学试题第1页 （共4页）侧视图俯视图正视图1122014年湖北省八市高三年级三月联考理科数学试题本试卷共4页,全卷满分150分，考试时间120分钟★ 祝考试顺利 ★注意事项：1. 考生在答题前，请务必将自己的姓名、准考证号等信息填在答题卡上.2. 选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，答在试卷上无效.3. 填空题和解答题用0.5毫米黑色墨水签字笔答在答题卡上每题对应的答题区域内．答在试题卷上无效.一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1. 复数321i i -（i 为虚数单位）的虚部是A ． 15iB ．15C ．15i -D ．15-2．设全集U R =，{}(2)21x x A x -=<,B {})1ln(x y x -==，则右图中阴影部分表示的集合为 A ．{|1}x x ≥ B ．{|1}x x ≤ C ．{|01}x x <≤ D ．{|12}x x <≤3. 等比数列{}n a 的各项均为正数，且564718a a a a +=，则3132l o g l o g a a ++…310log a +=A ．12B ．10C ．8D ．32log 5+4．若π6x =是()cos f x x x ωω=+的图象的一条对称轴，则ω可以是 A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 5．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是A ．π+332 B ．π2332+ 第2题图理科数学试题第2页 （共4页）C ．π232+D ． π+326．我国第一艘航母“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中，有5架舰载机准备着舰．如果甲乙2机必须相邻着舰，而丙丁不能相邻着舰，那么不同的着舰方法有( )种 A ．12 B ．18 C ．24 D ．487．已知3(,)|32y M x y x -⎧⎫==⎨⎬-⎩⎭，{}(,)|20N x y ax y a =++=且M N φ= ，则a =A ．-6或-2B ．-6C ．2或-6D ．-28. 某工厂产生的废气经过过滤后排放，排放时污染物的含量不得超过1%.已知在过滤过程中废气中的污染物数量P （单位：毫克/升）与过滤时间t （单位：小时）之间的函数关系为：P kte p -=0（k,0p 均为正的常数）.若在前5个小时的过滤过程中污染物被排除了90%.那么，至少还需（ ）时间过滤才可以排放. A ．21小时 B ．95小时 C ．5小时 D ．10小时 9．已知抛物线22(0)y px p =>的焦点F 恰好是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的右焦点，且两条曲线的交点的连线过点F ，则该双曲线的离心率为A ．12+B ．2C ．2D ．12- 10．实数(1,2,3,4,5,6)i a i =满足222222132435465()()()()()1a a a a a a a a a a -+-+-+-+-=则5614()()a a a a +-+的最大值为A ．3B ．22C ．6D ．1二、填空题(本大题共6小题，考生共需作答5小题.每小题5分，共25分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上.答错位置，书写不清，模棱两可均不得分.) （一）必考题（11-14题）11．已知()π0sin cos a t t dt =⎰+,则61()x ax-的 展开式中的常数项为 ▲ ．12．按照如图程序运行，则输出K 的值是 ▲ ．理科数学试题第3页 （共4页）13．欧阳修《卖油翁》中写到：（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿． 已知铜钱是直径为4cm 的圆面，中间有边长为1cm 的正方形孔，若随机向铜钱上滴一滴油（油滴整体．．．．落在．．铜钱．．内．）， 则油滴整体（油滴是直径为0.2cm 的球） 正好落入孔中的概率是 ▲ (不作近似计算) ． 第12题图14. 如图,已知2OA =,1OB = ,AOB ∠为锐角,OM 平分AOB ∠,点N 为线段AB 的中点,OP xOA yOB =+,若点P 在阴影部分(含边界)内,则在下列给出的关于x 、y 的式子中，满足题设条件的为 ▲ (写出所有正确式子的序号).①0,0;x y ≥≥ ②0;x y -≥ ③0;x y -≤ ④20;x y -≥ ⑤20.x y -≥（二）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B 铅笔涂黑. 如果全选，则按第15题作答结果计分.） 15．(选修4-1：几何证明选讲）如图，如图，A ，B 是圆O 上的两点，且OA ⊥OB ，OA =2，C 为OA 的中点，连接BC 并延长交圆O 于点D ，则CD= ▲ . 16．（选修4-4：坐标系与参数方程）已知直线()142x tt R y t=+⎧∈⎨=-⎩与圆()2cos 2[0,2]2sin x y θθπθ=+⎧∈⎨=⎩相交于AB ,则以AB 为直径的圆的面积为 ▲ ．三、解答题(本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17．（本小题满分12分）已知函数2()2sin cos cos sin sin (0π)2f x x x x ϕϕϕ=+-<<在πx =处取最小值. （I ）求ϕ的值；（II ）在△ABC 中，a 、b 、c 分别是A 、B 、C 的对边，已知a =1,b =2，()f A =, 求角C ．第14题图第15题图理科数学试题第4页 （共4页）18. （本小题满分12分） 已知各项均不相等的等差数列{}n a 的前四项和S 4＝14，且a 1，a 3，a 7成等比数列．(I)求数列{}n a 的通项公式；(II)设n T 为数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和，若1n n T a λ+≤对n N *∀∈恒成立，求实数λ的最小值．19. （本小题满分12分）如图甲，△ABC 是边长为6的等边三角形，E 、D 分别为AB 、AC 靠近B 、C 的三等分点，点G 为BC 边的中点.线段AG 交线段ED 于F 点，将△AED 沿ED 翻折，使平面AED ⊥平面BCDE ，连接AB 、AC 、AG 形成如图乙所示的几何体.（I ）求证BC ⊥平面AFG ； （II ）求二面角B AE D --的余弦值.20. （本小题满分12分）甲乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止.设甲在每局中获胜的概率为23，乙在每局中获胜的概率为13，且各局胜负相互独立，比赛停止时一共已打ξ局.（I ）列出随机变量ξ的分布列； （II ）求ξ的期望值E ξ.21．（本小题满分13分）已知⊙6:22=+y x O ,P 为⊙O 上动点，过P 作PM x ⊥轴于M ,N 为PM上一点,且PM. （Ⅰ）求点N 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）若(2,1)A ,(3,0)B ,过B 的直线与曲线C 相交于D 、E 两点,则AE AD k k +是否为定值?若是,求出该值；若不是，说明理由.22. (本小题满分14分)定义在R 上的函数()g x 及二次函数()h x 满足:图乙图甲F E D C A F ED B A 第19题图理科数学试题第5页 （共4页）2()2()9x xg x g x e e +-=+-,(2)(0)1h h -==且(3)2h -=-. (Ⅰ)求()g x 和()h x 的解析式； (Ⅱ)对于[]1,1,21-∈x x ,均有11222()5()()h x ax g x x g x ++-≥成立,求a 的取值范围；(Ⅲ)设()()(),0(),(),0g x x f x h x x ⎧>⎪=⎨⎪⎩≤在(Ⅱ)的条件下,讨论方程[]()5f f x a =+的解的个数情况.2014年湖北省八市高三年级三月联考理科数学参考答案及评分标准一、选择题(每小题5分，共50分) BDBCD CACAB10.【解析】()()()()()[]()14111256245234223212++++-+-+-+-+-a a a a a a a a a a()()()()()2213243546511121a a a a a a a a a a ⎡-⨯+-⨯+-⨯+-⨯+-⨯⎤⎣⎦≥ ()()[]24156a a a a +-+= ()()6514a a a a ∴+-+≤二、填空题(每小题5分，共25分) 11. 25-12.3 13. 64361π 14. ①③⑤ 15. 553 16. 16π514.【解析】当点P 在射线OM 上时,()2OA OB OP OA OB OA OBλλλ=+=+,,2λλ==∴y x 则.2x y =当点P 在射线ON 上时,()OP OA OB λ=+,.0=-∴y x 故应选 ① ③ ⑤ .=x x x x sin sin cos cos sin sin -++ϕϕ=)sin(ϕ+x ………………………………3分理科数学试题第6页 （共4页）因为)(x f 在πx =处取得最小值，所以1)sin(-=+ϕx ，故1s i n =ϕ，又0πϕ<<18.（Ⅱ）1(1)(2)12n n a a n n n n +==-++++， 11112334n T ∴=-+-+…1112n n +-=++分 1n n T a λ+ ≤对n N *∀∈恒成立，即22(2)n n λ+≤(+)对n N *∀∈恒成立又211142(2)2(44)162(4)n n n ==++++≤ ∴λ分19．(Ⅰ) 在图甲中，由△ABC 是等边三角形，E ，D 分别为AB ，AC 的三等分点，点G 为BC 边的中点，易知DE ⊥AF ，DE ⊥GF ，DE //BC ．……………………………… 2分 在图乙中，因为DE ⊥AF ，DE ⊥GF ，AF FG =F ，所以DE ⊥平面AFG ．又DE //BC ，所以BC ⊥平面AFG ．…………………………………………………… 4分 (Ⅱ) 因为平面AED ⊥平面BCDE ，平面AED 平面BCDE =DE ，DE ⊥AF ，DE ⊥GF ，所以FA ，FD ，FG 两两垂直．以点F 为坐标原点，分别以FG ，FD ，FA 所在的直线为z y x ,,轴，建立如图所示的空间直角坐标系xyz F -．则)32,0,0(A ，)0,3,3(-B ，)0,2,0(-E ，所以)32,3,3(--=，,1,3(-=0)．…………………………………… 6分理科数学试题第7页 （共4页）设平面ABE 的一个法向量为),,(z y x n =．则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00BE n AB n ，即⎪⎩⎪⎨⎧=+-=--0303233y x z y x ，取1=x ，则3=y ，1-=z ，则)1,3,1(-=．……………………………… 8分 显然)0,0,1(=为平面ADE 的一个法向量， 所以55,cos =>=<n m ．………………………………………………10分 二面角D AE B --为钝角，所以二面角D AE B --的余弦值为55-．………12分 20.解法1：（Ⅰ）依题意知，ξ的所有可能值为2，4，6.设每两局比赛为一轮，则该轮结束时比赛停止的概率为(32)2＋(31)2＝95. ………4分 若该轮结束时比赛还将继续，则甲、乙在该轮中必是各得一分，此时，该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响.从在则有254520416(2),(4),(6)()99981981P P P ξξξ====⋅====，……………………………7分∴ξ的分布列为分（Ⅱ）E ξ＝2×95分 解法2：（Ⅰ）依题意知，ξ的所有可能值为2，4，6.令A k 表示甲在第k 局比赛中获胜，则A k 表示乙在第k 局比赛中获胜. 由独立性与互斥性得(2)P ξ=＝P (A 1A 2)＋P (1A 2A )＝95， …………………………………………2分 (4)P ξ=＝P (4321A A A A )＋P (4321A A A A )＋P (4321A A A A )＋P (4321A A A A )理科数学试题第8页 （共4页）＝2[(32)3(31)＋(31)3(32)]＝8120， …………………………………………4分 (6)P ξ=＝P (4321A A A A )＋P (4321A A A A )＋P (4321A A A A )＋P (4321A A A A )＝4(32)2(31)2＝8116， …………………………………………7分 ∴ξ的分布列为（Ⅱ）E ξ＝2×9521. (Ⅰ)设()y x N ,,()00,y x P ,则()0,0x M ,()00,PM y = ,()0,NM x x y =--由PM ,得()⎪⎩⎪⎨⎧-=--=yy x x 22000,⎪⎩⎪⎨⎧==∴yy xx 200………………………………………3分由于点P 在圆6:22=+y x O 上,则有()6222=+y x ,即13622=+y x .∴点N 的轨迹C 的方程为13622=+y x .…………………………………………………………6分 (Ⅱ) 设()11,y x D ,()22,y x E ,过点B 的直线DE 的方程为()3-=x k y ,由()⎪⎩⎪⎨⎧=+-=136322y x x k y 消去y 得: ()061812122222=-+-+k x k x k ,其中0>∆ 12618,121222212221+-=+=+∴k k x x k k x x ;…………………………………………………………8分()()213213212122112211-+-+-+-=--+--=+∴x k kx x k kx x y x y k k AE AD理科数学试题第9页 （共4页）()()()4212415221212121++-++++-=x x x x k x x k x kx ……………………………………………10分()4121221261812412121512618222222222++⋅-+-+++⋅+-+-⋅=k k k k k k k k k k k 2224422-=-+-=k k AE AD k k +∴是定值2-.………………………………………………………………………………13分22. (Ⅰ) 92)(2)(-+=-+x xee x g x g ,① ,92)(2)(-+=+---x x e e x g x g 即,912)(2)(-+=+-xxee x g x g ② 由①②联立解得: 3)(-=xe x g . ………………………………………………………………2分)(x h 是二次函数, 且1)0()2(==-h h ,可设()12)(++=x ax x h ,由2)3(-=-h ,解得1-=a .()1212)(2+--=++-=∴x x x x x h,3)(-=∴x e x g 12)(2+--=x x x h .………………………………………………………………4分(Ⅱ)设()625)()(2+-+-=++=x a x ax x h x ϕ,()()33133)(-+-=---=x e x e x e x F x x x ,依题意知:当11x -≤≤时, min max ()()x F x φ≥()()()1333x x x F x e x e xe '=-+--+=-+ ,在[]1,1-上单调递减,min ()(1)30F x F e ''∴==-> ………………………………………………………………6分)(x F ∴在[]1,1-上单调递增, ()01)(m ax ==∴F x F理科数学试题第10页 （共4页）()()170,130a a φφ⎧-=-⎪∴⎨=+⎪⎩≥≥解得:37a -≤≤ ∴实数a 的取值范围为[]7,3-.……………………………9分(Ⅲ)设5+=a t ,由(Ⅱ)知, 212t ≤≤)(x f 的图象如图所示:设T x f =)(,则t T f =)(当2=t ,即3-=a 时, 5ln ,121=-=T T ,1)(-=x f 有两个解, 5ln )(=x f 有3个解;当322-<<e t ,即832-<<-e a 时, ()ln 3T t =+且ln52T <<,()f x T =有3个解; ……………………………………………………………………………………………………………11分 当32-=e t ,即82-=e a 时, 2=T ,T x f =)(有2个解;当2312e t -<≤,即287e a -<≤时, ()23ln >+=t T ,T x f =)(有1个解. ……13分 综上所述:当3-=a 时,方程有5个解; 当832-<<-e a 时,方程有3个解; 当82-=e a 时,方程有2个解;当287e a -<≤时,方程有1个解. …………………………………………………………………14分命题人：荆门市教研室 方延伟 荆门市钟祥一中 范德宪 潘丽梅 仙桃市教研室 曹时武 仙桃中学 熊 纵 鄂州市教研室 林春保 鄂州市四中 廖洪武潜江市教研室刘怀亮理科数学试题第11页（共4页）。
2014学年高考理科数学年湖北卷答案
34i，即求出值【解析】作出可行域，如图：【解析】由弦切角定理得FBD EACBAE ，又AF BD AB BF =，排除A 、C. DBC ，排除B 、故选D.本题利用角与弧的关系，得到角相等，，所以||||cos1202AB AD AB AD =︒=-，所以AE AB AD λ=+，AF AB AD μ=+.因为1AE AF =，所以()()1AB AD AB AD λμ++=，即2λ2-②，①+②得5λμ+=，故选C. 【提示】利用两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，两个向量的数量积的定义求得2120ππ4π2233+=m 【考点】空间立体图形三视图、体积.结合图象可知01a <<或9a >.][),4∞+，所以][)9,∞+.结合图象可得01a <<或9a >.1sin 2x x ⎛+ ⎝3cos 2x x -43π3x 的范围，再利用正弦函数的性质求出再已【考点】三角函数中的恒等变换应用，三角函数的周期性及其求法1203373734960C C C C +=. 3463k k C C -(k =3463k kC C -(k =(0,0,2)P.由E为棱PC的中点，得(1,1,1)E.证明：向量(0,1,1)BE=，(2,0,0)DC=，故0BE DC=.所以，）向量(1,2,0)BD=-，(1,0,PB=设(,,)n x y z=0,0,n BDn PB⎧=⎪⎨=⎪⎩即-⎧，可得(2,1,1)n=为平面的一个法向量,||||6n BEn BEn BE==⨯与平面PBD3）向量(1,2,0)BC=，(2,CP=-，(2,2,0)AC=，(1,0,0)AB=由点F在棱PC上，设CF CPλ=，0≤故()1,2BF BC CF BC CPλλλ=+=+=-.，得0BF AC=，因此，2(1即12BF⎛=-设(1,n x y=为平面FAB的法向量，则110,0,n ABn BF⎧=⎪⎨=⎪⎩即，可得1(0,n=-FAB的一个法向量的法向量1(0,1,0)n=121212,||||10n nn nn n-==31010.【提示】（1）以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，求出BE ，DC 的方向向量，根据0BE DC =，可得BE DC ⊥；（2）求出平面PBD 的一个法向量，代入向量夹角公式，可得直线BE 与平面PBD 所成角的正弦值； （3）根据BFAC ，求出向量BF 的坐标，进而求出平面F AB 和平面ABP 的法向量，代入向量夹角公式，可得二面角F ABP 的余弦值2，有10(F P x =+，1(,)F B c c =由已知，有110F P F B =，即1.②由①和②可得234x cx +可得1F P ，1F B .利用圆的性质可得11F B F P ⊥，于是110F B F P =，得到040cx =，解得1n n a q -++1n n b q -++1,2,,n 及n a (1n a -++-()1q ++-q。
2014年高考真题——理科数学(湖北卷)解析版(选择、填空题)纯Word版含解析
2014年湖北卷理科A 卷一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1. i 为虚数单位，211i i -⎛⎫= ⎪+⎝⎭( )A ．-1B ．1C ．-iD ．i【解析】()()2221121121i i i i i i ---⎛⎫===- ⎪+⎝⎭+. 【答案】A .2. 若二项式72a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中31x 的系数是84，则实数a =( )A ．2 BC ．1 D【解析】72a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的通项是()777217722kk k k k kk k a T C x a C x x ---+⎛⎫==⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭， 令7-2k =-3得：k =5 ∴31x的系数是2527284a C ⋅⋅=，即a 5=1，∴a =1. 【答案】C .3. 设U 为全集，A ，B 是集合，则“存在集合C 使得A ⊆C ，B ⊆U C ð” 是“A ∩B =∅” 的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】若存在集合C 使得A ⊆C ，B ⊆U C ð，则A ∩B =∅，否则有x ∈A ∩B ， 由A ⊆C ，得x ∈C ，由B ⊆U C ð，得x ∈U C ð，即x C ∉，矛盾；若A ∩B =∅，则取C =A ，有A ⊆C ，B ⊆U C ð，故“存在集合C 使得A ⊆C ，B ⊆U C ð” 是“A ∩B =∅” 的充要条件。
【答案】C .4．得到的回归方程为y =bx+a ，则( )A ．a >0，b >0B ．a >0，b <0C ．a <0，b >0D ．a <0，b <0 【解析】画出散点图知a >0，b <0 【答案】B .5． 在如图所示的空间直角坐标系O -xyz 中，一个四面体的顶点坐标分别是(0，0，2)，(2，2，0)，(1，2，1)，(2，2，2)，给出编号为①、②、③、④的四个图，则该四面体的正视图和府视图分别为( )A ．①和②B ．③和①C ．④和③D ．④和②【解析】设A (0，0，2)，B (2，2，0)，C (1，2，1)，D (2，2，2)， 作出四面体ABCD ，四面体ABCD 的府视图是⊿OBC 1，即图② 正视图是Rt ⊿AEF 和AG ，即图④. 【答案】D .6． 若函数f (x )，g (x )满足()()110f x g x dx -=⎰，则称f (x )，g (x )为区间[-1，1] 上的一组正交函数，给出三组函数：①f (x )=sin 12x ，g (x )=cos 12x ；②f (x )=x +1，g (x )=x -1；③f (x )=x ，g (x )=x 2.其中为区间[-1，1]的正交函数的组数是( )A .0B .1C .2D .3【解析】对于①，()()()11111111022f xg x dx sin xdx cos x ---==-=⎰⎰；对于②，()()()11123111141033f x g x dx x dx x x ---⎛⎫=-=-=-≠ ⎪⎝⎭⎰⎰；对于③，113411104x dx x--==⎰； 【答案】C .7． 由不等式0020x y y x ⎧⎪⎨⎪--⎩≤≥≤确定的平面区域记为Ω1，不等式12x y x y +⎧⎨+-⎩≤≥，确定的平面区域记为Ω2，在Ω1中随机取一点，则该点恰好在Ω2内的概率为( )A ．18B ．14C ．34D ．78【解析】如右图，区域Ω1为⊿AOC 及其内部，面积为12×2×2=2；区域Ω2为直线x +y =1与直线x +y =-2之间的部分，Ω1与Ω2的公共部分是四边形AOBD ，面积为2-12×1×12=74，故所求概率为p =78.【答案】D .8． 《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“盖”的术：置如其周，令相承也.又以高乘之，三十六成一. 该术相当于给出了有圆锥的底面周长L 与高h ，计算其体积V 的近似公式2136V L h ≈. 它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3. 那么近似公式2275V L h ≈. 相当于将圆锥体积公式中的π近似取为( )A ．227 B ．258 C ．15750 D ．355113【解析】∵2221133212L V r h h L h ππππ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，∴由2275V L h ≈得： 22217512L h L h π≈，即258π≈. 【答案】B . 9． 已知F 1、F 2是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是他们的一个公共点，且123F PF π∠=，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为( )ABC ．3D ．2 【解析】设椭圆和双曲线的方程分别为2222111x y a b +=、2222221x y a b -=，|PF 1|=m ，|PF 2|=n .则m +n =2a 1，|m -n |=2a 2，在中由余弦定理，(2c )2=m 2+n 2-2mncos 60°=m 2+n 2-mn∴4c 2=(m +n )2-3mn =2143a mn -，且4c 2=(m -n )2+mn =224a mn +，消去m 、n 得：2221234a a c +=，即2212134e e +=由柯西不等式得：22222121211111613e e e e ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎢⎥++⋅+=⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎢⎥⎝⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦≤可计算得当e 1=3e 2=3时，等号成立。
2014年湖北省高考数学试卷(理科)答案与解析
2014年湖北省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）（2014•湖北）i为虚数单位，（）2=（）A．﹣1 B．1C．﹣i D．i2．（5分）（2014•湖北）若二项式（2x+）7的展开式中的系数是84，则实数a=（）A．2B．C．1D．3．（5分）（2014•湖北）设U为全集，A，B是集合，则“存在集合C使得A⊆C，B⊆∁U C”是“A∩B=∅”的（）A．充分而不必要的条件B．必要而不充分的条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）（2014•湖北）根据如下样本数据，得到回归方程=bx+a，则（）x 3 4 5 6 7 8y 4.0 2.5 ﹣0.5 0.5 ﹣2.0 ﹣3.0A．a＞0，b＞0 B．a＞0，b＜0 C．a＜0，b＞0 D．a＜0，b＜05．（5分）（2014•湖北）在如图所示的空间直角坐标系O﹣xyz中，一个四面体的顶点坐标分别为（0，0，2），（2，2，0），（1，2，1），（2，2，2），给出的编号为①，②，③，④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为（）A．①和②B．③和①C．④和③D．④和②6．（5分）（2014•湖北）若函数f（x），g（x）满足f（x）g（x）dx=0，则f（x），g（x）为区间[﹣1，1]上的一组正交函数，给出三组函数：①f（x）=sin x，g（x）=cos x；②f（x）=x+1，g（x）=x﹣1；③f（x）=x，g（x）=x2，其中为区间[﹣1，1]上的正交函数的组数是（）A．0B．1C．2D．37．（5分）（2014•湖北）由不等式组确定的平面区域记为Ω1，不等式组确定的平面区域记为Ω2，在Ω1中随机取一点，则该点恰好在Ω2内的概率为（）A．B．C．D．8．（5分）（2014•湖北）《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一，该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h，计算其体积V的近似公式V≈L2h，它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3，那么，近似公式V≈L2h相当于将圆锥体积公式中的π近似取为（）A．B．C．D．9．（5分）（2014•湖北）已知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点．且∠F1PF2=，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（）A．B．C．3D．210．（5分）（2014•湖北）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=（|x﹣a2|+|x﹣2a2|﹣3a2），若∀x∈R，f（x﹣1）≤f（x），则实数a的取值范围为（）A．[﹣，]B．[﹣，]C．[﹣，]D．[﹣，]二、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．11．（5分）（2014•湖北）设向量=（3，3），=（1，﹣1），若（+λ）⊥（﹣λ），则实数λ=．12．（5分）（2014•湖北）直线l1：y=x+a和l2：y=x+b将单位圆C：x2+y2=1分成长度相等四段弧，则a2+b2=．13．（5分）（2014•湖北）设a是一个各位数字都不是0且没有重复数字三位数，将组成a的3个数字按从小到大排成的三位数记为I（a），按从大到小排成的三位数记为D（a）（例如a=815，则I（a）=158，D（a）=851），阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，任意输入一个a，输出的结果b=．三、解答题14．（2014•湖北）设f（x）是定义在（0，+∞）上的函数，且f（x）＞0，对任意a＞0，b＞0，若经过点（a，f（a）），（b，﹣f（b））的直线与x轴的交点为（c，0），则称c为关于函数f（x）的平均数，记为M f（a，b），例如，当f（x）=1（x＞0）时，可得M f（a，b）=c=，即M f（a，b）为a，b的算术平均数．（1）当f（x）=（x＞0）时，M f（a，b）为a，b的几何平均数；（2）当f（x）=（x＞0）时，M f（a，b）为a，b的调和平均数；（以上两空各只需写出一个符合要求的函数即可）15．（2014•湖北）如图，P为⊙O外一点，过P点作⊙O的两条切线，切点分别为A，B，过PA的中点Q作割线交⊙O于C，D两点，若QC=1，CD=3，则PB=．16．（2014•湖北）已知曲线C1的参数方程是（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρ=2，则C1与C2交点的直角坐标为．17．（11分）（2014•湖北）某实验室一天的温度（单位：℃）随时间t（单位：h）的变化近似满足函数关系：f（t）=10﹣，t∈[0，24）（Ⅰ）求实验室这一天的最大温差；（Ⅱ）若要求实验室温度不高于11℃，则在哪段时间实验室需要降温？18．（12分）（2014•湖北）已知等差数列{a n}满足：a1=2，且a1，a2，a5成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）记S n为数列{a n}的前n项和，是否存在正整数n，使得S n＞60n+800？若存在，求n的最小值；若不存在，说明理由．19．（12分）（2014•湖北）如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F，M，N分别是棱AB，AD，A1B1，A1D1的中点，点P，Q分别在棱DD1，BB1上移动，且DP=BQ=λ（0＜λ＜2）（Ⅰ）当λ=1时，证明：直线BC1∥平面EFPQ；（Ⅱ）是否存在λ，使面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．20．（12分）（2014•湖北）计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站，过去50年的水文资料显示，水库年入流量X（年入流量：一年内上游来水与库区降水之和．单位：亿立方米）都在40以上，其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年，将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，假设各年的年入流量相互独立．（Ⅰ）求未来4年中，至多有1年的年入流量超过120的概率；（Ⅱ）水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量X限制，并有如下关系：年入流量X 40＜X＜80 80≤X≤120 X＞120发电机最多可运行台数1 2 3若某台发电机运行，则该台年利润为5000万元，若某台发电机未运行，则该台年亏损800万元，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？21．（14分）（2014•湖北）在平面直角坐标系xOy中，点M到点F（1，0）的距离比它到y轴的距离多1，记点M 的轨迹为C．（Ⅰ）求轨迹C的方程；（Ⅱ）设斜率为k的直线l过定点P（﹣2，1），求直线l与轨迹C恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k的相应取值范围．22．（14分）（2014•湖北）π为圆周率，e=2.71828…为自然对数的底数．（Ⅰ）求函数f（x）=的单调区间；（Ⅱ）求e3，3e，eπ，πe，3π，π3这6个数中的最大数和最小数；（Ⅲ）将e3，3e，eπ，πe，3π，π3这6个数按从小到大的顺序排列，并证明你的结论．2014年湖北省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）考点：复数代数形式的乘除运算．专题：计算题；数系的扩充和复数．分析：可先计算出的值，再计算平方的值．解答：解：由于，所以，（）2=（﹣i）2=﹣1故选A．点评：本题考查复数代数形式的计算，属于容易题2．（5分）考点：二项式定理的应用．专题：二项式定理．分析：利用二项式定理的展开式的通项公式，通过x幂指数为﹣3，求出a即可．解答：解：二项式（2x+）7的展开式即（+2x）7的展开式中x﹣3项的系数为84，所以T r+1==，令﹣7+2r=﹣3，解得r=2，代入得：，解得a=1，故选：C．点评：本题考查二项式定理的应用，特定项的求法，基本知识的考查．3．（5分）考点：充要条件；集合的包含关系判断及应用．专题：集合；简易逻辑．分析：通过集合的包含关系，以及充分条件和必要条件的判断，推出结果．解答：解：由题意A⊆C，则∁U C⊆∁U A，当B⊆∁U C，可得“A∩B=∅”；若“A∩B=∅”能推出存在集合C使得A⊆C，B⊆∁U C，∴U为全集，A，B是集合，则“存在集合C使得A⊆C，B⊆∁U C”是“A∩B=∅”的充分必要的条件．故选：C．点评：本题考查集合与集合的关系，充分条件与必要条件的判断，是基础题．4．（5分）考点：线性回归方程．专题：概率与统计．分析：通过样本数据表，容易判断回归方程中，b、a的符号．解答：解：由题意可知：回归方程经过的样本数据对应的点附近，是减函数，所以b＜0，且回归方程经过（3，4）与（4，3.5）附近，所以a＞0．故选：B．点评：本题考查回归方程的应用，基本知识的考查．5．（5分）考点：简单空间图形的三视图．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：在坐标系中，标出已知的四个点，根据三视图的画图规则，可得结论．解答：解：在坐标系中，标出已知的四个点，根据三视图的画图规则，可得三棱锥的正视图和俯视图分别为④②，故选：D．点评：本题考查三视图的画法，做到心中有图形，考查空间想象能力，是基础题．6．（5分）考点：微积分基本定理．专题：综合题；导数的综合应用．分析：利用新定义，对每组函数求积分，即可得出结论．解答：解：对于①：[sin x•cos x]dx=（sinx）dx=cosx=0，∴f（x），g（x）为区间[﹣1，1]上的一组正交函数；对于②：（x+1）（x﹣1）dx=（x2﹣1）dx=（）≠0，∴f（x），g（x）不为区间[﹣1，1]上的一组正交函数；对于③：x3dx=（）=0，∴f（x），g（x）为区间[﹣1，1]上的一组正交函数，∴正交函数有2组，故选：C．点评：本题考查新定义，考查微积分基本定理的运用，属于基础题．7．（5分）考点：几何概型；简单线性规划．专题：概率与统计．分析：作出不等式组对应的平面区域，求出对应的面积，利用几何槪型的概率公式即可得到结论．解答：解：平面区域Ω1，为三角形AOB，面积为，平面区域Ω2，为四边形BDCO，其中C（0，1），由，解得，即D（，），则三角形ACD的面积S==，则四边形BDCO的面积S=，则在Ω1中随机取一点，则该点恰好在Ω2内的概率为，故选：D．点评：本题主要考查几何槪型的概率计算，利用线性规划的知识求出对应的区域和面积是解决本题的关键．8．（5分）考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：根据近似公式V≈L2h，建立方程，即可求得结论．解答：解：设圆锥底面圆的半径为r，高为h，则L=（2πr）2，∴=（2πr）2h，∴π=．故选：B．点评：本题考查圆锥体积公式，考查学生的阅读理解能力，属于基础题．9．（5分）考点：椭圆的简单性质；余弦定理；双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据双曲线和椭圆的性质和关系，结合余弦定理即可得到结论．解答：解：设椭圆的长半轴为a，双曲线的实半轴为a1，（a＞a1），半焦距为c，由椭圆和双曲线的定义可知，设|PF1|=r1，|PF2|=r2，|F1F2|=2c，椭圆和双曲线的离心率分布为e1，e2∵∠F1PF2=，∴由余弦定理可得4c2=（r1）2+（r2）2﹣2r1r2cos，①在椭圆中，①化简为即4c2=4a12+3r1r2，即，②在双曲线中，①化简为即4c2=4a22+r1r2，即，③联立②③得，=4，由柯西不等式得（1+）（）≥（1×+）2，即（）=即，d当且仅当时取等号，故选：A点评：本题主要考查椭圆和双曲线的定义和性质，利用余弦定理和柯西不等式是解决本题的关键．难度较大．10．（5分）考点：函数恒成立问题；函数奇偶性的判断；函数最值的应用．专题：函数的性质及应用；不等式的解法及应用．分析：把x≥0时的f（x）改写成分段函数，求出其最小值，由函数的奇偶性可得x＜0时的函数的最大值，由对∀x∈R，都有f（x﹣1）≤f（x），可得2a2﹣（﹣4a2）≤1，求解该不等式得答案．解答：解：当x≥0时，f（x）=，由f（x）=x﹣3a2，x＞2a2，得f（x）＞﹣a2；当a2＜x＜2a2时，f（x）=﹣a2；由f（x）=﹣x，0≤x≤a2，得f（x）≥﹣a2．∴当x＞0时，．∵函数f（x）为奇函数，∴当x＜0时，．∵对∀x∈R，都有f（x﹣1）≤f（x），∴2a2﹣（﹣4a2）≤1，解得：．故实数a的取值范围是．故选：B．点评：本题考查了恒成立问题，考查了函数奇偶性的性质，运用了数学转化思想方法，解答此题的关键是由对∀x∈R，都有f（x﹣1）≤f（x）得到不等式2a2﹣（﹣4a2）≤1，是中档题．二、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．11．（5分）（2014•湖北）考点：数量积判断两个平面向量的垂直关系．专题：平面向量及应用．分析：根据向量垂直与向量坐标之间的关系建立方程关系，即可得到结论．解答：解：∵向量=（3，3），=（1，﹣1），∴向量||=3，||=，向量•=3﹣3=0，若（+λ）⊥（（﹣λ）），则（+λ）•（（﹣λ）=，即18﹣2λ2=0，则λ2=9，解得λ=±3，故答案为：±3，点评：本题主要考查向量垂直的坐标公式的应用，比较基础．12．（5分）（2014•湖北）考点：直线与圆的位置关系；点到直线的距离公式．专题：直线与圆．分析：由题意可得，圆心（0，0）到两条直线的距离相等，且每段弧长都是圆周的，即==cos45°，由此求得a2+b2的值．解答：解：由题意可得，圆心（0，0）到两条直线的距离相等，且每段弧长都是圆周的，∴==cos45°=，∴a2+b2=2，故答案为：2．点评：本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用，得到∴==cos45°=，是解题的关键，属于基础题．13．（5分）考点：程序框图．专题：计算题；算法和程序框图．分析：给出一个三位数的a值，实验模拟运行程序，直到满足条件，确定输出的a值，可得答案．解答：解：由程序框图知：例当a=123，第一次循环a=123，b=321﹣123=198；第二次循环a=198，b=981﹣189=792；第三次循环a=792，b=972﹣279=693；第四次循环a=693，b=963﹣369=594；第五次循环a=594，b=954﹣459=495；第六次循环a=495，b=954﹣459=495，满足条件a=b，跳出循环体，输出b=495．故答案为：495．点评：本题通过新定义题型考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程模拟运行程序是解答此类问题的常用方法．三、解答题14．（2014•湖北）考点：平均值不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：（1）设f（x）=，（x＞0），在经过点（a，）、（b，﹣）的直线方程中，令y=0，求得x=c=，从而得出结论．（2）设f（x）=x，（x＞0），在经过点（a，a）、（b，﹣b）的直线方程中，令y=0，求得x=c=，从而得出结论．解答：解：（1）设f（x）=，（x＞0），则经过点（a，）、（b，﹣）的直线方程为=，令y=0，求得x=c=，∴当f（x）=，（x＞0）时，M f（a，b）为a，b的几何平均数，故答案为：．（2）设f（x）=x，（x＞0），则经过点（a，a）、（b，﹣b）的直线方程为=，令y=0，求得x=c=，∴当f（x）=x（x＞0）时，M f（a，b）为a，b的调和平均数，故答案为：x．点评：本题主要考查新定义，用两点式求直线的方程，属于中档题．15．（2014•湖北）考点：与圆有关的比例线段．专题：选作题；几何证明．分析：利用切割线定理可得QA2=QC•QD，可求QA，可得PA，利用圆的切线长定理，可得PB．解答：解：∵QA是⊙O的切线，∴QA2=QC•QD，∵QC=1，CD=3，∴QA2=4，∴QA=2，∴PA=4，∵PA，PB是⊙O的切线，∴PB=PA=4．故答案为：4．点评：本题考查圆的切线长定理，考查切割线定理，考查学生的计算能力，属于基础题．16．（2014•湖北）考点：点的极坐标和直角坐标的互化；参数方程化成普通方程．专题：直线与圆．分析：把参数方程、极坐标方程化为直角坐标方程，再把两曲线的方程联立方程组求得C1与C2交点的直角坐标．解答：解：把曲线C1的参数方程是（t为参数），消去参数化为直角坐标方程为x2=3y2（x≥0，y≥0）．曲线C2的极坐标方程是ρ=2，化为直角坐标方程为x2+y2=4．解方程组，求得，∴C1与C2交点的直角坐标为（，1），故答案为：（，1）．点评：本题主要考查把参数方程、极坐标方程化为直角坐标方程的方法，求两条曲线的交点，属于基础题．17．（11分）考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：（Ⅰ）利用两角和差的正弦公式化简函数解析式为f（t）10﹣2sin（t+），t∈[0，24），利用正弦函数的定义域和值域求得f（x）的最大值及最小值，可得实验室这一天的最大温差．（Ⅱ）由题意可得，当f（t）＞11时，需要降温，由f（t）＞11，求得sin（t+）＜﹣，即≤t+＜，解得t的范围，可得结论．解答：解：（Ⅰ）∵f（t）=10﹣=10﹣2sin（t+），t∈[0，24），∴≤t+＜，故当t+=时，函数取得最大值为10+2=12，当t+=时，函数取得最小值为10﹣2=8，故实验室这一天的最大温差为12﹣8=4℃．（Ⅱ）由题意可得，当f（t）＞11时，需要降温，由（Ⅰ）可得f（t）=10﹣2sin（t+），由10﹣2sin（t+）＞11，求得sin（t+）＜﹣，即≤t+＜，解得10＜t＜18，即在10时到18时，需要降温．点评：本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象特征，两角和差的正弦公式，正弦函数的定义域和值域，三角不等式的解法，属于中档题．18．（12分）考点：等差数列的性质；数列的求和．专题：等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）设出数列的公差，利用等比中项的性质建立等式求得d，则数列的通项公式可得．（Ⅱ）利用（Ⅰ）中数列的通项公式，表示出S n根据S n＞60n+800，解不等式根据不等式的解集来判断．解答：解：（Ⅰ）设数列{a n}的公差为d，依题意，2，2+d，2+4d成比数列，故有（2+d）2=2（2+4d），化简得d2﹣4d=0，解得d=0或4，当d=0时，a n=2，当d=4时，a n=2+（n﹣1）•4=4n﹣2．（Ⅱ）当a n=2时，S n=2n，显然2n＜60n+800，此时不存在正整数n，使得S n＞60n+800成立，当a n=4n﹣2时，S n==2n2，令2n2＞60n+800，即n2﹣30n﹣400＞0，解得n＞40，或n＜﹣10（舍去），此时存在正整数n，使得S n＞60n+800成立，n的最小值为41，综上，当a n=2时，不存在满足题意的正整数n，当a n=4n﹣2时，存在满足题意的正整数n，最小值为41点评：本题主要考查了等差数列和等比数列的性质．要求学生对等差数列和等比数列的通项公式，求和公式熟练记忆．19．（12分）考点：与二面角有关的立体几何综合题；直线与平面平行的判定．专题：综合题；空间位置关系与距离；空间角．分析：（Ⅰ）建立坐标系，求出=2，可得BC1∥FP，利用线面平行的判定定理，可以证明直线BC1∥平面EFPQ；（Ⅱ）求出平面EFPQ的一个法向量、平面MNPQ的一个法向量，利用面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角，建立方程，即可得出结论．解答：（Ⅰ）证明：以D为原点，射线DA，DC，DD1分别为x，y，z轴的正半轴，建立坐标系，则B（2，2，0），C1（0，2，2），E（2，1，0），F（1，0，0），P（0，0，λ），∴=（﹣2，0，2），=（﹣1，0，λ），=（1，1，0）λ=1时，=（﹣2，0，2），=（﹣1，0，1），∴=2，∴BC1∥FP，∵FP⊂平面EFPQ，BC1⊄平面EFPQ，∴直线BC1∥平面EFPQ；（Ⅱ）设平面EFPQ的一个法向量为=（x，y，z），则，∴取=（λ，﹣λ，1）．同理可得平面MNPQ的一个法向量为=（λ﹣2，2﹣λ，1），若存在λ，使面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角，则•=λ（λ﹣2）﹣λ（2﹣λ）+1=0，∴λ=1±．∴存在λ=1±，使面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角．点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查存在性问题，解题时要合理地化空间问题为平面问题，注意向量法的合理运用．20．（12分）考点：离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．专题：概率与统计．分析：（Ⅰ）先求出年入流量X的概率，根据二项分布，求出未来4年中，至少有1年的年入流量超过120的概率；（Ⅱ）分三种情况进行讨论，分别求出一台，两台，三台的数学期望，比较即可得到．解答：解：（Ⅰ）依题意，p1=P（40＜X＜80）=，，，由二项分布，未来4年中，至多有1年的年入流量超过120的概率为=（Ⅱ）记水电站的总利润为Y（单位，万元）（1）安装1台发电机的情形，由于水库年入流总量大于40，故一台发电机运行的概率为1，对应的年利润Y=5000，E（Y）=5000×1=5000，（2）安装2台发电机的情形，依题意，当40＜X＜80时，一台发电机运行，此时Y=5000﹣800=4200，因此P（Y=4200）=P（40＜X＜80）=p1=，当X≥80时，两台发电机运行，此时Y=5000×2=10000，因此，P（Y=10000）=P（X≥80）=P2+P3=0.8，由此得Y的分布列如下Y 4200 10000P 0.2 0.8所以E（Y）=4200×0.2+10000×0.8=8840．（2）安装3台发电机的情形，依题意，当40＜X＜80时，一台发电机运行，此时Y=5000﹣1600=3400，因此P（Y=3400）=P（40＜X＜80）=p1=0.2，当80≤X≤120时，两台发电机运行，此时Y=5000×2﹣800=9200，因此，P（Y=9200）=P（80≤X≤120）=p2=0.7，当X＞120时，三台发电机运行，此时Y=5000×3=15000，因此，P（Y=15000）=P（X＞120）=p3=0.1，由此得Y的分布列如下Y 3400 9200 15000P 0.2 0.7 0.1所以E（Y）=3400×0.2+9200×0.7+15000×0.1=8620．综上，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机2台．点评：本题主要考查了数学期望和二项分布，再求最大利润时，需要分类讨论，属于中档题．21．（14分）考点：轨迹方程；直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）设出M点的坐标，直接由题意列等式，整理后即可得到M的轨迹C的方程；（Ⅱ）设出直线l的方程为y﹣1=k（x+2），和（Ⅰ）中的轨迹方程联立化为关于y的一元二次方程，求出判别式，再在直线y﹣1=k（x+2）中取y=0得到．然后分判别式小于0、等于0、大于0结合x0＜0求解使直线l与轨迹C恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k的相应取值范围．解答：解：（Ⅰ）设M（x，y），依题意得：|MF|=|x|+1，即，化简得，y2=2|x|+2x．∴点M的轨迹C的方程为；（Ⅱ）在点M的轨迹C中，记C1：y2=4x（x≥0），C2：y=0（x＜0）．依题意，可设直线l的方程为y﹣1=k（x+2）．由方程组，可得ky2﹣4y+4（2k+1）=0．①当k=0时，此时y=1，把y=1代入轨迹C的方程，得．故此时直线l：y=1与轨迹C恰好有一个公共点（）．②当k≠0时，方程ky2﹣4y+4（2k+1）=0的判别式为△=﹣16（2k2+k﹣1）．设直线l与x轴的交点为（x0，0），则由y﹣1=k（x+2），取y=0得．若，解得k＜﹣1或k＞．即当k∈时，直线l与C1没有公共点，与C2有一个公共点，故此时直线l与轨迹C恰好有一个公共点．若或，解得k=﹣1或k=或．即当k=﹣1或k=时，直线l与C1只有一个公共点，与C2有一个公共点．当时，直线l与C1有两个公共点，与C2无公共点．故当k=﹣1或k=或时，直线l与轨迹C恰好有两个公共点．若，解得﹣1＜k＜﹣或0＜k＜．即当﹣1＜k＜﹣或0＜k＜时，直线l与C1有两个公共点，与C2有一个公共点．此时直线l与C恰有三个公共点．综上，当k∈∪{0}时，直线l与C恰有一个公共点；当k∪{﹣1，}时，直线l与C恰有两个公共点；当k∈时，直线l与轨迹C恰有三个公共点．点评：本题考查轨迹方程，考查了直线与圆锥曲线的关系，体现了分类讨论的数学思想方法，重点是做到正确分类，是中档题．22．（14分）考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的单调性．专题：综合题；导数的综合应用．分析：（Ⅰ）先求函数定义域，然后在定义域内解不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0即可得到单调增、减区间；（Ⅱ）由e＜3＜π，得eln3＜elnπ，πlne＜πln3，即ln3e＜lnπe，lneπ＜ln3π．再根据函数y=lnx，y=e x，y=πx 在定义域上单调递增，可得3e＜πe＜π3，e3＜eπ＜3π，从而六个数的最大数在π3与3π之中，最小数在3e与e3之中．由e＜3＜π及（Ⅰ）的结论，得f（π）＜f（3）＜f（e），即，由此进而得到结论；（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，3e＜πe＜π3＜3π，3e＜e3，又由（Ⅱ）知，，得πe＜eπ，故只需比较e3与πe和eπ与π3的大小．由（Ⅰ）可得0＜x＜e时，．，令x=，有ln＜，从而2﹣lnπ，即得lnπ．①，由①还可得lnπe＞lne3，3lnπ＞π，由此易得结论；解答：解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞），∵f（x）=，∴f′（x）=，当f′（x）＞0，即0＜x＜e时，函数f（x）单调递增；当f′（x）＜0，即x＞e时，函数f（x）单调递减．故函数f（x）的单调递增区间为（0，e），单调递减区间为（e，+∞）．（Ⅱ）∵e＜3＜π，∴eln3＜elnπ，πlne＜πln3，即ln3e＜lnπe，lneπ＜ln3π．于是根据函数y=lnx，y=e x，y=πx在定义域上单调递增，可得3e＜πe＜π3，e3＜eπ＜3π，故这六个数的最大数在π3与3π之中，最小数在3e与e3之中．由e＜3＜π及（Ⅰ）的结论，得f（π）＜f（3）＜f（e），即，由，得lnπ3＜ln3π，∴3π＞π3；由，得ln3e＜lne3，∴3e＜e3．综上，6个数中的最大数是3π，最小数是3e．（Ⅲ）由（Ⅱ）知，3e＜πe＜π3＜3π，3e＜e3，又由（Ⅱ）知，，得πe＜eπ，故只需比较e3与πe和eπ与π3的大小．由（Ⅰ）知，当0＜x＜e时，f（x）＜f（e）=，即．在上式中，令x=，又，则ln＜，从而2﹣lnπ，即得lnπ．①由①得，elnπ＞e（2﹣）＞2.7×（2﹣）＞2.7×（2﹣0.88）=3.024＞3，即elnπ＞3，亦即lnπe＞lne3，∴e3＜πe．又由①得，3lnπ＞6﹣＞6﹣e＞π，即3lnπ＞π，∴eπ＜π3．综上可得，3e＜e3＜πe＜eπ＜π3＜3π，即6个数从小到大顺序为3e，e3，πe，eπ，π3，3π．点评：本题考查利用导数研究函数的单调性及其应用、数值的大小比较，考查学生综合运用知识分析解决问题的能力，难度较大．。
2014年湖北省部分高中高三数学(理科)12月调考试卷及答案
2014-2015学年度湖北省部分高中12月调考高三数学试卷（理科）第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、集合1{|(),1},{|2xA x y xB x y ==>-==，则A B =（ ）A ．{|02}x x <<B ．{|0x x <<C ．{|0x x <≤D ．{|0x x ≤≤2、复数221z i i=++，其中i 是虚数单丝，则复数z 的模为（ ）A ．2B C ．2 3、已知,sin cos 22a ππθθθ-<<+=，其中01a <<，则tan θ可能是（ ） A ．2- B ．12-C ．2或12-D ．-1或13- 4、等比数列{}n a 的前n 项和为330,6,nn S a S xdx ==⎰，则公比q 为（ ）A ．1B ．12-C ．1或12-D ．-1或125、函数()f x 是R 上的偶函数，且()(1)1f x f x ++=，当[]1,2x ∈时，()2f x x =-， 则()2005.5f -=（ ）A ．0.5B ．1C ．1.5D ． 1.5-6、等差数列{}n a 中，120032004200320040,0,0,n a a a a a S >+>⋅<为数列{}n a 的前n 项和，若0n S >，则n 的最大值为（ ）A ．2003B ．400C ．4006D ．4007 7、一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A ．10 B ．20 C ．30 D ．408、从1,2,3,,20这20个数中任取2个不同的数，则这两个数之和为3,的倍数的概率为（ ） A ．3295 B ．338C ．119D ．571909、设,x y 满足约束条件13400x y a a x y ⎧+≤⎪⎪≥⎨⎪≥⎪⎩，若231x y z x ++=-的最小值为32，则a 的值为（ ）A ．-1B ．1C ．-2D ．210、设曲线(1)xy ax e =-在点00(,)A x y 处的切线为1l ，曲线(1)xy x e -=-在点01(,)B x y 处的切线为2l ，若存在03[0,]2x ∈，使得12l l ⊥，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(],1-∞ B ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．3(1,)2D ．3[1,]2第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卷的横线上。
2014年高考数学湖北卷(理科)答案word版
2014年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）理科数学试题答案与解析1. 解析 因为()221i 1i 2i i 1i 1i 2---===-+-，所以()221i i 11i -⎛⎫=-=- ⎪+⎝⎭，故选A . 2. 解析 ()77177271C 22C rrrr r rr r a T x a x x --+-⎛⎫=⋅⋅=⋅ ⎪⎝⎭.令273r -=，则5r =. 由25572C 84a ⋅=得1a =，故选C .3. 解析 由韦恩图易知充分性成立.反之，AB =∅时，不妨取UC B=ð，此时A C ⊆.必要性成立. 故选C .4. 解析 把样本数据中的x ，y 分别当作点的横、纵坐标，在平面直角坐标系xOy 中作出散点图，由图可知0b <，0a >. 故选B .5. 解析 设()002A，，，()220B ，，，()121C ，，，()222D ，，，因为B ，C ，D 在平面yOz 上的投影的坐标分别为()020，，，()021，，，()022，，，点()002A ，，在平面yOz 上，又点C 的横坐标小于点B 和D 的横坐标，所以该几何体的正视图为图④.因为点A ，C ，D 在平面xOy 上的投影坐标分别为()000，，，()120，，，()220，，，点()220B ，，在平面xOy 上，所以该几何体的俯视图为图②. 故选D .评注 本题考查了空间直角坐标系和三视图，考查了空间想象能力.本题也可以根据该四面体各项点的坐标画出几何体的直观图再求解.6. 解析 由①得()()111sin cos sin 222f xg x x x x ==，是奇函数，所以()()11d 0f x g x x -=⎰，所以①为区间[]1,1-上正交函数；由②得()()21f x g x x =-，所以()()()31121114d 1d 133x f x g x x x x x --⎛⎫=-=-=- ⎪-⎝⎭⎰⎰，所以②不是区间[]1,1-上的正交函数；由③得()()3f x g x x =，是奇函数，所以()()11d 0f x g x x -=⎰，所以①为区间[]1,1-上的正交函数. 故选C .7. 解析 区域1Ω为直角AOB △及其内部，其面积12222AOB S =⨯⨯=△.区域2Ω是直线1x y +=和2x y +=-夹成的条形区域.由题意得所求概率127428AODC AOB S P S -===四边形△.故选D .评注 本题考查了可行域和概率的基础知识.正确理解可行域的概念和掌握概率的求法是求解的关键.8. 解析 圆锥的体积22211ππ332π12πL L h V r h h ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，由题意得7512π2≈，π近似取为258，故选B .9. 解析 解法一: 设椭圆方程为()2211221110x y a b a b +=>>，离心率为1e ，双曲线的方程为()2222222210,0x y a b a b -=>>，离心率为2e ，它们的焦距为2c ，不妨设P 为两曲线在第一象限的交点，12,F F 分别为左，右焦点，则易知1211222,2,PF PF a PF PF a ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩解得112212,.PF a a PF a a ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩在12F PF △中，由余弦定理得()()()()222121212122cos 604a a a a a a a a c ++--+⋅-=，整理得2221234a a c +=，所以22122234a a c c +=，即2212134e e +=.设121,e e ⎛= ⎝⎭a，1,3⎛= ⎝⎭b ，所以1211e e +=⋅⋅==…a b a b ，故1211e e +的最大值是13，故选A. 解法二：不妨设P 在第一象限，1PF m =，2PF n =.在12F PF △中，由余弦定理得2224m n mn c +-=.设椭圆的长轴长为12a ，离心率为1e ，双曲线的实轴长为22a ，离心率为2e ，它们的焦距为2c ，则12121122m n m na a m e e c c c+-+++===. 所以22222221211441m m e e c m n mn n n m m⎛⎫+=== ⎪+-⎛⎫⎝⎭-+ ⎪⎝⎭，易知21n n m m ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的最小值为34.故12max11e e ⎛⎫+=⎪⎝⎭故选A. 评注 本题考查了椭圆、双曲线的定义、方程和性质；考查了利用不等式和函数求最值的基本方法.本题对运算能力的要求较高.10. 解析 当0x …时，()2222223, 2,, 2,, 0,x a x a f x a a x a x x a ⎧-⎪=-<<⎨⎪-⎩…剟画出图像，再根据()f x 是奇函数补全图像.因为满足x ∀∈R ，()()1f x f x -…，所以261a …，即66a -剟.故选B.11. 解析=ab =()31310⋅⨯+⨯-=a b =.因为()()b b λλ+⊥-a a ，所以()()22221820b b b λλλλ+⋅-=-=-=a a a .故3λ=±.x-1()评注 本题考查了直线和圆的位置关系，考查了直线的斜率和截距，考查了数形结合的思想方法.正确画出图形求出和的值时解题的关键.12. 解析 由题意知直线1l 和2l 与单位圆C 所在的位置如图.因此11a b =⎧⎨=-⎩或11a b =-⎧⎨=⎩故22112a b +=+=.评注 本题考查了直线和圆的位置关系，考查了直线的斜率和截距，考查了数形结合的思想方法.正确画出图形求出a 和b 的值是解题的关键.13. 解析 设组成数a 的三个数字是m ，n ，p ，其中19m n p <<剟，所以()()b Da I a =-=()100101001099p n m m n p p m ++---=-=()()()()10010019010p m p m p m p m ---=--++-+，即数b 的十位数字一定是9.由题意可知，程序循环到最后一次，a 的十位数字是9，设a 的另两个数字是x ，y ， 其中18y x<剟，此时()90010Da x y =++，()100109I a y x =++， 89199b y =-，若8919910090y x y -=++，则()801100x y =+，无解.若8919910090y y x -=++，则801199y x =+，解得5x =，4y =.所以495b =.14. 解析 （I ）若(),f M a b 是a ，b 的几何平均数，则c 由题意知，()(),a f a)，()(),b f b -0f a f b -+=f a f b，所以可取()f x .（II ）若(),f M a b 是a ，b 的调和平均数，则2ab c a b =+，由题意知()(),a f a ，2,0ab a b ⎛⎫⎪+⎝⎭，()(),b f b -共线，所以()()22f x f b ab ab a ba b a b=--++，化简得()()f a f b a b =，所以可取()f xx =.15. 解析 由切割线定理得()21134QAQC QD =⋅=⨯+=，所以2QA =，因为Q 为PA 的中点，所以24PA QA ==.故4PB PA ==. 16. 解析 曲线1C为射线y x =()0x ….曲线2C为圆224x y +=.设P 为1C 与2C 的交点，如图，作PQ 垂直x 轴于点Q ，因为tan POQ ∠=，所以30POQ ∠=，又因为2OP =，所以1C 与2C 的交点P的直角坐标为).评注 本题考查了参数方程和极坐标方程.容易忽视0x …，误认为1C为直线y x =. 17. 解析 （I ）因为()π1πππ102sin 102sin 12212123f t t t t ⎫⎛⎫=-+=-+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，又024t <…，所以πππ7π31233t +<…，ππ1sin 1123t ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭剟. 当2t =时，ππsin 1123t ⎛⎫+=⎪⎝⎭；当14t =时，ππsin 1123t ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭. 于是()f t 在[)0,24上取得最大值12，取得最小值8.故实验室这一天最高温度为12C ，最低温度为8C ，最大温差为4C . （II ）依题意，当()11f t …时实验室需要降温.由（I ）得()ππ102sin 123f t t ⎛⎫=-+⎪⎝⎭， 故有ππ102sin 11123t ⎛⎫-+>⎪⎝⎭，即ππ1s i n 1232t ⎛⎫+<- ⎪⎝⎭.又024t <…，因此7πππ11π61236t <+<，即1018t <<.在10时至18时实验室需要降温.评注 本题考查了正弦函数的性质，考查了运算求解能力.正确利用正弦函数的单调性是解题的关键.计算失误是造成失分的重要原因之一，应充分重视.18. 解析 （I ）设数列{}n a 的公差为d ，依题意2，2d +，24d +，成等比数列，故有()()22224d d d +=+，化简得240d d -=，解得0d =或4d =.当0d =时，2n a =；当4d =时，()21442n a n n =+-⋅=-，从而得数列{}n a 的通项公式为2n a =或42n a n =-.（II ）当2n a =时，2n S n =.显然260800n n <+，此时不存在正整数n ，使得60800n S n >+成立.当42n a n =-时，()224222n n n S n ⎡+-⎤⎣⎦==.令2260800n n >+，即2304000n n -->，解得40n >或10n <-（舍去），此时存在正整数n ，使得60800n S n >+成立，n 的最小值为41. 综上，当2n a =时，不存在满足题意的n ；当42n a n =-时，存在满足题意的n ，其最小值为41.评注 本题考查了数列的通项公式和求和公式，考查了分类讨论的方法. 19. 解析 解法一：（几何方法）（I ）证明：如图1，连接1AD ，由1111ABCD A B C D -是正方体，知1//BC AD .当1λ=时，P 是1DD 的中点，又F 是AD 的中点，所以1//FP AD .所以1//BC FP .而FP ⊂平面EFPQ ，且1BC ⊄平面EFPQ ，故直线1//BC 平面EFPQ .（II ）如图2，连接BD .因为E ，F 分别是AB ，AD 的中点，所以//EF BD ，且12E F B D=.又DP BQ =，//DP BQ ，所以四边形PQBD 是平行四边形，故//PQ BD ，且PQ BD =，从而//EF PQ ，且12EF PQ =.在Rt EBQ △和Rt FDP △中，因为BQ =DP =λ，1BE=DF=，于是EQ=，所以四边形EFPQ 是等腰梯形.同理可证四边形PQMN 是等腰梯形. 分别取EF ，PQ ，MN 的中点为H ，O ，G ，连接OH ，OG ，则G O P Q ⊥，HO PQ ⊥，而GOHO O =，故GOH ∠是面EFPQ 与面PQMN 所成的二面角的平面角.若存在λ，使面EFPQ 与面PQMN 所成的二面角为直二面角，则90GOH ∠=.连接EM ，FN ，则由//EF MN ，且E F M N =，知四边形EFNM 是平行四边形.连接GH ，因为H ，G 是EF ，MN 的中点，所以2GH ME ==.在GOH △中，24GH =，2222112OH λλ=+-=+⎝⎭，()()222211222OG λλ=+--=-+⎝⎭， 由222OG OH GH +=，得()22112422λλ-+++=，解得1λ=±， 图1N QPF E M D 1C 1B 1A 1DCB故存在1λ=，使面EFPQ 与面PQMN 所成的二面角为直二面角.解法二：（向量方法）以D 为原点，射线DA ，DC ，1DD 分别为x ，y ，z 轴的正半轴建立如图3所示的空间直角坐标系D xyz -. 由已知得()2,2,0B，()10,2,2C ，()2,1,0E ，()1,0,0F ，()0,0,P λ.()12,0,2BC =-，()1,0,FP λ=-，()1,1,0FE =.GO H图2E FM PQ N D 1C 1B 1A 1DCB A（I ）证明：当1λ=时，()1,0,1FP =-，因为()12,0,2BC =-，所以12BC FP =，即1//BC FP .而FP ⊂平面EFPQ ，且1BC ⊄平面EFPQ ，故直线1//BC 平面EFPQ .（II ）设平面EFPQ 的一个法向量为(),,x y z =n ，则由0,0,FE FP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 可得0,0.x y x z λ+=⎧⎨-+=⎩于是可取(),,1λλ=-n .同理可得平面MNPQ 的一个法向量为()2,2,1λλ=--m .若存在λ，使面EFPQ 与面PQMN 所成的二面角为直二面角，则()()2,2,1,,10λλλλ⋅--⋅-=m n =，即()()2210λλλλ---+=，解得1λ=±.故存在1λ=±，使使面EFPQ 与面P Q M N 所成的二面角为直二面角.评注 本题考查了线面平行的证明方法和二面角的计算.体现了利用平面的法向量解决二面角中有关求值问题的优势.充分利用方程的思想方法是解题的关键.20. 解析 （I ）依题意，()11040800.250p P X =<<==，()235801200.750p P X ===剟，()351200.150p P X =>==.由二项分布，在未来4年中至多有1年的年入流量超过120的概率为()()43430143433991C 1C 140.9477101010p p p p ⎛⎫⎛⎫=-+-=+⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.（II ）记水电站年总利润为Y （单位：万元）（1）安装1台发电机的情形.由于水库年人流量总大于40，故一台发电机运行的概率为1，对应得年利润5000Y =，()500015000EY =⨯=.（2）安装2台发电机的情形.依题意，当4080X <<时，一台发电机运行， 此时50008004200Y =-=，因此()()1420040800.2PY P X p ==<<==；当80X …时，两台发电机运行，此时5000210000Y =⨯=，因此()()2310000800.8P Y P X p p ===+=…；由此得Y所以，()42000.2100000.88840EY =⨯+⨯=.（3）安装3台发电机的情形.依题意，当4080X <<时，一台发电机运行，此时500016003400Y =-=，因此()()1340040800.2P Y P X p ==<<==；当80120X 剟时，两台发电机运行，此时500028009200Y =⨯-=， 因此()()29200801200.7P Y P X p ====剟；当120X >时，三台发电机运行，此时5000315000Y =⨯=，因此()()3150001200.1P Y P X p ==>==，由此得Y 的分部列如下：所以，()34000.292000.7150000.18620EY =⨯+⨯+⨯=.综上，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机2台.评注 本题考查了概率和离散型随机变量的分布列.考查了分类讨论方法和运算求解能力.21.解析 （I ）设点(),Mx y ，依题意得1MFx =+1x =+，化简整理得()221y x =+.故点M 的轨迹C 的方程为24, 0,0, 0.x x y x ⎧=⎨<⎩…（II ）在点M 的轨迹C 中，记1C ：24yx =，2C ：()00y x =<，依题意，可设直线l 的方程为()12y k x -=+.由方程组()2124y k x y x-=+⎧⎪⎨=⎪⎩可得()244210ky y k -++=.①（1）当0k =时，此时1y =.把1y =代入轨迹C 的方程，得14x =. 故此时直线l ：1y =与轨迹C 恰好有一个公共点1,14⎛⎫ ⎪⎝⎭.（2）当0k ≠时，方程①的判别式为()21621k k ∆=-+-.② 设直线l 与x 轴的交点为()0,0x ，则由()12y k x -=+，令0y =，得021k xk+=-.③ （i ）若000x ∆<⎧⎨<⎩由②③解得1k <-或12k >.即当()1,1,2k ⎛⎫∈-∞-+∞ ⎪⎝⎭时，直线l 与1C 没有公共点，与2C 有一个公共点， 故此时直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点.(ii)若000x ∆=⎧⎨<⎩或000x ∆>⎧⎨⎩…则由②③解得11,2k ⎧⎫∈-⎨⎬⎩⎭或102k -<….即当11,2k ⎧⎫∈-⎨⎬⎩⎭时，直线l 与1C 只有一个公共点，与2C 有一个公共点.当1,02k ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭时，直线l 与1C 有两个公共点，与2C 没有公共点. 故当11,01,22k ⎡⎫⎧⎫∈--⎨⎬⎪⎢⎣⎭⎩⎭时，直线l 与轨迹C 恰好有两个公共点. （iii ）若000x ∆>⎧⎨<⎩<则由②③解得112k -<<-或102k <<. 即当111,0,22k ⎛⎫⎛⎫∈--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时，直线l 与1C 有两个公共点，与2C 有一个公共点， 故此时直线l 与轨迹C 恰好有三个公共点.综合（1）（2）可知，当(){}1,1,02k ⎛⎫∈-∞-+∞ ⎪⎝⎭时，直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点；当11,01,22k ⎡⎫⎧⎫∈--⎨⎬⎪⎢⎣⎭⎩⎭时，直线l 与轨迹C 恰好有两个公共点； 当111,0,22k ⎛⎫⎛⎫∈--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时，直线l 与轨迹C 恰好有三个公共点. 评注 本题考查了直线和抛物线的位置关系，考查了数形结合的方法，灵活地利用判别式时求解的关键.盲目利用抛物线的定义而漏掉射线()00y x =<就会造成错解二失分.22.解析 （I ）函数()f x 的定义域为()0,+∞.因为()ln x f x x =，所以()21ln xf x x -'=. 当()0f x '>，即0e x <<时，函数()f x 单调递增； 当()0f x '<，即e x >时，函数()f x 单调递减.故函数()f x 的单调递增区间为()0,e ，单调递减区间为()e,+∞.（II ）因为e 3π<<，所以e ln 3e ln π<，πln e πln 3<，即e e ln 3ln π<，ππln e ln 3<. 于是根据函数ln y x =，e xy =，πxy =在定义域上单调递增， 可得e e 33ππ<<，3ππe e 3<<.故这6个数的最大数在3π与π3之中，最小数在e 3与3e 之中. 由e 3π<<及（I ）的结论，得()()()π3e f f f <<，即ln πln 3ln e π3e<<.由ln πln 3π3<，得3πln πln 3<，所以π33π>；由l n 3l n e3e <，得e 3ln 3ln e <，所以e 33e <. 综上，6个数中的最大数是π3，最小数是e 3.(III)由（II ）知，e e 3π3ππ3<<<，e 33e <.又由（II ）知，ln πln eπe<，得e ππe <. 故只需比较3e 与e π和πe 与3π的大小.由（I ）知，当0e x <<时，()()1e e f x f <=，即l n 1e x x <.在上式中，令2e πx =，又2e e π<，则2e eln ππ<，从而e 2ln ππ-<，即得e ln π2π>-.①由①得，()e 2.72eln πe 2 2.72 2.720.88 3.0243π 3.1⎛⎫⎛⎫>->⨯->⨯-=> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即e l n π3>，亦即e 3ln πln e >，所以3e e π<.又由①得，3e3ln π>66e ππ->->，即3ln ππ>， 所以π3e π<.综上可得，e 3e π3π3e πe <π3<<<<，即6个数从小到大的顺序为e 3，3e ，e π，πe ，3π，π3.评注 本题考查了函数和导数的综合应用；考查了不等式求解的能力，考查了分析问题、解决问题的综合能力.充分考查了考生的综合素质.在平时的学习过程中应充分培养综合解决问题的能力.。
湖北省部分重点中学2014届高三二月联考数学理试题 Word版含答案[ 高考]
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湖北省部分重点中学2014届高三二月联考高三数学试卷（理科）命题学校：江夏一中考试时间：2014年2月6日下午15:00—17:00 试卷满分：150分一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的.1．已知,x y R ∈，i 为虚数单位，且(2)1x i y i --=-+，则(1)x yi ++的值为 ( ）A ．4B ．4+4iC ．4-D ．2i2．设集合A =｛4，5，7，9｝，B =｛3，4，7，8，9｝，全集U = A ⋃B ，则集合)(B A C U ⋂ 的真子集共有 A ．3个 B ．6个 C ．7个 D ．8个 3．要得到函数)42sin(π+=x y 的图象，只要将函数x y 2cos =的图象（ ）A ．向左平移4π单位 B ．向右平移4π单位 C ．向右平移8π单位 D ．向左平移8π单位4．半径为R 的球的内接正三棱柱的三个侧面积之和的最大值为（ ）A 、233RB 、23RC 、222RD 、22R5．已知数据123 n x x x x ，，，，是武汉市n *(3 )n n N ≥∈，个普通职工的2013年的年收入,设这n 个数据的中位数为x ，平均数为y ，方差为z ，如果再加上比尔.盖茨的2013年的年收入1n x +（约900亿元），则这1n +个数据中，下列说法正确的是（ ）A ．年收入平均数大大增大，中位数一定变大，方差可能不变B ．年收入平均数大大增大，中位数可能不变，方差变大C ．年收入平均数大大增大，中位数可能不变，方差也不变D ．年收入平均数可能不变，中位数可能不变，方差可能不变。
6．在各项均为正数的等比数列}{n a 中，2475314))((a a a a a =++，则下列结论中正确的是（ ）A ．数列}{n a 是递增数列；B ．数列}{n a 是递减数列；C ．数列}{n a 既不是递增数列也不是递减数列；D ．数列}{n a 有可能是递增数列也有可能是递减数列． 7．已知实数0,0a b >>，对于定义在R 上的函数)(x f ，有下述命题： ①“)(x f 是奇函数”的充要条件是“函数()f x a -的图像关于点(,0)A a 对称”； ②“)(x f 是偶函数”的充要条件是“函数()f x a -的图像关于直线x a =对称”； ③“2a 是()f x 的一个周期”的充要条件是“对任意的R x ∈，都有()()f x a f x -=-”； ④ “函数()y f x a =-与()y f b x =-的图像关于y 轴对称”的充要条件是“a b =” 其中正确命题的序号是( )A ．①②B ．②③C ．①④D ．③④8．在边长为1的正三角形ABC 中，BD →＝xBA →，CE →＝yCA →，x >0，y >0，且x ＋y ＝1， 则CD →·BE →的最大值为( )A ．－58B ．－34C ．－32D ．－389．设12,F F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的两个焦点，P 是C 上一点，若126PF PF a +=，且12PF F ∆的最小内角为30，则C 的渐近线方程为（ ）A ．x y ±=B ．x y 2±=C ．x y 22±= D．y = 10．已知函数)1,0(1log )(≠>-=a a x x f a ，若1234x x x x <<<，且12()()f x f x =34()()f x f x ==，则12341111x x x x +++=（ ） A. 2 B. 4 C.8 D. 随a 值变化二.填空题：本大题共6小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分，请将答案填在答题卡的．．．．．对应题号的位置上，答错位置，书写不清，模棱两可均不得分. （一）必考题（11—14题）11．执行如图所示的程序框图，输出的S = ．12．若不等式组02(1)1y y x y a x ≥⎧⎪≤⎨⎪≤-+⎩表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是 .13．已知椭圆12222=+by a x 的面积计算公式是ab S π=，则2-=⎰________； 14. 设数列.,1,,12,1,,13,22,31,12,21,11 kk k -这个数列第2010项的值是________； 这个数列中，第2010个值为1的项的序号是 .（二）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答，如果全选，则按第15题作答?10<nnn S S 2⋅+=结果计分.）15.（选修4-1：几何证明选讲）如图，AB 为半径为2的圆O 的直径，CD 为垂直于AB 的一条弦， 垂足为E ，弦BM 与CD 交于点F ．则2AC ＋BF·BM ＝16.（选修4-4：坐标系与参数方程）在极坐标系中，直线ρ(cos θ－sin θ)＋2＝0被曲线C ：ρ＝2所截得弦的中点的极坐标为________．三、解答题:本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）已知锐角ABC ∆的三个内角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,。
2014年高考数学湖北卷理科真题和答案解析
绝密 ★ 启用前2014年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学（理科）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. i 为虚数单位，则=+-2)11(ii （ ） A. 1- B. 1 C. i - D.i 【答案】C 【解析】 试题分析：因为122)11(2-=-=+-i ii i ，故选C. 点评：本题考查复数的运算，容易题.2. 若二项式7)2(xa x +的展开式中31x 的系数是84，则实数=a （ ） A.2 B. 54 C. 1 D. 42 【答案】D 【解析】试题分析：因为rr r r r r r x a C xax C 2777772)()2(+---⋅⋅⋅=⋅⋅，令327-=+-r ，得2=r ，所以84227227=⋅⋅-a C ，解得42=a ，故选D. 点评：本题考查二项式定理的通项公式，容易题.3. 设U 为全集，B A ,是集合，则“存在集合C 使得C C B C A U ⊆⊆,是“∅=B A ”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】试题分析：依题意，若C A ⊆，则A C C C U U ⊆，当C C B U ⊆，可得∅=B A ；若∅=B A ，不能推出C C B U ⊆，故选A.点评：本题考查集合与集合的关系，充分条件与必要条件判断，容易题. 4.根据如下样本数据得到的回归方程为a bx y+=ˆ，则（ ） A.0,0>>b a B.0,0<>b a C.0,0><b a D.0.0<<b a 【答案】B 【解析】试题分析：依题意，画散点图知，两个变量负相关，所以0<b ，0>a .选B. 点评：本题考查根据已知样本数判断线性回归方程中的b 与a 的符号，容易题.5.在如图所示的空间直角坐标系xyz O -中，一个四面体的顶点坐标分别是（0,0,2），（2,2,0），（1,2，1），（2,2,2），给出编号①、②、③、④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为（ ）A.①和②B.③和①C. ④和③D.④和② 【答案】D 【解析】试题分析：在坐标系中标出已知的四个点，根据三视图的画图规则判断三棱锥的正视图为④与俯视图为②，故选D.点评：本题考查空间由已知条件，在空间坐标系中作出几何体的形状，再正视图与俯视图，容易题.6.若函数[]1,1)(),(,0)()()(),(11-=⎰-为区间则称满足x g x f dx x g x f x g x f 上的一组正交函数，给出三组函数： ①x x g x x f 21cos )(,21sin)(==；②1)(,1)(-=+=x x g x x f ；③2)(,)(x x g x x f == 其中为区间]1,1[-的正交函数的组数是（ ） A.0 B.1 C.2 D.3 【答案】C 【解析】 试题分析：对①0|cos 21)sin 21()21cos 21(sin111111===⋅---⎰⎰x dx x dx x x ，则)(x f 、)(x g 为区间]1,1[-上的正交函数； 对②0|)31()1()1)(1(11311211≠-=-=-+---⎰⎰x x dx x dx x x ，则)(x f 、)(x g 不为区间]1,1[-上的正交函数； 对③0|)41(114113==--⎰x dx x ，则)(x f 、)(x g 为区间]1,1[-上的正交函数. 所以满足条件的正交函数有2组，故选B.点评：新定义题型，本题考查微积分基本定理的运用，容易题.7.由不等式⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥≤0200x y y x 确定的平面区域记为1Ω，不等式⎩⎨⎧-≥+≤+21y x y x ，确定的平面区域记为2Ω，在1Ω中随机取一点，则该点恰好在2Ω内的概率为（ ） A.81 B.41 C. 43 D.87 【答案】D试题分析：依题意，不等式组表示的平面区域如图，由几何公式知，该点落在2Ω内的概率为87222111212221=⨯⨯⨯⨯-⨯⨯=P ，选D.点评：本题考查不等式组表示的平面区域，面积型的几何概型，中等题.8.《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“盖”的术：置如其周，令相承也.又以高乘之，三十六成一. 该术相当于给出了有圆锥的底面周长L 与高h ，计算其体积V 的近似公式21.36v L h ≈它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为 3.那么近似公式2275v L h ≈相当于将圆锥体积公式中的π近似取为（ ） A.227 B.258C.15750D.355113 【答案】B 【解析】试题分析：设圆锥底面圆的半径为r ，高为h ，依题意，2)2(r L π=，h r h r 22)2(75231ππ=， 所以275831ππ=，即π的近似值为258，故选B.点评：本题考查《算数书》中π的近似计算，容易题.9.已知12,F F 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是他们的一个公共点，且123F PF π∠=,则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（ ）【解析】试题分析：设椭圆的短半轴为a ，双曲线的实半轴为1a （1a a >），半焦距为c ，由椭圆、双曲线的定义得a PF PF 2||||21=+，2212||||a PF PF =-，所以11||a a PF +=，12||a a PF -=，因为 6021=∠PF F ，由余弦定理得))(()()(41121212a a a a a a a a c -+--++=， 所以212234aa c +=，即2122122221)(2124ca c a c a c a c a +≥+=-，所以212148)11(e e e-≤+，. 点评：本题椭圆、双曲线的定义与性质，余弦定理及用基本不等式求最值，难度中等. 10.已知函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，当0≥x 时，)3|2||(|21)(222a a x a x x f --+-=，若R ∈∀x ，)()1(x f x f ≤-，则实数a 的取值范围为（ ）A.]61,61[-B.]66,66[-C. ]31,31[-D. ]33,33[-【答案】B 【解析】试题分析：依题意，当0≥x 时，⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-≤<->-=2222220,2,2,3)(a x x a x a a a x a x x f ，作图可知，)(x f 的最小值为2a -，因为函数)(x f 为奇函数，所以当0<x 时)(x f 的最大值为2a ，因为对任意实数x都有，)()1(x f x f ≤-，所以，1)2(422≤--a a ，解得6666≤≤-a ， 故实数a 的取值范围是]66,66[-.考点：本题考查函数的奇函数的性质、分段函数、最值及恒成立，难度中等. 二．填空题：本大题共6小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分.请将答案天灾答题卡对应题号的位置上，答错位置，书写不清，模棱两可均不得分.（一）必考题（11—14题）11.设向量(3,3)a =，(1,1)b =-，若()()a b a b λλ+⊥-，则实数λ=________. 【答案】3± 【解析】试题分析：因为)3,3(λλλ-+=+b a ，)3,3(λλλ++=-b a ，因为)()(b a b a λλ-⊥+，所以0)3)(3()3)(3(=+++-+λλλλ，解得3±=λ. 点评：本题考查平面向量的坐标运算、数量积，容易题.12.直线1:l y x a =+和2:l y x b =+将单位圆22:1C x y +=分成长度相等的四段弧，则22a b +=________.【答案】2 【解析】试题分析：依题意，圆心)0,0(到两条直线的距离相等，且每段弧的长度都是圆周的41，即2||2||b a =，2245cos 2||== a ，所以122==b a ，故222=+b a . 点评：本题考查直线与圆相交，点到直线的距离公式，容易题.13.设a 是一个各位数字都不是0且没有重复数字的三位数.将组成a 的3个数字按从小到大排成的三位数记为()I a ，按从大到小排成的三位数记为()D a （例如815a =，则()158I a =，()851D a =）.阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，任意输入一个a ，输出的结果b =________.【答案】495 【解析】试题分析：当123=a ，则123198123321≠=-=b ； 当198=a ，则198783198981≠=-=b ； 当783=a ，则783495378873≠=-=b ；当495=a ，则a b ==-=495459954，终止循环，故输出495=b . 点评：新定义题型，本题考查程序框图，当型循环结构，容易题.14.设()x f 是定义在()+∞,0上的函数，且()0>x f ，对任意0,0>>b a ，若经过点()()()()b f b a f a ,,,的直线与x 轴的交点为()0,c ，则称c 为b a ,关于函数()x f 的平均数，记为),(b a M f ，例如，当())0(1>=x x f 时，可得2),(ba cb a M f +==，即),(b a M f 为b a ,的算术平均数.（1）当())0_____(>=x x f 时，),(b a M f 为b a ,的几何平均数； （2）当())0_____(>=x x f 时，),(b a M f 为b a ,的调和平均数ba ab+2； （以上两空各只需写出一个符合要求的函数即可） 【答案】（2）x 【解析】试题分析：设)0()(>=x x x f ，则经过点),(a a ，),(b b -的直线方程为ab ab a x a y ---=--，令0=y ，所以ba abx c +==2， 所以当())0(>=x x x f 时，),(b a M f 为b a ,的调和平均数ba ab+2. 点评：本题考查两个数的几何平均数与调和平均数，难度中等. （二）选考题15.（选修4-1：几何证明选讲）如图，P 为⊙O 的两条切线，切点分别为B A ,，过PA 的中点Q 作割线交⊙O 于D C ,两点，若,3,1==CD QC 则_____=PB .【答案】4 【解析】试题分析：由切割线定理得4)31(12=+⨯=⋅=QD QC QA ，所以2=QA ，4==PA PB .点评：本题考查圆的切线长定理，切割线定理，容易题. 16.（选修4-4：坐标系与参数方程）已知曲线1C 的参数方程是⎪⎩⎪⎨⎧==33t y tx ()为参数t ，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程是2=ρ，则1C 与2C 交点的直角坐标为_______. 【答案】)1,3( 【解析】试题分析：由⎪⎩⎪⎨⎧==33ty t x 消去t 得)0,0(322≥≥=y x y x ，由2=ρ得422=+y x ，解方程组⎪⎩⎪⎨⎧==+222234yx y x 得1C 与2C 的交点坐标为)1,3(. 点评：本题考查参数方程、极坐标方程与平面直角坐标方程的转化，曲线的交点，容易题.。
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武昌区2014届高三年级元月调研考试 理科数学试题参考答案及评分细则一、选择题：1．C 2．B 3．B 4．A 5．D 6.D 7．A 8．C 9．B 10．B 二、填空题：11．480 12．2517（或0．68） 13．1(,1)2- 14．（Ⅰ）16；（Ⅱ）()211++n n 15．（Ⅰ）120；（Ⅱ）80 三、解答题： 16．（本小题满分12分）解：（Ⅰ21cos2B B =-，所以 2cos 2sin B B B =．因为 0B <<π， 所以 sin 0B >，从而 tan B =所以π3B =．…………………………………………………………………（6分） （Ⅱ）因为 4A π=，π3B =，根据正弦定理得 sin sin AC BCB A =，所以sin sin BC BAC A⋅==．因为512C A B π=π--=，所以 5sin sin sin()1246C πππ==+=．所以△ABC 的面积1sin 2S AC BC C =⋅=．……… ………………（12分） 17．（本小题满分12分）解：(Ⅰ) 因为11=a ，且521,,a a a 依次成等比数列，所以5122a a a ⋅=，即()()d d 41112+⋅=+，所以022=-d d ，解得2=d （0=d 不合要求，舍去）.所以()12121-=-+=n n a n .因为121-=+n n b b ，所以112(1).n n b b +-=-所以{}1n b -是首项为=-11b 2，公比为2的等比数列． 所以11222.n n n b --=⋅=所以2 1.nn b =+ ……………………………………………………………（6分）xyz（Ⅱ）22211.(21)(21)2121n n a a n n n n +==-⋅-+-+∴1211)121121()5131()3111(+-=+--++-+-=n n n S n 于是1111122(1)11.21212121(21)(21)nn n n n n n S b n n n ---=--+=-=++++++所以，当1,2n =时，22nn =，n S =11nb -； 当3n ≥时，22nn <，n S <11nb -．………………………………………（12分） 18．（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）方法一：A A ⋅+=⋅)(110)(=+⋅=⋅=BE AB BC AE BC ，AE C A ⊥∴1；A A ⋅+=⋅)(110)(=+⋅=⋅=，AF C A ⊥∴1.⊥∴C A 1平面AEF . …………………………（6分）方法二：⊥BC 平面11A ABB ，⊂AE 平面11A ABB ，∴AE BC ⊥．又∵B A AE 1⊥，∴⊥AE 平面BC A 1． ∵⊂C A 1平面BC A 1，∴C A AE 1⊥．同理可证C A AF 1⊥． ∵A AF AE = ，∴⊥C A 1平面AEF ． …………………………………（6分）（Ⅱ）如图，以为AB 为x 轴，AD 为y 轴，1AA 为z 轴，建立空间直角坐标系，因为4=AB ，3=AD ，51=AA ，得到下列坐标：)0,0,0(A ，)0,0,4(B ，)0,3,4(C ,)0,3,0(D ，)5,0,0(1A ，)5,0,4(1B ，)5,3,4(1C )5,3,0(1D ．由（Ⅰ）知，)5,3,4(1-=A 是平面AEF 的一个法向量. 设平面BD B D 11的法向量为()0,,y x =，则011=⋅D B .)0,3,4(11-=D B ，034=+-∴y x .令3=x ，4=y ，则()0,4,3=a ． ∴25212)5(34043)5(03443||||,cos 22222211=-++⨯++-⨯+⨯+⨯=⋅>=<C A a ． ∴25337)25212(1sin 2=-=θ. ∴平面AEF 和平面BD B D 11所成的角的正弦值为25437．………………（12分） 19．（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）数学合格的概率约为4032841005++=．物理合格的概率约为4029631004++=．…………………………………………（4分） （Ⅱ）（ⅰ）随机变量X 的所有取值为9，4．5，3，-1．5．()5343549=⨯==X P ； ()20343515.4=⨯==X P ；()5141543=⨯==X P ； ()20141515.1=⨯=-=X P ．所以，随机变量X 的分布列为:X9 5.4 3 5.1- P35 320 15 120 6.6201)5.1(5132035.4539=⨯-+⨯+⨯+⨯=EX ．…………………………（9分）（ⅱ）抽查5位同学物理分数，合格n 人，则不合格有5n -人，总学分为56)5(5-=--n n n 个． 依题意，得14)5(5≥--n n ，解得619≥n ． 所以4n =或5n =．设“抽查5位同学物理分数所获得的学分不少于14分”为事件A ， 则445531381()C ()()444128P A =⨯+=．……………………………………（12分） 20．（本题满分13分）解：（Ⅰ）设)0,(c F ，则22=a c ，知c a 2=. 过点F 且与x 轴垂直的直线方程为c x =，代入椭圆方程，有1)(2222=+-by a c ，解得b y 22±=. 于是22=b ，解得1=b .又222b c a =-，从而1,2==c a .所以椭圆C 的方程为1222=+y x ． …………………………………………（4分） （Ⅱ）设),(11y x A ，),(22y x B .由题意可设直线AB 的方程为2y kx =+.由⎪⎩⎪⎨⎧=++=,12,222y x kx y 消去y 并整理，得()2221860k x kx +++=.由0)12(24)8(22>+-=∆k k ，得232>k . 由韦达定理，得126,128221221+=+-=+k x x k k x x . 点O 到直线AB 的距离为212k d +=，AB = 22221221)12()32(84)(||21+-=-+==∴∆k k x x x x d AB S AOB. 设223t k =-，由232>k ，知0t >. 于是8168)4(82++=+=∆tt t t S AOB . 由816≥+t t ，得22≤∆AOB S .当且仅当274,2t k ==时等号成立. 所以△B O A 面积的最大值为22.…………………………………………（8分） （Ⅲ）假设存在直线l 交椭圆于P ，Q 两点，且F 为△PQN 的垂心. 设),(11y x P ，),,(22y x Q 因为)1,0(N ，)0,1(F ，所以1-=NF k . 由PQ NF ⊥，知1=PQ k ．设直线l 的方程为m x y +=，由⎩⎨⎧=++=,22,22y x m x y 得0224322=-++m mx x ． 由0>∆，得32<m ，且3421m x x -=+,322221-=m x x ．由题意，有0=⋅.因为),1(),1,(2211y x FQ y x NP -=-=，所以0)1()1(1221=-+-y y x x ，即0)1)(()1(1221=-+++-m x m x x x ， 所以0)1)((222121=-+-++m m m x x x x ．于是0)1(34322222=-+---⨯m m m m m ． 解得34-=m 或1=m ． 经检验，当1=m 时，△PQN 不存在，故舍去1=m ． 当34-=m 时，所求直线l 存在，且直线l 的方程为34-=x y ．……………（13分） 21．（本题满分14分）解：（Ⅰ）()f x 的定义域为()+∞-,a ，ax a x a x x f +-+-=-+='111)(． 由0)(='x f ，得a a x ->-=1. 当a x a -<<-1时，()0/>x f；当a x ->1时，()0/<x f ．所以，)(x f 在a x -=1处取得最大值．由题意知()011=+-=-a a f ，所以1=a ．…………………………………（4分） （Ⅱ）（1）当0≥k 时，由012ln )1(<-=f ，知0≥k 不合题意.（2）当0<k 时，设()()22)1ln(kx x x kx x f x g --+=-=.则1)122(2111)(+++-=+-+='x k kx x kx x x g . 令0)(='x g ，得01=x ，12112122->--=+-=kk k x . ①当21-≤k 时，02122≤+-=kk x ，0)(>'x g 在),0(+∞∈x 上恒成立， 因此)(x g 在),0[+∞上单调递增，从而总有0)0()(=≥g x g ，即2)(kx x f ≥在),0[+∞上恒成立.②当021<<-k 时，02122>+-=k k x ，对于)212,0(kk x +-∈，0)(<'x g ， 因此)(x g 在)212,0(kk +-上单调递减. 因此，当取)212,0(0kk x +-∈时，0)0()(0=<g x g ， 即200)(kx x f ≥不成立.故021<<-k 不合题意.综上，k 的最大值为21-. ……………………………………………………（8分）（Ⅲ）由（Ⅱ）得：221)1ln(x x x -≥-+对任意的[0,+)x ∈∞恒成立.即221)1ln(x x x ≤+-对任意的[0,+)x ∈∞恒成立.取122-=i x （),,3,2,1n i =，则2)12(2)1122ln(122-≤+---i i i ， 即2)12(2)]12ln()12[ln(122-≤--+--i i i i . 当1=n 时，23ln 2<-，不等式成立；当2≥n 时，)12ln(122)]12ln()12ln(122[11+--=-++--∑∑==n i i i i ni ni .因为121321)12)(32(2)12(22---=--<-i i i i i ， 所以)121321(3ln 2)12ln(12221---+-<+--∑∑==i i n i ni ni 212113ln 2<--+-=n . 综上，()212ln 1221<+--∑=n i ni ． ………………………………………（14分）。