_回归分析_教学的两个注记
回归分析法概念及原理
回归分析法概念及原理回归分析法是一种统计方法，用于探究自变量和因变量之间的关系。
通过建立一个数学模型，回归分析可以预测和研究变量之间的相关性。
回归分析法的原理是通过最小化预测值和实际值之间的差异，找到自变量与因变量之间的最佳拟合线。
回归分析法的基本概念包括自变量、因变量、回归方程和残差。
自变量是研究者控制或选择的变量，用于解释因变量的变化。
因变量是研究者感兴趣的变量，被自变量所影响。
回归方程是用来描述自变量和因变量之间关系的数学方程，通常采用线性或非线性形式。
残差是指回归模型中预测值与实际值之间的差异。
回归分析法的原理是通过最小二乘法来确定回归方程的系数，以使残差的平方和达到最小值。
最小二乘法的核心思想是使得回归方程的预测值与实际值之间的误差最小化。
具体来说，就是通过计算残差平方和的最小值，来找到最适合数据的回归方程。
在进行回归分析时，需要进行模型的选择、拟合和检验。
模型的选择通常基于理论、经验和数据。
拟合模型时，需要估计回归方程中的系数，通常采用最小二乘法进行估计。
检验模型时，需要检验回归方程的显著性和拟合优度。
回归分析法可以分为简单线性回归和多元回归。
简单线性回归是指只有一个自变量和一个因变量的情况，多元回归是指有多个自变量和一个因变量的情况。
多元回归可以有不同的形式，如线性回归、非线性回归和多项式回归等。
回归分析法的应用广泛，可以用于预测、解释和控制变量。
例如，在经济学中，回归分析可以用于预测消费者支出；在医学研究中，可以用于解释药物对疾病的治疗效果；在市场营销中，可以用于控制广告投入对销售额的影响。
总之，回归分析法是一种统计方法，通过建立数学模型来研究自变量和因变量之间的关系。
它的原理是通过最小化预测值与实际值之间的差异，来找到最佳拟合线。
回归分析法可以应用于各个领域，用于预测、解释和控制变量。
回归分析方法
回归分析方法
回归分析是统计学中一种重要的数据分析方法，它用于研究自
变量和因变量之间的关系。
回归分析方法可以帮助我们预测和解释
变量之间的关系，从而更好地理解数据的特征和趋势。
在本文中，
我们将介绍回归分析的基本概念、常见的回归模型以及如何进行回
归分析。
首先，回归分析的基本概念包括自变量和因变量。
自变量是研
究者可以控制或观察到的变量，而因变量是研究者希望预测或解释
的变量。
回归分析旨在通过自变量的变化来预测或解释因变量的变化，从而揭示它们之间的关系。
常见的回归模型包括线性回归、多元线性回归、逻辑回归等。
线性回归是最简单的回归模型之一，它假设自变量和因变量之间的
关系是线性的。
多元线性回归则允许多个自变量对因变量产生影响，逻辑回归则用于因变量是二元变量的情况，例如成功与失败、生存
与死亡等。
进行回归分析时，我们需要收集数据、建立模型、进行拟合和
检验模型的拟合优度。
在收集数据时，我们需要确保数据的质量和
完整性，避免因为数据缺失或异常值而影响分析结果。
建立模型时，我们需要选择合适的自变量和因变量，并根据实际情况选择合适的
回归模型。
进行拟合和检验模型的拟合优度时，我们需要根据实际
情况选择合适的统计指标和方法，例如残差分析、R方值等。
总之，回归分析方法是一种重要的数据分析方法，它可以帮助
我们预测和解释变量之间的关系。
通过本文的介绍，相信读者对回
归分析有了更深入的了解，希望能够在实际工作中灵活运用回归分
析方法，为决策提供更可靠的依据。
回归分析方法总结全面
回归分析方法总结全面回归分析是一种统计分析方法，用于研究变量之间的作用关系。
它由一个或多个自变量和一个或多个因变量组成。
回归分析的目的是通过收集样本数据，探讨自变量对因变量的影响关系，即原因对结果的影响程度。
建立一个适当的数学模型来反映变量之间关系的统计分析方法称为回归方程。
回归分析可以分为一元回归分析和多元回归分析。
一元回归分析是对一个因变量和一个自变量建立回归方程。
多元回归分析是对一个因变量和两个或两个以上的自变量建立回归方程。
回归方程的表现形式不同，可以分为线性回归分析和非线性回归分析。
线性回归分析适用于变量之间是线性相关关系的情况，而非线性回归分析适用于变量之间是非线性相关关系的情况。
回归分析的主要内容包括建立相关关系的数学表达式、依据回归方程进行回归预测和计算估计标准误差。
建立适当的数学模型可以反映现象之间的相关关系，从数量上近似地反映变量之间变动的一般规律。
依据回归方程进行回归预测可以估计出因变量可能发生相应变化的数值。
计算估计标准误差可以分析回归估计值与实际值之间的差异程度以及估计值的准确性和代表性。
一元线性回归分析是对一个因变量和一个自变量建立线性回归方程的方法。
它的特点是两个变量不是对等关系，必须明确自变量和因变量。
如果x和y两个变量无明显因果关系，则存在着两个回归方程：一个是以x为自变量，y为因变量建立的回归方程；另一个是以y为自变量，x为因变量建立的回归方程。
若绘出图形，则是两条斜率不同的回归直线。
回归方程的估计值；n——样本容量。
在计算估计标准误差时，需要注意样本容量的大小，样本容量越大，估计标准误差越小，反之亦然。
5.检验回归方程的显著性建立回归方程后，需要对其进行显著性检验，以确定回归方程是否具有统计学意义。
常用的检验方法是F检验和t检验。
F检验是通过比较回归平方和与残差平方和的大小关系，来判断回归方程的显著性。
若F值大于临界值，则拒绝原假设，认为回归方程显著。
t检验则是通过对回归系数进行假设检验，来判断回归方程中各回归系数的显著性。
回归分析的回归方法
回归分析的回归方法回归分析是一种用于建立两个或多个变量之间关系的统计模型的方法。
在回归分析中，我们希望通过对自变量的观测来估计因变量的值。
回归方法主要包括线性回归、非线性回归和多元回归等不同类型。
线性回归是最常用的回归方法之一，它建立了自变量与因变量之间的线性关系。
线性回归的基本模型可以描述为：Y = β0 + β1X1 + β2X2 + …+ ε其中，Y表示因变量的值，X1、X2等表示自变量的值，β0、β1、β2等表示回归系数，ε表示随机误差。
线性回归的目标是通过最小化误差项ε的平方和来估计回归系数的值，从而建立自变量与因变量之间的线性关系。
线性回归分析可以用于预测和解释因变量的变化。
非线性回归是建立自变量与因变量之间非线性关系的回归方法。
在非线性回归中，回归模型可以是指数、对数、幂函数等非线性形式。
与线性回归不同，非线性回归需要通过迭代等方法估计回归系数的值。
非线性回归广泛应用于多种领域，如生物学、经济学和工程学等。
多元回归是一种建立多个自变量与因变量之间关系的回归方法。
多元回归的基本模型可以描述为：Y = β0 + β1X1 + β2X2 + …+ βnXn + ε多元回归与线性回归的不同之处在于，它可以考虑多个自变量对因变量的影响，并且可以控制其他自变量的影响。
多元回归可以帮助我们更好地理解因变量的变化，并进行更精确的预测。
回归分析的应用非常广泛。
在经济学中，回归分析可以用于预测消费支出、部门收入和国内生产总值等经济指标。
在市场营销中，回归分析可以用于预测销售量和消费者偏好等。
在医学研究中，回归分析可以用于分析药物治疗效果和疾病发展趋势等。
在进行回归分析时，需要注意一些问题。
首先，回归分析要求因变量与自变量之间存在一定的线性或非线性关系。
如果没有明确的关系，回归分析可能不适用。
其次，回归模型的建立需要根据实际情况选择合适的自变量和因变量，并进行数据采集和处理。
此外，回归分析还需要考虑自变量之间的多重共线性和误差项的独立性等。
回归分析的基本概念与方法
回归分析的基本概念与方法在当今的数据驱动时代，回归分析作为一种强大的统计工具，广泛应用于各个领域，帮助我们理解和预测变量之间的关系。
那么，什么是回归分析？它又有哪些基本的方法呢？回归分析，简单来说，就是研究一个或多个自变量与一个因变量之间的关系。
其目的是通过建立数学模型，来描述这种关系，并能够根据自变量的值来预测因变量的值。
比如说，我们想研究房价和房屋面积、地理位置、房龄等因素之间的关系。
通过回归分析，我们可以建立一个数学公式，当输入房屋的面积、地理位置、房龄等信息时，就能大致预测出房价。
回归分析有多种类型，其中最常见的是线性回归和非线性回归。
线性回归是回归分析中最简单也是最基础的形式。
它假设自变量和因变量之间存在着线性关系，也就是可以用一条直线来表示这种关系。
举个例子，如果我们想研究一个人的身高和体重之间的关系，线性回归可能会告诉我们，体重随着身高的增加而大致呈线性增长。
在数学上，线性回归模型可以表示为：Y ＝ a ＋ bX ，其中 Y 是因变量，X 是自变量，a 是截距，b 是斜率。
为了确定这个模型中的参数 a 和 b ，我们需要使用一些数据，并通过最小二乘法来进行拟合。
最小二乘法的基本思想是，使得观测值与预测值之间的误差平方和最小。
通过一系列的数学计算，找到最合适的 a 和 b 的值，从而得到最佳的线性回归模型。
然而，现实世界中的很多关系并不是简单的线性关系。
这时候就需要用到非线性回归。
非线性回归的形式多种多样，比如二次函数、指数函数、对数函数等等。
假设我们研究一种药物的剂量和药效之间的关系，可能开始时药效随着剂量的增加而迅速上升，但到了一定程度后，增加剂量对药效的提升就不那么明显了，这种关系可能更适合用非线性模型来描述。
在进行回归分析时，有几个重要的概念需要了解。
首先是残差。
残差是观测值与预测值之间的差异。
通过观察残差，我们可以判断模型的拟合效果。
如果残差随机分布在零附近，说明模型拟合较好；如果残差呈现出某种规律，比如有明显的趋势或聚集，那么可能意味着模型存在问题，需要进一步改进。
回归分析和相关分析的基本概念和方法
回归分析和相关分析的基本概念和方法回归分析和相关分析是统计学中常用的分析方法，用于研究变量之间的关系、预测变量的值以及对未来情况进行估计。
本文将介绍回归分析和相关分析的基本概念和方法。
回归分析是一种通过建立数学模型来描述变量之间关系的方法。
它基于一个或多个自变量（也称为预测变量）与一个因变量（也称为响应变量）之间的关系。
回归分析的目的是通过自变量的值来预测和解释因变量的值。
常见的回归分析方法有线性回归、多元回归和逻辑回归等。
线性回归是最常用的回归分析方法之一，它假设自变量和因变量之间存在线性关系，并通过拟合一条直线或平面来描述这种关系。
多元回归则可以处理多个自变量的情况，逻辑回归则适用于因变量为二元变量的情况。
回归分析的方法可以帮助我们理解变量之间的关系，并进行预测和解释。
它可以用于各个领域的研究，如经济学、社会学、医学等。
通过观察变量之间的相关性，我们可以了解它们之间的内在关系，并根据这些关系做出相应的决策。
与回归分析类似，相关分析也是研究变量之间关系的一种方法。
相关分析衡量了两个变量之间的线性关系强度和方向，它可以告诉我们变量之间的相关性程度。
相关系数的取值范围在-1到1之间，其中负值表示负相关，正值表示正相关，0表示无相关性。
相关分析可以帮助我们了解变量之间的关系，并可以预测一个变量的值，当我们知道其他相关变量的值时。
相关分析还可以用于探索性数据分析，帮助我们发现变量之间的新关系，并进行深入研究。
在进行回归分析和相关分析之前，我们需要先收集数据，并进行数据预处理。
这包括数据清洗、缺失值处理和异常值检测等步骤。
然后，我们可以根据研究的目的选择合适的回归模型或相关系数，并进行参数估计和假设检验。
为了确保结果的可靠性，我们还需要进行模型诊断和效果评估。
模型诊断可以检查模型是否满足回归或相关分析的假设，并纠正违反假设的情况。
效果评估可以通过计算预测误差、确定系数和显著性检验等指标来评估模型的拟合效果。
回归知识点总结归纳
回归知识点总结归纳随着社会的发展和科技的进步，人们对于回归知识点的重视日益增加。
回归分析是一种用来探索变量之间关系的统计方法，它可以帮助我们理解变量之间的关系，并对未来的趋势进行预测。
在本文中，我们将对回归知识点进行总结归纳，以便读者更好地掌握这一重要的统计学方法。
一、回归分析的基本概念1.1 回归分析的定义回归分析是指通过确定两个或多个变量之间的数理关系，来预测一个或多个变量的方法。
在回归分析中，通常将要预测的变量称为因变量，而用来预测的变量称为自变量。
1.2 回归分析的类型回归分析可以分为线性回归分析和非线性回归分析两种类型。
其中，线性回归分析是指因变量和自变量之间的关系是线性的，而非线性回归分析则是指因变量和自变量之间的关系是非线性的。
1.3 回归分析的应用领域回归分析广泛应用于各个学科领域，如经济学、金融学、社会科学、生物学等。
它可以帮助研究者了解变量之间的关系，并为决策提供依据。
二、线性回归分析2.1 简单线性回归分析简单线性回归分析是指只包含一个自变量和一个因变量的回归分析方法。
其数学表达式可以表示为Y = α + βX + ε，其中Y表示因变量，X表示自变量，α和β分别为截距和斜率，ε为误差。
2.2 多元线性回归分析多元线性回归分析是指包含两个或多个自变量和一个因变量的回归分析方法。
其数学表达式可以表示为Y = α + β1X1 + β2X2 + … + βnXn + ε，其中X1、X2、…、Xn为自变量，β1、β2、…、βn为自变量的系数。
2.3 线性回归分析的模型拟合线性回归分析的模型拟合是指通过最小二乘法来拟合模型，使得因变量Y和自变量X之间的残差平方和最小化。
这样可以得到最优的模型参数估计值。
2.4 线性回归分析的检验线性回归分析的检验包括回归系数的显著性检验、模型拟合度的检验、残差的独立性检验等。
这些检验可以帮助我们判断模型的有效性和可靠性。
三、非线性回归分析3.1 非线性回归分析模型非线性回归分析模型包括指数模型、对数模型、幂函数模型等。
初中数学 什么是回归分析 如何进行回归分析
初中数学什么是回归分析如何进行回归分析在统计学中，回归分析（Regression Analysis）是一种用来研究变量之间关系的方法。
在初中数学中，了解回归分析的概念有助于理解变量之间的关系，并进行预测和解释。
本文将介绍回归分析的概念，并详细说明如何进行回归分析。
回归分析的特点如下：1. 变量关系：回归分析用于研究一个或多个自变量与一个因变量之间的关系。
自变量是用来解释因变量的变化的变量，因变量是需要预测或解释的变量。
2. 回归方程：回归分析的结果是一个回归方程，用于描述自变量与因变量之间的关系。
回归方程可以用来预测因变量的取值，或解释因变量的变化。
进行回归分析可以使用以下步骤：1. 收集数据。
收集需要进行回归分析的数据，包括自变量和因变量的取值。
确保数据的准确性和完整性。
2. 选择回归模型。
根据变量之间的关系和研究目的，选择适当的回归模型。
常用的回归模型包括线性回归、多项式回归、对数回归等。
线性回归是最常用的回归模型，用于研究自变量与因变量之间的线性关系。
3. 建立回归方程。
根据选择的回归模型，建立回归方程。
对于线性回归，回归方程可以表示为：Y = a + bX，其中Y表示因变量，X表示自变量，a表示截距，b表示斜率。
4. 估计参数。
使用统计方法估计回归方程中的参数。
常用的估计方法包括最小二乘法、最大似然估计等。
通过估计参数，可以得到回归方程中的截距和斜率的取值。
5. 检验回归方程。
使用适当的统计检验方法，检验回归方程的显著性。
常用的检验方法包括t检验、F检验等。
检验回归方程的显著性可以判断自变量与因变量之间的关系是否具有统计学意义。
6. 解释回归方程。
根据回归方程中的参数估计值，解释自变量对因变量的影响。
斜率表示自变量每变化一个单位，因变量的平均变化量；截距表示当自变量取值为0时，因变量的取值。
7. 进行预测。
使用建立的回归方程，可以进行因变量的预测。
通过给定自变量的取值，可以计算出相应的因变量的预测值。
回归分析法PPT课件
线性回归模型的参数估计
最小二乘法
通过最小化误差平方和的方法来估计 模型参数。
最大似然估计
通过最大化似然函数的方法来估计模 型参数。
参数估计的步骤
包括数据收集、模型设定、参数初值、 迭代计算等步骤。
参数估计的注意事项
包括异常值处理、多重共线性、自变 量间的交互作用等。
线性回归模型的假设检验
假设检验的基本原理
回归分析法的历史与发展
总结词
回归分析法自19世纪末诞生以来，经历 了多个发展阶段，不断完善和改进。
VS
详细描述
19世纪末，英国统计学家Francis Galton 在研究遗传学时提出了回归分析法的概念 。后来，统计学家R.A. Fisher对其进行了 改进和发展，提出了线性回归分析和方差 分析的方法。随着计算机技术的发展，回 归分析法的应用越来越广泛，并出现了多 种新的回归模型和技术，如多元回归、岭 回归、套索回归等。
回归分析法的应用场景
总结词
回归分析法广泛应用于各个领域，如经济学、金融学、生物学、医学等。
详细描述
在经济学中，回归分析法用于研究影响经济发展的各种因素，如GDP、消费、投资等；在金融学中，回归分析法 用于股票价格、收益率等金融变量的预测；在生物学和医学中，回归分析法用于研究疾病发生、药物疗效等因素 与结果之间的关系。
梯度下降法
基于目标函数对参数的偏导数， 通过不断更新参数值来最小化目 标函数，实现参数的迭代优化。
非线性回归模型的假设检验
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模型检验
对非线性回归模型的适用性和有效性进行检验， 包括残差分析、正态性检验、异方差性检验等。
参数检验
通过t检验、z检验等方法对非线性回归模型的参 数进行假设检验，以验证参数的显著性和可信度。
《回归分析》课堂实录及反思
《回归分析》课堂实录及反思一．创设情景引入新课师：先请同学们看下面这段视频短片（1＇17＂）师:笑,意犹未尽吧?在这个短片中,我们发现可以根据犯罪嫌疑人留在现场的脚印推测出犯罪嫌疑人的身高,从而缩小侦查范围,提高破案效率.那么,人的脚长和身高之间确实存在着某种联系吗?如果存在,又是一种什么联系呢?我们能不能从数学的角度找到问题的答案?这节课我们就来研究一下人的脚长和身高之间可能存在的联系即进行回归分析(板书:回归分析).为我们以后也能成为神探狄仁杰、大侦探福尔摩斯做好准备.二.回归分析(一).收集数据师:要想得到脚长和身高的关系,首先我们需要收集脚长和身高的相关数据,然后对数据进行分析.那么,这些样本数据我们可以从哪里收集呢?想个办法?生:上网查吧…师:同学们都知道自己的身高吧?生:知道.师:脚长知道吗?生:不知道,要量一量…师:当然不需要大家现在脱掉鞋子进行测量,我这儿有个现成的公式提.如某位同学穿44码的鞋子,则他供给大家:脚长(单位:CM)=（鞋码+10）2的脚长等于27CM.现在,就请同学们按照我们分好的小组每8人一组收集数据,然后2人一小组合作完成下面的表格.生收集数据,完成表格.(二)画散点图x与满足什接下来,我们需要对数据进行分析.那么,这8组数据中的Y么关系？为了更直观清楚，请同学们在给出的平面直角坐标系下标出你收集到的这8组数据所对应的点.生作图.师:因为我们所作出的图象是一些孤立的点,所以,我们把这样的图叫做散点图.这是我作出的散点图.我们发现这8个点应该不满足某个确定的函数关系.但是这8个点从整体上看呈带状分布,我们可以认为大致分布在某x与有近似的线性关系.它大致满足的这条直线我们把它条直线附近,即Y叫做回归直线.师:为什么我们把这样的直线叫做回归直线呢?让我们一起来了解下面的知识背景.(屏幕展示)知识背景：“回归”一词首先由英国著名统计学家高尔顿提出来的。
1889年，他在研究祖先与后代身高之间关系时发现：身材较高的父母他们的孩子平均身高也较高，但这些孩子的平均身高并没有他们的父母平均身高高。
新人教A版数学-选修2-3-教案：回归分析的基本思想及其初步应用知识梳理
回归分析的基本思想及其初步应用知识梳理一．线性回归方程的确定如果一组具有相关关系的数据1122(,),(,),,(,),n n x y x y x y 作出散点图大致分布在一条直线附近,那么我们称这样的变量之间的关系为线性相关关系(也称一元线性相关),这条直线就是回归直线,记为ˆybx a =+． 那么如何求得参数a b 和使得各点与此直线的距离的平方和为最小,即如何求得线性回归方程呢? [来源:]在所求回归直线方程ˆybx a =+中,当x 取i x 时，i i y bx a =+与实际收集到的数据i y 之间的偏差为()i i i i y y y bx a -=-+,偏差的平方为22()[()]i i i i y y y bx a -=-+(如图1).[来源:] 即21()niii Q y bx a ==--∑ 来刻画出n 个点与回归直线在整体上的偏差的平方和,显然Q 取最小值时的,a b 的值就是我们所求的:121()()()n iii nii x x y y b x x ==--=-∑∑1221ni ii nii x y nx yxnx==-=-∑∑a y bx =-其中(,)i i x y 为样本数据,11,n ni i i ix x y y n n ==∑∑为样本平均数，(,)x y 称为样本点中心，且所求线性回归直线经过样本点中心（如图2所示）．当回归直线斜率0b >时,为线性正相关, 0b <时为线性负相关.应注意,这个最小距离不是通常所指的各数据的点(,)i i x y 到直线的距离,而是各数据点(,)i i x y 沿平行y 轴方向到直线的距离（如图1所示）．⋅对于上面参数a b 和的求法原理及方法是简单的,但是运算量较大,需要将o⋅⋅y bx a=+y xyx图2 y bx a =+⋅iyyix xi y2()i i y y -o图121()ni i i Q y bx a ==--∑展开,再合并,然后配方整理,从而求得,a b . [来源:]例如,当,,,a b m n 取怎样实数时, 22()()a n b m k -+-+的值为最小,显然当,a m b n ==时最小值为k ,像这样配方求最值的方法是经常用到的, 线性回归方程ˆybx a =+中的参数,b a 就是这样求出的. 教材中用了添项法较为简捷的求出了截距a 和斜率b 分别是使21(,)()ni i i Q y x αββα==--∑取最小值时,αβ的值．求得121()()()niii nii x x y y x x β==--=-∑∑，y x αβ=-的值，请同学们体会其解法．线性回归方程的确定是进行回归分析的基础．二．回归分析：是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法． １．线性相关关系的强弱两个变量之间线性相关关系的样本相关系数12211()()()()niii n niii i x x y y r x x y y ===--=--∑∑∑衡量线性相性关系的强弱，由于分子与斜率b 的分子一样，因此，当0r >时，两个变量正相关；当0r <时两个变量负相关．当r 的绝对值接近１，表明两个变量的线性相关性很强；当r 的绝对值接近０，表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系．规定当0.75r >时，我们认为两个变量有很强的线性相关关系．２．解释变量与随机误差对预报精度的影响以及残差分析 （1）有关概念线性回归模型2()0,()y bx a e E e D e σ=++⎧⎨==⎩其中a 和b 为模型的未知参数；[来源:] x 称为解释变量，y 称为预报变量；e 是y 与ˆy bx a =+之间的误差， e 叫随机误差。
最新人教版高中数学选修1-2《回归分析的基本思想及其初步应用》教材梳理
庖丁巧解牛知识·巧学 一、回归分析回归分析是根据变量观测数据分析变量间关系的常用统计分析方法.通常把变量观测数据称为样本.1.散点图与回归方程(1)设对y 及x 做n 次观测得数据(x i ,y i )(i=1,2,…,n).以(x i ,y i )为坐标在平面直角坐标系中描点,所得到的这张图便称之为散点图.其中x 是可观测、可控制的普通变量，常称它为自变量，y 为随机变量，常称其为因变量.知识拓展 散点图是直观判断变量x 与y 是否相关的有效手段. (2)a 与回归系数b 的计算方法若散点呈直线趋势,则认为y 与x 的关系可以用一元回归模型来描述.设线性回归方程为y=a+bx+ε.其中a 、b 为未知参数，ε为随机误差，它是一个分布与x 无关的随机变量.最小二乘估计aˆ和b ˆ是未知参数a 和b 的最好估计. x b y aˆˆ-=,b ˆ=∑∑==---ni ini i ix xy y x x121)())((.深化升华 bˆ的计算还可以用公式b ˆ=∑∑==--ni ini ii x n xyx n yx 1221来计算，这时只需列表求出相关的量代入即可. 2.相关性检验如下图中的两个散点图，很难判断这些点是不是分布在某条直线附近.假如不考虑散点图，按照最小二乘估计计算a 与b ，我们可以根据一组成对数据，求出一个回归直线方程.但它不能反映这组成对数据的变化规律.为了解决上述问题，我们有必要对x 与y 作线性相关性的检验，简称相关性检验.对于变量x 与y 随机抽取到的n 对数据(x 1,y 1)，(x 2,y 2)，…，(x n ,y n )，检验统计量是样本相关系数r.r=∑∑∑∑∑∑======---=----ni i ni i ni ii ni i n i i ni i iy n y x n x yx n yx y y x x y y x x122122112121)()()()())((.r 具有以下性质:当r 大于0时，表明两个变量正相关，当r 小于0时，表明两个变量负相关；|r|≤1；|r|越接近1，线性相关程度越强；|r|越接近0，线性相关程度越弱.通常当|r|大于0.75时，认为两个变量有很强的线性相关关系.相关性检验临界值如下表所示.相关性检验的临界值表深化升华 相关性检验的步骤也可如下: (1)作统计假设:X 与Y 不具有线性相关关系.(2)根据小概率0.05与n-2在相关性检验的临界值表中查出r 的一个临界值r 0.05. (3)根据样本相关系数计算公式算出r 的值.(4)作出统计推断.如果|r|＞r 0.05，表明有95％的把握认为X 与Y 之间具有线性相关关系.如果|r|≤r 0.05，我们没有理由拒绝原来的假设.这时寻找回归直线方程是没有意义的. 3.回归分析的基本概念(1)在数学上，把每个效应(观测值减去总的平均值)的平方和加起来，即用∑=-ni iy y12)(表示总的效应，称为总偏差平方和.(2)数据点和它在回归直线上相应位置的差异(y i －i yˆ)是随机误差的效应，称i e ˆ=(y i -i y ˆ)为残差.(3)分别将残差的值平方后回来，用数学符号表示为∑=-ni i iy y12)(称为残差平方和.它代表了随机误差的效应.(4)总偏差平方和与残差平方和的差称为回归平方和.(5)回归效果的刻画我们可以用相关指数R 2反映.R 2=1-∑∑==--n i ini i iy y yy1212)()ˆ(.显然，R 2的值越大，说明残差平方和越小，也就是说模型的拟合效果越好.4.非线性回归问题 在实际问题中，当变量之间的相关关系不是线性相关关系时，不能用线性回归方程描述它们之间的相关关系，需要进行非线性回归分析，然而非线性回归方程一般很难求，因此把非线性回归化为线性回归应该说是解决问题的好方法.首先，所研究对象的物理背景或散点图可帮助我们选择适当的非线性回归方程yˆ=μ(x；a，b).其中a及b为未知参数，为求参数a及b的估计值，往往可以先通过变量置换，把非线性回归化为线性回归，再利用线性回归的方法确定参数a及b的估计值.问题·探究问题函数关系是一种确定性关系，而对一种非确定性关系——相关关系，我们如何研究？导思:由于相关关系不是一种确定性关系，我们经常运用统计分析的方法，即回归分析，按照画散点图，求回归方程，用回归方程预报等步骤进行.探究:我们可以知道，相关关系中，由部分观测值得到的回归直线，可以对两个变量间的线性相关关系进行估计，这实际上是将非确定性问题转化成确定性问题来研究.由于回归直线将部分观测值所反映的规律性进行了延伸，它在情况预报、资料补充等方面有着广泛的应用，从某种意义上看，函数关系是一种理想的关系模型，而相关关系是一种更为一般的情况.因此研究相关关系，不仅可使我们处理更为广泛的数学应用问题，还要使我们对函数关系的认识上升到一种新的高度.典题·热题思路解析：散点图是表示具有相关关系的两个变量的一组数据的图形.解：散点图如下:例2每立方米混凝土的水泥用量x(单位:kg)与2８天后混凝土的抗压强度(单位:kg/cm2)之间的关系有如下数据:(2)如果y与x之间具有线性相关关系，求回归直线方程.思路解析：求回归直线方程和相关系数，可以用计算器来完成.在有的较专门的计算器中，可通过直接按键得出回归直线方程的系数和相关系数，而如果要用一般的科学计算器进行计算，则要先列出相应的表格，有了表格中的那些相关数据，回归方程中的系数和相关系数就都容易求出了.解：(1)r=)6.721294.64572)(20512518600(6.722051218294322⨯-⨯-⨯⨯-≈0.999>0.75.说明变量y 与x 之间具有显著的线性正相关关系.bˆ=143004347205125186006.72205121829432=⨯-⨯⨯-≈0.304, x b y aˆˆ-==72.6－0.304×205=10.28. 于是所求的线性回归方程为yˆ=0.304x+10.28. 深化升华 为了进行相关性检验，通常将有关数据列成表格，然后借助于计算器算出各个量，为求回归直线方程扫清障碍.若由资料知y 对x 有线性相关关系.试求:(1)线性回归方程yˆ=b ˆx+a ˆ的回归系数a ˆ,b ˆ. (2)使用年限为10年时，估计维修费用是多少？思路解析：因为y 对x 有线性相关关系，所以可以用一元线性相关的方法解决问题.利用公式bˆ=∑∑==--ni i ni ii x n x yx n yx 1221,aˆ=y -b ˆx 来计算回归系数.有时为了方便常列表对应写出x i y i ，x i 2,以利于求和.解：(1)x =4，y =5，∑=ni ix12=90，∑=ni ii yx 1=112.3，于是bˆ=245905453.112⨯-⨯⨯-=1.23，aˆ=y -b ˆx =5-1.23×4=0.08. (2)回归直线方程为yˆ=1.23x+0.08.当x=10年时，y ˆ=1.23×10+0.08=12.38(万元)，即估计使用10年的维修费用是12.38万元.方法归纳 知道y 与x 呈线性相关关系，就无需进行相关性检验，否则，应首先进行相关性检验.如果本身两个变量不具有相关关系，或者说，它们之间相关关系不显著，即使求出了回归方程也是毫无意义的，而且估计和预测的量也是不可信的.例4一只红铃虫的产卵数y与x有关，现收集了7组观测数据列于表中，试建立y与x之间思路解析：首先要作出散点图，根据散点图判定y与x之间是否具有线性相关关系，若具有线性相关关系，再求线性回归方程.在散点图中，样本点并没有分布在某个带状区域内，因此两个变量不呈线性相关关系，所以不能直接利用线性回归方程来建立两个变量之间的关系.根据已有的函数知识，可以发现样本分布在某一指数函数曲线的周围.解：散点图如下所示:由散点图可以看出:这些点分布在某一条指数函数y=pe qx(p,q为待定的参数)的周围.现在，问题变为如何估计待定的参数p和q，我们可以通过对数变换把指数关系变为线性关系.令z=lny,则变换后样本点应该分布在直线z=bx+a(a=lnp,b=q)周围.这样就可以利用线性回归模型来建立y与x之间的非线性回归方程了.由下图可看出，变换后的样本点分布在一条直线的附近，因此可以用线性回归方程来拟合.经过计算得到线性回归方程为zˆ=0.272x－3.843.因此红铃虫的产卵数对温度的非线性回归方程为yˆ=e0.272x－3.843.方法归纳线性回归问题在解决前可以先画散点图，通过散点图判断是否为线性回归，如果不是线性回归,要先转换为线性回归问题.。
回归分析法概念及原理
回归分析法概念及原理回归分析定义：利用数据统计原理，对大量统计数据进行数学处理，并确定因变量与某些自变量的相关关系，建立一个相关性较好的回归方程(函数表达式)，并加以外推，用于预测今后的因变量的变化的分析方法。
分类：1. 根据因变量和自变量的个数来分类：一元回归分析；多元回归分析；2. 根据因变量和自变量的函数表达式来分类：线性回归分析；非线性回归分析；几点说明：1. 通常情况下，线性回归分析是回归分析法中最基本的方法，当遇到非线性回归分析时，可以借助数学手段将其化为线性回归；因此，主要研究线性回归问题，一点线性回归问题得到解决，非线性回归也就迎刃而解了，例如，取对数使得乘法变成加法等；固然，有些非线性回归也可以直接进行，如多项式回归等；2. 在社会经济现象中，很难确定因变量和自变量之间的关系，它们大多是随机性的，惟独通过大量统计观察才干找出其中的规律。
随机分析是利用统计学原理来描述随机变量相关关系的一种方法；3. 由回归分析法的定义知道，回归分析可以简单的理解为信息分析与预测。
信息即统计数据，分析即对信息进行数学处理，预测就是加以外推，也就是适当扩大已有自变量取值范围，并承认该回归方程在该扩大的定义域内成立，然后就可以在该定义域上取值进行“未来预测”。
固然，还可以对回归方程进行有效控制；4. 相关关系可以分为确定关系和不确定关系。
但是不管是确定关系或者不确定关系，只要有相关关系，都可以选择一适当的数学关系式，用以说明一个或者几个变量变动时，另一变量或者几个变量平均变动的情况。
相关关系线性相关非线性相关彻底相关不相关正相关负相关正相关负相关回归分析主要解决的问题：回归分析主要解决方面的问题；1. 确定变量之间是否存在相关关系，若存在，则找出数学表达式；2. 根据一个或者几个变量的值，预测或者控制另一个或者几个变量的值，且要估计这种控制或者预测可以达到何种精确度。
回归模型：回归分析步骤：1. 根据自变量与因变量的现有数据以及关系，初步设定回归方程；2. 求出合理的回归系数；3. 进行相关性检验，确定相关系数；4. 在符合相关性要求后， 即可根据已得的回归方程与具体条件相结合， 来确定事物的未来 状况，并计算预测值的置信区间；回归分析的有效性和注意事项：有效性： 用回归分析法进行预测首先要对各个自变量做出预测。
回归分析方法总结全面
回归分析方法总结全面第一篇：回归分析方法总结全面一、什么是回归分析回归分析(Regression Analysis)是研究变量之间作用关系的一种统计分析方法，其基本组成是一个（或一组）自变量与一个（或一组）因变量。
回归分析研究的目的是通过收集到的样本数据用一定的统计方法探讨自变量对因变量的影响关系，即原因对结果的影响程度。
回归分析是指对具有高度相关关系的现象，根据其相关的形态，建立一个适当的数学模型(函数式)，来近似地反映变量之间关系的统计分析方法。
利用这种方法建立的数学模型称为回归方程，它实际上是相关现象之间不确定、不规则的数量关系的一般化。
二、回归分析的种类1.按涉及自变量的多少，可分为一元回归分析和多元回归分析一元回归分析是对一个因变量和一个自变量建立回归方程。
多元回归分析是对一个因变量和两个或两个以上的自变量建立回归方程。
2.按回归方程的表现形式不同，可分为线性回归分析和非线性回归分析若变量之间是线性相关关系，可通过建立直线方程来反映，这种分析叫线性回归分析。
若变量之间是非线性相关关系，可通过建立非线性回归方程来反映，这种分析叫非线性回归分析。
三、回归分析的主要内容1.建立相关关系的数学表达式。
依据现象之间的相关形态，建立适当的数学模型，通过数学模型来反映现象之间的相关关系，从数量上近似地反映变量之间变动的一般规律。
2.依据回归方程进行回归预测。
由于回归方程反映了变量之间的一般性关系，因此当自变量发生变化时，可依据回归方程估计出因变量可能发生相应变化的数值。
因变量的回归估计值，虽然不是一个必然的对应值(他可能和系统真值存在比较大的差距)，但至少可以从一般性角度或平均意义角度反映因变量可能发生的数量变化。
3.计算估计标准误差。
通过估计标准误差这一指标，可以分析回归估计值与实际值之间的差异程度以及估计值的准确性和代表性，还可利用估计标准误差对因变量估计值进行在一定把握程度条件下的区间估计。
四、一元线性回归分析1.一元线性回归分析的特点1)两个变量不是对等关系，必须明确自变量和因变量。
关于二值回归模型的两点注记
关于二值回归模型的两点注记
1、二值回归模型
二值回归模型是指将离散数据分为两类，如“是与否”，“正与负”等，并使用一元或多元线性回归模型对这两个类别的分类结果进行建模。
主要特点
1）实际上，二值回归模型是一般回归模型的一种特殊情况，所以具有比一般回归模型更少参数的优势；
2）它比较适用于对单个事件，例如错误/正确、存在/不存在这种情况进行分析；3）二值回归模型可以衡量自变量对结果变量的影响；
4）通过使用不同的分布函数，可以有效地处理概率异常数据，提高预测性能；5）二值回归模型能够准确地估算自变量对结果变量的影响，使情绪数据更加接近实际情况；
6）它可以有效地处理多类分类问题和多项式回归问题；
7）它可以很好地处理分类问题，例如二分类、多分类等问题。
应用场景
1）金融风险：二值回归模型能够有效分析个人和企业的负债风险;
2）高新科技：对自动驾驶车辆的控制系统等复杂的高新科技产品的性能测试；3）生物医学：由于二值回归模型能够处理各种连续或离散数据，因此在生物医学研究中，它可以用于研究血液或组织中的毒素的浓度；
4）社会调研：二值回归模型能够有效分析调查问卷中的问题；
5）语音识别：通过使用二值回归模型可以实现机器识别语音；
6）数据挖掘：研究者也可以通过使用二值回归模型对大量数据进行挖掘，从中发现有价值的信息。
回归知识点总结
回归知识点总结一、回归分析的基本概念1. 回归分析的定义回归分析是指通过对自变量和因变量之间的关系进行建模，来研究自变量对因变量的影响程度和趋势的一种统计分析方法。
在回归分析中，通常假设自变量和因变量之间具有一定的数学表达关系，通常用回归方程来表示这种关系。
2. 回归方程回归方程是描述自变量和因变量之间关系的数学公式，通常写成：Y = β0 + β1X1 + β2X2 + … + ε其中，Y表示因变量，X1、X2等表示自变量，β0、β1、β2等表示回归系数，ε表示误差项。
回归系数表示自变量对因变量的影响程度和趋势，而误差项则表示模型无法解释的部分。
3. 回归类型根据因变量和自变量的性质，回归分析可分为线性回归和非线性回归。
线性回归是指因变量和自变量之间存在线性关系的回归分析方法，常用于连续型因变量和连续型自变量之间的关系研究；而非线性回归则是指因变量和自变量之间存在非线性关系的回归分析方法，适用于非线性的数据关系。
二、回归分析的方法1. 普通最小二乘法（OLS）普通最小二乘法是一种常用的回归分析方法，用于估计回归方程中的回归系数。
其基本思想是通过最小化因变量的观测值和回归方程预测值之间的差异，来求解回归系数，使得误差的平方和最小。
2. 变量选择方法变量选择方法是用来确定回归模型中应该包含哪些自变量的方法，常用的变量选择方法包括前向逐步回归、后向逐步回归和逐步回归等。
这些方法可以帮助排除无关变量，选择对因变量影响显著的自变量，从而建立更为准确的回归模型。
3. 模型诊断方法模型诊断是用来检验回归模型的假设和前提条件的方法，常用的模型诊断方法包括残差分析、异方差性检验、多重共线性检验、解释变量选择与模型优化等。
这些方法可以帮助检验回归模型的合理性和准确性，从而对模型进行修正和优化。
三、回归分析的应用1. 预测分析回归分析常用于预测因变量的取值，例如通过消费者的收入、年龄、教育程度等自变量来预测其购买行为、消费偏好等因变量的取值。
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总第１０３期
ＴＯＮＧＪＩＪＩＡＯＹＵ《回归分析》是数理统计学的一个重要组成部分，其应用成果的教材是很丰富的。
但是在众多的教材，有些问题未得到很好的阐述。
而且这些问题又是学生经常发问的，要解答得圆满而且易懂也不是很容易的，即不是“显然”的。
例如，对回归方程进行显著检验时，为什么原假设Ｈ０：!１＝!２＝…!ｐ＝
０的拒绝域是Ｗ＝｛Ｆ＞Ｆ"｝等。
本文供出一些问题的解答，以期
得到同行的斧正。
一、关于检验回归方程显著性的注记
线性模型：（Ｉ）＝
Ｙ＝Ｘ!＋##￣Ｎ（０，$２
Ｉｎ!
）
!的最小二乘估计为：
!"＝（Ｘ＇Ｘ）Ｘ＇Ｙ，ｙ"ｉ＝（ｘｉ１，ｘｉ２，…，ｘｉｐ）!"，ｙ＝１ｎｎ
ｉ＝１
"ｙｉ，
ＳＳＴ＝ｎ
ｉ＝１"（ｙｉ－ｙ）＝ｎ
ｉ＝１"（ｙｉ－ｙ"ｉ）＋ｎ
ｉ＝１
"（ｙ"
ｉ－ｙ）２ｄｅｆ
＝ＳＳＥ＋ＳＳＲ
确定系数（决定系数）：Ｒ２
＝ＳＳＲＳＳＴ
；模型显著性检验的Ｆ
统计量：Ｆ＝
ＳＳＲ／ｐＳＳＥ／（ｎ－１－ｐ）
欲检验模型的显著性，假设：
Ｈ０：!１＝!２＝…＝!ｐ＝０
接受Ｈ０，意味着自变量ｘ１，ｘ２，…，ｘｐ对因变量Ｙ影响不显著。
反之自变量ｘ１，ｘ２，…，ｘｐ对因变量Ｙ影响显著，因为此时存在!ｊ≠０，ｘ１，ｘ２，…，ｘｐ，对ｙ的波动有显著的贡献，则Ｙ
的波动源不仅是#，还有ｘ１，ｘ２，…，ｘｐ引起的波动。
大多数教材不加说明地给出Ｆ￣Ｆ（ｐ，ｎ－１－ｐ），Ｈ０的拒绝域为Ｗ＝｛Ｆ＞Ｆ"｝。
陈希孺虽然作了一些解释，但是学生也不容易懂。
为了让学
生更透彻地理解，加以如下解说。
１、直观解释
如果Ｈ０成立，则Ｙ值的波动源仅是#，即ｙｉ＝!０＋#ｉ，ｙ"
ｉ＝
!"
０＝ｙ，从而，ＳＳＥ＝ＳＳＴ，ＳＳＲ＝０，Ｆ很小。
反之，如果Ｈ０不成
立，则存在!ｊ≠０，ｘ１，ｘ２，…，ｘｐ对ｙ的波动有显著的贡献。
ｘ１，ｘ２，…，ｘｐ对Ｙ波动的贡献越大，越能说明Ｙ的确定成份越大，
Ｙ的随机波动成份小。
因而ｙ"
ｉ对ｙｉ的拟合越好，ＳＳＥ应该越
小。
即Ｈ０不成立时，ＳＳＥ小而ＳＳＲ大。
从而Ｆ大，所以Ｈ０拒绝域为Ｗ＝｛Ｆ＞Ｆ"｝。
由平方和分解公式知，如果ＳＳＲ比ＳＳＥ大得多（Ｆ很大），则Ｙ的总偏差ＳＳＴ主要由ｘｊ，（ｊ＝１，２，…，ｐ）引起，即Ｙ的波动的主要因素是ｘｊ（ｊ＝１，２，…，ｐ），而不是随机误差。
即Ｈ０不成立。
所以Ｈ０拒绝域是Ｗ＝｛Ｆ＞Ｆ"｝。
２、
数学推导参考文献［２］从约束模型开始，得出Ｆ＝
ＳＳＲ／ｐＳＳＥ／（ｎ－１－ｐ）
￣Ｆ（ｐ，ｎ－１－ｐ），现作详细说明如下：
对模型（Ｉ）ＳＳＥ＝（Ｙ－Ｘ!"）＇（Ｙ－Ｘ!"
）
对约束模型（ＩＩ）
Ｙ＝Ｘ!"＋#
#￣Ｎ（０，$２
Ｉｎ）
Ａ!＝ｂ，Ａ满秩，ｒａｎｋ（Ａ）＝$&&&&%&&&&’
ｋ
其约束最小二乘估计为：
!"Ｈ＝!"
－（Ｘ＇Ｘ）－１Ａ＇［Ａ（Ｘ＇Ｘ）－１Ａ＇］－１（Ａ!"－ｂ）＝ＤＥＦ!"－%
误差平方和为：
文／姜晴琼
田应福
《回归分析》
教学的两个注记摘要：本文对《回归分析》的教学提出两个注记：关于检验回归方程显著性的注记，解答了学生常问的而又不易讲清的问题；建议使用Ｐ值使得模型精简明了，不再进行统计量值与临界值的比较。
关键词：回归分析；课程教学；检验
教学参考
２７．．
２００８年第４期
ＴＯＮＧＪＩＪＩＡＯＹＵ
统计教育
ＳｔａｔｉｓｔｉｃａｌＥｄｕｃａｔｉｏｎ
ＳＳＥＨ＝（Ｙ－Ｘ!!Ｈ）＇（Ｙ－Ｘ!!
Ｈ）
＝［Ｙ－Ｘ!!Ｈ＋Ｘ"）］＇［Ｙ－Ｘ!!
Ｈ＋Ｘ"）］＝ＳＳＥ＋２（Ｙ－Ｘ!!
）Ｘ"＋"＇Ｘ＇Ｘ"＝ＳＳＥ＋"＇Ｘ＇Ｘ"
"＇Ｘ＇Ｘ"＝（Ａ!!－ｂ）＇［Ａ（Ｘ＇Ｘ）－１Ａ＇］－１（Ａ!!
－ｂ）在模型（Ｉ）的假设下：
!!￣Ｎ（!，#２（Ｘ＇Ｘ）－１），Ａ!!
－ｂ￣Ｎ（０，#２ＡＸ＇Ｘ）－１Ａ＇）
!"＇Ｘ＇Ｘ"／#２￣$２
（Ｋ），ｒａｎｋ（Ａ）＝ｋ
!（ＳＳＥＨ－ＳＳＥ）／#２＝（Ａ!!－ｂ）＇［Ａ（Ｘ＇Ｘ）－１Ａ＇］－１（Ａ!!
－ｂ）／#２￣$２（ｋ），
令Ａ＝Ｉｐ，Ａ!＝０，ＳＳＥＨ＝ＳＳＥＨ０
＝ＳＳＴ，!
ＳＳＲ／#２＝（ＳＳＴ－ＳＳＥ）／#２＝ＳＳＥＨ－ＳＳＥ）／#２￣$２
（ｐ）
故：Ｆ＝
ＳＳＲ／ｐＳＳＥ／（ｎ－１－ｐ）
￣Ｆ（ｐ，ｎ－１－ｐ）
且Ｈ０不成立时Ｆ应该大，故此Ｈ０拒绝域是Ｗ＝｛Ｆ＞Ｆ%（ｐ，
ｎ－１－ｐ）｝。
二、建议使用Ｐ值
早期的数理统计教材，或关于数理统计应用的杂志的实证的文章，对回归方程的检验和对回归系数检验时，引用的是Ｆ统计量的值和ｔ统计量的值。
例如研究中国年民航客运量的回归模型，采集到１９７８到１９９３年度的民航客运量ｙ，国
民收入
ｘ１（亿元），消费额ｘ２（亿元），铁路客运量ｘ３（万人），民
航航线里程ｘ４（万公里），来华旅游入境人数ｘ５（万人）。
除
ＭＡＴＬＡＢ外的统计软件，例如ＥＸＣＥＬ、ＳＰＳＳ、ＳＡＳ等都能得到如表１、２的输出。
在表２中Ｐｒ＞Ｆ为模型检验统计量Ｆ的相伴概率，又称
为Ｆ的Ｐ值。
而Ｐ－ｖａｌｕｅ为回归系数检验统计量ｔＳｔａｔ的相伴概率（Ｐｒ＞｜ｔ｜）＝Ｐ｛Ｔ＞｜ｔ｜｝，Ｔ￣ｔ（ｎ－１－ｐ），也称为ｔＳｔａｔ的Ｐ值。
很多资料的模型摘要如下：
决定系数Ｒ２＝０．９９６２，复相关系数Ｒ＝０．９９４２，Ｓ．Ｅ．＝７２．８５８，，Ｆ＝５１９．５８，Ｆ０．０５（５，１０）＝３．３２６，回归方程为：
ｙ!
＝－１９６．７１９＋０．５１４ｘ１－０．７６２ｘ２＋０．０００５２８ｘ３＋１６．２７７ｘ４＋０．３３８ｘ５（－２．１５）（４．６８７）（－４．５１４）（０．６３８）
（２．９０８）（５．０９８）
这不能让人一目了然。
如果使用输出表中现成的Ｐ值，可以让人一目了然（与给定的%相比较，不用查表求分位
数）：模型是否显著，回归系数是否显著。
例如上式改写为：
决定系数Ｒ２＝０．９９６２，复相关系数Ｒ＝０．９９４２，Ｓ．Ｅ．＝
７２．８５８，（Ｐｒ＞Ｆ）＝９．６８Ｅ－１２＜＜%，回归方程为：
ｙ!
＝－１９６３．７１９＋０．５１４ｘ１－０．７６２ｘ２＋０．０００５２８ｘ３＋１６．２７７ｘ４＋０．３３８ｘ５
（０．０５７）
（０．０００９）（０．００１１）（０．５３７８）
（０．０１５６）（０．０００４６５）
括号中是相应回归系数估计值的Ｐ值。
如果%＝０．０５，则“直接”知道变量ｘ３不显著，不应选入模
型。
剔除
ｘ３再继续进行模型估计。
所以，基于大多数统计软件的这种输出标准，建议实证分析中使用Ｐ值。
参考文献：
［１］陈希孺．概率论与数理统计［Ｍ］．中国科学技术大学出版
社，２００２，８．
［２］王松桂，陈敏，陈立萍．线性统计模型－线性回归分析与方差
分析［Ｍ］．高等教育出版社，２０００，６．
［３］何晓群．现代回归分析［Ｍ］．中国人民大学出版社，１９９９，８．［４］高惠璇．应用多元统计分析［Ｍ］．北京大学出版社，２００５，１．［５］何晓群，刘义卿．应用回归分析［Ｍ］．中国人民大学出版社．［６］（美）ＳａｍｐｒｉｔＣｈａｔｔｅｒｊｅｅ，ＡｌｉＳ．Ｈａｄｉ，ＢｅｒｔｒａｍＰｒｉｃｅ．例解回归
分析［Ｍ］．中国统计出版社．
作者单位：贵州民族学院
（责任编辑：金明）
ＭｕｌｔｉｐｌｅＲ０．９９８０８１ＲＳｑｕａｒｅ０．９９６１６６ＡｄｊｕｓｔｅｄＲＳｑｕａｒｅ０．９９４２４８
标准误差７２．８５７６观测值１６Ｓｏｕｒｃｅ
回归分析残差ＸＶａｒｉａｂｌｅ５
ｄｆ５１００．３３８２５５
０．４８６０８９
ＳＳ１３７９０２８９５３０８２．３０．０６６３４９ＭＳ２７５８０５８５３０８．２３５．０９８１４７
Ｆ５１９．５８１４
０．０００４６５
Ｐｒ＞Ｆ９．６８Ｅ－１２
０．１９０４２１
总计
１５１３８４３３７２ＳｏｕｒｃｅＣｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔｓ标准误差ｔＳｔａｔＰ－ｖａｌｕｅＬｏｗｅｒ９５％Ｕｐｐｅｒ９５％Ｉｎｔｅｒｃｅｐｔ
－１９６．７１９９１．５０１４６－２．１４９９０．０５７０７４－４００．５９７７．１５９０１７ＸＶａｒｉａｂｌｅ１０．５１４１４８０．１０９６９１４．６８７２５３０．０００８５８０．２６９７４２０．７５８５５４ＸＶａｒｉａｂｌｅ２－０．７６２４９０．１６８９１６－４．５１４０４０．００１１１９－１．１３８８６－０．３８６１３ＸＶａｒｉａｂｌｅ３０．０００５２８０．０００８２８０．６３７９３７０．５３７８４８－０．００１３２０．００２３７４ＸＶａｒｉａｂｌｅ４１６．２７７０９５．５９６９６７２．９０８１９８０．０１５６１３３．８０６２６７２８．７４７９１表１回归分析
表２
方差分析２８．．。